Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação
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( ) e o denominador por
(
)( (
) )
, para obtemos ( )
Vamos estudar os valores da função f quando Atribuindo a
( )
. assume valores próximos de 2 mas, diferente de 2.
valores que se aproximem de 2, pela esquerda e pela direita, temos: 1,5
1,75
1,99
1,999
2,5
2,75
2,9
2,999
2
2,001
2,01
2,1
2,5
3,001
3,01
3,1
3,25
Observamos na tabela que, quando se aproxima cada vez mais de 2, ( ) se aproxima cada vez mais de 3, isto é, quanto mais próximo de 2 estiver , tanto mais próximo de 3 estará ( ). Observe que podemos tornar ( ) tão próximo de 3 quanto desejarmos, bastando para isso tornarmos suficientemente próximos de 2. Assim escrevemos: (
)
(
)
(
)
Os dois primeiros limites são chamados limites laterais e lê-se: o limite de , quando tende a 2 pela esquerda é igual a 3 ou o limite de , quando tende a 2 pela direita é igual a 3. O último é chamado limite bilateral ou simplesmente limite – lê-se: o limite de , quando tende a 2 é igual a 3.
OBS.: O sinal + ou – acima de a, indica apenas “direita” ou “esquerda”.
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função definida para x I – {a}. ( ) Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos , se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < |x – a| < δ então | f(x) – L| < ε. Em símbolo temos:
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( )
( )
(
)
Se o limite de uma função num ponto existe, então ele é único.
( )
( )
Note que se tratam de limites da mesma função e no mesmo ponto, logo devem ser iguais, pela definição da unicidade do limite. Assim, temos: √
( )
(O limite de uma função constante é a própria constante) y
x
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)
(
)
)
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Essas propriedades valem, também, para os limites laterais quando (
) (
)
ou
.
) (
)
) (
) (
(
)
)
(O limite de uma função ( ) polinomial com para igual a a).
tendendo a um número real a, é o valor numérico da função
Essa propriedade pode ser estendida para funções racionais:
Quando o limite de uma função com é igual ao valor numérico da função quando dizemos que a função goza da propriedade da substituição direta e é denominada função contínua, de grande importância no cálculo e que será estudada mais adiante.
)
(
)
(
)
) Cálculo A – ANO: 2014 – FTSC / Professor Samuel O. de Jesus
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Calcule os seguintes limites: )
)
(
(
( )
)
)
)
)
)
)
√
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) {
{
( )
( ( ( (
) ) ) )
( ) ( )
( )
Vamos estudar cada uma delas:
Neste caso, o limite é dado calculando-se o valor numérico da função até aqui.
quando
método utilizado
Todavia, o método utilizado até aqui não funciona com funções racionais em que o limite do denominador é nulo. Vejamos, então a situação seguinte:
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Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação Note que, na verdade, temos uma falsa indeterminação, uma vez que
é obtido quando substituímos
por e no limite nunca assume o valor . Esse procedimento visa apenas, ter uma ideia da direção que devemos tomar a fim de determinarmos o limite da função. Neste caso, devemos simplificar a expressão utilizando fatoração, racionalização, dispositivo prático de Briot – Ruffini para dividir polinômios, etc., visando eliminar a indeterminação e, assim, calcular o limite por substituição direta, isto é,
para seja,
( )
( )
( )
O resto da divisão de um polinômio ( ) por ( ( ).
, ou seja, ( )
( )
Um polinômio ( ) é divisível por ( . Neste caso ( ) é um fator de ( ).
Experimente verificando se o polinômio afirmativo, fatore.
