MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA ESTRUCTURA DISCRETA Y GRAFOS; -UNIDAD II
INGENIERÍA EN SISTEMAS. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Autores: Manuel Colmenares, Bárbara Montilla, Román Pérez & Rolando Durán. JULIO 2018
MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA
MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Tabla de contenido MÉTODOS DE CONTEO .............................................................................................................. 4 MÉTODO DEL DIAGRAMA DE ÁRBOL ..................................................................................... 4 PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO .............................................................................................. 5 PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICIÓN: ...................................................................................... 5 PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN: ....................................................................................... 6 VEAMOS UN EJEMPLO: ...................................................................................................... 6 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES ....................................................................................... 8 PERMUTACIONES: ................................................................................................................. 8 VEAMOS UN EJEMPLO: ...................................................................................................... 8 COMBINACIONES: ................................................................................................................. 9 VEAMOS UN EJEMPLO: .................................................................................................... 10 FACTORIAL: ......................................................................................................................... 10 FORMULARIO: ..................................................................................................................... 11 PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA ................................................................................ 12 CONJUNTOS INDUCTIVOS.................................................................................................... 12 VEAMOS UN EJEMPLO ..................................................................................................... 13 EJERCICIOS PROPUESTOS ........................................................................................................ 15 EJERCICIO 1: ........................................................................................................................ 15 SOLUCIÓN ....................................................................................................................... 15 EJERCICIO 2: ........................................................................................................................ 16 SOLUCIÓN: ...................................................................................................................... 16 EJERCICIO 3: ........................................................................................................................ 17 SOLUCIÓN ....................................................................................................................... 17 EJERCICIO 4: ........................................................................................................................ 18
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA SOLUCIÓN: ...................................................................................................................... 18 EJERCICIO 5: ........................................................................................................................ 19 SOLUCIÓN: ...................................................................................................................... 19 EJERCICIO 6: ........................................................................................................................ 20 SOLUCIÓN: ...................................................................................................................... 21 EJERCICIO 7: ........................................................................................................................ 22 SOLUCIÓN: ...................................................................................................................... 23 EJERCICIO 8: ........................................................................................................................ 24 SOLUCIÓN (Parte a): ........................................................................................................ 25 SOLUCIÓN (Parte b):........................................................................................................ 26 EJERCICIO 9: Calcular el cuarto término de: (2-3y)4. .................................................... 27 SOLUCIÓN: ...................................................................................................................... 27 EJERCICIO 10: ...................................................................................................................... 28 SOLUCIÓN: ...................................................................................................................... 28 EJERCICIO 11: ...................................................................................................................... 29 SOLUCIÓN: ...................................................................................................................... 29
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MÉTODOS DE CONTEO Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Entre estos métodos destaca el método del diagrama de árbol. Un método de conteo nos sirve para enumerar los elementos de un conjunto, teniendo especial cuidado en no olvidar contar algún elemento o contarlo más de una vez. Por ejemplo: al lanzar un dado se puede determinar cuantas posibilidades hay de que salga un número a favor, si tienen 6 caras los dados, el método de conteo ayudaría a saber cuál sería la probabilidad de que saliera un cierto número. Entonces sirve para contar el número de casos favorables o posibles y así poder ver cuantas combinaciones diferentes se pueden tener.
MÉTODO DEL DIAGRAMA DE ÁRBOL Es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos donde a cada evento puede ocurrir en un número finito de formas.
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PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO Hay dos principios básicos de conteo, uno comprende la adición y otro la multiplicación.
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICIÓN: Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F puede ocurrir en n formas, y supongamos que ambos eventos no pueden ocurrir
en
forma
simultánea
(disjuntos
o
mutuamente
excluyentes). Entonces E o F pueden ocurrir de (m+n) formas. Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de: M + N +.........+ W maneras o formas
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN: Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente de este evento, un evento F puede ocurrir en n formas. Entonces las combinaciones de los eventos E y F pueden ocurrir en (mn) formas. M x N x.........x W maneras o formas
VEAMOS UN EJEMPLO: Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric. Cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser Autores: Manuel Colmenares, Bárbara Montilla, Román Pérez & Rolando Durán.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Primero, los datos: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirlpool. N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy. W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric. Entonces: M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras. N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras. W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras. Aplicando el principio de la adición, tenemos: (M + N + W) = 16 + 12 + 2 = 30 SOLUCIÓN: La persona tiene 30 maneras de seleccionar una lavadora.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
PERMUTACIONES: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Dado de un conjunto de n elementos, se denomina permutación a cada uno de los conjuntos que se pueden formar con estos elementos tales que cada uno de ellos difiere de otro en el orden en que son considerados los elementos. Consiste en multiplicar en todo momento cada dato que te pueda dar y sirve para hallar formulas generales que permitan calcular el número de permutaciones con y sin repetición. VEAMOS UN EJEMPLO: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA? Autores: Manuel Colmenares, Bárbara Montilla, Román Pérez & Rolando Durán.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que usemos otra nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 SOLUCIÓN: Se pueden ordenar de 40.320 formas
diferentes
la
palabra
IMPUREZA.
