Ma1 Gemensam blädderex by Schildts & Söderströms

Ma1

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

GEMENSAM Tal och talföljder

Schildts & Söderströms www.sets.fi

Finska förlagans titel: Yhteinen tekijä, Lukion matematiikka 1 Redaktör för den finska upplagan: Ville Sipiläinen, Eero Taipalus Bildredaktör: Anita Kokkila Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman, Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe Förlagans layout: Liisa Holm, Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman Illustrationer: Marja Venäläinen

Första upplagan, 2016 © Markku Ekonen, Sanna Hassinen, Paavo Heiskanen, Katariina Hemmo, Päivi Kaakinen, Jorma Tahvanainen, Timo Taskinen och Sanoma Pro Oy © 2016 Leif Österberg och Schildts & Söderströms Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi. Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. ISBN 978-951-52- 3897-9

T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

Matematik 1 Gemensam kurs. Studierna i matematik börjar med en gemensam kurs för både lång och kort matematik. Kursens målsättning är att förstärka och komplettera de kunskaper och färdigheter som behövs för att studera matematik i gymnasiet. Målsättningen med denna lärobok är att den studerande ska upptäcka nyttan av matematiken i sina studier, arbetslivet och samhället. Bokens uppbyggnad. Varje avsnitt börjar med en ”Vi undersöker” uppgift där den studerande ska ledas in på det ämne som ska studeras och också själv finna ny kunskap. Vi motiverar den teoretiska kunskapen och samlar den till en klar helhet. Exempel visar sedan hur den teoretiska kunskapen kan användas i olika tillämpningar. Teorin och exemplen är skrivna så att den studerande kan tillgodogöra sig kunskapen på egen hand, så därför stöder boken också individuell inlärning och flipped classroom. EXEMPEL 1

✗

I boken finns utsatt typexempel som är avsedda för att räknas utan räknare.

EXEMPEL 2

Speciellt i tillämpade uppgifter övar vi på att använda räknaren. Med räknare avses i denna bok också program för symboliskt räknande och andra tekniska hjälpmedel.

EXEMPEL 3

Fördjupande typexempel är i boken utmärkta med grön färg.

Uppgifterna följer samma ordningsföljd som typexemplen.

Hänvisningarna till typexemplen hjälper dig när du ska öva.

Uppgifter som är tänkta att räknas utan räknare är utmärk3.

4. Fördjupningsuppgifter är utmärkta med grönfärgad botten

ta med blåfärgad botten.

och de är avsedda för att förstärka färdigheterna att lösa uppgifter samt erbjuda utmaningar.

Repetition. Repetitionsuppgifterna är indelade i tre serier: I flervalsuppgifterna säkerställer du att du lärt dig de centrala begreppen och att du behärskar grundfärdigheterna. I övningsserie A övar du grundfärdigheter utan räknare. I övningsserie B löser du tillämpade uppgifter med hjälp av tekniska hjälpmedel. Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier. Vasa 30.3.2016 Författarna

F Ö R FAT TA R N A

INNEHÅLL Till vad behöver du matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Matematik öppnar dörrar till fortsatta studier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Matematik behövs i olika yrken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Tiopotensform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Definition av potens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1 Tal och räkneoperationer . . 9 1.1 Heltal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Räkneregler för potenser . . . 52 Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Talmängder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Exponentialekvationer . . . . . . . 61

Räkneoperationer med heltal . . . . . . . . 13

Exponentialekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.2 Reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Talmängder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Räkneoperationer med bråk . . . . . . . . . . 22

3 Procenträkning . . . . . . . . . . . . . . . 73

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.3 Ekvationer och olikheter . . . 30

Grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ekvationer av första graden . . . . . . . . . . . 31

Förändrings- och jämförelseprocent . . 78

Olikheter av första graden . . . . . . . . . . . . . 34

Procentenhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Ekvationer och olikheter på räknaren 36 Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Procentuell förändring . . . . . . . 85 Beräkning av det förändrade värdet . . 85 Procentekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

INNEHÅLL

4 Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1 Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3 Aritmetisk talföljd . . . . . . . . . . . . . 154 Den allmänna termen i en aritmetisk talföljd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Begreppet funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Funktionens nollställen . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Funktioner i tillämpningar . . . . . . . . . . . . . 104

5.4 Aritmetisk summa . . . . . . . . . . . . . 165

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2 Funktionens graf . . . . . . . . . . . . . . . 110

Att beräkna en summa . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Hur man betecknar en summa . . . . . . . . 170

Funktionens graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Funktionens tecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Att rita en graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.5 Geometrisk talföljd . . . . . . . . . . . . 178

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 Talföljder och summor . . . . . 129 5.1 Talföljd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Den allmänna termen i en geometrisk talföljd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 En geometrisk talföljd med räknaren . 181 Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Talföljdens allmänna term . . . . . . . . . . . . . 131

5.6 Geometrisk summa . . . . . . . . . . . 191

En talföljd på räknaren . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Att beräkna en summa . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.2 Rekursiv talföljd . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Rekursionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 En rekursiv talföljd med räknaren . . . . 147 Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Flervalsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Uppgiftsserie A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Uppgiftsserie B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Facit till uppgifterna . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Sakregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 INNEHÅLL

Till vad behöver du matematik? Matematik öppnar dörren till fortsatta studier Studierna i matematik i gymnasiet börjar med en gemensam kurs, efter vilken du kan välja den korta eller den långa lärokursen.

Gemensam kurs

1. Tal och talföljder

Korta matematikens obligatoriska kurser

Långa matematikens obligatoriska kurser

2. Uttryck och ekvationer

2. Polynomfunktioner och polynomekvationer

3. Geometri

4. Matematiska modeller

4. Vektorer

5. Statistik och sannolikhet

5. Analytisk geometri

6. Ekonomisk matematik

6. Derivatan 7. Trigonometriska funktioner 8. Rot- och logaritmfunktioner 9. Integralkalkyl 10. Sannolikhet och statistik

Korta matematikens fördjupade kurser

Långa matematikens fördjupade kurser

7. Matematisk analys

11. Talteori och bevis

8. Statistik och sannolikhet II

12. Algoritmer i matematiken 13. Fortsättningskurs i differential- och integralkalkyl

T I L L VA D B E H Ö V E R D U M AT E M AT I K ?

När du väljer om du ska fortsätta med kort eller lång lärokurs, så är det bra om du redan då funderar på inom vilket område du kommer att fortsätta studera efter gymnasiet. Matematikstudier i gymnasiet öppnar dörrar till fortsatta studier på tre sätt. 1. I universitetens och yrkeshögskolornas studerandeurval kan du få poäng för studier i lång eller kort matematik i gymnasiet samt för studentexamensprovet i matematik. 2. Färdigheter i matematik behövs i inträdesförhören till många utbildningsprogram. Sådana är bland annat handelsvetenskaper, naturvetenskaper, medicin, psykologi och teknik.

