GENEL MATEMAT‹K Kitab›na Ait Düzeltmeler
De¤erli Ö¤rencimiz, Elinizde bulunan 14 ünitelik Genel Matematik kitab›n›z, 1 ünite daha eklenerek 15 ünite olmufltur. Bu düzeltme kitap盤›ndaki bölümü elinizde bulunan Genel Matematik ders kitab›n›n sonuna 15. ünite olarak ekleyiniz.. S›navlarda bu de¤iflikliklerden sorumlu olacaks›n›z. AÖF Dekanl›k
Yazar Prof.Dr. Mehmet ÜREYEN (Ünite15)
Editör Prof.Dr. Orhan ÖZER
ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹
15
Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar
Amaçlar
N N N N N N N
Bu üniteyi çal›flt›ktan sonra; iki ve daha çok de¤iflkenli fonksiyonlar›, üç boyutlu uzayda koordinat sistemini, baz› basit yüzeyleri, k›smi türev kavram›n›, iki de¤iflkenli fonksiyonlar›n maksimum ve minimum noktalar›n›n bulunmas›n›, çok de¤iflkenli fonksiyonlar›n baz› iktisadi uygulamalar›n›, koflullu ekstremum problemlerinin çözümlerini ö¤renmifl olacaks›n›z
2
Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar
‹çindekiler • • • • • • • • • •
Girifl ‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar Üç Boyutlu Uzayda Koordinat Sistemi Baz› Basit Yüzeyler Üç ve Daha Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar ‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlarda K›smi Türev Üç ve Daha Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar›n K›smi Türevleri ‹kinci Mertebeden K›smi Türevler ‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minimum Koflullu Ekstremumlar
• Üzerinde düflünülerek tan›mlamalar iyice anlafl›lmal›, • kavramlar örneklerle pekifltirilmeli, • al›flt›rmalar çözülmelidir.
Girifl Bir bankadan 5 y›l vadeli ev kredisi çekti¤imizi düflünelim. Bankan›n 5 y›l vadeli krediler için uygulad›¤› faiz oran› sabit oldu¤undan, ödeyece¤imiz ayl›k taksit tutar› çekece¤imiz kredi miktar›na ba¤l›d›r. Bunu matematik dille söylersek ayl›k taksit miktar› çekece¤imiz kredi miktar›n›n bir fonksiyonudur. Taksit tutar› sadece kredi miktar›na ba¤l› oldu¤undan bu fonksiyon tek de¤iflkenli bir fonksiyondur. fiimdi vadenin de de¤iflti¤ini düflünelim. Bu durumda bankalar kredi faiz oran›n› ödeme süresine göre belirledi¤inden ödeyece¤imiz ayl›k taksit tutar› hem vadeye, hem kredi miktar›na ve hem de faiz oran›na ba¤l›d›r. Bu durumda art›k ödeyece¤imiz taksit tutar› çekece¤imiz kredi miktar›n›n tek de¤iflkenli bir fonksiyonudur diyemeyiz. Bu durumda taksit miktar› bir den çok de¤iflkenin bir fonksiyonu olur. Bu örnekte gördü¤ümüz gibi tek de¤iflkenli fonksiyonlar gerek matematik ve gerekse uygulamal› bilimler aç›s›ndan birçok durumda ihtiyaca cevap verememektedir. Bu nedenle çok de¤iflkenli fonksiyonlar› ve özelliklerini ö¤renmeden bu tür problemleri çözmemiz mümkün de¤ildir. Bu ünitede çok de¤iflkenli fonksiyon kavram›n› ve bu tür fonksiyonlar›n baz› özelliklerini k›saca gözden geçirece¤iz. Çok de¤iflkenli fonksiyonlar›n genel yap›s›, esas olarak iki de¤iflkenli fonksiyonlara çok benzedi¤inden, kavramlar› iki de¤iflkenli fonksiyonlar üzerinde aç›klay›p, iki den çok de¤iflkenli fonksiyonlara geniflletece¤iz.
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar
3
‹K‹ DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLAR Kredi-taksit tutar› problemini, daha sonra çözmek üzere, bir an için unutup daha basit bir örnek üzerinden çok de¤iflkenli fonksiyon kavram›n› aç›klamaya çal›flal›m. fiimdi bir bayan›n kuyumcudan bilezik almak istedi¤ini düflünelim. Bilezi¤in maliyeti, 22 ayar bilezi¤in 1 gram›n›n fiyat› ile bilezi¤in a¤›rl›¤›na ba¤l›d›r. Bilezi¤in gram fiyat› ve bilezik a¤›rl›¤› ve bunlara ba¤l› olarak bilezi¤in maliyetleri afla¤›daki tablodaki gibi olsun: Bilezi¤in a¤›rl›¤› (gr)
Bilezi¤in gram fiyat› (YTL)
Bilezik Maliyeti (YTL)
10
30
10.30=300
10
32
10.32=320
11
30
11.30=330
11
32
11.32=352
Tablodan gördü¤ünüz gibi bilezi¤in a¤›rl›¤›n›n veya bilezi¤in gr fiyat›n›n veyahut her ikisinin de¤iflmesi bilezi¤in toplam maliyetini de¤ifltirmektedir. Burada bilezi¤in a¤›rl›¤› ile bilezi¤in gram fiyat›n›, bir s›ral› ikilinin terimleri olarak düflünelim. Bu durumda yukar›daki tablo ile verilen her maliyeti, belirli bir s›ral› ikiliyi tek bir elemanla eflleme fleklinde yorumlayabiliriz. (10 , 30) → 300 (11, 30) → 330
(10, 32) → 320 (11, 32) → 352
Dikkat ederseniz bu efllemelerde her bir s›ral› ikili daima tek bir elemanla efllenmektedir. Tek de¤iflkenli fonksiyon kavram›n› hat›rlarsan›z, böyle bir efllemeyi bir fonksiyon olarak düflünebiliriz. Burada efllemeye giren ikililer R x R = R2 nin elemanlar› oldu¤undan, bu fonksiyonu R2 nin bir alt kümesi üzerinde tan›mlamak uygun olacakt›r. Buna göre, iki de¤iflkenli fonksiyonu flu flekilde tan›mlayabiliriz: B, R2 nin bir alt kümesi olmak üzere, B den R ye tan›mlanan bir f fonksiyonuna, yani bir gerçel say› ikilisine tek bir gerçel say› karfl›l›k getiren bir fonksiyona iki de¤iflkenli bir fonksiyon denir ve f : B → R , (BfR2) (x, y) → f (x, y) biçiminde gösterilir. Buradaki f (x, y) ifadesi, (x, y) ikilisinin f fonksiyonu alt›ndaki görüntüsünü veren kural› ifade etmektedir. f : R2 → R , f(x, y) = x.y g : R2 → R , g(r, h) = πr2h B = { (x,y) | x2+y > 0, x,y ∈ R } olmak üzere, h : B → R , h(x, y) = ,n (x2+y), i : R2 → R , i(x,y) = x2+ y2 fonksiyonlar›n›n her biri iki de¤iflkenli bir fonksiyondur.
ÖRNEK 1
‹ki de¤iflkenli fonksiyonda tan›m kümesinin bir ikililer kümesi, de¤er kümesinin ise, R oldu¤una dikkat ediniz. f : R2 → R , f(x,y) = x2+ 2xy - y fonksiyonu veriliyor. (1,2) ve (1,-1) ikililerinin f fonksiyonu alt›ndaki görüntülerini, di¤er bir deyiflle f(1,2) ve f(1,-1) say›lar›n› bulal›m.
ÖRNEK 2
4
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar
f(1,2) say›s›n› bulmak için x2+ 2xy - y ifadesinde x yerine 1, y yerine 2 yaz›p, gerekli ifllemleri yaparak sonucu bulmal›y›z. Buna göre, f(1,2) = 12+ 2.1.2 - 2 = 3 bulunur. Benzer flekilde f(1,-1) say›s›n› bulmak için de ayn› ifadede x yerine 1, y yerine -1 yazmam›z gerekir. Buna göre, f(1,-1) = (1)2 + 2.1. (-1) - (-1) = 0 bulunur.
SIRA S‹ZDE 1
1) f(x,y) = 3x2 - xy2 + 5y fonksiyonu veriliyor. (-1,2) ikilisinin bu fonksiyon alt›n-
daki görüntüsünü bulunuz. 2) f : R → R, f(x,y) =
nuz.