COMBINACIONES: Es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de objetos si el orden de los objetos no es importante. Combinaciones, es el número de formas de seleccionar n objetos de un grupo de m objetos sin importar el orden.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Normalmente
usamos
la
palabra
"combinación"
descuidadamente,
sin
pensar en si el orden de las cosas es importante. "Mi
ensalada
combinación
de
de
frutas
manzanas,
es uvas
una y
bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724"
Si el orden sí importa es una permutación. Si el orden no importa, es una combinación.
no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
VEAMOS UN EJEMPLO: Si se requiere formar un equipo de trabajo formado por dos personas seleccionadas de un grupo de 3 (A, B y C); si en el equipo hay dos funciones diferentes entonces sí importa el orden, los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son los siguientes: Permutaciones: AB, AC, BA, BC, CA, CB Combinaciones: AB, BC, CA
FACTORIAL: Un factorial se designa con un número natural positivo seguido por un signo de exclamación (ejemplo 5!). El valor de una factorial es el producto de todos los números desde 1 hasta el número de la factorial. 5! = 1*2*3*4*5 = 120.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMà TICA Las factoriales se utilizan para determinar las cantidades de
combinaciones
y
permutaciones
y
para
averiguar
probabilidades.
FORMULARIO: Permutaciones: ďƒ˜
Pn = đ?‘›!
ďƒ˜
Pm,n =
đ?‘š! (đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
Permutaciones circulares: Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en cĂrculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitĂşe" en la muestra determina el principio y el final de muestra. ďƒź SĂ entran todos los elementos. ďƒź SĂ importa el orden. ďƒź No se repiten los elementos. PCn = Pn-1 = (đ?‘› − 1)! Permutaciones con repeticiĂłn: Donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces... ďƒź SĂ entran todos los elementos. ďƒź SĂ importa el orden. ďƒź SĂ se repiten los elementos. PRna, b, c‌ =
đ?‘ƒđ?‘› đ?‘Ž!∗ đ?‘?! ∗ đ?‘?!
Combinaciones: ďƒź No entran todos los elementos. ďƒź No importa el orden. Autores: Manuel Colmenares, BĂĄrbara Montilla, RomĂĄn PĂŠrez & Rolando DurĂĄn.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIĂ“N MATEMĂ TICA ďƒź No se repiten los elementos Cm,n =
đ?‘š! đ?‘›!(đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
Combinaciones con repeticiĂłn: Las combinaciones con repeticiĂłn de m elementos tomados de n en n (m ≼ n), son los distintos grupos formados por n elementos ďƒź No entran todos los elementos. ďƒź No importa el orden. ďƒź SĂ se repiten los elementos. CRm,n =
(đ?‘š+đ?‘›âˆ’1)! đ?‘›!(đ?‘šâˆ’1)!
PRINCIPIO DE INDUCCIĂ“N MATEMĂ TICA CONJUNTOS INDUCTIVOS Intuitivamente se obtienen los enteros positivos, tomando como punto de partida un primero designado por "1" y formando 1 + 1 (llamado "2"), 2 + 1 (llamado "3"), y asĂ sucesivamente. En virtud de que no se puede depender del significado un poco oscuro de "y asĂ sucesivamente" y de que se debe tener una base para proporcionar teoremas relativos a los enteros positivos, se da una definiciĂłn del conjunto de los enteros positivos, basada en el concepto de conjunto inductivo. La inducciĂłn matemĂĄtica es un mĂŠtodo de demostraciĂłn que se utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones. El mĂŠtodo es bastante natural para
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA usarse en una variedad de situaciones en la ciencia de la computación.
Algunas
aplicaciones
tienen
un
sabor
muy
matemático, tal como verificar que todo entero positivo satisface cierta fórmula. Otra utilización frecuente es la de demostrar que un programa de computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera.