3. Man studerar matematik i utbildningsprogramen i handelsvetenskaper, naturvetenskaper, matematik, teknik och statistik men matematik behövs också på många andra områden. Bland annat i psykologi, pedagogik och samhällsvetenskaper är statistiska forskningsmetoder viktiga och i dessa utbildningsprogram studerar man statistisk matematik. I yrkeshögskolornas utbildningsprogam för trafik, teknik och tradenom behöver man färdigheter i tillämpad matematik. Nästan alla utbildningsprogram innehåller i viss mån studier i matematik.

Du får exaktare uppgifter från utbildningsprogrammens hemsidor, lärare i de ifrågavarande ämnena och studiehandledare.

Matematik behövs i olika yrken Vi frågade personer som verkar inom olika yrken om de behöver matematik i sitt arbete.

Anna, verksamhetsdirektör

ag har socionomexamen från en yrkeshögsko la och dessutom har jag avlagt en magisters examen i hälsokunskap. Jag är verksam inom den kommunala sektorn som direktör för ett verksam hetsområde. Jag behöver matematik när jag gör budgeter och bokslut, vid uppföljningar av budge ten samt vid konkurrensutsättningar och anskaff ningar.

Jan, marknadsföringschef

ag har avlagt diplomingenjörsexamen vid Tek niska högskolan där min ämneskombination var kommunikationsteknik samt planering av sys tem för växelverkan mellan människan och maski nen. Jag är marknadsföringschef i ett företag som skolar företagsledare och sakkunniga. Jag tror att mina matematikstudier har utvecklat en förmåga för systematiskt tänkande, vilket inte är typiskt för

T I L L VA D B E H Ö V E R D U M AT E M AT I K ?

en person som arbetar inom marknadsföring. Min naturvetarbakgrund är på så sätt en konkurrensför del eller åtminstone en faktor som skiljer mig från andra på arbetsmarknaden.

Juhani, egen företagare, frilansare, talare

ag har avlagt en diplomingenjörsexamen vid Tekniska högskolan i programmet för undersök ning av informationsnätverk. Jag är grundare och operativ chef för ett startup-företag. Vi gör tillämp ningar, med vilka man kan beställa mat hem eller för att ta med från mer än 200 restauranger. I mitt arbete använder jag matematik när jag gör model ler för hur mycket pengar det kommer att gå åt till det ena eller det andra, hur många personer vi har råd att anställa eller hur mycket pengar som går åt till Ubertransporter under ett år. Jag funderar ock så på människorelationer: om jag har varit på så här många dejtar och jag har träffat en verkligt intres sant människa, så på hur många dejtar måste jag gå för att ha träffat fem verkligt intressanta människor? (Okej, det här sista var en vits)

Markus, servicechef inom den privata social- och hälsovårdsektorn

in skolning är magistersexamen i handels kunskap. Mina huvudämnen under mina stu dier vid Åbo Handelshögskola var ledarskap och organisationsutveckling. I mitt arbete ansvarar jag för hela verksamheten i ett medelstort företag. Jag använder matematik nästan dagligen i mitt arbete när jag ska beräkna lönsamheten i olika företags funktioner.

Tanja, applikationssakkunnig

ag studerade statistik vid Åbo Akademi. Min yrkestitel är applikationssakkunnig, men på grund av min skolning så får jag gå djupare än att bara använda program, bland annat sätta mig in i hur det statistiska materialet behandlas och ana lyseras. Siffror, observationsmatriser, formler och statistiska metoder spelar en stor roll i mitt arbe te. Man kan verkligen säga att matematik är ett av mina arbetsverktyg.

Mikael, förman för tågservitörer

Tia, marknadsföringskoordinator

ag har en restonomexamen från en yrkeshög skola. Jag behöver matematik i mitt vardagliga arbete med kassan och när jag ska redovisa dags kassan i slutet av dagen. I min förmanställning använder jag matematik när jag ska göra budge ter, beräkna karaktäristikor och följa upp budgeten.

ag har en examen i handel och administration från en yrkeshögskola. Matematiken har en vik tig roll inom många stödfunktioner för försäljning en till exempel när jag ska prissätta tjänster eller göra beräkningar om lönsamheten i olika säljavtal. Inom marknadsföringen behöver jag matematiken nästan dagligen till exempel när jag ska fundera på ökningen av den elektriska korrespondensen i för hållande till föregående månad. Sannolikhetskal kylen behöver jag när jag ska besluta antalet pri ser som vi ska ta med till lyckohjulet på en mässa.

Sanna, sjukskötare

ag har en sjukskötarexamen från en yrkeshög skola. I mina läkemedelsberäkningar måste jag ändra enheter, använda decimaltal, räkna procen ter och lösa proportionalitetsekvationer. Till exem pel: En patient ska ha en medicindos på 280 mg. Medicinhalten i ett läkemedel är 35 mg/ml. Sjuk skötaren ska då räkna ut hur många milliliter av läkemedlet som ska ges åt patienten. Dessutom behöver jag i mitt arbete som sjukskötare en för måga att tänka logiskt också i andra sammanhang än när jag ska göra uträkningar.

Samuel, gymnasierektor, lärare i modersmål och litteratur

Ville, läkare

ag har en läkarexamen från Helsingfors univer sitet. Matematisk förståelse är ett måste för att kunna tolka och kritiskt bedöma till exempel medi cinska publikationer och de forskningsresultat som presenteras i dessa. Dessutom är sannolikheter och logik kontinuerligt i bakbrunden när jag gör medi cinska vårdbeslut.

om huvudämne studerade jag det svenska språket vid Åbo Akademi. Som biämnen stu derade jag inhemsk litteratur och historia. Mate matiken behöver jag nästan dagligen i mitt arbe te. Till rektorns arbetsuppgifter hör att sköta eko nomin och i detta arbete behöver jag matematik. För att göra arbetsscheman och läsårets scheman krävs också matematiskt tänkande och logisk slut ledningsförmåga. Nästan varje arbetsdag har jag att göra med siffror på ett eller annat sätt och det är egentligen ganska trevligt. 8

T I L L VA D B E H Ö V E R D U M AT E M AT I K ?

TAL OCH RÄKNEOPERATIONER

Vad är heltal, rationella tal och reella tal? Hur räknar vi med dem? Och hur löser man en första gradens ekvation? I detta avsnitt kompletterar vi de grundkunskaper som behövs i studier i matematik.

1.1 Vi undersöker

Heltal Talen 0, 1, 2, 3, 4, … är naturliga tal och talen … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … är heltal. 1) Vi kan illustrera räkneoperationer med naturliga tal på en tallinje. Figuren nedan illustrerar summan 3 + 1. +1 0

Undersök om a) summan b) differensen av två naturliga tal all tid är ett naturligt tal. Fundera på hur du kan motivera ditt svar.

2) De hela talen kan också placeras på en tallinje. Figuren nedan illustrerar summan –13 + 4. +4 –18 –17 –16 –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2

Illustrera på en tallinje räkneoperationen a) –13 – 4 b) –6 + (–4)

c) –6 – (–4).

