Ister математика 5 клас by Руслан

. Icm ep

МАТЕМАТИКА

Властивості додавання

а +b= b +а — переставна властивість (а + Ь) + с = а +(Ь + с) — сполучна властивість Властивості множення

а ■Ь = h ■а — переставна властивість (а Ь) ■с = а (Ь• с) — сполучна властивість (а + Ь) • с = а • с + b ■с — розподільна властивість відносно додавання (а —Ь) ■с = а • с - Ь • с — розподільна властивість відносно віднімання Степінь показник степеня

З 4*

а" = а • а • ... • а ---- — — ' п множників

основа степеня

172 = 17 • 17 = 289

53 = 5 • 5 • 5 = 125

28 = 2 * 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2

2 = 256

Квадрат числа: а = а

Куб числа: а 1= а • а • а Таблиця квадратів і кубів натуральних чисел від 1 до 10

п2

100

п3

125 216 343 512 729 1000

Відсотки 1 % = — = 0,01 100

100 % = 1

10 % = о д = — 10

50 % = 0,5 = 2

25 % = 0,25 = 4

75 % = 0,75 = 4

Одиниці довжини 1 см = 10 мм 1 дм = 10 см = 100 мм 1 м = 10 дм = 100 см - 1000 мм 1 км = 1000 м Одиниці площі 1 см2 =100 мм2 1 дм2 = 100 см2 = 10 ООО мм2 1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2 1 а = 100 м2 1 га = 100 а = 10 000 м2 1 км2 = 100 га = 10 000 а = 1 000 000 м2 Одиниці об’єму 1 дм3 = 1 л = 1000 см3 1 м3 = 1000 дм3 = 1 000 000 см3 1 км3 = 1 000 000 000 м3 Одиниці часу 1 хв = 60 с 1 год = 60 хв 1 доба = 24 год Одиниці маси 1 кг = 1000 г 1 ц = 100 кг 1 т = 10 ц = 1000 кг Перетворення неправильного дробу в мішане число 8 : 5 = 1

(ост. 3)

l _ t

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками а Ь а -Ь а +Ь (а > b або а = b) с с с с

УДК 51(075.3) ББК 22.1я721 1-89

Рекомендовано Міністерством освіти і науки, молоді т а спорту України (Наказ МОНмолодьспорту України від 04.01.2013 р. № 10)

Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено *

Експертизу здійснював Інститут математики Національної академії наук України. Рецензент ФінкельштейнД. JI., канд. фіз.-мат. наук, старший наук, співробітник Інституту математики НАН України Експертизу здійснював Інститут педагогіки Національної академії педагогічних наук України. Рецензент Ваиіуленко О. П., канд. пед. наук, старший наук, співробітник лабораторії математичної і фізичної освіти Інституту педагогіки НАПН України

Істер О.С. 1-89

Математика : підруч. для 5-го кл. загальноосвіт. навч. закл. / О.С. Істер. — К. : Генеза, 2013. — 368 с. :

іл. ISBN 978-966-11-0114-1. Підручник відповідає чинній програмі з математики, складається з двох розділів, що містять 45 параграфів, кож ний з яких уміщує достатню кількість диференційованих вправ. Для підготовки до контрольної роботи передбачено завдання «Домашньої самостійної роботи», які подано в тестовій формі, та «Завдання для перевірки знань». Напри кінці підручника наведено вправи для повторення курсу 5-го класу, предметний покажчик та відповіді до більшості вправ. Для найбільш допитливих є низка цікавих і склад них задач у рубриці «Для тих, хто любить математику». УДК 51(075.3) ББК 22.1я721

ISBN 978-966-11-0114-1

©Істер О.С., 2013 ©Видавництво «Генеза», оригінал-макет, 2013

Шановний п’ятикласнику! Ти продовжуєш вивчати одну з найдавніших і найважливіших наук — математику. У цьому тобі допоможе підручник, який ти тримаєш у руках. Підручник складається з двох розділів, що міс тять 45 параграфів. Під час вивчення теоретичного матеріалу зверни увагу на слова, надруковані курси вом. Це математичні терміни, означення. Жирним шрифтом надруковано правила, математичні закони. У підручнику ти побачиш такі умовні позначення: ф — головне, що треба запам’ятати; ф

2 3 ф

— запитання до теоретичного матеріалу, на які необхідно дати відповідь після його ви вчення; — вправи для виконання в класі; — вправи для виконання вдома; — вправи для повторення.

Усі вправи, залежно від того, якому рівню на вчальних досягнень відповідають, мають позначен ня: — вправи початкового рівня; @ — вправи середнього рівня; ^

— вправи достатнього рівня; — вправи високого рівня;

— вправи підвищеної складності;

— цікаві задачі для учнів неледачих.

Перевірити свої знання та підготуватися до тема тичного оцінювання ти зможеш, виконавши завдання «Домашньої самостійної роботи», які подано у тесто вій формі, та «Завдання для перевірки знань з теми», У кінці підручника наведено цікаві і складні задачі в рубриці «Для тих, хто любить математику», предмет ний покажчик та відповіді до більшості вправ. Поняття ціна і вартість, які трапляються у де яких задачах, сприймайте як умовні величини, зручні для виконання математичних обчислень. З

Ш АНОВНІ ВЧИТЕЛІ! Підручник містить велику кількість вправ. Обирайте їх для виконання на уроках та як домашні завдання за лежно від поставленої мети, рівня підготовленості учнів, ступеня індивідуалізації навчання тощо. Вправи, які не розглянули на уроці, можна використати під час додаткових, індивідуальних, факультативних занять, а також на заняттях математичного гуртка. Ш АНОВНІ БАТЬКИ! Якщо ваша дитина пропустить один чи кілька уроків у школі, виникне необхідність опрацювати цей матеріал удома. Теоретичну частину кожного па раграфа подано максимально простою, зрозумілою мовою, супроводжуючи її достатньою кількістю при кладів. Тому спочатку необхідно запропонувати дити ні ознайомитися з теоретичною частиною параграфа, після цього дати відповіді на запитання, що подано після неї. Далі слід приступити до розв’язування вправ з урахуванням принципу «від простого до складного». Саме за таким принципом розміщено вправи у кожному параграфі. Крім того, ви можете запропонувати дитині додат ково розв’язати вдома вправи, які не розглянули на уроці. Це сприятиме кращому засвоєнню навчального матеріалу. Щоб підготуватися до тематичного оцінювання, дитині варто розв’язати завдання «Домашньої само стійної роботи», які подано у тестовій формі, та «За вдання для перевірки знань з теми», подані в під ручнику. Це допоможе пригадати основні типи вправ.

Бажаємо успіхів!

ПОВТОРЕННЯ ВИВЧЕНОГО В 1-4 КЛАСАХ Початковий рівень X. (Усно). Прочитай числа: 1) 7283; 2)14 013; 3)417 009; 5)111; 6) 200 007; 7) 13 000;

ЯМ

4) 3001; 8) 127 397.

2. Запиши цифрами числа: 1) п’ять тисяч двісті сімдесят п’ять; 2) дванадцять тисяч чотириста тридцять сім; 3) сорок тисяч шістсот; 4) п’ятдесят тисяч двадцять дев’ять; 5) сімсот одна тисяча вісімсот дев’яносто; 6) чотириста одна тисяча чотириста три. . Запиши цифрами числа: 1) 37 тисяч 813; 2) п’ятсот тисяч дев’ятсот п’ятдесят дев’ять. 4. У числі 542397 назви цифру, що стоїть у розряді: 1) десятків; 2) десятків тисяч; 3) сотень; 4) одиниць тисяч; 5) сотень тисяч; 6) одиниць. 5. Напиши словами числа: 23, 307, 2581. 6. Наведи приклади чисел, у яких: 1) цифра 7 — це цифра тисяч; 2) цифра 0 — це цифра сотень; 3) цифра 9 — це цифра десятків; 4) цифра 5 — це цифра одиниць. 7. Запиши число: 1) наступне за числом 5392; 2) попереднє перед числом 72 381; 3) на 1 більше за число 99 999; 4) на 1 менше від числа 5000. 8. Виконай додавання: 1) 2356 + 4587; 2) 32 568 + 1481; 3) 3259 + 4592 + 7392; 4) 2576 + 113 513 + 10 892. 5

і' 1 — Ч 9. Виконай віднімання: 1) 895 - 178; 3) 132 315 - 112 231;

(CvUtKUf

2) 12 327 - 5839; 4) 100 002 - 98 794.

10. Обчисли:

1) 2572 + 3897; 3) 5382 - 3591;

2) 112 383 + 87 617; 4) 105 713 - 9217.

ЩШ

Середній рівень

11. Розглянь числа, що записані за допомогою цифр, та заповни останній стовпчик таблиці: Клас

Клас одиниць

Клас тисяч

Розряд

сот.

ДЄС.

од.

сот.

ДЄС.

од. 7

№

Назва чисел

1) Назви числа, що мають у розряді: а) десятків цифру 4; б) одиниць тисяч цифру 2; в) десятків тисяч цифру 3, а в розряді оди ниць — цифру 5; г) десятків тисяч та сотень однакові цифри. 2) Порівняй числа, позначені рисунками: а) § і ®; б) ® і \Ь. 12. Запиши числа в порядку спадання та відга дай прізвище видатного українського письмен ника: 36 981(H), 37 291(Р), 36 831(0), 42 379(Ф), 36 979(К), 37 219(A). 13. Запиши числа в порядку зростання та прочи тай назву одного з найбільших міст світу: 18 181(1), 17 342(М), 18 881(0), 17 432(E), 18 818(К), 18 179(Х). 14. У 5-А класі навчається 27 учнів, а в 5-Б — на 2 учні менше. Скільки учнів навчається у двох класах разом? 6

15. Розв’яжи рівняння: 1 )х + 2971 = 5317; 3) * - 72 581 = 2143;

2) 12 492 - * = 7543; 4) 12 371 + х = 19 002.

16. Розв’яжи рівняння: 1) 35 492 - х = 9871; 3) х - 4589 = 987;

2) х + 2387 = 4005; 4) 13 892 + х = 79 159.

17. Виконай множення: 1) 32-29; 2) 254-78;

3) 302 ■15;

18. Обчисли: 1) 82 57; 3) 1876 : 7;

4) 403 • 509.

2) 306 ■91; 4) 11 638 : 23.

19. Василь має 321 наклейку, а Петро — у 3 рази менше. На скільки більше наклейок має Василь, ніж Петро? 20. Виконай дії: 1) (18 + 12 ■27) : (327 - 156); 2) (300 : 25 + 15) (491 - 189). 21. Виконай дії: 1) 105 • 408 - 37 329; 2) (1350 : 45 - 16) • (47 + 78). 22. Розв’яжи рівняння: 1) X ■24 = 15 048; 2) д; : 427 = 25; 3) 29 008 : д; = 37. 23. Розв’яжи рівняння: 1) 6426 : х - 42; 2) х : 38 = 529; 3) 56 -х = 48 552. 24. Обчисли значення виразу Ь + а : 7 - 1599, якщо а = 18 186, b = 3879. 25. Обчисли значення виразу х — 15 • у + 17 987, якщо х - 12 389, у - 463. 26. Виконай дію: 1) 1 кг - 23 г; 2) 3 т + 2 ц; 3) 12 м 87 см : 9; 4) 5 км 042 м • 7; 5) 25 ц 5 кг : 3; 6) 5 год 12 хв ■5. 27. Площа прямокутника 24 см2, а його довжина 4 см. Побудуй цей прямокутник.

U* 4 > t € H&Z c - і - 1 — Ч

tC U « X 4 UC

Достатній рівень 28. Наведи приклад чотирицифрового числа, яке при: 1) збільшенні на 115 перетворюється на п’ятицифрове; 2) зменшенні на 208 перетворюється на трицифрове; 3) збільшенні на 1217 залишається чотирицифровим. 29. Скільки різних трицифрових чисел можна запи сати за допомогою цифр 1, 5 і 8 (цифри в кожному із чисел не можуть повторюватися)? 30. Запиши всі двоцифрові числа, у запис яких вхо дять лише цифри 5 і 7 (цифри в кожному із чисел можуть повторюватися). 31. Напиши всі двоцифрові числа, у яких: 1) число десятків на 3 менше від числа одиниць; 2) число одиниць утричі менше від числа десятків. 32. Напиши всі двоцифрові числа, у яких: 1) число одиниць на 7 більше за число десятків; 2) число десятків у 4 рази більше за число одиниць. 33. Склади умови задач і розв’яжи їх. Стрілку спря мовано в бік більшого числа. на 498

на 597

Разом - ?

34. Впиши цифри так, щоб дія була виконана правиль но: 1) 5 □ 7 □ □618

2) _7 □ 3 8 □ □3 7 □ 9

9 3 □0

1 4 □5 2

35. Виконай ділення та відгадай ім’я і прізвище ви датної української письменниці: 8

1)960:8 = Я Е Н; 3)7068: 12 = У А ї ; 1 2 3 4

Я К 2) 1058:23 = 4) 23 652 : 324 = Р с

5 6 7 8 9 0 6 8

36. У ящики по 10 кг і 5 кг розклали 600 кг огірків. ІГятикілограмових ящиків було 26. Скільки знадо билось ящиків місткістю по 10 кг?

Л7 Двом працівницям кондитерської фабрики по трібно прикрасити 261 тістечко. Перша працівниця прикрашала тістечка 7 годин по 21 тістечку щогоди ни. По скільки тістечок щогодини прикрашала друга працівниця, якщо вона працювала 6 годин? 38. Автомобіль проїхав 240 км за 3 год. Швидкість мотоцикліста на 5 км/год менша від швидкості авто мобіля. Скільки кілометрів проїде мотоцикліст за 2 год? Мотоциклісту потрібно проїхати від Вінниці до Черкас 339 км. За 3 год він проїхав 201 км, після цього збільшив швидкість на 2 км/год. За який час мотоцикліст подолає решту шляху до Черкас? 40. За продаж моркви йбуряків сім’я фермерів отри1 мала 7800 грн. За моркву отримали — всієї виручки, О

решту — за буряки. На скільки більше отримали за буряки, ніж за моркву? 41. Взуттєва фабрика виготовила 2400 пар взуття. 3 — від цього становило дитяче взуття. Жіночого взуто

тя було на 150 пар менше, ніж дитячого, а решта — чоловіче. Скільки пар чоловічого взуття виготовила фабрика? 9

42. Придумай запитання до умов прямої та оберненої задач. Розв’яжи їх. 1) 3 Києва до Ялти, відстань між якими 1045 км, виїхали автотуристи. Вони зупинилися на пере починок, коли залишилося проїхати ще 358 км. Скільки...

2) 3 Києва до Ялти виїхали автотуристи. На пере починок вони зупинилися, коли проїхали 687 км, при цьому до місця призначення залишилося 358 км. Скільки...

3) Якої із задач стосуються схеми: а) □ + □ = □;

б) □ - □ = □?

Високий рівень 43. Двоє робітників, працюючи з однаковою про дуктивністю, виготовляли деталі. Один робітник працював 4 год, а інший — 6 год. Другий робітник виготовив на 28 деталей більше, ніж перший. Скіль ки всього деталей виготовив кожний робітник?

'P e ^ L u s

НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І Д1 ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ У цьому розділі ви: ф пригадаєте, як виконуються дії із числами, основні геомеI тричн/ фігури; Ф ознайомитеся і з поняттям натурального числа, коорди натним променем, вимірюванням кутів, чис ловими т а буквеними виразами, формулами; • навчитеся застосовувати властивості дій над числами для спрощення обчислень, знаходити степінь числа, розв’язувати нові типи рівнянь т а текстових задач, знаходити об’єми прямо кутного паралелепіпеда т а куба. х (

По Натуральні числа. Число нуль. Цифри. Десятковий запис натуральних чисел Уже на світанку розвитку суспільства, багато ти сяч років тому, перед людьми виникала потреба ра хувати членів родини, худобу, здобич на полюванні, рибу тощо. Уміння рахувати і обчислювати необхідні і зараз. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., які використовуються під час лічби предметів, назива ють натуральними числами. Натуральні числа вико ристовуються також для визначення порядку розмі щення предметів. 11

r c lo

Числа, які ми використовуємо для лічби предме тів, відповідають на запитання: скільки? (один, два, три...). Числа, які ми використовуємо для визначення порядку розміщення предметів, відповідають на за питання: котрий? (перший, другий, третій...). Будь-яке натуральне число можна записати за до помогою десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Та кий запис називають десятковим.

Усі натуральні числа, записані так, що за кож ним числом йде наступне: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1 2 , утворюють натуральний ряд чисел.

Якщо натуральне число записане однією цифрою, то воно називається одноцифровим, двома цифра ми — двоцифровим тощо. Натуральний ряд чисел має такі властивості: 1) має найменше число — 1; 2) кожне наступне число більше за попереднє на 1; 3) не має найбільшого числа. Яке б велике чис ло ми не назвали, додавши до нього 1, отримаємо ще більше число.

Щоб легше було читати натуральні числа, їх роз бивають на групи справа наліво по три цифри в кож ній групі. Найперша група ліворуч може складатися з однієї, двох або трьох цифр. Наприклад 57 403. Кожна група утворює класи: одиниць, тисяч, мільйонів і т. д. Кожний клас має три розряди: оди ниць, десятків, сотень. Якщо в числі відсутній якийсь розряд, то в запису числа на його місці стоїть цифра 0. Ця цифра служить також для запису числа «нуль». Це число означає «жодного». Якщо рахунок футбольного матчу 2 : 0, то це означає, що друга команда не забила жодного м’яча у ворота першої. Нуль не є натуральним числом. 12

9 7

S S 0) Ч

одиниці

Одиниць сотні

одиниці

Тисяч

одиниці

десятки

сотні

Розряд

Мільйонів

одиниці

Мільярдів десятки

Клас

десятки

Мільйон — це тисяча тисяч, його записують так: 1 000 000. Мільярд — це тисяча мільйонів, його за писують так: 1 000 000 000. У таблиці записано числа 17 427 003 813, 132 518 000 237 та 215 305 289.

0 0 3 0 0 0 3 0 5

Приклад 1. Запиши цифрами число 37 мільйонів 142 тисячі 15. Відповідь: 37 142 015. Приклад 2. Запиши цифрами число тринадцять мільйонів дві тисячі. Відповідь: 13 002 000. У молодших класах уже подавали числа, менші від мільйона, у вигляді суми розрядних доданків. Та ким самим чином можна подати будь-яке натуральне число. Наприклад, 7 213 049 = 7 000 000 + 200 000 + + 10 000 + 3000 + 40 + 9. Числа 7 000 000, 200 000, 10 000, 3000, 40, 9 у цьому прикладі є розрядними доданками. Розглянуте число можна подати ще йтак: 7 213 049 = 7 • 1 000 000 + 2 • 100 000 + 1 • 10 000 + + 3-1000 + 4-10 + 9-1. Крім розрядних одиниць 1, 10, 100, 1000, 10 000 та 100 000, розглянутих раніше, також маємо 1 000 000, 10 000 000, 100 000 000 і т. д.. Стародавні римляни користувалися нумерацією, яка зберігається й нині під назвою римська нуме рація. Ми використовуємо її для нумерації розділів книжки, циферблата на годиннику, для позначення століть тощо. 13

Римські числа мають такий вигляд: І II III IV V VI VII VIII IX X L С □ М 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100 500 1000 Натуральні числа (до 5000) записують за допомогою повторення даних. При цьому якщо менша цифра стоїть після більшої, то маємо суму відповідних чи сел: LX = 60, X V III = 18; якщо менша цифра стоїть перед більшою, то маємо різницю відповідних чисел: ХС = 90, VC = 95. . Які числа використовують для лічби предметів? • Як читаються натуральні числа? • Яке найменше натуральне число? » Чи має натуральний ряд най більше число?

Початковий рівень

‘Я Н Н Ш Я Я И В Н Н И Н

44. Який з рядів є рядом натуральних чисел: 1) Д, □, *, Д, □, *,...; 2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...; 4) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...? 45. Прочитай числа: 1) 1 257 319; 2) 32 000 517; 3) 1 213 592 731; 4) 102 015 007. 46. Запиши словами числа: 1) 52 003 342; 2) 3 742 500 000; 3) 110 602 327; 4) 7 000 101. 47. Запиши цифрами числа: 1) 12 мільйонів 541 тисяча 301; 2) 105 мільйонів 13 тисяч 5; 3) 5 мільярдів 7 тисяч; 4) три мільйони дванадцять тисяч вісімнадцять; 5) одинадцять мільярдів сто десять мільйонів п’ять тисяч сорок два. 48. Запиши цифрами числа: 1) 2 мільйони 12 тисяч 501; 2) сто мільйонів п’ять. 14

Середній рівень

49. Запиши сім разів підряд цифру 5. Прочитай одержане число. 50. Запиши найбільше шестицифрове число. Яке чис ло наступне за ним у натуральному ряді чисел? Які цифри використовуються для запису цього числа? 51. Запиши найменше семицифрове число і найбіль ше шестицифрове. На скільки одиниць перше з них більше за друге? 52. Полічи: 1) від 1 312 542 до 1 312 545; 2) у зворотному порядку: від 1 000 003 до 999 998. 53. Запиши чотири рази поспіль число 27. Яке число утворилося? Скільки воно має мільйонів, тисяч, оди ниць?

Достатній рівень

54. Запиши числа у вигляді суми розрядних доданків: 1) 12 312 473; 2) 5 010 980. 55. Запиши число у вигляді суми розрядних доданків: 1) 7 321 548; 2) 12 008 307. 56. Знайди число, яке записано у вигляді суми роз рядних доданків: 1) 7 ■ 1 000 000 + 3 ■100 000 + 5 • 10 000 + + 1 • 1 000 + 3 • 100 + 2 • 10 + 7; 2) 4 1 000 000 + 6 ■10 000 + 7 • 10 + 9; 3) 5 ■10 000 000 + 8 • 1000 + 3. 57. Від числа 370 157 послідовно віднімай розряд ні доданки і називай отримані числа доти, доки не одержиш 300 000: 370 157 - 7 = 370 150... 15

58. Запиши число, яке: 1) на 5 менше від найменшого чотирицифрового числа; 2) на 3 більше за найбільше трицифрове число. 59. Напиши трицифрове число, у якого цифра сотень у 3 рази більша за цифру десятків і на 4 менша від цифри одиниць. 60. Запиши всі двоцифрові числа, у кожного з яких сума цифр дорівнює 2. 61. Запиши за допомогою римської нумерації число: 1) 15; 2) 17; 3) 23; 4) 48; 5) 52. 62. Запиши арабськими цифрами число: 1) XVI; 2) X IX ; 3) X XV II; 4) XLIV. До числа 275 приписали справа 0. 1) На скільки одиниць воно збільшилося? 2) У скільки разів воно збільшилося? Високий рівень 64. Запиши всі двоцифрові числа, у кожного з яких сума цифр дорівнює 3. 65. Учень виписав кілька послідовних натуральних чисел у порядку зростання. Число 27 сьоме, рахуючи як з одного, так і з іншого боку. Скільки чисел випи сав учень? Яке з них найменше, а яке — найбільше? 66. На алеї дерева ростуть в один ряд. Улюблена то поля Сашка п’ята, якщо рахувати з одного боку, і шоста — з іншого. Скільки дерев у цьому ряді? 67. Знайди закономірність і продовж ряд чисел (за пиши три наступні числа ряду): 1) 1253, 1257, 1261, 1265, 1269, 2) 3273, 3276, 3275, 3278, 3277. 68. Знайди закономірність і продовж ряд чисел (за пиши три наступні числа ряду): 1) 1763, 1761, 1759, 1757, 1755, 2) 9837, 9835, 9836, 9834, 9835.

69. У книжці пронумеровано сторінки з першої по сто дев’яту. Скільки цифр було написано під час ну мерації сторінок? 70. ф Для нумерації сторінок зошита довелося на писати 63 цифри. Скільки сторінок у зошиті?

71. ^3 Візьми 12 сірників і виклади з них таку «рів ність»:

Переклади один сірник так, щоб рівність стала правильною (знайди два розв’язки). Вправи для повторення 72. xj Одна сторона трикутника дорівнює 27 см, дру га на 9 см коротша від першої, а третя на 6 см до вша за другу. Знайди периметр трикутника. 73. Є Видатний український письменник і гро мадський діяч Іван Петрович Котляревський на родився 9 вересня 1769 року, а помер 10 листопа да 1838 року. Скільки років, місяців і днів прожив І.П. Котляревський? ___________________ У к р їіи ї

74. С Запишіть чиело 1(ЭД0У^в^^ристовуючи шість трійок та знаки а р и ф м е т и ч й ^ Щ ^ ;;^ с; ітня й ,? S 1 „ і П о кр и в с ь ко ї районної ра*и Д н і п р о п е т р о в с ь к о ї об л а ст і 35(№ 50І9 5 3 * 4 1 . ку л .К ік а.

с Братське

jV.___________ ЬІД. на МІ --ві“_—

2 О. С. Істер “Математика", 5 кл.

Н.іШМИІ

Порівняння натуральних чисел

Одне з двох різних натуральних чисел завжди біль ше або менше від іншого. Це означає, що натуральні числа можна порівнювати. Число 5392 більше за число 837 тому, що 5392 — чотирицифрове число, а 837 — трицифрове. Числа 5392 і 4542 чотирицифрові, але 5392 біль ше, ніж 4542, тому що тисяч у першому числі біль ше, ніж у другому. Число 5392 більше за число 5237 тому, що хоч тисяч в обох числах порівну, але сотень у першому числі більше, ніж у другому. Результат порівняння записують у вигляді нерів ності, застосовуючи знаки > (більше) або < (менше). Наприклад: 1) 6 > 2 (читаємо: шість більше за два); 2) 3 < 7 (читаємо: три менше від семи). Запис 5 < 7 < 9 означає, що число 5 менше від чис ла 7, а число 7 менше від числа 9. Запис 5 < 7 < 9 називають подвійною нерівністю. Можна сказати й інакше: число 7 більше за 5, але менше від 9. Під час порівняння багатоцифрових натуральних чисел використовують такі правила. 1. Якщо два натуральних числа мають різну ' «2^ кількість знаків (цифр), то більшим буде те, у якого більше знаків. Наприклад: 2735 > 982; 10 271 < 100 271. • '

2. Якщо два натуральних числа мають однакову кількість знаків, то більшим числом є те, яке має більше одиниць у найвищому розряді. Якщо кількість одиниць у цьому розряді одна кова, то порівнюють число одиниць у наступ ному нижчому розряді і т. д.

Наприклад: 7592 < 8012; 7512 > 7437; 10519 < 10521. Порівнювати можна не тільки окремі числа, а й значення числових виразів. Порівняємо, наприклад, добуток 25 • 3 і суму 32 + 41. Значення добутку до рівнює 75, а суми становить 73. Оскільки 75 > 73, то 25 • 3 > 32 + 41. Сформулюй правило порівняння натуральних чисел. » Яке число більше: трицифрове чи чотирицифрове? 9 Наведи приклад числа, яке більше за 999 999. ^

Початковий рівень

75. Замість зірочки постав >, < або =. 1) 3753 * 37 531; 2) 82 371 * 9999; 3) 452 * 373; 4) 542 982 * 542 928; 5) 5 725 001 * 5 725 001; 6) 42 370 * 42 371. Порівняй числа і запиши результат за допомогою знаків > та <. 1) 673 і 701; 2) 9857 і 9854; 3) 20 002 і 19 997; 4) 308 753 і 307 753; 5) 9999 і 10 001; 6) 1 000 009 і 1 001 000. Середній рівень 77. Яке із чисел більше? Запиши відповідь за допо могою знака >. 1) 8237 чи 8198; 2) 7352 чи 72 111; 3) 107 511 чи 107 521; 4) 52 372 чи 52 370. Яке із чисел менше? Запиши відповідь за допо могою знака <. 1) 973 чи 937; 2) 72 573 чи 7257; 3) 67 002 чи 63 543; 4) 111 002 чи 111 100. 79. Щ о менше? Запиши відповідь за допомогою знака <• 1) 5 км чи 5001 м; 2) 51 см чи 5 дм; 3) 4 т 2 ц чи 41 ц; 4) 7кг 300 г чи 7199 г. Щ о більше? Запиши відповідь за допомогою знака >. 1) 2 м чи 21 дм; 2) 3кг чи 2900 г; 3) 7 км 3 м чи 6999 м; 4) 5ц 51 кг чи 592 кг. 2*

81. Перепиши числа в порядку зростання: 742, 543, 547, 751, 692. 82. Перепиши числа в порядку спадання: 8732, 987, 7832, 8832, 7931.

83. Прочитай подвійні нерівності, де а — натуральне число: 1) 12 < а < 37; 2) 192 < а < 207; 3) 9272 < а < 12 152. 84. Постав замість * таку цифру, щоб утворилася правильна нерівність. 1) 275* > 2753; 2) 7292 > 729*; 3) 12*3 > 1227; 4) 4*73 < 4874. Достатній рівень 85. Порівняй значення виразів: 1) 25 • 3 + 36 і (12 + 35) • 3; 2) 205 : 5 - 23 і (278 - 125) : 9. 86. Порівняй значення виразів: 1) 234 : 9 + 12 і (49 - 25) • 2; 2) (27 + 37) : 4 і 38 - 91 : 7. 87. Запиши всі натуральні числа, які більші за 2542 і менші від 2550. Скільки є таких чисел? 88. Запиши у вигляді подвійної нерівності умови: 1) 4 < Ь, b < 17; 2) 8 < d, 32 > d; 3) 13 > с, 7 < с; 4) 12 > х, х > 10. 89. Запиши у вигляді подвійної нерівності твердження: 1) число 12 більше за 10, але менше від 20; 2) число а менше від 15, але більше за 10. 90. Перелічи всі натуральні числа, замінивши якими букву у, отримаємо правильну подвійну нерівність: 1) 21 < у < 27; 2) 497 < у < 502; 3) 5295 < у < 5301. 91. Учень задумав число, що закінчується цифрою 8. Знайди це число, якщо воно більше за 211, але мен ше від 225. , 20

$ ■ •2 Постав замість * цифру так, щоб утворилася пранильна рівність (розглянь усі можливі варіанти): 1) 3897 < 389*; 2) 5382 > 538*; 3) 1279 < 12*8; 4) 1*45 < 1541. 93. У числі стерли кілька цифр і замість них поста вили *. Порівняй ці числа: 1) 37*** і 32***; 2) **1** і 9***; 3) 4*8** і 499**; 4) 91*** і *02**. Розв’язання. 3) 4*8** < 499**, оскільки навіть якщо замість першої зірочки в першому числі поста вити 9, то воно буде все одно менше від другого. ЇМ У числі стерли кілька цифр і замість них поста вили *. Порівняй ці числа: 1) 49*** і 38***; 2) *999 і 1*2*3; 3) 589* і 7***; 4) 98** і *765. 95. Використовуючи всі цифри, причому лише один раз, запиши: 1) найбільше десятицифрове число; 2) найменше десятицифрове число.

кожну

!><> Використовуючи лише по одному разу кожну із цифр 0, 2, 3, 5, 7, запиши найбільше можливе і най менше можливе п’ятицифрові числа. 97. У числі 5 789 231 закресли трицифри так, щоб цифри, які залишилися (у тій самійпослідовності), утворили: 1) найбільше можливе чотирицифрове число; 2) найменше можливе чотирицифрове число. 98. Порівняй маси вантажів о * е . Який вантаж важчий? На скільки? „д и й ^ а а - Л

^ в д

99. Порівняй значення: 1) 12 кг 415 г • 15 + 7 кг 17 г і 13 т 6 ц : 17 - 607 кг 115 г; 21

2) 17 м 12 см • 25 - 5 дм 3 см 3 км 6 м : 9 + 94 м 5 дм.

Високий рівень

100. Розстав дужки у лівій частині нерівності так, щоб вона стала правильною: 1)2 + 2 + 2 : 2 < 4 ; 2) 2-2 + 2 + 2 > 9 . 101. Знайди число, яке знаходиться між значеннями виразів. Відповідь запиши за допомогою подвійної нерівності. 1) 55 + (1324 : 4 - 1) : 10 і (764 + 2832 : 12) : 8 - 35; 2) (2597 - 14 ■135) : 7 + 2005 і (3400 : 25 + 417)-5 - 661. 102 Запиши за допомогою цифр 2, 4, 7 у порядку зростання всі трицифрові числа, якщо цифри в запи сі числа не повторюються. 103. Я кі знаки дій можна поставити замість * у за писі: 17 < 48 * 12 * 18 < 24, щоб подвійна нерівність була правильною? Наведи всі варіанти. Вправи для повторення 104.

Переведи в години та хвилини:

1) - доби = 5 2) — доби =

год = год =

хв; хв.

105. ^3 Обчисли: 7 1) — хв + 13 с; 12

8 2) 41 с - — хв. 15

106. Ф Порівняй: 1) — хв і 40 с; О

2) — т і 800 кг. 4

* 3 107. О Три оператори комп’ютерного набору, які працюють з однаковою продуктивністю, за 7 днів ро боти набрали 399 сторінок тексту. За скільки днів один оператор, працюючи з такою самою продуктив ністю, набере 57 сторінок?

Додавання натуральних чисел. Властивості додавання

З початкових класів відомо, як додавати невеликі натуральні числа. Розглянемо задачу. Задача. У 5-А класі 27 учнів, а в 5-Б — 29 учнів, (’кільки учнів у двох класах? Розв'язання. 27 + 29 = 56. Ця задача розв’язується за допомогою дії додаван ня. Додавати можна будь-які числа. Числа, які дода ються, називаються доданками, а число, отримане в результаті додавання цих чисел, — сумою. У буквеному вигляді: якщо а і b — доданки, а с — сума, то * а доданок ^

сума -**— ----- —> + Ь — ^ доданок

с ^ сума

Додавання натуральних чисел має такі властивості: 1. а + b = Ь + а при будь-яких значеннях а і Ь. Цю властивість додавання називають перестав ною властивістю додавання. Її читають так: від пе рестановки доданків сума не змінюється. 2. (а + Ь) + с = а + (Ь + с) при будь-яких значен нях а, b і с. Цю властивість додавання називають сполучною властивістю додавання. Її читають так: іцоб до суми двох чисел додати трете число, мож на до першого числа додати суму другого і третього чисел. Розкладання чисел на розряди застосовують під час додавання багатоцифрових чисел. 23

Г С ^ в іл А *

Додамо числа 345 і 623. Для цього кожний дода нок розкладемо на розряди: 345 + 623 = (300 + 40 + 5) + (600 + 20 + 3). Застосувавши сполучну і переставну властивості додавання, отримаємо 345 + 623 = (300 + 40 + 5) + (600 + 20 + 3) = = (300 + 600) + (40 + 20) + (5 + 3) = 900 + 60 + 8 = 968. Цим пояснюється додавання натуральних чисел «стовпчиком»: 34 5 623 968 Із властивостей додавання випливає, що додаван ня кількох чисел можна виконувати в будь-якій по слідовності. Доданки групують так, щоб обчислення було найзручнішим. Приклад: 27 + 56 + 72 + 73 + 14 = (27 + 73) + + (56 + 14) + 72 = 100 + 70 + 72 = 242. Сума двох натуральних чисел завжди більша за кожний з доданків: а + b > а, а + b > Ь. Якщо хоч один з доданісів дорівнює нулю, то їхня сума дорівнює другому доданку: а + 0 = а, 0 + а = а. Які числа називаються доданками? * Що називається сумою двох чисел? * Сформулюй переставну власти вість додавання, а Сформулюй сполучну властивість додавання. * Чи зміниться число, якщо до нього до дати нуль? * Яке число треба додати до натурального числа, щоб отримати наступне за ним число?

Ф ц

Початковий рівень

108. Використовуючи, у разі потреби, властивості до давання, обчисли (усно): 1) 152 + 343; 2) 492 + 108 + 17; 3) 513 + 85 + 87; 4) 120 + 546 + 880; 5) 32 + 14 + 18 + 16; 6) 76 + 21 + 79 + 4. 24

109. Виконай додавання: 1) 88 639 + 75 089; 2) 7 006 489 365 + 999 ООО 469; 3) 148 495 + 251 505; 4) 78 677 388 + 5 078 075 009. Знайди суму чисел: 1) 75 935 і 57 367; 2) 84 708 907 і 5 672 998 073; 3) 47 247 і 32 753; 4) 5 097 656 605 і 40 875 477. т

Середній рівень

111. Обчисли: 1) 469 572 + 1 217 311 + 569; 2) 12 382 790 + 3 215 891 + 5001. 112. Прочитай ім’я та прізвище першого Президента незалежної України. 579 755 + 873 + 339 686 = Е Н Д О Л І 1

оо

75 982 + 14 582 + 3 005 018 = р У в 0

к ч А

113. Збільши число 59 789 311 на 812. 114. Збільши число 7 819 000 на суму чисел 5932 і 6897. 115. Знайди число: 1) більше за 1 259 893 на 5399; 2) більше за суму чисел 2 593 498 і 3 492 003 на 52 792. 116. Карлсон на сніданок з’їв 37 банок варення, а на обід •— на 12 банок більше. Скільки банок варення всього з ’їв Карлсон? 25

117. Шкільна бібліотека отримала 92 підручники з історії України, 137 підручників з математики і 52 словники. Склади числовий вираз для обчислення всієї кількості книжок, що надійшли в бібліотеку. Обчисли значення цього виразу. 118. Склади умову і розв’яжи зана 28 489 дачу. Стрілка спрямована в бік ґ ц 51^ більшого числа. 119. Обчисли найзручнішим способом: 1) 458 + 1757 + 3042; 3) 9081 + (10 200 + 919); 2) (625 + 527) + 375; 4) 273 + 591 + 727 + 209. 120. Обчисли найзручнішим способом: 1) 402 + 7982 + 1598; 2) (2414 + 197) + 47 586; 3) 27 + 311 + 73 + 819; 4) 33 + 34 + 35 + 36 + 37. 121. Постав між виразами замість крапок потрібний знак рівності або нерівності, попередньо виконавши дії: 1) 8 391 592 + 7 453 372 ... 9 592 347 + + 6 252 617; 2) 3 592 731 + 5492 + 10 111 ... З 493 573 + + 114 765. 122. Обчисли значення суми: 1) 5 792 397 + х, якщо х = 3 892 316; 2) а + 312 492 + Ь, якщо а = 1597, b = 1 319 542. т

Достатній рівень

123. Першого дня фермерське господарство пана Матроскіна зібрало 13223 кг картоплі, що на 1231 кг менше, ніж другого дня. Третього дня зібрали на 727 кг картоплі більше, ніж другого дня. Скільки кі лограмів картоплі зібрали за три дні разом? 124. Олівець коштує 73 коп., що на 52 коп. мен ше, ніж ручка. Загальний зошит коштує на 1 грн. 24 коп. більше, ніж олівець і ручка разом. Скільки коштують олівець, ручка та зошит разом? 26

/* 125. У клітинки постав цифри так, щоб додавання було виконано правильно: 1) 5ПЗП7П 2) + 7 8ПП95 □2П4П9 П4783П 1000000

9D54D 9

126. Знайди найбільше із чисел, яке є сумою двох різних шестицифрових чисел. Знайди суму всіх натуральних чисел, що закінчу ються цифрою 5, які більші за 1800, але менші від 1846. 128. Склади умову і розв’яжи задачу. Стрілка спря мована в бік більшого числа. на 17 480 на 12 981

129. Спрости вираз: 1) (72 + а) + 29; 2) 43 + (96 + Ь); З ) т + 1001 + 9999; 4) 1273 + п + 2127. Розв’язання. 1) (72 + а) + 29 = (72 + 29) + а = 101 + а. Спрости вирази: 1) (39 + х) + 171; 2) 212 + у + 3598. 131. Спрости вираз (32 + у) + 128 та знайди його значення, якщо у = 320. 132. Знайди суму двох доданків, один з яких дорів нює 18 492, а другий на 793 більший за перший. 133. На прямій послідовно позначено точки А, В, С і D. Довжина відрізка АВ дорівнює 25 мм і менша від довжини відрізка ВС на 5 мм. Довжина відрізка CD на 7 мм більша за довжину відрізка ВС. Знайди дов жину відрізка AD. 134. Як зміниться сума, якщо один з доданків: 1) збільшити на 10; 2) зменшити на 6; 3) збільшити на 5, а другий — на 7; 27

4) зменшити на 3, а другий — на 9; 5) збільшити на 3, а другий зменшити на 1; 6) збільшити на 5, а другий зменшити на 7? 135 Як зміниться сума, якщо один з доданків: 1) збільшити на 13; 2) збільшити на 7, а другий зменшити на 7? Високий рівень 136. При додаванні двох п’ятицифрових чисел отри мали п’яти цифрове число. Перший доданок почина ється з цифри 8. З якої цифри починається другий доданок? З якої цифри починається сума цих чисел? Поясни відповідь. 137. Сума двох натуральних чисел дорівнює 500. Чи може менший з доданків бути більшим за 251? Поясни відповідь. 138. На першій полиці х книжок, на другій — ЗО книжок, а на третій — на 5 книжок більше, ніж на перших двох разом. Скільки книжок на трьох по лицях? Склади буквений вираз та обчисли його зна чення, якщо х = 24. 139. Впиши в порожні клітинки такі 22 27 числа, щоб квадрат став магічним, тобто 25 щоб суми чисел, які стоять у кожному 23 рядку, у кожному стовпчику і по кож ній діагоналі, були однаковим числом. 140. Заміни зірочки цифрами так, щоб була правиль ною рівність: **** + **** = 19 998. 141. На першому складі фруктів на 200 кг біль ше, ніж на другому. Після того як з першого скла ду замовникам відвезли фрукти, їх стало на 300 кг менше, ніж на другому складі. Скільки кілограмів фруктів відвезли замовникам? Розв’язання. 300 + 200 = 500 (кг).

142. С Знайди суму всіх трицифрових чисел, які можна записати, використовуючи по одному разу у кожному із чисел цифри 3, 4 та 5. : t:j. U У першому ящику 17 кг картоплі, що на ц кілограмів менше, ніж у другому. У мішку картоплі на 8 кг більше, ніж у двох ящиках разом. Скільки картоплі у двох ящиках і мішку разом? Склади букнений вираз та обчисли його значення, якщо у = 3. Вправи для повторення 144. Щ о більше йу скільки разів: 1) дві години чи сорок хвилин; 2) п’ять центнерів чи дві тонни? 145. Порівняй: 4 1) — т □ 7 ц; О

З 2) — ц □ 29 кг; J-U

3> ^ т D 7 ^ ц; 10 10

4) ~ т Ш 6 ц 12 кг ; 5 49 т; 6) — т □ 980 кг. 50 та прізвище видатного україн

17 5) 8 ц 50 кг □ — 20 146. Знайди ім’я ського поета: Значення а =8 а =5 змінних Ь=2 Ь =7 КО ШЕВ 2а +Ь 19

а =8 Ь=4

а =7 Ь=5 ТА 18

ЧЕН

а =6 6=3 РАС

Віднімання натуральних чисел Розглянемо задачу. Задача 1 Пішохід за дві години пройшов 7 км. Скільки кілометрів він пройшов за другу годину, якщо за першу подолав 4 км? 29

С ^ О іл Л ^

1 .

У цій задачі число 7 є сумою числа 4 і невідомого числа: 4 + х = 7. ч/

Дія, за допомогою якої за відомою сумою і одним з доданків знаходять другий доданок, на зивається відніманням.

Оскільки 4 + х = 7, то шуканий доданок х дорів нює 7 - 4 . Записують так: 7 - 4 = 3. Отже, за другу годину пішохід пройшов 3 км. Число, від якого віднімають, називається зменшу ваним, а число, яке віднімають, — від’ємником. Ре зультат віднімання називається різницею. Отже: різниця а

ч від’ємник ,

зменшуване

ч різниця

Додавання й віднімання — взаємно обернені дії. Тому віднімання завжди можна перевірити додаван ням. 7 - 4 = 3. Перевірка: 3 + 4 = 7. Оскільки а + 0 = а, т о а - 0 = а і а - а = 0 . Різниця двох чисел показує, на скільки перше чис ло більше за друге (або друге число менше від пер шого). Віднімемо від числа 987 число 325. Для цього зменшуване і від’ємник розкладемо на розряди: 987 - 325 = (900 + 80 + 7) - (300 + 20 + 5). Отже, 987 - 325 = (900 + 80 + 7) - (300 + 20 + 5) = = (900 - 300) + (80 - 20) + (7 - 5) = 600 + 60 + 2 = 662. Цим пояснюється віднімання натуральних чисел «стовпчиком»: _ 987 325 662 Розглянемо властивість віднімання суми від числа. Задача 2. У класі 27 учнів. 12 з них займаються плаванням, а інших 7 — легкою атлетикою. Скільки ЗО

учнів не займаються ні плаванням, ні легкою атлети кою? Відповідь можна отримати різними способами: 1-йспосіб. 27 - (12 + 7) = 27 - 19 = 8; 2-й спосіб. (27 - 12) - 7 = 15 - 7 = 8; 3-й спосіб. (27 - 7) - 12 = 20 - 12 = 8. J Щоб відняти суму від числа, можна від нього V відняти один з доданків, а потім від результату відняти другий доданок. У буквеному вигляді: Іа ~ (Ь + с) = (а - Ь) — с, або а —(fr + с) = (а ~ с) - b Розглянемо властивість віднімання числа від суми. Задача 3. У ящику 7 білих кульок і 8 чорних. Учень взяв деякі 3 кульки. Скільки кульок залиши лося в ящику? Відповідь можна отримати різними способами: 1-йспосіб. (7 + 8) - 3 = 12; 2-й спосіб. (7 - 3) +8 = 12; 3-й спосіб. (8 - 3) +7 = 12. J Щоб відняти число від суми, можна відняти V його від одного з доданків і до результату до дати другий доданок. У буквеному вигляді:

(а + Ь) — с = (а - с) + b (якщо а > с або а = с), або (а + Ь) — с = (Ь — с) + а (якщо Ь > с або Ь = с) Розглянутими правилами зручно користуватися під час усних обчислень. Приклади. 1) 225 - (125 + 37) = (225 - 125) - 37 = 100 - 37 = = 73; 2) (432 + 729) - 232 = (432 - 232) + 729 = 200 + + 729 =929. 31

Початковий рівень

ш и нШ В Я Н

13 + 5 = 18; х + у = с;

додати плюс

збільшити сума

12 т - п = а.

відняти мінус

зменшити різниця

сл It

Яка дія називається відніманням? » Яке число на зивається зменшуваним, а яке - від’ємником? » Як називається результат віднімання? * Як дізнати ся, на скільки одне число більше за інше? » Сфор мулюй властивість віднімання суми від числа. » Сформулюй властивість віднімання числа від суми.

148. Виконай віднімання і зроби перевірку: 1) 381 064 - 27 569; 2) 7 350 002 - 607 381. 149. Виконай віднімання і зроби перевірку: 1) 705 963 - 87 379; 2) 500 013 - 402 692. 150. Виконай віднімання: 1) 10 412 342 - 5 312 473; 2) 3 503 765 284 - 1 370 495397; 3) 1 000 000 000 - 382 049 547; 4) 5 132 472 319 - 4 997 998999. 151. Виконай віднімання: 1) 5 321 492 - 1 275 384; 2) 5 006 444 311 - 2 227 535422; 3) 10 417 001 - 5 342 592; 4) 7 000 000 000 - 456 678 891. Середній рівень

ІЯ Н И

152. На скільки: 1) число 12 372 більше за число 7981; 2) число 342 512 менше від числа 457 891? 153. Зменш 5792 на 3983. 154. В одному мотку 129 м ниток для плетіння ма краме, а в іншому — на 27 м менше. Скільки ниток у двох мотках? 32

f * 155. Кіт Базиліо набрав 12 очок у баскетбольному матчі, а лисиця Аліса — на 3 очки менше. Скільки очок вони набрали разом? 156. Обчисли значення виразу: 1) а - 5792, якщо а = 8397; 10 000; 2) 35 492 - Ь, якщо Ь = 9001; 5993. 157. Том Сойєр і Гекльберрі Фін виграли разом у ло терею 327 гривень. Том виграв 159 гривень. Хто з друзів виграв більше і на скільки? 158. З двох полів зібрали 1380 т зерна — пшениці й жита. Пшениці зібрали 657 т. Чого зібрали більше (пшениці чи жита) і на скільки? 159. Виконай перевірку прикладу 23 - 5 = 18. Чи виконуються такі правила: у 1) Якщо від зменшуваного відняти різницю, то ЧУ отримаємо від’ємник. 2) Якщо до різниці додати від’ємник, то отри маємо зменшуване. 160. Обчисли: 1) 4006 - 2197 + 875; 2) 80 205 - 12 336 - 17 884; 3) 5 342 542 + (3 735 507 - 2 013 973); 4) 18 473 982 - (10 547 311 - 8 142 891). 161. Обчисли: 1) 47 105 + 29 895 - 57 937; 2) 115 397 - 96 588 - 2389; 3) 705 312 999 - (472 382 515 + 43180 397); 4) 472 515 392 + (13 839572 -8 457342). 162. Обчисли (усно) найзручнішим способом: 1) 78 - (45 + 18); 2) 547 - (20 + 47); 3) 98 - 13 - 28; 4) (400 + 735) - 200; 5) (547 + 329) - 247; 6) 593 - 90. З О. {!, [стер “Математика", 5 кл.

Достатній рівень

К № Г !''

163. Як зміниться різниця 1527 - 381, якщо: 1) зменшуване збільшити на 15; 2) зменшуване зменшити на 73; 3) від’ємник збільшити на 24; 4) від’ємник зменшити на 83? 164. Заповни таблицю. Зменшуване 4 273 517 497 857

Від’ємник 2 311 549 3517219

Різниця 257 381 417 591

165. 1) Власна швидкість катера — 27 км/год, а швидкість течії річки — 3 км/год. Знайди швид кість катера проти течії річки. 2) Швидкість катера за течією річки — 42 км/год, а швидкість течії річки — 2 км/год. Знайди швид кість катера проти течії річки. 1(И>. Швидкість катера за течією 25 км/год, а власна швидкість катера 21 км/год. На скільки швидкість катера за течією більша за швидкість катера проти течії? 167. Постав у клітинки цифри так, щоб віднімання було виконано правильно: 1) _ D 4 2 D 5 7 3DCI8DD

2)_98П75П D 57D 32

597342

2П25П7

168 Постав цифри у клітинки так, щоб віднімання було виконано правильно: 1)_DDD259 З 8 2 □□□

2)_42СШ57 П38090

143548 1 □1 2П5 169. Мотузку завдовжки 5 м 16 см розрізали на три частини. Перша частина мала довжину 3 м 13 см,

f* що на 2 м 23 см більше, ніж довжина другої части ни. Знайди довжину третьої частини. 170. Альбом, зошит і ручка разом коштують 11 грн. 10 коп. Ручка коштує 2 грн. 70 коп., що на 90 коп. більше, ніж зошит. Скільки коштує альбом? 171. Три насоси викачали 115 л води з басейну. Пер ший і другий насоси разом викачали 72 л, а перший і третій разом — 67 л. Скільки літрів води викачав кожний насос окремо? 172 На трьох полицях разом 118 книжок. На першій і другій полицях разом 79 книжок, а решта — на тре тій, причому на третій полиці на 2 книжки більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці? 173. Знайди значення виразу х + у + z: 437 125

-х

237 425

- 3 5 192

-1 0 5 127

171. Магазин за 3 дні продав т, кг яблук. За перший день продали 60 кг, а за другий — b кг. Скільки кіло грамів яблук було продано за третій день? Склади буквений вираз і обчисли його значення, якщо т = 223, Ь = 83. 175. Протягом жовтня з баскетбольної секції пішло 7 учнів, а прийшло 12. Як змінилася кількість учнів у секції? 176. Знайди значення виразу, обираючи зручний по рядок обчислення: 1) (7982 + 2001) - 4982; 2) (319 + 795) - 695; 3) 9372 - (1372 + 999); 4) 597 - (150 + 297). 177- Знайди значення виразу, обираючи зручний по рядок обчислення: 1) (8957 + 5392) - 5957; 2) 14 582 - (5582 + 3500); 3) (18 397 + 13 152) - 8152; 4) 13 700 - (342 + 6700). 35

178. Використовуючи властивості віднімання, спрос ти вираз: 1) (93 + х) - 15; 2) (у + 327) - 100; 3) 59 - (т + 27); 4) 429 - (311 + k). Розв’язання. 1) (93 Н~х) —15 = (93 - 15) + х = 78 4- х. 179. Використовуючи властивості віднімання, спрос ти вираз: 1) (37 + а) - 12; 2) (Ь + 415) - 300; 3) 42 - (х + 13); 4) 517 - (412 + у). 180. Знайди різницю, якщо: 1) зменшуване дорівнює від’ємнику; 2) зменшуване на п’ять одиниць більше за від’єм ник. 181. Перевір правильність рівності а ~ (Ь - с) = = (а - Ь) + с, якщо а = 72, Ь = 33, с - 12. 182. Обчисли зручним способом, користуючись рів ністю з попередньої вправи: 1) 589 - (189 - ЗО); 2) 7391 - (5291 - 42). 183. Перевір правильність рівності а + (Ь - с) = = (а - с) + Ь, якщо а = 48, Ь = 37, с = 11. 184. Обчисли зручним способом, користуючись рів ністю з попередньої вправи: 1) 431 + (527 - 331); 2) 1278 + (352 - 178). Високий рівень 185. Як зміниться різниця, якщо: 1) зменшуване збільшити на 5; 2) зменшуване зменшити на 7; 3) від’ємник збільшити на 2; 4) від’ємник зменшити на 4? Розв’язання. 1) Розглянемо різницю а — Ь. Якщо зменшуване збільшити на 5, то маємо (а + 5) - b = = (а - Ь) + 5, тобто різниця збільшилася на 5. 186. У фермерському господарстві число індиків біль ше за число курок на 297. Як змінилося це число, якщо:

і* 1) купили 15 індиків; 2) продали 18 індиків; 3 ) купили 23 курки; 4) продали 17 курок; 5) купили 18 індиків і 18 курок; в) продали 17 індиків і 12 курок? 187. На зупинці з вагона метро вийшло 15пасажи рі и, а ввійшло 23. На другій зупинцівийшло 17 па сажирів, а ввійшло 12. Скільки пасажирів було у нагоні метро до першої зупинки, якщо після другої зу пинки їх стало 68? 188. Постав замість зірочок знак «+» чи «-» так, щоб виконувалася рівність: 1) 120 * 50 * 70 * ЗО * 100 = 170; 2) 150 * ЗО * 20 * 60 * 10 = 170. І Ні). Постав замість зірочок знак «+» чи «-», щоб інтонувалася рівність 54 * (32 * 17) * (43 * 11) = 37. І !Ю. ЄЗ Як зміниться різниця, якщо: 1) зменшуване збільшити на 7, а від’ємник збіль шити на 2; 2) зменшуване збільшити на 3, а від’ємник змен шити на 1; 3) зменшуване зменшити на 5, а від’ємник змен шити на 2; 4) зменшуване зменшити на 8, а від’ємник збіль шити на 4? Розв’язання. 4) Розглянемо різницю а - Ь. Якщо зменшуване зменшити на 8, а від’ємник збільши ти на 4, то (а - 8) - (Ь + 4) = ((а - 8) - 4) - Ь = = (а - (8 + 4)) - Ь = (а - 12) - b = (а - Ь) - 12. Отже, різниця зменшилася на 12. Вправи для повторення 191. 0 Відстань між Києвом та Одесою 480 км. З них назустріч один одному виїхали два автобуси. Яка відстань буде між ними, коли один автобус про їде 217 км, а другий — на 5 км більше? 37

192. Щ) Заповни таблицю результатів змагань зі стріль би та визнач місце кожного учасника, якщо а = 6.

Учасники змагань Василь

Вираз 9а - 7

Михайло Олександр

95 8а 5а 88

Петро Віталій 193. ^

Очки 47

- 10а +1 + 15 - 8а

Обчисли та порівняй (>,

+ II IX ©

III

X ★

V III

Місце

XIX а>

<).

XVI ★

X IV VI

★

(З)

VIII

XI ©

Домашня сам остійна робота № 1 1. 0 Запиши цифрами число 7 мільйонів 12 тисяч 4. A) 7 120 004; Б) 7 12 004; B) 7 012 004; Г) 7 012 040. 2. ііі Яка із запропонованих нерівностей правильна? A) 4132 > 4123; Б) 4143 < 4134; B) 5017 >5107; Г) 9541 < 9451. 3. iiS Знайди суму 37142 + 92539. А) 129 671; Б) 119 671; В) 129 681; Г) 119 671. 4. 0 Яку з наведених цифр можна поставити за мість зірочки у запис 37*8 < 3739, щоб утворилася правильна нерівність? А) 3; Б) 5; В) 4; Г) 2. 5. Обчисли найзручнішим способом 456 + 3012 + + 2044. А) 6512; Б) 5512; В) 5412; Г) 5500. 38

§4 « . © В одній цистерні 52 л бензину, а в іншій — на 18 л менше. Скільки літрів бензину у двох цистер нах разом? А) 96 л; Б) 122 л; В) 76 л; Г) 86 л. 7.€Э Запишичисло, яке на 4 менше від найменшого п’ятицифрового числа. А) 99 995; Б) 9996; В) 10 004; Г) 9997. 8. Скільки є натуральних чисел, замінивши яки ми букву а, отримаємо правильну подвійну нерів ність 417 < а < 428? А) 9; Б) 10; В) 11; Г) безліч. 9. £3 Як зміниться різниця 5781 - 319, якщо від’єм ник збільшити на 18? A) зменшиться на 18; Б) збільшиться на 18; B) не зміниться; Г) зменшиться на 36. 10 . 0 Сіндбад записав кілька послідовних нату ральних чисел у порядку зростання. Число 36 стоїть п’ятим, якщо рахувати як з одного, так і з іншого боку. Якою є різниця між найбільшим і найменшим із записаних чисел? А) 9; Б) 7; В) 8; Г) 10. 11. Знайдіть суму найбільшого і найменшого трицифрових чисел, записаних за допомогою цифр 1, 4, 5, якщо цифри у кожному із чисел не повторюють ся. А) 686; Б) 695; В) 596; Г) 560. 12. Сума деяких двох натуральних чисел дорів нює 631. Якого найбільшого значення може досяга ти менше із цих чисел? А) 310; Б) 316; В) 314; Г) 315. Завдання для перевірки знань № 1 (§ 1—§4) 1 . 0 Порівняй числа: 1) 431 002 і 429 798;

2) 12 311 015 і 12 311 019. 39

Виконай додавання: 7 382 954 + 8 947 527.

, Виконай віднімання: 13 152 973 - 9 189 858.

4 В Порівняй: 1) 8000 г і 8 кг;

2) 7 км і 6993 м.

5 . 0 Виконай додавання, обираючи зручний поря док дій: 1) (473 + 152) + 527; 2) 538 + 263 + 212 + 37. 6. 0 У першому ящику 57 кг картоплі, а в друго му — на 12 кг менше. Скільки кілограмів картоплі у двох ящиках разом? 7. ^ Яке найбільше і яке найменше чотирицифрові числа можна написати, використовуючи по одному разу цифри 5, 7, 0 і З? 8. f j Обчисли значення виразу, обираючи зручний порядок дій: 1) (4897 + 7321) - 2897; 2) 9795 - (3002 + 4795). 9. ^ У числах кілька цифр замінено на зірочки. По рівняй ці числа: 1) 43*** і 47***;

2) **99 і 11***;

3) 94** і *398.

10. © Додаткове завдання1. Знайди закономірність і продовж ряд чисел (запиши три наступні числа ряду): 1) 3259, 3262, 3265, 3268, 3271; 2) 4215, 4212, 4214, 4211, 4213. 11. Додаткове завдання. Встав замість * знаки «+» і «-» так, щоб виконувалася рівність: 115 * 25 * 35 * 45 * 70 * = 150.

1 Додаткові завдання призначено для учнів, у яких за лишається час після виконання основної роботи. Правильні розв’язання цих завдань вчитель може оцінювати окремою оцінкою.

Множення натуральних чисел Як відомо з молодших класів, суму однакових додапків можна записати коротше за допомогою мно ження. Наприклад: 45 + 45 +45 + 45 = 45 ■4 = 180. Читають так: «по45 взяти4 рази» або «45 помно жити на 4». Згадаємо, як називаються числа при множенні:

добуток а

множник

добуток

Перший множник показує, які доданки додають, її другий — скільки таких доданків. 8 ■2 = 8 + 8 = 16; 2 рази

2-8 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16. 4

---------

8 разів

^ Добуток натуральних чисел а • b означає суму, V яка складається з b доданків, кожний з яких дорівнює а:

a b = a + a + a+ ... + а. ч--------- *--------- • b доданків До особливих випадків множення слід віднести ті, коли множник b дорівнює нулю або одиниці:

а • 1 = а;

а ■0 - 0.

Ш При множенні будь-якого числа на одиницю V одержуємо те саме число, яке множили. При множенні будь-якого числа на нуль одер жуємо нуль.

Пригадай, як множили числа в початкових класах: 1)

4752 37 + 33264 14256

175824

487 203 + 1461 974 х

98861

4259 8700 + 29813 34072 37053300

Так можна множити будь-які натуральні числа. Якщо множник b більший за 1, то від множення натурального числа на Ь це число збільшується в Ь разів. Наприклад, 16 • 5 = 80, тому 80 в 5 разів біль ше за число 16. -N Перед буквеним множником і перед дужками J знак множення можна не писати.

Так, наприклад, замість 7 • а пишуть 7а, замість 4 • (а + 2) пишуть 4(а + 2). Що означає помножити одне натуральне число на інше? • Як називаються числа, що перемножують ся? » Як називається результат множейня? * Чому дорівнює добуток а ■1? а • 0? * Як збільшити число а в b разів? • Згадай, у яких випадках мож на опустити знак множення.

Початковий рівень

194. Подай у вигляді добутку суму: 1) 407 + 407 + 407 + 407; 2) 23 + 23 4- 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23; З ) а + а + а + а + а + а; 4 )0 + 0 + 0 + 0 + 0. 195. Запиши у вигляді добутку йобчисли: 1) 125 + 125 + 125 + 125; 2) 39 + 39 + 39 + 39 + 39 + 39 + 39 + 39; 3) 182 + 182 + ... + 182; 14 доданків

4) 705 + 705 + ... + 705. 201 доданок 196. Подай у вигляді суми добуток: 1) 472 • 3; 2) 5432 -2; 3) Ь • 7; І !І7. Обчисли суму: 1) 18 + 18 + 18 + ... + 18 + 18;

4) т ■4.

27 доданків 2) 429 + 429 + 429 + ... + 429 + 429. 50 доданків

198. Виконай (усно): 1) 40 5; 2) 25 • 2; 3) 137 1; 4) 14 (15 - 13); 5) 27 (37 - 37); 6) (2013 + 2012) • 0. 199. Знайди число: 1) більше за 18 у 142 рази; 2) більше за 73 у 1001 раз. *200. Обчисли добутки: 1) 8696 824; 2) 12 154 • 294; 3) 6077 • 504; 4) 24 308 • 96; 5) 11 760-714; 6) 14 000-270. 201. Знайди добутки: 1) 12 154 • 252; 3) 5056 ■182; 5) 42 590 892;

2) 36 492 • 91; 4) 27 509-98; 6) 2900 4200.

Середній рівень 202. У кінотеатрі 20 рядів по 25 місць у кожному. Скільки всього місць у кінотеатрі? 203. Автомобіль їхав 2 год зі швидкістю 65 км/год і 3 год зі швидкістю 70 км/год. Скільки кілометрів проїхав автомобіль за цей час? 20 1. Летючий корабель летить зі швидкістю 590 км/год. Яку відстань він пролетить за 3 год? 5 год? 7 год? 43

205. За якої умови добуток х ■у дорівнює нулю? 206. У пачці а зошитів. Скільки зошитів у 8 таких пачках? Склади буквений вираз і обчисли, якщо а = 20, 23, 207. Знайди ім’я та прізвище першого космонавта незалежної України. (Замість цифр у результатах виразів підстав відповідні букви або їхній набір.) 1 Нід

4 ЛЕ

6 О

х=17

25* + 36 =

НЮК

3 КА

5 ДЕ

У ~ 38

808 - 12у =

Достатній рівень

208. Знайди значення виразу: 1) 457 • (168 • 256 - 42 973) + 203 ■37; 2) (27 ■3183 - 29 2089) • 310. 209. Знайди значення виразу: 1) (ЗО 573 - 235 •125) 309 +115 298; 4 ' 2) (65 371 - (632 • 13 + 256 • 208)) • 213. 210. Чи можна будь-яке натуральне число записати у вигляді: 1) добутку двох множників, кожний з яких є на туральним числом; 2) добутку двох множників, кожний з яких є на туральним числом і більший за одиницю? 211. Не виконуючи множення, порівняй значення виразів: 1) 378 -12 і 378-13; 2) 407 • 52 і 405-52; 3)2573 15 і 2575 -18; 4) 8597 • 10 і 8597 -9 + 1. 212. Не виконуючи множення, порівняй значення виразів: 1) 573 293 573 290; 2) 4072■115 4101 ■115.

$г 213. Скільки секунд має доба? 21 4. Скільки хвилин має місяць, у якому ЗО днів? ■

215. З Києва в одному напрямі одночасно виїха ли дві машини. Одна з них рухалася зі швидкістю НО км/год, а друга — 89 км/год. Яка відстань буде між ними через 6 год після початку руху? 216. З міст А і В одночасно назустріч один одному ииїхали на велосипедах Чебурашка і Крокодил Гена. Чебурашка рухався зі швидкістю 15 км/год, а Кро кодил Гена — 17 км/год. Яка відстань між А і В, якщо друзі зустрілися через 3 год після початку руху? 217. Із Вінниці одночасно в протилежних напря мах виїхали велосипедист і мотоцикліст. Швид кість велосипедиста — 18 км/год, мотоцикліста — 64 км/год. Яка відстань буде між ними через 4 год? 218. Учень купив зошит, ручку й олівець. Олівець коштує 80 коп., це в 6 разів дешевше, ніж зошит, і н 12 разів менше, ніж ручка. Скільки грошей запла тив учень за покупку? 2 19. До магазину завезли апельсини, мандарини та ба нани. Апельсинів було 620 кг, що в 2 рази менше, ніж мандаринів, і на 448 кг більше, ніж бананів. Скільки всього кілограмів фруктів завезли до магазину? 220. При яких значеннях х можлива рівність: 1) х ■9 = 9; 2) jc 11 = 0; 3) 1 -х = 1?

Високий рівень 221. При яких значеннях а можлива рівність: 1) а ■1 3) а -а 5) а • 7

= а; = а; = а;

2) 0 • а = а; 4) а ■а = 25; 6) 0 ■а = 0? 45

-гул

222. У клітинках постав цифри, щоб множення було виконано правильно: 1)

5ПЗ 2D □73 □□□□ □□□□□

х 216 □□ □□□0 '□64

х84 □□ □8Q + □□

□□□□

□□□8

(□□7 □□□ + □□7 □□5 □□П4Ш

223. СЗ Чи може добуток двох чисел бути меншим В ІД ОДНОГО з множників? Вправи для повторення 224. 0 1) 5 2) 2 3) 5 4) 4

Обчисли: км 213 м - 2 км 372 м; год 15 хв + 5 год 49 хв; ц 2 кг • 25; км 5 м : 9.

225. ^ Знайди суму найбільшого числа, складеного із цифр 5, 7 і 4, та найменшого числа, складеного із цифр 8, 0 і 1 (цифри в числах не повторюються).

®о Властивості множення На рисунку 1 (див. с. 47) зображено ящик, що міс тить 6 рядів по 5 пакетів соку в кожному. Загальну кількість пакетів можна обчислити, помноживши 6 на 5, або 5 на 6. Результати однакові: 6-5 = 3 0 і 5 - 6 = = 30. Отже, 6 • 5 = 5 • 6. У буквеному вигляді:

a ■b = Ь ■а. Тут справджується переставна властивість мно ження: від перестановки множників добуток не зміню ється. 46

f* Пехай у кожному пакеті, зображеному на рисун ку 1 , 2 л соку. Як обчислити загальну кількість соку?

Рис. 1

I и спосіб. Відомо, що пакетів усього 5 • 6, і в кож ному — по 2 л соку. Тому всього в ящику 2 •(5 -6) л соку. 2 U спосіб. В одному ряду 5 пакетів, а соку в кож ному 2 л, тому всього в цих 5 пакетах соку (2 • 5) л. <>днак рядів 6, тому всього в ящику: (2 • 5) ■6 л соку. Отже, (2 • 5) ■6 = 2 • (5 ■6). У буквеному вигляді: (а • Ь) • с - а (Ь с). Маємо сполучну властивість множення: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на до буток другого і третього чисел. З переставної і сполучної властивостей множення шшливає, що при множенні кількох чисел можемо групувати множники на свій розсуд. Це дає змогу спрощувати обчислення. Приклади: 1) 14 • 5 • 7 20 = (14 • 7) ■(5 • 20) = 98 ■ 100 = 9800; 2) 1 200 ЗО 000 = 12 ■ 100-3-10 000 = (12 ■3) х х (100 • 10 000) = 36-1 000 000 = 36 000 000. Переставну та сполучну властивості множення можна використовувати і при спрощенні виразів. Приклади: 1) 7 • х • 9 = (7 • 9) ■х =63 ■х = 63л:; 2) 8 • а ■ 7 ■b = (8 ■7) • а * Ь = 56ab. На використанні переставної і сполучної властивостей множення ґрунтується і наступне правило 47

множення натурального числа на розрядну одини цю, відоме з молодших класів. Щоб помножити натуральне число на розряд і в ну одиницю (10, 100, 1000...), треба приписати справа до цього числа стільки нулів, скільки їх є в розрядній одиниці.

Приклади: 54 • 100 = 5400, 237 • 1000 = 237 000, 3809 • 10 000 = 38 090 000. Повернемося до рисунка 1. Нехай маємо 4 ряди па кетів з яблучним соком і 2 — з апельсиновим. Тоді кількість пакетів можна обчислити двома шляхами: (4 + 2) • 5 і 4- 5 + 2 5 . В обох випадках загальна кількість дорівнювати ме ЗО. Запишемо це в буквеному вигляді: (а + Ь) ■с = а ■с + b ■с. Ця рівність виражає розподільну властивість множення відносно додавання: Л

щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і ці добутки додати.

Цей закон правильний для будь-якої кількості до данків. (a + b + x ) c = a c + b- c + x c ; ( а + Ь + х + у) с = а с + Ь- с + х с + у с тощо. Однакові значення мають також вирази (7 - 2) • 5 і 7 • 5 - 2 • 5, оскільки (7 — 2)-5 = 5- 5 = 2 5 і 7 - 5 — - 2 5 = 35 - 10 = 25. Тому розподільну властивість можна поширити на віднімання. У буквеному вигляді його записують так: [а - b) c = a c - b c. Ця рівність виражає розподільну властивість множення відносно віднімання: 4 48

о щоб помножити різницю на число, можна & зменшуване і від’ємник помножити на це чис ло і від першого добутку відняти другий. Розподільну властивість множення можна вико ристовувати для обчислень та спрощення виразів. Приклад 1. Обчисли: а) 49 • 113 + 51 • 113; б) 42 - 125 - 22 • 125; в) 37 312 + 42 312 - 69 ■ 312; г) 97 • 18. Розв’язання. а) 49 • 113 + 51 113 = (49 + 51) • 113 = 100 • 113 11 300; б) 42 • 125 - 22 125 = (42 - 22) • 125 = 20 • 125 2500; в) 37 • 312 + 42 • 312 - 69 312 = (37 + 42 - 69) к 312 = 10 ■312 = 3120; г) 97 • 18 = (100 - 3) ■ 18 = 100 • 18 - 3 • 18 1800 - 54 = 1746.

= = х

Приклад 2. Спрости вираз: а) Зх + 9х; б) 8а + За - 2а; в) ї х - 2х + х - 8. Розв’язання, а) Зх + 9л: = (3 + 9)х = 12л:; б) 8а + За - 2а = (8 4- 3 - 2) а = 9а; в) 7х — 2х + х — 8 = їх — 2х + 1л: — 8 = (7 - 2 + 1)х - 8 = 6л: - 8. Використовуючи розподільну властивість множен ня для виразів (а + Ь) ■с і (а - Ь) • с, отримаємо вираз, що не містить дужок. Кажуть: розкрили дужки. Приклад 3. Розкрий дужки: а) 5(х + 7); б) 3(2Ь - 13). Розв’язання. а) 5(jc + 7) = 5 ■х + 5 • 7 = 5х + 35; б) 3(2& - 13) = 3 -2Ь - 3 • 13 = 6Ь - 39.

•І О , ( *. Іетср “ М ат ем ат ика", 5 кл.

Сформулюй переставну властивість множення, на веди приклади. » Сформулюй сполучну властивість множення, наведи приклади. » Сформулюй прави ло множення на розрядну одиницю. » Сформулюй розподільну властивість множення відносно дода вання і відносно віднімання. » Поясни, як за до помогою цих властивостей спрощуються вирази Зх + 5х, 7а - 2а. » Щ о означає «розкрити дужки»?

Початковий рівень 226. Обчисли (усно): 1) 572 • 10; 2) 100 • 7982; 4) 8 ■7 • 5; 5) 7 • 20 • 5; 7) 43 • 10 • 2; 8) 5 • 9 • 2 • 7;

3) 1000 • 52; 6) 4 • 8 25; 9) 10 • 2 • 7 • 50.

Середній рівень 227. Обчисли зручним способом: 1) 4 • 89 • 25; 2) 2 -472 -5; 4) 50 • 15 •2; 5) 125 • 14 8; Обчисли зручним способом: 1) 25-17-4; 2) 5 137 20; 4) 500-19-2; 5) 8 115 • 125; 229. Спрости вираз: 1) 6 • 7 • Ь; 2) 8 9а; 4) 5х ■7у; 5) 3 ■т • 2а7 • t;

3) 5 ■72 • 4; 6) £ • 37 • 25. • 3) 6 5 39; 6 ) 80- 11 3- 5. 3) 3 • а • 4 • 6; 6) 2а • 3z ■4п.

Спрости вираз: 1) 8 • 7 • х; 2)17* 2; 3) 5 • х • 9 • т ; 4) 9а • l i b ; 5) 5■х • 9• 8 а • т ; 6) 106 • 20с • 17р. 231. Обчисли значення виразу, використовуючи роз подільну властивість множення: 1) 387 ■73 + 387 • 27; 2) 842 • 39 + 158 • 39; 3) 18 • 918 - 18 818; 4) 7292 • 27 - 7292 • 26. Обчисли значення виразу, використовуючи роз подільну властивість множення: 1) 452 499 + 452 501; 2) 83 -47 + 917 -47; 50

§ &

3) 192 • 2005 - 192 • 1005; 4) 4592 • 217 - 4592 • 216. 233. Спрости вираз:

1) 4 т + 5т; 3) 10с - 2с; Спрости вираз: 1) 9а + 2а; 3) 4х 4- 2х - Зх; 235. Розкрий дужки: 1) 5 • (х + 2); 3) 2 • (36 + 8с); Розкрий дужки: 1) 7 ■(а - 3); 3) 15(2х 4- 3у);

2) 9х - 5х; 4) 7а 4- 8а - 5а. 2) 156 - ЗЬ; 4) 10f - 2 1—51. 2) ( 7 - а ) - 9; 4) (5а - 6ft) • 2. 2) (b+ 7 )- И ; 4) (7 m - 2n) ■ 20

Достатній рівень 237. Спрости вираз 5х • 20 та знайди його значення, якщо х = 37. 238. Спрости вираз 7а • 18Ь та знайди його значення, якщо а = 5, b = 100. Спрости вираз і знайди його значення: 1) 125х • 4, якщо х = 27; 2) 4р ■25k, якщо р = 20, k = 113. 240. Обчисли зручним способом: 1) 24 • 25; 2) 28 125; 3) 15 • 120; 4) 32 • 17 • 125. Розв’язання. 1) 24 ■25 = 6 • 4 • 25 = 6 • (4 • 25) = = 6 100 = 600. Обчисли зручним способом:

1) 48 • 125; 2) 400 • 25; 3) 140 35; 4) 50 • 32 • 5. 242. Порівняй: 1) 8 • 23 ■182 і 8 -22 182; 2) 42 -72 і 6 • 8 • 7 ■10; 3) 30 92 і 5-92-6; 4) 28-2-9 і 4-14-9. 4*

243- Спрости вираз і обчисли його значення при вка заному значенні змінної: 1) 17а + 25а - 32а, якщо а = 12; 2) 37Ь + b - 86, якщо b = 1001; 3) 20х + їх - х - 21л:, якщо л: = 214; 4) 4 т + 2 т — 3т + 9, якщо т - 142. 244. Спрости вираз і обчисли його значення при вка

заному значенні змінної: 1) 29т + 31т - 40т, якщо т = 211; 2) 15а - а + 10а, якщо а = 40; 3) ЗОх + 31л: + 32л; - 90х, якщо х = 140; 4) 10 + 5а 4- 6а - а, якщо а = 11. 245. Обчисли значення виразу найзручнішим спосо бом: 1) 4972 ■17 + 28 • 4972 - 35 • 4972; 2) 14 592 + 14 592 • 2 + 14 592 • 3 + 14 592 • 4; 3) 5983 • 14 + 5983 • 11 - 4983 • 25; 4) 7182 • 164 - (6182 127 + 6182 ■37). 246. Обчисли, використовуючи розподільну властивість: 1) 102 • 13; 2) 997 • 15; 3) 71 • 80; 4) 88 • 600. 247. Обчисли, використовуючи розподільну власти вість: 1) 99 • 17; 2) 1002 • 21; 3) 82 • 60; 4) 59 • 700. Високий рівень 248. На складі готової продукції сорочки упаковува ли в коробки по 25 штук у кожну. Коробки розміс тили в х рядів по у коробок у кожному ряді. За пиши вираз для визначення кількості всіх сорочок на складі. Обчисли значення цього виразу, якщо х = 26, у = 40. 249. У школі чотири п’ятих класи. У кожному кла сі навчається а учнів. Кожний з них має по b під

ручників. Склади вираз для обчислення кількості підручників в усіх п’ятих класах. Обчисли цю кіль кість, якщо а = 25, b = 17. 250. Як зміниться добуток двох чисел, якщо: 1) один множник збільшити в 3 рази; 2) один множник збільшити в 5 разів, а другий — у 4 рази. Розв'язання. 2) Розглянемо добуток а ■Ь. Після .іОільшення множників маємо: (5а) • (46) = (5 • 4) • (а • Ь) = 20аЬ. Отже, добуток збільшився у 20 разів. 251. Не виконуючи дій, порівняй вирази: 1) 11(752 + 979) і 11-752 + 10-979; 2) (7372 - 599) 5 і 7372 -4 - 599-5. Вправи для повторення 252. 0 Запиши числа в порядку спадання та знайди ім’я жінки - однієї із засновників Києва. (І) 325 259; (Ь) 325 099; (Л) 327 429; (Б) 325 529; (Д) 325 159; (И) 327 425. 253. £3 Фермер продав першого дня 1 т 250 кг картоплі, а другого — 1 т 150 кг картоплі і отримав :ш два дні виручку 6720 грн. За якою ціною прода нії н фермер картоплю? 254. ^3 У наборі 5, 7, □ одна цифра загубилася. Знайди її, якщо сума двох найменших трицифрових чисел, що складені із цифр цього набору (цифри в числі не можуть повторюватися), дорівнює 1165.

\%о Степінь натурального числа з натуральним показником Уже відомо, що суму, в якій всі доданки рівні між собою, можна записати коротше — у вигляді до53

бутку. Наприклад, 3+3+3+3=3 4 . 4 доданки

У математиці є спеціальний спосіб і для запису добутку, в якому всі множники рівні між собою. Наприклад, З 3 • 3 3 = З4. 4 множники

Вираз З4 називають степенем і читають так: «три у четвертому степені». У виразі З4 число 3 називають основою степеня, а число 4 — показником степеня. Основа степеня — це множник, що повторюється, а показник степеня дорівнює числу «повторень» цього множника, тобто вказує скільки разів множник міститься у добутку. Приклади: 7 ■7 ■7 ■7 • 7 = 75; 2- 2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 27. у

5 множників

--------- у----------'

7 множників

У степеня 75 основа степеня дорівнює'7, а показ ник 5; у степеня 27 основа степеня дорівнює 2, а по казник 7. Другий степінь числа називають ще квадратом числа. Так, наприклад, запис 92 читають так: «дев’ять у квадраті» (або «дев’ять у другому степені»). Третій степінь числа називають ще кубом числа. Так, наприклад, запис 43 читають: «чотири у кубі» (або «чотири у третьому степені»). Обчислення степеня числа ще називають піднесен ням до степеня. Приклади: 1) 172 = 17 • 17 = 289; 2) 53 = 5 • 5 • 5 = 125; 3) 28 = 2- 2- 2- 2 2 - 2 - 2 - 2 = 256. Приклад 1 Піднеси до квадрата і куба перші де сять натуральних чисел. Розв’язання. Результати можна записати у вигля ді таблиці. 54

<? * п

п2

49.

100

гс3

125

216

343

512

729

1000

У математиці не можна знайти добуток, що скла дається з одного множника. Тому домовилися, що степінь з показником 1 дорівнює основі степеня. Н а приклад, 3і = 3; 2013і = 2013, і взагалі а 1 = а. Піднесення до степеня — це нова, п’ята арифме тична дія. Черговість її виконання при знаходженні значення числового виразу визначається таким праішлом. у/% Якщо в числовий вираз входить степінь, то mgS спочатку виконується піднесення до степеня, а після цього інші дії. Знайди значення виразу: 1) 6 З2; 2) 5 + 24. Розв’язання. 1) 6 • З2 = 6 ■9 = 54; 2) 5 + 24 = 5 + 16 = 21.

Наведи приклади степенів числа. • У виразі 143 назви основу степеня та показник степеня. * Що на зивають квадратом числа? » Що називають кубом числа? * Що вважають степенем з показником 1? * Яким правилом визначається черговість піднесен ня до степеня при знаходженні значення числового виразу?

Початковим рівень 255. Подай у вигляді степеня добуток: 1) 7 • 7; 2) т т т т ; 3) 4 4 • ... • 4; 4) с • с • ... • с. '------------------------у ------------------------'

9 множників

'-----------------------V ------------------------'

15 множників 55

256. Подай у вигляді степеня добуток: 1) 15 • 15 • 15; 2) р ■р • р ■р ■р; 3) 2 • 2 • • 2; 4) dd ... d. 12 множників

20 множників

257. Подай у вигляді добутку степінь: 1) 20132; 2) Ь3; 3) а 5; 4) 710. 258. Подай у вигляді добутку степінь: 1) t 2; 2) 43; 3) 74; 4) d&. 259. Назви основу і показник степеня: 1) 413; 2) а8; 3) р 2; 4) 7і ; 5) d3; 6) 1817. Середній рівень 260. Знайди значення степеня: 1) З2; 2) 43; 3) 17і ; 4) О7; 5) І 4; 6) 25.

261. Знайди значення степеня: 1) 72; 2) 14і ; 3) 23; 4) І 5; 5) О9; 6) З4.

262. Склади таблицю квадратів чисел від 11 до 20. 263. Обчисли: 1) 272; 2) 1002; 3) I I 3; 4) ІЗ 3; 5) 802; 6) 203. 264. Обчисли: 1) 52 + 1; 2) 73 - 10; 3) 20 - З2. 265. Обчисли: 1) 362; 2) 153; 3) 702; 4) ІЗ 3 - 1; 5) 422 + 17; 6) 37 - б2. 266. Піднеси до квадрата числа: 1) 16; 2) 37. 267. Піднеси до квадрата числа: 1) 14; 268. Піднеси до куба числа: 1) 5;

2) 12.

269. Піднеси до куба числа: 1) 6;

2) 15.

2) 29.

270. Знайди значення виразу: 1) х2 - 8, якщо х = 3, 9, 21; 2) 5і/3 + 1, якщо у = 2, 3, 7.

.'7 І Знайди значення виразу: 1) 2а2 - 3, якщо а = 5, 10, 15; 2) b3 + 12, якщо 6 = 7 , 10, 12. 272. Знайди значення виразу: 1) 202 : 5 - З3; 2) (15 - З2)3; 3) (93 - 53) : (9 - 5); 4) (73 - б3)2. Знайди значення виразу: 1) 182 : 9 + 122: 3; 2) (72 - б2) : (17 - 42); 3) 43 : 8 + 23; 4) (152 - 122) : (15 - 12). 274. Використовуючи таблиці квадратів і кубів чи сел, знайди п, якщо: 1) л2 = 121; 2) 225 = л2; 3) л3 = 125; 4) 343 = л3. Використовуючи таблиці квадратів і кубів чи сел, знайди т , якщо: 1) т 2 = 196; 2) 216 = ш3. Q

Високии рівень

276. На скільки квадрат суми чисел 7 і 9 більший за суму їх квадратів? 277 На скільки куб суми чисел 4 і 5 більший за суму їх кубів? 278. Перевір, які з рівностей правильні: 1) б2 + 82 = 102; 2) З2 + 42 = 72; 3) I I 2 = 92 + 22 + б2; 4) 23 +З3 = 43. 279. Перевір, які з рівностей правильні: 1) 42 + 52 = 72; 2) 82 + 152 = 172; 3) 22 + З2 +б2 = 72; 4) 53 = 43 + З3. 280. Запиши у вигляді степеня з основою 3 число: 1) 3; 2) 9; 3) 81; 4) 243.

Запиши у вигляді степеня з основою 2 число: 1) 2; 2) 8; 3) 16; 4) 64.

282. Якою цифрою закінчується число: 1) 20052; 2) 1 092 0043; 3) 8792 - 2003; 4) 40912 + 80223? Вправи для повторення

283. Порівняй значення виразів 5а + 15 та а + + 59, якщо а = 13. 284. £ На складі було 32 великих і 48 малих ящи ків з товаром. У кожному великому ящику було по а кілограмів товару, а в малому — по b кілограмів. Весь товар вивезли на двох машинах, завантаживши їх однаково. Склади буквений вираз для обчислення маси товару на одній машині та обчисли його зна чення, якщо а = 16, Ъ = 12.

£ So Ділення натуральних чисел Розглянемо задачу. 48 олівців розклали порівну в 6 коробок. Скільки олівців у кожній коробці? Розв’язання. Нехай у кожній коробці по х олів ців. Тоді х ■6 = 48. Тільки одне число при мно женні на 6 дає 48. Це число 8. Отже, у кожній ко робці по 8 олівців. За даним добутком 48 та одним з множників 6 знайшли невідомий множник, який дорівнює 8. V " Дія, за допомогою якої за добутком та одним з 1 множників знаходять інший множник, назива ється діленням. Пишуть так: 48 : 6 = 8. 58

У запису:

частка а

ділене дільник частка Число а ділять на натуральне число Ь тоді, коли хочуть зменшити а в Ь разів. Частка показує, у скільки разів ділене більше за дільник. Правильність виконання ділення можна переві рити за допомогою множення. Справді, 48 : 6 = 8, оскільки 8 ■6 = 48. З останньої рівності можна також зробити виснонок, що 48 : 8 = 6. Тому дія ділення є оберненою до дії множення. Згадаймо, як у початковій школі виконували ді лення багатоцифрових чисел. 17542 14 2506 35 35 42 42 0

8636 68 127 68 183 136 476 476 0

Отже, 17 542 : 7 = 2506 і 8636 : 68 = 127. Оскільки а - 1 = а , т о а : а - 1 і а : 1 = а. Оскільки 0 ■а = 0, то 0 : а = 0. Ділити на нуль не можна! Припустимо, що 5 : 0 дорівнює деякому числу Ь. Тоді має виконуватися b 0 = 5. Ця рівність неправильна. Вираз 0 : 0 не має повного значення. Якщо 0 : 0 = с, то с ■0 = 0. Ця рів ність виконується для безлічі значень с. Висновок: їїн нуль ділити не можна! Зручним є ділення числа, що закінчується нуля ми на розрядну одиницю (числа 10, 100, 1000...).

