EC702 – CONCRETO ARMADO I
FLEXÃO SIMPLES - DIMENSIONAMENTO
EXERCÍCIOS
Professores :
ARMANDO LOPES MORENO JR. MARIA CECILIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA
Monitoras PED:
SUSANA DE LIMA PIRES - 2005 MARCELLE ANDRADE COSTA - 2004
Monitor PAD:
RODOLFO GONÇALVES FURTADO LIMA - 2006
2006
1- Calcular e detalhar a armadura longitudinal para a viga de concreto armado abaixo, na seção de maior momento, dimensionando-a como peça sub-armada. 20cm
E s = 21000 KN/cm 2 f ck = 30 MPa CA - 50 c = 3 cm γ f = 1,4 γ c = 1,4 γ s = 1,15 Estribo φ 5.0mm
40cm
50KN/m 400 cm
RESOLUÇÃO a) Cálculo do momento: q.l 2 50.4 2 = 1,4. M d = 1,4 8 8
M d = 140KN.m = 14000KN.cm
b) Características da seção: Seção retangular Æ A c = 0,8.x.bw ⎧d = 35cm Adotando ⎨ ⎩d' = 5cm c) Características dos materiais:
Concreto:
f ck = 30 MPa f 30 f cd = ck = = 21,43 MPa = 2,14KN/cm 2 γ c 1,4
Armadura:
CA-50 f yk = 500 MPa = 50KN/cm 2 f yk
σ s (Mpa) 435
50 f yd = = = 43,5 KN/cm 2 γ s 1,15 f yd 43,5 ε yd = = = 0,00207 = 0,207% E s 21000
x 2,3 0,35 = 1,0 d − x 2,3
x 3,4 0,35 = 0,207 d − x 3,4
x 2,3 = 0,35d − 0,35x 2,3
0,207x 3,4 = 0,35d − 0,35x 3,4
x 2,3 = 0,259d
x 3,4 = 0,628d
x 2,3 = 9,1cm
x 3,4 = 21,98cm
d) Cálculo da armadura:
0,207
1
ε s (%) 0,35%
x 2,3 x 3,4
3 2
4
0,207% 1%
1a Tentativa: • Armadura simples • Peça sub-armada Æ ¾ Domínio 2 ou 3 ¾ Armadura escoando σ s = f yd
Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) M d = R c .z c = A c σ c (d − 0,4x) M d = 0,8.x.bw.0,85.f cd .(d − 0,4.x) M d = 0,68.x.bw.f cd .(d − 0,4.x)
βx =
x d
M d = 0,68.bw.f cd .d 2 .β x (1 − 0,4.β x )
kc =
1 0,68.f cd .β x (1 − 0,4.β x )
Md = kc =
bw.d 2 kc
bw.d 2 20.35 2 = = 1,75 Md 14000
⎧x = β x .d Pela tabela 1 temos: β x = 0,49 Æ ⎨ Domínio 3!! . ⎩x = 17,15cm k s = 0,029
Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) 0 = Rc − Rs 0 = A c .σ c − A s .σ s 0 = 0,8.x.bw.0,85.f cd − A s .σ s 0 = 0,68.bw.f cd .d.β x − A s .σ s Md 0= − A s .σ s d.(1 − 0,4β x ) Md 1 As = ks = Æ tabela 1 Æ σ s .d.(1 − 0,4β x ) σ s .(1 − 0,4.β x ) M 14000 A s = k s d = 0,029 = 11,6cm 2 35 d Portanto:
A s = 11,6cm 2
Æ
4 φ 20mm(3,15 cm²/barra)
e) Verificação do d e detalhamento:
d real = 40 − 3 − 0,5 − 2 − d real < d adotado
3 = 33cm 2
40cm
REDIMENSIONAR
f) Redimensionando para d = 33cm :
3
4φ 20mm 20cm
• •
Armadura simples Peça sub-armada ¾ Domínio 2 ou 3 ¾ Armadura tracionada escoando Æ σ s = f yd
x 2,3 = 0,259d
x 3,4 = 0,628d
x 2,3 = 8,55cm
x 3,4 = 20,72cm
Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) M d = R c .z c = A c σ c (d − 0,4x) Md = kc =
bw.d 2 kc
bw.d 2 20.33 2 = = 1,56 Md 14000 ⎧x = β x .d Æ Como βx =0,57>0,5 →βx=0,5 ⎨ ⎩x = 16,5cm ---- Armadura dupla.
