Revista NÚMEROS - Volumen 72, Diciembre 2009 by Revista Números

Nร MEROS Revista de Didรกctica de las Matemรกticas Diciembre de 2009

Volumen 72

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemรกticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, página 2

Números es una revista de didáctica de las matemáticas, desde infantil hasta la universidad, aunque preferentemente atiende la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación, así como artículos sobre las Matemáticas y de divulgación matemática. En general, se debe atender a su utilidad directa en el aula, o a la formación de los profesores. También se publicarán recensiones de libros e informaciones relacionadas con la actividad docente. El principal criterio para determinar la aceptación de un trabajo será su calidad; en este sentido, debe tratar un asunto de interés, estar bien escrito y ser claro. Directores Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)

Comité editorial Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna), Miguel Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT), Fernando León (Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio Público Aguamansa), María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto Educación Secundaria Adeje 2), Inés Plasencia (Universidad de La Laguna).

Consejo asesor José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de Extremadura), Teresa Braicovich (Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección Educativa de Canarias), Norma Cotic (Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo), Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo (Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos (Instituto Educación Secundaria Doctor Antonio González y González) Portada. Autor: Eduardo Martinón. Título: Eclipse blanco. Lugar y fecha: Parque García Sanabria (Santa Cruz de Tenerife), 1-sept-2009

Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Apartado 329. La Laguna. Tenerife ISLAS CANARIAS Email: administracion@sinewton.org Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas Presidenta: Ana Alicia Pérez Hernández Vicepresidente: Luis Francisco López García Secretaria General: Mª Nila Pérez Francisco Vicesecretaria: Carmen Mª Tavío Alemán Secretario de actas: Jesús Manuel Méndez Méndez Bibliotecaria: Zoraida de Armas Ravelo Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Marcos Eloy Morales Santana (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de abril, agosto y diciembre.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 3–4

Índice

Editorial 2009: Año Internacional de la Astronomía A. Bruno, A. Martinón

Apertura Astronomía, ¿para qué? Teodoro Roca Cortés

7-16

Monográfico: Astronomía Taller de matemáticas a la luz de las estrellas Federico Fernández Porredón

Louis Feuillée y el Primer Meridiano Juan Antonio García Cruz

Cuando calienta el Sol Inés Márquez Rodríguez

17-34

35-45

47-56

Artículos Otra manera de ver la circunferencia

57-62

Antonio M. Oller Marcén

Elementos para la graficación covariacional

63-74

Crisólogo Dolores Flores, Gerardo Salgado Beltrán

El trabajo por proyectos y las matemáticas Inés Sivianes Valdecantos

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75-80

Índice (continuación)

Secciones Experiencias de aula Numerator: un material manipulativo en el aula

81-103

Juan Pedro Barreto Dorta, Manuel Herrera Pérez

Problemas Olimpiadas, tablas, números, algunas soluciones y un misterioso muro. Problemas Comentados XXIII

105-120

J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

En la red Pizarra digital interactiva en aulas de matemáticas

121-127

Aurelia Noda Herrera

Juegos Las disecciones de cubos.

129-139

J.A. Rupérez Padrón, M. García Déniz

Leer Matemáticas La soledad de los números primos. Paolo Giordano

141-143

Reseña: Carlos Romero Melchor

Poincaré. Matemático visionario, politécnico escéptico. Javier de Lorenzo

145-146

Reseña: Julio Daniel Rossi

Informaciones

147-148

Normas para los autores

Vol. 72

diciembre de 2009

NÚMEROS

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, página 5

2009: Año Internacional de la Astronomía Alicia Bruno y Antonio Martinón, Directores

Este año 2009 se celebra el Año Internacional de la Astronomía, conmemoración de cuando Galileo Galilei dirigió su telescopio al cielo e impulsó de ese modo una astronomía de base empírica. Su obra, junto a la de Copérnico, Kepler y Newton, culminaría con una profunda modificación en la idea que los seres humanos tenemos de nosotros mismos y de nuestra situación en el universo. Números se suma a esta celebración al dedicar parte de este volumen a la Astronomía. Desde antiguo existe una estrecha relación entre las Matemáticas y la Astronomía, con una fuerte influencia entre ambas disciplinas, hasta el punto de que en ciertos momentos resultaba artificial diferenciarlas. Vendrá bien que en la enseñanza de las Matemáticas el alumno encuentre consideraciones astronómicas, lo que potenciará una presentación más unitaria de la Ciencia. Contamos con cuatro artículos en la parte monográfica de este volumen. Los profesores Teodoro Roca, catedrático de Astrofísica, y Juan Antonio García Cruz, titular de Didáctica de las Matemáticas, e Inés Márquez, titular de Matemática Aplicada, los tres de la Universidad de La Laguna, y también el profesor Federico Fernández Porredón, Catedrático de Física y Química en el Instituto de Educación Secundaria San Hermenegildo (La Laguna, Tenerife), nos ofrecen sus trabajos, que pensamos pueden ser de mucha utilidad de cara a la docencia en Matemáticas. Expresamos nuestra gratitud a los autores por sus generosas, interesantes y valiosas aportaciones.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 7–16

Astronomía, ¿para qué? Teodoro Roca Cortés (Universidad de La Laguna e Instituto de Astrofísica de Canarias) Fecha de recepción: 10 de noviembre de 2009 Artículo solicitado al autor por la revista

Palabras clave

Astronomía. Astrofísica. Enseñanza. Investigación. Cultura. Divulgación

Coincidiendo con el Año Internacional de la Astronomía promulgado por UNESCO se han realizado muchas actividades coordinadas por la IAU (Unión Astronómica Internacional) en todo el mundo y, en particular, en nuestro país por un comité creado para la ocasión. En este artículo se trata de reflexionar sobre las principales contribuciones de la Astronomía y de los astrónomos y astrónomas al progreso de nuestra sociedad, el papel que la Astronomía ocupa en ella y el que le puede esperar en el futuro próximo. Se trata de una visión personal e incompleta del autor que también describe la situación de la Astronomía en nuestro país.

Resumen

Astronomy. Astrophysics. Teaching. Research. Culture. Public outreach

Keywords

Along 2009, International Year of Astronomy named by UNESCO, many astronomical activities had taken place in almost all countries all over the planet organised by the IAU (International Astronomical Union). In particular, in our country such activities have been promoted by a committee set up especially for that occasion. In this paper, the author reflects on the main contributions of Astronomy and astronomers to the progress of our society, the role that Astronomy is playing and in what can be contributing in the near future. Is a personal view of the author that also describes the situation of the Astronomy in Spain.

Abstract

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1. Introducción Hace cuatrocientos años a Galileo Galilei se le ocurrió dirigir un “anteojo”, instrumento novedoso en la época, hacia el cielo nocturno; observó los planetas, cuatro satélites de Júpiter y otros fenómenos naturales e hizo medidas de cuándo ocurrían estas y otras efemérides. Aunque pudo haber otras personas que pudieron observar lo mismo antes, lo que es importante es que él iba anotando lo que veía, lo interpretaba, lo escribía y lo hacía público. Para celebrarlo, la UNESCO ha declarado el año 2009 como Año Internacional de la Astronomía. En todos los países del planeta ha habido actividades relacionadas con la Astronomía y la Astrofísica, en mayor o menor medida. En nuestro país se han organizado 1 más de 3000 actividades a lo largo de todo el año por parte de personas aficionadas y profesionales de la Astronomía, de instituciones públicas y privadas de enseñanza, investigación y divulgación. Estas actividades han sido muy variadas, desde la inauguración en nuestro suelo, en el Observatorio de El Roque de los Muchachos en la isla canaria de TPF

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Ver el portal del Año Internacional de la Astronomía en España, http://www.astronomia2009.es/ PT

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Astronomía, ¿para qué? T. Roca Cortés

La Palma, del GTC 2 , el telescopio óptico-infrarrojo de mayor apertura del mundo en la actualidad, hasta experiencias en planetarios y museos de la ciencia, pasando por cursos, conferencias, charlas y sesiones de observación en toda la geografía nacional. No cabe la menor duda que la Astronomía ha llegado, en este año, a rincones y personas de nuestro país que ni siquiera habían oído hablar de ella y que nunca se habían parado a observar el cielo nocturno o no habían podido hacerlo por vivir en zonas urbanas con demasiada polución lumínica. Esto mismo también ha sucedido en rincones remotos de nuestro planeta y seguramente, cuando se haga balance de estas actividades, llegaremos a la conclusión de que ahora la Astronomía, la Astrofísica, las y los astrónomos somos mucho más y mejor conocidos por toda la humanidad.

El progreso extraordinario realizado por la Astronomía a lo largo de la historia y, preferentemente en el último siglo, se ha visto reflejado también en el interés mostrado por el público en general y, especialmente, por nuestra juventud. No obstante, existen situaciones y momentos especiales en nuestra sociedad que nos obligan a preguntarnos, ¿cuál es el papel actual que juega la Astronomía en nuestra sociedad? A principios de año (del 19 al 23 de enero) asistí a un congreso, en París en la sede de UNESCO 3 , que trataba de dar una respuesta global, pero al mismo tiempo algo más detallada, de las muchas actividades que han ligado y ligan la Astronomía con las diversas culturas planetarias pasadas y presentes. Preguntas como: ¿cuál es el papel que juegan los astrónomos en las diferentes culturas?, ¿cómo perciben la Astronomía diferentes actores importantes en nuestra sociedad como artistas, estudiantes y empresarios?, ¿cómo la percibe el público en general y las diferentes agencias o departamentos ministeriales?, ¿qué puede hacer la Astronomía para despertar el interés de las jóvenes generaciones de estudiantes para inclinarles hacia los estudios de las ciencias?, ¿cómo podemos mejorar las colaboraciones de profesionales con aficionados a la Astronomía y cómo sus trabajos de investigación y observación pueden llegar mejor a las bases de datos?, trataron de contestarse en este congreso, con diversa suerte. Me sorprendió la gran diversidad de personas asistentes al congreso; más que el número, me sorprendió la diversidad de personas de diferentes culturas y países, de muy variada relación con la Astronomía. Desde maestros de primaria y educadores de secundaria y bachiller a catedráticos de universidad, desde periodistas científicos a profesionales de la divulgación, desde aficionados a directores de observatorios astronómicos y centros de investigación. Unos 400 participantes (un 40% mujeres), de más de 100 países presentaron 90 ponencias, 70 póster, 10 esculturas, 63 pinturas, 64 fotografías, 5 videos además de exhibiciones especiales. TPF

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A pesar del descenso en el alumnado que quiere una formación superior en ciencias en la última década, a pesar de que la ciencia o la técnica no ocupa un lugar propio en los medios de comunicación diarios como lo puede tener la economía, la política, la salud, la sociología, los deportes o la cultura; pues a pesar de todo ello la impresión es que la Astronomía ocupa un lugar no despreciable en la sociedad. Por otro lado, es un hecho ampliamente constatado que en la sociedad actual, al menos en la de los países avanzados, nunca ha habido tanto interés en las actividades científicas y de los científicos, especialmente en el campo de la Astronomía y la Medicina, estando presentes en los medios de comunicación diarios de forma creciente. En este artículo me gustaría recordar algunos aspectos que hoy en día, en mi opinión, hacen de la Astronomía una materia extraordinariamente viva e interesante por diversos motivos:

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Gran Telescopio de Canarias, ver página http://www.gtc.iac.es/ PT

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“The Rôle of Astronomy in Society and Culture”. UNESCO – Paris, 19-23 Enero, 2009; http://iaus260.obspm.fr/ TP

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Para avanzar en el conocimiento de la Naturaleza y del Universo en general. Para iniciar y excitar la curiosidad científica a nuestros estudiantes de secundaria y bachiller. Para avanzar en tecnologías de interesante aplicación en otros campos de las actividades de nuestra sociedad. Para reflexionar sobre el papel de la vida y de la humanidad en el universo y, en general, contribuir al aumento de la cultura en los miembros de nuestra sociedad

2. Para avanzar en el conocimiento de la Naturaleza

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Ver información en la Organización Europea para Investgación en Física Nuclear, CERN, http://lhc.web.cern.ch/lhc/ 5 Originalmente descubierto por A. A. Penzias y R. W. Wilson en 1964. Por este descubrimiento obtuvieron el premio Nobel de Física de 1978. 6 Las asimetrías o inhomogeneidades en la radiación cósmica de fondo fueron sugeridas inicialmente por el experimento Cosmosomas en el Observatorio de El Teide y puestas de manifiesto en las misiones espaciales COBE y WMAP. En 2006, J. C. Mather y G. F. Smoot, investigadores principales de WMAP, recibieron el premio Nobel deFísica. HTU

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Pero hay más resultados de la observación que aún complican la situación. Las observaciones sobre la radiación cósmica del fondo de microondas 5 y sus variaciones espaciales (inhomogeneidades o asimetrías en su distribución espacial) 6 recientemente observadas han demostrado que están estudiando nuestro universo cuando era muy joven, unos 400000 años, justo cuando empezaban a

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Recientemente los avances en las observaciones en Astrofísica y en Cosmología han permitido poner en duda el paradigma actual sobre la concepción del universo, al aportar pruebas que apuntan en la dirección de que la materia, tal como la conocemos actualmente, apenas constituye el 5% del universo observable. Entre otras, las observaciones de cómo giran las galaxias espirales en función de la distancia a su centro (Rubin y Ford, 1970; Burstein et al., 1985) nos llevan a concluir que existe materia que sólo podemos detectar por la interacción gravitatoria que ejerce sobre los objetos cercanos pero que, al no emitir radiación electromagnética, no podemos ver. Esta materia, todavía hoy en día, no sabemos qué es ni de qué esta compuesta; aunque haya hipótesis sobre la misma no se han encontrado pruebas irrefutables sobre su naturaleza y composición. La Física de partículas tampoco ayuda, de momento, a su descubrimiento; probablemente el LHC (Large Hadron Collider) 4 en sus investigaciones sobre la partícula llamada “bosón de Higgs” pueda arrojar alguna luz sobre esta cuestión.

Ha pasado mucho tiempo desde que el filósofo positivista A. Compte manifestara en el siglo XIX algo así como (cita no literal): “A pesar de la precisión de las medidas y observaciones astronómicas nunca podremos saber de qué están hechas las estrellas”. Sin embargo, casi coetáneamente, J. von Fraunhöffer primero y R. Bunsen y G. Kirchhoff algo más tarde, inventaron la Espectroscopía que abriría el paso a la Astrofísica, es decir, precisamente al conocimiento de qué están hechas las estrellas y por ende todos los objetos que observamos en el cosmos. De esta forma, analizando la radiación electromagnética emitida por, o reflejada en, los astros se puede conocer de que elementos están hechos.

Sería prolijo, y pedante por mi parte, hacer una lista exhaustiva de cuáles son los problemas más interesantes que la Astronomía y la Astrofísica tienen planteados en la actualidad, pero voy a exponer tan sólo dos que creo son de extraordinario interés ya que desbordan las múltiples e interesantes cuestiones que se plantean en el propio campo de la Astronomía y también, estoy seguro, tendrán influencia en la forma de ver y entender el mundo en las próximas décadas.

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crearse las acumulaciones de materia de forma que lentamente han ido formando cúmulos de galaxias o estructuras mayores. Estas observaciones, y otras, cuando se las interpreta a la luz de las actuales teorías cosmológicas validadas experimentalmente, sugieren que el 75% del universo está lleno de una energía desconocida que no sabemos exactamente de que se trata. Volviendo al principio de esta sección, después de todo, Comte podría no estar equivocado si en vez de estrellas hubiera escrito “el Universo”. En pocas palabras, no sabemos qué y cuáles son los componentes mayoritarios de nuestro Universo observable. Perdón por lo de “nuestro” puesto que lo que les voy a relatar a continuación fundamentalmente discute la aplicación restrictiva de este adjetivo. El 8 de junio de 2004 muchos pudimos observar el último tránsito de Venus 7 , es decir, el paso del planeta por delante del Sol durante unas 6 horas. En este tiempo, el flujo solar que normalmente llega a la Tierra disminuyó en aproximadamente menos de 1 parte en 100 000, prácticamente inapreciable para la mayoría de todos nosotros. Desde hace mucho tiempo, diferentes astrónomos habían sugerido que este mismo fenómeno podría ocurrir si hubiera planetas girando alrededor de estrellas diferentes al Sol cuyos planos orbitales coincidieran con la línea de visión de dichas estrellas desde la Tierra. Pues siendo así, ¿por qué no se habían buscado ya planetas en otras estrellas?; el problema radica en varios factores: la baja probabilidad de que esto ocurra (casi de una parte en 10000), no tener otra indicación en donde buscar entre los miles de millones de estrellas que pueblan nuestra galaxia y la larga espera para que el suceso se repita (del orden de años) atendiendo al único sistema planetario conocido, el nuestro. Por otro lado, observar un planeta directamente haciendo una imagen del conjunto era prácticamente imposible ya que, en el visible, la estrella brilla más de 10 millones de veces que el planeta. Otros astrónomos sugerían que basándonos en la dinámica de un sistema compuesto de un planeta y una estrella que orbitan alrededor del centro de masas (baricentro) común, podría deducirse la presencia del planeta midiendo el pequeñísimo movimiento de la estrella. Aquí el problema estriba en que la velocidad del movimiento es extraordinariamente pequeña (alrededor de 10 m/s en el caso de un planeta gigante -tipo Júpiter- y por debajo de 1 m/s para uno del tipo de la Tierra) y como antes decíamos, los periodos son muy grandes (de unos 11 años para Júpiter y de 1 año para la Tierra). Con estas perspectivas, observar planetas extrasolares fue durante mucho tiempo un proyecto que ningún astrónomo quería abordar al tener muy pocas posibilidades de éxito, incluso a lo largo de toda su vida. FPT

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No obstante, en Octubre de 1995, M. Mayor y D. Queloz, en sus observaciones de sistemas binarios estelares (dos estrellas que giran una alrededor de otra), encontraron que los cambios minúsculos en la velocidad de la estrella 51Peg, parecida a nuestro Sol, sólo podrían explicarse por la presencia de otra compañera de masa muy pequeña; tan pequeña que estaba en el rango de las masas de planetas gigantes y no en el de las estrellas. Se trataba de un planeta gigante (34 veces la masa de Júpiter) orbitando alrededor de la estrella ¡cada 4 días!, en vez de 11 años como lo hace Júpiter alrededor del Sol. Después de comprobadas las observaciones por otros astrónomos y descartados otros efectos que podrían enmascarar la pequeña señal que se observaba, se llegó a la conclusión de que habían descubierto el primer planeta fuera del sistema solar. Un planeta muy extraño si lo comparamos con los que observamos en nuestro sistema planetario, el único conocido hasta la fecha. El primer planeta observado por el método de tránsito fue HD209458b orbitando una estrella también parecida a nuestro Sol cada 3.5 días; su cercanía a la estrella le confiere una temperatura de unos 1000ºC en su superficie. Su masa es de 0.7 veces la masa de nuestro Júpiter y su volumen es sólo un 150% mayor; es lo que se llama un planeta gigante caliente. Se ha podido observar su atmósfera por medio de la espectroscopía y se cree haber encontrado trazas de hidrógeno, oxígeno y carbono; incluso se ha especulado con que puede contener vapor de agua. En el Observatorio de El Teide se han 7

ver por ejemplo información en: http://eclipse.gsfc.nasa.gov/transit/venus0412.html HTU

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descubierto 5 planetas dentro del programa TrES 8 de observaciones de tránsitos planetarios (el primero en Alonso et al., 2004). TPF

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En estos momentos se conocen más de 400 planetas de los cuales unos 300 están orbitando estrellas situadas a menos de 600 años-luz de distancia de nosotros 9 ; estrellas similares a nuestro Sol. La búsqueda de exoplanetas o planetas extrasolares con el objetivo de encontrar uno parecido a la Tierra está en marcha y su éxito más cercano que nunca. Hasta el punto de que ahora, es difícil encontrar un centro astronómico de investigación en el que no se participe de este extraordinario interés tanto con telescopios terrestres como con tecnología espacial. Satélites espaciales pioneros como el COROT 10 y el KEPLER 11 están en ello; otras misiones espaciales están siendo diseñadas con el fin de poder estudiar las atmósferas e incluso las superficies de los planetas encontrados y también de los telúricos o rocosos que se encontrarán próximamente. El más pequeño encontrado hasta la fecha compañero de una estrella parecida al Sol es COROT-Exo-7b que, con un diámetro de 1.65 veces el de la Tierra, orbita su estrella una vez cada 20 horas, estando por lo tanto cerca de ella y soportando temperaturas que van desde 1000 hasta 1500 ºC (Léger et al., 2009; Queloz et al., 2009). TPF

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No es un secreto que en las últimas dos décadas muchos jóvenes estudiantes, en casi todo el mundo desarrollado, han perdido el interés por la ciencia o, mejor dicho, no quieren seguir carreras científicas. A pesar de que, según parece, en algunos países ya se ha estancado la caída de estudiantes en las Facultades de Ciencias, sigue siendo preocupante el escaso número de jóvenes que se matriculan en las mismas y que quieren dedicarse a la actividad científica en sus vidas. En nuestro país, en la última década, el descenso ha sido brutal llegando a perder más del 60% del alumnado. Las causas de este fenómeno social se están analizando y se han analizado en diversos foros (por ejemplo Elias, 2005) y no voy a detenerme aquí en su análisis. No obstante, en muchas universidades de países con cultura anglosajona se ha percibido que la introducción de la Astronomía o la Astrofísica y aplicaciones científicas desde el espacio (Ciencias del Espacio) en sus catálogos de titulaciones, ha producido un menor descenso en las vocaciones científicas y ha contribuido al repunte de la matrícula en sus facultades. PT

En la introducción de las matemáticas, especialmente la geometría, trigonometría y el cálculo, resulta muy apropiada la utilización de problemas que plantean los fenómenos

TrES (Trans-Atlantic Exoplanet Survey), proyecto en colaboración hispano-norteamericano. Ver:http://www.hao.ucar.edu/research/stare/stare.html y http://www.astro.caltech.edu/palomar/pst.html 9 Enciclopedia de planetas extrasolares descubiertos y proyectos de búsqueda; ver http://exoplanet.eu/ 10 COnvection and ROtation of stars and planetary Transits (COROT) es un satélite científico francés con participación española y europea (ESA). Ver http://smsc.cnes.fr/COROT/ , http://www.iaa.es/corot/ 11 KEPLER es una misión espacial de NASA dedicada a la búsqueda de planetas habitables; para más información ver en http://kepler.nasa.gov/ HTU

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Sin pretender ser prolijo, es obvio que sería muy apropiado el uso de la Astronomía en las siguientes cuestiones:

Lo que querría enfatizar aquí, sin embargo, es el papel que la Astronomía ha jugado, está jugando o puede jugar en la iniciación de la juventud a la ciencia y al método científico desde los niveles más elementales hasta su ingreso en una Facultad de Ciencias.

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3. Para iniciar en la Ciencia a nuestras y nuestros jóvenes estudiantes

Simplemente, es fascinante desde el punto de vista científico, pero también desde el punto de vista antropológico. Cuando se descubra vida en algún planeta extrasolar definitivamente el hombre terrestre habrá dejado de ser único, el centro, el rey del Universo; el Universo habrá dejado de ser sólo nuestro, de hecho muy probablemente nunca lo fue.

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astronómicos. Por ejemplo, el cálculo de las distancias en el sistema solar o a las estrellas más cercanas puede utilizarse sencillamente para enseñar la trigonometría. •

Las determinaciones de las órbitas planetarias y cometarias pueden utilizarse como problemas para interesar al alumnado en la introducción al cálculo. También en la introducción a las cónicas.

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La definición del tiempo basado en la precisión y repetibilidad de la dinámica planetaria en nuestro sistema solar.

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La determinación del flujo de radiación que nos llega de los astros resulta un excelente ejercicio para la introducción de las funciones potenciales, exponenciales y sus inversas, las logarítmicas. Resulta que aparecen de forma natural, esencialmente porque nuestro detector primario, el ojo, presenta una respuesta logarítmica al flujo luminoso.

No obstante, es la posibilidad de realizar observaciones y mediciones con pequeños artilugios astronómicos, construidos por los mismos estudiantes (el “gnomon”, el planisferio y hasta un reloj de sol ecuatorial), lo que le confiere la vertiente experimental a la enseñanza del método científico que debe guiar toda formación en ciencias. La enseñanza de la construcción de instrumentos de medida, de realización de observaciones sistemáticas, de la planificación de las mismas, de su análisis matemático, de su interpretación científica, de su conservación y catalogación para el futuro, constituyen acciones básicas indispensables para que los alumnos sientan la curiosidad y la excitación de la resolución de los problemas que la naturaleza nos propone. Incluso disponer de un pequeño telescopio totalmente automatizado, actualmente con un coste muy reducido, está al alcance de cualquier escuela o instituto. Con él se dispone de la tecnología actual al alcance del profesor y del estudiante para realizar prácticas. Tener como laboratorio, el cielo nocturno o diurno es especialmente interesante y de gran motivación para el alumnado. Lo único que nos falta es saber utilizarlo y tener la suficiente paciencia y ganas para trasladar nuestras clases al patio del colegio, a su tejado o terraza, o al descampado más cercano. Las experiencias que ya ha habido en nuestros centros de enseñanza secundaria demuestran que es posible hacerlo, que no es caro y que el resultado es excelente: nuestro alumnado despierta su curiosidad y acepta los retos que le plantea la Astronomía. Volviendo a la realidad, en algunas Comunidades Autónomas (entre ellas la canaria) debido al empuje de algunos profesores de Ciencias de secundaria se ha venido impartiendo una asignatura optativa de Astronomía. La experiencia, según tengo entendido, es muy buena pero ello ha servido para bien poco. Ni se ha aumentado otra vez (para recuperar) el número de horas dedicadas a las Ciencias ni ha servido para cambiar el estatus de la asignatura; más bien al contrario, se ha disminuido el número de horas dedicadas a las optativas y, en muchos institutos, ha dejado de ofrecerse la asignatura. Es curioso comprobar la poca conexión que nuestros responsables educativos y políticos ven entre la educación, la formación y la “sociedad del conocimiento”, de la que tanto hablan y tan poco hacen para ir avanzando en ella.

4. Para contribuir al avance tecnológico La Astrofísica ha avanzado espectacularmente en las últimas seis décadas en las que las ciencias aplicadas, especialmente la óptica, la electrónica y las comunicaciones, han propiciado avances sustanciales y espectaculares en el campo de la tecnología en general y, en concreto, en la construcción de instrumentación para la investigación astrofísica. Es difícil decir quién o qué ha liderado los cambios pero lo cierto es que mutuamente se han ido realimentando. Desde la inauguración del que puede considerarse primer gran telescopio en Mount Wilson (California) en 1917, el telescopio Hooker de 100 pulgadas de diámetro del espejo primario y, apenas tres décadas

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después, la construcción del famoso telescopio Hale (de 200 pulgadas) en Monte Palomar, se han ido construyendo telescopios de diferentes tamaños, pero no de mayor diámetro. Más allá de estos cinco metros de diámetro parecía imposible fabricarlos, se había llegado al límite de lo que la tecnología de finales del siglo XX podía manejar. Si el espejo primario del telescopio crecía en diámetro también debía hacerlo en espesor para evitar deformaciones y, todo ello, hacía que creciera en peso; de tal forma que la mecánica, y principalmente la electrónica necesaria para moverlo, dejaba de ser lo suficientemente precisa para el apuntado y seguimiento de un objeto cualquiera en su viaje constante en el cielo nocturno. Estos fueron los condicionantes que llevaron a que el telescopio BTA-6 (espejo sólido de 6 metros de diámetro) que la extinta Unión Soviética construyó en Zelenchuk (en el Caúcaso) en 1976 no funcionara normalmente con la precisión requerida y resultara casi inútil para la observación astronómica de vanguardia. Por lo tanto, para poder observar objetos cada vez más débiles, a finales del siglo XX, sólo se podía hacer fabricando detectores de luz visible e infrarroja cada vez más sensibles. La aparición y mejora de los tubos de rayos catódicos, tubos tipo “vidicon” y demás tecnología similar, basada en el efecto fotoeléctrico 12 , constituyó en la década de los 70 un salto cuantitativo importante. Estos artilugios, precursores de las modernas cámaras, sustituyeron a las placas fotográficas utilizadas ampliamente hasta su límite en los grandes telescopios antes mencionados, y permitieron ir mejorando y llevando más allá del límite de lo casi imposible la observación astronómica del cielo profundo. TPF

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Con el avance en la electrónica digital, su miniaturización, el avance en los computadores y en los detectores, pudo llegar lo que parecía imposible: utilizar espejos más grandes (de hasta 10 m de diámetro) y más delgados, es decir de menos peso, pero con la particularidad de que la forma del espejo podía ser controlada en tiempo real por actuadores guiados electrónicamente. De esta forma, la superficie del espejo primario se auto-corrige rápidamente y con la precisión requerida (por debajo de la décima de micra). Pasar de ahí a superficies formadas por espejos múltiples que funcionan como si fuera uno sólo, como el GTC por ejemplo, ha sido un paso importante. Probablemente el paso necesario para dar el salto a la construcción de espejos de hasta 30 metros de diámetro, por ejemplo el EELT 14 en cuyo diseño se está trabajando actualmente. TPF

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Pero ha sido la aparición de las “cámaras digitales” basadas en CCD 13 lo que ha vuelto a suponer un cambio cualitativo importantísimo ya que sus propiedades la convierten en el detector de imagen casi ideal. Por otro lado, su rápida comercialización acompañada de sus precios asequibles ha permitido su utilización por todos, aficionados y profesionales. Por cierto, este “invento de un semiconductor capaz de almacenar imágenes” ha sido merecedor este año del premio Nobel de Física para W. S. Boyle y G. E. Smith sus descubridores.

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Me gustaría resaltar aquí otro aspecto importante del avance tecnológico propiciado y/o aprovechado por la Astronomía. Los recientes avances en la electrónica, especialmente en las dos últimas décadas, han proporcionado computadoras rápidas y con memoria suficiente para almacenar 12

No olvidemos que por este descubrimiento A. Einstein recibió el premio Nobel en 1921 El sensor bidimensional “Charge Coupled Devices (CCD)” es el mejor receptor de imágenes actualmente en uso y, hoy en día, está ampliamente introducido en las modernas cámaras digitales. 14 European-Extremely Large Telescope (E-ELT), ver http://www.eso.cl/elt.php 15 ver página http://hubblesite.org/ 13

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Por otro lado, uno de los hitos más importantes en los últimos 25 años ha sido a construcción y operación de un gran telescopio espacial: el HST 15 (Hubble Space Teescope); este telescopio nos ha mostrado las imágenes del cielo profundo más sensibles y claras que hayan existido jamás permitiendo el avance de la astronomía en casi todos sus campos. Pero también ha demostrado que se puede operar instrumentos muy sofisticados en el espacio. Con la aparición de nuevos materiales con propiedades muy interesantes, de materiales “inteligentes” que permitirán limitar el peso de las estructuras en los telescopios, se abrirá paso a la construcción de telescopios en otras localizaciones libres de atmósfera, como en nuestro satélite la Luna.

Astronomía, ¿para qué?

las observaciones realizadas en bases de datos de acceso libre. Además, los avances en las comunicaciones (en la Tierra y desde el espacio) han proporcionado la tecnología necesaria para que “internet” permita conexiones rápidas entre ordenadores en cualquier lugar del mundo de tal modo que cualquier persona interesada puede acceder a estas bases de datos. Esta posibilidad que está comenzando a ser explotada actualmente convierte a las bases de datos de observaciones astronómicas en auténticos observatorios virtuales 16 . En ellos no sólo se almacenan cada vez más y más observaciones, que profesionales y aficionados han realizado en el pasado y están realizando, utilizando los múltiples instrumentos, terrestres y espaciales que actualmente se dedican al estudio de la Astronomía, sino que se facilita el acceso y el estudio de los resultados obtenidos a cualquier persona interesada del planeta. De esta forma, astrónomos de cualquier país, por pequeño que sea, y de lo nublado que esté, pueden realizar investigaciones y encontrar respuestas a preguntas que probablemente quienes hicieron las observaciones no se hicieron y, por lo tanto, no buscaron la respuesta. ¿Cuántas investigaciones quedan por realizar y cuántos fenómenos naturales por descubrir que a lo mejor están en observaciones guardadas en estas bases de datos esperando que alguien las descubra? Por otro lado, también se trata de facilitar el aprovechamiento de la llamada “serendipia”, es decir los descubrimientos casuales, de cuyo ejemplo el mundo científico está lleno, pero que con estas nuevas facilidades puede aprovecharse más y mejor.

5. Para contribuir a la reflexión sobre el hombre y la vida en el Universo

T. Roca Cortés

Se ha estudiado la cosmogonía de muchas, si no de todas, las civilizaciones antiguas, es decir la relación del hombre con la Tierra y con el Universo. Me gustaría preguntarme aquí cuál es la cosmogonía de la humanidad, en este momento de globalidad, concebida como un todo es decir a escala planetaria. ¿Existe?, ¿es necesaria?, ¿es la suma de las ideas individuales o grupales? Dicho de otro modo, ¿necesitamos una consciencia colectiva a nivel planetario? Creo que antes de tres décadas deberemos plantearnos seriamente una respuesta a la pregunta que se hacía Carl Sagan en su obra de divulgación Cosmos: ¿who speaks for Earth? No tengo respuesta aún a estas preguntas pero creo que a la luz de los avances en Astronomía y en Genética ahora empieza a ser pertinente hacérselas y deberíamos tomárnoslas muy en serio.

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En las múltiples conferencias y cursos sobre diferentes problemas de la Astronomía que he tenido el privilegio de impartir en diferentes lugares, a un público diverso que bien podría representar el público en general del que solemos hablar, cuando no se trata de público especializado o aficionado a estos temas, siempre, independientemente del tema sobre el que he disertado, han aparecido de una otra forma en el coloquio final las siguientes preguntas: •

¿Existe vida fuera de la Tierra o cuál es el origen de la vida en la Tierra?

•

¿Qué es el big bang o cuál es el origen del universo?

•

¿Qué son los agujeros negros o cuáles son los objetos más extraños del cosmos?