Щоб поділити натуральне число, що закінчується нулями, на розрядну одиницю, треба відкинути справа в цьому числі стільки нулів, скільки їх є в розрядній одиниці. 59

Г О - ^ О іл Лу

If'

Н а п р и кл а д , 270 : 10 = 27, 38 ООО : 100 = 380.

За допомогою я ко ї д ії знаходять невідомий м нож ник? з Я к називається число, яке ділять? і Я к на зивається число, на яке ділять? J Я к називається результат ділення? * Чому дорівнює а : а, а : 1, 0 : а? л Ч и можна ділити на нуль? Поясни чому. л Я к ділити натуральне число, що закінчується н у лями, на розрядну одиницю?

Початковий рівень 285. О бчисли (усно) або п о я с н и , ч о м у д іл е н н я не м о ж л и ве : 1) 7 : 7; 2) 0 : 9; 3) 0 : 0; 4) 545 : 1; 5) 911 : 911; 6) 40 : 1; 7) 13 : 0; 8) 1 : 1; 9) 0 : 1. 286. Р ів н іс т ь 126 • 32 = 4032 правильна. Ч о м у д о р ів ню є ч а стка 4032 : 126? ч а с тка 4032 : 32?

287. П еревір м н о ж е н н я м , ч и п равил ьно в и ко н а н о д і лення: 1) 5499 : 13 = 4 2 3; 2) 6425 : 25 = 265. П еревір м н о ж е н н я м , ч и пр авил ьн о ви ко н а н о д і л е ння: 1) 9940 : 28 = 335; 289. В и к о н а й д іл е н н я : 1) 2832 : 12; 3) 113 736 : 84; 5) 51 968 : 256;

2) 26 696 : 568 2) 7585 : 37; 4) 4625 : 125; 6) 691 122 : 687.

2Уп В и к о н а й д іл е н н я : 1) 11 130 : 42; 3) 247 488 : 96; 5) 51 744 : 168;

2) 7280 : 35; 4) 6552 : 234; 6) 138 415 : 589.

291. В и к о н а й д іл е н н я на р о зр яд н у о д и н и ц ю : 1) 470 : 10; 2) 2900 : 10; 3) 57 250 : 10; 4) 5200 : 100;

47.

$* 5) 37 ООО : 100; 7) 238 ООО : 1000; 9) 1 040 ООО : 1000.

6) 207 300 : 100; 8) 3 ООО ООО : 10 ООО;

В и к о н а й д іл е н н я на р озряд ну о д и н и ц ю : 1) 4950 : 10; 3) 296 500 : 100; 5) 378 ООО : 1 ООО;

2) 32 700 : 10; 4) 1 025 ООО : 100; 6) 5 900 ООО : 10 ООО.

293. 3 38 га зібр а л и 722 т к а р т о п л і. Я к а в р о ж а й ність к а р т о п л і на ц ь о м у по лі? К іт Леопольд хоче р о зк л е їти 925 н а кл е й о к із ф отограф іям и ф утбо л істів на с т о р ін к а х альбому по 25 ф отограф ій на с т о р ін ц і. С к іл ь к и с т о р ін о к альбому для цього необхідно?

j p j Достатній рівень 295. Ш в и д к іс т ь п о ш и р е н н я з в у к у в п о в іт р і 330 м /с . Через я к и й п р о м іж о к часу почуєм о г р ім , я к щ о в ід стань до б л и с ка в ки 6 к м 600 м? 296. За 6 год автом обіль п р оїха в 534 к м . С к іл ь к и к і лом етрів в ін проїде за 8 год, я к щ о р уха ти м е ться з та ко ю самою ш в и д кіс тю ? іііГ, А в то м о б іл ь долає від стань м іж м іс та м и за 5 год, я к щ о р уха ється з і ш в и д к іс т ю 84 к м /г о д . З я к о ю ш в и д кіс т ю в ін має р у х а ти с я , щоб подолати ц ю в ід стань за 4 год? 298. М а га зи н продав 18 к г а пел ьсинів і 12 к г л и м о н ів , всього на сум у 306 гр н . С к іл ь к и к о ш т у є 1 к г а пел ьсинів, я к щ о 1 к г л и м о н ів к о ш т у є 12 гр н .? Н а скл а д н а д ій ш л о 1112 к г п о м ід о р ів у я щ и к а х масою по 32 к г і 40 к г . Я щ и к ів масою 32 к г було 16. С к іл ь к и було я щ и к ів масою 40 к г? 300. З і скл а д у на двох а вто м об іл я х вивезли 3500 к г ц у к р у . Н а один автом обіль н а в а н та ж и л и 32, а на д р у ги й — 38 м іш к ів . С к іл ь к и к іл о гр а м ів ц у к р у н а в а н та ж и л и на к о ж н и й автом обіль, я к щ о к іл ь к іс т ь ц у к р у в к о ж н о м у м іш к у була однаковою ?

301. 5 -А кл а с зібрав 45 я щ и к ів я б л у к , а 5-Б — 55 т а к и х сам их я щ и к ів . С к іл ь к и к іл о гр а м ів в одному я щ и к у , я к щ о 5-Б зібрав на 260 к г б іл ьш е, н іж 5-А? С к іл ь к и к іл о гр а м ів я б л у к зібрав к о ж н и й клас? 302. З ’ я с у й на п р и кл а д а х , я к зм ін и т ь с я ч а с тка , я к щ о ділене: 1) з б іл ь ш и ти в 5 р а зів , а д іл ь н и к за л и ш и т и то й сам ий; 2) не зм ін ю в а ти , а д іл ь н и к зм е н ш и ти в 2 рази; 3) зб ільш и ти в 5 разів і д іл ь н и к збільш ити в 5 разів; 4) зб іл ь ш и ти у 8 р а зів , а д іл ь н и к зб іл ь ш и ти в 2 рази; 5) зб іл ь ш и ти в 3 рази, а д іл ь н и к зм е н ш и ти в 2 рази. Розв’язання. 4) Р озглянем о ч а с т к у 10 : 5 = 2. П іс л я зб іл ь ш е н н я діл еного у 8 р а зів , а д іл ь н и к а в 2 рази маємо 80 : 10 = 8. О тж е , ч а с тка зб іл ь ш и л а ся в 4 рази. 303. В ід ста нь від Сум до У ж го р о д а 1168 к м . З ц и х м іс т одночасно в и р у ш а ю ть н а зу с тр іч один одном у два авто м об ілі і зу с тр іч а ю ть с я через 8 го д . Ш в и д к іс т ь одного автом обіля дор івн ю є 72 к м /г о д . З найди ш в и д к іс т ь ін ш о го . 304. З двох с та н ц ій , відстань м іж я к и м и 24 к м , одно часно в одному н а п р я м і ви р уш а ю ть два п оїзд и. П о т я г, щ о р ухається позаду, має ш в и д кіс т ь 72 к м /г о д . Я к а ш в и д к іс т ь поїзда, щ о р ухається попереду, я к щ о д р у ги й п о т я г наздогнав його через 3 год п іс л я п о ч а т к у р уху?

Високий рівень 305. Корабель С індбада-М ореплавця пропливає в ід стань м іж двома п р и с та н я м и , я к а дор івн ю є 264 к м , за те ч ією р іч к и за 11 год. За с к іл ь к и го д ин в ін п р о йде ц ю від стань п р о ти т е ч ії р іч к и , я к щ о ш в и д к іс т ь т е ч ії становить 1 к м /го д ? 306. С ім тр а к т о р ів за 3 год зорали 63 га зем л і. С к іл ь к и зе м л і зорю ть 5 т а к и х тр а к т о р ів за 2 год?

.407. П ерш а х у д о ж н и ц я розмальовує 156 я л и н к о в и х п р и кр а с за 3 д н і, а д р уга с т іл ь к и само — за 4 д н і. За с к іл ь к и д н ів с п іл ь н о ї роботи вони розм алю ю ть 364 т а к и х п р и кр а си ? Один насос за 8 хв в и ка ч у є 240 л води, а д р у ги й за 6 х в — 252 л води. За с к іл ь к и х в и л и н с у м іс ної п р а ц і вони в и ка ч а ю ть 432 л води? 309. О бчисли зр у ч н и м способом: 1) (39 ■ 52) : 13; 2) (320 • 720) : 90; 3) (32 • 63) : 16 : 3; 4) (35 • 45) : 25.

Розв’язання. 1) (39 •52) : 13 = (39 : 13) • 52 = 156; 3) (32 • 63) : 16 - 42.

: 3=

(32 : 16) • (63 : 3) = 2 • 21

Вправи для повторення 310. Ф Т е п л о хід п л и в озером 3 год з і ш в и д к іс т ю 20 к м /г о д , а п о т ім за те ч ією р іч к и — 2 год. С к іл ь к и к іл о м е т р ів п р о п л и в те п л о х ід за ц і 5 год, я к щ о ш в и д к іс т ь т е ч ії р іч к и становить 2 к м /го д ?

ІЗ

311. Розв’я ж и п р и кл а д и . Знайди ім ’я та пр ізв и щ е нідомого п о л іти ч н о го д ія ч а У к р а їн и п о ч а т ку X X сто л іття . +

312. Н а с кл а д і є я щ и к и із ц в я х а м и по 16 к г , 17 к г і ЗО к г . Ч и м о ж е к о м ір н и к видати 113 к г ц в я х ів , не р о зкр и в а ю ч и я щ и к ів ?

Ділення з остачею Д іл е н н я одного числа на ін ш е н а ц іл о не за вж д и м о ж л иве . Н апр икл а д , необхідно 19 я б л у к п о д іл и ти п о р ів н у м іж п ’ ятьм а д іть м и (рис. 2). Д ам о с п о ч а т ку к о ж н о м у по 1 2 3 4 5 одном у я б л у к у , п о тім ще по од но м у і ще раз по одном у. К о ж н и й отрим ав по т р и я б л у ка і <#!<# і# : # ; # 4 я б л у ка за л и ш и ть ся в оста чі. О стачу запиш ем о в д у ж к а х : 19 : 5 = 3 (ост. 4), або

#:<#!<#!<#!# ФФФФ Рис. 2

19 5 15 З 4

Остача при діленні завжди має бути менша від дільника. У ч и с л і 19 м іс ти ть с я 3 рази по 5 та ще 4. О тж е, 19 = 5 • 3 + 4.

V ' Щоб знайти ділене при діленні з остачею, треба помножити неповну частку на дільник і до отриманого добутку додати остачу.

У з а га л і, я к щ о п р и д іл е н н і числа а на число Ъ отр им ал и не по вну ч а с т к у q і остачу г, то а = b ■ q + + г, де г < Ь. Наведи приклад ділення з остачею. * Ч и може остача бути більша за дільник? дорівнювати діль нику? » Я к знайти ділене, якщ о відомі діл ьник, не повна частка й остача?

Початковий рівень

313. В и к о н а й (усн о ) д іл е н н я з остачею: 1 )7 :2 ; 2 )1 0 :3 ; 3) 15 : 4; 4) 19 : 3; 5) 21 : 2; 6) 27 : 6. 314. (У сн о ). Я к і о ста чі м о ж н а о тр и м а ти п р и д іл е н н і па 3, 4, 5, 12?

Середній рівень

315. В и ко н а й д іл е н н я з остачею: 1) 100 : 17; 2) 2935 : 6; 3) 27 592 : 26; 4) 25 698 : 53. 316. В и к о н а й д іл е н н я з остачею: І) 200 : 13; 2) 4792 : 15; 3) 2347 : 36; 4) 12 456 : 113. 317. З аповни таблицю . Ділене

Дільник

472

23 12

571

Неповна частка

Остача

Неповна частка

Остача

318. З аповни табл и ц ю . Ділене

Дільник

253

17 21

319. Р ів н іс т ь 333 = 25 • 13 + 8 правильна. Я к у непонну ч а с т к у і я к у остачу отрим аєм о п р и д іл е н н і 333 на 25? 333 на 13? 320. Н а п о ш и т тя о д н іє ї п ід ко в д р и треба 5 м полотна. С к іл ь к и п ід ко в д р м о ж н а п о ш и т и з 242 м полотна? С к іл ь к и полотна за л иш иться? І) О. ('. Істер “Математика". 5 кл.

1 9

321. D V D -д и с к к о ш т у є 12 гр н . С к іл ь к и D V D -д и с к ів м о ж н а к у п и т и за 118 грн?

322. Маса бронзової за го то в ки 7 к г . С к іл ь к и ч о ти р и кіл о гр а м о в и х барельєфів Т . Ш е в ч е н ка м о ж н а в ід л и ти з 11 заготовок? С к іл ь к и бронзи за л иш иться?

Достатній рівень

-Л И

323. H a одну в а н т а ж ів к у м о ж н а н а в а н т а ж и ти 3 т в а н та ж у . С к іл ь к и треба в а н т а ж ів о к , щоб перевезти 22 т ва н та ж у? 324. В ир а зи ділене через не по вну ч а с т к у , д іл ь н и к і остачу у в и гл я д і р ів н о с т і а = bq + г: 1) 92 : 7; 2) 127 : 12. 325. В и р а зи ділене через н е по вн у ч а с т к у , д іл ь н и к і остачу у в и гл я д і р ів н о с т і а = bq + г: 1) 115 : 8;

2) 389 : 23.

326. П ридум ай число, яке при діл енні на 7 дає остачу 2.

Високий рівень

327. С ер гій п о д іл и в 113 на деяке число та одержав в о ста чі 18. Н а я к е число д іл и в С ергій? Розв’язання. Д іл ь н и к має б ути б іл ь ш и м за 18. Т а к о ж маємо 113 = b ■q + 18. Т о д і b ■q = 95. Ч и сл о 95 д іл и ть с я без о стачі на числа 1, 5, 19 та 95. Т о м у д і лене д о р івн ю є 19 або 95.

0 6 ? Вправи для повторення 328. ^ 150 л м о л о ка розл ил и п о р ів н у в а бід о н ів. С клад и б у кв е н и й вираз для обчислення к іл ь к о с т і мо л о ка в одному б ід о н і та обчисли його зн а че нн я, я к щ о а = 6. 329. Маса д е я к и х ги р невідома. С к іл ь к и гр а м ів в а ж и т ь к о ж н а з н и х на р и с у н к у 3 і р и с у н к у 4?

Рис. 4

Рис. З

Домашня сам остійна робота № 2 І. і, і О бчисли д о б уто к 273 • 45. А ) 12185;

Б) 12385;

В) 11285;

Г) 1 2 2 8 5 .

2 . 0 П одай у в и гл я д і степеня доб уток 14 • 14 • 14. А ) З 14;

Б ) 143;

В ) 14 • 3;

Г) 142.

3 . ® Я к у остачу отрим аєм о п р и д іл е н н і 19 на 5? А ) 1; 4.

Б ) 2;

В) 3;

Г) 4.

О бчисли зр у ч н и м способом 20 • 117 • 5. А ) 1170;

Б) 11700;

В) 117000;

Г) 17 700.

5 . 0 З найди зн а че нн я степеня 26. А ) 32; в. 0

Б ) 12;

В ) 64;

Г) 36.

В и к о н а й д іл е н н я 18 56 1 : 23.

А ) 8 0 7;

Б ) 87;

В) 8 0 9;

Г) 708.

7. О 3 одного селищ а в одном у н а п р я м і одночасно ни їхал и два м о т о ц и кл іс т и . О дин з н и х р уха вся з і ш в и д к іс т ю 65 к м /г о д , а д р у ги й — 72 к м /г о д . Я к а буде відстань м іж н и м и через 5 год п іс л я п о ч а т к у руху? А ) 40 к м ; Б ) ЗО к м ; В) 35 к м ; Г) 25 к м . 8. О З найди зн а че нн я виразу д:3 + 13, я к щ о х = 10. А ) 1003; Б ) 1013; В ) 43; Г) 113.

re^dbJL,

9. М а га зи н продав 12 к г ц у к е р о к і 9 к г печива, всього на сум у 639 гр н . С к іл ь к и к о ш т у є 1 к г ц у к е р о к, я к щ о 1 к г печива к о ш т у є 23 гр н .? А ) 36 г р н .;

Б ) 26 г р н .;

В) 34 гр н .;

Г) 38 гр н .

10. і ї Я к зм ін и ть с я доб уток двох чисел, я к щ о один з м н о ж н и к ів зб іл ь ш и ти у 8 р а зів, а ін ш и й — зм ен ш и т и у 2 рази? A) Б) B) Г)

зб іл ь ш и ть с я зб іл ь ш и ть ся зб іл ь ш и ть с я зб іл ь ш и ть с я

у у у у

16 р а зів; 6 разів; 4 рази; 2 рази.

11. ^ Я к о ю циф рою з а к ін ч у є т ь с я число 10023? А ) 2; Б ) 6; В) 4; Г) 8. 12. ^ Один автомат для р озл иву с о к у наповню є 180 п л я ш о к за 12 х в и л и н , а ін ш и й — 221 п л я ш к у за 13 х в и л и н . За с к іл ь к и х в и л и н с п іл ь н о ї роботи ав то м а тів буде наповнено 224 п л я ш к и соку? А ) 9 хв;

Б) 7 хв;

В) 6 х в ;

Г) 8 хв.

Завдання для перевірки знань № 2 (§5—§9) 1 - Ю В иконай м нож ення: 1) 2 6 -5 1 3 5 ; 2 .0

2) 410

П одайте у в и гл я д і д о б у тку с те п ін ь :

1) 174; 3. 0

24300.

2) р 5.

В и к о н а й д іл е н н я з остачею:

1) 17 : 5;

2) 19

: 3.

4. ^ 3 В и к о н а й д іл е н н я : 1) 3021 : 53;

2) 7930 : 26.

5. ^ 3 С прости вираз: 1) 2 а + 7а; 6. 0

Знайди значення виразу н а й зр у ч н іш и м способом:

1) 2 5 - 4 7 - 4 ;

2) Зх + 7х - 6х.

2) 39

41 + 59 39.

7. О З найди значення виразу: І ) 162 : 8 + 2 3 • 5;

2) (8 2 - 72) : (4 2 - 1).

Н. ^ А вто м о б іл ь долає відстань 720 к м за 9 год. За с к іл ь к и год ин в ін подолає ц ю від ста нь, я к щ о зб іл ь ш и ть ш в и д к іс т ь на 10 к м /го д ? II. ' Я к зм ін и т ь с я д о б уто к двох чисел, я к щ о один з м н о ж н и к ів з б іл ь ш и т и у 4 рази, а д р у ги й зм е н ш и ти у 2 рази?

10. Додаткове завдання. Я к зм ін и т ь с я ч а с тка , я кщ о ділене з б іл ь ш и ти в 6 р а зів, а д іл ь н и к з б іл ь ш и ти н 2 рази? * І• Додаткове завдання. З н а й д іть останню циф ру числа 20 002 0 0 5 2 + 20 032 0 0 1 3.

вирази. Буквені вирази та їх значення. Формули

Ч и сл ов і

П р и кл а д 1. П о їзд п р о їха в за п е р ш у го д и н у 60 к м , її за д р у гу — на 5 к м більш е. С к іл ь к и кіл о м е т р ів проїхав п о т я г за д в і години? Розв’язання. За д р у гу го д и н у п о т я г пр оїха в 60 + 5 к іл о м е т р ів . Тому за дві години в ін проїхав 60 + (60 + 5) к іл о метрів. Д л я р озв’ я за н н я задачі м и с кл а л и числовий вираз із з н а к ів д ій та д у ж о к . В и ко н а в ш и д ії, отрим аєм о число 125 — значення цього виразу. П р и кл а д 2. П о їзд п р оїха в за п е р ш у го д и н у 60 к м , її за д р у гу — на а кіл о м е т р ів більш е. С к іл ь к и к іл о метрів проїхав п о тя г за д ві год ини? Розв’язання. А н а л о гіч н о до попереднього п р и кл ад у отримаємо: за дві год ини п о тя г проїхав 60 + (60 + а) кіл ом етрів. Запис 60 + (60 + а) — буквений вираз, я к и й складається із чисел, б укв , з н а ків д ій та д у ж о к .

З на че ння букв е н о го виразу за л е ж и ть від значення б у к в и , я к а вхо д ить до виразу. П р и кл а д 3. З н а йд и зн а че нн я ви р азу 7 + 6, я к щ о 6 = 5; 10. Розв’язання. Я к щ о 6 = 5, т о 7 + 6 = 7 + 5 = 12; я к щ о 6 = 10, то 7 + 6 = 7 + 10 = 17.

^ Отже, вирази, які складаються із чисел, знаків ( Ж) шг дій та дужок, наприклад: 3547 - 2793, 480 312 - 9279, 7257 - (8705 - 5744), називають числовими виразами.

Якщо виконати дії в числових виразах, то отримаємо число, яке називають значенням числового виразу.

Вираз, який містить букви, числа, знаки дій та дужки, називають буквеним, наприклад:

а + 400, 504 а, а : Ь, (а + Ь) ■с. Н е ха й сторони пр ям о кутни ка д о р ів н ю ю ть а і 6. П о зн а ч и м о б у к вою S його п л о щ у . О с к іл ь к и площа

прямокутника

дорівнює

добутку

д о в ж и н йо го с то р ін , то м о ж н а записати :

S=а

------------------------

Ь.

Я к відом о з м о л о д ш и х к л а с ів , перим етр п р я м о к у т н и к а Р дор івн ю є с у м і д о в ж и н у с іх його сто р ін . О с к іл ь к и п р о т и л е ж н і сторони п р я м о к у т н и к а р ів н і м іж собою, то

Р = а • 2 + 6 • 2, або Р = (а + 6) • 2. Н аведені р ів н о с т і справедливі п р и в с іх зн а ч е н н я х б у кв , щ о до н и х вход ять. ї х н азиваю ть формулами.

Формула — це запис деякого правила за допо могою букв, що встановлює взаємозв’язок між величинами.

Ф 70

Ф о р м у л и допом агаю ть о бчи сли ти значення о д н іє ї .і величин за в ід о м и м и значенням и, р е ш ти ве л и чин. Н а пр и кл а д , з ф орм ули п л о щ і п р я м о к у т н и к а маємо:

а = S : b, b = S : а.

Щоб знайти сторону прямокутника, треба його площу поділити на іншу сторону.

Н ехай V — ш в и д к іс т ь р у х у , t — час р у х у i s — пройдена від стань (ш л я х ). Р ів н іс т ь s = v • t, я к а ікѵгановлюе за л е ж н іс ть м іж ц и м и ве л и чин а м и, назиііається ф орм ул ою ш л я х у . Ф о р м у л а ш л я х у означає, що відстань д о р івн ю є ш в и д к о с т і, п о м н о ж е н ій на час:

8 = V t. З ф орм ули ш л я х у за правилом зн а х о д ж е н н я н е в і домого м н о ж н и к а маємо: v = s : t, t = s : v. — Ш в и д к іс т ь д о р івн ю є в ід с та н і, п о д іл е н ій на час. — Час р у х у д о р івн ю є в ід с та н і, п о д іл е н ій на ш в и д к іс т ь . Наведи приклад числового виразу. • Я к обчислити значення числового виразу? • Я ки й вираз назива ється буквеним? • Наведи приклад буквеного ви разу. • Я к за формулою обчислити периметр квад рата, якщ о відомо його сторону? • Щ о означають букви, що входять до формули шляху?

Початковий рівень 330. (У сно ). Н азви ч и с л о в і, б у к в е н і вирази і ф орм у ли серед т а к и х ви р азів: 1) 525 + 137; 2) т + 54; 3 ) s = vt; 4) 42 - (31 - 18); 5 ) x = 2m + 3; 6) x + у - 3. 331. С ер гій мав а моделей м а ш и н о к. Н а день наро д ж е н н я й о м у подарували 15 м а ш и н о к. С к іл ь к и м а ш и н о к стало у С ергія? 332 До м а га зи н у пр иве зл и а к г бананів. За день продали 215 к г . С к іл ь к и к іл о гр а м ів бананів з а л и ш и лося в м а га зи н і?

333. У 5 -А к л а с і навчається ЗО у ч н ів . За у р о к з т р у дового н а вчання к о ж е н учень ви го то ви в по х в іта л ь н и х л и с т ів о к . С к іл ь к и в іт а л ь н и х л и с т ів о к ви го то ви в кл ас за ур о к?

Середній рівень

334. О бчисли значення ви р азу 312 + а, я к щ о а = 12; 289. 335. О бчисли значення ви р азу т + (п — 8), я к щ о т = 10; п = 12. 336. З найди значення виразу: 1) 2) 3) 4)

х + 3 1 17 , я к щ о х = 2173; 989; 4117 : у , я к щ о у = 23; 179; т - п, я к щ о т - 12 179; п = 8397; (а + 6) ■ с , я к щ о а = 113; b = 227; с = 13.

337. З аповни табл и ц ю .

327

1213

159

987

82 321 3 3 27 *

5221 0

т +п т ~ п 338. О бчисли за ф ормулою перим етр квадрата, сторо на я к о го має д о в ж и н у 7 см, 8 дм. 339. О бчисли значення у за ф ормулою у = 8х + 7, я к щ о х = 0, 1, 25, 100. 340. Знайди, ви ко р и сто вую ч и ф ормулу ш л я х у s - v ■t: 1) час, за я к и й автом обіль проїде 312 к м з і ш в и д к іс т ю 78 к м /г о д ; 2) ш в и д к іс т ь м о т о ц и кл іс т а , я к и й п р о їха в 272 к м за 4 год. 341 За ф ормулою ш л я х у s = vt обчисли від ста нь, я к у проїде автом обіль, щ о р ухається 5 год з і ш в и д к іс т ю 102 к м /г о д .

Достатній рівень I *

342. З а п и ш и р ів н о с ті, за п о в н и в ш и к л іт и н к и :

п 1

!)« = □ + □ + □ ; 3 )a + c = D - D ;

с 2) 4 )n -a = U

+ d.

343. С кл а д и вираз, щ об зн а й ти невідом у в е л и ч и н у х. I)

344. Н а склад привезли 42 я щ и к и , у к о ж н о м у з я к и х по 25 к г я б л у к , і 54 я щ и к и , у к о ж н о м у з я к и х по .42 к г я б л у к. С клад и числ о вий вираз для обчислення маси в с іх завезених я б л у к та знайд и його значення. 445. Т у р и с т пр оїха в на велосипеді 60 к м за 5 год та пройшов п іш к и 15 к м за 3 год. Н а с к іл ь к и ш в и д кіс ть тур иста на велосипеді б іл ь ш а , н іж п іш к и ? З а п и ш и розв’ я з о к у в и гл я д і числового виразу та зна йд и його значеная. 346. С клади числові вирази і знайди значення ко ж н о го з них: 1) р із н и ц я сум и чисел 325 і 733 та числа 812; 2) доб уток р із н и ц і чисел 215 і 199 та сум и чисел 95 і 72. 347. С кл а д и б у кв е н и й вираз: 1) 2) 3) 4)

від числа т в ід н я т и с у м у чисел а і Ь; р із н и ц ю чисел р і к з б іл ь ш и т и в f р а зів; до числа с додати ч а с т к у чисел d i n ; су м у чисел f і q зм е н ш и ти в w разів.

348. А втом обіль п е р ш і а го д ин їха в з і ш в и д кіс т ю 70 к м /го д , а потім — b годин з і ш в и д кіс тю 80 км /го д . С кл а д и вираз для обчислення ш л я х у , щ о подолав автом обіль. О бчисли зн а ч е н н я в и р а зу, я к щ о а = З, b = 4. 349. За п е р ш и й день м а газин продав 1300 зо ш и тів , за д р у ги й — на х з о ш и тів менш е. С клад и вираз для обчислення к іл ь к о с т і зо ш и т ів , я к і продав м а га зи н за два д н і, та обчисли його зн а ч е нн я , я к щ о х = 211. 350. У Ів а на х ц у к е р о к , а в С ер гія — у ц у к е р о к . В о ни с кл а л и їх і п о д іл и л и п о р ів н у . С к іл ь к и ц у к е р о к отрим ав к о ж е н хлопець? С кл а д и вираз і зн а йд и його зна че ння, я к щ о х = 9, у = 13. 351. Н еха й Р — перим етр п р я м о к у т н и к а , а і Ь — його сторони. З а п и ш и ф орм улу для обчислення пе рим етра п р я м о к у т н и к а . З найди Р, я к щ о а = 12 см, b = 3 дм.

352. Одна сторона т р и к у т н и к а дор івн ю є а са нтим е т р ів , а д в і ін ш і — по & са н тим етрів . З а п и ш и вираз для обчислення периметра Р т р и к у т н и к а та зна йд и його зна че ння, я к щ о а = 8, Ь = 7. 353. З аповни та б л и ц ю . 252 км

S V

10 км/год

7 год

238 м

3 км

34 м/с

10 м/с

4 год

60 000 м 9 км/год

15 км/год

2 хв

354. З а по вни таблицю . S

432 км 15

V t

15 000 м

9 год

м/хв

2 год

5 год

355. Я к а з м а ш и н п р оїха л а б іл ь ш у відстань? З начен н я ви р азу — це від ста нь (у к іл о м е т р а х ), щ о пр оїха ла м а ш ин а .

Високий рівень .'І56. Б у р а тін о має т сольдо, А р л е к ін о п сольдо, а М альвіна k сольдо. Щ о означаю ть вирази: 1) тп + п; 2) п - k; 3) т + п + k\ 4) (m + п) - k; 5 ) т - (п + k ); 6) т : k? 867. Х л о п ч и к мав 18 гр н . і к у п и в х зо ш и т ів по 1 гр н . ЗО к о п . к о ж н и й . С кл ад и ф орм улу для обчис лення гр о ш е й , щ о за л и ш и л и с я у х л о п ч и к а , та обчис л и , я к щ о х = 9. 358. М айстер С а м о д єл кін за t х в ви го то ви в одну с кл а д н у деталь та тр и п р о с ті деталі. Н а ви го то вл е н ня скл а д н о ї деталі в ін затратив 15 хв. С к іл ь к и часу мнтратив С а м о д єл кін на виго то вл е н н я о д н іє ї простої деталі? С кл ад и б у кв е н и й вираз і знайд и його значен ня, я к щ о t = 33. ЗГ>9. В о д н ій п а ч ц і було 20 зо ш и т ів , у д р у г ій — на х з о ш и тів м енш е, а в тр е тій — у д в іч і біл ьш е, н іж у д р у гій . С к іл ь к и зо ш и т ів було в тр ьо х п а ч к а х разом? С клади б у кв е н и й вираз та обчисли його зн а че нн я, я к щ о х = 2. 360. Н атуральне число позначено б у кв о ю а. З а п и ш и : 1) наступне число; 861. О

2) попереднє число.

Н атуральне число позначено 6 + 1 . З а п и ш и :

1) тр и н а с т у п н і числа;

2) два попередні числа.

Вправи для повторення 362. 0 Н а кр е сл и в ід р із о к АВ за в д о в ж ки 7 см. П о знач на ньом у т о ч к у D. В и м ір я й д о в ж и н у утв ор е н и х в ід р із к ів AD і DB. 363. 0 В ирази в к іл о гр а м а х : 1) 3000 г ; 2) 15 000 г; 3) 3 т; 4) 3 т 210 к г ; 5) 9 ц ; 6) 9 ц 5 к г . 364. І З С клад и ум ови задач за схем ам и. Р озв’ я ж и їх . 3) 145

І ) І 20 І

т по 3 грн. по 7 грн.

по 4 грн. по 5 грн.

? грн.

263 грн.

185

по 20 коп. по ? коп. 103 грн.

Рівняння Р озглянем о задачу. Ф Задача. С ер гій і П етро на р и б а л ц і разом с п ій м а л и 8 ка р а сів . С ер гій с п ій м а в 3 ка р а с і. С к іл ь к и ка р а с ів сп ій м а в Петро? Н е ха й П етро с п ій м а в х ка р а с ів . Т о д і за ум овою задачі х + 3 = 8. М аємо р ів н іс т ь , щ о м іс ти ть невідоме число.

Рівність, що містить невідоме число, назива ється рівнянням. М аємо р ів н я н н я : х + 3 = 8. Я к щ о за м ість б у кв и поста вити число 5, то одержимо правильну числову р ів н ість 5 + 3 = 8. Ч исл о 5 — к о р ін ь (або р озв’ я з о к ) даного р ів н я н н я .

Значення невідомого, при якому рівняння пе•Мг ретворюються на правильну числову рівність, називається розв’язком, або коренем рівняння. 76

Ін о д і р ів н я н н я м о ж е м ати к іл ь к а ко р е н ів (з та ки м и р ів н я н н я м и ми ознайом им ося п із н іш е ). Розв’я з а т и рівняння означає зн а й ти всі його ко р е ні або п о ка за ти , щ о їх немає. Щ о б п е р е в ір и ти , ч и і число коренем р ів н я н н я , під ставл яєм о це число у р ів н я н н я за м ість невідом ого і в и ко н у є м о обчислен ня. Я к щ о дістанем о п р а в и л ь н у р ів н іс т ь , то число є коренем р ів н я н н я . Д л я р озв’ я зу в а н н я н а й п р о с т іш и х р ів н я н ь в и к о ристовую ть правила, в ід о м і з п о ч а тко в и х к л а с ів .

V Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми V відняти відомий доданок. Н а п р и кл а д : 14 + х = 58; х = 58 — 14; х - 44.

^ Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до У різниці додати від’ємник. Н а п р и кл а д : х ~ 12 = 37; х = 12 + 37; х ~ 49.

/ Щоб знайти невідомий від’ємник, треба від "V зменшуваного відняти різницю. Н а п р и кл а д : 42 - х = 18; х = 42 - 18; х = 24.

Э Щоб знайти невідомий множник, треба добуV ток поділити на відомий множник. Н а п р и кл а д , 7 • х = 56; х = 56 : 7; х = 8.

® Щоб знайти невідоме ділене, треба частку по3^ множити на дільник. Н а п р и кл а д , х : 5 = 9; х = 9 • 5; х = 45.

Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку.

Н а п р и кл а д , 36 : х = 9; х = 36 : 9; х = 4. Розглянем о п р и кл а д и р озв’ я зу в а н н я с к л а д н іш и х р ів н я н ь .

# *^v » w

Приклад 1. Р о зв’я ж и р ів н я н н я (х + 27) - 35 = 62. Розв’язання. У ц ьо м у р ів н я н н і х + 27 — невідо

ме зм енш уване. Щ о б йо го зн а й ти , треба до 62 додати 35. М аємо х + 27 = 62 + 35; х + 27 = 97. Т у т х — не від о м и й доданок. Щ о б зн а й ти його, треба від 97 в ід н я т и 27. О тж е , х = 97 - 27; х = 70. П р и кл а д 2. Р о зв’я ж и р ів н я н н я 4 • 5 х = 60.

Розв’язання. П іс л я сп р ощ е н н я л ів о ї ч а с ти н и має мо 20х = 60; х = 60 : 20; х = 3. Приклад 3. Р о зв’я ж и р ів н я н н я 4 х + 8 х = 36. Р озв’язання. В и ко р и с то в у ю ч и р о зп о д іл ь н у вла сти в ість м н о ж е н н я , маємо 4х + 8 х = (4 + 8 )х = 12х. О тж е , 12л; = 36, х = 36 : 12, х = 3. Приклад 4. Р озв’ я ж и р ів н я н н я 36 : (де — 18) = 3. Розв’язання. У ц ь о м у р ів н я н н і х - 18 — н евідо м ий д іл ь н и к. Щ об його знайти, треба 36 поділити на 3. М аємо х - 18 = 36 ; 3, х - 18 = 12. Т у т х — невідоме зм енш уване. Щ о б його зн а й ти , треба до 12 додати 18. О тж е , х = 12 + 18, х = 30. Яка рівність називається рівнянням? Ц Яке число називається коренем (або розв’язком) рівняння? • Щ о означає розв’язати рівняння? • Як перевіри ти, чи правильно розв’язано рівняння? • Як знайти невідомий доданок; невідоме зменшуване; невідо мий від’ємник? » Як знайти невідомий множник; невідоме ділене; невідомий дільник?

Початковий рівень

365. П еревір (усно ), ч и є число 12 коренем р ів н я н н я : 1) 1 7 - х = 8 ; 2) х + 21 = 33; 3) х - 10 = 7; 4) 2 4 - * = 1 2 . 366. Я к і із чисел 2; 5; 7 є ко р е н я м и р ів н я н н я : 1) 2 х + 17 - 27; 2) (13 - х ) + 42 = 48? 367. Я к і із чисел 3; 7; 9 є ко р е н я м и р ів н я н н я : 1) 63 : х - 2 = 7;

2) 15 - (х + 3) = 9?

$ 77 Середній рівень

^Ш В Ш В Н ^Н В І

368. Р озв’ я ж и р ів н я н н я та в и ко н а й п е р е в ір ку : 1) 2571 + х = 4 5 97 ; 2) у + 17 392 = 21 456; 3) 2 - 52 142 = 37 8 9 7; 4) 42 562 - т = 37 985. Р озв’я ж и р ів н я н н я та в и к о н а й п е р е в ір ку : 1) х + 12 605 = 17 700; 3) ft - 15 391 - 4 5 4 9 7 ;

2) 31 409 + у = 47 002; 4) 12 398 - р = 4597.

370. З на йд и невідоме число, я к щ о : 1) т + 27 311 = 38 111; 2) ft - 25 372 = 99 191. 371 З найди невідоме число, я к щ о : 1) 32 115 + а = 43 342; 2) Ь - 12 372 = 105 394. 372. Сума 2563 + 6782 д о р івн ю є 9345. К о р и с ту ю ч и с ь цим , знайд и к о р ін ь р ів н я н н я : 1) х + 6782 = 9345; 2) у + 2563 = 9345; 3) 9345 - т = 2563; 4) 9345 - k = 6782. ■173. Р із н и ц я 6938 - 2475 дор івн ю є 4463. К о р и с т у ю чись ц и м , знайд и к о р ін ь р ів н я н н я : 2) 6938 - у = 2475.

1) х - 4463 = 2475; 374. Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 12 ■ х = 4 3 2; 3) х • 16 = 0; 5) х : 192 = 0;

2) 22 • х = 8008; 4) х : 27 = 38; 6) 912 : х - 24.

375. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 1 6х = 560; 3) х : 12 = 182;

2) х • 36 = 1692; 4) 7936 : х = 31.

376. З аповни таблицю . Ділене

380

Дільник

Частка

12 5

417

680

839 0

382

1 1

377. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 2 х + 5 х = 49; 2) 10а + 2а - 8а = 1544;

3) 15г/ - 2y - 2y = 385; 4) x + x + 2x + 6x = 17 120. 378. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 1 2 * - Sx = 324; 2)

l l y + 7y - 2y = 400.

379. В ідом о, щ о 128 • 35 = 4480. В и к о н а й ро зв’я ж и р ів н я н н я (усно): 1) 4480 : 128; 2) 4480 : 35; 3) 35лс = 4480; 4) 128 у = 4480; 5) а : 128 = 35; 6) т : 35 = 128; 7) 4480 : k = 35; 8) 4480 : р = 128.

д ію або

380. В ідом о, щ о 6370 : 26 = 245. В и к о н а й д ію або ро зв’я ж и р ів н я н н я (усно): 1) 6370 : 245; 2) 26 • 245; 3) л: : 245 = 26; 4) у : 26 = 245; 5) 6370 : t = 245; 6) 6370 : т = 26; 7) 26 р = 6370; 8) 245а = 6370.

Достатній

381. Р о зв’я ж и за допом огою р ів н я н н я задачу: 1) У к о р з и н і було к іл ь к а гр и б ів . П іс л я того я к у неї п о кл а л и 25 гр и б ів , їх стало 72. С к іл ь к и гр и б ів було в к о р з и н і? 2) Н а блю ді леж ало к іл ь к а т іс т е ч о к. П іс л я того я к з блюда взял и 8 т іс т е ч о к, їх там зал иш ил ось 11. С к іл ь к и т іс те ч о к було на блю ді? 3) У сп о р ти вн о м у таборі від почи вал о 198 у ч н ів . П іс л я того я к у п о х ід п іш л о к іл ь к а у ч н ів , їх за л и ш и л о ся в таборі 169. С к іл ь к и у ч н ів п іш л о в п о хід?

382. Р о зв’я ж и задачу за допом огою р ів н я н н я : 1) Через 7 р о к ів С е р гію в и п о в н и ть ся 18. С к іл ь к и р о к ів й о м у зараз? 2) У м а газин завезли 290 к г ф р у кт ів . П іс л я того я к в ід в а н та ж и л и ф р у кт и д и тя ч о м у са д о ч ку, у м а га з и н і за л и ш и л о ся 212 к г ф р у кт ів . С к іл ь к и к іл о гр а м ів ф р у к т ів в ід в а н та ж и л и д и тя ч о м у садочку?

383.

С кл а д и задачу за р и с у н ко м та ро зв’ я ж и її:

X км

85 км

190 км 384. З найди зна че нн я х + у: 1) 4592 - х = 725; 2) у - 7523 = 2131; у + 2492 = 7599; 3275 + х = 5924. З найди значення х —у: 1) 5737 + х = 10 382; 5737 - у = 1382;

2) х - 5247 = 7382; у + 5247 = 7382.

386. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) (х + 492) - 798 = 839; 2) (х - 792) + 297 = 1392; 3) (х - 5342) - 4132 = 9159; 4) 973 - (343 + х ) = 297; 5) 1952 - (х - 732) = 1713; 6) 2372 - (1795 - х ) = 1052. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) 2) 3) 4) 5) 6)

(х + 4537) + 5297 = 11 342; (х + 4792) - 539 = 6397; (х - 8397) - 5372 = 1792; 9797 + (5392 - х ) = 10 397; 5372 - (х + 41 27 ) = 973; 8374 - (5973 - х ) = 4392.

388. П р и я к о м у значенні зм ін н о ї р ів н іс ть є правиль ною: 1) (у + 7392) + 4597 = 16 292; 2) 5297 + (7592 - х ) = 8915? іS9. П р и я к о м у зн а ч е н н і з м ін н о ї р ів н іс т ь є п р а в и л ь ною: 1) (у - 59 792) + 12 397 = 47 594; 2) 12 137 - (а - 15 142) = 8372? 390. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 15х + 12х + 7 = 169; 2) 15у + у - 10 у - 13 = 131. 6 О. С. Істер “Математика", 5 кл.

391. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) (х + 26) • 12 = 360; 3 )(1 3 2 - х ) : 4 = 23; 5) 5 (2х + 27) = 405;

2) 7 (х - 1 5 ) = 1841; 4) 910 : (х •+■ 11) = 35; 6) (5 х + 2 х) : 2 = 252.

>92 Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 8 х - 4 х + 5 = 25; 3) 851 : (13 + х ) = 37;

2) і у - 12) 36 = 1260; 4) (х - 12) : 13 = 82.

393. Р о зв’я ж и задачу за допом огою р ів н я н н я : 1) У че нь задумав число. Я к щ о до нього додати 72 і від о тр им ан о ї су м и в ід н я т и 48, то отрим аєм о 179. Я ке число задумав учень? 2) У бензобаку був бензин. П ід час п о їз д ки ви тр а ти л и 42 л бензину. П іс л я того я к у бензобак доли л и 37 л, у ньом у стало 40 л. С к іл ь к и л іт р ів бензи н у було в бензобаку сп о ч а тку? Р озв’ я ж и задачу за допом огою р ів н я н н я . Б уло 80 м т к а н и н и . З неї п о ш и л и к іл ь к а п л а т тів та ще 24 м в и тр а ти л и на ко с тю м и . П іс л я цього за л и ш и л о ся 36 м т к а н и н и . С к іл ь к и м етрів т к а н и н и п іш л о на плаття? 395. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 9 12х = 648; 2) 7 • 2 х • 13 = 910; 3) (3 • 2х) : 7 = 42; 4) 70 000 : (25 • 8х - 7 ) = 50. 396. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) х 3 • 12 = 180; 2) 205 : х + 37 = 78. ,497 Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) 8 • І З х = 312; 3) 42 - х 5 = 12;

2) (4 х 3) : 5 = 72; 4) х : 5 - 23 = 42.

Високий рівень 398. С кл а д и р ів н я н н я за р и с у н ко м та ро зв’ я ж и його.

.499. Я ке число треба по ста вити за м ість а, щоб ко р е нем р ів н я н н я : 1) (х + а) - 12 = 25 було число 37; 2) (а - х) + 42 = 83 було число 53? Я к е число треба по ста ви ти за м ість а, щоб к о р е нем р ів н я н н я (х - а) + 37 = 52 було число 27? •101. Встав п р о п у щ е н і числа (розв’ я ж и р ів н я н н я ): І)

457 = 2942,

2) 2547 +

+ 3189 = 7213,

4567 -

= 2966;

Ііід п о в ід і я к и х двох р ів нянь задовольняю ть ум о»У

= 5000?

5412 -

= 2019, 379 = 492,

У = 4893.

В ід п о в ід і я к и х двох р ів н я н ь задовольняю ть умову + > 1395; -

< 12?

•102. Оля прочитала к н и ж к у , у я к ій 90 с т о р ін о к , за два д н і, п р и ч о м у за п е р ш и й день вона прочитала « д в іч і біл ьш е с т о р ін о к , н іж за д р у ги й . С к іл ь к и сто р ін о к прочитал а Оля за п е р ш и й день і с к іл ь к и за др угий? і» :і С е р гій ко задумав число. Я к щ о це число зм ен ш и ти в 5 разів і від р езультату в ід н я т и 27, то о тр и маємо 13. Я ке число задумав С е р гій ко ? 4 0 4 .^ 3 С кл а д и р ів н я н н я за р и с у н к о м та ро зв’я ж и його. С т р іл к а вка зує на більш е число. 1)

її*

на 15

у 5 разів

Вправи для повторення

405. О Г е л іко п те р за 2 год п рол етів 450 к м . Ш в и д к іс т ь л іт а к а у 2 рази біл ьш а за ш в и д к іс т ь ге л ік о п т е ра. Н а с к іл ь к и більш е пролетить л іт а к за 3 год, н іж ге л іко п те р за 4 год?

406. О Подай число 7592 у ви гл я д і сум и трьох додан к ів , я к щ о пе рш ий — найбільш е, а д р у ги й — найм ен ше трициф рові числа, складені із цифр даного числа (циф ри у трициф рових числах не повторю ю ться).

407. ^ J Розгадай ч и с л о в і ребуси, у я к и х о д н а ко в і б у к в и позначаю ть о д н а ко в і циф ри, а р із н і б у к в и — р із н і циф ри. 1)

КО КА + КОЛА ВОДА;

2) СОМ2 = ОГОГО.

Р озглянем о основні види те кс то в и х задач. З а д а чі на р у х . У ж е багато р а зів р о зв’я зува л и за д а чі на р у х і знаємо ф орм улу ш л я х у

s - V ■t щ о ви р аж а є взаєм озв’я з о к ве л и чин: s — пройдений ш л я х ; V — ш в и д к іс т ь р у х у , тобто відстань, я к у п р о хо д ять за о д и н и ц ю часу; t — час р у х у . Т а к о ж знаємо ф орм ули, за я к и м и м о ж н а зн а й ти ш в и д к іс т ь , я к щ о в ід о м і пройдена відстань та час Р уху:

V= s : t та час, я к щ о в ід о м і пройдена відстань та ш в и д кіс т ь :

t =з :V

§ и З а ува ж е н ня : 1. У задачах на р ух будемо вва ж а ти , що ш в и д кіс ть р у х у на всьому ш л я х у не зм іню валася. 2. О диниці в и м ір ю в а н н я ш в и д ко с т і ( к м /г о д , м /х в , м /с тощ о) залеж ать від ум ови задачі. Я к щ о , напр и кл а д , ж у к за 5 хв проповзає 10 м, то його ш в и д кіс ть 10 : 5 = 2 (м /х в ).

10 м 5 хв Розглянемо тепер, я к р озв’ я зую ть ся задачі на р у х in* р іч ц і. У ц и х задачах є своя особливість: потріб но р о зр ізн я ти швидкість руху за течією та швидкість

руху проти течії. Н ехай, н а п р и кл а д , власна швидкість човна (тобто Ного ш в и д кіс т ь у с то я ч ій воді) дорівню є 15 к м /г о д , и швидкість течії річки дорівню є 2 к м /г о д . Тоді ш в и д кіс ть , з я к о ю човен пливе за теч ією , склад а ється з його власної ш в и д ко с т і та ш в и д ко с ті те ч ії: 15 + 2 = 17 (к м /го д ). А ш в и д кіс т ь , з я к о ю човен п л и не проти те ч ії, отрим уєм о в ід н ім а н н я м ш в и д ко с т і те ч ії від власної ш в и д ко с т і човна: 15 - 2 = 13 (к м /го д ). Розглянемо задачі, у я к и х д ію т ь два у ч а с н и к и р уху. Рух з одного пункту з відставанням. Н е ха й два об’є к т и одночасно п о ч и н а ю ть р у х в одном у н а п р я м і :і о д н ієї т о ч к и з р із н и м и ш в и д ко с тя м и = 5 к м /г о д І о.г = 3 к м /г о д .

О2 - 3 к м / г о Щ * >

У' Н

V! —5 км/год

Тоді за п е р ш у го д и н у об’ є к т J ib випередить об’ є к т f на 2 к м .

1 ■w4' Відстань, на яку віддаляються об’єкти за оди' ницю часу, називається швидкістю віддален ня ивід. У в и п а д ку р у х у з одного п у н к т у з від ста ва нням

”від = Ѵ\ - Ѵ2 (ЯКЩ0

> У2)’

Через t год м іж об’ є кт а м и буде відстань

8від = ”від • * = <*>1 - и2)*• Задача 1. д ва автом об ілі одночасно в и їх а л и в одном у н а п р я м і. Ш в и д к іс т ь п ерш ого автом обіля 60 к м /г о д , ш в и д к іс т ь д р уго го 72 к м /г о д . Я к а в ід стань буде м іж автом обілям и через 9 год? Розв’язання. sBifl = (72 - 60) - 9 = 1 2 - 9 = 108 (к м ).

Рух з одного пункту в протилежних напрямах. Н еха й два об’є к т и одночасно п о ч и н а ю ть р у х з о д н ієї т о ч к и в п р о т и л е ж н и х н а п р я м а х з і ш в и д ко с тя м и Uj = 5 к м /г о д і v2 = 3 к м /г о д .

Тод і за пе рш у го д и н у об’ є к т %. віддаляється від об’є к та $ на 8 к м . У ц ьо м у в и п а д к у ш в и д к іс т ь відда лення

"від = »1 + «V Через t год м іж об’ є кта м и буде відстань

8від . = Vвід ■ • t" = (V. n)t. V 1+ V 'у2/ Задача д ві черепахи одночасно почали руха тись у п р о т и л е ж н и х н а пр я м а х з і ш в и д ко с тя м и 6 д м /х в і 4 д м /х в . Я к а буде відстань м іж черепахами через 35 хв? Розв’язання, s . = (6 + 4) • 35 = 10 35 = 350 дм. Рух двох об’єктів назустріч один одному. Н ехай два об’є к т и одночасно починаю ть р ух назустріч один

f U одному ЗІ ШВИДКОСТЯМИ Uj = 5 к м /го д і v2 = 3 к м /го д , причому початкова відстань м іж об’єкта м и більш а за Н км. ліісце зустрічі

Тод і за п е р ш у го д и н у відстань м іж об’є к т а м и с к о ротиться на 8 к м .

Відстань, на яку зближаються об’єкти за одиV ницю часу, називається швидкістю зближенНЯ УзблУ в и п а д к у р у х у двох об’є к т ів н а зу с тр іч один од-

" ()МУ избл = У1 + V2Я к щ о п о чатко ва від стань м іж об’ є кта м и дорівню є S' к іл о м е т р ів і об’є к т и зу с тр іл и с я через £зуст год, то очевидно, що S = избл , ■t зуст = (и, ^ t зуст ' 1 + v2' Я к щ о t < £зуст, то через t год об’є к т а м и ско р о ти ть ся на відстань

відстань

м іж

8 = Узбл • 1 = (уі + Ѵ2>1Додача д ва автобуси в и їх а л и одночасно з двох м іст і зу с тр іл и с я через 5 год. Ш в и д к іс т ь одного 45 к м /г о д , а д р уго го на 10 к м /г о д біл ьш а . З найди відстань м іж м іста м и . Розв’язання. 1) 45 + 10 = 55 (к м /г о д ) — ш в и д к іс т ь д р угого автобуса; 2) (45 + 55) • 5 = 500 (к м ) — відстань м іж м іста м и . Рух в одному напрямі навздогін. Н еха й два об’є к т и одночасно п о ч и н а ю ть р у х з р із н и х то ч о к в одному н а п р я м і з і ш в и д ко с тя м и i>j = 5 к м /г о д і у2 = З к м /г о д , п р и ч о м у об’є к т , щ о має б іл ь ш у ш в и д к іс т ь , рухається позаду і п о чатко ва відстань м іж об’є кта м и біл ьш а за 2 к м .

Ui = 5 км/год H------- 1------- 1------- 1------- h

МІСЦЄ

іустрічі

Т од і за п е рш у го д и н у об’ є к т д стане б л и ж че до об’ є к та ^ на 2 к м . У ц ьом у в и п а д ку и збл = V 1 -

V 2 (Я К Щ О U j >

V 2) .

Я к щ о по чатко в а від стань м іж об’ є к т а м и дорівню є

s к м і об’є к т j l наздогнав об’ є к т й через taycr год, то очевидно, щ о S = и збл • *зуст = <У 1 -

y 2) f 3yCT*

Я к щ о t < taycT, то через t год об’ є кта м и ско р о ти ть ся на від стань * = и збл ■ * = К

“

від стань

м іж

и 2>£ -

Задача 4. З двох п у н к т ів , від стань м іж я к и м и 120 к м , одночасно почали р у х в одном у н а п р я м і п і ш о х ід з і ш в и д к іс т ю 5 к м /г о д і автобус, я к и й наздо га н я в п іш о хо д а . З найди ш в и д к іс т ь автобуса, я к щ о в ін наздогнав п іш о х о д а через 2 год. Розв’язання. і>абл = s : t; ѵ^л = 120 : 2 = 60 (к м /го д ). Тоді ш в и д кість автобуса дорівню є 60 + 5 = 65 (к м /го д ). З адачі, п о в ’я з а н і з в а р т іс т ю то ва р у О дин к іл о гр а м ц у к е р о к к о ш т у є 25 гр н . С к іл ь к и к о ш т у ю т ь 3 к г ц у ке р о к? Р озв’язання. 25 • 3 = 75 (гр н .). У ц ій задачі, я к і в задачах на р у х , маємо за л е ж н іс ть м іж трьома вели ч и н а м и : вартість товару, його ціна та кількість. Нехай С — вартість товару, а — його ц ін а (тобто вар тість одиниці товару — 1 ш т у ки , 1 м, 1 к г , 1 л тощо), а п — к іл ь к іс т ь товару у вибраних одиницях. Тоді

С- а 88

п .

О три м а ну р ів н іс т ь н азиваю ть формулою вартості. Нона означає, щ о

вартість товару дорівнює ціні, помноженій на кількість товару.

З ф ормули вартості за правилом зн а х о д ж е н н я немідомого м н о ж н и к а л е гко ви р азити ве л и ч и н и а і п:

а =С :п

п=С :а

тобто

j ціна товару дорівнює вартості, поділеній на U кількість товару, а кількість товару дорівнює вартості, поділеній на ціну. Задача 6. Л іт р с о к у к о ш т у є 12 гр н . С к іл ь к и л і тр ів с о к у м о ж н а к у п и т и за 48 гр н .? Розв’язання. 48 : 12 = 4 (л).

Задачі на роботу Задача 7. М а р ія набрала на к о м п ’ ю те р і 9 с то р ін о к па 3 год, а Т етяна — 8 с т о р ін о к за 2 год. Х т о з д ів ч а ток працю вав ш видш е? Розв’язання. М а р ія набрала більш е с т о р ін о к , н іж Тетяна, але вона й працю вала більш е часу. Д л я того щоб в ід п о в істи на п и та н н я задачі, треба зн а й ти , с к іл ь к и с т о р ін о к набрала к о ж н а д ів ч и н к а за 1 год. М арія набирала по 9 : 3 = 3 с т о р ін к и за го д и н у , а Тетяна — по 8 : 2 = 4 с т о р ін к и за го д и н у . О тж е , Те тяна працю вала ш вид ш е, то м у щ о за го д и н у вона на прала більш е с то р ін о к. Ш в и д к іс т ь роботи ще називаю ть продуктивніс тю. У т а к ій за д а ч і п р о д у к т и в н іс т ь п р а ц і М а р ії с та новить 3 с т о р ін к и за го д и н у , а Т е тя н и — 4 с т о р ін к и ііа годину. Я к щ о п о зн а ч и ти б у кв о ю А — всю роботу, продук тивність - б укв о ю N, а час роботи — t, то м ож ем о .ніписати р ів н іс т ь :

А = N ■t . 89

rvjou*,

Ц я р ів н іс т ь називається формулою роботи. Вона означає, що

робота дорівнює продуктивності, помноженій на час роботи.

З ф орм ули роботи за правилом зн а х о д ж е н н я н е в і домого м н о ж н и к а л е гко зн а й ти ве л и ч и н и N i t :

тобто

^ продуктивність дорівнює роботі, поділеній на _V час роботи, а час дорівнює роботі, поділеній на продуктивність. Задача 8. Олеся миє 4 т а р іл к и за 1 х в. С к іл ь к и т а р іл о к пом иє Олеся за 5 хв? С к іл ь к и по тр іб но часу, щоб Олеся пом ила 24 т а р іл к и ? Розв’язання. За 5 хв Олеся помиє 4 • 5 = 20 та р іл о к, а щоб по м ити 24 т а р іл к и , їй потрібно 24 : 4 = 6 хв.

4% Я к знайти невідому відстань, якщ о відомі швидкість і час? * Я к знайти невідому ш видкість, якщ о відомі відстань і час? • Я к знайти невідомий час, якщ о відомі відстань і швидкість? * Я к знайти ш видкість руху човна за течією та проти течії, якщ о відомі власна ш видкість човна та ш видкість течії? * Я к знайти ш видкість віддалення, якщ о в і домі ш видкості та v2 об’єктів, що віддаляються (розглянути два випадки)? * Я кою буде відстань явід м іж цими об’єктами через t год7 * Я к знайти Ш В И Д К ІС Т Ь зближення, Я К Щ О В ІД О М І Ш В И Д КО С Т І U j та v2 об’ єктів, що зближуються (розглянути два ви падки)? • На я к у відстань s скоротиться відстань м іж об’єктами через t год? • Я к знайти час *зуст, че рез я ки й об’є кти зустрінуться, якщ о початкова від стань м іж ними дорівнює s? * Я к знайти вартість, якщ о відомі ціна товару та його кіл ькість? • Я к знайти ц ін у товару, якщ о відомі вартість товару та його кількість? # Я к знайти кіл ь кіс ть товару, якщ о

f « відомі вартість товару та його ціна? ♦ Щ о таке про дуктивність праці? • Поясни зміст виразів: «Оля набирає текст на ко м п ’ютері з продуктивністю З сторінки за годину», «Валя чистить картоплю з продуктивністю 2 ш ту ки за хвилину». • Я к знайти виконану роботу, якщ о відомі продуктивність пра ц і та час роботи? * Я к знайти продуктивність пра ці, якщ о відомі виконана робота і час роботи? • Я к знайти час роботи, якщ о відомі продуктивність праці та виконана робота?

Початковий рівень 408. (У сн о ). 1) Х л о п ец ь з ’ ясував, щ о на ш л я х за теч ією р іч к и було витрачено менше часу, н іж на той п ім и й ш л я х пр оти те ч ії. Ч и м це м о ж н а п о я сн и ти , я кщ о мотор човна працю вав однаково справно п ід час ус іє ї по д о р ож і? 2) Н а ш л я х по р іч ц і від п у н к т у А до п у н к т у В те п л о хід витратив 3 год, а на зворотний ш л я х — 2 год ЗО хв. У я к о м у н а п р я м і тече р іч ка ?

Середній рівень 409. З найди невідом у ве л и ч и н у. Відстань, я Час, t Швид кість, V

140 км

120 км

750 м

570 м

3 год

2 год

6 хв

5с

28 км/год

32 км/год

95 м/с

12 м/с

410. Ц ін а к н и ж к и 35 гр н . Я к а ва р тість 2 к н и ж о к ? З к н и ж о к ? 5 к н и ж о к ? 7 к н и ж о к ? 12 к н и ж о к ?

а = 35 грн. — стала ціна Кількість (ге), шт. Вартість (С), грн.

411. Ш к о л я р а м м али з а к у п и т и 80 р у ч о к. Я к а вар тіс ть п о к у п к и , я к щ о ц ін а о д н іє ї р у ч к и 1 гр н .? 2 гр н .? З гр н .? 4 гр н .? 6 гр н .?

■ftV ^ A v 6 '

л = 80 шт. — стала к лькість 1 Ціна (а), грн. Вартість (С), грн.

412. Б іб л іо те ка має з а к у п и т и к н и ж о к на загальну сум у 3600 гр н . С к іл ь к и к н и ж о к зм ож е к у п и т и б і бл іо те ка , я к щ о ц ін а о д н іє ї к н и ж к и 10 гр н .? 12 гр н .? 15 гр н .? 18 гр н .? 20 гр н .?

С = 3600 грн. — стала вартість 10 12 Ціна (а), грн. Кількість ( л ) , шт.

Ц ін а р у ч к и 2 гр н . С к іл ь к и т а к и х р у ч о к м о ж на придб ати за 50 гр н .? 70 гр н .? 90 гр н .? 98 гр н .? 106 гр н .?

а = 2 грн. — стала ціна Вартість (С), грн.

106

Кількість ( л ) , шт. 414. Д л я н а го р о д ж е н н я п р и зе р ів о л ім п іа д и к у п и ли 20 к н и ж о к з м а те м а ти ки . Я к о ю є ц ін а о д н ієї к н и ж к и , я к щ о ва р тість п о к у п к и 600 гр н .? 800 гр н .? 1000 гр н .? 1200 гр н .? л = 20 шт. — стала кількість 600 Вартість (С), грн. Ціна (а), грн.

800

1000

1200

115. П о т р іб н о к у п и т и з о ш и т и на с у м у 30 гр н . Я к о ю є в а р тіс ть одного зо ш и т а , я к щ о к у п л е н о 5 з о ш и т ів ? 6 зо ш и тів ? 15 зо ш и тів ? ЗО зо ш и тів? С = ЗО грн. — стала кількість грошей 5 6 Кількість (л), шт. Ціна (а), грн.

ЗО

416. П р и н те р д р у к у є з п р о д у к т и в н іс т ю 7 с то р ін о к за х в и л и н у . С к іл ь к и с т о р ін о к в ін н а д р у ку є за 2 хв? З хв? 5 хв? 8 хв? 10 хв?

#■«

N 7 сторінок за хвилину — стала прюдуктивність 5 2 3 8 Час ( t ), хв

Робота (А), стор. У ч е нь р озв’ язував задачі п р о тя го м 2 год. С к іл ь ки задач в ін ро зв’ язав, я к щ о за го д и н у р озв’язував .4 задачі? 4 задачі? 5 задач? 7 задач? 8 задач?

1 2 год — сталий час 1Іродуктивність (N), задач/год

Робота ( А ) , задач •118. С тудент має здати реферат на 48 с т о р ін к а х . С к іл ь к и часу працю ватим е студент над рефера том, я к щ о в день в ін буде робити 2 стор.? З стор.? •І стор.? 6 стор.? 8 стор.?

Л = 48 сторінок — стала робота Продуктивність (ІѴ), стор./день Час (t), днів

М айстер ви готовл яє 12 деталей за го д и н у . За с к іл ь к и го д ин в ін ви го то ви ть 36 деталей? 48 дета лей? 60 деталей? 72 деталі? 120 деталей?

N 12 дет./год — стала продуктивність 48 36 Робота (А ), дет. Час (*), год

120

420. Р о б іт н и к працю вав 2 год. Я к о ю є його п р о д у к т и в н іс ть п р а ц і, я к щ о за ц і 2 год в ін виго то ви в 12 де талей? 14 деталей? 18 деталей? 24 деталі? 26 дета лей? / 2 год — сталий час Робота (А), дет. Продуктивність (N ), дет./год

421 К н и ж к а має 120 с т о р ін о к . С к іл ь к и с т о р ін о к за го д и н у має ч и т а т и учень, я к щ о хоче п р о ч и та ти к н и ж к у за 4 год? 5 год? 8 год? 10 год?

Ге+діи,

А - 120 сторінок — стала робота 4

Час (t), год

Продуктивність праці {N), стор./год 422. 1) Один з автом обілів рухався 5 год з і ш в и д кіс т ю 72 к м /г о д , а ін ш и й — 4 год з і ш в и д кіс т ю 85 к м /го д . Я к и й з автом обілів пр оїха в б іл ь ш у відстань? Н а с к іл ь к и ? 2) Один з велосипедистів за 4 год п р оїха в 56 к м , а ін ш и й за 3 год п р оїха в 45 к м . Я к и й з велосипедистів мав б іл ь ш у ш в и д кіс т ь ? Н а с к іл ь к и ? 3) Один з п о їзд ів п р оїха в від стань 300 к м з і ш в и д к іс т ю 75 к м /г о д , а ін ш и й — відстань 204 к м з і ш в и д к іс т ю 68 к м /г о д . Я к и й з п о їзд ів ви тр а тив на дорогу менш е часу? Н а с к іл ь к и ? 423. Склади задачі за ко р о тки м записом та розв’я ж и їх . V,

Товарний Пасажирський

Швидкість км/год 42 ?

Транспортний засіб Автомобіль

Швидкість км/год 80

Поїзд

Мотоцикл

Час t, год 6 4

Відстань s, км

Час t, год 4 ?

Відстань s, км

Однакова

424 С клад и задачі за к о р о т к и м записом і р о зв’я ж и їх . 1)

Учасник руху Велосипедист Автомобіліст

Тварина Олень Кінь

Швидкість км/год 15 ?

Швидкість км/год 12

Відстань км 60

год

Однаковий

296 Відстань км 36

Час

год

Однаковий

f « 125. Ш в и д к іс т ь катера в с то я ч ій воді становить І І к м /г о д , а ш в и д к іс т ь те ч ії р іч к и — 2 к м /г о д . В иинач: 1) ш в и д кіс т ь катера за те ч ією р іч к и ; 2) ш в и д кіс ть катера п р о ти т е ч ії р іч к и ; 3) ш л я х , я к и й пр охо д ить ка те р за 2 год за те чією р іч к и ; •1) ш л я х , я к и й прохо д ить ка те р за 3 год п р оти те ч ії р іч к и . 12<і. В изн ач, (о, > и2): 02

яких

УХ

І) «>|

р и с у н к ів

5 p

'»>

^збл ~ U 1 +

V 2’

B > "в ід = U1 "

V2*

ф ормули

«і

t 3) I----

V2 ^абл ~ U 1

стосую ться

V1 6)

V2 “1

V 2’

У від = V 1 +

127. 1) Велосипедисти р уха ю ть ся у п р о т и л е ж н и х іш пр ям а х. Н а с к іл ь к и к іл о м е т р ів вони віддаляться один від одного за 1 год? 2 год? 5 год? 12 км/год

2) Один з п іш о х о д ів наздоганяє ін ш о го . Н а с к іл ь ки кіл о м е т р ів с ко р о ти ть відстань цей п іш о х ід через 1 год? 2 год? 5 год?

128. 1) М а ш и н и р уха ю ть ся в одном у н а п р я м і. Я к а Оуде відстань м іж н и м и через 1 год? 2 год? 7 год?

2) В елосипедисти р уха ю ть ся н а зу с тр іч один одно м у. Н а с к іл ь к и к іл о м е т р ів набл изяться вони один до одного за 1 год? 2 год? 4 год?

429. В ід двох п р иста н е й, відстань м іж яким и 144 к м , одночасно в и й ш л и н а зу с тр іч один одному два пароходи. П е р ш и й п а р о х ід п л и в з і ш в и д к іс т ю 25 к м /г о д , д р у ги й — з і ш в и д к іс т ю 23 к м /г о д . Через с к іл ь к и год ин вони зустр іл ись? І.'50. В ід о д н ієї п р и с та н і в п р о т и л е ж н и х н а пр я м а х в и р уш а ю ть два ка те р и , ш в и д ко с т і я к и х від по від н о 23 к м /г о д та 28 к м /г о д . Через я к и й час від стань м іж н и м и д о рівню ватим е 153 км ? 431. Заповни таблицю . Вартість (С), грн.

Ціна (а), грн.

Кількість ( ті) , шт.

310 2040

5 120

432. У ч е н ь к у п и в 8 з о ш и т ів по ц ін і 1 гр н . 60 к о п . та 3 р у ч к и по ц ін і 2 гр н . 20 к о п . Я к у здачу повинен о тр им ати учень з к у п ю р и 20 гр н .? 433 П ’ я ть б л о кн о т ів д о р о ж ч і за п ’ я ть р у ч о к на З гр н . С к іл ь к и к о ш т у є одна р у ч к а , я к щ о ц ін а б л о к нота 3 гр н . 90 ко п .?

§11 434. Один учень ро зв’ язав 12 р ів н я н ь за 2 год, а д р у гим — 15 р ів н я н ь за 3 год. У к о го з у ч н ів б іл ьш а п р о д у кти в н іс ть п р а ц і і на с к іл ь к и ?

Достатній рівень •135. Катер, власна ш в и д к іс т ь я к о го 18 к м /г о д , п л и в 2 год за те ч ією р іч к и і 3 год п р оти т е ч ії. Я к у в ід стань за цей час подолав ка те р, я к щ о ш в и д к іс т ь те ч ії р іч к и 2 к м /го д ? •136. Власна ш в и д к іс т ь теплохода 22 к м /г о д , а ш в и д к іс т ь т е ч ії р іч к и — 2 к м /г о д . С к іл ь к и часу витрачає те п л охід на ш л я х м іж двома п р и с та н я м и , відстань м іж я к и м и 120 к м , я к щ о в ін буде п л и в ти : 1) за течією ; 2) п р о ти течії? 137. Човен, власна ш в и д к іс т ь я к о го 21 к м /г о д , п р о плив р іч к о ю ш л я х від п у н к т у А до п у н к т у В і п о вернувся назад. С к іл ь к и часу ви тр а ти в човен, я к щ о відстань м іж п у н к т а м и А і В становить 72 к м , а ш в и д кіс ть т е ч ії — 3 к м /го д ? •138. С клад и ум о ву задачі за р и с у н ко м . Р озв’ я ж и за дачу.

72 км/год 75 км/год 9— — ------------------* 9 2 год ? год -*----- 369 к м ----- *139. Склади умови задач за р и сун ка м и . Розв’я ж и за дачі.

І) 84 км ^ ? км А 2) 130км ^ 168км А f it _____ t _______ І 4 f i t _____ t _______ I у А

В 28 км/год

22 км/год

tAC = 8 год 7 О Д ’. Істср "Математика”, 5 кл.

В 26 км/год

28 км/год

tAC = ? год 97

rc^dl*As

3)70 км/год

72 км/год A

г / год d год AC = 356 км

4) ? км/год

ftС Aft _

54 км/год A

5 год 4 год AC —426 км

IrС

440. Д ва велосипедисти в и їх а л и одночасно н а зу с тр іч один одном у з двох м іс т, відстань м іж я к и м и 78 к м . Велосипедисти зу с тр іл и с я через 3 год. З найди ш в и д к іс т ь перш ого велосипедиста, я к щ о ш в и д к іс т ь друго* го — 12 к м /г о д . 441. Б у р а тін о ви й ш ов з і ш к о л и і п іш о в додому з і ш в и д к іс т ю 80 м /х в . Через 2 х в з і ш к о л и ви йш ов П ’ єро і п іш о в у то м у сам ом у н а п р я м і з і ш в и д к іс т ю 100 м /х в . Через с к іл ь к и х в и л и н п іс л я свого ви хо ду П ’ єро наздож ене Б ура тін о ? 442. В ідстань м іж м іста м и А і В дорівню є 232 к м . З м іста В у б ік , п р о т и л е ж н и й до А , в и р у ш и в вело сипедист з і ш в и д к іс т ю 14 к м /г о д . Одночасно з н и м з м іста А у том у самому н а п р я м і в и р у ш и в м о то ц и к л іс т , я к и й наздогнав велосипедиста через 4 год п іс л я п о ч а т ку р у х у . З найди ш в и д кіс т ь м о то ц и кл іс та . 443. К у п и л и т к г к а р т о п л і по ц ін і 2 гр н . за к іл о грам , п іс л я чого щ е за л иш ил о ся 15 гр н . Н а п и ш и ф орм улу для обчислення к іл ь к о с т і гр о ш е й , я к і мали (познач її б укв о ю Т). О бчисли Т, я к щ о m = 15. 444. К о ж н и й з двох п е р ш и х ц е х ів п ід п р и єм ства в и готовляє по а виробів за робочий день, а к о ж н и й з тр ьо х н а с т у п н и х ц е х ів — по b виробів за робочий день. С клад и б у кв е н и й вираз для обчислення к іл ь к о с т і деталей, ви го то вл е н и х на п ід п р и є м с т в і за ро бочий день. О бчисли його зн а ч е нн я , я к щ о а = 214, Ь = 210. 445. М айстер виготовляє 60 деталей за 4 год, а к о ж е н з двох його у ч н ів — по 18 деталей за 2 год. За с к іл ь к и го д и н вони утр ь о х ви го то вл я ть 99 деталей?

§11 f !

Високий рівень

446. В ідстань м іж п р и с та н я м и 72 к м . Власна ш в и д к іс т ь човна становить 21 к м /г о д . За я к и й час подолас відстань м іж п р и с та н я м и цей човен, р уха ю ч и сь проти т е ч ії, я к щ о , р у х а ю ч и с ь за те ч іє ю , в ін подолав відстань за 3 год? М 7. П е р ш и й автом обіль був у дорозі 6 год, д р у ги й — 3 год. їх а л и вони з однаковою ш в и д к іс т ю . П е рш ий автом обіль п р оїха в на 258 к м більш е, н іж д р у ги й . Я к у відстань п р оїха в к о ж н и й автомобіль?

Розв’язання. П е р ш и й автом обіль руха вся на 3 год довше і за цей час п р оїха в на 258 к м більш е. О с к іл ь ки ш в и д ко с ті автом об ілів о д н а ко в і, то їх м о ж н а зн а йти т а к : 258 : (6 - 3) = 86 к м /г о д . Т о д і п е р ш и й ав томобіль п р о їха в 86 - 6 = 516 к м , а д р у ги й 86 • 3 = 258 к м . •118. З Ч и ги р и н а до К и єв а одночасно в и їх а л и два ав то м о б іл і. Через 3 год від стань м іж н и м и була 24 к м . Знайди ш в и д к іс т ь д р уго го автом обіля, я к щ о ш в и д к іс т ь перш ого 85 к м /г о д . С к іл ь к и в и п а д к ів сл ід роз гл ян ути ? 119. З м іста М у м істо N одночасно в и їх а л и два ав то м о б іл і з і ш в и д ко с тя м и 80 к м /г о д та 85 к м /г о д . Знайди відстань м іж м іс та м и М і АГ, я к щ о в момент п р ибуття д р уго го автом обіля в м істо N п е рш о м у ще залиш илося п р о їх а ти 15 к м .

Вправи для повторення ■150. О 1)

З аповни « в ік о н ц я » . З найди невідоме слово.

37 : 5 = П (ост.

Е );

2) 51 : 10 = С (ост.

(ост.

Л );

4) 7 6:1 2 = И (ост.

3) 115:14 =

со

см

/ 'r g d iv L

451. ^ З найди ко ре н і р ів н я н ь : * + 62 = 115 у —42 = 97 та обчисли значення виразу 3 * - у. 452. £ собом: 1) 2) 3) 4)

Обчисли значення виразу н а й з р у ч н іш и м сп о

314 66 + 314 34; 942 • 175 - 174 942; 43 • 59 + 69 • 43 - 28 • 43; 114 197 - 114 96 - 114.

Розв'язування текстових задач за допомогою рівнянь Розглянем о те кс то в і задачі, одним із способів р озв’ я зув а н н я я к и х є скл а д а н н я р ів н я н ь . Задача 1. У с а д ку росли я б л у н і й в и ш н і — всього 32 дерева, п р и ч о м у я б л ун ь було на 4 б іл ьш е , н іж ви ш е нь. С к іл ь к и я б л ун ь і с к іл ь к и ви ш е н ь росло в садку? Розв'язання. Н е ха й у с а д ку росло * виш ень, тоді я бл унь було * + 4. О с к іл ь к и всього дерев було 32, то отрим аєм о р ів н я н н я * + * + 4 = 32. С прощ уєм о вираз * + * = 1 • * + 1 • * = * (1 + 1) = = * • 2 = 2 *. М аємо: 2 * + 4 = 32. 2 * - не від о м и й доданок. Щ о б його зн а й ти , треба від 32 в ід н я т и 4. О тж е , 2 * = 32 - 4, 2 * = 28, * = = 2 8 : 2; * = 1 4 . У с а д ку росло 14 ви ш е н ь, то д і яблунь було 14 + 4 = 18. ка л а ч а 2. За з м ін у майстер ви то чив у т р и ч і більш е деталей, н іж учень. С к іл ь к и деталей ви то ч и в за з м і н у учень, я к щ о ц я к іл ь к іс т ь на 18 м енш а, н іж к іл ь к іс т ь деталей, щ о ви то ч и в майстер? Розв'язання. Н еха й учень виточив * деталей, тоді майстер, щ о виточив у т р и ч і більш е, — 3 * деталей. О с к іл ь к и 3 * більш е за * на 18, то отрим уєм о р ів н я н ня 3 * - * = 18. О с к іл ь к и 3 * - * = 3 * - 1 * = * ( 3 - 1) = = * • 2 = 2 * , то маємо 2 * = 18, * = 18 : 2, * = 9. О тж е, учень ви то чив за з м ін у 9 деталей.

100

§13

Поясни, я к за допомогою рівнянь розв’язано задачі 1 та 2.

Достатній рівень

153. С ер гій за два д н і прочитав 78 с т о р ін о к , п р и ч о му за д р у ги й день в ін пр очи та в у д в іч і б іл ьш е, н іж .ні п е рш ий . С к іл ь к и с т о р ін о к пр очи та в С ер гій за пер шим день? Сума двох чисел дор івн ю є 195. З найди ц і числа, и к іцо одне з н и х у 4 рази б іл ьш е, н іж ін ш е . 455. В а в то п а р ку в а н т а ж н и х автом об ілів у 5 разів ЛІльше, н іж л е гк о в и х . С к іл ь к и в а в то п а р ку л е гк о в и х ш іто м о б іл ів, я к щ о їх на 52 менш е, н іж в а н та ж н и х ? М и ко л а мав на 4 гр н . 71 к о п . б іл ьш е, н іж Стеміш. С к іл ь к и гр о ш е й мав С тепан, я к щ о їх у 4 рази менше, н іж у М и ко л и ? 457. С клад и р ів н я н н я до задач за р и с у н к а м и . С тр іл ка спрям ована у б ік б іл ь ш о го числа. Р о зв’ я ж и р ів н я н ня .

-158. Баба Я га зібрала на 3 м ухо м ор и б іл ьш е, н іж Ч а х л и к Н е в м и р у щ и й . С к іл ь к и м у х о м о р ів зібрав к о ж н и й з н и х , я к щ о разом вони зібрал и 75 м у х о м о рів? І У перш ом у б ід о н і м о л о ка на 7 л більш е, н іж у д р угом у. С к іл ь к и л іт р ів м о л о ка в к о ж н о м у б ід о н і, я кщ о в двох бідонах разом 53 л?

101

Високий рівень

т лап Т р и к у х а р к и разом з л іп и л и 233 в а р е н и ки з в и 460. ш н я м и . П р и ч о м у друга к у х а р к а зл іп и л а на 6 варе н и к ів більш е, н іж перш а, третя — на 11 в а р е н и ків б ільш е, н іж перш а. С к іл ь к и в а р е н и ків з л іп и л а к о ж на к у х а р к а ?

461. За три д н і було зібрано 1420 к г ка р то п л і. П р и ч о м у за д р уги й день зібрали вд віч і більш е, н іж за пер ш и й , а за третій — на 220 к г більш е, н іж за перш ий. С к іл ь к и кіл о гр а м ів ка р то п л і збирали ко ж н о го дня? 462. Б л о кн о т, зо ш и т і р у ч к а разом к о ш т у ю т ь 8 гр н . 25 к о п . Р у ч к а у т р и ч і д о рож ча за зо ш и т, а зо ш и т на 75 к о п . деш евш ий від б л окнота. С к іл ь к и к о ш т у ю т ь зо ш и т, б л о кн о т і р у ч к а окремо?

Вправи для повторення 463. СЭ Не о бчи слю ю чи, п о р ів н я й д о б у тки (< , > , =): 1) 152 - 7 і 152 8; 2) 471 11 і 473 - 11; 3) 212 32 і 211 ■30; 4) 329 • 12 і 12 329. 464. О С прости вираз і знайд и його значення: 1) 7х • 20у, я к щ о х = 5, у = 17; 2) 125а • 8 Ь • 7с, я к щ о а = 2, Ь = 3, с = 1. 465. О Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) 2у + Зу - 7 = 33;

2) 7х - х + 4 = 40.

Домаш ня самостійна робота № : 1. fcJ У че нь планував за к а н ік у л и р озв’я за ти 20 за дач. За п е р ш и й день в ін р озв’ язав а задач. С к іл ь к и задач за л иш ил о ся р озв’ я за ти учневі? А ) 20а; Б) а - 20; В) 20 - а; Г) 20 + а. 2 . Q Коренем я к о го з р ів н я н ь є число 8? A ) 2 0 - х = 11; Б) 7х = 56; B) х + 19 = ЗО; Г) 36 : х = 4.

102

§13 з . 0 Власна ш в и д к іс т ь катера дорівню є 20 к м /г о д , л ш в и д кіс ть т е ч ії дор івн ю є 2 к м /г о д . Я к а ш в и д кіс т ь катера за течією ? A ) 18 к м /го д ; B) 22 к м /го д ;

Б) 19 к м /го д ; Г) 24 к м /го д .

• 1 . 0 О бчисли зн а че нн я у за ф ормулою у = 5х - З, я кщ о х = 7. А ) 32;

Б) 38;

В) 35;

Г) 9.

Р озв’ я ж и р ів н я н н я 972 : х = 27.

ft.

А ) 945;

Б) 34;

В ) 2 6 244;

Г) 36.

(і. 0 В ід двох пристаней, відстань м іж яким и ІОН к м , одночасно в и й ш л и н а зустр іч один одному два катери. П е р ш и й катер пл ив з і ш в и д кіс т ю 12 к м /го д , и д р у ги й — 15 к м /г о д . Через с к іл ь к и год ин ка те р и зустр ін уться? А ) 3 год;

Б) 4 год;

В ) 5 год;

Г) 6 год.

7. 0 Н а склад завезли а я щ и к ів з ц у к е р к а м и ,у ко ж н о м у з я к и х по 12 к г , та 6 я щ и к ів зпечивом , я к о ж н о м у з я к и х по 10 к г . В ідом о, щ о а > 6. На с к іл ь к и більш е к іл о гр а м ів ц у к е р о к завезли на скл ад , н іж печива. З а п и ш іт ь розв’ я з о к у в и гл я д і б уквен о го миразу. A ) (12а) : (106); B) 12а - 106; Н. 0

Б ) (12 + а) - (10 + 6); Г) 12а + 106.

Р озв’я ж іт ь р ів н я н н я ( * - 2735) + 5137 = 9307.

А ) 6 9 05 ;

Б ) 1435;

В) 17179;

Г) 11709.

9. 0 М айстер виготовляє 51 деталь за 3 го д и н и , а учень 48 деталей за 4 го д и н и . За с к іл ь к и го д ин вони яднох ви го то вл я ть 145 деталей? А ) 7 год;

Б) 4 год;

В) 6 год;

Г) 5 год.

10, С ! Я ке число треба п ід с та в и ти за м ість а, щоб к о ренем р ів н я н н я 1 0 * + а = 375 було число 25? А ) 35;

Б ) 125;

В) 75;

Г ) 40.

103

11. і ,: П р о д у к т и в н іс т ь двох верстатів з п р о гр а м н и м у п р а в л ін н я м однакова. Один з н и х працю вав 7 г о д и н , а ін ш и й — 3 го д и н и . П е р ш и й верстат виробив на 140 деталей більш е, н іж д р у ги й . Я к а п р о д у к т и в н іс т ь к о ж н о го верстата? A ) 34 деталі за го д и н у ; Б ) 37 детдлей за го д и н у ; B) 14 деталей за го д и н у ; Г) 35 деталей за го д и н у.

12. У трьох к о ш и к а х разом 53 а б р икоси. У д р у го м у к о ш и к у а б р и ко сів у д в іч і більш е, н іж у пе рш о м у, а в третьом у к о ш и к у а б р и ко с ів на 5 б іл ьш е, н іж у перш ом у. С к іл ь к и а б р и ко сів у третьом у к о ш и к у ? А ) 17;

Б ) 24;

В) 12;

Г) 36.

Завдання для перевірки знань № 3 (§ 10—§ 13) 1. ,.j П е рш о го д н я м а газин продав 20 к г я б л у к , а д р угого дня — на а к г більш е. С к іл ь к и к іл о гр а м ів я б л у к продав м а газин д р уго го дня? 2. , , Я ке із чисел 3, 7, 9 є коренем р ів н я н н я (12 - х) + 14 = 17? 3 . 0 Л а зе р ни й п р и н те р н а д р укув а в 56 с то р ін о к за 8 х в и л и н . С к іл ь к и с т о р ін о к за х в и л и н у д р у к у є п р и н тер? 4 . © Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : 1) х ■ 140 = 3920;

2) * : 207 = 253.

5 . 0 П р и я к о м у зн а ч е н н і а буде правил ьн о ю р ів н ість 5а + 4а = 81? 6. 0 Т о вар ний поїзд, щ о р уха ється з і ш в и д к іс т ю 50 к м /г о д , долає д е я ку від стань за 11 год. За с к іл ь к и го д и н в ін подолає ц ю від стань, я к щ о зб іл ь ш и ть ш в и д к іс т ь на 5 к м /го д ? 7. 0

Р о зв’ я ж и р ів н я н н я (2975 + х) - 4598 = 7459.

8. 0 Сума двох чисел д о р івн ю є 740. З найди ц і ч и с ла, я к щ о одне з н и х у т р и ч і більш е за ін ш е .

104

§' W 1). У ч е нь придбав 6 н а кл е й о к по а к о п . за н а кл е й к у і ще 89 к о п . у нього за л иш ил о ся . С кл ад и буквеIIи й вираз для обчислення к іл ь к о с т і грош ей X, я к і (»ули в у ч н я , та обчисли значення х, я к щ о а = 95. 10. V Додаткове завдання. Спрости вираз (4979 ~ t) + і 5921 та знайди його значення, я кщ о t = 3597. 11. Д о д а тко ве завдання. О восьм ій го д и н і р а н к у і п у н к т у А з і ш в и д к іс т ю 75 к м /г о д ви їха в п а са ж и р г і.к и й поїзд. Одночасно з н и м з п у н к т у В, я к и й зн а ходиться на в ід с та н і 100 к м від п у н к т у А , в и їха в у том у самому н а п р я м і то ва р н ий поїзд, ш в и д к іс т ь я к о го 50 к м /г о д . О к о т р ій го д и н і з п у н к т у А має в и їх а ти ш в и д ки й поїзд , ш в и д к іс т ь я к о го 100 к м /г о д , щоб наздогнати то ва р н ий п о т я г одночасно з п а са ж и р ГІ.К.ИМ?

Комбінаторні задачі К о м б ін а то р и ка — розділ м а те м а ти ки , я к и й винчає к о м б ін а ц ії і перестановки предм етів, р о зм іщ е н их елем ентів, щ о м аю ть п е вн і властивості тощ о. Р оз глянемо задачу. Задача І . Н а п о ш т і в п р о д а ж у є 5 р із н и х ко н в е р ті и і 3 р із н і м а р к и . С к іл ь к о м а способами м о ж н а к у пити ко нв е р т з м аркою ?

