PORTAFOLIO MATEMÀTICA

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

ESCUELA DE ADMINISTRACIÒN DE EMPRESAS MARKETING NIVELACIÒN POR CARRERAS

El paralelo “A” Realizo el curso de nivelación de carrera, como un requisito indispensable para, para poder ejercer nuestra matrícula y continuar con nuestros estudios superiores, exigido por la ley de educación vigente, previa nuestra educación. Nuestra labor consistió en la asistencia hacia las clases de la materia de Matemática, en el establecimiento educativo de la Universidad Politécnica Estatal del Carchi, para poder realizar el trabajo autónomo y reforzar en dicha materia. Los alumnos del Paralelo “A” preuniversitario es el fruto del gran esfuerzo, el cumplimiento de un anhelo de ser profesionales. Es la comprobación de que tanto el aspecto intelectual como el material, no es sencillo entregar el aporte de un portafolio pero tampoco difícil. Este portafolio contiene temas acerca de la asignatura de Matemática, los mismos que han servido para ampliar nuestros conocimientos y llevarla a cabo en nuestro futuro en la facultad de Administración de Empresas y Marketing. Una tarea de estas para el estudiante está sujeta al criterio de los demás y es posible superación, sobre todo cuando hay cumplimiento, lo que se necesita decisión y una aspiración de responder frente a cualquier desafío en nuestro diario caminar, estamos propuestos a culminar nuestra última etapa de estudio y aspiramos que nuestro sacrificio no sea en vano.

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Los estudiantes del Paralelo “A” preuniversitario de la universidad Politécnica Estatal del Carchi para la realización de este trabajo se tomaron en cuenta las siguientes metas: OBJETIVO GENERAL. Reforzar los conocimientos en la asignatura de Matemática para alcanzar un nivel de aprendizaje de formación académica, mediante la nivelación por carreras. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. -Poner atención debida a las clases. -Practicar valores como respeto, responsabilidad y puntualidad. -Cuidar del establecimiento educativo. -Realizar trabajo autónomo.

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El paralelo “A” del preuniversitario hace un extenso agradecimiento a la Universidad Politécnica Estatal del Carchi por abrirnos sus puertas al estudio, para hacer realidad nuestros sueños y anhelos de ser profesionales, de igual manera al personal académico que aporta permanentemente con su trabajo para la formación de los nuevos integrantes de la sociedad como fuerza de trabajo intelectual. A nuestros padres por apoyarnos en nuestra superación ya que el deseo de ellos es vernos ejerciendo un buen trabajo. A todo el personal administrativo y de servicio ya que cada día cuidan de la Universidad Politécnica estatal del Carchi.

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ÍNDICE CAPÍTLO I LÓGICA MATEMÁTICA -Reseña Histórica………………………………………………………………………………………………………….…1 -Definición de lógica matemática……………….………………………………………………….……………….1 -Proposición……………………………………………………………………………………………………………………1 -Ejemplos de proposiciones……….……………………………………………………………………………………1 -Ejemplos de no proposiciones……………………………….……………………………………………..……….2 -Apartado…………………………………………………………………………………………………………….. ……….2 OPERADORES LÓGICOS -Negación…..…………………………………………………………………………………………… ……………….……3 -Conjunción.…………………………………………………………………………………………………………….…….4 -Disyunción..…………………………………..………………………………………………………………………………5 Ejercicios de taller…………………………………………………………………………………………………………..6 OPERADORES LÓGICOS COMPLEMENTARIOS -Condicional…..……………….……………………………………………………………………………………….…….8 -Bicondicional….…………………………………………………………………………………………………………….9 Las Tautologías………………..………………………………………………………………………………….……….10 Ejercicios de taller………………………………………………..……………………………………………………...10 Funciones proporcionales……………………………………………………………………………………………..15 CAPÍTULO II CONJUNTOS Introducción…………………… ………………………………………………………………………………….……….17 Notación de conjuntos…………………..……………….…………………………….………………………………17 Representación gráfica de conjuntos…………………………………………………………………………….19 Operaciones entre conjuntos---------…………..…………………………………………………….…….…….19 Diferencia simétrica y diferencia complemento ……………………………………………………………23 Intervalos…………………………………………………………,…………………………………………………..…..…25 Propiedades de la unión e intersección…………………………………………………………………………26 Propiedades de los conjuntos………………………………..………………………………………..……….….27 Aplicaciones………………………………………………………………………………………………………………….28 CAPÍTULO III NÚMEROS REALES Números reales introducción……………………………………………………………………………………….33 Criterios de divisibilidad de un número entero…………………………………………………………….41 Teorema fundamental de la aritmética………..………….……………………………………..……………41 Expresiones Algebraicas……………………………………………………………………………………………….46 Productos notables……………………………………………………………………………………………………...50 Factorización……………………………………………………………………………………………………………..…52 Valor absoluto………………………………………………………………………………………………………………57 Ecuaciones……………………………………………………………………………………………………………………64 Inecuaciones……………………………………………………………………………………………………………….79 Funciones de una variable real………………………………………………………………………..………..109 Función inversa………………………………………………………………………………………………………….122 Monotonía de funciones…………………………………………………………………………………………...130 Función periódica………………………………………………………………………………………………………131

CAPÍTULO I

LÓGICA MATEMÁTICA Reseña Histórica: El concepto de lógica matemática es nombre dado por Giuseppe Peano un italiano. Algunos avances hicieron:

- Leibniz inventó calculo infinitesimal). -Lambert (demostró que el número  pi era irracional). Aplicaciones en fundamentos hicieron: -George Boole: Aportaciones con el Álgebra de Boole o Álgebra Boleana (con la cual podemos definir los circuitos computacionales). -Augustos de Morgan: Principios de Morgan y conceptos de lógica matemática. En conclusión el cálculo proposicional es una rama de las Matemáticas que nos permite discernir sobre la validez o no de los razonamientos y demostraciones que se efectúan. Los conceptos de proposiciones y conectivas lógicas es el pilar en donde se sustenta el cálculo proposicional. Definición de lógica matemática: Es una parte de la matemática que nos permite deducir

algunas afirmaciones de esta ciencia en afirmaciones de veracidad o falsedad. PROPOSICIÓN: Frase u oración que le podemos dar el valor de verdadero o falso; pero no

los dos al mismo tiempo. FALSO (F) y VERDADERO (V). Ejemplos de proposiciones: -La Universidad Politécnica Estatal del Carchi no es una universidad. F -1+3=4 V -9>7 V -5(3)=21 F -Quito es capital del Ecuador. V

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Ejemplos de no proposiciones: -x+1=5 Tal cual no es una proposición. Para poder tratar como proposición a “x” debemos asignarle un valor específico. Ejemplo: x=1 de donde 1+1=5 F  

¡ adiós ¡ no es proposición ¿las naranjas son dulces? no es proposición

Proposición Simple Es aquella que consta de una sola proposición -Juan estudia. Proposición compuesta Es la unión de dos proposiciones simples -Juan estudia y Carlos duerme Dónde “y” es un conector. Apartado.- A las proposiciones las asignamos con letras minúsculas: p, q, s, etc. :: Este símbolo significa(es, significa, representa connotaciones). Ejemplo: -p:: Juan estudia. (Podemos darle un valor de verdadero o falso).

OPERADORES

Operadores lógicos

NEGACIÒN CONJUNCIÒN DISYUNCIÒN

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Negación: Sea p una proposición. Entonces la proposición ¬p se denomina negación de p. El conector ¬ se lee “no”. Por lo tanto ¬p se lee “no p”. La proposición ¬p posee valor de verdad verdadero si p es falsa y posee valor de verdad falso cuando p es verdadera.  Negación: Es un paso contrario a la proposición su símbolo es () y significa (no, no es cierto). p:: Juan no estudia. (No es cierto que Juan estudió). TABLA DE VERDAD 1=verdadero 0=falso

p

~p

~q

q

P

~p

p

~p

V

F

1

0

F

V

0

1

CIRCUITO LÓGICO

Resultado

+ p

FALSO CIERTO Foco encendido = 1 lógico, Foco apagado = 0 lógico. 3

Conjunción: Sean p y q dos proposiciones. Entonces la proposición p ∧ q se denomina conjunción de p y q. El conector ∧ se lee “y”. Por lo tanto p ∧ q se lee “p y q”. La proposición p ∧ q posee valor de verdad verdadero si y sólo si tanto p como q poseen valor de verdad verdadero. p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

CIRCUITO LÓGICO

Se lo representa con “ᴧ” y significa (y) -Juan estudia y Carlos duerme P

Pᴧq=F

q

La conjunción es verdadera siempre y cuando sus dos proposiciones anteriores sean verdaderas caso contrario es falso. -Quito capital del Ecuador y los elefantes son verdes V

F p

+

q

p ᴧq

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Disyunción: Sean p y q dos proposiciones. Entonces la proposición p ∨ q se denomina disyunción de p y q. El conector ∨ se lee “o”. Por lo tanto p ∨ q se lee “p o q”. La proposición p ∨ q posee valor de verdad falso si y solo si tanto p como q poseen valor de verdad falso simultáneamente. p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

En definitiva es un conector que sirve para enlazar dos proposiciones simples. Se la representa con “V “y significa (o).Una disyunción es falsa siempre y cuando sus dos proposiciones anteriores sean falsas caso contrario serán verdaderas. Quito es capital Ecuatoriana ó los elefantes son rojos. V

F

P = Quito es capital Ecuatoriana Q = los elefantes son rojos PVq=V

p

+

q

p Vq

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EJERCICIOS DE TALLER 1. Determinar cuáles de las siguientes frases son proposiciones a) b) c) d)

c3 + 2 = 5 x+1=4 ¡Hola! Yo estudio

si es proposición no es proposición no es proposición si es proposición

2. Sean p, q, r, s proposiciones. Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones suponiendo que “p” y “q” son verdaderas y que “r” y “s” son falsas. a) ( q V r ) ᴧ ( p V s ) (V v F) ᴧ (V v F)

(v) ᴧ (v) V b) ~ [ (~ r v s ) v ( p ᴧ ~ q ) ] ~ [(V v F) v (V ᴧ F)] ~ [(V) v (F)] ~V F c) ( p ᴧ q ) v r (V ᴧ V) v F

(V) v F V 3. Utilice una tabla de verdad para verificar en que condición una lámpara L está encendida. a) L = ~ ( A ᴧ B ) v ( B v ~A ) A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

AᴧB 0 0 0 1

~(AᴧB) 1 1 1 0

~A 1 1 0 0

( B v ~A ) 1 1 0 1

~ ( A ᴧ B ) v ( B v ~A ) 1 1 1 1 6

L está encendida en los siguientes casos: 1. 2. 3. 4.

A = 0, B = 0 A = 0, B = 1 A = 1, B = 0 A = 1, B = 1

b) L = ( A ᴧ B ) v ( ~A )

A

B 0 0 1 1

~A 0 1 0 1

(AᴧB) 1 1 0 0

L = ( A ᴧ B ) v ( ~A )

0 0 0 1

1 1 0 1

L está encendida en los siguientes casos: 1. A = 0, B = 0 2. A = 0, B = 1 3. A = 1, B = 1

OPERADORES LÒGICOS COMPLEMENTARIOS

Operadores lógicos complementarios

CONDICIONAL BICONDICIONAL

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Condicional: Sean p y q dos proposiciones. Entonces la proposición p → q se denomina condicional de p y q. El conector → se lee “Si... entonces...”. Por lo tanto p → q se lee “Si p entonces q”. La proposición p → q posee valor de verdad falso si y sólo si, p es verdadera y q es falsa. La proposición p recibe el nombre de antecedente (condición suficiente) y q recibe el nombre de consecuente (condición necesaria). Se llama conector complementario por que surge de la siguiente regla: P => = ~ p v q

CONDICIONAL Se lo representa con “=> “ = p, q son proposiciones P => q se lee “si p entonces q” ~ p P => q p q F F V V Lo deducimos F V V V V F F F V V F V

22 = (−2)2 => 2 = −2

V

F F

22 = (−2)2 => 2 ≠ −2

V

V F

TABLA DEL CONDICIONAL p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

CIRCUITO LÓGICO

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Bicondicional: Sean p y q dos proposiciones. Entonces la proposición p ↔ q se denomina bicondicional entre p y q. El conector ↔ se lee “si y sólo si”. Por lo tanto p ↔ q se lee “p si y sólo si q”. La proposición p ↔ q posee valor de verdad verdadero si y sólo si tanto p como q poseen el mismo valor de verdad. Es un operador complementario porque se deduce de:

r < = > s = (r => s) ᴧ (s =>r) BICONDICIONAL Será verdadero siempre y cuando sus dos proposiciones tengan el mismo

estado o sean iguales. Se lo representa con siguiente símbolo “<=> “ Sea r ᴧ s proposiciones r < = > s :: se lee r “ sí y solo sí “ s r < = > s = (r => s) ᴧ (s =>r) r F F V V

s F V F V

( r => s) V V F V

( s =>r) V F V V

( r => s) ᴧ ( s =>r) V F F V

TABLA DEL BICONDICIONAL r

S

r↔s

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

CIRCUITOS

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Tautologías: Son proposiciones que dan como resultado siempre valores verdaderos.

Contraejemplo: (~ p v r) ᴧ (r => s) = T Como tenemos 3 proposiciones (p,r,s).

23 = 8 opciones. p F F F F V V V V

r F F V V F F V V

s F V F V F V F V

~p V V V V F F F F

~p v r V V V V F F V V

(~p v r) ^ (r ⇒ s) V V F V F F F V

r⇒s V V F V V V F V

NO ES TAUTOLOGÍA

EJERCICIOS DE TALLER Los siguientes ejemplos planteados son teorema. Dónde p, q, r son proposiciones; probar que las siguientes proposiciones son tautologías. 1. Propiedad de idempotencia de los conectores ~, v, ᴧ a) ~ (~ p ) <=> p p

~p

~ (~ p )

~ (~ p ) <=> p

F V

V F

F V

V V

SI ES TAUTOLOGÍA

b) ( p ᴧ q ) <=> p p

q

pᴧq

( p ᴧ q ) <=> p

F F V V

F V F V

F F F V

V V F V

NO ES TAUTOLOGÍA

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c) ( p v q ) <=> p p

q

pvq

( p v q ) <=> p

F F V V

F V F V

F V V V

V V F V

NO ES TAUTOLOGÍA

2. Propiedad conmutativa de los conectores v, ᴧ a) ( p v q ) <=> ( q v p ) p

q

(Pvq)

(q v p)

( p v q ) <=> ( q v p )

F F V V

F V F V

F V V V

F V V V

V V V V

SI ES TAUTOLOGÍA

a) ( p ᴧ q ) <=> ( q ᴧ p ) p

q

(Pᴧq)

(q ᴧ p)

(p ᴧ q ) <=> ( q ᴧ p )

F F V V

F V F V

F F F V

F F F V

V V V V

SI ES TAUTOLOGÍA

3. Propiedad asociativa de los conectores v, ᴧ a) [ ( p v q ) v r ] <=> [ p v ( q v r ) ] p F F F F V V V V

q F F V V F F V V

r F V F V F V F V

(pvq) F F V V V V V V

[(pvq)vr] F V V V V V V V

(qvr) F V V V F V F V

[pv(qvr) F V V V V V V V

NO ES TAUTOLOGÍA

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b) [ ( p ᴧ q ) ᴧ r ] <=> [ p ᴧ ( q ᴧr ) ] P

q

r

(pᴧq)

[ ( p ᴧq )ᴧ r ]

(qᴧr)

[ pᴧ( q ᴧ r )]

[ ( p ᴧ q ) ᴧ r ] <=> [ p ᴧ ( q ᴧr ) ]

F F F F V V V V

F F V V F F V V

F V F V F V F V

F F F F F F V V

F F F F F F F V

F F F V F F F V

F F F F F F F V

V V V V V V V V

R= SI ES TAUTOLOGÍA 4. Propiedad distributiva de los conectores v, ᴧ a) [ p ᴧ ( q v r ) ] <=> [ ( p ᴧ q ) v ( p ᴧ r ) ] (1) P q

r

(qvr)

F F F F V V V V

F V F V F V F V

F V V V F V V V

F F V V F F V V

(2)

[pᴧ(qvr)] (pᴧq) (pᴧr)

F F F F F V V V

F F F F F F V V

F F F F F V F V

[(pᴧq)v(pᴧr)]

(1) <=> (2)

F F F F F V V V

V V V V V V V V

R= SI ES TAUTOLOGÍA

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b) [ p v ( q ᴧ r ) ] <=> [ ( p v q ) ᴧ( p v r ) ] (1) P q

r

(qᴧr)

F F F F V V V V

F V F V F V F V

F F F V F F F V

F F V V F F V V

(2)

[pv(qᴧr)] (pvq) (pvr)

F F F V V V V V

F F V V V V V V

[ ( p v q ) ᴧ( p v r ) ]

(1) <=> (2)

F F F V V V V V

V V V V V V V V

F V F V V V V V

R= SI ES TAUTOLOGÍA 5. Leyes de de Morgan para las proposiciones a) ~ ( p v q ) <=> (~ p) ᴧ (~q) p q ( p v q ) ~ ( p v q ) (~ p) F F V V

F V F V

F V V V

V F F F

V V F F

(~q) (~ p) ᴧ (~q) V F V F

~ ( p v q ) <=> (~ p) ᴧ (~q)

V F F F

V V V V

R= SI ES TAUTOLOGÍA b) (p ᴧq) <=> ~ [(~ p) v (~q)]

p q F F F V V F V V

(1) (p ᴧ q) F F F V

(~ p) V V F F

(~q)] [(~ p) v (~q) V V F V V V F F

(2) ~ [(~ p) v (~q)] F F F V

(1) <=> (2) V V V V

R= SI ES TAUTOLOGÍA

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6) Ley de la absorción a) p v (p ᴧ q) <=> p P F F V V

q F V F V

(p ᴧ q) F F F V

p v (p ᴧ q) F F V V

p v (p ᴧ q) <=>p V V V V

c) (p ᴧ q) => q P

q F F V V

(p ᴧ q) F V F V

F F F V

a) (p ᴧ q) => q V V V V

R= SI ES TAUTOLOGÍA a) (p ᴧ q) => p P

q F F V V

(p ᴧ q) F V F V

F F F V

a) (p ᴧ q) => p V V V V

R= SI ES TAUTOLOGÍA

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Funciones proporcionales: Es una oraciĂłn abierta en la cual existe o contempla una variable que puede ser x, y o z la misma que puede pasar hacer proposiciĂłn siempre y cuando a ese valor le demos un valor fijo. Ejemplo: 1.- (pďƒ™q)ďƒ›p No es tautologĂ­a. 2.- (pďƒ™p)ďƒ›p No es tautologĂ­a. 3.- (pďƒšq)ďƒ›p No es tautologĂ­a. 4.- (pďƒ™p)ďƒ›p No es tautologĂ­a. Px, Ox, Qx‌‌‌‌‌‌ Es una oraciĂłn abierta en ella se contempla una variable sea esta x, y, z la misma que puede pasar a ser una proposiciĂłn siempre y cuando a esa variable le demos un valor fijo. A una funciĂłn proporcional no se le puede dar de entrada el sentido de verdadero o falso.

1

Px:: đ?‘Ľ + 3 = 3

FunciĂłn proporcional.

Sea x=15 1 3

Entonces 15+3= 1

18=3 FALSO Cuantificadores.- Son aquellos sĂ­mbolos matemĂĄticos que nos permiten a una funciĂłn proporcional convertirla en proposiciĂłn.

 (Existe) ∀ (Para todo) đ?&#x;?

Px :: x + 3 = đ?&#x;‘ Sea x = 15 1

:: 13 + 3 = 3 18 =

1 3

F Nota: A una funciĂłn proporcional no se le puede dar de entrada el sentido de verdadero o falso. 15



É„x∈R se cumple que đ?‘Ľ 0 = 1

Se lee “para todo x elemento de los nĂşmeros reales se cumple que đ?‘Ľ 0 = 1 

É„x∈R - se cumple que đ?‘Ľ đ?‘› = ∈R + dĂłnde n es cualquier # par

“podemos utilizar otras formas de expresarloâ€? (É„x∈R -) (đ?‘Ľ đ?‘› ∈R +) ( n cualquier # par)     

É„ ciudadano Ecuatoriano ∃ derecho a la educaciĂłn de calidad. É„x∈R se cumple que đ?‘Ľ1 = x É„x∈R: x.1 = x É„ triĂĄngulo acutĂĄngulo sus âˆĄ serĂĄn < 90° É„x∈R se cumple que đ?‘Ľ đ?‘› = y dĂłnde y∈R. Siendo n∈R

É„x∈R se cumple que đ?‘Ľ đ?‘› = y / y.n∈R      

Para todo vendedor ambulante es obligatorio obtener un certificado de autorizaciĂłn de venta. É„x: đ?‘Ľ −đ?‘› = 1/đ?‘Ľ đ?‘› Para toda provincia existe una capital. Para toda persona natural o jurĂ­dica que posee un RUC declara impuestos. (É„x∈R) (đ?‘›đ?‘› ≼ 0) (n∈R par) É„ niĂąo ecuatoriano reciĂŠn nacido es obligatorio su inscripciĂłn en el registro civil.

  

Ʉ√đ?‘Ľ ∈R se cumple que √đ?‘Ľ= y∈R É„x∈R: đ?‘Ľ đ?‘› . đ?‘Ľ đ?‘› = đ?‘Ľ đ?‘›+đ?‘› Para todo paĂ­s de AmĂŠrica existe un presidente.

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CAPĂ?TULO II CONJUNTOS CONJUNTOS: Es una nociĂłn abstracta que no se la puede definir, como una agrupaciĂłn de

elementos. Ejemplo: Para definir un conjunto lo definimos con letras mayĂşsculas: A, B, C, D, E, F.