Talmängder Studier i matematik börjar alltid med att man räknar antal. Vi illustrerar antal med talen 0, 1, 2, 3, ... . Beteckningen N kommer från de engelska, tyska och franska orden natural number, natürliche Zahl och nombre naturel, naturligt tal.

Naturliga tal

Talen 0, 1, 2, 3, … är naturliga tal. Vi betecknar mängden av naturliga tal med symbolen .  = { 0, 1, 2, 3, … } De grundläggande räkneoperationerna med naturliga tal är addition och multiplikation. De är definierade så att summan m + n och pro dukten m · n av två naturliga tal alltid är ett naturligt tal.

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

Vi betecknar en talmĂ¤ngd genom att rĂ¤kna upp den i en vĂĽgparentes. I mĂ¤ngden { 0, 1, 2, 3, â&#x20AC;Ś } finns oĂ¤ndligt mĂĽnga tal. MĂ¤ngdens minsta tal Ă¤r noll men ett stĂśrsta tal finns inte.

Mellan multiplikation och addition finns sambandet n + n +â&#x20AC;Ś + n mÂˇn= . m likadana tal som adderas

Till exempel 3 Âˇ 2 = 2 + 2 + 2. FĂśr addition och multiplikation av naturliga tal gĂ¤ller fĂśljande rĂ¤knelagar: 1. Kommutativa lagen

Vid addition kan vi byta termernas ordningsfĂśljd och vid multiplikation faktorernas ordningsfĂśljd.

m+n=n+m mÂˇn=nÂˇm

2. Associativa lagen

Vi kan berĂ¤kna delsummorna och delprodukterna i vilken ordningfĂśljd vi vill.

(m + n) + p = m + (n + p) (m Âˇ n) Âˇ p = m Âˇ (n Âˇ p)

3. Distributiva lagen

Vi kan multiplicera termerna enskilt med den gemensamma faktorn och omvĂ¤nt kan vi bryta ut den gemensamma faktorn.

p Âˇ (m + n) = p Âˇ m + p Âˇ n

Summan av tvĂĽ naturliga tal Ă¤r alltid ett naturligt tal, men diffeÂ rensen Ă¤r inte alltid ett naturligt tal. Till exempel 3 â&#x20AC;&#x201C; 5 Ă¤r inte ett naturligt tal. NĂ¤r vi ocksĂĽ tar med de negativa talen, sĂĽ fĂĽr vi en talmĂ¤ngd dĂ¤r ocksĂĽ differensen 3 â&#x20AC;&#x201C; 5 = â&#x20AC;&#x201C;2 Ă¤r definierad. Beteckningen Z kommer frĂĽn de tyska orden ganze Zahl, heltal.

Heltal

â&#x20AC;Ś, â&#x20AC;&#x201C;3, â&#x20AC;&#x201C;2, â&#x20AC;&#x201C;1, 0, 1, 2, 3, â&#x20AC;Ś Ă¤r hela tal (heltal). MĂ¤ngden av hela tal betecknas med symbolen Z. Z = {â&#x20AC;Ś , â&#x20AC;&#x201C;3, â&#x20AC;&#x201C;2, â&#x20AC;&#x201C;1, 0, 1, 2, 3, â&#x20AC;Ś}

1 . 1 H eltal

När vi utvidgar talmängden från de naturliga talen till heltalen, så gäller fortfarande den kommutativa, den associativa och den distri butiva lagen. Bland heltalen hittar vi alltid sådana par av tal att talens summa är noll: 4 + (–4) = 0, –201 + 201 = 0 och 0 + 0 = 0. Motsatta tal Två tal vars summa är noll är varandras motsatta tal. Det motsatta talet till talet a betecknas –a. a + (–a) = 0 Talen 5 och –5 är varandras motsatta tal eftersom 5 + (–5) = 0. Det motsatta talet till talet –4 betecknas –(–4). Å andra sidan är 4 det motsatta talet till talet –4 vilket ger att –(–4) = 4. Ett tal och dess motsatta tal ligger på tallinjen lika långt från talet noll på tallinjen. Deras absolutbelopp är då samma. Absolutbeloppet av ett tal är samma som avståndet mellan talet och talet noll på tal linjen. Vi betecknar absolutbeloppet av talet a med |a|. | –5 | = 5 –5

|5| = 5 0

För icke-negativa tal är talets absolutbelopp talet självt: |5| = 5

|201| = 201

|0| = 0

För negativa tal är talets absolutbelopp samma som det motsatta talet. |–5| = 5

|–201| = 201

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

Räkneoperationer med heltal Mellan addition och subtraktion av heltal gäller sambandet. a – b = a + (–b) Till talet a adderar vi talet b:s motsatta tal –b.

EXEMPEL 1

LÖSNING

Teckenregler när vi avlägsnar parenteser +(–b) = –b

✗

3 – 5 = 3 + (–5)

Det motsatta talet till talet 5 är –5.

–6 – (–4) = –6 + 4

Det motsatta talet till talet –4 är 4.

Beräkna. a) –19 + (–2) b) –35 – (–3) a) –19 + (–2) = –19 – 2 = –21 –2

–22 –21 –20 –19 –18

Vi subtraherar ett positivt tal. Då flyttar vi oss till vänster på tallinjen.

–(–b) = +b

b) –35 – (–3) = –35 + 3 = –32 +3

–35 –32

SVAR

1 . 1 H eltal

a) –21

Vi adderar ett positivt tal. Då flyttar vi oss till höger på talllinjen.

b) –32

Vid multiplikation och division gäller följande teckenregler: • produkten och kvoten av två tal med samma tecken är positiv. • produkten och kvoten av två tal med olika tecken är negativ. Av dessa regler följer att produkten är • positiv om antalet negativa faktorer är jämnt • negativ om antalet negativa faktorer är udda. EXEMPEL 2

✗

LÖSNING

Beräkna –5 · (–12) : (–3). –5 · (–12) : (–3)

Produkten –5 · (–12) är positiv.

= 60 : (–3)

Kvoten 60 : (–3) är negativ.

= –20 –20

SVAR

Om ett uttryck innehåller flera räkneoperationer, så gäller följande ordningsföljd för räkneoperationerna: 1. räkneoperationer inom parenteser 2. potenser 3. multiplikationer och divisioner från vänster till höger 4. additioner och subtraktioner från vänster till höger.

EXEMPEL 3

LÖSNING

✗

Beräkna värdet av uttrycket 6 – 2 · (9 – 8 : 4) + 5. 6 – 2 · (9 – 8 : 4) + 5

Först utför vi divisionen inne i parentesen.

= 6 – 2 · (9 – 2) + 5

Sedan utför vi subtraktionen inne i parentesen.

= 6 – 2 · 7 + 5

Sedan beräknar vi produkten.

= 6 – 14 + 5

Slutligen adderar och subtraherar vi från vänster till höger.

