Fyke 7-9 fysik 1 lärarmaterial by Schildts & Söderströms

Anne Kangaskorte • Jari Lavonen • Outi Pikkarainen • Heikki Saari • Jarmo Sirviö • Kirsi-Maria Vakkilainen • Jouni Viiri

FyKe 7–9

FYSIK LÄRARMATERIAL Vågrörelse

Schildts & Söderströms

FyKe 7–9 FYSIK Schildts & Söderströms www.sets.fi Originaltitel: FyKe 7–9: Fysik – Opettajan materiaali 1 Översättare: Marianne Peltomaa/ Schildts & Söderströms Redaktör för den finska upplagan: Marja Saarenvesi Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman ISBN 978-951-52-2916-8

Grafisk planering och ombrytning: Sari Jeskanen, Eija Högman Illustrationer: Pekka Könönen, Timo Suvanto ja Timo Kästämä © Den finska upplagan: Jari Lavonen, Outi Pikkarainen, Heikki Saari, Jarmo Sirviö, Jouni Viiri ja Sanoma Pro Oy, 2010

Det här verket är en lärarhandledning. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). För att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det krävs rättighetshavarens tillstånd. Kopiosto beviljar licenser för partiell kopiering av verk. Kontrollera era giltiga licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information om licenser lämnas av Kopiosto rf www.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. Med giltig licens är det tillåtet att kopiera stordior och uppgiftskopior för undervisning

Den svenska upplagan: Anne Kangaskorte, Outi Pikkarainen, Kirsi-Maria Vakkilainen och Schildts & Söderströms, 2015

Innehåll – Vågrörelse Kapitel

Lektionsplanering

Lösningarna till uppgifterna i arbetsboken

Lösningarna till uppgifterna i läroboken

s. 5–8

s. 9–10

Uppgifter 1–5 s. 11–12

1 En våg färdas framåt – materien i vågen inte

s. 13–15

s. 16–19

Uppgifter 6–16 s. 20–24

2 En oscillator alstrar ljud

s. 25–27

s. 28–31

Uppgifter 17–29 s. 32–36

Fysikens värld

I Vågrörelse

3 Ljuset färdas i en rät linje

s. 37–39

s. 40–43

Uppgifter 30–40 s. 44–46

4 Ljuset reflekteras från en spegel

s. 47–49

s. 50–53

Uppgifter 41–49 s. 54–57

5 Ljuset bryts vid ytan mellan två medier

s. 58–60

s. 61–64

Uppgifter 50–60 s. 65–68

6 Linser förstorar eller förminskar

s. 69–71

s. 72–78

Uppgifter 61–74 s. 79–82

Sammanfattning

s. 83

Har du koll? s. 84–87

Fysikens värld

FyKe 7–9 FYSIK

Fysikens värld • Läroboken s.6–10, uppgift 1–5 • Laborationer och uppgifter 1, s. 4–7 Fysikens värld är ett introduktionskapitel avsett för den första lektionen i fysik.

Det som studeras • Inom fysiken undersöks naturfenomen och kroppar. • Fysik är en empirisk naturvetenskap, där undersökningarna grundar sig på iakttagelser och mätningar. • En storhet är en mätbar egenskap hos en kropp eller ett fenomen. • Eleverna lär sig att mätning innebär jämförelse. • Eleverna övar sig i att uppskatta och mäta kroppars längd.

Begrepp • empirisk vetenskap • naturfenomen • kropp • förutsägelse, hypotes • teori • modell • måttenhet, enhet • siffervärde • storhet – grundstorhet – härledd storhet

Fysikens värld

Förhandsuppfattningar • Eleverna kan tänka föreställa sig att • solen kretsar kring jorden • om två lika stora föremål släpps ner till jorden, faller den kropp som har större massa snabbare ner • ett kilogram bly väger mera än ett kilogram vatten

Motivation Frågor • Varför undervisas alla i fysik i skolan? Fysik hör till vardagslivet. Alla har nytta av att känna till grundfakta i fysik/av grunder i fysik. I en del yrken krävs bredare kunnande/större insikter i fysik. • Vad innebär mätning? När man mäter tar man reda på hur många gånger en enhet ingår i det som mäts. Eleverna föreställer sig ofta att mätning kräver ett specifikt instrument (en linjal, våg ...). De uppfattar inte mätning som jämförelse. • Vad kan man mäta? Man kan mäta egenskaperna hos en kropp eller ett fenomen, som längd, massa, tid och temperatur. • Vad ska man mäta för att kunna bestämma hastighet? Man ska mäta sträckan, dvs. längden och den tid som använts.

