Cuadernillos 4ºESO B. Catalán by Red Educativa Digital Descartes

________________________________

INS __________________________

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Els nombres reals

Continguts 1. Nombres racionals i irracionals Decimals periòdics Fracció generatriu Nombres racionals Nombres irracionals Nombres reals 2. Calculant amb nombres reals Aproximacions Mesura d’errors Notació científica 3. La recta real Ordenació dels nombres reals Valor absolut Intervals

Objectius •

Classificar els nombres reals en racionals i irracionals.

•

Aproximar nombres amb decimals fins a un ordre donat.

•

Calcular la cota d’error d’una aproximació.

•

Representar en la recta nombres reals.

•

Expressar i representar intervals de nombres reals.

•

Utilitzar la calculadora per facilitar els càlculs.

Autor: José R. Galo Sánchez Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar

Els nombres reals

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Abans de començar cocomençarempez Observa l’animació que hi ha en aquesta pàgina i respon a les següents preguntes: a) Què s’està representant en l’animació?

b) Estan representades en la imatge de l’esquerra totes les xifres decimals que té el nombre pi? _____ c) Quina és o quina podria ser l’última xifra del nombre pi? __________________________ d) Quantes xifres té el nombre pi? _________ Si tens dificultats amb les operacions amb fraccions pots repassar clicant Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Nombres racionals i irracionals 1.a. Decimals periòdics •

Llegeix el text de la pantalla.

a) Quan trobem l’expressió decimal d’una fracció, quants tipus n’obtenim? _______ b) Quins són aquests tipus de decimals? ______________, ______________ i ____________ c) Per què quan dividim dos nombres sempre arriba el moment en que es repeteixen les xifres del quocient?______________________________________________________________ •

Amb l’ajuda de l’escena, troba l’expressió decimal de les següents fraccions: a)

b) Escriu diferents exemples de fraccions l’expressió decimal de les quals sigui: Exacta

Periòdica pura

Periòdica mixta

Clica en el botó

per fer uns exercicis.

Clica

Els nombres reals

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

1.b. Fracció generatriu •

Ara veurem com obtenir a partir d’una expressió decimal, exacta o periòdica, la seva fracció generatriu. Mira l’escena de l’esquerra i intenta trobar la fracció generatriu de tres expressions decimals de cada tipus: Exacta

Periòdica pura

Periòdica mixta

•

Es poden obtenir tres regles per a construir mecànicament una fracció generatriu per a cada tipus d’expressió decimal. Aquestes regles són les següents: Exacta Exemple:

Periòdica pura

Exemple:

Periòdica mixta

Exemple:

Clica en el botó

per fer uns exercicis. Insisteix fins que no facis cap error. Clica

per anar a la pàgina següent.

1.c. Nombres racionals i la seva representació gràfica •

Agafa regle i compàs i anem a representar fraccions (Nombres Racionals) en una recta. A cada fracció li correspondrà un punt de la recta. Fes els sis exemples que s’indiquen a continuació: Representació d’un decimal periòdic el valor del qual està entre 0 i 1.

Els nombres reals

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

Representació d’un decimal periòdic el valor del qual és més gran que 1.

Representació d’un decimal periòdic negatiu.

DATA:

7 3

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.d. Nombres irracionals. Representació gràfica (casos senzills) •

Agafa regle i compàs i seguint l’exemple de l’escena representa: Representació gràfica de

•

Per què

no és un nombre racional? ______________________________________

_________________________________________________________________________ •

Als nombres que no són racionals se’ls anomena: ________________

•

Llegeix i intenta entendre la demostració de perquè

Clica

Els nombres reals

no és un nombre racional. per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Nombres reals. •

Agafa regle i compàs i seguint l’exemple de l’escena representa: Representació gràfica de

Representació gràfica de

EXERCICIS 1.

Calcula la fracció generatriu de: a) 2,375 1000

b) 43,666...

c) 4,3666...

Els nombres reals

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Representa en la recta: a) 2/3

b) 19/4 =4 + 3/4

c) -23/5 = -5 + 2/5

Determina quin tipus de decimals són els següents:

92 73

57 22

27 36

17 :

Representa

Esbrina si els següents nombres són racionals o irracionals: -5 0

π/2 16

7/3 2,313131…. 15

1,01001000100001… -4/5 4,65

Clica

Els nombres reals

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

2. Calculant amb nombres reals 2.a. Aproximacions •

Llegeix el text de la pàgina i després fixa’t en la descripció que es fa en l’escena del que és una aproximació per defecte i per excés, i després la diferència entre truncar i arrodonir. a) En l’aproximació per defecte d’un nombre, l’aproximació és sempre _______ que el propi nombre. Per exemple: a. En aproximar per defecte 1,66666666… fins les deumil·lèsimes obtenim el nombre: __________________ b. En aproximar per defecte 3,1415926535… fins les mil·lèsimes obtenim el nombre: __________________ b) En l’aproximació per excés d’un nombre, l’aproximació és sempre _______ que el propi nombre. Per exemple: a. En aproximar per excés 1,66666666… fins les deumil·lèsimes tenim el nombre: __________________ b. En aproximar per excés 3,1415926535… fins les mil·lèsimes tenim el nombre: __________________ c) Quan trunquem un nombre sempre tenim una aproximació per _________. d) Quan arrodonim un nombre obtenim una aproximació per defecte si la xifra següent a la qual s’aproxima és ______________________ i una aproximació per excés si la xifra següent a la qual s’aproxima és __________________________. Clica en el botó

per fer els exercicis que se’t proposen.

El radi d’una circumferència és de 3,96 metres. Utilitzant el valor de π que dóna la calculadora, esbrina: 1. La longitud de la circumferència, truncant el resultat als centímetres.

2. La longitud de la circumferència, arrodonint el resultat als centímetres.

3. L’àrea del cercle, truncant el resultat als centímetres quadrats.

4. L’àrea del cercle, arrodonint el resultat als centímetres quadrats.

Clica

Els nombres reals

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

2.b. Mesura d’errors •

Llegeix el text que s’inclou a la part dreta de la pàgina i a) defineix que és l’error absolut que es comet en una aproximació:

b) defineix l’error relatiu que es comet en una aproximació:

c) quin és el percentatge d’error?

•

Fixa’t en l’escena i completa la taula pel nombre

266 974

Aproximació per defecte

Error absolut

Error relatiu

Aproximació per excés

Error absolut

Error relatiu

Error absolut

Error relatiu

Aproximació per excés

Error absolut

Error relatiu

1 xifra decimal 2 xifres decimals 3 xifres decimals 4 xifres decimals Fes el mateix amb el nombre

5 270

Aproximació per defecte 1 xifra decimal 2 xifres decimals 3 xifres decimals 4 xifres decimals Clica en el botó

per fer els exercicis que se’t proposen.

Copia l’enunciat i les dades de cada exercici: Exercici 1:

Els nombres reals

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Exercici 2:

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.c. Notació científica •

Llegeix detingudament l’explicació de l’escena interactiva i ves emplenant la taula següent: Notació usual Notació científica Diàmetre de la galàxia d’Andròmeda en anys-llum Distància a la Terra d’Andròmeda en anys-llum Velocitat de la llum en km/s Diàmetre d’Andròmeda en km Distància a la Terra d’Andròmeda en km Mida d’una puça en mm Mida de l’aresta d’un cristall de silici en mm Mida de l’escama de l’ala d’una papallona en mm Mida d’un bacteri del còlera en mm Mida d’un virus en mm Mida d’un àtom d’oxigen en mm

•

Per què convé utilitzar la notació científica quan treballem amb nombres molt petits o molt grans?

Clica en el botó

per fer els exercicis que se’t proposen.

Copia l’enunciat i les dades de cada exercici: Exercici 1:

Els nombres reals

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Exercici 2. Passar de forma científica a decimal. Realitza cinc exercicis d’aquest tipus: Científica

Decimal

Exercici 3. Passar de forma decimal a científica. Realitza cinc exercicis d’aquest tipus: Decimal

Científica

Exercici 4.

Exercici 5.

EXERCICIS 6.

El radi d’una circumferència és 3,96 m. Utilitzant la calculadora i el valor de π que dóna, calcula: a) La longitud de la circumferència truncant el resultat a cm.

b) La longitud de la circumferència arrodonint el resultat a cm. c) L’àrea del cercle truncant a cm2 d) L’àrea del cercle arrodonint a cm2

Els nombres reals

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Els radars de tràfic mesuren la velocitat dels cotxes en carrers i carreteres. La legislació vigent té en compte que en tota mesura es cometen errors, per això dóna un marge d’error del 10% (o un error relatiu de 0,10). Tenint en compte aquest fet, calcula la velocitat màxima a la que pot anar un cotxe sense infringir la llei en els casos: a) Autopista amb límit de velocitat de 120 km/h b) Carretera amb límit de velocitat de 90 km/h c) Via urbana amb límit de velocitat de 50 km/h

Escriu en notació científica o en notació decimal respectivament: a) 0,000000002145 = b) 1523000000000 =

b) 3,589·109 = d) 5,267·10-5=

Clica

per anar a la pàgina següent.

3. La recta real 3.a. Ordenació dels nombres reals Llegeix el text de la pàgina i de l’escena i des d’aquesta accedeix al vídeo que ens relata la cursa en la determinació de les xifres del nombre pi. •

Quin sentit té aquesta cursa?

•

Té alguna aplicació pràctica conèixer cent milions de xifres de pi?

•

I un googol de xifres de pi?

•

Cada punt en la recta real es correspon amb un ________________

•

Cada nombre real és representable com un punt en _____________________

•

Donats dos nombres reals, a i b, direm que a és menor que b, a ___ b, si en representar-los a està a _________________ de b.

•

a és menor que b si la diferència ___________ és ______________.

•

Els nombres a la dreta del zero són els __________ i els de l’esquerra són els __________.

Clica en el botó

per fer els exercicis que es proposen.

Llegeix en primer lloc les indicacions que et facilitaran la resolució dels exercicis Exercici 1: Comparar nombres racionals. Realitza cinc exercicis d’aquest tipus.

Els nombres reals

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Exercici 2: Comparar radicals. Realitza cinc exercicis d’aquest tipus.

Exercici 3: Comparar nombres en notació científica. Realitza cinc exercicis d’aquest tipus.

Exercici 4: Ordenar de menor a major. Realitza cinc exercicis d’aquest tipus.

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. Distàncies entre nombres. Valor absolut. •

Llegeix el text d’aquesta pàgina i les diferents pantalles de l’escena. Respon les següents preguntes: a) Què anomenem valor absolut d’un nombre? b) Com es representa el valor absolut del nombre a? c) La distància al zero del punt que en la recta real representa al nombre a és: d) Donats dos nombres a i b, la distància entre els punts que els representen és: e) Quina és la desigualtat triangular en el valor absolut? f) Quan | a + b |= | a | + | b | ? g) A què és igual el valor absolut del producte de dos nombres? ¿I el valor absolut del quocient?

Clica en el botó

per fer els exercicis que se’t proposen.

Exercici 1. De tres dels exemples que et proposi l’escena, escriu i calcula: a b |a| |b|

d(a, b)

Exercici 2. De tres dels exemples que et proposi l’escena, escriu i calcula: a

|a+b|

|a-b|

Clica

Els nombres reals

|a⋅b |

a b

per anar a la pàgina següent.

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

3.c. Intervals •

Llegeix el text d’aquesta pàgina i les diferents pantalles de l’escena. Respon les següents preguntes: a) A què anomenem interval d’extrems a i b? __________________________________ __________________________________________________________________ b) Escriu matemàticament la definició dels diferents tipus d’intervals: Interval Exemple Representació gràfica

[a, b] = (a, b ) = [a, b) = (a, b] = (− ∞, b] = [a,+∞ ) =

c) Què és un entorn simètric de centre c i radi r?. Escriu-ho matemàticament, posa un exemple i representa’l.

d) Què és la longitud d’un interval? Posa diferents exemples.

Clica en el botó

per fer els exercicis que se’t proposen.

Repeteix-los tants cops com sigui necessari, fins que no t’equivoquis.

EXERCICIS 9.

Ordenar de menor a major:

a) 5,97509 ⋅ 10 8 b) 6,10314 ⋅ 10 − 6 c) 10.

−8243924 5560

5952091 4605

30694

f ) − 6320

El radi d’una circumferència és de 4 m. Calcula la seva longitud a) Truncant el resultat primer a cm i després a m. b) Arrodonint el resultat primer a cm i després a m.

11.

Calcula el valor absolut dels nombres a=-3 i b=5, i la distància entre ells.

12.

Calcula |a+b| |a-b| |a·b| i |a/b|

13.

Indica quins punts pertanyen a l’interval en cada cas: a) Interval (-74,-52]. Punts: a) –53

b) –74

c) 11

b) Interval (-∞,75]. Punts:

b) 75

c) 76

a) 32

Clica

Els nombres reals

per anar a la pàgina següent.

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Els nombres reals estan compostos pels ___________ i pels __________. Els nombre racionals es poden escriure sempre como una __________ i la seva expressió decimal és _______________________. L’expressió decimal d’un nombre irracional és _____________________________. Un nombre irracional no pot escriure’s como una ___________. Què diferencia una aproximació per defecte d’una per excés? ________________________ ________________________________________________________________________. Què és arrodonir? ________________________________________________________. Què és truncar? __________________________________________________________. L’error absolut comés en una aproximació és: _______________________________. L’error relatiu és: _________________________________________________________. La notació científica s’utilitza per representar nombres _______________ i ____________. Amb aquesta notació s’observa ràpidament l’ordre de __________ del nombre representat. Per a que un nombre estigui en notació científica ha _________________________________ ________________________________________________________________________. El valor absolut d’un nombre ens dóna la distància del punt que representa aquest nombre en la recta real al _____. La distància entre dos nombres a i b ve donada pel valor absolut de ___________. Un interval obert d’extrems a i b és _______________________________________. S’escriu com ___________ i gràficament es representa:

Un interval tancat d’extrems a i b és ______________________________________. S’escriu com ___________ i gràficament es representa:

Un interval semiobert a l’esquerra d’extrems a i b és ________________________ _________________________. S’escriu com ___________ i gràficament es representa:

Clica

Els nombres reals

per anar a la pàgina següent.

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Per practicar Ara anem a practicar resolent diferents exercicis. En les següents pàgines trobaràs exercicis de Operacions amb nombres racionals Tipus d’aproximacions Càlculs aproximats Intervals Procura fer-ne al menys un de cada classe i un cop resolt, comprova la solució. Completa l’enunciat amb les dades que apareixen en cada exercici de la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si l’has fet bé. Clica

per anar a la pàgina següent.

Clica

per anar a la pàgina següent.

Operacions amb nombres racionals 1. Calcula el valor exacte de A+B i de B+C.

A= ________ B= ________ C= ________

2. Calcula el valor exacte de A-B, C-A i B-C.

A= ________ B= ________ C= ________

3. Calcula el valor exacte de A·B, A·C i B·C.

A= ________ B= ________ C= ________

4. Calcula el valor exacte de A/B, de C/A i de B/C.

A= ________ B= ________ C= ________

Els nombres reals

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Tipus de aproximacions 5. Aproximar radicals. Considerant com a exacte el valor

_______

=__________ . Escriu les aproximacions

per defecte, per excés i els arrodoniments de primer, segon, tercer, quart i cinquè ordres.

6. Mesures aproximades. La cinta mètrica que apareix té

divisions fins a mig centímetre. La utilitzem per a mesurar una vareta i obtenim el valor: ____________. Entre quins valors exactes es troba la longitud real, suposant que aquest valor és: a) per defecte, b) per excés, c) arrodoniment a cm? 7. Poblacions aproximades. Ens diuen que la població

d’aquesta ciutat és de _____________ habitants i que les 4 primeres xifres d’aquesta quantitat són significatives. Entre quins valors es troba realment la població de la ciutat? Càlculs aproximats 8. Suma

i producte. Els valors X=_________ i Y=___________ són aproximacions per defecte de dos nombres reals desconeguts A i B. Esbrina entre quins valors exactes es troben A+B i A·B i amb quina precisió poden donar-se els resultats.

9. Calcular longitud. Amb motiu d’unes obres es vol

envoltar la font de la imatge amb una tela metàl·lica protectora. Utilitzant un flexòmetre graduat en mil·límetres, s’obté la longitud del diàmetre de la font que és: ____________. Calcula la longitud de la tela metàl·lica utilitzant el nombre pi amb la quantitat de xifres decimals adequada.

10. Calcular superfície. Copia l’enunciat i resol.

Clica Els nombres reals

per anar a la pàgina següent. -

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Intervals Copia els intervals i realitza cinc exercicis de cada tipus. 11. Del tipus: intersecció

a) b) c) d) e)

12. Del tipus: unió

a) b) c) d) e)

13. Del tipus: diferència

a) b) c) d) e)

14. Del tipus: -A

a) b) c) d) e)

Clica

Els nombres reals

per anar a la pàgina següent.

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Escriu la fracció generatriu del nombre ______.

La milla anglesa fa 1609,34 m, arrodoneix a km ______ milles

___________________________________ ___________________________________

Calcula l’error absolut i el relatiu (en %) que es comet quan aproximem _________ per ________.

Amb la calculadora escriu un arrodoniment i un truncament a les mil·lèsimes de ________.

El nombre _________ és una aproximació de x amb una cota d’error absolut de ___________, entre quins valors està el nombre exacte x?

Calcula amb tres xifres significatives el nombre de molècules d’un gas que, en condicions normals, caben en una pilota de ________ de radi.

Escriu l’interval prèviament.

figura

dibuixant-lo

Escriu l’interval format pels nombres x que compleixen ______________

__________________________________ __________________________________

Els nombres reals

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 1

NOM:

DATA:

Per practicar més 1. Donats els nombres:

A=2,7

B=3,292929... i C=0,01030303...

Calcula els valors exactes de A+B, C-A i A·C. (Has de calcular les fraccions generatrius de A, B i C i operar). 2. Considerant

7,4833147735.... com a valor exacte de 56 , escriu les aproximacions per defecte, per excés i arrodoniments de primer i segon ordres (dècimes i centèsimes, respectivament).

3. La cinta mètrica que apareix a sota té

5. Els valors X=6,235 i Y=92,88 són dues

aproximacions per defecte de dos nombres reals desconeguts A i B. Esbrina entre quins valors exactes se troben A+B i A·B i amb quina precisió poden donar-se els resultats. 6. Amb motiu d’unes obres es vol envoltar la

font de la imatge amb una tela metàl·lica protectora. Utilitzant un flexòmetre graduat en mm, s’obté la longitud del diàmetre que s’indica. Calcula la longitud de la tela metàl·lica usant el nombre pi amb la quantitat de decimals adequada.

unes divisions fins a mig cm. La utilitzem per mesurar una vareta i obtenim el valor que s’hi mostra. Entre quins valors exactes es troba la longitud real, suposant que aquest valor és: a) per defecte, b) per excés, i c) arrodoniment a cm?

Les aproximacions es poden utilitzar també amb nombres enters. Per a generalitzar aquesta idea utilitzarem el concepte de xifres significatives: “Si un nombre N és un valor aproximat d’un altre nombre P, direm que N té n xifres significatives si les primeres n xifres de N coincideixen amb les n primeres xifres de P. (No es consideren xifres significatives els zeros, la única finalitat dels quals és situar la coma decimal)”. La definició anterior és bastant intuïtiva però no sempre és correcta del tot, per això precisem una mica més: “Direm que N té n xifres significatives si el nombre format amb les n primeres xifres de N difereix del nombre format amb les n primeres xifres de P (eliminant les comes decimals si n’hi hagués) en menys de 0,5”. 4. Ens diuen que la població d’una ciutat és

de 1579000 habitants i que les 4 primeres xifres d’aquesta quantitat són significatives. Entre quins valors es troba realment la seva població?

Els nombres reals

7. La distància mitjana de Júpiter al Sol és

de 7,7833·108 km. Totes les xifres són significatives i suposem que l’òrbita del planeta al voltant del Sol és circular. Calcula: a) La cota d’error en km; b) L’àrea del cercle que descriu el planeta. Donats dos subconjunts, A i B, d’un cert conjunt de referència, E, la seva intersecció, A∩B, és el conjunt d’elements comuns a ambdós; la seva unió, AUB, és el conjunt format per tots els elements de A i tots els de B; la seva diferència, A-B, és el conjunt format per tots els elements de A que no pertanyen a B. El complementari de A, -A, és el conjunt format per tots els elements del conjunt de referència que no pertanyen a A. 8. Determina els conjunts A∩B, AUB, A-B i el

complementari (-A) en els casos: 1.

A = [-11,-9] B = (-1,6)

A = [-5,5]

A = [-2,7] B = (-2,6)

B = (3,4)

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Potències i radicals Continguts 1. Radicals Potències d’exponent fraccionari Radicals equivalents Introduir i extreure factors Càlcul d’arrels Reduir a índex comú Radicals 2. Propietats Arrel d’un producte Arrel d’un quocient Arrel d’una potència Arrel d’una arrel 3. Simplificació Racionalització Simplificar un radical 4. Operacions amb radicals Suma i resta Multiplicació de radicals Divisió de radicals

Objectius • • • • • • •

Calcular i operar amb potències d’exponent enter. Reconèixer les partes d’un radical i el seu significat. Obtenir radicals equivalents a un de donat. Expressar un radical com a potència d’exponent fraccionari i viceversa. Operar amb radicals. Racionalitzar expressions amb radicals al denominador. Utilitzar la calculadora per operar amb potències i radicals.

Autor: José R. Galo Sánchez Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar

Potències i radicals

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Abans de començar empezar Cal que repassem les propietats de les potències. En l’escena pots fer aquest repàs i veure molts exemples de cada propietat. Completa la taula següent: Propietat (completa l’expressió donada)

an ⋅ am

an am

 an     

an ⋅ bn

(

Exemple 3

a a

Exemple 2

Exemple 1

)n )n

Fes diferents exercicis de potències d’exponent enter clicant el botó

Escriu quinze enunciats i els seus resultats a la taula següent:

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

1. Radicals 1.a. Definició. Exponent fraccionari •

Llegeix el text de la pantalla.

a) Què és una arrel d’índex n? _________________________________________________ b) Què és una potència d’exponent un nombre racional o fraccionari? Posa dos exemples:

Fes diferents exercicis de potències d’exponent fraccionari clicant el botó

Escriu quinze enunciats i els seus resultats a la taula següent:

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.b. Radicals equivalents •

Llegeix el text d’aquesta pàgina i mira diferents exemples a l’escena interactiva. a) Quan dos radicals són equivalents?

Posa dos exemples de radicals que siguin equivalents entre sí:

b) De quantes maneres es pot escriure un mateix radical?

c) Quan diem que un radical és irreductible? Posa dos exemples de radicals irreductibles. Fes diferents exercicis de radicals equivalents clicant el botó: Potències i radicals

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Escriu quinze enunciats i els seus resultats a la taula següent:

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.c. Introduir i extreure factors •

Llegeix el text d’aquesta pàgina i mira diferents exemples a l’escena interactiva.

Fes uns quants exercicis d’introduir i d’extreure factors d’un radical clicant el botó: Escriu dotze enunciats i els seus resultats a la taula següent:

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

1.d. Càlcul d’arrels •

Llegeix el text d’aquesta pàgina i mira diferents exemples a l’escena interactiva. Fes diferents exercicis de càlcul d’arrels clicant el botó: Escriu deu enunciats i els seus resultats a la taula següent:

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

1.e. Reducció a índex comú. •

Llegeix el text d’aquesta pàgina i mira diferents exemples a l’escena interactiva. Fes diferents exercicis de reduir a índex comú clicant el botó: Escriu nou enunciats i els seus resultats a la taula següent:

Clica

1.f. •

per anar a la pàgina següent.

Radicals semblants.

Llegeix el text d’aquesta pàgina i mira diferents exemples a l’escena interactiva. a) Quan dos radicals són semblants? Posa dos exemples.

b) Dos radicals semblants, poden tenir diferent aparença? ________. Per comprovar si dos radicals són semblants s’han de _____________.

Fes diferents exercicis de radicals semblants clicant el botó: Escriu nou enunciats i els seus resultats a la taula següent:

Potències i radicals

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

EXERCICIS 1.

Escriu els següents radicals com a potència d’exponent fraccionari: a) 5 3 = b)

X3 =

Escriu les següents potències com a radicals: 1

a) 72 = 2

b) 53 = 3.

Escriu un radical equivalent, amplificant el donat: a)

x4 =

Escriu un radical equivalent, simplificant el donat: a)

49 = x28 =

Introdueix els factors dins del radical: a) 2·4 3 = 7

b) x 2 x 3 = 6.

Extreu els factors del radical: a) b)

128 =

x30 =

Potències i radicals

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

7. Calcula les següents arrels: a)

1024 =

x84 =

8. Redueix a índex comú

3; 3 5

a) b)

x3 ; 6 x5

9. Indica quins radicals són semblants a)

3;54 3

x; 3 x

Clica

per anar a la pàgina següent.

2. Propietats 2.a. Arrel d’un producte •

Llegeix el text de la pàgina. a) L’arrel n-èsima d’un producte és igual al ______________________________. b) Escriu matemàticament la propietat anterior:

c) Escriu la demostració de la propietat anterior: •

Mira alguns exemples d’aplicació d’aquesta propietat a l’escena interactiva de l’esquerra. Fes nou exercicis clicant el botó i escriu-los aquí:

Clica Potències i radicals

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

2.b. Arrel d’un quocient •

Llegeix el text de la pàgina. a) L’arrel n-èsima d’un quocient és igual al ______________________________. b) Escriu matemàticament la propietat anterior:

c) Escriu la demostració de la propietat anterior: •

Mira alguns exemples d’aplicació d’aquesta propietat a l’escena interactiva de l’esquerra. Fes nou exercicis clicant el botó i escriu-los aquí:

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.c. Arrel d’una potència •

Llegeix el text de la pàgina. a) La arrel n-èsima d’una potència és igual a ______________________________. b) Escriu matemàticament la propietat anterior:

c) Escriu la demostració de la propietat anterior:

•

Mira alguns exemples d’aplicació d’aquesta propietat a l’escena interactiva de l’esquerra. Fes nou exercicis clicant el botó i escriu-los aquí:

Potències i radicals

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.d. Arrel d’una arrel •

Llegeix el text de la pàgina. a) La arrel n-èsima d’una arrel m-èsima és igual a ______________________________. b) Escriu matemàticament la propietat anterior:

c) Escriu la demostració de la propietat anterior:

•

Mira alguns exemples d’aplicació d’aquesta propietat a l’escena interactiva de l’esquerra. Fes nou exercicis clicant el botó i escriu-los aquí:

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

3. Simplificació 3.a. Racionalització • •

Llegeix el text de la pàgina i observa els diferents exercicis de l’escena. Què és racionalitzar?

•

Si al denominador tenim un radical, com podem racionalitzar aquesta expressió? Posa dos exemples.

•

Si al denominador tenim una suma o diferència d’arrels quadrades, com podem racionalitzar aquesta expressió? Posa dos exemples.

•

Què entenem quan diem expressió conjugada d’un binomi?

•

Si al denominador tenim una suma o una diferència d’arrels que no són quadrades. Podem racionalitzar amb l’expressió conjugada? Per què?

Fes vuit exercicis clicant el botó

Potències i radicals

i escriu-los a la taula següent:

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. Simplificar un radical • •

Llegeix el text d’aquesta pàgina i observa diferents exemples a l’escena. Quan diem que un radical està simplificat?

Fes vuit exercicis clicant el botó

Potències i radicals

i escriu-los a la taula següent:

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

EXERCICIS 10.

11.

12.

Escriu amb una sola arrel: a)

3 =

X4 x =

Escriu amb una sola arrel: a)

3·4 27 =

x·5 x2 =

Escriu amb una sola arrel: 3

b) 13.

1 5

5·3 4

Racionalitza: a) b)

15.

Racionalitza. a)

14.

1 7

x4 1

x2 7 x3

Racionalitza: a)

b) c)

1 3− 2 2 5 +2 1 3− x

= =

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

4. Operacions 4.a. Suma i resta •

Llegeix el text de la pàgina i observa diferents exercicis a l’escena. a) Quan es pot expressar de manera simplificada la suma o la diferència de radicals?

b) Com es simplifiquen dos sumands que són radicals semblants?

c) Quina propietat apliquem en la regla anterior?

Fes vuit exercicis clicant el botó

i escriu-los a la taula següent:

Clica Potències i radicals

per anar a la pàgina següent. -

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

4.b. Multiplicació de radicals •

Llegeix el text de la pàgina i observa diferents exercicis de l’escena amb radicals amb el mateix índex i amb diferent índex.

Fes vuit exercicis clicant el botó

i escriu-los a la taula següent:

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

4.c. Divisió de radicals •

Llegeix el text de la pàgina i observa diferents exercicis de l’escena amb radicals amb el mateix índex i amb diferent índex.

Fes vuit exercicis clicant el botó

i escriu-los a la taula següent:

Clica Potències i radicals

per anar a la pàgina següent. -

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

EXERCICIS 16.

Calcular:

40 + 90 =

b) 2 32 − 8 = c)

4 + 6 16 =

1 +5 8= 2

d) 2 17.

18.

Calcular i simplificar: a)

3·5 27 =

x·9 x2 =

x3 x· x =

2· 2·4 8 =

Calcular i simplificar: 3

b) 19.

Calcular i simplificar: a)

X4 x

20.

Calcular i simplificar:

2·3 4

4 5

2 2·3 4 8

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM •

Descriu què és l’arrel n-èsima d’un nombre amb paraules i amb notació matemàtica. Posa dos exemples.

•

Una arrel és una potència d’exponent ______________, on el denominador és ___________________ i el numerador és ______________. Escriu-ho matemàticament. Posa dos exemples.

•

Si l’índex i l’exponent d’una arrel es multiplica per un mateix nombre s’obté un radical ___________. Posa dos exemples.

•

Donats dos radicals qualssevol, és possible escriure’ls sempre amb un índex comú? Posa dos exemples.

•

Què són radicals semblants? Posa dos exemples.

•

Significa el mateix radicals equivalents i radicals semblants? Posa dos exemples.

•

Per poder multiplicar o dividir dos radicals és necessari que tinguin el mateix ______. Si no el tenen inicialment, s’ha de _________________________. Posa dos exemples.

•

Per poder escriure de forma simplificada la suma o la diferència de dos radicals és necessari que aquests siguin radicals __________________. Posa dos exemples.

•

Racionalitzar és un procediment que pretén que en el denominador d’una fracció no hi hagi _______. Posa dos exemples.

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Per practicar Ara anem a practicar resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de Radicals Operacions amb radicals Procura fer-ne al menys un de cada classe i un cop resolt comprova la solució. Completa l’enunciat amb les dades que apareixen en cada EXERCICI de la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. Clica

per anar a la pàgina següent.

Radicals L’escena et proposarà una sèrie d’exercicis. Copia l’enunciat en el requadre de l’esquerra i després efectua el càlcul demanat en el requadre de la dreta. Practica tot el que calgui fins que tinguis desimboltura en les respostes, les quals pots comprovar a l’escena. Com a mínim fes deu exercicis.

Potències i radicals

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Clica

per anar a la pàgina següent.

Operacions amb radicals Aquesta escena també et proposarà una sèrie d’exercicis. Copia l’enunciat en el requadre de l’esquerra i després efectua el càlcul demanat en el requadre de la dreta. Practica tot el que calgui, fins que et trobis segur en les respostes, les quals pots comprovar a l’escena. Fes al menys deu exercicis.

Potències i radicals

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Clica

Potències i radicals

per anar a la pàgina següent.

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i el resols, després, introdueix el resultat per comprovar si la solució és la correcta. Calcula la següent arrel:

Escriu en forma d’exponent fraccionari:

Calcula:

Introdueix el factor en el radical:

Calcula, simplifica i escriu com a un sol radical:

Extreu factors del radical:

Racionalitza:

Calcula i simplifica:

Calcula i simplifica

Potències i radicals

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 2

NOM:

DATA:

Per practicar més 1. Escriu com fraccionari:

d’exponent

8. Multiplica els següents radicals: a)

potència b)

3· 6

b) 5· 2·3· 5

12·3 9

2ab·4 8a3

f) 4 2x2y3 ·6 5x2

x·3 2x2

2. Escriu en forma de radical: a) 3 c) x

1 2

b) 5

1 5

9. Multiplica els següents radicals:

3 2

d) x

5 3

25 x6

c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2

d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )

16·x8

10. Divideix els següents radicals:

4. Extreu tots els factors possibles dels següents radicals: a)

9a3

98a3b5c7

b) 2· a

a) c)

5; 4 3

3; 8 7; 2

7. Efectua les indicades:

comú 3

45 − 125 − 20

75 − 147 + 675 − 12 175 + 63 − 2 28

20 +

1 45 + 2 125 3

Potències i radicals

els

9x 3x

5 3xy

8a3b

4a2

24 2

x2 4 x3

x3 3 x2 x

23 2 2

12. Racionalitza.

3; 6 32 ; 3 5

índex

4; 4 3; 2

operacions

75x2y3

11. Calcula:

c) 3a· 2a2 d) ab2 3 a2b 6. Redueix al mínim següents radicals:

5. Introdueix dins del radical tots els factors possibles que es trobin fora: a) 3· 5

)

2− 3· 2

b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3

3. Simplifica els següents radicals: a)

(

a) radicals

7 2a 2ax

1 3 1 5

13. Racionalitza. a)

2 3 −1

5 4-

3+ 5 3− 5 2 2 +1

23 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

Polinomis

Continguts 1. Polinomis Grau. Expressió en coeficients Valor numèric d’un polinomi 2. Operacions amb polinomis Suma, diferència, producte Divisió. 3. Identitats notables (a+b)2 (a-b)2 (a+b)·(a-b) Potència d’un binomi 4. Divisió per x-a Regla de Ruffini Teorema del residu 5. Descomposició factorial Factor comú xn Arrels d’un polinomi

Objectius •

Trobar l’expressió en coeficients d’un polinomi i fer-ne operacions.

•

Calcular el valor numèric d’un polinomi.

•

Reconèixer algunes identitats notables, el quadrat i el cub d’un binomi.

•

Regla de Ruffini i Teorema del Residu.

•

Trobar la descomposició factorial d’alguns polinomis.

Autor: José Fernández Gómez Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar

Polinomis

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

Abans de començar Fes clic sobre l’escena de MÀGIA AMB POLINOMIS (no sobre l’explicació, ni sobre les teves dots de màgia) Ara hauries d’estar veient 32 figures de diferents colors.

L’escena et demana que memoritzis una figura. Escriu-la a la dreta (i no ho diguis a ningú) → Després de fer clic sobre el botó PRINCIPI, hi ha la teva figura en aquest grup? Escriu a la dreta (SÍ o NO). → I en aquest grup (SÍ o NO). Escriu a la dreta.

→

I en aquest grup (SÍ o NO). Escriu a la dreta.

→

I en aquest grup (SÍ o NO). Escriu a la dreta.

→

I en aquest grup (SÍ o NO). Escriu a la dreta.

→

Ha encertat la figura l’ordinador? Quina figura creu l’ordinador que vas memoritzar?. Escriu-la a la dreta. → Segur que tens ganes de fer clic a l’apartat corresponent a l’EXPLICACIÓ. Però no ho facis abans d’emplenar el quadre següent: Amb quantes figures diferents treballa l’escena? Se’t demana a l’escena algun cop que diguis el color o la forma de la figura que has memoritzat? O simplement que contestis SÍ o NO a si està en un grup determinat de figures? Quants cops has contestat SÍ o NO? Quant val 25? Ara sí és el moment de veure l’EXPLICACIÓ fent clic sobre l’escena a l’apartat corresponent. Anem a jugar amb un company. L’escena li demana que memoritzi una figura. Lògicament no l’escriurem perquè és un secret. → Fem clic a PRINCIPI i escrivim SÍ o NO. Lo que ens digui el company. → I en aquest grup (SÍ o NO). Escriu a la dreta.

→

I en aquest grup (SÍ o NO). Escriu a la dreta.

→

I en aquest grup (SÍ o NO). Escriu a la dreta.

→

I en aquest grup (SÍ o NO). Escriu a la dreta.

→

Tenim els nostres 5 SÍs o NOs. Escriu al costat el polinomi amb el qual hem de treballar. → Substituïm 2 en aquest polinomi, i el valor de la figura seria? Escriu a la dreta. Polinomis

→ -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

Clica el botó

NOM:

DATA:

que apareix en la pantalla sota el títol Sistema Binari.