No soy el único al que le ha pasado esto; a menudo comentando estas cuestiones con colegas astrónomos me confirman que a ellos les ocurre algo parecido con preguntas casi idénticas. Ello me lleva a concluir que son estas cuestiones las que más preocupan a las personas que están interesadas en la Astronomía y que buscan en ella las respuestas; creo que también puede constatarse (aunque no conozco estudio alguno al respecto) que el interés ha ido creciendo con el tiempo. Afortunadamente, la ciencia y la razón han ido sustituyendo a la religión y a la fe en estas reflexiones o en la búsqueda de respuestas razonables a estas cuestiones. El método científico no sólo proporciona respuestas comprobadas y comprobables a las preguntas que la naturaleza nos plantea sino que nos enseña a dudar de ellas. De tal forma que estamos dispuestos a que si los resultados de un nuevo experimento 16

Ver EuroVO en http://www.euro-vo.org/pub/; el internacional IVOA en http://www.ivoa.net/; el de EEUU http://www.virtualobservatory.org/; el español http://svo.laeff.inta.es/ HTU

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demuestran que algunas de las teorías o paradigmas aceptados como válidos no lo son, después de repetidos y comprobados de forma independiente tales resultados, las abandonaremos y las sustituiremos por otras que los nuevos experimentos demuestren que son válidas. Esta es la actitud que nos enseña el método científico y que nos permite avanzar en el conocimiento, puesto que los resultados de las observaciones y experimentos que realizamos sugieren enseguida nuevas preguntas y cuestiones que invariablemente trataremos de entender a la luz de las teorías aceptadas en el momento. Esta actitud, en contraposición a las “creencias” que todas las pseudo ciencias introducen en algún momento en sus explicaciones, es la que distingue la razón de la fe.

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6. A modo de conclusión

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Finalmente, unas pocas referencias al entorno profesional de los que practicamos la Astronomía en nuestro país. En el informe sobre la investigación en Astronomía en España aparecido en Enero de 2003 (Barcons et al. 2003), los autores afirman que con 460 investigadores en Astronomía, es decir unos 12 por millón de habitantes, nuestro país se va acercando a los 16 en Francia, 17 en Alemania y casi 25 del Reino Unido (tasas de 1998). La investigación realizada es, en general, de buena calidad y en cantidad abundante: se publica a un ritmo promedio ligeramente superior a un artículo por investigador y año en revistas de prestigio internacional y con un número de citas por encima del promedio internacional. Por otro lado, en otro estudio sociológico realizado entre los doctores en Astronomía realizado a finales del siglo pasado (Battaner et al., 2001) se concluye que el número de doctores en Astronomía que sale de las universidades españolas se estaba estabilizando alrededor de 25 por año (con un 30% de mujeres y aumentando); no obstante se quejan de que el número de abandonos, incluso después de pasar por un periodo transitorio empieza a ser muy alto, del 15% al 35%, independiente del sexo.

Aunque la Astronomía es quizás la ciencia más antigua que se conoce, prácticamente la Astrofísica se ha desarrollado hacia el final del siglo XIX y, principalmente, a lo largo del XX. Materias relacionadas directamente con la Astrofísica han entrado en las universidades españolas prácticamente en los últimos 30 años, adquiriendo una gran solidez, asentándose bien en los planes de estudios y teniendo una buena aceptación entre los estudiantes de ciencias experimentales, fundamentalmente. En nuestro país, en los últimos años, la Astrofísica ha experimentado una violenta eclosión aumentando en dos órdenes de magnitud los profesores e investigadores españoles, casi en otro orden de magnitud más en los artículos publicados en revistas especializadas, siendo la disciplina científica de mayor avance en este tiempo. Sin embargo y con la salvedad de escasas excepciones, es un hecho irrefutable que el material didáctico a nivel universitario en cualquiera de las lenguas españolas prácticamente no existe.

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Desde un punto de vista más general, el divorcio entre “cultura” y ciencia, o entre las llamadas dos “culturas”, ha sido objeto de análisis desde mitad del siglo pasado por muchos científicos y filósofos eminentes. Desde entonces se tiene la impresión de que la distancia lejos de acortarse, se ha ido haciendo más pronunciada hasta el punto de que ahora mismo, en nuestra sociedad ultratecnificada, el déficit en el conocimiento técnico-científico influyen en las decisiones cotidianas que han de tomarse a todos los niveles de la sociedad. Mi impresión particular es que los científicos debemos esforzarnos en reflexionar sobre el aspecto social y cultural de los avances de la ciencia y de la tecnología, y reclamar de parte de los representantes clásicos de la cultura una mayor atención a los acontecimientos científicos. Además esta atención deben ejercerla rápidamente y cuanto antes ya que la velocidad en los avances de la ciencia y, lo que es tan importante, su llegada e inmersión en la sociedad, puede sobrepasar la capacidad de reflexión, asimilación y descubrimiento de las opciones y caminos mejores. Obviamente, la información llega a mucha más gente y con más rapidez, pero también es importante darse cuenta de que el “ruido” también crece, con lo cual la ratio señal/ruido disminuye y descubrir las señales a tiempo se me antoja realmente tan difícil como importante.

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A pesar del número insuficiente de astrónomos por habitante no parece que en nuestro país se estén creando los suficientes puestos de trabajo en Universidades y Organismos Públicos de Investigación para irnos acercando a la media de los países desarrollados. Por otro lado, los doctores en Astronomía bien acogidos en el mundo empresarial en países más desarrollados no lo son aún en el nuestro. Nos queda aún mucho margen de mejora, pero cuando miramos treinta años atrás y vemos el panorama tan desolador que había en Astronomía en nuestro país (con apenas una treintena de doctores) no podemos más que congratularnos por el tremendo esfuerzo realizado por parte de todos y todas, personas e instituciones. Astronomía, ¿para qué? Pues para mucho. Estamos tentados siempre a decir que para nada. Esto nos coloca en la posición, realmente cómoda, de quien pretende que al no servir para nada no nos van a pedir cuentas, ni tampoco sirve para lo peor que generamos en nuestra sociedad. Supongo que estamos apoyando las tesis de los que pretenden decir que podríamos pasar sin ella. Sin embargo, el estudiantado, los colegas aficionados y el público en general que han participado en los actos de este Año Internacional de la Astronomía nos han demostrado que es una actividad científica y cultural de primer orden, extraordinariamente apreciada. Sinceramente, con este artículo, espero haber contribuido a que la Astronomía, especialmente la situación en nuestro país, sea más y mejor conocida y apreciada.

Bibliografía Alonso, R., Brown, T.M., Torres, G. et al. (2004). TrEs-1: The transiting planet of a bright K0 V star. Astrophysical Journal, 613, L153. Barcons, X., Domínguez, R., Pallé, P.L. (2003). Informe sobre la investigación en Astronomía en España. 9, 5-6. Battaner, E., Delgado, A.J., Rodríguez, J.M. et al. (2001). Estudio sociológico de los doctores españoles en el campo de la Astronomía. Boletín de la SEA, 6, ix-xv. Burstein, D., Ford, Jr. W. K., y Thonnard, N. (1985). Rotation Velocities of 16 Sa Galaxies and a Comparison of Sa, Sb, and Sc Rotation Properties," Astrophysical Journal, 289, 81. Elías, C. (2008), La razón extrangulada. Barcelona: Debate. Léger, A., Rouan, D., Schneider, J. et al. (2009). Transiting exoplanets from the CoRoT space mission VIII. CoRoT- 7b the first super-earth with measured radius. Astronomy and Astrophysics, 506, 287. Mayor, M. y Queloz, D.,(1995). A Jupiter-mass companion to a solar-type star”, Nature, 378, 355. Queloz, D., Bouchy, F., Moutou, C., et al. (2009). The CoRoT-7 planetary system: two orbiting superearths. Astronomy and Astrophysics, 506, 363. Rubin, V. y Ford, W.K. (1970). Rotation of the Andromeda Nebula from a Spectroscopic Survey of Emission Regions. Astrophysical Journal, 159, 379. Teodoro Roca Cortés, catedrático de Astronomía y Astrofísica e Investigador en el Instituto de Astrofísica de Canarias (IAC). Con más de 30 años de actividad docente en varias titulaciones ha impartido diferentes asignaturas en todos los cursos de la licenciatura de Física y en el doctorado de Astrofísica, dirigiendo 15 tesis doctorales. Pionero y especialista en la aplicación de técnicas sísmicas al estudio del Sol y de las estrellas, ha participado en más de 25 proyectos de investigación subvencionados, incluyendo proyectos espaciales, en los que en más de la mitad ha sido el investigador principal, resultando en la publicación de más de 230 artículos y contribuciones a congresos internacionales especializados. Miembro de comisiones asesoras de instituciones científicas, tanto nacionales como internacionales, también ha contribuido a la divulgación científica con conferencias, artículos y cursos dirigidos al público en general. Ha contribuido a la gestión académica como coordinador de enseñanza del IAC, vicerrector de la Universidad de La Laguna y vicedecano de la Facultad de Física de esa universidad, de la que actualmente es Decano.

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http://www.sinewton.org/numeros

Taller de matemáticas a la luz de las estrellas

Fecha de recepción: 29 de octubre de 2009 Artículo solicitado al autor por la revista

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Este artículo pretende ser una colaboración con la revista Números con motivo de la celebración durante 2009 del Año Internacional de la Astronomía. Primer año, por cierto, que no se puede impartir Astronomía como asignatura optativa en Enseñanza Secundaria, cosa que venía haciéndose en nuestro instituto desde 1991.

Resumen

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Federico Fernández Porredón (IES San Hermenegildo La Cuesta-La Laguna)

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 17–34

Palabras clave

Cielo, magnitudes estelares, conceptos matemáticos, eclipse anular, azimut.

Abstract,

This article tries to collaborate with the magazine Números on the celebration in 2009 of the International Astronomy Year. By the way, in fact, this will be the first year, since 1991 when our school first offered it in the Canaries, Astronomy can’t be studied as an optional subject in our High School, as it used to be.

O: A S T R

Sky, stars magnitudes, mathematic knowledge, annular eclipse, azimuth.

Keywords

Our contribution pretends to encourage teachers and other members of the school stuff in making nocturnal observations with students. The observation of the sky from the Canarian summits can be a recreational activity that helps students to fix basic Mathematics knowledge, through this changeable and absolutely free and natural laboratory and at the same time, help them develop positive attitudes, such as curiosity about the measurement of the stars.

Mediante esta aportación queremos animar al profesorado de los niveles mencionados a practicar astronomía nocturna con sus alumnos, lo que ayudará a desarrollar en ellos actitudes, como la curiosidad por realizar mediciones teniendo a los astros como protagonistas. El fuerte componente lúdico que posee la contemplación del firmamento desde las cumbres canarias les ayudará a afianzar determinados conceptos matemáticos básicos, a través de ese laboratorio natural, cambiante y gratuito que es la bóveda celeste.

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En el archipiélago canario se dan unas condiciones óptimas para la observación del cosmos: la altura de muchas de sus cumbres que superan los 2.500 metros; la ausencia de turbulencias atmosféricas por encima de la capa de inversión térmica; su ubicación geográfica en torno a los 28 grados de latitud, que nos permite ver a lo largo del año todo el hemisferio norte celeste y gran parte del hemisferio sur hasta una declinación de 62 grados por debajo del ecuador celeste, y la escasa contaminación lumínica e industrial, sobre todo en las islas no capitalinas, han hecho que la comunidad científica internacional haya puesto sus ojos, y con ellos sus mejores telescopios, en las cumbres de nuestras islas. Con la Ley de Protección del Cielo se abren perspectivas para combatir la contaminación lumínica a la vez que se mentaliza a la población, y a sus gobernantes, a hacer un uso

1. Introducción

Talle de matemáticas a la luz de las estrellas F. Fernández Porredón

La comunidad educativa no debe permanecer al margen de este excelente recurso natural, teniendo la obligación moral de fomentar su conocimiento y su utilización con fines didácticos.

1.1 ¿Dónde y cómo observar el cielo? Para empezar basta con observar a simple vista. Disponemos de un par de instrumentos ópticos insuperables: nuestros ojos. Con una mínima formación previa sacaremos el máximo partido de ellos. Estos pueden ser algunos consejos simples pero importantes a la hora de programar observaciones nocturnas con la participación del alumnado: 1º Debemos elegir bien la primera observación. Para ello se ha de escoger una noche sin luna y despejada. Una primera tentativa fallida desmoraliza mucho. Iremos, preferentemente, a una zona alta, por lo que llevaremos a la observación ropa de abrigo y algún alimento rico en calorías. Es importante llegar al lugar elegido antes de la caída de la noche, contemplar la puesta de sol es útil para orientarnos y además, con suerte, podremos contemplar el rayo verde.

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más racional del alumbrado público y privado. Es así que el observatorio del Roque de los Muchachos en La Palma, compite con ventaja con su homólogo americano, situado en Hawai, habiéndose convertido en el Observatorio Norte Europeo.

Figura 1. El rayo verde se puede apreciar a la puesta de sol tras el horizonte marino sólo cuando las condiciones atmosféricas son muy favorables. 1

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Cuando el Sol (u otro astro) sale o se pone atraviesa mayor espesor de atmósfera que cuando está alto. El índice de refracción de ésta varía con la densidad de la misma y con la temperatura del aire, por lo que los rayos se refractan más cuando el Sol está próximo al horizonte. La componente verde de la esfera solar se dispersa más que la componente roja o amarilla, por eso cuando ésta acaba de ocultarse no lo ha hecho aún la verde.

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3º El alumnado deberá llevar un cuaderno de campo donde anotará sus propios “descubrimientos”.

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2º La salida nocturna debe programarse conjuntamente con padres y madres de alumnos interesados en la experiencia; el grupo no debe ser demasiado numeroso, se puede poner un límite en torno a 20 personas. Los vehículos deben ser coches de padres y/o profesores; aunque lo mejor es ir en microbús si el centro educativo dispone de recursos económicos en ese momento, aunque, como es sabido, esto rara vez ocurre.

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Figura 2. Ejemplo de cuaderno de campo

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6º Cada alumno llevará una carta celeste que reproduzca el cielo que se puede observar durante la noche. Hay muchos programas informáticos que se pueden bajar de Internet y permiten seleccionar lugar, día y hora de la observación e imprimir la carta celeste correspondiente. En ella se aprecia la posición de las constelaciones, planetas y otros astros visibles esa noche a una hora determinada. Si la observación va a ser larga debemos llevar cartas correspondientes a varias horas de la noche.

5º El grupo debe disponer de prismáticos; los que tienen la inscripción 7x50 son los más recomendables para empezar (7 es el número de aumentos y 50 los milímetros de diámetro que tiene el objetivo, o sea la lente por donde entra la luz).

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Figura 3. Carta celeste correspondiente al día 24 de diciembre de 2009 a las 23:00 horas. 2

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7º Para mostrar un determinado astro en el cielo, o las formas de las constelaciones, es aconsejable que la persona responsable de la observación lleve un láser verde 3 , éste al interactuar con el vapor de agua marca perfectamente la línea recta que conduce al astro deseado. TPF

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8º Se apunta una última consideración, no por ello menos importante: la necesidad de que la persona que dirija la observación sepa reconocer las constelaciones más significativas, pues estas son referencias de lugar en el cielo. Por ejemplo, cuando queremos localizar un cometa decimos, como primera aproximación, que está en una determinada constelación.

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Carta celeste extraída del programa Starry Night Pro.

Debe ser usado con precaución por la persona que coordine la observación, en instantes muy puntuales y procurando interferir lo mínimo posible con el medio ambiente y la fauna del lugar. TP

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Se da la circunstancia de que el cometa P17-HOLMES experimentó un singular incremento de actividad, aumentando su brillo dos millones de veces en 24 horas. Este aumento exponencial de brillo tuvo profunda repercusión en la comunidad astrofísica internacional y fue descubierto por D. Juan Antonio Henríquez Santana 4 , profesor de Matemáticas del IES Teowaldo Power de Santa Cruz de Tenerife.

Pongo un ejemplo concreto: el viernes dos de noviembre de 2007, durante una observación realizada en el mirador de Chipeque con alumnos de Club Astronómico del IES San Hermenegildo, queríamos fotografiar un peculiar cometa, sin cola, el P17-HOLMES, que se había hecho visible unos días antes. Hubiese sido muy difícil la localización del cometa si sólo hubiéramos tenido como referencia su existencia, incluso si hubiésemos dispuesto de la imagen de la figura 4. Enseguida fue localizado por los alumnos porque conocíamos, por las efemérides, la constelación donde se encontraba, la de Perseo. Dirigiendo la vista hacia dicha constelación, no resultó difícil encontrarlo y fotografiarlo. En la figura 5 se aprecia el cometa en su contexto tal y como lo vimos a simple vista.

Figura 4. Cometa P17-HOLMES. Fotografía tomada con teleobjetivo de 200 mm de focal, que proporciona una visión similar a la de unos prismáticos de 7x50.

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D. Juan Antonio Henríquez Santana es miembro número 753 de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. 4

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Figura 5. El cometa P-17 Holmes en la constelación de Perseo. Arriba a la izquierda se aprecia Casiopea y a la derecha el cúmulo de las Pléyades, grupo de estrellas jóvenes, situadas a 42 millones de años luz de nosotros y formadas hace unos 100 millones de años. Fotografía tomada con objetivo gran angular de 18 mm de focal.

Las actividades astronómicas más usuales tratan de reconocer en primera instancia los diferentes tipos de cuerpos celestes que podemos observar, comenzando por las constelaciones. Pero durante una observación astronómica, además del reconocimiento físico de los diferentes tipos de astros y los distintos estadios evolutivos en los que se encuentran, debemos realizar medidas, calcular distancias, utilizar sistemas de coordenadas para localizar un astro, etc. Y para ello utilizaremos conceptos y procedimientos matemáticos.

2. Experiencias propuestas Se proponen a continuación una serie de prácticas elementales, realizadas en múltiples ocasiones con mis alumnos para trabajar conceptos matemáticos sencillos en un lugar muy diferente al aula, aprovechando la magia de una noche estrellada.

2.1 Los cinco primeros astros de la noche. Altura y azimut: coordenadas polares Tras haber disfrutado de la puesta de sol pondremos en acción al grupo. Pero… ¿qué podemos hacer con nuestros jóvenes y vitalistas alumnos en una zona alta de la isla en los minutos que tarda en llegar la oscuridad? En ese momento se les propondrá localizar los cinco primeros astros que se hacen visibles durante el anochecer. Los cinco astros serán diferentes según la época del año en que se haga la observación y dependerá también de los planetas presentes en nuestro cielo. Los alumnos se distribuirán en pequeños grupos tratando de agudizar la vista.

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Para esta experiencia necesitamos un cuadrante y una ballestilla similares a los de las figuras 6 y 7:

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Figura 6b. Altura de un astro

Figura 6a. Cuadrante.

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Figura 7. Ballestilla 5

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Para marcar los grados de arco en la regla flexible, lo más cómodo es dividirla en centímetros y que cada centímetro represente un grado, la circunferencia que cumple esa condición tiene 57,3 cm de

Í Instrumento para medir distancias angulares. Consiste en una regla flexible de unos 60 centímetros de longitud con un palo central. Se amarra una cuerda a los extremos y se apoya en el extremo del palo. Los tres radios que le dan a la regla forma de arco deben medir 57,3 cm. TP

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radio: 2πr =360cm ⇒ r = 57,3 cm. Para un uso cómodo del instrumento, la longitud de la regla no debe superar los 60 centímetros.

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A título de ejemplo, el resultado obtenido desde Izaña el día 24 de abril de 2009 por uno de los grupos de alumnos participantes en la observación lo reflejaron en la tabla 1. Detectaron los cinco primeros astros que se hicieron visibles a sus ojos, pero lógicamente, de entrada, no identificaron ninguno de ellos al carecer de una visión de conjunto. Astro observado

Hora

Altura

1º

20:42

35º

2º

20: 45

18º

3º

20:46

27º

4º

20:46

17º

5º

20:47

45º

El resultado será la elaboración de una primera tabla en que figuren: el orden de aparición del astro, que estará relacionado con su brillo, la hora en que se hizo visible, y su altura.

Procedimiento: Los diferentes grupos deberán anotar en su cuaderno, según orden de aparición, los cinco primeros astros observados, al no tener otra referencia que su distancia angular al horizonte tendrán que hacer uso de un parámetro: la altura a la que se encuentra cada astro sobre el horizonte, ésta se medirá con el cuadrante.

Minutos después, una vez que la oscuridad haga posible que se vea la Estrella Polar 6 (ésta no destaca por su brillo) se traza su proyección sobre el horizonte, (se puede usar para ello, con precaución, el láser verde) que dará como resultado el punto cardinal norte. Sin más que medir tramos de 90º con nuestra ballestilla situaremos en nuestro horizonte los puntos cardinales este, sur y oeste. TPF

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Podremos ahora medir la segunda de las coordenadas del astro, la coordenada horizontal, la correspondiente al azimut, ampliando así nuestra tabla. Al punto cardinal norte se le atribuye un azimut cero grados. Para medir el azimut de un astro, ver figura 8, se traza una perpendicular desde el astro al horizonte, cortándolo en el punto P; y se mide con una ballestilla el ángulo que hay entre el punto cardinal norte y el punto P, siguiendo el sentido horario. Si este ángulo es muy grande se mide el ángulo que forma P con el punto cardinal más próximo, y se completa luego hasta el norte. Como referencia tenemos que el azimut del este es de 90 grados, el del sur de 180 grados, el del oeste 270 grados.

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Tabla 1. Hora de aparición y altura de cada uno de los cinco primeros astros que se hicieron visibles.

Se da la circunstancia de que la Estrella Polar está en la prolongación del eje de la Tierra, con lo que su altura determina la latitud del lugar de observación. Si estamos en el polo norte la veremos a una altura de 90 grados (sobre nuestra cabeza), si nos vamos al ecuador se verá a una altura de cero grados (sobre el horizonte) y desde Canarias se ve a una altura de unos 28 grados. Pidamos a los alumnos que lo comprueben usando el cuadrante.

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Figura 8. Representación de la altura y el azimut de un astro.

Contrastando las coordenadas de cada astro en una carta celeste actualizada, similar a la de la figura 3, se puede identificar cuáles son cada uno de ellos y en qué constelación 7 está. En el ejemplo que nos ocupa los cinco primeros astros observados y sus coordenadas resultaron ser los que se muestran en la tabla 2.

20:42

35º

218º

2º Mercurio (Aries)

20: 45

18º

285º

3º Rigel (Orión)

20:46

27º

244º

4º Arturo (Boyero)

20:46

17º

77º

5º Capella (Auriga)

20:47

45º

307º

1º Sirio (Can Mayor)

Azimut

Altura

Hora

Tabla 2. Resumen de la actividad

2.2 El brillo de las estrellas. Magnitudes estelares: progresión geométrica

El orden de aparición de los astros de la práctica anterior se debe sin duda a su brillo. Pueden influir otros aspectos, como la proximidad del astro al horizonte oeste, más resplandeciente que el

Í Cuatro de los cinco astros de la tabla están siempre en la misma constelación, de entre ellos sólo Mercurio se desplaza entre las constelaciones. PT

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resto del cielo por efecto del crepúsculo, pero en igualdad de condiciones el factor determinante es el brillo. El brillo aparente 8 de un astro, el brillo visto desde la Tierra, lo medimos mediante una escala de magnitudes tal que, cuanto más brillante sea, más pequeña será la cifra que lo representa en la escala. Por ejemplo una estrella de magnitud 0 es dos veces y media más brillante que otra de magnitud 1, que a su vez es 2,5 veces más brillante que una de magnitud 2, etc. En la práctica es difícil poder observar a simple vista estrellas con magnitud superior a +6. Algunas estrellas se ven tan brillantes que tienen magnitud negativa, (un caso extremo es nuestra estrella el Sol, que tiene magnitud –26). TPF

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Figura 9. Un triángulo muy particular 9 TPF

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La escala de magnitudes estelares fue una propuesta del astrónomo griego Hiparco, que elaboró el primer catálogo de estrellas que se conoce alrededor del 150 a.C. Como el rasgo más llamativo al contemplar las estrellas es el brillo, Hiparco las clasificó en función de esta propiedad. Para empezar, buscó todas las estrellas más brillantes y midió su posición. Al ser éstas las que más destacan, les asignó la 1ª magnitud. Después escogió las estrellas que más o menos parecían tener la mitad de brillo que las anteriores y las clasificó de 2ª magnitud; a las que eran la mitad de brillantes Al hablar de magnitud de un astro nos referimos a su magnitud aparente. Con la finalidad de precisar el brillo de las estrellas, independientemente de la distancia a la que se encuentren (éste disminuye con su cuadrado) se introduce la escala de magnitudes absolutas, que mide el brillo intrínseco de una estrella. Se define magnitud absoluta al brillo que tendría el astro si estuviera situado a diez parsecs, 32,6 años luz de la Tierra. 9 El triángulo de la fotografía está formado por los tres astros del cielo nocturno más brillantes vistos desde la Tierra. La Luna tenía ese día magnitud -10,5; Venus, magnitud -4,0; Júpiter -2,4. La magnitud de los planetas y la Luna puede cambiar en función de su fase y su distancia a la Tierra. 8 TP

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Como actividad durante la observación se puede calcular cuántas veces es más brillante un astro que otro conocidas sus magnitudes. Como ejemplo tratemos de ver cuántas veces es más brillante Venus que Júpiter en la fotografía de la figura 9.

Herschel, descubrió que algunas estrellas eran más brillantes que las que Hiparco había denominado de 1ª magnitud y ahora tenemos las de magnitud 0, e incluso de magnitud negativa. Por ejemplo, Sirio, la estrella con el brillo aparente mayor de todo el cielo, tiene una magnitud de –1,4. La escala actual asigna a la estrella Vega de la constelación de Lyra la magnitud 0,0.

consecutivas sea tal que x 5 =100; con lo que x = 5 100 = 2,512. Por lo tanto, la diferencia de brillo entre una estrella de magnitud λ y otra de magnitud λ +1 que en un principio se había considerado como el doble era en realidad 2,512 veces. Esta es la escala que actualmente utilizan los astrónomos.

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El método de Hiparco, aunque bueno, no era del todo exacto, pues a simple vista y sin ningún instrumento de medida no podía determinar el brillo exacto de las estrellas. Pero en 1830, John Herschel ideó un método más preciso para medir los brillos estelares y encontró que la mayoría de las estrellas de 1ª magnitud de la serie de Hiparco eran 100 veces más brillantes que las de 6ª magnitud, como en cinco magnitudes disminuye el brillo 100 veces, no puede ser dos el factor de conversión de una magnitud a otra, ya que 2 5 = 32 por tanto una estrella de magnitud λ no puede tener un brillo dos veces mayor que las de magnitud λ +1. Para calcular cuantas veces más brillante es una estrella que otra de magnitud inmediata superior debe cumplirse que la diferencia de brillo x entre dos magnitudes

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que las anteriores les asignó la 3ª, y así hasta llegar a las más débiles que podía detectar, que les asignó la 6ª magnitud.

Dado que la diferencia de magnitudes es: (−2,4)− (−4,0) =1,6 ;

Venus será: 2,5121, 6 = 4,365 veces más brillante que Júpiter.

2.3. Estrellas variables. Determinación de magnitudes estelares: interpolación

La mayoría de las estrellas presentan un brillo constante, pero hay algunas cuyo brillo cambia periódicamente. A éstas se les llama estrellas variables.

Vamos a proponer la determinación de la magnitud aparente de una estrella variable, por ejemplo, R Coronae Borealis. Esta estrella puede observarse a horas prudenciales durante el último trimestre del curso y el verano. Tiene un periodo variable, mostrando durante muchos meses magnitud 5,7 y bajando repentinamente a magnitud 11 o incluso a veces hasta magnitud 14.

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Algunos sistemas binarios, pares de estrellas próximas que giran en torno a un centro común, nos presentan sus componentes casi de perfil. En este caso, las dos estrellas se eclipsarán entre sí total o parcialmente. La luz de tales estrellas, denominadas binarias eclipsantes, presentará variaciones en su intensidad, convirtiéndose en un tipo de estrella variable. El prototipo de esta clase de variables es la estrella Algol 10 (del árabe Ra’s al-gul, cabeza del ogro), es también denominada la estrella del demonio y resulta perceptible a simple vista. FPT

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La estrella Algol de la constelación de Perseo se aprecia en la figura 5. Es la estrella más brillante que se ve a la derecha del cometa, cerca de él. 10

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Contaremos para ello con una carta de la zona donde está la variable y las estrellas próximas a ellas con sus magnitudes indicadas.

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Procedimiento: El método a seguir para determinar la magnitud de una estrella es el denominado método de Argelander y se basa en el concepto matemático de interpolación.

Figura 10. Carta de localización de la constelación Corona Boreal

Figura 11. Carta de localización de la estrella variable R Coronae Borealis. Las cifras que figuran junto a las estrellas de referencia son sus magnitudes. Ejemplo: 46 significa su magnitud es 4,6.

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⎡ G (M − M A ) ⎤ M v = M A +⎢ A B ⎥ ⎣ G A + GB ⎦

Veamos un supuesto práctico: Supongamos que para determinar la magnitud de la estrella variable R Coronae Borealis, hemos elegido como estrella más brillante una de magnitud 5,4 y como menos brillante otra de magnitud 6,2. Obviamente entre esos dos valores tiene que estar la magnitud de la estrella variable, y tanto más próximo a la que hemos asignado menor valor de G. Supongamos que la primera nos ha parecido muy similar y le dimos un valor GA=2, y la segunda nos ha parecido suficientemente diferente y le hemos asignado un valor GB=4. Se puede comprobar, aplicando la ecuación de Argelander, que la magnitud estimada de la variable es de 5,7. B

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la magnitud de la variable haciendo uso de la expresión:

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Hay que elegir dos estrellas de referencia que tengan magnitudes similares, y que no disten mucho de la estrella incógnita. Una de ellas, la estrella A, debe ser más brillante que la variable y la otra, B, menos brillante; las diferencias de brillo entre las estrellas de referencia y la variable no han de ser superiores a 0,5 magnitudes; a esas magnitudes las llamaremos MA y MB. Ahora las observamos en el cielo y las comparamos con el brillo de la variable asignándoles un valor, GA y GB, comprendido entre 1 y 5, a cada una de ellas según el siguiente criterio: 1 Si siempre las vemos iguales, pero en algunos momentos parecen diferentes. 2 Si parecen iguales pero enseguida se aprecia una ligera diferencia. 3 Si desde el primer momento las vemos diferentes. 4 Si la diferencia es notable siempre. 5 Si la diferencia de brillo es enorme. Una vez asignados los valores podemos calcular por interpolación

2.4 ¿Cuantas estrellas vemos en el cielo? El contador de estrellas: Media aritmética

C O: A

Si se quiere tener una idea aproximada del número de estrellas visibles en una noche desde un lugar determinado, se puede hacer uso de un instrumento muy fácil de construir, el contador de estrellas. Sobre una cartulina se recorta un círculo de 12 centímetros de diámetro y se sitúa a 30 centímetros del ojo (con la ayuda de una cuerda de esa longitud unida a la cartulina), se puede disponer así de un dispositivo que cubre un ángulo sólido que abarca la centésima parte de la superficie de la bóveda celeste.

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Figura 12. El contador de estrellas

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Deben participar en el cálculo varios observadores. Cada uno se asigna una parte del cielo, debido a que los astros no están distribuidos de forma homogénea, y cuenta las estrellas visibles a través del contador. A continuación se suman los resultados obtenidos por todos los observadores, se divide por el número de participantes para calcular el valor medio y finalmente se multiplica por cien para tener un valor estimativo del número de estrellas visibles en el firmamento esa noche desde ese lugar.

2.5 Diámetro aparente de un astro en función de su distancia. Eclipses de Sol: concepto de radián El diámetro aparente de un determinado astro es la distancia angular correspondiente al diámetro del astro visto desde la Tierra; lo medimos en segundos de arco en el caso de los planetas y en minutos de arco en el caso del Sol y de la Luna. El diámetro aparente de la Luna oscila entre los 30 y los 33 minutos de arco, dependiendo de que esté en el apogeo o perigeo, respectivamente. El diámetro aparente del Sol oscila entre los 31 minutos de arco, cuando la Tierra está en el afelio; esta máxima distancia al Sol se produce en torno al 5 de julio; y los 33 minutos de arco en el perihelio, que se produce en torno al 5 de enero. Esta similitud de tamaños angulares entre el Sol y la Luna hace que pueda verse desde la Tierra un tipo de fenómeno singular: el eclipse total de Sol. Durante un eclipse total, la Luna cubre exactamente al Sol pudiéndose apreciar, a simple vista, la corona solar y zonas de la cromosfera como las protuberancias 11 . Además durante la fase de totalidad se pueden ver generalmente los planetas Mercurio y Venus. FPT

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Figura 13. Eclipse total de Sol. Fotografía tomada durante una expedición de Shelios 12 a Siberia en la que participaban además 16 alumnos de 1º de bachillerato.

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¡Ojo! (y nunca mejor dicho): un eclipse de Sol, sólo se puede mirar a simple vista durante los pocos minutos, a veces segundos, que dura la fase de totalidad. Durante el resto del eclipse es imprescindible protegerse la vista con filtros especiales. Los filtros del tejido Milar ofrecen suficiente seguridad. 12 El grupo Shelios, coordinado por el Dr. Miquel Serra Ricart, administrador del Observatorio del Teide, es especialista en expediciones científicas y habitualmente invita a jóvenes de 1º de bachillerato, seleccionados a través del proyecto La Ruta de las Estrellas, a compartir sus experiencias y metodología científica.

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Fue lo que ocurrió en el eclipse anular de Sol que pudo verse desde determinadas zonas de la Península Ibérica el día 3 de octubre de 2005. Este tipo de eclipses no son tan espectaculares como los eclipses totales al no poder apreciarse la cromosfera ni la corona solar.

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Otro tipo de eclipse solar se da cuando la Luna está en el apogeo y la Tierra no está en el afelio. En este caso el Sol presenta un tamaño aparente mayor que la Luna y esta no cubre del todo la superficie solar, quedando en la fase central del eclipse un anillo alrededor de la Luna, tratándose de un eclipse anular.

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Figura 14. Eclipse anular. Fotografía tomada durante una expedición de Shelios. El Sol y la Luna presentaron diámetros angulares de 32’ y de 30’, respectivamente.

2.6 Cálculo de la distancia de un planeta a la Tierra

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Por ejemplo, desde el observatorio del IES San Hermenegildo medimos el diámetro aparente de Júpiter, el día 16 de junio de 2007 (figura 15) y resultó ser de 46”; esto es 2,23x10-4 radianes. Dado que Júpiter tiene un diámetro de 143.000 km, sin más que aplicar la ecuación anterior resultó que estaba a 641,2 millones de kilómetros, o lo que es lo mismo, 4,3 unidades astronómicas 13 .

Como el ángulo con que vemos el diámetro de un planeta es suficientemente pequeño, podremos emplear la expresión: arco = ángulo x radio, aunque el diámetro del planeta no sea un arco de circunferencia sino un trazo recto. En la expresión S = ϕ R ; S es el diámetro del planeta expresado en kilómetros, ϕ es el diámetro aparente expresado en radianes y R la distancia en kilómetros de la Tierra al planeta. De forma que, conocido el diámetro real de un planeta y midiendo, a través de un telescopio, su diámetro aparente, podremos conocer la distancia a que se encuentra.