К М Рис. 5

Розв’язання. 1-й спосіб. Н ам алю єм о дерево мож ливих варіантів (рис. 5). П о зн ач и м о ко н в е р т б у к ною К , м а р к у — б у кв о ю М . М алю єм о від стовбура ft г іл о к (о с к іл ь к и є 5 в и д ів ко н в е р тів ). О с к іл ь к и має мо 3 м а р ки , то від к о ж н о ї з п ’ я ти о тр и м а н и х то ч о к

105

малю ємо по 3 г іл к и . Р ахуєм о к іл ь к іс т ь о тр и м а н и х в н и зу то ч о к — 15 і о трим уєм о від по в ід ь до задачі. Дерево м о ж л и в и х в а р іа н тів дає зм о гу ро зв’ я зува ти р із н о м а н іт н і задачі, п о в ’ я з а н і з обчисленням к іл ь к о с т і способів. 2-й спосіб. Оберемо ко н в е р т. У к о м п л е к т до ньо го м о ж н а вибрати б у д ь -я ку з тр ьо х м а р о к. Т о м у є З к о м п л е к т и , щ о м іс тя ть обраний ко н в е р т. О с к іл ь к и ко н в е р тів усього 5, то к іл ь к іс т ь р із н и х способів ста но ви ть 15 (5 • 3 = 15). Д ій ш л и до ва ж л и в о го правила к о м б ін а т о р и к и — п р а в и л а до б утку:

якщо елемент А можна обрати т способами, а після кожного такого вибору інший елемент В можна обрати (незалежно від вибору елемента А) п способами, то пару елементів А і В мож на обрати т п способами.

П равило д о б у т ку м о ж н а ви ко р и с то в у в а ти , я к щ о треба обрати більш е 2 елементів. Задача 2. Н а п о ш т і в п р о д а ж у є 5 р із н и х к о н вертів, 3 р із н і м а р ки і 4 р із н и х в іт а л ь н і л и с т ів к и . С к іл ь к о м а способами м о ж н а к у п и т и к о м п л е к т , що м іс ти ть ко н в е р т, м а р к у та л и с т ів ку ? Розв’язання. 5 • 3 ■4 = 60 способів. Р озглянем о далі задачу, у я к ій треба п о л іч и т и к іл ь к іс т ь способів, я к и м и м о ж н а р о зм іс ти ти в ряд певну к іл ь к іс т ь предм етів. Задача 3. Д и т и н а грається трьома ігр а ш к а м и : ма ш и н о ю , тр а кто р о м , кораблем . С кіл ь к о м а способами їх м о ж н а в и кл а с ти в ряд? Розв’язання. Н а перш е м ісце м ож ем о поставити одну з трьох ігр а ш о к : м а ш и н у , тр а кто р або корабель. П іс л я цього на друге м ісце м о ж н а поставити одну з двох н а с ту п н и х ігр а ш о к . П іс л я цього на третє місце ставимо одну іг р а ш к у , я к а залиш илася п іс л я вибо ру п е р ш и х двох. В и ко р и сто в ую ч и правило д о б утку, знайдемо, щ о іг р а ш к и м о ж н а р о зм істи ти ш істьм а р із н и м и способами ( 3 - 2 - 1 ) . П еревірим о розв’ я з о к зада ч і за допомогою дерева м о ж л и в и х ва р іан тів (рис. 6).

106

Рис. 6 О бчислили к іл ь к іс т ь способів, я к и м и м о ж н а роз м істи ти в ряд к іл ь к а предм етів. Т а к і р о зм іщ е н н я на липають перестановками, вони в ід ігр а ю т ь в е л и ку роль у к о м б ін а т о р и ц і. П означаю ть перестановки б у кв о ю Р. У задачі З к іл ь к іс т ь перестановок з тр ьо х елем ентів дор івн ю є = 1 - 2 - 3 ; а н а л о гіч н о к іл ь к іс т ь перестановок з диох елем ентів Р 2 = 1 • 2; із чо ти р ьо х елем ентів Р 4 = І 2 • 3 • 4 = 24; з п ’ я ти Р , = 1 • 2 • 3 • 4 5 = 120 і Т. д. Розглянемо ще к іл ь к а ко м б ін а то р н и х задач. Задача 4. З д а н и х чисел вибрати т а к і, я к і п р и перестановці циф р у тв о р ю ю ть числа, у я к и х число одиниць на 3 більш е за число д е с я тків : 42, 36, 74, 14, 85, 92, 47. Розв’язання. П ереставляю чи циф ри, маємо числа 24, 63, 47, 41, 58, 29, 74. У м о в у задовольняю ть ч и с ла 74 та 85. Ллдачл 5. В алф авіті пл ем ені Б А Б А є т іл ь к и дві літери «а» і «б». З а п и ш и всі слова цього пл ем е н і, що м істя ть : 1) д в і л іте р и ; 2) тр и л іте р и . Розв’язання. 1) аа, ба, аб, бб (усього ч о ти р и сло на); 2) ааа, ааб, аба, абб, ббб, бба, баб, баа (усього місім сл ів). З а ув а ж и м о , щ о знайдена к іл ь к іс т ь сл ів узго д ж ується з правилом д о б у тку . О с к іл ь к и на к о ж не місце є два «претенденти» — «а» і «б», то сл ів, що м істя ть д в і л іт е р и , має бути 2 • 2 = 4, а тр и л іт е ри — 2 • 2 • 2 = 8.

107

Р озглянем о д в і задачі на зн а х о д ж е н н я к о н ф ігу р а ц ії елем ентів, щ о м аю ть п е в н і властивості. Задача в. У к л іт и н к и квадрата (рис. 7) треба п о стави ти числа 1, 2, 3 та 4 т а к , щоб числа не по вто рю валися н і в р я д к а х , н і в с т о в п ч и ка х , н і по д іа го н а л ях ( л ін ія х , щ о ведуть з л ів о го н и ж н ь о го к у т а в пр ав и й в е р х н ій та з правого н и ж н ь о го к у т а в л ів и й в е р х н ій ).

Рис. 7

Рис. 8

Розв’язання. Один з в а р іа н т ів розв’ я за н н я подано на р и с у н к у 8. Задача 7. С к іл ь к о м а способами м о ж н а р о зд іл и ти 5 ц у к е р о к м іж трьома д іт ь м и т а к , щоб к о ж н а д и т и на отрим ала хоча б по о д н ій ц у к е р ц і? Розв’язання. Подамо р озв’я з о к у в и гл я д і та б л и ц і. О тж е , всього є 6 способів. Спосіб 1 2 3 4 5 6

1-ша дитина 3 1 1 2 2 1

2-га дитина 1 3 1 2 1 2

3-тя дитина 1 1 3 1 2 2

Щ о вивчає комбінаторика? э У чому полягає пра вило добутку? * Щ о називають перестановками? » Я к обчислити кіл ь кіс ть перестановок з двох, трьох, чотирьох, п ’яти предметів? » Поясни, я к розв’язуються задачі 4— 7.

108

Середній рівень

ННІ

□о о □ □о □□о о □о Рис. 9

[00

•Івв. Я к і д в і ф ігу р и (рис. 9) треба переставити м іс ц я ми, щоб в е р х н ій р я д о к був т а к и м , я к н и ж н ій ?

15 13

5 2

Рис. 10

14 Рис. 11

•1<>7. У п и ш и в п о р о ж н і к л іт и н к и (рис. 10) т а к і ч и с ли, щоб квадрат став « м а гіч н и м » , тобто щоб сум и чисел у к о ж н о м у р я д к у , с то в п ц і та по к о ж н ій д іа го іш л і були о д н а ко в і (с п о ч а тку знайд и ц ю сум у). И>Н З аповни п о р о ж н і к л іт и н к и (рис. 11) т а к , щоб квадрат став « м а гіч н и м » , попередньо зн а й ш о в ш и сум у чисел по д іа го н а л і. 41Ш. К остю м складається з б л у зки та с п ід н и ц і. С к іл ь ки р із н и х ко с тю м ів м о ж н а скл а сти з 5 видів б л узо к і •І нидів спід ниць? •170. У та н ц ю в а л ьн о м у к л у б і займ аю ться 7 ю н а к ів і 0 д івчат. С кіл ь к о м а способами м о ж н а вибрати одну мару для у ч а с ті в к о н к у р с і? 171 У м а га з и н і є 7 в и д ів р у ч о к і 5 в и д ів зо ш и тів . С кіл ь к о м а способами м о ж н а д ібрати к о м п л е к т з од ні сї р у ч к и й одного зош ита? •172. С кіл ь ко м а способами м ож на дібрати пару з однієї голосної і о д нієї приголосної б у кв и у слові «стежка»? <173. З м іста А до м іста В ведуть 3 дороги, а з м іста В до міста С — 2 дороги (рис. 12). С кіл ь к о м а способами пош тар П є ч к ін м ож е п р о й ти з м іста А в м істо С?

109

474. К о ж н у к л іт и н к у ква д р а тн о ї та б л и ц і 2x2 (рис. 13) м о ж н а поф арбувати в зелений ч и червоний к о л ір . С к іл ь к и є р із н и х в а р іа н т ів розф арбувань ц іє ї та бл и ці? 475. С кіл ь к о м а способами м о ж н а в и кл а с ти червону, б іл у, ч о р н у та зелену к у л ь к и ?

в ряд

476. З б у к в р о зр ізн о ї абетки складено слово «учень». С к іл ь к и р із н и х послідовностей б у кв м о ж н а о тр и м а ти , переставляю чи б у к в и цього слова? 477. С к іл ь к о м а способами м о ж н а в и ш и к у в а т и в ряд чо тир ьо х у ч н ів ? 478. С к іл ь к и іс н у є двоциф рових чисел, у я к и х десят к ів не більш е за 4, а о д и н и ц ь не менш е від 8? 479. С к іл ь к и іс н у є двоциф рових чисел, у я к и х число д е ся тків не менше від 7, а число одиниць не більш е за 2? 480. С к іл ь к и р із н и х тр и ц и ф р о в и х чисел м о ж н а на п и са ти циф рами: 1) 2, 5 і 5; 2) 0, 1 і 8? 481. С к іл ь к и р із н и х ч о ти р и ц и ф р о в и х чисел м о ж н а на пи са ти циф рам и 0, 2, 2, 5? 482. З а п и ш и найбіл ьш е й найм енш е п ’ятициф рове число, у я к и х сума циф р д о р івн ю є 9. 183. З а п и ш и н а йб іл ьш е і найм енш е чо ти р и ц и ф р о в і числа, у я к и х сума циф р д о р івн ю є 8. 484. У м а га з и н і є к н и ж к и , я к і к о ш т у ю т ь 1 гр н ., 2 гр н ., 5 гр н ., 7 гр н . і 8 гр н . У ч е н ь має 10 гр н . Я к і: 1) д в і к н и ж к и ; 2) тр и к н и ж к и в ін м о ж е к у п и т и , в и тр а ти в ш и всі гр о ш і? Н азви всі ва р іа н ти . 485 Н а в у л и ц і гралося 12 д іте й , п р и ч о м у х л о п ц ів було м енш е, н іж д ів ч а т. С к іл ь к и надворі гралося х л о п ц ів і с к іл ь к и дівчат? Н азви всі в а р іа н ти .

§14 <63

Достатній рівень

IMG. М онету п ід к и д а ю т ь т р и ч і. С к іл ь к и р із н и х послідовностей ви пад а н ня циф ри та герба п р и ц ьо м у м о ж нії отрим ати?

Розв’язання. П е р ш и й раз м о ж е ви пасти цифра ибо герб (2 в а р іа н ти ), д р у ги й раз — т а к о ж 2 в а р іа н ти , тр е тій раз - 2 ва р іа н ти . О тж е , всього по слід ов ностей буде 2 • 2 • 2 = 23 = 8. 187. Гральний к у б и к п ід ки д а ю ть тр и ч і. С к іл ь к и р із них послідовностей чисел м о ж н а при цьому отримати? •188. С к іл ь к и р із н и х тр и ц и ф р о в и х чисел м о ж н а скл а сти , в и ко р и с то в у ю ч и циф ри 1 і 2, я к щ о циф ри м о ж уть повторю ватися? ІН9. С к іл ь к и м о ж н а с кл а с ти р із н и х ч о ти р и ц и ф р о в и х чисел, у за пи су я к и х є т іл ь к и н е п а р н і циф ри (циф ри м о ж уть повторю ватися)?

490. С к іл ь к и р із н и х двоциф рових чисел м о ж н а скл а сти , в и ко р и с то в у ю ч и циф ри 1, 2, 3, 4, 5, я к щ о циф ри: 1) по вторю ю ться; 2) не повторю ю ться? 491. У ф утбольній к о м а н д і з 11 гр а в ц ів треба вибра ти к а п іт а н а і його з а с ту п н и ка . С кіл ь к о м а способами це м о ж на зробити? Розв’язання. К а п іт а н о м м ож е б ути б у д ь -я к и й з 11 гр а вц ів . П іс л я вибору к а п іт а н а на роль його за с т у п н и к а м о ж у т ь претендувати 10 гр а в ц ів , щ о за л и ш и л и с я . Т а к и м ч и н о м (за правилом д о б у тку ), є I I • 10 = 110 р із н и х в а р іа н тів . 492. С кіл ь ко м а способами м ож на вибрати старосту та його заступника в кл а с і, у я ко м у навчаються 28 учнів?

493. С кіл ь к о м а способами м о ж н а п о ш и т и дво ко л ьо ровий прапор з і с м у ж к а м и о дна ково ї ш и р и н и , я к щ о с матеріал восьми р із н и х ко льо р ів?

111

494. 3 б у кв слова «сокіл» беруть д е я к і тр и і в и к л а даю ть у ряд. С к іл ь к и р із н и х послідовностей б у кв пр и ц ьо м у м о ж н а отрим ати? 495. У м іш к у леж ало 6 пар ч о р н и х і 6 пар б іл и х р у к а в и ч о к (у с і вони п е р е п л ута н і). Я к у н а й м е н ш у к іл ь к іс т ь р у к а в и ч о к необхідно взя ти з м іш к а , не за гл я д а ю чи в нього, щоб с ко м п л е кт у в а т и хоча б одну па ру о д н а ко в и х р у ка в и ч о к? 496. У я щ и к у л е ж а ть к у л ь к и тр ьо х ко л ь о р ів : б іл і, ч о р н і та зелені. Я к у н а й м е н ш у к іл ь к іс т ь к у л ь о к , не за гл яд а ю чи в я щ и к , треба в зя ти , щоб серед н и х обов’ я зко в о було хоча б 4 к у л ь к и одного кольору? 497. С по л учи л ін ія м и два ч и тр и числа (рис. 14), я к і в с у м і становлять 100. 43

58 42

Рис. 14 498. Я к і два п р я м о к у т н и к и (рис. 15) треба п о м ін я т и м іс ц я м и , щоб сума чисел в обох с т о в п ч и ка х зрівнялася? З найди всі в а р іа н ти . 499. З а п и ш и всі ч о ти р и ц и ф р о в і числа, до за п и су я к и х вход ять л иш е циф ри: 1) 0 і 1; 2) 1 і 2.

| 1 [

| 8

г п

| g |

| б |

Рис- 15

500. З а п и ш и всі тр и ц и ф р о в і числа, до за п и су я к и х вхо д ять л иш е циф ри: 1) 0 і 8; 2) 2 і 9. 501. С к іл ь к и іс н у є двоциф рових чисел, у я к и х перша цифра менш а від другої? 502. У к о ж н ій з 9 к л іт и н о к квадрата постав одне із ч и сел 4, 5, 6 та к, щоб у к о ж н о м у вертикальному та го р и зонтальному ряду числа не повторювались і щоб сума чисел, я к і стоять на к о ж н ій діагоналі, дорівнювала 15.

112

<0.4. П остав у ви р а зі 10 + 5 - 7 - 3 одну пару д у ж о к усіма м о ж л и в и м и способами і знайд и значення к о ж ного виразу.

Високий рівень

504. С к іл ь к о м а способами м о ж н а за п о вн и ти одну к а р т к у в лотереї «С портпрогноз»? (У ц ій лотереї тре ба передбачити п ід с у м о к одинадцяти спортивних м а т чів: перем огу о д н іє ї з ко м а н д або н іч и ю ; р а х у н о к ролі не в ід ігр а є .) 505. С к іл ь к и р із н и х трициф рових чисел м ож на склас ти, в и ко р и сто в ую ч и циф ри 0, 1, 2, 3, 4, я к щ о циф ри не повторю ю ться? .>06. С к іл ь к и іс н у є тр и ц и ф р о в и х чисел, у с і циф ри я к и х п а р н і й не повторю ю ться? 507. С к іл ь к и є р із н и х в а р іа н т ів скл а д а н н я ш иф ру, що м іс ти ть ч о ти р и циф ри, я к щ о циф ри: 1) п о вто р ю ються; 2) не повторю ю ться? 508. Р озкл ад на день м іс ти т ь 5 у р о к ів . В изн ач к іл ь к іс т ь м о ж л и в и х р о зкл а д ів на один день, я к щ о в к л а сі вивчається 9 предм етів і предмети в р о зкл а д і не по нто р ю ю ться. 509. У к р а їн і Д и в 10 м іс т, к о ж н і два з я к и х сполуче но а в іа л ін ією . С к іл ь к и а в іа л ін ій у ц ій кр а їн і? Розв’язання. К о ж н а а в іа л ін ія сполучає два м іс ти. У р олі перш ого м іста м о ж е в и с ту п а ти буд ь-яке з 10 м іст, а в р о л і д р у го го — б уд ь-яке з 9 м іс т, щ о за л и ш и л и с я . П е р е м н о ж у ю ч и , маємо 10 • 9 = 90. О днак при цьом у к о ж н у з л ін ій враховано д в іч і. Т о м у всьо го а в іа л ін ій 90 : 2 = 45. 510. П ід час з у с т р іч і 8 ч о л о в ік ів о б м ін я л и ся р у к о с ти с ка н н я м и . С к іл ь к и р у к о с т и с к а н ь було здійснено? >11. У т у р н ір і « К у б о к В а с ю ків » грає 12 ш а х іс т ів , к о ж н и й з я к и х п р о в ів п а р т ію з к о ж н и м із с у п е р н и к ів . С к іл ь к и було зігр а н о п а р т ій у ц ьом у т у р н ір і? 512. С кіл ь к о м а способами м о ж н а д ібрати 2 о л ів ц і й І р у ч к у з 5 р із н и х о л ів ц ів і 6 р із н и х р уч о к? МОГ, Ігтгр"Математика", 5кл.

113

rcgoLw t- *

Розв’язання. П е р ш и й олівець м о ж н а обрати 5 спо собами, а д р у ги й - 4 способами, бо один вж е обра н и й . А ле о с к іл ь к и п о р я д о к вибору не має значення, то 2 о л ів ц і з 5 м о ж н а обрати (5 • 4 ) : 2 = 10 р із н и м и способами. О дну р у ч к у з 6 м о ж н а обрати 6 способа м и . В и ко р и сто в у ю ч и правило д о б утку, всього маємо 10 • 6 = 60 способів. С кіл ь к о м а способами м о ж н а д ібрати 2 м а р к и і 2 ко н в е р ти з 9 р із н и х м а р о к і 7 р із н и х ко нв е ртів ? 514. Т р и п о д р у ж к и разом к у п и л и 13 з о ш и т ів . Д в і 3 н и х к у п и л и з о ш и тів п о р ів н у (але більш е одного). С к іл ь к и зо ш и тів к у п и л а к о ж н а з п о д р у ж о к? Р оз гл я н ь у с і ва р іан ти . 515. С к іл ь к и є р із н и х ч о ти р и ц и ф р о в и х чисел, сума циф р к о ж н о го з я к и х д о р івн ю є З? >Н) С к іл ь к и іс н у є р із н и х сем ициф рових чисел, сума циф р к о ж н о го з я к и х дор івн ю є 2? 517. А л ф а віт пл ем е н і П О ТО П м іс ти ть л иш е тр и л іт е ри : «П », «О» і «Т». З а п и ш и всі слова цього пл ем ені, щ о м іс тя ть : 1) д в і л іте р и ; 2) тр и л іте р и .

Вправи для повторення Я Н Н Н Н Н Н Н Н ІІН

518. 1 2 О бчисли зр у ч н и м способом: 1) 211 + 173 + 789; 3)50 17-2;

2) 517 + 321 + 179 + 283; 4)25- 1 1 -4-7 .

519. 1 3 З найди н е від о м і за р и с у н к а м и (п р о д у к т и в н іс ть п р а ц і обох р о б іт н и к ів однакова): 1) 405 деталей г І

4 дн.

5 дн.

? деталей

3) 288 деталей

’ II

238

7 дн.

8дн.

? ? дн.

120 II 5 дн.

520. & М а ю чи 12 гр н ., учень к у п и в 3 о л ів ц і по 87 к о п . та 2 р у ч к и . С к іл ь к и к о ш т у є одна р у ч к а , я к щ о учень отрим ав 2 гр н . 19 к о п . здачі?

114

§1Г 521.

З найди невідоме слово за зр а зко м :

І 620 822 : 7 =

І ) 1 525 896 : 6 = Н 2) 1 228 476 : 23 = л

Приклади та задачі на всі дії з натуральними числами О бчислю ю чи значення ч и сл о в и х ви р а зів , слід не набувати про п о р я д о к д ій . П о ря д ок в и к о н а н н я д ій визначається т а к и м и праиилами:

# 1. У виразах із дужками спочатку обчислю'SJ ються значення виразів у дужках. 2. У виразах без дужок спочатку виконуються піднесення до степеня, потім по порядку зліва направо множення і ділення, а потім додаван ня і віднімання. Приклад І О бчисли: 8

(27 + 13) - 144 : 2.

Розв’язання. 1) 27 + 13 = 40; 2) 8 40 = 320; 3) 144 : 2 = 72; 4) 320 - 72 = 248. К р и г ' ї ї 2. Знайди значення виразу (х2- у : 1 3 )-1 4 5 , я кщ о х = 12, у = 91. Розв’язання. Я кщ о х = 12, у = 91, то (х2 - у : 13) • 145 = ( 122 - 9 1 :1 3 ) - 1 4 5 = (144 - 7 )-1 4 5 = 1 3 7 -1 4 5 = 19 865. н*

115

Там , де це д о ц іл ьно , м о ж н а в и ко р и сто вув а ти влас ти в о сті д ій . Н а п р и кл а д , значення виразу 438 • 39 - 338 • 39 м о ж н а о бчи сли ти т а к : 438 • 39 - 338 • 39 = (438 - 338) • 39 = 100 • 39 = 3900. ється порядок дій при

|^ | 522. 1) 3) 5)

Початковий рівень О бчисли (усно): 42 + 38 - 7; 27 - 30 : 5; 8 (23 - 19);

№ШШ 2) 24 10 : 2; 4) 42 : 6 + 35 : 7; 6) (12 + 18) : (12 - 7).

Середній рівень

523. О бчисли: 1) 2) 3) 4)

426 • 205 - 57 816 : 72; (362 195 + 86 309) : 56; 2001 : 69 + 58 884 : 84; 42 275 : (7005 - 6910).

524 О бчисли: 1) 2) 3) 4)

535 • 207 - 32 832 : 76; 1088 : 68 + 57 442 : 77; (158 992 + 38 894) : 39; 249 747 : (4905 - 1896).

525. За 5 год те п л о х ід п р ой ш о в 175 к м , а п о т я г за З год — 315 к м . У с к іл ь к и р а зів ш в и д к іс т ь поїзда б іл ь ш а за ш в и д к іс т ь теплохода? 526. За 5 год то ва р н ий п о т я г пр оїха в 280 к м , а ш в и д к и й п о т я г за 3 год п р о їха в 255 к м . Н а с к іл ь к и ш в и д к іс т ь ш в и д ко го п о тя га б іл ь ш а за ш в и д к іс т ь то варного? 527. З найди значення виразу: 1) 78 • х + 3 2 17 , я к щ о х = 52;

116

§1Г 2) а : 36 + а : 39, я к щ о а = 468; 3) х • 37 - у : 25, я к щ о х = 15, у = 2525. З найди значення виразу: 1) 17 392 + 15 300 : а, я к щ о а = 25, 36; 2) т • 155 — t - 113, я к щ о т = 17, t = 22. 529. 3a 5 р у ч о к і 3 за га л ь н и х зо ш и ти за пл атил и І(> гр н . 70 к о п . С к іл ь к и к о ш т у є зо ш и т, я к щ о р у ч к а ко ш ту є 2 гр н . 50 ко п .? > '•<> Т р и я щ и к и я б л у к і два я щ и к и бананів разом 144 к г . С к іл ь к и в а ж и ть я щ и к я б л у к , я к щ о и щ и к бананів в а ж и т ь 24 к г? ііііж н т ь

531. С та рш ий брат зібрав 12 к о ш и к ів виш ень, а м о лодш ий — 9 к о ш и к ів . У сьо го вони зібрали 105 к г мишень. С к іл ь к и к іл о гр а м ів ви ш е н ь зібрав к о ж н и й Прмт, я к щ о вага в с іх к о ш и к ів однакова? >Л ' Д о м а га зи н у завезли 27 п а ч о к зо ш и т ів у к л і т и н к у та 25 п а ч о к з о ш и т ів у л ін ій к у — всього 2600 ш т у к . С к іл ь к и всього привезл и з о ш и тів у к л і ти н ку і с к іл ь к и в л ін ій к у , я к щ о з о ш и тів у в с іх п а ч ка х однакова к іл ь к іс т ь ? 533. Один верстат з п р о гр а м н и м у п р а в л ін н я м вироб ляє. 12 деталей за х в и л и н у , а д р у ги й — на 3 дета лі більш е. За с к іл ь к и х в и л и н обидва верстати п р и їх одночасному в в ім к н е н н і ви го то вл я ть 945 деталей?

f !

Д остатній рівень

534. Зібрали 830 к г я б л у к . З н и х а к іл о гр а м ів віддлли в д и т я ч и й садок, а т і, щ о за л и ш и л и с я , р о зкл а ли п о р ів н у в 30 к о ш и к ів . С к іл ь к и к іл о гр а м ів було в к о ж н о м у к о ш и к у ? С кл а д и б у кв е н и й вираз та обчис ли його зна че нн я, я к щ о а = 110. 535. О бчисли зр у ч н и м способом: 1) 742 + 39 + 58; 3) 832 - 15 - 32; 5) 29 19 + 71 • 19;

2) 973 + 115 - 273; 4) 2 • 115 • 50; 6) 192 • 37 - 92 • 37.

117

536. Телемайстерня планувала від ре м он тува ти 180 телевізорів за 12 д н ів , але щ одня ремонтувала на 3 телевізори більш е, н іж планувала. За с к іл ь к и д н ів було ви ко н а н о завдання? С ергій планував прочитати к н и ж к у , у я к ій 189 с то р ін о к, за 9 д н ів . О днак щ одня в ін ч и та в на 6 с т о р ін о к більш е, н іж планував. За с к іл ь к и д н ів С ер гій прочитав к н и ж к у ? 538. З найди зна че нн я виразу: 1) 2) 3) 4)

(21 000 - 308 ■29) : 4 + 14 147 : 47; 548 • 307 - 8904 : (33 • 507 - 16 647); (562 + 1833 : 47) -5 6 - 46 305; 1789 • (1677 : 43 - 888 : 24) • 500.

539. З найди значення виразу: 1) 2) 3) 4)

(42 + 9095 : 85) • (7344 : 36 - 154); 637 • 408 - 54 036 : (44 ■209 - 9117); (830 - 17 466 : 8 2 ) • 65 + 57 • 804; 197 ■(588 : 49 + 728 : 56) ■40.

540. Д о трьох м а га зи н ів пр иве зл и 1506 к г о л ії. П іс ля того я к п е р ш и й м а газин продав 152 к г , д р у ги й — 183 к г , а тр е тій — 211 к г , в у с іх м а га зи н а х з а л и ш и лось о л ії п о р ів н у . С к іл ь к и к іл о гр а м ів о л ії п р иве зл и в к о ж н и й м агазин? 541. З м іс т А і В, від стань м іж я к и м и 110 к м , од ночасно н а зу с тр іч один одном у в и їх а л и два вело сипедисти. Ш в и д к іс т ь одного з н и х 15 к м /г о д , а ін ш о го — на 3 к м /г о д м енш а. Ч и зу с т р ін у ть с я вело сипедисти через 4 год? 542. С та р ш о кл а с н и ки Ів а н і Василь у л іт к у п р а ц ю вали на ф ермі. Ів а н працю вав по 4 год щ одня п р о т я го м 16 д н ів , а В асиль — по 3 год щ одня п р о т я гом 18 д н ів . Разом х л о п ц і заробили 944 гр н . Постав с л у ш н і за п и та н н я і дай в ід п о в ід і на н и х . Двоє р о б іт н и к ів , один з я к и х працю вав 12 д н ів по 8 год щ одня, а ін ш и й — 8 д н ів по 7 год щ одня,

118

§11 пи готовили разом 1368 деталей. З найди п р о д у к т и в ність пращі р о б іт н и к ів , я к щ о вона в н и х однакова, ( 'к іл ь к и деталей ви го то ви в к о ж н и й р о б ітн и к? 514. С клад и і р о зв’я ж и задачу на всі ч о ти р и д ії з на туральним и числ а м и .

Високий рівень

МГ>. П ідбери к о р е н і до р ів н я н ь : 1) х - х = х ■х; і

2) т : т = т ■т.

П ідбери ко р е н і до р ів н я н ь : 1) х : 8 = х • 4;

2) у : 9 = у : 11.

ІѴІ7. На я ке число треба п о м н о ж и т и 259 259, щоб д і стати до б уто к, я к и й за писується т іл ь к и циф рам и 7? М Н . На я к е число треба п о м н о ж и т и 37 037, щоб д іс тати д о б уто к, я к и й за писується т іл ь к и циф рам и З?

Вправи для повторення

П49. 13 Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 4х - 2х + 7 = 19;

2) 8 х + Зх - 5 = 39.

f>50.1 ? Щ о б д іста ти ся до м іста , се л ян и н проїхав it год на автобусі, ш в и д к іс т ь я к о го а к м /г о д , і 2 год Hit н а н та ж н ій м а ш и н і, ш в и д к іс т ь я к о ї Ь к м /г о д . Зво ротний ш л я х в ін подолав за 4 год на м о т о ц и кл і. Ним йди ш в и д к іс т ь м о то ц и кл а . С кл ад и б у кв е н и й в и раз та обчисли його зн а ч е нн я , я к щ о а = 40, b = 32.

J* ШШо Відрізок та його довжина Я кщ о добре загостреним ол івц ем д о то р кн у ти с я до а р куш а паперу або кр ей д о ю д о то р кн у ти с я до д о ш к и , m за л и ш и ть ся сл ід , я к и й дає уя в л е н н я про точку. П означ у з о ш и т і д в і т о ч к и А і В. П р и к л а ди до н и х л ін ій к у і сп о л уч и (п ід л ін ій к у ) ц і т о ч к и

119

rO^O%*As

(рис. 16). О трим аєш відрізок. Т о ч к и А і В — кінці цього в ід р із к а . К ін ц і в ід р із к а позначаю ть двома ве л и к и м и л а ти н с ь к и м и б у кв а м и , назива ю чи його. Н а р и с у н к у 16 зображено в ід р із о к АВ, або ВА.

Б у д ь -я кі д в і т о ч к и м о ж н а с п о л у ч и ти л иш е од н и м в ід р із к о м . Д л я в и м ір ю в а н н я довжини в ід р із к а (або, я к к а ж у т ь ко р о тш е , для в и м ір ю в а н н я в ід р із к а ) його п о р ів н ю ю ть з обраною одиницею довжини. З п о ч а т ко вої ш к о л и відом о т а к і о д и н и ц і д о в ж и н и : 1 м м , 1 см, 1 дм , 1 м, 1 к м . Н агадаємо, щ о 1 см = 10 м м , 1 дм = = 10 см, 1 м = 10 дм = 100 см, 1 к м = 1000 м. В и м ір ю ю т ь в ід р із о к за д о по м о го ю л ін ій к и з п о д іл к а м и (р ис. 17) або р у л е т к и (р ис. 18). Щ о б в и м ір я т и в ід р із о к за д о пом огою л ін ій к и з п о д іл к а м и (р ис. 19), треба один к ін е ц ь в ід р із к а (л ів и й ) с у м іс т и т и з п о д іл к о ю , я к а позначена числ о м 0. Т о д і ч и с ло, щ о сто їть б іл я д р у го го к ін ц я , п о к а ж е д о в ж и н у цьо го в ід р із к а . Н а р и с у н к у 19 д о в ж и н а в ід р із к а M N д о р ів н ю є 4 см. Д о в ж и н у в ід р із к а п о зн а ч а ю ть т а к само, я к і сам в ід р із о к , за п и с у ю ч и M N = 4 см. Н а р и с у н к у 20 зображ ено в ід р із о к KL, д о в ж и н а я к о г о 4 см 3 м м . З а п и с у ю ть : KL = 4 см 3 м м , або KL = 43 м м .

Рис. 17

120

Рис. 18

$ 7* М •

- -- -

.■ +

;іШ !ІІІІ[ІІІІ!!!ІІ|ІШ |ІІ!І|ІІІ1 ІІІІІ|ІІ1 І|ІІ!І|ІІ

Рис. 19

• |!ІІІ|:іПІ 0 1

L •

П і і[ < І І І | ! ! І і | Ш І | І І І І | І І І І | ! м І

Рис. 20

Два відрізки називаються рівними між собою, якщо їх довжини однакові.

Я кщ о , н а п р и кл а д , А В = 4 см і M N = 4 см, то в ід рій ки АВ і M N р ів н і: АВ = MN. I In р и с у н к у 19 і р и с у н к у 20 д о в ж и н а в ід р із к а KL Оілыпа за д о в ж и н у в ід р із к а M N (к а ж у т ь , щ о KL дов ш ий за MN, або M N ко р о тш и й від KL). З аписую ть т іік : KL > M N (або M N < KL). Па р и с у н к у 21 то ч ка Р нар Аїжить в ід р із к у АВ. Ц я точ- ^ ^ ка розбиває в ід р із о к АВ на дни п ід р із к и : АР і РВ. Д о в ж и Рис* іш п ід р із ка АВ дор івн ю є с у м і д«ж ж и н в ід р із к ів АР і РВ. Це за п и сую ть т а к : АВ = ЛР + РВ. З в ід к и : А Р = АВ - РВ і РВ = АВ - АР. І Іагадаємо, я к будуються в ід р із к и заданої до в ж и ни . Н ехай, н а п р и кл а д , треба побудувати в ід р із о к , доиж ина я к о го 5 см. Д л я цього: 1) відмічаєм о у зо ш и ті яку-неб удь т о ч к у і позначаі м і ) її, н а п р и кл а д б у кв о ю Т ; 2) приклад аєм о л ін ій к у т а к , щоб її н ул ь зб ігався к т о ч ко ю Т; 3) відмічаєм о то ч к у , я к а збігається з п о д іл ко ю 5 см ни л ін ій ц і, та позначаємо ц ю т о ч к у , на пр и кл а д F; 4) будуємо в ід р із о к TF, в ін і буде ш у к а н и м , tic к іл ь к и його д о в ж и н а д о р івн ю є 5 см. Записуєм о TF = 5 см.

Я к позначити відрізок, що сполучає точки М і N1 j Назвіть к ін ц і цього відрізка. * С кількома відріз ками можна сполучити точки М і N1 * Я к і оди н и ц і довжини ви знаєте? • С кіл ь ки сантиметрів у дециметрі? у метрі? э С кіл ь ки метрів у кілометрі? 121

* Про я к і від р ізки ка ж уть, що вони р ів н і м іж со бою? » Я к порівняти два відрізки? » На я к і відріз к и точка Р розбиває відрізок АВ (рис. 21)?

Початковий рівень 551. Серед предм етів, я к і тебе о то ч ую ть, назви т і, щ о даю ть уявл е н н я про т о ч к у ; про в ід р із о к . 552. В ід м іт ь у з о ш и т і ч о ти р и т о ч к и та познач їх . В ід м іт ь у з о ш и т і тр и т о ч к и , познач їх та п о п а р но сп о л уч и в ід р із к а м и , назви в ід р із к и . 554. Н а кр е сл и в ід р із о к ТМ і познач на ньом у то ч к у А. В и м ір я й в ід р із к и ТМ, ТА і AM. Ч и в и к о н у є т ь ся р ів н іс т ь ТМ = ТА + AM? 55 В и м ір я й д о в ж и н и в ід р із к ів PQ та FL на р исун к у 22.

L З

______

Рис. 22 556. П о будуй в ід р із к и АВ, CD і EF т а к , щоб АВ = = 6 см, CD = 5 см 2 м м і EF = 4 см 8 мм. 557. П обудуй в ід р із к и M N і KL т а к , щоб M N = = 5 см 8 мм і KL = 7 см 2 мм.

Середній рівень

ШШШШШШШМШШШШвШЖ

558. 1) З а п и ш и всі в ід р із к и , я к і зображено на р и с у н к у 23 і р и с у н к у 24.

§1t 2 ) В и м ір я й д о в ж и н и в ід р із к ів АВ, CD, EF на р и с у н к у 25. Я к и й в ід р із о к н а й д о в ш и й , я к и й — н а й ко I ю тш ий?

Рис. 25 №»!>. З а п и ш и в с і в ід р із к и , щ о зображено на р и с у н ку 26 і р и с у н к у 27.

Й60. Н акресли в ід р із о к ВС = 9 см 3 м м . П означ на ньому т о ч к у Р т а к , щ о ВР - 5 см 7 м м . Обчисли дом ж ину в ід р із к а PC. П еревір обчислення в и м ір ю в а н ням. 5(П Н акр е сл и в ід р із о к АВ = 8 см. П означ на ньом у Т очку С т а к у , щ о АС = СВ. І>6‘2. В и м ір я й д о в ж и н у в ід р із к а АВ на р и с у н к у 28. Побудуй у з о ш и т і в ід р із о к : 1) KL, щ о дор івн ю є в ід р із к у АВ; 2) MN, к о р о т ш и й в ід в ід р із к а А В ; 3) PQ, д о в ш и й за в ід р із о к АВ.

Рис. 28

Рис. 29 123

re^CUAs

563. В и м ір я й д о в ж и н и в ід р із к ів А В та К М (рис. 29). П о б уд уй у з о ш и т і в ід р із о к : 1) ка 2) 3)

D C , д о в ж и н а я к о го

дорівню є д о в ж и н і в ід р із

АВ; PQ, щ о д о р івн ю є КМ; ТС т а к и й , щ о А В > ТС і ТС > КМ.

В N

Рис. ЗО

Рис. 31

564. Н а р и с у н к у ЗО АС = 42 см, ВС = 27 см. Обчисли д о в ж и н у в ід р із к а А В . 565. Н а р и с у н к у 31 N M = ЗО см, Р М = 13 см. Знайди д о в ж и н у в ід р із к а NP.

566. Н а р и с у н к у 32 DL = 56 см, D K у 4 рази к о р о т ш и й від DL. З найди д о в ж и н у в ід р із к а KL. D •

•

Рис. 32

•

— •

К •

Рис. 33

567. Н а р и с у н к у 33 АС = 16 см, CD у д в іч і ко р о т ш и й від АС і D K = CD. З найди д о в ж и н у в ід р із к а АК.

Рис. 34

Рис. 35

568. Н а р и с у н к у 34 AD = 42 см, CD = 20 см, DB = = 21 см. З найди д о в ж и н и в ід р із к ів АС і СВ. 569. Н а р и с у н к у 35 PN = 40 см, QN = 23 см, MQ = = 38 см. З найди д о в ж и н и в ід р із к ів PQ, М Р і M N .

570. Н а р и с у н к у 34 А В = 50 см, A D = 35 см, В С = = 29 см. З н а йд и д о в ж и н у в ід р із к а CD.

124

§1i Високии рівень

t J

Г»71. Т о ч ка Р н а л е ж и ть в ід р із к у А В (рис. 36), д о в ж и ни я к о го 63 см. З найди д о в ж и н и в ід р із к ів АР і РВ, я кщ о в ід р із о к А Р у д в іч і д о в ш и й за в ід р із о к РВ.

Розв'язання. 1-й спосіб. О с к іл ь к и д о в ж и н а в ід р із ки АР у 2 рази біл ьш а за д о в ж и н у в ід р із к а РВ, то д и нж и на в ід р із к а РВ становить третю ч а с ти н у дои ж и н и в ід р із к а АВ. Т о м у РВ = 63 : 3 = 21 (см), а АР = 2 • 21 = 4 2 (см). 2 U спосіб. П о зн ачи м о д о в ж и н у в ід р із к а РВ за V см. О с к іл ь к и д о в ж и н а в ід р із к а А Р у 2 рази б іл ьш а , то АР = 2х (см). А Р + РВ = АВ. За ум овою АВ = 63. Мнемо р ів н я н н я 2х + х = 63. О с к іл ь к и 2х + х = 2х + і 1х = (2 4- 1);с = Зх, то Зх = 63, а то м у х = 63 : 3; х = 21 (см). О тж е , РВ = 21 см; А Р = 42 (см). В Рис. 36

Рис. 37

572. На р и с у н к у 37 д о в ж и н а в ід р із к а ВС у 4 рази менша від д о в ж и н и в ід р із к а АВ. З н а йд и д о в ж и н и цих в ід р із к ів , я к щ о АС = 27 см. 573. На в ід р із к у А В , д о в ж и н а я к о го 16 см, позначе но т о ч к у М . З найди від ста нь м іж серединами в ід р ізК і it AM і MB. 574. Q Н а м ісц е во сті в и м ір я л и від ста нь м іж села ми К, М, N , L, я к і р о зта ш о ва н і на одном у в ід р із к у (рис. 38). В и я в и л о ся , щ о в ід с та н і К М і NL од н а кові, и нідетань M N у д в іч і більш а за КМ. KL = 20 к м . З н а й ди в ід ста ні К М , M N , NL, K N , ML.

М ________ N___ L Рис. 38

Рис. 39

575. ^ Н а р и с у н к у 39 А В = ВС = CD = DE = 5 см. Я к і є ще р ів н і в ід р із к и на ц ьо м у р и с у н к у ? З найди їх довжини.

125

■ зг

Вправи для повторення

:‘Т :«

576. С торони п р я м о к у т н и к а м аю ть д о в ж и н и 2 дм і 13 см. З найди йо го перим етр. 577. І З 3 10 к г в е р ш к ів о д е р ж ую ть 2 к г масла. С к іл ь к и масла одерж ать з 40 к г в е р ш ків? 1 З 578. П о р ів н я й — від числа 52 256 і — від числа

15 239.

B s W o Промінь, пряма, площина П р о д о вж и м о в ід р із о к А В за допом огою л ін ій к и за т о ч к у В (рис. 38). Н а р и с у н к у таке п р од о вж ен н я об м еж ене р о зм ір а м и а р ку ш а , але м о ж н а у я в и т и , щ о м и п р о д о в ж и л и в ід р із о к необмежено. Я к щ о продов ж и т и в ід р із о к АВ за його к ін е ц ь В необмежено, то одерж им о промінь АВ. Т о ч ка А — початок пром еня АВ. К ін ц я у пром еня немає. П р и п о зн а ч е н н і пром еня на п е рш о м у м іс ц і п и ш у т ь б у к в у , я к а означає поча т о к пром еня.

А •

В •

Рис. 38

А «

•

Рис. 39

Я к щ о п р о д о в ж и ти в ід р із о к АВ за його к ін е ц ь А, то дістанем о п р о м ін ь ВА (рис. 39). Й ого п о ч а то к — то ч к а В. Я к щ о п р о д о в ж и ти в ід р із о к АВ за обидва к ін ц і не обмежено (рис. 40), то дістанем о ф ігу р у , щ о має н а зву пряма. П р ям а не має п о ч а т к у і к ін ц я . П р я м у , я к і в ід р із о к , позначаю ть двома в е л и ки м и б у кв а м и , я к і позначаю ть б у д ь -я к і д в і т о ч к и , що л е ж а ть на ц ій п р я м ій . Н а п р и кл а д , на р и с у н к у 40 зображено п р я м у А В , або ВА. П р я м у А В м о ж н а т а к о ж п о зн а ч и ти о д н і єю малою б укв о ю л а ти н с ь ко го алф авіту, н а п р и кл а д п р ям а а. П ро т о ч к и А і В будемо го в о р и ти , щ о вони н а л еж а ть п р я м ій а (або А В ).

126

§1* А_________ В Рис. 40

L___ Ь

Рис. 41

V Через будь-які дві точки можна провести пря34 му і до того ж тільки одну. К о ж н а то ч ка , я к а н а л е ж и ть п р я м ій , розбиває її на два п р о м е н і. Н а р и с у н к у 41 т о ч к а К розбиває прям у b на п р о м е н і К М і KL. Ц і п р о м е н і є частиною прям ої і м аю ть є д и н у с п іл ь н у т о ч к у К — п о ч а то к цих п ром енів. Т а к і п р о м е н і називаю ться доповняль ними (один з н и х доповню є ін ш и й до п р ям о ї). Т о ч ка , в ід р із о к , п р о м ін ь , п р ям а — ге о м е тр и чні ф ігу р и . Ц і ге о м е тр и ч н і ф ігу р и м о ж н а р о зм іс т и т и на площині (рис. 42). П л о щ и н а є о д н ією з осн овн их гео м е тр и чни х ф ігу р . У я в л е н н я про ч а с ти н у п л о щ и н и дає, н а п р и кл а д , по ве р хн я стола, ш и б к и , сте л і, я к щ о уя в и ти , щ о вони необмежено п р о д о в ж е н і. К о л и кр е с лимо ф ігу р и , то ча сти н о ю п л о щ и н и м о ж е б ути , на пр икл ад , а р к у ш зо ш и та або ш к іл ь н а д о ш ка .

Маємо відрізок МР. Я к утворити промінь МР1 * Чи має пряма початок і кінець? * С кіл ьки прямих можна провести через точки С і D ? » На с кіл ь ки променів розбиває пряму АВ точка Т, яка лежить м іж точками А і В? » Я к називаються та кі промені? э Я ки й промінь доповняльний до променя ТАЇ про меня ТВ7 9 Щ о дає уявлення про площину?

127

Початковий рівень 579. Н азви п р о м е н і, щ о зображено на р и с у н к у 43, р и с у н к у 44. Ч и є серед пр ом е нів до по вн ял ьн і?

Рис. 43

Рис. 44

П р я м і АВ і CD пе ре тн ул и ся в т о ч ц і К (рис. 45). Н азви п р о м е н і, я к і п р и ц ьом у у тв о р и л и ся . Н азви пари д о п о в н я л ь н и х пром е нів.

А Рис. 45

581. Н а кр е сл и два р із н и х п р о м е н і A M і AN. 582. П означ д ві т о ч к и і проведи через н и х п р я м у .

Середній рівень 583. Н азви всі в ід р із к и , п р я м і та п р о м е н і, зо бр а ж е н і на р и с у н к у 46.

С К Рис. 46

Рис. 47

Н азви всі в ід р із к и , п р я м і та п р о м е н і, зо бр а ж е н і на р и с у н к у 47. 585. П о зн ач т о ч к у і за допом огою л ін ій к и проведи д ві р із н і п р я м і, я к і проход ять через ц ю т о ч к у . Н а кр е сл и п р о м ін ь з п о ч а тко м у т о ч ц і А. В ід к л а ди на н ьом у від т о ч к и А один за одним ч о ти р и в ід р із к и по 2 см к о ж н и й . 587. П о знач у з о ш и т і тр и т о ч к и К , L і М , щ о л еж ать на о д н ій п р я м ій .

128

Н акр е сл и п р я м у , познач на н ій тр и т о ч к и . В и м ір я й д о в ж и н и в с іх утв о р е н и х в ід р із к ів . ЛЖ). Р озглянь р и с у н о к 48. Ч и п р а в и л ь н і т а к і твер д ж е ння: 1) то ч к а D н а л е ж и ть в ід р із к у А С ; 2) то ч к а D н а л е ж и ть пром еню А С ; 3) то ч к а С л е ж и т ь м іж то ч ка м и В і D; -1) то ч к а D н а л е ж и ть п р я м ій АВ; 5) п р ом е ні ВА і CD — д о п о в н я л ь н і; 6) то ч ка В н а л е ж и ть і пром еню А С , і пром еню СА?

Я к і з то ч о к , зо б р а ж е н и х на р и с у н к у 49, нале ж ить п р я м ій а, а я к і — не належ ать? 5 9 1. Н акр е сл и п р о м ін ь з п о ч а тко м у т о ч ц і А і познач ни ньом у б у д ь -я к у т о ч к у В. В ід кл а д и на п р ом е н і в ід р із о к А К = 5 см та в и м ір я й в ід р із о к ВК. 592. Ч и перетинаю ться (рис. 50): 1) 2) 3) 4) 5) (»)

прям а АВ і в ід р із о к CD; прям а АВ і п р о м ін ь CD; прям а А В і п р о м ін ь DC; п р я м і АВ і CD; пром ені А В і ТО; пром ені А В і ОТ ?

Рис. 50

593. Н а с к іл ь к и ча сти н д іл я ть п л о щ и н у д в і п р я м і, н к і перетинаю ться? :>!М На с к іл ь к и ч а сти н д іл я ть п л о щ и н у д в і п р я м і, ик і не перетинаю ться?

Достатній рівень 595. Познач у зо ш и ті тр и то ч ки А , В і С, я к і не лежать ції одній п р я м ій . Проведи всі п р я м і, к о ж н а з я к и х проходить через дві т о ч ки . С к іл ь к и є т а к и х прям их? II

і» ('. Ігтгр "Мптематика”, 5 кл.

129

/ fr^OXMAs

596. Н а кр е сл и два п р ом е ні т а к , щоб ї х с п іл ь н о ю час ти н о ю були: 1) т о ч к а ; 2) в ід р із о к . 597. Н а кр е сл и два п р ом е н і з п о ч а тко м в о д н ій і т ій са м ій т о ч ц і А. Н а с к іл ь к и ча стин п о д іл я ть п л о щ и н у ц і пром ені? 598. Н а кр е сл и п р о м ін ь АВ. П о будуй д о п о вн я л ь н и й п р о м ін ь до АВ. Н а к о ж н о м у п р о м е н і від його п о ч а т к у в ід кл а д и в ід р із о к , я к и й дор івн ю є 4 см 5 м м . Я к а відстань м іж двома к р а й н ім и то ч ка м и на р и с у н к у ?

Високий рівень

599. Н а кр е сл и п р я м у CD, п р о м ін ь М К і в ід р із о к АВ т а к , щоб п р ям а CD перетинала п р о м ін ь М К і в ід р і зо к АВ, а п р о м ін ь М К не перетинався з в ід р ізко м АВ. <>00. Н а кр е сл и п р я м у СК, п р о м ін ь АЕ і в ід р із о к M N т а к , щоб п р ям а СК перетинала в ід р із о к M N і не пе ретинала п р о м ін ь АЕ, а п р о м ін ь АЕ перетинав в ід р і зо к MN. 601. Н а п р я м ій позначено т о ч к и А, В і С. П р и ч о м у АВ = 37 см, ВС = 42 см. Я к а відстань м ож е б ути м іж А і СІ С к іл ь к и в и п а д к ів має задача? Села М , N і К розта ш о ва н і на п р я м о л ін ій н о м у ш л я х у . В ідом о, щ о M N = 7 к м , М К = 13 к м . Я к а від стань м о ж е б ути м іж селами N і К1 С к іл ь к и в и п а д к ів має задача?

Вправи для повторення 603. О бчисли зн а че нн я виразу (а + а : 9) я к щ о а = 1107, b - 978. 604. ^ 1) 2) 3) 4)

130

О бчисли:

12 хв 37 с + 35 х в 42 с; 7 хв 13 с - 5 х в 19 с; 15 год 42 х в 4- 12 год 17 хв; 4 год 15 х в - 59 хв.

Ь,

$ 7сГ <105. ф У с і н а ту р а л ь н і числа від 1 до 60 записано в один ряд. С к іл ь к и р а зів повторю ється в ц ь о м у р я д і цифра 5?

N й ©0 Координатний промінь. Шкала Накреслимо п р ом інь ОХ горизонтально вправо від то ч ки О і запиш ем о б іл я його п о ч а т ку число 0 (рис. 51). Виберемо б у д ь -я к и й в ід р іо К L X тис АВ, д о в ж и н у я к о г о в ізь ' * J, ' J; * ~ . 0 1 2 3 4 5 6 мсмо за о д и н и ц ю . Т а к и и в ід р із о к називається одиничним А В відрізком. В ід кл а д е м о від поРис 51 ч и т ку пром еня в ід р із о к ОК, щ о дорівню є о д и н и ч н о м у в ід р із к у . П р о ти т о ч к и К з а п и шемо число 1. К а ж у т ь , щ о точка К відповідає чис лі/ 1, або число 1 зображено точкою К. К о р о т к о це пап п сую ть т а к : К ( 1). Ч и сл о 1 н а зива ю ть координа тою т о ч к и К. Щ об зобразити на п р о м е н і число 2, треба в ід к л а с ти під п о ч а т ку пром еня один за одним два о д и н и ч них в ід р із к и , число 3 — тр и о д и н и ч н и х в ід р із к и і т. д. Т а к и м ч и н о м , к о ж н о м у н а тур ал ьн о м у ч и с л у 1 числу 0 від повід ає одна певна то ч ка пром еня ОХ. Д іс та л и координатний промінь. Т о ч к а О, щ о від понідає п о ч а т ку ко о р д и н а тн о го п ром еня, називається

точкою відліку. Я кщ о то ч ка L на п р о м е н і від повід ає ч и с л у 6 (рис. 51), то д о в ж и н а в ід р із к а OL дор івн ю є 6 о д и н и цям. К о о р д и н а тн и й п р о м ін ь дає зм о гу п о р ів н ю в а ти натуральні числа. Я к щ о ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь сп рям ований зл іва направо, то з двох н а ту р а л ь н и х чисел б іл ьш о м у від повід ає т о ч к а , я к а л е ж и т ь право руч, а м е нш о м у — л ів о р у ч . П р и кл а д 1. 2 < 5, о с к іл ь к и т о ч к а А ( 2) л е ж и ть л і воруч від т о ч к и В( 5) (рис. 52). и»

131

ГофЪл,

В І— I0 1 2 3 4 5

і— ,— ,— .— ,— і-----0 1 2 3 4 5

Рис. 52

Рис. 53

Н а р и с у н к у 53 то ч к а м и позначено на ту р а л ь н і числа х, п р и я к и х н е р ів н іс ть х < 5 буде правильною . Д о в ж и н и в ід р із к ів в и м ір ю ю ть л ін ій к о ю з в е л и ки м и і м а л и м и поділками (рис. 54). В о ни розбиваю ть л ін ій к у на о д н а ко в і ч а с ти н и . Д о в ж и н і к о ж н о ї п о д іл к и від повід ає певна о д и н и ц я в и м ір ю в а н н я . Н а п р и кл а д , на л ін ій ц і, зо б р а ж е н ій на р и с у н к у 54, в е л и к ій п о д іл ц і від повід ає 1 см, а м а л ій — 1 мм.

-ilLL:_________ ІІШ ІІШ іЦ іІ

велика поділка

5І

її

!І,

мала поділка Рис. 54

Рис. 55

Рис. 57

Систему т а к и х п о д іл о к разом з від по в ід н им и ч и с лам и називаю ть шкалою. Ш к а л и бувають не лиш е на л ін ій к а х , вони м о ж у ть бути р ізн о ї форми. Н а р и сун к у 55 подано ш к а л у кім н а тн о го термометра. К о ж н а його п о д іл ка відповідає одному градусу за Цельсієм (п и ш у ть 1 °С). Термометр показує 18 °С. Координат н и й пр ом інь, л ін ій к а , к ім н а т н и й термометр — п р и кл ад и п р я м о л ін ій н и х ш ка л . Ш кали го д и н н и ка (рис. 56), спідометра (рис. 57) — к р и в о л ін ій н і.

132

§ и Щ об п р о ч и та т и п о ка з а н н я на ш к а л і, треба зн а ти ціну поділки. Т а к , на р и с у н к у 57 м іж ч и с л а м и 20 і 10 — ч о ти р и п о д іл к и . Т о м у ц ін а о д н іє ї п о д іл к и

Н 0 - 20) : 4 = 5. *М| На рисунку 51 назви і по ка ж и то ч ку в ід л іку координатного променя і одиничний відрізок, э Я ка точка відповідає числу 6 на цьому рисунку? * Щ о означає запис Р(10)? » На ш калах (рис. 54 — рис. 57) по ка ж и поділки. » Чому дорівнює ціна по діл ки на к о ж н ій із цих шкал?

Початковий рівень <100. Я к и м числам від по в ід а ю ть т о ч к и А, Б , С і D на ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і (рис. 58 і р ис. 59)?

І) —

А і—

В С

•—

(—

>—

.—

В і--------------

і—

0 1 2 3 4 5 6

■—

0 1

A і—

Рис. 58

D C

*—

і—

«—

і—

«—

і—

Рис. 59

007. Н акр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , о д и н и ч н и й п ід р ізо к я к о го дор івн ю є 1 см, і познач на ньом у ч и с ли 0, 1, 3, 5, 6. Н акресли ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , о д и н и ч н и й п ід р ізо к я к о го д о р івн ю є 2 см, і познач на ньом у ч и с ли 0, 1, 3, 4, 6.

Середній рівень

(109. Я к и м числам в ід по в ід а ю ть т о ч к и М , N, К , Q на р и с у н к у 60 і р и с у н к у 61?

І »—І—і—І—»—f—)—І—і—•—і—І—»—І

20 40

80 100 120 140 0

Рис. 60

І і . і і І . і і . І ї ї ■і І

100

150

Рис. 61

Я к и м числам в ід по в ід а ю ть т о ч к и на р и с у н к у 62 1 р и с у н к у 63?

133

М К

1 І І ■І ' )

К - ) ■I t -»■ ■ -♦1—» « +-t 0

Рис. 62

I ■I I I ■I

120

Рис. 63

611. П о знач на ко о р д и н а тн о м у п р ом е н і т о ч к и А (3 ), ■6(7), С(2), Г (1 0 ). <П2. П о знач на ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і т о ч к и М ( 1), Ц 6 ), К ( 5), Р (9). 613. З а пи ш и п о ка з н и ки термометрів на р и с у н ка х 64— 67. “С

40 і

ЗОН 20-І -

ЮН

Рис. 64

Рис. 65

Рис. 66

Рис. 67

614. Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь з п о ч а тко м у т о ч ц і О. За о д и н и ч н и й в ізь м и в ід р із о к за вд о вж к и 1 см. П означ на п р ом е н і т о ч к и А, В , С, D, я к щ о ОА = 5 см, ОВ = 8 см, ОС = 2 см, OD = 4 см. Я к и м числам від по в ід а ю ть т о ч к и А, В, С і D ? Н а я к ій в ід с та н і від п о ч а т к у в ід л ік у м іс тя ть с я т о ч к и А, В, С і D (рис. 68)?

В С DA I— і— I— і— *— і— I—*— I— і— *—•— I------0 100 200 300 400 500 600 Рис. 68 616. Н а зви п р ил а д и , я к і м аю ть ш к а л и . 617. Я к и й інтервал часу відповідає н а йм ен ш ій п о д іл ц і на циф ерблаті го д и н н и к а (рис. 56)?

134

§1S <H8. З а п и ш и всі н а ту р а л ь н і числа, я к і л е ж а ть на ко ординатном у п р ом е н і м іж числ а м и : 1) 99 і 108; 2) 998 і 1003. 019. Я к а з двох т о ч о к на ко о р д и н а тн о м у пр ом е н і розм іщ ена зл іва від ін ш о ї: та, щ о від повід ає ч и с л у 108, чи та, щ о ч и с л у 119? •»'.!0. Я к а з двох т о ч о к на ко о р д и н а тн о м у п р ом е н і розміщ ена справа від ін ш о ї: та, щ о від повід ає ч и сл у 9К7, чи та, щ о ч и с л у 992? <121. Т о ч ка М ко о р д и н а тн о го пром еня від по від ає ч и с лу 10. Н азви ч о ти р и числа, я к и м від по від аю ть то ч к и , р о зм іщ е н і на ко о р д и н а тн о м у пром ені: 1) справа від т о ч к и М ;

2) зл іва від т о ч к и М.

<122. Н а р и с у н к у 69 зображено ш к а л у спідом етра. Я ка ш в и д к іс т ь автом обіля в к о ж н и й з м о м ен тів, ко ли с т р іл к а в ка зу є на т о ч к и М , N, К , L, Р ?

Рис. 69

Достатній рівень

ЯШИННІ

1123. М іж числами 40 і 60 на ш к а л і є 4 п о д іл ки . З н а й ди ц іп у п о д іл к и ц іє ї ш к а л и . *12 І М іж числ ам и 500 і 1000 на ш к а л і є 5 п о д іл о к. Знайди ц ін у п о д іл к и ц іє ї ш к а л и . <125. Накресли ко орд инатний п р ом інь і познач на ньо му всі н а тур а л ь н і числа, я к і: 1) м е н ш і від 8; 2) м е н ш і від 10 і б іл ь ш і за 5.

135

626. Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь ньом у всі н а тур а л ь н і числа, я к і: 1) м е н ш і від 6;

познач

на

2) б іл ь ш і за 3 і м е н ш і від 7.

627. З а п и ш и , я к у тем пературу п о к а з у ватиме термометр, зо бр а ж е н ий на р и с у н к у 70, я к щ о с т о в п ч и к: 1) о пусти ться на 3 п о д іл к и ; 2) о п усти ть ся на 2 п о д іл к и ; 3) п ід н ім е ть с я на 4 п о д іл к и ; 4) п ід н ім е ть с я на 5 п о д іл о к.

628. Д о в ж и н а о д и н и ч н о го в ід р із к а к о о р д и н а тн о го пром еня д о р івн ю є 4 см. Н а н ь о м у позначено т о ч к и М (3 7 ) і ЛГ(40). Я к а до в ж и н а в ід р із к а MN1

°С

40і -І

зо -І

■І

20Н

ю-і

о-

<►

Рис. 70 Н а ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і позначено т о ч к и А (4 2 ) і В (5 6 ). Д о в ж и н а в ід р із к а АВ д о р івн ю є 7 см. З найди д о в ж и н у о д и н и ч н о го в ід р із к а цього пром еня. 630. Н а кр е с л и к о о р д и н а т н и й п р о м ін ь і п о зн ач на н ь о м у т о ч к у А (5 ). П о зн а ч на ко о р д и н а тн о м у пром е н і т о ч к и , в ід д а л е н і від т о ч к и А на 3 о д и н и ч н и х в ід р із к и . 631. П о р ів н я й числа а і Ь із числ а м и 6 і 10 (рис. 71). Р езультат за п и ш и за допом огою зн а ка н е р ів н о с ті.

a b b а І-------------- 1-------------------------------- ----і-------------------1----------0 6 10 0 8 Рис. 71

Рис. 72

632. П о р ів н я й числа а і b із числом 8 (рис. 72) та м іж собою. 633. Я ке число стоїть н а п р и к ін ц і с т р іл к и на р и с у н к у 73? 15 —

Рис. 73 136

Н акр е сл и в з о ш и т і в ід р із о к , д о в ж и н а я к о го 12 см. Над одним к ін ц е м в ід р із к а н а п и ш и число 0, а ипд ін ш и м 24. П о д іл и в ід р із о к на 4 р ів н и х ч а с ти н и . П ін н і й числа, я к і в ід по в ід а ю ть к о ж н ій п о д іл ц і. П о т н ім на о тр и м а н ій ш к а л і числа 3, 7, 10, 15, 19, 23.

Вправи для повторення

<Ш .

З аповни п о р о ж н і к р у ж е ч к и :

Рис. 74

<li№. С*1Два

м о т о ц и к л іс т и в и їх а л и одночасно з одно го м іста в п р о т и л е ж н и х н а п р я м а х . Один їха в з і п іи и д кіс т ю 65 к м /г о д . Ш в и д к іс т ь д р уго го — на ft к м /г о д біл ьш а . Я к о ю була від стань м іж м о то ц и кл іс та м и через 4 год?

І Ш . % М а л ю к намалю вав п р я м о к у т н и к з і сторона ми 9 см і 12 см, а К ар л со н зафарбував тр е ти н у цього п р я м о ку т н и к а . Я к а площ а за л иш ил а ся незафарбоиапою?

Домашня самостійна робота № 4 1.

О бчисли значення ви р а зу 24 + 32 : 8.

Л ) 24; Б ) 28; В) 7; 2. Серед п р о м е н ів , зображе них на м а л ю н к у 75, назви пару д о п о вня л ьн их п ром енів.

A) А М ІА К -, B) А К і АВ;

В) A N і AM; Г ) A N і АВ. 137

3. ф Я к о м у ч и с л у від повід ає т о ч к а К на р и с у н к у 76? A ) 3; B) 6;

Б) 5; Г) 4.

Рис. 76

4. У кафе є 4 види т іс те ч о к і н а по ї: ча й, кава, с ік . С кіл ь к о м а способами м о ж н а вибрати одне т іс те ч ко і один н а п ій ? А ) 7;

Б ) 12;

В ) 24;

Г) 18.

5. 5 я щ и к ів слив і 2 я щ и к а я б л у к разом ва ж а ть 92 к г . О дин я щ и к я б л у к в а ж и т ь 16 к г . С к іл ь к и ва ж и т ь один я щ и к слив? А ) 12 к г ; Б ) 14 к г ; В) 10 к г ; Г) 16 кг. 6. ^ 3 Н а р и с у н к у 77 то ч ка К на л е ж и ть в ід р із к у А В , А В = 52 см, А К = 1 7 см. О бчисліть д о в ж и н у в ід р із к а КВ. A ) 45 см; B ) 35 см;

Рис. 77

Б ) 25 см; Г) 69 см.

7. І З С к іл ь к и р із н и х ч о ти р и ц и ф р о в и х чисел м о ж н а с кл а сти , в и ко р и с то в у ю ч и ц иф ри 8 і 9, я к щ о циф ри м о ж у т ь повторю ватися? А ) 12;

Б ) 8;

В) 10;

Г ) 16.

8. ЩЗ У ч е н ь планував р о зв’ я за ти 60 задач за 6 д н ів , але р о зв’ язував щ одня на 2 задачі більш е, н іж пл а нував. За с к іл ь к и д н ів учень розв’ язав у с і задачі? А ) 5 д н ів ; Б ) 4 д н і; В ) 3 д н і; Г ) 8 д н ів . 9. І З Н а р и с у н к у 78 А В = 40 см, В М = 32 см, A N = = 19 см. З н а й д іть д о в ж и н у в ід р із к а M N . £ ¥ -У__________ § A ) 12 см; B) 10 см;

Б ) 11 см; Г ) 9 см.

Рис> 78

10. ф У т у р н ір і гр а ю ть 8 ш а х іс т ів . К о ж е н зігр а в з к о ж н и м із с у п е р н и к ів по о д н ій п а р т ії. С к іл ь к и всьо го п а р т ій було зігр а н о на т у р н ір і? А ) 56;

138

Б ) 14;

В) 28;

Г ) 24.

§1S 11. ф Т о ч к а К н а л е ж и ть в ід р із к у АВ (див. рис. 77), д е тж и н а я к о го 28 см. Д о в ж и н а в ід р із к а А К у т р и ч і менша за д о в ж и н у в ід р із к а КВ. З н а й д іть д о в ж и н у п ід р із ка КВ. А ) 7 см; Б ) 12 см; В) 14 см; Г) 21 см. 12. ї ї С к іл ь к о м а способами м о ж н а вибрати 2 б іл і і І рож еву тр о я н д у з 10 б іл и х і 8 р о ж е в и х троянд? А ) 80;

Б ) 720;

В ) 160;

Г) 360.

Завдання для перевірки знань № 4 {§ 14—§ 18} 1 Ф Н акресли п р я м у а. П означ т о ч к у L, щ о належ ить прям ій а, та т о ч к у М, я к а ц ій п р я м ій не належ ить. 2. 1 ) Н акр е сл и в ід р із о к АВ за в д о в ж ки 7 см 2 м м , поанач на ньом у т о ч к у К. З а п и ш и всі в ід р із к и , щ о утв о рилися на р и с у н к у , та в и м ір я й д о в ж и н у к о ж н о го .

•'і. 0

Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь . За о д и н и ч ний в ід р із о к в ізь м и 2 к л іт и н к и . П о зн ач на ц ьом у пром ені числа 0, 1, 3, 6, 10.

4. 1 ? З б у кв р о зр ізн о ї а зб у ки складено слово «вчи тель». С кіл ь к о м а способами м о ж н а зібрати пару з одн іє ї голосної і о д н іє ї п р иго л о сн о ї б у кв цього слова? ft. 13 З а п и ш и всі н а ту р а л ь н і числа, я к і л е ж а ть на ко ор д ина тн ом у п р о м е н і м іж чи сл а м и 996 і 1002. в. ^ 3 Н а в ід р із к у АВ за в д о в ж ки 40 см, позначено т о ч к и С і D т а к , щ о АС = 1 2 см, BD = 18 см. З найди д о в ж и н у в ід р із к а CD. 7. 1 3 З найди значення виразу (1 102 200 - 870 796) : 68 + 512 • 309. 8 . ї ї С к іл ь к и р із н и х тр и ц и ф р о в и х чисел м о ж н а скл а сти , в и ко р и с то в у ю ч и циф ри 1, 2, 3, 4, я к щ о циф ри не п о вторю ю ться.

139

Г С # *

9. ( р Д о д а тко ве за вд а ння. С к іл ь к о м а способами м о ж н а вибрати альбом і 3 м а р ки із 4 р із н и х альбо м ів і 9 р із н и х м арок? 10. ф Д о д а тко ве за вд а н ня. Н а в ід р із к у АВ за вд о вж к и 24 см позначено т о ч к у М т а к , щ о д о в ж и н а в ід р із к а A M на 2 см біл ьш а за д о в ж и н у в ід р із к а MB. З найди д о в ж и н и в ід р із к ів A M і MB.

Кут. Види кутів

vSfrfcf

Л.

І.

Проведемо два п р о м е н і: ОА і ОВ, я к і ви хо д я ть з о д н іє ї т о ч к и (рис. 79). О трим али ге о м е тр и чну ф ігу р у, я к а називається кутом. К у т — це геом етрична ф ігур а , утворена двома п р о м е н ям и , щ о ви хо д я ть з о д н ієї т о ч к и . П р о м е н і ОА і О В н а зи в а ю ть с я сто ронами кут а, а т о ч к у О — вершиною кута. К у т и позначаю ться зн а ч ко м к у т а «Z» і трьом а в е л и ки м и л а т и н с ь к и м и б у кв а м и : /А О В , або В /В О А (читається « к у т АОВ», або « к у т ВОА»). П р и цьо м у б у кв а , щ о позначає в е р ш и н у к у т а (у н а ш о м у в и п а д к у — О ), п и ш е ться всереди н і. К у т ін о д і позначаю ть і о д н ією б укв о ю — назвою його в е р ш и н и , н а п р и кл а д / О . Н а р и с у н к у 80 т о ч к и С і D л е ж а ть у в н у т р іш н ій області к у т а КАВ, т о ч к и М і N — поза ц и м к у т о м , а т о ч к и L і Р — на сторонах к у т а . О

.АГ

Рис. 80 140

Рис. 81

§19 Дна к у т и називаю ться рівними м іж собою, я к щ о їх м о ж н а н а кл а с ти один на одного т а к , щоб вони зб і галися. Н а р и с у н к у 81 к у т и АОВ і CMD р ів н і м іж собою, о с к іл ь к и п р и н а кл а д а н н і вони зб іга ю ть ся . За писуємо т а к : ZAOB = ZCMD. Я кщ о з верш ини к у т а MON (рис. 82) провести п р о м інь ОК, то в ін розбиває к у т MON на два к у т и М ОК І К ON. К о ж н и й з ц и х к у т ів м е н ш и й від к у т а MON. З аписуєм о т а к : ZM O K < ZM O N і ZKO N < ZMON.

А Рис. 82

Рис. 83

Я к щ о сторонам и к у т а є д о п о в н я л ь н і п р о м е н і, то т а к и й к у т називається розгорнутим. Н а р и с у н к у 83 — р о зго р н у ти й к у т ABC. Р о зго р н у ти й к у т м ож на п о д іл и ти на два р ів н і м іж собою к у т и . Д л я цього візьм ем о а р к у ш паперу з п р я м и м кр а є м , я к и й дає уя вл е нн я про р о зго р н у ти й к у т , і складемо його т а к , щоб сторони к у т а зб ігл и с я . П о зн ач и м о ве р ш и н у кута т о ч к о ю К (рис. 84). К о ж н и й з у тв о р е н и х т а к и м чином к у т ів називається прямим кутом. З р озум іл о, що п р я м и й к у т у д в іч і м е н ш и й в ід р о зго р н уто го .

К Рис. 84

Рис. 85

Д л я побудови п р я м о го к у т а в и ко р и с то в у ю ть кр е с л я р с ь ки й ко си н е ц ь (рис. 85). Щ о б побудувати п р я мий к у т , о д н ією з і с то р ін я к о го є п р о м ін ь ОА, треба: 1) р о зм іс ти ти кр е с л я р с ь ки й ко си н е ц ь т а к , щоб верш ина його п р я м о го к у т а зб ігл а ся з т о ч к о ю О, а одна з і с то р ін су м іс ти л а с я з променем ОА;

141

2) провести вздовж д р у го ї сторони к о с и н ц я п р о м ін ь О Б (рис. 85). У р е зул ьтаті отрим аєм о п р я м и й к у т АОВ. П р я м и й к у т часто позначають значком «~і». Н а р и с у н к у 86 та к позначено к у т ВОА, а на р и с у н к у 87 — к у т POL. К у т МОА на р и с у н к у 86 м е н ш и й від п р я м о го к у т а ВОА. Т а к и й к у т називається гострим. К у т KOL на р и с у н к у 87 б іл ь ш и й за п р я м и й к у т POL , але м е н ш и й від р о зго р н уто го . Т а к и й к у т н а зи вається тупим.

Я к утворити кут? • Щ о називається стороною кута, вершиною кута? • Я к позначається кут? » Я к і два ку ти називаються рівними м іж собою? • Я ки й к у т називається розгорнутим? прямим? гострим? ту пим? • Я к будується прямий к у т за допомогою креслярського косинця?

Початковий рівень

638. Н азви всі к у т и , зо б р а ж е н і на р и с у н к у 88. Н азви сторони й ве р ш и н и к у т ів . З а п и ш и к у т и двома спосо бами, н а п р и кл а д : Z M , ZKML.

ь.і: Н азви всі к у т и , зо б р а ж е н і на р и с у н к у 89. Н азви сторони і ве р ш и н и к у т ів . З а п и ш и к у т двома спосо бами.

142

(t'10. Н акр е сл и два к у т и , познач їх ве р ш и н и і сторо ни. З а п и ш и їх двома способами. ( И І. З а п и ш и назви в с іх к у т ів , зо б р а ж е н и х на р и с у н ку 90 і р и с у н к у 91.

Н акр е сл и к у т М О К і п о д іл и його пром енем ОТ на дві ча сти н и . З а п и ш и к у т и , щ о утвор и л ися . 043. Н азви види к у т ів , зобр а ж е н их на р и с у н к у 92. У разі не об хід н о сті в и ко р и с то в у й ко си н е ц ь.

D В

4і 11 Н азви всі к у т и , зо б р а ж е н і на р и с у н к у 93 і р и с у н к у 94. В изнач вид к о ж н о го к у т а .

р К Рис. 93

Рис. 94

045. За допом огою к о с и н ц я н а кр е сл и два п р я м і к у т и І познач їх .

143

Н а кр е сл и за допом огою

косинця

прям ий

кут

ABC і п о д іл и його променем В К на два к у т и . Я к і к у т и утвор и л ися? В изн ач їх вид.

Середній рівень

647. В и зн а ч , я к і з п р ом е н ів, зо б р а ж е н их на р и с у н к у 95, перетинаю ть сторони к у т а АОВ. 648. Н акр е сл и к у т M P N і п о д іл и його пром еням и РК і PL на ча сти ни . З а п и ш и всі к у т и , я к і утвор и л ися . 649. Н а кр е сл и : 1) го стр и й к у т АОВ ; 2) п р я м и й к у т МСК; 3) т у п и й к у т DEF; 4) р о зго р н у ти й к у т HLP. Н а кр е сл и : 1) го стр и й к у т MFP; 2) т у п и й к у т К; 3) р о зго р н у ти й к у т АТВ. 651. Н а кр е сл и р о зго р н у ти й к у т M K L і п р о м ін ь К Р т а к , щоб к у т PKL був го стр и м . Я к о го ви д у к у т РКМ? Н а кр е сл и два к у т и з і с п іл ь н о ю стороною т а к , щоб їх н і не с п іл ь н і сторони: 1) скл ад а л и р о зго р н у т и й к у т ; 2) не скл ад а л и р о зго р н у ти й к у т . 653. У к а ж и , я к і з то ч о к на р и с у н к у 96 ле ж а ть у в н у т р іш н ій області к у т а АОВ. Я к і то ч к и л е ж а ть поза ц и м куто м ? Я к і т о ч к и л е ж а ть на стороні ОА , а я к і — на стороні ОВ ? 654. Н а кр е сл и

кути

АОВ

СОВ. Н а кр е сл и на п а п е р і к у т ABC , в и р іж паперо ву модель цього к у т а . П о т ім способом н а кл а д а н н я в и р іж із паперу ще один к у т M K L т а к и й , щоб ZABC = ZM KL.

144

§14 Достатній рівень

ІЗ

050. Н акр е сл и два к у т и т а к , щоб верш ина одного з и и .ч м істи л ася на сто р о ні ін ш о го . ' З а п и ш и всі к у т и , зо б р а ж е н і ми р и с у н к у 97. С к іл ь к и к у т ів зо бражено на ц ьо м у р и с у н к у ? 05Н. Я к і к у т и утв о р ю ю ть на ц и ферблаті го д и н н и к а х в и л и н н а та годинна с т р іл к и : 1) о 6 год; 2) о 2 год; 3) о 9 год; •1) о 17 год; 5) о 18 год; (і) о 20 год? 050. З найди на р и с у н к у 98 і р и с у н к у 99 к у т и : 1) р о зго р н уті; 3) го стр і;

2) п р я м і; 4) т у п і.

/ і _________

D Рис. 98 000. За я к и й час повертаю ться на п р я м и й к у т с т р іл ки го д и н н и ка : 1) годинна; 2) х в и л и н н а ; 3) секундна? 001. За я к и й час повернуться на р о зго р н у ти й к у т с т р іл к и го д и н н и ка : 1) годинна;

2) х в и л и н н а ;

3) секундна?

((02. П означ т о ч к у А. Н а кр е сл и п р я м и й , го с тр и й і т у пи й к у т и з верш иною в т о ч ц і А. П о зн ач ц і к у т и .

по: і. Н акресли п р о м ін ь К М . Н а кр е сл и п р я м и й , го стрий і т у п и й к у т и з і стороною К М . П о зн ач ц і к у т и .

I II п і

Іггпр "Миті‘матііка”, 5 кл.

145

rc-^ L c

Високий рівень

664. К у т и A M К і К М В утв о р ю ю ть р о зго р н у ти й к у т . В изнач вид к у т а А М К , я к щ о к у т К М В : 1) го стр и й ; 2) п р я м и й ; 3) т у п и й . Вправи для повторення 665. І З Д о обіду в к іо с к у продали я б л у к на 90 гр н ., а п іс л я обіду — на 126 гр н ., п р и ч о м у п іс л я обіду було продано на 6 к г більш е, н іж до обіду. С к іл ь к и к іл о гр а м ів я б л у к продали до обіду і с к іл ь к и п іс л я обіду? 666. І ] С клад и ум ови і розв’ я ж и задачі. З а п и ш и в ід п овідь у в и гл я д і виразу. С тр іл ка спрям ована у б ік б іл ь ш о го числа. О бчисли: 1) п р и b = 12; 2) пр и а = 15, с = 9. на с

на 5

Величина кута. Вимірювання і побудова кутів Кути, я к в и м ір ю в а ти .

в ід р із к и ,

можна

Поділимо п р я м и й к у т на 90 р ів н и х ча стин (рис. 100). М ір у о д н ієї т а к о ї ча сти н и беруть за о д и н и ц ю в и м ір ю в а н н я к у т ів і на зиваю ть градусом1. П означаю ть т а к : 1°. Градусна м ір а п р я м о го к у т а д о р івн ю є 90°, а р о зго р н у то го — 180° (рис. 101). М о ж н а ска-

Рис. 100

1 Від латинського слова gradus — крок, ступінь.

146

инти ін а к ш е : п р я м и й к у т д орівню є 90°, а р о зго р н у ти й — 180°. Градусну м ір у к у т а позначаю ть т а к п ім о , я к і к у т . Н а п р и кл а д , на р и с у н к у 102 градус ом міра к у т а АОВ д орівню є 40°. Це за п исую ть т а к : ЛОН = 40°. З р озум іл о, щ о градусна м ір а гострого кута менш а від 90°, а ту п о го — б іл ьш а за 90°, але мгміпа від 180°. D

180° о

90°

Рис. 102

Рис. 101

К у т и в градусах в и м ір ю ю ть за допом огою п р и ладу, я к и й називається транспортиром (рис. 103). Ш ка л а тра нспо р ти ра р о зм іщ е на на п ів к о л і і має 180 п о д іл о к. К о ж н а п о д іл ка ш к а л и дор івн ю є 1°. Ц е н тр транспортира позначено то ч к о ю О.

Рис. 103

Рис. 104

Рис. 105

Щ об в и м ір я т и к у т , по тр іб но н а кл а с ти на нього тр анспортир т а к , я к п о ка за н о на р и с у н к а х 104 та 105: центр тра н спо р ти ра має зб іга ти с я з верш иною

147

к у т а , а одна сторона к у т а має п р о й ти через п о ч а то к в ід л ік у на ш к а л і. Ш т р и х на ш к а л і, через я к и й п р о хо д и ть ін ш а сторона к у т а , п о ка зу є гр а д усн у м ір у цього к у т а :

ZAOB = 60° (рис. 104),

Z K O N = 110° (рис. 105).

Р ів н і к у т и м аю ть р ів н і гр а д у с н і м ір и . З двох к у т ів б іл ь ш и м вваж ається то й , м ір а я к о го б іл ьш а . О с к іл ь к и 110° > 60°, то ZKO N > ZAOB. Т р а нсп ор ти р т а к о ж застосовується для побудо ви к у т ів . Н а п р и кл а д , побудуєм о к у т АОВ , градусна м ір а я к о го д о р івн ю є 50°. Д л я цього: 1) д о в іл ь н у т о ч к у по значи м о через О; 2) на кр е сл им о п р о м ін ь ОВ; 3) накладем о тр а н спо р ти р т а к , щоб центр тр а н спортира зб ігався з т о ч ко ю О, а п р о м ін ь ОВ пр ой ш о в через п о ч а то к в ід л ік у на ш к а л і (рис. 106); 4) поставим о т о ч к у А п р оти ш т р и х а на ш к а л і, я к и й від повід ає 50°; 5) проведемо п р о м ін ь ОА (рис. 107), побудований к у т АОВ є ш у к а н и м : ZAOB = 50°.

Рис. 106

Рис. 107

М ір и к у т ів , я к і д о в ж и н и в ід р із к ів , м о ж н а до давати й в ід н ім а т и . Н а р и с у н к у 108 к у т АОС дорів-

§І0 шоє с у м і к у т ів АОВ і ВОС, ZAOC — /А О В + /ВОС. О с к іл ь к и ZAOB - 30°, Z ВОС = 50°, то ZA O C = 30° + і 50° = 80°. Я кщ о / M O N = 110°, / K O N = 40° (рис. 109), то щоб зн а й ти гр а д усн у м ір у к у т а М ОК, по тр іб но

/ М О К = Z M O N - Z K O N = 110° - 40° = 70°. П р о м ін ь ОК д іл и т ь к у т АОВ на два р ів н і к у т и (рис. 110). Т а к и й п р о м ін ь називається бісектрисою кута. О тж е,

/■', промінь, який виходить з вершини кута і розбиває його на два рівні кути, називається бі сектрисою кута.

ОК — бісе ктр и са к у т а АОВ. / А О К = 37°. З найди ZAOB. Розв’язання. /А О В = / А О К ■ 2 = 37° • 2 = 74°.

Я кщ о в зя ти к у т , в и р іза н и й з а р ку ш а паперу, то його б іс е ктр и с у л е гко зн а й ти за допом огою п е ре ги нання. К у т треба с кл а с ти т а к , щоб його сторони зб і глися. Т о д і л ін ія п е р е ги н у і буде б ісе ктр и со ю цього кута (рис. 111). О * Щ о таке градус? * Я к його позначають? 9 Скіль1<2^ ки градусів містить прямий кут? розгорнутий кут? * Я к називаються к у т и , що менш і від 90°? більш і за 90°, але менш і від 180°? * Для чого потрібен транспортир? ♦ На с кіл ь ки поділок поділена шкала транспортира? 9 Щ о називають бісектрисою кута?

149

шт

Початковий рівень

667. Я к і з тверд ж ень п р а в и л ь н і, а я к і — х и б н і: 1) к у т , я к и й д о р івн ю є 50°, го с тр и й ; 2) к у т , я к и й д о р івн ю є 86°, т у п и й ; 3) к у т , я к и й дор івн ю є 92°, п р я м и й ; 4) к у т , я к и й д о р івн ю є 115°, т у п и й ; 5) к у т , я к и й д о р івн ю є 91°, го с тр и й ; 6) к у т , я к и й д о р івн ю є 180°, р о зго р н у ти й . 668. Я к і н у т і: 1) ZA 4) ZD 7) ZG

з даних к у т ів гострі, т у п і, п р я м і або розгор = 17°; = 1°; = 89°;

2) Z B = 117°; 5) ZE = 180°; 8) ZH = 94°?

3) ZC = 90°; 6) ZF = 179°;

Я к і з даних к у т ів гострі, т у п і, п р я м і або розгор н у ті: 1) Z M = 42°; 4) ZP = 7°; 7) Z T = 180°;

2) ZN = 90°; 5) ZR = 97°; 8) ZQ = 178°?

3 )Z O = 1 1 3 °; 6) Z S = 81°;

670. В изнач (усно) за р и с у н ко м 112 гр а д усн і м ір и к у тів : 1) АОК, AOL, АОМ, AON; 2) BON, BOM, BOL, ВОК.

Рис. 112 671. (У сн о ). В ідом о, щ о ZAOP = ZPOB (рис. 113 і рис. 114). Ч и є п р о м ін ь ОР б ісе ктр и со ю к у т а АОВ ? В ід п о в ід ь по ясни .

150

§І0

На я к и х р и с у н к а х 115— 117 п р о м ін ь ОР є б іс е к трисою к у т а АОВ ?

А О Рис. 115

«з

\АІР V

о Рис. 116

Середній рівень

ІР Рис. 117

\В

шшшшш

1173. За допом огою тра н спо р ти ра в и м ір я й к у т и , зо бр а ж е ні на р и с у н к у 118, і за п и ш и результати в и м іріонань у зо ш и т.

За допом огою транспорти ра в и м ір я й к у т и , зо бр а ж е ні на р и с у н к у 119. З а п и ш и результати в и м ір ю нань у зо ш и т.

К'

°ґ

р / ~~~ / D

Рис. 119 151

675. В и м ір я й тра н спо р ти ро м к у т и KON, NOM, КОМ (рис. 120). О бчисли сум у к у т ів KON і NOM. Зроби ви сно во к.

>76 В и м ір я й к у т и АОВ, ВОС, АОС на р и с у н к у 121. О бчисли р із н и ц ю ZAOC - /А О В . Зроби в и с н о в ки . 677. Н а кр е сл и в з о ш и т і го с тр и й і т у п и й к у т и . В и м і р я й їх за допом огою транспортира. 678. Н а кр е сл и к у т , 105°, 135°, 145°.

який

д о р івн ю є

25°,

45°,

80°,

679 Н а кр е сл и к у т , 110°, 130°, 155°.

