Apostila 2º ano analise combinatória by sebastiao mota

EEEFM PROFESSORA “HILDA MIRANDA NASCIMENTO”

SEBASTIÃO ALMEIDA MOTA

MATEMÁTICA

ANALISE COMBINATÓRIA

SERRA-ES

ANALISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é a parte da matemática que se preocupa estudar o número de possibilidades de se realizar um fenômeno. EXEMPLO: 01. De quantos modos possíveis podem ocorrer o resultado de um sorteio da Mega-Sena? 02. Quantos números de telefones fixos são possíveis de ser formados utilizando os prefixos 3341? Essas perguntas são respondidas com a ideia da análise combinatória. NOÇÃO DE FATORIAL Indica-se n! = fatorial de n n! = n(n – 1).(n – 2).(n – 3) . . . 3. 2. 1, para n ≥ 2. Se n = 1, 1! = 1 Se n = 0, 0! = 1 n! = n(n – 1)!, n ϵ IN* EXEMPLOS: a) 4! =

c) 2! + 3! =

e) 10 . 4! =

b) 5! =

d) 0! + 1! =

10! 7!

11!  9! 10!

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Efetue: a) 6! b) 3! – 2! c)

8! 6!

9! 10! 7! e) 5!.2! 3! 4! f)  4! 5! d)

h) 17!  17.16! i)

101!  99! 99!

02. Resolva as seguintes equações: a) (n+2)! = 6 . n! 03. Simplifique: (n  2)! a) (n  1)!

b) n! = 120

n!  42 (n  2)!

(n  1)! n! n! 1

Princípio Fundamental da Contagem. Considere a seguinte situação. Quatro pessoas participam de uma corrida. Quantos resultados diferentes podemos ter para 1º, 2º e 3º lugares? Vamos considerar que os corredores são A, B, C e D. Nessa corrida podemos ter qualquer um dos corredores com chance de chegar em 1º lugar, após a chegada do primeiro, qualquer um dos três restantes pode ser o segundo e assim sucessivamente. Podemos então esquematizar a situação utilizando um gráfico conhecido como diagrama da árvore ou árvore de possibilidades. Do diagrama podemos concluir que nessa corrida podemos ter 24 resultados diferentes. O mesmo problema poderia ter sido resolvido utilizando a seguinte ideia: Como são três posições no pódio a serem ocupadas, podemos realizar o produto de três números, onde cada número representa o número de possibilidades para cada posição. Desta forma, temos:

Esse processo é conhecido como princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem.

DEFINIÇÃO: Se um evento E é composto pelas etapas E1, E2, E3, ..., En. E cada etapa pode ocorrer de n1, n2, n3, ..., nn modos, respectivamente, então esse evento pode ocorrer de n1.n2.n3. ... .nn maneiras distintas. Obs.: distintas = diferentes EXEMPLOS: 01. João possui 5 camisas diferentes e 4 calças diferentes. De quantos modos distintos ela pode se vestir? Observe que essa moça terá que fazer duas escolhas diferentes. A primeira escolha é para a blusa e a segunda escolha é para a saia, portanto podemos dizer que o problema é composto de duas etapas, pois cada escolha diferente corresponde a uma etapa diferente, assim: 5 x 4 = 20

Essa moça poderá se vestir de 20 maneiras diferentes.

02 Existem duas estradas que ligam as cidades A e B e 3 estradas que ligam B e C. De quantas formas distintas é possível ir de A até C passando por B? Considere o seguinte esquema abaixo.

Observe que, para ir de A para B a pessoa terá que optar por uma das estradas que as ligam, após executada a primeira fase ele terá que escolher uma dentre as três que ligam B a C. A pessoa terá que fazer duas escolhas diferentes, portanto podemos dizer que o problema tem duas etapas, sendo assim: 2x3=6

maneiras diferentes de fazer a viagem.

03. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 04. Uma prova é composta de 8 questões do tipo verdadeiro (v) ou falso (F). de quantas maneiras distintas ela pode ser respondida? 3

05. a seleção brasileira de futebol irá disputar um torneio internacional com outras cinco seleções, no sistema “todos jogam contra todos uma única vez” quais as possíveis sequencias de resultados – vitória (V), empate (E) e derrota (D) – da equipe brasileira nesse torneio? 06. Considerando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, e 6, responda: a) Quantos números de três algarismos podem formar? b) Quantos números impares de três algarismos distintos podem ser formados?

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Um quiosque de praia na Bahia lançou a seguinte promoção durante uma temporada de verão: “combinado de Sanduiche natural e suco a R$ 5,00”. Para esse combinado, há quatro opções de sanduiche (frango, atum, vegetariano e queijo branco) e três opções de suco (laranja, uva e morango). De quantas formas distintas uma pessoa pode escolher o seu combinado? Quais são as possíveis combinações? 02. Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Quais são as sequências possíveis de faces obtidas nesses lançamentos? 03. Um dado com 6 faces numerado de 1 a 6 e uma moeda com cara (C) e coroa (K) são lançados simultaneamente e se observa as faces voltadas para cima. Descreva as possíveis combinações e numero total delas? 04. Num restaurante há 2 tipos de salada , 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesas. Quantas possibilidades temos para fazer uma refeição contendo 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa ? a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 28 05. Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, responda: a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? 06. De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meias e 2 pares de sapatos? a) 60 b) 45 c) 85 d) 480 e) 598 4

07. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever cujo algarismo das centenas é múltiplo de 3 (diferente de zero) , o das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades é múltiplo de 5 ? a) 5 b) 7 c) 9 d) 12 e) 15 08. Existem 4 vias de locomoção de uma cidade A para uma idade B e 5 vias de locomoção da cidade B para a cidade C. De quantas maneiras pode-se ir de A a C passando por B? a) 2 b) 3 c) 20 d) 15 e) 68 09. Ao lançarmos sucessivamente possibilidades de resultado? a) 6 b) 8 c) 16

moedas, d) 10

quantas

são

e) 32

10. A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de Presidente, Secretário e Tesoureiro. De quantas maneiras possíveis podemos formar, com os 10 membros, chapas contendo Presidente, Secretário e Tesoureiro? a) 165 b) 720 c) 580 d) 690 e) 1000 11. Numa cidade, os números de telefone são formados por 9 algarismos sendo que os 5 primeiros correspondem ao prefixo de uma estação telefônica: Pergunta-se: Quantos números de telefones existem com o prefixo 99258? a) 9999 b) 100 c) 10 000 d) 9 000 e) 5849 12. No Estado Pará, as placas dos automóveis têm três letras seguidas de quatro algarismos, Assim sendo, determine o número de placas que começam por BTC e não tem algarismos repetidos. a) 1021 b) 1589 c) 2540 d) 3059 e) 5040 13. (CESPE-DF) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de uma xícara de café, um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar. Há três tipos de sanduíche e quatro tipos de biscoitos. Considerando que um empregado faça um lanche completo usando apenas uma de cada opção oferecida, o número possível de maneiras diferentes de ele compor a seu lanche é: a) menor que 13. b) maior que 13 e menor que 17. c) maior que 17 e menor que 20. d) maior que 20 e menor que 23. e) maior que 23. 5