Pela tabela 1 temos: β x = 0,57 Domínio 3!!
Md = Rczc+Rs(d-d´) Md = Md1+ΔMd Md1 = Rczc = 0,8.x.bw.0,85.fcd.(d-0,4.x) = 0,8.16,5.20.0,85.2,14.(33-0,4.16,5) = 12694,62KN/cm2 Ou pela tabela 1 para βx = 0,5 → Kc = 1,716 → Ks = 0,029 bw.d 2 20.332 M d1 = → M d1 = = 12692,31 KN/cm2 kc 1,716 Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) 0 = R c1 − R s1 0 = A c1 .σ c1 − A s1 .σ s 0 = 0,8.x.bw.0,85.f cd − A s1 .σ s 0 = 0,68.bw.f cd .d.β x − A s1 .σ s M d1 − A s1 .σ s d.(1 − 0,4β x ) M d1 A s1 = σ s .d.(1 − 0,4β x ) M 12692,31 A s1 = k s d1 = 0,029 d 33 2 A s1 = 11,15cm
0=
ks =
1 σ s .(1 − 0,4.β x )
M d = M d1 + ΔM d 14000 = 12694,62 + ΔM d ΔM d = 1305,38KN.cm ΔM d = R s2 (d − d' ) ΔM d = A s2 .σ s (d − d' ) A s2 = k s 2
ΔM d = R s ' (d − d' ) k s2 =
1 σs
ΔM d = A s '.σ s ' (d − d' )
ΔM d (d − d' )
As ' = ks '
ks '=
1 σs '
ΔM d (d − d' )
Pela tabela 2 temos: k s2 = 0,023
Pela tabela 3 – para βx=0,5 e η=0,15 k s ' = 0,023
1305,38 (33 − 5) A s2 = 1,07cm 2
1305,38 (33 − 5) A s ' = 1,07cm 2
A s2 = 0,023
A s ' = 0,023
A s = A s1 + A s2 = 11,15 + 1,07 = 12,22cm 2 Portanto:
A s = 12,22cm 2
Æ
4 φ 20mm
A s ' = 1,07cm 2
Æ
2 φ 10mm
g) Verificação do d e detalhamento: d real = 40 − 3 − 0,5 − 2 − 3 / 2 = 33cm d real = d adotado OK! Verificação do ah ⎧20mm = 2cm ⎫ ⎪ ⎪ a h ≥ ⎨φbarra = 20mm = 2cm ⎬ ⎪1,2agreg .máx. = 1,2.25mm = 30mm = 3cm⎪ ⎩ ⎭
ah = (20-2.3-2.0,5-2.2) = 9 cm → OK!