) é o valor numérico do polinômio ( ) ) se, e somente se,
( )
é a raiz de ( ). Ou
é divisível por (
) e, em caso
Note, inicialmente, que calculando o limite por substituição direta, concluímos que temos uma indeterminação do tipo ( ). Assim, fatorando o polinômio do numerador, teremos: (
)(
)
)
(
)
)
)
Calcule os seguintes limites )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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)
)
) Página 5
Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação Considerando ainda a segunda situação, pode ocorrer de a expressão apresentar radicais: ( )
√ ( ) ( )
√ ( )
√ ( ) √ ( )
Neste caso, calculamos o limite da função, multiplicando os termos da fração pelo conjugado do denominador ou do numerador ou de ambos: Se o radical aparece no denominador, multiplicamos a fração pelo conjugado do denominador. Se o radical aparece no numerador, multiplicamos a fração pelo conjugado do numerador. Se por outro lado, o radical aparece tanto no numerador como no denominador, multiplicamos a fração pelo produto do conjugado de ambos.
De modo geral, o conjugado de um número ( O conjugado de (√
) (√
O conjugado de (√
√ ) (√
O conjugado de √
)é(
) e vice-versa. Logo:
) e vice – versa; √ )
√ pois √
(√
) e portanto seu conjugado é (√
)
Vejamos o cálculo de expressões do tipo em questão: )
√
( (
√
)
)(√
(√
√
)(√
)
)
)(√
)
√
) )
)(√ (
(
) ( )
(√ )
)(√ (
)(√
)(√
√
(√
(
(
)
(
√
)
√
(√ (
) )(√
)
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) )(√
( ) )
√
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Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação √
)
√
(
√
)
√
√
(√
)(√
)(√
)
√
(√
)(√
)(√
)
[(√
)
( ) ] (√
)
[
](√
)
[(√
)
( ) ] (√
)
[
](√
)
[
](√
)
[
](√
)
(√
)
[
](√
)
[
](√
)
(√
)
Calcule os seguintes limites: )
)
√
√
)
√
√
)
√
)
)
√
√
√
√ √
√
)
)
√
√
)
)
√
√
√
√ √
Calcule os seguintes limites: )
√
)
√
)
√
) (
OBS.: Use os casos de fatoração:
)(
√ √ )
Calcule os seguintes limites: ) ( )
{
) ( )
{
( )
( )
OBSERVAÇÃO: No cálculo do limite de uma função, quando função nas proximidades de e não o que ocorre no ponto . Cálculo A – ANO: 2014 – FTSC / Professor Samuel O. de Jesus
tende a , interessa o comportamento da Página 7
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No cálculo do limite de uma função definida por partes, quando tende a , devemos obter o limite bilateral em um ponto ( ) no qual a fórmula muda encontrando primeiro os limites laterais no ponto. Qualquer uma das situações já estudadas pode ocorrer na resolução desses limites!
( )
)
( )
)
( )
)
( )
{√ a) Note que, para valores de logo:
menores que
, ou seja, à esquerda de
usaremos a função
,
( ) Para valores de
maiores que 2, ou seja, à direita de 2 usaremos a função ( )
( )
(
, logo:
)
( ) ( )
b) Sem qualquer dificuldade calculamos ( ) uma vez que a fórmula (parte) aplicável a ambos os lados de zero é ( ) , assim concluímos que: )
c) Para o cálculo de ) ( )
(
( )
√
( )
(
)
( ) notamos que as partes aplicáveis são: ) √
√ )
( )
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Dadas as funções f, calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) bilaterais não existir(em), especifique a razão.
) ( )
{
) ( )
{
) ( )
{
)
( )
)
( )
( )
( )
)
) ( )
{
) ( )
{
( )
( )
( )
Neste caso, devemos estudar o comportamento da função nas proximidades do ponto . Para tanto, devemos aplicar conhecimentos de inequações quocientes associando o sinal ( ) a ( )e( )a( ). Assim, a situação comportamental da função pode ocorrer de:
(
)
(
)
Devemos estudar o sinal de cada função separadamente e depois construir o quadro quociente para, enfim, determinar o que ocorre nas proximidades do ponto 1, isto é, determinarmos os limites laterais:
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Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação Estudando o sinal de
. ď&#x201A;ˇ
Estudando o sinal de
.