Visualitza el vídeo. Escolta i contesta: En el vídeo apareix un nombre descompost en varis sumands. NOMBRE=

SUMANDS= Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Polinomis 1.a. Grau. Expressió en coeficients Llegeix el text de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: Quin és el grau del polinomi x3+2x-1? Quants coeficients té un polinomi de grau 4? Escriu a la dreta el polinomi associat als coeficients: 2 0 -3 1

RESPOSTES

Fes diferents exemples a l’escena fins entendre els conceptes de grau, expressió en coeficients i expressió polinòmica d’un polinomi. Fes clic en el botó

per fer l’exercici proposat.

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.b. Valor numèric d’un polinomi Llegeix en pantalla detingudament les instruccions per utilitzar l’escena. Practica primer a l’escena amb diferents exemples de la sèrie 1. Anem ara a la sèrie 2. EXERCICI 1: Completa la següent taula escrivint a l’esquerra els teus resultats de (ATENCIÓ) l’exercici 5 de la sèrie 2 i a la dreta (de forma resumida) les instruccions. Resultats

Instruccions

Quan acabis, has de resoldre els exercicis proposats a la pàgina següent i passar al següent apartat.

Polinomis

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

EXERCICIS 1.

Troba l’expressió en coeficients dels polinomis P(x)=5x2+2x+1; Q(x)=x3-3x; R(x)=0,5x2 –4

2. 3.

Escriu les expressions polinòmiques dels polinomis l’expressió en coeficients dels quals és: P(x) 2 1 3 -1; Q(x) 1 3 0 0; R(x) 3/4 -1 0 2 Completa la taula: EXPRESSIÓ POLINÒMICA

EXPRESSIÓ EN COEFICIENTS

GRAU

-2x3+x5-3x2 x2/3-1 -2

π 0 0

-2 1,3 0 -1/7 3- 2 x2 Aquests polinomis són polinomis en una variable, x, amb coeficients en el cos dels nombres reals. El conjunt d’aquests polinomis es designa per lR[x].

Troba el valor numèric en 1, 0 i –2 dels polinomis de l’exercici anterior. POLINOMI 5

x -2x -3x

Valor en 1

Valor en 0

Valor en -2

x2/3-1 - 2x3+π x2 -2x3+1,3x2-1/7 - 2 x2+3

2. Operacions amb polinomis 2.a. Suma, diferència i producte Observa amb atenció l’escena que es mostra. No és necessari que contestis per escrit però, pots triar a l’escena els polinomis amb els quals es faran les operacions? Pots triar l’operació suma, resta o producte? EXERCICI 1: Completa la taula següent amb 6 exercicis diferents dels que apareixen a l’escena. Col·loca a la segona columna el signe de l’operació (+, -, x). Escriu, si és possible, dos exercicis de cada operació. Primer polinomi Op. Segon polinomi Resultat

Clica el botó

en la part inferior dreta, per fer els exercicis.

Comprovaràs que s’obre una escena en la qual pots practicar operacions amb polinomis. La idea és que practiquis tan com vulguis però completa la taula següent amb 5 exemples que hagis resolt CORRECTAMENT. Polinomis

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

EXERCICI 2: P(X)

DATA:

Op.

Q(x)

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Resultat

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.b. Divisió En aquest cas, es presenta una escena amb tres nivells. Practica amb l’escena, en cada un dels nivells, fins que tinguis clars els conceptes. EXERCICI 1: Completa la taula següent amb les paraules dividend, divisor, quocient i residu:

Fórmula que els relaciona:

EXERCICI 2: Contesta. Si dividim un polinomi en el qual el monomi de major grau és 6x4 entre un altre amb monomi de major grau 2x2, el quocient tindrà monomi de major grau________ Si dividim un polinomi en el qual el monomi de major grau és x4 entre un altre amb monomi de major grau 3x, el quocient tindrà monomi de major grau________ El residu de la divisió de dos polinomis pot ser zero? _______Què afirmarem en aquest cas del dividend? I del divisor? _____________________________________________ EXERCICI 3: Completa un cop més la taula, amb un exemple concret del nivell 2 (atenció al nivell), escrivint en el seu lloc P(x), Q(x), quocient i residu.

Fórmula que els relaciona:

Malgrat no ho escriguis en aquest quadernet, practica amb l’escena.

Polinomis

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

Clica en el botó

DATA:

per fer uns exercicis i escriu les teves operacions en els

quadres següents. Es tracta de realitzar dues divisions de principi a fi. Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes. 1a Divisió completa

2a Divisió completa

Quan acabis, pots passar al següent apartat.

Clica

per anar a la pàgina següent.

EXERCICIS 5.

Troba P(x)+Q(x) i 2·P(x)-Q(x) P(x)=x4+x3+3x

Q(x)=2x3+x2-4x+5

Quin és el grau del quocient si dividim un polinomi de grau 5 entre un altre de grau 2?

Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 per Q(x)= x3+3x2+5x-2

Donats els polinomis P(x i Q(x), fes la divisió P(x):Q(x) a. P(x)= 2x3+4x2+7x+3 ; Q(x)= 2x2+x+3 b. P(x)= 7x2-2x+5 ; Q(x)= 8x+7

3. Identitats notables 3.a. (a+b)2 Quadrat d’una suma EXERCICI 1: Has observat l’escena amb deteniment? Segur que sí. Primer, fixa els valors a=4 i b=5 a l’escena i després contesta la següent bateria de preguntes: Quants quadradets conté el quadrat blau?_________ Quants quadradets conté el quadrat vermell?_________ Quin és el valor de a+b?_________ Quants quadradets conté cada un dels quadrats grisos?_________ Com relacionaries 81 amb els valores anteriors?___________________________________ Com podríem expressar (4+5)2?_______________________________________________ Polinomis

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

Escriu en el requadre següent la fórmula que mai oblidaràs:

Clica en el botó

per fer els exercicis corresponents al quadrat d’una suma

i escriu les teves operacions en els dos quadres següents. L’escena conté 11 sèries. Hauràs d’escriure la quarta i una altra que tu t’inventis.

1a suma al quadrat

2a suma al quadrat (inventada)

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. (a-b)2 Quadrat d’una diferència EXERCICI 1:Observa l’escena amb deteniment però aquesta vegada ens centrarem en el vídeo de la dreta. 2 Visualitza’l i en el següent requadre realitza els teus càlculs per obtenir el valor de (a-b)

(a-b)2=(a-b)·(a-b)=

Escriu en el següent requadre la fórmula que mai oblidaràs:

Polinomis

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

Clica en el botó

DATA:

per fer els exercicis corresponents al quadrat d’una diferència

i escriu les teves operacions en els dos quadres següents. L’escena conté 11 sèries. Hauràs d’escriure la quarta i una altra que tu t’inventis. 1a diferència al quadrat

2a diferència al quadrat (inventada)

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.c. (a+b)·(a-b) Suma per diferència EXERCICI 1: Has observat l’escena amb deteniment? Segur que sí. Primer, fixa els valors a=9 i b=3 en l’escena i a continuació clica el botó d’inici de l’animació. Contesta ara a les següents preguntes: Quants quadradets conté el quadrat vermell?_________ Quants quadradets conté el quadrat blau?_________ Quin és el valor de a+b?_________ Quin és el valor de a-b?_________ Quants quadradets conté el rectangle de base a+b i altura a-b?_________ Escriu en el següent requadre la fórmula que mai oblidaràs:

Clica en el botó

per fer els exercicis corresponents a la suma per diferència

i escriu les teves operacions en els dos quadres següents. L’escena conté 11 sèries. Hauràs d’escriure la sisena i una altra que tu t’inventis. 1a suma per diferència

Quan acabis pots passar al següent apartat. Polinomis

2a suma per diferència (inventada)

Clica

per anar a la pàgina següent. -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

3.d. Potència d’un binomi. Triangle de Pascal EXERCICI 1: Observa l’escena amb deteniment sense oblidar el vídeo Visualitza’l i en el següent requadre construeix el Triangle de Pascal.

de la dreta.

EXERCICI 2: Ves fixant a l’escena de l’esquerra els valors de a i b que figuren a la primera columna. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Vol. cub vermell

Vol. verd

Vol. taronja

Vol. cub blau

a=2 i b=4 a=4 i b=2 a=2 i b=2 a=2 i b=8

Clica en el botó

per fer uns exercicis variats.

Hauràs de fer 7 sèries amb un exercici en cada una. Resol-los fixant-te en les propietats.

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Polinomis

Clica

per anar a la pàgina següent.

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

EXERCICIS 9.

Desenvolupa (x+3)2 aplicant les identitats notables. Descompon el polinomi x2-10x+25 aplicant las identitats notables. Descompon el polinomi 4x2-25 aplicant las identitats notables.

10.

Desenvolupa les següents expressions Solució

ExpreSÍón (x+4)2

Solució x2-4x+4

ExpreSÍón 16x2+24x+9

11.

4 x2-12x+9

(2x/3+5)2

(x/2-3)2

( 2 x+1)2

(x- 3 )2

Troba l’expressió en coeficients dels següents productes Solució

Productos (x+4)·(x-4)

Solució

Productos (x-1/2)·(x+1/2)

(2x+5)· (2x-5)

(3+ 2 x)·(3- 2 x)

12.

Resol, aplicant les identitats notables, l’equació x2+10x+16=0.

13.

Calcula el cub d’un binomi Solució 3 Binomi(x+2) al cubo

(2x-3)3 14.

Solució 3 Binomi(x-1) al cubo

(3+x/3)3

Troba la fila 5 del triangle de Pascal i calcula (x+1)5

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Polinomis

Clica

per anar a la pàgina següent.

10 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

Divisió per x-a 4.a. Regla de Ruffini EXERCICI 1: Tal com pots llegir en aquesta pàgina, Ruffini fou un metge i matemàtic italià (1765-1822). Però, no t’agradaria saber-ne una mica més d’ell? Aprofita les següents línies per explicar-nos alguna cosa més de Ruffini. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

Observa a l’escena el procediment de la Regla de Ruffini pas a pas. Si necessites tornar a veure l’animació recorda clicar el botó EXERCICI 2: Completa en el següent espai la divisió del polinomi p(x)= x4+5x3+x+1 entre x-3 repetint exactament els passos que es van fent a l’escena. Per fer-ho correctament fes anar el botó pausa de l’escena. Fixa’t que ja està col·locat el polinomi p(x), però continua tu.

Clica en el botó

Polinomis

per realitzar diferents exercicis.

11 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

EXERCICI 3: Completa a la taula següent el polinomi que t’ofereix l’escena, el divisor i la corresponent regla de Ruffini. Polinomi Entre Polinomi Entre Polinomi Entre

Has de seguir practicant. Completa aquesta altra taula amb 3 noves divisions entre Polinomi

Entre

Polinomi

Entre

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Clica

Polinomi

x-a Entre

per anar a la pàgina següent.

4.b. Teorema del Residu EXERCICI 1: En aquest apartat, l’escena et presenta un dividend, un divisor i les corresponents instruccions. Dividend x4-5 Fes la divisió

divisor x-4

Dividend=divisor·quocient+residu

Dividend 2x3-4x Fes la divisió

divisor x+4

Dividend=divisor·quocient+residu

No oblidis completar l’última fila de la taula (Dividend=divisor·quocient+residu)

Polinomis

12 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

EXERCICI 2: Completa la següent taula sense l’ajuda de l’ordinador. Realitza els càlculs en el teu quadern. P(x)=Dividend 3

x -5x+8

Divisor=x-a

Quocient

Residu

x+2

5x3-5x2+5x-4

P(a)

x-4

x2+4 x+1 x3-5x2+6x

x-2

2x3-mx-24

x-3

Escriu en el següent requadre la conclusió de l’anomenat Teorema del Residu.

Clica en el botó

per fer els exercicis d’aquest apartat.

EXERCICIS 15.

Aplica la regla de Ruffini per a dividir P(x)=x3+5x2-2x+1, Q(x)=2x4-5 i R(x)=x3-4x+3x2 entre x-3

16.

Aplica la regla de Ruffini per a dividir P(x)=x3+3x2-2x+1, Q(x)=x4-2 i R(x)=x3-4x2-x entre x+1

17.

Aplica la regla de Ruffini per a dividir P(x)=3x3+5x2-2x+1 i Q(x)=6x4-2 i entre x+2/3

18.

Si el valor numèric d’un polinomi en x=2 és igual a 3 i el quocient de la seva divisió entre x-2 és x, saps de quin polinomi es tracta?

19.

Troba m per a que mx2+2x-3 sigui divisible entre x+1

20.

Existeix algun valor de m per al qual el polinomi x3+mx2-2mx+5 sigui divisible per x-2?

Polinomis

13 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

4. Descomposició factorial 5.a. Factor comú xn EXERCICI 1: Treu factor comú una potència de x en la següent taula. Polinomi

Descomposició

Polinomi

x2 +2x

4x5+2x2+x

x4 +2x2-3x

-x4+2x3

-3x5+2x4+5x3

x5+x4+3+5x3

Descomposició

5.b. Arrels d’un polinomi EXERCICI 1: Còpia a continuació la definició d’arrel d’un polinomi. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

EXERCICI 2: Llegeix amb atenció el text que apareix en Arrels d’un polinomi. Fixa’t bé en el text “ombrejat”. Has de completar els forats que apareixen a continuació:

Les _______ no nul·les d’un polinomi amb coeficients enters, són ___________ del ______________ de menor grau del polinomi. Clica en Exemples i escriu el polinomi que es descompon, les arrels, la corresponent descomposició i realitza la comprovació. Polinomi

Arrels

Descomposició

Comprovació (x-2)(x2+x+2) x4=

Polinomis

14 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

EXERCICI 3: En l’escena de la dreta, pots aplicar la Regla de Ruffini. Completa la següent taula amb el polinomi que apareix a l’escena. Polinomi Arrels Descomposició Comprovació Espai per la Regla de Ruffini

EXERCICI 4: recarregant la pàgina (prem F5) l’escena et mostrarà un polinomi diferent. Torna a completar les següents taules com a l’exercici anterior. Polinomi Arrels Descomposició Comprovació Espai per la Regla de Ruffini

Polinomi

Arrels

Descomposició

Comprovació

Descomposició

Comprovació

Espai per la Regla de Ruffini

Polinomi

Arrels

Espai per la Regla de Ruffini

Polinomis

15 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

EXERCICIS 21.

Treu factor comú una potència de x en cada un dels següents polinomis: P(x)=2x3+3x

Q(x)= x4+2x6-3x5

R(x)=2x6+6x5+8x3

22.

Troba la descomposició factorial de x7-x6-4x4

23.

Troba la descomposició factorial de x4+x3-x2-2x-2

24.

Si els coeficients de P(x)=pnxn+pn-1xn-1+...+p1x+p0 són nombres enters, les possibles arrels racionals de P(x) són de la forma

Troba la descomposició factorial de 12x3+4x2-17x+6

. 25.

Troba la descomposició factorial de x4-4

26.

Troba la descomposició factorial de x3-7x2+4x+12

27.

Troba la descomposició factorial de (2x3+x+3/2)2-(x3+5x-3/2)2

5.c. Fraccions algebraiques Una fracció algebraica és el quocient indicat entre dos polinomis. En l’escena es presenta una sèrie d’exercicis per a simplificar fraccions. Se’n presenten 11 tipus diferents. Còpia a la taula següent una fracció de cada tipus, realitza els teus càlculs en el teu quadern de treball i còpia a la taula el resultat. Fracció

Polinomis

Resultat simplificat

Fracció

Resultat simplificat

16 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

Clica en el botó

NOM:

DATA:

per fer els exercicis d’aquest apartat.

EXERCICI 1: A continuació tens espai per completar la suma o resta i el quocient de dues fraccions. Suma o resta de dues fraccions

Quocient de dues fraccions

EXERCICI 2: A continuació tens espai per completar la suma o resta i el quocient de dues fraccions. Suma o resta de dues fraccions

Polinomis

Quocient de dues fraccions

17 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Completa el triangle de Pascal fins la 6a fila.

Desenvolupa (x-3)4 Calcula (x3-x2+1)+(x4-x-1) Calcula (x3-x2+1)(x4-x) Calcula (x3+2x2+x-3)-(x3-3x+2) Desenvolupa (a+b)2 Desenvolupa (a-b)2 Com s’anomenen els polinomis que intervenen en una divisió? Completa

D R

Quina és la fórmula que relaciona els polinomis que intervenen en una divisió? Quina és la definició d’arrel d’un polinomi?

Relaciona els següents polinomis amb les seves possibles arrels. 1.- x2-1

Possibles Arrels:

2.- x2+1

Possibles Arrels:

3.- x3-x2+4

Possibles Arrels:

4.- x4-x2-6

Possibles Arrels:

Descompon x3-5x2+6x Clica

Polinomis

per anar a la pàgina següent.

18 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de: Operacions amb polinomis

Identitats notables

Descomposició factorial

Procura fer-ne al menys un de cada tipus i un cop resolt comprova la solució. Completa l’enunciat amb les dades que apareixen en cada EXERCICI de la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis amb l’ordinador si l’has fet bé. Els següents EXERCICIS són d’operacions amb polinomis. 1. El nombre de l’esquerra __ __ __ __ està en base ___. Troba el seu valor en base decimal, la nostra base habitual.

2. Quantitat de blau en hexadecimal __ __. Troba en decimal la quantitat de blau.

3. P(x)=____________ Troba P(x)±__Q(x)

Q(x)=______________

4. P(x)=____________ Troba P(x).Q(x)

Q(x)=______________

5. P(x)=____________ Q(x)=______________ Troba el quocient i residu de la divisió P(x):Q(x)

6. P(x)=____________ Troba la divisió de P(x) entre x-___ aplicant la Regla de Ruffini

7. P(x)=____________ Troba, aplicant el teorema del residu, el residu de la divisió de P(x) i x-___

Polinomis

19 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

8. P(x)=____________ Troba m, aplicant el teorema del residu, per a que P(x) sigui divisible entre x-___

Els següents EXERCICIS són d’identitats notables. Observa que en molts temes pots utilitzar la calculadora, fent clic en el símbol: 9. Efectua la potència ___________

10. Aplicant les identitats notables, resol l’equació ____________________

11. Troba la fila ___ del triangle de Pascal i calcula el coeficient de grau ___ de ________

12. Aplicant les identitats notables simplifica la fracció ___________

Els següents EXERCICIS són de Descomposició factorial 13. Descompon el següent polinomi en factors primers ________________________

14. Descompon el següent polinomi en factors primers ________________________

15. Descompon, aplicant les identitats notables, el següent polinomi _______________________

16. Troba la descomposició d’un polinomi de grau 3 que té les arrels ___;___;___ i el valor numèric en ___ és ____

Polinomis

20 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 3

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Calcula P(x) Q(x) +P(x) R(x)

Calcula P(x):Q(x)

Calcula (x+1)3.

És certa la igualtat? (4x+3)2=16x2+24x+9

Calcula m per a que 7x2+mx+5 dividit entre x+2 tingui residu 4

Si P(x)= ax2+bx+4 i a42+b·4=3. Quin és el residu de P(x) entre x-4?

Calcula una arrel entera del polinomi x3+4x2+7x+12

Calcula una arrel racional del polinomi 3x3+8x2+29x+40

El polinomi 2x3+4x2-10x-12 té com arrels 2 i -3. Calcula’n l’altra.

Les arrels d’un polinomi de grau 3 són 0 i 5; el seu coeficient de grau 3 és 4. Calcula el seu valor en x=7

Polinomis

-3,

21 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Equacions i sistemes Continguts 1. Equacions de segon grau Completes ax²+bx+c=0 Incompletes ax²+c=0, ax²+bx=0 Discriminant i solucions Biquadrades Racionals Irracionals 2. Sistemes d’equacions lineals Solució d’un sistema Sistemes compatibles Mètode de substitució Mètode d’igualació Mètode de reducció 3. Sistemes de segon grau Sistema ax+by=c, xy=k Sistema a0x²+b0y²=c0, a1x+b1y=c1 4. Aplicacions pràctiques Resolució de problemes

Objectius •

Resoldre equacions de segon grau completes i incompletes.

•

Resoldre equacions biquadrades i d’altres que es poden reduir a una de segon grau.

•

Resoldre sistemes d’equacions lineals utilitzant els diferents mètodes.

•

Resoldre sistemes d’equacions de segon grau.

•

Aplicar el llenguatge de l’àlgebra a la resolució de problemes.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar

Equacions i sistemes

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Abans de començar

Realitza l’activitat proposta a l’escena sobre endevinar un nombre

Escriu els nombres que vas obtenint

Repeteix el procés amb un nombre qualsevol x

Pensa un nombre Duplica’l Afegeix 5 unitats. Multiplica’l per 5. Suma 75 unitats. Multiplica per 10: Finalment obtenim l’expressió algebraica _________________________________________ Com calcularàs el valor de x sabent el resultat final? _________________________________ ___________________________________________________________________________ Ara pots clicar el botó

Per què?

Una gran quantitat de problemes pràctics en la vida real condueixen a la resolució d’una equació o d’un sistema d’equacions. Traduir al “llenguatge de l’àlgebra” resulta imprescindible en aquestes ocasions; el llenguatge algebraic ens serveix per expressar amb precisió relacions difícils de transmetre amb el llenguatge habitual. Clica el botó

per recordar el llenguatge algebraic amb alguns exercicis resolts.

Ara prova de fer un exercici de cada tipus: La suma d’un nombre positiu amb el seu quadrat és 56. Quin és aquest nombre?

La suma d’un nombre positiu amb la seva arrel quadrada és 90. Quin és aquest nombre?

La suma d’un nombre amb la seva meitat és 12. Quin és aquest nombre?

La suma d’un nombre amb el seu triple és 24. Quin és aquest nombre?

Clica Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent. -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

1. Equacions de segon grau 1.a. Completes ax²+bx+c=0 Observa l’escena de l’esquerra, en la qual es resolen equacions de 2n grau completes (és a dir, no falta cap terme en el polinomi de 2n grau); pots triar si tenen solució entera o fraccionària, radical o que no tinguin solució. Fixa’t bé en com aplica la fórmula per a cada equació i en com es representa gràficament cada equació.

Què tenen en comú totes les gràfiques de les equacions?

→

Com s’anomena aquesta corba?

→

Com és la corba de les equacions amb solució?

→

Què tenen en comú totes les equacions que no tenen solució?

→

Les equacions de segon grau són de la forma ax2+bx+c=0, on la incògnita apareix elevada al quadrat, es resolen aplicant una fórmula que obtindrem pas a pas:

Passem c a l’altre membre:

→

Multipliquem per 4a:

→

Sumem b2:

→

Tenim un quadrat perfecte:

→

Extraiem l’arrel:

→

Aïllem x:

Equacions i sistemes

FÓRMULA →

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Clicant l’enllaç aquí podràs comprovar els passos. Clica en el botó

per resoldre unes equacions.

Resol aquí almenys 5 de les equacions que es proposen, emplenant els buits amb els coeficients corresponents (no oblidis incloure el signe): __ x2 + __ x + __ = 0

__ x2 + __ x + __ = 0

Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent.

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

1.b. Incompletes ax²+c=0, ax²+bx=0 Si b o c, o els dos són zero, direm que l’equació és incompleta. En aquests casos, és més pràctic procedir com s’indica a continuació, que no pas aplicar la fórmula. Si b=0 S’aïlla x2 i s’obté l’arrel: • •

Si –c/a>0 hi ha dues solucions Si –c/a<0 no hi ha solució.

Llegeix els exercicis resolts per comprendre millor el procés Clica en el botó

per resoldre unes equacions.

__ x2 + __ x + __ = 0

Equacions i sistemes

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Si c=0 Traiem factor comú x i queda x·(ax+b) = 0, d’on obtenim les dues solucions: • x=0 • ax+b=0, és a dir, x=-b/a Llegeix els exercicis resolts per comprendre millor el procés. Clica en el botó

per resoldre unes equacions.

__ x2 + __ x + __ = 0

Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent.

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

1.c. Discriminant i solucions S’anomena discriminant de l’equació de segon grau a l’expressió: ∆=b2-4·a·c En quin lloc apareix aquesta expressió en la fórmula de l’equació de 2n grau?

___________________________________________________________________________

Completa ara aquesta taula: Casos

Equació i valor de

∆

Nre. de solucions de l’equació

∆=b2-4·a·c>0 ∆=b2-4·a·c=0 ∆=b2-4·a·c<0

A l’escena adjunta pots veure exemples dels diferents casos; prova d’escriure coeficients per a cada cas. Clica en el botó

per veure uns exercicis resolts.

Agafa llapis i paper i fes almenys un exercici de cada tipus en aquest quadern; després comprova la solució en l’escena. Calcula el valor de m perquè l’equació __ x2 + __ x + m = 0 tingui dues arrels iguals.

Calcula el valor de m perquè l’equació __ x2 + m x + __= 0 tingui dues arrels iguals, si m>0.

Calcula el discriminant de l’equació __ x2 + __ x + __= 0

Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent.

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

1.d. Equacions biquadrades Són equacions de la forma: ax4 + bx2 +c= 0 Per a resoldre-les es fa el canvi t=x2. L’equació es transforma en una de segon grau amb incògnita t: at2 +bt+c= 0 Quan apliquem la fórmula de l’equació de segon grau obtenim dues solucions: t1 i t2. Amb lo qual

A l’escena pots veure diferents exemples en els quals es resolen les equacions pas a pas. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Si t1 i t2 són negatius, quants valors obtens per a x? Si t1 és positiu i t2 negatiu, quants valors obtens per a x? Si t1 i t2 són positius, quants valors obtens per a x? Clica en el botó

per a resoldre unes equacions biquadrades.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes. __ x4 + __ x2 + __ = 0

__ x4 + __ x2 + __ = 0

Equacions i sistemes

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

1.e. Equacions racionals Són equacions en les que la incògnita apareix en el denominador. El procés que s’ha de seguir per a la seva resolució consisteix en treure en primer lloc els denominadors, fer les operacions i resoldre l’equació resultant. Convé comprovar que cap de les solucions trobades anul·la algun denominador, ja que en aquest cas no seria vàlida. A l’escena pots veure equacions resoltes, fixa’t bé en els 4 passos que has de seguir, sobretot i no te’n oblidis, de l’últim!. Clica en el botó

per a resoldre unes equacions racionals i escriu-ne aquí dues.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes. Equació 1

Equació 2

Pas 1: Treure denominadors

Pas 1:

Pas 2: Operar

Pas 2:

Pas 3: Resoldre l’equació

Pas 3:

Pas 4: Comprovar si alguna solució anul·la el denominador

Pas 4:

Equacions i sistemes

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

1.f. Equacions irracionals Són equacions en les que la incògnita apareix sota el signe radical. Per a resoldre-les, s’aïlla una arrel i s’eleven al quadrat els dos membres de l’equació. Operant s’arriba a una equació de segon grau que resoldrem. En elevar al quadrat poden introduir-se solucions “estranyes” per lo qual és necessari comprovar-les en l’equació inicial. A l’escena pots veure equacions resoltes, fixa’t bé en els 4 passos que has de seguir, sobretot i no te’n oblidis de l’últim!. Clica en el botó

per a resoldre unes equacions irracionals i escriu-ne aquí dues.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes.

Equació 1

Equació 2

Pas 1: Deixem a un costat l’arrel:

Pas 1:

Pas 2: Elevem al quadrat i operem:

Pas 2:

Pas 3: Resolem:

Pas 3:

Pas 4: Comprovem les solucions:

Pas 4:

Equacions i sistemes

10 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

EXERCICIS

1. Resol les equacions: a. x2 + 12x + 32 = 0 b. 9x2 +6x + 1 = 0 2. Resol les equacions: a. 2x2 +5x = 0 b. 2x2 -32 = 0 3. Calcula el valor de m perquè l’equació x2 + mx + 9 = 0 tingui solució doble. 4. Resol les equacions: a. x4 - 25x2 + 144 = 0 b. x4 + 9x2 - 162 = 0 5. Resol les equacions:

9−x 3 + = −2 1 + 3x 1 − x

1− x 8 − =1 5( x + 1) x − 2

6. Resol les equacions: a.

x + 1 − 5x + 1 = 0

3x + 4 + 2x = 4

Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent.

11 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

2. Sistemes d’equacions lineals 2.a. Solució d’un sistema Un sistema d’equacions lineals és un conjunt d’equacions de primer grau que s’han de satisfer simultàniament.

 a1x + b1y  a2 x + b2 y

= c1 = c2

on a1, b1, a2, b2, c1, c2 són nombres reals. Una solució d’un sistema és un parell de nombres (x,y) que verifica ambdues equacions del sistema. Si dos o més sistemes tenen la mateixa solució s’anomenen sistemes equivalents. A l’escena pots veure exemples de sistemes. Prova d’escriure la solució i d’escriure sistemes equivalents al donat. Clica en el botó

per a resoldre uns exercicis.

Comprova si x= __ i y= __ és solució del sistema __ x + __ y = __ __ x + __ y = __ Comprova si x= __ i y= __ es solució del sistema __ x + __ y = __ __ x + __ y = __ Comprova si x= __ i y= __ és solució del sistema __ x + __ y = __ __ x + __ y = __ Comprova si x= __ i y= __ és solució del sistema __ x + __ y = __ __ x + __ y = __

2.b. Sistemes compatibles En un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites, cada equació representa una recta en el pla. Pots clicar a l’enllaç aquí si no recordes com es representa una recta. Discutir un sistema és estudiar la posició d’aquestes rectes en el pla, que poden ser: • • •

Secants, el sistema té solució única i s’anomena Compatible Determinat. Coincidents, el sistema té infinites solucions, és Compatible Indeterminat. Paral·leles, el sistema no té solució, s’anomena Incompatible.

A l’escena adjunta pots veure exemples dels tres tipus de sistemes, i també pots escriure tu mateix el sistema que vulguis i comprovar de quin tipus resulta.

Equacions i sistemes

12 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

Clica en el botó

DATA:

per a resoldre uns exercicis:

Resol gràficament i digués si el sistema és compatible determinat, indeterminat o incompatible. __ x + __ y = __ __ x + __ y = __

__ x + __ y = __ __ x + __ y = __

Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent.

13 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

2.c. Mètode de substitució Consisteix en aïllar una de les incògnites en una de les equacions i substituir l’expressió obtinguda a l’altra equació i així ens queda una equació de primer grau amb una sola incògnita; trobem aquesta i després l’altra. A l’escena pots veure como s’aplica el mètode pas a pas; fixa’t que obtenim la mateixa solució tan si aïllem x com y, tan si ho fem a la primera equació com a la segona. Tanmateix, l’elecció de la incògnita i de l’equació farà que la resolució sigui més o menys senzilla. Clica en el botó

per a resoldre sistemes per substitució; escriu-ne dos aquí.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes.

Sistema 1

Sistema 2

Pas 1: Aïllem __ en la __ equació:

Pas 1:

Pas 2: Substituïm en la __ equació:

Pas 2:

Pas 3: Resolem:

Pas 3:

Pas 4: Substituïm i calculem la __:

Pas 4:

Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent.

14 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

2.d. Mètode d’igualació Consisteix en aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions i igualar les expressions obtingudes. Altre cop obtenim una equació de primer grau amb una sola incògnita. En l’escena adjunta pots veure com s’aplica el mètode pas a pas. Fixa’t que primer hem de triar quina incògnita volem aïllar. Clica en el botó

per a resoldre sistemes per igualació, escriu-ne dos aquí.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes.

Sistema 1

Sistema 2

Pas 1: Aïllem __ en les dues equacions:

Pas 1:

Pas 2: Igualem:

Pas 2:

Pas 3: Resolem:

Pas 3:

Pas 4: Substituïm i calculem la __:

Pas 4:

Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent.

15 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

2.e. Mètode de reducció Consisteix en eliminar una de les incògnites sumand les dues equacions. Per això cal multiplicar una de les equacions o ambdues per un nombre de forma que els coeficients de x o de y siguin iguals i de signe contrari. A l’escena adjunta pots veure com s’aplica el mètode pas a pas. Fixa’t que primer haurem de triar quina incògnita volem eliminar. Clica en el botó

per a resoldre sistemes per reducció; escriu-ne dos aquí.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes.

Sistema 1

Sistema 2

Pas 1: Eliminem __: Multiplico la 1a equació per __ Multiplico la 2a equació per __

Pas 1:

Pas 2: Trobem la __:

Pas 2:

Pas 3: Aïllem__ en la __ equació i substituïm __ pel seu valor:

Pas 3:

Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent.

16 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

EXERCICIS 7.

Representa les rectes corresponents i discuteix els següents sistemes: a.

2 x − 2 y = −3  =1  x− y

3 x − 3 y = 3   x − y =1

Resol per substitució: a.

x + y = 3  x − y = 1 = −25  x + 4y  =5 − 10 x − 5 y

 3 x + 5 y = 45  − 4 x − y = −43

− 3 x − 4 y = 31   5 x − 9 y = 11

5 x + 3 y = 21  7 x + 8 y = 37

Resol per igualació: a.

− 4 x + y = 20   6x − 9 y = 0

10. Resol per reducció: a.

5 x − 10 y = 25   8x + 2 y = 4

11.Resol:

22  x y  − =  3 5 15 7 x − 7 y = 28

3. Sistemes de segon grau 3.a. Sistema ax+by=c, xy=k ax + by = c  =k  x⋅ y Per a resoldre sistemes d’aquest tipus, s’aïlla la x o la y en la segona equació i es substitueix en la primera. Es redueix i es resol l’equació que queda. Finalment, es substitueixen els valors trobats a l’equació aïllada per a calcular l’altra incògnita. A l’escena adjunta pots veure com s’aplica el mètode pas a pas. Fixa’t que primer hem de triar quina incògnita volem aïllar i en que obtenim la mateixa solució sigui quina sigui la incògnita escollida. Clica en el botó

per a resoldre sistemes no lineals i escriu-ne dos aquí.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes.

Equacions i sistemes

17 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Sistema 1

Sistema 2

Pas 1: Aïllem __ en la 2a equació:

Pas 1:

Pas 2: Substituïm en la 1a:

Pas 2:

Pas 3: Operem:

Pas 3:

Pas 4: Resolem l’equació:

Pas 4:

Pas 5: Substituïm i calculem la __:

Pas 5:

3.b. Sistema a0x²+b0y²=c0, a1x+b1y=c1

a0 x 2 + b0 y 2   a1x + b1y

= c0 = c1

Per a resoldre sistemes d’aquest tipus s’aïlla la x o la y en la segona equació i es substitueix en la primera. Es redueix i es resol l’equació que queda. Per acabar es substitueixen els valors trobats en l’equació aïllada per a calcular l’altra incògnita. A l’escena adjunta pots veure com s’aplica el mètode pas a pas. Fixa’t que primer hem de triar quina incògnita volem aïllar, procurant triar, si es pot, aquella que tingui coeficient 1. Clica en el botó

per a resoldre sistemes d’aquest tipus i escriu-ne dos aquí.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes. Equacions i sistemes

18 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Sistema 1

Sistema 2

Pas 1: Aïllem __ en la 2a equació:

Pas 1:

Pas 2: Substituïm en la 1a:

Pas 2:

Pas 3: Operem:

Pas 3:

Pas 4: Resolem l’equació:

Pas 4:

Pas 5: Substituïm i calculem la __:

Pas 5:

EXERCICIS 12. Resol: a.

 x − y = −1   x· y = 20

2 x + 3 y = 30  = 24  x· y

x 2 − 2 y 2   2x + 3 y

13. Resol: a.

x 2 + y 2   x+ y

Equacions i sistemes

= 41 = −1

=7 = −1

19 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

4. Aplicacions pràctiques 4.a. Resolució de problemes Per resoldre un problema mitjançant una equació o un sistema d'equacions, cal traduir al llenguatge algebraic les condicions de l'enunciat i després resoldre l'equació o el sistema plantejat. Comenceu sempre per llegir detingudament l'enunciat fins a assegurar-vos que enteneu bé el que s'ha de calcular i les dades que us donen. Un cop resolta l'equació o el sistema comproveu que la solució trobada compleix les condicions de l'enunciat del problema. Amb l’ajuda de l’escena, completa les dades i resol els problemes: Pas 1: Comprenem el problema: En una reunió cada assistent saluda a tots els altres, si el nombre de salutacions que s’intercanvien és __, quantes persones assisteixen a la reunió?

