Cuadernillos 4º ESO B. Castellano by Red Educativa Digital Descartes

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IES __________________________

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 1

NOMBRE:

FECHA:

Los números reales

Contenidos 1. Números racionales e irracionales Decimales periódicos Fracción generatriz Números racionales Números irracionales Números reales 2. Calculando con números reales Aproximaciones Medida de errores Notación científica 3. La recta real Ordenación de los números reales Valor absoluto Intervalos

Objetivos •

Clasificar los números reales en racionales e irracionales.

•

Aproximar números con decimales hasta un orden dado.

•

Calcular la cota de error de una aproximación.

•

Representar en la recta números reales.

•

Expresar y representar intervalos de números reales.

•

Utilizar la calculadora para facilitar los cálculos.

Autor: José R. Galo Sánchez

Los números reales

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Antes de empezar Observa la animación que hay en esta página y responde a las siguientes preguntas: a) ¿Qué es lo que se está representando en la animación?

b) ¿Están representadas en la imagen de la izquierda todas las cifras decimales que tiene el número pi? _____ c) ¿Cuál es o cuál podría ser la última cifra del número pi? __________________________ d) ¿Cuántas cifras tiene el número pi? _________ Si tienes dificultades con las operaciones con fracciones puedes repasar pulsando Pulsa

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1. Números racionales e irracionales 1.a. Decimales periódicos •

Lee el texto de pantalla.

a) ¿Cuándo hallamos la expresión decimal de una fracción cuántos tipos obtenemos? _______ b) ¿Cuáles son esos tipos de decimales? ________________, ______________ y __________ c) ¿Por qué al dividir dos números siempre llega el momento en que se repiten las cifras del cociente?________________________________________________________________ •

Con ayuda de la escena obtén la expresión decimal de las siguientes fracciones: a)

b) Escribe diferentes ejemplos de fracciones cuya expresión decimal sea: Exacta

Periódica pura

Periódica mixta

•

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Pulsa

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1.b. Fracción generatriz •

Veamos ahora como obtener a partir de una expresión decimal, exacta o periódica, su fracción generatriz. Mira la escena de la izquierda y apoyándote en ella determina la fracción generatriz de tres expresiones decimales de cada tipo: Exacta

Periódica pura

Periódica mixta

•

Se pueden obtener tres reglas para construir mecánicamente una fracción generatriz para cada tipo de expresión decimal. Esas reglas son las siguientes: Exacta Ejemplo:

Periódica pura

Ejemplo:

Periódica mixta

Ejemplo:

para hacer unos ejercicios. Insiste hasta que no cometas ningún error.

Pulsa en el botón

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1.c. Números racionales y su representación gráfica •

Toma regla y compás que vamos a representar fracciones (números racionales) en una recta. A cada fracción le va a corresponder un punto de la recta. Haz al menos los ejemplos que se indican a continuación: Representación de un decimal periódico cuyo valor está entre 0 y 1.

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Representación de un decimal periódico cuyo valor es mayor que 1.

Representación de un decimal periódico negativo.

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7 3

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1.d. Números irracionales. Representación gráfica de algunos de ellos •

Toma regla y compás y siguiendo el ejemplo de la escena representa: Representación gráfica de

•

¿Por qué

no es un número racional? ______________________________________

____________________________________________________________________ •

A los números que no son racionales se les denomina: ________________

•

Lee y comprende la demostración de por qué

no es un número racional. Pulsa

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1.e. Números reales. •

Toma regla y compás y siguiendo el ejemplo de la escena representa: Representación gráfica de

Representación gráfica de

EJERCICIOS 1.

Calcula la fracción generatriz: a) 2,375 1000

b) 43,666...

c) 4,3666...

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Representa en la recta: a) 2/3

b) 19/4 =4 + 3/4

c) -23/5 = -5 + 2/5

Determina qué tipo de decimales son los siguientes:

92 73

57 22

27 36

17 :

Representa

Decide si los siguientes números son racionales o irracionales: -5, 0,

π/2, 16 ,

7/3, 2,313131…., 15 ,

1,01001000100001… , -4/5, 4,65

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2. Calculando con números reales 2.a. Aproximaciones •

Lee el texto de la página y después fíjate en la descripción que se hace en la escena de lo que es una aproximación por defecto y por exceso, y después la diferencia entre truncar y redondear. a) En la aproximación por defecto de un número la aproximación es siempre _______ que dicho número. Por ejemplo: a. Al aproximar por defecto 1,66666666… hasta las diezmilésimas tenemos el número: __________________ b. Al aproximar por defecto 3,1415926535… hasta las milésimas tenemos el número: __________________ b) En la aproximación por exceso de un número la aproximación es siempre _______ que dicho número. Por ejemplo: a. Al aproximar por exceso 1,66666666… hasta las diezmilésimas tenemos el número: __________________ b. Al aproximar por exceso 3,1415926535… hasta las milésimas tenemos el número: __________________ c) Al truncar un número siempre tenemos una aproximación por _________. d) Al redondear un número obtenemos una aproximación por defecto si la cifra siguiente a la que se aproxima es ______________________ y una aproximación por exceso si la cifra siguiente a la que se aproxima es __________________________.

•

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

El radio de una circunferencia es de 3,96 metros. Utilizando el valor de π que te da la calculadora averigua: 1. La longitud de la circunferencia, truncando el resultado a los centímetros.

2. La longitud de la circunferencia, redondeando el resultado a los centímetros.

3. El área del círculo, truncando el resultado a los centímetros cuadrados.

4. El área del círculo, redondeando el resultado a los centímetros cuadrados.

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2.b. Medida de errores •

Lee el texto que se incluye en la parte derecha de la página y a) Define que es el error absoluto que se comete en una aproximación:

b) Define el error relativo que se comete en una aproximación:

c) ¿Qué es el porcentaje de error?

•

Fijándote en la escena completa la siguiente tabla para el número

266 974

Aproximación por defecto

Error absoluto

Error relativo

Aproximación por exceso

Error absoluto

Error relativo

Aproximación por exceso

Error absoluto

Error relativo

1 cifra decimal 2 cifras decimales 3 cifras decimales 4 cifras decimales 5

Haz lo mismo para el número

270

Aproximación por defecto

Error absoluto

1 cifra decimal 2 cifras decimales 3 cifras decimales 4 cifras decimales •

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para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Copia el enunciado y los datos para cada ejercicio: Ejercicio 1:

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Ejercicio 2

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2.c. Notación científica •

Lee detenidamente la explicación de la escena interactiva y ve rellenando el siguiente cuadro: Notación usual Notación científica Diámetro de la galaxia de Andrómeda en años-luz Distancia a la Tierra de Andrómeda en años-luz Velocidad de la luz en km/s Diámetro de Andrómeda en km Distancia a la Tierra de Andrómeda en km Tamaño de una pulga en mm Tamaño de la arista de un cristal de silicio en mm Tamaño de la escama del ala de una mariposa en mm Tamaño de una bacteria del cólera en mm Tamaño de un virus en mm Tamaño de un átomo de oxígeno en mm

•

¿Por qué es conveniente utilizar la notación científica cuando trabajamos con números muy pequeños o muy grandes?

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para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Copia el enunciado y los datos para cada ejercicio: Ejercicio 1:

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Ejercicio 2. Pasar de forma científica a decimal. Realiza cinco ejercicios de este tipo: Científica

Decimal

Ejercicio 3. Pasar de forma decimal a científica. Realiza cinco ejercicios de este tipo: Decimal

Científica

Ejercicio 4.

Ejercicio 5.

EJERCICIOS 6.

El radio de una circunferencia es 3,96 m. Utilizando la calculadora y el valor de π que da, calcula: a) La longitud de la circunferencia truncando el resultado a cm.

b) La longitud de la circunferencia redondeando el resultado a cm c) El área del círculo truncando a cm2 d) El área del círculo redondeando a cm2

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Los radares de tráfico miden la velocidad de los coches en calles y carreteras. La legislación vigente tiene en cuanta que en toda medición se cometen errores por eso concede un margen de error del 10% (o un error relativo de 0,10). Teniendo esto en cuenta calcula la velocidad máxima a que puede ir un coche sin infringir la ley en los casos: a) Autopista con límite de velocidad de 120 km/h b) Carretera con límite de velocidad de 90 km/h c) Vía urbana con límite de velocidad de 50 km/h

Escribe en notación científica o en notación decimal respectivamente: a) 0,000000002145 = b) 1523000000000 =

b) 3,589·109 = d) 5,267·10-5=

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3. La recta real 3.a. Ordenación de números reales Lee el texto de la página y de la escena y desde ella accede al vídeo que nos relata la carrera en la determinación de las cifras del número pi. •

¿Qué sentido tiene esa carrera?

•

¿Tiene alguna aplicación práctica el conocer cien millones de cifras de pi?

•

¿Y un googol de cifras de pi?

•

Cada punto en la recta real se corresponde con un ________________

•

Cada número real es representable como un punto en _____________________

•

Dados dos números reales, a y b, diremos que a es menor que b, a ___ b, si al representarlos a está a la _____________________ de b.

•

a es menor que b si la diferencia ___________ es ______________.

•

Los números a la derecha del cero son los ________ y los de la izquierda son los _________.

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para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Lee en primer lugar las indicaciones, que te facilitarán la resolución de los ejercicios Ejercicio 1: Comparar números racionales. Realiza cinco ejercicios de este tipo.

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Ejercicio 2: Comparar radicales. Realiza cinco ejercicios de este tipo.

Ejercicio 3: Comparar números en notación científica. Realiza cinco ejercicios de este tipo.

Ejercicio 4: Ordenar de menor a mayor. Realiza cinco ejercicios de este tipo.

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3.b. Distancias entre números. Valor absoluto. •

Lee el texto de esta página y las diferentes pantallas en la escena. Responde las siguientes preguntas: a) ¿A qué denominamos valor absoluto de un número? b) ¿Cómo se representa el valor absoluto del número a? c) La distancia del punto en la recta real que representa al número a es: d) Dados dos números a y b la distancia entre los puntos que los representan es: e) ¿Cuál es la desigualdad triangular en el valor absoluto? f) ¿Cuándo | a + b |= | a | + | b | ? g) ¿A qué es igual el valor absoluto del producto de dos números? ¿Y el valor absoluto del cociente?

•

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para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Ejercicio 1. Para tres ejemplos que te proponga la escena escribe y calcula: a b |a| |b|

d(a, b)

Ejercicio 2. Para tres ejemplos que te proponga la escena escribe y calcula: a

|a+b|

|a-b|

Pulsa Los números reales

|a⋅b|

a b

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3.c. Intervalos •

Lee el texto de esta página y las diferentes pantallas en la escena. Responde las siguientes preguntas: a) ¿A qué denominamos intervalo de extremos a y b? __________________________ __________________________________________________________________ b) Escribe matemáticamente la definición de los diferentes tipos de intervalos: Intervalo Ejemplo Representación gráfica

[a, b] = (a, b ) = [a, b) = (a, b] = (− ∞, b] = [a,+∞ ) =

c) ¿Qué es un entorno simétrico de centro c y radio r. Escríbelo matemáticamente, pon un ejemplo y represéntalo.

d) ¿Qué es la longitud de un intervalo? Pon varios ejemplos.

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para hacer los ejercicios que ahí se proponen.

Repítelos tantas veces como sea necesario hasta que no te equivoques.

EJERCICIOS 9.

Ordenar de menor a mayor:

a) 5,97509 ⋅ 10 8 b) 6,10314 ⋅ 10 − 6 c) 10.

−8243924 5560

5952091 4605

30694

f ) − 6320

El radio de una circunferencia es de 4 m. Calcula su longitud a) Truncando el resultado primero a cm y luego a m. b) Redondeando el resultado primero a cm y luego a m

11.

Calcula el valor absoluto de los números a=-3 y b=5, y la distancia entre ellos.

12.

Calcula |a+b| |a-b| |a·b| y |a/b|

13.

Indica qué puntos pertenecen al intervalo en cada caso: a) Intervalo (-74,-52]. Puntos: a) –53

b) –74

c) 11

b) Intervalo (-∞,75]. Puntos:

b) 75

c) 76

a) 32

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Recuerda lo más importante – RESUMEN Los números reales están compuestos por los ___________ y por los __________. Los número racionales pueden escribirse siempre como una __________ y su expresión decimal es _______________________. La expresión decimal de un número irracional es _____________________________. Un número irracional no puede escribirse como una ___________. ¿Qué diferencia ua aproximación pro defecto y una por exceso? ________________________ ________________________________________________________________________. ¿Qué es redondear? ________________________________________________________. ¿Qué es truncar? __________________________________________________________. El error absoluto cometido en una aproximación es: _______________________________. El error relativo es: _________________________________________________________. La notación científica se utiliza para representar números _______________y ____________. Con esta notación se observa rápidamente el orden de __________ del número representado. Para que un número esté en notación científica ha _________________________________ ________________________________________________________________________. El valor absoluto de un número nos da la distancia del punto que representa ese número en la recta real al _____. La distancia entre dos números a y b viene dada por el valor absoluto de ___________. Un intervalo abierto de extremos a y b es _______________________________________. Se denota como ___________ y gráficamente se representa:

Un intervalo cerrado de extremos a y b es _______________________________________. Se denota como ___________ y gráficamente se representa:

Un intervalo semiabierto a la izquierda de extremos a y b es ________________________ _________________________. Se denota como ___________ y gráficamente se representa:

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Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de Operaciones con números racionales Tipos de aproximaciones Cálculos aproximados Intervalos Procura hacer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprueba la solución. Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Pulsa

para ir a la página siguiente.

Operaciones con números racionales 1. Calcula los valores exactos de A+B y de B+C.

A= ________ B= ________ C= ________

2. Calcula los valores exactos de A-B, C-A y B-C.

A= ________ B= ________ C= ________

3. Calcula los valores exactos de A·B, A·C y B·C.

A= ________ B= ________ C= ________

4. Calcula los valores exactos de A/B , de C/A y de B/C.

A= ________ B= ________ C= ________

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Tipos de aproximaciones 5. Aproximar radicales. Considerando como exacto el

valor

_______

__________

Escribir

las

aproximaciones por defecto, por exceso y redondeos de orden primero, segundo, tercero, cuarto y quinto.

6. Medidas aproximadas. La cinta métrica que aparece

tiene divisiones hasta el medio centímetro. La utilizamos para medir una varilla y obtenemos el valor: ____________. ¿Entre qué valores exactos se encuentra la longitud real, suponiendo que ese valor es: a) por defecto, b) por exceso, c) redondeo a cm. 7. Poblaciones aproximadas. Nos dicen que la población

de esta ciudad es _____________ habitantes y que las 4 primeras cifras de esta cantidad son significativas. ¿Entre qué valores se halla realmente la población dela ciudad? Cálculos aproximados 8. Suma

y producto. Los valores X=_________ e Y=___________ son sendas aproxiamciones por defecto de dos números reales desconocidos A y B. Averigua entre qué valores exactos se hallan A+B y A·B y con qué precisión pueden darse los resultados.

9. Calcular longitud. Debido a

unas obras se quiere rodear la fuente de la imagen con una tela metálica protectora. Utilizando un flexómetro gradudado en milímetros, se obtiene la longitud del diámetro de la fuente que es: ____________. Calcula la longitud de la tela metálica usando el número pi con la cantidad de cifras decimales adecuada.

10. Calcular superficie. Copia el enunciado y resuelve.

Pulsa Los números reales

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Intervalos Copia los intervalos y realiza cinco ejercicios de cada tipo 11. Del tipo: Intersección

a) b) c) d) e)

12. Del tipo: unión

a) b) c) d) e)

13. Del tipo: diferencia

a) b) c) d) e)

14. Del tipo: -A

a) b) c) d) e)

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Los números reales

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Autoevaluación Completa aquí cada uno de los enunciados que van apareciendo en el ordenador y resuélvelo, después introduce el resultado para comprobar si la solución es correcta. Escribe la fracción _________.

generatriz

del

número

La milla inglesa mide 1609,34 m, redondea a km ______ millas

___________________________________ ___________________________________

Calcula el error absoluto y el relativo (en %) que comentemos cuando aproximamos ___________ por ___________.

Con la calculadora escribe un redondeo y un truncamiento a las milésimas de ________.

El número ___________ es una aproximación de x con una cota de error absoluto de ______________ ¿entre qué valores está el número exacto x?

Calcula con tres cifras significativas el número de moléculas de un gas que, en condiciones normales, cabe en una pelota de _________ de radio.

Escribe el intervalo de la figura dibujándolo previamente.

Escribe el intervalo formado por los números x que cumplen ______________

__________________________________ __________________________________

Los números reales

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Para practicar más 1. Dados los números:

A=2,7

B=3,292929... C=0,01030303...

Calcula los valores exactos de A+B,C-A y A·C. (Debes calcular las fracciones generatrices de A, B y C y restar). 2. Considerando 7,4833147735.... como

el valor exacto de 56 , escribe las aproximaciones por defecto, por exceso y redondeos de orden primero y segundo (décimas y centésimas, respectivamente).

3. La cinta métrica que aparece abajo tiene

unas divisiones hasta el medio cm. La utilizamos para medir una varilla y obtenemos el valor que se muestra en ella. ¿Entre qué valores exactos se encuentra la longitud real, suponiendo que ese valor es: a)por defecto; b) por exceso; c) redondeo a cm.?

Las aproximaciones pueden utilizarse también con números enteros. Para generalizar esta idea usaremos el concepto de cifras significativas: “Si un número N es un valor aproximado de otro número P, diremos que N tiene n cifras significativas si las primeras n cifras de N coinciden con las n primeras cifras de P. (No se consideran cifras significativas los ceros cuya única finalidad es situar la coma decimal)”. La definición anterior es bastante intuitiva pero no siempre es correcta del todo., por ello precisamos un poco más: “Diremos que N tiene n cifras significativas si el número formado con las n primeras cifras de N difiere del número formado con las n primeras cifras de P (eliminando las comas decimales si las hubiera) en menos de 0,5”. 4. Nos dicen que la población de una ciudad

es de 1579000 habitantes y que las 4 primeras cifras de esta cantidad son significativas. ¿Entre qué valores se halla realmente su población?

Los números reales

5. Los

valores X=6,235 e Y=92,88 son sendas aproximaciones por defecto de dos números reales desconocidos A y B. Averigua entre qué valores exactos se hallan A+B y A·B y con qué precisión pueden darse los resultados.

6. Debido a unas obras se quiere rodear la

fuente de la imagen con una tela metálica protectora. Utilizando un flexómetro graduado en mm, se obtiene la longitud del diámetro que se indica. Calcula la longitud de la tela metálica usando el número pi con la cantidad de decimales adecuada.

7. La distancia media de Júpiter al Sol es de

7,7833·108 km. Todas las cifras son significativas y suponemos que la órbita del planeta alrededor del Sol es circular. Calcula: a) La cota de error en km; b) El área del círculo que describe el planeta. Dados dos subconjuntos, A y B, de un cierto conjunto de referencia, E, su intersección, A ∩ B, es el conjunto de elementos comunes a ambos; su unión, AUB, es el conjuntos formado por todos los elementos de A y todos los de B; su diferencia, A-B, es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B. El complementario de A, -A, es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de referencia que no pertenecen a A. 8. Determina los conjuntos A∩B, AUB, A-B y

-A en los casos siguientes: 1.

A = [-11,-9] B = (-1,6)

A = [-5,5]

A = [-2,7] B = (-2,6)

B = (3,4)

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Potencias y radicales Contenidos 1. Radicales Potencias de exponente fraccionario Radicales equivalentes Introducir y extraer factores Cálculo de raíces Reducir a índice común Radicales semejantes 2. Propiedades Raíz de un producto Raíz de un cociente Raíz de una potencia Raíz de una raíz 3. Simplificación Racionalizar Simplificar un radical 4. Operaciones con radicales Suma y resta Multiplicación de radicales División de radicales

Objetivos • • • • • • •

Calcular y operar con potencias de exponente entero. Reconocer las partes de un radical y su significado. Obtener radicales equivalentes a uno dado. Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario y viceversa. Operar con radicales. Racionalizar expresiones con radicales en el denominador. Utilizar la calculadora para operar con potencias y radicales.

Autor: José R. Galo Sánchez

Potencias y radicales

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Antes de empezar Es necesario que repasemos las propiedades de las potencias. En la escena puedes abordar este repaso y ver múltiples ejemplos de cada propiedad. Completa la siguiente tabla: Propiedad (Completa la expresión dada)

an ⋅ am

an am

 an     

an ⋅ bn

(

Ejemplo 3

a a

Ejemplo 2

Ejemplo 1

)n )n

Haz varios ejercicios de potencias de exponente entero pulsando el botón

Refleja quince enunciados y sus resultados en la siguiente tabla:

Pulsa

Potencias y radicales

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NOMBRE:

FECHA:

1. Radicales 1.a. Definición. Exponente fraccionario •

Lee el texto de pantalla.

a) ¿Qué es una raíz de índice n? _________________________________________________ b) ¿Qué es una potencia de exponente un número racional o fraccionario? Pon dos ejemplos:

Haz varios ejercicios de potencias de exponente fraccionario pulsando el botón

Refleja quince enunciados y sus resultados en la siguiente tabla:

Pulsa

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1.b. Radicales equivalentes •

Lee el texto de esta página y mira varios ejemplos en la escena interactiva. a) ¿Cuándo dos radicales son equivalentes?

Pon dos ejemplos de radicales que sean equivalentes entre sí:

b) ¿De cuantas maneras se puede escribir un mismo radical?

c) ¿Cuándo diremos que un radical es irreducible? Pon dos ejemplos de radicales irreducibles.

Potencias y radicales

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NOMBRE:

FECHA:

Haz varios ejercicios de radicales equivalentes pulsando el botón: Refleja quince enunciados y sus resultados en la siguiente tabla:

Pulsa

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1.c. Introducir y extraer factores •

Lee el texto de esta página y mira varios ejemplos en la escena interactiva.

Haz varios ejercicios de introducir y extraer factores de un radical pulsando el botón: Refleja doce enunciados y sus resultados en la siguiente tabla:

Pulsa

Potencias y radicales

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FECHA:

1.d. Cálculo de raíces •

Lee el texto de esta página y mira varios ejemplos en la escena interactiva. Haz varios ejercicios de cálculo de raíces pulsando el botón: Refleja diez enunciados y sus resultados en la siguiente tabla:

Pulsa

Potencias y radicales

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I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

1.e. Reducción a índice común. •

Lee el texto de esta página y mira varios ejemplos en la escena interactiva.

Haz varios ejercicios de reducir a índice común pulsando el botón: Refleja nueve enunciados y sus resultados en la siguiente tabla:

Pulsa

1.f. •

para ir a la página siguiente.

Radicales semejantes.

Lee el texto de esta página y mira varios ejemplos en la escena interactiva. a) ¿Cuándo dos radicales son semejantes? Pon dos ejemplos.

b) Dos radicales semejantes ¿pueden tener diferente apariencia? ________. Para observar si dos radicales son semejantes hay que _____________.

Haz varios ejercicios de radicales semejantes pulsando el botón: Refleja nueve enunciados y sus resultados en la siguiente tabla:

Potencias y radicales

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 1.

Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario: a) 5 3 = b)

X3 =

Escribe las siguientes potencias como radicales: 1

a) 72 = 2

b) 53 = 3.

Escribe un radical equivalente, amplificando el dado: a)

x4 =

Escribe un radical equivalente, simplificando el dado. a)

49 = x28 =

Introduce los factores dentro del radical: a) 2路4 3 = 7

b) x 2 x 3 = 6.

Extrae los factores del radical: a) b)

128 =

x30 =

Potencias y radicales

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FECHA:

7. Calcular las siguientes raíces: a)

1024 =

x84 =

8. Reduce a índice común

3; 3 5

a) b)

x3 ; 6 x5

9. Indica que radicales son semejantes a)

3;54 3

x; 3 x

Pulsa

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2. Propiedades 2.a. Raíz de un producto •

Lee el texto de la página. a) La raíz n-ésima de un producto es igual al ______________________________. b) Escribe matemáticamente la propiedad anterior:

c) Escribe la demostración de la propiedad anterior: •

Mira algunos ejemplos de aplicación de esta propiedad en la escena interactiva de la izquierda.

Haz nueve ejercicios pulsando el botón

y refléjalos aquí:

Pulsa Potencias y radicales

para ir a la página siguiente. -

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NOMBRE:

FECHA:

2.b. Raíz de un cociente •

Lee el texto de la página. a) La raíz n-ésima de un cociente es igual al ______________________________. b) Escribe matemáticamente la propiedad anterior:

c) Escribe la demostración de la propiedad anterior: •

Mira algunos ejemplos de aplicación de esta propiedad en la escena interactiva de la izquierda.

Haz nueve ejercicios pulsando el botón

y refléjalos aquí:

Pulsa

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2.c. Raíz de una potencia •

Lee el texto de la página. a) La raíz n-ésima de una potencia es igual a ______________________________. b) Escribe matemáticamente la propiedad anterior:

c) Escribe la demostración de la propiedad anterior: •

Mira algunos ejemplos de aplicación de esta propiedad en la escena interactiva de la izquierda.

Haz nueve ejercicios pulsando el botón

Potencias y radicales

y refléjalos aquí:

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

Pulsa

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2.d. Raíz de una raíz •

Lee el texto de la página. a) La raíz n-ésima de una raíz m-ésima es igual a ______________________________. b) Escribe matemáticamente la propiedad anterior:

c) Escribe la demostración de la propiedad anterior:

•

Mira algunos ejemplos de aplicación de esta propiedad en la escena interactiva de la izquierda.

Haz nueve ejercicios pulsando el botón

y refléjalos aquí:

Pulsa

Potencias y radicales

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10 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

3. Simplificación 3.a. Racionalización • •

Lee el texto de la página y observa diferentes ejercicios de la escena. ¿Qué es racionalizar?

•

Si en el denominador tenemos un radical ¿Cómo podemos racionalizar esa expresión? Pon dos ejemplos.

•

Si en el denominador tenemos una suma o diferencia de raíces cuadradas ¿Cómo podemos racionalizar esa expresión? Pon dos ejemplos.

•

¿Qué se entiende por la expresión conjugada de un binomio?

•

Si en el denominador se tiene una suma diferencia de raíces que no son cuadradas. ¿Podemos racionalizar con la expresión conjugada? ¿Por qué?

Haz ocho ejercicios pulsando el botón

Potencias y radicales

y refléjalos aquí:

11 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

Pulsa

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3.b. Simplificar un radical • •

Lee el texto de esta página y observa diferentes ejemplos en la escena. ¿Cuándo decimos que un radical está simplificado?

Haz ocho ejercicios pulsando el botón

Potencias y radicales

y refléjalos aquí:

12 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 10.

11.

12.

Escribe con una sola raíz: a)

3 =

X4 x =

Escribe con una sola raíz: a)

3·4 27 =

x·5 x2 =

Escribe con una sola raíz: 3

13.

1 5

5·3 4

Racionaliza: a) b)

15.

Racionaliza. a)

14.

1 7

x4 1

x2 7 x3

Racionaliza: a) b) c)

1 3− 2 2 5 +2 1 3− x

= =

Pulsa

Potencias y radicales

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13 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

4. Operaciones 4.a. Suma y resta •

Lee el texto de la página y observa diferentes ejercicios de la escena. a) ¿Cuándo se puede expresar de manera simplificada la suma o diferencia de radicales?

b) ¿Cómo se simplifican dos sumandos que son radicales semejantes?

c) ¿Qué propiedad es la que aplicas en la regla anterior? Haz ocho ejercicios pulsando el botón

y refléjalos aquí:

Pulsa

Potencias y radicales

para ir a la página siguiente.

14 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

4.b. Multiplicación de radicales •

Lee el texto de la página y observa diferentes ejercicios de la escena con radicales con el mismo índice y con distinto índice.

Haz ocho ejercicios pulsando el botón

y refléjalos aquí:

Pulsa Potencias y radicales

para ir a la página siguiente. -

15 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

4.c. División de radicales •

Lee el texto de la página y observa diferentes ejercicios de la escena con radicales con el mismo índice y con distinto índice.

Haz ocho ejercicios pulsando el botón

y refléjalos aquí:

Pulsa Potencias y radicales

para ir a la página siguiente. -

16 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 16.

Calcular la suma:

40 + 90 =

b) 2 32 − 8 = c)

4 + 6 16 =

1 +5 8= 2

d) 2

17.

18.

Calcular y simplificar: a)

3·5 27 =

x·9 x2 =

x3 x· x =

2· 2·4 8 =

Calcular y simplificar: 3

b) 19.

Calcular y simplificar: a)

X4 x

20.

Calcular y simplificar:

2·3 4

4 5

2 2·3 4 8

Pulsa

Potencias y radicales

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17 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN •

Describe qué es la raíz n-ésima de un número con palabras y con notación matemática. Pon dos ejemplos.

•

Una raíz es una potencia de exponente ______________, donde el denominador es ___________________ y el numerador es ______________. Escríbelo matemáticamente. Pon dos ejemplos.

•

Si el índice y el exponente de una raíz se multiplica por un mismo número se obtiene un radical ___________. Pon dos ejemplos.

•

Dados dos radicales cualesquiera ¿es posible escribirlos siempre con un índice común? Pon dos ejemplos.

•

¿A qué denominamos radicales semejantes? Pon dos ejemplos.

•

¿Representa lo mismo radicales equivalentes y radicales semejantes? Pon dos ejemplos.

•

Para poder multiplicar o dividir dos radicales es necesario que tengan el mismo ______. Si no lo tienen previamente hay que _________________________. Pon dos ejemplos.

•

Para poder escribir de manera más simplificada la suma o diferencia de dos radicales es necesario que estos sean radicales __________________. Pon dos ejemplos.

•

Racionalizar es un procedimiento que busca que en el denominador de una fracción no haya _______. Pon dos ejemplos.

Pulsa

Potencias y radicales

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18 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de Radicales Operaciones con radicales Procura hacer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprueba la solución. Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Pulsa

para ir a la página siguiente.

Radicales La escena te va a proponer una serie de ejercicios. Copia el enunciado en el recuadro de la izquierda y después efectúa el cálculo pedido en el recuadro de la derecha. Práctica todo lo necesario hasta que te sientas seguro en las respuestas que puedes comprobar en la escena, pero al menos haz diez ejercicios.

Potencias y radicales

19 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

Pulsa

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Operaciones con radicales Esta escena también te va a proponer una serie de ejercicios. Copia el enunciado en el recuadro de la izquierda y después efectúa el cálculo pedido en el recuadro de la derecha. Práctica todo lo necesario hasta que te sientas seguro en las respuestas que puedes comprobar en la escena, pero al menos haz diez ejercicios.

Potencias y radicales

20 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nยบ 2

NOMBRE:

FECHA:

Pulsa

Potencias y radicales

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21 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

Escribe en fraccionario:

forma

exponente

Calcula:

Introduce el factor en el radical:

Calcula, simplifica y escribe como un único radical:

Extrae factores del radical:

Racionaliza:

Calcula y simplifica:

Calcula y simplifica

Potencias y radicales

22 -

I.E.S. _____________________ CUADERNO Nº 2

NOMBRE:

FECHA:

Para practicar más 1. Escribe como potencia de exponente fraccionario:

8. Multiplica los siguientes radicales a)

3· 6

b) 5· 2·3· 5

12·3 9

2ab·4 8a3

f) 4 2x2y3 ·6 5x2

x·3 2x2

2. Escribe como un radical: a) 3 c) x

1 2

b) 5

1 5

9. Multiplica los siguientes radicales

3 2

d) x

5 3

25 x6

9a3

c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2 d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )

16·x8

10. Divide los siguientes radicales

4. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales a)

)

2− 3· 2

b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3

3. Simplifica los siguientes radicales: a)

(

98a3b5c7

5. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él.

5 3xy 3

9x 3

75x2y3

8a3b

4a2

11. Calcula: a) 3· 5

b) 2· a 2

c) 3a· 2a d) ab

6. Reduce al mínimo común índice los siguientes radicales. 5; 4 3

24 2

x2 4 x3

x3 3 x2 x

23 2 2

12. Racionaliza.

4; 4 3; 2 a)

3; 7; 2

3; 32 ; 5

7. Suma los siguientes radicales indicados. a)

45 − 125 − 20

75 − 147 + 675 − 12

175 + 63 − 2 28

20 +

1 45 + 2 125 3

Potencias y radicales

7 2a 2ax

1 3 1 5

13. Racionaliza. a)

2 3 −1

5 4-

3+ 5 3− 5 2 2 +1

23 -

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NOMBRE:

FECHA:

Polinomios Contenidos 1. Polinomios Grado. Expresión en coeficientes Valor numérico de un polinomio 2. Operaciones con polinomios Suma diferencia, producto División. 3. Identidades notables (a+b)2 (a-b)2 (a+b)·(a-b) Potencia de un binomio 4. División por x-a Regla de Ruffini Teorema del resto 5. Descomposición factorial Factor común xn Raíces de un polinomio

Objetivos •

Hallar la expresión en coeficientes de un polinomio y operar con ellos.

•

Calcular el valor numérico de un polinomio.

•

Reconocer algunas identidades notables, el cuadrado y el cubo de un binomio.

•

Regla de Ruffini y Teorema del Resto.

•

Hallar la descomposición factorial de algunos polinomios.

Autor: José Fernández Gómez

Polinomios

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

Antes de empezar Pulsa sobre la escena de MAGIA CON POLINOMIOS (no sobre la explicación, ni en tus dotes de magia) En estos momentos debes estar observando 32 figuras de diferentes colores La escena te pide que memorices una figura. Escríbela a la derecha (y no se lo digas a nadie) → Después de pulsar el botón COMIENZO. ¿está tu figura en este grupo? Escríbelo a la derecha (SI o NO) → Y en este grupo (SI o NO). Escríbelo a la derecha

→

Y en este grupo (SI o NO). Escríbelo a la derecha

→

Y en este grupo (SI o NO). Escríbelo a la derecha

→

Y en este grupo (SI o NO). Escríbelo a la derecha

→

¿Te ha acertado la figura el ordenador? ¿Qué figura cree el ordenador que tu memorizaste?. Escríbela a la derecha

→

Seguro que está deseando pulsar en el apartado correspondiente a la EXPLICACIÓN. Pero no lo hagas antes de rellenar el siguiente cuadro: ¿Con cuántas figuras distintas trabaja la escena? ¿Te pide la escena alguna vez que le digas el color o la forma de la figura que tu has memorizado? O simplemente que contestes SI o NO a si está en un grupo determinado de figuras? ¿Cuántas veces has contestado SI o NO? ¿Qué vale 25 Ahora si es el momento de ver la EXPLICACIÓN pulsando dentro de la escena en el apartado correspondiente. Vamos a jugar con un compañero. La escena le pide que memorice una figura. Lógicamente no la vamos a escribir porque es un secreto. → Pulsamos COMIENZO y escribimos SI o NO. Lo que nos diga tu compañero → Y en este grupo (SI o NO). Escríbelo a la derecha

→

Y en este grupo (SI o NO). Escríbelo a la derecha

→

Y en este grupo (SI o NO). Escríbelo a la derecha

→

Y en este grupo (SI o NO). Escríbelo a la derecha

→

Tenemos nuestros 5 SIs o NOs. Escribe al lado el polinomio con el que debemos trabajar. → ¿Sustituimos 2 en dicho polinomio? ¿El valor de la figura sería? Escríbelo a la derecha →

Polinomios

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

Pulsa el botón

FECHA:

que aparece en pantalla bajo el título Sistema Binario y visualiza el vídeo. Presta atención para contestar:

En el vídeo aparece un número descompuesto en varios sumandos. NÚMERO=

SUMANDOS= Pulsa

para ir a la página siguiente.

