Kubik 7 blädderex by Schildts & Söderströms

K U B I K 7

Schildts & Sรถderstrรถms

Sanoma Pro Oy Helsinki

Schildts & Söderströms www.sets.fi Finska förlagans titel: Kuutio 7 Redaktör för den finska Jussi Laitila Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Grtafisk planering: Sari Jeskanen Illustrationer: Marvegraf Oy / Marja Venäläinen, Tuuli Hypén, Pirkko Pihjala, Pirjo Helke Omslag: Johanna Junkala Svenska upplagans ombrytning: Jukka Iivarinen / Vitale Ay © Sanna Hassinen, Olli Latva, Jari-Pekka Makkonen, Mikko Peltola, Maria Pirttimaa, Aulis Tolvanen och Sanoma Pro Oy © 2017 Tomas Tiainen och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. Fondernas samarbetsgrupp som består av Svensk kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Första upplagan, 2017 ISBN: 978-951-52-4228-0

INNEHÅLL

1. TAL OCH RÄKNEOPERATIONER

FLEXUPPGIFTER 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Vatten Längd- och breddgrader Statistiken berättar Problemlösning Den lilla och den stora världen Tankenötter

177 178 180 182 184 186

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Beräkningar och uträkningar Heltal och decimaltal Bråk Addition och subtraktion av bråk Multiplikation av bråk Division av bråk Repetition Programmering med Python Negativa tal Jämförelse av tal Absolut belopp Motsatta tal Addition och subtraktion av två tal Ta bort parenteser Addition och subtraktion av flera tal Multiplikation av två tal Multiplikation av flera tal Division Sammansatta räkneoperationer Repetition

Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

8 12 16 20 24 26 30 32 40 42 44 46 48 52 54 56 58 60 64 68 188 241 277

2. GEOMETRISKA FIGURER 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

3. FRÅN TAL TILL BOKSTÄVER 126 130

114 118 122

1. Delbarhet och faktorisering 2. Primtal 3. Största gemensamma faktor och minsta gemensamma multipel 4. Variabler 5. Termer 6. Sammanslagning av likformiga termer 7. Potens 8. Räknesättens ordningsföljd 9. Grundpotensform 10. Repetition 11. Ekvation 12. Ekvationslösning med motsatta räkneoperationer 13. Flyttning av termer 14. Ekvationslösning stegvis 15. Textuppgifter 16. Talföljder 17. Repetition

201 250 286

Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

222 266 291

Från punkt till plan Vinklar Bisektris Vertikal- och sidovinklar Normal och mittpunktsnormal Parallella linjer Cirklar Tangent- och bågvinklar Repetition Månghörningar Trianglar Triangelns speciella punkter Fler månghörningar Ytor Kongruens Spegling med avseende på en linje eller punkt 17. Geometrisk konstruktion 18. Repetition

72 76 80 82 84 86 88 90 94 96 98 102 104 108 112

Tilläggsuppgifter Hemuppgifter Facit

132 134 138 140 144 148 150 152 154 158 162 164 168 170 174

Till användaren KUBIK är en läromedelsserie i matematik för årskurserna 7−9 i den grundläggande utbildningen. Kubik 7 består av tre kapitel. Varje kapitel består av 25−32 färdiga lektionsuppslag. Ett kapitel motsvarar en årsveckotimme eller en kurs om undervisningen är kursformad. Rekommenderad tidsanvändning är ett uppslag per lektion. I enlighet med den nya läroplanen finns i kapitel 1 ett ungefär fem lektioner långt avsnitt om programmering. Varje årskurs har sitt eget avsnitt om programmering och i Kubik 8 är programmeringavsnittet insatt i kapitel 5 och i Kubik 9 i kapitel 9.

L1 Lisätehtäviä

Laskujen merkitseminen

Yhdistä lauseke oikeaan nimitykseen.

      

4 ⋅ 6 - 2 ⋅ 5 = 24 - 10 = 14 laskun merkintä

9⋅5

osamäärä

4+8

tulo

12 : 6

erotus

7-3

D summa

välivaihe

vastaus

Merkitse laskujen välivaiheet riittävän yksityiskohtaisesti näkyviin, jotta suorituksista käy selvästi ilmi, miten tehtävä on ratkaistu. Tarkista, että olet käyttänyt yhtäsuuruusmerkkiä (=) oikein.

Laske. Kirjoita laskun välivaiheet näkyviin vihkoosi. Muista merkitä vastaus.