14. (FGV) Uma pessoa vai retirar dinheiro de um caixa eletrônico de um banco, mas, na hora de digitar a senha, esquece o número. Lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é: a) 1680 b) 1344 c) 720 d) 224 e) 136 15. (EAESP-FGV-SP) As placas de automóveis constam de duas letras e quatro algarismos. O número de placas que podem ser fabricadas com as letras P, Q e R e os algarismos 0, 1, 7 e 8 é: a) 2412 b) 2304 c) 254 d) 216 e)1536 16. (Ceeteps-SP) Para proteger certo arquivo de computador, um usuário deseja criar uma senha constituída por uma sequência de 5 letras distintas, sendo as duas primeiras consoantes e as três últimas vogais. Havendo no teclado 21 consoantes e 5 vogais, o número de senhas distintas do tipo descrito, é: a) 25 200 b) 13 172 c) 5 040 d) 3 125 e) 21 17. Para ir à praia, Sílvia pretende colocar um biquíni e uma canga. Sabendo que ele possui cinco biquínis diferentes e três modelos de canga, determine o numero de maneiras distintas de Sílvia se vestir. 18. Em um teste vocacional, um jovem deve responder a doze questões, assinalado, em cada uma, uma única alternativa, escolhida entre sim, não e as vezes. De quantas formas distintas o teste poderá ser respondido? 19. Responda: a) Quantos números de cinco algarismos existem? b) Quantos números impares de cinco algarismos existem? 20. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando: a) apenas os algarismos 5, 6 e 7? b) apenas os algarismos ímpares? c) Apenas os algarismos pares? d) algarismos pares e ímpares intercalados?

AGRUPAMENTOS SIMPLES  PERMUTAÇÃO Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, Isto é: Pn= n!, ou seja n! = n.(n-1 ).(n-2 )....(n- n)! EXEMPLOS: 01. Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 8? Queremos formar números (agrupamentos) de 5 algarismos com os 5 algarismos dados (1, 3, 5, 7 e 8). P5 = 5.4.3.2.1 = 120 Podem ser formados 120 números. 02. Quantos anagramas tem a palavra MITO? Um anagrama é qualquer ordenação (sequência) das letras de uma palavra. Como a palavra MITO tem 4 letras, vamos formar anagramas de 4 letras com M, I, T e O. Assim, temos: P4 = 4.3.2.1 =24 A palavra MITO tem 24 anagramas. 03. Giba e Gina têm três filhos: Carla, Luís e Daniel. A família quer tirar uma foto de recordação de uma viagem na qual todos apareçam lado a lado. a) De quantas formas distintas os membros da família podem se distribuir? b) Em quantas possibilidades o casal aparece lado a lado?

 PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: Pna!b!c! 

n! a!.b!.c!..!

EXEMPLOS: 01. Quantos anagramas tem a palavra NATÁLIA? A palavra NATÁLIA tem 7 letras, sendo que 3 são iguais a A, portanto, 7! 7.6.5.4.3! P73    840 anagramas. 3! 3! 02. Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA. Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: N=10, A=2, B=3 e C=2. 10! P102!.3!.2!   2!.3!.2! Resposta: 151 200 anagramas. EXERCICIOS PROPOSTOS 01. Determine o número de anagramas formados a partir de: a) LUA c) ESCOLA b) GATO d) FESTA 02. Um dado foi lançado quatro vezes sucessivamente e as faces obtidas foram 2, 3, 5 e 6, não necessariamente nesta ordem. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido a sequência de resultados? 03. Calcule: a) P5

b) P7

c) P3 + P2

04. Determine o número de anagramas formados a partir de: a) MORANGO e) ACADEMIA b) MARROCOS f) CASCAVEL c) OURO g) SOSSEGADA d) PANAMÁ h) COPACABANA 05. Permutando os algarismos 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3,e 4, quantos números de 10 algarismos podemos formar? 06. Quanto aos anagramas da palavra SIMULADO, calcule: a) o número total deles; b) o número dos terminam em O? c) o número dos que começam por SI ? 8

07. (Fuvest-SP) O numero de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a) 24 b) 48 c)96 d)120 e)144 08. (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam com S e terminam com O? a) 7! b) 5! c) 30 d) 60 e)90 09. Para facilitar seus clientes, uma empresa utiliza 5 dígitos. Os algarismos utilizados são 1, 2, 3, 4 e 5 (não é permitido repetir algarismo no mesmo código). 1 3 5 4 2 Exemplo: Determine o número de códigos possíveis. 10. Considerando os anagramas CONQUISTA, responda: a) Quantos são?