SVAR

–3

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

EXEMPEL 4

✗

Beräkna med huvudräkning. a) 98 + (79 + 102)

b) 97 · 251 + 251 · 3

c) 4 · 258

Vi använder den kommutativa, den associativa och den distributiva lagen för att underlätta räknandet. Vi kan utföra beräkningen till exempel på följande sätt. (Vid huvudräkning skriver man i allmän het inte ut mellanstegen.) I boken är det utsatt i exemplen och uppgifterna om de är avsedda att lösas utan räknare. Vi använder räknaren som ett hjälpmedel, speciellt i tillämpade uppgifter. I provet ska du kunna räkna både utan och med räknare.

a) 98 + (79 + 102)

Den kommutativa lagen: vi byter ordningsföljd på talen 79 och 102.

= 98 + (102 + 79)

Den associativa lagen: vi beräknar först summan 98 + 102.

= (98 + 102) + 79

= 200 + 79

= 279

b) 97 · 251 + 251 · 3

= 251 · 97 + 251 · 3

Den distributiva lagen: vi bryter ut den gemensamma faktorn 251.

= 251 · (97 + 3)

Vi beräknar summan 97 + 3.

= 251 · 100

= 25 100

c) 4 · 258

SVAR

1 . 1 H eltal

Den kommutativa lagen: vi byter ordningsföljd på talen 97 och 251.

= 4 · (250 + 8)

= 4 · 250 + 4 · 8

= 1 000 + 32

= 1 032

a) 279

b) 25 100

Vi delar talet 258 i summan 250 + 8. Den distributiva lagen: vi multiplicerar termerna enskilt med talet 4.

c) 1 032

Uppgifter Basuppgifter

1. Vilka av talen 35, 7, 0, –1 och –13 är naturliga tal och vilka är

Alla uppgifter i detta kapitel ska lösas utan räknare.

heltal?

2. Bestäm talets motsatta tal.

a) 35

b) 7

c) 0

d) –1

e) –13

c) |0|

d) |–1|

e) |–13|

3. Bestäm absolutbeloppet.

a) |35|

b) |7|

4. Beräkna.

a) 7 + (–15) c) –10 – 3

b) –6 + (–9) d) –17 – (–5)

5. I en räknepyramid antecknar vi summan av två närliggande tal i rutan ovanför. Vilket blir talet i den översta rutan?

-11

-7

6. Beräkna.

a) –2 · (–15) c) 18 : (–3)

b) 5 · (–1) · 7 · (–2) d) –240 : (–8) : (–2)

7. I en räknepyramid antecknar vi resultatet av en räkneoperation i rutan ovanför. Vilket blir talet i den översta rutan?

: -4 12

: ·

-8

-4

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

8. Beräkna.

a) 21 – 18 : 3 c) 5 – 4 · (2 – 6 : 3)

b) –3 · 8 + 2 d) 10 : (–22 + 6 · 4) – 9

9. a) Beräkna värdet av uttrycket 24 : 6 – 9 · 2. b) Bestäm det största värdet och det minsta värdet som uttrycket kan få om vi sätter en parentes i uttrycket.

10. Beräkna med huvudräkning.

a) 80 + (17 + 20) b) 4 · 76 · 25 c) 4 · 769 + 6 · 769

11. Beräkna. a) –359 + 687 + 360 b) 75 · 102 c) –89 · 145 + 145 · (–11) 12. Bestäm a) summan av talen 12 och –15 b) det motsatta talet till summan av talen 12 och –15 c) summan av de motsatta talen till talen 12 och –15. 13. Skriv ut uttrycket och beräkna dess värde. a) differensen av talen 7 och 15 delat med talet –4 b) differensen av de motsatta talen till talen –5 och 26 c) summan av produkten av talen 2 och –6 och talet –4 14. a) En natt i mars sjönk temperaturen från –6 grader till –17

1 . 1 H eltal

grader. Hur många grader ändrades temperaturen?

b) Under följande förmiddag steg temperaturen med 9 grader.

c) Under ett dygn i mars var den högsta temperaturen –3 °C

Vilken var temperaturen efter detta?

och den lägsta –17 °C. Beräkna medelvärdet av dessa temperaturer.

Fördjupningsuppgifter

15. I en magisk kvadrat är summan av varje vågrät rad, varje lodrät rad och varje diagonal samma heltal. Komplettera kvadraten.

1 –2 3

–11

–4 –6

–9

16. Bestäm talet x.

a) –x = –1 c) –x = 0

b) –x = 16 d) –x = x

17. Vilka tal satisfierar (är en lösning till) ekvationen?

a) |x| = 6 c) |x| = –3

b) |x| = 0 d) |–x| = –2

18. Anta att a = 5 och b = –8. Skriv ut uttrycket och beräkna dess värde.

a) differensen av talen a och b b) det motsatta talet till differensen av talen a och b c) differensen av de motsatta talen till talen a och b

19. I denna uppgift motiverar vi teckenreglerna för en produkt i tre specialfall.

a) Definitionen av multiplikation grundar sig på en upprepad

addition: till exempel 3 · a = a + a + a. Uttryck produkten 3 · (–2) som en summa och beräkna vär det av summan. Är produkten 3 · (–2) ett positivt eller ett negativt tal? b) Eftersom 2 + (–2) = 0, så är också (2 + (–2)) · 3 = 0. Med hjälp av den distributiva lagen får vi att 2 · 3 + (–2) 3 = 0. Varför blir följden av detta att produkten (–2) · 3 måste vara det negativa talet –6? c) Eftersom 3 + (–3) = 0, så är också (–2) · (3 + (–3)) = 0. Tillämpa den distributiva lagen och visa att produkten (–2) · (–3) måste vara det positiva talet 6.

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

20. Definitionen av räknesättet division grundar sig på

multiplikation: m = q om m = nq. n a) Varför kan vi inte beräkna kvoten 3 ? 0 0 b) Varför är inte kvoten definierad? 0

21. Visa med hjälp av definitionen på motsatta tal att talen är varan dras motsatta tal.

a) π – 2 och –π + 2

b) a – 5 och 5 – a

22. För vilka värden på talet a gäller att

1 . 1 H eltal

a) –a < 0 c) |a| = –a

b) –a > 0 d) |a| > –a?

1.2 Vi undersöker

Reella tal

1) Färglägg i puckarna nedan bråktalen talen är störst och vilket är minst?

2 3 7 , och . Vilket av 3 4 12

2) Bestäm med hjälp av figurerna nedan resultaten av följande räkneoperationer.

1 1 + 2 3

4 2 · 5 3

1 : 3 4

3 1 : 4 8

1 – 8

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

Talmängder Produkten av två heltal är alltid ett heltal, men kvoten av två heltal är inte alltid ett heltal. Till exempel 3 : 12 är inte ett heltal. När vi tar med bråken, så får vi en talmängd där också kvoten 3 : 12 = 1 är defi 4 nierad. Denna talmängd innehåller också tal som: 3 3 = , 1 7 = 15 ja –2,17 = – 217 . 1 8 8 100 På engelska är förhållandet mellan två tal ratio och kvot är quotient.

