Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
CAPÍTULO 4
Volumen de Sólidos de Revolución
60
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
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Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l , se genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta l se denomina eje de giro. En este capítulo se estudiará como determinar el volumen de estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados.
4.1.- Cálculo del Volumen de Sólidos de Revolución mediante el Método del Disco Este método permite determinar el volumen de sólidos de revolución como la suma del volumen de cilindros circulares rectos de corta altura (discos). Recuerde que el volumen de un cilindro se calcula por la fórmula: V r 2 h , donde r es el radio del cilindro y h su altura. Sea la región R acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, el eje x , y las rectas verticales x a y x b como se muestra en la figura 4.1a, si dicha región gira alrededor del eje x , se genera un sólido compacto como el que se muestra en la figura 4.1b. y
y y=f(x)
b f(w)=Rg
f(w)=Rg a
w
Figura 4.1a Representación grafica de la región R
b
x
a
wi
b
x
Figura 4.1b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor del eje x
Sea un plano perpendicular al eje x , que corta al sólido de la figura 4.1b, la intersección es una sección transversal circular. Si este plano pasa por el punto en el eje x con abscisa wi , entonces el radio del círculo formado se denomina radio de y su longitud es f wi , y el área del círculo es f wi . Se puede deducir la integral definida que permite calcular el volumen de sólidos de revolución, usando sumas de Riemann, de manera análoga al procedimiento utilizado para calcular áreas en el capítulo 2. giro
Rg
2
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62 n
Sea f continua y no negativa en a, b . Sea
f w x i
i 1
una suma de Riemann,
i
xi 1 , xi
donde wi es un número arbitrario en el i-ésimo subintervalo
de una
partición P de a, b . Ésta es una suma de áreas de rectángulos como los que se muestran en la figura 4.2a. Al girar el i-ésimo rectángulo alrededor del eje x se genera un cilindro rectangular recto de poca altura (disco), cuyo radio de la base es f wi y su altura es xi . El volumen de este disco es f wi xi . la suma de todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que se muestra en la figura 4.2b. y está dado por: 2
n
f wi xi 2
i 1
y
y y=f(x) f(wi) b
... a
... b wi
b
x
a
Figura 4.2a Representación grafica de una suma de Riemann para la región R
wi
b
x
Figura 4.2b Representación grafica de una suma de Riemann para la región R cuando ésta gira alrededor del eje x
Esta es una suma de Riemann para f x . A medida que P 0 , n , entonces la suma de los volúmenes de los cilindros se acerca al volumen del sólido formado cuando la función gira alrededor del eje de revolución representado en la figura 3.1b. Por tanto, el volumen de un sólido de revolución se define como sigue: 2
Sea f continua en el intervalo cerrado
a, b , y sea
R la región acotada por la gráfica de f , el eje x , y las rectas x a y x b . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje x está dado por: n
V lim f wi xi f x dx a n i 1
2
b
2
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
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A continuación se resuelve un ejercicio donde el sólido formado gira alrededor del eje x formando un sólido compacto. Ejemplo 4.1. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región R x, y 2 y ln x ; x 1; x e; y 0 gira alrededor del eje x .
Solución La región y los puntos de intersección fueron determinados en el capítulo 2 y se representan en la figura 4.3a. y
y
f(x)=ln(x) Sombreado 1 x(t)=1 , y(t)=t
x 1
y ln x
1
f(x)=0
xe
xe
x 1
x(t)=e , y(t)=t
1.5
P3 e,1
0.5 Rg
P1 1,0 0.5
1
1.5
2
Rg
P2 e,0 2.5
3
3.5
x
x
-0.5
Figura 4.3a
Figura 4.3b
Representación gráfica de la región R
Representación gráfica del sólido que se genera cuando la región R gira alrededor del eje x
El sólido formado se representa en la figura 4.3b y su volumen se determina sumando los volúmenes de los cilindros con radio de giro Rg ln x y base dx , desde x 1 hasta x e , mediante la solución de la integral:
V ln x dx 1 e
2
Aplicando la técnica de integración por partes:
V x ln 2 x 2 x ln x 2 x
e
1
Evaluando:
V e 2 2,257
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Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una región gira alrededor de una recta paralela al eje x pero distinta de él, la deducción teórica de la integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro (Rg) se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta al eje x, es decir, Rg f wi k , donde y k es el eje de giro, como se observa en las figuras 4.4a y 4.4b). y
y y=f(x)
b Rg
Rg
y=k
a
wi
b
a
x
wi
Figura 4.4a Representación grafica de una región R
b
Figura 4.4b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor del eje y=k
La definición del volumen vendrá dada por: Sea f continua en el intervalo cerrado
a, b , y sea
R la región acotada por la gráfica de f , y las rectas x a , x b y y k . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje y k es: 2
V Rg x dx a b
Donde
Rg x es la distancia entre f x
y el eje de revolución x
a,b , denominada
radio de giro.