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El concepto de ‘unidad astronómica’ fue introducido por Johannes Kepler como la distancia Tierra – Sol para calcular las distancias relativas de los planetas a partir de su tercera ley, ya que no era conocida la distancia de ningún planeta al Sol. La unidad astronómica sabemos que es 149.597.870 km.

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Figura 15. Realizada a través de telescopio de 20 cm de diámetro (no profesional) al que se había acoplado una web cam. 14 FPT

3. La amplitud angular de Marte provoca un error de gran repercusión en las redes sociales El planeta Marte tiene un diámetro de 6.794 km. Se encuentra en oposición 15 respecto a la Tierra cada 26 meses aproximadamente y como su órbita describe una elipse bastante más marcada que la del resto de los planetas, su distancia a la Tierra varía mucho de una oposición a otra. Así por ejemplo, en la oposición de abril de 1999 presentó una distancia a la Tierra de unos 87,5 millones de kilómetros y una amplitud angular de 16”; mientras que en la oposición del día 27 de agosto de 2003 se encontraba a sólo 58,4 millones de kilómetros presentando una amplitud angular de 24” de arco. TPF

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Las fotografías de las figuras 15 y 16 fueron tomadas a través de una cámara tipo web cam, técnica que permite disminuir drásticamente el efecto negativo de las turbulencias atmosféricas. Se tomaron en cada caso 1.800 fotogramas durante 3 minutos, eligiéndose aquellas tomas en las que las turbulencias atmosféricas eran menores, “sumándolas” y desechando el resto de los fotogramas.

La oposición de un planeta exterior es una situación en la que el Sol y el planeta están en posiciones opuestas vistos desde la Tierra. Ocurre cada vez que la Tierra adelanta en su movimiento de traslación al planeta exterior, siendo por tanto la posición en la que el planeta se encuentra más próximo a la Tierra.

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Figura 16. Marte a través de telescopio con web cam incorporada; se aprecian rasgos de su superficie rocosa y el hielo carbónico de uno de sus casquetes polares.

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Probablemente confundió los 24” de Marte con 24’ y pensó: “Pues casi tan grande como la Luna llena”.

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Álvarez, C. (2007). Medir el tamaño de la Luna. Nadir (Asociación para la Enseñanza de la Astronomía), 22, 28-29. Asimov, I. (1973). El Universo. Madrid: Alianza. Fernández, F. (1999). Iniciación a la Astronomía. Santa Cruz de Tenerife: Afortunadas Goldman, J. (2007). The World of Widgest. Sky & Telescope, 113 (6), 74. PT

Bibliografía

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Si el bueno de Galileo levantara la cabeza…

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Si bien son pocas las ocasiones en se puede ver el planeta Marte tan próximo desde la Tierra, debemos hacer constar que la aproximación no es repentina, y que el planeta se estuvo viendo prácticamente igual durante un par de semanas. Pero posiblemente algunos medios de comunicación, que raramente se ocupan de las noticias científicas y que tan ávidos están de “serpientes de verano”, hicieron especial énfasis en el día y la hora en que se produciría tan increíble aproximación. El resultado fue un montón de gente desilusionada vagando por las cumbres de las islas la noche del 27 de agosto de 2003. Pero mucho más hilarante fue el hecho de que a partir de ahí, alguien interpretó que todos los años, el 27 de agosto se vería Marte del tamaño de la Luna 16 , o bien que ese día habría dos lunas, dedicándose a publicarlo en foros de discusión, blogs y correos electrónicos. La difusión e insistencia llegó a ser agobiante durante el verano de 2009: ¡una buena forma de celebrar el año internacional de la astronomía! Y lo peor es que fue mucha la gente que dio crédito a la noticia.

Talle de matemáticas a la luz de las estrellas

Herrmann, J. (1987). Estrellas. Guía de la Naturaleza. Barcelona: Blume. Martínez, J. (1990). Astrofotografía. Barcelona: Omega. Rica, F. (1999). Midiendo Estrellas. Tribuna de Astronomía, 158, 56-57. Sarasola, J. (2005). Posibilidades didácticas de un eclipse de Sol. Nadir (Asociación para la Enseñanza de la Astronomía), 18, 4-7. Troiani, D. (2003). Mars at Its All-Time Finest. Sky & Telescope, 105 (6), 93-100. Federico Fernández Porredón. Lugar de trabajo: IES. San Hermenegildo. La Cuesta-La Laguna, Tenerife. Lugar de residencia: Bajamar, Tenerife. Catedrático de Física y Química en activo. En 1991 introduzco la asignatura Astronomía y Astrofísica en el IES. San Hermenegildo. Miembro de la sociedad de profesores ApEA (Asociación para la Enseñanza de la Astronomía). Presidente de ApEA desde el congreso de Granada (1999) hasta el de Tenerife (2007). Coordinador y autor del libro de texto para el segundo ciclo de ESO Iniciación a la Astronomía. En 2005 elaboro el CD-Rom El Cielo en el Aula, promovido por la Consejería de Educación y CajaCanarias del cual se editan 4.000 ejemplares. Responsable del área didáctica del grupo Shelios, participó desde 2004 en el proyecto La Ruta de las Estrellas.

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http://www.sinewton.org/numeros

ISS(: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, pĂĄginas 35â&#x20AC;&#x201C;45

Fecha de recepciĂłn: 17 de noviembre ArtĂculo solicitado al autor por la revista

Louis FeuillĂŠe. Primer Meridiano. Longitud y Latitud

Not so long ago the maps of the Canary Islands showed two first meridians. One passing through a not clearly determinate point on the island of Hierro and the other through the Teide Peak. This paper tells the mathematical and astronomical history of the first scientific endeavour commissioned by the French Royal Academy of Sciences to establish for the first time and in a scientific matter the true position of those meridians.

Keywords

Louis FeuillĂŠe. First Meridian. Longitud and Latitud

Abstract

I C O:

Palabras clave

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No hace mucho las Islas Canarias figuraban en los mapas y cartas de navegaciĂłn con dos meridianos origen. Uno situado en algĂşn punto indeterminado de la isla de El Hierro y el otro pasando por el Pico Teide. AquĂ se cuenta la primera expediciĂłn cientĂfica enviada por la Academia Real de Ciencias de Francia para establecer la posiciĂłn exacta de ambos meridianos con respecto al Observatoria Real de ParĂs. La empresa, encomendada al matemĂĄtico real Louis FeuillĂŠe, contiene observaciones astronĂłmicas y cĂĄlculos matemĂĄticos que llevaron a la Academia a fijar, por primera vez, y de forma cientĂfica, tales meridianos.

Resumen

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Juan Antonio GarcĂa Cruz (Universidad de La Laguna)

Louis FeuillĂŠe y el Primer Meridiano

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En su Ăłrbita alrededor de JĂşpiter, el satĂŠlite llega a ocultarse detrĂĄs del planeta o de su sombra, para aparecer mĂĄs tarde. Tales ocultaciones y apariciones, eclipses, definen un fenĂłmeno o suceso astronĂłmico. Se da ademĂĄs la simultaneidad del mismo, para dos observadores situados en diferentes posiciones sobre la superficie de la Tierra. Si ambos pueden saber a quĂŠ hora local ocurre tal suceso, y cotejan sus datos, pueden llegar a deducir la distancia, en longitud geogrĂĄfica, que los separa. Por

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Figura â&#x20AC;&#x201C; 1: JĂşpiter y tres satĂŠlites tal y como los dibujĂł Galileo en su obra Sidereus uncius

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La noche del 7 de enero de 1610 Galileo probaba un nuevo instrumento astronĂłmico: un anteojo Ăłptico. Ahora podĂa llegar mĂĄs lejos en sus observaciones de los astros y con mayor precisiĂłn. Lo que no esperaba Galileo es que, esa misma noche, iba a realizar un descubrimiento clave para la mejora de la informaciĂłn geogrĂĄfica y de la seguridad en la navegaciĂłn. Con su nuevo anteojo observĂł por primera vez tres de los ocho satĂŠlites del planeta JĂşpiter. SistemĂĄtico y meticuloso realizĂł anotaciones en dĂas sucesivos de las posiciones de los satĂŠlites hasta descubrir que el primero, el mĂĄs prĂłximo a JĂşpiter, realizaba una revoluciĂłn alrededor del planeta de forma regular y que no duraba mĂĄs de dos dĂas terrestres.

Louis Feuillée y el Primer Meridiano

ejemplo, si la diferencia horaria es de 1 hora y 20 minutos, y suponiendo que la Tierra recorre, con velocidad uniforme, en 24 horas 360º, tenemos que a 1 hora corresponde 360º/24 = 15º, luego a 20 minutos de tiempo (1/3 de una hora) corresponde 5º, por lo que la distancia angular (longitud) que separa las dos localizaciones geográficas sería de 20º (15º por 1 hora + 5º por 20 minutos). Como el lector habrá supuesto, es necesario disponer de un reloj para determinar la hora lo más exacta posible y que además este “a punto”. Durante siglos se utilizó el reloj de arena que, como bien supone el lector, no sirve para el propósito de conocer la hora exacta. Hacia finales del siglo XVII y gracias al genio de Christiaan Huygens, se disponía de un reloj de péndulo bastante preciso pero que había que ajustar constantemente. Con un anteojo óptico, un reloj de péndulo y tablas sobre efemérides astronómicas, los hombres de ciencia estaban en condiciones de revisar las coordenadas geográficas que durante siglos, a pesar de sus errores e imperfecciones, habían llevado a los europeos mucho más allá de las costas del viejo mundo.

Figura – 2: Reloj de péndulo inventado por Christiaan Huygens, siglo XVII.

En 1666 se funda la Real Academia de Ciencias de Francia. Desde su comienzo tiene como objetivo prioritario la corrección y mejora de los mapas y las cartas de navegación. A tal fin, opta por el desarrollo y aplicación de la observación astronómica como método científico más fiable y seguro. La posición exacta de un punto sobre la esfera terrestre queda perfectamente determinada por medio de las coordenadas geográficas de Latitud y Longitud. La Latitud se determina por la observación de la altura de una estrella – la polar o el sol – y para la Longitud se toma el procedimiento descrito anteriormente y conocido como método de eclipses de los satélites de Júpiter. Por Orden Real emitida en Versalles el 22 de enero de 1724 se elige y ordena al padre Louis Feuillée para que se desplace a las Islas Canarias, con el objetivo de realizar las observaciones necesarias para determinar la posición de la isla de El Hierro con respecto al Observatorio Real de París, así como para establecer la situación de esta isla y la del pico de Tenerife, por donde la mayor

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Con este mandato y las instrucciones precisas para su realización, observaciones astronómicas para determinar las longitudes y latitudes geográficas, parte el padre Feuillée de Marsella el 1 de mayo de 1724. Después de una estancia en Cádiz, entre el 23 de mayo y el 17 de junio, arriba a Santa Cruz de Tenerife el 23 de junio. Entre esa fecha y el 10 de agosto, realiza observaciones en La Laguna y La Orotava. Luego se desplaza a la isla de El Hierro entre el 10 y el 22 de agosto. Finalmente abandona el archipiélago el 10 de octubre. Durante su estancia en las Canarias realizó observaciones que le permitieron determinar las coordenadas geográficas de: La Laguna, La Orotava, El Pico de Tenerife, Villa de la isla de El Hierro y “un lugar” en medio de la isla de La Palma.

El conocimiento de que disponían los geógrafos a finales del siglo XVII de la posición relativa de los meridianos anteriores se puede constatar en dos mapas franceses muy difundidos durante el siglo XVII y principios del XVIII. Aparecieron es dos obras de geografía cuyos autores son los importantes cartógrafos N. Sanson y A. M. Mallet2. En el primero, Figura 3, se muestra el Pico de Tenerife a 2º ½ al Oeste del primer meridiano que pasa por la costa occidental de la isla de El Hierro. En el segundo, Figura 4, debido a Mallet se muestran los dos meridianos, el de la isla de El Hierro y el del Pico de Tenerife, separados por 3º.

parte de los geógrafos hacen pasar el primer meridiano del mundo1. Además deberá detenerse en Cádiz para fijar la posición extrema occidental del Mar Mediterráneo.

I C O: A S T R O Una ordenanza del rey Louis XIII de Francia, fechada el 1 de julio de 1634, mandaba a los geógrafos a contar las longitudes a partir del primer meridiano situado en la costa occidental de la Isla de El Hierro. Por otro lado, los holandeses situaban el origen del cómputo de las longitudes en el meridiano que pasa por el Pico Teide. 2 Cartes générales de toutes les parties du Monde de N.Sanson, París 1683 y Description de l'Univers de A.M. Mallet, París 1683.

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Figura – 3: Mapa de N. Sanson de 1683, donde la diferencia entre los meridianos del Pico y de la Isla de El Hierro es de 2,5 grados.

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Figura – 4: Mapa de A.M. Mallet de 1683, donde la diferencia entre los meridianos es de 3 grados. Sobre el meridiano de la Isla de El Hierro se lee Primer Meridiano según los franceses; sobre el meridiano del Pico de Tenerife se lee Primer Meridiano según los holandeses.

Para fijar esas posiciones necesita realizar observaciones astronómicas lo más precisas posibles. La bondad y utilidad de los datos a obtener pasan por el correcto establecimiento de una estación de observación. Hay que marcar en el suelo la dirección norte-sur (línea meridiana) que nos permite, sin lugar a dudas, localizar el sur. Pues hay que mirar hacia el sur cuando queremos hallar la altura meridiana del Sol: la que tiene el Sol cuando son las doce, hora solar, en el lugar de observación. A tal fin, es necesario utilizar el reloj, que previamente se debe haber ajustado. El reloj marca el tiempo medio, correspondiente a un Sol que se mueve con velocidad uniforme, y hay que determinar a qué hora del reloj pasa el Sol por el meridiano del lugar. En otras palabras, qué hora marca el reloj de péndulo cuando son las doce, hora solar. Para medir la altura meridiana del Sol utilizó un cuadrante, muy parecido al de la Figura – 5.

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Figura – 5

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Alturas correspondientes del borde superior del Sol Hora de la mañana Altura Hora de la tarde 9 h 58’ 8’’ 61º 13’ 5’’ 2 h 13’ 2’’ 10 h 3’ 59’’ 62º 29’ 35’’ 2h 7’ 9’’ Luego el reloj marca al medio día 0h 5’ 35’’.

Medio día real = 9h 58’ 8’’+ (14h 13’ 2’’ – 9h 58’ 8’’)/2= 12h 5’ 35’’

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Es decir, el reloj de péndulo marca las 12h 5’ 35’’ cuando el Sol está en lo más alto, altura meridiana. El lector comprobará que para la segunda de las alturas se obtiene casi el mismo tiempo (5’ 34’’ sobre el mediodía), en caso de mucha variación se hace un promedio entre ambas diferencias.

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El procedimiento es el siguiente: Antes del medio día se toma una altura del Sol y se anota la hora, esto se hace dos veces. Luego se espera a que el Sol vuelva a esa misma altura por la tarde y se anota la hora. En el intermedio se produce el paso del Sol por el meridiano. Así que lo que hay que hacer, para las dos alturas, es calcular a qué hora se ha producido el paso del Sol por el meridiano, mediante el siguiente cálculo:

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El 27 de junio instala el observatorio en la casa que el cónsul de Francia, M. Porlier, habita en la ciudad de La Laguna. Lo primero que hace es ajustar el reloj para poder determinar la latitud del lugar. La anotación en el diario del día 29 de junio es la siguiente:

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Comparando esta observación con la de días anteriores se asegura del tiempo de retraso o adelanto que lleva su reloj de péndulo. Veamos el procedimiento para el cálculo de la altura meridiana del Sol. En primer lugar, determina la altura meridiana aparente del borde superior del Sol: 84º 53’ 15’’. Esta debe ser sometida a correcciones derivadas del error propio del instrumento, de la refracción y de la paralaje, y del semidiámetro solar. Una vez corregido lo anterior se tiene para la altura meridiana del centro del Sol: 84º 41’ 55’’. A continuación, Feuillée procede a aplicar la siguiente fórmula para calcular la Latitud: φ = (90º - (α-δ)), donde α es la altura meridiana del Sol corregida y δ es la declinación septentrional para ese día. Obtiene así: φ = [90º - (84º 41’ 55’’ – 23º 11’ 42’’)] = 28º 29’ 47’’. Con este procedimiento realiza catorce mediciones de la altura del Sol en La Laguna, obteniendo para la menor el valor 28º 29’ 2’’ y para la mayor 28º 30’ 23’’. Entonces determina que la latitud de La Laguna corresponde con el promedio entre dichos valores, siendo este igual a 28º 29’ 42’’. No considera el promedio entre los catorce valores que sería lo más adecuado. Este es el procedimiento que utilizará para todos los cálculos de la latitud cuando dispone de un conjunto de observaciones. Así, para la villa de La Orotava, siete observaciones, obtiene 28º 23’ 32’’; para la villa de la isla de El Hierro, tres observaciones, obtiene 27º 47’ 51’’. Las latitudes del Pico de Tenerife y de un punto situado en medio de la isla de La Palma se determinan por otro procedimiento, no astronómico, que más adelante expongo. Para determinar la longitud de estos tres lugares utiliza el procedimiento llamado de “los eclipses de los satélites de Júpiter”. Veamos el procedimiento para La Laguna. La noche del 1 de julio observa la inmersión del primer satélite de Júpiter, el más próximo al planeta. El satélite se oculta a la 1h 40’’ 7’’ tiempo real (solar) en La Laguna. Esa misma observación en el Observatorio Real de París ocurre a las 2h 54’’ 38’’, ha sido realizada por los astrónomos Cassini y Maraldi. Estos datos arrojan una diferencia de longitud igual a 1h 14’ 31’’ entre La Laguna y el Observatorio Real, siendo La Laguna más Occidental. Realiza dos observaciones más, obteniendo una diferencia menor igual a 1h 14’ 31’’ y una diferencia mayor igual a 1h 14’ 56’’. Vuelve a utilizar el procedimiento promedio entre los valores extremos y obtiene la diferencia de longitud igual a 1h 14’ 43’’, que da por verdadera. Luego, sabiendo que a 1h corresponde 15º realiza la correspondiente transformación obteniendo 18º 40’ 45’’ para la longitud de La Laguna, al occidente del Observatorio Real de París. Para la villa de La Orotava utiliza el mismo procedimiento obteniendo, para dos emersiones del primer satélite de Júpiter, el valor 1h 15’ 5’’ ½. Equivalente a 18º 46’ 22’’ ½. La siguiente tabla recoge los valores de longitud y latitud determinados mediante procedimientos astronómicos.

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Así que el reloj marca al mediodía 0h 5’ 35’’ El día anterior marcó 0h 6’ 45’’ Luego en 24 horas se produce un retardo de 1’ 10’’ Retardo del reloj 12’’ Corresponde con un retardo medio de 1’ 22’’

Posición geográfica La Laguna La Orotava Villa de El Hierro

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LATITUD 28º 29’ 42’’ 28º 23’ 32’’ 27 47’ 51’’

LONGITUD 18º 40’ 45’’ 18º 46’ 22’’ ½ ---------

ÚMEROS

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Utilizando como estación la villa de La Orotava, de la que conoce los valores de longitud y latitud mediante procedimientos astronómicos, procede a determinar las diferencias de longitud y latitud en medidas terrestres mediante un procedimiento trigonométrico. Luego, convierte los valores obtenidos en medidas angulares y fija así las coordenadas de esos lugares.

La longitud de la villa de la Isla de El Hierro no la puede realizar mediante el procedimiento astronómico, eclipse de los satélites de Júpiter, debido a la mala climatología que le impidió realizar las correspondientes observaciones. En este caso, así como en los restantes, Pico de Tenerife y punto medio de la Isla de La Palma, utiliza el procedimiento trigonométrico que se explica a continuación.

G R Á F I C O: A S Luego el problema se reduce a calcular, para ambos lugares, las diferencias de longitud y latitud, catetos de los correspondientes triángulos rectángulos de la Figura 6.

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Veamos el procedimiento para el punto A, Pico de Tenerife. El valor AB ha sido determinado por procedimientos trigonométricos, pues antes ha medido la altura del Pico y el ángulo que forma la visual al mismo desde el punto B. Luego procede así: BC = AB cos B = 9593 toesas = 9913 pasos; AC = AB sen B = 5572 toesas = 5758 pasos. El siguiente paso es delicado, hay que trasladar las medidas de longitud terrestre a medidas angulares. Para tal fin hay que tener un modelo del planeta Tierra. Para Feuillée este es una esfera y utiliza la equivalencia de 60000 pasos para cada grado de

( O M

El punto B corresponde con la villa de La Orotava, el punto A con la posición geográfica del Pico de Tenerife y la E con la posición geográfica de la villa de la isla de El Hierro. BL y AG son segmentos de meridiano y AC, EL segmentos de paralelo. El ángulo 25º 23’ lo ha medido desde la villa de la Isla de El Hierro, es el complementario del ángulo que forma el meridiano de la villa de la isla de El Hierro con la visual entre ese punto y el Pico.

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Figura – 6: esquema para el cálculo de posiciones geográficas mediante procedimiento trigonométrico.

Louis Feuillée y el Primer Meridiano

arco de círculo máximo. Así convierte los 9913 pasos de BC en 9’ 54’’ 46’’’ 48’’’’ (¿Demasiada exactitud?, no olvidemos que Feuillée es un matemático). Como el Pico está más al sur que la Orotava, resta este valor de la latitud de la Orotava y, obtiene para la latitud del Pico, el valor 28º14’5’’13’’’12’’’’. Para la conversión de la diferencia de longitud hay que resolver el problema planteado por el hecho de que AC no es un segmento de círculo máximo. Así que hay que trasladar los pasos dados en AC a su equivalente sobre el Ecuador. Para dicha conversión utiliza la expresión (pasos sobre el ecuador) = AC sec φ. Donde φ es una media paralela entre las latitudes de la Orotava y del Pico. Es decir cos2φ=cosφ1 cosφ2 o su expresión equivalente: 2log sen(90º-φ)=log sen(90º-φ1)+log sen (90º-φ2). Obtiene, de esta forma, para φ el valor 28º 19’ 4’’ 80/170. A continuación realiza la conversión de los 5758 pasos, que vale AC, en 6540 pasos sobre el Ecuador. Por último, obtiene que dichos pasos equivalen a 6’ 32’’26’’’ 12’’’’, de donde obtiene sumando esta cifra a la longitud de la villa de la Orotava, el valor 18º 52’ 54’’ 56’’’ 12’’’’ para la longitud del Pico de Tenerife, al occidente del Observatorio Real de París. Mediante procedimientos equivalentes3, que no reproducimos y que pueden consultarse en las referencias (FEUILLÉE, 2006), obtiene los valores que presentamos en la siguiente tabla y que podemos considerar como obtenidos por procedimientos trigonométricos, o por lo menos no puramente astronómicos:

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LATITUD 28º 14’ 5’’ 13’’’ 12’’’’ -----28º 37’ 55’’ 1’’’ 44’’’’

LONGITUD 18º 52’ 54’’ 56’’’ 12’’’’ 19º 55’ 10’’ 43’’’ 17’’’’ 19º 49’ 5’’

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I C O:

Posición geográfica Pico de Tenerife Villa de la Isla de El Hierro Punto medio en I. La Palma

Figura – 7: Archipelagus Atlanticus. H. Schedel (ca.1700).

Para determinar, por ejemplo, la longitud de la villa de la isla de El Hierro resuelve el triángulo EGA donde conoce el ángulo en E y el lado GA, diferencia de latitudes entre el Pico y la villa de la isla de El Hierro, que ha calculado por la altura meridiana del Sol. El ángulo E lo obtiene como complementario del ángulo que forma la visual desde la villa de la isla de El Hierro al Pico con el meridiano del lugar.

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Louis Feuillée y el Primer Meridiano J. A. García Cruz

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A principios del siglo XVIII se publicó por H. Scherer, profesor de matemáticas en Munich, además de jesuita y geógrafo, un mapa que representa los archipiélagos atlánticos (Figura 7). En ese mapa se puede ver una viñeta en la que se muestra en detalle las islas de Tenerife y Gran Canaria. El mapa tiene el meridiano origen en la isla de El Hierro y por lo tanto, según la viñeta, el Pico de Tenerife está 2º al Oriente. Así que las obras impresas más difundidas en el siglo XVII otorgan una separación a los meridianos del Pico de Tenerife y de la Isla de El Hierro de entre 2 y 3 grados. El viaje de L. Feuillée estableció esa separación en un poco más de un 1º. Además sirvió también para corregir la cartografía impresa que mostraba erróneamente las posiciones relativas del Pico, La Orotava y La Laguna en la isla de Tenerife. El mapa de Sanson y el de Scherer, muy similares, muestran La Laguna al sur del Pico, y este, al sur de la Orotava. Si usted siente curiosidad por saber lo exactas que fueron las coordenadas determinadas por L. Feuillée, le sugiero que busque en enciclopedias, manuales de geografía, atlas, o en cualquier lugar donde se presente información geográfica, y compare. Le adelanto que se sorprenderá.

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Figura – 8 : Detalle del mapa Archipelagvs Atlanticvs….de H. Scherer (ca.1700).

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Figura – 9: Detalle del mapa Isles Canaries de N. Sanson (1683).

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Louis Feuillée y el Primer Meridiano

Epílogo El diario del viaje de Louis Feuillée nunca se publicó. En 1751 apareció un extracto del viaje en el anuario de la Academia Real de Ciencias de Francia. Su autor, el Abbé de la Caille, presenta una nueva elaboración de los cálculos, partiendo de las observaciones del padre Feuillée, que corrige las posiciones determinadas por él. Este extracto se puede considerar como la posición oficial de la Academia con respecto a un viaje tan importante y del que tanto tiempo tardó en darse noticia pública. La razón por la que ocurrió este retraso se debió a que el Padre Feuillée no determinó las posiciones geográficas mediante procedimientos astronómicos y, por razones climatológicas, se vio abocado a utilizar procedimientos trigonométricos que involucran el tamaño y forma de la Tierra (GARCIA CRUZ, 2008). En los cálculos trigonométricos L. Feuillée utilizó la hipótesis de una Tierra esférica, cuando hacia tiempo que el debate se centraba sobre si era un esferoide aplastado por los polos o por el ecuador, es decir, sobre el tipo de elipsoide en que mejor encajaba la forma del planeta Tierra. Con la publicación del extracto la Academia reconoció la importancia del trabajo de Louis Feuillée en las Canarias y reparó, de alguna forma, el olvido al que sometió durante un cuarto de siglo el informe del último, y más importante viaje, de exploración científica que realizó en una vida dedicada a la ciencia y la exploración geográfica. Para la historia de las Islas Canarias, este fue el primer viaje científico del que hay constancia y de él se derivó la primera determinación científica de la posición geográfica de algunos de sus accidentes geográficos y ciudades más importantes. La Figura 10 muestra el mapa que el cartógrafo G. Delisle realizó sobre las islas occidentales, como resultado de la exploración de Louis Feuillée. En él se han corregido los errores de localización que, sobre la isla de Tenerife, mostraban los mapas anteriores a la exploración. El 10 de octubre de 1724 Louis Feuillée abandono la isla de Tenerife. Nunca más regresó al archipiélago. Murió unos años más tarde en Marsella, a donde se llevó los datos derivados de sus observaciones, que permitieron determinar a los miembros de la Academia, por primera vez, y de forma científica, la posición geográfica de los dos meridianos origen: el del Pico de Tenerife y el de la Isla de El Hierro.

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Figura – 10: Las Islas Canarias Occidentales, después del viaje de L. Feuillée.

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Louis Feuillée y el Primer Meridiano J. A. García Cruz

Bibliografía

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Feuillée, L., [1724, Ms 38]. Voyage aux Isles Canaries ou Journal des observations Physiques, Mathematiques, Botaniques e Historiques faites par ordre de Sa Majesté. Bibliothèque Centrale du Muséum National d’Histoire Naturelle. París. Feuillée, L., 1724, [Fr 12222]. Voyage aux Isles Canaries ou Journal des observations Physiques, Mathematiques, Botaniques e Historiques faites par ordre de Sa Majesté. Bibliothèque National. París. Feuillée, L., 2006. Viaje a las Islas Canarias o Diario de las observaciones físicas, matemáticas, botánicas e históricas hechas por orden se Su Majetad, 1724. Traducción del Ms 38 realizada por Dulce María González Doreste y Antonio Ávarez de la Rosa. En A. Herrera Piqué (ed.) Pasión y Aventura en la Ciencia de las Luces. Tomo II. Ediciones del Cabildo de Gran Canaria, Las Palmas de Gran Canaria. García Cruz, J. A. 2008. Observaciones astronómicas y cálculos matemáticos en el viaje de Louis Feuillée a las Islas Canarias en 1724. Estudios Canarios. Anuario del Instituto de Estudios Canarios, L – LI, volumen II, páginas 509 – 547. La Laguna. Tenerife. Herrera Piqué, A., 2006. Pasión y Aventura en la Ciencia de las Luces, Tomos I y II. Ediciones del Cabildo de Gran Canaria, Las Palmas de Gran Canaria.

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Juan Antonio García Cruz es Profesor Titular de la Universidad de La Laguna. Su principal campo de investigación es la Educación Matemática. Como segundo campo de investigación, pero no menos importante, le interesa la relación histórica que existe entre la Cartografía, la Navegación y las Matemáticas. jagarciacruz@gmail.com

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Cuando calienta el Sol

Fecha de recepción: 23 de noviembre de 2009 Artículo solicitado a la autora por la revista

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The Sun, Solar Physics, Solar Observatories, Solar Magnetism, Solar Activity.

Keywords

The Sun is the closest star to The Earth and that is why it has been a worship idol in many cultures from time immemorial. Surprisingly, the knowledge of the Sun has excited scarce interest among amateur astronomers. In this paper we perform a general description of the Sun, its stratification and the structures observed and studied in its different layers, as well as the solar phenomena having direct impact onto our planet. We shall discuss about the significance of the Canary solar observatories since the Canary Islands are considered as the European astronomical site for excellence: The European Northern Observatory.

Abstract,

El Sol, Física Solar, Observatorios Solares, Magnetismo Solar, Actividad Solar.

Palabras clave

El Sol es la estrella más cercana a La Tierra y por ello ha sido objeto de adoración en muchas culturas desde tiempos inmemoriales. Sin embargo, resulta curioso que su comprensión genere tan poca atracción entre los aficionados amantes de la Astronomía, y que en general se tenga tan poco conocimiento de sus características. En este artículo daremos una descripción general del Sol, de las capas que lo componen, de las estructuras que se observan y estudian en cada una de ellas, y de algunos de los fenómenos solares que inciden más directamente en nuestro planeta. Hablaremos de la importancia que tienen los observatorios solares canarios, ya que las Islas Canarias están consideradas como el lugar astronómico europeo por excelencia: El Observatorio Europeo del Hemisferio Norte.

Resumen

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Inés Márquez Rodríguez (Universidad de La Laguna)

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 47–56

Introducción

El Sol es la estrella que nos da luz y calor. Así nos lo definían las enciclopedias y libros de estudio del S. XX.

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El Sol ha sido uno de los objetos más adorados de todos los tiempos como salvador y portador de vida, repartiéndose ese honor con el culto a la Madre Tierra. Así, en las distintas mitologías de todas las culturas y civilizaciones que han existido, desde la prehistoria hasta nuestros días, había un poderoso dios que representaba al Sol; unas veces identificándolo como la fuente de la energía que recibimos y otras como representación de un disco destacado en el cielo diurno.

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Son muy relevantes en la historia las divinidades solares egipcias Horus, Aton, Amón y Ra, o las griegas Helios y Febo, o el Sol Invictus y Mitra romanas. En Japón adoraban a la

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diosa solar Amaterasu, los hindúes a su dios-sol Surya o a Garuda y en China cabe destacar la leyenda de los Diez Soles, de los que sólo sobrevivió uno que estaba cuidado y conducido por el dios-sol Yan Di. En Méjico, los aztecas adoraban al dios solar, medio hombre y medio mujer, Huitzilopochtli-Tonatiuh y en el Imperio Inca a Inti. Así mismo se veneraba al Sol en todas las tribus indígenas del resto de Norteamérica, de África o de Oceanía. En Canarias el Sol es omnipresente y los antiguos aborígenes lo adoraban utilizando distintos nombres en cada una de las islas (Magec en Tenerife, Acorán en Gran Canaria y Abora en La Palma). En todas las culturas se pueden encontrar símbolos solares rupestres localizados en lugares de cultos sagrados, o incluso grabados como ornamento en la arquitectura de distintas épocas. El trisquel, el tetrasquel o esvástica, el hexaskel y la hexapétala son ejemplos de símbolos solares indoeuropeos que podrían indicar las fuerzas de rotación solares. En Canarias se han encontrado símbolos astronómicos, en varias islas, como son las espirales rupestres en La Palma, que representaban al Sol, o los grabados podoformes de Tindaya en Fuerteventura. En 1901, el astrónomo inglés Sir Norman Lockyer quiso demostrar que la mayoría de monumentos y templos prehistóricos o de la historia antigua tenían su eje principal direccionado hacia el Sol, la Luna o hacia alguna estrella destacada del cielo. Así por ejemplo, para el conjunto monumental neolítico de Stonehenge, construido hacia el 1800 a. C. según datación con carbono 14, confirmó que desde la "piedra del altar", mirando hacia la "piedra talón" se podía observar la salida del Sol durante el solsticio de verano, con un margen de error debido a la precesión de los equinoccios. ¿Era un calendario con los ciclos estacionales o un templo para adorar al Sol y la Luna que regían esos ciclos? Parece demostrado que en algún momento fue un sitio sagrado de oración y peticiones en el que además se realizaban ritos funerarios. Alineaciones parecidas encontró en monumentos egipcios, como en el Gran Templo de Amón-Ra en Karnak, y así mismo en varios monumentos de la antigua Grecia. Sus resultados contenían errores de cálculo por algunos supuestos iniciales que hacía, además de que podrían existir otras causas para las orientaciones que conducirían a la misma alineación de algunos de los monumentos. Sin embargo, estos estudios y otros parecidos, confirman que la humanidad ha sido consciente en todas las épocas de la relevancia del Sol en nuestra vida religiosa y cultural. Hoy día la Arqueoastronomía goza de un notable desarrollo y tiene como objetivo fundamental determinar la importancia de la astronomía como parte integrante de la cultura y de la civilización a lo largo de la historia desde el Paleolítico a la actualidad. El griego Aristarco de Samos (S. III a.C.) fue el primer astrónomo que propuso el modelo heliocéntrico del Universo: la Tierra gira sobre su propio eje y gira alrededor del Sol. Sus ideas astronómicas fueron desechadas por revolucionarias, y él mismo acusado de blasfemia. En esa época, la propuesta aceptada religiosamente era la del modelo geocéntrico de Aristóteles, con la Tierra como centro del Universo, modelo que fue desarrollado posteriormente por Ptolomeo (S. II d.C.). Fue en el S. XVI cuando el astrónomo polaco Copérnico, retomó el modelo heliocéntrico, apoyado posteriormente por Galileo. En el juicio más famoso de la Historia, Galileo tuvo que retractarse públicamente de sus teorías, ante la acusación de herejía por parte de la Iglesia. Es una leyenda que Galileo después de negar sus ideas, terminó afirmando: “y sin embargo se mueve”. En 1992 la Iglesia pide disculpas por su error, y en 2009, conmemorándose los 400 años de la invención del telescopio con el Año Internacional de la Astronomía, el actual Papa rehabilita la figura de Galileo Galilei y se decide erigir una estatua suya en El Vaticano. Recientemente se han retractado y han decidido 48

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Datos del Sol

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• Composición: casi 94% de hidrógeno, casi 6% helio y 0.2% de elementos más pesados C, N, O, Fe, etc. • Estado: gas ionizado (plasma), con densidad creciente hacia el centro. • Período de rotación promedio 28 días: (con una rotación diferencial de 30 días en los polos y 24 en el ecuador).

