Multiplicaciรณn Y Divisiรณn De Polinomios, Productos Notables, Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una, Dos Y Tres Incรณgnitas, Problemas De Aplicaciรณn De Ecuaciones Y Ecuaciones Cuadrรกticas.
ÍNDICE Introducción---------------------------------------------------------------------------------------01 Justificación----------------------------------------------------------------------------------------02 Multiplicación y división de polinomios-----------------------------------------------------03-08 Productos notables-------------------------------------------------------------------------------09-12 Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita---------------------------------13-16 Problemas de aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita-------------------17-20
Ecuaciones enteras de primer grado con dos incógnitas----------------------------------21 Ecuaciones enteras de primer grado con tres incógnitas--------------------------------22-25 Ecuaciones cuadráticas-------------------------------------------------------------------------26-30 Actividades de auto-aprendizaje-------------------------------------------------------------31-37 Conclusiones--------------------------------------------------------------------------------------38 Propuestas-----------------------------------------------------------------------------------------39 Referencias bibliográficas----------------------------------------------------------------------40
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INTRODUCCIÓN Se explican los conceptos básicos sobre la multiplicación y división de polinomios, productos notables, ecuaciones de primer grado con una, dos y tres incógnitas, problemas de aplicación de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas y cómo encontrar su solución utilizando las leyes o propiedades de la igualdad. Adicionalmente se da un concepto básico sobre la diferencia entre una ecuación y una identidad. Qué es una ecuación, que es una incógnita y cuáles son las diferentes partes de la ecuación El objetivo de hacer este trabajo es ayudar al lector a trabajar con los temas que más adelante encontrara y poder Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado a partir de su discriminante y obtenerlas. Resolver algunas ecuaciones de grado superior a dos (soluciones enteras, bicuadradas). Identificar ecuaciones y sistemas de ecuaciones equivalentes. Identificar ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y escribirlos matricialmente. Analizar y discutir las posibilidades que pueden presentarse al resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y e interpretarlo geométricamente. Analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales con parámetros. Identificar, plantear y resolver problemas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado y especificar las soluciones.
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JUSTIFICACIÓN El motivo por el cual esta esté trabajo es para saber más sobre algebra y sus componentes así poder realizar todo tipo de subtemas que tiene algebra como lo son “multiplicación y división de polinomios, productos notables, ecuaciones enteras de primer grado con una, dos y tres incógnitas, problemas de aplicación de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas” que en las siguientes páginas se encontrara los temas con su respectiva definición esto ayudara a saber cómo realizar todo tipo de ejercicios y poder comprenderlos. Las necesidades que serán satisfechas con estos temas es el estudio del algebra, el saber más acerca de los temas antes mencionado y poder estar satisfecho sabiendo y realizando.
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1. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS MULTIPLICACIÓN Multiplicación: Operación en la que dos expresiones denominadas “multiplicando” y “multiplicador” dan como resultado un “producto”. Al multiplicando y multiplicador se les denomina “factores”.
La multiplicación consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda o primera cantidad Por ejemplo: (9)*(5) = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 o bien
(9)*(5) = 5+5+5+5+5+5+5+5+5 = 45
Elementos De Una Multiplicación
1. FACTORES: Son las cantidades que se multiplican
2. PRODUCTO: Es el resultado de multiplicar los factores.
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PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
Regla de los signos: (+)(+) = + (-)(+) = (+)(-) = -
(-)(-) = +
Para la multiplicación, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:
En la multiplicación de bases iguales, los exponentes se suman:
En la multiplicación de expresiones algebraicas se pueden distinguir tres casos:
Multiplicación de un monomio por un monomio
Multiplicación de un polinomios por un monomio
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
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Multiplicación de un:
Procedimiento:
Ejemplo:
Determinar el signo del producto. Multiplica los coeficientes numéricos. Monomio monomio
Monomio polinomio
Polinomio polinomio
por
por
por
un
un
un
Multiplica las partes literales utilizando las leyes de los exponentes correspondientes
Se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación; es decir se multiplica cada término del polinomio por el monomio.
Cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada uno de los términos del segundo polinomio y después se deben agrupar los términos semejantes, ya que son los que se pueden sumar o restar.
