Fórmulas de Derivación Algebraicas 1
2
3
4
5
6
d ( c )=0 dx
7
d ( x ) =1 dx
8
d d d d [ u ± v ± w ]= ( u ) ± ( v ) ± ( w ) dx dx dx dx d d ( cu )=c ( u ) dx dx
d d d ( uv )=u ( v ) +v ( u ) dx dx dx d d ( u )−u ( v ) d u dx dx = 2 dx v v
()
d u 1 d = (u ) dx c c dx
()
9
dy dy du = dx du dx
10
d d ( u )n=n ( u )n−1 (u ) dx dx d dx ( x )n =n ( x )n −1 =n ( x )n−1 dx dx
v
dy 1 = dx dx dy
11
Fórmulas de Derivación logarítmicas y exponenciales 12
13
14
d 1 d ( ln u )= (u) dx u dx d log e d ( log u )= ( u) dx u dx d u u d ( a ) =a ln ( a ) ( u ) dx dx
d u u d ( e ) =e (u) dx dx
15
16
d d d ( u )v =vuv−1 (u )+ ( ln u ) u v ( v ) dx dx dx
Fórmulas de Derivación de Funciones Trigonométricas 17
18
19
d d ( Sen u ) =cos u (u ) dx dx d d ( Tgu )=Se c 2 u ( u ) dx dx d d ( Sec u )=( Sec u ) ( Tg u ) ( u ) dx dx
20
21
22
d d ( cos u )=−Sen u ( u ) dx dx d d ( Ctg u )=−Cs c 2 u ( u ) dx dx d d ( Csc u )=−( Csc u ) ( Ctg u ) (u ) dx dx
Fórmulas de Derivación de Funciones Inversas Trigonométricas 23
24
25
d 1 d ( Arc Senu )= (u) 2 dx √1−u dx d 1 d ( Arc Tg u )= (u) 2 dx 1+u dx d 1 d ( Arc Sec u )= ( u) 2 dx u √ u −1 dx
26
27
28
d −1 d ( Arc cos u )= (u) dx √1−u 2 dx d −1 d ( Arc Ctg u )= ( u) 2 dx 1+u dx d −1 d ( Arc Csc u ) = (u ) 2 dx u √ u −1 dx
d ( c )=0 dx
d ( c )=0 dx=0
d ( x ) =1 dx
d ( x ) =1dx =dx
d d ( cu )=c ( u ) dx dx
d ( cu )=c du
d ( cx )=c dx
d ( cx )=c dx
d n [ u ]=n un −1 dx
d ( un )=nu n−1 dx
“La diferencial de la potencia de una variable es igual al producto de la potencia por la variable con el exponente reducido en la unidad por la diferencial de la variable”
d du dv [ u ± v ]= ± dx dx dx
d [ u ± v ] =du ±dv
“La diferencial de la suma o resta de funciones o variables, es igual a la suma o resta de la diferencial de cada función o variable”
d dv du ( uv )=u + v dx dx dx
d (uv ) =udv+ vdu
“La diferencial del producto de dos funciones, es igual a la primera por la diferencial de la segunda, más la segunda por la diferencial de la primera”
du dv −u d u dx dx = 2 dx v v
d
v
()
u vdu−udv = 2 v v
()
“La diferencial de una constante es igual a cero”
“La diferencial de una variable x es igual a
dx
”
“La diferencial de una constante por una función es igual a la constante por la diferencial de la función
du
”
“La diferencial de una constante por una variable x es igual a la constante por la diferencial de la variable
dx
”
“La diferencial del cociente de dos funciones, es igual al cociente de la diferencia de la función del denominador por la diferencial de la función del numerador menos la función del numerador por la diferencial de la función del numerador, entre el cuadrado de la función del denominador”
PROPIEDADES DE LOGARITMOS
ln
ln ( ab )=ln ( a ) + ln ( b )
( ab )=ln ( a )−ln ( b )
ln ( a )b =bLn ( a )
e
ln ( a )
=a
MODELOS BÁSICOS PARA INTEGRAR FUNCIONES ALGEBRAICAS Y EXPONENCIALES
∫ ( du ± dv ±dw )=∫ du ±∫ dv ±∫ dw 1