• Tiene un diámetro de 1.400.000 km (unas 109 veces el terrestre), su distancia media a La Tierra es de 150 millones de km y su luz tarda en llegar a La Tierra 8 min. • Su temperatura es de 15.000.000º C en el centro, decreciendo hasta 6.000º C en la superficie, y volviendo a crecer hacia las capas más exteriores. • Su masa es 333.000 veces la de La Tierra, y contiene casi el 99% de la masa de todo el Sistema solar.

Algunos números del Sol son:

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El Sol es una estrella de la secuencia principal, tipo espectral G2 en el diagrama H-R de Hertzsprung-Russell (en el que se relaciona la magnitud absoluta o brillo de una estrella con su temperatura superficial). Se encuentra en uno de los brazos de la Vía Láctea y se formó hace unos 4500 millones de años. Es la estrella del Sistema Solar, y está ocupando uno de los focos de cada una de las órbitas elípticas de los planetas que giran alrededor de él. El futuro del Sol será pasar por diversas fases de expansión (estrella gigante) y contracción (estrella enana), colocándose en cada una de estas fases en distintas ramas del diagrama H-R.

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no levantar un monumento que habría sido un recuerdo permanente de uno de los mayores errores de la historia de la Iglesia.

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Estructura del Sol

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1. Núcleo

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Fig.1: Secciones del Sol

El núcleo es la zona más interior del sol y alcanza hasta el 25% del radio solar. Es en esta zona donde se realiza la fusión de hidrógeno en helio que proporciona toda la energía que el Sol produce. Es un enorme reactor nuclear.

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Se puede establecer una distribución de capas o zonas distintas del Sol, según sea el modo como se propaga la energía del interior al exterior:

El Sol es una esfera incandescente. En su interior se fusionan átomos de hidrógeno para producir helio. En este proceso se libera la energía que viaja hacia el exterior. En el viaje hasta la superficie, la energía se transporta de distintos modos a través de las diversas capas del Sol, en un recorrido que puede durar un millón de años.

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2. Zona radiativa Abarca el 45% del radio solar. El transporte de la energía que le llega desde el interior se produce por radiación: los fotones, tras chocarse con los átomos repetidas veces, consiguen transportar su contenido energético hasta la zona exterior siguiente. 3. Zona convectiva Su anchura es de casi un 30% del radio solar. En esta región el transporte de energía se realiza por convección. Debido a las altas temperaturas los fluidos se dilatan transportando energía hacia el exterior. En una cierta altura se enfrían suficientemente y se producen movimientos descendentes de material por efectos gravitatorios. Se forman así las celdas convectivas.

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4. Fotosfera La fotosfera es la zona desde la que se emite la mayor parte de la luz visible del Sol, por eso se considera como la superficie solar. Tiene unos 600 km de grosor y se presenta formada por gránulos (zona superior de las celdas convectivas, cuyo diámetro es 1.500 km y cuya vida media es de 8 minutos) y manchas (zonas más frías y oscuras que su entorno). Una mancha solar tiene un tamaño variable, en general es enorme, pudiendo alcanzar un diámetro mayor que el de la Tierra. Su número e intensidad varía cada 11 años aproximadamente (ciclo de actividad solar). En el 350 a.C. Theophrastus de Atenas, discípulo de Aristóteles, observó manchas solares a simple vista, pero este resultado iba en contra del cuerpo perfecto que esperaba Aristóteles y fueron olvidadas. Los antiguos chinos parece que también las observaron a simple vista. Muy posteriormente, en el S. XVII, Galileo las ve por primera vez a través de su recién inventado telescopio. 5. Cromosfera La capa siguiente a la fotosfera es la cromosfera. Es mucho más caliente y transparente, y resulta eclipsada por el mayor brillo de la fotosfera. Su grosor es de aproximadamente 10.000 km. La cromosfera se observa en longitudes de onda específicas, como Hα, y presenta un tono rojizo característico.

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Fig.2: Manchas solares (Foto: SST La Palma)

En la cromosfera se pueden distinguir los filamentos, que son de color oscuro y están sobre el disco solar, pero que se vuelven brillantes si se ven en el borde, llamándose entonces protuberancias. Las protuberancias solares ascienden ocasionalmente desde la fotosfera alcanzando alturas de hasta 150.000 km produciendo erupciones solares espectaculares. Fig.3: Protuberancia solar (Foto: SOHO)

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La corona solar está formada por las capas más tenues de la atmósfera solar y sólo es observable durante un eclipse solar o con un disco (coronógrafo) que eclipsa artificialmente el Sol. Su temperatura alcanza hasta 2 millones de grados, una cifra muy superior a la de las capas anteriores, siendo este crecimiento de temperatura uno de los enigmas en continuo estudio en la física solar. Frecuentemente se producen gigantescas erupciones llamadas eyecciones de masa coronal. Desde la corona se emite un flujo continuo de partículas cargadas, a gran velocidad y en todas direcciones, denominado viento solar. El espacio bajo la influencia del viento solar se llama heliosfera y abarca más allá de la órbita de Plutón.

M O

6. Corona solar

Fig.4: Corona solar durante un eclipse (Foto: Shelios)

Magnetismo solar

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La luz emitida por los átomos en presencia de un campo magnético está polarizada (presenta distintas orientaciones del vector campo eléctrico). Para obtener información sobre la intensidad, geometría y evolución de los campos magnéticos del Sol debemos estudiar la polarización de la luz solar. Se debe realizar una cuidadosa observación, con telescopios y espectropolarímetros, hacer un adecuado tratamiento de los datos obtenidos y por último, una correcta interpretación física de los resultados. Con el estudio de los efectos Zeeman y Hanle podemos obtener información sobre campos magnéticos en la atmósfera solar, desde 0.001 hasta miles de gauss.

Como consecuencia de la alta conductividad del plasma solar y de su rotación diferencial en torno al eje solar, se generan campos magnéticos que son arrastrados arriba y abajo en la zona de convección. Estos campos magnéticos emergen hacia la superficie del Sol y se concentran, por un lado, en las manchas solares, donde alcanzan una intensidad de unos 3.000 gauss (un imán casero genera unos 100 gauss, y una brújula terrestre funciona con 0.5 gauss); y por otro lado, en las protuberancias solares. Pero el magnetismo solar no se reduce a manchas y protuberancias, en general, los campos magnéticos emergen en la superficie del Sol en forma de pequeños filamentos, separados por distancias tan pequeñas que no podemos resolverlos con los telescopios actuales.

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Ciclo de Actividad Solar El flujo de energía que escapa del Sol cambia con el tiempo. Estas variaciones constituyen el "ciclo de actividad solar” y están relacionadas con el número de manchas solares que varía con un período de 11 años. Esta variación parece que es debida al campo magnético. El Sol es un enorme imán que influye en todo su entorno, por lo que el clima de la Tierra está modulado por la actividad magnética del Sol. Estudiando registros de manchas solares a finales del S. XIX, E. Maunder se dio cuenta de que había una relación entre su número y ciertos fenómenos que ocurrían en la Tierra (como las auroras boreales), y contemporáneos suyos observaron que el magnetismo solar provocaba perturbaciones en sus aparatos de medida. Ahora parece claro que el ciclo de actividad solar influye en la parte alta de la atmósfera terrestre provocando cambios en el clima de La Tierra. Un ejemplo de esta influencia ocurrió entre 1645 y 1715. En este periodo, conocido con el nombre de “mínimo de Maunder”, las manchas solares desaparecieron prácticamente del Sol. El mínimo de Maunder coincidió con un enfriamiento del hemisferio norte del planeta que provocó continuas heladas, y como consecuencia de ello, obligó a emigraciones a sitios más cálidos. A esta época se le llama “Pequeña edad de hielo”. Se han descubierto otros mínimos y máximos del número de manchas solares coincidiendo con descensos y aumentos, respectivamente, de la temperatura global del planeta. Está documentado que el Támesis se ha congelado coincidiendo con los mínimos del ciclo solar, y en Flandes y Holanda diversos pintores recrearon escenas de transportistas y patinadores en canales y ríos helados durante el mínimo de Maunder.

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Fig. 5: Época del mínimo de Maunder (A. Beerstraten, 1639-1665)

Heliosismología Las observaciones que se realizaban en el Sol daban información de sus capas más externas, pero el interior del Sol era impenetrable al conocimiento. Trabajos pioneros en los años 70 realizados en el Observatorio del Teide por investigadores del IAC y de la Universidad de Birmingham, dieron lugar a nuevas técnicas instrumentales y de observación 52

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Observando la superficie solar podemos descubrir las frecuencias de las ondas que se propagan por su interior. Así pues, el Sol emite sonidos. Una de las frecuencias principales es de 0.003 Hertzios, que corresponde a una vibración del Sol cada 5 minutos, pero que no oímos ya que el oído humano sólo es sensible a vibraciones entre 100 y 20.000 Hertzios. Por otro lado, según afirman científicos británicos, los arcos coronales, unos enormes anillos de gas caliente y electrificado de la atmósfera del Sol, se comportan como un instrumento musical y portan ondas sonoras que actúan casi de la misma manera que un órgano de tubos. Podemos encontrar varias direcciones de Internet (por ejemplo http://www.youtube.com/watch?v=vEdCYyEvLQo) en las que, parece ser, que eliminando y filtrando frecuencias para descontaminar de efectos espúreos, y escalándolas hasta hacerlas audibles, podemos escuchar el sonido resultante del Sol. Usando simplemente el oído, en uno de estos vídeos, el Sol canta, aunque de una forma muy monótona, aproximadamente en Re.

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basadas en sismos. Actualmente se han establecido redes mundiales de heliosismógrafos (por ejemplo la red GONG), o instrumentos a bordo de satélites como SOHO. La heliosismología permite deducir información del interior del Sol. Estudia el espectro de frecuencias de las ondas acústicas y gravitatorias producidas y atrapadas en su interior y proporcionan información de su estructura y dinámica.

I C

Telescopios para la astronomía solar en Canarias

Debido a la alta calidad astronómica del cielo de Canarias, varios países europeos han construido grandes telescopios solares muy competitivos.

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Fig. 6: De izquierda a derecha, Torres VTT, GREGOR, y THEMIS (Tenerife), y SST y DOT (La Palma)

•

En el Observatorio del Teide (Tenerife) se encuentran los telescopios:

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Además de estos telescopios situados en grandes edificios, aún existe el vetusto telescopio español Newton (40 cm), que en su momento jugó un extraordinario papel en la decisión de la localización de los telescopios posteriores y el Laboratorio Solar, con la Pirámide Van der Raay que en sus inicios, en los años 70, contribuyó con un notable descubrimiento que desarrolló la Sismología Solar.

Las torres alemanas VTT (70 cm) y GREGOR (1.5 m), y el telescopio italo-francés THEMIS (90 cm).

Cuando calienta el Sol

•

En el Observatorio del Roque de los Muchachos (La Palma) están: La torre sueca SST (1m), y el telescopio abierto (y transportable) holandés DOT (45cm).

Actualmente parece necesaria la utilización de telescopios cada vez mayores y con tecnología avanzada, por lo que se hacen consorcios entre diferentes países para compartir los extraordinarios costes de proyectos tan pretenciosos. Como una perspectiva de futuro en Europa está el proyecto de construcción del Gran Telescopio Europeo EST (4 m). Actualmente está en fase de diseño conceptual y se prevé su localización en La Palma, junto a la torre sueca SST. El trabajar con telescopios cada vez más potentes y con técnicas de restauración de imágenes más refinadas ha permitido captar detalles sobre el Sol que resultaban inconcebibles hace unos años. Muchos de los fenómenos interesantes desde el punto de vista de la Física Solar se dan a escalas muy pequeñas, siempre en el límite de resolución de los telescopios utilizados. El estudio de estos fenómenos se conoce como Alta resolución en Física Solar. En esta línea de trabajo, en octubre de 2008 un grupo de astrónomos españoles hace un interesante descubrimiento (Bonet et al., 2008): en la granulación solar observan unos “pequeños remolinos” del tamaño de huracanes terrestres (500 km). La teoría de la convección solar ya predecía tal fenómeno, pero su confirmación mediante observación, aunque perseguida, había permanecido esquiva durante muchos años. Es el efecto de bajada del material debido a la gravedad, de un modo similar a lo que ocurre en los desagües de las bañeras. El descubrimiento fue muy resaltado por la prensa nacional e internacional, y en casi todos los resúmenes de prensa calificaron el hallazgo como “encontrado por casualidad”. El hecho de que estos movimientos se descubrieran ahora, y no antes, se debe a varias razones:

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a) Las observaciones se realizaron con uno de los mejores telescopios sobre La Tierra, la Torre sueca del Roque de los Muchachos. b) Las observaciones se hicieron en el mejor cielo astronómico que se contempla sobre La Tierra (en La Palma). c) Los datos se restauran mediante una compleja técnica de reconstrucción de imágenes, que utiliza bases infinitas de polinomios ortogonales para modelar las aberraciones ópticas inducidas por el telescopio y la atmósfera terrestre. Por tanto, se puede descontaminar la imagen de estos efectos. d) Los datos son analizados por avezados ojos de científico que saben mirar en una película de granulación, en la que todo se está moviendo, y pueden descubrir lo que resulta nuevo entre esos movimientos. e) Los adecuados ajustes de espirales logarítmicas a puntos brillantes y significativos, escogidos en las animaciones resultantes, permiten caracterizar los movimientos. Por ejemplo, se obtiene su situación, número, duración, sentido de giro, velocidad de las partículas, etc.

Como se ve, el fenómeno no fue “encontrado por casualidad”.

Un video informativo sobre este evento se puede encontrar en: http://www.youtube.com/watch?v=zn5C1FPI_SQ. La música que lo acompaña es el espectacular 2º movimiento de la 7ª Sinfonía de Beethoven. 54

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Otra manera de evitar la contaminación de la atmósfera terrestre consiste en la utilización de globos estratosféricos. El proyecto SUNRISE, en el que participan España, Alemania y E.E.U.U., consiste en un telescopio de 1 m de apertura que voló durante seis días en junio de 2009 en un globo estratosférico con trayectoria circumpolar sobre el Polo Norte, aprovechando así el día eterno que ofrece ese lugar en esas fechas. Ensamblado al telescopio se encontraba un magnetógrafo vectorial de alta resolución, IMaX, diseñado por cuatro instituciones españolas lideradas por el IAC. Una vez recogido el material y pre-analizado, las imágenes resultantes presentan una formidable resolución. Los resultados completos aún no han sido publicados, pero la misión, que era un pretencioso reto, ha sido calificada científicamente como un éxito.

N O

En los últimos años se están realizando observaciones del Sol desde satélites situados en el espacio exterior a La Tierra, evitando así la contaminación producida por la atmósfera terrestre en las imágenes solares. En este sentido, el satélite japonés HINODE presta su colaboración desde septiembre de 2006 a las observaciones solares hechas desde tierra, coordinándose en posición y tiempo con los observatorios solares de La Palma y Tenerife.

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Observaciones con telescopios no basados en la Tierra

I C O: A S T R O N O M

Fig.7: Lanzamiento del experimento SUNRISE desde el Polo Norte (Base sueca de Esrange).

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Es importante resaltar que, con la actual tecnología, el Sol sigue siendo la única estrella donde podemos observar directamente detalles en su superficie, es decir, vemos un disco con muchas estructuras. Cualquier otra estrella se ve sólo como un punto luminoso en el foco de nuestros más potentes telescopios. Así pues, en el Sol tenemos una gran fuente de inspiración

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M Í A

I. Márquez Rodríguez

en cuanto a procesos estelares y a técnicas de detección y medida de estos procesos. Se nos ilumina la mente con la luz de nuestro Sol para así estudiar otras estrellas. Y nos alegra mucho que la estrella que más nos calienta pueda describir de una manera ejemplar a todas las demás.

The Cambridge Atlas of Astronomy. Cambridge University Press, 1988 http://es.Wikipedia.org http://www.iac.es http://www.iaa.es/revista J. A. Bonet, I. Márquez, J. Sánchez Almeida, I. Cabello, and V. Domingo. The Astrophysical Journal, 687: L131–L134, 2008

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Bibliografía

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Inés Márquez Rodríguez, es Profesora Titular del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de La Laguna, en Tenerife. Es Colaboradora de investigación del Instituto de Astrofísica de Canarias, y desarrolla sus líneas de investigación en Alta Resolución en Física Solar. Ha presentado varios trabajos en congresos y publicado numerosos artículos en revistas nacionales e internacionales. Tiene gran interés en la Docencia Universitaria y en la Divulgación Científica. Además de su dedicación a las labores de docencia e investigación, es muy aficionada a la Música, al Dibujo y a la Pintura. e-mail: imarquez@ull.es

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NÚMEROS

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 57–62

Otra manera de ver la circunferencia Antonio M. Oller Marcén (Departamento de Matemáticas, Universidad de Zaragoza) Fecha de recepción: 18 de marzo de 2009 Fecha de aceptación: 29 de julio de 2009

Resumen

Modificando en cierto sentido la definición de la hipérbola, proponemos una actividad que muestra la circunferencia como un lugar geométrico de manera distinta a la habitual. El proceso puede servir como punto de partida para introducir conceptos geométricos interesantes que normalmente no se tratan en el aula, como por ejemplo la razón doble o la noción de constructibilidad.

Palabras clave

Lugar geométrico, cuaterna armónica, circunferencias ortogonales, constructibilidad, geometría sintética.

Abstract

We propose an activity that, modifying in some sense the definition of a hyperbola, presents the circumference as a geometric locus in an unusual way. This process can be the starting point to introduce some interesting geometric concepts, like the cross-ratio of 4 points or the notion of constructibility, that are not usually discussed in the classroom.

Keywords

Geometric locus, harmonic quadruple, orthogonal circumferences, constructibility, synthetic geometry.

1. Introducción El concepto de lugar geométrico es uno de los más interesantes e importantes dentro de la geometría. En España se introduce la idea de lugar geométrico en el primer curso de bachillerato (1617 años), tras presentar la geometría analítica, haber deducido las ecuaciones de la recta y haber introducido las nociones básicas de incidencia (distancias y ángulos, siempre analíticamente, basados en el producto escalar de vectores). Justo tras la definición de lugar geométrico se inserta un bloque de contenido dedicado a las cónicas, que se definen, claro está, como lugares geométricos. Sin embargo, éstos son los únicos lugares geométricos “singulares” que se suelen presentar a los alumnos. De este modo, la importancia de la idea de lugar geométrico como el conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad queda diluida. Incluso después de que el alumno ha logrado cierta destreza en la deducción de las ecuaciones de la elipse, hipérbola o parábola no suelen proponerse ejercicios que hagan uso de dicha destreza y que permitan al alumno descubrir nuevas curvas que se salgan de lo que para ellos es habitual. Por ejemplo, una modificación inmediata de la definición de la elipse podría llevar a la pregunta: ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo producto de distancias a dos puntos fijos es constante? Nótese que sólo hemos cambiado “suma” por “producto”. De hecho, una vez que el alumno está familiarizado con las técnicas necesarias para deducir la ecuación de la elipse, no es difícil que la reproduzca y modifique de la manera adecuada para obtener la ecuación de los Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Óvalos de Cassini (pues éstas son las curvas definidas por dicha propiedad). A partir de aquí pueden estudiarse propiedades de estas curvas, hablar de la lemniscata como caso particular, etc... Habiendo modificado la ecuación de la elipse del modo que acabamos de presentar, surge de manera totalmente natural la cuestión de cambiar “diferencia” por “cociente” en la definición que se hace de la hipérbola y plantear la siguiente pregunta: ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a dos puntos fijos es constante? En este trabajo vamos a desarrollar algo más esta pregunta mostrando cómo, pese a iniciar el camino en el terreno de la geometría analítica, puede servirnos como punto de partida natural para la introducción de conceptos geométricos importantes que no aparecen si nos centramos únicamente en un tratamiento analítico.

Figura 1. Distintos óvalos de Cassini

En concreto, los objetivos principales que se persiguen con la actividad son los siguientes: • • • • •

Manejar distintas herramientas de la geometría, tanto analíticas como sintéticas. Afianzar el concepto de lugar geométrico. Presentar las nociones de cuaterna armónica y circunferencias ortogonales. Introducir el problema de la constructibilidad de los números reales. Mostrar que un mismo problema admite distintos enfoques a la hora de su resolución.

2. Un primer ataque al problema Como hemos indicado en la introducción, estamos interesados inicialmente en responder la siguiente pregunta: “¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a dos puntos fijos es constante?” Si planteamos esta pregunta en el aula, justo después de haber trabajado fervorosamente los temas dedicados a las cónicas, lo más seguro es que la respuesta que se obtenga sea similar al siguiente desarrollo: Llamemos F(a,0) y F’(-a,0) a los puntos fijos del enunciado, sea b el valor constante del cociente (notar que a,b>0) y sea P(x,y) un punto cualquiera del lugar geométrico buscado. Así, las

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condiciones del enunciado se traducen en

d ( P, F ) = b , con b>0 y recordando la expresión para la d ( P, F ' )

distancia euclídea entre dos puntos del plano llegamos fácilmente tras algunas sencillas operaciones a la expresión:

2a (b 2 + 1) x +y + x + a2 = 0 , 2 b −1 2

⎛ a (b 2 + 1) ⎞ 2ab ,0 ⎟⎟ y radio 2 que se corresponde con una circunferencia de centro ⎜⎜ − . Siempre que se 2 b −1 b −1 ⎝ ⎠ cumpla que b 2 − 1 ≠ 0 , lo cual implica b ∈ (0,1) ∪ (1, ∞) por ser b estrictamente positivo. Si b=1 resulta que el lugar geométrico buscado deja de ser una circunferencia y pasa a ser una recta; más concretamente la mediatriz del segmento FF ' . Por otro lado, si 0 < b < 1 , basta cambiar los papeles de F y F’ considerando que el valor constante del cociente es 1/b>1. Notemos que al extender la definición de la elipse como se mencionó en la introducción, aparece un nuevo tipo de curva (los Óvalos de Cassini) de los que la circunferencia es un caso particular. Ahora esta curva se ha obtenido como lugar geométrico. Lo insospechado de esta aparición puede servirnos como muestra de un hecho relativamente habitual en matemáticas: un mismo objeto puede emerger de situaciones aparentemente muy distintas. Puesto que la curva obtenida es bien conocida por los alumnos y dado que ya hemos deducido completamente su ecuación, su centro y radio, podríamos concluir que la pregunta con la que iniciamos esta sección está completamente respondida. Sin embargo, esto es cierto sólo en parte, y como habitualmente sucede en matemáticas (y en la vida), una pregunta implica la formulación de otras. Por ejemplo: 1. ¿Cómo resolver el problema si no sabemos nada de geometría analítica? 2. ¿Cómo dibujamos el lugar geométrico buscado? Las dos preguntas anteriores están muy relacionadas y nos llevan a abandonar la autopista de la geometría analítica para tomar las más estrechas carreteras de lo sintético. La segunda, además, nos servirá para plantearnos algunas dudas sobre la definición de los números reales.

3. ¡Fuera coordenadas! Vamos a tratar de responder la misma cuestión pero sin utilizar coordenadas. Supondremos dados dos puntos del plano F y F’, siguiendo con la notación de la sección anterior, así como dos segmentos XY e YZ cuya razón entre sus longitudes

YZ es el valor constante que define el lugar XY

geométrico. Más adelante surgirá la pregunta de cómo construir estos dos segmentos, de momento los supondremos dados. Con estos ingredientes traducimos la pregunta original del siguiente modo:

“¿Qué puntos P del plano cumplen

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PF ' YZ = ?” PF XY

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El primer paso en la resolución del problema pasa por encontrar dos puntos A y B sobre la recta definida por F y F’ que cumplan las condiciones de definición del lugar geométrico. Para ello procedemos del siguiente modo (ver Figura 2):

Figura 2. Primeros pasos

En primer lugar, sobre una recta cualquiera que pase por F (distinta de la definida por F y F’) trasladamos los segmentos XY e YZ haciendo coincidir X con F. Ahora trazamos una paralela a ZF ' que pase por Y. De este modo queda definido el punto A que, gracias al Teorema de Thales, cumple:

AF ' YZ = AF XY Dibujamos a continuación una circunferencia C1 de diámetro el segmento FF ' , trazamos una perpendicular a este segmento que pase por A, determinando así un punto A’ sobre la semicircunferencia. Finalmente, el punto B se encuentra trazando la tangente a la semicircunferencia por este último punto trazado. Nótese que este procedimiento es, precisamente, uno de los métodos de construcción del cuarto armónico de la terna F, F’ y A. Recordar que una cuaterna de puntos (AB,CD) se llama cuaterna armónica si

AC AD . Así pues, lo que hemos hecho es encontrar A y B tales que (F’F,AB) es una = CB DB

cuaterna armónica. Observar también que si trazamos la circunferencia C2 de diámetro AB y nos fijamos en su punto de corte con aquella de diámetro FF’, los radios de ambas circunferencias que pasan por dichos puntos son perpendiculares. Dos circunferencias así se llaman ortogonales y están íntimamente relacionadas 1 con las cuaternas armónicas (como se observa aquí). Estos dos objetos, cuaternas armónicas y circunferencias ortogonales, que son de gran importancia en la geometría sintética, desgraciadamente están completamente olvidados en la educación matemática actual. Esta actividad puede servir para, al menos, presentarlos y comentarlos brevemente. Ya tenemos pues dos puntos del lugar geométrico que buscamos. Ahora bien, se trata de dos puntos muy particulares pues están justamente sobre la recta definida por los dos puntos F y F’ fijos. Supongamos que tenemos un punto P del plano (ver Figura 3) cumpliendo la condición

PF ' YZ AF ' BF ' = = = . ¿Qué podremos decir de P? PF XY AF BF 1

Dadas dos circunferencias ortogonales, cualquier recta que pase por el centro de una de ellas las corta en puntos que forman una cuaterna armónica. En nuestro caso, la recta en cuestión es la que une ambos centros.

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Figura 3. Acabando el trabajo

Antes de continuar presentamos una aplicación del Teorema de los senos que nos van a resultar de gran utilidad. Si en un triángulo ABC elejimos un punto D sobre la recta AC, se cumple que:

AD ABsen∠ABD = DC BCsen∠DBC La demostración de este hecho es sencilla y es interesante que los alumnos se den cuenta de que el resultado es el mismo independientemente de que el punto D sea interior o exterior al lado AC. Aplicando este resultado al triángulo FPF’ y al punto A, y teniendo en cuenta la relación de proporcionalidad de segmentos supuesta enteriormente, se deduce que ∠FPA = ∠APF ' . Por otra parte, aplicándolo al mismo triángulo pero considerando el punto B se deduce que ∠FPB = 180º −∠BPF ' . Ahora bien, observemos que ∠FPB = 2∠APF '+∠BPF ' por lo que de lo anterior se deduce que ∠APB = ∠APF '+∠BPF ' = 90º y así se obtiene que P pertenece a la circunferencia de diámetro AB. Hemos recuperado, pues, lo que ya sabíamos gracias a la sección anterior. El lugar geométrico buscado es una circunferencia de diámetro los puntos A y B tales que (FF’,AB) es una cuaterna armónica con

YZ AF ' BF ' = = . XY AF BF

4. Algunas reflexiones sobre existencia y constructibilidad En las dos secciones anteriores hemos respondido a una misma pregunta empleando técnicas completamente diferentes. En el primer ataque hemos empleado toda la artillería de la geometría analítica, mientras en el segundo la hemos mantenido completamente al margen. En ambos casos hemos llegado, no obstante, a una misma respuesta: el lugar buscado es una circunferencia. Lo que sí han sido diferentes son los elementos que definen dicha circunferencia. Así en el enfoque analítico encontramos el centro y el radio (sus coordenadas y longitud, respectivamente) y en el no-analítico determinamos el diámetro de dicha circunferencia. En cualquiera de ambas situaciones la figura está completa y unívocamente determinada. Ahora bien, ¿es esto completamente satisfactorio? Como siempre, depende del punto de vista, pero lo cierto es que puede dar lugar a algunos problemas de índole casi filosófica. De hecho, si recurrimos al maestro Euclides vemos que el tercero de sus postulados versa sobre la posibilidad de construir un círculo con cualquier centro y cualquier radio. Es decir, dados el centro y el radio, con ayuda del compás, resultará sencillo dibujar la circunferencia correspondiente. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Dicho esto propongamos a nuestros alumnos dibujar una circunferencia de centro el origen y radio, por ejemplo, 3 2 . El problema surge a la hora de fijar el radio. ¿Dónde está el número 3 2 en el eje de abscisas? Podremos aproximarlo, acotarlo... pero no encontrarlo exactamente armados sólo de nuestra regla y nuestro compás. Está clara la consecuencia que esto tiene a la hora de dibujar el lugar geométrico que nos ocupa. A veces podremos hacerlo, otras no. Quizás nuestros alumnos piensen que esto implica que Euclides estaba equivocado. Esto puede ser el punto de partida para hablar de la idea de números constructibles (doblando papel, empleando distintas herramientas), sobre lo que significa la expresión “dados el centro y el radio” o incluso sobre las distintas concepciones que pueden tenerse al respecto de la existencia de un ente matemático.

5. Conclusiones Hemos presentado una actividad dirigida a estudiantes de 16 y 17 años en la que, generalizando de manera natural la definición de la hipérbola, se obtiene una definición alternativa, poco habitual y hasta cierto punto sorprendente, de la circunferencia. Durante el proceso se han empleado técnicas tanto analíticas, con las que el alumno está plenamente familiarizado; como sintéticas. Éstas últimas, pese a su riqueza, están siendo olvidadas cada vez más en el aula. Esta actividad puede servir para manejar conceptos sencillos y fácilmente manipulables, como las cuaternas armónicas y las circunferencias ortogonales. Esta doble forma de abordar el problema culmina con la obtención del lugar geométrico buscado, una circunferencia, a partir de dos conjuntos de datos diferentes. En el enfoque analítico se obtiene el centro y el radio. En el enfoque sintético, el diámetro. Esta dicotomía puede servir como inicio de una discusión sobre qué es necesario para definir una figura. Además los diversos modos de presentar los datos: numéricamente o mediante segmentos, darán pie a discutir la existencia y la constructibilidad de los números reales. En definitiva, a partir de una actividad aparentemente restringida en cuanto a su temática, podemos no sólo trabajar dentro de su ámbito temático inicial, sino también abarcar muchos otros aspectos, aparentemente alejados. Así se puede también ejemplificar la interconexión entre distintas ramas de la Matemática. Una interconexión que a menudo se pasa por alto y que, sin embargo, constituye una de las mayores riquezas de esta ciencia.

Bibliografía Beskin, N.M. (1976): División de un segmento en la razón dada. Mir: Moscú. Coxeter, H.S.M. (1971): Elementos de geometría. Limusa-Wiley: México. Euclides. (1991): Elementos. Gredos: Madrid. Antonio M. Oller Marcén, es licenciado en Ciencias Matemáticas (2004) por la Universidad de Zaragoza. Su ámbito de investigación es la Didáctica de las Matemáticas, está realizando su Tesis Doctoral sobre la enseñanza de la Razón y la Proporción y ha publicado artículos sobre Juegos educativos matemáticos y sobre enseñanza de la Geometría. También ha publicado trabajos en Álgebra y Teoría de Números. Viene participando desde hace 4 años en el Proyecto de cooperación en materia de investigación Taller de talento matemático, financiado por el Gobierno de Aragón. En la actualidad, es Profesor Ayudante en la Facultad de Ciencias Sociales y Humanas de Teruel, donde imparte clase en las titulaciones de Maestro.

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 63–74

Elementos para la graficación covariacional Crisólogo Dolores Flores (Centro de Investigación en Matemática Educativa, Universidad Autónoma de Guerrero, México) Gerardo Salgado Beltrán (Centro de Investigación en Matemática Educativa, Universidad Autónoma de Guerrero, México) Fecha de recepción: 2 de abril de 2009 Fecha de aceptación: 29 de julio de 2009

Resumen

En este artículo presentamos el método de Graficación Covariacional de funciones. Este método se centra en tres elementos fundamentales: en la graficación de los cambios que experimentan las variables a través del cálculo de las diferencias; se atienden la relación de covariación entre las variables analizando cómo cambia una respecto de la otra; se asume a las curvas como “poligonales” formadas por un ensamblaje de segmentos de recta infinitamente pequeños, a medida que esos segmentos se hacen cada vez más pequeños la poligonal se asemeja más a una curva convencional. En la Graficación Covariacional interesan cuestiones como las siguientes: ¿Qué cambia? ¿Cuánto cambia? ¿Cómo cambia? ¿A qué razón cambia? ¿Cómo se comporta globalmente eso que cambia?

Palabras clave

Graficación covariacional, razonamiento covariacional, cambio, diferencias, variables.

Abstract

We present a method of functions covariational graphing. This method focuses on in three fundamental elements: graphing variables changes by calculating the differences; addressing the relationship of covariation among variables by analyzing how one changes with respect to the other; it is assumed to curves as “polygonal” consisting of an assembly infinitely small line segments, as these segments are becoming smaller the polygonal is closer to a conventional curve. Graphing Covariational such questions as: What change? How much change? What is direction of change? At what rate changes? How does this change globally?

Keywords

Covariational graphing, covariational reasoning, change, differences, variables.

