ELECTROSTÁTICA Introducción. Definición.- La Electrostática es la parte del Electromagnetismo, que describe, analiza y cuantifica los fenómenos físicos relacionados con las micropartículas electrones y protones en reposo. A través del tiempo se ha encontrado que “todos” los materiales tienen este tipo de micropartículas; experimentalmente se observa que un material (objeto de plástico) al ser frotado (tallado ver figura siguiente) con algún lienzo, en dicho material se genera una propiedad física que inicialmente no tenía. La barra de plástico después de ser frotada se acerca a un pequeño pedazo de papel (5 mm2) y la barra lo atrae cosa que inicialmente no la hacía. El mismo experimento se repite con una barra de vidrio y se frota con un paño de algodón con poliéster y adquiere una propiedad física Como un tercer experimento se colocan ambas barras de plástico y vidrio en péndulos electrostáticos cerca una de la otra y se observa una atracción entre ambas barras; como conclusión de esta observación en cada barra se generó una propiedad física que generó una fuerza de atracción mutua. Como un cuarto experimento, se frotan dos barras del mismo material y con el mismo lienzo y con ellas se hace el tercer experimento y se observa una fuerza de repulsión entre las barras participantes. Una conclusión de estas observaciones es que en cada barra se generó una propiedad física diferente; aclarando que macroscópicamente no se observa nada en los materiales participantes ( disminución o aumento de tamaño); sin embargo microscópicamente existe una pérdida o una ganancia de micropartículas, que por definición se les llamó electrones que son parte de los átomos que todos los materiales tienen, de tal forma que cuando una barra de plástico es frotada pierde electrones y queda con exceso de otras micropartículas llamadas protones. En el caso de los cristales estos quedan con exceso de electrones generándose dos barras con ganancia o pérdida de electrones, que por definición se concluyó que los materiales con exceso de protones se dice que están cargados positivamente (+) y los objetos con exceso de electrones se dice que están cargados negativamente (-). Se ha encontrado que la masa de un electrón es 9.11x10-31kg y la de un protón es de 1.6x10-27kg ; con estas masas es saludable cuestionar el tamaño de dichas micropartículas; asimismo las unidades de carga se han definido como Coulombs; tales que para un protón se le asigno 1.6x10-19C y para el caso de un electrón una carga negativa de -1.6x10-19C.
Por el tamaño de estas micropartículas algún objeto con electrones o protones se considera como una carga puntual; tales que de acuerdo a las observaciones experimentales se concluye:
a) Cargas puntuales del mismo signo repelen b) Cargas de signo contrario se atraen.
Ley de Coulomb F12 q2• q1
°
r r2
r r1 0
dirección y si además F12 entonces: F12= F12 uˆ
Suponga que en el espacio de tres dimensiones se tienen dos cargas puntuales y se observan desde un sistema de referencia como se muestra en la figura LC-1 (figura adjunta ); aclarando que q1 representa a la carga puntual número uno, q2 a la carga r puntual número dos o es un sistema de referencia inercial, r1 el r vector de posición que da la posición de la carga puntual uno, r2 vector que indica la posición de la carga puntual dos, F12 la fuerza que ejerce la carga puntual uno sobre la carga puntual dos; considerando que las dos cargas puntuales son del mismo signo y que el observador mira la carga puntual q2 Como todas las cantidades vectoriales tienen magnitud y es la magnitud de F12 y uˆ indica la dirección de dicha fuerza,
LC-1
r r Recuerde que el vector unitario uˆ se encuentra con los vectores de posición: r1 y r2 ; tales que:
uˆ
r r r2 r1 r r r2 r1
LC-2
Cálculo de F12 Experimentalmente se observa que sí alguna de las dos cargas puntuales no está presente, la otra carga puntual no experimenta fuerza alguna, además cuando se aumenta la carga en cualquiera de ellas aumenta la magnitud de la fuerza; por lo que: 1.- F12 es directamente proporcional al producto de las cargas q1 y q2 r r 2.- Sí se aumenta la distancia r2 r1 que las separa, disminuye la magnitud de la fuerza F12 . 3.- Se encuentra experimentalmente que el comportamiento gráfico de F12 con la distancia que las separa es como se muestra el la figura LC-2. F12
o
Fig. LC-2
r
Matemáticamente la función que mejor se adapta a la grafica aquí mostrada es que: K F12 es inversamente proporcional a r or n con n un número real; con estas conclusiones r2 r1 experimentales se concluye que la magnitud de la fuerza F12 es: q1q F12 = K r r2 n LC-3 r2 r1 Aclarando que K es una constante de proporcionalidad y se encuentra experimentalmente 1 que K = y 0 8.85x10-12C2/(N-m2); asimismo se encuentra que n≈2. 4 0
N m2 C2 Haciendo las sustituciones correspondientes en LC – 1 se obtiene:
K = 8.99x109
r r r r q1q (r r ) q q (r r ) F12 = K r r2 n r2 r1 = 1 2 r2 r1 3 LC-4 r2 r1 r2 r1 4 0 r2 r1 Comentario a esta igualdad así formulada se le conoce como Ley de Coulomb para dos Cargas puntuales; remarcando que la magnitud de dicha fuerza se determina con la igualdad LC-3 pero con n=2.
