ECUACIONES DIFERENCIALES
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ricardo Chavez Cano INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE VENUSTIANO CARRANZA ECUACIONES DIFERENCIALES
TRANSFORMADA DE LAPLACE
ÍNDICE INTRODUCCIÓN .................................................................. 2 Pierre-Simon Laplace.......................................................... 3 TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................ 4 Definición de la transformada de Laplace: ......................... 4 Transformada Directa de Laplace....................................... 7 Transformada inversa. ..................................................... 10 Teorema Linealidad de la transformada ....................... 21 Teoremas de traslación .................................................... 22 Definición Transformada de delta .................................... 26 CONCLUSIÓN .................................................................... 31 BIBLIOGRAFÍA ................................................................... 31
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INTRODUCCIร N Una ecuaciรณn diferencial (ED) es una ecuaciรณn que relaciona de manera no trivial a una funciรณn desconocida y una o mรกs derivadas de esta funciรณn desconocida con respecto a una o mรกs variables independientes. Si la funciรณn desconocida depende de una sola variable la ecuaciรณn diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de mรกs de una variable, se llama parcial . La frase de manera no trivial que hemos usado en la definiciรณn anterior tiene como propรณsito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definiciรณn, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quiรฉn sea la funciรณn desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:
Esta ecuaciรณn es satisfecha por cualquier funciรณn en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es
Es claro que lo que estรก detrรกs de esta ecuaciรณn es la fรณrmula notable ; por lo que la ecuaciรณn es satisfecha por cualquier funciรณn derivable. Nuestra atenciรณn se centrarรก sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuaciรณn diferencial ordinaria es aquella que tiene a dependiente y a
como variable
como variable independiente se acostumbra expresar en la forma (1.4)
para algรบn entero positivo
. Si podemos despejar de esta ecuaciรณn la derivada
mรกs alta, obtenemos una o mรกs ecuaciones de orden
de la forma
pรกg. 2
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Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
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TRANSFORMADA DE LAPLACE Definición de la transformada de Laplace: La transformada de Laplace es un operador LINEAL muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales. Laplace demostró como transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos. La transformada de Laplace de una función f (t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una función L[f] de una variable real s dada por:
Está definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido. Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simon Laplace) puede resolverse un tipo de ecuaciones diferenciales de orden n, son las llamadas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, muy comunes en la resolución de circuitos eléctricos:
Las A son constantes, y la variable "x" en la práctica suele ser el tiempo. Transformación (transformada) de Laplace de una función. Para simplificar los cálculos supondremos que nuestras funciones y = f(x) cumplen las siguientes condiciones: 1) f(x) está
definida
para
todos
los
puntos
.
2) f(x) es continúa o continúa a trozos en cualquier intervalo 0 < x < b. 3) f(x) es de orden exponencial a, lo cual significa que
f(x) es tal que:
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La transformada de Laplace de una función f(x) con las características arriba indicadas se define como:
[1] Así definida, como una integral, la transformada de una función f(x) cumple las típicas propiedades de linealidad:
La transformada de Laplace Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:
L{ f (t )} F ( s ) f (t ) e st dt 0
donde s es una variable compleja
s iw.
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge. Observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:
h
st st e f ( t ) dt lim e f (t )dt 0
h
0
Notación:
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L f (t ) F (s),
L y (t ) Y ( s ),
L x(t ) X ( s ), etc. Condiciones suficientes de existencia de la TL
L{ f (t )} F ( s ) f (t ) e st dt 0
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
| f (t ) | Meat , t [0, ) Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
b tq lim | f (t )e bt | 0 t
Entonces: L{f(t)} = F(s) existe s > a. Calcula la transformada de f(t) = tn:
L t F (s) n
0
e st t e dt t s n st
nt
n
0
0
n 1
e st dt s
n n 1 st n t e dt L t n 1 s 0 s
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n L t n L t n 1 s 1 L t0 s
n! n L t n 1 s
n! f (t ) t F ( s) n 1 s Re s 0 n
Transformada Directa de Laplace La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales. La transformada de Laplace de una función f (t) se define como:
Pasando del dominio temporal t al dominio complejo s, siendo F (s) llamada transformada de Laplace de f (t), formando el par f (t) ⇔ F (s) La transformada de Laplace es una herramienta muy importante para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas, con lo que se facilita su estudio. Por ejemplo la transformada de Laplace se suele utilizar en la modelación matemática de la suspensión de un automóvil.