1. Polinomios 1.a. Grado. Expresión en coeficientes Lee el texto de pantalla. CONTESTA ESTAS CUESTIONES: ¿Cuál es el grado del polinomio x3+2x-1? ¿Cuántos coeficientes tiene un polinomio de grado 4? Escribe a la derecha el polinomio asociado a los coeficientes:2 0 -3 1

RESPUESTAS

Haz varios ejemplos en la escena hasta comprender los conceptos de grado , expresión en coeficientes y expresión polinómica de un polinomio. Pulsa en el botón

para hacer el ejercicio propuesto.

Pulsa

para ir a la página siguiente.

1.b. Valor numérico de un polinomio Lee en pantalla detenidamente las instrucciones para utilizar la escena. Practica primero en la escena con varios ejemplos de la serie 1. Vamos ahora a serie 2. EJERCICIO 1: Completa ahora la siguiente tabla escribiendo a la izquierda tus resultados del (ATENCIÓN) ejercicio 5 de la serie 2 y a la derecha (de forma resumida las instrucciones). Resultados

Instrucciones

Cuando acabes debes resolver los ejercicios propuestos de la página siguiente y pasar al siguiente apartado. Pulsa

Polinomios

para ir a la página siguiente.

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 1.

Halla la expresión en coeficientes de los polinomios P(x)=5x2+2x+1; Q(x)=x3-3x; R(x)=0,5x2 –4

2. 3.

Escribe las expresiones polinómicas de los polinomios cuya expresión en coeficientes es: P(x) 2 1 3 -1; Q(x) 1 3 0 0; R(x) 3/4 -1 0 2 Completa la tabla: EXPRESIÓN POLINÓMICA

EXPRESIÓN EN COEFICIENTES

GRADO

-2x3+x5-3x2 x2/3-1 -2

π 0 0

-2 1,3 0 -1/7 3- 2 x2 Estos polinomios son polinomios en una variable, x, con coeficientes en el cuerpo de los números reales. El conjunto de estos polinomios se designa por lR[x].

Halla el valor numérico en 1, 0 y –2 de los polinomios del ejercicio anterior POLINOMIO 5

x -2x -3x

Valor en 1

Valor en 0

Valor en -2

x2/3-1 - 2x3+π x2 -2x3+1,3x2-1/7 - 2 x2+3

2. Operaciones con polinomios 2.a. Suma, diferencia y producto Observa con atención la escena que se muestra. No es necesario que contestes por escrito pero ¿puedes elegir en la escena los polinomios que se van a operar? ¿puedes elegir la operación suma, resta o producto? EJERCICIO 1: Completa la siguiente tabla con 6 ejercicios diferentes de los que te aporta la escena. Coloca en la segunda columna el signo de la operación (+, -, x). Escribe a ser posible 2 ejercicios de cada operación. Primer polinomio Op. Segundo polinomio Resultado

Pulsa en el botón

en la parte inferior derecha, para hacer los ejercicios.

Como verás se abre un cuadro con una escena en la que puedes practicar operaciones con polinomios. La idea es que practiques cuantas veces quieras pero completa la siguiente tabla con 5 ejemplos que hayas resuelto CORRECTAMENTE Polinomios

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

EJERCICIO 2: P(X)

Op.

FECHA:

Q(x)

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Resultado

Pulsa

para ir a la página siguiente.

2.b. División En esta ocasión se presenta una escena con tres niveles. Practica con la escena, en cada uno de los niveles, hasta entender bien los conceptos. EJERCICIO 1: Completa la siguiente tabla con las palabras dividendo, divisor, cociente y resto

Fórmula que los relaciona:

EJERCICIO 2: Contesta. Si dividimos un polinomio donde el monomio de mayor grado es 6x4 entre otro cuyo monomio de mayor grado 2x2, el cociente tendrá como monomio de mayor grado________ Si dividimos un polinomio donde el monomio de mayor grado es x4 entre otro cuyo monomio de mayor grado 3x, el cociente tendrá como monomio de mayor grado________ ¿El resto de la división de dos polinomios puede ser cero? _______¿Qué afirmaremos en este caso del dividendo y del divisor? _____________________________________________ EJERCICIO 3: Completa de nuevo la tabla, con un ejemplo concreto del nivel 2 (atención al nivel), escribiendo en su lugar P(x), Q(x), cociente y resto.

Fórmula que los relaciona:

Aunque no lo escribas en este cuadernillo, practica con la escena.

Polinomios

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

Pulsa en el botón

NOMBRE:

FECHA:

para hacer unos ejercicios y escribe tus operaciones en los

cuadros siguientes. Se trata de realizar 2 divisiones de principio a fin. Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. 1ª División completa

2ª División completa

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Pulsa

para ir a la página siguiente.

EJERCICIOS 5.

Halla P(x)+Q(x) y 2·P(x)-Q(x) P(x)=x4+x3+3x

Q(x)=2x3+x2-4x+5

¿Cuál es el grado del cociente al dividir un polinomio de grado 5 entre otro de grado 2?

Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 por Q(x)= x3+3x2+5x-2

Dados los polinomios P(x)y Q(x) haz la división P(x):Q(x) a. P(x)= 2x3+4x2+7x+3 ; Q(x)= 2x2+x+3 b. P(x)= 7x2-2x+5 ; Q(x)= 8x+7

3. Identidades notables 3.a. (a+b)2 Cuadrado de una suma EJERCICIO 1: ¿Has observado la escena con detenimiento? Seguro que si. Fija antes de nada los valores a=4 y b=5 en la escena y contesta la siguiente batería de preguntas: ¿Cuántos cuadritos contiene el cuadrado azul?_________ ¿Cuántos cuadritos contiene el cuadrado rojo?_________ ¿Cuál es el valor de a+b?_________ ¿Cuántos cuadritos contiene cada uno de los cuadrados grises?_________ ¿Cómo relacionarías 81 con los valores anteriores?___________________________________ ¿Cómo podríamos expresar (4+5)2?_______________________________________________ Polinomios

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

Escribe en el siguiente recuadro esa fórmula que nunca olvidarás:

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios correspondientes al cuadrado de una

suma y escribe tus operaciones en los.2 cuadros siguientes. La escena contiene 11 series. Deberás transcribir la cuarta y otra que tu inventes. 1ª suma al cuadrado

2ª suma al cuadrado (inventada)

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Pulsa

para ir a la página siguiente..

3.b. (a-b)2 Cuadrado de una diferencia EJERCICIO 1: Observa la escena con detenimiento pero en esta ocasión vamos a centrarnos en el vídeo de la derecha. 2 Visualízalo y en el siguiente recuadro realiza tus cálculos para obtener el valor de (a-b)

(a-b)2=(a-b)(a-b)=

Escribe en el siguiente recuadro esa fórmula que nunca olvidarás:

Polinomios

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

Pulsa en el botón

FECHA:

para hacer los ejercicios correspondientes al cuadrado de una

diferencia y escribe tus operaciones en los.2 cuadros siguientes. La escena contiene 11 series. Deberás transcribir la cuarta y otra que tu inventes. 1ª diferencia al cuadrado

2ª diferencia al cuadrado (inventada)

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Pulsa

para ir a la página siguiente.

3.c. (a+b) (a-b) Suma por diferencia EJERCICIO 1: ¿Has observado la escena con detenimiento? Seguro que si. Fija antes de nada los valores a=9 y b=3 en la escena y pulsa el botón de comienzo de la animación. Contesta ahora a las siguientes preguntas: ¿Cuántos cuadritos contiene el cuadrado rojo?_________ ¿Cuántos cuadritos contiene el cuadrado azul?_________ ¿Cuál es el valor de a+b?_________ ¿Cuál es el valor de a-b?_________ ¿Cuántos cuadritos contiene el rectángulo de base a+b y altura a-b?_________ Escribe en el siguiente recuadro esa fórmula que nunca olvidarás:

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios correspondientes a la suma por

diferencia y escribe tus operaciones en los.2 cuadros siguientes. La escena contiene 11 series. Deberás transcribir la sexta y otra que tu inventes. 1ª suma por diferencia

2ª suma por diferencia (inventada)

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Polinomios

Pulsa

para ir a la página siguiente.. -

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

3.d. Potencia de un binomio. Triángulo de Pascal EJERCICIO 1: Observa la escena con detenimiento pero no olvides el vídeo Visualízalo y en el siguiente recuadro construye el Triángulo de Pascal.

de la derecha.

EJERCICIO 2: Fija en la escena de la izquierda como valores de a y b los que figuran en la primera columna. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Vol cubo rojo

Vol verde

Vol naranja

Vol. cubo azul

a=2 y b=4 a=4 y b=2 a=2 y b=2 a=2 y b=8

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios variados.

Tendrás que hacer 7 series con 1 EJERCICIO en cada una. Resuélvelos fijándote en las propiedades.

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa

Polinomios

para ir a la página siguiente.

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 9.

Desarrolla (x+3)2 aplicando las identidades notables Descompón el polinomio x2–10x+25 aplicando las identidades notables, Descompón el polinomio 4x2 – 25 aplicando las identidades notables

10.

Desarrolla las siguientes expresiones Solución

Expresión (x+4)2

Solución x2-4x+4

Expresión 16x2+24x+9

11.

4 x2-12x+9

(2x/3+5)2

(x/2-3)2

( 2 x+1)2

(x- 3 )2

Halla la expresión en coeficientes de los siguientes productos Solución

Productos (x+4)·(x-4)

Solución

Productos (x-1/2)·(x+1/2)

(2x+5)· (2x-5)

(3+ 2 x)·(3- 2 x)

12.

Resuelve aplicando las identidades notables la ecuación x2+10x+16=0

13.

Calcula el cubo de un binomio Solución 3 Binomio al cubo (x+2)

Solución 3 Binomio al cubo (x-1)

(2x-3)3 14.

(3+x/3)3

Halla la fila 5 del triángulo de Pascal, y calcula (x+1)5

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Polinomios

Pulsa

para ir a la página siguiente..

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

4. División por x-a 4.a. Regla de Ruffini EJERCICIO 1: Según nos dicen en esta página, Ruffini fue un médico y matemático italiano (1765-1822). Pero ¿no te gustaría saber algo más de el?. Aprovecha las siguientes líneas para contarnos algo más acerca de Ruffini. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

Observa en la escena como se ejecuta la Regla de Ruffini paso a paso. Si necesitas volver a ver la animación recuerda pulsar el icono EJERCICIO 2: Completa en el siguiente espacio la división del polinomio p(x)= x4+5x3+x+1 entre x-3 repitiendo exactamente los pasos que va haciendo la escena. Para hacerlo correctamente debes usar el botón pausa de la escena. Fíjate que ya está colocado el polinomio p(x), pero debes seguir tu.

Pulsa en el botón

Polinomios

para realizar varios ejercicios.

10 -

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIO 3: Completa en la siguiente tabla el polinomio que te ofrece la escena, el divisor y la correspondiente regla de Ruffini. Pol. Entre Pol. Entre Pol. Entre

Debes seguir practicando. Completa esta otra tabla con 3 nuevas divisiones entre Pol.

Entre

Pol.

Entre

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado. Pulsa

x-a

Pol.

Entre

para ir a la página siguiente.

4.b. Teorema del Resto EJERCICIO 1: En este apartado la escena te ofrece un dividendo, un divisor y las correspondientes instrucciones. Dividendo. x4-5 Haz la división

divisor x-4

Dividendo=divisor.cociente+resto

Dividendo. 2x3-4x Haz la división

divisor x+4

Dividendo=divisor.cociente+resto

No te olvides de completar la última fila de la tabla (Dividendo=divisor.cociente+resto)

Polinomios

11 -

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIO 2: Completa la siguiente tabla sin ayuda del ordenador. Realiza los cálculos en tu cuaderno. P(x)=Dividendo

Divisor=x-a

x -5x+8

Cociente

Resto

P(a)

x-4

x2+4 x+1

x+2

5x3-5x2+5x-4

x3-5x2+6x

x-2

2x3-mx-24

x-3

Escribe en el siguiente recuadro la conclusión del llamado Teorema del Resto.

Pulsa en el botón

para hacer los ejercicios correspondientes a este apartado.

EJERCICIOS 15.

Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=x3+5x2-2x+1, Q(x)=2x4-5 y R(x)=x3-4x+3x2 entre x-3

16.

Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=x3+3x2-2x+1, Q(x)=x4-2 y R(x)=x3-4x2-x entre x+1

17.

Aplica la regla de Ruffini para dividir P(x)=3x3+5x2-2x+1 y Q(x)=6x4-2 y entre x+2/3

18.

Si el valor numérico de un polinomio en 2 es igual a 3 y el cociente de su división de entre x-2 es x ¿Sabes de que polinomio se trata?

19.

Halla m para que mx2+2x-3 sea divisible entre x+1

20.

¿Existe algún valor de m para que el polinomio x3+mx2-2mx+5 sea divisible por x-2?

Polinomios

12 -

I.E.S.________________________ CUADERNO Nº 3

NOMBRE:

FECHA:

5. Descomposición factorial 5.a. Factor común xn EJERCICIO 1: Saca factor común una potencia de x en la siguiente tabla. Polinomio

Descomposición

Polinomio

x2 +2x

4x5+2x2+x

x4 +2x2-3x

-x4+2x3

-3x5+2x4+5x3

x5+x4+3+5x3

Descomposición

5.b. Raíces de un polinomio EJERCICIO 1: Copia a continuación la definición de raíz de un polinomio. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

EJERCICIO 2: Lee con atención el texto que se muestra debajo de Raíces de un polinomio. Haz hincapié en el texto “sombreado”. Debes completar los huecos que se muestran a continuación:

Las _______ no nulas de un polinomio con coeficientes enteros, son ___________ del ______________ de menor grado del polinomio. Pulsa en Ejemplos y escribe el polinomio que se descompone, dicha descomposición y realiza la comprobación. Polinomio

Raíces

Descomposición

Comprobación

(x-2)(x2+x+2) x4=

Polinomios

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FECHA:

EJERCICIO 3: En la escena de la derecha, puedes realizar la Regla de Ruffini. Completa la siguiente tabla con el polinomio que muestra la escena. Polinomio Raíces Descomposición Comprobación Espacio para Regla de Ruffini

EJERCICIO 4: recargando la página (pulsa F5) la escena te mostrará un polinomio diferente. Vuelve a completar las siguientes tablas como en el ejercicio anterior Polinomio Raíces Descomposición Comprobación Espacio para Regla de Ruffini

Polinomio

Raíces

Descomposición

Comprobación

Descomposición

Comprobación

Espacio para Regla de Ruffini

Polinomio

Raíces

Espacio para Regla de Ruffini

Polinomios

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EJERCICIOS 21.

Saca factor común una potencia de x en cada uno de los siguientes polinomios: P(x)=2x3+3x Q(x)= x4+2x6-3x5 R(x)=2x6+6x5+8x3

22.

Halla la descomposición factorial de x7-x6-4x4

23.

Halla la descomposición factorial de x4+x3-x2-2x-2

24.

Si los coeficientes de P(x)=pnxn+pn-1xn-1+...+p1x+p0 son números enteros, las posibles raíces racionales de P(x) son de la forma

Halla la descomposición factorial de 12x3+4x2-17x+6

. 25.

Halla la descomposición factorial de x4-4

26.

Halla la descomposición factorial de x3-7x2+4x+12

27.

Halla la descomposición factorial de (2x3+x+3/2)2-(x3+5x-3/2)2

5.c. Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es el cociente indicado entre dos polinomios. En la escena se presenta una serie de ejercicios para simplificar fracciones. La escena te ofrece 11 tipos diferentes. Copia en la siguiente tabla una fracción de cada tipo, realiza tus cálculos en tu cuaderno de trabajo y copia en la tabla el resultado. Fracción

Polinomios

Resultado Simplificación

Fracción

Resultado Simplificación

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Pulsa en el bot贸n

NOMBRE:

FECHA:

para hacer los ejercicios correspondientes a este apartado.

EJERCICIO 1: A continuaci贸n tienes espacio para completar la suma o resta y el cociente de dos fracciones. Suma o resta de dos fracciones

Cociente de dos fracciones

EJERCICIO 2: A continuaci贸n tienes espacio para completar la suma o resta y el cociente de dos fracciones. Suma o resta de dos fracciones

Polinomios

Cociente de dos fracciones

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Recuerda lo más importante – RESUMEN Completa el triángulo de Pascal hasta su fila 6ª

Desarrolla (x-3)4 Calcula (x3-x2+1)+(x4-x-1) Calcula (x3-x2+1)(x4-x) Calcula (x3+2x2+x-3)-(x3-3x+2) Desarrolla (a+b)2 Desarrolla (a-b)2 ¿Cómo se llaman los polinomios que intervienen en una división? Completa

D R

¿Cuál es la fórmula que relaciona los polinomios que intervienen en una división? ¿Cuál es la definición de raíz de un polinomio?

Relaciona los siguientes polinomios con sus posibles raíces. 1.- x2-1

Posibles raíces:

2.- x2+1

Posibles raíces:

3.- x3-x2+4

Posibles raíces:

4.- x4-x2-6

Posibles raíces:

Descompón x3-5x2+6x Pulsa

Polinomios

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Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Operaciones con polinomios

Identidades notables

Descomposición factorial

Procura hacer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprueba la solución. Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tu y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Los siguientes EJERCICIOS son de operaciones con polinomios. 1. El número de la izquierda __ __ __ __ está en base ___. Halla su valor en base decimal, nuestra base usual.

2. Cantidad de azul en hexadecimal __ __. Halla en decimal la cantidad de azul.

3. P(x)=____________ Halla P(x)+-__Q(x)

Q(x)=______________

4. P(x)=____________ Halla P(x).Q(x)

Q(x)=______________

5. P(x)=____________ Q(x)=______________ Halla el cociente y resto de la división P(x):Q(x)

6. P(x)=____________ Halla la división de P(x) entre x-___ aplicando la Regla de Ruffini

7. P(x)=____________ Halla, aplicando el teorema del resto, el resto de la división de P(x) y x-___

Polinomios

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FECHA:

8. P(x)=____________ Halla m, aplicando el teorema del resto, para que P(x) sea divisible entre x-___?

Los siguientes EJERCICIOS son de identidades notables. Verás que en muchos temas vas a poder usar la calculadora cuando veas el símbolo: 9. Efectúa la potencia ___________

10. Aplicando las identidades notables, resuelve la ecuación ____________________

11. Halla la fila ___ del triángulo de Pascal y calcula el coeficiente de grado ___ de ________

12. Aplicando las identidades notables simplifica la fracción ___________

Los siguientes EJERCICIOS son de descomposición factorial 13. Descomponer el siguiente polinomio en factores primos ________________________

14. Descomponer el siguiente polinomio en factores primos ________________________

15. Descomponer, aplicando las notables, el siguiente ________________________

identidades polinomio

16. Halla la descomposición de un polinomio de grado 3 que tiene por raíces ___;___;___ y cuyo valor numérico en ___ es ____

Polinomios

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Calcula P(x):Q(x)

Calcula (x+1)3.

¿Es cierta la igualdad? (4x+3)2=16x2+24x+9

Calcula m para que 7x2+mx+5 dividido entre x+2 tenga resto 4

Si P(x)= ax2+bx+4 y a42+b.4=3. ¿Cuál es el resto de P(x) entre x-4?

Calcula una raíz entera de x3+4x2+7x+12

Calcula una 3x3+8x2+29x+40

raíz

racional

El polinomio 2x3+4x2-10x-12 tiene por raíces 2 y -3. Calcula la otra

Las raíces de un polinomio de grado 3 son:-3,0 y5; su coeficiente de grado 3 es 4.Calcula su valor en 7

Polinomios

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Ecuaciones y sistemas Contenidos 1. Ecuaciones de segundo grado Completas ax²+bx+c=0 Incompletas ax²+c=0, ax²+bx=0 Discriminante y soluciones Bicuadradas Racionales Irracionales. 2. Sistemas de ecuaciones lineales Solución de un sistema Sistemas compatibles Método de sustitución Método de igualación Método de reducción 3. Sistemas de segundo grado Sistema ax+by=c xy=k Sistema a0x²+b0y²=c0 a1x+b1y=c1 4. Aplicaciones prácticas Resolución de problemas

Objetivos •

Resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

•

Resolver ecuaciones bicuadradas y otras que se pueden reducir a una de segundo grado.

•

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los diferentes métodos.

•

Resolver sistemas de ecuaciones de segundo grado.

•

Aplicar el lenguaje del álgebra a la resolución de problemas.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Ecuaciones y sistemas

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Antes de empezar Realiza la actividad que se propone en la escena sobre adivinar un número Escribe los números que vas obteniendo

Repite el proceso para un número cualquiera x

Piensa un número Duplícalo Añade 5 unidades. Multiplícalo por 5. Suma 75 unidades. Multiplica por 10: Lo que se obtiene al final es la expresión algebraica __________________________________ ¿Cómo calcularás el valor de x sabiendo el resultado final? ____________________________ ___________________________________________________________________________ Ahora puedes pulsar el botón

¿Por qué?

Gran cantidad de problemas prácticos en la vida real conducen a la resolución de una ecuación o de un sistema de ecuaciones. Traducir al “lenguaje del álgebra” resulta imprescindible en estas ocasiones, el lenguaje algebraico nos sirve para expresar con precisión relaciones difíciles de transmitir con el lenguaje habitual. Pulsa el botón

para recordar el lenguaje algebraico con algunos ejercicios resueltos.

Ahora prueba a hacer tú un ejercicio de cada tipo: La suma de un número positivo con su cuadrado es 56. ¿Cuál es ese número?

La suma de un número positivo con su raíz cuadrada es 90. ¿Cuál es ese número?

La suma de un número con su mitad es 12. ¿Cuál es ese número?

La suma de un número con su triple es 24. ¿Cuál es ese número?

Pulsa Ecuaciones y sistemas

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1. Ecuaciones de segundo grado 1.a. Completas ax²+bx+c=0 Observa la escena de la izquierda, en ella se resuelven ecuaciones de 2º grado completas (es decir, no falta ningún término en el polinomio de 2º grado); puedes elegir si tiene solución entera o fraccionaria, radical o que no tengan solución. Fíjate bien en como aplica la fórmula para cada ecuación y en como se representa gráficamente cada ecuación ¿Qué tienen en común todas las gráficas de las ecuaciones?

→

¿Cómo se llama esa curva?

→

¿Cómo es la curva de las ecuaciones con solución?

→

¿Qué tienen en común todas las ecuaciones que no tienen solución?

→

¿Cómo es la curva de las ecuaciones con solución?

→

Las ecuaciones de segundo grado son de la forma ax2+bx+c=0, donde la incógnita aparece elevada al cuadrado, se resuelven aplicando una fórmula que vamos a obtener paso a paso:

Pasamos c al otro miembro:

→

Multiplicamos por 4a:

→

Sumamos b2:

→

Tenemos un cuadrado perfecto:

→

Extraemos la raíz:

→

Despejamos x:

Ecuaciones y sistemas

FÓRMULA →

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FECHA:

Pulsando el enlace aquí podrás comprobar los pasos. Pulsa en el botón

para resolver unas ecuaciones.

Resuelve aquí al menos 5 de las ecuaciones que se proponen, rellenando los huecos con los coeficientes correspondientes (no te olvides de incluir el signo): __ x2 + __ x + __ = 0

__ x2 + __ x + __ = 0

Pulsa

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1.b. Incompletas ax²+c=0 y ax²+bx=0 Si b ó c, ó los dos son cero diremos que la ecuación es incompleta, en estos casos resulta más útil que aplicar la fórmula, proceder como se indica a continuación.

Primer caso: si b=0 Se despeja x2 y se obtiene la raíz: • •

Si –c/a>0 hay dos soluciones Si –c/a<0 no hay solución.

Lee los ejercicios resueltos para comprender mejor el proceso Pulsa en el botón

para resolver unas ecuaciones.

__ x2 + __ x + __ = 0

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FECHA:

Segundo caso: si c=0 Sacamos factor común x y queda x.(ax+b) = 0, de ahí se deducen las dos soluciones: • x=0 • ax+b=0, es decir x=-b/a Lee los ejercicios resueltos para comprender mejor el proceso Pulsa en el botón

para resolver unas ecuaciones.

__ x2 + __ x + __ = 0

Pulsa

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1.c. Discriminante y soluciones Se llama discriminante de la ecuación de segundo grado a la expresión: ∆=b2-4·a·c ¿En que lugar aparece esta expresión en la fórmula de la ecuación de 2º grado?

___________________________________________________________________________

Completa ahora esta tabla: Casos

Nº de valores de

∆=b2-4·a·c>0

→

∆=b2-4·a·c=0

→

∆=b2-4·a·c<0

→

∆→

Nº de sols. de la ecuación

En la escena adjunta puedes ver ejemplos de los distintos casos; prueba tú a escribir coeficientes para cada caso. Pulsa en el botón

para ver unos ejercicios resueltos.

Coge lápiz y papel y haz tú al menos un ejercicio de cada tipo en este cuaderno; después comprueba la solución en la escena. Calcular el valor de m para que la ecuación __ x2 + __ x + m = 0 tenga dos raíces iguales

Calcular el valor de m para que la ecuación __ x2 + m x + __= 0 tenga dos raíces iguales, si m>0

Calcular el discriminante de la ecuación __ x2 + __ x + __= 0

Pulsa

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1.d. Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de la forma: ax4 + bx2+c= 0 Para resolverlas se hace el cambio t=x2.La ecuación se trasforma en una de segundo grado con incógnita t: at2 +bt+c= 0 Al aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado obtenemos dos soluciones: t1 y t2. Con lo que

En la escena puedes ver varios ejemplos en los que se resuelven las ecuaciones paso a paso. CONTESTA ESTAS CUESTIONES: Si t1 y t2 son negativos, ¿cuántos valores obtienes para x? Si t1 es positivo y t2 negativo, ¿cuántos valores obtienes para x? Si t1 y t2 son positivos, ¿cuántos valores obtienes para x? Pulsa en el botón

RESPUESTAS

para resolver unas ecuaciones bicuadradas.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. __ x4 + __ x2 + __ = 0

__ x4 + __ x2 + __ = 0

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FECHA:

1.e. Ecuaciones racionales Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el denominador. El proceso que se ha de seguir para su resolución consiste en quitar en primer lugar los denominadores, operamos y resolvemos la ecuación resultante. Conviene comprobar que ninguna de las soluciones obtenidas anula el denominador, ya que en ese caso no sería válida. En la escena puedes ver ecuaciones resueltas, fíjate bien en los 4 pasos que debes seguir, en especial ¡no te olvides del último! Pulsa en el botón

para resolver unas ecuaciones racionales, escribiendo aquí dos.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. Ecuación 1

Ecuación 2

Paso 1: Quitar denominadores

Paso 1:

Paso 2:Operar

Paso 2:

Paso 3:Resolver la ecuación

Paso 3:

Paso 4: Ver si alguna solución anula el denominador

Paso 4:

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FECHA:

1.f. Ecuaciones irracionales Son ecuaciones en las que la incógnita aparece bajo el signo radical. Para resolverlas se deja a un lado la raíz exclusivamente y se elevan al cuadrado los dos miembros. Operando se llega a una ecuación de segundo grado que resolvemos. Al elevar al cuadrado suelen introducirse soluciones “extrañas” por lo que es preciso comprobarlas en la ecuación de partida. En la escena puedes ver ecuaciones resueltas, fíjate bien en los 4 pasos que debes seguir, en especial ¡no te olvides del último! Pulsa en el botón

para resolver unas ecuaciones irracionales, escribiendo aquí dos.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. Ecuación 1

Ecuación 2

Paso 1: Dejamos a un lado la raíz:

Paso 1:

Paso 2: Elevamos al cuadrado y operamos:

Paso 2:

Paso 3: Resolvemos:

Paso 3:

Paso 4: Comprobamos las soluciones:

Paso 4:

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FECHA:

EJERCICIOS

1. Resuelve las ecuaciones: a. x2 + 12x + 32 = 0 b. 9x2 +6x + 1 = 0 2. Resuelve las ecuaciones: a. 2x2 +5x = 0 b. 2x2 -32 = 0 3. Calcula el valor de m para que la ecuación x2 + mx + 9 = 0 tenga solución doble. 4. Resuelve las ecuaciones: a. x4 - 25x2 + 144 = 0 b. x4 + 9x2 - 162 = 0 5. Resuelve las ecuaciones:

9−x 3 + = −2 1 + 3x 1 − x

1− x 8 − =1 5( x + 1) x − 2

6. Resuelve las ecuaciones: a.

x + 1 − 5x + 1 = 0

3x + 4 + 2 x = 4

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FECHA:

2. Sistemas de ecuaciones lineales 2.a. Solución de un sistema Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado que deben satisfacerse simultáneamente.  a1 + b1 = c1  a2 + b 2 = c 2 donde a1, b1, a2, b2, c1, c son números reales Una solución de un sistema es un par de números (x,y) que verifica ambas ecuaciones del sistema. Si dos o más sistemas tienen la misma solución se llaman sistemas equivalentes. En la escena puedes ver ejemplos de sistemas, prueba tú a escribir la solución y a escribir sistemas equivalentes al dado. Pulsa en el botón

para resolver unos ejercicios

Comprueba si x= __ e y= __ es solución del sistema __ x + __ y = __ __ x + __ y = __ Comprueba si x= __ e y= __ es solución del sistema __ x + __ y = __ __ x + __ y = __ Comprueba si x= __ e y= __ es solución del sistema __ x + __ y = __ __ x + __ y = __ Comprueba si x= __ e y= __ es solución del sistema __ x + __ y = __ __ x + __ y = __

2.b. Sistemas compatibles En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación representa una recta en el plano. Puedes pulsar el enlace aquí si no recuerdas como se representa una recta. Discutir un sistema es estudiar la situación de estas rectas en el plano, que pueden ser:

• • •

Secantes, el sistema tiene solución única, se llama Compatible Determinado. Coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones, es Compatible Indeterminado Paralelas, el sistema no tiene solución, se llama Incompatible.

En la escena adjunta puedes ver ejemplos de los tres tipos de sistemas, incluso puedes escribir tú mismo el sistema que quieras y comprobar de que tipo resulta. Ecuaciones y sistemas

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NOMBRE:

Pulsa en el botรณn

FECHA:

para resolver unos ejercicios:

Resuelve grรกficamente y di si el sistema es compatible. determinado, indeterminado o incompatible __ x + __ y = __ __ x + __ y = __

__ x + __ y = __ __ x + __ y = __

Pulsa

Ecuaciones y sistemas

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NOMBRE:

FECHA:

2.c. Método de sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, se llega así a una ecuación de primer grado con una sola incógnita; hallada ésta se calcula la otra. En la escena puedes ver como se aplica el método paso a paso; fíjate que obtenemos la misma solución tanto si despejamos x como y, tanto si lo hacemos en la primera ecuación como en la segunda. Sin embargo, la elección de la incógnita y de la ecuación hará que la resolución sea más o menos sencilla. Pulsa en el botón

para resolver sistemas por sustitución, escribiendo aquí dos.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos.

Sistema 1

Sistema 2

Paso 1: Despejamos __ en la __ ecuación:

Paso 1:

Paso 2: Sustituimos en la __ ecuación:

Paso 2:

Paso 3: Resolvemos:

Paso 3:

Paso 4: Sustituimos y calculamos la __:

Paso 4:

Pulsa

Ecuaciones y sistemas

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NOMBRE:

FECHA:

2.d. Método de igualación Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita. En la escena adjunta puedes ver como se aplica el método paso a paso. Fíjate que primero debemos elegir que incógnita vamos a despejar Pulsa en el botón

para resolver sistemas por igualación, escribiendo aquí dos.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. Sistema 1

Sistema 2

Paso 1: Despejamos __ en las 2 ecuaciones:

Paso 1:

Paso 2: Igualamos:

Paso 2:

Paso 3: Resolvemos:

Paso 3:

Paso 4: Sustituimos y calculamos la __:

Paso 4:

Pulsa Ecuaciones y sistemas

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NOMBRE:

FECHA:

2.e. Método de reducción Consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se multiplica una de las ecuaciones o ambas por un número de modo que los coeficientes de x o de y sean iguales y de signo contrario. En la escena adjunta puedes ver como se aplica el método paso a paso. Fíjate que primero debemos elegir que incógnita vamos a eliminar. Pulsa en el botón

para resolver sistemas por reducción, escribiendo aquí dos.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. Sistema 1

Sistema 2

Paso 1: Eliminamos __: Multiplico la 1ª ecuación por __ Multiplico la 2ª ecuación por __

Paso 1:

Paso 2: Hallamos la __:

Paso 2:

Paso 3: Despejamos__ en la __ ecuación y sustituimos __ por su valor:

Paso 3:

Pulsa

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FECHA:

EJERCICIOS 7. Representa las rectas correspondientes y discute los siguientes sistemas: a.

x + y = 3  x − y = 1

2 x − 2 y = −3  =1  x− y

 3 x + 5 y = 45  − 4 x − y = −43

− 3 x − 4 y = 31   5 x − 9 y = 11

5 x + 3 y = 21  7 x + 8 y = 37

3 x − 3 y = 3   x − y =1

8. Resuelve por sustitución: a.

= −25  x + 4y  =5 − 10 x − 5 y

9. Resuelve por igualación: a.

− 4 x + y = 20   6x − 9 y = 0

10. Resuelve por reducción: a.

5 x − 10 y = 25   8x + 2 y = 4

11.Resuelve:

22  x y  − =  3 5 15 7 x − 7 y = 28

3. Sistemas de segundo grado 3.a. Sistema ax+by=c xy=k ax + by = c  =k  x⋅ y Para resolver sistemas de este tipo se despeja la x o la y en la segunda ecuación y se sustituye en la primera. Se reduce y se resuelve la ecuación que queda. Por último se sustituyen los valores hallados en la ecuación despejada para calcular la otra incógnita. En la escena adjunta puedes ver como se aplica el método paso a paso. Fíjate que primero debemos elegir que incógnita vamos a despejar y en que va a dar la misma solución sea cual sea la incógnita que elijamos.

Pulsa en el botón

para resolver sistemas no lineales, escribiendo aquí dos.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos.

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NOMBRE:

FECHA:

Sistema 1

Sistema 2

Paso 1: Despejamos __ en la 2ª ecuación:

Paso 1:

Paso 2: Sustituímos en la 1ª:

Paso 2:

Paso 3: Operamos:

Paso 3:

Paso 4: Resolvemos la ecuación:

Paso 4:

Paso 5: Sustituimos y calculamos la __:

Paso 5:

3.b. Sistema a0x²+b0y²=c0 a1x+b1y=c1 a0 x 2 + b 0 y 2   a1 x + b1 y

= c0 = c1

Para resolver sistemas de este tipo se despeja la x o la y en la segunda ecuación y se sustituye en la primera. Se reduce y se resuelve la ecuación que queda. Por último se sustituyen los valores hallados en la ecuación despejada para calcular la otra incógnita. En la escena adjunta puedes ver como se aplica el método paso a paso. Fíjate que primero debemos elegir que incógnita vamos a despejar procura elegir aquella cuyo coeficiente sea 1. Pulsa en el botón

para resolver sistemas de este tipo, escribiendo aquí dos.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos.