2x − y fonksiyonu veriliyor. f(0,0) ve f(3,1) say›lar›n› bulux2 + 3
Yukar›da ifade etti¤imiz gibi iki de¤iflkenli fonksiyonun tan›m kümesi gerçel say› ikililerinden oluflur. Bir gerçel say› ikilisine düzlemin tek bir noktas› karfl›l›k geldi¤inden, iki de¤iflkenli fonksiyonun tan›m kümesi düzlemin bir alt kümesidir. Bu nedenle iki de¤iflkenli fonksiyonun tan›m kümesine tan›m bölgesi de denir. ‹ki de¤iflkenli fonksiyonlar›n tan›m bölgeleri üzerinde asl›nda özenle durmak gerekir. Ancak bunu kitab›n amac›na uygun görmedi¤imiz için, bu konu üzerinde durmayaca¤›z. Bizim karfl›laflaca¤›m›z tan›m kümeleri baflta düzlemin kendisi olmak üzere, do¤ru parçalar› veya yar› do¤rular ile s›n›rlanan alt kümeler olacakt›r. Özellikle iktisadi aç›dan { (x,y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x,y ∈ R } kümesi en önemli tan›m bölgelerinden biridir. Ancak düzlemin herhangi bir alt kümesinin iki de¤iflkenli bir fonksiyonun tan›m bölgesi olarak al›nabilece¤ini tekrar hat›rlatal›m. Tan›m bölgesi seçimi, fonksiyonun tan›mlanmas›ndan çok, limit, süreklilik, k›smi türev, toplam (total) türev gibi kavramlar›n netlefltirilmesinde önem kazan›r, bu kavramlardan sadece k›smi türev iktisadi uygulamalara sahne oldu¤undan, di¤erleri üzerinde durmayaca¤›z. Tek de¤iflkenli fonksiyonlarda oldu¤u gibi iki de¤iflkenli bir fonksiyonun tan›m kümesi de bazen aç›kça belirtilmez. Bu durumda, fonksiyon alt›ndaki görüntüsü bir gerçel say› olan tüm gerçel say› ikililerinin kümesi (veya bu ikililere düzlemde karfl› gelen noktalar›n oluflturdu¤u, düzlemin “en genifl” alt kümesi) fonksiyonun tan›m kümesi (veya bölgesi) olarak al›n›r.
ÖRNEK 3 ÇÖZÜM
f (x,y) = 4 + 2 x − y fonksiyonunun tan›m kümesini bulal›m. 4 + 2x − y
nin bir gerçel say› olmas› için
y
4
-2
x
Şekil 15.1
4 + 2x -y ≥ 0 olmal›d›r. Bu nedenle 4 + 2x -y ≥ 0 eflitsizli¤ini sa¤layan tüm (x,y) gerçel say› ikililerinin kümesi bu fonksiyonun tan›m kümesi olarak al›n›r. Bu kümeyi flu flekilde ifade edebiliriz: B = { (x,y) | 4 + 2x -y ≥ 0, x, y ∈ R } B kümesinin eleman› olan ikililere düzlemde karfl› gelen noktalar yandaki taral› bölgede bulunurlar. Buna göre, fiekil 15.1 deki taral› bölge f fonksiyonunun tan›m bölgesidir.
5
Üç Boyutlu Uzayda Ko ordinat Sistemi
1) f(x,y) =
a) (1,1) 2) f(x,y) =
3x + y x2 − 4 y
fonksiyonu afla¤›daki noktalar›n hangisinde tan›ml› de¤ildir?
b) (2,2)
c) (1,2)
d) (2,-1)
SIRA S‹ZDE 2
e) (0,0)
x + y − 4 fonksiyonunun tan›m bölgesini bulunuz.
ÜÇ BOYUTLU UZAYDA KOORD‹NAT S‹STEM‹ Tek de¤iflkenli fonksiyonlar› geometrik olarak düzlemin noktalar› ile temsil etmifl ve tek de¤iflkenli bir f fonksiyonu için (x, f(x)), ikililerine düzlemde karfl› gelen noktalar kümesine de f fonksiyonunun grafi¤i demifltik. Bu grafik yard›m›yla tek de¤iflkenli fonksiyonlar›n baz› özelliklerini cebirsel iflleme gerek kalmadan grafik üzerinden söyleyebilmifltik. Benzer flekilde iki de¤iflkenli fonksiyonlar›n da geometrik temsillerini verebiliriz. ‹ki de¤iflkenli bir f fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonla tan›m kümesinin eleman› olan bir (x,y) ikilisi f(x,y) ile gösterdi¤imiz bir gerçel say› ile efllenmektedir. Bir gerçel say› ikilisi düzlemin bir noktas›yla geometrik olarak temsil edildiFonksiyonun tan›m bölgesi ¤inden, bu ikilinin iki de¤iflkenli fonksiyonla efllendi¤i say› ancak üçüncü boyutta gösterilebilir. Bu nedenle iki de¤iflkenli bir fonksiyonu ancak üç boyutlu uzayda geometrik olarak gösterebiliriz. z fiimdi üç boyutlu uzayda koordinat sistemini tan›yal›m: Yandaki fiekil 15.3 de görüldü¤ü gibi, bafllang›ç noktalar›nda ikifler ikifler birbirlerine dik olacak flekilde üç gerçel say› eksenini uzaya yerlefltirelim. Bu eksenlere x, y ve z eksenleri, bunlar›n oluflturdu¤u sisteme koordinat sistemi ve üç eksenin ortak noktas›na bafllang›ç noktas› diyelim. fiimdi fiekil 15.4 de görüldü¤ü gibi uzayda bir P noktas› alal›m. P noktas›ndan xy - düzlemine (x - ekseni ile y ekseninin belirtti¤i düzlem) bir dik çizelim. Bu dikmenin x düzlemi kesti¤i noktaya Q diyelim. xy - düzleminde Q noktas›ndan x - eksenine bir dik çizelim ve bu dikmenin x - eksenini kesti¤i noktaya karfl› gelen say›ya x0 diyelim. Benzer flekilde Q noktas›ndan y-eksenine bir dik çizelim ve bu dikmenin y-eksenini kesti¤i noktaya karfl› gelen say›ya y0 diyez lim. Son olarak P noktas›ndan z eksenine bir dikme çizelim z0 ve bu dikmenin ekseni kesti¤i noktaya karfl› gelen say›ya da z0 diyelim. Bu flekilde buldu¤umuz x0 , y0 , z0 say›lar›yla (x0, y0, z0) s›ral› üçlüsünü olufltural›m. Böylece P noktas›na karfl›l›k bir s›ral› üçlü bulmufl olduk. Bu s›ral› üçlünün tek oldu¤u gösterilebilir. fiimdi de herhangi bir (x0, y0, z0) s›ral› üçlüsü verilmifl olsun. x0 say›s›na x-ekseni, y0 say›s›na da y-ekseni üzerinde karfl› gelen noktalar› bulal›m. Bu noktalardan bulunduklar› x0 eksene, xy- düzleminde, birer dik çizelim ve bu diklerin kex siflti¤i noktaya Q diyelim. Q noktas›ndan xy-düzlemine bir dik çizelim ve bu dikme üzerinde, Q dan bafllayarak z0 po-
Şekil 15.2
y
Şekil 15.3
P
y0
y
Q
Şekil 15.4
6
Üç Boyutlu Uzayda Ko ordinat Sistemi
zitif ise pozitif yönde, z0 negatif ise negatif yönde z0 birim ilerleyelim ve geldi¤imiz noktaya P diyelim. Böylece (x0, y0, z0) gerçel say› üçlüsüne karfl›l›k üç boyutlu uzayda bir P noktas› bulmufl oluruz. (x0, y0, z0) s›ral› üçlüsüne karfl›l›k buldu¤umuz P noktas› tektir. Bu yolla gerçel say› üçlüleriyle üç boyutlu uzay›n noktalar› aras›nda bire-bir eflleme kurabiliriz, yani her bir gerçel say› üçlüsüne uzayda bir tek nokta ve uzaydaki her bir noktaya da tek bir gerçel say› üçlüsü karfl›l›k getirebiliriz. Uzayda her bir P noktas›na bu yolla karfl› getirilen (x0, y0, z0) üçlüsüne P nin koordinatlar› denir. Bu nedenle üç boyutlu uzaya R3 diyebiliriz. R3 = { (x,y,z) | x,y,z ∈ R }
ÖRNEK 4
A = (2,3,5), B = (2,-3,5), C = (2, 3,-5) s›ral› üçlülerine üç boyutlu uzayda karfl› gelen noktalar afla¤›daki gibidir.
z
z
(0,0,5)
(0,3,5)
(0,-3,5)
z (0,3,0)
(0,0,5)
y
(2,0,0)
(2,0,5)
A(2,3,5)
(2,3,0)
(2,0,5)
B(2,-3,5)
x
y
(0,-3,0)
(0,0,-5)
y
(0,3,-5)
(0,3,0) (2,0,0)
(2,3,0)
(2,-3,0)
(2,0,-5)
(2,0,0)
x
C(2,3,-5)
x Şekil 15.5
SIRA S‹ZDE 3
fiekildeki A, B ve C noktalar›n›n koordinatlar›n› bulunuz.
z C
B
A 5/2
-4 y
-3 x
Şekil 15.6
Baz› Basit Yüzeyler
BAZI BAS‹T YÜZEYLER ‹ki de¤iflkenli fonksiyonlar›n geometrik olarak üç boyutlu uzayda temsil edilebildi¤ini ve üç boyutlu uzaydaki koordinat sistemini ö¤rendikten sonra, iki de¤iflkenli fonksiyonlar›n bu temsillerinin nas›l bulundu¤unu görelim. f : B → R , (x,y) → f(x,y), B ⊂ R2 iki de¤iflkenli fonksiyonu verilmifl olsun. G = { ( x,y, f(x,y) ) | (x,y) ∈ B } kümesine üç boyutlu uzayda, (R3 de), karfl› gelen noktalar›n kümesine f fonksiyonunun grafi¤i denir.
z
y
x
Şekil 15.7
‹ki de¤iflkenli bir fonksiyonun grafi¤i, genel olarak bir yüzeydir. fiekil 15.7 de böyle bir yüzey örne¤i verilmifltir. R2 nin bir B altkümesi üzerinde tan›ml› iki de¤iflkenli bir f fonksiyonunun grafi¤ine ait bir noktan›n üçüncü koordinat› daima f(x,y) dir. Üç boyutlu uzayda üçüncü koordinatlar genellikle z ile gösterildi¤inden f fonksiyonunun grafi¤i olan yüzeye z = f(x,y), (x,y) ∈ B, yüzeyi de denir. Bu al›flkanl›ktan dolay› f fonksiyonu da k›saca z = f(x,y),
(x,y) ∈ B
fleklinde gösterilir. Afla¤›da baz› iki de¤iflkenli fonksiyonlar›n grafikleri olan yüzeyler verilmifltir. ‹ki de¤iflkenli fonksiyonun grafi¤ini çizmek genellikle çok zordur. Bu konuda günümüzde bilgisayarlardan yaralan›lmaktad›r. Biz de afla¤›daki grafikleri bilgisayarda çizdik.
