Libro de geometria ultimo (felix flores)25 03 10 by sagradocorazon

Félix Flores Espíritu

Geometría

Geometría Tópicos Básicos

Félix Flores Espíritu

Colegio Sagrado Corazón de Jesús Chancay, 2010

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Geometría

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Dedicatoria A la juventud Chancaya, por su deseo de transformar la sociedad en una nueva, más justa y más humana.

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Contenido Temático 1. 2.

Contenido Temático. Segmento

Ángulo

4. 5.

Ángulos entre rectas paralelas Triángulo

6. 7.

Líneas notables asociados al triángulo Base media del triangulo

8. 9.

Triángulos Notables Polígono

10. Cuadrilátero 11. Circunferencia 12. Posiciones relativas de dos circunferencias coplanares 13. Ángulos en la circunferencia 14. Cuadrilátero Inscrito 15. Cuadrilátero Inscriptible 16. Puntos Notables Asociados al Triángulo 17. Proporcionalidad de segmentos 18. Semejanza de figuras 19. Relaciones Métricas 19.1 En la circunferencia 19.2 En el triangulo Rectángulo 20. Polígonos Regulares 21. Áreas 21.1 Área de Regiones Triangulares 21.2 Área de Regiones Cuadrangulares 21.3 Área de regiones Circulares 22. Geometría del Espacio I 23. Poliedros 24. Sólidos Geométricos 25. Relación de Volúmenes. 26. Bibliografia

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Geometría Básica

¿Qué es geometría? Las matemáticas nacieron con la geometría, que surgió por la necesidad de medir las tierras después de la crecida anual del río Nilo (de ahí el nombre: geo "tierra" y metrein "medir"), y para las construcciones de edificios, recipientes... Los griegos la trabajaron tan concienzudamente (destacando desde entonces el libro "Los Elementos", de Euclides) siendo Pitágoras uno de sus grandes exponentes que aporto no solo a la Geometría sino también a la aritmética y la filosofía. La geometría se convierte, pues, en la rama de las matemáticas que estudia el espacio y lo que en él vemos (puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies....) Lo que hace que la utilicemos en cada acción de la vida cotidiana, aunque no nos demos cuenta. ¿Se imaginan Ustedes cuanto se hubiera atrasado la matemática si al pequeño Pitágoras no se le hubiera permitido desarrollar su capacidad creadora? Pues la Geometría día a día va descubriendo nuevas formas de enfocar una teoría y cada problema es un nuevo desafío para encontrar soluciones tan ingeniosas que no dejan de sorprendernos.

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SEGMENTO Definición: Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. El segmento AB de la figura adjunta, se denota como: AB o BA . Donde los puntos A y B son los extremos.

Si la longitud o medida del segmento AB es 10 unidades, podemos escribir: AB = 10 ó m AB = 10. En este último caso, la “m” se lee medida.

Punto Medio De Un Segmento: Se llama así al punto que equidista de los extremos del segmento dado. Notación: “M” punto medio AB .AM = MB A

Segmentos Congruentes: Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Donde AB  CD nos señala que AB y CD , son congruentes. La notación aquí mostrada indica que AB = CD. A

Operaciones Con Longitudes De Segmentos: Adición: AB + BC + CD = AD También:AC + CD = AD AB + BD = AD A

Sustracción: AC – AB = BC También:AC – BC = AB A

Corolario: Las operaciones con longitudes de segmentos gozan de las mismas propiedades que las operaciones aritméticas.

Euclides es considerado el padre de la Geometría

La geometría moderna es la Que se refiere sobre todo a La geometría Euclidiana en el plano y en el espacio. La geometría euclidiana estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. Esta geometría se expone en forma de axiomas en la obra "Los Elementos" de Euclides (Quien le da nombre a este tipo de geometría).

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División: Si se cumple que:

AB BC



2 3



AB  2k BC  3k

Ejercicios de Aplicación 1.

A, B, C, D, E y F son puntos colineales y consecutivos, AC + BD + CE + DF = 32 y 3AF = 5BE. Calcule AF.

En una recta se ubican los puntos A, B, C, D de manera que AD = 2(AC), BC = 4(AB) y CD = 10. Calcule BD.

una

recta

ubican

los

puntos

A, B, C y D. Si BC = 6,

AB 3 AB AD  y  . Calcule AC CD 2 BC CD

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, tal que AD = CE, AB = 2(BC) y DE + BC = 4, calcule AB. Sobre una línea recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que:

BD m



CD n

David Hilbert Postulados de Hilbert para la geometría euclidiana plana. Términos primitivos punto, recta, entre, congruente Grupo I: Postulados de conexión.

I-1. Hay una y sólo una recta que pasa por dos puntos distintos dados

Halle: AD

Tarea 1.

A, B, C y D son puntos consecutivos de una recta. Si AC = 12 cm, BD = 17 cm y AD = 21 cm, calcule BC. A) 7 cm

B) 8 cm

C) 9 cm

D) 10 cm

E) 11 cm

P, Q y R son puntos consecutivos de una recta, tales que PQ = RQ + 22. Si M es punto medio de PR , calcule MQ. A) 22

B) 11

C) 33

D) 5,5

E) 2,75

F, A y G son puntos colineales y consecutivos; FA – AG = 12 y M punto medio de FG . Calcule MA. A) 6

B) 8

C) 7

D) 5

E) 4

I-2. Toda recta contiene al menos dos puntos distintos, y respecto a una recta hay al menos un punto que no está en ella.

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A, S, O, N, D son puntos colineales y consecutivos; ON = DN + 3; AS = OS; OS = ON + 1 y AD + SN = 48. Calcule AD. A) 30

B) 31

D) 33

E) 34

P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta; PR + QS = 27 y PS = 20. Calcule QR. A) 3

C) 32

B) 7

C) 5

D) 9

E) 4

Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D. Si: AC = 15, BD = 17, AD = 24, halle: BC. A) 6

B) 5

D) 8

E) 7

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: AC + BD = 18. Si BC = 8, Halle: AD. A) 5

C) 4

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D y E de modo que:

AB 1



BC 2



CD 3



, si AE = 20.

Halle AC. A) 6 9.

B) 7

C) 8

D) 9

E) 16

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; si: 3(CD) = 2(AD) y BD – 2(AB) = 18, calcular BC. A) 3

B) 6

C) 12

D) 18

E) 9

10. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AC – BD = BC. Si AB = 4, calcule AD: A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 3

11. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que AB = BC; DE = 3(CD) y AE = 40. Calcule BM, si M es punto medio de CE . A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 12

12. Se tiene el segmento PQ, en el cual se ubican los puntos A y B (A  PB ), si 2(PA) = 3(AB) = (BQ) y BQ – PA = 9 m. Calcule PQ. A) 17

B) 21

C) 33

D) 41

E) 18

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13. En una recta se ubican los puntos A, B, C y D. De modo que: 5(AD) – BC – 2(AC) = 5(BD) y BC = 4. Calcule AB: A) 6

B) 4

C) 8

D) 10

E) 5

14. Pedro, Pablo y Dino están en línea recta, (Dino entre Pedro y Pablo). Entre Pedro y Pablo hay 12 m de separación. Si Dino avanzara 2 m hacia pedro, estaría a igual distancia de ambos. ¿Qué distancia separa a Dino de Pablo? A) 5 m

B) 4 m

C) 4,5 m

D) 3,6 m

E) 3 m

15. Se tienen tres puntos consecutivos A, B y C medidos en un sistema tal que 1 pre = 4 cato. Si AB = 8 cato y BC = 5 pre, halle MN, donde M y N son los puntos medios de AB y BC, respectivamente. A) 7 cato

B) 14 pre

C) 7 pre

D) 14 cato

E) 12 cato

16. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D, E y F. De modo que AB = BC = CD y CF = 2(BE) = 4(AD); y EF = 14. Calcule CE. A) 10

B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

17. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AC = 8 y BD = 10. Calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de CB y AD . A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 2,5

18. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que BC es menor que CD. Halle BC, si AB = 4, CD = 18 y MN = 16, siendo M y N puntos medios de AB y BD , respectivamente. A)

B) 15

C) 10

D) 20

E) 25

19. En una recta se ubican los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que:

AB BC

A) 3,5



AD CD

1 AB



B) 4,5

1 AD



4 15

. Halle AC.

C) 5,5

D) 7,5

E) 15

20. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que nAC=mCD y mBD-nAB = m-n. Calcule BC. A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 2,5

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Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

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Ángulo Los caminos que se cruzan nos muestran dos rectas que tienen un punto de intersección, dividen al plano en cuatro regiones, cada uno de ellas recibe el nombre de ángulo. El punto de intersección es el vértice del ángulo, y las semirrectas que forman los bordes de la región se llaman lados del ángulo.

El cruce de caminos rectos nos da idea de rectas que se cruzan formando ángulos

Dos rayos con origen común limitan una región llamada región angular

En el gráfico anterior las rectas r y s tienen el punto O en común, pintamos una de las regiones determinadas por las rectas en el plano, algunos autores consideran al ángulo como una región, otros en cambio lo consideran como una línea formada por dos semi rectas que tienen en común el origen. Un ángulo se mide por su amplitud es decir por la separación entre sus lados, en el grafico representamos la medida con la letra griega α.

También podemos nombrar un ángulo a partir de tres puntos, el vértice y dos puntos pertenecientes a cada uno de los lados.

El ángulo alfa tiene vértice O y sus lados a y b pasan por los puntos A y B respectivamente, puede escribirse poniendo un símbolo como  e indicando los puntos por donde pasan los lados, como en la figura. Es decir, al ángulo alfa lo podemos nombrar como el ángulo AOB, sobreentendiendo que en el medio de los tres puntos se encuentra el vértice.

Existen controversias sobre la existencia del ángulo llano o ángulo nulo, pues algunos consideran que ángulo es aquel cuya medida oscila entre 0° y 180°.

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ÁNGULOS

Observación:

Definición: Es la figura formada por un par de rayos, no colineales, que

Si se define al ángulo como la

comparten el mismo origen.

figura formada por un par de rayos no colineales, entonces esta Elementos: -

Lados: OA, OB

- Vértice: O Notación:  O

AOB, AOB B

Medida: m AOB = α

manera de definirla excluye a los famosos ángulos Llanos y Nulos.

En el primer caso, al ser su medida 180º los rayos serian opuestos y formaran una línea recta (deja de ser ángulo y se convierte en recta).

P M Q Q Q

  O

OM Bisectriz del

En el segundo caso, si la medida

POQ

del ángulo es 0º, los rayos estarían coincidiendo y por lo tanto ambas constituyen un solo rayo.

Observación: A la separación entre los lados de un ángulo se le denomina como su amplitud, lo que realmente se mide es la amplitud de los ángulos. A esta medida se le suele llamar por cuestiones prácticas como la medida del ángulo.

Clasificación: A. POR SU MEDIDA:

Ángulo Agudo Debemos dejar claro que un ángulo puede medir 180º o 0º, 0º <  < 90º



solo que cuando eso sucede las figuras que se determinan no son ángulos, sino recta y rayo

Ángulo Recto

respectivamente.  = 90º 

Ángulo Obtuso



90º <  < 180º

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B. POR SU POSICIÓN:

¿Sabías qué? 1. Ángulos Adyacentes: Las líneas de proyección son rectas referenciales cuyo  

punto de concurrencia es el foco de convergencia de las

2. Ángulos Opuestos por el Vértice:

imágenes que puede percibir nuestros ojos, desde una



= 



determinada posición espacial.

3. Ángulos Consecutivos:

Para los diseños gráficos en dibujo técnico es necesario un nivel de referencia y un foco de proyección. C. POR SU RELACIÓN: 1. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios, si la suma de sus medidas es 90º. C = 90º – 

Complemento de 

2. Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180º. S = 180º –  Suplemento de 

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Ejercicios de Aplicación 1.

Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC. Halle el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y AOB sabiendo que estos se diferencian en 50º

tienen

los ángulos

consecutivos

AOB,

BOC y COD tal

que

mCOD = 3 m AOC y mBOD – 3mAOB = 60°, calcule la mBOC. 3.

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que la suma de sus medidas es 180°. Halle la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOD y además mBOC = 130°.

El suplemento del complemento de un ángulo excede en 80° al complemento del mismo ángulo. Calcule el complemento del ángulo cuya medida es el doble de la medida del primer ángulo.

Si la diferencia del complemento de la diferencia de las medidas de dos ángulos y el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos es 30°. Calcule la medida de uno de los ángulos.

Tarea 1.

El FOA y el AOG son consecutivos y OM bisectriz del FOG. Si mMOA = 24° y mFOG= 90°, calcule mAOG. (Si mFOA > mAOG). A) 20°

Sean

B) 23° los

ángulos

C) 22° consecutivos

D) 21° AOB,

BOC

E) 24° y

COD,

mAOB + mCOD = 65°, OX es bisectriz del AOC, OY es bisectriz del BOD. Halle mXOY. A) 32,5° 3.

B) 42,5°

C) 14,5°

D) 31,5°

E) 28,5°

Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que: mAOD = 6mBOC y mAOB + mCOD = 75°. Calcule la mBOC. A) 5°

B) 10°

C) 15°

D) 20°

E) 25°

Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC; se traza OD : bisectriz del AOB. Halle la mCOD si: mAOC + mBOC = 160°. A) 20º

B) 40º

C) 60º

D) 80º

E) 70º

Sabiendo que los ángulos AOB y AOC son complementarios siendo OX bisectriz del ángulo BOC. Entonces el AOX mide: A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º

E) 36º

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El complemento de la mitad del suplemento de 20° es: A) 20°

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B) 10°

C) 45°

D) 80°

E) 15°

 y  son medidas de ángulos adyacentes y: 2 +  = 200°. Calcule el valor de . A) 20°

B) 40°

Las medidas de dos complementos? A) 110° B) 60°

C) 100° ángulos

suman

C) 70°

D) 140° 110°.

¿Cuánto

D) 50°

E) 160° suman

sus

E) 80°

El suplemento del complemento de un ángulo de 32°, mide: A) 132°

B) 102°

C) 112°

D) 122°

E) 142°

10. La mitad del complemento de un ángulo es igual al doble de dicho ángulo. Calcular la medida del ángulo. A) 20°

B) 12°

C) 30°

D)18°

E) 9°

11. El doble del complemento de un ángulo equivale al complemento de la mitad del ángulo. Halle dicho ángulo. A) 60°

B) 30°

C) 40°

D) 80°

E) 70°

12. Se tienen dos ángulos complementarios, si a la medida de uno de ellos se le quita 30° para agregarlos al otro, resultan números iguales. Calcule la medida del menor. A) 30°

B) 15°

C) 75°

D) 60°

E) 45°

13. Halle el suplemento de 30°60´. A) 129°

B) 139°

C) 149°

D) 148°

E) 168°

14. Halle el suplemento del suplemento de la suma de dos ángulos sabiendo que el complemento de uno de ellos más el suplemento del otro es 140°. A) 140°

B) 50°

C) 130°

D) 40°

E) 120°

15. Si a la medida de un ángulo se le aumentase el cuadrado de la medida de su complemento se obtendría 180°. Halle la medida de dicho ángulo. A) 100°

B) 99°

C) 80°

D) 60°

E) 40°

16. Si al suplemento de la medida de un ángulo le disminuimos 30° menos que el doble de la medida de su complemento es igual a 3/11 de la medida de su suplemento. Halle la medida de dicho ángulo. A) 10°

B) 15°

C) 30°

D) 40°

E) 60°

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17. La suma del complemento y suplemento de un ángulo es igual al triple de la medida de dicho ángulo. Calcule el suplemento del ángulo cuya medida es el doble de la medida del primer ángulo. A) 18°

B) 36°

C) 54°

D) 72°

E) 144°

18. El suplemento del complemento de un ángulo es igual al quíntuplo del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del ángulo que tiene por medida a la mitad de la medida del primer ángulo. A) 100°

B) 120°

C) 150°

D) 160°

E) 172°

19. Las medidas de dos ángulos suplementarios son proporcionales a 1 y 5. Calcule el suplemento del complemento del complemento del menor de los ángulos mencionados. A) 30°

B) 50°

C) 110°

D) 140°

E) 150°

20. Si al suplemento de un ángulo se le aumenta el complemento del complemento del ángulo, resulta el cuádruple del complemento del mismo. Halle la medida del ángulo. A) 10º

B) 30º

C) 60º

D) 70º

E) 45°

21. Si a la medida de un ángulo le disminuimos su cuarta parte más que la mitad de su complemento, resulta un tercio de la diferencia entre el complemento de la medida del mismo ángulo. Halle la medida de dicho ángulo. A) 10º

B) 11º

C) 12º

D) 13º

E) 15°

22. Si al suplemento de un ángulo se le disminuye el séxtuplo de su complemento. Resulta la mitad del valor del ángulo. Halle el suplemento del complemento del ángulo A) 100º

B) 170º

C) 110º

D) 140º

E) 120º

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Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

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Ángulos Entre Rectas Paralelas Si: L1 // L2 es intersecada por la transversal L .

 









 L2



Ángulos Alternos (iguales) a)

Internos: =  ;  = 

Externos: =  ;  = 

Ángulos correspondientes (iguales) =;= ;= Ángulos conjugados (suplementarios) 1.

Internos: =  = 180° ;  +  = 180°

Externos: =  = 180° ;  +  = 180°

Riemann

Afirmo que existen diferentes tipos de líneas, superficies y espacios

Propiedades Particulares: 1.

por lo cual existen otros tipos de

Si: L1 // L2

Geometrías.



Se cumple:

x=+

Con estas creaciones se construyo la teoría de la relatividad de Einstein, y David H. Hilbert (1862) elaboro su



Libro “Fundamentos de Geometría”

que permitió los avances prodigiosos de las ciencias nucleares en la era

En general: ( L1 // L2 )

atómica y mayor precisión en la L1

  

medida de las estrellas.



  

Se cumple: +++=++

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Geometría

Si: L1 // L2 

Se cumple:



 +  +  = 360°

Recuerda que: Por definición, dos rectas son paralelas si estas no se intersecan y

 L2

este hecho se denota con el símbolo L1// L2. A su vez dos segmentos AB y

Si: L1 // L2

CD son paralelos (AB//CD) Si y solo si La recta AB es paralela a la recta



CD.



Dada dos rectas paralelas, los ángulos llamados correspondientes



tienen igual medida, siendo esta

 x



proposición un postulado. Por tal razón se acepta como una

verdad y no requiere demostración

Se cumple:  +  +  +  +  = 180° x=+++

Delo anterior se puede demostrar que dadas dos rectas paralelas los ángulos alternos ya sean internos o externos son de igual medida. Para ello hacemos uso del teorema de que los ángulos opuestos por el vértice son de igual medida.

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Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

Según el gráfico, calcule x. Si L1 // L2 

2

Corolario:

Sea L1 una recta y P un punto 

exterior a ella. Entonces existe

2

una recta L2 que pasa por P y es paralela a L1.

En la figura,  -  = 10° y L1 // L 2 // L 3 ; calcule x. 

L1  L2

 x

Por P trazamos una recta L3 perpendicular 3.

En el gráfico L1 // L 2 // L 3 y  +  = 240°, calcule x. 

 2



por

trazamos la recta L2 perpendicular

L 3,

luego

por

ángulos

correspondientes de igual medida (90º) podemos concluir que L1 y L2 son paralelos. Entonces hemos

demostrado que por P se puede 2

trazar una recta paralela a L1.



Halle: A B C D E F C B

80°

60°

D 40°

E F

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Geometría

Tarea 1.

Si L1 // L2 , halle x. L1

A) B) C) D) E)

60°

30° 40° 60° 70° 80°

¿Sabías qué? Hemos demostrado que dada una recta y un punto exterior a ella,

Calcule el valor de x, si L1 // L2. 



existe una recta paralela que pasa

A) B) C) D) E)

x 



70° 90° 80° 75° 60°

por el punto. ¿Es ésta recta paralela única? La respuesta a la interrogante es de suma importancia en la Geometría. Pues fueron estériles los esfuerzos de los matemáticos que a lo largo de más

Si L1 // L2 // L3, calcule: y – x.

de dos mil años trataron demostrar que era única. La respuesta, algo

x y

A) B) C) D) E)

100° 55°

30° 60° 75° 90° 100°

que sin duda llama la atención, es que no era posible demostrar la unicidad con los nueve postulados planteados por Euclides. Por lo tanto la unicidad debía ser

En la figura, L1 // L2 . Calcule el valor de x. 



A) B) C) D) E)

56°

x 



118° 112° 102° 108° 128°

Si r // s y  +  = 170°, calcule el valor de . A) 40° s B) 30°  C) 20°  D) 50° r E) 60°

asumida como un axioma por la geometría euclidiana.

Si suponemos que por un punto exterior se puede trazar más de una recta paralela. Esta es una pregunta que se plantearon Gauss, Lobachevsky y Bolyai alrededor de 1820. Bajo estas circunstancias desarrollaron nuevas geometrías (No Euclidiana) que se basa en 10 axiomas

En la figura: L1 // L2 . Calcule el valor de x.

enunciados a finales del siglo 1800 por David Hilbert. Demostrando que

2+5°

48° x

150°–

si la geometría Euclidiana es A) B) C) D) E)

37° 48° 52° 77° 53º

consistente entonces la geometría no euclidiana también lo es.

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Geometría

Calcule el valor de x, si L1 // L2 . x L1

 32°

A) B) C) D) E)

 L2

Si: 4y – x = 30°; L1 // L2 . Calcule “x” 4y

A) 90° B) C) D) E)

102° 104° 107° 106° 108°

60° 45° 30° 75º

Si L1 // L2 , halle x. L1

A) B) C) D) E)

 

x 



30° 60° 75° 90° 105°

10. En la figura, L1 // L2 ; calcule x. 

 L1

A) 55° 110° x



B) C) D) E)

67° 85° 97° 70º

A) B) C) D) E)

22,5° 30° 45° 60° 18°



11. Halle “” si: L1 // L2 . L1

m°

n°

3

4 n°

m° L2

12. Si L1 // L2 . Halle “” L1

 2

A) 75° B) 80° C) 105°

 60° 3

D) 115° E) 120º

5 L2

Félix Flores Espíritu

Geometría

13. Halle x, si: L1 // L2

A) B) C) D) E)

x a

60° 75° 105° 135° 145°

14. si: a° + b° = 170°, L1 // L2 . Halle “x”. L1

x a° b° 50° +10°



A) B) C) D) E)

100° 110° 120° 130° 80º

A) B) C) D) E)

30° 60° 75º 90° 120°

A) B) C) D) E)

40° 50° 55° 70° 30º

15. Si: L1 // L2 . Calcule mx. L1

30°

x   30°

16. Halle “x” si: L1 // L2 . x

70°

40° 



17. En el gráfico a // b , c // d

m // n , calcule x + y.

20°

A) B) C) D) E)

60°

y b

100° 120° 130° 140° 160°

Félix Flores Espíritu

Geometría

18. Calcule x, si L1 // L2 2 L1







40° 5

30°



A) 50°



B) 90°



C) 100°

D) 200°

E) 120º

19. Halle la medida del ángulo β indicado en la figura mostrada, donde las rectas L1 y L2 son paralelas (Examen. UNI 2010-I)

A) 51°

B) 53°

C) 55°

D) 57°

E) 59°

20. En la figura las rectas L1 y L2 son paralelas. Si α+β=5x, halle el valor de x. (Examen UNMSM 2010 II)

A) 50°

B) 40°

C) 60°

D) 30°

E) 45°

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

Félix Flores Espíritu

Geometría

Los Triángulos En Egipto Uno de los motivos que impuso el desarrollo de la Geometría fue la necesidad de medir la tierra. Como sabrás, la palabra Geometría procede del griego: Geo, que significa tierra y metrón que significa medida. En el antiguo Egipto, cuando sucedían las crecidas veraniegas del Nilo, las lindes de los terrenos se borraban y era necesario redefinir la separación entre terrenos. Un instrumento de medida, que utilizaban los agrimensores egipcios, eran unas cuerdas anudadas convenientemente, de tal forma que les fuera fácil la construcción de los ángulos rectos que formaban las parcelas.

Anudadores de Egipto

Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados entre sí que servían para medir. Se cree que fueron los primeros en observar que, uniendo en forma de triángulo cuerdas de ciertas longitudes, se obtiene un ángulo recto, es decir, un triángulo rectángulo. Mediante estos triángulos formados por cuerdas, los egipcios conseguían colocar el mástil de las embarcaciones en posición perpendicular a la cubierta. Todas las pirámides de Egipto, excepto la de Keops, incorporan, de alguna manera, este triángulo rectángulo en su construcción, el cual añade a su sencillez –que permite una comprobación visual instantánea del Teorema– el hecho de ser el único cuyos lados son enteros consecutivos, La figura geométrica típica que ilustra este teorema se incluyó como emblema de la civilización terrestre en la sonda Voyager, que es uno de los vehículos espaciales que más distancia desde la Tierra ha recorrido.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Triángulo Definición: Es aquella figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

Ten en cuenta que: Un triángulo no tiene ángulos, recuerda que los ángulos se forman con dos rayos que comparten su origen y en un triangulo no hay rayos, lo que hay son segmentos.

Elementos: Vértices Lados

: :

A, B, C AB, BC, AC

triángulo de vértices A, B y C

Notación: ABC

Observación Con fines didácticos en adelante denominaremos al triángulo rectilíneo simplemente triángulo. B Región exterior relativa a

Región exterior relativa a

Región Interior Región exterior

relativa a AC

Ángulos Trazados al Triangulo

Dado el triángulo ABC. Se pueden trazar ángulos que contengan a sus lados o a su respectiva prolongación, así en el grafico, se han trazado los ángulos NAP y MAL, el primero contiene a los lados AB y AC, mientras que el segundo contiene al lado AB y a la prolongación del lado CA. Debido a que la región interior del ángulo NAP contiene a la región interior del triangulo ABC, se define al NAP = BAC, como ángulo interior del

triángulo.

Un par de segmentos que tienen un extremo en común y no son colineales, lo que hacen es determinar un ángulo, es decir fijan el paso de un ángulo, dicho de otra manera solo existe un ángulo que pueda contener a esos dos segmentos (lados del triangulo). En conclusión en un triángulo no hay ángulos, pero eso no quita que se pueda trazar ángulos que contengan a sus lados o a sus prolongaciones. Estos ángulos que se pueden trazar en un triangulo pueden ser interiores o exteriores.

Félix Flores Espíritu

Geometría

La región interior del MAL = BAL, por contener parte de la región exterior

del triángulo, se le define como ángulo externo del triángulo. Ten en cuenta que:

Q y

B 

x P





El perímetro de una región triangular y en general de una región poligonal, es el contorno de dicha región (borde u orilla de la región).

Ángulos Interiores:

Ángulos Exteriores:

BAC

mBAC = 

PAB

mPAB = x

ABC

mABC = 

QBC

mQBC = y

BCA

mBCA = 

RCA

mRCA = z

A la longitud del perímetro se le representa con la letra 2p, gracias al aporte de Heron de Alejandría quien emplearía la notación de p para representar la longitud del semi-perímetro del triángulo en su famosa formula del cálculo del área de la región triangular.

Región Triangular Es la unión del triángulo y su región interior. B

C b

Perímetro (2p) :2p = a + b + c abc Semiperímetro (p) :p = 2

Propiedades Fundamentales Propiedad 1. Suma de las medidas de los ángulos interiores.  

Se cumple:  +  +  = 180°



Propiedad 2. Cálculo de la medida de un ángulo exterior. 

Se cumple: 

z=+

Cabe mencionar que por cuestiones prácticas al perímetro lo representaremos con 2p mientras que al semiperímetro con p, sobre entendiéndose que nos estamos refiriendo a su longitud.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Propiedad 3. Suma de medidas de ángulos exteriores considerando uno por cada vértice. y

Ten en cuenta que:

Se cumple: x + y + z = 360°

x z Propiedad 4. De correspondencia. 

c 

Si:  >  > 

Se cumple: a>b>c



Si un lado es menor que la

suma de las longitudes de Propiedad 5. Relación de existencia del triángulo.

los

otros

ejemplo

(a < b+c) si sumamos a unidades

cada

lado

obtendríamos: 2a< a+b+c

Si:a > b > c Se cumple:

Por lo tanto 2a< 2p es decir, b–c<a<b+c

todo lado debe ser menor

a–c<b<a+c

que el semiperímetro de un

a–b<c<a+b

triángulo. Por lo tanto:

Observación:

a<p Para que el triángulo exista es suficiente que se verifique sólo una de las relaciones anteriores.

b<p c< p

Félix Flores Espíritu

Geometría

Propiedades Adicionales 1.



Se cumple: 

x= ++



Ten en cuenta que: Cuando



triángulo

isósceles los lados congruentes

Se cumple: 

+=m+n

tienen una amplitud de 60º entonces dicho triángulo es en realidad un triangulo equilátero.

Se cumple: 





mn 2

4. m 

Se cumple: 

+=m+n

Si un par angular tiene lados congruentes y una amplitud de 60º, es conveniente unir los extremos libres del par angular

Clasificación De Los Triángulos

para

equilátero.

Según sus lados Triángulo Escaleno: (a  b  c) B 

c 

Se cumple: 



Triángulo Isósceles: (a = c  b) B 

Se cumple: a

c 

 =  < 90°



AC : Base

Triángulo Equilátero: (a = b = c) B 



 b

Se cumple:  =  =  = 60° C

formar

triángulo

Félix Flores Espíritu

Geometría

Según sus ángulos Triángulos Oblicuángulos -

Triángulo Acutángulo B 

¿Sabias que?



 C

 < 90° -

;  < 90°

;  < 90°

Triángulo Obtusángulo B  

 C

 > 90°

;  < 90°

;  < 90°

Triángulo Rectángulo A

AB y BC : catetos



AC : hipotenusa

b c

Se cumple: 2

 B

b =a +c C

T. de Pitágoras

Pitágoras nacido en Samos en el año 572 a.C. residió la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. Allí, fundó una sociedad secreta de estudios que conocemos con el nombre de escuela pitagórica. Los pitagóricos vivían en comunas y se regían por unas normas extraordinariamente estrictas, hasta tal punto que, según se cuenta, tenían prohibida la ingestión de ciertos alimentos y la divulgación de sus descubrimientos la pagaban con la vida. A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación Recuerde que: 1.

Calcule “x”. Si: AS = SQ; PB = BC B S x A

En el gráfico: a+ b – m – n = 108°; calcule x + y n m

Calcule “x”. Si  +  = 100° x

2

2

Calcule x“ si: AB = BC y DE = EF. Además  +  = 100° B



F  80°

x A

Según el gráfico, calcule , si: a + b + c + d = 340° d

2



a 

Si en un problema aparece una figura de más de tres lados, para poder hacer uso de las propiedades estudiadas es necesario prolongar lados convenientemente para formar triángulos en donde se aproveche las propiedades de la suma de medidas angulares o las propiedades de las bisectrices de los ángulos.

Según el gráfico, calcule x. x 70° 





Así en el pentágono cóncavo prolongamos dos lados opuestos para formar un triangulo y aplicar las propiedades conocidas en el triángulo y también en la región sombreada.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tarea 1.

En la figura determine el menor valor entero de x. A) B) C) D) E)

x+7

4 5 6 7 8

En la figura, entre qué valores puede variar la longitud del segmento AC. B

Ten en cuenta que: Cuando en un problema aparecen triángulos isósceles es necesario aprovechar la propiedad de los ángulos de igual medida que se oponen a los lados congruentes.

4 A

C 2

7 D

A) 5 < x < 10 B) 5 < x < 9 C) 4,5 < x < 10,5 3.

D) 4 < x < 12 E) 3 < x < 10

En el gráfico, indique el segmento de menor longitud. L

A) AL A

81°

B) LJ

82°

C) LE

E 50° 60°

D) EJ E) AJ

En el gráfico, halle “”.  2

3 2

2

A) B) C) D) E)

20° 15° 12° 18° 24°

A) B) C) D) E)

120° 80° 60° 40° 20°

A) B) C) D) E)

30° 45° 60° 75° 15°

En la figura, halle x. B x

2 A

Si las medidas angulares de un triángulo son 2α y 90º-α, entonces dicho triángulo es isósceles.



R 20° 2



Calcular el valor de x: x

En el triángulo EDF, la medida del ángulo DEF es 90º-α, entonces EF=DF, de donde concluimos que el triángulo EDF es isósceles.

Félix Flores Espíritu

Geometría

El PQR es isósceles: PQ = QR y mPQR = 122°. Calcule la medida del ángulo exterior en el vértice R. A) 122°

B) 135°

D) 163°

E) 151°

Uno de los ángulos exteriores de un triángulo obtusángulo isósceles mide 28°. Calcule la medida de otro ángulo exterior. A) 28°

C) 147°

B) 14°

C) 7°

D) 166°

E) 152°

Calcule el valor de z: A) B) C) D) E)

64°

z 70° 60°

70°

96° 72° 84° 82° 92°

10. Si: ABC es un triángulo equilátero. Halle “x”. B

A) B) C) D) E)

 x



15° 30° 45° 50° 60°

11. En cierto sistema de medida la suma de los ángulos internos en un triángulo es 18. Halle x en dicho sistema. B

A) B) C) D) E)

 



 



3 12 15 9 11

12. En la figura: mA – mC = 42°, entonces y – x es: A

A) B) C) D)

x y  

7° 21° 42° 87°

E) 0º

13. En la figura, halle x + y A) B) C) D)

69° x   

 

249° 250° 251° 252°

E) 139°



Félix Flores Espíritu

Geometría

14. El ángulo B de un triángulo ABC mide 78°, sobre AB , BC y AC se toman los puntos M, N y P respectivamente de manera que AM = MP y NC = NP. Calcule la medida del ángulo MPN. A) 102°

B) 80°

C) 75°

D) 60°

E) 78°

15. En la figura, ABCD es un cuadrado y el triángulo AMD es equilátero. Halle x. C

A) 40°

M 80°

B) C) D) E)

110°

50° 60° 80° 30º

16. Halle x: x

A) 52° B) C) D) E)

76°

 

 

48° 42° 66° 66°

17. En la figura: AB = BC y BP = BQ, entonces: B

A)  = 



B)  = 2 C)  = 3 D)  = 2

Q  A

E)  = 3

18. En un triángulo isósceles ABC, sobre su base AC se toma un punto P desde el cual se levanta una perpendicular que corta al lado AB en M y a la prolongación de CB en N. Calcule BN si AM = 15 cm y BC = 25 cm. A) 5 cm

B) 10 cm

C) 15 cm

D) 20 cm

19. Calcule (2a – b) en la figura mostrada. b

 



A) B) C) D) E)



50°

100° 110° 120° 130° 140°

E) 25cm

Félix Flores Espíritu

Geometría

20. Halle x: 6x

 

  

A) B) C) D) E)





18° 36° 90/7° 12° 6°

21. En la figura: mB= 80°, mPAC=mCPD =3mCAD = 30° y mACP= 50°. Halle x. B

A) 45°

B) C) D) E)

C x

60° 30° 50° 40º

22. En la figura m – n = 20°, calcule: x – y B

  m

A) 5°

B) 10°

C) 20°    A

n 

D) 40°



E) 30º

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

Félix Flores Espíritu

Geometría

Líneas Notables Asociadas al Triángulo

Ten en cuenta que: 

Las cevianas no son líneas notables, pues para que sea considerada como tal debe cumplir una propiedad particular.



Desde un vértice se pueden trazar infinitas cevianas, tanto interiores como exteriores.



Una ceviana puede confundirse con los lados del triángulo. Cuando el pie de la ceviana es uno de los extremos del lado al cual es relativo.

Ceviana Es el segmento que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación. B

En el triángulo ABC BN : ceviana interior relativa a AC BM : ceviana exterior relativa a AC

BL : ceviana exterior relativa a AC

1. Mediana Es la ceviana que biseca al lado relativo. B

En el triángulo ABC A 

BM : mediana relativa a AC



Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa: La mediana relativa a la hipotenusa en un triángulo rectángulo mide la mitad de dicha hipotenusa. B

 A



ABC : BM : mediana relativa a la hipotenusa Entonces: BM =

AC 2

Félix Flores Espíritu

Geometría

2. Bisectriz Es la ceviana que biseca al ángulo interior o exterior. B

Ten en cuenta que:

L  A



Hay que diferenciar entre la bisectriz de un ángulo y la bisectriz de un triángulo. En el primero la bisectriz es un rayo, mientras que en el segundo es un segmento, que puede ser interior ó exterior al triángulo.

En el triángulo ABC

AL : bisectriz interior relativa a BC T Q   n

En el triángulo MQN QL : Bisectriz exterior relativa a MN

Observación:

n>m

Propiedad de la Bisectriz: Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.

Q Q

A a

 

P M a

m R

En la figura. OM : bisectriz del AOB SI: P  OM Entonces:

PQ = PR

OQ = OR

* Lo recíproco de este problema es cierto.

Félix Flores Espíritu

Geometría

3. Altura Es la ceviana perpendicular al lado relativo. B

En el triángulo ABC A

BH : altura relativa a AC

Ten en cuenta que: Q

En el triángulo PQT QM : altura relativa a PT M

En un triángulo acutángulo las tres alturas que se pueden trazar, están contenidos en la región interna del triangulo. Si el triángulo es Obtusángulo dos de sus alturas estarán en la región externa del triangulo.

En el triángulo ABC BH : altura relativa a AC C

4. Recta Mediatriz Es la recta que biseca perpendicularmente a un lado. L



En el triángulo ABC

L : recta mediatriz relativa a AC

Propiedad de la Mediatriz: Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento. P

AP = PB

AQ = QB A

B Mediatriz

En el triángulo rectángulo dos de sus alturas son catetos del triangulo y la altura relativa a la hipotenusa se encuentra en la región interna del triángulo. Entonces podemos concluir que la altura de un triángulo, a veces esta en la región interna, otras veces esta en la región externa e incluso puede estar contenido en el triángulo.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Observacines: Ten en cuenta que: 1.

En un triángulo isósceles se cumple: B  

Cuando en una figura -

Altura Mediana Bisectriz Mediatriz

no se intersecan, la idea es prolongar dichas bisectrices

observamos bisectrices que

hasta que se intersequen y

Propiedades de los Ángulos con las Líneas Notables 1.

relacionarlas con cualquiera

de los casos de los angulos



 2

 = 90° +

formados por bisectrices en un triángulo.









 C



2. 

 = 







 2

En el gráfico, al prolongar las bisectrices, la región sombreada se puede asociar con la segunda propiedad de los

 







ángulos entre bisectrices. = 90° –

 2



  

=  A

 C

 2

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

El menor de los ángulos formados por las bisectrices interiores de los ángulos internos B y C de un triángulo ABC mide 30°. El ángulo interno A medirá:

En un triángulo ABC, calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos A y C, sabiendo que la suma de los ángulos exteriores A y C es 300°.

En un triángulo ABC, se traza la altura AH y la mediana BM . Si AC mide 32, halle HM.

En un triángulo MNP se trazan las medianas PQ y MO y la altura NR . Si MN = 6, NP = 8 y MP = 12, el perímetro del triángulo OQR es:

Se tiene un triángulo ABC (AB = BC), en AC se ubica el punto P, por dicho punto se traza la perpendicular a AC que interseca a AB en Q y a la prolongación de CB en R. Calcule AB, si AQ = 6 y CR = 20.

En un triángulo rectángulo ABC recto en A, se ubica el punto E en AB , en la región exterior relativa a la hipotenusa, se ubica el punto Q, tal que

EQ  BC = (P) y mQPC - mACB = 18°. Calcule la medida del menor ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos ABC y EPC. 7.

En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza las bisectrices interiores AD y BE que se intersecan en P, si mABE + mAPE = 60°. Calcule la

mBAP. 8.

Según la figura, calcule x.

+ 



n n



 



En la figura mostrada calcule x. 2x  

 



  

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AR y la altura BF que se intersecan en el punto Q, tal que BR=RQ. Calcule AB, si AF = 2, FC = 9, mBAR = mBCA.

Tarea 1.

En un ABC, recto en B, la altura BH y la bisectriz interior AE se intersecan en el punto P. Si mBPE = 52°, calcule la mC. A) 12°

B) 16°

C) 28°

D) 14°

E) 32°

En un ABC, mC – mA = 46°, se traza la bisectriz exterior BE . Calcule la mBEC. A) 21°

B) 22°

C) 23°

E) 25°

Calcule el valor de x: A) B) C) D) E)

D) 24°

60° 53° 45° 30° 15°

En un ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior AE . Si AE = EC, calcule la mC. A) 30°

B) 45°

C) 53°

D) 60°

E) 75°

En un ABC, AC = BC, la altura BH corta a la bisectriz interior AE en el punto P. Si mBPE = 52°, calcule mACB. A) 18°

B) 28°

C) 32°

D) 42°

E) 51°

En un ABC, recto en B, se traza la altura BH . Calcule mBAC, si: mACB + mABH = 56°. A) 62°

B) 56°

D) 66°

E) 58°

Halle la medida del ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. A) 22° 30´

C) 64°

Halle x.