1. Introducción En el Nivel Medio de la escuela mexicana 1 , se utilizan varios tipos de graficación, la graficación “por puntos”, también conocida como graficación “por tabulación” es la más privilegiada. En los cursos de Geometría Analítica que se imparten el Bachillerato, se construyen gráficas de las cónicas a partir del análisis de las singularidades de las ecuaciones. Estas se construyen sobre la base de sus ecuaciones, identificando: intersección con los ejes de coordenadas, simetrías, campos de variación, En México el Nivel Medio lo componen la secundaria y el bachillerato. El primero se le conoce como Nivel Medio Básico y comprende el 7º, 8º y 9º grado de escolarización y el segundo es conocido como Nivel Medio Superior y comprende el 10º, 11º y 12º grado. Las edades de los estudiantes en secundaria fluctúan entre 12 y 15 años y en el bachillerato entre 15 y 18. 1

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puntos singulares, etc. En el último año del bachillerato, según los programas, se propone utilizar la derivada para graficar funciones. Con la derivada se pueden determinar con precisión los intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de una función, por tanto las gráficas que se obtienen alcanzan mayor fineza. En 1980 se publica en México la monografía “Cómo construir gráficas” de Shilov (1980), publicada originalmente en ruso en 1959. El método que allí se plantea se denomina “método de operaciones” y consiste en elaborar una gráfica justamente realizando las operaciones indicadas en la fórmula dada. Ya sea adición, substracción, multiplicación, división u otra, deben efectuarse para dibujar la gráfica. Este método combina las operaciones indicadas en la fórmula con las representaciones gráficas de las imágenes de la función. Empero la mayor parte de los métodos utilizados en la Educación Media, enfocan su atención en la ubicación de la gráfica y omiten o relegan a un segundo plano el comportamiento de la misma. Por tal razón en este artículo proponemos un método diferente, éste enfoca la atención en la construcción de la gráfica a partir de su comportamiento. Esto lo logramos sobre la base de la graficación de los cambios que experimentan las variables. Estos cambios reconocidos con los símbolos Δx y Δy, se cuantifican mediante las diferencias, modelos matemáticos que en la matemática universitaria se transforman en diferenciales. Por tanto esta forma de graficación, que hemos denominado como covariacional (discutida en Salgado, 2007), rescata a las diferencias en tanto elementos que indican cuánto y cómo cambian las variables (unas en relación con las otras) y sobre todo que éstas (las diferencias) pueden ser representadas gráficamente para dar cuenta del comportamiento de la función.

2. Planteo del problema y objetivo Después de haber enseñado graficación de funciones en la escuela se espera que los estudiantes hayan desarrollado habilidades para graficar e interpretar gráficas. Sin embargo, varias investigaciones han reportado que estas habilidades no se desarrollan en cantidades significativas de estudiantes, o bien que se generan concepciones alternativas en ellos que obstaculizan el desarrollo de esas habilidades. En este sentido se reportan dificultades y errores de los estudiantes al construir, comunicar o extraer información de las gráficas (Wainer, 1992; Fabra y Deulofeu, 2000; Leinhardt, Zaslavsky y Stein, 1990; Roth y Bowen, 2000); para articular diferentes representaciones del concepto de función (Hitt, 1988); para entender la relación entre el significado gráfico de la trayectoria física de la caída libre de los cuerpos y su representación cartesiana (Dolores, Alarcón y Albarrán, 2002) e incluso para establecer la relación entre las descripciones verbales y las representaciones gráficas (Dolores, Dolores, Chi, Canul, Cantú y Pastor , 2009). Otras dificultades están asociadas al escaso desarrollo de un razonamiento covariacional ya detectado por Leinhardt, Zaslavsky y Stein (1990), dificultades detectadas también por Carlson, Jacobs, Coe, Larsen y Hsu (2002) y Dolores (2004). Según los textos escolares una función es una colección de parejas ordenadas cuyas primeras coordenadas no se repiten, si F es una función de variable real (es decir de R en R) entonces da lugar a la colección: F = {(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)}, en donde xi ≠ xj. Para que quede debidamente definida una función requiere de un conjunto de partida (R en este caso) y uno de llegada (en este caso es el mismo) y una regla de correspondencia. Para graficar una función atendiendo sólo a estas condiciones basta con representar las parejas ordenadas como puntos del plano cartesiano de la forma (xi, yj). Sin embargo en esta definición queda implícita la variación y la covariación, estas propiedades de las funciones se manifiestan en que, todo aumento o disminución de una de las variables, se traduce en un aumento o disminución en la otra. Una interpretación cualitativa o cuantitativa de una gráfica requiere de centrar la atención en los efectos sobre la relación entre las dos variables, y en particular en su patrón de covariación, es decir atender simultáneamente los efectos que provocan los cambios de la variable independiente en la variable dependiente. Sin embargo esta relación de covariación no se moviliza en cantidades importantes de estudiantes cuando interpretan gráficas. Por ejemplo, Dolores (2004) detectó que cuando los estudiantes de bachillerato interpretan gráficas, atienden lo que pasa con la variable independiente y desatienden lo que pasa con la variable dependiente, los efectos de los

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cambios de la variable independiente en la variable dependiente no son extraídos de las gráficas a través de sus lecturas e interpretaciones. Los estudiantes dicen que la gráfica de f(x) es positiva solo porque el signo de las x es positivo, sin importar que las imágenes estén en el primero o el cuarto cuadrante. Las interpretan como si no hubiese alguna relación que las vincule. Esta es una manifestación del escaso sentido de covariación que los estudiantes asignan a las gráficas. Este es nuestro problema central y para contribuir a su solución nos planteamos como objetivo en este artículo, el proponer la Graficación Covariacional, ya que parte esencial de este modo de graficación radica justamente en la representación gráfica de la correlación necesaria entre el aumento o disminución de una las variables y los efectos que causa (aumento o disminución) en la otra variable.

3. Fundamentación La Graficación Covariacional se fundamenta en tres elementos básicos: el pensamiento y lenguaje variacional, en el razonamiento covariacional y en la definición leibnizana de curva. El pensamiento y lenguaje variacional es caracterizado por Cantoral y Farfán (2000) como el campo en el que se estudian los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y comunicación de saberes matemáticos propios de la variación y el cambio, en el sistema educativo y en el medio social que le da cabida. Pone particular atención en el estudio de los diferentes procesos cognitivos y culturales con que las personas asignan y comparten sentidos y significados utilizando diferentes estructuras y lenguajes variacionales. En tanto línea de investigación posee una triple orientación, en primer lugar se ocupa de estructuras variacionales especificas desde un punto de vista matemático y fenomenológico; en segundo lugar estudia las funciones cognitivas que los seres humanos desarrollan mediante el uso de conceptos y propiedades de la matemática del cambio y en tercero, tiene en cuenta los problemas y situaciones que se abordan y resuelven en el terreno de lo social mediante las estructuras variacionales consideradas en la escuela y en el laboratorio. Un ambiente rico y variado de gráficas puede ayudar a desarrollar el pensamiento y lenguaje variacional. Por otra parte adoptamos la definición de razonamiento covariacional planteada por Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, y Hsu, (2002). Este se define como las actividades cognitivas involucradas en la coordinación de dos cantidades variables, atendiendo las formas en que cambian una con respecto de la otra. Estas actividades cognitivas implican acciones mentales propias de la covariación, que proporcionan un medio para clasificar los comportamientos que se pueden ver cuando los estudiantes se involucran en tareas de covariación. Sin embargo, la habilidad de razonamiento covariacional de un individuo relativa a una tarea particular, se puede determinar examinando el conjunto de comportamientos y acciones mentales exhibidas mientras responde a esa tarea. El razonamiento covariacional se describe por medio de 5 niveles de desarrollo de las imágenes de covariación y están asociadas a: la coordinación de los cambios, su dirección, su coordinación cuantitativa, la razón promedio y la razón instantánea. Para la Graficación Covariacional la idea de curva se construye a partir de una poligonal y para ello recurrimos a la definición leibniziana de curva. Tradicionalmente, en los procesos de graficación, no se repara sobre la naturaleza de las curvas que se grafican, generalmente se asume que los estudiantes ya traen formada una idea de curva o de curvatura. En este artículo se parte del principio de que la idea de curvatura debiera reconstruirse sobre la base de las poligonales. Una curva por tanto se asume de manera similar como se define en L´Hospital (1696), se le considera como el ensamblaje de una infinidad de segmentos de recta o como una poligonal de un número infinito de lados. Bajo estas condiciones una curva se construye primero mediante una poligonal cuyos segmentos son “grandes”, y a medida que los segmentos de recta se hacen “más pequeños” se alcanza mayor fineza. En estas condiciones la gráfica de una línea curva no se da por hecho que ya lo es, sino que la curvatura se construye a medida que el número de lados de la poligonal se hace cada vez mayor. Es

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claro que esta será siempre una aproximación, pero le da sentido reconstructivo a la noción de curvatura. Estas ideas se ilustran mediante las Figuras 1, 2 y 3 que aparecen a continuación.

Figura 1. Poligonal con “lados grandes”

Figura 2. Poligonal con “lados pequeños”

Figura 3. Curva con “lados infinitamente pequeños”

4. Graficación covariacional Definimos a la Graficación Covariacional como las actividades de representación gráfica en las que se involucra la coordinación de dos cantidades variables, atendiendo las formas en que cambia una con respecto la otra. El elemento central de la Graficación Covariacional es el cambio y no sólo la ubicación de los puntos como en las formas tradicionales, por tanto se centra la atención en la representación gráfica de los cambios (aumento o disminución de una variable y sus efectos en la otra) y no sólo de los puntos de la gráfica. El cambio se calcula mediante diferencias y éstas son representadas gráficamente mediante segmentos de recta. A medida que esos cambios se hacen cada vez más pequeños la gráfica es más fina. Para la Graficación Covariacional es necesario realizar acciones que contesten preguntas como las siguientes: a) ¿Qué cambia? Identificar qué variables se representarán y su relación entre ellas. Si se trata de la función de caída libre, s(t) = 4.9t2, la variables son la distancia s y el tiempo t relacionadas mediante la fórmula s(t). b) ¿Cuánto cambia? Calcular y coordinar la cantidad de cambio de una variable con los cambios en la otra y representarlos en el plano mediante segmentos de recta. Si t cambia de ti a ti +Δt entonces s(t) cambia de s(ti) a s(ti) + s(ti + Δt), de modo que para este Δt corresponde un Δs que se obtiene de la diferencia: s(ti + Δt) - s(ti). c) ¿Cómo cambia? Coordinar gráficamente la dirección de los cambios de una variable con los cambios en la otra variable. Para la función s(t), supongamos que Δt > 0; si Δs > 0 en un determinado intervalo entonces s(t) crece en ese intervalo; si Δs < 0 entonces s(t) decrece; si Δs = 0, s(t) no crece ni decrece, se mantienes constante. d) ¿A qué razón cambia? Calcular las razones de cambio promedio con incrementos uniformes de cambio en la variable independiente y representarlas gráficamente. La razón de cambio promedio la da el cociente: Δs/Δt, comúnmente conocida como rapidez o velocidad, dependiendo si se trata de magnitudes escalares o vectoriales. En términos gráficos este cociente es la pendiente de un lado rectilíneo de la poligonal en un intervalo determinado. e) ¿Cómo se comporta globalmente la gráfica? Del análisis de los cambios se desprende el comportamiento global de la función en su dominio. La determinación de los intervalos donde s(t) crece, dónde decrece, dónde se mantiene constante. Es claro que con la razón cambio promedio se obtienen sólo aproximaciones al comportamiento de las curvas, mediante la utilización de la derivada se obtiene mayor fineza.

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5. Cálculo y representación gráfica de los cambios La variación está estrechamente ligada al proceso de medición del cambio. El cambio se da cuando se pasa de un estado inicial a un estado final; por tanto para cuantificar el cambio de una variable basta restar de su valor adquirido en el estado final su valor adquirido en el estado inicial, entonces si x es la variable, el cambio se cuantifica por la diferencia: xf − xi = Δx. En términos generales, si y es una función de x, es decir: y = f (x), para medir lo que cambia f(x), se requiere primero considerar un estado inicial xi, a este valor le corresponde f(xi). Después de un cambio que experimente x, de xi a xi + Δx (un estado final), f( x) experimentará también un cambio a un estado final, y éste quedará como: f (xi + Δx), por tanto el cambio en y, el Δy, se obtiene calculando la diferencia: f (xi + Δx) − f (xi).Todas estas ideas aparecen condensadas en la Tabla 1.

Tabla 1. Cuantificación del cambio mediante diferencias Estado inicial

Cambio

Estado final

Diferencia

→

xf = xi + Δx

Δx = xf − xi

f ( xi)

→

f ( xf) = f ( xi + Δx)

Δy = f (xi + Δx) − f (xi)

Los cambios de las variables, Δx y Δy, se pueden representar gráficamente como segmentos de recta perpendiculares entre sí, y el segmento de recta que los une constituiría un lado de la poligonal que con mayor fineza se convertiría en la curva deseada, ver Figura 4.

y f (xi+ Δx) Δy = f (xi+ Δx) - f (xi ) f (xi ) Δx 0

xi + Δx

Figura 4. Representación gráfica de las diferencias

6. Ejemplos Mostraremos dos ejemplos sencillos para ilustrar la Graficación Covariacional. Ejemplo 1. Representar gráficamente la función: s(t) = 0.5t +1, para 0 ≤ t ≤ 4, se trata de una función ampliamente utilizada en Física donde s es la distancias recorrida por un cuerpo y t el tiempo. De manera inmediata se puede identificar que s y t son las variables. Para hacer la representación gráfica, por comodidad, se hace que t aumente de uno en uno, es decir que Δt = 1, y se calculan los cambios que experimenta s mediante la fórmula: Δs = s(ti+Δt) − s(ti). En la Tabla 2 aparecen los resultados de esos cálculos y en la Figura 5 aparecen representados geométricamente. En

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ella se puede observar que los cambios que experimenta s son constantes, es decir siempre que t aumenta uno, s aumenta 0.5, esto también significa que la gráfica crece a razón constante (ver Figura 6), esta razón en términos geométricos es justamente la pendiente de la recta, ésta a su vez, se le reconoce con la literal m que para este caso m =Δs/Δt. Con esta información se puede hacer el primer esbozo gráfico de s(t) el cual aparece en la Figura 7. ¿Qué pasa si se reducen ahora los incrementos de modo que Δt = 0.5?

Tabla 2. Cálculo de las diferencias para Δx = 1 ti 0 1 2 3 4 …

tf 1 2 3 4 5 …

Δt 1 1 1 1 1 …

s(ti) 1 1.5 2 2.5 3 …

s(ti+Δt) 1.5 2 2.5 3 3.5 …

Δs 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 …

Δs/Δt 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 … Figura 5. Representación de las diferencias: Δt y Δs, para Δt =1

Figura 6. Representación de la dirección de los cambios Δs, para Δt =1

Figura 7. Primer esbozo de la Grafica de s(t) = 0.5t +1

De acuerdo con los cálculos que aparecen en la Tabla 3, si t cambia de 0 a 0.5, s aumenta 0.25, lo mismo sucede para cuando t cambia de 0.5 a 1 y así mismo con los demás, estos cambios aparecen representados en las Figuras 8 y 9. Esto significa que los cambios que experimenta s, los Δs, son constantes. Además a medida que t aumenta también aumenta s, es decir, s es creciente y crece a razón de 0.5. Esto indica que tiene la misma pendiente (y que además pasa por los mismos puntos) que la gráfica del primer esbozo. Esta última es todavía más precisa que la anterior. Empero si reducimos todavía más el valor de Δt, a Δt = 0.1, ¿La gráfica será distinta de la que hemos obtenido? Con cálculos similares a los anteriores, se puede constatar que la pendiente es la misma que la obtenida anteriormente. Esto permite suponer que la pendiente seguirá siendo la misma aunque Δt sea muy pequeño. Se puede seguir disminuyendo la magnitud de los cambios, sin embargo la poligonal obtenida mediante la aproximación anterior proporciona un buen esbozo de la gráfica de la función s(t) por lo que la aproximación puede parar hasta aquí y considerar a la gráfica de la Figura 10 como aceptable.

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Tabla 3. Cálculo de las diferencias para Δx = 0.5 ti 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …

tf 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …

Δt 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 …

s(ti) s(ti+Δt) 1 1.25 1.25 1.5 1.5 1.75 1.75 2 2 2.25 2.25 2.5 2.5 2.75 2.75 3 … …

Δs Δs/Δt 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 … …

Figura 9. Representación de la dirección de los cambios Δs para Δt = 0.5

Figura 8. Representación de las diferencias Δt y Δs para Δt = 0.5

Figura 10. Segundo esbozo grafico de s(t) = 0.5t +1

Ejemplo 2. Construir la representación gráfica de la función: y = x2, para −2 ≤ x ≤ 2 En primer lugar se identifican las variables, se representarán y su relación entre ellas, en este caso y depende de x, es decir que y cambia si cambia x. Posteriormente se calculan y coordinan la cantidad de cambio de una variable con los cambios en la otra variable y se representan en el plano mediante segmentos de recta. Por comodidad primero se asignan cambios en x de uno en uno, ver Tabla 4. Con cambios de uno en uno en x, cuando x cambia de -2 a -1, y decrece 3 unidades, es decir Δy = -3 (ver Tabla 4) el signo negativo indica decrecimiento. Cuando x cambia de -1 a 0, y decrece 1 unidad, es decir Δy = -1. Si x cambia de 0 a 1, y crece también 1 unidad, en este caso Δy = 1, el signo positivo del Δy indica que y crece; si x cambia de 1 a 2, Δy = 3; si x cambia de 2 a 3, Δy = 5 (aunque por razones de espacio este cambio ya no aparece representado) y así sucesivamente. Para las x positivas y Δx iguales que en el caso anterior los Δy se comportan de manera simétrica con respecto a las x negativas, en los primeros la gráfica es decreciente y en los segundos es creciente (ver Figuras 11 y 12). Incluso se nota que los Δy siguen un patrón que rige a los números impares: 2n -1. Estos valores de Δy coinciden con la razones de cambio por medio de las cuales se rige el comportamiento de la función, se puede decir que decrece a razón variable y crece también a razón variable, para x de -2 a 0 y de 0 a 2 respectivamente. Estos cálculos han permitido dibujar el primer esbozo de la gráfica de y = x2, la poligonal que aparece en la Figura 13.

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Tabla 4. Cálculo de las diferencias para Δx = 1 xi

Δx

f(xi)

f(xi+Δx)

Δy Δy/Δx

…

-2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1

4 1 0 1 4 9

1 0 1 4 9 16

-3 -1 1 3 5 7

…

Figura 11. Para Δx =1, representación de algunas diferencias, Δx y Δy.

x 4

-2

Figura 12. Representación de algunas diferencias y dirección de la poligonal

-1

Figura 13. Primer esbozo gráfico de f ( x) = x2

Empero este esbozo de la Figura 13 es muy rudimentario, para ganar fineza se requiere disminuir la magnitud de Δx. Para ello ahora se explora cómo se comporta Δy para Δx = 0.5. Se sigue un procedimiento parecido al anterior, los cálculos correspondientes aparecen condensados en la Tabla 5 y las representaciones gráficas de sus diferencias aparecen en la Figura 14. Tabla 5. Cálculo de las diferencias para Δx = 0.25

… -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …

… -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …

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Δx … 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 …

f(xi) … 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 …

f ( xi+Δx) … 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 …

Δy … -1.75 -1.25 -0.75 -0.25 0.25 0.75 1.25 1.75 …

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Δy/Δx … -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …

Figura 14. Representación de las diferencias, Δx y Δy, para Δx = 0.5

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La disminución de magnitud de las diferencias, ahora Δx = 0.5, ha permitido obtener una poligonal que se parece más a una parábola, ver Figura 15. Su comportamiento es similar a la obtenida en el primer esbozo, a diferencia de que ahora podemos saber cómo cambia a intervalos más pequeños y por tanto la información acerca de su comportamiento es más amplia y precisa. Sin embargo podemos afinar la gráfica reduciendo nuevamente el valor de las diferencias Δx a la mitad, es decir para Δx = 0.25, estos últimos cálculos aparecen en la Tabla 6. Tabla 6. Cálculo de las diferencias para Δx = 0.25

Figura 15. Segundo esbozo gráfico de f(x) = x2

…

Δx …

-1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 …

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 …

… -1.5 -1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 …

…

f(xi+Δx) …

Δy …

2.25 1.5625 1 0.5625 0.25 0.0625 0 0.0625 0.25 …

1.5625 1 0.5625 0.25 0.0625 0 0.0625 0.25 0.5625 …

-0.6875 -0.5625 -0.4375 -0.3125 -0.1875 -0.0625 0.0625 0.1875 0.3125 …

f(xi)

Δy/Δx

… -2.75 -2.25 -1.75 -1.25 -0.75 -0.25 0.25 0.75 1.25

…

Con los cálculos de la Tabla 6 es posible dibujar los cambios correspondientes que aparecen en la Figura 16. En la figura 17 aparece la gráfica (desprovista de las representaciones de los cambios que la hicieron posible) la cual se puede considerar aceptable. Con toda la información derivada de los cálculos realizados y sus respectivas representaciones gráficas se puede afirmar que la función es decreciente en el intervalos: −2 < x < 0; y creciente en 0 < x < 2. Decrece a razón variable y también crece a también a razón variable. Inclusive cerca de x = 0, los Δy van adquiriendo valores cada vez más cercanos a cero. Esto nos hace suponer que en x = 0, la gráfica no crezca ni decrezca, es decir Δy = 0. Es claro que estas afirmaciones requieren de justificaciones matemáticas más sólidas que los provee el análisis matemático. Sin embargo con la Graficación Covariacional y el uso de las diferencias razonablemente pequeñas se pueden obtener gráficas intuitivamente aceptables.

Figura 16. Representación de los cambios para Δx, Δy, para Δx = 0.25

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Figura 17. Grafica aceptable de f ( x) = x2

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7. Consideraciones finales El método de graficación propuesto en este documento puede ser utilizado desde los niveles 8º grado de escolaridad y perfeccionarse en el bachillerato (a partir de 10º grado) o en la universidad. Este método puede complementar a otros métodos de graficación como el de puntos y preparar las condiciones necesarias para lograr introducciones más significativas al Cálculo Diferencial e Integral, pues está construido justamente sobre la base de los elementos medulares de éste: las diferencias. Las diferencias como modelos que permiten cuantificar el cambio. Por eso y con razón a esta parte de la matemática se le conoce también como la matemática de la variación y el cambio. En este documento nos hemos centrado en la descripción, fundamentación y ejemplificación del método. En futuros trabajos daremos cuenta de los resultados que se obtienen al poner este método en condiciones instruccionales determinadas. Algunos colegas han hecho ver lo laborioso de los cálculos numéricos y de que, escapan al método, aspectos relativos a la continuidad. Sin embargo, es necesario que los estudiantes desarrollen habilidad numérica en los cálculos y la trasladen a las representaciones gráficas y viceversa. El aprendizaje, como lo sugiere Duval (1998) radica justamente que los estudiantes sean capaces de transitar por diversos registros de representación semiótica. La Graficación Covariacional requiere necesariamente de esa transición. Finalmente, las formas de graficación tradicionales han considerado como secundario lo variacional y privilegiado el trazado del dibujo de la gráfica de la función a partir de ubicar un conjunto discreto de puntos. En cambio la graficación covariacional es integradora ya que permite a la par construir la gráfica de la función y analizar el comportamiento variacional de ésta. Mediante un análisis didáctico, Salgado (2007) constató que la graficación por tabulación es la que más se utiliza en el nivel básico y en el nivel medio superior de la escuela mexicana. Es presumible por tanto que los estudiantes instruidos mediante estos métodos escasamente desarrollen habilidades para interpretar o graficar una función con sentido covariacional, de ahí que resulte pertinente establecer las diferencias entre este tipo de graficación y la que se ha propuesta en este artículo, la Tabla 7 da cuenta de ello. Estas comparaciones pueden servir como guía de futuras investigaciones que pretendan investigar acerca de la validez de estas presunciones.

Tabla 7. Diferencias entre la graficación por tabulación y la graficación covariacional Graficación por tabulación

Graficación covariacional

Relega a un segundo plano la correlación causal En todo el proceso predomina la conciencia de la entre las variables. correlación causal entre eso que cambia. Se considera que una curva está como determinada por Se considera que los estudiantes tienen ya formada “segmentos” de recta. Cuanto más pequeño sean esos una idea de curva no necesariamente como segmentos mayor fineza ganará la aproximación a la poligonal. “curva”. No se enfatiza sobre la naturaleza de lo que cambia Se parte de identificar qué cambia y la correlación o de lo que se quiere representar, simplemente se re entre eso que cambia. presentan las x y las y o las funciones. Se representan las x y las y como entes abstractos y Se hace explícito el proceso de cambio que le confiere los valores que adquieren dependen del arbitrio del razón de ser a eso que cambia, privilegiando a las profesor. Se dice, “asignemos los valores: -2,-1, 0 , variables concretas. “Si el tiempo t cambia de 1 a 1.5 1, 2, a x”, “si x vale tanto y vale tanto” averigüemos qué sucede con la distancia s” Se usan esencialmente Δx, Δy para calcular los Se usa fundamentalmente la fórmula de f(x) para cambios, estableciendo la relación causal entre los calcular las coordenadas de los puntos. cambios de x y los cambios de y; la fórmula de f(x) se utiliza para calcular Δy.

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Tabla 7. Diferencias entre la graficación por tabulación y la graficación covariacional Los cambios no interesan y no se representan gráficamente esos cambios, solo se unen puntos consecutivos sin cuestionarse sobre su significado variacional. Se pasa de un punto a otro sin cuestionarse lo que pasa en el intermedio, tampoco se cuestiona sobre el cuánto cambia las variables. No es motivo de análisis la rapidez de la variación ni su representación gráfica. La pendiente se asocia con la derivada hasta cuando ésta es motivo de estudio y no cuando se grafica un función.

Se representan gráficamente los cambios y no solo los puntos. Importa esencialmente lo que sucede “entre” los puntos. Interesa obtener una poligonal como “aproximación” a la curva. Para graficar interesa cuánto y cómo cambia la variable independiente y este cambia qué efectos tiene sobre los cambios de la variable dependiente. “Si el tiempo t cambia de 1 a 2 la distancia s aumenta 4 unidades” Se enfatiza sobre la “rapidez” de los cambios mediante la razón de cambio promedio. Esta se asocia con la inclinación de los segmentos de recta que forma la “curva”. Recuérdese que esta es una poligonal.

La poligonal, o sea la gráfica buscada, será más precisa No es motivo de discusión la fineza o precisión de la si se reducen suficientemente los cambios de la curva. variable independiente.

Bibliografía Cantoral, R. y Farfán, R. M. (2000). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis. En Cantoral R. (ed.) El futuro del cálculo infinitesimal, ICME-8, 69-91. Grupo Editorial Iberoamérica: México D. F. Carlson, M., Jacobs, S., Coe, E., Larsen, S. y Hsu, E. (2002). Applying covariational reasoning while modeling dynamic events: a framework and a study, Journal for Research in Mathematics Education, 33 (5), 352-378. Dolores, C. (2004). Acerca del análisis de funciones a través de sus gráficas, concepciones alternativas de estudiantes de bachillerato. Revista latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 7(3), 195-218. Dolores, C., Alarcón, G. y Albarrán, D. (2002). Concepciones alternativas sobre las graficas cartesianas del movimiento. El caso de la velocidad y la trayectoria. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 5(3), 225-250. Dolores, C., Chi, A. G., Canul, E. R., Cantú, C. A., Pastor, C. G. (2009). De las descripciones verbales a las representaciones gráficas, UNION Revista Iberoamericana de Educación Matemática 18, 4157. En línea, recuperado el 6 de agosto de 2009 en http://www.fisem.org Duval, R. (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En Hitt, F. (ed.) Investigaciones en Matemática Educativa II. Grupo Editorial Iberoamérica: México D.F. Fabra, M. y Deulofeu, J. (2000). Construcción de gráficos de funciones: continuidad y prototipos. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 43(2), 207-230. Hitt, F. (1988). Difficulties in the articulation of different representations linked to the concept of function. Journal of Mathematical Behavior, 17 (1), 123-134. L´ Hospital, G. (1696). Analyse des infiniment petits pour l´intelligence des lignes courbes. Paris: Imprimerie Royale. Leinhardt, G., Zaslavsky, O. y Stein, M. (1990). Functions, graphs and graphing: tasks, learning and teaching. Review of Educational Research, 60, 1-64.

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Roth, W. M. y Bowen, G. M. (2000). Learning difficulties related to graphics: a hermeneutic phenomenological perspective. Research in Science Education, 30(1), 123-129. Salgado, G. (2007). Graficación covariacional. Tesis de Maestría, inédita, CIMATE UAG, Chilpancingo Gro. Méx. Shilov, G. (1980). Cómo construir gráficas. México. D. F.: Editorial Limusa, segunda reimpresión. Wainer, H. (1992). Understanding graphs and tables. Educational Researcher, 21, 14-23. Crisólogo Dolores Flores nació en Tlalquetzala, Municipio de Huamuxtitlán, Gro, México. Es profesor del postgrado de la Unidad Académica de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Guerrero (UAG), México; es Licenciado y Maestro en Ciencias en Matemática Educativa por la UAG, es Doctor en Ciencias por el Instituto Superior Pedagógico “Enrique J. Varona” de la Habana, Cuba. Trabaja en la línea de investigación del Pensamiento y Lenguaje Variacional, ha publicado sus principales hallazgos en esta línea en tres libros y más de 10 artículos. Gerardo Salgado Beltrán, nació en Cocula, Gro., México. Es profesor de la Unidad Académica de Matemáticas, es Licenciado y Maestro en Ciencias en Matemática Educativa por la UAG. Trabaja como profesor de la Licenciatura en Matemáticas de la misma universidad, se graduó como Maestro en Ciencias en Matemática Educativa en diciembre de 2007.

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 75–80

El trabajo por proyectos y las matemáticas Inés Sivianes Valdecantos (CEIP Pablo Ruiz Picasso, Sevilla) Fecha de recepción: 2 de julio de 2009 Fecha de aceptación: 29 de septiembre de 2009

Resumen

En este artículo presentamos una experiencia llevada a cabo en Primero de Primaria en el CEIP Pablo Ruiz Picasso de Los Palacios y Villafranca (Sevilla). Teniendo en cuenta que los conocimientos matemáticos deben ser para los alumnos herramientas fundamentales que les permitan reconocer y resolver las situaciones problemáticas de su entorno, y por ello totalmente imprescindibles en la vida diaria, hemos aprovechado la metodología del Trabajo por Proyectos. El tema que hemos trabajado ha sido “El agua”.

Palabras clave

Experiencia constructivista, investigación-acción, aprendizaje cooperativo

Abstract

In this paper we present an experiment carried out in first grade in the CEIP Pablo Ruiz Picasso de Los Palacios y Villafranca (Sevilla). Taking into account that the mathematical knowledge for students to be critical tools that enable them to recognize and resolve problem situations in their environment, and therefore absolutely essential in everyday life, we have used the methodology of project work. The item that we have worked has been "the water".

Keywords

Constructivist experience, research-action, cooperative learning

1. Introducción El Trabajo por Proyectos es actualmente la base de nuestra tarea en clase porque pensamos que es una vía que facilita el desarrollo de la totalidad de las competencias básicas y está vinculado a la perspectiva del conocimiento globalizado. Esta forma de trabajar permite el logro de ciertos propósitos educativos a través de un conjunto de acciones, interacciones y recursos orientados a la resolución de un problema. La función del Proyecto es favorecer la creación de estrategias de organización de los conocimientos de los escolares en relación con: a) el tratamiento de la información, y b) la relación entre los diferentes contenidos en torno a problemas o hipótesis que faciliten al alumnado la construcción de sus conocimientos. c) Además nos permite: - Trabajar a partir de los intereses y motivaciones de los chicos. - Promover el aprendizaje significativo de los alumnos. - Abordar los contenidos curriculares de manera integral.

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- Partir de una situación que desencadene un conflicto cognitivo en los alumnos. - Favorecer el desarrollo de actitudes solidarias, de interacción y cooperación grupal. - Entender que la evidencia, la realidad, la necesidad y la curiosidad son características necesarias en los procesos de enseñanza-aprendizaje

2. Ejemplo de proyecto: el agua Para llevar a cabo este proyecto realizado en nuestra clase era necesario hacer ver en una sesión a los niños y niñas la problemática que encierra la escasez de agua y tratar durante el primer trimestre del curso 2008-2009 sobre aspectos tales como: las características del agua, de dónde procede el agua que utilizamos, normas para su correcto uso, la contaminación, etc. La motivación de la clase se hizo tomando como punto de partida la Expo de Zaragoza del año 2008 dedicada a este tema. A partir de esta motivación, es totalmente necesario hacer una recogida de ideas previas que nos permita partir de lo más personal y cercano para poder contactar con las ideas y conocimientos que los niños y niñas tienen sobre el tema. Desde aquí, hemos avanzado hacia lo más complejo y general, siempre respetando los diferentes niveles de aprendizaje del alumnado. Es necesario tener en cuenta la importancia de que sepan qué tienen que hacer y para qué (producto final). Para avanzar hacia lo más complejo necesitamos una serie de actividades de búsqueda, tratamiento de la información y decidir qué queremos hacer con esta información. Una vez que todos estos datos estuvieron recogidos, se trabajó, siempre en gran grupo, sobre aquellas cosas que querían hacer con la información que íbamos a ir recogiendo a lo largo del trimestre. Esto no implica que hayamos olvidado otro tipo de agrupamiento, todo lo contrario, a veces fue necesario realizar trabajos personales y por parejas. Estas fueron las propuestas que recogimos sobre lo que querían hacer: En Lenguaje - Un cómic. - Un cuento. Escribirlo, ilustrarlo y encuadernarlo. - Un álbum con fotos. En Matemáticas: - Contar cuánta agua de lluvia cae con un pluviómetro. Medimos el agua caída cada mes durante todo el curso escolar. - Hacer un gráfico registrando los datos que hemos recogido sobre la cantidad de agua caída. - Realizar problemas sobre el agua caída en un periodo de tiempo (mes, semana...) En Plástica: - Un cuadro. - Una maqueta del ciclo del agua. - Animales que viven en el agua. Hacer mural.

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En Música: - Buscar canciones y aprenderlas. Además: -

Hacer un mural del reparto del agua en el mundo. Poner slogan en los servicios. Montar un laboratorio de meteorología. Buscar los ríos y mar que nos rodean en un mapa. Buscar un logotipo para el proyecto. Visita a algún humedal del pueblo. Visita de un experto.

