Transformada z by Ricardo Mejia

Univ. de Alcal´ a de Henares

Ingenier´ıa T´ ecnica Industrial

Complementos de matem´ aticas.

Curso 2004-2005

Colecci´ on de ejercicios del tema 3 Definici´ on y c´ alculo de la transformada Z 1. Hallar la transformada Z de estas se˜ nales (incluyendo la ROC): ³ ´ a) x = . . . , 0, 5, 3, −2, 0, 4, −3, 0, . . . , b) x[t] = 3δ[t] + δ[t − 2] + δ[t + 2] c) x[t] = u[t] − u[t − 10] µ ¶t 1 u[t] d ) x[t] = 2t u[t] + 3 2 e) x[t] = cos(α0 t)u[t] µ ¶t 1 f ) x[t] = u[−t] 3 µ ¶t 1 t g) x[t] = 3 u[−t − 1] + u[t + 2] 2 ¡ ¢t h) x[t] = 13 cos(α0 t)u[t] i ) x[t] = a|t| Soluci´on: a) X(z) = 5z 2 + 3z − 2 + 4z −2 − 3z −3 , 0 < |z| < ∞ b) X(z) = 3 + z −2 + z 2 , 0 < |z| < ∞ 1 − z −10 , |z| > 0 1 − z −1 13 4 − z −1 2 µ ¶ , |z| > 2 d ) X(z) = 1 −1 −1 (1 − 2z ) 1 − z 2 c) X(z) =

1 − (cos α0 )z −1 , |z| > 1 1 − 2 cos α0 z −1 + z −2 1 1 f ) X(z) = , |z| < 1 − 3z 3 2 4z 1 1 g) X(z) = − , < |z| < 3 1 −1 1 − 3z −1 2 1− z 2 1 − 13 (cos α0 )z −1 h) X(z) = , |z| > 1 1 − 23 cos α0 z −1 + 19 z −2 e) X(z) =

i ) x[t] =

1 − a2 1 , a < |z| < −1 (1 − az )(1 − az) a

2. ¿Cu´al es la regi´on de convergencia de la transformada Z para estas se˜ nales? 1

Ãµ ¶ µ ¶t ! 1 t 3 a) x[t] = + u[t − 10] 2 4 ½ 1 −10 ≤ t ≤ 10 b) x[t] = 0 en otro caso c) x[t] = 2t u[−t] Soluci´on: a) |z| >

3 4

b) 0 < |z| < ∞ c) |z| < 2 3. Relacionar la transformada Z de x[t] con la de t X

s[t] =

x[k]

k=−∞

Soluci´on:

X(z) 1 − z −1 La ROC incluye al menos ROC(x) ∩ {|z| > 1} S(z) =

4. Hallar la transformada Z de la se˜ nal ! Ã t X t a u[t] s[t] =

con |a| < 1

k=−t

Soluci´on: X(z) =

1 + (1 + a)z −1 − az −2 , |z| > 1 (1 − az −1 )(1 − z −1 )

5. Considérese la se˜ nal periódica (de per´ıodo 4): s = (. . . , 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, . . .) y sea x[t] = s[t]u[t] (el producto de esta se˜ nal por el escalón unitario u[t].) Hallar la transformada Z de x. Solución: X(z) =

z −1 (1 + 2z −1 + z −2 ) , |z| > 1 1 − z −4

Propiedades de la transformada Z 1. Usar la transformada Z para hallar la convoluci´ on de estas se˜ nales:  µ ¶t  1 0≤t≤2 x1 [t] = 2  0 en otro caso. x2 [t] = δ[t] + δ[t − 1] + 4δ[t − 2] 2

Soluci´on: 3 19 9 (x1 ∗ x2 )[t] = δ[t] + δ[t − 1] + δ[t − 2] + δ[t − 3] + δ[t − 4] 2 4 4 2. Usar la transformada Z para hallar la convoluci´ on de estas se˜ nales: µ ¶t 1 x1 [t] = u[t] 2 x2 [t] = 3t u[−t] Soluci´on:

! µ ¶ Ãµ ¶t 6 1 (x1 ∗ x2 )[t] = u[t] + 3t u[−t − 1] 5 2

3. Usar la transformada Z para hallar la convoluci´ on de estas se˜ nales: x1 [t] = δ[t] + δ[t − 1] + δ[t − 2] + δ[t − 3] x2 [t] = δ[t] + δ[t − 1] + δ[t − 2] Soluci´on:

¢ ¡ (x1 ∗ x2 )[t] = . . . , 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, . . .

µ ¶|t| 1 4. Hallar la transformada Z de x[t] = |t| 2 Soluci´on: 5 z + 58 z −1 − 1 X(z) = ¡ 8 ¢2 ¡ ¢2 1 − 12 z −1 1 − 21 z con ROC:

1 2

< z < 2.