7
8
Baz› Basit Yüzeyler
z
z
x
y
y
x
z = x2 - 2y
z = x2 + y2
Şekil 15.8
‹ki de¤iflkenli fonksiyonlar›n grafi¤ine en basit örnek düzlemdir. Bunun için önce düzlemin denklemini görelim. Önce koordinat düzlemlerine (xy-, xz- ve yz- düzlemlerine) paralel düzlemlerin denklemlerini bulmaya çal›flal›m. z
z0
y
x
Şekil 15.9
Yukar›daki flekilde görüldü¤ü gibi z- ekseni üzerinde z0 say›s›na karfl› gelen noktada bu eksene dik (veya xy- düzlemine paralel) olan düzlemi göz önüne alal›m. Bu düzlem üzerindeki her noktan›n üçüncü koordinat› daima z0 oldu¤u gibi, üçüncü koordinat› z0 olan her nokta da bu düzlem üzerinde bulunur. Yani R3 te z = z0 eflitli¤i bu düzlemi tamam›yla belirtmektedir. Bu nedenle bu düzlemin denklemi z = z0 d›r diyebiliriz. Benzer flekilde (x0, 0, 0) noktas›nda x-eksenine dik (veya yz- düzlemine paralel) olan düzlemin denklemi x = x0 iken, (0, y0, 0) noktas›nda y-eksenine dik (xz-düzlemine paralel) olan düzlemin denkleminin de y = y0 oldu¤u kolayca görülebilir.
ÖRNEK 5
Koordinat düzlemlerinden xy - düzleminin denklemi z = 0, xz - düzleminin denklemi y = 0 ve yz - düzleminin denklemi x = 0 d›r. Koordinat düzlemlerine paralel olmayan bir düzlemin denkleminin bulunmas›, amac›m›z d›fl›nda oldu¤u için bu konuya girmeyece¤iz. Bu konuda genel düzlem denkleminin fleklini verdikten sonra, denklemi verilen bir düzlemin nas›l çizilebildi¤ini göstermekle yetinece¤iz.
9
Üç ve Daha Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar
Koordinat düzlemlerine paralel olmayan bir düzlemin denklemi f : R2 → R,
z = f(x,y) = ax + by + c
fleklindedir. Buna göre x ve y ye göre birinci dereceden, iki de¤iflkenli bir fonksiyonun grafi¤i bir düzlemdir diyebiliriz. f(x,y) = 2x - 3y + 12 fonksiyonunun grafi¤i bir düzlemdir. Bu düzlemin denklemini z = 2x - 3y + 12 veya -2x + 3y + z - 12 = 0 fleklinde de yazabiliriz. fiimdi bu düzlemin nas›l çizilebilece¤ini görelim.‹ki de¤iflkenli bir fonksiyonun grafi¤i olan yüzeyi çizmek için, bu yüzeyin koordinat düzlemleri veya koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle arakesit e¤rilerinden yararlan›l›r. Bu düzlemi çizmek için ayn› yolu izleyelim. -2x + 3y + z -12 = 0 düzlemini çizmek için, bu düzlemin koordinat düzlemleriyle arakesit do¤rular›n› bulal›m. (‹ki düzlemin arakesitinin bir do¤ru oldu¤unu hat›rlay›n›z.) -2x + 3y + z -12 = 0 düzleminin x = 0 düzlemiyle arakesiti olan do¤ru, düzlem denkleminde x yerine 0 yaz›larak bulunur. Bu do¤ru 3y + z -12 = 0 d›r. Bu do¤runun yz - düzleminde çizildi¤ine dikkat ediniz. Benzer flekilde düzlemin y = 0 düzlemiyle arakesiti -2x + z -12 = 0 do¤rusu, z = 0 düzlemiyle arakesiti de -2x + 3y -12 = 0 do¤rusudur. Bu do¤rular (ait olduklar› düzlemlerde) çizilirse fiekil 15.10 daki düzlem elde edilir.
ÖRNEK 6
z 12
-6
4
y
x Şekil 15.10
1) x + 2y + z - 4 = 0 düzlemini çiziniz. 2) Afla¤›daki denklemlerden hangisi üç boyutlu uzayda bir düzlem belirtmez? a) x+2y-4=0 b) x+4y+2z=8 c) x+y=0 d) z = x-y2 e) x=5 3) Afla¤›da denklemi verilen düzlemlerden hangisi (1,0,-2) noktas›ndan geçer? a) 2x+3y-z=1 b) 2x+y+z=0 c) 2x+y=0 d) 2x+y+z=1 e) y+2z=0
ÜÇ VE DAHA ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLAR Daha önce ifade etti¤imiz gibi, tek ve iki de¤iflkenli fonksiyonlar birçok durumda ihtiyaca cevap verememektedir. Örne¤in ünite giriflinde sözünü etti¤imiz bilezik maliyetinde bilezi¤in ayar› de¤iflti¤inde gr fiyat› de¤iflece¤inden bilezi¤in maliyeti üç de¤iflkene ba¤l› olur. Benzer flekilde, bir bardak çay›n veya bir ekme¤in mali-
SIRA S‹ZDE 4
10
Üç ve Daha Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar
yetini düflünürsek, bu maliyetlerin ikiden fazla de¤iflkenin fonksiyonu oldu¤unu hemen söyleyebiliriz. Üç veya daha fazla de¤iflkenli fonksiyonlar›n tan›m› iki de¤iflkenli fonksiyon tan›m›n›n do¤al bir genifllemesidir. Bir s›ral› ikiliyi bir gerçel say›ya dönüfltüren fonksiyona iki de¤iflkenli fonksiyon dedi¤imiz gibi, bir s›ral› üçlüyü bir gerçel say›ya dönüfltüren fonksiyona üç de¤iflkenli, bir s›ral› dörtlüyü bir gerçel say›ya dönüfltüren fonksiyona da dört de¤iflkenli fonksiyon denir. Daha fazla de¤iflkenli fonksiyonlar da benzer flekilde tan›mlan›r.
ÖRNEK 7
f: R3 → R, f(x, y, z) = yzex fonksiyonu üç de¤iflkenli fonksiyon iken, g: R4 → R, g(x, y, z, t) = 2 (xy + xz + yz) t fonksiyonu dört de¤iflkenli fonksiyondur.
ÖRNEK 8
f: R3 - {(0,0,0)} → R, f(x,y,z) = log (x2 + y2 + z2) fonksiyonu veriliyor. f(1,0,3) say›s›n› bulal›m. f(1,0,3) = log (12 + 02 + 32) = log 10 = 1 bulunur. Tek de¤iflkenli fonksiyonlar›n düzlemde, iki de¤iflkenli fonksiyonlar›n üç boyutlu uzayda geometrik olarak temsil edildiklerini daha önce görmüfltük. Üç veya daha çok de¤iflkenli fonksiyonlar en az dört boyutlu uzayda temsil edilebilirler. Bu nedenle bu fonksiyonlar›n geometrik temsilleri mümkün de¤ildir. fiimdi giriflte ele ald›¤›m›z kredi-taksit tutar›n›n bulunmas› problemini ele alal›m. Bir kiflinin bankadan, ayl›k i faiz oran› ve n ay vade ile P0 YTL kredi çekti¤ini düflünelim. Bu kifli geri ödemeyi ayl›k taksitlerle yapacakt›r. Bu flartlarda bu kiflinin ayl›k taksit tutar› kaç YTL olur, Sorusuna cevap arayal›m. Bafllang›çta borç: .................................. P0 YTL P0 YTL nin 1 ayl›k faiz tutar› i P0 YTL dir. 1. ay sonunda borç: .................................... P0 + i P0 = (1+i) P0 olur. (Burada ay bafl›ndaki borcun ay›n sonunda (1 + i) kat›na ulaflaca¤›na dikkat ediniz.) Ayl›k taksit tutar›na T dersek; 2. aybafl›nda borç tutar› (borç - taksit tutar›) ......... (1 + i) P0 - T 2. ay sonunda borç (anapara + faiz) (1 + i) [ (1 + i) P0 - T ] = (1 + i)2 P0 - (1 + i) T 3. aybafl›nda borç (borç - taksit tutar›).................. (1 + i )2 P0 − (1 + i )T − T 3. ay sonunda borç .................. (1 + i ) (1 + i )2 P0 − (1 + i )T − T = (1 + i )3 P0 − (1 + i )2 T − (1 + i )T 4. aybafl›nda borç ............. (1 + i )3 P0 − (1 + i )2 T − (1 + i )T − T Bu flekilde devam edersek n-inci ay sonunda borç:
(1 + i ) (1 + i )n−1 P0 − (1 + i )n−2 T − (1 + i )n− 3 T − ... − (1 + i )T − T = (1 + i )n P0 − (1 + i )n −1 T − (1 + i )n− 2 T − ... − (1 + i )2 T − (1 + i )T (n+1)-inci ay›n bafl›nda (veya n-inci ay sonunda) son taksit ödenince borç, (1 + i )n P0 − (1 + i )n−1 T − (1 + i )n− 2 T − ... − (1 + i )2 T − (1 + i )T − T olmal›d›r. Son taksit ödenince borç bitece¤inden (1 + i )n P0 − (1 + i )n−1 T − (1 + i )n − 2 T − ... − (1 + i )2 T − (1 + i )T − T = 0 olacakt›r.