Demonstrationer 1 Uppskattning av volym och antal Läraren tar fram ett genomskinligt kärl med kottar. Eleverna uppskattar kärlets volym och antalet kottar. Uppskattningarna kontrolleras genommätningar. – Resonera tillsammans varför uppskattningarna och mätresultatet inte stämmer överens. 2 Längdmätningstävling Vem mäter klassrummets längd snabbast? Läraren ger eleverna olika mätinstrument: tavellinjal, linjal och 3 m rullmåttband. – Jämför mäthastigheter och resultat.

Resonemang/reflektioner kring lärobokens bilder • (s. 6) Vad i bilderna har att göra med/ansluter sig till fysik? • (s. 7–9) Inom vilket av fysikens delområden (värme, elektricitet, rörelse ...) behövs specialkunnande i de yrken som avbildas. • (s. 9) Varför ritar man ofta en graf över mätresultat?

Undervisning av nytt stoff 1 Diskutera att fysik är en naturvetenskap och att undersökningarna i fysik grundar sig på iakttagelser och mätningar. Lär ut att den mätbara egenskapen hos en kropp eller ett fenomen är en storhet. 2 Öva mätningens princip med hjälp av laboration 1. Definiera den storhet som mättes, samt storhetens siffervärde och enhet. 3 Utför laboration 2. – Diskutera mätning av massa och massans enhet. – Resonera om den exakthet med vilken mätresultatet anges. 4 Utför laboration 3. – Öva uppskattning av längd och resonera om vad som inverkar på hur exakt den uppskattade längden är. – Eleverna gör arbetet så självständigt som möjligt. 5 Sammanfatta det som behandlats under lektionen. 6 Utför lektionsuppgifterna på s. 7.

Tips för förenklande individualisering • Öva att identifiera sådant som hör till fysik. – Till fysiken(s område) hör t.ex. elektricitet, värme och ljus. – Alla tekniska apparater och deras verksamhet har att göra med fysik. • Öva mätning: – mätningens princip (laboration 1) – mät massa med digitalvåg (laboration 2) – uppskatta och mät egna mått (laboration 3) – identifiera bland givna egenskaper sådana som är mätbara – notera mätningens betydelse i vardagslivet

Fysikens värld

FyKe 7–9 FYSIK

Laborationer och demonstrationer Laboration 1 Arbetsbordets längd och bredd Laborationen lär ut mätningens princip. Som mätinstrument använder eleven sin underarm och en penna, men inte en linjal. Mätning är jämförelse, dvs. bordets längd och bredd jämförs först med underarmens längd och sedan med pennans.

Tips och utförande • I den här laborationen lönar det sig att resonera kring hur mätresultatet anges. – längd t.ex. 9 underarmslängder – bredd t.ex. 3,5 pennlängder –k ontrollera att eleverna vet vilken storhet det är som mäts i laborationen, vilket siffervärde och vilken enhet . • Det är nödvändigt att eleverna sinsemellan jämför sina mätresultat. • Diskutera varför underarmslängd och pennlängd sällan är användbara enheter vid mätningar

Fysikens värld

Laboration 2 Vägning med digitalvåg Laborationen visar eleverna hur man väger med digitalvåg. Att mäta massa handlar också om jämförelse. Massan hos den kropp som ska mätas jämförs med prototypen för ett kilogram, som förvaras i Paris. Vågen ska alltid nollställas före vägningen. Noteras att det är lätt att subtrahera kärlets massa från mätresultatet.

Tips och utförande • Innan laborationen inleds lönar det sig att diskutera med eleverna om vad som kan ge upphov till inexakthet vid mätning av massa. • Klargörs med vilken exakthet digitalvågen mäter en kropps massa. • Noteras att då man mäter massan hos ett ämne i pulverform, att det inte får hällas direkt på vågen utan det vägs i ett kärl. Till kan man resonera kring hur volymen hos ett rätblock kan mätas.

