1.
Introducción a las redes de optimización…………………...…………………...1 1.1. Descripción de los nodos………………...…………………………………2 1.2. Conceptos…………………………………………………………………….3 1.3. Elementos en los arcos……………………………………………………..4 1.4. Nodos Especiales…………………………………………………………...4
2.
Aplicaciones………………………………………………………………………...5 2.1. Ruta más corta……………………………………………………………….5 2.2. Flujo Máximo…………………………………………………………………7 2.3. Flujo a Costo Mínimo……………………………………………………....11 2.4. Redes de Actividad………………………………………………………...14
3.
Clasificación de los problemas…………………………………………………..19
4.
Clasificación de los métodos…………………………………………………….20
5.
Conoce más de los creadores…………………………………………………..22
6.
Bibliografía…………………………………………………………………………24
La optimización de redes surge a partir de la necesidad de sacar el mayor provecho o beneficio o el menor costo posible a problemas que, precisamente, utilizan redes para poder ser visualizados de una mejor forma. Las redes, en la Investigación de Operaciones (IO), son un conjunto de nodos que se conectan entre sí, por medio de un conjunto de arcos. En la siguiente imagen podemos observar las diferentes situaciones en las que podrían intervenir las redes:
Además de estos ejemplos existen otra serie de problemas que se pueden plantear, resolver e interpretar mediante una red, por ejemplo, el sistema de vuelos en los aeropuertos o las rutas de navegación.
El principal objetivo de las redes de optimización varía dependiendo el tipo de problema. Puede ser encontrar la ruta más corta (en una red de caminos), enviar la máxima cantidad de fluido (flujo máximo), gastar la menor cantidad posible (flujo a costo mínimo) o encontrar la duración de un proyecto (redes de actividad). Si se desea, este tipo de problemas se pueden resolver utilizando el Método Simplex, pero debido a la complejidad que este método genera, se han desarrollado métodos específicos. Estos métodos nos pueden ahorrar mucho tiempo y complicaciones porque: ● Son sencillos de comprender y de aplicar. ● En el Método Simplex pueden generarse demasiadas iteraciones, debido a la gran cantidad de variables y restricciones.
Las redes son conjuntos de nodos y arcos conectados entre sí. Los arcos pueden tener o no una dirección, si tienen una dirección se denominan arcos dirigidos, además si un arco es dirigido puede pasar flujo a través de este.
El problema de la ruta más corta es uno de los problemas más importantes de optimización combinatoria con muchas aplicaciones, tanto directas como subrutinas en otros algoritmos de optimización combinatoria. Encontrar la ruta más corta entre dos nodos de una red, en la cual cada arco tiene un costo o longitud no negativo es un problema que a menudo se presenta en cierto tipo de actividades. Si denominamos ruta o camino, a cualquier secuencia de arcos que conecte el nodo origen con el destino, la resolución consiste en encontrar la más corta posible teniendo como objetivo minimizar el costo (tiempo o longitud) total. Ejemplo: Carlos quiere colocar postes para la energía eléctrica en diferentes pueblos, Carlos quiere saber cuáles son las rutas más cortas entre los diferentes pueblos para poder hacerles llegar el servicio. En la tabla se muestra la distancia en km de un pueblo a otro. El modelo consiste en encontrar la ruta más corta que llegue a todos los pueblos.
Este tipo de problema es un árbol de peso mínimo para poder llegar a una solución la gráfica final se debe cumplir con los siguientes elementos:
Este problema lo resolveremos mediante el método Kruskal. Los pasos de este método son: ● Se ordenan las aristas de mayor a menor peso. ● Se selecciona la arista de menor peso sin generar ciclos. ● Se detiene este proceso hasta que se tengan n-1 arcos. En la tabla se muestran todos los arcos y de color verde los arcos que se tomaron. arco
peso
arco
Peso
5,6
1
1,2
3
5,2
1
5,4
3
4,7
1
4,6
3
8,2
2
2,4
4
8,5
2
3.7
4
8,1
3
1,3
5
Una vez que se seleccionaron los arcos con peso mínimo mediante el método Kruskal se saca el peso es la suma del costo de cada arco de la última gráfica: Peso = 3+2+1+1+3+1+4 =15 El peso nos indica la distancia máxima en km para colocar los postes de energía eléctrica.