VEAMOS UN EJEMPLO Demostrar que (3k - 2) = 1/2(3n² - n) se cumple para cualquier número natural. (3k - 2) = 1/2(3n² - n) Nótese que: p(1) = 1 = 1/2[3(1)² - 1)] de aqui que 1 = 1 p(2) = 1 + 4 = 1/2[3(2)² - 2)] de aqui que 5 = 5 p(3) = 1 + 4 + 7 = 1/2[3(3)² - 3)] de aqui que 12 = 12 El principio de inducción matemática consiste en lo siguiente: Una proposición es válida para todo número natural n si: 1. Es válida para n = 1 2. De su validez para un número natural cualquiera n = k se desprende su validez para n = k + 1 P (1) ^
k[P(k) P(k + 1)]
nP(n)
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EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO 1:
ÂżCuĂĄntos nĂşmeros de cuatro cifras pueden
formarse con las cifras 6, 5, 7, 4, 3, 8, si ninguna cifra puede aparecer mĂĄs de una vez en cada nĂşmero? Ordenando los datos nos queda: (8, 7, 6, 5, 4, 3). En este ejercicio se realiza una permutaciĂłn de elementos, mediante la siguiente fĂłrmula: Pm,n =
đ?‘š! (đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
DĂłnde tenemos que m es el nĂşmero de elementos y n la cantidad de cifras que va a tener cada nĂşmero formado. Ahora bien, sabiendo que m = 6 y n = 4 sustituimos en la ecuaciĂłn:
P6,4 =
6! (6−4)!
=
6! 2!
=
720 2
= 360.
SOLUCIĂ“N: Pueden formarse 360 nĂşmeros de 4 cifras con 8, 7, 6, 5, 4, 3, sin que ninguna cifra aparezca mĂĄs de una vez en cada nĂşmero.
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EJERCICIO 2: ÂżDe cuantas maneras puede
formarse un equipo
de voleibol (6 jugadores) en un plantel de 9 jugadores? Analizando el caso, determinamos que los elementos son 9 (m = 9) y la cantidad los jugadores es 6 (n = 6), la cual forma el equipo. Se resuelve con la siguiente fĂłrmula.
Cm,n =
đ?‘š! đ?‘›!(đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
Sustituyendo tenemos:
C9,6 =
9! 6!(9−6)!
ďƒ C9,6 =
9! 6! đ?‘Ľ 3!
=
362880 4320
= 84.
Es lo mismo que decir:
C9,6 =
9! 6! đ?‘Ľ 3!
=
9 đ?‘Ľ 8 đ?‘Ľ 7 đ?‘Ľ 6! 3! đ?‘Ľ 6!
=
9đ?‘Ľ8đ?‘Ľ7 3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1
= 84.
SOLUCIĂ“N: El equipo de voleibol se puede formar de 84 maneras diferentes.
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EJERCICIO 3:
ÂżCuĂĄntas sumas diferentes de dos sumandos
cada una se pueden obtener con los nĂşmeros 3, 6, 12, 21, 13, 41? AquĂ se presenta un ejercicio de combinaciĂłn de elementos, donde 6 es el nĂşmero de los elementos (m = 6) y 2 las cifras de los sumandos (n = 2). Se resuelve con la siguiente fĂłrmula.
Cm,n =
đ?‘š! đ?‘›!(đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
Sustituyendo los valores de m y n, obtenemos:
C6,2 =
6! 2! (6−2)!
=
6! 2! đ?‘Ľ 4!
=
720 48
= 15.
Es lo mismo que decir:
C6,2 =
6! 2! đ?‘Ľ 4!
=
6 đ?‘Ľ 5 đ?‘Ľ 4! 2! đ?‘Ľ 4!
=
6đ?‘Ľ5 2đ?‘Ľ1
= 15.
SOLUCIĂ“N: Se pueden obtener 15 sumas de dos sumandos con los datos generados.
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EJERCICIO 4:
En una fila de 10 butacas ÂżCuĂĄntas posiciones
diferentes pueden ocupar tres personas, sentĂĄndose siempre las tres? Al analizar el enunciado se determina que 10 es la cantidad de elementos (m = 10) y 3 la cantidad de personas (n = 3). Se realiza con la fĂłrmula de combinaciĂłn:
Cm,n =
đ?‘š! đ?‘›!(đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
Si sustituimos los datos en la fĂłrmula obtenemos:
C10,3 =
10! 3!(10−3)!
