Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma quest˜ao que possa surgir ao resolver um exerc´ıcio de matem´atica. Espero que lhe seja u ´til!
Cap. I Frac¸co˜es 1. Soma e Produto de Frac¸ c˜ oes Para somar (ou subtrair) frac¸co˜es ´e necess´ario que estas estejam ao mesmo denominador. Feito isto mant´em-se o denominador e somam-se (ou subtraem-se) os numeradores: 2 1 2 1 12 5 12 − 5 7 − = − = − = = 5 6 5 (×6) 6 (×5) 30 30 30 30 Para multiplicar frac¸c˜oes basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2×1 2 1 2 1 × = = = 5 6 5×6 30 15 Caso algum factor n˜ao tenha denominador considera-se que este ´e igual a 1: 3×
4 3 4 12 = × = 5 1 5 5
2. Divis˜ ao de Frac¸co ˜es Para resolver divis˜oes do tipo:
2 3 4 7 Pode-se multiplicar a frac¸ca˜o superior pelo inverso da inferior. Ou ent˜ao, recorrer `a regra do ”pneu”em que os extremos da divis˜ao passam (a multiplicar) para o numerador e os elementos do meio passam para o denominador. Isto ´e
2 3 4
14 12
7 Caso a divis˜ao tenho apenas trˆes parcelas ent˜ao aconselha-se a completar a parcela de modo a obter uma situa¸c˜ao como a anterior. Vejamos dois exemplos diferentes: x+3 5
x−1 x+3 5 x−1
=
=
x+3 5 x−1 1
x+3 1 5 x−1
=
=
(x + 3) × 1 5 × (x − 1)
(x + 3) × (x − 1) 1×5
´ importante saber onde est´a a ”principal”divis˜ao de modo a completar de modo conveE niente. 1
3. Simplifica¸c˜ ao em Frac¸co ˜es Em frac¸c˜oes s´o ´e permitido eliminar factores que estejam a multiplicar, por exemplo: x2 − 7x x(x2 − 7x) = x2 x Em caso de soma no numerador ´e sempre poss´ıvel separar a frac¸c˜ao e depois proceder `a simplifica¸c˜ao. Por exemplo: x2 − 3 x2 3 x 3 = − = − 2x 2x 2x 2 2x
4. Elimina¸c˜ ao de Denominadores Apenas em equa¸co˜es e inequa¸c˜oes ´e permitido eliminar os denominadores, e claro que todos os elementos da frac¸ca˜o devem ter tal denominador: x2 −
1 x 10x2 2 5x 40 + =4⇔ − + = ⇔ 10x2 − 2 + 5x = 40 5 2 10 10 10 10
5. Sinal Negativo Atr´ as de uma Frac¸ c˜ ao Na resolu¸c˜ao de alguns problemas ´e usual surgir um sinal negativo antes de uma frac¸ca˜o. Tal sinal afecta toda os elementos da frac¸ca˜o. Um modo de simplificar uma situa¸c˜ao deste tipo pode ser (por exemplo) trocar de sinal todos os elementos do numerador ficando desta forma um sinal positivo antes da frac¸c˜ao: 2−
x2 − 3x + 7 −x2 + 3x − 7 =2+ x+5 x+5
Cap. II Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes 6. Resolu¸c˜ ao de Equa¸c˜ oes de Grau 1 Numa equa¸ca˜o (ou inequa¸ca˜o) um determinado valor passa para o outro membro da igualdade (ou desigualdade) a efectuar a opera¸ca˜o contr´aria. . Um valor a somar passa para o outro lado a subtrair: x+3=5⇔x=5−3 . Um valor a subtrair passa para o outro lado a somar: x−3=5⇔x=5+3 . Um valor a multiplicar passa para o outro lado a dividir: 5 3 . Um valor a dividir passa para o outro lado a multiplicar: 3x = 5 ⇔ x =
x =5⇔x=3×5 3
2
7. Resolu¸c˜ ao de Equa¸c˜ oes de Grau 2 Para resolver equa¸co˜es de grau 2 do tipo ax2 + bx + c = 0 recorre-se `a f´ormula resolvente: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a No entanto, existem duas situa¸co˜es especiais que n˜ao necessitam de f´ormula resolvente: . ax2 + c = 0 Neste caso basta isolar x2 e fazer a raiz quadrada. Por exemplo: √ 48 ⇔ x2 = 16 ⇔ x = ± 16 ⇔ x = ±4 3 2 . ax + bx = 0 Neste caso basta colocar em evidˆencia x e recorrer `a lei do anulamento do produto. Por exemplo: 3x2 − 48 = 0 ⇔ 3x2 = 48 ⇔ x2 =
2x2 + 6x = 0 ⇔ x(2x + 6) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 2x + 6 = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ∨ 2x = −6 ⇔ x = 0 ∨ x =
−6 ⇔ x = 0 ∨ x = −3 2
8. Inequa¸co ˜es de Grau 1 A resolu¸ca˜o de uma inequa¸c˜ao deste tipo ´e muito semelhante `a resolu¸c˜ao de uma equa¸ca˜o. ´ E importante ter em conta que ao multiplicar ou dividir a inequa¸c˜ao por um n´ umero negativo o sinal da desigualdade ”vira”. Por exemplo: 2 4 4 12 36 24 − x+ ≤6⇔− x+ ≤ ⇔ −4x ≤ 36 − 12 ⇔ −4x ≤ 24 ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ −6 3 2 6 6 6 −4 O conjunto solu¸c˜ao ´e S = [−6, +∞[.