Pas 4: Resolem l’equació o sistema:

Pas 2: Identifiquem les incògnites:

Pas 3: Traduïm al llenguatge algebraic:

Pas 5: Comprovem les solucions:

Pas 1: Comprenem el problema: Volem tancar una finca rectangular un dels costats de la qual afronta amb un riu. Si l’àrea de la finca és de ____ m2 i els tres costats a tancar mesuren ___ m, quines són les dimensions de la finca? Pas 2: Identifiquem les incògnites:

Pas 4: Resolem l’equació o sistema:

Pas 3: Traduïm al llenguatge algebraic:

Pas 5: Comprovem les solucions:

Pas 1: Comprenem el problema: Dues persones es troben tenint cada una un cert capital. Diu una d’elles a l’altra: “Si em dónes del que tu tens __ unitats, les afegeixo a lo que jo tinc i en tindrem els dos igual”. L’altra li contesta: “Si tu em dónes del que tens __ unitats i les afegeixo a lo que jo tinc, en tindré el doble de lo que et quedi”. Quant té cada una? Pas 2: Identifiquem les incògnites:

Pas 4: Resolem l’equació o sistema:

Pas 3: Traduïm al llenguatge algebraic:

Pas 5: Comprovem les solucions:

Clica Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent. -

20 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Equacions de segon grau Completes: ax2+bx+c=0

Incompletes: ax2+c=0

Incompletes: ax2+bx=0

Es resolen amb la fórmula

S’aïlla x

Es treu factor comú x

El discriminant d’una equació de segon grau és ∆ = Si ∆>0 l’equació té

Si ∆=0 l’equació té

Si ∆<0 l’equació té

_____ solucions

Sistemes d’equacions lineals

 a1x + b1y  a2 x + b2 y

= c1 = c2

En un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites cada equació es representa amb una recta en el pla. El punt de tall (x,y), si existeix, és la solució del sistema.

Sistemes equivalents són els que tenen la mateixa solució. Si un sistema té una única solució s’anomena compatible determinat

Si un sistema té infinites solucions s’anomena compatible indeterminat

Les dues rectes són ___________

Si un sistema no té solució s’anomena incompatible Les dues rectes són ___________

Mètodes de resolució de sistemes Substitució: S’aïlla una de les incògnites en una de les equacions i es substitueix en l’altra.

Igualació: S’aïlla la mateixa incògnita en les dues equacions i s’igualen les expressions obtingudes.

Reducció: Es multiplica una de les equacions o les dues per nombres adequats de manera que al sumar-les s’elimini una de les incògnites.

Sistemes d’equacions de 2n grau Són sistemes en els quals una o dues de les equacions són de segon grau en una o dues de les incògnites. Normalment es resolen aïllant una de les incògnites en l’equació de primer grau i substituint en l’altra lo que ens dóna una equació de 2n grau.

Resolució de problemes Comprendre l’enunciat Identificar les incògnites

Traduir al llenguatge algebraic Resoldre l’equació o sistema Comprovar les solucions. Clica

Equacions i sistemes

per anar a la pàgina següent. -

21 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents exercicis. En les següents pàgines trobaràs exercicis de: Equacions de 2n grau

Sist. d’equacions lineals

Sist. d’equacions de 2n grau

Procura fer-ne almenys un de cada classe i un cop resolt comprova’n la solució. Completa l’enunciat amb les dades de cada exercici que apareix en la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. Els següents exercicis són d’Equacions de segon grau. 1. Resol les equacions: a)

− 6 x 2 − 7 x + 155 = −8 x

3 x 2 + 8 x + 14 = −5 x

( x − 6)( x − 10) = −8 x

2. Resol les equacions: a)

x 4 − 24 x 2 + 144 = 0

x 4 + 14 x 2 − 72 = 0

x 4 − 81 = 0

( x 2 − 8)( x 2 − 1) = 8

Equacions i sistemes

22 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

3. Resol les equacions: a)

9 4 + =5 2 − x 2 − 3x

5+x 2 + =2 2 + 2x 4 − 3x

3−x−

3+x x+2 −+ =5 3x + 1 x +1

6x + 6 =1 7x + 5

4. Resol les equacions: a)

2 9x − x = 9

3 + 6x − 2 = 4x

2x − x − 2 = 5

5. El producte de dos nombres enters és ___ i la seva diferència ___. Quins nombres són?

6. La suma dels quadrats de dos nombres naturals consecutius és ____. Quins nombres són?

7. En sumar una fracció de denominador ___ amb la seva inversa s’obté la fracció ____. Quina és aquesta fracció?

Equacions i sistemes

23 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

8. El quadrat d’un nombre més ___, és igual a ___ vegades el propi nombre, quin nombre és?

9. Troba un nombre positiu tal que ___ vegades la seva quarta potència més ___ vegades el seu quadrat sigui igual a ___.

10. L’edat d’en Joan era fa ___ anys l’arrel quadrada de la que tindrà d’aquí a ___ anys. Determina la seva edat actual.

11. El numerador d’una fracció positiva és ___. Si afegim ___ unitats al denominador, el valor de la fracció disminueix en una unitat. Quin és el denominador original? 12. Dues aixetes rajant juntes tarden a omplir un dipòsit ___ hores, quant tardaran per separat si una d’elles tarda ___ hores més que l’altra? PISTA: Si una aixeta tarda x hores a omplir el dipòsit, en una hora omple 1/x del dipòsit.

13. Troba m perquè x2–mx+___=0 tingui una solució doble.

Els següents exercicis són de Sistemes d’equacions lineals. 14. Resol els sistemes:

3 x y  − =− a)  5 4 5 4x − 2y = 12

3 x y  − = − b)  4 8 8 8x + 5y = 33

8  x y  + = c)  2 3 3 7x + 3y = 34

Equacions i sistemes

24 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

4  x y  − = d)  9 2 9 5x − 7y = 20

15. Dos nombres sumen ___ i el més gran és igual a __ vegades el més petit, quins nombres són?

16. La Rosa va pagar ____ € per __ entrades per a un concert i __ per al teatre, i la Lluïsa va pagar ____ € per __ entrades per a un concert i __ per al teatre. Quant val l’entrada a cada espectacle? 17. Dos nombres sumen ___ i la seva diferència és ___. Quins nombres són?

18. Dos nombres sumen ___ i el més gran és igual a __ vegades el més petit, quins nombres són?

19. En Pere té ___ € en bitllets de __€ i de __€; si en total té ___ bitllets, quants en té de cada classe?

20. En un hotel hi ha ___ habitacions entre dobles i individuals. Si el nombre total de llits és ___, quantes habitacions hi ha de cada tipus?

21. Volem barrejar vi de __ €/litre amb vi de __ €/litre per obtenir una mescla de __ €/litre. Quants litres haurem de posar de cada preu per obtenir _____ litres de mescla?.

22. En un magatzem hi ha dos tipus de làmpades: les de tipus A que utilitzen __ bombetes i les de tipus B que utilitzen __ bombetes. En total, el magatzem té ___ làmpades i ___ bombetes. Quantes làmpades hi ha de cada tipus?

Equacions i sistemes

25 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

23. En un parc d’atraccions pujar a la sínia val __ € i pujar a la muntanya russa __ €. L’Anna puja un total de ___ vegades gastant ____ €, quants cops va pujar a cada atracció?

24. Troba un nombre de dues xifres sabent que la suma d’aquestes és ___ i la diferència entre el nombre i el que resulta en intercanviar les xifres és ___. PISTA: Si x és la xifra de les desenes i y la xifra de les unitats el nombre és 10x+y, i el que resulta en intercanviar les xifres és 10y+x.

25. En un corral hi ha ovelles i gallines. En total hi ha ___ animals i si comptem les potes n’hi ha ___ en total. Quantes ovelles i gallines hi ha?

Els següents exercicis són de Sistemes d’equacions de segon grau. 26. Resol els sistemes: a)

 x − 6 y = −15   x·y = −9

2 x + y = −18   x·y = 40

 x 2 − 3 y 2 = −2   x + 2y = 1

 x 2 + y 2 = 65   x+y =3

27. La suma de dos nombres naturals és ___ i el seu producte ____, quins nombres són?

Equacions i sistemes

26 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

28. Calcula les longituds dels costats d’un rectangle sabent que la diagonal mesura ___ cm i el costat més gran excedeix en ___ cm al més petit.

29. La suma de dos nombres naturals és ___ i la dels seus quadrats ____. Troba els nombres.

30. La diferència entre dos nombres enters és ___ i el seu producte ____. Quins nombres són?

31. La suma de les edats de dues persones és ___ anys i el seu producte és ____. Quina edat té cada una?

32. Calcula les longituds dels costats d’un triangle rectangle de perímetre ___cm, si la suma dels catets és ____ cm.

33. El producte de les dues xifres d’un nombre és ___ i la suma de la xifra de les unitats amb el doble de la de les desenes és ___. Troba el nombre.

34. La suma de les àrees de dos quadrats és ____ cm2 i la suma dels seus perímetres és ___ cm, quant mesuren els costats?

35. En un triangle isòsceles, els costats iguals mesuren ___ cm i l’altura és __ cm més llarga que la base. Calcula’n l’àrea.

Equacions i sistemes

27 -

I.N.S. _______________________ QUADERN Núm. 4

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i el resols, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Resol l’equació:

Resol l’equació:

Resol el sistema:

Troba dos nombres naturals consecutius tals que la suma dels seus quadrats sigui _____.

Tenim ___ € en monedes de 2 € i de 50 cèntims; si en total hi ha ___ monedes, quantes n’hi ha de cada tipus?

Per tancar una finca rectangular de ___ m2 s’han utilitzat ___ m de tanca. Calcula les dimensions de la finca.

Troba una equació de 2n grau tal que la suma de les seves arrels sigui __ i el producte __.

Equacions i sistemes

28 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Inequacions

Continguts 1. Inequacions de primer grau amb una incògnita Definicions Inequacions equivalents Resolució Sistemes d’inequacions 2. Inequacions de segon grau amb una incògnita Resolució per descomposició Resolució general 3. Inequacions de primer grau amb dues incògnites Definicions Resolució gràfica Sistemes d’inequacions 4. Problemes amb inequacions Plantejament i resolució

Objectius •

Resoldre inequacions de primer i segon grau amb una incògnita.

•

Resoldre sistemes d’inequacions amb una incògnita.

•

Resoldre de forma gràfica inequacions de primer grau amb dues incògnites.

•

Resoldre de forma gràfica sistemes d’inequacions de primer grau amb dues incògnites.

•

Plantejar i resoldre problemes amb inequacions.

Autor: José Fernández Gómez Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar

Inequacions

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Abans de començar Llegeix amb atenció el problema del vinater i practica per aconseguir una barreja que s’ajusti a les condicions exigides. Escriu a la taula inferior, diferents possibilitats vàlides.

Una possibilitat Una segona possibilitat Una tercera possibilitat

Utilitza la calculadora per intentar aproximar més els resultats al valor real de la solució. Entre quins valors ha d’estar la quantitat de litres del primer tipus de vi per a que el preu final estigui a l’interval desitjat? Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Inequacions de primer grau amb una incògnita 1.a. Definicions Llegeix el text de l’escena. ESCRIU DIFERENTES EXEMPLES D’EXPRESSIONS AMB DESIGUALTATS, CERTES I FALSES: < (menor que) > (major que) ≤ (menor o igual que) ≥ (major o igual que) ≤ (menor o igual que) > (major que) < (menor que) Clica

Inequacions

RESPOSTES

per anar a la pàgina següent.

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

1.b. Inequacions equivalents Escriu a continuació quan dues inequacions són equivalents.

EXERCICI 1: Completa la següent taula escrivint a l’esquerra una desigualtat i a la dreta la mateixa havent-hi sumat, restat un nombre als dos membres o havent multiplicat els dos membres per un mateix nombre. Desigualtat inicial

Desigualtat equivalent

a la part inferior dreta, per fer exercicis dels tres tipus que se’t proposen. Com veuràs aquests exercicis són autoavaluables. Escriu a la taula següent alguns dels que hagis resolt correctament.

Clica en el botó

Exercici

Solució

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.c. Resolució Escriu a continuació que és la resolució d’una inequació:

Inequacions

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Practica amb els exemples que et proposen a l’escena i copia’n alguns d’ells amb els seus respectius passos a la següent taula: Inequació Pas Pas Solució

a la part inferior dreta, per fer exercicis dels tres tipus que se’t proposen. Com veuràs en aquests exercicis es dóna la solució. No copiïs la solució a la taula sense haver fet abans els càlculs a la teva llibreta.

Clica en el botó

Exercici

Solució

Clica

per anar a la pàgina següent.

1.d. Sistemes d’inequacions Escriu a continuació que és un sistema d’inequacions de primer grau i com es resol.

Clica en el botó

Exercici

Inequacions

Solució

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

EXERCICIS 1.

− 4 x ≤ − 3 x − 5 , indica quina de les següents inequacions n’és equivalent: I) − x ≥ − 5 II) x ≤ − 5 III) x ≤ 5 IV) − x ≤ − 5 Donada la inequació

− 9 x ≤ 6 , indica quina de les següents inequacions n’és equivalent: 6 II) x ≤ − 9

Donada la inequació I)

x ≥−

6 9

− 6x − 5 ≤ 5 , indica quina de les següents inequacions n’és 9 50 50 equivalent: I) x ≥ − II) x ≤ − 6 6 Donada la inequació

− 6x + 7 8x − 4 > −3 2

Resol la inequació

Resol el següent sistema d’inequacions escrivint les solucions en les diferents formes indicades a l’explicació:

7 x + 4 8x − 3 ≤ −4 −5 8x + 9 5x > 3 1

2. Inequacions de segon grau amb una incògnita 2.a. Resolució per descomposició Si el polinomi que caracteritza la inequació té arrels reals, es pot utilitzar la seva descomposició en factors per resoldre-la com un sistema d’equacions de primer grau. Llegeix amb atenció tots i cada un dels casos que mostra l’escena central de la pàgina. EXERCICI 1: Completa la taula següent amb alguns exemples que es mostren dels casos 1 i 2: Inequació

Clica en el botó

Primer interval sol.

∪

Segon interval sol.

a la part inferior dreta, per fer els exercicis.

La idea és que practiquis tant com vulguis però completa la taula següent amb 3 exemples que hagis resolt CORRECTAMENT

Inequacions

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

EXERCICI 2: Inequació

Primer interval sol.

Quan acabis pots passar al següent apartat.

∪

Segon interval sol.

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.b. Resolució general El procediment utilitzat a l’apartat anterior és vàlid si el polinomi de segon grau resultant té arrels reals. En cas contrari, no ens serveix. Practica amb l’escena central, cada un dels casos, fins entendre bé els conceptes.

Clica en el botó

per fer uns exercicis.

EXERCICI 1: Completa la taula següent dibuixant les diferents paràboles que apareixen en els exercicis. 1a inequació 2a inequació

3a inequació

4a inequació

EXERCICIS 4.

Resol la inequació següent per descomposició: 2x2–8 x–24 ≤ 0

Resol la inequació següent de forma gràfica: x2–5x>0

Inequacions

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

3. Inequacions de primer grau amb dues incògnites 3.a. Definicions

EXERCICI 1: Has observat les diferents rectes que pots dibuixar a l’escena? Fixa els valors a, b i c següents i dibuixa la recta. a=1, b=1; c=1

a=1, b=2; c=1

a=2, b=-1; c=0

a=0, b=2; c=4

Inequacions

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Escriu que és una inequació de primer grau amb dues incògnites.

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. Resolució gràfica Recorda que resoldre la inequació equival a obtenir tots els punts del pla les coordenades dels quals fan que es verifiqui la desigualtat. EXERCICI 1: Observa l’escena amb atenció. Fixa a l’escena a=2, b=2 i c=-2. Dibuixa en el quadre la recta.

Completa la taula següent amb punts del pla que substituïts en el polinomi 2x+2y-2 doni un resultat positiu (blau) o negatiu (verd). Punt resultat Punt resultat

Clica en el botó Inequacions

per fer els exercicis corresponents. -

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Punt=

Inequació=

Punt=

Inequació=

Punt=

Inequació=

Punt=

Inequació=

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.c. Sistemes d’inequacions Recorda: Un sistema d’inequacions de primer grau amb dues incògnites és un conjunt format per dues o més inequacions de primer grau amb dues incògnites. EXERCICI 1: Observa l’escena amb deteniment. Copia a continuació dos exemples dels que t’ofereix l’escena. Escriu les dues inequacions, dibuixa les rectes associades i la solució. Ineq=

Inequacions

Ineq=

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

Clica en el botó Ineq=

Ineq=

NOM:

DATA:

per fer exercicis de sistemes d’inequacions amb dues incògnites. En aquests exercicis trobaràs 3 inequacions. Ineq=

Ineq=

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Clica

per anar a la pàgina següent.

EXERCICIS 6.

Esbrina si el punt P(-1,-2) és una solució de la inequació -2x + 3y ≤ 1 i dibuixa el semiplà solució, indicant si està inclosa o no la recta -2x + 3y = 1

Esbrina si el punt P(-4,-1) és una solució del sistema d’inequacions: -2x-5y-1<0 2x+3y-1<0 -x-3<0 Dibuixa el conjunt de solucions i, si P no hi pertany, troba algun punt que ho faci.

Inequacions

10 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

4. Problemes amb inequacions 4.a. Plantejament i resolució Plantejament i resolució Si volem resoldre un problema amb inequacions haurem de seguir els següents passos: 1. Assignació de variables: posar nom als termes desconeguts. 2. Plantejament: establir relacions entre les dades conegudes i les desconegudes, plantejant una o vàries inequacions (de primer o de segon grau, amb una o amb dues incògnites). 3. Resolució: entre els mètodes explicats, aplicar el que s’ajusti al nostre plantejament. A l’escena, seguim aquest esquema per a resoldre el problema plantejat al principi. EXERCICI 1: Un vinater disposa al seu magatzem de dos tipus de vi: un a 4€ el litre i un altre a 7€ el litre. Vol barrejar-los per omplir una bóta de 500 litres de capacitat i vol que la barreja no costi més de 6€ ni menys de 5€ el litre. Esbrina entre quins valors ha d’estar la quantitat de litres del primer tipus de vi perquè el preu final estigui a l’interval desitjat. Assigna variables, planteja el problema i resol-lo. Variables Plantejament Resolució

EXERCICIS 8.

Un fabricant de pinsos vol obtenir una tona d’un determinat pinso, per a vendre’l a 0,21€/kg. Per obtenir-lo, barrejarà dos tipus de pinso dels que ja té i que costen 0,24€/kg i 0,16€/kg, respectivament. 1)

Calcula la quantitat que ha d’entrar com a mínim en la barreja del pinso més barat per no perdre diners.

Quines han de ser les quantitats de cada tipus en la barreja si vol guanyar al menys 0,03€/kg?

Una biblioteca té un pressupost de 600€ per a comprar exemplars de dues noves novel·les que s’han editat. Cada exemplar de la primera val 25€ i cada exemplar de la segona 30€. Quants exemplars de cada una pot comprar? Representa el problema en forma d’un sistema d’inequacions, representa’l gràficament i escriu vàries possibles solucions.

Quan acabis pots passar al següent apartat.

Inequacions

Clica

per anar a la pàgina següent.

11 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Inequacions amb una incògnita Les seves solucions s’expressen en forma d’intervals: oberts si les desigualtats són estrictes (<, >) i tancats, en cas contrari (<=, =>). x-3<=5

Solució= Inequacions de segon grau

Es poden resoldre com un sistema o en forma gràfica, comprovant si la paràbola que la representa talla l’eix X i si s’obre cap amunt o cap avall. x2-5x+6>0 Solució:

Inequacions amb dues incògnites Les seves solucions són semiplans i es resolen de forma gràfica. x-y≤3

2x+y≤2

Sistemes amb dues incògnites Cada inequació es resol de forma independent. Les solucions del sistema són les comunes a cada una d’elles. Es resolen de forma gràfica. x-y≤3 2x+y≤2

Clica

Inequacions

per anar a la pàgina següent.

12 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les pàgines següents trobaràs EXERCICIS de: Inequacions amb valor absolut Inequacions de segon grau Inequacions racionals Inequacions amb dues incògnites Procura fer-ne al menys un de cada classe i un cop resolt comprova’n la solució. Completa l’enunciat amb les dades de cada EXERCICI de la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. Els següents EXERCICIS són d’Inequacions amb valor absolut. 1. |

2. |

| ≤

3. |

| >

4. |

| ≥

Els següents EXERCICIS són d’Inequacions de segon grau. 5.

Inequacions

13 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Els següents EXERCICIS són d’Inequacions racionals. 9.

10.

11.

12.

Els següents EXERCICIS són d’Inequacions amb dues incògnites. 13.

14.

15.

16.

Inequacions

14 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Indica quin inequació:

és l’interval

solució de la

Un mòbil es desplaça en línea recta a una velocitat que varia entre _____ m/s i _____ m/s. Entre quines distàncies des del punt de partida es troba el mòbil al cap de deu hores?

Indica i dibuixa en el requadre la gràfica solució del sistema:

Indica quin inequació:

és l’interval

solució de la

A quina parella de sistemes d’inequacions de primer grau és equivalent la inequació següent?

Inequacions

15 -

INS ________________________ QUADERN Núm. 5

NOM:

DATA:

Dibuixa la imatge que apareix en pantalla. Aquesta imatge és la gràfica del polinomi de segon grau de la inequació _______________. Indica quin és el conjunt solució d’aquesta. A. B. C. D.

No té solucions Tots els nombres reals Un interval finit La unió de dos intervals infinits

Indica quina de les imatges representa el conjunt solució de la inequació:

Fes el dibuix

Indica quin dels següents sistemes d’inequacions amb dues incògnites té com a conjunt solució el de la imatge:

Fes el dibuix

Indica quin dels sistemes d’inequacions amb dues incògnites té com a conjunt solució aquesta imatge.

Fes el dibuix

Inequacions

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Semblança

Continguts 1. Semblança Figures semblants Teorema de Tales Triangles semblants 2. Triangles Teorema Teorema Teorema

rectangles. Teoremes del catet de l’altura de Pitàgores generalitzat

3. Raó de semblança Raó de semblança en longituds Raó de semblança en àrees Raó de semblança en volums 4. Aplicacions Escales Mesurar distàncies inaccessibles

Objectius • • • • • • •

Reconèixer i dibuixar figures semblants. Aplicar els criteris de semblança de triangles. Demostrar i utilitzar els teoremes del catet i de l’altura. Aplicar el teorema de Pitàgores generalitzat. Calcular àrees i volums d’una figura a partir d’una altra de semblant. Calcular distàncies en plànols i mapes. Resoldre problemes de mesura utilitzant el Teorema de Tales i la semblança.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar

Semblança

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Abans de començar Clicant sobre aquesta imatge, podràs veure un vídeo sobre matemàtiques i natura.

Investiga jugant Com fer carambola a una banda? Si has jugat al billar, sabràs que fer carambola a una banda significa que la bola llençada ha de tocar el marc de la taula (banda) abans de fer carambola. Només cal aplicar la semblança per aconseguir-ho. Com? Cap on hem de dirigir la bola groga perquè després de rebotar a la banda vagi a la bola vermella? Si fas doble clic a la imatge podràs demostrar la teva punteria, no fallis!

En l’escena apareixen el Sol i la Lluna; movent la Lluna podem simular un eclipsi. Aplicant la semblança i el teorema de Tales es pot calcular la distància de la Terra a la Lluna, a partir de la duració d’un eclipsi total. O coneixent els radis de la Lluna i del Sol i la distància de la Terra a la Lluna, es pot trobar la distància de la Terra al Sol. La semblança fa accessibles figures i distàncies inaccessibles. Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Semblança 1.a. Figures semblants Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa: Les figures semblants són les que _____________________________________________ __________________________________________________________________________. Fent clic sobre la paraula polígon s’obre una finestra explicativa. I apropant el ratolí a la paraula proporcionals apareix un requadre amb l’explicació corresponent. Contesta: Per a que dos polígons siguin semblants: Com han de ser els costats homòlegs? ___________________________ Com han de ser els angles? __________________________________

Semblança

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

A l’escena adjunta tenim set casos diferents de figures semblants, en els quals has de fer coincidir les figures que apareixen; en primer lloc, has d’aconseguir que les figures siguin iguals, mitjançant els controls Zoom, Gir o Simetria i després fer que coincideixin mitjançant els controls Amunt-Avall, Esquerra-Dreta. Clica en el botó

per fer uns exercicis.

A l’escena apareixen una sèrie de figures animades. Espera que acabin les animacions abans de començar a fer els exercicis. Completa la taula adjunta amb l’ajuda de l’escena (els exercicis 6 i 7 fes-los únicament a la pantalla). Com són els angles homòlegs? Per què?

Comprova si els Són semblants? Per costats homòlegs són què? proporcionals

Clica Semblança

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

1.b. Teorema de Tales Contesta: Quantes condicions s’han de complir per a que dos polígons siguin semblants? _____. Quines són? 1. ____________________________ 2. ____________________________ Quantes condicions s’han de complir per a que dos triangles siguin semblants? _____. Clicant sobre El Teorema de Tales

pots veure una demostració de que:

També es compleix el recíproc del Teorema de Tales, Segments proporcionals → paral·leles. A l’escena de la dreta tens quatre situacions del teorema; escriu al costat de cada una la proporció corresponent. Si cliques en animar veuràs els triangles semblants:

Clica en el botó

per veure una comprovació gràfica del teorema. Clica

Semblança

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

1.c. Triangles semblants Dos triangles són semblants si compleixen algun dels següents criteris, anomenats criteris de semblança (completa els criteris i les fórmules):

Clica el botó

per veure la construcció de triangles semblants segons cada criteri.

L’escena de la dreta presenta uns exercicis sobre el que hem vist en aquesta secció. Resol-los en el requadre d’exercicis següent i després comprova la solució a l’escena (la numeració que apareix en l’escena es correspon amb la dels cercles):

EXERCICIS 1. Per a calcular la distància des de la platja a un vaixell s’han pres les mesures de la figura. Calcula la distància al vaixell.

2. Aplica el Teorema de Tales per a calcular les mesures de x, y, z.

Semblança

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

EXERCICIS 3. Observa les proporcions que es dedueixen del Teorema de Tales a la figura de l’escena i assenyala les que es compleixen i les que pot ser no: SÓN CERTES NO ES POT ASSEGURAR

4. Si els triangles de la figura són semblants, troba la mesura del costat x.

5. Fes primer el test que apareix a l’escena de la pantalla. Després, contesta aquest. a) Són semblants?

b) Un triangle amb un angle de 30º i un altre de 40º, és necessàriament semblant a un triangle amb un angle de 30º i un altre de 110º?

Semblança

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

EXERCICIS c) Un triangle de costats 3, 6 i 7 cm, és semblant a un altre els costats del qual mesuren 9, 36 i 49 cm?

d) Un quadrilàter de costats 3, 4, 5 i 6 cm, és necessàriament semblant a un altre de costats 6, 8, 10 i 12 cm?

e) Dos triangles que tenen un angle de 20º i els costats que el formen mesuren en un, 6 i 15 cm, i 4 i 10 cm en l’altre, són semblants?

f) Dos polígons regulars amb el mateix nombre de costats, són semblants?

g) Els costats de dos triangles mesuren 3, 6 i 7cm, en un, i

18 ,

12 2

i 7 2 en

l’altre. Són semblants?

6. Si tallem per la meitat un full DIN-A, se’n obté un de semblant. Seguint les indicacions de l’escena, calcula la proporció entre l’amplada i l’alçada d’aquests fulls.

Semblança

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

EXERCICIS 7. El rectangle auri que apareix en el Partenó i en la Gioconda, es caracteritza, perquè en tallar-li un quadrat de costat el seu costat menor, s’obté un altre rectangle semblant. Calcula la proporció entre les seves longituds.

8. Troba l’altura de l’arbre amb l’ajuda de les ombres que projecten l’arbre i una persona.

9. Si dobleguem un rectangle com s’indica a l’escena, s’obtenen tres triangles semblants. Per què ho són?

Clica

Semblança

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

2. Triangles rectangles. Teoremes 2.a. Teorema del catet Llegeix a l’escena de l’esquerra l’enunciat i la demostració d’aquest teorema. Completa: TEOREMA DEL CATET: En un triangle rectangle, ________________________________ __________________________________________________________________________. Fes clic a play per veure la demostració c = ___________________________ p = ___________________________ h = ___________________________

TEOREMA DEL CATET:

Un cop acabada la demostració pots repetir-la de forma guiada.

El teorema es pot generalitzar a triangles acutangles i obtusangles, comparant els triangles corresponents. Completa les fórmules pels diferents tipus de triangles: El Teorema del catet per triangles rectangles:

El Teorema del catet per triangles obtusangles:

El Teorema del catet per triangles acutangles:

Clica en el botó

per comprovar el teorema mitjançant un trencaclosques.

Clica

Semblança

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

2.b. Teorema de l’altura Llegeix a l’escena de l’esquerra l’enunciat i la demostració d’aquest teorema. Completa: TEOREMA DE L’ALTURA: _____________________________________________________ __________________________________________________________________________. Fes clic a play per veure la demostració a = ___________________________ p = ___________________________ q = ___________________________ Un cop acabada la demostració pots repetir-la de forma guiada. TEOREMA DE L’ALTURA:

Completa: El Teorema de l’altura per triangles rectangles:

El quadrat de l’altura _______________________________________________________ __________________________________________________________________________. Clica: recorda S’obre una escena en la qual pots veure un triangle rectangle i si cliques “play” observaràs els altres triangles en que es divideix al traçar l’altura amb base la hipotenusa:

Completa: Comparant 1 i 2 obtenim el teorema ____________________________. Comparant 1 i 3 obtenim el teorema ____________________________. Clica en el botó

per veure una animació en la qual s’aplica el teorema de l’altura

per a calcular arrels quadrades gràficament i per representar gràficament la funció y = Clica Semblança

per anar a la pàgina següent. -

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

2.c. Teorema de Pitàgores generalitzat A l’escena pots veure una demostració gràfica del teorema de Pitàgores. Arrossegant el punt A (assenyalat aquí amb la fletxa vermella) pots variar la forma del triangle ABC, en variar l’angle C. Seguint les instruccions de l’escena obtindràs diferents fórmules depenent de la mesura de C.

Clica

Començar

Pots repetir la demostració clicant En l’escena veiem que Anàlogament

Inici

c2=M+N i M=b2 ± b · pb (a)

N= a2 + a · pa(b)

Per tant:

c2 = a2 + b2 ± b · pa(b) ± a · pb(a) Clicant clic

Veiem que:

b · pb(a) = a · pa(b)

Completa les fórmules del Teorema de Pitàgores generalitzat:

L’enllaç Per ampliar feu clic aquí obre una escena amb tres demostracions del Teorema de Pitàgores, a més de diferents enllaços recomanats en els quals podràs veure més demostracions gràfiques. Clica en el botó

per resoldre exercicis d’aquesta secció.

Resol-los en els requadres de la pàgina següent i després utilitza l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes. Semblança

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Calcula la diagonal d’un ortoedre amb arestes de ___ , ___ i ___ dm.

Escriu els valors ordenats dels tres costats d’un triangle (fes 3 exemples diferents): a = _____ a = _____ a = _____ b = _____ b = _____ b = _____ c = _____ c = _____ c = _____ 2 2 2 2 2 Valor de a +b = ____ Valor de a +b = ____ Valor de a +b2 = ____ Escriu ara el signe Escriu ara el signe Escriu ara el signe adequat: a2+b2___ c2 adequat: a2+b2___ c2 adequat: a2+b2___ c2 per tant C és _________ per tant C és _________ per tant C és _________ En el triangle de la figura, calcula la hipotenusa, les projeccions dels catets i l’altura.

Una terna pitagòrica (a, b, c) són tres nombres que compleixen a2+b2=c2 Escriu 4 ternes pitagòriques de les que apareixen a l’escena i comprova que compleixen aquesta relació: (

)

(

)

(

)

(

)

Calcula el diàmetre de la semicircumferència de la figura.

Calcula la mesura del catet x de la figura.

Semblança

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Fes el test pitagòric que se’t proposa, i escriu la teva puntuació final.

EXERCICIS 10. Calcula la diagonal d’un ortoedre amb vuit arestes de 2 dm i les altres de 3 dm.

11. Esbrina si és rectangle, obtusangle o acutangle un triangle de costats 3 cm, 6 cm i 8 cm.

12. En el triangle de la figura calcula la hipotenusa, les projeccions dels catets i l’altura.

13. Comprova que si M, N (M>N) són dos valors enters (M2-N2, 2MN, M2+N2) és una terna pitagòrica. 14. Calcula el diàmetre de la semicircumferència de la figura.

15. Calcula la mesura del catet x de la figura.

Clica Semblança

per anar a la pàgina següent. -

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

3. Raó de semblança 3.a. Raó de semblança en longituds Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa: Si dues figures A i B són semblants, s’anomena raó de semblança de la figura B sobre la A __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________.

La raó de semblança defineix ________________________________________________. A l’escena de l’esquerra es defineix un polígon indicant el nombre de costats i les seves mides i també les posicions dels vèrtexs. Per això utilitza els polsadors: A la part inferior indica la raó de semblança:

Dibuixa aquí casos diferents, amb el nre. de costats que s’indiquen i amb diferents raons: Polígons de tres costats

Semblança

Polígons de quatre costats

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

Polígons de cinc costats

Clica en el botó

DATA:

Polígons de sis costats

per resoldre uns exercicis.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes. Quina és la raó de semblança que passa de la figura taronja a la figura verda?

Quina és la raó de semblança que passa de la figura taronja a la figura verda? Calcula la longitud del segment assenyalat amb un interrogant.

Semblança

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Quina és la raó de semblança que passa de la figura taronja a la figura verda? Calcula la longitud del segment assenyalat amb un interrogant:

A partir d’aquest triangle, dibuixa’n un altre de semblant que s’obtingui en aplicar-li una raó de semblança igual a ¼. Calcula la longitud de la hipotenusa en cada triangle.

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. Raó de semblança en àrees Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa: Si dues figures A i B són semblants, _____________________________________________ __________________________________________________________________________.

A l’escena de l’esquerra apareixen dos rectangles. Indica un valor per la raó de semblança utilitzant el polsador corresponent: Observa quina és la relació entre les àrees dels dos rectangles. Fes clic a Semblança

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

Clica en el botó

NOM:

DATA:

per resoldre uns exercicis.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes. Quina és la raó de semblança que converteix una figura en l’altra d’àrea la quarta part?

Quina és l’àrea d’una figura que s’obté en aplicar a una altra, d’àrea 2 m2, una semblança de raó 2,4?

En una semblança de raó 0,6 s’obté una figura d’àrea 7,2 m2, quina és l’àrea de la figura inicial?

Dibuixa un triangle semblant d’àrea la quarta part la d’aquest.

Clica Semblança

per anar a la pàgina següent. -

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

3.c. Raó de semblança en volums Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Completa: Si dues figures A i B són semblants, _____________________________________________ __________________________________________________________________________.

A l’escena de l’esquerra apareixen dos cubs. Indica un valor per la raó de semblança utilitzant el polsador corresponent: Observa quina és la relació entre els volums dels dos cubs. Fes clic a Clica en el botó

per resoldre uns exercicis.

Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats són correctes. Quina és la raó de semblança que s’ha aplicat per realitzar aquesta maqueta? El volum de la casa és de 1200 m3. El volum de la maqueta és de 150 dm3.

Semblança

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Quin és el volum de la figura de la dreta?

Quin és el volum de la figura de l’esquerra?

Clica

per anar a la pàgina següent.

4. Aplicacions 4.a. Escales Els mapes o plànols d’habitatges solen indicar l’escala d’aquesta manera: 1:2500000 en algun mapa de carreteres 1:250 en el plànol d’un habitatge. Per saber aplicar les escales a longituds, àrees i volums, només hem de recordar les següents fórmules: Completa: Escala=1:I I = ____________________________________ I2 = ____________________________________ I3 = ____________________________________

Semblança

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

L’escena de la dreta presenta uns exercicis sobre escales. Resol-los i comprova la solució a l’escena: A la imatge de Google es veuen els voltants del CNICE, quina és l’escala? Nota: No oblidis llegir les indicacions. Mesura del recorregut (m)___________ Mesura en el plànol (cm)____________

Aquesta seqüència d’exercicis tracta sobre l’escala del plànol d’un habitatge. Utilitza el regle per mesurar en el plànol, i després calcula quines seran les mesures reals del saló. Resol els cinc exercicis proposats a l’ordinador i escriu aquí tres dels casos. Exercici 1 Exercici 2 Exercici 3 Escala_ 1: _____

Escala_ 1: _____

Ample en el plànol (cm)=____

Ample real (m)=____

Llargada en el plànol (cm)=____

Llargada real (m)=______

Àrea en el plànol (cm2)=____

Àrea real (m2)=______

El volum real d’una de les torres Kio de Madrid és 139650 m3. Si l’escala és 1:700, quin és el volum de la maqueta?