A Pablo MarĂ­a JosĂŠ Antonio

Existe elementos: Pablo, MarĂ­a, JosĂŠ, Antonio; con letras minĂşsculas. SĂ­mboloďƒŽ pertenencia y sĂ­mbolo de no pertenenciaďƒ?. Pablo ďƒŽal conjunto A, pero Tatianaďƒ?al conjunto A. Se puede sacar un elemento utilizando un sĂ­mbolo a la vez, pero no los dos al mismo tiempoďƒŽ,ďƒ?Ejemplo: JosĂŠ ďƒ?al conjunto A y JosĂŠ ďƒŽ al conjunto A. Esto es errĂłneo. NOTACIĂ“N DE CONJUNTOS

Describimos a los conjuntos por enumeraciĂłn y tabulaciĂłn. 1.- TabulaciĂłn: Mediante enumeraciĂłn, inventario, extensiĂłn. đ??´ = {đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘œ, đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;Ă­đ?‘Ž, đ??˝đ?‘œđ?‘ ĂŠ, đ??´đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘–đ?‘œ} đ??´ = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘œ, đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;Ă­đ?‘Ž, đ??˝đ?‘œđ?‘ ĂŠ, đ??´đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘–đ?‘œ} đ??´ = {đ?‘Ž, đ?‘’, đ?‘–, đ?‘œ, đ?‘˘} 2.- ComprensiĂłn: Describe al conjunto de una forma precisa sin ambigĂźedades. đ??´ = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ đ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘Łđ?‘œđ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ } đ??´ = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Łđ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;}

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𝐴 = {𝑥|𝑥𝑁} EJEMPLOS -Los siguientes conjuntos están expresados por comprensión, denótelos por tabulación y en caso de existir un error cite su causa. 1.-𝐀 = {𝐱|𝐱𝐍𝟒 < 𝐱 < 𝟗} 𝐴 = {5, 6, 7, 8} 2.-𝐁 = {𝐱|𝐱𝐐𝟎𝐱𝟏} 𝐵 = {0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 … … … … . .1} 3.- 𝐂 = {𝐱|𝐱𝐑𝟎𝐲𝟏} 𝐶 = {0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 … … … … . .1} 4.-𝐃 = {𝐱|𝐱𝐑 − 𝟐𝐱𝟐} 𝐷 = {−2; 1.9; 1.8; 1.7; … … … … . .2} 5.-𝐄 = {𝐱|𝐱𝐙 − 𝟓𝐱𝟑} 𝐸 = {−5; −4; −3; −2; … … … … . .3} 𝟏

6.-𝐅 = {𝐱|𝐱𝐐 − 𝟑 𝐱𝟒} 1 1 1 F = {− ; − ; − 0 … … … … . .3.9999999} 4 5 6 7.- 𝐆 = {(𝐱, 𝐲)𝐑𝟐 |𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 ≤ 𝐲 ≥ 𝐱} 8.- 𝐇 = {𝐳|𝐳 𝐩𝐫𝐨𝐯𝐢𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐧𝐚𝐬 𝐑𝐞𝐠𝐢ó𝐧 𝐈𝐧𝐬𝐮𝐥𝐚𝐫} 2) Sea el conjunto 𝐴 = {1, {2}, 3, {1,2}} ¿Cuáles afirmaciones son verdaderas? a) b) c) d) e) f)

1∈𝐴=v 2∈𝐴=f {1} ∈ 𝐴 = f {1,2} ∈ 𝐴 = v 3∈𝐴=v {2} ∈ 𝐴 = v 18

g) h) i) j)

{1} ∉ đ??´ = v {2} ∉ đ??´ = f {1,2} ∉ đ??´ = f 3∉đ??´=f

REPRESENTACIÓN GRà FICA DE CONJUNTOS Se lo hace por diagramas de ven- Euler 

Diagramas de Ven

Sirve para representar grĂĄficamente mĂĄs no me denota, es decir no conceptualiza a

c

a

b d e

b d

c

a b c d e e

Nos conceptualiza Ej. A={x/x las primeras 5 letras del abecedario} Operaciones entre conjuntos 

Conjunto universal: Es todo lo que abarca los demĂĄs conjuntos. Es aquel que abarca a otros.

IntersecciĂłn de conjuntos đ??´ ∊ đ??ľ = {đ?‘Ľđ?œ–đ?‘ˆ/đ?‘Ľđ?œ–đ??´ đ?‘Ś đ?‘Ľđ?œ–đ??ľ}

đ??´ ∊ đ??ľ = {đ?‘Ľđ?œ–đ?‘ˆ/đ?‘Ľđ?œ–đ??´ đ?‘Ś đ?‘Ľđ?œ–đ??ľ}

đ??´âˆŠđ??ľ ≠0

đ??´âˆŠđ??ľ =đ??ľ

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UniĂłn de conjuntos đ??´ ∊ đ??ľ = {đ?‘Ľđ?œ–đ?‘ˆ: đ?‘Ľđ?œ–đ??´ âˆŞ đ?‘Ľđ?œ–đ??ľ} đ??´đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Łđ?‘–đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Žđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’: (đ?‘Ľđ?œ– đ??´ âˆŞ đ??ľ) ⇔ (đ?‘Ľđ?œ–đ??´ âˆŞ đ?‘Ľđ?œ–đ??ľ)

Ejercicios 1) Sean đ?‘¨ = {đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„, đ?’…}, đ?‘Š = {đ?’…, đ?’†, đ?’‡, đ?’‚}; entonces đ?‘¨ ∊ đ?‘Š es igual a: (representa la respuesta en notaciĂłn de conjunto y por diagrama de Ven – Euler. đ?‘¨ ∊ đ?‘Š = {đ?’‚, đ?’…}

2) Sea đ?‘¨ = {đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„, đ?’…}, đ?‘Š = {đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’}, la intersecciĂłn de đ?‘¨ ∊ đ?‘Š es:

đ?‘¨âˆŠđ?‘Š=∅ Conjuntos distintos. 3) Sean đ?‘¨ = {đ?’™đ???â„?â „đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;’ = đ?&#x;Ž} y đ?‘Š = đ?’™đ???â„?â „|đ?’™|đ?&#x;‘ = đ?&#x;– (đ?’™ − đ?&#x;?)(đ?’™ − đ?&#x;?) = đ?&#x;Ž đ?’™=đ?&#x;?

|đ?’™|đ?&#x;‘ = đ?&#x;– |đ?’™| = đ?&#x;‘√đ?&#x;– đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;?; đ?’™đ?&#x;? = −đ?&#x;? 20

𝑨 = {𝟐} 𝑩 = {𝟐, −𝟐} 𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟐, −𝟐}

4) Sean 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}, 𝑩 = {𝟒, 𝟓, 𝟔}. Entonces representa la operación 𝑨 ∪ 𝑩. 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}

5) Si 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄}, 𝑩 = {{𝒂}, {𝒃}, 𝒄, 𝒅}; entonces 𝑨 ∪ 𝑩 es: 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒂, {𝒂}, {𝒃}, 𝒄, 𝒅}

6) 𝑨 = {𝒙𝝐ℝ⁄𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝟎} 𝒚 𝑩 = {𝒙𝝐ℝ⁄𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎} 𝒙=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 21

𝒙=

−(𝟏) ± √(𝟏)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟏) −𝟏 ± √𝟏 − 𝟒 = =𝕀 𝟐(𝟏) 𝟐

𝒙(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝟎 𝑨 = {𝟎} 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝟒 𝒙𝟐 = 𝟏 𝑩 = {𝟏, 𝟒} 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟎, 𝟏, 𝟒}

7) Sea 𝑨 = ℤ, 𝑩 = {𝒙𝝐ℤ⁄𝒙 = 𝟐𝒏}. La unión de A y B es:

𝑨∪𝑩=ℤ

22

Diferencia SimĂŠtrica Diferencia – complemento đ?‘¨ − đ?‘Š = {đ?’™đ???đ?‘źâ „đ?’™đ???đ?‘¨ ∧ đ?’™ ∉ đ?‘¨} → đ?’…đ?’Šđ?’‡đ?’†đ?’“đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚ Ě… = đ?‘¨đ?’„ = đ?‘ź − đ?‘¨ = {đ?’™/đ?’™đ???đ?‘ź đ?’š đ?’™ ∉ đ?‘¨} đ?‘¨ Diferencia

Complemento

đ?‘¨ â–ł đ?‘Š = {đ?’™ ∈ đ?‘źâ „đ?’™ ∈ (đ?‘¨ − đ?‘Š) âˆŞ (đ?‘Š − đ?‘¨)}

23

Aplicaciones 1. Exprese los conjuntos que se indican, empleando âˆŞ,∊, ⊂, −,â–ł. Tome en cuenta solo la parte sombreada.

đ?‘¨âˆŠđ?‘ŠâˆŠđ?‘Ş Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘¨ ∊ đ?‘Š ∊ đ?‘Ş = đ?‘ź − (đ?‘¨ ∊ đ?‘Š ∊ đ?‘Ş) = đ?‘Şđ?‘ź đ?‘¨ ∊ đ?‘Š ∊ đ?‘Ş

(đ?‘¨ − đ?‘Š) âˆŞ (đ?‘Ş âˆ’ đ?‘Š)

24

INTERVALOS a) Intervalos Abiertos ]a, b[

“significa q no estĂĄ incluidoâ€?

b) Intervalos Cerrados [a, b]

“significa que estĂĄ incluidoâ€?

c) Intervalos Semiabiertos ďƒ˜ ]a, b]

ďƒ˜ [a, b{

COMO REPRESENTAR UN INTERVALO đ?’‚≤đ?’™â‰¤đ?’ƒ

-

đ?’‚<đ?’™â‰¤đ?’ƒ

o tambiĂŠn đ?’™ ≤ đ?’‚ ∨ đ?’™ ≤ đ?’ƒ

o tambiĂŠn đ?’™ ≤ đ?’‚ ∨ đ?’™ < đ?’ƒ

25

đ?’‚≤đ?’™<đ?’ƒ

-

đ?’‚<đ?’™<đ?’ƒ

-

o tambiĂŠn đ?’™ ≼ đ?’‚ ∨ đ?’™ < đ?’ƒ

o tambiĂŠn đ?’™ > đ?’‚ ∨ đ?’™ < đ?’ƒ

SĂ­mbolos LĂłgico ≥ Conjunto ∨ ≥ âˆŞ

∧ ≥ ∊

PROPIEDADES DE LA âˆŞ e ∊ ⊂ ≥ đ?’”đ?’–đ?’ƒđ?’„đ?’?đ?’?đ?’‹đ?’–đ?’?đ?’•đ?’?

Todo conjunto es a su vez subconjunto del mismo conjunto

A⊂A A⊂U U⊂U Siendo A, B Y C conjuntos cualquiera. Entonces se cumple que: 1. đ?‘¨ ⊂ đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š 2. đ?‘¨ ⊂ đ?‘Š â&#x;ş đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š = đ?‘Š 3. đ?‘¨ ∊ đ?‘Š ⊂ đ?‘¨ 4. i) đ?‘¨ âˆŞ ∅ = đ?‘¨

ii) đ?‘¨ ∊ ∅ = ∅

5. i) đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š = đ?‘Š âˆŞ đ?‘¨

ii) đ?‘¨ ∊ đ?‘Š = đ?‘Š ∊ đ?‘¨

6. i)(đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š)đ?‘Ş = đ?‘¨ âˆŞ (đ?‘Š âˆŞ đ?‘Ş)

ii) đ?‘¨ ∊ đ?‘Š ∊ đ?‘Ş = đ?‘¨ ∊ (đ?‘Š ∊ đ?‘Ş) 26

7. 𝑨 ∩ 𝑩 ⊂ 𝑨 ∪ 𝑩 8. i) 𝑨 ∪ 𝑩(𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪) ii) 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪)

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS -

Diferencia de conjuntos 1. 𝐴 − 𝐵 ⊂ 𝐴 2. (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐵 = ∅ 3. 𝐴 − 𝐴 = ∅ 4. 𝐴 − ∅ = 𝐴

-

Propiedad de la ∪,∩ y la – de conjuntos 1. 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵̅ 2. 𝐴 ∩ 𝐵 − ∅ ⇒ 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 3. (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶

Leyes de Morgan

4. (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶 5. 𝐴̿ = 𝐴 6. 𝐴 ∪ 𝐴 =∪ 7. 𝐴 ∩ 𝐴̅ = ∅ ̅ = 𝑈𝑦 𝑈 ̅=∅ 8. ∅ -

Propiedades de Diferencia Simétrica 1. 𝐴𝑪 ∆𝐵𝑪 = 𝐴∆𝐵 2. 𝐴∆(𝐵∆𝐶) = (𝐴∆𝐵)∆𝐶 3. 𝐴∆𝐵 = ∅ ⟺ 𝐴 = 𝐵

27

Aplicaciones 1.-Exprese los conjuntos que se indican, empleando âˆŞ,∊, ⊂, −,â–ł. Tome en cuenta solo la parte sombreada.

đ??´âˆŠđ??ľâˆŠđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ś = đ?‘ˆ − (đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ś) = đ??śđ?‘ˆ đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ś

(đ??´ − đ??ľ) âˆŞ (đ??ś − đ??ľ)

2. Sea đ??´ = {4,6,8,10,12}, đ??ľ = {3,5,7,9}, đ??ś = {4,7,5,11} Halle: a) đ??´ âˆŞ (đ??ľ âˆŞ đ??ś) đ??ľ âˆŞ đ??ś = {3,4,5,7,9,11} đ??´ âˆŞ (đ??ľ âˆŞ đ??ś) = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} b) (đ??´ ∊ đ??ś) âˆŞ đ??ľ đ??´ ∊ đ??ś = {4} (đ??´ ∊ đ??ś) âˆŞ đ??ľ = {3,4,5,7,9} 28

c) (đ??´ − đ??ľ) ∊ (đ??ľ − đ??ś) (đ??´ − đ??ľ) = {4,6,8,10,12} (đ??ľ − đ??ś) = {3,9} (đ??´ − đ??ľ) ∊ (đ??ľ − đ??ś) = {∅} 3. Siendo đ?‘ˆ = {đ?‘Ľ ∕ đ?‘Ľ ∈ â„? ∧ −6 ≤ đ?‘Ľ < 8} đ??´ = {đ?‘Ľ ∕ đ?‘Ľ ∈ â„? ∧ (đ?‘Ľ ≤ 0 ∨ đ?‘Ľ > 2} đ??ľ = {đ?‘Ľ ∕ đ?‘Ľ ∈ â„? ∧ (đ?‘Ľ/3 > −1) â‹€(đ?‘Ľ < 5} Determinar: đ??´âˆŠđ??ľ đ??´âŠ‚ − đ??ľ ⊂ (đ??´ âˆŞ đ??ľ)⊂ đ??´âˆŠđ??ľ =

đ??´ ∊ đ??ľ = [−6,0] âˆŞ [2,8[ âˆŞ [0,2[ đ??´ ∊ đ??ľ = [−6,2] (đ??´ âˆŞ đ??ľ)⊂ =]2,8[ đ??´âŠ‚ − đ??ľ ⊂ =] − 3, −6[

4. Mediante utilizaciĂłn de diagramas de Ven adjunto determine por medio de un rayado, los siguientes conjuntos. a) (đ??´ ∊ đ??ľ) âˆŞ đ??ś b) đ??´ âˆŞ (đ??ľ ∊ đ??ś , ) c) (đ??´ ∊ đ??ľ) ∊ đ??ś , d) (đ??´ âˆŞ đ??ľ)∆(đ??´ âˆŞ đ??ś) e) đ??ś , ∊ (đ??´âˆ†đ??ľ) 29

a)

b)

c)

d)

30

e)

5. Determinar los elementos de A y B sabiendo que: đ??´âˆ†đ??ľ = {1,2,3,4,5} đ??śđ?‘ˆ đ??ľ = {1,4,7} đ??śđ?‘ˆ đ??´ = {2,3,5,7} đ?‘ˆ = {1,2,3,4,5,6,7,8}

đ??ľ = {2,3,4,5,8} đ??´ = {1,4,6,8} 6. En el siguiente diagrama adjunto. ÂżCuĂĄles de las siguientes expresiones representa a la parte sombreada? A) a) [(đ??ś − đ??´) âˆŞ (đ??ś − đ??ľ)] âˆŞ [(đ??´ ∊ đ??ľ) − đ??ś] b) [đ??ś − (đ??´ ∊ đ??ľ)] âˆŞ [(đ??´ ∊ đ??ľ) − đ??ś] c) [(đ??ľ − đ??´) âˆŞ (đ??´ − đ??ľ)] ∊ đ??ś

a) [(đ??ś − đ??´) âˆŞ (đ??ś − đ??ľ)] âˆŞ [(đ??´ ∊ đ??ľ) − đ??ś]

31

B)

32

CAPĂ?TULO III NĂšMEROS REALES

En la India surgió el primer concepto de numeración, el cual se extendió por medio de los årabes. Ι

â„?

ℚ ℤ

ℕ=1,2,3....+∞

â„š´

Escriba aquĂ­ la ecuaciĂłn.

ℤ=0,-1,-2,-3....∞

â„? = Reales â„š=Racionales

Complejos đ?•€ = Imaginarios

â„š´ =Irracionales NĂşmeros Racionalesâ„š; Es todo aquel nĂşmero que puede ser expresado mediante la divisiĂłn de dos nĂşmeros enteros. đ?&#x;’=

đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;Ž −đ?&#x;?đ?&#x;’ = ;đ?&#x;Ž ; −đ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?, đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;– −đ?&#x;?

NĂşmeros Irracionales Imaginariosđ?š°; Es todo aquel nĂşmero que no puede ser expresado mediante la divisiĂłn de 2 nĂşmeros enteros. đ??… = đ?&#x;‘, đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;—đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;’ ‌ ‌ .. đ??…, â„Ž, √đ?&#x;?

â„Ž = đ?&#x;?, đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;– ‌ ‌ √đ?&#x;? = đ?&#x;?, đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;? ‌.

No tienen una secuencia, ya q van cambiando continuamente

33

REGLAS PARA TRANSFORMAR DECIMALES A FRACCIÓN 1° Periódico puro a fracción 𝟑

𝟏

𝟗

𝟑

̅ ⟶ =  𝟎, 𝟑

𝟒𝟖𝟖

𝟒, ̅​̅​̅​̅ 𝟖𝟖 =

𝟗𝟗

−𝟒

Parte entera 𝟐𝟗𝟕−𝟐𝟗

̅​̅​̅​̅ = 𝟐, 𝟗𝟕

̅​̅​̅​̅​̅​̅ = 𝟏𝟓, 𝟏𝟏𝟑

̅=  𝟑, 𝟏

𝟗𝟎

𝟗𝟗𝟗

𝟗

̅​̅​̅​̅ = 𝟕, 𝟐𝟑

𝟕, ̅​̅​̅​̅ 𝟐𝟑 =

𝟐𝟔𝟖 𝟗𝟎

𝟏𝟓𝟏𝟏𝟑−𝟏𝟓

𝟑𝟗−𝟑

=

=

=

𝟏𝟓𝟎𝟗𝟖 𝟗𝟗𝟗

𝟐𝟖 𝟗

𝟕𝟐𝟑−𝟕 𝟗𝟗𝟗

𝟕𝟑𝟕−𝟕 𝟗𝟗

1. Decimal exacto a Fracción

 𝟒, 𝟗𝟕𝟖 ⟶

𝟒𝟗𝟕𝟖 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟒𝟏𝟎𝟖

𝟒, 𝟏𝟎𝟖 =

𝟑, 𝟗𝟕𝟗𝟏𝟏𝟏𝟒 =

𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟖 =

𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟗𝟕𝟗𝟏𝟏𝟏𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟕𝟖 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

34

2° Regla (# Decimal mixto a FracciĂłn) 

Ě…đ?&#x;— Ě… = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;–đ?&#x;—−đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;— = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;– đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž

đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž

Colocamos el mismo nĂşmero, pero sin la coma menos la parte entera seguida del # q no se repite dividido para tantos 9 como cifras tenga el # q no se repite.

Ě… = đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;“−đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;– = đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;•  đ?&#x;‘, đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;“ đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž=



Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?&#x;”, đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;“đ?&#x;‘



Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;‘

đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž

đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;‘−đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;— đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;‘−đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;? đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž

=

đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž

TEMARIO d) RepresentaciĂłn grĂĄfica de los nĂşmeros â„š´ e) Operaciones Binarias f) Operaciones entre nĂşmeros reales g) RelaciĂłn de orden h) Conceptos asociados al conjunto de los nĂşmeros reales i) Expresiones algebraicas

35

TRIANGULOS ISOCELES REPRESENTACIÓN GRÁFICA NÚMEROS Q`

Valor H = 2 = 1,414213562373095 1

H

1

H = altura 2

2

h = 3 = 1,732050807568877

2

2

a = arista U = 2u 3

a=

2 = 1,259921049884873…

36

l = ď ¨ = 3,141592653589793‌

d

l

1. Operaciones Binarias DefiniciĂłn: đ?‘ş = {đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„, ‌ }, la operaciĂłn * es una operaciĂłn binara si y solo si a cada par ordenado (đ?’‚, đ?’ƒ)đ???â„? đ?‘ş Ă— đ?‘ş, donde đ?’‚đ???đ?‘ş đ?’š đ?’ƒđ???đ?‘ş, le corresponde un elemento Ăşnico đ?’‚ ∗ đ?’ƒ = đ???đ?‘ş corresponde un elemento Ăşnico đ?’‚ ∗ đ?’ƒđ???đ?‘ş Considerando como funciĂłn, la expresarĂ­a asĂ­. * De nota cualquier operaciĂłn ∗: đ?‘ş Ă— đ?‘ş → đ?‘ş 2. Operaciones ente nĂşmeros reales. Propiedades de una operaciĂłn binaria

∀đ?’‚, đ?’ƒđ???đ?‘ş, đ?’‚ ∗ đ?’ƒđ???đ?‘ş ∀đ?’‚, đ?’ƒđ???đ?‘ş, đ?’‚ ∗ đ?’ƒ = đ?’ƒ ∗ đ?’‚ ∀đ?’‚, đ?’ƒđ???đ?‘ş, đ?’‚ ∗ (đ?’ƒ ∗ đ?’„) = (đ?’‚ ∗ đ?’ƒ) ∗ đ?’„ ∃ đ?’?đ???đ?‘ş ∀đ?’‚đ???đ?‘ş, đ?’‚ ∗ đ?’? = đ?’? ∗ đ?’‚ = đ?’‚ Ěƒđ???đ?‘ş, đ?’‚ ∗ đ?’‚ Ěƒ=đ?’‚ Ěƒâˆ—đ?’‚=đ?’? 5. ∀đ?’‚đ???đ?‘ş ∃đ?’‚ 6. ∀đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„ đ???đ?‘ş, đ?’‚ ∗ (đ?’ƒ#đ?’„) = (đ?’‚ ∗ đ?’ƒ)#(đ?’‚ ∗ đ?’„) 1. 2. 3. 4.