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NOMBRE:

FECHA:

Sistema 1

Sistema 2

Paso 1: Despejamos __ en la 2ª ecuación:

Paso 1:

Paso 2: Sustituimos en la 1ª:

Paso 2:

Paso 3: Operamos:

Paso 3:

Paso 4: Resolvemos la ecuación:

Paso 4:

Paso 5: Sustituimos y calculamos la __:

Paso 5:

EJERCICIOS 12.Resuelve: a.

 x − y = −1   x. y = 20

2 x + 3 y = 30  = 24  x. y

x 2 − 2 y 2   2x + 3 y

13.Resuelve: a.

x 2 + y 2   x+ y

= 41 = −1

Ecuaciones y sistemas

=7 = −1

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FECHA:

4. Aplicaciones prácticas 4.a. Resolución de problemas Para resolver un problema mediante una ecuación o un sistema de ecuaciones, hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resolver la ecuación o el sistema planteado. Comienza siempre por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan. Una vez resuelta la ecuación o el sistema comprueba que la solución hallada cumple las condiciones del enunciado del problema. Con la ayuda de la escena, completa tú los datos y resuelve los problemas: Paso 1: Comprendemos el problema: Paso 4: Resolvemos la ecuación o sistema: En una reunión cada asistente saluda a todos los demás, si el número de saludos que se intercambian es __, ¿cuántas personas asisten a la reunión? Paso 2: Identificamos las incógnitas:

Paso 3: Traducimos al lenguaje algebraico:

Paso 5: Comprobamos las soluciones:

Paso 1: Comprendemos el problema: Se desea vallar una finca rectangular uno de cuyos lados linda con un río. Si el área de la finca es de ____ m2 y los tres lados a vallar miden ___ m, ¿cuáles son las dimensiones de la finca? Paso 2: Identificamos las incógnitas:

Paso 4: Resolvemos la ecuación o sistema:

Paso 3: Traducimos al lenguaje algebraico:

Paso 5: Comprobamos las soluciones:

Paso 1: Comprendemos el problema: Dos personas se encuentran teniendo cada una de ellas un capital. Dice una de ellas a la otra: “Si me das de lo que tienes __ unidades las añado a lo que tengo y tendremos las dos igual”; a lo que la otra replica: “Si tú me das de lo que tienes __ unidades las añado a lo que tengo y tendré el doble de lo que te queda”. ¿Cuánto tiene cada una?

Paso 4: Resolvemos la ecuación o sistema:

Paso 2: Identificamos las incógnitas:

Paso 3: Traducimos al lenguaje algebraico:

Paso 5: Comprobamos las soluciones:

Pulsa Ecuaciones y sistemas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 4

NOMBRE:

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Ecuaciones de segundo grado Completas: ax2+bx+c=0

Incompletas: ax2+c=0

Incompletas: ax2+bx=0

Se resuelven con la fórmula

Se despeja x

Se saca factor común x

El discriminante de una ecuación de segundo grado es ∆ = Si ∆>0 la ecuación tiene

Si ∆=0 la ecuación tiene

Si ∆<0 la ecuación tiene

_____ soluciones

Sistemas de ecuaciones lineales  a1 + b1  a2 + b 2

= c1 = c2

En un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cada ecuación se representa con una recta en el plano. El punto de corte (x,y) si existe es la solución del sistema.

Sistemas equivalentes son los que tienen la misma solución. Si un sistema tiene una única la solución se denomina compatible determinado

Si un sistema tiene infinitas soluciones se denomina compatible indeterminado

Si un sistema solución se incompatible

no tiene denomina

Las dos rectas son ________

Métodos de resolución de sistemas Sustitución: Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra.

Igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas.

Reducción: Se multiplica una de las ecuaciones o las dos por los números adecuados de manera que al sumarlas se elimine una de las incógnitas.

Sistemas de ecuaciones de 2º grado Son sistemas en los que una de las ecuaciones o las dos son de segundo grado en una de las incógnitas o en las dos. Habitualmente se resuelven despejando una de las incógnitas en la ecuación de primer grado y sustituyendo en la otra lo que da lugar a una ecuación de 2º grado.

Resolución de problemas Comprender el enunciado. Identificar las incógnitas

Traducir al lenguaje algebraico. Resolver la ecuación o sistema

Comprobar las soluciones. Pulsa

Ecuaciones y sistemas

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FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Ec. de segundo grado Sistemas de ec. lineales Sistemas de ec.de segundo grado Procura hacer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprueba la solución. Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tu y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Los siguientes EJERCICIOS son de Ecuaciones de segundo grado. 1. Resuelve las ecuaciones: a) − 6x 2 − 7x + 155 = −8x

b) 3x 2 + 8x + 14 = −5x

c) (x − 6)(x − 10) = −8x

2. Resuelve las ecuaciones: a) x 4 − 24x 2 + 144 = 0

b) x 4 + 14x2 − 72 = 0

c) x 4 − 81 = 0

d) (x2 − 8)(x2 − 1) = 8

Ecuaciones y sistemas

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3. Resuelve las ecuaciones: a)

9 4 + =5 2 − x 2 − 3x

5+x 2 + =2 2 + 2x 4 − 3x

c) 3 − x −

6x + 6 =1 7x + 5

3+x x+2 −+ =5 3x + 1 x +1

4. Resuelve las ecuaciones: a) 2 9x − x = 9

3 + 6x − 2 = 4x

c) 2x − x − 2 = 5

5. El producto de dos números enteros es __ y su diferencia __. ¿Qué números son?

6. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es ____, ¿cuáles son?

7. Al sumar una fracción de denominador ___ con su inversa se obtiene,

Ecuaciones y sistemas

¿cuál es la fracción?

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FECHA:

8. El cuadrado de un nº más __ es igual a __ veces el propio nº, ¿qué número es?

9. Busca un número positivo tal que __ veces su cuarta potencia más ___ veces su cuadrado sea igual a ___.

10. La edad de Juan era hace ___ años la raíz cuadrada de la que tendrá dentro de ___. Determinar la edad actual.

11. El numerador de una fracción positiva es __. Si añadimos __ unidades al denominador el valor de la fracción disminuye en una unidad. ¿Cuál es el denominador original? 12. Dos grifos manando juntos tardan en llenar un depósito __ horas, ¿cuánto tardarán por separado si uno de ellos tarda __ horas más que el otro? PISTA: Si un grifo tarda x horas en llenar el depósito en una hora llena 1/x del depósito.

13. Encuentra m para que x2–mx+___=0 tenga una solución doble.

Los siguientes EJERCICIOS son de Sistemas de ecuaciones lineales. 14. Resuelve los sistemas:

3 x y  − =− a)  5 4 5 4x − 2y = 12

3 x y  − = − b)  4 8 8 8x + 5y = 33

8  x y  + = c)  2 3 3 7x + 3y = 34

Ecuaciones y sistemas

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NOMBRE:

FECHA:

4  x y  − = d)  9 2 9 5x − 7y = 20

15. Dos números suman ___ y el mayor es igual a __ veces el menor, ¿qué números son?

16. Paloma pagó ____ € por __ entradas para un concierto y __ para el teatro, Luisa pagó ____ € por __ entradas para el concierto y __ para el teatro. ¿Cuánto cuesta la entrada a cada espectáculo? 17. Dos números suman ___ y su diferencia es ___. ¿Qué números son?

18. Dos números suman ___ y el mayor es igual a __ veces el menor, ¿qué números son?.

19. Pedro tiene ___ € en billetes de __€ y de __€; si en total tiene ___ billetes, ¿cuántos tiene de cada clase?.

20. En un hotel hay ___ habitaciones entre dobles y sencillas. Si el número total de camas es __, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?.

21. Se desea mezclar vino de __ €/litro con vino de __ €/litro para obtener una mezcla de __ €/litro. ¿Cuántos litros deberemos poner de cada precio para obtener _____ litros de mezcla?. 22. En un almacén hay dos tipos de lámparas, las de tipo A que utilizan __ bombillas y las de tipo B que utilizan __ bombillas. Si en total en el almacén hay ___ lámparas y ____ bombillas, ¿cuántas lámparas hay de cada tipo?

Ecuaciones y sistemas

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FECHA:

23. En un parque de atracciones subir a la noria cuesta __ € y subir a la montaña rusa __ €. Ana sube un total de ___ veces y gasta ____ €, ¿cuántas veces subió a cada atracción?

24. Encuentra un número de dos cifras sabiendo que la suma de éstas es ___ y la diferencia entre el número y el que resulta al intercambiarlas es __ PISTA: Si x es la cifra de las decenas e y la cifra de las unidades el número es 10x+y, y el que resulta al intercambiar las cifras es 10y+x.

25. En un corral hay ovejas y gallinas en número de ___ y si contamos las patas obtenemos ___ en total. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay?.

Los siguientes EJERCICIOS son de Sistemas de ecuaciones de segundo grado. 26. Resuelve los sistemas:

x − 6y = −15 a)   x.y = −9

2x + y = −18 b)   x.y = 40

x 2 − 3y 2 = −2 c)   x + 2y = 1

x 2 + y 2 = 65 d)   x+y =3

27. La suma de dos números naturales es ___ y su producto ____, ¿qué números son?.

Ecuaciones y sistemas

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28. Calcula las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendo que la diagonal mide ___ cm y el lado mayor excede en ___ cm al menor.

29. La suma de dos números naturales es ___ y la de sus cuadrados ____, halla los números.

30. La diferencia entre dos números enteros es __ y su producto ____. ¿Qué números son?.

31. La suma de las edades de dos personas es ___ años y el producto ____. ¿Qué edad tiene cada una?.

32. Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro ___cm., si la suma de los catetos es ____ cm.

33. El producto de las dos cifras de un número es ___ y la suma de la cifra de las unidades con el doble de la de las decenas es ___. Halla el número.

34. La suma de las áreas de dos cuadrados es ____ cm2 y la suma de sus perímetros es __, ¿cuánto miden los lados?.

35. En un triángulo isósceles los lados iguales miden ___ cm y la altura es __ cm más larga que la base. Calcula el área.

Ecuaciones y sistemas

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FECHA:

Resuelve la ecuación:

Resuelve el sistema:

Encuentra dos números naturales consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea _____.

Tenemos ___ € en monedas de __ € y de __ céntimos, si en total hay ___ monedas, ¿cuántas hay de cada tipo?

Para vallar una finca rectangular de ___ m2 se han utilizado___ m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

Encuentra una ecuación de 2º grado tal que la suma de sus raíces sea __ y el producto ____

Ecuaciones y sistemas

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Inecuaciones

Contenidos 1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita Definiciones Inecuaciones equivalentes Resolución Sistemas de inecuaciones 2. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Resolución por descomposición Resolución general 3. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Definiciones Resolución gráfica Sistemas de inecuaciones 4. Problemas con inecuaciones Planteamiento y resolución

Objetivos •

Resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.

•

Resolver sistemas de ecuaciones con una incógnita.

•

Resolver de forma gráfica inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

•

Resolver de forma gráfica sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

•

Plantear y resolver problemas con inecuaciones.

Autor: José Fernández Gómez

Inecuaciones

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Antes de empezar Lee con atención el problema del vinatero y práctica para conseguir una mezcla que se ajuste a las condiciones exigidas. Escribe en la tabla inferior, varias posibilidades válidas.

Una posibilidad Una segunda posibilidad Una tercera posibilidad

Usa la calculadora para intentar aproximar más los resultados al valor real de la solución ¿Entre qué valores debe estar la cantidad de litros del primer tipo de vino para que el precio final esté en el intervalo deseado? Pulsa

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1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita 1.a. Definiciones Lee el texto de pantalla. ESCRIBE DIFERENTES EJEMPLOS DE EXPRESIONES CON DESIGUALDADES, CIERTAS Y FALSAS: < (menor que) > (mayor que) ≤ (menor o igual que) ≥ (mayor o igual que) ≤ (menor o igual que) > (mayor que) < (menor que) Pulsa

Inecuaciones

RESPUESTAS

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1.b. Inecuaciones equivalentes Escribe a continuación cuando dos inecuaciones son equivalentes.

EJERCICIO 1: Completa la siguiente tabla escribiendo a la izquierda una desigualdad y la derecha la misma habiéndole sumado, restado un número a los dos miembros o habiendo multiplicado sus dos miembros por un mismo número. Desigualdad inicial

Equivalente

en la parte inferior derecha, para hacer ejercicios de los tres tipos que se proponen. Como verás estos ejercicios son autoevaluables. Escribe en la siguiente tabla algunos de ellos que hayas resuelto correctamente.

Pulsa en el botón

Ejercicio

Solución

Pulsa

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1.c. Resolución Escribe a continuación que es la resolución de una inecuación

Inecuaciones

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NOMBRE:

FECHA:

Practica con los ejemplos que te propone la escena y copia algunos de ellos con sus respectivos pasos en la siguiente tabla: Inecuación Paso Paso Solución

en la parte inferior derecha, para hacer algunos ejercicios de los que se proponen. Como verás en estos ejercicios se da la solución. No copies la solución en la tabla sin antes haber hecho los cálculos en tu libreta.

Pulsa en el botón

Ejercicio

Solución

Pulsa

para ir a la página siguiente.

1.d. Sistemas de inecuaciones Escribe a continuación que es un sistema de inecuaciones de primer grado y como se resuelve.

en la parte inferior derecha, para hacer algunos ejercicios de los que se proponen. Como verás en estos ejercicios se da la solución. No copies la solución en tabla sin antes haber hecho tus cálculos en tu libreta.

Pulsa en el botón

Ejercicio

Inecuaciones

Solución

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FECHA:

EJERCICIOS 1.

Dada la inecuación −4x ≤ − 3x − 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: I) −x ≥ − 5 II) x ≤ − 5 III) x ≤ 5 IV) − x ≤ − 5 Dada la inecuación −9x ≤ 6 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella:

x ≥−

6 9

II) x ≤ −

6 9

Dada la inecuación

−6x − 5 ≤ 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es 9

equivalente a ella:

x≥−

50 6

II) x ≤ −

50 6

−6x + 7 8x − 4 > −3 2

Resuelve la inecuación

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones mostrando las soluciones en las formas indicadas en la explicación:

7 x + 4 8x − 3 ≤ −4 −5 8x + 9 5x > 3 1

2. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita 2.a. Resolución por descomposición Si el polinomio que caracteriza la inecuación tiene raíces reales, se puede usar su descomposición en factores para resolverla como un sistema de ecuaciones de primer grado. Lee con atención todos y cada uno de los casos que muestra la escena central de la página. EJERCICIO 1: Completa la siguiente tabla con algunos de los ejemplos que se muestran de los casos 1 y 2. Inecuación

Pulsa en el botón

Primer intervalo sol.

∪

Segundo intervalo sol.

en la parte inferior derecha, para hacer los ejercicios.

La idea es que practiques cuantas veces quieras pero completa la siguiente tabla con 5 ejemplos que hayas resuelto CORRECTAMENTE

Inecuaciones

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIO 2: Inecuación

∪

Primer intervalo sol.

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Pulsa

Segundo intervalo sol.

para ir a la página siguiente.

2.b. Resolución general El procedimiento empleado en el apartado anterior es válido si el polinomio de segundo grado resultante tiene raíces reales. En caso contrario no nos sirve. Practica con la escena central, cada uno de los casos, hasta entender bien los conceptos.

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

EJERCICIO 1: Completa la siguiente tabla dibujando las diferentes parábolas que aparecen en los ejercicios. Inecuación 1ª Inecuación 2ª

Inecuación 3ª

Inecuación 4ª

EJERCICIOS 4.

Resuelve la inecuación siguiente por descomposición: 2x2–8 x–24 ≤ 0

Resuelve la inecuación siguiente en forma gráfica: x2–5x>0

Inecuaciones

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FECHA:

3. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas 3.a. Definiciones

EJERCICIO 1: ¿Has observado las diferentes rectas que puedes dibujar en la escena? Fija los valores a, b y c siguientes y dibuja la recta. a=1,b=1;c=1

a=1,b=2;c=1

a=2,b=-1;c=0

a=0,b=2;c=4

Inecuaciones

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NOMBRE:

FECHA:

Escribe que es una inecuación de primer grado con dos incógnitas.

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Pulsa

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3.b. Resolución gráfica Recuerda que resolver la inecuación equivale a obtener todos los puntos del plano cuyas coordenadas hacen que se verifique la desigualdad. EJERCICIO 1: Observa la escena con atención. Fija en la escena a=2, b=2 y c=-2. Dibuja en el cuadro la recta.

Completa la siguiente tabla con puntos del plano que sustituidos en el polinomio 2x+2y-2 de un resultado positivo (azul) o negativo (verde). Punto resultado Punto resultado

Pulsa en el botón

Inecuaciones

para hacer los ejercicios correspondientes.

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NOMBRE:

FECHA:

Punto=

Inecuación=

Punto=

Inecuación=

Punto=

Inecuación=

Punto=

Inecuación=

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Pulsa

para ir a la página siguiente..

3.c. Sistemas de inecuaciones Recuerda: Un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas es un conjunto formado por dos o más inecuaciones de primer grado con dos incógnitas EJERCICIO 1: Observa la escena con detenimiento. Copia a continuación dos ejemplos de los que te ofrece la escena. Escribe la dos inecuaciones, dibuja las rectas asociadas y la solución. Inec=

Inecuaciones

Inec=

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Pulsa en el botón

NOMBRE:

FECHA:

para hacer ejercicios de sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. En estos ejercicios encontrarás 3 inecuaciones.

Inec=

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Pulsa

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EJERCICIOS 6.

Averigua si el punto P(-1,-2) es una solución de la inecuación -2x + 3y ≤ 1 y dibuja el semiplano solución, indicando si incluye o no a la recta -2x + 3y = 1

Averigua si el punto P(-4,-1) es una solución del sistema de inecuaciones: -2x-5y-1<0 2x+3y-1<0 -x-3<0 Dibuja el conjunto de soluciones y si P no pertenece a este conjunto encuentra algún punto que lo haga.

Inecuaciones

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4. Problemas con inecuaciones 4.a. Planteamiento y resolución Planteamiento y resolución Para resolver un problema con inecuaciones debemos seguir los siguientes pasos: 1. Asignación de variables: poner nombre a los términos desconocidos. 2. Planteamiento: establecer relaciones entre los datos conocidos y los desconocidos, planteando una o varias inecuaciones (de primero o de segundo grado, con una o con varias incógnitas). 3. Resolución: de entre los métodos explicados aplicar el que se ajuste a nuestro planteamiento. En la escena seguimos este esquema para resolver el problema planteado al principio. EJERCICIO 1: Un vinatero dispone en su almacén de dos tipos de vino: uno a 4€ el litro y otro a 7€ el litro. Quiere mezclarlos para llenar un tonel de 500 litros de capacidad y quiere que la mezcla no cueste más de 6€ ni menos de 5€ el litro. Averigua entre qué valores debe estar la cantidad de litros del primer tipo de vino para que el precio final esté en el intervalo deseado. Asigna variables, plantea el problema y resuélvelo. Variables Planteamiento Resolución

EJERCICIOS 8.

Un fabricante de piensos quiere obtener una tonelada de un determinado pienso, para venderlo a 0’21€/kg. Para obtenerlo va a mezclar dos tipos de pienso de los que ya dispone y que cuestan a 0’24€/kg y 0’16€/kg respectivamente. 1)

Calcula la cantidad que debe entrar al menos en la mezcla del pienso más barato para no perder dinero.

¿Cuáles deben ser las cantidades de cada tipo en la mezcla si quiere ganar al menos 0’03€/kg?

Una biblioteca tiene un presupuesto de 600€ para adquirir ejemplares de dos nuevas novelas que se han editado. Cada ejemplar de la primera cuesta 25€ y cada ejemplar de la segunda 30€. ¿Cuántos ejemplares de cada una puede adquirir? Representa el problema en forma de un sistema de inecuaciones, represéntalo gráficamente e indica varias posibles soluciones.

Cuando acabes puedes pasar al siguiente apartado.

Inecuaciones

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nยบ 5

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Recuerda lo mรกs importante โ RESUMEN Inecuaciones con una incรณgnita Sus soluciones se expresan en forma de intervalos, abiertos si las desigualdades son estrictas (<, >), cerrados en caso contrario (<=, =>). x-3<=5

Soluc= Inecuaciones de segundo grado.

Pueden resolverse como un sistema o en forma grรกfica, averiguando si la parรกbola que la representa corta al eje X y si se abre hacia arriba o hacia abajo x2-5x+6>0 Soluc:

Inecuaciones de dos incรณgnitas Sus soluciones son semiplanos y se resuelven en forma grรกfica. x-y<=3 2x+y<=2

Sistemas con dos incรณgnitas Cada inecuaciรณn se resuelve de forma independiente. Las soluciones del sistema son las comunes a todas ellas. Se resuelven de forma grรกfica x-y<=3 2x+y<=2

Pulsa

Inecuaciones

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 5

NOMBRE:

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Inecuaciones con valor absoluto Inecuaciones de segundo grado Inecuaciones racionales Inecuaciones con dos incógnitas Procura hacer al menos uno de cada clase y una vez resuelto comprueba la solución. Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Los siguientes EJERCICIOS son de Inecuaciones con valor absoluto. 1. |

2. |

| ≤

3. |

| >

4. |

| ≥

Los siguientes EJERCICIOS son de Inecuaciones de segundo grado. 5.

Inecuaciones

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I.E.S. _______________________ CUADERNO N潞 5

NOMBRE:

FECHA:

Los siguientes EJERCICIOS son de Inecuaciones racionales. 9.

10.

11.

12.

Los siguientes EJERCICIOS son de Inecuaciones con dos inc贸gnitas. 13.

14.

15.

16.

Inecuaciones

14 -

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 5

NOMBRE:

FECHA:

Un móvil se desplaza en línea recta a una velocidad que varía entre _____m/s y _____m/s ¿Entre qué distancias desde el punto de partida se encuentra el móvil al cabo de diez horas?

Indica y dibuja en el recuadro la gráfica solución del sistema:

Indica cuál es el intervalo solución de la inecuación:

¿A qué pareja de sistemas de inecuaciones de primer grado es equivalente la inecuación siguiente?

Inecuaciones

15 -

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 5

NOMBRE:

FECHA:

Dibuja la imagen que aparece en pantalla. Esa imagen es la gráfica del polinomio de segundo grado de la inecuación __________________. Indica cuál es el conjunto solución de la misma. A. B. C. D.

No tiene soluciones Todos los números reales Un intervalo finito La unión de dos intervalos infinitos

Indica cuál de las imágenes representa el conjunto solución de la inecuación:

Haz el dibujo

Indica cuál de los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas tiene como conjunto solución la imagen:

Haz el dibujo

Indica cuál de los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas tiene como conjunto solución esta imagen.

Haz el dibujo

Inecuaciones

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FECHA:

Semejanza

Contenidos 1. Semejanza Figuras semejantes Teorema de Tales Triángulos semejantes 2. Triángulos rectángulos. Teoremas Teorema del cateto Teorema de la altura Teorema de Pitágoras generalizado 3. Razón de semejanza Razón de semejanza en longitudes Razón de semejanza en áreas Razón de semejanza en volúmenes 4. Aplicaciones Escalas Medir distancias inaccesibles

Objetivos • • • • • • •

Reconocer y dibujar figuras semejantes. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos. Demostrar y utilizar los teoremas del cateto y de la altura. Aplicar el teorema de Pitágoras generalizado. Calcular áreas y volúmenes de una figura a partir de otra semejante a ella. Calcular distancias en planos y mapas. Resolver problemas de medida utilizando el Teorema de Tales y la semejanza.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Semejanza

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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FECHA:

Antes de empezar Pinchando sobre esta imagen, podrás ver un video sobre matemáticas y naturaleza

Investiga jugando ¿Cómo hacer carambola a una banda? Si has jugado al billar, sabrás que hacer carambola a una banda significa que la bola lanzada debe dar una vez en el marco de la mesa antes de hacer carambola. Basta aplicar la semejanza para conseguirlo, ¿Cómo? ¿Hacia donde debemos dirigir la bola amarilla para que después de rebotar en la banda vaya a la bola roja? Si haces doble clic en la imagen podrás demostrar tu puntería, ¡no falles! En la escena aparecen el sol y la luna; moviendo la luna podemos simular un eclipse

Aplicando la semejanza y el teorema de Tales se puede calcular la distancia de la tierra a la luna, a partir de la duración de un eclipse total. O conociendo los radios de la luna y del sol y la distancia de la tierra a la luna, se puede hallar la distancia de la tierra al sol. La semejanza hace accesibles figuras y distancias inaccesibles. Pulsa

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1. Semejanza 1.a. Figuras semejantes Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado que está a la derecha. Completa: Las figuras semejantes son las que _____________________________________________ __________________________________________________________________________. Haciendo clic sobre la palabra polígono se abre una ventana explicativa. Y acercando el ratón a la palabra proporcionales aparece un recuadro con la explicación correspondiente. Contesta: Para que dos polígonos sean semejantes: ¿Cómo tienen que ser los lados homólogos? ___________________________ ¿Cómo tienen que ser los ángulos? __________________________________

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

En la escena adjunta tenemos siete casos diferentes de figuras semejantes, en los que tienes que hacer coincidir las figuras que aparecen; en primer lugar debes conseguir que las figuras sean iguales, mediante los controles Zoom, Giro o Simetría y después hacer que coincidan mediante los controles Arriba-Abajo, Izqda-Dcha Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

En la escena aparecen una serie de figuras animadas. Espera a que terminen las animaciones antes de comenzar a hacer los ejercicios. Completa el cuadro adjunto con la ayuda de la escena (los ejercicios 6 y 7 hazlos únicamente en la pantalla). ¿Cómo son los Comprueba si los ¿Son semejantes? ángulos homólogos? lados homólogos son ¿Por qué? ¿Por qué? proporcionales

Pulsa Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

1.b. Teorema de Tales Contesta: ¿Cuántas condiciones han de cumplirse para que dos polígonos sean semejantes? _____. ¿Cuáles son? 1. ____________________________ 2. ____________________________ ¿Cuántas condiciones han de cumplirse para que dos triángulos sean semejantes? _____. Pulsando sobre El Teorema de Tales

puedes ver una demostración de que:

También se cumple el recíproco del Teorema de Tales, Segmentos proporcionales → paralelas. En la escena de la derecha tienes cuatro situaciones del teorema; escribe al lado de cada una la proporción correspondiente. Si pulsas en animar verás los triángulos semejantes

Pulsa en el botón

para ver una comprobación gráfica del teorema. Pulsa

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

1.c. Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si cumplen alguno de los siguientes criterios, llamados criterios de semejanza (completa los criterios y las fórmulas):

Pulsa el botón

para ver la construcción de triángulos semejantes según cada criterio.

La escena de la derecha presenta unos ejercicios sobre lo que hemos visto en esta sección. Resuélvelos en el recuadro de ejercicios siguiente y después comprueba la solución en la escena (la numeración que aparece en la escena es la que está en los círculos):

EJERCICIOS 1. Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las medidas de la figura. Calcula la distancia al barco.

2. Aplica el Teorema de Tales para calcular las medidas de x, y, z.

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 3. Observa las proporciones que se deducen del Teorema de Tales en la figura de la escena y anota las que se cumplen y las que no: SON CIERTAS NON TIENEN PORQUÉ SER CIERTAS

4. Los triángulos de la figura son semejantes, halla la medida del lado x.

5. Realiza primero el test que aparece en la escena de pantalla. Después contesta a este test. a) ¿Son semejantes?

b) Un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 40º ¿es forzosamente semejante a un triángulo con un ángulo de 30º y otro de 110º?

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS c) Un triángulo de lados 3, 6 y 7 cm, ¿es semejante a otro cuyos lados miden 9, 36 y 49 cm?

d) Un cuadrilátero de lados 3, 4, 5 y 6 cm ¿es necesariamente semejante a otro de lados 6, 8, 10 y 12 cm?

e) Dos triángulos que tienen un ángulo de 20º y los lados que lo forman miden en uno 6 y 15 cm, en otro, 4 y 10 cm. ¿Son semejantes?

f) Dos polígonos regulares con el mismo número de lados, ¿son semejantes?

g) Los lados de dos triángulos miden 3, 6 y 7cm, en uno, y

18 ,

12 2

y 7 2 en

otro. ¿Son semejantes?

6. Al cortar a la mitad una hoja DIN-A, se obtiene una semejante. Siguiendo las indicaciones de la escena calcula la proporción entre el ancho y el alto en estas hojas.

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 7. El rectángulo áureo que aparece en el Partenón y en la Gioconda, se caracteriza, porque al cortarle el cuadrado de lado su lado menor, se obtiene otro rectángulo semejante. Calcula la proporción entre sus longitudes.

8. Halla la altura del árbol ayudándote de las sombras que proyectan el árbol y una persona.

9. Al doblar un rectángulo, como indica la escena, se obtienen tres triángulos semejantes ¿por qué son semejantes?

Pulsa

Semejanza

para ir a la página siguiente.

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NOMBRE:

FECHA:

2. Triángulos rectángulos. Teoremas 2.a. Teorema del cateto Lee en la escena de la izquierda el enunciado y la demostración de este teorema. Completa: TEOREMA DEL CATETO: En un triángulo rectángulo, ________________________________ __________________________________________________________________________. Haz clic en play para ver la demostración c = ___________________________ p = ___________________________ h = ___________________________

TEOREMA DEL CATETO:

Una vez acabada la demostración puedes repetirla de modo guiado.

El teorema se puede generalizar a triángulos acutángulos y obtusángulos, comparando los triángulos correspondientes. Completa las fórmulas para los diferentes tipos de triángulos: El Teorema del cateto para triángulos rectángulos:

El Teorema del cateto para triángulos obtusángulos:

El Teorema del cateto para triángulos acutángulos:

Pulsa en el botón

para comprobar el teorema mediante un puzzle.

Pulsa

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

2.b. Teorema de la altura Lee en la escena de la izquierda el enunciado y la demostración de este teorema. Completa: TEOREMA DE LA ALTURA: _____________________________________________________ __________________________________________________________________________. Haz clic en play para ver la demostración a = ___________________________ p = ___________________________ q = ___________________________

Una vez acabada la demostración puedes repetirla de modo guiado. TEOREMA DE LA ALTURA:

Completa: El Teorema de la altura para triángulos rectángulos:

El cuadrado de la altura _______________________________________________________ __________________________________________________________________________. Pulsa: recuerda Se abre una escena en la que puedes ver un triángulo rectángulo y si pulsas “play” observarás los otros triángulos en que se divide al trazar la altura con pié en la hipotenusa:

Completa: Comparando 1 y 2 obtenemos el teorema ____________________________. Comparando 1 y 3 obtenemos el teorema ____________________________.

Pulsa en el botón

para ver una animación en la que se aplica el teorema de la altura

para calcular raíces cuadradas gráficamente y para representar gráficamente la función y = Pulsa Semejanza

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10 -

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NOMBRE:

FECHA:

2.c. Teorema de Pitágoras generalizado En la escena puedes hacer una demostración gráfica del teorema de Pitágoras. Arrastrando el punto A (señalado aquí con la flecha roja) puedes variar la forma del triángulo ABC, al variar el ángulo C. Siguiendo las instrucciones de la escena obtendrás distintas fórmulas dependiendo de la medida de C.

Pulsa

Comenzar

Puedes repetir la demostración pulsando en En la escena vemos que Análogamente

Inicio

c2=M+N y M=b2 ± b · pb (a)

N= a2 + a · pa(b)

Por tanto:

c2 = a2 + b2 ± b · pa(b) ± a · pb(a) Pulsando en clic

Vemos que:

b · pb(a) = a · pa(b)

Completa las fórmulas para el Teorema de Pitágoras generalizado:

El enlace Para ampliar pulsa aquí abre una escena con tres demostraciones del Teorema de Pitágoras, así como varios enlaces recomendados en los que podrás ver más demostraciones gráficas. Pulsa en el botón

para resolver ejercicios de esta sección.

Resuélvelos en los recuadros de la página siguiente y después utiliza la escena para comprobar si tus resultados son correctos. Semejanza

11 -

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NOMBRE:

FECHA:

Calcula la diagonal de un ortoedro de aristas de ___ dm, de ___ dm y de ___ dm

Escribe los valores ordenados de los tres lados de un t (haz 3 ejemplos diferentes): a = _____ a = _____ a = _____ b = _____ b = _____ b = _____ c = _____ c = _____ c = _____ 2 2 2 2 2 Valor de a +b = ____ Valor de a +b = ____ Valor de a +b2 = ____ Escribe ahora el signo Escribe ahora el signo Escribe ahora el signo adecuado: a2+b2___ c2 adecuado: a2+b2___ c2 adecuado: a2+b2___ c2 por tanto C es _________ por tanto C es _________ por tanto C es _________ En el triángulo de la figura calcula la hipotenusa, las proyecciones de los catetos y la altura.

Una terna pitagórica (a, b, c) son tres números que cumplen a2+b2=c2 Escribe 4 ternas Pitagóricas de las que aparecen en la escena y comprueba que cumplen esa relación: (

)

(

)

(

)

(

)

Calcula el diámetro de la semicircunferencia de la figura.

Calcula la medida del cateto x en la figura.

Semejanza

12 -

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NOMBRE:

FECHA:

Haz los test Pitagóricos que se proponen, y anota tu puntuación final.

EJERCICIOS 10. Calcula la diagonal de un ortoedro con ocho aristas de 2 dm y las otras de 3 dm.

11. Decide si es rectángulo, obtusángulo o acutángulo un triángulo de lados 3 cm, 6 cm y 8 cm.

12. En el triángulo de la figura calcula la hipotenusa, las proyecciones de los catetos y la altura.

13. Comprueba que si M, N (M>N) son dos valores enteros (M2-N2, 2MN, M2+N2) es una terna pitagórica. 14. Calcula el diámetro de la semicircunferencia de la figura.

15. Calcula la medida del cateto x en la figura.

Pulsa Semejanza

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13 -

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NOMBRE:

FECHA:

3. Razón de semejanza 3.a. Razón de semejanza en longitudes Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado que está a la derecha. Completa: Si dos figuras A y B son semejantes, se llama razón de semejanza de la figura B sobre la A __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________.

La razón de semejanza define ________________________________________________. En la escena de la izquierda define un polígono indicando el número de lados y sus medidas e incluso las posiciones de los vértices. Para ello utiliza los pulsadores: En la parte inferior indica la razón de semejanza:

Dibuja aquí casos diferentes, con el nº de lados que se indican y con distintas razones: Polígonos de tres lados

Semejanza

Polígonos de cuatro lados

14 -

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NOMBRE:

Polígonos de cinco lados

Pulsa en el botón

FECHA:

Polígonos de seis lados

para resolver unos ejercicios.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. ¿Cuál es la razón de semejanza que pasa de la figura naranja a la figura verde?

¿Cuál es la razón de semejanza que pasa de la figura naranja a la figura verde? Calcula la longitud del segmento señalado con una interrogación.

Semejanza

15 -

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 6

NOMBRE:

FECHA:

¿Cuál es la razón de semejanza que pasa de la figura naranja a la figura verde? Calcula la longitud del segmento señalado con una interrogación:

A partir de este triángulo dibuja otro semejante que se obtenga al aplicar a este una razón de semejanza igual a ¼. Calcula la longitud de la hipotenusa en cada triángulo.

