190 problemas resueltos de integrales indefinidas

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS 190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS DEL LIBRO DE CALCULO INTEGRAL Y SUS APLICACIONES DE MOISES LAZARO CARRION DE LA EDICION 2001 DE EDITORIAL MOSHERA

ANALISIS MATEMATICO II

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS 190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Solucionario de los 190 problemas propuestos de integrales indefinidas del libro calculo integral y sus aplicaciones de moisés lázaro Carrión de la edición 2001.

EDICIONES ROCOCÓ

Roberto Córdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

190 Problemas resueltos de integrales indefinidas Autor: Roberto Córdova Coral Libro: Calculo Integral y sus aplicaciones Autor: Moisés Lázaro Carrión Edición: 2001 Editorial: Moshera Ediciones rococó 2019 Roberto Córdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Presentación Primero presentarme como estudiante de Ingeniería Pesquera de la Facultad De Oceanografía, Pesquería, Ciencias Alimentarias Y Acuicultura de la Universidad Nacional Federico Villarreal, ahora como egresado de esta alma mater, sito en Jr. Roma 350, altura de la av. José Pardo cuadra 9, en Miraflores – Lima, Perú.

Segundo, al leer el libro de cálculo integral y sus aplicaciones, del autor Moisés Lázaro Carrión de la Editorial Moshera de la edición 2001 de 246 páginas, observe que poseía 190 problemas propuestos de integrales indefinidas y sus respectivas respuestas a los ejercicios.

Tercero, decidí desarrollar cada uno de los ejercicios propuestos en hojas de cuaderno detalladamente, utilizando las formulas básicas de integración, la sustitución trigonométrica, el cambio de variable, la integración por partes y criterio de fracciones parciales para integrales indefinidas, así como la referencia electrónica de una página de internet llamada “calculadora de integrales”, para la comprobación del desarrollo de los problemas propuestos.

Cuarto, el desarrollo del total de ejercicios manualmente y ahora su digitalización del trabajo, indicando el criterio apropiado de la resolución.

Quinto, finalmente agradezco a los interesados en la matemática superior, de poseer un texto de ayuda y enseñanza para comprender y analizar, como se resuelve estos tipos de ejercicios de integrales indefinidas, para lo estudiantes universitarios de ciencias e ingenierías que les servirá para cursos posteriores.

Atentamente

Roberto Córdova Coral DNI: 45216395 e-mail: robertocordovacoral25388@gmail.com Celular: 933602530.

