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Assistente Administrativo Fazendário »»» MATEMÁTICA FINANCEIRA Material elaborado pela professora Daniela Arboite.

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SUMÁRIO MATEMÁTICA FINANCEIRA - Profª Daniela Arboite Porcentagem ..................................................................................................................................................... 03 Juros Simples ..................................................................................................................................................... 09 Juros Compostos ................................................................................................................................................ 13 Taxas Equivalentes em Juros Compostos ............................................................................................................ 16 Taxa Efetiva e taxa Nominal ............................................................................................................................... 17 Taxa Real, Taxa Aparente e Inflação ................................................................................................................... 21 Descontos Simples ............................................................................................................................................. 24 Descontos Compostos ........................................................................................................................................ 26

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MATEMÁTICA FINANCEIRA PORCENTAGEM 12 = 0,12 = 12% (doze por cento) 100

Exemplo: Calcular 12% de 420. 420

100%

12%

100 . x = 420 . 12 x=

420 12 → x = 50,40 100

Observe: 10% de 480 = 48 (Deslocar a vírgula 1 casa para a esquerda) 20% de 480 = 96 (2  48 = 96) 10% de 1120 = 112 (Deslocar a vírgula 1 casa para a esquerda) 20% de 1120 = 214 (2  112 = 224) 30% de 1120 = 336 (3  112 = 336) 1% de 820 = 8,20 (Deslocar a vírgula 2 casas para a esquerda) 2% de 820 = 16,40 (2  8,20 = 16,40)

Fator de Multiplicação É possível obter o valor já com acréscimo ou já com desconto com uma única multiplicação. • Aumentos - Valor com acréscimo de 15%: 115 100% + 15% = 115% = = 1,15 100 Ao multiplicar um valor por 1,15 obtém-se um novo valor com acréscimo de 15%.

- Valor com acréscimo de 7%: 100% + 7% = 107% =

107 = 1,07 100

No caso de aumentos: 100% + % de aumento

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• Descontos Valor com desconto de 15%: 85 100% − 15% = 85% = = 0,85 100 Ao multiplicar um valor por 0,85 obtém-se um novo valor com desconto de 15%. - Valor com desconto de 7%: 100% − 7% = 93% =

93 = 0,93 100

- Valor com desconto de 30%: 100% − 30% = 70% =

70 = 0,70 = 0,7 100

No caso de descontos: 100% − % de desconto

Acréscimos e/ou Descontos Sucessivos 1. O preço de uma mercadoria subiu 20% e, depois de uma semana, subiu novamente 20%. O aumento total foi de ______.

2. O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta um _____________ de _____.

3. Reduções sucessivas e acumuladas de 20% e 25% equivalem a uma única redução de (A) 40%. (B) 45%. (C) 50%. (D) 55%. (E) 60%.

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OBSERVAÇÃO:

VALOR DE

100%

REFERÊNCIA

1. Uma conta de restaurante, incluídos os 10% de gorjeta, totaliza R$ 148,50. O valor da conta, sem a gorjeta, é:

2. Após um aumento de 8%, um produto passou a custar R$ 48,60. O valor do produto, antes do aumento, era:

3. Um produto é vendido por R$ 138,00, com lucro de 15% sobre o preço de custo. O preço de custo é:

4. Um produto é vendido por R$ 279,00, com prejuízo de 10% sobre o preço de custo. O preço de custo é:

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PORCENTAGEM – Exercícios Propostos: 1. (FAURGS) Um produto farmacêutico foi vendido com 20% de desconto sobre seu preço original. Se o produto foi vendido por R$ 90,00, seu preço original era de (A) R$ 110,00. (B) R$ 112,50. (C) R$ 115,00. (D) R$ 117,50. (E) R$ 120,00. 2. (FCC) Alberto fez uma dieta com nutricionista e perdeu 20% do seu peso nos seis primeiros meses. Nos seis meses seguintes Alberto abandonou o acompanhamento do nutricionista e, com isso, engordou 20% em relação ao peso que havia atingido. Comparando o peso de Alberto quando ele iniciou a dieta com seu peso ao final dos doze meses mencionados, o peso de Alberto (A) reduziu 4%. (B) aumentou 2%. (C) manteve-se igual. (D) reduziu 5%. (E) aumentou 5%. 3. (LA SALLE) Em uma entrevista realizada com um grupo de pessoas, das quais 60% eram homens, constatou-se que apenas 60% dos homens e 70% das mulheres possuem passaporte nacional. É correto afirmar que a porcentagem do total de pessoas, homens e mulheres, deste grupo que possuem passaporte é igual a: (A) 40% (B) 48% (C) 56% (D) 60% (E) 64%

4. (FCC) Os 1200 funcionários de uma empresa participaram de uma pesquisa em que tinham que escolher apenas um dentre quatro possíveis benefícios dados pela empresa. Todos os funcionários responderam corretamente à pesquisa, cujos resultados estão registrados no gráfico de setores abaixo.

