Meetkundige puzzels met GPS
Johan Holtman Geocaching is a way of life!!!
OP EEN EFNVOUDIGE MANIER MEETKUNDIGE PUZZELS OPLOSSEN MET JE GPS Tjm1706 In diverse geocaches vind je puzzels waarbij je gevraagd wordt om de hoek tussen waypoints (t.o.v. het noorden), een kruispeiling of een meetkundige bewerking uit te voeren. In deze korte handleiding kun je leren hoe je dat eenvoudig met je GPS apparaat kunt doen. Dus je mag, wat mij betreft, de "sinus" en "cosinus" formules verder onder het stof laten liggen! In deze toelichting vind je informatie over: 1. Het bepalen van de hoek tussen 2 waypoints 2. Het bepalen van het snijpunt tussen 2 lijnen door 4 waypoints, dus een "kruispeiling" 3. Een toepassing van een aantal GPS technieken 4. Vier bekende meetkundige puzzels m.b.t. driehoeken 5. Gebruik je GPS apparaat om 4 bekende meetkundige puzzels in het veld eenvoudig op te lossen TOELICHTING 1 - Het bepalen van de hoek tussen 2 waypoints Om de afstand en de hoek tussen 2 waypoints te bepalen zijn er verschillende manieren om dit via een GPS apparaat te doen. Je kunt bijv. de waypoints op je GPS-apparaat in een nieuwe "route" zetten. Zorg ervoor dat de waypoints in de juiste volgorde staan. Ga je vervolgens de lijst van waypoints van de route doorlopen, dan zie je steeds de afstand en hoek vanuit het het vorige waypoint naar het geselecteerde waypoint. Dus wanneer je het derde waypoint van de route hebt aangewezen, dan zie je de hoek en afstand vanaf het tweede waypoint naar het derde waypoint. TOELICHTING 2: Het bepalen van een kruispeiling (of snijpunt van 2 lijnen) Allereerst bestaan er app's die het snijpunt tussen 2 lijnen (door 4 waypoints) kunnen bepalen. Je kunt dit echter ook eenvoudig met je GPS apparaat doen. Plaats eerst de 4 waypoints op je GPS-apparaat in een route. Wanneer je dan de route toont op een kaart, dan zie je vanzelf (visueel) waar het snijpunt ligt. Het enige wat je dan moet doen is naar dit waypoint te lopen. De cursor, die je huidige locatie weergeeft, beweegt zich al lopende (in de goede richting) vanzelf naar het snijpunt. Wanneer je maar voldoende inzoomt kun je het snijpunt steeds nauwkeuriger bepalen. NB Het is dus voldoende de route op de kaart zichtbaar te maken, je hoeft de "navigeer naar" route-functie niet te gebruiken voor die route. TOELICHTING 3: EEN TOEPASSING Stel dat je de opdracht krijgt om naar de punt van een "pijl" te lopen. Dit is een voorbeeld van een "kruispeiling". In deze voorbeeld puzzel is slechts een deel van de pijl beschikbaar. Je mag de locatie van de pijlpunt bepalen. Je krijgt alleen een aantal waypoints "kado". Dat ziet er bijv. als volgt uit:
Zo kun je de puzzel oplossen: ● Maak een tekening van de oplossing. Een voorbeeld staat hieronder. De waypoints zijn voor het gemak genummerd.
● ●
●
● ● ● ● ●
Het gaat dus om een kruispeiling van de lijnen door ○ Waypoints 1 en 3 ○ Waypoints 4 en 5 Bepaal eerst de hoek tussen waypoint 1 en 3. Zet de waypoint 1 en 3 in je GPS-apparaat en zet achtereenvolgens waypoints 1 en 3 in een GPS-route. Wanneer je dan naar de GPSroute gaat en binnen de route vervolgens naar het tweede routepunt (waypoint 3), dan kun je de hoek aflezen om van waypoint 1 naar 3 te komen. Laten we deze hoek A-hoek noemen. Bepaal volgens de hoek tussen waypoint 4 en 5. Zet de waypoint 4 en 5 in je GPS-apparaat en zet achtereenvolgens waypoints 4 en 5 in een GPS-route. Wanneer je dan naar de route gaat en gaat naar het tweede routepunt (waypoint 5), dan kun je de hoek aflezen om van waypoint 4 naar 5 te komen. Laten we deze hoek B-hoek noemen. Ga een punt maken "voorbij" de "pijlpunt". Maak een projectie vanuit waypoint 1 met een grote afstand (bijv. 1 km) met de A-hoek. Noem dit waypoint bijv. 6. Ga nog een punt voorbij de pijlpunt maken. Maak een projectie vanuit waypoint 4 met een grote afstand (bijv. 1 km) met de B-hoek. Noem dit waypoint bijv. 7. Je vindt dan de pijlpunt (of kruispeiling) door de volgende route te maken op je GPSapparaat: eerst 6 dan 3 (of 1) dan 4 en dan 7. Et voilá, je kunt dan de "route" op (de kaart van) je GPS tonen en je ziet (letterlijk) het snijlpunt. Wanneer je vervolgens richting dit de pijlpunt loopt, dan zie je je huidige-positie-cursor bewegen naar dit snijpunt.