Roberto Córdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Contenido Pagina Presentación .............................................................................................................................. 3 Formulas Básicas De Integración ........................................................................................... 9 Integración por partes ........................................................................................................... 10 Sustitución Trigonométrica ................................................................................................... 10 Identidades trigonométricas importantes ............................................................................ 10 Otras fórmulas importantes .................................................................................................. 10 Problema 1 .............................................................................................................................. 11 Problema 2 .............................................................................................................................. 11 Problema 3 .............................................................................................................................. 12 Problema 4 .............................................................................................................................. 12 Problema 5 .............................................................................................................................. 13 Problema 6 .............................................................................................................................. 13 Problema 7 .............................................................................................................................. 14 Problema 8 .............................................................................................................................. 14 Problema 9 .............................................................................................................................. 15 Problema 10 ............................................................................................................................ 15 Problema 11 ............................................................................................................................ 16 Problema 12 ............................................................................................................................ 17 Problema 13 ............................................................................................................................ 18 Problema 14 ............................................................................................................................ 18 Problema 15 ............................................................................................................................ 19 Problema 16 ............................................................................................................................ 19 Problema 17 ............................................................................................................................ 20 Problema 18 ............................................................................................................................ 21 Problema 19 ............................................................................................................................ 22 Problema 20 ............................................................................................................................ 27 Problema 21 ............................................................................................................................ 28 Problema 22 ............................................................................................................................ 31 Problema 23 ............................................................................................................................ 31 Problema 24 ............................................................................................................................ 32 Problema 25 ............................................................................................................................ 33 Problema 26 ............................................................................................................................ 34 Problema 27 ............................................................................................................................ 35 Problema 28 ............................................................................................................................ 36 Problema 29 ............................................................................................................................ 38 Problema 30 ............................................................................................................................ 38 Problema 31 ............................................................................................................................ 39 Problema 32 ............................................................................................................................ 40 Problema 33 ............................................................................................................................ 41 Problema 34 ............................................................................................................................ 42 Problema 35 ............................................................................................................................ 43 Problema 36 ............................................................................................................................ 43 Problema 37 ............................................................................................................................ 44 Problema 38 ............................................................................................................................ 45 Problema 39 ............................................................................................................................ 45 Problema 40 ............................................................................................................................ 46 Roberto Córdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 41 ............................................................................................................................ 46 Problema 42 ............................................................................................................................ 47 Problema 43 ............................................................................................................................ 47 Problema 44 ............................................................................................................................ 48 Problema 45 ............................................................................................................................ 48 Problema 46 ............................................................................................................................ 49 Problema 47 ............................................................................................................................ 49 Problema 48 ............................................................................................................................ 50 Problema 49 ............................................................................................................................ 51 Problema 50 ............................................................................................................................ 52 Problema 51 ............................................................................................................................ 53 Problema 52 ............................................................................................................................ 55 Problema 53 ............................................................................................................................ 56 Problema 54 ............................................................................................................................ 57 Problema 55 ............................................................................................................................ 59 Problema 56 ............................................................................................................................ 60 Problema 57 ............................................................................................................................ 60 Problema 58 ............................................................................................................................ 61 Problema 59 ............................................................................................................................ 62 Problema 60 ............................................................................................................................ 63 Problema 61 ............................................................................................................................ 64 Problema 62 ............................................................................................................................ 64 Problema 63 ............................................................................................................................ 65 Problema 65 ............................................................................................................................ 66 Problema 66 ............................................................................................................................ 66 Problema 67 ............................................................................................................................ 67 Problema 68 ............................................................................................................................ 68 Problema 69 ............................................................................................................................ 70 Problema 70 ............................................................................................................................ 72 Problema 71 ............................................................................................................................ 75 Problema 72 ............................................................................................................................ 76 Problema 73 ............................................................................................................................ 77 Problema 74 ............................................................................................................................ 79 Problema 75 ............................................................................................................................ 81 Problema 76 ............................................................................................................................ 82 Problema 77 ............................................................................................................................ 83 Problema 78 ............................................................................................................................ 85 Problema 79 ............................................................................................................................ 88 Problema 80 ............................................................................................................................ 90 Problema 81 ............................................................................................................................ 92 Problema 82 ............................................................................................................................ 94 Problema 83 ............................................................................................................................ 96 Problema 84 ............................................................................................................................ 98 Problema 85 .......................................................................................................................... 100 Problema 86 .......................................................................................................................... 102 Problema 87 .......................................................................................................................... 102 Problema 88 .......................................................................................................................... 103 Problema 89 .......................................................................................................................... 104 Problema 90 .......................................................................................................................... 105 Problema 91 .......................................................................................................................... 106 Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 92 .......................................................................................................................... 107 Problema 93 .......................................................................................................................... 109 Problema 94 .......................................................................................................................... 110 Problema 95 .......................................................................................................................... 112 Problema 96 .......................................................................................................................... 113 Problema 97 .......................................................................................................................... 114 Problema 98 .......................................................................................................................... 115 Problema 99 .......................................................................................................................... 116 Problema 100 ........................................................................................................................ 117 Problema 101 ........................................................................................................................ 118 Problema 102 ........................................................................................................................ 119 Problema 103 ........................................................................................................................ 120 Problema 104 ........................................................................................................................ 121 Problema 105 ........................................................................................................................ 122 Problema 106 ........................................................................................................................ 123 Problema 107 ........................................................................................................................ 125 Problema 108 ........................................................................................................................ 126 Problema 109 ........................................................................................................................ 128 Problema 110 ........................................................................................................................ 130 Problema 112 ........................................................................................................................ 135 Problema 113 ........................................................................................................................ 136 Problema 114 ........................................................................................................................ 138 Problema 115 ........................................................................................................................ 145 Problema 116 ........................................................................................................................ 146 Problema 117 ........................................................................................................................ 147 Problema 118 ........................................................................................................................ 148 Problema 119 ........................................................................................................................ 150 Problema 120 ........................................................................................................................ 152 Problema 122 ........................................................................................................................ 155 Problema 123 ........................................................................................................................ 156 Problema 124 ........................................................................................................................ 158 Problema 125 ........................................................................................................................ 159 Problema 126 ........................................................................................................................ 160 Problema 127 ........................................................................................................................ 162 Problema 128 ........................................................................................................................ 163 Problema 129 ........................................................................................................................ 165 Problema 130 ........................................................................................................................ 166 Problema 131 ........................................................................................................................ 168 Problema 132 ........................................................................................................................ 171 Problema 133 ........................................................................................................................ 173 Problema 134 ........................................................................................................................ 175 Problema 135 ........................................................................................................................ 177 Problema 136 ........................................................................................................................ 179 Problema 137 ........................................................................................................................ 184 Problema 138 ........................................................................................................................ 189 Problema 139 ........................................................................................................................ 190 Problema 140 ........................................................................................................................ 192 Problema 141 ........................................................................................................................ 194 Problema 142 ........................................................................................................................ 196 Problema 143 ........................................................................................................................ 199 Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 144 ........................................................................................................................ 201 Problema 145 ........................................................................................................................ 202 Problema 146 ........................................................................................................................ 203 Problema 147 ........................................................................................................................ 205 Problema 148 ........................................................................................................................ 208 Problema 149 ........................................................................................................................ 211 Problema 150 ........................................................................................................................ 216 Problema 151 ........................................................................................................................ 220 Problema 152 ........................................................................................................................ 221 Problema 153 ........................................................................................................................ 224 Problema 154 ........................................................................................................................ 227 Problema 155 ........................................................................................................................ 233 Problema 156 ........................................................................................................................ 236 Problema 157 ........................................................................................................................ 239 Problema 158 ........................................................................................................................ 241 Problema 159 ........................................................................................................................ 245 Problema 160 ........................................................................................................................ 248 Problema 161 ........................................................................................................................ 249 Problema 162 ........................................................................................................................ 251 Problema 163 ........................................................................................................................ 252 Problema 164 ........................................................................................................................ 254 Problema 165 ........................................................................................................................ 255 Problema 166 ........................................................................................................................ 257 Problema 167 ........................................................................................................................ 259 Problema 168 ........................................................................................................................ 261 Problema 169 ........................................................................................................................ 264 Problema 170 ........................................................................................................................ 266 Problema 171 ........................................................................................................................ 268 Problema 173 ........................................................................................................................ 271 Problema 174 ........................................................................................................................ 274 Problema 175 ........................................................................................................................ 276 Problema 176 ........................................................................................................................ 281 Problema 177 ........................................................................................................................ 286 Problema 178 ........................................................................................................................ 287 Problema 179 ........................................................................................................................ 289 Problema 181 ........................................................................................................................ 293 Problema 182 ........................................................................................................................ 294 Problema 183 ........................................................................................................................ 299 Problema 184 ........................................................................................................................ 305 Problema 185 ........................................................................................................................ 308 Problema 186 ........................................................................................................................ 309 Problema 188 ........................................................................................................................ 313 Problema 189 ........................................................................................................................ 317 Problema 190 ........................................................................................................................ 318

Roberto Cรณrdova Coral

8

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Formulas Bรกsicas De Integraciรณn

Roberto Cรณrdova Coral

9

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Integración por partes

Sustitución Trigonométrica función Triangulo a construir

Hacer lo siguiente

Sustitución trigonométrica

“a” “x” )ϴ

“x” )ϴ “a” “x” )ϴ “a” Fuente: calculo integral y sus aplicaciones – Moisés Lázaro Carrión (2001) Identidades trigonométricas importantes

Otras fórmulas importantes

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 1

Soluci贸n Primero desglosando la fracci贸n algebraica:

Desarrollando la integral:

Por lo tanto:

Problema 2

Soluci贸n Aplicando el criterio de cambio de variable:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto C贸rdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 3

Soluciรณn Realizando el cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral dada:

Por lo tanto:

Problema 4

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

12

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 5

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 6

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 7

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 8

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 9

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 10

Soluciรณn Multiplicando al numerador y al denominador por ex:

Realizando un cambio de variable apropiado: Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 11

Soluciรณn Se sabe que: Ahora en la integral:

Desarrollando la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 12

Soluciรณn Realizando el cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora multiplicando por 2 al numerador y al denominador:

Ahora utilizando las fracciones parciales:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 13

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 14

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

18

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 15

Soluciรณn Analizando la integral:

Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 16

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

19

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 17

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

20

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 18

Soluciรณn Analizando la integral:

Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

21

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 19

Soluciรณn Analizando la integral:

Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora multiplicando al denominador y al numerador por t4:

Ahora analizando esta integral y completando cuadrados en el denominador:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora desarrollando por el método de fracciones parciales:

Igualando los numeradores en las integrales:

Igualando los coeficientes numéricos de las ecuaciones polinómicas:

Ahora reemplazando la ecuación (i) en la ecuación (iii):

Luego reemplazando (v) en (iv):

Ahora reemplazando (iv) en (ii):

Reemplazando (viii) en (i):

Ahora reemplazando (ix) en (i):

Roberto Córdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora tenemos estos valores:

Ahora reemplazando estos valores en esta integral:

Ahora multiplicando por 2 al numerador y denominador de los coeficientes:

Ahora agregando factores en los numeradores de cada integral:

Ahora factorizando los polinomios:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Agrupando los términos:

Roberto Córdova Coral

25

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 20

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 21

Solución Analizando la integral y ordenando:

Ahora aplicando el criterio de sustitución trigonométrica:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora analizando esta integral:

Ahora factorizando la diferencia de cuadrados en la integral:

Roberto Córdova Coral

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190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora utilizando el método de fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de las ecuaciones polinómicas:

Igualando las ecuaciones polinómicas:

Reemplazando (i) en (iii):

Reemplazando (v) en (iv):

Reemplazando (iv) en (ii):

Reemplazando (viii) en (i):

Ahora tenemos estos valores:

Ahora reemplazando estos valores en la integral:

Roberto Córdova Coral

29

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora multiplicando por 2 al numerador y denominador:

Ahora ordenando a los binomios:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

30

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 22

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 23

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

31

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 24

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

32

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 25

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora derivando ordenadamente:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

33

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 26

Solución Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

34

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 27

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazado en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

35

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 28

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora dividiendo entre 4x al numerador y al denominador:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Si multiplicamos por 2 al numerador y al denominador en la integral:

Ahora analizando la integral tenemos:

Roberto Cรณrdova Coral

36

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

37

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 29

Soluciรณn Primero desarrollando el binomio al cuadrado en la integral:

Ahora realizando la operaciรณn de integraciรณn correlativa:

Por lo tanto:

Problema 30

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

38

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 31

Soluciรณn Realizando el cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

39

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 32

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

40

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 33

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

41

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 34

Soluciรณn Ordenando el denominador de la integral:

Operando el binomio al cuadrado en la integral:

Distribuyendo adecuadamente la integral:

Operando la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

42

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 35

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Por lo tanto:

Problema 36

Soluciรณn Ordenando los factores en el numerador de la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

43

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 37

Soluciรณn Operando en la integral la fracciรณn exponencial:

Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

44

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 38

Soluciรณn Distribuyendo la integral:

Por lo tanto:

Problema 39

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazado en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

45

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 40

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 41

Soluciรณn: Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

46

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 42

Solución: Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 43

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

47

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 44

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 45

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

48

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 46

Solución Ordenando adecuadamente:

Problema 47

Solución Ordenando la integral, para un buen desarrollo:

Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

49

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 48

Solución Ordenando adecuadamente la integral:

Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

50

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 49

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

51

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 50

Soluciรณn Ordenado adecuadamente la integral:

Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

52

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 51

Solución Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

53

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

54

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 52

Solución Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica en la integral:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

55

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 53

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

56

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 54

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora operando adecuadamente:

Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Cรณrdova Coral

57

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

58

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 55

Soluciรณn Realizando un cambio variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Si se sabe que: Ordenado adecuadamente la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

59

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 56

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 57

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

60

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 58

Soluciรณn Ordenando adecuadamente y distribuyendo la integral:

Primero realizando el cambio de variable, en cada integral:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

61

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 59

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

62

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 60

Soluciรณn Ordenado adecuadamente la integral:

Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Si se sabe que: Ahora en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

63

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 61

Soluciรณn Ordenando adecuadamente y desarrollando:

Por lo tanto:

Problema 62

Soluciรณn Ordenando adecuadamente y operando la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

64

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 63

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora de dividiendo: X3 + 3X2 + 3X - X3 + 0X2 - X 3X2 + 2X - 3X2 + 0X + 2X

+ 1

X2 + 0X + 1 X + 3

+ 1 - 3 - 2

Con lo cual:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

65

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 65

Soluciรณn Ordenando adecuadamente:

Por lo tanto:

Problema 66

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

66

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 67

Soluciรณn Ordenando adecuadamente:

Sabemos que:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

67

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 68

Soluciรณn Ordenando adecuadamente:

Roberto Cรณrdova Coral

68

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Si se sabe que: Ahora en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

69

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 69

Soluciรณn Observando adecuadamente la integral:

Desarrollando la integral:

Si se sabe que:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Cรณrdova Coral

70

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

71

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 70

Soluciรณn Observando adecuadamente la integral:

Desarrollando la integral:

Completando cuadrados en el trinomio del denominador:

Roberto Cรณrdova Coral

72

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Desarrollando la diferencia de cuadrados del denominador:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Cรณrdova Coral

73

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

74

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 71

Soluciรณn Observando adecuadamente la integral:

Desarrollando la integral:

Completando cuadrados en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

75

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 72

Soluciรณn Observando la integral:

Desarrollando la integral:

Ordenando el trinomio cuadrado perfecto en el numeral de la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

76

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 73

Solución Ordenando adecuadamente la integral:

Realizando un cambio de variable apropiado, en la primera integral:

Ahora ordenando en la integral:

Ahora ordenando adecuadamente el trinomio de la raíz del denominador de la segunda integral:

Roberto Córdova Coral

77

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

78

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 74

Solución Realizando un cambio de variable apropiado:

Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral, el cambio de variable:

Ahora completando adecuadamente el trinomio cuadrado perfecto en la raíz del denominador de la primera integral:

Roberto Córdova Coral

79

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

80

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 75

Solución Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora ordenando adecuadamente la integral:

Reemplazando el cambio de variable en la segunda integral y desarrollando:

Ahora completando cuadrados en la raíz del denominador de la primera integral:

Ordenando adecuadamente en la raíz de la primera integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

81

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 76

Soluciรณn Analizando adecuadamente el cambio de variable en la integral:

Ahora ordenado adecuadamente en la integral:

Ahora reemplazando el cambio de variable en la primera integral:

Ahora desarrollando la primera integral:

Ahora ordenando la segunda integral y desarrollรกndola:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

82

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 77

Soluciรณn Primero ordenando adecuadamente la integral:

Segundo multiplicando por 8 al numerador y denominador de la primera integral; y por 2 al numerador y denominador de la segunda integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Desarrollando la primera integral y agrupando la segunda integral:

Ordenando el trinomio del cuadrado del denominador de la segunda integral:

Roberto Cรณrdova Coral

83

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Desarrollando:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

84

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 78

Soluciรณn Primero separando en dos fracciones la integral:

Segundo, ahora analizando la integral:

Ahora multiplicando por 8 al numerador y al denominador de la segunda integral:

Si se sabe que: Ahora reemplazando en la segunda integral:

Ahora desarrollando la segunda integral:

Ahora agrupando los factores de la primera integral:

Realizando un cambio de variable en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Roberto Cรณrdova Coral

85

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora desarrollando la segunda integral:

Ahora devolviendo su valor original a la segunda integral:

Ahora multiplicando por 12 al numerador y el denominador de la primera integral:

Ahora completando factores en el trinomio cuadrado perfecto de la raíz del denominador de la primera integral:

Ahora agrupando en la raíz del denominador de la primera integral:

Roberto Córdova Coral

86

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora desarrollando la primera integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

87

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 79

Soluciรณn Primero dividiendo adecuadamente la integral:

Ahora ordenando la primera integral:

Multiplicando por 2 al numerador y al denominador de la primera integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Ahora dividiendo la primera integral:

Ahora agrupando los factores de la segunda integral:

Ahora realizando un cambio de variable en la primera integral:

Ahora reemplazando en la primera integral y desarrollando:

Roberto Cรณrdova Coral

88

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora devolviendo su valor a la primera integral:

Ahora observado el denominador de la raĂ­z de la segunda integral:

Ahora desarrollando la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto CĂłrdova Coral

89

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 80

Soluciรณn Desdoblando la integral en dos factores:

Multiplicando por 9 al numerador y denominador de la primera integral:

Si se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Ahora agrupando los factores de la segunda integral:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado en la primera integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Roberto Cรณrdova Coral

90

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Desarrollando la primera integral:

Ahora devolviendo el valor del reemplazo de la primera integral:

Ahora analizando en el denominador de la segunda integral, la raĂ­z cuadrada del trinomio cuadrado perfecto:

Ahora multiplicando por 3 al numerador y al denominador de la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto CĂłrdova Coral

91

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 81

Soluciรณn Desglosando la integral en dos factores:

Ahora ordenando adecuadamente las integrales:

Ahora multiplicando por 10 al numerador y denominador de la segunda integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la segunda integral:

Ahora desdoblando la segunda integral:

Ahora agrupando lo factores comunes de la primera integral:

Ahora multiplicando por 5 al numerador y al denominador en la primera integral:

Roberto Cรณrdova Coral

92

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora realizando un cambio de variable apropiado en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Ahora desarrollando la segunda integral:

Ahora devolviendo la forma original de la segunda integral:

Ahora analizando la primera integral:

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto de la primera integral:

Ahora desarrollando la primera integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

93

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 82

Soluciรณn Desglosando la integral en dos factores:

Ordenando adecuadamente la primera integral:

Multiplicando por 2 al numerador y al denominador de la primera integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Ahora desglosando la primera integral:

Ahora factorizando los factores comunes de la segunda integral:

Ahora realizando el cambio de variable apropiado en la primera integral:

Roberto Cรณrdova Coral

94

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la primera integral:

Ahora devolviendo su valor original de la primera integral:

Ahora ordenando el trinomio cuadrado perfecto en el denominador de la segunda integral:

Ahora desarrollando la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

95

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 83

Solución Ordenando adecuadamente la integral:

Desglosando en dos partes la integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la segunda integral:

Desglosando la segunda integral:

Factorizando los términos comunes de la primera integral:

Realizando un cambio de variable apropiado en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Roberto Córdova Coral

96

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora devolviendo el valor original en la segunda integral:

Ahora multiplicando por 2 al numerador y el denominador de la primera integral:

Ahora completando el trinomio cuadrado perfecto en la raĂ­z del denominador de la primera integral:

Ahora desarrollando la primera integral:

Por lo tanto:

Roberto CĂłrdova Coral

97

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 84

Soluciรณn Analizando la siguiente integral:

Realizando un cambio de variable apropiado en la primera integral:

Ahora reemplazando en la primera integral:

Por lo tanto la primera integral es:

Ahora multiplicando por

, al numerador y el denominador de la segunda integral:

Roberto Cรณrdova Coral

98

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora multiplicando por 5 al numerador y al denominador de la segunda integral:

Ahora agrupando los términos en la raíz de la segunda integral:

Desarrollando la segunda integral:

Roberto Córdova Coral

99

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 85

Solución Primero multiplicando por 2 al numerador y denominador de la integral:

Ahora dividiendo la integral en dos fracciones normales:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado en la primera integral:

Ahora reemplazando en la primera integral:

Ahora reemplazando el valor de la primera integral:

Ahora agrupando los factores de la raíz del denominador de la segunda integral:

Roberto Córdova Coral

100

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

101

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 86

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Problema 87

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral y desarrollando:

Roberto Cรณrdova Coral

102

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 88

Solución Se sabe que, por trigonometría:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integración por partes, para la primera integral:

Ahora reemplazando en la primera integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

103

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 89

Soluciรณn Se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de integraciรณn por partes en la primera integral:

Ahora reemplazando en la primera integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

104

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 90

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraciรณn por partes en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Ahora utilizando el criterio de integraciรณn por partes en la tercera integral:

Ahora reemplazando en la tercera integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

105

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 91

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

106

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 92

Soluci贸n Utilizando el criterio de la integraci贸n por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de la integraci贸n por partes en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral y desarrollando:

Roberto C贸rdova Coral

107

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

108

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 93

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral y desarrollando:

Roberto Cรณrdova Coral

109

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 94

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la segunda integral:

Roberto Cรณrdova Coral

110

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Se sabe que:

Roberto Cรณrdova Coral

111

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Problema 95

Soluci贸n Utilizando el criterio de integraci贸n por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de integraci贸n por partes en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto C贸rdova Coral

112

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 96

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Sabemos que: Ahora reemplazando en la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

113

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 97

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de integraciรณn por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Utilizando el criterio de integraciรณn por partes, en la tercera integral:

Roberto Cรณrdova Coral

114

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la tercera integral:

Ahora factorizando el término semejante:

Por lo tanto:

Problema 98

Solución Utilizando el criterio de la integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

115

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 99

Soluci贸n Utilizando el criterio de la integraci贸n por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de la integraci贸n por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto C贸rdova Coral

116

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 100

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de integraciรณn por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Utilizando el criterio de integraciรณn por partes, en la tercera integral:

Ahora reemplazando en la tercera integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

117

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 101

Soluci贸n Utilizando el criterio de integraci贸n por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de integraci贸n por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Desarrollando la tercera integral:

Por lo tanto:

Roberto C贸rdova Coral

118

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 102

Solución Utilizando el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de integración por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Agrupando términos semejantes en la ecuación:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