Se define: đ?‘ş = {∆, ∎, đ??Ž}, y la operaciĂłn * sobre S mostrada en la siguiente tabla. ∗

∆ ∎ đ??Ž

∆

∆ ∎ đ??Ž

∎ đ??Ž

∆ ∎

O ∎ O

∆

∆ ∗ ∆= ∆đ?œ–đ?‘† ∆ ∗ ∎ = ∎đ?œ–đ?‘† 37

∆ ∗ O = O𝜖𝑆 ∎ ∗ ∆= O𝜖𝑆 ∎ ∗ ∎ = ∆𝜖𝑆 ∎ ∗ O = ∎𝜖𝑆 O ∗ ∆= ∎𝜖𝑆 O ∗ ∎ = O𝜖𝑆 O ∗ O = ∆𝜖𝑆 Operaciones entre números reales ℝ.  Adicción → +  Multiplicación → ∙ Propiedades de adicción. 1. ∀𝒂𝝐ℝ ∀𝒃𝝐ℝ (𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂) 2. ∀𝒂𝝐ℝ ∀𝒃𝝐ℝ ∀𝒄𝝐ℝ (𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄) 3. ∃𝟎𝝐ℝ ∀𝒂𝝐ℝ (𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂) 4. ∀𝒂𝝐ℝ ∃𝒃𝝐ℝ (𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 = 𝟎) Propiedades de la multiplicación. 1. ∀𝒂𝝐ℝ ∀𝒃𝝐ℝ (𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂) 2. ∀𝒂𝝐ℝ ∀𝒃𝝐ℝ ∀𝒄𝝐ℝ (𝒂 ∙ (𝒃 ∙ 𝒄) = (𝒂 ∙ 𝒃) ∙ 𝒄) 3. ∃𝟏𝝐ℝ ∀𝒂𝝐ℝ (𝒂 ∙ 𝟏 = 𝟏 ∙ 𝒂 = 𝒂) 4. ∀(𝒂𝝐ℝ^~(𝒂 = 𝟎) ∃𝒃𝝐ℝ (𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 = 𝟏)

Propiedad distintiva {∀𝒂, 𝒃, 𝒄𝝐ℝ, (𝒂 ∙ 𝒃) + 𝒄 = (𝒂 ∙ 𝒄) + (𝒃 ∙ 𝒄)} Dominio de las variables

38

𝟏 𝟏 𝒙+𝒙 𝟏 𝟏 𝒙−𝒙

→ 𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒊𝒆𝒓𝒐 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝑫𝒖 = 𝒙 ≠ 𝟎

→ 𝑫𝒖 = 𝒙 ≠ 𝟎; 𝒙 ≠ −𝟏

Relación de orden Símbolos: >, <, ≥, ≤

a<b b>a b<a b=0

3. Relación de orden Propiedades de la relación de orden.

∀𝒂, 𝒃𝝐ℝ[(𝒂 > 𝒃) ∪ (𝒂 = 𝒃) ∪ (𝒂 < 𝒃)] → 𝑻𝒓𝒊𝒄𝒐𝒕𝒐𝒎𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔. ∀𝒂𝝐ℝ(𝒂 ≤ 𝒂) ∀𝒂, 𝒃𝝐ℝ[(𝒂 ≤ 𝒃) ∧ (𝒃 ≤ 𝒄)] ⟹ (𝒂 ≤ 𝒄) ∀𝒂, 𝒃𝝐ℝ[(𝒂 ≤ 𝒃) ∧ (𝒃 ≤ 𝒂)] ⟹ (𝒂 = 𝒄) ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 𝝐ℝ(𝒂 ≤ 𝒃) ⟹ [(𝒂 + 𝒄) ≤ (𝒃 + 𝒄)] ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 𝝐ℝ[(𝒂 ≤ 𝒃) ∧ (𝒄 > 𝟎)] ⟹ (𝒂𝒄 ≤ 𝒃𝒄)] 39

∀đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„ đ???â„?[(đ?’‚ ≤ đ?’ƒ) ∧ (đ?’„ < đ?&#x;Ž)] â&#x;š (đ?’‚đ?’„ ≼ đ?’ƒđ?’„)] (đ?’‚đ?’ƒ = đ?&#x;Ž) â&#x;ş [(đ?’‚ = đ?&#x;Ž) âˆŞ (đ?’ƒ = đ?&#x;Ž)] ∀đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„ đ???â„?, đ?’ƒ ≠đ?&#x;Ž[(đ?’‚đ?’ƒ = đ?’ƒđ?’„) â&#x;ş (đ?’‚ = đ?’„)] ∀đ?’‚, đ?’ƒ đ???â„?(đ?’‚đ?’ƒ > đ?&#x;Ž) â&#x;ş [(đ?’‚ > đ?&#x;Ž ∧ đ?’ƒ >) âˆŞ (đ?’‚ < đ?&#x;Ž ∧ đ?’ƒ < đ?&#x;Ž)] ∀đ?’‚, đ?’ƒ đ???â„?(đ?’‚đ?’ƒ < đ?&#x;Ž) â&#x;ş [(đ?’‚ < đ?&#x;Ž ∧ đ?’ƒ >) âˆŞ (đ?’‚ > đ?&#x;Ž ∧ đ?’ƒ < đ?&#x;Ž)] ∀đ?’‚ đ???â„?(đ?’‚đ?&#x;? > đ?&#x;Ž) â&#x;ş (đ?’‚ ≠đ?&#x;Ž) đ?&#x;?

∀đ?’‚ đ???â„?(đ?’‚ > đ?&#x;Ž) â&#x;ş (đ?’‚ > đ?&#x;Ž) đ?&#x;?

∀đ?’‚ đ???â„?(đ?’‚ < đ?&#x;Ž) â&#x;ş (đ?’‚ < đ?&#x;Ž)

4. Conceptos asociados al conjunto de los nĂşmeros reales

Divisores o factores 

Sea đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„ đ??? ℤ ⇒ đ?’‚ − đ?’ƒ = đ?’„

Dónde: ab → Factores o divisores. c → números de productos Números divisibles para a y b. 

Sea đ?’‘ > đ?&#x;?, đ?’‘đ???ℤ

⇒ đ?’†đ?’” đ?’–đ?’? đ?’?đ?’–đ?’Žđ?’†đ?’“đ?’? đ?’‘đ?’“đ?’Šđ?’Žđ?’? đ?’‘ â&#x;ş đ?’‘ đ?’†đ?’” đ?’…đ?’Šđ?’—đ?’Šđ?’”đ?’Šđ?’ƒđ?’?đ?’† đ?’‘đ?’‚đ?’“đ?’‚ đ?’‘ đ?’š đ?’‘đ?’‚đ?’“đ?’‚ đ?&#x;?. {đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, đ?&#x;“, đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;‘, đ?&#x;?đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;—, đ?&#x;?đ?&#x;‘, đ?&#x;?đ?&#x;—, đ?&#x;‘đ?&#x;?, đ?&#x;‘đ?&#x;•, đ?&#x;’đ?&#x;?, đ?&#x;’đ?&#x;‘, đ?&#x;’đ?&#x;•, đ?&#x;“đ?&#x;?, đ?&#x;“đ?&#x;‘, đ?&#x;“đ?&#x;•, đ?&#x;“đ?&#x;—, đ?&#x;”đ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;•, đ?&#x;•đ?&#x;?, đ?&#x;•đ?&#x;‘, đ?&#x;•đ?&#x;—, đ?&#x;–đ?&#x;‘, đ?&#x;—đ?&#x;?}

Criterios de divisibilidad de un nĂşmero entero Divisibilidad para 2: si el nĂşmero termina en cero o cifra par Divisibilidad para 3: si la suma de sus cifras es mĂşltiplo de 3

40

Divisibilidad para 4: si sus 2 Ăşltimas cifras son 2 ceros o mĂşltiplos de 4 Divisibilidad para 5:si termina en cero o en cinco Divisibilidad para 6: si es divisible para 2 y para 3 a la vez Divisibilidad para 8: si sus tres Ăşltimas cifras son ceros o mĂşltiplos de 8 Divisibilidad para 9: si la suma de sus cifras es mĂşltiplo de 9 Divisibilidad para 10: si termina en cero

Ejemplos: đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;? ;

đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?

=đ?&#x;“;

đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;– ;

đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;“

=đ?&#x;?;

đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;“

= đ?&#x;?đ?&#x;Ž ;

đ?&#x;“đ?&#x;“ đ?&#x;“

= đ?&#x;?đ?&#x;?

Un nĂşmero compuesto ⇔ no es nĂşmero primo. → Todo nĂşmero compuesto es > 1. Teorema fundamental de la aritmĂŠtica đ?‘ťđ?’?đ?’…đ?’? # đ?’„đ?’?đ?’Žđ?’‘đ?’–đ?’†đ?’”đ?’•đ?’? â&#x;ś đ?’†đ?’?# đ?’‘đ?’“đ?’Šđ?’Žđ?’?đ?’” Es decir que todo nĂşmero compuesto se descompone en nĂşmeros primos. Ejemplo del Teorema 108 2

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;– = đ?&#x;?. đ?&#x;?. đ?&#x;‘. đ?&#x;‘. đ?&#x;‘

54 2 27

3

9

3

3

3

NĂşmeros primos

NĂşmeros primos

1

MĂ XIMO COMĂšN DIVISOR (M.C.D)

41

Es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los números del conjunto Ejemplos 

87, 105, 2310

87

3

105 3

2310

2

29

29

35 5

1155

3

385

5

77

7

11

11

7

1

7

1

1

M.C.D = 3 MĂ?NIMO COMĂšN MULTIPLO (m.c.m)

Es el menor entero posible, que es el múltiplo de cada uno de los números dados Ejemplo 

2, 6, 10

87

6

10

2

1

3

5

3

1

1

5

m.c.m = 30

EJERCICIOS 1. Hallar el M.C.D de: 24, 36, 48

24

2

∴ 24 = 23 . 3 ∴ 36 = 22 . 32 ∴ 48 = 24 . 3 đ?‘´. đ?‘Ş. đ?‘Ť = 23 . 3 =12

42

12

2

36

2

48

2

6

2

18

2

24

2

3

3

9

3

12

2

3

3

6

2

3

3

3

1

1

2. Hallar el m.c.m de: 87, 105, 2310

87

3

105 3

2310 2

29

29

35

5

1155 3

7

7

385 5

1

1

đ?’Ž. đ?’„. đ?’Ž = 2.3.5.7.11.29 =66990

77 7 1 11 29 NĂšMERO PAR E IMPAR đ?’‚ đ?’†đ?’” âˆś

đ?‘ľĂşđ?’Žđ?’†đ?’“đ?’? đ?’‘đ?’‚đ?’“ ⇔ đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’?, đ?’?ďƒŽ ℤ đ?‘ľĂşđ?’Žđ?’†đ?’“đ?’? đ?‘°đ?’‘đ?’‚đ?’“ ⇔ đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’?, +đ?&#x;?, đ?’?ďƒŽ ℤ Ejemplo de # par



−đ?&#x;’ = đ?&#x;?đ?’? = đ?&#x;?. đ?&#x;?



−6=2n=2.3

Ejemplo de # impar 

−11=2.n=2.5.5⇒∉ ℤ

Siempre tendrĂĄn esta secuencia 43

P 1

2

I

P 3

P

4

5

I

P

6

7

I

8

I

P 9 I

10

P 11 I

12

P |13 I

14

15 I

P= Par I= Impar Ejemplo o aplicación de M.C.D

Un vendedor dispone de 24,36 y 48 unidades de tres artículos diferentes respectivamente. Necesita elaborar paquetes por cada artículo, de tal forma que el número de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el más grande posible. El vendedor necesita calcular el número de unidades que debe tener cada paquete y cuantos paquetes por artículo obtendrá. 24

2

36

2

48

2

12

2

18

2

24

2

6

2

9

3

12

2

3

3

3

3

6

2

3

3

1

1

1

24

36

48

2

12

18

24

2

6

9

12

2

3

3

6

2

1

1

3

3

1

3

24/12 = 2 paquetes 44

36/12 = 3 paquetes 48/12 = 4 paquetes Un fabricante tiene tres productos en su inventario, los cuales se revisan periĂłdicamente cada 2, 6, 10 semanas, respectivamente. El fabricante necesita calcular cual serĂĄ el mĂĄximo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisiĂłn de los tres productos coincida. 2

2

1

6

2

10

2

3

3

5

5

1

1

Cada 2 semanas

Ejemplos: Demostrar. Si a es un numero natural impar entonces su cubo tambiĂŠn es natural imparâ€? đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’? + đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;‘ = (đ?&#x;?đ?’? + đ?&#x;?)đ?&#x;‘ đ?’‚đ?&#x;‘ = (đ?&#x;?đ?’? + đ?&#x;?)(đ?&#x;’đ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;’đ?’? + đ?&#x;?) đ?’‚đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?’?đ?&#x;‘ + đ?&#x;–đ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’? + đ?&#x;’đ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;’đ?’? + đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?’?đ?&#x;‘ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?’? + đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?’?(đ?&#x;’đ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?’? + đ?&#x;‘) + đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?’? + đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;‘ = đ?’‚ Demostrar: “Si a2 es un numero natural par, entonces a es natural parâ€? đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’? đ?’‚đ?&#x;? = (đ?&#x;?đ?’?)đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’?đ?&#x;?

45

đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;?(đ?&#x;?đ?’?đ?&#x;? ) đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’?

EXPRESIONES ALGEBRAICAS -

Reconocer el conjunto y el factor literal en una expresiĂłn algebraica

-

Aplicar propiedades fracciones en la simplificaciĂłn

-

Aplicar propiedades de exponentes la simplificaciĂłn de expresiones algebraicas

-

RacionalizaciĂłn de expresiones algebraicas

-

Aplicar productos notables y factorización en la simplificación [E.A] 

DefiniciĂłn



Monomio



Binomio



Trinomio



TĂŠrminos Semejantes

 DefiniciĂłn de ExpresiĂłn Algebraica Es el conjunto o es la agrupaciĂłn de tĂŠrminos mediante la utilizaciĂłn de las operaciones bĂĄsicas estos tĂŠrminos tiene la combinaciĂłn de nĂşmeros y letras. Ejemplos: đ?&#x;‘ đ??ą đ??˛ đ?’›đ?&#x;‘

monomio Factor literal agrupaciĂłn

o

Coeficiente

46

𝟑𝒕𝟑 𝒔 + 𝟒𝒕𝟐 𝒔 𝟓𝒂𝟐 𝒃𝒅 + 𝟏𝟕𝒄𝟐 𝒛𝒙 + 𝟒𝟖𝒕𝟐 Términos semejantes Son aquellos términos que poseen la mima parte literal Ejemplo: 𝒂𝟐 𝐛𝐱 + 𝟏𝟓𝐛𝐱𝒂𝟐 − 𝟒𝟖𝐛𝐱𝒂𝟐 𝒂𝟐 𝐛𝐱 + 𝟏𝟓𝒂𝟐 𝐛𝐱 − 𝟒𝟖𝒂𝟐 𝐛𝐱 (𝟏 + 𝟏𝟓 − 𝟒𝟖)𝒂𝟐 𝒃𝒙 𝟑𝟐𝒂𝟐 𝒃𝒙

Expresiones algebraicas Propiedades de fracciones Sean 𝐛 ≠ 𝟎, 𝐜 ≠ 𝟎, 𝐝 ≠ 𝟎 𝒂

𝒄

𝒃

𝒅

1) ( = ) ≡ (𝒂𝒅 = 𝒄𝒅) 2)

𝒂 𝒃

𝒂𝒄

= 𝒃𝒄

𝒂

𝒄

2) 𝒃 + 𝒅 = 𝒂

𝒄

3) 𝒃 + 𝒅 = 𝒂 𝒄

4) 𝒃 . 𝒅 = 5)

𝒂 𝒃 𝒄 𝒅

=

𝒂𝒅+𝒄𝒃 𝒃𝒅 𝒂𝒅+𝒄𝒃 𝒃𝒅

𝒂.𝒄 𝒃𝒅

𝒂.𝒅 𝒃.𝒄

APLICACIÓNES Simplificar la expression Algebraica

1)

𝟏 𝟏

𝟏+𝟏

𝟏+ 𝟐

=

𝟏 𝟏 𝟐+𝟏 +𝟏 𝟐

=

𝟏 𝟏 𝟑 +𝟏 𝟐

=𝟐 𝟑

𝟏 +𝟏

=

𝟏 𝟐+𝟑 𝟑

=

𝟏 𝟓 𝟑

𝟑

=𝟓

47

2) 𝟏 +

𝟏

=𝟏+

𝟏

𝟏−

𝟏 𝟏+ 𝟏 𝟏−𝒙

𝟏 𝟏−

𝟏

=𝟏+ 𝟏−

=𝟏+

𝟏 (𝒙 − 𝟏) + 𝒙 𝒙−𝟏

=𝟏+

𝟏 𝟏 𝟏+ 𝟏𝒙

𝟏 𝟏−

𝟏 𝒙 𝟏+ 𝒙+𝟏

𝟏

=𝟏+

𝟏 𝟏 𝟏− 𝒙−𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏

=𝟏+

𝟏 𝟏 𝟏 − 𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏

𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟏 =𝟏+ = = 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏

POTENCIA Propiedades de los exponentes 1) 𝒂𝒏 . 𝒂𝒃 = 𝒂𝒏+𝒏 𝒂𝒏

2)

𝒂𝒎

= 𝒂𝒏−𝒎

3) 𝒂𝒏 . 𝒃𝒏 = (𝒂. 𝒃)𝒏 𝒂𝒏

4)

𝒃𝒏

𝒂 𝒏

= (𝒃)

5) (𝒂𝒏 )𝒎 = 𝒂𝒎𝒏 𝟏

6)

𝒂𝒏

= 𝒂−𝒏

7) 𝒂𝟎 = 𝟏

Aplicaciones Simplificar las expresiones algebraicas (𝟒𝒑 )(𝟐𝟕𝒑/𝟑 )(𝟏𝟐𝟓𝒑 )(𝟔𝟐𝒑 )

1)

=

(𝟖𝒑/𝟑 )(𝟗𝟑𝒑/𝟐 )(𝟏𝟎𝟑𝒑 )

;𝒑 ∉ ℝ

(𝟒)𝒑 ( 𝟑√𝟐𝟕𝒑 )(𝟏𝟐𝟓𝒑 )(𝟔𝟐 )𝒑 𝟑

( √𝟖𝒑 )(√𝟗𝟑𝒑 )(𝟏𝟎𝟑 )𝒑

48

=

(𝟒)𝒑 (𝟑)𝒑 (𝟏𝟐𝟓)𝒑 (𝟑𝟔)𝒑 (𝟐)𝒑 (𝟑)𝒑 (𝟏𝟎𝟎)𝒑

(𝟒)𝒑 (𝟑)𝒑 (𝟏𝟐𝟓)𝒑 (𝟑𝟔)𝒑

=

(𝟐)𝒑 (𝟐𝟕)𝒑 (𝟏𝟎𝟎)𝒑

(𝟒×𝟑×𝟏𝟐𝟓×𝟑𝟔)𝒑

= (𝟐×𝟐𝟕×𝟏𝟎𝟎𝟎)𝒑 =

𝟓𝟒𝟎𝟎𝟎𝒑 𝟓𝟒𝟎𝟎𝟎𝒑

𝟐

2)

(𝟐𝒙𝒏+𝟏 ) 𝒙𝟑−𝟏 𝒏 𝟐 𝒙𝟐(𝒏+𝟏)(𝒙 )

=

𝟒𝒙𝟐𝒏+𝟐 (𝒙𝟑−𝟐 ) 𝒙𝟐𝒏+𝟐 (𝒙𝟐𝒏 )

=

𝟒𝒙𝟑−𝒏 𝒙𝟐𝒏

= 𝟒𝒙𝟑−𝒏−𝟐𝒏 = 𝟒𝒙−𝟑𝒏+𝟑

3)

(𝟔𝒙𝟒 )

𝟏

−𝟐

𝒙−𝟐 √𝟐

𝟐

=

( 𝟑 ) 𝒙 √𝟏𝟔

( 𝟒) 𝟔𝒙

𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 ( ) √𝟐 ( 𝒙𝟑 ) 𝒙 √𝟏𝟔

=

𝟏 𝟑𝟔𝒙𝟐 𝟐 𝟏 √𝟐 𝟐 (𝒙 𝟑 ) 𝒙 (𝟒)

=

𝟏 𝟑𝟔𝒙𝟖 √𝟐 𝒙𝟐 𝟒𝒙𝟑

𝟏 𝟏 𝟖 𝟐 𝟖𝒙𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎−𝟖 𝟐 𝟐 𝟑𝟔𝒙 𝟑𝟔𝒙 = = = = 𝒙 = 𝒙 𝟐 𝟐 𝟑𝟔𝒙𝟖 𝟗 𝟗 𝟒 𝟏𝟎 𝒙 𝟏𝟔𝒙 𝟖 𝟏𝟔𝒙𝟓

𝟑 𝟓

𝟓

4) ( √ √𝟖𝒂𝟑 ) +

𝒏−𝟏

𝒂

√ 𝒏√𝒂 𝟖

𝟏 𝟓 𝒂 𝟏⁄𝒏−𝟏 𝒏−𝟏 𝒂 𝟏𝟓 𝟏𝟓 𝟑 𝟑 𝟑 = ( √𝟖𝒂 ) + √ 𝒏 = ((𝟐 𝒂 ) ) + ( 𝟏/𝒏 ) 𝟑 𝒂 √𝒂 𝟏⁄ 𝒏−𝟏

𝟏 = (𝟐𝒂) + (𝒂𝟏 − ) 𝒏 𝟏⁄ 𝒏

= 𝟐𝒂 + 𝒂

𝟏⁄ 𝒏−𝟏

𝒏−𝟏 = 𝟐𝒂 + (𝒂 ) 𝒏

𝒏

= 𝟐𝒂 + √𝒂

49

PRODUCTOS NOTABLES

Son las tablas de multiplicar del algebra elemental PRODUCTOS NOTABLES Nos permite expresar el resultado de la multiplicación de expresiones algebraicas sin necesidad de realizar dicha operación.