Clica

Semblança

per anar a la pàgina següent.

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

4.b. Mesurar distàncies inaccessibles La semblança s’aplica al càlcul de distàncies inaccessibles. Ja hem comentat a l’apartat "abans de començar", que es pot calcular el radi del Sol aplicant semblança en un eclipsi total. En la secció 1 hem vist com calcular la distància a un vaixell o a un punt inaccessible. En aquesta secció també es calculen altures a partir de la seva ombra i la d’un altre objecte l’altura del qual es pot mesurar. L’escena ens mostra un instrument per a calcular mesures inaccessibles i un exercici per aplicar el Teorema de Pitàgores i la semblança al càlcul de distàncies. Aplica lo vist en aquesta escena per fer el següent exercici: Es vol calcular la distància entre els punts A i B, per a lo qual s’han pres les mesures de la figura: QM=1 m, XM=0,69 m i QB=5,67 m.

Amb l’ajuda de l’escena, calcula la longitud del fil de pescar.

Clica

Semblança

per anar a la pàgina següent.

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Figures semblants Si es pot passar d’una a l’altra mitjançant zoom (____________) i moviments (______________________________________).

Polígons semblants Si tenen els costats _____________________ i els angles ____________.

Triangles semblants En el cas dels triangles n’hi ha prou que es compleixi un dels tres criteris: Criteri 1

Criteri 2

Criteri 3

Angles ____________

Un angle_______________ i els costats que el formen _______________________

Costats __________________

Teorema de Tales Els segments que determinen rectes _________________ en dues rectes________________ són ___________________

Teoremes en triangles rectangles Teorema del catet Teorema de l’altura Teorema de Pitàgores

Teorema de Pitàgores generalitzat En triangles acutangles

En triangles obtusangles

Raó de semblança En longituds ________ En àrees ____________ En volums _________ Clica Semblança

per anar a la pàgina següent. -

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de: Semblança i Teorema de Tales Aplicació dels teoremes sobre triangles rectangles Raó de semblança i escales Completa l’enunciat amb les dades de cada EXERCICI de la pantalla i després el resols. És important que primer ho facis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé.

Semblança i Teorema de Tales. TEOREMA DE TALES. Calcula x (Quatre tipus d’exercicis) 1. Les rectes blaves (r, s i t) són paral·leles, determina el valor de x en cada cas:

Semblança

23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Quadrilàters semblants 2. Les mesures de tres costats homòlegs de dos quadrilàters semblants són: cm cm cm cm

Troba x i y.

Amplada de la base 3. La base d’una muntanya s’observa a una distància de ____ km. Es mou un regle de ____ cm fins tapar la visual de la base i en aquest moment la distància del regle a l’ull de l’observador és de ____ cm. Calcula l’amplada de la base de la muntanya.

Amplada del riu 4. Calcula l’amplada del riu.

Profunditat d’un pou 5. Calcula la profunditat del pou.

Semblança

24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Per on tallo? 6. Per on s’ha de tallar el full perquè el tros de l’esquerra sigui semblant al full sencer? amplada _____ llargada _____

Triangles semblants? (Dos tipus d’exercicis) 7. Dibuixa un triangle amb un angle de ___ i un dels costats que el formen de ___ cm. Són semblants tots els triangles que compleixen aquestes condicions?

8. Dibuixa un triangle amb un angle de ___ i el quocient dels costats que el formen igual a _____. Són semblants tots els triangles que compleixen aquestes condicions?

Aplicació dels teoremes sobre triangles rectangles. Teoremes. Calcula x (Sis tipus d’exercicis) 9. Calcula el valor de x en cada triangle:

Semblança

25 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Piràmides (Tres tipus d’exercicis) 10. Calcula el costat de la base de la piràmide regular sabent que la seva aresta lateral mesura ____cm i l’altura de cada una de les seves cares laterals és _____cm.

11. a) Calcula l’altura de la piràmide sabent que la base és un polígon regular d’apotema ___cm i que l’altura de cada una de les cares laterals és ____cm.

Semblança

26 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

b) Calcula l’altura de la piràmide sabent que la base és un polígon regular inscrit en una circumferència de radi ___ cm i la seva aresta lateral mesura ____ cm.

Plaça de toros 12. En una plaça de toros es pot calcular el seu diàmetre mesurant només uns metres. En la direcció d’un diàmetre (el defineix la visual amb els espectadors del davant), es mesuren __ m i girant 90º, es camina en aquesta direcció fins al carreró, resultant la mesura d’aquest recorregut igual a _____ m. Calcula el diàmetre de l’arena de la plaça de toros.

Diàmetre i Teorema del catet 13. Calcula el diàmetre de la circumferència de la figura.

Distàncies en coordenades 14. a) Troba la distància entre els punts de coordenades (___ , ___) i (___ , ___)

Semblança

27 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Equació de la circumferència b) Els punts (x, y) d’una circumferència disten del centre un radi. Si el centre és el punt (___,___) i el radi ___. Saps expressar aquesta condició amb una equació? Pista: Aplica el teorema de Pitàgores en el triangle de la figura

Calcula el costat c 15. Aplica el teorema generalitzat de Pitàgores per calcular la mesura del costat c en el triangle de la figura. (Clica UN ALTRE EXERCICI fins que aparegui cada una de les figures següents)

Semblança

28 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Raó de semblança i escales. Longituds, escala? 16. A la figura es veu una còpia del dibuix original. Quina és l’escala de la còpia?

Mapa i curvímetre (Dos tipus d’exercicis) 17. En mesurar sobre el mapa amb el curvímetre la distància per carretera entre dos pobles obtenim _______ cm, l’escala del mapa és 1:_________ . Quants km tindrà la carretera que uneix aquests dos pobles?

18. En observar un mapa d’escala 1:________ descobrim que falta un poble B en una carretera. Si sabem que B dista ______ km d’un altre poble A que veiem al mapa, a quants cm de A per la carretera del mapa col·locarem el punt que representi B?

Àrees i volums (Sis tipus d’exercicis) 19. El volum d’una torre és de ________ m3, calcula el volum de la seva representació en una maqueta d’escala 1:______.

Semblança

29 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

20. L’àrea de la base d’una torre és de _____ m2, calcula l’àrea d’aquesta en una maqueta d’escala 1:______.

21. L’àrea d’una torre és de _______ m2 i en una maqueta ocupa una superfície de _____ cm2 . Troba l’escala de la maqueta.

22. L’àrea de la base d’una torre és de ____cm2 en una maqueta d’escala 1:______. Calcula l’àrea real de la base.

23. El volum d’una torre és de ______ m3 i en una maqueta ocupa un volum de ______ cm3. Troba l’escala de la maqueta.

24. El volum d’una torre és de _____ m3 en una maqueta d’escala 1:______. Calcula el volum real de la torre.

Semblança

30 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i els resols, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Aplica la semblança per calcular el valor de x.

Sabent que els angles interiors d’un quadrilàter sumen 360º, calcula el valor de x. Quadrilàter major: angles ____º i ____º Quadrilàter menor: angle ____º

Els polígons de l’escena, són semblants? En cas afirmatiu, introdueix un 1 en la solució i, en cas negatiu, escriu un -1

Si la finestra de la casa del davant és igual que la meva, puc saber la seva altura, i amb la visual d’una vareta, es pot calcular l’amplada del carrer. Calcula-la.

Si els costats d’un triangle mesuren ______ , ______ i ______ cm, quin tipus de triangle és?

Semblança

31 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 6

NOM:

DATA:

Calcula el perímetre d’un triangle rectangle en el qual les projeccions dels catets sobre la hipotenusa mesuren ______ cm i ______ cm.

En un triangle rectangle un catet mesura ______ cm i l’altura sobre la hipotenusa ______ cm, quant mesura la hipotenusa?

Calcula l’àrea d’un triangle rectangle en el qual les projeccions dels catets sobre la hipotenusa mesuren ______ i ______ cm.

La generatriu d’un con recte mesura ______ cm i el radi de la base ______ cm. Troba l’altura d’un con semblant però realitzat a escala 1:_____.

Calcula l’àrea en m2 d’un pis del que tenim un plànol a escala 1:_______, sabent que el pis en el plànol ocupa ______ cm2.

Semblança

32 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Trigonometria Continguts 1. Els angles i la seva mesura Recorreguts en la circumferència Radiants Graus sexagesimals De radiants a graus Mesurant angles 2. Raons trigonomètriques Raons trigonomètriques Sinus i cosinus en la circumferència Tangent en la circumferència Raons de 30º, 45º i 60º 3. Relacions trigonomètriques Relacions fonamentals 4. Resoldre triangles rectangles Amb un angle i la hipotenusa Donats un angle i un catet Coneguts dos costats 5. Raons d’angles qualssevol Sinus Cosinus Tangent 6. Aplicacions de la trigonometria Resoldre problemes mètrics

Objectius • • • • •

Calcular les raons trigonomètriques d’un angle. Trobar totes les raons trigonomètriques d’un angle a partir d’una d’aquestes. Resoldre triangles rectangles quan es coneixen dos costats o un costat i un angle. Resoldre situacions relacionades amb la geometria en les quals es necessiti calcular angles i distàncies entre dos punts. Utilitzar la calculadora per obtenir raons o angles.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Versió en català: Francesc Cassasas Canals

Trigonometria

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

Abans de començar En l’escena de la dreta tens una presentació en la que pots llegir la història de la trigonometria; clicant en les fletxes

podràs veure les diferents diapositives.

CONTESTA Quins és el primer monument que es coneix que serveix per fer càlculs astronòmics?

RESPOSTA

Escriu vàries civilitzacions antigues que van fer servir la trigonometria Escriu vàries utilitats de la trigonometria en l’antiguitat Escriu vàries utilitats de la trigonometria en l’actualitat

Investiga Segurament deus haver vist aquest senyal a les carreteres i saps què indica: pendent prolongada. També deus recordar el concepte de pendent d’una recta. Segons aquest, el 10% significa que cada 100 m recorreguts en horitzontal, en pugem (o baixem) 10 en vertical. Però alguns interpreten els 100 m com el camí real recorregut. Què n’opines?, influeix gaire considerar-ho d’una o una altra forma? Explica breuement la teva opinió ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Prem el botó

per repassar la semblança i el Teorema de Pitàgores.

Prem

per anar a la següent pàgina.

1. Els angles i la seva mesura 1.a. Recorreguts en la circumferència Trigonometria es una paraula que deriva del grec Τριγωνοµετρíα, tri (Τρι) tres, gono (γωνο) angle, metria (µετρíα) mesura, és a dir, "mesura de tres angles". Pots consultar la definició de trigonometria que dóna el diccionari de la RAE. En aquest curs es tractarà únicament la trigonometria plana. Per tal d’estudiar els angles i la seva mesura definirem l’angle com un recorregut en la circumferència amb centre l’origen i de radi unitat o circumferència goniomètrica.El punt de partida d’aquests recorreguts es situarà en el punt de coordenades (1,0) i la mesura d’un angle serà la mesura d’aquest recorregut. Els angles poden tenir sentit positiu o negatiu segons el sentit del recorregut; si és contrari al de les agulles del rellotge serà positiu i si és igual, negatiu.

Trigonometria

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

Observa i manipula l’escena de l’esquerra: CONTESTA

RESPOSTA

Què és un angle? Què significa que un angle tingui sentit positiu? Què significa que un angle tingui sentit negatiu? A què anomenem circumferència goniomètrica? Dibuix un angle positiu

Clica en el botó

Dibuixa un angle negatiu

per resoldre un exercici.

Dibuixa aquí com a mínim 4 dels angles que es proposen, i escriu al costat l’opció correcta que has d’escollir en la escena:

Clica

Trigonometria

per anar a la següent pàgina.

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

1.b. Radiants Mesurar un angle és mesurar el seu recorregut en la circumferència. Com que la mesura de tota la circumferència és 2·Π·radi, resulta convenient prendre com a unitat de mesura el radi. A la pàgina anterior, els angles es van representar en una circumferència de radi 1, això no significa que el radi mesuri 1 cm o 1 peu o 1 m, sinó que el radi és la unitat de mesura presa. Per raons evidents a aquesta unitat se l’anomena radiant. L’escena comença mostrant l’angle de mesura d’un radiant, el recorregut del qual en la circumferència és igual al seu radi. Després, en els exemples, es demana una estimació de la mesura d’alguns angles. Escriu aquí l’opció correcta en cada cas: Exemple 1

Clica en el botó

Exemple 2

pe visualitzar alguns angles en radiants.

Clica

per anar a la següent pàgina.

1.c. Graus sexagesimals Ja coneixes el sistema sexagesimal de mesura d’angles. En dividir la circumferència en 360 parts iguals, obtenim un grau, al seu torn cada grau es compon de 60 minuts i cada minut de 60 segons. Així un angle es mesura en: Graus º minuts ' segons ''

Sistema Sexagesimal Té base 60. Aquest sistema de mesura l’hem heretat de l’antiga Babilònia, observa la semblança amb la forma com mesurem el temps. Saps per què?

Amb l’ajuda de l’escena de l’esquerra, mesura els angles de la fotografia que s’indiquen

Trigonometria

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

Clica en el botó

DATA:

per resoldre un exercici.

A les calculadores usuals solen aparèixer quatre tipus de mesura d’angles, "DEG" o expressió en graus sexagesimals; la tecla < º ' " > dóna els graus enters de l’angle i la part decimal es compta en minuts (1/60 de grau) i segons (1/60 de minut). Un altre tipus es denota amb "RAD" és a dir, radiants. I també es sol veure l’expressió de l’angle en graus centesimals "GRAD" cada grau centesimal és la centèsima part de l’angle recte, tota la circumferència està formada per 400 graus centesimals. 1GRAD=90/100 DEG. Intenta completar la següent taula, expressant cada angle en els quatre sistemes de mesura descrits. GRAD

DEG

º'"

RAD

-100 180 ∏⁄6 60º 30’ -∏⁄4 135

Clica

per anar a la següent pàgina.

1.d. De graus a radiants i de radiants a graus Llegeix l’explicació teòrica i observa l’escena. Completa: El semiperímetre de la semicircumferència és _________ ___ radiants = ____ graus És a dir, _____________ = __________________ ______ radiant = ______ grau Si aïllem el grau resulta: 1 grau = __________ ~ ________ radiants Si aïllem el radiant resulta: 1 radiant = _______ graus ~ _______ graus Practica amb l’escena el pas d’un sistema de mesura a l’altre.

Trigonometria

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

EXERCICIS

1. Dibuixa en la circumferència goniomètrica els angles de 120º, -50º i 315º:

2. Dibuixa en la circumferència goniomètrica els angles de 5π/6, 3π/4, i 3π/2 rad:

3. Passa a radiants: a.

150º,

210º

270º

60º

4. Passa a graus: a. 11π/6 rad

π/4 rad

5π/4 rad

Clica

2π/3 rad

per anar a la següent pàgina.

1.e. Mesurant angles En l’escena d’aquesta pàgina es poden mesurar angles amb diferents unitats i diferent signe. Practica amb ella canviant el sentit de gir de l’angle i les unitats de mesura. Clica en el botó

per veure quatre exercicis resolts.

Clica Trigonometria

per anar a la següent pàgina. -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

2. Raons trigonomètriques 2.a. Raons trigonomètriques En els triangles semblants els angles són iguals i els costats homòlegs són proporcionals. La raó entre els costats d’un triangle determina la seva forma.

Recorda S’anomena raó o proporció entre dos nombres al seu quocient.

Donat un triangle rectangle, les raons trigonomètriques de l’angle agut α es defineix: El sinus és el quocient entre ______________________ i ___________________. El cosinus és el quocient entre _____________________ i ___________________. La tangent és el quocient entre ____________________ i ___________________.

En l’escena pots variar el valor de l’angle α i la mida del triangle i observar que aquestes raons no depenen de la mida del triangle si no de l’angle α. També s’utilitzen les raons inverses a aquestes, pots veure-les fent clic a l’enllaç aquí Completa la taula amb aquestes raons per un angle α

Clica

per anar a la següent pàgina.

2.b. El sinus i el cosinus en la circumferència Seguint les instruccions de l’escena veiem definits el sinus i el cosinus en la circumferència goniomètrica o de radi unitat. En el triangle rectangle que es forma, com que la hipotenusa és 1,

el catet oposat és el __________________ l’adjacent el ___________________

Observa que (cos α, sin α) són les coordenades del punt final de l’angle α en la circumferència de radi unitat. Clica Trigonometria

per anar a la següent pàgina. -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

2.c. La tangent en la circumferència En l’escena es comprèn perquè al quocient entre el catet oposat i el catet adjacent se l’anomena tangent, el seu valor queda definit sobre una recta tangent a la circumferència en el punt (1,0). Observa en l’escena que quan el catet adjacent val 1, la hipotenusa és igual a la inversa del cos α. Al quocient:

se l’anomena _______________________ de α i s’abreuja amb __________________ Completa el triangle

Clica en el botó

per completar els triangles i reconèixer les raons

trigonomètriques. Aprofita l’escena per comprovar si els teus resultats sòn correctes.

Clica Trigonometria

per anar a la següent pàgina. -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

2.d. Les raons de 30º, 45º i 60º Els angles de 30º, 45º i 60º apareixen freqüentment, fixeu-vos com es calculen les seves raons a partir de la definició si busquem els triangles adequats. Observa l’escena de la dreta i completa la següent taula:

Sinus

cosinus

tangent

30º 45º 60º Memoritzar aquesta taula és fàcil si observes l’ordre que segueixen. Una vegada apresos els sinus amb les arrels consecutives, els cosinus surten en ordre invers. Clica en el botó

per treballar amb l’escena i practicar amb aquestes raons.

Amb la calculadora Donat un angle α obtenir les seves raons trigonomètriques. Per exemple elsenoècoseno sin 28º 30´ Posa la calculadora en mode Fes 28

º ‘ ‘‘

Amb el mateix valor que tens en la pantalla:

DEG

sin

Obtenim: 0,477158760 En algunes calculadores cal prémer la tecla sin

Donada una raó obtenir l’angle α corresponent

abans d’introduir l’angle, comprova

0,477158760

Comprova que la calculadora segueix en mode

DEG

Prem

SHIFT

Obtenim:

28,5

sin

en graus, si volem

com funciona la teva. Si volem obtenir el

cos α o la tg α

procedirem de la mateixa forma però amb les tecles

cos

tan

graus, minuts i segons, premem º ‘ ‘‘

obtenint

respectivament.

Prem

Trigonometria

28º 30’

SHIFT

per anar a la següent pàgina.

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

3. Relacions trigonomètriques 3.a. Relacions trigonomètriques fonamentals Si s’apliquen la semblança i el teorema de Pitàgores als triangles rectangles "bàsicos", és a dir, amb hipotenusa=1 o amb catet adjacent=1, s’obtindran les relacions fonamentals de la trigonometria:

Els triangles OBA i OB’A’ són semblants, de manera que:

sin α = cos α

Aplicant el Teorema de Pitàgores en el triangle OBA de la figura obtindrem:

En mesurar els costats d’un triangle rectangle es pot prendre com a unitat la hipotenusa, o un dels catets; en aquest cas obtenim els triangles de la figura.

Escriu aquí les relacions

Clica en el botó

Trigonometria

per comprovar si les has après.

10 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

EXERCICIS

5. En el triangle de la figura calcula: a) sin α

d) sin β

b) cos α

e) cos β

c) tg α

f) tg β

6. Calcula amb la calculadora: a) sin 30º =

b) cos 60º =

c) tg 45º =

7. Calcula amb la calculadora els angles α i β de l’exercici 5.

8. Comprova en l’angle α del triangle de la figura que es compleixen les relacions fonamentals

9. Calcula el cosinus i la tangent d’un angle agut α tal que sin α=0,3

10. Comprova que es compleix la relació: 1+ tg2 α=sec2 α Recorda el triangle:

Prem

Trigonometria

per anar a la següent pàgina.

11 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

4. Resolució de triangles rectangles 4.a. Coneguts la hipotenusa i un angle agut Resoldre un triangle rectangle és calcular les dades desconegudes, costats o angles, a partir de les conegudes. Per trobar els catets d’un triangle rectangle del qual es coneixen les mesures de la hipotenusa i d’un angle agut, pensarem en el triangle que es multiplica per la hipotenusa. Si cliques

pots veure una animació que ho explica.

Completa com quedarà el triangle

A l’escena pots veure un exemple resolt de com calcular l’altura d’una muntanya. Completa la resolució en aquest requadre

Clica en el botó

per fer un exercici.

PROBLEMA 1: Completa l’enunciat i resol: Del triangle rectangle de la figura es coneixen un angle, _____º, i la hipotenusa _____ cm. Hem de trobar els catets en funció de les raons trigonomètriques de l’angle donat

Prem Trigonometria

Per anar a la següent pàgina. -

12 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

4.b. Coneguts un catet i un angle agut Per trobar els costats d’un triangle rectangle del qual es coneixen les mesures d’un catet i d’un angle no recte, pensarem en el triangle que es multiplica pel catet adjacent: Si cliques

pots veure una animació que ho explica.

Completa com quedarà el triangle

A l’escena podem veure un exemple resolt sobre com calcular l’altura d’una torre Completa la resolució en aquest requadre

Clica en el botó

per fer un exercici.

PROBLEMA 2: Completa l’enunciat i resol el problema: Del triangle rectangle de la figura es coneixen un angle, _____º, i el catet adjacent _____ cm. Hem de trobar els altres costats en funció de les raons trigonomètriques de l’angle conegut.

Prem

Trigonometria

per anar a la següent pàgina.

13 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

4.c. Coneguts dos costats del triangle Per trobar l’altre costat del triangle s’aplicarà el teorema de Pitàgores, l’angle es determinarà com l’arc la tangent del qual és

catet oposat catet adjacent El seu valor s’obté a la calculadora en prémer la tecla atg, una vegada introduït a la pantalla aquest quocient. o bé com l’arc el sinus del qual és

catet oposat hipotenusa depenent de les dades inicials. Per calcular l’altre angle n’hi ha prou amb restar de 90º. En utilitzar la calculadora fixeu-vos si esteu treballant amb graus o amb radiants. Si fas servir la que apareix pitjant sobre aquest botó, apareix il·luminat RAD, Que vol dir que el resultat surt en radiants, prem sobre DEG si vols canviar a graus sexagesimals. A l’escena podem veure un exemple resolt sobre això; si mous el punt taronja del vèrtex superior pots modificar la grandària del triangle. Amb l’ajuda d’aquesta escena, resol el triangle de catets 8i6

hipotenusa =

 a tan   90º − Clica en el botó

  = 

= per veure un cas particular del Teorema de Pitàgores

Mètode de càlcul: 1. Escriu el teorema de Pitàgores 2. Aïlla un dels catets 3. Fixa’t que el segon membre de la igualtat es correspon amb una igualtat notable, que has d’escriure a continuació: 4. Aplica aquesta igualtat notable al pas 2 5. Aïlla el catet 6. Escriu ara el cas particular en que el catet i la hipotenusa difereixen en una unitat Prem Trigonometria

per anar a la següent pàgina. -

14 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

5. Raons trigonomètriques d’angles qualssevol 5.a. Sinus d’un angle qualsevol Recorda que la circumferència goniomètrica és una circumferència de radi unitat i centre l’origen de coordenades; en ella (cosα, sinα) són les coordenades del punt final de l’angle α. Això que vam veure pels angles aguts podem fer-ho extensible a angles qualssevol. El sinus d’un angle és la coordenada vertical del punt final del recorregut de l’angle sobre la circumferència goniomètrica. Observa que el seu valor està entre -1 i 1.

Arrossega la punta de la fletxa per fer variar l’angle i amb ell el valor del sinus. Fixa’t a l’escena com varia el signe que pren el sinus segons el quadrant en que estigui l’angle.

Escriu els signes a la circumferència

Observa també que i que

sin(360º-α)=____________ sin(180º-α)= ___________

Quants angles amb sinus igual a -1/2 hi ha entre 0º i 360º? ___________________________ Clica en el botó

per veure un exercici resolt Prem

per anar a la següent pàgina.

5.b. Cosinus d’un angle qualsevol De la mateixa manera que el sinus d’un angle és l’ordenada, el cosinus és l’abscissa del punt final del recorregut que marca l’angle en la circumferència. El cosinus d’un angle pot prendre tots els valors entre -1 i 1. Fixa’t a l’escena com varia el signe que pren el cosinus segons el quadrant en que estigui l’angle.

Escriu els signes a la circumferència

Observa que i que

(360º-α) = ___________ cos(180º-α)=. _________

Quants angles amb cosinus igual -1/2 hi ha entre 0º i 360º?________________________ Clica en el botó

per veure un exercici resolt Prem

Trigonometria

per anar a la següent pàgina. -

15 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

5.c. Tangent d’un angle qualsevol Amb la relació fonamental tg α=sinα/cosα s’amplia la definició de tangent en angles aguts a un angle qualsevol. Observa que la tangent es representa en la recta tangent a la circumferència goniomètrica en el punt on s’inicia l’angle. Què passa amb el valor del cosinus pels angles de 90º i 270º? _______________________________________ Què passa aleshores amb la tangent per aquests angles? _________________________________________________________ Per què? ___________________________________________

Fixa’t en l’escena com varia el signe que pren la tangent segons el quadrant en que estigui l’angle. Escriu els signes en la circumferència

Quants angles hi ha entre 0º i 360º que tinguin tangent igual a 2? _____________________

Clica en el botó

per veure un exercici resolt.

Prem

per anar a la següent pàgina.

EXERCICIS 11. Dibuixa un angle del tercer quadrant en el que el cosinus sigui igual a -0,6 i calcula’n el sinus i la tangent

12. Calcula cosα sabent que tg α=-2 i que α és del quart quadrant.

Trigonometria

16 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

6. Aplicacions de la trigonometria 6.a. Resolució de problemes mètrics La trigonometria és útil per resoldre problemes geomètrics i calcular longituds a la realitat. Amb un teodolit com el de la fotografia, es poden mesurar angles, tant en el pla vertical com en l’horitzontal, que ens permeten, aplicant les raons trigonomètriques, trobar distàncies o calcular altures de punts inaccessibles. En aquests casos encara que el triangle de partida no sigui rectangle, traçant la seva altura podem obtenir dos triangles rectangles que es podran resoldre amb les dades que tenim. A l’escena pots veure alguns exemples. Calcular àrees de polígons regulares L’escena ens permet calcular pas a pas l’àrea de polígons regulares, de 5 a 10 costats, completa la taula següent amb els exemples de l’escena Longitud del costat

Nombre de costats

Angle central

Tangent de l’angle

Apotema

Perímetre

Àrea

Calcular mesures topogràfiques Per mesurar l’amplada d’un riu s’han pres les mides dels angles de la figura des de dos punts d’una vora distants 160 m. Quina amplada té el riu? L’amplada del riu és l’altura del triangle ACB que no és rectangle, però sí que ho són els triangles ADC i BDC Al triangle ADC tg 67,38º = Al triangle BDC tg 47,48º =

⇒

a= ⇒

Obtenim, doncs, un sistema de dues equacions que resolem per igualació.

a =  a =

Prem

Trigonometria

per anar a la següent pàgina.

17 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

Recorda el més important – RESUM Els angles i la seva mesura Per mesurar angles emprem _____________ o ____________. Un radiant és _________________________________________________________ De graus a radiants

De radiants a graus

Raons trigonomètriques

cosα =

sin α=

tgα =

Relacions fonamentals Entre el sinus i el cosinus

Entre el sinus, el cosinus i la tangent

Raons de qualsevol angle (cos α, sin α) són les coordenades del punt final de l’angle α en la circumferència goniomètrica o de radi unitat. Signes de les raons trigonomètriques Sinus

Cosinus

Tangent

Resoldre un triangle rectangle Consisteix a ________________________________________________________________ _________________________________________________________________________. Prem Trigonometria

per anar a la següent pàgina. -

18 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

Per practicar Practica ara resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de: Mesura d’angles Relacions fonamentals Resolució de triangles Completa l’enunciat amb les dades que apareixen en cada EXERCICI a la pantalla i després el resols. És important que primer el facis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé.

Mesura d’angles. Passar de graus a radiants (fes com a mínim quatre exercicis) 1. Expressa en radiants l’angle de: a.

a. ______ graus

b. ______ graus

c. ______ graus

d. ______ graus

Passar de radiants a graus (fes com a mínim quatre eercicis) 2. Expressa en graus l’angle de: a.

a. ______ radiants

b. ______ radiants

c. ______ radiants

d. ______ radiants

Relacions fonamentals. Raó coneguda: SINUS

Calcular: COSINUS

3. Si α és un angle del quadrant________ sina= _______, calcula cos α

4. Si α és un angle del quadrant_________ sina= _______, calcula cos α

Trigonometria

19 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

Raó coneguda: SINUS

DATA:

Calcular: TANGENT

5. Si α és un angle del quadrant_________ i sin α=_______, calcula tg α

6. Si α és un angle del quadrant_________ i sin α=_______, calcula tg α

Raó coneguda: COSINUS

Calcular: SINUS

7. Si α és un angle del quadrant_________ i cos α=_______, calcula sin α

8. Si α és un angle del quadrant_________ i cos α=_______, calcula sin α

Raó coneguda: COSINUS

Calcular: TANGENT

9. Si α és un angle del quadrant_________ i cos α=_______, calcula tg α

10. Si α és un angle del quadrant_________ y cos α=_______, calcula tg α

Raó coneguda: TANGENT

Calcular: SINUS

11. Si α és un angle del quadrant_________ i tg α=_______, calcula sin α

12. Si α és un angle del quadrant_________ i α=_______, calcula sin α

Trigonometria

20 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

Raó coneguda: TANGENT

DATA:

Calcular: COSINUS

13. Si α és un angle del quadrant_________ i tg α=_______, calcula cos α

14. Si α és un angle del quadrant_________ i tg α=_______, calcula cos α

Resolució de triangles. El costat d’un polígon 15. La longitud del radi d’un polígon regular de ____ costats és de _______. Calcula el costat.

16. La longitud de l’apotema d’un polígon regular de ____ costats és de _______. Calcula el costat.

L’ apotema d’un polígon 17. La longitud del radi d’un polígon regular de ____ costats és de _____. Calcula l’apotema.

18. La longitud del costat d’un polígon regular de ____ costats és de _____. Calcula l’apotema.

L’àrea d’un polígon 19. La longitud del costat d’un polígon regular de ____ costats és de _____. Calcula l’àrea.

20. La longitud de l’apotema d’un polígon regular de ____ costats és de _____. Calcula la superfície.

Trigonometria

21 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

El radi d’un polígon 21. La longitud de l’apotema d’un polígon regular de ____ costats és de _____. Calcula el radi.

22. La longitud del costat d’un polígon regular de ____ costats és de _____. Calcula el radi.

L’altura d’un avió 23. Dues persones veuen un avió que les sobrevola a una altura de _____m, amb angles d’elevació de ____º i ____º. A quina distància es troben les dues persones?

L’altura d’un arbre 24. Determina l’altura d’un arbre si des d’un punt situat a _____ de la seva base se n’observa la seva copa amb un angle de _____graus

L’altura de una cometa 25. La longitud del fil que subjecta un estel és de ______m. Si l’angle d’elevació de l’estel és de _____º, quina altura assoleix l’estel?

L’altura d’un edifici 26. Per calcular l’altura d’un edifici es mesuren els angles d’elevació des de dos punts situats a _______m. Quina és l’altura de l’edifici si els angles són ______º i _______º?

L’altura d’una muntanya 27. Per mesurar l’altura d’una muntanya es mesuren els angles d’elevació des de dos punts situats a una distància de ________m i a una altura de ______m sobre el nivell del mar. Quina és l’altura de la muntanya si els angles són _____º i _______º?

Trigonometria

22 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM: ____________________________

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que pots veure a l’ordinador. Resol el problema i després introdueix el resultat per comprovar si la teva solució és correcta. Expressa en __________

radiants

l’angle

figura

Calcula el valor de tg A al triangle de la figura:

Calcula l’àrea del triangle de la figura.

Amb un compàs de _______ de longitud hem traçat una circumferència de _____cm de radi, quin angle, en radiants, formen les branques del compàs?

Si sinα = ______, i α és un angle _________, calcula la tg α.

Si tg α=______ i α és un angle del _____ quadrant, calcula el cos α.

A partir de les raons de l’angle de ____, calcula ______ de l’angle de ____________

Si cos α = ________, i α és un angle _____, calcula el _______________.

L’altura de Torrespaña és de 231 m. Quant fa l’ombra de l’edifici quan la inclinació dels raigs del sol és de _____?

Calcula l’àrea del polígon regular de la figura

Trigonometria

23 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 7

NOM:

DATA:

Per practicar més 1. Expressa en radiants: a) 15º

b) 120º

c) 240º

d) 345º

2. Expressa en graus: a)

π 15

3π 10

7π 12

11π 6

3. Troba amb la calculadora les següents raons trigonomètriques arrodonint a les centèsimes: a) sin 25º

b) cos 67º

c) tg 225º

d) tg 150º

13. El sin α = 3/5 i α és un angle del segon quadrant, calcula la tg α. 14. El cos α = 3/5 i α és un angle del quart quadrant, calcula la tg α. 15. La tg α = 3 i α és un angle del tercer quadrant, calcula el cos α . 16. L’apotema d’un polígon regular de 9 costats mesura 15 cm, calcula el costat. 17. El costat d’un hexàgon regular mesura 30 cm, calcula l’apotema.

4. Un angle d’un triangle rectangle mesura 47º i el catet oposat 8 cm, troba la hipotenusa.

18. L’apotema d’un octògon regular mesura 30 cm, calcula l’àrea del polígon.

5. La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 26 cm i un angle 66º. Calcula els catets.

19. La longitud del radi d’un pentàgon regular és 15 cm. Calcula l’àrea.

6. Un angle d’un triangle rectangle mesura 44º i el catet adjacent 16 cm, calcula l’altre catet.

20. L’ombra d’un arbre quan els raigs del sol formen amb l’horitzontal un angle de 36º, mesura 11 m. Quina és l’altura de l’arbre?.

7. En un triangle rectangle els catets mesuren 15 i 8 cm, troba els angles aguts.

21. El fil d’un estel mesura 50 m de llarg i forma amb l’horitzontal un angle de 37º, a quina altura vola l’estel?

8. La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 45 cm i un catet 27 cm, calcula els angles aguts.

22. Per mesurar l’altura d’un edifici es mesuren els angles d’elevació des de dos punts separats per 100 m. Quina és l’altura si els angles són 33º i 46º?

9. En un triangle isòsceles els angles iguals mesuren 78º i l’altura 28 cm, troba el costat desigual 10. Els costats iguals d’un triangle isòsceles mesuren 41 cm i els angles iguals 72º, calcula l’altre costat. 11. El cosinus d’un angle agut és 3/4, calcula el sinus de l’angle.

12. La tangent d’un angle agut és 12/5, calcula el sinus.

Trigonometria

23. Dues persones que es troben separades per 840 m, veuen alhora un avió amb angles d’elevació respectius de 60º i 47º, a quina altura vola l’avió?

33º

46º

100

h 47º

60º 840

24. Per mesurar l’altura d’una muntanya es mesuren angles d’elevació des de dos punts separats per 480 m i situats a 1200 m sobre el nivell del mar. Quina és l’altura si els angles són de 45º i 76º? -

24 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Funcions i gràfiques

Continguts 1. Funciones reals Concepte de funció Gráfica d’una funció Domini i recorregut Funcions definides a trossos 2. Propietats de les funcions Continuïtat i discontinuïtats Periodicitat Simetries 3. Taxa de variació i creixement Taxa de variació mitjana Creixement i decreixement Màxims i mínims Concavitat i punts d’inflexió

Objectius • • • • • • • •

Conèixer i interpretar les funcions i les diferents formes de presentar-les. Reconèixer el domini i el recorregut d'una funció. Determinar si una funció és contínua o discontínua. Trobar la taxa de variació mitjana d'una funció en un interval. Determinar el creixement o decreixement d'una funció i trobar-ne els màxims i mínims. Reconèixer els punts d'inflexió. Comprovar la simetria d'algunes funcions respecte a l'origen i a l'eix OY. Reconèixer si una funció és periòdica.