o o
40cm
3
4φ 20mm 20cm
2- Para a viga contínua da figura, admitida como seção constante, determinar as armaduras para o apoio central: 100cm
10cm
f ck = 20 MPa CA - 40 c = 3 cm γ f = 1,4 γ c = 1,4 γ s = 1,15 Estribo φ 5.0mm
40cm
20cm 10cm 10cm
20cm 10cm
20cm 10cm
20cm
10cm
60KN/m 6m
6m
RESOLUÇÃO Cálculo do momento: q.l 2 60.6 2 M apoio = = = 270KN.m 8 8 M d = 1,4.M apoio = 378KN.m = 37800KN.cm Características da seção: 0 < y < 10cm ⎫ ⎬ Æ A c = 0,8.x.bw 0 < x < 12,5cm ⎭ 10cm < y < 30cm ⎫ ⎬ Æ A c = 100.10 + 4.10.(y − 10) = 600 + 32x 12,5cm < x < 37,5cm⎭ 30cm < y < 40cm ⎫ ⎬ Æ A c = 100.10 + 4.10.20 + 100.(y − 30) = 80x − 1200 37,5cm < x < 40cm⎭ ⎧d = 35cm Adotando ⎨ ⎩d' = 5cm Características dos materiais: Concreto: f ck = 20 MPa f 20 f cd = ck = = 14,3 MPa = 1,43KN/cm 2 γ c 1,4
Armadura: CA - 40 f yk = 400 MPa = 40KN/cm 2 f yd =
f yk γs
=
σ s (Mpa)
40 = 34,78 KN/cm 2 1,15
347,8 0,166
ε yd =
f yd Es
=
34,78 = 0,166% 21000
ε s (%)
1
1% 0,166%
x 2,3 0,35 = 1,0 d − x 2,3
x 3,4 0,35 = 0,166 d − x 3,4
x 2,3 = 0,35d − 0,35x 2,3
0,166x 3,4 = 0,35d − 0,35x 3,4
x 2,3 = 0,259d
x 3,4 = 0,678d
x 2,3 = 9,1cm
x 3,4 = 23,73cm
2
4 x 3,4 3
Cálculo da armadura: 0,35%
a
1 Tentativa: • Armadura simples Seção retangular • 0 < x < 12,5cm Æ Armadura escoando σ s = f yd
Equação de equilíbrio para o momento: M d = R c .z c = A c σ c (d − 0,4x) M d = 0,8.x.bw.0,85.f cd .(d − 0,4.x) M d = 0,68.x.bw.f cd .(d − 0,4.x)
βx =
x d
M d = 0,68.bw.f cd .d 2 .β x (1 − 0,4.β x )
kc =
1 0,68.f cd .β x (1 − 0,4.β x )
Md = kc =
bw.d 2 kc
bw.d 2 100.35 2 = = 3,24 Md 27000
3,24 =
1 0,68.1,43.β x (1 − 0,4.β x )
β x1 = 2,12
Falso!! β x1 < 1,0
β x2 = 0,372 ⎧x = β x .d β x = 0,372 Æ ⎨ ⎩x = 13,05cm
Domínio 3 – Hipótese falsa!
2a Tentativa: • Armadura simples • 12,5 < x < 23,73cm • Armadura escoando σ s = f yd
Observação : z c1 = d − 0,4 x e z c 2 = d − 5 Equação de equilíbrio para o momento: M d = R c .z c = ( A1 z c1 + A2 z c 2 )σ c M d = [4.10.0,8.x.(d − 0,4.x) + 3.10.20.(d − 5)]0,85.1,43
x 2,3
37800 = [−12,8.x 2 + 1120.x − 18000]1,22
βx =
x d
- 12,8x 2 + 1120.x - 13983,6 = 0 x1= 13,75 cm→ β x1 = 0,4 Æ Dentro do intervalo Æ OK!! x2= 73,74 cm → β x1 = 2,10 Æ Fora! Equação de equilíbrio para a força normal: 0 = Rc - Rs 0 = A c .σ c - A s .σ s 0 = (3.10.20)].0,85.1,43 + 20,35.34,78 − As .34,78 As .34,78 = [32.13,9 + 600].1,43.0,85 A s = 36,51cm 2 Portanto:
A s = 36,51cm 2 Æ
14 φ 20mm – parte superior da viga
Verificação do d e detalhamento: 2,0 d real = 40 − 3 − 0,5 − = 35,50cm 2 d real > d adotado OK!!! Verificação do ah ⎧20mm = 2cm ⎫ ⎪ ⎪ a h ≥ ⎨φbarra = 20mm = 2,0cm ⎬ ⎪1,2agreg.máx. = 1,2.25mm = 30mm = 3cm⎪ ⎩ ⎭
ah = (100-2.3,0-2.0,5-14.2,0)/13 = 5 cm → OK!