LOS PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES SON:  Cuadrado de un Binomio 

(a+b)2 = a2 +2ab+b2

(a-b)2 = a2 -2ab+b2

Suma por Diferencia

(a+b) (a-b) = a2 – b2

 Producto de un Binomio con un Término Repetido 

(x+a)(x+b) = x2+(ab)x+ab

(x-a)(x+b) = x2+(b-a)

Cubo de un Binomio

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 50

Cuadrado de un Trinomio

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Cuadrados que desembocan en la suma o diferencia de Cubos Perfectos

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Ejercicios:

a.- 412

(40+1)2 = 402+2.40.1+12 = 1600+80+1 = 1681

b.- 982

(100-2) = 1002-2.100.2+22 = 10000-400+4 = 90604

c.- (18)(22)

(20-2)(20+2)=202+(-2+2)20-22 = 400+0-4 = 396

51

FACTORIZACIĂ’N

FACTORIZACIĂ“N *Terminos Comunes(FC) *Agrupaciòn de tèrmios *Correspondenci a con Productos Notables

Es el sentido contrario de un Producto Notable

Cita un expresion algebraica en terminos simples de factor

CASOS DE FACTORIZACIĂ“N 1. Factor ComĂşn: ď ś ax+ay+az = a(x+y+z)

2. AgrupaciĂłn de tĂŠrminos: ď ś đ?’™đ?&#x;? -ax-bx+ab (đ?’™đ?&#x;? -ax)-(bx+ab) x(x-a)-b(x-a) (x-a)(x-b)

3. Diferencia de cuadrados perfecto ď ś 36(m+n)2-121(m-n)2 [đ?&#x;”(đ??Ś + đ??§)] 2 – [đ?&#x;?đ?&#x;?(đ?’Ž − đ?’?)]2 (a+b)(a-b) = a2-b2 52

[đ?&#x;”(đ?’Ž + đ?’?) + đ?&#x;?đ?&#x;?(đ?’Ž − đ?’?)] [đ?&#x;”(đ?’Ž + đ?’?) − đ?&#x;?đ?&#x;?(đ?’Ž − đ?’?)] (17m-5n)(-5m+17n)

4. Trinomio de la forma đ??ą đ?&#x;? +bx+c ď ś đ?’‚đ?&#x;? -66ÂŞ+1080 (a-36)

(a-30)

a-36=0

a-30=0

a=36

a=30

5. Trinomio de la forma đ?’‚ đ??ą đ?&#x;? +bx+c ď ś đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;“ (đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’™âˆ’đ?&#x;?đ?&#x;–)(đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’™+đ?&#x;“) đ?&#x;?đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;–(đ?’™âˆ’đ?&#x;?)(đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’™+đ?&#x;“) đ?&#x;?đ?&#x;–

(đ?’™ − đ?&#x;?)(đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’™ + đ?&#x;“)

6. Cubo perfecto de Binomios ď ś X9+18x6y5+108x3y10-216y15

(a-b)3 = a3+3ÂŞ2b+3ab2-b3

7. Suma o Diferencia de dos potencias impares ď ś X5+32 = x5+25 = (x+2)(x4-2x3+4x2-8x+16) (x4-2x3+22x2-23x+24)

53

RACIONALIZACIÓN Expresar una fracción que involucre números irracionales, es decir sin radicales en su denominador.

𝟏

Expresión que necesita ser racionalizada

√𝟑 𝟏

√𝟑 √𝟑 √𝟑

∙

𝟏 √𝟕−√𝟖 𝟏

𝟏𝟎

=

=

√𝟕∙√𝟑

√𝟑 𝟑

=

𝟏 √𝟕−√𝟖 𝟏

√𝟕+√𝟖 √𝟕+√𝟖

∙

√𝟕+√𝟑 √𝟕∙√𝟑 √𝟕+√𝟑 𝟖

∙

=

𝟐

𝟐

(√𝟕) −(√𝟖)

√𝟕+√𝟑 √𝟕−√𝟑

=

=

√𝟕+√𝟖 𝟕−𝟖

√𝟕+√𝟑 𝟒

𝟏−√𝟑 𝟖 𝟐+√𝟐 − ∙ = 𝟏+√𝟑 𝟐−√𝟐 𝟏+√𝟑 𝟏−√𝟑 𝟐−√𝟐 𝟐+√𝟐 𝟏𝟎(𝟏−√𝟑) 𝟖(𝟐+√𝟐) −𝟏𝟎(𝟏−√𝟑)−𝟖(𝟐+√𝟐) − − = = 𝟐 𝟐 𝟐 −𝟏𝟎+𝟏𝟎√𝟑−𝟏𝟔−𝟖√𝟐 −𝟐𝟔+𝟏𝟎√𝟑−𝟖√𝟐

−

𝟏𝟎

√𝟕+√𝟖

=

=

𝟐 𝟐(−𝟏𝟑+𝟓√𝟑−𝟒√𝟐) 𝟐 𝟒

𝟒

√𝒙𝟐 − √𝒙𝟔 √𝒙+𝟏

𝟒

=

=

𝟒

√𝒙+𝟏

𝟑

√𝟐 + √𝟑

= =

=

𝟐

= −𝟏𝟑 + 𝟓√𝟑 − 𝟒√𝟐

√𝒙𝟐 − √𝒙𝟔

𝟏 𝟑

∙

∙

√𝒙−𝟏 √𝒙−𝟏

𝟒

=

𝒙−𝟏 𝟑

𝟏

∙

𝟏

𝟒

√𝒙𝟐 − √𝒙𝟔 (√𝒙−𝟏) 𝟐

𝟑

𝟑

=

𝟑

𝒙−𝒙𝟐 −𝒙𝟐 +𝒙𝟐 𝒙−𝟏 𝟑

𝟐

( √ 𝟐) − √ 𝟐 √ 𝟑 + ( √ 𝟑)

√𝟐 + √𝟑 ( 𝟑√𝟐)𝟐 − 𝟑√𝟐 𝟑√𝟑 + ( 𝟑√𝟑)𝟐

𝟑

𝟏 𝟑 (𝟐𝟑 )

𝟑

+

𝟏 𝟑 (𝟑𝟑 )

54

EJERCICIOS DETALLER PARTE A

1.-

𝒎𝟐 −𝟏 𝒎𝟐 +𝒎−𝟐

=

𝟔𝒙𝒚−𝟑𝒙𝟐

(𝒎+𝟏)(𝒎−𝟏) (𝒎+𝟐)(𝒎−𝟏)

2.- 𝟑𝒙𝟐 −𝟏𝟑𝒙𝒚+𝟏𝟒𝒚𝟐 =

𝟑𝒙(𝟐𝒚−𝒙) (𝟑𝒙−𝟕)(𝟑𝒙−𝟔)

𝟑

=

𝒎+𝟏 = 𝒎+𝟐 𝟑𝒙(𝟐𝒚−𝒙) (𝟑𝒙−𝟕)𝟑(𝒙−𝟐)

𝟑

𝟑𝒙(𝟐𝒚−𝒙)

= (𝟑𝒙−𝟕)(𝒙−𝟐)

PARTE B 𝟔𝒎𝟑 −𝟑𝒎𝟐 𝒏

1) 𝟐𝟏𝒎𝒏+𝟕𝒏𝟐 ÷

𝟔𝒎𝟐 +𝟐𝟒𝒎𝒏 𝟔𝒎𝒏+𝟐𝒏𝟐 𝟐𝒏(𝟑𝒎+𝒏)

𝟑𝒎𝟐 (𝟐𝒎−𝒏) ( ) 𝟕𝒏(𝟑𝒎+𝒏) 𝟔𝒎(𝒎+𝟒𝒏) 𝟏+𝒙

𝟏−𝒙

=

𝟑𝒎𝟐 (𝟐𝒎−𝒏) 𝟕𝒏(𝟑𝒎+𝒏)

=

𝒎(𝟐𝒎−𝒏) 𝟕(𝒎+𝟒𝒏)

𝟏+𝒙

÷

𝟔𝒎(𝒎+𝟒𝒏) 𝟐𝒏(𝟑𝒎+𝒏)

=

𝟏

2) (𝟏−𝒙 − 𝟏+𝒙) 𝒙𝟐 ÷ [(𝟏−𝒙 − 𝟏) (𝟏 − 𝟏+𝒙)] = (

(𝟏+𝒙)(𝟏+𝒙)−(𝟏−𝒙)(𝟏−𝒙) (𝟏−𝒙)(𝟏+𝒙)

) 𝒙𝟐 ÷ [(

𝟏+𝟐𝒙+𝒙𝟐 −𝟏+𝟐𝒙−𝒙𝟐 ( (𝟏−𝒙)(𝟏+𝒙) ) 𝒙𝟐

𝟏+𝒙−(𝟏−𝒙)

𝟐𝒙

((𝟏−𝒙)(𝟏+𝒙)) 𝒙𝟐 ÷ [(𝟏−𝒙)(𝟏+𝒙)] = 𝟐

𝒙−𝟏 +𝒚−𝟏

𝟏+𝒙

)] =

𝒙

𝟐𝒙(𝟏−𝒙)(𝟏+𝒙) (𝟏−𝒙)(𝟏+𝒙)

= 𝟐𝒙

𝒙−𝟏 −𝒚−𝟏

3) (𝒚 − 𝒙 ) [𝒙−𝟏−𝒚−𝟏 + 𝒙−𝟏+𝒚−𝟏] = (𝒚𝟐 − 𝟐

𝒙 )[

𝟐

(𝟏+𝒙)−𝟏

÷ [(𝟏−𝒙) (𝟏+𝒙)] = 𝟐𝒙𝟐

𝟒𝒙

𝟏−𝒙

)(

(𝒙−𝟏 +𝒚−𝟏 )(𝒙−𝟏 +𝒚−𝟏 )+(𝒙−𝟏 −𝒚−𝟏 )(𝒙−𝟏 −𝒚−𝟏 ) (𝒙−𝟏 −𝒚−𝟏 )(𝒙−𝟏 +𝒚−𝟏 ) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ( − )( + ) 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒚+𝒙 𝒚+𝒙 𝒚−𝒙 𝒚−𝒙 ( )( )+( )( ) 𝒙𝒚 𝒙𝒚 𝒙𝒚 𝒙𝒚 𝒚−𝒙 𝒚+𝒙 ( )( ) 𝒙𝒚 𝒙𝒚

(𝒚𝟐 − 𝒙 ) [ 𝒙𝟐 ) [

𝟏 𝟏 𝒙 𝒚

𝟏 𝟏 𝒙 𝒚

( + )( + )+( − )( − )

]=

] = (𝒚𝟐 −

] = (𝒚𝟐 − 55

𝒙𝟐 ) [

𝒚𝟐 +𝟐𝒙𝒚+𝒙𝟐 𝒚𝟐 −𝟐𝒙𝒚+𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒚𝟐 −𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒚𝟐 +𝟐𝒙𝒚+𝒙𝟐 +𝒚𝟐 −𝟐𝒙𝒚+𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒚𝟐 −𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒚𝟐

𝟐

𝒙 )[ 𝟐

(𝒚 − 𝒙 4)

𝟐

] = (𝒚𝟐 −

𝟐

𝟐

] = (𝒚 − 𝒙 ) [

𝟐(𝒚𝟐 +𝒙𝟐 ) ) [ (𝒚𝟐−𝒙𝟐) ]

𝟐𝒚𝟐 +𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟐 −𝒙𝟐

= 𝟐(𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 )

𝒕𝟐 −𝟓 𝟏 𝒕𝟐 −𝟓−𝒕−𝟏 𝒕𝟐 −𝒕−𝟔 𝒕𝟐 −𝟓 𝟏 − − (𝒕+𝟏)(𝒕−𝟏) 𝒕−𝟏 (𝒕+𝟏)(𝒕−𝟏) (𝒕+𝟏)(𝒕−𝟏) 𝒕𝟐 −𝟏 𝒕−𝟏 𝟒 𝒕+𝟏−𝟒 𝒕−𝟑 𝒕−𝟑 𝟏− 𝒕+𝟏 𝒕+𝟏 𝒕+𝟏 𝒕+𝟏 (𝐭−𝟑)(𝐭+𝟐)(𝐭+𝟏) 𝐭 𝟐 −𝐭−𝟔(𝐭+𝟏) 𝐭+𝟐

=

=

(𝐭+𝟏)(𝐭−𝟏)(𝐭−𝟑)

]=

=

=

= (𝐭+𝟏)(𝐭−𝟏)(𝐭−𝟑) = 𝐭−𝟏

𝒛

𝟏

𝟏

𝟏

5) (𝒛−𝟐)(𝒛−𝟑) ÷ [𝒛𝟐−𝒛−𝟐 + 𝒛𝟐 −𝟓𝒛+𝟔 + 𝟑+𝟐𝒛−𝒛𝟐] = 𝒛 𝟏 𝟏 𝟏 ÷ [ + + ] (𝒛−𝟐)(𝒛−𝟑) (𝒛−𝟐)(𝒛+𝟏) (𝒛−𝟑)(𝒛−𝟐) (𝒛−𝟑)(𝒛+𝟏) 𝒛 𝒛−𝟑+𝒛+𝟏+𝒛−𝟐 𝒛 ÷ [ ] = ÷ (𝒛−𝟐)(𝒛−𝟑) (𝒛−𝟐)(𝒛+𝟏)(𝒛−𝟑) (𝒛−𝟐)(𝒛−𝟑) (𝒛−𝟑)(𝒛+𝟏)(𝒛−𝟐) 𝒛(𝒛+𝟏)

[

]=

𝟑𝒛−𝟒 𝟑

𝟏−𝑨

𝟑𝒛−𝟒 𝟑

𝟑

( 𝟐 )−( 𝟐 ) 𝑨 −𝟐𝑨−𝟑 𝑨 −𝟏 6) 𝟐 𝟐 𝟐+

=

𝟑(𝟐) (𝑨−𝟑)(𝑨+𝟏)(𝑨−𝟏) 𝟐(𝑨−𝟐−𝑨𝟐 )

=

𝟑

((𝑨−𝟑)(𝑨+𝟏))−((𝑨+𝟏)(𝑨−𝟏)) 𝟐 𝟐 + (𝟏−𝑨)(𝟏+𝑨) 𝑨−𝟑

𝑨−𝟑

𝟑(𝑨−𝟏)−𝟑(𝑨−𝟑) (𝑨−𝟑)(𝑨+𝟏)(𝑨−𝟏) 𝟐(𝑨−𝟑)+𝟐(𝟏−𝑨)(𝟏+𝑨) (𝟏−𝑨)(𝟏+𝑨)(𝑨−𝟑)

=

𝟑((𝑨−𝟏)−(𝑨−𝟑)) (𝑨−𝟑)(𝑨+𝟏)(𝑨−𝟏) 𝟐((𝑨−𝟑)+(𝟏−𝑨)(𝟏+𝑨)) (𝟏−𝑨)(𝟏+𝑨)(𝑨−𝟑)

𝟔

𝟑

=

=

𝟑(𝑨−𝟏−𝑨+𝟑) (𝑨−𝟑)(𝑨+𝟏)(𝑨−𝟏) 𝟐(𝑨−𝟑+𝟏+𝑨−𝑨−𝑨𝟐 )

=

(𝟏−𝑨)(𝟏+𝑨)(𝑨−𝟑)

𝟑

= 𝟐(𝑨−𝟐−𝑨𝟐) = (−𝟏)𝑨−𝟐−𝑨𝟐 = 𝑨𝟐−𝑨+𝟐

(𝟏−𝑨)(𝟏+𝑨)(𝑨−𝟑)

56

VALOR ABSOLUTO Objetivos: ďƒź Obtener el valor absoluto de cualquier nĂşmero real. ďƒź Interpretar el concepto de valor absoluto como la distancia entre dos nĂşmeros reales. ďƒź Representar intervalos sobre la recta numĂŠrica. ďƒź Identificar si un intervalo es abierto, cerrado o semiabierto, semicerrado. ďƒź Aplicar la definiciĂłn de valor absoluto en operaciones binarias. DefiniciĂłn: Sea: x cualquier # real Su valor absoluto se lo representa |đ?’™| Un nĂşmero R consta de dos partes: 

numĂŠrica (v.ab)



Signo

-5: valor absoluto 5, signo – 17: valor absoluto 17, signo + 0: valor absoluto 0, signo no tiene |� |=

x, x ≼ 0 (∀đ?’™ ∈ đ?‘š)(√đ?‘żđ?&#x;? = |đ?‘ż| -x, x < 0 (∀đ?’™ ∈ đ?‘š)(|đ?’™| ≼ đ?&#x;Ž)

El valor absoluto de cualquier nĂşmero siempre serĂĄ positivo. |−đ?&#x;“| = −(−đ?&#x;“) = đ?&#x;“ |đ?&#x;”| = đ?&#x;” |−đ?’†| = −(−đ?’†) = đ?’†

57

|đ?’™ − đ?&#x;‘| = −đ?&#x;’ 0 |đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;•| ≤ −đ?&#x;• đ?&#x;Ž |đ?’™ − đ?&#x;’| ≼ −đ?&#x;‘ đ?‘š GeomĂŠtricamente el valor absoluto representa una distancia. -3

0

3

|−đ?&#x;‘ + đ?&#x;Ž| = |đ?&#x;Ž − đ?&#x;‘| 3

=

3

3

|−đ?&#x;‘| = đ?&#x;‘ |đ?&#x;‘| = đ?&#x;‘

3

Intervalo: subconjunto del conjunto total llamado R. Tipos de intervalos: ďƒ˜ Cerrados: [đ?’‚ ≤ đ?’™ ≤ đ?’ƒ] ↔ [đ?’‚, đ?’ƒ] ≥ đ?’‚ ≤ đ?’™ ≤ đ?’ƒ

ďƒ˜-∞ Abiertos: ]đ?’‚, a đ?’ƒ[ ≥ đ?’‚ < đ?’™b < đ?’ƒ +∞

-∞

a

+∞

b

ďƒ˜ Semiabiertos (semicerrados): ]đ?’‚, đ?’ƒ] = đ?’‚ < đ?’™ ≤ đ?’ƒ [đ?’‚, đ?’ƒ[ = đ?’‚ ≤ đ?’™ < đ?’ƒ

-∞

a

b

+∞

-∞

a

b

+∞

58

Intervalos infinitos: ]−∞, đ?’‚] ≥ đ?’™ ≤ đ?’‚ ]−∞, đ?’‚[ ≥ đ?’™ < đ?’‚ [đ?’ƒ, +∞[ ≥ đ?’™ ≼ đ?’ƒ ]đ?’ƒ, +∞[ ≥ đ?’™ > đ?’ƒ Ejemplos: Representar grĂĄficamente sobre la recta real los siguientes intervalos: [−đ?&#x;“, đ?&#x;?đ?&#x;Ž] -∞

-5

0

+∞

10

đ?&#x;•

]đ?&#x;Ž, đ?&#x;?) -∞

0

3,5

+∞

6

+∞

(−đ?&#x;‘, đ?&#x;”]

[đ?&#x;?, đ?&#x;“[đ?’„

-∞ -∞

-3 1

5

+∞

(−∞, −đ?&#x;?]C -∞

-2

+∞

59

Propiedades del valor absoluto: ∀𝒂, 𝒃, ∈ 𝑹; 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 1) |𝒂 ∙ 𝒃| = |𝒂| ∙ |𝒃| 𝒂

|𝒂|

2) |𝒃| = |𝒃| ; 𝒃 ≠ 𝟎 3) |𝐚 + 𝐛| ≤ |𝐚| + |𝐛| 4) |𝒂 − 𝒃| ≥ ||𝒂| − |𝒃|| Ejemplos: Verificar: |(−𝟓)(−𝟒)| = |𝟓||−𝟒| |𝟐𝟎| = 𝟓 − (−𝟒) 𝟐𝟎 = 𝟓 ∙ 𝟒 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 𝟕 𝟕 |− | = |−𝟏| | | 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 | − | ≤ | | + |− | 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 | | ≤ + (− (− )) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 | |≤ + 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 𝟏𝟏 𝟐𝟏 ≤ 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟏 𝟏 |−𝟑 − | ≥ ||−𝟑| − | || 𝟐 𝟐 El valor absoluto de: |−𝝅| = 𝝅 ó = −𝝅

60

𝟏 | |= 𝟐 |−𝟎, 𝟑| = −(−𝟎, 𝟑) =

𝟏 𝟑

|𝟏𝟎𝟑 | = |−𝟑𝟑𝟐, 𝟖𝟕| = |√𝟑𝟐 | = |𝟑| = 𝟑 |√(−𝟓)𝟐 | = |𝟓 − 𝟑| = |𝟑 − 𝟓| = Aplicación: Sea 𝑨 = {−𝑨, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐} y ∆ una operación binaria en A, tal que 𝒂∆𝒃 = |𝒂| + |𝒃| − 𝟐; 𝒂𝒃 ∈ 𝑨. |𝒂| + |𝒃| − 𝟐 = 𝟎

|𝒂| + |𝒃| − 𝟐 = 𝟎

|−𝟏| + |𝟏| − 𝟐 = 𝟎

|−𝟐| + |𝟐| − 𝟐 = 𝟎

𝟏+𝟏−𝟐=𝟎 𝟐−𝟐=𝟎

−(−𝟐) + 𝟏 − 𝟐 = 𝟎 𝟐=𝟎

|𝒂| + |𝒃| − 𝟐 = 𝟎

|𝒂| + |𝒃| − 𝟐 = 𝟎

|𝟏| + |𝟐| − 𝟐 = 𝟎

|𝟐| + |𝟎| − 𝟐 = 𝟎

𝟏+𝟐−𝟐=𝟎 𝟏=𝟎

𝟐+𝟎−𝟐=𝟎 𝟎=𝟎

Identifique el valor de verdad de cada proposición: a) ∀𝒂 ∈ 𝑨∃𝒃 ∈ 𝑨[𝒂∆𝒃 = 𝟎] |𝒂| + |𝒃| − 𝟐 = −𝟐 + |𝒂| + |𝒃| |𝟐| + |𝟎| − 𝟐 = −𝟐 + |𝟐| + |𝟎| 𝟐 + 𝟎 − 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + 𝟎 𝟐−𝟐=𝟎 61