Dos funcionários que participaram da pesquisa, escolheram plano de saúde como benefício (A) 385. (B) 375. (C) 350. (D) 360.

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(E) 380.

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5. (FCC) Quando congelado, um certo líquido aumenta seu volume em 5%. Esse líquido será colocado em um recipiente de 840 mL que não sofre qualquer tipo de alteração na sua capacidade quando congelado. A quantidade máxima de líquido, em mililitros, que poderá ser colocada no recipiente para que, quando submetido ao congelamento, não haja transbordamento, é igual a (A) 758. (B) 818. (C) 798. (D) 820. (E) 800.

6. (OBJETIVA) Um hipermercado oferece a seus clientes duas formas de pagamento: à vista, com 5% de desconto sobre o preço marcado, ou no cartão de crédito, com um acréscimo de 20% sobre o preço marcado. Quanto custará, à vista, um produto que no cartão custa R$ 90,00? (A) R$ 85,50 (B) R$ 80,75 (C) R$ 75,00 (D) R$ 71,25 (E) R$ 69,50

7. (MPRS) Considere as proposições abaixo. I. Aumentos sucessivos e acumulados de 100% equivalem a um único aumento de 110%. II. Aumentos sucessivos e acumulados de 100% equivalem a um único aumento de 120%. III. Reduções sucessivas e acumuladas de 50% equivalem a uma única redução de 65%. IV. Reduções sucessivas e acumuladas de 50% equivalem a uma única redução de 80%. Quais proposições são verdadeiras? (A) Apenas I. (B) Apenas I e III. (C) Apenas I e IV. (D) Apenas II e III. (E) Apenas II e IV.

e 10% e 10% e 30% e 30%

8. Um produto era anunciado com o preço de venda $ 3.565,00. Se a margem de lucro do vendedor era de 15% qual era o preço de custo deste produto? (A) $ 4.099,75 (B) $ 3.208,50 (C) $ 3.100,00 (D) $ 3.030,25

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9. (FCC) A empresa X possui 60 funcionários, dos quais 15% são mulheres. De acordo com uma lei aprovada recentemente, toda empresa do ramo onde atua a empresa X deverá ter, no mínimo, 40% de mulheres entre seus funcionários. Para que a empresa X se adapte à nova lei sem demitir nenhum de seus atuais funcionários e não contratando novos funcionários homens, ela deverá admitir um número de mulheres, no mínimo, igual a (A) 25. (B) 22. (C) 20. (D) 18. (E) 15. 10. (CESPE – TCE PB 2018) Se um lojista aumentar o preço original de um produto em 10% e depois der um desconto de 20% sobre o preço reajustado, então, relativamente ao preço original, o preço final do produto será (A) 12% inferior. (B) 18% inferior. (C) 8% superior. (D) 15% superior. (E) 10% inferior.

11. (MPRS) Na tabela abaixo, são apresentados os dados referentes a despesas, em reais, realizadas por uma pessoa durante um mês. Item

Despesa (R$)

Alimentação

260

Transporte

210

Lazer

Se a despesa com lazer representa 6% do total das despesas com alimentação, transporte e lazer, o valor de D, em reais, é (A) 30. (B) 35. (C) 40. (D) 45. (E) 50. 12. (CESPE) Para liquidar o estoque de determinado produto, o lojista ofereceu um desconto de 10% no preço de venda. Passados alguns dias, para o estoque remanescente, o lojista concedeu novo desconto, agora de 20% sobre o preço já com primeiro desconto. Nessa situação, o valor do desconto que é equivalente a um único desconto aplicado sobre o preço do produto é igual a 28%.

GABARITO 1–B 2–A 3–E

4–D 5–E 6–D

7–D 8–C 9–A

10 – A 11 – A 12 – CERTO

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JUROS SIMPLES No regime de juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial, originando um juro igual em todos os períodos. Exemplo: Considere um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples por 5 meses, a uma taxa de 4% ao mês.

Notação: J = juros (ou rendimentos) C = capital (valor aplicado ou tomado por empréstimo) i = taxa de juros (unitária) n = número de períodos (prazo) M = montante (valor acumulado)

J=C.i.n Por definição, montante é igual a capital mais juros:

M=C+J Destas duas relações, deduz-se a fórmula do montante:

M = C(1 + i.n)

Observações: 1) Ano comercial: 360 dias Regra do banqueiro: Na prática comercial mundial, utiliza-se a contagem exata de dias nos prazos dos empréstimos, mas considera-se que o ano tem 360 dias, ou seja, o ano é comercial ou bancário. (WILI, p.39) Logo, o mês comercial tem 30 dias.