9. Inequa¸co ˜es de Grau 2 Apenas para os alunos do 110 e 120 Vejamos o exemplo x2 + 4x + 9 ≤ 3x2 − 2x + 1. A resolu¸ca˜o de uma inequa¸c˜ao deste tipo ´ necess´ario recorrer aos seguintes ´e diferente `a resolu¸ca˜o de uma equa¸c˜ao do segundo grau. E passos: . Passar todos os termos da desigualdade para o membro do lado esquerdo e simplificar: x2 + 4x + 9 ≤ 3x2 − 2x + 1 ⇔ x2 + 4x + 9 − 3x2 + 2x − 1 ≤ 0 ⇔ −2x2 + 6x + 8 ≤ 0 . Num c´alculo auxiliar determinar os zeros da equa¸ca˜o que se obt´em ao substituir a desigualdade por uma igualdade: −2x2 + 6x + 8 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 4 . Fazer o esbo¸co da par´abola indicando os zeros e a concavidade. Relembre que uma par´abola ax2 + bx + c tem a concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a < 0. Neste caso a = −2 logo a concavidade ´e voltada para baixo:
3
+ −
4
−1
−
. O conjunto solu¸ca˜o ´e obtido tendo em conta o esbo¸co obtido assim como a desigualdade obtida no primeiro passo. Se esta for do tipo · · · > 0 (ou · · · ≥ 0) conta a parte acima do eixo dos xx. Se for · · · < 0 (ou · · · ≤ 0) conta a parte abaixo (no caso das desigualdades dentro de parˆentesis os intervalos s˜ao fechados). Neste caso −2x2 + 6x + 8 ≤ 0 conta a parte negativa da par´abola. A solu¸ca˜o ´e S = ] − ∞, −1] ∪ [4, +∞[.
10. Os Casos Not´ aveis Caso surja alguma express˜ao do tipo (2x − 3)2 esta deve ser resolvida recorrendo ao caso not´avel. Aqui fica uma lista dos trˆes casos not´aveis existentes: .(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .(a − b)(a + b) = a2 − b2 Como alternativa ´e sempre poss´ıvel recorrer ao facto de (por exemplo) (2x − 3)2 = (2x − 3)(2x−3) e a seguir aplica-se a propriedade distributiva da multilica¸c˜ao. No entanto ´e sempre aconselh´avel conhecer os casos not´aveis.
Cap. III Potˆencias e Raizes 11. Propriedades de Potˆ encias Aqui fica uma lista das propriedades de potˆencias e exemplos: Propriedades Produto Divis˜ao Dupla Soma Produto de Igual Base Divis˜ao de Igual Base Expoente Negativo (1) Expoente Negativo (2)
Potˆ encia (ab)n = an × bn n ( ab )n = abn (an )m = an×m k1 an ± k2 an = (k1 ± k2 )an an × am = an+m an = an−m am a−n = a1n ( ab )−n = ( ab )n
Exemplo (3x)2 = 32 x2 2 ( x3 )2 = x32 (x2 )4 = x2×4 = x8 3x2 − 4x2 = −x2 x3 × x7 = x3+7 = x10 x7 = x7−3 = x4 x3 3−2 = 312 ( 35 )−2 = ( 53 )2
12. Passagem de Raiz para Potˆ encia ´ sempre poss´ıvel passar uma raiz para potˆencia (e vice-versa) uma vez que: E √ m
n
xn = x m
√ 3 5 Por exemplo x3 = x 5 . Desta forma todas as propriedades atr´as descritas s˜ao igualmente aplic´aveis `as raizes.
4
13. Resolu¸c˜ ao de Equa¸c˜ oes com Potˆ encias Na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do tipo xn = a ´e importante ter em aten¸ √ ca˜o ao expoente n: √ . Se este for ´ımpar ent˜ao x =√n a. Por exemplo: x5 = 9 ⇔ x = 5√9. . Se este for par ent˜ao x = ± n a. Por exemplo: x4 = 9 ⇔ x = ± 4 9. Note que neste caso se a for negativo tal equa¸c˜ao ´e imposs´ıvel uma vez que n˜ao existem ra´ızes pares de n´ umeros negativos.
14. Raizes e Valores sem Raiz ´ poss´ıvel multipicar dois valores dentro de raizes desde que o ´ındice seja igual. Por . E exemplo: √
5×
√
3=
√
3×5=
√
15
. Duas express˜oes a somar (ou subtrair) com a mesma raiz pode ser simplificado do seguinte modo: √ √ √ 5 5 5 3 4 − 6 4 = −3 4 √ . Numa multiplifica¸ca˜o de express˜oes do tipo a n b multiplicam-se os valores fora da raiz e os valores dentro da raiz separadamente (desde que os ´ındices sejam iguais): √ √ √ 6 6 6 (3 8) × (5 9) = 15 72
15. Racionalizar Denominadores Caso exista uma raiz quadrada no denominador conv´em retir´a-lo multiplicando ambos termos da frac¸c˜ao por essa raiz. Por exemplo: √ √ √ √ 3 5 3 3 5 3 5 3 5 √ = √ ×√ = √ = = 2×5 10 2 5 2 5 5 2( 5)2
5