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar›n K›smi Türevleri
11
Bu son eflitli¤i düzenlersek, (1 + i )n P0 − (1 + i )n −1 T − (1 + i )n − 2 T − ... − (1 + i )2 T − (1 + i )T − T = 0 (1 + i )n P0 − (1 + i )n −1 + (1 + i )n − 2 + ... + (1 + i ) + 1 T = 0 (1 + i )n P0 −
(1 + i )n − 1 T =0 (1 + i ) − 1
(1 + i )n P0 −
(1 + i )n − 1 T =0 i
Buradan T çözülürse, T=
i (1 + i )n P0
(1 + i )n − 1 bulunur. Gördü¤ünüz gibi çekilen kredinin ayl›k taksit tutar›, ayl›k faiz oran› (i), çekilen miktar (P0) ve vade (n) olmak üzere üç de¤iflkenli bir fonksiyondur. Bu fonksiyonu flöyle yazabiliriz. T (P0 , i, n) =
i(1 + i )n P0
(1 + i )n − 1 Günlük yaflamda bankalar ayl›k faiz oran›n› vadeye ba¤l› olarak belirledikleri için yani i faiz oran› n ye göre belirlendi¤i için bu durum iki de¤iflkenli olarak karfl›m›za ç›kar. Bir kifli ayl›k i = %1,34 = 0,0134 faiz oran› ile n=120 ay vadeli P0 = 42 000 YTL ev kredisi çekiyor. Ayl›k taksit tutar› ne kadard›r? Burada istenen yukar›daki T fonksiyonunun (formülünün) (42 000, 0,0134, 120) noktas›ndaki görüntüsünü bulmaktan farkl› bir fley de¤ildir. T (42000,
0,0134, 120) =
0, 0134 (1 + 0, 0134 )120 42000 = 705,65 YTL (1 + 0, 0134 )120 − 1
Not: Çekilen kredi türüne ba¤l› olarak bu miktara vergi ve fonlar› da ilave etmek gerekebilir. Ayn› kifli 120 ay yerine 60 ay vadeli kredi çekmifl olsa idi taksit tutar› ne olurdu? Bu durumda vade de¤iflti¤i için, bu banka n = 60 için i = 0.0128 uygularsa taksit tutar›, 0, 0128(1 + 0, 0128 )60 42000 = 1 007,13 YTL T (42000, 0,0128, 60) = (1 + 0, 0128 )60 − 1 olur. Ayn› kifli krediyi 24 ay vadeli çekerse, bu durumda banka i = 1,08 faiz oran› uygulamaktad›r. T (42000, 0,0108, 24) = olur.
0, 0108(1 + 0, 0108 )24 42000 = 1 995,97 YTL (1 + 0, 0108)24 − 1
‹K‹ DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARIN KISM‹ TÜREVLER‹ Daha önceki ünitelerde, tek de¤iflkenli bir fonksiyonun bir noktadaki anl›k de¤iflim h›z›n› türev kavram› yard›m›yla aç›klam›flt›k. Daha sonra da tek de¤iflkenli bir fonksiyonun temel özelliklerini türev yard›m›yla araflt›rm›flt›k. Hat›rlayaca¤›n›z gibi, y = f(x) fonksiyonunda x ba¤›ms›z de¤iflkenine x0 noktas›nda bir ∆x artmas›
ÖRNEK 9
12
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar›n K›smi Türevleri
∆y ora∆x n›n›n ∆x → 0 için (varsa) limitine f fonksiyonunun x0 noktas›ndaki türevi demifltik. fiimdi de z = f(x,y) fonksiyonunu ele alal›m. Bu fonksiyonun tan›m bölgesine ait bir (x0,y0) noktas›nda x ve y ba¤›ms›z de¤iflkenlerine verilen ∆x ve ∆y artmalar›na karfl›l›k fonksiyon de¤erinde ∆z = f(x0 + ∆x , y0 + ∆y) - f(x0,y0) artmas› meydana gelir. Bu artman›n ba¤›ms›z de¤iflkenlerdeki artmalara oran› olarak neyi almam›z gerekti¤i aç›k de¤ildir. Çünkü ∆x ve ∆y artmalar›n› (∆x, ∆y) fleklinde bir ikili ile göstersek ∆z nin bu ikiliye oran› anlaml› de¤ildir. Bunun yerine ∆z ve ∆z oranlar›ndan birini di¤erine tercih etmek için de bir neden yoktur. Bu ∆y ∆x nedenle ba¤›ms›z de¤iflkenlerin her ikisine de artmalar vererek türev kavram›na varmak mümkün de¤ildir. Bunun yerine ba¤›ms›z de¤iflkenlerden birini sabit tutup, di¤erini serbest alarak elde edilen tek de¤iflkenli fonksiyonlar›n türevinden söz etmek mümkündür.. Düzlemin bir B bölgesinde tan›ml› z = f(x,y) fonksiyonu verilsin ve (x0, y0)∈B bölgesinin bir iç noktas› olsun, f fonksiyonunda y yerine y0 sabit de¤eri verilir ve x ba¤›ms›z de¤iflken olarak al›n›rsa, F(x) = f(x, y0) fleklinde bir tek de¤iflkenli fonksiyon elde edilir. F fonksiyonunun x0 noktas›nda türevi varsa, bu türeve f fonksiyonunun (x0, y0) noktas›nda x e göre k›smî türevi denir ve verildi¤inde fonksiyon de¤erindeki artmaya ∆y = f(x0 + ∆x) - f (x0) dersek
∂f ∂z , ∂x (x , y ) ∂x (x , y ) 0 0 0 0 biçimlerinden birisi ile gösterilir. Buna göre fx (x0 , y0) türevi, e¤er varsa, fx (x 0 , y 0 ) ,
∂f (x 0 , y 0 ) , ∂x
F ( x0 + ∆x ) − F ( x0 ) ∆x→ 0 ∆x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = lim ∆x→ 0 ∆x fx (x 0 , y 0 ) = lim
dir.
ÖRNEK 10
f(x, y) = 3x y2 - 4x2 + y fonksiyonunun (2,3) noktas›nda x e göre k›smi türevini bulal›m. f fonksiyonunda y yerine 3 yazarsak. ( (2,3) noktas›nda y = 3 oldu¤una dikkat ediniz). F(x) = f(x,3) = 3x.32 - 4x2 + 3 = 27x - 4x2 + 3, x∈R fleklinde tek de¤iflkenli F fonksiyonunu elde ederiz. F fonksiyonunun x = 2 noktas›ndaki türevi f fonksiyonunun (2,3) noktas›nda x e göre k›smi türevidir. F polinom fonksiyon oldu¤undan her noktada türevi vard›r. Buna göre, F(x) = 27x - 4x2 + 3
oldu¤undan
F'(x) = 27 - 8x
dir. Buradan F'(2) = 27- 8.2 = 27 - 16 = 11 = fx(2,3) ∂f ∂f elde edilir. Buna göre, fx (2,3) = (2,3) = = 11 ∂x ∂x ( 2 ,3) dir. ∂f ∂f Burada fx (2,3) , (2,3) ve ifadelerinin f nin (2,3) noktas›ndaki x e gö∂ x ( 2,3) ∂x re k›smi türevinin farkl› gösterimleri oldu¤una dikkat ediniz.
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar›n K›smi Türevleri
13
f fonksiyonunun tan›m kümesine ait bir (x,y) noktas›nda (varsa) x e göre k›smi türevini bulmak için, bu fonksiyonda y yi sabit düflünüp, bilinen türev kurallar›na göre fonksiyonun x e göre türevini bulmak yeterlidir. Buna göre, f(x,y) = 3xy2 - 4x2 + y fonksiyonu için fx (x,y) = 3y2 - 8x olur. Buna göre, fx (2,3) = 3. 32 - 8.2 = 27-16 = 11 bulunur. f(x,y) = ,n(x2 + y2) fonksiyonunun x e göre k›smi türevini bulal›m.