Rationella tal

Rationella tal är tal som kan skrivas i formen m , där täljaren m n och nämnaren n är hela tal (n ≠ 0). Vi betecknar mängden av de rationella talen med symbolen

Alla rationella tal kan också skrivas som decimaltal. Decimalutveck lingen av ett rationellt tal är • antingen ändligt: till exempel 246 = 2,46 100 • eller oändligt och periodiskt: till exempel 244 = 2,464646... . 99 Tal som inte kan skrivas i bråkform kallas irrationella tal. Till exem pel talen 2 , π ja 5,1010010001… är irrationella tal. Alla irrationel la tal är oändliga operiodiska decimaltal. Reella tal

De rationella och de irrationella talen bildar tillsammans mängden av de reella talen. Mängden av de reella talen betecknas med sym bolen .

Reella tal Rationella tal 2 π

1 . 2 R eella tal

3,14 15 –– 7

Hela tal –1 –13 –347

Naturliga tal 0 7 1025

Räkneoperationer med bråk Vi kan bestämma storleksordningen på bråk genom att förlänga eller förkorta bråken så att de blir liknämniga (har samma nämnare). Vid förlängning multiplicerar vi både täljaren och nämnaren med samma tal. Till exempel

2 = 4 · 2 = 8 och 3 4 · 3 12

3 = 9 . Då är 2 < 3 . 3 4 4 12

Vid förkortning dividerar vi både täljaren och nämnaren med samma tal. (8 21 (7 3 = . Då är 21 < 32 . Till exempel 32 = 32 : 8 = 4 och 35 5 40 40 : 8 5 35 40

När vi adderar eller subtraherar bråk gör vi på följande sätt: 1. vi gör bråken liknämniga genom att förlänga (eller förkorta), 2. vid addition adderar vi täljarna och vid subtraktion subtraherar vi täljarna, 3. den gemensamma nämnaren blir bråkets nämnare.

EXEMPEL1

✗

LÖSNING

15 Beräkna. a) – 9 + 4 6

b) 5 – 4 3

2) 3) a) – 9 + 15 6 4

Vi gör bråken liknämniga.

30 = – 27 + Vi adderar täljarna. Den gemen- 12 12 samma nämnaren blir bråkets

nämnare.

= –27 + 30 12

Vi kan också ge svaret i blandad form:

–

7 1 = –2 , eftersom 3 3

2 · 3 + 1 = 7. S V A R

3 (3 12

= 1 4

Slutligen förkortar vi bråket.

3) 4 = 5 – 12 = – 7 b) 5 – 4 = 5 – 1 3 3 3 3 3

a) 1 4

b) – 7 3 1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

Vi beräknar produkten av två bråk i bråkform genom att multiplicera täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Om talen är givna i blandad form måste vi först skriva talen i bråkform. Innan vi utför multiplikationen lönar det sig att förkorta, om det är möjligt. EXEMPEL 2 LÖSNING

✗

Beräkna. a) 1 7 · 4 8 27

b) 7 · 2 15

7 4 a) 1 · 8 27

7 i bråkform: 8 1 · 8 + 7 = 15. Vi skriver 1

15 · 4 = 8 27

15 · 4 Vi skriver ut produkten av täljarna = 8 · 27 och produkten av nämnarna.

Vi förkortar innan vi utför multiplikationerna.

5·1 5 = Vi multiplicerar täljarna med varandra 2 · 9 18

och nämnarna med varandra.

b) 7 · 2 = 7 · 2 = 14 15 1 15 15 S V A R

5 18

b) 14 15

För varje rationellt tal (olika talet noll) kan vi hitta ett tal så att produkten av talen är ett. Till exempel 3 · 1 = 1 och –2 · (– 1 ) = 1. 3 2 Inverterade tal

Två tal vars produkt är ett är varandras inverterade tal. Det inverterade talet till ett tal a (olika noll) betecknas 1 . a 1 a · = 1 (a ≠ 0) a Talen 6 och 5 är varandras inverterade tal eftersom 6 · 5 = 1. 5 6 5 6

1 . 2 R eella tal

Det finns ett samband mellan division och multiplikation av ratio nella tal.

a = a · 1 Täljaren a multipliceras med det b b inverterade talet till nämnaren b. 3 = 3 · 1 2 2

Det inverterade talet till talet 2 är

5 : 1 = 5 · 3 3

Det inverterade talet till talet

1 . 2

1 är 3. 3

Vi dividerar bråk genom att multiplicera täljaren med det invertera de talet till nämnaren. Bråket måste först skrivas i bråkform.

EXEMPEL 3

LÖSNING

✗

Beräkna. a) a)

8 : 6 21 7

8 : 6 Vi multiplicerar täljaren med 21 7 nämnarens inverterade tal.

= 8 ·7 21 6

8 · 7 = 21 · 6

3 : 1 4 8

Vi förkortar innan vi multiplicerar.

=4 9 2

3· 8 b) 3 : 1 = 3 · 8 = =6 4 8 4 1 4 ·1 1

S V A R

4 9

b) 6

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

EXEMPEL 4

LÖSNING

Det lönar sig att skriva in rationella tal i bråkform på räknaren. Vissa räknare har en speciell bråkfunktionsknapp som också kan användas för bråk i blandad form.

1 liter glass en kväll och satt den i frysen. Följande 2 dag kom Anders hem från skolan, mitt på dagen, och åt två femte delar av glassen. Anna kom hem från gymnasiet på eftermiddagen och åt tre fjärdedelar av den glass som fanns kvar. På kvällen åt mam ma en tredjedel av den glass som fanns kvar. Tidigt nästa morgon vaknade pappa och gick till frysen för att äta glass. Hur många decili ter glass fanns det kvar i frysen? Pappa hade köpt 1

Från början fanns det 1

1 = 3 liter glass. 2 2

När Anders hade ätit två femtedelar av glassen så fanns det 3 · 3 5 2 liter glass kvar. När Anna hade ätit tre fjärdedelar av den glass som fanns kvar så återstod 1 · 3 · 3 liter glass. 4 5 2 När mamma hade ätit en tredjedel av den glass som fanns kvar så återstod

2 · 1 · 3 · 3 = 3 = 0,15 liter glass. 3 4 5 2 20

Vi utför beräkningen med räknare.

Det fanns 0,15 l = 1,5 dl glass kvar i frysen.

S V A R

Det fanns 1,5 dl glass i frysen.

Bråkräkning med hjälp av räknaren

På den här kursen lär vi oss räkneoperationer med rationella tal både utan räknare och med räknarens hjälp. Du behöver kunna båda sätten. Ta reda på hur du slår in bråk på din räknare och hur du kan ändra bråk till decimaltal och tvärtom med räknarens hjälp. Rationella tal givna i blandad form är det oftast bäst att slå in i bråkform på räknaren.