Muchos problemas pueden ser modelados mediante una red en la cual se considera que los arcos tienen la capacidad de limitar la cantidad de un producto que se puede enviar a través del arco. En estas situaciones, frecuentemente se desea transportar la máxima cantidad de flujo desde un punto de partida llamado fuente hacia un punto final denominado destino.
“El objetivo es maximizar la cantidad total del flujo de la fuente al destino.”
Ejemplo: La Compañía Petrolera GAS tiene una refinería localizada en la ciudad A. La gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamiento a la ciudad G a través de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en diferentes ciudades B, C, D, E, F el oleoducto está construido en segmentos que conectan parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número máximo conocido de galones por hora que pueden enviarse. Esos segmentos y sus respectivas capacidades en galones por hora se ven en la siguiente tabla: El problema consiste en llevar el máximo de la capacidad de gasolina por hora desde la ciudad A hasta la ciudad G. Para la solución del problema utilizaremos el Algoritmos de Ford y Fulkerson: ● Hacer pasar un flujo cualquiera. Si debido a las capacidades el flujo supuesto es muy grande se va disminuyendo el flujo compatible con las capacidades de los arcos. ● Analizar si hay un flujo saturado (flujo = capacidad) si en la red existe un camino del nodo inicial al nodo terminal no saturados, se aumenta el flujo hasta que la mayoría de los arcos se saturen. ● A partir de un flujo que tenga al menos un arco saturado marcas los nodos de la red de la siguiente manera:
● Si por este procedimiento se llega a marcar el nodo final, se considera la cadena que pasa por los nodos marcados con + o con - que van del nodo origen al destino. si un arco de esta cadena está orientado en el orden indicado por la secuencia de los nodos que forman la cadena, entonces el flujo de dicho arco se aumenta en una unidad en caso contrario se disminuye una unidad
Se repiten los pasos 3 y 4 hasta lograr que no aparezca ninguna cadena de nodos marcados que vayan de la fuente a destino.
Primero para generar la red tomamos las rutas y las capacidades que se encuentran en la tabla, se crea un nodo para cada ciudad se coloca el nodo origen y destino en los extremos para más comodidad, se colocan flechas que indiquen que el camino que puede tener cada ciudad de un punto a otro y colocando su capacidad correspondiente en la arista que conecta a dichos nodos como se ve a continuación:
Tomaremos A=1,B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7 para los nodos. Una vez creada la red aplicamos los pasos del método
Una vez asignado el flujo se sacará F que es el flujo máximo hasta el momento que es la suma de los flujos que llegan al nodo terminal.Como no se llenó toda la capacidad del arco FG y hay unidades de flujo disponibles en el arco A-D se aplican el paso 3 y 4. En vez de aumentar o disminuir de una unidad en una, como el problema nos lo permite, enviamos 3 unidades teniendo en cuenta que el flujo cambiado no excede las capacidades de la cadena y que por lo menos se tengan unidades de flujo suficientes.
Para terminar se calcula el flujo máximo de gasolina enviados de la ciudad A a la ciudad G con un total de 23,000 galones por hora.
Los problemas de costo mínimo busca una distribución factible entre los nodos origen y destino obteniendo el menor costo posible, características: ● Red conexa dirigida. ● Al menos un nodo origen y un nodo destino. ● El resto de los nodos son de transbordo. ● Los arcos tienen una sola dirección. Ejemplo: Se tiene la siguiente red:
Llegaremos a la solución de flujo a costo mínimo utilizando el método de eliminación de circuitos negativos. Primero utilizaremos el algoritmo de Ford y Fulkerson para generar un flujo factible:
Despu茅s construimos la red marginal:
Identificaci贸n de un circuito negativo:
Podemos observar que el circuito 1-3-2-1 es negativo. Entonces:
De nueva cuenta se genera la red marginal:
Ahora observamos que el circuito negativo es el siguiente:
Tenemos:
Luego actualizamos el flujo:
Volvemos marginal:
Ahora el circuito negativo es:
Tenemos:
a
construir
la
red
Actualizando el flujo:
La red marginal es la siguiente.