Autor: Mª Isabel Hermida Rodríguez Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Funcions i gràfiques

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Abans de començar Investiga Imagina que puges en una sínia de radi 30 m i que per accedir cal que pugis 5 m des del terra. La sínia comença a girar. Dibuixa aquí les gràfiques corresponents Com és la gràfica de la funció que proporciona l’altura a la que et trobes segons l’angle de gir?

Tu vas a la cabina taronja i uns amics a la verda, com serà la seva gràfica?

El llenguatge de les gràfiques De les diferents formes en les quals pot presentar-se una funció, mitjançant un enunciat, una taula, una expressió algebraica o una gràfica, aquesta última és la que ens permet veure amb només un cop d'ull el seu comportament global, i és per això que és tan important. En aquesta unitat aprendràs a reconèixer i interpretar les seves característiques principals. Clica sobre

per veure un vídeo sobre això.

Clica

Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent.

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

1. Funcions reals 1.a. Concepte de funció Llegeix i completa el text: Una funció és una ____________________ entre dos conjunts numèrics, de tal manera que a cada element del conjunto inicial li correspon ____________________________ del conjunt final. Es relacionen així dues variables numèriques que solen anomenar-se x i y. f: x → y=f(x) x és la variable ____________________________ y és la variable ____________________________ A

l'escena

podeu

veure

representada

una

funció

extreta

d'una

informació

gràfica.

El gràfic descriu el recorregut de la 9a Etapa de la Vuelta Ciclista 2007, indicant els quilòmetres totals i l’altitud en els punts principals del trajecte.

Clica

per continuar i veure una versió més simplificada de la gràfica A l’esquerra apareix la gràfica anterior traçada sobre uns eixos cartesians, per simplificar-la s’han unit els punts principals mitjançant segments. Es tracta d’una funció que dóna l’altitud segons els quilòmetres recorreguts.

Observa els valors que pren i completa la taula de valors (pots arrossegar el punt vermell en l’escena per ajudar-te a saber l’altura en cada punt). km

alt

34 740

87 1290

113 1020

121

153 1130

Contesta:

160 1882 RESPOSTA

Per a què una gràfica sigui d’una funció, quants valors de y li poden correspondre a cada valor de x? Clica sobre el botó

per comprovar-ho fent un exercici.

Clica Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent. -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

1.b.

NOM:

DATA:

Gràfica d’una funció

Per veure el comportament d'una funció, f:x → y, recorrem a la seva representació gràfica sobre els eixos cartesians; en l'eix d'abscisses (OX) la variable _______________________ i en el d'ordenades (OY) la variable _______________________. Les coordenades de cada punt de la gràfica són: (___, f(__)). A l’escena està representada la funció: f(x)= –0,5x2+3x+3,5 Segueix els passos clicant sobre les fletxes Comença per fer una taula de valors

x f(x) Hi ha uns punts que tenen especial interès: els que la gràfica talla amb els eixos de coordenades. Per calcular-los: Tall amb l’eix OY: Els punts de l’eix d’ordenades tenen abscissa 0, n’hi ha prou amb fer x=0 en la fórmula de la funció. Talls amb l’eix OX: Els punts de l’eix d’abscisses tenen y=0. Es resol l’equació f(x)=0 En el nostre exemple són: x=0 f(x)=0 Es representen els punts obtinguts, x, sobre l’eix d’abscisses (OX), f(x) sobre el d’ordenades (OY). Una vegada representats els punts, si x pot prendre qualsevol valor real els unim.

Clica sobre el botó

Funcions i gràfiques

per fer exercicis.

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

En cada cas fes una taula de valors i representa els punts sobre els eixos de coordenades, seguint les instruccions de l’escena:

f(x) = 3x − 2 x

f(x)

f(x) = −x2 + 4x x

f(x) = x

f(x)

4x x +1 f(x) 2

Clica Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent. -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

1.c. Domini i recorregut Donada una funció y=f(x) S’anomena domini de f ___________________________________________________ S’indica com a Dom f. El domini està format, per tant, pels valors de x per als quals existeix la funció, és a dir, per als quals hi ha un f(x). El recorregut és _______________________________________________________, això és el conjunt de les imatges. Es representa com a Im f. A l’escena de la dreta es veuen diversos exemples sobre com calcular el domini d’algunes funcions. Amb la seva ajuda completa: Domini de f: _____________________________________ ________________________________________________ Recorregut de f: ___________________________________ _________________________________________________

Domini de f: ___________________________________ ________________________________________________ Recorregut de f: __________________________________ _________________________________________________

Funcions i gràfiques

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Resumeix els diferents casos que se’ns poden presentar a l’hora de calcular el domini, en funció del tipus d’expressió algebraica Expressió analítica

Domini

Un polinomi

Un quocient

Una arrel quadrada

Clica sobre el botó

per fer exercicis.

Copia a continuació dos exercicis de cada tipus:

Clica

Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent.

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

1.d. Funcions definides a trossos Hi ha un tipus de funcions que vénen definides amb diferents expressions algebraiques segons els valors de x, es diu que estan definides a trossos Per descriure analíticament una funció formada per trossos d'altres funcions, es donen les expressions dels diferents trams, per ordre d'esquerra a dreta, indicant en cada tram els valors de x per als quals la funció està definida. A l’escena pots veure exemples d’aquest tipus de funcions i la seva representació gràfica. Practica amb l’escena abans de passar a fer els següents exercicis. Clica sobre el botó

per fer exercicis.

A continuació, fes un parell d’exercicis i comprova amb l’escena el resultat: Calcula la imatge dels valors indicats:   f(x)=    f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ Calcula la imatge dels valors indicats:   f(x)=    f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____ f(____) = _____

Funcions i gràfiques

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

EXERCICIS 1. De les següents gràfiques indica les que corresponen a una funció i les que no.

2. Fes una taula de valors, dibuixa els punts obtinguts i representa la funció. a) f(x)=2x-3 x

c) f(x) = x

f(x)

b) f(x)=-x2+4x x

f(x)

4x x +1 2

f(x)

Funcions i gràfiques

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

EXERCICIS 3.

Calcula el domini de les següents funcions. a)

c) f(x)= x3-2x2+5x

d) f(x)=

e) f(x)= x − 5

f) f(x)= 5 − x

g) f(x)=

x+4

h) f(x)=

x x−2

1 2−x

En les següents funcions, definides a trossos, calcula les imatges dels valors de x indicats i representa-les gràficament. x < −2 − 0,5x − 1 si  −2 si − 2 ≤ x ≤ 3  x −5 si x>3 

a) f(x)=  x

f(x)

-4 -2 1 3 6

x ≤ −2 0,5x + 2 si  b) f(x)=  − x + 1 si − 2 < x < 2 0,5x − 2 si x≥2 

f(x)

-6 -2 0 2 4

Clica Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent. -

10 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

2. Propietats de les funcions 2.a. Continuïtat i discontinuïtats La primera idea de funció contínua és la que es pot representar d'un sol traç, sense aixecar el llapis del paper. Una funció y=f(x) és contínua en x=a si: • ______________________________________________ ______________________________________________ • ______________________________________________ ______________________________________________ Quan una funció no és contínua en un punt es diu que presenta una ________________ Amb ajuda de l’escena de la dreta completa la taula i dibuixa un exemple de cada un dels casos: Raons per les quals una funció no és contínua en un punt:

Exemple

Funcions i gràfiques

11 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

Clica sobre el botó

DATA:

per fer exercicis.

A continuació fes tres exercicis i comprova amb l’escena el resultat: Calcula el valor de K per a què la funció

f(x)=

sigui contínua en x= _____

Calcula el valor de K per a què la funció

f(x)=

sigui contínua en x= _____

Calcula el valor de K per a què la funció

f(x)=

sigui contínua en x= _____

Clica

Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent.

12 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

2.b. Funcions periòdiques A la natura i en el vostre entorn habitual hi ha fenòmens que es repeteixen a intervals regulars, com el cas de les marees, els pèndols i ressorts, el so... Les funcions que descriuen aquest tipus de fenòmens s’anomenen periòdiques Una funció és periòdica quan ___________ _______________________________________ _______________________________________ El període és ___________________________ f(x+període)=f(___)

A l’escena de la dreta tens un exemple d’una funció periòdica Una cisterna s’omple i es buida automàticament expulsant 6 litres d’aigua cada 5 minuts, seguint el ritme de la gràfica. Quan el dipòsit és buit, comença a omplir-se, i s’omple en 1 minut, roman ple 3,5 minuts i es buida en 0,5 minuts. Aquest procés es repeteix periòdicament.

RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Per conèixer el volum d’aigua en el dipòsit a cada instant, quant de temps necessitem observar el dipòsit?

RESPOSTES

Quina és la quantitat d’aigua al cap de 14 minuts? Escriu a la dreta l’expressió de f(x).

Ara regula tu el dispositiu, variant la quantitat d’aigua i el temps. Clica sobre el botó

per veure unes funcions periòdiques bàsiques, la funció sinus i la

funció cosinus.

Clica Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent. -

13 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

2.c. Simetries La gràfica d'algunes funcions pot presentar algun tipus de simetria que, si s'estudia prèviament, en facilita el dibuix Una funció es simètrica respecte a l’eix OY, si f(-x)= ____________ En aquest cas la funció s’anomena ____________. Una funció es simètrica respecte a l’origen de coordenades quan f(-x)= ______ En aquest cas la funció s’anomena ____________. Observa i manipula l’escena per reconèixer els gràfics corresponents a cada tipus. Clica sobre el botó Funcions PARELLS:

Funcions i gràfiques

per dibuixar unes gràfiques de funcions simètriques. Funcions SENARS:

14 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

EXERCICIS 5.

Calcula el valor de k per a què les següents funcions siguin contínues en el punt en què canvia la gràfica: 0,5x + k x ≤ 4 x>4  x−3



a) f(x) = 

b) f(x) = 

x ≤1

− x + 1 x > 1

Quin és el període de les funcions següents? En cada cas calcula f(45). a)

Selecciona entre las gràfiques següents les que corresponen a funcions parells i a funcions senars.

Les funcions següents (corresponen a les de l’ex.7) són parells o senars? a) f(x)=x3–3x b) f(x)=2x2–2x-2 c) f(x)= x6–x4–x2 d) f(x)=-1/x

Clica

Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent.

15 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

3. Taxa de variació i creixement 3.a. Taxa de variació d’una funció La taxa de variació o increment d’una funció és _______________________________ ___________________________________________________________________________ TV[x1,x2]= De més utilitat resulta calcular l'anomenada taxa de variació mitjana, que ens indica ___________________________________________________________________________

TVM[x1,x2]=---------------------A l’escena de la dreta veiem una gràfica que representa la distància en quilòmetres recorreguda per un ciclista en funció del temps transcorregut, en minuts. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: La taxa de variació entre dos instants és

RESPOSTES

TV[5, 12]= TV[12, 15]= TV[15, 21]= TV[22, 30]= Velocitat mitjana [15, 21] Velocitat mitjana [22, 30] Com és la gràfica en els intervals [5, 12], [19, 22] i [22, 30]? Per què? Si traslladem a qualsevol funció la idea de velocitat mitjana d’aquesta gràfica, què obtenim? Clica sobre el botó

per fer exercicis.

Quan la gràfica de la funció és una recta, la TVM és constant. Escriu a continuació quatre exercicis i comprova la solució en l’escena TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]=

f(x)=

f(x)= TVM [ ____ , ____ ]=

TVM [ ____ , ____ ]=

Clica

Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent.

16 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

3.b. Creixement i decreixement Una característica de les funcions que es pot visualitzar fàcilment en les gràfiques és la monotonia. Quan en augmentar el valor de x augmenta el valor de y=f(x), la gràfica "ascendeix" i es diu que la funció és __________________________. Si, pel contrari, en augmentar x disminueix y, la gràfica "descendeix", i la funció és __________________________.

En un interval, donats dos punts qualssevol d’aquest •

Si x1<x2 i f(x1) ___

f(x2), aleshores la funció és ____________________

•

Si x1<x2 i f(x1) ___

f(x2), aleshores la funció és ____________________

Les funcions no creixen o decreixen de la mateix manera, si cliques en Diferents tipus de creixement s’obre una escena que ho il·lustra amb uns exemples. RESPON AQUESTES QÜESTIONS

RESPOSTES

Quina és la funció que creix més ràpidament? Com és el creixement de la funció g(x)? Quina és la funció que creix més lentament? A l’escena de la dreta tenim una funció que presenta diverses situacions; segueix els passos clicant sobre les fletxes

RESPON AQUESTES QÜESTIONS:

RESPOSTES

Com és la funció si x<10? Com és la funció si x>15 ? Com és la funció si 10<x<15 ? Si la funció és creixent, com és la TVM? Si la funció es decreixent, com és la TVM?

Clica sobre el botó

per fer un exercici.

Clica Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent. -

17 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

3.c. Màxims i mínims Donada una funció contínua en un punt x=a, diem que presenta un màxim relatiu, si a l’esquerra del punt x=a la funció és _____________________ i a la dreta la funció és_____________________. I diem que en x=a hi ha un màxim absolut si ____________________________________ _____________________________________ _____________________________________

Si, pel contrari, la funció és ___________ a l’esquerra de x=a i _____________ a la dreta, hi ha un mínim relatiu. I diem que en x=a hi ha un mínim absolut si _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________

L’escena de la dreta il·lustra aquests conceptes. Segueix els passos clicant sobre les fletxes

RESPON AQUESTES QÜESTIONS:

RESPOSTES

On creix la funció? On decreix la funció? On assoleix un màxim relatiu? On assoleix un mínim relatiu? Com és f(x) en un entorn de x=6? Per què? Com és f(x) en un entorn de x=20? Per què?

Clica sobre el botó

Funcions i gràfiques

per llegir un exercici resolt.

18 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

3.d. Concavitat, convexitat i punts d’inflexió Una altra característica d'interès en les gràfiques de les funcions és la concavitat, estudiar els intervals en què la gràfica es corba cap a baix o cap a dalt.

Una funció es còncava en un interval si _________________________________________ ___________________________________________________________________________ Una funció es convexa en un interval si _________________________________________ ___________________________________________________________________________ Els punts d’inflexió són aquells punts del domini en els quals ____________________ ___________________________________________________________________________. L’escena de la dreta il·lustra aquest conceptes. Segueix els passos clicant sobre les fletxes

RESPON AQUESTES QÜESTIONS:

RESPOSTES

On queda la corda que uneix dos punts de la gràfica si la funció és còncava? On queda la corda que uneix dos punts de la gràfica si la funció és convexa? En quin interval és còncava la funció? Per què? En quin interval és convexa la funció? Per què? Té algun punt d’inflexió? Quin? Per què?

Clica sobre el botó

per fer un test amb preguntes del tema.

Clica

Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent.

19 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

EXERCICIS 9.

Calcula la taxa de variació mitjana de les funcions següents entre els punts indicats. Comprova en la figura que en les funcions la gràfica de les quals és una recta la TVM és constant. a) y=2x+3

b) y=0,5x+3

TVM[1,3]=

TVM[-5,-2] =

TVM[-3,0] =

10.

Les gràfiques representen com s’omplen els diferents recipients. Quina gràfica correspon a cada un?

11.

Recorda la funció que donava el “perfil” d’una etapa de la Vuelta, que vas veure al primer capítol. a) Escriu els intervals de creixement o decreixement. b) En quin punt quilomètric s’assoleixen els màxims relatius?, quin valor prenen?, i els mínims?. c) Hi ha màxim o mínim absolut?

113

121

153

160

168

alt

540

1280

740

1290

630

1020

720

1130

1520

1882

Clica

Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent.

20 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Funcions, domini i recorregut Una funció és

El domini d’una funció és

x és la variable

El recorregut d’una funció és

y és la variable

Continuïtat Una funció és contínua

És discontínua en un punt si

Periodicitat Una funció és periòdica si En quest cas s’acompleix que f(x)= Simetries Una funció és simètrica parell si ho és respecte a

Una funció és simètrica senar si ho és respecte a

S’acompleix que f(-x)=

Taxa de variació La taxa de variació d’una funció entre dos punts és

La taxa de variació mitjana en un interval és

Monotonia Una funció és creixent en un interval, quan donats dos punts qualssevol del mateix •Si x1<x2 aleshores f(x1)

f(x2)

Una funció és decreixent en un interval, quan donats dos punts qualssevol del mateix • Si x1<x2 aleshores f(x1)

f(x2)

Extrems relatius Una funció contínua en un punt x=a, presenta un màxim relatiu, si a l’esquerra d’aquest punt és y a la dreta és

Una funció contínua en un punt x=a, presenta un mínim relatiu, si a l’esquerra d’aquest punt és i la dreta és

Concavitat i convexitat Una funció és còncava si la gràfica s’obre cap

Una funció és convexa si la gràfica s’obre cap

Clica

Funcions i gràfiques

Els punts del domini en els quals canvia la concavitat, s’anomenen

per anar a la pàgina següent.

21 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Per practicar Ara practicaras resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs de: Característiques i propietats de les funcions Interpretació de gràfiques

EXERCICIS

Completa l’enunciat amb les dades amb les quals apareix cada EXERCICI a la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis amb l’ordinador si l’has fet bé.

Característiques i propietats de les funcions Escriu la fórmula (Fes al menys tres exercicis diferents) 1. Considera la funció que _________________ _____________________________________. Escriu la seva expressió analítica i calcula la imatge de __, __ i __. Calcula també els punts de tall amb els eixos. 2. Considera la funció que _________________ _____________________________________. Escriu la seva expressió analítica i calcula la imatge de __, __ i __. Calcula també els punts de tall amb els eixos. 3. Considera la funció que _________________ _____________________________________. Escriu la seva expressió analítica i calcula la imatge de __, __ i __. Calcula també els punts de tall amb els eixos. Calcula dominis (Fes cinc exercicis diferents de cada un dels tipus que s’indiquen) 4. Calcula el domini de les següents funcions: a) f(x)= x2 +

b) f(x)=

c) f(x)= −

d) f(x)=

e) f(x)=

Funcions i gràfiques

22 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Continuïtat (Fes al menys dos exercicis diferents del primer tipus i quatre del segon) 5. Estudia la continuïtat de les següents funcions: a) f(x)=

b) f(x)=

6. Estudia la continuïtat de las següents funcions en el punt que s’indica:

 a) f(x)=  

 b) f(x)=  

 c) f(x)=  

 d) f(x)=  

en x = __

Parell o senar? (Fes quatre exercicis diferents de cada un dels tipus que s’indiquen) 7. Estudia la simetria de les funcions: a) f(x)=

b) f(x)=

c) f(x)=

d) f(x)=

Funcions i gràfiques

23 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Parell o senar? (Fes tres exercicis diferents) 8. En cada cas la gràfica representa un tram o període d’una funció periòdica, representa altres trams, indica el període i calcula la imatge del punt d’abscissa que s’indica:

Període =

Taxa de variació (Fes dos exercicis diferents, un amb rectes i un altre amb corbes) 9. Calcula les TVM de les funciones corresponents a les gràfiques en els intervals [0,4] i [2,4].

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

Clica Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent. -

24 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Interpretació de gràfiques Viatge per l’autovia 10. El gràfic mostra com varia la benzina que hi ha al meu cotxe durant un viatge de 520 km per una autovia.

a) Quanta benzina hi havia després de 240 km? En el dipòsit hi caben 40 litres, quan era ple més de mig dipòsit? b) En quantes benzineres vaig aturar-me? En quina benzinera vaig posar més benzina? Si no hagués parat, on m’hauria quedat sense benzina? c) Quanta benzina vaig gastar en els primers 200 km? Quanta en tot el viatge? Quanta benzina gasta el cotxe cada 100 km en aquesta autovia? Comparant el creixement 11. La Maria i en Jordi són dues persones més o menys normals. A la gràfica pots comparar com ha crescut el seu pes en el seus primers 20 anys.

a) Quant pesava en Jordi als 8 anys? I la Maria als 12? Quant va superar en Jordi els 45 kg? b) A quina edat pesaven els dos el mateix? Quan pesava en Jordi més que la Maria? I la Maria més que en Jordi? c) Quin va ser la mitjana, en kg/any, d’augment de pes d’ambdós entre els 11 i els 15 anys? En quin període va créixer cada un més ràpidament?

Funcions i gràfiques

25 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Dos cotxes 12. El gràfic proporciona l’espai recorregut per dos cotxes que realitzen un mateix trajecte.

a) Quina és la distància recorreguda? Si el primer cotxe va sortir a les 10:00, a quina hora va sortir el segon? Quant els va costar a cada un fer el recorregut? b) Quant de temps i on van estar parats cada un dels cotxes? En quin km va avançar el segon al primer? I el primer al segon? c) Quina velocitat mitjana van portar en el trajecte total? En quin tram la velocitat de cada cotxe va ser més gran?

Les marees 13. En el gràfic es representa l’altura del nivell del mar en el port de A Coruña al llarg del dia 17 de gener de 2008.

a) A quina hora s’assoleixen els màxims? I els mínims? Quina altura assoleix el nivell del mar en cada cas? b) En quins intervals del dia la funció és creixent, és a dir, puja la marea? Entre quines hores el nivell del mar es manté per sobre dels 300 cm? I per sota dels 150 cm? c) Quin temps transcorre entre dos marees altes consecutives? I entre dos marees baixes també consecutives? A quina hora del dia següent es produirà la següent plenamar?

Funcions i gràfiques

26 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Tren de rodalies 14. Vila Baixa i Vila Alta disten 100 km. El tren que uneix les dues ciutats realitza el trajecte en 1h 15 min, incloses les parades en els pobles Vint, Seixanta i Vuitanta, situats a aquests respectius km de Vila Baixa.

a) A la gràfica està representat. Fes un quadre horari. b) En la temporada turística es pretén ampliar el servei amb més sortides de Vila Baixa a totes les hores en punt i de manera que l’últim tren surti de Vila Alta a les 15:30. Quants trens seran necessaris per aconseguir-ho? Fes un gràfic dels trajectes. c) Com només hi ha una via, en ampliar el servei, a quina distància de Vila Baixa ha de preveure la companyia de trens els encreuaments del tren que va amb el que torna? Quin serà ara l’horari? Gràfica i fórmula 15. La gràfica següent correspon a la funció f(x)=x3-6x2+9x

c) Els valors de x per als quals la funció és positiva i negativa.

d) Els intervals decreixement.

creixement

e) Els màxims i mínims. Calcula : a) El domini.

b) Els punts de tall amb els eixos.

Funcions i gràfiques

f) Quants punts d’inflexió té?

g) Els intervals de concavitat i convexitat.

27 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

16. La gràfica següent correspon a la funció x2 + 1 f(x)= − x

DATA:

c) Els valors de x per als quals la funció és positiva i negativa.

d) Els intervals decreixement.

creixement

e) Els màxims i mínims.

Calcula :

f) Quants punts d’inflexió té?

a) El domini. g) Els intervals de concavitat i convexitat. b) Els punts de tall amb els eixos.

Dos cotxes 17. La gràfica següent correspon a la funció 8x f(x)= 2 x +1

c) Els valors de x per als quals la funció és positiva i negativa.

d) Els intervals decreixement.

creixement

e) Els màxims i mínims.

Calcula :

f) Quants punts d’inflexió té?

a) El domini. g) Els intervals de concavitat i convexitat. b) Els punts de tall amb els eixos.

Clica

Funcions i gràfiques

per anar a la pàgina següent.

28 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Calcula la imatge de x = ___ en la funció:  f(x) =  

Calcula el domini de la funció: f(x) =

Quin dels punts següents: ( (

) ,(

) ,

) no pertany a la gràfica de la funció

f(x)= ________________ ?

Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la recta y= _____________

Si y = f(x) és una funció _____ i f(

)= __,

quant val f(___)?

La gràfica mostra el primer tram d’una funció periòdica de període ___ i expressió f(x)= ______ (0≤x<5). Calcula f(___).

Funcions i gràfiques

29 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 8

NOM:

DATA:

Esbrina el valor de a para que la funció sigui contínua en x= __ .  f(x) =  

Calcula la TVM[

] de la funció

f(x) =

Determina l’interval en què la funció de la gràfica és creixent.

Un ciclista surt d’un punt A cap un altre B distant _____ a una velocitat constant de __________. A la vegada un altre ciclista surt de B en direcció a A, a ________. Observa la gràfica i calcula a quants km del punt A es creuen en la carretera.

(Arrodoneix a les centèsimes)

Funcions i gràfiques

30 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Funcions polinòmiques

Continguts 1. Funcions polinòmiques Característiques 2. Funcions de primer grau Terme independent Coeficient de primer grau Recta que passa por dos punts Aplicacions 3. Funcions de segon grau La paràbola y=ax2 Translacions d’una paràbola Representar funcions quadràtiques Aplicacions

Objectius •

Distingir entre els diferents tipus de funcions la que tingui com a gràfica una recta i treballar amb aquestes funcions.

•

Determinar el pendent d'una recta i la seva relació amb el creixement.

•

Calcular l'equació d'una recta que passa per dos punts donats.

•

Reconèixer la gràfica d'una funció polinòmica de segon grau qualsevol.

•

Representar gràficament una funció polinòmica de segon grau y = ax2 + bx + c.

•

Determinar el creixement o decreixement d'una funció de segon grau i trobar el seu màxim o mínim.

Autor: Xosé Eixo Blanco Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Funciones polinómicas

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

-1-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Abans de començar

A la part inferior apareix una imatge i un text en què s’explica el perquè es necessiten o són útils les funcions polinòmiques. Clica sobre botó … Assaja abans de començar S’obre una finestra amb una escena en què apareixen dues gràfiques, una blava i una altra vermella. A la part inferior hi ha tres polsadors: Clicant a sobre canvies el seu valor i amb això la fórmula corresponent a la funció de color vermell, que apareix a sobre de las gràfiques: f(x) = … L’exercici consisteix en modificar els valors dels coeficients: a2, a1 i a0 fins aconseguir que la gràfica vermella coincideixi exactament amb la blava, amb la qual cosa haurem trobat l’equació que correspon a aquesta gràfica. Repeteix l’exercici un mínim de 4 vegades Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Funcions polinòmiques 1.a. Característiques Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat i manipula l’escena. EXERCICI 1: Completa. Les funcions polinòmiques són aquelles l'expressió de les quals és ___________________ A l’escena es poden veure les gràfiques de les funcions polinòmiques de grau menor que 3. Tria el grau i els coeficients per veure gràfiques de diferents funcions, observa la forma segons el seu grau. Escriu a continuació un exemple de cada una d’elles i dibuixa la seva gràfica. Grau 0 Grau 1 Grau 2 f(x) = f(x) = f(x) =

Les gràfiques de les funcions de grau 0 són ________________ Funciones polinómicas

Les gràfiques de les funcions de grau 1 són ________________

Les gràfiques de les funcions de grau 2 són ________________ -2-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

Clica sobre el botó

DATA:

per fer exercicis.

Apareix una escena amb la gràfica d’una funció polinòmica i a la seva esquerra una taula de valors que has d’anar completant fins a tenir 4 punts situats en la gràfica. Fes dues d’aquestes gràfiques i les corresponents taules de valors. f(x) =

f(x) = x

f(x)

EXERCICIS 1.

En cada cas fes una taula de valors i comprova que els punts obtinguts són de la gràfica. f(x) = –2x + 3 f(x) = x2 –x + 2 f(x) = 3

Clica

per anar a la pàgina següent.

2. Funciones de primer grau 2.a. Terme independent Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat i en l’escena varia els coeficients de la funció per observar el terme independent.

EXERCICI 1: Completa. Si f(x) = ax + b , la seva gràfica talla l’eix OY en __

Clica sobre el botó

per fer uns exercicis. Apareix una escena amb una taula.

Completa-la en el requadre següent i després clica “Solució” per veure si l’has fet bé: Funciones polinómicas

-3-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Funcions 2

f(x) = –2x + 1 – 3x

(0,

)

f(x) = 3x + 4

(0,

)

f(x) =

x+[ 2

]

(0,5) (0,

2 ·x + 4

f(x) = 2x +

Tall de la gràfica amb l’eix d’ordenades

f(x) =

[ ]

)

(0,3)

Clica sobre l’enllaç: Manipuleu aquesta escena per traçar rectes. S’obre una escena que té a la part superior l’equació d’una funció de primer grau i a sota una recta en la qual es destaquin dos punts. Arrossegant els punts has de desplaçar la recta a la posició corresponent a la funció donada. Una vegada que creguis que l’has situat correctament clica sobre el botó Comprovació Si l’has fet bé, pots clicar sobre el nou botó Un altre exemple Has de fer, al menys, 3 exercicis i dibuixar en aquests requadres el que has fet en pantalla. f(x) =

f(x) =

Clica

per anar a la pàgina següent.

2.b. Recta que passa por dos punts EXERCICI 1: Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica i completa. Per traçar una recta n’hi ha prou amb donar __________, per tant, per representar una funció polinòmica de primer grau, donant valors, n’hi haurà prou amb donar _________. Si dos punts (3 , 1) i (5, 7) defineixen una recta, determinaran també la seva equació que podem trobar resolent un sistema:

f (x) =

El pendent de la recta que passa per (x0, y0) i (x1, y1) és:

∆y = ∆x

Observa a l’escena com es calcula el pendent a partir de dos punts. Funciones polinómicas

-4-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

Clica sobre el botó

DATA:

per fer exercicis.

S’obre una escena amb 8 gràfiques numerades (de 1 a 8) i a la seva dreta 8 funcions de primer grau (de a a h). L’exercici consisteix en aparellar cada gràfica amb la seva equació triant la correcta en el menú desplegable de cada apartat. Quan les tinguis totes bé, l’escena t’ho indicarà. Dibuixa les funcions en els següents requadres i escriu l’equació de cada una d’elles: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Apareixerà aleshores el botó Un altre exercici Clica sobre el botó

En clicar-lo…

per fer exercicis.

S’obre una escena amb 8 parells de punts (de 1 a 8) i a la seva dreta 8 funcions de primer grau (de a a h). Ara has d’associar cada parell amb l’equació de la recta que passa per aquests dos punts, triant la correcta en el menú. Quan les tinguis totes bé, l’escena t’ho indicarà. Dibuixa les funcions en els següents requadres i escriu l’equació de cada una d’elles: 1 2 3 4 1) Recta que Recta que Recta que Recta que passa pels passa pels passa pels passa pels 2) punts punts punts punts ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 3) (

)

(

)

(

)

(

)

5 Recta que passa pels punts ( , )

6 Recta que passa pels punts ( , )

7 Recta que passa pels punts ( , )

8 Recta que passa pels punts ( , )

(

)

Clica Funciones polinómicas

)

4) 5) 6) 7) 8) per anar a la pàgina següent. -5-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

2.c. Aplicacions EXERCICI PROPORCIONALITAT DIRECTA: y = ___________ · x Les funcions polinòmiques de _________________ amb_____________________________, representen _______________________________________________________________. A l’escena es pot veure un exemple d’aplicació d’aquest tipus de funcions. Observa que en variar el preu del quilogram de taronges varia l’equació de f(x) i amb això la gràfica corresponent. Situa el preu en 1,25 €. Mou el punt groc de la gràfica fins que estigui situat en 0,75 kg. Fixa’t en la gràfica i respon: Quant pagarem per 0,75 kg de taronges? __________ Completa: La gràfica de la funció de proporcionalitat directa és ______________________.

EXERCICI TARIFA TELEFÒNICA PER SEGON: y = _____________ · x + ________________ Varia el preu de l’establiment de trucada i el cost per segon. Situa els valors que s’indiquen en la següent imatge. Fixa’t en la gràfica i respon: Quant pagarem per una trucada de 8 segons? __________

EXERCICI VELOCITAT CONSTANT: Punt quilomètric = __________ · t + ________________ Si a les 12 em trobo en el quilòmetre 5 i mantenint una velocitat constant a les 12:10 em trobo en el 17, quina velocitat porto? Calculem el pendent de la recta que passa pels punts( , ) i ( , )

Pendent =

Velocitat =

Funciones polinómicas

-6-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

EXERCICIS 2.

Representa la gràfica de f(x): a) f(x)= −

1 x+3 2

2 x −1 3 c) f(x)= 3x + 1

b) f(x)=

Quina gràfica correspon a cada equació? a) y=x/4 +3 b) y=4x+3 c) y=-x/4-3 d) y=-x/4 +3 e) y=-3 f) y=3x+4 g) y=x/4 h) y=-4x

Quina equació correspon a la recta que passa pels punts indicats? 1) (-1, 5)

(1, -5)

a) y=x/5+3

2) (-2, 2,6)

(2, 3,4)

b) y=5x+3

3) (-2, -0,4)

(2, 0,4)

c) y=-x/5-3

4) (-2, 3,4)

(2, 2,6)

d) y=-x/5-3

5) (-2, -2,6)

(2, -3,4)

e) y=-3

6) (-1, -2)

(1, 8)

f) y=3x+5

7) (-1, 2)

(1, 8)

g) y=x/5

8) (-1, -3)

(1, -3)

h) y=-5x

Clica

Funciones polinómicas

per anar a la pàgina següent.

-7-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

3. Funcions de segon grau 3.a. La paràbola y = ax2 Observa en l’animació com es construeix la gràfica de f(x)= a·x2 i varia amb els polsadors el coeficient de x2 per veure com canvia la gràfica segons els valors i el signe de a. EXERCICI: Completa. f(x) = ax2 És ___________ respecte de _______ Si a>0 té un ___________________ en (0,0) Si a<0 té un ___________________ en (0,0) El signe de a determina la ____________ de la gràfica.

Clica sobre el botó

per fer exercicis.

A l’escena apareixerà l’equació d’una funció de segon grau. A sota hi ha 5 punts: ●Vèrtex,, ●(1,a), ●Simètric de (1,a), ●(2,a), ●Simètric de (2,a) ● Arrossega’ls a la seva posició correcta perquè siguin punts de la gràfica de la funció donada. Fes la gràfica de dues d’aquestes funcions en aquests requadres: f(x) = x

f(x) =

f(x)

Vèrtex

(1,a)

Simètric

–1

Simètric

–1

(2,a)

Simètric

–2

Simètric

–2

Clica

f(x)

per anar a la pàgina següent.

3.b. Translacions d’una paràbola En iniciar-se l’escena es veu la gràfica de : f(x)=ax2+bx+c Pots variar els valors de “b” i “c” utilitzant els polsadors. Clicant en “Veure translació” i observaràs una animació. Veuràs que la gràfica no canvia de forma, només es trasllada, així la gràfica de y=f(x) té la mateixa forma que y=ax2 traslladada. EXERCICI 1: Respon: Funciones polinómicas

-8-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Quantes unitats es trasllada horitzontalment? Quantes unitats es trasllada verticalment? Per comprendre-ho millor pots clicar sobre l’enllaç: Explicació EXERCICI 2: Completa:

L’eix de simetria de la gràfica de f(x)=ax2+bx+c és x =

 El vèrtex, màxim o mínim, de la paràbola és  

  

Clica sobre l’enllaç: Creixement S’obre un requadre amb l’explicació dels intervals en els quals la funció y = ax2+bx+c és creixent o decreixent en funció del signe de a: EXERCICI 3: Respon: Si a > 0, en quin interval és creixent? ____________ i decreixent? _____________ Si a < 0, en quin interval és creixent? ____________ i decreixent? _____________ Clica sobre el botó

per fer exercicis.

A l’escena apareix, en primer lloc, una paràbola per a la qual tens que indicar el valor del coeficient principal: a. Una vegada escrit el valor de a correctament, clica sobre el botó per continuar Ara apareix una funció f(x) amb el mateix coeficient principal. A l’escena has de traslladar la paràbola situant el vèrtex en el seu lloc correcte. Gràfica de f(x) = _________________ Gràfica de f(x) = _________________ Fes en aquests requadres dos dels exercicis de l’escena: Abscissa del vèrtex:

Abscissa del vèrtex:

Eix: x =

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.c. Representar funcions quadràtiques Funciones polinómicas

-9-

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Segueix els passos indicats a l’escena de la dreta. De manera anàloga a les altres representacions és interessant trobar els punts de tall amb els eixos. EXERCICI 1: Completa:

El punt de tall amb l’eix d’ordenades és ( , ) Els punts de tall amb l’eix d’abscisses Existeixen si _______________ I venen donats per ______________________________. Clica sobre l’enllaç: Resum S’obre un requadre amb la gràfica de la funció f(x) = ax2+bx+c distingint el cas en què a és positiu (a+) i negatiu (a–). EXERCICI 2: Completa a continuació les dades que falten.