1 . 2 R eella tal

Uppgifter Basuppgifter

23. Skriv talet som ett bråk om det är möjligt. b) 1 1

a) –2

c) 3,14

d) -0,333

24. Gör talen liknämniga och sätt dem i storleksordning 1

a) 5 och 15

1 2

c) 3 , 9 och 10 .

b) 6 och 9

25. Gör talen liknämniga och sätt dem i storleksordning

a) 6 och 8 9

26. Beräkna.

a) 6 + 1

27. Beräkna.

a) 6 · 1 5

b) 3 och 8 c) – 60 och – 35 . 75

100

1 e) 2 3

29. Beräkna.

Uppgifterna 30–32 lämpar sig också bra för att öva räknarens användning.

a) 8

4 6 a) 15 : 5

b) 15 – 4

c) 3 1 – 1 2

b) 15 · 4

c) 1 3 · (– 1 ) d) 5 · 3

28. Vilket är talets inverterade tal?

c) – 5

b) 6 : 3

c) 1 : 1

b) differensen

c) produkten

d) –1

b) 1

5 f) 0,4

d) 5 – 3

d) 5 : 3 4

30. Beräkna

a) summan

d) kvoten av talen – 2 och – 5 . 5

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

31. I en räknepyramid antecknas resultatet av räkneoperationen i rutan ovanför. Vilket blir talet i den översta rutan??

· 3 7

2 7

Bråktal i blandad form lönar det sig att skriva in på räknaren i bråkform.

· 13 8

2 5

4 3

· ·

3 2

1 9

32. Beräkna.

1 8

a) –2 + 5 : 1

10 c) 15 + 9 · 5 – 3 5 + 3 15 – 9

b) 14 : 7 – 1 · 7 15

5 3 d) 2 + 2 : 1 – 5 3 3

( ) ( )

33. Beräkna med hjälp av räknaren. Försäkra dig att du kan

använda din räknare för räkneoperationer med bråk. a) 6 2 – 5 + 1 3 b) 2 1 · 7 : 1 5 5 12 3 8 4 6

34. Barnen hade med sig 3 liter av morsmors goda saft på sin pick 4 nick. Sanna drack hälften av saften och Johan drack en tredjedel av den saft som fanns kvar. Hur många deciliter saft blev kvar till Anders?

35. I Jannes aktieportfölj finns 2 520 aktier. En åttondedel av aktier

na är i företaget Grön Energi, fem niondelar i företaget Trä och Cellulosa och resten i företaget Idéhus Ab. Hur stor del av aktierna är i företaget Idéhus Ab och hur många är dessa aktier?

36. Kompisarna Farid, Harry och Jin planterade tallplantor. Farid

planterade två femtedelar av plantorna, Harry en tredjedel av de återstående plantorna och Jin resterande 960 plantor. Hur stor andel av plantorna planterade Jin och hur många plantor fanns det totalt?

1 . 2 R eella tal

Fördjupningsuppgifter

37. Bestäm talet 1x , om

b) x = 18

a) x = –1

d) x = – 63 .

5 c) x = 12

38. Bestäm talet x, om

a) 1x = 13

5 b) 1x = – 12

1 = –1 x

d) 1x = x.

39. I en magisk kvadrat blir summan i varje vågrät rad, varje lodrät rad och varje diagonal samma heltal. Komplettera kvadraten. 5 18 1 3 1 2

1 9

40. Beräkna tre sjundedelar av produkten av talen a och b om

a) a = –6 och b = 4 3

b) a = 35 och b = 4 . 12

41. Talet 3,45454545… är ett rationellt tal eftersom dess oändliga decimaldel är periodisk. Vi kan skriva om decimaltalet till ett bråk på följande sätt:

1) Beteckna x = 3,45454545… . 2) Beräkna talet 100x. 3) Beräkna värdet av differensen 100x – x. 4) Observera att 99x = 100x – x. Bestäm talet x i bråkform. 42. Tillämpa metoden i föregående uppgift och skriv om följande periodiska decimaltal till bråk.

a) 1,010101… c) 3,918918918…

b) 4,999999… d) 2,0232323… .

43. a) Beräkna värdet av kvoten 1 med hjälp av trappan tills deci 7

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

malerna börjar upprepa sig. I varje delsteg i uträkningen utför vi en subtraktion. Hur stor kan denna differens högst vara? Varför börjar divisionen oundvikligt att upprepa sig själv? b) Anta att n är det sådant naturligt tal att talet 1 , i decimal n form, är ett oändligt decimaltal. Varför är talet i decimalform periodiskt? Hur många siffror kan perioden högst ha?

44. De forntida egyptierna kände bara till bråk med talet ett som

täljare, såsom talen 1 , 1 och 1 . De uttryckte alla bråk som en 2 3 4 summa av dessa egyptiska bråk. En metod att skriva ett positivt bråk, som är mindre än talet ett, som en summa av egyptiska bråk är följande:

I figuren har vi beteckningen för ett bråk skrivet som en summa av egyptiska bråk, 1 5 1 1 5+ + + =5 . 2 7 14 7 (Ahmes papyrus 1650 f.Kr.)

1 . 2 R eella tal

Från kvoten subtraherar man först största möjliga term av for men 1 , som blir första term i summan, sedan största möjliga m term 1 av den rest som återstod vid subtraktionen och så vidare n 1 tills det bara återstår en rest av formen . p 61 Till exempel bråket skriver vi på följande sätt: 66 61 – 1 = 14 , dvs. 61 = 1 + 14 . 66 2 33 66 2 33 14 – 1 = 1 , dvs. 61 = 1 + 1 + 1 . 33 3 11 66 2 3 11 Skriv följande bråk som en summa av egyptiska bråk. 2 a) 3 b) 54 c) 22 25

1.3 Vi undersöker

Ekvationer och olikheter 1) Är vågen i jämvikt om vikten x är a) 3 b) 2?

x 1 1 1

2) Vågen är i jämvikt. Skriv ut ekvationen och bestäm ekvationens lösning.

x x x x x x

10 10

10 10 10 10

3) Lös ekvationen 7x + 3 = 4x + 9.

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

Ekvationer av första graden Ett betecknat tal eller räkneoperation kallas uttryck. Uttryck är till exempel 5 + x, x + y och 8. När två uttryck betecknas lika, så får vi en ekvation. I en ekvation kan finnas en eller flera variabler.

Ekvationen 9x – 22 = 8 – x kallas en ekvation av första graden efter som variabeln x bara är upphöjd till potensen ett (x = x1). När vi löser en ekvation söker vi alla tal som gör ekvationen sann (satisfierar, uppfyller ekvationen). Talen som satisfierar ekvationen kallas lösningar till ekvationen eller rötter till ekvationen.

9x – 22 = 8 – x

Ekvationer är till exempel 5 + x = 8 och x + y = 0, där x och y är variabler.

Är talet –1 en lösning till ekva tionen?

Är talet 3 en lösning till ekvatio nen?

Vi sätter in talet –1 i ekvationen på variablen x:s plats.

