APUNTES DE TRIGONOMETRIA
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TRIGONOMETRIA ¿Qué es la trigonometría? El nombre proviene de las raíces griegas trigónom (triángulo) y metron (medida), de tal suerte que la palabra trigonometría significa medición de triángulos. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS, DEFINIDAS EN UN TRIÁNGULO RECTANGULO. La trigonometría se basa en las relaciones llamadas Funciones trigonométricas, que son las razones existentes entre elementos rectilíneos ligados a un ángulo, cuya variación dependerá de la variación del ángulo.
II
+y
I B
-x
III
θ O A
-y
+x
IV
El valor de cada razón se determina al asignar un valor definido al ángulo θ, por lo que todas estas relaciones son funciones del ángulo θ. A estas relaciones se les llama funciones trigonométricas del ángulo θ, y cada una de ellas recibe un nombre específico, el cual se define de la manera siguiente:
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Y Hipotenusa r
B y
θ O
x
A
Cateto Opuesto X
Cateto Adyacente
Las funciones trigonométricas del ángulo θ se definen como:
Seno θ
=
Cateto opuesto Hipotenusa
Sen θ =
y r
Coseno θ
=
Cateto adyacente hipotenusa
Cos θ =
x r
Tangente θ
=
Cateto opuesto Cateto adyacente
Tan θ =
y x
Hipotenusa Cateto adyacente
Sec θ =
r x
Hipotenusa Cateto opuesto
Csc θ =
r y
Cotangente θ
Cot θ =
=
cateto adyacente Cateto opuesto
x y
Secante θ
=
Cosecante θ =
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Asimismo, dichas funciones tienen su recíproco: Sen θ Tiene como recíproco a Csc θ Cos θ Tiene como recíproco a Sec θ Tan θ Tiene como recíproco a Cot θ
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS. Hasta el momento, únicamente encontramos las funciones trigonométricas de un ángulo agudo del triángulo rectángulo. ¿Cuál será el valor del otro ángulo agudo? B
c a
C
b
Angulo A
A
Angulo B
Sen A =
a c
Cot A =
b a
Sen B =
b c
Cot B =
a b
Cos A =
b c
Sec A =
c b
Cos B =
a c
Sec B =
c a
Tan A =
a b
Csc A =
c a
Tan B =
b a
Csc B =
c b
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Observamos y comparamos las funciones trigonométricas de los ángulos A y B del triángulo rectángulo ABC. ¿Qué detectamos? Sen A = Cos B Cos A = Sen B Tan A = Cot B Cot A = Tan B Sec A = Csc B Csc A = Sec B
EJERCICIOS PARA CLASE. 1.-
Dadas las longitudes de los lados del triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas de sus ángulos agudos. C a=5 b=? A
2.-
B
c=4
Dadas las longitudes de los lados del triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas de sus ángulos agudos. C b=?
A
c=7
a=5 B
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3.-
5
Dadas las longitudes de los lados del triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas de sus ángulos agudos. C b=5
a=?
B
c=9
A
4.-
Dado el valor de una función trigonométrica, determinar el valor de las demás funciones: Sen A =
5.-
Dado el valor de una función trigonométrica, determinar el valor de las demás funciones: Tan B =
6.-
7 4
Dado el valor de una función trigonométrica, determinar el valor de las demás funciones: Sec C =
7.-
5 8
12 7
Dado el valor de una función trigonométrica, determinar el valor de las demás funciones: Cos D =
8 10
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8.-
Dado el valor de una función trigonométrica, determinar el valor de las demás funciones: Cot E =
9.-
6
9 5
Dado el valor de una función trigonométrica, determinar el valor de las demás funciones: Csc F = 6
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS COORDENADOS.
EN
LOS
Distancia
Ordenada
θ
x
EJES
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De acuerdo con lo anterior, las funciones trigonométrica del ángulo θ. Se definen de la siguiente manera: Seno θ Sen θ =
=
Abscisa Distancia
=
Ordenada Abscisa
x r
Tangente θ
Tan θ =
Ordenada Distancia
y r
Coseno θ Cos θ =
=
y x
Cotangente θ
Cot θ =
=
Distancia Abscisa
=
Distancia Ordenada
r x
Cosecante θ Csc θ =
Abscisa Ordenada
x y
Secante θ Sec θ =
=
r y
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LOS DIFERENTES CUADRANTES.
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FUNCIONES Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
8
I + + + + + +
CUADRANTES II III + – – – – + – + – – + –
IV – + – – + –
EJERCICIOS PARA CLASE. 1.-
Dado el punto de coordenadas (– 3 , – 4), calcular los valores de cada una de las funciones trigonométricas del triángulo rectángulo que resulta al trazar la perpendicular desde ese punto al eje de las abscisas y unirlo a su vez con la intersección de los ejes coordenados.
2.-
Dado el punto de coordenadas (7 , 8), calcular los valores de cada una de las funciones trigonométricas del triángulo rectángulo que resulta al trazar la perpendicular desde ese punto al eje de las abscisas y unirlo a su vez con la intersección de los ejes coordenados.