EXERCICI 2: Fes la gràfica de dos de les funcions de l’escena en aquests requadres: f(x) =

a= x

f(x) =

f(x)

Vèrtex

Simètric 1

Simètric 2

Clica sobre el botó

f(x)

per fer exercicis.

A l’escena apareix, en primer lloc, una funció quadràtica i quatre gràfiques de paràboles diferents. Tens que triar la correcta i situar-la en la posició que correspon al vèrtex. Funciones polinómicas

- 10 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Un cop situada, clica el botó Comprovar Quan n’hagis resolt 5 similars, apareixerà un altre tipus d’exercici diferent. Veuràs la gràfica d’una paràbola i a la dreta tres quadres per escriure els valors dels coeficients a, b i c de la funció quadràtica que es corresponguin amb la gràfica. Un cop situada, clica el botó Comprovar Quan n’hagis resolt 5 similars, hauràs finalitzat l’exercici. Clica

per anar a la pàgina següent.

3.d. Aplicacions Llegeix a la pantalla l’explicació. A l’escena hi ha tres exemples de problemes que es resolen utilitzant les funcions quadràtiques. Clica sobre

Moviment uniformement accelerat

Llegeix l’explicació de l’escena. Pots variar la velocitat inicial V0 amb la qual cosa varia la funció que recorre l’objecte en el seu desplaçament: f(t) Quan consideris, clica

Llançar

per observar la línea que descriu l’objecte.

Posa el valor: V0 = 28. Respon les següents qüestions: Quina és la fórmula o equació de la funció?

RESPOSTES f(t) =

En quins punts talla la paràbola l’eix d’abscisses? Quin és el vèrtex? Quina és l’altura màxima que assoleix? Quant temps inverteix en pujar i baixar? Clica “< tornar” per tornar al menú. Clica sobre

Rectangle d’àrea màxima

Llegeix la llegenda sobre la princesa Dido i la seva solució per tancar la major àrea possible amb un perímetre donat. Ara resolem un problema similar, però amb rectangles. Entre tots els rectangles d’un perímetre donat, quines dimensions té el d’àrea màxima? Pots variar el perímetre arrossegant el punt indicat a l’escena i veure com amb aquest mateix perímetre pots fer molts rectangles amb àrees diferents. Completa la fórmula:

Àrea =

Clica

Apareix la gràfica de la funció que has escrit per indicar el valor del perímetre. Completa la fórmula:

f(x) =

Pots arrossegar el punt indicat i veure novament els rectangles, tots amb el mateix perímetre i pots observar on es troba el que té l’àrea màxima. Clica “< tornar” per tornar al menú.

Funciones polinómicas

- 11 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

Clica sobre

NOM:

DATA:

Punt de no retorn

Llegeix l’enunciat del problema i completa: Un avió té combustible per ______, viatjant a velocitat constant de __________ sense vent. En enlairar-se, el pilot observa que porta vent a favor de _______ i això augmenta la seva velocitat a _______, però a la tornada el tindrà en contra i la velocitat serà de ________. Quina és la màxima distància de l’aeroport al qual pot viatjar amb la seguretat de tenir prou combustible per poder tornar? X = ____________________ ; y = ________________________ ANADA: ___________________ ; TORNADA: ___________________ El punt de no retorn és el de _________________ de les dues rectes. El piloto haurà de tornar al cap de ______ i haurà recorregut __________. Pots canviar la velocitat de l’avió i observar el resultat

Clica

En aquesta segona escena pots veure el que passa si varies la velocitat del vent. Quina gràfica descriu el punt de no retorn en variar la velocitat del vent? _____________ Quina és la seva equació?

Clica “< tornar” per tornar al menú.

EXERCICIS 1.

Dibuixa la gràfica de les següents funcions: a) f(x)= 1,5x2

Escriu l’equació de la funció que resulta al traslladar el vèrtex de la paràbola al punt indicat. a) y= 1,5x2 a A(2, -3)

b) y=-0,5x2 a B(-2, 3)

Representa gràficament les paràboles següent: a) f(x)=2x2-8x+2

b) f(x)=-0,5x2

b) f(x)=-x2+4x+3

Escriu l’equació y= ax2+bx+c de la paràbola de la gràfica: a)

Clica

Funciones polinómicas

per anar a la pàgina següent.

- 12 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Funcions de primer grau, rectes

f(x)=ax+b La gràfica de las funciones polinòmiques de primer grau és una ________

Equació de la recta que passa per dos punts A(x0, y0) i A(x1, y1):

a és la _________ •

Si a>0 és ______________.

•

Si a<0 és ______________.

Tall eix OY: ___ Tall eix OX: _____

Funcions de segon grau, paràboles

f(x)=ax2+bx+c La gràfica de les funcions polinòmiques de segon grau és una paràbola. a indica la __________ •

Si a>0 té un __________.

•

Si a<0 té un __________.

Translacions de la paràbola Per dibuixar la paràbola y=ax2+bx+c, n’hi ha prou amb traslladar _______ portant el seu    vèrtex (0,0) al punt  ,  

Eix de simetria: x= Vèrtex: Punt de tall amb l’eix OY: Punts de tall amb l’eix OX:

Clica Funciones polinómicas

per anar a la pàgina següent. - 13 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les pàgines següents trobaràs de: Funcions polinòmiques de primer grau Funcions polinòmiques de segon grau Funcions polinòmiques definides a trossos

EXERCICIS

Completa l’enunciat amb les dades amb les quals apareix cada EXERCICI a la pantalla i després el resols.. És important que primer el resolguis tu i després comprovis amb l’ordinador si l’has fet bé. Funcions polinòmiques de primer grau Planteja l’equació (hi ha quatre exercicis diferents) 1. Escriu l’equació de la funció que representa el pes d’un cavall si neix amb ____ i augmenta a raó de _____ cada _______.

2. Escriu l’equació de la funció que representa el nre. de la pàgina del llibre que estic llegint, sabent que tots els dies avanço el mateix nre. de pàgines, el dia ___ anava per la _____, i el dia ____ per la _____.

3. Escriu l’equació de la funció que representa el preu en finalitzar la connexió en un ciber, si l’establiment de la connexió costa _______ i cada minut val _______.

4. Escriu l’equació de la funció que representa la quantitat total en € (IVA inclòs) a pagar en una factura, en funció del preu sense IVA, sabent que el percentatge d’augment aplicat és del ____.

Funciones polinómicas

- 14 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

A partir de la gràfica (Hi ha dos tipus d’exercicis diferents) 5. Escriu l’equació de la funció de la gràfica. Determina el pendent de la recta i els punts de tall amb els eixos. (Fes primer el dibuix que apareix a l’ordinador)

Representa gràficament (Fes, al menys, tres exercicis sense canviar d’opció) 6. Representa gràficament la funció f(x). a. f(x) =

b. f(x) =

c. f(x) =

Funciones polinómicas

- 15 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Rectes paral·leles (Fes, al menys, dos exercicis sense canviar d’opció) 7. Determina l’equació de la recta paral·lela a la de la gràfica que passa pel punt ( , )

8. Determina l’equació de la recta paral·lela a la de la gràfica que passa pel punt ( , )

Equació amb dos punts (Fes, al menys, dos exercicis sense canviar d’opció) 9. Esbrina l’equació de la recta que passa pels punts a. ( , ) y (

)

b. ( , ) y (

)

Pendent i punts de tall amb un eix (Fes, al menys, dos exercicis sense canviar d’opció) 10. Troba l’equació de la recta de pendent ___, que talla l’eix d’abscisses en ______.

11. Troba l’equació de la recta de pendent ___, que talla l’eix d’ordenades en ______.

Funciones polinómicas

- 16 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Punts alineats (Fes, al menys, dos exercicis sense canviar d’opció) 12. Estan alineats els tres punts? a. ( , ) ; (

)y(

)

b. ( , ) ; (

)y(

)

Oferta més interessant 13. En Joan rep una factura mensual de ____________ de telèfon. Decideix quina tarifa l’interessa més: a) Quota mensual de ____ més ___ cèntims cada minut. b)

Quota mensual _______ minut.

franc

Mobil per dos punts 14. Certa companyia ofereix un mòbil rebaixat segons els punts tal com indica la taula de la dreta. Correspon aquesta taula a una funció polinòmica de primer grau? En cas afirmatiu, quina és la seva equació?

X= punts

Y = Preu en €

Dues dades 15. En la factura del telèfon veiem que una trucada de ___ minuts costa ____y una altra de ____ minuts es factura per _____. Quin és el preu de l’establiment de trucada? Quant es pagarà per una trucada de ____ minuts?

Funciones polinómicas

- 17 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Funcions polinòmiques de segon grau Calcula el coeficient (Hi ha tres tipus d’exercicis diferents) 16. Calcula el valor de b per a què que la gràfica de la funció f(x)=__x2 + bx __, passi pel punt ( , ).

17. Calcula el valor de b per a què que la gràfica de la funció f(x)=ax2 _______, passi pel punt ( , ).

18. Calcula el valor de b per a què que la gràfica de la funció f(x)= ________+c, passi pel punt ( , ).

Escriu l’equació (Fes dos exercicis) 19.

Escriu l’equació de la paràbola que té coeficient a=___, talla l’eix d’ordenades en (0,__) i el seu vèrtex és el punt ( , ).

20.

Escriu l’equació de la paràbola que té coeficient a=___, talla l’eix d’ordenades en (0,__) i el seu vèrtex és el punt ( , ).

Funciones polinómicas

- 18 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Per tres punts 21. Escriu l’equació de la paràbola que passa pels punts A( , ), B( , ) i C( , )

Calcula el màxim (Hi ha quatre tipus d’exercicis diferents) 22. En llançar verticalment cap amunt un objecte, amb velocitat inicial ______ l’altura màxima que assoleix ve donada per: f(x)=____________________ (g=10 m/seg2 i x:temps). Calcula l’altura màxima que assoleix.

23. Amb un llistó de _______ de llargada volem fer un marc per a un quadre. Calcula la superfície màxima que es pot emmarcar.

Suggeriment: Comença per calcular l’equació de la recta taronja.

24. En un comerç venen ____ unitats d’un producte a ____ la unitat. Se sap que per cada euro que augmenta el preu es venen ____ unitats menys. A quant s’han de vendre per obtenir el màxim benefici?

Funciones polinómicas

- 19 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

25. Calcula el valor de x paper a què que l’àrea del rectangle de la figura sigui màxima.

Calcula el mínim (Hi ha tres tipus d’exercicis diferents) 26. Dos nombres sumen ___. Calcula quins són si la suma dels seus quadrats és mínima.

27. En un quadrat de costat ______ s’inscriu un altre com indica la figura. Quant mesurarà el costat del quadrat inscrit per a què la seva àrea sigui mínima?

28. Calcula el que ha de mesurar x per a què l’àrea ombrejada en blau en la figura, sigui mínima.

Funciones polinómicas

- 20 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Funcions polinòmiques definides a trossos Continuïtat (Hi ha tres tipus d’exercicis diferents, fes-ne dos de cada tipus)) 29. Decideix si la funció f(x) és contínua.  __________ ____ si x a) f ( x ) =   __________ ____ si x

 __________ ____ b) f ( x ) =   __________ ____

si x si x

Gràfica del valor absolut (Fes dos exercicis diferents) 30. La gràfica del valor absolut d’una funció es traça fent la simetria de la gràfica de la funció, respecte de l’eix-X, a la part que queda per sota de l’eix. (Fes primer el dibuix que apareix a l’ordinador)

a) Representa gràficament la funció f(x)=| x |

b) Representa gràficament la funció | f(x)=| x2

Trossos del valor absolut (Fes dos exercicis diferents) 31. El valor absolut d’una funció polinòmica es pot expressar com una funció definida a trossos, en la qual cada tros és un polinomi. Expressa amb trossos de funcions polinòmiques les funcions:

a) f(x)=| x

b) f(x)=| x2

Funciones polinómicas

 __________ ____ |=   __________ ____

si x si x

 __________ ____ |=   __________ ____

si x si x

- 21 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i els resols. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Quin és el pendent de la recta de la gràfica?

Calcula l’equació de la recta paral·lela a la y=

que passa pel punt ( ,

)

Quina és l’equació de la recta que passa pels punts A( , ) i B( , )

Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la recta y=

Calcula el vèrtex de la paràbola y=

Una paràbola talla l’eix d’abscisses en ( , 0) i (

, 0). Quin és el seu eix de simetria?

Funciones polinómicas

- 22 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 9

NOM:

DATA:

Esbrina els punts en què la paràbola f(x)=

talla l’eix d’abscisses.

La paràbola de la gràfica és com la y = x2. Introdueix els coeficients de la seva equació.

La paràbola de la gràfica és y= Quin interval és la solució de la inequació _____________________

Amb una corda de _____ es vol tancar una parcel·la rectangular per tres dels seus costats, ja que un fa frontera amb un riu. Quina és la superfície màxima que es pot tancar?

Funciones polinómicas

- 23 -

INS _________________________ QUADERN Núm. 10

NOM:

DATA:

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

Continguts 1. Funcions racionals Funció de proporcionalitat inversa Les asímptotes Altres funcions racionals 2. Funcions exponencials Característiques Creixement exponencial Aplicacions 3. Funcions logarítmiques Funció inversa de l’exponencial Funció logarítmica Logaritmes

Objectius •

Conèixer les característiques de la funció de proporcionalitat inversa i els fenòmens que descriuen.

•

Trobar les asímptotes d'una hipèrbola.

•

Reconèixer i representar funcions exponencials.

•

Aplicar les funcions exponencials a l'interès compost i a altres situacions.

•

Calcular el logaritme d'un nombre.

•

Interpretar les gràfiques de les funcions logarítmiques.

Autor: Xosé Eixo Blanco Versió en català: Zoila Pena i Terrén

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Abans de començar Investiga Benjamin Franklin, famós científic i estadista, va deixar un llegat de 1000 lliures a les ciutats de Boston i Filadèlfia perquè es deixessin a joves aprenents al 5% anual. Segons Franklin, al cap de 100 anys s'haurien convertit en 131 000 lliures, de les quals 100 000 serien per a obres públiques i les 31 000 restants es tornarien a utilitzar com a préstecs 100 anys més. Ho va calcular bé? A l’escena pots veure la definició de Progressió Geomètrica i diversos exemples. Clica el botó

per aturar l’explicació.

Clica el botó

per reprendre l’explicació.

Clica els botons

per retrocedir / avançar més ràpidament.

EXERCICI 1: Completa el que falta en els següents requadres: Una progressió geomètrica està constituïda per una _________________________ en què cada un s’obté _______________________ l’anterior per una constant denominada ________________________________. Exemple 1

Exemple 2

Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Funcions racionals 1.a. Funció de proporcionalitat inversa Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Completa. La funció de proporcionalitat inversa relaciona _______________________________ __________________. L’expressió algebraica és:

y= La seva gràfica és una ___________________. Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

EXERCICI 2: Completa. • El domini i el recorregut són ________________________________________. • És una funció _______: _______________________ • Si k>0 la funció és _____________ i la gràfica apareix als quadrants_________. • Si k<0 la funció és _____________ i la gràfica és en

_____________ quadrants.

A l’escena pots veure, en primer lloc, una animació k en què es construeix la gràfica de la funció f(x) = x per a k = 1. Completa la taula de valors i el dibuix en aquest sistema de coordenades cartesians:

En finalitzar, pots variar el valor de k i observar les gràfiques corresponents.

Representa en els requadres següents les gràfiques que s’indiquen: f(x) = x

f(x)

f(x) = x

2 x

f(x)

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

1 x

f(x) = −

4 x

f(x)

4 x x

f(x) = −

f(x)

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

Clica sobre el botó

NOM: ____________________________

DATA:

per fer exercicis. Apareix una escena en què es repassa el

concepte de magnituds inversament proporcionals. Respon: Quan dues magnituds són inversament proporcionals, si agafem dues quantitats corresponents, què és el que es manté constant? ___________________________ Clicant sobre els botons que apareixen en aquest quadre, pots accedir a tres exercicis diferents. Resol-los en els requadres següents i després clica sobre el botó “Comprovar”.

EXERCICIS Observa la gràfica de la figura. Arrossega el punt taronja per veure com apareixen diferents rectangles. (Dibuixa-la en els eixos de la dreta, fixant-te bé en l’equació i en els punts pels que passa). Com és l’àrea de tots aquest rectangles? ______________ Quant mesura? ____________

La taula correspon a quantitats inversament proporcionals. Completa-la i escriu l’expressió algebraica de la funció y = f(x).

f(x)

Segons la Lley de Boyle-Mariotte, la pressió que exerceix un gas i el volum que ocupa són inversament proporcionals. A 25º una determinada quantitat de gas exerceix una pressió ____ atmosferes i ocupa un volum de ____ litres. a) Quin volum ocuparà quan la pressió exercida sigui d’1 atmosfera? b) Quina pressió exercirà quan el volum sigui de ___ litres? Escriu la funció que relaciona: pressió → volum Dibuixa la seva gràfica

Clica

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

per anar a la pàgina següent.

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

1.b. Les asímptotes Observa l’escena de la dreta i llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: A l’escena de la dreta observa l’animació en la qual es veu com es comporten els valors de x i y en la gràfica de la funció f(x) = 1/x. Respon:

RESPOSTES

Què passa amb els valors de y = f(x) a mesura que els valors de x es van aproximant a 0 per la dreta (x 0+)? Què passa amb els valors de y = f(x) a mesura que els valors de x es van aproximant a 0 per l’esquerra (x 0–)? Què passa amb els valors de y = f(x) a mesura que els valors de x van sent cada vegada més grans, és a dir, quan tendeixen a més infinit (x +∞)? Què passa amb els valors de y = f(x) a mesura que els valors de x van sent cada vegada més petits, és a dir, quan tendeixen a menys infinit (x -∞)? EXERCICI 2: Respon.

RESPOSTA

Quan diem que una recta és una asímptota d’una funció? EXERCICI 3: Completa. •

Asímptotes verticals La recta x=a és una asímptota vertical de la funció y = f(x) si es verifica que ______ ____________________________________________________________________.

•

Asímptotes horitzontals La recta y=b és una asímptota horitzontal de la funció y = f(x) si es verifica que ____ ____________________________________________________________________.

Representa en els requadres següents les gràfiques que s’indiquen: 1 1 f(x) = f(x) = Observa que x–(–3)=x+3 ! x−2 x+3 x

f(x)

-4

2,5

-3.5

2,1

-3.1

-2

1,5

-2.5

1,9

-2.9

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

f(x)

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

Clica sobre el botó

DATA:

per fer exercicis. A l’escena apareix una funció per calcular les

asímptotes. Pots ajudar-te de les rectes verda i taronja per localitzar-les. Completa la taula següent amb quatre de les funcions i les seves corresponents asímptotes: Funció

A.V.

A.H.

Funció

f ( x) =

A.V.

A.H.

EXERCICIS 4.

En les següents funcions, dibuixes les asímptotes i escriu la seva equació.

AV: x= AH: y=

Clica

AV: x= AH: y=

per anar a la pàgina següent.

1.c. Altres funcions racionals Observa l’escena de la dreta i llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EJERCICIO 1: Completa. Les funcions racionals són aquelles en què la seva expressió algebraica és ____________ _________________________.

f (x) = EJERCICIO 2: Completa.

• El seu domini són ______________________ excepte_________________________. • Per calcular el punt de tall amb l’eix OY ____________________. • Para calcular els punts de tall amb l’eix OX ___________________________________. A l’escena pots veure com es calculen les asímptotes i els punts de tall en diversos exemples amb funcions que són quocient de dos polinomis de grau 1.

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Completa en els següents requadres dos dels exemples que hi apareixen. f(x) =

f(x) =

Asímptota vertical:

Operació per calcular l’asímptota horitzontal:

Asímptota horitzontal: x f(x)

0 0

Clica sobre el botó

per fer exercicis.

A l’escena apareixen cinc funcions i cinc gràfiques. Arrossega cada equació al lloc en què està la gràfica corresponent i clica Comprovar per veure si l’has fet bé. Repeteix l’exercici un mínim de dues vegades sense errades.

EXERCICIS 5.

Decideix quina gràfica correspon a cada funció:

Clica Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

1) f(x) =

1 x −1

2) f(x) =

1 → x +1

3) f(x) =

x +1 x

→

4) f(x) =

1− x x

→

5) f(x) =

x +1 x −1

→

6) f(x) =

x −1 x +1

→

per anar a la pàgina següent. -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

2. Funcions exponencials 2.a. Característiques de la funció exponencial Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat, varia a l’escena el valor de “a” i clica “animar” per observar com es van obtenint els punts de la funció i la seva corresponent representació gràfica. EXERCICI 1: Completa. La funció exponencial és de la forma

f ( x) =

amb a un nombre real positiu.

EXERCICI 2: Completa.

• El domini són _________________ i el recorregut són ______________________. • Es contínua en _______________________. • Si a>1, la funció és __________________________________. • Si 0<a<1, la funció és _____________________. • Talla l’eix OY en el punt ( , ). • L’eix OX és ______________________. La funció es injectiva, és a dir, si an=am aleshores n=m Representa en els següents requadres les gràfiques que s’indiquen: f(x) = 3 x

f(x) = 2 x x

f(x)

f(x) = (0 ,5)x x

f(x)

f(x) = (0,25)x x

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

f(x)

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

Clica sobre el botó

NOM: ____________________________

DATA:

per fer exercicis.

Apareix una escena en què veuràs altres funcions exponencials. Per exemple, el cas en què multipliquem per un nombre “k” i el cas en què sumem una constant “b”. És a dir, veurem les funcions exponencials del tipus f(x) = k·ax + b Clicant sobre els botons que apareixen en aquest quadre, pots accedir a tres exercicis diferents. Resol-los en els següents requadres i després clica sobre el botó “Comprovar”. Funcions exponencials de la forma:

f(x) = k ⋅ a x Exemples: Amb base major que 1: f(x) =

⋅

Amb base positiva menor que 1: f(x) =

⋅

Punt de tall amb OY: ( , )

Funcions exponencials de la forma:

f(x) = ax + p Exemples: Amb base major que 1 Amb p > 0 : f(x) =

Amb p < 0 : f(x) =

Amb base positiva menor que 1 x

−

Amb p > 0 : f(x) =

Amb p < 0 : f(x) =

−

Asímptota horitzontal: y = Punt de tall amb OY: ( , )

Representa dues de les funcions que apareixen en aquest apartat, completant també la taula de valors: f(x) = x

f(x) = f(x)

Clica

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

f(x)

per anar a la pàgina següent.

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

2.b. Creixement exponencial Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. La funció exponencial es presenta en multitud de fenòmens de creixement animal, vegetal, econòmic, etc. En tots aquests contextos la variable és el temps, y = at. EXERCICI 1: Completa. En el creixement exponencial, cada valor de y s’obté ________________________ ____________________________________________________________________.

y= En què: k és __________________________ t és __________________________ a és _______________________________________________________. Si 0<a<1 es tracta d’un _______________________________ A l’escena apareix l’enunciat d’un problema. Observa que el creixement del cultiu bacterià (nombre de bacteris per unitat de temps) segueix un creixement o decreixement exponencial. EXERCICI 2: Varia el valor inicial “k” i el factor pel qual es multiplica “a” i observa les diferents gràfiques que s’obtenen. Respon:

RESPOSTA

Per a quins valors de “a” hi ha un creixement exponencial? Per a quins valors de “a” hi ha un decreixement exponencial? Com és la funció per a = 1? Quin és el punt de tall amb l’eix OY?

Clica sobre el botó

per fer exercicis.

Apareix un resum en què pots veure les respostes a les preguntes anteriors. Clicant sobre els botons que apareixen en aquest quadre, pots accedir a tres exercicis diferents. Resol-los en els següents requadres i després clica sobre el botó “Comprovar”. Escriu la taula d’una funció exponencial si per a x=___ la funció val ___ i la constant de creixement és ___.

Quina és la seva expressió algebraica?

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

10 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

La taula següent correspon a valors d’una funció exponencial. Completa-la i escriu l’expressió algebraica de la funció y=f(x)?

DATA:

f(x)

Representa dues de les funcions que apareixen en aquest apartat, completant també la taula de valors: f(x) = x

f(x) = f(x)

Clica

f(x)

per anar a la pàgina següent.

2.c. Aplicacions Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Respon. Per a què serveix la funció exponencial?

EXERCICI 2: Ara pots resoldre el problema del llegat de Franklin, plantejat en iniciar el tema. Clica sobre la imatge.

A l’escena de la dreta hi pots veure tres aplicacions: Interès compost. Creixement de poblacions. Desintegració radioactiva. Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

11 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

Clica sobre

NOM: ____________________________

DATA:

Interès compost

Llegeix l’explicació de l’escena i completa el que falta en el següent text: Interès Compost En l’interès compost, els interessos produïts per un capital C0 ______________________ , de tant en tant, per produir interessos nous. Els intervals de temps, al cap dels quals els interessos s’acumulen al capital, s’anomenen ________________________________________________. El Capital Final obtingut Cf por un capital inicial C0 al cap de t anys a interès compost del r % anual, es determina per la fórmula:

Si la capitalització no és anual, es canvia t per ___ , r per ____, en què n és el nombre de períodes que hi ha en un any. Creixement Continu Quan els períodes de temps es fan cada cop més petits, de manera que els interessos s’acumulen al capital en cada instant, s’obté la fórmula de l’interès continu:

EXEMPLE Si col·loquem un capital de ____ € al ______ anual, a interès compost amb abonaments cada ___ mesos. a) Fes una taula del capital acumulat en els primers anys. b) Escriu l’expressió algebraica del capital acumulat, en funció dels anys transcorreguts. c) Quants diners tindrem al cap de ___ anys? d) Quants anys han de passar per tenir _____ €?

El rèdit per període és: Cada € es converteix per període en: Cada € se converteix per any en: b) y = c) y( ) =

d) Continuem amb la taula

Han de passar:

Clica “< tornar” per tornar al menú. Clica sobre

Creixement de poblacions

Llegeix l’explicació de l’escena i completa el que falta en el següent text: Creixement de poblacions El creixement vegetatiu d’una població ve donat per _________________________________ ___________________________________________. Si inicialment partim d’una població P0 que té un índex de creixement anual i (expressat en tant per u), la població, després d’un any, serà: I al cap de t anys serà Creixement Continu Si es considera el creixement continu:

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

12 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

EXEMPLE Un poble té ____ habitants. Se sap que la seva població creix a un ritme del ____ anual. a) Fes una taula de valors que relacioni temps i població. b) Escriu l’expressió algebraica de la funció temps→població. c) Quants habitants tindrà dintre de ____ anys? d) Quants anys han de passar perquè la població sigui, aproximadament, de ____ habitants?

y( ) =

DATA:

Continuem amb la taula

Han de passar:

Clica “< tornar” per tornar al menú. Clica sobre

Desintegració Radioactiva

Llegeix l’explicació de l’escena i completa el que falta en el següent text: Desintegració Radioactiva Les substàncies radioactives es desintegren ____________________. La quantitat d’una certa substància radioactiva que va quedant en passar el temps t, ve donada per

en què M0 és la quantitat de substància que hi havia a l’instant que prenguem com inicial i a una constant, 0 < a < 1, que depèn de la substància en qüestió i de la unitat de temps que agafem. La rapidesa de desintegració de les substàncies radioactives es mesura pel _______________ _____________, que és _______________________________________________. EXEMPLE Un gram d’estronci-90 es redueix a la meitat en 28 anys. Si l’any 2000, hi havia ___ grams i prenem com origen de temps l’any 2000: a) Fes una taula amb la quantitat d’estronci que quedarà els anys 2000, 2028, 2056, 2084. b) Escriu l’expressió algebraica de la funció anys→massa. c) Quant estronci quedarà l’any ________? d) Quants anys han de passar per a què es redueixi a _____ g?

any

y x = anys que han passat des de l’any 2000 y = quantitat de massa l’any x

y( ) =

Continuem amb la taula a partir de x = ____

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

Han de passar:

13 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

EXERCICIS 6.

Representa i estudia les funcions: a) f(x)=4·2x b) f(x)=2·3-x+1

Construeix una taula de valors d’una funció exponencial en cada cas, i escriu l’expressió algebraica. a) f(-2)=2/9 i constant de creixement 3

b) f(0)=3 i constant de decreixement ¼

f(x)

-2

2/9

-2

-1

f(x)

La taula correspon, en cada cas, a una funció exponencial. Escriu la fórmula. x

f(x)

-2

1/9

-2

-1

1/3

-1

1/5

1/25

1/125

Indica si el gràfic correspon a una funció amb creixement exponencial o amb decreixement. Escriu la funció.

Clica

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

per anar a la pàgina següent.

14 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

3. Funcions logarítmiques 3.a. Funció inversa de l’exponencial Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Completa. Donada una funció injectiva, y=f(x), s’anomena ________________ de f a una altra funció, g, tal que g(y)=x. A l’escena adjunta construïm, pas a pas, la inversa de la funció exponencial. Pots variar el valor de “a” i clicar “animar” per observar com apareixen les gràfiques de dues funcions: La funció exponencial y = f(x) = ax i la seva inversa x = g(y). EXERCICI 2: Completa. Aquesta funció inversa s’anomena _______________ i, com pots observar, és ___________ de la ________________________ respecte a _______________________________. A continuació, representa les gràfiques de les funcions que s’indiquen, escrivint en primer lloc la taula de valors: F. exponencial: f(x) = 2 x I la inversa: x = g(y)

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. La funció logarítmica Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EJERCICIO 1: Completa. La funció logarítmica és _________________________________________ i es denota: y=

, amb a>0 i a≠1.

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

15 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Observa a l’escena de la dreta com construïm la gràfica de manera similar a com ho vam fer amb l’exponencial. Les seves propietats són "simètriques". EJERCICIO 2: Completa.

• El domini és _______ i el recorregut és _____. • Es contínua en _______________________. • Si a>1 la funció és __________________________________. • Si 0<a<1 la funció és _____________________. • Talla l’eix OX en el punt ( , ). • L’eix OY és ______________________. La funció és injectiva: si logax = logay aleshores x=y Representa en els següents requadres les gràfiques que s’indiquen:

f(x) = log2 x x

f(x)

f(x) = log0,5 x x

f(x)

f(x) = log10 x x

f(x)

Clica sobre el botó

f(x) = log0,1 x x

f(x)

per fer exercicis.

Apareix una escena en què veuràs altres funcions logarítmiques. Per exemple, el cas en què multipliquem per un nombre “k” i el cas en què sumem una constant “p”. És a dir, veurem les funcions logarítmiques del tipus: f(x) = k ⋅ log a x i f(x) = log a x + p

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

16 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Clicant sobre els botons que apareixen en aquest quadre, pots accedir a tres activitats diferents. Resol-les en els següents requadres i després clica el botó “Comprovar”. Funcions logarítmiques de la forma: f(x) = k ⋅ loga x Varia els valors de “a” i de “k” i indica si la funció és creixent o decreixent. Amb base a > 1 Si k>0 ___________________

Si k<0 _______________________

Amb base 0<a< 1 (Has de tenir present que log1 x = − loga x ) a

Si k>0 ___________________

Si k<0 _______________________

Funcions logarítmiques de la forma: f(x) = loga x + p Varia els valors de “a” i de “k” i indica si la funció és creixent o decreixent. Amb base a > 1 Si p>0 ___________________

Si p<0 _______________________

Amb base 0<a< 1 Si p>0 ___________________

Si p<0 _______________________

Observem que: En variar p, la funció es trasllada sobre l’eix OY. Si p>0 Cap a ________ i si p<0 cap a _______ Quin és el punt de tall de la funció f(x) = loga x + p amb l’eix OX? (

)

Representa dues de les funcions que apareixen en quest apartat, completant també la taula de valors: f(x) = x

f(x) = f(x)

Domini: Recorregut: Asímptota: Tall OX:

f(x)

Domini: Recorregut: Asímptota: Tall OX:

Clica

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

per anar a la pàgina següent.

17 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

3.c. Logaritmes Llegeix l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI 1: Completa.

Donats dos nombres reals positius, a i b (a

1), anomenem logaritme en base a de b

_____________________________________________________________________.

EXERCICI 2: Completa. La definició anterior indica que les dues igualtats següents són equivalents: Equival a Quan a=10 parlem de ___________________________ i no s’escriu la base. log100=

perquè

En l’escena de la dreta pots veure exemples i pots comprendre millor el concepte de logaritme. A continuació podràs veure les propietats dels logaritmes i les seves corresponents demostracions. Anota els exemples i les propietats en els espais següents: Logaritmes de base major que 1 Exemple 1:

perquè

Exemple 2:

perquè

Logaritmes de base positiva menor que 1 Exemple 1:

perquè

Exemple 2:

perquè

Propietats dels logaritmes 1) Logaritme d’un producte Si b i c són dos nombres reals positius, s’acompleix en qualsevol base a que:

Demostració Si anomenem z al primer logaritme, x al segon i y al tercer, tenim: Per tant:

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

18 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

2) Logaritme d’un quocient Si b i c són dos nombres reals positius, s’acompleix en qualsevol base a que:

Demostració Si anomenem z al primer logaritme, x al segon i y al tercer, tenim:

Per tant: 3) Logaritme d’una potència Si b és un nombre real positiu i c qualsevol nombre, s’acompleix en qualsevol base a que:

Demostració Si anomenem z al primer logaritme i x al segon, tenim:

Per tant: 4) Logaritme de la unitat i logaritme de la base El logaritme d’1 en qualsevol base és ___. El logaritme de a en base a és ___. perquè

perquè

Logaritmes decimals (I) Són els més utilitzats i per aquest motiu no s’acostuma a escriure la base. És a dir, log 3 = log103 Exemple 1: Exemple 2: Exemple 3: Exemple 4:

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

19 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

(II) Per calcular el logaritme decimal d’un nombre que no sigui potència de 10 hem d’utilitzar la calculadora. Però podem fer-nos una idea del seu valor aproximat tenint en compte que la funció logarítmica de base major que 1 es creixent. Exemple 1:

< 10

Exemple 2:

10 <

Exemple 3:

100 <

< 100 < 1000

Perquè log

El logaritme d’un nombre “n” és __________________________________________. El logaritme ens informa ________________________________. (III) Si el nombre és menor que 1 el logaritme també ens informa de la seva magnitud: Exemple 1:

> 0,1

Exemple 2:

0,1 >

Exemple 3:

0,01 >

> 0,01 > 0,001

Perquè log

El logaritme d’un nombre “n” indica __________________________________________. Logaritmes amb la calculadora Les calculadores normalment permeten calcular dos tipus de logaritmes: Decimals (base = 10) i neperians o naturals (base = nombre e). Si volem utilitzar la calculadora per obtenir logaritmes en qualsevol altra base haurem de recórrer a la fórmula de canvi de base:

Clica sobre el botó

per fer exercicis.

Clicant sobre els botons que apareixen en aquest quadre pots accedir a tres exercicis diferents. Resol-los en els següents requadres i després clica sobre el botó “Comprovar”. Escriu un mínim de cinc enunciats i resol-los sense calculadora abans de clicar sobre “Comprovar” Exercici 1: Exercici 2: Exercici 3: Exercici 4: Exercici 5: Sabent que el log 2 = 0,301030, calcula sense calculadora el valor de: log 1,6 = log 0,125 = log 40 =

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

20 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Escriu un mínim de cinc enunciats i resol-los amb la calculadora: Exercici 1: Exercici 2: Exercici 3: Exercici 4: Exercici 5:

EXERCICIS 10.

Representa i estudia les funcions a) f(x)=2·log3x b) f(x)=log3x+1

11.

Calcula x en cada cas, aplicant la definició de logaritme: a) log6 (1/6) = x b) log4 2 = x c) log5 125 = x d) log1/8 1 = x e) log3 81 = x f) log1/5 25 = x g) log3 (1/9) = x h) log1/2 (1/16) = x

12.

Sabent que log2=0,301030 calcula sense ajuda de la calculadora: a) log40 b) log1,6 c) log 0,125

13.

Amb la calculadora, esbrina els logaritmes següents: a) log223,721 b) log325678,34561 c) log50,37906 d) log70,37906

Clica

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

per anar a la pàgina següent.