119

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 103

Solución Utilizando el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de integración por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Agrupando términos semejantes en la ecuación:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

120

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 104

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Realizando el cambio de variable apropiado, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

121

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 105

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Sabemos que: Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

122

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 106

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Roberto Cรณrdova Coral

123

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Se sabe que: Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

124

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 107

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

125

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 108

Solución Utilizando el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Si hacemos esto:

Utilizando el criterio de integración por partes, en la integral “I1”:

Ahora reemplazando en la integral “I1”:

Ahora realizando un cambio de variable en la segunda integral de “I1”:

Roberto Córdova Coral

126

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la segunda integral de “I1”:

Ahora reemplazando “I1” en la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

127

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 109

Soluci贸n Utilizando el criterio de integraci贸n por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraci贸n por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Roberto C贸rdova Coral

128

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

129

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 110

Solución Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Utilizando el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Sabemos que:

Ahora utilizando el criterio de integración por partes en la integral “I1”:

Ahora reemplazando en la integral “I1”:

Roberto Córdova Coral

130

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora utilizando el criterio de integración por partes en la integral “I2”:

Ahora reemplazando en “I2”:

Ahora reemplazando “I1” y “I2” en la integral general:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la última integral:

Desarrollando la última integral:

Roberto Córdova Coral

131

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora utilizando el criterio de integraciรณn por partes en la sexta integral:

Ahora reemplazando en la sexta integral:

Pero se sabe que:

Roberto Cรณrdova Coral

132

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

133

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 111

Solución Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integración por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la integral:

Agrupando términos comunes en la ecuación:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

134

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 112

Solución Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integración por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la integral:

Agrupando términos comunes en la ecuación:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

135

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 113

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraciรณn por partes en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Roberto Cรณrdova Coral

136

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Simplificando factores comunes:

Agrupando factores comunes:

Se sabe que:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

137

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 114

Solución Utilizando el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Si se sabe que:

Desarrollando la integral “I1”, por el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral “I1”:

Ahora desarrollando la integral “I2”, por integración por partes:

Roberto Córdova Coral

138

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la integral:

Ahora reemplazando “I1” y “I2” en la integral general:

Ordenando y agrupando adecuadamente los factores comunes:

Sabemos que:

Desarrollando “I1” por el criterio de integración por partes:

Roberto Córdova Coral

139

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la integral “I1”:

Ahora desarrollando la segunda integral de “I1”, por integración por partes:

Luego reemplazando en la segunda integral de “I1”:

Agrupando términos semejantes en la ecuación:

Ahora desarrollando la integral “I2” por el criterio de integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral “I2”

Roberto Córdova Coral

140

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Sabemos que:

Ahora desarrollando la “I3” por integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral “I3”:

Ahora desarrollando la segunda integral de “I3”, por integración por partes:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Ahora agrupando los términos semejantes:

Ahora desarrollando la integral “I4” por integración por partes:

Roberto Córdova Coral

141

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la integral “I4”:

Ahora reemplazando “I3” y “I4” en “I2”:

Ahora reemplazando “I1” en “I2”:

Ahora reemplazando “I1” y “I2” en “I”:

Roberto Córdova Coral

142

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

143

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

144

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 115

Soluciรณn Utilizando el criterio de la integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

145

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 116

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

146

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 117

Soluciรณn Utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

147

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 118

Soluci贸n Utilizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraci贸n por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraci贸n por partes, nuevamente:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto C贸rdova Coral

148

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazado en la integral:

Pero se sabe que:

Ahora en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

149

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 119

Soluci贸n Utilizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraci贸n por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraci贸n por partes, nuevamente:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto C贸rdova Coral

150

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Agrupรกndolos:

Pero se sabe que:

Ahora en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

151

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 120

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Desarrollando la segunda integral por integraciรณn por partes:

Ahora desarrollando la segunda integral:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

152

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 121

Soluci贸n Se sabe que:

Ahora remplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraci贸n por partes en la segunda integral:

Ahora reemplazando en esta integral:

Ahora nuevamente utilizando el criterio de integraci贸n por partes:

Ahora reemplazando en esta integral:

Roberto C贸rdova Coral

153

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando en esta integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

154

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 122

Soluciรณn Realizando un cambio de variable:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

155

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 123

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraciรณn por partes, en la segunda integral:

Ahora reemplazando en esta integral:

Ahora nuevamente utilizando el criterio de criterio de integraciรณn por partes:

Ahora en esta integral:

Roberto Cรณrdova Coral

156

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando en la integral general:

Si se sabe que:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

157

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 124

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Se sabe que:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

158

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 125

Soluci贸n Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Pero se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Desarrollando la segunda expresi贸n:

Ahora utilizando el criterio de integraci贸n por partes en la primera integral:

Ahora remplazando en la integral:

Pero se sabe que:

Por lo tanto:

Roberto C贸rdova Coral

159

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 126

Soluciรณn Realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Pero se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Ahora desarrollando la primera integral por el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la primera integral:

Roberto Cรณrdova Coral

160

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Pero se sabe que:

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

161

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 127

Solución Utilizando el criterio de fracciones parciales, para la siguiente integral:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Con lo cual se obtiene lo siguiente:

Primero hallando “A”, si 2(i) + (ii): (+) ---------------Segundo hallando “B”, si 5(i) – (ii): (--) ------------------

Ahora reemplazando los valores numéricos de A y B en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

162

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 128

Solución Utilizando el criterio de fracciones parciales, para la siguiente integral:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Ahora de esta igualdad se tiene:

Primero eliminado la “C”, de (ii) – 3(i): (--) -----------------Segundo, eliminado la “C”, de 2(ii) – 3(iii): (-) -------------------Hallando “A”, (v) – (iv): (-) ----------

Roberto Córdova Coral

163

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando el valor numérico de “A” en (iv), para hallar “B”:

Ahora reemplazando los valores numéricos de “A” y “B” en (i):

Ahora reemplazando los valores numéricos de “A”, “B” y “C” en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

164

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 129

Solución Utilizando el criterio de fracciones parciales en la integral:

Ahora igualando los numeradores de la integral:

De esto se obtiene:

Hallando el valor numérico de “A”, (i) – (ii): (-) ------------Ahora reemplazando el valor numérico de “A” en (ii): Luego reemplazando los valores numéricos de “A” y “B” en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

165

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 130

Solución Primero descomponiendo el trinomio en dos factores: +1 –2 Por lo tanto: Ahora en la integral es:

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales para desarrollar la integral:

Igualando los numeradores de ambas integrales:

De esta igualdad se obtiene:

Ahora hallando el valor numérico de “B”, 2(i) + (ii): (+) ---------------

Ahora reemplazando el valor numérico de “B”, para hallar “A” en (ii):

Ahora reemplazando los valores numéricos de “A” y “B” en la integral:

Roberto Córdova Coral

166

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

167

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 131

Soluciรณn Dividiendo en dos factores la integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la primera de integral:

Roberto Cรณrdova Coral

168

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Se sabe que: Ahora reemplazando en la cuarta integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la cuarta integral:

Se sabe que: Roberto Cรณrdova Coral

169

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la tercera integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

170

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 132

Soluciรณn Distribuyendo los factores del numerador en la integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la tercera integral:

Roberto Cรณrdova Coral

171

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Se sabe que: Ahora reemplazando en la tercera integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

172

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 133

Solución Ordenando por factores el polinomio cubico:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales en la integral:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

De esta ecuación se obtiene lo siguiente:

Hallando el valor numérico de “B”, (ii) – (iii): (-) -----------------------

Roberto Córdova Coral

173

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando el valor numérico de “B” en (i), (ii) y (iii):

Ahora hallando el valor numérico de “A”, (v) – (iv): (-) --------------

Ahora reemplazando los valores numéricos de “A” y “B” en la ecuación (i):

Ahora reemplazando los valores numéricos de “A”, “B” y “C” en la integral general:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

174

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 134

Soluciรณn Distribuyendo adecuadamente los factores de la integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en el denominador de la cuarta integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la cuarta integral:

Roberto Cรณrdova Coral

175

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

176

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 135

Soluciรณn Se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Pero se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Pero se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Cรณrdova Coral

177

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

178

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 136

Solución Se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica en las dos integrales: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x” )ϴ 1

Ahora reemplazando en la tercera integral:

Pero se sabe que: Ahora reemplazando en el denominador de la segunda integral:

Roberto Córdova Coral

179

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Sabemos que:

Ahora utilizando el criterio de integración por partes, en “I1”:

Ahora reemplazando en “I1”

Roberto Córdova Coral

180

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora utilizando el criterio de integración por partes en “I2”

Ahora reemplazando en la integral “I2”

Roberto Córdova Coral

181

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando “I1” en “I2”

Ahora reemplazando “I1” e “I2” en la integral general:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

182

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

183

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 137

Soluciรณn Se sabe que: Ahora reemplazando en el denominador de la integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales en la tercera integral:

Roberto Cรณrdova Coral

184

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Ahora igualando los factores numéricos de la ecuación polinomial:

Del sistema de ecuaciones se tiene:

Ahora reemplazando el valor numérico de “A” en la ecuación (i):

Ahora reemplazando el valor numérico de “A” en la ecuación (ii):

Roberto Córdova Coral

185

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando el valor numérico de “A” en la ecuación (iii):

Ahora tenemos estas ecuaciones lineales:

9(vi) –3 (vii): (-) ---------------------------------Hallando “B”, 27(v)-(viii): (--) --------------------------------

Ahora reemplazando el valor numérico de “B” en cada ecuación:

Roberto Córdova Coral

186

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora tenemos este sistema de ecuaciones:

Analizando adecuadamente el sistema de ecuaciones, se obtiene lo siguiente:

Por lo tanto tenemos, estos valores numéricos:

Ahora reemplazando los valores numéricos de A, B, C, D y E; en la tercera integral:

Roberto Córdova Coral

187

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

188

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 138

Soluciรณn Se sabe que: Ahora reemplazando en el numerador de la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

189

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 139

Solución Se sabe que: Ahora reemplazando en la integral y desarrollando por el criterio de fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Por lo tanto se obtiene lo siguiente:

Ahora sumando las ecuaciones (i) y (iii): Hallando el valor numérico de “A”, (iv) – (iii):

-------------------

Ahora reemplazando el valor numérico de “A” en las ecuaciones (i) y (iii):

Ahora tenemos estos valores numéricos:

Roberto Córdova Coral

190

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando estos valores numéricos en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

191

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 140

Solución Se sabe que: Ahora reemplazando en la integral y desarrollando por el criterio de fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Por lo tanto se obtiene lo siguiente:

Ahora sumando las ecuaciones (i) y (iii): Hallando el valor numérico de “A”, (iv) + (iii): (+) -------------------

Ahora reemplazando el valor numérico de “A” en las ecuaciones (i) y (iii):

Ahora tenemos estos valores numéricos:

Roberto Córdova Coral

192

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando estos valores numéricos en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

193

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 141

Solución Se sabe que: Ahora reemplazando en el denominador de la integral:

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales:

Igualando los numeradores de las integrales:

De estos polinomios se obtiene:

Hallando el factor “C”, (i) - (iii): (--) ------------------Hallando el factor “D”, (ii) – (iv): (--) -----------------------

Roberto Córdova Coral

194

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora se tiene estos valores:

Ahora reemplazando estos valores en el sistema de ecuaciones:

Hallando el valor numérico “A”, (v) + (vi): (+) -----------------

Hallando el valor numérico “B”, (v) - (vi): (--) -----------------

Ahora se tiene estos valores numéricos:

Ahora reemplazando estos valores numéricos en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

195

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 142

Solución Se sabe que: Ahora reemplazando en el denominador de la integral:

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales:

Igualando los numeradores de ambas integrales:

Igualando polinomios:

Reemplazando el valor numérico de “A” en las tres ecuaciones:

Eliminando el factor “B”, (v) – (vii): (--) ---------------

Roberto Córdova Coral

196

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Hallando el valor numérico de “C”, (vi) + (viii): (+) -----------------

Hallando el valor numérico de “D”, (vi) - (viii): (--) -----------------

Ahora tenemos estos valores numéricos:

Reemplazando estos valores numéricos en la ecuación (v):

Ahora tenemos estos valores numéricos:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

197

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

198

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 143

Solución Se sabe que: Ahora reemplazando en el denominador de la integral:

Igualando los numeradores de ambas integrales:

Igualando los polinomios:

Reemplazando el valor numérico de “A” en (i): Ahora hallando el valor numérico de “B”, (iv) + (ii): (+) ---------------Ahora hallando el valor numérico de “C”, (iv) - (ii): (--) ----------------

Ahora tenemos estos valores numéricos:

Roberto Córdova Coral

199

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando estos valores en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

200

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 144

Solución Utilizando el criterio de integración por fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de las integrales:

De la igualdad de polinomios se obtiene:

Ahora reemplazando el valor numérico de “A”, en la ecuación (i):

Ahora tenemos estos valores numéricos: Ahora reemplazando estos valores numéricos, en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