Pulsa

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3.b. Razón de semejanza en áreas Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado que está a la derecha. Completa: Si dos figuras A y B son semejantes, _____________________________________________ __________________________________________________________________________.

En la escena de la izquierda aparecen dos rectángulos. Indica un valor para la razón de semejanza utilizando el pulsador correspondiente: Observa cuál es la relación entre las áreas de los dos rectángulos. Haz clic en Semejanza

16 -

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 6

Pulsa en el botón

NOMBRE:

FECHA:

para resolver unos ejercicios.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. ¿Cuál es la razón de una semejanza que convierte una figura en otra de área la cuarta parte?

¿Cuál es el área de una figura que se obtiene al aplicar a otra de área 2 m2, una semejanza de razón 2,4?

En una semejanza de razón 0,6 se obtiene una figura de área 7,2 m2 ¿cuál es el área de la figura inicial?

Dibuja un triángulo semejante de área la cuarta parte de este.

Pulsa Semejanza

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17 -

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NOMBRE:

FECHA:

3.c. Razón de semejanza en volúmenes Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado que está a la derecha. Completa: Si dos figuras A y B son semejantes, _____________________________________________ __________________________________________________________________________.

En la escena de la izquierda aparecen dos cubos. Indica un valor para la razón de semejanza utilizando el pulsador correspondiente: Observa cuál es la relación entre los volúmenes de los dos cubos. Haz clic en Pulsa en el botón

para resolver unos ejercicios.

Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos. ¿Cuál es la razón de semejanza que se aplicó para realizar esta maqueta? El volumen de la casa es de 1200 m3. El volumen de la maqueta es de 150 dm3.

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

¿Cuál es el volumen de la figura de la derecha?

¿Cuál es el volumen de la figura de la izquierda?

Pulsa

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4. Aplicaciones 4.a. Escalas Los mapas o planos de viviendas suelen indicar la escala de esta manera: 1:2500000 en algún mapa de carreteras 1:250 en el plano de una vivienda. Para saber aplicar las escalas a longitudes áreas y volúmenes solo hay que recordar las siguientes fórmulas: Completa: Escala=1:I I = ____________________________________ I2 = ____________________________________ I3 = ____________________________________

Semejanza

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FECHA:

La escena de la derecha presenta unos ejercicios sobre escalas. Resuélvelos y comprueba la solución en la escena: En la imagen de Google se ven los alrededores del CNICE, ¿Cuál es la escala?. Nota: No te olvides de leer las indicaciones Medida del recorrido (m)___________ Medida en el plano (cm)____________

Esta secuencia de ejercicios trata sobre la escala del plano de una vivienda, utiliza la regla para medir en el plano, y después calcula cuales serán las medidas reales del salón. Resuelve los cinco ejercicios propuestos en el ordenador y anota aquí tres de los casos. Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Escala_ 1: _____

Escala_ 1: _____

Ancho en el plano cm)=____

Ancho real (m)=____

Largo en el plano (cm)=____

Largo real (m)=______

Área en el plano (cm2)=____

Área real (m2)=______

El volumen real de una de las torres Kio en Madrid es 139650 m3 si la escala es 1:700, ¿cuál es el volumen de la maqueta?

Pulsa

Semejanza

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20 -

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FECHA:

4.b. Medir distancias inaccesibles La semejanza se aplica al cálculo de distancias inaccesibles, ya indicamos al comienzo, en el apartado "antes de empezar", que se puede calcular el radio del sol aplicando semejanza en un eclipse total. En la sección 1 vimos cómo calcular la distancia a un barco o a un punto inaccesible. En esa sección también se calculan alturas a partir de su sombra y de la de otro objeto cuya altura se puede medir. La escena nos muestra un instrumento para calcular medidas inaccesibles y un ejercicio para aplicar el Teorema de Pitágoras y la semejanza al cálculo de distancias. Aplica lo visto en esta escena para hacer el siguiente ejercicio: Se desea calcular la distancia entre los puntos A y B, para ello se han tomado las medidas de la figura: QM=1 m, XM=0,69 m y QB=5,67 m

Con ayuda de la escena calcula la longitud del hilo de pescar

Pulsa

Semejanza

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21 -

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NOMBRE:

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Figuras semejantes Si se puede pasar de una a otra mediante zoom (____________) y movimientos (______________________________________).

Polígonos semejantes Si tienen y los lados _____________________ y los ángulos ____________.

Triángulos semejantes En el caso de los triángulos basta que se cumpla uno de los tres criterios: Criterio 1

Criterio 2

Criterio 3

Ángulos ____________

Un ángulo_______________ y los lados que lo forman _______________________

Lados __________________

Teorema de Tales Los segmentos que determinan rectas _________________ en dos rectas________________ son ___________________

Teoremas en triángulos rectángulos Teorema del cateto Teorema de la altura Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras generalizado En triángulos acutángulos

En triángulos obtusángulos

Razón de semejanza En longitudes ________ En áreas ____________ En volúmenes _________ Pulsa Semejanza

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22 -

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NOMBRE:

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Semejanza y Teorema de Tales Aplicación de los teoremas sobre triángulos rectángulos Razón de semejanza y escalas Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien.

Semejanza y Teorema de Tales. TEOREMA DE TALES. Calcula x (Cuatro tipos de ejercicios) 1. Las rectas azules (r, s y t) son paralelas, determina el valor de x en cada caso:

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

Cuadriláteros semejantes 2. Las medidas de tres lados homólogos de dos cuadriláteros semejantes son: cm cm cm cm

Halla x e y.

Extensión de la base 3. La base de un monte se observa a una distancia de ____ km. Se mueve una regleta de ____ cm hasta cubrir con ella visualmente la base y en ese momento la distancia de la regleta al ojo del observador es de ____ m. Calcula la anchura de la base del monte.

Anchura del río 4. Calcula la anchura del río.

Profundidad del pozo 5. Calcula la profundidad del pozo.

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

¿Por dónde corto? 6. ¿Por dónde se ha de cortar la hoja para que el trozo de la izquierda sea semejante a la hoja entera? ancho_____ alto ______

¿Triángulos semejantes? (Dos tipos de ejercicios) 7. Dibuja un triángulo con un ángulo de ___ y uno de los lados que lo forman de ___ cm. ¿Son semejantes todos los triángulos que cumplen estas condiciones?

8. Dibuja un triángulo con un ángulo de ___ y el cociente de los lados que lo forman igual a _____. ¿Son semejantes todos los triángulos que cumplen estas condiciones?

Aplicación de los teoremas sobre triángulos rectángulos. Teoremas. Calcula x (Seis tipos de ejercicios) 9. Calcula el valor de x en cada triángulo:

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

Pirámides (Tres tipos de ejercicios) 10. Calcula el lado de la base de la pirámide regular sabiendo que su arista lateral es de ____cm y la altura de cada una de sus caras laterales e de _____cm.

11. a) Calcula la altura de la pirámide sabiendo que su base es un polígono regular de apotema ___cm y la altura de cada una de sus caras laterales es de ____cm.

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

b) Calcula la altura de la pirámide sabiendo que su base es un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio ___cm y su arista lateral es de ____cm..

Plaza de toros 12. En una plaza de toros se puede calcular su diámetro midiendo tan solo unos metros. En dirección de un diámetro (lo define la visual con los espectadores de enfrente) se miden __m y girando 90º se avanza en esa dirección hasta el callejón, resultando la medida de este recorrido igual a _____m. Calcula el diámetro del ruedo de la plaza de toros.

Diámetro y Teorema del cateto 13. Calcula el diámetro de la circunferencia de la figura.

Distancias en coordenadas 14. a) Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas (___, ___) y (___, ___)

Semejanza

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NOMBRE:

FECHA:

Ecuación de la circunferencia b) Los puntos (x, y) de una circunferencia distan del centro un radio. Si el centro es el punto (___, ___) y el radio ___. ¿Sabrías expresar esta condición con una ecuación? Pista: Aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura

Calcula el lado c 15. Aplica el teorema generalizado de Pitágoras para calcular la medida del lado c en el triángulo de la figura. (Pulsa OTRO EJERCICIO hasta que aparezca cada una de las figuras siguientes)

Semejanza

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FECHA:

Razón de semejanza y escalas. Longitudes ¿escala? 16. En la figura se ve una copia del dibujo original. ¿Cuál es la escala de la copia?

Mapa y curvímetro (Dos tipos de ejercicios) 17. Al medir sobre el mapa con el curvímetro la distancia por carretera entre dos pueblos obtenemos _______ cm, la escala del mapa es 1:_________0. ¿Cuántos km. tendrá la carretera que une esos dos pueblos?

18. Al observar un mapa de escala 1:________ descubrimos que falta un pueblo, B, en una carretera. Si sabemos que B dista ______ km de otro pueblo A que vemos en el mapa, ¿a cuántos cm de A por la carretera del mapa colocaremos el punto que represente a B?

Áreas y volúmenes (Seis tipos de ejercicios) 19. El volumen de una torre es de ________m3 calcula el volumen de su representación en una maqueta de escala 1:______.

Semejanza

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20. El área de la base de una torre es de _____m2 calcula el área de la misma en una maqueta de escala 1:______.

21. El área de una torre es de _______ m2 y en una maqueta ocupa una superficie de _____cm2 . Halla la escala de la maqueta.

22. El área de la base de una torre es de ____cm2 en una maqueta de escala 1:______. Calcula el área real de la base.

23. El volumen de una torre es de _______m3 y en una maqueta ocupa un volumen de _______cm3. Halla la escala de la maqueta.

24. El volumen de una torre es de _______m3 en una maqueta de escala 1:______. Calcula el volumen real de la torre.

Semejanza

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FECHA:

Sabiendo que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º, calcula el valor de x. Cuadrilátero mayor: ángulos ____º y ___º Cuadrilátero menor: ángulo _____º

Los polígonos semejantes?

escena,

¿son

En caso afirmativo introduce un 1 en la solución, en caso negativo escribe un -1

Como la ventana de la casa de enfrente es igual que la mía puedo saber su altura, y con la visual de una varilla calcular la anchura de la calle. Calcúlala.

Si los lados de un triángulo miden ______, ______ y ______ cm, ¿qué tipo de triángulo es?

Semejanza

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 6

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FECHA:

Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo en el que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden ______cm y ______ cm.

En un triángulo rectángulo un cateto mide ______cm y la altura sobre la hipotenusa ______cm, ¿cuánto mide la hipotenusa?

Calcula el área de un triángulo rectángulo en el que las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden ______ y ______cm.

La generatriz de un cono recto mide ______cm y el radio de la base ______ cm. Halla la altura de un cono semejante a éste realizado a escala 1:_____.

Calcula el área en m2 de un piso del que tenemos un plano a escala 1:_______, si el piso en el plano ocupa ______ cm2.

Semejanza

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Trigonometría Contenidos 1. Los ángulos y su medida Recorridos en la circunferencia Radianes Grados sexagesimales De radianes a grados Midiendo ángulos 2. Razones trigonométricas Razones trigonométricas Sen y cos en la circunferencia Tangente en la circunferencia Razones de 30º, 45º y 60º 3. Relaciones trigonométricas Relaciones fundamentales 4. Resolver triángulos rectángulos Con un ángulo y la hipotenusa Dados un ángulo y un cateto Conocidos dos lados 5. Razones de ángulos cualesquiera Seno Coseno Tangente 6. Aplicaciones de la trigonometría Resolver problemas métricos

Objetivos • • • • •

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo. Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas. Resolver triángulos rectángulos cuando se conocen dos lados o un lado y un ángulo. Resolver situaciones relacionadas con la geometría en las que se precise calcular ángulos y distancias entre dos puntos. Utilizar la calculadora para obtener razones o ángulos.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Trigonometría

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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FECHA:

Antes de empezar En la escena de la derecha tienes una presentación el la que puedes leer la historia de la trigonometría; pulsando las flechas

puedes ir pasando las distintas diapositivas.

CONTESTA ¿Cuál es el primer monumento que se conoce que sirve para cálculos astronómicos?

RESPUESTA

Cita varias civilizaciones antiguas que utilizaran la trigonometría Cita varias utilidades de la trigonometría en la antigüedad Cita varias utilidades de la trigonometría en la actualidad

Investiga Seguramente habrás visto esta señal en las carreteras y conoces lo que indica: pendiente prolongada. También recordarás el concepto de pendiente de una recta. Según éste el 10% significa que cada 100 m recorridos en horizontal, subimos (o bajamos) 10 en vertical. Pero algunos interpretan los 100 m como el camino real recorrido. ¿Tú qué opinas?, ¿influye mucho considerarlo de una u otra forma? Explica brevemente tu opinión ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Pulsa el botón

para repasar semejanza y el Teorema de Pitágoras.

Pulsa

para ir a la página siguiente.

1. Los ángulos y su medida 1.a. Recorridos en la circunferencia Trigonometría es una palabra que deriva del griego Τριγωνοµετρíα, Tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ángulo, metría (µετρíα) medida, es decir, "medida de tres ángulos". Puedes consultar la definición de trigonometría que da el diccionario de la R.A.E. En este curso se tratará únicamente la trigonometría plana. Con objeto de estudiar los ángulos y su medida consideraremos que un ángulo es un recorrido en la circunferencia con centro el origen y de radio unidad o circunferencia goniométrica, el punto de partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la medida de ese recorrido. Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es contrario al de las agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo. Trigonometría

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Observa y manipula la escena de la derecha: CONTESTA

RESPUESTA

¿Qué es un ángulo? ¿Qué significa que un ángulo tenga sentido positivo? ¿Qué significa que un ángulo tenga sentido negativo? ¿A qué se le llama circunferencia goniométrica? Dibuja un ángulo positivo

Pulsa en el botón

Dibuja un ángulo negativo

para resolver un ejercicio.

Dibuja aquí al menos 4 de los ángulos que se proponen, y escribe al lado la opción correcta que debes escoger en la escena:

Pulsa

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1.b. Radianes Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia. Como la medida de toda la circunferencia es 2·Π·radio, resulta conveniente tomar como unidad de medida el radio. En la página anterior, los ángulos se representaron en una circunferencia de radio 1, ello no significa que el radio mida 1 cm ó 1 pie ó 1 m, sino que el radio es la unidad de medida tomada. Por razones evidentes a esta unidad se le llama radián. La escena comienza mostrando el ángulo de medida un radián, aquel cuyo recorrido en la circunferencia es igual a su radio. Luego, en los ejemplos, se pide una estimación de la medida de algunos ángulos. Escribe aquí la opción correcta en cada caso: Ejemplo 1

Pulsa en el botón

Ejemplo 2

para Visualizar algunos ángulos en radianes.

Pulsa

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1.c. Grados sexagesimales Ya conoces el sistema sexagesimal de medida de ángulos. Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. Así un ángulo se mide en: Grados º minutos ' segundos ''

Sistema Sexagesimal Tiene base 60. Este sistema de medida lo hemos heredado de la antigua Babilonia, observa la semejanza con la forma en que medimos el tiempo. ¿Sabes por qué?

Con ayuda de la escena de la derecha, mide los ángulos que se indican de la fotografía

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Pulsa en el botón

NOMBRE:

FECHA:

para resolver un ejercicio.

En las calculadoras usuales suelen aparecer cuatro tipos de medida de ángulos, "DEG" o expresión en grados sexagesimales; la tecla < º ' " > da los grados enteros del ángulo y la parte decimal se cuenta en minutos (1/60 de grado) y segundos (1/60 de minuto). Otro tipo se denota con "RAD" es decir, radianes. Y también se suele ver la expresión del ángulo en grados centesimales "GRAD" cada grado centesimal es la centésima parte del ángulo recto, toda la circunferencia está formada por 400 grados centesimales. 1GRAD=90/100 DEG Intenta completar la siguiente tabla, expresando cada ángulo en los cuatro sistemas de medida descritos. GRAD

DEG

º'"

RAD

-100 180 ∏⁄6 60º 30’ -∏⁄4 135

Pulsa

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1.d. De grados a radianes y de radianes a grados Lee la explicación teórica y observa la escena. Completa: El semiperímetro de la semicircunferencia es _________ ___ radianes = ____ grados es decir, _____________ = __________________ ______ radián = ______ grado Si despejamos el grado resulta: 1 grado = __________ ~ ________ radianes Si despejamos el radián resulta: 1 radián = _______ grados ~ _______ grados Practica con la escena el paso de un sistema de medida al otro.

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EJERCICIOS

1. Dibuja en la circunferencia goniométrica los ángulos de 120º, -50º y 315º:

2. Dibuja en la circunferencia goniométrica los ángulos de 5π/6, 3π/4, y 3π/2 rad:

3. Pasa a radianes: a.

150º,

210º

270º

60º

4. Pasa a grados: a. 11π/6 rad

π/4 rad

5π/4 rad

Pulsa

2π/3 rad

para ir a la página siguiente.

1.e. Midiendo ángulos En la escena de esta página se puede medir ángulos con distintas unidades y distinto signo. Practica con ella cambiando el sentido de giro del ángulo y las unidades de medida. Pulsa en el botón

para ver cuatro ejercicios resueltos.

Pulsa Trigonometría

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NOMBRE:

FECHA:

2. Razones trigonométricas 2.a. Razones trigonométricas En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La razón entre los lados de un triángulo determina su forma. Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo α se definen:

Recuerda Se llama razón o proporción entre dos números a su cociente.

El seno es el cociente entre ______________________ y ___________________. El coseno es el cociente entre _____________________ y ___________________. La tangente es el cociente entre ___________________ y ___________________.

En la escena puedes variar el valor del ángulo α y el tamaño del triángulo y observar que estas razones no dependen del tamaño del triángulo sino del ángulo α. También se utilizan las razones inversas a éstas, puedes verlas pulsando el enlace aquí Completa la tabla con estas razones para un ángulo α

Pulsa

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2.b. Seno y coseno en la circunferencia Siguiendo las instrucciones de la escena vemos definidos el seno y el coseno en la circunferencia goniométrica o de radio unidad. En el triángulo rectángulo que se forma como la hipotenusa es 1,

el cateto opuesto es el __________________ el adyacente el ___________________

Observa que (cos α, sen α) son las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia de radio unidad. Pulsa Trigonometría

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NOMBRE:

FECHA:

2.c. Tangente en la circunferencia En la escena se comprende por qué al cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se le llama tangente, su valor queda definido sobre una recta tangente a la circunferencia en el punto (1,0). Observa en la escena que cuando el cateto adyacente vale 1, la hipotenusa es igual a la inversa del cos α. Al cociente:

se le llama _______________________ de α y se abrevia con __________________ Completa el triángulo

Pulsa en el botón

para completar los triángulos y reconocer las razones

trigonométricas. Aprovecha la escena para comprobar si tus resultados son correctos.

Pulsa Trigonometría

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NOMBRE:

FECHA:

2.d. Las razones de 30º, 45º y 60º Los ángulos de 30º, 45º y 60º aparecen con bastante frecuencia, fíjate cómo se calculan sus razones a partir de la definición si buscamos los triángulos adecuados. Con ayuda de la escena de la derecha completa la tabla:

seno

coseno

tangente

30º 45º 60º Memorizar esta tabla es fácil si observas el orden que guardan. Una vez aprendidos los senos con las raíces consecutivas, los cosenos salen en orden inverso. Pulsa en el botón

para trabajar con la escena y practicar con estas razones.

Con la calculadora Dado un ángulo α obtener sus razones trigonométricas.

Dada una razón obtener el ángulo α correspondiente

seno Por ejemplo el sen 28º 30´ Pon la calculadora en modo Teclea 28

º ‘ ‘‘

Con el mismo valor que tienes en la pantalla: DEG

º ‘ ‘‘

0,477158760

sin

Comprueba que la calculadora sigue en modo

DEG

Obtenemos: 0,477158760 En algunas calculadoras hay que pulsar la tecla

sin

antes de introducir el ángulo,

comprueba cómo funciona la tuya.

Teclea

SHIFT

Obtenemos:

pulsando

teclas

las

misma cos

forma y

pero tan

28,5

queremos

grados,

minutos

pulsamos

SHIFT

º ‘ ‘‘

Si queremos obtener el cos α ó la tg α procederemos

sin

28º 30’

grados, y

segundos, obteniendo

respectivamente.

Pulsa

Trigonometría

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FECHA:

3. Relaciones trigonométricas 3.a. Relaciones fundamentales Si se aplican la semejanza y el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos "básicos", es decir, con hipotenusa=1 o con cateto adyacente=1, se obtienen las relaciones fundamentales de la trigonometría:

Los triángulos OBA y OB’A’ son semejantes, por tanto:

sen α = cos α

Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo OBA de la figura obtenemos:

Al medir los lados de un triángulo rectángulo se puede tomar como unidad la hipotenusa, o uno de los catetos; obteniéndose en cada caso los triángulos de la figura.

Escribe tú las relaciones

Pulsa en el botón

Trigonometría

para comprobar si las has aprendido.

10 -

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FECHA:

EJERCICIOS

5. En el triángulo de la figura calcula: a) sen α

d) sen β

b) cos α

e) cos β

c) tg α

f) tg β

6. Obtén con la calculadora: a) sen 30º =

b) cos 60º =

c) tg 45º =

7. Obtén con la calculadora los ángulos α y β del ejercicio 5.

8. Comprueba en el ángulo α del triángulo de la figura que se cumplen las relaciones fundamentales

9. Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo α tal que sen α=0,3

10. Comprueba que se cumple la relación: 1+ tg2 α=sec2 α Recuerda el triángulo:

Pulsa

Trigonometría

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11 -

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FECHA:

4. Resolver triángulos rectángulos 4.a. Con un ángulo y la hipotenusa Resolver un triángulo rectángulo es calcular los datos desconocidos, lados o ángulos, a partir de los conocidos.. Para hallar los catetos de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas de la hipotenusa y de un ángulo agudo, pensaremos en el triángulo que multiplicamos por la hipotenusa. Si pulsas

puedes ver una animación que lo explica.

Completa tú como quedará el triángulo

En la escena vemos un ejemplo resuelto sobre como calcular la altura de un monte. Completa la resolución en este recuadro

Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio.

PROBLEMA 1: Completa el enunciado y resuélvelo: Del triángulo rectángulo de la figura se conocen un ángulo, _____º, y la hipotenusa _____ cm. Tenemos que hallar los catetos en función de las razones trigonométricas del ángulo dado

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12 -

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FECHA:

4.b. Conocidos un cateto y un ángulo agudo Para hallar los lados de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas de un cateto y de un ángulo no recto, pensaremos en el triángulo que se multiplica por el cateto adyacente: Si pulsas

puedes ver una animación que lo explica.

Completa tú como quedará el triángulo

En la escena vemos un ejemplo resuelto sobre como calcular la altura de una torre Completa la resolución en este recuadro

Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio.

PROBLEMA 2: Completa el enunciado y resuélvelo: Del triángulo rectángulo de la figura se conocen un ángulo, _____º, y el cateto adyacente _____ cm. Tenemos que hallar los otros lados en función de las razones trigonométricas del ángulo conocido

Pulsa

Trigonometría

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13 -

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FECHA:

4.c. Conocidos dos lados del triángulo Para hallar el otro lado del triángulo se aplicará el teorema de Pitágoras, el ángulo se determinará como el arco cuya tangente es cateto opuesto cateto adyacente Su valor se obtiene en la calculadora al pulsar la tecla atg, una vez introducido en pantalla ese cociente o bien como el arco cuyo seno es

cateto opuesto hipotenusa dependiendo de los datos iniciales. Para calcular el otro ángulo basta restar de 90º. Al utilizar la calculadora fíjate si estás trabajando en grados o en radianes, Si usas la que aparece pulsando sobre el botón aparece iluminado RAD, quiere decir en radianes, pulsa sobre DEG si quieres cambiar a grados sexagesimales En la escena de la derecha vemos un ejemplo resuelto sobre esto; si mueves el punto naranja del vértice superior puedes modificar el tamaño del triángulo Con la ayuda de esta escena, resuelve el triángulo de catetos 8 y 6

hipotenusa =

 a tan   90º − Pulsa en el botón

  = 

= para ver un caso particular del Teorema de Pitágoras

Método de cálculo: 1. Escribe el teorema de Pitágoras 2. Despeja uno de los catetos 3. Fíjate que el segundo miembro de la igualdad se corresponde con una igualdad notable, que debes escribir a continuación: 4. Aplica esta igualdad notable al paso 2 5. Despeja el cateto 6. Escribe ahora el caso particular de que el cateto y la hipotenusa difieren en una unidad Pulsa Trigonometría

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5. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 5.a. Seno de un ángulo cualquiera Recuerda que la circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio unidad y centro el origen de coordenadas; en ella (cosα, senα) son las coordenadas del punto final del ángulo α. Esto que vimos para los ángulos agudos podemos hacerlo extensible a ángulos cualesquiera. El seno de un ángulo es la coordenada vertical del punto final del recorrido del ángulo sobre la circunferencia goniométrica. Observa que su valor está comprendido entre -1 y 1.

Arrastra la punta de la flecha para hacer variar el ángulo y con ello el valor del seno. Fíjate en la escena cómo varía el signo que toma el seno según el cuadrante en que esté el ángulo.

Anota tú los signos en la circunferencia

Observa también que y que

sen(360º-α)=____________ sen(180º-α)= ___________

¿Cuantos ángulos hay entre 0º y 360º cuyo seno sea -1/2? ___________________________ Pulsa en el botón

para ver un ejercicio resuelto Pulsa

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5.b. Coseno de un ángulo cualquiera De la misma manera que el seno de un ángulo es la ordenada, el coseno es la abscisa del punto final del recorrido que marca el ángulo en la circunferencia. El coseno de un ángulo puede tomar todos los valores entre -1 y 1. Fíjate en la escena cómo varía el signo que toma el coseno según el cuadrante en que esté el ángulo.

Anota tú los signos en la circunferencia

Observa que y que

(360º-α) = ___________ cos(180º-α)=. _________

¿Cuantos ángulos hay entre 0º y 360º cuyo coseno sea -1/2?________________________ Trigonometría

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5.c. Tangente de un ángulo cualquiera Con la relación fundamental tg α=senα/cosα se amplia la definición de tangente en ángulos agudos a un ángulo cualquiera. Observa que la tangente se representa en la recta tangente a la circunferencia goniométrica en el punto donde se inicia el ángulo. ¿Qué ocurre con el valor del coseno para los ángulos de 90º y 270º? _______________________________________ ¿Qué ocurre entonces con la tangente para esos ángulos? _________________________________________________________ ¿Por qué? ___________________________________________

Fíjate en la escena cómo varía el signo que toma la tangente según el cuadrante en que esté el ángulo. Anota tú los signos en la circunferencia

¿Cuántos ángulos hay entre 0º y 360º cuya tangente sea 2? _____________________

Pulsa en el botón

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EJERCICIOS 11. Dibuja un ángulo del tercer cuadrante cuyo cos sea -0,6 y calcula el seno y la tangente

12. Calcula cosα siendo tg α=-2 y α del cuarto cuadrante.

Trigonometría

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6. Aplicaciones de la trigonometría 6.a. Resolver problemas métricos La trigonometría es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes en la realidad. Con un teodolito como el de la fotografía, se pueden medir ángulos, tanto en el plano vertical como en el horizontal, que nos permiten, aplicando las razones trigonométricas, hallar distancias o calcular alturas de puntos inaccesibles. En estos casos aunque el triángulo de partida no sea rectángulo, trazando su altura podemos obtener dos triángulos rectángulos a resolver con los datos que tenemos. En la escena puedes ver algunos ejemplos. Calcular áreas de polígonos regulares La escena nos permite calcular paso a paso el área de polígonos regulares, de 5 a 10 lados, completa la tabla siguiente con los ejemplos de la escena Longitud del lado

Número de lados

Ángulo central

Tangente del ángulo

Apotema

Perímetro

Área

Calcular medidas topográficas Para medir la anchura de un río se han medido los ángulos de la figura desde dos puntos de una orilla distantes 160 m. ¿Qué anchura tiene el río? La anchura del río es la altura del triángulo ACB que no es rectángulo, pero si lo son los triángulos ADC y BDC En el triángulo ADC tg 67,38º = En el triángulo BDC tg 47,48º =

⇒

a= ⇒

Tenemos un sistema de dos ecuaciones que resolvemos por igualación.

a =  a =

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FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Los ángulos y su medida Para medir ángulos empleamos _____________ o ____________. Un radián es _________________________________________________________ De grados a radianes

De radianes a grados

Razones trigonométricas

sen α =

cosα =

tgα =

Relaciones fundamentales Entre el seno y el coseno

Entre el seno, el coseno y la tangente

Razones de ángulos cualesquiera (cos α, sen α) son las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia goniométrica o de radio unidad Signos de las razones trigonométricas Seno

Coseno

Tangente

Resolver un triángulo rectángulo Consiste en ________________________________________________________________ _________________________________________________________________________. Pulsa Trigonometría

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NOMBRE:

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Medida de ángulos Relaciones fundamentales Resolución de triángulos Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien.

Medida de ángulos. Pasar de grados a radianes (haz al menos cuatro ejercicios) 1. Expresa en radianes el ángulo de: a.

a. ______ grados

b. ______ grados

c. ______ grados

d. ______ grados

Pasar de radianes a grados (haz al menos cuatro ejercicios) 2. Expresa en grados el ángulo de: a.

a. ______ radianes

b. ______ radianes

c. ______ radianes

d. ______ radianes

Relaciones fundamentales. Razón conocida: SENO

Calcular: COSENO

3. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y sen α=_______, calcula cos α

4. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y sen α=_______, calcula cos α

Trigonometría

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NOMBRE:

Razón conocida: SENO

FECHA:

Calcular: TANGENTE

5. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y sen α=_______, calcula tg α

6. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y sen α=_______, calcula tg α

Razón conocida: COSENO

Calcular: SENO

7. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y cos α=_______, calcula sen α

8. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y cos α=_______, calcula sen α

Razón conocida: COSENO

Calcular: TANGENTE

9. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y cos α=_______, calcula tg α

10. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y cos α=_______, calcula tg α

Razón conocida: TANGENTE

Calcular: SENO

11. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y tg α=_______, calcula sen α

12. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y tg α=_______, calcula sen α

Trigonometría

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 7

NOMBRE:

Razón conocida: TANGENTE

FECHA:

Calcular: COSENO

13. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y tg α=_______, calcula cos α

14. Si α es un ángulo del cuadrante_________ y tg α=_______, calcula cos α

Resolución de triángulos. El lado de un polígono 15. La longitud del radio de un polígono regular de ____ lados es de _______. Calcula el lado.

16. La longitud de la apotema de un polígono regular de ____ lados es de _______. Calcula el lado.

La apotema de un polígono 17. La longitud del radio de un polígono regular de ____ lados es de _____. Calcula la apotema.

18. La longitud del lado de un polígono regular de ____ lados es de _____. Calcula la apotema.

El área de un polígono 19. La longitud del lado de un polígono regular de ____ lados es de _____. Calcula el área.

20. La longitud de la apotema de un polígono regular de ____ lados es de _____. Calcula la superficie.

Trigonometría

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NOMBRE:

FECHA:

El radio de un polígono 21. La longitud de la apotema de un polígono regular de ____ lados es de _____. Calcula el radio.

22. La longitud del lado de un polígono regular de ____ lados es de _____. Calcula el radio

La altura de un avión 23. Dos personas ven un avión, que vuela sobre ellos a una altura de _____m, con ángulos de elevación de ____º y ____º. ¿A qué distancia se encuentran las dos personas?

La altura de un árbol 24. Determina la altura de un árbol si desde un punto situado a ___:_ de su base se observa su copa con un ángulo de _____grados

La altura de una cometa 25. La longitud del hilo que sujeta a una cometa es de ______m. Si el ángulo de elevación de la cometa es de _____º, ¿qué altura alcanza la cometa?

La altura de un edificio 26. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes _______m. ¿Cuál es la altura si los ángulos son ______º y _______º?

La altura de una montaña 27. Para medir la altura de una montaña se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes ________m y situados a ______m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la altura si los ángulos son _____º y _______º?

Trigonometría

22 -

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NOMBRE:

FECHA:

Calcula el valor de tg A en el triángulo ABC de la figura:

Calcula el área del triángulo de la figura.

Con un compás de _______ de longitud hemos trazado una circunferencia de _____cm de radio, ¿qué ángulo, en radianes, forman las ramas del compás?

Si senα = ______, y α es un ángulo _________, calcula la tg α.

Si tg α=______ y α está en el _____ cuadrante, calcula el cos α.

A partir de las razones del ángulo de ____, calcula ______ del ángulo de ____________

Si cos α = ________, y α es un ángulo _____, calcula el _______________.

La altura de Torre España es de 231 m, ¿cuánto mide su sombra cuando la inclinación de los rayos del sol es de _____?

Calcula el área del polígono regular de la figura

Trigonometría

23 -

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FECHA:

Para practicar más 1. Expresa en radianes: a) 15º

b) 120º

c) 240º

d) 345º

2. Expresa en grados: a)

π 15

3π 10

7π 12

11π 6

3. Halla con la calculadora las siguientes razones trigonométricas redondeando a las centésimas: a) sen 25º

b) cos 67º

c) tg 225º

d) tg 150º

13. El sen α = 3/5 y α es un ángulo del segundo cuadrante, calcula la tg α. 14. El cos α = 3/5 y α es un ángulo del cuarto cuadrante, calcula la tg α. 15. La tg α = 3 y α es un ángulo del tercer cuadrante, calcula el cos α . 16. La apotema de un polígono regular de 9 lados mide 15 cm, calcula el lado. 17. El lado de un exágono regular mide 30 cm, calcula la apotema.

4. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 47º y el cateto opuesto 8 cm, halla la hipotenusa.

18. La apotema de un octógono regular mide 30 cm, calcula el área del polígono.

5. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 cm y un ángulo 66º. Calcula los catetos.

19. La longitud del radio de un pentágono regular es 15 cm. Calcula el área.

6. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 44º y el cateto adyacente 16 cm, calcula el otro cateto.

20. La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 36º, mide 11 m. ¿Cuál es la altura del árbol?.

7. En un triángulo rectángulo los catetos miden 15 y 8 cm, halla los ángulos agudos.

21. El hilo de una cometa mide 50 m de largo y forma con la horizontal un ángulo de 37º, ¿a qué altura vuela la cometa?

8. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 45 cm y un cateto 27 cm, calcula los ángulos agudos.

22. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 100 m. ¿Cuál es la altura si los ángulos son 33º y 46º?

9. En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 78º y la altura 28 cm, halla el lado desigual 10. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 41 cm y los ángulos iguales 72º, calcula el otro lado. 11. El cos de un ángulo agudo es 3/4, calcula el seno del ángulo.

12. La tangente de un ángulo agudo es 12/5 calcula el seno.

Trigonometría

23. Dos personas distantes entre sí 840 m, ven simultáneamente un avión con ángulos de elevación respectivos de 60º y 47º, ¿a qué altura vuela el avión?