я кий

дор івн ю є

30°,

55°,

70°,

680. Н а р и с у н к у 122 Z P N K = 62°. Обчисли гр а д усн у м ір у к у т а MNP. 681. За д а н и м и р и с у н к а 123 зн а йд и гр а д усн у м ір у к у т а DOC.

Рис. 122

Рис. 123

З найди гр а д усн у м ір у к у т а АОВ на р и с у н к у 124 і р и с у н к у 125. 683. Н а р и с у н к у 126 /А О С = 90°, /.ВОС = 30°. Об ч и сл и гр а д усн у м ір у к у т а АОВ.

152

(184. П р о м ін ь OK д іл и т ь к у т АОВ на два к у т и : АОК і КОВ. З найди гр а д усн у м ір у к у т а АО В, я к щ о ZAOK = 52°, ZKOB = 43°. П р о м ін ь ON д іл и т ь к у т АОВ на два к у т и : AON і NOB. З найди гр а д усн у м ір у к у т а АОВ, я к щ о / A O N = 37°, Z NOB = 59°. <1Ж>. За допом огою тр а н спо р ти ра побудуй б іс е ктр и с у ку та , щ о д о р івн ю є: 1) 70°; 2) 90°; 3) 140°. За допом огою тр а н спо р ти ра побудуй б іс е ктр и с у кута , щ о д о р івн ю є: 1) 50°;

2) 84°;

3) 130°.

(ІК8. П обудуй на а р к у ш і паперу т у п и й к у т . П о будуй «на око» б іс е ктр и с у цього к у т а . П еревір побудову пе р е гинанням а р ку ш а . П о будуй на а р к у ш і п аперу го с тр и й к у т . П о б у дуй «на око» б іс е ктр и с у цього к у т а . П еревір побудоау пере гин а ння м а р ку ш а . 090. З найди к у т м іж б ісе ктр и со ю і стороною даного кута , щ о д о р івн ю є: 1) 16°; 2) 38°; 3) 102°.

Достатній рівень

т (191. З найди гр а д усн у м ір у к у т а м іж д и н н и к а , я к щ о в ін п о ка зу є : 1) 1 год; 2) 2 год; 3) 3 год; 4) 5 год; 5) 8 год; 6) 10 год.

с т р іл к а м и го

153

Розв’язання. 1) О 6 год с т р іл к и утворю ю ть к у т 180°. О с к іл ь к и на ш к а л і м іж числами 12 і 6 є 6 п о д і л о к, то о 1 год с т р іл к и утворю ю ть к у т 180° : (12 - 6) = = 30°. 692. Н а кр е сл и к у т АОВ, я к и й дор івн ю є 120°. П о тім на кр е сл и п р о м ін ь ОС т а к , щоб ZAOC дорівню вав 30° (два способи). В и м ір я й /.ВОС, щ о утворився.

693. 1) У я к у ц іл ь в л у ч и ть к у л ь к а (рис. 127), я к щ о удар по н ій від т о ч к и в ід л ік у (0°) спрям овано: а) на 90°; б) на 150°; в) на 30°?

А Рис. 127

2) С к іл ь к и гр а дусів м іж ц іл я м и : а) деревом я л и н к о ю ; б) я л и н к о ю і б у д и н ко м А; в) я л и н к о ю і бу д и н ко м G; г) б у д и н ко м А і б у д и н ко м F? 694. В и м ір я й к у т АОС (рис. 128) та обчисли к у т и КОС і С О М . В и м ір я й тра н спо р ти ро м к у т NOK (рис. 129) та обчисли к у т и М О К та LOK.

О В

М Рис. 128

154

Рік;. 120

Рис. 130

$ ю (И»в. П р я м и й к у т АОВ поділено п р ом е ням и ОМ і ОК Тик, що ZAOK = 63°, a ZBOM = 56° (рис. 130). Об числи градусну м ір у к у т а МОК. •И>7. Р о зго р н ути й кут COD п о ділено пр ом е ням и ON і ОК т а к , що /D O N - 130°, ZCOK = 110° (рис. 131). З на йд и гр а д усн у м ір у кута NOK.

О Рис. 131

(И>8. Знайди градусну м ір у к у т а та визнач його вид, и к що бісектриса к у т а утворю є з однією із його сторін: 1 )1 7 °; 2 )4 5 °; 3 )7 9 °. ІІ1Ш. Н акресл и к у т АОВ, градусна м ір а я к о го 60°. За допомогою тра н спо р ти ра проведи п р о м ін ь ОС т а к , щоб п р о м інь ОА був б ісе ктр и со ю к у т а ВОС. 700. На р и с у н к у 132 МС — бісе ктр и са ZAMD і МІі — бісе ктр иса ZAMC. З найди гр а д усн у м ір у к у т а AMD, я к щ о ZBMC = 35°. 701. На р и с у н к у 132 МС — бісе ктр и са ZAMD і МИ — б ісе ктр и са ZAMC. З н а йд и гр а д усн у м ір у к у т а АМН, я к щ о ZAMD = 136°. 701'. Н акресл и р о зго р н у ти й к у т ABC, п о д іл и його іф оміш ем ВК на два к у т и . П о будуй п р о м ін ь BD — П Іссктрису ZABK і п р о м ін ь ВМ — б іс е ктр и с у ZKBC. І іп м ір я й гр а д усн у м ір у к у т а DBM. Зроби в и с н о в ки .

Високий рівень 703. На р и с у н к у 133 Р К — б ісе ктр иса ZAPC ; . АРИ — р о зго р н у ти й к у т . ZKPB = 124°. З найди гр а дусну м ір у к у т а АРС.

м Рис. 132

р Рис. 133 155

Н а р и с у н к у 133 РК — бісе ктр и са ZAPC, ZAP В — р о зго р н у ти й к у т . ZAPC = 118°. З найди гр а д у с н у м ір у к у т а КРВ. 705. К у т М О К у тр и рази м е н ш и й від к у т а KON (рис. 134). З найди ц і к у т и , я к щ о ZM ON = 140°.

К у т АОВ у два рази м е н ш и й від к у т а (рис. 135). З найди ц і к у т и , я к щ о ZAOC = 120°.

ВОС

707. ХУ Н а кр е сл и п р я м у АВ і познач на н ій т о ч к у О. П о т ім побудуй к у т АОС, я к и й дор івн ю є 120°, і к у т BOD, я к и й д о р івн ю є 35° (двома способами). Обчисли ZCOB і ZCOD. 708. С 3 ве р ш и н и п р я м о го к у т а проведено п р о м ін ь т а к , щ о в ін д іл и т ь п р я м и й к у т на два к у т и , градусна м ір а одного з я к и х на 10° б іл ь ш а за м ір у ін ш о го . З найди гр а д усн у м ір у к о ж н о г о з утв о р е н и х к у т ів . 709. С Н а р и с у н к у 136 QB — б і се ктр иса ZAQC; QD — бісе ктр и са ZCQE. З найди к у т AQE, я к щ о ZDQB = 68°.

Вправи для повторень

710. СЗ Не р озв’ я з у ю ч и р ів н я н н я , зн а йд и, я к е із ч и сел 5, 6, 7, 8 є коренем р ів н я н н я : 1) 5(х - 2) + 4 = 24; 3) 12 + 3(х + 7) = 57;

2) 12 - 3 (х - 5) = 6; 4) 9 ( * + 3) - 12 = 60.

711. С Я к зм ін и ть с я сум а чисел 2317 і 5372, я к щ о до п ерш ого числа додати 712, а до д р угого — 611?

156

712. ^ 3 З а по вни л а н ц ю г р о з р а х у н к ів : І)

713. С П о нов и запис: 1) ѵ ** ** ** 2) * 8 * * А + * * * * * * * * 0

* *

* * * * * * 0

fflo Многокутник та його периметр. Трикутник. Види трикутників Я кщ о к ін е ц ь лам аної зб ігається з її п о ч а т ко м , то ти ку ламану на зи в а ю ть замкненою. Н а м а л ю н к у 137 нображено за м к н е н у л а м а н у, щ о складається з п ’ я ти л а н о к , п р и ч о му л а н к и л а м аної не п е ре ти н а ються. Т а к у л а м а н у н а зива ю ть многокутником. З а у в а ж и м о , щ о •щ етину п л о щ и н и , о бм еж е ну ц іє ю наманою, т а к о ж н а зива ю ть м н о го кутником . Л а н к и лам аної — в ід р із к и АВ, ВС, CD, DE і ЕА називаю ть сторонами многокутника , а ве р ш и н и л а маної — т о ч к и А, В, С, D і Е н азиваю ть вершина ми многокутника. К у т и ВАЕ , ABC, BCD, CDE і DEA називаю ть кутами многокутника. Я кщ о м н о г о к у т н и к має 3 сторони, його н а зива ють трикутником, я к щ о 4, то чотирикутником, н к іц о 5, то п ’ятикутником тощ о. Щ о б назвати м н о

157

г о к у т н и к , послідовно називаю ть його в е р ш и н и , п о ч и н а ю ч и з б у д ь -я ко ї. Н а м а л ю н к у 138 зображено т р и к у т н и к A B C , на м а л ю н к у 139 — ч о т и р и к у т н и к K L M N , на м а л ю н к у 137 — п ’ я т и к у т н и к ABCDE. Ч о т и р и к у т н и к , зо б р а ж е н ий на м а л ю н к у 139, м о ж н а ще назвати LM N K, або NM LK , або M L K N тощ о.

М Рис. 138

Суму довжин усіх сторін многокутника назива ють його периметром. П ерим етр м н о г о к у т н и к а п р и й н я т о п означати б у к вою Р. Я к щ о , н а п р и кл а д , сторони п ’ я т и к у т н и к а до р ів н ю ю т ь 3 см, 4 см, 6 см, 7 см і 10 см, то його пе р им етр Р = 3 + 4 + 6 + 7 + 10 = 30 (см). Особливо в а ж л и в у роль у м а те м а ти ц і в ід ігр а ю т ь трикутни ки . Залеж но від д о в ж и н и сторін т р и к у т н и к и п о д іл я ю ться на рівнобедрені, рівносторонні та різносторонні. Я к щ о в т р и к у т н и к у д в і сторони р ів н і м іж собою, то його називаю ть рівнобедреним (рис. 140). Р ів н і сторони рівнобедреного т р и к у т н и к а н азиваю ть бічни ми сторонами , а йо го третю сторону — основою. На р и с у н к у 140 А В і ВС — б іч н і сторони, А С — основа.

Рис. 140

Рис. 142

Я кщ о всі сторони т р и к у т н и к а р ів н і м іж собою, то його називають рівностороннім . Н а р и с у н к у 141 — рівносторонній т р и к у т н и к K L M , у нього KL = LM - МК.

Я кщ о т р и к у т н и к не має о д н а ко в и х с то р ін , то його намивають р ізн о с то р о н н ім . Н а р и с у н к у 142 зображ е ні» р ізн о сто р о н н ій т р и к у т н и к DEF. О с к іл ь к и н а й ко р о тш а від стань від о д н іє ї т о ч к и до І....... — це від стань по п р я м ій , то звід си випливає ил мстивість сто р ін т р и к у т н и к а :

• сума будь-яких двох сторін трикутника більша V за третю сторону. М о ж на переконатися в оберненому: я к щ о сума диох б у д ь -я ки х в ід р із к ів б іл ьш а за тр е тій в ід р із о к , то ці тр и в ід р із к и м о ж у ть бути сторонам и т р и к у т н и к а . Н алежно від ве л и ч ин к у т ів т р и к у т н и к и п о д іл я ю ть на гострокутні (у с і к у т и го с тр і — рис. 143), прямо141 тні (один к у т п р я м и й — рис. 144) та тупокутні (один к у т т у п и й — рис. 145).

Рис. 143

Рис. 144

Рис. 145

Я кщ о в и м ір я т и к у т и д е я ко го т р и к у т н и к а тр а н спортиром та зн а й ти їх с ум у, то отрим аєм о 180°. У ста р ш и х кл а са х буде доведено в а ж л и в у властииіить к у т ів т р и к у т н и к а :

сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°. Т ом у б у д ь -я ки й т р и к у т н и к м о ж е м ати не більш е одного прям ого к у т а і не біл ьш е одного ту п о го к у т а . Що таке замкнена ламана? • Щ о таке м ногокут ник? * Щ о таке вершини многокутника? сторони многокутника? ку ти многокутника? • Щ о назива ють периметром многокутника? * Я к і бувають три ку тн и ки залежно від сторін? від кутів? • Я к і влас тивості сторін і ку т ів тр и кутн и ка ти знаєш?

159

Початковий рівень

714. Н а кр е сл и : 1) ч о т и р и к у т н и к ; 2) с е м и к у т н и к . 715. Н а кр е сл и : 1) п ’ я т и к у т н и к ; 2) ш е с т и к у т н и к . 716. В и зн а ч вид т р и к у т н и к а зал еж но від с то р ін і від к у т ів (рис. 146— 151).

Рис. 146

Рис. 147

Рис. 148

Рис. 149

Рис. 150

Рис. 151

Середній рівень 717. В и м ір я й сторони і к у т и т р и к у т н и к ів на р и с у н к у 152 і р и с у н к у 153. О бчисли їх п ерим етри і сум и к у т ів .

sfL

ВЛ

Рис. 152

Рис. 153

718. Н а кр е сл и д о в іл ь н и й т р и к у т н и к , в и м ір я й його сторони та к у т и , знайд и перим етр т р и к у т н и к а і сум у його к у т ів . 719. Н а кр е сл и т р и к у т н и к ABC, у я к о го АВ = 4 см, а АС = 5 см. В и м ір я й сторону ВС та зн а йд и перим етр тр икутн и ка . 720. П о б уд уй т р и к у т н и к FLP, у я к о го Z.LPF = 105°. З на й д и м ір и двох ін ш и х к у т ів цього т р и к у т н и к а .

160

І if 1) Н а кр е сл и т р и к у т н и к DEF, у я к о го DE З см, a EF = 5 см. В и м ір я й сторону DF та знайди периметр т р и к у т н и к а . 2) П о будуй т р и к у т н и к A B C , у я к о го ZABC —70°. Знайди м ір и двох ін ш и х к у т ів цього т р и к у т н и к а . 722. К о ж н а сторона т р и к у т н и к а дор івн ю є 5 см. Я к називається т а к и й т р и к у т н и к ? З найди його п е р и метр. П ерим етр р ів н о сто ро н н ього т р и к у т н и к а нює 36 см. З найди сторону т р и к у т н и к а .

д о р ів

724. З найди перим етр в о с ь м и к у т н и к а , д в і сторони я ко го д о р ів н ю ю ть 3 см, а всі ін ш і — по 4 см. З найди перим етр ш е с т и к у т н и к а , тр и сторони я ко го д о р ів н ю ю ть по 5 см, а тр и ін ш і — по 6 см. 726. Одна сторона т р и к у т н и к а дор івн ю є 25 см, друга її 2 рази б іл ь ш а за пе рш у, а третя на 10 см менш а під д р уго ї. З найди перим етр т р и к у т н и к а . П ерш а сторона т р и к у т н и к а дор івн ю є 18 см, друга — 24 см, а третя ко р о тш а від д р у го ї на 5 см. Знайди перим етр т р и к у т н и к а . 728. Земельна д іл я н к а т р и к у т н о ї форми має пе ри метр 1200 м. Одна з і с то р ін дор івн ю є 380 м, ін ш а — 670 м. Обчисли третю сторону. П ериметр т р и к у т н и к а дорівню є 25 см. Д в і сто рони т р и к у т н и к а до р івн ю ю ть по 9 см. Знайди тре тю сторону т р и к у т н и к а . Я к називається т а к и й т р и кутник? 730. Одна сторона т р и к у т н и к а дор івн ю є 48 дм, д р у гії — а де ци м е тр ів, а третя — b де ц и м е тр ів. С клади ґіу кв е н и й вираз для обчислення периметра т р и к у т н и ки та знайд и його, я к щ о а - 42 і b - 57.

Достатній рівень

731. Один к у т т р и к у т н и к а до р івн ю є 60°, ін ш и й — •10°. Знайди градусну м ір у третього к у т а т р и к у т н и к а . І І о . С. Істер “Математика", 5кл.

161

rrj-di^L

732. Один к у т т р и к у т н и к а дор івн ю є 40°. сум у двох ін ш и х к у т ів цього т р и к у т н и к а .

Знайди

1) Один к у т т р и к у т н и к а д о р івн ю є 50°, д р у ги й на 10° б іл ь ш и й за п е р ш и й . З найди гр а д усн у м ір у третього к у т а т р и к у т н и к а . 2) О дин з го с тр и х к у т ів п р я м о ку т н о го т р и к у т н и к а д о р івню є 15°. З найди гр а д усн у м ір у д р уго го го строго к у т а цього т р и к у т н и к а .

734. Н а кр е сл и т а к і т р и к у т н и к и : 1) 2) 3) 4) 5) 6)

р ізн о с то р о н н ій го с т р о к у т н и й ; р ізн о с то р о н н ій п р я м о к у т н и й ; р із н о с то р о н н ій т у п о к у т н и й ; рівнобедрений го с т р о к у т н и й ; рівнобедрений п р я м о к у т н и й ; рівнобедрений т у п о к у т н и й .

735. 1) З найди перим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а , основа я к о го д о р івн ю є 10 дм, а б іч н а сторона — 8 дм. 2) П ерим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а дор івн ю є 40 см, а його основа — 18 см. З найди б іч н у сторону тр и кутн и ка . 7 3 » П ерим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а дор івн ю є 42 см, а б ічна сторона — 15 см. З найди основу т р и кутника. 737. П ерим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а дорівню є ЗО см, а б ічна сторона — а са н тим етрів . С кл ад и б у квений вираз для обчислення основи т р и к у т н и к а . Об ч и сл и її, я к щ о а = 11. Основа рівнобедреного т р и к у т н и к а д орівню є 16 см, а перим етр — Р са н ти м е тр ів . С кл ад и буквен и й вираз для обчислення б іч н о ї сторони т р и к у т н и ка . О бчисли, я к щ о Р = 40. 739. Одна із с то р ін ч о т и р и к у т н и к а до р івн ю є 5 см, друга на 1 см м енш а від п ерш ої, третя — у два рази біл ьш а за п е р ш у і на 4 см довш а за четверту. З н а й д іть перим етр ч о т и р и к у т н и к а .

162

§и Одна із с то р ін п ’ я т и к у т н и к а дор івн ю є 10 см, а іо ж н а наступна на 1 см ко р о тш а від попередньої. • (іімйди периметр п ’ я т и к у т н и к а . V I I . На допом огою л ін ій к и і тра н спо р ти ра побудуй і |>п к у т н и к : І ) д ві сторони я к о го д о р ів н ю ю ть 3 см і 4 см, а к у т м іж н и м и 80°; 2) одна сторона я к о го д о р івн ю є 6 см, а к у т и , щ о п р и л я га ю ть до ц іє ї сторони, становлять 50° і 70°. За допом огою л ін ій к и і тра н спо р ти ра побудуй і рикутник: 1) одна сторона я к о го д о р івн ю є 5 см, а к у т и , щ о п р и л я га ю ть до неї, становлять 100° і 30°; 2) дві сторони я к о го д о р ів н ю ю ть 7 см і 3 см, а к у т м іж н и м и становить 50°. В исокий рівень 7 ІЗ. Одна сторона т р и к у т н и к а на 2 см м енш а від другої і на 3 см м енш а від третьої. З найди сторони і р и к у т и н к а , я к щ о його перим етр д о р івн ю є 35 см. Одна сторона т р и к у т н и к а в 2 рази м енш а від д р угої і на 8 см м енш а від третьої. З найди сторони ір и к у т н и к а , я к щ о його перим етр д о р івн ю є 48 см. V ІЛ. П ериметр рівнобедреного т р и к у т н и к а до р івн ю є ІГ> дм, а основа в 2 рази ко р о тш а від б іч н о ї сторони. Знайди д о в ж и н и с то р ін т р и к у т н и к а . 7 lit. З найди сторону р івн о сто ро н н ього т р и к у т н и к а , її к що нона м енш а на 42 см за перим етр т р и к у т н и к а . V 17. Чи існ ує т р и к у т н и к , сторони я к о го д о р ів н ю ю ть : 1 )1 2 см, 5 см і 7 см; 3) 8 см, 3 см і 13 см?

2) 15 дм, 12 дм і 9

дм;

■ 1Н Чи м о ж у ть в ід р із к и даної д о в ж и н и бути стороипмп т р и к у т н и к а : І ) б дм, 7 дм і 13 дм; 2) 2 м, 3 м і 5 м; 3) 4 см, 5 см і 8 см?

163

749. ^ С к іл ь к и т р и к у т н и к ів к у 154 і р и с у н к у 155?

зображено

на

рисун

Рис. 155

ф 750.

Вправи для повторення С прости вираз і зна йд и його зн а че нн я:

1) 15а - а, я к щ о а = 97, 28; 2) 19л + 16/1, я к щ о п = 100, 15. 751. І З Д ва оператори к о м п ’ ю терного набору о тр и м али від за м о в н и ка р у к о п и с з 260 с т о р ін о к . П е р ш и й оператор набрав 120 с т о р ін о к , р е ш ту — д р у ги й , За в и к о н а н у роботу п е р ш и й оператор отрим ав від за м о в н и ка на 300 гр н . м енш е, н іж д р у ги й . Я к у о п ла ту отрим ав за свою роботу п е р ш и й оператор і я к у — д р у ги й , я к щ о оплата набору о д н іє ї с т о р ін к и в операторів однакова? 752. ф С кл а д и ум ови задач за р и с у н к а м и і р о зв’ я ж и їх , в и ко р и с то в у ю ч и р ів н я н н я : 1)

164

Прямокутник. Квадрат Ми р и с у н к у 156 зображено ч о т и р и к у т н и к , у я к о го всі к у т и п р я м і. Т а к и й ч о т и р и к у т н и к , я к відом о з м олодш их к л а с ів , називається прямокутником.

Протилежні сторони прямокутника рівні між соЛ»и>, тобто АВ = DC і AD = ВС. С торони п р я м о к у т н и ка , я к і не є п р о т и л е ж н и м и , називаю ть довжиною І шириною (це с у м іж н і сторони). Сума д о в ж и н у с іх < горіи п р я м о к у т н и к а — це його периметр Р.

■ "X

Рис. 156

Рис. 157

Нішедемо ф орм улу для обчислення перим етра Р п р я м о к у т н и к а , д о в ж и н а і ш и р и н а я к о го д о р ів н ю ю ть 0 I b иідповідно (рис. 157). Маємо / > = (а + Ь) + (о + і)) = а + сі + й " І" 6 = 2 а ■+■ 26. Вираз 2 а + 2b м о ж н а записати ін а к ш е : 2(а + Ь). Д ій сн о , я к щ о в останньом у ви р а зі р о з к р и т и д у ж к и , 1о отрим аєм о 2 а + 2 Ь. О тж е, маємо ф орм улу для об числення периметра п р я м о к у т н и к а :

Р = 2(а + Ь) . П ерим етр п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є .10 см, а одна з його с то р ін — 5 см. З найди ін ш у сто рону. Розв'язання. М аємо Р = ЗО см, нехай а = 5 см. Годі, п ід ста ви вш и зн а че нн я а у ф орм улу, дістанем о р іи н я н н я ЗО = 2(5 + Ь). Р о зв’ я ж е м о його: 2(5 + Ь) = - ЗО; 5 + Ь = ЗО : 2; 5 + Ь = 15; Ь = 15 - 5; Ь = 10. • И ж е, друга сторона д о р івн ю є 10 см. П р я м о к у т н и к , у я к о го всі сторони р ів н і м іж соОою, називається квадратом. Н а р и с у н к у 158 зобра>инмо квадрат, сторона я к о го до р івн ю є а.

165

Очевидно, щ о перим етр Р цього к в а д рата м о ж н а зн а й ти т а к :

Р = а + а + а + а = 4 а. О тж е , квадрата:

д іста л и

ф орм улу

периметра

Р = 4а Я ка фігура називається прямокутником? квад ратом? 9 Я к знайти периметр прям окутника, якщ о відомі дві його с у м іж н і сторони? 9 Знайди пери метр квадрата, якщ о відомо його сторону.

Початковий рівень

753. В и м ір я й на р и с у н к у 157 сторони п р я м о к у т н и к а та обчисли його перим етр за ф ормулою. 754. З найди перим етр квадрата, сторона я ко го д о р ів ню є 5 см. За допом огою л ін ій к и і к о с и н ц я побудуй кв а д рат з і стороною 6 см. О бчисли перим етр квадрата.

Середній рівень

756. За допом огою л ін ій к и побудуй у зо ш и ті п р я м о к у т н и к з і сторонам и 4 см і 3 см. Знайди перим етр цього п р я м о к у т н и к а . Знайди периметр п р я м о ку т н и к а , одна з і сторін я к о го дорівню є 8 см, а друга на 2 см більш а за перш у.

Достатній рівень 758. З аповни та б л и ц ю (а і b — сторони п р я м о ку т н и к а , а Р — його перим етр).

20 см

18 см

Р 166

8 дм 2м 28 дм

14 м

759 П ерим етр п р я м о к у т н и к а до р івн ю є 100 м, а одна з його сто р ін д о р івн ю є Ь м. С кл а д и буквений вираз для обчислення др угої сторони. Обчисли його значен ня , я к щ о Ь = 22 м. 760. С торони п р я м о к у т н и к а д о р івн ю ю ть 8 дм і 14 дм. О бчисли сторону квадрата, периметр я ко го дор івн ю є перим етру п р я м о к у т н и к а . З дроту ви го то в и л и п р я м о к у т н и к з і сторонами 12 см і 8 см. Ч и м о ж н а було з цього дроту виготовити: 1) ква д р а т з і стороною 10 см; 2) п р я м о к у т н и к з і сторонам и 7 см і 14 см?

Високий рівень 762. П ерим етр п р я м о к у т н и к а дор івн ю є 42 см. З н а й ди йо го сторони, я к щ о : 1) одна з н и х на 3 см б іл ьш а за ін ш у ; 2) одна з н и х у 2 рази б іл ь ш а за ін ш у . Одна з і с то р ін п р я м о к у т н и к а на 2 дм більш а за ін ш у . З найди ц і сторони, я к щ о перим етр п р я м о ку т н и к а д о р івн ю є 40 дм. 764. П е ри м е тр и двох п р я м о к у т н и к ів р ів н і м іж со бою. Ч и м о ж н а ств е р д ж ув а ти , щ о сторони одного п р я м о к у т н и к а д о р ів н ю ю ть сторонам ін ш о го ? Наведи п р и кл а д и . 765. З на й д и д о в ж и н у сторони квадрата, якщ о вона на 12 см м енш а від його периметра.

766. ^

О бчисли:

1) 247 315 + 47 203; 3) (5273 - 4318) • 27;

2) 4711 - 3250 : 26; 4) (125 368 + 414 314) : 37.

767. 3 двох м іс т , від стань м іж я к и м и 168 к м , одночасно н а зу с тр іч один одном у в и їха л и велоси педист, ш в и д к іс т ь я к о го 14 к м /г о д , і м ото ц и кл іст, ш в и д к іс т ь я к о го в 3 рази біл ьш а за ш в и д кість вело-

167

сипедиста. Через с к іл ь к и го д ин п іс л я п о ч а т к у р у х у зу с тр ін у ть с я велосипедист і м о то ц и кл іс т ?

Рівні фігури Г е о м е тр ичн і ф ігу р и м о ж у т ь бути р ів н и м и . Я к щ о в и р іза н у з ка ртон а д е я к у ге о м е тр и чну ф ігу р у , н а пр и I кл ад м н о г о к у т н и к , п о кл а с ти на ар' к у ш паперу, обвести по п ерим етру Рис. 159 і в и р іза ти ще один м н о г о к у т н и к , то о держ им о р ів н і м н о г о к у т н и к и (рис. 159). Д в і ф ігу р и , я к і м о ж н а н а кл а с ти одна на одну т а к , щоб вони с у м іс ти л и с я , назива ю ться рівни

ми фігурами. В ід р із к и , д о в ж и н и я к и х од н а кові, м о ж н а на кл а сти один на одного т а к , щ о вони сум істя ться . Н а р и с у н к у 160 зображено в ід р із к и АВ і ко ж ний з яки х має д о в ж и н у 3 см. Т а к і в ід р із к и р ів н і м іж собою: АВ = MN. О тже, в ід р із к и , я к і м а ю ть о д н а ко в і д о в ж и ни, р ів н і. К у т и , щ о м а ю ть о д н а ко в і гр а д у с н і м ір и , р ів н і м іж собою. Н а р и с у н к у 161 гр а д у с н і м ір и к у т ів ABC і KLM д о р ів н ю ю ть по 40°. Т о м у ZABC = ZKLM. Т р и к у т н и к и , щ о м а ю ть р ів н і сторони і к у т и , р ів н і м іж собою. Н а р и с у н к у 162 АВ = PQ, ВС = QR, СА = = RP і ZA = ZP, ZB —ZQ, ZC = ZR. Т о м у т р и к у т н и к и ABC і PQR р ів н і м іж собою. Це м о ж н а записати т а к : A ABC = A PQR.

МАГ,

А *-

м*~

Зсм

-•В

З см

-*N

Рис. 160 168

Рис. 161

Рис. 162

§23 п равил ьно і н а в п а к и : я к щ о А А В С = = APQR, то АВ = PQ, ВС = QR , СА = RP, Z A = ZP, ZB = ZQ, ZC = ZR. У п р я м о к у т н и к у всі к у т и п р я м і, а п р о т и л е ж н і сторони р ів н і м іж собою. Т о м у прямокутники, що мають рівні суміжні сторони, рівні між собою. Н а р и с у н к у 163 AD = K N і АВ = KL, то м у п р я м о к у т н и к и ABCD і K L M N р ів н і м іж собою. Також

/іII

1 II!

Рис. 163 З а ува ж и м о , щ о

рівні многокутники мають рівні периметри. Я к і фігури називаються рівними? » Коли рівним и є відрізки? кути? тр икутни ки ? прям окутники?

Початковий рівень

768. Я к і з п р а п о р ц ів на р и с у н к у 164 р ів н і м іж со бою?

А Рис. 164

769. Н а кр е сл и в ід р із о к МК. В и м ір я й його д о в ж и н у і н а кр е сли р ів н и й йом у в ід р із о к PL. Д ано в ід р із о к CD (рис. 165). В и м ір я й його до в ж и н у та н а кр е сл и р ів н и й й о м у в ід р із о к АВ.

169

D Рис. 165

Рис. 166

771. Д ано к у т ABC (рис. 166). В и м ір я й його градус н у м ір у і н а кр е сл и к у т M N K , щ о дор івн ю є даном у. Н а кр е сл и к у т M N P. В и м ір я й йо го гр а д усн у м ір у і на кр е сл и к у т ABC, щ о до р івн ю є к у т у M NP.

1^ 3

Середній рівень

773. Ч и р ів н і а р к у ш і одного зош ита? Ч ом у? 774. Н а кр е сл и д в і р ів н і м іж собою ф ігу р и , щ о с к л а даю ться з тр ьо х к л іт и н о к зо ш и та , і о дну, їм не р ів н у, я к а т е ж складається з трьох к л іт и н о к зош ита. Н а кр е сл и тр и ф ігу р и , к о ж н а з я к и х скл ад а ється з п ’я ти к л іт и н о к зо ш и та , т а к , щоб д в і ф ігу р и бул и р ів н і м іж собою, а третя їм не р ів н а . 776. В ідом о, щ о ААВС = ADEF, АВ - DE, ВС = EF. Зроби схе м а ти ч н и й р и с у н о к та за п и ш и р ів н іс т ь к у т ів , щ о ви п л ива є із ц и х ум ов. В ідом о, щ о т р и к у т н и к и PQR і K L M р ів н і м іж собою, ZP = Z K , ZQ = ZL. Зроби с х е м а ти ч н и й р и с у н о к та за п и ш и р ів н іс т ь сто р ін , щ о випливає із ц и х умов. 778. Зроби н е о б х ід н і в и м ір ю в а н н я і з ’я с у й , ч и р ів н і м іж собою т р и к у т н и к и , зо б р а ж е н і на р и с у н к у 167, та п р я м о к у т н и к и на р и с у н к у 168.

R L

170

§ІЧ

Достатній рівень

779. В ідом о, щ о А А В С = A K L M , Z A = Z К , ZB - ZL, Z С = 40°, LM = 5 см, К М - 4 см. З найди д о в ж и н и с то р ін ВС і А С т р и к у т н и к а ABC та гр а д усн у м ір у к у т а М т р и к у т н и к а KLM. НО. В ідом о, щ о A M N L - ААВС, M N = АВ, NL - ВС, ZN = 20°, Z M = 50°, АС = 8 см. З найди д о в ж и н у сто рони ML т р и к у т н и к а MNL та гр а д у с н і м ір и к у т ів А і В т р и к у т н и к а ABC. 781. П р я м о к у т н и к и ABCD і K L M N р ів н і м іж со бою. П ерим етр п р я м о к у т н и к а ABCD д о р івн ю є 40 см, KL = 8 см. З найди сторони п р я м о к у т н и к а ABCD.

Високий рівень 782. Ч и іс н у є п р я м о к у т н и к з перим етром 18 см та к и й , щ о його м о ж н а п о д іл и ти на 2 р ів н и х м іж собою квадрати? У разі п о зи ти в н о ї в ід п о в ід і в и к о н а й р и с у н о к та обчисли перим етр утв о р е н и х кв а д р а тів .

Вправи для повторення 783. І З Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) (473 + х) : 37 = 18; 2) (х - 37) • 35 = 1015. 784. £ ! Т р и к у х а р к и за 4 год з л іп и л и 252 в а р е н и ки із ч о р н и ц я м и . За с к іл ь к и го д и н д ві к у х а р к и з л іп ля ть 294 в а р е н и ки , я к щ о будуть п р а ц ю ва ти з та ко ю самою п р о д у к т и в н іс т ю п р а ц і?

N) 2Міо Площа прямокутника і квадрата Щ о б д ізн а ти ся , с к іл ь к и фарби і ш палер необ хід но для рем онту кв а р т и р и , треба зн а ти площі п ід л о ги , стелі та с тін . В и зн а ч е н н я п л о щ і є т а к о ж в а ж л и в и м для розв’ я зува н н я багатьох ін ш и х п р а к т и ч н и х задач. За одиницю площі беруть п л о щ у одиничного квад рата, тобто т а ко го квадрата, сторона я к о го д орівню є

171

r c -гоил,

о д и н и ц і д о в ж и н и . Н а п р и кл а д , я к щ о д о в ж и н а сторо н и квадрата дор івн ю є 1 м, то в ін має п л о щ у 1 к в а д р а тн и й метр (за п и сую ть т а к : 1 м 2); я к щ о д о в ж и н а сторони квадрата 1 см (рис. 169), то йо го площ а до р ів н ю є 1 ква д р а тн о м у сан тим етру (1 см 2) тощ о. 1 см 1 см

Рис. 169

Рис. 170

Я к щ о п л о щ у д е я ко ї ф ігу р и м о ж н а розбити на тп кв а д р а тів з і стороною 1 см, то її площ а д орівню є т см 2. Т а к , площ а ф ігу р и на р и с у н к у 170 до р івн ю є З см 2. Тобто в и зн а ч и ти п л о щ у ф ігу р и — це означає д ізн а ти с я , с к іл ь к и о д и н и ч н и х кв а д р а тів у м іщ у є ть с я в д а н ій ф ігу р і. З п о ч а тко в о ї ш к о л и відом о, щ о

- Ф4 Для обчислення площі прямокутника треба ’ його довжину помножити на ширину. Я к щ о по значи м о сторони п р я м о к у т н и к а а і Ь, а його п л о щ у — S 1, то дістанем о ф орм улу п л о щ і п р я м о к у т н и к а (рис. 171):

S - а

Ь .

Д л я обчислення п л о щ і п р я м о к у т н и к а д о в ж и н и його сто р ін треба ви р а зи ти в о д н и х і т и х са м и х о ди н и ц я х : я к щ о а і b ви р аж е н о в ме тр а х , то площ а S в и м ір ю є ть с я у кв а д р а тн и х м етрах; я к щ о а і b в и раж ено в са н тим етра х, то S — у кв а д р а тн и х са н тим етрах тощ о. З найди п л о щ у п р я м о к у т н и к а з і сторонам и 1 дм і 8 см. 1 Від латинського слова superficies — поверхня.

172

§ if Розв'язання. 1 дм = 10 см, то S = 10 • 8 = 80 (см 2). К ва д р а т — це п р я м о к у т н и к , у а я к о го всі сторони р ів н і (рис. 172). Т о д і п л о щ у квадрата S з і стороною а м о ж н а зн а й ти т а к : S = а • а, або S = а2. Саме то м у д р у ги й сте п ін ь числа називаю ть квадратом цього числа.

Рис. 172 З н а йд и п л о щ у квадрата з і стороною 2 см 5 м м .

Розв’язання. 2 см 5 м м = 25 м м . Т о м у S = 2 5 2 = = 25 25 = 625 (м м 2). Р озглянем о д е я к і вл астивості п л о щ . З р озум іл о, що

рівні фігури мають рівні площі.

Р озглянем о п р я м о к у т н и к ABCD, д о р ів н ю ю ть 4 см і 5 см. А]

я к о го

\В

сторони

|с

Рис. 173 Лам ана K L M N розбиває ни (рис. 173). Одна із ча стин ін ш а — 8 см 2. П л о щ а всього = 20 см 2. П р и ц ьо м у 20 = 12 -І-

його на д в і ч а с ти має п л о щ у 12 см 2, а пр ям о кутни ка 4 • 5 = 8. О тж е,

площа фігури дорівнює сумі площ її частин. 173

Встановим о с п ів в ід н о ш е н н я м іж одиницями п л о щ . Н а р и с у н к у 174 зображено ква д р а т, сторона я к о го д о р івн ю є 1 дм. Т о м у йо го пл ощ а 1 д м 2. З і н ш о го б о ку , ква д р а т склад ається з і 100 к в а д р а т и к ів із стороною 1 см. Т о м у його пл ощ а дор івн ю є 100 см 2. О тж е, 1 д м 2 = 100 см 2 .

1 см 1 см 1дм = 10см Рис. 174 Ц е м о ж н а було встан о вити ще й т а к : 1 д м 2 = 1 дм • 1 дм = 10 см ■10 см = 100 см 2. М ір к у ю ч и а н а л о гіч н о , м о ж н а п о ка за ти , що 1 см 2 -- 100 м м 2 , 1 м 2 = 100 д м 2 - 10 0 0 0 см 2 . Д л я в и м ір ю ва н н я в е л и ки х площ (території держав, м а те р и ків) ви кори стовую ть квадратний кілометр —

174

fJ V 1 к м 2. Це площ а квадрата, сторона я ко го 1 к м , або 1000 м. П л о щ у та ко го квадрата м о ж н а знайти ще й т а к: 1000 м • 1000 м = 1 000 000 м 2. О тже, 1 к м 2 = 1 000 0 0 0 м 2 . Т е р и то р ія У к р а їн и становить 603 700 к м 2. П л о щ у садів, го родів, ін ш и х д іл я н о к зем л і в и м і рю ю ть т а к о ж в арах 1 (ар) та гектарах 2 (га ). А р (сот ка ) — площ а квадрата з і стороною 10 м. Т о м у 1 а = 100 м 2. Г е кта р — це площ а квадрата з і сто роною 100 м. Т о м у 1 га = 10 000 м 2, 1 га = 100 а, 1 к м 2 = 100 га. Чому дорівнює площа ф ігури, якщ о її можна роз' 2 ^ бити на 12 квадратів із стороною 1 см? • Щ о озна чає знайти площу фігури? • Я ки м и одиницями вимірюється площа? • Я к обчислити площу пря мокутника? квадрата? » Я к і властивості площ і ти знаєш? • Поясни, чому 1 дм2 = 100 см2. * В я ки х одиницях вимірюють площ і земельних ділянок? • С кіл ь ки квадратних метрів у арі? гектарі?

Початковий рівень 785. З найди площ у ко ж но ї ф ігу р и на рисун к а х 175— 177, я к щ о д о в ж и н а сторони к о ж н о го к в а д рата д о р івн ю є 1 см.

I I

Рис. 175

I I

Рис. 176

L L I

І '

ГГ

Рис. 177

786. О бчисли п л о щ у п р я м о к у т н и к а , я к щ о його сто рони д о р івн ю ю ть : 1) 25 см і 20 см; 2) 3 м і 25 дм. 1 Від латинського слова area — площа. 2 Від грецького слова hekaton — сто.

175

і * 7 О бчисли п л о щ у п р я м о к у т н и к а , я к щ о його сто рони д о р івн ю ю ть : 1) 14 дм і 8 дм ;

2) 5 см і 34 мм.

788. О бчисли п л о щ у квадрата за ф орм улою , я к щ о його сторона д о р івн ю є: 1) 8 м м ; 2) 14 см; 3) 5 дм. Обчисли п л ощ у квадрата, сторона я к о го д о р ів ню є: 1) 12 м;

2) 15 см.

790. Одна сторона п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 12 см, а ін ш а — на 2 см більш а за неї. Знайди площ у п р я м о ку тн и ка . 1) Одна сторона п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 15 см, а ін ш а — на 3 см м енш а від неї. З найди п л о щ у п р я м окутника. 2) Одна сторона п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 8 дм , а ін ш а — у 5 разів більш а за неї. Знайди площ у прям о кутника . 792. П р о а н а л ізу й л а н ц ю ж о к о д и н и ц ь п л о щ і: 1 м м 2 —> 1 см 2 —» 1 к м 2.

—>

1 д м 2—>1 м 2—>1 ар —► 1 га

—>•

У с к іл ь к и р а зів к о ж н а н а ступ н а о д и н и ц я б іл ьш а за попередню?

Середній рівень

793. В и к о н а й н е об хід н і в и м ір ю в а н н я для п р я м о к у т н и к ів та квадрата (рис. 178— 180) і знайд и ї х н і п е р и м етри та п л о щ і.

Рис. 178

Рис. 179

Рис. 180

Н акресли квадрат. Знайди його периметр і площ у.

£ гч 795. З на йд и п л о щ у квадрата, перим етр я к о го д о р ів ню є 20 м. 796. Я к , зн а ю ч и п л о щ у п р я м о к у т н и к а і одну з і сто р ін , зн а й ти ін ш у ? З аповни та бл и ц ю (а і b — сторони п р я м о к у т н и к а , S — його площ а).

а b S

15 см 24 см

13 см 260 см2

36 дм 900 дм2

П л о щ а п р я м о к у т н и к а дор івн ю є 840 см 2, одна з його сто р ін дор івн ю є 35 см. З найди ін ш у сторону. У д в о к ім н а т н ій к в а р т и р і ш и р и н а к о ж н о ї к ім н а ти 4 м, а їх н і д о в ж и н и — 4 м і 6 м. С к іл ь к и к в а д р а тн и х м е тр ів п а р ке ту п о тр іб но , щоб п о в н іс тю засте л и т и в к ім н а т а х п ід л о гу? 799. Сторона металевого листа ква д р а тн о ї форми 11 дм. З нього треба в и р іза ти кв а д р а тн і п л а сти н и площ ею 1 д м 2 к о ж н а . С к іл ь к и м о ж н а в и р іза ти т а к и х пластин? 800. В ир а зи : 1) у кв а д р а тн и х сантим етрах: 17 д м 2, 5 м 2, 1200 м м 2; 2) у кв а д р а тн и х м етрах: 7 га, 15 а, 3 а 27 м 2; 3) в арах: 12 га, 3 га 4 а, 2400 м 2; 4) у ге кта р а х : 370 000 м 2, 42 000 а, 3 к м 2. В ир а зи : 1) у кв а д р а тн и х м етрах: 17 га, 8 а, 3 га 2 а, 4200 д м 2; 2) у кв а д р а тн и х са н тим етрах: 12 д м 2, 3 м 2, 27 000 м м 2; 3) в арах: 2700 м 2, 14 га; 4) у ге кта р а х : 3 400 000 м 2, 5200 а, 5 к м 2. 802. З аповни п р о п у с к и : 1) 4 д м 2 = __________ см 2; 3) 12 см 2 = __ _____ м м 2; 5) 18 га = ___________м 2; 7) 2 м 2 = ___________ см 2; 1 2 О. С. Істер “Математика", 5 кл.

2) 4) 6) 8)

8 8 5 7

м 2 = _____________ дм 2; а = ________________м 2; к м 2 = _____________ м 2; д м 2 = ___________ м м 2. 177

re^aioL

803. Д о в ж и н а д іл я н к и зе м л і п р я м о к у т н о ї форми 720 м, а ш и р и н а на 80 м м енш а. З найди п л о щ у д і л я н к и в арах. 804. Д о в ж и н а д іл я н к и зем лі п р я м о к у т н о ї форми 600 м, а ш и р и н а на 350 м м енш а від д о в ж и н и . Об ч и сл и п л о щ у д іл я н к и в ге кта р а х .

805. П лощ а п о л я , щ о має п р я м о к у т н у ф орму, д о р ів ню є 54 га. З найди ш и р и н у цього поля, я к щ о його д о в ж и н а 900 м. 806. П лощ а п о л я , щ о має п р я м о к у т н у ф орму, д о р ів ню є 12 ар. Ш и р и н а д іл я н к и ЗО м. З найди д о в ж и н у д іл я н к и .

Достатній рівень 807. П р я м о к у т н і п л и ти для п о кр и т т я д о р іж к и мають р о зм ір и 120 см і 50 см. С к іл ь к и знадобиться т а к и х п л и т, щоб п о кр и т и д о р іж к у за в д о в ж ки 96 м і зав ш и р ш к и 3 м? 808. П ериметр п р я м о к у т н и к а дорівню є 116 см, а одна з і сторін — 38 см. Знайди п л ощ у п р я м о ку т н и к а . 809. П ерим етр п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 56 см і в 7 р а зів б іл ь ш и й за одну з і с то р ін . З найди п л о щ у п р ям о кутни ка. 810. З найди п л о щ у квадрата, перим етр я к о го д о р ів ню є п ерим етру рівн о сто ро н н ього т р и к у т н и к а з і сто роною 16 см. 81 1. З найди п л о щ у квадрата, перим етр я к о го д о р ів ню є перим етру п р я м о к у т н и к а з і сторонам и 32 см і 6 дм. 812. В и к о н а й н е о б х ід н і в и м ір ю в а н н я та знайд и п л о щ і ф ігу р , за ш тр и х о в а н и х на р и с у н к а х 181 і 182. 813. З найди п л о щ і ф ігу р , к у 183 і р и с у н к у 184.

178

зо б р а ж е н их

на

рисун

§ІЧ

Рис. 181

Рис. 182 10 см

5 см

3 см !} і

Рис. 183

} СМ

Рис. 184

814. З а м ін и х т а к и м ч исл ом , щоб утворилася п р а вильна р ів н іс т ь : 1) х см 2 = 1700 м м 2; 2) 90 ООО см 2 = х м 2; 3) 1500 м 2 = х а; 4) х га - 27 000 а. 815 П остав у к в а д р а т и к и т а к і числа, щоб у тв о р и л и ся п р а в и л ь н і р ів н о с ті: 1) 5 га 3 а = □ а; 2) □ м 2 = 180 000 см 2; 3) □ м м 2 — 2 см 2 13 м м 2; 4) 20 000 м 2 = □ а. 816. С к іл ь к и те п л и ц ь за в д о в ж ки 20 м і з а в ш и р ш к и 5 м м о ж н а р о зм іс ти ти на д іл я н ц і зем л і площ ею 2 га (від ста н н ю м іж те п л и ц я м и знехтувати)? 817. Земельну д іл я н к у п р я м о к у т н о ї ф орми, р о зм ір и я к о ї 90 м і 120 м, п о д іл и л и на д в і ч а с ти н и т а к , щ о площ а о д н іє ї ча сти н и у 2 рази б іл ьш а за п л о щ у і н ш ої. З найди п л о щ і ц и х ч а стин в арах. 818. П р я м о ку т н е поле за в д о в ж ки 1200 м і за в ш и р ш к и 650 м за сіяно ж и т о м . Н а 1 га ви сіва ю ть по 125 к г зерна. С к іл ь к и необхідно ж и т а , щоб за с ія ти поле?

12*

179

ГС-^CbUs

Високий рівень

819. Ч ом у дорівнює сторона квадрата, я кщ о його площа: 1) 25 дм 2;

2) 36 см 2;

3) 100 м м 2?

820. З найди перим етр квадрата, я к и й має т а к у саму п л о щ у, я к п р я м о к у т н и к з і сторонам и 2 см і 8 см. 821. Два п р я м о к у т н и к и м аю ть р ів н і п л о щ і. Ч и озна чає це, щ о п р я м о к у т н и к и р ів н і? Наведи п р и кл а д и . 822. Два п р я м о ку т н и к и маю ть р ів н і п л ощ і. Д о в ж и н а перш ого дорівню є 16 см, а його ш и р ин а в 4 рази мен ш а від до в ж и ни . Ш и р и н а другого п р я м о ку т н и к а 2 см. Знайди його д о в ж и н у. Знайди сторону квадрата, я к и й має т а к у саму площ у, я к і п р я м о ку т н и к и . 823. П ерим етр п р я м о к у т н и к а дор івн ю є 120 м, його д о в ж и н а на 10 м б іл ь ш а за ш и р и н у . З найди п л о щ у пр ям о кутни ка. 824. Ш и р и н а п р я м о к у т н и к а в 3 рази м енш а від до в ж и н и , а його перим етр дор івн ю є 80 дм. З найди площ у пр ям о кутни ка. 825. Д о в ж и н а п р я м о к у т н и к а 20 см. Я к і на с к іл ь к и зм іни ться його площ а, я к щ о ш и р и н у п р я м о ку т н и к а зб іл ь ш и ти на 2 см? 826. Д іл я н к а зем л і п р я м о к у т н о ї ф орми за сіян а п ш е ни ц е ю . Ш и р и н а д іл я н к и 800 м, а д о в ж и н а в тр и р а зи б іл ь ш а за ш и р и н у . З ц іє ї д іл я н к и зіб р а л и 4 8 0 т п ш е н и ц і. С к іл ь к и ц е н тн е рів п ш е н и ц і зібрали в середньому з 1 га? 827. Д о в ж и н а п р я м о к у т н и к а на 9 см б іл ьш а за ш и р и н у , а його перим етр дор івн ю є 66 см. П р я м о к у т н и к поділено на 3 р ів н и х п р я м о к у т н и к и . З н а йд и п л о щ у одного та ко го п р я м о к у т н и к а . 828. СЗ К о ж н у сторону квадрата ABCD зб іл ь ш и л и у 2 р а зи й о т р и м а л и к в а д р а т D K P L (р и с . 1 8 5 ). У с к іл ь к и р а зів зб іл ь ш и в ся перим етр квадрата і в

180

§14 с к іл ь к и — площ а? Я к зм ін я ть с я перим етр і площ а квадрата, я к щ о його сторону з б іл ь ш и ти в т разів? Зроби ви сн о во к. 829. С Знайди пл ощ і зображених на р исунках 186 і 187 ш ахових ф ігур (площ у к л іт и н к и приймаємо за 1 см2).

К ___________Р 1

— \

J s

\ —1--

С~~ L Рис. 186

Рис. 185

Рис. 187

830. ^ З найди перим етр п р я м о к у т н и к а , скл аденого з восьми р ів н и х кв а д р а тів , площ а к о ж н о го з я к и х д ор івню є 9 м 2 (р о згл я н ь два в и п а д ки ).

Вправи для повторення 831. £ Н е ха й Р — перим етр т р и к у т н и к а , а, Ь, с — й о го с то р о н и . З н а й д и ц і с то р о н и , я к щ о Р = 42 см , а = 2Р - 72, b = (а + 22) : 2. 832. 3 двох м іс т одночасно н а зу с тр іч один одному ви їха л и два автобуси. Ш в и д к іс т ь перш ого автобуса до р ів н ю є 48 к м /г о д , а д р уго го — 52 к м /г о д . П е р ш и й автобус пр оїха в до з у с т р іч і 192 к м . С к іл ь к и к іл о м етрів п р о їха в до з у с т р іч і д р у ги й автобус? Я к а в ід стань м іж м істам и? 833. ^ 3 З на й д и значення н е від о м и х a, b, с, d. 1)

415

172

329

729

•

714

Підказка а = 329 -1 7 2

Підказка а = 714 : 7

181

834. С кл а д и ум ови і р озв’ я ж и задачі, в и ко р и с то в ую ч и р ів н я н н я (с т р іл к а спрям ована в б ік б іл ьш о го числа).

у 2 рази

у 3 рази

у 5 разів

835. U У м а га з и н і є печиво в ко р о б ка х по 4 к г , 5 к г та 7 к г . Я к придбати 62 к г печива, не р о зкр и в а ю ч и к о р о б о к, щоб к іл ь к іс т ь ко р о б о к була найм енш ою ?

Прямокутний паралелепіпед. Куб. Піраміда С ір н и ко в а ко ро б оч ка , ц е гл и н а , дерев’ я н и й бр у со к, я щ и к , пенал даю ть у я вл е н н я про ге о м е тр и ч ну ф ігу р у , я к а називається прямокутним паралелепіпе дом (рис. 188).

Рис. 188 П оверхня пр ям о кутно го паралелепіпеда складаєть ся із ш ести п р я м о к у т н и к ів , я к і називаю ться його гранями. П р о т и л е ж н і гр а н і п р я м о ку т н о го паралеле п іп е д а п о п а р н о р ів н і. 1 8 2

§1Г Н а р и с у н к у 188 п р о т и л е ж н и м и гр а н я м и є ABCD і M LKN, AMLB і DNKC, AM N D і BLKC. Г р а н і ABCD і M L K N називаю ть ще основами паралелепіпеда. С торони граней називаю ть ребрами паралелепіпе да, а ве р ш и н и граней — вершинами паралелепіпеда. П р я м о к у т н и й паралелепіпед має 8 ве рш и н. У с іх ре бер є 12, по 4 р ів н и х м іж собою. Н а р и с у н к у 188: АВ = ML = N K = DC, A M = BL = СК = DN і AD = = ВС = LK = MN. Ребра AM , BL, СК і DN називаю ть ще висотами паралелепіпеда. З к о ж н о ї ве р ш и н и п р я м о ку т н о го паралелепіпе да ви хо д я ть тр и ребра. Д о в ж и н и ц и х ребер — це до вжина, ширина і висота п р я м о ку т н о го паралелепі педа (рис. 188), або його виміри. ч/

П л о щ а п о в е р х н і п р я м о ку т н о го п а ра л е л е піп е да — це сума п л о щ у с іх йо го гр а н е й.

Задача 1. Знайди п л ощ у поверхні S п р ям о кутн о го паралелепіпеда, я к щ о його в и м ір и дорівню ю ть а, Ь і с. Розв’язання. Н е ха й АВ = a, M N — b, A M = с (рис. 188). У двох граней д о в ж и н и с то р ін д о р ів н ю ю ть а і Ь. П л о щ а к о ж н о ї з н и х до р івн ю є ab. П лощ а к о ж н о ї з двох н а с ту п н и х граней — Ьс, а двох, щ о за л и ш и л и с я , д о р івн ю є ас. Т о м у п л о щ у п о в е р х н і S м о ж н а зн а й ти т а к : S = 2ab + 2Ьс + 2ас, або

S —2 {ab + Ьс + ас) . П р я м о к у т н и й паралелепіпед, у с і ребра я к о г о р ів н і, називається кубом (рис. 189). У с і гр а н і ку б а — р ів н і ква д р а ти . О чевидно, щ о площ а п о в е р хн і куб а з ребром а д о р івн ю є:

S = 6а2 " .

Рис. 189

Щ е о д нією ва ж л и во ю і ц ік а в о ю ф ігур о ю є пірамі да (рис. 190— 192). П о ве р хн я п ір а м ід и складається з основи і бічних граней. Б іч н і гр а н і п ір а м ід и — т р и к у т н и к и , щ о м аю ть с п іл ь н у ве р ш и н у, я к у називаю ть

вершиною піраміди, а основа п ір а м ід и — д о в іл ь н и й м н о г о к у т н и к , п р о т и л е ж н и й до ц іє ї ве р ш и н и .

183

«•£>

Рис. 191 Н азива ю ть п ір а м ід у по к іл ь к о с т і с то р ін м н о г о к у т н и к а , я к и й є основою п ір а м ід и . Н а п р и кл а д , на р и с у н к у 190 зображено ш е с т и к у т н у п ір а м ід у , а на р и с у н к у 191 — ч о т и р и к у т н у п ір а м ід у . Н а й п р о с тіш о ю п ір а м ід о ю є т р и к у т н а п ір а м ід а (рис. 192). У с і ї ї гр а н і т р и к у т н и к и . Т о м у к о ж н а з н и х м о ж е вв а ж а ти ся основою. Т а к само, я к і у п р я м о ку т н о м у п а ра л е піпе д і, сто р они граней називаю ть ребрами піраміди. Б іч н і гр а н і разом з основою п ір а м ід и н азиваю ть гранями піра

міди.

Рис. 193

Н а п р и кл а д , у т р и к у т н ій п ір а м ід і: 6 ребер і 4 гр а н і. Ф о р м у п ір а м ід м аю ть, н а п р и кл а д , д а в н ь о є ги п е тс ь кі п ір а м ід и . Одна з н а й в ід о м іш и х — п ір а міда Х еопса, висота я к о ї 147 м (рис. 193).

Наведи приклади предметів, які мають форму пря мокутного паралелепіпеда. » Скільки граней має прямокутний паралелепіпед? » Яку форму мають ці грані? • Скільки ребер у прямокутного парале лепіпеда? • Скільки в нього вершин? * На моделі прямокутного паралелепіпеда покажи його грані, ребра, вершини, протилежні грані, рівні грані та рівні ребра. » Який прямокутний паралелепіпед на зивають кубом? * 3 чого складається поверхня пі раміди? * Чим є бічні грані і чим — основа піра міди? • На моделі піраміди покажи її грані, ребра, вершину.

184

f u r ш

Початковий рівень

836. З н а йд и п л о щ у о д н іє ї гр а н і та п л о щ у п о в е р х н і куб а , ребро я к о го дор івн ю є 7 см.

Середній рівень 837. З на йд и за га л ьну д о в ж и н у в с іх ребер ку б а , я к щ о д о в ж и н а одного ребра: 1) 2 см; 2) 5 дм; 3) 13 мм. 838. П л о щ а о д н іє ї гр а н і ку б а 25 см 2. О бчисли п л о щ у його п о в е р хн і. 839 На р и с у н к у 194 зображено одну з гра ней куб а . В и м ір я й ребро ку б а і знайд и: 1) сум у д о в ж и н у с іх ребер ку б а ; 2) п л о щ у п о в е р х н і куб а . 840. Н а р и с у н к у 195 зображено п р я м о Рис. 194 к у т н и й паралелепіпед ABCDEFGH. Н а зви: 1) у с і гр а н і цього паралелепіпеда; 2) у с і ребра цього паралелепіпеда; 3) у с і ве р ш и н и цього паралелепіпеда; 4) ребра, щ о є сторонам и гр а н і AEFB; 5) ребра, щ о д о р ів н ю ю ть ребру НЕ; 6) гр а нь, щ о д о р івн ю є гр а н і EFGH ; 7) гр а н і, я к и м н а л е ж и ть верш ина Н; 8) гр а н і, дл я я к и х АВ є с п іл ь н и м ребром

185

841. С к іл ь к и (рис. 190): 1) гр а не й;

всього

842. С к іл ь к и (рис. 191):

всього

1) гр а не й;

ш ести кутної

п ір а м ід и

чо ти р и кутно ї

п ір а м ід и

2) ребер? у

2) ребер?

843. З найди п л о щ і граней ABCD, FBAE , CGFB пара лелепіпеда, зображ еного на р и с у н к у 195. 844. О бчисли сум у д о в ж и н у с іх ребер та п л о щ у п о в е р х н і паралелепіпеда, зображ еного на р и с у н к у 195. 845. О бчисли п л о щ у п о в е р х н і п р я м о ку т н о го парале лепіпеда, в и м ір и я к о го д о р івн ю ю ть : 1) 5 см, 3 см і 2 см;

2) 3 дм, 4 дм і 7 дм.

846. О бчисли сум у д о в ж и н у с іх ребер п р я м о ку т н о го паралелепіпеда, д о в ж и н а я к о го 8 см, ш и р и н а 5 см, висота 3 см. т

Достатній рівень

847. П р я м о к у т н и й паралелепіпед, с кл е єн и й з папе ру, р о зр іза л и вздовж його ребер. Г р а н і й о го зображ е но на р и с у н к у 196. 1) О бчисли п л о щ у к о ж н о ї гр а н і. 2) С к іл ь к и кв а д р а тн и х с а н ти м е тр ів п аперу треба для ви го то вл е н н я цього п р я м о ку т н о го парал ел епі педа (без ур а х у в а н н я запасів для скл ею ва н н я)? 848. Обчисли п л ощ у поверхні с ір н и ко в о ї ко р о б ки або пенала, я к и й має форму п р ям о кутн о го паралелепіпеда.

З см 1 CM

2 см Рис. 196

186

§1Г 849. З найди п л о щ у п о ве р хн і п р я м о ку т н о го паралеле піпед а, в и м ір и я к о го д о р івн ю ю ть : 1) 1 м , 2 дм, 40 см; 2) 80 м м , 5 см, 1 дм. 850. В и м ір и п р я м о ку т н о го паралелепіпеда 2 см, 4 см і 7 см. З на йд и п л о щ у : 1) н а й м е н ш о ї гр а н і; 2) н а й б іл ь ш о ї гр а н і.

851. Сума д о в ж и н у с іх ребер куб а 60 дм. Я к а д о в ж и на одного ребра?

852. Ч и м о ж у т ь д е я к і 4 гр а н і п р я м о ку т н о го парале лепіпеда м ати п л о щ і 2 м 2, 3 м 2, 6 м 2 і 7 м 2? 853. П лощ і трьох граней прям окутного паралелепіпеда 120 см2, 70 см2 і 84 см2. Обчисли площ у його поверхні. 854. П ір а м ід а має 2017 гр а не й. С к іл ь к и сто р ін має м н о г о к у т н и к , я к и й є основою п ір а м ід и ? 855. Основою п ір а м ід и є двадцятисем икутник. С к іл ь к и граней має ц я п ірам ід а?

856. Сума д о в ж и н у с іх ребер п р я м о ку т н о го парале лепіпеда дор івню є 36 дм. З найди сум у д о в ж и н трьох його ребер, що ви хо д я ть з о д н іє ї ве р ш и н и . 857. Висота п р я м о ку т н о го паралелепіпеда дор івн ю є 15 см, щ о на 5 см більш е за ш и р и н у і в 2 рази м е н ше від д о в ж и н и . З найди с у м у д о в ж и н у с іх ребер п а ралелепіпеда та п л о щ у його п о ве р хн і.

858. З найди ф орм улу для обчислення сум и д о в ж и н ребер L п р я м о ку т н о го паралелепіпеда з в и м ір а м и а, Ь і с. 859. Із ж е р с т і виготовлено бак без к р и ш к и . В ін має ф орму п р я м о ку т н о го паралелепіпеда, д о в ж и н а я к о го 80 см, ш и р и н а 50 см, а висота 40 см. Б а к треба п о ф арбувати ззо в н і та всередині. Я к у п л о щ у треба п о фарбувати? 860. А к в а р іу м має ф орму п р я м о ку т н о го паралеле піпеда. Й ого б іч н і с т ін к и с к л я н і. В и зн а ч п л о щ у п о в е р х н і с кл а , я к щ о д о в ж и н а а кв а р іу м а 50 см, ш и р и на 20 см, а висота 40 см.

187

Високии рівень 861. Ч и іс н у є п ір а м ід а , у я к о ї: 1) 2000 ребер; 2) 2005 ребер? Я к щ о від п о в ід ь п о зи ти в н а , в к а ж и м н о г о к у т н и к , я к и й є основою п ір а м ід и . 862 Ч и іс н у є п ір а м ід а , у я к о ї: 1) 107 ребер; 2) 250 ребер? Я к щ о від по в ід ь п о зи ти в н а , в к а ж и м н о г о к у т н и к , я к и й є основою п ір а м ід и .

863. П р я м о к у т н и й паралелепіпед і к у б м аю ть р ів н і п л о щ і п о в е р хн і. Д о в ж и н а паралелепіпеда 12 см, щ о в 3 рази більш е за ви со ту і на 3 см більш е за ш и р и н у. З на йд и ребро куб а .

864. Ребро одного ку б а в д в іч і б іл ьш е за ребро ін ш о го. У с к іл ь к и р а зів площ а п о в е р х н і п ерш ого ку б а б іл ь ш а за п л о щ у п о в е р х н і другого? 865 Б р у с о к, щ о має ф орму п р я м о ку т н о го парале лепіпеда, треба поф арбувати. В и м ір и бр уска 80 см, 70 см і 50 см. С к іл ь к и по тр іб но фарби, я к щ о на 1 д м 2 п о в е р хн і витрачаю ть 3 г фарби? 866. ф Сума в с іх ребер п р я м о ку т н о го паралелепі педа д о р івн ю є 288 см, п р и ч о м у висота в д в іч і м ен ш а від ш и р и н и і в т р и ч і м енш а від д о в ж и н и . З найди п л о щ у п о в е р хн і цього паралелепіпеда.

Вправи для повторення 867. ^ 3 М и к и т а К о ж у м ’ я к а в и ч и н и в 106 ш к у р . П е р ш і ч о ти р и го д и н и в ін в и ч и н я в по 16 ш к у р за го д и н у , а п о т ім почав в и ч и н я т и по 14 ш к у р за го д и н у . С к іл ь к и часу К о ж у м ’ я к а по тр атив на в и ч и н к у в с іх ш кур ? 868. ^ 3 С кл ад и та ро зв’ я ж и задачі за схем ам и (с т р іл к а спрям ована в б ік б іл ь ш о го числа):

188

у 2 рази

у 3 рази

Усього ?

869. €3 В ід ста н ь м іж Ч е р н іго в о м і Л у га н с ь к о м ста новить 870 к м . О 12 го д и н і із Ч е р н іго в а в Л у га н с ь к в и їха в автобус з і ш в и д к іс т ю 85 к м /г о д . О 14 го д и н і з Л у га н с ь к а у Ч е р н ігів в и їх а в автом обіль з і ш в и д к іс тю 90 к м /г о д . О к о т р ій го д и н і вони зу с тр ін у ть с я ? 870. © У двох бідонах разом 48 л м о л о ка, п р и ч о м у в одном у з н и х у д в іч і менш е, н іж в ін ш о м у . С к іл ь к и л іт р ів м о л о ка в к о ж н о м у бідоні? 871. ^ П ери м етр т р и к у т н и к а до р івн ю є 40 см, одна сторона — а см, а ін ш а — 15 см. С кл а д и вираз для обчислення третьої сторони т р и к у т н и к а . О бчисли її д о в ж и н у , я к щ о а = 8. Ч и м о ж е а д о р івн ю в а ти 5? до р ів н ю в а ти 21?

8 ;Эо Об’єм прямокутного паралелепіпеда І куба С ір н и ко в а ко р о б о ч ка п о в н іс тю вм іщ у є ть с я у пе н а л і, пенал — у ко р о б ц і з-п ід в зу ття . К а ж у т ь , що об’єм пенала б іл ь ш и й за об’єм с ір н и ко в о ї ко р о б о ч ки , а об’єм ко р о б ки з-п ід взу ття б іл ь ш и й за об’єм пенала. Об’ єм має к о ж н е тіл о . Об’єм м о ж н а ви м ір ю ва ти і ви р а ж а ти числом , я к щ о задано одиницю об’єму. За о д и н и ц ю об’ єм у беруть об’єм одиничного куба, тобто об’єм куб а , д о в ж и н а ребра я к о го дорівню є 1 о д и н и ц і д о в ж и н и : 1 м м , 1 см, 1 дм тощ о. О д и н и ц я м и об’ єм у є, на пр и кл а д , 1 кубічний сантиметр (1 см3) — об’єм куб а , д о в ж и н а ребра я к о го дорівню є 1 см (рис. 197); 1 кубічний дециметр (1 дм3) — об’єм куб а , д о в ж и н а ребра я к о го дорівню є 1 дм; 1 кубічний метр (1 м 3) — об’єм куб а , д о в ж и н а ребра я к о го дорівню є 1 м.

На р и сун ку 198 зображено ф ігуру, я к а складається з З к у б и к ів з ребром 1 см. Тому об’єм та ко ї ф ігури 3 см3. Я к щ о в и м ір и п р я м о ку т н о го паралелепіпеда вира ж е н о н а тур а л ь н и м и ч и сл а м и , то йо го об’єм п о ка зу є , с к іл ь к и о д и н и ч н и х к у б ів треба, щоб його за п о вн и ти . Виведемо правило обчислення об’ єм у п р я м о ку т н о го паралелепіпеда. Н е ха й його в и м ір и 5 см, 4 см і 3 см (рис. 199). 1 см

ь -

1 см2

У-

1 см

Рис. 197

\ У

/ у 1

- У /

Рис. 198

Рис. 199 Обчислимо, с к іл ь к и о д и н и ч н и х к у б ів з ребром 1 см, тобто к у б ів з об’ємом 1 см3, ум істи ться у цьому па ралелепіпеді. Основою п р ям о кутн о го паралелепіпеда є п р я м о к у т н и к з і сторонами 5 см і 4 см, том у основа м істи ть 5 • 4 к у б и к ів , тобто 20 к у б и к ів . Щ об повніс тю заповнити паралелепіпед, треба викл асти три та к и х ш ари, о с к іл ь к и висота паралелепіпеда 3 см. О тже, к іл ь к іс т ь у с іх к у б и к ів : 20 • 3 = 60. Об’ єм одного ку б и ка 1 см3, том у об’єм пр ям о кутно го паралелепіпеда 60 см3. М и зн а й ш л и об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда я к д о б уто к тр ьо х його в и м ір ів 5 - 4 - 3 (см 3).

190

І it

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів (довжини, ширини і висоти). Я к щ о п о зн а ч и ти об’єм б у кв о ю Vі , а в и м ір и — б укв а м и а, Ь і с, то маємо ф орм улу

~У = а Ьс . П ід час обчислень треба с т е ж и т и , щоб у с і в и м ір и в и р а ж а л и ся в о д н и х і т и х сам и х о д и н и ц я х д о в ж и н и : я к щ о , н а п р и кл а д , у с і в и м ір и подано в сантим етрах, то дістанем о об’ єм у см 3. П р и к л а д 1. В и м ір и п р я м о ку т н о го паралелепіпеда д о р ів н ю ю ть 3 дм, 12 см і 60 м м . З найди об’ єм пара лелепіпеда. Розв’язання. В иразим о в и м ір и в сантим етрах: З дм = ЗО см, 60 мм = 6 см. Т о д і V = ЗО • 12 6 = = 2160 (см 3). Д о б уто к д о в ж и н и і ш и р и н и (а • Ь) — це площ а основи. О тж е,

об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту. Я к щ о п о зн а ч и ти п л о щ у основи б у кв о ю S, а висо т у — б укв о ю h (рис. 200), то дістанем о ф орм улу

V = Sh .

а Рис. 200

1V — перша буква латинського слова volume — об’єм.

191

Об’ єм куб а , ребро я к о го д о р івн ю є а, обчислим о за ф ормулою : V = а ■а ■а, або:

V = а*

Саме то м у тр е тій с те п ін ь числа називаю ть куб о м цього числа. Знайдемо сп ів в ід н о ш е н н я м іж о д и н и ц я м и об’ єм у: 1 д м 3 — це об’єм ку б а з ребром 1 дм, або 10 см. Об’єм цього ку б а в к у б іч н и х сантим етрах д о р івн ю є 103 = 10 • 10 • 10 = 1000. О тж е, 1 дм 3 = 1000 см 3 , 1 м 3 = 1000 д м 3 . О с к іл ь к и 1 м = 100 см, то 1 м 3 = 100 • 100 • 100 = = 1 000 000 см 3. О тж е, 1 м 3 = 1 00 0 000 см 3

Д л я в и м ір ю в а н н я об’ єм у р ід и н и в и ко р и с то в у ю ть

літр (1 л). Л іт р м іс ти ть 1 д м 3 р ід и н и : 1 л = 1 дм3 . Д л я в и м ір ю в а н н я д у ж е в е л и ки х об’ є м ів , н а п р и кл а д м о р ів і о ке а н ів , в и ко р и с то в у ю ть 1 к у б іч н и й кіл о м е т р — об’ єм ку б а , ребро я к о го дор івн ю є 1 к м . О с к іл ь к и 1 к м = 1000 м, то 1 к м 3 = 10003 м 3, тобто: 1 к м 3 = 1 00 0 0 0 0 0 00 м 3 . Д л я в и м ір ю в а н н я н е в е л и ки х об’ єм ів в и ко р и с то в у ю ть о д и н и ц ю кубічний міліметр (1 м м 3). Фігура складається з 12 кубиків зі стороною 1 см кожний. Який об’єм цієї фігури? * Щ о таке кубіч ний сантиметр? кубічний метр? » Як обчислюється об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами а , Ь і с? » Як знайти об’єм прямокутного паралелепіпе да, якщо відомі площа основи й висота? » Як зна йти об’єм куба? * Скільком кубічним сантиметрам дорівнює один кубічний дециметр? * Скільком ку бічним дециметрам дорівнює один літр? * Скільком літрам дорівнює один кубічний метр?

§и Початковий рівень 872. О бчисли (усно) об’ єм п р я м о ку т н о го парал ел епі педа, я к щ о його в и м ір и а, 6, с д о р івн ю ю ть : 1) а = 2 см, 6 = 5 см, с = 8 см; 2) а = 3 дм, 6 = 4 дм , с = 2 дм. 873. З к у б и к ів з ребром 1 см (рис. 2 0 1 — 205). З найди їх об’ єм и.

складено

Рис. 202

Рис. 201

ф ігу р и

Рис. 203

а Рис. 204

Рис. 205

874. З н а йд и об’ єм и ф ігу р , зо б р а ж е н их на р и с у н к у 206 і р и с у н к у 207, я к щ о об’ єм к о ж н о го к у б и к а д ор івню є 1 м 3.

Рис. 206

Рис. 207

875. О бчисли об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда з в и м ір а м и : 1) 15 см, 20 см і ЗО см;

2) 2 м , 15 м і 40 м.

876. О бчисли об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда, я к щ о його в и м ір и : 1) а = 12 см, 6 = 15 см, с = 8 см; 2) а = 10 дм , 6 = 17 дм, с = 21 дм. 877. З найди об’ єм ку б а , ребро я к о г о д о р івн ю є: 1) 2 см;

2) 5 дм ;

1 3 О. С. Істер “Математика”, 5 кл.

3) 3 м.

193

878. З найди об’єм ку б а , ребро я к о г о д о р івн ю є: 1) 7 м м ;

2) 12 см.

879. Щ о б сп о р уд и ти басейн, в и ко п а л и за гл и бл е н ня, я ке має форму п р я м о ку т н о го паралелепіпеда. Д о в ж и н а загл ибл ення 8 м, ш и р и н а 7 м, гл и б и н а 2 м. С к іл ь к и к у б іч н и х м е тр ів зе м л і в и ко п а л и ?

Середній рівень

Я И В Н

880. Маса 1 см 3 м ід і 9 г. Я к а маса м ід н о го куб а , я к щ о д о в ж и н а його ребра 4 см? 881. Д о в ж и н а дерев’ я н о го б р уска 8 дм, ш ири на 2 дм, то вщ и н а 1 дм. Я к а його маса, я к щ о маса 1 д м 3 дерева дор івн ю є 630 г? 882. О бчисли (усно) об’ єм V п р я м о ку т н о го паралеле піпед а, я к щ о площ а його основи S і висота h д о р ів н ю ю ть: 1) S = 12 см 2, h = 4 см; 2) S = 28 д м 2, h - 2 дм. 883. З найди об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда, площ а основи я к о го дор івн ю є ЗО м 2, а висота — 4 м. 884. Р о згл я н ь л а н ц ю ж о к о д и н и ц ь об’єм у: 1 м м 3 —> 1 см 3 —> 1 д м 3 1 м 3. У с к іл ь к и р а зів к о ж н а о д и н и ц я об’ єм у, п о ч и н а ю ч и з д р уго ї, біл ьш а за попередню? У с к іл ь к и разів 1 д м 3 б іл ь ш и й за 1 м м 3? 1 м 3 б іл ь ш и й за 1 см 3? 885. В ир а зи : 1) у к у б іч н и х сантим етрах: 13 дм 3, 3 м 3, 5000 м м 3; 2) у к у б іч н и х децим етрах: 12 м 3, 6000 см 3, 7 л; 3) у л іт р а х : 4000 см 3, 8 д м 3, 5 м 3. 886. В ир а зи : 1) у к у б іч н и х сантим етрах: 8000 м м 3, 15 д м 3, 7 м 3; 2) у к у б іч н и х децим етрах: 15 л , 18 000 см 3, 13 м 3; 3) у л іт р а х : 27 000 см 3, 14 д м 3, 8 м 3.

Достатній рівень 887. Обчисли об’єм прямокутного паралелепіпеда, який м ож на скласти з восьми рівних кубів, як щ о ре бро кож ного дорівнює 6 см. 194

888. Сарай, щ о має ф орму п р я м о ку т н о го паралелепі педа, заповнено сін о м . Д о в ж и н а сараю 10 м, ш и р и на 5 м, висота 4 м. З н а йд и масу сін а в сараї, я к щ о маса 10 м 3 с ін а д о р івн ю є 6 ц. 889. У с к іл ь к и р а зів об’єм ку б а з ребром 5 см м ен ш и й від об’ єм у ку б а з ребром 2 дм? 890. У с к іл ь к и р а зів об’єм ку б а , ребро я к о го д о р ів ню є 4 см, м е н ш и й від об’ єм у ку б а , ребро я к о го до р ів н ю є 12 см? 891. Об’ єм к ім н а т и 90 м 3. Висота к ім н а т и 3 м. З н а й ди п л о щ у п ід л о ги . 892. О бчисли п л о щ у S основи п р я м о ку т н о го парале лепіпеда, я к щ о його об’єм V і висота h д о р ів н ю ю ть : 1) V = 780 см 3, h = 12 см; 2 ) V = 520 д м 3, h = 40 см. 893. П р и м іщ е н н я с кл а д у має ф орму п р я м о ку т н о го паралелепіпеда. Й ого д о в ж и н а 25 м, ш и р и н а 12 м і об’ єм 1200 м 3. З н а йд и ви со ту скл а д у. НІЙ. Об’ єм к ім н а т и становить 60 м 3, її висота 3 м, д о в ж и н а 5 м. З найди ш и р и н у к ім н а т и , п л о щ і її п ід л о ги та с тін . 895. Д о в ж и н а кл а с у 8 м, ш и р и н а 5 м і висота 3 м. У ньом у навчається 20 у ч н ів . С к іл ь к и кв а д р а тн и х м етрів п л о щ і та с к іл ь к и к у б іч н и х м етрів п о в іт р я в цьом у к л а с і припадає на одного у ч н я ? 896. П р я м о к у т н и й паралелепіпед з в и м ір а м и 8 см, 1 дм, 12 см р о зр іза л и на к у б и к и з ребром 2 см. С к іл ь к и к у б и к ів отрим али? 897. Н а р и с у н к у 208 і р и с у н к у 209 зображено ф ігу ри, я к і складено з о д н а ко в и х к у б и к ів . О бчисли їх об’ єм и, я к щ о ребро ку б а д о р івн ю є 5 см.

Рис. 208 із*

Рис. 209 195

ґе ^ д іи .

898. Н а р и с у н к а х 210 і 211 зображено ф ігу р и , я к і склад а ю ться з о д н а ко в и х к у б и к ів . О бчисли їх об’ єм и, я к щ о ребро к у б и к а дор івн ю є 4 см.

Р и с. 210

Р и с. 211

899. З а м ін и числом б у к в у х, щоб р ів н іс т ь була п р а ви льно ю : 1) 2) 3) 4) 5) 6)

8 дм 3 115 см 3 = х см 3; 15 д м 3 18 см 3 = х см 3; 15 см 3 8 м м 3 = х м м 3; 17 м 3 2 дм 3 = х л; 5 м 3 112 д м 3 217 см 3 = х см 3; 8 дм 3 5 см3 12 м м 3 = х м м 3.

9(Ю. Встав у к л іт и н к у та ке число, щоб р ів н іс т ь була п равильною : 1) 2) 3) 4)

7 см 3 129 м м 3 = □ м м 3; 17 д м 3 8 см 3 = П см 3; 25 м 3 12 д м 3 = □ л; 8 дм 3 115 с м 3 2 м м 3 - □ м м 3.

901. Б а к для води мае ф орму п р я м о ку т н о го парале лепіпеда з в и м ір а м и 1 м 70 см, 1 м і 80 см. С к іл ь к и л іт р ів води в м іщ у є бак? 902. 1 л води має масу 1 к г . С к іл ь к и то н н води м іс ти ть ся в резервуарі, щ о має ф орму п р я м о ку т н о го п а ралелепіпеда з в и м ір а м и 5 м , 2 м і 3 м? 903. О дин з резервуарів для зб е р іга н н я води має ф орму п р я м о ку т н о го паралелепіпеда з в и м ір а м и 2 м 20 см, 4 м і 1 м 50 см ; а ін ш и й — ф о р м у к у б а 3 ребром 2 м 50 см. Я к и й з резервуарів м іс ти ть б ільш е води? Н а с к іл ь к и л іт р ів ? 904. В а кв а р іу м , щ о має ф орму п р я м о ку т н о го п а ралелепіпеда з а в ш и р ш к и 40 см і за в д о в ж ки 60 см, влито 8 відер води по 12 л у к о ж н о м у . Я к а гл и б и н а н а л и то ї води?

196

§ и 905. Д о в ж и н а а кв а р іу м а 70 см, ш и р и н а 45 см, висо та 65 см. С к іл ь к и відер води по 9 л у к о ж н о м у тре ба в л и ти в цей а к в а р іу м , щоб р ів е н ь води був н и ж ч е від верхнього к р а ю а кв а р іу м а на 5 см?

Високим рівень 906. К у б і п р я м о к у т н и й паралелепіпед м аю ть одна к о в і об’єм и. З найди ребро ку б а , я к щ о в и м ір и п р я м о ку тн о го паралелепіпеда д о р ів н ю ю ть 9 см, 3 см і 1 см. П о р ів н я й п л о щ і п о в н и х поверхонь парал ел епі педа і куб а . 907 З найди об’ єм ку б а , я к щ о площ а його п о в е р х н і д о р івн ю є 150 см 2. 908. У с к іл ь к и р а зів зб іл ь ш и ть с я об’ єм ку б а , я к щ о його ребро зб іл ь ш и т и в 2 рази? 909. У с к іл ь к и разів зб іл ь ш и ть с я об’єм п р я м о к у т н о го паралелепіпеда, я к щ о йо го д о в ж и н у з б іл ь ш и ти в 2 рази, ш и р и н у — у 4 рази, а ви со ту — у 3 рази?

Розв’язання. Н е ха й д о в ж и н а паралелепіпеда — а, ш и р и н а — Ь, висота — с. Т о д і його об’ єм V = abc. П іс л я зб іл ь ш е н н я маємо паралелепіпед з д о в ж и н о ю 2а, ш и р и н о ю 4 b і висотою Зс. Й о го об’ єм Vx = 2а • 4Ь • Зс = (2 • 4 • 3) • abc = 24 abc, тобто в ін у 24 рази б іл ь ш и й за об’єм п о ч а тко в о го п а ралелепіпеда. 910. У л и в а р н ій м а й сте рн і ви го то в и л и деталь, я к а складається з двох п р я м о к у т н и х паралелепіпедів (рис. 212). С к іл ь к и к у б іч н и х дец и м е тр ів м еталу п о тр іб н о для то го , щоб в ід л и ти т а к у деталь? п ’ я ть та к и х деталей? 911. О бчисли об’ єм за л із н о ї деталі, зображ еної на р и с у н к у 213 (у с і в и м ір и на р и с у н к у дано в с а н ти м е т рах). С к іл ь к и гр а м ів в а ж и ть ц я деталь, я к щ о 1 см 3 заліза в а ж и ть 8 г?

197

Рис. 212 912. ^ В и м ір и б р уска м ила, щ о має ф орму п р я м о к у т н о го паралелепіпеда, д о р ів н ю ю ть 8 см , 4 см і 2 см. Щ о д н я витр а чаю ть о д н а ко в у к іл ь к іс т ь мила. За 14 д н ів у с і в и м ір и м ила зм е н ш и л и ся в 2 рази. Н а с к іл ь к и д н ів ще ви ста ч ить цього м ила, я к щ о й нада л і ви тр а ч а ти м уть щ одня т а к у сам у к іл ь к іс т ь ?

Вправи для повторення 913. ^ 3 Н а я к е число треба п о д іл и ти 185, щоб остача дорівню вала 3, а неповна ч а с тка 14? 914. ЩЗ О 8 го д и н і від с т а н ц ії в ід ій ш о в електропоїзд з і ш в и д кіс т ю 70 к м /г о д , а через 3 го д и н и у то м у са мом у н а п р я м і в ід ій ш о в д р у ги й електропоїзд з і ш в и д к іс т ю 65 к м /г о д . Я ко ю буде відстань м іж поїздам и о 16 годині? 915.

Р о зв’ я ж и р ів н я н н я :

1) (4 х + 5х ) • 13 = 1404;

2) ( 7х - х) : 12 = 315.

916. ^ М о т у з к у , д о в ж и н а я к о ї 91 м, р о зр іза л и на д в і ч а сти н и , одна з я к и х у 6 р азів довш а за ін ш у . Н а с к іл ь к и м е тр ів ц я частина м о т у з к и довша? 917. 0 Н а о д н ій ч а ш ц і терезів, щ о знаходяться в р ів н о в а зі, стоїть ба н ка із ц у к р о м , а на д р у г ій —

198

-м

в а ж к и масою 3 к г 500 г. С к іл ь к и гр а м ів ц у к р у зн а ходиться в б а н ц і, я к щ о п о р о ж н я б а н ка л е гш а від ц у к р у в 6 разів?

Домашня сам остійна робота № 5 і- в

Н а я к о м у р и с у н к у зображено го с тр и й к у т ?

А)

Б)

В)

2. 0 З найди р ів н ю є 7 см. А ) 49 см; 3 - 0 О бчисли 9 см і 4 см. А ) 13 см2;

перим етр квадрата, сторона я к о го до Б ) 28 см; В ) 21 см; Г) 35 см. п л о щ у п р я м о к у т н и к а , щ о має сторони Б) 36 см2;

В) 26 см2;

4. 0 За да ни м и р и с у н к а 214 обчисли гр а д усн у м ір у к у т а MON• А ) 50°;

Г)

Б ) 40°;

Г) 16 см2.

\М

\ 8 0 ° /\ у й о ° j -------- > У »------- ъ

2 № Г) 70°Рис. 214 5. V.1 Одна із сто р ін т р и к у т н и к а дор івню є 20 см, др уга — у 2 рази довш а за пер ш у , а третя — на 8 см ко р о тш а від д р у го ї. З найди перим етр т р и к у т н и к а . А ) 92 см; Б ) 32 см ; В) 108 см; Г) 56 см. 6. 0 Маса 1 см 3 м ід і 9 г. Я к а маса м ід н о го куб а , я к щ о д о в ж и н а йо го ребра 5 см? А ) 1350 г ; Б ) 225 г; В) 1125 г; Г) 45 г. 7. ^ 3 Н а р и с у н к у 215 ОМ — б і сектриса к у т а АОВ, ОК — б іс е к триса к у т а АОМ. /.К О М = = 29°. Знайди градусну м ір у к у т а АОВ. A ) 126°; Б ) 106°; B) 96°; Г ) 116°.

199

8. f 3 П р я м о к у т н и к и ABCD і K L M N р ів н і м іж собою. П ерим етр п р я м о к у т н и к а ABCD дор івн ю є 42 см; KL = = 8 см. З найди д о в ж и н у сторони K N .

А ) 34 см;

Б ) 17 см;

В) 13 см;

Г) 8 см.