Como ya no existe ningún circuito negativo, llegamos a la solución final. Z= 6375
Una red de actividades o proyecto es un conjunto de actividades interrelacionadas entre sí, cada una con una duración y unos recursos necesarios para llevarla a cabo. Las técnicas PERT (Program Evaluation and Review Technique) y CPM (Critical Path Method) son dos herramientas desarrolladas para resolver el problema del tiempo mínimo que hoy en día sigue siendo esencial en lo que a la dirección de proyectos se refiere, por lo que el estudio de sus características y propiedades sigue vigente, incluyendo situaciones más complejas y reales.
Planeación: ● Identificar las actividades individuales que componen el proyecto. ● Estimación de tiempo de cada actividad. ● Identificar las relaciones entre las actividades. ● Dibujar RED.
Ejemplo: Red de actividades
CPM Método del Camino Crítico es una parte de la fase administrativa de planeación que se encarga de la programación, ejecución y control de un proyecto que deba realizarse con aprovechamiento óptimo de tiempo y costos destinados al mismo. No solo se denomina Camino Crítico al sistema total, sino también se le llama así a la serie de actividades, a partir de la iniciación y hasta la terminación del proyecto que no tienen posibilidad de variación en su tiempo de ejecución, ya que si una de ellas retrasará el proyecto total sufrirá el mismo efecto. Se manejan dos puntos para calcular el tiempo:
Revisión hacia adelante. Se calcula la duración de un proyecto I. Tiempo próximo de iniciación. II. Tiempo próximo de terminación
Para calcular los tiempos de cada actividad: Para entender de forma más sencilla llamaremos a Tiempo acumulado (TA), Tiempo de la tarea (TT), y Suma total (S) = TA + TT] [TA, TT , S] Si hay más de una actividad predecesora se toma el tiempo total del predecesor que sea mayor.
Revisión hacia atrás. Se calculan los tiempos de holgura (lo que falta) I. Tiempo más lejano de iniciación. II. Tiempo más lejano de terminación
Para calcular los tiempos de cada actividad: En este caso llamaremos a Z= tiempo más lejano de terminación, Y= tiempo de holgura, y X= Tiempo más lejano de terminación donde se calculan en orden de Z, Y, X. {X =Z-TT, Y =Z-S, Z=S} Si hay más de una actividad predecesora se toma el tiempo total del predecesor que sea mayor.
Como podemos ver en revisión hacia atrás Y son el tiempo de holgura por lo tanto las rutas que tengan 0 en el tiempo de holgura se consideran rutas críticas (las que se encuentran en color rojo) ya que si no se cumplen en el tiempo especificado afectarán la fecha de terminación del proyecto. En conclusión el proyecto tendrá un tiempo de 35 semanas, días, etc. y las actividades A, E, F, G son rutas críticas.
Tipo de Problema
Características
Planteamientos
Métodos
Ruta más corta (RMC)
Los nodos pueden representar periodos, sitios o capacidad y artículo Los arcos representan tiempo faltante, rutas o costos totales Solo se manejan costos y la capacidad es infinita
Reemplazo Ruta más segura Tipo mochila Planeación de producción
PRIM Kruskal Dijkstra Dijkstra generalizado Floyd
Flujo Máximo
Tiene un solo nodo origen y un solo nodo destino Los arcos manejan capacidades, pero no costos y por ellos pasa flujo
Casamentero Típicos (asignación)
Ford y Fulkerson
Flujo a Costo Mínimo
Los nodos son instantes en el tiempo Las capacidades de los arcos están en función de las ofertas y demandas Es el problema general de redes, ya que aparte de nodos y arcos maneja capacidades y costos
Planeación de producción Asignación de empleados
M. Eliminación de circuitos negativos M. Basado en ruta más corta M. Simplex
Redes de Actividad
Los nodos representan instantes en el tiempo (iniciales o terminales) Los arcos representan la duración de la actividad Nos ayudan a planear de manera óptima un proyecto
PERT
CPM
Método
Tipo de problema
Características