formados

partir

palavra

b) quantos começam por vogal? c) quantos começam e terminam por consoante? d) quantos têm as letras COM juntas e nessa ordem? 11. Considerando os anagramas da palavra BRASIL, responda: a) quantos começam por B? b) quantos começam por B e terminam por L. c) quantos começam por B ou terminam por L. 12. Um casal tem três meninos e duas meninas. De quantos modos distintos pode ter ocorrido a ordem dos nascimentos das crianças? 13. Um inspetor visita 6 maquinas diferentes durante o dia. A fim de evitar que os operários saibam quanto ele os ira inspecionar, o inspetor varia a ordem de suas visitas. Estas visitas poderão ser feitas em: a) 6 diferentes ordens. d) 365 diferentes ordens. b) 12 diferentes ordens. e) 720 diferentes ordens. c) 36 diferentes ordens. 9

 ARRANJO Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de p elementos, a todo agrupamento de p elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados p a p por An, p, teremos a seguinte fórmula: n! An, p  (n  p)! EX 01.: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverão fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? Faz-se necessário agrupar 3 elementos de um grupo de 10 (número de algarismos do sistema de numeração decimal). Perceba que ao tratarmos de um código a ordem em que os números aparecem é importante. 10! A10,3   (10  3)! EX 02.: Quantos números de três algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7? Temos um total de seis algarismos (1, 2, 3, 4, 5 e 7) e os números (agrupamentos e sequências) que queremos formar devem ter três algarismos distintos. EX: 123; 321; 145; 154;..... Observe que invertendo-se a ordem desses algarismos obtemos novos números, isto é, a ordem em que os números são arrumados no agrupamento faz diferença. Portanto, o problema é de arranjo. 6! A6,3   (6  3)! Logo, podemos formar 120 números.  COMBINAÇÃO Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. É importante observar que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. 10

Representando por Cn,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p , temos a seguinte fórmula: n! C n, p  p!.(n  p)! EX 01.: Uma prova consta de 6 questões das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões ? Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes. Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante, uma vez que, ao resolver a 1ª, a 2ª e a 3ª questão é o mesmo que resolver a 2ª, a 3º e a 1ª, portanto é um problema de combinação. 6! C 6, 3   3!.(6  3)! Logo, um alunos pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes. EX 02.: Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e duas alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno x e não participa a aluna y. A comissão deve ter 6 pessoas: 4 alunos e 2 alunas. Devemos escolher:  3 alunos entre os 9 restantes: C9, 3  2 alunos entre os 4 restantes: C4, 2 A escolha dos alunos pode ser efetuada de C9, 3 maneiras e a escolha das alunas, de C4, 2. Então, pelo princípio fundamental da contagem, o número de comissões é dado por: 9! 4! C9,3 . C4, 2   3!.(9  3)! 2!(4  2)! Serão 504 comissões. EX 03.: Diferença entre os tipos de agrupamentos: Arranjos e Combinação Considere o seguinte problema. Nos jogos Pan Americanos de 2007, no Rio de Janeiro, as quatro seleções semifinalistas do voleibol masculino foram Brasil, Estados Unidos, Venezuela e Cuba. A competição foi vencida pela seleção brasileira, mas de quantas maneiras distintas poderia ter sido definido o pódio (ouro, prata e bronze). Cada maneira possível de se formar um pódio é uma sequência ordenada de três seleções escolhidas entre as quatro semifinalistas. 11

Observe que: (Brasil, EUA e Cuba) ≠ (EUA, Brasil e Cuba) A quantidade de resultados possíveis é? Observe que no problema acima, embora o pódio seja formado pelas mesmas equipes, os grupos diferem pela ordem (colocações). Esse tipo de problema é resolvido pela ideia de arranjo. 4! A4,3   (4  3)! Considere outro problema. De quantos modos distintos João pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Mosqueiro? Suponha que João escolha as camisas a, b, c e d. Veja que (a, b, c e d) = (a, c, d, b), pois não importa em que ordem João escolhe as camisas que vai levar, o que importa é que as camisas escolhidas são as mesmas na primeira e na segunda situação. Problemas como esse são resolvidos com a ideia de Combinação. 9! C 9, 4   4!.(9  4)!