LASKUJÄRJESTYSSOPIMUS

1. Kerto- ja jakolaskut lasketaan yleensä vasemmalta oikealle. 2. Yhteen- ja vähennyslaskut yleensä vasemmalta oikealle.

a) 6 - 4 + 3 c) 5 ⋅ 6 ⋅ 3

b) 10 : 2 ⋅ 5 d) 24 : 6 : 2

3 ⋅8 a) 3+9

20 - 5 b) 12 : 4

Laskujärjestystä voidaan muuttaa sulkumerkeillä.

Esimerkki 2

24 : 8 ⋅ 4 : 2 = 3 ⋅ 4 : 2 = 12 : 2 = 6

Esimerkki 3

a) 15 - 4 ⋅ 3 = 15 - 12 = 3 b) (15 - 4) ⋅ 3 = 11 ⋅ 3 = 33

a) 3 + 7 ⋅ (5 - 2) b) (3 + 7) ⋅ 5 - 2 c) (3 + 7) ⋅ (5 - 2)

a) 16 - 12 : 6 - 4 b) (16 - 12) : (6 - 4)

Jakolaskun voi merkitä kahdella eri tavalla, kaksoispisteellä tai jakoviivalla.

Esimerkki 4

(14 + 16) : (2 ⋅ 3) = 30 : 6 = 5

Kaksoispisteellä merkittäessä tarvitaan sulkumerkkejä useammin kuin jakoviivamerkinnässä.

tai

14 + 16 30 = =5 6 2⋅3

Esimerkki 5

10.

Kuinka paljon maksaa 2 kg emmentaljuustoa, jos 3 kg maksaa 45 €?

11.

a) (6 ⋅ 5 + 10) : 8 (12 + 3) ⋅ (7 − 5) b) 48 : (5 + 3)

12.

Merkitse ja laske. a) luvusta 20 vähennetään lukujen 16 ja 2 osamäärä b) lukujen 25 ja 15 summan ja erotuksen osamäärä

    

1. Esimerkki 1

Wilmalla ja Joelilla on yhteensä 65 euroa. Wilmalla on 15 euroa enemmän kuin Joelilla. Kuinka paljon kummallakin on rahaa? 65 € - 15 € = 50 € 50 € : 2 = 25 € 25 € + 15 € = 40 €

Vähennetään se rahamäärä, joka Wilmalla on enemmän Joelin rahat

12 + 4 9−5

13.

Samun ja Mian yhteenlaskettu ikä on 36 vuotta. Samu on kaksi kertaa niin vanha kuin Mia. Kuinka vanhoja he ovat?

14.

Alina ja Veera lottosivat yhdessä niin, että Alina maksoi 5 € ja Veera 3 €. He voittivat 480 €. Kuinka voitto pitää jakaa?

15.

Anna maalautti talonsa. Kaksi maalaria teki töitä 12 päivää. Kuinka kauan maalausurakka samalla työtahdilla olisi kestänyt, jos maalareita olisi ollut kolme?

Merkitse ja laske. a) Lukujen 18 ja 6 erotus. b) Lukujen 4 ja 8 tulosta vähennetään 12. Kun eräästä luvusta vähennetään 16, saadaan 23. Mikä on tämä luku?

Mikä on kahvin kilohinta?

2,4

10.

Laske. Kirjoita laskun välivaiheet näkyviin vihkoosi. Muista merkitä vastaus.

18 ⋅7 9−3

K1 Kotitehtäviä

Laskujen merkitseminen, s. 8–9

a) 18 - 5 + 7 c) 7 ⋅ 8 - 26 8-2 3

b) 5 + 15 : 3 d) 20 : 5 ⋅ 4 27 3⋅3

a) (14 + 16) ⋅ (20 : 4) b) (9 - 3) ⋅ (9 + 3)

Lentopallojoukkue on pelannut 18 ottelua. Voittoja on 4 enemmän kuin tappioita. Kuinka monta ottelua joukkue on voittanut?

120 cm pitkä lauta sahataan kolmesta kohtaa poikki niin, että kaikki osat ovat yhtä pitkiä. Kuinka pitkiä osat ovat?

Merkitse ja laske. Lukujen 23 ja 7 summa jaetaan lukujen 3 ja 5 tulolla.

Kahdeksan jalkapallojoukkuetta pelaa sarjan niin, että jokainen pelaa kerran jokaista vastaan. Kuinka monta ottelua pelataan?

0€

Neljästä litrasta maitoa voidaan valmistaa 400 g kotijuustoa. Kuinka paljon maitoa tarvitaan, kun halutaan valmistaa 1 kg juustoa?