3- Dada a viga, dimensioná-la, com armadura simples e detalhá-la na seção do apoio de tal maneira que no E.L.U tenhamos: I) tensão na armadura de tração de 40KN/cm2 II) encurtamento do concreto de 0,32% Qual o melhor dimensionamento para a viga (I ou II)? Justifique sua resposta.
Aço CA-50 f ck = 25MPa
15cm
E s = 21000KN/cm 2 c = 3cm Estribo φ 6,3mm γ c = 1,4 γ f = 1,4 γ s = 1,15
h =?
20KN
20KN 4m
2m
2m
RESOLUÇÃO a) Cálculo do momento: M = 20.2 = 40 KN.m = 4000 KN.cm M d = 1,4.M = 5600 KN.cm b) Características da seção: Seção retangular Æ A c = 0,8.x.bw c) Característica dos materiais: f ck = 25MPa
Concreto:
2
f cd = 17,9MPa = 1,79KN/cm
σ s (KN/cm )
2
43,5
Armadura:
Aço CA-50 f yk = 500MPa = 50KN/cm 2 f yd = 43,5KN/cm 2
10
0,207
ε s (%)
1% 0,207%
ε yd = 0,207%
x 2,3 0,35 = 1,0 d − x 2,3
x 3,4 0,35 = 0,207 d − x 3,4
x 2,3 = 0,35d − 0,35x 2,3
0,207x 3,4 = 0,35d − 0,35x 3,4
x 2,3 = 0,259d
x 3,4 = 0,628d
I) Adotando tensão na armadura de tração igual à 40KN/cm2
d) Cálculo da armadura:
2
4 x 3,4 3
0,35%
x 2,3
• •
0,191%
Armadura Simples σ s = 40KN/cm 2 < f yd (Domínio 4)
x
0,35 0,19 = x d−x 0,19x = 0,35d − 0,35x 40 = ε s .21000 ε s = 0,19% x = 0,647d x β x = = 0,647 d Equação de equilíbrio para o momento: M d = R c .z c = A c σ c (d − 0,4x) M d = 0,8.x.bw.0,85.f cd .(d − 0,4.x) x M d = 0,68.x.bw.f cd .(d − 0,4.x) βx = d 2 M d = 0,68.bw.f cd .d .β x (1 − 0,4.β x )
d
σ s = ε s .E s
0,35%
5600 = 0,68.15.1,79.d 2 .0,647(1 − 0,4.0,647) d = 25,29cm Equação de equilíbrio para a força normal: 0 = Rc − Rs 0 = 0,68.bw.f cd .x − A s .σ s 0 = 0,68.bw.f cd .d.β x − A s .σ s A s .σ s = 0,68.bw.f cd .β x .d Md A s .σ s = d.(1 − 0,4.β x ) M As = ks d d 5600 A s = 0,034 25,29 A s = 7,53cm 2 A s = 7,53cm
Portanto:
2
Æ
1 σ s (1 − 0,4.β x ) 1 ks = = 0,034 40(1 − 0,4.0,647)
ks =
15cm
4 φ 16mm 3
e) Detalhamento: h = d + 3 + 0,63 + 1,6 +
3 = 32cm 2
II) Adotando o encurtamento do concreto igual à 0,32%.