ÖRNEK 11
Bu fonksiyonda y yi sabit düflünüp x e göre türev almam›z yeterlidir. (x,y) ≠ (0,0) için logaritma fonksiyonunun türevi ile ilgili kural› uygularsak, 2x fx(x,y) = 2 x + y2 elde ederiz. fiimdi de z = f(x,y) fonksiyonunda x yerine x0 sabit de¤erini al›p y yi ba¤›ms›z de¤iflken olarak alal›m. Bu durumda G(y) = f(x0 , y) fleklinde tek de¤iflkenli bir fonksiyon elde ederiz. G fonksiyonunun y = y0 noktas›ndaki (varsa) türevine f fonksiyonunun (x0, y0) noktas›nda y ye göre k›smi türevi denir ve bu türev fy (x 0 , y 0 ) ,
∂f (x , y ) , ∂y 0 0
∂f ∂y
, (x 0 , y 0 )
∂z ∂y
(x 0 , y0 )
biçimlerinden birisi ile gösterilir. Buna göre, fy (x0,y0) türevi varsa, G ( y0 + ∆y) − G ( y0 ) lim fy (x0,y0), = ∆x→0 ∆y f ( x0 , y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) lim = ∆x→0 ∆y dir. f(x,y) = 3x.y2 - 4x2 + y fonksiyonunun (2,3) noktas›nda y ye göre k›smi türevini bulal›m. f fonksiyonunda x yerine 2 al›rsak, ( (2,3) noktas›nda x = 2 oldu¤undan) G(y) = 3.2.y2 - 4.22 + y =6 y2 + y - 16, y ∈ R fleklinde tek de¤iflkenli bir fonksiyon elde ederiz. G fonksiyonu polinom fonksiyon oldu¤undan her noktada türevi vard›r. G fonksiyonunun y = 2 noktas›ndaki türevi, G'(y) = 12y + 1 oldu¤undan,
G'(3) = 12.3 + 1 = 37
dir. Bu türev, f fonksiyonunun (2,3) noktas›nda y ye göre k›smi türevidir. Buna göre, ∂f ∂f fy (2,3) = (2,3) = = 37 ∂y ∂y (2,3) dir. f fonksiyonunun tan›m kümesine ait bir (x,y) noktas›nda (varsa) y ye göre k›smi türevini bulmak için de bu fonksiyonda x i sabit düflünüp y ye göre türev almak yeterlidir. Bu türevi bulmak için tek de¤iflkenli fonksiyonlar›n türevi ile ilgili kurallar aynen uygulan›r.
ÖRNEK 12
14
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar›n K›smi Türevleri
2y ∂f f (x,y) = ln(x2 + y2) fonksiyonunun y ye göre k›smi türevi (x,y)= 2 x + y2 ∂y olur.
ÖRNEK 13
x2 y fonksiyonunun tan›m kümesine ait bir (x,y) noktas›nda x + 2y y ye göre k›smi türevini bulal›m. f ( x, y ) =
Bu türevi bulmak için fonksiyonda x i sabit düflünüp y ye göre türev alaca¤›z. Buna göre x 2 ( x + 2 y ) − (2 ).x 2 y
fy (x,y) =
( x + 2 y )2
=
x3 + 2x2 y − 2x2 y ( x + 2 y )2
=
x3 ( x + 2 y )2
bulunur.
ÖRNEK 14
f (x,y) = x2 e2x+ 3y fonksiyonunun bir (x,y) noktas›nda fx ve fy k›smi türevlerini bulal›m. fx türevini bulurken y yi sabit düflünüp x e göre türev alaca¤›z, fy türevini bulurken de x i sabit düflünüp y ye göre türev alaca¤›z. Buna göre, ∂f = fx(x,y) = 2xe2x +3 y +2. e2x+3y .x2 =(2x + 2x2).e2x+3y = 2x(1 + x) e2x+3y ∂x ∂f = fy(x,y) = 3.e2x + 3y. x2 = 3x2 e2x+3y ∂y bulunur.
ÖRNEK 15
f(x,y) = x ,n(5y) + y ,nx fonksiyonunun fx ve fy k›smi türevlerini bulal›m. ∂f y 1 = fx(x,y) = ,n(5y) + y . = ,n(5y) + ∂x x x ∂f x 5 = fy(x,y) = x. + 1 ,nx = + ,nx ∂y y 5y
SIRA S‹ZDE 5
x 2 − y fonksiyonunun x ve y ye göre k›smi türevlerinin s›ras›yla x −1 oldu¤unu gösteriniz. ve 2 2 x −y 2 x −y
1) f(x,y) =
2y fonksiyonu veriliyor. fy(1,1) say›s› afla¤›dakilerden hangisidir? x + y2 1 a) 0 b) 1 c) d) -1 e) -2 2 y2 3) f(x,y) = fonksiyonu veriliyor. fx türev fonksiyonunu bulunuz. 4−x 2) f(x,y)=
2
4) f(x,y) = , n ( 3x + 4y2) fonksiyonu veriliyor. fy fonksiyonunu bulunuz
z = f(x,y) fonksiyonunun fx(x0, y0) k›smi türevi, fonksiyonun x-ekseni do¤rultusundaki de¤iflim h›z›n› ifade ederken geometrik olarak da y = y0 düzlemiyle z = f(x,y) yüzeyinin arakesit e¤risinin (x0, y0, f(x0, y0)) noktas›ndaki te¤etinin e¤imine eflittir. Benzer flekilde fy(x0, y0) k›smi türevi de fonksiyonun y-ekseni yönündeki de¤iflim h›z›n› ve geometrik olarak da x = x0 düzlemiyle z = f(x,y) yüzeyinin arakesit e¤risinin (x0, y0, f(x0, y0)) noktas›ndaki te¤etinin e¤imini ifade eder.
Üç ve Daha Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar›n K›smi Türevleri
15
ÜÇ VE DAHA ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARIN KISM‹ TÜREVLER‹ ‹ki de¤iflkenli fonksiyonlar için tan›mlad›¤›m›z k›smi türev kavram›n› üç veya daha çok de¤iflkenli fonksiyonlara da geniflletebiliriz. Örne¤in w = f(x,y,z) gibi üç de¤iflkenli fonksiyonun fx, fy ve fz gibi k›smi türevlerinden söz edebiliriz. Bu fonksiyonun fx türevi bulunurken y ile z sabit tutulup x e göre türevi al›n›r; fy türevi bulunurken x ile z sabit tutulup y ye göre türevi, fz türevi bulunurken de x ile y sabit tutulup z ye göre türev al›n›r. Genel olarak, bir fonksiyonda de¤iflken say›s› birden fazla oldu¤unda herhangi bir de¤iflkene göre türev almak için o de¤iflkenin d›fl›ndaki tüm de¤iflkenler sabit düflünülüp, o de¤iflkene göre, bilinen türev kurallar› yard›m›yla türev al›n›r. x2 , z2 - y2 ≠ 0 z2 − y2 fonksiyonunun fx , fy , fz k›smi türevlerini alal›m. fx türevi bulunurken y ve z sabit tutulup x e göre türev al›nd›¤›ndan,
ÖRNEK 16
f(x,y,z) =
fx (x,y,z) =
2x
,
2
z − y2
Benzer flekilde fy türevi bulunurken x ile z, fz türevi bulunurken x ile y sabit tutularak fy (x,y,z) = fz (x,y,z) =
−(−2 y) x 2 ( z 2 − y 2 )2 −(2 z ) x 2 ( z 2 − y 2 )2
2x2 y
= =
(z 2 − y 2 )2 −2 zx 2 ( z 2 − y 2 )2
bulunur. f(x,y,z) = 4 x 2 + y 2 − 3z 2 fonksiyonunun fx(2,1,2), fy(2,1,2), fz(2,1,2) k›smi türevlerini bulal›m.
ÖRNEK 17
Bu türevleri bulmak için f fonksiyonunun türevinin mevcut oldu¤u bir (x,y,z) noktas›ndaki fx, fy ve fz türevlerini bulup, bu türevlerde x yerine 2, y yerine 1 ve z yerine 2 yazmal›y›z. Buna göre, fx (x,y,z) = fy (x,y,z) = fz (x,y,z) =
8x 2 4 x 2 + y 2 − 3z 2 2y 2 4 x 2 + y 2 − 3z 2 −6 z 2
2
2 4 x + y − 3z
2
, fx (2,1,2) = , fy (2,1,2) =
4 .2 4.2 2 + 12 − 3.2 2 1 4.2 2 + 12 − 3.2 2
, fz (2,1,2) =
−3.2 2
2
4.2 + 1 − 3.2
2
=
8 8 5 = 5 5
=
1 5 = 5 5
=
− 6 −6 5 = 5 5
bulunur. 1) f (x,y,z,t) = x2 t2 eyz ise fz (x,y,z,t) ve ft (x,y,z,t) türevlerini bulunuz. 2) f(x,y,z) = xln(y2 +3z2) ise fz(4,1,-2) kaçt›r?