33º

46º

100

h 47º

60º 840

24. Para medir la altura de una montaña se miden ángulos de elevación desde dos puntos distantes 480 m y situados a 1200 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la altura si los ángulos son de 45º y 76º? -

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Funciones y gráficas

Contenidos 1. Funciones reales Concepto de función Gráfico de una función Dominio y recorrido Funciones definidas a trozos 2. Propiedades de las funciones Continuidad y discontinuidades Periodicidad Simetrías 3. Tasa de variación y crecimiento Tasa de variación Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Concavidad y puntos de inflexión

Objetivos • • • • • • • •

Conocer e interpretar las funciones y las distintas formas de presentarlas. Reconocer el dominio y el recorrido de una función. Determinar si una función es continua o discontinua. Hallar la tasa de variación y la tasa de variación media de una función en un intervalo. Determinar el crecimiento o decrecimiento de una función y hallar sus máximos y mínimos. Reconocer los puntos de inflexión. Comprobar la simetría de algunas funciones respecto al origen y al eje OY. Reconocer si una función es periódica.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Funciones y gráficas

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Antes de empezar Investiga Imagina que montas en una noria cuyo radio mide 30 m y para subir hay que ascender 5 m desde el suelo. La noria comienza a girar, Dibuja aquí las gráficas correspondientes ¿Cómo es la gráfica de la función que da la altura a la que te encuentras según el ángulo de giro?

Tú vas en la cabina naranja y unos amigos en la verde, ¿cómo será su gráfica?

El lenguaje de las gráficas De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un enunciado, una tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que nos permite ver de un sólo vistazo su comportamiento global, de ahí su importancia. En este tema aprenderás a reconocer e interpretar sus características principales. Pulsa en

para ver un vídeo al respecto

Pulsa

Funciones y gráficas

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NOMBRE:

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1. Funciones reales 1.a. Concepto de función Lee y completa el texto: Una función es una ____________________ entre dos conjuntos numéricos, de tal forma que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde ____________________________ del conjunto final. Se relacionan así dos variables numéricas que suelen designarse con x e y. f: x → y=f(x) x es la variable ____________________________ y es la variable ____________________________ En la escena puedes ver representada una función extraída de una información gráfica.

El gráfico describe el recorrido de la 9ª Etapa de la Vuelta Ciclista 2007, indicando los km totales y la altitud en los puntos principales del trayecto.

Pulsa

para continuar y ver una versión más simplificada de la gráfica A la izquierda aparece la gráfica anterior trazada sobre unos ejes cartesianos, para simplificarla se han unido los puntos principales mediante segmentos. Se trata de una función que da la altitud según los km recorridos.

Observa los valores que toma y completa la tabla de valores (puedes arrastrar el punto rojo en la escena para ayudarte a saber la altura en cada punto). km

alt

34 740

87 1290

113

121

1020

153 1130

Contesta:

160 1882 RESPUESTA

Para que una gráfica sea de una función, ¿cuántos valores de y le pueden corresponder a cada valor de x? Pulsa en el botón

para comprobarlo haciendo un ejercicio

Pulsa Funciones y gráficas

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1.b.

NOMBRE:

FECHA:

Gráfica de una función

Para ver el comportamiento de una función, f: x → y, recurrimos a su representación gráfica sobre los ejes cartesianos, en el eje de abscisas (OX) la variable _______________________ y en el de ordenadas (OY) la variable _______________________; siendo las coordenadas de cada punto de la gráfica: (___, f(__)). En la escena está representada la función: f(x)= –0,5x2+3x+3,5 Sigue los pasos pulsando en las flechas Comienza por hacer una tabla de valores

x f(x) Hay unos puntos que tienen especial interés, los que la gráfica corta a los ejes coordenados. Para calcularlos: Corte con el eje OY: Los puntos del eje de ordenadas tienen abscisa 0, basta hacer x=0 en la fórmula de la función. Cortes con el eje OX: Los puntos del eje de abscisas tienen y=0. Se resuelve la ecuación f(x)=0 En nuestro ejemplo son: x=0 f(x)=0 Se representan los puntos obtenidos, x en el eje de abscisas (OX), f(x) en el de ordenadas (OY). Una vez representados los puntos, si x puede tomar cualquier valor real los unimos

Pulsa en el botón

Funciones y gráficas

para hacer unos ejercicios.

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NOMBRE:

FECHA:

En cada caso haz una tabla de valores y representa los puntos en los ejes de coordenadas, siguiendo las instrucciones de la escena:

f(x) = 3x − 2 x

f(x)

f(x) = −x2 + 4x x

f(x) = x

f(x)

4x x +1 f(x) 2

Pulsa Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

1.c. Dominio y recorrido Dada una función y=f(x) Se llama dominio de f ____________________________________________________ Se indica como Dom f. El dominio está formado, por tanto, por los valores de x para los que existe la función, es decir, para los que hay un f(x). El recorrido es _________________________________________________________ esto es el conjunto de las imágenes. Se representa como Im f. En la escena de la derecha vemos varios ejemplos de como calcular el dominio de algunas funciones, con su ayuda completa: Dominio de f: _____________________________________ ________________________________________________ Recorrido de f: ____________________________________ _________________________________________________

Dominio de f: _____________________________________ ________________________________________________ Recorrido de f: ____________________________________ _________________________________________________

Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

Resume tú los distintos casos que se nos pueden presentar a la hora de calcular el dominio, atendiendo a la forma de la expresión algebraica Expresión analítica

Dominio

Un polinomio

Un cociente

Una raíz cuadrada

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Copia a continuación dos ejercicios de cada tipo:

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Funciones y gráficas

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FECHA:

1.d. Funciones definidas a trozos Hay un tipo de funciones que vienen definidas con distintas expresiones algebraicas según los valores de x, se dice que están definidas a trozos. Para describir analíticamente una función formada por trozos de otras funciones, se dan las expresiones de los distintos tramos, por orden de izquierda a derecha, indicando en cada tramo los valores de x para los que la función está definida. En la escena puedes ver ejemplos de este tipo de funciones y su representación gráfica. Practica con ella antes de pasar a hacer tú los siguientes ejercicios: Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Haz a continuación un par de ejercicios y comprueba en la escena el resultado: Calcula la imagen de los valores indicados:   f(x)=    f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ Calcula la imagen de los valores indicados:   f(x)=    f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____

Funciones y gráficas

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nยบ 8

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 1. De las siguientes grรกficas indica las que corresponden a una funciรณn y las que no.

2. Haz una tabla de valores, dibuja los puntos obtenidos y representa la funciรณn. a) f(x)=2x-3 x

c) f(x) = x

f(x)

b) f(x)=-x2+4x x

f(x)

4x x +1 2

f(x)

Funciones y grรกficas

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 3.

Calcula el dominio de las siguientes funciones. a)

c) f(x)= x3-2x2+5x

d) f(x)=

e) f(x)= x − 5

f) f(x)= 5 − x

g) f(x)=

x+4

h) f(x)=

x x−2

1 2−x

En las siguientes funciones, definidas a trozos, calcula las imágenes de los valores de x indicados y representalas gráficamente. x < −2 − 0,5x − 1 si  −2 si − 2 ≤ x ≤ 3  x −5 si x>3 

a) f(x)=  x

f(x)

-4 -2 1 3 6

x ≤ −2 0,5x + 2 si  b) f(x)=  − x + 1 si − 2 < x < 2 0,5x − 2 si x≥2 

f(x)

-6 -2 0 2 4

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10 -

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FECHA:

2. Propiedades de las funciones 2.a. Continuidad y discontinuidades La primera idea de función continua es la que puede ser representada de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel. Una función y=f(x) es continua en x=a si: • ______________________________________________ ______________________________________________ • ______________________________________________ ______________________________________________ Cuando una función no es continua en un punto se dice que presenta una ________________ Con ayuda de la escena de la derecha completa la tabla y dibuja un ejemplo de cada uno de los casos: Razones por las que una función no es continua en un punto:

Ejemplo

Funciones y gráficas

11 -

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NOMBRE:

Pulsa en el botón

FECHA:

para hacer unos ejercicios.

Haz a continuación tres ejercicios y comprueba en la escena el resultado: Calcula el valor de K para que la función

f(x)=

Sea continua en x= _____

Calcula el valor de K para que la función

f(x)=

Sea continua en x= _____

Calcula el valor de K para que la función

f(x)=

Sea continua en x= _____

Pulsa

Funciones y gráficas

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12 -

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NOMBRE:

FECHA:

2.b. Funciones periódicas En la naturaleza y en tu entorno habitual hay fenómenos que se repiten a intervalos regulares, como el caso de las mareas, los péndulos y resortes, el sonido... Las funciones que describen este tipo de fenómenos se dicen periódicas Una función es periódica cuando ___________ _______________________________________ _______________________________________ El periodo es ___________________________ f(x+periodo)=f(___)

En la escena de la derecha tienes un ejemplo de una función periódica Una cisterna se llena y vacía automáticamente expulsando 6 litros de agua cada 5 minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica. Cuando el depósito está vacío comienza el llenado, que cuesta 1 minuto, permanece lleno 3,5 minutos y se vacía en 0,5 minutos. Este proceso se repite periódicamente.

CONTESTA ESTAS CUESTIONES: Para conocer el volumen de agua en el depósito en cada instante, ¿cuánto tiempo necesitamos observar el depósito?

RESPUESTAS

¿Cuál es la cantidad de agua al cabo de 14 minutos? Escribe a la derecha la expresión de f(x)

Regula tú el dispositivo, variando la cantidad de agua y el tiempo. Pulsa en el botón

para ver unas funciones periódicas básicas, la función seno y la

función coseno.

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13 -

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NOMBRE:

FECHA:

2.c. Simetrías La gráfica de algunas funciones puede presentar algún tipo de simetría que si se estudia previamente, facilita su dibujo. Una función es simétrica respecto al eje OY, si f(-x)= ____________ En este caso la función se dice ____________. Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas cuando f(-x)= ______ En este caso la función se dice ____________. Observa y manipula la escena para reconocer los gráficos correspondientes a cada tipo. Pulsa en el botón Funciones PARES:

Funciones y gráficas

para dibujar unas gráficas de funciones simétricas. Funciones IMPARES:

14 -

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 5.

Calcula el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas en el punto en que cambia la gráfica: 0,5x + k x ≤ 4 x>4  x−3



a) f(x) = 

b) f(x) = 

x ≤1

− x + 1 x > 1

¿Cuál es el periodo de las funciones siguientes? En cada caso calcula f(45). a)

De entre las siguientes gráficas selecciona las que corresponden a funciones pares y a funciones impares.

¿Las funciones siguientes (corresponden a las de ej.7) son pares ó impares? a) f(x)=x3–3x b) f(x)=2x2–2x-2 c) f(x)= x6–x4–x2 d) f(x)=-1/x

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Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

3. Tasa de variación y crecimiento 3.a. Tasa de variación de una función La tasa de variación o incremento de una función es _______________________________ ___________________________________________________________________________ TV[x1,x2]= De más utilidad resulta calcular la llamada tasa de variación media, que nos indica ___________________________________________________________________________

TVM[x1,x2]=---------------------En la escena de la derecha vemos una gráfica que representa la distancia en km recorrida de un ciclista en función del tiempo, en minutos, empleado. CONTESTA ESTAS CUESTIONES: La tasa de variación entre dos instantes es

RESPUESTAS

TV[5, 12]= TV[12, 15]= TV[15, 21]= TV[22, 30]= Velocidad media [15, 21] Velocidad media [22, 30] ¿Cómo es la gráfica en los intervalos [5, 12], [19, 22] y [22, 30]? ¿Por qué? Si trasladamos a cualquier función la idea de velocidad media de esta gráfica, ¿qué obtenemos? Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

Cuando la gráfica de la función es una recta, la TVM es constante. Escribe a continuación cuatro ejercicios y comprueba la solución en la escena TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]=

f(x)=

f(x)= TVM [ ____ , ____ ]=

TVM [ ____ , ____ ]=

Pulsa

Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

3.b. Crecimiento y decrecimiento Una característica de las funciones que se puede visualizar fácilmente en las gráficas es la monotonía. Cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de y=f(x), la gráfica "asciende" y se dice que la función es __________________________. Si por el contrario al aumentar x disminuye y, la gráfica "desciende", y se dice que la función es __________________________.

Cuando en un intervalo, dados dos puntos cualesquiera del mismo •

Si x1<x2 y f(x1) < f(x2), entonces la función es ____________________

•

Si x1<x2 y f(x1) > f(x2), entonces la función es ____________________

Las funciones no crecen o decrecen de la misma manera, si pulsas en Distintos tipos de crecimiento se abre una escena que lo ilustra con unos ejemplos. CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Cuál es la función que crece más deprisa? ¿Cómo es el crecimiento de la función g(x)? ¿Cuál es la función que crece más lentamente? En la escena de la derecha tenemos una función que presenta distintas situaciones; sigue los pasos pulsando en las flechas

CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Como es la función si x<10? ¿Cómo es la función si x>15 ? ¿Cómo es la función si 10<x<15 ? Si la función es creciente, ¿cómo es la TVM? Si la función es decreciente, ¿cómo es la TVM?

Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio.

Pulsa Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

3.c. Máximos y mínimos Dada una función continua en un punto x=a, se dice que presenta un máximo relativo, si a la izquierda de dicho punto la función es _____________________ y a la derecha la función es_____________________.

Máximo absoluto

Y diremos que en x=a tiene un máximo absoluto si __________________________ _____________________________________ _____________________________________

Si, por el contrario, la función es ___________ a la izquierda y _____________ a la izquierda hay un mínimo relativo. Y diremos que en x=a tiene un mínimo absoluto si __________________________ _____________________________________ _____________________________________ Mínimo absoluto

La escena de la derecha ilustra estos conceptos. Sigue los pasos pulsando en las flechas

CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Dónde crece la función? ¿Dónde decrece la función? ¿Dónde alcanza un máximo relativo? ¿Dónde alcanza un mínimo relativo? ¿Cómo es f(x) en un entorno de x=6? ¿Por qué? ¿Cómo es f(x) en un entorno de x=20? ¿Por qué?

Pulsa en el botón

Funciones y gráficas

para leer un ejercicio resuelto.

18 -

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NOMBRE:

FECHA:

3.d. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión Otra característica de interés en las gráficas de las funciones es la concavidad, estudiar los intervalos en los que la gráfica se curva hacia abajo o hacia arriba.

Punto de inflexión (13 , 4)

Cóncava (-∞,13)

Convexa (13,+∞)

Una función es cóncava en un intervalo si _________________________________________ ___________________________________________________________________________ Una función es convexa en un intervalo si _________________________________________ ___________________________________________________________________________ Los puntos de inflexión son aquellos puntos del dominio en los que ____________________ ___________________________________________________________________________. La escena de la derecha ilustra estos conceptos. Sigue los pasos pulsando en las flechas

CONTESTA ESTAS CUESTIONES:

RESPUESTAS

¿Donde queda la cuerda que une dos puntos de la gráfica si la función es cóncava? ¿Donde queda la cuerda que une dos puntos de la gráfica si la función es convexa? ¿En qué intervalo es cóncava la función? ¿Por qué? ¿En qué intervalo es convexa? ¿Por qué? ¿Tiene algún punto de inflexión? ¿Cuál? ¿Por qué?

Pulsa en el botón

para hacer un test con preguntas del tema.

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Funciones y gráficas

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19 -

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 9.

10.

Calcula la tasa de variación media de las funciones siguientes entre los puntos indicados. Comprueba en la figura que en las funciones cuyo gráfico es una recta la TVM es constante. b) y=0,5x+3

TVM[1,3]=

TVM[-5,-2] =

TVM[-3,0] =

Las gráficas representan el llenado de los distintos recipientes, ¿qué gráfica corresponde a cada uno?

11.

a) y=2x+3

Recuerda la función que daba el “perfil” de una etapa de la Vuelta, que viste en el primer capítulo, a) escribe los intervalos de crecimiento o decrecimiento; b) ¿En qué punto kilométrico se alcanzan los máximos relativos?, ¿qué valor toman?, ¿y los mínimos?; c) Hay máximo ó mínimo absoluto?

113

121

153

160

168

alt

540

1280

740

1290

630

1020

720

1130

1520

1882

Pulsa

Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Funciones, dominio y recorrido Una función es

El dominio de una función es

x es la variable

El recorrido de una función es

y es la variable

Continuidad Una función es continua

Es discontinua en un punto si

Una función es periódica si En ese caso se cumple que f(x)= Simetrías Una función es simétrica par si lo es respecto a

Una función es simétrica impar si lo es respecto a

se cumple que f(-x)=

Tasa de variación La tasa de variación de una función entre dos puntos es

La tasa de variación media en un intervalo es

Monotonía Una función es creciente en un intervalo, cuando dados dos puntos cualesquiera del mismo •Si x1<x2 entonces f(x1)

f(x2)

Una función es decreciente en un intervalo, cuando dados dos puntos cualesquiera del mismo • Si x1<x2 entonces f(x1)

f(x2)

Extremos relativos Una función continua en un punto x=a, presenta un máximo relativo, si a la izquierda de dicho punto es y la derecha es

Una función continua en un punto x=a, presenta un mínimo relativo, si a la izquierda de dicho punto es y la derecha es

Concavidad y convexidad Una función es cóncava si la gráfica se abre hacia

Una función es convexa si la gráfica se abre hacia

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Funciones y gráficas

Los puntos del dominio en los que cambia la concavidad, se llaman

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21 -

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NOMBRE:

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Características y propiedades de las funciones Interpretación de gráficas Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien.

Características y propiedades de las funciones Escribe la fórmula (Haz al menos tres ejercicios diferentes) 1. Considera la función que _________________ _____________________________________. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de __, __ y __. Calcula también los cortes con los ejes. 2. Considera la función que _________________ _____________________________________. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de __, __ y __. Calcula también los cortes con los ejes. 3. Considera la función que _________________ _____________________________________. Escribe su expresión analítica y calcula la imagen de __, __ y __. Calcula también los cortes con los ejes. Calcular dominios (Haz cinco ejercicios diferentes de cada uno de los tipos que se indican) 4. Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f(x)= x2 +

b) f(x)=

c) f(x)= −

d) f(x)=

e) f(x)=

Funciones y gráficas

22 -

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NOMBRE:

FECHA:

Continuidad (Haz al menos dos ejercicios diferentes del primer tipo y cuatro del segundo) 5. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x)=

b) f(x)=

6. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indica:

 a) f(x)=  

 b) f(x)=  

 c) f(x)=  

 d) f(x)=  

en x = __

¿Par o impar? (Haz cuatro ejercicios diferentes de cada uno de los tipos que se indican) 7. Estudia la simetría de las funciones: a) f(x)=

b) f(x)=

c) f(x)=

d) f(x)=

Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

¿Par o impar? (Haz tres ejercicios diferentes) 8. En cada caso la gráfica representa un tramo o periodo de una función periódica, representa otros tramos, indica el periodo y calcula la imagen del punto de abscisa que se indica:

Período =

Tasa de variación (Haz dos ejercicios diferentes, uno con rectas y otro con curvas) 9. Calcula las TVM de las funciones de las funciones correspondientes a las gráficas en los intervalos [0,4] y [2,4].

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

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NOMBRE:

FECHA:

Interpretación de gráficas Viaje por la autovía 10. El gráfico muestra cómo varía la gasolina que hay en mi coche durante un viaje de 520 km por una autovía.

a) ¿Cuánta gasolina había al cabo de 240 km? En el depósito caben 40 litros, ¿cuándo estaba lleno más de medio depósito? b) ¿En cuántas gasolineras paré?, ¿en qué gasolinera eché más gasolina? Si no hubiera parado, ¿dónde me habría quedado sin gasolina? c) ¿Cuánta gasolina usé en los primeros 200 km? ¿Cuánta en todo el viaje? ¿Cuánta gasolina gasta el coche cada 100 km en esta autovía? Comparando el crecimiento 11. María y Jorge son dos personas más o menos normales. En la gráfica puedes comparar como ha crecido su peso en sus primeros 20 años

a) ¿Cuánto pesaba Jorge a los 8 años?, ¿y María a los 12? ¿Cuándo superó Jorge los 45 kg? b) ¿A qué edad pesaban los dos igual? ¿Cuándo pesaba Jorge más que María?, ¿y María más que Jorge? c) ¿Cuál fue el promedio en kg/año de aumento de peso de ambos entre los 11 y los 15 años? ¿En qué periodo creció cada uno más rápidamente?

Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

Dos coches 12. El gráfico da el espacio recorrido por dos coches que realizan un mismo trayecto.

a) ¿Cuál es la distancia recorrida? ¿Si el primer coche salió a las 10:00, a qué hora salió el 2º? ¿Cuánto le costó a cada uno hacer el recorrido? b) ¿Cuánto tiempo y dónde estuvo parado cada coche? ¿En qué km adelantó el 2º al 1º?, ¿y el 1º al 2º? c) ¿Qué velocidad media llevaron en el trayecto total?, ¿en qué tramo la velocidad de cada coche fue mayor?

Las mareas 13. En el gráfico se representa la altura del nivel del mar en el puerto de A Coruña a lo largo del día 17 de enero de 2008.

a) ¿A qué hora se alcanzan los máximos?, ¿y los mínimos?, ¿qué altura alcanza el nivel del mar en cada caso? b) ¿En qué intervalos del día la función es creciente, esto es, sube la marea? ¿Entre qué horas el nivel del mar se mantiene por encima de los 300cm?, ¿y por debajo de los150 cm? c) ¿Qué tiempo transcurre entre dos mareas altas consecutivas? ¿y entre dos mareas bajas consecutivas también? ¿A qué hora del día siguiente se producirá la siguiente pleamar?

Funciones y gráficas

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NOMBRE:

FECHA:

Tren de cercanía 14. Villa Baja y Villa Alta distan 100 km, el tren que une las dos ciudades realiza el trayecto en 1h 15 min, incluidas las paradas en los pueblos Veinte, Sesenta y Ochenta, situados a esos km respectivos de Villa Baja.

a) En la gráfica está representado, haz un cuadro horario b) En la temporada turística se pretende ampliar el servicio con más salidas de Villa Baja a todas las horas en punto y de forma que el último tren salga de Villa Alta a las 15:30. ¿Cuántos trenes serán necesarios para conseguirlo? Haz un gráfico de los trayectos. c) Como sólo hay una vía, al ampliar el servicio, ¿a qué distancia de Villa Baja debe la compañía de ferrocarriles prever los cruces del tren que va con el que vuelve? ¿Cuál será ahora el horario? Gráfica y fórmula 15. La gráfica siguiente corresponde a la función f(x)=x3-6x2+9x

c) Los valores de x para los que la función es positiva y negativa.

d) Los intervalos decrecimiento.

crecimiento

e) Los máximos y mínimos. Calcula : a) El dominio.

b) Los puntos de corte con los ejes.

Funciones y gráficas

f) ¿Cuántos puntos de inflexión tiene?

g) Los intervalos convexidad.

concavidad

27 -

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NOMBRE:

16. La gráfica siguiente corresponde a la función x2 + 1 f(x)= − x

FECHA:

c) Los valores de x para los que la función es positiva y negativa.

d) Los intervalos decrecimiento.

crecimiento

e) Los máximos y mínimos.

Calcula :

f) ¿Cuántos puntos de inflexión tiene?

a) El dominio.

b) Los puntos de corte con los ejes.

Dos coches 17. La gráfica siguiente corresponde a la función 8x f(x)= 2 x +1

g) Los intervalos convexidad.

concavidad

c) Los valores de x para los que la función es positiva y negativa.

d) Los intervalos decrecimiento.

crecimiento

e) Los máximos y mínimos.

Calcula :

f) ¿Cuántos puntos de inflexión tiene?

a) El dominio.

b) Los puntos de corte con los ejes.

g) Los intervalos convexidad.

Pulsa

Funciones y gráficas

concavidad

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28 -

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE:

FECHA:

Calcula el dominio de la función: f(x) =

¿Cuál de los puntos siguientes: ( ) , (

) ,(

) no pertenece a la gráfica de la

función f(x)= ________________ ?

Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta y= _____________

Si y = f(x) es una función _____ y f( )= __, ¿cuánto vale f(___)?

La gráfica muestra el primer tramo de una función periódica de periodo ___ y expresión f(x)= ______ (0≤x<5). Calcula f(___).

Funciones y gráficas

29 -

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 8

NOMBRE:

FECHA:

Averigua el valor de a para que la función sea continua en x= __ .  f(x) =  

Calcula la TVM[

] de la función

f(x) =

Determina el intervalo en que la función de la gráfica es creciente.

Un ciclista sale de un punto A hacia otro B distante _____ a una velocidad constante de __________. A la vez otro ciclista sale de B en dirección a A, a ________. Observa la gráfica y calcula a cuántos km del punto A se cruzan en la carretera.

(Redondea a centésimas)

Funciones y gráficas

30 -

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NOMBRE:

FECHA:

Funciones polinómicas

Contenidos 1. Funciones polinómicas Características 2. Funciones de primer grado Término independiente Coeficiente de grado uno Recta que pasa por dos puntos Aplicaciones 3. Funciones de segundo grado La parábola y=ax2 Traslaciones de una parábola Representar funciones cuadráticas Aplicaciones

Objetivos •

Distinguir entre los distintos tipos de funciones cuya gráfica es una recta y trabajar con ellas.

•

Determinar la pendiente de una recta y su relación con el crecimiento.

•

Calcular la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.

•

Reconocer la gráfica de una función polinómica de segundo grado cualquiera.

•

Representar gráficamente una función polinómica de segundo grado y=ax +bx+c.

•

Determinar el crecimiento o decrecimiento de una función de segundo grado y hallar su máximo o mínimo.

Autor: Xosé Eixo Blanco

Funciones polinómicas

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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NOMBRE:

FECHA:

Antes de empezar

En la parte inferior aparece una imagen y un texto en el que se explica el porqué se necesitan o son útiles las funciones polinómicas. Pulsa el botón … Ensaya antes de empezar Se abre una ventana con una escena en la que aparecen dos gráficas, una azul y otra roja. En la parte inferior hay tres pulsadores: Pulsando en ellos cambias su valor y con ello la fórmula correspondiente a la función de color rojo, que aparece encima de las gráficas: f(x) = … El ejercicio consiste en ir modificando los valores de los coeficientes: a2, a1 ya0 hasta conseguir que la gráfica roja coincida exactamente con la azul, con lo cual habremos encontrado la ecuación que corresponde a esa gráfica. Repite el ejercicio un mínimo de 4 veces Pulsa

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1. Funciones polinómicas 1.a. Características Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado y manipula la escena. EJERCICIO 1: Completa. Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es _______________. En la escena se pueden ver las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor que 3. Escoge el grado y los coeficientes para ver gráficas de distintas funciones, observa la forma según su grado. Escribe a continuación un ejemplo de cada una de ellas y dibuja su gráfica. Grado 0 Grado 1 Grado 2 f(x) = f(x) = f(x) =

Las gráficas de las funciones de grado 0 son ________________ Funciones polinómicas

Las gráficas de las funciones de grado 1 son ________________

Las gráficas de las funciones de grado 2 son ________________ -2-

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Aparece una escena con la gráfica de una función polinómica y a su izquierda una tabla de valores que debes ir completando hasta tener 4 puntos situados en la gráfica. Haz dos de esas gráficas y las correspondientes tablas de valores. f(x) =

f(x) = x

f(x)

EJERCICIOS 1.

En cada caso haz una tabla de valores y comprueba que los puntos obtenidos son de la gráfica. f(x) = 3 f(x) = –2x + 3 f(x) = x2 –x + 2

Pulsa

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2. Funciones de primer grado 2.a. Término independiente Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado y en la escena varía los coeficientes de la función para observar el término independiente. EJERCICIO 1: Completa. Si f(x) = ax + b , su gráfica corta al eje OY en __

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios. Aparece una escena con una tabla.

Complétala en el recuadro siguiente y después pulsa “Solución” para ver si lo has hecho bien: Funciones polinómicas

-3-

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

Funciones 2

f(x) = –2x + 1 – 3x

(0,

)

f(x) = 3x + 4

(0,

)

f(x) =

x+[ 2

]

(0,5) (0,

2 ·x + 4

f(x) = 2x +

Corte de la gráfica con el eje de ordenadas

f(x) =

[ ]

)

(0,3)

Pulsa en el enlace: Manipula esta escena para trazar rectas. Se abre una escena que tiene en la parte superior la ecuación de una función de primer grado y debajo una recta en la que se destacan dos puntos. Arrastrando los puntos debes desplazar la recta a la posición correspondiente a la función dada. Una vez que creas que la has situado correctamente pulsa el botón Comprobación Si lo has hecho bien puedes pulsar en el nuevo botón Otro ejemplo Debes hacer al menos 3 ejercicios y dibujar en estos recuadros lo que has hecho en pantalla. f(x) =

f(x) =

Pulsa

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2.b. Recta que pasa por dos puntos EJERCICIO 1: Lee en la pantalla la explicación teórica y completa. Para trazar una recta basta con dar __________, por tanto para representar una función polinómica de primer grado, dando valores, bastará con dar _________. Si dos puntos (3 , 1) y (5, 7) definen una recta, determinarán también su ecuación que podemos hallar resolviendo un sistema:

f (x) =

La pendiente de la recta que pasa por (x0, y0) y (x1, y1) es:

∆y = ∆x

Observa en la escena cómo se calcula la pendiente a partir de dos puntos. Funciones polinómicas

-4-

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NOMBRE:

Pulsa el botón

FECHA:

para hacer unos ejercicios.

Se abre una escena con 8 gráficas numeradas (de 1 a 8) y a su derecha 8 funciones de primer grado (de a a h). El ejercicio consiste en emparejar cada gráfica con su ecuación eligiendo la correcta en el menú desplegable de cada apartado. Cuando las tengas todas bien la escena te lo indicará. Dibuja las funciones en los siguientes recuadros y escribe la ecuación de cada una de ellas: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Otro ejercicio Al pulsarlo… Aparecerá entonces el botón Se abre una escena con 8 parejas de puntos (de 1 a 8) y a su derecha 8 funciones de primer grado (de a a h). Ahora tienes que asociar cada pareja con la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos, eligiendo la correcta en el menú. Cuando las tengas todas bien la escena te lo indicará. Escribe los puntos en los siguientes recuadros y escribe la ecuación de cada una de ellas: 1 2 3 4 1) Recta que pasa Recta que pasa Recta que pasa Recta que pasa por los puntos por los puntos por los puntos por los puntos 2) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3) 4)

5 6 7 8 5) Recta que pasa Recta que pasa Recta que pasa Recta que pasa por los puntos por los puntos por los puntos por los puntos 6) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Pulsa Funciones polinómicas

7) 8) para ir a la página siguiente. -5-

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

2.c. Aplicaciones EJERCICIO PROPORCIONALIDAD DIRECTA: y = ___________ · x Las funciones polinómicas de _________________ con _____________________________, representan _______________________________________________________________. En la escena se pueden ver un ejemplo de aplicación de este tipo de funciones. Observa que al variar el precio del kilo de naranjas varía la ecuación de f(x) y con ello la gráfica correspondiente. Sitúa el precio en 1,25 €. Mueve el punto amarillo de la gráfica hasta que esté situado en 0,75 kg. Fíjate en la gráfica y contesta: ¿Cuánto pagaremos por 0,75 kg de naranjas? __________ Completa: La gráfica de la función de proporcionalidad directa es ______________________. EJERCICIO TARIFA TELEFÓNICA POR SEGUNDO: y = _____________ · x + ________________ Varía el precio del establecimiento de llamada y el coste por segundo. Sitúa esos valores en los que se indican en la siguiente imagen. Fíjate en la gráfica y contesta: ¿Cuánto pagaremos por una llamada de 8 segundos? __________

EJERCICIO VELOCIDAD CONSTANTE: Pto. kilométrico = __________ · t + _________________ Si a las 12 me encuentro en el kilómetro 5 y manteniendo una velocidad constante a las 12:10 estoy en el 17. ¿Qué velocidad llevo? Calculamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos( , ) y ( , )

Pendiente =

Velocidad =

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 2.

Representa la gráfica de f(x): a) f(x)= −

1 x+3 2

2 x −1 3 c) f(x)= 3x + 1

b) f(x)=

¿Qué gráfica corresponde a cada ecuación? a) y=x/4 +3 b) y=4x+3 c) y=-x/4-3 d) y=-x/4 +3 e) y=-3 f) y=3x+4 g) y=x/4 h) y=-4x

¿Qué ecuación corresponde a la recta que pasa por los puntos indicados? 1) (-1, 5)

(1, -5)

a) y=x/5+3

2) (-2, 2,6)

(2, 3,4)

b) y=5x+3

3) (-2, -0,4)

(2, 0,4)

c) y=-x/5-3

4) (-2, 3,4)

(2, 2,6)

d) y=-x/5-3

5) (-2, -2,6)

(2, -3,4)

e) y=-3

6) (-1, -2)

(1, 8)

f) y=3x+5

7) (-1, 2)

(1, 8)

g) y=x/5

8) (-1, -3)

(1, -3)

h) y=-5x

Pulsa

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

3. Funciones de segundo grado 3.a. La parábola y = ax2 Observa en la animación cómo se construye la gráfica de f(x)= a·x2 y varía con los pulsadores el coeficiente de x2 para ver como cambia la gráfica según los valores y el signo de a. EJERCICIO: Completa.

f(x) = ax2 Es ___________ respecto del _______ Si a>0 tiene un ___________________ en (0,0) Si a<0 tiene un ___________________ en (0,0) El signo de a determina la ____________ de la gráfica.

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

En la escena aparece la ecuación de una función de 2º grado. ●Simétrico de (1,a), ●(2,a), ●Simétrico de (2,a) Debajo tienes 5 puntos: ●Vértice,, ●(1,a), ● Arrástralos a su posición correcta para que sean puntos de la gráfica de la función dada. Haz la gráfica de dos de esas funciones en estos recuadros: f(x) = x

f(x) =

f(x)

Vértice

(1,a)

Simétrico

–1

Simétrico

–1

(2,a)

Simétrico

–2

Simétrico

–2

f(x)

Pulsa

para ir a la página siguiente.

3.b. Traslaciones de una parábola Al comienzo de la escena vemos la gráfica de : f(x)=ax2+bx+c Puedes variar los valores de “b” y “c” utilizando los pulsadores. Pulsando en “Ver traslación” observarás una animación. Se observa que la gráfica no cambia de forma, solo se traslada, así la gráfica de y=f(x) tiene la misma forma que y=ax2 trasladada.

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIO 1: Contesta. ¿Cuántas unidades se traslada horizontalmente? ¿Cuántas unidades se traslada verticalmente? Para comprenderlo mejor puedes pulsar en el enlace: Explicación EJERCICIO 2: Completa. El eje de simetría de la gráfica de f(x)=ax2+bx+c es x =

 El vértice, máximo o mínimo, de la parábola es  

  

Pulsa en el enlace: Crecimiento Se abre una recuadro con la explicación de los intervalos en los que la función y = ax2+bx+c es creciente o decreciente dependiendo del signo de a: EJERCICIO 3: Contesta. Si a > 0, ¿en qué intervalo es creciente? ____________ ¿y decreciente? _____________ Si a < 0, ¿en qué intervalo es creciente? ____________ ¿y decreciente? _____________

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

En la escena aparece en primer lugar una parábola para la que tienes que indicar el valor del coeficiente principal: a. Una vez escrito el valor de a correctamente, pulsa el botón para continuar Ahora aparece una función f(x) con el mismo coeficiente principal. En la escena tienes que trasladar la parábola situando el vértice en su lugar correcto. Haz en estos recuadros dos de los ejercicios de la escena: Gráfica de f(x) = _________________

Gráfica de f(x) = _________________

Abscisa del vértice:

Eje: x =

Pulsa

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

3.c. Representar funciones cuadráticas Sigue los pasos indicados en la escena de la derecha. Al igual que en otras representaciones es interesante hallar los puntos de corte con los ejes. EJERCICIO 1: Completa. El punto de corte con el eje de ordenadas es ( , ) Los cortes con el eje de abscisas Existen si _______________ Y vienen dados por ______________________________. Pulsa en el enlace: Resumen Se abre una recuadro con la gráfica de la función f(x) = ax2+bx+c distinguiendo el caso en que a es positivo (a+) y negativo (a–). EJERCICIO 2: Completa a continuación los datos que faltan.