f) Cálculo da armadura: •
Armadura Simples
32cm
4 φ 16mm
•
ε c = 0,32%
(Domínio 2)
σ s = f yd = 43,5KN/cm 2 1%
0,32% 1% = d−x x 1,0x = 0,32d − 0,32x x = 0,24d x β x = = 0,24 d
d
x 0,32%
d’
M d = 0,68.bw.f cd .d 2 .β x .(1 − 0,4.β x ) 5600 = 0,68.15,1,79.d 2 .0,24.(1 − 0,4.0,24) d = 37,6cm Md A s .σ s = d.(1 − 0,4.β x ) 5600 A s .43,5 = 37,6.(1 − 0,4.0,24) A s = 3,79cm 2 Portanto:
A s = 3,79cm 2
Æ
2 φ 16mm
g) Detalhamento: 1,6 h = d + 4 + 0,63 + = 42cm 2
15cm 2 φ 16mm
42cm
De acordo com a NBR 6118/2003 o dimensionamento deve ser realizado com x/d≤ 0,5 para fck≤ 35 MPa. Na primeira situação o dimensionamento foi efetuado com x/d>0,5, desta forma está não pode ser considerada uma situação aceitável de dimensionamento.
4- Dimensionar a viga de concreto armado abaixo supondo armadura de compressão no início do patamar de escoamento.
CA-50 f ck = 20MPa Estribo φ 6,3 mm c = 3cm E s = 21000KN/cm 2 γ c = 1,4 γ f = 1,4 γ s = 1,15
15cm
30cm 10cm
10cm 10cm 35cm
RESOLUÇÃO a) Cálculo do momento: q.l 2 30.(4,5) 2 = = 75,94KN.m 8 8 M = 7594KN.cm
M=
M d = 1,4.7594 M d = 10631,60KN.cm
b) Características da seção: 0 < y < 30cm ⎫ ⎬ Æ A c = 0,8.x.bw 0 < x < 37,5cm⎭ 30cm < y < 40cm ⎫ ⎬ Æ A c = 30.15 + 35.(y − 30) = 28x - 600 37,5cm < x < 40cm⎭ ⎧d = 35cm Adotando ⎨ ⎩d' = 5cm σS (Mpa)
c) Características dos materiais: f ck = 20MPa
Concreto:
f cd = 14,29MPa = 1,43KN/cm Armadura:
2
435
Aço CA-50 f yk = 500MPa = 50KN/cm 2 f yd = 43,5KN/cm
1
0,207
ε S (%)
0,35%
2
ε yd = 0,207%
x 2,3 x 3,4
3
x 2,3 0,35 = 1,0 d − x 2,3
x 3,4 0,35 = 0,207 d − x 3,4
x 2,3 = 0,35d − 0,35x 2,3
0,207x 3,4 = 0,35d − 0,35x 3,4
x 2,3 = 0,259d
x 3,4 = 0,628d
2
4
0,207% 1%
x 2,3 = 9,1cm
x 3,4 = 21,98cm
d) Cálculo da armadura: 1a Tentativa:
• •
Armadura simples 0 < x < 37,5cm Æ
A c = 0,8.x.bw
Armadura escoando σ s = f yd Equação de equilíbrio para o momento: M d = R c .z c = A c σ c (d − 0,4x) M d = 0,8.x.bw.0,85.f cd .(d − 0,4.x) M d = 0,68.x.bw.f cd .(d − 0,4.x)
βx =
x d
M d = 0,68.bw.f cd .d 2 .β x (1 − 0,4.β x ) 10631,25 = 0,68.15.1,43.35 2 βx(1 − 0,4.βx) Então βx =1,54 (domínio 5 – incompatível) Ou βx =0,96 (domínio 4). Mas βx =0,96 ≥ 0,5, portanto deve-se REDIMENSIONAR!
2a Tentativa:
• •
Armadura dupla Domínio 3 Æ 9,10cm < x < 21,98cm Armadura tracionada escoando Æ σ s = f yd
Supondo início de escoamento da armadura de compressão no domínio 2: ε s ' x' - d' = 1,0 d − x' x ' - d' ε yd ' = d - x' x' - 5 0,207 = 35 - x ' x' = 10,15cm 1% Falso! Pois domínio 2 Æ x < 9,10cm
x’
d’
ε S‘
d
Supondo início de escoamento da armadura de compressão no domínio 3:
εs ' x' - d' = 0,35 x' ε yd ' x' - 5 = 0,35 x' 0,207 x' - 5 = 0,35 x' x' = 12,24 cm OK! Escoamento inicia no domínio 3!