 

B) 45°

 

C) 60°

D) 90°

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40°

100°

E) 80°

E) 135°

Félix Flores Espíritu

Geometría

Calcule x + y; y

3 3

A) B) C) D) E)

76° 2 2

51° 53° 55° 57° 59°

10. En un ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BE y luego AQ  BE . Si mQAC = 20°, calcule mBCA. A) 20°

B) 30°

C) 45°

D) 25°

E) 35°

11. En un ABC, las bisectrices interiores AE y BF se cortan en el punto H. Si mBAC = 42° y BH = BE, calcule la mACB. A) 42°

B) 44°

C) 46°

D) 48°

E) 50°

12. En un ABC, isósceles y acutángulo (AB = BC), la bisectriz interior AE se corta con la altura BH en el punto P. Si mBPE = 65°; calcule la mACB. A) 50°

B) 40°

C) 80°

D) 70°

E) 65°

13. Calcule el valor de x: A) 120° B) 130°

95° 125°

C) 140° D) 148° E) 150°

14. Dos bisectrices exteriores de un triángulo forman un ángulo que mide 100°. ¿Cuánto mide uno de los ángulos externos del triángulo? A) 140°

B) 160°

C) 170°

15. Del gráfico, halle “x” si: AM = MC. B A) 10° 3x

B) 15° C) 30° 2x x

D) 37° C

E) 20º.

16. Halle x. B N

A) 40°

80°

B) 60° Q

C) 80°

x A

D) 120° P

E) 160°

D) 150°

E) 120°

Félix Flores Espíritu

Geometría

17. Del gráfico halle “x”. x



 

A) 25° B) 35° C) 45° D) 50° E) 60°

40°

18. Halle DC, si AB = 21 cm. B

A) 10,5 cm B) 21 cm C) 42 cm 

2 A

D) 55 cm

E) 63 cm

19. Halle x: x

A) B) C) D) E)

76°

 

 

52° 48° 42° 66° 66°

20. En la figura halle PQ si AH = 5 y BH = 12. B

A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12

P  

21. Si las medianas relativas a los lados BC y AC de un triángulo ABC miden 24 m y 18 m respectivamente, entonces el lado AC puede medir. A) 20

B) 44

C) 36

D) 18

E) 24

22. De la figura, halle  si mABC=100° y mBAC = 3(mBCA). ( BF : Bisectriz del ABC). B 

 A

A) 10°



B) 20°



 C

C) 25°

D) 40°

E) 50°

Félix Flores Espíritu

Geometría

23. Halle x. 110°

A) 70° B) 100° C) 110° D) 125° E) 145°

x 







24. Halle x. x 

x 

A) 110° B) 120° C) 135° D) 145° E) 100º.





25. La bisectriz del ángulo B y la mediatriz del lado BC de un triángulo ABC se interseca en un punto del lado AC . Si mBAC = 57°, halle la mABC. A) 37°

B) 47°

C) 53°

D) 67°

E) 82°

26. Según el gráfico, calcule , si mABN = mNBC y mBAC – mBCA = 40° B A) 40° B) 45° C) 80° D) 90°

45°   

E) 110°

27. El ángulo que forman la altura relativa a la base de un triángulo isósceles y la bisectriz de uno de sus ángulos iguales es 56°. ¿Cuánto miden los ángulos iguales del triángulo? A) 62°

B) 68°

C) 70°

D) 56°

E) 48°

28. Halle x en la siguiente figura: A) B) C) D) E)

64°

 3

 3

93° 102° 135° 87° 56º

29. En un triángulo PQR recto en Q, TS es mediatriz del lado QR (T en QR y S en PR ). Si M es punto medio de SR y TM + QS = 30. Halle PR. A) 60

B) 40

C) 30

D) 20

E) 10

Félix Flores Espíritu

Geometría

30. Halle x 160°

 

130°

A) B) C) D) E)

 

15° 18° 20° 25° 30°

31. Si: QM y PN son mediatrices de AB y AC respectivamente, halle x. B A) 18° P

B) 36° C) 37° Q

x 2x A

D) 53° E) 60°

32. Halle “x”, si CM = MD y AN = NC. C

A) 6°

62° N

B) 12°

C) 22°

22° A

D) 28°

E) 32° 33. En un triángulo ABC las bisectrices interiores de los ángulos A y C, se intersecan en “M”. Sobre

se considera el punto R, tal que:

mAMR = 90°, mABC = 40°. Halle la mRMC. A) 10°

B) 15°

C) 20°

D) 40°

E) 50°

34. En un triángulo obtusángulo isósceles ABC (AB = BC), la bisectriz del ángulo A forma con la altura relativa al lado BC un ángulo de 30°. Halle la medida del ángulo B del triángulo. A) 60°

B) 110°

C) 80°

D) 50°

E) 100°

35. El ángulo D de un triángulo AOD mide 32°. Sobre el cateto OD se toma un punto P, desde el cual se traza PQ perpendicular a la hipotenusa AD . Calcule la medida del OMQ, siendo M el punto medio de AP . A) 116°

B) 25°

C) 62°

D) 40°

E) 58°

Félix Flores Espíritu

Geometría

36. Los ángulos A y C de un triángulo ABC miden 48° y 12° respectivamente. Se toman los puntos medios M y N de los lados AC y BC respectivamente. Luego se prolonga AB hasta un punto P, de tal manera que BC = 2BP. Calcule la medida del ángulo MPN. A) 15°

B) 20°

C) 12°

D) 12,5°

E) 25°

37. Del gráfico BE= EC si β es a ω como 1 es a 2 y la m EFG = α, entonces α es:

A)10°

B) 15°

C) 20°

D) 45°

E) 30°

38. Del gráfico, halle x. B A) 95°

70°

    A



B) 110°



C) 115,5°

x 

D) 105º



E) 117,5°

39. Sobre los lados AB y BC de un triangulo acutángulo ABC se ubican los puntos D y E, respectivamente, de modo que AD = BD = BE y la mDEB=mABC. Si las bisectrices de los ángulos BAC y ACB se cortan en P , entonces la medida del ángulo CPA es: A)110°

B) 115°

C) 120°

D) 125°

E) 130°

40. Según el gráfico, calcule Y/X.

A) 1/6

B) 1/4

C) 1/3

D) 1/2

E) 2/3

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

Félix Flores Espíritu

Geometría

Base Media de un Triángulo Recuerde que: En todo triángulo, el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de dicho tercer lado. B

En el ABC: M: Punto medio de AB N: Punto medio de BC Luego: MN // AC MN: Base media

MN 

Si en un triángulo se tiene el punto medio de un lado, se recomienda ubicar el punto medio de cualquiera de los otros dos lados para aplicar el Teorema de los puntos medios (base media de un triángulo).

AC 2

Ejercicios de Aplicación 1.

En un triángulo isósceles ABC (AC = BC), se unen los puntos medios P y Q de AB y BC respectivamente. Si AC = 20 m, halle BQ.

En la figura halle la relación entre EP y AQ , si ABCD es un rectángulo. B

 E P



En un triángulo ABC se traza AM (M punto medio de BC) y BD (D en

AC ). BD corta a AM en P que resulta ser el punto medio de este último. Si PD = 7 cm, halle PB.

Otra posibilidad sería trazar por dicho punto medio una recta paralela a cualquiera de los otros dos lados, pues esta recta biseca al tercer lado. Si MM0 // AC →BM0=M0C

Félix Flores Espíritu

Geometría

Triángulos Notables Triángulos Rectángulos Notables Recuerde que: De 45° y 45°

De 30° y 60°

45°

60°

a 2

Los dos primeros triángulos notables, que los geómetras de la antigüedad conocieron son: El triángulo rectángulo isósceles y el triángulo equilátero el primero resulta de partir el cuadrado al trazar su diagonal y el otro al trazar cualquiera de sus alturas, genera el triángulo rectángulo de 30º y 60º.

a 30°

45° a

a 3

De 15° y 75° B

 6  2

 6  2

BH : altura

75°

BH =

15°

Propiedad:

B 120° a

a 30°

30°

A b

En el triángulo ABC, se cumple: b = a 3

Triángulos Rectángulos Aproximados De 37° y 53°

De 14° y 76° 53°

14°

37°

76°

a 17

53 127 y 2 2

a 5 53°/2

De 8° y 82°

127°/2

82°

5a 2 a

a 8°

Félix Flores Espíritu

Geometría

37 143 y 2 2

De 16° y 74°

25a

143°/2

a 10

El triángulo ABC, se forma al unir dos triángulos notables congruentes de 30º y 60º que comparten el cateto que se opone al ángulo de 30º.

74° 7a

37°/2

Ten en cuenta que:

16° 24a

Así en el triángulo ABC se cumple: Si AB = BC =a y AC=b

Ejercicios de Aplicación

Entonces: b = a 3 B

1. Se tienen tres segmentos de recta AB , AC y AD de modo que mBAC=30°,

120° a

mCAD=45°, DC  AC , CB  AB , AC=2. Halle la distancia de D a AB .

30°

2. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos tales que uno es el triple del otro. Halle la medida del menor ángulo del triángulo rectángulo. 3. En un cuadrilátero cóncavo APCO, mAPC=90°, mPAC=30°, el COA es cóncavo y PC=PA=AO. Halle la mPCO. 4. En un triángulo rectángulo Isósceles ABC (recto en B), en AC se ubican los puntos M y N de manera que AM=MN=NC. Calcule la medida del ángulo MBN. 5. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. Si la m BAC= 37°/2, la m BCA = 53°/2. Calcule la mBMC. 6.

Del grafico AD=12, calcule BC.

A b

Luego: Si un triángulo es isósceles y la separación entre dichos lados congruentes mide 120º, entonces la base de dicho triángulo es igual al lado congruente multiplicado por la raíz cuadrada de tres.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tarea 1.

El perímetro de un triángulo equilátero es 24, se unen los puntos medios de los lados de dicho triángulo. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de dos lados de este último triángulo. A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

En un triángulo ABC se unen los puntos medios M y N de AB y BC respectivamente. Si MN = 10, calcule AC + MN. A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

M y N son los puntos medios de los lados AB y BC de un triángulo ABC. Si MN + AC = 12, halle AC. A) 3 4.

B) 4

D) 8

E) 9

En la figura, halle PQ. B

C) 6

A) B) C) D) E)

6 8 10 15 20

En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 8. Se traza CP perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo B. Siendo M punto medio de AC , halle PM. A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

En un ABC, AB = 12 y AC = 20. Se traza BE , perpendicular a la bisectriz del A. (E, sobre dicha bisectriz). Halle la distancia de E, al punto medio M, de BC . A) 3

C) 4

D) 5

E) 6

En un triángulo rectángulo ABC recto en A, mC=37, halle BC si AB=6. A) 8

B) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

El ángulo A de un triángulo ABC mide 30 y el ángulo C mide 45, calcule BC si AB=2. A) 2

B) 1

D) 3

En un triángulo ABC, mA=37, mC=30, si AB=m y BC=n, halle m/n. A) 5/6

B) 3/5

C) 6/5

D) 5/3

E) 2/5

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. En un triángulo PQR, mP=30, mR=53, si PQ=n2 y QR=3n, halle n. A) 19/10

B) 10/19

C) 10/9

D) 9/10

E) 5/9

11. En el interior de un cuadrado ABCD se construye el triángulo rectángulo AED de hipotenusa AD .Si

mEAD=60° y ED=12, calcule el perímetro del

cuadrado.

A) 8 3 12. En

B) 16

C) 16

D) 32

E) 32 3

un triángulo ABC, mB = 60°, AB = 8 m y BC = 15 m. Calcule la

longitud de AC .

A) 13 2 m

B) 15 2 m

C) 15 m

D) 13 m E) 12 m

13. En un triángulo rectángulo ABC, mC=30, la hipotenusa AC mide 2 3 , la altura BH y la bisectriz AF se cortan en E. Calcule el perímetro del triángulo BEF.

A) 2 3

B) 2

C) 3

D) 3 3

E) 6

14. En el gráfico, PQ = 20, AP = 5 y QB = 7. Halle AB. Q

A) 12

B) 10

C) 16

D) 14

E) 18

15. El ángulo B de un triángulo ABD recto en D, mide 37.Sobre BD se toma un punto C tal que mCAD=37, halle BC si AC=30. A) 15

B) 17

C) 14

D) 12

E) 16

16. En un triángulo ABC se traza la altura BM , halle BCBM si mA=60, AB=MC=4 A) 2( 7  3 )

3  2

C) 2 3

7  3 E) 2 2

17. En un rectángulo ABCD sobre BC se toma el punto E de modo que mEAD=53° y mAED=90°. Si AD=10, calcule ECBE A) 14/5

B) 7/5

C) 12/5

D) 9/5

E) 6/5

Félix Flores Espíritu

Geometría

18. El ángulo N de un triángulo MNP mide 120°,si MN=n, NP=4n y MP= 7 , halle “n” A) 1/7

7 /7

C) 1/3

3 /3

E) 7/3

19. El perímetro de un triángulo equilátero ABC es 36. Se une A con el punto medio M de BC y se traza MD perpendicular a AB , halle AD.

B) 2 3

C) 4

D) 3

E) 6 3

20. En un triángulo rectángulo ABC, el ángulo B mide 90 y C mide 30. La mediatriz de BC corta en E a AC y a la bisectriz del ángulo ABE en P. Si AC=2 3 , halle BP. A) 3

B) 6

C) 9

21. En el triángulo mostrado, calcule

D) 12

E) 8

HC B

A) 3 / 4 B) 1/4

30° H

C) 3 / 2 D) 1/2 C

22. En la figura, AB = 1. Calcule

3 /3

6/3

AD  AE AC  BC

B) 2 6 / 3 30° 45°

60°

6/2

D) 3 6 / 2 C

23. En un triángulo rectángulo ABC, las bisectrices interiores de los ángulos agudos A y C se intersecan en el punto P. Halle AC si AP=2 y PC=6 2 .

A) 8 2

B) 12

C) 10 2

D) 10

E) 12 2

Félix Flores Espíritu

Geometría

24. Del gráfico que se muestra Calcule α.

A) 15°

B) 10°

C) 8°

D) 6°

E) 5°

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tema: Triángulos Problemas Tomados En la I.E.P. Sagrado Corazón de Jesús

Problemas Dirigidos 1.

Las medidas angulares interiores de un triángulo son (3x+2y)º; (3x-2y)º y (4y-3x)º. Calcule el valor múltiplo de 5 que puede tomar y. A) 15º

C) 25º

D) 30º

E) 35º

En el gráfico, Calcule x+y

A) 45º 3.

B) 20º

B) 60º

C) 90º

D)120º

E)180º

En un triángulo ABC se traza la ceviana BM, donde MC = 2BM. Si la m MBC=3(m ABM)=3(m ACB), Calcule la m BAC. A) 15º

B) 20º

C) 25º

4. Se tiene un triangulo ABC, donde

D) 30º

E) 35º

BC - AB=7. Si AC=16, Calcule el

menor valor entero que puede tomar el perímetro de la región triangular ABC. A) 33

B) 36

C) 25

D) 30

E) 35

5. En un triangulo ABC. en la región interior se ubica el punto P, de modo que BP= 3; AP = 4 y PC=5. Si el ángulo APC es agudo y el APB es obtuso, ¿Que tipo de triángulo es ABC, cuando AC toma su máximo valor entero y AB toma su mínimo valor entero? A) Escaleno

B) Isosceles

C) Rectangulo

D) Equilátero

E) Obtusangulo

En un triangulo ABC se traza la altura CH, H en AB, y en el triangulo ACH se traza la bisectriz interior AD. Si m BCH=m HAD; AH=9 y BH=3. Calcule AC. A) 18

B) 16

C) 15

D) 10

E) 12

Félix Flores Espíritu

Geometría

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BE y la ceviana interior AF, tal que m ABE= 2(m FAC). Si AB=AF y EB=BA. Calcule m ABC.

A) 45º

B) 70º

C) 60º

D) 90º

E) 75º

8. Los triángulos ABC y CDE son congruentes. Calcule x.

A) 45º

B) 70º

C) 60º

D) 90º

E) 75º

9. En la región interna de un triángulo ABC, se ubica el punto P, de modo que la

m PAB= m PCA, mAPC= m PAB + 2 m PBA,

AB=PC. Calcule AC/AP.

A) 1

B) 1,5

C) 3/4

D) 2

E) 5/4

10. Si BQ=5, AQ=4. Calcule x.

A) 45º

B) 37º

C) 60º

D) 53º

E) 71º30´

Félix Flores Espíritu

Geometría

Problemas Domiciliarios m ABC=2(m BCA). Si AB=3,

1. Se tiene un triángulo BC, donde

Cuantos valores enteros puede tomar BC? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

2. En un triángulo ABC se traza la ceviana BM, en BC se ubica el punto N, de modo que BM=BN y m ABM =2(m NMC). Si BN - MC=AM - NC, Calcule la mACB. A) 45º

B) 60º

C) 75º

D) 90º

E) 35º

3. En un triangulo ABC se traza las cevianas interiores BM y BN (M entre A y N). Se sabe que AM=BN+BC, mBAC=1/3(mABM)= ½(mBCA) y mMBN=mNCB. Calcule la mNBC. A) 54º

B) 24º

C) 18º

D) 44º

E) 36º

4. Se tiene un triangulo ABC, y en su región interior se ubica el punto P tal que AP=PC=AB; mABC=4(mBCP)=8(mPAC). Calcule mBAP. A) 60º

B) 40º

C) 45º

30º

90º

5. En el gráfico, AB=AD=DC. Calcule x.

A) 45º

B) 60º

C) 75º

D) 30º

E) 35º

6. Se tiene un triángulo ABC, donde AB=2(BC), luego se traza la ceviana interior BD tal que mBAD=2(mABD). Si BC=CD, calcule m< BCD. A) 60º

B) 80º

C) 45º

D) 90º

E) 100º

7. En la región exterior relativa al lado BC de un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto M tal que AM∩BC={N} y MN=MC=AB. Calcule la m CBM. A) 50º

B) 40º

C) 25º

D) 30º

E) 60º

Félix Flores Espíritu

Geometría

8. En un triángulo ABC se trazan las cevianas interiores BD y CP, que se intersecan en R, tal que mPCB=2(mPBD), mDBC = 2(mPCD) y mDPR= mRDP= mBAC.

A) 75º

B) 80º

Calcule mBRC.

C)120º

D) 90º

E)135º

9. En un triángulo ABC se trazan las cevianas interiores AM y BN, de modo que m MAC=30º. Si m ACB=24º, m MAB=54º y m MBN=18º, calcule m MNB. A) 15º

B)20º

C)25º

D)30º

E)35º

10. Se tiene un triángulo ABC donde m BAC=4(mBCA). Si AB=7, calcule el máximo valor entero de BC.

A) 14

B) 28

C) 27

D) 21

E) 35

Cuadro de Respuestas

Problemas Dirigidos

Problemas Domiciliarios

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

Félix Flores Espíritu

Geometría

Polígono Las Matemáticas y las abejas Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.

Pappus de Alejandría

¿Saben matemáticas las abejas? Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son más difíciles de construir?

La forma geométrica puede encontrarse en todos los panales de las abejas, que es hexagonal regular: esta forma del panal minimiza el trabajo necesario para construirlo.

La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego “igual perímetro”). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las abejas?… Al final del primer párrafo se dice que sólo se podría aprovechar el espacio al máximo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Sería Ud. capaz de demostrar eso?

Félix Flores Espíritu

Geometría

Polígono Definición

Ten en cuenta que:

Es aquella figura geométrica que se forma al unir tres o más puntos no colineales de un mismo plano, mediante segmentos de recta, limitando una región del plano. 2

B 1 A

1

6

C 3  3

2

4 D

REGIÓN INTERIOR 5

6 F

4

5 E

Elementos Vértices: A, B, C, ........ -

Supongamos que podemos ordenar n puntos A, B,…, F del plano, de forma tal que tres consecutivos no estén alineados y las rectas determinadas por dos consecutivos dejan los restantes puntos de un mismo semiplano. En este caso diremos que la intersección de todos estos semiplanos es un polígono convexo.

Lados: AB, BC, CD, ........

Medidas de sus ángulos Interiores: 1, 2, 3, ........ Exteriores: 1, 2, 3, ........ Elementos asociados -

Diagonales: AC, AD, AE, BD,

Diagonales medias: MN, ........

Región poligonal Es la unión del polígono y su región interior. {Polígono}  {Región interior} = {Región poligonal} Clasificación: Según la región poligonal

Región poligonal convexa

Región poligonal cóncava

Los puntos A, B, …, F se llaman vértices del polígono y los segmentos determinados por dos consecutivos, lados del polígono.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Según el número de datos: Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono

: : : : : :

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados

Ten en cuenta que:

Nonágono: 9 lados Decágono: 10 lados Endecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono: 15 lados Icoságono: 20 lados

Polígono equiángulo Es aquel polígono en el cual sus ángulos interiores son de igual medida, en consecuencia sus ángulos exteriores también son de igual medida. 



 

 





Todas las figuras que se definen como la intersección de semiplanos, como los ángulos convexos, triángulos y polígonos convexos satisfacen la siguiente propiedad: Los puntos del segmento determinado por un par de puntos que pertenecen a una figura convexa también pertenecen a ella. Esto es así por pertenecer a cada uno de los semiplanos que lo definen.



Polígono equilátero Es aquel polígono cuyos lados son de igual longitud. a a

Los Polígonos Regulares de lados pares son siempre figuras que tienen Simetría Central.

Polígono regular Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez. El polígono regular es inscriptible y circunscriptible a dos circunferencias concéntricas cuyo centro común es el centro del polígono. O: centro del polígono regular. AOB: ángulo central E



 a

a D



 A

 C

 a

Simetría

Propiedades Fundamentales: 1.

Suma de las medidas de los ángulos interiores Sm  i = 180°(n-2) donde n : número de lados

En todo polígono equiángulo: M  i =

180 (n  2) n

Este sello es buena muestra de una figura con simetría central. Efectivamente, es posible encontrar un punto que resulte ser centro de una simetría que transforme la figura en sí misma.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Suma de las medidas de los ángulos exteriores En todo polígono de región interior convexa: Sm  e = 360° En todo polígono equiángulo:

me =

360 n

Suma de las medidas de los ángulos centrales En todo polígono regular: Sm  c = 360° mc =

360 n

Número total de diagonales En todo polígono: n (n  3) #D = 2

Número total de diagonales medias En todo polígono: n (n  1) # Dm = 2

Ten en cuenta que:

Los polígonos no tiene ángulos, sus lados determinan ángulos o forman pares angulares, pero eso no quita que se puedan trazar todos los ángulos que se quiera. Por ello en un polígono se pueden trazar ángulos interiores, exteriores y si el polígono es regular se pueden trazar, además de los dos anteriores, ángulos centrales.

Ejercicios de Aplicación 1.

¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es igual al número de vértices?

Calcular el número de diagonales de un polígono convexo, si la suma de sus ángulos interiores es igual a 4,5 veces la suma de sus ángulos exteriores.

¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono, donde el número de lados sea igual al número de diagonales de un heptágono regular?

En un polígono convexo, cada ángulo interior es a su ángulo exterior como 7 es a 1. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

Un polígono regular tiene 4 lados menos que otro y la diferencia de las medidas de los ángulos centrales es 45°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?

La diferencia de medidas de un ángulo interior y exterior de un polígono regular es 90°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? En un polígono desde el punto medio de uno de sus lados se trazan 99 diagonales medias. Calcule el número de diagonales de dicho polígono.

La suma de tres ángulos interiores consecutivos de un pentágono es 310°. ¿Qué ángulo forman las bisectrices de los otros dos ángulos?

El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono, dependerá del número de vértices que tenga dicho polígono.

Félix Flores Espíritu

Geometría

El doble del perímetro de un polígono equivale numéricamente a la cantidad total de diagonales que se puede trazar. Si cada lado del polígono mide 1,75 cm, ¿cuántos lados tiene el polígono?

10. En un polígono regular MNPQRS ….., la mMNQ = 90°. Calcule el número de diagonales. 11. En un polígono equiángulo ABCDE. .... en el cual AB // DE . Calcule el número de diagonales de dicho polígono. 12. En un octógono equiángulo, ABCDEFGH, AB = 5 2 y BC = 7. Calcular AC.

Tarea 1.

Si al número de lados de un polígono le agregamos su número de vértices se obtiene 20. Halle su número de lados. A) 10

B) 15

C) 9

D) 11

E) 13

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

B) 7

C) 6

D) 5

E) 4

B) 9

C) 14

D) 20

E) 27

¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? A) Pentágono D) Octógono

B) 8

Halle el número de diagonales de un polígono cuyos ángulos interiores suman 900°. A) 5

C) Pentágono E) Dodecágono

Se sabe que un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es 540°. Con este dato averigüe el número total de sus diagonales. A) 8

B) Cuadrado

El número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es 20. Halle el número de sus lados. A) 10

E) 30

¿En qué polígono se cumple que el número de sus diagonales excede al número de sus vértices en 7? (De cómo respuesta el número de lados) A) 7

D) 25

De todos los polígonos regulares, ¿cuál es el que posee mayor ángulo central? A) Triángulo D) Hexágono

C) 20

B) Hexágono

C) Heptágono E) Nonágono

Félix Flores Espíritu

Geometría

¿En qué polígono regular se cumple que la medida del ángulo exterior es el doble de la medida del ángulo interior? A) Triángulo D) Hexágono

B) Cuadrilátero

C) Pentágono E) Heptágono

¿En qué polígono se cumple que el número de lados más la mitad del número de vértices es igual al número de diagonales? A) Pentágono D) Octógono

B) Hexágono

C) Heptágono E) Nonágono

10. Halle el número de lados de un polígono convexo cuyos ángulos internos y externos suman 3 960°. A) 21

B) 22

C) 24

D) 18

E) 20

11. Halle el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que su suma de ángulos interiores es igual a 2 340°. A) 27

B) 35

C) 65

D) 15

E) 90

12. En un polígono regular se cumple que la suma de medidas de los ángulos interiores es 6 veces la medida de un ángulo interior. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 7

13. Si al número de lados de un polígono se le aumenta 3, su número de diagonales aumentará en 15. Halle el número de lados del polígono original. A) 4

B) 5

C) 7

D) 8

E) 9

14. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual su número de diagonales aumenta en dos, al aumentar en uno el número de lados? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

15. Halle x en la figura si el pentágono y el hexágono son regulares. A) B) C) D) E)

12° 18° 24° 48° 22º

16. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual la suma de sus ángulos internos y externos es 3780°? A) 10

B) 15

C) 21

D) 25

E) 26

17. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono regular en el cual el ángulo externo es la mitad del interno?

Félix Flores Espíritu

Geometría

A) 12

B) 9

C) 14

D) 5

E) 8

18. ¿Cuántos lados tiene el polígono cuyo número de diagonales excede en 133 al número de lados? A) 20

B) 19

C) 18

D) 17

E) 16

19. ¿Cuántos lados tiene el polígono donde el número de lados excede en 2 al número de diagonales? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

20. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular en donde la medida del ángulo central es la mitad de la medida del ángulo interior? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

21. La medida de un ángulo central en un polígono regular es numéricamente igual a 10 veces el número de lados del polígono. ¿Cuántos lados tiene el polígono? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

22. La diferencia de los números de lados de dos polígonos regulares es 2 y sus ángulos centrales son entre sí como 3 es a 4. Calcule la medida del ángulo interno del polígono de mayor número de lados. A) 135°

B) 120°

C) 144°

D) 108°

E) 100º

23. El ángulo exterior de un polígono regular mide a, calcule la diferencia entre el número de diagonales medias y el número de diagonales de dicho polígono.

360 a

90 a

180 a

270 a

200 a

24. Dados los polígonos regulares mostrados, halle “n” si  = 44°



Pentágono Regular

Polígono Regular de “n” lados

A) 20

B) 16

C) 22

D) 18

E) 24

25. Si aumentamos en 1 el número de lados de un polígono, el número de diagonales aumenta en 6. Si disminuimos en 1 el número de lados, el número de diagonales disminuye en: A) 6

B) 3

C) 5

D) 4

E) 2

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Geometría

26. Calcule el número de lados de un polígono regular si tiene dos lados más que otro, pero su ángulo central mide 30° menos que la medida del otro. A) 9

B) 5

C) 7

D) 8

E) 6

27. En un polígono convexo el número total de triángulos que se pueden formar trazando diagonales desde un solo vértice es al número de diagonales como 4 es a 9. Calcule el número de lados del polígono. A) 9

B) 7

C) 5

D) 8

E) 6

28. El número de lados de un polígono aumenta en 10. Cada ángulo interior del nuevo polígono es 3° mayor que cada ángulo interior del original. ¿Cuántos lados tiene el polígono original si es regular? A) 5

B) 10

C) 15

D) 20

E) 30

29. Cuando a un polígono se le aumenta 3 lados, el aumento del número de diagonales es igual al número de ángulos de 45° a que equivaldría la suma de los ángulos interiores del polígono original. ¿Cuántos lados tiene el nuevo polígono? A) 5

B) 6

C) 11

D) 12

E) 8

30. Los ángulos interiores B, C y D de un pentágono convexo: ABCDE miden 70°, 160° y 50°, ¿qué ángulo forman las prolongaciones de BA y DE ? A) 60°

B) 90°

C) 80°

D) 100°

E) 110º

31. ¿Cuál es el polígono en el que se puede trazar 17 diagonales distintas desde cuatro vértices consecutivos? A) Pentágono D) Octógono

B) Hexágono

C) Heptágono E) Eneágono

32. Al aumentar en tres el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de dichos polígonos. A) 720°

B) 900°

C) 1080°

D) 1440°

E) 1260°

33. Las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo están en progresión aritmética de razón 5°; siendo la medida del menor: 120°. Calcule el número de lados del polígono. A) 9

B) 8

C) 10

D) 12

E) 6

34. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos. A) 1800°

B) 1440°

C) 1260°

D) 1620°

E) 1980°

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Geometría

35. En un polígono equilátero cuyo lado mide 4 cm; su número de diagonales es numéricamente igual al cuádruplo del número que expresa el perímetro de la región que limita dicho polígono. Calcule el número de lados de polígono. A) 38

B) 40

C) 36

D) 34

E) 35

36. Desde tres vértices consecutivos de un polígono se trazan 14 diagonales como máximo. Calcule el máximo número de diagonales que se trazan en todo el polígono. A) 20

B) 27

C) 35

37. El lado de un hexágono regular mide

D) 44

E) 29.

6 . Calcule el perímetro del nuevo

hexágono originado al unir los extremos de las prolongaciones de los lados. Dichas prolongaciones han sido hechas en un solo sentido y con una longitud igual al lado del hexágono original. A) 3 2

B) 3 3

C) 18 2

D) 6 6

E) 18 2

38. Sobre los lados de un triángulo equilátero de lado “a” se construyen exteriormente rectángulos de igual medida, luego se unen los vértices exteriores consecutivos. Halle la altura de un rectángulo para que la figura formada sea un hexágono regular. A) a / 2

B) 3 3 a

C) a 3

D) a 3 / 3

39. En un hexágono equiángulo ABCDEF, calcule BC . Si BD =

E) 2 2 a

73 , CE =

21 y

DE = 4. A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

40. El número de diagonales de un polígono convexo excede en 16 a la diferencia entre el número de ángulos rectos a que equivale entre el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos interiores y el número de vértices del polígono. ¿De qué polígono se trata? A) Pentágono D) Nonágono

B) Hexágono

C) Octógono E) Decágono

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Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

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Geometría

Cuadrilátero Definición: Recuerde que: Es aquel polígono de cuadro lados. Todo cuadrilátero tiene cuatro vértices y la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 360° y la suma de las medidas de sus ángulos exteriores también es 360º.

Cuadrilátero Convexo ABCD D  

Elementos Vértices: A, B, C y D

Lados: AB, BC, CD y DA 



Diagonales: AC y BD

Para que una figura de cuatro lados sea considerado un cuadrilátero sus cuatro vértices deben estar contenidos en un mismo plano. Además sus lados solo se deben intersecar en sus extremos, de tal modo que en cada vértice solo concurran dos lados.

 +  + θ +  = 360°

Cuadrilátero Cóncavo PQRT; cóncavo en T Q

Elementos Vértices: P, Q, R y T

y  x

Lados: PQ, QR, RT y TP

Diagonales: PR, y QT R

x + y + z + w = 360°

Clasificación de acuerdo al paralelismo de sus lados 1.

Trapezoide. Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos no son paralelos. Trapezoide asimétrico B C

Trapezoide simétrico o bisósceles Q

Eje de simetría

P a

b T

Observación: En un cuadrilátero convexo las diagonales se intersecan, mientras que en cuadrilátero cóncavo estas no se intersecan. En el primer caso la medida del ángulo que forman las diagonales se puede medir en su punto de intersección, mientras que en el cóncavo será necesario prolongar uno de ellos hasta intersecar al otro y medir en la intersección la separación entre dichas diagonales.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Trapecio. Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos a los

Ten en cuenta que:

cuales se les denomina bases.

A la base media de un trapecio también se le llama mediana del trapecio.

Si: BC // AD  ABCD: trapecio B

Elementos: b

Bases: AD y BC h

M a

b D

Laterales

: AB y CD

Base media

: MN

Pero este último quizás es más apropiado para el segmento que une los puntos medios de las bases.

Altura: h

Tipos de Trapecios: A.

Trapecio Escaleno. Es aquel cuyos laterales son de diferente longitud. C

En la figura:

BC // AD AB  CD

 ABCD es un trapecio escaleno

En la figura:

PT // QR PQ  RT P

En el caso que: PQ  PT y PQ  QR  PQRT es un trapecio escaleno, llamado trapecio rectángulo B.

Trapecio Isósceles. Es aquel cuyos laterales son de igual longitud. B

C 



 p



En la figura:Si: AD // BC y AB = CD  ABC es un trapecio isósceles Entonces:mBAD = mADC; mABC = mBCD PA = PD; PB = PC  AC = BD Sus ángulos opuestos son suplementarios

Si degeneramos la figura, haciendo que la base menor sea nula entonces se forma un triangulo y el segmento que unía los puntos medios de las bases se convierte en la mediana del triangulo que se forma producto de este hecho.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Propiedades 1.

Ten en cuenta que:

Los casos en donde se aprecia la utilidad de estas propiedades, es cuando se quiere calcular la distancia del punto medio de un segmento a una recta. Conociéndose las distancias de los extremos del segmento, a dicha recta.

BC // AD MN : Mediana del trapecio MN // BC // AD MN =

ab 2

AD // BC Si: BQ = QD y AP = PC

 PQ // AD // BC A

PQ =

ab 2

Paralelogramo. Es aquel cuadrilátero en el cual sus dos pares de lados opuestos son paralelos.

AB // CD

BC // AD

ABCD es un paralelogramo b



 a



 A

Propiedades - AB = CD y BC = AD - Sus ángulos opuestos son de igual medida - Sus diagonales se bisecan - Los ángulos consecutivos son suplementarios

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tipos de Paralelogramos A.

Romboide b





m a

a n

 A

 D

Si: AB  BC y BD  AC  ABCD : romboide B.

Rombo

B  n

a  

n 

 

Ten en cuenta que: C

Cuando dos segmentos son paralelos y congruentes, (AB//CD; AB=CD=a) entonces al unir sus Extremos de manera que estos segmentos, no se intersecan, se forma un paralelogramo.

Si: AB = BC y BD  AC  ABCD : rombo Consecuencia: AC  BD C.

(ABCD: paralelogramo)

Rectángulo C

B m

m D

Si: AB  BC, y además es equiángulo  ABCD: rectángulo Consecuencia: AC = BD D.

Cuadrado 

B m

C m



 m A



Si: AB = BC y AC = BD  ABCD: cuadrado Consecuencia: es equiángulo y las diagonales son bisectrices

En todo paralelogramo sus diagonales se bisecan (Es decir se intersecan en su punto medio), y sus ángulos opuestos tienen la misma medida.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

En un paralelogramo ABCD el lado AB = 2AD. Se ubica M, punto medio de CD y se une con los vértices A y B. El triángulo AMB es:

En la figura, se sabe que el trapecio ABCD es isósceles y que ABFE es un cuadrado. Determine la longitud de la mediana del trapecio. A

B 5

La altura de un trapecio rectángulo mide 16 m. El lado no paralelo mide 20 m. Halle la distancia que une los puntos medios de las diagonales.

En la figura, ABCD es un trapecio, ML = 4 cm, BL = 2 cm, AL = 8 cm y AD = 9 cm. Calcule BC. B

L M

Se tiene un trapecio ABCD, en el cual BC y AD son sus bases. En CD se ubica su punto medio M y en AD el punto N, tal que MN // AB . Si BC = 6, AN = 10, calcule ND.

En la figura, ABCD es un rectángulo, si BD = 10, calcule AF:

DE = 2 y  +  = 90°,

B 



En un trapecio ABCD de bases AB y CD la base

AB = 7; BC = 12. Halle la

medida de la base mayor si mB = 2mD. 8.

Se tiene un romboide ABCD ( AB<BC ) se traza la bisectriz del ángulo C que interseca al lado AD en el punto “P” y en AB se toma un punto “F” tal que mFPC = 90°. Halle BF si: BC = 7; CD = 5.

Se tiene un trapecio ABCD ( BC // AD ) sobre la prolongación de DC se toma un punto P; calcule PM si: M es punto medio de AB ; mMPC = mD; BC = 5m; AD = 13m.

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. En un paralelogramo ABCD se traza la bisectriz interior DE (E en BC ). Halle la distancia de E a la prolongación de AB si las alturas del paralelogramo son 3 y 7. 11. En un romboide ABCD, se traza BH AD (H en AD ) y además BH interseca a AC en P, tal que

PC = 2(CD). Calcule la mCAB, si la mCAD = 20°.

12. Se tiene un rectángulo ABCD, cuyas diagonales se cortan en el punto “O”. Por “O” se levanta una perpendicular OF a BD de modo que: AO = OF. Calcule la medida del menor ángulo que forman AF y BC .

Tarea 1.