SIRA S‹ZDE 6
16
‹kinci Mertebeden K›smi Türevler
‹K‹NC‹ MERTEBEDEN KISM‹ TÜREVLER z = f(x,y) fonksiyonu, tan›m kümesine ait her (x,y) noktas›nda fx ve fy k›smi türevleri olan bir fonksiyon olsun, f fonksiyonunun tan›m kümesine ait bir (x,y) ikilisini fx(x,y) say›s›na dönüfltüren yeni bir fonksiyondan söz edebiliriz. Bu fonksiyona fx fonksiyonu diyelim. Benzer flekilde f nin tan›m kümesine ait (x,y) ikilisini fy(x,y) say›s›na dönüfltüren fonksiyondan da söz etmek mümkündür. Bu fonksiyona da fy fonksiyonu diyelim. fx ve fy fonksiyonlar›n›n iki de¤iflkenli fonksiyon oldu¤u aç›kt›r. Bu nedenle bu fonksiyonlar›n, e¤er varsa, k›smi türevlerinden söz edebiliriz. fx fonksiyonunun bir (x0, y0) noktas›nda (varsa) x e göre k›smi türevi f fonksiyonunun x e göre k›smi türevinin x e göre k›smi türevi yani ∂f x = ∂x (x , y ) 0 0
∂ ∂f ∂x ∂x (x , y ) 0 0
demektir. Bu türev, fxx (x 0 ,y 0 ) ,
∂2 f ∂x 2 (x , y ) 0 0
veya
∂2 f ( x0 , y0 ) ∂x 2
fleklinde gösterilir. fx fonksiyonun y ye göre k›smi türevi, f fonksiyonunun x e göre k›smi türevinin y ye göre k›smi türevidir; yani ∂f x ∂ ∂f = ∂y (x , y ) ∂y ∂x (x , y ) 0 0 0 0 demektir. Bu türev fxy (x 0 ,y 0 ) veya
∂2 f ∂y∂x
veya (x 0 , y 0 )
∂ 2 f (xx0 , y0 ) ∂y∂x
fleklinde gösterilir. Benzer flekilde fy fonksiyonunun x e göre k›smi türevi fyx (x 0 ,y 0 ) veya
∂2 f ∂x∂y
veya (x 0 , y 0 )
∂2 f ( x0 , y0 ) ∂x∂y
fleklinde, fy fonksiyonunun y ye göre k›smi türevi de fyy (x 0 ,y 0 ) veya
∂2 f ∂y 2
(x 0 ,y 0 )
fleklinde gösterilir. fxx(x0,y0), fxy(x0,y0), fyx(x0,y0), fyy(x0,y0), türevlerine f fonksiyonunun (x0,y0), noktas›nda ikinci mertebeden k›smi türevleri denir.
ÖRNEK 18
f(x,y) = x2 + 3x2y2 + 4xy2 - 5y3 fonksiyonunun fxx , fxy , fyx , fyy türevlerini bulal›m.
‹kinci Mertebeden K›smi Türevler
17
fx(x,y) = 2x + 6xy2 +4y2 fy(x,y) = 6x2 y+ 8xy - 15y2 dir. Bu fonksiyonlar›n x ve y ye göre k›smi türevleri arad›¤›m›z türevlerdir. Buna göre, ∂ ∂f x = (2x +6xy2 +4y2) = 2 + 6y2 ∂x ∂x ∂ ∂f fxy(x,y) = x = (2x +6xy2 +4y2) = 12xy + 8y ∂y ∂y ∂fy ∂ fyx(x,y) = = (6x2 y+ 8xy - 15y2)) = 12xy + 8y ∂x ∂x fxx(x,y) =
fyy(x,y) =
∂fy ∂y
=
∂ (6x2 y+ 8xy - 15y2)) = 6x2 +8x -30y ∂y
bulunur. f(x,y) = x3 e-3xy fonksiyonunun fxx , fxy , fyx , fyy türevlerini bulal›m.
ÖRNEK 19
fx(x,y) = 3x2 e-3xy+ (-3y)e-3xy.x3 = (3x2 -3x3y) e-3xy fy(x,y) = (-3x) e-3xy.x3 = -3x4 e-3xy oldu¤undan fxx(x,y) = (6x - 9x2y) e-3xy+ (-3y) e-3xy (3x2 -3x3y)
= (6x -9x2y -9x2y + 9x3y2) e-3xy = (6x -18x2y + 9x3y2) e-3xy
fxy(x,y) = -3x3.e-3xy+ (-3x)e-3xy.(3x2 - 3x3y) = (-3x3 -9x3 + 9x4y) e-3xy = (-12x3 + 9x4y) e-3xy
fyx(x,y) = -12x3 e-3xy+ (-3y).e-3xy .(-3x4) = (-12x3 + 9x4y) e-3xy fyy(x,y) = (-3x) e-3xy (-3x4) = 9x5 e-3xy
Bu örneklerde fxy ve fyx k›smi türevlerinin eflit oldu¤unu görmekteyiz. Asl›nda bu iki türev her zaman eflit olmaz. Ancak bu tür, türevleri eflit olmayan fonksiyonlar konusu daha çok matematikçileri ilgilendirecek kadar ayr›nt›l› bilgi gerektiren bir konudur. Bizim ilgilenece¤imiz tüm fonksiyonlar için fxy = fyx olacakt›r. 1) z = 3x2 - y2 x fonksiyonunun ( 4, -1) noktas›nda y ye göre ikinci mertebeden
k›smi türevi kaçt›r? 2) f(x,y) = x1/2 y-3/2 fonksiyonu veriliyor. fxy(4,4) say›s› kaçt›r?
SIRA S‹ZDE 7
18
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minumum
‹K‹ DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA MAKS‹MUM VE M‹N‹MUM Tek de¤iflkenli fonksiyonlarda maksimum-minimum kavramlar›n› ve bu kavramlar›n baz› uygulamalar›n› görmüfltük. Bu kavramlar› çok de¤iflkenli fonksiyonlar için de tan›mlamak ve önemli uygulamalar›n› görmek mümkündür. fiimdi bu kavramlar› çok de¤iflkenli fonksiyonlar için tan›mlayal›m. f : B → R , z = f(x,y) ,
(BfR2)
‹ki de¤iflkenil fonksiyonu verilsin. (x0,y0) noktas› B bölgesinin bir iç noktas› olsun. (x0,y0) noktas›na yeteri kadar yak›n, her (x,y) noktas› için f(x0,y0) ≥ f(x,y) oluyorsa, f fonksiyonunun (x0,y0) noktas›nda bir yerel maksimumu vard›r denir. (x0,y0) noktas›na (veya (x0,y0,f(x0,y0)) noktas›na) f fonksiyonunun yerel maksimum noktas›, f (x0,y0) say›s›na da fonksiyonun yerel maksimum de¤eri denir. Benzer olarak f(x0,y0) ≤ f(x,y) oluyorsa, (x0,y0) noktas›na (veya (x0,y0,f(x0,y0)) noktas›na) f fonksiyonunun bir yerel minimum noktas› denir. Bu durumda f(x0, y0) say›s›na da f fonksiyonunun yerel minimum de¤eri denir. Yerel maksimum veya yerel minimum noktas›na genel anlamda yerel ekstremum noktas› denir.
Şekil 15.11
f fonksiyonunun (x0, y0) noktas›nda bir yerel ekstremumu varsa bu nokta, ayn› zamanda z = f (x, y) yüzeyi ile y = y0 ve x = x0 düzlemlerinin arakesit e¤rilerinin, di¤er bir deyiflle z1 = f(x, y0) ve z2 = f(x0, y) tek de¤iflkenli fonksiyonlar›n›n da bir ekstremum noktas›d›r. Bu nedenle, e¤er bu noktada fx ve fy k›smi türevleri varsa, fx(x0, y0)=0 ve fy(x0, y0)=0 olmak zorundad›r. Ancak fx(x0, y0)=0 ve fy(x0, y0)=0 olmas› (x0, y0) noktas›n›n bir ekstremum noktas› olmas› için gerekli olmas›na karfl›l›k yeterli de¤ildir. Di¤er bir deyiflle, fx (x0, y0)=0 ve fy (x0, y0)=0 koflullar›n› sa¤layan bir (x0, y0) noktas›, f fonksiyonunun ekstremum noktas› olmaya sadece aday noktalard›r.
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minumum
fx(x0, y0) = fy(x0, y0)=0 koflulunu sa¤layan noktaya f fonksiyonunun kritik noktas› denir. Bu nedenle k›smi türevleri olan bir fonksiyonun ekstremum noktalar› araflt›r›l›rken önce kritik noktalar› araflt›r›l›r. E¤er fonksiyonun kritik noktalar› varsa, bir kritik noktan›n ekstremum noktas› olup olmad›¤›n› araflt›rmak için de afla¤›daki testi uygulayabiliriz. ‹kinci türev testi : P = (x0,y0) noktas› z = f(x,y) fonksiyonunun bir kritik noktas› olsun. Yani fx(x0,y0) = fy(x0,y0) = 0 olsun. ∆ (P) = fxx(x0,y0) . fyy(x0,y0) - [fxy(x0,y0)]2 diyelim. ∆ (P) nin iflaretine göre flu üç hal mümkün olabilir. 1. hal. E¤er ∆ (P) > 0 ise, P noktas› bir ekstremum noktas›d›r. Bu P noktas›n›n ekstremum noktas› oldu¤unu böylece belirledikten sonra bu noktan›n yerel maksimum noktas› m› yoksa yerel minimum noktas› m› oldu¤una karar verebilmek için flu yol izlenir. a) fxx(x0,y0) > 0 ( veya fyy(x0,y0) > 0) ise, P bir yerel minimum noktas›d›r. b) fxx(x0,y0) < 0 (veya fyy(x0,y0) >0 ) ise, P bir yerel maksimum noktas›d›r. (Bu durumda fxx(x0,y0) ile fyy(x0,y0) nin ayn› iflaretli oldu¤una dikkat ediniz.) 2. hal. ∆ (P) < 0 ise, P noktas› bir yerel ekstremum noktas› de¤ildir. Bu koflulu sa¤layan P noktas›na bir eyer (semer) noktas› denir. Eyer noktas›na bir örnek olarak , z = - x2 + y2 yüzeyinin grafi¤i olan fiekil 15.12 deki bafllang›ç noktas›n› verebiliriz. z y
x
Şekil 15.12
(0, 0) noktas›na x- ekseni do¤rultusunda yaklafl›rken maksimuma, y-ekseni do¤rultusunda yaklafl›rken minimuma geldi¤imize dikkat ediniz. Maksimum veya minimum noktas›na hangi yönden yaklafl›rsak yaklaflal›m maksimum veya minimuma gelmemiz gerekir.