EJERCICIO 2: Haz la gráfica de dos de las funciones de la escena en estos recuadros: f(x) =

a= x

f(x) =

f(x)

Vértice

Simétrico 1

Simétrico 2

Pulsa el botón

f(x)

para hacer unos ejercicios.

En la escena aparece en primer lugar una función cuadrática y cuatro gráficas de parábolas diferentes. Tienes que elegir la correcta y situarla en la posición que corresponda al vértice. Funciones polinómicas

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NOMBRE:

FECHA:

Una vez situada pulsa el botón Comprobar Cuando hayas resuelto 5 similares aparecerá otro tipo de ejercicios diferentes. Verás la gráfica de una parábola y a la derecha tres cuadros para escribir los valores de los coeficientes a, b y c de la función cuadrática que se corresponda con la gráfica. Una vez situada pulsa el botón Comprobar Cuando hayas resuelto 5 similares habrás finalizado el ejercicio. Pulsa

para ir a la página siguiente.

3.d. Aplicaciones Lee en pantalla la explicación. En la escena hay tres ejemplos de problemas que se resuelven utilizando las funciones cuadráticas. Pulsa sobre

Movimiento uniformemente acelerado

Lee la explicación de la escena. Puedes variar la velocidad inicial V0 con lo que varía la función que recorre el objeto en su desplazamiento: f(t) Cuando consideres pulsa

Lanzar

para observar la línea que describe el objeto.

Pon el valor: V0 = 28. Contesta las siguientes cuestiones: ¿Cuál es la fórmula o ecuación de la función?

RESPUESTAS f(t) =

¿En qué puntos corta la parábola al eje de abscisas? ¿Cuál es el vértice? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? ¿Cuánto tiempo invierte en subir y bajar? Pulsa “< volver” para volver al menú. Pulsa sobre

Rectángulo de área máxima

Lee la leyenda sobre la princesa Dido y su solución para encerrar la mayor área posible con un perímetro dado. Resolvamos ahora in problema similar pero con rectángulos. Entre todos los rectángulos de un perímetro dado, ¿qué dimensiones tiene el de área máxima? Puedes variar el perímetro y arrastrando el punto indicado en la escena ver como con ese mismo perímetro puedes hacer muchos rectángulos con áreas diferentes. Completa la fórmula:

Área =

Pulsa

Aparece la gráfica de la función que has escrito al indicar el valor del perímetro. Completa la fórmula:

f(x) =

Puedes arrastrar el punto indicado y ver de nuevo los rectángulos, todos con el mismo perímetro y entre ellos puedes observar en dónde se encuentra el que tiene área máxima. Pulsa “< volver” para volver al menú. Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

Pulsa sobre

NOMBRE:

FECHA:

Punto de no retorno

Lee el enunciado del problema y completa: Un avión tiene combustible para ______, viajando a velocidad constante de __________ sin viento. Al despegar el piloto observa que lleva viento a favor de _______ lo que aumenta su velocidad a _______, pero a la vuelta lo tendrá en contra y la velocidad será de ________. ¿Cuál es la máxima distancia a que puede viajar con la seguridad de tener suficiente combustible para volver? x = ____________________ ; y = ________________________ IDA: ___________________ ; VUELTA: ___________________ El punto de no retorno es el de _________________ de las dos rectas. El piloto deberá volver al cabo de ______ y habrá recorrido __________. Puedes cambiar la velocidad del avión y observar el resultado

Pulsa

En esta segunda escena puedes ver lo que ocurre si varías la velocidad del viento ¿Qué gráfica describe el punto de no retorno al variar la velocidad del viento? _____________ ¿Cuál es su ecuación?

Pulsa “< volver” para volver al menú.

EJERCICIOS 5.

Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x)= 1,5x2

Escribe la ecuación de la función que resulta al trasladar el vértice de la parábola al punto indicado. a) y= 1,5x2 a A(2, -3)

b) y=-0,5x2 a B(-2, 3)

Representa gráficamente las parábolas siguientes: a) f(x)=2x2-8x+2

b) f(x)=-0,5x2

b) f(x)=-x2+4x+3

Escribe la ecuación y= ax2+bx+c de la parábola de la gráfica: a)

Pulsa

Funciones polinómicas

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NOMBRE:

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Funciones de primer grado, rectas.

f(x)=ax+b La gráfica de las funciones polinómicas de primer grado es una ________

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos A(x0, y0) y A(x1, y1):

a es la _________ •

Si a>0 es ______________.

•

Si a<0 es ______________.

Corte eje OY: ___ Corte eje OX: _____

Funciones de segundo grado, parábolas

f(x)=ax2+bx+c La gráfica de las funciones polinómicas de segundo grado es una parábola. a indica la __________ •

Si a>0 tiene un __________.

•

Si a<0 tiene un __________.

Traslaciones de la parábola Para dibujar la parábola y=ax2+bx+c, basta trasladar _______ llevando su vértice (0,0) al    punto  ,  

Eje de simetría: x= Vértice: Corte eje OY: Cortes eje OX:

Pulsa Funciones polinómicas

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NOMBRE:

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Funciones polinómicas de primer grado Funciones polinómicas de segundo grado Funciones polinómicas definidas a trozos Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien.

Funciones polinómicas de primer grado. Plantea la ecuación (hay cuatro ejercicios diferentes) 1. Escribe la ecuación de la función que representa el peso de un caballo si nace con ____ y aumenta a razón de _____ cada _______.

2. Escribe la ecuación de la función que representa el nº de la página del libro que estoy leyendo, sabiendo que todos los días avanzo el mismo nº de páginas, el día ___ iba por la _____, y el día ____ por la _____.

3. Escribe la ecuación de la función que representa el precio al finalizar la conexión en un ciber, si el establecimiento de la conexión cuesta _______ y cada minuto vale _______.

4. Escribe la ecuación de la función que representa la cantidad total en € (IVA incluido) a pagar en una factura, en función del precio sin IVA, sabiendo que el porcentaje de aumento aplicado es del ____.

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

A partir de la gráfica (hay dos tipos de ejercicios diferentes) 5. Escribe la ecuación de la función de la gráfica. Determina la pendiente de la recta y los cortes con los ejes. (Haz primero el dibujo que aparece en el ordenador)

Representa gráficamente (Haz al menos tres ejercicios sin cambiar de opción) 6. Representa gráficamente la función f(x). a. f(x) =

b. f(x) =

c. f(x) =

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

Rectas paralelas (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 7. Halla la ecuación de la recta paralela a la de la gráfica que pasa por el punto ( , )

8. Halla la ecuación de la recta paralela a la de la gráfica que pasa por el punto ( , )

Ecuación con dos puntos (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 9. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos a. ( , ) y (

)

b. ( , ) y (

)

Pendiente y corte con un eje (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 10. Halla la ecuación de la recta de pendiente ___, que corta al eje de abscisas en ______.

11. Halla la ecuación de la recta de pendiente ___, que corta al eje de ordenadas en ____.

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

Puntos alineados (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 12. ¿Están alineados los tres puntos? a. ( , ) ; (

)y(

)

b. ( , ) ; (

)y(

)

Oferta más interesante 13. Juan recibe una factura mensual de ____________ de teléfono. Decide qué tarifa le interesa más: a) Cuota mensual de ____ más ___ céntimos cada minuto. b) Sin cuota mensual y _______ minuto.

Móvil por dos puntos 14. Cierta compañía ofrece un móvil rebajado según puntos conseguidos tal como indica la tabla. ¿Corresponde esta tabla a una función polinómica de primer grado? En caso afirmativo, ¿cuál es la ecuación?

X= puntos

Y = Precio en €

Dos datos puntos 15. En la factura del teléfono vemos que una llamada de ___ minutos nos cuesta ____y otra de ____ minutos _____. ¿Cuál es el precio del establecimiento de llamada?. ¿Cuánto se pagará por una llamada de ____ minutos?

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

Funciones polinómicas de segundo grado. Calcula el coeficiente (hay tres tipos de ejercicios diferentes) 16. Calcula el valor de b para que la gráfica de la función f(x)=__x2 + bx __, pase por el punto ( , ).

17. Calcula el valor de a para que la gráfica de la función f(x)=ax2 _______, pase por el punto ( , ).

18. Calcula el valor de c para que la gráfica de la función f(x)= ________+c, pase por el punto ( , ).

Escribe la ecuación (Haz 2 ejercicios) 19. Escribe la ecuación de la parábola que tiene coeficiente a=___, corta al eje de ordenadas en (0,__) y su vértice es el punto ( , ).

20. Escribe la ecuación de la parábola que tiene coeficiente a=___, corta al eje de ordenadas en (0,__) y su vértice es el punto ( , ).

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nยบ 9

NOMBRE:

FECHA:

Por tres puntos 21. Escribe la ecuaciรณn de la parรกbola que pasa por los puntos A( , ), B( , ) y C( , )

Calcula el mรกximo (hay cuatro tipos de ejercicios diferentes) 22. Al lanzar verticalmente hacia arriba un objeto, con velocidad inicial ______ la altura mรกxima que alcanza viene dada por: f(x)=____________________ (g=10 m/seg2 y x:tiempo). Calcula la altura mรกxima que alcanza.

23. Con un listรณn de _______ de largo queremos hacer un marco para un cuadro. Calcula la superficie mรกxima que se puede enmarcar.

Sugerencia: Comienza por calcular la ecuaciรณn de la recta naranja.

24. En un comercio venden ____ unidades de un producto a ____ la unidad. Se sabe que por cada euro que aumenta el precio se venden ____ unidades menos. ยฟA cuรกnto se deben vender para obtener el mรกximo beneficio?

Funciones polinรณmicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

25. Calcula el valor de x para que el área del rectángulo de la figura sea máxima.

Calcula el mínimo (hay tres tipos de ejercicios diferentes) 26. Dos números suman ___, calcula cuáles son si la suma de sus cuadrados es mínima.

27. En un cuadrado de lado ______ se inscribe otro como indica la figura. ¿Cuánto medirá el lado del cuadrado inscrito para que su área sea mínima?

28. Calcula lo que debe medir x para que el área coloreada en azul en la figura, sea mínima.

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

Funciones polinómicas definidas a trozos. Continuidad (hay tres tipos de ejercicios diferentes, haz dos de ellos) 29. Decide si la función f(x) es continua.  __________ ____ si x a) f ( x ) =   __________ ____ si x

 __________ ____ b) f ( x ) =   __________ ____

si x si x

Gráfica del valor absoluto (Haz dos ejercicios diferentes) 30. La gráfica del valor absoluto de una función se traza haciendo la simetría de la gráfica de la función, respecto del eje-X, a la parte que queda por debajo de este. (Haz primero el dibujo que aparece en el ordenador)

a) Representa gráficamente la función f(x)=| x |

b) Representa gráficamente la función f(x)=| x2 |

Trozos del valor absoluto (Haz dos ejercicios diferentes) 31. El valor absoluto de una función polinómica se puede expresar como una función definida a trozos, en la que cada trozo es un polinomio. Expresa en trozos de funciones polinómicas las funciones:

a) f(x)=| x

b) f(x)=| x2

Funciones polinómicas

 __________ ____ |=   __________ ____

si x si x

 __________ ____ |=   __________ ____

si x si x

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

Calcula la ecuación de la recta paralela a la y=

que pasa por el punto (

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( , ) y B( , )?

Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta y=

Calcula el vértice de la parábola y=

Una parábola corta al eje de abscisas en ( , 0) e ( , 0). ¿Cuál es su eje de simetría?

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 9

NOMBRE:

FECHA:

Averigua los puntos en que la parábola f(x)=

corta al eje de abscisas.

La parábola de la gráfica es como la y = x2. Introduce los coeficientes de su ecuación.

La parábola de la gráfica es y= ¿Qué intervalo inecuación?

solución

_____________________

Con una cuerda de _____ de largo se desea vallar una parcela rectangular por tres de sus lados, ya que uno linda con un río. ¿Cuál es la superficie máxima que se puede vallar?

Funciones polinómicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 10

NOMBRE:

FECHA:

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

Contenidos 1. Funciones racionales Función de proporcionalidad inversa Las asíntotas Otras funciones racionales 2. Funciones exponenciales Características Crecimiento exponencial Aplicaciones 3. Funciones logarítmicas Función inversa de la exponencial Función logarítmica Logaritmos

Objetivos •

Conocer las características de la función de proporcionalidad inversa y los fenómenos que describen.

•

Hallar las asíntotas de una hipérbola.

•

Reconocer y representar funciones exponenciales.

•

Aplicar las funciones exponenciales al interés compuesto y otras situaciones.

•

Calcular el logaritmo de un número.

•

Interpretar las gráficas de las funciones logarítmicas.

Autor: Xosé Eixo Blanco

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 10

NOMBRE:

FECHA:

Antes de empezar Investiga Benjamin Franklin, famoso científico y estadista, dejó un legado de 1000 libras a las ciudades de Boston y Filadelfia para que se prestasen a jóvenes aprendices al 5% anual. Según Franklin al cabo de 100 años se habrían convertido en 131000 libras, de las cuales 100000 serían para obras públicas y las 31000 restantes volverían a utilizarse como préstamos otros 100 años. ¿Calculó bien? En la escena puedes ver la definición de Progresión Geométrica y varios ejemplos. Pulsa el botón

para detener la explicación

Pulsa el botón

para reanudar la explicación

Pulsa los botones

para retroceder / avanzar más rápidamente

EJERCICIO 1: Completa lo que falta en los siguientes recuadros: Una progresión geométrica está constituida por una _________________________ en la que cada uno de ellos se obtiene _______________________ el anterior por una constante denominada ________________________________. Ejemplo 1

Ejemplo 2

Pulsa

para ir a la página siguiente.

1. Funciones racionales 1.a. Función de proporcionalidad inversa Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO 1: Completa. La función de proporcionalidad inversa relaciona _______________________________ __________________. Su expresión algebraica es:

y= Su gráfica es una ___________________. Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 10

NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIO 2: Completa. • El dominio y el recorrido son ________________________________________. • Es una función _______: _______________________ • Si k>0 la función es _____________ y su gráfica aparece en los cuadrantes_________. • Si k<0 la función es _____________ y su gráfica está en el _________ cuadrante. En la escena puedes ver en primer lugar una animación en la que se construye la gráfica de la k función f(x) = para k = 1. x Completa la tabla de valores y el dibujo en este sistema de coordenadas cartesianas:

Al finalizar puedes variar el valor de k y observar las gráficas correspondientes.

Representa en los siguientes recuadros las gráficas que se indican: f(x) = x

f(x)

f(x) = x

2 x

f(x)

Pulsa el botón

1 x

f(x) = −

4 x

f(x)

4 x x

f(x) = −

f(x)

para hacer unos ejercicios. Aparece una escena en la que se repasa el

concepto de magnitudes inversamente proporcionales. Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 10

NOMBRE:

FECHA:

Contesta: Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, si tomamos dos cantidades correspondientes, ¿qué es lo que se mantiene constante? : ___________________________ Pulsando en los botones que aparecen en ese cuadro puedes acceder a tres ejercicios diferentes. Resuélvelos en los siguientes recuadros y después pulsa el botón “Comprobar”.

EJERCICIOS Observa la gráfica de la figura. Arrastra el punto naranja para ver como aparecen distintos rectángulos. (Dibújala en los ejes de la derecha fijándote bien en la ecuación y en los puntos por los que pasa). ¿Cómo es el área de todos esos rectángulos? ______________ ¿Cuánto mide? ____________

La tabla corresponde a cantidades inversamente proporcionales, complétala y escribe la expresión algebraica de la función y = f(x).

f(x)

Según la Ley de Boyle-Mariotte, la presión que ejerce un gas y el volumen que ocupa son inversamente proporcionales. A 25º determinada cantidad de gas ejerce una presión ____ atmósferas y ocupa un volumen de ____ litros. a) ¿Qué volumen ocupará cuando la presión ejercida sea de 1 atmósfera? b) ¿Qué presión ejercerá cuando el volumen sea ___ litros? Escribe la función que relaciona: presión → volumen Dibuja su gráfica

Pulsa

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

para ir a la página siguiente.

-4-

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 10

NOMBRE:

FECHA:

1.b. Las asíntotas Observa la escena de la derecha y lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO 1: En la escena de la derecha observa la animación en la que se ve como se comportan los valores de x e y en la gráfica de la función f(x) = 1/x. Contesta:

RESPUESTAS

¿Qué ocurre con los valores de y = f(x) a medida que los valores de x se van aproximando 0 por la derecha (x 0+)? ¿Qué ocurre con los valores de y = f(x) a medida que los valores de x se van aproximando 0 por la izquierda (x 0–)? ¿Qué ocurre con los valores de y = f(x) a medida que los valores de x van siendo cada vez más grandes, es decir cuando tienden a “más infinito” (x +∞)? ¿Qué ocurre con los valores de y = f(x) a medida que los valores de x tienden a “menos infinito” (x –∞)? EJERCICIO 2: Contesta.

RESPUESTA

¿Cuándo decimos que una recta es asíntota de una función? EJERCICIO 3: Completa. •

Asíntotas verticales. La recta x=a es una asíntota vertical de la función y = f(x) si se verifica que ______ ____________________________________________________________________.

•

Asíntotas horizontales. La recta y=b es una asíntota horizontal de la función y = f(x) si se verifica que _____ ____________________________________________________________________.

Representa en los siguientes recuadros las gráficas que se indican: 1 1 f(x) = f(x) = ¡ Observa que x–(–3)=x+3 ! x−2 x+3 x

f(x)

-4

2,5

-3.5

2,1

-3.1

-2

1,5

-2.5

1,9

-2.9

Pulsa el botón

f(x)

para hacer unos ejercicios. En la escena aparece una función para

calcular sus asíntotas. Puedes ayudarte de las rectas verde y naranja para localizarlas. Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

-5-

I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 10

NOMBRE:

FECHA:

Completa la tabla siguiente con 4 de las funciones y sus correspondientes asíntotas: Función

A.V.

A.H.

Función

f ( x) =

A.V.

A.H.

EJERCICIOS 4.

En las siguientes funciones, dibuja las asíntotas y escribe su ecuación.

AV: x= AH: y=

Pulsa

AV: x= AH: y=

para ir a la página siguiente.

1.c. Otras funciones racionales Observa la escena de la derecha y lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO 1: Completa. Las funciones racionales son aquellas que su expresión algebraica es ________________ ___________________________

f (x) = EJERCICIO 2: Completa.

• Su dominio son ______________________ excepto __________________________. • Para calcular el punto de corte con el eje OY ___________. • Para calcular los puntos de corte con el eje OX _______________________________. En la escena puedes ver cómo se calculan las asíntotas y los puntos de corte en varios ejemplos con funciones que son cociente de dos polinomios de grado 1. Completa en los siguientes recuadros dos de los ejemplos que aparecen en la escena.

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

f(x) =

Asíntota vertical:

Operación para calcular la asíntota horizontal:

Asíntota horizontal: x f(x)

0 0

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

En la escena aparecen cinco funciones y cinco gráficas. Arrastra cada ecuación al lugar en el que está la gráfica correspondiente y pulsa Comprobar para ver si lo has hecho bien. Repite el ejercicio un mínimo de dos veces sin fallos.

EJERCICIOS 5.

Decide qué gráfica corresponde a cada función:

Pulsa

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

1) f(x) =

1 x −1

2) f(x) =

1 → x +1

3) f(x) =

x +1 x

→

4) f(x) =

1− x x

→

5) f(x) =

x +1 x −1

→

6) f(x) =

x −1 x +1

→

para ir a la página siguiente.

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 10

NOMBRE:

FECHA:

2. Funciones exponenciales 2.a. Características de la función exponencial Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado y en la escena varía el valor de “a” y pulsa “animar” para observar cómo se van obteniendo los puntos de la función y su correspondiente representación gráfica. EJERCICIO 1: Completa. La función exponencial es de la forma

f ( x) =

con a un número real positivo.

EJERCICIO 2: Completa.

• El dominio son _________________ y el recorrido son ______________________. • Es continua en _______________________. • Si a>1 la función es __________________________________. • Si 0<a<1 la función es _____________________. • Corta al eje OY en el punto ( , ). • El eje OX es ______________________. La función es inyectiva, es decir si an=am entonces n=m Representa en los siguientes recuadros las gráficas que se indican: f(x) = 3 x

f(x) = 2 x x

f(x)

f(x) = (0 ,5)x x

f(x)

f(x) = (0,25)x x

f(x)

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 10

NOMBRE:

FECHA:

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Aparece una escena en la que verás otras funciones exponenciales. Por ejemplo, el caso en el que multiplicamos por un número “k” y el caso en el que sumamos una constante “b”. Es decir, veremos las funciones exponenciales del tipo: f(x) = k·ax + b Pulsando en los botones que aparecen en ese cuadro puedes acceder a tres ejercicios diferentes. Resuélvelos en los siguientes recuadros y después pulsa el botón “Comprobar”. Funciones exponenciales de la forma:

f(x) = k ⋅ a x Ejemplos: Con base mayor que 1: f(x) =

⋅

Con base positiva menor que 1: f(x) =

⋅

Punto de corte con OY: ( , )

Funciones exponenciales de la forma:

f(x) = ax + p Ejemplos: Con base mayor que 1 Con p > 0 : f(x) =

Con p < 0 : f(x) =

Con base positiva menor que 1 x

−

Con p > 0 : f(x) =

Con p < 0 : f(x) =

−

Asíntota horizontal: y = Punto de corte con OY: ( , )

Representa dos de las funciones que aparecen en este apartado, completando también la tabla de valores: f(x) = x

f(x) = f(x)

f(x)

Pulsa

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

para ir a la página siguiente.

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NOMBRE:

FECHA:

2.b. Crecimiento exponencial Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable es el tiempo. y=at EJERCICIO 1: Completa. En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene ________________________ ____________________________________________________________________.

y= Donde: k es __________________________ t es __________________________ a es _______________________________________________________. Si 0<a<1 se trata de un _______________________________ En la escena aparece el enunciado de un problema. Observa que el crecimiento del cultivo bacteriano (número de bacterias por unidad de tiempo) sigue un crecimiento o decrecimiento exponencial. EJERCICIO 2: Varía el valor inicial “k” y el factor por el que se multiplica “a” y observa las diferentes gráficas que se obtienen. Contesta:

RESPUESTA

¿Para qué valores de “a” se tiene un crecimiento exponencial? ¿Para qué valores de “a” se tiene un decrecimiento exponencial? ¿Cómo es la función para a = 1? ¿Cuál es el punto de corte con el eje OY?

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Aparece un resumen en el que puedes ver las respuestas a las preguntas anteriores. Pulsando en los botones que aparecen en ese cuadro puedes acceder a tres ejercicios diferentes. Resuélvelos en los siguientes recuadros y después pulsa el botón “Comprobar”. Escribe la tabla de una función exponencial si para x=___ la función vale ___ y la constante de crecimiento es ___.

¿Cuál es la expresión algebraica?

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

La tabla siguiente corresponde a valores de una función exponencial. Complétala y escribe la expresión algebraica de la función y=f(x)?

f(x)

Representa dos de las funciones que aparecen en este apartado, completando también la tabla de valores: f(x) = x

f(x) = f(x)

f(x)

Pulsa

para ir a la página siguiente.

2.c. Aplicaciones Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO 1: Contesta. ¿Para qué sirve la función exponencial?

EJERCICIO 2: Ahora puedes resolver el problema del legado de Franklin, planteado al comienzo del tema. Pulsa sobre la imagen.

En la escena de la derecha puedes ver tres aplicaciones: Interés compuesto. Crecimiento de poblaciones. Desintegración radioactiva. Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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Pulsa sobre

NOMBRE:

FECHA:

Interés compuesto

Lee la explicación de la escena y completa lo que falta en el siguiente texto: Interés Compuesto En el interés compuesto los intereses producidos por un capital C0 ______________________ a éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses. Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se llaman ________________________________________________. El Capital Final obtenido Cf por un capital inicial C0 al cabo de t años a interés compuesto del r % anual, se determina por la fórmula:

Si la capitalización no es anual se cambia t por ___ y r por ____donde n es el número de periodos que hay en un año. Crecimiento Continuo Cuando los períodos de tiempo se hacen cada vez más pequeños, de manera que los intereses se acumulan al capital en cada instante, se obtiene la fórmula del interés continuo:

EJEMPLO Si colocamos un capital de ____ € al ______ anual, a interés compuesto con abonos cada ___ meses. a) Haz una tabla del capital acumulado en los primeros años. b) Escribe la expresión algebraica del capital acumulado, en función de los años transcurridos. c) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de ___ años? d) ¿Cuántos años tienen que pasar para tener _____ €?

El rédito por período es:

Cada € se convierte por período en: Cada € se convierte por año en: b) y = c) y( ) = d) Continuamos con la tabla

Tienen que pasar:

Pulsa “< volver” para volver al menú. Pulsa sobre

Crecimiento de poblaciones

Lee la explicación de la escena y completa lo que falta en el siguiente texto: Crecimiento de poblaciones El crecimiento vegetativo de una población viene dado por ___________________________ ___________________________________________. Si inicialmente partimos de una población P0 que tiene un índice de crecimiento anual i (expresado en tanto por uno), la población después de un año será: Y al cabo e t años será Crecimiento Continuo Si se considera el crecimiento continuo: Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

EJEMPLO Un pueblo tiene ____ habitantes. Se sabe que su población crece a un ritmo del ____ anual. a) Haz una tabla de valores que relacione tiempo y población. b) Escribe la expresión algebraica de la función tiempo población. c) ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de ____ años? d) ¿Cuántos años tienen que pasar para que la población sea de aproximadamente ____ habitantes?

y( ) =

Continuamos con la tabla

Tienen que pasar:

Pulsa “< volver” para volver al menú. Pulsa sobre

Desintegración Radioactiva

Lee la explicación de la escena y completa lo que falta en el siguiente texto: Desintegración Radioactiva Las sustancias radioactivas se desintegran ____________________. La cantidad de una cierta sustancia radioactiva que va quedando al pasar el tiempo t, viene dada por En donde M0 es la cantidad de sustancia que había en el instante que tomemos como inicial y a una constante, 0 < a < 1, que depende de la sustancia en cuestión y de la unidad de tiempo que tomemos. La rapidez de desintegración de las sustancias radioactivas se mide por el _______________ _____________, que es _______________________________________________. EJEMPLO Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 28 años. Si en el año 2000, teníamos ___ gramos y tomamos como origen de tiempo el año 2000. a) Haz una tabla con la cantidad de estroncio que quedará en los años 2000, 2028, 2056, 2084. b) Escribe la expresión algebraica de la función años, masa. c) ¿Cuánto estroncio quedará en el año ________? d) ¿Cuántos años tienen que pasar para que se reduzca a _____ g?

año

y x = años que han pasado desde el año 2000 y = cantidad de masa en el año x

y( ) =

Continuamos con la tabla a partir de x = ____

Tienen que pasar:

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

EJERCICIOS 6.

Representa y estudia las funciones a) f(x)=4·2x b) f(x)=2·3-x+1

Construye una tabla de valores de una función exponencial en cada caso y escribe la expresión algebraica. a) f(-2)=2/9 y constante de crecimiento 3

b) f(0)=3 y constante de decrecimiento ¼

f(x)

-2

2/9

-2

-1

f(x)

La tabla corresponde, en cada caso, a una función exponencial. Escribe la fórmula. x

f(x)

-2

1/9

-2

-1

1/3

-1

1/5

1/25

1/125

Indica si el gráfico corresponde a una función con crecimiento exponencial o con decrecimiento. Escribe la función.

Pulsa

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

3. Funciones logarítmicas 3.a. Función inversa de la exponencial Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO 1: Completa. Dada una función inyectiva, y=f(x), se llama ________________ de f a otra función, g, tal que g(y)=x. En la escena adjunta construimos paso a paso la inversa de la función exponencial. Puedes variar el valor de “a” y pulsar “animar” para observar cómo aparecen las gráficas de dos funciones: La función exponencial y = f(x) = ax y su inversa x = g(y). EJERCICIO 2: Completa. Esta función inversa se llama _______________ y, como puedes observar, es ___________ de la ________________________ con respecto a _______________________________. Representa a continuación las gráficas de las funciones que se indican, escribiendo en primer lugar la tabla de valores: F. exponencial: f(x) = 2 x Y su inversa: x = g(y)

Pulsa

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3.b. La función logarítmica Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO 1: Completa. La función logarítmica es _________________________________________ y se denota: y=

, con a>0 y a ≠ 1.

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Observa en la escena de la derecha como construimos su gráfica de forma similar a como lo hicimos con la exponencial. Sus propiedades son "simétricas". EJERCICIO 2: Completa.

• El dominio es _______ y el recorrido es _____. • Es continua en _______________________. • Si a>1 la función es __________________________________. • Si 0<a<1 la función es _____________________. • Corta al eje OX en el punto ( , ). • El eje OY es ______________________. La función es inyectiva: si logax = logay entonces x=y Representa en los siguientes recuadros las gráficas que se indican:

f(x) = log2 x x

f(x)

f(x) = log0,5 x x

f(x)

f(x) = log10 x x

f(x)

Pulsa el botón

f(x) = log0,1 x x

f(x)

para hacer unos ejercicios.

Aparece una escena en la que verás otras funciones logarítmicas. Por ejemplo el caso en el que multiplicamos por un número “k” y el caso en el que sumamos una constante “p”. Es decir, veremos las funciones exponenciales del tipo: f(x) = k ⋅ log a x ; f(x) = log a x + p Pulsando en los botones que aparecen en ese cuadro puedes acceder a tres escenas diferentes. Resuélvelos en los siguientes recuadros y después pulsa el botón “Comprobar”. Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Funciones logarítmicas de la forma: f(x) = k ⋅ loga x Varía los valores de “a” y de “k” e indica si la función es creciente o decreciente. Con base a > 1 Si k>0 ___________________

Si k<0 _______________________

Con base 0 < a < 1 (Ten en cuenta que log1 x = − loga x ) a

Si k>0 ___________________

Si k<0 _______________________

Funciones logarítmicas de la forma: f(x) = loga x + p Varía los valores de “a” y de “k” e indica si la función es creciente o decreciente. Con base a > 1 Si p>0 ___________________

Si p<0 _______________________

Con base 0 < a < 1 Si p>0 ___________________

Si p<0 _______________________

Observamos que: Al variar p, la función se traslada sobre el eje OY. Si p>0 Hacia ________ y si p<0 Hacia _______ ¿Cuál es el punto de corte de la función f(x) = loga x + p con el eje OX? (

)

Representa dos de las funciones que aparecen en este apartado, completando también la tabla de valores: f(x) = x

Dominio: Recorrido: Asíntota: Corte OX:

f(x) = f(x)

f(x)

Dominio: Recorrido: Asíntota: Corte OX:

Pulsa

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

3.c. Logaritmos Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado. EJERCICIO 1: Completa. Dados dos números reales positivos, a y b (a

1), llamamos logaritmo en base a de b

_____________________________________________________________________.

EJERCICIO 2: Completa. La definición anterior indica que las dos igualdades siguientes son equivalentes: Equivale a Cuando a=10 hablamos de ___________________________ y no suele escribirse la base. log100=

porque

En esta escena de la derecha puedes ver ejemplos y a partir de ellos puedes comprender mejor el concepto de logaritmo. A continuación podrás ver las propiedades de los logaritmos y sus correspondientes demostraciones. Anota los ejemplos y las propiedades en los espacios siguientes: Logaritmos de base mayor que 1 Ejemplo 1:

porque

Ejemplo 2:

porque

Logaritmos de base positiva menor que 1 Ejemplo 1:

porque

Ejemplo 2:

porque

Propiedades de los logaritmos 1) Logaritmo de un producto Si b y c son dos números reales positivos, se cumple en cualquier base a que:

Demostración Si llamamos z al primer logaritmo, x al segundo e y al tercero, tenemos: Por tanto:

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

2) Logaritmo de un cociente Si b y c son dos números reales positivos, se cumple en cualquier base a que:

Demostración Si llamamos z al primer logaritmo, x al segundo e y al tercero, tenemos:

Por tanto: 3) Logaritmo de una potencia Si b es un número real positivo y c cualquier número, se cumple en cualquier base a que:

Demostración Si llamamos z al primer logaritmo y x al segundo, tenemos:

Por tanto: 4) Logaritmo de la unidad y logaritmo de la base El logaritmo de 1 en cualquier base es ___. El logaritmo de a en base a es ___. porque

porque

Logaritmos decimales (I) Son los más usados y por ese motivo no suele escribirse la base. Es decir, log 3 = log103 Ejemplo 1: Ejemplo 2: Ejemplo 3: Ejemplo 4:

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

(II) Para calcular el logaritmo decimal de un número que no sea potencia de 10 tenemos que usar la calculadora. Pero podemos hacernos una idea de su valor aproximado teniendo en cuenta que la función logarítmica de base mayor que 1 es creciente. Ejemplo 1:

< 10

Ejemplo 2:

10 <

Ejemplo 3:

100 <

< 100 < 1000

Luego log Luego log Luego log

= = =

El logaritmo de un número “n” es __________________________________________. El logaritmo nos informa ________________________________. (III) Si el número es menor que 1 el logaritmo también nos informa de su tamaño: Ejemplo 1:

> 0,1

Ejemplo 2:

0,1 >

Ejemplo 3:

0,01 >

> 0,01 > 0,001

Luego log Luego log Luego log

= = =

El logaritmo de un número “n” indica __________________________________________. Logaritmos con la calculadora Las calculadoras normalmente permiten calcular dos tipos de logaritmos: Decimales (base = 10) y neperianos o naturales (base = número e). Si queremos usar la calculadora para obtener logaritmos en cualquier otra base tendremos que recurrir a la fórmula de cambio de base:

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Pulsando en los botones que aparecen en ese cuadro puedes acceder a tres ejercicios diferentes. Resuélvelos en los siguientes recuadros y después pulsa el botón “Comprobar”. Escribe un mínimo de 5 enunciados y resuélvelos a mano antes de pulsar “Comprobar” Ejercicio 1: Ejercicio 2: Ejercicio 3: Ejercicio 4: Ejercicio 5: Sabiendo que el log 2 = 0,301030, calcula a mano el valor de: log 1,6 = log 0,125 = log 40 = Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Escribe un mínimo de 5 enunciados y resuélvelos con la calculadora: Ejercicio 1: Ejercicio 2: Ejercicio 3: Ejercicio 4: Ejercicio 5:

EJERCICIOS 10.

Representa y estudia las funciones a) f(x)=2·log3x b) f(x)=log3x+1

11.

Calcula x en cada caso aplicando la definición de logaritmo: a) log6 (1/6) = x b) log4 2 = x c) log5 125 = x d) log1/8 1 = x e) log3 81 = x f) log1/5 25 = x g) log3 (1/9) = x h) log1/2 (1/16) = x

12.

Sabiendo que log2=0,301030 calcula sin ayuda de la calculadora: a) log40 b) log1,6 c) log 0,125

13.