CASO DE TRES CARGAS PUNTUALES.
q2
q1
q3
Suponga que en algún lugar del espacio se tienen tres cargas puntuales como se muestra en la figura adjunta. Remarcando que la carga puntual observada es la q3, en estas condiciones las cargas puntuales q1 y q2 generan las fuerzas coulombianas: F13 y F23 ; quedando la fuerza resultante como: F3 = F13 + F23
LC-5
Aplicando el resultad de LC-4 en LC -5 se tiene: 0
r r r r q1q3 (r3 r1 ) q2 q3 (r3 r2 ) F3 = K r r 3 + K r r 3 LC-6 r3 r1 r3 r2 Note que en esta igualdad así formulada, como la constante K y la carga q3 aparecen en ambos términos; de tal forma que la expresión inmediata anterior se puede representar como: r r r r (r3 r1 ) (r3 r2 ) F3 = Kq3(q1 r r 3 + q2 r r 3 ) LC-7 r3 r1 r3 r2 Observe que la carga puntual en la que se determina la fuerza generada por las otras cargas puntuales es un factor común así como la constante K y los términos restantes solamente cambian en el segundo subíndice de acuerdo a la carga puntual participante; por lo que este resultado se puede representar para el caso de N cargas puntuales como:
N
Fi = Kqi j
r r q j ( ri rj ) r r 3 , ( con j≠i) 1 ri rj
LC-8
Comentario a esta igualdad así formulada se le conoce con el nombre de Ley de Coulomb para N cargas puntuales. Cabe aclarar que i =1,2,3,…,N. Esto indica que la fuerza se puede determinar en cualesquiera de las N cargas puntuales.
Ejemplo 1.- Se colocan cuatro cargas puntuales en los vértices de un cuadrado de lado 0.1m; tales que: q1 = 3μC, q2 = -4μC, q3 = 3μC y q4 = 4μC. Determinar la fuerza Coulombiana sobre la carga puntual de -4μC y posteriormente determinar la magnitud de dicha fuerza. ( la colocación de las cargas es libertad del estudiante ) RESPUESTA: Considere la figura adjunta tales que “a” representa el lado del cuadrado, o sea que a=0.1m. Note que la carga puntual en la que se y determina la fuerza es q2 y que tiene por coordenadas (a,a) y r su vector de posición s r2 = a iˆ +a ˆj ; tomando en q4 q2 consideración la figura y como q1 está el origen del sistema r r de coordenadas entonces r1 =0 iˆ +0 ˆj , de forma semejante: r2 r r r3 aiˆ 0 ˆj & r4 0iˆ ajˆ o q1
x
q3
Aplicando LC-8 se tiene: con N=4. 4
F2 = Kq2 j
sumatoria se tiene: r q1 ( r2 F2 = Kq2 r r2 Pero: r r r2 r1 = a iˆ +a ˆj -0 iˆ
r r1 )
r3 r1
r r q3 (r2 r3 ) r r 3 r2 r3
0 ˆj = a iˆ ajˆ
r r q j (r2 rj ) r r 3 , con j≠2 ; desarrollando esta 1 r2 rj
r r q4 ( r2 r4 ) r r 3 r2 r4
r r2 r r2 r r2
r r1 r r3 r r4
(1)
a2
a2
a 2
r r 02 a 2 a r2 r3 aiˆ ajˆ aiˆ 0 ˆj 0iˆ ajˆ r r a r2 r4 aiˆ ajˆ oiˆ ajˆ aiˆ 0 ˆj Sustituyendo estas expresiones en la igualdad (1) se tiene:
F2=Kq2
q1 (aiˆ ajˆ) a 3 (2)3/ 2
q3 (ajˆ) a3
q4 ( aiˆ) a q1 (iˆ ˆj ) =Kq 2 a3 a 3 (2)3/ 2
q3 ˆj
q4iˆ =
Kq2 q q ( 3/12 q4 )iˆ ( 3/12 q3 ) ˆj (2) 2 a 2 2 El resultado final se tiene haciendo las sustituciones correspondientes; quedando:
8.9 x109 ( 4 x10 6 ) 3 x10 6 3 x10 6 6 ˆ ( 3/ 2 4 x10 )i ( 3/ 2 3 x10 6 ) ˆj =-18.02 iˆ 14.45 ˆj . F2 = 2 (.1) 2 2 Note que la magnitud de dicha fuerza es solamente la magnitud de F2; quedando:
F2 =
( 18.02)2 (14.45)2 N =24.36N.