21 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Recorda el més important – RESUM (Completa el que falta en la descripció de les diferents funcions)

Funcions racionals Són aquelles que la seva expressió algebraica és el quocient entre dos polinomis. •

•

Una funció de proporcionalitat inversa, y=k/x, relaciona dues variables. _________________________ _______________________. o La gràfica és una ______________ o És discontínua en __________ o Decreixent si ________ Quina funció s’obté si es trasllada el o Creixent si ______. 3 centre de la hipèrbola y = al punt x Quan la gràfica d’una funció s’apropa cada cop més a una recta, gairebé confonent-se amb ella, (–3,–2)? es diu que la recta és una ____________. 3 y = = x

Funcions exponencials

Fes la gràfica de les funcions:

Són de la forma y=a , amb a>0. • • • • • •

y = 2x

El seu domini és _____. És ______________. És creixent si ______________ És decreixent si ______________ Tall l’eix OY en ( , ) i passa per ( , ) L’eix OX és ________________________.

y= log2 x

Funcions logarítmiques Són les que associen a cada nombre x el seu logaritme en una certa base, a>0, y=logax. • • • • • •

El seu domini són______________________ És ______________ És creixent si ________ És decreixent si ___________. Tall l’eix OX en ( , ) i passa per ( , ) L’eix OY és______________________.

LOGARITMES El logaritme en base a>0 d’un nombre b>0 és l’exponent x, al qual s’ha d’elevar a per obtenir b. logab=x és equivalent a ________ PROPIETATS

1. loga(b·c)= _______________ 2. loga(b/c)= _______________ n

3. logab = ________________ Clica

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

per anar a la pàgina següent.

22 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs de: Funcions racionals Funcions exponencials Funcions logarítmiques

EXERCICIS

Completa l’enunciat amb les dades amb les que apareix cada EXERCICI a la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis amb l’ordinador si l’has fet bé.

Funcions racionals Proporcionalitat inversa (Hi ha tres exercicis diferents) 1. Envasem ___ litres d’aigua mineral en ampolles iguals. Escriu la funció que relaciona el nombre d’ampolles i la seva capacitat. Dibuixa la gràfica.

2. Un mòbil recorre una distància de ______ amb velocitat constant. Escriu la funció velocitat→temps, calcula el temps invertit a una velocitat de ____ km/h, i la velocitat si el temps ha estat ___ hores.

3. Una aixeta amb un cabal de ___ litres/min, triga _____ minuts en omplir un dipòsit. Quant trigaria si el cabal fos de ___ litres/min? Escriu la funció cabal→temps.

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

23 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Dibuixa la gràfica 4. Calcula les asímptotes i dibuixa la gràfica de les funcions: a)

f(x) =

Escriu l’equació 5. Escriu l’equació de la funció la gràfica de la qual és una hipèrbola com la de la figura, amb el centre de simetria desplaçat al punt ( , )

Cost per unitat 6. Els costos d’edició, en euros, de x exemplars d’un llibre venen donats per y=________ (x>0).

Cost de x exemplars

Quant costa editar _____ exemplars? I ____ exemplars? Escriu la funció que proporciona el cost per exemplar.

Per molts exemplars que es publiquin, quin és el cost unitari com a mínim?

Clica

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

per anar a la pàgina següent.

24 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Funcions exponencials Interès compost (Hi ha cinc exercicis diferents) 7. En què es converteix al cap de ___ anys un capital de __________ al ______ anual?

8. Un capital col·locat a interès compost al ___ anual, s’ha convertit en __ anys en ______. Quin era el capital inicial?

9. Un capital de __________ col·locat a interès compost s’ha convertit al cap de __ anys en ___________. Quin es el rèdit (interès anual) a què ha estat col·locat?

10. Un capital de _________, col·locat a interès compost del ____ anual, s’ha convertit al cap d’uns anys en ________. Quants anys han transcorregut?

11. Quants anys ha d’estar col·locat un cert capital, al ____ anual per a què es dupliqui?

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

25 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Decaïment Radioactiu (Hi ha tres exercicis diferents) 12. El període de desintegració del Carboni 14 és 5370 anys. En quina quantitat es converteixen ___ al cap de _____ anys?

13. Quants anys han de passar per a què una mostra de ____ de C14 es converteixi en ____? (Període de desintegració del C14: 5370 anys).

14. Una mostra de _____ d’una substància radioactiva es converteix en ______ en __ anys. Quin és el període de desintegració?

Creixement de poblacions (Hi ha dos exercicis diferents) 15. La grandària d’un cert cultiu de bacteris es multiplica per _ cada __ minuts. Si suposem que el cultiu té inicialment ___ milions de bacteris, quantes hores trigarà en tenir ___ milions de bacteris?

16. La grandària d’un cert cultiu de bacteris es multiplica per _ cada __ minuts. Si al cap de __ hores el cultiu té ____ milions de bacteris, quants n’hi havia a l’instant inicial?

Equacions exponencials Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

26 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Quan la x està a l’exponent Exemple 1 Resol l’equació: 25

Exemple 2 2x-3

=125

25=52 y 125=53, aleshores 52(2x-3)=53 igualant els exponents 2(2x-3)=3 ⇒ x=9/4

Calcula x en 3x=14 Prenent logaritmes: log3x=log14 x log3=log14, per tant, x=

log 14 = 2,40 log 3

17. Resol equacions exponencials (escriu tres enunciats diferents que apareixen al teu ordinador i resollos abans de comprovar la solució): a)

Clica

per anar a la pàgina següent.

Funcions logarítmiques Definició de logaritme (Hi ha tres xercicis diferents) 18. Calcula el nombre el logaritme del qual en base ___ és ___.

19. En quina base el logaritme de 0,001 és -3?

20. Calcula mentalment el logaritme en base 2 de 32.

Logaritmes decimals 21. Sabent que el log2=0,3010 i el log3=0,4771, calcula: (fes-ne al menys tres diferents) a)

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

27 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Logaritmes amb calculadora 22. Utilitza la calculadora per esbrinar el valor de: (fes-ne al menys tres diferents) a) Logaritme en base __ de __________

b) Logaritme en base __ de __________

c) Logaritme en base __ de __________

Equacions amb logaritmes Exemple Resol l’equació: 4 · logx = 2 · logx + log4 + 2 4 · logx – 2 · logx = log4 + log100

log x2 = log400

2 · logx = log400

x2 = 400 ⇒ x = ± 20

23. Aplicant les propietats dels logaritmes resol les equacions (escriu quatre enunciats diferents que apareguin al teu ordinador, dos d’equacions amb una incògnita i altres dos de sistemes de dues equacions): a)

Clica

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

per anar a la pàgina següent.

28 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-los. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Quina és la funció de proporcionalitat inversa que a x = ____ li fa correspondre y = ___?

Escriu l’expressió algebraica de la funció de la gràfica.

Calcula les asímptotes de la funció

f(x) =

Escriu l’expressió algebraica de la funció exponencial de la gràfica

Calcula en quin capital es converteix un capital de ______ € col·locat al ___ anual durant __ anys.

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

29 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

La població d’una espècie en extinció es redueix a la meitat cada any. Si al cap de __ anys queden ____ exemplars, quina era la població inicial?

Escriu l’expressió de la funció logarítmica que és la inversa de l’exponencial de la gràfica.

Calcula log

Sabent que log __ = _______ i sense utilitzar la calculadora, calcula log ________

Amb la calculadora, troba el valor de x en ___________________ Arrodoneix el resultat a les centèsimes.

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

30 -

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

DATA:

Per practicar més 1. Envasem 276 litres d’aigua en ampolles iguals. Escriu la funció que relaciona el nombre d’ampolles i la seva capacitat. 2. Un mòbil recorre una distància de 130 km amb velocitat constant. Escriu la funció velocitat→temps, calcula el temps invertit a una velocitat de 50 km/h, i la velocitat si el temps ha estat 5 hores. 3. Una aixeta amb un cabal de 8 litres/min triga 42 minuts en omplir un dipòsit. Quant trigaria si el cabal fos de 24 litres/min? Escriu la funció cabal→temps. 4. Calcula les asímptotes de les funcions següents: a) f(x) =

2x + 4 x+3

b) f(x) =

x −1 x−3

c) f(x) =

2x − 1 x

d) f(x) =

−x x+2

5. Escriu l’equació de la funció que té per gràfica una hipèrbola com la de la figura amb el centre de simetria desplaçat al punt (2,-1).

7. En què es converteix al cap de 15 anys un capital de 23000€ al 5,5% anual? 8. Un capital col·locat a interès compost al 2% anual, s’ha convertit en 3 anys en 9550,87€. Quin era el capital inicial? 9. Un capital de 29000€ col·locat a interès compost s’ha convertit al cap de 4 anys en 31390,53 €. Quin és el rèdit (interès anual) a què ha estat col·locat? 10. Un capital de 7000€, col·locat a interès compost del 2% anual, s’ha convertit al cap d’uns anys en 8201,61€. Quants anys han transcorregut? 11. Quants anys ha d’estar col·locat un cert capital, al 3% anual, per a què es dupliqui? 12. El període de desintegració del Carboni 14 és de 5370 anys. En quina quantitat es converteixen 10 g al cap de 1000 anys? 13. Quants anys han de passar per a què una mostra de 30 g de C14 es converteixi en 20,86 g? (Període de desintegració del C14 5370 anys).

14. Una mostra de 60 g d’una substància radioactiva es converteix en 35,67 g en 30 anys. Quin és el període de desintegració? 15. La grandària d’un cert cultiu de bacteris es multiplica per 2 cada 30 minuts. Si suposem que el cultiu té inicialment 5 milions de bacteris, quantes hores trigarà a tenir 320 milions de bacteris? 6. Els costos d’edició, en euros, de x exemplars d’un llibre venen donats per y=21x+24 (x>0). Quant costa editar 8 exemplars? I 80 exemplars? Escriu la funció que proporciona el cost per exemplar. Per molts exemplars que es publiquin, quin és el cost unitari com a mínim?

16. La grandària d’un cert cultiu de bacteris es multiplica per 2 cada 20 minuts. Si al cap de 3 hores el cultiu té 576 milions de bacteris, quants n’hi havia a l’instant inicial?

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

INS _____________________ QUADERN Núm. 10

NOM: ____________________________

17. Calcula el nombre:

DATA:

22. Resol les equacions exponencials:

a) el logaritme del qual en base 6 és 3.

a) 32-9x+9=16

b) el logaritme del qual en base 4 és -3.

b) 272x+3=93

c) el logaritme del qual en base 10 és 2.

c) 4-3x+8=8

d) el logaritme del qual en base 1/2 és 3.

d) 98x-7=1 e) 25-5x-5=1

e) el logaritme del qual en base 1/5 és 2.

23. Calcula el valor de x: a) 7x=5

18. En quina base? a) el logaritme de 0,001 és -3.

b) 5x=7

b) el logaritme de 243 és 3.

c) 2,13x=4,5

c) el logaritme de 8 és 1. 24. Aplicant les propietats dels logaritmes resol les equacions:

d) el logaritme de 1/81 és -4. e) el logaritme de 49 és 2.

a) log(32+x2) – 2·log(4-x) = 0 b) 2·logx – log(x-16) = 2

19. Calcula mentalment:

c) logx2 – log

a) el logaritme en base 2 de 32. b) el logaritme en base 5 de 125.

d) 5 ⋅ log

c) el logaritme en base 3 de 1/9.

10x + 11 = -2 10

x x 32 + 2 ⋅ log = 3 ⋅ log x − log 2 3 9

d) el logaritme en base 7 de 1. 25. Resol els sistemes:

e) el logaritme en base 6 de 216.

2 ⋅ log x − 3 ⋅ log y = 7 log x + log y = 1

a)  20. Sabent que el log2=0,3010 log3=0,4771, calcula:

a) log 16

x + y = 70 log x + log y = 3

b) 

b) log 512 c) log(16/81) d) log 24 e) log 72 21. Utilitza la calculadora per esbrinar el valor de: a) log7 12456,789 b) log5 5123,4345 c) log9 47658,897 d) log3 23,146 e) log6 1235,098

Funcions racionals, exponencials i logarítmiques

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

Estadística Continguts 1. Estadística descriptiva Població i mostra Variables estadístiques Gràfics variables qualitatives Gràfics variables quantitatives discretes Gràfics variables quantitatives contínues 2. Mesures de centralització Mitjana, moda i mediana Evolució de la mitjana Evolució de la mediana Mitjana i mediana comparades Mesures de posició 3. Mesures de dispersió Desviació típica i recorregut Càlcul de les mesures de dispersió La mitjana i la desviació típica 4. Representativitat de les mostres Mostreig estratificat Mostreig aleatori. Biaix

Objectius •

Distingir els conceptes de població i mostra.

•

Diferenciar els tres tipus de variables estadístiques.

•

Fer recomptes i gràfics.

•

Calcular i interpretar les mesures estadístiques de centralització més importants.

•

Calcular les principals mesures de dispersió.

•

Entendre la importància de l’elecció de la mostra perquè sigui representativa.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar

Estadística

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

Abans de començar Un joc per començar Ves fent clic, durant una estona, en peces adossades al buit per desplaçar-les i desfer el puzle. Després el reconstrueixes. Clica

per anar a la pàgina següent.

1. Estadística descriptiva 1.a.

Població i mostra.

Població és ___________________________________________________ sobre el qual és fa un estudi estadístic. La mostra és_______________________________________________________________, per això la propietat més important de les mostres és la seva ________________________. El procés seguit en l’extracció de la mostra s’anomena ___________________. En l’escena adjunta tenim 625 petits quadrats que representen als alumnes d’un institut fictici. Si vas fent clic en els quadradets, aniràs seleccionant part dels alumnes. Contesta: a. Quina és la població? ____________________________________________________ b. Quina és la mostra? _____________________________________________________ c. Com s’anomena el procés en el qual es pregunta a tota la població? ______________ Clica

per anar a la pàgina següent.

1.b. Variables estadístiques. La característica que s’estudia en una població és la variable estadística. Completa la taula següent amb les característiques dels diferents tipus de variables estadístiques: Tipus de variables estadístiques Qualitatives Discretes

Contínues

Quantitatives

A l’escena de la dreta tens exemples de cada tipus de variable estadística. Clica en el botó

per fer un exercici.

Completa la taula amb els exemples: Qualitatives Quantitatives Discretes

Clica Estadística

Quantitatives Contínues

per anar a la pàgina següent. -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

1.c. Gràfics en variables qualitatives El diagrama de sectors és el més indicat per aquest tipus d’informació. El percentatge de dades de cada valor en una mostra es correspon amb el mateix percentatge de sector d’un cercle.

Així, per exemple, si les dades són A, A, A, A, A, B, B, B, C, C, completa la taula amb les dades corresponents: xi Freqüència Percentatge Angle A B C Fes clic a

per veure un vídeo sobre gràfics.

Amb l’ajuda de l’escena de la dreta pots fer un exercici sobre representació gràfica de variables estadístiques qualitatives. L’exercici simula que tenim una població de 30 alumnes i cada un d’ells tria un color. Clicant a Genera tindrem els 30 colors escollits aleatòriament, clica ajuda i llegeix com l’escena et facilita el recompte i completa la taula, comprovant que és correcte el teu recompte. A continuació clica el botó de diagrames per veure els gràfics, i dibuixa’ls en el lloc corresponent. Colori

Freqüència

D. de columnes

D. de sectors

Vermell

Verd

Blau

Groc

Turquesa

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

1.d. Gràfics en variables quantitatives discretes Diagrama de barres. N’hi haurà prou que observis exemples fets de l’escena de la dreta per comprendre com es fan i el seu significat. Aquest és el gràfic més indicat per les variables quantitatives discretes. Pots llegir un article de l’Institut Nacional d’Estadística, sobre el comportament o actuacions del nostre país amb el medi ambient i les energies renovables, en el qual es mostren diversos tipus de diagrames. Amb l’ajuda de l’escena de la dreta pots fer uns exercicis sobre representació gràfica de variables estadístiques quantitatives discretes. A la taula següent copia’n un d’ells. L’exercici simula que tenim una població de 30 alumnes i cada un d’ells ens diu el nombre de germans que té. Clicant a Genera tindrem les 30 dades generades aleatòriament, clica ajuda i llegeix com l’escena et facilita el recompte i completa la taula, comprovant que és correcte el teu recompte. A continuació clica el botó de diagrames per veure els gràfics, i dibuixa’ls en el lloc corresponent. Variable

Freqüència

D. de columnes

D. de sectors

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

1.e. Gràfics en variables quantitatives contínues Histograma. Llegeix l’explicació d’aquest tipus de gràfic estadístic. Contesta.

RESPOSTA

Quina figura s’utilitza per representar les dades? Si tots els intervals són de la mateixa amplitud, què ens indica l’altura? Si tots els intervals no són de la mateixa amplitud, quina magnitud és proporcional a la freqüència? Clica a l’enllaç: Exemple. Fixa’t en l’exemple resolt que apareix. Polígon de freqüències. Unirem els centres de la part superior de tots els rectangles per obtenir-lo. També es pot dibuixar l’histograma de les freqüències acumulades: en cada dada s’acumula la freqüència de les dades anteriors. Amb l’ajuda de l’escena de la dreta pots fer uns exercicis sobre representació gràfica de variables estadístiques quantitatives contínues. En la taula següent copia’n un d’ells: L’exercici simula que tenim una població de 30 alumnes i mesurem l’altura de cada un d’ells. Clicant a Clica per començar tindrem les 30 dades generades aleatòriament, clica ajuda i llegeix com l’escena et facilita el recompte i completa la taula, comprovant que és correcte el teu recompte. A continuació clica el botó de diagrames per veure els gràfics, i dibuixa’ls en el lloc corresponent. Interval

Freqüència

Histograma

D. de freq. acumulades

[150, 160)

[160, 170)

[170, 180)

[180, 190)

[190, 200)

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

EXERCICIS 1.

Classifica els següents exemples de variables estadístiques: longitud d’un camió, càrrega màxima, nre. de rodes, nre. d’eixos, tipus de camió, marques de neumàtics, tipus de tapisseria, nre. de portes, altura màxima. Qualitatives: Q. discretes: Q. contínues:

Calcula els graus que corresponen a cada valor en un gràfic de sectors fet a partir de les dades: R, R , V , V , V , V , V , A, A, A

Agrupa les dades següents i fes un diagrama de barres adequat. Dades = { 0 1 0 2 3 4 1 2 2 1 2 2 3 4 3 2 1 3 } Valor

Freqüència

0 1 2 3 4

Classifica les dades en intervals i dibuixa un histograma adequat.

[150,

]

[

]

[

]

[

]

[

, 200 ]

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

2. Mesures de centralització 2.a. Mitjana, mediana i moda Un conjunt N d’observacions, N nombres, pot ser que per si sol no ens digui res. En canvi, si a més ens diuen que estan situats al voltant d’un o diversos valors centrals, ja tenim una referència que sintetitza la informació. Per això, es defineixen els següents paràmetres de centralització (perquè ens indiquen el centre de la distribució) Mitjana: ________________________________________________________

Moda: _________________________________________________________ En el cas d’una variable contínua, considerarem per moda ____________________________ _________________________________. També pot passar que hi hagi dues modes o que no n’hi hagi cap que destaqui. Mediana: ___________________________________________________________________ A l’escena de la dreta veiem exemples de com calcular aquests paràmetres. Copia a continuació dos dels exemples: Dades

Mitjana

Moda

Mediana

En el cas de la mediana, si hi ha poques dades, lo millor és procedir segons l’exemple de l’escena, segons sigui una quantitat parell o senar. Per calcular la mediana si la quantitat d’observacions és gran, s’hauran d’agrupar les dades primer en una taula. Després dibuixar segments de longitud proporcional a la seva freqüència, i disposar-los de forma lineal i marcar el centre, tal com mostra el següent exemple:

0 Clica en el botó

per veure un exercici resolt.

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

2.b

NOM:

DATA:

Evolució de la mitjana.

1 Per a les dades 5 i 5 la mitjana és ___. Si afegim un 5 ___________________. Si afegim un 8 _______________________.

2 Si tenim 9 dades amb mitjana 5, necessitem afegir un 6 perquè la mitjana passi a ser ____ Si tenim 19 dades amb mitjana 5, necessitem una dada de valor 7 perquè la mitjana passi a ____

3 Per a un conjunt de dades amb mitjana 5, si n’afegim un altre amb mitjana 5, per exemple 6 i 4, _________________________________________

A l’escena de la dreta de la pàgina pots comprovar com es modifica la mitjana en diversos exemples. Tria el número de l’exemple: A continuació pots modificar el nombre de vegades que apareix una dada clicant a i observa com varia en cada cas la mitjana.

Clica en el botó

per fer uns exercicis.

En aquests exercicis has de calcular la mitjana, pots triar si la variable és discreta o contínua. El recompte ja surt fet. Fes-ne uns quants i a continuació copia un exercici de cada tipus a la taula següent: Variable quantitativa discreta Marca Freqüència xi fi xi·fi

Variable quantitativa contínua Marca Freqüència xi fi xi·fi

Total

Mitjana

Mitjana Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

2.c

NOM:

DATA:

Evolució de la mediana

1 La mediana, per a les dades 2, 3 i 4 és Me= ___. Si canviem el 4 per 5 o per 6 o per qualsevol altre valor més gran, ______________________

2 Si afegim una altra dada i tenim 2,3,4 i 4, per exemple, la Me=_____ I si afegim un cinquè valor, un 4 o un 5 o un 6 o qualsevol altre major que 4, la mediana en 2,3, 4, 4 i ?? passa a ser ___ És igual que el valor ?? sigui 5, 10 o 25.

A l’escena de la dreta tens exemples on la mediana canvia i on no. A més, tu mateix pots variar el valor o valors que vulguis per observar com evoluciona. També tens la possibilitat de realitzar exercicis de càlcul de la mediana, a la mateixa escena. Clicant en els botons Nombre parell de dades i Nombre senar de dades obtens exemples de dades i de com calcular la mediana. Si cliques canviar pots veure com calcular la mediana: Tria el número de l’exemple: A continuació pots modificar el nombre de vegades que apareix una dada clicant sobre i observar com varia en cada cas la mediana.

Clica en el botó

per fer uns exercicis.

En aquests exercicis has de calcular la mediana. Pots triar si la variable és discreta o contínua i ja apareix fet el recompte. Fes-ne uns quants i a continuació copia un exercici de cada tipus. Pots consultar l’ajuda per resoldre’ls Variable quantitativa discreta Marca Freqüència xi fi Fi acumulada

Variable quantitativa contínua Marca Freqüència xi fi Fi acumulada

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

2.d

NOM:

DATA:

Mitjana i mediana comparades

Llegeix el text i completa els valores de la mitjana i la mediana en cada cas: Dades Mitjana Mediana 4, 6 4, 6, 8 4, 6, 11 Els valors 8 i 11 es consideren observacions _____________. Si les dades estiguessin repartides _______________ respecte a un valor, aquest valor seria _____________________________. Si els valors a un costat de la mediana n’estan més allunyats que els de l’altre costat, la mitjana __________________________ ______________________________. Hi ha una _____________.

Juga amb l’escena de la dreta. Hi ha tres grups d’exemples: simètrics, asimètrics i atípics. Pots observar l’evolució de la mediana i la mitjana Tria el número de l’exemple:

Si vols

pots modificar el nombre de vegades que apareix una dada clicant sobre Clica

2.e

per anar a la pàgina següent.

Mesures de posició: quartils i percentils

Donat un conjunt de dades numèriques a més de la mediana podem considerar altres mesures de posició. •

El primer valor que supera al 25% és el ________________________ Q1

•

El primer valor que supera al 75% és el ________________________ Q3

•

Per altres valors com el 10%, o el 80% parlem de ________________ P10 i P80 .

A l’escena de la dreta tens un exemple resolt, si cliques la fletxa i a sobre del botó genera pots obtenir molts exemples resolts, triant si vols que la variable sigui discreta o contínua. Clica en el botó

per practicar el càlcul de les mesures de posició.

Clicant el botó genera obtens noves dades, i amb el botó Discreta/Contínua canvies el tipus de dades. Copia dos exercicis a la taula següent:

Estadística

10 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

Variable quantitativa discreta Marca Freqüència Mediana xi fi

Variable quantitativa contínua Marca Freqüència Mediana xi fi

Quartil Q1

Quartil Q3

Percentil

Total

EXERCICIS 5.

Calcula la mitjana en cada cas: a) 4, 6, 8 b) 4, 6, 8, 6 c) 100, 120, 180, 200

Calcula la mitjana en cada cas: a)

10 20

Marca

100

200

300

400

5,6,6 1,1,2,3 1,2,3,4,2 3,2,3,2,2,2

Calcula la moda i la mediana en cada cas: a)

Determina la moda i la mediana: a) b) c) d)

Marca

Marca 10 20 30 40

Fr 2 4 3 2

Marca 100 200 300 400

Fr 2 3 4 1

Calcula la mediana, quartils primer i tercer, i els percentils 30 60 i 90 de les dades: 4 1 3 3 2 3 1 3 3 4 0 0 0 4 4 3 0 3 0 3 2 1 0 0 4 3 0 1

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

3. Mesures de dispersió 3.a

Variància, desviació típica i rang

“L’estadística és una ciència segons la qual, si jo em menjo un pollastre i tu no te’n menges cap, de mitjana, ens hem menjat mig pollastre cada un”. L’estadística ens dirà que tots mengen el mateix quan les mesures de dispersió siguin totes nul·les. Rang: L’interval definit per ___________________________________. També s’anomena rang a _____________________________________. Variància: La mitjana aritmètica dels ______________________________________________________ __________________________________________________________________________ Si cliques a l’enllaç Fórmules, s’obre una finestra en la qual pots veure les dues fórmules que ens permeten calcular la variància i de com són equivalents entre sí. Escriu en els quadres aquestes dues fórmules:

Desviació típica: __________________________________________________________________________ Com més grans són la variància o la desviació típica, les dades es separen més de la mitjana, és a dir, hi ha més dispersió. Si cliques a l’enllaç Càlcul en diferents exemples pots generar exemples de variables discretes o contínues en els quals veuràs dos mètodes diferents pel càlcul de la variància. Quin és el mètode més adient pel càlcul? __________________________________ Per què? ___________________________________________________________________ A l’escena de la dreta tens diversos exemples de les mesures de dispersió i del seu significat, llegeix-los amb atenció. Clica en el botó

per comparar distribucions amb mesures de centralització iguals,

en les quals canvia la desviació típica. Copia’n a continuació dues d’elles:

Clica Estadística

per anar a la pàgina següent. -

12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

3.b

NOM:

DATA:

Càlcul de les mesures de dispersió.

Recorregut Clicant en el botó genera obtens noves dades, i amb el botó Discreta/Contínua canvies el tipus de dades. Copia aquí dos exercicis de cada tipus: Variable estadística discreta

Variable estadística contínua

Màxim

Mínim

Recorregut

Desviació típica A l’escena de la dreta pots generar unes dades, calcular la desviació típica i veure l’histograma. Copia a continuació dos exercicis Interval

Marca

Freqüència

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

Total

Mitjana

Desviació típica Mínim

Interval

Marca

Freqüència

Màxim

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

Recorregut

)

Total Mitjana

Desviació típica Mínim

Estadística

Màxim

Recorregut

13 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

Clica en el botó

DATA:

per fer uns exercicis.

Clicant en el botó Genera obtens noves dades, i amb el botó Discreta/Contínua canvies el tipus de dades. Copia aquí dos exercicis de cada tipus: Variable discreta Marca

Variable discreta

Freqüència

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

Total

Marca

Freqüència

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

)

fi.xi2

Total Desviació típica

Mitjana

Variable contínua Marca

Freqüència

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

Total

Mitjana

Variable contínua

)

fi.xi2

Marca

Freqüència

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

Total Desviació típica

Mitjana

Clica

Estadística

Desviació típica

Mitjana

Desviació típica

per anar a la pàgina següent.

14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

3.c

NOM:

DATA:

Mitjana i desviació típica.

Per a mostres unimodals (una sola moda) i gairebé simètriques, al voltant de la mitjana podem considerar un interval que contingui la majoria de les dades. Per exemple, per a una mostra amb mitjana 100 i desviació típica 10, la major part de les dades estaran entre 90 i 110, aproximadament el 68%; entre 80 i 120 hi estaran el 95% aproximadament. I gairebé totes entre 70 i 130. Hi ha una forma de distribució de dades anomenada normal que compleix amb l’anterior, i que, de tota manera, de totes les poblacions grans es poden extreure dades que s’hi ajusten. En cursos superiors veuràs la importància d’aquestes distribucions. A l’escena de la dreta tens uns exemples on apareix la mitjana i unes franges de color al seu voltant. Tria el número de l’exemple: A continuació pots modificar el nombre de vegades que apareix una dada clicant sobre i observa com varia en cada cas la mitjana i les franges del seu voltant.

Clica en el botó

per fer uns exercicis.

Clicant en el botó genera obtens noves dades. A continuació, escriu-ne a les taules dos d’ells, i després comprova el resultat a l’escena: Marca

Freqüència

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

Mitjana Desviació típica [ x +σ,

x -σ] = [

]

Nre. de dades [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

Nre. de dades Total Marca

Freqüència

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

fi.xi2

Mitjana Desviació típica [ x +σ,

x -σ] = [

]

Nre. de dades [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

Nre. de dades Total Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

EXERCICIS 10.

Calcula la mitjana i la desviació típica de: a) 200, 250 b) 175, 275 c) 250, 250

11.

Calcula la mitjana i la desviació típica de: a) 7, 5 , 3, 2, 4, 5 b) 20, 25, 20, 22, 21

12.

Organitza les dades següents en intervals de 10 cm des de 150 a 200. Amplia la taula amb dues columnes, una pel producte de las marques amb les freqüències i l’altra pel producte de les freqüències amb els quadrats de les diferències amb la mitjana. Calcula la mitjana i la desviació típica.

Interval

Marca

Freqüència

xi.fi

(

fi ⋅ x − x i

)

Mitjana=

Desviació típica=

Total

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

4. Representativitat 4.a

Representativitat. Mostreig estratificat

Una mostra és representativa de la població quan ______________________________ ___________________________________________________________________________ De què depèn que l’estudi d’una població sigui o no representatiu? ______________ ___________________________________________________________________________ Per exemple, si volem estudiar el poder adquisitiu d’una població, i només triem a individus d’una determinada zona, o principalment d’una determinada zona, Com serà la mostra? _________________________________________________________________ Si hi ha tres zones amb 12.000, 18.000 i 20.000 habitants, escriu amb quin percentatge hem de escollir als individus de cada zona per elaborar una mostra representativa. _____________ _________________________________________________ Un mostreig estratificat és _________________________________________________ A l’escena tens 625 quadrats que representen als alumnes d’un institut fictici. Seguint les instruccions pots observar la diferència entre un mostreig representatiu i un altre que no ho és.

Si comparem els gràfics en ambdós exemples de mostra, en quin tipus de mostra s’assemblen més a les de la població total? __________________________________________ Per què? ___________________________________________________________________

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

4.b

NOM:

DATA:

Biaix. Mostreig aleatori

Quant diem que la mostra és esbiaixada? ______________________________________ ___________________________________________________________________________ Explica en què consisteix un mostreig aleatori total: _________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ A l’escena pots animar una elecció totalment aleatòria o realitzar mostrejos simulant enquestes en fer clic.

Clica en el botó

per fer un exercici sobre representativitat.

Copia en aquest quadern un exercici i comprova-ho després a l’escena. D’una població volem extreure una mostra de mida ________. Si procedeixen de 5 àrees diferents, A, B, C, D i E amb percentatges del total de la població de _____%, _____%, _____%, _____% i _____% A quants de cada zona s’han d’entrevistar? A= _____, B= _____, C= _____, D= _____ i E= ______

EXERCICI 13.

Una gran empresa té treballadors en quatre àrees: Operaris, Representants, Administració i Direcció. Les condicions de treball són força diferents en cada àrea, per la qual cosa, el grau de satisfacció no és igual en cada una d’elles. Per esbrinar-ho, s’hi ha 1000, 500, 300 i 200 treballadors en les àrees d’operaris, representants, administratius i directius, quants se n’han de seleccionar de cada àrea per una mostra de mida ...? a) 200 b) 100 c) 300

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

Recorda el més important – RESUM Mostra

Població. Variables estadístiques Tipus

Tipus de gràfics

Mitjana, moda i desviació típica Mitjana

Moda

Desviació típica

X =

Mo=

σ =

Quartil, mediana, percentil Quartils Q1= Q3=

Mediana

Percentils

Me=

Pi =

Mitjana i desviació típica: Observa l’exemple [ x +σ,

x -σ] = [

]

% de dades [ x +2σ,

x -2σ] = [

]

% de dades

Representativitat Una mostra és representativa de la població quan __________________________________ ___________________________________________________________________________

Clica

Estadística

per anar a la pàgina següent.

19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. A les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de: Mesures de centralització i dispersió. Representativitat Interpretació de gràfics de l’INE Completa l’enunciat amb les dades de cada EXERCICI de la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. Mesures de centralització i dispersió. Representativitat. 1. Tipus de variable (fes dos exercicis) Classifica les següents variables: nre. de fills flor preferida pes temperatura mitjana sabor altura Classifica les següents variables estadístiques d’un partit de futbol: nre. d’espectadors en el camp

Velocitat Acceleració nre. de vàlvules nre. de places tipus de vehicle nre. de rodes carga neta tipus de tapisseria jugador preferit nre. de gols temps transcorregut

2. Recompte de dades (fes dos exercicis) Fes un recompte de les dades en una taula.

Fes un recompte de les dades en una taula

3. Diagrama de sectors Fes un diagrama de sectors per a les dades del color preferit de la taula Marca

Freqüència

Total

Estadística

20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

4. Diagrama de barres Fes un diagrama de barres per a les dades de la taula. Marca

Freqüència

Total

5. Histograma Amb les dades de la taula fes un histograma Interval

Marca

Freqüència

Total

6. Moda Quina és la moda en cada grup? A={vermell, blau, verd, blau} B= {blanc, negre, blau} C= {vermell, verd, groc, vermell, blau, vermell, blau, blau} Quina és la moda en cada grup? A={1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 3} B= {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4} C= {1, 2, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 4l} 7. Mediana Quina és la mediana en cada cas? A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {1, 2, 3, 4} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6} D= {1, 2, 3, 3} E= {1, 2, 3, 3, 3} Quina és la A= {1, B= {3, C= {1,

B C A B C

A B C D E

mediana en cada cas? 2, 7, 10} 6, 7} 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 1}

8. Igual mitjana Quina és la mediana en cada cas? A= { , } ; B= { , } ; C= {

A B C

}

9. Concepte de mitjana Calcula la mitjana per a les dades: x1 = f1 = f2 = x2 = x3 = f3 = Estadística

21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

10. Càlcul de la mitjana Calcula la mitjana: Distribució discreta Marca

Freqüència

Total Calcula la mitjana: Distribució contínua Interval

Marca

Freqüència

Total

11. Cas simple de desviació típica Quina és la desviació típica en cada cas? A= { , } ; B= { , } ; C= {

}

12. Concepte de desviació típica Calcula la desviació típica per a les dades: x1 = f1 = x2 = f2 = x3 = f3 = 13. Càlcul de desviació típica Calcula la desviació típica: Distribució discreta Marca

Freqüència

Total

Calcula la desviació típica: Distribució contínua Interval

Marca

Freqüència

Total

14. Representativitat Prenem una mostra de mida 2000 d’una població on l’edat influeix en la característica de l’estudi. El __% de la població és major, el __% jove i el __% mitjana. A quants entrevistaré de cada grup d’edat?

Joves Mitjans Majors

Clica Estadística

per anar a la pàgina següent. -

22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

Interpretació de gràfics de l’INE. (En cada apartat apareix una imatge i, en el text, preguntes sobre ella. Clicant en UN ALTRE EXERCICI apareixen més preguntes sobre la mateixa imatge) 1. Què fem? Observa el gràfic de sectors de l’INE i respon a les preguntes: Quina és la variable estudiada? I la freqüència? A quin grup d’activitats dediquem més temps els espanyols? Quina és la moda? Calcula quant temps dediquem a la llar i la família. Quants graus ocupa aquest sector en el diagrama?

2. Quant passegem? En el gràfic és fàcil veure que som els europeus que més passegem. En quins països passegen més les dones que els homes?

Calcula el temps mitjà que es dedica a cada país a passejar.

Quin país hi ha en el percentil 50?

