AlgebrA lineAl
Ejercicios Propuestos nยบ2
Editorial Autor: Jorge Reina C.I. : 15283672
sistema de ecuaciones: es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinante. La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Si Ax=b es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, X=(X1… Xn) es el vector columna de las incógnitas y b es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:
RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES USANDO LA REGLA DE CRAMER
Soluci贸n: Para comenzar debemos determinar a delta colocando los valores de x, y, z; y se colocan las 2 primeras filas en la parte de abajo
-10-(-15) -10+15=5
Por lo tanto delta es igual a 5 Luego se procede a determinar cuanto es el valor de x por la siguiente ecuaci贸n: Entonces primero se debe calcular
ya que tenemos el valor de
-8-(-23) -8+23=15
Por lo tanto
15
Entonces aplicamos la ecuaci贸n para obtener x
Y as铆 tenemos el valor de x
X=3
Luego se procede a determinar cuanto es el valor de y por la siguiente ecuaci贸n: Entonces primero se debe calcular
, ya que tenemos el valor de
34-(44) 34-(44)=-10
Entonces aplicamos la ecuaci贸n para obtener y
Por lo tanto
19-(14) 19-14=5
Entonces aplicamos la ecuaci贸n para obtener z
Por lo tanto
z=1
El resultado es el siguiente: x=3
y= -2
z=1
2 Para comenzar debemos determinar a delta colocando los valores de x, y, z; y se colocan las 2 primeras filas en la parte de abajo
6-(18) 6-18=12
Luego se procede a determinar cuanto es el valor de x por la siguiente ecuaci贸n: Entonces primero se debe calcular
, ya que tenemos el valor de
12-(92) 12-92=80
Entonces aplicamos la ecuaci贸n para obtener x X=
X=6,6
Luego se procede a determinar cuanto es el valor de y por la siguiente ecuaci贸n: Entonces primero se debe calcular
,ya que tenemos el valor de
106-(-50) -106+50=-56
Luego se procede a determinar cuanto es el valor de z por la siguiente ecuaci贸n: Entonces primero se debe calcular
, ya que tenemos el valor de
-132-(-190) -132+190=62
Por lo tanto El resultado es el siguiente: x= 6,6 y = -4,6
Z=5,1
z= 5,1
SISTEMA COMPATIBLE
Podemos averiguar si un sistema es o no compatible mediante el Teorema de Rouché-Frobenius, que establece que un sistema de ecuaciones lineales es compatible sólo si el rango de su matriz ampliada coincide con el de su matriz de coeficientes. Supongamos que el sistema es compatible. Si el valor común de los rangos de las matrices coincide con el número de variables, el sistema es compatible determinado; en caso contrario, es compatible indeterminado. Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatible si no tiene solución.
DISCUTIR Y RESOLVER EL SISTEMA CUANDO SEA COMPATIBLE 2. Primero vamos a determinar cuanto vale A
A-1-3=0 A-1=3 A=3+1 A=4 Ahora de terminamos delta sustituyendo A por 4 y colocando los valores de x, y, z; y se colocan las 2 primeras filas en la parte de abajo
3-(3) 3-3=0 Entonces delta es igual a 0 por lo tanto no tiene soluci贸n porque tanto x, y, z serian 0
Sistema HomogĂŠneos
Cuando el tĂŠrmino independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogĂŠneos.
RESOLVER EL SISTEMA HOMOGENEO
12-(-3) 12+3=16 Por lo tanto Luego se procede a determinar cuanto es el valor de x por la siguiente ecuaci贸n: Entonces primero se debe calcular
, ya que tenemos el valor de
0-0=0
Entonces aplicamos la ecuaci贸n para obtener x =0 x=0 = y =z=0 Por lo tanto no tiene soluci贸n porque tanto x,y,z serian 0 x=y=z= 0
CRAMER