Vi sätter in talet 3 i ekvationen på variablen x:s plats.

9 ∙ (–1) – 22 = 8 – (–1)

9 ∙ 3 – 22 = 8 – 3

–31 = 9 falskt

Talet –1 är inte en lösning till ekvationen.

5 = 5 sant

Talet 3 är en lösning till ekvatio nen.

Lösningarna till en ekvation förblir desamma eller ekvationerna är ekvivalenta om • båda leden i ekvationen byter plats sinsemellan

2x + 7 = 3x 3x = 2x + 7

• vi adderar eller subtraherar samma tal till båda lederna x – 3 = 5 | + 3 x = 8

3x = 2x + 7 x = 7

| – 2x

• vi dividerar eller multiplicerar båda lederna med samma tal (olika talet noll) x 4x = 12 | : 4 = 2 | · 3 3 x = 3 x = 6

1 . 3 E kvationer och olikheter

EXEMPEL 1

✗

L Ö S N I N G

Lös ekvationen 2(x – 4) = 5x + 3.

2(x – 4) = 5x + 3

Vi avlägsnar parentesen.

2 · x – 2 · 4 = 5x + 3 2x – 8 = 5x + 3

| + 8

Vi adderar talet 8 till båda leden. Då försvinner den konstanta termen från vänster led.

| – 5x

Vi subtraherar termen 5x från båda leden. Då försvinner termen med variabel från höger led.

När vi flyttar talet –8 till ekvationens höger led, så byter talet tecken.

2x = 5x + 3 + 8

När vi flyttar termen 5x till ekvationens vänster led, så byter termen tecken.

2x – 5x = 11

Vi kan också ge svaret i

–3x = 11

2 blandad form x = –3 . 3

2x = 5x + 11

| : (–3) Vi dividerar med variabelns koefficient –3.

11 x = – Vi ger svaret exakt. 3

Lösningssättet ovan kan vi förenkla genom att vi flyttar termer från ett led till ett annat led och samtidigt byter deras tecken. 2(x – 4) = 5x + 3

Vi avlägsnar parentesen.

2x – 8 = 5x + 3

Vi flyttar termen –8 till höger led och termen 5x till vänster led och samtidigt byter vi deras tecken.

2x – 5x = 3 + 8 –3x = 11

| : (–3) Vi dividerar båda leden med

11 x = – 3

S V A R

x=–

variabelns koefficient.

11 3

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

EXEMPEL2

✗

L Ö S N I N G

Om ekvationen innehåller nämnare är det bäst att först forma om så att nämnarna avlägsnas.

Lös ekvationen

x x +1 x – = . 2 4 3

Alternativ 1. Vi gör termerna i ekvationen liknämniga.

x 3)x + 1 4)x – = 2 4 3 6 x 3( x + 1) 4 x – = | · 12 12 12 12

Vi multiplicerar termerna med den gemensamma nämnaren.

6x – 3(x + 1) = 4x

Vi avlägsnar parentesen.

6x – 3x – 3 = 4x

Vi flyttar om termerna.

6x – 3x – 4x = 3 –x = 3

| : (–1)

Vi dividerar med variabelns koefficient.

x = –3 Alternativ 2. Vi multiplicerar båda leden i ekvationen med ett sådant tal att vi kan förkorta bort nämnarna.

x x +1 x – = | · 12 2 4 3

Vi multiplicerar termerna med talet 12.

12 x 12 ( x + 1) 12 x – = 2 3 4

Förkortningen avlägsnar nämnarna.

1 1 1

6x – 3(x + 1) = 4x

Vi löser ekvationen som i alternativ 1.

x = –3 S V A R

x = –3 En lösning av en första gradens ekvation innehåller följande delmo ment. Lösning av en första gradens ekvation

1. Vi avlägsnar parenteserna och vid behov nämnarna. 2. Vi flyttar alla konstanta termer till ekvationens högra led. 3. V i flyttar alla termer som innehåller variabeln till ekvationens vänstra led. 4. V i dividerar båda leden i ekvationen med variabelns koeffi cient.

1 . 3 E kvationer och olikheter

Olikheter av första graden Med uttrycken 9x – 22 och 8 – x kan vi bilda bland annat följande olikheter: 1) 9x – 22 > 8 – x 2) 9x – 22 < 8 – x 3) 9x – 22 ≥ 8 – x 4) 9x – 22 ≤ 8 – x

Mellan uttrycken i en olikhet finns något tecken som anger storleks ordningen: <, >, ≤ eller ≥. Olikheten 9x – 22 > 8 – x är av första graden eftersom variabeln x bara är upphöjd till potensen ett. När vi löser en olikhet söker vi sådana reella tal som gör att olikheten är sann. Denna mängd av reella tal kallas olikhetens lösningsmängd. Lösning av en olikhet av första graden grundar sig på följande observa tioner. Räkneoperation

–3 < 6

|·2

När vi multiplicerar med ett positivt tal bevaras storleksordningen.

|:2

När vi dividerar med ett positivt tal be varas storleksordningen.

| · (–3)

När vi multiplicerar med ett negativt tal blir storleksordningen den omvända.

| : (–3)

När vi dividerar med ett negativt tal blir storleksordningen den omvända.

–6 < 12 –3 < 6 –1,5 < 3 –3 < 6 9 > –18 –3 < 6 1 > –2

Observation

Lösning av en första graden olikhet

Vi löser en olikhet av första graden i princip på samma sätt som vi löser en ekvation av första graden. Men det finns en skillnad i metoderna: Om vi multiplicerar eller dividerar båda leden med samma negativa tal byter olikhetstecknet riktning.

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

EXEMPEL3

L Ö S N I N G

✗

Lös olikheten. Rita ut lösningsmängden på en tallinje. b) x –

a) 6x – 9 < 4x – 3

5x – 1 ≤1 3

a) 6x – 9 < 4x – 3

Vi avlägsnar parentesen. Vi flyttar alla termer som innehåller variabeln till vänster led och alla konstanta termer till höger led.

6x – 4x < –3 + 9 2x < 6

| : 2

Eftersom vi dividerar med ett positivt tal bevaras olikhetstecknets riktning.

x < 3

Alla tal som är mindre än talet 3 satisfierar olikheten. Vi illustrerar lösningsmängden på en tallinje. –1

x–

5x – 1 ≤1 3

| · 3

Eftersom vi multiplicerar med ett positivt tal bevaras olikhetstecknets riktning.

3 · (5 x – 1) 3x – ≤3·1 3 1

3x – (5x – 1) ≤ 3

När vi avlägsnar parentesen byts tecknet för termerna 5x och –1.

3x – 5x + 1 ≤ 3

–2x ≤ 2

| : (–2)

a) x < 3

1 . 3 E kvationer och olikheter

x ≥ –1

Alla tal som är större eller lika stora som talet –1 satisfierar ekva tionen. Vi illustrerar lösningsmängden på en tallinje: –3

S V A R

När vi dividerar med ett negativt talbyter olikhetstecknet riktning.