Ventajas
Desventajas
PRIM
Árbol de peso mínimo
Trabaja con nodos, árboles, redes sin dirección y necesita n-1 iteraciones
Fácil de usar
Sólo resuelve problemas pequeños
Kruskal
Árbol de peso mínimo
Trabaja con arcos, árboles, redes sin dirección y las iteraciones son más que n-1
Resuelve problemas grandes
Pueden generarse muchas iteraciones
Dijkstra
Ruta más corta entre dos nodos
Trabaja con arborescencias, redes dirigidas y etiquetas
Fácil de usar
No acepta costos negativos y etiqueta a destiempo
Dijkstra generalizad o
Ruta más corta entre dos nodos
Trabaja con arborescencias y redes dirigidas con cualquier costo. Funciona como el M. Simplex
Acepta costos negativos
Pueden generarse muchas iteraciones
Floyd
Ruta más corta entre todo par de nodos
Trabaja con redes dirigidas con cualquier costo y genera cualquier ruta
Encuentra toda ruta más corta
Muchas combinaciones en el método
Ford y Fulkerson
Flujo máximo
Trabaja con redes conexas dirigidas, los arcos tienen capacidades y no costos. El objetivo es maximizar el flujo
Fácil de entender y de aplicar
El método tiene muchas variantes que pueden confundir
Método
Tipo de problema
Características
Ventajas
Desventajas
Eliminación de circuitos negativos
Flujo a costo mínimo
Trabaja con redes marginales, varios arcos iniciales y terminales, capacidades y costos
No tiene problemas con circuitos negativos
Necesita otros métodos para funcionar
Basado en ruta más corta
Flujo a costo mínimo
Trabaja con redes marginales, varios arcos iniciales y terminales, capacidades y costos
Fácil de entender y de aplicar
Pueden generarse muchas iteraciones
Simplex
Flujo a costo mínimo
Trabaja con redes conexas dirigidas, varios arcos iniciales y terminales, capacidades y costos
Existen ofertas y demandas
Muchos pasos para cada iteración
CPM
Redes de actividad
Trabaja con cada par de nodos (inicial y terminal) para determinar los tiempos
Operaciones básicas para las revisiones
La revisión hacia atrás puede ser confusa
Personaje
Aporte
Acerca del personaje
Solución del problema del camino más corto, también conocido como el algoritmo de Dijkstra.
Dijkstra estudió física teórica en la Universidad de Leiden. Trabajó como investigador para Burroughs Corporation a principios de los años 1970. En la Universidad de Texas en Austin, Estados Unidos, ocupó el Schlumberger Centennial Chair in Computer Sciences. Se retiró en 2000.
En 1956 descubrió un algoritmo para la resolución del problema del árbol recubridor mínimo llamado algoritmo de Kruskal.
Fue un matemático y estadístico estadounidense. Investigador del Math Center (Bell-Labs), Joseph era hermano del matemático y estadístico William Kruskal (autor de la Prueba de Kruskal-Wallis), y del matemático y físico Martin Kruskal (autor de las coordenadas de KruskalSzekeres).
En compañía del matemático Delbert Ray Fulkerson desarrollaron el algoritmo de flujo máximo Ford-Fulkerson. Maximum flow problem fue la publicación original.
Hijo de Lester Randolph Ford y Marguerite Eleanor John. Pasó a convertirse en un excepcional matemático que trabajó para la corporación RAND.
Edsger Wybe (1930-2002)
Joseph B. Kruskal (1928 – 2010)
Lester R. Ford, Jr (1927)
Personaje
Delbert Ray Fulkerson (1924-1976)
Robert W. Floyd ( 1936 -2001)
Aporte
Acerca del personaje
Algoritmo de FordFulkerson, uno de los algoritmos más utilizados para computar el flujo máximo en una red de flujo.
Fulkerson recibió su Ph.D. en la Universidad de WisconsinMadison en 1951. En 1956, su importante artículo científico fue publicado. Desde 1979, la Sociedad de Programación Matemática (MPS) y la American Mathematical Society (AMS) otorgan cada tres años el Premio Fulkerson, para aquellos matemáticos que hayan creado artículos importantes en el área de la matemática discreta.
Método de Floyd enfocado en el diseño y análisis de algoritmos eficientes para encontrar el camino más corto.