𝟎=𝟎 b) ∆𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 |−𝟐| + |𝟏| − 𝟐 = −𝟐 + |−𝟐| + |𝟏| |𝟏| −(−𝟐) + |𝟏| − 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + 𝟏 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + 𝟏

|𝟐| + |𝟏| − 𝟐 = −𝟐 + |𝟐| +

𝟐 + 𝟏 − 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + 𝟏 𝟏=𝟏

𝟑−𝟐=𝟑−𝟐 𝟏=𝟏 c) ∃𝒂 ∈ 𝑨∀𝒃 ∈ 𝑨[𝒂∆𝒃 = |𝒃|] |𝒂| + |𝒃| − 𝟐 = |𝒃|

|𝟐| + |𝟎| − 𝟐 = |𝟎|

|−𝟐| + |𝟐| − 𝟐 = |𝟐|

𝟐+𝟎−𝟐=𝟎

−(−𝟐) + 𝟐 − 𝟐 = 𝟐

𝟎=𝟎

𝟐+𝟐−𝟐=𝟐 𝟐=𝟐 d) ∆ 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒂𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 (|𝒂| + |𝒃|) − 𝟐 = |𝒂| + (|𝒃| − 𝟐) (|𝟏| + |𝟐|) − 𝟐 = |𝟏| + (|𝟐| − 𝟐) 𝟏 + 𝟐 − 𝟐 = |𝟑| − 𝟐 𝟏=𝟏 (𝒂∆𝒃)∆𝒄 = 𝒂∆(𝒃∆𝒄) 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐: 𝒂 = −𝟐; 𝒃 = −𝟏; 𝒄 = 𝟎 (|𝒂| + |𝒃| − 𝟐)∆𝒄 = 𝒂∆(|𝒃| + |𝒄| − 𝟐) (|−𝟐| + |−𝟏| − 𝟐)∆𝒄 = 𝒂∆(|−𝟏| + |𝟎| − 𝟐) (𝟐 + 𝟏 − 𝟐)∆𝒄 = 𝒂∆(−𝟏) 𝟏∆𝒄 = −𝟐∆ − 𝟏 62

𝟏∆𝟎 = |−𝟐| + |−𝟏| − 𝟐 |𝟏| + |𝟎| − 𝟐 = 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 −𝟏 = 𝟏 (𝒂∆𝒃)∆𝒄 = 𝒂∆(𝒃∆𝒄) 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐: 𝒂 = −𝟐; 𝒃 = 𝟎; 𝒄 = 𝟏 (|𝒂| + |𝒃| − 𝟐)∆𝒄 = 𝒂∆(|𝒃| + |𝒄| − 𝟐) (|−𝟐| + |𝟎| − 𝟐)∆𝟏 = −𝟐∆(|𝟎| + |𝟏| − 𝟐) (𝟐 + 𝟎 − 𝟐)∆𝟏 = −𝟐∆(𝟎 + 𝟏 − 𝟐) 𝟎∆𝟏 = −𝟐∆ − 𝟏 |𝟎| + |𝟏| − 𝟐 = |−𝟐| + |−𝟏| − 𝟐 𝟎+𝟏−𝟐=𝟐+𝟏−𝟐 −𝟏 = 𝟏

Demostrar la siguiente proposición de valor absoluto. |𝒂| 𝒂 | |= ;𝒃 ≠ 𝟎 |𝒃| 𝒃

𝒂

|𝒃| =

𝒂 𝒂

, ≥𝟎

𝒃 𝒃

𝒃≠𝟎

𝒂 𝒂

−𝒃,𝒃 < 𝟎 𝒂

𝒂

1) |𝒃| = 𝒃 (# positivo o el 0) I.

𝒂 ≥ 𝟎, 𝒃 > 𝟎

∴ |𝒂| = 𝒂, |𝒃| = 𝒃 |𝒂| 𝒂 𝒂 |𝒂| 𝒂 | |= = ≡| |= |𝒃| 𝒃 𝒃 |𝒃| 𝒃 II.

𝒂 ≤ 𝟎, 𝒃 < 𝟎 63

∴ |đ?’‚| = −đ?’‚, |đ?’ƒ| = −đ?’ƒ đ?’‚ đ?’‚ −|đ?’‚| |đ?’‚| | |=− = = đ?’ƒ đ?’ƒ −|đ?’ƒ| |đ?’ƒ| đ?’‚

đ?’‚

2) |đ?’ƒ| = − đ?’ƒ (# đ?’?đ?’†đ?’ˆđ?’‚đ?’•đ?’Šđ?’—đ?’?đ?’”) I.

đ?’‚ > đ?&#x;Ž, đ?’ƒ < đ?&#x;Ž

∴ |đ?’‚| = đ?’‚, |đ?’ƒ| = −đ?’ƒ |đ?’‚| |đ?’‚| đ?’‚ đ?’‚ | |=− =− = đ?’ƒ đ?’ƒ −|đ?’ƒ| |đ?’ƒ| II.

đ?’‚ < đ?&#x;Ž, đ?’ƒ > đ?&#x;Ž

∴ |đ?’‚| = −đ?’‚, |đ?’ƒ| = đ?’ƒ đ?’‚ đ?’‚ −|đ?’‚| |đ?’‚| | |=− =− = |đ?’ƒ| |đ?’ƒ| đ?’ƒ đ?’ƒ ECUACIONES OBJETIVOS: 1. Entender la diferencia entre ecuaciones e identidad 2. Realizar demostraciones aplicando propiedades de las desigualdades. 3. Dada la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica, determinar su soluciĂłn mediante el anĂĄlisis de su discriminante. 4. Dada la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica con parĂĄmetros desconocidos, establecer condiciones sobre estos parĂĄmetros en funciĂłn del tipo de funciĂłn requerida 5. Analizar soluciones extraĂąas de la soluciones con radicales IGUALDAD: Es una equivalencia entre dos expresiones algebraicas. IGUALDADES ABSOLUTAS: Identidad IGUALDADES CONDICIONALES: Ecuaciones IDENTIDAD: Es una igualdad que siempre se cumple para cualquier elemento que pertenezca al conjunto de referencia. CONJUNTA DE REFERENCIA (Re) DOMINIO DE ESTUDIO:(De)

64

ECUACIĂ“N: Es una proporciĂłn la cual incluirĂĄ un signo igual, la misma que serĂĄ verdadera por ciertos valores de pertenencia al conjunto de referencia. p(x): predicado para nomenclatura. Ap. (x): conjunto de soluciĂłn. ECUACIONES EQUIVALENTES: Tienen las mismas soluciones. PROPIEDADES: 1. 2. 3. 4. 5.

∀đ?’™, đ?’š, (đ?’™ = đ?’š) ≥ (đ?’™ = đ?’š) ∀đ?’™, đ?’šđ???đ?‘š, ∀đ?’„đ???đ?‘š(đ?’™ = đ?’š) ≥ [đ?’™ + đ?’„ = đ?’š + đ?’„] ∀đ?’™, đ?’šđ???đ?‘š, ∀đ?’„đ???đ?‘š{đ?&#x;Ž}(đ?’™ = đ?’š) → (đ?’™đ?’„ = đ?’šđ?’„) ∀đ?’™, đ?’šđ???đ?‘š, {đ?&#x;Ž}(đ?’™ = đ?’š) → (xn =y n) → ∀đ?’™, đ?’šđ???đ?‘š, (đ?’™đ?’š = đ?&#x;Ž) ≥ [đ?’™ = đ?&#x;Ž âˆŞ đ?’š = đ?&#x;Ž] RESOLVER UNA ECUACIĂ“N Encontrar una ecuaciĂłn mĂĄs simple del original. p(x): x+2=13 Sol=11 Tipos de ecuaciones Ecuaciones lineales = 1 grado p(x):ax+b=0,a,bđ???R; a≠0 APLICACIĂ“N: Analice el siguiente razonamiento, en que se concluye que todo nĂşmero real es igual a OâˆŞâˆŠ đ???đ?‘š, OIO, 4bđ???R,b≠0 a2 = đ?’‚đ?’ƒ a. a=ab a2.b2=ab-b2 (a-b)(a+b)=b(a-b) a+b=b a=0 RESOLVER: p(x): ax+b=0 Re=R Sol ax+b=0-b Suma el mismo nĂşmero a los dos tĂŠrminos ax=-b đ?&#x;?

(ax)=-b

đ?’‚

Simplificando đ?&#x;? đ?’‚

multiplicamos para un mismo nĂşmero

65

−𝒃

X= 𝒂

Si Re=R y p(x)7x-5=4x+7 Determine: Ap(x) 7x-5=4x+7 7x-5+5=4x+7+5 Sumando 5 a ambos lados 7x=4x+12

Simplificando

7x-4x=4x-4x+12 Sumando (-4x) ambos lados 3x=12 𝟏

Simplificado 𝟏

(3x)= 𝟑12 𝟑 1x=4

multiplicando a ambos lados por al inverso aplicando neutro multiplicativo

E↔X=4 𝒙+𝟗

𝒙+𝟗

Sea Re=R y p 𝟐𝒂+𝒃+𝒂+𝟐𝒃=2 Determine:

𝒙+𝟗

+

𝒙+𝟗

=2

𝟐𝒂+𝒃 𝒂+𝟐𝒃

(𝒂 + 𝟐𝒃)(𝒙 + 𝒂) + (𝒙 + 𝒃)(𝟐𝒂 + 𝒃) =𝟐 (𝟐𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝟐𝒃) 𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒙𝒃 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 =𝟐 (𝟐𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝟐𝒃)

𝟑𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝟑𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 =𝟐 (𝟐𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝟐𝒃) (𝟐𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝟐𝒃) =

𝟑𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝟑𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝟐(𝟐𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝟐𝒃) (𝟐𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝟐𝒃)

𝟑𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝟑𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝟐(𝟐𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝟐𝒃) 𝟑𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝟑𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 + 𝟖𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟒𝒃𝟐 APLICACIONES: 66

1. Sea Re=R y p(x): 3x2-5x+1=0 Sol: a= 3 b=-5 c=1 x=-b±√b2-4ac 2ª X=5±√(5)+-4(3)(1) 2(3)

X1=5+√13 6 𝒙𝟏 =

−𝟓 + √𝟏𝟑 𝟔

𝒙𝟐 =

𝟓 − √𝟏𝟑 𝟔

Ap. (x)= (

−𝟓+√𝟏𝟑 𝟓−√𝟏𝟑

,

𝟔

𝟔

)

Comprobación: Con 𝟓 + √𝟏𝟑 𝟔

𝒙𝟏 = 𝟑( 𝟑 𝟑𝟔

𝟓+√𝟏𝟑

𝟓+√𝟏𝟑

𝟔

𝟔

(

)−𝟓

+1=0

𝟓+√𝟏𝟑

𝟓+√𝟏𝟑

𝟔

𝟔

) − 𝟓(

)+1=0

𝟏/𝟏𝟐 + [(𝟐𝟓) + 𝟐(𝟓)(√𝟏𝟑 + (𝟏𝟑 ) ] +

𝟐𝟓−𝟓√𝟏𝟑 𝟔

=0

67

1/12[(𝟐𝟓) + 𝟏𝟎√𝟏𝟑 + 𝟏𝟑]𝟐𝟓−𝟓√𝟏𝟑

−

𝟏𝟐

𝟐𝟓−𝟓√𝟏𝟑 𝟔

+𝟏

𝟐𝟓−𝟓√𝟏𝟑

+1=0

𝟔

=0

𝟐𝟓−𝟏𝟎√𝟏𝟑+𝟏𝟑−𝟐(𝟐𝟓)−𝟐(𝟓)√𝟏𝟑 +𝟏𝟐

=0

𝟏𝟐

𝟐𝟓 + 𝟏𝟎√𝟏𝟑 + 𝟏𝟑 − 𝟐(𝟐𝟓) − 𝟏𝟎(𝟓)√𝟏𝟑 + 𝟏𝟐 =𝟎 𝟏𝟐 𝟎 =𝟎 𝟏𝟐 0=0 Con x

𝟑( 𝟑

2=

𝟓−√𝟏𝟑 𝟔

𝟓−√𝟏𝟑

𝟓−√𝟏𝟑

𝟔

𝟔

( 𝟑𝟔

)−𝟓

+1=0

𝟓−√𝟏𝟑

𝟓−√𝟏𝟑

𝟔

𝟔

) − 𝟓(

)+1=0

𝟑/𝟑𝟔 [(𝟐𝟓) − 𝟐(𝟓)(√𝟏𝟑 ) + (𝟏𝟑 ) ] −

1/12[(𝟐𝟓) − 𝟏𝟎√𝟏𝟑 + 𝟏𝟑]𝟐𝟓−𝟏𝟎√𝟏𝟑 𝟏𝟐

−

𝟐𝟓−𝟏𝟎√𝟏𝟑 𝟔

+𝟏

𝟐𝟓−𝟏𝟎√𝟏𝟑+𝟏𝟑−𝟓𝟎−𝟏𝟎√𝟏𝟑 +𝟏𝟐 𝟏𝟐

𝟐𝟓−𝟓√𝟏𝟑 𝟔

=0

𝟐𝟓−𝟓√𝟏𝟑 𝟔

+1=0

=0 =0

𝟐𝟓 − 𝟏𝟎√𝟏𝟑 + 𝟏𝟑 − 𝟐(𝟐𝟓) + 𝟏𝟎(𝟓)√𝟏𝟑 + 𝟏𝟐 =𝟎 𝟏𝟐 𝟎 =𝟎 𝟏𝟐 0=0 16x224x+9=0

68

p (x) a=16 b=-24 c=9 16x224x+9=0 𝒙=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

−𝟐𝟒 ± √−𝟐𝟒𝟐 − 𝟒(𝟏𝟔)(𝟗) 𝒙= 𝟐(𝟏𝟔)

𝒙=

−𝟐𝟒 ± √𝟓𝟕𝟔 𝟐(𝟏𝟔)

𝒙=

𝟐𝟒 ± √𝟓𝟕𝟔 𝟑𝟐

𝒙=

𝟑 ± √𝟓𝟕𝟔 𝟒

𝒙𝟏 =

𝟑 + √𝟓𝟕𝟔 𝟒

𝒙𝟐 =

𝟑 − √𝟓𝟕𝟔 𝟒

Ap. (x)={

𝟑+√𝟓𝟕𝟔 𝟑−√𝟓𝟕𝟔 𝟒

,

𝟒

}

Comprobación p(

𝟑

𝟑

𝟑

)=16(𝟒)2 -24(𝟒)+9=0

𝟒

9-18+9=0 p(

𝟑

)=1

𝟒

Dada l

ecuación 2x2kx+5=0

69

Sol. Consigo satisfacer el problema, siempre y cundo: b24ac=0 (k2)-4(2) (5)=0 K2=40 K=Âąâˆšđ?&#x;’đ?&#x;Ž b2-4ac=0 Si K2=40 (√đ?&#x;’đ?&#x;Ž ) 2-4(2)(5)=0 -40-40=0 0=0 Sea: Re=R determinar los valores de p para la ecuaciĂłn 3x 2+ (p+1)x+24=0 x ƸR tenga dos raĂ­ces tales que la una sea el doble de la otra . 3x2+(p+1)x+24=0 Sol: X1=1 nĂşmero X2= 2 nĂşmero b2-4ac=0 (p+1)-4(3)(24)=0 P2 +2p+1-288 P2 +2p-287 đ?’™=

−(đ?’‘ + đ?&#x;?) Âą √đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;?đ??Š − đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;• đ?&#x;?(đ?&#x;‘)

−(đ?’‘ + đ?&#x;?) + √đ?’‘đ?&#x;? − đ?&#x;?đ??Š − đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;• đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;”

70

𝒙𝟐 = 𝟐( (

−(𝒑 + 𝟏) − √𝒑𝟐 − 𝟐𝐩 − 𝟐𝟖𝟕 𝟔

−(𝒑+𝟏)−√𝒑𝟐 −𝟐𝐩−𝟐𝟖𝟕 𝟔

) = 𝟐(

−(𝒑+𝟏)−√𝒑𝟐 −𝟐𝐩−𝟐𝟖𝟕 𝟔

)

−(𝒑 + 𝟏) − √𝒑𝟐 − 𝟐𝐩 − 𝟐𝟖𝟕 = 𝟐(𝒑 + 𝟏) − 𝟐√𝒑𝟐 − 𝟐𝐩 − 𝟐𝟖𝟕 [𝟑√𝒑𝟐 − 𝟐𝐩 − 𝟐𝟖𝟕]2=[−(𝒑 + 𝟏)]2 𝟗(𝒑𝟐 − 𝟐𝐩 − 𝟐𝟖7=(𝒑 + 𝟏)2 𝟗𝒑𝟐 − 𝟏𝟖𝐩 − 𝟐𝟓𝟖3=𝒑𝟐 − 𝟐𝐩 − 𝟏 8p2+16p-2584=0 b2 -4ac=162+4(8)(2584) p1=11 p2=-19 8p2+16p-2584=0 a=8 b=16 c=-2584 𝒑𝟏 =

𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 =

−𝟏𝟔 ± √𝒃𝟐 − 𝟒(𝟖)(−𝟐𝟓𝟖𝟑) 𝟐(𝟖)

−𝟏𝟔+𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 −𝟏𝟔−𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔

=16 =19

3x2+ (p+1) x+24=0 i) P=12 3x2+ (17+1) x+24=0 3x2+ 18 x+24=0 X1=-4 X2=8 71

ii) P=-19 3x2+ (-19+1) x+24=0 X1=-7 X2=-14 Si a2+2ab+b2+a+b=12; y a, b son nĂşmeros reales negativos ÂżCuĂĄl es el valor de a+b? Sol. a2+2ab+b2+a+b=12 a2+2ab+b2+(a+b)=12 (a+b)2+(a+b)=12 Es decir que a+b =w W2+w-12=0

b2-4ac=12-4(1)(-12) =1+48 =49 w1=3 w2=-4 đ?’˜=

−đ?’ƒ Âą √đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;?đ?’‚

đ?’˜=

−đ?&#x;? Âą đ?&#x;• đ?&#x;?

đ?’˜=

−đ?&#x;? + đ?&#x;• đ?&#x;?

đ?’˜=đ?&#x;‘ đ?’˜=

−đ?&#x;? − đ?&#x;• đ?&#x;?

đ?’˜ = −đ?&#x;’ W1=a+b=3 W2=a+b=-4 SUMA ALGEBRAICA DE LAS RAICS DE LA ECUACION CUADRATICA 72

𝒃

X1+X2=− 𝒂 PRODUCTO ALGEBRAICO DE LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CUADRATICA 𝑪

X1.X2=- 𝒂 𝒃

X1+X2= 𝒂 𝒙=

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

𝒙𝟏 = 𝒙𝟏 =

−𝒃+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

−𝒃 − √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄

(

=

𝟐𝒂

−𝒃+√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄

)(

𝟐𝒂

𝒃

)= 𝒂

−𝒃𝟐 −(𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄) 𝑪 𝟒𝒂𝟐

=𝒂

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO p(x)=ǀ𝒙 + 𝒂ǀ+b=0 p(x)=ǀx2+𝒃𝒙 + 𝒄ǀ+d=0 ǀ𝒙ǀ= x si x≥0 -X si x < 𝟎 Aplicaciones: 1 Sea Re =R y p(x) 5-ǀ𝒙 + 𝒂ǀ=3 Sol: 5-ǀ𝒙 + 𝒂ǀ=3 -ǀ𝒙 − 𝟏ǀ=3-5 -ǀ𝒙 − 𝟏ǀ=-2 ǀ𝒙 − 𝟏ǀ=2 𝒙 − 𝟏=2 𝒙 − 𝟏=-2 𝒙=3

𝒙=3

Comprobación:

73

p (-1)

5-Ç€đ?’™ + đ?’‚Ç€=3 5-Ç€ − đ?&#x;?Ç€=3 5-(−(−đ?&#x;?)=-3 3=3

Sea Re=R y 2x2-3Ç€đ?’™Ç€=x determine Ap. (x) Sol 1) x≼0 2) x < đ?&#x;Ž 2x2-3x=x 2x2-4x=0 2x(x-2)=0 2x=0 x-2=0 đ?&#x;Ž X=đ?&#x;? x=2 Sol X1= 0 X2= 2 SolâˆŞ x≼0 Sol1= {đ?&#x;Ž, đ?&#x;?} 2x2-3(-x)=x 2x2-3x=0 2x(x+1)=0 2x=0 x-2=0 đ?&#x;Ž X=đ?&#x;? x=-1 Sol X1= 0 X2= -1 SolâˆŞ x< đ?’? Sol2= {−đ?&#x;?} ECUACIONES CON RADICALES ď ś La variable x estĂĄ dentro del radical ď ś El conjunto de verdades va a ser subconjunto del conjunto soluciĂłn ď ś Surge las soluciones extraĂąas AplicaciĂłn: Sea Re = R y p (x): √đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;‘ -√đ?&#x;• − đ?’™ = 2 Determine Ap. (x) p(x) √đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;‘ -√đ?&#x;• − đ?’™ = 2 đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;‘-2(√đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;‘ )( √đ?&#x;• − đ?’™ )= ( đ?&#x;? ) (2√đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;‘ )( √đ?&#x;• − đ?’™ )2=đ?&#x;?đ?&#x;”2 74

(đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;‘)( đ?&#x;• − đ?’™)=82 7x-x2+91-13x=64 X2-6x+91-64=0 X2-6x+91-64=0 X2-6x+91+27=0 đ?’‚ = −đ?&#x;? {đ?’ƒ = −đ?&#x;”} đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;• X2-6x+91+27=0 (X+9)(x-3)=0 X+9=0 x-3=0 X=-9 x=3

PLANTEO DE ECUACIONES: Tomar en cuenta: Lectura y comprensiĂłn del enunciado del problema DesignaciĂłn de la (s) incĂłgnitas del problema TraducciĂłn del texto del problema al lenguaje matemĂĄtico ExpresiĂłn da la relaciĂłn por medio de ecuaciones ResoluciĂłn de ecuaciones y anĂĄlisis de las soluciones encontradas Si amerita se puede hacer un grĂĄfico del problema e resolver AplicaciĂłn: ďƒ˜ La suma de 3 nĂşmeros consecutivos es 72 encuentre el mayor de ellos X=nĂşmero mayor X-1=nĂşmero menor X+(x-1)+(x-2)=72 ecuaciĂłn lineal X+x-1+x-2=72 3x=75 X=25 ďƒ˜ Un estudiante debe leer una novela en una semana entre el lunes y martes lee 1/5 del libro y el miĂŠrcoles lee 1/3 del resto. Si para los restantes dĂ­as de la semana todavĂ­a la quedan 64 pĂĄginas da lectura ÂżCuĂĄl es el nĂşmero total de pĂĄginas del libro? đ?&#x;? Y=đ?&#x;“ đ?&#x;?