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D I V I S I ÓN División: Operación en la que dos expresiones denominadas “dividendo” y “divisor” dan como resultado un “cociente”. La división se regula por las siguientes leyes de los signos:
Para la división, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes: En la división de bases iguales, los exponentes se restan y si el exponente es cero, recuerda que todo número o expresión elevada a la apotencia cero es igual a la unidad (1) Por ejemplo:
ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN
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Con respecto a la división y en relación con los polinomios distinguiremos tres casos: División de un:
Procedimiento:
Ejemplo:
Determinar el signo del cociente
Monomio entre un Dividir los coeficientes numéricos. monomio Aplicar las leyes de los exponentes correspondientes
Polinomio monomio
Se utiliza la propiedad distributiva de la división, Se divide cada término del entre polinomio entre el monomio y se suman o restan según sea el caso los cocientes obtenidos. Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
Polinomio polinomio
entre Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo. Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos dos y tres hasta que el resultado sea cero o de menor exponente que el divisor.
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2. PRODIUCTOS NOTABLES (Cuadrado de la suma de dos cantidades, cuadrado de la diferencia de dos cantidades, cubo de dos cantidades y producto de la suma por la diferencia de dos términos) Binomio al cuadrado Binomio de suma al cuadrado
Un b i n omi o al cu ad rad o (s um a) es i gual es i gual al cu adr ado d el pri m er t é rm i no, más el dobl e p ro duct o del pri m ero por el s egundo más el cu a drado s e gundo.
(a + b ) 2 = a 2 + 2 · a · b + b 2
(x + 3) 2 = x
2
+ 2 · x ·3 + 3
2
= x
2
+ 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un b i n omi o al cu adrad o (res t a) es i gu al es i gual al cuadrado d el pri m er t é rm i no, men os el dobl e p r oduct o del pri m ero por el s egundo, más el cu a drado s e gundo.
(a − b ) 2 = a 2 − 2 · a · b + b 2
9
(2x − 3) 2 = (2x ) 2 − 2 · 2x · 3 + 3
2
= 4x 2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una
s u ma
p or
d i f eren ci a
es
i gual
a
d if eren ci a
de
cu ad rad os .
(a + b ) · (a − b ) = a 2 − b 2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x ) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Binomio Al Cubo Binomio de suma al cubo
Un bi nom i o al cubo (s um a) es i gual al c ubo del pri m e ro, m á s el t ri pl e del cuadrad o del pri m ero por el s egundo, m ás el t ri p l e del p ri m ero por el cu adr ado del s e gundo, m á s el cubo del s e gund o.
(a + b) 3 = a 3 + 3 · a 2 · b + 3 · a · b 2 + b 3
(x + 3) 3 = x
= x
3
3
+ 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
+ 9x 2 + 27x + 27
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Binomio de resta al cubo
Un bi nom i o al cub o (res t a ) es i gual al cubo del p ri m er o, m enos el t ri pl e del cuad rado d el pri m er o por el s e gundo, m ás el t ri pl e del pri m ero por el cuadrado del s egundo, m enos el cu bo del s egundo.
(a − b) 3 = a 3 − 3 · a 2 · b + 3 · a · b 2 − b 3
(2x - 3) 3 = (2x ) 3 - 3 · (2x ) 2 ·3 + 3 · 2x · 3 2 - 3 3 =
= 8x
3
- 36 x 2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado Un t ri nom i o al cuadr ado es i gual al cu adr ado del pri m ero, m ás el cuadrado d el s e gu no, m ás el cuadrado del t ercero, m ás el dobl e d el p ri m ero p or el s e gundo, m ás e l d obl e del p ri m ero por el t e rcero, m ás el dobl e del s e gundo por el t erc ero. (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c (x 2 − x + 1) 2 = = (x 2 ) 2 + (−x ) 2 + 1 2 +2 · x 2 · (−x ) + 2 x 2 · 1 + 2 · ( −x ) · 1 = = x 4 + x 2 + 1 − 2x 3 + 2x 2 − 2x =
11
= x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 2x + 1
Suma de cubos a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 − ab + b 2 ) 8x 3 + 27 = (2x + 3) (4x 2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b ) · ( a2 + ab + b2) 8x 3 − 27 = (2x − 3) (4x 2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x 2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x 2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x 2 + 5x + 6
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3. ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos
a = b + c.
3x2 = 4x + 15.
Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v. Así,
5x + 2 = 17
es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor x = 3. En efecto, si sustituimos la x por 3, tenemos: 5(3) + 2 = 17, o sea: 17 = 17. Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera. La igualdad y2 – 5y = - 6 es una ecuación porque es una igualdad que solo se verifica para y = 2 e y= 3. En efecto, sustituyendo la y por 2 tenemos: 22 – 5(2) = - 6 4
– 10 = - 6
-
6=-6
Si hacemos y = 3, tenemos: 32 – 5(3) = - 6 9 – 15 = - 6 -6=-6 Si damos a y un valor distinto de 2 o 3, la igualdad no se verifica.
Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. Así,
(a – b)2 = (a – b) (a – b)
a2 - m2 = (a + m) (a – m)
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son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo. El signo de identidad es ≡, que se lee “idéntico a”. Así, la identidad de (x + y)2 con x2 + 2xy + y2 se escribe (x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 y se lee (x + y)2 idéntico a x2 +2xy + y2. Miembros se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha. Así, en la ecuación
3x – 5 = 2x – 3
el primer miembro es 3x – 5 y el segundo miembro 2x – 3. Términos son cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el signo + o -, o la cantidad que está sola en un miembro. Así, en la ecuación
3x – 5 = 2x – 3
Los términos son 3x, - 5, 2x y – 3. No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos de la misma, error muy frecuente en los alumnos. Miembro y término son equivalentes solo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad. Así, en la ecuación
3x = 2x + 3
Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de la ecuación. Despejar consiste en pasar las variables de un lado de la ecuación al otro (preferiblemente el izquierdo) luego hacer la reducción de términos y resolver. Reglas para despejar v Cualquier término de la ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo (muy importante). Sea la ecuación 5x = 2a – b Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste y tendremos: 5x + b = 2a –b + b Y como – b + b = 0, queda
5x + b = 2a
Donde vemos que – b, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada, ha pasado al primer miembro con signo +.
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v Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación, pueden suprimirse. Así, en la ecuación
x + b = 2a + b
Tenemos el termino b con signo + en los dos miembros. Este término puede suprimirse, quedando x = 2a porque equivale a restar b a los dos miembros.
Cambio de signos los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por – 1, con lo cual la igualdad no varía. Así, en la ecuación
- 2x – 3 = x – 15
Multiplicamos ambos miembros por – 1, para lo cual hay que multiplicar por – 1 todos los términos de cada miembro, tendremos: 2x + 3 = - x + 15, Que es la ecuación dada con los signos de todos sus términos cambiados. Regla general v
Se efectúan las operaciones indicadas si las hay.
v Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. v
Se reduce términos semejantes en cada miembro.
v Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
Resolución De Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una Incógnita Ejemplo (1) Resolver la ecuación x + 17 = 21
Se resta 17 a los dos miembros de la igualdad, porque es el numero que se necesita eliminar para que la variable quede sola, y después se efectúan las operaciones. X + 17 – 17 = 21 – 17 X+0=4 X=4
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Por lo tanto, la solución de la ecuación x + 17 = 21, es x = 4, porque es el valor que hace verdadera la igualdad. Verificación La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto. La verificación se realiza sustituyendo en los miembros de la ecuación dada la incógnita por el valor obtenido, y si este es correcto, la ecuación dada se convertirá en identidad. Así, en el caso anterior, haciendo x = 4 en la ecuación dada tenemos: 4 + 17 = 21 21 = 21
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4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma: ax + b = 0 Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.
Solución La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es simpre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobre todo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales. La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable está despejada.
Procedimiento para encontrar la solución Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones inversas.
Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, se multiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.
Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y se obtiene su raiz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece inalterado y la igualdad se mantiene.
Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primer miembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen al segundo miembro.
Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.
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El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =) porque contiene a la variable.
El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable. Esto se hace restando 3 a los dos miembros
El término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =) porque no contiene a la variable.
El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable. Esto se hace sumando x a los dos miembros
Se reducen términos semejantes
2x + 3x = 18
3
-
3
+
x
=
21
-
x
-
3
+
x
El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada la variable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.
(3x)/3 x=6
=
(18)/3
Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Para comprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cada miembro y se verifica la igualdad. 2(6) 12 15 = 15
+
3 +
= 3
21
=
Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.