5. Sea y[t] una se˜ nal obtenida a partir de la se˜ nal x[t] de esta manera: t X

y[t] =

t x[t]

k=−∞

a) Probar que y[t] satisface esta ecuaci´on: ∆y[t] = (t + 1)x[t + 1] b) Usar la anterior propiedad para hallar la transformada Z de: y[t] =

µ ¶t t X 1 t 3 k=0

Soluci´on: X(z) = ³ 1− con ROC: |z| > 1 3

z −1 3 ´ −1 2 3

(1 − z −1 )

6. Una se˜ nal x[t] tiene transformada Z dada por: X(z) =

1 , |z| > a 1 − az −1

¿Cuánto vale x[0]? Solución: x[0] = 1 7. Una se˜ nal x[t] tiene transformada Z dada por: z 1 ¢¡ ¢ X(z) = ¡ 1 −1 1 −2 , |z| > 2 1 − 2z 1 − 3z ¿Cuánto vale x[0]? Solución: x[0] = 12 8. Hallar x[1] para una se˜ nal causal x[t] que cumple: X(z) = Solución: x[1] =

2 + 6−1 4 − 2z −2 + 13z −3

3 2

9. Sea x[t] una se˜ nal anticausal que cumple: X(z) =

3z −1 + 2z −2 3 − z −1 + z −2

Hallar x[0]. Soluci´on: x[0] = 2 10. Si x[t] es una se˜ nal real par (es decir x[−t] = x[t]) demostrar que su transformada Z cumple: X(z) = Z(z −1 ) 11. Usar la propiedad de la derivada para hallar la transformada Z de estas se˜ nales: ´ ³ t a) x[t] = t 12 u[t − 2] b) x[t] =

1 t

(−2)−t u[−t − 1]

Soluci´on: (a)

1 − 41 z −1 1 X(z) = z −2 ¡ ¢2 2 1 − 1 z −1 2

con ROC |z| > 12 . (b)

µ ¶ 1 X(z) = ln z + 2

con ROC: |z| < 12 .

Transformada Z inversa (antitransformada) 1. Hallar la antitransformada de µ ¶ ¡ ¢ 1 −1 2 X(z) = z 1 − z (1 − z −1 ) 1 + 2z −1 , 0 < |z| < ∞ 2 ³ ´ Soluci´on: x[t] = . . . , 0, 1, 12 , − 52 , 1, 0, . . . 2. Hallar la transformada inversa en los siguientes casos: a) X(z) = 4 + 3(z 2 + z −2 ), 0 < |z| < ∞. 1 3 b) X(z) = , |z| > 21 . 1 −1 + 1 − 2z 1 − 13 z −1 1 c) X(z) = , |z| > 2. −1 1 + 3z + 2z −2 1 d ) X(z) = , |z| > 1 −1 (1 − z )(1 − z −2 ) Soluci´on: a) x[t] = (. . . , 0, 3, 0, 4, 0, 3, 0, . . .) ¡ ¢t ¡ ¢t b) x[t] = 12 u[t] + 3 13 u[t] c) x[t] = 2(−2)t u[t] − (−1)t u[t] ¢ ¡ ¢¡ d ) x[t] = 14 (−1)t + 1 + 2(t + 1) u[t] 3. Hallar la antitransformada de X(z) =

3 , |z| > 2 z−2

¡ ¢ Soluci´on: x[t] = 3 2t−1 u[t − 1] 4. Hallar la antitransformada Z de 1 + 14 z −1 1 X(z) = ¡ ¢ , |z| > 1 −1 2 2 1 − 2z Soluci´on: x[t] = −

¡ 1 ¢t+1 2

u[t] + 3(t + 1)

¡ 1 ¢t+1 2

u[t]

5. Hallar la antitransformada de X(z) = Soluci´on: x[t] =

³¡ ¢ 1 t 2

z 1 , |z| < 2z 2 − 3z + 1 2

´ − 1 u[−t − 1]

6. Hallar la antitransformada de X(z) =

2z 2

³ ¡ ¢t ´ u[t] Soluci´on: x[t] = 1 − 21

z , |z| > 1 − 3z + 1

7. Hallar la antitransformada de X(z) =

z , |z| > 2 z(z − 1)(z − 2)2

¡ ¢ Soluci´on: x[t] = 1 − 2t + t2t−1 u[t] 8. Hallar la antitransformada de 2z 3 − 5z 2 + z + 3 , |z| < 1 (z − 1)(z − 2) ¡ ¢ Soluci´on: x[t] = 2δ[t + 1] + 32 δ[t] + 1 − 2t−1 u[−t − 1] X(z) =