Y+1=đ?&#x;‘

75

đ?&#x;? đ?&#x;“

đ?&#x;? đ?&#x;‘

Lunes y martes

Resto

miĂŠrcoles

đ?&#x;?

Lunes y martes: đ?&#x;“y đ?&#x;?

đ?&#x;?

MiĂŠrcoles: đ?&#x;‘(y- đ?&#x;“)y đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

y+đ?&#x;‘(y- đ?&#x;“)+64=y

đ?&#x;“ đ?’š

đ?&#x;? đ?&#x;“đ?’šâˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;“

đ?&#x;‘

đ?’š

đ?&#x;? đ?&#x;“đ?’šâˆ’đ?&#x;?

y+ ( y+đ?&#x;‘(

đ?&#x;“ đ?’š

đ?&#x;“

đ?&#x;“

)+64=y )+64=y

đ?&#x;? đ?&#x;’đ?’š

y+đ?&#x;‘( đ?&#x;“ )+64=y

đ?&#x;“ đ?’š

đ?&#x;? đ?&#x;’đ?’š

đ?&#x;”đ?&#x;’

y+ ( )+ đ?&#x;“ đ?&#x;‘ đ?&#x;“

đ?&#x;?

đ?&#x;‘đ?’š+đ?&#x;’đ?’š+đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;“

=y

=y

đ?&#x;‘đ?’š + đ?&#x;’đ?’š + đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;Ž = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’š 7y+960=15y 7y+15y =960 8y=960 Y=120 ďƒ˜ Un consultor cobra 25$ por hora por sus servicios mientras que su asistente gana en una hora el equilibrio en dĂłlares a los 5/13 del nĂşmero total de horas trabajadas por el consultor .Si en un trabajo por el consultor trabajo 3 horas mĂĄs que su asistente, la cuenta total fue de 280$, encuentre el nĂşmero de horas trabajadas por al consultor. Y= nĂşmero de horas trabajadas por el consultor Y-3=horas trabajadas por al asistente 25$= valor 5/3y=valor hora del asistente 880=valor del trabajo đ?&#x;“

25y+ đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’š(đ?’š − đ?&#x;‘) = đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;Ž 76

đ?&#x;“

đ?&#x;“

25y+ đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’š2-đ?&#x;?đ?&#x;‘y=880 đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;‘

đ?’š 2+

đ?&#x;?đ?&#x;‘(đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;’)−đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’š

đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“−đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’š 2 5y + đ?&#x;?đ?&#x;‘ =880

=880

đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;Ž

5y2+ đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’š =880 5y2+310y =880.13 5y2+310-11440=0 Y2-6y-2288=0 đ?’‚=đ?&#x;? { đ?’ƒ = đ?&#x;”đ?&#x;? } đ?’„ = −đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;– b2-4ac= 622-4(1) (-2288) 12996 ďƒ˜ A la presentaciĂłn de una pelĂ­cula asistieron 600 personas .El costo de los boletos para adulto fue de $5 mientras que los niĂąos pagaron solamente 2$ .Si la taquilla del cine recibiĂł 2400 encuentre la diferencia entre el nĂşmero de adultos y el nĂşmero de niĂąos. n=nĂşmero de niĂąos que asistieron 600-n=nĂşmero de adultos que asistieron Іn-(600-n)І І(600-n)-nІ=? Costo del boleto adulto =5$ Costo del boleto niĂąo=2$ 2400=2n+5(600-n) 2n+5(600-n)=2400 2n+300-5n=2400 -3n=600 đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

n= đ?&#x;‘ n=200 niĂąos ∴ Numero de adultos =600-200=400 І 200-400 ІІ 400-200 І=200 ďƒ˜ Hace cuatro aĂąos, la edad de HernĂĄn era la raĂ­z cuadr4ada de la edad que tendrĂĄ dentro de 3 aĂąos .Determine la edad actual de HernĂĄn. 77

(x-4)= (√đ?’™ − đ?&#x;? )2 X2-2(x) (4)+ (4)2=x+2 X2-8x+16=x+2 X2-8x- x +16-2=0 X2-9x+14=0 (x-7)(X+2)=0 X-7=0 x-2=0 X=7 X=2 Pasado x-4

HernĂĄn

Presente x

Futuro X+2

Edad actual 7 aĂąos ďƒ˜ Una universitaria con 70000$ decide colocar su dinero en un banco que paga 12% anual, y el resto en otro banco que paga el 8% anual. Si ella desea obtener una ganancia total del 9% anual ÂżCuĂĄnto debe colocar en cada inversiĂłn? InterĂŠs 9% (70000)= interĂŠs 12% (x) +interĂŠs 8%(70000-x) đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;– (đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž) = đ?’™= (đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž − đ?’™) đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?’™+ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žâˆ’đ?&#x;–đ?’™ (đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž) = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?’™ + (100) đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž 630000=12x+560000-8x= 630000 12x+56-8x=630000 4x= 630000-560000 4x=70000 12%: x= 17500 8%: x= 52500

78

INECUACIONES Desigualdad ≠inecuaciĂłn -2<-1 đ?&#x;‘≤đ?&#x;“ −

đ?&#x;? đ?&#x;? ≤− đ?&#x;? đ?&#x;’

Desigualdad: ExpresiĂłn que compara dos cantidades matemĂĄticas. InecuaciĂłn: es sentencia condicional, la cual serĂĄ cierta para determinados valores o elementos del conjunto referencial. El conjunto de valores debe dar ciertos valores del conjunto referencial. *ClasificaciĂłn de inecuaciones son: ďƒ˜ LINEAL ďƒ˜ CUADRĂ TICA ďƒ˜ VALOR ABSOLUTO ďƒ˜ RADICALES -InecuaciĂłn lineal: p(x): ax+b>Ă˜; a, bÂŁR, aâ‰ Ă˜

ax+b>0

ax+b-b>Ă˜-b

ax>-b

ax>-b

đ?’™ < −đ?’‚

đ?&#x;? đ?’‚

đ?’ƒ

đ?&#x;?

đ?’‚đ?’™ > −đ?’ƒ − đ?’‚ Siempre y cuando a >Ă˜ đ?’ƒ

đ?’™ > −đ?’‚ đ?’ƒ

Conjunto soluciĂłn đ?‘¨đ?’‘(đ?’™) = [− đ?’‚, +Îą

79

“Cuando es una inecuación multiplico ambos lados x un no negativo el sentido de desigualdad cambia.” 1º. a>Ø ax+ b>Ø

a<Ø ax+ b>Ø

𝒃

𝒃

𝒙 > −𝒂

𝒙 < −𝒂 𝒃

𝑨𝒑(𝒙) =⦌ − 𝒂 , +∝ ⦋

𝑨𝒑(𝒙) =⦌ − ∞, −𝒃/𝒂⦋

→ 𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝒂

→ 𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ ∅

𝒃

𝑨𝒑(𝒙) = ⦋− 𝒂 , +∞⦋

𝑨𝒑(𝒙) =⦌ − ∞, −𝒃/𝒂⦌

→ 𝒂𝒙 + 𝒃 < ∅

→ 𝒂𝒙 + 𝒃 < ∅

𝑨𝒑(𝒙) =⦌ − ∞, −𝒃/𝒂⦋

𝑨𝒑(𝒙) =⦌ − 𝒂 , +∞⦋

→ 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ ∅

→ 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ ∅

𝑨𝒑(𝒙) =⦌ − ∞, −𝒃/𝒂⦌

𝑨𝒑(𝒙) = ⦋− 𝒂 , +∞⦋

𝒃

𝒃

Inecuaciones lineales: 1) Aplicaciones: *Sea Re=R y p(x): 𝟒𝒙 + 𝟑 ≥ 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟑, determine Ap(x) −𝟏𝟐𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟑 ≥ 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟑 − 𝟏𝟐𝒙 −𝟖𝒙 + 𝟑 ≥ −13 −𝟑 − 𝟖𝒙 + 𝟑 ≥ −𝟏𝟑 − 𝟑 𝟏

𝟏

(− 𝟖) − 𝟖𝒙 ≥ −𝟏𝟔 (− 𝟖) (−𝟏) − 𝒙 ≥ −𝟐(−𝟏) 𝒙 ≤ 𝟐⦌ − ∞, 𝟐⦌ O puede ser: 𝟒𝒙 + 𝟑 ≥ 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟑 −𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟑 ≥ 𝟏𝟐𝒙 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟑 𝟑 ≥ 𝟖𝒙 − 𝟏𝟑 𝟏𝟑 + 𝟑 ≥ 𝟖𝒙 − 𝟏𝟑 + 𝟏𝟑 𝟏

𝟏

(𝟖) 𝟏𝟔 ≥ 𝟖𝒙 (𝟖) 80

𝟐≥𝒙

1º. 𝟒(𝟐) + 𝟑 > 𝟏𝟐(𝟐) − (𝟑) 𝟏𝟏 ≥ 𝟐𝟒 − 𝟏𝟑 𝟏𝟏 ≥ 𝟏𝟏 2º. 𝟒(𝟎) + 𝟑 ≥ 𝟏𝟐(𝟎) − (𝟑) 𝟎 + 𝟑 ≥ −𝟑 𝟑 ≥ −𝟑 3º. 𝟒(−𝟏𝟎𝟎) + 𝟑 ≥ 𝟏𝟐(−𝟏𝟎𝟎) − (𝟑) −𝟒𝟎𝟎 + 𝟑 ≥ −𝟏𝟐𝟎𝟎 − 𝟑 −𝟑𝟗𝟕 ≥ −𝟏𝟏𝟗𝟕 𝟏

𝒙

2) Sea Re=R y p(x): 𝟑 (𝟑𝒙 − 𝟐) < 𝟖 + 𝟐 determine Ap(x) 𝒙−

𝟐 𝒙 < +𝟐 𝟑 𝟖

𝒙−

𝒙 𝟐 <𝟐+ 𝟖 𝟑

𝟕 𝟖 < 𝟖𝒙 𝟑 𝟖 𝟕 𝟖 𝟖 ( ) > . 𝟕 𝟖 𝟑 𝟕 𝟔𝟒

𝒙 < 𝟐𝟏

Sol:⦌ − ∞, 𝟔𝟒/𝟐𝟏⦋

𝟔𝟒 𝟐𝟏 3) (𝟑𝒙 + 𝟏) − 𝟒 ≥ −𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 𝟑𝒙 + 𝟏 − 𝟒 + 𝟒 ≥ −𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 + 𝟒 81

𝟑𝒙 + 𝟏 ≥ −𝟐𝒙 + 𝟏𝟒 𝟑𝒙 + 𝟏 − 𝟏 ≥ −𝟐𝒙 + 𝟏𝟒 − 𝟏 𝟑𝒙 ≥ −𝟐𝒙 + 𝟏𝟑 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 ≥ −𝟐𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟑 𝟓𝒙 ≥ 𝟏𝟑 𝟏

𝟏

(𝟓) 𝟓𝒙 ≥ 𝟏𝟑 (𝟓) 𝟏𝟑 𝟓 Inecuaciones cuadráticas 𝒙≥

𝒑(𝒙): 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > ∅; 𝒂, 𝒃, 𝒄 £𝑹/(𝒙𝒚 ≥ Ø)⦋(𝒙 > Ø˄𝒚 < Ø)⦌ <∅ ≥Ø ≤Ø (Factor 1) (Factor2) >Ø → ⃒ ⩁ 𝒙, 𝒚£𝑹/(𝒙𝒚 ≥ Ø)⦋(𝒙 > Ø˄ > Ø) ∪ (𝒙 < Ø˄𝒚 < Ø)⦌ ⃒ ⩁ 𝒙, 𝒚£𝑹/(𝒙𝒚 ≤ Ø)⦋(𝒙 < Ø˄𝒚 > Ø) ∪ (𝒙 > Ø˄𝒚 < Ø)⦌

1) Sea Re=R y p(x): 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 ≥ ∅, determine Ap(x) Sol: 𝒑(𝒙)𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 ≥ ∅ Factoreo :(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟏) ≥ ∅ que dos números multiplicados entre si me de 2 y restados me den 1. 2x1=2 y 2-1=1 i)

𝒙−𝟐≥∅ ˄ 𝒙+𝟏≥ ∅ 𝒙≥𝟐 ˄ 𝒙 ≤ −𝟏

-1 ii)

2

(𝒙 − 𝟐) ≤ ∅˄𝒙 + 𝟏 ≤ ∅ 𝒙 ≤ 𝟐 ˄ 𝒙 ≤ −𝟏

82

-1

2

Sol:âŚŒ-∞,-1âŚŒ AP(x) = Sol i âˆŞ ii Ap(x)=âŚŒ-∞,+1âŚŒâˆŞâŚ‹2,+âˆžâŚ‹ đ?&#x;”

2Âş. Sea: Re=R y p(x): đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?’™ − đ?&#x;? < ∅ Determine (Ap(x)) Sol: De=Re=x-2â‰ Ă˜ x≠2=R-{2} (đ?’™ − đ?&#x;‘)(đ?’™ + đ?&#x;?) <∅ đ?’™âˆ’đ?&#x;? -2

2

3

(X-3)

-

-

-

+

(X+2)

-

+

+

+

(X-2)

-

-

+

+

-

+

-

+

đ?’™đ?&#x;? − đ?‘ż − đ?&#x;” đ?‘żâˆ’đ?&#x;?

Ap(x)=âŚŒ-∞,-2âŚ‹âˆŞâŚŒ2,3⌋ Tres valores que se adjuntan y tres valores que se inclinan Ap(x) áśœ= ⌋-2,2âŚŒ âˆŞ ⌋3,+âˆžâŚŒ

83

-∞

-2

2

3

∞

3° Determinar Ap(x) 𝒙+𝟐

p(x): 𝒙−𝟏 ≥ ∅ De: x≠1

-2

1

(X+2)

-

+

+

(X-1)

-

-

+

+

-

+

𝒙+𝟐 𝒙−𝟏

Ap(x)=⦌-∞,-2⦌ ∪ ⦌1,+∞⦋

𝟑

4) Determine Ap(x) 𝟏 + 𝒙𝟐 +𝟏 ≥ 𝟑 De: R 𝒙𝟐 + 𝟏 ≠ 𝟎 𝟏+

𝒙𝟐

−𝟐 +

𝟑 −𝟑≥∅ +𝟏

𝒙𝟐

𝟑 ≥𝟎 +𝟏

𝟐(𝒙𝟐 + 𝟏) + 𝟑 ≥∅ 𝒙𝟐 + 𝟏 −𝟐𝒙𝟐 − 𝟐 + 𝟑 ≥∅ 𝒙𝟐 + 𝟏 84

−𝟐𝒙𝟐 + 𝟏 ≥∅ 𝒙𝟐 + 𝟏 Miscelánea: Encuentre el Ap(x) de los siguientes ejemplos 1) (2-x) (3x-1) (2x+5)>Ø 𝟓 Sol: ⦌ − ∞, − 𝟐 ⦋ ∪ ⦌ 𝟏/𝟑, 𝟐⦋

De: Re=R

-5/2

1/3

2 2-x

+

+

+

-

3x-1

-

-

+

+

𝟐 − 𝒙 = 𝟎 => −𝒙 = −𝟐 => 𝑿 = 𝟐 𝟏

2x+5

-

+

+

+

resultado

+

-

+

-

𝟑𝒙 − 𝟏 = ∅ => 𝒙 = 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟓 = ∅ => 𝒙 = −

𝟓 𝟐

𝟓 𝟏 Ap(x)=⦌ − ∞, − 𝟐 ⦋ ∪ ⦌ 𝟑 , 𝟐⦋ 𝟓

𝟏

(𝒙 < − 𝟐) ∪ (𝟑 < 𝒙 < 𝟐)

-∞

-5/2

Ø

1/3

2

85

-2 Comprobación:

Ø

(2-(4)(3()-1)(2(-4)+5)> Ø

-5/5 1/3 2

p(x) 𝟏 − 𝟑𝒙 ≤ 𝒙 + 𝟏𝟎 ≤ 𝟐𝒙 − 𝟓 →desigualdad doble 𝒂<𝒙≤ 𝒃 𝑫𝒆 𝑹 𝒂≤𝒙≤𝒃 = 𝒙≥𝒂 ˄ 𝒙≤𝒃 (𝟏 − 𝟑𝒙 ≤ 𝒙 + 𝟏∅) ˄ (𝒙 + 𝟏𝟎 ≤ 𝟐𝒙 − 𝟓) 𝟒𝒙 ≤ 𝟗 𝟗

𝒙 ≥ −𝟒

𝟏𝟓 ≤ 𝒙

-9/4

15

Ap(x)=⦋15,+∞⦌ 

𝒙+𝟏

𝟒

p(x):(𝒙+𝟑 + 𝒙+𝟕) − 𝟏 < 𝟎

(𝒙 + 𝟕)(𝒙 + 𝟏) + 𝟒(𝒙 + 𝟑) ( )−𝟏< 𝟎 𝒙 + 𝟑(𝒙 + 𝟕) 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕𝒙 + 𝟕 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐 ( )−𝟏 <𝟎 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟐𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟗 + 𝟏𝟏𝒙 ( 𝟐 )−𝟏 <𝟎 𝒙 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟗 ( 𝟐 )−𝟏 < 𝟎 𝒙 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 Inecuaciones con valor absoluto: 1) p(x) .⃒x⃒<a; a>=Ø

2)⃒x⃒>a;

𝒂≥∅

(𝒙 < 𝒂˄𝒙 ≥ Ø) ∪ (−𝒙 < 𝒂˄𝒙 < Ø) 86

(𝒙 < 𝒂˄𝒙 ≥ ∅) ∪ (𝒙 > −𝒂˄𝒙 < ∅)

-∞ Ø

∪

a

-a

Ø

(∅ ≤ 𝒙 < 𝒂)

(−𝒂 < 𝒙 < ∅) Sol:⦌-a,a⦋ ii) ⃒𝒙⃒ > 𝒂 = 𝒙 ≤ −𝒂 ∪ 𝒙 ≥ 𝒂

i)⃒x⃒<a=-a<x<a propiedades

2) (𝒙 > 𝒂˄𝒙 ≥ Ø) ∪ (−𝒙 > 𝒂˄𝒙 < Ø) Definición de valor absoluto (𝒙 > 𝒂˄𝒙 ≥ Ø) ∪ (𝒙 < −𝟒˄𝒙 < Ø)

0

a

-a

0

Sol:⦌-∞,-a⦋ ∪ ⦌a,+∞⦋ i)

⃒𝒙 ⃒ ≤ 𝒂 = −𝒂 ≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝒂

ii) ⃒𝒙 ⃒ ≥ 𝒂 = 𝒙 ≤ −𝒂 ∪≥ 𝒂 x<a; cuando: a<a ⃒𝒙 ⃒ < 𝒂 ; cuando a<Ø 𝑺𝒐𝒍:Ø ⃒𝒙 ⃒ > 𝒂 ; cuando a<Ø 𝑺𝒐𝒍: R Ejemplos: p(x) ⃒ 𝟓𝒙 − 𝟐𝟕 ⃒ + 𝟖 ≤ 𝟓 ⃒ 𝟓𝒙 − 𝟐𝟕 ⃒ ≤ −𝟑 87

𝑨𝒑(𝒙) = Ø Aplicaciones Inecuaciones. Valor absoluto. ⃒𝒙 ⃒ ≥ ∅ → 𝑺𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 ⃒𝒙⃒ ≤ ∅ → 𝑨𝒑(𝒙) = {∅} = ⃒𝒙⃒ = ∅ ⃒𝒙 ⃒ > ∅ → 𝑹 − {∅} ⃒𝒙 ⃒ < ∅ → 𝑽𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒏𝒖𝒏𝒄𝒂

88

Determinar Ap(x) Re=R y P(x)=11<⃒2x-3⃒ 1) (𝟐𝒙 − 𝟑 > 𝟏𝟏˄𝟐𝒙 − 𝟑 ≥ ∅) ∪ (−(𝟐𝒙 − 𝟑) > 𝟏𝟏˄𝟐𝒙 − 𝟑 < ∅) iii) ⃒2x-3⃒>11 (2x<-8)∪ 2x>14 (x<-4)∪(x>7) Ap(x)={x/(x<-4)∪(x>7)} tres valores que están dentro y tres que están fuera 𝟓