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Classifique os agrupamentos sugeridos a seguir como arranjo ou combinação: a) Escolher seis dos sessenta números para uma aposta na Mega-Sena. b) As possíveis classificações dos quatro primeiros colocados no Campeonato Brasileiro de Futebol. c) Eleger uma comissão de dois alunos para representantes de sala de aula, em que ambos terão o mesmo cargo. d) Formar um número de telefone com oito números distintos. e) Eleger uma comissão de dois alunos em que um será o porta-voz da classe e o outro será o secretário. f) Escolher três vértices de um cubo para formamos triângulos. 02. Florêncio pretende visitar três museus quando chegar a Londres. De quantas formas distintas ele poderá fazer essa escolha, se no guia turístico de Londres constam 8 museus. 03. Para ocupar os cargos de líder de turma e vice-líder de uma turma do segundo ano da Escola Hilda Miranda Nascimento candidatam-se 10 alunos. De quantas maneiras distintas pode ser feita essa escolha? 12

04. Calcule: a) A7, 3

b) A11, 2

c) A5, 1

d) A5, 5

05. Calcule: a) C11, 3 =

b) C6, 3

c) C5, 1

d) C4, 4

06. Dado o conjunto das vogais V = {a, e, i, o, u}, determine a quantidade de arranjos que podemos formar com três elementos de V. 07. A senha de um cartão magnético bancário, usado para transações, é uma sequencia de duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguida por uma sequencia de três algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas? 08. Em uma classe de 30 alunos pretende-se formar uma comissão de três alunos para representação discente no colégio. Quantas comissões distintas podem ser formadas? 09. Em uma academia trabalham sete professores de musculação e dez de ginástica aeróbica. Quantas equipes de dois professores de musculação e dois de ginástica aeróbica podem ser formadas? 10. Sobre uma circunferência marcam-se oito pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices em três desses pontos? 11. A senha de acesso a uma rede de computadores é formada por uma sequência de quatro letras distintas seguida por dois algarismos distintos: a) Quantas são as possíveis senhas de acesso? b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5? 12. Responda: a) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados dispondo-se dos algarismos de 1 a 9? (Use o PFC.) b) Quantos números de três algarismos podem ser formados dispondo-se dos algarismos de 1 a 9? (Use o PFC.) c) Um estudante usou a fórmula do arranjo para resolver os dois itens anteriores. comente o procedimento usado pelo estudante. 13. Resolva a equação: An, 2 = 110. 13

14. De quantos modos distintos Lucas pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem? 15. Para eleição do corpo dirigente de uma empresa, oito pessoas são pré-selecionadas. De quantas maneiras distintas poderão ser escolhidos presidente, vice-presidente e diretor financeiro? 16. Um curso de idioma oferece turmas para iniciantes em inglês, espanhol, alemão, italiano e japonês. a) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três desses cursos? b) De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três desses cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês? 17. Sobre uma circunferência marcam-se dez pontos. a) Qual é o número de segmentos de reta que podemos traçar com extremes em dois desses pontos? b) Quantos triângulos podemos construir com vértices em três desses pontos? 18. (PUC-RS) Em uma maratona de 42 Km, 10 atletas disputam os 3 primeiros lugares. Não acontecendo empates, o numero de resultados possíveis para as três primeiras colocações é: a) 27 b) 30 c) 42 d) 120 e) 720 19. Um sorveteiro vende sorvete de três bolas, de sabores escolhidos dentre os de açaí, cupuaçu, manga, acerola, goiaba, bacuri e muruci. Calcule o número de possibilidades de escolha de três sabores distintos que deve compor um sorvete, de modo que uma das bolas seja, necessariamente de bacuri. 20. Uma sala de aula tem 18 meninas e 14 meninos. De quantas maneiras o professor pode formar grupos de 5 alunos, seno 3 meninas e 2 meninos? 21. Resolva a equação: Cn, 2 = 136. 22. Em uma reunião havia 50 pessoas. Cada uma cumprimentou as outras com um aperto de mão. Quantas saudações foram dadas nessa reunião? 14

