02 tensões e deformações by Ronaldo Batista

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais TENSÕES E DEFORMAÇÕES TENSÃO EM UM PONTO Dentro do binômio SOLICITAÇÃO  RESPOSTA, analisaremos primeiramente as solicitações, que são descritas por meio de forças.   F F A2 A1

O cilindro de área A1 está mais solicitado do que o de área A2. Assim, para descrever o nível de solicitação de um corpo, é necessário considerar a força aplicada e a área sobre a qual ela atua:

  F T A

Tensão média  F1  F5

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

 F7 x

 F

 F6

 F4

 F2  F3

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais  F1

 F5

 F5  F7 P

 F5

 F6

 F2

 F4

 F3

 F6

A



Prof. Ricardo Domingues 2008/2

Px 

 F6





  F T A

 F



 F cos  A  F sen  A Exercício 1.1 (Ref. 3)

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais VARIAÇÃO DA TENSÃO COM O PLANO DE CORTE  F1

 F5  F7 x

 F6

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

 F4

 F5

 F6

A1

  F T2  A 2

 F2  F3

  F T1  A1

 F6 A 2

 F4

A tensão no ponto P deverá ser avaliada para cada plano de corte.

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais  F

 F  σ1 , α  0 , τ1  0

, τ1  0 A1   F A1 T , A  Para um plano genérico, A cos α

A1

 F 

A

P 

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

 F

  F T1   A1

 F cos α





 T1 

Para α  0 , σ1 

 F A1

 F

 T1

Exercício 1.2 (Ref. 3)

  F cos α F σ   cos2 α A1 A A1 cosα σ σ  σ1 cos2 α  1 1  cos 2  2    F senα F senα F τ   sen α cos α A1 A A1 cosα σ τ  σ1 sen α cos α  1 sen 2 2

Exemplo 1.1 (Ref. 4) Exercícios 1.3, 1.4 e 1.5 (Ref. 3)

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais O desmembramento da tensão 1 nas duas tensões  e  é, de fato, uma transformação de coordenadas: Rigorosamente, tal transformação deveria ser feita com as forças, pois tensões não são grandezas vetoriais. Tendo isto em mente, é possível aceitar esta “licença”.

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

Uma abordagem cientificamente mais rigorosa do estado de tensões em um ponto pode ser feita a partir da representação do ponto P por um corpo de pequenas dimensões dx, dy, dz, mantido em equilíbrio por forças tais como F1, F2 e F3:

y´



x x´

F1 dz x

dy z

F2 dx F3

Cada uma dessas forças pode ser resolvida em componentes paralelas às três direções coordenadas, e se cada uma das nove componentes é dividida pela área em que atua, o estado total de tensões em P é descrito, então, pelas nove componentes de tensão:

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais y

yy

Esta coleção de tensões é chamada de tensor de tensões, designado por ij .

yx

yz zy

zx zz

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

xy xz

Em notação tensorial, é expresso por:

xx

 xx  yx  zx  ij   xy  yy  zy  xz  yz  zz

Significado físico da notação de duplo subscrito: 1.

O subscrito i define a normal ao plano sobre o qual uma componente age, enquanto o subscrito j define a direção (x, y ou z) da componente;

Uma combinação de i e j em que ambos são positivos ou ambos são negativos define uma componente positiva;

Uma combinação de i e j em que um é positivo e o outro é negativo define uma componente negativa.

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais No tensor de tensões, dois subscritos idênticos (xx) indicam uma tensão normal, enquanto dois diferentes (xy) indicam uma tensão cisalhante. Para simplificar, as tensões normais serão designadas com apenas um subscrito (i) e as cisalhantes como ij. Além disso, o equilíbrio implica na ausência de efeitos rotacionais em torno de qualquer eixo, de modo que ij = ji . as componentes do tensor de tensões  x  xy  xz Embora Assim: estejam perfeitamente definidas, alguns aspectos do estado de tensões não se evidenciam a  ij   xy  y  yz físicos partir da equação do tensor. Em muitas situações algumas componentes podem ser nulas. O  xz  yz  z reais, exemplo mais óbvio é o do ensaio de tração.

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

Mesmo no caso de estados de tensão mais genéricos, há um conjunto de eixos coordenados (1, 2, 3) para o qual as tensões cisalhantes desaparecem. As tensões normais e , ao longo desses eixos, são chamadas tensões principais.