9. ф Сума д о в ж и н и в с іх ребер п р я м о ку т н о го парале лепіпеда дор івн ю є 60 см. З найди с у м у д о в ж и н трьох його ребер, щ о ви хо д я ть з о д н іє ї ве р ш и н и . А ) ЗО см;

Б ) 20 см;

В ) 15 см;

Г) 12 см.

10. £f! Одна сторона т р и к у т н и к а на 2 см м енш а від д р у го ї і на 4 см м енш а від третьої. З найди д о в ж и н у н а й м е н ш о ї сторони т р и к у т н и к а , я к щ о його перим етр д о р івн ю є ЗО см. А ) 6 см; Б ) 8 см; В) 10 см; Г) 12 см. 11. ф Я к и м із за п р оп о н о ва н их чисел м о ж е в и р а ж а ти ся загальна к іл ь к іс т ь ребер п ір а м ід и ? А ) 2012;

12.

Б ) 2017;

В) 2001;

Г) 1999.

К у б і п р я м о к у т н и й паралелепіпед м аю ть одна к о в і об’ єм и. З найди ребро ку б а , я к щ о в и м ір и п р я м о к у т н о го паралелепіпеда д о р ів н ю ю ть 2 см, 4 см і 8 см. А ) 2 см;

Б ) 4 см;

В ) 6 см;

Г) 8 см.

Завдання для перевірки знань № 5 (§ 19—§26) І - © З н а йд и перим етр і я к о го д о р івню є 17 см.

п л о щ у квадрата, сторона

2. З н а йд и перим етр і п л о щ у п р я м о к у т н и к а , одна з і сторін я к о го дорівню є 12 см, а ін ш а — у 3 рази менша. 3. З найди об’ єм і п л о щ у поверхн і ку б а з ребром 4 дм. 4. 0 В и м ір я й к у т АОВ на р и с у н к у 216 транспортиром і побудуй к у т CDM, градусна м ір а я к о го на 10° більш а за градусну м ір у к у т а АОВ. 2 0 0

А/

Рис. 216

$ 5. 0 Встав числ а в п о р о ж н і к л іт и н к и : 1) 15 д м 2 = □ см 2;

2) 8 д м 3 = □ см 3.

6. 0 З на йд и об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда, в и м ір и я к о го д о р ів н ю ю ть 8 см, 5 см і 1 дм. 7. ^ Одна сторона т р и к у т н и к а д о р івн ю є 7 см, а ін ш а — на 2 см м енш а від п е рш о ї. П ерим етр т р и к у т н и к а д о р івн ю є 18 см. З н а йд и третю сторону т р и к у т ника. 8. £ Н а р и с у н к у 217 ZAOK = 120°, /М О В = 135°. З найди к у т МОК.

9. ф Об’єм п р ям о кутн о го паралелепіпеда дорівнює 90 см 3. Й о го д о в ж и н а д о р івн ю є 6 см, висота — 3 см. Знайди сум у д о в ж и н у с іх ребер цього паралелепіпеда. 10. ^ 3 Д о д а тко ве за вд а н ня . З б іл ь ш и ться ч и зм ен ш и ть ся площ а п р я м о к у т н и к а , я к щ о одну з його сто р ін зб іл ь ш и ти у 8 р а зів , а ін ш у зм е н ш и ти в 2 рази? У с к іл ь к и разів? 11. (Э Д о д а тко ве за вд а н ня. П р я м о к у т н и й паралеле п іп е д і к у б м аю ть о д н а ко в і об’ єм и. В и м ір и парале лепіпеда д о р ів н ю ю ть 8 дм, 4 дм і 2 дм. З найди ребро куб а . П о р ів н я й п л о щ і поверхонь, а т а к о ж су м и до в ж и н у с іх ребер паралелепіпеда і куб а .

2 0 1

Д Р О Б О В І ЧИ С ЛА І Д і ї З НИМ И

У цьому розділі ви: 9 пригадаєте 7 поняття звичайного дробу; 9 ознайомитеся 1. з правильними т а неправильними дробами, j мішаними числами; десятковими дробами, поняттями середнього арифметичного, відФ сотка; Э навчитеся порівнювати звичайні дроби з однаковими знаменниками, додавати і віднімати дроби з однаковими знаменниками, виконувати всі дії над десятковими дробами; розв’язувати найпростіші задачі з відсотками.

[

—f*

♦». ,(|і||

Звичайні дроби Д о сі розгл ядал ися в 5-м у к л а с і н а ту р а л ь н і числа і число 0. А л е , я к відом о з м о л о д ш и х к л а с ів , у мате м а т и ц і іс н у ю т ь ін ш і числа — дробові. В ізьм ем о с м у ж к у п аперу і пр ийм е м о ї ї д о в ж и н у за оди н и ц ю . П о д іл и м о с м у ж к у на д в і р ів н і ч а сти н и (рис. 218). К о ж н а із ц и х ча сти н буде однією другою , або половиною ц іє ї с м у ж к и . Н а р и с у н к у 219 бачимо яб л у к о , розрізане на тр и р ів н і „ ч а с ти н и . К о ж н а ча стина доРис. 218 2 0 2

р ів н ю є одній третій

двом третім

Ґ2Л

ГГі

я б л у ка , а д ві ч а с ти н и —

я б л у ка .

ч °/

Рис. 219 Ч исла —, і , ~ — дробові. Д робові числа за п и с у ю ть за допом огою двох н а ту р а л ь н и х чисел і горизон-

а b

та л ьної р и с к и у в и гл я д і —. Т а к і за писи називаю ть

звичайними дробами. Ч исло Ь, записане п ід рискою , називається знаменником дробу і показує, на с к іл ь к и р ів н и х частин поділено одиницю (ціле). Число а, запи сане над р и ско ю , називається чисельником дробу і по казує, с к іл ь к и взято р ів н и х частин о д и н и ц і (цілого).

Приклад 1. З в и ч а й н и й дріб — п о ка зу є , щ о ц іл е

5 число поділено на 5 р ів н и х ч а сти н і взято 3 т а к і час ти н и .

Приклад 2. Я к щ о в ід р із о к за в д о в ж ки 1 м п о д іл е но на 100 р ів н и х ч а сти н , то д о в ж и н а к о ж н о ї ч а сти н и становить 1 см. Т о м у м о ж н а за п и с а ти : 1 см = — м (одна сота 100 2 17 метра), 2 см = ------м (д в і со тих метра), 17 см = ------- м

100

(сім н а д ц я ть со тих метра) тощ о.

Приклад 3. О с к іл ь к и 1 к г = 1000 г, то 1 г = *

1000

к г (одна ти с я ч н а к іл о гр а м а ).

203

Розглянемо задачу на знаходж ення дробу від числа. 2 Задача 1. С к іл ь к и гр а д усів становить — р о зго р н у того кута ?

Р озв’язання. Р о зго р н у ти й к у т п о д іл и м о на 5 р ів н и х частин. — р о згорнутого к у т а дорівню є 180° : 5 = 5

= 36°, тоді — р о зго р н уто го к у т а — це 36° • 2 = 72°. 5 Р озглянем о задачу на зн а х о д ж е н н я ч и сл а за йо го дробом. Задача 2. Дорога від А до В дорівню є 120 к м , що 3 становить — дороги від А до С. Я ка відстань м іж А і С? 4 Розв’язання (рис. 220). О с к іл ь к и тр и четвертих дороги складає 120 к м , то одна четверта частина до р о ги д о р івню є 120 : 3 = 40 к м . Т о д і вся дорога в ч о т и р и рази довш а, н іж 40 к м , тобто д о р івн ю є 40 4 = = 160 к м . !

В 120 км Рис. 220

А *--- 1--- •--- І--- і--- 1--- 1--- 1-----0 I 1 8 1-

Рис. 221

Д робові числа, я к і н а ту р а л ь н і, м о ж н а зображ а ти на ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і. Н а п р и кл а д , для зо3 б р а ж е н ня дробу — (рис. 221) п о д іл и м о о д и н и ч н и й 8 в ід р із о к на 8 р ів н и х ча сти н . П о т ім від п о ч а т к у п р о м еня від кладем о послідовно 3 т а к і ч а с ти н и . Д іста н е3 мо т о ч к у А, я к а зображ ує число —. М о ж н а записати: Д о в ж и н а в ід р із к а ОА д о р івн ю є ^ о д и н и ц і.

204

%, Торт поділили на 8 рівних частин. Чому дорівнює кож на частина торта? 5 таких частин? » Щ о показує знаменник дробу? * Щ о показує чисельник дробу? Початковий рівень

918. П р о ч и та й дроби, назви ч и с е л ь н и к і зн а м е н н и к к о ж н о го дробу та п о я сн и , щ о вони означаю ть:

1 8

13 ; 4) — 17

5) — ; 15

919. М о л о ко з гл е ч и к а ро зл ил и у с к л я н к и чотирьом д іт я м — п о р ів н у к о ж н о м у . Я к у ч а с ти н у м олока одержала к о ж н а дитина? Я к це записати? !*20. Д іл я н к у ш л я х у , щ о рем онтується, п о д іл и л и на 5 р ів н и х ча стин . Т р и ч а с ти н и ремонтувала б іл ьш а бригада, а д в і ч а с ти н и — м енш а бригада. Я к у ч а сти н у д іл я н к и відрем онтувала к о ж н а бригада? 921. З а пи са ти у в и гл я д і дробу число: 1) одна третя; 2) одна дванадцята; 3) тр и сьо м их; 4) п ’я ть д в а д ц я ти х; 5) тр и д ц я ть с ім со ти х; 6) двадцять в іс ім сто п ’ я т н а д ц я ти х . 922. З а п и ш и у в и гл я д і дробу число: 1) одна сьома; 2) одна тр и н а д ц я та ; 3) тр и восьм их; 4) ч о ти р и двадцять п е р ш и х . 923. З а п и ш и дробом, я к у ч а с ти н у ф ігу р и за ш т р и х о вано (рис. 2 2 2 — 227).

Рис. 222

Рис. 224 205

Рис. 225

Рис. 226

Рис. 227

924. З а п и ш и дробом, я к у ч а с ти н у ф ігу р и за ш тр и хо вано (рис. 2 2 8 — 231).

Рис. 228

Рис. 229

Рис. 230

Рис. 231

925. О д и н и ц ю п о д іл и л и на 5, 7, 13, 24, 100, 317 р ів н и х ча стин. Я к назвати одну ч а с ти н у в к о ж н о м у із ц и х в и п а д ків ?

Середній рівень

( М

926. Я к називається: 1) одна сота ча стина метра; 2) одна ти ся ч н а частина то н н и ; 3) одна двадцять четверта частина доби; 4) одна ш істд есята ча стина год ини? 927. Я к називається: 1) одна сота частина гр и в н і; 2) одна ти ся ч н а частина кіл о гр а м а ; 3) одна ш істд есята частина х в и л и н и ? 928. У са д ку ЗО дерев, з н и х 13 виш ень. Я к у ч а с ти н у в с іх дерев становлять в и ш н і? 929. Н а кр е сл и в ід р із о к за в д о в ж ки 10 см та в ід р із к и , 1 2 3 .7 д о в ж и н и я к и х становлять —, —, — і — д о в ж и н и дано2 5 5 Ю го в ід р із к а .

206

і » 930. Н а кр е сл и в ід р із о к за в д о в ж ки 12 см та в ід р із к и , 1 2 1 .5 д о в ж и н и я к и х становлять —, —, — і — д о в ж и н и дано го в ід р із к а . 931. Н а кр е сл и в з о ш и т і квадрат з і стороною 3 см. П о д іл и його на 9 р ів н и х к в а д р а т и ків . З а ш т р и х у й — У 5 ве ли ко го квадрата в зелении к о л ір , а — — у червоУ ни й . 932. З аповни к л іт и н к и : 1) 1 мм = □ см;

2) 1 см = □ м;

3) 1 м = □ к м ; 5) 1 ц = □ т;

4) 1 к г = □ ц ; 6) 1 с = □ х в ;

7) 1 год = □ доби;

8) 1 к о п . = □ гр н .

933. Заповни п р о п у с к и : 1) 1 см = ____________дм ;

2) 1 дм = ---------------------м;

3) 1 г = ______________к г ;

4) 1 к г = ---------------------- т;

5) 1 хв = ___________ год;

6) 1 с = ---------------------год.

934. Р о б іт н и к в и к о н у є завдання за 8 год. Я к у час т и н у завдання в ін в и ко н а є за 1 год? 2 год? 5 год? 7 год? 935. А втобус долає від стань від А до В за 6 год. Я к у ч а сти н у в ід ста н і в ін проїде за 1 год? 2 год? 5 год? 5 936. С кл а д и задачу, р озв’ я зко м я к о ї є дріб —. 6 937. К у п и л и ш м а то к т к а н и н и за в д о в ж ки 2 м 40 см і з — ш м а тка п о ш и л и п л а ття для л я л ь к и . С к іл ь к и 6 са нти м етрів т к а н и н и п іш л о на плаття? з 938. У кл а с і ЗО у ч н ів , — з н и х — дівчата. С к іл ь к и дів5 чат у кл а сі?

207

939. У м о т к у 60 м. З н а йд и д о в ж и н и т а к и х йо го час тин: 1

і З

2) —; 4

8 )-L ; 12

4) — . 15

940. А в то м о б іл ь має п р о їх а ти від ста нь м іж м іс та м и А і В , я к а д о р івн ю є 360 к м . За п е р ш у го д и н у ма-

ш и н а пр оїха ла — цього ш л я х у . С к іл ь к и к іл о м е т р ів за л иш ил о ся п р о їх а ти автомобілю ? 941. В ід

дині

масою

3 кг

600

Ів а н у

в ід р іза л и

І ч а с ти н у, а М а р ії — І ч а с ти н у . З н а й д іть м асу к о ж ного ш м а тка . Я к а маса ч а с ти н и д и н і, щ о за л и ш и л а ся? 942. Я к и м числам в ід по в ід а ю ть т о ч к и А , В, С, D на ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і (рис. 232)?

AC D В І— і------------- 1 — і--------- 1 — і— і--------Рис. 232

Достатній рівень

943. Н а кр е сл и за допом огою тра н спо р ти ра к у т , щ о становить: З 5 1) — пр ям о го к у т а ; 2) — р о зго р н уто го к у т а . 5 6 944. В ир а зи : 1) у м етрах: 3 дм , 18 см, 5 дм 2 см, 3 м м , 1 см 5 м м ; 2) у го д и н а х: 5 х в , 7 х в , 15 с, 3 хв 5 с. 945. В ир а зи : 1) у то н н а х: 15 к г , 321 к г , 4 ц , 7 ц, 3 ц 12 к г ; 2) у го д и н а х: 7 х в , 5 с, 5 х в 12 с.

208

/з ? 946. С е р гій , Ів а н та П етро зібрал и разом 144 гр и б и . З 5 С ер гій зібрав — у с іх гр и б ів , а І в а н ---------у с іх гр и б ів . 8 16 С к іл ь к и гр и б ів зібрав Петро? А втобус проїхав 180 к м за тр и го д и н и . За пер5 ..................... ш у го д и н у в ін п р оїха в — у с іє ї в ід с та н і, а за д р у гу — 5 18 — у с іє ї в ід с та н і. С к іл ь к и к іл о м е т р ів п р оїха в автобус 12 за третю год ину? 948. П л о щ а двору д о р івн ю є 800 м 2. Д и т я ч и й майдан2 З ч и к займає — двору, а а в т о с т о я н к а ------- р е ш ти пло5 8 щ і. Я к а площ а а вто сто ян ки? М а га зи н отрим ав для р е а л іза ц ії 240 к г ц у к е р о к . 5 За п е р ш и й день в ін продав — о тр им ано го , а за дру3 ^ ги й — — р е ш ти . С к іл ь к и к іл о гр а м ів ц у к е р о к продав м агазин за два дні? 950. Д о в ж и н а

п р я м о ку т н о го

паралелепіпеда дорів5 ню є 36 см, ш и р и н а становить — д о в ж и н и , а висо-

2 6 т а -------ш и р и н и . З найди об’ єм п р я м о ку т н о го парале3 лепіпеда. 951. За день учень прочитав 36 с то р ін о к , щ о стано вить у к н и ж к и . С к іл ь к и с то р ін о к у к н и ж ц і?

С к іл ь к и м олока в б ід о н і, я к щ о — цього м олока 5 становлять 24 л? 6 953. У Ів а н к и 42 н а к л е й к и , що становить — к іл ь к о с 7 т і н а кл е й о к , я к і має Оля. У к о го з д ів ч а то к н а кл е й о к більш е? Н а с к іл ь к и ?

14 О. С. Істер ‘'Математика", 5 кл.

209

Високий рівень 954. За п е р ш и й день ту р и с т пр ой ш о в 24 к м , за дру7 ги й д е н ь -------то го , щ о п р ой ш о в за п е р ш и й , а за тре-

т ій день — — того, щ о за п е р ш і два д н і разом. С кіл ь 9 к и к іл о м е т р ів п р ой ш о в ту р и с т за тр и дні? 955. Ш и р и н а п р я м о к у т н и к а до р івн ю є 28 см, щ о ста4 новить — його д о в ж и н и . З найди перим етр та п л о щ у 5 пр ям о кутни ка. Ш и р и н а п р я м о ку т н о го паралелепіпеда дор івн ю є 2 4 20 см, щ о становить — д о в ж и н и і — висоти. З найди 3 5 п л о щ у п о в е р х н і цього паралелепіпеда. 957. О дин з двох д о д а н ків дор івн ю є 115 і становить g — сум и . З найди д р у ги й доданок.

З найди

5 2 число, —я к о г о д о р івн ю є — від чис6 9

ла 270. 959. V

А в то м о б іл ь за п е р ш у го д и н у п р оїха в — усьо5 го ш л я х у . Я к у ч а с ти н у ш л я х у й о м у за л иш ил о ся п р о їха ти ?

Розв’язання (рис. 233). А в то м о б іл ю зал иш ил о ся З п р о їх а ти — ш л я х у . 2 5 і*****}******

Рис. 233 2 1 0

З 5

Вправи для повторення

960. © О бчисли с у м у в с іх : 1) сем ициф рових чисел, я к і м е н ш і від 1 000 003; 2) ш е сти циф р о ви х чисел, я к і б іл ь ш і за 999 995.

числа число

961. ..ij Є квадрат. 1) П ерим етр квадрата п л о щ у квадрата. 2) П ерим етр квадрата квадрата зм е н ш и л и на квадрата? 3) П ерим етр квадрата квадрата зб іл ь ш и л и на квадрата?

д о р івн ю є

48 дм.

З найди

д о р івн ю є 16 см. С торону 1 см. Я к зм ін и л а с я площ а дор івн ю є 20 м . С торону 2 м. Я к зм ін и л а с я площ а

962. ^ 3 Б а ть ко придбав п ід забудову п р я м о к у т н у д і л я н к у зем лі з а в ш и р ш к и 20 м і за в д о в ж ки b м. Ч а с т и н у зе м лі площ ею т м 2 в ін віддав с и н у . Я к у п л о щ у батько за л и ш и в собі? С кл ад и б у кв е н и й вираз і об числ и й о го , я к щ о Ь = 25 м, т = 150 м 2.

Звичайні дроби і ділення натуральних чисел Р о зр іж е м о к а в у н на д в і р ів н і ч а с ти н и . Я к щ о в зя ти дві п о л о в и н ки , тобто —, ка вуна то матимемо ц іл и й

кавун. О тж е , — = 1. А н а л о гіч н о — = 1 , — = 1 і т . д. 2 3 4 Н е ха й треба р о зд іл и ти тр и я б л у к а м іж чотирм а д іть м и . Ч и сл о 3 не д іл и ть с я н а ц іл о на 4. Т о м у сп о ч а т к у п о д іл и м о к о ж н е я б л у ко на 4 р ів н і ч а с ти н и і матимем о 12 четвертин я б л у ка . Д ам о к о ж н о м у по З т а к и х ч а сти н и (рис. 234).

3 з О тж е, к о ж н а д и ти н а отрим ає по — я б л у ка . Д р іб — 4 4 о тр им ал и п р и д іл е н н і 3 я б л у к на 4 р ів н і ч а с ти н и , 3 тобто — = 3 : 4 . 4

фф ф ф Рис. 234 О тж е ,

значення дробу дорівнює частці від ділення чисельника дробу на його знаменник: а = а :Ь. і — Ь Разом з ти м

(

частка від ділення одного числа на інше дорівнюс дробу, чисельник якого дорівнює ділено му, а знаменник - дільнику: і а а : Ь = —.

За допом огою дробів м о ж н а записати результат д іл е н н я двох б у д ь -я к и х н а ту р а л ь н и х чисел. Я к щ о д і-

§ л лення в и ко н у є ть с я н а ц іл о , то ч а с тка є на тур ал ьн им числом. Н а п р и кл а д ,

Ой

36 : 4 = — = 9; б : 1 = - = 5. 4 1 Я к щ о н а ц іл о п о д іл и т и не м о ж н а , то ч а стка є дро бовим числом . Н а п р и кл а д ,

З апиш ем о число 4 у в и гл я д і дробу з і зн а м е н н и ко м 3. Д л я цього треба зн а й ти та ке число, пр и д іл е н н і я к о го на 3 отрим аєм о 4. Т а к и м є число З • 4, тобто 12. О тж е, 4 = — . З Б у д ь -я ке натуральне число м о ж н а записати у в и гл я д і дробу з б у д ь -я ки м н а тур а л ь н и м зн а м е н н и ко м . Ч и с е л ь н и ко м цього дробу є доб уток числа і цього зн а м е н н и ка . Я ким числом є частка, якщ о ділення виконується націло? » Я ким числом є частка, якщ о ділення не виконується націло? » Я к записати число 8 у ви гляді дробу з і знаменником З? 0

Початковий рівень

963. З а п и ш и у в и гл я д і дробу ч а с т к у : 1) 1 : 8; 2) 2 : 5; 3) 15 : 7; 4) 20 : 4; 5) 13 : 4; 6) 72 : 10. З а п и ш и у в и гл я д і дробу ч а с т к у : 1) 1 : 7;

2) 4 : 13;

3) 12 : 5;

4) 43 : 17.

965. З а п и ш и к о ж н и й дріб у в и гл я д і ч а с т к и і знайд и її значення:

'7>c-$dLc Середній рівень 966. За ти ж д е н ь ви ко р и с та л и 2 к г ц у к р у . С к іл ь к и к іл о гр а м ів ц у к р у в середньому ви ко р и сто в ув а л и за один день? 967. Я к е натуральне число записано дробом: 1)

2) — ; 3

3) — ? 9

Я ке натуральне число записано дробом: і) — ;

2) — ;

3 ,М ?

969. З аповни п о р о ж н і к л іт и н к и та б л и ц і. Частка

Дріб

Ділене

Дільник

Чисельник

Знаменник

4 :9 2 5

Достатній рівень

970. В и р іб на ко н в е є р і за 7 х в перем істився на 3 м. З найди ш в и д к іс т ь конвеєра. <>7 М о т у з к у за в д о в ж ки 9 м р о зр іза л и на 14 о д н а ко в и х ча сти н . З найди д о в ж и н у к о ж н о го ш м а тка м о ту з к и в м етрах.

Високий рівень 972. З а п и ш и число 9 у в и гл я д і дробу з і зн а м е н н и ко м : 1) 5; 2) 10; 3) 15. 97: З а п и ш и число 4 у в и гл я д і дробу з і зн а м е н н и ко м : 1) 7; 2) 100; 3) 29.

214

974. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) f = 8; 2) — = 11; 5 x 4 Р озв’ я ж и р ів н я н н я :

) ^

= 9;

4)-*® -«3. у +З

2) — = 3;

1) - = 9; 7 3 ) ^ 1

У = 11;

4) ——

= 7.

х - 2

976. ^ З а п и ш и число 12 у в и гл я д і дробу із чисель н и ко м : 1) 48; 2) 120; 3) 444.

Вправи для повторення 9 7 7 . ф П л о щ а тр ьо х д іл я н о к становить 138 га. П л о ща п е рш о ї д іл я н к и у 2 рази б іл ь ш а , н іж третьої, а площ а д р у го ї д іл я н к и у 3 рази б іл ьш а , н іж третьої. З найди п л о щ у к о ж н о ї д іл я н к и . 978. ф Т р и о д н а ко в и х к у б и к и з д о в ж и н о ю ребра З см с кл а л и разом т а к , щ о о тр им ал и п р я м о к у т н и й паралелепіпед. З найди об’ єм і п л о щ у п о в е р х н і о тр и маної ф ігу р и .

Порівняння звичайних дробів з однаковими знаменниками Р о зд ілим о п р я м о к у т н и к на 4 о д н а ко в і ч а сти н и (рис. 235). Д в і т а к і ч а с ти н и разом скл ад а ю ть поло ви н у п р я м о к у т н и к а . Тобто — п р я4 1 м о к у т н и к а д о р ів н ю ю ть — прям о2 к у т н и к а . Т о м у к а ж у т ь , щ о дроби 2 . 1 . . . 2 1 — і — рівні і за п и сую ть — = —.

2 "4

Рис. 235

215

Н а ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і р ів н і м іж собою дроби позначаю ться о днією і т іє ю самою т о ч к о ю (рис. 236). Д ва р ів н і дроби позначаю ть одне і те саме число.

Рис. 236 Н е ха й торт р о зр іза л и на 8 р ів н и х ч а сти н . Н а одну т а р іл к у п о кл а л и одну ч а с ти н у , а на ін ш у — тр и (рис. 237). Одна ча стина торта — це — торта, а 8 З тр и — — торта. О с к іл ь к и 1 ча стина менш е, н іж З 8 т а к і са м і ч а сти н и , то

Рис. 237

\Л Із двох дробів з однаковими знаменниками той дріб більший, чисельник якого більший, і той дріб менший, чисельник якого менший.

На рисунку 238 точка В Т

лежить лівіше від точ

.8, к и c ( ~ j . Більшому дробу на координатному промені

відповідає точка, що лежить правіше, а меншому — точка, що лежить лівіше. Наведи приклади двох рівних дробів з різним и чи сельниками, э Я к зображуються р ів н і дроби на ко ординатному промені? • Я ки й з двох дробів з од наковими знаменниками більший, а я ки й менший? • На координатному промені правіше лежить та точка, яка відповідає більшому числу чи меншому?

Початковий рівень 979. Я к и й з дробів б іл ь ш и й : іч 4 7 оч 9 7 оч 29 28 „ 1) — ч и — ; 2) — ч и — ; 3 ) -------- ч и ---------? 15 15 20 20 153 153 980. Я к и й з дробів м е н ш и й : 4 3 17 27 _ч 1 149 1) — ч и —; 2 ) -------ч и -------- ; 3) — ч и — ? 7 7 142 142 15 15 981. П о р ів н я й дроби:

7 •1 ттг; 5 оч 4— ! ) 77Г 2) — 18 18 29 П о р ів н я й дроби:

17; 3 3) ■7—і 1 —— 8 8

^ —;

Q4) й 142 142

7 1) — 12

і•—9 ; 12

оч 5 ■ 2) — і —4 ; 13 13

Q4— 3 і■ 3) '8 8

5 —;

18 4) ^ 39

.11 1 39

сч 4 . 5 5) —— і —— ; 137 137

сч 7 6) 115

й 115

Середній рівень

5 7 3 983. З а п и ш и дроби в п о р я д к у зростання: — , — , — ,

JL JL ї ї ’ 11*

217

Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , в зя в ш и за о д и н и ч н и й в ід р із о к 11к л іт и н о к зо ш и та . П означ точ3 5 1 8 10 к и , щ о в ід по в ід а ю ть дробам — , — , — , — , — . 11 11 11 11 11 985. Я к а з то ч о к л е ж и т ь л ів іш е на ко о р д и н а тн о м у п р ом е ні: ґ л \ 8 1) А ч и В\ — 2) С чи D 13 113 113 113 Я к и й з двох дробів розта ш о ва н ий на ко о р д и н а т но м у п р ом е ні пр авіш е : 1) — ч и —; 2) — ч и — ? 7 7 13 13 1 4 987. П о я с н и за допом огою р и с у н к а , ч о м у — - — . З 12 988. Н а кр е сл и в з о ш и т і в ід р із о к з а в д о в ж ки

12 см.

о 1 3 За допом огою в ід р із к а п о я сн и , ч о м у — = — . 4 12 О д и н и ч н и й в ід р із о к ко о р д и н а тн о го пром еня до р ів н ю є 8 см. П означ на ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і точ-

і В

( 4^1

990. З а п и ш и дріб: 1) б іл ь ш и й за — ; 17

о, - . 12 2) м е н ш и н від — . 43

Достатній рівень

а 991. П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х а дріб — мен4 ш и й від дробу у ? З а п и ш и всі ц і дроби. П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х х дріб — мен-

7 ш и й в ід дробу —? З а п и ш и всі ц і дроби. 9

218

зн а ч е н н я х b дріб — _Lo 4 9 б іл ь ш и й за дріб — , але м е н ш и й від дробу — ? З апи13 13 ш и всі ц і дроби.

993. П р и я к и х

н а ту р а л ь н и х

н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х у дріб — 15 13 7 м е н ш и й від дробу — , але б іл ь ш и й від дробу — ? За15 15 п и ш и всі ц і дроби. !Н>4. П р и я к и х

995. ^ С ф орм улю й правило п о р ів н я н н я двох дробів з о д н а ко в и м и ч и с е л ь н и ка м и .

Розв’язання. П о рівняєм о , н а пр и кл а д , дроби — і —. 2

Н а р и с у н к у 239 зображено — д е я ко го в ід р із к а і — 2 4 того самого в ід р із к а . Б ачим о, щ о — > —. О тж е , м о ж 2 4 на сф орм улю вати правило п о р ів н я н н я двох дробів з о д н а ко в и м и ч и се л ь н и ка м и :

чу- з двох дробів з однаковими чисельниками 4 ^ більшим є той, знаменник якого менший, а меншим — той, знаменник якого більший. f»000<X>0000<X^ 1 2 1

4 Рис. 239

Вправи для повторення

9 9 7 .1 3 В и к о н а й д іл е н н я з остачею: 1) 25 368 : 47;

2) 45 126 : 125.

998. ^ Одна з бригад м о ж е в и к о н а т и зам овлення (в и го то в и ти 3600 деталей) за 20 д н ів , д р уга — за ЗО д н ів , третя — за 60 д н ів . Щ о б в и к о н а т и це замов ле ння ш в и д ш е , бригади п р ац ю ва л и разом. За с к іл ь к и д н ів вони в и ко н а л и замовлення?

£,'И )о Правильні і неправильні дроби Ч и с е л ь н и к зви ч а й н о го дробу м о ж е б ути м е н ш и м від зн а м е н н и ка , м о ж е д о р івн ю в а ти й о м у або бути б іл ь ш и м за зн а м е н н и к. Д р іб , ч и с е л ь н и к я к о г о м ен ш и й від зн а м е н н и ка , називається правильним дро3 1 7 бом. Н а п р и кл а д , —, — , -------- п р а в и л ь н і дроби. 8 12 39 З П р а в и л ь н и й д р іб м е н ш и й в ід 1. Н а п р и кл а д , — < 1 8 (рис. 240). У з а га л і, я к щ о а і b — н а ту р а л ь н і числа і

а а < Ь, то — < 1. Ъ 0 А В С 1І І ¥t І І » <І З 8 11 8 8 8 Рис. 240 Д р іб , ч и с е л ь н и к я к о го б іл ь ш и й за з н а м е н н и к або д о р івн ю є й о м у, називається неправильним дробом. Н а п р и кл а д , І , -Ц, у — н е п р а в и л ь н і дроби. Я к щ о ч и с е л ь н и к і зн а м е н н и к н е пр а в и л ь н о го д р о бу р ів н і м іж собою, то т а к и й д р іб д о р ів н ю є 1. На220

§30 g п р и кл а д , — = 1 (рис. 240). У з а га л і, я к щ о а — довіль8

а а Якщо чисельник неправильного дробу більший за знаменник, то цей дріб більший за 1. Н а п р и кл а д , не число, то — = 1.

— > 1 (рис. 240). У з а га л і, я к щ о а і & — н а ту р а л ь н і 8

а b

числа і а > Ь, то — > 1. Р о згляд аю ть т а к о ж дроби ви д у —, де b — нату-

ральне число. В в а ж а ю ть , щ о т а к і дроби д о р ів н ю ю ть 0. Н а п р и к л а д , — = 0 , — = 0, — = 0 тощ о. 7 15 17 Я ки й дріб називається правильним? * Я ки й дріб називається неправильним? » У я к и х випадках дріб менший від 1? дорівнює 1? більший за 1? * Я ки й дріб більший — правильний чи неправиль ний?

Початковий рівень

т ппо л 1 5 3 7 24 9 12 1 999. Я к і з дробів —, —, —, —, — , —, — ,— п р а в и л ь н і, 5 7 2 7 31 7 11 2 а я к і — не пр а вил ьні? 5 17 3 4 5 12 1 В и п и ш и з дробів — , — , —, —, —, — , —: 12 17 4 3 5 5 8 1) п р а в и л ь н і; 2) н е пр а в и л ь н і.

Середній рівень 7 8 1001. В и п и ш и з д робів - , я к і: 1) м е н ш і від 1;

2) д о р ів н ю ю ть 1;

9 1 18 . - , — , — т і,

3) б іл ь ш і за 1. 2 2 1

л * * й. 7 Я к і з дробів 13 1) м е н ш і від 1; 2) д о р івн ю ю ть 1; 3) б іл ь ш і за 1?

110

1003. Н а п и ш и тр и п р а в и л ь н и х дроби з і зн а м е н н и ко м 7 і тр и н е пр а в и л ь н и х дроби з і зн а м е н н и ко м 6. 1004. Н а п и ш и з і зн а м е н н и ко м 5: 1) у с і п р а в и л ь н і дроби; 2) тр и н е п р а в и л ь н и х дроби; 3) дріб, я к и й дор івн ю є 1. Н а п и ш и із ч и с е л ь н и ко м 7: 1) тр и п р а в и л ь н и х дроби; 2) у с і н е п р а в и л ь н і дроби; 3) дріб, я к и й д о р івн ю є 1. 1006. Н а п и ш и два п р а в и л ь н и х і два н е п р а в и л ь н и х дроби, для к о ж н о го з я к и х сума ч и с е л ь н и ка і зн а м е н н и ка дор івню є 8. 1007. П о р ів н я й дроби:

4) 1 і — ; 13 5 . 18 7) — і — ; З 18

2) і і і 1;

3) І і 1;

5) — і 2 5 8) — 12

6) — і 4 ПЛ 7 . 9) 7

—; 4 . 12 і — ; 5

—; 6 111 і ---. 111

П о р ів н я й дроби: D 1 іі? 9 „ 5 . , 4) — ї ї ; 14 19 . 2 7) — і —; 19 З

- — 7- і........................... 2) 1; 3 ) 1 і13 — ; 12 13 1 . ІЗ 16 . 5 5) — і — ; 6) — і - ; ; 8 12 7 5 7 . 13 15 . 2 8) — і — ; 9) — і —. 13 7 15 2

1009. Я к и м дробам в ід по в ід а ю ть т о ч к и А, В, С, D і Е на ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і (рис. 241)? Я к і з дробів є п р а в и л ь н и м и , а я к і — н е пр а вил ьни м и ? 2 2 2

§30 о

I—« * -t

О А

4 ■ t f ■*H —

Рис. 241 1010. Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , у з я в ш и за о д и н и ч н и й в ід р із о к 9 к л іт и н о к . П означ т о ч к и , що 1 5 10 9 11 4 в ід по в ід а ю ть дробам — , —, — , —. У У У УУ У Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , у з я в ш и за о д и н и ч н и й в ід р із о к 7к л іт и н о к . П о зн ач т о ч к и , що _ 3 1 7 4 8 10 від по в ід а ю ть дробам - , - , . 7 7 7 7 77

Достатній рівень 1012. П р и

яких

н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х

буде правильним ? 1013. П р и

яких

н а ту р а л ь н и х

X х дріб —

g зн а ч е н н я х а дріб —

буде неправильним ? У к а ж и т а к і тр и значення а, п р и я к и х дріб п р а в и л ь н и й . П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х а дріб: а 5 1) — буде п р а в и л ь н и м ; 2) — буде неправильним ? 6 а 1015. Н а кр е сл и к о о р д и н а т н и й п р о м ін ь , вибравш и зр у ч н и й о д и н и ч н и й в ід р із о к , і познач т о ч к и , щ о від3 7 1 11 13 4 повідаю ть — ,— , — , , —.

1016. М а ш и н а за 8 х в м о ж е в и р и ти ка н а в у за вд о вж к и 1 м. Я к у за в д о в ж ки ка н а в у вириє м а ш и н а за 1 хв? 5 хв? 7 хв? 11 хв? 25 хв? 1017. К о ж н е з тр ьо х о д н а ко в и х я б л у к р о зр іза л и на 4 р ів н і ча сти н и . Я к а ча стина я б л у ка дістанеться д и т и н і, я к щ о їй дадуть: 1) 3 ч а сти н и ; 2) 7 ча сти н ; 3) 8 ч а сти н ; 4) 11 частин?

223

ГС^СІлЛ*

1018. Б ригада побудувала скл а д за 72 д н і. П л а но м 7 було передбачено — цього часу. С к іл ь к и д н ів було 6 відведено на б уд ів н и ц тв о с кл а д у за планом? Ф ермер планував зіб р а ти з поля 18 т ово чів, а зібрав — ц іє ї к іл ь к о с т і. С к іл ь к и то н н овочів зібрав 9 фермер? 1020. Т о ка р ви то чив на верстаті 105 деталей, в и ко -

н а вш и —

но рм и. Н а с к іл ь к и деталей то ка р переви-

1(7

ко н а в норм у? Т у р и с т пр ой ш о в за п е р ш и й день 12 к м , щ о становить ^ то го , щ о в ін п р ой ш о в за д р у ги й день. 5 С к іл ь к и к іл о м е т р ів п р ой ш о в ту р и с т за два дні?

Високий рівень 1022. У к а ж и всі н а ту р а л ь н і значення х, п р и я к и х буде правил ьно ю н е р ів н іс ть : 1)§<1; 7

2) — > 1.

1023. П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х а дріб —— — буде п р авил ьним ? П ри

яких

н а ту р а л ь н и х

зн а ч е н н я х

дріб

^ буде неправильним ? 11 + 26 1025. В и ко р и с то в у ю ч и числа 1, 3 і 7, за п и ш и всі м о ж л и в і дроби, к о ж н и й з я к и х : 1) б іл ь ш и й за 1; 2) м е н ш и й від 1; 3) д о р івн ю є 1.

224

§30 1026. С кл а д и із чисел 4, 5, 7, 9: 1) у с і м о ж л и в і п р а в и л ь н і дроби; 2) у с і м о ж л и в і н е п р а в и л ь н і дроби. 1027. П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х Ь: 1) обидва дроби — і — буд уть п р а в и л ь н и м и ; 8 b

12 Ь

8 Ь

2) дріб — буде н е пр а вил ьни м , а дріб — — правильним;

Ь 9 3) обидва дроби — і — будуть непр а вил ьни м и ? 7 Ъ Вправи для повторення 1028. © О бчисли, н а н н я д ій : 1) 959 - (159 + 3) 781 - (329 + 5) (541 + 359) 6) (342 + 975) -

вибравш и з р у ч н и й п о р я д о к в и к о 2 7 3); 2 8 1); (137 + 663); ( 775 + 242).

2) (584 + 137) - 484; 4) (4 9 7 + 382) - 182;

1029. Щ) У перш ом у в а го н і метро їха л о а осіб, у д р у го м у — b осіб. Н а з у п и н ц і з д р у го го вагона ви й ш л о с осіб. У чо м у суть т а к и х ви р азів : 1 ) а + Ь; 2) (а + Ь) - с; 3) Ь - с; 4 ) а + (Ь - с)? Ч ом у буде правильною р ів н іс т ь (а + Ь) - с = а + + (Ь - с)? П еревірте справедливість ц іє ї р ів н о с т і п р и а = 39, Ь = 52 і с = 24. 1030. Ч о т и р и о д н а ко в и х к у б и к и з ребром 1 см р о зм іс ти л и двома способами (рис. 242). З найди п л о щ у п о в е р хн і для к о ж н о го з в и п а д к ів . П о р ів н я й їх . а)

^ ^ ^ Z71 1 см

б) 1 см

Рис. 242 15 О. С. Істер“Математика", 5кл.

225

Г ф іи ,

SHo Мішані числа

' >>ишпііп^СРиЯПНЯІ

Н а ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і (рис. 243) зображено g

не пр а в и л ьни й дріб —. В ін м іс ти ть 1 ц іл у о д и н и ц ю 5 З З та ще — о д и н и ц і. Ц е за п и сую ть т а к : 1— (чита ється: 5 5 З З «одна ц іл а тр и п ’я т и х » ). Ч исл о 1-------це сум а 1 Н— , 5 5 я к а записана без зн а ка додавання. Ч исл о 1 назива3 З ю ть цілою частиною числа 1—, а ч и с л о ------ йо го дро5 5 8 З бовою частиною. Р о з гл я н у т і числа — і 1— р ів н і м іж 5 5 собою:

і - Л 5

К аж уть,

щ о з н еправил ьного дробу — ви діл ено 5 ц іл у та дробову ч а с ти н и . і— і—і— і— і—і—і— і—•—і— і---------0 1 8 2 5 Рис. 243 Щ о б в и д іл и т и ц іл у та дробову ч а с ти н и з непраg

ви л ьно го дробу —, р о зд іл им о 8 на 5. М аємо непо5 в н у ч а с т к у 1 і остачу 3. Ч и сл о 1 дає ц іл у ч а с ти н у , а остача 3 — ч и с е л ь н и к дробової ч а сти н и . 8:5=1

(ост. 3)

J 8 * I3 <—І 5 5

І___ t 226

$31 \ У Щ об виділити цілу частину з неправильного дробу, треба поділити чисельник неправиль ного дробу на знаменник. Тоді неповна частка буде цілою частиною, остача — чисельником дробової частини, а знаменник неправильного дробу — знаменником дробової частини. 42 П р и кл а д З 3 н еправил ьного дробу — в и д іл и ц іл у 5 та дробову ча сти н и .

Розв’язання. Д іл и м о 42 на 5. М аємо неповну ч а с тку 8 і остачу 2. О тж е ,

М = |Д 5

З 2 Т а к і числа, я к 1—, 8—, н азиваю ть мішаними чис5 5 лами (або мішаними дробами). Я к щ о ч и с е л ь н и к н е правил ьного дробу д іл и ть с я без о стачі на зн а м е н н и к, то цей дріб буде н а тур ал ь ним числом — ч а с тко ю від д іл е н н я ч и с е л ь н и ка на 6 15 зн а м е н н и к. Н а п р и кл а д , — = 2, — = 3 тощ о. К а ж у т ь , 6 15 3 5 що числа — та — не м аю ть дробової ч а с ти н и (або З 5 дробова ча стина дор івн ю є н у л ю ). П р а в и л ь н і дроби (у , ~ тощ о) не м аю ть ц іл о ї ч а с ти н и . К а ж у т ь , щ о ц іл а ча стина пр авил ьно го дробу д о р івн ю є н у л ю .

Щ о називається цілою частиною числа? його дробо вою частиною? * Назви ц іл у й дробову частини 3 1 7 чисел 8—, 11—, 19— - » Я к з неправильного дробу виділити ц іл у й дробову частини? • Коли непра вильний дріб можна записати у вигляді натураль ного числа (наведи приклади)?

15 *

227

Початковий рівень 1 8 1 17 1031. П р о ч и та й числа: 4 —, 5 —, 123—, 1— . Н азви З 9 2 27 ц іл у та дробову ч а сти н и чисел. 1032. З а п и ш и ко р о тш е : 1) 5 +

2) 7 + - ; 4

3) - + 19; 7

4) - + 15. 9

3) - + 4; 9

4) — + 23. 19

1033. З а п и ш и ко р о тш е : 1) 9 +

2) 7 + - ; 5

1034. З а п и ш и число у в и гл я д і сум и йо го ц іл о ї і дро бової ча сти н : 1) 7 - ; 8

2) 3 —; 5

3) 5 — ; 17

4) 14— . 18

1035. З а п и ш и число у в и гл я д і су м и його ц іл о ї і дро бової ча сти н : 1) 13—; 9

2) 5 - ; 7

3) 12— ; 136

4) 2 0 1 1 ^ — . 2012

1036. Н аведи п р и кл а д чисел, у я к и х ц іл а частина дор івн ю є н ул ю . Я к називаю ться т а к і числа? 1037. Н аведи п р и кл а д чисел, у я к и х дробова частина д о р івню є н у л ю . Я к називаю ться т а к і числа?

Середній рівень

1038. В и д іл и ц іл у і дробову ч а сти н и числа: ^ 21 оч 311 оч 36 ^ 125 1) — ; 2 ) ------- ; 3) — ; 4 ) -------; 5 100 3 7 сч 142 512 2569 оч 552 5 ) ------; 6 ) ------ ; 7 ) ---------; 8 ) ------- .

1039. В и д іл и ц іл у і дробову ч а сти н и числа: 1) — ; З

228

2) — ; ’ 10

3 ) ^ ; 4

4) ^57 8

§31 319 5) — ; 100

275 6) —— ; 25

_ч 1189 оч 1147 7) — — ; 8) 7 25

1040. З а п и ш и ч а с т к у у в и гл я д і дробу і перетвори на м іш ане число: 1) 10 : 3; 2) 113 : 7; 3) 125 : 10; 4) 139 : 15. 1041 З а п и ш и ч а с т к у у в и гл я д і дробу і перетвори на м іш ане число: 1) 27 : 2; 2) 147 : 5; 3) 313 : 13; 4) 3189 : 1000.

Достатній рівень 1042. П о р ів н я й : 1) 3 — і 3; 2) 4 — і 5; 8 7 Ю43. П о р ів н я й : 1) 8 - і 9; 7

3) 1— і 2 - ; 12 8

4) 7 - і 7 ^ . 9 9

2) 5 — і 5; 14

3) 1 2 - і 13— ; З 12

4) 3 — і З— . 19 19

1044. Н а кр е с л и к о о р д и н а тн и й п р о м ін ь , в з я в ш и за о д и н и ч н и й в ід р із о к 5 к л іт и н о к . П о зн ач на ньом у 7 13 т о ч к и , щ о в ід по в ід а ю ть н е пр а вил ьни м дробам —, — , 5 5 9 11 14 .й —, — , — , попередньо в и д іл и в ш и ц іл у та дробову 5 5 5 ч а сти н и к о ж н о го з н и х . 1045. В ир а зи : 1) у кіл о м е т р а х : 8 к м 113 м, 3 к м 8 м; 2) у го д и н а х: 3 год 19 х в , 7 год 1 хв. 1046. П о р ів н я й : 1 )2 і^ ; О

2) § І З . о

Ю 47. П о р ів н я й : 1) — і 6; З

2) 8 і — . З

229

1048. П о р ів н я й дроби, за писа вш и їх у в и гл я д і м іш а н и х чисел: „ 11 . 19 1) — і — ; 2 3

172 . 103 2 ) ------і ------- . 13 8

1049. В и д іл и ц іл у й дробову ч а с ти н и 25 252 числа в п о р я д ку їх зростання: — , ------ , 36

і за п и ш и всі 73 132 37 — , --------, 8 13 5

В исо кий рівень

1050. Я к і н а ту р а л ь н і числа

можна

п ід с та в и ти

за

м іс ть п, щоб н е р ів н іс ть п < | | була правильною ? 1051. Я ке найм енш е натуральне число м о ж н а під ста37 в и т и за м ість т , щоб н е р ів н іс ть т > — була пра6 БИЛЬНОЮ ?

1052 Я к и м н а й б іл ь ш и м н а тур а л ь н и м числом м о ж н а 37 з а м ін и т и т, щоб н е р ів н іс ть т < — була правиль-

ною? 1053. З а пи ш и тр и числа, щ о б іл ь ш і за 7, але м е н ш і від 8. 1054. Т ур и ст п р о й ш о в 19 к м за 4 год. З найди його ш в и д к іс т ь . 1055. У іе нь розв’ язав 9 р ів н я н ь за 32 хв. С к іл ь к и х в и л и н у середньому в ін розв’ язував одне р ів н я н н я ? 1056. Н а п о ш и т т я 15 о д н а ко в и х к о с т ю м ів майстерня п а н і Ш а п о к л я к ви тр а ти л а 32 м т к а н и н и . Ч и ви ста ч и ть 2 м т к а н и н и на п о ш и т т я одного костю м а? 1057. М а в п о ч ка А б у розфасувала 41 к г бананів у 5 о д н а ко в и х я щ и к ів . Ч и м о ж н а п о м іс т и т и в один я щ и к 8 к г бананів?

230

$ З І 1058. П е рш а бригада з п л о щ і 80 м 2 зібрала 6 ц м о р кв и , д р уга з 90 м 2 — 6 ц 20 к г , а тр е тя з і 100 м 2 — 8 ц . Н а д іл я н ц і я к о ї з бригад (у к г з 1 м 2) у р о ж а й н іс т ь була на й б іл ьш о ю ? У я к о ї — н а й м е н ш ою? 1059. ^

П ід б е р и тр и

таких

н а ту р а л ь н и х числа а,

при я к и х виконується подвійна нерівність: о—< — < о—.

Вправи для повторення

1060. Н апиш и: 1) н а й б іл ь ш и й п р а в и л ь н и й дріб з і к о м 17; 2) н а й м е н ш и й н е пр а в и л ь н и й дріб із к о м 20.

зн а м е н н и ч и се л ь н и

1061. І З Я к і циф ри м о ж н а п ід с та в и ти за м ість з ір о ч о к , щоб: 1) дріб

7 *5

був н е пр а в ил ьни м ;

783 2) д р іб ------- був правильним ? 7 *4

Вйо Додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками Зі зв и ч а й н и м и дробами, т а к само, я к і з н а т у р а л ь н и м и числ а м и , м о ж н а в и ко н у в а т и ариф м е ти чн і д ії. Р озглянем о додавання і в ід н ім а н н я дробів з од н а ко в и м и зн а м е н н и ка м и . Н а р и с у н к у 244 зображено додавання в ід р із к ів ОА і АВ: ОА Д R — 0 5 . До в ж и н а в ід р із2 к а ОА становить — о д и н и ц і, до9

231

5 в ж и н а в ід р із к а АВ д о р івн ю є —, і д о в ж и н а в ід р із к а 9 7 7 ОВ д о р івню є — т іє ї самої о д и н и ц і. ------- це сума ч и 9 9 2 . 5 сел — 1 —. 9 9 5 2 7 Запиш ем о: — І —. 9 9 9 М о ж н а сформулювати правило:

щоб додати дроби з однаковими знаменника ми, треба додати їх чисельники і залишити той самий знаменник. У буквеному вигляді: а b а +Ъ ----1----= --------- . С С с

Повернемося до р и сун ка 244, бачимо, щ о

ОВ - АВ = ОА, то м у — 9

О тж е,

х/' щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відня ти чисельник від’ємника і залишити той самий знаменник. У буквеному вигляді: а Ь а —Ь „ ---- = ---- ( а > b або а = Ь ) . с

П р и додаванні дробів додаю ться ї х н і ч и с е л ь н и к и , а це — н а тур а л ь н і числа. Т о м у т у т сп р а в д ж ую ть ся переставна і спо лучн а вл астивості додавання. 7 , 4 3 7+4-3 8 П р и кл а д 1. — + — - — = -------------= — .

„ 3 , 1 , 2 3+1+2 6 ,1 „ П р и к л а д 2. — + — І- — = — -------= — ~ 1—. Я к щ о 5 5 5 5 5 5 результатом є н е пр а в и л ь н и й д р іб, то п р и й н я т о із цього дробу в и д іл я т и ц іл у та дробову ч а с ти н и .

232

f3 J Дробове число, щ о м іс т и т ь д іл у й дробову ч а сти н и , м о ж н а перетворити на не пр а в и л ьни й дріб. П р и к л а д 3. П о д а ти у в и гл я д і неправильного дрол —. 3 бу число 4 7

Розв’язання. 4 — = 4 + —. З апиш ем о число 4 у ви4 *7 28 гл я д і дробу з і зн а м е н н и ко м 7, а саме: 4 = —— = — . ,3 ,, З 28 З 31 Тоді 4 = 4+ - = — + - = — • 7 7 7 7 7 З а ув а ж и м о , щ о 31 = 4 • 7 + 3. О тж е , щоб пере тв о р и ти м іш а н и й д р іб на н е п р а в и л ь н и й , треба п о м н о ж и т и й о го ц іл у ч а с ти н у на з н а м е н н и к дробової ч а сти н и , до о тр и м а н о го д о б у тку додати ч и с е л ь н и к дробової ч а с ти н и та за п и с а ти о тр и м а н у сум у ч исе л ь н и ко м не пр а в и л ь н о го дробу, а з н а м е н н и к дробової ча сти н и з а л и ш и т и без зм ін .

Сформулюй правило додавання дробів з однакови ми знаменниками. * Сформулюй правило віднім ан ня дробів з однаковими знаменниками, а Я к запи сати міш аний дріб у вигляді неправильного дробу?

Початковий рівень

1062. О бчисли: ц

! + і ; 7 7

4) И

+ ----; 11

7) 1 - L 8

8’

jm — - — ■ 55 55’ 1063. О бчисли:

1) — +—; 15

2 )^ + А ; 12 12 « 7 9 5) ----- -f ----; 13 13

3) — + — ; 19 19 . 4 4 6) — f- —; 5 5

8) — — — 37 37’

9 ) 3 1 - 37. 49 49’

i 7

2. 7’

2 ) A + i l : 43 43

12) — - — 47 47*

3)A +A ; 13

233

•

11*

7) — — —; 7 7

4 2 4 2 .

35’

8) 42 111

47’

31 111

1064. Л ам ана складається з двох л а н о к. Д о в ж и н а од н іє ї л а н к и — м, а ін ш о ї — м. З найди д о в ж и н у ла-

м аної. 17 1065. За два д н і відрем онтовано — - к м дороги. За 20 9 п е р ш и й день від рем онтувал и — к м . С к іл ь к и к іл о м етрів дороги від рем онтувал и за д р у ги й день?

Середній рівень

.. .

4 1066. П ерш ого дня ту р и с ти п р о їх а л и — усього ш л я 1 ' . х у , а д р уго го — на — ч а с ти н у менш е, н іж перш ого д ня . Я к у ч а сти н у ш л я х у п р о їх а л и т у р и с т и за два дні? За п е р ш и й день за с ія л и —

га по ля, а за д р у

г и й — на — га менш е. С к іл ь к и ге к т а р ів поля засія-

л и за два дні?

1 8 -1 її 9 19

234

to І

А - і І1 2 12

З найди значення виразу:

-3

„ І ї - А + А ; 25 25 25 7 1 2 3) — - — - — ;

100 н -q

1068. З найди значення виразу:

3 )А + Г± 19 U9

5 їїї; ■- У 19/

1 2 3 17 17 17; 13 _ Г 1 2 _ 5 ' 4) І18 18, 18 2)

1070. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 7 ^+ х = — 13 1) — ; ЗО 30 4 10 3) z - — = — ; 25 25

о4 1 2) у і Н------— ;7 17 17 .. 17 . 15 4 ) -t = — . 40 40

Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 14

1 4 1) — + х = — 1; 6 19 19

12= — .9 ) х --------

7 1072. О бчисли зн а ч е нн я ви р азу а + — , я к щ о а до13 1 4 6 9 р ів н ю є — , — , — , — . 13 13 13 13 g 1073. О бчисли зн а ч е нн я ви р азу b - — , я к щ о Ь дорів19 13 9 8 ню є — , — , — , — . 29 29 29 29

О бчисли значення виразу а + b - с, я к щ о :

. ІЗ

1) а = — , Ь= — , с = — ; 29 29 29 04 4 2 2) а = — , і.b= —1 , с = —4 3 . 97 97 97

Достатній рівень 1075. З а пи ш и число у в и гл я д і неправильного дробу: 7 1 9 14 1) 2 - ; 2) 3 —; 3) 5 — ; 4) 75 7 11 100 107»

З а пи ш и число у в и гл я д і неправильного дробу:

1) 3 —; 4

2) 7 - і 5

3) 9 — ; 10

4) 1 1 - .

235

1077. З найди всі н а ту р а л ь н і числа х, п р и я к и х не р ів н іс т ь є правил ьною : 0. _ 9 х _ 2 26 х А 2) 5 — < — < 6 — . 1) — < - < 4 - ; 13 13 13 7 7 7

1078. П ід час перетворення дробу — на число з ц іУ

лою і дробовою ча сти н а м и одерж али 7—. З н а йд и т. 9 1079. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : Л 21 = 19. 13 + X ---1) 49 " 49’ V 49 Ю8(

—

х + —

17)

= — . 17

Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 14 19

19’

( 27

— - х І 39

1081. Я к и м числом треба з а м ін и т и утворена р ів н іс т ь була правильною ? 1Л а 47

15 _ 37 47

47’

3) — - — = 1; 17 17

2 )1 1 -А

15 _ 17 39 " 3 9 ' букву

а, щоб

- А .

12 ’

4) — - — = 0. 13 13

1082. К а р то п л е ю засадж ено — по ля. О гір к а м и засія9 1 поля б іл ьш е, н іж м о р кв о ю , і на — но на — поля 19 19 м енш е, н іж засаджено ка р то п л е ю . Я к у ч а с ти н у поля засадж ено ка р то п л е ю , о г ір к а м и і м о р кво ю разом?

1083. Д л я п о са д ки л іс у в и д іл и л и д іл я н к у площ ею 7 . 200 га. Я л и н и посадили на — д іл я н к и , а сосни —

на А

д іл я н к и . С к іл ь к и ге к т а р ів за й н я то я л и н а м и і

соснами разом? Р о зв’ я ж и задачу двома способами.

Розв’язання. 1 -й спосіб. 1) (200 : 20) • 7 = 70 (га ) — займ аю ть я л и н и ; 2) 200 : 20 — 10 (га ) — займ аю ть сосни; 3) 70 + 10 = 80 (га). 2

-й спосіб.

7 1 8 1 ) ----- 1-------- — (ч а ст.) — я л и н и і сосни разом; 20 20 20 2) (200 : 20) • 8 = 80 (га).

Відповідь: 80 га. Велосипедист мав подолати 75 к м . За перш у го6 7 д и ну в ш проїхав — усього м арш руту, а за д р у г у --------25 25 усього м а р ш р у ту . С к іл ь к и к іл о м е т р ів пр оїха в вело сипедист за д в і год ини? 1085. Д о м а га зи н у завезли 360 к г ф р у кт ів . Я б л у ка складали — у с іх ф р у кт ів , а г р у ш і — — у с іх ф р у к т ів . 9 9 Н а с к іл ь к и маса я б л у к б іл ь ш а за масу гр у ш ? 7 1086. У п а р к у 300 дерев. З н и х — становлять дуби і 15

— берези. Реш та дерев х в о й н і. С к іл ь к и л и с т я н и х і 15 с к іл ь к и х в о й н и х дерев у п а р ку ?

jjj^ J

Високий рівень 5

1087. П е рш о го дня ту р и с т и п р о й ш л и — усього ш л я 19 7 х у , а д р уго го — — усього ш л я х у . В ідом о, щ о за два 19 д н і ту р и с т и подолали 36 к м . С к іл ь к и к іл о м е т р ів ста новить увесь ш л я х ту р и с тів ?

237

1088. Д о в ж и н а п е рш о ї м о т у з к и 4 м, а д р у го ї 7 м. К о ж н у м о т у з к у р о зр іза л и на 13 р ів н и х ча сти н . Н а с к іл ь к и м етрів к о ж н а ч астина п е рш о ї м о т у з к и м ен ш а за к о ж н у ч а с ти н у другої? 1089, П остав за м ість з ір о ч о к з н а к и «+» або «—» та к, 8 4 5 6 . щоб виконувалася р ів н ість: — * — * — * — = 1 . 13 13 13 13 9 11 1090. С К ар л со н в и р іш и в — торта з їс ти на обід, — 31 31 7 5 дати М а л ю к у , — — ф рекен Б о к , а — за л и ш и ти собі на вечерю. Ч и зм ож е в ін т а к п о д іл и ти торт?

Вправи для повторення 1091. ^ 3 За 9 х в автомат наповню є 450 п л я ш о к м о л о ка . С к іл ь к и п л я ш о к м о л о ка н а по в н ить автомат на 7 хв? за 1 год? 1092. 1 3 З найди ділене, я к щ о неповна ч а с тка д о р ів ню є 15, остача 7, д іл ь н и к 38. Я к у остачу отрим аєм о п р и д іл е н н і знайденого діл е н ого на 15? 1093. 1 3 П ерим етр п р я м о к у т н и к а дор івн ю є 48 см, а одна з його с то р ін — 8 см. З найди д р у гу сторону п р я м о к у т н и к а і його п л о щ у .

'о Додавання і віднімання мішаних чисел Д одавання і в ід н ім а н н я м іш а н и х чисел в и к о н у ю ться на основі властивостей ц и х д ій . Р озглянем о п р и кл а д и .

С ко р о че ни й запис: 4 + 5 — = 9 —. 7 7

П р и додаванні м іш а н и х чисел ц іл і ч а с ти н и дода ють окрем о, а дробові — окрем о. Ін о д і п р и додаванні м іш а н и х чисел у їх н ій дробовій ч а с ти н і о тр и м у ю ть н е пр а вил ьни й дріб. У ц ьом у р а зі з неї в и д іл я ю ть ц іл у ч а с ти н у і додаю ть її до ц іл о ї ч а с ти н и , я к у в ж е маю ть. 7 4 11 11 9 П р и к л а д 2. 4 - + 5 - = 9 — = 9 + — = 9 + 1 - = „ 9 9 9 9 9 = 1 0 -. 9 Р озглянем о п р и кл а д в ід н ім а н н я м іш а н и х чисел, ко л и дробова частина зм ен ш ува н о го біл ьш а за дробо ву ч а с ти н у в ід ’є м н и к а . У т а к и х п р и кл а д а х д о ц іл ьно ц іл і ч а с ти н и в ід н я т и окрем о, а дробові — окрем о та додати о тр и м а н і числа.

=(7-4) +

7— 19

f 8_ _

її 9

ос

П рикл ад

, 3 4 — = 7 + -— 19 1 19 J

—

Г, з ї 4 + — 19,

= з + — = з— . 19 19

_ 8 .3 08 - 3 _5 З апиш ем о це скорочено 7------- 4 — = 3 --------- = 3 — . 19 19 19 19 Р озглянем о п р и к л а д и , к о л и від ц іл о го числа в ід н ім а ю ть п р а в и л ь н и й дріб. І [рик 1) 1 - — ; 13

В и к о н а й в ід н ім а н н я : 2) 4 - — . 17 2

Розв’язання. 1) Д л я зн а х о д ж е н н я р із н и ц і 1 — — подамо 1 у в и гл я д і дробу з і зн а м е н н и ко м 13, а саме ї 13 „ 2 13 2 11 1 = — . М аємо: 1 ------- = — - — = — . 13 13 13 13 13 2 2) О с к іл ь к и 4 = 3 + 1 = 3 — , то маємо: 13

У н а ступ н о м у п р и к л а д і дробова ча стина зм е н ш у ваного менш а від дробової ч а с ти н и в ід ’ є м н и ка . 4 _ 7 П р и кл а д 5. В и к о н а й в ід н ім а н н я 10— - З — . 4

Розв’язання. «Підготуємо» зменш уване 10— до від4 4 f iQ 4 \ 23 н ім а н н я та к: 1 0 - = 9 + 1 + - - 9 + [ - + - J . 9 - .

Т о д і 10— - 3 — = 9 — - 3 — = 6 — . 19 19 19 19 19 Я к додаються і я к віднімаються м іш ані числа?

Початковий рівень 1094. В и к о н а й додавання: 1) 4 +

4) 7 + 11

— ; 2) — + 3; 11

з А ; 5) З І + 4 —; 9

7 - + 3 -. 98 8

— ; 2) - + 5; 9

7— + — ; 13 13

1 14 5 - ; 5) 7— 4- 5 — ; 19 19

4 7 8 — + 5— . 11 11

+ і 9

! 095 В и к о н а й додавання: 1) 7 +

’

4) 4 +

’

13 1 9

g 1096. У пе рш о м у я щ и к у 2 7 — к г бананів, а в друго20

З м у 2 5 — к г б ананів. С к іл ь к и к іл о гр а м ів бананів у двох я щ и к а х разом? З

1097. Д о в ж и н а білої с т р іч к и 12— м, а зеленої — на 1 5 З— м ко р о тш а . Я к а д о в ж и н а зеленої с т р іч к и ? 5

£зз Середній рівень 1098. В и к о н а й в ід н ім а н н я : 1) 5 - - 3; 5

2) 7— - 2— ; 11 11

4 ) 8 - - ;

3) 1 - — ; 13

1 р

5 ,4 -1 -;

6 ,5 - 4 - .

В и к о н а й в ід н ім а н н я : 11 і 4) 6 -

- 2:

2)3Ї Г

5) 5 - 2 - і 7

2Ї Т ;

3)1- п ; 6) 11 - 1 0 ^. 5

g 1100. Ш в и д к іс т ь катера 2 5 — к м /г о д , ш в и д к іс т ь т е ч ії

З д орівню є 2 — к м /г о д . З найди ш в и д к іс т ь катера за теО

ч іє ю і п р о ти неї. і 101. Н а базу завезли я б л у ка на двох в а н т а ж н и х ма7 ш и н а х . Н а п е р ш ій було 2 — т, а на д р у г ій — на

1—

т менш е. С к іл ь к и то н н я б л у к завезли на базу?

1102. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1)

х -

и— 8 = 5— К 7; 4 19 19

о— 17 2) 9 48

17 . = 5к— 48

1103. Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : 1) x + 7— = 9 — ; 13 13

- 14— = — . 19 19

1104. О бчисли: 1) 5 — + — ; 17 17

2) 8 — + 19

i v і о 13 1П14 4) 18— - 10— ; 19 19

1 n 5 _ 2 13 5) 12— - 11— ; 6) 5------------ — . 17 17 19 19

16 О. С. Істер “Математика”, 5 кл.

7— ; 3) 4 - - 2 - ; 19 7 7

241

О бчисли: ц 8— + — ; 13 13

2) 7™. + 8 — ; 29 29

4) 14— - 10— ; 5) 1 0 - - - ; 27 27 9 9 1106. З найди значення виразу:

1) 5А - 2± + з ± : 11

2)713.13

З найди значення виразу: чч г, 8 _ 2 , 10 1) 7— - 6 — + 5 — ; 2) 15— 13 13 13 т

3) 5 » - я Ц 8 8 6) 13— - 12— . 17 17

- 3±. 13

_10 8 4— - 3— . 19 19

Достатній рівень

1108. Заповни к л іт и н к и дробами або м іш а н и м и ч и с лам и т а к , щоб утворилася правильна р ів н іс т ь : 4 14 1) — + □ = 1; 2) □ + — = 1; 11 17 3) 1 - □ =

4) — 5

□ = 1.

1109. У трьох п а ке та х було 6 к г к р у п и . У перш ом у 9 п а к е т і• і1—

к г к р у п и , у д р у го м у —на — 13 кг

«• більш е,

н іж у пе рш о м у. С к іл ь к и к іл о гр а м ів к р у п и було в третьом у п а ке ті? П лощ а трьох д іл я н о к дорівню є 80 га. П лощ а __17 .. _ 18 перш ої дор івню є 2 7 — га, а д р у го ї — на 2 — га мен25 25 ш а, н іж перш ої. З найди п л о щ у третьої д іл я н к и . 1111. Р озв’ я ж и р ів н я н н я :

(

4 )

к 7 _ 1 6

(

, 8 V _ 7

£зз 1 »- Р о зв’я ж и р ів н я н н я : . 8

1) 8 — 35 2)

= 1— ; 35

х - 5—

11 8 10— - х - 5— = З— . 13

1113. В и к о н а й д ії: 1) Ґ7 — 2 — '] + 4— ; I w и 12— - U -

+ 3-Л

ґ 3) ( б — - З— 7 7 4)

5 - + 3 - - 4А ; 17 4 4.

►---17

19— - 7— ^ 19

1114. В и к о н а й д ії: / З і . „1 3

.А 17 в)

9 — - 8— 7 7.

13/

4—

со

Високий рівень з 1115. У трьох бідонах 10— л м олока. У п е рш о м у і 5 д р уго м у бідонах разом 6 — л, а в д р у го м у і третьом у 5 2 бідонах разом 7— л. С к іл ь к и л іт р ів м о л о ка в к о ж н о 5 м у бідоні? 1116. За тр и го д и н и автом обіль п р оїха в 240 к м : за З .................... п е рш у го д и н у подолав — ц іє ї в ід с та н і, за д р у гу — на

„2 2 — к м м енш е, н іж за пе р ш у. С к іл ь к и кіл о м е т р ів 5 п р оїха в автом обіль за третю год ину? 1117. М о т у з к у за в д о в ж ки 12 м р о зр іза л и на 7 р ів н и х ча сти н . З найди перим етр т р и к у т н и к а , скл аденого з тр ьо х т а к и х ча стин . 1 118. С т р іч к у за в д о в ж ки 17 м розр іза л и на 9 р ів н и х ча сти н . З найди перим етр квадрата, складеного із чо ти р ь о х т а к и х ча стин .

8 За п е р ш у го д и н у автом обіль п р оїха в — від15 с та н і від А до В , а за д р у гу — р е ш ту 77 к м . Знайди від стань від А до В. 1119.

is*

Розв’язання. За д р у гу го д и н у автом обіль проїхав • А л до В: в 1 1т а к у ч а сти н у в ід с та н •і від

15 —8= — 15 15

8 7 7 - — = — .Ц і — в ід с та н і д о р ів н ю ю ть 77 к м . Т ом у 15 15 15 відстань від А до В дор івн ю є 77 : 7 • 15= 165 к м .

Вправи для повторення 1120. З аповни п р я м о к у т н и к и т а к , щоб отрим ати п р а в и л ь н і р ів н о с ті:

244

f 33 1) 5 дм2 = [

см 2;

3) 15 a = □

M'2. см 3;

5) 8 дм3 =

2) 3 м2 = С 4) 13 см'3 _

СМ2 м м 3. 1

6 ) 37 м 3 =

см 3

1121. ^ С клад и задачі за схем ам и та ро зв’я ж и їх . С тр іл ка спрям ована в б ік б іл ьш о го числа.

на 479

Всього ? III 1122. П л я ш к а із соком к о ш т у є 7 гр н . 20 к о п . С к іл ь к и к о ш т у є с ік , я к щ о в ін д о р о ж ч и й за п о р о ж н ю п л я ш к у в 15 разів?

Домашня сам остійна робота № 6 1. £ ) З а п и ш и у в и гл я д і дробу ч а с т к у 5 : 13. А) - ; 5

2. j

Б)

;

В)

Г) — . 13

Я к а з нерівностей правильна? м

А) — < — ;

8 7 4 Б) — > — ; В ) - < 11 11 5

3 5

^ 4 5 Г) — > — . 13 13

З ф Я к и й із за п р оп о н о ва н их дробів є п р авил ьним ? А) ; 4

Б) ; 3

В)

— ; 3

Г) '

А 13

4. ^3 А втобус має п р о їх а ти 80 к м . За п е р ш у го д и н у в ін п р о їха в ~ ц іє ї в ід с та н і. С к іл ь к и к іл о м е т р ів про16 їха в автобус за п е р ш у годину? А ) 45

км ;

Б ) 55 к м ;

В ) 35 к м ;

Г)

65 к м .

245

5. 0

В и д іл и ц іл у і дробову ча сти н и м іш а н о го числа

А)

6. 0

Б) 2J ; 7

В ) 5 § ; Г) б | . 7

19 З найди значення виразу — -

16 ; ААЛ ) — 23

11 ; Б) — 23

і . +± 23

134 7 ; В) —

23 8 . Г) — 23

7. ф П ерш ого дня м а газин продав 40 к г ц у к е р о к , 2 щ о становить — завезених ц у к е р о к до м а га зи н у. 5 С к іл ь к и к іл о гр а м ів ц у к е р о к за л иш ил ось у м а га зи н і? А ) 16 к г ;

8. ©

Б ) 60 к г ;

В ) 100 к г ;

В ирази 7 к г 13 г у к іл о гр а м а х . І О

А ) 7—

100

кг;

1о

Б) 7— к г ;

А ) 6— ; 13

Б ) 5— ; 13

В) 7 - ^ - к г ; Г) 13—

1000

6 ( 1 9. і? Р озв’ я ж и р ів н я н н я 5------ 9---------- х ^ 13 І 13 В ) 1— ; 13

_ т, 21 10. с ! Розв я ж и р ів н я н н я -------- = 7. ^ х- З А ) 3; Б) 4; В ) 5; 11. ѵ

Г) 80 к г .

1000

кг.

2-1 . 13 Г) 6 .

Г) 6 .

С к іл ь к и іс н у є н а ту р а л ь н и х чисел п т а к и х , що

дроби — і — одночасно є н еправил ьним и? 5 п А ) 3; Б ) 4; В) 5; Г) безліч. 12. #3 Велосипедист

за

пе рш у

го д ин у

подолав

— 17

4 усього ш л я х у , а за д р у гу — — усього ш л я х у . Відомо,

f 33 що за дві го д и н и велосипедист подолав 27 к м . С к іл ь к и кіл о м е тр ів становить увесь ш л я х велосипедиста? А ) 48 к м ;

Б ) 61 к м ;

В ) 51 к м ;

Г ) 41 к м .

Завдання для перевірки знань № 6 (§27-§33) З а п и ш и у в и гл я д і дробу число:

1) одна восьма; 2.

2 ) дев’я ть о д и н а д ц я ти х.

, П о р ів н я й числа: ^ 7 , 5 1)— і — ; 12 12

і • 2) 1 і — ; 18

1 42 3 47

37 ' і 3) — ї ї ; 31

іѵ 4 .1 4) — і 5

3. Jit d дробів —, —, —, —, —, — в и п и ш и :

23 8 2 ) н е пр а в и л ь н і. 0 У кл а с і 28 у ч н ів , — з н и х в ід від а л и в и с та в ку .

v 1) п р а в и л ь н і;

С к іл ь к и у ч н ів відвідало ви ста вку? 5. 0 В и д іл и ц іл у і дробову ч а с ти н и числа з непра вил ьного дробу:

і) 51; ЗО

6. ®

В и к о н а й д ії:

1) М _ А + 27 27 27

2) 9 - + 7

3) 1 - — ; 17

4) 6- А + 2 — - 4 — . 23 23 23

Учень прочитав

кн иж ки . учню ?

С к іл ь к и

5 120 сто р ін о к, щ о становить —

с т о р ін о к

за л иш ил о ся

п р о ч и та ти

В ирази: 1) у м етрах: 4 см, 8 дм, 7 дм 3 см; 2) у х в и л и н а х : 5 с, 127 с.

247

9. { J П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х х дроби — + —

і1 — 6 одночасно є н е пр а в и л ь н и м и о ?

Ю. ^

Додаткове завдання. Я к и м числом треба з а м і

н и т и б у к в у а, щоб написана р ів н іс т ь була п р а в и л ь ною : 2) 7— + — = 8 —? 9 а 9

1) — - 1 = — ; 17 17

11* Ф Додаткове i10 n— 3

завдання.

С т р іч к у

за в д о в ж ки

м розр іза л и на д в і ч а сти н и т а к , щ о д о в ж и н а

о д н іє ї ча сти н и на 2 ^ - м б іл ьш а за д о в ж и н у ін ш о ї. З найди д о в ж и н у к о ж н о ї ч а сти н и с т р іч к и .

4 S 4 Десятковий дріб. Запис десяткових дробів

МНННІНЯННННІННІІ^^Н

Н а р ів н і з і зв и ч а й н и м и дробами для за п и су дробо в и х чисел в и ко р и с то в у ю ть десяткові дроби. П р и к л а д 1. В и р а зи м о в ід с та н ь 7 дм 3 см у д е ц и м е тр а х. 1 З О с к іл ь к и 1 см = — дм, то З см = — дм. Том у З 7 дм 3 см = 7— дм. 10

П р и к л а д 2 8 ц 17 к г =

Д-

з З н а м е н н и к дробової ч а сти н и числа 7— дорівню є 17 10, а числа 8 ------ д о р івн ю є 100. Ч исл а з і знам енни-

100 к а м и 10 , 100 , 1000 ... п р и й н я то за писувати без зн а м е н н и ка за допом огою к о м и : спочатку пишуть цілу 248

§ зѵ частину, а потім чисельник дробової частини; цілу частину відділяють від дробової частини комою. З Н а п р и кл а д , 7— = 7,3 (ч и та ю ть : «7 ц іл и х 3 деся17 ти х » ), 8 ------ = 8 ,1 7 (ч и та ю ть : «8 ц іл и х 17 со ти х» ).

100

Ч исла 7,3 і 8 ,1 7 — д е с я тко в і дроби. У в и гл я д і десят кового дробу м о ж н а записати буд ь-яке число, зн а м е н н и к дробової ч а сти н и я к о го є о ди ниц ею з одним або к іл ь к о м а н у л я м и . Ц иф ри дробової ч а с ти н и ще називаю ть десятковими знаками. У числа 8 ,1 7 два д е ся тко в и х з н а к и : 1 і 7. Я к щ о дріб п р а в и л ь н и й , то перед ко м о ю п и ш у т ь циф ру 0 . 29 П р и к л а д 3. 29 см = м = 0 ,2 9 м (ч и та ю ть : «0 ц іл и х 29 со ти х метра»). П р и к л а д 4. В ирази м о 9 к г 71 г у к іл о гр а м а х і за пиш ем о д е ся тко ви м дробом. О с к іл ь к и 1 г = --------к г ,

1000

71 71 то 71 г = -------------к г , а то м у 9 к г 71 г = 9 ------к г . У 1000 1000 дробовій ч а с т и н і знайденого числа немає десятих частин к іл о гр а м а (сотень гр а м ів ). Т о м у на пе рш о м у 71 м іс ц і п іс л я к о м и п и ш у т ь циф ру 0: 9 --------- к г = 1 00 0 = 9,071 к г (ч и та ю ть : «9 ц іл и х 71 ти с я ч н а к іл о г р а ма»). О тж е,

/'ИГ\ для того щоб записати звичайний дріб, знаменник дробової частини якого — розрядна одиниця 10, 100, 1000 ... у вигляді десяткового дробу, 1) записують цілу частину числа (вона може дорівнювати 0) і ставлять кому;

249

2) справа від коми записують чисельник дро бової частини, але він має містити стільки знаків, скільки нулів у знаменнику. Якщо в чисельнику менше знаків, ніж нулів у знамен нику, то після коми перед цифрами чисельни ка треба дописати таку кількість нулів, якої не вистачає. Н а п р и кл а д , 3 --------= 3 ,0 4 1 , 7 — - —

1000

10 000

= 7 ,0003.

Д е с я т к о в і дроби за п исую ться за т а к и м самим п р и н ц и п о м , щ о й н а ту р а л ь н і числа в д е с я тко в ій сис те м і: к о ж н а на ступ н а о д и н и ц я , щ о стоїть праворуч, у 10 р азів менш а від попередньої. Н а пе рш о м у м іс ц і п іс л я к о м и стоїть розряд д е сяти х, на д р у го м у — роз ряд со ти х, на третьом у — розряд т и с я ч н и х і т. д. Ціла Дробова частина частина 17,295 — 17 цілих 295 тисячних 17 цілих s ' *

Д е с я т к о в і дроби, я к і з в и ч а й н і, м о ж н а зображ ати на ко о р д и н а тн о м у п р ом е н і. Н а п р и кл а д , щоб на к о о р д и н а тн о м у п р ом е н і зобразити д е ся тко ви й дріб 0 , 6 , с п о ч а т ку запиш ем о його у в и гл я д і зв ича йн о го дробу: 0 0,6 = — . П о т ім п о д іл им о о д и н и ч н и й в ід р із о к на 10 р ів н и х ча сти н, к о ж н а з я к и х становить — = 0,1 оди10 н и ч н о го в ід р із к а , і відкладем о від п о ч а т ку пром еня ш іс ть т а к и х ча сти н . М аємо т о ч к у А, щ о відповідає ч и с л у 0 ,6 (рис. 245).

А В І 1—І—І—І 1—»—І 1 —І—І 1 —ь Н --- 1 --- 1 --- 1 --- 1 --- 1 --- У 0 2 0,6 1 1,3 Рис. 245

250

Щ о б зобразити число 1,3, п о д іл им о в ід р із о к м іж числами 1 і 2 на десять р ів н и х частин і відрахуємо З т а к і ч а с ти н и справа від числа 1. М аємо т о ч к у В , щ о відповідає ч и с л у 1,3 (рис. 145). Я к коротше записуються дроби, знаменником я ки х є одиниця з кільком а нулями? 4 Я к називають та к и й запис дробу? * С кіл ь ки десяткових знаків міс

тить десятковий дріб, що дорівнює дробу 13— —— ? 10 000 Назви їх. * Я к називаються розряди десяткового дробу (праворуч від коми)? * Я к зображують десят ко в і дроби на координатному промені?

Початковий рівень

1123. Д о я к о го розряду н а л е ж и ть п ід кресл ена в ч и с л і циф ра: 1) 1 2 ,3 8 92 ; 2) 7 ,1 5 ; 3) 1 ,7 8 3 11 ; 4) 5,12345? 1124. зл іва 1) 5)

П р о ч и та й д е с я тко в і дроби і назви всі розряди направо: 0 ,5 ; 2) 0 ,0 5 ; 3) 1,7; 4) 1 ,007; 5 ,113; 6 ) 0 ,1 2 5 ; 7) 4 ,0 3 7 ; 8 ) 5 ,2703.

1125. З а п и ш и д е сятко ви м дробом:

2) 4 ) 1ш ; ^ 492 1000 ’

3 ; 100

5) Ь— ; 10

8 ) 2 17 ; 100

10) 17 12 ; 11)8 173 ; 1000 1000 З а п и ш и д е ся тко ви м дробом: 7 _ 17

12)

1000 47 .

100 ’ 1 100

„

’

1000 17

T t y fu4s 7) 2 — ?— ; 1000 14 10) 14—— —; 1000

9) 17— ; 100 4 12) 1— ^— . 1000

1000 471 11) 112— ——; 1000

1127. З а п и ш и д е ся тко ви м дробом: 1) 25 ц іл и х 8 д е сяти х; 2) 9 десятих; 3) 9 ц іл и х 7 десяти х 2 со ти х; 4) 8 десяти х 2 со ти х; 5) 115 ц іл и х 5 со тих 7 т и с я ч н и х ; 6) 3 т и с я ч н и х .

1 128. З а п и ш и д е ся тко ви м дробом: 1) 37 ц іл и х 1 десята; 2) 5 ц іл и х 8 десяти х 2 со ти х ; 3) 119 ц іл и х 7 с о ти х 3 т и с я ч н и х ; 4) 5 д есятих; 5) 7 десяти х 8 со ти х; 6) 4 т и с я ч н и х . 1129. З ам ість з ір о ч к и за п и ш и та ке число, щоб р ів н іс ть була правил ьною : 8 17 27 1) — = 0 ,8 ; 2 ) — = 0 ,1 7 ; 3) — = 0 ,0 2 7 ; 4 ) — = 0 ,7 ; 10

6) — = 0 ,0 1 2 . 1000

5 ) — = 0 ,0 2 ; 100

Середній рівень

1130. В ирази в метрах і за п и ш и д е ся тко ви м дробом: 1) 5 дм; 3) 42 см; 2 ) 12 дм; 4) 117 см; 5) 5 мм; 6 ) 2 см 5 мм. 1131. В ирази дробом: 1) 42 см; 4) 5 мм;

в децим етрах 2) 113 см; 5) 17 м м ;

за п и ш и

де сятко ви м

3) 1025 см; 6 ) 4 см 7 м м .

1132. В ир а зи в гр и в н я х і з а п и ш и д е ся тко ви м дро бом:

252

1) 52 к о п .; 4) 130 к о п .;

2) 4 к о п .; 5) 405 к о п .;

3) 1 гр н . 15 к о п .; 6) 1042 к о п .

1133. Вирази в кіл о гр а м а х і за п иш и десятковим дро бом: 1) 152 г; 2) 13 г; 3) 5 г; 4) 4017 г ; 5) 5 к г 48 г ; 6 ) 1 к г 7 г. В ир а зи в то н н а х і з а п и ш и д е ся тко ви м дробом: 1) 341 к г ; 2) 18 к г ; 3) 3 к г ; 4) 4591 к г ; 5) 7 ц ; 6) 7 ц 18 к г . 1135. З а п и ш и у в и гл я д і п равил ьного дробу або м і ш аного числа: 1) 2 ,7 ; 2) 4 1 ,2 1 ; 3) 4 1 3,0 3; 4) 5 ,0 0 7 ; 5) 0 ,3 0 1 ; 6 ) 0 ,0 9 9 . 1136. З а п и ш и у в и гл я д і правильного дробу або м і ш а ного числа: 1 ) 4 ,1 3 ; 4) 4 ,0 1 3 ;

2 ) 1 3 ,2 ; 5) 0 ,0 0 4 ;

3 ) 8 ,0 7 ; 6 ) 0 ,0 5 2 .

1137. Я к и м д е ся тко ви м дробам від по від аю ть т о ч к и А , В, С, D, Е (рис. 246)?

А ■ч

І І * М 1 * " М -І « І І І

І * І І І

В І І * Ы

і І І І І 1

Рис . 246

1138. Я к и м д е сятко ви м дробам від по від аю ть т о ч к и М, N, К , L, Р (рис. 247)?

M L К N Р *—і— •—і— •—і— •—і— і— *—І— *—і— і------------0 0,1 Рис. 247

1139 Я к и м д е ся тко ви м дробам в ід по в ід а ю ть т о ч к и А , С, К , L , Р на р и с у н к у 248?

'—і—і—*—і—і—і—•—і— і—М —і—і—і—*—і— і— і— •—І— 0

Рис. 248 253

fe^diou

1140. Н а р и с у н к у 249 зображено ф рагмент ко о р д и на тно го пром еня. Я к и м д е ся тко ви м дробам в ід п о в і даю ть т о ч к и F, G, Н, R , S ? R

—*■ Н

і і * і і і і і * і і і і

t t I - f ■»—

Рис. 249 1141. У ч и с л і 18 342 від о кр е м ко м о ю одну циф ру справа, а п о т ім послідовно «зсувай» к о м у на одну циф ру вліво , п о к и не отрим аєш число 1,8342. К о ж ного разу називай отрим ане число.

Достатній рівень

■ Я

1142. Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь . За о д и н и ч н и й в ід р із о к в ізь м и 10 к л іт и н о к у зо ш и т і. П означ на п р ом е ні дроби: 0 ,2 ; 0 ,7 ; 0 ,9 ; 1,2; 1,5. 1143. Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь . За о д и н и ч н и й в ід р із о к в ізь м и 10 к л іт и н о к зо ш и та . П о зн ач на п р ом е ні дроби 0 ,3 ; 0 ,5 ; 0 ,8 ; 1,1; 1,4. 1144. Т о ч ц і А на ко о р д и н а тн о м у п р о м е н і відповідає число 4 ,8 7 . Я к і н а ту р а л ь н і числа зо бр а ж ую ться то ч к а м и , р о зташ ованим и зл іва від т о ч к и А? 1145. Н а кр е сл и в ід р із о к BN, я к щ о BN = 5 , 7 см. 1146. Н а кр е сл и в ід р із о к АС, я к щ о АС = 4 ,8 см. 1147. В и д іл и ц іл у й дробову ч а сти н и та за п и ш и де с я тко в и м дробом:

1) і ” ; 10 2013 4 ) -------- ; 100

2) Ш

;

10 7391 5 ) --------- ; 1000

3) Ш ; 100 40 027 6 ) ------------. 10 000

І І 18. В и д іл и ц іл у й дробову ч а сти н и та за п и ш и де с я тко в и м дробом: !, « і ;

254

2) Ш ; 10

З, Ї М ,

100

§34 лл 3005 4) — — ; 100

еч 17 152

1000

70 513 _;6 ) 10 ООО

1149. З а п и ш и у в и гл я д і д е ся тко ви х дробів ч а с тки : 1) 173 : 10; 2) 7308 : 100; 3) 73: 100; 4) 1537 : 1000; 5) 457 : 1000; 6 ) 3005 : 10 000.