No siempre los problemas electrostáticos son con cantidades vectoriales, analizar el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.-Dos esferas idénticas que tienen cargas de signo opuesto, se atraen entre sí con una fuerza de magnitud 0.108N cuando su separación es de 50.0cm. Las esferas se conectan súbitamente con un alambre conductor delgado que luego se retira; suponga que en este proceso se conserva la carga total en las esferas; considerando que la magnitud de la fuerza de repulsión es de 0.036N. Hallar las cargas iniciales de las esferas. RESPUESTA: Por hipótesis la fuerza en las cargas es de atracción entonces las cargas son de signo contrario; obteniéndose por la ley de Coulomb: q1q2 = 0.108 4 or 2 tiene:
q1q2 = 4
2 or (0.108);
que sustituyendo los datos correspondientes se
q1q2 = (1.201x10-11)(.5)2 = 3.0027x10-12 C2
(1)
Después del proceso indicado en el problema como las esferas son idénticas y la fuerza es de repulsión, entonces la carga final en cada esfera es la misma y como la distancia se mantiene constante, de tal forma que q1f = q2f (q1f)2 =4 -6 =1.0004x10 C.
2 or (0.036)
= 1.000911
C2
q1f =
C
Cabe aclarar que esta es la carga final en cada una de las esferas; siendo la carga total final igual 2(1.0004x10-6)C =2. 0008x10-6C y como las cargas iníciales son de diferente signo, entonces una debe ser mayor que la otra; por lo que: q1 - q2 = 2.0008x10-6C q1 = 2.0008x10-6C +q2 (2) Note que las expresiones (1) & (2) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por lo que sustituyendo (2) en (1) se tiene q2(2.0008x10-6C +q2) = 3.007x10-12C2, ecuación que se puede representar como: (q2)2+2.0008x10-6q2- 3.0027x10-12 = 0 Resolviendo esta ecuación cuadrática se tiene q2 = 1.0009x10-6C y de la ecuación (2) se tiene q1 = 3.0017x10-6C
(3)
Ejemplo.3.- Dos pequeñas esferas idénticas de masa m
y carga q se cuelgan de hilos de nylon de masa despreciable y longitud L , como se muestra en la figura adjunta; suponiendo que el ángulo θ es tan pequeño tales que: Tanθ ≈Senθ y que el sistema así formado está en equilibrio(reposo), demostrar que:
θ θ L
q 2 L 1/ 3 ) x 2 0 mg RESPUESTA: Como el sistema así formado por las dos esferas está en equilibrio, entonces en cada una de las esferas por la segunda ley de Newton la suma de fuerzas externas es y colocando el sistema de referencia en la esfera derecha como se muestra en la figura adjunta; con T la tención en la cuerda mg y la fuerza que genera el campo gravitacional terrestre y Fe la fuerza electrostática producida por la carga q de cada esfera; T quedando: θ q,m •
•
X= (
Fe x
•
mg
T + mg + Fe = 0 (1) De la figura y del álgebra de los vectores se tiene: T = -(TSenθ) iˆ +(TCosθ) ˆj ;
mg = -mg ˆj & Fe = Fe iˆ =
q2
iˆ ; remarcando que x es la distancia que separa las cargas, haciendo las sustituciones 4 0 x2 correspondientes en (1) se tiene:
-(TSenθ) iˆ +(TCosθ) ˆj -mg ˆj +
q2
iˆ = 0 iˆ 0 ˆj (2) 4 0 x2 Aplicando la propiedad asociativa del álgebra de los vectores se tiene: q2 Tsen iˆ + TCos mg ˆj = 0 iˆ 0 ˆj , que aplicando la definición de igualdad de 4 0 x2 vectores queda:
TSenθ = q2 4
0
x2
q2 4
0x
2
& TCosθ = mg
T =
mg mgSen , quedando: Cos Cos
=
(3)
Por hipótesis el ángulo θ es muy pequeño entonces Tanθ ≈ Senθ = sustituyendo en (3) se tiene: q2 mgx = ; despejando a x de esta igualdad se obtiene: 4 0 x2 2L X=
mgTan
Lq 2 2 0 mg
1/ 3
x/2 L
x , que 2L
Ejemplo.4.-Dos cargas positivas con carga Q cada una,
se mantienen fijas con “d” la distancia que las separa. Una tercera carga -q y masa m se sitúa en el centro entre ellas y luego tras un pequeño desplazamiento perpendicular a la línea que las une se deja en libertad. Demuestre que la partícula de carga -q describe un movimiento armónico simple con periodo o
m 3d 3 qQ
1/ 2
RESPUESTA: Las cargas puntuales pueden estar colocadas como se muestra en la -q figura adjunta y por las propias F2 F1 Q Q características del problema la magnitud de F1 es igual a la d magnitud de F2. Además note que la suma de las componentes horizontales de la fuerza resultante se hace cero y que la magnitud de la fuerza resultante es 2F1 Senθ. Por otro lado el desplazamiento de la carga negativa es vertical por lo que de acuerdo a la segunda ley de Newton, la magnitud de la fuerza que actúa d2y sobre la carga negativa es: m 2 ; con m la masa de la carga (-q), por lo que: dt m
d2y = -2F1 Senθ dt 2
De la ley de Coulomb se sabe que F1 =
(1) Qq con r la distancia que hay entre las cargas Q 4 or 2
