Las matemáticas en la Prehistoria 1ª Parte La necesidad de contar podemos presumir que va en paralelo al desarrollo de la mente humana; la elaboración de instrumentos líticos, las estrategias de caza, la repartición entre los miembros del grupo de las porciones que tocan a cada uno, puede que respetar un determinado orden de repartición en función del prestigio social (el primero, el segundo, etc...), los ciclos diarios de luz, etc...son aspectos inherentes a la vida cotidiana de los seres humanos, y por lo tanto podemos intuir que llevar una contabilidad básica de las cosas es algo que surge de manera espontánea y natural durante el Paleolítico. El registro arqueológico paleolítico ha dejado, sin embargo, algunas evidencias de una sistema de contabilidad que podemos considerar un poco más complejo; el prehistoriador o historiador matemático intenta hallar evidencias de este tipo de contabilidad buscando entre las marcas que los seres humanos han dejado de forma intencionada en determinados objetos, ya sean series repetidas de pares o tríos, marcas agrupadas de cinco en cinco, o de diez en diez, etc...es decir, se buscan aquéllas marcas que siguen un determinado patrón. Sin embargo, hay ocasiones en las que es imposible discernir si algunas marcas simples que han quedado impresas, por ejemplo en los huesos de animales, se deben al resultado casual del procesado y troceado de la carne con los filos cortantes o si por el contrario son expresiones simbólicas o contables muy básicas. Estos podrían ser los casos de la placa de Kozarnika, o los huesos de Bilzingsleben o Pech d´l Aze. La flauta neandertal de Divje Babe también implica ciertos conocimientos de matemáticas, máxime después de haber sido demostrada, contra lo que parecía en un principio, su elaboración intencionada. Otros casos que plantean dudas razonables sobre la posibilidad de algún primitivo sistema de contabilidad son las tablillas de ocre grabadas con motivos geométricos de Blombos o las cáscaras de huevo de huevo de avestruz de Howiesons Port.
Tablilla de ocre recuperada en Blombos con motivos geométricos incisos. Pero obviando todos estos posibles ejemplos que presentan dudas razonables y que serían objeto de distintos puntos de vista y confrontación, los matemáticos consideran muy interesantes las evidencias que presentan aproximadamente 30 marcas,ya que este número coincide con el ciclo del mes lunar (29,5 días) y con el ciclo natural de la menstruación femenina(aproximadamente 28 días), y por lo tanto podemos suponer que las marcas dejadas de forma deliberada podrían ser sistemas para llevar la contabilidad de estos ciclos naturales. En los próximos posts veremos algunos ejemplos que los expertos consideran las evidencias materiales más antiguas de la existencia de las matemáticas, tomando como fuente el extraordinario artículo de acceso libre "Prehistoria de la matemática y mente moderna: pensamiento matemático y recursividad en Paleolítico franco-cantábrico". Las matemáticas en la Prehistoria 2ª Parte: El hueso de lobo de Dolni Vestonice En el post anterior comentaba que los criterios en los que se basan los matemáticos para considerar las evidencias más antiguas de esta disciplina, son varios, pero creen que aquéllas evidencias materiales que presentan incisas 30 marcas aproximadamente, son las que suscitan más interés para el estudio ya que son susceptibles de significar algún sistema de contabilidad de los ciclos lunares o de la menstruación femenina. Estas pruebas materiales de sistemas de contabilidad aparecen indistintamente en África y en Europa, y adscritas a un contexto arqueológico de Homo sapiens. En este sentido destacan, como primera posible evidencia material de la existencia de las matemáticas, el hueso de lobo inciso de Dolni Vestonice, en Moravia (República Checa). El hueso, que fue encontrado junto a la conocida cabeza de mujer tallada en marfil, parece que tiene unas 55 marcas; su descubridor, Karl Absolom, interpretó erróneamente que las marcas se consideraban agrupadas de cinco en cinco y separadas por dos trazos intermedios más largos en dos series, una de 30 ( = 6x5) muescas, y otra de 25 ( = 5 x 5).
Ilustración "Prehistoria de la matemática y mente moderna: pensamiento matemático y recursividad en Paleolítico franco-cantábrico".