Laboration 3 Uppskatta och mät dina egna mått I laborationen övas uppskattning och mätning av längder. Det är nyttigt att känna till den egna kroppens mått, som längden på tummens fingertoppsled. Det kan man nyttja till exempel för att mäta avstånd på en karta.

Tips och utförande • Eleverna utför mätningen av längder så självständigt som möjligt med sitt par. Det är bra att påminna eleverna om att de överväger hur det är vettigt att mäta till exempel famnlängden eller den egna längden så att mätresultatet är så exakt som möjligt. • Definition av kvarter: den utbredda handflatans största utsträckning. Som mått på ett kvarter används ofta även avståndet mellan tumspetsen och pekfingerspetsen.

Fysikens värld

FyKe 7–9 FYSIK

Fundera mera 1 Vad är skillnaden mellan storhet och enhet? En storhet är en mätbar egenskap hos en kropp och en enhet är den mätenhet som uttrycker storleken på storheten. 2 Varför är nödvändigt att använda enheter och att ha gemensamma överenskommelser? Talvärdet i sig berättar inte vilken storhet som mätts och man vet inte heller storleken på den egenskap som mätts. Till exempel: Hundens massa är 25. Hundens massa är 25 g. Hundens massa är 25 kg. 3 Vilka är grundstorheterna? Grundstorheter är längd, massa, tid, temperatur (ström, ljusstyrka och materiamängd). 4 Är hastighet en grundstorhet eller en härledd storhet? Hastighet är en härledd storhet, för den uttrycks med hjälp av de två grundstorheterna längd (sträcka) och tid. 5 Varför är area en härledd storhet? Arean beräknas som produkten av längderna och är alltså en härledd storhet. 6 Vad innebär det om en enhet har prefixet kilo k eller mega M? Varför används de? Kilo innebär faktorn tusen 1 000 och mega faktorn miljon 1 000 000. De gör det lättare att skriva stora tal. Det är enklare att skriva 1 Mb än 1 000 000 b.

Fysikens värld

Sammanfattande frågor • Vad undersöker man inom fysiken? Fysiken är en naturvetenskap som undersöker fenomen och kroppar. • Vad kallas en person som forskar i fysik? En forskare i fysik kallas fysiker. • Vad avses med en kropp inom fysiken? I fysiken avses med en kropp ett föremål, en människa eller ett djur. Ett dammkorn och jordklotet är exempel kroppar. • Vad är mätning? Mätning är jämförelse. Genom mätning utreder man hur många gånger ett valt mått ryms inom det som ska mätas. • Vad kallas en mätbar egenskap hos en kropp? En kropps mätbara egenskap kal�las storhet. • Hur betecknar man en uppmätt storlek. EN uppmätt storlek betecknas med ett siffervärde och en enhet. Den uppmätta storheten är siffervärde x enhet. • Hur indelas storheter? Storheter delas in i grundstorheter och härledda storheter. • Vad är SI-systemet? SI-systemet är ett internationellt enhetssystem som är i bruk i flera länder.

Tilläggsuppgifter till läraren. SI-systemet (Système International d’Unitès) SI-systemet är ett internationellt enhetssystem som är i bruk i flera länder. Det är lämpligt för såväl tekniska och vetenskapliga som vardagliga behov. I SI-systemet definieras enheterna för sju grundstorheter. Definitionen av enheterna för längd, ström, tid, ljusstyrka och materiamängd grundar sig på naturfenomen och konstanter. För massans enhet kilogram har man framställt en prototyp som består av en metallegering. Den förvaras i Paris i den internationella byrån för mått och vikt.