1>50. З а п и ш и у в и гл я д і д е с я тко в и х дробів: 1) 125 : 10; 2) 17 : 100; 3) 3295 : 1000; 4) 8005 : 1000. 1151. Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , в зя в ш и за о д и н и ч н и й в ід р із о к 10 к л іт и н о к . П означ на ньом у т о ч к и А (0 ,2 ), Б (1 ), С

Ij,

Z)(0,5), £ (0 ), F ^ J . П о р ів

няй дроби: 1) 0,2 і

2) 0,5 і ~ 2

N 5 2 . Н акр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , у зя в ш и за о д и н и ч н и й в ід р із о к 20 к л іт и н о к . П о зн ач на ньом у т о ч к и М (0 ,2 5 ), JV(1), К

Р (0 ), 7 0 1

Д О ,75). П о

р ів н я й дроби: 1) 0 ,2 5 і - ; 4

2) 0 ,7 5 і - . 4

1153. С к іл ь к и гр а д усів п о ка зу ю ть термометри на р и с у н к а х 2 5 0 — 253? 1154. Н а кр е сл и в ід р із о к за в д о в ж ки 10 см. Зафарбуй 0,1 цього в ід р із к а в с и н ій к о л ір , а 0,2 у зелений. І 155. Н а кр е сл и п р я м о к у т н и к , сторони я к о го д о р ів ню ю ть 2 см і 5 см. Зафарбуй 0,2 цього п р я м о к у т н и ка червоним кольором , а 0,3 ж о в т и м . 1156. В ирази в м етрах і за п и ш и д е сятко ви м дробом: 1) 5 дм 3 см 8 м м ;

2) 7 дм 1 м м ;

3) 4 м 2 см 5 м м ;

4) 5 м 2 мм.

255

Рис. 250

Рис. 251

Рис. 252

Рис. 253

1157. В ир а зи в то н н а х і за п и ш и д е ся тко ви м дробом: 1) 7 ц 5 к г ; 2) 19 т 9 ц 15 к г ; 3) 8 т 13 к г ; 4) 152 ц 18 к г . 1158. 1) 3) 5)

Р о згл я н ь та о б ґр у н ту й 1 см 2 = 0,01 д м 2; 1 см 2 = 0 ,0 0 0 1 м 2; 1 см 3 = 0,001 д м 3;

р ів н о с ті: 2 ) 1 д м 2 = 0,01 м 2; 4) 1 м 2 = 0,01 а; 6 ) 1 дм 3 = 0,001 м 3.

1159. Я к і з д а н и х р івностей п р а в и л ь н і: 2) 5 дм = 0 ,5 м; 1) 2 м м = 0,02 м; 4) 421 см = 4,21 м; 3) 7 мм = 0 ,7 дм; 6 ) 279 мм = 2 ,79 дм; 5) 3 м 5 см = 3 ,5 м; 8 ) 54 дм 2 = 0 ,5 4 м 2; 7) 4 д м 2 = 0 ,4 м 2; 10) 13 х в 7 с = 13,07 хв? 9) 1 год 40 хв = 1,4 год;

Високий рівень

1160. Заповни п р я м о к у т н и к и десятковим и та к, щоб утв о р и л и ся п р а в и л ь н і р ів н о с ті:

1) 12 см 2 = 3) 3 д м 2 = С 5) 17 см =

д м 2; □ дм 3.

2 ) 13 см 2 =_1 4) 27 м 2 = 6) 437 дм 3 =

дробами —J м

а; м3

1161. З аповни п р о п у с к и д е ся тко ви м и дробами т а к , щоб утв о р и л и ся п р а в и л ь н і р ів н о с ті: м 2. дм 2 . 2) 1427 см 2 = 1) 7 см* =

256

fir 3) 93 д м 2 = ________ м 2; 5) 823 см 3 = _______ д м 3;

4) 2 м 2 = _______________ а; 6 ) 14 д м 3 = ____________ м 3. I 162. 1) В и м ір я й д о в ж и н у і ш и р и н у зо ш и та і вирази результат у децим етрах. 2) З н а йд и п л о щ у а р ку ш а зо ш и та і вирази ї ї в кв а д р а тн и х децим етрах. 1163. Т о ч ка М — середина в ід р із к а CD за в д о в ж ки 0,6 дм. З найди д о в ж и н у в ід р із к а СМ у децим етрах.

Розв'язання. CD = 0 ,6 дм = 6 см. Т о д і СМ = 6 : 2 = = 3 см; але 3 см = 0,3 дм. Тод і СМ = 0 ,3 дм. Вправи для повторення 1164. ©

Зн а йд и :

1) - від 72 381 к г ; 3 4 3) — від 14 к м 56 м; 7

2) - від 72 925 м; 5 7 4) — від 8 ц 1 к г . 9

1165. ® Н а с к іл ь к и сума н а й б іл ь ш о го двоциф рового числа і на йм ен ш ого трициф рового числа м енш а від на й б іл ьш о го трициф рового числа? 1166. М аємо р ів н о с то р о н н ій т р и к у т н и к і квадрат з і стороною , щ о дор івн ю є сто р о ні т р и к у т н и к а . 1) П ерим етр т р и к у т н и к а д о р івн ю є 36 см. З найди перим етр квадрата. 2) П ерим етр т р и к у т н и к а д о р івн ю є 81 дм. З найди п л о щ у квадрата. 3) П лощ а квадрата д о р івн ю є 9 м 2. З найди п е р и метр т р и к у т н и к а .

\ ® п Порівняння десяткових дробів В а ж л и в и м є п и т а н н я п о р ів н я н н я д е с я тко в и х дро бів. П очнем о з т а ко го п р и кл а д у . В ідом о, щ о 3 дм = ЗО см = 300 м м . В и р а зи в ш и З дм, ЗО см і 300 мм у м етрах, м атимем о: 3 дм = 17 О. С. Істер “Математика", 5 кл.

257

= 0 ,3 м; ЗО см = 0 ,3 0 м; 300 м м = 0 ,3 0 0 м. О с к іл ь к и З дм = ЗО см = 300 м м , то 0 ,3 м = 0 ,3 0 м = 0 ,3 0 0 м. О тж е,

W я кщ о справа до десяткового дробу п р иписа ти '^

один ч и к іл ь к а н ул ів або в ід ки н у ти один ч и к іл ь к а нул ів, то дістанемо дріб, що дорівню є даному.

Н а п р и кл а д : 7 = 7 ,0 0 ; 0 ,3 7 = 0 ,3 7 0 ; 1 ,0200 = 1,02 тощ о. Д е с я т к о в і дроби за п и сую ть за ти м и сам им и п р авил а м и , щ о й н а ту р а л ь н і числа, то м у п о р ів н ю в а т и д е ся тко в і дроби м о ж н а за п р авил а м и , а н а л о гіч н и м и до правил п о р ів н я н н я н а ту р а л ь н и х чисел. С п о ч а тку треба п о р ів н я т и ц іл і ч а с ти н и десят к о в и х дробів: з двох д е с я тко в и х дробів б іл ь ш и й то й, у я к о го б іл ь ш а ц іл а ч а с ти н а . Н а п р и кл а д : 15,311 > 14,798 (о с к іл ь к и 15 > 14), 17,798 < 18,1 (о с к іл ь к и 17 < 18). Я к щ о ц іл і ч а с ти н и дробів, я к і п о р ів н ю ю т ь , р ів н і м іж собою, то п о р ів н ю ю т ь їх д е с я тко в і ч а с т и н и : з двох д е ся тко в и х дробів з о д н ією й т іє ю самою ц іл о ю ча сти но ю б іл ь ш и й то й, у я к о г о більш е число деся т и х . Н а п р и кл а д : 14,56 > 14,49. Я к щ о два д е с я тко в и х дроби м аю ть р ів н і ц іл і ча сти н и і д е сяті, то п о р ів н ю ю т ь со ті і т. д. Н а п р и кл а д : 14,49 > 14,47. Ін о д і для того щоб п о р ів н я т и д е с я тко в і дроби, п о тр іб но с п о ч а т ку з р ів н я т и в н и х число д е ся тко в и х з н а к ів , п р и п и с а в ш и справа до одного з н и х п о тр іб н у к іл ь к іс т ь н у л ів . Н а п р и кл а д , по тр іб но п о р ів н я т и 7,23 і 7 ,2 3 7 . О с к іл ь к и 7,23 = 7,2 3 0 і 7 ,2 3 0 < 7 ,2 3 7 , то 7,23 < 7,237. О тж е , п р и хо д и м о до правила порівняння десятко вих дробів :

? '

258

із дво х д е с я тко в и х д робів б іл ь ш и й то й , у я к о го б іл ь ш а ц іл а ч а с ти н а ; я к щ о д е с я тко в і дроби м а ю ть р ів н і ц іл і ч а с ти н и , то б іл ь ш и м буде той д р іб, у я к о го більш е числ о д е ся ти х; я к щ о ч и с ло д е ся ти х однакове, то б іл ь ш и м буде то й дріб, у я к о го біл ьш е числ о со ти х, і т. д.

f ЗГ Рівні десяткові дроби зображуються на коорди натному промені однією і тією самою точкою. Н а п р и кл а д , на р и с у н к у 254 дроби 1,4 і 1,40 зобра ж у ю т ь с я однією і т іє ю самою т о ч к о ю А. Точка, що

зображує менший десятковий дріб, лежить на коор динатному промені лівіше від точки, що зображує більший десятковий дріб. Н а п р и кл а д , на р и с у н к у 254 то ч ка А (1 ,4 ) л е ж и ть л ів іш е від т о ч к и £ ( 1, 8 ).

А •—

і—

І—

і—

І—

і—

І—

і—

>—

В і—

1,4 = 1,40

І—

і—

•—

і—

1,8

і—

Рис. 254 Чи зміниться десятковий дріб, якщо справа до ньо_ J го приписати нуль? п’ять нулів? л Сформулюй правило порівняння десяткових дробів.

Початковий рівень

1167. Н а зви к іл ь к а д е с я тко в и х дробів, щ о д о р ів н ю ють дробам 0 ,2 ; 1 ,15. 1168. З а п и ш и ко р о тш е дріб: 1) 0 ,6 0 ; 2) 4 ,0 0 0 ; 3) 2 0 ,0 1 0 ; 4) 7 ,0 3 0 30 ; 5) 1 5 ,1 0 0 0 0 ; 6) 7 ,0 7 0 00 0 0 . і 109. Я к м о ж н а записати числа ко ро тш е: 1) 3 ,7 0 ; 2) 5 ,0 0 ; 3) 17 ,0 1 01 0 ; 4) 9 ,0 0 0 3 0 ; 5) 1 7 ,0 2 0 0 ; 6 ) 3,003000? 1170. Я к и й з д е с я тко в и х дробів б іл ь ш и й : 1) 3 0 ,0 7 ч и 3 0 ,1 1 ; 2) 17,25 ч и 16 ,2 5 ; 3) 5 ,6 4 5 ч и 5,7; 4) 0 ,1 2 4 ч и 0,11? 1171. Я к и й з д е с я тко в и х дробів м е н ш и й : 1) 8,7 2 5 ч и 8 ,5 2 7 ; 2) 3 2 ,9 9 ч и 3 3 ,8 7 ; 3) 4,9 ч и 4 ,8 8 9 ; 4) 0,2 ч и 0,201? 1172. П о р ів н я й числа: 1) 12,1 і 1 3 ,4 ; 2) 1 4 ,5 0 і 14,5; 3) 17,01 і 1 7 ,1 ; 4) 15,29 і 15 ,3 1 ; 5) 16 і 16,05; 6 ) 1,57 і 1 ,5 ; 7) 17,98 і 18; 8 ) 1 2,135 і 12,14;

17* 259

ген ам и 9) 42 і 4 2 ,0 0 ; 11) 5 2 ,1 7 3 і 5 2 ,1 7 1 ; 1173. П о р ів н я й : I ) 17,8 і 13,5; 3) 14,05 і 14,5; 5) 15,01 і 15; 7) 19 і 1 8 ,92; 9) 4 ,0 0 0 і 4; I I ) 4 7 ,1 2 7 і 4 7 ,1 2 6 ;

10) 1,0256 і 1,1; 12) 12,001 і 12,0001. 2) 12,3 і 12,300; 4) 2 9 ,1 2 і 2 9 ,0 8 ; 6 ) 1,8 і 1,87; 8 ) 14,182 і 14,19; 10) 8,1 і 8 ,0 9 9 9 ; 12) 14,09 і 14,009.

Середній рівень 1174. З а п и ш и тр и д е с я тко в и х дроби: 1) б іл ь ш і за 1,28; 2) м е н ш і від 0 ,1 1 3 . 1175. З а п и ш и два д е с я тко в и х дроби: 1) м е н ш і від 0 ,1 5 ; 2) б іл ь ш і за 7,18. 1176. З а п и ш и д е с я тко в і дроби в п о р я д ку зростання: 0 ,3 0 3 ; 3 ,3 0 3 ; 0 ,0 3 0 3 ; 303; 0 ,3 3 3 ; 3 ,0 3 . 1177. З а п и ш и д е с я тко в і дроби в п о р я д ку зростання: 8 ,3 5 ; 8 ,0 5 ; 6 ,0 5 ; 5 ,0 0 1 ; 5 ,0 1 ; 5 ,1 ; 6 ,0 0 5 . 1178. З а п и ш и д е с я тко в і дроби в п о р я д ку спадання: 2 0 ,0 0 2 ; 2 ,2 2 2 ; 2 ,2 2 ; 2 ,3 2 3 ; 2 ,3 0 3 ; 2 ,3 3 2 ; 2 0 ,2 0 2. 1179. З а п и ш и д е с я тко в і дроби в п о р я д ку спадання: 0 ,7 0 0 7 ; 7 ,0 7 ; 0 ,0 7 0 7 ; 707; 0 ,7 0 7 ; 7,707. 1180. Н азви тр и д е с я тко в и х дроби, я к і на ко о р д и н а тн о м у п р ом е н і м іс тя ть с я м іж числ а м и 4 і 5,7. 1181. Н азви тр и д е с я тко в и х дроби, я к і на к о о р д и н а тн о м у п р о м е н і м іс тя ть с я м іж числ а м и 5 і 6 ,2 . 1182. Я к а з то ч о к зна хо д иться л ів іш е на ко о р д и н а т но м у п р о м е н і: 1) А (1 ,8 ) ч и £ (1 ,7 9 ); 2) С (0,3 5) ч и І>(0,357)? 1183. Я к а з то ч о к зн а хо д иться п р а в іш е на ко о р д и н а тн о м у п р ом е н і: 1) М (2 ,7 ) ч и Щ 2 ,4 ); 2) # (7 ,4 9 ) ч и Д 7 ,4 8 5 )? 1184. Я к а з то ч о к на ко о р д и н а тн о м у п р ом е н і: 1) А ( 2 , 1) ч и £ ( 2 , 01 ) зна хо д иться л ів іш е ; 2) С (1,1 7) ч и £ (1 ,1 7 1 ) зна хо д иться правіш е?

260

f 3г 1185. Н азви всі н а ту р а л ь н і числа, я к і на ко о р д и н а т ном у п р о м е н і м іс тя ть с я м іж ч исл а м и : 1) 0 ,8 і 5 ,0 2 ; 2) 14,49 і 17,02. 1186. Н а зви в с і н а ту р а л ь н і числа, я к і на ко о р д и н а т ному п р о м е н і м іс тя ть с я м іж ч исл а м и : 1) 8 ,9 і 10,01; 2) 13,17 і 17,13.

Достатній рівень

1187. З на йд и всі н а ту р а л ь н і числа х , я к і задовольня ю ть н е р ів н іс ть : 1) 1,8 < х < 3 ,9 9 ;

2) 3 9 ,8 < х < 4 3 ,0 0 1 .

1188. З а м ін и з ір о ч к у та к о ю була пр а в и л ь н о ю . П е р е л іч и 1) 4 ,0 * > 4 ,0 7 3) 9 ,72 < 9 ,* 3 5) 8 , *7 > 8 ,77

циф рою , щоб н е р ів н іс ть всі м о ж л и в і в и п а д к и : 2) 7 ,3 * > 7,3; 4) 1 0,567 > 1 0 ,5 *7 ; 6 ) 0 ,8 * 5 > 0 ,8 4 1 .

1189. Я к і ц иф ри м о ж н а по ста вити за м ість * , щоб утворилася пр авил ьн а н е р ів н іс ть : 1) 3 ,* 9 > 3 ,2 9 ;

2) 1,45 < 1 ,4 *2 ?

1190. М іж я к и м и с у с ід н ім и н а тур а л ь н и м и числ ам и зна хо д иться дріб: 1) 8 ,4 2 ;

Є»

2) 4 ,7 9 1 ;

3) 8,0093?

Високим рівень

1191. З а п и ш и тр и д е с я тко в и х дроби, к о ж н и й з я к и х : 1) б іл ь ш и й за 3,7 і м е н ш и й від 3 ,8 ; 2) м е н ш и й від 8 ,5 2 і б іл ь ш и й за 8,51. 1192. В ир а зи ве л и ч и н и в о д н а ко в и х о д и н и ц я х в и м і р ю в анн я і п о р ів н я й : 1) 1,18 к г і 118 г ; 3) 8 ,2 дм і 8 2 ,3 см; 5) 3 1 ,8 к г і 0 ,4 2 3 ц ;

2) 3 ,8 9 2 к г і 3 8 9 3 ,5 г; 4) 9 0 3 ,8 см і 9 ,0 4 м; 6 ) 0 ,9 т і 8 ,1 7 ц.

261

1193. В ир а зи ве л и ч и н и в о д н а ко в и х о д и н и ц я х в и м і р ю ван ня і п о р ів н я й :

1) 2 ,3 7 к г і 2 3 75 ,3 г ; 2) 2 9,4 мм і 2 ,94 см; 3) 5,8 ц і 572,4 к г ; 4) 2 9,5 к м і 2 9 5 4 ,8 м. 1194. ф З акресли в ч и с л і 8 0 ,0 0 9 0 7 0 8 тр и н у л і т а к , щоб утворилося я к н а й б іл ь ш е число. 1195. ^ Щ о слід написати м іж циф рами 8 і 9, щоб утворилося число, я ке більш е за 8 і менше від 9?

Вправи для повторення 1196. ^ і)

Р о зв’ я ж и задачу за р и с у н ко м : 1423 ?

2) ф

47 130 ?

125 382

1197. ^ 3 М аємо рівнобедрений т р и к у т н и к . 1) П ерим етр т р и к у т н и к а 80 дм. Д о в ж и н а б іч н о ї сторони д о р івн ю є 23 дм. З найди д о в ж и н у основи. 2) П ерим етр т р и к у т н и к а 47 см. Д о в ж и н а осно ви д о р івню є 15 см. З н а йд и д о в ж и н у б іч н о ї сторо ни. 1198. ф 3 тр ьо х р ів н и х п р я м о к у т н и к ів скл а д и к в а д рат площ ею 81 см 2. З найди перим етр одного з п р я м о к у т н и к ів .

'^ФШо Округлення натуральних чисел і десяткових дробів П р и п усти м о , н а пр и кл а д , щ о к іл ь к іс т ь у ч н ів у ш к о л і на 1 вересня становить 1682. О днак через де я к и й час к іл ь к іс т ь у ч н ів у ш к о л і зм ін и ть с я , а том у назване число стане неправильним . У ньом у з м ін и т ь ся циф ра розрядів о диниць, а м о ж л и во , і д е ся тків. Т ом у м о ж н а ска за ти , що в ш к о л і навчається п р и б л и з но 1680 у ч н ів . Тобто м и за м ін и л и циф ру о д иниць на нуль. У цьом у разі к а ж у т ь , щ о число о к р у гл и л и до

262

§Зі д е ся тків. Це за п исую ть т а к : 1682 « 1680. З н а к * ч и тається «наближ ено дорівню є». П р и о к р у г л е н н і числа до заданого розряду необ хід н о , щоб о кр угл е н е число я кн а й м е н ш е в ід р із н я л о ся від заданого числа. Т а к , о к р у гл ю ю ч и 1682 до со тень, маємо 1682 » 1700 (о с к іл ь к и 1682 б л и ж ч е до 1700, н іж до 1600) (рис. 255). 1682 — І— І— І— І— І— І— І— І— ►—І— І—

1600

1700 Рис. 255

435 — І

— І— І— І— і— І—

430

440 Рис. 256

Н е ха й , н а п р и кл а д , треба о к р у г л и т и до д е с я тків число 435. Це особливий в и п а д о к, о с к іл ь к и число 435 рівновіддалене від чисел 430 і 440 (рис. 256). У т а к и х в и п а д ка х дом овилися о к р у г л я т и число «у б іл ь ш у сторону». О тж е , 435 * 440. М аємо правило округлення натурального числа: І/

1) о к р у гл ю ю ч и н а тур ал ьне ч и сл о до п е вного розряд у, в с і ц и ф р и , щ о йд уть за н и м , з а м ін ю ю ть н у л я м и ; 2 ) я к щ о пе рш а н а с ту п н а за ц и м розрядом ц и ф ра 5, 6 , 7, 8 або 9, то о с та н н ю циф ру, я к а за л и ш и л а ся , зб іл ь ш у ю ть на о д и н и ц ю ; я к щ о пе рш а н а с ту п н а за ц и м розрядом циф ра 0, 1, 2, 3 або 4, то о с та н н ю ц иф р у, я к а за л и ш и л а ся , не з м ін ю ю т ь .

П р и к л а д 1. О к р у гл и число 85 357 до ти с я ч .

Розв’язання. П ід кр е с л и м о циф ру 5 у р о зр яд і т и сяч: 85 357. Ц и ф р и, щ о стоять праворуч від неї (тобто 3, 5 та 7), за м ін ю єм о н у л я м и . Н а с ту п н а за розрядом ти ся ч є циф ра 3, то м у ц иф ру ти с я ч 5 не зм ін ю єм о : 85 3 5 7 « 85 000.

Відповідь : 85 000. П р и к л а д 2. О к р у гл и число 68 792 до н а й в и щ о го розряду. Розв’язання. Н а й в и щ и м розрядом даного числа є д е ся тки ти ся ч . Т о м у циф ри 8 , 7, 9 та 2 за м ін ю єм о

263

ГС^дІлА^

н у л я м и . Ц и ф р у в р о зр яд і д е с я тків ти с я ч 6 з б іл ь ш у ємо на о д и н и ц ю , о с к іл ь к и н а ступ н а за нею циф ра 8 . О тж е , записуєм о т а к : 6 £ 972 » 70 000.

Відповідь : 70 000. Н а п р а к т и ц і т а к о ж часто в и н и к а є потреба о к р у гл и т и д е ся тко в і дроби. П р и ц ьо м у будемо к о р и с т у ватися т и м и сам им и п р авил а м и , щ о й для н а тур ал ь н и х чисел. Приклад 3. О к р у гл и число 8 2 ,2 7 3 2 до десятих. Розв’язання. 8 2 ,2 7 3 2 « 8 2 ,3 0 0 0 . П р и ц ьо м у п ід т креслю єм о циф ру, щ о сто їть у р о зр яд і д е сяти х. Ц и ф ри со ти х, т и с я ч н и х та д е с я ти ти с я ч н и х за м ін ю єм о н у л я м и , а циф ру десяти х зб іл ьш уєм о на 1 , о с к іл ь к и н а ступ н о ю за нею є циф ра 7. П роте 8 2 ,3 0 0 0 = 8 2 ,3 . Т о м у 8 2 ,2 7 3 2 * 8 2 ,3 . Приклад 4. О к р у гл и число 3 2 ,3 7 2 до со ти х. Розв’язання. 3 2 ,3 7 2 « 3 2 ,3 7 0 . П ід кр е с л ю є м о циф" ї р у, щ о стоїть у р о зр яд і с о ти х , циф ру т и с я ч н и х за м ін ю єм о нулем , а циф ру с о ти х залиш аєм о без з м ін , о с к іл ь к и н а ступ н о ю за нею є циф ра 2. П роте 3 2 ,3 7 0 = 3 2 ,3 7 . Т о м у 3 2 ,3 7 2 * 32 ,3 7 . Приклад 5. О к р у гл и число 9 8 3 ,4 2 до д е с я тків . Розв’язання. Я к щ о д е ся тко в и й дріб о к р у гл ю ю т ь до розряду, ви щ о го за о д и н и ц і, то дробову ч а с ти н у в ід ки д а ю ть , а ц іл у ч а с ти н у о к р у гл ю ю т ь за правилом о к р у гл е н н я н а ту р а л ь н и х чисел. Т о м у 9 8 3 ,4 2 * 980. О тже, маємо правило округлення десяткового дробу:

Ш о к р у г л ю ю ч и д е с я тко в и й д р іб до п е вн о го розряду, 1) у с і ц и ф р и , за п и с а н і за ц и м розрядом , за м ін ю є м о н у л я м и або в ід ки д а є м о (я к щ о во н и сто я ть п іс л я к о м и ); 2 ) я к щ о п е р ш о ю ц иф р о ю за ц и м розрядом є 0, 1, 2, 3 або 4, то о ста н н ю циф р у, щ о за л и ш и л а с я , не зм ін ю є м о ; я к щ о п е р ш о ю ц и ф р о ю за ц и м розрядом є 5, 6 , 7, 8 або 9, то о с та н н ю ц иф р у, щ о за л и ш и л а ся , зб іл ь ш уєм о на 1.

264

§ Зі Я к щ о п р и о к р у гл е н н і десяткового дробу остання цифра, щ о за л иш ил а ся в дробовій ч а с т и н і, буде 0 , то в ід ки д а ти ї ї не м о ж н а ( я к м и це робимо з то ч н и м и числ ам и ). У ц ьо м у р а зі циф ра 0 н а п р и к ін ц і дробової ча стини п о ка зу є , до я к о го розряду о кр у гл е н о число. П р и кл а д 4. О к р у гл и число 4 3 ,9 5 7 до десятих.

Розв’язання. 4 3 ,9 5 7 * 4 4 ,0 . Сформулюй правило округлення натуральних чиЩу сел. Наведи приклади, з Щ о треба зробити, якщ о під час округлення до тисяч цифра сотень дорівнює 8? дорівнює 5? дорівнює 3? * Сформулюй правило округлення десяткових дробів. * Щ о треба зробити з останньою цифрою, що залишається, якщ о перша цифра після неї 8? цифра 3? цифра 5?

Початковий рівень 1199. (У сн о ). П о я с н и , я к в и ко н а н о о к р у гл е н н я до де с я т к ів : 1) 832 » 830; 2) 726 * 730; 3) 1975 * 1980; 4) 12 314 * 12 310. і ^(>0. Ч и пр авил ьн о ви ко н а н о о к р у гл е н н я до сотень: 1) 239 * 200; 3) 8392 * 8 4 00 ;

2) 1379 * 1300; 4 )5 1 9 2 « 5000?

1201. П р о ч и та й н а б л и ж е н і р ів н о с т і і с к а ж и , до я к о го розряду о кр у гл е н о числа: 1) 1 2,457 & 12 ,4 6 ; 3) 1 2,457 * 12,5; 5) 8,3601 * 8 ,4 ;

2) 1 2,457 * 12; 4) 8 ,3601 * 8 ,3 6 0 ; 6 ) 8 ,3601 * 8,36.

Середній рівень

1202. О к р у гл и числа до: 1) 2) 3) 4)

д е с я тків : 762; 598; 1845; 1350; сотень: 521; 669; 5739; 12 271; ти ся ч : 17 457; 20 951; д е с я тків ти с я ч : 257 642.

265

1203. О к р у гл и числа до їх н а й в и щ о го розряду: 1) 593; 2) 1257; 3) ЗО 792; 4) 162 573. 1204. О к р у гл и числа до: 1) д е с я тків : 732; 397; 411; 2) сотень: 352; 435; 807; 3) ти ся ч : 5473; 7897; 4) їх н а й в и щ о го розряду: 5692; 14 273. 1205. П р о ч и та й н а б л и ж е н і р ів н о с т і та п о я с н и , до я к о го розряду о кр у гл е н о числа: 1) 4735 * 4740; 2) 4735 * 4700; 3) 27 451 * 27 000; 4) 27 451 * ЗО 000. 1206. Н а й ви щ а гір с ь к а верш ина у с в іт і — Д ж о м о л у н гм а . Ї ї висота 8848 м. О к р у гл и це число до: 1) д е с я тків ; 2) сотень; 3) ти с я ч . 1207. Н а й д о в ш і р іч к и У к р а їн и : Д у н а й — 2850 к м , Д н іп р о — 2285 к м , Д н іс те р — 1362 к м , Д есна — 1126 к м . О к р у гл и ц і значення до сотень к іл о м е т р ів . 1208. О к р у гл и до: 1) д е сяти х: 7 ,167; 2 ,8 5 3 ; 4 ,3 4 1 ; 6 ,2 1 9 ; 6 ,3 5 ; 2) со ти х: 0 ,6 9 2 ; 1 ,234; 9 ,0 7 8 ; 6 ,4 1 7 ; 0 ,0 2 5 ; 3) о д и н и ц ь : 1 2 ,56; 1 3 ,1 1 ; 1 7 ,1 8 2; 2 5 ,5 9 7 ; 4) д е с я тків : 3 5 2 ,4 ; 2 0 6 ,3 ; 4 2 5,5 . 1209. О к р у гл и числа до: 1) д е сяти х: 6 ,7 1 3 ; 2 ,3 8 5 ; 1 6 ,0 5 1; 0 ,8 4 9 ; 9 ,2 5 ; 2) со ти х: 0 ,5 2 6 ; 3 ,9 6 4 ; 7,4 0 8 ; 9 ,6 6 3 ; 1 1 ,5 5 5; 3) о д и н иц ь: 7 3 ,4 8 ; 1 1 2,0 9; 3 1 2 ,5 2 ; 4) д е с я тків : 4 1 7 ,3 ; 2 1 3 ,5 8 ; 6 6 4,3 ; 5) сотень: 8 0 1 ,9 ; 1 267,1; 2 4 05 ,11 3 . 1210. О к р у гл и число 4 8 3 6 ,2 7 5 1 8 до:

1) ти с я ч ; 4) о д и н и ц ь ; 7) т и с я ч н и х ;

2) сотень; 5) десятих; 8 ) д е с я ти ти с я ч н и х .

1211. О к р у гл и число 8 4 9 1 ,5 3 7 2 6 до:

1) ти с я ч ; 4) о д и н и ц ь ; 7) т и с я ч н и х ;

266

2 ) сотень; 5) десятих; 8 ) д е с я ти ти с я ч н и х .

3) д е с я тків ; 6 ) с о ти х ;

§ Зі 1212. М о р ська м и л я д о р івн ю є 1,8 5 3 18 к м . О к р у гл и це число до: 1) десятих; 2) со ти х; 3 ) тисячних; 4) д е с я ти ти с я ч н и х . 1213. Ярд дорівню є 0 ,9144 м. О к р у гл и це число до: 1) д е сяти х; 2) с о ти х ; 3) т и с я ч н и х .

Достатній рівень 1214. З а п и ш и : 1) у гр и в н я х , попередньо о к р у гл и в ш и до сотень к о п ій о к : 720 к о п .; 1857 к о п .; 2) у м етрах, попередньо о к р у г л и в ш и до сотень са н ти м е тр ів : 1873 см; 2117 см; 3) у то н н а х, попередньо о к р у г л и в ш и до ти с я ч к і л о гр а м ів : 12 482 к г ; 7657 к г ; 4) у кіл о м е т р а х , попередньо о к р у г л и в ш и до ти с я ч м е тр ів: 7352 м ; 18 911 м. 1215. З а п и ш и : 1) у к іл о гр а м а х , попередньо о к р у г л и в ш и до ти ся ч гр а м ів : 19 572 г; 8321 г; 2) у цен тне ра х, попередньо о к р у г л и в ш и до сотень к іл о гр а м ів : 5492 к г ; 7021 к г ; 3) у децим етрах, попередньо о к р у г л и в ш и до де с я т к ів са н ти м е тр ів : 540 см; 4228 см. 1216. З а п и ш и всі циф ри, я к і м о ж н а п ід с та в и ти за м іс ть * , щоб о кр у гл е н н я було в и ко н а н о правильно: 1) 4 3 * « 430; 2) 8 4 *6 * 8500; 3) 5 7 *9 * 5700; 4) *3 2 5 ~ 4000. 1217. З а п и ш и всі циф ри, я к і м о ж н а п ід с та в и ти за м ість * , щоб о к р у гл е н н я було в и ко н а н о правильно: 1) 2 5 * * 260; 3) 4 *3 7 * 4000;

2) 9 3 *4 * 9300; 4) *5 7 9 ~ 9000.

1218. П ерш а деталь має масу 15,26 к г , друга — 17,43 к г , третя — 7,66 к г , а четверта — 1 8,875 к г . З найди за га л ьн у м асу ц и х чо ти р ьо х деталей (у гра-

267

м а х) і о к р у г л и результат до д е ся ти х к іл о гр а м а . П о р ів н я й від п о в ід ь з результатом , я к и й м о ж н а о тр и м а ти , я к щ о с п о ч а т ку о к р у г л и т и д а н і задачі до десятих, а п о т ім р озв’я за ти її.

1219. В ир а зи в кіл о м е т р а х висоти: Д ж о м о л у н гм а — 8848 м, п ік П ерем оги — 7439 м , А р а ра т — 5165 м, Говерла — 2061 м. О к р у гл и ц і числа до: 1) десятих; 2) со ти х. 1220. Я к і циф ри м о ж н а поста вити за м ість з ір о ч к и , щоб о кр у гл е н н я було ви ко н а н о правильно? Н аведи всі в а р іа н ти : 1) 3) 5) 7)

4 ,3 7 * * 4 ,3 7 ; 1 2 ,0 * * 12,0; 1 5 ,0 1 * » 1 5 ,02; 0 ,3 8 *9 * 0 ,3 9 ;

2) 9 ,0 4 * * 9 ,0 5 ; 4) 1 7 ,* * 18; 6 ) 7 2 ,*6 * 73; 8 ) 4 2 4 *,7 2 « 4241.

1221. Я к і циф ри м о ж н а п о ста вити у « в іко н е ч ко » , щоб о к р у гл е н н я було ви ко н а н е правильно? Наведи всі в а р іа н ти : 1) 5 .4 2 П * 5 ,4 2 ; 3) 1 3 ,0 П » 1 3,0; 5) 8 1 ,П 5 ~ 82;

2) 7 Д 4 П а 7,15; 4) 2 9 ,3 8 П * 29 ,3 9 ; 6) 0 ,2 7 П 1 3 * 0 ,2 7 .

Високим рівень 1222. Д е я ке натуральне число о к р у гл и л и до ти с я ч і о тр и м ал и 29 000. З найди найм енш е і на йбіл ьш е ч и с ла, п ід час о кр у гл е н н я я к и х до ти с я ч м атимем о дане число. Р озв’язання. Н ай м енш е -— 28 500, н а й б іл ьш е — 29 499.

1223. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : х - 5297 = 4785; у : 272 = = 39; 59 225 : z = 25, обчисли с ум у х + у + г та о к р у г л и її до сотень. 1224. Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : х + 27 382 = 38 115; 29 192 - у = 3 8 97 ; z ■ 37 = 46 065, обчисли с ум у х + у + г та о к р у г л и її до д е с я тків .

268

f з? Вправи для повторення 1225. ( р М а ш и н а в и їха л а з К и є в а о 8 год р а н к у і прибула до Львова о 17 год. З я к о ю ш в и д к іс т ю р у х а лася м а ш и н а , я к щ о від стань м іж К и є в о м і Львовом 560 к м і на з у п и н к и було витрачено д в і години? 1226. ^ 3 Ч и іс н у є натуральне число, щ о дор івн ю є с у м і в с іх п о пе р е д н іх до нього н а ту р а л ь н и х чисел? 1227. ^ 3 Я к у циф ру м о ж н а п ід с та в и ти за м ість х, щоб утвор и лася п равил ьна н е р ів н іс ть (б у кв о ю х п о значено одну й т у сам у ц иф ру в к о ж н о м у п р и кл а д і)? 1) 0 ,х 5 > 0 ,6 x ; 3) 0 ,х 8 > 0 ,8 * ;

2) 8,5х < 8 ,хЗ ; 4) 0,д:8 < 0 ,8 х .

f/Io Додавання і відніманні десяткових дробів Д е с я т к о в і дроби за п и сую ть за ти м самим п р и н ц и пом , щ о й н а ту р а л ь н і числа. Т о м у додавання і в ід н ім а н н я в и к о н у ю т ь за в ід п о в ід н и м и схем ам и для на ту р а л ь н и х чисел. П ід час додавання і в ід н ім а н н я д е с я т к о в і дроби за п и с у ю ть « сто в п ч и ко м » — один п ід о дни м т а к , щоб о д н о й м е н н і р о зр яд и с то я л и один п ід о дни м . Т а к и м ч и н о м , к о м а буде с то я ти п ід ко м о ю . Д а л і в и ко н у є м о д ію т а к , я к і з н а ту р а л ь н и м и ч и с л а м и , не звертаю чи у в а ги на к о м и . У с у м і (або р із н и ц і) к о м у ставим о п ід ко м а м и д о д а н ків (або к о м а м и зм е н ш у ваного і в ід ’ є м н и к а ). П р и к л а д 1 3 7 ,9 8 2 + 4 ,4 7 3 . 37,982 Пояснення. 2 т и с я ч н и х плю с 3 т и с я ч + 4,473 н и х д о р івн ю є 5 т и с я ч н и х . 8 с о ти х плю с 42,455 7 с о ти х д о р івню є 15 со ти х , або 1 десята і 5 со ти х. З аписуєм о 5 со ти х , а 1 десяту за п а м ’ятовуєм о і т. д. 42,800 П р и к л а д 2. 4 2 ,8 - 3 7 ,5 1 5. 37,515 Пояснення. О с к іл ь к и зм енш уване і 5,285 в ід ’ є м н и к м аю ть р із н у к іл ь к іс т ь з н а к ів

269

Li,

п іс л я к о м и , то м о ж н а п р и п и с а ти в зм ен ш ува н о м у н е об хід н у к іл ь к іс т ь н у л ів . Розберися са м о стійн о , я к в и ко н а н о п р и кл а д . З а ува ж и м о , щ о п р и додаванні та в ід н ім а н н і н у л і м о ж н а й не д о писува ти, а п о д у м к и у я в л я ти їх на т и х м іс ц я х , де немає р о зр я д н и х од и н иц ь. П р и додаванні д е с я тко в и х дробів сп р а в д ж ую ть ся ви вч е н і р а ніш е переставна і спо лучн а вл а сти во сті до давання:

а + b = Ь+ а (а + Ь) + с = а + (Ь + с)

Я к додаються і я к віднімаються десяткові дроби?

» Щ о можна зробити, якщ о доданки або зменшува не і від’єм ник мають різну кіл ь кіс ть знаків після коми?

Початковий рівень 1228. Обчисли (усно): 1) 8 + 0 ,7 ; 3) 0 ,3 9 -І- 1; 5 )0 ,1 2 + 0 ,3 7 ; 7) 0 ,02 + 0 ,0 0 3 ; 9) 0 ,1 2 + 0 ,0 0 4 .

2) 5 + 0 ,3 2 ; 4) 0 ,3 + 0 ,2 ; 6 ) 0 ,1 + 0 ,0 1 ; 8 ) 0 ,2 6 + 0 ,7 ;

1229. О бчисли: 1) 4,7 2) 11,2 0,2 + 1,9

4,59 + 3,8

13 + 19,2

1230. О бчисли (усно): 1) 4 ,7 2 - 2; 4) 6 ,7 - 0 ,3 ; 7) 0 ,1 9 - 0 ,0 7 ;

2) 13,892 - 10; 5) 2,3 - 1,2; 8 ) 0 ,4 7 - 0 ,3 2 ;

3) 0 ,8 - 0 ,6 ; 6 ) 0 ,0 5 - 0 ,0 2 ; 9) 4 2 ,4 - 42.

1231. О бчисли: 1) _ 9,3 5,7

270

2) _ 14,2 3J

3) _ 3 7,8 19

4) _ 5 4,12

f37 1232 О бчисли: 1) 1,7 2) 2,1 + 2,8 + 1,36 4)

9,2 3,4

3) 24,95 + 4,3

6 ) 10,3 8,17

25,6 9__

1233. Н а о д н ій м а ш и н і було 2 ,7 т п іс к у , а на і н ш ій — 3,2 т. С к іл ь к и п іс к у було на двох м а ш инах? 1234. В и к о н а й додавання: 1) 6 ,9 + 2 ,6 ; 4) 15 + 7 ,2 ; 7) 10,9 + 0 ,3 0 9 ;

2) 5) 8)

9 ,3 + 0 ,8 ; 3) 8 ,9 + 5; 4 ,7 + 5 ,2 9 ; 6 ) 1,42 + 2 4 ,5 ; 0 ,5 9 2 + 0 ,8 3 ; 9) 1,723 + 8 ,9 .

2) 5) 8)

5,6 + 0 ,5 ; 3) 9 + 3 ,6 ; 3 ,5 8 + 1,4; 6 ) 7,2 + 15,68; 0 ,4 7 + 0 ,7 4 1 ; 9) 8 ,4 9 2 + 0 ,7 .

1235 З н а й д и сум у: 1) 3 ,8 + 1,9; 4) 5 ,7 + 1,6; 7) 0 ,9 0 6 + 1 2,8;

1236. В и к о н а й в ід н ім а н н я : 1) 5,7 - 3 ,8 ; 4) 4 4 ,6 - 13; 7) 7,5 - 4 ,8 3 ;

2) 6 , 1 - 4 , 7 ; 3 )1 2 ,1 -8 ,7 ; 5) 4 - 3 ,4 ; 6 ) 17 - 0 ,4 2 ; 8 ) 0 ,1 2 - 0 ,0 8 5 6 ; 9) 9,3 7 8 - 8 ,4 5 .

1237. З найди р із н и ц ю : 1 )7 ,5 - 2 ,7 ; 4) 3 2 ,7 - 5; 7) 8,31 - 4 ,5 6 8 ;

2) 4 , 3 - 3 , 5 ; 3 )1 2 ,2 -9 ,6 ; 5) 41 - 3 ,5 3 ; 6 ) 7 - 0 ,6 1 ; 8 ) 0 ,1 6 - 0 ,0 9 1 3 ; 9) 3 7 ,8 1 9 - 8 ,9 .

1238. К и л и м -л іт а к за 2 год п рол етів 17,4 к м , п р и чо м у за п е р ш у го д и н у в ін п рол етів 8 ,3 к м . С к іл ь к и п ролетів к и л и м -л іт а к за д р у гу годину? 1239. 1) З б іл ь ш и число 7,2831 на 2 ,423. 2) З м е нш и число 5,3 7 2 на 4 ,4 7 .

Середній рівень 1240. Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 7,2 + х = 10 ,3 1 ; 3) х - 2,8 = 1,72;

2) 5,3 - х = 2 ,4 ; 4) х + 3,71 = 10,5.

271

'ftg X u ,

1241. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) х - 4 ,2 = 5 ,9 ;

2) 2,9 + х = 3 ,5 ;

3) 4 ,1 3 - x = 3 ,2 ;

4) x + 5,72 = 14,6.

1242. Я к зр у ч н іш е додати? Ч ом у? 4 .2 + 8 ,9 3 + 0 ,8 = (4 ,2 + 8 ,9 3 ) + 0 ,8 чи 4.2 + 8 ,93 + 0 ,8 = (4 ,2 + 0 ,8 ) + 8 ,9 3 . 1243. Обчисли (усно) н а й з р у ч н іш и м способом: 1) 7 + 2 ,8 + 1,2; 3) 3 ,42 + 4 ,9 + 5 ,1 ;

2) 12,4 + 17,3 + 0 ,6 ; 4) 12,11 + 7,89 + 13,5.

1244. З найди значення виразу: 1) 2) 3) 4)

200,01 + 0 ,0 5 2 + 1,05; 42 + 4 ,0 3 8 + 17,25; 2,5 4 6 + 0 ,5 9 7 + 8 2 ,0 4 ; 4 8 ,0 8 6 + 115,92 + 111,037.

1245. З найди значення виразу: 1) 2) 3) 4)

82 + 4,0 4 2 + 17,37; 47 ,8 2 + 0 ,3 8 2 + 17,3; 15,397 + 9 ,42 + 114; 152,73 + 137,8 + 0 ,4 9 5 3 .

1246. В ід металевої тр уби за в д о в ж ки 7,92 м в ід р із а л и с п о ч а т ку 1,17 м, а п о тім ще 3 ,42 м. Я к а д о в ж и н а ре ш ти труби? 1217. Я б л ука разом з я щ и к о м ва ж а ть 25,6 к г . С к іл ь к и к іл о гр а м ів ва ж а ть я б л у ка , я к щ о п о р о ж н ій я щ и к в а ж и ть 1,13 к г? 1248. З найди д о в ж и н у лам аної ABC, = 4 ,7 см , а ВС на 2,3 см менш е в ід АВ.

якщ о

АВ =

1249. В одном у б ід о н і є 10,7 л м о л о ка, а в ін ш о м у — на 1,25 л менш е. С к іл ь к и м о л о ка у двох бідонах? 1250. О бчисли: 1) 1 47,85 - 34 - 5 ,986; 2) 137,52 - (1 1 3,21 + 5 ,4 ); 3) (1 5 7 ,4 2 - 1 1 4,381) - 5 ,91; 4) 1142,3 - (1 5 7 ,8 - 3 ,7 1 ).

272

§ з? 1251. О бчисли: 1) 137,42 - 15 - 9 Д 2 7 ; 2) 1147,58 - (1 4 2 ,3 7 + 8 Д З ); 3) (1 5 9 ,5 2 - 142,78) + 11,189; 4) 4 2 97 ,52 - (1 1 3 ,4 3 + 1298,3). 1252. З найди значення виразу а - 5,2 - Ь, я к щ о а = = 8 ,9 1 , b = 0 ,1 3 . 1253. Ш в и д к іс т ь човна в с то я ч ій воді 17,2 к м /г о д , а ш в и д кіс т ь т е ч ії 2,7 к м /г о д . З найди ш в и д к іс т ь човна за те чією і п р оти те ч ії. 1254. З аповни таблицю : Власна швидкість, км/год

Швидкість течії, км/год

13,1

1,8

17,2

Швидкість за течією, км/год

Швидкість проти течії, км/год

18,5

12,35

10,85

2,1

13,5 12,95

1,65 1255. Знайди п р о п у щ е н і числа в л а н ц ю ж к у : +9,37

- 5,382

1256. В и м ір я й у са н тим етрах сторони ч о т и р и к у т н и к а , зображеного на р и с у н к у 257, та знайд и його периметр. 1257 Н а кр е сл и д о в іл ь н и й тр икутн и к, в и м ір я й його сторони в са н тим етрах та знайд и перим етр т р и к у т н и к а . 1258. Н а в ід р із к у АС п о зн а ч и л и т о ч к у В (рис. 258). 1) З найди АС, я к щ о АВ = 3,2 см, ВС = 2,1 см; 2) знайд и ВС, я к щ о АС = 12,7 дм, АВ = 8 ,3 дм. 1ВО,С. Істер“Математика"»5кл.

273

re^alvC' А В і------------- 1 A

•

В С • • Рис. 258

С D і--------1 Рис. 259

1259. Н а с к іл ь к и са н ти м етрів в ід р із о к АВ д о в ш и й за в ід р із о к CD (рис. 259)? 1260. Одна сторона п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 2 ,7 см, а ін ш а — на 1,3 см ко р о тш а . З найди перим етр п р я м о кутника . 1261. Основа рівнобедреного т р и к у т н и к а д орівню є 8,2 см, а б іч н а сторона на 2,1 см м енш а від основи. З найди перим етр т р и к у т н и к а . 1262. П ерш а сторона т р и к у т н и к а до р івн ю є 13,6 см, др уга на 1,3 см ко р о тш а від перш ої. З найди третю сторону т р и к у т н и к а , я к щ о його перим етр д о р івн ю є 43,1 см.

Достатній рівень

... . іу^ Й В Е Н Н І

1263. З а п и ш и п о сл ід ов н ість з п ’я т и чисел, я к щ о : 1) перш е число д орівню є 7,2, а к о ж н е наступне на 0 ,2 5 більш е за попереднє; 2) перш е число дор івн ю є 1 0 ,18, а к о ж н е наступне на 0 ,3 4 менш е від попереднього. 1264. У пе рш о м у я щ и к у було 12,7 к г я б л у к , щ о на 3 ,9 к г більш е, н іж у д р уго м у. У третьом у я щ и к у я б л у к було на 5,13 к г менш е, н іж у пе рш о м у і д р у го м у разом. С к іл ь к и к іл о гр а м ів я б л у к було в трьох я щ и к а х разом? 1265. П е рш о го д н я т у р и с т и п р о й ш л и 8 ,3 к м , щ о на 1,8 к м більш е, н іж д р уго го д н я , і на 2,7 к м менш е, н іж третього. С к іл ь к и к іл о м е т р ів п р о й ш л и ту р и с ти за тр и дні? 1266. В и к о н а й додавання, обираю чи зр у ч н и й п о р я д о к обчислення:

274

1) 0,571 + (2 ,8 7 + 1,429); 2) 6 ,3 3 5 + 2,8 9 6 + 1,104; 3) 4 ,52 4- 3,1 + 17,48 + 13,9. 1267. В и к о н а й додавання, обираю чи з р у ч н и й п о р я д о к обчислення: 1) 0,571 + (2 ,8 7 + 1,4 2 9 ); 2) 7,335 + 3 ,8 9 6 + 1,104; 3) 15,2 + 3,71 + 7,8 + 4 ,2 9 . 1268. Постав за м ість з ір о ч о к циф ри: 1)

2 ,* 3 4 * 6

+ 4 ,7 * 5 2 *

4 ,8 5 * 9 * + *,6 9 3 1 7

* ,3 2 * 1 0

7 ,* * 0 * 0

8 ,3 1 * 0 * З,* 5 6 2 8

4) _ 6 , * 7 0 0 * 3 ,7 9 *9 2

* ,9 * 3 * 7

* ,4 * 5 * 0

1269. П остав у к л іт и н к и т а к і циф ри, щоб у тв о р и л и ся правильно в и к о н а н і п р и кл а д и : 1)

3 ,2 8 9 4 6 + 5,П 9П 90

2)4,8СІ6П7 + 0 ,2 4 8 1 5

□,0П4П2

9,П8П9П

4 ,8 2 9 0 0 1 ,8 Р 5 б а

_9,П 8П 5П 3.685D 1

□ ,□ 5 0 7 7

D ,7D665

1270. С прости вираз: 1) 2,71 + х - 1,38;

2 ) 3 , 7 1 + с + 2,98.

1271. С прости вираз: 1) 8 ,42 + 3 ,1 7 - х ;

2) 3 ,4 7 + у - 1,72.

1272. З найди з а ко н о м ір н іс ть і за п и ш и тр и н а с ту п н и х числа послід овн ості: 1) 2; 2 ,7 ; 3,4 ...

2) 15; 13,5; 12 ...

1273. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 13,1 - (х + 5 ,8 ) = 1,7; 18*

275

2) ( х - 4 ,7 ) - 2 ,8 = 5,9; 3) (у - 4 ,4 2 ) + 7,18 = 2 4 ,3 ; 4) 5,42 - (у - 9 ,3 7 ) = 1,18. 1274. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) (3 ,9 + х ) - 2,5 = 5,7; 2) 14,2 - (6 ,7 + х ) = 5 ,9 ; 3) (jу - 8 ,4 2 ) + 3 ,14 = 5,9; 4) 4 ,4 2 + (у - 1,17) = 5,47. 1275. З найди значення виразу зр у ч н и м способом, в и ко р и с то в у ю ч и властивості в ід н ім а н н я : 1) 2) 3) 4)

(1 4 ,5 4 8 + 1 2 ,8 3 5) - 4 ,5 4 8 ; 9 ,37 - 2 ,5 9 - 2 ,3 7 ; 7,132 - (1 ,1 3 2 + 5 ,1 3 ); 12,7 - 3,8 - 6 ,2 .

1276. З найди значення виразу зр у ч н и м способом, в и ко р и с то в у ю ч и властивості в ід н ім а н н я : 1) 2) 3) 4)

(2 7 ,5 2 7 + 7,9 8 3 ) - 7,527; 14,49 - 3,1 - 5 ,4 9 ; 14,1 - 3 ,58 - 4 ,4 2 ; 4 ,1 4 2 - (2 ,1 4 2 + 1,9).

1277. О бчисли, за писа вш и д а н і ве л и ч и н и в децим ет рах: 1) 2) 3) 4)

8 ,7 2 дм - 13 см; 15,3 дм + 5 см -І- 2 мм; 427 см + 15,3 дм; 5 м 3 дм 2 см - 4 м 7 дм 2 см.

1278. П ерим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а д орівню є 17,1 см, а б ічн а сторона — 6 ,3 см. З найди д о в ж и н у основи. 1279. Ш в и д к іс т ь товарного п о тя га 52,4 к м /г о д , п а са ж и р с ь ко го 6 9,5 к м /г о д . В и зн а ч , віддаляю ться ч и зб л и ж у ю ть с я ц і п о т я ги і на с к іл ь к и к іл о м е т р ів за го д и н у , я к щ о вони в и й ш л и одночасно:

1) з двох п у н к т ів , відстань м іж я к и м и 600 к м , на зу с тр іч один одному; 2) з двох п у н к т ів , від стань м іж я к и м и 300 к м , і п а с а ж и р с ь к и й наздоганяє това р н ий ;

276

f л? 3) з одного п у н к т у в п р о т и л е ж н и х н а п р я м а х; 4) з одного п у н к т у в одном у н а п р я м і. Ш в и д к іс т ь перш ого велосипедиста 18,2 к м /г о д , а д р угого 16,7 к м /г о д . В и зн а ч , від даляю ться ч и зб ли ж а ю ться велосипедисти і на с к іл ь к и к іл о м е т р ів за го д и н у, я к щ о вони в и їх а л и одночасно: 1) з двох п у н к т ів , від стань м іж я к и м и 100 к м , н а зу с тр іч один одном у; 2) з двох п у н к т ів , відстань м іж я к и м и 30 к м , і п е р ш и й наздоганяє д р угого ; 3) з одного п у н к т у в п р о т и л е ж н и х н а пр я м а х; 4) з одного п у н к т у в одном у н а п р я м і. 1281. О бчисли, в ід п о в ід ь о к р у гл и до со ти х: 1) 1,5972 + 7 ,8219 - 4 ,3 7 1 2 ; 2) 2 ,3 9 1 7 - 0 ,4 2 1 4 + 3 ,4 5 1 5. 1282. О бчисли, записавш и д а н і ве л и ч и н и в ц е н тн е рах: 1) 8 2) 9 3) 3 4)5

ц - 319 к г ; ц 15 к г + 312 к г ; т 2 ц - 2 ц 3 кг; т 2 ц 1 3 к г + 7 т 3 ц 7 кг.

Обчисли, записавш и д а н і вел и чини в метрах: 1) 2) 3) 4)

7,2 м - 25 дм; 2,7 м + 3 дм 5 см; 432 дм + 3 м 5 дм + 27 см; 37 дм - 15 см.

1284. П ерим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а дорівню є 15,4 см, а основа — 3 ,4 см. З найди д о в ж и н у б іч н о ї сторони. 1285. П ерим етр п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 12,2 см, а д о в ж и н а о д н іє ї з і с то р ін — 3,1 см. З найди д о в ж и н у сторони, що не д о р івн ю є д а н ій . 1286. У трьох я щ и к а х 109,6 к г п о м ід о р ів . У п е рш о м у і д р уго м у я щ и к а х разом 6 9 ,9 к г , а в д р уго м у і третьом у 72,1 к г . С к іл ь к и к іл о гр а м ів п о м ід о р ів у ко ж н о м у ящ ику?

277

1287. З найди числа a, b, с, d у л а н ц ю ж к у :

15,01

+а

1 7,92 ------►12,43

+С

13,21

d >

0,021.

1288. З найди числа а і Ь у л а н ц ю ж к у :

+ 0,7 - 3 ,1 8 а -----► Ь --- !— >5,42.

Високии рівень 1289. П остав за м ість з ір о ч о к з н а к и «+» і « -» т а к , щоб ви конув а ла ся р ів н іс т ь : 1) 8,1 * 3,7 * 2,7 * 5,1 = 2; 2) 4 ,5 * 0 ,1 8 * 1,18 * 5,5 = 0. 1290. У Ч іп а було 5,2 гр н . П іс л я того я к Д ейл п о зи чи в й о м у 1,7 гр н ., у Д ейла стало на 1,2 гр н . менш е, н іж у Ч іп а . С к іл ь к и грош ей було в Д ейла сп о ч а тку? 1291. Д в і бригади асф альтують шосе і р уха ю ться одна о д н ій на зустр іч . К о л и перш а бригада заасфаль тувала 5,92 к м шосе, а друга — на 1,37 к м менш е, то до їх н ь о ї з у с т р іч і зал иш ил ося 0 ,85 к м . Я ка д о в ж и н а д іл я н к и шосе, я к у необхідно було заасфальтувати? 1292. Я к зм ін и ть с я сума двох чисел, я к щ о : 1) один з д о д а н ків зб іл ь ш и ти на 3 ,7 , а на 8 , 2 ; 2) один з д о д а н ків зб іл ь ш и ти на 18,2, зм е н ш и ти на 3 ,1 ; 3) один з д о д а н ків зм е н ш и ти на 7,4, а на 8 ,1 5 ; 4) один з д о д а н ків зб іл ь ш и ти на 1,25, зм е н ш и ти на 1,25; 5) один з д о д а н ків зб іл ь ш и ти на 7,2, зм е н ш и ти на 8,9? 1293. Я к зм ін и ть с я р із н и ц я , я к щ о : 1) зм енш уване зм е н ш и ти на 7,1; 2) зм енш уване зб іл ь ш и т и на 8 ,3 ; 3) в ід ’ є м н и к зб іл ь ш и ти на 4 ,7 ; 4) в ід ’є м н и к зм е н ш и ти на 4,19?

278

ін ш и й — а ін ш и й ін ш и й — а ін ш и й а ін ш и й

$ З? 1294. Р із н и ц я двох чисел дор івн ю є 8 ,3 2 5 . Ч о м у до р івн ю є нова р із н и ц я , я к щ о зм енш уване зб іл ь ш и ти на 13,2, а в ід ’ є м н и к зб іл ь ш и ти на 5,7? 1295. Q Я к зм ін и ть с я р із н и ц я , я к щ о : 1) зб іл ь ш и ти зм енш уване на 0 , 8 , а на 0 ,5 ; 2) зб іл ь ш и ти зм енш уване на 1,7, а на 1,9; 3) зм енш уване зб іл ь ш и ти на 3 ,1 , зм е н ш и ти на 1,9; 4) зм енш уване зм е н ш и ти на 4 ,2 , з б іл ь ш и ти на 2 , 1?

в ід ’ є м н и к — в ід ’ є м н и к — а в ід ’ є м н и к а в ід ’ є м н и к

Вправи для повторення 1296. СЗ П о р ів н я й значення виразів, не в и ко н у ю ч и д ій : 1) 125 + 382 і 382 + 127; 2) 473 • 29 і 472 • 29; 3) 592 - 11 і 592 - 37; 4) 925 : 25 і 925 : 37. 1297. У їд альні є два види п е рш и х страв, 3 види д р уги х та 2 види тр е тіх страв. С кіл ь ко м а способами м ож на вибрати обід з трьох страв у ц ій їдальні? 1298. ^ 3 П ерим етр п р я м о к у т н и к а дор івн ю є 50 дм. Д о в ж и н а п р я м о к у т н и к а на 5 дм біл ьш а за ш и р и н у . З найди сторони п р я м о к у т н и к а . 1299. З а п и ш и н а й б іл ь ш и й д е ся тко ви й дріб: 1) з одним д е сятко ви м зн а ко м , м е н ш и й від 10 ; 2) з двома д е ся тко ви м и зн а ка м и , м е н ш и й від 5. 1300. З а п и ш и н а й м е н ш и й д е ся тко ви й дріб: 1) з одним д е ся тко ви м зн а ко м , б іл ь ш и й за 6 ; 2) з двома д е ся тко ви м и зн а ка м и , б іл ь ш и й за 17.

1. 0

5 —- — = 1000 А ) 5,3; Б) 5,03;

В) 5,003;

Г) 5,0003. 279

2. ііУ Я к а з нерівностей правильна: A ) 2,3 > 2 ,3 1 ; Б) 7,5 < 7,49; B) 4 ,1 2 > 4 , 1 3 ; 3. 0

Г) 5,7 < 5 ,7 8 ?

4 ,0 8 - 1,3 =

А ) 3 ,5 ;

Б) 2 ,7 8 ;

В) 3 ,0 5 ;

Г) 3 ,9 5 .

4 . ® З а п и ш и д е ся тко ви й дріб 4,0701 м іш а н и м ч и с лом: .. . 7 1 А ) 4 ------;

100

71 Б) 4 -------- ;

1000

. 701 В) 4 -----------;

10 000

_ .701 Г) 4 ------ .

100

Я ке з о кр у гл е н ь до со тих в и ко н а н о правильно:

A ) 2 ,7 2 9 * 2 ,7 2 ; B) 4 ,7 2 9 а 4 ,7 ;

Б) 3,5 4 5 а 3 ,5 5 ; Г) 4 ,3 6 5 а 4,36?

6 . ® Знайди ко р ін ь р ів н я н н я х - 6,13 = 7,48. А ) 13,61; Б) 1,35; В) 13 ,5 1 ; Г) 12,61. 7. ^ Я к а із за п ропонованих рівностей правильна: A ) 7 см = 0,7 м; Б) 7 дм 2 = 0,07 м2; B) 7 мм = 0,07 м; Г) 7 см 3 = 0,07 м 3?

8 . ^ 3 Н азви найбіл ьш е натуральне число, щ о не пе ревищ ує 7 ,0809: А ) 6; Б) 7; В) 8 ; Г) 9. 9. £3 С к іл ь к и іс н у є циф р, щ о м о ж н а поставити за м ість з ір о ч к и у н а б л и ж е н ій р ів н о с ті 2 ,3 * 7 а 2 ,4 , щоб о кр у гл е н н я до дестих було в и ко н а н о правильно? А ) 5;

Б ) 0;

10. 0 4 а 3 м 2 = А ) 4 ,3 а; Б ) 4 ,0 0 3 а;

В) 4;

Г) 6 .

В ) 4 ,03 а;

Г) 43

а.

11. С Я ке із запр опо н о ва н их чисел м о ж н а п ід с та в и ти за м ість а , щоб п о д в ій н а н е р ів н іс ть 3 ,7 < а < 3 ,9 була правильною ? А ) 3 ,0 8 ; Б) 3 ,9 0 1 ; В) 3 ,6 9 9 ; Г) 3 ,8 3 . 12. ф Я к зм ін и т ь с я сума трьох чисел, я к щ о п е р ш и й доданок зб іл ь ш и ти на 0 , 8 , д р у ги й — зб іл ь ш и т и на 0 ,5 , а тр е тій — зм е н ш и ти на 0,4?

280

f A ) зб іл ь ш и ть с я на 1,7; B) зб іл ь ш и ть ся на 0 ,1 ;

З?

Б) зб іл ь ш и ть ся на 0 ,9 ; Г) зм ен ш иться на 0 ,2 .

Завдання для перевірки знань № 7 І . ® П о р ів н я й д е с я тко в і дроби: 1) 4 7 ,5 3 9 і 4 7 ,6 ; 2) 0 ,2 9 3 і 0 ,2 9 2 8 . 2 . 3 В и к о н а й додавання: 1) 7,97 + 3 6 ,4 6 1 ;

2) 42 4- 7,001.

Л . ® В и к о н а й в ід н ім а н н я : 1) 46 ,6 3 - 7 ,718;

2) 37 - 3 ,0 4 5 .

4. ф О к р у гл и до: 1) д е сяти х: 4 ,5 9 7 ; 0 ,8 3 4 2 ; 2) со ти х: 1 5 ,7 9 5; 14,134. 5. 0 Вирази в кіл о м е тр а х і за п и ш и десятковим дро бом: 1) 7 к м 113 м ;

2) 219 м;

3) 17 м;

4) 3129 м.

6 . ^ Власна ш в и д к іс т ь човна дор івн ю є 15,7 к м /г о д , а ш в и д к іс т ь т е ч ії — 1,9 к м /г о д . Знайди ш в и д к іс т ь човна за те чією і п р оти те ч ії. П е рш о го д н я на склад завезли 7,3 т ово чів, щ о на 2,6 т більш е, н іж д р уго го , і на 1,7 т м енш е, н іж третього д н я . С к іл ь к и то н н овочів завезли на скл ад за тр и дні?

8 . ^ 3 З найди значення ви р азу, обираю чи з р у ч н и й п о р я д о к д ій : 1) (8 ,4 2 + 3 ,9 7 ) + 4 ,5 8 ; 2) (3 ,4 7 + 2 ,9 3 ) - 1,47. 9. ^ З а п и ш и тр и числа, к о ж н е з я к и х менш е від 5 ,7 , але більш е за 5,5.

10. Д о д а тко ве за вд а ння. З а п и ш и всі циф ри, я к і м о ж н а поста вити за м ість * , щоб правильною була на ближ е на н е р ів н іс ть : 1) 3 ,8 1 *5 « 3 ,8 2 ; 2) 7 ,4 *6 « 7,41. 281

t'O'bBb*As 11. €3 Д о д а тко ве за вд а ння. П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х п н е р ів н о с ті 0 ,7 < п < 4,2 і 2 ,7 < п < 8,9 одночасно є п р авил ьним и? <^ Р„'о

Множення десяткових дробів1/. ■І

Щ о б в и ко н у в а ти м н о ж е н н я д е ся тко в и х дробів, треба в м іт и м н о ж и т и н а ту р а л ь н і числа і н а вч и ти ся правильно ви зна чати м ісце к о м и в о трим аном у до б у т к у . Р озглянем о п р и кл а д , я к и й допом ож е сф орм у лю вати правило м н о ж е н н я д е с я тко в и х дробів. Задача \ С торони п р я м о к у т н и к а 3 ,7 дм і 4 ,5 дм. З найди його п л о щ у. Розв’язання. О с к іл ь к и м и п о к и щ о не вм ієм о м н о ж и т и д е ся тко ві дроби, р озв’ я ж е м о ц ю задачу, в и к о р и сто в ую чи правило м н о ж е н н я н а ту р а л ь н и х чисел. Д л я цього виразим о д а н і в сантим етрах: 3 ,7 дм = = 37 см, 4 ,5 дм = 45 см. Т о д і площ а п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 37 • 45 = 1665 (см 2). О с к іл ь к и 1 д м 2 = 100 см 2, то 1 см 2 =

д м 2. Т о д і

1665 см 2 =

дм2 _ д М2 _ 16,65 д м 2. 100 100 О тж е , площ а п р я м о к у т н и к а 16,65 д м 2. Відповідь. 16,65 д м 2. Р озв’я зую ч и задачу, зн а й ш л и , щ о 3,7 • 4,5 = 16,65. Д о б у то к 16,65 м о ж н а зн а й ти пр о стіш е : досить пе р е м н о ж и ти н а ту р а л ь н і числа 37 і 45, не звертаю чи ув а ги на к о м и , а в знайденом у д о б у тку в ід о кр е м и ти справа ко м о ю д в і циф ри — с т іл ь к и їх є п іс л я ко м в обох м н о ж н и к а х разом. О тж е, д е с я тко в і дроби м н о ж а т ь за т а к и м п р ав ил о м : 1) п о м н о ж и т и н а т у р а л ь н і ч исл а , не зв е р та ю ч и у в а ги на к о м и ;

2 ) у д о б у тку в ід о кр е м и ти справа ко м о ю с т іл ь к и д е с я тко в и х з н а к ів , с к іл ь к и їх м а ю ть обидва м н о ж н и к и разом.

282

З а ув а ж и м о , щ о п р и м н о ж е н н і немає потреби за писувати к о м у п ід ко м о ю . П р и кл а д X, Пояснення. 1437 ■ 8 = 11 496, 14,37 м н о ж н и к и разом м аю ть тр и д е ся тко в и х 0,8 з н а к и п іс л я к о м и , то м у в д о б у т ку сл ід від11,496 о кр е м и ти справа ко м о ю 3 з н а к и . М о ж е тр а п и ти с я т а к , щ о в д о б у тку , я к и й д іста н е мо п іс л я м н о ж е н н я н а ту р а л ь н и х чисел, буде менш е цифр, н іж їх треба в ід о кр е м и ти ко м о ю . Т о д і зл іва слід п р и п и с а ти п о тр іб н у к іл ь к іс т ь н у л ів . П р и кл а д 2 Пояснення. 32 104 = 3328. М н о ж н и к и разом м аю ть 5 д е ся тко в и х з н а к ів п іс л я 0,032 к о м и . Щ о б в ід о кр е м и ти с т іл ь к и само зн а х 1,04 к ів , р а х у ю ч и справа, треба зл іва дописати 128 н ул ь я к д е ся тко ви й зн а к і один н у л ь , щ о 32 означає н у л ь ц іл и х : 0 ,0 3 3 2 8 . 0,03328 За р о згл я н у т и м правилом м н о ж и м о і д е ся тко ви й дріб на натуральне число. П р и кл а д 3. Пояснення. 26 ■ 14 = 364. х 0,26 М н о ж н и к и м аю ть разом 2 д е ся тко в и х з н а к и . 14 У д о б у тку від окрем л ю єм о справа 2 з н а к и . 104 П р и м н о ж е н н і д е с я тко в и х дробів справ26 д ж у ю ть с я у с і ви вч е н і р а н іш е вл астивості 3^4 множення. Переставна вл асти вість: ab = Ьа; сполучна вл асти вість: ( ab)c = а(Ьс); розподільна вл а сти вість: (а + Ь)с - ас + Ьс, (а - Ь)с = ас - Ьс.

Сформулюй правило множення десяткових дро бів. • Щ о треба зробити, коли в добутку менше десяткових знаків, н іж треба відокремити комою? * С кіл ь ки десяткових знаків треба відокремити к о мою в добутках 3,7 • 2,15; 4,42 ■ 5,13; 0,042 ■0,08?

Початковий рівень 1301. О бчисли (усно): 1) 5 • 0 ,7 ; 2) 60 ,5 ; 3) 4 • 0 ,0 2 ; 4) 7 • 0 ,0 4 ; 5) 3 • 4 ,1 ; 6 ) 5• 1,1; 7) 0 ,3 • 0 ,0 6 ; 8 ) 0 ,7 0 ,0 8 .

283

Г суХ и ,

1302. Відомо, що 235 • 47 = 11 045. Знайди доб утки: 1) 2 3,5 • 47; 2) 2,35 • 47; 3) 2,35 • 4 ,7 ; 4) 2 3,5

0 ,4 7 ;

5) 0 ,2 3 5 -4 ,7 ;

6 ) 0 ,2 3 5

0 ,4 7 .

1303. Відомо, що 372 29 = 10 788. Знайди добутки: 1) 372 • 2 ,9 ; 2) 3 7,2 2 ,9 ; 3) 3 ,72 • 2,9; 4) 3 ,72 • 0 ,2 9 ; 5) 3 ,72 -2 9 ; 6 ) 0 ,3 7 2 -0 ,2 9 . 1304. З а п и ш и у в и гл я д і д о б утку і ви ко н а й м н о ж е н н я : 1) 4 ,7 + 4 ,7 + 4 ,7 + 4 ,7 + 4 ,7 ; 2) 2,31 + 2,31 + 2,31 + 2 ,3 1 . 1305. О бчисли: 1 )3 ,5 -1 8 ; 4 )0 ,1 8 -1 2 ; 7 )3 ,1 -8 ,0 4 ; 1306. О бчисли: 1) 5,6 35; 4) 0 ,4 3 • 27; 7) 94,21 • 0 ,5 3 ;

2 )2 ,0 7 -3 ,7 ; 5 ) 0 ,8 - 1 3 , 2 4 ; 8 ) 15 17,02. 2 ) 3 ,0 4 -4 ,3 ; 5) 0 ,7 • 18,36; 8 ) 0 ,1 3 0 ,3 8 ;

3) 0 ,4 8 6 -1 ,5 ; 6 ) 2 7 ,1 6 -0 ,2 6 ;

3 ) 0 ,1 8 5 - 2 ,4 ; 6 ) 94,21 • 5 ,3 ; 9) 2,03 • 0 ,0 7 .

1307. У с і сторони п ’ я т и к у т н и к а м аю ть о д н а кову дов ж и н у 8 ,7 см. З найди його периметр. 1308. З б іл ьш (усно) д е с я тко в і дроби: 1) у два рази: 0 ,7 ; 0 ,0 3 ; 1,2; 1,8; 2) у тр и рази: 0 ,4 ; 0 ,0 8 ; 0 ,0 0 7 ; 1,3.

Середній рівень

ШЯВШШЛ

1309. За го д и н у д я д ь ко Ф е д ір на велосипеді пр оїха в 16,25 к м . Я к у відстань в ін проїде з та ко ю самою ш в и д к іс т ю за 3 год? 4 год? 0 ,8 год? 1310. Т у р и с т йш о в п іш к и 1,8 год з і ш в и д к іс т ю 4 ,8 к м /г о д і їха в на велосипеді 1,5 год з і ш в и д к іс т ю 15,4 к м /г о д . Я к у від стань в ін подолав за весь цей час? 1311. З найди значення виразу: 1) 0 ,8 26 + 3,4 • 12; 2) (1 2 ,3 4 3) (9 ,5 + 3 ,8 ) • 7 - 6 ,1 ; 4) 1,27 • 31 5) 8 3 ,8 + (24 • 5 ,7 - 4 ,7 ); 6 ) 12 • 3 ,44

284

3 ,5 6 ) 14; - 18,07; 5 + 4 3 ,6 .

§ з г 1312. О бчисли: 1) 1 ,2 2; 2) 3,72; 4) 1 ,2 3; 5) З ,1 3;

3) 0 ,4 1 2; 6) 0 ,3 4.

і ;;і З

О бчисли: 1) 8 ,3 2; 2) 1 0 ,72; 3) 1 ,5 3; 4) 0 ,7 4, 1314. Н а в и го то в л е н н я о д н іє ї п л и т к и ж у й к и на ф абриці В іл л і В о н к и н е об хід н о 0 ,8 год, а на в и го то вл е н ня в іч н о ї ба р б а р иски п о тр іб н о 0 ,4 год. С к іл ь к и всього н е об хід н о часу дл я в и го то вл е н н я 3 п л и т о к ж у й к и і 4 в іч н и х барбарисок? 1315. Заповни таблицю .

X 6х *\,2х

0,03

0,4

1,8

1,42

2,7

1316. О бчисли й о к р у г л и результат до: 1) д е сяти х: 1,8 ■6 ,7 ; 3,6 • 0 ,7 ; 0 ,3 ■4 ,5 7 ; 2) со ти х: 8 ,76 • 3 ,2 ; 0 ,0 8 • 3 ,4 ; 0 ,4 2 • 1,6; 3) о д и ни ц ь: 8 ,3 5 ■ 0 ,6 ; 0 ,64 • 4 ,7 5 ; 0 ,0 9 8

3,141

4 7 ,5 .

1317. О бчисли й о к р у г л и результат до: 1) д е сяти х: 4 ,5 ■1,7; 6 ,4 ■0 ,8 ; 9 ,3 4 ■ 5 ,2 ; 2) со ти х: 0 ,8 • 5 ,4 7 ; 0 ,0 6 • 2 ,8 ; 0 ,3 4 • 1,8; 3) о д и н и ц ь: 4 ,2 5 ■0 ,8 ; 0 ,1 6 3 ,7 5 ; 1,8 • 3,65. 1318. Щ о б іл ьш е: площ а п р я м о к у т н и к а з і сторона м и 1,8 см і 2 ,7 5 см ч и площ а квадрата з і стороною 2,3 см? Н а с к іл ь к и ? 1319. Сторона квадрата його перим етр і п л о щ у.

дор івн ю є

8,7 дм.

З найди

і -І20 О бчисли п л о щ у і перим етр п р я м о к у т н и к а , я к щ о одна його сторона дор івн ю є 6,8 м , а д р уга в 1,5 раза довш а. 1321. З найди за ф ормулою у = 2 ,5 х - 3 ,7 значення у, я к щ о х = 1,48; 2,4. 1322. Щ о б о тр им ати 1 т ц у к р у , треба переробити 4 ,7 т ц у к р о в и х б у р я к ів . С к іл ь к и треба ц у к р о в и х бу р я к ів , щоб вироб ити 2 т; 2,7 т; 0 ,5 5 т; 700 к г ц у к р у ?

285

ferg d iu . 1323. З найди значення виразу: 1) (8 ,2 3 6 + 0 ,5 8 4 ) ■3 ,25 - 2 ,1 5 ; 2) 4 7 ,4 -3 0 ,6 - 8 ,6 4 - 3 0 ,5 ; 3) 300,1 - 5,06 • (3 4 ,3 + 16,2); 4) 2 8 ,7 -2 6 ,8 + 66,8 -4 ,6 . 132 4. З найди значення виразу: 1) 40 ,8 4 - 0 ,84 • (4 ,2 6 7 + 0 ,3 4 3 ); 2) 57,6 19,4 + 7 6 ,1 - 8 ,6 ; 3) (34,1 + 16,4) • 5,04 - 3 ,9 4 7 ; 4) 4 7 ,8 4 0 ,8 - 9 ,8 4 • 4 0 ,5 . 1325. О бчисли об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда з в и м ір а м и 1,2 дм, 0 ,8 дм і 1,5 дм. e;S2G. Щ о більш е: об’ єм куб а з ребром об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда з 1,3 см, 0 ,7 см і 1,8 см? Н а с к іл ь к и ?

Достатній рівень

1,2 см ч и в и м ір а м и

Д О Н И Н І

1327. О бчисли зр у ч н и м способом: 1) 0 ,2 5 0 , 7 - 4 ; 2 )1 ,2 5 -7 -0 ,8 ; 3) 0 ,0 2 - 50 37; 4) 2,5 12 0 ,4 . 1328. О бчисли зр у ч н и м способом: 1 )2 ,5 -1 5 -0 ,4 ; 2) 0 ,1 2 5 1,87 • 8 ; 3) 0 ,2 • 7,2 • 5; 4) 0 ,8 • 5 • 1,25. 1329. С прости вираз: 1) 0 ,7 а • 5; 3) 7 , 1 т ■ 8 ,3 л ; 1330. С прости вираз: 1 )9 ,2 * -5 ,1 ; 3) 2 ,1а • 5,36;

2) 0,8л: 9 ,2 у; 4) 0 ,9 а 8,36 • 5с. 2) 7,3а 56; 4) 7а • 10,56 • 0,6с.

1331. Т е п л о хід п л и в 3 ,5 год за те ч ією і 2,6 год пр о т и т е ч ії. С к іл ь к и к іл о м е т р ів п р о п л и в те п л о хід , я к щ о його власна ш в и д к іс т ь дор івн ю є 37 к м /г о д , а ш в и д к іс т ь т е ч ії — 1,5 к м /го д ? 1332. О бчисли значення виразу, р о зп о д іл ь н и й за ко н м н о ж е н н я : 1) 6 ,7 8,4 + 6 ,7 0 ,6 ; 2) 12,37 • 4,1 8 5 - 12,37 • 4 ,184;

286

в и ко р и с то в у ю ч и

3) 19,23 -7 ,2 8 - 18,23 -7 ,2 8 ; 4) 7,8 2 ,2 2 + 7,8 ■3, 14 - 7,8 • 4 ,3 6 . 1333 О бчисли значення виразу, р о зп од іл ьн ий за ко н м н о ж е н н я : 1) 2) 3) 4)

2,7 • 3,41 5,5 • 7,8 •

в и ко р и с то в у ю ч и

1,13 + 2,7 ■ 0 ,8 7 ; ■ 4,2 ~ 4 ,2 • 2 ,4 1 ; 2 ,7 + 5,5 • 3,1 - 5,5 • 5,8; 1,3 + 7,8 • 1,5 + 7,2 • 7,8.

1334. С прости вираз і обчисли його значення п р и вка за но м у зн а ч е н н і з м ін н о ї: 1) 2) 3) 4)

1,2а + 2 ,7 а , я к щ о а = 4 ,2 ; 7,ї х - 2,5х, я к щ о х = 3 ,5 ; 0,5і> + 0,ЗЬ + 1 ,2 b, я к щ о b = 2 ,9 ; 1 ,3 у — 0 ,2 у - 0,7у, я к щ о у = 1,3.

1335. С прости вираз і обчисли його значення: 1) 1,8а + 1,2а - 2 ,7 а , я к щ о а = 1,15; 2) 2,5х - 1,3ж + 3 ,8 х , я к щ о х = 4 ,7 2 1 . 1336. О бчисли н а й з р у ч н іш и м способом: 1) 7 , 8 2 . 0 ,0 7 + 7,82 ■0,33 + 0,4 • 1,18; 2) 3,85 • 3,2 - 3 ,8 5 ■1,7 - 1,5 • 1,85, 1337. З одного м іста в одному н а п р я м і одночасно в и їх а л и велосипедист і м о т о ц и кл іс т . Ш в и д к іс т ь вело сипедиста до р івн ю є 13,6 к м /г о д , а ш в и д к іс т ь м ото ц и к л іс т а — в 4 ,5 раза біл ьш а. Я к а відстань буде м іж н и м и через 1,2 год? 1338. Два п іш о х о д и , щ о знаходяться на в ід с та н і 15 к м один від одного, одночасно ви р уш а ю ть н а з у стр іч один одному. Ш в и д к іс т ь перш ого д орівню є 4,2 к м /г о д , щ о на 0,3 к м /г о д більш е, н іж ш в и д к іс т ь д р угого . Я к а від стань буде м іж н и м и через 1,6 год? через 2,5 год? 1339. 3 двох селищ одночасно н а зу с тр іч один одному в и р у ш и л и в а н та ж н и й і л е гко в и й автом об ілі. Ш в и д к іс т ь в а н та ж н о го автом обіля дор івн ю є 56,5 к м /г о д , а ле гко во го в 1,4 раза б іл ьш а . З найди відстань м іж се л и щ а м и , я к щ о автом об ілі зу с тр іл и с я через 2,5 год.

287

fch£clus

1340. К у п и л и 2,6 к г ц у к е р о к по 15,6 гр н . за к і лограм і 2 ,8 к г печива по 13,8 гр н . за к іл о гр а м . Я к а з п о к у п о к деш евш а і на с к іл ь к и ? Я к у здачу з і 100 гр н . отрим ано за д в і п о к у п к и ? 1341. К у п и л и 2,6 к г борош на по 7,2 гр н . за к іл о гр а м і 2,2 к г ц у к р у по 8 ,7 гр н . за к іл о гр а м . Я к а із ц и х п о к у п о к дорож ча і на с к іл ь к и ? 1342. С тр іл ка п о ка зу є н а б л и ж е н и й до б уто к, у я к о м у пропущ е но ко м у . Д а й н а б л и ж е н у о ц ін к у м н о ж н и к а м і ви зна ч, де треба поставити в д о б у тку к о м у : 1) 4 ,5 • 6,21 -► 2795; 3) 12,3 - 1 , 8 5 - > 228;

Є )

2) 0 ,52 • 18,9 -> 983; 4) 0 ,9 3 • 0 ,8 5 -> 8 .

Високий рівень

1343. Ш в и д к іс т ь катера у с т о я ч ій воді дор івн ю є 2 7,8 к м /г о д , ш в и д к іс т ь т е ч ії р іч к и — 2,3 к м /г о д . К атер в ід ій ш о в від п р и с та н і та п о п л и в за те ч ією . Ч е рез 1,5 год в ін повернув назад і, п р о й ш о в ш и проти т е ч ії 1,5 год, зу п и н и в с я . Н а я к ій в ід с та н і від п р и ста н і в ін зуп и н и вся ? 1344. З найди числа, я к и х не вистачає в л а н ц ю ж к у обчислень:

1345. З поля п р я м о к у т н о ї ф орми, р о зм ір и я к о го 0 ,0 5 к м і 0 ,6 к м , зібрали к а п у с т у . В р о ж а й к а п у с т и з 1 га становить 38 т. В ідом о, щ о 1 к г к а п у с т и м іс т и ть у середньому 0 ,7 к г води. С к іл ь к и води м іс ти ть с я у в сій к а п у с т і, я к у зібрали з поля? 1346. П ід л о га в к ім н а т і має ф орму п р я м о к у т н и к а , р о зм ір и я к о го 4 ,5 м і 5,8 м. Д л я ф арбування 1 м 2 п ід л о ги по тр іб но 0,2 к г фарби, а 1 к г фарби к о ш т у є 12 гр н . С к іл ь к и грош ей ви тр а тя ть на фарбу, щоб п о ф арбувати п ід л о гу в ц ій к ім н а т і?

288

Вправи для повторення

1347. ^ 3 У театр п іш л о 25 у ч н ів . Це — від числа 6 у ч н ів у к л а с і. С к іл ь к и у ч н ів цього к л а с у не було в театрі? 1348. Щ) Р озв’ я ж и задачі на час: 1) 7 год ЗО хв початок

ЗО хв

11 год 45 хв

перерва — кінець

Час роботи - ?

50 хв

14 год 40 хв

початок

перерва

кінець

Час роботи - 3 год 45 хв

1349. ^ 3 П ерим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а д о р ів ню є 20 м , а основа на 2 м біл ьш а за б іч н у сторону. З найди д о в ж и н и с то р ін т р и к у т н и к а .

о Окремі випадки мне десяткових дробів ‘fWi П о м н о ж и м о за правилом м н о ж е н н я д е ся тко ви х дробів 5,725 на 10. М аємо п о м н о ж и т и 5725 на 10, отрим аєм о 57 250, від окр е м л ю єм о справа ко м о ю тр и д е ся тко в и х з н а к и . О тж е, 5,7 2 5 • 10 = 5 7 ,2 5 0 = 5 7 ,25. А н а л о гіч н о м о ж н а отр им ати 5.7 2 5 • 100 = 5 7 2,5; 5.7 2 5 • 1000 = 5725. О три м а ні д о б утки 57,25; 572,5 і 5725 в ід р із н я ю т ь ся від перш ого м н о ж н и к а 5,725 л иш е м ісцем ко м и : при м н о ж е н н і десяткового дробу на 10 к о м у в ньом у переносимо на одну циф ру вправо, на 100 — на дві циф ри, п р и м н о ж е н н і на 1000 — на тр и циф ри. У за га л ь н ю ю ч и , маємо правило: щоб п о м н о ж и ти д е сятко ви й дріб на 10; 100; 1000; треба в цьом у дробі перенести ко м у вправо на с т іл ь к и з н а к ів , с к іл ь к и н у л ів стоїть у д р угом у м н о ж н и к у п іс л я о д и н и ц і. 19 О. С. Істер“Математика", 5кл.

289

т и т щ я м ^

*****

« т

5.725 • 1Q =57,25 і

5.725 • 1Щ} =572,5 и 5.725 ■lQfiQ =5725,0 и

Я к щ о з н а к ів не вистачає, то справа д о п и сую ть п о тр іб н у к іл ь к іс т ь н у л ів . Н апр икл а д , 4,7 • 100 = 470; 2,13 • 10 000 = 21 300. П о м н о ж и м о за правилом м н о ж е н н я д е ся тко в и х дробів 137,8 на 0 ,1 . М аємо п о м н о ж и т и 1378 на 1, отрим аєм о 1378 і від о кр е м и м о справа два д е с я тко вих знаки. О тж е , 137,8 0,1 = 13,78. А н а л о гіч н о м о ж н а о тр им ати 137,8 • 0,01 = 1,378; 137,8 0,001 = 0 ,1 3 7 8 . О три м а ні д о б утки 13,78; 1,378; 0 ,1 3 7 8 в ід р із ня ю ться від перш ого м н о ж н и к а 137,8 л иш е м ісцем к о м и : пр и м н о ж е н н і десяткового дробу на 0,1 к о м у в ньом у переносимо на одну циф ру вліво, на 0,01 — на д в і циф ри, пр и м н о ж е н н і на 0,001 — на тр и циф ри. У за га л ь н ю ю ч и , маємо правило: щоб п о м н о ж и т и д е с я тко в и й дріб на 0 , 1; 0 ,01 ; 0 ,001 ; треба в ц ьо м у дробі перенести к о м у в л і во на с т іл ь к и з н а к ів , с к іл ь к и н у л ів сто їть у д р уго м у м н о ж н и к у перед о д и н и ц е ю (в р а х о в у ю ч и і нуль ц і л и х). 137.8-0,1 =13,78

\І

137.8-0,01 = 1,378

”

137,8 0,001 =0,1378

—

Я к щ о н у л ів не вистачає, то д о п и сую ть зл іва п о тр іб н у к іл ь к іс т ь н у л ів . Н а п р и кл а д , 4 ,7 • 0 ,01 = 0 ,0 4 7 ; 2 ,13 • 0,0001 = 0 ,0 0 0 2 1 3 .