3.-
Dado el punto de coordenadas (– 5 , 8), calcular los valores de cada una de las funciones trigonométricas del triángulo rectángulo que resulta al trazar la perpendicular desde ese punto al eje de las abscisas y unirlo a su vez con la intersección de los ejes coordenados.
4.-
Dado el punto de coordenadas (8 , – 6), calcular los valores de cada una de las funciones trigonométricas del triángulo
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rectángulo que resulta al trazar la perpendicular desde ese punto al eje de las abscisas y unirlo a su vez con la intersección de los ejes coordenados. 5.-
Si se tiene una función trigonométrica de un ángulo, calcula las demás funciones trigonométricas para los diferentes cuadrantes donde se cumpla. Sen A = −
6.-
Si se tiene una función trigonométrica de un ángulo, calcula las demás funciones trigonométricas para los diferentes cuadrantes donde se cumpla. Cos B = +
7.-
7 3
Si se tiene una función trigonométrica de un ángulo, calcula las demás funciones trigonométricas para los diferentes cuadrantes donde se cumpla. Cot D = +
9.-
3 5
Si se tiene una función trigonométrica de un ángulo, calcula las demás funciones trigonométricas para los diferentes cuadrantes donde se cumpla. Tan C = −
8.-
3 5
6 11
Si se tiene una función trigonométrica de un ángulo, calcula las demás funciones trigonométricas para los diferentes cuadrantes donde se cumpla. Sec E = −
8 3
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10.-
10
Si se tiene una función trigonométrica de un ángulo, calcula las demás funciones trigonométricas para los diferentes cuadrantes donde se cumpla. Csc F = + 8
11.-
Usando tablas de valores naturales, (calculadora científica), hallar: a)
Sen 38° 20’ =
b)
Cos 58° 30’ =
c)
Tan 35° 40’ =
d)
Sen 75° 35’ =
e)
Cos 80° 50’ =
f)
Tan 32° 35’ =
g)
Sen 17° 42’ =
h)
Cos 85° 27’ =
i)
Tan 37° 37’ =
j)
Sen 25° 55’ =
k)
Cos 75° 48’ =
l)
Tan 16° 49’ =
m)
Sen 85° 38’ =
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12.-
n)
Cos 56° 52’ =
o)
Tan 67° 39’ =
11
Dado el valor de la función trigonométrica, calcula el ángulo al cual corresponde: a) Sen A = 0.1742
A = Sen −1 0.1742 A =
b) Cos B = 0.8622
B=
c) Tan C = 2.4243
C=
d) Sen D = 0.5643
D=
e) Cos E = 0.9631
E=
f) Tan F = 5.5687
F=
g) Sen G = 0.4589 h) Cos H = 0.6712
G= H=
i) Tan I = 1.0000
I=
j) Sen J = 0.5683
J=
k) Cos K = 0.7836
K=
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l) Tan L = 0.5643
L=
m) Sen M = 0.7071
M=
n) Cos N = 0.5000
N=
o) Tan O =0.6543
O=
13.-
Un alpinista desea escalar una montaña que tiene una longitud de 1200 m desde la base a la parte más alta, y una pendiente de 48°. ¿Cuál es la altura de la montaña?
14.-
Un obrero tiene una escalera de 8 metros de longitud. ¿Qué ángulo debe formar con el piso, si quiere alcanzar la parte más alta de una pared de 5 m de altura?
15.-
Un mecánico desea que le construyan una rampa para subir automóviles a una altura de 8 metros. Si la rampa tiene una pendiente de 25°, ¿Qué longitud tendrá la rampa?
16.-
Un ingeniero desea conocer la anchura de un barranco donde cayo un árbol sobre la pared opuesta; la longitud del árbol es de 15.75 metros. Al medir con su teodolito el ángulo de inclinación del árbol, encontró que media 31°. ¿Cuál es la anchura del barranco?
17.-
Galileo, al soltar la histórica piedra desde lo más alto de la torre de Pisa, que tenia un ángulo de inclinación de 5° con respecto a su base y una altura de 50 metros, se preguntó que distancia recorrería la piedra. ¿A que distancia de la base cayo la piedra?
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18.-
13
Un ingeniero topógrafo se encuentra a 20 metros de distancia de la base de un peñasco, que tiene una altura de 75 metros. ¿Cuál será el ángulo con el que ve el borde del peñasco?
BIBLIOGRAFIA
Acevedo Silva, Vitaliano. Valdez Sánchez, Marco Antonio. Vargas Bello, Eusebio. GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA. Ed. Mc Graw Hill, México, 2000. Ortiz Campos, Francisco José. MATEMATICAS – 2 GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA. Ed. Publicaciones Cultural. México. 1998. Fuenlabrada De la vega Trucios Samuel. MATEMATCAS II, Geometría y Trigonometría. Ed. Mc Graw Hill, México, 1994. Baldor Aurelio. GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA. Ed. Publicaciones Culturales, México, 1995. Guzmán Herrera, Abelardo. GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA. Ed Publicaciones Culturales, México, 1995.