201

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 145

Soluciรณn Analizando la integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la primera integral:

Se sabe que: Ahora reemplazando en la tercera integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

202

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 146

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica para desarrollar esta integral: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x + 1” )ϴ 1

Ahora reemplazando en la integral:

Pero se sabe que: Ahora reemplazando en el numerador de cada integral:

Roberto Córdova Coral

203

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Se sabe que: Ahora reemplazando en la cuarta integral:

Ahora, reemplazando los valores:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

204

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 147

Solución ordenando adecuadamente en el denominador de la integral:

Ahora utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x – 2” )ϴ 1

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

205

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando el valor original:

Roberto Cรณrdova Coral

206

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

207

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 148

Solución Utilizando el criterio de integración por fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Igualando polinomios se obtiene lo siguiente:

Reemplazando la ecuación (i) en (iii):

Reemplazando la ecuación (iv) en (ii):

Ahora reemplazando el valor numérico de “D” y “E”, en las ecuaciones:

Roberto Córdova Coral

208

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora si juntamos las ecuaciones (v) + (vi)

-------------------

Evaluando los valores numéricos para el sistema de ecuaciones:

Entonces se ve que existen infinitas soluciones, por lo tanto elijo la sexta solución, con el cual obtengo estos valores numéricos:

Ahora reemplazando estos valores numéricos en la integral:

Roberto Córdova Coral

209

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

210

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 149

Solución Realizando la división respectiva: X5 + 0X4 + 2X3 + 0X2 + 4X + 4 -X5 - 2X4 - 2X3 + 0X2 + 0X

X4 + 2X3 + 2X2 + 0X + 0 X–2

- 2X4 + 0X3 + 0X2 + 4X + 4 2X4 + 4X3 + 4X2 + 0X + 0 + 4X3 + 4X2 + 4X + 4 Por lo tanto se obtiene lo siguiente:

Si se sabe que: Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

211

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora aplicando el criterio de fracciones parciales, en la cuarta integral:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Ahora igualando ambos polinomios, se tiene:

Roberto Cรณrdova Coral

212

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando el valor numérico de “C”, en la ecuación (iii):

Ahora reemplazando la ecuación (v) en (i): Ahora reemplazando la ecuación (v) y el valor numérico de “C” en la ecuación (ii):

Ahora analizando esta ecuación y sus posibles valores:

Ahora se puede observar que existen infinitas soluciones, entonces tomare la primera solución para, lo cual se obtiene:

Ahora reemplazando en la cuarta integral:

Roberto Córdova Coral

213

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

214

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

215

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 150

Solución Se tiene que:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora desarrollando la integral por el criterio de fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Ahora igualando los polinomios se obtiene:

Reemplazando el valor de la ecuación (i) en la ecuación (iii):

Hallando el valor numérico de “D”, (iv) + (v):

---------------

Roberto Córdova Coral

216

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Hallando el valor numérico de “B”, (iv) – (v):

---------------

Ahora reemplazando la ecuación (iv) en la ecuación (ii):

Hallando el valor numérico de “A”, (i) + (vi):

----------------

Hallando el valor numérico de “C”, (i) - (vi):

----------------

Por lo tanto tenemos estos valores numéricos:

Ahora reemplazando estos valores numéricos en la integral:

Roberto Córdova Coral

217

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

218

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

219

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Problema 151

Soluciรณn Se sabe que: Ahora reemplazando en el numerador de la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

220

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 152

Solución Utilizando el criterio de integración por fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Ahora igualando ambos polinomios:

Hallando el valor numérico de “E”, (iv) – (ii):

-------------Hallando el valor numérico de “C”, 4(ii) – (iv): 4 --------------

Roberto Córdova Coral

221

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Reemplazando el valor numérico de “A”, en las ecuaciones (i) y (iii):

Ahora hallando el valor numérico de “D”, (vi) – (v):

------------------

Ahora hallando el valor numérico de “B”, 4(v) – (vi):

------------------

Ahora tenemos estos valores numéricos:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

222

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

223

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 153

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x ” )ϴ 3

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

224

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

225

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando los valores originales en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

226

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 154

Soluci贸n Utilizando el criterio de fracciones parciales en la integral:

Ahora igualando ambos numeradores de las integrales:

Ahora igualando ambos polinomios:

De la ecuaci贸n (i): De la ecuaci贸n (v):

Roberto C贸rdova Coral

227

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Reemplazando la ecuación (vi), en la ecuación (ii):

Reemplazando la ecuación (viii), en la ecuación (iii):

Reemplazando las ecuaciones (vii) y (ix) en la ecuación (iv):

Ahora reemplazando el valor numérico de “A”, en el sistema de ecuaciones:

Si desarrollamos estas ecuaciones, (vii) y (viii):

------------------------------

Desarrollando (vi) y (ix):

-------------

Roberto Córdova Coral

228

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora obtenemos estas ecuaciones:

Evaluando los valores numéricos de “B” del sistema de ecuaciones:

Evaluando los valores numéricos de “C” del sistema de ecuaciones:

Ahora de este análisis obtiene que haya infinitas soluciones, por lo cual la cuarta solución, del cual “B” y “C”, toman el mismo valor numérico, y por lo tanto tenemos lo siguiente:

Ahora reemplazando los valores numéricos obtenidos en la integral:

Roberto Córdova Coral

229

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

230

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica en la tercera integral: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x ” )ϴ 1

Ahora reemplazando en la tercera integral:

Roberto Córdova Coral

231

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora devolviendo a su forma original:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

232

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 155

Solución Ordenando adecuadamente la integral_

Utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x + 1 ” )ϴ 1

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

233

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando los valores originales de la sustitución trigonométrica:

Roberto Córdova Coral

234

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

235

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 156

Solución Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Sustitución Triangulo notable Razones trigonométricas trigonométrica

“x – 3 ” )ϴ 2

Ahora en la integral:

Roberto Córdova Coral

236

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

237

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando los valores de las sustituciones trigonométricas respectivas:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

238

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 157

Solución Utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Sustitución Triangulo notable Razones trigonométricas trigonométrica

“x ” )ϴ 2

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora reemplazando el valor original de las sustituciones trigonométricas realizadas:

Roberto Córdova Coral

239

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

240

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 158

Solución Utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Sustitución Triangulo notable Razones trigonométricas trigonométrica

“x ” )ϴ “a”

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

241

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora tenemos dos integrales cíclicas, que se deben resolver por integración por partes:

Primero realizando integración por partes en la integral “I1”:

Ahora reemplazando en “I1”:

Ahora desarrollando la integral “I2”, por integración por partes:

Ahora reemplazando en la integral “I2”:

Roberto Córdova Coral

242

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Primero reemplazando el valor de la integral “I1” en esta integral:

Ahora reemplazando el valor de la integral “I2”, en esta integral:

Roberto Córdova Coral

243

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando los valores de la sustitución trigonométrica:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

244

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 159

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Sustitución Triangulo notable trigonométrica

Razones trigonométricas

“x ” )ϴ “2”

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora desarrollando esta integral por el criterio de integración por partes:

Roberto Córdova Coral

245

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la integral siguiente:

Ahora reemplazando en la integral general:

Ahora desarrollando la segunda integral, por el criterio de integraciรณn por partes:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Cรณrdova Coral

246

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando en la segunda integral:

Ahora, reemplazando los valores originales de la sustitución trigonométrica en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

247

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 160

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Sustitución Triangulo notable trigonométrica

Razones trigonométricas

1 “x ” )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

248

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 161

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Sustitución Triangulo notable trigonométrica

Razones trigonométricas

“x” )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora desarrollando esta integral, por el criterio de integración por partes:

Roberto Córdova Coral

249

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la integral:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora devolviendo la integral a su forma original:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

250

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 162

Solución Utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x” )ϴ “a”

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

251

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 163

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x” )ϴ “a”

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora desarrollando la integral, por el criterio de integración por partes:

Roberto Córdova Coral

252

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando en la integral:

Ahora reemplazando la primera integral, en la integral general:

Ahora reemplazando los valores de la sustitución trigonométrica en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

253

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 164

Solución Utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x” )ϴ “2”

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

254

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 165

Solución Utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

)ϴ “1”

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

255

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

256

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 166

Solución Ordenado adecuadamente la integral:

Utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

)ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

257

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando los valores originales de la sustitución trigonométrica:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

258

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 167

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica en la integral: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x” )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora reemplazando su valor original:

Roberto Córdova Coral

259

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

260

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 168

Solución Ordenando adecuadamente en la raíz del denominador de la integral:

Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica en la integral: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“5” )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

261

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando los valores de la sustitución trigonométrica:

Roberto Córdova Coral

262

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

263

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 169

Solución Ordenando adecuadamente en la raíz de la integral:

Ahora utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“a” )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

264

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando los valores de la sustitución trigonométrica:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

265

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 170

Solución Utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

“x” )ϴ 4

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

266

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora devolviendo a su forma original:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

267

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 171

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

268

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 172

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

269

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

270

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 173

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales:

Roberto Córdova Coral

271

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Ahora tenemos:

Ahora reemplazando (iv) en (ii), para hallar “D”: Ahora reemplazando (i) en (iii), para hallar “E”: Ahora reemplazando los valores numéricos de “D” y “E” en las ecuaciones (i) y (iv):

Ahora analizando el sistema de ecuaciones (v) y (vi):

Entonces se observa que se soluciones infinitas, entonces utilizare la novena solución, de la cual tengo estos valores: Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

272

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

273

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 174

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

274

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

275

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 175

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

276

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

277

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

278

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Pero se sabe que:

Entonces:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Cรณrdova Coral

279

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

280

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 176

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

281

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

282

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

283

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

284

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Pero se sabe que:

Ahora remplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

285

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 177

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

286

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 178

Solución Utilizando el criterio de la sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

287

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

288

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 179

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

289

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

290

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 180

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

291

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

292

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 181

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

293

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 182

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

294

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Cรณrdova Coral

295

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

296

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Pero se sabe que:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Cรณrdova Coral

297

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

298

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 183

Solución Ahora utilizando el criterio de integración por sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

299

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

)ϴ

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

300

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

301

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Roberto Cรณrdova Coral

302

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando el valor de la sustitución trigonométrica:

Roberto Córdova Coral

303

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

304

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 184

Solución Utilizando el criterio de sustitución trigonométrica en la integral: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )ϴ

Ahora reemplazando en la integral

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Roberto Córdova Coral

305

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora igualando los polinomios:

Ahora analizando cada uno de las ecuaciones:

Reemplazando (vi) en (ii):

Reemplazando (vii) en (ii):

Ahora reemplazando (x) y (v) en la ecuación (iii):

Por lo tanto, tenemos estos valores numéricos: Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

306

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora reemplazando el valor de la sustitución trigonométrica:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

307

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 185

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )x

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

308

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 186

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )x

Ahora reemplazando en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Córdova Coral

309

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 187

Solución Ahora utilizando el criterio de sustitución trigonométrica: Triangulo notable

Sustitución trigonométrica

Razones trigonométricas

2z )x

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales en la integral:

Ahora igualando los numeradores:

Roberto Córdova Coral

310

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora igualando los polinomios:

Hallando el valor numérico de “C”, (iii) – (i):

-----------------Hallando el valor numérico de “A”, 3(i) – (iii): 3 -----------------Hallando el valor numérico de “D”, (iv) – (ii):

-------------------Hallando el valor numérico de “B”, 3(ii) – (iv):

-------------------

Ahora tenemos estos valores numéricos: Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

311

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

312

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 188

Soluciรณn Si se sabe que:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora utilizando el criterio de fracciones parciales:

Ahora igualando los numeradores de ambas integrales:

Roberto Cรณrdova Coral

313

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora igualando los polinomios:

Analizando la ecuación (i):

Ahora reemplazando la ecuación (vi), en (ii): Reemplazando el valor numérico de “C”, en las ecuaciones (iii), (iv) y (v):

Sumando las ecuaciones (vii) y (viii):

-----------------------------

Sumando las ecuaciones, (ix) y (x):

-------------------

Analizando estas ecuaciones:

Roberto Córdova Coral

314

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto tenemos infinitas soluciones, podemos optar por estos valores numéricos:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

315

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Ahora devolviendo a su forma original:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

316

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 189

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora utilizando el cambio de variable apropiado:

Ahora en la integral:

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

317

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Problema 190

Soluciรณn Ordenando adecuadamente la integral:

Ahora realizando un cambio de variable apropiado:

Ahora reemplazando en la integral:

Ahora desarrollando la integral por fracciones parciales:

Igualando los numeradores de los polinomios:

De la igualdad de polinomios:

De las ecuaciones, se obtiene:

Roberto Cรณrdova Coral

318

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Ahora reemplazando (v) en (iii): Ahora reemplazando el valor numérico de “A”, en las ecuaciones (iv) y (v):

Por lo tanto tengo estos valores numéricos:

Ahora reemplazando en la integral:

Roberto Córdova Coral

319

190 PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Por lo tanto:

Roberto Cรณrdova Coral

320