2) Taxa e prazo devem estar na mesma unidade de tempo. Exemplo: 2%a.m., durante 3 meses

Taxas Proporcionais Em juros simples, as taxas são proporcionais ao tempo, ou seja, para encontrar uma taxa que seja equivalente basta multiplicar ou dividir pelo número de períodos. Exemplos: 2%a.m = 12%a.s. = 24%a.a. 15%a.t. = 60%a.a. = 10% a.b.

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JUROS SIMPLES – Exercícios Propostos: 1. (FUNDATEC) O juro simples produzido pelo capital de R$ 8.200,00, empregado à taxa de 6% ao ano, durante 3 anos, é de (A) R$ 147,60 (B) R$ 1.376,00 (C) R$ 1.476,00 (D) R$ 1.576,00 (E) R$ 1.676,00 2. (FCC) Um capital de R$ 5.000,00, aplicado a juros simples, à taxa mensal de 3%, por um prazo de 1 ano e 3 meses, produzirá um montante no valor de (A) R$ 7.225,00 (B) R$ 7.250,00 (C) R$ 7.320,00 (D) R$ 7.500,00 (E) R$ 7.550,00 3. (CESGRANRIO) Marcelo emprestou certa quantia a Augusto, cobrando juros simples de 4% ao mês. Cinco meses mais tarde, Augusto pagou o empréstimo, e Marcelo recebeu R$ 420,00. Qual foi, em reais, a quantia que Marcelo emprestou a Augusto? (A) 320,00 (B) 336,00 (C) 350,00 (D) 382,00 (E) 400,00 4. (FUNDATEC) Um capital aplicado a juros simples de 5% ao mês, durante 7 meses, produz juros de R$ 392,00. Nessas condições, pode-se afirmar que o capital aplicado foi de (A) R$ 1.120,00. (B) R$ 1.200,00. (C) R$ 1.320,00. (D) R$ 1.400,00. (E) R$ 1.540,00. 5. (FAURGS) Uma pessoa aplica R$ 1.000,00 a juros simples, a uma taxa de 0,7% ao mês. Não havendo nenhuma retirada, ao final de dez meses, ela terá (A) R$ 1.010,00 (B) R$ 1.070,00 (C) R$ 1.100,00 (D) R$ 1.170,00 (E) R$ 1.700,00 6. (CESGRANRIO) Uma aplicação de R$ 98.000,00, pelo prazo de 6 meses, com uma taxa de juros simples de 30% ao ano, rende de juros a quantia, em reais, de (A) 14.700,00 (B) 14.800,00 (C) 14.900,00 (D) 15.000,00 (E) 15.100,00

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7. (FCC) Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: - à vista, por R$ 225,00; - R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra. Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de (A) 30% (B) 27% (C) 25% (D) 20% (E) 10%

8. (CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo com as condições do empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o montante total de (A) 12.600,00 (B) 12.800,00 (C) 13.200,00 (D) 13.600,00 (E) 13.800,00

9. (FAURGS) Uma pessoa pretende fazer um empréstimo a juros simples de 3% ao mês. No final de 4 meses, ela poderá pagar, no máximo, R$ 1.400,00. Nessas condições, essa pessoa poderá tomar emprestado, por 4 meses, o valor máximo de (A) R$ 1.200,00 (B) R$ 1.225,00 (C) R$ 1.232,00 (D) R$ 1.250,00 (E) R$ 1.274,00

10. (FAURGS) Aplicando-se R$ 2.500,00 à taxa de juros simples de 3% ao mês, no final de 7 meses obter-se-á o montante de (A) R$ 525,00 (B) R$ 2.525,00 (C) R$ 3.000,00 (D) R$ 3.025,00 (E) R$ 3.725,00

11. (FCC) A que taxa anual de juros simples deve-se aplicar um capital para que, ao final de 20 meses, o seu valor seja triplicado? (A) 10% (B) 60% (C) 100% (D) 120% (E) 150%

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MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.ª DANIELA ARBOITE 12. (CESGRANRIO) Uma loja vende um artigo e oferece duas opções de pagamento: à vista, por R$ 180,00, ou em dois pagamentos iguais de R$ 100,00 cada, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo, um mês depois da compra. Qual é a taxa mensal dos juros cobrados de quem compra a prazo? (A) 25% (B) 20% (C) 12,5% (D) 11,1% (E) 10%

13. (CESPE) Se, no período de 4 meses e no regime de juros simples, a quantia de R$ 2.000,00 aplicada em uma instituição financeira produz o montante de R$ 2.720,00, então a taxa mensal de juros praticada por essa instituição é (A) superior a 8%. (B) inferior a 2%. (C) superior a 2% e inferior a 4%. (D) superior a 4% e inferior a 6%. (E) superior a 6% e inferior a 8%.

