INTEGRALES INDEFINIDAS 3ro “B” INTRODUCCIÓN Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene diferenciándose todas ellas en una constante.
infinitas
primitivas,
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) El proceso de encontrar una antiderivada también se denomina integración. La función resultante del proceso de integración se conoce como integral indefinida o simplemente integral. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee: integral de f de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que
se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor
numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta
con derivar.
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INTEGRALES INDEFINIDAS 3ro “B”
FÓRMULAS PARA INTEGRAR FUNCIONES ANTIDIFERENCIACIÓN
f ' ( x )=3 x 2 , halle f ( x )
Si
Solución: La derivada de la función
f ( x )=x 3 es f ' ( x )=3 x 2 . Pero otras
funciones también tienen esta derivada. Todas tendrán la forma 3 f ( x )=x +C , donde C
es una constante. Por lo tanto escribimos:
∫ 3 x 2 dx= x 3+C INTEGRACIÓN
f ' ( x )=x 3 , halle f ( x )
Si
d 4 ( x ) =4 x 3 , dx
Solución: Sabemos que
de modo que la derivada de
1 f ( x )= x 4 es f ' ( x )=x 3 . Por consiguiente, 4 1 f ( x )=∫ f ' ( x ) dx =∫ x 3 dx= x 4 +C 4 Fórmulas de las potencias de x, es fácil observar que
∫ x 4 dx=
5
(
5
)
x d x +C porque +C = x 4 5 dx 5 6
d ∫ x 5 dx= x6 + C porque dx
(
x6 +C = x5 6
)
En general, tenemos lo siguiente:
2
INTEGRALES INDEFINIDAS 3ro “B” x n+1 ∫ x dx= n+1 + C ( para n ≠−1) n
En la fórmula de las potencias de x, vemos que n ≠ -1 es esencial, n=−1 , entonces el denominador
porque si
analizaremos el caso en que
n+ 1=0 . Más adelante
n=−1 . Puede imaginar qué función tiene
1/x como su derivada. En resumen, podemos ver que esta fórmula de las potencias de x se aplica para cualquier n ≠−1 indicando que d x n+1 d 1 n+1 n+1 n n +C = x +C = x =x dx n+1 dx n+1 n+1
(
) (
)
FÓRMULA DE LAS POTENCIAS DE X
Calcule
∫ x −1 /2 dx.
Solución: Utilizando la fórmula, obtenemos −1
+1
x2 x 1/ 2 −1 /2 x dx= +C = +C =2 x 1 /2 +C ∫ −1 1 /2 +1 2 1 /2 −1/ 2 Podemos comprobarlo porque la derivada de 2 x +C es x .
INTEGRAL DE UNA CONSTANTE
Calcule
∫ 4 dx
Solución: Dado que como
∫ 4 dx=4∫ dx=4 ( x +C l ) =4x+C Cl
es una constante desconocida, podemos escribir
4 Cl
,
la constante desconocida C.
FÓRMULA DEL COEFICIENTE 3
INTEGRALES INDEFINIDAS 3ro “B”
∫ 8 x 5 dx.
Calcule
Solución:
∫ 8 x 5 dx=8∫ x 5 dx =8
(
x6 4x6 +C l = +C 6 3
)
INTEGRAL DE UNA SUMA
Calcule
∫ ( x 3+ 4x ) dx
.
Solución:
∫ ( x 3+ 4x ) dx=∫ x 3 dx +∫ 4x dx x4 x2 +C l + 4. +C 2 4 2
¿
(
)(
¿
x + 2 x 2 +C l +C 2 4
¿
x4 + 2 x 2 +C 4
)
4
Observe que sólo necesitamos una constante porque la suma de
C l +C 2
es una constante
nueva
INTEGRAL DE UN POLINOMIO
Calcule
∫ (x 2−4)2 dx.
2 2 Solución: Desarrollamos (x −4) de modo que el integrando esté en
una forma que se ajuste a las fórmulas básicas de integración. 5
∫ ( x 2−4 ) dx=∫ ( x 4−8 x 2 +16 ) dx = x5 − 83x 2
3
+16x+C ¿
EJERCICIOS 4
INTEGRALES INDEFINIDAS 3ro “B” 1.-
x6 ∫ x dx= 6 + C 5
dx x −1 −1 −2 2.- ∫ x 2 =∫ x dx= −1 +C = X +C 2x 3.-
2
(¿−5x+3)dx=2∫ x 2 dx−5∫ x dx+ 3∫ dx=
2x3 5x 2 − +3x +C 3 2
∫¿ 4.-
∫ 6 dx =6x
5.-
∫ 45 dx=45x
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
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INTEGRALES INDEFINIDAS 3ro “B” Ingreso: si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un ́ producto es MR=−0.4x +30 ' R ( x )=−0,4 x +30
R' ( x )=−0,2 x 2 +30x+ k
R' ( x )=30x−0,2 x 2 Costo promedio: La DeWit Company ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por producto es x
1 100 Ć ' ( x )= − 2 4 x
donde
es el número de unidades y el costo se da en dólares. El costo promedio de producir 20 unidades es de $40.00. 1. Encuentre la función de costo promedio del producto. 2. Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto. 3.
1 100 C ' ( x )= − 2 4 x C ' ( x )=0,25 x +
100 +k x
40=0,25(20)+
100 +k 20
Cabíamos los datos dados en el ejercicio
30=k '
C ( x )=0,25 x +
De esta manera encontramos k 100 +30 x
Función de costo promedio
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INTEGRALES INDEFINIDAS 3ro “B” C ' ( x )=0,25 x +
4.
100 +30 x C ' (100 )=0,25(100)+
100 +30 100
C ' (100 )=56 $56 es el costo promedio
Bibliografía J.R, F. A. (1971). Calculo Diferencial e Integral. Mexico: Mc Graw Hill. Leibniz, G. (1978). Calculo diferencial e integral. UTEHA-Mexico: Hispano Americana. Rinolds, H. (1978). Matematicas Aplicadas a la Administracion y Economia . Mexico: Mcgraw. Stewart, J. (1950). Calculo Ddiferencial e Integral . Mexico: grand guil.
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