Fue un prominente científico estadounidense en informática. Nacido en Nueva York, Floyd culminó el bachillerato a los 14 años. Se graduó en la Universidad de Chicago en 1953 a los 17 años y como Físico en 1958. Operador de computadoras en los años 60, publicó sus primeros artículos los cuales fueron de gran influencia y fue nombrado profesor asociado en la Universidad de Carnegie Mellon. Seis años más tarde fue nombrado profesor en la Universidad de Stanford.
Ruta más corta: Por OQ Liliana - 2005, recuperado el 05 de Octubre 2014, disponible en la dirección: http://www. ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/539/A4.pdf?sequence=4 OPTIMIZACIÓN CON MODELOS DE RED, recuperado el 05 de Octubre 2014, disponible en la dirección: http://www.uv.es/asepuma/XIII/comunica/comunica_17.pdf Flujo máximo: Análisis cuantitativo con WINSQB, recuperado el 05 de Octubre 2014, disponible en la dirección: http://jrvargas.files.wordpress.com/2008/08/manual-de-winqsb.pdf Tercerización de la distribución, recuperado el 10 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://www.revistadelogistica.com/tercerizacion-de-la-distribucion.asp Redes de actividad: ANÁLISIS DE UNA RED DE ACTIVIDADES CON ACTIVIDADES DE DURACIÓN ALEATORIAS E INCIERTAS, recuperado el 14 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://www.iit.upcomillas.es/pfc/resumenes/44918e510ae56.pdf Modelado y Optimización de Proyectos, recuperado el 14 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://www.iit.upcomillas.es/aramos/simio/transpa/t_planif_ac.pdf Redes de actividades (Ingeniería Industrial), recuperado el 14 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: ttps://es.scribd.com/doc/21654548/Redes-de-actividades-Ingenieria-Industrial Conociendo a los Creadores: Wikipedia enciclopedia libre, EdsgerDijkstra, recuperado el 16 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://es.wikipedia.org/wiki/Edsger_Dijkstra Wikipedia enciclopedia libre, Robert W. Floyd, recuperado el 16 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_W._Floyd Wikipedia enciclopedia libre,DelbertRayFulkerson, recuperado el 16 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://es.wikipedia.org/wiki/Delbert_Ray_Fulkerson Fes acatlán unam, imagen recuperada el 16 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: https://pbs.twimg.com/profile_images/678197686/LogoSocialAcatlan.png
Wikipedia enciclopedia libre, Joseph Kruskal, recuperado el 16 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Kruskal Referencias de imágenes: Desde Ciudad Rodrigo, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://www.guadramiro.com/como-llegar/desde-ciudad-rodrigo/ Cronogramas de barras vs diagramas de redes en la gestión de proyectos, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://ingenieriacivil.tutorialesaldia. com/cronogramas-de-barras-vs-diagramas-de-redes-en-la-gestion-de-proyectos/ Red de distribución de agua potable: ¿abierta o cerrada?, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://ingenieriacivil.tutorialesaldia.com/red-dedistribucion-de-agua-potable-abierta-o-cerrada/ Tipos de mapas ArcGIS, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://resources.arcgis.com/es/help/getting-started/articles/026n00000017000000.htm La red eléctrica, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://twenergy.com/a/la-red-electrica-998 Portada, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://www.taringa.net/post/imagenes/15861098/Fondos-Elegantes-para-sus-Presentaciones-enPower-Point.html WhyDijkstraDidn'tLikeLisp?, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://kazimirmajorinc.com/Documents/Why-Dijkstra-didnt-like-Lisp/index.html Martin Kruskal, pre-eminentmathematician, dies at age 81, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://www.princeton. edu/main/news/archive/S16/79/27A47/index.xml?section=topstories
DelbertRayFulkerson, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://blankmac.blogspot.mx/
Oral-History:RobertLucky, imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://www.ieeeghn.org/wiki/index.php/Oral-History:Robert_Lucky Fondo, Pastel leaves frame on white background , imagen recuperada el 05 de Octubre 2014, se encuentra disponible en la dirección: http://www.dreamstime.com/royalty-free-stock-photos-pastelleaves-frame-white-background-image23749068
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Acatlán Licenciatura en Matemáticas Aplicadas y Computación
Autores: Anaya Nava Ricardo Daniel Olvera Guzmán Mauricio Materia: Optimización Entera y Dinámica Profesora: Guadalupe del Carmen Rodríguez Moreno