19
20
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minumum
3. hal. ∆ (P) = 0 ise, P noktas›n›n bir ekstremum noktas› olup olmad›¤›na bu yöntemle karar verilemez. Bu durumda bu dersin boyutunu aflan baflka testler uygulamam›z gerekir.
ÖRNEK 20
z = f(x,y) = x3 + 3y2 - 6xy -9y +4 fonksiyonunun, (varsa) ekstremum noktalar›n› bulal›m. Ekstremum noktas› adaylar› olarak önce kritik noktalar› bulmal›y›z. Bunun için fx(x,y) = 3x2 - 6y,
fy(x,y) = 6y - 6x -9
k›smi türevleri bulunur. fx(x,y) = 0 = fy(x,y) olaca¤›ndan 3x2 - 6y = 0 6y - 6x -9 = 0 1 2 sistemini çözmeliyiz. Birinci denklemden y = x bulunur. ‹kinci denklemde y 2 yerine 1 x 2 yaz›l›rsa, 2 3x2 - 6x -9 = 0 veya x2 -2x - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri , x1 = - 1, x2 = 3 1 9 1 dir. x in bu de¤erlerine karfl›l›k ( y = x 2 oldu¤undan) y1 = , y 2 = bulunur. 2 2 2 1 9 Buna göre, f fonksiyonunun kritik noktalar› P1 = (−1, ) ve P2 = ( 3, ) dir. 2 2 Bu noktalar›n birer ekstremum noktas› olup olmad›¤›n› araflt›rmak için ikinci türev testini uygulayal›m. fxx(x,y) = 6x,
fxy = -6,
fyy = 6
oldu¤undan fxx(x,y).fyy(x,y) - [fxy(x,y)]2 = 6x. (6) - (-6)2 = 36x - 36 dir. Buna göre, ∆ (P1) = 36. (-1) - 36 = -36 -36 = -72 < 0 oldu¤undan P1 bir eyer (semer) noktas›d›r. 9 fiimdi de P2 = ( 3, ) noktas›na bakal›m. 2 9 ∆(P2) = 36.3- 36 = 72 > 0 oldu¤undan P2 = ( 3, ) noktas› bir ekstremum nok2 tas›d›r. 9 fxx (3, ) = 6.3 = 18 > 0 oldu¤undan P2 noktas› bir yerel minimum noktas›d›r. 2 f(3,
9 9 9 9 119 ) = 33 + 3 ( )2 - 6 . 3 . -9. +4=2 2 2 2 4
fonksiyonun yerel minimum de¤eridir.
21
‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minumum
ÖRNEK 21
f(x,y) = -x2 + 4x - y2 + 6y - 13 fonksiyonunun (varsa) ekstremum noktalar›n› araflt›ral›m. fx(x,y) = -2x + 4 fy(x,y) = -2y + 6 oldu¤undan, -2x + 4 = 0 -2y + 6 = 0 sisteminin çözümü olan P = (2,3) noktas› tek kritik noktad›r. fxx((x,y) = -2,
fxy(x,y) = 0,
fyy(x,y) = -2
oldu¤undan ∆ (P) = (-2).(-2) - 02 = 4 > 0 dir. Buna göre P = (2,3) noktas› bir ekstremum noktas›d›r. fxx((x,y) = -2 < 0 oldu¤undan bu nokta bir yerel maksimum noktas›d›r. Gerçek iktisadi problemler, hemen daima çok de¤iflkenli fonksiyonlarla ilgilidir ve olay›n tabiat› gere¤i bunlar nispeten zor problemlerdir. fiimdi bunlara basit bir örnek verelim.
ÖRNEK 22
Bir firma, A ve B gibi iki mal üreterek piyasaya sürüyor. A n›n fiyat› x1 , B nin fiyat› x2 olmak üzere, A ve B nin talep fonksiyonlar› flöyle veriliyor: y1 = 1800 - 6x1 y2 = 2000 - 8x2 A n›n toplam maliyetinin, üretilen birimle orant›l› ve orant› katsay›s›n›n 150 oldu¤unu kabul edelim. (Buna göre birim maliyet 150 olup, örne¤in 10 birimin maliyeti 1500 dür.) B için de ayn› varsay›m› yapal›m ve birim maliyet 125 olsun. Bu varsay›mlar alt›nda, en fazla kâr› elde edebilmek için, x1 ve x2 fiyatlar› ne olmal›d›r?
f(x1,x2) = x1 y1. - 150y1 + x2 y2. - 125 y2 = x1 y1 + x2 y2 -150y1 - 125y2 olur. fiimdi y1 ve y2 nin de¤erlerini yerine koyal›m. f(x1,x2) = x1 . (1800 - 6x1 ) + x2 . (2000 - 8x2) - 150 (1800 - 6x1) - 125 (2000 -8x2) f(x1,x2) = -6x12 + 1800 x1 - 8x2 + 2000 x2 - 270 000 + 900 x1 -250 000 + 1000 x2 f(x1, x2)= -6x12 - 8 x22 + 2700 x1 + 3000 x2 - 520 000
ÇÖZÜM
Kâr = Gelir - Maliyet oldu¤unu biliyoruz. y1 birim A mal› x1 fiyatla sat›l›nca gelir x1.y1 , gider (maliyet) ise 150y1 y2 birim B mal› x2 fiyatla sat›l›nca gelir x2.y2 , gider (maliyet) ise 125y2 olur. Buna göre toplam kâr
22
Koflullu Ekstremumlar
Böylece kâr›, fiyatlar›n bir fonksiyonu olarak ifade etmifl olduk. Bu iki de¤iflkenli fonksiyonun ekstremumlar›n› nas›l bulaca¤›m›z› biliyoruz. Önce ∂f = - 12 x1 + 2700 = 0 ∂x1 ∂f = - 16x 2 + 3000 = 0 ∂x2 sistemini çözmeliyiz. Bu sistemin çözümü x1 = 225, x2 = 187,5 dir. fiimdi bu de¤erlerin kâr fonksiyonunu maksimum yapan de¤erler oldu¤unu görelim. Bunun için ikinci türev testi dedi¤imiz testi uygulamam›z yeterli olacakt›r. ∂2 f ∂x12
= −12 ,
∂2 f ∂2 f = 0 , 2 = −16 ∂x2 ∂x1 ∂x2
oldu¤undan ∆f (225 , 187, 5 ) = (−12 ).(−16 ) − 0 2 = 192 > 0 dir. Buna göre (225, 187, 5) noktas› ekstremum noktas›d›r. fxx(225, 187, 5) = -12<0 oldu¤undan bu nokta maksimum noktas›d›r. Demek ki bu ürünlerden birincisinin sat›fl fiyat› 225, ikincisinin sat›fl fiyat› 187,5 para birimi (örne¤in YTL) olarak belirlendi¤inde kâr maksimum olur. Maksimum kâr› bulmak istersek bu de¤erleri kâr fonksiyonunda yerine yazmam›z yeterlidir. f(225, 187,5) = -6.2252 -8.(187,5)2 + 2700.225 + 3000.187,5 - 520 000 = 65 000 O halde maksimum kâr 65 000 para birimi olur. Bu fiyatlarla üretilip sat›lmas› gereken mal miktar›n› bulmak istersek, y1 = 1800 - 6.225 = 450 y2 = 2000 - 8.187,5 = 500 Sonuç olarak, örne¤in para birimi olarak YTL yi al›rsak, bir birimi 150 YTL ye mal edilen birinci maldan 450 tanesi 225 YTL ye ve birimi 125 YTL ye mal edilen ikinci maldan 500 tanesini 187,5 YTL ye sat›l›rsa 65 000 YTL lik maksimum kâr elde edilir.
SIRA S‹ZDE 8
5 5 f(x,y) = x3 + y2 + 2xy – 5x fonksiyonu veriliyor. , − noktas›n›n bu fonk3 3 siyonun bir yerel minimum noktas›, (-1,1) noktas›n›n ise bir eyer noktas› oldu¤unu gösteriniz.