En el siguiente ejemplo se calcula el volumen de un sólido que gira alrededor de una recta paralela al eje x pero distinta de él, sin embargo, el sólido formado sigue siendo un sólido compacto.
x
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
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Ejemplo 4.2. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región
R
x, y , y 3 2
x ; x 1; x 3; y 2 gira alrededor a la recta y 2 .
Solución La región y los puntos de intersección se representan en la figura 4.5a.
y
P3 3,3 3
y 3 x
5
y
4
P4 1,3
Rg
3
Rg y2
2
P1 1,2
P2 3, 2
1
1
2
3
x
x
Figura 4.5b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor de la recta y=2
Figura 4.5a Representación grafica de la región R
El volumen del disco representado en la figura 4.5b se obtiene mediante la expresión:
dV Rg x
2
dx
Donde el radio de giro Rg es:
Rg x f x k 3 x 2 Entonces:
2
dV 3 x 2 dx El volumen del sólido de la figura 4.5b se determina mediante la solución de la integral: 3
2
V 3 x 2 dx 1
Integrando y evaluando:
V 32,769
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En esta sección se considera una región acotada por las rectas verticales x a y x b y por las graficas de las dos funciones continuas f y g con f x g x
x a, b , como se muestra en la figura 4.6a. Si esta región gira alrededor de la recta y k , genera el sólido que se muestra en la figura 4.6b. (Observe que el sólido tiene un hueco o agujero central).
El volumen V de este sólido hueco, puede calcularse restando el volumen del sólido formado por la región limitada por g x (volumen interno) al volumen del solido formado por la región limitada por f x (volumen externo). Desarrollando la definición de volumen de sólidos utilizada anteriormente para el sólido de la figura 4.6b se obtiene:
V f x k dx g x k dx a a b
b
2
Esto es:
2
V f x k g x k dx a b
2
2
Esta última integral tiene su interpretación como límite de una suma de Riemann. Como se ilustra en la figura 4.6a. el elemento de área comprendido entre la gráfica de g y la gráfica de f tiene una altura igual a f wi g wi , genera al girar un sólido con forma de arandela, como se observa en la figura 4.6b. Recuerde que el volumen de una arandela se calcula por la formula: 2 2 V R r H
Donde, R es el radio externo de la arandela, r es el radio interno y H es el espesor de la arandela. y
y
y=f(x) y=g(x)
f(wi) - k
b y=k
b
a
wi
Figura 4.6a Representación grafica de la región R
b
x
a
wi
b
Figura 4.6b Representación gráfica del sólido hueco que se forma cuando R gira alrededor del eje y=k
x
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
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En el sólido de la figura 4.6b., R f wi k , r g wi k y H xi . Entonces el volumen de la arandela es Vi y se determina por la fórmula:
Vi f wi k g wi k xi 2
2
Sumando los volúmenes de todas las arandelas se obtiene:
V f w k n
i 1
n
i
2
i
i 1
g wi k xi 2
Tomando límite cuando n , se llega a la siguiente expresión: n
V lim f wi k g wi k xi n i 1
2
2
En conclusión, podemos definir el volumen de este sólido hueco como sigue:
Sean f y g funciones continuas en el intervalo cerrado
a, b , tal que f x g x
x a,b y sea R la región acotada por la gráfica de f , g y las rectas x a , x b . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la recta y k está dado por:
2
2
V Rg f x Rg g x dx a b
Donde:
Rg f x es el radio de giro de la función f (externo) Rg g x es el radio de giro de la función g (interno)
Seguidamente, se resuelven dos ejemplos de cálculo de volumen de sólidos de revolución huecos. En el primero, las funciones que delimitan la región están por encima del eje de giro en todo el intervalo a, b , por lo cual, el radio de giro es:
Rg f x f x k El segundo, además de ser más complejo, presenta el caso contrario, en el que el eje de giro está por encima de las funciones que delimitan la región en todo el intervalo a, b , por lo tanto, el radio de giro viene dado por:
Rg f x k f x
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
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Ejemplo 4.3. Determine el volumen del sólido formado cuando la región comprendida entre la curva y 1 2 x x 2 y la recta y x 1 gira alrededor de la recta y=-2
Solución La región y los puntos de intersección fueron determinados en el capítulo 2 y se representan en la figura 4.7a.