Partiendo de este momento, el trabajo se va haciendo muy atractivo para los niños, sobre todo, teniendo en cuenta que durante este curso hemos podido contar con la bendición de la lluvia para nuestra experiencia en el aula. Realmente era una fiesta cuando llovía. Con esta forma de trabajo, lo que pretendemos es que los conocimientos que adquieran se materialicen en actuaciones concretas en su vida diaria y en este caso que las actividades de matemáticas tengan un significado para ellos. Para desarrollar este trabajo ha sido fundamental crear un clima de confianza en el aula y de hacer a los niños y niñas pensar por su cuenta promoviendo la implicación, el pensamiento crítico y la iniciativa personal. El juego ha sido de vital importancia en el desarrollo del proyecto y nos ha servido para trabajar a nivel grupal e individual, aceptar reglas y acuerdos ha sido fundamental y sobre todo les ha permitido desarrollar una actitud de curiosidad, concentración e investigación sobre la realidad. Por otro lado, la manipulación de material concreto para el estudio e investigación del agua les ha dado la posibilidad de comprender con mayor facilidad. Los materiales imprescindibles en nuestra clase han sido la calculadora y las regletas Cuisenaire, además de un pluviómetro. Con ellos, hemos ido descubriendo propiedades y relaciones matemáticas a través de tres fases: manipulativa, gráfica y simbólica. Desde este momento, hemos trabajado para que el niño manipule, observe, descubra y llegue a elaborar su propio pensamiento. Pasamos de imponer una forma particular de realizar una actividad a dejar en manos de los alumnos y alumnas esta decisión. Sus aportaciones han sido fundamentales. Los niños y niñas han aprendido con esta forma de trabajo a escuchar y respetar la opinión de los demás en los temas que han ido surgiendo. Gracias a la observación y experimentación han ido construyendo su propio pensamiento y esto les ha permitido descubrir cosas del agua que con otra metodología resulta mucho más difícil de comprender y sobre todo han sido capaces de interpretar y aplicar sus conocimientos a los problemas que se iban planteando.

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3. Las actividades de Matemáticas realizadas 3.1. Recogemos el agua caída en un pluviómetro Normalmente, al principio del proyecto, se pide la colaboración de la familia a través de una nota informativa en la que señalamos las necesidades que tenemos para el trabajo que vamos a llevar a cabo, planificando de alguna manera los datos que deben buscar y aportar los niños y niñas. Habrá que profundizar mucho en estos datos para que puedan entenderlos. A ello nos dedicamos a partir de este momento. Esta primera actividad consistió en instalar en unas de las terrazas del colegio un pluviómetro que un alumno de la clase aportó en esta fase de recogida de información y materiales. Una vez teníamos el pluviómetro, la siguiente tarea consistió en buscar información sobre su utilidad 3.2. Recogida de datos Descubrimos que el pluviómetro es un instrumento que sirve para medir el agua de la lluvia que cae. El siguiente paso será utilizarlo e ir anotando los datos que recogemos durante todo el tiempo que dura la actividad. Se forman parejas entre el alumnado que se encargan de realizar esta tarea. Esta parte se convirtió en una de las preferidas de la clase. 3.3. Trabajamos las capacidades (el litro) comprobando la cantidad real de agua caída La enseñanza de conceptos, estrategias y estructuras matemáticas es una tarea bastante difícil. Transmitir estos conocimientos, en su mayoría abstractos, a los alumnos y alumnas es bastante complicado. Para la clase fue muy importante la utilización de los materiales para poder comprender qué cantidad de agua realmente había caído y qué era un metro cuadrado. Para ello fue indispensable la utilización de materiales aportados por el alumnado: metro y botella de 1 litro.

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3.4. Problematizar la realidad Los conocimientos matemáticos deben ser para los alumnos herramientas fundamentales que les permitan reconocer y resolver las situaciones problemáticas de su entorno y por ello son totalmente imprescindibles en la vida diaria. La aplicación de los conocimientos que vamos adquiriendo nos va a permitir relacionar la actividad escolar con el mundo fuera del aula. La recogida de datos sobre el agua caída nos va a permitir realizar problemas para calcular la totalidad de litros caídos cada mes. 3.5. Registro de los datos Se trata de aprender y desarrollar la capacidad de análisis, de síntesis, hacer comentarios, reflexiones, comparaciones, juicios e inferencias de los datos encontrados. En esta actividad estuvimos interpretando los datos recogidos y sacando conclusiones. Hemos ido anotando el agua caída durante cada mes en una ficha que el alumnado realizaba de forma individual. Al final la actividad se prolongó durante todo el curso debido al entusiasmo de los niños y las posibilidades de trabajo que nos ofrecía el tema. Posteriormente, todo quedó registrado en un gráfico que construimos para tal fin.

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El Trabajo por Proyectos y las Matemáticas I. Sivianes Valdecantos

Al final registramos los datos: Por m eses:

En gráfico s:

LITROS DE AGUA QUE HEMOS RECOGIDO DURANTE EL CURSO 2008-09 NOVIEMBRE

OCTUBRE

60 50

ENERO

DICIEMBRE

40 30 20

MARZO

FEBRERO

LITROS DE AGUA DE LLUVIA

ABRIL

MAYO

JUNIO

3.6. Producto final: “El dossier” El trabajo realizado, el conocimiento elaborado, se comunica a la familia a través de un medio o un producto de comunicación. Se puede presentar de muchas formas: un producto escrito, revista, cartel, material audiovisual, documental, libro, álbum… Nosotros elegimos hacer un dossier para presentar el trabajo realizado a la familia, el producto final.

Bibliografía Fernández Bravo, J. A.(2005) Ideas sobre metodología didáctica para la enseñanza de la matemática. Ventura, M. y Hernández, F. (1992). La organización del currículum por proyectos de trabajo: el conocimiento es un caleidoscopio. Barcelona: Grao. Inés Sivianes Valdecantos (1963, Sevilla) trabaja en el CEIP Pablo Ruiz Picasso de Los Palacios y Villafranca, provincia de Sevilla. Ha sido maestra de Educación Infantil durante 18 años y ahora lo hace en la Educación Primaria desde el año 2003. Es licenciada en Pedagogía por la Universidad Hispalense.

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 81–103

Juan Pedro Barreto Dorta (Colegio Cisneros Alter) Manuel Herrera Pérez (Colegio Cisneros Alter)

Numerator: un material manipulativo en el aula

E S

Reasoning, comprehension, numbers, algorithms, handling, cooperation.

Keywords

The Numerator is a manipulative material used in the math class as a support for teachers when students develop their capacity for abstraction and reasoning, based on the handling and concrete reality of it, both in teaching numbers, and in referring to the block of operations in this area. This article reflects the experience developed with this material into two classes of second stage of Primary, in which the student has been involved not only in using it, but from the moment of creation of it, being able to develop active math class , participative, fun and most of all, manipulative.

Abstract

Razonamiento, comprensión, numeración, algoritmos, manipulación, cooperación.

Palabras clave

El Numerator es un material manipulativo que se utiliza en la clase de Matemática como apoyo para el profesorado a la hora de que los alumnos desarrollen su capacidad de abstracción y razonamiento, partiendo de la manipulación y realidad concreta de éste, tanto en la enseñanza de la numeración, como en la referida al bloque de operaciones en esta área. Este artículo recoge la experiencia desarrollada con este material en dos grupos del Segundo Ciclo de Primaria, en las que el alumnado ha sido partícipe desde el momento de la creación del material, logrando desarrollar una clase matemática activa, participativa, divertida y, sobre todo, manipulativa.

Resumen

1. Introducción

D E

El 80 % del alumnado encuestado sobre una muestra de 53 alumnos (un grupo de Tercero y otro de Cuarto de Primaria), piensan que la clase de Matemáticas es aburrida. A cerca del 95 % le gustaría que las clases fueran más activas, pudiendo aprender a través del juego, la manipulación, la experimentación y la cooperación.

A U L

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Tabla 1. Cuestionario

Numerator: un material manipulativo en el aula

Éste es el punto de arranque de nuestra aventura. ¡Bienvenidos al trabajo manipulativo, a través del Numerator! Las Matemáticas siempre se han considerado como una de las principales e importantes áreas de conocimiento, así como una asignatura de difícil superación. Esto último puede ser debido, por un lado, a la escasa motivación del alumnado y, por otro, al propio proceso didáctico. Ni los alumnos encuentran las matemáticas lo suficientemente atractivas como para prestarles atención, ni nosotros conseguimos evitar dicha situación. El profesorado teme innovar y, en muchos casos, continúa cometiendo el error de transmitir el conocimiento, reproduciéndolo tal y como lo aprendieron hace años. La actual enseñanza de las Matemáticas se aleja notablemente de los planteamientos del pasado en los que ésta se fundamentaba en la mecanización y memorización de algoritmos y fórmulas, vinculando al alumnado en una enseñanza carente de sentido y significado y que, con la pérdida de la práctica se diluía a través del tiempo. No es lógico que un alumno dedique la mayor parte del tiempo a realizar operaciones de forma mecánica; a trabajar con fracciones sin comprender su aplicación real; a no valorar los múltiples resultados de un problema y las formas de obtenerlos; o, simplemente, a no dedicar tiempo a pensar y discutir cómo aplicar lo aprendido a la realidad. Primero con la L.O.G.S.E. y, actualmente, sobre todo con la L.O.E. se aboga por una enseñanza matemática en la que el alumnado no sólo sea partícipe en la construcción de su propio aprendizaje, sino que, además, lo vincule a situaciones reales y próximas; es decir, que contextualice su aprendizaje partiendo de su realidad más inmediata: problemas que surjan en la vida real, situaciones en las que tenga que utilizar los números… No obstante, sin dejar de lado la contextualización dentro de las Matemáticas, una de las principales dificultades que se siguen detectando en esta área es que el alumnado no realiza los procesos de interiorización ni de abstracción de los contenidos trabajados.

2. ¿Qué es el Numerator? Numerator (Fernández, 2005) es un recurso manipulativo ideado por el profesor José Antonio Fernández Bravo, con el objetivo genérico de que el alumnado pueda entender, abstraer y relacionar nuestro sistema de numeración y la aplicación de sus reglas a los distintos algoritmos matemáticos; así como la comprensión y transferencia de este proceso de abstracción a otros conceptos matemáticos recogidos en el Currículo de Educación Primaria. Nosotros, partiendo de sus planteamientos, lo hemos adaptado, desarrollado y aplicado en el aula con resultados satisfactorios.

Con la experiencia que a continuación exponemos quisimos utilizar recursos manipulativos (en este caso, el Numerator) con el fin de contribuir a la mejora del proceso didáctico y de la comprensión de los contenidos matemáticos trabajados por parte del alumnado, partiendo de su realidad.

La dificultad para interiorizar los procesos puede verse solventada con la utilización de recursos manipulativos y favoreciendo situaciones reales en las que tanto alumnos como profesores se vean obligados a utilizar la investigación como el eje sobre el que se sustente el proceso enseñanza– aprendizaje.

J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

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Numerator: un material manipulativo en el aula J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

P E R

Este recurso puede utilizarse en los diferentes ciclos de la Educación Primaria, así como en la ESO. En este artículo nos centraremos en la Educación Primaria, concretamente en la experiencia llevada a cabo en el Segundo Ciclo (Tercero y Cuarto de Primaria, alumnos de 8 a 10 años).

Es un recurso novedoso que favorece la adquisición de aprendizajes de forma lúdica y dinámica, consiguiendo que las clases de Matemáticas se conviertan en un espacio motivador en el que el alumno mantiene el interés y la atención durante toda la sesión. Así mismo, contribuye a que el aprendizaje sea cooperativo, pues el alumno comparte con sus compañeros el proceso de aprendizaje, se intercambian descubrimientos e ideas y se enriquecen unos a otros.

Con el Numerator conseguimos que el alumno sea el protagonista en su proceso de aprendizaje. El profesor es un guía, acompaña al niño en dicho proceso, pero cediéndole a éste el triunfo de descubrir y aprender por sí mismo. Cuando alcanzamos este objetivo es cuando realmente el niño adquiere aprendizajes válidos que podrá aplicar en su vida cotidiana.

I E

Numerator consiste en una colección de cartas con formas geométricas (4 en el caso de Tercero de Primaria, y 5 en cuarto de Primaria) pegadas en una cartulina DIN–A3, la cual ha sido decorada por los alumnos y en la que se han escrito las dos normas básicas del juego. Con el fin de conservar el material, se optó por su plastificación con papel adhesivo. Completan el juego 40 fichas, que en nuestro caso fueron judías o garbanzos que teníamos en la clase.

N C I A S

3. Objetivos Los objetivos que alcanzaremos con la utilización del Numerator como recurso en el desarrollo de nuestras sesiones son los siguientes 1 :

•

Comprender el concepto de número y las relaciones entre ellos. Conocer y comprender el sistema de numeración decimal. Indicar el valor de posición y su equivalencia en unidades. Leer y escribir cualquier número, comprendiendo su significado. Describir y comprender el algoritmo de las cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. Fomentar el desarrollo y la adquisición de capacidades, habilidades y valores a través de las competencias básicas.

• • • • •

U L

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Hacemos referencia únicamente a los objetivos que hemos llevado a cabo a través de nuestra experiencia, puesto que en el trabajo de Fernández Bravo se hace referencia a otros objetivos que se desarrollarán en la aplicación de este material en la etapa de Secundaria.

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4. Materiales

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El material que vamos a emplear para trabajar nuestras actividades es muy sencillo, económico y de fácil adquisición. Para poder trabajar, necesitaremos lo siguiente:

• • • • • • • • •

Cartulinas tamaño DIN-A3. Fotocopias de las cartas del juego. Pegamento. Tijeras. Colores (lápices de colores, ceras…). Para que nos quede más bonito y duradero forraremos la cartulina con papel adhesivo. Opcional: pegatinas, gomets… 40 fichas que pueden ser garbanzos, judías, botones, chapas, etc. Guías de trabajo para el profesor (ver anexos).

Cada alumno debe contar con su propio material, con el fin de propiciar el trabajo individual para el desarrollo y adquisición de sus propias inferencias.

En el desarrollo del presente trabajo, consideramos importante el aprendizaje significativo, es decir, que se relacione de forma coherente la utilización de este material, conectándolo con lo que el alumno sabe y partiendo de su realidad más próxima.

Asimismo, para poder contribuir a este tipo de aprendizaje es necesario que el alumno sea activo en el aula. Esto no quiere decir que esta actividad a la que hacemos referencia se base exclusivamente en la manipulación, sino que ésta sea también interna y propia del alumno. Además, podemos decir que esta experiencia favorece enormemente la interacción social entre profesor y alumnos, llenando de significación el proceso de Enseñanza-Aprendizaje.

Por eso, estas sesiones de trabajo están basadas en la resolución de problemas, que es el eje vertebrador de todos los bloques de contenidos, tal y como contempla el currículo actual.

5. Metodología

En el aula hemos distribuido los alumnos en equipos de cuatro, con dos grupos de alumnos (un grupo de 3º de Primaria y otro de 4º de Primaria) de 27 y 26 alumnos en cada uno de ellos, respectivamente. Estos grupos eran heterogéneos, existiendo una gran diversidad en caracteres y rendimiento en los mismos, encontrándonos alumnos que presentaban algún tipo de necesidad educativa especial (TDAH, DAM…). De esta manera se favorece el aprendizaje cooperativo, utilizando las estructuras de aprendizaje del Dr. Spencer Kagan, ya que se facilita que los alumnos aprendan unos de otros, interactuando entre ellos, y se promueva la discusión de ideas y la interacción verbal (Kagan 1990). El profesor dirige la actividad de manera discreta, da unas orientaciones generales, pero teniendo claro que los alumnos son los verdaderos protagonistas en el proceso de aprendizaje. Su papel consiste en acompañar al alumno en su proceso, así estos se convierten en sujetos activos que trabajan a su propio ritmo, desarrollando, consolidando y aplicando sus estrategias y destrezas, facilitando de esta forma la enseñanza personalizada. Para esta labor de guía puede utilizar las fichas de trabajo mostradas en los anexos o bien diseñar sus propias sesiones de trabajo.

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5.1. Temporalización

E R I E

En definitiva, la experiencia completa con el Numerator nos ocupó dos trimestres a razón de 2 sesiones semanales de 50 minutos. En total trabajamos con 15 fichas de uso exclusivo del profesor (ver anexo), que necesitan un mínimo de 2 sesiones cada una. No utilizamos Numerator de forma exclusiva ni rígida, sino intercalado con otros materiales (por ejemplo, regletas) y contenidos (seriaciones, relaciones mayor-menor, etc.). En estos casos, Numerator funcionó como material complementario de apoyo, con resultados muy positivos. No es necesario dedicarle un número grande de sesiones exclusivas, ni trabajar con las 15 fichas diseñadas. Se puede utilizar de forma puntual u ocasional, apoyando las “clases ordinarias” de forma manipulativas.

A medida que las sesiones se iban desarrollando y las íbamos relacionando con los contenidos que trabajaba cada uno en su nivel, se pasó a la utilización del material como un recurso más en la clase de Matemáticas, con el fin de consolidar todos los conceptos trabajados.

El proyecto se llevó a cabo a lo largo de dos trimestres (segundo y tercero). Inicialmente, con el fin de no interferir en el desarrollo del programa establecido, se optó por utilizar la hora de estudio, cada uno con su grupo clase, para las primeras fases del mismo.

5.2. Atención a la diversidad

C I

Dado el carácter del material, así como el trabajo con el mismo a lo largo de las diferentes fases, se propicia que ningún alumno se quede desconectado o se desvincule de la experiencia; justo lo contrario: favorece su integración en la propia dinámica, debido, en primer lugar, al grado de significación del trabajo (construcción del material, darle nombre, comprensión y aplicación de conceptos) y, en segundo lugar, a ser partícipe de la interactuación con otros compañeros.

6. Desarrollo de la experiencia

6.1. Fase previa: encuesta inicial

El paso previo a la aplicación del Numerator consistió en pasar un sencillo cuestionario con tres preguntas destinadas a conocer la opinión de los niños respecto a la asignatura de Matemáticas. Éste se aplicó a los 53 alumnos (27 de Tercero y 26 de Cuarto). Nos sorprendió observar en los resultados las valoraciones tan negativas que tenía el alumnado respecto a la asignatura.

E Esta situación nos motivó a investigar respecto a recursos aplicables para la enseñanza de las Matemáticas, buscábamos algo que hiciera a los alumnos cambiar el concepto que tenían de esta asignatura. Tras valorar diferentes materiales, optamos por el Numerator.

A U L A

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J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

CUESTIONARIO SÍ, MUCHO 11 alumnos 21 %

NO 42 alumnos 79 %

LAS MATEMÁTICAS SON:

DIVERTIDAS 3 alumnos 5%

ABURRIDAS 50 alumnos 95 %

¿ENTIENDES LAS MATEMÁTICAS?

SIEMPRE 28 % 15 alumnos

A VECES 72 % 38 alumnos

¿TE GUSTA APRENDER?

JUGANDO, MANIPULANDO… 50 alumnos 95 %

LIBROS, CUADERNOS… 3 alumnos 5%

¿TE GUSTAN LAS MATEMÁTICAS?

Con el fin de captar el interés de nuestros alumnos y engancharlos desde el principio en el desarrollo del Numerator, les preguntamos: ¿quién quiere construir un juego? Ante esta pregunta muchos se muestran entusiasmados y otros algo desconcertados. Explicamos a los alumnos que, mediante el juego, vamos a emplear un material nuevo para el aprendizaje de las Matemáticas que les ayudará a descubrir, interpretar, comprender y resolver problemas. Para ello, mostramos un tablero construido y las fichas que vamos a utilizar en el desarrollo del juego. El siguiente paso consistió en darle a cada alumno todas las piezas del juego, que decoraron y personalizaron. Para la construcción del material se realizan los siguientes pasos:

6.2 Construcción del material

Tabla 1. Cuestionario previo antes de iniciar el trabajo con el material.

Se muestran las cartas del juego

•

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- Un elemento de un orden superior equivale a diez elementos de un orden inferior. - Diez elementos de un orden inferior equivalen a un elemento de un orden superior.

•

Se construyen las cartas del juego idénticas a las mostradas anteriormente, de acuerdo con el nivel del alumno. Para ello, utilizaremos el material anteriormente señalado. Se debe ajustar el tamaño para que quepan en el tablero de tamaño DIN-A3 (ver fotos). Una vez recortadas y coloreadas las figuras, se pegarán en el tablero de cartulina, respetando el orden mostrado anteriormente (puesto que cada figura tiene un significado preciso: unidad, decena, centena…). Se escribirán las dos reglas del juego:

•

R I

•

N C

6.3. Denominación

•

Una vez finalizada la construcción del tablero, se forrará con papel adhesivo. Los alumnos colocarán dentro de una bolsita las 40 fichas (garbanzos, judías, botones, chapas…).

A S

Cada alumno le puso libremente un nombre a sus cartas. Una vez que todos decidieron cómo las querían llamarlas, se lo comunicaron al resto del grupo para finalmente consensuar cómo denominaremos cada carta.

La siguiente sesión se dedicó a poner nombres a esas cartas que los alumnos habían decorado. Con el fin de favorecer la participación de todos los alumnos, se hizo un sorteo, para lo cual se le entregó a cada uno un papel en el que tenían que poner el nombre que quisieran para cada carta.

Todas las propuestas fueron leídas y discutidas. Al final, se eligieron dos propuestas que sometimos a votación. Los resultados fueron:

• •

Tercero de Primaria: LIBRO – CUADERNO – LÁPIZ – GOMA Cuarto de Primaria: COMETA – CASA – VENTANA – PUERTA – MARCO.

6.4. Posicionamiento

Los alumnos cogen las 40 fichas del juego y las van colocando sobre distintas cartas, con la intención de trabajar el posicionamiento. El alumno debe inferir que una misma ficha puede recibir diferentes nombres dependiendo del lugar en el que la situemos.

U L

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Cuando hayan dominado el posicionamiento de las fichas pasamos a otro nivel que consiste en cambiar el nombre de las cartas, para identificar las fichas como cardinales, es decir:

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Cada carta representa un elemento en base 10 y las fichas indican el cardinal de dichos elementos, es decir, por ejemplo, 3 fichas sobre la carta “libro/casa” significa el número 3000.

• La carta goma / marco será UNO • La carta lápiz / puerta será DIEZ • La carta cuaderno / ventana será CIEN • La carta libro / casa será MIL

A continuación los alumnos aprenden a posicionar las fichas, identificando el número con el cardinal de las fichas de cada carta. No escribimos ningún número en la pizarra, se desarrollan las sesiones dando órdenes verbales para que los niños descubran el número por el cardinal de fichas de cada carta. 6.5. Aplicación de las reglas del juego

Los alumnos jugarán con las cartas y las fichas, para adquirir las reglas de relación matemáticas que tenemos escrita en nuestro tablero:

Para desarrollar el juego, cada alumno puso sobre la primera carta una ficha, luego otra, y otra… hasta formar un grupo de diez. Al formar el grupo de diez recordaron la regla, por lo que el grupo “desaparecía” y una ficha era “invitada” a la carta siguiente. Análogamente, se procede para trabajar la primera regla: podemos sustituir una judía puesta en “cuaderno” por 10 judías puestas sobre “lápiz”. El profesor manipula las judías sobre el tablero a modo de ejemplo y provoca la reacción de sus alumnos (ver anexo I):

― ¿Quién me dice lo que he hecho?

• Un elemento de un orden superior equivale a diez elementos de un orden inferior. • Diez elementos de un orden inferior equivalen a un elemento de un orden superior.

- Cogiste 10 y pusiste 1 en la carta mayor - Ha cogido 10 y has puesto una en la carta Lápiz - Porque la carta Goma es más pequeña y necesita menos judías.

― ¿Por qué he puesto una ficha en la segunda carta?

- 10 equivale a una decena porque las 10 unidades de la primera carta es igual a 1 decena de la segunda carta. - Porque el profe siempre hace trucos. Estas reglas las necesitamos para dominar, comprender y poder desarrollar con total garantía los procedimientos algorítmicos de la suma, resta, multiplicación y división, así como las seriaciones, descomposiciones, anterior y posterior de números y la comprensión y manipulación de conceptos como las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

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6.6. Fase final: encuesta final

X P

Una vez transcurridos los dos trimestres volvimos a evaluar la percepción de las Matemáticas por parte de los alumnos, pasando el mismo cuestionario. Los resultados nos dejaron satisfechos porque cerca del 90% de los alumnos cambió su consideración respecto a la asignatura, no sólo comprendían mejor la aplicación de conceptos y algoritmos, sino que, además, les resultaba bastante amena y divertida, sintiéndose más receptivos y motivados ante la asignatura.

7. Elementos del currículo

Contenidos (L.O.E.) para el Segundo Ciclo de Primaria

• Ampliación y profundización en el conocimiento del valor posicional de las cifras en el sistema de numeración decimal y sus equivalencias, reconociendo los elementos desde segundo hasta quinto orden.

• Conocimiento y utilización de las funciones de los números hasta 6 cifras en situaciones reales o simuladas para medir, ordenar, y expresar cantidades y relaciones matemáticas con constancia y confianza en las propias posibilidades.

• Construcción manipulativa del concepto de unidad como elemento que se puede coordinar, para establecer el cardinal de conjuntos hasta nueve elementos. Conteo y representación simbólica.

A lo largo de todo el trabajo desarrollado con Numerator se han tenido presente los elementos del currículo (objetivos, contenidos, criterios de evaluación) en base a la adquisición y desarrollo de las diferentes competencias básicas establecidas para el área de Matemáticas. A continuación, hacemos referencia a algunos de estos elementos:

• Lectura, escritura, comparación, identificación del anterior y posterior, orden y representación de números cardinales hasta 6 cifras, de los ordinales hasta el trigésimo y de los números romanos hasta los millares.

• Producción de secuencias numéricas: en progresión aritmética ascendente y descendente a partir de cualquier número y multiplicativas a partir de cualquier número hasta 10. Descubrimiento de regularidades que permitan predecir el siguiente elemento.

• Reconocimiento de expresiones matemáticas equivalentes para un mismo número y generarlas componiendo y descomponiendo en números hasta 6 cifras.

• Comprensión en situaciones familiares de la multiplicación como suma abreviada, y su utilización en disposiciones rectangulares y problemas combinatorios; y empleo de la división para repartir y agrupar. • Identificación de las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, y su utilización para calcular con números naturales.

• Cálculo fluido de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales, con estrategias personales y diversos algoritmos mentales y escritos para cada operación, hasta el 9999 en contextos de resolución de problemas.

• Composición y descomposición aditiva y multiplicativa de los números, y construcción y memorización de las tablas de multiplicar. • Formulación, resolución y expresión oral de situaciones problemáticas sencillas, utilizando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, empleando distintas estrategias y representaciones o lenguajes, y reconociendo su equivalencia.

• Búsqueda y expresión oral en una situación problemática de los datos conocidos, desconocidos, irrelevantes, etc., y planteamiento de estrategias de resolución como hipótesis de trabajo, con estimación previa de resultados.

• Disposición para desarrollar aprendizajes autónomos y mecanismos de autocorrección en lo concerniente a los números, sus relaciones y operaciones, utilizando un vocabulario matemático preciso y coherente para expresar las ideas matemáticas y presentando de manera limpia, ordenada y clara los cálculos y sus resultados.

L A

Tabla 3. Contenidos, para el Segundo Ciclo de Primaria, que se desarrollan con esta experiencia.

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Competencias Básicas trabajadas con el Numerator. Contribución de las diferentes competencias. •

– Matemática

– – •

Lingüística

• •

En el conocimiento e interacción – con el mundo físico Tratamiento de la información y – competencia digital –

•

Autonomía e iniciativa personal

–

– –

– •

Aprender a aprender

•

Cultural y artística

–

– Social y ciudadana

•

–

Expresar magnitudes reales con números. Comprender e interpretar información expresada en diferentes códigos, lenguajes y unidades. . Desarrollar estrategias de cálculo mental para abordar otras situaciones con mayores posibilidades de éxito. Resolver los problemas planteados planificando una estrategia adecuada. Argumentar y rebatir hipótesis propias o ajenas aplicando la lógica matemática. Esforzarse para resolver las actividades de creciente complejidad. Reconocer y corregir los errores cometidos como parte del aprendizaje. Fomentar la creatividad a través de la construcción de su propio material. Aprender a considerar los puntos de vista distintos del propio y a argumentar los suyos. Resolver las actividades más complejas trabajando en equipo.

Tabla 4. Indicadores de las Competencias Básicas que se trabajan principalmente con Numerator.

N E

–

Aplicación de diferentes algoritmos para la resolución de problemas. Ejercitarse en el cálculo mental. Verbalización de situaciones problemáticas planteadas a través de la numeración y operaciones. Emplear los términos específicos del sistema de numeración decimal.

Bibliografía

Fernández Bravo, J.A. (2005). Numerator. Madrid: CCS. Kagan, S. (1990): Cooperative learning. Resources for teachers. California. Resources for Teachers. Juan Pedro Barreto Dorta, Colegio Cisneros Alter, San Cristóbal de La Laguna. Profesor de Educación General Básica en la Especialidad de Ciencias. Maestro en Audición y lenguaje. Dirección electrónica: jbardor67@hotmail.com

Fernández Bravo, J.A. (2002). La Numeración y las cuatro operaciones matemáticas. Madrid: CCS.

Manuel Herrera Pérez, Colegio Cisneros Alter, San Cristóbal de La Laguna. Maestro Especialista en Educación Primaria. Dirección electrónica: manuhp83@hotmail.com

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E X

ANEXO I (Ficha de trabajo comentada)

P (material para el profesor)

FICHA

NUMERATOR 07

• REGLA DE RELACIÓN MATEMÁTICA • Adquirir la regla de actuación con el juego.

OBJETIVOS

COMPETENCIAS

DESARROLLO

I 1. Sin expresar palabra alguna, el profesor pondrá diez fichas en la primera carta. Es-

tas fichas se pondrán de una en una y muy despacio con el fin de captar la atención de nuestros alumnos.

S D 2. Después, el profesor recogerá las fichas de la primera carta, también de una en una

3. Por último cogerá una ficha del resto del montón y la dejará sobre la segunda ficha.

y muy despacio dejando la carta vacía.

U L A

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4. Se establecerá un diálogo con el alumno:

J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

¿Quién me dice lo que he hecho?

- Cogiste 10 y pusiste 1 en la carta mayor - Ha cogido 10 y has puesto una en la carta Lápiz - Porque la carta Goma es más pequeña y necesita menos judías.

¿Por qué he puesto una ficha en la segunda carta?

- 10 equivale a una decena porque las 10 unidades de la primera carta es igual a 1 decena de la segunda carta. - Porque el profe siempre hace trucos.

¿A qué estamos jugando? Los alumnos deberían contestar “pones diez fichas en la primera carta y luego la cambiamos por una en la segunda carta”.

Situación 1.

las siguientes situaciones:

5. Para crear nuevas situaciones y observar la respuesta de los alumnos plantearemos

¿Qué ocurre?

- Nueve no es una decena y por lo tanto no podemos pasar esas 9 a la carta Lápiz. - No pasamos ninguna porque el profesor lo hizo cuando tenía 10 y ahora sólo hay 9.

¿Se puede cambiar? (Los alumnos responden que NO se puede cambiar porque no hay 10 fichas).

Situación 2.

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sor. - Pasamos una ficha a la carta lápiz y dejamos 2 en la carta goma.

¿Qué ocurre? - No se puede porque hay 12 judías y no hay 10 cómo hizo antes el profe-

P 6. A continuación de las doce judías cogemos diez judías, como lo hicimos antes pasando

una a la carta lápiz y dejando dos en la carta goma.

7. Para comprobar si lo han entendido plantearemos las actividades con los alumnos.

I E N C

-3-

-4-

-2-

-1-

S D E

Diez elementos de un orden inferior equivalen a un elemento de orden superior

A U

8. Repetiremos el proceso cuántas veces sea necesario hasta que los alumnos dominen la adquisición de la relación matemática.

L A

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ANEXO II (modelos de fichas-guía para el profesor) 03

FICHA

OBJETIVOS

• POSICIONALIDAD. • Reconocer la posición de cada ficha en el juego.

COMPETENCIAS DESARROLLO 1. Con el juego colocado en la pizarra magnética señalarán la carta que nosotros vaya-

2. Jugaremos con las fichas poniendo una o más fichas en cada carta. Después de una orden en el juego debe quedar vacío de fichas.

mos nombrando: caramelo – jaula – palo – caramelo – cometa – montaña…

CUADERNO

LÁPIZ

GOMA

LIBRO

3. Ejemplos:

Libro – libro – goma.

Cuaderno – lápiz - lápiz

Señal – Señal – Señal – Montaña – Cometa.

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NOTAS

• El alumno debe inferir de que una misma ficha puede

recibir diferentes nombres dependiendo del lugar en el que la situemos. • Nuestro Sistema de Numeración es posicional y decimal. Por eso, cada dibujo representa un elemento en base diez Y las fichas indican el cardinal de dichos elementos.

P E R I

EJERCICIOS DE REFUERZO

1. Utilizando una ficha, expresa los distintos nombres que obtiene en las posibles representaciones con el juego Numerator.

N C

2. Idem para dos o tres fichas.

3. Idem, pero verbalizando, NO repitiendo lo que se vaya escuchando.

A S

4. ¿Cuántas fichas necesito para representar?

Libro, libro, libro Lápiz, lápiz. Libro. Cuaderno, cuaderno, goma…

5. Expresar todos los nombres posibles de las diferentes representaciones

A U

Utilizando dos cartas y tres fichas. Utilizando dos cartas y una ficha. Utilizando cuatro cartas y dos fichas. Utilizando una carta y tres fichas. …

L A

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FICHA

OBJETIVOS • NUMERACIÓN. • Localizar el cardinal de las fichas.

U A

RECUERDA

DESARROLLO

1º PRIMARIA: dos cartas. 2º PRIMARIA: tres cartas. 3º PRIMARIA: cuatro cartas.

4º PRIMARIA: cinco cartas. 5º PRIMARIA: seis cartas. 6º PRIMARIA: siete cartas.

2. Haremos una conversión con el nombre de las cartas.

Nuestro Sistema de Numeración es posicional y decimal. Por eso, cada dibujo representa un elemento en base diez Y las fichas indican el cardinal de dichos elementos.

