Tema 2: Media y varianza muestrales En los temas de repaso se pudo conocer que la media muestral forma parte de las medidas de tendencia central, las cuales permiten obtener valores que representen el punto central de los datos, es decir, determinar el valor más representativo de la variable que estamos analizando.
Media muestral Si X: x 1 , x 2 , … , x n es una muestra de n datos, entonces la media muestral es el promedio aritmético simple de los datos: Formula de la media muestral n
x 1 + x 2+ …+ x n ∑ x́= = i =1 n n
xi
Para la obtención de la media muestral, en la formula x 1 , x 2 , … , x n son los datos que se pueden extraer de una población, n es el total de datos que extrajimos de la muestra, el símbolo ∑ representa la suma en estadística y al denotarla significa que cada uno de los datos de la muestra se tienen que sumar, i=1 esta expresión es un contador por lo cual indica que se tomara el primer dato de la muestra obtenida hasta completar el total de datos que se obtuvieron de la muestra. Ejemplo 1: si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5 Entonces x́=
2+ 6+11+8+ 11+4 +7+5 54 = =6.75 8 8
La media muestral es una medida de uso común. En el cálculo intervienen todos los datos, sin embargo, algunos datos pueden hacer cambiar significativamente el valor de la media muestral. Ejemplo 2: si los datos son 2, 6,11, 8, 11, 4, 7,5, 90 Entonces x́=
2+ 6+11+8+ 11+4 +7+5+ 90 144 = =1 6 9 9
Un sólo dato cambió significativamente el valor de la media con respecto al ejemplo anterior Ejemplo 3: La siguiente tabla muestra el número de caimanes en cada cuerpo de agua cercano a la casa de Tom.
Cuerpo de agua Numero de caimanes Pantano mordido 7 Lago chomchom 0 Rio peligroso 11 Arroyo reptil 10 Encuentra la media muestral del numero de caimanes Solución: x́=
7+0+11+10 28 = =7 4 4
Ejemplo 4: La ardilla Scarlett da clases de baile hula a ardillas jóvenes. 14 ardillas fueron a clase el lunes, 10 el martes, 8 el miércoles, 10 el jueves y 12 el viernes. Solución: x́=
14+10+8+ 10+ 12 54 = =10.8 5 5
Ejemplo 5: El uso de energía por día (en kilowatts-hora) de las casas en la avenida Hamlet se muestra a continuación. 30, 23, 38, 36, 33 Solución: x́=
30+23+38+36+33 160 = =32 5 5
Varianza muestral Esta medida cuantifica las distancias de los datos con respeto al valor de la media muestral Formula para calcular la varianza x n
∑ (¿¿ i− x́ )2 i=1
n−1 s 2=¿ Para la obtención de la varianza muestral, en la formula x i son los datos que se pueden extraer de una población iniciando desde el primer dato y restando el resultado de la media muestral ( x́ ) a cada uno de estos datos y elevar al cuadrado el resultado de la resta, el símbolo ∑ representa la suma en estadística y al denotarla significa que cada uno de los datos de la muestra se tienen que sumar, i=1 esta expresión es un contador por lo cual indica que se tomara el primer dato de la muestra obtenida hasta completar el total de datos que se obtuvieron de la muestra. Ejemplo 1: si los son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5 y se ha calculado que muestral.
x́=6.75 , encuentra la varianza
Solución: s 2=
( 2−6.75 )2 + ( 6−6.75 )2 + ( 11−6.75 )2 + ( 8−6.75 )2+ ( 11−6.75 )2+ ( 4−6.75 )2 + ( 7−6.75 )2 + ( 5−6.75 )2 8−1
(−4.75 )2 + (−0.75 )2+ ( 4.25 )2 + ( 1.25 )2 + ( 4. 2 5 )2 + (−2.75 )2+ ( 0.25 )2+ (−1.75 )2 s= 7 2
2
s=
22.5625+0.5625+18.0625+1.5625+18.0625+7.5625+0.0625+3.0625 71.5 = =10.21428 7 7
Ejemplo 2: Calcular la varianza de los siguientes datos: 1, 3, 5, 7 y 9 sabiendo que corresponden a una muestra. Solución: Calculamos la media muestral x́=
1+3+5+7+9 25 = =5 5 5
Ahora calculamos la varianza muestral
s 2=
( 1−5 )2 + ( 3−5 )2 + ( 5−5 )2+ ( 7−5 )2 + ( 9−5 )2 5−1
s 2=
(−4 )2+ (−2 )2 + ( 0 )2 + ( 2 )2 + ( 4 )2 4
s 2=
16+ 4+0+ 4+16 40 = =1 0 4 4
Ejemplo 3: Los salarios por hora de una muestra de empleados de una tienda son: $12, $20, $16, $18 y $19. Calcular la varianza muestral. Solución: Calculamos la media muestral x́=
12+ 20+16+18+19 85 = =17 5 5
Calculamos la varianza muestral s 2=
( 12−5 )2 + ( 20−5 )2 + ( 16−5 )2+ (18−5 )2 + ( 1 9−5 )2 5−1
( 7 )2 + ( 15 )2 + ( 11 )2 + ( 13 )2 + ( 1 4 )2 s= 4 2
s 2=
49+225+ 121+169+1 9 6 76 0 = =1 9 0 4 4