y
Rginterno
y
y x 1
Rgexterno
2
P2 2,1
1
-1
P1 -1,-2
1
x
2
x
y 1 2 x x2
-1 -2
y 2
y 2
Figura 4.7b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando la región gira alrededor de la recta y=-2
Figura4.7a Representación grafica de la región comprendida entre la curva y=1+2x-x2 y la recta y=x-1
La arandela formada se representa en la figura 4.7b y su volumen se determina mediante la expresión: 2 2 dV Rgexterno Rginterno dx
Esto es:
dV 1 2 x x 2 2 x 1 2 dx 2
2
Luego, el volumen del sólido de revolución viene dado por la resolución de la siguiente integral:
V
2
1 2x x
1
2
2 x 1 2 dx 2
2
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
69 2
x5 2 3 4 2 3 4 8 10 x 3 x 4 x x dx 8 x 5 x x x 1 5 1
V
2
V
108 67,858 5
Ejemplo 4.4. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región R x, y 2 , y 5; y x3 ; y x 2; y x 2 2 x 1 gira alrededor a la recta y=5.
Solución La región y los puntos de intersección fueron determinados en el capítulo 2 y se representan en la figura 4.8a. y
y
P4 P5
Rg1
Rg2
Rg3
y 5
Rg4 P3 P2 x
P1 Figura 4.8a Representación grafica de una región R
x
Figura 4.8b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor de la recta y=5
Los puntos de intersección determinados son: P1 1; 1
P2 1;1
P3 0,303;1,697
P4 3.236;5
P5 7;5
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
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El sólido formado se representa en la figura 4.8b y su volumen se determina mediante la solución de cuatro integrales: V1 es el volumen del sólido generado entre P5 y P1 , donde: Rg1 5 2 x 1
V1 5 2 x dx 7 2
V1 226,195
V2 es el volumen del sólido generado entre P4 y P3 , donde: Rg2 5 x 2 2 x 1
V2
0,303
3.236
5 x 2x 1 dx 2
2
V2 175,195
V3 es el volumen del sólido generado entre P1 y P3 , donde: Rg3 5 x3
V3 5 x3 dx 1 1
2
V3 157,978
V4 es el volumen del sólido generado entre P3 y P2 , donde: Rg4 5 2 x
V4
1
0.303
5 2 x dx
V4 29,285 V V1 V3 V2 V4
V 179,693
2
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
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Para calcular el volumen de sólidos que se generan al hacer girar regiones del plano alrededor de rectas paralelas al eje y, se debe integrar respecto a y. Considere una región acotada por la gráfica x g y , donde g es una función continua y no negativa para c, d , las rectas horizontales y c y y d , por el eje y y. Si esta región gira alrededor de y, genera un sólido cuyo volumen V se puede calcular intercambiando x y y en la definición anterior. Así, sea P una partición del intervalo c, d determinada por los elementos c y0 , y1 , y2 ,... yn . Sea wi cualquier número en
el i-ésimo subintervalo, se forman rectángulos de longitud (radio de giro) g wi y altura yi yi yi 1 que se ilustran en la figura 4.9a. El sólido generado al girar estos rectángulos alrededor del eje y se representa en la figura 4.9b. y
y x d
. . .
g(wi)
wi
x=g(y)
. . .
b b
c x
x Figura 4.9a Representación grafica de una suma de Riemann para la región R
Figura 4.9b Representación grafica de una suma de Riemann para la región R cuando ésta gira alrededor del eje y
El volumen del disco formado por el i-ésimo rectángulo es g wi yi . La suma de todos los volúmenes de los discos formados, es igual al volumen del sólido que 2
n
se muestra en la figura 4.9b. y está dado por: g wi yi 2
i 1
Mediante el límite de sumas se obtiene la siguiente definición: Sea g una función continua en el intervalo cerrado
c,d , y sea
R la región acotada
por la gráfica de g , el eje y , y las rectas y c y y d . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje y está dado por: n
V lim g wi yi g y dy a n i 1
2
b
2
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
72
En el ejemplo siguiente se determina el volumen de un sólido compacto formado cuando una región gira alrededor del eje y. Ejemplo 4.5. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región
R
x, y , x 2
y ;1 y 9; x 0 gira alrededor a la recta x 0 .