& -q En el caso del Senθ de la figura inmediata anterior se tiene Senθ = y/r, que sustituyendo en la ecuación (1) se tiene: Qq Qqy y d2y = -2( ) =(2) 2 2 4 or r 2 or3 dt Por hipótesis del problema el desplazamiento vertical es muy pequeño, de tal forma que r d , que sustituyendo en (2) se tiene: 2 4Qqy d2y Qqy m 2 ==, ecuación que se puede indicar como: d 3 d3 dt o 2 o( ) 2 2 4Qq d y y =0 + (3) 3 2 dt o md En esta ecuación así formulada el contenido de los paréntesis rectangulares es constante por 4Qq 2 lo que se ω2 = y como ω = 2πf = ; siendo T el periodo de oscilación de la 3 T o md partícula considerada, de tal forma que:
m
2
T=
4Qq 3 o md
1/ 2
= 2π
o
md 3
4Qq
3
d 3m Qq o
=
Ejemplo.5.-Dos cargas puntuales positivas e iguales se mantienen separadas por una distancia fija 2a. Una carga puntual de prueba qp se localiza en un plano que es perpendicular a la línea que une las cargas y que contiene al punto medio de la misma. Determine el radio r de la circunferencia en el plano para lo cual la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga de prueba es máxima.
RESPUESTA:
y er
Suponga la figura adjunta:
qp
Por comodidad de cálculo el sistema de referencia se coloca en el centro de la circunferencia de radio r y considerando que la carga q1 es la que está sobre el eje z positivo y q2 la carga que está sobre el eje z negativo; por lo que aplicando la ley de Coulomb para dos cargas puntuales se tiene.
q z
q
0 r
x
F(rp)
qp
=
4
q (rp o
rp
r1) ) r1
3
q (rp rp
r2 ) r2
3
(1) Note que: rp = r er , r1 = a k & r2 = -a k ; así mismo es recomendable aclarar que qp representa a la carga de prueba colocada sobre al circunferencia de radio r; luego con las anotaciones indicadas y del álgebra de los vectores se obtiene: rp-r1 = r er -a k
rp
r1 =
rp-r2 = r er + a k
rp
r2 =
r2 r2
a2 a2
rp rp
r1
3
(r 2 3
a 2 )3/ 2
r2 = (r2+a2)3/2
(2) (3)
De estos cálculos así desarrollados observe que los denominadores en la ecuación (1) son iguales, por lo que sustituyendo (2 ) & (3) en (1) y factorizando la carga q se obtiene: q p qr qp q q F(rp) = ( r er -a k + r er + a k ) = 2r er = 2 o ( r 2 a 2 )3/ 2 4 o ( r 2 a 2 )3/ 2 4 o ( r 2 a 2 )3/ 2 er (4) Observe que la dirección de la fuerza resultante es en er ; quedando la magnitud de dicha fuerza como: qp
F(r) =
q p qr 2
0
(r 2
a 2 )3 / 2
(5)
Observe que este resultado es consistente físicamente, ya que cundo r es igual a cero la carga de prueba está justamente a la mitad de la distancia entre las cargas y como la carga q p es positiva. Además note que la función indicada en (5), solamente tiene un máximo por lo que la primera derivada de dicha función valuada en ese punto debe ser cero; o sea que: qq p r d ( ) =0 dt 2 o ( r 2 a 2 )3/ 2 dr Desarrollando la derivación correspondiente se obtiene: dF ( rp )
:=
(6)
qq p r qq p d qq p d r 1 3r 2 ( ) ( ) = = [ ] dt 2 o ( r 2 a 2 )3/ 2 2 o dt ( r 2 a 2 )3/ 2 2 o ( r 2 a 2 )3/ 2 ( r 2 a 2 )5/ 2 De la expresión (6) esta derivada debe ser igual a cero, quedando: a r2+a2-3r2 = 0 r= 2
FUERZAS COULOMBIANAS PRODUCIDAS POR OBJETOS CARGADOS En el mundo real lo que se tiene son objetos con carga Q que en su forma más sencilla es el caso en que la carga Q está distribuida uniformemente y los objetos pueden presentarse como distribuciones de carga por unidad de longitud, distribuciones de carga por unidad de área y distribuciones de carga por unidad de volumen; como una ilustración de estos casos a continuación se presenta el caso de una distribución volumétrica de carga; cuya densidad de carga por unidad de volumen se define como: lím Q dQ LC-9 V 0 V dV Considere un objeto de volumen V y carga Q distribuida uniformemente como se muestra en la figura adjunta, con las siguientes r aclaraciones, r j indica la j-ésima partición r del objeto aquí considerado, ri indica la carga puntual q en la que se calcula la fuerza electrostática, 0 indica el sistema de referencia inercial desde donde se hacen las observaciones Sí se considera que el objeto con carga Q distribuida uniformemente está particionado en N partes, entonces se tienen N elementos de volumen; tales que en cada elemento de volumen ∆jV existirá una cierta cantidad de carga ∆jQ por lo que este caso se aproxima al caso de N cargas puntuales; quedando la fuerza electrostática F como: (r , t )
r F( ri ) ≈ Kq
N j j 1
r r Q ( ri rj ) r r r 3 . En esta aproximación con ∆jQ = ρ( r ,t)∆jV queda como: ri rj
r F( ri ) ≈Kq
N
j 1
r r r (rj , )(ri rj ) jV ; Note que esta aproximación se convierte en una igualdad r r 3 ri rj
cuando los elementos de volumen sean muy pequeños ya que de esta forma ∆jQ “ serán cargas puntuales”;pero para que esto ocurra el número de particiones del objeto debe ser muy grande; quedando: r F( ri ) =
lím N
N
Kq j 1
r r r (rj , t )(ri rj ) jV = Kq r r 3 ri rj V
r r r (r , t )(ri r )dV r r3 ri r
LC-10.