En un cuadrado ABCD, ¿cuánto mide el ángulo ACD? A) 30°

B) 45°

B) 85°

C) 116°



A) B) C) D) E)

x 140° D

15° 30° 40° 45° 60°

20° 30° 35° 40° 45°

En un trapecio rectángulo ABCD se verifica que: mA = mB = 90° mC = 150°. Halle la medida del ángulo D. A) 10°

B) 15°

C) 30°

D) 45°

E) 60°

Las medidas de los ángulos interiores de un trapezoide son entre sí como 1, 2, 3 y 4. Halle la medida del menor ángulo del trapezoide. A) 20°

E) 125°

En la figura, ABCD es un rectángulo. Calcule x. B

D) 122°

A) B) C) D) E)

60°

E) 135°

En la figura adjunta el cuadrilátero ABCD es un romboide. Halle . B

D) 90°

El ángulo A de un paralelogramo ABCD mide 64°. Halle la medida del ángulo B. A) 70°

C) 60°

B) 26°

C) 30°

D) 34°

E) 36°

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Geometría

En la figura, BC // AD y AC = AD. Calcule x. B

A) B) C) D) E)

105°

x A

La base mayor de un trapecio mide 24. Calcule la base menor, sabiendo que es congruente con el segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 6

15° 30° 45° 60° 70°

B) 7

C) 8

D) 9

E) 12

En un paralelogramo ABCD la bisectriz interior del ángulo A interseca a BC en R. Halle AD si CD = 8; RC = 6. A) 10

B) 9

C) 11

D) 14

E) 13

10. Se tiene un cuadrado ABCD, interiormente se construye un triángulo equilátero AMD. Se prolonga CM hasta un punto F tal que CF = DF. Halle la mCFD. A) 15°

B) 10°

C) 30°

D) 45°

E) 60°

11. En un trapecio la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales están en la relación de cuatro a tres. Halle en qué relación están las bases. A) 2/3

B) 3/5

C) 1/7

D) 2/7

E) 1/8

12. En un paralelogramo ABCD cuyo ángulo A mide 45° y AB = 8, se traza la altura BH relativa a CD (H en CD ) si AD = 7 2 . Calcule HD. A) 2

B) 1

C) 3

D) 2/3

E) 5/4

13. En un rectángulo ABCD, se sabe que CD = 6 cm la bisectriz del ángulo A corta 2

a BC en Q tal que: (BQ) (QC) = 24 cm . Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AQ y CD . A) 4 cm

B) 7 cm

C) 6 cm

D) 8 cm

E) 9 cm

14. En un paralelogramo ABCD (AD > AB) se traza la bisectriz interior BE (E en AD); si AB mide 6. Halle la longitud del segmento que une los puntos medios de BD y EC . A) 4

B) 3

C) 2

D) 6

E) 2,5

15. Se tiene un cuadrilátero ABCD mA = mC = 90° desde el punto medio M de

BC se traza la perpendicular MN al lado AD (N en

AD ). Halle MN si

AB = 10; CD = 20; mD = 53°. A) 13

B) 16

C) 12

D) 11

E) 10

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Geometría

16. Se tiene un romboide ABCD se prolonga BD hasta E, por A se traza una paralela a BD que corta a la prolongación de CE en F. Hallar AF, BD = 6, DE = 4. A) 12

B) 14

C) 16

D) 13

E) 15

17. En un romboide ABCD, el ángulo exterior de B es los 5/13 del ángulo interior en D. Calcule la medida del menor ángulo. A) 40°

B) 50°

C) 60°

D) 80°

E) 100°

18. La diagonal de un rectángulo mide 10 y su base 8. Si su perímetro es el mismo que el de un rombo cuya diagonal menor es igual a la altura del rectángulo. Diga cuánto mide la diagonal mayor del rombo. A) 2 5

B) 2 10

C) 4 5

D) 4 10

E) 5 2

19. En un cuadrado ABCD, en la prolongación AD se ubica el punto E, tal que: mACE = 82°. Calcule el perímetro del cuadrado si CE = 25. A) 60

B) 50

C) 70

D) 80

E) 75

20. En un trapezoide ABCD la suma de las medidas de los ángulos interiores de A y B es 200°. Halle la medida del menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos exteriores de C y D. A) 50°

B) 100°

C) 60°

D) 80°

E) 120°

21. En un trapezoide ABCD las bisectrices interiores de los ángulos A y B se cortan en P. Si la mAPB = 30° y mCDA = 20°. Halle la mBCD. A) 20°

B) 30°

C) 40°

D) 50°

E) 25°

22. Se tiene el rombo ABCD. Desde “O” punto de intersección de las diagonales, se traza OQ (Q punto medio de AD ). Si OQ = 3. Halle el perímetro del rombo. A) 24

B) 12

C) 18

D) 20

E) 16

23. Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana en tres partes iguales. En qué relación están las bases. A) 3:2

B) 3:1

C) 2:1

D) 4:1

E) 4:3

24. Interiormente a un cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero AFD. La prolongación de BF corta a CD en P. Halle la mDFP. A) 30°

B) 45°

C) 15°

D) 75°

E) 60°

25. En un paralelogramo ABCD se traza la bisectriz del ángulo C que corta a AD en E y a la prolongación de BA en F. Si ED = 6 y BF = 10. Halle el perímetro de dicho paralelogramo. A) 40

B) 36

C) 30

D) 32

E) 30

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Geometría

26. En un trapezoide ABCD, mB = 80° y mC = 150°. Halle el menor ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo D. A) 30°

B) 20°

C) 25°

D) 35°

E) 40°

27. Se tiene un trapezoide ABCD, mB = 144°. mBCD = 60°, BC = CD = AD. Halle la mACB. A) 6°

B) 8°

C) 12°

D) 15°

E) 18°

28. Se tiene un cuadrilátero ABCD, si mBCD = 60°. mD = 90° y BC = CD = AD. Halle la mBAC. A) 45°

B) 30°

C) 15°

D) 20°

E) 10°

29. En un trapecio ABCD ( BC // AD ), se cumple: AB = BC = 2; mBAC = mADC =  y mACD = 90 + . Halle AD. A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 2

30. En un romboide ABCD, AB = 3 y BC = 14 las bisectrices interior y exterior del ángulo “D” intersecan a la recta BC en los puntos M y N. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AN y MD . A) 3

B) 4

C) 5

D) 3,5

E) 10

31. En un rectángulo ABCD, se traza CH  BD luego se traza CM bisectriz del ángulo ACH. Calcule BC si AM = 6 y CM = 4 2 (M en AD ). A) 3

B) 6

C) 10

D) 12

E) 10 2

32. Calcule la base mayor AD de un trapecio ABCD en el cual BC=CD. La bisectriz exterior del ángulo C corta a la prolongación de AD en F y el segmento que une los puntos medios de AC y BF mide 12 m. A) 6m

B) 12m

C) 18m

D) 24m

E) 30m

33. En un romboide ABCD mA<mB, se traza BH  AD , de modo que el ángulo: mABH=mDBC, si BC= 5 m y CD=4 m. Calcule DB. A) 1m 34. Se

tiene

B) 2m un

trapecio

C) 3m ABCD

( BC :

D) 4m base

menor),

E) 5m AB=BC=CD=

AD . 2

Calcule la mADC. A) 30°

B) 60°

C) 75°

D) 53°

E) 45°

35. En el trapecio ABCD ( AD // BC ) se sabe que AB = BC y AC = CD. Si la medida del ángulo D es 40°, halle la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos ABC y ACD. A) 40°

B) 45°

C) 50°

D) 25°

E) 20°

Félix Flores Espíritu

Geometría

36. En un paralelogramo ABCD se tiene que el ángulo ABC mide 120° y BC = 3CD: Si se traza la altura DH y la mediana del trapecio ABHD es 5,5, halle el perímetro del paralelogramo ABCD. A) 11

B) 12

C) 16

D) 18

E) 19

37. En un trapecio de bases BC=4 y AD=12, se traza la diagonal AC que corta a la mediana del trapecio MN en un punto E. Halle la relación entre las medidas de EN y ME , sabiendo que M pertenece al lado AB .

A) 2

B) 3

C) 6

D) 4

E) 1,5

38. BC // AD; BC = 6; AD = 14. Halle MP. P 

M  D

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

39. Los catetos AB y BC de un triángulo ABC, miden 4cm y 7cm.respectivamente, por A se traza la perpendicular AP a AC de modo que AP=AC. Calcule PB. A)3cm

B ) 4cm

C) 5cm

D) 6cm

E) 2

40. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana CD tal que m ACD= 2(m DCB); en el triángulo DBC calcule la altura BH, si AD=5cm y m BAC=53°. A)1cm D) 4cm

B ) 2cm

C) 3cm E) 2

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

Félix Flores Espíritu

Geometría

Falacias geométricas Mucha gente piensa que la única obra de Euclides es Los Elementos. O al menos que es la única que se conservó o que se conoce. Nada más lejos de la realidad. Se conservan cinco obras más del gran matemático griego y además se conoce que escribió algunas más, que por desgracia no han llegado a nuestros días. Vamos a pararnos en una de las perdidas: Pseudaria (El Libro de los Engaños). Aunque no tenemos datos concretos sobre su contenido se sabe que en esta obra Euclides nos presentaba algunas falacias geométricas. Posiblemente dicha presentación se realizaría planteando un teorema absurdo y dando una demostración ilícita, analizando posteriormente la situación en conjunto. ¡Qué lástima que no hayamos podido disfrutar de ellas! El caso es que existen tres falacias geométricas que bien podían haber sido parte del contenido de Pseudoria, ya que los conocimientos necesarios para desmontarlas no pasan de la geometría plana que se conocía en la época de Euclides. En todas ellas se plantea un enunciado totalmente contrario a la realidad y se incluye una demostración del mismo. Encontrar el punto del camino en el que se encuentra el error es cosa vuestra. 1. Ángulo rectuso: A veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso. 2. Isoscelosis: Todo triángulo es isósceles. 3. Ángulo=Ángulo, lado=lado →paralelogramo: Si en un cuadrilátero ABCD se cumple que el ángulo A es igual al ángulo C y el lado AB es igual al lado CD, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. Demostración:

Tomamos un cuadrilátero ABCD, como el de la figura. Trazamos BX, perpendicular a AD y DY, perpendicular a BC. Ahora trazamos el segmento BD. Los triángulos ABX y CYD son congruentes (es decir, sus lados y sus ángulos son iguales, aunque no están colocados en la misma posición). Por ello BX es igual a DY y AX es igual a CY. De aquí los triángulos BXD y DYB también son congruentes, por lo que XD es igual a YB. Como AB es igual a CD y AD es igual a BC, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. Conclusión Como hemos comentado antes, es evidente que los tres teoremas son falsos. Lo suyo sería que encontráramos los errores de las demostraciones, si puede ser junto a un contraejemplo. ¿Te atreves?

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tema: Cuadrilátero Problemas Tomados En la I.E.P. Sagrado Corazón de Jesús

Problemas Dirigidos 1.

En un cuadrilátero convexo ABCD. Si AD=AB+BC; BC=CD, m BAD=70º y

m ADC=60º. Calcule la m ABC.

A) 100º

B) 130º

C) 120º

D) 140º

E) 135º

En el cuadrilátero ABCD, BC=CD, m A = m C = 90º. Se traza desde C un segmento CH perpendicular a la prolongación de AD. Si CH=a y AD=b (a > b), Calcule AB.

A) (a+b)/2

B) (a+b)

C) (3b-a)

D) (2a-b)

E) (2a+b)/2

En un cuadrilátero convexo ABCD; P, Q, M y N son puntos medios de BC, AD, AC y BD respectivamente. Calcule MN, si AB=CD y m PNQ = 120º.

A) AB/3

B) 2AB/3

C) 3AB/4

D) AB/4

E) AB/2

Sea el trapecio ABCD (BC//AD y BC< AD). Por el punto de intersección de las diagonales del trapecio se traza una recta ℓ que interseca a AB y CD en P y Q respectivamente, que se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la recta que contiene a la mediana del trapecio. Si AA', BB', CC' y DD' son las distancias de los vértices a la recta ℓ y AA'+DD'=a, BB'+CC'=b; calcule la distancia del punto medio de la mediana del trapecio a la recta ℓ.

A) (a+b)/8

B) (a-b)/8

C) (a+b)/4

D) (a-b)/4

E) (a+b)/6

En un paralelogramo ABCD en el que AB y BC miden a y b unidades respectivamente, se trazan las bisectrices exteriores de los cuatro ángulos del paralelogramo formándose un cuadrilátero PQRS. Determine la longitud en unidades, de una de las diagonales del cuadrilátero PQRS.

A) (a+b)

B) (a-b)

C) (a+2b)

D) (2a-b)

E) (2a+b)

En un cuadrilátero ABCD, AB=BC=CD=DA=a; m BAC=60º, sea MN y PQ dos segmentos perpendiculares a BD, siendo la distancia entre ellas d > BD/2. Donde M є AD, N є CD, P є AB y Q є BC. Calcule el perímetro del hexágono AMNCQP, si la distancia d entre ellas permanece constante. A) 2(3a+d√3)/3 D) 2(3a-d√3)/3

B) (3a+d√3)/3

C) (3a-d√3)/3 E) 3(2a+d√3)/3

Félix Flores Espíritu

Geometría

En un trapecio isósceles ABCD, en AD se ubica el punto E. Se sabe que ABCE es un rombo, BD interseca a CE en F y BD=AD. Calcule la medida del ángulo AFB.

A) 24º

B) 54º

C) 36º

D) 72º

E) 27º

En el grafico ABCD es un cuadrado y M es punto medio de AD. Si PQ=AB. Calcule x.

A)37º 9.

B ) 53º

C) 45º

D) 30º

E) 36º

En un cuadrado ABCD de lado ℓ. En AB y BC se ubican los puntos M y N respectivamente, de modo que el perímetro de la región MBN es 2ℓ. Calcule la medida del ángulo MDN. A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 72º

E) 53º

10. En un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B, en AB se ubican los puntos M y N de modo que AM=5 y en AC se ubica el punto Q de modo que BQ y CN son perpendiculares. Si mBQC= mAQM. Calcule NB A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Problemas Domiciliários de Cuadrilátero 1.

Se tiene un cuadrado ABCD, de centro O, además, en OC se ubica M, tal que MC=2(OM). Si AMND es un paralelogramo, calcule mOND.

A)16º 2.

B) 26º30'

C) 30º

D) 37º

E) 53º

En un cuadrado ABCD, se ubican los puntos E y F en AB y BC respectivamente. Si la m FED = m AED y EF = 15. Calcule AE + FC.

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

Félix Flores Espíritu

En un trapecio ABCD (AD//BC), en AD y CD se ubican los puntos M y N, respectivamente, de modo que CN=ND y m NMD = m NBC. Si la distancia de B a MN es 10, Calcule la distancia del punto medio de BM a BN. A) 4

Geometría

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Sobre los lados BC y AD de un cuadrado ABCD, se ubican M y N de modo que O є MN (O centro del cuadrado ABCD); luego, en la prolongación de DA se ubica P, tal que AP=2(BM). Si PBMN es un trapecio isósceles, calcule m ABP. A)15º

C) 18º30'

D) 26º30'

E) 30º

En un trapecio ABCD (BC//AD), mABC = 3(m ADC) y CD=2(AB), calcule mBCD. A) 100º

B) 16º

B) 120º

C) 150º

D) 135º

E) 140 º

En un romboide ABCD, sobre sus lados AB y BC se construyen exteriormente los triángulos equiláteros APB y BQC, luego se traza PH perpendicular a QD. Calcule la m BPH, si la m CDQ=40º. A) 10º

C) 30º

D) 40º

E) 50º

En un cuadrilátero convexo ABCD, AB=BC=CD, donde la m BCD= 2 m BAD = 4 m ADC. Calcule la m ADC. A) 10º

B) 20º

C) 30º

D) 40º

E) 15º

En el gráfico ABCD y DEFG son cuadrados de lados 8 y 6 cm respectivamente. M y N son puntos medios de BG y CF, respectivamente. Calcule MN.

A) 4 9.

C) 6

D) 4√2

E) 5√2

En el gráfico ABCD es un rombo, donde AP=PD=DQ y m PDQ=90º. Calcule x.

A)60º

B) 5

B) 53º

C) 45º

D) 72º

E) 75º

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. En un rectángulo ABCD de centro O, se asume que AB ≠ BC. La recta perpendicular a BD trazada por O, interseca a las líneas AB y BC en E y F respectivamente, sean M y N los puntos medios de CD y AD respectivamente, calcule la medida del ángulo que forman FM y EN.

A) 45º

B) 53º

C) 60º

D) 75º

E) 90º

Cuadro de Respuestas

Problemas Dirigidos

Problemas Domiciliarios

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

Félix Flores Espíritu

Geometría

Circunferencia Ten en cuenta que:

Definición: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya distancia a otro punto del mismo plano llamado centro, es constante. Esta longitud constante se denomina radio.

Se define como lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad.

M D C

Un ejemplo de lugar geométrico es la bisectriz de un ángulo, que puede ser definida como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de dicho ángulo.

P B

m n T

Centro

: O

Radio

: OP , OP = R

Cuerda

: CD

Diámetro

: AB , AB = 2R

Secante

: m

Tangente

Arco

: CD , CTD

Flecha o Sagita: MH Punto de tangencia: T Longitud de la Circunferencia: 2R

Así también la mediatriz de un segmento, la elipse, la parábola, la hipérbola,… son ejemplos de figuras que puede definirse como lugar geométrico.

Área del círculo:R

 = 3.1416 ó  = 22/7

Círculo Es aquella superficie plana determinada por la unión de una circunferencia y su región interior. La elipse es el lugar geométrico de los puntos P del plano que cumplen la siguiente condición: PF1 +PF2 =cte.

Propiedades: 1.

L  O

Si: T

L es tangente OT es radio

Entonces:

OT  L

; =90°

2. Si: O es centro ON AB

Entonces: AM = MB ; mAN = mNB

O A

M N

Si mAB = mCD B M

Entonces: AB = CD ; OM = ON

A C

O N

Félix Flores Espíritu

Geometría

Si: AB // CD // m A

Sabias que: Entonces:

mAC = mBD ; mCT = mTD

Si: PA y PB son tangentes y O es centro. P

 

Entonces: PA = PB ;  = 

O B

Teorema De Poncelet En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita.

Jean Víctor Poncelet (178818676) y Henri Pitot (16951771) fueron matemáticos franceses que a la vez fueron ingenieros y militares que tuvieron una gran pación por la geometría, ambos aportaron valiosos teoremas a la geometría que son recordados con sus nombres. (teorema de poncelet y teorema de pitot), el primero participo en la campaña rusa de Napoleón, fue durante su encarcelamiento que se dedico a escribir las bases de la geometría Descriptiva y el segundo se hizo famoso por idear el tubo de pitot, con el que se puede medir la velocidad de un fluido.

C Se cumple:

a + b = c + 2r

r A

Nota Inradio : Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio : Radio de la circunferencia circunscrita.

Teorema De Pitot En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Se cumple: a+c = b+d

a A

V. Poncelet

H. Pitot

Félix Flores Espíritu

Geometría

Posiciones Relativas De Dos Circunferencias Coplanares Ten en cuenta que:

Circunferencias Exteriores R r O1

O1 O2 > R + r

Para medir el ángulo que forman dos circunferencias secantes:

Circunferencias Tangentes Exteriores R r O1

Por uno de sus puntos de intersección se trazan rectas tangentes a dichas circunferencias, la medida del ángulo que forman dichas tangentes es la medida entre las circunferencias.

O1 O2 = R + r

Circunferencias Secantes R

R – r < O1 O2 < R + r

r O1

Circunferencias Tangentes Interiores R

r T

O1 O2

O1 O2 = R – r

Circunferencias Interiores R

O1 O2 < R – r

O1 O2

Circunferencias Concéntricas R r O

α es la medida del ángulo que forman las tangentes t1 y t2 en M a las circunferencias secantes.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a 32 unidades, el radio de la circunferencia inscrita mide 6 unidades. Calcular la longitud de la hipotenusa.

El perímetro de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia es 20 y el lado menor mide 3. ¿Cuánto mide el lado mayor?

En un triángulo se encuentra inscrita una circunferencia. Hallar la menor distancia de un vértice a un punto de tangencia, si los lados del triángulo miden 12; 18 y 20.

En la figura el perímetro del triángulo ABC es 40 m y el lado AB = 8 m. Calcular TC.

Ten en cuenta que: Si BC=a, AC=b, AB=c entonces el semiperimetro: p=1/2(a+b+c) Luego se cumple:

P A

Se tiene una circunferencia cuyo diámetro mide 20. Calcular la longitud de la flecha correspondiente al menor arco determinado por una cuerda MN, si MN = 16.

Un diámetro divide a una cuerda en 2 segmentos que miden 14 3 y 2 3 cm. ¿Cuál es la medida del radio, sabiendo que del centro de la circunferencia a la cuerda hay una distancia de 8 cm?

Las bases de un trapecio isósceles miden 16 y 36 unidades. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia tangente a los cuatro lados del trapecio?

Los diámetros de dos circunferencias miden 13 cm y 27 cm. Si la distancia entre los centros es de 25 cm, calcular la longitud de la tangente común interior a ambas circunferencias.

Del gráfico la diferencia entre los perímetros de los triángulos ABC y QPC es 12 y el perímetro del cuadrilátero ABPQ es 18. Hallar PQ.

P C Q

10. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH , si la distancia entre los pies de las bisectrices de los ángulos ABH y HBC miden 4 m, calcular el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC.

AP= AT = (p-a) BP= BQ= (p-b) CQ= CT= (p-c)

Félix Flores Espíritu

Geometría

Problema Resuelto Según la figura O1 y O2 son centros de las circunferencias C1 y C2. Calcule x.

Solución:

Sea E, F, G y P puntos, como se indica en el gráfico. Entonces O1E=O1F=O1O2=O2F por ser radios de las circunferencias C1 y C2. En el triángulo EO1F: m

En C2, el

O1EF= m

O1FE=α, por lo tanto la m

FO1P= 2α.

GFO1 esta inscrito, luego la medida del arco GO1 es 2α, pero por

ángulo central la m

GO2O1=2α.

El triángulo O1O2F es equilátero, entonces la m

O2O1P=60°- 2α

Finalmente en el triángulo PO1O2: X = (60°- 2α) + 2α=60°.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Otra Solución: Como los triángulos DO1O2 y DGE son equiláteros, con un vértice común (D) entonces uno de ellos es el producto de la rotación y homotecia del otro. Entonces los triángulos EDO1 y

GDO2 son congruentes y el segundo es el

resultado de girar 60º el primero, respecto al punto ángulo que forman los lados homólogos

D. entonces la medida del

EO1 y GO2 es también 60º.

Tarea 1.

En la figura: AB = 2 cm y CD = 10 cm. Halle BC. C

A) 8 cm B

C) 5 m

D) 4 m

E) 3m

B) 15

C) 30

D) 45

E) 20

El perímetro de un triángulo rectángulo es 56 m y el radio del círculo inscrito es 3 m. Halle el radio del círculo circunscrito. A) 14 m

B) 2,5 m

La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 15. Calcule la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita a dicho triángulo. A) 7,5

Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 m y 20 m. A) 10 m

B) 10 cm C) 12 cm D) 14 cm E) 24 cm

B) 6 m

C) 16 m

D) 12 m

E) 12,5m

Félix Flores Espíritu

Geometría

En un triángulo rectángulo la hipotenusa y el inradio suman 12. Halle el perímetro del triángulo. A) 6 

E) 36 

B) 4

C) 6

D) 3

E) 5

B) 8

C) 6

D) 4

E) 12

Calcule el perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 y el inradio mide 2. A) 14

D) 18 

La suma de longitudes de los radios de las circunferencias inscritas y circunscrita a un triángulo rectángulo es 14. Si uno de los catetos mide 18, calcule la longitud del otro cateto. A) 10

C) 24 

Se tiene un triángulo ABC, donde AC = 24, BC = 10 y AB = 26. ¿Cuánto mide el radio del círculo inscrito en dicho triángulo? A) 2

B) 12 

B) 18

C) 20

D) 22

E) 24

Tres lados consecutivos de un cuadrilátero circunscrito miden 6, 8 y 11. Halle la longitud del cuarto lado. A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

10. Se circunscribe un cuadrilátero ABCD a una circunferencia, de modo que BC = 6, CD = 9 y AD = 12. Halle AB. A) 9

B) 10

C) 8

D) 18

E) 22

11. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia, cuyo punto de tangencia con BC es M. Si AC = 10 y el perímetro del triángulo es 42, halle BM. A) 11

B) 12

C) 10

D) 13

E) 9

12. Se tiene una circunferencia inscrita a un triángulo ABC que es tangente en “E” al lado AC . Halle la medida de EC , si el perímetro del triángulo mide 40 y AB = 8. A) 12

B) 10

C) 8

D) 6

E) 9

13. Un punto dista 8 m del centro de una circunferencia de diámetro 10 m. Halle la distancia mínima del punto a la circunferencia. A) 1 m

B) 2 m

C) 3 m

D) 4 m

E) 5 m

14. Desde un punto que dista 9 m, de una circunferencia se traza una tangente que mide 15 m. Halle la longitud del radio de la circunferencia. A) 5 m

B) 8 m

C) 9 m

D) 10 m

E) 14 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

15. Las distancias entre los centros de 3 circunferencias tangentes exteriores miden 12; 16 y 18. ¿Cuánto mide el radio menor? A) 5

B) 3

C) 7

D) 4

E) 6

16. En dos circunferencias tangentes interiores la distancia entre sus centros es 1 y el radio mayor mide 4. El radio menor medirá. A) 1/2

B) 1

C) 2

D) 3

E) 3,5

17. Los diámetros de dos circunferencias miden 2,5x y 1,5x. Si la distancia entre sus centros es 2x, las circunferencias son: A) Exteriores B) Tangentes exteriores C) Concéntricas D) Secantes E) Tangentes interiores 18. La distancia que hay entre los centros de 2 circunferencias tangentes exteriores es 14 cm. Si la diferencia de los radios es 6 cm, ¿cuántos mide el radio menor? A) 2 cm

B) 3 cm

C) 4 cm

D) 5 cm

E) 6 cm

19. La distancia que hay entre los centros de 2 circunferencias tangentes interiores, es 6 cm. Si la suma de sus radios es 10 cm, ¿cuánto mide el radio mayor? A) 1 cm

B) 2 cm

C) 3 cm

D) 4 cm

E) 5 cm

20. La menor distancia entre 2 circunferencias exteriores es 2 cm, y la mayor distancia es 18 cm. ¿Cuál es la suma de las medidas de los radios de estas 2 circunferencias? A) 6 cm

B) 8 cm

C) 10 cm

D) 12 cm

E) 16 cm

21. Los radios de las circunferencias miden 8; 3 y 1. Halle la longitud del perímetro de la región triangular cuyos vértices son los centros de dichas circunferencias. A) B) C) D) E)

12 13 14 15 16

Félix Flores Espíritu

Geometría

22. Los radios de las circunferencias miden 3 y 1. M y N son los centros de las circunferencias y T es punto de tangencia. Halle PT.

B) 2 3 P

C) 4

D) 4 3 E) 5

23. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores entre sí de diferente tamaño; si las distancias entre sus centros son 12; 10 y 8 m respectivamente, ¿cuál es la longitud del radio mayor? A) 5 m

B) 7 m

C) 8 m

D) 7,5 m

E) 6 m

24. Desde un punto exterior a una circunferencia trazamos una tangente que tiene la misma medida que el radio (7 2 cm). ¿Cuál es la distancia más corta del punto a la circunferencia? A) 7 (2 – 2 ) cm

B) 7 (2 + 2 ) cm

C) 14 2 cm

D) 18 cm

E) 14 cm

25. En una circunferencia, una cuerda de 16 cm tiene una flecha de 2 cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?

A) 15 cm

B) 16 cm

C) 15 3 cm

D) 17 cm

E) 18 cm

26. En una circunferencia de radio 17, se puede trazar una cuerda que mide 16. ¿Cuánto mide la longitud de la flecha relativa a dicha cuerda?

A) 3

B) 5

C) 2

27. La distancia del centro de una circunferencia a una cuerda que mide 40, es igual a 21. ¿Cuánto mide el radio de dicha circunferencia? A) 25

B) 26

C) 27

D) 28

E) 29

28. Indique lo verdadero (V) o falso (F) según corresponda: La tangente y la circunferencia tienen un solo punto en común. La secante a una circunferencia, determina una cuerda. La distancia entre los centros de dos circunferencias tangentes es siempre igual a la suma de las longitudes de los radios. Todo radio perpendicular a una cuerda, divide a dicha cuerda en partes congruentes. A) V F F F D) V V F V

B) V V V V

C) F V V V E) V F V V

Félix Flores Espíritu

Geometría

29. Halle: “AM”, si: AB + CD = 86; BC = 24 y PD = 14. B

A) B) C) D) E)

T O

C P

M A

14 24 32 36 21

30. En la figura: AB = 5; AD = 4 y CD = 3. Halle BC. A) 1 B) 2

C) 3 C A

D) 4 E) 5

31. Halle la medida del radio de la circunferencia inscrita en un trapecio isósceles cuyas bases miden 2 y 6 cm respectivamente.

2 cm

3 cm

B) 2 cm

C) 3 cm E) 2 3 cm

32. En un sector circular AOB de 60°, se inscribe una circunferencia de longitud 4. Calcule la longitud del arco AB. A) 

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

33. El ángulo de un sector circular es /4 radianes y su radio 16. Calcule la longitud de su arco. A) 4

B) 6

C) 8

D) 12

E) 16

34. En una circunferencia, una cuerda de 8 cm y un radio se bisecan. La medida del radio es: A)

3 cm

B) 2 cm

C) 2 3 cm

8 3

35. Dada una circunferencia, se observa que dos cuerdas PQ y RS se cortan perpendicularmente en un punto M, de modo que PM = MS = 21 cm y además: RM = MQ = 3 cm. ¿Cuánto mide el radio de esta circunferencia? A) 10 cm

B) 18 cm

C) 15 cm

D) 25 cm

E) 20 cm

Félix Flores Espíritu

Geometría

36. Se tiene dos circunferencias de diámetro congruentes que miden 2 3 cm. Halle la longitud de la tangente común exterior, sabiendo que la distancia entre sus centros es 6 3 cm.

A) 6 3 cm

B) 4 3 cm

C) 8 cm

D) 4 cm

E) 6 cm

37. ¿Cuál es la longitud de la tangente exterior común a las circunferencias tangentes exteriores de radios 12 y 27 m respectivamente? A) 32 m

B) 38 m

C) 30 m

D) 40 m

E) 36 m

38. Tres circunferencias de radio 1, 2 y 3 m son tangentes exteriores 2 a 2. Calcule el radio de la circunferencia que pasa por los puntos de contacto entre dichas circunferencias. A) 0,5

B) 1

C) 1,5

D) 2,5

E) 2

39. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 tomando como diámetros dichos catetos se trazan semicircunferencias las cuales determinan los puntos “E” y “F” sobre la hipotenusa. ¿Cuál es la longitud de EF? A) 2

B) 1

C) 1,4

D) 1,5

E) 0

40. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la altura CH, las circunferencias inscritas en los triángulos AHC y HBC, determinan en el lado AB los puntos P y Q. Calcule AC si CH – PQ = 3.

A) 6

B) 3

C) 12

D) 9

E) 15

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

100

Félix Flores Espíritu

Geometría

Circunferencia II Ángulos En La Circunferencia Ángulo Central

Ángulo Inscrito P





O : centro =





 2

Ex – inscrito Ángulo

Ángulo

Ten en cuenta que:

Semi – Inscrito T











T: punto de tangencia   2

  2



 

 2

Ángulo Exterior T

 

  2

101



Los ángulos inscritos son aquellos ángulos, cuyos vértices pertenecen a la circunferencia y sus lados intersecan a la circunferencia.

Si un ángulo inscrito en una circunferencia es recto, entonces los puntos donde intersecan sus lados a la circunferencia son extremos de un diámetro de dicha circunferencia.

Ángulo Interior 

Uno de los primeros Teoremas de la circunferencia fue planteado por Thales de Mileto. El cual decía que todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos.





T: punto de tangencia   2

Félix Flores Espíritu

Geometría





Además se cumple:



 +  = 180°

A y B son tangencia.

  2

puntos

Ten en cuenta que: de

Además se cumple:  +  = 180° A y B son puntos de tangencia.

El Arco Capaz es el lugar geométrico de los puntos, que al ser unidos con los extremos de un segmento dado, forman ángulos de igual medida.

Ejercicios de Aplicación 1.

Calcule m BM, si ABCD es un cuadrado. M B

El arco mayor AB es el arco capaz de los ángulos cuya

En la figura el triángulo ABC es isósceles (AB = BC) y mBCD = 20°. Calcule m RB + m AD.

mediad es α. Así: α1=α2=α3=α4=α

Observación: La semicircunferencia es arco capaz de ángulos rectos.

Hallar “x” si  +  = 133°. “O” : centro. C B 

O x

 D

Del gráfico; calcular: ° + ° si los polígonos sombreados son regulares. ° °

102

Félix Flores Espíritu

Geometría

Si: TP = 4 y AB = 6, calcule m TL. T

P L

En la figura mostrada: m AB = 140° y

m CD = 80°. Calcule “x”.

A D x C B

Halle“x”, si P = 50°.

O P

En la figura AMNC es un trapecio isósceles (AM = NC) y mBQA = 110°, calcule la mBAQ. (A es punto de tangencia). B

Q M

Calcular “x”, sabiendo que: mBAC = 40°. B x ° A

°

10. En la figura: AD = DE y mABR = 25°. Calcule la mDCE (A y C: puntos de tangencia). B C

R A

103

Félix Flores Espíritu

Geometría

11. Siendo A y B puntos de tangencia, hallar el valor de . A 

 B



12. Se tiene un círculo y un semicírculo; donde A, B, C y F son puntos de tangencia. Hallar el valor de x. A

C F B x

Ten en cuenta que:

Problema Resuelto En la figura, P y Q son puntos de tangencia. Calcule la medida del arco MN.

Cuando se tiene una circunferencia y una recta tangente a ella. Se recomienda unir el centro de la circunferencia con el punto de tangencia para aprovechar el ángulo recto que forma el radio que se ha trazado con la tangente.

OT es perpendicular a la recta tangente a la circunferencia en T.

Por ello cuando dos circunferencias son tangentes (Interiores o exteriores) es recomendable unirlos con sus centros por que estos puntos resultarían ser colineales.

104

Félix Flores Espíritu

Geometría

Resolución: Sea ρ el radio de las semicircunferencias de centro O1 y O2, entonces O2Q=ρ=O1P, por lo tanto la recta MN es paralela a AB y las distancias de N y M a AB es ρ. Como ON=OM=2ρ.

Ten en cuenta que:

Luego, el triángulo ONH es notable de 30° y 60°, de donde la m Análogamente la m

MOA=30°, finalmente la m

NOH=30°.

Si dos circunferencias son tangentes (Interiores o Exteriores) los centros de dichas circunferencias con el punto de tangencia son colineáles.

NOM=120°. De donde

concluimos que la medida del arco MN es 120°.

Tangentes Interiores

Tarea 1.

Halle el valor de x siendo O el centro de la circunferencia. A) B) C) D) E)

80° x° O A

En el cuadrilátero inscrito, ABCD, calcule x. C

A) 15°

B) C) D) E)

x D

30° 45° 50° 60°

Los ángulos A , B y C de un cuadrilátero inscrito ABCD son proporcionales a los números 4, 3 y 5. Halle la medida del ángulo D. A) 90°

105

Tangentes Exteriores

80° 60° 40° 20° 50º

B) 100°

C) 110°

D) 120°

E) 150°

Félix Flores Espíritu

Geometría

Si: “O” es centro, halle . B

A) 100º B) 110º C) 115º D) 120º E) 150º

20°



O 30°

Halle “x” si AB es diámetro. C

50°

A) 40º B) 60º C) 80º D) 100º E) 120º

En la figura, calcule (x + y). A

A) 40º B) 60º

B y

80°

C D

Si: B y C son puntos de tangencia, calcule . B  A

50°

O C

C) 80º D) 160º E) 70º

A) 15º B) 25º C) 30º D) 45º E) 50º

Halle “x”. B

20°

50° 60° 70° 80° 45º

A) B) C) D) E)

15° 30° 45° 60° 75°

Si M y N son puntos de tangencia. Halle “x”. A

M B

106

A) B) C) D) E)

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. En la figura el ángulo P mide 40°. El valor del ángulo AOB es (O es centro): A

A) B) C) D) E)

O B

115° 50° 100° 120° 130°

11. Un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tiene tres lados iguales, cada uno de los cuales subtiende un arco de 80°. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos internos del cuadrilátero? A) 116°

B) 150°

C) 100°

D) 120°

12. En la figura, halle “x”, si: mA + mC = 110°. B

x A

A) B) C) D) E)

70° 60° 55° 40° 35°

A) B) C) D) E)

30° 40° 60° 70° 80°

13. En la figura, halle . F



2

14. En la figura O es centro y B el punto de tangencia. Calcule x. B

26° O

A) B) C) D) E)

26° 13° 39° 28° 32°

15. AE es tangente, mAB = 150°. Halle mBC. A

E 50° C

107

A) B) C) D) E)

150° 120° 160° 135° 130º

E) 96°

Félix Flores Espíritu

Geometría

16. Del gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule “x”. B A 2x

3x D

A) B) C) D) E)

20° 30° 35° 40° 45°

17. Si: mAB = 140° y mAPT = 50°; calcule x. T x 50°

A) B) C) D) E)

25° 30° 35° 45° 50°

18. En la figura, halle: m A + mB + mD; si m BC = 45° y m AE = 55°. A

A) B) C) D) E)

80° 100° 130° 140° 90º

19. Del gráfico, calcule “x”, siendo m AB = mBC. C x B 60° P

A) B) C) D) E)

80° 70° 60° 40° 50°

A) B) C) D) E)

135° 155° 150° 145° 130°

A) B) C) D) E)

60° 50° 40° 30° 45°

20. Calcule “x”, si O es centro. 80°

21. En la figura, calcule x. B 20° 80°

108

x C

Félix Flores Espíritu

Geometría

22. En la figura, calcule x, si O es centro,

m AB = 63°, además EC = AO.

A) B) C) D) E)

C A

x D

10° 12° 15° 18° 21°

23. En la figura mostrada BP es bisectriz, P es punto de tangencia. Siendo mFB = 40°, calcule el valor de x. B F x P

A) B) C) D) E)

40° 36° 30° 20° 15°

A) B) C) D) E)

42° 38° 36° 33° 30°

24. Halle x.

x 156°

25. Del gráfico, AB = BC y mBD = 50°. Calcule “x”. B D

x A

A) B) C) D) E)

40° 25° 50° 60° 30°

A) B) C) D) E)

85° 95° 75° 65° 90°

A) B) C) D) E)

12° 15° 18° 21° 24°

26. Del gráfico, calcule “x”.

85° x

95°

27. Calcule el valor de .  18°

28. En la figura, calcule x, si O es centro de la circunferencia.

B x 40° A

109

A) B) C) D) E)

45° 50° 55° 60° 70°

Félix Flores Espíritu

Geometría

29. Del gráfico, C y T son puntos de tangencia. Halle “x”.

2x T x A

A) B) C) D) E)

20° 22°30´ 15° 18° 30°

A) B) C) D) E)

15° 18° 20° 22°30´ 24°

A) B) C) D) E)

80° 60° 90° 100° 75º

30. Del gráfico, calcule “x”. B 6x

x O

31. Halle ° – °, si: RS // MN . R

°

°

32. En la figura BCDF es un paralelogramo AE // BD ; calcule la mFEA, si: mCDF = 60°. C B

60°

F E

A) B) C) D) E)

15° 18° 30° 24° 16°

33. Si O y O1 son centros y mNB = 80°, halle mPM. N

O1 A

A) B) C) D) E)

100° 120° 130° 140° 160°

34. En la figura O1 y O2 son centros, tal que AB , es tangente. Calcule: “”. A 

110

A) B) C) D) E)

45° 30° 34,5° 36° 37,5°

Félix Flores Espíritu

Geometría

35. En la figura PF es tangente “M” es punto medio del arco AB. Halle “x”. M

40°

A) B) C) D) E)

90° 100° 110° 120° 130°

A) B) C) D) E)

60° 30° 45° 80° 75°

36. En la figura, halle x.

37. Siendo P, F y Q puntos de tangencia, halle el valor de x. Q

A) B) C) D) E)

F x 70° P

70° 60° 50° 45° 35°

38. En la figura L // BC // AD , mBQ = 2(mBAQ) = 20°. Calcule mCDR. (B, T y D: puntos de tangencia). T

C Q

A) B) C) D) E)

60° 65° 80° 70° 85°

A) B) C) D) E)

30° 90° 2° 45° 2°

39. Calcule:  + 





40. Del gráfico mBC = 100° y mAC = 120°. (“O” es centro). Calcule “x”.

B x O A C

111

A) B) C) D) E)

5° 10° 15° 20° 25°

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

112

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tema: Circunferencia Problemas Tomados En la I.E.P. Sagrado Corazón de Jesús

Problemas Dirigidos 1.

En qué relación deben estar los radios de dos circunferencias tangentes exteriormente, para que el ángulo formado por las dos tangentes exteriores comunes sea 60º. A) 2:1

B) 3:1

C) 3:4

D) 5:3

E) 4:1

El triangulo PAB está formado por tres tangentes a la circunferencia como indica la figura; entonces el ángulo AOB mide:

A) 70º 3.

B)130º

C)80º

D)140º

E)75º

Sea la circunferencia de centro O y radio R. Si MN=R y m  OMN =15º Halle la medida del ángulo POQ.

A) 75º 4.

B)30º

C)60º

D)40º

E)45º

En la figura, O es centro de la circunferencia de radio r, la cuerda AB=r, BC=r√2. ¿Cual es la medida del ángulo ADB?

A) 10º 5.

B)30º

C)20º

D)15º

E)45º

Sea la cuerda AB de una circunferencia Ω. Una circunferencia Ω1 pasa por el centro de Ω y es tangente a Ω y a AB en los puntos Q y P respectivamente. Si PA=a y PB=b, calcule PQ. A)

113

Félix Flores Espíritu

Geometría

6. En Según el gráfico, Calcule x,

Si m BAD - mBCD=40º

A) 100º B)130º C)80º D)70º E)90º Dos circunferencias ortogonales son secantes en A y B. La tangente común MN a dichas circunferencias es más cercana a B (M y N puntos de tangencia). Calcule la m  MAN. A) 90º

B) 30º

C) 36º

D)45º

E) 60º

En el gráfico A, B, C, D y E son puntos de tangencia. Si EF//CD. Calcule x.

A) 53º 9.

B) 30º

C) 75º

D) 45º

E) 60º

La circunferencia Ω inscrita en el cuadrado ABCD es tangente a AB, BC, CD y AD en M, N, P y Q respectivamente. En los arcos MQ y NP se ubican los puntos E y F de modo que BE y BF intersecan a Ω en G y H respectivamente, si la medida del arco EQ es igual a la medida del arco MG y la medida del arco PF es igual a la medida del arco NH. Calcule la m EBF. A) 53º

B) 30º

C) 75º

D) 45º

E) 60º

D) 45º

E) 60º

10. Según la figura calcule el valor de x.

A) 53º

114

B) 30º

C) 37º

Félix Flores Espíritu

Geometría

Problemas Domiciliários 1. En el gráfico, 5R = 6r Calcule la medida del arco AB.

A) 105º

B) 135º

C)90º

D)106º

E)120º

2. En el gráfico mostrado, AO=PB. Calcule α

A) 10º

B) 12º

C) 15º

D) 20º

E) 25º

3. Del gráfico, calcule x.

A) 10º 4.