Solución La región se representa en la figura 4.10a. y
9
y
P4 0,9
P3 3,9
y 9
y 9
8
x y
7 6
Rg
5 4 3 2 1
P1 0,1 1
P2 1,1 2
y 1
y 1 3
x
x
Figura 4.10a Representación grafica de la región R
Figura 4.10b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando R gira alrededor de eje y
El sólido formado se representa en la figura 4.10, su radio de giro es:
Rg
y
Su volumen se determina mediante la solución de la integral: 9
2
9
V y dy ydy 1 1 9
y2 81 V 2 2 2 1
V 40
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
73
Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una recta gira alrededor de una recta l paralela al eje y, la deducción teórica de la integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta l al eje y. De manera análoga a lo realizado en la sección anterior e intercambiando la variable x por y , la definición del volumen vendrá dada por:
g continua en el intervalo cerrado c,d , y sea R la región acotada por la gráfica de g , y las rectas y c , y d y x k . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje x k es: Sea
2
V Rg y dy c d
Donde
Rg y es la distancia entre g y
y el eje de giro
y c,d , denominada radio de
giro.
En el próximo ejemplo, se determina el volumen de un sólido compacto formado cuando una región gira alrededor de un eje paralelo al eje y. Ejemplo 4.6. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región R x, y 2 , y ln x ; x 1; x e; y 0 gira alrededor de la recta x e .
Solución La región se representa en la figura 4.11a. y
x 1
xe
y
x 1
xe
x ey Rg
x
x Figura 4.11a Representación gráfica de la región R
Figura 4.11b Representación gráfica del sólido que se genera cuando la región R gira alrededor de la recta x=e
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
74
El sólido formado se representa en la figura 4.11d y su radio de giro viene dado por la siguiente expresión:
Rg e e y Entonces, su volumen se determina mediante la solución de la integral: 1
1
V e e y dy e2 2e y 1 e2 y dy 0 0 2
V 2 e
2
e2 2
3,902
Se considerará ahora una región acotada por las rectas verticales y c y y d y por las graficas de las dos funciones continuas f y g con f y g y y c, d , si esta región gira alrededor de la recta x k se genera un sólido hueco, cuyo volumen V , puede calcularse restando el volumen del sólido formado por la región limitada por g y (volumen interno) al volumen del solido formado por la región limitada por f y (volumen externo). Mediante la definición de volumen de sólidos de revolución utilizada anteriormente se obtiene:
V f y k dx g y k dy c c d
d
2
Esto es:
V
d
c
f y k
2
2
g y k dy 2
La interpretación de esta integral como una suma de Riemann, se obtiene de manera análoga a lo realizado en la sección anterior para sólidos huecos, entonces, podemos definir el volumen de este sólido hueco como sigue:
Sean f y g funciones continuas en el intervalo cerrado
c,d , tal que f y g y
y c,d y sea R la región acotada por la gráfica de f , g y las rectas y c , y d . El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la recta x k está dado por: V
b
a
Rg
f Rg x g dx 2
x
2
Donde:
Rg x f es el radio de giro de la función f (externo) Rg x g es el radio de giro de la función g (interno)
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
75
En los próximos dos ejemplos, se determina el volumen de sólidos huecos. En el primero, el eje de giro se encuentra a la derecha de la función, y en el segundo, el eje de giro se encuentra a la izquierda de la región. Ejemplo 4.7. Determine el volumen del sólido formado cuando la región comprendida entre la curva y 1 2 x x 2 y la recta y x 1 gira alrededor de la recta x=2 Solución Despejando x de la parábola y 1 2 x x 2 ;
x 1 2 y Los puntos de intersección y la región se representan en la figura 4.12a
y
P2 2,1
1
Rg 2
P1 -1,-2
1 -1
x2
Rg1
2
-1
y
x2
x
2
x
Rg3
-2
Figura 4.12a Representación gráfica de la región R
Figura 4.12b Representación gráfica del Sólido que se forma cuando la región gira alrededor de la recta x=2
El sólido formado se representa en la figura 4.12b y su volumen se determina mediante la solución de tres integrales:
V1 es el volumen del sólido generado entre P2 y el vértice de la parábola (se invita
al lector a calcularlo), donde: Rg1 2 1 2 y Entonces:
2
V1 2 1 2 y dy 1 2
V1
6
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
76
V2 es el volumen del sólido generado entre P1 y el vértice de la parábola, donde:
Rg2 2 1 2 y
Luego:
2
V2 2 1 2 y dy 2 2
V2
68 3
V3 es el volumen del sólido generado entre P1 y P2 , donde: Rg3 2 y 1
El volumen V3 se calcula mediante la solución de la integral: V3 2 y 1 dy 2 1
2
V3 9
Observe que la segunda integral representa el volumen del sólido externo, y las siguientes la de los sólidos internos. Por lo tanto, El volumen del sólido se calcula de la siguiente manera: V V2 V1 V3 Evaluando;
V
27 2
4.2.- Aplicación Práctica A continuación, se resuelve otro tipo de ejercicio, donde es necesario determinar la altura del nivel del líquido contenido en un depósito, si este no ocupa todo el volumen del recipiente. Ejemplo 4.8. Sea la región R
x, y , y x ; x 0; y x 6 . Determinar: 2
2
a) El volumen del depósito que se obtiene cuando la región gira alrededor del eje y. (considere las medidas del depósito en metros). b) La altura del nivel del líquido si este ocupa el 10% del volumen del depósito.