=
10! 3! đ?‘Ľ 7!
=
3628800 30240
= 120.
Es lo mismo que de decir:
C10,3 =
10! 3! đ?‘Ľ 7!
=
10 đ?‘Ľ 9 đ?‘Ľ 8 đ?‘Ľ 7! 3! đ?‘Ľ 7!
=
10 đ?‘Ľ 9 đ?‘Ľ 8 3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1
= 120.
SOLUCIĂ“N: De tal forma, son 120 las posibles posiciones en que las personas pueden sentarse.
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EJERCICIO 5: ÂżCuĂĄntos nĂşmeros diferentes
de 6 cifras puede
formarse con los 09 dĂgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los cuales no se repita ningĂşn nĂşmero? Sabemos que la cantidad de elementos es 9 (m = 9) y las cifras serĂĄn de 6 dĂgitos, (n = 6) Al igual que el ejercicio 2, este caso se resuelve mediante la siguiente fĂłrmula:
Pm,n = (
đ?‘š!
đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
Se sustituyen los valores y tenemos:
P9,6 = (
9!
9−6)!
=
9! 3!
=
362880 6
= 60.480.
Es lo mismo que decir:
P9,6 =
9! (9 − 6)!
=
9 đ?‘Ľ 8 đ?‘Ľ 7 đ?‘Ľ 6 đ?‘Ľ 5 đ?‘Ľ 4 đ?‘Ľ 3! 3!
= 60.480.
SOLUCIĂ“N: Se pueden formar 60.480 nĂşmeros de 6 cifras.
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EJERCICIO 6: Hallar el nĂşmero de personas que asistieron a una reuniĂłn si al despedirse se contĂł 78 apretones de manos. Este caso requiere de un poco de interpretaciĂłn de la siguiente manera: Cuando se da un apretĂłn de manos participan siempre 2 personas, como por ejemplo: Con 2 personas (A y B), se produce un apretĂłn de manos con AyB Con 3 personas (A, B y C), se produces un apretĂłn de manos (A con B, A con C y B con C) Y asĂ respectivamente. En este caso, el problema se trata de 78 apretones de manos basados en combinaciones de una cantidad de elementos “mâ€? tomados de 2 en 2 sin la repeticiĂłn del mismo porque el apretĂłn sĂłlo sucede 1 vez. La expresiĂłn correcta es:
Cm,2 =
đ?‘š! 2!(đ?‘šâˆ’2)!
Pero de acuerdo al caso tenemos:
Cm,2 =
đ?‘š! 2!(đ?‘šâˆ’2)!
= 78
Simplificando las factoriales:
Cm,2 =
(đ?‘šâˆ’1)đ?‘š 2
= 78
Al tenerla de esa manera, es como si tuviĂŠramos la fĂłrmula:
K=
(đ?‘›âˆ’1)đ?‘› 2!
;
Donde K = 78 y n es la incĂłgnita (m = ?). Autores: Manuel Colmenares, BĂĄrbara Montilla, RomĂĄn PĂŠrez & Rolando DurĂĄn.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMà TICA
Se hace una propiedad distributiva en m:
Cm,2 =
(đ?‘š2 −đ?‘š) 2
= 78
Despejando los valores y resolviendo: đ?‘š2 – đ?‘š = 78 đ?‘Ľ 2 → đ?‘ đ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘œ: đ?‘š2 − đ?‘š = 156 Despejamos de nuevo e igualamos a 0, se obtiene una ecuaciĂłn de segundo grado: đ?‘š2 − đ?‘› − 156 = 0 Resolviendo dicha ecuaciĂłn se obtienen 2 resultados: đ?‘Ľ=
−(−1)Âąâˆš(−1)2 −4(1)(−156) 2(1)
X1 = 13
X2 = -12
Por lĂłgica sabemos que no puede haber un nĂşmero negativo de personas, por lo que sustituimos el valor de X1 en la fĂłrmula original de la combinaciĂłn:
C13,2 =
13! 2!(13−2)!
=
13! 2! đ?‘Ľ 11!
=
6227020800 79833600
= 78.
SOLUCIĂ“N: A la reuniĂłn asistieron 13 personas, al despedirse se registran 78 apretones de manos.