D) 20º

E) 25º

B) 37º

C) 53º

D) 60º

E) 75º

Del grafico, calcule MN/PQ

A) 2/3

115

C) 15º

En el cuadrante AOB de centro O, se ubica el punto M y en AO y OB se ubican los puntos P y Q, de modo que PMQO es un rectángulo. Si AP=1, BQ=2. Calcule la m MPQ. A) 45º

B) 12º

B) 1/2

C) 3/4

D) 1

E) √2

Félix Flores Espíritu

En el cuadrante AOB de centro O. En el arco AB se ubica el punto M y se traza MH perpendicular a OA, en OB se ubica el punto N, de modo que AMNH es un paralelogramo. Calcule la medida del arco AM. A) 37º

Geometría

B) 45º

C) 53º

D) 60º

E) 75º

En una circunferencia se encuentran los puntos A, P, B y C. Si AP = a PB = b. y ABC es un triángulo equilátero. Calcule PC. A) a+b D) (2a-b)/3

B) 3a-b

C) 3(a+b)/4 E) (a+b)/2

8. En el cuadrado ABCD, halle x si M y N son puntos de tangencia.

A) 30º

B) 37º

C) 45º

D) 53º

E) 60º

D) 1/3

E) √2/2

9. Según el gráfico. Calcule x/y

A) 1

B) 1/2

C) 3/4

10. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia. Calcule x.

A) 30º

116

B) 45º

C) 53º

D) 60º

E) 75º

Félix Flores Espíritu

Geometría

El círculo de las cosechas Casi 30 años se cumplen ya de la aparición de los primeros círculos de las cosechas en Inglaterra, y aún tantos años después, siguen siendo un misterio que nadie es capaz de explicar. Se ha dicho que son obra humana, pero lo cierto es que en experimentos realizados por humanos, nadie ha podido igualar esos dibujos tan absolutamente simétricos y perfectos. Además, desde entonces, cada año aparecen casi 250 dibujos más repartidos ya por todo el mundo. El nuevo círculo de cultivo o agro grama, que se reporto en West Overton, Inglaterra. El diseño consta de tres circunferencias entrelazadas y unidas por unas líneas perpendiculares. En el interior de cada circunferencia surge una trama en particular, cuadriculado, entrelazado y como en espiral.

Pero también se sabe que los Mayas representaban sus calendarios en sus cultivos que solo se podrían avistar desde un avión, también los Nazcas representaban imágenes en el suelo que solo se pueden apreciar de una gran altura. En el Calendario Maya (21 de diciembre de 2012 o 21 12 2012) El día en que nace La Nueva Tierra! Gran parte de la población sabe que esta fecha significa el fin del mundo. (Es decir, para los fatalistas, los Illuminatis y la demás gente así por el estilo). En realidad la tierra no va a terminar. Lo que los mayas dicen, es que es el fin de un gran ciclo de 52,000 años. Es decir, es el final del viejo/nuevo orden mundial y que es el nacimiento de una Nueva Era en la Tierra. Acción del viento Otra de las hipótesis que se barajan es la creación humana, que realizaría los círculos por las noches sin ser vistos. También se baraja la creación de estos círculos por la acción del viento u otras causas ambientales. Otras personas han asegurado y demostrado también con material gráfico haber encontrado este tipo de señales en el Monte Banderas, en Bilbao, en Cataluña, o en Barcelona.

117

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Problemas Dirigidos

Problemas Domiciliarios

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

118

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadrilátero Inscrito Definición

Ten en cuenta que:

Es aquel cuadrilátero que tiene sus vértices en una misma circunferencia.

Propiedades 1.

En todo cuadrilátero inscrito, las diagonales determinan ángulos de igual medida con los lados opuestos. C B

ABCD inscrito 

 =

 D

Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a dicha circunferencia, así un polígono será inscriptible si existe una circunferencia que pueda pasar por todos sus vértices.

En todo cuadrilátero inscrito, la suma de medidas de dos ángulos interiores opuestos es 180°. C 

ABCD inscrito   +  = 180°

 D

En todo cuadrilátero inscrito, un ángulo interior tiene igual medida que el ángulo exterior opuesto. B

 C

ABCD inscrito   =

 A

Cuadrilátero Inscriptible Definición Es aquel cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia.

Es decir, se puede trazar una circunferencia que contenga a sus cuatro vértices. Para que un cuadrilátero sea inscriptible, debe cumplir por lo menos una de las siguientes condiciones:

119

Un polígono estar circunscrito a una circunferencia, si todos sus lados son tangentes a dicha circunferencia, así también se dirá que un polígono es circunscriptible si es que existiera una circunferencia que es tangente a todos los lados de dicho o polígono.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Que las diagonales determinen ángulos de igual medida con los lados opuestos. B  D

Si:  =  Entonces: ABCD es inscriptible



Que la suma de las medidas de dos ángulos interiores opuestos sea 180°. B



Si:  +  = 180° Entonces: ABCD es inscriptible

 A

Que un ángulo interior tenga igual medida que el ángulo exterior opuesto. 

Si un cuadrilátero está inscrito y circunscrito a la vez en circunferencias diferentes, a dicho cuadrilátero se le define como cuadrilátero bicéntrico.

Si:  =  Entonces: ABCD es inscriptible

B  A

Ten en cuenta que:

Ejercicios de Aplicación 1.

Del gráfico adjunto, calcular x.   30°

52°





Del gráfico, “O” es centro y “E” es punto de tangencia. Hallar “x”. B

En la figura “A” y “C” son puntos de tangencia. Hallar “x”. D E A

140°

120

Si al prolongar todos los lados de un cuadrilátero y estos resultan ser tangentes a una misma circunferencia, entonces dicho cuadrilátero esta ex inscrito a dicha circunferencia, así también se puede decir que la circunferencia esta ex inscrita a la circunferencia.

Cuadrilátero ex inscrito

Félix Flores Espíritu

Geometría

Del gráfico, “O” es centro y “A” es punto de tangencia. Hallar “x”. A

10°

En la figura mostrada, “O” es centro. Hallar “x”. B x

x A

Problema Resuelto En el gráfico que se muestra, Calcule el valor de X.

121

Félix Flores Espíritu

Geometría

Resolución: Asignemos letras mayúsculas a los puntos de la figura,

Entonces la m

ACB=90°, luego en el triángulo PCQ, por la propiedad del

ángulo formado por bisectrices exteriores, la m En el triángulo APO, la m

POQ=45°.

POB=45°+α, de donde m

ROB=α, como

MN//AB. La m

ROB=α. Entonces del gráfico el cuadrilátero PQRS es

ORM= m

inscriptible de donde m

RSO = m

RQP = m

RQN=60°

Finalmente X=60°.

Tarea 1.

En un cuadrilátero inscrito ABCD, las medidas de sus ángulos interiores en los vértices A, B y C son proporcionales a los números 2, 1,5 y 2,5. Calcule la medida del ángulo en el vértice D. A) 90°

B) 100°

C) 110°

D) 120°

E) 140°

En un cuadrilátero ABCD se sabe que AB = AD, mBAD = 60° y mBCD = 120°. Halle mACD. A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 15°

E) 75°

En un triángulo ABC se trazan las alturas AE y CF tal que mACF = 20°. Halle mFEB. A) 50°

B) 70°

C) 80°

D) 75°

E) 60°

En un cuadrilátero ABCD se sabe que BC = CD, mBAC = 20° y m BCD = 140°. Halle la mCAD. A) 10°

122

B) 15°

C) 20°

D) 25°

E) 50°

Félix Flores Espíritu

Geometría

En un cuadrilátero ABCD, se sabe que AB = BD, mBCD = 90°, “E” es punto medio de AD y mCED = 18°. Halle la mBDC. A) 72°

B) 82°

C) 60°

D) 66°

E) 75°

Del gráfico calcular “x – y” x 88° y

100°

A) 10° 7.

B) 12°

C) 14°

D) 16°

E) 18°

Del gráfico calcular “x – y” si mADC = 80° y mAB = 3mBC. A y B x C

A) 20° 8.

B) 30°

C) 40°

D) 50°

Hallar mPAD, si mBCD = 70°. B

A) 140° B) 110°

A P 70° C

C) 80° D) 70° E) 35°

En la figura mostrada, hallar el valor de x. A B

A) 100° B) 80° C) 60°

D) 70° E) 90º

100° x D

10. Hallar:  + , si mBCD = 105°. B A

123

C  

A) 105° D

B) C) D) E)

110° 155° 165° 170°

E) 60°

Félix Flores Espíritu

Geometría

11. Calcular x: A) 45° B) 60° C) 90° D) 100° E) 120°

12. Del gráfico, calcular  

30°

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 70°

70°

13. Del esquema P y Q son puntos de tangencia. Calcule 

A) B) C) D) E)





 

2 1/2 1 1/3 3

14. Halle . A) 30° B) 10° C) 20°

5 3

D) 35° E) 25°

4

15. En la figura “O” es centro y “A” es punto de tangencia. Halle “x”. A

A) 72° B) 54° 36° x

C) 60° D) 63° E) 30°

16. En un triángulo ABC se trazan las alturas AH y CE tal que mBEH = 55°. Halle mHAC. A) 30°

124

B) 35°

C) 25°

D) 20°

E) 40°

Félix Flores Espíritu

Geometría

17. Según el esquema. Calcule  + 

80°



A) B) C) D)



40° 80° 100° 160°

E) 200° 18. En una circunferencia, las cuerdas perpendiculares AB y CD se intersecan en O. En AC y OD se ubican los puntos P y Q respectivamente, de modo que la mPQB=90º.Indique cuál es la medida del ángulo QPB. A) 30°

B) 35°

C) 45°

D) 50°

E) 60°

19. En la región externa y relativa al lado BC del triángulo equilátero ABC se ubica el punto P y en AC el punto medio M. si la mBPC=90º .Calcule la mMPC. A) 30°

B) 25°

C) 20°

20. En el Gráfico, AC = BC y mACB = 60°. Calcule . B M

5



A) 10°

125

B) 20° C) 30° D) 40° E) 60°

D) 15°

E) 36°

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

126

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tema: Triángulos- Cuadrilátero Inscriptible Problemas Tomados En la I.E.P. Sagrado Corazón de Jesús

Problemas Dirigidos 1. Si ABCD, DCEF y FEGH son cuadrados, Calcule el valor de α.

A) 45º

B) 30º

C) 60º

D) 53º

E)37º

2. Considere el cuadrado ABCD, en AB se ubica el punto E y se traza la diagonal AC que interseca a ED en P, si por P se traza la perpendicular a ED que interseca a BC en F. Si AE + FC=8. Calcule EF.

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

3. En el grafico I es incentro del triángulo ABC. Si MP es paralelo a CI. Calcule la m IPM.

A) 30º

B) 37º

C) 60º

D) 45º

E)53º

4. Sea ABC un triangulo acutángulo y O su circuncentro. Sea S la circunferencia trazada por A; B; O. las líneas CA y CB intersecan a S en los puntos P y Q, respectivamente. Calcule la medida del ángulo que forman las líneas CO y PQ. A) 45º

B) 90º

C) 60º

D) 72º

E)105º

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, en AB y BC se ubican los puntos M y N respectivamente, de manera que AMNH es un rombo de centro O. Calcule la medida del ángulo BOC.

A) 90º

127

B) 45º

C) 60º

D) 72º

E)37º

Félix Flores Espíritu

Geometría

6. En el arco AC de la circunferencia circunscrita al triangulo isósceles ABC de base AC, se ubica el punto P. donde PA=a y PB=b (PB > PA) en PC se ubica el punto H, de modo que la m BHP=90º. Calcule PH.

A) a+b

C) √ab

B) (a+b)/2

E) (a+b)√2

D) (2a+b)/2

7. Considere el cuadrado ABCD, en AB se ubica el punto E y se traza la diagonal AC que interseca a ED en P, si por P se traza la perpendicular a ED que interseca a BC en F. Si EF =20. Calcule AE + FC.

A) 10

B) 20

C) 15

E) 10√2

D) 12

8. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, AB = BC = a, CD = b, si AD = a+ b. Calcule la mBCD. A)135º

B) 60º

C)90º

D)120º

E)105º

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH, en AB, BH y AH se ubican tres de los vértices del rombo NBPM respectivamente, análogamente en BH, BC y CH se ubican tres de los vértices del rombo TBRS. Indique que punto notable del triángulo ABC es la intersección de las rectas NP y TR. A) Baricentro

B) Incentro

D) Excentro

C) Ortocentro E) Circuncentro

10. En el gráfico ABCD es un rectángulo. Calcule el valor de θ.

A) 20º

128

B) 36º

C) 37º

D) 45º

E)30

Félix Flores Espíritu

Geometría

Problemas Domiciliarios 1. Dado un triángulo equilátero ABC de centroide G, se ubica un punto P en la región interior diferente de G, por P se traza segmentos paralelos a los lados del triángulo, cuyos extremos están contenidos en los lados del triángulo ABC. Los puntos medios de dichos segmentos son vértices de un triángulo: A) Equilátero

B) Isosceles

C) Rectangulo

D) Escaleno

E) Obtusangulo

2. En un triangulo isósceles ABC (AB = BC). Se traza la altura BH, luego se traza la altura HM del Δ HBC, sea N el punto medio de HM. Calcule la medida del ángulo que forman AM y BN.

A) 45º

B)105º

C) 60º

D) 72º

E) 90º

3. La circunferencia ex inscrita a un triangulo ABC, relativa al lado AB, determina el punto de tangencia M en la prolongación de CA. Se traza AF perpendicular a BO, siendo O el centro de la circunferencia, tal que la

m AMF = m ACB = θ. Calcule el valor de θ.

A) 45º

B)75º

C) 60º

D) 72º

E) 53º

4. En el gráfico M, N y P son puntos de tangencia. Si O es centro de la circunferencia. Calcule el valor de θ.

A) 80º

B) 90º

C) 70º

D) 40º

E)60º

5. En un cuadrado ABCD se ubican los puntos M y N en BC y CD respectivamente, de modo que MC = CN. Se traza CH perpendicular a MD (H en MD). Calcule la medida del ángulo AHN. A) 90º

129

B) 80º

C) 100º

D) 45º

E)50º

Félix Flores Espíritu

Geometría

6. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH. Sea

r1, r2 y r. los inradios de los triángulos ABH, HBC y ABC respectivamente. Si r1+ r2 + r =10. Calcule BH. A) 5√2

B) 10

C) 15

D) 12

E) 10√2

7. Sea ABCD un cuadrilátero convexo, donde AB=BC=CD, además AC no es igual a BD y E es el punto de intersección de las diagonales. Calcule AE / DE, si

A) 0.5

m BAD + m ADC = 120º.

B) 2

C) 1.5

D) 1

E) √2

8. El triángulo ABC es rectángulo en A. Sea M el punto medio de BC. Se elige D en AC de manera que AD = AM. Sea P el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas a AMC y a BDC.

Si la

m PCB =20º. Calcule la m ABC.

A) 80º

B) 90º

C) 100º

D) 40º

E)50º

9. Los puntos E y F se ubican en el lado BC del cuadrilátero convexo ABCD (con E entre F y B). Si se cumple que m BAE = m CDF y la m EAF = m FDE. Además la m BAD = 100º. Calcule la m  BCD.

A) 80º

B) 90º

C) 100º

D) 40º

E)50º

10. Dos cuadrados ABCD y DEFG descansan sobre una recta que contiene a los puntos A, D y G. además E pertenece al lado CD. La recta GE interseca a BF en M.

A) 45º

130

B)105º

Calcule la medida del ángulo CMG.

C) 60º

D) 72º

E) 90º

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Problemas Dirigidos

Problemas Domiciliarios

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

131

Félix Flores Espíritu

Geometría

Puntos Notables Asociados al Triángulo Baricentro Es el punto de concurrencia de las medianas de una superficie triangular; siempre es un punto interior. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, cuya razón es de dos a uno. B

¿Te atreverías ha resolverlo? Dado un triángulo ABC, construir el triángulo DEF cuyos lados midan igual que las medianas de ABC.

a c F

c A

Solución: C

M b

G : baricentro de la región triangular ABC. Propiedad:BG = 2(GM) ; AG = 2(GF) ; CG = 2(GE)

Incentro Es el punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. I : incentro del ABC B   I 

 



El Incentro, siempre es interior al triángulo y equidista de los lados, por lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. B Circunferencia inscrita

r I

132

 

r 

 C

r : inradio del ABC

La idea feliz del problema está en trazar el simétrico de M con respecto a P donde P es el punto medio de OB. Así queda determinado el triángulo AMQ que como veremos tiene sus lados de longitud igual a la de las medianas de ABC.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Excentro Es el punto de concurrencia de las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz de un ángulo interior trazada del tercer vértice.

Ten en cuenta que: B

 

Dado un triangulo, existen en el plano que lo contiene, cuatro puntos que equidistan de sus lados. 







Estos son el incentro y sus tres ex centros del triángulo.

Ea : ex – centro relativo a BC Todo ex centro, se encuentra exteriormente y equidista de los lados del triángulo, por lo tanto es el centro de la circunferencia ex – inscrita. Todo triángulo tiene tres ex – centros.

ra B ra

Ea ra

A los radios de las circunferencias ex inscritas se les llamara ex radios; todo triángulo tiene tres ex radios uno relativo a cada lado.

Observación: Si se definiera al ex centro como el punto de concurrencia de dos bisectrices interiores y una tercera interior, entonces este punto seria Único si el triángulo es escaleno para los otros triángulos (Equiláteros e Isósceles) no estaría definido. Recuerde que la bisectriz exterior de un triángulo, es una ceviana y se encuentra en la región exterior relativa al menor de sus lados adyacentes.

133

El Incentro (I) y sus tres Excentros (Ea, Eb, Ec) equidistan de los lados del triángulo ABC.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ortocentro Es el punto de concurrencia de las rectas que contienen a las alturas del triángulo, cuya ubicación depende de la naturaleza del triángulo. En el triángulo acutángulo B E

H: ortocentro del ABC

Se define como triángulo órtico, al triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo oblicuángulo.

¿Sabias qué?

En el triángulo rectángulo B

B: ortocentro del A

ABC

En el triángulo obtusángulo B E D

H : ortocentro del ABC

C F

DEF: triángulo órtico del triángulo ABC. Note Ud. Que Los triángulos rectángulos no tienen triangulo órtico.

Observación: También podríamos definir al ortocentro de un triángulo como el punto de concurrencia de sus alturas de o de sus respectivas prolongaciones.

Cuando el triángulo es obtusángulo es necesario prolongar sus alturas para ubicar su ortocentro.

134

También se cumple que el Ortocentro del triángulo ABC es Incentro del triángulo DEF. Los vértices A, B, C son los excentros del triangulo Ortico.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Circuncentro Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados del triángulo, dicho punto equidista de los vértices del triángulo, por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. La ubicación del circuncentro depende de la naturaleza del triángulo.

En el triángulo acutángulo B

¿Sabias qué? Al triángulo, cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo, se le denomina triángulo mediano.

L1 O

El ortocentro de todo triángulo mediano es el Circuncentro del triángulo al cual es relativo.

Circunferencia circunscrita

L1 , L2 , L3 : mediatrices; O : circuncentro del ABC; R : circunradio

En el triángulo rectángulo B L1

L3 A

El circuncentro (O)del triangulo ABC es el ortocentro del triángulo mediano.(DEF)

L1 , L2 , L3 : mediatrices O : es circuncentro del ABC R : Circunradio

En el triángulo obtusángulo

L3 O

A L2

L1 , L2 , L3 : mediatrices O : es circuncentro del ABC R : circunradio Propiedades:

Si O es el circuncentro se cumple: 1.

OA = OB = OC = R O

mAOC = 2mABC A

135

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

La suma de las longitudes de las medianas de un triángulo es 48 cm. Calcule la suma de las distancias del baricentro a cada uno de los vértices.

Si G es el baricentro del triángulo equilátero ABC y GC = 4, halle la longitud del lado del triángulo.

En un triángulo ABC cuyo circunradio mide 10.

Calcule AC siendo

mABC = 37°. 4.

Del gráfico, hallar x siendo K circuncentro del triángulo ABC. B

70° K 80°

En el triángulo acutángulo ABC se sabe que: mA – mC = 48°. Hallar la medida del ángulo HBO, si H es ortocentro y O es circuncentro del triángulo.

En un triángulo ABC, de circuncentro “K” y excentro relativo a BC “E”. Calcular mBKC, siendo mBEC = 50°.

En el gráfico mostrado, calcular x, si IM = MC. I es incentro. B 70°

H I 25° 25°

M x C

En un triángulo ABC de incentro “I” y excentro “E” relativo a AB . Calcular la mABC si AE = AI.

En un triángulo ABC, I es el incentro y O el circuncentro. Si los ángulos AIC y AOC son suplementarios, calcular la medida del ángulo B.

10. En un triángulo ABC se ubican respectivamente su ortocentro “H”, incentro “I” y circuncentro “O” tal que 2mAHC = 3mAOC. Hallar mAIC.

136

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tarea 1.

La longitud de la circunferencia inscrita en un triángulo es 12. Calcular la suma de las distancias del incentro a los lados de dicho triángulo. A) 4

C) 8

D) 12

E) 18

La suma de las distancias del circuncentro a los vértices de un triángulo es 15. Calcular la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita. A) 5

B) 6

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

La suma de las distancias del baricentro a cada uno de los vértices de un triángulo es 18. Calcular la suma de las longitudes de las medianas de dicho triángulo. A) 9

B) 12

C) 21

D) 25

E) 27

En un triángulo ABC de ortocentro “O” se sabe que mAOC = 2 mABC. Halle mOCB. A) 30°

B) 45°

E) 75°

B) 18 cm

C) 24cm E) 48cm

En un triángulo ABC: BM es mediana y G el baricentro, si GM = 3, halle BG. A) 7

D) 15°

Si la distancia del baricentro de un triángulo a uno de sus vértices mide 12 cm, halla la longitud de la mediana que parte de dicho vértice. A) 12 cm D) 36 cm

C) 60°

B) 8

C) 6

D) 5

E) 9

Sea H el ortocentro de un triángulo acutángulo ABC, la prolongación de BH interseca a AC en P, calcule la mAPB. A) 90°

D) 100°

E) 80°

B) 60°

C) 45°

D) 37°

E) 53°

Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. Si OA = 4, halle OB + OC. A) 9

137

C) 60°

El ángulo A de un triángulo ABC mide 60°. Calcule la medida del ángulo IAC, si I es el incentro del triángulo. A) 30°

B) 45°

B) 10

C) 5

D) 7

E) 8

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. Si la distancia del incentro de un triángulo ABC al lado AC es 6, halle la distancia de dicho punto al lado AB . A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

11. El ángulo B de un triángulo ABC mide 80°, calcule la medida del ángulo AIC, siendo I el incentro del triángulo. A) 110°

B) 120°

C) 130°

D) 140°

E) 150°

12. Calcule x si “O” es circuncentro del triángulo ABC. B

A) B) C) D) E)

80° 90° 75° 95° 70°

13. Sean H y O, ortocentro y circuncentro de un triángulo equilátero ABC. Si AB = 2 3 , calcule HO. A) 1

B) 2

C) 0

D) 1,5

E) 2,5

14. Si E es el excentro de un triángulo ABC, referente a BC , mBAC = 80°, calcule la mEAC. A) 35°

B) 30°

C) 40°

D) 50°

E) 60°

15. La altura relativa a la base de un triángulo isósceles mide 21 cm. Halle la distancia del baricentro a dicha base. A) 10,5 cm

B) 7 cm

C) 14 cm

D) 6 cm

E) 5cm

16. En un triángulo ABC de ortocentro “O” se sabe que mAOC = 2mABC. Halle la mOCB. A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 15°

E) 75°

17. AM es una mediana de un triángulo ABC de baricentro O. Si (AO) (OM) = 32, halle AM. A) 12

B) 24

C) 32

D) 48

E) 52

18. La distancia del ortocentro al baricentro de un triángulo rectángulo es 6. Halle la distancia del ortocentro al circuncentro. A) 6

138

B) 8

C) 9

D) 3

E) 10

Félix Flores Espíritu

Geometría

19. El ángulo B de un triángulo ABC mide 50°. Calcule la medida del ángulo AEC, si E es el excentro referente al lado BC . A) 15°

B) 20°

C) 22°

D) 25°

E) 28°

20. Dado el triángulo ABC donde mABC = 120°, calcule mAOC, si O es el circuncentro. A) 100°

B) 60°

C) 120°

D) 90°

E) 160°

21. En un triángulo equilátero la distancia del baricentro al punto medio de uno de sus lados es 1 m. Halle la altura del triángulo. A) 4 m

B) 3 m

C) 3,5 m

D) 4,5 m

E) 5m

22. La distancia del ortocentro al baricentro de un triángulo rectángulo es 50 m. Calcule el diámetro de la circunferencia circunscrita. A) 100 m B) 150 m

C) 75 m D) 200 m

E) 160 m

23. En un triángulo ABC los lados son proporcionales a 3, 4 y 5. Si su perímetro es 36 m, halle la distancia del baricentro al circuncentro. A) 2 m

B) 5/2 m

C) 1,5 m

D) 3 m

E) 4m

24. En un ABC se trazan las medianas AE y BD cortándose ambas en el punto G. Si AE + BD = 24, halle AG + GB. A) 16

B) 8

C) 12

D) 15

E) 18

25. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas BH y CL cortándose en “O” tal que OH = AH. Calcule la mC del triángulo ABC. A) 45°

B) 60°

C) 53°

D) 75°

E) 30°

26. En la figura, halle x+y, si  = 20°. A



2 2



x y

 B

A) 100°

B) 130°



 

C) 150°

D) 190°

E) 210°

27. En un triángulo isósceles ABC, mB = 120°; la distancia del ortocentro al circuncentro es 12. Calcule la altura relativa al lado AC . A) 2

139

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

Félix Flores Espíritu

Geometría

28. En un triángulo ABC se traza las medianas AM y BN . Si O es el baricentro y el perímetro del triángulo ABO es 28, halle el perímetro del triángulo MON. A) 28 B) 14 C) 56/3 29. Hallar el valor de “x”, en la figura:

D) 28/3

E) 21

B (52°–a) 26°

a+12°

A) 14°

52°–a

B) 18º

C) 22º

D) 26º

E) 32°

30. En un triángulo ABC de circuncentro “O” la mA = 74° y la mOCA = 14°. Hallar “AB” si OC = 3. A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

31. Se tiene un triángulo ABC de circuncentro “O” la mediatriz de BC corta a la prolongación de BA en “M” y la mediatriz de AB a la prolongación de BC en N. Hallar la mONB si mOMC = 10°. A) 10°

B) 20°

C) 15°

D) 25°

E) 5°

32. En un triángulo ABC de incentro “I” y circuncentro “O”, la mA = 20° y mB = 110°. Hallar la mIAO. A) 55°

B) 30°

C) 70°

D) 50°

E) 65°

33. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden 10 y 15 m respectivamente; por el incentro del triángulo se traza PQ // AC , hallar el perímetro del triángulo PBQ. A) 20 m

B) 25 m

C) 30 m

D) 35 m

E) 36m

34. Diga si es verdadero o falso y marque la correcta: I.

La distancia del ortocentro al circuncentro de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa. II. En todo triángulo el circuncentro se encuentra en el punto medio del lado mayor. III. En un triángulo isósceles las líneas notables respecto a los lados iguales son de igual medida. A) VVV

140

B) FVF

C) VFV

D) FFV

E) FFF

Félix Flores Espíritu

Geometría

35. En un triángulo equilátero la distancia del baricentro al segmento que une los puntos medios de dos lados es

A) 6

3 . El lado del triángulo mide:

B) 6 3

C) 12

D) 12 3

E) 15

36. Por el excentro E, referente al lado BC de un triángulo ABC se traza una paralela a AC la cual interseca en M a BC , en N a BC y en P a la bisectriz del ACB. Si AN = a y CM = b, calcular NP.

A) a – b

B) 2a – b

C) 2a + b

D) 2b – a

ab 2

37. En un triángulo ABC se sabe que mEIC – mIEC = 40°, sabiendo que “I” es el incentro y “E” es excentro relativo a BC . Calcular la mABC. A) 20°

B) 25º

C) 30º

D) 35º

E) 40°

38. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, de incentro I y excentro E relativo a

BC , si AC = IE, calcule mBCA. A) 15°

B) 30°

C) 45°

D) 53°

E) 60°

39. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB = BC) en el cual se traza la ceviana CF . Si “O” es el circuncentro del triángulo AFC. Calcular la mOCF sabiendo

que la mABC = 36°. A) 9°

B) 12°

C) 18º

D) 27º

E) 36°

40. En la figura, AB es diámetro y H cualquier punto de AB , EM = HM y HN = NB. Hallar el valor de “x”. E P

F M

A) 45°

141

B) 60°

C) 80º

D) 90º

E) 100°

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

142

Félix Flores Espíritu

Geometría

¿El baricentro de un triángulo es también su centro de Gravedad?

Es muy común escuchar que: Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad del triángulo. Dibujamos un triángulo ABC, señalamos los puntos medios de los lados y trazamos las medianas. Si recortamos el triángulo y lo apoyamos sobre un lápiz, de modo que el baricentro coincida con la punta del lápiz, podemos comprobar que el triángulo queda en equilibrio. Esto ocurre porque el baricentro es el centro de gravedad del triángulo, es decir, el punto de aplicación de su peso.

Pero lo que observamos en realidad es que la figura a la que hacen referencia es una región triangular y no un triangulo. Porque hay que recordar que el triangulo es solo la línea cerrada conformada por los lados, mientras que la región triangular es el triangulo unido con la región interna. Es cierto que el centro de gravedad coincide con el baricentro de la figura recortada, pero recuerda que esta figura es una plancha de cartón, papel o cualquier otro material que tiene igual peso especifico distribuido en toda la figura. Un triángulo por ser ideal no tiene masa por lo tanto solo tiene centroide y este punto no coincide con el Baricentro, sino mas bien es el incentro del triángulo mediano (triángulo cuyos vértices son los puntos medios del triángulo original.) Una manera de comprobarlo es considerando a cada lado del triangulo como un objeto de peso especifico constante (barra de metal o madera) de longitudes 6,8 y 10 unidades, en donde las longitudes de los lados de su triangulo mediano serian 3, 4 y 5 respectivamente y el radio de la circunferencia inscrita es 1. Si hacemos coincidir el vértice del ángulo recto con el origen de coordenadas y los lados con los ejes x e y. al utilizar la fórmula para ubicar el centroide de líneas, podremos comprobar que este punto tiene coordenadas (3,2)

143

Félix Flores Espíritu

Geometría

THALES DE MILETO

(625-546 a.C.) Era un comerciante y legislador griego. Después de su éxito en el mundo de los negocios, lo abandonó para dedicarse a la filosofía y a las matemáticas. En esta última ciencia, se le atribuyen las primeras "demostraciones" de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico y, por esto, se dice que es el Padre de la Geometría. La opinión antigua es unánime al considerar a Thales

como el primer filósofo

griego, científico, matemático e ingeniero. Es considerado el primero de los Siete Sabios Griegos. El hecho concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de un eclipse de sol, en 585 a.n.e., que tuvo lugar exactamente el 28 de mayo del año que él había predicho. Según Proclo, primero fue a Egipto donde entró en contacto con la Geometría que luego introdujo a Grecia. Fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. inventando así la matemática deductiva. Se le asignan entre otros los siguientes teoremas: 1. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. 2. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro. 3. Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales. 4. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales. 5. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son iguales. Calculo la altura de las pirámides midiendo el tamaño de sus sombras en el momento en el cual la sombra de una persona es igual a su altura. Este razonamiento hace suponer que conocía la proporción que determinan rectas paralelas en rectas secantes, pues su razonamiento pasa por considerar los rayos del sol paralelos entre sí.

144

Félix Flores Espíritu

Geometría

Proporcionalidad deSegmentos La divina proporción

Razón de Segmentos Es el cociente de sus longitudes expresado en una misma unidad de medida; Entonces de acuerdo a lo mencionado la razón de AB y CD es el número

AB CD

Ejemplo: Si AB = 10 cm y CD = 15 cm, entonces la razón de AB y CD es

AB CD

10 cm 15 cm



Dalí fue el artista que mejor entendió y más aplicó en sus obras de arte la proporción áurea, llamada también la proporción divina, una relación misteriosa que arranca de una recta geométrica hace más de 2000 años y que curiosamente aparece en la cría de conejos, en los pétalos de las rosas, en las galaxias, en los cuadros de Dalí o incluso en las pirámides de Egipto.

Segmentos Proporcionales Dos segmentos AB y CD son proporcionales a otros dos, PQ y RT , si las razones de estos son iguales:

AB CD

PQ RT

Ejemplo:

AB = 2cm, CD = 4cm y PQ = 3cm, RT = 6cm, como entonces AB y CD son proporcionales a PQ y RT .

AB CD

1 PQ 1 y = , RT 2 2

Es la relación entre números y la belleza.

los

Euclides quien, 1500 años antes, encontró este número por primera vez. Para ello, dibujó una recta de una longitud t, y dividió la recta en dos segmentos de longitudes x y t-x. E intentó que el tamaño del segmento menor guardara una relación de proporción con el segmento mayor igual que la relación de proporción entre el segmento mayor y el segmento total, de forma que la división entre ambas longitudes, independientemente del tamaño del segemento inicial, diera lugar a un mismo número.

Cuando lo consiguió, llamó a este número con la letra griega fi (Φ), que definía una proporción, después denominada como divina proporción.

145

Félix Flores Espíritu

Geometría

Teorema de Thales Tres o más rectas paralelas, determinan en una recta secante a ellas, segmentos que son proporcionales, a los segmentos determinados por las mismas rectas paralelas en cualquier otra secante a ellas.

A B

L2 F

¿Sabías qué? : La Espiral Equiangular es la figura formada por cuadrados colocados uno a continuación del otro cuyas longitudes una después de otra guardan una proporción constante entre ellas. Siendo esta la proporción aurea (proporción de oro).

Como homenaje a esta Espiral se editaron estampillas Si: L1 // L 2 // L3

Entonces:



DE EF

AC DF  BC EF

También:

AC DF  AB DE

Corolario B M

L1 N

Si: L1 // L 2 // L3  por Tales:

BM BN  MA NC

 en el ABC: si MN // AC se cumple: BM BN  MA NC

146

Espiral equiángular y proporción áurea Curva de ecuación en coordenadas bx polares r = ae , (donde a y b son constantes). Recibe también el nombre de espiral equiangular debido a que el ángulo formado por la tangente en un punto con la recta que lo une al origen es constante. Cada giro de 90º produce vértices de rectángulos áureos.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Teorema de la Bisectriz Interior En todo triángulo, los lados concurrentes con una bisectriz interior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa. B

 

En el ABC:

c m  a n D

Ten en cuenta que: Los teoremas de la bisectriz interior y exterior son recíprocos. Es decir: si en un triángulo ABC y en uno de los lados (AC) un punto D divide a este en segmentos de longitudes proporcionales a sus lados adyacentes.

Teorema de la Bisectriz Exterior En todo triángulo, los lados concurrentes con una bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativa. B

Entonces podemos concluir que D es pie de una bisectriz que puede ser interior o exterior.

 

En el ABC:

a A

c m  a n

Si AB/BC=BD/DC entonces AD es bisectriz interior

Teorema del Incentro En todo triángulo el incentro determina en la bisectriz segmentos proporcionales a la suma de los lados adyacentes al ángulo bisecado y el tercer lado. B 

 m

En el ABC “I”: incentro

n A

147



ac b

→

Θ=β=α

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

En el gráfico, AB = 6, BC = 9, CD = 7. GH – EF = 2. L1 // L2 // L3. Halle FG. A

triángulo

ABC,

traza

paralela

(E  AB y F  BC ), si : BF = 4 , FC = 3 y AE = 15/4. Halle EB.

En la figura se cumple que:



. Halle

MO, si MP = 15 y

: L1 // L2 // L3. A

L2 C

O B

Del gráfico, calcule x si L1 // L2 // L3 y AE // BD . A

L1 x+1

L2 2x

Del gráfico EB // CD ; AB = 11; BC = 7; AE = EF y BP = 14. Halle PF. C B P A

El lado AB de un triángulo mide 12 cm. Por el baricentro del triángulo se traza una paralela a AC que corta en Q a AB . Halle BQ.

De acuerdo con los datos de la gráfica, calcule el valor de x. C 10 D

148

 

8 B x

Félix Flores Espíritu

Geometría

En la figura: MN // AC ; AB = 6 m, AC = 14 m. Calcule MN. B

M   A

Los lados de un triángulo ABC miden: AB = 3, BC = 4 y AC = 5. Se trazan la altura BH y la bisectriz interior AD las cuales se cortan en P. Halle BP.

10. En un triángulo ABC, BC = 18. La mediana BM y la bisectriz interior AD son perpendiculares. Halle BD. 11. El perímetro de un triángulo es 96 cm. Calcule uno de sus lados, si el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo a éste. 12. En un ABC, CF es bisectriz interior. En el AFC, FR es bisectriz (R en AC ). Luego se traza BR , cortando a CF en el punto Q. Si BC = 12, CR = 10 y BF = 5,5, halle FQ.

Tarea 1.

La razón de dos segmentos es 3/5. Si uno de ellos mide 8 cm más que el otro, ¿cuánto mide el segmento menor? A) 1 cm

B) 12 cm

C) 13 cm

En la figura, calcule AH + GB, si HI = IJ = JB, HE = 7 y CB = 8. G

H E

F J

C B

D) 9 cm

A) B) C) D) E)

42 40 28 45 43

A) B) C) D) E)

4 6 8 9 12

Si: L1 // L2 // L3 // L4, calcule x. L1 x+3 L2

L3 2x–5

149

E) 8 cm

Félix Flores Espíritu

En la figura se tiene que AB // CD // EF . Calcule DF – BD. A

Geometría

2x+1

5x–5

L1 6 L2 3m+4

y+4 L2

x–3

y L3

21 F

x G 7 H

1 2 3 4 5

A) B) C) D) E)

6 12 14 16 18

A) B) C) D) E)

5 6 7 8 10

En la figura L1 // L2 // L3. Halle “x”

x L3

En la figura: AD // BE // CF ; AC = 15, AB = 3, DF = 20. Halle DE. A B C

150

A) B) C) D) E)

12 C

2 4 6 9 12

Halle x si AC + BD = 48. A

A) B) C) D) E)

Del gráfico calcule y – x si L1 // L2 // L3. L1

8,5 7,5 8,6 7,6 7

Del gráfico halle “3m” si L1 // L2 // L3.

A) B) C) D) E)

D E F

A) B) C) D) E)

4 5 7 5,5 3,5

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. Hallar x, si L1 // L2 // L3. L1

B 5 C

A) B) C) D) E)

24 E x+9 F

20 15 8 10 6

11. A partir del gráfico mostrado se pide calcule x, si PQ es paralelo a BC y AD . B

x P

A) B) C) D) E)

2 2

2 3 1 1/2 2/3

12. En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Halle FH – EG, si EH = 27. A 1

1,5 C

A) B) C) D) E)

2 D

HL 4

4 6 8 9 12

13. En la figura, se cumple que: AO/2 = OB/3 = BC/4. Halle MO, si MP = 45 y L1 // L2 // L3 A) B) C) D) E)

A O N

10 12 14 16 18

14. En la figura que se muestra, el segmento MN es paralelo a AB , además: AM = 2MC y BN = 5 cm. ¿Cuántos mide NC ? B

A) B) C) D) E)

3,5 cm 2,5 cm 1,5 cm 1 cm 3 cm

15. Considerando el gráfico anterior y asumiendo que BN excede a NC en 2. Calcule NC, si además AM = 3 y MC = 2. A) 1

151

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Félix Flores Espíritu

Geometría

16. Del gráfico calcule x si: 4(AB) = 3(BC); EF = 8. x

A) B) C) D) E)

D B

1 2 4 6 8

17. Si en el triángulo ABC de la figura DE // AC , entonces el triángulo ABC es: B x–1

1 E

x+3

A) Escaleno D) Equilátero

B) Rectángulo

18. Del gráfico, calcule: E =

a .n b .m

m a

 

C) Isósceles E) Isósceles y rectángulo

A) B) C) D) E)

1 2 3 2/3 3/2

A) B) C) D) E)

3 2 1 3,5 1,5

19. Halle AR, si AB = 6, BC = 8 y AC = 7. B  

20. En un triángulo ABC si AB = 18; BC = 12 y AC = 15, se traza la bisectriz BF . Calcule la longitud de AF . A) 8

B) 9

C) 10

21. En el triángulo ABC, donde



D) 11

E) 12

se traza la bisectriz interior BD .

Si AD = 3,5, ¿cuánto mide DC ? A) 2,5

152

B) 3

C) 2,8

D) 1,5

E) 3,5

Félix Flores Espíritu

Geometría

22. En el triángulo rectángulo ABC, BD

es bisectriz del ABC, AD = 8,

DC = 10, entonces el lado BC mide: C

A) B) C) D) E)

2x+3 D

2x–3

10 8 12 16 30

23. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 8 y AC = 6, se traza la bisectriz exterior BE (E en la prolongación de CA ). Calcule EA.

A) 5

B) 4

C) 8

D) 2

E) 6

24. En un triángulo ABC, AB = 8, BC = 6 y AC = 7, se trazan las bisectrices interior BD y exterior BE . Halle DE: A) 12

B) 18

C) 20

D) 22

E) 24

25. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 9 y AC = 10. Se traza la bisectriz interior BD y la exterior BE . Halle la medida de ED .