TOELICHTING 4 - BEKENDE MEETKUNDIGE PUZZELS Hieronder vind je 4 bekende meetkundige puzzels. Ze gaan in dit voorbeeld over 4 bekende eigenschappen van driehoeken. Het is niet moeilijk om deze technieken te gebruiken voor het bepalen van het zwaartepunt van bijv. een rechthoek. De 4 eigenschappen van een driehoek zijn:
● ● ●
Het zwaartepunt; Het hoogtepunt; Het middelpunt van de “omgeschreven” cirkel ( die hierna als "snijpunt van middelloodlijnen" wordt aangeduid); ● Het middelpunt van de “ingeschreven” cirkel ( die hierna als "snijpunt van deellijnen" wordt aangeduid). De termen "omgeschreven" en "ingeschreven" cirkels kun je visueel als volgt weergegeven: De meetkundige eigenschappen kun als volgt bepalen ( zie ook onderstaande figuur): ● Zwaartepunt - Trek een lijn vanuit een hoekpunt naar het midden van de overstaande lijn / zijde. Herhaal dit voor een tweede hoekpunt. Het snijpunt van twee van dergelijke lijnen is het zwaartepunt. Wanneer je dit ook voor het derde hoekpunt doet, dan zou ook die lijn door hetzelfde snijpunt moeten gaan. ● Hoogtepunt - Trek een lijn vanuit een hoekpunt die loodrecht staat op de overstaande lijn. Het snijpunt van twee van dergelijke lijnen is het hoogtepunt. ● Snijpunt van middelloodlijnen - Een middelloodlijn staat loodrecht op het midden van een zijde. Het midden verdeelt de zijde dus in 2 gelijke delen. Trek een loodlijn door het midden van een zijde van de driehoek. Wanneer je dit ook voor een tweede zijde doet, dan is het snijpunt van die lijnen het gezochte punt. Het is tevens het middelpunt van de omliggende cirkel die door de hoekpunten van de driehoek gaat. ● Snijpunt van de deellijnen - Een deellijn deelt de hoek van een hoekpunt in 2 gelijke hoeken. Trek zo'n deellijn achtereenvolgens uit 2 hoekpunten. Het snijpunt van twee van dergelijke lijnen vormt het gezochte punt en is tevens het middelpunt van de cirkel die aan de binnenkant tegen de zijden van de driehoek zich bevindt.
TOELICHTING 5: GEBRUIK JE GPS OM 4 BEKENDE MEETKUNDIGE PUZZELS EENVOUDIG OP TE LOSSEN Je kunt nu je GPS apparaat inzetten voor het oplossen van deze meetkundige puzzels. Als voorbeeld tonen we hoe je het hoogtepunt van een driehoek kunt bepalen. Overige puzzels werken op een soortgelijke manier. ● ●
● ● ●
Markeer op je GPS apparaat de waypoints ( in dit voorbeeld: WP4, WP8 en WP12) als de hoekpunten van de eerste driehoek. Bepaal de hoek (in graden t.o.v. het noorden) van de loodlijn van het lijnstuk WP12 WP8. Bepaal daarvoor eerst de hoek waaronder het lijnstuk WP12 - WP8 loopt. In dit geval is de hoek ongeveer 100 graden. Tel hierbij 90 graden op en je hebt de hoek waaronder de loodlijn loopt. Om een punt op deze loodlijn te bepalen, in dit voorbeeld is dat "A", voer je een projectie uit vanuit WP4 over een willekeurig aantal meters (bijv. 1500) over de hoek van de loodlijn. Bepaal het aantal graden van de loodlijn van het lijnstuk WP4 - WP12. Bepaal daarvoor weer eerst de hoek van het lijnstuk WP4 - WP12. Tel hierbij vervolgens 90 graden op. Bepaal nu punt "B" door een projectie te doen vanuit WP8 over een willekeurig aantal
meters ( bijv. 1500 ) over een hoek van de zojuist gevonden loodlijn. â—? Maak nu met je GPS apparaat een route met de waypoints WP4, "A", WP8 en "B". â—? Het snijpunt van deze lijnen uit de route is dan het hoogtepunt van de driehoek. Hieronder vind je een manier hoe je dat voor de 4 puzzels kunt doen.
Wanneer je opmerkingen of suggesties hebt ter verbetering van deze handleiding, dan hoor ik die graag van je. Veel plezier met het geocachen! Tip: Zoek je geocaches met dit soort uitdagende puzzels, ga dan naar www.deholtmans.nl. Voor opmerkingen / verduidelijkingen kun je mailen naar johan975@gmail.com.