2) Determinar Ap(x), Sea=R y p(x)𝐀𝐩(𝐱), 𝐒𝐞𝐚 = 𝐑 𝐲 𝐩(𝐱) 𝟐 ≥ ⃒𝐱 + 𝟐⃒ 𝟓 𝟓−𝟒 𝟏 − 𝟐 ≥ 𝒙 => = ≥𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 ⃒𝒙 ⃒ < 𝒂, 𝒂 ≥ ∅ −𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂 𝟓 𝟓 − ≤ 𝒙+𝟐 ≤ 𝟐 𝟐 𝟓 𝟓 (𝒙 + 𝟐 ≥ − ) ˄ (𝒙 + 𝟐 ≤ ) 𝟐 𝟐 𝒙≥−

𝟗 𝟐

˄ 𝒙≤

𝟏 𝟐

-9/2 𝟗

½

𝟏

Ap(x)={𝒙 − 𝟕 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐} 𝟗 𝟏 𝑨𝒑(𝒙) = ⦋− , ⦌ 𝟐 𝟐

89

3) Sea Re=R y ⃒​⃒2x+1⃒-5x⃒≤-2, i)

⃒𝒙 ⃒ ≤ 𝒂, 𝒂 < ∅ => 𝑺𝒐𝒍 = Ø

ii)

⃒𝒙⃒ ≥ 𝒂, 𝒂 < Ø => 𝑺𝒐𝒍 = 𝑹

Ap(x)=Ø

4) Sea Re=r, P(x);⃒x+4⃒<2 y q(x): ⃒𝒙 ⃒ ≥ 𝟑, 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝑨𝒑(𝒙) ∩ 𝑨𝒒(𝒙). p(x) ⃒x+4⃒<2 -2<x+4<2 -2<x+4 ˄ x+4<2 (-6<X) ˄ (x<-2) (x>-6) ˄ (x>-2)

-6

-2

Ap(x) {x/ -6<x<-2} 𝒒(𝒙) ⃒𝒙 ⃒ ≥ 𝟑 𝒙 ≤ −𝟑 ∪ 𝒙 ≥ 𝟑 𝒒(𝒙) = {𝒙/(𝒗 ≤ −𝟑) ∪ (𝒙 ≥ 𝟑) Sol: 𝐀𝐩(𝐱) ≤ ˄ 𝐀𝐪 (𝐱) = [−𝟔, −𝟑]

-∞ ∞

-6

-3

-2

3

90

9x-10=Ø

-7x+14=Ø

9x=10

-7x=-14

x=10/9

7x=14

2x-3=Ø

1/7.7x=14.1/7

x=3/2=1.5

x=2

-2

1

9x-10

-

+

+

2x-3

-

-

+

+

-

+

𝟗𝒙 − 𝟏𝟎 𝟐𝒙 − 𝟑 Sol:⦋10/9,3/2⦌

-2

1

-7x-10

+

+

-

2x-3

-

+

+

-

+

-

−𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 𝟐𝒙 − 𝟑 Sol: ⦋3/2,2⦌

Ap(x)= Sol1 ∪ Sol2 ˄ x ≠ 3/2 91

𝒑(𝒙) = ⦋(

𝟏𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ ) ∪ ( ≤ 𝒙 ≤ 𝟐) ˄ 𝒙 ≠ 𝟗 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟑 (⦋ 𝒂 , 𝟐⦌ ∪ ⦋𝟐 , 𝟐⦌) 𝒏 𝑹 − {𝟐}

92

2) Demuestre Ap(x) del signo predicado 𝒑(𝒙)𝟒 ≤ ⃒𝒙 + 𝟒⃒ − ⃒𝟐𝒙 − 𝟓⃒ (𝟒 ≤ ⃒𝒙 + 𝟒⃒ − ⃒𝟐𝒙 − 𝟓⃒) ∪ (𝟒 ≥ ⃒𝒙 + 𝟒⃒ − ⃒𝟐𝒙 − 𝟓⃒) -4

X+4

5/2

-

+

+

-

-

+

+

-

+

2x+5

Intervalo 1: ⦌-∞,-4⦌ −(𝒙 + 𝟒) − (−(𝟐𝒙 − 𝟓)) ≥ 𝟒 −𝒙 − 𝟒 + 𝟐𝒙 ≥ 𝟒 𝒙−𝟗≥𝟒 𝒙 ≥ 𝟏𝟑 Sol: p1 Intervalo 2: ⦋-4,5/2⦌ +(𝒙 + 𝟒) − (−(𝟐𝒙 − 𝟓)) ≥ 𝟒 𝒙 + 𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝟓 ≥ 𝟒 𝟑𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟒 𝟑𝒙 ≥ 𝟓 𝟏 𝟏 𝟑𝒙 ≥ 𝟓. 𝟑 𝟑

93

𝒙≥

𝟓 𝑺𝒐𝒍: 𝒑𝟐 𝟑

Intervalo 3:⦋5/2, +∞⦋ +(𝒙 + 𝟒) − (+(𝟐𝒙 − 𝟓)) ≥ 𝟒 𝒙 + 𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝟓 ≥ 𝟒 −𝒙 + 𝟗 ≥ 𝟒 −𝒙 ≥ −𝟓 𝒙≤𝟓 Sol 2: Solp2˄int2

-4

5/3

5/2

Sol2: ⦋5/3, 5/2⦌

Sol3: Sol2˄int3

-∞

5/2

5

Sol3: ⦋5/2,5 Tarea ⃒ ⃒𝒙 − 𝟑 ⃒ − 𝟐 ⃒ ≤ 𝟕 ⃒ ⃒𝒙 − 𝟑 ⃒ + 𝟐 ⃒ ≤ −𝟕 (𝒙 − 𝟑 + 𝟐 ≤ −𝟕)

∪ ∪

⃒𝒙 − 𝟑 ⃒ + 𝟐 ≥ 𝟕

(𝒙 − 𝟑 + 𝟐 ≥ 𝟕)

94

(๐ โ ๐ + ๐ + ๐ โ ค โ )

โ ช

(๐ โ ๐ +๐ โ ๐ โ ฅโ )

๐ +๐ โ คโ

โ ช

๐ โ ๐ โ ฅโ

๐ โ ค โ ๐ (โ ๐ )

โ ช

๐ โ ฅ๐

โ ๐ โ ค ๐

โ ช

๐ โ ฅ๐ 6

X+6

8

-

+

+

-

-

+

+

-

+

x-8

6

8

Sol: โฆ -โ ,6โฆ โ ช โฆ 8,+โ โฆ ๏ ท

โ โ ๐ โ ๐ โ โ ๐ โ โ ค ๐

โ ๐ โ ค โ ๐ โ ๐ โ โ ๐ โ ค ๐ โ ๐ โ ๐ โ โ ๐ โ ค ๐ ห โ ๐ โ ๐ โ โ ๐ โ ฅ โ ๐ โ ๐ โ ๐ โ โ ค ๐ + ๐ |๐ โ ๐ | โ ค ๐

|๐ โ ๐ | โ ฅ โ ๐ + ๐

|๐ โ ๐ | โ ฅ โ ๐ ๐ โ ๐ โ ฅ โ ๐

95

−𝟗 ≤ 𝒙 − 𝟑 ≤ 𝟗 𝒙 − 𝟑 ≤ 𝟗 ˄ 𝒙 − 𝟑 ≥ −𝟗 𝒙 ≤ 𝟗 + 𝟑 ˄ 𝒙 ≥ −𝟗 + 𝟑 𝒙 ≤ 𝟏𝟐 ˄ 𝒙 ≥ −𝟔

-6

0

12

Ap(x)=⦋-6,12⦌ Tres afuera y tres adentro ⃒𝒙 − 𝟑 ⃒ − 𝟐 ⃒ ≤ 𝟕 = 𝑰 𝑰 < = > ⃒ ⃒𝒙 + 𝟑 ⃒ + ⃒ − 𝟐 ⃒ ⃒ ≤ 𝟕 𝑰 < = > ⃒ ⃒𝒙 − 𝟑 ⃒ ⃒ + ⃒ − 𝟐 ⃒ ≤ 𝟕 𝑰 ≤> ⃒𝒙 − 𝟑 ⃒ + ⃒ − 𝟐 ⃒ ≤ 𝟕 |𝒙 − 𝟑| ≤ 𝟗

=>

−𝟗 ≤ 𝒙 − 𝟑 ≤ 𝟗

Ejercicios: 𝒙−𝟏 𝟏 𝟑 | | > => 𝒙 ≠ 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟑 𝟐 𝒙−𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏 + <∅∪ − >∅ 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟑 𝟑(𝒙 − 𝟏) + (𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟑(𝒙 − 𝟏) − (𝟐𝒙 − 𝟑) <∅ >∅ 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟓𝒙 −

6/5

𝟔 −𝟗<∅ 𝟔𝒙

9/6

96

-

+

+

-

-

+

+

-

+

5X-6 6x+9

Sol1:⦋6/5,3/2⦌

0

X

3/2

-

+

+

-

-

+

+

-

+

6x+9

Sol2: ⦌-∞,0⦌∪⦋3/2,+∞⦋ Ap(x)= ( sol1 ∪ sol2)˄ De Ap(x)=⦌-∞,8⦋ ∪ ⦌6/5,3/2⦋ ∪ ⦌3/2,+∞⦋ 3) |𝟐𝒙𝟐 − 𝒙| = 𝟐 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 = −𝟐 ∪ 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝟐 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 = ∅ ∪ 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = ∅

A=t

A=97

Sol1:= x1

Sol2:=Ø

x2

Ap(x)={x1,x2} (𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝟐 𝒔𝒊 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 ≥ ∅) ∪ (−(𝟐𝒙𝟐 − 𝒙) = 𝟐 𝒔𝒊 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 < ∅)

1.-Encuentre Ap(x) en los siguientes predicados p(x):(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟒) (𝟐𝒙 + 𝟏) (𝟏 − 𝟑𝒙) ≤ ∅ 1/2

1/3

3

4

X-3

-

-

-

+

+

x-4

-

-

-

-

+

2x+1

-

+

+

+

+

1-3x

+

+

-

-

-

-

+

-

+

-

Solp(x)=⦌-∞,-1/3⦌ ∪ ⦋1/3,3⦌ ∪ ⦋4,+∞⦋ 𝒙−𝟏

2)p(x): Ø < 𝒙−𝟑 < 𝟐

𝑫𝒆: 𝒙 − 𝟑 ≠ ∅ x≠3

𝒙−𝟏

(∅ < 𝒙−𝟑 < 𝟐)

˄

𝒙−𝟏

(𝒙−𝟑 < 𝟐) 1

3

98

-

+

+

X-1

𝒙−𝟏 +𝟐<𝟐±𝟐 𝒙−𝟑 𝒙−𝟏 𝒙−𝟑

x-3

-

-

+𝟐<∅

+ 𝒙−𝟏−𝟐(𝒙−𝟑)

+

-

+

𝒙−𝟑 𝒙−𝟏−𝟐𝒙+𝟔 𝒙−𝟑

−𝒙+𝟓 𝒙−𝟑

<∅

<∅

<∅

Sol:⦌-∞,1⦋ ∪ ⦌3,+∞⦋

99

3

-X+5

5

+

+

-

-

+

+

-

+

-

x-3

Sol2: =⦌+∞;-5⦋ ∪ ⦌3;-∞⦋

-∞

Ø

1

3

5

+∞

Ap(x)=(Sol1∩Sol2)˄ De: Ap(x)= (⦌-∞; 𝟏⦋ ∪ ⦌ + ∞⦋ )˄𝑫𝒆:

1

3

5

Ap(x)=⦌-∞,1⦋ ∪ ⦌5,+∞⦋ REEMPLAZAR Ap(x): (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑)2

-

(𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏)2

<Ø 100

x4+16x2+9-8x3-24x+6x2-( x4+25x2+1+10x3-10x-2x2) x4+16x2+9-8x3-24x+6x2- x4-25x2-1-10x3+10x+2x2<Ă˜ 18x3-x2-14+8<0 18x3+x2+14x-8>0

18x4/9=8 18

1 8

18

14

-8

4

9

8 18

4/9 Ă˜

8x4/9=4 4x4/9=8

đ?&#x;’ (đ?’™ − ) (đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;— + đ?&#x;?đ?&#x;–) > ∅ đ?&#x;—

-∞

4/9

+∞

+

x-4/9

+

18x2+9x+18 +

+

-

+

A=81-4(18) Ap(x)=âŚŒ4/9,+âˆžâŚ‹ tres dentro y tres fuera đ?&#x;Ž>

đ?’™ : đ?’‘(đ?’™) đ?’™âˆ’đ?&#x;“

đ?’™âˆ’đ?&#x;“≠∅ đ?’™â‰ đ?&#x;“ 101

đ?’™ <∅ đ?’™âˆ’đ?&#x;“

-∞

x

0

5

-

+

+

-

-

+

+

-

+

+∞

x-5

Ap(x)=⌋0,5âŚŒË„De

Ap(x)=âŚŒ0,5⌋

Ă˜

5

1) EcuaciĂłn -> igualdad condicionada se cumple para ciertas valores X+1=0 Identidad-> igualdad absoluta siempre cumple đ?&#x;?/đ?&#x;? 3=1/8 2) ejercicio: đ?’™ đ?&#x;?+ đ?‘Ťđ?’†: đ?’™ + đ?&#x;‘ ≠∅ đ?’™+đ?&#x;‘ x≠-3

102

𝟑

𝒙

0=𝒙+𝟑 − 𝒙+𝟑 − 𝟏 𝟑−𝒙−(𝒙+𝟑)

0=

𝒙+𝟑

−𝟑−𝒙−𝒙−𝟑

0=

𝒙+𝟑

(𝒙 + 𝟑) [𝟏 +

𝒙 𝟑 ] = [− ] (𝒙 + 𝟑) 𝒙+𝟑 𝒙+𝟑

𝒙 + 𝟑 + 𝒙 = −𝟑 𝟏 𝟏 𝟐𝒙 = −𝟔 𝟐 𝟐 x=-3

Ap(x)=}}=Ø

3) Ejercicio 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒 + 𝟐𝒙3=Ø (2x3-8x) + (x2-4)=Ø 2x(x2-4)+(x+2) (x-2)=Ø 2x(x+2) (x-2)+(x+2) (x-2)=Ø [(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐)](𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝟎 2x+1=0 v (x+2) (x-2)=0 2x=-1 x+2=0 v x-2=0 x=-1/2 x=-2 v x=2 Ap(x)={-1/2,-2,2} 4) Ejercicio

De: R

√𝒙 + √𝒙 + 𝟐 = 𝟎 (√𝒙) = (−√𝒙 + 𝟐) 𝒙 = −𝒙 − 𝟐 (1/2) 2x=-2(1/2) x=-1 Ap(x)=Ø 𝟐) −𝟐𝟐(𝟗 + 𝒙 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟏(𝟒𝟖) = 𝟎 −198+22x2-7x-96=0 a=22 b=-7 c=-294 x1=7+161/44=168/44=3.81 Sol parcial 103

X2=7-161/44=154/44=3,5

Sol i)= Solp1n⦌-∞,-3⦌

-154/44 Sol i)={−

𝟏𝟓𝟒 𝟒𝟒

-3

168/44

}

es el intervalo ⦋-3,3⦌ 𝟕𝒙 𝟒 𝟗 − 𝒙𝟐 − − =∅ 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟗𝟖 − 𝟐𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟗𝟔 = ∅ −𝟐𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎𝟐 = ∅ 𝟐𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎𝟐 = ∅ a=22 b=7 c=-102 A=-b2-4ac A=72-4(22)(-102) A=49+8976 A=9025 𝟕 ± 𝟗𝟓 𝒙= 𝟒𝟒 −𝟕 + 𝟗𝟓 −𝟕 + 𝟗𝟓 𝒙𝟏 = 𝒗𝒙𝟐 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒗 𝒙𝟐 ≈ 𝟐, 𝟑 Sol p ii= 2;-2;32 Sol T= Sol p ii ˄⦋-3,3⦌ iii)

104

-3 Apx={−

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;? đ?&#x;’đ?&#x;’

iv)

-2,32

2

3

đ?’Š đ?&#x;?, đ?&#x;”}

en el intervalo ⌋3,+âˆžâŚ‹ đ?&#x;•đ?’™ đ?&#x;’đ?&#x;– −(đ?&#x;— − đ?’™đ?&#x;? ) − − =∅ đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?‘şđ?’?đ?’? đ?’‘ đ?’Šđ?’Šđ?’Š = đ?‘şđ?’?đ?’? đ?’‘ đ?’Š Sol p iii= Sol p iii ∊ [đ?&#x;‘; +∞[ {−

đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;– đ?&#x;’đ?&#x;’

,

đ?&#x;’đ?&#x;’

} ∊ [đ?&#x;‘; +∞[

-3/5

3

3.82

Sol ii {168/22} Ap(x)= {-77/22;51/22;2,42/11} Ap(x)= sol1 âˆŞ sl2 â‰ĽâˆŞ sol3 5) Una piscina puede ser llenada por tres caĂąerĂ­as, la primera en 15 h, la segunda 20 h y la tercera en 30h Âżen cuĂĄnto tiempo llenaran las tres caĂąerĂ­as juntas? c1=15h c2=20h c3=30h x=? 1/15+1/20+1/30=1/x đ?&#x;’+đ?&#x;‘+đ?&#x;? đ?&#x;? = đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?’™ 3/20=1/x x=20/3 đ?&#x;”

đ?&#x;? đ?&#x;‘ 105

𝟒

𝟐

𝟏

De: 1-3x≠0˄x2-4≠0˄x+2≠0

6) − 𝟏−𝟑𝒙 < 𝒙𝟐 −𝟒 ≤ − 𝒙+𝟐

−𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 − 𝟐 <𝟎 ∩ 𝟐 + ≤𝟎 𝟏 − 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟒 𝒙 −𝟒 𝒙+𝟐 −𝟒(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) − 𝟐(𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟐+𝒙−𝟐 <𝟎 ∩ ≤𝟎 (𝟏 − 𝟑𝒙)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) −𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 − 𝟐 + 𝟔𝒙 𝒙 <𝟎∩ ≤𝟎 (𝟏 − 𝟑𝒙)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) −𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏𝟒 <𝟎 (𝟏 − 𝟑𝒙)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐)

-2

0

2

X

-

-

+

+

X+2

-

-

-

+

x-2

-

+

+

+

-

+

-

+

106

a=-4 b=-6 c=14 A=b2-4ac A=36-4(-4) (14) A=36+244 A=260 −𝒃 ± √𝟐𝟔𝟎 𝟐𝒂 −𝟔 + √𝟐𝟔𝟎 𝒙𝟏 = −𝟖 −𝟔 − √𝟐𝟔𝟎 𝒙𝟐 = −𝟖 Deber 𝒙=

⃒𝒙 − 𝟑⃒

≥

𝒙+𝟏 𝟐

⃒𝒙 − 𝟒⃒ −(𝒙 − 𝟑) 𝒙 + 𝟏 ≥ −(𝒙 − 𝟒) 𝟐 𝒙−𝟑 𝒙+𝟏 ≥ 𝒙−𝟒 𝟐

−𝟒 𝟐 −𝟏 < 𝟐 ≤ 𝟏 − 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟒 𝒙+𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 (− < 𝟐 ˄( 𝟐 ≤− ) 𝟏 − 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟒) 𝒙 − 𝟒) 𝒙+𝟐 −𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏𝟒 𝒙 <𝟎 𝟐 ≤𝟎 𝟐 (𝟏 − 𝟑𝒙)(𝒙 − 𝟒) 𝒙 −𝟒 𝒑(𝒙)

-2

0

2

X

-

-

+

+

X2-4

-

-

-

+

107

(x2)(x+2)

-

+

+

+

-

+

-

+

−𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏𝟒 = 𝟎 𝒙𝟏 =

−𝟔 − √𝟐𝟔𝟎 = 𝟐, 𝟕𝟔 −𝟖

𝒙𝟐 =

−𝟔 + √𝟐𝟔𝟎 = −𝟏, 𝟐𝟕 −𝟖

Sol1:]−∞; −𝟐[ ∪ [

−𝟔+√𝟐𝟔𝟎 𝟏 −𝟖

, 𝟑[ ∪ ]𝟐;

−𝟔−√𝟐𝟔𝟎 −𝟖

[

Ap(x)= ( sol1∩sol2) ∩ De

-2 −𝟔 +

−𝟔 +

√𝟐𝟔𝟎 −𝟖

0

1/3

2

√𝟐𝟔𝟎 −𝟖

AP(x): ]−∞; −𝟐[ U [𝟎; 𝟏/𝟑[

108

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Objetivos: -Definir una funciĂłn. -Entender que es el dominio de una funciĂłn. -Comprender que es el recorrido de una funciĂłn. -Graficar una funciĂłn. -Describir los tipos de funciones esenciales. -Describir las clases de funciones.

Par ordenado: AgrupaciĂłn de 2 elementos de la misma naturaleza, el cual el primer elemento con una primera componente y un segundo elemento con una segunda componente. (đ?’‚, đ?’ƒ) 1er 2do Componentes Tercia ordenada: AgrupaciĂłn de tres elementos de una misma naturaleza. (đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„) Producto cartesiano: Nos permite determinar pares, tercias ordenadas. Se define AXB y se lee A en B, donde A y B son conjuntos no vacĂ­os. đ?‘¨đ?‘żđ?‘Š = {(đ?’™, đ?’š)|đ?’™ ∈ đ?‘¨ďƒ™đ?’š ∈ đ?‘Š} Ejemplo: đ?‘¨ = {%, ,∊, ∅} đ?‘Š = {∗, ≠, ∎}

��� = {

(%,∗); (%, ≠); (%, ∎) } (∊,∗); (∊, ≠); (∊, ∎) (∅,∗); (∅, ≠); (∅, ∎)

��� = {

(∗, %); (∗,∊); (∗, ∅) } (≠, %); (≠,∊); (≠, ∅) (∎, %); (∎,∊); (∎, ∅) 109

Plano cartesiano: Nos permite graficar un producto cartesiano de un conjunto sucesivo de puntos. Todo par ordenado se lo representa en un plano, al primer conjunto en una lĂ­nea horizontal y al segundo conjunto en una lĂ­nea vertical. Primer conjunto A=

, segundo conjunto B=

Y .(x,y)

X

110

Cardinalidad de un conjunto: Nos permite encontrar el nĂşmero total de elementos que tiene un conjunto. La cardinalidad se la define con la letra mayĂşscula N. N

A Describe al conjunto analizado. SĂ­mbolo de cardinalidad.