A) 14

B) 16

C) 10

26. En un triángulo ABC, sobre BC y AC

D) 24

E) 26

se toman los puntos P y Q

respectivamente, de modo que PQ // AB . Halle QC – AQ,

si BP = 5,

PC = 7 y AC = 36. A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

27. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, sobre el cateto BC se toma un punto P desde el cual se traza PQ perpendicular a BC (Q en AC ). Halle QC, si AB = 12, AC = 20 y BP = 4. A) 5

B) 10

C) 15

D) 16

E) 18

28. En un triángulo ABC se traza la bisectriz CF y luego por “F”, una paralela a AC de modo que interseca a BC en Q. Halle BQ si BC = 6 y AC = 12.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

29. En un triángulo ABC se ubican los puntos M y N sobre AB y BC respectivamente tal que MB = 1; BN = 2 y NC = 8. ¿Para qué valor de AM, MN y AC son paralelas?

A) 2

153

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Félix Flores Espíritu

Geometría

30. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden respectivamente 18 m y 30 m. Por un cierto punto M del lado AB se traza una paralela que corta al lado AC en N. Si MN = 5m, ¿a qué distancia está M de A? A) 3 m

B) 15 m

C) 6 m

D) 2,50 m

E) 9 m

31. En un triángulo ABC, la bisectriz del A corta a BC en M. Por M se traza una paralela al lado AB , la que cota a AC en el punto N. Si MN = 3 m, MB = 1 m y MC = 6 m; el lado AC mide: A) 18 m

B) 9 m

C) 10 m

D) 21 m

E) 19 m

32. En un triángulo ABC: AB – AC = 2, BC – AB = 2 y BC + AC = 20. Calcule el mayor segmento que determina la bisectriz en el lado de mayor longitud. A) 5,33

B) 6,67

C) 4,25

D) 5,50

E) 6,70

33. Los lados de un triángulo ABC miden BC = 6, CA = 8; AB = 4 respectivamente. Por un punto M de AB se traza la paralela MN al lado BC . Halle la longitud de AM de modo que el triángulo MAN y el trapecio BMNC tengan igual perímetro. A) 3,5

B) 2,0

C) 1,5

D) 2,5

E) 3,0

34. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior AD y la ceviana BP que se cortan perpendicularmente. Si

AP PC

A) 4,5

B) 5



y BC = 25, halle BD.

C) 6

D) 7,5

E) 10

35. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AQ y CP . Halle QC, si AP = 2, PB = 3 y BQ = 4.

36. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD y la mediana BM . Halle:

DM AC

1 4

, si



3 5

1 5

1 8

2 7

1 9

37. El perímetro de un triángulo ABC es 36 cm. Halle AC si el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo a AC . A) 8

154

B) 9

C) 12

D) 18

E) 24

Félix Flores Espíritu

Geometría

38. Dos lados de un triángulo miden 7 y 9. Calcule la longitud del tercer lado sabiendo que, en este triángulo el segmento que une el incentro con el baricentro es paralelo al tercer lado. A) 7

B) 3

C) 11

D) 8

E) 10

39. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AD y por D la paralela DE a AC (E en AB ) si BD = 12, DC = 2 y DE = 6, halle BE.

A) 16

B) 18

C) 24

D) 32

E) 36

40. Grafique al triángulo ABC y AD bisectriz interior. En los triángulos ADB y ADC, DE y DF son también bisectrices interiores en ese orden. Si AE = 30; EB = 10 y FA = 24, halle FC. A) 5

155

B) 4

C) 6

D) 12

E) 8

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

156

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Geometría

Semejanza de Figuras

La semejanza en estampillas: Las estampillas han rendido homenaje a diversos sucesos históricos de la humanidad o a hechos de importancia del país que las emite. Algunas de ellas han sido referidas a la semejanza de figuras, resaltando la importancia de la homotecia, que es una transformación geométrica que conserva la forma pero donde varía el tamaño.

Evolución II Maurits C. Escher Artista plástico holandés (1898-1972)

Varios triángulos semejantes, en posición homotética dos a dos.

Semejanza de figuras geométricas Definición: Dos figuras geométricas son semejantes si tienen igual forma y tamaños diferentes. En dos figuras geométricas semejantes sus elementos homólogos son proporcionales.

Semejanza de Triángulos Definición: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores tienen igual medida respectivamente y sus lados homólogos son proporcionales. Los lados homólogos en triángulos semejantes, son aquellos lados opuestos a ángulos de igual medida. B



  A

Notación:



 C



ABC  MNQ

Símbolo de semejanza:  se lee “es semejante” Pares de lados homólogos:

AB y MN; BC y NQ; AC y MQ

157

Homotecia Conjunto de cuadrados en posición homotética, reproducción de un cuadro del pintor norteamericano Josef Albers titulado "Homenaje al cuadrado", emitido por EEUU en 1980.

Félix Flores Espíritu

Geometría

AB BC AC   K MN NQ MQ Donde: K es razón de semejanza Casos de semejanza de triángulos

Se cumple:



Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos del primer triángulo son de igual medida que dos ángulos del segundo triángulo respectivamente. B

Sabias que: N



 A



 M

Si: mBAC = mNMQ y mACB = mMQN Entonces:



La auto similitud es un principio que cumplen las figuras fractales, por ser formadas por la repetición indefinida de su forma en una proporción determinada. Estas figuras se presentan también en algunas plantas como el Brócoli, el helecho, etc.

ABC  MNQ

Dos triángulos son semejantes, si un ángulo del primer triángulo es de igual medida que un ángulo del segundo y los lados que los determinan son proporcionales respectivamente. B N ck



El brócoli romanesco mostrando su naturaleza fractal

 C

Si: mBAC = mNMQ y

AB MN  AC MQ

Entonces: ABC  MNQ 

Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primer triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados del segundo triángulo. B N ak

Si:

AB BC AC   MN NQ MQ

Entonces:

158

ABC  MNQ

El helecho fractal, muestra la repetición semejante de sus hojas.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Algunos casos de Semejanza B 1.

¿Sabes que estudia la Geometría de Los Fractales?

 

MBN ABC







A 



ABHAHC ABC 



3. B

ABC PBQ

Q P

Propiedades 1.

L: Lado del cuadrado PQRS B Q

L

R h

hb hb

L A

P b

ABCD : Trapecio, BC // PQ // AD a C

PQ =

A b

2ab ab

3. b a

159

ab ab

Gaston Maurice Julia (1893-1978) En el sello se contempla el "conjunto de Julia", famoso fractal producto de hacer iteraciones con números complejos. Estas figuras hechas con ayuda de la computadora mantienen su forma a diferentes escalas (similitud).

Félix Flores Espíritu

Geometría

ABCD : Rombo PQRS : Cuadrado de lado “L” B Q

R C

Dd Dd

D d

Ejercicios de Aplicación

En un triángulo ABC se traza la ceviana BP de modo que mBAP = mPBC, AP = 5 y PC = 4, halle BC.

En un trapecio de 6 m de altura, las bases miden 18 m y 6 m. Determine la distancia de la base mayor al punto de intersección de las diagonales.

En la figura, ABCD es un paralelogramo, 4BE = DE y BF = 1 m. Calcule AF. B F

C E

En un triángulo ABC se inscribe un rombo BMNT. Calcule

BM, si: AB = 6 y

BC = 14. 5.

En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas AM y CN . Calcule BM, si AB = 5, NB = 3 y BC = 6.

En un triángulo rectángulo ABC recto en B, AB = 12 y BC = 15. Se traza la mediatriz de AC que interseca en N y M a BC y AC respectivamente. Con diámetro MN se traza una circunferencia que interseca a BC en Q. Calcule NQ.

La bisectriz del ángulo B en un triángulo ABC corta a la circunferencia circunscrita en E y a AC en D. Calcular AE, si DE = 4 y BE = 9.

160

Félix Flores Espíritu

Geometría

En una circunferencia se trazan las cuerdas PA , PB y PC , de modo que PB es la bisectriz del ángulo APC. Por el punto B se traza una recta tangente a la circunferencia, la cual interseca a la prolongación de la cuerda PA en el punto “Q”. Calcule PB sabiendo que PQ = 9 y PC = 4.

ABCD es un rectángulo con base CD de 27 cm de longitud y altura AD de 18 cm. Por P, en AB se traza PE // AD , E en CD . Halle AP, sabiendo que los rectángulos ABCD y APED son semejantes y que AP < AB/2.

10. En un triángulo ABC, AB = 2, BC = 3, AC = 4. En la región exterior relativo al lado AC se ubica el punto E de modo que EC = 6, AE = 8 y BD // AE (D  AC ). Calcule BD.

Tarea

Si la razón de semejanza entre dos triángulos semejantes es 3 y uno de dos lados homólogos mide 9, el otro lado medirá: A) 3 ó 21 D) 3 ó 30



A) B) C) D) E)

15 8 6 4 3

Los triángulos mostrados a continuación son semejantes. Halle a + b.









A) B) C) D) E)

11 10 12 9 15

Halle PQ. B 4 P



A) 5 Q

8  A

161

C) 3 ó 27 E) 3 ó 9

Halle x.

B) 3 ó 18

B) C) D) E)

6 7,5 8 10

Félix Flores Espíritu

Geometría

El perímetro de un rectángulo, es 30. Halle el perímetro de otro rectángulo, semejante al primero, si la razón de semejanza es 1/3. A) 10 ó 80 D) 10 ó 75

B) 10 ó 90

Del gráfico mostrado si PQ es paralelo a AB , calcule x. B 4 Q

x A

4 2 5 7 3

B) 1,70 m

C) 1,60 m

D) 1,50 m

E) 1,40 m

En la figura se muestra una escuadra. Hallar x + y.

1,5

A) B) C) D) E)

Dos postes de 2 m y 8 m de altura están separados 10 m. La altura del punto de intersección de las rectas que unen el extremo de cada poste con la base del poste opuesto es: A) 1,80 m

C) 10 ó 70 E) 10 ó 85

A) B) C) D) E)

5 4,5 4 3,5 3

Por los extremos de un segmento AB de 50 cm de longitud se levantan dos perpendiculares: AC = 20 cm y BD = 30 cm. Se unen C con B y A con D que se intersecan en el punto P, entonces la distancia de P al segmento AB es: A) 10 cm

B) 11 cm

C) 12 cm

D) 13 cm

E) 14 cm

10. Un triángulo tiene por lados 20, 26 y 30. ¿Cuáles son los lados de otro triángulo semejante de 114 de perímetro? A) 30, 39 y 45 D) 25, 39 y 50

B) 25, 35 y 54

C) 26, 39 y 49 E) 32, 38 y 44

11. Los lados de un triángulo miden 15, 20 y 30 m. ¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo semejante si la razón de semejanza del primero con el segundo es de 5/4? A) 60 m

162

B) 65 m

C) 56 m

D) 52 m

E) 62m

Félix Flores Espíritu

Geometría

12. Se tiene un triángulo ABC, cuyo lado BC mide 9 m y la altura AH´ = 6 m. Halle el lado del cuadrado inscrito, uno de cuyos lados está en BC del triángulo. A) 3,5 m

B) 3,6 m

C) 4 m

D) 4,5 m

E) 4,6 m

13. Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC se ubican los puntos M y N respectivamente de modo que MN es paralelo a AC , además AC = 5MN, BC = 10, halle BN. A) 3

B) 1

C) 4

D) 5

E) 2

14. En un trapecio ABCD ( BC // AD ) las diagonales se intersecan en O, si BO = 3, OD = 4 y OC = 2. Halle OA. A) 8/3

B) 8/5

C) 7/3

D) 6/4

E) 5/3

15. Un lado de un triángulo mide 24 y la altura correspondiente 6. Si el lado homólogo de un triángulo semejante mide 21. ¿cuánto mide la altura correspondiente? A) 5

B) 4,5

C) 4

D) 3,5

E) 5,25

16. El perímetro de un polígono mide 64 cm. Calcular el perímetro de otro polígono semejante si la razón entre los lados correspondientes es 4/5. A) 64 cm D) 78 cm

B) 70 cm

C) 75 cm E) 80 cm

17. En la figura, AB = 5, BC = 6 y AC = 7. Si DE // AC y BD = EC, calcule DE. B

A) B) C) D)

3,5 3 35/11 42/11

E) 43/11 C

18. Se tiene un

triángulo

rectángulo

ABC,

donde AB = 3 cm, AC = 4 m y

BC = 5 cm. Se traza la mediatriz DE de la hipotenusa (D en BC y E en AC ). Halle su longitud. A) 1,875 cm D) 1,75 cm

163

B) 2,40 cm

C) 1,50 cm E) 1,60 cm

Félix Flores Espíritu

Geometría

19. La base AC de un triángulo isósceles ABC mide 60 m. Se trazan las alturas

AD y CE . Halle la longitud del segmento DE , sabiendo que BC = 3 BE. A) 20 m

B) 15 m

C) 30 m

D) 12 m

E) 45 m

20. En un paralelogramo ABCD: M es punto medio de CD . Si BM  AC : P y la distancia de P a AB es igual a 8. Halle la distancia de P a CD . A) 4

B) 3

C) 4,5

D) 5,5

E) 6

21. Del gráfico adjunto se pide calcule MN, si AB excede a MN en 5 además: BN 3  . NC 2 B A) 10/4 B) 10/6 N C) 5 D) 10/3 E) 4 C A M

22. En la figura ABCD es un paralelogramo. AB = 18, AP = 4 (QP). Halle PD. A) B) C) D) E)

B P

Q A

6 8 9 12 4

23. Calcule AB si BF = 4 y FC = 5. B

A) 4,5 B) 8,5

C) 6 

D) 7



E) 8

24. En la siguiente figura, calcule DE, si AC = 12 m, AB = 8 m y BD = 3 m. B

A) D

 E

 A

B) 4 m C) 4,5 m D) 5 m E) 2 m C

25. Calcule la longitud de la paralela al lado AC de un triángulo ABC, si AC = 18 y la paralela se ha trazado por el baricentro del triángulo. A) 9

164

B) 12

C) 13

D) 14

E) 16

Félix Flores Espíritu

Geometría

26. Calcule el lado de un cuadrado inscrito en un rombo cuyas diagonales miden 2x y x unidades. A) 2x

B) 2x/3

C) 3x/2

D) x/2

E) x/3

27. Hallar el lado del cuadrado si AP = 9m y SC = 25m B Q

A) 5 m B) 10 m C) 15 m

D) 20 m E) 4 m

28. En un triángulo ABC, se inscribe un rombo BMNT (M sobre BC y N sobre AC ). Calcule el lado del rombo, si AB = s y BC = t.

st st

B) s + t

C) s – t

D) st

st st

29. En la figura AB = 3 y BD = 2 3 . Calcule BC B 



A) B) C) D) E)

 A

2 4 6 8 10

30. En un trapecio ABCD ( AB // CD ), las diagonales se intersecan en P. Si 3AB = 5CD; AP + PB = 30, halle: CP + PD. A) 14

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

31. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 8 m, BC = 10 m y AC = 12 m. Halle la longitud de la paralela al lado AC trazada por el incentro del triángulo ABC. A) 9,2 m

B) 7,2 m

C) 4,2 m

D) 6,2 m

E) 8,2 m

32. La base mayor de un trapecio mide 7 veces la longitud de la base menor. La altura mide 8. Halle la distancia del punto de corte de las diagonales a la base mayor. A) 5

165

B) 6

C) 7

D) 8

E) 8,5

Félix Flores Espíritu

Geometría

33. En el trapecio isósceles de la siguiente figura, si las bases mayor y menor miden 12 m y 8 m, halle la longitud de PQ. B

A) B) C) D) E)

9,2 m 9,5 m 9,0 m 9,8 m 9,6 m

34. Los lados de un triángulo ABC miden BC = 6, CA = 8 y AB = 4. Por un punto M de AB se traza la paralela MN al lado BC . Halle AM, de modo que el perímetro del triángulo MAN sea igual al perímetro del trapecio BMNC. A) 3,5

B) 2,0

C) 1,5

D) 2,5

E) 3,0

35. En un rombo ABCD, de 12 cm de lado, se toma el punto medio M de BC . AM corta a BD en G y DM a AC en H. Calcule GH.

A) 4

B) 6

C) 2 2

D) 3 2

E) 3

36. En un paralelogramo ABC. Un punto P de AC dista 2 y 3 de AB y AD respectivamente. Si la longitud del lado mayor del paralelogramo es 15. Calcule la longitud del lado menor. A) 9

B) 10

C) 8

D) 12

E) 13

37. Un rectángulo está inscrito en un triángulo ABC de manera que su largo descansa en AB ; la altura relativa a AB miden h y AB = t. El largo del rectángulo es el triple de su ancho. Si el perímetro del rectángulo es 9x, halle x en función de h y t.

ht 9 ( t  sh)

9 ( t  3h) 8ht

8ht 9 ( t  3h)

38. Del gráfico calcule x si DE // BC y FD = x. B E

F 2

1/2 2/3 3/4 4/5

E) 5/6 3

166

A) B) C) D)

8ht t  3h

Félix Flores Espíritu

Geometría

39. En un triángulo ABC, I: incentro y G es el baricentro de dicha región triangular, además IG // AC . Si AB = 10 y BC = 14. Calcule IG. A) 1/3

B) 2/3

C) 4/3

D) 1

E) 2

40. En el interior de un cuadrado ABCD se ubica el punto F y se construye el cuadrado AFGH de manera que FG interseca AB . Halle la distancia entre los centros de los cuadrados si BH = 8.

A) 8

167

B) 4

C) 4 2

D) 2 2

E) 6

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

168

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tema: Proporcionalidad y Semejanza Problemas Tomados En la I.E.P. Sagrado Corazón de Jesús

Problemas Dirigidos

En el grafico, BC=CD. Calcule FM. Si FH=4.

A) 2√3

B)2√2

C)√5

D)4

E)3

En un triangulo rectángulo ABC (recto en B), de encuentro I, se traza la bisectriz interior CM; desde M se traza la recta MH, perpendicular a AC (H en AC) y en MH se ubica el punto N tal que IH // CN. Calcule MH / HN si la mBAC = 62º. A) 0,5

D)0,4

E)0,2

B) 12.5

C) 12

D) 9

E) 7

Del gráfico que se muestra, calcule BC. Si AB=2 y CD=3.

A) 1

169

C) 0,25

En el gráfico r=6, R=8 y AQ=14. Calcule AP.

A) 10,5 4.

B)0,3

B) 1.5

C) 2

D) 2.5

E) 3

Félix Flores Espíritu

Geometría

En un hexágono regular ABCDEF se trazan las diagonales CE, CF y BD que

se intersecan en M y N (M entre B y N). Calcule (MN/BM)+(ND/BD)

A) 1/3

B) 2/3

C) 1

D) 4/3

E) 5/3

Sobre el lado AB de un triángulo ABC se ubica el punto F a partir del cual se

traza FH perpendicular a BC. Halle FH si FB=6, AC=32 y el circunradio mide 24cm.

A) 7

B)6

C)5

D)4

E)3

Según el gráfico mostrado, ABCD es un trapecio, cuya base menor mide a. Si

PQRS es un cuadrado. Calcule la altura del trapecio.

A) a√2

B) a√3

C)1.5a

D)2a

E)3a

En el gráfico mostrado. MHxHN=16. Calcule BH.

A) 16

B) 8

C)4

D) 2

E) (16)⅓

Sea ABCD un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia. M ε AB y N ε CD

son puntos de tangencia. P es punto de interseccion de BD y MN y además es el punto medio de MN, y BM=2, BP=3 y PD=5; hallar ND.

A) 2

B)5/2

C)3

D)10/3

E)4

10. En un triangulo rectángulo ABC, se traza la altura BH. Sea M y N los incentros de los triangulos ABH y HBC respectivamente, si CH=3(AH). Calcule la m CMN.

A) 30°

170

B)36°

C)45°

D)60°

E)75°

Félix Flores Espíritu

Geometría

Problemas Domiciliarios 1.

Los lados de un triangulo ABC miden AB=8, BC=10 y AC=12 Calcule la longitud

de la paralela al lado AC trazada por el incentro de ABC.

A) 7,2

B)3,6

C)5,4

D)6

E)9

Sobre el lado AB de un triangulo ABC se ubica el punto P a partir del cual se

traza PH perpendicular a BC Calcule PH si PB=10, AC=48 y el circunradio mide 25.

A) 7,2

B)9,6

C)5,6

D)4,8

E)12

En Los ángulos CAD y CBD son iguales; AE es perpendicular a BC, AF es

perpendicular a BD. Si AF=3, AE=2, AD es mayor que AC en 2m. ¿Cuánto mide AC?

A) 7

B)6

C)5

D)4

E)3

En un romboide ABCD se tiene que P, Q y R son puntos medios de los lados

BC, CD y DA respectivamente. BQ y BR intersecan a AP en los puntos G y H. Halle GH si AP=10cm.

A) 7

B)6

C)5

D)4

E)3

En un trapecio rectángulo ABCD se tiene que m  A=60º, mC=mD=90º y

BC=CD. En AC se ubica el punto F y se traza FM perpendicular a AD y FN perpendicular a AB. Calcule FN si FM=2√3. A) √3

B)6

C)2√6

D)4

E)3

En un triangulo ABC, los ángulos A y B satisfacen 3A + 2B = 180º. Si AB=8

y BC=4, Calcule AC.

A) 7

171

B)6

C)5

D)4

E)3

Félix Flores Espíritu

Geometría

ABCD es un cuadrilátero con AB=8, BC=6, BD=10, m DAB= m CDA,

m  ABD=m BCD, calcule CD. A) 12,8

B)6,4

C)5,6

D)4,8

E)8,1

En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BM, en BC se ubica el punto

N. Si NB=AB=AM y MC=2 NC. Calcule la m BMN.

A) 100º

B)80º

C)120º

D)90º

E)75º

Dado un triángulo isósceles ABC (AB=BC), la circunferencia ζ inscrita es

tangente al lado AB en P. Por P se traza PM ortogonal a AC (M en AC); si la altura CH mide 10, entonces el valor de PM es:

A) 7

B)6

C)5

D)4

E)3

10. En un triangulo ABC la circunferencia inscrita es tangente a AB, BC y AC en M, N y Q respectivamente, la altura trazada desde B es h. Calcule la distancia de Q a MN, si la m ABC es 60°.

A)h/2

B) h /3

C) 3h/5

D) 2h/3

E) h/4

Cuadro de Respuestas

Problemas Dirigidos

Problemas Domiciliarios

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

172

Félix Flores Espíritu

Geometría

Relaciones Métricas

Pitágoras es el matemático más conocido y un personaje muy célebre y apasionante en la historia de las ideas. Filósofo, matemático, sabio, investigador, naturalista, aventurero, místico, teólogo, profeta, pero ante todo maestro. Además de ser el principal responsable del origen en Grecia de la Matemática racional a través de la demostración, Pitágoras es inductor de buena parte de los elementos culturales que a lo largo del tiempo han ido forjando el pensamiento. En geometría se le atribuye muchos de los teoremas elementales escolares sobre triángulos, polígonos, poliedros, rectas paralelas, círculos, esferas, sección áurea, etc., resultados que nutren una gran parte de Los Elementos de Euclides. Pero sin duda lo más famoso es el llamado Teorema de Pitágoras, la relación matemática que más recordamos de la escuela; la más importante, útil y popular; la fuente de multitud de relaciones métricas, la que más nombres y pruebas ha recibido, la de mayor valor práctico, teórico y didáctico. Una demostración del Teorema de Pitágoras.

173

Félix Flores Espíritu

Geometría

Relaciones Métricas En el Triángulo Rectángulo Proyección Ortogonal La proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto hacia la recta. Además la proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es el segmento que une las proyecciones ortogonales de los extremos del segmento dado. P B A

Ten en cuenta que:

P´

B´

A´

Proyección ortogonal de P sobre

Como todo triángulo rectángulo se puede inscribir en una semicircunferencia, podemos considerar las relaciones métricas de ciertos elementos, como una cuerda o semicuerda perpendicular al diámetro.

L : P´

Proyección ortogonal de AB sobre

L : A´B´

Teoremas en el Triangulo Rectángulo B a c h H

C n

Si CH┴AB → a = (2R)(m) II.

AH : proyección ortogonal de AB sobre AC

HC : proyección ortogonal de BC sobre AC

Teoremas 2

Si CH┴AB → h = (n)(m) 2

c = bm

a +c =b

ac = bh

h = mn

174

a = bn 2

Félix Flores Espíritu

Geometría

Relaciones Métricas En La Circunferencia

Los teoremas de Relaciones Métricas en la circunferencia son recíprocos. I.En un cuadrilátero; Si el producto de longitudes de los segmentos parciales, determinados por dos diagonales al intersecarse, son iguales.

Teorema de las Cuerdas C A a

x P b y

Ten en cuenta que:

En la figura, las cuerdas AB y CD se intersecan en P, entonces: ab = xy Si: AP.PC=BP.PD Entonces el cuadrilátero ABCD es inscriptible. II. Si al prolongar dos lados opuestos de un cuadrilátero y estos se intersecan, se cumple que; el producto de la secante entera por su parte externa son iguales.

Teorema de las Secantes a A

P D

En la figura; por el punto P se trazan las rectas PBA y PDC secantes a la circunferencia, entonces: ab = mn

Teorema de la Tangente m

Si: AP.PC=BP.PD Entonces el cuadrilátero ABCD es inscriptible. III.Si en un triángulo, la ceviana interna determina con un lado un ángulo de igual medida, a uno de los ángulos del triángulo. Entonces dicho lado es tangente a la circunferencia circunscrita a uno de los triángulos parciales determinado por dicha ceviana.

P b B a C

En la figura, por el punto P se trazan la tangente PA y la secante PBC , entonces: 2

m = ab

175

Si: (CT) =CA.CB Entonces; CT es tangente a la circunferencia.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación

En la figura, AE = 8 y BF = 12. Calcular FC. B F E

En la figura, el trapecio ABCD es isósceles. Calcular la longitud x. x B

A 50

Las diagonales de un rombo miden 12 y 16. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita.

En un trapecio las diagonales son perpendiculares y miden 6 y 8. Calcular la medida de la base menor si la mayor mide 7.

Las distancias de un punto exterior “P” a una circunferencia miden 2 y 8. Calcule la medida de una de las tangentes trazadas desde “P” a dicha circunferencia.

En la figura, T es punto de tangencia. AE = 24; AT =

3 2

AD.

T A B D C

Si: AF  EF = 98. Halle BE. B F   A

176

E H

(AB) y AC = 18. Halle

Félix Flores Espíritu

Geometría

Se tienen dos circunferencias secantes en “P” y “Q”, luego se traza una recta tangente en “A” a la primera y secante en “B” y “C” a la segunda: la prolongación de QP corta a la recta en “R”, RB = 1 y BC = 8. Calcule AR.

En una circunferencia de radio 13, se trazan dos cuerdas que se intersecan en “L”. Si el producto de las medidas de los 4 segmentos formados es 625. Calcule la distancia del punto “L” al centro de la circunferencia.

10. En un rectángulo ABCD, la base AB es el doble de la altura BC . Por el vértice A se traza una perpendicular a la diagonal BD que corta a CD en E. Calcule DE/EC.

Tarea 1.

En la figura, la suma de las áreas de los cuadrados ABCD y EFGC es 72 u . Calcule la longitud de FA . E

F B

6u 9u 10u 8u 12u

A) B) C) D) E)

En la figura, AB = 25; AH = 24 y HC = 30. Halle HD. B D

A) B) C) D) E)

7,25 8,75 9,20 6,25 7,50

En la figura: EF  EQ = 20; AE = 5 y AB = BC. Halle la longitud del segmento tangente CT. C F E

A) 9 B) 9 3

C) 9 2 D) 9 5

E) 9 6

Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que forman una progresión aritmética de razón igual a 1. Calcule la medida de la altura relativa a la hipotenusa. A) 1,2

C) 1,6

D) 2,2

E) 2,4

Los lados menores de un triángulo rectángulo miden x y 3x+3, el tercer lado mide 4x – 3. Calcule el perímetro del triángulo. A) 54

177

B) 1,4

B) 56

C) 58

D) 60

E) 62

Félix Flores Espíritu

Geometría

La hipotenusa de un triángulo mide 20 y la altura relativa a ella mide 9,6. Calcule la medida del cateto mayor. B) 5 10

A) 18

D) 6 10

C) 16

E) 12

Halle AB. B

A) B) C) D) E)

4 6 8 10 12

A) B) C) D) E)

4 6 15 5 9

A) B) C) D) E)

9 12 16 13 10

A) B) C) D) E)

6 9 10 12 15

Halle BH. B

Halle HB. B 20

10. Halle PQ.

12 P

11. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Halle la altura relativa a la hipotenusa.

60 13

30 13

15 13

10 13

20 13

12. La altura de un triángulo rectángulo determina en la hipotenusa segmentos de 9  y 16 . Calcule los catetos. A) 15 y 20

178

B) 40 y 50

C) 20 y 30

D) 50 y 60

E) 30 y 40

Félix Flores Espíritu

Geometría

13. Halle R, OP = 8, ON = 15. A P O

A) B) C) D) E)

M N

16 17 18 20 23

14. Los lados de un triángulo miden 10 , 41  y 42 . ¿Cuánto hay que disminuir cada lado para que el nuevo triángulo sea rectángulo? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

15. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos están en la relación de 4 a 5. Halle la relación de dichos catetos.

16. El perímetro de un triángulo rectángulo es 56 y la suma de los cuadrados de sus lados es 1 250. Halle la longitud del menor lado. A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

17. En un triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de sus catetos es 35. Calcule la longitud de la hipotenusa si la altura relativa a la hipotenusa mide 12. A) 24

B) 25

C) 26

D) 27

E) 12 3

18. En un trapecio isósceles, calcule la longitud de la proyección de una de sus diagonales sobre la base mayor, si la suma de las longitudes de sus bases es 10 cm. A) 2,5 cm

B) 5 cm

C) 7,5 cm

D) 10 cm

E) 6,5 cm

19. Los lados de un triángulo rectángulo están expresados por tres números enteros consecutivos. Halle la longitud de la proyección del lado mayor sobre el lado menor. A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 2,5

20. La altura trazada del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo mide 60 cm y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de 25 cm. Halle el perímetro del triángulo. A) 360 cm

B) 370 cm

C) 380 cm

D) 390 cm

E) 410 cm

21. Una rueda está apoyada en un ladrillo como muestra el gráfico. Si: AB = 15 y BC = 9, entonces el radio de la rueda mide:

R C

179

A) B) C) D) E)

12 13 14 15 17

Félix Flores Espíritu

Geometría

22. En la figura, calcule el radio de la circunferencia, sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 16. B

r A

A) B) C) D) E)

6 5 8 10 12

A) B) C) D) E)

1 2 3 4 5

A) B) C) D) E)

7 8 9 10 12

A) B) C) D) E)

2 3 4 5 6

23. Halle PB; si AP = 4; PC = 9 y PD = 12. A

24. Halle CD; si AB = 5, AF = 4 y FC = 3. B

A F C

25. Halle PT; si PA = 3 y AB = 9. B A P T

26. En un triángulo rectángulo, el producto de las medidas de los catetos es 2 48 cm ; si la hipotenusa mide 10 cm, ¿cuánto mide la altura relativa a la hipotenusa? A) 12/5 cm

B) 1,2 cm

C) 24/5 cm

D) 5 cm

27. Halle BC, si AB = 3 y CD = 4. A F B E C

A) B) C) D) E)

1,5 2 2,5 3 4

A) B) C) D) E)

1 2 3 4 6

28. Halle PC, si AP = 16, PB = 4 y PD = 32. A C P

180

E) 5,5 cm

Félix Flores Espíritu

Geometría

29. Halle AB, si: BC = 1 , CD = 2 y DE = 13 . P B

A) B) C) D) E)

C Q

3,5  4,5  6 2,5  6,5 

30. Del gráfico, señalar lo correcto:

A) x = ab 2

B) x = 2ab

D) x = a – b

x a b

E) 2x = a + b

31. La figura muestra dos semicircunferencias. Indicar lo correcto: E F

G a

A) a = 2c 2 D) a = b . c

B) b = c

C) a = b + c E) c = 3b

32. En la figura, O es centro de la circunferencia. BF = 3 y OF = 9. Halle EF. E B

A) B) C) D) E)

F A

3 3,6 4,2 3,2 4,6

33. En un triángulo equilátero ABC, cuyo lado mide 8 cm, se traza una perpendicular desde uno de los vértices, hasta el lado opuesto; del pie de esta perpendicular se traza otra perpendicular hacia uno de los otros lados. ¿Cuánto medirá esta perpendicular? A)

3 cm

B) 4 3 cm

C) 3 3 cm

D) 4 cm

E) 2 3 cm

34. Una hoja de papel de forma cuadrada, de 20 cm de lado, se dobla juntando 2 esquinas opuestas. ¿Cuánto mide el doblez? A) 10 2 cm

B) 10 cm

C) 25 cm

D) 40 cm

E) 20 2 cm

35. Los lados de un rectángulo miden 15 y 20 cm respectivamente. ¿Cuál es la distancia de uno de los vértices a una de las diagonales? A) 18 cm

181

B) 9 cm

C) 12 cm

D) 10 cm

E) 13 cm

Félix Flores Espíritu

Geometría

36. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 2 5 cm, halle la distancia que hay desde el vértice A hasta DM , siendo M el punto medio de AB .

D) 2 cm

E) 1 cm

37. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) los catetos AB y BC miden 15 y 20 cm respectivamente; se traza la altura BH . Halle

la distancia que hay

desde H hasta BC . A) 10,2 cm

B) 9,6 cm

C) 12 cm

D) 9 cm

E) 8,5 cm

38. En el triángulo rectángulo MNS (recto en N), MN = 24 y NS = 36 MT es la mediana trazada del vértice M al lado SN . Halle la distancia de N a MT . A) 14,4

B) 14

C) 13,9

D) 14,6

E) 15,6

39. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediatriz relativa a la hipotenusa interseca a BC en M. Si AC = 12 y BC = 10, encontrar el valor de BM.MC. A) 18,16

B) 16,18

C) 20,16

D) 16,20

E) 20,20

40. Se da un rectángulo ABCD, en el cual AD = 2. CD. Por B se traza BE , perpendicular a AC . Si E está en AD y ED = 9 m, entonces AD mide: A) 12 m

182

B) 9 m

C) 6 m

D) 9 2 m

E) 12 2 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

183

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tema: Relaciones Métricas Problemas Tomados En la I.E.P. Sagrado Corazón de Jesús

Problemas Dirigidos 1.

Dada un semicircunferencia de diámetro AC. Se traza el triángulo isósceles ABC, cuyos lados AB y BC (base) intersecan a dicha semicircunferencia, desde B se traza la tangente BT (T punto de tangencia. Calcule BT si BC=2a A) a√2

B) a√2/2

C) 2a

D) 3a√2/2

E) a

ABCD es un cuadrado de lado 2√5. Calcule PQ.

A) 1 3.

B) √2

D) √5 /2

C) 2

E) 3

Si OMNQ es un cuadrado. Calcule PM/MH.

A)1/ 2

B)1/3

C) √2/4

E) √2/2

D)1

4. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se considera a AB como diámetro y se traza la semicircunferencia Ω que interseca a los lados BC y AC, por C se traza la altura CH relativa al lado AB. Si CH ∩ Ω ={F} y AC=16m, entonces AF es igual a: A) 8√2

B)15√2/2

C) 6√2

D) 9√2/2

E)7√2

5. En el grafico ABCD es un paralelogramo. Si BM=6 y MC=4. Calcule la distancia entre los lados BC y AD.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

6. En un trapecio de diagonales perpendiculares, el producto de las longitudes de sus diagonales es a y la base media mide b. Determine la altura del trapecio. A) 2a/b

184

B) b/a

C) a/b

D) 3a/b

E) a/2b

Félix Flores Espíritu

Geometría

7. En la figura que se muestra, PQ=4, QS=2. Calcule SH.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

8. Si AB=16, PN=4.Calcule BN.

A) 2 9.

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

En el gráfico Halle BD. Si BE=4y AE=5. (D: punto de tangencia)

A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9

10. Desde el punto M exterior a una circunferencia Ω se traza las tangentes MA y MB (A y B puntos de tangencia). En la prolongación de AB se ubica el punto N desde el cual se traza la tangente NC (C punto de tangencia).Calcule la medida del ángulo determinado por ON y CM, siendo O centro de Ω. A) 45º

185

B) 60º

C) 90º

D) 72º

E)105º

Félix Flores Espíritu

Geometría

Problemas Domiciliarios: 1.

Del grafico, calcule DE si se sabe que AB=3; BC=2 y CD=1.

A) 1

B) 1.5

C) 2

D) 2.5

E) 4

2. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia. Si AM=5 y CN=12. Calcule MN.

A) 8

B) 10

C) 11

D) 13

E) 17

3. Del gráfico, M, N y T son puntos de tangencia y AE=EC. Calcule x.

A) 45º

B) 53º

C) 60º

D) 74º

E)90º

Del gráfico, calcule la distancia de D hacia AB. Si AB=8 y AC.DE=24

A) 1,5

186

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

Félix Flores Espíritu

Geometría

5. Según el grafico, AH=8(HO) y BN=20. Calcule OM.

A) 5/2

B) 2√5

C) √5

D) 3√5

E) 15/2

6. En la figura, M y N son los puntos medios de BH y AC. Si BH=20 y AC=48.Calcule MN.

A) 9 7.

B)12

C)24

D)13

E)26

En el grafico. Calcule PQ si PA=9 y AM=7

A) 12

B) 15

C) 16

D) 18

E) 24

8. En el gráfico O es punto de tangencia. Si PA=2, PB=3 y PC=3. Calcule PD.

A) 1.16

187

B) 1.5

C) 1.2

D) 2.4

E) 1.8

Félix Flores Espíritu

Geometría

9. Dos circunferencias son tangentes interiores en el punto G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en los puntos M, N y F respectivamente; tal que AM es menor que AN, AN=a, BN=b y CF=c. Calcule el radio de la circunferencia mayor. A) ab/c D) 2ab/c

B) 2ab/(a+b+c)

C) ab/(a+b+c) E) abc/(a²+b²)

10. En un triángulo rectángulo se inscribe una circunferencia cuyo radio r es un 1/6 de la longitud de la hipotenusa. Luego, la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro del triángulo dado es: A) 2r/3

B) √6r/3

C) 3r/5

D) 5r/8

E) √3r/2

Cuadro de Respuestas

Problemas Dirigidos

Problemas Domiciliarios

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

188

Félix Flores Espíritu

Geometría

POLIGONOS REGULARES ¿Para qué sirve una figura inscrita o circunscrita a otra? Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que ésta define. El polígono se dice circunscrito en la circunferencia si, estando todos sus vértices situados fuera de la circunferencia, los lados son tangentes a la misma. Los polígonos regulares poseen una única circunferencia inscrita y otra circunscrita, y ambas son concéntricas. El centro de ambas circunferencias se llama también centro del polígono regular. El gran Arquímedes de Siracusa diseñó el método de los polígonos inscritos y circunscritos para calcular el valor de pi.

En el caso del octágono de la

Así obtuvo el valor de pi = 3 + 1 / 7 ó 22 / 7 = 3,1428

figura, y con ayuda de

Ptolomeo calculó que pi = 3 + 1 / 8 + 1 / 60 = 3,14166

calculadora científica,

Los matemáticos árabes y chinos habían hallado que pi era igual a

tenemos que: n = 8

3,1416

β= (8 - 2) · 180º / 8 = 135º,

Este procedimiento estuvo vigente hasta el siglo XVII, a partir de aquí los matemáticos comenzaron a diseñar algoritmos de cálculo, en los que no

α = β / 2 = 67,5º

interviene la circunferencia.

pi = 8 · cos 67,5º pi = 3,0614674589

El método empleado por Arquímedes consiste en calcular los perímetros de

pc= 8 / tg 67,5º pc = 3,31370849898

los dos polígonos regulares uno inscrito y el otro circunscrito y compararlos

pi = (pi + pc) / 2

con la longitud de la circunferencia, de esta manera podemos hallar dos

pi = 3,187587978952

valores diferentes de p, uno inferior pi correspondiente al polígono inscrito y el otro superior pc obtenido con el circunscrito. Entonces podremos concluir que p es la media aritmética de ambos valores hallados: p = (pi + pc) / 2 Lógicamente se puede seguir buscando más precisión con sólo aumentar el número de ángulos del polígono regular que tomemos como base del cálculo. ¿Podrías demostrar que al aumentar el número de lados el valor de pi se acerca a 3,1416?

189

Un valor de pi todavía no muy exacto.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Polígonos Regulares Definición: Es aquel polígono equilátero y equiángulo a la vez.

Propiedades: 

En todo polígono regular existe un punto que equidista de todos sus lados y todos sus vértices. A dicho punto se le llama centro.



Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a circunferencias concéntricas.

Tenga en cuenta que: Cuando nos referimos a que el polígono es equiángulo, debemos considerar que dichos ángulos deben ser todos interiores o todos exteriores. Siendo así: el siguiente polígono equilátero, no es regular.