–2

–1

b) x ≥ –1

Ekvationer och olikheter på räknaren I tillämpade uppgifter kan vi lösa ekvationer och olikheter med hjälp av räknaren. Det är viktigt att vi kan lösa ekvationer och olikheter både med och utan räknare. Ekvationer och olikheter med räknare

I allmänhet löser man ekvationer och olikheter med räknare med hjälp av solve-funktionen. På vissa räknare måste man förutom ekvationen också ange bokstaven för den variabel som man vill bestämma värdet för. Räknaren ger svaret som ett bråk eller decimaltal, beroende på inställningen. Ta reda på hur du kan välja i vilken form du vill ha svaret samt och hur du kan byta formen på det erhållna svaret från en form till en annan på din räknare. EXEMPEL 4

Lös med hjälp av räknaren a) 160x = 50 – 140(x – 0,2)

L Ö S N I N G

160x = 50 – 140(x – 0,2)

Försäkra dig om att du kan lösa ekvationen och olikheten i exemplet med hjälp av din räknare.

13 = 0,26 50

x 3–x < 7 – 5 3

S V A R

x =

x 3–x <7– . 5 3

Ta reda på hur du löser en ekvation med hjälp av din räknare.

Ta reda på hur du löser en olikhet med hjälp av din räknare.

x > –45

a) x =

13 = 0,26 50

b) x > –45

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

EXEMPEL 5

Lös ekvationen både med och utan räknare. a) 2x + 3 = 2(x + 5) – 7

L Ö S N I N G

b) 2(3x + 1) = 3(2x – 1).

a) 2x + 3 = 2(x + 5) – 7

Vi avlägsnar parentesen 2x.

2x + 3 = 2x + 10 – 7 2x + 3 = 2x + 3

Vi flyttar termen 3 till höger led och termen 2x till vänster led.

2x – 2x = 3 – 3 0 = 0 Testa i vilken form din räknare ger lösningen till en ekvation som satisfieras av alla reella tal.

sant

Ekvationen är sann oberoende av värdet på variabeln x, vilket ger att ekvationen satisfieras av alla reella tal. Man säger då att ekva tionen är identiskt sann.

b) 2(3x + 1) = 3(2x – 1)

Vi avlägsnar parenteserna.

6x + 2 = 6x – 3

Vi flyttar termen 2 till höger led och termen 6x till vänster led.

6x – 6x = –3 – 2 Testa i vilken form din räknare ger lösningen till en ekvation som saknar lösning.

S V A R

0 = –5 falskt

Ekvationen är falsk oberoende av värdet på variabeln x vilket ger att det inte finns något reellt tal som satisfierar ekvationen. Man säger då att ekvationen är identiskt falsk.

a) Alla reella tal är lösningar till ekvationen. b) Ekvationen saknar lösning.

1 . 3 E kvationer och olikheter

Uppgifter Basuppgifter

45. Undersök vilka av talen 6, 7 och 8 som är lösningar till ekvatio nen x + 4 = 2x – 3.

46. Lös ekvationen.

a) 2x – 6 = 0

b) 5x – 3 = 2x

c) –5x + 6 = x – 12

b) 3x + 12 = 4x

c) x + 11 = 11 – 5x

47. Lös ekvationen.

a) –13 + 9x = 2

48. Lös ekvationen.

a) 4(x + 2) = 3(x – 1) b) 8x – 3 = 2(x + 1) + 7 c) –2(7 + 2x) = 2x + 3

49. Bilda ekvationen och lös den.

a) Differensen av talen 8 och x är samma som produkten av

b) Summan av talen 2x och 3 är samma som differensen mellan

talen 3 och x.

talen 18 och 3x.

50. Undersök om lösningarna till ekvationen 2x + 5 = 3x också är lösningar till ekvationen 7 – 2(x + 1) = 6x.

51. Lös ekvationen.

a) 1 + x = 5 3

52. Lös ekvationen.

a) x – x = 3 4 2

b) 2x = 7 x + 5 4

c) x – 1 = 5 x 2 6

b) x – 3x + 1 = 1 15 3

c) x + x = x + 1 + 3 5 2

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

53. Bilda och lös ekvationen.

a) Kvoten av talen x och 4 är samma som summan av talen x och 2. b) Medeltalet av talen x och –4 är samma som en tredjedel av talet x.

54. Lös olikheten. Illustrera lösningsmängden på en tallinje.

a) 4x ≥ 20 c) 3x – 4 > 17

b) –5x – 45 < 0

55. Lös olikheten. Illustrera lösningsmängden på en tallinje.

a) 13x – 8 ≥ 14x – 7 c) –2x – 3(2x – 1) < 13

b) x – 4 ≥ 2(1 – x)

56. Bilda olikheten och bestäm för vilka värden på variabeln x som

värdet av uttrycket 2x – 6 är a) mindre än 4 b) positivt.

57. Lös olikheten.

a) 1 – x > 1 2 3 4

b) x – 2 x – 3 < x 3 15

58. Lös ekvationen.

a) 4x + 5(2 – x) = 3x + 2 c) x – 3 – 5 x = 9x – 18 2

b) 2x – 4(14x – 6) = 0

59. Lös olikheten. a) 3(x – 7) < 6x – 3

1 . 3 E kvationer och olikheter

b) 2 – 3(4x + 1) ≥ 2x – 3

c) 2 x + 1 – x > 2 x – 2 3 5

Fördjupningsuppgifter

60. Lös ekvationen.

a) 6(1 – x) = 6 c) 4(1 – x) = 2(3 – 2x)

61. Lös ekvationen.

a) x – 2 x = – x + 1 2 3 6

b) 10 – 15x = 7 – 3(5x – 1)

b) x + 2 – x – 2 = 2 x + 6 2 10 5

62. Lös ut variabeln x ur ekvationen ax + 2a = 5x + a + 1. För vilka värden på konstanten a saknar ekvationen lösning?

63. a) För vilka värden på konstanten a är alla reella tal lösning till

ekvationen 5(2 – 2x) = 3a – 10x?

b) Bestäm ett sådant värde på parametern a att ekvationen ax – 1 = 3x – a saknar lösning.

64. Lös olikheten.

a) x + 4(2x – 5) > 10(x – 2) b) 5 – 8(1 – x) ≤ 8x c) 2 x – 3 – 2 x > 5 x 3 12 6

65. Visa att alla icke-negativa tal satisfierar olikheten 4 – 3(x + 6) < 6x + 1.

66. Visa att om ett reellt tal satisfierar olikheten 5x – 7 > 6(x – 2), så satisfierar talet också olikheten 3(x – 1) < 2(1 + x) + 1.

1 TA L O C H R Ä K N E O P E R AT I O N E R

Markku Ekonen Sanna Hassinen Paavo Heiskanen Katariina Hemmo PĂ¤ivi Kaakinen Jorma Tahvanainen Timo Taskinen Leif Ă&#x2013;sterberg

ISBN: 9789515238979

9 789515 238979