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EJERCICIO 7: En el siguiente binomio: (x4+1/x3)2n-1 uno de sus tĂŠrminos centrales es independiente de “xâ€?. Calcular el nĂşmero de tĂŠrminos. n= 2n-1 x3 Usaremos la fĂłrmula: k=(
đ?‘›âˆ’1
đ?‘›âˆ’1
2
2
) ; k=(
)
đ?‘›
Tc= ( )an-k . qk đ?‘˜
Tc=(
2đ?‘›âˆ’1 1 đ?‘›+1 2
Tc=(
4đ?‘›âˆ’2
Tc=(
4đ?‘›âˆ’2
Tc=(
4đ?‘›âˆ’2
Tc=(
4đ?‘›âˆ’2
Tc=(
4đ?‘›âˆ’2
Tc=(
4đ?‘›âˆ’2
Tc=(
4đ?‘›âˆ’2
đ?‘›+1
đ?‘›+1
đ?‘›+1
đ?‘›+1
đ?‘›+1
đ?‘›+1
đ?‘›+1
1
). (X4)n – (n+1 /2) . ( �^3) ). (X4)(2n-n-1 /2) . (X-3)(n+1 /2) ). (X4)(n-1 /2) . (X)(-3n-3 /2) ). (X2)(n-1) . (X)(-3n-3 /2) ). (X)(2n-2) . (X)(-3n-3 /2) ). (X)2n-2 + (-3n-3 /2) ). (X)(4n-4-3n-3 /2) ). (X)(n-7 /2)
Para que el tĂŠrmino central sea independiente de “Xâ€?:
(
đ?‘›âˆ’7 2
)=0
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Despejamos n:
n-7= (2.0) n-7= 0
n=7
SOLUCIÓN: Entonces, la cantidad de términos de este ejercicio es 7.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMà TICA
EJERCICIO 8: Resolver por Binomio de Newton: a) (2b2-3a)4 Principalmente se procede a realizar el procedimiento: 4
4
4
4
0
1
2
3
( ) (2b)8 + ( ) (2b)7 .(-3a) + ( ) (2b)6 .(-3a)2 + ( ) (2b)5 .(-3a)3 + 4
( ) (2b)4 . (-3a)4 4
Los resultados de cada uno de los tĂŠrminos fraccionarios se obtendrĂĄn de la “PirĂĄmide de Tartagliaâ€? o mediante la fĂłrmula de combinatoria que, de tal modo, los elementos de m siempre serĂĄn 4 y los elementos de n serĂĄn los que varĂan segĂşn sea el caso. Partiendo de la fĂłrmula de combinatoria:
Cm,n =
đ?‘š! đ?‘›!(đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
Calculando cada uno de los tĂŠrminos tenemos:
C4,0 = C4,1 = C4,2 = C4,3 = C4,4
=
4! 0! (4−0)! 4! 1! (4−1)! 4! 2! (4−2)! 4! 3! (4−3)! 4! 4! (4−4)!
=1 =4 =6 =4 =1 En matemĂĄticas: 0! = 1 Autores: Manuel Colmenares, BĂĄrbara Montilla, RomĂĄn PĂŠrez & Rolando DurĂĄn.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMà TICA Se sustituyen los valores obtenidos: (1).(16b8) + (4).(8b6).(-3a) + (6).(4b4).(9a2) + (4).(2b).(-27a3) + (1). (81a4)
El efectuar las operaciones matemĂĄticas, queda como resultado:
(2b2-3a)4 = 16b8 – 96b6a + 216b4a2 – 216ba3 + 81a4
SOLUCIÓN (Parte a): El resultado obtenido al resolver el binomio (2b2-3a)4 por el mÊtodo de Binomio de Newton es: 16b8 – 96b6a + 216b4a2 – 216ba3 + 81a4. b) (3b2c-2a4)6 Empezamos a realizar cada uno de los tÊrminos: 6
6
6
6
( ).(3b2 c)6 + ( ).(3b2c)5.(-2a4) + ( ).(3b2c)4.(-2a)2 + ( ).(3b2c)3.(-2a)3 0
1
2
3
6
6
6
4
5
6
+ ‌( ).(3b2c)2.(-2a)4 + ( ).(3b2c).(-2a)5 + ( ).(-2a)6
Los resultados de cada uno de los tĂŠrminos fraccionarios se obtendrĂĄn de la “PirĂĄmide de Tartagliaâ€? o mediante la fĂłrmula de combinatoria que, de tal modo, los elementos de m siempre serĂĄn 6 y los elementos de n serĂĄn los que varĂan segĂşn sea el caso. Partiendo de la fĂłrmula de combinatoria:
Cm,n =
đ?‘š! đ?‘›!(đ?‘šâˆ’đ?‘›)!