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Modelo de suspensión de un vehículo Supongamos que llamamos f(t) a la fuerza de entrada y por z(t) al desplazamiento salida del sistema, en tal caso, se tiene que:
De donde llegamos a que:
Tenemos por tanto una ecuación diferencial lineal, que puede ser transformada a una ecuación algebraica mediante la transformada de Laplace. De esta forma nos sería más fácil su estudio. Definiciones: 1. Dados dos números reales a,b con a<b, una función
, se dice
que es continua a trozos si existe una partición del intervalo [a,b] de la forma de
forma
que
f
es
intervalos
continua
en
uno
de
los
, y además existen y son finitos los
límites laterales de f en cada uno de los puntos 2. La función
cada
.
se dice que es continua a trozos si es continua
a trozos en cada intervalo Transformada Directa de Laplace
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Imaginemos un integral que sea de la forma,
Aquí es un valor muy grande y g(y) y h(y) son funciones continuamente diferenciables, donde la función g(y) tiene sus mínimos locales en el punto y* dentro de un intervalo par abierto (a, b) para los cuales la función es definida. Imagina que la densidad de Y es muy alta, entonces la integral puede ser sólo un integral o puede ser una anticipación subsecuente de la función h(y). También puede ser una función que genera el momento parala distribución de la función g(y). En caso de que el valor de sea muy grande, entonces su participación hacia esta integral fundamental instiga desde las inmediaciones alrededor del punto y *. Las declaraciones crípticas con respecto a la integral, como se ha establecido arriba, puede ser formalmente denotada en la manera de una expresión de Taylor como la función g(y) alrededor del punto y * como, g(y) = g(y*) + g’(y*) (y – y*) + g’’(y*) (y – y*)/ 2 + … Al hacer uso de las condiciones iniciales establecidas anteriormente que el punto y * es el punto de mínimos locales, podemos afirmar que g’(y*) = 0 y g’’(y*) es siempre mayor que cero. Por lo tanto, reescribiendo la ecuación anterior obtenemos, g(y) - g(y*) =g’’(y*) (y – y*)/ 2 + … Mediante la aproximación de la función h(y) linealmente en las proximidades del punto y * obtenemos,
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= La derivación anteriores la fórmula para la densidad Gaussiana teniendo g’’ (y*) como su densidad. La aproximación de esto es,
Esto se conoce como el método de integración de Laplace el cual es utilizado para aplicar directamente la transformada de Laplace. Para determinar la transformada de Laplace de una función dada, encuentra su producto con el núcleo de la transformación el cual es e-st. En tal escenario, la función de entrada sirve como la función h(y) y - g(y), la cual es sustituida por–st.
Transformada inversa. La transformada inversa de Laplace de una función F(s), es otra función f(x), designada por
, tal que cumple:
.