Posteriormente se ha demostrado que no existe esta agrupación de cinco en cinco, aún así parece bastante plausible que el hueso tallado pueda sugerir el registro contable de una serie de objetos o de algún ciclo. En la página Dons Maps, se hace referencia a un hueso tallado que presenta 24 incisiones en la fila inferior, 24 incisiones en la fila de medio y 17 incisiones en la fila superior; esto sugiere también algún tipo de registro contable. Sinceramente, me ha confundido un poco la diferencia de incisiones entre el hueso de lobo del artículo utilizado como fuente, y las que se describen en Dons Maps, por lo que si alguien sabe si se trata realmente del mismo hueso o de si son huesos distintos agradecería su colaboración y aclaración.
Fotografía: Don Hitchcock 2008
Las matemáticas en la Prehistoria 3ª parte: El alfiler, la placa de hueso y el colgante de Gorge d'Enfer
Repasando las evidencias de posibles sistemas de contabilidad del paleolítico,
encontramos la extraordinaria varilla, posiblemente un alfiler, de hueso decorada con una serie de incisiones parecidas a las del hueso de Dolni Vestonice. El posible alfiler procede de Gorge d´Enfer (Abri Lartet, Dordogne, Francia) , y tiene unos 34.000 años de antigüedad (período Auriñaciense). Esta pieza tiene una dimensión de unos 20 centímetros y es extraordinaria, ya que no hay nada parecido en todo el registro arqueológico de Europa occidental. La punta es fina y aplanada, y la pieza se vuelve redondeada hacia el centro, donde comienza la decoración con incisiones. La pieza no parece propia para ser utilizada como herramienta, parece una especie de alfiler que podría haber sido utilizado para sostener el cabello, los lados de un collar o cerrar una vestimenta ( Don Hitchcock), una especie de imperdible o aguja para el pelo quizás.
Fotografías extraídas de Dons Maps Pero además,podría tener su valor matemático, ya que "contiene muescas agrupadas en tres columnas, una frontal y dos laterales. Suponen, respectivamente (atendiendo a la separación entre las marcas de cada serie), 31 ( = 8 + 8 + 10 + 5) en la cara central, 37 ( = 9 + 2 + 8 + 3 + 4 + 5 + 8) en la columna de la derecha y 33 ( = 3 + 8 + 5 + 2 + 10 + 5) en la de la izquierda" (Francisco A. González, Manuel Martín-Loeches,Enrique Silván, 2010). También de Gorge d'Enfer,en el valle del Vézère, procede una placa de hueso comúnmente conocida como "el hueso Lartet"; al igual que el alfiler comentado anteriormente, pertenece al período Auriñaciense, y presenta incisiones en dos series transversales.
Fotografía: Dond Maps
En la primera hilera aparecen separadas 5, 6 y 5 marcas; en la otra, 4 y 6. Por tanto, y en la misma línea, habría que buscar correlaciones entre estos números, mientras que en la otra cara de la placa aparecen las marcas 6 y 4; 3, 8, 6 y 6, y las correlaciones habría que buscarlas en esta serie, pero no parece tan sencillo hallar una correlación.
En el primer post comentaba que los expertos buscaban las evidencias materiales con 30 marcas aproximadamente para considerarlas evidencias matemáticas; también buscan secuencias aritméticas especiales, concretadas en las cifras 5 y 7, y en sus múltiplos 10 y 14, así como el orden que tienen las incisiones en la pieza objeto de estudio. También se busca la reiterada aparición de incisiones seriadas en paralelo en agrupamientos basados en el 5, 7, 10 y 20 o en secuencias de 27 a 30 incisiones en series continuas. (Francisco A. González, Manuel Martín-Loeches,Enrique Silván, 2010). Es en este patrón de búsqueda de evidencia matemática donde podemos encajar el colgante aparecido también en la zona a lo que nos estamos refiriendo en este post, Gorge d'Enfer, que tiene una antigüedad de unos 30.000 años y presenta incisiones en paralelo en sus bordes (más una tercera serie frontal con pequeño número de marcas) que se interrumpen por la rotura de la pieza tanto en la cabeza de colgadura como en la parte inferior. En total, la pieza completa podría presentar unas 60 incisiones (Francisco A. González, Manuel Martín-Loeches,Enrique Silván, 2010).
Las matemáticas en la Prehistoria 4ª Parte: La placa de Blanchard y el asta de Brassempouy.