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
77
Solución El gráfico de la región y del sólido formado cuando esta gira alrededor del eje y se representan en las figuras 4.20a. y 4.20b:
y
y P2 0,6
Rg 2
P1 2,4
Rg1
X
x
x
P3 0,0 Figura 4.20a Representación gráfica de la región R
Figura 4.20b Representación grafica del sólido formado cuando la región R gira alrededor del eje y
Los puntos de intersección se determinan mediante la solución de las siguientes ecuaciones:
P1 es la intersección entre y x 2 y y x 6 , igualando las ecuaciones:
x2 x 6 x2 x 6 0 x
1 5 x1 3 2 x2 2
Sustituyendo;
y4 Luego;
P1 2,4
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
78
P2 es la intersección entre x 0 y y x 6 , sustituyendo:
y6 Luego;
P2 0,6 P2 es la intersección entre x 0 y y x 2 , sustituyendo:
y0 Luego;
P3 0,0 Entonces, el volumen del sólido de revolución formado, vendrá dado por la suma de los volúmenes V1 y V2 , donde: V1 es el volumen del sólido generado entre P3 y P1 , donde: Rg1
Por lo que;
V1
4
0
y
y 0
2
dy
V1 8m3 V2 es el volumen del sólido generado entre P1 y P2 , donde: Rg2 6 y 0 Por lo que;
V2 6 y dy 6
2
4
8 V2 m3 3 Si el líquido ocupa el 10% del volumen del depósito, entonces este volumen se calcula de la siguiente manera:
32 3 16 3 V10% 0,1 m m 3 15 16 8 , la altura del líquido residual estará ubicada en la sección 15 parabólica del depósito, entonces; Como
V10%
h10%
0
y
2
dy
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
79
h10% 16 ydy 0 15
h10%
16 y 2 15 2 0 h10%
32 m 1, 461m 15
Capítulo 4.- Volumen de Sólidos de Revolución
80
Ejercicios Propuestos En los siguientes ejercicios, plantear la integral que permita calcular el volumen del sólido de revolución formado, cuando la región dada gira alrededor de la recta indicada.
x, y , y x ; y 5x 6; y x 6 , gira alrededor de:
1) R1
2
a) y 0 2) R2 a)
a)
d) x 3
y ;2 y x 4; x 5; y 0
2
c) y 5
b) x 2
x, y , y x 2
y 3
c) y 7
b) x 1
x, y , x 2
y0
3) R3
2
2
d) x 5
1; x 0; x 2; y 1 c) y 5
b) x 4
d) x 0
1 4) R4 x, y 2 , y x 2 4; y 2 x 4 0; y 5 x 1 0 2 a)
y 4
5) R5
2
a)
2
a)
x, y , x y ; y 2
d) x 3
4 y ; y 4 x 4;4 y 5x 5 c) y 4
b) x 1
y 3
8) R8
c) y 4
b) x 1
x, y , x
a) y 5 7) R7
d) x 3
x, y , y 1 x 1 ; y x 1 2
a) y 2 6) R6
c) y 2
b) x 2
2
2
d) x 3
9 x 2
b) x 6
c) y 4
d) x 0
x, y , y 2x ; y 14x 3; y 7
y 1
2
2
b) x 2
c) y 7
d) x 0
9) Determinar la altura del nivel del líquido cuando el depósito formado si R x, y 2 y 2 x 2 ; y 14 x 3; x 0 gira alrededor de x 0 , está lleno
hasta un 60% de su capacidad.