1. Triángulo Equilátero: B

 = 120°

L3 O

L3 = R 3

 Ap3

Ap3 =

R 2

120°

2. Cuadrado: C

B O

 = 90° L4 = R 2

 Ap4 D

Ap4 =

Si representamos la longitud del lado de un polígono regular con ℓn, donde n es el número de lados del polígono regular.

R 2 2

90° 2

Se cumple: (ℓ6) + (ℓ10) = (ℓ5)

3. Hexágono Regular C

B L6 A

 Ap6 60°

Ap6 =

ℓ6

R 3 2

Nº de lados

Nombre

Med.  central

Octágono R.

45º

Dodecágono R.

30º

Decágono R.

36º

Pentágono R.

72º

190

ℓ5

ℓ10

 = 60° L6 = R

Lado del P.R.

Apotema

R R

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación

En un triángulo obtuso en “B”: AB = L4, BC = 6 2 . Halle la medida de la altura BH .

Desde un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan una tangente y una

¿Sabías que?

secante. La secante corta a la circunferencia en los puntos A y B, tales que AB = 3PA; mAB = 120°. Si el radio de la circunferencia mide 6 metros, halle la longitud del segmento formado por P y el punto de tangencia.

Se tiene un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia de centro “O” (“O” está en el interior del cuadrilátero). Halle la medida del ángulo que forman las prolongaciones de AB y DC si AD = L3 y BC = L8.

En la figura adjunta, el triángulo ABC es equilátero, M es punto medio del lado BC y D es punto medio del arco AC. Si x e y representan las longitudes de

los segmentos DM y ME respectivamente, halle x/y. A D

En un triángulo ABC; mA = 15°, mB = 45°, la distancia del circuncentro a AB es

191

2 m. Hallar AC.

Los polígonos regulares se presentan en la naturaleza a través de los panales de las abejas, formando celdas hexagonales regulares, que le permiten almacenar la miel en recipientes de mayor volumen ocupando la menor superficie.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tarea 1.

¿En qué polígono regular su apotema es la mitad del lado? A) Triángulo D) Pentágono

B) Hexágono

C) Cuadrado E) Heptágono

Diga cuánto mide el lado de un hexágono circunscrito a una circunferencia de radio igual a 4 3 . A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 7

Hallar el lado del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 3.

A) 3 4.

B) 4

C) 2

D) 1

E) 5

Diga cuánto mide el lado de un hexágono regular inscrito a una circunferencia de radio igual a 2 3 . A) 2 3

B) 4

B) 7 3

D) 6 3

E) 2 3

2:3

3 :1

2:1 3 :2

Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 6. Halle el lado del hexágono regular inscrito en el triángulo. A)

C) 3 3

¿En qué relación están los apotemas del cuadrado y el triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R? A) 1 : 1

E) 10

¿Cuál es la longitud del apotema del hexágono regular inscrito en una circunferencia de longitud 20? A) 5 3

D) 8 3

C) 6

D) 2 2

E) 2 3

Hallar: OM, si: AB = 240°, R = 4. B M A

O R

1 2 2,5 3 4

El ángulo “A” de un triángulo ABC inscrito en un círculo de 8 m de radio mide 60°, entonces BC mide: A) 4 3 m

192

A) B) C) D) E)

B) 6 3 m

C) 8 3 m

D) 12 3 m

E) 8m

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. En la siguiente figura, hallar MN si ABC es un triángulo equilátero y R = 10; AM = MC; mBN = mNC. B

A) 5 7 N

B) 6 7 C) 8 7

D) 9 7 A

E) 10 7

11. En la figura mostrada “O” es el centro de la circunferencia de 4 m de radio. Si el segmento AC es el lado de un hexágono regular inscrito, el segmento BD es el lado de un  equilátero inscrito y además AC // BD , calcule AB. A

A) 4 m B) 4 2 m C) 2 m

D) 6 2 m B

E) 1 m

12. En una misma circunferencia, el cociente del perímetro del hexágono regular circunscrito entre el perímetro del hexágono regular inscrito, es de:

B) 2/3

3 3

2 3 3

E) 3/2

13. Hallar la medida del menor ángulo formado por las diagonales de un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia de centro “O” (“O” está en el interior del cuadrilátero), si AB = L4 y CD = L5. A) 52°

B) 73°

C) 81°

D) 92°

E) 99º

14. En una circunferencia cuyo radio mide R, se trazan dos cuerdas no congruentes AB y CD que miden respectivamente R 3 y R 2 las cuerdas AD y BC se intersecan en E. Halle la mBED.

A) 90°

B) 75°

C) 90°

D) 102°

E) 150°

15. Halle x, si: AB = r, BC = r 2 B C r A

x D

A) B) C) D) E)

20° 18° 15° 22,5° 26,5°

16. Dado un triángulo ABC: mA = 10°; mC = 20° y AC = 4 3 . Hallar la longitud del segmento que une los pies de las alturas trazadas de los vértices A y C. A) 6

193

B) 12

C) 15

D) 3

E) 9

Félix Flores Espíritu

Geometría

17. En una circunferencia de radio AB = 2 3 ; BC = A) 3 2

6 . Se inscribe el cuadrilátero ABCD tal que:

6 y AD = 3 2 . Hallar CD.

B) 3 6

C) 6 2

D) 2 6

E) 2 3

18. En una circunferencia hallar la medida del ángulo formado por AR y ED lados de un cuadrado (AMNR) y un pentágono regular (ABCDE) inscritos en una circunferencia. A) 52°

B) 63°

C) 71°

D) 110°

E) 100º.

19. En un triángulo ABC; AB = L10, AC = L6. Luego ¿ BC es el lado de qué polígono regular? A) Octógono D) Pentadecágono

B) Decágono

C) Dodecágono E) Icoságono

20. Se trazan las secantes ABC y ADE a una circunferencia, de modo que: BC = L3, ED = L6, mA = 54°. Calcule la mABE. A) 71°

B) 82°

C) 100°

D) 108°

E) 90º

21. Se tiene un triángulo equilátero ABC inscrito se toma “D” punto medio del arco AC y “E” punto medio del arco BC. Siendo ED = radio.

B) 7 3 m

7 21

7 m. Halle la medida de su

3 21 m

E) 7m

22. Dado un dodecágono regular inscrito en un círculo de radio “R”, halle el perímetro del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de sus lados. A) 2R

B) 4R

C) 6R

D) 12R

E) 8R. 2

23. En un endecágono regular ABCDE…K se tiene que AG.AI – AC.AE = 36cm . 2 2 Halle (AE) – (AI) . A) 24

B) 36

C) 18

D) 12

E) 40

24. Se tiene un polígono regular de radio R y apotema a. Calcule la apotema de otro polígono regular del doble número de lados que el anterior e isoperimétrico con este. A) (R+a)/2

B) 2(R-a)

C) (2R+a)/2

D) (2R-a)/2

E) (R+a)/4

25. Halle la altura de un trapecio inscrito en una circunferencia de radio R, sabiendo que las bases subtienden arcos que miden 60° y 120°. A) R(√3+1) /2 D) R(√3+3) /2

194

B) R(√3-1) /2

C) R(√3+2) /2 E) R(3-√3) /2.

Félix Flores Espíritu

Geometría

26. Calcule el circunradio de un triangulo regular, sabiendo que la suma de los cuadrados de las distancias de los vértices hacia una recta que pasa por el 2 baricentro es igual a 48 cm . A) 2√2

B) 3

C) 4

D) 3√2

E) 4√2

27. Calcule el lado de un pentágono regular sabiendo que el lado del pentágono formado al unir los puntos medios de los lados no consecutivos, es igual a √5 – 1. A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

28. Según el gráfico calcule MC.

A) 2R

B) R

E) R

29. Calcule las medidas de un paralelogramo para que al hacer coincidir dos de sus extremos opuestos se forme un polígono regular. A) 60° y 120° D) 54° y 126°

B) 45° y 135°

C) 72° y 108° E) 50° y 130°

30. En un pentágono regular ABCDE de lado ℓ, la diagonal BD interseca a AC y EC en M y N. Calcule MN. A) ℓ(√5+1) /2(√5-1)

B) ℓ(√5+1) /2

C) ℓ(√5+3) /2

D) ℓ(3-√5) /2

E) ℓ(√5+1) /2(√5-2)

31. En el octógono regular ABCDEFGH, en AE se ubica el punto P de modo que PB=BD. Calcule la mAPB. A) 60°

B) 45°

C) 72°

D) 75°

E) 90°

32. En el arco BC de la circunferencia circunscrita al octógono regular ABCDEFGH, se ubica un punto P, tal que PC=1 y PE=4√2. Calcule el lado del polígono regular inscrito de cuatro lados, en dicha circunferencia. A) 5

B) 3

C) 4

D) 5√2

E) 2√2

33. Se tiene un polígono regular de n lados, cuyo lado mide 2 - √3 y su apotema es ½. Halle la apotema del polígono regular de (n-6) lados, cuyo lado mide 6. A) 2√3

195

B) 4√3

C) 3√3

D) 3

E) 5√3

Félix Flores Espíritu

Geometría

34. En un triangulo isósceles ABC (AB=BC), la mABC=30°. en el se inscribe el

cuadrado PQRS, tal que PQ pertenece a AB (Q más próximo a B). si QC y PC intersecan a RS en T y L, respectivamente. Calcule AC si TL=

A) 6

B) 9

C) 12

D) 6√2

E) 9√2

35. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mBAC=52°, en su interior

se ubica el punto M, tal que la m MCB=18° y AC = (√5+1)BM, calcule la mBMC. A) 108°

B) 118°

C) 126°

D) 128°

E) 138°

36. En un cuadrado ABCD, inscrito en una circunferencia, se traza PQ

paralelo a BC (P y Q en la circunferencia), que interseca a BD en F. Si PF=a y FQ=b, halle el circunradio del cuadrado.

37. En un polígono regular de n lados cuyo apotema y lado miden ℓ y 2ℓ,

respectivamente, se traza otro polígono regular de n+2 lados, cuyo lado mide 6. Calcule la mayor distancia de un vértice a la recta que contiene a dos vértices que determina un arco de medida 120°. A)

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

38. De la figura, AB=5, AC=13 y m NMC=75°. Indique EN.

A) √2

B) √3

C) 2√2

D) 2√3

E) 3

39. Si la diferencia de las longitudes de los hexágonos regulares

circunscrito e inscrito en una misma circunferencia es (2-√3), calcule la apotema del polígono regular de mayor longitud. A) √3/3

B) √2/2

C) √3

D) √2/4

E) √3/6

40. En un Heptágono regular ABCDEFG, si 1/AC + 1/BE = 0,25, calcule el

lado del heptágono. A) 2

196

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

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Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

197

Félix Flores Espíritu

Geometría

Áreas ¿Qué es una Integral? El cálculo integral surgió como necesidad. Newton co-descubrió el cálculo porque necesitaba el aparato matemático para dar coherencia a sus ecuaciones físicas. Ecuaciones en las que las magnitudes variaban de forma instantánea.

Pero el cálculo no sólo mide tasas de variación, sino también superficies planas. Todos sabemos varias fórmulas para calcular áreas de superficies. Pero si no las recordamos, podemos acudir al de dividir una superficie en triángulos.

Los griegos descomponían superficies en triángulos, Pensaron en asemejar lo desconocido a lo conocido y empezaron a cuadrar el círculo. Si colocamos dentro de un círculo, polígonos que son medibles, al final obtendremos la superficie del círculo.

Arquímedes llegó a la conclusión de que nunca podrían acabar, que lo que estaban haciendo era una sucesión infinita. Llegando a Calcular el área de un circulo y cuadrar un segmento de parábola. ¿Qué es cuadrar un segmento de parábola? Pues hallar la fórmula que nos da la superficie que hay entre un trozo de parábola y el eje del que parte (el que está en la base).

El cálculo de Leibniz recuerda a aquellos griegos introduciendo polígonos en el círculo. Para hallar el área bajo una gráfica, el alemán colocaba rectángulos, rectángulos cada vez más estrechos. Una suma infinita de rectángulos acabaría por darnos el área bajo la gráfica.

En el caso de que queramos manejar trozos de curva que no parten de cero, sino que están entre dos valores cualesquiera, tenemos que calcular la integral del trozo mayor y restarle la integral del menor. Siendo a menor que b, calculamos la integral en b y le restamos la integral en a.

Integración y derivación, son los ladrillos básicos con los que construimos la visión del mundo físico que tenemos hoy en día. ¿Conoces otras formas de Calcular el área de una Región Plana?

198

Félix Flores Espíritu

Geometría

Área de Regiones Triangulares Para el cálculo del área de una región triangular, existen diversas expresiones o fórmulas, estas dependen de los elementos que se considere, así tenemos:

Formula Básica El área de una región triangular es igual al semiproducto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado B

ABC : BH : altura (BH = h)

h A

ABC =

C b

Recuerde que:

b.h 2

El área es un número que me indica cuantas veces una región contiene a la región unitaria.

A(ABC) : área de la región triangular de vértices A, B y CA B

La región unitaria es una región cuadrada de lado 1u y su área 2 es 1u el cual se considera como un postulado.

ABC : ( > 90°)

  M

AABC =

b. 2

Dos regiones congruentes tienen áreas iguales.

B N c

A ABC =

b.c 2



El área de una región es igual a la suma de las áreas de sus partes.

ABC =

.h 2

Fórmulas Trigonométricas El área de una región triangular, es igual al semiproducto de las longitudes de dos lados por el seno de la medida del ángulo determinado por dichos lados.

El área de toda región rectangular es igual al producto de sus dimensiones (largo por ancho). Este último es un teorema pues se demuestra a partir de los tres postulados anteriores. Al trazar una de las diagonales de una región paralelogramica se determinan dos regiones triangulares cuyas áreas es la mitad del área de la región paralelogramica.

C 

De este último se demuestra que el área de toda región triangular es el semiproducto de la longitud de uno de sus lados con la altura relativa a dicho lado.

AABC =

ab Sen  2

Observación: B

ABC : BM : ceviana  

199

M b

 b.   .sen AABC =   2 

Félix Flores Espíritu

Geometría

Observación: B ABC : equilátero

60°

AABC = 60°

60°

L2 3 4

Formula de Herón

Recuerde que:

El área de una región triangular, es igual a la raíz cuadrada del producto del semiperímetro de la región triangular y la diferencia del semiperímetro con la longitud de cada uno de los lados. B

En todo triángulo la suma de las inversas de sus tres alturas es igual a la suma de las inversas de sus tres ex radios e igual a la inversa de su inradio.

abc ABC : p = 2

p: semiperímetro de la región ABC.

p (p  a) (p  b) (p  c )

AABC =

Área de la región triangular en función del inradio

Sea A el área de la región triangular mostrada:

ABC : r inradio c

abc 2

p: semiperímetro de la región triangular ABC. A

AABC = p.r Área de una región triangular en función del circunradio B

ABC : R circunradio

AABC = A

abc 4R

Área de una región triangular rectangular (Teorema de Burlet) B

AABC = m . n A

200

De donde 1/ha = a/2A así también 1/hb =b/2A y 1/hc=c/2A

Entonces 2A = a.ha = b.hb = c.hc

Entonces: 1/ha+1/hb+1/hc = a+b+c/2A = p/A Como A = p.r , donde r es el inradio Queda demostrado que: 1/ha+1/hb+1/hc = 1/r De manera similar se demuestra que la suma de inversas de los tres ex radios es igual a la inversa de su inradio.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación

En el cuadrante AOB mostrado, OB = 8u, BC = 10u, CDFA es un cuadrado, calcule el área de la región triángulo CBF. B

D O

La base de un triángulo isósceles mide 10 m y la altura relativa uno a sus lados iguales mide 8 m. Hallar su área.

Una circunferencia de 2 cm de radio está inscrita en un triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa. El área de dicho triángulo es:

En la siguiente figura hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de área S.

Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada, siendo CDEF un 2 rectángulo y (AB) (CD) = 18u . B



 A

En un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 15°, se inscribe un cuadrado de área “A” que descansa sobre la hipotenusa. Hallar el área del triángulo rectángulo.

En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si el área de la región 2 triangular LBP es 30u . L y N son puntos de tangencia. B

N L

P 37°

201

Félix Flores Espíritu

Geometría

Halle el área de la región ABC, si OM = 4 u.

Halle el área de la región sombreada, si (AC) (CD) = 4 3 cm

y medida del

arco APB = 140°. “C” es punto de tangencial. C

10°

B A P

10. Si en un triángulo ABC, las alturas miden 12 cm, 15 cm y 20 cm, entonces su 2 área en cm es:

Tarea

Halle el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 4 m y un ángulo mide 30°. A) 3 m

B) 5 m

C) 7 m

9 cm

C 1 cm

4 cm

A A

A) B) C) D) E)

5,5 cm 2 4,5 cm 2 3,5 cm 2 2,5 cm 2 1,5 cm

B) 18 m

C) 24 m

D) 32 m

B) 35

C) 40

D) 45

Calcule el área de un triángulo equilátero de altura

A) 2

202

E) 2 3 m

E) 16 3 m

Calcule el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 y un cateto mide 12. A) 30

Calcule el área de un triángulo equilátero de semiperímetro 12 m. A) 16 m

D) 8 m

En la figura adjunta, AP = PQ = QD. Halle el área A de la región sombreada. B

C) 3

E) 50

D) 4

E) 6

Félix Flores Espíritu

La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo mide 12,5. Calcule su área si uno de los catetos mide 24. A) 42

B) 72

D) 96

E) 104

B) S/2 m

C) S/3 m

D) 2S m

E) S m

Halle el área de un triángulo rectángulo si sus ángulos agudos está en relación de 1 a 5 y la altura relativa a la hipotenusa mide 2. A) 8

C) 84

Si el área de un triángulo rectángulo es de S m , el producto de sus catetos será de: A) S m

Geometría

B) 8,5

C) 3

D) 2

E) 1

El perímetro de un triángulo isósceles es 36, si la base mide 16, calcule su área. A) 16

B) 32

C) 36

D) 48

E) 50

10. Halle el área de un triángulo cuyo dos de sus lados miden 5 y 8 y el ángulo que forman mide 60°. A) 10 3

B) 18

C) 20 3

D) 15 3

E) 20

11. Se tiene un triángulo equilátero de 8 m de lado. Si se unen los puntos medios de sus lados se obtiene un triángulo cuya área es: A) 8 3 m

B) 4 3 m

C) 2 3 m

D) 6 3 m

E) 3 3 m

12. Calcule el área de un triángulo equilátero, sabiendo que el radio del círculo inscrito mide “R”. 2

A) 3 3 R

C) 3R

D) R

R2 3

13. El ángulo B de un triángulo obtusángulo ABC mide 135°. Si el lado AB mide a, calcule el área de dicho triángulo. A) a

B) 2a

C) 3a

a2 2 4

a2 2 3

14. Halle el área de un triángulo equilátero cuya altura mide 6. A) 6 3

B) 8 3

C) 12 3

D) 16 3

E) 15

15. La base de un triángulo isósceles mide 8 m, si la distancia del baricentro a uno de los extremos de la base es 5 m, calcule su área. A) 18 m

203

B) 24 m

C) 36 m

D) 48 m

E) 52 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

16. Las longitudes de los lados de un triángulo son 8, 10 y 12. Halle el inradio y el circunradio.

;

2 D)

;

16 7 7

16 5

9 16 2

S1 17. Según el gráfico, calcule , si ABCD es un romboide. S2 B

C S1 S2

A) 1/4

B) 1/2

C) 1

D) 1/8

E) 2

18. Uniendo los puntos medios de los lados del triángulo rectángulo ABC se obtiene un triángulo cuyo cateto e hipotenusa miden 3 m y 5 m respectivamente. El área del triángulo ABC es: A) 32 m

B) 30 m

C) 24 m

D) 48 m

E) 36 m

19. En un triángulo ABC, AC = 2 y BC = 4. Si la altura relativa a AC mide 3, calcule la medida de la altura relativa a BC .. A) 1,5

B) 2

C) 2,5

D) 3

E) 4,5

20. Halle el área del triángulo ABC, si A es punto de tangencia. (R = 4 m) B

A) B) C) D) E)

R O

8m 2 12 m 2 16 m 2 24 m 2 32 m

21. En la figura: ABC es un triángulo rectángulo y AP=AF. Halle el área del triángulo ABC. A 18°

204

P P

A) 4 3 m

12°

B) 12 3 m

C) 3 3 m

D) 6 3 m

E) 4m

Félix Flores Espíritu

Geometría

22. Halle el área de un triángulo ABC, cuyos vértices están dados por las siguientes coordenadas: A = (0,1), B = (2,4), C = (4,0). A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

23. En la figura, ABC es un triángulo equilátero de lado “L”, BP=L/4 y AP= 13 . Halle el área del triángulo equilátero ABC. A) 4 B) 16 A C) 4 13 D) 4 3 E) 8 B

24. Se tiene un triángulo isósceles ABC, en el que: AC=BC=25, AB=40. Se traza

DE // AB ( D en AC y E en BC ), de modo que el área del triángulo EDC, sea igual al área del trapecio ABED. Se pide halle la distancia de C a DE . A) 7.5

B) 7.5 2

C) 7.5 3

D) 15

E) 10

25. El área de un triángulo ABC es igual a 24 m , el lado BC mide 12 m y la mediana AM mide 5 m. Halle el menor de los otros dos lados del triángulo. A) 10 m

B) 6 m

C) 8 m

D) 3 m

E) 5 m

26. En un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 40 m la diferencia de los catetos 2 es 7 m. Luego la superficie de dicho triángulo en m , es: A) 65

B) 120

C) 60

D) 1275

E) 90

27. Si en un triángulo isósceles ABC, la base AB = 15 m y la altura AM = 12 m, el área será: A) 70 m

B) 140 m

C) 75 m

D) 155 m

E) 80m

28. En un trapezoide ABCD sobre AD se toma un punto P de manera que los triángulos ABP y PCD son equiláteros. Calcule el área del cuadrilátero si AB = 4 y CD = 6. A) 18 3

B) 15

C) 16

D) 24

E) 19 3

29. La diagonal BD de un cuadrado ABCD se prolonga hasta un punto E de manera que DE = 4 2 . Calcule el área del cuadrilátero AECD, si el lado del cuadrado mide 10. A) 20

205

B) 80

C) 40

D) 60

E) 50

Félix Flores Espíritu

Geometría

30. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y T es punto de tangencia. Si AB = 5. Calcule el área de la región sombreada. B

A) B) C) D) E)

5 2 6 2 7,5 2 8 2 9

31. En la figura, el diámetro AC mide 30 cm y la tangente FB mide 20 cm; M es el punto medio de AB , halle el área del triángulo CMF. A) B) C) D) E)

B M

20 cm 2 30 cm 2 60 cm 2 45 cm 2 15 cm

32. Según el gráfico, calcule el área de la región triangular ABC. Si: BL = 5u y LD = 4u. (L es punto de tangencia). B

A) B) C) D) E)

° A

15 u 2 18 u 2 20 u 2 24 u 2 40 u

° D

33. En un triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es 7 m, la hipotenusa mide 5 m. Calcule el área de la región de dicho triángulo rectángulo. A) 10 m

B) 5 m

C) 8 m

D) 20 m

E) 6 m

34. El perímetro de un triángulo isósceles es 16, (AB=BC). Calcule el área del triángulo ABC, si la altura relativa a la base mide 4. A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16

35. Dos lados de un triángulo escaleno se diferencian en 6; si el menor de ellos se prolonga en 2 y el mayor en 1, el área del nuevo triángulo aumenta en 1/5. ¿Cuánto mide el mayor de los dos lados del triángulo inicial? A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

36. En un ABC, BC=15m, AC=14m, AB=13m, se traza un semicírculo tangente a

AB y BC y cuyo diámetro se halla contenido en AC , calcule la medida de su radio. A) 1 m

206

B) 2 m

C) 3 m

D) 4 m

E) 5 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

37. Halle el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia es 10, el segmento BF mide 18 y ABCD es un rectángulo. D

A) 42,1 

B) 44,3 

C) 42,6 

O B

D) 16,4 

E) 42,3 

38. En el gráfico mostrado, N es punto de tangencia. Si AP = 8u, calcule el área de la región triangular ABP. N

A) B) C) D) E)

8u 2 12 u 2 16 u 2 24 u 2 32 u

39. Según el gráfico, calcule el área de la región triangular CLN, si: AH = 6u y AB = BC. C

A) B) C) D) E)

12 u 2 16 u 2 18 u 2 24 u 2 36 u

40. Los lados de un triángulo son números enteros en progresión aritmética. Calcule el área si es numéricamente igual a su perímetro. A) 8

207

B) 12

C) 16

D) 24

E) 25

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

208

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tema: Áreas Problemas Tomados En la I.E.P. Sagrado Corazón de Jesús

Problemas Dirigidos 1. En un triángulo ABC de incentro I, se traza IH perpendicular a AC AC). Si AH=6, IH=4 y HC=8. Calcule el área de la región ABC. A) 36

B) 30

C) 84

D) 96

(H en

E) 104

2. En un triángulo ABC de baricentro G, se ubican sobre AB y BC los puntos P y Q, respectivamente, tal que PBQG es un paralelogramo. Determine la razón de las áreas de las regiones PBQG y ABC. A)3/8

B) 2/9

C) 4/7

D) 5/9

3/11

3. En el gráfico, P y T son puntos de tangencia. Si R=2 y AB=2(BT). Calcule el área de la región sombreada.

A)12/5

B) 16/5

C) 18/5

D) 24/5

E) 36/5

4. Se tiene un triangulo ABC donde el ángulo ABC mide 60º, y las semicircunferencias de diámetros AB y BC exterior a dicho triangulo, cuya tangente común mide 6cm. Calcule el área de la región ABC. A) 30

B) 36

C)72

D)96

E)54

5. En el gráfico, ABD es un triangulo equilátero y T es punto de tangencia. Si AT=a Calcule el área de la región ABC.

A) a²√3/2

B) a²√3/3

C) a²√3/4

D) 2a²√3/3

E) 3a²√3/4

6. Exterior al triángulo rectángulo ABC (recto en B) se traza el cuadrado ACDE. la bisectriz del ángulo ABC divide al cuadrado en dos regiones cuya razón de áreas se desea calcular. A) 3/8

209

B)2/9

C)4/7

D)5/9

E)3/3

Félix Flores Espíritu

Geometría

7. En la figura M, N, P y Q son puntos de tangencia. Calcule el área de la región APQ. Si AB=13, BC=14, AC=15.

A) 6

B) 10

C) 12

D) 15

E) 16

8. En el interior de un cuadrado ABCD de lado 6√5cm se tienen, una circunferencia de diámetro AB y un cuadrante BCD, los cuales se intersecan en el punto H. La prolongación del segmento AH interseca a la diagonal BD en el punto F. Calcule el área de la región AFD. A) 60

B) 50

C) 40

D) 30

E) 45

9. En un triangulo ABC, la recta bisectriz del ángulo ABC interseca a la circunferencia circunscrita y a las mediatrices de AB y BC en R, P y Q respectivamente, si M y N son los puntos medios de AB y BC. Si el área de la región MPR es 10u². Calcule el área de la región NQR. (en u²) A) 15

B) 20

C) 5

D) 9

E) 10

10. De todas las regiones triangulares de perímetro 2p, halle el área de la región triangular de máxima área. A) p²/6

B) 2 p²

C) p² √3/9

D) p² √6

E) p² √6/12

Problemas Domiciliarios: 1.

Calcule el área máxima de una región triangular, que puede ser inscrita en una semicircunferencia cuyo radio mide r unidades. A) r²

B) 2r²

C) 3 r²

D) 4 r²

E) 5 r²

2. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), de incentro I. Si AB=6, BC=8. Calcule el área de la región AIC. A) 6

B) 10

C) 12

D)16

E) 20

3. En una semicircunferencia de diámetro AB. M es punto medio del arco AB, en el arco MB se ubica en punto P. La recta MP y la recta AB se intersecan en N. Calcule el área de la región APB si MP.PN=100u² A) 10u²

210

B) 20u²

C) 50u²

D) 100u²

E) 200u²

Félix Flores Espíritu

Geometría

4. En un triangulo rectángulo ABC (recto en B), de incentro I, se traza la y bisectriz interior AN, calcule el área de la región BIN. Si m ACB=37º AC=10 A)1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

5. La altura de un triángulo isósceles es h y su perímetro 2p (ambos expresados en m). Calcule su área en m². A) h(p²-h²) /p

B) 2h(p²-h²) /p

D) h(p²+h²) /2p

C) h(p²+h²) /p E) h(p²-h²) /2p

6. Calcule el área de la región triangular formada al unir los centros de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, cuya suma de las longitudes de sus catetos es 6m. A) 6m²

B) 9m²

C) 10 m²

D)16m²

E) 18m²

7. Sea H el ortocentro del triangulo ABC. En el segmento CH se ubica el punto K, tal que la m AKB=90º. Si el producto de áreas de las regiones ABC y ABH es 144. Calcule el área de la región ABK. A)12m²

B)16m²

C) 18 m²

D) 24m²

E) 36m²

8. En una semicircunferencia de centro O y diámetro AB, se dibuja una circunferencia de centro Q tangente al diámetro en J y a la semicircunferencia en el punto T. Si AJ=a y JB=b (a > b), calcule el área de la región triangular AQB. A) ab/2

B) ab

C) a(a+b)/2

D)(a+b)/2

E)(a+b)√ab

9. En el gráfico, P y T son puntos de tangencia. Si AP.PT= S Calcule el área de la región sombreada.

A) S

B) S√2/2

C) S√2/3

D) S√2/4

E) 2S

10. En un trapecio isósceles, el radio de la circunferencia inscrita mide 2m, la longitud de la base menor es la cuarta parte de la longitud de la base mayor. Calcule el área de las región que limita el trapecio (en m²) A) 12

211

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Problemas Dirigidos

Problemas Domiciliarios

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

212

Félix Flores Espíritu

Geometría

Área de Regiones Cuadrangulares Formula General C

B 

= ABCD

1 ( AC)(BD) sen 2

El área de una región paralelogramica es igual al producto de dos lados consecutivos con el seno del ángulo que forman dichos lados.

A B



= ABCD

1 ( AC)(BD) sen 2

Recuerde que:

Área de una Región Triangular en Limitada por un:

Entonces, si trazamos por los vértices del cuadrilátero ABCD, rectas paralelas a las diagonales, se formara un paralelogramo cuya área es el doble del área del cuadrilátero.

Cuadrado

= L

Rombo

ab 2

=ab

=bh

Rectángulo

a b

Romboide H h

a b

También:

213

=aH

De la figura se deduce, que el área de la región cuadrangular ABCD, es el semiproducto de las diagonales multiplicado por el seno del ángulo que forman dichas diagonales.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Trapecio b

Del gráfico:

N h D

ab  h =   2 

Otra demostración : También si AM = MB y CN = ND:

= (MN) h

Propiedades: 1.

En todo cuadrilátero

A.C = B.D

Si N es punto medio de CD y trazamos el Simétrico del trapecio ABCD respecto del centro en N. Se formara un paralelogramo donde un lado tiene longitud a+b y la altura relativa a dicho lado es h. por lo tanto su área será (a+b).h que al mismo tiempo es el doble del área del trapecio ABCD.

Si: AM = MB; BN = NC; CL = LD y AP = PD

 MNLP: paralelogramo Además:

N B

A A

MNLP

1 A 2 ABCD

En todo paralelogramo: A1

Entonces queda demostrado que el área del trapecio ABCD es igual a la semisuma de las bases multiplicado por su altura.

A1 = A2

B A

A=B=C=D

C D P

APD

1 A 2 ABCD

En todo trapecio: C

Si: AM = MB

MCD

1 A 2 ABCD

A B

C A2

A1 = A2 D

C S1 A

A = (S1) (S2)

S2 A

214

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

Los lados de un rectángulo están en la relación de 12/25, si su perímetro mide 148 metros y se sabe que un punto P se desplaza a lo largo del lado mayor. Determinar el área del triángulo formado por el punto P y los extremos del lado opuesto.

En el paralelogramo ABCD, en la diagonal AC se toma el punto M cuya razón de sus distancias MA y MC es de 1 a 4. Hallar el área del cuadrilátero MBCD si 2 el área del paralelogramo es 25 m .

de la mayor y la altura es los

La base menor de un trapecio es los

de la 5 11 2 diferencia de las bases, sabiendo que el área del trapecio es 105 m el producto de las bases del trapecio es:

Calcular el área de un rectángulo de perímetro 2P si se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R.

En el trapecio ABCD cuyas bases AB y CD miden 7 y 16 m, respectivamente. M es un punto de la base menor y en la base mayor se toma el punto P a 10 m de C. Si PM divide el trapecio en dos regiones equivalentes. Hallar MB.

Uno de los vértices de un cuadrado está en el punto (9, 3) de un plano cartesiano. Si un lado de dicho cuadrado reposa sobre la bisectriz del ángulo recto, hallar su área.

Hallar x si el área del triángulo ABM es el área del trapecio AMCD como 3 a 5. B

D a

A partir de la figura ¿qué parte de la región no sombreada es el área de la región sombreada?

El área de un cuadrado inscrito en un semicírculo es al área del cuadrado inscrito en el círculo entero como:

10. Las dos diagonales de un paralelogramo miden 8 m y 10 m; y una de ellas lo divide en dos triángulos rectángulos. Calcular el área del paralelogramo.

215

Félix Flores Espíritu

Geometría

11. Un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia tiene un área de 156 m . Si la suma de sus bases es 26 m, calcular la longitud de la base mayor. 12. En un cuadrado de 6 m de lado se inscribe un rectángulo cuyos lados son paralelos a las diagonales del cuadrado. Calcular el área del rectángulo si su diagonal mide 8 m.

Tarea

Dos lados de un romboide miden 6 y 10 cm respectivamente, y una altura mide 9 cm. Halle su área. 2

A) 30 cm 2 D) 54 cm 2.

C) 48cm 2 E) 72 cm

Un cuadrado ABCD, tiene 10 m de lado. Calcule el área del cuadrado formado al unir sucesivamente los puntos medios de los lados. 2

A) 15 m 2 D) 75 m 3.

B) 36 cm

B) 25 m

C) E)

50 m 2 80 m

La base de un rectángulo es 20 m. Calcule su área si la recta que une el punto medio de su base con un vértice superior es 2 61 m. 2

A) 60 m 2 D) 120 m 4.

B) 4m

E) 9m

C) 18 m 2 E) 22 m

Las bases de un trapecio son 12 m y 5 m y su altura es 4 m. Calcule el área del triángulo formado al unir el punto medio de uno de los lados no paralelos con los extremos del otro no paralelo. 2

B) 15 m

C) 17 m 2 E) 34 m

El semiperímetro de un rombo es 26 m, y la diagonal menor mide 10 m. Halle su área. 2

A) 120 m 2 D) 80 m

216

D) 8m

B) 15 m

A) 11 m 2 D) 28 m

C) 6m

Las bases de un trapecio son 8 m y 3 m; la altura es 4 m. Calcule su área. A) 11 m 2 D) 20 m

C) 100 m 2 E) 240 m

El área de un cuadrado es 18 m y está inscrito en una circunferencia. Halle el radio de la circunferencia. A) 3m

B) 80 m

B) 100 m

C) 90 m 2 E) 60 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

Calcule el área de un rombo cuyo perímetro es 32 m y su inradio mide 3 m. 2

A) 48 m 2 D) 32 m 9.

B) 24 m

C) 36 m 2 E) 96 m

Al unir los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD, se forma el paralelogramo EFGH, cuya base mayor es 14 m y su altura 6 m. Calcule el área del cuadrilátero. 2

A) 324 m 2 D) 168 m

B) 242 m

C) 192 m 2 E) 124 m

10. Un rectángulo tiene un área de 96 m . Halle sus dimensiones, sabiendo que su base excede a su altura en 4 m. A) 6 y 8 m D) 4 y 16 m

B) 4 y 12 m

C) 8 y 12 m E) 8 y 14 m

11. Halle el área de un cuadrado inscrito en un semicírculo de 3 5 m de radio. 2

A) 24 m 2 D) 15 m

B) 36 m

C) 45 m 2 E) 25 m

12. Al unir los puntos medios de tres lados de un cuadrilátero se forma un triángulo, cuyos lados miden 5 m, 7 m y 8 m. Halle el área del cuadrilátero. A) 20 3 m

B) 40 m

C) 10 3 m

D) 20 m

E) 40 3 m

13. Se da un romboide ABCD, en donde AB = 10 m y la altura respecto a este lado es 4 m. Se toma en el interior del romboide un punto “E” cualquiera. Halle la suma de las áreas de los triángulo ABE y DEC. 2

A) 5 m 2 D) 20 m

B) 10 m

C) 15 m 2 E) 25 m

14. Una de las diagonales de un trapezoide simétrico es igual a la altura de un trapecio cuyas bases suman 14m. Sabiendo que los dos cuadriláteros tienen la misma área, halle la otra diagonal del trapezoide. A) 7

B) 14 m

C) 21 m

D) 28 m

E) 30m

15. En el trapecio ABCD de bases AB y CD siendo AB  CD, se trazan las diagonales las cuales se intersecan en el punto O, el área del triángulo AOB es 2 2 16 m y el área del triángulo COD es 25 m . Calcule el área del trapecio. A) 96 m

217

B) 81 m

C) 45 m

D) 37 m

E) 90m

Félix Flores Espíritu

Geometría

16. En un rectángulo ABCD sobre CD se toma un punto M, calcule CM para que la relación de las áreas del triángulo

ADM y el trapecio ABCM sea de

3 sabiendo además que AB = a. A) a/3

B) a/2

C) 3a/2

D) 2a/3

E) 3a/4

17. El área de un trapecio es 144 m , la altura es 8 m y la recta que une los puntos medios de las diagonales es 2 m. Calcule la longitud de las bases. A) 15 y 24 m D) 16 y 20 m

B) 12 y 18 m

C) 8 y 10 m E) 24 y 36 m

18. Si se disminuyera el largo de cierto rectángulo en 4 cm y se incrementara el ancho en 3 cm, resultaría un cuadrado con la misma área que el rectángulo original. Halle el perímetro, en cm, del rectángulo original.

A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

E) 60

19. Halle el área de un rectángulo cuyos lados se diferencian en 2 cm; sabiendo además, que el perímetro de este rectángulo es igual al de un triángulo 2

equilátero de área 16 3 cm . 2

A) 21 cm 2 D) 45 cm

B) 35 cm

C) 40 cm 2 E) 50cm

20. Halle el perímetro de un cuadrado que tiene igual área que un rombo de lado 4

108 cm y uno de cuyos ángulos mide 60°.

A) 10 cm D) 16 cm

B) 12 cm

C) 15 cm E) 18 cm

21. Entre las partes sombreadas de los tres rectángulos iguales, se cumple una de las siguientes alternativas:

(I)

(II)

(III) A) I < III < II D) I = II = III

218

B) I + II = III

C) III > II > I E) I = 50% de III

Félix Flores Espíritu

Geometría

22. En el gráfico, el área de la región romboidal ABCD es 12 u . Si: MD = 2(AM) y BN = NM, calcule: 3A + B. B

A) B) C) D) E)

B A

N D

4u 2 5u 2 6u 2 7u 2 8u

23. En los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC, se ubican los puntos D, E y F respectivamente, tal que AD = 3BD, BE = EC y 3AF = 2FC. Calcule el área de 2 la región cuadrangular FDEC, si el área de la región triangular ABC es 40 u . 2

A) 18 u 2 D) 26 u

B) 20 u

C) 25 u 2 E) 23 u

24. En la figura (cuadrado). ¿Qué tanto por ciento de la parte no sombreada es la parte sombreada? A) 25% B) 28% C) 30% D) 33,3% E) 36,6%

25. Hallar la relación entre el área de trapecio AMNC y el área del rombo ABCD si M y N son puntos medios de AB y BC . B

A) B) C) D) E)

1/2 1/3 2/3 4/3 3/8

26. Determinar el área de un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia si sus bases miden 9 m y 25 m. 2

A) 200 m 2 D) 225 m

B) 255 m

C) 250 m 2 E) 230m

27. El área de un trapezoide es 12  . Calcular el área de la región cuadrangular que se obtiene al unir los puntos medios de los lados de dicho trapezoide. 2

A) 6  2 D) 5  2

219

B) 4 

C) 3  2 E) 7 

Félix Flores Espíritu

Geometría

28. El área del romboide ABCD es 24 cm y CM = MD. Calcule el área de la región sombreada. B

A) B) C) D) E)

M A

1 cm 2 2 cm 2 3 cm 2 4 cm 2 5 cm

29. ABCD es un trapecio de bases BC y AD , con BC > AD . Si área ABD = S1 y área ACD = S2, entonces: A) S1 = 2S2 D) S1 = 3S2

B) S2 = 2S1

C) S1 = S2 E) 3S2 = 3S1

30. El área de un trapecio ABCD es 14  y las longitudes de las bases son entre sí 2

como 2 es a 5. Por C, se traza CF // AB (F en AD ). Calcule el área de ABCF. A) 12  2 D) 9 

B) 6 

C) 3  2 E) 8 

31. En la figura: ABCD es un paralelogramo, área BQE = 4 y área AQD = 9  . Calcule: área QECD. 2

A) B) C) D) E)

12  2 11  2 10  2 13  2 14  2

32. En un plano a escala se representa un terreno, en forma de un trapecio cuyas bases miden 4 y 8 cm respectivamente y cuya altura mide 5 cm. Si se sabe que 2 el área del terreno en mención es de 75 000 m , ¿A cuántos metros corresponde cada centímetro del plano? A) 50 m

B) 250 m

C) 75 m

D) 100 m

E) 125 m

33. Los lados congruentes de un trapecio isósceles miden 17 cm cada uno; la altura y la base menor miden 15 y 6 cm respectivamente. Halle el área 2

A) 160 cm 2 D) 305 cm

B) 190 cm

C) 210 cm 2 E) 310 cm .