Un teorema asegura que si la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es continua, entonces también es única (no depende de ningún parámetro). Al igual que en el caso de la transformada, también se cumple la linealidad:
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El método más común para hallar la transformada inversa de una función F(s) es mediante la tabla, fijándonos ahora en la segunda columna para hallar la función(x) de la primera columna, como veremos a continuación en los ejemplos. Van a ser muy utilizados dos recursos que pasamos a comentar. * El método del cuadrado. Se trata de expresar un polinomio de segundo grado, a s2 + b s + c, en la forma: a(s + k)2 + h2. El proceso es muy simple:
* El método de las fracciones parciales. Es el mismo método usado en las integrales indefinidas. Toda función en la forma fraccionaria p(s)/q(s), -siendo p(s) y q(s) polinomios tales que el grado de p(s) sea menor que el del q(s)- puede expresarse como una suma de otras fracciones en cuyos denominadores vienen polinomios de grado 1 o cuadráticos elevados a una potencia. Es decir, la suma de:
Para cada raíz real del polinomio q(s), s = a, de orden de multiplicidad m, más la suma de:
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Para cada raíz compleja del tipo s2 + bs + c=0, de orden de multiplicidad p. Finalmente ponemos el mismo denominador en el miembro de la derecha e identificamos los coeficientes de ambos numeradores, lo que nos conduce a un sistema simple que nos permite hallar el valor de todas estas constantes A1, A2,..., B1, B2,..., C1, C2,... Como ejemplo vamos a realizar esta descomposición para la función:
Tenemos tres raíces reales: s = 0 (orden de mult. 3), s = 2 (orden 1) y s = -1 (orden 1), entonces:
El denominador común del miembro de la derecha es s3 (s2 - s - 2), que obviamente coincide con el de la izquierda. Ponemos este denominador común a la derecha, y cancelamos ambos denominadores, lo que nos lleva a:
Ahora en esta identidad vamos haciendo sucesivamente s =0, s=2, s=1,... lo que nos va conduciendo a la determinación de los coeficientes. Finalmente tenemos:
La transformada inversa de Laplace Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos
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resolver
para
,
es
decir,
.
Ahora,
pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución necesitamos de la transformada inversa
como
si
que buscamos. Es decir, , para hallar la función
Entonces definamos la transformada inversa. Definición [Transformada inversa de Laplace]
Si
es la transformada de Laplace de una función continua
decir, escrita
, entonces la transformada inversa de Laplace de es
, es ,
, es decir,
Ejemplo Calcule
Solución Puesto que
tenemos que
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Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede
no
ser
siendo
única.
En
efecto,
es
posible
que ,
. Para nuestro propósito esto no es tan
malo como parece, pues, si f y g son continuas y de orden exponencial en
y
, entonces f(t)=g(t) ; pero, si f y g son continuas y de orden exponencial en
y
, entonces se puede demostrar que las
funciones f y g son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad. Ejemplo Calcule
, donde
esta dada por
Solución Usando la definición de transformada
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Pero, anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones
y
tienen la misma transformada, de este modo,
la transformada inversa de
no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de
Teorema [Comportamiento de
Sea en
en infinito]
una función continua a trozos y de orden exponencial , entonces
Demostración Puesto que
es continua a trozos en
es acotada en este intervalo; o sea,
y así
en infinito.
cuando
para todo
, de modo que
necesariamente . De donde
cuando
.
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Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que continua a trozos o de orden exponencial, basta con que
sea
existe.
Ejemplo ¿ Porqué no existe una función
tal que
?
Solución Suponga que existe, entonces por el teorema anterior
lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función. Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función
tal que
,
,
,
, es decir,
estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional numerador
es la transformada de alguna función es menor que la del denominador
si el grado del
.
Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático, especialmente cuando se trazan gráficas. Teorema [Del valor inicial]
Si
y
existe y es igual a
, entonces
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Demostraci贸n: Como
y
siempre y cuando
sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que
siempre y cuando
sea continua por la derecha en
.
Ejemplo Si
, calcule
.
Soluci贸n Usando el teorema del valor inicial
Note que no fue necesario calcular
.
