TΩrm∆
La revista matemática
Teorema de Pitágoras
¿Quién fue Pitágoras? Pasatiempos
Edición #1
Mayo 2017
Teorema de Euclides Tales de Mileto Teorema de Tales
Geometría en el Plano
Índice de Artículos Geometría en el plano………………………………Pág.3 Propiedades del plano ℝ3…………………….........Pág.4 Teorema de Pitágoras……………………………….Pág.5 Teorema de Pitágoras………………………………….Pág.6 Demostraciones……………………………………........Pág.7 China: El Zhoubi Suanjing, y el Jiuzhang Suanshu….Pág.8 Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos…………………………………................Pág.9 Demostración de Leonardo da Vinci………………..Pág.10
¿Quién fue Pitágoras?............................................Pág.11 Pitágoras…………………………………………..Pág.12
Teorema de Tales………………………………….....Pág.13 Teoremas de Tales, 1 y 2……………………….Pág.14 Leyenda relatada por Plutarco……………..Pág.15
Tales de Mileto ………………………………….........Pág.16 Tales de Mileto……………………………….......Pág.17
Teorema de Euclides ………………………………..Pág.18 Segundo Teorema de Euclides……………….Pág.19
Euclides de Megara……………………………….....Pág.20 Euclides de Megara……………………………..Pág.21
Pasatiempos …………………………………..............Pág.22 Publicidad ………………………………….................Pág.23
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GEOMETRÍA EN EL PLANO
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En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta. Gráfica de dos hipérbolas y sus asíntotas en el plano cartesiano.
Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones
Plano cuadriculado.
Propiedades 3 del plano ℝ
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En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores). O bien dos planos son paralelos, o bien se intersecan en una línea. O bien una recta es paralela a un plano, o bien se interseca con el mismo en un punto, o bien está contenida en él. Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí. Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos entre sí.
Entre un plano Π cualquiera y una recta no perpendicular al mismo existe sólo un plano tal que contiene a la recta y es perpendicular al plano Π. Intersección de dos planos en un Entre un plano Π cualquiera y una recta perpendicular espacio tridimensional. al mismo existen infinitos planos tales que contienen a la Representación isométrica de recta y son perpendiculares alperpendiculares. plano Π. dos planos
Teorema de Pitágoras
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Historia El teorema de Pitágoras fue comprobado en el siglo VI a.C. por el filósofo y matemático griego Pitágoras, pero se estima que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo otra denominación. Respecto de los babilonios hay esta nota: “Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y de sus consecuencias numéricas.” El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la mística escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y
el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.3 La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se
TEOREMA DE PITÁGORAS
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El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.
Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitágoras
Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud a y b, y la medida de la hipotenusa es c, entonces se cumple la siguiente relación: a2+ b2= c2
De esta ecuación se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:
DEMOSTRACIONES
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El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un
mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster Matheseos". Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythogorean Proposition. En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: El Zhoubi Suanjing, y el Jiuzhang 8 Suanshu
Prueba visual para un triángulo dea = 3, b = 4
y c = 5 como se ve en e Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
Ya que
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos
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Basándose en la proposición I.415 de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1). Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos: Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que AD y AC, necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC. Sus tres lados son iguales. Triángulos ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados son asimismo iguales. Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ABD en ACK. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras. Véase (en la Figura Euclides 3) que: Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.41 5 de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura Euclides 1). Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD. Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciéndose razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: «la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa».
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Demostración de Leonardo da Vinci
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En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci. Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:
Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.
Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:
De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
A de ADGB y A de CIJA
B de ADGB y J de CIJA
Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.
De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.
Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.
Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales– las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.
El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.
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¿Quién fue Pitágoras? Pitágoras (en griego antiguo Πυθαγόρας; Samos, c. 569-Metaponto, c. 475 a. C.) Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro.
PITÁGORAS Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría, la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Respecto a la música, sus conceptos de I, IV y V, fueron los pilares fundamentales en la armonización griega, y son los utilizados hoy en día. Es el fundador de la Escuela pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.
Ciudad de Crotona en la Magna Grecia, área de influencia de Pitágoras y los pitagóricos.
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Busto de Pitágoras en los Museos Capitolinos.
No se ha conservado ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos —los pitagóricos — invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado de lado mensurable o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la Escuela pitagórica.
TEOREMA DE TALES
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Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
LOS DOS TEOREMAS DE TALES
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersectadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales
Teoremas de Tales
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PRIMER TEOREMA
SEGUNDO TEOREMA
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Teorema primero Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Teorema segundo Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro "O", distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo donde <ABC = 90º.
Tales de Mileto
Tales de Mileto Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será
Una aplicación del teorema de Tales.
constante y recto.