9. Hallar la transformada Z inversa de µ ¶ 1 −1 1 X(z) = ln 1 − z , |z| > 2 2 Soluci´on: x[t] = − 1t

¡ 1 ¢t 2

u[t − 1]

10. Hallar la transformada Z inversa de X(z) = e1/z sabiendo que x[t] es causal. Soluci´on: x[t] = δ[t] + t!1 u[t − 1]

Aplicaci´ on a los sistemas LTI 1. Un sistema T de tipo LTI y causal viene descrito por esta ecuación en diferencias 1 3 y[t] − y[t − 1] + y[t − 2] = x[t] 4 8 Hallar la función de transferencia y la respuesta al impulso de este sistema. Solución:

1 z2 ¢ ¡ ¢ H(z) = ¡ 1 , |z| > 2 1 z−2 z−4 Ã µ ¶ µ ¶t ! 1 t 1 h[t] = 2 u[t] − 2 4

2. Un sistema T de tipo LTI tiene esta funci´on de transferencia: ¡ ¢ 1 − 12 z −2 ¢¡ ¢ H(z) = ¡ 1 − 12 z −1 1 − 14 z −1 con ROC dada por |z| > 12 . a) Hallar la respuesta al impulso de este sistema. b) Hallar una ecuaci´on en diferencias que describa este sistema.

3. Un sistema T de tipo LTI recibe esta se˜ nal de entrada µ ¶t 1 x[t] = u[t] + 2t u[−t − 1] 2 y produce como se˜ nal de salida: µ ¶t µ ¶t 1 3 y[t] = 6 u[t] − 6 u[t] 2 4 Hallar la funci´on de transferencia H(z) y decidir si el sistema es causal. 1 − 2z −1 ; el sistema es causal. Soluci´on: H(z) = 1 − 43 z −1 4. Cuando la entrada a un sistema T de tipo LTI es: x[t] = 2u[t] la salida es:

Ã µ ¶ µ ¶t ! 1 t −3 y[t] = 4 −3 u[t] 2 4

Hallar la respuesta al impulso este sistema. ³ ¡ de ¢ ¡ ¢t ´ 1 t 1 u[t − 1] Solución: h[t] = 2 δ[t] + −2 2 − 72 − 34 5. Un sistema T de tipo LTI viene descrito por la ecuación en diferencias 1 1 y[t] = y[t − 1] + y[t − 2] + x[t] − x[t − 1] 4 8 y condiciones iniciales de reposo. Encontrar la respuesta al impulso y la función de transferencia de este sistema. Solución: 1 − z −1 1 ¢¡ ¢ H(z) = ¡ 1 −1 1 −1 , |z| > 2 1 − 2z 1 + 4z µ ¶t µ ¶t 2 1 5 1 h[t] = − u[t] + − u[t] 3 2 3 4 6. Un sistema T de tipo LTI tiene función de transferencia: H(z) =

z 1 1 , |z| > 2 z−2

Encontrar la respuesta nal de entrada x[t] = tu[t]. ³¡ ¢ del sistema ´ a la se˜ 1 t Soluci´on: y[t] = 2 2 + t − 1 u[t] 7. Un sistema T de tipo LTI y causal tiene funci´on de transferencia: H(z) =

1 + z −1 1 − 12 z −1

Hallar la transformada Z de la se˜ nal de entrada y[t] = T (x[t]) dada por µ ¶ 1 1 t y[t] = − u[t] − 3 4 7

x[t] a la que le corresponde una salida 4 t 2 u[−t − 1] 3

Soluci´on:

1 x[t] = 15

µ ¶t 1 2 4 u[t] − 2t u[−t − 1] − (−1)t u[−t − 1] 4 3 15

8. ¿Cuáles de estas cuatro funciones pueden ser la función de transferencia de un sistema T de tipo LTI si sabemos que el sistema es causal? ¡ ¢2 1 − 12 z −1 ¢ a) X(z) = ¡ 1 − 13 z −1 (z − 1)3 b) X(z) = ¡ ¢2 z − 14 ¢3 ¡ z − 12 c) X(z) = ¡ ¢4 z − 13 ¡ ¢4 z − 13 d ) X(z) = ¡ ¢3 z − 12 Solución: a y c. 9. Cuando la entrada a un sistema T de tipo LTI es: µ ¶t 1 x[t] = u[t] + 2t u[−t − 1] 3 la salida es: y[t] = 5

µ ¶t µ ¶t 1 2 u[t] − 5 u[t] 3 3

a) Obtener la función de transferencia H(z) (sin olvidar la RC). b) Obtener la respuesta al impulso del sistema. c) Escribir una ecuación en diferencias que describa este sistema. d ) ¿Es causal el sistema? ³ ¡ ¢ ¡ ¢t ´ t Solución: h[t] = 12 δ[t] + −2 12 − 72 − 34 u[t − 1]