Con la calculadora halla los siguientes logaritmos: a) log223,721 b) log325678,34561 c) log50,37906 d) log70,37906

Pulsa

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NOMBRE:

FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN (Completa lo que falta en la descripción de las diferentes funciones)

Funciones racionales Son las que su expresión algebraica es el cociente entre dos polinomios. •

•

Una función de proporcionalidad inversa, y=k/x, relaciona dos variables _________________________ _______________________. o Su gráfica es una ______________ o Es discontinua en __________ o Decreciente si ________ ¿Qué función se obtiene si se o Creciente si ______. traslada el centro de la hipérbola Cuando la gráfica de una función se acerca cada y = 3 al punto (–3,–2)? x vez más a una recta, confundiéndose con ella, se dice que la recta es una ____________. 3 y = = x

Funciones exponenciales

Haz la gráfica de las funciones:

Son de la forma y=a , con a>0. • • • • • •

y = 2x

Su dominio es _____. Es ______________. Es creciente si ______________ Es decreciente si ______________ Corta al eje OY en ( , ) y pasa por ( , ) El eje OX es ________________________.

y= log2 x

Funciones logarítmicas Son las que asocian a cada número x su logaritmo en una cierta base, a>0, y=logax. • • • • • •

Su dominio son _______________________ Es ______________ Es creciente si ________ Es decreciente si ___________. Corta al eje OX en ( , ) y pasa por ( , ) El eje OY es______________________.

LOGARITMOS El logaritmo en base a>0 de un número b>0 es el exponente x, a que se ha de elevar a para obtener b. logab=x es equivalente a ________ PROPIEDADES

1. loga(b·c)= _______________ 2. loga(b/c)= _______________ n

3. logab = ________________

Pulsa Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Funciones racionales Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien.

Funciones racionales. Proporcionalidad inversa (hay tres ejercicios diferentes) 1. Envasamos ___ litros de agua mineral en botellas iguales. Escribe la función que relaciona el número de botellas y su capacidad. Dibuja la gráfica.

2. Un móvil recorre una distancia de ______ con velocidad constante. Escribe la función velocidad→tiempo, calcula el tiempo invertido a una velocidad de ____ km/h, y la velocidad si el tiempo ha sido ___ horas.

3. Un grifo con un caudal de ___ litros/min. tarda _____ minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si el caudal fuera de ___ litros/min.? Escribe la función caudal→tiempo.

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Dibuja la gráfica 4. Calcula las asíntotas y dibuja la gráfica de las funciones: a)

f(x) =

Escribe la ecuación 5. Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es una hipérbola como la de la figura con el centro de simetría desplazado al punto ( , )

Coste por unidad 6. Los costes de edición, en euros, de x ejemplares de un libro vienen dados por y=________ (x>0).

Coste de x ejemplares

¿Cuánto cuesta editar ___ ejemplares?, ¿y ____ ejemplares? Escribe la función que da el coste por ejemplar.

Por muchos ejemplares que se publiquen, ¿cuál es el coste unitario como mínimo?

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NOMBRE:

FECHA:

Funciones exponenciales. Interés compuesto (hay cinco ejercicios diferentes) 7. ¿En qué se convierte al cabo de ___ años un capital de __________ al ______ anual?

8. Un capital colocado a interés compuesto al ___ anual, se ha convertido en __ años en ______. ¿Cuál era el capital inicial?

9. Un capital de __________ colocado a interés compuesto se ha convertido al cabo de __ años en ___________. ¿Cuál es el rédito (interés anual) a que ha estado colocado?

10. Un capital de _________, colocado a interés compuesto del ____ anual, se ha convertido al cabo de unos años en ________. ¿Cuántos años han transcurrido?

11. ¿Cuántos años ha de estar colocado cierto capital, al ____ anual, para que se duplique?

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Decaimiento Radioactivo (hay tres ejercicios diferentes) 12. El periodo de desintegración del Carbono 14 es 5370 años. ¿En qué cantidad se convierten ___ al cabo de _____ años?

13. ¿Cuántos años han de pasar para que una muestra de ____ de C14 se convierta en ____? (Periodo de desintegración del C14: 5370 años).

14. Una muestra de _____ de una sustancia radioactiva se convierte en ______ en __ años. ¿Cuál es el periodo de desintegración?

Crecimiento de poblaciones (hay dos ejercicios diferentes) 15. El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por _ cada __ minutos. Si suponemos que el cultivo tiene inicialmente __ millones de bacterias, ¿dentro de cuántas horas tendrá ___ millones de bacterias?

16. El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por __ cada ___ minutos, si al cabo de __ horas el cultivo tiene ____ millones de bacterias, ¿cuántas había en el instante inicial?

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Ecuaciones exponenciales Cuando la x está en el exponente Ejemplo 1 Resuelve la ecuación: 25

Ejemplo 2 2x-3

=125

Calcula x en 3x=14

25=52 y 125=53, entonces 52(2x-3)=53

Tomando logaritmos: log3x=log14

igualando los exponentes 2(2x-3)=3 ⇒ x=9/4

x log3=log14 luego x=

log 14 = 2,40 log 3

17. Resuelve ecuaciones exponenciales (escribe 3 enunciados diferentes que aparecen en tu ordenador y resuélvelos antes de comprobar la solución): a)

c) Pulsa

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Funciones logarítmicas. Definición de logaritmo (hay tres ejercicios diferentes) 18. Calcula el número cuyo logaritmo en base ___ es ___.

19. ¿En qué base el logaritmo de 0,001 es -3?

20. Calcula mentalmente el logaritmo en base 2 de 32.

Logaritmos decimales 21. Sabiendo que el log2=0,3010 y el log3=0,4771, calcula: (haz al menos 3 diferentes) a)

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Logaritmos con calculadora 22. Utiliza la calculadora para averiguar el valor de: (haz al menos 3 diferentes) a) Logaritmo en base __ de __________ b) Logaritmo en base __ de __________ c) Logaritmo en base __ de __________

Ecuaciones con logaritmos Ejemplo Resuelve la ecuación: 4 · logx = 2 · logx + log4 + 2 4 · logx – 2 · logx = log4 + log100

log x2 = log400

2 · logx = log400

x2 = 400 ⇒ x = ± 20

23. Aplicando las propiedades de los logaritmos resuelve las ecuaciones (escribe 4 enunciados diferentes que aparecen en tu ordenador, dos de ecuaciones con una incógnita y otros dos de sistemas de dos ecuaciones): a)

Pulsa

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NOMBRE:

FECHA:

Escribe la expresión algebraica de la función de la gráfica.

Calcula las asíntotas de la función f(x) =

Escribe la expresión algebraica de la función exponencial de la gráfica

Calcula en cuánto se convierte un capital de ______ € colocado al ___ anual durante __ años.

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

La población de una especie en extinción se reduce a la mitad cada año. Si al cabo de __ años quedan ____ ejemplares, ¿cuál era la población inicial?

Escribe la expresión de la función logarítmica que es la inversa de la exponencial de la gráfica.

Calcula log

Sabiendo que log __ = _______ y sin usar la calculadora, calcula log ________

Con la calculadora halla el valor de x en ___________________ Redondea el resultado a centésimas.

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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NOMBRE:

FECHA:

Para practicar más 1. Envasamos 276 litros de agua en botellas iguales. Escribe la función que relaciona el número de botellas y su capacidad. 2. Un móvil recorre una distancia de 130 km con velocidad constante. Escribe la función velocidad→tiempo, calcula el tiempo invertido a una velocidad de 50 km/h, y la velocidad si el tiempo ha sido 5 horas. 3. Un grifo con un caudal de 8 litros/min tarda 42 minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si el caudal fuera de 24 litros/min?. Escribe la función caudal→tiempo. 4. Calcula las asíntotas de las funciones siguientes: a) f(x) =

2x + 4 x+3

b) f(x) =

x −1 x−3

c) f(x) =

2x − 1 x

d) f(x) =

−x x+2

5. Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es una hipérbola como la de la figura con el centro de simetría desplazado al punto (2,-1).

7. ¿En qué se convierte al cabo de 15 años un capital de 23000€ al 5,5% anual? 8. Un capital colocado a interés compuesto al 2% anual, se ha convertido en 3 años en 9550,87€. ¿Cuál era el capital inicial? 9. Un capital de 29000€ colocado a interés compuesto se ha convertido al cabo de 4 años en 31390,53 €. ¿Cuál es el rédito (interés anual) a que ha estado colocado? 10. Un capital de 7000€, colocado a interés compuesto del 2% anual, se ha convertido al cabo de unos años en 8201,61€. ¿Cuántos años han transcurrido? 11. ¿Cuántos años ha de estar colocado cierto capital, al 3% anual, para que se duplique. 12. El periodo de desintegración del Carbono 14 es 5370 años. ¿En qué cantidad se convierten 10 gr al cabo de 1000 años? 13. ¿Cuántos años han de pasar para que una muestra de 30 gr de C14 se convierta en 20,86 gr.? (Periodo de desintegración del C14 5370 años).

14. Una muestra de 60 gr. de una sustancia radiactiva se convierte en 35,67 gr en 30 años. ¿Cuál es el periodo de desintegración?.

6. Los costes de edición, en euros, de x ejemplares de un libro vienen dados por y=21x+24 (x>0). ¿Cuánto cuesta editar 8 ejemplares?, ¿y 80 ejemplares?. Escribe la función que da el coste por ejemplar. Por muchos ejemplares que se publiquen, ¿cuál es el coste unitario como mínimo?

15. El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 30 minutos. Si suponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias, ¿dentro de cuántas horas tendrá 320 millones de bacterias?. 16. El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos, si al cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias, ¿cuántas había en el instante inicial?

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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17. Calcula el número:

22. Resuelve las ecuaciones exponenciales:

a) cuyo logaritmo en base 6 es 3.

a) 32-9x+9=16

b) cuyo logaritmo en base 4 es -3.

b) 272x+3=93

c) cuyo logaritmo en base 10 es 2.

c) 4-3x+8=8

d) cuyo logaritmo en base 1/2 es -3.

d) 98x-7=1

e) cuyo logaritmo en base 1/5 es 2.

e) 25-5x-5=1

18. ¿En qué base?

23. Calcula el valor de x:

a) el logaritmo de 0,001 es -3.

a) 7x=5

b) el logaritmo de 243 es 3.

b) 5x=7

c) el logaritmo de 8 es 1.

c) 2,13x=4,5

d) el logaritmo de 1/81 es -4. 24. Aplicando las propiedades de logaritmos resuelve las ecuaciones:

e) el logaritmo de 49 es 2.

los

a) log(32+x2) – 2·log(4-x) = 0

19. Calcula mentalmente:

b) 2·logx – log(x-16) = 2

a) el logaritmo en base 2 de 32.

c) logx2 – log

b) el logaritmo en base 5 de 125. c) el logaritmo en base 3 de 1/9.

d) 5 ⋅ log

d) el logaritmo en base 7 de 1.

10x + 11 = -2 10

x x 32 + 2 ⋅ log = 3 ⋅ log x − log 2 3 9

e) el logaritmo en base 6 de 216. 25. Resuelve los sistemas: 20. Sabiendo que el log2=0,3010 log3=0,4771, calcula:

2 ⋅ log x − 3 ⋅ log y = 7 log x + log y = 1

a) 

a) log 16 b) log 512

x + y = 70 log x + log y = 3

b) 

c) log(16/81) d) log 24 e) log 72 21. Utiliza la calculadora para averiguar el valor de: a) log7 12456,789 b) log5 5123,4345 c) log9 47658,897 d) log3 23,146 e) log6 1235,098

Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas

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Contenidos 1. Estadística descriptiva Población y muestra Variables estadísticas Gráficos variables cualitativas Gráficos variables cuantitativas discretas Gráficos variables cuantitativas 2. Medidas de centralización Media, moda y mediana Evolución de la media Evolución de la mediana Media y mediana comparadas Medidas de posición 3. Medidas de dispersión Desviación típica y recorrido Cálculo de las medidas de dispersión La media y la desviación típica 4. Representatividad de las muestras Muestreo estratificado Muestreo aleatorio. Sesgo

Objetivos •

Distinguir los conceptos de población y muestra.

•

Diferenciar los tres tipos de variables estadísticas.

•

Hacer recuentos y gráficos.

•

Calcular e interpretar las medidas estadísticas de centralización más importantes.

•

Calcular las principales medidas de dispersión.

•

Entender la importancia de la elección de la muestra para que sea representativa.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Estadística

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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Antes de empezar Un juego para empezar Ve pulsando en piezas adosadas al hueco para desplazarlas y así durante un rato para deshacer el puzzle. Reconstrúyelo ahora. Pulsa

para ir a la página siguiente.

1. Estadística descriptiva 1.a.

Población y muestra.

Población es ___________________________________________________ sobre el que se hace un estudio estadístico. La muestra es_______________________________________________________________, de ahí que la propiedad más importante de las muestras es su ________________________. El proceso seguido en la extracción de la muestra se llama ___________________. En la escena adjunta tenemos 625 cuadraditos que representan a los alumnos de un instituto ficticio, si vas pulsando en los cuadraditos, vas seleccionando a parte de los alumnos. Contesta: a. ¿Cuál es la población? ____________________________________________________ b. ¿Cuál es la muestra? _____________________________________________________ c. ¿Cómo se llama el proceso en el que se pregunta a toda la población? ______________ Pulsa

para ir a la página siguiente.

1.b. Variables estadísticas. La característica a estudiar en una población es la variable estadística. Completa la siguiente tabla con las características de los distintos tipos de variables estadísticas: Tipos de variables estadísticas Cualitativas Discretas

Continuas

Cuantitativas

En la escena de la derecha tienes ejemplos de cada tipo de variable estadística. Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio.

Completa la tabla con los ejemplos: Cualitativas Cuantitativas Discretas

Pulsa Estadística

Cuantitativas Continuas

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1.c. Gráficos en variables cualitativas El diagrama de sectores es el mas indicado para este tipo de información. El porcentaje de datos de cada valor en una muestra se corresponde con el mismo porcentaje de sector de un círculo.

Así por ejemplo, si los datos son A, A, A, A, A, B, B, B, C, C, completa la tabla con los datos correspondientes: xi Frecuencia Porcentaje Ángulo A B C Haz clic en

para ver un vídeo sobre gráficos.

Con la ayuda de la escena de la derecha puedes hacer un ejercicio sobre representación gráfica de variables estadísticas cualitativas. El ejercicio simula que tenemos una población de 30 alumnos y cada uno de ellos elige un color. Pulsando en Genera tendremos los 30 colores elegidos aleatoriamente, pulsa ayuda y lee como la escena te facilita el recuento y completa la tabla, comprobando que es correcto tú recuento. A continuación pulsa el botón de diagramas para ver los gráficos, y dibújalos en el lugar correspondiente Colori

Frecuencia

D. de columnas

D. de sectores

Rojo

Verde

Azul

Amarillo

Turquesa

Pulsa

Estadística

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1.d. Gráficos en variables cuantitativas discretas Diagrama de barras. Bastará que observes ejemplos hechos de la escena de la derecha para comprender como se hacen y su significado. Este es el gráfico mas indicado para las variables cuantitativas discretas.

Puedes leer un artículo del Instituto Nacional de Estadística, sobre el comportamiento o actuaciones de nuestro país con el medio ambiente y la energías renovables, en él se muestran diversos tipos de diagramas.

Con la ayuda de la escena de la derecha puedes hacer unos ejercicios sobre representación gráfica de variables estadísticas cuantitativas discretas. En la tabla siguiente copia uno de ellos El ejercicio simula que tenemos una población de 30 alumnos y cada uno de ellos nos dice el número de hermanos que tiene. Pulsando en Genera tendremos los 30 datos generados aleatoriamente, pulsa ayuda y lee como la escena te facilita el recuento y completa la tabla, comprobando que es correcto tú recuento. A continuación pulsa el botón de diagramas para ver los gráficos, y dibújalos en el lugar correspondiente Variable

Frecuencia

D. de columnas

D. de sectores

Pulsa

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1.e. Gráficos en variables cuantitativas continuas Histograma. Lee la explicación de este tipo de gráfico estadístico. Contesta.

RESPUESTA

¿Qué figura se utiliza para representar los datos? Si todos los intervalos son de la misma amplitud, ¿qué nos indica la altura? Si todos los intervalos no son de la misma amplitud, ¿qué magnitud es proporcional a la frecuencia? Pulsa en el enlace: Ejemplo. Fíjate en el ejemplo resuelto que aparece. Polígono de frecuencias. Uniremos los centros de la parte superior de todos los rectángulos para obtenerlo. También se suele dibujar el histograma de las frecuencias acumuladas, en cada dato se acumula la frecuencia de los datos anteriores. Con la ayuda de la escena de la derecha puedes hacer unos ejercicios sobre representación gráfica de variables estadísticas cuantitativas continuas. En la tabla siguiente copia uno de ellos: El ejercicio simula que tenemos una población de 30 alumnos y medimos la altura de cada uno de ellos. Pulsando en Pulsa para empezar tendremos los 30 datos generados aleatoriamente, pulsa ayuda y lee como la escena te facilita el recuento y completa la tabla, comprobando que es correcto tú recuento. A continuación pulsa el botón de diagramas para ver los gráficos, y dibújalos en el lugar correspondiente Intervalo

Frecuencia

Histograma

D. de frec. acumuladas

[150, 160)

[160, 170)

[170, 180)

[180, 190)

[190, 200)

Pulsa

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EJERCICIOS 1.

Clasifica las los siguientes ejemplos de variables estadísticas: Longitud de un camión, Carga máxima, nº de ruedas, nº de ejes, tipo de camión, marcas de neumáticos, tipo de tapicería, nº de puertas, altura máxima. Cualitativas: C. discretas: C. continuas:

Calcula los grados que corresponden a cada valor en un gráfico de sectores hecho a partir de los datos: R, R , V , V , V , V , V , A, A, A

Agrupa los datos siguientes y haz un diagrama de barras adecuado. Datos = { 0 1 0 2 3 4 1 2 2 1 2 2 3 4 3 2 1 3 } Marca Frecuencia 0 1 2 3 4

Clasifica los datos en intervalos y dibuja un histograma adecuado.

[150,

]

[

]

[

, 200 ]

] ]

Pulsa

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FECHA:

2. Medidas de centralización 2.a. Media, mediana y moda Un conjunto N de observaciones, N números, puede que por si solo no nos diga nada. En cambio, si además nos dicen que están situados alrededor de uno o varios valores centrales ya tenemos una referencia que sintetiza la información. Por eso se definen los siguientes parámetros de centralización (porque nos indican el centro de la distribución) Media: ________________________________________________________

Moda: _________________________________________________________ En el caso de variable continua, consideraremos por moda ____________________________ _________________________________. También puede ocurrir que haya dos modas o que no haya ninguna que destaque. Mediana: ___________________________________________________________________ En la escena de la derecha vemos ejemplos de cómo calcular estos parámetros. Copia a continuación uno de los ejemplos: Datos

Media

Moda

Mediana

En el caso de la mediana, para pocos datos lo mejor es proceder según el ejemplo de la escena, según sea una cantidad par o impar. Para calcular la mediana si la cantidad de observaciones es grande, habrá que agrupar los datos primero en una tabla. Y determinar segmentos de longitud proporcional a su frecuencia, disponerlos de forma lineal y marcar el centro como muestra el siguiente ejemplo.

0 Pulsa en el botón

para ver un ejercicio resuelto.

Pulsa

Estadística

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2.b

NOMBRE:

FECHA:

Evolución de la media.

1 Para los datos 5 y 5 la media es ___. Si añadimos un 5 ___________________. Si añadimos un 8 _______________________.

Datos 5y5 8

2 Si tenemos 9 datos con media 5 Necesitamos añadir un 6 para que la media pase a ser ____ Si tenemos 19 datos con media 5 Necesitamos un dato de valor 7 para que la media suba a ____

Datos 13555 5678

Datos 5, 5 y 5

Datos 5, 5 y

Datos 13555 56678

3 Para un conjunto de datos con media 5, si añadimos otro con media 5, por ejemplo 6 y 4, _________________________________________

En la escena de la derecha de la página puedes comprobar como se modifica la media en diversos ejemplos. Elige el número del ejemplo: A continuación puedes modificar el número de veces que aparece un dato pulsando las teclas y observa como varía en cada caso la media

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

En estos ejercicios tienes que calcular la media, puedes elegir si la variable es discreta o continua y ya te aparece hecho el recuento. Haz varios y a continuación copia un ejercicio de cada tipo en los recuadros siguientes: Variable cuantitativa discreta Marca Frecuencia xi fi xi.fi

Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia xi fi xi.fi

Total

Total Media

Media Pulsa

Estadística

x para ir a la página siguiente.

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2.c

NOMBRE:

FECHA:

Evolución de la mediana

1 La mediana, para los datos 2, 3 y 4 es Me= ___. Si cambiamos el 4 por 5 o por 6 o por cualquier otro valor mayor ______________________

2 Si añadimos otro dato y tenemos 2,3 4 y 4, por ejemplo, la Me=_____ Y si añadimos un quinto valor, un 4 o un 5 o un 6 o cualquier otro mayor que 4, la mediana en 2,3, 4, 4 y ?? pasa a ser ___ En cambio,.. Da igual que el valor ?? sea 5, 10 o 25.

En la escena de la derecha tienes ejemplos donde la mediana cambia y donde no. Además tu mismo puedes variar el valor o valores que quieras para observar como evoluciona. También tienes la posibilidad de realizar ejercicios de cálculo de esta, en la misma escena. Pulsando en los botones Número par de datos y Número impar de datos obtienes ejemplos de datos y como calcular la mediana. Si pulsas cambiar puedes ver como calcular la mediana, elige el número del ejemplo: A continuación puedes modificar el número de veces que aparece un dato pulsando las teclas y observar como varía en cada caso la mediana.

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios.

En estos ejercicios tienes que calcular la mediana. Puedes elegir si la variable es discreta o continua y ya te aparece hecho el recuento. Haz varios y a continuación copia un ejercicio de cada tipo. Puedes consultar la ayuda para resolverlos. Variable cuantitativa discreta Marca Frecuencia xi fi Fi acumulada

Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia xi fi Fi acumulada

Pulsa Estadística

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2.d

NOMBRE:

FECHA:

Media y mediana comparadas

Lee el texto y completa los valores de la media y la mediana en cada caso: Datos Media Mediana 4, 6 4, 6, 8 4, 6, 11 Los valores 8 y 11 se consideran observaciones _____________. Si los datos estuvieran repartidos _______________ respecto a un valor, ese valor seria _____________________________. Si los valores a un lado de la mediana están más alejados de ella que los del otro lado, la media __________________________ ________________________________. Hay una ___________.

Juega con la escena de la derecha. Hay tres grupos de ejemplos, simétricos, asimétricos y atípicos. Puedes observar la evolución de la mediana y la media Elige el número del ejemplo:

Si quieres

puedes modificar el número de veces que aparece un dato pulsando las teclas Pulsa

2.e

para ir a la página siguiente.

Medidas de posición: cuartiles y percentiles

Dado un conjunto de datos numéricos además de la mediana podemos considerar otras medidas de posición •

El primer valor que supera al 25% es el ________________________ Q1

•

El primer valor que supera al 75% es el ________________________ Q3

•

Para otros valores como el 10%, o el 80% hablamos de ________________ P10 y P80 .

En la escena de la derecha tienes un ejemplo resuelto, si pulsas la flecha y pulsando en el botón genera puedes obtener muchos ejemplos resueltos, eligiendo si quieres que la variable sea discreta o continua. Pulsa en el botón

para practicar el cálculo de las medidas de posición .

Pulsando en el botón genera obtienes nuevos datos, y en el botón Discreta/Continua intercambias el tipo de datos. Copia dos ejercicios en la tabla siguiente:

Estadística

10 -

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NOMBRE:

FECHA:

Variable cuantitativa discreta Marca Frecuencia Mediana xi fi

Variable cuantitativa continua Marca Frecuencia Mediana xi fi

Cuartil Q1

Cuartil Q3

Percentil

Total

EJERCICIOS 5.

Calcula la media en cada caso: a) 4, 6, 8 b) 4, 6, 8, 6 c) 100, 120, 180, 200

Calcula la media en cada caso: a)

Marca 100

200

300

400

5,6,6 1,1,2,3 1,2,3,4,2 3,2,3,2,2,2

Calcula la moda y la mediana en cada caso: a)

Determina la moda y la mediana a) b) c) d)

Marca 10

Marca 10 20 30 40

Fr 2 4 3 2

Marca 100 200 300 400

Fr 2 3 4 1

Calcula la mediana, cuartiles primero y 3º, y el percentil 30, 60 y 90 de los datos. 4 1 3 3 2 3 1 3 3 4 0 0 0 4 4 3 0 3 0 3 2 1 0 0 4 3 0 1

Pulsa

Estadística

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11 -

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NOMBRE:

FECHA:

3. Medidas de dispersión 3.a

Varianza, Desviación típica y rango

“La estadística es una ciencia según la cual, si yo me como un pollo y tú no te comes ninguno, nos hemos comido como promedio medio pollo cada uno”. La estadística indicará que todos comen lo mismo cuando las medidas de dispersión sean todas nulas. Rango: El intervalo definido por ___________________________________. También se llama rango a _____________________________________. Varianza: La media aritmética de los ______________________________________________________ __________________________________________________________________________ Si pulsas en el enlace Fórmulas se abre una ventana en la que puedes ver las dos fórmulas que nos permiten calcular la varianza y como son equivalentes entre sí. Escribe en los cuadros esas dos fórmulas:

Desviación típica: __________________________________________________________________________ Cuanto mayores son la varianza o la desviación típica, los datos se separan más de la media, es decir, hay más dispersión. Si pulsas en el enlace Cálculo en distintos ejemplos puedes generar ejemplos de variables discretas o continuas en los que verás dos métodos diferentes de cálculo de la varianza ¿Cuál es el método más manejable para el cálculo? __________________________________ ¿Por qué? ___________________________________________________________________ En la escena de la derecha tienes varios ejemplos de las medidas de dispersión y de su significado, léelos con atención. Pulsa en el botón

para comparar distribuciones con iguales medidas de

centralización, en las que cambia la desviación típica. Copia a continuación dos de ellas

Pulsa Estadística

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12 -

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3.b

NOMBRE:

FECHA:

Cálculo de las medidas de dispersión.

Recorrido Pulsando en el botón genera obtienes nuevos datos, y en el botón Discreta/Continua intercambias el tipo de datos. Copia aquí dos ejercicios de cada tipo Variable estadística discreta

Variable estadística continua

Máximo

Mínimo

Recorrido

Desviación típica En la escena de la derecha puedes generar unos datos, calcular la desviación típica y ver el diagrama de columnas. Copia a continuación dos ejercicios Intervalo

Marca

Frecuencia

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

Total Media

Desviación típica Mínimo

Intervalo

Marca

Frecuencia

Máximo

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

Recorrido

)

Total Media

Desviación típica Mínimo

Estadística

Máximo

Recorrido -

13 -

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NOMBRE:

Pulsa en el botón

FECHA:

para hacer unos ejercicios.

Pulsando en el botón Genera obtienes nuevos datos, y en el botón Discreta/Continua intercambias el tipo de datos. Copia aquí dos ejercicios de cada tipo Variable discreta Marca

Frecuencia

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

Variable discreta

)

fi.xi2

Total

Marca

Frecuencia

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

)

fi.xi2

Total Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Variable discreta Marca

xi.fi

Variable discreta

Frecuencia

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

Total

Media

)

fi.xi2

Marca

Frecuencia

(

fi ⋅ x − x i

Total Desviación típica

Media

Pulsa

Estadística

xi.fi

Desviación típica

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14 -

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3.c

NOMBRE:

FECHA:

Media y desviación típica.

Para muestras unimodales (una sola moda) y casi simétricas, alrededor de la media podemos considerar un intervalo que contenga la mayoría de los datos. Por ejemplo, para una muestra con media 100 y desviación típica 10, la mayor parte de los datos estarán entre 90 y 110, aproximadamente el 68%; entre 80 y 120 estará el 95% aproximadamente. Y casi todos entre 70 y 130. Hay una forma de distribución de datos llamada normal que cumple con lo anterior, y de una manera u otra, de todas las poblaciones grandes se pueden extraer datos que se ajustan a ella. En cursos superiores verás la importancia de estas distribuciones. En la escena de la derecha tienes unos ejemplos en donde aparece la media y unas franjas de color a su alrededor. Elige el número del ejemplo: A continuación puedes modificar el número de veces que aparece un dato pulsando las teclas y observa como varía en cada caso la media y las franjas de su alrededor

Pulsa en el botón

para hacer unos ejercicios .

Pulsando en el botón genera obtienes nuevos datos. A continuación haz en las tablas dos de ellos, y después comprueba el resultado en la escena Marca

Frecuencia

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

Media Desviación típica [ x +σ,

x -σ] = [

]

Nº de datos [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

Nº de datos Total Marca

Frecuencia

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

Media Desviación típica [ x +σ,

x -σ] = [

]

Nº de datos [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

Nº de datos Total Pulsa

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15 -

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FECHA:

EJERCICIOS 10.

Calcula la media y la desviación típica en a) 200, 250 b) 175, 275 c) 250, 250

11.

Calcula la media y la desviación típica en: a) 7, 5 , 3, 2, 4, 5 b) 20, 25, 20, 22, 21

12.

Organiza los datos siguientes en intervalos de 10 cm desde 150 a 200. Amplia la tabla con dos columnas, una para el producto de las marcas con las frecuencias y otra para el producto de las frecuencias con los cuadrados de las diferencias con la media. Calcula la media y la desviación típica.

Intervalo

Marca

Frecuencia

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

Media=

Desviación típica=

Total

Pulsa

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16 -

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4. Representatividad 4.a

Representatividad. Muestreo estratificado

Una muestra es representativa de la población cuando ______________________________ ___________________________________________________________________________ ¿De qué depende que el estudio de una población sea o no representativo? ______________ ___________________________________________________________________________ Por ejemplo, si queremos estudiar el poder adquisitivo de una población, y solo elegimos a individuos de una determinada zona, o principalmente de una determinada zona, ¿cómo será la muestra? _________________________________________________________________ Si hay tres zonas con 12.000, 18.000 y 20.000 habitantes, escribe en que porcentaje debemos elegir a los individuos de cada zona para elaborar una muestra representativa Un muestreo estratificado es _________________________________________________ En la escena tienes 625 cuadros que representan a los alumnos de un instituto ficticio, siguiendo las instrucciones puedes observar la diferencia entre un muestreo representativo y otro que no lo es.

Si comparamos los gráficos en ambos ejemplos de muestra, ¿en que tipo de muestra se parecen más a los de la población total? ___________________________________________ ¿Por qué? ___________________________________________________________________

Pulsa

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17 -

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4.b

NOMBRE:

FECHA:

Muestreo aleatorio. Sesgo

¿Cuándo se dice que la muestra está sesgada? ______________________________________ ___________________________________________________________________________ Explica en que consiste un muestreo aleatorio total: _________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ En la escena puedes animar una elección totalmente aleatoria o realizar muestreos simulando encuestas al hacer clic.

Pulsa en el botón

para hacer un ejercicio sobre representatividad .

Copia en este cuaderno un ejercicio y compruébalo después en la escena De una población queremos extraer una muestra de tamaño ________. Si proceden de 5 áreas distintas, A, B, C, D y E con porcentajes del total de la población de _____%, _____%, _____%, _____% y _____% ¿A cuantos de cada zona hay que entrevistar? A= _____, B= _____, C= _____, D= _____ y E= ______

EJERCICIO 13.

Una gran empresa tiene trabajadores en cuatro áreas. Operarios, Representantes, administración y dirección. Las condiciones de trabajo son bastantes diferentes en cada área, por lo que el grado de satisfacción no es igual en cada una de ellas. Para averiguarlo, si hay 1000, 500, 300 y 200 trabajadores en las áreas de operarios, representantes, administrativos y directivos, ¿cuántos hay que seleccionar de cada área para una muestra de tamaño? a) 200 b) 100 c) 300

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FECHA:

Recuerda lo más importante – RESUMEN Muestra

Población. Variables estadísticas Tipos

Tipos de gráficos

Media, moda y desviación típica Media

Moda

Desviación típica

X =

Mo=

σ =

Cuartil, mediana, percentil Cuartiles Q1= Q3=

Mediana

Percentiles

Me=

Pi =

Media y desviación típica: Observa el ejemplo [ x +σ,

x -σ] = [

]

% de datos [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

% de datos

Representatividad Una muestra es representativa de la población cuando _______________________________ ___________________________________________________________________________

Pulsa

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NOMBRE:

FECHA:

Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Medidas de centralización y dispersión. Representatividad Interpretación de gráficos del INE Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Medidas de centralización y dispersión. Representatividad. 1. Tipo de variable (haz dos ejercicios) Clasifica las siguientes variables: nº de hijos flor preferida peso temperatura media sabor altura Clasifica las siguientes variables estadísticas de un partido de fútbol: nº de espectadores en el campo

Velocidad Aceleración nº de valvulas nº de plazas tipo de vehículo nº de ruedas carga neta tipo de tapicería jugador preferido nº de goles tiempo transcurrido

2. Recuento de datos (haz dos ejercicios) Haz un recuento de los datos en una tabla.

Haz un recuento de los datos en una tabla

3. Diagrama de sectores Haz un diagrama de sectores para los datos del color preferido de la tabla Marca

Frecuencia

Total Estadística

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NOMBRE:

FECHA:

4. Diagrama de barras Haz un diagrama de barras para los datos de la tabla. Marca

Frecuencia

Total

5. Histograma Con los datos de la tabla haz un histograma Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

6. Moda ¿Cuál es la moda en cada grupo? A={rojo, azul, verde, azul} B= {blanco, negro, azul} C= {rojo, verde, amarillo, rojo, azul, rojo, azul, azul} ¿Cuál es la moda en cada grupo? A={1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 3} B= {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4} C= {1, 2, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 4l}

B C A B C

7. Mediana ¿Cuál es la mediana en cada caso? A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {1, 2, 3, 4} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6} D= {1, 2, 3, 3} E= {1, 2, 3, 3, 3}

A B C D E

¿Cuál es la mediana en cada caso? A= {1, 2, 7, 10} B= {3, 6, 7} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 1} 8. Igual media ¿Cuál es la mediana en cada caso? A= { , } ; B= { , } ; C= {

A B C

}

9. Concepto de media Calcula la media para los datos: x1 = f1 = x2 = f2 = f3 = x3 =

Estadística

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NOMBRE:

FECHA:

10. Cálculo de la media Calcula la media: Distribución discreta Marca

Frecuencia

Total Calcula la media: Distribución continua Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

11. Caso simple de desviación típica ¿Cuál es la desviación típica en cada caso? A= { , } ; B= { , } ; C= { ,

}

12. Concepto de desviación típica Calcula la desviación típica para los datos: x1 = f1 = x2 = f2 = x3 = f3 = 13. Cálculo de desviación típica Calcula la desviación típica: Distribución discreta Marca

Frecuencia

Total

Calcula la desviación típica: Distribución continua Intervalo

Marca

Frecuencia

Total

14. Representatividad Tomamos una muestra de tamaño 2000 de una población donde la edad influye en la característica del estudio. El __ % de la población es mayor, el __ % joven y el __ % media. ¿A cuántos entrevistaré de cada grupo de edad?