1. Manteniendo los nombres con los que hemos jugado anteriormente, añadiremos otros nuevos para la localización del cardinal en el juego. Dependiendo del curso escolar utilizaremos los nuevos nombres jugando con:

COMPETENCIAS

J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

GOMA

UNO

LÁPIZ

DIEZ

CUADERNO

LIBRO

MIL DIEZ MIL

MONTAÑA

CIEN MIL

SEÑAL

MILLÓN

COMETA

CIEN

También se puede llamar…

MILLÓN

CIEN MIL

DIEZ MIL

MIL

CIEN

DIEZ

UNO

3. Representa en tu juego las siguientes actividades: DIEZ:

UNO:

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NÚMEROS

Numerator: un material manipulativo en el aula J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

MIL:

CIEN:

X P

EJERCICIOS DE REFUERZO

5. Representa: uno, uno, uno, uno y uno.

4. Representa: uno y uno.

I E N

A “UNO, UNO, UNO, UNO, UNO” se le dice “CINCO”

A “UNO y UNO” se le dice “DOS”

6. Representa: tres, cuatro, cinco…

7. Representa: diez y diez.

I A

A “DIEZ y DIEZ” se le dice “VEINTE”

8. Representa: treinta, cincuenta, sesenta… 9. Representa: cien y cien.

A “CIEN y CIEN” se le dice “DOSCIENTOS”

10. Representa: trescientos, cuatrocientos…

11. Representa: mil y mil.

A “MIL y MIL” se le dice “DOS MIL”

12. Representa: dos mil, tres mil…

13. Representa diez mil, cien mil, un millón… Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

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Numerator: un material manipulativo en el aula

FICHA

OBJETIVOS

• NUMERACIÓN. • Realizar seriaciones ascendentes de un número (10 en 10, 100 en 100).

J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

DESARROLLO 1. Representa el número 324 sabiendo que es el primero de una serie cuyo criterio es sumar diez (el planteamiento de la serie numérica se puede plantear en la resolución de problemas, de acuerdo con la L.O.E.).

COMPETENCIAS

Ejemplo. En el comedor hay 324 alumnos. Si en el colegio los alumnos entran de diez en diez hasta llenar la capacidad que es 364 alumnos. Averigua la capacidad en cada momento que entra un grupo de 10 alumnos.

(Los alumnos pueden observar que diez elementos en un orden inferior equivale a un elemento de orden superior).

Seguimos la serie hasta llegar a 364.

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NÚMEROS

Numerator: un material manipulativo en el aula J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

E X

2. Representa el número 107 sabiendo que es el primero de una serie cuyo criterio es sumar cien (el planteamiento de la serie numérica se puede plantear en la resolución de problemas, de acuerdo con la L.O.E.). Juega con tus cartas y escribe los números que obtienes.

P E R I E N C

3. Representa el número 134 sabiendo que es el primero de una serie cuyo criterio es sumar veinte (el planteamiento de la serie numérica se puede plantear en la resolución de problemas, de acuerdo con la L.O.E.).

I A S D E

4. Repetimos el mismo proceso con otros cálculos.

A U L A

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Numerator: un material manipulativo en el aula

OBJETIVOS

• NUMERACIÓN. • Escribir y verbalizar el posterior de un número.

FICHA

J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

COMPETENCIAS DESARROLLO o

Todo el planteamiento será desarrollado a través de la resolución de problemas.

Ejemplo. Raúl tiene 127 cartas de pokemon y su amigo le regala una más. ¿Cuántas cartas tiene ahora? Representa el posterior de un número con tu juego. Posterior es lo mismo que decir siguiente, por lo que el alumno deberá añadir una ficha más a su juego.

Representa el posterior a 219.

Ahora tenemos diez fichas en la primera carta, por lo que aplicaremos la regla.

Repetir el ejercicio con otros números.

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NÚMEROS

Numerator: un material manipulativo en el aula J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

OBJETIVOS

FICHA

• OPERACIONES. • Realizar restas con llevadas.

COMPETENCIAS

DESARROLLO

2. Calcular: 30 – 5

1. Recordamos que diez elementos de un orden equivalen a un elemento de un orden inmediatamente superior. Entonces, un elemento de un orden cualquiera equivale a diez elementos de un orden inmediatamente inferior.

N C I A

3. Calcular: 734 – 86

S D E A U

700 + 30 + 4 – 80 + 6 700 + (30 – 80) + (4 – 6) 700 + (-50) + (-2) = 648

4. Realizar otros cálculos.

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Numerator: un material manipulativo en el aula

FICHA 16 OBJETIVOS

J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

• OPERACIONES. • División por una cifra.

PROBLEMA Al camping de 4º de Primaria fueron 84 alumnos. Si cada cabaña es ocupada por 4 alumnos: •

¿Cuántas cabañas han tenido que utilizar para colocar a los alumnos?

• ¿Y si pusieran a tres alumnos por cabañas?

MANIPULAMOS 1. Utiliza tu material para representar el problema.

2. Representa lo que has hecho en tu material, aquí.

¿Qué dificultades te has encontrado en el proceso? ______________

_____________________________________________________

Además de cómo lo has planteado, ¿tienes otra manera de resolverlo? _____________________________________________________

_____________________________________________________

PLANTEAMOS EL PROBLEMA 3. Escribe con cifras el problema trabajado. ¿Qué datos me da el problema? ¿Qué operaciones tengo que hacer?

{

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NÚMEROS

Numerator: un material manipulativo en el aula J.P. Barreto Dorta, M. Herrera Pérez

E X

¿Cuál es el resultado del problema? i. R1: ____________________________________________ ii. R2: ____________________________________________

AMPLIAMOS LO TRABAJADO

E R

4. Practica con tu NUMERATOR las siguientes divisiones. 345 : 5 = 89 : 6 = 246 : 2 = 4567 : 3 =

I E

5. Inventa un problema con alguna de las operaciones anteriores.

N C

ESTE ES MI PROBLEMA…

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

VALORA TU TRABAJO

☺

A U L A

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 105–120

Olimpiadas, tablas, números, algunas soluciones y un misterioso muro (Problemas Comentados XXIII) J.A. Rupérez Padrón y M. García Déniz -Club Matemático 1 -

Palabras clave

Resolución de problemas; Olimpiada Matemática; Metodología.

Abstract

Solutions to the exercises in the previous number, with special emphasis on the methodology of its resolution. Analysis of problems of the XX Olimpiada Nacional. Proposal for new statements. Exercises at different levels and content.

Keywords

Problem Solving; Mathematical Olympiad; Methodology

Soluciones a los ejercicios propuestos en el anterior NÚMEROS, con especial incidencia en la metodología de su resolución. Análisis de los problemas de la XX Olimpiada Nacional Matemática. Propuesta de nuevos enunciados. Ejercicios de diferentes niveles y contenidos.

Resumen

O B L

TABLA TRIANGULAR

El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de CanariasCabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife). mgarciadeniz@gmail.com / jaruperez@gmail.com

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Una primera reacción nos llevaría a continuar la tabla hasta el 1998 y leer directamente la fila y la columna pedidas. Hay que enseñar a los alumnos que eso no sería un problema. Para que constituya

Se colocan los enteros naturales en una tabla según la disposición siguiente. Una línea está señalada por el primer número de esta línea partiendo de la izquierda. Una columna está señalada por el primer número de esta columna partiendo de lo alto. Un número está por tanto señalado por la línea y la columna donde se encuentra. Por ejemplo, el número 15 está en (10, 9). ¿Cuáles son la línea y la columna de 1998? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ... ... ... ... ... ... ... ...

Estos son los problemas propuestos en nuestro anterior artículo y nuestras respuestas. Esperamos coincidan con las que nuestros lectores hayan encontrado. De no ser así, ya saben, utilicen nuestros correos o el de la revista para darnos a conocer su discrepancia, su mejora o su alternativa. La publicaremos.

Problemas comentados (XXIII) -Club Matemático-

un reto debemos ser capaces de llegar a la respuesta mediante el razonamiento lógico, el uso de las matemáticas que conocemos y, naturalmente, al uso de las estrategias de resolución de problemas. Vamos a ello. Observemos primero, atentamente, las características de la tabla. El número de casillas (N) de cada fila es 1, 3, 5, 7, 9,... los números impares, que podemos expresar, en función del orden (n), así: N = 2 n – 1 Por ejemplo, para la cuarta fila: N = 2 · 4 -1 = 8 – 1 = 7; la cuarta fila tendrá, por tanto, 7 casillas.

2 = 1 + 1; 5 = 4 + 1 ; 10 = 9 + 1 ; 17 = 16 + 1 ; ... Y ese cuadrado es justamente el valor final de la fila anterior: 1 = 12 ; 4 = 22 ; 9 = 32 ; 16 = 42 ; ... Es decir: Valor Inicial (VI) = (n – 1)2 + 1

Valor Final (VF) = n2

Para localizar el número 1998 en la tabla, bastará con hacer (n – 1)2 + 1 = 1998 y resolviendo, puesto que el valor no puede ser negativo: (n – 1)2 = 1997 Î n – 1 = 44,68... Î n = 45, 68... Tomando el valor entero tenemos que es la fila 45 aquella en la que se encuentra el valor 1998, y cuyos valores inicial y final son: Valor Inicial (VI) = (n – 1)2 + 1 = (45 – 1)2 + 1 = 442 + 1 = 1936 + 1 = 1937

El valor de la casilla inicial de cada fila se aprecia que siempre es el siguiente a un cuadrado:

Valor Final (VF) = n2 = 452 = 2025 Donde claramente se aprecia que 1937 < 1998 < 2025. Tenemos, pues, la coordenada horizontal (línea 45, con primer número 1937).

La fila 45 tiene N = 2 n – 1 = 2 · 45 – 1 = 90 – 1 = 89 casillas. Es decir 44 casillas antes y después de la casilla central de la fila. El número 1998 ocupa, en dicha fila, el lugar 62.

Falta ahora buscar la coordenada vertical (la columna y su primer número).

1998 – 1937 = 61 antes que él (de izquierda a derecha) 2025 – 1998 = 27 después (de derecha a izquierda) Si hacemos 62 – 44 = 18, obtenemos que el valor 1998 se encuentra en la columna número 18, contada desde la columna central del triángulo (incluida). El primer número de esa columna es el valor final de la fila que tiene el mismo orden: Valor Final (VF) = n2 = 182 = 324, que es la coordenada vertical. Respuesta.- El numero 1998 se encuentra en la línea que empieza por 1937 y en la columna que se inicia con 324.

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NÚMEROS

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TIEMPO DE VENDIMIA En la viña del señor Negramol, en un día de vendimia se han llenado 18 cajones grandes y 13 cajones medianos con la uva recogida. Para transportar a la bodega los cajones llenos de uva, el señor Negramol dispone de 3 tractores:

Ese día, el señor Negramol ha utilizado al menos una vez todos sus tractores y siempre a plena carga. ¿Cuántos viajes pueden haber sido hechos por el señor Negramol con cada tipo de tractor para el transporte de todos los cajones de uva a la bodega?

• el tractor A puede transportar, a plena carga, 3 cajones grandes y 2 medianos; • el tractor B puede transportar, a plena carga, 2 cajones grandes y 1 mediano; • el tractor C puede transportar, a plena carga, 1 cajón grande y 1 mediano.

M E L

Comenzaremos por suponer el número máximo de viajes para el tractor A y el mínimo para los tractores B y C. No olvidemos que cada tractor debe ir a plena carga y, por tanto, pueden sobrar cajones que no dan para completar un viaje de uno de los tractores.

Procederemos de forma sistemática utilizando una tabla que lleve la cuenta de los viajes que realiza cada tractor (tres columnas) indicando el número de cajones transportados, una columna para la carga total, otra columna que lleve la cuenta de los cajones sobrantes y una última columna donde se analice si ese viaje supone una solución o no del problema.

Describid todos los posibles viajes y explicad cómo los habéis hallado.

(18g + 13m) – (18g + 12m) = 1m

La valoración nos indica que esto no es una solución; por dos razones: una, sobran cajones; dos, los tractores B y C no realizan viaje, en contra de lo dispuesto en las condiciones del problema. Expresándolo en una tabla como la que sigue, para que sea válido se han de dar positivamente las dos circunstancias: No sobrar cajones (0 en la quinta columna) y dar cada tractor al menos un viaje (no puede haber 0 en las tres primeras columnas. Estos resultados se llevan a la primera fila de la tabla. Para rellenar el resto de la tabla bastará con ir disminuyendo el número de viajes del tractor A y aumentando paulatinamente, de manera razonable, los viajes de los tractores B y C.

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Donde g y m representan “cajón grande” y “cajón mediano”, respectivamente. Obtenemos ahora lo que no se ha podido transportar

6 x (3g + 2m) + 0 x (2g + 1m) + 0 x (1g + 1m) = 18g + 12m

El número inicial es, por lo tanto, de 6 para A y 0 para B y C. Es decir, se transportan

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Viajes tractor A 6 5 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1

Viajes tractor B 0 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1

Viajes tractor C 0 1 0 2 4 1 3 5 6 2 4 6 7 8 1 3 5 7 8 9 10

Carga

Sobrante

Solución

18 g, 12 m 18 g, 12 m 18 g, 11 m 18 g, 12 m 18 g, 13 m 18 g, 11 m 18 g, 12 m 18 g, 13 m 18 g, 12 m 18 g, 11 m 18 g, 12 m 18 g, 13 m 17 g, 13 m 16 g, 13 m 18 g, 10 m 18 g, 11 m 18 g, 12 m 18 g, 13 m 17 g, 13 m 16 g, 13 m 15 g, 13 m

1m 1m 2m 1m 0 2m 1m 0 1g 2m 1m 0 1g 2g 3m 2m 1m 0 1g 2g 3g

No No No No Si No No Si No No No Si No No No No No Si No No No

Las cuatro filas señaladas constituyen todas las soluciones del problema. Se puede abreviar la resolución, rehuyendo la exhaustividad, utilizando el razonamiento y yendo directamente a las soluciones o buscando una regularidad a partir de la primera encontrada. Para ir directamente a una solución es necesario darse cuenta que para usar una sola vez los tractores B y C, el tractor A debe viajar 5 veces. Pero así sobraría 1 cajón mediano. Se disminuye un viaje de A y se aumenta un viaje de B, con lo cual 4 viajes del tractor C permite transportar todos los cajones. Razonando del mismo modo se pueden conseguir las restantes soluciones. Pero cuidado, con este procedimiento el alumno se puede dar por satisfecho con haber encontrado una solución y no buscar las demás. Parte del proceso de resolución está en acostumbrar a los chicos y chicas a buscar TODAS las soluciones de un problema. Una vez obtenida la primera solución se puede buscar un patrón que permita obtener las restantes soluciones de manera directa. Para ello basta con tener en cuenta que el tractor A puede ser sustituido por un viaje conjunto de B y C, ya que cargan la misma cantidad. Rebajando, pues, 1 viaje de A y cargando 1 en B y otro en C, simultáneamente, podremos obtener las otras tres soluciones. También se podrían utilizar procedimientos algebraicos, planteando un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, si x indica el número de viajes para A, y el número de viajes para B, z el número de viajes para C, se tienen las dos ecuaciones: ⎧ 3 x + 2 y + z = 18 ⎨ ⎩ 2 x + y + z = 13

de las cuales, por diferencia, se obtiene la ecuación: x + y = 5 de la cual interesan las soluciones enteras: (1,4); (2,3); (3,2); (4,2).

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NÚMEROS

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Cada pareja permite determinar un valor para z (respectivamente, z = 7, z = 6, z = 5, z = 4). Se encuentran así también las cuatro posibilidades. Respuesta correcta: Las 4 posibilidades 4 viajes para A, 1 para B y 4 para C 3 viajes para A, 2 para B y 5 para C 2 viajes para A, 3 para B y 6 para C

1 viaje para A, 4 para B y 7 para C. EL NÚMERO MISTERIOSO

Æ7·a = 7

Æ5·a = 10

yf=7

Æ7·a = 14

Así que el único par posible es (1, 7). Si quitamos f = 7 del final del número, éste queda así: 1bcde, y al colocar 7 al principio nos dará: 71bcde = 5·1bcde7, es decir, si x = 1bcde: 700 000 + x = 5·(10·x + 7) 700 000 + x = 50·x + 35 49·x = 700 000 – 35 = 699 965

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Y debemos descartar los pares (a, f) con valores (2, 5) y (2, 7) porque el número cinco veces mayor tendría siete cifras. También el par (2, 3) debe eliminarse porque si empieza en 3 no puede ser cinco veces mayor que si empieza por 2. Lo mismo ocurre para el par (1, 5) al considerar que las seis cifras son diferentes (el más pequeño sería 102 345, que no es la quinta parte de 510 234). Valores superiores de a, quedan claramente descartados.

yf=7

yf=5

a=2

Æ3·a = 6

a=1

yf=3

Æ5·a = 5

y f=5

Si el número lo representamos por abcdef (cada letra una cifra), y al cambiar f al primer lugar obtenemos un número cinco veces mayor, y además a y f son primos, planteamos las posibilidades (f debe ser mayor que a):

Este número de seis cifras distintas, empieza y termina con cifras primas, de tal manera que si trasferimos la cifra final de la derecha al primer lugar de la izquierda, el número así obtenido es cinco veces superior al número original. Pero si transferimos la primera cifra de la izquierda al último lugar de la derecha, el número resulta tres veces el número original. Si ahora movemos las tres primeras cifras del original y las colocamos al final, a la derecha del número, el resultado es seis veces el número inicial. ¿De qué número se trata?

Problemas comentados (XXIII) -Club Matemático-

x = 14 285

Luego a = 1, b = 4, c = 2, d = 8, e = 5 y f = 7. Comprobemos ahora que se cumplen las otras condiciones: 142 857 · 3 = 428 571 142 857 · 6 = 857 142 Y es que el número buscado es el conocido periodo de 1/7, 0.142 857.

Se trata del número 142 857. Elena Gajate Paniagua, a quien damos las gracias por su comunicado, nos envía esta otra elegante solución:

Respuesta correcta:

Siguiendo nuestra costumbre, proponemos ahora algunos problemas nuevos, que extraemos, tal como fueron presentados, de la prueba individual utilizada en la XX Olimpiada Nacional Matemática. Esta tuvo lugar en Tenerife del 24 al 28 de junio de 2009, convocada por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, FESPM, y organizada por la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Participaron un total de 60 alumnos de 2º de ESO, acompañados de 21 profesores de todas las Sociedades federadas y del País Vasco y Andorra como invitados.

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NÚMEROS

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XX Olimpiadas de Matemáticas. Prueba Individual 2009 1. TETRAEDRO ENTERO A cada vértice de un tetraedro se le asigna un valor que puede ser +1 o -1. A cada cara se le asigna el valor resultante del producto de sus tres vértices. ¿Es posible que la suma de las caras sea un número impar? ¿Por qué? ¿Puede ser esa suma cero en algún caso? ¿Qué valores puede tomar la suma de todas las caras?

Solución En ningún caso puede ser impar la suma. Hay cuatro valores a sumar. Si son todos positivos o todos negativos, la suma es par. Al combinar los valores entre sí, como (+1) + (-1) = 0, siempre quedarían dos valores o ninguno para sumar con lo cual la suma sería siempre 0 o un número par.

Hay cinco maneras distintas de distribuir los valores +1 y -1 en los vértices del tetraedro.

R O

Colocar +1 en cada uno de los cuatro vértices. A cada cara corresponde un valor +1.

La suma de las cuatro caras vale + 4.

Colocar +1 en tres vértices y -1 en el vértice restante. A una cara corresponde el producto +1 y a las otras tres -1.

La suma de las cuatro caras vale - 2.

Colocar -1 en tres vértices y +1 en el vértice restante. A una cara corresponde el producto -1 y a las otras tres +1.

La suma de las cuatro caras vale +2.

Colocar +1 en dos vértices y -1 en los otros dos vértices. A dos caras corresponden el producto +1 y a las otras dos -1. La suma de las cuatro caras vale 0.

Colocar -1 en cada uno de los cuatro vértices. A cada cara corresponde el valor -1. La suma de las cuatro caras vale - 4.

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No hay más distribuciones posibles. Por tanto, los valores que puede tomar la suma de todas las caras son: +4, -2, +2, 0 y -4. La suma es cero cuando dos vértices toman el valor +1 y los otros dos toman el valor -1. 2. TRIÁNGULOS Y GEOPLANO Se tiene un geoplano con la siguiente trama de puntos: ●

●

La distancia entre dos puntos consecutivos, tanto en horizontal como en vertical es de valor 1. Si unimos los puntos entre sí para formar triángulos: ¿Cuántos habrá de perímetro 2 + √ 2? ●

●

¿Cuántos de perímetro 3 + √ 5? ¿Cuántos de perímetro 2 + 2√ 2? ¿Cuántos de 1 + √ 2 + √ 5? ¿Cuántos triángulos se pueden formar, en total, con sus vértices en los puntos? Utiliza la trama de puntos por detrás de la hoja para explorar las cuestiones planteadas.

Solución ¿Cuántos triángulos se pueden formar, en total, con sus vértices en los puntos?

Para hallar el número total de triángulos que se pueden formar en la trama de puntos, basta con numerarlos de 1 a 6 y realizar todas las combinaciones posibles tomando tres de ellos en orden consecutivo.

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NÚMEROS

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Serían: (Se descarta el 123: no forman triángulo porque están en línea recta) 124

125

126

134

135

136

145

(Se descarta el 146: no forman triángulo porque están en línea recta) 156

234

236

245

246

235

346

(Se descarta el 356: no forman triángulo porque están en línea recta)

345

256

456

Hay, pues, un total de 17 triángulos.

de tres en tres:

descartadas por no formar triángulo. Volvemos, pues, al resultado de 17 triángulos.

¿Cuántos de perímetro 2 + 2 ?

Son los que adoptan la forma de la figura; es decir, rectángulos con catetos de valor 1 e hipotenusa de valor 12 + 12 = 2

6⋅5⋅4 = 20 , a los que descontaríamos las tres únicas alineaciones imposibles, 3⋅2

Este cálculo también podría ser realizado a través de las combinaciones de seis puntos tomados

Hay 6 triángulos de este tipo: los 124, 234, 235, 245, 345 y 456. ¿Cuántos de perímetro 3 + 5 ? Son los que adoptan la forma de la figura; es decir, rectángulos con catetos de valor 1 y 2 e hipotenusa de valor 12 + 2 2 = 5 . Hay 2 triángulos de este tipo: los 135 y 236. ¿Cuántos de perímetro 2 + 2 2 ?

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Son los que adoptan la forma de la figura; es decir, escalenos de lados 1, 2 , 5 . Hay 2 triángulos de este tipo: los 134 y 346. ¿Cuántos de 1 + 2 + 5 ? Son los que adoptan la forma de la figura; es decir, rectángulos con catetos de valor 1 y 2 e hipotenusa de valor 12 + 2 2 = 5 . Hay 4 triángulos de este tipo: los 125, 145, 246 y 256.

Solución Hay que darse cuenta de que una de las partes es múltiplo de 7 y la otra es múltiplo de 3. Si hacemos dos tablas con estos múltiplos y buscamos qué múltiplos suman 46, tendremos las posibles soluciones, de las cuales, al aplicar el segundo criterio, elegimos la respuesta correcta.

E L

Mario quiere descomponer el número 46 en dos sumandos que sean números naturales, de tal manera que si uno se divide entre 7 y el otro entre 3, la suma de los cocientes es 10. ¿Cuál sería esa descomposición? ¿Y si la suma fuese 14? Explicad cómo habéis encontrado vuestra respuesta.

3. LAS COSAS DE MARIO

Aunque el problema no lo pide, sólo quedan por analizar tres de los diecisiete triángulos existentes. Los 126 y 156, que son de perímetro 1 + 2 2 + 5 , y el 136, que tiene perímetro 4 + 2 2 .

Múltiplos de 7 inferiores a 46:

1x7=7 2 x 7 = 14 3 x 7 = 21 4 x 7 = 28 5 x 7 = 35 6 x 7 = 42

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Múltiplos de 3 inferiores a 46: 1x3=3 2x3=6 3x3=9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30 11 x 3 = 33 12 x 3 = 36 13 x 3 = 39 14 x 3 = 42 15 x 3 = 45

NÚMEROS

Problemas comentados (XXIII) -Club Matemático-

Emparejando una de cada tabla, solamente conseguimos sumar 46 con las siguientes parejas: 7 con 39 y 28 con 18. Efectivamente: a) 28 + 18 = 46, cuyos cocientes son 28 : 7 = 4 y resuelven el primer enunciado del problema.

18 : 3 = 6, de suma 4 + 6 = 10, que

b) 7 + 39 = 46, cuyos cocientes son 7 : 7 = 1 y 39 : 3 = 13, de suma 1 + 13 = 14, que resuelven el segundo enunciado del problema. Se puede resolver también planteando y solucionando los siguientes sistemas de ecuaciones:

Para el primer caso:

⎧ x + y = 46 ⎪ ⎨x y ⎪⎩ 7 + 3 = 10

cuyas soluciones son x = 28 e y = 18.

Para el segundo caso:

⎧ x + y = 46 ⎪ ⎨x y ⎪⎩ 7 + 3 = 14

cuyas soluciones son x = 7 e y = 39.

O mediante las gráficas.

A S

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Problemas comentados (XXIII) -Club Matemático-

4. LAS FICHAS DE LUCÍA Lucía tiene cuatro fichas. Observa que sobre cada una de las ocho caras está indicado un número distinto, del 1 al 8. Ella lanza sus cuatro fichas una primera vez y ve aparecer 7, 2, 4 y 1, como está representado en el dibujo de aquí abajo.

Solución Cada ficha tiene dos caras. Cada una de las ocho caras contiene uno de los números del 1 al 8.

Se puede hacer una tabla para contabilizar las cifras que pueden combinar con cada una de ellas, a partir de la observación de los cuatro lanzamientos consecutivos:

Cada número visible sólo puede estar combinado con las cifras que no se ven en cada uno de los lanzamientos.

Lucía lanza sus fichas una segunda vez y obtiene 6, 4, 5 y 2. Después una tercera vez y obtiene 8, 2, 6 y 5. Finalmente, la cuarta vez, obtiene 7, 4, 3 y 5. ¿Cuáles son los números dibujados en cada ficha, uno sobre una cara y el otro sobre la opuesta? Explicad cómo habéis hallado vuestra solución.

1º.

7241

2º.

6452

3º.

8265

4º.

7435.

Por ejemplo, el 7 no puede ir con 2, 4 y 1 según el primer lanzamiento, ni con el 3 y el 5 según el cuarto lanzamiento; por consiguiente, puede estar asociado solamente con 6 o con 8. Procediendo de esta manera para cada cifra, se obtiene: El nº … 1 2 3 4 5 6 7 8

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Puede estar asociado con… 3 5 6 8 3 1 2 6 8 8 1 1 3 7 6 8 1 3 4 7

NÚMEROS

Problemas comentados (XXIII) -Club Matemático-

Observando los resultados obtenidos, tenemos de inmediato que el 2 sólo puede asociarse al 3, el 4 al 8 y el 5 al 1. Por exclusión, vemos en seguida que los que quedan, el 6 y el 7, han de estar necesariamente emparejados. La respuesta correcta estará determinada por las cuatro combinaciones adecuadas: el 1 con el 5; el 2 con el 3; el 4 con el 8; el 6 con el 7. 5. LOS HEXÁGONOS DE PABLO

Pablo tiene un juego con muchas piezas iguales para encajar, con forma de rombo con dos ángulos de 60 grados (60º). Con estas piezas, Pablo construye hexágonos regulares. Para construir el hexágono más pequeño (dimensión 1), usa tres rombos. Para construir el siguiente (dimensión 2) usa doce y así sucesivamente (en el dibujo se ven los hexágonos completos de dimensión 1 y 2 con una posible disposición de los rombos, y el inicio de los hexágonos de dimensión 3 y 4):

R O B L E M

¿Cuántos rombos necesitará Pablo para construir el hexágono de dimensión 8? Explicad cómo habéis encontrado vuestra respuesta.

Solución

La longitud del lado del rombo es la unidad de medida de longitud y la “dimensión” del hexágono es la medida de su lado con esta unidad. El rombo es la unidad de área.

S Los rombos se pueden colocar de cualquier manera en el interior del hexágono. Siempre habrá la misma cantidad de rombos que rellenan un hexágono determinado. El primer paso será contar los rombos que rellenan los hexágonos de dimensión 1 y 2. Son, respectivamente, 3 y 12. A continuación se completará el relleno de los hexágonos de dimensión 3 y 4, para poder contar la cantidad necesaria de rombos para cada uno. Son 27 y 48. Ahora es necesario pensar sobre la sucesión formada por esos números: 3, 12,

27, 48, …

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Problemas comentados (XXIII) -Club Matemático-

Su análisis nos puede dar el patrón de formación de la misma y deducir, a partir de ello, la cantidad de rombos necesarios para recubrir el hexágono de dimensión 8. Si se hace el cálculo por diferencias entre un número y el siguiente, aparece una regularidad interesante que consiste en un aumento de 6 en 6: «Dimensión»: Sucesión de números: Diferencias

1 2 3 4 --3 12 27 48 --9 15 21 ....

Cada número de la sucesión se obtiene sumando el anterior más la diferencia.

Y permite conjeturar el término siguiente. Si la siguiente diferencia es 21 + 6 = 27, el siguiente término de la sucesión podría ser 27 + 48 = 75 . Ahora es necesario verificar esa hipótesis. Construimos el hexágono siguiente (dimensión 5), lo rellenamos con rombos y contamos. También debería verificarse sobre el hexágono de dimensión 6. Si todo sale de acuerdo con lo conjeturado, basta llevar los cálculos hasta la dimensión 8 y obtener la cantidad de rombos que se necesitan para su construcción.

12 = 9 + 3; 27 = 15 + 12; 48 = 21 + 27

1 3

2 12 9

3 27 15

4 48 21

5 75 27

6 108 33

7 147 39

8--192--45....

También se puede encontrar una expresión numérica de la regularidad factorizando los números de la sucesión en función de la dimensión del hexágono:

«Dimensión»: Sucesión de números: Diferencias:

Términos de la sucesión 3 =3x1 12 = 3 x 2 x 2 27 = 3 x 3 x 3 48 = 3 x 4 x 4 …

Dimensión 1 2 3 4 …

Y calcular así que, para dimensión 5, se necesitarían 75 = 3 x 5 x 5, como ya habíamos comprobado. Esa expresión numérica se puede transformar en una ley general mediante el uso del álgebra, llegando así a una «función» entre la dimensión (n) de los hexágonos y el número de rombos n —> 3 x n2 cosa que conduce, para n = 8 a 3 x 82 = 3 x 64 = 192, sin pasar por los términos sucesivos. También se puede llegar a la misma función si se utilizan las áreas, tomando como unidad la figura de dimensión 1 que tiene tres rombos. Respuesta: Pablo necesitará 192 rombos para construir el hexágono de dimensión 8.

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NÚMEROS

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Los alumnos y alumnas hicieron un trabajo excelente y, aunque la prueba no era competitiva, se dieron las siguientes menciones honoríficas a los mejores trabajos presentados, sin ningún orden de prioridad en los listados. Menciones de honor a la presentación: Antonio Jiménez Gálvez, de Canarias Joseph María Serra Moncunill, de Cataluña Menciones de honor a la creatividad a:

Darío de la Fuente García, de Asturias Pablo Morala Migueles, de Castilla y León José Puerta Anoedo, de Galicia Mejores clasificados en la prueba individual:

R O

Saturio Carbonell Urtubia, de La Rioja Antonio Ceres Sánchez, de Andalucía Pablo Lorenzo Vaquero, de Castilla y León José Antonio Moral Parras, de Andalucía

L E

EL CAMPO AGRANDADO

Esos problemas que hemos analizado fueron los que se seleccionaron en su momento, pero fueron estudiados otros que se descartaron. He aquí dos de ellos que proponemos para que nuestros lectores resuelvan o propongan a sus alumnos.

M A

Julián posee un terreno cuadrado vallado. Decide agrandarlo de manera que el terreno siga siendo cuadrado y tenga cada lado con un metro más. De este modo la superficie de su campo aumenta en 41 m2. ¿Cuál era la longitud de los lados del anterior terreno de Julián? Ahora que el terreno es más grande, el vallado de antes no es suficiente: ¿cuántos metros de valla faltan? Explicad cómo habéis hallado vuestras respuestas.

COMPARACIÓN DE TRIÁNGULOS Para comenzar, considerad un triángulo cualquiera ABC. Después prolongad: - el segmento AB a partir de B en un segmento de la misma longitud de AB, obteniendo así el punto B’; - el segmento BC a partir de C en un segmento de la misma longitud de BC, obteniendo así el punto C’; - el segmento CA a partir de A en un segmento de la misma longitud de CA, obteniendo así el punto A’; Comparad las áreas de los triángulos AB’C, BC’A y CA’B con la del triángulo ABC. ¿Cuál es la razón o cociente entre las áreas de los dos triángulos A’B’C’ y ABC? Explicad cómo habéis encontrado vuestras respuestas.

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Si quieren tener más información sobre la Olimpiada (resultados completos, Galería de fotos, y algunos problemas más) pueden visitar el blog http://xxolimpiadas.blogspot.com/ original de nuestro compañero Sergio Darias Beautell. También pueden encontrar y descargar una animación flash de su autoría, donde se presentan los problemas de la Olimpiada y sus soluciones de una manera muy original, utilizable comos recurso de aula.

El problema no tiene texto escrito (podría ponerse, pero creo que es más interesante así). Debería empezar, como siempre, por buscar datos, preguntas y relaciones. Ahí comienza la comprensión. Es un problema muy sencillo y su reto está en analizar adecuadamente todos los pasos de su resolución. Imaginen que ese problema lo plantean a un niño de cinco o seis años. ¿Cómo dirigirían su resolución? Expondremos nuestro comentario en el próximo artículo. Y aquí queda todo de momento. Pero recuerden nuestro sempiterno mensaje. Esta sección estará más viva si recibimos sus soluciones, sus comentarios o sus propuestas. Hágannos caso, escríbannos.

En ese blog aparece un curioso problema que utilizamos en nuestras charlas para llamar la atención sobre formas de presentar los problemas, búsqueda de distintas soluciones y, especialmente, la relación que hay entre lectura y comprensión.

Todos los lectores agradecerían leer mensajes y experiencias de otros compañeros.

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista:

NÚMEROS

Revista de Didáctica de las Matemáticas

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

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NÚMEROS

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 121–127

Pizarra digital interactiva en aulas de matemáticas Aurelia Noda Herrera (Universidad de La Laguna)

Resumen

E N

En este trabajo se comentan algunos aspectos de la utilidad de las pizarras digitales interactivas (PDI) en las aulas de matemáticas. Se describen algunos recursos y repositorios de actividades para PDI disponibles en la red, y se dan algunas sugerencias sobre lo que es necesario para ser un buen usuario de las mismas en el aula. 1. Introducción

El objetivo de este documento, es motivar al manejo y utilización práctica de la PDI en las aulas de matemáticas, dando a conocer algunas experiencias y actividades con la PDI y mostrando algunos recursos y repositorios de actividades para PDI en la red.

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La ampliación de recursos dentro del aula es primordial para la mejora de la motivación del alumnado, y por supuesto para la resolución de problemas de aprendizaje. Todo ello requiere de los docentes, su actualización constante y la adquisición permanente de conocimientos sobre la aplicación de las nuevas tecnologías a las funciones anteriormente descritas.