Se hace la aclaración que la integración indicada es sobre todo el volumen del objeto; pero como la carga está distribuida uniformemente entonces la densidad de carga es constante y la igualdad inmediata anterior queda. r (ri
r r )dV F = qKρ LC-11 r r3 ri r V En el caso de distribuciones de carga por unidad de área y considerando que la densidad: σ( r r ,t) de carga por unidad de área se define como: r dQ σ( r ,t) = ; haciendo un proceso semejante dA
al de objetos volumétricos se encuentre que la fuerza electrostática que genera una distribución de carga uniforme sobre una carga puntual es: r r (ri r )dA F = Kqσ LC-12. r r3 ri r A Asimismo para distribuciones de carga por unidad de longitud se encuentra: r r (ri r )dL F = Kqλ LC-13. r r3 ri r L Se hace la aclaración que en esta igualdad L representa la distribución de carga y (tamaño L), λ indica la densidad de carga por unidad de longitud que es constante.
Ejemplo.6.-En
algún lugar del espacio se encuentra una distribución uniforme de carga en forma de circunferencia de radio R cuya densidad está representada por . Una carga puntual q está sobre el eje de simetría en el punto de coordenadas (0,0,b), note que el sistema de referencia está en el centro de curvatura de la distribución de carga. Hallar la fuerza electrostática que genera la distribución uniforme de carga sobre la carga q; considerando que la carga total de la distribución es Q.
RESPUESTA
Considere la figura adjunta con la nomenclatura; rp la posición de la carga q, r indica cualquier punto de la distribución de carga, dl la diferencial de arco en este caso la diferencial de arco de la circunferencia de radio R; por lo que dl=Rdθ Aplicando la ley de Coulomb para distribuciones continuas de carga se tiene: (rp r )dl q F(rp) = = 3 4 o r r
z q (0,0,b) rp
R 0 x
y
r
p
q 4
( rp rp
o
r )dl r
3
(1)
En esta notación el símbolo que aparece al pie de la integral de línea indica que la integración es sobre toda la circunferencia de radio R, además: rp = b kˆ , r=R eˆr ; con eˆr un vector unitario en coordenadas polares normal exterior en cada punto de la circunferencia; tales que eˆr = (RCosθ) iˆ +(RSenθ) ˆj , quedando: rp-r= b kˆ -R eˆr & rp
r
R2
b2
rp
r
3
(R 2
b 2 )3/ 2
Haciendo las sustituciones correspondientes en la expresión (1), con dl=Rdθ se tiene: 2 (bkˆ ( RCos )iˆ ( RSen ) ˆj ) q F(rp)= Rdθ (2) 4 o 0 (R 2 b 2 )3 / 2 Cabe observar que la única variable en esta expresión es θ ya que R & b son constantes; así como los vectores unitarios ya que éstos están anclados al sistema de referencia; asimismo obsérvese que las componentes de la fuerza que están en un plano paralelo al plano xy se anulan por la simetría del problema, pues la distribución de carga es uniforme ; por lo que: 2 q Rbkˆ q Rbkˆ Rbq kˆ d = 2π = 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2 ( R b ) 4 o (R b ) 4 ( R b ) o o 0 Como un resultado equivalente utilizando la carga total Q de la distribución aquí considerada ya que λ = Q/2πR, quedando la expresión inmediata anterior como: Q Rbq bqQ 2 R kˆ = kˆ F(rp) = 2 2 3/ 2 4 o (R 2 b 2 )3 / 2 2 o (R b )