ď&#x201A;ˇ
Construindo o quadro â&#x20AC;&#x201C; quociente:
đ?&#x2018;&#x201C;
đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;
đ?&#x;?
đ?&#x2018;Ľ
đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)/đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)
Pela Relação entre limites laterais e bilaterais, se os limites laterais fossem iguais, por exemplo, limite bilateral seria .
o
Veja a representação gråfica da situação estudada:
đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;
đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;?
đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;?
ď&#x20AC;ąď&#x20AC;ł ď&#x20AC;ąď&#x20AC;˛ ď&#x20AC;ąď&#x20AC;ą ď&#x20AC;ąď&#x20AC;° ď&#x20AC;š ď&#x20AC;¸ ď&#x20AC;ˇ ď&#x20AC;ś ď&#x20AC;ľ ď&#x20AC;´ ď&#x20AC;ł ď&#x20AC;˛ ď&#x20AC;ą
ď&#x20AC;ď&#x20AC;ąď&#x20AC;˛ď&#x20AC;ď&#x20AC;ąď&#x20AC;ąď&#x20AC;ď&#x20AC;ąď&#x20AC;°ď&#x20AC;ď&#x20AC;š ď&#x20AC;ď&#x20AC;¸ ď&#x20AC;ď&#x20AC;ˇ ď&#x20AC;ď&#x20AC;ś ď&#x20AC;ď&#x20AC;ľ ď&#x20AC;ď&#x20AC;´ ď&#x20AC;ď&#x20AC;ł ď&#x20AC;ď&#x20AC;˛ ď&#x20AC;ď&#x20AC;ąď&#x20AC;ď&#x20AC;ą ď&#x20AC;ď&#x20AC;˛ ď&#x20AC;ď&#x20AC;ł ď&#x20AC;ď&#x20AC;´ ď&#x20AC;ď&#x20AC;ľ ď&#x20AC;ď&#x20AC;ś ď&#x20AC;ď&#x20AC;ˇ ď&#x20AC;ď&#x20AC;¸ ď&#x20AC;ď&#x20AC;š ď&#x20AC;ď&#x20AC;ąď&#x20AC;°
ď&#x20AC;ą ď&#x20AC;˛ ď&#x20AC;ł ď&#x20AC;´ ď&#x20AC;ľ ď&#x20AC;ś ď&#x20AC;ˇ ď&#x20AC;¸ ď&#x20AC;š ď&#x20AC;ąď&#x20AC;° ď&#x20AC;ąď&#x20AC;ą ď&#x20AC;ąď&#x20AC;˛ ď&#x20AC;ąď&#x20AC;ł ď&#x20AC;ąď&#x20AC;´ ď&#x20AC;ąď&#x20AC;ľ
CĂĄlculo A â&#x20AC;&#x201C; ANO: 2014 â&#x20AC;&#x201C; FTSC / Professor Samuel O. de Jesus
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Quando tentamos resolvemos um limite e nos deparamos com uma expressão impossível, dizemos então que o limite não existe, ou ainda que estamos diante de um limite infinito e:
Os símbolos “ ”e“ ” não representa nenhum número real, mas, indica o que ocorre com a função quando se aproxima de . Os teoremas a seguir, nos ajudarão a resolver algumas situações que poderão ocorrer:
TEOREMA:
Se o denominador tende ao infinito com numerador constante, a razão se aproxima de zero. Como veremos. Esse tipo de limite não se calcula. Temos que raciocinar!
Ache os limites abaixo, se existirem: )
)
)
(
)
)
Calcule os seguintes limites: )
)
)
)
)
(
)
)
)
(
)
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)
)
(
)
)
(
)
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Veja as situações de soma e produto de infinitos que usaremos com frequência ( ) ( ) Note que só é possível efetuar operações básicas envolvendo infinitos se estes têm mesmo sinal.