Muchos docentes se resisten a utilizar este tipo de instrumentos, por el hecho de no tener un elevado conocimiento de informática. Por ello es necesario que la administración educativa y los centros fomenten la formación básica para poder utilizar las PDI en la metodología de clase, y de esta manera, posibilitar que el alumnado pueda trabajar con estos nuevos recursos. Por otro lado, también es necesario una voluntad de cambio de la práctica docente por parte del profesorado, que deberá invertir tiempo en conocer nuevas metodologías, en buscar y analizar recursos existentes, y en elaborar nuevos materiales didácticos.

Entre los recursos que las nuevas tecnologías ponen al alcance de los docentes, está la Pizarra Digital Interactiva (PDI).

La legislación vigente hace referencia a la importancia de adquirir la competencia digital por parte del alumnado y a que el profesorado observe, que la metodología didáctica debe ayudar al alumnado a adquirir esa competencia básica, que consiste en disponer de habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar información, y para transformarla en conocimiento.

Con el avance de la sociedad de la comunicación, la tecnología evoluciona de forma vertiginosa. Estos cambios a nivel tecnológico, han producido muchos cambios e interrogantes en el ámbito educativo.

Pizarra Digital Interactiva en aulas de matemáticas A. Noda Herrera

2. Pizarra digital interactiva (PDI) Existen múltiples recursos en la red que explican, con más o menos detalle, posibles aplicaciones didácticas para las Pizarras Digitales (PD) y las Pizarras Digitales Interactivas (PDI) 1 . Una PD consta básicamente de un ordenador conectado a un proyector, mientras que una PDI además permite interactuar directamente sobre la imagen proyectada.

Una PDI consiste en un ordenador con conexión a Internet (donde va instalado el software de la PDI), un vídeo proyector que reproduce a gran tamaño el monitor del ordenador y una pantalla táctil que permite interactuar y hacer anotaciones sobre ella con un puntero y a veces incluso con los dedos.

La pizarra digital interactiva se utiliza para compartir información de todo tipo en clase, mostrar materiales didácticos, informaciones de interés, apoyar las explicaciones del profesorado (con el apoyo de la información disponible en Internet), presentaciones hechas por los alumnos, para averiguar los conocimientos previos del alumnado, debatir y corregir ejercicios realizados por el alumnado, realizar esquemas, dibujos, escribir y subrayar, mover imágenes… Es decir, permite controlar y modificar cualquier recurso digital que se proyecte sobre ella, así como guardar en el disco duro o en un alojamiento virtual, todo lo que se ha realizado.

Según muchos de los impulsores y usuarios de las PDI, el dispositivo ofrece una interacción entre el profesor y los alumnos que no permite la pizarra tradicional. Esta interactividad sencilla aspira a que los alumnos dejen de ser sujetos pasivos de la educación para sumarse activamente al desarrollo de una clase.

3. Actividades matemáticas para PDI en la RED Tras la adquisición de las nociones básicas de funcionamiento de las PDI, es necesario disponer de recursos y materiales didácticos adecuados, que permitan la participación de los alumnos, que faciliten la colaboración y cooperación entre ellos y/o el profesor con argumentaciones y razonamientos en la búsqueda de soluciones de las actividades y problemas, que promuevan su espíritu crítico y su capacidad de juzgar y razonar, etc. Un primer paso, antes de elaborar materiales didácticos por parte del propio docente, es necesario analizar los documentos y recursos interactivos disponibles en la red, creados por otros profesores que, con sus aciertos y equivocaciones, responden a propuestas reales, existentes o en elaboración, de los que se pueden extraer ideas positivas de uso de la PDI. Es tarea del docente hacer 1

http://www.pangea.org/peremarques/pizarra.htm Página del profesor y Dr. Pere Marqués y su grupo DIM, punteros en todos estos campos de la tecnología y su aplicación en el aula.

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una selección previa pertinente e incluso se puede mostrar de forma ordenada y con criterios pedagógicos durante la clase. A continuación, se muestran algunos ejemplos de experiencias y propuestas para trabajar conceptos matemáticos de diferentes niveles educativos. •

http://www.youtube.com/watch?v=7juiXfwumd0&feature=related

E N Vídeo con explicaciones sobre PDI y matemáticas para sacarle mayor rendimiento a los programas Wiris, GeoGebra y las Hojas de cálculo Excel y Calc.

•

El espacio y su localización espacial a través de actividades multimedia

http://didacticatic.educacontic.es/didacticatic/ficheros/niveleducativo/primaria/matematicas/pri_ma tes_m1/es/ver/apartados/1_presentacion/1_presentacion.html

R E D Propuesta para trabajar los conceptos matemáticos de espacio y de localización espacial en los tres ciclos de educación primaria, incorporando editores de presentación, la pizarra digital interactiva y las animaciones. Está desarrollada y ejecutada por el Ministerio de Industria, Turismo y Comercio, la entidad pública empresarial Red.es, el Ministerio de Educación y Ciencia y las Consejerías de Educación de las distintas Comunidades Autónomas de España.

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•

La medida, las fracciones y los números decimales

http://didacticatic.educacontic.es/didacticatic/ficheros/niveleducativo/primaria/matematicas/pri_ma tes_m2/es/ver/apartados/2_unidad_formativa/2_PDI/1_pdi.html

Propuesta para trabajar los conceptos matemáticos de las medidas, las fracciones y los números decimales en los tres ciclos de educación primaria, incorporando la pizarra digital interactiva, las animaciones y las aplicaciones de simulación. Está desarrollada y ejecutada por el Ministerio de Industria, Turismo y Comercio, la entidad pública empresarial Red.es, el Ministerio de Educación y Ciencia y las Consejerías de Educación de las distintas Comunidades Autónomas de España. •

Las fracciones

http://palmera.pntic.mec.es/~jcuadr2/fraccion/index.html

Aplicación realizada por José Antonio Cuadrado Vicente, que pretende acercar al alumnado del tercer ciclo de Educación Primaria y ESO, al mundo de las fracciones, de forma interactiva y experimental, a modo de laboratorio virtual. Los profesores pueden utilizar el recurso como material de apoyo a sus clases, ya que disponen de guías didácticas que se pueden bajar en formato PDF.

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•

Experiencias de innovación docente sobre formación matemática en entornos virtuales http://cimanet.uoc.edu/mel/content/view/101/82/lang,spanish/

E N L

http://descartes.cnice.mec.es/index.html

•

En este trabajo se presenta una experiencia docente, desarrollada en el primer curso de la licenciatura de Matemáticas de la Universidad de Almería, sobre la incorporación de las TIC y de nuevas metodologías activas de enseñanza aprendizaje, en la formación matemática del estudiante, con especial énfasis en las materias vinculadas al Análisis Matemático. Entre las herramientas utilizadas, se encuentra la pizarra digital interactiva.

Descartes, programa creado en el CNICE (Ministerio de Educación) y a libre disposición de los docentes, es una herramienta ideal como complemento a la Pizarra Digital.

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•

http://www.isftic.mepsyd.es/

Recursos disponibles del Centro Nacional de Investigación y Comunicación Educativa (CNICE), organizados por niveles educativos y materias, que se pueden utilizar con la pizarra digital.

Un ejemplo de recursos para trabajar la medida, fracciones y decimales lo encontramos en

http://www.isftic.mepsyd.es/w3/recursos/primaria/matematicas/indice.htm

4. Conclusiones Lo que se pretende con la integración de las PDI en las aulas, es facilitar a los estudiantes la adquisición de los conocimientos y competencias que deben adquirir, y facilitar al profesorado la realización de su tarea docente. Pero para lograr este objetivo no basta con disponer de buenas infraestructuras bien mantenidas. Es necesario que el profesorado se implique con una actitud favorable. Para ello es necesario ver: - Que el uso de las PDI es fácil y que en poco tiempo se puede aprender lo necesario para manejarlas sin problema. - Que el uso de las PDI es cómodo, útil y eficaz. Se pueden realizar actividades de mayor potencialidad didáctica y lograr una mayor motivación y participación del alumnado. - Que el uso de la PDI es eficiente, ya que hay un gran abanico de actividades que no exigen una mayor dedicación de tiempo ni esfuerzo por parte del profesorado.

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Pizarra Digital Interactiva en aulas de matemáticas A. Noda Herrera

Para ser un buen usuario de la PDI en el aula, los profesores necesitan dos tipos de formación: a) Una Formación técnica básica, en el uso de la pizarra digital interactiva y su software asociado, como el conocimiento de los usos del puntero (ratón y lápiz; archivar y recuperar pantallas…), de los accesos a los recursos del software de la PDI, del uso básico del editor de actividades y de otras funcionalidades como la lupa, el capturador de imágenes, grabadora de video, cortinas y focos… b) Una formación avanzada, en el uso de editores de actividades para crear materiales didácticos, unido a una formación didáctica sobre modelos didácticos de uso de la PDI, que permitan diseñar y desarrollar actividades de enseñanza y aprendizaje eficientes.

L A

Cuando los profesores conozcan eficaces modelos de uso didáctico de las TIC que puedan reproducir sin dificultad en su contexto (tengan recursos y formación) y les ayuden realmente en su labor docente (mejores aprendizajes de los estudiantes, reducción del tiempo y esfuerzo necesario, satisfacción personal)..., seguro que todos van a querer utilizarlas. ¿Por qué no iban a hacerlo?

En este trabajo se han mostrado algunos recursos, experiencias y propuestas para trabajar conceptos matemáticos con las pizarras digitales interactivas, disponibles en la red, ya que pensamos, que cuando se empieza a utilizar la PDI, lo más conveniente es ser usuarios de lo que ya hay hecho (DVD multimedia, materiales didácticos disponibles en portales educativos, plataformas de contenidos libres o de pago, webs/blogs de profesores, etc.) y posteriormente comenzar con una labor más creativa, de elaboración de actividades propias, mediante el uso del software de la PDI que se utilice en clase.

El software de creación multimedia que acompaña a todas las PDI (NotebookSMART, ActivPromethean, InterwriteWorkspace, MIMIOStudio, eBeamScrapbook...) permite elaborar presentaciones multimedia y materiales didácticos interactivos, al igual que ocurre con otros programas para la creación de actividades interactivas (Tutor, Neobook, JClic, Hot Potatoes...)

Pere Marquès, 2005

E D

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http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 129–139

Las disecciones de cubos. Secuenciación en tamaños y dificultad como una propuesta didáctica. Estudio del cubo 2x2x2. Algunas presentaciones de cubos 3x3x3 y 4x4x4, y un reto. J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz -Club Matemático 1 Aplicamos un método sistemático para el estudio de las distintas disecciones de un cubo de 2x2x2, y apuntamos a distintos cubos resultado de diseccionar cubos de mayores dimensiones.

Palabras clave

Cubos 2x2x2; 3x3x3, NxNxN. Disecciones de cubos. Estudio sistemático. SOMA.

Abstract

We apply a systematic method for studying the various dissections of a cube of 2x2x2, and aim to dissect different cubes result of larger cubes.

Keywords

Cubes 2x2x2; 3x3x3, NxNxN. Dissections of cubes. Systematic method. SOMA

Resumen

U E

CUBO DE 2x2x2. Vamos a comenzar sistemáticamente, como haríamos con alumnos a los que planteemos este tipo de cuestiones, examinando el cubo de 2x2x2. Si lo dividimos en dos partes, estas podrían estar formadas por 1 y 7 cubos unitarios (1, 7), o por 2 y 6 (2, 6), (3, 5) ó (4, 4).

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Cuando se habla de disecciones de un cubo, estamos planteando el problema de dividirlo en dos o más partes, formadas por cubos unitarios adosados por sus caras. Lo cual enlaza con uno de nuestros anteriores artículos, en esta misma revista, dedicado a los policubos.

Si imaginamos un pequeño cubo de, digamos 1 cm de arista, al que consideramos “cubo unitario”, ya nos será posible imaginar a ocho unitarios formando un cubo de 2x2x2, a veintisiete formando uno de 3x3x3, etc.

En estas pocas páginas es inabarcable un tratamiento de las disecciones del cubo. Empezar con una declaración de imposibilidad como la anterior va contra una regla importante de cómo escribir un artículo de divulgación o investigación, pero en este caso es una confesión de humildad ante la amplitud del tema.

Las disecciones de cubos -Club Matemático-

No consideraremos como diferentes aquellas disecciones que se obtienen de otras por giros o simetrías. Para el caso (1, 7) no existe más que una posibilidad de disección: la más simple:

Para el caso (3, 5) no se nos abren mayor cantidad de posibles disecciones, ya que la pieza de 3 cubos al tener que cumplir la condición de que sus elementos estén unidos por sus caras tiene una forma única.

En el supuesto (2, 6) también es única la disección:

Para el caso (4, 4), son más las posibles disecciones:

1.-

2.-

3.-

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Las disecciones de cubos -Club Matemático-

Si dividimos el cubo en tres piezas, tenemos las siguientes combinaciones: (1, 1, 6); (1, 2, 5); (1, 3, 4); (2, 2, 4) y (2, 3, 3) Veamos cuántas disecciones diferentes son posibles para cada caso: (1, 1, 6) El segundo cubito no puede ser contiguo al primero, pues estaríamos en el caso ya visto (2, 6). ¿En qué posiciones pueden estar los dos cubitos unitarios? Opuestos en la misma capa:

Opuestos en capas diferentes:

U E

Evidentemente muy fáciles de reconstruir.

(1, 2, 5)

Estas dos piezas no pueden provenir de la misma capa, ya que sería equivalente al caso (3, 5) ya estudiado.

Sólo cabe la disección: (1, 3, 4) Este caso equivale al ya visto (4, 4), pero diseccionando una de las piezas de 4 en 1 y 3 cubitos; queda reducida a dos tipos que tienen las piezas de 1 y de 3 iguales, pero difieren en la de 4.

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Es indudable que cuando hablamos de piezas de 2 cubitos, solo pueden tener esta forma:

(2, 2, 4) Una de las disecciones se obtiene al dividir una de las capas en la única manera posible:

La otra capa puede considerarse formada por dos piezas de 2 cubitos coplanarias (caso 1) o perpendiculares (caso 2).

(2, 3, 3)

Caso único, por ser únicas las piezas de 2 y las de 3.

Estudiemos ahora la disección del cubo 2x2x2 en cuatro partes. Son posibles las disecciones (1, 1, 1, 5); (1, 1, 2, 4); (1, 1, 3, 3); (1, 2, 2, 3) y (2, 2, 2, 2). La primera no es realizable más que de una manera, por cuanto la pieza de 5 cubitos incumpliría una de las condiciones establecidas, en concreto, la de que sus cubitos unitarios deben estar unidos por sus caras.

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Esta disección supondría que los unitarios se obtienen al descomponer una pieza como esta en tres elementales, pero este fue el caso (3, 5) ya estudiado. Para la situación (1, 1, 2, 4) nos encontramos:

Que proviene del caso (4, 4) ya visto, así como

U E

En el caso (1, 1, 3, 3) está la siguiente posibilidad que proviene de la descomposición (3, 5).

G O S

Para (1, 2, 2, 3)

Podemos considerarla derivada de la anterior al unir un cubito de los solitarios con uno de la pieza de 3. Finalmente está (2, 2, 2, 2), cuya única descomposición es:

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La descomposición en cinco piezas comprende los siguientes tres casos: (1, 1, 1, 1, 4); (1, 1, 1, 2, 3) y (1, 1, 2, 2, 2). (1, 1, 1, 1, 4) da lugar a tres resultados que difieren en la pieza de 4 cubos: irían con cada una de la piezas

Para (1, 1, 1, 2, 3), como todas las piezas tienen una sola forma de construirse, pues solamente hay una disección posible:

O sea, las tres maneras de construir la pieza de 4 que ya vimos cuando el caso (4, 4).

La descomposición en 6 ó 7 piezas no tiene mayor interés, pues son sencillas y con pocas posibilidades.

Y finalmente (1, 1, 2, 2, 2) que también tiene una única manera.

Una segunda actividad consistiría en analizar todas las descomposiciones estudiadas para determinar si cada una de ellas es de solución única o, por el contrario, admite más de una solución y cuántas serían en ese caso.

Variantes al cubo de 2x2x2. Entre ellas elegimos la del cubo Hermafrodita Son ocho cubos que tienen un orificio y una clavija en en tres de sus caras, siendo las otras tres lisas. Para solucionarlo hay que encajar clavijas y huecos de los cubos, por parejas, y luego encajar los cuatro pares para formar el cubo. Un enlace con demostraciones de cómo resolver este y otros puzzles, se encuentra en esta curiosa dirección: http://www.taringa.net/posts/juegos/2834150/quien-nunca-se-rompio-la-cabeza-haciendo-esto!.html

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CUBO DE 3x3x3 En este artículo nos limitaremos a una breve referencia sobre algunas de las disecciones más conocidas o interesantes del cubo de 3x3x3, de entre las miles de posibilidades que hay. Es muy importante la forma de presentar las disecciones, piezas y soluciones. Es una parte clave en el aprovechamiento didáctico del material. Puede utilizarse la representación tridimensional única o secuencial, mediante dibujos o fotografías, pero también una representación por pisos. En este caso, cada pieza debe tener un número, un nombre o un color que la identifique. Puzzle de Cardan La referencia más antigua de este tipo de puzzles de disección del cubo es la que está atribuida a Cardan (15011576) y que con cinco piezas: un cubo de lado a, un cubo de lado b y tres paralelepípedos rectángulos de aristas a, b y a+b, permite la visualización de:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)

U E

Resulta también muy útil como material didáctico para trabajar las fracciones.

a+b

O S

Soma Conocidísimo desde que su inventor, Piet Hein, lo crease. Permite 240 reconstrucciones diferentes del cubo, pero también la realización de otras muchas figuras. Sus siete piezas, un tricubo y seis tetracubos, son los únicos policubos de ambas clases que cumplen la condición de tener ángulos diedros cóncavos. Obsérvese que las piezas 5 y 6 no son iguales, sino simétricas. Es digno de un estudio más profundo, considerando sus aplicaciones didácticas y variantes, que quizá sea objeto de un próximo artículo. Una de las múltiples soluciones podría ser ésta: Una página interesante y bastante completa sobre el tema es la siguiente: http://www.aulamatematica.com/cubosoma/

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Las disecciones de cubos -Club Matemático-

Variantes del Soma Hay muchas, pero una que nos parece interesante y restringe muchísimo el número de soluciones es la que se denomina Soma Ajedrezado, que hace que en la solución deban estar los cubos de dos colores alternados. Cubo-7

La siguiente solución (por pisos) se corresponde con la primera de la lista de las 358 soluciones del Cubo 7.

Es casi idéntico al Cubo Soma. La única diferencia consiste en que las piezas 5 y 6, que en el Soma son diferentes, aquí son iguales. Esto da una mayor cantidad de soluciones posibles.

112 | 556 | 566 412 | 446 | 547 322 | 337 | 377

Que representadas mediante una matriz numérica sería:

Cubo de O’Berine

Formado por 9 piezas iguales (tricubos en ángulo). De aparente simplicidad, resulta ser una especie de técnica de diagnóstico para la visión espacial, apreciando en los más pequeños sus habilidades para la resolución de este tipo de puzzles.

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Cubo Diabólico Descrito por el Profesor Hoffmann (Angelo John Lewis) en “Puzzles Old and New” (1893). Está compuesto por 6 piezas, todas sobre un plano, y es progresivo, es decir, sus piezas tienen todas distinto número de cubos, desde dos hasta siete.

Mikusinski (o de Steinhaus)

Seis piezas: tres tetracubos y tres pentacubos. No se repiten piezas.

J U E G

Cubo de Conway

Tres tetracubos y tres pentacubos. Hay cuatro piezas que se repiten dos a dos.

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El Cubo de Lesk

También llamado del empaquetamiento o caja de pizza. Tiene seis tetracubos iguales y tres cubos unitarios.

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Cubo de Nob Inventado por Nob Yoshigahara, inventor y coleccionista japonés. Tiene seis piezas: cinco pentacubos diferentes y un dicubo.

Half Hour Puzzle.

Presenta seis piezas todas diferentes: tres tetracubos y tres pentacubos. Creado por Stewart T. Coffin, después de estudiar varias configuraciones posibles, a fin de que sólo tuviera una única solución (1980).

Rupe Formados por seis policubos de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 elementos. Permite 34 reconstrucciones del cubo y tiene la particularidad, al estar formado por piezas de tamaño correlativo, de facilitar el estudio sistemático de las soluciones por cuanto alguna de las piezas (por ejemplo el hexacubo rojo) puede usarse como pieza inicial ocupando el centro del cubo e ir distribuyendo las otras de más a menos tamaño. Cubo de Muñoz

Está formado por ocho piezas: el dicubo, los dos tricubos (el de ángulo, repetido) y los cuatro tetracubos planos que pueden formar parte del cubo de lado 3 (es decir, sin los cuatro cubos puestos en línea).

Cubo Dado Nueve piezas en forma de ladrillo 3x1, conteniendo o no algunos topos. Deben colocarse las nueve piezas para formar un cubo, de manera que los topos queden visibles y formen con puntos las caras de un dado.

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Las disecciones de cubos -Club Matemático-

CUBOS DE 4x4x4 Cubo Bedlam Es un puzzle inventado por Bruce Bedlam y consta de trece piezas: doce pentacubos y un tetracubo. El objetivo es reunir estas piezas en un cubo de 4 x 4 x 4. Hay 19.186 maneras distintas de conseguirlo.

Cubo Diabólico de Hara Original del japonés Yoshikatsu Hara. Está formado por 11 piezas, todas ellas formadas por uniones de dicubos, 10 hexacubos y 1 tetracubo.

J U E

UN RETO

¿Se atreve a buscar una solución en forma de cubo 3x3x3, uniendo las cinco piezas que se reproducen a continuación?

O S

El problema está sacado de Homemade Puzzles. Será agradable pasarse un rato construyendo con cubos de madera y pegamento, o con policubos de plástico coloreado (centicubos, por ejemplo), y resolviendo estos puzzles. Mejor si es con los alumnos, con familiares o con amigos. Envíen sus soluciones, comentarios y propuestas. Seremos receptivos. En un próximo artículo publicaremos las soluciones que nos hayan llegado y, tal vez, acometamos un estudio en profundidad del Cubo Soma. Afectuosamente, Club Matemático

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 141–143

La soledad de los números primos

Paolo Giordano

E E R M A T E C A S

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Cuando cojo por primera vez el libro y leo en su solapa que el autor es un joven físico teórico de 26 años no puedo evitar que se me arquee ligeramente una ceja y abrazar por un instante el consabido cliché, aunque al otro lado del espejo, que asume que sólo el hombre de letras, ese que es inevitable y hasta obligatoriamente torpe con los números, hará literatura de verdad. Intuyo que me encontraré con un libro sencillo, probablemente algo superficial y, más probablemente aún, salpicado de acertijos y verdades físicas que muchos autores “de ciencias” introducen en sus textos. No digo que tal cosa no

De la misma forma que cualquier amante de la literatura exigiría siempre, y sobre todas las cosas, belleza a un escritor (la belleza, claro está, tiene múltiples caras); un científico exigiría siempre, y sobre todas las cosas, rigor a quien redacta una definición de este tipo. Me permito comenzar con esta pequeña provocación porque, esta vez sí, y aunque sea de manera personal, viene al caso.

Me asomo al Diccionario de la Lengua Española de la R.A.E. donde leo que un número primo es “el entero que sólo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad”. Entonces, según nuestros sabios académicos de la R.A.E, ¡menos diecinueve es un número primo…!

Traducción de Juan Manuel Salmerón Arjona Publicaciones y Ediciones Salamandra, S.A. Colección: Narrativa Año 2009 ISBN: 978-84-9838-205-1 288 páginas

La soledad de los números primos. Paolo Giordano Reseña: Carlos Romero Melchor

sea correcta ni adecuada. Generar curiosidad y hasta cercanía, con la física o a las matemáticas, a través de la literatura podría ser un interesante punto de encuentro entre dos mundos aparentemente tan lejanos. ¿Pero sucede lo que (estúpidamente) temo? ¿Nos encontramos ante un científico torpemente sensible y de más torpe talento, y encima insultantemente joven para atreverse a publicar? La belleza de un determinado concepto, la belleza de lo que intuimos o de lo que captamos, embriagados, a través de los sentidos, ha de poder traducirse, mediante la literatura, en esas mágicas combinaciones de palabras que permiten trasladar dicha belleza a otras personas. Esta es la gran dificultad del escritor. No puede quedarse en lo descriptivo, sino que debe recrear con palabras de manera que lo que cuenta no sólo cobre forma, sino que nazca incluso más hermoso que aquello que representa. Para eso hacen falta, básicamente, dos cualidades: la sensibilidad y el talento narrativo. La prosa de Paolo Giordano está hecha de pequeñas frases, de pequeños dibujos, como un cocinero que introduce ingredientes bien elegidos y en una cantidad determinada para acabar configurando su plato. Del mismo modo, su relato se construye a través de una serie de sucesos concretos. No es el fluir de la vida lo que nos enseña, sino sólo la sucesión de determinados episodios durante los que ese río se retuerce en meandros y cambia de rumbo. Esos momentos en que pequeñas decisiones, que tomamos en segundos, cambian el rumbo de nuestra vida y, con ello, nuestra forma de sentirla y de sentir nuestro papel en ella. En el inmenso mar de los números naturales parecen flotar a la deriva los números primos. Su soledad, vista desde el concepto matemático, es evidente, no sólo por la imposibilidad de que puedan encontrarse junto a un semejante, a excepción del 2 y el 3, sino incluso por la propia naturaleza de estos números. No se pueden construir a partir de otros, con la fortaleza y tranquilidad de verse compuestos de números que ya nacieron y vivieron antes que ellos. No es el caso, su soledad es absoluta. Y de pronto sucede que dos de estos números casi se tocan, sólo separados por un número par, como si una querencia natural les llevara, inevitablemente, a buscar el contacto con otros. Son los primos gemelos, como el 11 y el 13, el 41 y el 43… Así les ocurre a Mattia y a Alice, a Alice y a Mattia, los dos protagonistas de esta historia. Ambos arrastran un terrorífico episodio de su niñez, expuesto al lector en los dos primeros capítulos del libro. Cada uno de estos episodios marcará la vida, y la forma de enfrentarse a ella, de los dos personajes. Esa vida es la que nos va contando Giordano con notable maestría. La soledad, verdadera protagonista de la historia, la conciencia de saberse distinto, el ansia de escapar de esa cárcel que les fue dada, el extraño hilo invisible que une a nuestros protagonistas… Nos damos cuenta, tras no muchas páginas, de que Mattia y Alice también son primos gemelos, y esa cercanía que vislumbran en un mundo que casi siempre les es tan ajeno envuelve continuamente el relato. Novela recomendable, escrita con un ritmo fabuloso, a lo que sin duda contribuye la elección del modo narrativo, esos episodios cortos ya comentados, que hacen que nos encontremos frecuentemente con capítulos de menos de una decena de páginas. Escrita con la crudeza necesaria, sin concesiones, pero sin llegar a ser de un gris excesivamente pegajoso. Ese equilibrio se traduce también en ambos personajes: se nos presenta a Mattia como un ser encerrado en sí mismo, inteligente, sensible, pero de coraza tercamente espesa y oscura. Alice, aunque con esa conciencia de singularidad que no la abandona, representada a través de su anorexia, supone en muchos pasajes ese soplo de aire fresco que permite respirar a la novela. En Mattia, físico, puede Giordano proyectar la curiosidad del científico: por qué esa inclinación de la lluvia que cae cuando la vemos desde un coche, por qué ese cambio de color del cielo al atardecer… Pero no sigamos por ahí; no tratemos de imaginar proyecciones del autor hacia sus personajes; la soledad que empapa el libro, esa amiga que

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La soledad de los números primos. Paolo Giordano Reseña: Carlos Romero Melchor

absolutamente todos, en algún momento (o eternidad) de nuestra vida hemos acogido, y que acaso siempre nos acompaña, es la que hace que tantos lectores hayan hecho suya, de algún modo, esta historia tan singular y de personajes tan fascinantes como los que nos ha regalado Paolo Giordano.

Quien sabe, quizás a muchos de los jóvenes que tenemos en nuestras aulas les ayude a sentir que no son simples números primos y les encauce en la búsqueda de su número primo gemelo.

Carlos Romero Melchor (Ingeniero Industrial. Tenerife, España)

Esta lectura constituye un buen recurso para desarrollar en los estudiantes el gusto por la lectura, a la par que la conciencia sobre su papel en el mundo que les rodea. La forma en que está escrita y los contenidos sociales que trata hacen que resulte especialmente atractiva para los jóvenes que están pasando por la dura etapa de la adolescencia.

M A T E M Á T I C A S

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 145–146

Poincaré. Matemático visionario, politécnico escéptico

Javier de Lorenzo

E E R M A T I C A S

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El libro consta de una introducción, tres capítulos centrales y una extensa bibliografía. En el primer capítulo se describe el entorno programático, es decir, su visión de las matemáticas como “construcciones que sacamos enteramente de nuestro espíritu, pero no de manera arbitraria sino porque la experiencia nos obliga a elaborar dichas construcciones”. En este primer capitulo se detalla la postura de Poincaré al considerar que la matemática tiene un triple fin: “deben suministrar un

No se persigue, en esta obra, abordar los logros de Poincaré en las disciplinas matemáticas y físicas, sino más bien exponer su pensamiento científico y su visión de la ciencia. No se trata, pues, de una recopilación de teoremas o resultados de Poincaré, sino de una descripción del entorno donde vivió y desarrolló su obra, junto con un detallado análisis de su pensamiento científico. Al respecto, según nos muestra el autor de este libro, se destaca que Poincaré se veía a sí mismo como un físicomatemático, era plenamente consciente de no ser físico pero tampoco se consideraba un matemático “puro”, alejado de las aplicaciones. Asimismo, este libro señala las posiciones epistemológicas de Poincaré, que marcarían claramente el futuro del pensamiento científico, así como su filosofía de la matemática, considerada por muchos como muy particular y alejada de las corrientes de la época.

En este libro el autor nos presenta una biografía de Henri Poincaré, figura fundamental dentro de las matemáticas, que fue considerado en su época, finales del siglo XIX y principios del XX, como el matemático más brillante del mundo.

Nivola, 2009 Colección: La matemática en sus personajes. ISBN: 978-84-92493-00-5 207 páginas

Poincaré. Matemático visionario, politécnico escéptico. Javier de Lorenzo Reseña: Julio Daniel Rossi

instrumento para el estudio de la naturaleza, pero eso no es todo, tienen también un fin filosófico y, me atrevo a decir, un fin estético”. También se hace hincapié en el servicio que la matemática hace a la sociedad, faceta que Poincaré defendió, por ejemplo, involucrándose en el affaire Dreyfus, atacando los argumentos científicos de algunas de las evidencias que se mostraron en su contra. El segundo capítulo nos muestra el costado filosófico de Poincaré, en particular, su visión del razonamiento matemático. Se argumenta que Poincaré admite que la matemática es independiente de la lógica y se apoya en un elemento intuitivo y no formal. Su visión puede resumirse en la frase “la matemática no tiene por misión mirarse el ombligo”. El tercer capitulo, titulado “El constructivismo estructural científico”, trata de la posición de Poincaré frente a la construcción científica. En él se describen algunos logros de Poincaré en geometría (los modelos de Poincaré), relacionándolos con su doctrina científica, el convencionalismo científico. Esta doctrina asume, de forma resumida, que las teorías científicas son sistemas proposicionales y las proposiciones iniciales (al igual que en geometría) son convenciones. En resumen, el contenido de este libro muestra una visión de la vida y obra de Poincaré con el acento puesto en su visión filosófica de la ciencia. Las posibilidades que ofrece este libro para su uso en el aula se alejan de los contenidos matemáticos, adentrándose en aspectos filosóficos. Podría servir como herramienta para introducir al alumno en las diferentes visiones de la ciencia, así como en el pensamiento racional y su servicio social. No parece ser un libro adecuado para estudiar la obra matemática de Poincaré sino más bien sus aristas éticas, filosóficas y conceptuales. No obstante, su lectura no es fácil, ya que trata con conceptos e ideas abstractos para los que se necesita un cierto conocimiento de filosofía (epistemología) que ayude a su comprensión.

Julio Daniel Rossi (Universidad de Buenos Aires. Buenos Aires, Argentina)

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ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, páginas 147–148

Congresos

I F

XXI CONGRESO NACIONAL DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 4 al 6 de diciembre de 2009 Zacatecas (México) Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas Sede: Escuela Normal Manuel Ávila Camacho anpm_cen@yahoo.com.mx

O R M

IV Congreso Nacional de Educación Matemática. Sociedad Peruana de Educación Matemática Lima del 20 al 23 de enero de 2010. http://fisem.org/noticias/ivconem.pdf

A C I

II Congreso internacional de didácticas. La actividad docente: Intervención, Innovación e Investigación. 3 al 7 de febrero de 2010 Gerona

O N E S

SIXTH MEETING FOR YOUNG MATHEMATICIANS IN SEGOVIA 7 a 12 de febrero de 2010 Inscripción: Hasta el 20 de diciembre de 2009 Palacio de Mansilla (Segovia) Organiza: Singacom

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V Coloquio Internacional sobre enseñanza de las matemáticas IREM-Perú y Maestría en Enseñanza de las Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Perú (PUCP) 10 al 12 de febrero de 2010 irem@pupc.edu.pe http://www.pucp.edu.pe/departamento/ciencias/matematicas/irem

III Jornada Nacional de Educação Matemática XVI Jornada Regional de Educação Matemática Instituto de Ciencias Exatas e Geociencias. Laboratorio de Matemáticas Universidad de Passo Fundo. Río Grande del Sur. Brasil 4 al 7 mayo de 2010

XIII Conferencia Iberoamericana de Educación Matemática 26 al 29 de junio de 2011 Universidad Federal de Pernambuco Recife. Brasil http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011

8º International Conference on Teaching Statistics ICOTS 8 11 al 16 de Julio de 2010 Universidad Nacional de Luján Ljubljan. Eslovenia http://icots8.org/

Información

XLVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

Participantes: Podrán participar en la XLIV Olimpiada Matemática Española todos los alumnos del sistema educativo español que estén matriculados durante el curso 2009 - 2010 en Bachillerato. Con carácter excepcional, y si son avalados por escrito por su Profesor, también podrán tomar parte en la XLVI Olimpiada Matemática Española alumnos del 2º Ciclo de ESO de excelentes capacidades. Más información: http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimconv.htm

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L O S A U T O R E S

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P A R A

1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas. 2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: numeros@sinewton.org 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión o publicación en ninguna otra revista. 4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características: • Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista. • Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía. • Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página. • Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen. • Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords. • Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos. • Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto, ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York. o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218. o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/ 5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique. 6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

N O R M A S

ISSN: 1887-1984 Volumen 72, diciembre de 2009, página 149