F(rp) =
CAMPO ELECTROSTÁTICO (ELÉCTRICO) . Este subtema de Electrostática es consecuencia de la observación que se hizo cuando se frotó la barra de plástico al inicio del subtema de la Ley de Coulomb. La barra adquirió una propiedad física que a su vez generó la fuerza electrostática; a esta propiedad física se le llama campo Electrostático y se define como:
r F CE-1. qi o qi Cabe remarcar que por definición el Campo Eléctrico es una cantidad vectorial que tiene la misma dirección de la fuerza coulombiana y que se evalúa en un punto del espacio indicado r por ri . r E( ri ) =
lím
En el caso de una carga puntual, sustituyendo la igualdad LC-1 la definición CE-1 se tiene:
r E( ri ) =
r qi q j (ri r 4 0 ri
lim qi
0
r rj ) r 3 rj
qi
qj
r r (ri rj ) Kq j r r 3 ri rj
CE-2
En esta definición cabe resaltar que el campo electrostático solamente depende de la carga qj que lo produce; aclarando que sí qj es negativa, entonces las líneas del campo son como se muestra en P• la figura adyacente; en caso que la carga sea positiva la dirección del campo es hacia el punto P (punto de evaluación del campo). En el caso de N cargas puntuales; aplicando la definición de campo electrostático así como la igualdad LC-8; se obtiene: r E( ri ) =K
N
j
r r q j ( ri rj ) 1 = 8.99x109(N-m2/C2) r r 3 ;(K= 4 1 0 ri rj
CE-3
Ejemplo 1.- Se tienen dos cargas puntuales de igual magnitud colocadas una en cada vértice de un triángulo isósceles de base 0.25m y altura 0.5m; considerando que la carga positiva está colocada en el origen del sistema de coordenadas. Hallar el campo electrostático valuado en el vértice superior del triángulo; suponiendo que q1 = 3.8μC. RESPUESTA: De acuerdo al enunciado del problema suponga el diagrama siguiente: y
.25 ,.5) ; por 2 r lo que ri .125iˆ .5 ˆj ; mientras que las coordenadas de la posición de q2 son: (.25,0); de tal forma que: r r r r2 .25iˆ 0 ˆj y como q1 está en el origen, entonces r1 0 Con estas aclaraciones y aplicando CE-3 se tiene
P
Note que las coordenadas del punto P son (
q2
q •o 1
•
x
r E (ri )
r r q1 (ri 0) K r r3 ri 0
r r q2 (ri r2 ) r r 3 ri r2
(1)
Con los datos de los vectores involucrados se obtiene: r ri
r 0 .125iˆ .5 ˆj
r r q1( ri 0 ) =3.8x10-6(.125 iˆ +.5 ˆj ) = (.475 iˆ +1.9 ˆj )x10-6 & ri
3
o =.131
r ri
r r2
.125 iˆ +.5 ˆj -.25 iˆ -0 ˆj = -.125 iˆ .5 ˆj q2(-.125 iˆ +.5 ˆj ) = -3.8x10-6(-.125 iˆ +.5 ˆj ) r r 3 =(.475 iˆ -1.9 ˆj )x10-6 & ri r2 =.131. Note: que la distancia de q1 al punto P y distancia de q2 al punto P son iguales; esto es consistente ya que se trata de un triángulo isósceles. Sustituyendo los cálculos realizados en la igualdad (1) se obtiene: r x10 6 E ( ri ) =8.99x109[.475 iˆ +1.9 ˆj +.475 iˆ -1.9 ˆj ] = 67.9x103[.958 iˆ ] = (64.5x103) iˆ .131 Observe que el campo no tiene componentes en la dirección de ˆj . Se deja como un ejercicio al lector hacer un diagrama de cada campo en el punto P y verifique el resultado obtenido.