Ejemplo: -Sea đ?‘¨ = {%, ,∊, ∅} , la cardinalidad de A serĂĄ. NA=3 -Encuentre la cardinalidad de Ay B. đ?‘¨ = {%, ,∊, ∅} NA=3

đ?‘Š = {∗, ≠, ∎}

NB=3

N(A) (B)=N(A).N (B) N(A) (B)=3.3 N(A) (B)=9 Ejemplo: -Sea đ?‘¨ = {đ?’Ž, đ?’?} đ?‘Š = {đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘} đ?‘Ş = {∅, đ??‹}. Encuentre tercias ordenadas de AXBXC y su cardinalidad. đ??€đ??—đ?? đ??—đ??‚ = {

(đ?’Ž, đ?&#x;?, ∅); (đ?’Ž, đ?&#x;?, đ??‹); (đ?’Ž, đ?&#x;?, ∅); (đ?’Ž, đ?&#x;?, đ??‹); (đ?’Ž, đ?&#x;‘, ∅), (đ?’Ž, đ?&#x;‘, đ??‹) } (đ?’?, đ?&#x;?, ∅); (đ?’?, đ?&#x;?, đ??‹); (đ?’?, đ?&#x;?∅); (đ?’?, đ?&#x;?, đ??‹); (đ?’?, đ?&#x;‘, ∅); (đ?’?, đ?&#x;‘, đ??‹)

N:(AXBXC)=(N(A)*N (B)*N(C)) N:(AXBXC)=12 -El producto cartesiano cumple las siguientes propiedades. đ?‘¨đ?‘ż(đ?‘Š âˆŞ đ?‘Ş) = (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Š) âˆŞ (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Ş) đ?‘¨đ?‘ż(đ?‘Š ∊ đ?‘Ş) = (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Š) ∊ (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Ş) đ?‘¨đ?‘ż(đ?‘Š − đ?‘Ş) = (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Š) − (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Ş)

111

(đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š)đ?‘żđ?‘Ş = (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Ş) âˆŞ (đ?‘Šđ?‘żđ?‘Ş) (đ?‘¨ ∊ đ?‘Š)đ?‘żđ?‘Ş = (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Ş) ∊ (đ?‘Šđ?‘żđ?‘Ş) (đ?‘¨ − đ?‘Š)đ?‘żđ?‘Ş = (đ?‘¨đ?‘żđ?‘Ş) − (đ?‘Šđ?‘żđ?‘Ş) RelaciĂłn: Correspondencia entre elementos de dos conjuntos. Ejemplo: La compra de un terreno. TERRENO

PRECIO

đ?’Žđ?&#x;?

$

Funciones Objetivos ď ś Definir sin ambigĂźedad que es funciĂłn ď ś Conocer los tipos y las clases generales de funciones ď ś Componer funciones ď ś Obtener la funciĂłn inversa DefiniciĂłn Una funciĂłn es una relaciĂłn pero no puedo decir que una relaciĂłn siempre es una funciĂłn i.

En una funciĂłn el dominio siempre va a ser el conjunto de partida.

đ?‘­(đ?‘ż)

1 SIN2 FUNCION

5 6

3

7

4

8 112

đ?‘­(đ?‘ż) = đ?‘šđ?’†đ?’ˆđ?’?đ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’„đ?’?đ?’“đ?’“đ?’†đ?’”đ?’‘đ?’?đ?’?đ?’…đ?’†đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚, đ?’Šđ?’Žđ?’‚đ?’ˆđ?’†đ?’?

đ?‘­(đ?‘ż) A

B

5

1

6

2

7

3

8

4

No es funciĂłn. đ??´

ii.

≠đ??ˇđ?‘œđ?‘š

Existe una correspondencia univoca entre sus elementos -

Cada elemento del conjunto de partida debe relacionarse solo con un elemento del otro conjunto

đ?‘­(đ?‘ż) A

B

A

5

1

5

6

2

6

B 3

7

3

7

4

8

4

8

1 2 A

B

đ?‘­(đ?‘ż)

113

SI

NO

𝑪𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨 = 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑿(𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝑪𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩 = 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑿(𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆)

𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:

𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃

𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝑹𝒈 𝑭 ≠ 𝒂𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂 𝑫𝒐𝒎 = 𝑨 ⩝ 𝒙 ∈ 𝑨 ⩝ 𝒚𝟏 ,𝒀𝟐 ∈ 𝑩[(𝒙𝑹𝒚)ᶺ(𝒙𝑹𝒚𝟐 )] ⇒ (𝒚𝟏= 𝒚𝟐 ) 𝒇(𝒙)

X

𝒇(𝒙)

𝑌1

X

𝑦1 = 𝑦2

𝑌2

No es función si es función

EJEMPLOS 𝑫𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑨 = {∞, 𝜷, 𝒅, 𝒑} 𝒚 𝑩 = {𝒂, 𝒆, 𝒊, 𝒐, 𝒖} 𝒔𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝑹𝟏 : 𝑨 → 𝑨, 𝑹𝟏 = {(∞, ∞); (𝜷, 𝜷); (𝒅, 𝒅); (𝒑, 𝒑)} 𝑹𝟐 𝑨 → 𝑩, 𝑹𝟐 = {(∞, 𝒂); (𝜷, 𝒆); (𝒅, 𝒊); (𝒑, 𝒐); (𝒑, 𝒖)} 114

𝑹𝟑 𝑩 → 𝑩, 𝑹𝟑 = {(𝒂, 𝒆); (𝒆, 𝒊); (𝒊, 𝒐); (𝒐, 𝒖)}

𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒅𝒂 ≠ 𝑫𝒐𝒎 𝑩 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒔𝒊 𝑹𝟏 , 𝑹𝟐, 𝑹𝟑 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

F(x) A

B

∞

∞

𝛽

𝛽

d

D

p

p

𝑫𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅} 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} 𝒚 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

𝒓𝟏 = {(𝒂, 𝟏)(𝒃, 𝟐)(𝒄, 𝟑)(𝒅, 𝟑)} 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂𝒍 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝑹𝟐 = {(𝒂, 𝟏)(𝒃, 𝟐)(𝒃, 𝟑)(𝒅, 𝟏)} 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆𝒏 𝒔𝒊 𝑹𝟏 𝒐 𝑹𝟐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒚𝒆𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑨 𝒆𝒏 𝑩

115

TIPOS DE FUNCIONES Función inyectiva: Partir de un elemento 𝑵(𝑨) ≤ 𝑵(𝑩) Recorrido –elementos distintos

f(n

𝑌1

𝑋1

𝑌2

𝑋2

𝑌3

𝑋3

𝑌

𝑋4

4

1

𝑇

1

𝑇

2

Y

2

Y

3

Z

3

Z

𝑋5 FUNCION SOBREYECTIVA

NO ES INYECTIVA

𝑭: 𝑨 → 𝑩 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 ↔⩝ 𝒚 ∈ 𝑩∃𝒙 ∈ 𝑨[𝒀 = 𝑭(𝑿)]𝒀 𝒓𝒈𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂 𝑵|𝑨| ≥ 𝑵|𝑩|

116

FUNCION BIYECTIVA Cuando las dos funciones se unen biyectiva, sobreyectiva.

L

J

M

H

P

I

o

c

đ?&#x;? = đ?&#x;? → đ?‘­|đ?&#x;?| = đ?‘­|đ?&#x;?| đ?‘Š ≠đ?’“đ?’ˆ

TAREA: Dados los conjuntos đ?‘¨ = {? , đ?œ˝} đ?‘Š = {đ?’‚, đ?’ƒ}. Determine todas las relaciones posibles de forma analĂ­tica y por medio de diagrama sagital. SoluciĂłn: đ?&#x;?đ?‘ľ(đ?‘¨)∗đ?‘ľ(đ?‘Š) = đ?&#x;?đ?&#x;?∗đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;’ =16 1. r

A

B

?

a

ď ą

b

2. r

A

B

?

a

ď ą

b 117

3. A

B

r ?

a

b

4. r

A

B

?

a

b

5. r

A

B

?

a

b

118

6. r

A

B

?

a

b

7. A

B

r ?

a

b

8. A

B

r ?

a

b

9. r

A

B

?

a

b 119

10. r

A

B

?

a

b

11. r

A

B

?

a

b

12. A

r

B

?

a

b

13. r

A

B

?

a

b

120

14. r

A

B

?

a

b

15. r

A

B

?

a

b

16. 16

r

A

.

B

?

a

b

121

FUNCIÓN INVERSA Sea f(x) → función biyectiva entonces existe la inversa de f(x) que se la denota: 𝒇−𝟏 (𝒙) CARACTERÍSTICAS

A

f(x) 1 2 3 4

B 10 9 8 7

f(x) es biyectiva 𝒇−𝟏 (𝒙)

A 10 9 8 7

B 1 2 3 4

Inversa 𝒇−𝟏 (𝒙) 1. −𝑑𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑟𝑒 𝑓 −1 (𝑥)𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑥 𝑟𝑒𝑓(𝑋) = 𝑑𝑜𝑚𝑓 −1 (𝑥) 2. −𝑇𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓 −1 (𝑥)𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎. 𝑦 = 𝑥 EJERCICIO 1 25 𝑆𝑒𝑎 𝑔: [ , ∞[ → [− , ∞[ 2 2 𝑥 → 𝑦 = 𝑔(𝑥)2 = 2𝑥 2 − 2𝑥 − 12 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎, 𝑠𝑖 𝑙𝑎 ℎ𝑎𝑦. 𝐺𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 2 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜. Solución 𝐷𝑜𝑚𝑔(𝑥) = 𝑅 𝑠𝑖 𝑥 =

1 2 122

1 2 1 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2 ( ) − 2 ( ) − 12 2 2 𝑔(𝑥) = 2. 𝑔(𝑥) =

1 − 1 − 12 2.2

1 − 2 − 24 25 =− 2 2

𝑔(𝑥)𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇(𝒙𝟏 ) ≠ 𝒇(𝒙𝟐 ) 1 25 ≠3⇒− ≠0 2 2 𝑔(3) = 2(3)2 − 2(3) − 12 𝑔(3) = 18 − 6 − 12 = 0 𝑔(𝑥)𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑖 [−

25 , ∞[ = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 2

𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 = 𝑅𝑒𝑐. 𝑔(𝑥) [−

𝟐𝟓 𝟐𝟓 , ∞[ = [− , ∞[ 𝟐 𝟐

𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒈(𝒙)𝒆𝒔 𝒃𝒊𝒚𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒈(𝒙)𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆. 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 𝒈−𝟏 (𝒙). 𝑫𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒐 𝒙 𝒅𝒆 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 𝒚 = 𝟐(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔) 𝒚 = 𝟐 (𝒙𝟐 − 𝒙 +

𝟏 𝟏 − −𝟔) 𝟒 𝟒

𝟏 𝟐 𝟏 𝒚 = 𝟐 [(𝒙 − ) − − 𝟔] 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 𝒚 = 𝟐 [(𝒙 − ) − ] 𝟐 𝟒 𝒚 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 = (𝒙 − ) − 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝒚 𝟐𝟓 |𝒙 − | = √ − 𝟐 𝟐 𝟒 |𝒙| = 𝟏 →

|𝒙| = 𝟏

˅

|𝒙| = −𝟏 123

𝟏

𝒚

𝒙−𝟐 =√ − 𝟐

𝟐𝟓 𝟒

𝟏

𝒚

˅ 𝒙 − 𝟐 = −√ − 𝟐

𝟐𝟓 𝟒

𝟏 𝒚 𝟐𝟓 =√ − 𝟐 𝟐 𝟒 INVERSA DEFINIDA POR: 𝒙−

𝒈−𝟏 (𝒙): [−

25 1 , ∞[ → [ , ∞[ 2 2

𝒚 → 𝒙 = 𝒈−𝟏 (𝒚) =

𝟏 𝒚 𝟐𝟓 +√ − 𝟐 𝟐 𝟒

𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒙 → 𝒚 = 𝒈−𝟏 (𝒙) = x

y=f(x)

-25/2 0 1 2 3

1/2 3 3,05 3,19 3,28

𝟏 𝒚 𝟐𝟓 +√ − 𝟐 𝟐 𝟒

EJERCICIO 𝒇: 𝑹 → 𝑹 𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑠𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎. Solución 𝑫𝒐𝒎𝒇(𝒙) = 𝑹 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇(𝒙𝟏 ) ≠ 𝒇(𝒙𝟐 ) 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎. 𝑦 = 2𝑥 + 3 2𝑥 = 𝑦 + 3 𝑥= x

𝑦+3 2 y=f(x)

1/2 f(1/2)=-2 0 f(0)=-3 124

GRÁFICA

𝑓 −1 : 𝑅 → 𝑅 𝑦 → 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑥) =

𝑦+3 2

X y=f(x) 1 2 3 3 GRÁFICA

INVERSA DEFINIDA POR: 𝑓 −1 : 𝑅 → 𝑅 𝑥 → 𝑦 = 𝑦(𝑥) =

𝑥+3 2

125

EJERCICIO 𝑺𝒆𝒂 𝒉: 𝑹 → 𝑹[𝟏, 𝟒[ Forma parte hasta 3,99999999 𝒙 → 𝒚 = 𝒉(𝒙) = {

𝒙 − 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟑 } 𝒙 + 𝟏, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟑

𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑠𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎. Solución: 𝒉(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 𝒚=𝒙−𝟐 𝒚=𝟏−𝟐 𝒚 = −𝟏 X y=f(x) 0 -2 1 -1 2 0 𝒉(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 𝒚=𝒙+𝟏 𝒚=𝟏+𝟏 𝒚=𝟐 X y=f(x) 3 4 4 5 5 6

GRÁFICA 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠. 𝒔𝒊: 𝒙 < 𝟑 𝑥−2<3−2 ℎ(𝑥) < 1 126

]−∞, 1[ 𝑦 =𝑥−2=𝑥 =𝑦+2 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟑 𝑥+1≥3+2

ℎ(𝑥) ≥ 4 [4, ∞[ 𝑦 =𝑥+1=𝑥 =𝑦−1 DEFINICIÓN EN INVERSA 𝒉−𝟏 (𝒙) = 𝑹 − [𝟏, 𝟒[→R 𝒚 → 𝒙 = 𝒉−𝟏 (𝒚) = {

𝒙 = 𝒚 + 𝟐 𝒔𝒊 𝒚 < 𝟏 } 𝑿 = 𝒚 − 𝟏 𝒔𝒊 𝒚 ≥ 𝟒

Finalmente: 𝒉−𝟏 (𝒙): 𝑹 − [𝟏, 𝟒[ → 𝑹 𝒙 → 𝒚 = 𝒉−𝟏 (𝒙) = { X

y

-2 -3

0 1

𝒙 + 𝟐 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟏 } 𝒙 − 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟒

X y 4 3 5 4

127

𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐. 𝒈(𝒙) =

𝟐 √|𝒙 − 𝟐| − 𝟏

√|𝒙 − 𝟐| − 𝟏 ≠ 𝟎, 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒆𝒓𝒐. 𝒅𝒐𝒎 𝒈(𝒙)√|𝒙 − 𝟐| − 𝟏 ≥ 𝟎 |𝒙 − 𝟐| − 𝟏 ≥ 𝟎 |𝒙 − 𝟐| ≥ 𝟏 𝒙−𝟐≥𝟏

˅

𝒙 − 𝟐 ≤ −𝟏

𝒙≥𝟐+𝟏

˅

𝒙≤𝟐−𝟏

𝒙≥𝟑

˅

𝒙≤𝟏

𝒅𝒐𝒎𝒈(𝒙): ]−∞, 𝟏[ ∪ ]𝟑, ∞[

𝑬𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 su inverso. Si es necesario redefina la función. 𝒇: 𝑹 → ]𝟎, 𝟏] 𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐

𝟏 +𝟏

Solución: X

y

o + -1 + -2 + -3

1 0,5 0,2 0,1

Rango= Conjunto de llegada 𝒚=

𝒙𝟐

𝟏 +𝟏

(𝒙𝟐 + 𝟏)𝒚 = 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝒙𝟐 =

𝟏 𝒚

𝟏 −𝟏 𝒚

128

𝟏 |𝒙| = √ − 𝟏 𝒚 𝟏 𝒙 = −√ − 𝟏 𝒚

˅

𝟏 𝒙=√ −𝟏 𝒚

𝟏 𝒙=√ −𝟏 𝒚

FUNCIÓN INVERSA ESTÁ DADA POR: 𝑓 −1 (𝑥): ]0,1] → [0, ∞[ 𝟏 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √ − 𝟏 𝒙

X

y

O,4 0,5 1

1,22 1 0

129

MONOTONÍA DE FUNCIONES

Se analiza en un intervalo no en un solo punto. 𝟏. −𝒇(𝒙)𝒆𝒔 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: (⦡𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ∈ 𝑰)(𝑿𝟏 < 𝑿𝟐 ) ⇒ (𝒇(𝒙𝟏 ) ≤ 𝒇(𝒙𝟐 ) 𝟐. −𝒇(𝒙)𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: (⦡𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ∈ 𝑰)(𝑿𝟏 < 𝑿𝟐 ) ⇒ (𝒇(𝒙𝟏 ) < 𝒇(𝒙𝟐 )

𝟑. −𝒇(𝒙)𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: (⦡𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ∈ 𝑰)(𝑿𝟏 < 𝑿𝟐 ) ⇒ (𝒇(𝒙𝟏 ) ≥ 𝒇(𝒙𝟐 ) 𝟒. −𝒇(𝒙)𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: 130

(⌥đ?’™đ?&#x;? , đ?’™đ?&#x;? ∈ đ?‘°)(đ?‘żđ?&#x;? < đ?‘żđ?&#x;? ) ⇒ (đ?’‡(đ?’™đ?&#x;? ) > đ?’‡(đ?’™đ?&#x;? )

FUNCION PERIODICA

Es aquella funcion que cumple esta propiedad:

âˆƒĆŹ ∈ đ?‘š+ áľžđ?‘ż ∈ đ?’…đ?’?đ?’Ž đ?’‡[(đ?’™ + đ?&#x;?) = đ?’‡(đ?’™)]

Y se denomina periodica con periodo T Donde T se llama periodo fundamental

đ?’‡(đ?&#x;Ž) = đ?&#x;Ž đ?’‡(đ?&#x;Ž + đ?&#x;‘) > đ?’‡(đ?&#x;‘) = đ?&#x;Ž

đ?’‡(đ?&#x;?, đ?&#x;“) = đ?&#x;? đ?’‡(đ?&#x;?, đ?&#x;“ + đ?‘ťđ?&#x;‘ ) = đ?&#x;?

đ?’‡(đ?&#x;Ž) = đ?&#x;Ž đ?’‡(đ?&#x;Ž + đ?&#x;?) = đ?&#x;Ž

đ?’‡(đ?&#x;?) = đ?&#x;? đ?’‡(đ?&#x;? + đ?&#x;‘) = đ?’‡(đ?&#x;’) = đ?&#x;?

131

𝒇(𝟎) = 𝟎

𝑻→𝟐

𝒇(𝟎 + 𝟐) = 𝒇(𝟐) = 𝟎

𝒇(𝟏) = 𝟐

𝒇(𝟏) = 𝟐

𝒇(𝟏 + 𝟐𝑻) = 𝒇(𝒈) = 𝟐

𝒇(𝟏 + 𝑻)𝟐 = 𝒇(𝟑) = −𝟐

𝒇(𝟏 + 𝟑𝑻) = 𝒇(𝟏𝟑) = 𝟐

𝒇(𝟏) ≠ 𝒇(𝟏 + 𝑻) 𝒇(𝟏) = 𝟎 𝒇(𝟏 + 𝑻) = 𝟎 𝒇(𝟏) = 𝒇(𝟏 + 𝑻)

𝒇(𝟐) = 𝟏 𝒇(𝟐 + 𝟏) = 𝒇(𝟖) = 𝟏 𝒇(𝟐) = 𝒇(𝟐 + 𝑻)

132

𝒎=𝟐 𝒏=𝟐

𝒍𝒂 𝒈(𝒙)𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒂𝒄𝒐𝒕𝒂𝒅𝒐

|𝒇(𝒙)| ≤ 𝟐 − 𝟐 ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝟐

− 𝟑 ≤ 𝒈(𝒙) ≤ 𝟓 𝒈(𝒙) − 𝟏 ≤ 𝟒

133

FUNCION COMPUESTA 𝒈𝒐𝒇(𝒙) ≠ 𝒇𝒑𝒈(𝒙) EJEMPLO 𝒔𝒆𝒂𝒏: 𝒇: 𝑹 → 𝑹 𝒙 → 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏

𝒈 𝒈𝑹 → 𝑹 𝒚 → 𝒛 = 𝒚𝟐

Calcular (𝒈𝒐𝒇)(𝒙) SOL: 𝒓𝒆𝒄 𝒇 ⊆ 𝑫𝒈

𝒈𝒐𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙)) = (𝟐𝒚 + 𝟏)

𝑹⊆𝑹

𝒈𝒐𝒇: 𝑹 → 𝑹 𝒙 → 𝒛 = 𝒈𝒐𝒇(𝒙) = (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐

2) sean las funciones 𝒇 = {(𝟐, 𝟕)(𝟑, 𝟔)(𝟒, 𝟖)(𝟓, 𝟗)} 𝒈 = {(𝟔, 𝟓)(𝟕, 𝟑)(𝟖, 𝟒)(𝟗, 𝟐)}

𝒈𝒐𝒇 = {

(𝟐, 𝟑)(𝟑, 𝟓) } (𝟒, 𝟒)(𝟓, 𝟐)

2

6

2

3

7

3

4

8

4

(𝟐, 𝟑) ∈ 𝒈𝒐𝒇

5

9

5

𝒈(𝒇(𝒙)) = 𝒈(𝒇(𝟐)) 𝒈(𝟕) = 𝟑

134

g

f

6

2

2

7

3

3

8

4

4

9

5

5

𝒇𝒐𝒈 = {

(𝟔, 𝟓)(𝟕, 𝟐) } (𝟖, 𝟑)(𝟗, 𝟒)

135

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