0,35 d’ x’
Armadura comprimida escoando Æ σ s ' = f yd ' Adotando x = 12,24cm
M d1 M d1
Equação de equilíbrio para o momento: M d = R c .z c + R s (d - d' ) M d = M d1 + ΔM d = R c1 .z c1 = 0,8.x.bw.0,85.f cd .(d − 0,4.x)
M d1 = 0,68.bw.f cd .d 2 .β x (1 − 0,4.β x ) M d1
bw.d 2 = kc
βx =
x 12,24 = = 0,35 d 35
M d1 =
2
Pela tabela 1 temos:
k c = 3,42 k s = 0,027
2
bw.d 15.35 = = 5372,81KN/cm 2 kc 3,42
Equação de equilíbrio para a força normal: 0 = R c1 − R s1 0 = A c1 .σ c1 − A s1 .σ s 0 = 0,8.x.bw.0,85.f cd − A s1 .σ s 0 = 0,68.bw.f cd .d.β x − A s1 .σ s M d1 0= − A s1 .σ s d.(1 − 0,4β x ) M d1 A s1 = σ s .d.(1 − 0,4β x ) M 5372,81 A s1 = k s d1 = 0,027 d 35 2 A s1 = 4,15cm M d = M d1 + ΔM d 8400 = 5372,81 + ΔM d
ks =
1 σ s .(1 − 0,4.β x )
ε S‘
ΔM d = 3027,19KN.cm ΔM d = R s2 (d − d' )
ΔM d = R s ' (d − d' )
ΔM d = A s2 .σ s (d − d' ) A s2 = k s 2
k s2 =
1 σs
ΔM d = A s '.σ s ' (d − d' )
ΔM d (d − d' )
As ' = ks '
Pela tabela 2 temos: k s2 = 0,023
ks '=
ΔM d (d − d' )
Pela tabela 3 temos: k s ' = 0,024
3027,19 (35 − 5) A s2 = 2,32cm 2
3027,19 (35 − 5) A s ' = 2,42cm 2
A s2 = 0,023
A s ' = 0,024
A s = A s1 + A s2 = 4,15 + 2,32 = 6,47cm 2 Portanto:
A s = 6,47cm 2
Æ
6 φ 12,5mm
A s ' = 2,42cm
Æ
2 φ 12,5mm
2
h) Verificação do d e detalhamento: d real = 40 − 3 − 0,63 −
1,25 = 35,75cm 2
d real > d adotado OK! 1,25 d' real = 3 + 0,63 + = 4,26cm 2 d' real < d' adotado = 5cm OK!