I1   x   y   z

Os valores das tensões principais são as três raízes da seguinte equação cúbica:

onde:

 3p  I1 p2  I 2 p  I 3  0

I 3   x y z  2 xy yz zx   x yz2   y zx2   z xy2

I 2   xy2   yz2   xz2   x y   y z   z x

Exemplos 1.2 e 1.3 (Ref. 4)

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Os coeficientes I1, I2 e I3 independem do sistema de coordenadas escolhido e, por isso, são chamados de invariantes. Como resultado disso, as tensões principais para um dado estado de tensões são únicas (1, 2, 3). Além de permitirem o cálculo das tensões principais, os invariantes ganharão importância no próximo capítulo, na previsão do início do escoamento. Como vimos na análise da tração pura, os planos em que as tensões cisalhantes se anulam são ortogonais entre si e, neles, a tensão normal é máxima ou mínima. Pode-se mostrar, também, que uma destas tensões normais é o maior valor de  agindo em P, uma outra dá o menor valor e a terceira é um valor intermediário.

1

Planos principais

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

Os planos onde  recebem o nome de “Planos Principais” e as tensões 1, 2 e 3 recebem o nome de “Tensões Principais”.

2

Por convenção,

3

 .

  tração   compressão.

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais CÍRCULOS DE MOHR 

Plano 2



½(

max



 )

Chapa carregada em seu plano

  



 

0 

Plano 1

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

 

Plano genérico A

Exercício 1.6 (Ref. 3)

σ

1  σ1  σ 2   1  σ1  σ 2  cos 2 2 2 1 τ   σ1  σ 2  sen 2 2



1  σ1  σ 2  sen2α 2







1  σ1  σ 2  cos2α 2

1  σ1  σ 2  2



 Se  é positivo, provoca “giro” no plano A em torno de O no sentido horário.  Os ângulos  e 2 são contados sempre no mesmo sentido. Exercícios 1.7 e 1.8 (Ref. 3)

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais CÍRCULOS DE MOHR PARA TRÊS DIMENSÕES 

plano2



plano2 





 



Prof. Ricardo Domingues 2008/2

plano3

 max

plano1



É possível demonstrar que os valores de  e  para um plano com inclinação qualquer passando por P corresponderão sempre a pontos dentro

 max

1  3  2

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais





Prof. Ricardo Domingues 2008/2



1  313   2 2 

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais





 max    0

Prof. Ricardo Domingues 2008/2



TRAÇÃO PURA

 

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais





 max



Prof. Ricardo Domingues 2008/2



  0 



ESTADO PLANO DE TENSÕES



 

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais





 max

 



0 



Prof. Ricardo Domingues 2008/2



DIMINUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA



 

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais





 max = 

 





Prof. Ricardo Domingues 2008/2



ESTADO HIDROSTÁTICO DE TENSÕES

     

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais



  max 







 



Prof. Ricardo Domingues 2008/2



AUMENTO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA

Exercícios 1.9 e 1.10 (Ref. 3) Exemplo 1.5 (Ref. 4)

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício Extra Analise cuidadosamente as três aplicações apresentadas no item 1.6 da Ref. 3 e proponha mais uma outra aplicação diferente. Descreva os estados de tensão correspondentes e desenhe os respectivos círculos de Mohr. Haverá um sorteio para apresentação da análise das aplicações e do resultado da aplicação proposta.

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais A DEFORMAÇÃO LINEAR Agora, dentro do binômio SOLICITAÇÃO-RESPOSTA, analisaremos a resposta.

 e  100% o 2  e'  o

Deformação convencional

É mais preciso dizer que a deformação total é dada por

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

   o o  

Alongamento

l 1

l

Ou, considerando incrementos infinitesimais de comprimento, por  f d d d d d       o o  d o  2d f  d o 

l

1 ’

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Tomando o limite da somatória, para infinitas etapas de alongamento, temos: f f

d    ln o  o

Como

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

 e o

, é óbvio que

  ln 1  e 

A grandeza  é denominada deformação verdadeira ou logarítmica e é sempre menor que o de e, mas, para pequenas seu valor deformações, a diferença é pequena. Dentre as muitas vantagens da deformação verdadeira, uma é que se podem somar os incrementos de deformação sofridos pelo corpo, obtendo-se no final a deformação total, o que não é verdade para o caso da deformação convencional. Essas vantagens ficarão evidenciadas após a resolução dos exercícios 1.11 da ref. 3 e dos exemplos 1.6 a 1.8 da ref. 4.