Un poco más sobre el procedimiento
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(6) 15
En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como "lo que está restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa dividiendo". Es válido considerar que se puede despejar algún elemento de un miembro y pasarlo al otro miembro con la operación inversa, pero es necesario comprender por qué se hace, para evitar errores. En el siguiente ejemplo se illustra lo comentado aquí. Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2. El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer miembro. El término - 4 no contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del primer miembro, esto se hace sumando 4 a ambos miembros. 3x - 4 + 4 = x + 2 + 4 Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación queda: 3x = x + 2 + 4 Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el término - 4 del primer miembro se ha convertido en el término + 4 del segundo miembro. En ese caso podemos decir que "el término que estaba restando ha pasado sumando al otro miembro". Después de reducir términos semejantes la ecuación queda: 3x = x + 6 El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del segundo miembro. Esto se hace restando x a los dos miembros. 3x - x = x + 6 - x Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda: 3x - x = 6 Al comparar esta ecuación con la original, observamos que el término x del segundo miembro se ha convertido en el término - x del primer miembro. En ese caso podemos decir que "el término que estaba sumando ha pasado restando al otro miembro". Después de reducir términos semejantes la ecuación queda: 2x = 6 Para despejar la x del término 2x se debe quitar el 2 de ese término. Esto se hace dividiendo entre 2 a los dos miembros. (2x)/2 = (6)/2 En el primer miembro, el 2 que multiplica a x y el 2 que divide se eliminan porque 2 / 2 = 0. La ecuación queda: x = 6/2
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Al comparar esta ecuación con la anterior, observamos que el 2 de 2x ahora está dividiendo a 6. En ese caso podemos decir que "el término que estaba multiplicando ha pasado dividiendo al otro miembro". Después de realizar la división, la ecuación ha sido solucionada: x=3
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5.ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera: Ax + By = C ; donde (x ; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales. Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o mas incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormete estudiadas. Ejemplo #01 3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuacion debemos tomar en cuanta lo siguiente: Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver: Tomamos como Y= 0 3X + 6(0) = 3 , Dicha multipliación se nos hace 0 y obtenemos 3X = 3
ahora dividimos ambos miembros entre 3
3X / 3 = 3 / 3 X =1 Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando: 3(1) + 6Y = 3 3 + 6Y = 3 -3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos: 6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha division nos da 0 de tal manera que Y = 0/ 6 Y=0 y asi hallamos en valor de Y.
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6. ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS Para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se procede de este método: 1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma y resta) y con ellos se obtiene una ecuación con 2 incógnitas. 2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas. 3) Se vuelve el sistema formado por las ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas. 4) Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita. EJEMPLO: Resolver el sistema. x + 4y – z = 6 (1) 2x + 5y – 7z = -- 9 (2) 3x – 2y + z = 2 (3) Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando la ecuación (1) por 2, se tiene: 2x + 8y – 2z = 12 -- 2x – 5y + 7z = 9 ----------------------3y + 5z = 21 (4) Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3 tenemos: 3x + 12y – 3z = 18 --3x + 2y – z = -- 2 -------------------------14y – 4z = 16 (5) Dividiendo entre 2: 7y – 2z = 8 Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido (4) y (5), y formamos un sistema: 3y + 5z = 21 (4) 7y – 2z = 8 (5)
Resolvemos este sistema. Vamos a eliminar la z multiplicando (4) por 2 y (5) por 5:
22
6y + 10z = 42 35y – 10z = 40 -------------------41y = 82 y=2 Sustituyendo y = 2 en (5) se tiene: 7(2) – 2z = 8 14 – 2z = 8 – 2z = -- 6 z=3 Sustituyendo y = 2, z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene: x + 4(2) – 3 = 6 x=1, y=2, z=3 R. x+8–3=6 x=1
Resolver el sistema. z – 4 + (6x – 19) / 5 = -- y 10 – (x – 2z) / 8 = 2y – 1 4z + 3y = 3x – y Quitando denominadores: 5z – 20 + 6x – 19 = -- 5y 80 – x + 2z = 16y – 8 4z + 3y = 3x – y Transponiendo y reduciendo: 6x + 5y + 5z = 39 (1) – x – 16y + 2z = -- 88 (2) – 3x + 4y + 4z = 0 (3) Vamos a eliminar x. Combinamos (1) y (2) y multiplicamos (2) por 6: 6x + 5y + 5z = 39 –6x – 96y + 12z = -- 528 -------------------------------– 91y + 17z = -- 489 (4) Combinamos (2) y (3). Multiplicando (2) por 3 y cambiándole el sino: 3x + 48y – 6z = 264 – 3x + 4y + 4z = 0 -------------------------52y – 2z = 264
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Dividiendo por 2: 26y – z = 132
(5)
Combinemos (4) y (5): – 91y + 17z = -- 489 26y – z = 132 Multiplicando (4) por 2 y (5) por 7: – 182y + 34z = -- 978 182y – 7z = -------------------------27z = -- 54 z = -- 2 Sustituyendo z = --2 en (5): 26y – (-- 2) = 132 26y + 2 = 132 26y = 130 y=5
(4) (5)
924
Sustituyendo y = 5, z = -- 2 en (3): – 3x + 4(5) + 4(-- 2) = 0 –3x + 20 – 8 =0 – 3x = -- 12 x=4
HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valor de una determinante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus. 1) Resolver por la regla de Sarrus. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos: Ahora trazaremos tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha, como se indica a continuación: Ahora se multiplican entre si los tres números por que pasa cada diagonal. Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Así, en este caso tenemos: -- 6 –12 – 10 +30 +1 – 24 = -- 9 Valor de la determinante dada.