Måttenheter i Storbritannien (UK) och USA (US)som enheter i SI-systemet Längdmått tum 1 in = 2,54 cm fot 1 ft = 30,48 cm yard 1 yd = 91,44 cm engelsk mil = 1 609,344 m Mått för area kvadratfot 1 ft2 = 0,093 m2 tunnland 1 acre = 0,405 ha Volymmått ins 1 oz = 0,284 dl gallon (UK) 1 gal = 4,546 l gallon (US) 1 gal = 3,785 l Mått för massa uns 1 oz = 28,35 g

Fysikens värld

FyKe 7–9 FYSIK

Tips om arbetsmetoder Öppna laborationer I likhet med experimentella arbeten kan man under lektionen göra mera öppna laborationer. De kan utföras antingen av eleven ensam, i små grupper eller med hela klassen. Beroende av laboration kan ni använda allt från några minuter upp till flera lektioner tid för den, eller så kan laborationen delas upp i delar som utförs under terminens lopp. Laborationerna utmynnar i en arbetsbeskrivning eller rapport, som presenterar resultatet av laborationen. Då laborationen utförs är det bra att fästa uppmärksamhet vid en noggrann planering. Elevernas planering underlättas om de på förhand får handledning och övning i hur laborationen ska utföras. Med hjälp av exempel kan ni fästa uppmärksamhet vid hur pålitlig laborationen är (dess reliabilitet.). Om ni till exempel undersöker olika ämnens löslighet i vatten, förändras i laborationen endast det ämne som ska upplösas medan alla andra faktorer hålls konstanta. Lösningsmedlet är detsamma och mängden lösningsmedel är också densamma för alla ämnen. Lösningarna blandas på samma sätt och lika mycket. Det är också bra att diskutera ifall alla faktorer, exempelvis kärlets form, har betydelse för hur pålitlig laborationen är (dess reliabilitet).

Fysikens värld

Planering av laborationen

Utförande av laborationen

Laborationsrapport

• Vad vill du ta reda på? Fundera på vad ditt undersökningsproblem. • Vilka ämnen behöver du för laborationen? Välj de redskap och ämnen som är lämpligast. • Hur kan du utföra laborationen på ett pålitligt sätt? Välj den faktor som undersöks som är den som förändras, och fundera på hur du får de andra faktorerna att hållas oförändrade (konstanta). • Vad tror du kommer att hända? Gör en prognos • Varför tror du att det händer? Motivera din prognos. • Gör en plan som visar vad du gör och i vilken ordning.

• Utför laborationen enligt din plan. • Vad ser du? Vad luktar det? Vad hör du? Skriv upp dina iakttagelser. • Utför de mätningar som behövs noggrant och skriv upp dem. • Märker du något som kunde göras bättre i laborationen? Bearbeta din plan och gör laborationen på nytt.

• Använd grafer, tabeller osv. när du presenterar ditt resultat. • Vad gjorde du? Vad iakttog du? Vilka slutsatser drog du? Förklarar vad din undersökning visade. • Vilka faktorer kan ge upphov till fel i resultatet? Vad skulle du göra annorlunda om du skulle göra laborationen på nytt? Anteckna möjligheter till fel och förbättringsförslag.

Fysikens värld

FyKe 7–9 FYSIK

Fysikens värld Laboration

•

Du gör ofta mätningar av olika slag.

•

Vad använder du då för mått?

2 Vägning med digitalvåg

Laboration

A Väg en metallbit.

• temperatur, volym, tid, längd och antal • termometer, volymmått, klocka, måttband och våg

Utrustning • digitalvåg eller brevvåg • bägare

metallbit

1 Arbetsbordets längd och bredd

Ämnen • metallbit • koksalt

Mät längden och bredden på arbetsbordet. Utrustning • penna

Koppla på strömmen med strömbrytaren. Nollställ vågen genom att trycka på nollställningsknappen. Vänta tills siffran 0,0 visas.

Lägg metallbiten på vågen och vänta en stund. Metallbitens massa visas i teckenrutan (displayen). Anteckna mätetalet på bilden.

B Väg salt. Mät bordets längd och bredd med din penna. Ange resultatet i pennlängder.

Mät bordets längd och bredd med din underarm. Ange resultatet i underarmslängder.

salt

bägare

1 Anteckna dina och din kamrats resultat i tabellen. Mått

underarm penna

Storhet Mätbara egenskaper hos en kropp eller ett fenomen är storheter

tid = 15 s

storhet siffer- enhet värde

Mätresultat för längden

Mätresultat för bredden

ditt eget

3,5 underarmslängder 16 underarmslängder

kamratens 4 underarmslängder 20 underarmslängder

2 underarmslängder 9 underarmslängder

kamratens 3 1/3 underarmslängder 11,5 underarmslängder

2 Jämför dina mätresultat med din kamrats och med klasskamraternas.

Vad märker du?