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais A DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO

A 

B’

a 1



   O

Prof. Ricardo Domingues

DC = DC’

ADC  A’DC’

A’

2008/2

DA = DA’

C’ 2



 b C

 e  são positivos nos sentidos indicados. Para  e  pequenos, pode-se escrever:

a b γ   tgθ1  tgθ2 h1 h 2

Para excluir o efeito de uma eventual rotação rígida (quando   ), à qual não está associada uma deformação do corpo, deve-se tomar γ θ1  θ2 e considerar os ângulos ADA’  e C’DC iguais a /2. 

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Na realidade, este valor da deformação angular refere-se ao plano x-y . Assim, sua notação correta seria xy e as dos outros dois planos xz e yz . Tal como foi feito para o caso das tensões, quando as deformações são pequenas, elas também podem ser descritas por um tensor:

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

exx

e yx

ezx

eij  exy

e yy

ezy

exz

e yz

ezz

Com grandes deformações, as distorções provocadas por um componente podem afetar outros componentes, o que pode fazer com que a análise de deformações pelo cálculo tensorial dê origem a erros.

Outro ponto a se considerar é o fato de a deformação angular xy ser resultante da

ação de duas tensões cisalhantes xy e yx. Então:

exy  e yx 

γ xy 2

E, analogamente ao tensor de tensões,

γ xy 2

γ xz 2

γ xy 2

γ yz 2

γ xz 2

γ yz 2

ex eij 

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais VARIAÇÃO DA DEFORMAÇÃO COM A DIREÇÃO

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

No estudo realizado com os quadrados desenhados nas folhas de borracha, verificamos que existem duas direções onde não ocorrem deformações por cisalhamento, mas somente deformações lineares. Há uma semelhança formal com o caso das tensões e aqui também pode-se mostrar, por meio de uma análise rigorosa do problema, que é sempre possível encontrar, para cada ponto de um corpo carregado, três direções mutuamente perpendiculares, para as quais as deformações angulares são nulas. Ainda em analogia com o caso de tensões, pode-se mostrar que as deformações lineares que ocorrem normalmente aos planos em questão correspondem a extremos, ou seja, uma delas (e1) é a maior de todas as deformações lineares, outra (e3) é a menor, e a terceira apresenta um valor intermediário. Podem ser construídos círculos de Mohr também para deformações: locam-se na abcissa as deformações lineares (e) e, na ordenada, a deformação por cisalhamento (/2); assim, conhecidos os valores de e1, e2 e e3, é possível conhecer e e /2 para qualquer plano com uma certa inclinação em relação aos planos onde agem e1, e2 e e3 . As deformações e1, e2 e e3 chamam-se “deformações principais” e são respectivamente colineares com  ,   e   para materiais isotrópicos.

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais DEFORMAÇÃO VOLUMÉTRICA   e3

l1  e2

l3  e1

Vo = l1 l2 l3 Após a aplicação de 1, 2 e 3 ,

 e1  e2

l’1 = l1 (1+e1) l’2 = l2 (1+e2) l’3 = l3 (1+e3) Vf = l1 l2 l3(1+e1)(1+e2)(1+e3) =

  e3

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

= l1l2l3(1+e1+e2+e3+e1e2+e1e3+e2e3+e1e2e3) Se as deformações e1, e2 e e3 forem pequenas, pode-se escrever: Vf = l1 l2 l3 (1+e1+e2+e3) Vf  Vo A deformação volumétrica é definida como Δ  . Vo Assim, Δ  e1  e 2  e 3 .

Fim deste tópico

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais

 F5

Exercício 1.1

Px 

 F6

Prof. Ricardo Domingues 2008/2





 F cos  A  F sen  A





  F T A

Em P age uma força F = 1500 kgf, aplicada uniformemente em uma área de 2 cm2, contida num plano cuja normal faz um ângulo  = 30° com a força. Calcule  e .