34. Halle el área de un trapecio isósceles, circunscrito a una circunferencia y cuyas bases son 6 m y 14 m. A) 10 7 m

D) 12 21 m

220

B) 20 21 m 2

C) 20 7 m

E) 15 21 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

35. En la figura: M, N y R son puntos medios de: BC , CD y AD . El romboide ABCD tiene área 16  . Calcule el área de la región sombreada. 2

A) B) C) D) E)

N A

5 2 6 2 4 2 7 2 8 2

36. Se da un trapecio, cuyas bases miden 4 m y 16 m y sus diagonales 10 m y 14 m. Halle el área del trapecio. A) 4 33 m

D) 8 66 m

B) 4 66 m

C) 6 33 m

E) 8 33 m

37. El menor lado de un trapecio rectángulo circunscrito a un círculo de radio “R” es 3R igual a . Halle el área del trapecio. 2 A)

7R 2

9R 2

C) 3 R

11R 2

38. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la mediatriz MF de AC (F en

BC ). Calcule el área de la región cuadrangular ABFH si el área de la región 2

triangular ABC es 60 m . 2

A) 15 m 2 D) 40 m

B) 20 m

C) 30 m 2 E) 45 m

39. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si: AL = PL 2 (AL) (OC) = 16 cm . (T es punto de tangencia)

P T

A) 2 cm

B 2

B) 4 cm

C) 6 cm

D) 8 cm

E) 10 cm

40. Las bases de un trapecio miden 1 m y 3 m; se traza una paralela a las bases para dividirlo en dos partes equivalentes. ¿Cuál es la longitud de dicha paralela? 2 A) 5 m B) 10 m C) 10 m 3 D)

2 3

221

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

222

Félix Flores Espíritu

Geometría

Área de Regiones Circulares Arquímedes utilizó el método de exhausción para conseguir el valor aproximado del número π.

Regiones Poligonales Polígonos Circunscritos En todo polígono circunscrito a una circunferencia, el área se puede expresar como el producto del semiperímetro y el radio de la circunferencia inscrita. C

E r

Spolígono = p . r

Polígonos Regulares En todo polígono regular el área es igual al producto del semiperimetro y apotema. C B

R an 

n

Spolíg regular = n   n . an 





Spolíg regular = n  R 2 . Sen 

También:

 

 

Circulo Es la región limitada por una circunferencia

Scirculo = p . r Scirculo = π . r

, 2p=2πr

Nota: En el caso del hexágono regular al trazarse las diagonales indicadas en el gráfico, el hexágono queda dividido en 6 triángulos equiláteros congruentes. S S

S S

223

Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Análogamente También demostró que el área del círculo de radio 1 era igual a π.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

El lado de un hexágono regular mide 9 m. ¿Cuánto mide el lado de otro hexágono regular cuya área es 4/9 de la del primero?

Determinar en qué relación están las áreas del triángulo equilátero y del hexágono regular de igual perímetro.

Si el área de un hexágono regular es 8 3 m , halle el área del círculo inscrito.

Halle el área de un octógono regular inscrito en un círculo de radio R.

Halle el área de un hexágono regular circunscrito, si el área del hexágono 2 regular inscrito en la misma circunferencia es 12 m .

En la figura, si BN = 1 y QD = 3, halle la razón del área del trapecio isósceles ABCD al área del círculo.

Si p es el perímetro de un triángulo equilátero inscrito en un círculo, el área del círculo estará dada por:

En el gráfico, ABCD es un cuadrado, D es punto de tangencia, el área de la 2 región cuadrada ABCD es 16 cm y CT = 2 cm. Calcule el área de la región sombreada. B

C T

En una semicircunferencia de diámetro AB , se ubican los puntos M y N, de modo que mAM = mBN = 60° y AB = 2 6 u. Calcule el área de la región limitada por MB , NB y MN.

10. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si: AM = 2u y MC = 3u (L, N y M son puntos de tangencia). B N L

224

Félix Flores Espíritu

Geometría

11. En la figura, AD es el diámetro del círculo mayor cuya área es 144. Si se sabe que AB = BC = CD, halle la relación del área sombreada al área no sombreada.

C B

12. Se dan 3 circunferencias tangentes exteriores 2 a 2. Si la suma de los tres 3 radios es 5 m y el producto de los mismos es 20 m ; halle el área del triángulo cuyos vértices son los centros de las 3 circunferencias.

Problema resuelto 2

En el gráfico que se muestra. Calcule A3. Si A2=4u y A1=3u , siendo A1, A2 y A3 áreas de las regiones circulares.

225

Félix Flores Espíritu

Geometría

Resolución:

Para calcular el área de la región A3 necesitamos los radios de las semicircunferencias que la limitan, así 2

A3 = (π/2)(r1+r2) – (π/2)(r1) - (π/2)(r2) = πr1r2. 2

En ABC: BH = (AH)(HC)= 4r1r2 = b

Luego, A3 = ( π b )/4 Análogamente: 2

A1 = ( π a )/4 2

; A2 = ( π c )/4

Pero como, b = a + c , es fácil deducir que A1 + A2 = A3 , por lo tanto 2

A3 = 3u + 4u = 7u .

Observación: también podemos llegar a la misma conclusión si nos damos cuenta que las regiones sombreadas son semejantes y utilizando la generalización del 2

teorema de Hipócrates. Concluimos que: A3 = A1 + A2 = 7u .

226

Félix Flores Espíritu

Geometría

Tarea

Calcule el área de la región que encierra un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4cm de radio. A) 18 3 cm

D) 16 6 cm

B) 24 3 cm

C) 24 2 cm

E) 20 cm

La apotema de un hexágono regular mide 6 3 . Halle el área del círculo circunscrito al hexágono. A) 120 

B) 36 

C) 208 

D) 144 

E) 180 

Halle el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 2 2 m.

A) 16 2 4.

B) 3 R

D) 8 2

E) 64

C) 4 R

D) 6 R

E) 5 R

Halle la relación entre el área del hexágono regular y el triángulo equilátero inscritos en una misma circunferencia. A) 2 : 1

C) 32

Halle el área de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radio R. A) 2 R

B) 32 2

Halle

B) 3 : 1

C) 3 : 2

D) 4 : 3

E) 5 : 3

el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de

longitud 4. A) 4 2

B) 6 2

C) 8 2

D) 16 2

E) 10 2

El área de un hexágono regular es 36 3 , calcule la razón entre el radio de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita a dicho hexágono.

3 3

2 3

C) 3 3

4 3 3

4 3 5

2 Se da un hexágono regular de 18 3 m de área. Calcule el área del círculo

inscrito en dicho hexágono. A) 48 m D) 9 m

227

B) 36 m

C) 27 m E) 18 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

Calcule el área de un octógono regular cuya apotema es el doble de la 2 apotema de otro octógono regular cuya superficie es 7 m . A) 14 m

B) 28 m

C) 32 m

D) 49 m

E) 36 m

10. Si el área del hexágono regular es 6 3 cm , halle el área de la región sombreada. A)

B) 2 3 C) 3 3 D) 4 3 E) 6 3 11. ¿Qué fracción del área del hexágono regular ABCDEF, representa el área de la región sombreada? B

A) B) C) D) E)

1/3 1/4 2/5 1/6 2/9

12. Se da un hexágono regular circunscrito a una circunferencia de 10  m de longitud. Halle el área del hexágono. A) 25 3 m

D) 50 3 m

B) 30 3 m

C) 45 3 m

E) 40 3 m

13. Calcule el área del trapecio circular de 30° comprendido entre las circunferencias de 10 m y 14 m de longitud.

A) 2 m D)

4 

B) 4 m

2 

E) 3m

14. Halle el área de la región sombreada, siendo ABCDEF un hexágono regular de lado 3. A

A) (2 – 3 3 ) D) 9 (2 – 3 3 ) 2

228

B) 1 (2 – 3 3 ) 2

C) 3 (2 – 3 3 ) E) 9 (3 – 2 3 ) 2

Félix Flores Espíritu

Geometría

15. En la figura, halle el área de la región sombreada

3 8

 5

 4

 6

 3

16. En un triángulo rectángulo isósceles, recto en Bˆ y con caretos iguales a 4 2 , se traza la altura BH . Tomando como diámetro dicha altura, se dibuja una semicircunferencia. Calcule el área del semicírculo exterior al triángulo. A)  – 2

B)  – 1

C) 2 ( – 2)

D) 2 ( – 1)

E) 3 ( – 2)

17. En una circunferencia de diámetro AB , se inscribe un triángulo ABC. En dicho triángulo se inscribe una circunferencia, calcule el área de la región comprendida entre dicho triángulo y ésta última circunferencia si: AC = 12 y BC = 16. A) 4 (16 – )

B) 6 (8 – )

C) 8 ( – 2)

D) 16 (6 – )

E) 12 (6 – )

18. El círculo mayor mostrado tiene por área 36  m . Calcule el área de la región 2

sombreada si mAOB = 60°.

O B

A)  / 3 m B) 2  m

C) 4  m

D) 6  m

E) 8  / 3 m

19. Si el área del sector circular de la figura representa el 40% del total, el AOB mide: A

O B

229

A) B) C) D) E)

90° 120° 100° 150° 144°

Félix Flores Espíritu

Geometría

20. Si el lado SR = 24 cm entonces la suma de las áreas de los tres círculos es en 2 cm : P

A) 32 

B) 48 

C) 24

D) 8

E) 18

21. Halle el área de la región sombreada, siendo ABCDEF un hexágono regular de lado 3. A

A) (2 – 3 3 )

B) 1 (2 – 3 3 )

C) 3 (2 – 3 3 )

D) 9 (2 – 3 3 )

E) 9 (3 – 2 3 )

22. Halle el área de la corona circular determinada por dos circunferencias inscritas, una de ellas en un triángulo equilátero y la otra en un hexágono regular concéntrico con aquél; siendo los lados de estos polígonos 18 m y 6 3 m respectivamente. A) 48 m

D) 84 m

B) 54 m

C) 72 m

E) 36 m

23. La apotema de un hexágono regular mide 6 3 . Halle el área del círculo circunscrito al hexágono. A) 120 

B) 36 

C) 208 

D) 144 

E) 72 

24. Halle la relación de radios, de cuarto de círculo al círculo, para que las áreas de las regiones no sombreada y sombreada sean entre sí como 4 a 5. A) B) C) D) E)

230

2/3 4/3 3/4 3/8 4/9

Félix Flores Espíritu

Geometría

25. Halle el área de la región sombreada si el sector circular AOB tiene radio 4 cm y OF =

2 cm.

A F

45°

3 2

B) cm

2 3

3

5 4

26. Halle el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio rectángulo; AB = 24 cm y DC = 8 cm. D

37° A

A) 6(4 – )cm

B) 8(4 – )cm

D) 12(4 – )cm

C) 9(4 – )cm

2 2

E) 12( – 2)cm

27. En la figura: ABC, equilátero; AM = MB; C, centro del EM; B, centro del MF; área ABC = 3 3 cm . Halle el área de la región sombreada. 2

A) 3/2 cm

B) 5/4 cm

C) 4/5 cm D) 2 cm

A E

E) 2/3 cm

2 2

28. ABCD, cuadrado; área del sector BAP = 12 cm . Halle: área del sector EDF. C

F T A

A) B) C) D) E)

12 cm 2 16 cm 2 15 cm 2 9 cm 2 18 cm

29. En la figura, C es centro de BD y AD diámetro. Área ABC = 4 3 cm . Halle el 2

área de la región sombreada. C D 30° A

A) 7 cm

231

7 2

7 4

7 3

E) cm

Félix Flores Espíritu

Geometría

30. En la figura: ABC equilátero; M, N, P, puntos medios de AC , AB y BC ; CP 2

y CM son tangentes al arco MP. Halle el área de la región sombreada en cm . B

A) 8 + 12 3 B) 6 + 18 3

C) 12 + 3 3 A

D) 6 + 5 3

M 12cm

E) 6 + 9 3

31. ABCD es un rombo; B, centro del EF y D, centro del AC,

mB = 40° y

S1  S 2 . S1 y S2: áreas de los sectores.

BD = 6 cm. Halle: B

A) 2 cm S1

B) 2  cm

F C

C)  cm

D) 4  cm E) 3  cm

32. Calcule el área de un dodecágono regular inscrito en un círculo de 1 m de radio. A) 3 2 m

B) 2 2 m

C) 3 m

D) 2 3 m

E) 2 m

33. El área en m del círculo inscrito en un triángulo equilátero de área 1 m , es:

3

2

3

34. Un círculo está inscrito en un sector circular de 60°. Halle la relación de áreas entre el círculo y el sector. A)

3 5

2 5

35. En la figura ABCD es un paralelogramo; AB = 4 m, BC = 6 m; mA = 45°. Haciendo centro A y C se han trazado los arcos BE y FD. Halle el área de la región sombreada. B

A) 4(3 2 – ) m D) (8 – ) m

232

E 2

B) 2(3 3 – ) m

C) 5(3 3 – ) m E) 3(3 2 – ) m

Félix Flores Espíritu

Geometría

36. Calcule el área de la región sombreada si el arco BC tiene su centro en A, vértice del triángulo equilátero ABC. B

3 A

9 2

(  3 )

9 4

9 2

(2  3 3 )

9 4

(3  2 3 )

(2  3 3 )

9 (3  2 3) 4

37. En la figura se tiene un cuadrado de lado 2 m. Calcule el área de la región sombreada. A) 4 2 – 2 –  B) 2 2 –  + 1 C) 3 2 –  D) 4 2 –  – 1 E) 4 2 –  38. En una circunferencia de radio igual a 8 m, se tiene una cuerda CD de 8 m, paralela a un diámetro AB . Halle el área del círculo tangente a AB y CD . M

D 8

A) 36  m

B) 30  m

C) 48  m

D) 12  m

E) 24  m

39. En el gráfico: A, B y C son puntos de tangencia, mDFB = 53°, calcule la





relación entre el área del círculo y la región triangular BEF L1 // L 2 . A

A)  / 2

B)  / 3 C)  / 4 D)  / 5

E)  / 6

40. Se da un círculo de centro O y 10 m de radio. Se trazan 2 diámetros perpendiculares AC y BD . Haciendo centro en C y con radio CB , se traza un arco de circunferencia que pasa por D y que corta a OA en M. Halle el área de la figura BADMB. A) 50 m

233

B) 100 m

C) 50 m

D) 100 m

E) 75 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

234

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Geometría

Geometría del Espacio

Reptiles (litografía de impresión) realizado por el artista neerlandés M.C. Escher, impreso en marzo de 1943. Representa una mesa con el dibujo de un mosaico patrón de reptiles. Los reptiles cobran vida y se arrastran alrededor de la mesa y sobre los objetos en él para finalmente volver a entrar en el sorteo. (Figuras planas que son el reflejo de figuras espaciales y figuras espaciales que para su estudio se proyectan en el plano) A partir de un mundo plano (Bidimensional) se crea un mundo espacial (Tridimensional)

235

Félix Flores Espíritu

Geometría

Geometría del Espacio I Proyecciones Ortogonales La proyección de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada desde el punto al plano.

Tenga en cuenta que: Tres puntos no colineales determinan un plano.

La proyección de un segmento sobre un plano es el conjunto de puntos que son las proyecciones de los puntos del segmento sobre el plano. P

B A Proyectante

P´ ´

A´ E

B´

D´

P´ E´

A partir de ello se puede establecer que: Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. Dos rectas paralelas determinan un plano. Dos rectas secantes determinan un plano.

Q´

L´

P´; A´B´ ; CD´ ; E´ ; P´Q´ y L´ son las proyecciones.

Recta Perpendicular a un Plano Una recta es perpendicular a un plano, cuando es perpendicular a las infinitas rectas contenidas en dicho plano. L

L 



L  a

L  b

b P

Si:

L  c

Observación: Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas en el plano. L

Si: a  b = {Q}

a y b  a P

236

Q b

L  a y L  b 

L 

Una recta y un plano pueden ser: Secantes: Si tienen un solo punto en común. Paralelas: Si no tienen ningún punto en común. Contenida: La recta estará contenida en el plano si todos sus puntos pertenecen al plano.

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Geometría

Teorema de las Tres Perpendiculares Si por el pie de una recta perpendicular a un plano, trazamos una recta perpendicular a una recta contenida en dicho plano, entonces, toda recta que pase por el pie de la segunda y por un punto cualquiera de la primera, será perpendicular a la recta contenida en dicho plano.

Si: L1 

a  a L2

P y

Demostración de la observación: Sea P1 el simétrico de P respecto del plano. Como PH es perpendicular a HB y HC, entonces PB=P1B=b y PC=P1C=c, respectivamente.

L2  a

 L3  a

Es decir:

x = 90°

Ángulo entre Recta y un Plano El ángulo entre una recta y un plano, es el ángulo que determinan la recta con su proyección sobre dicho plano. L

 m P

m : proyección de L sobre el P  : medida del ángulo entre L y el

Luego los triángulos PBC y P1BC son congruentes, entonces JP=JP1=p. En el triángulo isósceles PJP1: JH es altura, mediana, mediatriz,… Por lo tanto X =90º

Distancia entre dos Rectas Alabeadas Sólo existe un segmento perpendicular a dos rectas alabeadas cuyos extremos están en dichas rectas, quien recibe el nombre de distancia entre ellas. L1

d : distancia entre L1 y L2 d L2

237

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Geometría

Ángulo Diedro Definición Es aquella figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen un mismo origen. Cara Cara

Sea PH perpendicular al plano que contiene a la recta AB (1era perpendicular)

 o

y A

Notación:  xoy : :

Demostración del teorema de las tres perpendiculares:

Arista

ángulo diedro ABC  plano o rectilíneo del ángulo diedro medida del diedro

Planos Perpendiculares Dos planos son perpendiculares si determinan un ángulo diedro que mide 90°.

Si:  = 90  P



Ejercicios de Aplicación

Dos puntos A y B situados a uno y otro lado de un plano, distan de dicho plano 6 m y 2 m respectivamente. La proyección de AB sobre el plano es 15 m. Hallar AB.

Se tienen dos planos paralelos  y  separados 30 m. Calcular la proyección de AB sobre el plano , si

AB = 34 m, siendo A un punto de plano  y B un

punto del plano . 3.

La diferencia entre las proyecciones de un segmento de recta AB , sobre un plano “P” y sobre una recta perpendicular al plano es igual a 7 cm. Si AB mide un centímetro más que su proyección sobre “P”. ¿Cuánto mide AB ?

En la figura se muestran 4 planos paralelos, si: p + q = 8, calcular p – q.

a a+3 a+6

238

p q 10

Por H trazamos HM perpendicular a la recta AB. (2da perpendicular) En la recta ubicamos los puntos A y B simétricos respecto de M. (AM=MB=m) entonces HA=HB=b Pero es fácil observar que los triángulos PHB y PHA son congruentes (L-A-L) de donde PA=PB=a. Finalmente en el triángulo isósceles APB: X=90º por lo tanto PM es la tercera perpendicular.

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Geometría

Se da un punto E exterior a un plano. La distancia del punto al plano es EO = 12 m. Desde E se trazan las oblicuas al plano EA = EB = EC = 13 m, cuyos pies forman el triángulo equilátero ABC. Hallar el perímetro de este triángulo.

Se da un plano y un segmento de recta AB de 8 m de longitud, situado en el plano. Desde un punto O del plano se levanta una perpendicular OP = 12 m de modo que AP = BP = 13 m. Hallar la distancia de O al segmento de recta AB .

Se da un punto E exterior a un plano y un segmento BC = 10 m situado en el plano. Si la distancia de E al plano es ED = 16 m y EB = EC = 20 m, hallar la distancia de D a BC .

Un triángulo equilátero ABC está en un plano perpendicular al cuadrado BCDE. El segmento de recta que une el punto medio de AC con el punto medio de

BE mide 1 m. Calcular la diagonal del cuadrado. 9.

Se muestra un cubo de arista igual a 4 m. Si AM = MB y DN = NM, hallar EN. C

B N

M A

10. Se da un triángulo rectángulo isósceles ABC en el que AC = CB =

3 m.

Desde el vértice C se levanta una perpendicular al plano del triángulo hasta un punto P. Se une este punto con los vértices A y B. Se pide calcule CP para que el diedro AB mida 45°. 11. Se da un triángulo isósceles rectángulo AOB en el que OA = OB = 2 6 m. Por O se levanta la perpendicular OD = 2 m al plano del triángulo AOB. Se une D con A y B. Halle la medida del diedro AB. 12. El radio de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC mide

3 . Por B se levanta BE perpendicular al plano del triángulo. Si BE = 1, calcule el área de la región triángular AEC.

239

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Geometría

Tarea 1.

Un palo de escoba está apoyado sobre una pared y el piso. Si el palo forma un ángulo de 32° con la pared, ¿cuánto mide el ángulo que forma con el piso? A) 29°

B) 32°

C) 48°

D) 58°

E) 60º

Las proyecciones de un segmento de recta AB sobre un plano y sobre una recta perpendicular al plano mide 8 y 15 respectivamente. Halle AB. A) 7

B) 17

C) 23

D) 25

E) 30

La distancia de un punto P a un plano es 5, se traza PQ (Q pertenece al plano), de tal manera que la proyección de PQ sobre el plano es de 12. Halle PQ. A) 7

B) 13

C) 18

D) 17

E) 20

Dos puntos A y B situados a uno y otro lado de un plano P distan 2 y 10 y la proyección de AB sobre el plano P mide 5. Halle AB. A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

La proyección de un segmento AB sobre un plano Q, es el segmento AF . Si

AF mide 12 cm y AB forma con Q un ángulo de 37°, halle la longitud de AB . A) 9 cm 6.

D) 18 cm

E) 16 cm

B) 6 3 cm

C) 12 cm

D) 24 cm

E) 18 cm

La distancia de un punto E a un plano H es EF = 8 cm. La distancia de E a una recta m, contenida en H, es EM = 17 cm. Halle FM. A) 4 cm

C) 15 cm

A es un punto que está en un plano P. B es otro punto fuera de P, tal que AB forma un ángulo de 30° con P. La distancia de B a P es 12 cm. Halle AB. A) 6 cm

B) 12 cm

B) 8 cm

C) 15 cm

D) 24 cm

E) 31 cm

Se tienen dos planos paralelos P y Q distantes 20. Calcule la proyección de AB sobre Q, si AB = 25 y además A está en P y B en Q.

A) 15 9.

B) 17

C) 20

D) 25

E) 30

Sean M y N dos planos paralelos que distan entre sí 40 m. La proyección de AB (con A en M y B en N) sobre el plano N mide 30 m. Calcule AB.

A) 20 m

240

B) 30 m

C) 40 m

D) 45 m

E) 50 m

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Geometría

10. ABC es un triángulo equilátero. Por B se eleva BF perpendicular al plano ABC. Si M es punto medio de AC , ¿cuánto mide el ángulo que forman AC y FM ? A) 15°

B) 30°

C) 45°

11. En el problema anterior, si AB = 2 cm y BF =

A) 3 cm

3 cm

D) 60°

E) 90°

6 cm, halle FM.

C) 2 3 cm

D) 2 6 cm E) 4 cm

12. ABC es un triángulo recto en B contenido en el plano H. Por B se eleva BJ perpendicular a H. Si AC = 14 m y BJ = 24 m, halle JM donde M es punto medio de AC . A) 35 m

B) 32 m

C) 37 m

D) 25 m

E) 17 m

13. ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Se eleva AF , perpendicular al plano ABCD, tal que AF = 4 cm. Halle FC. A) 2 3 cm

B) 4 2 cm

C) 4 3 cm

D) 2 2 cm

E) 3 2 cm

14. La distancia EA del punto E del espacio a una recta contenida en un plano es 17 cm y la distancia del mismo punto E al plano es de 15 cm. Halle la proyección de EA sobre el plano. A) 10 cm D) 6 cm

B) 8 cm

C) 12 cm E) 5 cm

15. Se da una recta contenida en un plano D. La distancia a la recta de un punto A, exterior al plano es AC = 25 m y la proyección de AC sobre el plano es CB = 15 m. Halle la distancia de B a AC, siendo AB la distancia de A al plano. A) 9 m D) 18 m

B) 12 m

C) 15 m E) 16 m

16. Un punto situado en una de las caras de un diedro dista 10 de su arista y 6 de la otra cara. Calcule la medida del diedro. A) 15°

B) 37°

C) 30°

D) 53°

E) 45°

17. Se considera un diedro AB de 60° cuyas caras son P y Q sobre la cara Q se ubica el punto M, el cual dista 4m de AB . Halle la distancia del punto M a la cara P. A) 4 m D) 6 m

241

B) 2 m

C) 2 3 m E) 4 3 m

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Geometría

18. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del área del primero. El diedro que forman los planos de los dos triángulos mide: A) 15°

B) 60°

C) 45°

D) 75°

E) 30°

19. En un triángulo rectángulo ABC (mB = 90°), los catetos miden 15 y 20, por B se traza BP perpendicular al plano ABC, tal que BP = 9. Calcule la medida del diedro que forman los planos ABC y APC. A) 15°

B) 30°

C) 37°

D) 45°

E) 53°

20. Halle la longitud de un segmento exterior a un plano, sabiendo que sus proyecciones sobre el plano y sobre el plano perpendicular al primero miden 15 m y 8 m respectivamente. A) 12 m D) 17 m

B) 13 m

C) 15 m E) 25 m

21. Sobre el centro de una cara de un cubo de arista 2 cm y a una altura de 3 cm, se ubica el punto exterior “P”. Halle la distancia del punto P a uno de los vértices de la cara opuesta. A) 3 3

B) 2 6

C) 4 2

D) 3 2

E) 1,5 2

22. La recta L de intersección de dos planos X e Y, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y. Si la distancia entre L y R es 16, y entre L y S es 12, calcule la distancia entre R y S. A) 20

B) 14

C) 28

D) 4

E) 10

23. Se tiene un plano y un punto P exterior a él. En dicho plano se encuentra una circunferencia cuyo radio mide 3 m. La distancia de P al plano es de 9 m y la menor distancia de P a la circunferencia es de 15 m. Calcule la mayor distancia de P a la circunferencia.. A) 9

C) 9 5

B) 9 2

D) 18

E)15

24. Sobre el plano P se encuentra un círculo de diámetro AB = 9. Sobre AB pasa el plano ABQ perpendicular al plano P. Si AQ = 17, QB = 10. Halle la distancia de Q al plano P. Q

A P

242

A) B) C) D) E)

6 7 8 9 12

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Geometría

25. Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L 1, los segmentos AE y EB y sobre otra L2, secante, los segmentos CF y FD . Si AB = 8 m,

CD = 12 m y FD – EB = 1 m. Halle el valor de CF . A) 4 m

B) 7 m

C) 5 m

D) 1 m

E) 9 m

26. Halle la longitud de la arista de un cubo sabiendo que en su interior se ha tomado un punto tal que la suma de las distancias de dicho punto a las 6 caras del cubo es 12 m. A) 2 3 m

B) 8 m

C) 6 m

D) 4 m

E) 10 m

27. En la figura, AC = CB = 4 y CD es perpendicular al plano del triángulo ABC. Halle la medida de CD para que el diedro AB mida 60°. D

A) 2 2 B) 4 6 C) 2 6

C B

D) 3 2

E) 4 2

28. e tiene un cuadrado ABCD de lado 10. Se dobla a lo largo de MN (M y N puntos medios de AB y CD respectivamente) formando un ángulo diedro de 37°. Halle la distancia del vértice A al plano MNCB. A) 4

B) 3

C) 2

D) 6

E) 8

29. En una circunferencia de centro O, se inscribe un triángulo ABC recto en B. Se levanta BF perpendicular al triángulo tal que BF = AC. Si AB = 6 y BC = 8, halle OF. A) 5

C) 5 3

B) 5 2

D) 10 2

E) 5 5

30. En la figura, los triángulos ABC y ABD son equiláteros, de lado igual a 2. Si el diedro AB es recto halle la medida del segmento CD . A) 1

31. Sea A y B dos puntos situados por encima de un plano. Las perpendiculares bajadas desde A y B al plano miden BP = 7 y AQ = 13. Calcule la distancia de “M” al mismo plano, siendo M punto medio del segmento AB . A) 11

243

B) 9

C) 8

D) 10

E) 12

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Geometría

32. Se tiene un segmento de recta AB de 8 m situado en un plano  y un punto P que dista 12 m de dicho plano. Halle la distancia de AB a la proyección del punto P sobre el plano  si: AP = BP = 13 m. A) 5 m

B) 4 m

C) 4,5 m

D) 3 m

E) 6 m

33. Un triángulo equilátero ABC, está en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento de recta que une el punto medio de AC con el punto medio de AD mide 1 cm. Halle el área del cuadrado. 2

A) 1 cm 2 D) 4 cm

B) 2 cm

C) 3 cm 2 E) 5 cm

34. Un plano P tiene una inclinación de 60° sobre el plano Q. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo que corte a P, tal que sus intersecciones disten 42 cm? A) 21 cm

B) 31,5 cm

C) 24 cm

D) 21 3 cm

E) 11 3 cm

35. A una distancia de 3 cm del centro de una cara de un cubo de arista 4 cm se ubica el punto exterior P. Calcule la distancia de dicho punto a uno de los vértices de la cara opuesta. A)

57 cm

59 cm

C) 8 cm

D) 7 cm

E) 7,5 cm

36. Se tiene un cono circular recto de vértice A, cuya altura mide 8 cm y el radio de la base 9 cm. En el plano de la base del cono se traza el segmento BC , tangente en B a la circunferencia tal que BC mide 12 cm. Calcule la distancia de A a C en centímetros. A) 8 5

B) 17 2

C) 17

D) 20

E) 23

37. En un triángulo los catetos AB y BC miden 1 y 2 cm. Por el vértice B del

10 cm, al plano del triángulo.

ángulo recto se traza una perpendicular BF = Calcule el área del triángulo AFC. A)

6 cm

D) 2,5 6 cm

B) 2 6 cm

C) 1,5 6 cm

E) 0,5 6 cm

38. Los catetos AB y BC de un triángulo rectángulo ABC miden 15 m y 20 m, respectivamente. Por B se levanta la perpendicular BP = 12 3 m, al plano del triángulo. Luego, se une P con A y con C. Halle la medida del diedro AC. A) 60°

244

B) 30°

C) 45°

D) 15°

E) 75°

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Geometría

39. En una circunferencia de 5 m de radio se traza un diámetro AB y una cuerda AC de 8 m de longitud. Por el punto B se levanta BF = 6 m, perpendicular al plano de la circunferencia. Halle el área del triángulo FCA.

A) 24 2 m D) 48 m

B) 24 m

C) 36 m

E) 45 2 m

40. Los triángulos equiláteros ABD y ABC de lado “a” se sitúan en dos planos perpendiculares. Halle la distancia del baricentro del triángulo ABD al punto medio de AC . A) a 2 / 3 D) a 2 / 4

245

B) a 3 / 2

C) a 3 / 3 E) a 2 / 2

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Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

246

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Geometría

Poliedros Leonard Euler(1707-1783)

Nació en Basilea en 1707, su padre, lo inscribió en la universidad de Basilea para cursar estudios de teología, humanidades clásicas y lenguas orientales, pero su interés se enfocó hacia las matemáticas. Tanto que consiguió recibir unas clases particulares del gran matemático Johann Bernoulli, quien reconoció desde el principio el gran talento del joven. Con 19 años publica su primera memoria científica. La Academia acabaría rendida a los méritos de Leonhard concediéndole hasta doce premios a lo largo de su vida. Su figura se hace gigantesca cuando buceamos en cualquier rama de las matemáticas. La cantidad y la importancia de sus descubrimientos nos hacen dudar a veces que puedan ser obra de una sola persona, no en vano se le ha calificado como “el matemático más prolífico de todos los tiempos”. A lo largo de su vida publicó más de 500 trabajos, entre libros y artículos, alcanzando con publicaciones póstumas la cifra de 886 trabajos. Fórmula de Euler. En cualquier poliedro, la fórmula de Euler nos indica que si C representa el número de caras del poliedro, A representa el número de aristas y V representa el número de vértices del poliedro entonces se cumple siempre la siguiente relación:

247

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Geometría

POLIEDROS Definición Es aquel sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales planas, dichas regiones se denominan caras del poliedro, los lados de las caras se denominan aristas. Poliedro Convexo

Poliedro no Convexo o Cóncavo Euler (se pronuncia "oiler") (Basilea 1707-1783) Matemático suizo.

Poliedros Regulares Definición Es aquel poliedro en el cual sus caras son regiones poligonales congruentes entre sí, de modo que en todos sus vértices concurran el mismo número de aristas. Sólo existen cinco poliedros regulares los cuales son:

Tetraedro Regular Limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras. L

Es popular su ecuación:

Estudió con Jean Bernoulli. Profesor en la Academia de San Petersburgo donde se instaló. Escribió muchos artículos en la revista de su Academia. Se trasladó a la de Berlín en 1741 volviendo a San Petersburgo en 1766. Perdió la visión 17 años antes de su muerte, sin repercutirle en sus investigaciones y publicaciones. Investigó las series algebraicas. Introdujo el símbolo i como unidad de los números imaginarios, el número e como base logarítmica.

G C

Notación: Tetraedro regular L – ABC

a 6 3

Altura

LG =

Área de la superficie

A=a

Área lateral

AL = 3a

Volumen

3 3

a3 2 12

Del gráfico: G : baricentro de la región triangular ABC Desarrollo de la superficie del tetraedro regular

248

Dio la formulación actual de la trigonometría esférica e introdujo el primer método de integración de ecuaciones lineales. Investigó en los campos de la óptica, acústica, etc. Euler utilizó 50 años antes que Venn los círculos que simbolizaban, en lenguaje actual, los conjuntos.

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Geometría

Hexaedro Regular (Cubo) Limitado por seis regiones cuadradas. B

C D

A O a

G H

Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH Diagonal

AG = a 3

Área de la superficie

A = 6a

Poliedro estrellado

Área lateral

AL = 4a

Volumen

V=a

Observación: O : centro del hexaedro regular. Desarrollo de la superficie del hexaedro regular

Octaedro Regular Limitado por ocho regiones triangulares equiláteras. M a B

O D

Este sello emitido por la República Federal de Alemania en la Navidad de 1973, muestra un poliedro estrellado, sobresaliendo sus pirámides hexagonales. El Icosaedro Estrellado nace de prolongar las caras de un icosaedro regular, o colocando sabiamente pirámides hexagonales adecuadas sobre las caras del icosaedro. En 1420, Paolo Uccello presento un mosaico de dodecaedro estrellado en la Basílica de San Marcos de Venecia. Este estrellado fue redescubierto por Kepler hacia 1619. Doscientos años después Louis Poinsot encontrara otros dos que resultaron ser recíprocos o duales a los de Kepler…y tuvo que ser el gran Cauchy (1789 -1857) el que cerrara el tema demostrando estos cuatro tipos eran los únicos posibles.

Notación: Octaedro regular M – ABCD – N Diagonal

MN = a 2

Área de la superficie

A = 2a

Volumen

a3 2 3 Agustin Louis Cauchy

249

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Geometría

Observación: O : centro del octaedro regular. ABCD ; AMCN ; BMDN : cuadrados Desarrollo de la superficie del octaedro regular

Desarrollo de la superficie de un dodecaedro regular Haciendo cortes por las aristas dividimos la superficie del sólido en dos partes simétricas y luego las extendemos en uno de los planos el cual tomamos como base.

Dodecaedro Regular Limitado por doce regiones pentagonales regulares. a

Desarrollo de la superficie del dodecaedro regular

Icosaedro Regular Limitado por veinte regiones triangulares equiláteras.

Desarrollo de la superficie del icosaedro regular

250

Para hacer el estudio de las caras de un dodecaedro regular que son 12 pentágonos regulares, en una de las caras trazamos las diagonales y haciendo uso de las propiedades del pentágono regular relacionamos las longitudes de los lados con sus diagonales.

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Geometría

Poliedros Regulares Conjugados Dos Poliedros Regulares son conjugados si tienen el mismo número de aristas, y además el numero de vértices de uno de ellos es igual al número de caras del otro y viceversa. Si unimos los centroides de todas las caras de cualquier poliedro Regular, con segmentos de línea recta, estas serán las aristas de su poliedro Conjugado inscrito en la primera.

251

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Geometría

Ejercicios de Aplicación 1.

El área total de un cubo es numéricamente igual a la suma de todas sus aristas. Calcular el volumen del cubo.

La arista de un cubo mide 2. Hallar el área del triángulo equilátero determinado al unir tres vértices no consecutivos del cubo.

Calcular la arista del cubo mostrado, en el cual la distancia del centro de la

base ABCD a la diagonal AG es F

E H

P B

A O

Si a la suma de los cuadrados de la diagonal de un cubo y de la diagonal de una de sus caras se le multiplica por la longitud de una de sus aristas, se obtiene “n” veces el volumen del cubo. Calcula “n”.

El volumen de un cubo es igual a “n” veces el cubo de su diagonal. Calcula “n”.

En la figura se muestra un hexaedro regular de arista “a”; “O” es centro de la cara ABCD y “M” es punto medio de AF . Calcular el área OMF. C E

B O D

Se tienen cubos de 1 cm de arista. ¿Cuál es el volumen del cubo formado, al acoplarse cara con cara, el menor número de cubos de 1 cm de arista?

En un tetraedro regular de arista igual a 12 cm se encuentra inscrito otro sólido cuyos vértices son los centros de las caras del primero. Calcule el área total de dicho sólido.

En un tetraedro regular la longitud del segmento que une los centros de dos de sus caras mide 4 cm. Luego la arista del tetraedro mide:

10. Halle el volumen de un tetraedro regular inscrito en un hexaedro regular de 36 3 cm de volumen.

252

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Geometría

11. En el cubo mostrado, de lado igual a 2 m, hallar el área del triángulo MQP, si M y Q son puntos medios de las aristas y P es punto medio de la cara Q M

P 3

12. Un recipiente tiene la forma de un hexaedro regular o cubo y contiene 14 m de agua; se introduce un cubo macizo de hierro cuya arista es la mitad de la de aquel y el agua se eleva hasta enrasar el recipiente. Calcular el volumen del recipiente.

Tarea 1.

Halle el área lateral de un cubo de arista 2 6 . A) 48

B) 72

D) 120

E) 144

El área de una cara de un cubo es 12, calcule la longitud de la diagonal del cubo. A) 3

C) 96

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

El volumen de un cubo es 8 cm , halle el volumen del tetraedro regular que tiene igual arista. A) 6 2 cm

3 3

C) 9 2 cm

2 D)

3 4.

3 2

El área lateral de un cubo es 24 m , calcular su volumen. A) 3 2 m 3 D) 12 m

2 2

B) 6 6 m

C) 4 6 m 3 E) 6 m

La distancia de un vértice de un cubo al centro de una cara opuesta es 2 6 m. Calcular el volumen de dicho cubo. 3

A) 8 m 3 D) 64 m 6.

C) 32 m 3 E) 125 m

La suma de las aristas de un tetraedro regular es 18, calcular la longitud de su altura. A)

253

B) 27 m

B) 3 2

C) 2 3

D) 2 6

E) 3 6

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La diagonal de un cubo mide 3, calcular la suma de aristas laterales de dicho cubo. A) 12 3

Geometría

C) 6 3

B) 12

D) 4 3

E) 8 3

El área lateral de un tetraedro regular es 12 3 . Calcular la suma de aristas de la base. A) 4

C) 4 3

B) 6

D) 8

E) 12

¿Cuántos metros de alambre se necesitarán para cubrir las aristas de un cubo 3 de 27 m de volumen? A) 12

B) 16

C) 27

D) 32

E) 36

10. La suma de las diagonales de las caras de un cubo es 36 2 , calcule su área total. A) 24

B) 54

C) 96

D) 150

E) 216

11. La suma de las longitudes de las aristas de un tetraedro regular es 24. Calcule su área total. A) 40

B) 36

D) 16 3

C) 54

E) 48

12. La mediana de una de las caras de un tetraedro regular mide 6 3 , calcule la medida de la altura del tetraedro. A) 2 3

B) 4 3

C) 2 6

D) 4 6

E) 3 2 2

13. El área de un octaedro regular es 32 3 m , calcule la suma de sus aristas. A) 24 m

B) 32 m

C) 36 m

D) 40 m

E) 48 m

14. En un hexaedro regular, la longitud de una diagonal es 12 cm. El área de una cara es: 2

A) 24 cm 2 D) 48 cm

B) 36 cm

C) 42 cm 2 E) 60 cm 2

15. En un hexaedro regular cuya área total es 216 cm , halle la distancia entre los centros de dos caras adyacentes. A) 3 cm

B) 3 2 cm

C) 6 cm

D) 2 3 cm

E) 4 2 cm

16. Calcule el área lateral de un cubo, si tomamos en su interior un punto de manera que la suma de las distancias de dicho punto a todas las caras es 18. A) 72

254

B) 96

C) 102

D) 132

E) 144

Félix Flores Espíritu

Geometría

17. Calcule el volumen de un tetraedro regular formado por un triángulo equilátero 2

de 36 3 m de área. A) 18 2 m

D) 72 2 m

B) 102 2 m

E) 144 2 m

3 m de la figura halle el área sombreada.