KOfiULLU EKSTREMUMLAR ‹ki de¤iflkenli bir fonksiyonun ekstremum noktalar›n› araflt›r›rken fonksiyonun tüm tan›m kümesini üzerindeki ekstremum noktalar›n› araflt›rd›k. Ancak baz› uygulamalarda de¤iflkenler üzerinde baz› k›s›tlamalar olabilir; bu ise fonksiyonun tan›m kümesinin belirli bir alt kümesi üzerinde ekstremum noktalar›n›n bulunmas›n› gerektirir. Bu durumda k›s›tlanm›fl fonksiyonun ekstremum noktalar›n›n, tüm tan›m kümesi üzerinden bulunan ekstremum noktalar›yla ayn› olaca¤›n› söyleye-
23
Koflullu Ekstremumlar
meyiz. De¤iflkenler üzerine getirilen s›n›rlama de¤iflkenlerin sa¤lamas› gereken bir ek koflul (veya koflullar) ile verilir. Bu nedenle bu durumdaki bir ekstremuma koflullu ekstremum denir. ‹ki de¤iflkenli bir f fonksiyonunun g(x,y) = 0 koflulu alt›ndaki ekstremumlar›n›n araflt›r›lmas›yla ilgili kesin yöntemler vermek, bu kitab›n çerçevesini aflan ek bilgiler gerektirmektedir. Biz bu tür problemlerin çözümünde, baz› durumlarda izlenebilecek basit bir yol üzerinde duraca¤›z ‹ki de¤iflkenli bir f fonksiyonunun g(x,y) = 0 koflulu alt›ndaki ekstremum noktas›n› bulmak için bu ba¤›nt›dan, e¤er mümkünse, x,y de¤iflkenlerinden biri di¤eri türünden çözülür ve bu de¤er fonksiyonu belirleyen kuralda yerine yaz›l›r. Böylece elde edilen tek de¤iflkenli fonksiyonun ekstremum noktalar› araflt›r›l›r. Üç de¤iflkenli bir fonksiyonun koflullu ekstremumu söz konusu oldu¤unda da verilen kofluldan de¤iflkenlerden biri di¤er ikisi türünden ifade edilir ve bu de¤er fonklsiyonda yerine yaz›larak, problem iki de¤iflkenli fonksiyonun ektremumunun bulunmas›na indirgenir. Bu yönteme yerine koyma yöntemi diyece¤iz. Dikdörtgenler prizmas› fleklinde 1024 cm3 hacimli bir deterjan kutusu yap›lacakt›r. Kutunun alt ve üst tabanlar›n›n 1 cm2 sinin maliyeti 0,2 yenikurufl, yan yüzlerinin 1cm2 sinin maliyeti ise 0,1 yenikurufl oldu¤una göre en ucuza mal olacak kutunun boyutlar› ne olmal›d›r?
ÖRNEK 23
Kutunun boyutlar›na x,y ve z diyelim. Buna göre maliyet fonksiyonunu bulal›m. Bir yüzün maliyeti alan› ile 1cm2 nin maliyetinin çarp›m› oldu¤undan Alt ve üst taban maliyeti . 0,2.2xy = 0,4 xy yenikurufl, yan yüzlerin maliyeti 0,1. (2yz + 2xz ) yenikurufl tur. Bu durumda toplam maliyet, H(x,y,z) = 0,4xy + 0,2xz + 0,2yz yenikurufl olur. Bu fonksiyonun minimumunu bulmam›z gerekiyor. Ancak bir koflul veriliyor; koflul kutunun hacminin 1024 cm3 olmas›d›r. Böylece problem bir koflullu ekstremum noktas›n› bulma problemine dönüflür. fiimdi bu koflul alt›nda minimum noktas›n› bulal›m. Bu kutunun hacmi V = x.y.z oldu¤undan g(x,y,z) = x.y.z = 1024. Bu kofluldan de¤iflkenlerden birisini örne¤in z yi çö-
x züp H maliyet fonksiyonunda yerine yazarsak, burada x ≠ 0 1024 bulunur. Bu de¤er H de yeve y ≠ 0 oldu¤undan z = xy rine yaz›l›nca art›k yeni fonksiyon sadece x ve y ye ba¤l› oldu¤undan bu yeni
fonksiyona M dersek,
M(x,y) = 0,4 xy + 0,2 x .
1024 1024 512 512 + 0,2 y . = 0,4 (xy + + ) xy xy y x
olur. Problemin çözümü için bu M fonksiyonunun minimum noktas›n› bulmam›z yeterlidir.
z
y Şekil 15.13
24
Koflullu Ekstremumlar
M iki de¤iflkenli bir fonksiyon oldu¤undan iki de¤iflkenli fonksiyonlarda izledi¤imiz yolu izleyece¤iz. Önce k›smi türevleri s›f›r yapan kritik noktalar› bulal›m. ∂M 512 = 0, 4 ( y − 2 ) = 0, ∂x x ∂M 512 = 0, 4 ( x − 2 ) = 0 ∂y y Bu eflitliklerden y =
512 x
2
ve x =
512
elde edilir.
y2
‹kinci eflitlikte y yerine birinci eflitlikten elde edilen 512 yaz›l›rsa, 2 x x4 512 x= , x = buradan da x4 - 512 x = 0 , x ≠ 0 oldu¤undan 512 (512 / x 2 )2 512 x3 = 512 , x = 8 bulunur. Buna karfl›l›k y = 2 = 8 olur. 8 Buna göre P(x,y) = (8,8) noktas› M fonksiyonunun bir kritik noktas›d›r. fiimdi bu noktan›n minimum noktas› olup olmad›¤›n› kontrol edelim. ∂2 M ∂x
2
= 0, 4
1024 x
3
,
∂2 M = 0, 4, ∂y∂x
∂2 M ∂y
2
= 0, 4
1024 y3
oldu¤undan ∆( P ) = 0, 4
1024 8
3
.0, 4
1024 8
3
− (0, 4 )2 = 0, 64 − 0, 16 = 0, 48 > 0
Bu durumda P = (8,8) noktas› bir ekstremum noktas›d›r. ∂2 M (8, 8 )
mal›d›r.
= 0, 4
1024
= 0, 8 > 0 oldu¤undan (8,8), M fonksiyonunun bir yerel ∂x 83 1024 minimum noktas›d›r. x ve y nin bu de¤erlerine karfl›l›k z = = 16 olur. O hal8.8 de en ucuza mal olacak kutunun boyutlar› x = 8 cm, y = 8 cm ve z = 16 cm ol2
Kendimizi S›nayal›m
Kendimizi S›nayal›m 1. f(x,y) = 2log(x2 + 3y2) fonksiyonu veriliyor. f(2, -2) say›s› afla¤›dakilerden hangisidir? a. 1 b. 2 c. 8log2 d. 2log8 . log 2 e. 8 2. (1,0,0), (0,-1,0) ve (0,0,1) noktalar›n›n belirledi¤i düzlemin denklemi afla¤›dakilerden hangisidir? a. x - y + z = 1 b. x + y + z = 1 c. x + y + z = 3 d. x + y = 0 e. 2x - y + z = 0 3. f(x,y,z) = x2zez-x fonksiyonu veriliyor. f(-1, 1, 3) say›s› afla¤›dakilerden hangisidir? a. 2 b. 3 c. 3e2 d. 3e4 e. 3e3 4. z = 2x2 - y + 2 yüzeyi ile y = 1 düzleminin arakesit e¤risi afla¤›dakilerden hangisidir? a. z = 1 b. z = 2x2 + 1 c. z = 2x2 + 2 d. z = 2x2 e. z = 2 5. f(x,y) =
2y fonksiyonu veriliyor. fx(1,1) say›s› aflax 3 + y2
¤›dakilerden hangisidir? 3 a. 2 1 b. 4 c.
-3
d. −3 4 e. 2 6. f(x,y) = y2e-3x fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonunun fyy türevi afla¤›dakilerden hangisidir? a. fyy(x,y) = -6 b. fyy(x,y) = -6y e-3x c. fyy(x,y) = -6 e-3x d. fyy(x,y) = 2 e-3x e. fyy(x,y) = e-3x
25
2 3 7. f(x,y,z) = z2 13x + 4 y fonksiyonu veriliyor. fz(1,3,2) say›s› afla¤›dakilerden hangisidir? a. 11 b. 2/11 c. 22 d. 1/11 e. 44
8. f(x,y) = 9 - x2 - y2 fonksiyonu veriliyor. Afla¤›daki noktalardan hangisi f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktas›d›r? a. (-1,-1,-1) b. (0,0,0) c. (0,0,9) d. (9,0,0) e. (1,1,7) 9. (x,y) = -x2 + 3y2 fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonunun x - y = 2 koflulu alt›ndaki yerel minimum noktas› afla¤›dakilerden hangisidir? a. (3, 1) b. (1,1) c. (1,3) d. (2,0) e. (0, 2) 10. f(x,y) = 8 + 2x -x2 - y2 fonksiyonunun yerel maksimum de¤eri kaçt›r? a. 14 b. 9 c. 8 d. 7 e. 6 11. f(x,y) = y e x a. -36 b. -28 c. 28 d. 36 e. 42
2
− 2y
ise fxx(2,2) kaçt›r?
12. f(x,y) = y.ln(xy) ise fxy(1,2) kaçt›r? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
26
Biraz Daha Düflünelim
Biraz Daha Düflünelim 1. f(x,y) = 4xy3 + 3x2y - y3 - 2x fonksiyonu veriliyor. fxx, fxy ve fyy k›smi türevlerini bulunuz. 2. f(x,y) = x2 + y2 fonksiyonunun -3x + 2y + 5 = 0 koflulunu sa¤layan ekstremum noktas›n› bulunuz.