290

$34 Я к виконати множення десяткового дробу на 10; 9 г 100; 1000; ...? • Я к помножити десятковий дріб на 0 , 1; 0 , 01; 0 , 001 ; . . . ?

Початковий рівень 1350. О бчисли (усно): 1) 2,7 * 10; 2) 37 ,2 5 • 10; 4) 0 ,0 0 5 7 • 100; 5) 0 ,0 3 7 • 1 0 0 0 ;

3) 5,382 • 100; 6 ) 5,12 • 1000.

1351. О бчисли (усно): 1) 13,72 • О Д ; 2) 2 ,3 7 • 0 ,1 ; 4) 0 ,2 5 0 ,0 1 ; 5) 7 3 ,8 2 * 0 ,0 0 1 ;

3) 17,382 • 0 ,0 1 ; 6 ) 8 1 3 - 0 ,0 0 1 .

1352. В и к о н а й м н о ж е н н я : 1) 4 ,7 4 ■ 10; 2) 4 ,7 4 - 100; 4) 4 ,7 4 0 ,1 ; 5) 4 ,7 4 0 ,0 1 ; 1353. З найди д о б у тки : 1) 5,391 • 10; 2) 5,391 100; 4) 5,391 0 ,1 ; 5) 5,391 0 ,0 1 ;

3) 4 ,7 4 • 1000; 6) 4 ,7 4 0 ,0 0 1 . 3) 5,391 • 1000; 6 ) 5,391 • 0 ,0 0 1 .

1354. З найди доб уток: I ) 6,8 ■ 10; 2) 4 7 ,1 2 5 - 10; 3) 37,115 • 100; 4) 5,9 ■ 1000; 5) 0 ,1 1 2 ■ 1000; 6 ) 0 ,4 5 • 10000; 7) 3 ,7 • 0 ,1 ; 8 ) 59 0 ,1 ; 9) 4 ,7 0 ,0 1 ; 10) 13 5,7 0 ,0 1 ; I I ) 3 7 4 ,5 0 ,0 0 1 ; 12) 13,8 0 ,0 0 0 0 1 . 1355 В и к о н а й м н о ж е н н я : I ) 3,7 • 10; 2) 42 ,1 3 - 10; 3) 29,113 • 100; 4) 6,3 - 1000; 6) 0,0 3 9 • 10 000; 5) 1,1 9 5 1000; 7) 5,2 0 ,1 ; 8 ) 152 О Д ; 9) 4 ,5 7 -0 ,0 1 ; 10) 14 8,5 ■ 0 ,0 1 ; I I ) 2 4 7 ,3 2 • 0 ,0 0 1 ; 12) 1452,9 ■0 ,0 0 0 1 . 1356. С прости вираз: 2,1 х + Z,2x - 4,8л; та знайди його зна ч е нн я, я к щ о х - 0 ,0 1 ; О Д; 10; 100. 1357. С прости вираз 1,2а + 4 ,9 а - 5 ,8 а та знайди його зна ч е нн я, я к щ о а = 100; 10; О Д ; 0 ,0 1 . 19 *

291

1358. В ир а зи в м етрах 3 ,2 4 7 к м ; 0 ,4 2 9 к м ; 0 ,0 8 2 к м .

1359. В ирази 0 ,0 3 дм.

в м іл ім е тр а х

1360. В ир а зи 8 2 ,0 5 гр н .

к о п ій к а х

4,2 см;

0 ,8 см;

2 ,79 гр н .;

1,2 дм;

0 ,0 5 гр н .;

1361. В ир а зи в гр а м а х 0 ,8 к г ; 0 ,0 7 к г ; 1,002 к г .

Достатній рівень 1362. С прости вираз і знайд и його значення: 1) 0 ,2 а • 50, я к щ о а = 1 ,75; 2 ,8 5 9 ; 2) 0 ,2 5 х • 0 ,4 у, я к щ о х = 1,8; у = 2,5. 1363. П о р ів н я й : 1) 0 ,8 2 м і 83 см; 3) 5,3 м і 62 дм ; 5) 0 ,1 2 т і 1,3 ц ;

2) 8,3 дм і 82 см; 4) 2 ,7 ц і 281 к г ; 6 ) 5 ,18 гр н . і 520 к о п .

1364. Н а я к е число треба п о м н о ж и т и 4 ,0 9 , щоб о тр и м ати: 1) 4 0 ,9 ;

2) 4 0 90 ;

0 ,4 0 9 ;

4) 0,00409?

1365. Н а я к е число треба п о м н о ж и т и 0 ,2 9 , щоб о тр и м ати: 1) 290;

2) 2 ,9 ;

0 ,0 2 9 ;

4) 0,0029?

1366. Н а я к е число треба п о м н о ж и т и 1,23, щоб о тр и м ати: 1) 1230;

2) 12,3;

0 ,1 2 3 ;

4) 0,0123?

Вправи для повторення 1367. 0

П о р ів н я й :

1) — год □ 37 х в ; 5

2) — доби □ 16 год; З

11 хв; 3) 57 с □ — хв; 12

^4) — 7 год □ 415 с. 4) — 60

292

§ 40 1368. 0

В и к о н а й д ії:

1) І - Г2 9

Ділення десяткового дробу на натуральне число Щ о б в и ко н у в а ти д іл е н н я десяткового дробу на де с я т к о в и й , треба в м іт и в и ко н у в а ти д іл е н н я н а тур ал ь н и х чисел і на вч и ти ся п равил ьно ви зн а чати м ісце к о м и в о тр и м а н ій ч а с тц і. С п о ч а тку розглянем о п р и кл а д , я к и й допом ож е сф орм улю вати правило д іл е н н я десяткового дробу на натуральне число. Задача. Д о в ж и н а п р я м о к у т н и к а д орівню є 15,6 дм, а ш и р и н а в 4 рази м енш а. Знайди ш и р и н у п р я м о к у т ника. Розв’язання. Щ об розв’язати задачу, виразимо д о в ж и н у п р я м о ку т н и ка в сан\2 тиметрах: 15,6 дм = 156 см. М аємо 156 : : 4 = 39. О тже, ш и р и н а п р я м о ку т н и к а ” 35 39 см, тобто 3,9 дм. О тже, 15,6 : 4 = 3,9. q~ Т а к и й сам ий результат м о ж н а було о тр им ати п р о стіш е , не перетворю ю чи децим етри в сантим етри. Д л я цього по тр іб но п о д іл и т и 15,6 на 4, не зверта ю ч и у в а ги на к о м у , і поста вити в ч а с тц і к о м у , к о л и з а к ін ч и т ь с я д іл е н н я ц іл о ї ч а с ти н и . О тж е,

щоб поділити десятковий дріб на натуральне число, потрібно: 1) поділити дріб на це число, не звертаючи уваги на кому, проте поставити в частці кому, коли закінчиться ділення цілої частини; 2) за потреби приписати справа після коми необхідну кількість нулів, щоб закінчити ді лення. 293

Я к щ о ц іл а частина діл еного м енш а від д іл ь н и к а , то в ч а с тц і ставимо 0 ц іл и х . П р и к л а д 1. З верни у в а гу на те, 2,8 5 щ о п іс л я д іл е н н я 28 на 5 о тр им ал и в 25 0,56 ч а с тц і 5 і остачу 3 д е сяти х. П еретво ЗО р и л и 3 десяти х у ЗО с о ти х (п р и п и с а в ЗО ш и 0). Д іл и м о ЗО со тих на 5, маємо в 0 ч а с тц і 6 со ти х, а в о стачі 0 , д іл е н н я завершено. За ц и м сам им правилом м о ж н а в и ко н у в а ти д іл е н н я н а ту р а л ь н и х чисел, я к щ о д іл е н н я не в и ко н у є ть с я н а ц іл о . П р и к л а д 2. 20 : 8 = 2,5. 20 8 За допом огою д іл е н н я м о ж н а зн а 16 2,5 хо д и ти д е ся тко ви й дріб, Щ О д о р ів н ю є 40 д а н о м у зв и ч а й н о м у дробу, тобто пере~ 40 т в о р ю в а т и з в и ч а й н и й д р іб у д е ся тко о ви й. 21 П р и к л а д 3 П еретвори дріб — у д е ся тко ви й . 25

21 Розв’язання. — = 21 : 25. 25

21,0 25 200 0,84 100 100 0

О тж е , — = 0 ,8 4 . 25 З в а ж а ю ч и , щ о 1,83 • 10 = 18,3, то д і 18,3 : 10 = = 1,83. П р и д іл е н н і на 10 к о м у переносимо на одну циф ру вл іво. О с к іл ь к и 17,254 • 100 = 1 725,4, то 1725,4 : 100 = 1 7 ,2 5 4. П р и д іл е н н і на 100 к о м у пере носим о на д в і циф ри вліво. У за га л ь н ю ю ч и , маємо правило: щоб п о д іл и ти десятковий дріб на 10, 100, 1000, треба в цьом у дробі перенести ко м у вліво на с тіл ь ки зн а ків , с к іл ь к и н у л ів м істи ть д іл ь н и к.

294

§40

Я к поділити десятковий дріб на натуральне число? * Я к треба вчинити, якщ о ціла частина діленого менша від дільника? • Щ о треба зробити, якщ о об числення не закінчується діленням дробової час тини? * Я к перетворити звичайний дріб у десят ковий? • Сформулюй правило ділення на 10, 100, 1000, ...

Початковий рівень

1369. З найди (усно) ц іл у ч а с ти н у ч а с т к и : 1) 4 2 ,3 6 : 6 ; 2) 8 ,3 7 : 4; 3) 100,35 : 9; 6 ) 2 ,5 6 : 8 . 4) 0 ,2 3 4 : 3; 5) 7 0,115 : 5; 1370. О бчисли (усно): 1) 2 ,4 : 3; 2) 6,8 : 2; 4) 0 ,4 8 : 4; 5) 6 ,4 2 : 2;

3) 0,3 : 3; 6) 8 ,0 0 8 : 8 .

1371. В и к о н а й д іл е н н я : 1) 5 7,2 : 8 ; 2) 94 ,2 2 : 14; 4) 9 2 7 ,3 6 : 48; 5) 7 24,98 : 86 ; 7) 14,7 : 42; 8 ) 19 : 40; 10) 0 , 3 6 : 4 8 ; 11) 0 , 1 7 : 6 8 0 ;

3) 2 114,1 : 27; 6) 294 : 75; 9) 3876 : 85; 12) 272 : 850.

і:ї7 2 . В и к о н а й д іл е н н я : 1) 4 3 7 ,6 : 8 ; 4) 1124,72 : 68 ; 7) 15,3 : 34; 10) 0 ,7 2 : 96; 1373. О бчисли: 1) 4 7 ,5 : 10; 4) 39 8,7 : 100;

2) 4 5 ,7 8 : 14; 5) 4 1 6 ,5 2 : 78; 8 ) 32 : 80; 11) 0 ,1 9 : 760;

3) 2 8 1 1 ,8 6) 1917 : 9) 3744 : 12) 112 :

2) 2 13,25 : 10; 5) 0,1 2 3 : 100;

3) 3 ,1 2 5 : 100; 6) 657,82 : 1000.

1374. О бчисли: 1) 57,3 : 10; 3) 24 2,4 : 100; 5) 4 1 3 7 ,5 8 : 1000;

: 34; 45; 65; 350.

2) 57,3 : 100; 4) 24 2,4 : 1000; 6 ) 27 ,1 3 : 10 000.

Середній рівень

т 1375. А в то м о б іл ь п р о їха в 34 7,2 к м за 4 год. З найди ш в и д к іс т ь автом обіля.

295

1376. Ш в и д к іс т ь велосипедиста 12 к м /г о д . За я к и й час в ін подолає відстань 19,2 км ?

1377. У А л іс и було 10,85 к г с у н и ц ь . Вона р озклал а їх у п ’ я ть о д н а ко в и х к о ш и к ів . С к іл ь к и с у н и ц ь вона п о кл а л а в к о ж н и й к о ш и к ? 1378. С т р іч к у завд о вж ки 5,72 м розрізали на чотири р ів н і частини. Знайди д о в ж и н у однієї частини с т р іч ки . 1379. З найди значення виразу: 1) 58,3 : х, я к щ о х = 10; 100; 1000; 2) 178 : у, я к щ о у = 100; 1000; 10000.

1380. П ерим етр р івно сто ро ннього т р и к у т н и к а д о р ів ню є 6 ,4 5 см. З найди сторону цього т р и к у т н и к а . 1381. Д о в ж и н а л ам аної, щ о складається з 5 р ів н и х л а н о к, дор івн ю є 11,8 см. З найди д о в ж и н у о д н ієї л а н ки . 1382. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) 5х = 4 2 ,5 ; 2) 2 7 * = 2 7 ,8 1 ; 3) 36 ,7 5 : х = 25; 4) 57,42 : jc = 10. 1383. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 9 * = 9 2 ,2 5 ; 2) 8х = 10,032; 3) 13,52 : х = 13; 4) 217,1 : х = 100. 1384. З м е н ш и число 2 7,9 у 2 рази; у 5 р а зів; у 15 ра з ів ; у 20 разів. 1385. З а п и ш и у в и гл я д і десяткового дробу:

1) 1 . ’ 5’

9) —• * 4’

3 )А . ' 40’

4 )1 *’ 25’

S I® !* 5) 5 0 ’

6ї

' 16*

1386. П еретвори в д е ся тко в и й дріб: 1) 1—; 8

2) 3 —; 5

3) 5 — ; 50

6 ) 10 -17 625 3 3 Р озв’язання. 1) 1— = 1 + —.О днак — = 3 : 8 8 8 4) 2 — ; 16

5) 1— ; 200

= 0 ,3 7 5 . Т о м у 1 - =

296

1,375.

§40 і;і8 7 . П одай у в и гл я д і десяткового дробу: 1 7 s» 1) 2) — ; 3) - ; 4 20 8 _ 3 4) 5— ; 16

_ 3 5) 7 — ; 20

. 23 6 ) 1— . 50

1388. З а п и ш и в м етрах: 1) 3 дм; 4) 8 ,1 2 см;

2) 3 7 ,2 дм; 5) 315 м м ;

3) 35 см; 6 ) 27 мм.

1389. З а п и ш и в к іл о гр а м а х : 1) 300 г; 4) 1 к г 400 г;

2) 15 г; 5) 7 к г 13 г;

3) 7 г; 6) 25 к г 3 г.

1390. З а п и ш и в центнерах: 1) 125 к г ; 4) 9 ц 8 к г ;

2) 13 к г ; 5) 500 г ;

3) 5 ц 12 к г ; 6) 13 г.

1391. Д о в ж и н а о д н іє ї сторони п р я м о к у т н и к а 12 см, а площ а д о р івн ю є 115,2 см 2. З найди ін ш у сторону п р ям о кутни ка. 1392. Основа рівнобедреного т р и к у т н и к а д орівню є 24,6 см, а перим етр — 6 2 ,4 см. З найди д о в ж и н у б іч ної сторони. 1393. М аса 48 см 3 л а т у н і д о р івн ю є 408 г. З найди масу 37 см 3 л а т у н і. 1394. Велосипедист п р о їха в від стань 4 6 ,8 к м за З год. С к іл ь к и к іл о м е т р ів проїде велосипедист, я к щ о р уха тим еться з та ко ю ш в и д к іс т ю 2,5 год? 1395. З найди значення виразу: 1) 53 • 0 ,9 2 + 10,08 : 42; 2) (3 ,2 • 46 + 5 4,2) : 53. 1396. В и к о н а й д ії: 1) 37 3,5 : 45 - 35 0 ,1 8 ; 1397. П ерим етр його п л о щ у.

2) (2 4 ,7 : 38 - 0 ,2 9 ) • 67.

квадрата д о р івн ю є

9 ,2 см. З найди

1398. Р уха ю ч и с ь з і ш в и д к іс т ю 54 к м /г о д , п о т я г п р о йш ов 351 к м . Я к и й ш л я х п р о й ш о в би п о т я г за той сам ий час, я к б и його ш в и д к іс т ь була 58 к м /го д ? 297

1399. К у п и л и с тіл і 5 с т іл ь ц ів , за п л а ти в ш и за все 1512 гр н . С тіл к о ш т у є 750 гр н . С к іл ь к и к о ш т у є один стілець? 1400. За 2 к г я б л у к і 3 к г гр у ш за п л атил и 3 1 ,8 гр н . С к іл ь к и к о ш т у є 1 к г гр у ш , я к щ о 1 к г я б л у к к о ш т у є 7,8 гр н .? 1401. У ц и сте р н і було 6 0 ,1 9 т бензину. Н а заправну

с та н ц ію в ід пр а ви л и — від ц іє ї к іл ь к о с т і. С к іл ь к и 13 то н н бензину від п р а ви л и на заправну ста н ц ію ? 1402. Ж и тл о в а

площ а

д в о кім н а т н о ї

кв а р ти р и 0 3 9 ,5 2 м 2. П лощ а о д н іє ї к ім н а т и становить — ж и тл о 13 вої п л о щ і кв а р ти р и . З найди п л о щ у ц іє ї к ім н а т и .

Достатній рівень | 1403. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) (х + 3 ,2 ) • 4 = 15,2; 2) 9 ,84 : (х - 1,7) = 8 ; 3) 3,4 - 9 0 * = 1,6; 4) 5,06 + 12х = 2 9 ,72; 5) 12у + 14у + 4 ,2 = 12; 6 ) 7у + 19г/ — 2г/ — 2 7,5 = 50,74. 1404. Р озв’ я ж и р ів н я н н я :

6 • (х - 1,82) = 2 5,2; 45 : (2 ,8 + х) = 12; б х + 9х - 5,8 = 3,8; 7х - 2х - Зх + 2,73 = 4 ,4 9 . 1405. З двох с т а н ц ій , відстань м іж я к и м и 1182,4 к м , в ід ій ш л и одночасно н а зу с тр іч один одном у два п о т я ги , і зустрілися вони через 8 год п ісл я п о ч а тку р уху. Один з п о т я гів рухався з і ш в и д к іс т ю 75,4 к м /г о д . З н а й д и ш в и д к іс т ь ін ш о го по тя га . 1) 2) 3) 4)

1406. М о т о ц и к л іс т пр оїха в 336 к м . П е р ш і тр и го д и н и в ін руха вся з і ш в и д к іс т ю 64 к м /г о д , аре ш ту ш л я х у п р оїха в за 2 год. У с к іл ь к и разів ш в и д к іс т ь

298

на д р уго м у е та п і ш л я х у була б іл ь ш о ю , н іж на пер ш ому? 1407. З двох м іс т н а зу с тр іч один одном у в и їх а л и два автом обілі й зу с тр іл и с я через 5 год. П е р ш и й автомо біль до з у с т р іч і п р оїха в 3 9 3 ,5 к м . Ш в и д к іс т ь д р у го го автом обіля на 2,6 к м /г о д б іл ь ш а , н іж ш в и д к іс т ь перш ого. З найди від стань м іж м іста м и . 1408. За два д н і велосипедист проїхав 130,2 к м . П ер шого дня в ін був у дорозі 4 год, а другого — 3 год. Знайди ш в и д кіс т ь велосипедиста, я к щ о вона була од наковою , та від ста ні, я к і в ін п р о їж д ж а в к о ж н о го дня. 1409. Ш и р и н а к ім н а т и д о р івн ю є 4,1 м, а д о в ж и на — 5,6 м. З найди висоту к ім н а т и , я к щ о ї ї об’єм 6 4 ,2 8 8 м 3. 1410. Д о в ж и н а п р я м о к у т н и к а 8,4 см, а ш и р и н а ста новить 0,7 д о в ж и н и . Знайди п л ощ у п р я м о ку т н и к а . 7 Розв’язання. 0 ,7 = — . Т о м у ш и р и н у п р я м о к у т н и к а м о ж н а зн а й ти т а к : 8 ,4 : 10 • 7 = 5 ,88 см. Т оді площ а S = 8 ,4 • 5 ,88 = 4 9 ,3 9 2 см 2. 1411. У ч е н ь мав 60 гр н ., 0 ,13 від ц іє ї сум и в ін в и тратив на к у п ів л ю р у ч к и . С к іл ь к и гр о ш е й з а л и ш и лося в учня? 1412. М и к о л а має 13,2 гр н ., а П етро — 0 ,9 грош ей М и к о л и . С к іл ь к и грош ей у х л о п ц ів разом? 1413. М а га зи н отрим ав 2 5,2 ц ф р у кт ів . За п е р ш и й 4 день було продано — о тр и м а н и х ф р у к т ів , а за друУ г и й — — р еш ти . С к іл ь к и цен тн е рів ф р у кт ів зали5 ш ил ося в м а га зи н і?

1414 В ід м о т у з ки за в д о в ж ки 12,55 м в ід р іза л и — її 2 д о в ж и н и , а п о т ім — ще — з а л и ш к у . С к іл ь к и м етрів З м о т у з ки в ід р іза л и за два рази?

299

?<$и.

п л о щ а присадибної 118,5 м 2?

д іл я н к и ,

якщ о

город

займає

1416. П е рш о го д н я ту р и с т п р ой ш о в 12,6 к м , щ о ста новить ^ запланованого м а р ш р у ту . С к іл ь к и к іл о м е т р ів має подолати турист? 1417. Висота п р я м о ку т н о го паралелепіпеда д о р івн ю є 0 ,5 м, а ш и р и н а — 0 ,8 м , щ о становить 0 ,2 5 д о в ж и н и . З найди об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда. 1418. Ш и р и н а п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 7,2 см, щ о становить 0,3 його д о в ж и н и . З найди перим етр п р я м окутника. 1419. П одай з в и ч а й н и й дріб у в и гл я д і д е сяткового і в и к о н а й д ії:

1) I + 0 , 6 ; 3)5:15; 5

2) 1,82 - | | ; 4) ^

■(0 ,8 + 3,4). 20

\ 420. П одай з в и ч а й н и й дріб у в и гл я д і десяткового і в и к о н а й д ії: О

1о

1) - -Ь 0,15;

2) ^ - 0 , 4 ;

3) і . 12; 4) А

(3>7 _ о,5). Zo

Високий рівень 1421, С ума тр ьо х чисел д о р івн ю є 16,8. П ерш е число в 5 р а зів більш е за друге, а третє більш е за перш е на 3 ,6 . З найди ц і числа.

1 122. В а н та ж загальною масою 10,2 т р о зп о д іл и л и на два а вто м об ілі т а к , щ о на один з н и х н а в а н т а ж и л и на 0 ,4 6 т б іл ьш е, н іж на ін ш и й . С к іл ь к и то н н в а н т а ж у було на к о ж н о м у автом обілі?

300

§4 0 1423. За 6 год човен пр оп л ив 151,8 к м за те ч ією р іч к и . Я к у відстань пропливе човен п р оти те ч ії р іч к и за 2,3 год, я к щ о ш в и д к іс т ь т е ч ії д орівню є 1,8 к м /го д ? 1424. З найди об’єм ку б а , сума д о в ж и н у с іх я к о го 18 см.

ребер

1425. О дин з двох д о д а н ків д о р івн ю є 1,62, щ о стано вить 0 ,4 5 сум и . З н а йд и ін ш и й доданок.

8 З 1426. f 9 — числа 10,8 становлять — числа х. Знайди 9 5 ЧИСЛО X. 1427. ^ Р о б іт н и к за п е р ш у го д и н у в и ко н а в 0 ,2 ден ного п л а н у, а за д р у гу го д и н у — 0 ,1 5 цього само го п л а н у. П іс л я цьо го й о м у за л иш ил о ся ви го то в и ти 24 деталі, щоб в и к о н а т и п о л о в и н у п л а н у. С к іл ь к и деталей має в и го то в и ти р о б іт н и к за планом? 1428. ^ В ід заданого числа в ід н я л и число, я к е в 10 р а зів менш е від даного, і о тр им ал и 2 3 ,0 4 . З найди задане число.

Вправи для повторення 1429.

Т у р и с т и за к іл ь к а д н ів п р о й ш л и 60 к м . За 4 п е р ш и й день вони п р о й ш л и — ц іє ї в ід с та н і, а за

2 15 д р у ги й — — . С к іл ь к и к іл о м е т р ів п р о й ш л и ту р и с ти 15 за два дні? 1430. У ч е н ь ви тр а ти в на придб ання зо ш и т ів 6 гр н ., а на придб ання к н и ж о к — на у гр н . більш е. С к іл ь к и всього гр о ш е й ви тр а ти в учень? С кл ад и в и раз та обчисли його зн а ч е нн я , я к щ о у = 18. 1431. К вадрат і п р я м о к у т н и к м аю ть о д н а ко в і пе р им етри. Сторона п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 16 см, а його площ а 192 см 2. З н а йд и п л о щ у квадрата. 1432. С З найди тр и п о сл ід о в н и х н а ту р а л ь н и х ч и с ла, я к щ о їх сум а 180.

301

Г е р іи , ї 4

Ділення на десятковий дріб

Ш о

Звернемо у в а гу на в а ж л и в у вл а сти вість част к и . Р озглянем о, н а п р и кл а д , ч а с т к у 16 : 8 = 2. П о м н о ж и м о ділене і д іл ь н и к , н а п р и кл а д на 3. М аємо (16 • 3) : (8 3) = 48 : 24 = 2. Б ачим о, щ о ч а стка 16 : 8 не зм ін и л а с я . П о д іл и м о ділене й д іл ь н и к част к и 16 : 8 на 2. М аємо (16 : 2) : (8 : 2) = 8 : 4 = 2. Ч а с тка 16 : 8 знову не зм ін и л а с я . З відси м о ж н а сф орм улю вати правило, я ке називаю ть основною властивістю частки :

якщо ділене й дільник помножити або поді лити на одне й те саме натуральне число, то частка не зміниться.

Основна вл а сти вість ч а с т к и дає зм о гу звести д і ле н ня на д е ся тко ви й дріб до д іл е н н я на натуральне число. Н ехай треба п о д іл и ти 35 ,5 6 на 1,4. Основна властивість ч а с тки сп р а в д ж ується т а к о ж і для д е ся тко ви х дробів. Т о м у п о м н о ж и м о ділене Й Д ІЛ Ь Н И К на та ке число, щоб д іл ь н и к став натуральним числом . Т а к и м м н о ж н и к о м буде 10, о с к іл ь к и 1,4 • 10 = 14. О тж е, д іл е н н я на д е ся тко ви й дріб м о ж н а звести до д іл е н н я на натуральне число: 3 5 ,5 6 : 1,4 = (3 5 ,5 6 • 10) : (1 ,4

355,6 14 28 25,4 75 уд

~ eg q"

10) = 3 5 5 ,6 : 14

35 ,5 6 : 1,4 = 3 5 5 ,6 : 14 = 2 5,4 . —

О—

------------------------

М ір к у ю ч и так, замість ч а стки, наприклад, 1,215 : 0,45, знаходимо ч а стку 121,5 : 45 = 2,7; замість ча стки 0,044 : 0,016 — ч а стку 44 : 16 = 2,75 тощо. У в с іх в и п а д ка х ділене й д іл ь н и к м н о ж и м о на ро зр яд ну о д и н и ц ю 10, 100, 1000 , ..., а для цього до сить перенести к о м у вправо на 1, 2 або 3 з н а к и .

302

Маємо правило: • n щоб поділити число на десятковий дріб, треба & в діленому й дільнику перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх є в дільнику; після чого виконати ділення на натуральне число. Я кщ о в діленом у п ісл я ко м и менше цифр, н іж у д іл ь н и к у , то до нього д о п и сую ть п о тр іб н у к іл ь к іс т ь н у л ів . Н а п р и кл а д , 4 ,2 : 0 ,0 0 2 = 4200 : 2 = 2100. П о д іл и м о 3 ,7 4 8 на 0 ,1 . П іс л я перенесення ко м и на 1 з н а к вправо в д іл е н ом у й д іл ь н и к у маємо 3 ,7 4 8 : 0,1 = 3 7 ,4 8 : 1 = 3 7 ,4 8 . Щ е п р и кл а д и : 4 ,9 7 3 : 0,01 = 4 9 7 ,3 : 1 = 4 9 7 ,3 ; 5,4 : 0,001 = 5400 : 1 = 5400. З відси маємо правило:

щоб поділити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001; треба в цьому дробі перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів міс тить дільник перед одиницею (враховуючи нуль цілих). У чому полягає основна властивість частки? * Сформулюй правило ділення на десятковий дріб. » Сформулюй правило ділення на 0,1; 0,01; 0,001.

||^ | Початковий рівень 1433. О бчисли (усно): 1) 8 : 0 ,8 ; 2) 4 : 0 ,1 ; 4) 5 : 0 ,0 5 ; 5) 2,4 : 1,2; 7) 0 ,8 : 0 ,0 4 ; 8) 28 : 0 ,1 4 ;

3) 7,2 : 0 ,8 ; 6 ) 56 : 0 ,7 ; 9) 0 ,4 2 : 0 ,2 1 .

1434. В и к о н а й д іл е н н я : 1 )1 4 ,2 :0 ,1 ; 2) 0 ,7 : 0 ,1 ; 3 )0 ,0 9 :0 ,1 ; 4) 8,3 : 0 ,0 1 ; 5) 0 ,1 8 : 0 ,0 1 ; 6) 420 : 0 ,0 1 ; 7) 0 ,1 3 7 : 0 ,0 0 1 ; 8 ) 4 ,7 : 0 ,0 0 1 ; 9) 482 : 0 ,0 0 0 1 . 1435. О бчисли: 1) 17,3 : 0 ,1 ;

2) 0 ,9 : О Д ;

3) 0 ,04 : 0 ,1 ;

303

4) 7,2 : 0 ,0 1 ; 5) 0 ,1 3 : 0 ,0 1 ; 7) 0 ,1 8 5 : 0 ,0 0 1 ; 8) 5,9 : 0 ,0 0 1 ;

6) 752 : 0 ,0 1 ; 9) 14,59 : 0 ,0 0 0 1 .

Середній рівень 1436. О бчисли: 1) 3) 5) 7) 9) 14.')7.

2622 : 6 ,9 ; 2) 16,45 : 4 ,7 ; 4) 185,6 : 0 ,6 4 ; 6) 1,056 : 0 ,0 3 2 ; 8) 8 ,7 0 5 8 : 2,9. В и к о н а й д іл е н н я :

30 4,5 : 0 ,5 ; 6 : 3 ,7 5 ; 0 ,3 7 8 : 0 ,1 4 ; 0 ,5 1 3 7 6 : 0 ,1 6 9 ;

1) 2793 : 5 ,7 ; 2) 4 9 5 ,6 : 0 ,7 ; 3) 17,02 : 3 ,7 ; 4) 18 : 1,25; 5) 167,4 : 0 ,6 2 ; 6) 0 ,4 0 8 : 0 ,1 7 ; 7) 1,332 : 0 ,0 3 6 ; 8) 0 ,5 7 4 0 9 : 0 ,1 8 7 ; 9) 5 ,0075 : 2 ,5 . 1438. Д о в ж и н а к р о к у у ч н я дор івн ю є 0 ,7 5 м. С к іл ь к и к р о к ів необхідно зробити, щоб п р о й ти 120 м? 1439. П оїзд п р оїха в 163,5 к м ш в и д к іс т ю їха в поїзд?

за

2,5 год.

якою

1 140. З найди масу 1 см 3 льоду, я к щ о маса 4 ,5 см 3 льоду становить 3 ,9 6 г. 1441. П л о щ а п р я м о к у т н и к а 17,095 см 2, а його дов ж и н а дор івн ю є 5 ,26 см. З н а йд и ш и р и н у п р я м о к у т ника. 1442. З поля площ ею 3 ,4 га зібрали 8 6 ,7 ц зерна. Я к и й ур о ж а й зерна зібрал и в середньому з к о ж н о го гектара? 1443. Маса 18,6 см 3 л а т у н і дор івн ю є 158,1 г. З найди масу 25,4 см 3 л а т у н і. В елосипедист за 2,5 год п р оїха в 46 к м . Я к у від стань в ін проїде за 3,4 год, я к щ о його ш в и д к іс т ь за л и ш и ть ся та ко ю самою? 1445. 3 ,7 к г борош на к о ш т у ю т ь 21 ,4 6 гр н . С к іл ь к и к о ш т у ю т ь 2 ,5 к г та ко го борошна?

304

f 1446. С торона п ерш ого квадрата 18,9 см, а сторона д р угого в 1,5 раза м енш а. О бчисли п л о щ у і периметр д р уго го квадрата. 1447. З м е н ш и число 108,5 у k р а зів , я к щ о k д о р ів ню є 2 ,5 ; 6 ,2 5 ; 12,5. 1448. З найди зн а че нн я виразу: 1) 32 ,8 3 : а, я к щ о а = 0 ,1 ; 0 ,0 1 ; 0 ,0 0 1 ; 2) Ь : 0 ,0 1 , я к щ о b = 4 ,5 ; 9 ,8 9 3 ; 152. 1449. З найди значення виразу х : 2,5 - у : 1,4, я к щ о х = 9 ,7 5 , у = 3 ,3 6 . 1450. З найди зн а че нн я виразу: 1) 1 9,725 : х + у : 3 ,6 , я к щ о х = 2 ,5 ; у = 8 ,8 2 ; 2) (а : 2,8 + Ь) : 9 ,7 , я к щ о а = 12,6; b = 2 8 ,48. 1451. Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 1,7л: = 1 1 ,0 5 ; 2) у • 0 ,2 2 = 1,408; 3) 8 ,6 4 5 : * = 3 ,5 ; 4) 7х • 1,2 = 13,104. 1452. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 2 ,4 у = 8 ,8 5 6 ; 2) х • 3) ЗО : у = 1 ,2 ; 4) 8 у

2 ,5 6 = 8 ,9 6 ; 1,7 = 4 6 ,2 4 .

1453. К а те р у с т о я ч ій воді розвиває ш в и д к іс т ь 2 5 ,4 к м /г о д . Ш в и д к іс т ь т е ч ії р іч к и д о р івн ю є 1,1 к м /г о д . За я к и й час ка те р п р о п л и в 9 0,1 к м за те ч іє ю р іч к и ? 1454. М о то р н и й човен п р о п л и в 8 8 ,3 2 к м п р оти те ч ії р іч к и за 2,4 год. З найди власну ш в и д к іс т ь човна, я к щ о ш в и д к іс т ь т е ч ії д о р івн ю є 1,7 к м /г о д . 1455. У с к іл ь к и р азів а більш е за Ь (або b менш е від а): 1) а = 1 7 ,2 5 5; Ь = 8 ,5 ; 2) а = 3 8 ,6 4 ; b = 1,05? 1456. З найди значення виразу: 1) (3 2 ,5 2 6 : 3 ,9 + 2 ,2 6 ) • 5 ,4 ; 2) (2 ,4 1,23 - 1 ,9 3 7 ) : 3 ,5 ; 3) 17,39 : (15 - 14,26) - 6 : 12,5; 4) 58 ,7 8 - 1 ,3 8 -(2 7 5 ,4 : 6 ,8 ). 1457. О бчисли: 1) 6 ,7 (3 5 ,7 1 2 : 4 ,8 + 3 ,3 6 ); 2) ( 2 ,6 - 1 ,3 4 - 2 ,2 6 9 ) : 4 ,5 ; 2 0 О. С. Істер “Математика", 5 кл.

305

fe& L

3) 2 0 ,8 : (12 - 11,36) - 8 : 12,5; 4) 71,96 - 2 ,1 6 (2 2 5 ,7 : 7,4). 1458. В и к о н а й д іл е н н я : 1) 4 ,5 дм : 0 ,5 ; 2) 0 ,8 4 м : 0 ,0 2 ; 3) 0 ,3 5 д м 2 : 1,4; 4) 8 см 3 : 2 ,5 . 1459. У п е рш о м у п а к е т і 8 ,9 6 к г борош на, щ о в 1,6 раза б ільш е, н іж у д р уго м у. С к іл ь к и к іл о гр а м ів бо рош на в двох п а ке та х? 1460. П ло щ а о д н іє ї к ім н а т и 2 4,6 м 2, щ о в 1,5 раза б ільш е за п л о щ у ін ш о ї. З найди п л о щ у ц и х двох к і м нат разом. 1461. Н а с к іл ь к и треба п о м н о ж и т и 1,8, щоб о тр и м а ти 4,41? 1462. Н а с к іл ь к и треба п о д іл и ти 0 ,0 9 , щоб о тр им ати 0,25?

Достатній рівень 1463. П ло щ а п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є п л о щ і кв а д рата з і стороною 2,4 см. Д о в ж и н а п р я м о к у т н и к а до р ів н ю є 3,6 см. З найди перим етр п р я м о к у т н и к а . 1464. З двох п у н к т ів , від стань м іж я к и м и 32 6,5 к м , одночасно назустріч один одному виїхали два автомо б іл і. Ш в и д к іс т ь одного з н и х д о р івн ю є 6 4 ,5 к м /г о д , а ін ш о го — на 1,6 к м /г о д б іл ь ш а . Через с к іл ь к и го д и н авто м об ілі зус тр ін у ть с я ? 1465. З о д н іє ї д іл я н к и зібрал и 1977,5 ц п ш е н и ц і, а з ін ш о ї — у 2,5 раза менш е. У р о ж а й н іс т ь п ш е н и ц і з 1 га на обох д іл я н к а х була 35 ц. З найди п л о щ у к о ж н о ї д іл я н к и . 1466. З п л о щ і 53,2 га зібрали 670,32 ц ж и т а . С к іл ь к и тонн ж и т а зберуть з д іл я н к и , площ а я к о ї в 1,6 раза менш а від перш ої за та ко ї самої врож айності? 1467. К у п и л и 2,4 к г я б л у к і 1,5 к г а б р и ко сів. За всю п о к у п к у за п л а ти л и 4 0 ,0 8 гр н . С к іл ь к и к о ш т у є 1 к г а б р и ко сів , я к щ о 1 к г я б л у к к о ш т у є 7,2 гр н .?

306

§41 1468. К у п и л и 1,8 к г риб и та 1,5 к г м ’ яса. За всю п о к у п к у за п л а ти л и 9 3 ,9 6 гр н . С к іл ь к и к о ш т у є 1 к г риби, я к щ о 1 к г м ’яса к о ш т у є 3 7 ,2 гр н .? 1469. Корабель С індбада-М ореплавця проплив 73,5 к м за течією р іч к и і 90,3 к м проти те ч ії. С к іл ь к и часу був в дорозі корабель, я к щ о його власна ш в и д кіс ть 27,6 к м /г о д , а ш в и д кіс ть те ч ії 1,8 к м /го д ? 1470. А в то м о б іл ь пр оїха в 117 к м за 1,5 год, п о тім ще 105 к м за 1,4 год. Н а я к ій д іл я н ц і ш л я х у ш в и д к іс т ь автом обіля була більш ою ? У с к іл ь к и разів? І 171. А в то м о б іл ь п р о їха в 38 7,2 к м за 4 ,4 год. М о то ц и к л ви тр а тив на то й са м и й ш л я х на 1,1 год б іл ь ше. У с к іл ь к и р а зів ш в и д к іс т ь автом обіля біл ьш а за ш в и д кіс т ь м о то ц и кл а ? 1472. А л ю м ін іє в а к у л ь к а , об’єм я к о ї 13,2 см 3, має масу 3 5 ,6 4 г. Я к а маса стальної к у л ь к и т а к о го само го об’єм у, я к щ о 1 см 3 ста л і в а ж и ть на 5,2 г більш е, н іж 1 см 3 а л ю м ін ію ? 1473. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) 2) 3) 4) 5) 6) і

( * - 3 ,1 5 ) - 3 ,5 = 8 ,5 7 5 ; 14,4 : (х + 2 ,6 ) = 3 ,2 ; 1 2 ,5 * - 2 0 ,5 = 24,5; 9 1 ,8 : х + 8 6 ,7 - 100,2; 9 ,3 * + 1 ,2 * = 2 5 ,2 ; 5 ,9 у - 1,2у = 9 ,5 8 8 .

574 Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) (1 Д 5 + х) ■3,8 = 9 ,5 ; 3) 2 7 ,6 + 1 4 ,6 * = 6 4 ,1 ; 5) 7,2у + 4 ,5 у = 2 1 ,0 6 ;

2) 9 : (7 ,8 - * ) = 3 ,6 ; 4) 36,5 : * - 8 Д = 6 , 5 ; 6) 3 ,4 * - 3 ,2 * = 15,2.

1475. Д о в ж и н а пр ям о кутни ка 9 ,6 дм, ш ирина 2,7 дм. У с к іл ь к и р азів зм е н ш и ть ся площ а п р я м о к у т н и к а , я к щ о його д о в ж и н у зм е н ш и ти на 3,2 дм? 1476. З найди числа, я к и х не вистачає в л а н ц ю ж к у обчислень:

+Ь •с :а 8 ,5 ---- ► 3,4 ---- ► 4 ,7 ---- ►17,86. 20*

307

1477. З а п и ш и зв и ч а й н и й дріб у в и гл я д і десяткового та в и к о н а й д іл е н н я : 1) - : 0 ,0 2 5 ; 2) 9 ,7 8 : - ; 4 2

3) - : 0 ,2 ; 4) 1,45 : — . 8 16

1478. З а п и ш и з в и ч а й н и й дріб у в и гл я д і десяткового та в и ко н а й д іл е н н я : 1) 9 ,75 :

2) - : 0 ,1 4 ; 3) 3,6 : 8 8

4) — : 0 ,3 . 16

1479. З двох п у н к т ів , від стань м іж я к и м и 9 к м , од ночасно н а зу с тр іч один одном у в и їх а л и Ч іп і Д ейл на сам окатах. Ш в и д к іс т ь Ч іп а д о р івн ю є 10,5 к м /г о д , а Д ейла — у 1,4 раза м енш а. Через я к и й час вони зустр ін уть ся ? 1480. Л и с М и к и т а та В о в ч и к-б р а т и к в и й ш л и н а зу стр іч один одном у. Ш в и д к іс т ь Л иса М и к и т и д о р ів ню є 4 ,2 к м /г о д , щ о в 1,2 раза більш е за ш в и д к іс т ь В о в ч и ка -б р а ти ка . Через 1,5 год вони з у с тр іл и с я . Я ка від стань була м іж н и м и на п о ч а тку ? 1481. К о л и плавець в ід п л и в від п р и с т а н і на 0 ,5 4 к м , за н и м по пл и в човен. Ш в и д к іс т ь п л авц я дор івн ю є 1,8 к м /г о д , а човна — у 2,5 раза б іл ь ш а . Через я к и й час човен наздож ене плавця?

1482. Д о в ж и н а п р я м о ку т н о го паралелепіпеда до р ів н ю є 2 дм, щ о в 1,25 раза б іл ьш е за ш и р и н у і в 1,6 раза більш е за висоту. З найди об’ єм п р я м о к у т н о го паралелепіпеда. 1483. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) 1 ,7 * - 0 ,5 * - 3 ,6 2 = 1 2,7; 2) 2 ,7 (0 ,0 2у + 1,4) = 4 ,3 2 . 1484 Р о зв ’я ж и р ів н я н н я : 1) 8 ,3 * + 1 ,9 * + 13,7 = 39,2; 2) 2 7 ,3 : (0 ,2 у - 1 ,8 ) = 2 ,6 .

Високий рівень 1485. У двох к о ш и к а х разом 9,72 к г пом ідорів, п р и чом у в більш ом у к о ш и к у пом ідорів у 1,7 раза більш е. С к іл ь к и к іл о гр а м ів пом ідорів у к о ж н о м у ко ш и к у ?

308

§ f i 1486. П ерим етр т р и к у т н и к а ABC до р івн ю є 15,8 дм. Сторона АС б іл ь ш а за сторону ВС в 1,6 раза і менш а від сторони АВ на 1,1 дм. З найди д о в ж и н у к о ж н о ї сторони т р и к у т н и к а . 1487. К у п и л и два к а в у н и . М аса п ерш ого була б іл ьш а за масу д р уго го на 1,8 к г , а маса д р уго го к а в у н а в 1,4 раза м енш а від маси п е рш о го . Ц ін а 1 к г ка в у н а 1,6 гр н . С к іл ь к и за п л а ти л и за два к а в у н и разом? 1488. К у п и л и два к о ш и к и п о л у н и ц ь . У п е рш о м у п о л у н и ц ь було на 1,44 к г б іл ь ш е , н іж у д р у го м у , а в д р уго м у — у 1,6 раза м енш е, н іж у п е рш о м у. С к іл ь к и за пл а ти л и за всю п о к у п к у , я к щ о 1 к г п о л у н и ц ь к о ш т у є 8 ,5 гр н ., а п о р о ж н ій к о ш и к — 8 ,4 гр н .? 1489. Q 891 ,3 к г я б л у к р о зкл а л и в я щ и к и двох роз м ір ів . В о д н і я щ и к и к л а л и по 2 4 ,2 к г я б л у к у к о ж н и й , а в ін ш і — по 3 2 ,5 к г . У р е зу л ь та ті з ’я с у в а лося, щ о в у с іх б іл ь ш и х я щ и к а х разом я б л у к було на 2 1 3 ,7 к г біл ьш е , н іж в у с іх м е н ш и х я щ и к а х р а зом. С к іл ь к и м а л и х і с к іл ь к и в е л и к и х я щ и к ів за п о в н и л и я б л у ка м и ?

Вправи для повторення 1490. Є В и д іл и ц іл у й дробову ч а с ти н и не пр а вил ь ного дробу: 1) 1491.

2) і ? 7;

І?

480

432 17 ‘

2 П еретвори в н е п р а в и л ь н и й дріб:

1) зі;

2) 5-|;

3 ) 2 |;

4 )1 2 |;

5 )7

113

200

1492. <0 С кл а д и ф орм улу для об числ е нн я п л о щ і ф ігу р и , зображ еної на р и с у н к у , та обчисли її, я к щ о а = 20 см, b = 5 см, с = 12 см, d = 13 см.

309

1493. ф С к іл ь к и є способів п о зн а ч и ти ве р ш и н и п ’я т и к у т н и к а , в и ко р и с то в у ю ч и б у к в и А, В, С, D, Е ?

В) 3 7 ,8 ;

Г ) 0 ,3 7 8 .

2 . 0 З найди значення д о б у тк у 7,4 • 0 ,0 0 1 . А ) 0 ,0 0 0 7 4 ; Б ) 0 ,7 4 ; В ) 0 ,0 0 7 4 ; Г) 0 ,0 7 4 . 3.

В и к о н а й д іл е н н я 3 3,2 : 8. А ) 4 1 ,5 ; Б ) 4 ,2 5 ; В) 0 ,4 1 5 ;

Г) 4 ,1 5 .

4. Є Сторона квадрата дор івн ю є 4,2 см. З найди його п л о щ у: A ) 17,64 см 2; Б ) 16,64 см 2; B) 1 6,8 см 2; Г) 17,54 см 2. 5. ^ 3 Р о зв’я ж и р ів н я н н я 4х = 15,2. А ) 6 0 ,8 ; Б ) 3 ,8 ; В ) 3 ,6 ;

Г ) 2 ,8 .

6 . 0 Велосипедист п р оїха в 18,6 к м за 1,5 год. Я к у від стань в ін проїде за 2,5 год, я к щ о його ш в и д к іс т ь за л и ш и ть с я та ко ю самою? А ) 3 2 ,6 к м ;

Б) 32 к м ;

В) 3 1 ,6 к м ;

Г ) 31 к м .

7. ^ 3 Н а я к е число треба п о м н о ж и т и 3 ,0 7 , щоб о тр и м а ти 0,0307? А ) 0 ,1 ;

Б ) 10;

В ) 0 ,0 0 1 ;

Г ) 0 ,0 1 .

8. ^3 Р о зв’я ж и р ів н я н н я 39 : (3 ,7 - х) = 15: А ) 6 ,3 ; 9.

Б ) 5 8 8 ,7 ;

В ) 1 ,1 ;

Г ) 2 ,1 .

З а п и ш и зв и ч а й н и й дріб у в и гл я д і де сятко во го і

в и к о н а й д іл е н н я 4 ,8 : —. А ) 1 ,2 ;

Б ) 1 9 ,2 ;

В ) 1 8 ,2 ;

Г ) 1,82.

10. ^ П ід л о га у к ім н а т і має ф орму квадрата з і сто роною 4 ,5 м. Д л я ф арбування 1 м 2 п ід л о ги по тр іб но 0 ,2 к г фарби, а 1 к г фарби к о ш т у є 15 гр н . С к іл ь к и

§41 грош ей в и тр а тя ть на фарбу, щоб поф арбувати п ід л о гу ц іє ї к ім н а т и ? A ) 60 7,5 г р н .; B ) 54 гр н .;

Б ) 60 ,7 5 гр н .; Г ) 6 1 ,7 5 гр н .

11. ^ Сума тр ьо х чисел до р івн ю є 16,7. Д р у ге число у т р и ч і б ільш е за перш е, а третє число на 1,2 більш е за перш е. З на йд и найм енш е з ц и х трьох чисел. А ) 3 ,1 ;

Б ) 4 ,3 ;

В ) 4 ,1 ;

Г ) 5,1.

12. У м е нш о м у к о ш и к у п о л у н и ц ь було на 1,5 к г менш е, н іж у б іл ь ш о м у к о ш и к у , а у б іл ь ш о м у — в 1,6 раза б іл ьш е, н іж у м е н ш о м у. С к іл ь к и к іл о гр а м ів п о л ун и ц ь було у б іл ь ш о м у к о ш и к у ? А ) 5 к г ; Б ) 4 ,2 к г ; В) 4 к г ; Г) 2,5 к г .

Завдання для перевірки знань № 8 (§38—§41) 1.

В иконай м нож ення: 1) 2 9 ,3 5 - 1 0 ; 3)6,315-6,4;

2) 4 2 , 3 - 0 , 1 ; 4)0,0015-6,7.

В и к о н а й д іл е н н я : 1) 4 2 ,5 : 10; 2) 56 ,2 8 : 14; 3) 51,6 : 24; 4) 7 : 28; 5) 14,5 : 0 ,1 ; 6) 17,8 : 0 ,0 1 3. ^

Р о зв’я ж и р ів н я н н я :

1) * : 8 ,2 = 311;

2) 1 2 * = 11,4.

В и к о н а й д іл е н н я : 1) 8 ,4 6 : 3 ,6 ;

2) 17 : 0 ,8 5 ;

3) 0 ,1 1 7 0 4 : 0 ,0 5 6 .

5. І З К у п и л и 3 к г ц у к е р о к і 4 к г печива, за п л а ти в ш и за всю п о к у п к у 9 1 ,6 гр н . С к іл ь к и к о ш т у є 1 к г печива, я к щ о 1 к г ц у к е р о к к о ш т у є 15,6 гр н .? 6. І З П л о щ а п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 13,02 м 2, а його ш и р и н а — 3,1 м . З н а йд и перим етр п р я м о к у т ника. 7. 3 двох м іс т , від стань м іж я к и м и 103,2 к м , од ночасно в одном у н а п р я м і в и їх а л и м о то ц и кл і авто мобіль. А в то м о б іл ь наздогнав м о то ц и кл через 8 год.

311

З найди ш в и д к іс т ь автом обіля, я к щ о ш в и д к іс т ь м о то ц и к л а 58,9 к м /г о д . 8. Додаткове завдання. З найди числа а і b у л а н ц ю ж ку

а 1 5,1 > 29,2

> 0 ,2 9 2 .

9. ^5 Додаткове завдання. П іс л я того я к учень в и тратив 0,2 гр о ш е й , я к і мав, у н ього за л иш ил о ся 18 гр н . С к іл ь к и гр о ш е й мав учень?

^ >4Шо Відсотки. Знаходження відсотків від даного числа П ід час р із н и х обчислень л ю д ям часто доводиться зн а хо д и ти ч а сти н и числа: — (п о л о в и н у), — (четверти2 4 , 1 1 1 . 7 ’ 1 0 ' І» » 1 Т- ДН а й з р у ч н іш е в т а к и х обчи сле н н ях зн а хо д и ти со ті ч а с ти н и числа, або в ід с о т ки (п р о ц е н ти )1, о с к іл ь к и п р и цьом у доводиться м н о ж и т и ч и д іл и т и на ч и с ло 100.

Відсотком (процентом) називається сота частина

будь-якого числа (або числового зна.100 чення величини). Д л я п о значе н н я в ід с о тка (процента) в и ко р и с то в у ю ть з н а к % : 1 % = Ї5 5 = ° - 01 1 Слово «процент* походить від латинського слова per cent — на сотню, щ о вказує на зменшення одиниці виміру в сто разів. Наприклад, сантиметр — сота частина метра

(

fV J З н а й ти 1 % від числа — зн а ч и ть , зн а й ти одну соту ч а с ти н у цього числа.

Задача 1. З найди 1 % в ід 400 гр н . Розв'язання. П р и й м а є м о 400 гр н . за 100 % . Щ о б зн а й ти 1 % , п о тр іб н о 400 гр н . п о д іл и ти на 100. 400 : 100 = 4 гр н . С оту ч а с ти н у центнера на зива ю ть кіл о гр а м о м , соту ч а сти н у метра — сантим етром , соту ч а с ти ну ге кта р а — аром (або со тко ю ). Н а п р и кл а д , к іл о грам — це один від с о то к центнера, сантим етр — один від со то к метра, ар — один в ід со то к ге кта р а . М о ж н а за писа ти т а к о ж :

2 % = — = 0 , 02 ; 100 97 97 % = — = 0 ,9 7 ; 100

13 % = ------= 0 ,1 3 ; 100 1 Q7 137 % = — = 1,37 тощ о. 100

/ Щоб перетворити відсотки в десятковий дріб, ^ треба поділити число процентів на 100. О с к іл ь к и 1 % дорівню є со тій ч а с ти н і ве л и ч и н и , то

Щ об перетворити десятковий дріб у відсотки, треба його помножити на 100.

Н а п р и кл а д : 0 ,8 = 0 ,8 • 100 % = 80 % ; 0 ,4 2 = = 0,42 • 100 % = 42 % ; 0,372 = 0,372 • 100 % = 37,2 % .

/ Щ об перетворити звичайний дріб у відсотки, 1'm J треба спочатку перетворити його в десятковий, а потім помножити отриманий десятковий дріб на 100. Н а п р и кл а д : — = 4 : 5 = 0 ,8 ; 0 ,8 • 100 % = 80 %; 5 — = 3 : 4 = 0 ,7 5 ; 0 ,7 5 • 100 % = 75 % .

313

Д е я к і з рівностей м іж зв и ч а й н и м и в ід со тка м и д о ц іл ьно за п а м ’ ятати!

дробами

— = 0,1= 10% 10

- = 0 ,2 5 = 25 % 4

= 0 ,5 = 50 %

- = 0 ,7 5 = 75 % 4

Р озглянем о задачу знаходження відсотків від за

даного числа. Задача 2. М о л о ко м іс т и т ь 4 % ж и р у . С к іл ь к и ж и р у м істи ть ся в 800 к г молока? Розв'язання. 1-й спосіб. Знайдемо с п о ч а т ку 1 % від числа 800. Д л я цього треба 800 п о д іл и т и на 100. М аємо 800 : 100 = 8. О тр и м а н и й результат треба п о м н о ж и т и на к іл ь к іс т ь в ід с о т ків . М аємо 8 • 4 = 32 к г . О тж е , у 800 к г м олока м іс ти ть с я 32 к г ж и р у . 2-й спосіб. Ц ей сам ий результат м о ж н а було о тр и м ати п о -ін ш о м у : 4 % = 0 ,0 4 . Я к щ о в и ко н а ти м н о ж е н ня 800 на 0 ,0 4 , то отримаємо 800 • 0 ,04 = 32 к г . О тже, розв’я зу ю ч и перш им способом, м и зн а й ш л и , с к іл ь к и к іл о гр а м ів ж и р у припадає на 1 % , п о т ім п о м н о ж и л и ц ю к іл ь к іс т ь на в ід п о в ід н и й від соток, а розв’я зу ю ч и д р уги м способом, ви р а зи л и від соток д е ся тко ви м дро бом і п о м н о ж и л и дане число на цей дріб. Щ о називається відсотком (процентом)? » Я к називається 1 % від центнера, метра, гектара? • Я к перетворити відсоток на десятковий дріб? • Я к пе ретворити десятковий дріб на відсоток? • Я к пере творити звичайний дріб на відсоток? э Я к знайти відсоток від числа?

Початковий рівень 1494. З а п и ш и у в и гл я д і десяткового дробу: 1)7% ; 2)13% ; 3)97% ; 4)132% ; 5)145% ; 6)217% . З а п и ш и у в и гл я д і десяткового дробу: 1)19% ; 2)49% ; 3)197% ; 4) 359 % .

314

1496. З а п и ш и у в ід с о тка х д е с я тко в і дроби: 1) 0 ,4 2 ; 2) 0 ,0 3 ; 3) 0 ,5 ; 4) 1 ,18; 5) 0 ,3 1 8 ; 6) 2 ,3 8 7 . і 197 З а п и ш и у в ід с о т ка х д е с я тко в і дроби: 1) 0 ,3 9 ; 2) 0 ,0 7 ; 3) 0 ,2 ; 4) 1,17; 5) 1,1 8 9 ; 6) 7,32.

Середній рівень

........ *

1498. З а п и ш и з в и ч а й н і дроби у в и гл я д і д е с я тко в и х , а п о т ім у в и гл я д і в ід с о т ків :

’ >§••

<>*

*>§=

«>§

1499 З а п и ш и з в и ч а й н і дроби у в и гл я д і д е с я тко в и х , а п о т ім у в и гл я д і в ід с о т ків : П І . 21 - L . V

3) Н . 20*

25’

50"

1500. З аповни табл и ц ю . Звичайний дріб Десятковий дріб Відсоток

1 20

3 4

1 25 0,02

0,25 20 %

100 %

1501. (У сн о ). З м олока ви хо д и ть 9 % с и р у. С к іл ь к и си р у м о ж н а о тр им ати з і 100 к г молока? 1502. У ш к іл ь н ій б іб л іо те ц і 800 к н и ж о к . С ер гій п р о читав за р ік одну соту ч а с тй н у в с іх ц и х к н и ж о к , а Ів а н — 1 % у с іх к н и ж о к ш к іл ь н о ї б іб л іо т е ки . П о р ів н я й к іл ь к іс т ь к н и ж о к , я к і п р о ч и та л и С ер гій та Ів а н . 1503. Б р и га д і д о р уч и л и від ре м он тува ти д іл я н к у до р о ги за в д о в ж ки 900 м. С к іл ь к и м етрів дороги б р и га да від рем онтує, я к щ о ви ко н а є 5 % завдання? 27 % завдання? 60 % завдання? 1504. С к іл ь к и в ід с о т к ів від 1 м становлять: 1) 1 см; 2) 5 см; 3) 1 дм; 4) 3 дм ; 5) 0 ,3 2 м ; 6) 1 м?

315

ї 505. С к іл ь к и в ід с о т к ів від 1 ц становлять: 1) 1 к г ; 2) 7 к г ; 3) 13 к г ; 4) 0 ,5 ц ; 5) 1 ц ; 6) 1,2 ц? 1506. Із ц у к р о в о ї тр о с ти н и о тр и м у ю ть 18 % ц у к р у . С к іл ь к и к іл о гр а м ів ц у к р у о тр им аю ть із 7000 к г тростини? 1507. П лощ а поля становить 400 га. П ш е н и ц е ю за сіял и 25 % поля, а ка ртопл е ю — 7 % . С к іл ь к и г е к та р ів поля за сіял и п ш е н и ц е ю і с к іл ь к и картоплею ? 1508. 5 -А і 5-Б кл а с и ви го то в и л и 200 я л и н к о в и х п р и кр а с . Із н и х 65 % ви го то ви в 5 -А кл а с. С к іл ь к и п р и кр а с ви го то ви в 5-Б клас? 1509. П етро та Орест разом м аю ть 200 м а р о к. З н и х 42 % м арок має Петро. С к іл ь к и м арок в Ореста? 1510. С к іл ь к и в ід с о т к ів п л о щ і в е л и ко го п р я м о к у т н и к а (рис. 260): 1) зафарбовано; 2) позначено п л ю са м и ; 3) позначено м ін у с а м и ; 4) позначено к р у ж е ч к а м и ?

о -

+ о +

о о о

+ +

+ о

о о +

о -

о + о о

о +

+ +

о +

о -

І +

+ +

о о -

Рис. 260 1511. Н а кр е сл и квадрат з і стороною 10 см і п о д іл и його на 100 р ів н и х к в а д р а т и к ів . З а ш т р и х у й на р и сунку: 1) 1 % ц и х к в а д р а т и к ів у с и н ій к о л ір ; 2) 5 % ц и х к в а д р а т и к ів у зелений к о л ір ; 3) 12 % ц и х к в а д р а т и к ів у ч е рвоний к о л ір .

316

fVJ 1512. З на йд и : 1) 2) 3) 4) 1513 1) 2) 3) 4)

10 20 35 65

% % % %

від від від від

120; 320; 1 м 20 см; 5 ц 30 к г ; 1020; 780; 4 гр н .; 5 к г .

З на йд и : 5 % від 80; 195; 30 % в ід 214 м; 5 к г ; 45 % від 5 гр н . 20 к о п .; 10 т; 90 % від 113; 320.

1514. П о л у н и ц і м іс тя ть у середньому 6 % ц у к р у . С к іл ь к и к іл о гр а м ів ц у к р у м іс ти ть с я у 15 к г п о л у ниць? 1515. Сплав м іс т и т ь 17 % ц и н к у . С к іл ь к и к іл о г р а м ів ц и н к у м іс ти ть с я в 180 к г сплаву? 1516. О г ір к и м іс тя ть у середньому 95 % води. С к іл ь к и к іл о гр а м ів води в 42 к г о гір к ів ? 1517. Т іл о л ю д и н и м іс ти ть п р и б л и зн о 64 % води. С к іл ь к и к іл о гр а м ів води у т іл і л ю д и н и , я к щ о її маса 45 к г? 1518. Д о в ж и н а п р я м о ку т н и к а 75 см, а ш и р и н а стано вить 80 % д о в ж и н и . Знайди пл ощ у п р я м о ку т н и ка . 1519. Т р и п ’ я т и х кл а с и зібрали разом 3600 к г м а к у л а тур и . П е р ш и й кл а с зібрав 32 % у с іє ї м а ку л а ту р и , д р у ги й — ЗО % . С к іл ь к и к іл о гр а м ів м а к у л а т у р и з і брав тр е тій клас? 1520. М а ш и н а мала подолати від стань 240 к м за З год. За п е р ш у го д и н у вона пр оїха ла 35 % ц іє ї в ід с та н і, а за д р у гу — 38 % ц іє ї в ід с та н і. С к іл ь к и к іл о м етрів пр оїха ла м а ш и н а за третю год ину? 1521. У к л а с і ЗО у ч н ів , 40 % з я к и х — х л о п ц і. К о го в к л а с і більш е: х л о п ц ів ч и дівчат? Н а с к іл ь к и ? 1522. П о їзд п р о їха в 160 к м . За п е р ш у го д и н у в ін п о долав 48 % ц іє ї в ід с та н і, а п о тім зу п и н и в с я . К о л и п о т я г п р оїха в б іл ь ш у від стань: до з у п и н к и ч и п ісл я ? Н а с к іл ь к и ?

317

1523. Д ано квадрат з і стороною 5 см. З найди 36 % п л о щ і цього квадрата.

Достатній рівень 1524. П ід час с у ш ін н я яб л ука втрачають 91 % своєї маси. С к іл ь к и с у х и х я б л у к одержимо з 250 к г с в іж и х ? 1525. П ід час с у ш ін н я ка р т о п л я втрачає 85 % своєї маси. С к іл ь к и с у х о ї к а р т о п л і отрим аєм о з і 120 к г с в іж о ї? 1526. П ло щ а в с іє ї поверхні З ем лі становить 510 100 тис. к м 2, с ухо д іл займає 29 % ц іє ї п л о щ і, а р е ш ту в к р и т о водою. Я к а площ а п о в е р х н і З ем лі в к р и т а водою? 1527. За планом то ка р мав в и го то в и ти 80 деталей за день, але в ін перевиконав пл ан на 5 % . С к іл ь к и де талей виго то ви в токар? 1528. Ф ерм ер розраховував збирати по 290 ц з 1 га. П роте у р о ж а й ви я ви вся б іл ь ш и м на 10 % . Я к и й у р о ж а й зібрав фермер з д іл я н к и 8 га? 1529. С обівартість д е я ко ї деталі становила 480 гр н . У н а с л ід о к уп р о в а д ж е н н я нової те х н о л о гії її собівар тіс т ь вдалося з н и з и т и на 5 % . Я к о ю стала собівар тіс т ь деталі? 1530. У с а д ку ростуть 150 дерев, з н и х 40 % я б л у н і, а в и ш н і становлять 75 % від к іл ь к о с т і яблунь. С к іл ь к и ви ш е нь росте в садку? 1531. Із 750 у ч н ів ш к о л и 6 0 % в ід в ід у ю т ь р із н і г у р т к и , з н и х 4 % — ш а х о в и й . С к іл ь к и у ч н ів в ід в ід у ю ть ш а хо в и й гу р то к? 1532. Т у р и с т планував подолати 80 к м за тр и д н і. За п е р ш и й день в ін подолав 35 % запланованої від ста н і, а за д р у ги й — 55 % р еш ти . С к іл ь к и к іл о м е т р ів треба подолати т у р и с т у за тр е тій день? 1533. З 5000 осіб дорослого населення селищ а 40 % п р а ц ю ю ть в р а й о н н ом у ц е н тр і, а 20 % ре ш ти — на п ід п р и є м ств а х селищ а. С к іл ь к и осіб працю є на п ід п р иєм ства х селищ а?

318

§f-t 1534. Б а н к ви п л ач ує 18 % р іч н и х . В к л а д н и к п о кл а в до б а н к у 5000 гр н . С к іл ь к и гр о ш е й буде в нього на р а х у н к у через р ік ? Через два р о ки ? 1535. Б а к має ф орму п р я м о ку т н о го паралелепіпеда, в и м ір и я к о го 15 дм, 20 дм і 10 дм. Водою заповнено 80 % йо го об’єм у. С к іл ь к и л іт р ів води в баці? 1536. П р о м ін ь , проведений з ве р ш и н и р о зго р н уто го к у т а , д іл и т ь його на два к у т и . О дин з к у т ів стано ви ть 55 % р о зго р н уто го к у т а . О бчисли гр а д усн і м ір и обох к у т ів . і 5;17. Д о в ж и н а д іл я н к и п р я м о к у т н о ї ф орми 450 м, а ш и р и н а становить 80 % д о в ж и н и . З к о ж н о г о ге к т а ра д іл я н к и зібрали по 40 ц п ш е н и ц і. С к іл ь к и ц е н т нерів п ш е н и ц і зібрали з у с іє ї д іл я н к и ?

Високий рівень 1538. Ч исло зб іл ь ш и л и на 100 % . У с к іл ь к и разів зб ільш и л ося число?

Вправи для повторення 1539. v 1) Я ке число треба додати до 5 ,1 8 , щоб о тр им ати 10? 2) Д о я к о го числа треба додати 3 2 ,4 7 , щоб отр им ати 59,16? 1540. О бчисли перим етр п р я м о к у т н и к а , я к щ о його ш и р и н а 4 ,2 дм, а д о в ж и н а на 1,5 дм більш а. 1541. , j У п е р ш и й м а га зи н завезли 325 к г овочів, у д р у ги й — 487 к г , а в тр е тій — 392 к г . С к іл ь к и к і л о гр а м ів овочів завезли в тр и м а газин и разом? Ре зультат о к р у г л и до д е с я тків . П о р ів н я й в ід п о в ід ь з р езультатом , я к и й дістанем о, я к щ о с п о ч а т ку о к р у гл и т и д а н і задачі до д е с я т к ів , а п о т ім ї ї р озв’я за ти .

319

4Шо Знаходження числа за його відсотком

М и вж е вм ієм о зн а хо д и ти в ід со то к від числа. Р о з глянем о задачу знаходження числа за його відсо

тком. <>;і іачн. У ч е н ь прочитав 120 с т о р ін о к , щ о стано ви ть ЗО % числа в с іх с т о р ін о к у к н и ж ц і. С к іл ь к и с т о р ін о к у к н и ж ц і? Розв’язання. 1-й спосіб. Знайдемо к іл ь к іс т ь с то р і н о к , я к а припадає на 1 % . Д л я цього треба 120 п о д іл и т и на ЗО. М аємо 120 : ЗО = 4. Щ о б д ізн а ти с я , с к іл ь к и с т о р ін о к у к н и ж ц і, треба п о м н о ж и т и 4 на 100 (о с к іл ь к и вся к н и ж к а становить 100 % ). О тж е, 4 • 100 = 4 0 0, у к н и ж ц і 400 с то р ін о к. 2-й спосіб. Ц е й сам ий результат м о ж н а було о тр и м ати п о -ін ш о м у : 30 % = 0 ,3 , я к щ о в и к о н а ти д іл е н н я 120 на 0 ,3 , то отрим аєм о 120 : 0 ,3 = 400 с то р ін о к. О тж е , ро зв’ я з у ю ч и п е р ш и м способом, м и зн а й ш л и , с к іл ь к и с т о р ін о к пр и п а д а є на 1 % , а п о т ім ц ю к іл ь к іс т ь п о м н о ж и л и на 100, а р озв’я з у ю ч и д р у ги м способом, в и р а зи л и в ід с о т о к д е с я тко в и м дробом і п о д іл и л и дане числ о на цей дріб. Я к знайти число за його відсотком?

Середній рівень

1542. З найди (усно) число: 1) 1 % я к о го д о р івн ю є 8; 2) 2 % я к о го д о р івн ю є 4; 3) 10 % я к о го дор івн ю є 350; 4) 20 % я к о го дор івн ю є 80. 1543. З найди число, я к щ о : 1) 24 % його д о р івн ю є 48; 2) 42 % його д о р івн ю є 63; 3) 3 ,8 % його до р івн ю є 2 8 ,5 ; 4) 100,2 % його дор івн ю є 3 7 0 ,7 4 ;

320

§ч з 5) 12,5 % його дор івн ю є 7,5; 6) 0 ,3 % його д о р івн ю є 0 ,2 7 . 1544 Знайди число: 1) 25 % я к о го д о р івн ю є 50; 2) 38 % я к о го д о р івн ю є 95; 3) 4 ,2 % я к о го дор івн ю є 3 1 ,5 ; 4) 107,4 % я к о го д о р івн ю є 3 7 5 ,9 ; 5) 2 4 ,5 % я к о го дор івн ю є 14,7; 6) 0,2 % я к о го д о р івн ю є 0 ,0 8 . 1545. С к іл ь к и гл я д а ч ів було в те а тр і, я к щ о 1 % у с іх гл я д а ч ів становить 9 осіб? 1546. М о т о ц и к л іс т за день п р о їха в д е я к у від ста нь. Ґр у н то в о ю дорогою в ін їха в 4 ,8 к м , щ о становить 1 % у с іє ї в ід ста н і. Я к у від стань п р о їха в м о т о ц и кл іс т за день? 1547. 8 % п о л я за сіян о го рохом . З найди п л о щ у всьо го по ля, я к щ о горохом засіяно 16,8 га. 1548. З п ш е н и ц і о д е р ж ую ть 80 % борош на. С к іл ь к и треба зм олоти п ш е н и ц і, щоб о тр и м а ти 400 к г борош на? 1549. М аса суш е н о ї к а р т о п л і становить 14 % маси с в іж о ї. С к іл ь к и треба взя ти с в іж о ї к а р т о п л і, щоб о тр им ати 91 к г суш еної? 1550. П іс л я п е р е го н ки наф ти о тр и м ую ть ЗО % гасу. С к іл ь к и необхідно перегнати наф ти, щоб о тр и м а ти 2 5 ,8 т гасу? 1551. Заасф альтувавш и 2 7 ,5 к м ш л я х у , р е м о н тн и к и в и ко н а л и 25 % п л а н у. С к іл ь к и кіл о м е т р ів ш л я х у треба заасф альтувати за планом? 1552. Руда м іс т и т ь 4 % м ід і. С к іл ь к и по тр іб но взяти р уд и , щоб о тр им ати 1 т 250 к г м ід і? 1553. Одна з і сто р ін т р и к у т н и к а дор івн ю є 9,6 см, щ о становить 80 % д р у го ї і 60 % третьої. Знайди п е р и метр т р и к у т н и к а . 1554. А в то м о б іл ь в и їха в з одного м іста в ін ш е . За п е р ш у го д и н у в ін п р о їха в 68 к м , або 40 % у с іє ї в ід ста н і м іж м іста м и . С к іл ь к и к іл о м е т р ів за л иш ил о ся п р о їха ти автомобілю ? 21 О. С. Істер“Математика". 5кл.

321

1555. П е т р и к пр очи та в 180 с т о р ін о к , щ о становить 60 % к н и ж к и . С к іл ь к и с т о р ін о к за л иш ил о ся п р о ч и та ти П е тр и ко в і? Ф

Достатній рівень

1556. За день р о б іт н и к виго то ви в 55 деталей, а це становить 110 % к іл ь к о с т і деталей, щ о в ін мав в и го то в и ти за планом . С к іл ь к и деталей треба було в и го то в и ти за планом ? Н а с к іл ь к и деталей р о б іт н и к пе р евиконав план? 1557. Ш и р и н а п р я м о к у т н и к а 8 ,4 см, щ о становить 80 % д о в ж и н и . З найди перим етр і п л о щ у п р я м о к у т ника. 1558. Висота п р я м о ку т н о го паралелепіпеда до р івн ю є 16 дм, щ о становить 80 % ш и р и н и і 50 % д о в ж и н и . З найди об’ єм цього п р я м о ку т н о го паралелепіпеда.

1559. П іс л я того я к було в и ко н а н о 74 % п л а н у, за л и ш и л о ся від ре м он тува ти 13 верстатів. С к іл ь к и вер ста тів по тр іб но було від ре м он тува ти за планом?

Розв’язання. 100 % — 74 % = 26 % . О тж е , 13 вер ста тів становить 26 % запл ан о ван и х для р е м о н ту ва нн я. Т о м у пл ан ува ли від ре м он тува ти 13 : 0 ,2 6 = = 50 верстатів. Відповідь : 50 верстатів. 1560. П ід час с у ш ін н я я б л у ка втрачаю ть 82 % своєї маси. С к іл ь к и треба взяти с в іж и х я б л у к , щоб одер ж а т и 90 к г суш е н их? 1561. В и тр а ти в ш и 35 % б ензи ну, щ о був у б а ку , ш о фер побачив, щ о в ньом у за л иш ил о ся 3 6,4 л бензи н у. С к іл ь к и л іт р ів бензину було в б а ку сп о ч а тку? С к іл ь к и л іт р ів ви тр а ти в шофер? 1562. К о м ір н и к видав м ал яру 16 % к іл ь к о с т і всієї фарби, я к а була на с кл а д і. П іс л я цього на с кл а д і за л и ш и л о ся ще 630 к г фарби. С к іл ь к и к іл о гр а м ів фар би було на с кл а д і та с к іл ь к и видали маляру?

fv * 1563. Ч о л о в ік и на п ід п р и є м с т в і становлять 75 % ус іє ї к іл ь к о с т і р о б іт н и к ів . Ж ін о к на п ід п р и є м с т в і 108. Н а с к іл ь к и ж ін о к менш е, н іж ч о л о в іків ? 1564. М а га зи н пр отяго м трьох д н ів продавав завезені о г ір к и . П ерш ого дня продали 35 % у с іх о г ір к ів , д р у гого — 38 % , а третього — р е ш ту 151,2 к г . С к іл ь к и к іл о гр а м ів о г ір к ів було завезено до м агазину? 1565. А в то м о б іл ь за п е р ш у го д и н у подолав 30 % н а м іче но го ш л я х у , за д р у гу — 32 % , а за третю — ре ш ту 9 1 ,2 к м . С к іл ь к и кіл о м е т р ів подолав автом обіль за тр и год ини? 1566. В ерш кове морозиво м іс т и ть 14 % ц у к р у . Н а виготовлення морозива в и тр а ти л и 49 к г ц у к р у . С к іл ь к и п о р ц ій морозива ви го то в и л и , я к щ о к о ж н а п о р ц ія в а ж и ть 100 г?

Є !

Високий рівень

1567. В о д н ій ш к о л і дівчата становлять 53 % у с іх у ч н ів . С к іл ь к и у ч н ів навчається у ц ій ш к о л і, я к щ о відомо, щ о х л о п ц ів на 51 менш е, н іж дівчат? 1568. У м а гази н завезли я б л у ка та сл иви, п р и ч о м у сливи становили 28 % завезених ф р у кт ів . Я б л у к було завезено на 88 к г б іл ьш е, н іж слив. С к іл ь к и всього к іл о гр а м ів я б л у к і слив було завезено до ма га зи ну? 1569. Серед п а р т ії ш о ко л а д о к, вироблених на фабри ц і В іл л і В о н к и , 99 % — в и с о ко ї я к о с т і, серед висо к о я к іс н и х — 60 % перш ого сорту. С к іл ь к и ш о ко л а д о к у п а р т ії, я к щ о ш о ко л а д о к перш ого сорту 1188? 1570. У П е тр и ка 140 м а р о к. К іл ь к іс т ь м а р о к В аси ля становить 65 % к іл ь к о с т і м а р о к П е т р и ка і 70 % к іл ь к о с т і м а р о к С е р гія . С к іл ь к и м а р о к у тр ьо х х л о п ц ів разом?

21*

323

ro^cLi' Вправи для повторення і

1571. 0 О бчисли: 1) 2 ,7 : 2; 2)4,71:0,3; 4) 3 ,5 : 0 ,4 ; 5) 0 ,1 9 : 0 ,0 9 5 ;

3) 3 : 1,2; 6) 16,92 : 4 ,2 3 .

1572. 0 Т у р и с т в и р у ш и в у п о х ід по р іч ц і на ч о в н і. Власна ш в и д к іс т ь човна 3 7,6 к м /г о д , а ш в и д к іс т ь т е ч ії р іч к и 1,8 к м /г о д . З найди ш в и д к іс т ь човна за те ч ією р іч к и та п р о ти те ч ії. 1573. С п о ч а тку обчисли п р иб л и зн о , о к р у гл и в ш и м н о ж н и к и до н а й в и щ о го розряд у, а п о т ім обчисли точно: 1) 9 2 5 - 3 8 ; 2) 2 5 7 9 - 6 1 0 ; 3) 13 152 - 2 7 ; 4) 21 519 397.

Середнє арифмети' Середнє значення велі У п о вся кд е н н о м у ж и т т і м и часто чуєм о слово «се р е д ній» . Н а п р и кл а д , м ож е й ти с я про середню ур о ж а й н іс т ь з 1 га с іл ьсь ко го сп о д а р сько ї к у л ь т у р и на д е я к ій д іл я н ц і, середню к іл ь к іс т ь опадів у д е я ко м у м іс я ц і по У к р а їн і, середню за р пла ту р о б іт н и к ів де я к о го п ід п р и єм ства , середню ш в и д к іс т ь автом обіля тощ о. Задача 1. Ф ерм ер вирощ ував на трьох д іл я н к а х (по 1 га к о ж н а ) п ш е н и ц ю тр ьо х сортів. З перш ого поля зібрали 3 4,3 ц, з д р уго го — 3 9,5 ц , а з третьо го — 3 4 ,8 ц п ш е н и ц і. С к іл ь к и ц е н тн е рів зерна з і брав фермер у середньому з 1 га? Розв’язання. Знайдемо с п о ч а т ку , с к іл ь к и ц е н т не рів п ш е н и ц і було зібрано з тр ьо х д іл я н о к разом. М аємо 3 4,3 + 3 9 ,5 + 3 4 ,8 = 108,6 ц. С ередній ур о ж а й з 1 га п о ка зу є , с к іл ь к и ц е н тн е рів зерна зібрано з к о ж н о го ге кта р а , я к щ о в в а ж а ти , щ о весь у р о ж а й розподілено м іж трьома д іл я н к а м и п о р ів н у . Д л я цьо го треба за га л ьн у к іл ь к іс т ь ц е н тн е рів п о д іл и ти на 3.

324

§чч Маемо 108,6 : 3 = 3 6 ,2 ц . О тж е , середній у р о ж а й з 1 га становить 3 6 ,2 ц.

Число, знайдене при діленні суми чисел на кількість доданків, називається середнім ариф метичним цих чисел.

Н а п р и кл а д , середнім ариф м етичним 3 ,7 ; 2 ,8 і 4 ,2 є число 3 ,3 , о с к іл ь к и

чисел

2 ,5 ;

(2 ,5 + 3,7 + 2,8 + 4 ,2 ) : 4 = 3 ,3 . Задача 2. П іш о х ід йш ов 2 год з і ш в и д к іс т ю 4,2 к м /г о д і 3 год з і ш в и д к іс т ю 4 ,7 к м /г о д . З я к о ю сталою ш в и д к іс т ю в ін мав іт и , щоб подолати т у саму від стань за той сам ий час?

Розв’язання. Знайдемо відстань, що пройш ов п іш о х ід : 4,2 ■2 + 4,7 • 3 = 22,5 к м . Розділим о це значення на ви ко р и ста ни й час: 22,5 : 5 = 4,5 к м /го д . О тже, п і ш о хід мав й ти з і сталою ш в и д кіс т ю 4,5 к м /го д . Т а к у ш в и д к іс т ь називаю ть середньою швидкістю руху. Ц ю саму від по в ід ь м о ж н а було б о д ерж ати, я к щ о зн а й ти середнє ариф метичне ш в и д ко сте й за к о ж н у го д и н у р у х у : (4 ,2 + 4,2 + 4 ,7 + 4 ,7 + 4 ,7 ) : 5 = 4,5 к м /г о д . О тж е,

Ш знайти середню швидкість руху, треба &- щоб весь пройдений шлях поділити на весь затра чений час.

А н а л о гіч н о м о ж н а зн а хо д и ти середнє значення де

якої величини. Залача 3. З найди середню тем пературу п о в ітр я о 7 год р а н к у за 5 д н ів , я к щ о вона п р о тя го м ц и х д н ів була 12°; 14°; 11°; 13°; 15°. Розв’язання. (12° + 14° + 11° + 13° + 15°) : 5 = 13°.

Я к знайти середнє арифметичне кіл ь ко х чисел? » Я к знайти середню ш видкість руху? я Я к знайти середнє значення деякої величини?

325

^^1

Початковий рівень

1574. Знайди (усно) середнє ариф метичне чисел: 1) 8 і 10; 2) 12 і 20; 3) 3; 4 і 5; 4) 100; 100 і 700; 5) 3; 4; 6; 7; 6) 1,5 і 2 ,7 . 1575. Т у р и с т за 5 год пр ой ш о в 22 к м . З найди серед ню ш в и д к іс т ь р у х у туриста. 1576. За 2 год м а ш ин а пр оїха ла 182 к м . З найди се редню ш в и д к іс т ь р у х у м а ш и н и . 1577. За 4 д н і м а газин продав 342,4 к г ц у к р у . С к іл ь к и в середньому ц у к р у продавав м а газин щ одня? 1578. За 6 д н ів с и н и і д о н ь ки царя П л а к с ія н а пл а к а л и 1596 л сл із. С к іл ь к и сл із в середньому с и н и і д о н ь ки в и п л а ку в а л и щ одня?

Середній рівень

■-

1579. З найди середнє ариф метичне чисел 1 і 7. Зо брази на числовом у п р ом е н і число 1, число 7 та їх н є середнє ариф метичне. Зроби в и с н о в ки . 1580. З найди середнє ариф метичне чисел 2 3 ,7 ; 2 4 ,1 ; 2 4 ,9 ; 2 5,2 і 2 6 ,1 . 1581. З найди середнє ариф метичне чисел: 1) 11 і 14; 2) 21; 27 і ЗО; 3) 2 9 ,2 ; 3 1 ,5 ; 4 2,3 і 4 1 ,8 ; 4) 1; 1; 2; 2 і 3. 1582. З в а ж у в а н н я м встановили масу чо ти р ьо х я щ и к ів з по м ід о р а м и: 2 7,5 к г ; 3 2,6 к г ; 2 8,4 к г і 2 9 ,7 к г . О бчисли середню масу одного я щ и к а . 1583. З р іст волейболістів, я к і гр а л и на м а й д а н ч и ку , т а к и й : 1,9 м; 1,87 м; 2,01 м; 2 м; 1,89 м і 1,85 м. З найди середній зр іс т ц и х волейболістів. 1584. З найди середнє ариф метичне чисел 4 3 ,4 9 7 ; 4 5 ,3 1 1 ; 4 4 ,1 1 5 ; 4 2,541 і о к р у г л и його до десятих. 1585. З найди середнє ариф метичне чисел 3,5 6 2 і 0 ,9 6 4 та о к р у гл и його до со ти х.

326

2,5 6 9 ;

1586. Д л я ви зн а чен н я то го , с ія л и ч о ти р и с о тн і н а с ін и н . 93 н а с ін и н и , з д р уго ї — 91, вертої — 92. В изн ач середню

я к зійде н а с ін н я , п о З п е р ш о ї с о тн і з ій ш л о з третьої — 89, із ч е т с х о ж іс т ь н а с ін н я .

1587. П р о б н и й вилов і зв а ж у в а н н я п ’я ти к о р о п ів п о ка за л и , що п е р ш и й мав масу 0 ,5 2 к г , д р у ги й — 0 ,6 5 к г , тр е тій — 0,6 к г , четвертий — 0,62 к г і п ’ я ти й — 0,55 к г . О бчисли середню масу коропа. 1588. С ума д е я к и х п ’ я ти чисел дор івн ю є 102. З н а й ди середнє ариф метичне ц и х чисел. 1589. С ума д е я к и х ч о тир ьо х чисел до р івн ю є 37,1. З найди середнє ариф метичне ц и х чисел. 1590. П іш о х ід за тр и го д и н и п р о й ш о в від по від н о 4,7 к м ; 4 ,9 к м і 4,2 к м . Я к а середня ш в и д к іс т ь п і ш охода за цей час? 1591. У ко м а н д і ш а х іс т ів трьом гр а в ц я м по 18 р о к ів , двом — по 26 р о к ів і двом — по 38 р о к ів . З найди се редній в ік гр а в ц ів ко м а н д и . 1592. К у п и л и поросят. Маса трьох поросят по 25 к г , двох — по 24 к г і ще тр ьо х — по 19 к г . З найди се редню масу к у п л е н и х поросят.

Достатній рівень 1593. Гр а ю чи в баскетбол, Ів а н здобув для ко м а н д и 11 о ч о к, С ер гій — 13 о ч о к, П етро — 9 о ч о к, К и р и ло — 15 о ч о к, а М и к о л а не в л у ч и в у к іл ь ц е ж о д н о го разу. С к іл ь к и о ч о к у середньому набирав один бас ке тб о л іст ц іє ї ко м а н д и ? О к р у гл и від по в ід ь до оди ниць. 1594. А в то м о б іл ь за 6 год пр оїха в 450 к м і за н а с т у п н і 4 год — 290 к м . Знайди середню ш в и д к іс т ь р у х у автом обіля. 1595. А в то м о б іл ь за п е р ш і дві го д и н и п р оїха в 120,5 к м , а п о тім за тр и го д и н и — 190,6 к м . С к іл ь к и к іл о м е т р ів у середньому в ін п р о їж д ж а в за одну годину?