D) 2 2 m

C) 36 2 m

18. En el cubo de arista

A) 3 2 m

3 2

3 3 2

E) 3 3 m

19. En el cubo mostrado, de lado “a”, halle el área sombreada, si AB =

BC . 2

C B a

a2 3 2

a2 3 4

a2 2 2

a2 2

E) a

20. Calcule la arista del hexaedro regular, en el cual la distancia de un vértice a una diagonal del cubo es A) 1 m

6 m.

B) 2 m

C) 3 m

21. En un hexaedro regular la distancia desde el punto medio de la diagonal a una cara del mismo es 12 cm. Determine el área lateral del hexaedro. 2

A) 1728 cm 2 D) 2304 cm

B) 3456 cm

C) 3728 cm 2 E) 3624 cm

22. Halle el área total de un hexaedro regular si la suma de todas las diagonales de sus caras es 24 cm. A) 6 cm

B) 6 2 cm

D) 12 2 cm 23. Calcule

C) 12 cm

E) 48 cm

el volumen de un cubo, sabiendo que la suma de las longitudes

de sus diagonales es 12 3 . A) 216

255

B) 64

C) 27

D) 9 3

E) 32

Félix Flores Espíritu

Geometría

24. Halle el volumen de un cubo, si la suma de una de sus diagonales con la

3 +

diagonal de una de sus caras es A) 1

B) 3

2. D) 5 + 2 2

C) 2

25. Halle la altura de un tetraedro regular, si tiene A) 2

B) 3

2 6 3

6 de arista. D)

2 3 3

3 6 2

E) 2

26. En la siguiente figura, si el área del plano ABGH es 9 2 m , calcule volumen del cubo. B

C D

A F

G H

A) 12 m

B) 16 m

C) 27 m

D) 81 m

E) 18 m

27. La altura de un tetraedro regular mide 2 cm. Halle la medida de la arista. A)

2 cm

5 cm

3 cm

C) 2 cm

6 cm

28. Halle el área total de un octaedro regular sabiendo que la longitud del segmento que une dos vértices opuestos es igual a D. 2

A) 2D

B) 3D

D) D

E) 4D

29. Halle la distancia entre los baricentros de dos caras adyacentes en un octaedro regular de arista “a”. A)

a 2

a 2 3

a 2

a 4

30. En el cubo mostrado, de arista igual a 4 m, halle el área del triángulo MQP, si M y Q son puntos medios de las aristas, y P es punto medio de la cara. B

M A

D F

R P E

256

A) B) C) D) E)

3m 2 4m 2 5m 2 6m 2 9m

Félix Flores Espíritu

Geometría

31. Calcule la longitud que debe tener la diagonal de un cubo para que su volumen

3 m.

sea ocho veces el de otro de arista igual a A) 2 3 m

B) 4 3 m

C) 6 m

D) 12 m

E) 8 m

32. Calcule el volumen de un cubo, sabiendo que el segmento que une un vértice del cubo con el centro de la cara opuesta mide 3 m. A) 6 3 m

D) 6 6 m

B) 8 2 m

C) 2 3 m

33. Halle el volumen de un cubo, sabiendo que la suma de las distancias de un punto interior a sus seis caras es 12 m. 3

A) 64 m 3 D) 36 m

B) 16 m

C) 48 m 3 E) 100 m

34. La suma de las aristas de un cubo es 36. Calcule la distancia del centro de una de las caras a uno de los vértices de la cara opuesta. A) 3 6 D)

3 6 2

C) 3 3

3 3 2

E) 4 6

35. ¿Qué relación existe entre las áreas totales de dos cubos, si sabemos que la arista de uno de ellos es igual a la diagonal de una cara del otro? A) 1/3

B) 1/2

C) 4/3

D) 3/4

E) 2/3

36. Si un cubo sólido de 1 metro de arista, se divide en cubitos de 1 cm de arista. ¿Qué altura alcanzará una columna formada por todos esos cubitos colocados uno encima de otro? A) 10 000 cm D) 1 000 km

B) 1 000 m

C) 10 km E) 10 000 mm

37. En un tetraedro regular ABCD se toman M, N,O y P puntos medios de las aristas AB , AC , DC y DB respectivamente. Si la arista del tetraedro mide 8 m, halle el área del polígono MNOP. A) 64 m

B) 32 m

C) 8 m

D) 16 m

E) 24 m

38. En un tetraedro regular el segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas mide 2 A) 2 3 m

D) 4 2 m

2 m. Halle el área total del tetraedro. 2 B) 4 3 m

2 C) 6 3 m

E) 6 2 m

39. Calcule el área total de un octaedro regular cuya diagonal mide 6 m. 2 A) 36 3 m 2

D) 60 m

257

B) 36 2 m

2 C) 40 3 m

E) 48 m

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Geometría

40. Se tiene un cuadrado ABCD, del cual se levantan cuatro perpendiculares AA´, BB´, CC´, DD´, calcule la distancia entre A´C´ y B´D´ , si: AA´= 4, BB´= 2+ 3 , CC´= 8, DD´= 10 A) 0

B) 2

E) 2

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

258

Félix Flores Espíritu

Geometría

SÓLIDOS GEOMETRICOS Arquímedes

Arquímedes es uno de los sabios más eminentes y el primer ingeniero de la antigüedad. El sábio entrego su vida a un soldado romano mientras ensimismado resolvia un problema geométrico. En Matemáticas se Le reconoce como el más original y fecundo geómetra griego, al magnificar de forma colosal la Matemática los Elementos de Euclides y conjugar á la perfección la intuición del descubrimiento con el virtuosismo de la demostración. Ya que su método mecánico de investigación apunta a los infinitesimales de las cuadraturas del siglo XVII que conducen al Cálculo de Newton y Leibniz, mientras que su método demostrativo de exhaución apunta á la aritmética de los límites que fundamenta el Análisis moderno en el siglo XIX, la conjunción de ambos métodos, un heurístico e empírico, otro rigoroso y apodíctico, sitúa a Arquímedes en los Orígenes del Cálculo Integral. Los volumes de un cono, una semiesfera y un cilindro de la misma altura y radio están en la razón 1: 2: 3 (Arquímedes: Sobre la Esfera y el Cilindro, I.34, Corolario).

259

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Geometría

SÓLIDOS GEOMETRICOS Pirámide del Museo del Louvre

La pirámide rodeada por el Louvre. La Pirámide del Museo del Louvre es una obra situada en el patio del Museo del Louvre, en París, que da acceso al edificio. Fue diseñada por el arquitecto Ieoh Ming Pei. De estilo internacional, esta pirámide de vidrio y aluminio fue inaugurada en el año 1989 por el entonces presidente francés, François Mitterrand. Tiene una altura de 21,6 m y un total de 673 paneles de vidrio laminado 1

transparente, divididos en 603 rombos y 70 triángulos. El peso total de la estructura es de 180 toneladas. La inclinación de sus paredes, al igual que ocurre con las pirámides egipcias, es de 51º. Su centro de gravedad coincide con el de los tres pabellones del museo, Richelieu al norte, Denon al sur y Sully al este. Ésta pirámide es la principal y más grande de las pirámides de cristal del museo, que incluye, a nivel subterráneo, otra pirámide pero invertida. Antes de construirse la pirámide, la entrada al Louvre tenía unas largas colas. Con su construcción, además de solucionarse el problema, se aumenta el espacio de exposición del museo. Desde su construcción, la pirámide ha estado sujeta a polémicas, debido al contraste de estilos entre la modernidad del vidrio y el clasicismo del museo, si bien ha servido de inspiración para las ampliaciones de muchos otros museos.

260

Félix Flores Espíritu

Geometría

Prisma Recto Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

D F

aL B´

C´ D´

A´ F´

E´

Área de la Superficie Lateral:

Área de la Superficie Total:

Volumen:

ASL = (2pBASE)aL

AST = ASL + 2ABASE

V = (ABASE) aL

Observación: Si las bases de un prisma recto son regiones limitadas por polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.

Paralelepípedo Rectangular, Ortoedro o Rectoedro Es un paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos. En consecuencia, las seis caras son rectángulos.

c D b a

Área de la Superficie Lateral: ASL = 2ac + 2bc

Área de la Superficie Total: AST = 2ac + 2bc + 2ab

Volumen: V = abc

Diagonal: D = a + b + c

261

Los arquitectos hoy en día realizan diseños estructurales que no solo buscan una nueva estética sino que constituyan un desafío a las leyes físicas como la posición del punto de equilibrio de sus edificaciones. La forma del edificio es la de un prisma oblicuo de base cuadrangular, en donde se puede apreciar que la arista lateral es mayor que su altura. Pues el ángulo de inclinación es menor que 90º. Los grandes edificios normalmente tienen forma de paralelepípedo recto debido a que ese tipo de diseño permite una mayor estabilidad de la estructura ante efectos de los vientos o de movimientos sísmicos.

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Geometría

Cilindro Circular Recto Denominado también “cilindro de revolución” debido a que puede generarse por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados. r

g r 360°

En forma práctica se dice que un cilindro se desarrolla en una región rectangular y dos círculos, aquí mostramos entonces el desarrollo de su superficie lateral. 2r

Área de la Superficie Lateral:

ASL = 2rg

Área de la Superfície Total:

AST 2r (g + r)

Volumen:

262

V=r g 2

La construcción de las paredes de un reservorio de agua, se puede asociar con la superficie lateral de un cilindro, en este caso cilindro circular recto o también llamado cilindro de revolución. En un cilindro circular recto, la longitud de su arista lateral es igual a la altura del cilindro e igual al eje. Considerando al eje como la distancia entre los centros de las bases. Un cilindro es considerado recto si la línea recta que pasa por los centroides de las bases es perpendicular a los planos que contienen a dichas bases.

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Geometría

Pirámide Regular Es la pirámide recta que tiene la base limitada por un polígono regular. V

ap D

O B

H C

O : centro de la base

VH : Apotema de la pirámide Área de la Superficie Lateral: ASL = (pbase) . ap Área de la Superficie Total:

AST = ASL + ABASE

Volumen:

A BASE h 3

Observaciones: 

En una pirámide regular las aristas laterales tienen longitudes iguales.



En la pirámide regular la altura de la cara lateral trazada del vértice de la pirámide se denomina apotema.



En la pirámide regular las caras laterales son congruentes.

263

Los diseños estructurales de edificaciones que puedan soportar la fuerza de fuertes vientos que impactan sobre las paredes de los edificios se dan en diversas posiciones y direcciones, así también poder soportar los movimientos sísmicos que pueden tener direcciones imprevistas y cambiantes, por ello la tendencia de construcciones de forma piramidal cuadrangular regular que permiten una gran estabilidad. Una pirámide se define como pirámide recta si el pie de la altura (perpendicular trazada desde su vértice), coincide con el centroide de la base. Grandes edificaciones de forma piramidal se remontan unos 2500 años antes de nuestra era, donde los egipcios erigieron enormes pirámides en honor a sus faraones Kefrén, Keops y Mikerinos.

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Geometría

Cono Circular Recto Denominado también “cono de revolución” debido a que puede generarse por una región triangular recta al girar una vuelta en torno a uno de sus catetos.

360°

g h

Para calcular el área de la superficie lateral ésta se desarrolla como un sector circular. Área de la Superficie Lateral: ASL =  r g

Área de la Superficie Total:

AST =  r (g + r)

Volumen:

r2 h 3

Observaciones 

Un cono se denomina equilátero si es revolución y la generatriz tiene la misma longitud que el diámetro de la base.



El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.

264

Si trazamos planos secantes no paralelos a la base de un cono, se determinaran en el sólido regiones elípticas, así en su superficie lateral estos planos determinaran elipses como la que se muestra en la imagen. Las cuales se han pintado en los hilos que simulan generatrices de una superficie cónica. Un volcán producto de las erupciones y efectos de la gravedad esparcen el magma en forma radial, generando montañas en forma de cono de revolución. Este mismo fenómeno se aprecia en los relojes de arena, cuando al pasar por un orificio pequeño los granos de arena forman un montículo cónico.

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Geometría

Esfera Superficie Esférica:

Arquímedes de Siracusa

Es la superficie que se genera al girar una semicircunferencia, 360° alrededor de su diámetro, el cual es tomado como eje de giro. También la podemos definir como: El conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo denominado centro. Esfera: Es el sólido limitado por una superficie esférica. También se puede definir como: el sólido que se genera, al girar 360°, un semicírculo alrededor de su diámetro, el cual es tomado como eje de giro. La distancia de todo punto de la superficie esférica al centro se denomina radio.

círculo máximo

R R



Un plano secante a una esfera determina en ella un círculo, al cual se le denomina máximo si contiene al centro de la esfera y menor en otro caso.

4 3 R 3

Encargado de la dirección de los trabajos portuarios, navales y militares, que permitieron a Syracusa resistir tres años el sitio de las tropas de Marcelus. Fue asesinado por un soldado de éste mientras estaba trabajando rodeado de sus dibujos, tan valorados por él.

ASE = 4 R

El volumen del icosaedro truncado es el 86,74% del volumen de una esfera. Cuando se infla, sus caras se "curvan" y dicho porcentaje aumenta hasta llegar e incluso sobrepasar el 95%.

265

287-212 a.C.) Matemático, físico e ingeniero griego.

Se le asocia a la física por el Principio de flotación de los cuerpos. Se le atribuye la invención de las poleas compuestas, el tornillo sin fin y el tornillo hidráulico. Gracias a estos inventos logró en Geometría resultados como la determinación de centros de gravedad de varias figuras, el descubrimiento de otras, la definición de dominio convexo y perfeccionó y generalizó el método de exhaución para el cálculo de superficies y volúmenes.

Félix Flores Espíritu

Geometría

Ejercicios de Aplicación

13. Hallar el volumen de un paralelepípedo recto de base rectangular, cuya diagonal de la base mide 2 3 cm y los lados son uno el doble del otro. La altura del paralelepípedo es 10 cm. 14. Superponiendo 3 cubos de igual arista se obtiene un ortoedro cuya área total 2 es 56 cm . Hallar el volumen de cada cubo. 15. El desarrollo lateral un prisma recto cuadrangular regular de 6 m de altura, tiene la forma de un rectángulo cuya diagonal mide 10 m. Calcular el área total del prisma. 16. Calcular el volumen de un prisma recto, cuya base es un hexágono regular inscrito en un círculo de 4 m de radio y cuya altura es igual al diámetro del círculo. 2

17. El área total de un cilindro circular recto es 8 cm . ¿Cuánto mide el radio de la base si su generatriz es el triple del radio de la base? 18. Hallar la diferencia entre los volúmenes de un cubo de 1 m de arista y del cono inscrito. 19. La altura de un cilindro circular recto mide 4 m y la circunferencia equivale al perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide 1 m. Calcular el volumen del cilindro. 3

20. El volumen de un cubo es 12/ m . Determinar el volumen de la esfera inscrita en el cubo. 21. Se tiene un cono circular recto donde la generatriz es el doble del diámetro de la base. Determinar la longitud de dicha generatriz si el área total del cono es 2 de 45 u . 22. Calcular el volumen que genera un triángulo equilátero de lado “” al girar alrededor de uno de sus lados.

23. Una pirámide de base cuadrangular es cortada por dos planos paralelos a la base dividiendo así a la pirámide en tres sólidos con alturas iguales. Hallar la relación entre el volumen del sólido mayor y el del menor. 24. Un foco se encuentra a 12 m del suelo. ¿A qué altura del suelo se debe colocar una lámina rectangular de 8 m de largo por 4 m de ancho para que 2 proyecte en el suelo una sombra de 288 m ?

266

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Geometría

Tarea

Las bases de un prisma recto son triángulos rectángulos de catetos 6 y 8 cm de 2 longitud. Si el área lateral es 144 cm , halle la longitud de la arista lateral. A) 12 cm

B) 6 cm

B) 168 cm

B) 27 3 cm

D) 54 3 cm

C) 180 cm 2 E) 192 cm

B) 4 3 cm 2

C) 12 2 cm E) 12 3 cm

B) 162 cm

C) 180 cm 2 E) 216 cm

La longitud de la diagonal de un ortoedro es 17 cm, y dos aristas miden 8 y 9 cm, respectivamente. Halle el volumen del sólido. 3

A) 864 cm 3 D) 1 224 cm

B) 432 cm

C) 124 cm 3 E) 1 216 cm

El área total de un cubo, de volumen 64 cm , es: 2

A) 48 cm 2 D) 64 cm 8.

B) 24 cm

C) 96 cm 2 E) 16 cm

El área de la superficie de una esfera es igual al área lateral de un cono de radio 6 5 y altura 8 5 cm. Halle el volumen de la esfera. A) 500 cm

D) 250 cm

267

Halle el área total de un ortoedro cuyas aristas tienen longitudes 3; 4 y 12 cm, respectivamente. A) 96 cm 2 D) 192 cm

E) 36 3 cm

D) 8 3 cm

C) 108 cm

En un prisma recto, la base es un triángulo rectángulo isósceles. Si la mayor 2 cara lateral del prisma tiene área 12 cm ; halle la suma de áreas de las otras dos caras laterales. A) 12 cm

E) 7 cm

Halle el volumen de un prisma regular de base triangular cuyas caras laterales 2 son cuadrados. El área lateral del prisma es 108 cm . A) 54 cm

D) 9 cm

Halle el área total del prisma del problema anterior. A) 188 cm 2 D) 196 cm

C) 8 cm

B) 500 2 cm

C) 500 3 cm E) 125 5 cm

Félix Flores Espíritu

Geometría

Halle el área de la esfera inscrita en un cubo de volumen 64 cm . A) 32 cm

B) 16 cm

C) 36 cm

D) 8 cm

E) 64 cm

10. El volumen de una esfera es 36 cm y su área, igual al área lateral de un cono de generatriz 9 cm. El área total del cono es: A) 96 cm

B) 99 cm

C) 100 cm

D) 101 cm

E) 52 cm

11. Si las aristas de un cubo se aumentan, respectivamente, en 2, 4 y 6 m, el 3 volumen del paralelepípedo obtenido excede en 568 m al volumen del cubo dado. Halle la longitud de la diagonal de este cubo. A) 10 3

B) 5 3

C) 6 3

D) 3 3

E) 2 3

12. Halle el volumen de un paralelepípedo rectangular, cuya base tiene una diagonal que mide 2 10 y los lados son uno el triple del otro. La altura del paralelepípedo es 9. A) 36 10

B) 54 10

C) 63 10

D) 108

E) 108 10 2

13. El área total de un prisma recto de base rectangular es 144 m . Uno de los lados de la base es el doble del contiguo e igual a la altura. Halle la diagonal del prisma. A) 9 m

B) 8 m

C) 15 m

D) 6 m

E) 12 m

14. Halle el área total de un paralelepípedo rectangular sabiendo que su diagonal mide 17 y las dimensiones de la base son 9 y 12. A) 276

B) 580

C) 562

D) 272

E) 552 2

15. En el paralelepípedo rectangular mostrado el área sombreada mide 20 u . Halle el área lateral de dicho sólido. 30°

A) 10 ( 3 + 1) m

D) 20 ( 3 + 1) m

B) 20 ( 3 – 1) m

C) 10 (2 3 + 1) m

E) Faltan datos

16. La altura de un paralelepípedo rectangular mide 6 m y en su base un lado es el 2 doble del otro. Si el área total es 208 m , calcule el volumen del sólido. 3

A) 112 m 3 D) 182 m

B) 202 m

C) 192 m 3 E) 172 m

17. Hallar el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal es igual a 13 y cuyas dimensiones de la base son 3 y 4. A) 132

268

B) 142

C) 182

D) 192

E) 172

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Geometría

18. Se tiene un prisma recto de 10 m de altura, donde las bases son rectángulos en 2 los que uno de los lados es el triple del otro. Si la superficie lateral mide 240 m , halle el área de una de sus caras laterales menores. 2

A) 12 m 2 D) 30 m

B) 15 m

C) 20 m 2 E) 25 m

19. Las bases de un prisma recto son trapecios isósceles de bases 4 cm y 14 cm y lados no paralelos de 13 cm. Si la altura del prisma es 135/11 cm, calcule su área total. 2

A) 440 cm 2 D) 398 cm

B) 642 cm

C) 316 cm 2 E) 756 cm

20. Halle el volumen de un prisma cuya base se forma al unir los puntos medios de los lados no consecutivos de un hexágono regular de lado 4, y cuya altura es igual a 4 3 . A) 108 m 3 D) 95 m

B) 150 m

C) 72 m 3 E) 120 m

21. Halle el lado de la base de un prisma hexagonal regular si el número que expresa su volumen es igual al número que expresa su área lateral. A)

3 /3

B) 2 3

C) 4 3

D) 4 3 / 3

E) 2 3 / 3

22. Halle el volumen de un prisma recto cuya base es un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4m de diámetro, siendo su altura igual a 2 3 m.

A) 36 m

B) 48 m

D) 36 3 m

C) 24 3 m

E) 26 m

23. Halle el volumen de un prisma hexagonal regular, en el cual el desarrollo de la superficie lateral es un cuadrado cuyo perímetro mide 48. A) 64 3

B) 36 3

C) 72 3

D) 48 3

E) 54 3

24. Halle el volumen de un prisma regular hexagonal cuya área lateral es A, sabiendo que cada cara lateral es un cuadrado. 3/2

3 A3/2 / 6

3/2

C) E)

3/2

3 A3/2 / 8

25. Encontrar el volumen de una pirámide cuya base es un cuadrado, sabiendo que la apotema de la pirámide es 10 y la apotema del cuadrado es 6. A) 284

269

B) 216

C) 108

D) 336

E) 384

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Geometría

26. La base de una pirámide regular es un cuadrado de 12 m de lado, y la arista lateral de la pirámide es de 10 m. Calcule el área total. 2

A) 144 m 2 D) 336 m

B) 288 m

C) 192 m 2 E) 291 m

27. Halle el volumen de una pirámide regular de base cuadrangular en donde sus caras laterales son triángulos equiláteros y el perímetro de la base es 12 3 . A) 9 6

27 6 2

81 2

D) 27 3

E) 27 6

28. El área lateral de una pirámide hexagonal regular es 48 m . Calcule el lado de la base si el apotema de la pirámide es igual al cuádruplo del radio de la circunferencia circunscrita a la base. B) 2 3 m

A) 4 m

D) 4 3 m

C) 8 m

E) 2 m

29. Se tiene una pirámide hexagonal regular cuya base está inscrita en una circunferencia de radio 6 m. Si su altura es 6 3 m, halle la suma de sus aristas laterales. A) 72

B) 86

D) 72 3

C) 48

E) 54

30. Calcule la apotema de una pirámide regular de 96 cm de área lateral, sabiendo que su base es un hexágono de 8 cm de lado. A) 5

B) 4,5

C) 6

D) 4

E) 5,5

31. Si en una pirámide regular hexagonal, el área lateral es el doble del área de la base y el radio de la circunferencia circunscrita a la base mide 4, halle el volumen de dicha pirámide. B) 48 3

A) 48 2

C) 24 3

D) 12 6

E) 32 6

32. Halle el volumen de una pirámide cuya base es un hexágono inscrito en un círculo de área igual a 100 y cuya altura es igual al radio de la circunferencia circunscrita al hexágono. A) 2000 3 D)

400 3

B) 1000 3

C) 500 3

E) 100 3

33. En un cilindro de 8 cm de diámetro que contiene agua, se introduce un hexaedro regular de 4 cm de arista. ¿Qué altura sube el nivel del agua? A) 4 cm

B) 2 cm

C) 1/4 cm

D) 1 cm

E) 1/2 cm

34. Un cilindro recto está en el interior de un cuarto con su base apoyada en el piso. Si sus proyecciones sobre el techo y una pared tienen superficies de 4 2 2 m y 16 m , respectivamente, calcule el volumen del cilindro. 3

A) 4 m 3 D) 16 m

270

B) 8 m

C) 12 m 3 E) 20 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

35. Un disco de 64 cm de área se corta por un diámetro en dos partes iguales y con una mitad se forma un cono circular recto uniendo los radios extremos. El ángulo que forman las generatrices del cono con la base es: A) 15°

B) 30°

C) 60°

D) 45°

E) 75°

36. En un cono circular recto el diámetro de la base mide 24 m y la generatriz 18 m. Un punto P situado sobre la superficie está a 5 m del vértice. Halle la distancia de P al eje del cono. A) 6

B) 10/3

C) 16/3

D) 14/3

E) 8

37. Las bases de un trapecio rectangular miden 12m y 6 m y su altura 8 m. Halle el área total del sólido que se genera cuando el trapecio gira 360° alrededor de su base mayor. 2

A) 48 m 2 D) 240 m

B) 100 m

C) 144 m 2 E) 304 m

38. Halle el área de una esfera circunscrita a un cilindro circular de 24 cm de altura y 9 cm de radio de la base. 2

A) 600 m 2 D) 450 m

B) 400 m

C) 800 m 2 E) 900 m

39. ¿Cuál es el volumen que se genera por la rotación del área sombreada alrededor del eje x–x’?

R 45° x’

B) R ( – 1)

C) R / 3 3 E) R /3 ( – 1)

A)2R ( – 1) 3 D) 2R / 3

40. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide de altura “h” debe trazarse un plano paralelo a la base, de manera que el área de la sección transversal sea la mitad del área de la base? A) h 2

271

h 2 2

C) h 3

h 3 2

E) h 5

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

272

Félix Flores Espíritu

Geometría

Apolonio

Apolonio, con su virtuosismo geométrico, fue llamado “el gran geómetra de la forma”. Constituye con Euclides (el gran maestro) y Arquímedes “el gran geómetra de la medida” el triunvirato matemático alejandrino que gobernó la Geometría griega. Apolonio estudió con los discípulos de Euclides. Según Pappus tenía un carácter iracundo y envidioso que zahería y mortificaba a sus colegas. Aunque más joven, tuvo cierta rivalidad con Arquímedes. En la más importante de sus obras: Las Cónicas escrito en ocho libros, conservados siete .La obra de Apolonio contiene muchas trazas que anticipan aspectos de las Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes. En el Libro I con su construcción a través de un cono, Apolonio acuña los nombres de Elipse, Parábola e Hipérbola. Con un instrumento similar a las coordenadas, Apolonio descubrió los puntos y las rectas notables de las cónicas y describió casi todas sus propiedades importantes. El libro II estudia las asíntotas de la hipérbola. El III las propiedades de las tangentes y de los focos que permiten trazar las curvas por composición de movimientos y sirven para definirlas como lugares geométricos. El IV estudia la intersección de cónicas. El V estudia los segmentos máximos y mínimos –las rectas normales–. El VI se dedica a la igualdad y semejanza de cónicas. El VII estudia relaciones métricas sobre diámetros conjugados. Construcción de Apolonio de las tres secciones cónicas mediante un cono, variando la inclinación del plano que corta al cono.

273

Félix Flores Espíritu

Geometría

Parábola. El plano de corte es paralelo a una sola generatriz.

Elipse. El plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz.

Hipérbola. El plano de corte es paralelo a dos de sus generatrices.

Relación de Volúmenes 1.

La circunferencia de la base de un cilindro circular recto es “C” y el área lateral es “S”. El volumen del cilindro es:

Las áreas del fondo, del frente y del lado de una caja rectangular se conocen. El producto de estas áreas es igual a: A) el volumen de la caja B) la raíz cuadrada del volumen C) el doble del volumen D) el cuadrado del volumen E) el cubo del volumen

Se tiene un cono de altura 5. ¿A qué distancia del vértice debe trazarse un plano paralelo a la base, para que el volumen del cono parcial formado sea el 20% del volumen del cono original?

¿En qué relación se encuentran los volúmenes de 2 conos rectos de igual altura si el radio del segundo es el doble del primero?

Se tiene un cilindro de radio R y altura H, y una esfera de radio R. Para que el volumen del cilindro sea el doble del volumen de la esfera, hallar el valor de la razón H/R.

Se tiene un tubo de diámetro “D” y longitud “L”. Si se duplica D y L, hallar la relación entre el área lateral del primer tubo con la del segundo tubo.

Hallar la relación entre el volumen del cono y el volumen del cilindro.

H R

274

Se tiene un rectángulo de 24 de perímetro que rota por su lado “x”. Hallar el volumen generado.

Félix Flores Espíritu

Geometría

¿Cuál es la diferencia de volúmenes si la esfera está inscrita en el cilindro recto?

10. Si el volumen de una esfera es igual al doble de su superficie. Calcular el área de la sección que se forma al intersecar la esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera. 11. Se inscribe un cono recto de revolución en una esfera, tal que la generatriz del cono sea igual al diámetro de su base “2a”. Hallar el área total de la esfera. 12. Se tiene un cilindro de radio “R” y la altura “H” en el que se quiere construir un prisma de base cuadrada de volumen máximo. Hallar el volumen de la parte que se desperdició. 13. Se tiene una hoja rectangular de 5 cm de ancho y 6 cm de largo. Se construye una caja abierta, cortando en las esquinas cuadrados de 1 cm de lado. Halla la capacidad de la caja. 14. La sección máxima de una esfera tiene un área S. ¿Cuál es el área total resultante al partir dicha esfera en dos pedazos iguales? 15. La base de un prisma recto es un rombo cuya área es igual a S. Las áreas de las secciones diagonales son iguales a S1 y S2. Hallar el volumen del paralelepípedo.

Tarea

Una pieza de metal que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular pesa 5 Kg. ¿Cuál será el peso de otra pieza similar del mismo metal y que tenga el doble de las dimensiones de la primera? A) 5 Kg

C) 20 Kg

D) 40 Kg

E) 50 Kg

Un cuarto de forma rectangular, sin puertas ni ventanas, tiene por dimensiones 10, 13 y 5 metros de ancho, largo y alto. Se van a pintar las paredes por sus dos caras y el techo. El número total de metros cuadrados que se debe pintar es: A) 360

275

B) 10 Kg

B) 460

C) 490

D) 590

E) 720

Félix Flores Espíritu

Geometría

Un paralelepípedo rectangular tiene por dimensiones 4 m, 8 m y 16 m. Calcule las dimensiones, en metros, de un paralelepípedo semejante, cuyo volumen es 3 a. A) 2a ; a ; a/2 D) 2a ; a/4 ; a/2

B) 3a ; a ; a/4

C) 4a ; a ; a/4 E) 2a ; a/3 ; a/2

En la figura mostrada, halle el volumen del sólido que se genera al girar el área sombreada alrededor del eje XX´ , sabiendo que AB y CD son diámetros.

5 7 X

A) 115

X´

B) 345/2

C) 500/3

D) 872/3 5.

E) 436

En un prisma recto de base cuadrada y altura 10 m, la distancia de un vértice al punto medio de la cara opuesta mide 10 m. Determine el volumen del prisma. 3

A) 350 m 3 D) 500 m 6.

B) 400 m

B) 3/2

B) 2R

B) 1/6

E) 3/5

C) 3R

D) 4R/3

E) 4R

C) 1/9

D) 2/9

E) 1/7

Si las figuras son una semiesfera y un cono recto. Halle la relación de sus volúmenes.

A) 2 : 1 B) 3 : 2 C)  : 2 D) 4 : 3 E) 4: 

276

D) 4/3

Se tiene un tubo de longitud “I” y diámetro “d”. Si se triplica d y I, halle la relación entre el área lateral del primer y segundo tubo respectivamente. A) 1/3

C) 3/7

Para que el volumen de un cilindro de radio R y altura H sea el triple del volumen de una esfera de radio R, la altura del cilindro deberá ser: A) R/3

C) 450 m 3 E) 600 m

Se tiene una esfera de radio R y un cilindro de radio R y altura H. Para que el volumen de la esfera sea el doble del volumen del cilindro, hallar el valor de la razón: R/H. A) 2/3

Félix Flores Espíritu

Geometría

10. Calcule el volumen del sólido generado al girar un cuadrado de perímetro “P” sobre uno de sus lados. A) P / 4

B)  (P/4)

D)  (P/4)

C) (P/4)

E)  (P/2)

11. Si el volumen de una esfera es igual al doble de su superficie, calcule el área que se genera al intersecar la esfera con un plano distante 3 cm con el centro de la esfera. A) 9

B) 18

C) 27

D) 36

E) 24

12. Si la sección formada al intersecar un plano con una esfera tiene un área de 25  y si el plano dista 12 del centro de la esfera, calcule el área total de la esfera. A) 169

B) 338

C) 676

D) 854

E) 436

13. Halle el volumen de un cono equilátero inscrito en una esfera de radio R. 3

A) 3 R /8

B) 4 R /3

C) 2 R /3

D) 5 R /8

E) 3 R /4

14. Un prisma hexagonal regular está inscrito en un cilindro. Halle la relación entre sus volúmenes. A) 3 3 / 

3 /

C) 2 3 /  E) 4 3 / 

D) 3 3 / 2

15. Se tiene un prisma recto de base cuadrada de lado “L” y altura “H”, con el que se quiere construir un cilindro de volumen máximo. Halle el volumen desperdiciado. 2

A) HL (1–)

B) HL (–1/4)

C) HL (/4–1)

D) HL (1–/4)

E) HL (2–)

16. La base de un prisma recto de 6 m de altura es un rectángulo en donde uno de 2 sus lados es el doble del otro. Si su área total es 144 m , halle la diagonal del sólido. A) 9 m

B) 3 m

C) 6 m

D) 6 2 m

E) 9 2 m 2

17. Si el área lateral de un prisma cuadrangular regular es 40 m y la medida de la altura es 5 m, entonces su área total es: A) 48 m

B) 50 m

C) 60 m

D) 65 m

E) 96 m

18. Las diagonales de las caras de un paralelepípedo rectangular miden 5 7 ; 5 13 y 10 3 . Halle la diagonal del sólido. A) 18

277

B) 20

C) 22

D) 24

E) 26

Félix Flores Espíritu

Geometría

19. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base es 40 y la altura es 30. Se traza un plano paralelo al eje del cilindro a una distancia de 24 del eje. Halle el área de la sección que se obtiene con el plano. A) 640

B) 960

C) 1 280

D) 1 920

E) 2 560

20. La altura de un cilindro recto mide 6 m y el área lateral es 36  m Halle su volumen. 2

A) 54 m

B) 54 m

C) 36 m

D) 36 m

E) 18 m

21. En un cilindro recto el área lateral es igual al área de la base. Si el radio de la base es 8 m, halle el volumen del cilindro. A) 256 m

D) 144 m

B) 512 m

C) 128 m

E) 288 m 2

22. El desarrollo del área lateral de un cilindro recto es un cuadrado de 16 cm de área. Halle el volumen del cilindro. 2

A) 8 cm

B) 12 cm

D) 24 cm

C) 16 cm

E) 30 cm

23. Halle el volumen de la esfera inscrita en un cono de 6 cm de radio y 10 cm de generatriz. A) 18 cm

D) 30 cm

B) 20 cm

C) 24 cm

E) 36 cm

24. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular es un cuadrado de área A. Halle el volumen del prisma.

A3 / 2 3 12

A3 / 2 3 36

A3 / 2 3 18

A3 / 2 3 9

A3 / 2 3 24

25. Un cono circular recto y un cilindro tienen los diámetros de sus bases y sus alturas iguales al diámetro de una esfera. Si la suma de los tres volúmenes es 100, halle el volumen del cilindro. A) 12

B) 20

C) 25

D) 50

E) 75

26. Halle el volumen de un prisma recto cuyas bases son trapecios isósceles de altura 9 m y diagonal 15 m, sabiendo que la altura del prisma mide 10 m. A) 1200 m 3 D) 980 m

278

B) 1136 m

C) 1024 m 3 E) 1080 m

Félix Flores Espíritu

Geometría

27. Se tiene un cilindro recto y una pirámide regular siendo las áreas de sus bases iguales. Si ambos sólidos tienen igual volumen y sus alturas son H y h respectivamente, halle

A) 3

h . H

C) 

B) 1

D) /3

E) 1/3

28. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide de altura 8, debe trazarse un plano paralelo a la base para que se produzcan dos sólidos de igual volumen?

A) 4

B) 4

C) 8

D) 4 3

E) 6

29. Halle el área total de un cubo equivalente a un paralelepípedo rectangular de 18 cm de largo, 16 cm de ancho y 6 cm de altura. 2

A) 1728 cm D) 216 cm

B) 864 cm

C) 432 cm

E) 108 cm

30. En un prisma recto de 10 cm de altura, tiene por base un cuadrilátero inscriptible, que se descompone por una de sus diagonales en un triángulo equilátero de 12 cm de lado y otro isósceles. Calcule el volumen del prisma. A) 230 2 cm D) 360 cm

B) 720 3 cm

C) 480 3 cm

E) 480 cm

31. Calcule el área total de un hexaedro regular inscrito en una esfera de

3 m de

radio. 2

A) 16 m

D) 24 m

B) 18 3 m

C) 8 m

E) 18 m

32. Halle el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 25 cm

de área, si la altura de la pirámide mide 5 3 / 2 cm.

A) 125 cm

D) 175 cm

B) 100 cm

C) 150 cm

E) 75 cm

33. Se tiene un cilindro recto lleno de agua inscrito en un prisma de base cuadrada de altura “H”. Si se retira el cilindro y todo su contenido se vierte dentro del prisma, ¿hasta qué altura sube el agua?

H 4

H 4

H 3

H 2

H 8

34. El desarrollo del área lateral de un cilindro recto es un cuadrado de 16  cm de área. Hallar el volumen del cilindro. 2

A) 8  cm 2

D) 24  cm 2

279

B) 12  cm

C) 16  cm 2

E) 20  cm 2

Félix Flores Espíritu

Geometría

35. En un cono recto, dos generatrices opuestas forman un ángulo de 90°. ¿Cuál es el ángulo del sector circular que se forma al desarrollar el área lateral? A) (180 2 )° D) 90°

B) (90 2 )°

C) 180° E) 225°

36. Calcule el volumen de un cono recto de 36 m de altura, sabiendo que un punto de su generatriz dista del vértice y de la altura 13 m y 5 m respectivamente. A) 2500  m 3 D) 2700  m

B) 3600  m

C) 2400  m 3 E) 3000  m

37. ¿Cuál es el volumen de una esfera cuya superficie es igual al doble del área total de un cono circular recto de radio 8 y altura 15? 5324  3 2048  D) 3

1372  3 4000  E) 3

B) 972 

38. En uno de los platillos de una balanza está colocada una esfera sólida de 20 3 cm de diámetro, hecha de un material que pesa “P” kg por cm . En el otro platillo hay un cilindro recto sólido, cuya base tiene un radio de 10 cm, hecho de 3 un material que pesa “5p” por cm . Si la balanza está equilibrada, ¿cuál es la altura del cilindro?

A) 5 1/3 cm

B) 2 cm

C) 2 2/3 cm

D) 4/3 cm

E) 2,5 cm

39. La relación entre los volúmenes de dos esferas concéntricas es 8. Halle la relación entre sus áreas.

A) 8

B) 2

C) 16

D) 4

E) 6

40. Un cono circular recto y un cilindro tienen los diámetros de sus bases y sus alturas iguales al diámetro de una esfera. Si la suma de los tres volúmenes es 100 , ¿cuál es el volumen del cilindro? A) 10 

280

B) 50 

C) 25 

D) 75  / 2

E) 30 

Félix Flores Espíritu

Geometría

Cuadro de Respuestas

Nº de Problema

Clave

Nº de Problema

Clave

281

Félix Flores Espíritu

Geometría

Bibliografía:

(1) Eves, Howard. Estúdio de las Geometrías. Hispano – Americana. México. 1969 (2) Carl, Boyer. Historia de La Matemática, Alianza Editorial, España. 1992.

(3) E.T. Bell. Historia de las matemáticas, Fondo de Cultura Económica, México. 1999. (4) Claudi, Alsina. Sorpresas Geométricas,los polígonos, los poliedros y usted. Red Olimpica 2000, Buenos Aires, Argentina.

(5) Jose Araujo. Área y Volumen en La Geometría Elemental. Red Olímpica 2000, Buenos Aires, Argentina. (6) Félix, Flores. Geometría una Visión de la planimetría. Asociación Fondo de Investigadores y Editores. Perú 2005.

(7) Instituto de Ciencias y Humanidades. Geometría una Visión de la Estereometría. Asociación Fondo de Investigadores y Editores. Perú 2009. (8) Milton, Donaire Peña. Formas y Números La geometria en las olimpíadas matemáticas. Fondo Editorial, Universidad de Ciencias y Humanidades. Perú 2010.

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