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
*(Não podemos estabelecer uma lei para este caso)
(
)
(
)
*
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
*
Até aqui trabalhamos com limites que descrevem o comportamento de uma função ( ) quando tende a algum número real ( ). A partir de agora, vamos estudar o comportamento de função ( ) quando tende ao infinito, isto é, quando cresce ou decresce sem parar.
O limite no qual a variável ( ) tende a “
” ou “
” denominamos LIMITE NO INFINITO.
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TEOREMA:
Vide regra anterior
TEOREMA:
)
)
)
)
)
)
)
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)
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Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação TEOREMA:
)
)
)
)
Note que esse teorema pode ser generalizado para numeradores reais diferentes de zero: )
)
)
(O comportamento final de um polinômio coincide com o comportamento final de seu termo de maior grau, isso para ).
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
)
)
(
)
Esses resultados podem ser obtidos colocando a potência mais alta do polinômio em evidência e examinando o limite da expressão fatorada, fazendo uso dos teoremas anteriormente estudados para os casos em que . Vejamos: )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
)
( (
) (
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)
(
)
)
)
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Uma técnica para determinar o comportamento final de uma função racional consiste em dividir cada termo do numerador e do denominador pela respectiva maior potência de , depois desse procedimento o comportamento final pode ser determinado, utilizando os teoremas estudados para o caso de .
(
)
)
)
( (
)
(
) (
)
(
)
) )
(
)
Como o limite do quociente é igual ao quociente dos limites, o comportamento final de uma função racional coincide com o comportamento final do quociente do termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador, somente se .
(O limite de funções racionais é dado pela razão dos termos de maior grau do polinômio do numerador e do denominador). Após simplificações e devida análise, conclui-se o exposto acima.
)
)
)
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Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação Nos exemplos a seguir, faremos ampla utilização do Teorema estudado anteriormente, que repetimos abaixo:
TEOREMA:
√
)
√
(
)
Neste caso, podemos aplicar o Teorema acima para resolver esse tipo de limite. Veja: Comece colocando em evidência a variável de maior grau em cada termo da fração. √
√
(
| | √
) (
)
(
) | | √ (
√ ( )
)
√
(√
)
)
(√
)
(
)(
)
Inicialmente devemos multiplicar e dividir os termos da fração pelo conjugado da função. Observe: (√
)(√
)
(√
)
√
(√ (√ (
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) )
√ )
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Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação Agora coloque em evidência a variável de maior grau em cada termo da fração. ( √
√ (
)
(
(
)
√
)
)
(√
) (
)
(
(√
)
)
(√
)
)
)
(√
)
Encontre: )
(
)
)
)
(
)
)
√
(
)
√
)
√
√
)
√
)
)
)
√
)
√
(√
)
RENDA PER CAPITA: Estudos mostram que, daqui a anos, a população de um certo país será milhares de pessoas e renda bruta do pais de E milhões de dólares, onde ( ) a) Expresse a renda per capita do país
√ em função do tempo t. (Cuidado para não errar nas
unidades.) b) O que acontecerá com a renda per capita a longo prazo (ou seja, para
)?
PRODUÇÃO: O gerente de uma empresa observa que, meses após começar a fabricação de um novo produto, o número de unidades fabricas será milhares, onde ( )
(
)
O que acontecerá com a produção a longo prazo? Cálculo A – ANO: 2014 – FTSC / Professor Samuel O. de Jesus
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Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação CONSCIENTIZAÇÃO DO CONSUMO: O custo C (em dólares) para fazer x cópias em uma loja de fotografias é dado abaixo: ( )
{
Determine o custo para se fazer 100 cópias. POPULAÇÃO: Um planejador urbano modela a população ( ) (em milhares de indivíduos) de um certo bairro daqui a, anos através da função ( ) a) Qual é a população atual do bairro? b) Qual é variação da população durante o terceiro ano? A população está aumentando ou diminuindo durante este período? c) O que acontece com a população a longo prazo.