14. (FCC) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ 12.800,00 foi aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14.400,00, esse capital deve ficar aplicado por um período de (A) 8 meses (B))10 meses (C) 1 ano e 2 meses (D) 1 ano e 5 meses (E) 1 ano e 8 meses

15. (CESPE) Considerando que uma pessoa tenha aplicado um capital pelo período de 10 anos e que, ao final do período, ela tenha obtido o montante de R$ 20.000,00, julgue os itens a seguir. Se o montante resultou da aplicação de um capital inicial à taxa mensal de juros simples de 0,5%, então o capital inicial era superior a R$ 10.000,00.

GABARITO 1–C 2–B 3–C 4–A 5–B

6–A 7–C 8–E 9–D 10 – D

11 – D 12 – A 13 – A 14 – B 15 – ERRADO

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JUROS COMPOSTOS No regime de juros compostos os juros de cada período são calculados sobre o montante obtido no período anterior. Neste regime, os juros gerados nos períodos anteriores passam a render juros, dizendo-se assim, que os juros são capitalizados, isto é, passam a se comportar como principal da dívida: são incorporados à dívida, passando a render juros de acordo com as condições contratuais preestabelecidas. (WILI, p.57)

M = C.(1 + i)n

Exemplo:

São aumentos sucessivos de 10%. Cada aumento

C = 10.000

incide sobre o montante anterior.

i = 10%a.m J1 = 10% de 10.000 = 1.000

→

M1 = 11.000

(1 + i)n é o fator de acumulação de capital

J2 = 10% de 11.000 = 1.100

→

M2 = 12.100

Na prática, (1 + 0,1)n = (1,1)n =

J3 = 10% de 12.100 = 1.210

→

M3 = 13.310

(1,1).(1,1).(1,1).(1,1)...

J4 = 10% de 13.310 = 1.331

→

M4 = 14.641

Exemplos: 1. Um investidor aplicou a quantia de R$ 15.000,00, pelo prazo de 3 meses, num investimento que rende juros compostos de 10% ao mês. O montante que receberá no final da aplicação, em reais, será

2. (LA SALLE) João aplica R$ 500,00 em um sistema de juros composto de taxa igual a 3% ao mês. Qual a quantia de juros que João obtém nesta aplicação nos primeiros 2 meses? (A) R$ 30,00 (B) R$ 30,45 (C) R$ 31,00 (D) R$ 31,50 (E) R$ 35,00

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JUROS COMPOSTOS – Exercícios Propostos: 1. (LA SALLE) João retira um empréstimo de R$ 500,00 sobre os quais serão aplicados juros compostos de taxa mensal igual a 3%. Se João pagar a sua dívida após 2 meses, a quantia a ser paga será igual a (A) R$ 530,45 (B) R$ 546,36 (C) R$ 525,55 (D) R$ 523,65 (E) R$ 515,00 2. (FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante dois anos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse período, esse investimento totalizava: (A) R$ 694,44. (B) R$ 1.400,00. (C) R$ 1.440,00. (D) R$ 1.514,12. (E) R$ 2.200,00. 3. (LA SALLE) Ao investir uma quantia de R$ 1.800,00 em uma aplicação de juros compostos de 5% ao mês, durante dois meses, obtém-se um montante igual a: (A) R$ 1.975,50 (B) R$ 1.984,50 (C) R$ 2.010,25 (D) R$ 2.070,00 (E) R$ 2.160,00 4. (CESPE) Considerando-se que, durante seis meses, o capital de R$ 1.000,00 tenha sido aplicado à taxa de juros compostos de 1% ao mês e que 1,03 seja o valor aproximado de 1,013, é correto afirmar que o montante obtido nessa operação foi (A) inferior a R$ 1.062,00. (B) superior a R$ 1.062,00 e inferior a R$ 1.071,00. (C) superior a R$ 1.071,00 e inferior a R$ 1.075,00. (D) superior a R$ 1.075,00 e inferior a R$ 1.080,00. (E) superior a R$ 1.080,00. 5. (FGV) O montante final de uma aplicação financeira de R$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao mês, juros compostos, durante 2 meses é: (A) R$ 2.080,80. (B) R$ 2.122,42. (C) R$ 2.020,00. (D) R$ 20.100,00. (E) R$ 2.040,00. 6. (FGV) O valor de um investimento de R$ 20.000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é (A) R$ 45.000,00. (B) R$ 47.500,00. (C) R$ 60.000,00. (D) R$ 90.000,00. (E) R$ 50.000,00.

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7. (CESGRANRIO) João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente, (A) 240,00 (B) 330,00 (C) 429,00 (D) 489,00 (E) 538,00

8. (LA SALLE) Ao investir a quantia de R$ 3.500,00 em uma aplicação de juros compostos de taxa igual a 5% ao mês, o valor obtido após dois meses será igual a: (A) R$ 3.675,00 (B) R$ 3.850,00 (C) R$ 3.858,75 (D) R$ 4.025,25 (E) R$ 4.200,00

9. (CESGRANRIO) Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00, à taxa de juros compostos de 10% a.m. Ao final de três meses, esse capital terá gerado o montante, em reais, de (A) 24.520,00 (B) 25.420,00 (C) 26.620,00 (D) 27.820,00 (E) 28.720,00

10. (CESPE) Acerca de juros compostos, julgue o item seguinte. Se um capital de R$ 1.000 for aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao mês, em três meses será gerado um montante superior a R$ 1.300.