Ejemplo.2.-La carátula de un reloj tiene cargas puntales negativas: -q,-2q,-3q,-4q-,…12q; colocadas en las posiciones de los números correspondientes. ¿A qué hora las manecillas del reloj apuntan en la misma dirección del campo electrostático producido por las cargas puntuales, valuado en el centro de la carátula?. RESPUESTA: Suponga el diagrama siguiente: -12q
-q
En la figura -2q -10q solame nte se -3q o han -9q dibujad -4q o los -8q campos -5q resultan -7q -6q tes por cada pareja de cargas puntuales valuados en el centro de la carátula del reloj y como una segunda parte del problema se dibuja la resultante por cada tres campos representados por las flechas sobrepuestas, finalmente se suman estos dos campos dando como resultante la flecha de magnitud mayor y obsérvese que la dirección del campo electrostático resultante en el caso de la carátula del reloj indica las 9:30hrs. -11q
Ejemplo.3.-La
-q
P
2a z
q
figura adjunta muestra un dipolo eléctrico; considerando que el campo eléctrico se evalúa en el punto P colocado sobre el eje del dipolo a una distancia z: p demuestre que para z>>a se obtiene E con p=2qa. 4 o z3
y -q
r1 0 r2 q -q
P
rp
x
z
q ( rp
E(rp) = 4
o
r )1
rp
r1
3
(rp
-q 4
o
RESPUESTA Con el propósito de facilitar el álgebra el sistema de referencia se coloca en el centro del dipolo de tal forma que el punto P quede sobre el eje x, como se muestra en la figura adyacente, quedando, rp = z iˆ , r1 =a ˆj , r2 =-a ˆj y recuerde que el campo electrostático es:
r2 ) rp
r2
(1)
3
Pero: rp- r1 = z iˆ -a ˆj ; quedando rp- r1 = (z2+a2)1/2 & rp-r2 = z iˆ +a ˆj . Note que =(z2+a2)1/2 , que sustituyendo en (1) se tiene: E(rp) =
q 4
ziˆ ajˆ ziˆ ajˆ - 2 =2 3/ 2 4 (z a ) ( z a 2 )3/ 2 2
o
Observe que: (z2+a2)3/2 = z3(1+
2aqjˆ 2 z 2 )3/ 2 o (a
rp-r2
(2)
a2 a2 ); pero cuando z>>a, 0; quedando la expresión z2 z2
inmediata anterior como: 2 aqjˆ E(rp) . Se notará que la magnitud del campo electrostático es: 4 o z3 2aq p E(rp) ≈ = ; recuerde que: 2aq ˆj se le llama momento del dipolo eléctrico 3 4 0 z3 4 0z
Ejemplo.4.-
Se proyecta un electrón con una d E rapidez inicial v0 de 5.83x106m/s, formando un ángulo de 0 39 390 con la placa inferior horizontal como se muestra en la L figura adjunta; considerando que la magnitud del campo electrostático entre las placas es de 1870N/C y además d=1.97 cm, L= 6.2 cm. Desarrollar los cálculos correspondientes para decir sí el electrón chocará con alguna de las placas. RESPUESTA.- En el dispositivo mostrado se desprecian los campos externos a E por lo que en este fenómeno físico solamente se considera E en el espacio comprendido entre las placas; de tal forma que es un problema de Cinemática puntual; o sea que es un movimiento de proyectiles; tales que se calcula la altura máxima del proyectil; sí resulta mayor 1.97 cm entonces el electrón choca con la placa superior; siempre y cuando la distancia horizontal sea menor a 6.2 cm. LOS CÁLCULOS SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN. A ) Calculo del tiempo de máxima altura. Recuerde que en la máxima altura la partícula tiene una rapidez en e igual a cero; quedando:
Vy = v0 Senθ – at; siendo a la magnitud de la aceleración, que en el caso del problema aquí qE planteado se determina de: F = ma = qE a= ; en este caso m es la masa del electrón, m de tal forma que: (1.6 x10 19 )(1870) a= m/s2 =3.28 x1014m/s2 ; con este cálculo, el tiempo de máxima altura 9.11x10 31 es: v0 Sen 5.83x106 Sen(390 ) = = 1.11x10-8 s =11.1ns (1) 14 a 3.28 x10 Recuerde que la altura máxima de un proyectil se obtiene de: at 2 3.28 x1014 (1.11x10 8 ) 2 Y(t) = (v0Senθ)t= (5.83x106)(1.11x10-8) = (0.043 – 0.023)m = 2 2 0.02m = 2.0cm; con estos cálculos al parecer el electrón choca con la placa superior; pero puede ocurrir que la distancia horizontal sea mayor a 6.2 cm y que la altura máxima esté fuera de las placas; por lo que a continuación se determina la distancia horizontal con:
t=
X(t) = (v0Cosθ) (2t) = (5.83x106)Cos(390)(2(1.11x10-8)m = 0.101m=10.1 cm ; pero a la mitad de esta distancia el electrón adquiere la máxima altura, que es una distancia horizontal de 5.05 cm. que es menor que 6.2 cm ; por lo que se concluye que el electrón si choca con la placa superior.
CAMPOS ELECTROSTÁTICOS GENERADOS POR OBJETOS CON CARGA Q Por comodidad de cálculo solamente se analizan objetos con carga Q distribuida uniformemente: o sea que las densidades de carga correspondientes son constantes y aplicando la definición de campo; observe que lo que se elimina comparado con la fuerza electrostática es la carga puntual qi ; quedando para el caso de distribuciones uniformes de carga por unidad de área de la expresión LC-12. r r r (ri r )dS E( ri ) = Kσ r r3 ri r S
CE-4
Ejemplo5.- Para una distribución uniforme de carga en forma de disco de radio R y carga total Q. determinar el campo electrostático valuado en un punto P colocado en el eje de simetría que es perpendicular al plano del disco y que está en el punto de coordenadas (0,0,Z), posteriormente encuentre el campo en el centro del disco.