3. Cura personal. Observa el gràfic i respon a les preguntes: Creus que el son s’ha comptat com a activitat de cura personal? A les 15:00 hi ha un màxim local en la gràfica, quina és la causa? A l’hora del dinar, el 38% de les persones es dedica a la cura personal. Significa això que un 62% de les persones no menja?

4. Vida social. Observa el gràfic i respon a les preguntes: Quines són les comunitats en les quals es dedica menys temps a la vida social i a la diversió? Quant temps dediquen a la diversió o a la vida social la major part de les comunitats? Quin és el temps mitjà que es dedica a Espanya a aquesta activitat?

Clica Estadística

per anar a la pàgina següent. -

23 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 11

NOM:

DATA:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Quants graus corresponen en el diagrama de sectors al valor de freqüència______?

La freqüència major és _____

Quina és la moda?

Quin és el percentatge de la mostra que correspon a les dues primeres marques?

Quin és el percentil més petit que deixa per sota els valors menors a 3?

Quina és la mitjana?

Calcula la desviació típica

Quina és la mitjana?

Calcula la desviació típica

Quin percentil deixa per sota als individus de menys de 170 cm?

Estadística

24 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

Probabilitat Continguts 1. Experiments aleatoris Espai mostral i esdeveniments Operacions amb esdeveniments Esdeveniments incompatibles 2. Probabilitat d’un esdeveniment La regla de Laplace Freqüència i probabilitat Propietats de la probabilitat Calcular probabilitats 3. Experiments compostos Esdeveniments compostos Regla de la multiplicació Extraccions amb i sense devolució 4. Probabilitat condicionada Esdeveniments dependents i independents Diagrames d’arbre Probabilitat total Probabilitat “a posteriori”

Objectius • • • • • • •

Trobar els esdeveniments d’un experiment aleatori i realitzar operacions amb ells. Determinar si dos esdeveniments són compatibles o incompatibles. Calcular la probabilitat d’un esdeveniment mitjançant la regla de Laplace. Conèixer les propietats de la probabilitat. Trobar la probabilitat d’un esdeveniment en un experiment compost. Trobar probabilitats d’esdeveniments dependents i independents. Aplicar la probabilitat a situacions de la vida quotidiana.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar

Probabilitat

Sota llicència Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

Abans de començar Investiga Imagina’t que estàs en un concurs de televisió en el qual t’ofereixen tres portes i n’has de triar una. Darrera d’una de les portes hi ha un cotxe i darrera de cada una de les altres, un burro. Tries una porta, però abans d’obrir-la, el presentador, que sap el que hi ha darrera de cada una, obre una de les dues que no has triat, darrera la qual, per suposat hi ha un burro, i aleshores, et dóna l’oportunitat de canviar la teva tria. Naturalment vols emportar-te el cotxe, què faries, canviar de porta o no canviar? Abans de decidir, anem a experimentar jugant. Pots jugar tu o bé fer que jugui automàticament; després de diferents intents escriu els resultats: Manual Intents Cotxes % encerts

Canviant

Mantenint

Total

Automàtic Intents Cotxes % encerts

Canviant

Mantenint

Total

RESPOSTA

CONTESTA Quan tries tu, com aconsegueixes més cotxes, canviant o mantenint? Quan es tria automàticament, com s’aconsegueixen més cotxes, canviant o mantenint? Després de lo vist, si vols emportar-te el cotxe, què faries, canviar de porta o no canviar?

Si fas una aposta a la Bonoloto, quina probabilitat tens d’encertar els 6 números? ______________________________________ I tres?________________________________

Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

-2-

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

1. Experiments aleatoris 1.a. Espai mostral i esdeveniments Llegeix les definicions de la pantalla i completa: Són experiments aleatoris, aquells en els quals ____________________________________ S’anomena espai mostral ______________________________________________________ Un esdeveniment elemental és ________________________________________________ Un esdeveniment és _________________________________________________________ Hi ha un esdeveniment que es verifica sempre ___________________________ i coincideix amb el ______________________________ Fixa’t en l’escena. Podem extreure de forma aleatòria una carta de la baralla. Apareixen diversos esdeveniments, i si mous el ratolí per sobre d’ells, apareixen els esdeveniments elementals que els formen. Amb l’ajuda de l’escena, completa aquesta taula: ESDEVENIMENT ESDEVENIMENTS ELEMENTALS Treure el rei d’oros Treure oros o rei Treure una figura Clica

per anar a la pàgina següent.

1.b. Operacions amb esdeveniments Llegeix les definicions de la pantalla i completa: Amb els esdeveniments d’un experiment aleatori es poden realitzar diferents operacions. Donats dos esdeveniments A i B: • La unió de A i B, AUB, és l’esdeveniment format per _____________________________ _______________________ Ocorre quan _______________________________________ • La intersecció, A∩B, és l’esdeveniment format pels ______________________________ __________________________ Ocorre quan ____________________________________ • La diferència de A i B, A\B, és l’esdeveniment format per _________________________ ________________________ Ocorre quan ______________________________________ • L’esdeveniment contrari a un de donat A, Ā, és l’esdeveniment format per __________ __________________________ Ocorre quan ____________________________________ • L’esdeveniment contrari del segur és l’esdeveniment _______________, que no es verifica mai, i que s’indica amb Ø. A l’escena pots veure un exemple de diferents esdeveniments i els seus contraris: En una urna hi ha 12 boles numerades del 1 al 12. Es treu una bola i es mira el número, i considerem els esdeveniments: A= ”sortir parell” i B= ”sortir múltiple de 3”. Escriu a continuació els esdeveniments elementals que formen els esdeveniments indicats a la taula: A A B

AUB

A UB

A∩B

A IB

A\B

B\A

B\A Clica Probabilitat

per anar a la pàgina següent. -3-

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

1.c. Esdeveniments compatibles e incompatibles Llegeix les definicions de la pantalla i completa: En un experiment aleatori hi ha esdeveniments que poden ocórrer alhora i d’altres que no. • Dos esdeveniments es diuen compatibles si ____________________________________ _________. En aquest cas, A∩B≠Ø, _________________ ocórrer alhora. • Dos esdeveniments es diuen incompatibles si no ________________________________ _________, en aquest cas, A∩B=Ø, _________________ ocórrer alhora. Un esdeveniment i el seu contrari són sempre ____________________, esdeveniments incompatibles no sempre són ___________________.

però

dos

Donat l’Espai mostral={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, i els esdeveniments: Vermell={1, 4, 7, 10}, Verd={1, 2, 3}, Blau={3, 6, 9, 12}, Gris={7, 8, 9} i Taronja={3, 5, 7}, amb l’ajuda de l’escena digués si són compatibles o no els esdeveniments: ESDEVENIMENTS

COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

ESDEVENIMENTS

Verd i vermell

Vermell i blau

Verd i blau

Verd i groc

Blau i gris

Vermell i groc

Verd i gris

Groc i gris

Vermell i gris

Groc i blau

Clica el botó

COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

per fer uns exercicis.

Observa els dibuixos i raona quin conjunt és cada un d’ells. Quan els tinguis tots clica “Comprovar” Completa els resultats en aquesta taula:

Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

-4-

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

EXERCICIS 1.

En una bossa tenim tres boles numerades com a 1, 2 i 3. Considerem l’experiment d’extreure una bola i anotar-ne el número. Escriu tots els esdeveniments possibles. Indica quins d’ells són els elementals.

En una baralla, sota l’experiment d’extreure una carta, considera els esdeveniments: a) parell, b) oros, c) parell i oros, d) parell o oros, e) parell menys oros, f) oros menys parell i g) no parell. Escriu els esdeveniments elementals que els formen.

En tirar un dau considerem els esdeveniments: A={parell}, B={més gran que 3}, i C={senar}. Dels tres parells d’esdeveniments possibles AB, AC y BC, indica quins són compatibles i/o incompatibles.

Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

-5-

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

2. Probabilitat d’un esdeveniment 2.a. La regla de Laplace Llegeix les definicions de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: Quan diem que un experiment aleatori és regular? Què significa que els esdeveniments elementals són equiprobables? Donat un esdeveniment A, a què anomenem casos favorables? I casos possibles? Podem aplicar sempre la regla de Laplace? Si la resposta és negativa, indica quan es pot aplicar.

RESPOSTES

A continuació escriu la fórmula de la Regla de Laplace

Amb l’ajuda de l’escena de la dreta, calcula les següents probabilitats Extraiem una carta d’una baralla de 40

ESDEVENIMENTS

PROBABILITAT

Que sigui d’un coll determinat Que sigui d’un núm. determinat Que sigui un as o un basto Que sigui un as i un basto Que no sigui ni as ni basto

Clica el botó

per fer uns exercicis.

Considerant els experiments, calcula les probabilitats: Llançar un dau

Treure una carta de la baralla (40 cartes)

P(parell)=

P(senar)=

P(oros o espases)=

P(3 de bastos)=

P(>4)=

P(2 o 6)=

P(oros)=

P(bastos)=

P(3)=

P(>2 i <5)=

P(rei)=

P(bastos o copes)=

P(<5 i parell)=

P(>2 o <5)=

P(rei d’oros)=

P(figura)=

P(3 o parell)=

P(>3 i <5)=

P(un 3)=

P(figura de bastos)=

Clica Probabilitat

per anar a la pàgina següent. -6-

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

2.b. Freqüència i probabilitat Llegeix les definicions de la pantalla i completa: La freqüència absoluta d’un esdeveniment és ____________________________________ ______________. La freqüència relativa és ______________________________________ _________________________________________________. La llei dels grans nombres diu que quan repetim un experiment _____________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ Com a conseqüència de la llei dels grans nombres, tenim una nova definició de probabilitat d’un esdeveniment com _______________________________________________________ ___________________________________________________________________________ A l’escena de la dreta es simula el llançament de tres monedes; a partir dels resultats dels llançaments, compara les probabilitats i les freqüències dels esdeveniments: Nre. de llançaments

>100

>200

>500

>1000

fr(0 cares)=

P(0 cares)=

fr(1 cares)=

P(1 cares)=

fr(2 cares)=

P(2 cares)=

fr(3 cares)=

P(3 cares)=

CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: Com és la probabilitat d’obtenir zero cares, major o menor que la seva freqüència? Com és la probabilitat d’obtenir dues cares, major o menor que la seva freqüència? Quan s’assemblen més les freqüències, amb 100 llançaments o amb més de 1000? Per què? Clica el botó

RESPOSTES

per fer uns exercicis.

Tires tres daus i sumes els resultats. En una aposta, quin és el resultat més avantatjós? Seguint les indicacions de l’escena, fes més de 3000 tirades, i observant els resultats, calcula les següents probabilitats: P(3)=

P(4)=

P(5)=

P(6)=

P(7)=

P(8)=

P(9)=

P(10)=

P(11)=

P(12)=

P(13)=

P(14)=

P(15)=

P(16)=

P(17)=

P(18)=

Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

-7-

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

2.c. Propietats de la probabilitat Vista la relació entre freqüència relativa i probabilitat, es compleix que: •

La probabilitat d’un esdeveniment és un nombre ____________________.

• La probabilitat de l’esdeveniment segur és ______ i la de l’esdeveniment impossible és _______. •

La probabilitat de la unió de dos esdeveniments incompatibles és ______________

I d’aquestes es dedueix a més que: •

La probabilitat de l’esdeveniment contrari és p(Ā)= ________________

•

La probabilitat de la unió de dos esdeveniments compatibles és __________________

Si cliques a Aplicacions veuràs un exemple en el qual es calcula la probabilitat de la intersecció de dos esdeveniments i un altre en el qual s’aplica la probabilitat de l’esdeveniment contrari. A l’escena de la dreta hi ha un exemple resolt: En una urna hi ha 10 boles numerades del 1 al 10. Es treu una bola i es mira el número. Considerem els esdeveniments: A= {1, 2, 3, 4} i B={4, 5, 6, 7, 8}. Amb l’ajuda de l’escena escriu la probabilitat dels esdeveniments de la taula: p(A)

p(A∩B)

p( A )

p( A I B )

p(B)

p(A\B)

p( B )

p( A \ B )

p(AUB)

p(B\A)

p( A U B )

p( B \ A )

Clica el botó

per fer un exercici.

Si p(A)=0.5, p(B)= 0.4 i p(A∩B)= 0.2; calcula la probabilitat dels següents esdeveniments:

Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

-8-

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

2.d. Calcular probabilitats En aquesta pàgina apareixen dues escenes per a que practiquis calculant les probabilitats que es proposen amb la diana i la ruleta. Clica el botó

per fer uns exercicis.

Fes exercicis fins que el nombre d’encerts sigui superior a 10.

EXERCICIS 4.

Tenim un dau de 20 cares {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6} perfectament equilibrat. Quina és la probabilitat d’obtenir cada un dels resultats possibles?

Si llancem el dau anterior 1000 cops, quantes vegades s’espera que surti cada resultat aproximadament?

Per al dau {1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5} probabilitats següents:

cares,

calcula

les

a) P(parell)= b) P(més gran que 3)= c) P(parell i més gran que 3)= d) P(parell o més gran que 3)= e) P(parell menys més gran que 3)= f) P(més gran que 3 menys parell)= g) P(no parell)= 7.

En una bossa tenim 7 boles vermelles, 9 boles blaves i 4 verdes. Extraiem una bola, calcula la probabilitat que: a) No sigui vermella b) Sigui verda c) Sigui vermella o blava

En un grup, el 40% juga a bàsquet i el 60% a futbol, sabent que el 85% practica algun de los dos esports, quin percentatge juga a tots dos?

En el grup A hi ha 18 persones, de les quals 10 parlen anglès i 8 no; en el B hi ha 12 persones, de les quals 3 parlen anglès i 9 no; i en el C hi ha 10 persones, 3 que parlen anglès i 7 que no. Triem al atzar una persona de cada grup, calcula la probabilitat que de les tres, al menys una parli anglès.

Clica Probabilitat

per anar a la pàgina següent. -9-

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

3. Experiments compostos 3.a. Esdeveniments compostos Un experiment compost és el que ___________________________________________ ___________________________________________________________________________ Per a calcular l’espai diagrama d’arbre que diagrama. Observa a s’utilitza per a calcular Clica el botó

mostral d’un experiment compost convé, en moltes ocasions, fer un representi totes les opcions. Cada resultat ve donat per un camí del l’escena com es construeix el diagrama d’arbre de l’exemple i com la probabilitat de cada esdeveniment. per fer un exercici.

PROBABILITAT AMB N MONEDES EXPERIMENT: Llançar N monedes equilibrades. Calcula la probabilitat en cada cas: CAS 1: 2 Monedes CAS 3: 4 Monedes

CAS 2: 3 Monedes

CAS 4: N Monedes

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.b. Regla de la multiplicació Si et fixes en l’exemple anterior, en indicar la probabilitat de cada branca del camí, s’obté la probabilitat de cada esdeveniment compost calculant el producte dels respectius esdeveniments simples. La probabilitat d’un esdeveniment en un experiment compost és ___________________ ___________________________________________________________________ A les escenes de la dreta pots practicar aquest resultat, observa, en primer lloc, l’exemple i després practica en l’altra escena. Escriu a continuació dos dels exercicis que hagis resolt bé: EXERCICI 1 p(A)= p(N)= p(V)=

Probabilitat

EXERCICI 2 p(A)= p(N)= p(V)=

- 10 -

INS _______________________ DATA:

QUADERN Núm. 12

NOM:

Clica el botó

per fer un exercici.

Tenim dues urnes, A i B, amb boles vermelles, verdes i blaves. Llancem un dau, si surt 1 o 2 traiem una bola de A, i si surt 3, 4, 5 o 6 de B

p(A i R)= p(B i R)=

. .

= =

p(A i V)=

p(A i A)=

p(B i V)=

Clica

per anar a la pàgina següent.

3.c. Extraccions amb i sense devolució Un exemple d’experiment compost el trobem en l’extracció successiva de cartes o de boles d’una urna... En aquests casos s’ha de considerar si es torna la carta, bola, etc. abans de treure la següent o no. A la pàgina hi ha dues escenes que es corresponen amb dos exemples diferents, un d’extracció de boles i un altre d’extracció de cartes; practica amb elles abans de fer l’exercici. Clica el botó

per fer un exercici.

En una urna hi ha 6 boles blanques i 4 negres. Traiem dues boles, una després l’altra. Fes el diagrama d’arbre en cada cas: Amb devolució

Calcula les següents probabilitats:

Sense devolució

Amb devolució

Sense devolució

quina és la probabilitat que les dues siguin blanques? quina és la probabilitat que la 1a sigui blanca i la 2a negra? quina és la probabilitat que les dues siguin negres? Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

- 11 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

4. Probabilitat condicionada 4.a. Esdeveniments dependents i independents Quan es realitzen observacions de diversos esdeveniments pot ser que un depengui de l’altre. S’anomena probabilitat condicionada, de B a A, i s’escriu p(B/A) a la probabilitat que ___________________________________________________________________________

P(B / A) = Si cliques l’enllaç Per què?, veuràs la demostració d’aquesta fórmula. Donats dos esdeveniments, es diu que són independents si ___________________________ ___________________________________________________________________________. Donats dos esdeveniments, es diu que són dependents si ____________________________ ___________________________________________________________________________. •

A i B independents: P(B/A)=_____________

•

A i B independents: P(A∩B)=_____________

A l’escena de la dreta tens un exemple d’esdeveniments dependents; segueix les instruccions per veure l’explicació. Clica el botó

per fer l’exercici.

Primer fes tu els càlculs i comprova a l’escena després. Fixa’t bé en les boles numerades que conté l’urna. Anem a extreure una bola, volem esbrinar si tindràs premi. Segueix les instruccions de l’escena per veure la teva probabilitat de premi.

Número

Vermella

Blau

p(1)=

p(1/vermella)=

p(1/blau)=

p(2)=

p(2/vermella)=

p(2/blau)=

p(3)=

p(3/vermella)=

p(3/blau)=

Explica a continuació quins esdeveniments són independents i per què:

Explica a continuació quins esdeveniments són dependents i per què:

Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

- 12 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

4.b. Diagrames d’arbre Tal com has vist, en els experiments compostos es pot fer un diagrama en arbre, i cada resultat ve donat per un camí d’aquest arbre. Per a calcular una probabilitat només cal dibuixar el camí corresponent, i el producte de les probabilitats de totes les branques que el formen serà el valor buscat. •

Si ocorre A i després B:

•

La suma de les probabilitats de tots els camins és igual a ______

P(A i B)=________________

En l’exemple de l’escena de la dreta pots comprovar aquest darrer resultat, juga i observa la suma total. Clica el botó

per fer un exercici.

A l’esquerra tens una ruleta que determina quin camí triem entre dos, i una ruleta en cada camí per triar el color; cada cop que cliques Ruletes noves, tens un exercici diferent, i cada cop que cliques Girar ruletes, es realitza l’experiment i es calculen les freqüències absoluta i relativa. Fes a continuació dos exercicis, calculant les probabilitats que s’indiquen en cada cas:

Clica

per anar a la pàgina següent.

4.c. Probabilitat total Considerem els esdeveniments representats a la imatge. Vr=Vermell, V=Verd i B=Blau són tres esdeveniments incompatibles i tals que la unió forma tot l’espai mostral. Sigui C=Cercle un esdeveniment qualsevol.

Escriu la fórmula de la probabilitat total per aquest exemple: p(C)= En l’exemple de l’escena de la dreta pots practicar aquest resultat.

Probabilitat

- 13 -

INS _______________________ DATA:

QUADERN Núm. 12

NOM:

Clica el botó

per fer un exercici.

La probabilitat d’encertar el groc a la diana de la figura és p(A)= ______, el taronja p(N)= _________ i el verd p(V)= _____. Aquestes probabilitats sumen 1. Les probabilitats de llum o foscor són: • Si impacta en groc: ______ llum i ____ foscor. • Si impacta en taronja: ______ llum i ____ foscor. • Si impacta en verd: ______ llum i ____ foscor. Quina és la probabilitat d’encertar a llum? Clica

p(A)·p(B/A)= p(N)·p(B/N)= p(V)·p(B/V)= p(B)=

per anar a la pàgina següent.

4.d. Probabilitat “a posteriori” A vegades interessa conèixer la p(A/E), és a dir, quan ja sabem que ha ocorregut E en la segona experiència, ens preguntem la probabilitat que s’hagi produït a través de A. Es tracta d’una probabilitat condicionada coneguda com Fórmula de Bayes:

p (A/E) = Observa a l’exemple de l’escena com es desenvolupa aquesta fórmula i completa la taula següent de probabilitats:

1a verda

2a verda p(VV)=

2a negra p(VN)=

p(1aV)=

Total

1a negra

p(NV)=

p(NN)=

p(1aN)=

Total

p(2aV)=

p(2aN)=

A partir de la taula, calcula les següents probabilitats condicionades p(V/V)=----------------------------=

p(V/N)= ----------------------------=

p(N/V)=----------------------------=

p(N/V)= ----------------------------=

Clica el botó

per fer un exercici.

La probabilitat d’encertar el groc a la diana de la figura és p(A)= ______, el taronja p(N)= _________ i el verd p(V)= _____. Aquestes probabilitats sumen 1. Les probabilitats de llum o foscor són: • Si impacta en groc: ______ llum i ____ foscor. • Si impacta en taronja: ______ llum i ____ foscor. • Si impacta en verd: ______ llum i ____ foscor. Si es va encertar en llum, quina és la probabilitat que fos sobre groc? Clica

Probabilitat

p(A)·p(B/A)= p(N)·p(B/N)= p(V)·p(B/V)= p(B)= p(A/B)=

per anar a la pàgina següent.

- 14 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

EXERCICIS 10.

Llancem un dau de 4 cares {1,2,3,4} i un altre de 10 {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. Quina és la probabilitat d’obtenir dos tresos. I dos quatres?

11.

En una bossa tenim 5 boles numerades del 1 al 5. Extraiem dues boles, a) quina és la probabilitat d’obtenir un 2 i un 3 si no retornem les boles tretes? b) i quina si les retornem?

12.

En tirar dos daus, quina és la probabilitat d’obtenir al menys 10 punts?

13.

Tirem una moneda trucada en la que P(C)=0,6 i P(X)=0,4. Si surt cara tirem un dau {1,2,3,4} de 4 cares i si surt creu, un {1,2,3,4,5,6} de sis. Tenim la mateixa probabilitat que surti 1 després que surti cara o creu? Quant val en cada cas? Quina és la probabilitat que surti 1?

14.

Tenim un dau {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2} de 10 cares. Si traiem un 1 tirem una moneda, i dues si traiem un 2. Quina és la probabilitat d’obtenir una cara?

15.

Tenim un dau {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2} de 10 cares. Tirem el dau, si surt 1, traiem una bola de {RRNNN} i si surt un 2, en traiem una de {RRRRN}. Ha sortit N, quina és la probabilitat que fos amb un 1 del dau?

16.

La probabilitat d’encertar el groc a la diana de la figura és 0,3, el verd 0,4 i el taronja 0,3. A més, si s’encerta el groc, la probabilitat que sigui en llum, és 0,7; la probabilitat de llum en verd és 0,6 i en taronja 0,3.

Probabilitat

Quina és la probabilitat d’encertar en la zona de llum?

Si s’ha encertat en la zona de llum, quina és la probabilitat que fos en groc?

- 15 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

Recorda el més important – RESUM Experiments aleatoris Un experiment aleatori és aquell en el qual ________________________________________ el resultat per molt que l’hàgim experimentat. Si llancem un dau: Espai mostral _______________________ ____________________________________ Esdeveniments elementals: _____________ ____________________________________ Un esdeveniment A: ____________________ ___________________________________

Esdeveniment segur: __________________ ___________________________________ Esdeveniment impossible: ______________ ___________________________________ Esdeveniment contrari a un esdeveniment A: ___________________________________

Dos esdeveniments són compatibles si ____

Dos esdeveniments són incompatibles si __

______________________________________

Operacions amb esdeveniments Unió A U B : es verifica quan

Intersecció A ∩ B : es verifica quan

Diferència A–B: es verifica quan

Regla de Laplace Es pot aplicar només quan els esdeveniments elementals són ______________________

Nre. casos Nre. casos

Propietats de la probabilitat p(E. segur) = P(E) = ______ p(E. impossible) = P(Ø) = _____ ____ ≤P(esdeveniment)≤ _____ p(Ā)= 1- p(____)

A i B són incompatibles

A i B compatibles

p(A U B) =____________

p(A U B) =_____________

Experiments compostos Estan formats per __________________________________________________________. Per a calcular la probabilitat ___________________________________________________

Probabilitat condicionada En esdeveniments consecutius poden produir-se dues situacions: Independents Dependents Fórmula de Bayes

p (B / A) =

Probabilitat total Si es compleix que P(A)+P(V)+P(R)=1, aleshores es compleix que P(C)=______________________________________________

Clica Probabilitat

per anar a la pàgina següent. - 16 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

Per practicar Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de: Aplicació de la regla de Laplace i propietats de la probabilitat Probabilitat condicionada, probabilitat total i Bayes Completa l’enunciat amb les dades de cada EXERCICI en la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé.

Aplicació de la regla de Laplace i propietats de la probabilitat 1 daus 1. Llancem un dau de 10 cares, quina probabilitat hi ha de treure un nombre parell?

2 daus 2. Llancem dos daus de 6 cares. Quina probabilitat hi ha de treure més de 9 punts?

3 daus 3. En llançar dos daus, quina probabilitat hi ha de treure igual?

4 cartes (Fes al menys dos exercicis sense canviar d’opció) 4. Si extraiem una carta d’una baralla espanyola, la probabilitat d’extreure un ____ és?

5. Si extraiem una carta d’una baralla espanyola, la probabilitat d’extreure un ____ és? 5 cartes 6. Si extraiem una carta d’una baralla espanyola, la probabilitat d’extreure un 2 o un 5 és?

Probabilitat

- 17 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

6 cartes (Fes al menys dos exercicis sense canviar d’opció) 7. Si extraiem una carta d’una baralla espanyola, la probabilitat de no treure ni un ____ ni un basto és? 8. Si extraiem una carta d’una baralla espanyola, la probabilitat de no treure ni un ____ ni un basto és?

7 monedes 9. Si llancem 3 monedes, la probabilitat d’obtenir una cara és?

Clica

per anar a la pàgina següent.

Probabilitat condicionada, probabilitat total i Bayes Dos encreuaments de camins (Fes al menys dos exercicis sense canviar d’opció) 10. Tenim dos camins I i II amb p(I)=___ i p(II)= ___. El camí I pot acabar en turquesa o en rosa amb probabilitats ___ i ____ respectivament. El camí II porta directament a verd. Calcula les probabilitats de les tres destinacions.

11. Tenim dos camins I i II amb p(I)=___ i p(II)= ___. El camí I pot acabar en turquesa o en rosa amb probabilitats ___ i ____ respectivament. El camí II porta directament a verd. Calcula les probabilitats de les tres destinacions.

Probabilitat

- 18 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

DATA:

Tres encreuaments de camins (Fes al menys dos exercicis sense canviar d’opció) 12. Tenim dos camins I i II amb p(I)=___ i p(II)= ___. El camí I pot acabar en turquesa o en rosa amb probabilitats ___ i ____ respectivament. El camí II en rosa o en verd amb probabilitats ___ i ____ respectivament. Calcula les probabilitats de les tres destinacions.

13. Tenim dos camins I i II amb p(I)=___ i p(II)= ___. El camí I pot acabar en turquesa o en rosa amb probabilitats ___ i ____ respectivament. El camí II en rosa o en verd amb probabilitats ___ i ____ respectivament. Calcula les probabilitats de les tres destinacions.

Camins i Bayes (Fes al menys dos exercicis sense canviar d’opció) 14. Dos camins I i II amb p(I)=___ i p(II)= ___ El primer pot acabar en turquesa o rosa amb probabilitats ___ i ____ respectivament. El segon camí pot acabar en rosa o verd amb probabilitats ___ i ____ respectivament. Si s’ha acabat en rosa, quina és la probabilitat d’haver seguit el primer?

15. Dos camins I i II amb p(I)=___ i p(II)= ___ El primer pot acabar en turquesa o rosa amb probabilitats ___ i ____ respectivament. El segon camí pot acabar en rosa o verd amb probabilitats ___ i ____ respectivament. Si s’ha acabat en rosa, quina és la probabilitat d’haver seguit el primer?

Platja sud (Fes al menys dos exercicis sense canviar d’opció) 16. Amb una probabilitat de _____ un habitant d’un poble A va a la platja, i amb ______ va al camp. I amb una probabilitat ___ va al nord i amb la contrària, al sud. Quina és la probabilitat d’anar a una platja del sud?

Probabilitat

- 19 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

17. Amb una probabilitat de _____ un habitant d’un poble A va a la platja, i amb ______ va al camp. I amb una probabilitat ___ va al nord i amb la contrària, al sud. Quina és la probabilitat d’anar a una platja del sud?

Camp nord (Fes al menys dos exercicis sense canviar d’opció) 18. Amb una probabilitat de _____ un habitant d’un poble A va a la platja, i amb ______ va al camp. I amb una probabilitat ___ va al nord i amb la contrària, al sud. Quina és la probabilitat d’anar al camp del nord?

19. Amb una probabilitat de _____ un habitant d’un poble A va a la platja, i amb ______ va al camp. I amb una probabilitat ___ va al nord i amb la contrària, al sud. Quina és la probabilitat d’anar al camp del nord?

Camp platja i Bayes (Fes al menys dos exercicis sense canviar d’opció) 20. Amb una probabilitat de _____ un habitant d’un poble A va a la platja, i amb ______ va al camp. I amb una probabilitat ___ va al nord i amb la contrària, al sud. Sabem que en Felip ha anat a la platja, quina és la probabilitat que a més sigui del nord?

21. Amb una probabilitat de _____ un habitant d’un poble A va a la platja, i amb ______ va al camp. I amb una probabilitat ___ va al nord i amb la contrària, al sud. Sabem que en Felip ha anat a la platja, quina és la probabilitat que a més sigui del nord?

Clica

Probabilitat

per anar a la pàgina següent.

- 20 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

Autoavaluació Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta. Tirem un dau de 10 cares. P(obtenir <____)=

En una bossa tenim ______ boles vermelles, ___ boles blaves i ____ boles verdes. Extraiem una bola, quina és la probabilitat d’obtenir una bola vermella?

Disposem d’una baralla de 100 cartes de quatre colors numerades de 1 al 25. Quina és la probabilitat d’obtenir un _____?

Esdeveniments elementals={1, 2, 3, 4, 5, 6, .......48, 49, 50} A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} i C={1, 2, 3, 4, ...., 23, 24, 25}. Calcula p(A U C)=

Llancem dos daus normals i sumem. Quina probabilitat hi ha d’obtenir menys de 5?

Quina probabilitat hi ha de no treure ni bastos ni figures en extreure una carta d’una baralla espanyola?

Extraiem una carta, la retornem i n’extraiem una altra, d’una baralla espanyola. Quina probabilitat hi ha de treure un oro?

Tirem dues monedes. Si surten dues cares extraiem una bola d’una urna amb ____B i ____N, i, en cas contrari, d’una urna amb ____B i ____N, quina és la probabilitat de treure una B?

Tirem un dau de 10 cares. Si surt més petit que ____, extraiem una carta, i en cas contrari, dues, retornant la primera abans de treure la segona. Quina probabilitat hi ha d’obtenir almenys un oro?

En un col·legi el _____% de l’alumnat practica futbol, el ___% bàsquet i el ____% un o l’altre. Quina probabilitat hi ha que un estudiant practiqui els dos esports?

Probabilitat

- 21 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

DATA:

NOM:

Per practicar més 1. Hi ha al mercat diversos tipus de daus, tot i que el més normal sigui el cúbic de sis cares. N’hi ha de 4, 6, 10, 12, i 20 cares. En general, van numerades del 1 al nombre de cares que tenen. Escriu l’esdeveniment “parell” per a cadascun. 2. Tenim un dau de 4 cares numerades del 1 al 4. El tirem una vegada. Escriu l’esdeveniment segur, l’impossible, i tots els possibles classificats per la seva mida. 3. Tenim un dau de 6 cares blanc, en el qual s’han escrit a les cares els següents nombres {1,1,1,2,2,3}. Escriu tots els esdeveniments possibles. 4. A l’escola municipal d’un poble hi ha classes d’esports d’equip de bàsquet, futbol i voleibol. N’hi ha 100 d’inscrits en esports d’equip, 70 van a classes de futbol, 60 de bàsquet i 40 a futbol i bàsquet. Quants van només a voleibol? 5. Determina el nombre de cartes, en una baralla espanyola de 40: a) Amb numeració inferior a 4. b) De bastos i més gran que 4. c) Figures d’oros o bastos. 6. En una baralla espanyola, compta les cartes dels esdeveniments : a) Oros i sets

b) Oros o sets

c) Set d’oros

d) Figures

e) Oros o figures

f) Oros i figures

Probabilitat

7. Per a un dau de sis cares {1,2,3,4,5,6}, escriu els esdeveniments: a) Parell b) No parell c) Parell i més gran que 3 d) Parell o més gran que 3 e) Parell menys més gran que 3 f) El contrari de (parell i més gran que 3) 8. Tenim un dau amb els nombres {1,1,1,2}. Si el tirem 100 vegades, quina quantitat de vegades sortirà cada un dels possibles resultats? 9. Tenim un dau de deu cares numerades com {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. Quina és la probabilitat de cada un dels esdeveniments elementals?. 10. Tenim una ruleta de 10 posicions, 3 vermelles, 4 verdes, 2 negres i una blava. Quina és la probabilitat que en girar-la s’obtingui cada un dels colors? 11. Si llancem dues monedes podrem obtenir un d’aquests 4 resultats {OO, XO, OX, XX}. Pots escriure d’aquesta manera els resultats possibles per a tres monedes? I per a 4? Quina és la probabilitat d’obtenir dues cares en cada un dels experiments?

- 22 -

INS _______________________ QUADERN Núm. 12

NOM:

12. Si sabem que P(A)=0.5, p(B)=0.7 i P(2)=0.3, calcula P(1), P(3), P(4), P(5), P(6), P(7) i P(8):

DATA:

16. Si abans de la segona extracció de l’exercici anterior no tornem la primera bola, quin és el valor de les probabilitats ara? 17. Calcula les probabilitats d’obtenir 2 oros en extreure dues cartes d’una baralla espanyola en els casos de tornar i de no tornar la primera carta a la baralla abans de extreure la segona. 18. Tenim un dau de 10 cares de la forma {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2}, i dues urnes, una A={R,R,R,V,V} i l’altra B={R,V,V,V,V}. Llancem el dau, si surt 1 extraiem una bola de A, i si surt 2 de B. Quina és la probabilitat d’extreure una R? I una V?

13. Quina és la probabilitat d’obtenir taronja, verd, blau o gris en cada una de les següents ruletes?

19. Tenim una urna amb boles numerades com s’indica {1,1,2,2,2} i dues urnes I={R,V} i II={N,N,R,V}. Extraiem una bola per decidir de quina urna n’escollim una altra. Quina és la probabilitat d’obtenir R o N? 20. Un cop fet l’experiment de l’exercici anterior, ha resultat ser V. Quina és la probabilitat que hagués estat extreta de la urna A? I de la B? 21. Es tiren dues monedes. Si surten dues cares es tira el dau {1,1,1,2,2,2} i si no, el dau {1,1,2,2,3,3}. Quina és la probabilitat d’obtenir un 1? Quan surt 1, amb quina probabilitat ha sortit també dues cares?

14. Tenim un dau de 10 cares d’aquesta forma {1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2}. I dues urnes, una A={R, R, R, V, V} i B={R, V, V, V, V}. Tirem el dau, si surt 1, extraiem una bola de A, i si surt 2, de B. Quina és la probabilitat d’extreure’n una de vermella de A? I una vermella de B? I una verda de A?. 15. En una bossa hi ha les boles següents {1,2,2,3,3}. Extraiem primer una bola, la tornem i n’extraiem una altra. Calcula les probabilitats següents: P(1,1), P(1,2), P(1,3).

Probabilitat

22. Deu amics organitzen un viatge i tria la destinació un d’ells per sorteig. Sis volen anar a la costa i quatre a l’interior. Dels primers, dos volen anar al nord i quatre al sud. Dels d’interior, la meitat prefereixen el nord i l’altra meitat, el sud. a) Troba la probabilitat d’anar a la costa del nord. b) Quina és la probabilitat d’anar al nord? c) Si van al nord, quina és probabilitat que sigui a la costa?

- 23 -