GABARITO 1–A 2–C 3–B 4–A 5–A

6–A 7–E 8–C 9–C 10 – CERTO

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TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS Taxas equivalentes em juros compostos, são aumentos sucessivos a uma mesma taxa.

1. Qual a taxa anual equivalente a 20%a.s.? 1 ano = 2 semestres Então, são 2 aumentos sucessivos de 20%. Aumento de 20% → 100% + 20% = 120% = 1,20 1,2  1,2 = 1,44 i = 0,44 = 44%a.a.

2. Qual a taxa trimestral equivalente a 10%a.m.? 1 trimestre = 3 meses Então, são 3 aumentos sucessivos de 10%. Aumento de 10% → 100% + 10% = 110% = 1,10 1,1  1,1  1,1 = 1,331 i = 0,331 = 33,1%a.t.

3. Qual a taxa bimestral equivalente a 8%a.m.? 1 bimestre = 2 meses Então, são 2 aumentos sucessivos de 8%. Aumento de 8% → 100% + 8% = 108% = 1,08 1,08  1,08 = 1,1664 i = 0,1664 = 16,64%a.b.

4. Qual a taxa anual equivalente a 4% ao mês, considerando 1,6 como valor aproximado para (1,04)12?

5. Qual a taxa semestral equivalente a 5% ao mês, considerando 1,16 como valor aproximado para (1,05)3?

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TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL Taxa Nominal: quando o período de capitalização é diferente do período a que se refere a taxa.

Exemplos: 1. 42%a.b. capitalizados mensalmente Taxa efetiva bimestral:

2. 90%a.s. capitalizados bimestralmente Taxa efetiva semestral:

3. Qual a taxa efetiva trimestral correspondente a taxa nominal de 60% ao trimestre, capitalizados mensalmente?

4. Qual a taxa efetiva semestral correspondente a taxa nominal de 64% ao semestre, capitalizados trimestralmente?

5. Um investimento rende a taxa nominal de 72% ao ano com capitalização mensal. Taxa efetiva bimestral:

6. Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

GABARITO 1 – 46,41%

2 – 119,7%

3 – 72,8%

4 – 74,24%

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5 – 12,36%

6 – 72,8%

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TAXAS DE JUROS COMPOSTOS – Exercícios Propostos: 1. (FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente à taxa de 10% ao bimestre é: (A) 3,33%. (B) 30,00%. (C) 31,33%. (D) 33,10%. (E) 36,66%.

2. (FGV) Para empréstimos a clientes comuns, uma financeira cobra taxa nominal de juros de 84% ao ano com capitalização mensal. Para um empréstimo de dois meses, a taxa efetiva de juros é, aproximadamente de: (A) 14,1% (B) 14,3% (C) 14,5% (D) 14,7% (E) 14,9%

3. (ESAF) A taxa efetiva anual de uma aplicação que rende juros compostos, a uma taxa nominal de 10% ao ano, com capitalização semestral, é igual a: (A) 10% (B) 10,50% (C) 10,25% (D) 10,75% (E) 11%

4. (FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é (A) 114,70%. (B) 107,55%. (C) 109,90%. (D) 90,00%. (E) 119,70%. 5. (CESPE – SEFAZ RS 2018 – CAGE) Um indivíduo investiu a quantia de R$ 1.000 em determinada aplicação, com taxa nominal anual de juros de 40%, pelo período de 6 meses, com capitalização trimestral. Nesse caso, ao final do período de capitalização, o montante será de (A) R$ 1.200. (B) R$ 1.210. (C) R$ 1.331. (D) R$ 1.400. (E) R$ 1.100.

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6. (CESPE) Um fundo de investimentos pratica a taxa nominal de juros compostos de 126% ao ano, capitalizados bimestralmente. Se forem investidos R$ 2.500,00 nesse fundo, o valor dos juros, em reais, obtidos por esse capital após quatro meses de aplicação será (A) inferior a 1.000. (B) superior a 1.000 e inferior a 1.100. (C) superior a 1.100 e inferior a 1.200. (D) superior a 1.200 e inferior a 1.300. (E) superior a 1.300.

7. (FCC) Um capital no valor de R$ 15.000,00 é aplicado, durante um semestre, sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, capitalizada trimestralmente. O valor do montante no final do período de aplicação é, em R$, igual a (A) 15.915,75. (B) 15.909,00. (C) 15.911,25. (D) 15.913,50. (E) 15.900,00.