u=f ( x ), v=g(x), w=h( x )
donde
5
∫ [ x ] dx= x n
n+1
n+1
+c
du =lnu+c=ln u+ln c=ln cu u
2
∫ du=u+c
6
∫
3
∫ a du=a ∫ du=au+ c
7
∫ e u du=eu +c
8
au ∫ a du= ln a +c
4
∫ [ u]
n
du=
Analizar la integral dada
[ u]
n+1
n+1
+ c ∀ n ≠−1
Reescribir la integral si es necesario
Seleccionar el modelo a utilizar
u
Aplicar el modelo de integración seleccionado
Simplificar el resultado
1)
2)
3)
4)
5)
6
7
dx=¿ ∫¿
∫ du=u+c
dx=¿ x +c ∫¿
ds=¿ ∫¿
∫ du=u+c
ds=¿ s +c ∫¿
3 dt=¿ ∫¿
∫ a du=a ∫ du
−2 dx=¿ 7 ∫¿
∫ 3 dt=3 ∫ dt =3 t+ c −2 −2 −2 dx=¿ dx= x +c ∫ 7 7 7 ∫¿
∫ a du=a ∫ du
3 x6 dx=¿ ∫¿
x 6 dx =¿ 3∫ ¿
1 dx=¿ 4 x3 ∫¿
x dx=¿ 1 ∫¿ 4
−3
n+1
+c
3 x6 dx=¿3
[ ]
x 6+1 +c 6+1
x dx=¿ 4∫ ¿
[
−3+1
n+1
8
2∫
n+1
[ u] dx=2∫ x [ udx ∫ ] du= n+1 + c x 1 2
[ ]
[ ] [ ]
[] 3
+1
2 2 ∫ 4 √ x dx=4 x3 = 83 [ √ x3 ] + 2
+1
[]
2 x2 dx=¿2 +c −1 √x +1 2
1
x2 ¿2 =4 √ x +c 1 2
∫¿
1.4.3 Modelos de integrales para funciones algebraicas especiales. REGLAS PARA INTEGRAR FUNCIONES ALGEBRAICAS ESPECIALES
du
1
u
9
∫ u2 +a2 = a Arc Tg a +c
10
∫ u2−a 2 = 2 a ln u+ a +c
11
∫ a2−u 2 = 2 a ln a−u +c
du
1
u−a
du
1
a+u
+c
1 1 x −1 dx=¿ = 2+c 3 4 −2 8 x 4x ∫¿
x2 [ u] n 4 x dx=4 +c √ ∫ ∫ [ u ] du= n+1 + c 1 +1 2 n+1
−1 2 n
1
]
7
−2
1 1 x dx=¿ +c n 3 4 −3+1 ∫ [ u ] du= n+1 + c 4 x ∫¿
[ u]
−1
2 dx=¿ √x ∫¿
∫ 3 x 6 dx= 37x
∫¿
1
1 2
∫ 4 √ x dx=¿
∫ [ u ] n du=
[ u ] n+1
12
∫
du u = Arc Sen + c 2 2 a √ a −u
13
∫
du =ln [ u+ √ u2 ± a2 ] +c 2 2 √u ± a
14
∫ √ a2 −u2 du= u2 √ a2 −u2+ a2
2
u Arc Sen +c a
2
15
∫ √ u2 ±a 2 du= u2 √ u2 ± a 2 ± a2 ln [ u+√ u2 ± a 2 ]+ c
APLICAR LAS REGLAS PARA INTEGRAR FUNCIONES ALGEBRAICAS ESPECIALES: a) Analizar la integral a resolver y vea el modelo que puede aplicar. 2
a
b) Identifique la constante
y defina el valor de
c) Identifique la variable o función
a .
u2 y defina el valor de u .
d) Determine el valor de la diferencial de la variable o función u,
( du ) .
e) Verifique si esta completa la diferencial, en caso contrario completarla. f) Proceda a aplicar la fórmula o modelo de la integral seleccionada en el inciso “a”.
REGLAS PARA INTEGRAR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
∫ Senu du=−cos u+c
∫ Csc u Ctg u du=−Csc u+c
∫ cos u du=Senu +c
∫ Tg u du=−ln [ cos u ] + c=ln [ Sec u ] + c
∫ Se c 2 u du=Tg u+c
∫ Ctg u du=ln [ Sen u ] +c
∫ Cs c 2 u du=−Ctg u+c
∫ Sec u du=ln [ Sec u+Tg u ] + c
∫ Sec u Tg u du=Sec u+ c
∫ Csc u du=ln [ Csc u−Ctg u ] +c
Para resolver integrales de funciones trigonométricas (directas), se debe verificar que la diferencial del ángulo este completa para poder integrar.
IDENTIDADES PITAGÓRICAS
Se n2 θ+ Co s2 θ=1
Se n2 θ=1−Co s 2 θ
Co s 2 θ=1−Se n2 θ
Se c 2 θ−Ta n2 θ=1
Se c 2 θ=1+ Ta n2 θ
Ta n2 θ=Se c 2 θ−1
Cs c 2 θ−Ct g 2 θ=1
Cs c 2 θ=1+ Ct g 2 θ
Ct g 2 θ=Cs c 2 θ−1
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
Sen θ Csc θ=1 Sen θ=
1 Csc θ
cos θ Sec θ=1 cos θ=
1 Sec θ
tan θ Ctg θ=1 tan θ=
1 Ctg θ
tan θ=
Sen θ cos θ
Ctg θ=
cos θ Senθ