Jóvenes Medios Mayores Pulsa

Estadística

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NOMBRE:

FECHA:

Interpretación de gráficos del INE. (En cada apartado aparece una imagen y en el texto preguntas sobre ella. Pulsando en OTRO EJERCICIO aparecen más preguntas sobre la misma imagen) 1. ¿Qué hacemos? Observa el gráfico de sectores del INE y responde a las preguntas: ¿Cuál es la variable estudiada? ¿y la frecuencia? ¿A qué grupo de actividades dedicamos más tiempo los españoles? ¿Cuál es la moda? Calcula cuánto tiempo dedicamos al hogar y la familia: ¿Cuántos grados ocupa este sector en el diagrama?

2. ¿Cuánto paseamos? En el gráfico es fácil ver que somos lo europeos que más paseamos. ¿En qué países pasean más las mujeres que los hombres?

Calcula el tiempo medio que se dedica en cada país a pasear.

¿Qué país está en el percentil 50?

3. Cuidado personal. Observa el gráfico y responde a las preguntas: ¿Crees que el dormir se ha contado como actividad de cuidado personal? A las 15:00 hay un máximo local en la gráfica ¿a qué se debe? A la hora de la comida el 38% de las personas se dedica al cuidado personal. ¿Significa esto que un 62% de las personas no come?

4. Vida social. Observa el gráfico y responde a las preguntas: ¿Cuáles son las comunidades en las que se dedica menos tiempo a la vida social y a la diversión ¿Cuánto tiempo dedican a la diversión o a la vida social la mayor parte de las comunidades? ¿Cuál es el tiempo medio que se dedica en España a esta actividad?

Pulsa Estadística

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23 -

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NOMBRE:

FECHA:

el de

La frecuencia mayor es _____

¿Cuál es la moda?

¿Cuál es el porcentaje de la muestra que corresponde a las dos primeras marcas?

¿Cuál es el percentil más pequeño que deja por debajo los valores menores a 3?

¿Cuál es la media?

Calcula la desviación típica

¿Cuál es la media?

Calcula la desviación típica

¿Qué percentil deja por debajo individuos de menos de 170 cm?

Estadística

los

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Probabilidad

Contenidos 1. Experimentos aleatorios Espacio muestral y sucesos Operaciones con sucesos Sucesos incompatibles 2. Probabilidad de un suceso La regla de Laplace Frecuencia y probabilidad Propiedades de la probabilidad Calcular probabilidades 3. Experimentos compuestos Sucesos compuestos Regla de la multiplicación Extracciones con y sin devolución 4. Probabilidad condicionada Sucesos dependientes e independientes Diagramas de árbol Probabilidad total Probabilidad “a posteriori”

Objetivos • • • • • • •

Hallar los sucesos de un experimento aleatorio y realizar operaciones con ellos. Determinar si dos sucesos son compatibles o incompatibles. Calcular la probabilidad de un suceso mediante la regla de Laplace. Conocer las propiedades de la probabilidad. Hallar la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto. Hallar probabilidades de sucesos dependientes e independientes. Aplicar la probabilidad a situaciones de la vida cotidiana.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez

Probabilidad

Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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NOMBRE:

Antes de empezar Investiga Imagina que estás en un concurso de televisión en el que te ofrecen tres puertas, a elegir una. Detrás de una de las puertas hay un coche y detrás de cada una de las otras dos, un burro. Eliges una puerta, pero antes de abrirla, el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada una, abre una de las dos que no has elegido tras la que, por supuesto hay un burro, y entonces te da la oportunidad de cambiar tu elección. Naturalmente quieres llevarte el coche, ¿qué harías, cambiar de puerta o no cambiar? Antes de decidir, vamos a experimentar jugando. Puedes jugar tú o bien hacer que juegue en automático; después de varios intentos anota los resultados: Manual Intentos Coches % aciertos

Cambiando

Manteniendo

Total

Automático Intentos Coches % aciertos

Cambiando

Manteniendo

Total

RESPUESTA

CONTESTA Cuando eliges tú, ¿cuándo consigues más coches, cambiando o manteniendo? Cuando se elige automáticamente, ¿cuándo se consiguen más coches, cambiando o manteniendo? Después de lo visto, si quieres llevarte el coche, ¿qué harías, cambiar de puerta o no cambiar?

Si haces una apuesta en la bonoloto, ¿qué probabilidad tienes de acertar los 6 números?, ______________________________________ ¿Y tres?________________________________

Pulsa

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1. Experimentos aleatorios 1.a. Espacio muestral y sucesos Lee las definiciones de la pantalla y completa: Son experimentos aleatorios, aquellos en los que ___________________________________ Se llama espacio muestral _____________________________________________________ Un suceso elemental es ______________________________________________________ Un suceso es ________________________________________________________________ Hay un suceso que se verifica siempre _______________________ y coincide con el _______ _______________________ Fíjate en la escena, en ella podemos extraer de forma aleatoria una carta de la baraja. Aparecen varios sucesos, y si mueves el ratón por encima de ellos, aparecen los sucesos elementales que los forman. Con ayuda de la escena, completa esta tabla: SUCESO SUCESOS ELEMENTALES Sacar el rey de oros Sacar oros o rey Sacar una figura Pulsa

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1.b. Operaciones con sucesos Lee las definiciones de la pantalla y completa Con los sucesos de un experimento aleatorio se pueden realizar distintas operaciones. Dados dos sucesos A y B: • La unión de A y B, AUB, es el suceso formado por ________________________________ _______________________ Ocurre cuando _____________________________________ • La intersección, A∩B, es el suceso formado por _________________________________ y _____________________ Ocurre cuando ____________________________________ • La diferencia de A y B, A\B, es el suceso formado por ___________________________ ______________________ Ocurre cuando _____________________________________ • El suceso contrario a uno dado A, Ā, es el suceso formado por _____________________ ______________________ Ocurre cuando ____________________________________ • El suceso contrario del seguro es el suceso _______________, que no se verifica nunca, se indica con Ø. En la escena puedes ver un ejemplo de distintos sucesos y sus contrarios: En una urna hay 12 bolas numeradas del 1 al 12. Se saca una bola y se mira el número, consideramos los sucesos A= ”salir par” y B= ”salir múltiplo de 3”. Escribe a continuación los sucesos elementales que forman los sucesos indicados en la tabla: A A B

AUB

A UB

A∩B

A IB

A\B

B\A

B\A Pulsa Probabilidad

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1.c. Sucesos compatibles e incompatibles Lee las definiciones de la pantalla y completa En un experimento aleatorio hay sucesos que pueden ocurrir a la vez y sucesos que no. • Dos sucesos se dicen compatibles si ______________________________________. En este caso A∩B≠Ø, _________________ ocurrir a la vez. • Dos sucesos se dicen incompatibles si no _________________________________, en este caso A∩B=Ø, _________________ ocurrir a la vez Un suceso y su contrario son siempre ____________________, incompatibles no siempre son ___________________.

pero

dos

sucesos

Dado el Espacio muestral={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, y los sucesos: Rojo={1, 4, 7, 10}, Verde={1, 2, 3}, Azul={3, 6, 9, 12}, Gris={7, 8, 9} y Naranja={3, 5, 7}, con ayuda de la escena di si son compatibles o no los sucesos: SUCESOS

COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

SUCESOS

Verde y Rojo

Rojo y azul

Verde y azul

Verde y amarillo

Azul y gris

Rojo y amarillo

Verde y gris

Amarillo y gris

Rojo y gris

Amarillo y azul

Pulsa el botón

COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

para hacer unos ejercicios.

Observa los dibujos y razona qué conjunto es cada uno de ellos. Cuando los tengas todos pulsa “Comprobar” Completa los resultados en esta tabla:

Pulsa

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EJERCICIOS 4.

En una bolsa tenemos tres bolas numeradas como 1, 2 y 3. Consideramos el experimento de extraer una bola y anotar su número. Escribe todos los sucesos posibles. Indica cuáles de ellos son los elementales.

En una baraja, bajo el experimento de extraer una carta, considera los sucesos a) par, b) oros, c) par y oros, d) par u oros, e) par menos oros, f) oros menos par y g) no par. Escribe los sucesos elementales que los forman.

Al tirar un dado consideramos los sucesos: A={Par}, B={mayor de 3}, y C={impar}. De los tres pares de sucesos posibles AB, AC y BC, indica cuáles son compatibles y/o incompatibles

Pulsa

Probabilidad

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2. Probabilidad de un suceso 2.a. La regla de Laplace Lee las definiciones de la pantalla. CONTESTA ESTAS CUESTIONES: ¿Cuándo decimos que un experimento aleatorio es regular? ¿Qué significa que los sucesos elementales son equiprobables? Dado un suceso A, ¿a qué llamamos casos favorables? ¿y casos posibles? ¿Podemos aplicar siempre la regla de Laplace? Si la respuesta es negativa, indica cuando se puede aplicar

RESPUESTAS

A continuación escribe la fórmula de la Regla de Laplace P(A) =

nº casos nº casos

Con ayuda de la escena de la derecha, calcula las siguientes probabilidades Extraemos una carta de una baraja de 40

SUCESOS

PROBABILIDAD

Que sea de un palo determinado Que sea de un nº determinado Que sea un as o un basto Que sea un as y un basto Que no sea ni as ni basto

Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Considerando el experimento “tirar un dado” calcula las probabilidades pedidas P(par)=

P(impar)=

P(oros o espadas)=

P(3 de bastos)=

P(>4)=

P(2 ó 6)=

P(oros)=

P(bastos)=

P(3)=

P(>2 y <5)=

P(rey)=

P(bastos o copas)=

P(<5 y par)=

P(>2 ó <5)=

P(Rey de oros)=

P(figura)=

P(3 o par)=

P(>3 y <5)=

P(Un 3)=

P(figura de bastos)=

Pulsa

Probabilidad

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FECHA:

NOMBRE:

2.b. Frecuencia y probabilidad Lee las definiciones de la pantalla y completa: La frecuencia absoluta de un suceso es __________________________________________ La frecuencia relativa es _____________________________________________________ _________________________________________________. La ley de los grandes números dice que cuando repetimos un experimento _____________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Como consecuencia de la ley de los grandes números, tenemos una nueva definición de probabilidad de un suceso como ________________________________________________ ___________________________________________________________________________ En la escena de la derecha se simula el lanzamiento de tres monedas; a partir de los resultados de los lanzamientos, compara las probabilidades y las frecuencias de los sucesos: Nº de lanzamientos

>100

>200

>500

>1000

fr(0 caras)=

P(0 caras)=

fr(1 caras)=

P(1 caras)=

fr(2 caras)=

P(2 caras)=

fr(3 caras)=

P(3 caras)=

CONTESTA ESTAS CUESTIONES: ¿Cómo es la probabilidad de obtener cero caras, mayor o menor que su frecuencia? ¿Cómo es la probabilidad de obtener dos caras, mayor o menor que su frecuencia? ¿Cuándo se parecen más las frecuencias, con 100 lanzamientos o con más de 1000? ¿Por qué? Pulsa el botón

RESPUESTAS

para hacer unos ejercicios.

Tiras tres dados y sumas los resultados. En una apuesta, ¿Cuál es el resultado más ventajoso? Siguiendo las indicaciones de la escena haz más de 3000 tiradas, y observando los resultados, calcula las siguientes probabilidades: P(3)=

P(4)=

P(5)=

P(6)=

P(7)=

P(8)=

P(9)=

P(10)=

P(11)=

P(12)=

P(13)=

P(14)=

P(15)=

P(16)=

P(17)=

P(18)=

Pulsa

Probabilidad

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2.c. Propiedades de la probabilidad Vista la relación entre frecuencia relativa y probabilidad, se cumple que: •

La probabilidad de un suceso es un número ____________________.

•

La probabilidad del suceso seguro es ______ y la del suceso imposible es _______.

•

La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es ______________

Y de éstas se deduce además que: •

La probabilidad del suceso contrario es p(Ā)= ________________

•

La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles es ____________________

Si pulsas en Aplicaciones verás un ejemplo en el que se calcula la probabilidad de la intersección de dos sucesos y otro en el que se aplica la probabilidad del suceso contrario En la escena de la derecha hay un ejemplo resuelto: En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se saca una bola y se mira el número. Consideramos los sucesos: A= {1, 2, 3, 4} y B={4, 5, 6, 7, 8}. Con ayuda de la escena escribe la probabilidad de los sucesos de la tabla: p(A)

p(A∩B)

p( A )

p( A I B )

p(B)

p(A\B)

p( B )

p( A \ B )

p(AUB)

p(B\A)

p( A U B )

p( B \ A )

Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

Si p(A)=0,5 , p(B)= 0,4 y p(A∩B)= 0,2; calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

Pulsa

Probabilidad

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FECHA:

NOMBRE:

2.d. Calcular probabilidades En esta página aparecen dos escenas para que practiques calculando las probabilidades que se proponen con la diana y la ruleta. Pulsa el botón

para hacer unos ejercicios.

Haz hasta que el número de aciertos sea superior a 10.

EJERCICIOS 7.

Tenemos un dado de 20 caras {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6} perfectamente equilibrado ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada uno de los resultados posibles}

Si lanzamos el dado anterior 1000 veces, ¿Cuántas veces se espera que salga cada resultado aproximadamente?

Para el dado {1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5} de 20 caras calcula las probabilidades siguientes: a) P(par)= 8/20 =0,4 b) P(mayor de 3)= 11/20=0,55 c) P(par y mayor de 3)=5/20=0,25 d) P(par o mayor de 3)=14/20=0,7 e) P(par menos mayor de 3)=3/20=0,15 f) P(mayor de 3 menos par)=6/20=0,3 g) P(no par)=12/20=0,6

10.

En una bolsa tenemos 7 bolas rojas, 9 bolas azules y 4 verdes. Extraemos una bola, calcula la probabilidad de que a) No sea roja b) Sea verde c) Sea roja o azul

11.

En un grupo, el 40% juega baloncesto y el 60% fútbol, sabiendo que el 85% practica alguno de los dos deportes, ¿qué porcentaje juega a los dos?

12.

En el grupo A hay 18 personas de las que 10 hablan inglés y 8 no; en el B hay 12 personas de las que 3 hablan ingles y 9 no; en el C hay 10 personas 3 que hablan inglés y 7 que no. Se elige al azar una persona de cada grupo, calcula la probabilidad de que de las tres, al menos una hable ingles.

Pulsa Probabilidad

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FECHA:

NOMBRE:

3. Experimentos compuestos 3.a. Sucesos compuestos Un experimento compuesto es el que ___________________________________________ ___________________________________________________________________________ Para calcular el espacio muestral de un experimento compuesto conviene, en muchas ocasiones, hacer un diagrama de árbol que represente todas las opciones. Cada resultado viene dado por un camino del diagrama. Observa en la escena cómo construye el diagrama de árbol del ejemplo y como se usa para calcular la probabilidad de cada suceso. Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

PROBABILIDAD CON N MONEDAS EXPERIMENTO: Lanzar N monedas equilibradas Calcula la probabilidad en cada caso CASO 1: 2 Monedas CASO 3: 4 Monedas

CASO 2: 3 Monedas

CASO 3: N Monedas

Pulsa

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3.b. Regla de la multiplicación Si te fijas en el ejemplo anterior, al indicar la probabilidad de cada rama del camino, se obtiene la probabilidad de cada suceso compuesto calculando el producto de los respectivos sucesos simples. La probabilidad de un suceso en un experimento compuesto es _____________________ ___________________________________________________________________ En las escenas de la derecha puedes ejercitar este principio, observa en primer lugar el ejemplo y luego practica en la otra escena. Anota a continuación al menos dos ejercicios que hayas resuelto bien: EJERCICIO 1 EJERCICIO 2 p(A)= p(A)= p(N)= p(N)= p(V)= p(V)= Probabilidad

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NOMBRE:

Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

Tenemos dos urnas, A y B, con bolas rojas, verdes y azules. Lanzamos un dado, si sale 1 ó 2 sacamos una bola de A, y si sale 3, 4, 5 ó 6 de B

p(A y R)= p(B y R)=

. .

= =

p(A y V)=

p(A y A)=

p(B y V)=

Pulsa

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3.c. Extracciones con y sin devolución Un ejemplo de experimento compuesto lo encontramos en la extracción sucesiva de cartas o de bolas de una urna... en estos casos hay que considerar si se devuelve la carta, bola, etc. antes de sacar la siguiente o no. En la página hay dos escenas, que corresponden con dos ejemplos diferentes, uno de extracción de bolas y otro de extracción de cartas; practica con ellas antes de hacer el ejercicio. Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

En una urna hay 6 bolas blancas y 4 negras. Sacamos dos bolas, una tras otra Haz el diagrama de árbol en cada caso Con devolución

Calcula las siguientes probabilidades:

Sin devolución

Con devolución

Sin devolución

¿cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas? ¿cuál es la probabilidad de que la 1ª sea blanca y la 2ª negra? ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean negras? Pulsa Probabilidad

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4. Probabilidad condicionada 4.a. Sucesos dependientes e independientes Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que uno dependa del otro. Se llama probabilidad condicionada, de B a A, y se expresa p(B/A) a la probabilidad de que ________________________________________________________________________

P(B / A) = Si pinchas el enlace ¿Por qué? verás la demostración de esta fórmula Dados dos sucesos, se dice que son independientes si ______________________________ ___________________________________________________________________ Dados dos sucesos, se dice que son dependientes si ______________________________ ___________________________________________________________________. •

A y B independientes: P(B/A)=_____________

•

A y B independientes: P(A∩B)=_____________

En la escena de la derecha tienes un ejemplo de sucesos dependientes; sigue sus instrucciones para ver la explicación. Pulsa el botón

para hacer el ejercicio.

Primero haz tú los cálculos y comprueba en la escena después Fíjate bien en las bolas numeradas que contiene la urna. Vamos a extraer una bola, queremos averiguar si tendrás premio. Sigue las instrucciones de la escena para ver tu probabilidad de premio

Número

Roja

Azul

p(1)=

p(1/roja)=

p(1/azul)=

p(2)=

p(2/roja)=

p(2/azul)=

p(3)=

p(3/roja)=

p(3/ azul)=

Explica a continuación que sucesos son independientes y por qué

Explica a continuación que sucesos son dependientes y por qué

Pulsa

Probabilidad

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4.b. Diagramas de árbol Como has podido ver, en los experimentos compuestos se puede hacer un diagrama en árbol, y cada resultado viene dado por un camino en dicho árbol. Para calcular una probabilidad solo hay que dibujar el camino correspondiente, y el producto de las probabilidades de todas las ramas que lo forman será el valor que buscamos. •

Si ocurre A y luego B:

•

La suma de las probabilidades de todos los caminos es igual a ______

P(A y B)=________________

En el ejemplo de la escena de la derecha puedes comprobar este último resultado, juega y observa la suma total. Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

A la izquierda tienes una ruleta que determina que camino elegimos entre dos, y una ruleta en cada camino para elegir el color; cada vez que pulsas Nuevas ruletas, tienes un ejercicio diferente, y cada vez que pulsas Girar ruletas, se realiza el experimento y se calculan las frecuencias absoluta y relativa. Haz a continuación dos ejercicios, calculando las probabilidades que se indican en cada caso:

Pulsa

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4.c. Probabilidad total Consideremos los sucesos representados por la imagen. R=Rojo, V=Verde y A=Azul son tres sucesos incompatibles y tales que la unión forma todo el espacio muestral. Sea C=Círculo un suceso cualquiera.

Escribe la fórmula de la probabilidad total para este ejemplo: p(C)= En el ejemplo de la escena de la derecha puedes practicar este resultado. Probabilidad

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NOMBRE:

Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

La probabilidad de acertar en amarillo en la diana de la figura es p(A)= ______, en naranja p(N)= _________ y en verde p(V)= _____. Estas probabilidades suman 1. Las probabilidades de brillo o claro son: • Si impacta en amarillo: ______ brillo y ____ claro. • Si impacta en naranja: ______ brillo y ____ claro. • Si impacta en verde: ______ brillo y ____ claro. ¿Cuál es la probabilidad de acertar en brillo Pulsa

p(A).p(B/A)= p(N).p(B/N)= p(V).p(B/V)= p(B)=

para ir a la página siguiente.

4.d. Probabilidad “a posteriori” En ocasiones interesa conocer la p(A/S), es decir cuando ya sabemos que ha ocurrido S en la segunda experiencia, nos preguntamos la probabilidad de que se haya llegado a través de A. Se trata de una probabilidad condicionada conocida como Fórmula de Bayes:

p (A / S) = Observa en el ejemplo de la escena cómo se desarrolla esta fórmula y completa la siguiente tabla de probabilidades

1ª verde

2ª verde p(VV)=

2º negra p(VN)=

Total p(1ªV)=

1º negra

p(NV)=

p(NN)=

p(1ªN)=

Total

p(2ªV)=

p(2ªN)=

A partir de la tabla, calcula las siguientes probabilidades condicionadas p(V/V)=----------------------------=

p(V/N)= ----------------------------=

p(N/V)=----------------------------=

p(N/V)= ----------------------------=

Pulsa el botón

para hacer un ejercicio.

La probabilidad de acertar en amarillo en la diana de la figura es p(A)= ______, en naranja p(N)= _________ y en verde p(V)= _____. Estas probabilidades suman 1. Las probabilidades de brillo o claro son: • Si impacta en amarillo: ______ brillo y ____ claro. • Si impacta en naranja: ______ brillo y ____ claro. • Si impacta en verde: ______ brillo y ____ claro. Si se acertó en brillo, ¿cuál es la probabilidad de que fuese sobre amarillo? Pulsa

Probabilidad

p(A).p(B/A)= p(N).p(B/N)= p(V).p(B/V)= p(B)= p(A/B)=

para ir a la página siguiente.

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EJERCICIOS 10.

Lanzamos un dado de 4 caras {1,2,3,4} y otro de 10 {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. Cuál es la probabilidad de obtener dos tres. ¿Y dos cuatros?

11.

En una bolsa tenemos 5 bolas numeradas del 1 al 5. Extraemos dos bolas, a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 y un 3 si no devolvemos las bolas sacadas? b) ¿y cuál si las devolvemos?

12.

Al tirar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 10 puntos?

13.

Tiramos una moneda trucada en la que P(C)=0,6 y P(X)=0,4. Si sale cara tiramos un dado {1,2,3,4} de 4 caras y si sale cruz uno {1,2,3,4,5,6} de seis. ¿Tenemos la misma probabilidad de que salga 1 después de que salga cara o cruz?. ¿Cuánto vale en cada caso?. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1?

14.

Tenemos un dado {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2} de 10 caras. Si sacamos un 1 tiramos una moneda, y dos si sacamos un 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara?

15.

Tenemos un dado {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2} de 10 caras. Tiramos el dado, si sale 1 sacamos una bola de {RRNNN} y si sacamos un 2 sacamos una de {RRRRN}. Salió N, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera con un 1 del dado?

16.

La probabilidad de acertar en amarillo en la diana de la figura es 0,3, en verde 0,4 y en naranja 0,3. Además si se acierta en amarillo la probabilidad de que sea en brillo es 0,7; la probabilidad de brillo en verde es 0,6 y en naranja 0,3.

Probabilidad

¿Cuál es la probabilidad de acertar en la zona brillante?

Si se acertó en la zona brillante, ¿cuál es la probabilidad de que fuese en amarillo.

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Recuerda lo más importante – RESUMEN Experimentos aleatorios Un experimento aleatorio es aquel en el que _________________________________________ el resultado por más que se repita Espacio muestral ____________________ ____________________________________ Sucesos elementales: ________________ ____________________________________ Un suceso A: ________________________ ___________________________________

Suceso seguro: ______________________ ___________________________________ Suceso imposible: ___________________ ___________________________________ Suceso contrario a un suceso A: ________ ___________________________________

Dos sucesos son compatibles si _________

Dos sucesos son incompatibles si ________

______________________________________

Operaciones con sucesos Unión A U B : se verifica cuando

Intersección A ∩ B : se verifica cuando

Diferencia A–B: se verifica cuando

Regla de Laplace Se puede aplicar solo cuando los sucesos elementales son ______________________

Nº casos Nº casos

Propiedades de la probabilidad p(S. seguro) = P(E) = ______ p(S. imposible) = P(Ø) = ______ ______ ≤ P(suceso) ≤ _____ p(Ā)= 1- p(____)

A y B son incompatibles p(A U B) =____________

A y B compatibles p(A U B) =_____________

Experimentos compuestos Están formados por __________________________________________________________. Para calcular la probabilidad ___________________________________________________

Probabilidad condicionada En sucesos consecutivos pueden producirse dos situaciones: Independientes Dependientes Fórmula de Bayes

p (B / A) =

Probabilidad total Si se cumple que P(A)+P(V)+P(R)=1, entonces se cumple que P(C)=______________________________________________

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Probabilidad

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 12

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Para practicar Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de: Aplicación de la regla de Laplace y propiedades de la probabilidad Probabilidad condicionada, probabilidad total y Bayes Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tú y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien.

Aplicación de la regla de Laplace y propiedades de la probabilidad 1 dados 1. Tiramos un dado de 10 caras, ¿qué probabilidad hay de sacar un número par?

2 dados 2. Tiramos dos dados de 6 caras. ¿Qué probabilidad hay de sacar más de 9 puntos?

3 dados 3. Al tirar dos dados, ¿Qué probabilidad hay de sacar igual?.

4 cartas (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 4. Si extraemos una carta de una baraja española ¿la probabilidad de extraer un ____ es?

5. Si extraemos una carta de una baraja española ¿la probabilidad de extraer un ____ es?

Probabilidad

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 12

FECHA:

NOMBRE:

5 cartas 6. Si extraemos una carta de una baraja española ¿la probabilidad de extraer un 2 o un 5 es?

6 cartas (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 7. Si extraemos una carta de una baraja española ¿la probabilidad de no sacar ni un ____ ni un basto es? 8. Si extraemos una carta de una baraja española ¿la probabilidad de no sacar ni un ____ ni un basto es?

7 monedas 9. Si lanzamos 3 monedas, la probabilidad de obtener una cara es

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Probabilidad condicionada, probabilidad total y Bayes Dos cruces de caminos (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 10. Tenemos dos caminos I y II con p(I)=___ y p(II)= ___. El camino I puede acabar en turquesa o en rosa con probabilidades ___ y ____ respectivamente. El camino II lleva directamente a verde. Calcula las probabilidades de los tres destinos.

11. Tenemos dos caminos I y II con p(I)=___ y p(II)= ___. El camino I puede acabar en turquesa o en rosa con probabilidades ___ y ____ respectivamente. El camino II lleva directamente a verde. Calcula las probabilidades de los tres destinos.

Probabilidad

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 12

NOMBRE:

FECHA:

Tres cruces de caminos (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 12. Tenemos dos caminos I y II con p(I)=___ y p(II)= ___. El camino I puede acabar en turquesa o en rosa con probabilidades ___ y ____ respectivamente. El camino II en rosa o en verde con probabilidades ___ y ____ respectivamente. Calcula las probabilidades de los tres destinos.

13. Tenemos dos caminos I y II con p(I)=___ y p(II)= ___. El camino I puede acabar en turquesa o en rosa con probabilidades ___ y ____ respectivamente. El camino II en rosa o en verde con probabilidades ___ y ____ respectivamente. Calcula las probabilidades de los tres destinos.

Caminos y Bayes (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 14. Dos caminos I y II con p(I)=___ y p(II)= ___ El 1º puede acabar en turquesa o rosa con probabilidades ___ y ____ respectivamente. El camino 2º puede acabar en rosa o verde con probabilidades ___ y ____ respectivamente. Concluido rosa, ¿cuál es la probabilidad de haber seguido el 1º?

15. Dos caminos I y II con p(I)=___ y p(II)= ___ El 1º puede acabar en turquesa o rosa con probabilidades ___ y ____ respectivamente. El camino 2º puede acabar en rosa o verde con probabilidades ___ y ____ respectivamente. Concluido rosa, ¿cuál es la probabilidad de haber seguido el 1º?

Playa sur (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 16. Con una probabilidad de _____ un habitante de un pueblo A va a la playa, y con ______ va al campo. Y con una probabilidad ___ va al Norte y con la contraria al Sur. ¿Cuál es la probabilidad de ir a una playa del sur?

Probabilidad

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 12

FECHA:

NOMBRE:

17. Con una probabilidad de _____ un habitante de un pueblo A va a la playa, y con ______ va al campo. Y con una probabilidad ___ va al Norte y con la contraria al Sur. ¿Cuál es la probabilidad de ir a una playa del sur?

Campo norte (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 18. Con una probabilidad de _____ un habitante de un pueblo A va a la playa, y con ______ va al campo. Y con una probabilidad ___ va al Norte y con la contraria al Sur. ¿Cuál es la probabilidad de ir al campo del norte?

19. Con una probabilidad de _____ un habitante de un pueblo A va a la playa, y con ______ va al campo. Y con una probabilidad ___ va al Norte y con la contraria al Sur. ¿Cuál es la probabilidad de ir al campo del norte?

Campo playa y Bayes (Haz al menos dos ejercicios sin cambiar de opción) 20. Con una probabilidad de _____ un habitante de un pueblo A va a la playa, y con ______ va al campo. Y con una probabilidad ___ va al Norte y con la contraria al Sur. Sabemos que Felipe ha ido a la playa, ¿Cuál es la probabilidad de que además sea del norte.

21. Con una probabilidad de _____ un habitante de un pueblo A va a la playa, y con ______ va al campo. Y con una probabilidad ___ va al Norte y con la contraria al Sur. Sabemos que Felipe ha ido a la playa, ¿Cuál es la probabilidad de que además sea del norte.

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Probabilidad

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I.E.S. _______________________ CUADERNO Nº 12

FECHA:

NOMBRE:

En una bolsa tenemos ______ bolas rojas ___ bolas azules y ____ bolas verdes. Extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola roja?

Disponemos de una baraja de 100 de cuatro colores numeradas de 1 al 25. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un _____?

Sucesos elementales={1, 2, 3, 4, 5, 6, .......48, 49, 50} A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y C={1, 2, 3, 4, ...., 23, 24, 25} p(A unión C)=

Lanzamos dos dados normales y sumamos. ¿Qué probabilidad hay de obtener menos de 5?

¿Qué probabilidad hay de no sacar ni bastos ni figuras al extraer una carta de una baraja española?

Extraemos una carta, la devolvemos y extraemos otra, de una baraja española. ¿Qué probabilidad hay de sacar un oro?

Tiramos dos monedas. Si salen dos caras extraemos una bola de una urna con ____B y ____N, y en caso contrario de una urna con ____B y ____N, ¿cuál es la probabilidad de sacar una B?.

Tiramos un dado de 10 caras. Si sale menor que _____ extraemos una carta, y en caso contrario dos devolviéndola 1ª antes de sacar la 2ª ¿Qué probabilidad hay de obtener algún oro?

En un colegio el _____% de los alumnos practican fútbol, el ___% Baloncesto y el ____% uno u otro. ¿Qué probabilidad hay de que un estudiante practique los dos deportes?

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FECHA:

NOMBRE:

Para practicar más 1. Existen en el mercado varios tipos de dados, aunque el más normal sea el cúbico de seis caras. Los hay de 4, 6, 10, 12, y 20 caras. En general, van numerados del 1 al nº de caras que tienen. Escribe el suceso “Par” para cada uno de ellos. 2. Tenemos un dado de 4 caras numeradas del 1 al 4. Lo tiramos una vez. Escribe el suceso seguro, el imposible, y todos los posibles clasificados por su tamaño. 3. Tenemos un dado de 6 caras blanco, en el que se han escrito en sus caras los siguientes números {1,1,1,2,2,3}. Escribe todos los sucesos posibles. 4. En la escuela municipal de un pueblo hay clases para deportes de equipo de baloncesto, fútbol y voleibol. Hay 100 inscritos en deportes de equipo, 70 van a clases de fútbol, 60 de baloncesto y 40 a fútbol y baloncesto. ¿Cuántos van sólo a voleibol? 5. Determina el número de cartas, en una baraja española de 40, que: a) Con numeración menor que 4. b) De bastos y mayores que 4. c) Figuras de oros o bastos. 6. En una baraja española, cuenta las cartas de los sucesos : a) Oros y sietes c) Siete de oros e) Oros o figuras

Probabilidad

7. Para un dado de seis caras {1,2,3,4,5,6}, escribe los sucesos: a) Par b) No par c) Par y mayor que 3 d) Par o mayor que 3 e) Par menos mayor que 3 f) El contrario de (par y mayor que 3) 8. Tenemos un dado con los números {1,1,1,2}. Si lo lanzamos 100 veces, alrededor de que cantidad de veces saldrá cada uno de los posibles resultados. 9. Tenemos un dado de diez caras numeradas como {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales?. 10. Tenemos una ruleta de 10 posiciones, 3 rojas, 4 verdes, 2 negras y una azul. ¿Cuál es la probabilidad de que al girarla se obtenga cada uno de los colores? 11. Si lanzamos dos monedas podremos obtener uno de estos 4 resultados {OO, XO, OX, XX}. Puedes escribir de esta forma los posibles para tres monedas. Y para 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras en cada uno de los experimentos?

b) Oros o sietes d) Figuras f) Oros y figuras

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NOMBRE:

12. Sabiendo que P(A)=0.5 , p(B)=0.7 y P(2)=0.3, calcula P(1), P(3), P(4), P(5), P(6), P(7) y P(8),

FECHA:

16. Si para la segunda extracción del ejercicio anterior no devolvemos la 1º bola, ¿Cuál es el valor de las probabilidades ahora? 17. Calcula las probabilidades de obtener 2 oros al extraer dos cartas de una baraja española en los casos de devolver y de no devolver la 1º carta a la baraja antes de extraer la 2ª. 18. Tenemos un dado de 10 caras de la forma {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2}, y dos urnas, una A={R,R,R,V,V} y otra B={R,V,V,V,V}. Lanzamos el dado, si sale 1 extraemos una bola de A, y si sale 2 de B. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una R? ¿Y una V?.

13. ¿Cuál es la probabilidad de obtener naranja, verde, azul o gris en cada una de las siguientes ruletas?

19. Tenemos una urna con bolas numeradas como se indica {1,1,2,2,2} y dos urnas I={R,V} y II={N,N,R,V}. Extraemos una bola para decidir de que urna escogemos otra. ¿Cuál es la probabilidad de obtener R ó N? 20. Realizado el experimento del ejercicio anterior, resultó ser V. ¿Cuál es la probabilidad de que fuera extraída de la urna A? ¿Y de la B? 21. Se lanza dos monedas. Si salen dos caras se tira el dado {1,1,1,2,2,2} y si y si no el dado {1,1,2,2,3,3}. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1? ¿Cuándo sale uno con que probabilidad salió también dos caras?

14. Tenemos un dado de 10 caras de esta forma{1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2}. Y dos urnas, una A={R, R, R, V, V} y B={R, V, V, V, V}. Lanzamos el dado, si sale 1 extraemos una bola de A, y si sale 2 de B. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una roja de A? ¿Y una roja de B? ¿Y una verde de A?. 15. En una bolsa hay las siguientes bolas {1,2,2,3,3}. Extraemos primero una bola y la devolvemos para extraer otra. Calcula la probabilidades siguientes: P(1,1), P(1,2), P(1,3).

Probabilidad

22. Diez amigos organizan un viaje y elige el destino uno de ellos por sorteo. Seis quieren ir a la costa y cuatro al interior. De los primeros, dos quieren ir al norte y cuatro al sur. De los de interior, la mitad prefieren el norte y la otra mitad el sur. a) Halla la probabilidad de ir a la costa del norte. b) ¿Cuál es la probabilidad de ir al norte? c) Si van al norte, ¿cuál es la probabilidad de que sea en la costa?

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