LEYENDA RELATADA POR PLUTARCO
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Según la leyenda relatada por Plutarco, Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.
Como en triángulos semejantes, se cumple que por lo tanto la altura de la pirámide es con lo cual resolvió el problema.
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Tales de Mileto
Tales de Mileto (en griego antiguo: Θαλῆς ὁ Μιλήσιος Thal ḗs o Mil ḗsios ), (Mileto, c. 623 a. C.ibidem, c. 540 a. C.)1 fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego.
TALES DE MILETO
1 7 costa jonia (hoy
Vivió y murió en Mileto, polis griega de la en Turquía). Fue el iniciador de la Escuela de Mileto a la que pertenecieron también Anaximandro (su discípulo) y Anaxímenes (discípulo del anterior). En la antigüedad se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. No se conserva ningún texto suyo y es probable que no dejara ningún escrito a su muerte. Desde el siglo V a. C. se le atribuyen importantes aportaciones en el terreno de la filosofía, la matemática, la astronomía, la física, etc., así como un activo papel como legislador en su ciudad natal. A menudo Tales es considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica griega y occidental, aunque su figura y aportaciones están rodeadas de grandes incertidumbres. Se suele aceptar que Tales comenzó a usar el pensamiento deductivo aplicado a la geometría, y se le atribuye la enunciación de dos teoremas geométricos que llevan su nombre .
Busto de Tales de Mileto (ilustración de la obra de Ernst Wallis, 1877)
Mileto, la ciudad de la Jonia griega se encuentra hoy en las costas de la actual Turquía
TEOREMA DE EUCLIDES
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Primer Teorema de Euclides conocido como “teorema de los catetos” Enunciado: En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre un cateto es equivalente al rectángulo que tiene por medidas la proyección de este cateto sobre la hipotenusa y la misma hipotenusa. Se demuestra que C = R en este caso AB²= BH x BC , donde AB² es el área del cuadrado construido sobre el cateto AB; BH es la proyección de AB sobre la hipotenusa BC; BC es la hipotenusa y recordando que BC’ = BC
Para esta demostración se utiliza el paralelogramo P (ABFG) que se construye sobre el cateto AB, con la prolongación del altura AH (altura del triángulo rectángulo relativa a la hipotenusa) y la prolongación de BC’ para definir los otros dos vértices del paralelogramo en la intersección de la prolongación del lado DE del cuadrado construido sobre el cateto AB.
1-Se demuestra que el paralelogramo ABFG es equivalente al cuadrado ABDE 2-Se demuestra que el paralelogramo ABFG es equivalente al rectángulo BC’KH entonces si C = P = R, por la propiedad transitiva C = R como se quería demostrar en el teorema.
SEGUNDO TEOREMA 1 DE EUCLIDES 9 Segundo Teorema de Euclides (teorema de la altura) Enunciado: en cada triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la altura relativa a la hipotenusa es igual al rectángulo que tiene como medidas las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. AH² = BH x HC h² = a’ x a”
Para la demostración se construye el cuadrado sobre la altura AH (C₂), el cuadrado sobre el cateto AB (C₁) y el rectángulo BC’LH (como en el primer teorema de Euclides) siendo BH la proyección del cateto AB sobre la hipotenusa con BC’=BC que es la medida de la hipotenusa. Se construye sobre BH el cuadrado de lado BH (C₃),dividiendo así el rectángulo BC’LH en el cuadrado BHKH’ y en rectángulo H’C’KL (R). Por el primer teorema de Euclides sabemos que C₁ = C₃ + R y por el teorema de Pitágoras sabemos que C₁ = C₂ + C₃ por la propiedad transitiva de la equivalencia entonces tendremos que C₃+ R = C₁ = C₂ + C₃ C₃ + R = C₂ + C₃ Restando C₃ en cada lado tendremos que R = C₂ que es lo que se quería demostrar AH² = BH x HC h² = a’ x a” el cuadrado de la altura relativa a la Hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
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Euclides de Megara Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleidēs, latín Euclīdēs) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría".
EUCLIDES DE MEGARA
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Biografía. Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (ciudad situada al norte de Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis: Euclides fue un matemático histórico que escribió los Elementos y otras obras atribuidas a él.
Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.
Fragmento de los Elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Oxyrhynchus), Egipto.
Euclides.
Pasatiempos
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Sopa de Letras
¡A REIR…!
¿Sabías que…? La explicación universal y racional que sostuvo Tales fue que el agua es origen de todas las cosas que existen mientras que la de Pitágoras fue el fuego…
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TΩrm∆ Teorema es traída a Ti gracias a: Roxana Mujica #24 Fabiana Alvarado #26 Eukaris Martínez #11 Ismeira Giménez#34 3er Año Sección “D”