8. (CETRO) Uma aplicação de R$ 12.000,00 foi capitalizada trimestralmente à taxa composta de 60% a.a. durante 6 meses. O valor resgatado, após esse período, será de (A) R$ 15.870,00. (B) R$ 16.290,00. (C) R$ 16.960,00. (D) R$ 17.120,00. (E) R$ 17.850,00.

9. (ESAF) O capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por 6 meses, à taxa de juros compostos de 6% ao semestre, com juros capitalizados trimestralmente. Calcule o montante dessa aplicação. (A) R$ 10.600,00 (B) R$ 10.615,00 (C) R$ 10.620,00 (D) R$ 10.612,00 (E) R$ 10.609,00

10. (CESPE) Considere que uma operação de crédito tenha sido contratada à taxa nominal de 15% ao ano, com capitalização quadrimestral. Nesse caso hipotético, a taxa efetiva anual desse financiamento é (A) inferior a 15,20%. (B) superior a 15,20% e inferior a 15,60%. (C) superior a 15,60% e inferior a 16%. (D) superior a 16% e inferior a 16,40%. (E) superior a 16,40%

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11. (CESPE) Uma aplicação financeira de R$ 100.000,00 contratada à taxa nominal de 16% ao ano, capitalizada semestralmente, resultará em um montante de R$ 116.640,00 após um ano.

12. (CESPE) Considere que R$ 10.000,00 sejam investidos por 8 anos em um fundo de investimentos que paga uma taxa nominal de juros compostos anuais de 16%, capitalizados trimestralmente. Nessa situação, tomando-se 1,9 como valor aproximado de 1,0416, é correto inferir-se que, ao final dos 8 anos, o montante será superior ao triplo do valor inicialmente investido.

13. (CESPE – TCE SC 2016) Um banco faz empréstimos, no regime de juros compostos, à taxa de 48% ao ano com capitalização mensal. Nessa situação, considerando 1,26 como valor aproximado para 1,046, é correto afirmar que a taxa efetiva anual desses empréstimos será inferior a 55%.

GABARITO 1–D 2–C 3–C 4–E 5–B

6–C 7–D 8–A 9–E 10 – C

11 – CERTO 12 – CERTO 13 – ERRADO

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TAXA REAL, TAXA APARENTE E INFLAÇÃO i = taxa aparente de juros; I = taxa de inflação (ou correção monetária); r = taxa real de juros;

1 + i = (1 + I).(1 + r) Por uma questão de aplicação, de uso, é melhor deixar a taxa real (r) isolada: 1+ r=

1+ i 1+ I

Exemplos: 1. Uma aplicação semestral foi remunerada à taxa de 30%. Se nesse período a inflação foi de 25% o ganho real desse investimento corresponde a (A) 3,5% (B) 4% (C) 4,5% (D) 5% (E) 5,5%

2. (FCC) Um empréstimo foi liquidado através de pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflação desde a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 25%. O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de (A) 14,4% (B) 15,2% (C) 18,4% (D) 19% (E) 20%

3. (FCC) Certo capital foi aplicado por um ano à taxa de juros de 6,59% a.a. Se no mesmo período a inflação foi de 4,5%, a taxa real de juros ao ano dessa aplicação foi, em %, de (A) 1,8. (B) 2,2. (C) 1,9. (D) 2,0. (E) 2,1.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.ª DANIELA ARBOITE 4. (FCC) Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações: − Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. − Período de aplicação: um ano. − Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. − Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%. Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é (A) R$ 53.550,00. (B) R$ 53.500,00. (C) R$ 53.000,00. (D) R$ 52.500,00. (E) R$ 51.500,00.

5. (ESAF) O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado por um ano e gerou R$ 1.860,00 de juros. Se a inflação desse ano foi de 5%, então a taxa real de juros desse ano foi: (A) 11% (B) 10% (C) 10,5% (D) 9,5% (E) 9%

6. (FCC) Uma aplicação no valor de R$ 20.000,00 resultou, depois de um ano, em um montante igual a R$ 22.260,00. Se a taxa de inflação deste período foi de 5% significa que a taxa anual real referente à aplicação foi de (A) 5,6%. (B) 5,8%. (C) 6,0%. (D) 6,3%. (E) 6,5%.

7. (FCC) Um capital de valor igual a R$ 10.000,00 é aplicado durante um ano apresentando, no final, um montante igual a R$ 11.275,00. Se a taxa real de juros correspondente a esta aplicação foi de 10%, tem-se que a inflação no período considerado foi de (A) 1,75% (B) 2,00% (C) 2,25% (D) 2,50% (E) 2,75%

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8. (FCC) Um financiamento foi contratado, em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se, então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de (A) 16% (B) 20% (C) 24% (D) 28% (E) 30%

9. (CESPE) Se um cliente aplicou seu dinheiro em uma instituição financeira à taxa de juros (aparente) de 7,52% ao ano, durante determinado ano em que a inflação oficial apurada foi de 5%, então o valor aplicado por esse cliente, nesse ano, rendeu juros reais acima de 2,5%.