23. Um baralho comum possui 52 cartas, 13 de cada naipe – ouros, paus, espadas e copas - , e cada naipe contém 13 cartas – ás (A), 2, 3, 4, ... 10, valete (J), dama (Q) e rei (K). Sorteando-se simultaneamente quatro cartas, determine: a) o número de maneiras distintas de ocorrer o resultado do sorteio. b) de quantas formas distintas é possível escolher as quatro cartas de copas. 24. Duas cartas são sorteadas, de uma só vez, de um baralho comum. Determine o numero de maneiras possíveis de ocorrer um resultado formado por: a) um rei e uma rainha; b) duas cartas de copas; c) uma carta de copas e outra de ouros. 25. De quantas formas distintas poderão ser sorteadas simultaneamente cinco cartas de um baralho de modo que o resultado do sorteio contenha: a) três cartas de paus e duas de espadas? b) o rei de ouros? c) exatamente dois valetes? 26. O volante da Mega-sena contém 60 números, de 1 a 60. O resultado de um sorteio da Mega-Sena é formado por seis números sorteados entre os sessenta. a) de quantos modos distintos pode ocorrer o resultado de um sorteio? b) quantos resultados formados por 4 números pares e 2 números ímpares são possíveis? c) quantos resultados contendo o número 1 são possíveis?

EXERCÍCIOS DE REVISÃO 01. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, podemos formar quantos números de quatro algarismos? 02. Para acessar sua conta bancaria via internet, uma pessoa tem de cadastrar uma senha composta por 5 caracteres distintos, dentre 32 disponíveis. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode cadastrar a senha? 15

03. (EN-RJ) Entre os dez melhores alunos que frequentam o grêmio de informática da Escola Naval, será escolhido um diretor, um tesoureiro e um secretário. O número de maneiras diferentes que podem ser feitas as escolhas é: a) 720 b) 480 c) 360 d) 120 e) 60 04. Quantos anagramas da palavra PROBLEMA: a) começam por R? b) começam por vogal? c) começam por P e terminam por M? d) terminam por consoante? e) começam por P ou terminam por M? 05. Em um curso de espanhol estudam 20 alunos, sendo 12 rapazes e 8 moças. O professor quer formar uma equipe de 4 alunos para intercâmbio em outro país. Quantas equipes de dois rapazes e duas moças podem ser formadas? 06. O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? 07. (ITA - SP) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 0, 1, 3, 5, 6, 8 e 9? a) 60 b) 80 c) 120 d) 180 d) 240 08. (Faap-SP) Em um campeonato de dois turnos em que devem jogar 12 equipes de futebol, qual o numero total de jogos a serem realizados? 09. (CEFET - PR ) Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba tem 7 algarismos cujo primeiro digito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é: a) 1 000 000 c) 3 000 000 e) 7 000 000 b) 2 000 000 d) 6 000 000 10. Para cadastrar seus clientes, uma empresa utiliza 5 dígitos. Os algarismos utilizados são 2, 3, 4, 5 e 6 (não e permitido repetir algarismos no mesmo código). Determine o numero de códigos possíveis. a) 120 b) 125 c) 625 d) 1 280 e) 3 125 11. Para ocupar o cargo de presidente e vice presidente do grêmio de um colégio, candidatam-se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha? 16