Encontre: )
)
)
)
)
)
)
)
)
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)
)
( ) )
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Encontre: )
)
( )
( )
(
)
)
)
)
)
)
)
( )
)
)
( )
(
(
( )
)
{
)
/
}
y
(
)
Neste caso é uma assíntota horizontal para .
x
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Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC Engenharia de Produção e Engenharia de Controle e Automação ( (
)
(
)
)
(
{
)
}
/
)
( )
) ( )
( )
)
Calcule: )
(
)
)
(
)
)
(
)
)
(
)
)
(
)
)
(
)
)
(
)
)
(
)
Analise cuidadosamente e Determine: )
)
)
√
)
)
(
)
)
Complete: (limite da função logarítmica) )
)
(
)
)
)
(
)
)
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) √ √
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Calcule o limite (diversos) )
(
)
(
)
(
)
)
)
(
)
)
)
)
√
)
√
( )
(
)
)
)
)
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se as seguintes condições estiverem satisfeitas. )
( )
( )
)
( )
)
( )
Se uma dessas condições falhar, dizemos que f tem uma descontinuidade no ponto a.
Analisando o gráfico de ) )
( ) ( )
) )
( ), ao lado, responda, justificando;
( ) ( )
) )
Verifique se f é contínua em também:
) ( )
{
) ( )
{
( ) ( )
)
( )
)
( )
)
( )
, em cada uma das funções, justificando a sua resposta e determine, ( )
( )
( )
) ( )
) ( )
{
{
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) ( )
{
( )
)
)
)
) ( )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
) )
)
)
)
)
)
) )
√
)
)
√
)
)
)
)
)
)
)
) √
)
)
)
)
)
)
)
) )
)
{
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
15mil dólares por semana;
)
)
)
)
)
) )
6mil unidades;
)
) )
)
O custo é de 10 dólares
a) 20mil unidades; b) 4,7mil indivíduos. População crescente; c) 70mil indivíduos. )
)
)
)
)
)
) )
)
)
)
)√
)
)
)
)
) )
)
)
) )
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
) (| |
) )
)
)
)
)
) (
)
) )
)
)
)
)
)
)
) )
) ) )
Cálculo A – ANO: 2014 – FTSC / Professor Samuel O. de Jesus
)
) )
)
) ) Página 22
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DEMARA, WAITS, FOLEY & KENNEDY. Pré – Cálculo. São Paulo: Pearson, 2009. GENTIL, Nelson; MARCONDES, Carlos Alberto; GRECO, Antonio Carlos; BELLOTTO, Antônio; SÉRGIO Emílio Greco. Matemática para o 2º grau. Vol. 1, 2 e 3. 6. ed. – São Paulo: Ática, 1997. HOWARD, Anton; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1 e 2, 8. ed. – Porto Alegre: Bookman, 2007. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de Matemática Elementar 8 e 1 – São Paulo: Atual, 1993. IEZZI, Gelson & Outros. Matemática – Ciências e Aplicação. Ensino Médio: Vol. 1, 2 e 3, 5. ed. São Paulo: Atual, 2010. LARSON, Ron. Cálculo Aplicado – Curso Rápido. 1. ed. – São Paulo: Cergage Learning, 2011. PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática. Vol. 1, 2 e 3, 1. ed. São Paulo: Moderna, 1995. STEWART, James. Cálculo – Vol. 1. 3 ed. – São Paulo: Thomson Pioneira, 2002. SAFIER, Fred. Pré – Cálculo. Coleção Schaum. 2. ed. – Porto Alegre: Bookman, 2011. Todos os gráficos foram plotados utilizando o software WINPLOT que pode ser baixado de: http://ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudos-digitais/conteudo/exibir/id/1965
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