327

ге£<Ки

1596. Т у р и с т 3 год йш ов п іш к и з і ш в и д к іс т ю 5 к м /г о д і 2 год — з і ш в и д к іс т ю 4 к м /г о д . З найди середню ш в и д к іс т ь тур и ста п р о тя го м усього часу руху. 1597. П о їзд йш о в 4 год з і ш в и д к іс т ю 80 к м /г о д і 6 год з і ш в и д к іс т ю 90 к м /г о д . З найди середню ш в и д к іс т ь поїзда п р о тя го м усього часу р у х у .

1598. П іш о х ід пройш ов с п о ч а тку 12 к м з і ш в и д кіс т ю 4 к м /г о д , а п о тім 10 к м з і ш в и д кіс т ю 5 к м /г о д . З н а й ди середню ш в и д кіс т ь п іш о ход а на всьому ш л я х у . 1599. Середнє ариф метичне числа х і числа 5,8 до р ів н ю є 7,2. З найди число х. 1600. Середнє ариф метичне чисел 7,8 і у дорівню є 6 ,2 . З найди число у. 1601. З поля площ ею 83 га зібрали у р о ж а й 9970 ц к а р т о п л і, а з поля площ ею 117 га — 14 030 ц к а р т о п л і. Знайди середню в р о ж а й н іс ть ка р т о п л і на ц и х п о л я х. 1602. Ч о т и р и поля м аю ть п л о щ у по 100 га к о ж н е . Н а пе рш о м у п о л і зібрали 3610 ц п ш е н и ц і, на д р у го м у — 3780 ц, на третьом у — 3545 ц і на четверто м у — 3565 ц. В и зн а ч у р о ж а й н іс т ь п ш е н и ц і на к о ж но м у п о л і та знайд и середню у р о ж а й н іс ть . 1603. П е р ш у го д и н у автобус їх а в з і ш в и д к іс т ю 52,3 к м /го д , наступні дві — з і ш в и д кіс тю 47,4 к м /го д , а д в і о ста н н і го д и н и — з і ш в и д к іс т ю 4 9 ,6 к м /г о д . З найди середню ш в и д к іс т ь р у х у автобуса. 1604. П е р ш у го д и н у велосипедист їх а в з і ш в и д к іс т ю 18,7 км /го д , наступні дві — з і ш вид кістю 17,5 км /го д , а тр и о ста н н і го д и н и — з і ш в и д к іс т ю 18 к м /г о д . З н а й ди середню ш в и д к іс т ь р у х у велосипедиста. 1605. Середнє ариф метичне трьох чисел дорівню є 4 2 ,7 . Два із ц и х чисел — 4 5,3 і 39,7. Знайди третє число.

328

§44 1606. З на йд и середнє ариф метичне тр ьо х чисел, з я к и х перш е 17,5, друге 2 0 ,3 , а третє д о р івн ю є серед ньом у ариф м етичном у двох п е р ш и х чисел. 1607. С ко р иставш и сь р и с у н ко м 261, з ’ я с у й , то в щ и н и д р іт. О к р у гл и до десяти х м іл ім е тр а .

1 2

якої

І1 ІІ1 ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІП ІІІІІІІІІІ1

У Рис. 261

Високий рівень 1608. Н а р и с у н к у 262 маємо АВ = Б С , де А (5 ,9 ), В (6 ,5 ). З найди ко о р д и н а ту т о ч к и С. Ч о м у дорівню є середнє ариф метичне ко о р д и н а т то ч о к А і С? Зроби в и сн о в ки . 5,9 6,5 ------------1----------------1----------------1 ------------

Рис. 262 1609. К у п и л и 4 к г ка р а м е л і та 3 к г ш о ко л а д н и х ц у к е р о к . Середня ц ін а к у п л е н и х ц у к е р о к — 3 4,5 гр н . за 1 к г . С к іл ь к и к о ш т у є 1 к г ка р а м е л і, я к щ о 1 к г ш о ко л а д н и х ц у к е р о к к о ш т у є 52,5 гр н .?

Розв’язання. О с к іл ь к и середня ц ін а 7 к г к у п л е н и х ц у к е р о к становить 3 4,5 гр н . за 1 к г , то всього в и тр а ти л и 7 • 3 4 ,5 = 24 1,5 гр н . За ш о ко л а д н і ц у к е р к и за п л а ти л и 3 • 5 2,5 = 157,5 гр н ., зн а ч и ть за к а р а м елі 24 1,5 - 157,5 = 84 гр н . Т о д і 1 к г ка р а м е л і к о ш тує 84 : 4 = 21 гр н . 1610. К у п и л и 2 к г печива одного виду та 4 к г печива ін ш о го виду по 16,2 гр н . за 1 к г . Середня ц ін а к у п леного печива становила 17,07 гр н . С к іл ь к и к о ш т у є 1 к г печива перш ого виду?

329

1611. П ерш у д іл я н к у п о тя г пройш ов за 2 год з і ш вид к іс т ю 72 к м /го д , а др угу — за 3 год. З я к о ю ш в и д кіс тю йш ов п о тя г на д р у гій д іл я н ц і, я к щ о його середня ш в и д кість на двох д іл я н ка х була 61,2 км /го д ? 1612. Середнє ариф метичне двох чисел, одне з я к и х у З рази більш е за ін ш е , дорівню є 56. Знайди ц і числа. 161 ’ Середнє ариф м етичне двох чисел, одне з я к и х на 4 ,2 б іл ьш е за ін ш е , ста н о ви ть 8 ,6 . З н а й д и ц і числа. 1614. У р о ж а й н іс т ь го р о х у на пе рш о м у п о л і п л о щ ею 3 0,8 га становить 16,8 ц з 1 га, на п о л і площ ею 4 2 ,7 га становить 16,5 ц з 1 га і на п о л і площ ею 42 га становить 17,6 ц з 1 га. З найди середню вро ж а й н іс т ь го р о х у на в с ій п л о щ і. 1615. Середнє ариф метичне трьох чисел дорівню є 2 ,7 , а середнє ариф метичне двох ін ш и х — 3 ,8 . З н а й ди середнє ариф метичне ц и х п ’ я ти чисел. 1 6 1 6 . ^ С ередній в ік ш ести лю дей, я к і перебували в к ім н а т і, — 13 р о к ів . К о л и з к ім н а т и в и й ш л а одна д ів ч и н к а , то середній в ік т и х , х то за л и ш и вся , стано вив 14 р о к ів . С к іл ь к и р о к ів д ів ч и н ц і, я к а в и й ш л а з к ім н а т и ?

Вправи для повторення 1617. Н а кр е с л и в ід р із о к з а в д о в ж ки 12 см . Зафар1 2 буй — цього в ід р із к а червоним о л ів ц е м , а — — си6 З н ім . 1618. © 1) П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х х дро би п р а в и л ь н і:

§чг 2) П р и я к и х н а ту р а л ь н и х зн а ч е н н я х у дроби не п р а в и л ь н і:

1619. С кіл ь к о м а способами збори з ЗО осіб мо ж у т ь вибрати голову зборів та секретаря?

Щ 4Ж-'. Задачі та приклади на всі дії з натуральними числами і десятковими дробами Початковий рівень 1620. З найди (усно): 1) 1,8 + З Д ; 2) 0 ,0 5 + 0 Д 8 ; 4) 100 0 ,1 5 ; 5) 57 ■ 0 ,1 ;

3) 4 , 2 - 1,2; 6) 0 ,7 3 : 0,1.

1621. З найди (усно): 1) 7,8 + 4 ,9 ; 4) 2 - 0 ,1 7 ;

3) 1 - 0, 6; 6) 4,2 : і0 ,7.

2) 3,7 + 2,51; 5) 0,0 0 1 * 29;

1622. О бчисли (усно): 1) 0 ,5 7 + 1 ,4 3 ; 2) 4,27 - 2,07; 4) 8 • 1,5; 5) 60 : 0 ,2 ;

3) 4,1 * 2 ,0 1 ; 6) 739 : 100.

1623. О бчисли (усно): 1) 8 ,3 2 • 10; 2) 117,3 ■ 100; 4) 3,71 • 0 ,1 ; 5) 4 ,9 2 ■0,01;

3) 1,85 ■ 1000; 6) 125,3 •0 ,0 0 1 .

1624. О бчисли (усно): 1) 32, 7 : 10; 2) 4 5 ,1 3 : 100; 4) 8,3 : 0 ,1 ; 5) 37,3 :0 ,0 1 ;

3) 2792 : 1000; 6) 13,24 : 0 ,0 0 1 .

1625. О бчисли: 1) 5 ,18 + 2 5 ,3 7 ; 3) 5,97 + 0 ,0 3 2 ; 5) 71,5 - 1 6 ,07; 1626 1) 3) 5)

2) 0 ,8 0 5 + 7,105; 4) 8,91 - 1,328; 6) 42 - 7,18.

О бчисли: 4 ,2 7 + 3 7 ,4 2 ; 2) 0,9 1 3 + 8 ,39; 4 ,1 3 + 0 ,9 0 2 7 ; 4 ) 4 , 1 7 - 0 , 1 2 7 ; 42, 7 - 17,08; 6) 78 - 14,53.

331

1627. О бчисли: 1) 42 • 0 ,1 3 ; 4) 15 : 4;

2) 3 ,6 • 2 ,5 ; 5) 72 : 2 ,2 5 ;

1628. О бчисли: 1) 38 0 ,2 5 ; 2) 4 ,8 • 3 ,5 ; 4) 18,3 : 2; 5) 53 ,5 5 : 4 ,2 5 ;

3) 7,05 ■ 800; 6) 15,3 : 17. 3) 4 ,0 7 • 900; 6) 4 0 6 ,6 : 19.

1629. З а п и ш и у в и гл я д і десяткового дробу: 1) 5 — ; 100

4 — ; 3) 17— ^— ; 10 1000

4) 1 . 10 000

1630. З а п и ш и у в и гл я д і зви ч а й н о го дробу або м іш а ного числа: 1) 2 ,3 ; 2) 4 ,0 7 ; 3) 0 ,2 3 ; 4) 10,073. 1631. П о р ів н я й : 1) 4 ,8 9 7 і 4 ,8 7 9 ; 3) 4 2 ,5 7 і 4 2 ,5 7 2 ;

2) 7,5 2 0 і 7,52; 4) 9 ,7 5 9 і 9 ,7 5 8 .

1632. П о р ів н я й : 1) 7,896 і 7 ,869; 3) 4 7 ,5 3 і 4 7 ,5 3 0 ;

2) 8,01 і 8 ,1 ; 4) 4 ,5 7 1 і 4 ,5 7 8 .

1633. О бчисли 2,5дс + 0 ,3 7 , я к щ о : 1) х = 1,6; 2) х = 3 ,4 . 1634. З найди середнє ариф метичне чисел: 1) 0 ,5 7 3 ; 1,96; 3 5 ,2 4 ; 2) 4 ,8 2 ; 8 9 ,5 9 ; 0 ,4 6 2 ; 9 ,368. 1635. З найди середнє ариф метичне чисел 2 0 ,76; 8 0 ,4 3 ; 9 0 ,2 4 . 1636. За 2,5 год п о т я г п р о їха в 195 к м . С к іл ь к и к іл о м етрів проїде п о т я г за 3,6 год, я к щ о р уха ти м еться з т іє ю самою ш в и д кіс т ю ? 1637. А в то м о б іл ь п р о тяго м t го д и н їх а в з і ш в и д к іс тю 85 к м /г о д . С кл ад и вираз для зн а х о д ж е н н я ш л я х у , пройденого автомобілем, і обчисли його, я к щ о t дор івн ю є 0 ,5 ; 0 ,8 ; 1,4; 3. 1638. Обчисли значення виразу 27,3 - а : Ь, я к щ о : 1) а = 3 3 ,5 ; Ь = 2 ,5 ; 2) а = 3 2 ,1 6 ; Ь = 13,4.

332

f v r 1639. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) 12,5 + х = 3 7 ,4 ; 3) у - 13 7,8 = 2 7 ,4 1 ;

2) у + 13,72 = 18,1; 4) 17 - х = 12,42.

1640. Р о зв ’я ж и р ів н я н н я : 1) 13,7 + а = 1 8 ,4 ; 3) Ь - 142,3 = 1 5 ,73;

2) х + 13,42 = 18,9; 4) 14 - у = 12,142.

1641. П о р ів н я й ве л и ч и н и : 1) 0 ,4 м і 4 дм; 3) 0 ,0 7 м і 7 см;

2) 0,2 дм і 20 см; 4) 0 ,0 3 к м і 300 м.

1042 П о р ів н я й в е л и ч и н и : 1) 0,2 т і 2 д ; 3) 0 ,8 т і 785 к г ;

2) 0,3 ц і 31 к г ; 4) 0 ,0 8 к г і 80 г.

1643. Ш в и д к іс т ь теплохода у стоячій воді дорівню є 25,4 к м /го д , а ш в и д кіс т ь т е ч ії р іч к и — 1,8 к м /го д . С к іл ь к и кіл о м е т р ів п р охо д ить те п л о хід : 1) за 1,5 год за те ч іє ю р іч к и ; 2) за 2 ,4 год п р о ти те ч ії р іч к и ? 1644. К атер рухався с п о ч а тку 1,6 год озером з і ш в и д к іс т ю 2 5,5 к м /г о д , а п о т ім 0 ,8 год р іч к о ю п р о ти т е ч ії. Ш в и д к іс т ь т е ч ії дор івн ю є 1,7 к м /г о д . Я к у від стань подолав катер? 1645. З на йд и значення виразу: 1 ) 1 5 - ( 2 , 7 + 4 ,2 ); 2) ( 5 , 7 - 2 , 3 ) : 4; 3) (5 ,4 7 - 4 ,2 5 ) - 10; 4) (4 ,4 7 + 2 ,7 ) : 10; 5) (1 3 ,4 2 - 4 ,1 5 ) • (1 2 ,3 - 0 ,3 ); 6) (2 ,1 7 + 4 ,4 5 ) : (1 2 ,6 - 12,5). I6 4 f 1) 2) 3) 4)

З найди зн а ч е нн я виразу: (2 ,4 3 + 4 , 1 5 ) - 1 , 7 ; (1 2 ,4 9 - 3 ,5 7 ) : 0 ,4 ; (4 ,1 7 - 3 , 8 ) (10,1 - 8 , 1 ) ; (1 5 ,7 + 1 4,9) : (2,91 - 1,21).

1647. Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 12,5х - 45; 2) у - 4,8 = 6 0 ,6 ; 3) х : 4 ,7 = 1 2 ,3 ; 4) 1 2 ,7 : у = 0 ,0 1 .

333

1648. Р озв’я ж и р ів н я н н я : 1) 3 ,7 у = 7,77; 2) * • 3 ,4 8 = 8 ,7 ; 3) у : 5,4 = 1 3 ,5 ; 4) 52,54 : л; = 3 ,7 . 1649. С клад и вираз: від сум и чисел а і 4 2 ,3 в ід н я ти р із н и ц ю чисел 15,7 і Ь. О бчисли значення виразу, я к щ о а = 3 ,7 ; b = 2,3. 1650. З 360 у ч н ів ш к о л и 40 % брали участь у к р о с і. С к іл ь к и у ч н ів брало участь у кр о с і? 1651. З найди значення виразу: 1) (120,21 - 3 7 ,5 9 ) : 34 + 5 ,43 • 19; 2) (8 ,5 7 + 9,5 8 5 : 4 ,5 ) • 3 ,8 - 4 2 ,7 : 4. 1652. З найди значення виразу: 1) (5 ,0 2 - 3 ,8 9 ) • 29 + 0 ,2 7 : 18; 2) (3 2 ,5 2 6 : 3 ,9 + 2 ,2 6 ) • 5,4 - 4 7,2 • 0 ,5 . 1653. Н а с к іл ь к и сума чисел 19,4 і 4 ,7 2 б іл ьш а за р із н и ц ю ц и х са м и х чисел? 1654. З найди сум у 2 5,3 дм + 13,7 см + 15 мм у сан ти м е тр а х. 1655. 32 у ч н і зібрали 152 к г п о л ун и ц ь і 33,6 к г ма л и н и . С к іл ь к и всього кіл о гр а м ів я гід зібрав к о ж н и й учень, я к щ о вони зібрали я гід к о ж н о го виду порівну? 1656. З поля площ ею 420 га планувалося зібрати по 35 ц зерна з к о ж н о го ге кта р а , але зібрали 1785 т зерна. Н а с к іл ь к и ц е н тн е рів у р о ж а й з 1 га в и щ и й , н іж було заплановано? 1657. З найди п л о щ у п о в е р хн і куб а з ребром 1,5 см. 1658. З найди п л о щ у та перим етр квадрата з і сторо ною 4 ,7 дм. 1659. З а п и ш и в п о р я д ку спадання дроби: 0 ,3 7 2 ; 0 ,4 2 3 ; 0 ,2 7 9 ; 0 ,5 1 ; 0 ,4 3 1 ; 0 ,3 0 7 .

0 ,2 7 ;

1660. З а п и ш и в п о р я д ку зростання дроби: 4 ,2 3 ; 4 ,3 2 ; 4 ,2 2 2 ; 4 3 ,2 ; 4 ,2 3 2 ; 4 ,3 2 3 . 1661. М о т у з к у за в д о в ж ки

15,3 м розр іза л и на тр и

ч а сти н и . Одна з н и х становить — м о т у з к и , друга

334

f v г довш а за п е р ш у на 1,8 м. З найди д о в ж и н у к о ж н о ї ч а сти н и . 1662. Я х та

«Біда»

за

дні

регати

подолала 4 23 4,9 к м . За п е р ш и й день я х та подолала — ц іє ї в ід с та н і, а за д р у ги й — на 8 ,3 к м менш е, н іж за пер ш и й . С к іл ь к и к іл о м е т р ів я х та «Біда» долала к о ж н о го дня? 1663. А в то м о б іл ь п р оїхав 471 к м . П е р ш і 205 к м в ін їха в з і ш в и д к іс т ю 82 к м /г о д , а р е ш ту — з і ш в и д к іс т ю 76 к м /г о д . За я к и й час автом обіль подолав весь ш л я х? 1664. П ерим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а дорівню є 15,4 см. З н а йд и його основу, я к щ о б іч н а сторона т р и к у т н и к а д о р івн ю є 5,3 см. 1665. З найди перим етр рівнобедреного т р и к у т н и к а , основа я к о г о д о р івн ю є 4 ,2 дм, а б ічн а сторона в 1,5 раза б іл ьш а за основу. 1666. О бчисли: 1) (8 8 ,5 7 + 6 6 ,8 7 ) : 29 - 0 ,2 7 • 18; 2) 2 0,8 : (12 - 1 1 ,3 6 ) - 8 : 12,5 + 4 ,7 • 5,2. 1667 О бчисли: 1) (1 ,3 7 + 4 ,8 6 ) • 17 - 55 6,8 9 : 19; 2) (3,81 + 5 9 ,4 2 7 : 9 ,3 ) • 7,6 - 10,2 • 4 ,7 . 1668. Н а с к іл ь к и сума чисел 8,1 і 7,2 біл ьш а за їх н ю ч а стку? 1669. Н а с к іл ь к и р із н и ц я чисел 3 ,7 і 2,5 м енш а від їх н ь о го до б утку? 1670. З найди значення виразу а • 2,5 - b , я к щ о а = = 3 ,6 ; Ь = 1,117. 1671. М іж я к и м и с у с ід н ім и н а тур а л ь н и м и числ а м и розм іщ ено дріб: 1) 4 - ;

2) 6 — ;

3) 1 ,1 9 3 7;

4) 101,102?

335

1672. О к р у гл и до: 1) о д и н и ц ь : 2 5 ,1 7 ; 3 7 ,8 9 ; 2) десятих: 3 7 ,8 9 3 ; 4 2 ,0 1 2 ; 3) со ти х: 1 0 8,112; 2 1 3 ,9 9 5 . 1673. О к р у гл и до: 1) о д и ни ц ь: 2 5 ,3 7 2 ; 3 7 ,5 1 ; 2) десятих: 1 3,185; 14,002; 3) со ти х: 1 5,894; 17,377. 1674. Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , в з я в ш и за о д и н и ч н и й в ід р із о к 10 к л іт и н о к . П о зн ач на ньом у т о ч к и А (0 ,7 ), В (1 ,3 ), С (1), D( 0 ,2 ), £ (1 ,9 ). 1675. Н а кр е сл и ко о р д и н а тн и й п р о м ін ь , в зя в ш и за о д и н и ч н и й в ід р із о к 10 к л іт и н о к . П о зн ач на ньом у т о ч к и М (0 ,6 ), N (1 ,4 ), К( 0 ,3 ), 1 (2 ), Р (1 ,8 ). 1676. Б іл и й ведмідь в а ж и ть 720 к г , а маса бурого становить 40 % маси б іл ого ведмедя. О бчисли масу бурого ведмедя. 1677. С прости вираз 2 ,7 * - 0 ,0 5 х + 0 ,7 5 * та знайд и його зн а че ння, я к щ о х = 2 ,7 . 1678. Основа

рівнобедреного

тр икутн и ка

дор івн ю є 3 10,8 см, а д о в ж и н а б іч н о ї сторони становить — дов4 ж и н и основи. З найди перим етр т р и к у т н и к а . 1679. С прости вираз та обчисли його значення: 1) 2 ,7а • 2, я к щ о а = 3 ,5 ; 2) 3,2х • 5і/, я к щ о л: = 0 ,1 ; у = 1,7. 1680. З найди об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда, в и м ір и я к о го д о р івн ю ю ть : 1) 1,2 см, 5 см, 1,8 см; 2) 1,2 дм, 3 см, 23 мм. 1681. В ир а зи в то н н а х і за п и ш и у в и гл я д і д е ся тко во го дробу: 1) 7314 к г ; 2) 2 т 511 к г ; 3) 3 ц 12 к г ; 4) 18 к г . 1682. В ир а зи в метрах і за п и ш и у в и гл я д і де сятко во го дробу: 1) 527 см; 2) 12 дм; 3) 3 м 5 дм; 4) 5 м 4 см.

§Ч Г Достатній рівень

'..'Г Ж Ш Ш П Н Н Н

1683. В и к о н а й д іл е н н я , одерж ану ч а с т к у о к р у гл и : 1) 110 : 57 до о д и н и ц ь ; 3) 15,2 : 0 ,7 до с о ти х ;

2) 18 : 7 до д е сяти х; 4) 14 : 5,1 до т и с я ч н и х .

1684. В и к о н а й д іл е н н я , оде р ж а ну ч а с т к у о к р у гл и : 1) 120 : 37 до д е сяти х;

2) 5,2 : 0 ,1 7 до со тих.

1685. Завод працю вав 15 д н ів і в и п у с ка в щ одня в се редньому по 4 5,4 т м ін е р а л ь н и х добрив. У с і добри ва за в а н та ж и л и у 25 з а л із н и ч н и х ва го н ів п о р ів н у . С к іл ь к и добрив за в а н та ж и л и в к о ж н и й вагон? 1686. Сума двох д о в ж и н т р и к у т н и к а дор івн ю є 15 см, а д о в ж и н а третьої сторони становить 80 % ц іє ї сум и . З найди перим етр т р и к у т н и к а . 1687. Одна з і сто р ін п р я м о к у т н и к а дор івн ю є 14,4 см, а д о в ж и н а д р у го ї становить 75 % перш ої. З найди п л о щ у та перим етр цього п р я м о к у т н и к а . 1688. П ерим етр т р и к у т н и к а д о р івн ю є 36 см. Д о в ж и ................. 2 на о д н ієї з і сто р ін становить — перим етра, а д о в ж и н а 9 д р у го ї — 40 % периметра. З найди сторони т р и к у т ника. 1689. Д о в ж и н а п р я м о ку т н о го паралелепіпеда дорівЗ д о в ж и н и , а висота — ню є 1« 16 дм, ш и р и н а становить — 8 70 % ш и р и н и . З н а йд и об’ єм п р я м о ку т н о го паралеле піпеда. 1690. Знайди сум у тр ьо х чисел, перш е з я к и х до р ів н ю є 4 ,2 7 , а к о ж н е н а ступне в 10 р азів більш е за попереднє. 1691. Висота п р я м о ку т н о го паралелепіпеда дор івн ю є 2 16 см, щ о становить — д о в ж и н и і 40 % ш и р и н и . З З найди об’ єм п р я м о ку т н о го паралелепіпеда. 22

О. С. Істер “Математика**. 5 кл.

337

1692. Одна сторона п р я м о к у т н и к а д о р івн ю є 8 ,5 см, а др уга становить 60 % п ерш ої. З найди перим етр та площ у п р ям о кутни ка. 1693. Один з р о б іт н и к ів виготовив 96 деталей за 6 год, а ін ш и й — 45 деталей за 2,5 год. За с к іл ь к и го дин вони виготовлять 119 деталей, п р а ц ю ю ч и разом? 1694. Щ о в и гід н іш е к у п и т и ?

25,5 грн. 1695. Щ о в и гід н іш е к у п и т и ?

28,75 грн.

15 грн.

12,5 грн.

9,28 грн.

6,5 грн.

9 грн.

Ѳ,2 грн.

1696. С кл ад и задачі за схем ам и і розв’ я ж и їх . 1)

24,5 ? 2

5 від усього

338

2) ?

? 7

3) 4,8 3 8 від усього

3 4 від усього

§чг 1697. С кл а д и задачі за схем ам и і р о з в 'я ж и їх . 1)

? І 1 9 від усього

111,6

? II 4 9 від усього

? III

? 7,47 І II 2 5 від усього

1698. Н а с к іл ь к и зб іл ь ш и ть с я об’ єм ку б а , я к щ о його ребро зб іл ь ш и ти з 2,5 см до 3,5 см? 1699. С клад и числ о вий вираз і знайд и його значення: 2 1 1) р із н и ц я сум чисел 2,72 і 3 ,82 та 1— і 1—; З З 2) до б уто к р із н и ц і чисел 18,93 і 9 ,83 та числа 10. 1700. Із селищ а А в селищ е В одночасно в и їх а л и два велосипедисти з і ш в и д ко с тя м и 15,6 к м /г о д та 18,4 к м /г о д . Через 3,5 год один з велосипедистів прибув до селищ а В. С к іл ь к и ще кіл о м е т р ів має п р о їх а т и ін ш и й велосипедист? 1701. З одного м іста одночасно в п р о т и л е ж н и х на п р я м а х в и їх а л и два автом об ілі. Ш в и д к іс т ь одного з н и х — 76 к м /г о д , що становить 95 % ш в и д к о с т і і н ш о го. Через с к іл ь к и го д и н від стань м іж а вто м об іля м и буде 390 км ? 1702. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 1 ,1 7 * + 0 , 3 2 х = 3 ,7 2 5 ; 2) 4 ,7 * - 1 ,2 х = 4 ,3 4 ; 3) 2 ,4 7 х - 1 ,3 2 * + 1,3 = 4 ,2 2 1 ; 4) 1 ,4 х + 2,7х - 8,1 1 3 = 2,342. 1703. Р о зв’я ж и р ів н я н н я : 1) 4 ,1 3 * - 0 ,1 7 л: = 9 ,9 ; 2) 5 ,3 х + 4 ,8 х - 5,13 = 4 3 ,3 5 . 1704. Р о зго р н ути й к у т р о зд іл и л и п р ом е ням и на тр и к у т и . П е р ш и й становить — розгорнутого, а д р у ги й — 9 22*

339

гефоіи,

— перш ого. З найди гр а д у с н і м ір и тр ьо х утв о р е н и х 5 к у т ів . 1705. С кл ад и задачі за схем ам и та р озв’ я ж и їх : 1) І

13,7 ? 32% від усього

2) ?

11,4 25% від усього

І 15,75

II ? 37% від усього

1706. С кл ад и задачі за схем ам и та ро зв’я ж и їх : 1)

32,1

2) II

? ? 30% від усього

47% від усього

17,78

1707. Р озв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 2,7(х - 4 ,7 ) = 9 ,4 5 ;

2) (4 ,7 + х) : 3,8 = 10,5;

3) 2,4 + (х : 3 - 5) = 0 ,8 ; 4) 2 ,45 : (2х - 1,4) = 3 ,5 . 1708. Р о зв’ я ж и р ів н я н н я : 1) 21 : (4х + 1,6) = 2 ,5 ; 2) 3,7 - ( jc : 2 + 1,5) = 0 ,8 . 1709. З 2,5 м м ід н о го дроту, маса 1 м я к о г о 1,2 к г , та ш м а т к а л а тун н о го дроту, д о в ж и н а я к о го у 8 ра зів б іл ьш а за м ід н и й , а маса 1 м становить 0 ,2 к г , ви го то в и л и к у л ю . С к іл ь к и сплаву за л и ш и ть с я , я к щ о маса к у л і 6,4 к г? 1710. К у п и л и 2 ,5 к г печива за ц ін о ю 13,6 гр н . за к і лограм та ц у к е р о к 1,6 к г , ц ін а я к и х за один к іл о грам у 1,5 раза б іл ьш а за ц ін у одного к іл о гр а м а пе чива. Я к у здачу м аю ть отр им ати з і 100 гр н .? 1711. З аповни к л іт и н к и п р а в и л ь н і п р и кл а д и :

340

циф рам и, щоб утв ор и л ися

§ч г 1)

З.П 42П 7 2 . 3 UD5 4

15.3D D 5 7.Г43П

□ ,8 7 5 3D

Ц8372

1712. З а по вни к л іт и н к и т а к и м и циф рам и, рилися п р а в и л ь н і п р и кл а д и : 1)

1 0 ,3 7 8 0 23, 4 9 U 5,3Li01

щоб у тв о

2) _ 1 3 , 4 5 П П “ ,2 П 8 9 8,ІЛ473

1713. Ч исл о 5,2 є середнім ариф м етичним чисел 3,2 і х. З найди х.

2 ,1 ;

1714. З найди середнє ариф метичне ч о ти р ь о х чисел, перш е з я к и х дор івн ю є 3 ,6 , а к о ж н е н а ступне на 0,2 більш е за попереднє. 1715. З одного м іста в ін ш е в одном у н а п р я м і одно часно в и р уш и л о двоє м о т о ц и к л іс т ів з і ш в и д ко с тя м и 72,4 к м /г о д і 6 7 ,8 к м /г о д . Через я к и й час відстань м іж м о то ц и кл іс та м и буде 11,5 км ? 1716. Ц ін а д е я ко го товару 120 гр н . С к іл ь к и к о ш т у ватиме цей товар, я к щ о ц ін у : 1) зб іл ь ш и т и на 15 % ; 2) зм е н ш и ти на 10 % ; 3) с п о ч а т ку зб іл ь ш и т и на 5 % , а п о тім н о ву ц ін у зм е н ш и ти на 20 % ? 1717. З найди числа, я к и х не вистачає в л а н ц ю ж к у обчислень:

1718. Автом обіль проїхав за п е рш і д ві години 170,4 к м , а за н а с ту п н у — 0 ,4 5 ц іє ї в ід с та н і. З найди середню ш в и д к іс т ь автом обіля. 1719. П о т я г п р о їха в за п е р ш і тр и го д и н и 21 0,5 к м , а за н а с т у п н і д в і — 0 ,6 ц іє ї в ід с та н і. З найди середню ш в и д к іс т ь п о тя га .

341

rtfiUA, !

1720. Сторона рівн о сто ро н н ього т р и к у т н и к а д о р ів ню є 11,2 см. З найди сторону квадрата, перим етр я к о го до р івню є перим етру т р и к у т н и к а . В и зн а ч п л о щ у цього квадрата. 1721. З найди за ш тр и х о в а н у ч а с ти н у к р у га : 1)

27,4

3,17

1722. З найди су м у трьох чисел, перш е з я к и х дорів3 нює 3 7 ,6 , друге становить — п ерш ого, а третє є се4 реднім ариф м етичним п е р ш и х двох. 1723. Човен пр ой ш о в за 6 год п р оти т е ч ії р іч к и 231 к м . Я к и й ш л я х в ін пройде за те ч ією р іч к и за 4 год, я к щ о ш в и д к іс т ь т е ч ії становить 1,4 к м /го д ? 1724 З двох п у н к т ів , від стань м іж я к и м и 8 ,5 к м , у п р о т и л е ж н и х н а п р я м а х , в ід д а л я ю ч и с ь о д и н в ід од н о го , одночасно в и й ш л о двоє п іш о х о д ів . Ш в и д 0 к іс т ь одного з н и х 4,2 к м /г о д , щ о становить — ш в и д к о с т і д р уго го . Я к а відстань буде м іж через 2,5 год?

п іш о х о д а м и

1725. А в то м о б іл ь р уха вся 4 год зі ш в и д к іс т ю 8 2 ,5 к м /г о д і 6 год з і ш в и д к іс т ю 8 3 ,7 к м /г о д . З н а й ди середню ш в и д к іс т ь автом обіля на всьому ш л я х у .

Високий рівень 1726. К ар л со н і М а л ю к разом з ’їл и 3 ,6 к г варення, п р и ч о м у К а р л со н з ’їв у 3 рази більш е, н іж М а л ю к. С к іл ь к и варення з ’їв К арл сон і с к іл ь к и М а л ю к? 1727. В а н та ж масою 4 ,8 т р о зм іс ти л и на двох ван т а ж н и х а вто м об ілях, п р и ч о м у на п е р ш и й наванта ж и л и на 0 ,6 т більш е, н іж на д р у ги й . С к іл ь к и то н н в а н та ж у на к о ж н о м у автом обілі?

342

§чг 1728. Р о б іт н и к и , п р а ц ю ю ч и втрьо х, за 7 год вигото_ З ви л и 1001 деталь. П р и ч о м у п е р ш и и виго то ви в — 5 у с іх деталей, а д р у ги й — — у с іх деталей. С к іл ь к и 13 деталей за го д и н у ви го то вл я в тр е тій р о б ітн и к? 1729. В ід д е яко го числа в ід н я л и його 10 % і о тр и м а ли 4 8 ,6 . З найди це число. 1730. До д е я ко го числа додали його 20 % і отрим али 74,4. З найди це число. 1 7 31 . З н а й д и р із н и ц я 3 ,1 .

два ч и с л а ,

якщ о

їх н я

сум а

4, 7,

1732. Сума двох чисел дорівню є 2 7 ,2 . З найди ц і ч и с ла, я к щ о одне з н и х у т р и ч і більш е за ін ш е . 1733. М о т у з к у з а в д о в ж ки 10,6 м р о зр іза л и на тр и ча сти н и . З найди їх н і д о в ж и н и , я к щ о третя частина на 0 ,4 м б іл ь ш а я к за пе рш у, т а к і за д р угу, 1734. Власна ш в и д к іс т ь катера в 13 разів б іл ь ш а за ш в и д к іс т ь те ч ії. Р у х а ю ч и с ь за те ч іє ю 2,5 год, катер подолав 63 к м . З найди власну ш в и д к іс т ь катера і ш в и д кіс т ь те ч ії. 1735 3 двох с т а н ц ій , від стань м іж я к и м и д орівню є 385 к м , в и р у ш и л и одночасно н а зу с тр іч один одному два п о т я ги і зу с тр іл и с я через 2,5 год. З найди ш в и д к о с т і п о т я гів , я к щ о відом о, щ о ш в и д к іс т ь одного з н и х у 1,2 раза біл ьш а за ш в и д к іс т ь ін ш о го . 1736. Сума д о в ж и н и і ш и р и н и п р я м о к у т н и к а д о р ів ню є 9 ,6 см, п р и ч о м у ш и р и н а становить 60 % д о в ж и н и . З найди п л о щ у і перим етр п р я м о к у т н и к а . 1737 Д о в ж и н а о д н іє ї сторони т р и к у т н и к а становить 2 З — перим етра, а д о в ж и н а ін ш о ї сторони — — п е ри м е т ра. З найди д о в ж и н и ц и х с то р ін , я к щ о третя сторона д орівню є 10,4 см.

343

1738. ^ У че н ь прочитав с п о ч а т ку 0 ,2 5 у с іє ї к н и ж к и , а п о тім ще 0 ,4 р е ш ти , п іс л я чого ви я ви л о ся , що учень прочитав на 30 с т о р ін о к більш е, н іж й о м у за л и ш и л о ся п р о ч и та ти . С к іл ь к и с т о р ін о к у к н и ж ц і? Знайди значення б у к в g, h, т, п, k, /, я к щ о : n - k = 1 ,7 1 ; Л + га=2,13; А + / = 10,44; т 0,9=1,17; £-Л =0,79.

1739. ^

g : п = 1,8;

1740. ^ У тр ьо х я щ и к а х разом 62 ,8 8 к г товару. У пе рш о м у я щ и к у товару в 1,4 раза б іл ьш е, н іж у д р уго м у, а в третьом у — с т іл ь к и товару, с к іл ь к и його в пе рш о м у та д р у го м у разом. С к іл ь к и к іл о г р а м ів товару в к о ж н о м у я щ и к у ? 0 6 ? Вправи для повторення 1741. 0

1) В и ко н а й д ії: +

5 452 319

7 352 419

3 452 317

8 311 152

2) В и к о н а й д ії: 1 452 317

10 311 153

7 452 318

9 352 421

3) П о р ів н я й числа, по зн а ч е н і ф ігур а м и : а) 1742.

б)

в)

1) В и к о н а й д ії: X

4211

273

5317

6002

2) В и к о н а й д ії:

344

76 072

58 386

48 359

$ ч г 3) П о р ів н я й числа, по зн а ч е н і ф ігур а м и : а)О

■0

1Д

;

1743. Н а ц и х р и с у н к а х ге о м е тр и ч н і тіл а складено з п р я м о к у т н и х паралелепіпедів. З найди їх об’ єм и. Об’ єм и к о ж н о ї із ча стин тіл а д о п о м о ж у ть пр о ч и та ти ім ’ я В е л и ко го к н я з я К и їв с ь ко го . 4 см

72 60 270 20

150 64

12 ЗО 60 80 18

1744. ф Н а к р е с л и на а р к у ш і паперу в к л іт и н к у п р я м о к у т н и к з і сторонам и 2 см і 1,5 см. Д о п о в н и його до т а к о ї ф ігу р и , щоб площ а п р я м о к у т н и к а становила ЗО % п л о щ і утвореної ф ігу р и .

Домашня самостійна робота № 9 1. 0

З а п и ш и у в ід с о тка х д е ся тко ви й дріб 0 ,7 . А ) 0 ,7 % ;

Б) 7 % ;

В) 70 % ;

Г) 700 % .

345

2. 0

З найди середнє ариф метичне чисел 1,8 і 2,6. А ) 1,8;

3. 0

Б) 2;

В) 2 ,6 ;

Г) 2,2.

З а п и ш и у в и гл я д і десяткового дробу м іш а н е

3 число 1Q 13------. 100 А ) 3 ,1 3 ;

Б) 13,3;

В) 13,003;

Г) 13,03.

4. І З П іс л я п е р е го н ки наф ти о тр и м у ю ть ЗО % гасу. С к іл ь к и гасу о тр и м у ю ть з 18 т нафти? А ) 6 т;

Б ) 5,4 т;

В) 54 т;

Г) 0 ,6 т.

5. І З 3 м олока ви хо д и ть 9 % сир у. С к іл ь к и було взято м о л о ка, я к щ о си р у о трим ал и 36 к г? А ) 400 к г ;

Б ) 40 к г ;

В) 324 к г ;

Г) 300 к г .

6. І З У к о м а н д і баскетбол істів двом гр а вц я м по 19 р о к ів , двом — по 21 р о к у , а одном у гр а вце ві — 26 р о к ів . Я к и й середній в ік гр а в ц ів ц іє ї ком анди? A ) 19 р о к ів ; B) 2 1,2 р о к у ;

Б) 21 р ік ; Г) 21,4 р о ку .

7. І З П ід час с у ш ін н я гри би втрачаю ть 89 % своєї маси. С к іл ь к и с у х и х гр и б ів одержим о з 60 к г с в іж и х ? А ) 5 3,4 к г ; Б ) 6,6 к г ;

В) 6 к г ;

Г) 5 ,34 к г .

8. І З К о л и учень прочитав ЗО % к н и ж к и , то п о м і ти в , що й о м у за л иш ил о ся п р о ч и та ти ще 105 с т о р і н о к . С к іл ь к и с т о р ін о к у к н и з і? А ) 350 с.;

Б ) 250 с.;

В) 150 с .;

Г) 160 с.

9. І З Один з операторів к о м п ’ ю терного набору н а брав 45 с т о р ін о к те кс ту за 6 го д и н , а ін ш и й — 26 с т о р ін о к те к с т у за 4 го д и н и . За с к іл ь к и го д и н , п р а ц ю ю ч и разом, вони наберуть 35 с то р ін о к? А ) 2 год;

Б) 2,5 год; В) 3 год;

Г) 3,5 год.

1 0 .1 ? У ш у х л я д і знаходяться б іл і і ч о р н і к у л ь к и , п р и ч о м у б іл і становлять 30 % у с іх к у л ь о к . С к іл ь к и в ш у х л я д і к у л ь о к усього, я к щ о ч о р н и х к у л ь о к на 32 б іл ьш е, н іж б іл и х? А ) 80;

Б) 70;

В) 56;

Г) 180.

§чг 11. 0 Середнє ариф метичне двох чисел, одне з я к и х у 4 рази більш е за ін ш е , д о р івн ю є 6. З н а й д іть менш е з ц и х двох чисел. А ) 1,5;

Б) 2,4;

В) 2,5;

Г) 9,6.

12. ^ Ц ін а де яко го товару 150 гр н . С к іл ь к и к о ш т у ватиме цей товар, я к щ о с п о ч а т ку ц ін у товару зб іл ь ш и т и на 10 % , а п о тім нову ц ін у зм е н ш и ти на 15 % ? A ) 142,5 гр н .; B) 155 гр н .;

Б) 157,5 гр н .; Г) 140,25 грн.

Завдання для п е р е в ір ки знань № 9 (§ 4 2 -§ 4 5 } 1.

З а п и ш и у в и гл я д і десяткового дробу: 1)15% ;

2. 0

2)3%.

З а п и ш и у в ід с о тка х д е ся тко ви й дріб:

1)0,45;

2)1,37.

В и к о н а й д ії: 1)3,7+13,42; 2)15,8-13,12; 3) 4,2 • 2 ,0 5 ; 4) 8 ,64 : 2 ,4 . 4. ^ 3 3 1200 у ч н ів , щ о навчаю ться в ш к о л і, 65 % брали участь у с п а р т а кіа д і. С к іл ь к и у ч н ів брали участь у с п а р та кіа д і? 5. ф С ер гій к у п и в к н и ж к у 40 % гр о ш е й , я к і в нього було в С ергія?

за 8 гр н ., щ о становить були. С к іл ь к и гри вень

6. 5 3 З найди середнє ариф метичне чисел 4 8 ,5 ; 5 8,2; 4 6 ,8 ; 4 2 ,2 . 7. Р о б іт н и к ви го то ви в 320 деталей. За п е р ш у го д и н у — 35 % у с іх деталей, за д р у гу — 40 % , а за третю — р е ш ту. С к іл ь к и деталей виго то ви в р о б іт н и к за третю год ину? 8. А втом обіль їха в 2 год з і ш в и д кіс т ю 66,7 к м /г о д і 3 год з і ш в и д к іс т ю 72,8 к м /г о д . З найди його серед н ю ш в и д к іс т ь на всьом у ш л я х у .

347

9. Т у р и с т пр ой ш о в за тр и д н і 56 к м . За п е р ш и й день в ін п р ой ш о в ЗО % усього м а р ш р у ту , щ о стано ви ть 80 % в ід с та н і, пройденої тур и стом за д р у ги й день. С к іл ь к и к іл о м е т р ів п р ой ш о в ту р и с т за тр е тій день? 10. ^ Д о д а тко ве за вд а н ня . Д о в ж и н а п р я м о ку т н о го паралелепіпеда дор івн ю є 8 ,5 см, щ о в 2,5 раза б іл ь ше за ш и р и н у і на 5,1 см більш е за висоту. З найди об’єм цього п р я м о ку т н о го паралелепіпеда. 11* С Д о д а тко ве завд ання. Середнє ариф метичне двох чисел дор івн ю є 12,4, а середнє ариф метичне восьми ін ш и х чисел — 10,7. З найди середнє ариф ме ти чне ц и х десяти чисел.

Для тих, хто любить математику 1. П о їзд м етро с кл а д а єть с я з п ’ я т и в а го н ів . С е р гій і П е тр о д о м о в и л и сь їх а т и в д р у го м у в а го н і. Я к с та л о ся, щ о во ни їх а л и в р із н и х ва го н а х? Олена й М а р ія дом овлялися їх а т и в третьом у в а го н і. Ч и обов’ я зко в о вони їх а т и м у т ь в одному вагоні? 2. У к р у г и в п и ш и н а тур ал ьн і числа від 20 до 25 т а к , щоб сума чисел на в сіх сторонах була однакова. 3. З найди зр у ч н и м способом сум у: 1) 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100; 2) 5 + 10 + 15 + ... + 95 + 100. 4. Сума двох чисел дор івн ю є 541. Одне із чисел з а к ін ч у є т ь с я циф рою 2. Я к щ о в цьом у ч и с л і за кр е сл и ти останню циф ру, то одерж им о друге число. З н а йд и ц і числа. 5. З найди н а йб іл ьш е трициф рове число, я к е пр и д і л е н н і на 17 дає остачу 3. 6. В и ко р и с то в у ю ч и з н а к и д ій (а в р а зі потреби і д у ж к и ) , за п и ш и числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 і 10 за допом огою чо ти р ьо х д в ій о к . 7. С ума п ’ я ти н а ту р а л ь н и х чисел дор івн ю є 42. Д ове ди , щ о хоча б одне із ц и х чисел більш е за 8.

348

и л х -ljC

ю льо- u jo

u a

*< 4'

8. 1) С кл а д и з 10 с ір н и к ів тр и ква д р а ти . 2) С кл а д и з 19 с ір н и к ів ш іс т ь ква д р а тів, 9. Н а я к е одноциф рове число треба п о м н о ж и т и 12 345 6 7 9, щоб у р е зул ьта ті о тр им ати нове число, складене з о д н а ко в и х цифр? 10. Н а а р к у ш і паперу позначено 8 т о ч о к, н ія к і тр и з я к и х не л е ж а ть на о д н ій п р я м ій . Через к о ж н і дві т о ч к и проведено п р я м у . С к іл ь к и всього т а к и х п р я м и х проведено? 11. У п ід р у ч н и к у 280 с т о р ін о к . С к іл ь к и р а зів в и к о р иста л и к о ж н у ц иф ру для н у м е р а ц ії с т о р ін о к ц іє ї к н и ж к и , я к щ о вр а хув а ти , щ о на п е р ш ій та д р у г ій с т о р ін к а х номери не проставлено? 12. Розшифруй запис додавання (замість КНИГА однакових букв постав однакові цифри, заКНИГА м іс іь р ізн и х букв — р із н і цифри). + КНИГА 13. У к о л і сидять Ів а н е н ко , П е тр е н ко , ----------------М а р че н ко та К а р п е н ко . ї х н і ім ена: А н а НАУКА т о л ій , С е р гій , Тарас і О л е кс ій . В ідом о, щ о: 1) Ів а н е н ко грає в ш а х и кр а щ е від О л е кс ія , але бігає гір ш е за А н а т о л ія ; 2) С е р гій сид ить м іж М а р ч е н ко м і Тарасом; 3) К а р п е н ко із С ергієм вчаться в р із н и х кл а с а х , а з О лексієм в одном у; 4) П е тр енко сидить м іж К а р п е н ко м і А н а то л ієм . Я к звати Ів а н е н ка , П е тренка, М арченка та К арпенка? 14. М аса бідона, заповненого м о л о ком , дор івн ю є 36 к г . М аса бідона, заповненого м о л о ком на по л о ви н у , дор івн ю є 18,75 к г . Я к а маса п о р о ж н ь о го бідона? 15. С к іл ь к и т р и к у т н и к ів і с к іл ь к и ч о т и р и к у т н и к ів зо браж ено на р и с у н к у ? 16. М іс я ц ь л ю т и й у 2008 р о ц і мав 29 д н ів . С к іл ь к и д н ів матим е м іс я ц ь л ю т и й у 2018, 2036, 2047, 2896 р о ка х? 17. Ребро ку б а д о р івн ю є 4 см. Г р а н і ку б а поф арбува л и в зелений к о л ір , а п о т ім к у б розр іза л и на о д н а ко в і к у б и к и з д о в ж и н о ю ребра 1 см. С к іл ь к и к у б и к ів м аю ть:

349

1) тр и зелені гр а н і; 2) д в і зелені гр а н і; 3) одну зелену гр а н ь; 4) ж о д н о ї зеленої гр а н і? 18. Т р и ю наки, ш в и д к іс т ь к о ж н о го з яких 5 к м /г о д , м аю ть у своєму р о зп о р я д ж е н н і д в о м існ и й м о то ц и кл , ш в и д к іс т ь я к о го 50 к м /г о д . Ч и зм о ж у ть вони за 3 год д іста ти ся з одного м іста в ін ш е , в ід стань м іж я к и м и 60 км ? 19. До деякого числа додали 10 % його, а п о тім в ід н я ли 10 % сум и і отрим али 1980. Знайди це число. 20. Б а ть ко в і 37 р о к ів , с и н у — 15, а д о н ь ц і — 12 ро к ів . Через с к іл ь к и р о к ів : 1) в ік д о н ь к и буде д о р івн ю в а ти р із н и ц і р о к ів батька та сина; 2) в ік батька буде на 2 р о к и м е н ш и й від сум и ро к ів сина та д о н ьки?

„ 2011 . 2012

21. П о р ів н я й 1

-------2012

-------- , 2013

с п о ч а т ку

п о р ів н я в ш и

2012 1 2 0 1 3 ' 22. У п р и кл а д а х витерто к о м и . Розстав їх у п о тр іб н и х м іс ц я х : 1) 1782 + 25 = 2032; 2) 27 - 25 = 245; 3) 371 + 35 = 3871; 4) 392 - 292 = 1. 23. Д о б уто к чисел 7,5229 і 13,492 дор івн ю є а. З н а й ди д о б утки чисел: 1) 75,229 і 1 ,3 4 9 2; 2) 7 52,29 і 1 34,92; 3) 0 ,0 7 5 2 2 9 і 13 492; 4) 0 ,7 5 2 2 9 і 0 ,1 3 4 9 2 . 24. Н а с к іл ь к и в ід с о т ків зб іл ь ш и ть с я площ а к в а д рата, я к щ о к о ж н у його сторону зб іл ь ш и т и на 10 % ? 25. М аємо 9 од н а кових на вигляд к у л ь о к . Одна з н и х має масу б іл ь ш у, н іж решта 8. Я к за 2 зв а ж ува н н я на терезах без в а ж к ів зн а й ти н а й в а ж ч у к у л ь к у ? 26. Я к за допом огою 5 -л ітр о во го бідона і 3 -л ітр о во ї б а н ки набрати точно 4 л води? 27. М е х а н іч н и й го д и н н и к за добу п о спіш а є на 2 х в и л и н и . Й ого на л аш тува л и точно. Через я к и й час го д и н н и к зн о ву п о ка ж е т о ч н и й час? 28. У яком усь м іся ц і три неділі припали на парні числа. Я к и м днем т и ж н я було 24-те число цього місяця?

350

ВІДПОВІДІ ДО ВПРАВ Р озділ 1 29. 6. 35. Л еся У к р а їн к а . 36. 47. 37. 19. 38. 150 к м . 39. 2 год. 40. Н а 2600 гр н . 41. 750 пар. 43. 56 деталей і 84 деталі. 59. 317. 63. 1) на 2475; 2) у 10 р а зів. 67. 1) 1273; 1277; 1281; 2) 3280; 3279; 3282. 68. 1) 1753; 1751; 1749; 2) 9833; 9834; 9832. 69. 219. 70. 36. 71. V + IV = I X або V I + IV = X . 74. 333 • 3 + 3 : 3 = 1000. 88. 1) 4 < b < 17; 2) 8 < d < 32; 3) 7 < с < 13; 4) 10 < х < 12. 93. 9 1 * * * > * 0 2 * * . 97. 1) 9231; 2) 5231. 102. 247; 274; 4 2 7; 4 7 2; 724; 742. 103. 17 < 48 - 12 - 18 < 24 або 17 < 48 : 12 + 18 < 24. 107. З д н і. 123. 42 858 к г . 124. 5 гр н . 20 к о п . 126. 1 999 997. 127. 9125. 129. 2) 139 + Ь; 3) 11 000 + т; 4) 3400 + п. 130. 1) 210 + х ; 2) 3870 + у. 131. 160 + у, 480. 132. 37 777. 133. 92 мм. 142. 2664. 165. 1) 24 к м /го д ; 2) 38 к м /г о д . 166. 8 к м /г о д . 169. 1 м 13 см. 170. 6 гр н . 90 к о п . 171. П е р ш и й ви ка ч а в 24 л, д р у ги й - 48 л, тр е тій - 43 л. 172. Н а п е р ш ій п о л и ц і 42 к н и ж к и , на д р у г ій - 37, на тр е тій - 39. 173. 499 039. 174. т - (60 + Ь); 80 к г . 175. З б іл ь ш ил ася на 5 у ч н ів . 178. 2) у + 227; 3) 32 - т; 4) 118 - k. 179. 1) 25 + а ; 2) Ь + 115; 3) 29 - х ; 4) 105 - у. 180. 1) 0; 2) 5. 187. 65. 207. Л е о н ід К а д е н ю к. 208. 1) 23 506; 2) 7 861 600. 209. 1) 485 480; 2) 832 191. 213. 86 400. 214. 43 200. 215. 54 к м . 216. 96 к м . 217. 328 к м . 218. 15 гр н . 20 к о п . 219. 2032 к г . 220. 1) 1; 2) 0; 3) 1. 221. 1) а - будья ке число; 2) 0; 3) 0 або 1; 4) 5; 5) 0; 6) а - будья ке число. 223. Т а к , н а п р и кл а д , 0 ■ 7 = 0; 0 < 7. 225. 862. 237. Ю О х; 3700. 238. 126 ab; 63 000. 239. 1) 5 0 0 х; 13 500; 2) lOOpfc; 226 000. 243. 1) 10а; 120; 2) 306; ЗО 030; 3) 5 х ; 1070; 4) 3 т + 9; 435. 244. 1) 20 т; 4 2 20 ; 2) 24а; 960; 3) З х; 420; 4) 10 + 10а; 120. 248. 25 ху\ 26 000. 249. 4 ab\

351

1700 к г . 254. 8. 272. 1) 53; 2) 216; 3) 151; 4) 16 129. 273. 1) 84; 2) 13; 3) 16; 4) 27. 2 7 4. 1) 11; 2) 15; 3) 5; 7. 275. 1) 14; 2) 6. 276. Н а 126. 277. На 540. 280. 1) 3 і ; 2) З2; 3) З4; 4) З5. 281. 1) 2 і ; 2) 23; 3) 24; 4) 26. 202. 1) 5; 2) 4; 3) 1; 4) 9. 295. 20 с. 296. 712 к м . 297. 105 к м /г о д . 298. 9 гр н . 299. 15 я щ и к ів . 300. 1600 к г ; 1900 к г . 3 0 1. 1170 к г ; 1430 к г . 3 0 3. 74 к м /г о д . 304. 64 к м /г о д . 305. За 12 год. 306. ЗО га. 307. За 4 д н і. 308. За 6 хв. 311. М и х а й л о Г р у ш е в с ь ки й . 343. 1) х = а + Ь; 2) х = т - р. 348. 70а + 806; 530 к м . 350. (х + у) : 2; 11 ц у к е р о к . 357. 1800 ІЗ О *; 6 гр н . ЗО к о п . 358. (t - 15) : 3; 6 хв. 3 8 1. 1) 47; 2) 19; 3) 29. 382. 1) 11; 2) 78. 384. 1) 8974; 2) 12 303. 385. 1) 290; 2) 10 494. 386. 1) 1145; 2) 1887; 3) 18 633; 4) 333; 5) 9 7 1; 6) 475. 387. 1) 1508; 2) 2144; 3)15 561; 4) 4 7 92 ; 5) 272; 6) 1991. 388. 1) 4 3 03 ; 2) 3974. 389. 1) 94 989; 2) 18 907. 390. 1) 6; 2) 24. 391. 1) 4; 2) 278; 3) 40; 4) 15; 5) 27; 6) 72. 392. 1) 5; 2) 47; 3) 10; 4) 1078. 393. 1) 155; 2) 45 л. 394. 20 м. 395. 1) 6; 2) 5;3) 49; 4) 1 396. 1) 5; 2) 5. 397. 1) 3; 2) ЗО; 3) 6; 4) 325. 398. 1) 7; 2) 6. 399. 1) 0; 2) 94. 400. 12. 4 0 1. 1) * + + г = 5000; 2) х + z > 1395; х - у < 12. 40 2. 60 с.; ЗО с. 403. 200. 404. 1) * = 51; 2) х = 47. 4 0 5. Н а 450 к м . 4 0 6. 7592 = 975 + 257 + + 6360. 407. 1) 3930 + 3980 = 7910; 2) 26 4 2 = 69 696. 429. З год. 430. З год. 432. 60 к о п . 433. З гр н . 30 к о п . 43 5. 88 к м . 4 3 6. 1) 5 год; 2) 6 год. 4 3 7. 7 год. 43 8. З год. 439. 1) 110 к м ; 2) 11 год; 3) 2 год; 4) 42 к м /г о д . 440. 14 к м /г о д . 441. Через 8 хв. 442. 72 к м /г о д . 4 4 3. Т = 2т + 15; 45 гр н . 4 4 4. 2а + + 36; 1058 виробів. 4 4 5. За 3 год. 446. За 4 год. 448. 93 к м /г о д або 77 к м /г о д . 449. 255 к м . 4 5 1. 20. 4 5 3. 26 с т о р ін о к . 454. 39 і 156. 455. 13. 456. 1 гр н . 57 к о п . 4 5 7. 1) * = 21; 2) х = 23; 3) х = 8. 4 5 8. 39; 36. 4 5 9. ЗО л і 23 л. 460. 72 в а р е н и ки ; 78 в а р е н и ків ; 83 в а р е н и ки . 461. 300 к г ; 600 к г ; 520 к г . 462. Б л о к-

352

нот - 2 гр н . 25 к о п ; зо ш и т - 1 гр н . 50 к о п , р у ч к а 4 гр н . 50 к о п . 465. 1) 8; 2) 6. 472. 8. 473. 6. 474. 16. 475. 24. 4 7 6 . 120. 4 7 7 . 24. 478. 8. 479. 9. 480. 1) 3; 2) 4. 4 8 1 . 9. 487. 216. 488. 8. 4 8 9 . 625. 490. 1) 25; 2) 20. 4 9 2. 756. 493. 56. 4 9 4. 60. 4 9 5. 13. 496. 10. 501. 36. 504. 177 147. 505. 48. 506. 48. 507. 1) 10 ООО; 2) 5040. 508. 15 120. 510. 28. 511. 66. 513. 756. 515. 10. 516. 7. 520. 3 гр н . 60 к о п . 521. 1) К о р ін ь ; 2) число. 525. У 3 рази, 526. Н а 29 к м /г о д . 529. 1 гр н . 40 к о п . 530. 32 к г . 531. 60 к г ; 45 к г . 532. 1350 з о ш и т ів ; 1250 зо ш и т ів . 533. За 35 х в . 534. (830 — а) : 30; 24 к г . 536. За 10 д н ів . 537. За 7 д н ів . 538. 1) 3318; 2) 168 130; 3) 19 626; 4) 1 789 000. 539. 1) 7450; 2) 259 212; 3) 85 9 3 3 ; 4) 197 000. 540. 472 к г ; 503 к г ; 531 к г . 541. Н і. 543. 9 деталей за го д и н у ; 864 деталі; 504 деталі. 545. 1) 0; 2) 1. 546. 1) 0; 2) 0. 547. 3. 548. 9. 549. 1) 6; 2) 4. 550. (За + 26) : 4; 46 к м /г о д . 566. 42 см. 567. 32 см. 568. АС = 22 см; СВ = 41 см. 569. PQ = 17 см; М Р = 21 см; M N = = 61 см. 570. CD - 14 см. 572. ВС = 9 см; АВ = 36 см. 573. 8 см. 574. К М = 5 к м ; M N = 10 к м ; NL = 5 к м ; K N = 15 к м ; M L = 15 к м . 577. 8 к г . 601. 79 см або 5 см. 602. 6 к м або 20 к м . 605. 16. 623. 5. 624. 100. 628. 12 см. 629. 5 м м . 636. 540 к м . 637. 72 см 2. 658. 1), 5) р о зго р н у ті; 2) го с тр и й ; 3) п р я м и й ; 4), 6) т у п і. 6 6 0. 1) 3 год; 2) 15 х в; 3) 15 с. 661. 1) 6 год; 2) ЗО х в ; 3) ЗО с. 6 9 1 . 2) 60°; 3) 9 0 а; 4) 150°; 5) 120°; 6) 60°. 6 9 6 . ZM O K = 29°. 697. ZNOK = 60°. 700. 140°. 7 0 1 . 34°. 703. 112°. 704. 121°. 705. Z M O K = 35°; ZKON = 105°. 70 6. ZAOB = 40°; ZBOC =80°. 708. 40° і 50°. 709. 136°. 713. 1) 115 • 98 = 11 270, або 120 • 98 = 11 760; 2) 408 : 24 = 17. 7 3 1 . 80°. 7 3 2 . 140°. 733. 1) 70°; 2) 75°. 735. 1) 26 дм; 2) 11 см. 736. 12 см. 737. ЗО - 2а; 8 см. 738. (Р - 16) : 2; 12 см. 739. 25 см. 740. 40 см. 743. 10 см; 12 см; 13 см. 744. 10 см; 20 см; 18 см. 745. 9 см; 23

О. С. Істер “Математика’*, 5 кл.

353

1 18 см; 18 см. 746. 21 см. 7 4 7. 1), 3) н і; 2) т а к . 748. 1), 2) н і; 3) т а к . 751. 1800 г р н .; 2100 гр н . 7 5 9. (100 - 26) : 2; 28 м. 7 6 0 . 11 дм. 7 6 1 . 1) т а к ; 2) н і. 762. 1) 9 см і 12 см; 2) 7 см і 14 см. 7 6 3. 9 дм і 11 дм. 764. Н і, не м о ж н а . 7 6 5. 4 см. 7 6 6. Через 3 год. 779. ВС = 5 см; АС = 4 см; Z M = 40°. 7 8 0. M L = 8 см ; Z A = 50°; ZB = 20°. 7 8 1. 8 см і 12 см. 782. Т а к ; 12 см. 807. 480. 808. 760 см 2. 809. 160 см 2. 8 1 0. 144 см 2. 8 1 1. 2116 см 2. 8 1 3. 96 см 2; 171 см 2. 814. 1) 17; 2) 9; 3) 15; 4) 270. 8 1 5. 1) 503; 2) 18; 3) 213; 4) 200. 816. 200. 8 1 7. 36 а; 72 а. 818. 9750 к г . 8 1 9. 1) 5 дм; 2) 6 см; 3) 10 мм. 820. 16 см. 8 2 1. Н і. 822. Д о в ж и н а д р уго го п р я м о к у т н и к а - 32 см; сторона квадрата 8 см. 8 2 3. 875 м 2. 824. 300 д м 2. 825. З б іл ь ш и ться на 40 см 2. 826. 25 ц /г а . 827. 84 см 2. 829. 38 см 2; 33 см 2. 8 3 0. 54 м або 36 м. 8 3 1. а = 12 см; 6 = 1 7 см; с = 13 см. 8 3 2. 208 к м ; 400 к м . 8 3 3 . 1) а = 157; 6 = 587; с = 886; d = 1144; 2) а = 102; 6 = 203; с = 232; d = 816. 8 4 9. 1) 136 д м 2; 2) 340 см 2. 8 5 0. 1) 8 см 2; 2) 28 см 2. 8 5 1. 5 дм. 853. 548 см 2. 8 5 4. 2016. 855. 28. 856. 9 дм. 8 5 7. 220 см; 1800 см 2. 8 5 8. L = 4 (а + 6 + с). 859. 28 800 см 2 = 288 д м 2. 8 6 0. 5600 см 2 = 56 дм 2. 8 6 1. 1) Т а к , основою є 1 0 0 0 -к у т н и к ; 2) н і. 8 6 2. 1) н і; 2) т а к , основою є 1 2 5 -к у т н и к . 863. 8 см. 864. У 4 рази. 865. 786 г. 8 6 6. 3168 см 2. 867. 7 го д и н . 869. О 18 го д и н і. 8 7 0. 16 л ; 32 л . 871. 40 - (а + 15) = 25 - а. 887. 1728 см 3. 888. 120 ц . 889. У 64 рази. 8 9 0. У 27 р а зів . 891. 30 м 2. 892. 1) 65 см 2; 2) 130 д м 2. 8 9 3. 4 м. 894. 4 м; 20 м 2; 54 м 2. 895. 2 м 2; 6 м 3. 8 9 6. 120. 897. 1250 см3; 1750 см3. 8 9 8. 2880 см 3; 896 см 3. 8 9 9. 1) 8115; 2) 15 018; 3) 15 0 0 8; 4) 17 002; 5) 5 112 217; 6) 8 005 012. 900. 1) 7129; 2) 17 008; 3) 25 0 1 2; 4) 8 115 002. 901. 1360 л. 9 0 2. 30 т. 9 0 3. Д р у ги й резервуар м іс т и т ь на 2425 л більш е. 904. 4 дм. 905. 21. 906. З см; площ а п о в е р х н і пара лелепіпеда на 24 см 2 б іл ь ш а за п л о щ у п о в е р х н і куба.

354

907. 125 см 3. 908. У 8 разів. 910. 172 д м 3; 860 д м 3. 9 1 1. 7680 г. 912. Н а 2 д н і. 913. Н а 13. 914. 235 к м . 9 1 5. 1) 12; 2) 630. 9 1 6 . Н а 65 м. 9 1 7. 3000 г. Р озділ 2 946. 45. 947. 55 к м . 948. 180 м 2. 949. 160 к г . 950. 21 600 см 3. 9 5 1. 84. 952. 60 л. 953. У О л і на 7 н а кл е й о к більш е. 954. 65 к м . 955. 126 см; 980 см 2. 9 5 6. 3700 см 2. 9 5 7. 46. 9 5 8. 72. 961. 1) 144 дм 2; 2) зм енш илася на 7 см 2; 3) зб іл ь ш и л а ся на 24 м 2. 3 9 962. 2 0 Ь - т; 350 м 2. 970. — м / х в . 971. — м.

135

400

116

972-« Т; 2) І5:3) и ■973' !>Т ;2) іш: 3) » ■ 974. 1) 40; 2) 11; 3) 37; 4) 10. 975. 1) 63; 2) 5; 3) 84; 48 120 444 4) 8. 976. 1) 2) — ; 3) — . 977. 46 га; 69 га; 23 га. 978. 81 см 3; 126 см 2. 998. За 10 д н ів . 1018. 84 д н і. 1019. 20 т. 1020. Н а 10 деталей. 1021. 22 к м . 1023. 1; 2. 1024. 1; 2. 1027. 1) 6; 7; 2) 9; 10; 11; 12; 3) 7; 8; 9. 1030. а) 18 см 2; б) 16 см 2. 1050. 1; 2; 3. 1051. 7. 1052. 4. 1054. 4 ^ к м /г о д . 5 16 20 1055. 3 - хв. 1056. Н і. 1057. Т а к . 1060. 1) — ; 2) — 1061. 1) 7; 8 або 9; 2) 8 або 76;

77;

78;

79.

1078.

1 25 1080. 1) 1— ; 2) — 1У

9. 1077. 1) 27; 28; 2) 75; 27 6 71. 1079. 1) — ; 2) — .

оУ

1081. 1) 22; 2) 12; 3) 2; 4) 5.

14 1082. — . 1084. 39 к м . 1085. Н а 160 к г . 1086. 180 1 J7 3 дерев; 120 дерев. 1087. 57 к м . 1088. Н а — м. 8 1 0 8 9 - 13 23*

+ 13“ 13 +

13 = L 109° - Н і ' 60 31 + 31 +

355

7 +

М + И = 5 1 = ХЙ - 1 1 0 8 '11 Ї Г 2) Ї Г 3 > 9 ’ 3 9 9 9 1 - . 1109. 2 — кг. 1110. 2 7 — га. 1111.

2| ;

4 Ї 6 ; 4) ° - 1 1 1 2 1} 1 2 3 5 ; 2) ї І 7 5 5 15 6 6 1113. 1) 9 — ; 2) 2 у ; 3) 1 - ; 4) 4 “ ; 5) — ; 6) 3 ~

10 1 4 4 1 1114. 1) 6 — ; 2) 7— ; 3) 10— ; 4) 4 — . 1115. 3 - л; 3 4 3 — л; 3 g л. 1116.

2 1 5 6 2 ~ к м . 1117. 5 ~ м. 1118. 7~ м

1122. 6 гр н . 75 к о п . 1160. 1) 0 ,1 2 ; 2) 0 ,0 0 1 3 ; 3) 0 ,0 3 4) 0 ,2 7 ; 5) 0 ,0 1 7 ; 6) 0 ,4 3 7 . 1161. 1) 0 ,0 7 ; 2) 0 ,1 4 2 7 3) 0 ,9 3 ; 4) 0 ,0 2 ; 5) 0 ,8 2 3 ; 6) 0 ,0 1 4 . 1166. 1) 48 см 2) 729 дм 2; 3) 9 м. 1187. 1) 2; 3; 2) 40; 41; 42; 43 1196. 1) 5692; 2) 15 710; 3) 20 897. 1197. 1) 34 дм 2) 16 см. 1198. 24 см. 1216. 1) 1; 2; 3; 4; 2) 5; 6; 7 8; 9; 3) 0; 1; 2; 3; 4; 4) 4. 1217. 1) 5; 6; 7; 8; 9; 2) 0 1; 2; 3; 4; 3) 0; 1; 2; 3; 4; 4) 8. 1223. х + у + z « * 23 100. 1224. х + у + z * 37 270. 1227. 1) 7; 8; 9 2) 6; 7; 8; 9; 3) 9; 4) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 1264. 37 ,8 7 к г . 1265. 2 5,8 к м . 1270. 1) 1,33 + х 2) 6 ,6 9 + с. 1271. 1) 11,59 - х ; 2) 1,75 + у 1272. 1) 4 ,1 ; 4 ,8 ; 5 ,5 ; 2) 10,5; 9; 7,5. 1273. 1) 5,6 2) 13,4; 3) 2 1 ,5 4 ; 4) 1 3 ,61. 1274. 1) 4 ,3 ; 2) 1,6 3) 11 ,1 8 ; 4) 2 ,2 2 . 1278. 4 ,5 см. 1281. 1) 5 ,0 5 ; 2) 5,42 1282. 1) 4,81 ц; 2) 12,27 ц; 3) 2 9 ,9 7 ц ; 4) 125,2 ц 1283. 1) 4 ,7 м; 2) 3 ,0 5 м; 3) 4 6 ,9 7 м ; 4) 3 ,5 5 м 1284. 6 см. 1285. 3 см. 1286. 3 7 ,5 к г ; 3 2,4 к г 3 9 ,7 к г . 1287. а = 2 ,9 1 ; Ь = 5 ,4 9 ; с = 0 ,7 8 ; d = 13,189 1288. Ъ = 8 ,6 ; а = 7,9. 1290. 7,4 гр н . 1291. 11,32 к м 1294. 15,825. 1295. 1) зб іл ь ш и ть с я на 0 ,3 ; 2) зм ен ш и ть с я на 0 ,2 ; 3) зб іл ь ш и ть с я на 5; 4) зм ен ш иться на 6,3. 1297. 12. 1298. 10 дм і 15 дм. 1331. 227,05 к м . 1337. 57,12 к м . 1338. 2,04 к м ; 5,25 к м . 1339. 339 к м .

356

1)3 —

1340. П ечиво деш евше на 1,92 гр н .; здача д орівню є 2 0 ,8 гр н . 1341. Ц у к о р д о р о ж ч и й на 0 ,42 гр н . 1343. 6 ,9 к м . 1345. 79 800 к г . 1346. 62 гр н . 64 к о п . 1348. 1) 3 год 45 х в ; 2) 10 год 5 х в . 1349. 6 м; 6 м; 8 м. 1401. 37 ,0 4 т. 1402. 18,24 м 2. 1403. 1) 0 ,6 ; 2) 2 ,9 3 ; 3) 0 ,0 2 ; 4) 2 ,0 5 5 ; 5) 0 ,3 ; 6) 3,26. 1404. 1) 6 ,0 2 ; 2) 0 ,9 5 ; 3) 0 ,6 4 ; 4) 0,88. 1405. 72,4 к м /г о д . 1406. У 1,125 раза. 1407. 800 к м . 1408. 18,6 к м /г о д ; 74,4 к м ; 5 5 ,8 к м . 1409. 2 ,8 м. 1411. 52 гр н . 20 к о п . 1412. 25 гр н . 8 к о п . 1413. 8,4 ц. 1414. 10,04 м. 1415. 21 3,3 м 2. 1416. 5 6,7 к м . 1417. 1,28 м 3. 1418. 6 2 ,4 см. 1419. 1) 1,35; 2) 1,34; 3) 0 ,0 4 ; 4) 1,47. 1420. 1) 0 ,5 2 5 ; 2) 0 ,2 5 ; 3) 9 ,6 ; 4) 1,152. 1421. 6; 1,2; 9 ,6 . 1422. 5,33 т; 4 ,8 7 т. 1423. 49 ,9 1 к м . 1424. 3 ,3 7 5 см 3. 1425. 1,98. 1426. 16. 1427. 160 деталей. 1428. 25,6. 1431. 196 см2. 1432. 59, 60, 61. 1453. 3,4 год. 1454. 3 8 ,5 к м /г о д . 1456. 1) 5 7 ,2 4 ; 2) 0 ,2 9 ; 3) 2 3 ,0 2 ; 4) 2,89. 1457. 1) 72,36; 2) 0,27; 3) 31,86; 4) 6,08. 1463. 10,4 см. 1464. 2,5 год. 1465. 5 6,5 га; 22,6 га. 1466. 4 1 ,8 9 5 т. 1467. 15,2 гр н . 1468. 21,2 гр н . 1469. 6 год. 1470. Н а п е р ш ій д іл я н ц і ш в и д к іс т ь була б іл ь ш о ю в 1,04 раза. 1471. В 1,25 раза. 1472. 104,28 г. 1473. 1) 5,6; 2) 1,9; 3) 3 ,6 ; 4) 6 ,8 ; 5) 2 ,4 ; 6) 2 ,0 4 . 1474. 1) 1,35; 2) 5,3; 3) 2 ,5 ; 4) 2 ,5 ; 5) 1,8; 6) 76. 1475. У 1,5 раза. 1477. 1) ЗО; 2) 1 9 ,56; 3) 3 ,1 2 5 ; 4) 4 ,6 4 . 1478. 1) 39; 2) 6,25; 3) 9,6; 4) 1,875. 1479. 0,5 год. 1480. 11,55 к м . 1481. 0,2 год. 1482. 4 д м 3. 1483. 1) 1 3 ,6 ; 2) 10. 1484. 1) 2 ,5 ; 2) 6 1 ,5 . 1485. 3,6 к г ; 6 ,1 2 к г . 1486. ВС = 3,5 дм ; АС = 5,6 дм; АВ = 6,7 дм. 1487. 17,28 гр н . 1488. 61 ,4 4 гр н . 1489. 14 м а л и х; 17 в е л и ки х . 1493. 120. 1518. 4500 см 2. 1524. 22,5 к г . 1525. 18 к г . 1527. 84. 1528. 2552 ц . 1529. 456 гр н . 1530. 45. 1531. 18. 1532. 23,4 к м . 1533. 600. 1534. 5900 гр н .; 6962 гр н . 1535. 2400 л. 1536. 99°; 81°. 1537. 648 ц . 1538. У 2 рази. 1553. 3 7 ,6 см. 357

1554. 102 к м . 1555. 120 с. 1556. 50 дет.; 5 дет. 1557. 37,8 см; 88,2 см2. 1558. 10 240 дм3. 1560. 500 к г . 1561. 56 л; 19,6 л. 1562. 750 к г ; 120 к г . 1563. Н а 216. 1564. 560 к г . 1565. 240 к м . 1566. 3500. 1567. 850. 1568. 144 к г ; 56 к г . 1569. 2000. 1570. 361. 1593. 10 о ч о к. 1594. 74 к м /г о д . 1595. 62,2 к м /г о д . 1596. 4,6 к м /г о д . 1597. 86 к м /го д . 1598. 4,4 к м /го д . 1599. 8,6. 1600. 4,6. 1601. 120 ц /г а . 1603. 4 9 ,2 6 к м /г о д . 1604. 17,95 к м /г о д . 1605. 4 3 ,1 . 1606. 18,9. 1607. 1,4 м м . 1610. 18,81 гр н . 1611. 54 к м /г о д . 1612. 28 і 84. 1613. 6 ,5 ; 10,7. 1614. 16,98 ц /г а . 1615. 3,14. 1616. 8 р о ків . 1619. 870. 1685. 27,24 т. 1686. 27 см. 1687. 155,52 см 2; 50,4 см. 1688. 8 см; 14,4 см; 13,6 см. 1689. 4 0 3 ,2 дм 3. 1690. 4 7 3 ,9 7 . 1691. 15 360 см 3. 1692. 2 7,2 см; 4 3 ,3 5 см 2. 1693. За 3,5 год. 1698. Н а 27 ,2 5 см 3. 1699. 1) 3 ,5 4 ; 2) 91. 1700. 9 ,8 к м . 1701. Через 2,5 год. 1702. 1) 2 ,5 ; 2) 1,24; 3) 2 ,5 4 ; 4) 2,55. 1703. 1) 2 ,5 ; 2) 4 ,8 . 1704. 80°; 48°; 52°. 1707. 1) 8 ,2 ; 2) 3 5 ,2 ; 3) 19,8; 4) 1,05. 1708. 1) 1,7; 2) 2,8. 1709. 0 ,6 к г . 1710. 3 3 ,3 6 гр н . 1713. 10,3. 1714. 3 ,9 . 1715. 2,5 год. 1716. 1) 138 гр н .; 2) 108 гр н .; 3) 100,8 гр н . 1718. 8 2 ,3 6 к м /г о д . 1719. 67 ,3 6 к м /г о д . 1720. 8 ,4 см; 70,56 см 2. 1721. 1) 2 0 ,5 5 ; 2) 3 ,8 0 4 . 1722. 9 8 ,7 . 1723. 165,2 к м . 1724. 3 1 ,2 5 к м . 1725. 8 3 ,2 2 к м /г о д . 1726. 2 ,7 к г ; 0 ,9 к г . 1727. 2 ,7 т; 2,1 т. 1728. 49. 1729. 54. 1730. 62. 1731. 3 ,9 ; 0 ,8 . 1732. 6 ,8 ; 2 0 ,4 . 1733. 3,4 м ; 3 ,4 м; 3,8 м. 1734. 2 3,4 к м /г о д ; 1,8 к м /г о д . 1735. 70 к м /г о д ; 84 к м /г о д . 1736. 2 1 ,6 см 2; 19,2 см. 1737. 10,4 см; 15,6 см. 1738. 300 с. 1739. т = 1 ,3 ; п = 0 ,9 ; q = 1 ,6 2 ; п = 0 ,9 ; k = 1,9; I = 8 ,5 4 . 1740. 13,1 к г ; 18,34 к г ; 31 ,4 4 к г . 1743. Ярослав М у д р и й .

358

Д л я т и х , х то л ю б и ть м а те м а т и ку 4. 492 і 49. 5. 989. 9. Н а 9. 10. 28. 12. Н - 8 , А - 5 , К - 2 , Г - 7 , У - 1 , И - 3 . 13. С ер гій Ів а н е н ко , О л е к с ій П е тр е н ко , А н а т о л ій М а р ч е н ко , Тарас К а р п е н ко . 14. 1,5 к г . 17. 1) 8; 2) 24; 3) 24; 4) 8. 18. З м о ж у ть . 2011 2012 19. 2000. 20. 1) 10; 2) 12. 21. ------- < . 24. Н а 2012 2013 21 % . 27. Через 360 діб. 28. П о н е д іл о к. Відповіді до домашніх самостійних робіт

№ роботи 1 2 3 4 5 6 7 8 9

№ завдання 1

В Г В Б Г В В Б В

А Б Б В Б Б Г В Г

В Г Б Г Г Б В А В А Г Б Г Б А В Б В А В Г А В Г Б В Б А Г А Б Г Г Б А В

Б Б А В Б А В А Г Г А Б г В В Б В А Б Б А Г В Б Б В Б

10 11 12 В в Б В Б Г В Б А

А Г Г Г А Б Г А Б

Г Б А Г Б В Б В Г

Точка 119 — від л іку координатного променя 131 Транспортир 147 Т р и кутн и к 157 — гострокутний 159 — прям окутний 159 — рівнобедрений 158 — рівносторонній 158 — різносторонній 158 — тупокутний 159 Тупий к у т 142 Ф Формула 70 — вартості 89 — роботи 90 — ш ляху 71, 84 Ц Ціла частина мішаного чис ла 226

Ц іна поділки 132 — товару 88 Ч Час 84, 89 Частка 59 Чисельник дробу 203 Числовий вираз 69 Ш Ш видкість 84 — віддалення 86 — зближення 87, 88 — руху за течією 85 — руху проти течії 85 — течії 85 Ш ирина прям окутника 165 — прямокутного паралелепіпеда 183 Ш кала 132

ЗМ ІС Т

Шановний п’ятикласнику!.................................................... З Шановні вчителі!.................................................................... 4 Шановні батьки!......................................................................4 Повторення вивченого в 1—4 класах................................ 5 Розділ 1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ § 1. Натуральні числа. Число нуль. Цифри. Десятковий запис натуральних чисел......................11 § 2. Порівняння натуральних чисел................................18 § 3. Додавання натуральних чисел. Властивості додавання..................................................................... 23 § 4. Віднімання натуральних чисел.................................29 Домашня самостійна робота № 1.............................. 38 Завдання для перевірки знань № 1 (§ 1—§4)........... 39 § 5. Множення натуральних чисел.................................. 41 § 6. Властивості множення................................................46 § 7. Степінь натурального числа з натуральним показником.................................................................. 53 § 8. Ділення натуральних чисел......................................58 § 9. Ділення з остачею....................................................... 64 Домашня самостійна робота № 2.............................. 67 Завдання для перевірки знань № 2 (§5-§9)........... 68 §10. Числові вирази. Буквені вирази та їх значення. Ф орм ули....................................................................... 69 §11. Рівняння ..................................................................... 76 §12. Текстові задачі............................................................ 84 § 13. Розв’язування текстових задач за допомогою рівнянь........................................................................ 100 Домашня самостійна робота № 3 ............................ 104 Завдання для перевірки знань № 3 (§10 —§13)... 104 § 14. Комбінаторні задачі................................................. 105 §1 5. Приклади та задачі на всі дії з натуральними числами.......................................................................115

363

§ 16. Відрізок та його д о в ж и н а ........................................119 § 17. Промінь, пряма, п л о щ и н а ...................................... 126 § 18. Координатний промінь. Ш к а л а ............................. 131 Домашня самостійна робота № 4 ............................137 Завдання для перевірки знань № 4 (§ 1 4 -§ 1 8 )... 139 § 19. К ут. Види к у т ів .......................................................... 140 § 20. Величина кута. Вимірювання і побудова ку тів 146 §21. М ногокутник та його периметр. Т р и кутни к. Види т р и к у т н и к ів ...................................................... 157 § 22. П рям окутник. Квадрат............................................. 165 § 23. Р івні ф ігур и .................................................................168 § 24. Площа прям окутника і квадрата.......................... 171 § 25. П рям окутний паралелепіпед. Куб. П ір а м ід а ..... 182 § 26. Об’єм прямокутного паралелепіпеда і к у б а ........ 189 Домашня самостійна робота № 5 ............................199 Завдання для перевірки знань № 5 (§ 1 9 -§ 2 6 )... 200 Розділ 2. ДРОБОВІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ § 27. Звичайні дроби............................................................202 § 28. Звичайні дроби і ділення натуральних чисел.... 211 § 29. Порівняння звичайних дробів з однаковими знаменниками.............................................................. 215 § ЗО. Правильні і неправильні д роби............................. 220 § 31. М іш а ні числ а .............................................................. 226 § 32. Додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знам енникам и...................................231 § 33. Додавання і віднімання міш аних чисел...............238 Домашня самостійна робота № 6 ............................245 Завдання для перевірки знань № 6 ( § 2 7 - § 3 3 ) ... 247 § 34. Десятковий дріб. Запис десяткових дробів......... 248 § 35. Порівняння десяткових дробів.............................. 257 § 36. Округлення натуральних чисел і десяткових д р о б ів.............................................................................262 § 37. Додавання і віднімання десяткових д р о б ів........ 269 Домашня самостійна робота № 7 ............................ 279 Завдання для перевірки знань № 7 (§34- §37) . . . 281 § 38. М ноження десяткових дробів................................. 282 § 39. Окремі випадки множення десяткових дробів... 289 § 40. Ділення десяткового дробу на натуральне число........................ ................ ................... ................ 293

364

§ 4 1 . Ділення на десятковий д р іб ....................................302 Домашня самостійна робота № 8 ............................ 310 Завдання для перевірки знань № 8 (§ 3 8 -§ 4 1 )... 311 §42. Відсотки. Знаходження відсотків від даного числа.............................................................................. 312 § 43. Знаходження числа за його відсотком................. 320 § 44. Середнє арифметичне. Середнє значення величини....................................................................... 324 §45. Задачі та приклади на всі д ії з натуральними числами і десятковими дробами............................. 331 Домашня самостійна робота № 9 ............................345 Завдання для перевірки знань № 9 ( §42- §45) . . . 347 Для тих, хто любить матем атику................................... 348 Відповіді до вправ ............................................................... 351 Предметний п о к а ж ч и к ....................................................... 360

365

Десятковий дріб — = 0,7

1ч 4— = 4,13 100 '

= 9,003 91000

= 18,09 18100

Додавання і віднімання десяткових дробів

Кома під комою! 37 ,9 8 2 + 4 ,4 7 3

4 2 ,8 - 3 7 ,5 1 5

37 982 + 4473

42.800 37.515

42 455

5,285

Множення десяткових дробів 1) П о м н о ж и т и , не звертаю чи у в а ги на к о м у . 2) У до б утку від окрем и ти справа ко м о ю с т іл ь ки десятко вих зн а ків , с к іл ь к и їх маю ть обидва м н о ж н и к и разом. 2,17 3,4 , 868 651 7 378

2 дес. з н а к и 1 дес. зн а к 3 дес. з н а к и

0,008 Х 0,4 0 0032 '

З дес. з н а к и 1 дес. з н а к ______________ 4 дес. з н а к и ________ І

___-___

Ділення на натуральне число 1) П о д іл и т и дріб на натуральне число, не звертаю чи у в а ги на к о м у . 2) П о ста ви ти в ч а с тц і к о м у , к о л и з а к ін чи ться д іл е н н я ц іл о ї ч а с ти н и .

Ділення на десятковий дріб Щ о б п о д іл и ти число на д е ся тко ви й дріб, треба в д і леном у й д іл ь н и к у перенести к о м у вправо на с т іл ь к и циф р, с к іл ь к и їх у д іл ь н и к у ; п о тім в и ко н а ти д іл е н н я на натуральне число. 35 ,5 6 : 1,4 = 3 5 5 ,6 : 14 = 25,4

Латинський алфавіт Друкова ні букви

Рукопис ні букви

Назва букви

Друкова ні букви

Аа

Ась

вь

вь-

бе

Оо

О o'

Сс

Со

це

Рр

Pp-

пе

Роі-

де

Qfy

ку

Ее

Еь

ер

еф

ес

св

же

те

аш

Ut/U

Рукопис ні букви

Назва букви єн

V \r

ве

йот(жі)

дубль-ве

К-k/

ка

ель

ігрек

Mw'

ем

зет

ікс