Autores: Manuel Colmenares, BĂĄrbara Montilla, RomĂĄn PĂŠrez & Rolando DurĂĄn.
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MÉTODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Calculando cada uno de los términos tenemos: C6,0 =
6! 0! (6−0)!
=1
C6,1 =
6! 1! (6−1)!
=6
C6,2 =
6!
C6,3 = C6,4 =
2! (6−2)! 6! 3! (6−3)! 6! 4! (6−4)!
= 15 = 20 = 15
C6,5 =
6! 5! (6−5)!
=6
C6,6 =
6! (6−6)! 6!
=1
Sustituimos: (1) . (726b12c6) + (6) . (243b10c5) . (-2a4) + (15) . (81b8c4) . (4a8) + (20) . (27b6c3) . (-8a12) + (15) . (9b4c2) . (16a16) + (6) . (3b2c) . (-32a20) + (1) (64a24)
Resolviendo las operaciones matemáticas obtenemos: (3b2c-2a4)6 = 729b12c6 – 2.916b10c5a4 + 4.860b8c4a8 – 4.320b6c3a12 + 2.160b4c2a16 – 576b2c1a20 + 64a24.
SOLUCIÓN (Parte b): El resultado obtenido al resolver el binomio (3b2c-2a4)6 por el método de Binomio de Newton es: (3b2c-2a4)6 = 729b12c6 – 2.916b10c5a4 + 4.860b8c4a8 – 4.320b6c3a12 + 2.160b4c2a16 – 576b2c1a20 + 64a24.
Autores: Manuel Colmenares, Bárbara Montilla, Román Pérez & Rolando Durán.
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EJERCICIO 9: Calcular el cuarto tĂŠrmino de: (2-3y)4. La fĂłrmula a emplear es: (a-b)n = Tn = (-1)k-1 . (
đ?‘›
) . an – (k-1) . bk-1
đ?‘˜âˆ’1
Sustituimos sabiendo que n=4, a=2 y b=3y:
T4 = (-1)4-1 . (
4
) . 24 – (4-1) . (3y)4-1
4−1
SegĂşn la pirĂĄmide de tartaglia (
4
) = 4.
4−1
Al efectuar las operaciones matemĂĄticas nos queda:
T4 = (-1)3 ( 4) . (2) . (3y)3 = -216y3. SOLUCIĂ“N: El cuarto tĂŠrmino de (2-3y)4 es -216y3.
Autores: Manuel Colmenares, BĂĄrbara Montilla, RomĂĄn PĂŠrez & Rolando DurĂĄn.
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EJERCICIO 10: Pruebe por inducción que 5+9+13+………4n+1=n (2n+3) se cumple para cualquier número natural. Se tiene la siguiente ecuación: n(2n+3) Si cambiamos un número por la incógnita “n” tenemos: Para n=1: 4(1) +1 = 1 [2(1) +3] Resolviendo tenemos: 5=5 Seguidamente, con otro ejemplo para n=k+1: 5+9+13……..+4k+1+4(k+1) = k+1[2(k+1) +3] Resolviendo los paréntesis internos nos da: (2k+3) +4k+4+1= (k+1) (2k+2+3) Finalmente se obtiene el resultado: 2k2 + 7k + 5 = 2k2 + 7k + 5
SOLUCIÓN: De esta manera podemos observar y comprobar que n(2n+3) si se cumple para cualquier número natural.
Autores: Manuel Colmenares, Bárbara Montilla, Román Pérez & Rolando Durán.
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EJERCICIO 11: Probar por inducción matemática que: 1+3+5+………+2n-1=n2 se cumple para cualquier número natural. Al igual que el ejercicio anterior, tenemos la siguiente ecuación: 2n-1=n2. Sustituyendo “n”: Para n=1: 2(1)-1 = 12 2-1= 1 1=1 Para n=k+1 1+3+5…… +2k-1+2(k+1)-1=(k+1)2 k2+2k+2-1 = k2+2k(1)+12 Finalmente, el resultado es: k2 +2k + 1 = k2 +2k + 1
SOLUCIÓN: De esta manera podemos observar y comprobar que (2n-1=n2) si se cumple para cualquier número natural.
Autores: Manuel Colmenares, Bárbara Montilla, Román Pérez & Rolando Durán.
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Las matemáticas tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí. -Marcus du Sautoy.
Autores: Manuel Colmenares, Bárbara Montilla, Román Pérez & Rolando Durán.
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