Como comentaba en el primer post de esta "mini-serie", la necesidad de contar debió surgir de manera espontánea y debido a situaciones inherentes a la vida cotidiana; una de estas situaciones pudo ser la necesidad de controlar el tiempo, y en este sentido los primeros calendarios lunares se erigen en una de las evidencias materiales que más expectación suscitan. La "Placa de Blanchard" es una buena muestra de ello; tiene una antigüedad de unos 25.000 años (Auriñaciense), y en ella se encuentran 69 marcas que han sido analizadas al
microscopio y que han llevado al investigador Alexander Marshack a considerar que las incisiones en el hueso corresponderían al paso de la luna, día a día, por sus diferentes fases durante ese período de 69 días: llena, media, creciente y nueva. El cambio en la técnica de la incisión se corresponde con las distintas fases lunares. Fue hallada en Abri Blanchard (Francia).
Otra pieza muy peculiar, y considerada por Georges Ifrah como una herramienta de cálculo aritmético, es el asta de reno grabada de Brasempoui, que tiene unos 15.000 años de antigüedad. En esta pieza se encuentran marcados 1, 3, 5, 7 y 9 trazos rectilíneos, en una disposición que han llevado a pensar a Georges Ifrah que se tarata de "una especie de "herramienta aritmética" que contiene una representación gráfica de los primeros números impares, así como una disposición que permite hallar rápidamente algunas propiedades elementales". (Francisco A. González, Manuel Martín-Loeches,Enrique Silván, 2010).
Las matemáticas en la prehistoria 5ª parte: Los huesos de Lebombo y de Ishango
Hasta ahora, hemos repasado algunas evidencias, que no todas (para más información se puede leer el artículo original utilizado como fuente principal de todos estos posts) , sobre la cultura material dejada por los cazadores recolectores del continente europeo susceptibles de ser consideradas como el origen de las matemáticas, y dando por finalizada esta pequeña serie sobre la prehistoria de las matemáticas. Llegados a este punto, toca repasar dos extraordinarias evidencias que fueron recuperadas en el continente africano: los huesos de Lebombo y de Ishango. Pero antes de comenzar hay que destacar que se trata de dos huesos de babuino; como curiosidad he leído que el uso de huesos de babuinos como dispositivos de matemáticas ha sido continuo a lo largo de toda la prehistoria e historia del continente africano, lo que sugiere que este animal ha podido estar siempre asociado a los ciclos lunares, el control
del tiempo y las matemáticas. En el antiguo Egipto, por ejemplo, el Dios Jonsu (dios lunar), ha sido representado en alguna ocasión como un babuino, o el dios Thot. Pero volviendo a lo que nos ocupa aquí, el hueso de Lebombo tiene una antigüedad de 35.000 años y fue hallado en Border Cave, en las montañas de Lebombo, entre Sudáfrica y Suazilandia. El hueso (peroné de babuino) está fracturado, pero sabemos que tiene al menos 29 marcas incisas, por lo que se podría relacionar con el ciclo lunar o menstrual femenino, es decir un instrumento para contar el tiempo de algún ciclo natural.
En la frontera entre la República Democrática del Congo y Uganda, a las orillas del Lago Edward, fue hallado el Hueso de Ishango, un peroné de babuino de 10.2 centímetros de largo con una serie de incisiones y con una pieza de cuarzo insertada en uno de sus extremos; este hueso que constituye una evidencia espectacular de herramienta matemática. Tiene más de 20.000 años de antigüedad.
Tiene 168 incisiones transversales dispuestas en diferentes agrupaciones, separadas entre sĂ, a lo largo de tres columnas.
Columna izquierda del Hueso de Ishango
Columna central del Hueso de Ishango
Columna derecha del Hueso de Ishango Jean De Heinzelin considera que se trata de un sistema de numeración de base diez. (Francisco A. González, Manuel Martín-Loeches,Enrique Silván, 2010). Tanto los números de la columna izquierda como los de la derecha son todos números impares (9, 11, 13, 17, 19 y 21). Los números de la columna izquierda son todos los números primos comprendidos entre 10 y 20, mientras que los de la columna derecha consisten en 10 + 1, 10 - 1, 20 + 1 y 20 - 1. Los números de cada una de estas columnas suman 60, y la sumatoria de los números de la columna central es 48. Ambos resultados son múltiplos de 12, lo que vuelve a sugerir la existencia de un entendimiento de la multiplicación y la división. (Wikipedia). Alexander Marshack propone que el Hueso de Ishango es la tabla de números primos más antigua de la humanidad, y que es una representación de un calendario lunar de seis meses. Claudia Zaslavsky propuso que podría tratarse del recuento de ciclos menstruales, por lo que el hueso sería obra de una mujer, preguntándose si no serían mujeres las primeras matemáticas de la historia (Francisco A. González, Manuel Martín-Loeches,Enrique Silván, 2010).