2 φ 12.5mm
6 φ 12.5mm
1 σs '
5- Dimensionar a armadura para a seção dada, sujeita a um momento fletor em serviço de 60 KN.m: 5cm
CA-50 f ck = 20MPa Estribo φ 5.0 mm c = 2,5cm E s = 21000KN/cm 2 γ c = 1,4 γ f = 1,4 γ s = 1,15
10cm 5cm
5cm 5cm 10cm M
50cm
10cm
20cm
20cm
RESOLUÇÃO i) Cálculo do momento: M d = 1,4.M K = 1,4.60KN.m = 84KN.m = 8400KN.cm j) Características da seção: 0 < y < 5cm ⎫ ⎬ Æ Seção retangular 0 < x < 6,25cm⎭ 5cm < y < 10cm ⎫ ⎬ Æ Seção vazada 6,25cm < x < 12,5cm⎭ 10cm < y < 20cm ⎫ ⎬ Æ Seção vazada 12,5cm < x < 25cm ⎭ 20cm < y < 30cm ⎫ ⎬ Æ Seção vazada 25cm < x < 37,5cm⎭ 30cm < y < 50cm ⎫ ⎬ Æ Seção vazada 37,5cm < x < 50cm⎭
⎧d = 45cm Adotando ⎨ ⎩d' = 5cm
k) Características dos materiais: Concreto:
f ck = 20 MPa f 20 f cd = ck = = 14,3 MPa = 1,43KN/cm 2 γ c 1,4
Armadura:
CA-50 f yk = 500 MPa = 50KN/cm 2 f yd = ε yd =
f yk γs f yd Es
= =
50 = 43,5 KN/cm 2 1,15
σ s (Mpa) 435 0,207
1
ε s (%)
43,5 = 0,00207 = 0,207% 21000
0,35%
x 2,3
x 2,3 0,35 = 1,0 d − x 2,3
x 3,4 0,35 = 0,207 d − x 3,4
x 2,3 = 0,35d − 0,35x 2,3
0,207x 3,4 = 0,35d − 0,35x 3,4
x 2,3 = 0,259d
x 3,4 = 0,628d
x 2,3 = 11,66cm
x 3,4 = 28,26cm
x 3,4
3 2
4
0,207% 1%
l) Cálculo da armadura: 1a Tentativa:
• •
Armadura simples 12,5cm < x < 25cm Æ
A c = 2.A c1 + A c2 + A c3 A c = 2.5.y + 10.5 + 10.(y − 10) = 16x - 50
2 1
1 3
A c1 = 2.0,8.x.bw = 2.0,8.x.5 Æ A c1 = 8.x z 1 = d - 0,4.x = 45 - 0,4.x A c2 = 10.5 Æ A c2 = 50KN z 2 = d − 2,5 = 45 − 2,5 = 42,5cm A c3 = 10.(y - 10) Æ A c3 = 8.x - 100
⎛ y - 10 ⎞ ⎛ 0,8x - 10 ⎞ z3 = d - ⎜ ⎟ = 45 - ⎜ ⎟ = 50 − 0,4x 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ Armadura escoando σ s = f yd Equação de equilíbrio para o momento: M d = R c .z c = R c1 .z c1 + R c2 .z c2 + R c3 .z c3 M d = A c1σ c1 (45 − 0,4x) + A c2 σ c2 (42,5) + A c3 σ c3 (50 − 0,4x) M d = 8.x.0,85.f cd (45 − 0,4x) + 50.0,85.f cd (42,5) + (8x - 100).0,85.f cd (50 − 0,4x) M d = 6,8.x.f cd (45 − 0,4x) + 1806,25.f cd + 0,85.f cd .(50 − 0,4x).(8x - 100) 8400 = 6,8.x.1,43(45 − 0,4x) + 1806,25.1,43 + 0,85.1,43.(50 − 0,4x).(8x - 100) x 1 = 111,35cm Falso ! x 2 = 13,76cm OK! Domínio 3! Equação de equilíbrio para a força normal:
0 = Rc − Rs
0 = R c1 + R c2 + R c3 − R s 0 = A c1 .σ c1 + A c2 .σ c2 + A c3 .σ c3 − A s .σ s 0 = 8.x.0,85.f cd + 50.0,85.f cd + (8x - 100).0,85.f cd − A s .σ s A s .σ s = 6,8.x.f cd + 42,5.f cd + (8x - 100).0,85.f cd 6,8.x.f cd + 42,5.f cd + (8x - 100).0,85.f cd As = σs 6,8.13,76.1,43 + 42,5.1,43 + (8.13,76 - 100).0,85.1,43 As = 43,5 2 A s = 4,75cm Portanto:
A s = 4,75cm 2
Æ
4 φ 12,5mm
m) Verificação do d e detalhamento: 1,25 = 46,38cm 2 = 45 OK!
d real = 50 − 2,5 − 0,5 − d real > d adotado
4 φ 12.5mm