10. (CESPE) Se uma aplicação for feita à taxa nominal de 40% e se, no período dessa aplicação, a taxa de inflação for de 25%, então a taxa real nesse período será de 15%.

GABARITO 1–B

2–B

3–D

4–A

5–B

6–C

7–D

8–D

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9 – ERRADO

10 – ERRADO

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DESCONTOS SIMPLES Define-se desconto como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o pagamento de um título, ou ainda, como sendo o juro não cobrado pelo devedor para antecipar o pagamento de um título. Do ponto de vista do credor, define-se como sendo o juro cobrado por este para antecipar determinada quantia de vencimento futuro.

Notação: N = valor nominal do título A = valor atual (valor descontado) do título n = número de períodos antes do vencimento do título i = taxa de desconto D = desconto (total) em n períodos

Em qualquer desconto, temos, por definição: D = N − A.

Desconto Comercial Simples (“Por Fora”): Dcs O desconto comercial simples (ou bancário) é igual ao juro simples calculado sobre o valor nominal do título.

DCS = N.i.n

AC = N(1 − i.n)

Exemplos: 1. Um título, cujo valor de face é R$ 7.000,00, foi descontado 60 dias antes do seu vencimento, por meio de uma operação de desconto bancário simples, à taxa de desconto de 10% ao mês. O valor atual do título, ou seja, o valor de face do título menos o desconto, é de (A) R$ 1.000,00 (B) R$ 5.600,00 (C) R$ 6.000,00 (D) R$ 6.300,00 (E) R$ 8.750,00

2. (FUNDATEC – SEFAZ RS 2014 – AFRE) Um título de crédito de R$ 26.00,00 foi descontado em uma instituição financeira 38 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao mês. Calcule o valor atual do título, considerando que a operação foi feita utilizando o desconto bancário ou “por fora”. (A) R$ 22.520,00. (B) R$ 25.012,00. (C) R$ 25.021,00. (D) R$ 25.220,00. (E) R$ 25.250,00.

3. (ESAF) Um título de valor nominal igual a R$ 15.000,00 foi descontado 6 meses antes do seu vencimento. O desconto pela antecipação do título foi de acordo com o sistema de desconto comercial simples a uma taxa de 10% ao trimestre. O valor ao qual o título foi descontado é igual a: (A) R$ 6.000,00. (B) R$ 13.000,00. (C) R$ 10.000,00. (D) R$ 9.000,00. (E) R$ 12.000,00.

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4. (FUNDATEC) Uma nota promissória com valor nominal de R$ 5.000,00 foi resgatada 5 meses antes do seu vencimento por R$ 4.000,00. Qual foi a taxa anual de desconto bancário simples utilizada na operação? (A) 4% (B) 25% (C) 40% (D) 48% (E) 60%

Desconto Racional Simples (“Por Dentro”): DRS O desconto racional simples é igual ao juro simples calculado sobre o valor atual do título.

DRS = A.i.n

AR =

N 1+ i.n

Exemplos: 1. (FCC) Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de (A) R$ 42.160,80 (B) R$ 41.529,60 (C) R$ 40.664,40 (D) R$ 39.799,20 (E) R$ 38.934,00

2. (CESPE) Um título de valor nominal igual a R$ 20.800 foi descontado 6 meses antes do vencimento, à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês. Nesse caso, o valor descontado foi igual a R$ 16.000.

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DESCONTOS COMPOSTOS Desconto Racional Composto (DRC) Consiste numa aplicação sucessiva do desconto racional simples. Logo, esse desconto coincide com os juros compostos calculados sobre o valor atual do título, no prazo n.

DRC = N − AR

AR =

N (1 + i ) n

Exemplo: João foi ao banco para descontar uma nota promissória de R$ 6.500,00, com vencimento em oito meses. Sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto racional composto de 3% ao mês, determine, aproximadamente, o valor recebido por João. (Use: (1,03)8 = 1,27) (A) R$ 5.118,11 (B) R$ 5.124,85 (C) R$ 5.187,90 (D) R$ 5.107,43 (E) R$ 5.115,32

Desconto Comercial Composto (DCC) Consiste numa aplicação sucessiva do desconto comercial simples.