Teorema [Del valor final]
Si
y el l铆mite
existe, entonces
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Demostración: Análoga a la anterior. El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa. Teorema [Linealidad de la transformada inversa]
Sean
y
intervalo
funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el tales que
y
, entonces
Ejemplo Calcule
Solución Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir
en fraciones parciales
ahora sí
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El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales. Ejemplo Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial
Solución Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial
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Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar
Observaciรณn: estรก ecuaciรณn diferencial puede resolverse como una ecuaciรณn lineal con factor integrante
.
pรกg. 20
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Teorema Linealidad de la transformada
Si
y
existen entonces Para cualquier constante real .
Demostraci贸n Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.
Ejemplo Calcule
.
Soluci贸n Como
Por la propiedad de linealidad
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Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada. Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para Alfa y Beta constantes.
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S
Teoremas de traslación No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular , es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.
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Si conocemos que
, podemos calcular la transformada de
como una traslación, de
a
, como lo enuncia el siguiente
teorema.
Teorema [Primer teorema de traslación] Si
es un número real y
Donde
existe, entonces
.
Forma inversa del primer teorema de traslación:
Demostración La prueba es inmediata a partir de la definición
Observación: si consideramos a de la gráfica de
es la misma de se desplaza
gráfica se traslada
como una variable real, entonces la gráfica trasladada
unidades sobre el eje . Si
unidades a la derecha, mientras que, si
, , la
unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslación se
acostumbra escribir
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Donde
significa que se sustituye
por
en
.
Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento
Uso del primer teorema de traslacion
EJEMPLO 1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace. pág. 24
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SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 2 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente:
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE t
SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.
Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento
[Función delta de Dirac] La función delta de Dirac está dada por
Definición
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Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).
[Propiedades de la función delta] La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades
Teorema
El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.
Definición Transformada de delta Para
Demostración Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario
De donde tenemos que
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Con lo cual
Observaci贸n: a
partir
de
es
. Esto reafirma el hecho de que que se espera que
cuando
razonable
concluir
que
no es una funci贸n ordinaria, puesto
.
La funci贸n delta de Dirac
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Cuando a 0, (4) es 0/0. Use la regla de L’Hopital, entonces (4) tiende a 1 cuando a 0.
L (t t0 ) lim L a (t t0 ) a 0
Así
e
st 0
e sa e sa lim a 0 2 sa
st 0 e
Ahora cuando t0 = 0, tenemos pág. 28
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L (t ) 1 Función delta de Dirac Sea la función parametrizada:
f (t )
1
u (t a) u t (a )
f (t )
1/ a a
Observemos que
(t a) lim 0 f (t ) s 1 e as e ( a ) s as 1 e L f (t ) e s s s
lim 0 L f (t ) e
as
1 e s se s as as lim 0 e lim 0 e s s
Así la transformada de la función delta de Dirac es:
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t
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L (t a ) e
as
L (t ) 1 (t )
(t a)
a
t
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CONCLUSIร N En conclusiรณn las transformadas de Laplace son muy importantes ya que nos ayudan a establecer expresiones algebraicas por medio de fรณrmulas estandarizadas el resultado de una ecuaciรณn diferencial por medio de una transformada de Laplace y se establece en la siguiente imagen:
Las transformadas de Laplace se encuentran divididas en varias ramas donde se establecen una que es de integrales impropias sobre un intervalo no integrado donde se establece una regla siempre y cuando el valor del intervalo se mayor un numero al otro y este determinara si este converge y si no lo hace nos expresa que no existe. Puesto que las transformadas de Laplace son mรกs eficientes y rรกpidas se obtendrรก un resultado mรกs preciso y rรกpido por medio de fรณrmulas que ya se han obtenido y gracias a estas las ecuaciones diferenciales son mรกs comprendibles.
BIBLIOGRAFร A http://jordanreyes3.blogspot.mx/2011/05/propiedades-de-la-transformada-de.html http://www.powershow.com/view/29218fYzYyN/Transformada_de_Laplace_powerpoint_ppt_presentation https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDOGeo/edo-cap5-geo/laplace/node4.html http://mitecnologico.com/sistemas/Main/TransformadaDirecta
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