Mätresultaten avviker från varandra för att en underarmslängd ______________________________________________________________________ och pennlängd är olika för alla. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3 Varför är det viktigt att man har kommit överens om grundenheter för

storheterna?

Grundenheterna gör det möjligt att jämföra mätresultat. Det ______________________________________________________________________ skulle till exempel vara besvärligt att handla utan överenskomna ______________________________________________________________________

Ställ bägaren på vågen och nollställ vågen.

Tillsätt salt med en sked tills saltet väger lika mycket som metallbiten. De har då samma massa.

1 Jämför saltets och metallbitens volymer.

Vad märker du?

Saltets volym är märkbart större än metallbitens, trots att massan ______________________________________________________________________ är densamma ______________________________________________________________________ 2 Vilka storheter mätte du i den här laborationen?

Jag mätte massa och volym i laborationen. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

grundenheter. ______________________________________________________________________

Fysikens värld

Kopiering absolut förbjuden.

Fysikens värld

FyKe 7–9 FYSIK

Laboration

3 Uppskatta och mät dina egna mått

Lektionsuppgifter

Uppskatta måtten i tabellen. Utgå från din egen kropp. Mät därefter dem och anteckna resultaten i tabellen. Utrustning • måttband • våg

Vad du mäter

Uppskattning

tummens fingertoppsled

U1 Ringa in de rätta alternativen.

Mätresultat 1. Som storhet räknas

3 cm

kvarter

Enheter för längd 1 mm = 0.001 m 1 cm = 0.01 m 1 dm = 0.1 m 1m 1 dam = 10 m 1 hm = 100 m 1 km = 1,000 m

26 cm underarm

43 cm

a. ett 10 meters lopp.

c. blåögdhet.

a. 2.5 km.

b. ett 1 000 meters lopp.

b. 250 dam.

163 cm längd

164 cm

c. ett 100 meters lopp.

4. Det vinnande resultatet i en spjuttävling är

5. Mätnoggrannheten med en linjal är

90,33 m.

a. 20 cm. b. 1 cm.

körda kilometer med jordklotets omkrets.

c. 1 mm.

a. Bilen har körts ungefär

är meter.

två varv runt jorden.

b. 90,33 är ett mätvärde.

b. Bilen har körts ungefär

vinnande kastet har

ett varv runt jorden.

mätts med en centi-

c. Bilen har körts ungefär

meters noggrannhet.

42 varv runt jorden.

7. Välj det bästa sättet att ange längd. a. Medellängden för

8. I ett Coopertest mäter man a. bara tiden. b. tiden och sträckan. c. bara sträckan.

b. Medellängden för män

Längderna är nästan desamma. ______________________________________________________________________

6. Färdmätaren i en bil visar 42 000 km. Jämför antalet

a. Storhetens enhet

kvinnor är 1 660 mm.

1 Vad märker du när du jämför din egen längd med din famnlängd?

är samma som

c. 25 000 dm.

c. Längden på det

famn

3. Ett lopp på en hektometer

b. snabbhet.

19 cm fot

2. Skolvägens längd är 2 500 m. Längden motsvaras av

a. längd.

9. Bror säljer sin bil. Hur noggrant lönar det sig att anteckna antalet körda kilometer i köpekontraktet? a. 100 km

är 180 cm, alltså

b. 1 000 km

1,80 m.

c. 10,000 km

c. Medellängden för kvinnor är 1,66 m.

2 Jämför hur mycket längden på ditt kvarter och din fot skiljer sig från

motsvarande mått hos din kamrat.

Till exempel: Min kamrats kvarter är 1 cm längre och fot 1,5 cm ______________________________________________________________________ längre än mitt kvarter och min fot. ______________________________________________________________________

i kelvin, K; grader Celsius, oC a) temperatur _________________________________________________________

3 Varför är det nyttigt att veta längden på tummens fingertoppsled och

b) tid

i sekunder, s _________________________________________________________

c) sträcka

i meter, m _________________________________________________________

kvarterlängden?

