Valor Absoluto
1. Definición.: El valor absoluto de número
x∈R
a+b
, denotaremos por
, se define por la regla:
x si x ≥ 0 x = - x si x < 0
1. a = -a
2. ab = a b
3. 4.
a a = b b a+b ≤ a + b
5.
(desigualdad triangular) Demostraremos la 5ta. Propiedad, las demás dejamos para el lector.
2
+ 2 ab + b
≤ a
2
+2 a 2
2
b + b
≤( a + b
)
2
2
∴ a+b ≤ a + b
Ejemplo:
a ≥ a, ∀ a
≤ a
a+b
7 = 7, - 7 = 7
a ≥0
= (a + b) 2 = (a + b) 2
= a 2 + 2ab + b 2
x
2. Propiedades del valor absoluto.
2
3. Propiedades básicas para resolver ecuaciones y desigualdades donde intervienen valor absoluto. a
1.
=0
↔
a=0
a = b ↔ [ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)]
2. a = b ↔ a = b ∨ a = −b
3. 4. si b > 0 entonces: a
i) ii)
<b a ≤
↔
b
a
5. i)
>b
-b < a < b ↔ ↔
-b
≤
a
a>b
≤ ∨
b a < -b
Valor Absoluto
a ≥ b ↔a ≥ b∨ a ≤-b
ii) 6. si b > 0. Entonces: 7. si b > 0. Entonces: a = a2
8. i.) a
ii)
2
= a2
a2 < b ↔ − b < a < − b a2 > b ↔ a > b ∨ a < − b