12. (UFBA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão. Calculem de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se três frutas distintas. a) 30 b) 35 c) 210 d) 5 040 c) n.d.a 13. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverão fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? 14. Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ? a) 52 b) 86 c) 48 d) 32 e) 24 15. (PUC - SP) A quantidade de números de quatro algarismos distintos que, podem se pode formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é: a) 300 b) 340 c) 360 d) 380 e) 400 16. Uma empresa realizou um concurso para preencher 2 vagas de agente administrativo, 3 para técnico em informática, e 1 para serviços gerais. Dos candidatos inscritos, 8 concorreram ao cargo de agente administrativo, 10 ao de técnico em informática e 7 ao de serviços gerais. Qual das alternativas abaixo indica o número de maneiras distintas que estas vagas podem ser preenchidas pelos candidatos? a) 155 b) 20.000 c) 310 d) 23.520 e) 15.500 17. (UFSC) Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições apresentadas? a) 12 b) 30 c) 6 d) 24 e) 18 18. (CEFET - PR) Dentre as permutações das letras da palavra triângulo, o número das que começam por vogal é: a) P9 b) P8 c) 2 . P8 d) 4 . P8 e)4 . P7 19. (CEFET - PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é: a) 12 b) 36 c) 48 d) 60 e) 72 20. (UFSC) Quantos anagramas da palavra PALCO podemos formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas ? a) 48 b) 24 c) 96 d) 120 e) 36 17

21. (CEFET - PR) O número de anagramas de 6 letras que podemos formar com as letras da palavra PEDRAS, começando e terminando com uma letra que represente consoante, é: a) 72 b) 480 c) 192 d) 432 e) 288 22. Calcule a soma dos números que se pode formar permutando aos algarismos 5, 3, 7 e 2. 23. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice-diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita? 24. (UFC-CE) A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1,2,4,5,7,8 e 9 é: a) 20 b) 60 c) 240 d) 360 e) n.d.a. 25. Quantos são os anagramas das palavras: a) CAFÉ b) ATUAL 26. Quantos anagramas da palavra EDITORA: a) começam por A? b) começam por A e terminam por E? 27. (Faap-SP) quantos anagramas podem ser formados com a palavra VESTIBULAR, em que as 3 letras VES, nesta ordem permaneçam juntas? 28. Encontre quantas maneiras podem ser dispostos 4 damas e 4 cavalheiros numa fila de forma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. 29. (UFRN) A quantidade de número de dois algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 30. Uma empresa distribui um questionário com três perguntas a cada candidato a emprego. Na primeira, o candidato deve declarar sua escolaridade, escolhendo uma das cinco alternativas. Na segunda, deve escolher, com ordem de preferência, três de seis locais onde gostaria de trabalhar. Na última, deve escolher os dois dias da semana em que quer folgar. Quantos questionários pode o examinador encontrar? a) 167 b) 10500 c) 810 d) 12600 e) 8400

31.

(PUC - SP) A expressão

a) n(n  1) b)

1 (n  2)( n  1)

n! é igual a: (n  2)! n c) (n  2)( n  1) 1 d) n

101!  102! 100! c) 100 000 d) 101 !

n n2

32. (FMABC - SP ) Simplifique a) 101 103 b) 102 !

33. Os valores de x que verificam a expressão a) 3 ou -6

b) 6

c) -3 ou 6

e) 10 403

( x  2)!  20 são: x! d) 3 e) -3

34. O conjunto solução da equação (x!) = 36 é: a) { 3, -3 } b) { 6, -6 } c) { 3, 6 } d) { 6 }

e){ 3 }

35. (PUC - PR ) A soma das raízes da equação ( 5x - 7 )! = 1 vale: a) 5 b) 7 c) 12 d) 3 e) 4 36. (PUC - SP) Se ( n - 6 )! = 720 então: a) n = 12 b) n = 11 c) n = 10

d) n = 13

e) n = 14

37. (PUC-MG) O número inteiro positivo que verifica a equação: An,2 = 2 . (n - 1 ) é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 38. Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 12 jogadores, das quais somente Pedro atua como goleiro. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados? a) 792 b) 485 c) 330 d) 110 e) 98 39. Uma organização não governamental de proteção ao meio ambiente possui em seu quadro 8 técnicos do sexo feminino e 8 do sexo masculino. Para sua representação em um encontro internacional, esta organização deverá, com seus técnicos, formar uma equipe de 5 pessoas, sendo 3 homens e 2 mulheres. O número de equipes que podem ser formadas com esses técnicos é: a) 18.806 b) 392 c) 1.568 d) 84 e) 936 19