1500 kgf . cos 0 2  650 kgf cm  2 cm 2 1500 kgf . sen 0 2  375 kgf cm  2 cm 2

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.2  F A1

 σ1 , α  0 , τ1  0

A1 cos α

d/cos = eixo maior da elipse de área A (o eixo menor é d)

A1



 F

d = diâmetro do círculo de área A1 



 P 

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

Demonstrar que A 

A 

A

π d.

d cos α 4

d cos α 1 4  π d2 cos α 4

π d2 A1  4

π d. A   A1  F

 A 

A1 cos α c.q.d.

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exemplo 1.1 (adaptado da página 5 da Ref. 4) Considere a figura do exercício 1.2. Se uma força de 50kN age como mostrado e o diâmetro da barra é 5cm, determine os valores das tensões normal e cisalhante que agem num plano cuja normal faça um ângulo de 30o com a direção de aplicação da força. σ

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

τ

 F cos α A

 F senα A



 F cos α A1 cosα

 F

4  50kN 2   cos 30  19,1MPa  cos α  2    0,05m  A1 2

  F senα F 4  50kN    sen 30  cos 30  11,0 MPa   sen α cos α  2 A1 A1    0,05m  cosα

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.3 Traciono um cilindro de área da seção transversal unitária e seção circular. A força aplicada é 20.000 kgf. Calcular  e  em planos que fazem ângulo de 10° a 90° (de 10 em 10°) com a seção transversal do cilindro. 10000

5000

tau

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

Exercício 1.4 Considerando um sistema de eixos cartesianos ,  ( na abcissa e  na ordenada), usando a mesma escala para  e  nos dois eixos, fazer uma curva de  para os pontos do exercício 1.3; completar o exercício para ângulos  até 180°.

15000

0 0

5000

10000

15000

-5000

-10000

-15000 sigma

20000

25000

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.5



Considerando o desenho ao lado, mostrar que as coordenadas do ponto P são dadas pelas equações: σ σ  σ1 cos α  1 1  cos 2  2



σ τ  σ1 sen α cos α  1 sen 2 2

Prof. Ricardo Domingues 2008/2



 P





MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exemplo 1.2 (Ref. 4) Considere um estado de tensões em que x = 10, y = 5 e xy = 3, todos em ksi, e z = xz = yz = 0 . Calcule as magnitudes das tensões principais no plano x-y .

I1   x   y   z  10  5  0  15 I 2   xy2   yz2   xz2   x y   y z   z x  9  0  0  50  0  0  41 I 3   x y z  2 xy yz zx   x yz2   y zx2   z xy2  0  0  0  0  0  0

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

 3p  I1 p2  I 2 p  I 3  0   3p  15 p2  41 p  0   p2  15 p  41  0 As raízes desta equação quadrática fornecem  = 11,4 ksi e  = 3,6 ksi

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exemplo 1.3 (Ref. 4) Repita o exemplo 1.2 mantendo todas as tensões iguais, exceto quanto a z = 8, em vez de zero.

I1   x   y   z  10  5  8  23 I 2   xy2   yz2   xz2   x y   y z   z x  9  0  0  50  40  80  161 I 3   x y z  2 xy yz zx   x yz2   y zx2   z xy2  400  0  0  0  72  328

 3p  I1 p2  I 2 p  I 3  0   3p  23 p2  161 p  328  0

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

Como z = 8 é uma tensão principal, pois as tensões cisalhantes no plano normal à direção z são nulas, uma das raízes da equação cúbica é conhecida. Basta, então, dividir o polinômio cúbico por p – 8 e encontrar  p2  15 p  41 . A equação quadrática referente a este polinômio é idêntica à do exemplo 1.2 . Assim, as duas tensões principais restantes são novamente 11,4 e 3,6 ksi. Este exemplo mostra que quando z é uma direção principal (não importando se z é zero, de tração, ou de compressão), as tensões principais restantes são independentes de z .