DCC = N − AC AC = N(1 − i)n Exemplo: Um título de valor nominal igual a R$ 500,00, vencível em 2 anos, é resgatado à taxa de desconto comercial composto de 10%a.a. Qual o valor atual do título? (A) R$ 400,00 (B) R$ 405,00 (C) R$ 425,00 (D) R$ 440,00 (E) R$ 450,00

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DESCONTOS SIMPLES E COMPOSTOS – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (CESPE) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a (A) 5%. (B) 6%. (C) 7%. (D) 8%. (E) 9%. 2. (FGV) Um título de valor nominal R$ 8.800,00 é pago dois meses antes do vencimento com desconto comercial composto a uma taxa de 5% ao mês. O valor descontado é de: (A) R$ 8.000,00 (B) R$ 7.982,00 (C) R$ 7.942,00 (D) R$ 7.920,00 (E) R$ 7.910,00 3. (FUNCAB) Marcos antecipou o pagamento de uma dívida em oito meses. Sabendo que devia R$ 65.000,00 e que foi aplicada uma taxa de desconto comercial simples de 3% ao mês no ato do pagamento, determine o desconto recebido por Marcos. (A) R$ 15.356,00 (B) R$ 15.375,00 (C) R$ 15.650,00 (D) R$ 15.500,00 (E) R$ 15.600,00 4. (CESPE) Considerando-se que uma dívida de valor nominal de R$ 10.000,00 deva ser paga 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto racional simples de 30% ao ano, é correto afirmar que o desconto racional obtido será (A) inferior a R$ 800. (B) superior a R$ 800 e inferior a R$ 860. (C) superior a R$ 860 e inferior a R$ 920. (D) superior a R$ 920 e inferior a R$ 980. (E) superior a R$ 980. 5. (FCC) Um título com valor nominal de R$ 10.000,00 é resgatado três meses antes do vencimento, pelo valor líquido de R$ 8.500,00. A taxa de desconto comercial praticada nessa operação é de (A) 17,65% no período. (B) 5,00% ao mês. (C) 5,57% ao mês. (D) 4,77% ao mês. (E) 16,50% no período.

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MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.ª DANIELA ARBOITE 6. (IDECAN) Alice descontou em uma agência bancária um título, cujo valor nominal era de R$ 15.000,00. Essa agência opera com a taxa de desconto comercial simples de 27% ao ano. Considerando-se que o título foi descontado um quadrimestre antes de seu vencimento, o valor liberado para Alice foi de (A) R$ 13.987,50. (B) R$ 13.761,47. (C) R$ 10.950,00. (D) R$ 13.650,00. (E) R$ 12.780,00.

7. (FCC) Uma duplicata foi descontada 3 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de desconto de 24% ao ano, e o valor atual do título foi igual a R$ 22.419,00. Caso fosse utilizada a operação de desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 24% ao ano, a soma dos valores dos descontos encontrados pelas duas operações seria igual a (A) R$ 3.144,00. (B) R$ 3.079,00. (C) R$ 2.862,00. (D) R$ 2.781,00. (E) R$ 2.401,00.

8. (AOCP) Um título de crédito com valor de face de R$ 20.000,00 será resgatado 6 meses antes do vencimento, com taxa de desconto comercial composto de 3% ao mês. Qual o valor desse desconto? (Considere a aproximação: (0,97)3 = 0,913) (A) R$ 4.779,00 (B) R$ 3.328,62 (C) R$ 2.840,46 (D) R$ 2.370,48 (E) R$ 1.740,00 9. (FUNCAB) Marcos descontou uma promissória com valor nominal de R$ 24.000,00, com vencimento em 10 meses. Calcule a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada, sabendo que o desconto foi de R$ 9.120,00. (A) 3% (B) 4% (C) 5% (D) 3,4% (E) 3,8%

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10. (FUNCAB) Um empresário foi ao banco descontar uma nota promissória com valor nominal de R$ 40.000,00 e vencimento em dois meses. Calcule o valor recebido pelo empresário, sabendo que foi cobrada uma taxa de desconto comercial composto de 2% ao mês. (A) R$ 37.646,68 (B) R$ 38.416,00 (C) R$ 39.030,25 (D) R$ 39.200,00 (E) R$ 38.972,30 11. (MAKIYAMA) Leia o texto a seguir: “Pode-se definir um desconto como a diferença entre o valor _________ e o valor _________ de um mesmo título. Há dois tipos de descontos, denominados desconto ________ e _________. ” Assinale a seguir a alternativa que apresenta a CORRETA sequência de termos que preenchem as quatro lacunas do texto apresentado: (A) nominal; atual; comercial; racional (B) atual; real; simplificado; composto (C) real; inflacionado; simples; complexo (D) nominal; de mercado; comercial; racionalizado (E) real; esperado; composto; simples 12. (CESPE) Suponha que um título de valor nominal igual a R$ 20.000,00 tenha sido resgatado 6 meses antes do vencimento e, nessa transação, tenha sido aplicado o desconto racional simples, à taxa de 3% ao mês. Nessa situação hipotética, o valor pago pelo título foi (A) inferior a R$ 16.930,00. (B) superior a R$ 16.930,00 e inferior a R$ 16.950,00. (C) superior a R$ 16.950,00 e inferior a R$ 16.970,00. (D) superior a R$ 16.970,00 e inferior a R$ 16.990,00. (E) superior a R$ 16.990,00.

GABARITO 1–D 2–C 3–E 4–C

5–B 6–D 7–D 8–B

9–E 10 – B 11 – A 12 – B