Z
rp
R
r X
Y
RESPUESTA.- Considere la figura adjunta, con las aclaraciones siguientes, la función
vectorial r indica la diferencial de área 2 rdr, R es el radio del disco, rp indica el punto P (punto de evaluación del campo electrostático); sí el punto de referencia está en el centro del disco, entonces: rp = z kˆ , el anillo pintado de negro es la diferencial de área del disco. Recuerde que en estas condiciones el campo electrostático valuado en P es: E (rp )
(rp 4
0 S
r )dS
rp
r
(1)
3
Puesto que rp - r = z kˆ -r eˆr
rp
r =
z2
r 2 ; quedando : rp
Es importante indicar que r eˆr (rCos )iˆ (rSen ) j ; correspondientes en (1) se tiene: ( zkˆ r cos iˆ rsen ˆj ) E ( rp ) 2 rdr 4 ( z 2 r 2 )3 / 2
haciendo
r
3
las
(z2
r 2 )3 / 2
sustituciones
(2)
Note que el problema que se está resolviendo, como la distribución de carga es uniforme, entonces tiene simetría y las componentes en: iˆ & ˆj se eliminan o sea que solamente se resuelve la integral en la componente de kˆ ; quedando: R
E ( rp )
4
0 0
zkˆ 2 rdr ( z 2 r 2 )3 / 2
zkˆ 4
R
2rdr ( z r 2 )3 / 2 0
(3)
2
0
Observe que esta integral se resuelve con un cambio de variable u = z2+r2 du 2rdr ; quedando: R 2rdr 2 2 2 R | , que sustituyendo en la igualdad (3) se 0 =2 2 3/ 2 2 2 2 2 z ( z r ) z R z r 0 obtiene: E ( rp )
zkˆ 2 4 0 z
2 z
2
R
2
=
2
z
1 0
z
2
R2
kˆ
(3)
Es recomendable aclarar que en esta igualdad dS representa una diferencial de área que puede ser representada en cualquier tipo de coordenadas según sea la necesidad del r problema; al igual que los vectores: rp & r y la integral, se realiza sobre toda el área S con carga Q distribuida uniformemente.
Ejemplo 6.-Una
carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie semiesférica de radio R. Hallar el campo electrostático en un punto P sobre el eje de simetría y a una distancia R del centro de curvatura de la distribución de carga.
RESPUESTA:
Con el propósito de utilizar coordenadas esféricas considere que la distribución de carga es como la mostrada en la figura adjunta ; con la aclaración que el sistema de referencia está colocado en el centro de curvatura; asimismo la distribución de carga es uniforme, por lo que:
z
R y
0
E(rp)= x
(rp 4
o S
rp
r ) dS r
3
(1)
P
Tomando en cuenta la figura se tiene que: rp = -R kˆ , r = (Senθ CosφR) iˆ +(RSenθSenφ) ˆj +(RCosθ) kˆ , quedando: rp–r=-R kˆ -(RSenθCosφR) iˆ +(RSenθSenφ) ˆj +(RCosθ) kˆ
(2)
Calculando la magnitud de este vector y posteriormente elevando al cubo se tiene: rp
3
r =R323/2(1+Cosθ)3/2
(3)
En el caso de coordenadas esféricas: dS = R2Senθdθdφ
(4)
Haciendo las sustituciones correspondientes en (1) y considerando la simetría del problema físicamente no hay campo en las direcciones de: iˆ y ˆj ; por lo que: ( R(1 Cos )kˆR 2 Sen d d (5) 4 o S R 3 2 3 / 2 (1 Cos ) 3 / 2 En estas integraciones analizando la figura, la variable φ es de 0 a 2Л y la variable θ de 0 a л/2, por lo que:
E(rp)=
E(rp)=
.kˆ 4
/2 2
o
0
0
(1 Cos ) Sen d d 2 3 / 2 (1 Cos ) 3 / 2
=
.kˆ 2
/2
(1 Cos )
5/2 o
1/ 2
( Sen )d
(6)
0
Note que esta integración es inmediata por lo que:
E(rp)=
.kˆ 2
(1+Cosθ)1/2
5/2 o
/2 0
=
.kˆ 2
(1- 2 )= -0.4142
5/2 o
.kˆ 2
(7)
5/2 o
Indudablemente también existe el campo electrostático generado por distribuciones volumétricas de carga, valuado en algún punto P del espacio en cuyo caso se encuentra:
E( rp ) =
(r , t )(rp
1 4
0 V
rp
Comentario.-
r )dv r
3
CE-5
En este subtema no se presentan ejemplos de distribuciones volumĂŠtricas de carga por el nivel del curso ( tercer semestre de licenciatura); sin embargo se espera que con los dos ejemplos expuestos de las dos distribuciones de carga, quede claro el poderĂo de la teorĂa propuesta.