Gamla längdenheter tum = 2.540 cm kvarter = 14.845 cm fot = 30.480 cm verst = 1.069 km mil = 10,688 km

Fysikens värld

U2. I vilken enhet mäter man

Med hjälp av till exempel kvarterlängden är det lättare att ______________________________________________________________________ uppskatta olika föremåls mått. ______________________________________________________________________

i meter per sekund, m/s d) hastighet? _________________________________________________________

4 Jämför längden på din tumtoppsled, ditt kvarter och din fot med de

gamla längdmåtten i tabellen till vänster.

Till exempel är mitt kvarter ca 4 cm längre än ett kvarter och min ______________________________________________________________________ fot 4 cm kortare än en fot. Kopiering absolut förbjuden.

Kopiering absolut förbjuden.

Fysikens värld

FyKe 7–9 FYSIK FYSIK

Uppgift 1–5 med LÖSNINGAR

________________________________________

Uppgift 1

Lösning 1

Vad undersöker en fysiker?

En fysiker undersöker till exempel naturfenomen, bekantar sig med tidigare forskning kring fenomenet, gör nya iakttagelser och mätningar av fenomenet.

Uppgift 2

Lösning 2

Finn fyra fenomen inom fysik som du kan observera under dagen.

Exempel på fenomen inom fysiken som kan observeras under dagen är en bils rörelse, en elapparats funktion, användningen av apparater för kommunikation, fallande kroppar och väderfenomen.

Uppgift 3

Lösning 3

____________________________________________

Nämn tre grundstorheter.

Grundstorheter är till exempel längd, masa och tid.

____________________________________________

Uppgift 4

Lösning 4

Mätresultatet blev 54 kg. a) Vilken storhet mättes? b) Vilket siffervärde har mätresultatet? c) Vilken enhet har mätresultatet?

a) Man mätte massa. b) Mätresultats siffervärde är 54. c) Mätresultats enhet är kilogram.

Fysikens värld

11 14

Fysikens Fysikens värld värld

FyKe 7–9 FYSIK FYSIK

Uppgift 5

Anders Celsius, Wilhelm Röntgen, Marie Curie och Albert Einstein är berömda fysiker. Välj en av dem och sök följande information: a) födelsedag och -land b) studier c) uppfinning inom fysiken d) vad uppfinningen betyder i dag.

Fysikens värld

Lösning 5 Anders Celsius a) Han föddes år 1701 i Uppsala i Sverige. b) Han studerade astronomi och hans forskningsobjekt var meterologi, norrsken och jordens magnetism. c) Han förslog att celsiusskalan skulle tas i bruk. Celsiusskalan är definierad enligt vattnets kok- och fryspunkter vid normalt tryck. d) Grundenheten för temperatur är i dag kelvin, men celsiusskalan används allmänt. Wilhelm Röntgen a) Han föddes år 1845 i Tyskland. b) Han studerade till ingenjör i Schweiz c) Röntgen upptäckte röntgenstrålarna år 1895 och undersökte deras genomträngningsförmåga. d) Röntgenstrålning används inom medicinen för fotografering av ben. Marie Curie a) Hon föddes år 1867 i Warszawa i Polen. b) Hon studerade fysik och kemi vid ett universitet i Frankrike. c) Curie undersökte uranets radioaktivitet. Hon fick Nobelpriset för isolering av radium och sin forskning om ämnet. d) Hon var den första som använde ordet radioaktivitet. Radioaktiva ämnen används till exempel som markörer i medicin och teknik. Albert Einstein a) Han föddes år 1879 i Ulm i Tyskland. b) Han studerade naturvetenskaper i Zürich. c) Exempel på Einsteins forskning är den speciella relativitetsteorin, fotoelektriska effekten, brownska rörelsen och förhållandet mellan massa och energi. d) Fotocellernas funktion grundar sig på den fotoelektriska effekten, som Einstein förklarade. Han lade grunde för kvantmekaniken. Kvantmekanik utnyttjas inom medicinsk och elektronisk forskning. Ett exempel på ett användningsområde för relativitetsteorin är GPSlokaliseringen av koordinater.

________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

15 12