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DETALLE DE LOS PRODUCTOS De izquierda a derecha: 1x2x3=6 (-- 4) x (--1) x (--3) = -- 12
5 x (--2) x 1= -- 10
De derecha a izquierda: (--3) x 2 x 5 = -- 30 cambiándole el signo +30 1 x (--1) x 1 = -- 1 cambiándole el signo +1 3 x (--2) x (--4) = 24 cambiándole el signo –24
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7. ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.
Ejemplo: 9x2 + 6x + 10
a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x
a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10
a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0
a=1
b=2 c=-8
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(x
) (x
)=0
[x ·x = x2]
( x + ) (x - ) = 0 Hay que buscar dos números que multipliquen y den el valor de C y que a la vez sumen y el valor sea igual a B. En este caso, dos números cuyo producto sea -8, y que estos mismos números sumen 2.
(x + 4 ) (x – 2) = 0
4 y –2
4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x+4=0
x–2=0
x+4=0 x=0–4 x = -4
x–2=0 x=0+2 x=2
Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4
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x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 x2 + 2x = 8
[Ya está en su forma donde a = 1.] [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1
=8+1
x2 + 2x + 1 = 9 (
) (
) =9
Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±
x+1= ±3 x = -1 ± 3
[Separar las dos soluciones.]
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x = -1 + 3 x=2
x = -1 – 3 x = -4
Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0
a = 1, b = 2, c = -8
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x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 2
x=4 2 x=2
x = -2 - 6 2
x = -8 2 x=-4
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ACTIVIDADES DE AUTO APRENDIZAJE Multiplicaci贸n y divisi贸n de polinomios
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PRODUCTOS NOTABLES
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ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
1. Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 17 y su producto 72. SOLUCIÓN 1) Hallar dos números consecutivos cuya suma sea 17 y su producto 72.SEA x EL NUMERO y SEA x+1 SU CONSECUTIVO x+(x+1)=17 2x+1=17 2x+1-17=0 2x-16=0 (x)(x+1)=72 x^2+x=72 x^2+x-72=0 x^2+x-72=2x-16 x^2+x-2x-72+16=0x^2-x-56=0
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ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
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ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS
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ECUACIONES CUADRATICAS
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CONCLUSIONES
1. Como resultado de la investigación estadística presentada anteriormente, es posible concluir que existe una relación bastante agradable entre los temas de algebra que son multiplicación y división de polinomios, productos notables, ecuaciones enteras de primer grado con una, dos y tres incógnitas entre otros.
2. En los niveles de estudio alto nos facilita la comprensión de los temas de ecuaciones e incógnitas ya que analizamos correctamente los temas comprendemos y podemos realizar el proceso que nos piden para poder resolver problemas de aplicaciones de ecuaciones.
3. En conclusión las ecuaciones son temas algebraicos que nos ayudan a realizar problemas y teniendo en cuenta que debemos de saber analizar, leer y poder comprender los problemas para poder realizarlos correctamente.
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PROPUESTAS 1. Profundizar los temas antes vistos para poder ver aún más y comprender correctamente la realización de los ejercicios o problemas que se les asigne.
2. Practicar los ejercicios y comprenderlos para que se nos facilite la realización de ejercicios y así poder saber sobre los subtemas algebraicos.
3. Los temas antes vistos aun contienen más contenido y ejercicios sobre los mismos por lo que recomiendo profundizar más los temas investigar para que podamos saber y así facilitarnos las tareas
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS https://sites.google.com/site/algebracecyteprimero/parcial-i/operacionalgebraica/multiplicacion-y-division-de-polinomios
http://www.ditutor.com/polinomios/productos_notables.html
Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co., ed. Elementos de Álgebra (2a edición). Boston, USA. p. 456. ISBN.
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas104.htm
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