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.6 A partir do equilíbrio do triângulo, demonstrar que σ

e que

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

1  σ1  σ 2   1  σ1  σ 2  cos 2 2 2 τ

1  σ1  σ 2  sen 2 2

A 

 

 B

C 

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.7 Dado um quadrado onde agem  kgf/mm2 e  kgf/mm2, calcular  e  em planos cujas normais fazem 30°, 45° e 80° com a alfa radianos sigma tau direção de . 30 45 80

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

0,523599 16 6,928203 0,785398 12 8 1,396263 4,482459 2,736161

Exercício 1.8 Para o estado de tensões ao lado, calcular ,,max e o ângulo que o plano onde atua  faz com Ox, empregando círculos de Mohr. Dados: x = 1.000 psi y = 4.000 psi  = 2.000 psi

y y

 

x x

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais 

y max

2000

2 2

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

1000

4000

1

 1 = 5000 psi

2000

2 = 0

 2000  2  180  arctg    1500 

max = 2500 psi  = 116,57°

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.9 Calcule max para os estados de tensão a seguir: a)1 = 10.000 psi ; 2 = 4.000 psi ;  = 1.000 psi

 max

1  3 10.000  1.000    4.500 psi 2 2

b)1 = 10 kgf/mm2 ; 2 = 2 kgf/mm2 ;  = 8 kgf/mm2

 max

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

1  3 10    8    9 kgf/mm2 2 2

c)1 = 80 MPa ; 2 = 150 MPa ;  = 200 MPa

 max

1  3  80    200    60 MPa 2 2

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.10 Para cada caso a seguir, desenhe círculos de Mohr e determine max e  no plano onde atua max (tensões não fornecidas são nulas) a1 =  Mpa b) = 60 psi c)1 = 10 kgf/mm2  = 60 MPa  = 10 kgf/mm2 2

Prof. Ricardo Domingues

3

2008/2

max



max



 = 50 kgf/mm2 

2

1  3

1  3 2

2

1 

max  Mpa

max  psi

max  kgf/mm2

MPa

psi

kgf/mm2



MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exemplo 1.5 (ref. 4) Para o estado de tensões do exemplo 1.2, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima, por meio da construção em escala de círculos de Mohr para três dimensões. max= 5,7  x = 10 ksi y = 5 ksi xy = 3 ksi z = 0 xz = yz = 0

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

z = 0 é uma tensão principal



z = 0  3= 0 3

1 = 11,4

2 = 3,6 y

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.11 Um arame de comprimento inicial 200,0 mm é estirado de 20 mm; após esta operação, sofre outro estiramento adicional de 50 mm, obtendo-se um valor total de 70 mm. Calcular e e  para cada etapa de deformação, a sua soma, e comparar esta soma com os valores obtidos para a deformação total.

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

Exercício 1.12 Considerando um pequeno quadrado em torno do ponto P, com um de seus lados inicialmente na horizontal, desenhar sua forma final após as seguintes deformações angulares: a)  c)  b)d) Calcular  em cada caso, comparando seu valor com as formas finais encontradas.

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exercício 1.13 Quando o volume de um corpo não é alterado pela deformação, tal deformação é dita plástica e tem-se  = 0 ; para este caso, já se demonstrou que e1 + e2 + e3 ≈ 0 (válido para deformações pequenas). Provar que, para deformação plástica, 1 + 2 + 3 é sempre nulo. Exemplo 1.6 (ref. 4) a) Uma barra de comprimento lo é esticada uniformemente até que

Prof. Ricardo Domingues

seu comprimento se torne l = 2 lo . Calcule os valores da deformação convencional e da deformação verdadeira para este caso. b) Até qual comprimento final, l , uma barra de comprimento inicial lo precisa ser comprimida (sem atrito) para que as deformações sejam as mesmas do item (a)? (exceto pelo sinal, evidentemente).

2008/2

MET146 – Transformação Mecânica dos Metais Exemplo 1.7 (adaptado da ref. 4) Uma barra de 250 mm de comprimento inicial é alongada até um comprimento de 500 mm por laminação em três estágios: estágio 1: 250 mm aumentaram para 300 mm estágio 2: 300 mm aumentaram para 375 mm estágio 3: 375 mm aumentaram para 500 mm

Prof. Ricardo Domingues 2008/2

a) Calcule a deformação convencional total e compare-a com a soma das deformações convencionais de cada estágio. b) Repita o mesmo cálculo com deformações verdadeiras. Exemplo 1.8 (adaptado da ref. 4) Um bloco de dimensões iniciais lo, wo, to é deformado até as novas dimensões l, w, t . a) Expresse a deformação volumétrica verdadeira (ou logarítmica), ln(v/vo) em termos das deformações verdadeiras dos lados do bloco. b) Repita o raciocínio feito no item 1.11 da ref. 3 , substituindo a definição de deformação volumétrica convencional () pela verdadeira (ou logarítmica). Compare com o obtido no exercício 1.13.