11.

Merkitse ja laske. Lukujen 5 ja 6 tulon puolikas jaetaan lukujen 27 ja 12 erotuksen kolmasosalla.

12.

Muodosta vain näitä kortteja käyttämällä lauseke, jonka arvo on 5. Kaikki kortit on käytettävä. 6

⋅

Laskujen merkitseminen, s. 10–11

[(7 + 9) : (5 - 3)] ⋅ 3

3 · [17 - (1 + 6)] - 20

10.

Karoliina, Oona, Henri ja Eetu muodostavat neljän oppilaan ryhmän. Kuinka monta erilaista kahden oppilaan ryhmää heistä voidaan muodostaa?

11.

[45 - (8 + 7)] - {60 : [20 - (11 - 6)]}

12.

Linja-autoasemalta lähtevät bussit eri linjoille seuraavasti: linjalle A aina 12 minuutin välein, B aina 24 minuutin välein ja C aina 30 minuutin välein. Kello 10 bussit lähtevät samaan aikaan. Milloin seuraavan kerran lähtee a) kaksi bussia b) kolme bussia samaan aikaan?

[29 - 3 ⋅ (12 - 9)] : 5

14.

15 - {10 - [12 - (4 + 6)]}

15.

Kuinka monta vihreää purkkia painaa yhtä paljon kuin yksi punainen pallo?

a) 108 - 8 ⋅ (2 + 8) b) 36 : 9 + 2 ⋅ 3 - 15 : 5

(18 + 12) : 8 ⋅ 5

(18 + 12) : (8 ⋅ 5)

18 + 12 : (8 ⋅ 5)

Laske. Kirjoita laskun välivaiheet näkyviin vihkoosi. Muista merkitä vastaus. 2.

13.

Mikä seuraavista merkinnöistä esittää lauseketta ”Lukujen 18 ja 12 summa jaetaan lukujen 8 ja 5 tulolla.” 18 + 12 : 8 ⋅ 5

Laskujen merkitseminen, s. 10–11

Laskujen merkitseminen, s. 8–9

a) 8 + 12 : 4 20 − 12 2⋅4

b) 15 - 5 ⋅ (7 - 5) 90 : 3 21: 7

Ida on 6 vuotta vanhempi kuin Valtteri. Heidän yhteenlaskettu ikänsä on 28 vuotta. Kuinka vanhoja he ovat?

Kokonaisluvut ja desimaaliluvut, s. 12–13

13.

Mitä lukuyksikköä numero 8 edustaa luvussa a) 2 800 650 b) 0,340 862?

14.

Kirjoita kokonais- tai desimaalilukuna. a) kuusikymmentätuhatta kolmesataakaksi b) miljoona neljäsataakaksituhatta kolmekymmentä c) kaksi kokonaista kuusi kymmenesosaa

44 − 4 ⋅ (16 : 2)

(9 − 6 ) ⋅ (21 − 17)

Merkitse ja laske. Lukujen 23 ja 7 erotus jaetaan lukujen 32 ja 4 osamäärällä.

Minkä luvun kaksinkertaisesta arvosta on vähennettävä 6, jotta erotukseksi saadaan 8?

 25 + 40 − 4 ⋅ 4 ⋅ 5 : 15   3 8 16.

{[25 - (9 + 6)] ⋅ 4 - 10} : (36 : 12)

Wilman rahat

Vastaus: Wilmalla 40 € ja Joelilla 25 €

Muista merkitä sanallisiin tehtäviin erillinen vastaus.

Teorin är tydlig och konsekvent. Förklarande exempel fördjupar förståelsen och ger förutsättningar för självständiga studier.

Lisätehtävät s. 188 Kotitehtävät s. 241

Övningsuppgifterna är grupperade och indelade så att den studerande efter gemensamma uppgifter kan välja själv enligt svårighetsgrad.

188

241

TilläggsHemuppgifter finns uppgifterna för de snabbaste. kan ges som sådana eller efter lärarens övervägande.

Kotitehtäviä

BOKENS UPPBYGGNAD

I slutet av boken finns Flexuppgifter som kan räknas om det lämnar tid över. Till dessa finns sidoreferenser om när de passar in. Grupparbeten är märkta med denna symbol.

NIVÅINDELNINGEN AV UPPGIFTERNA I BOKEN svårighetsgrad på uppgifterna

1. 1. Gemensam uppgift

2. utförande

4. Grunduppgift

3. 4.

7. Fördjupad uppgift

10. Utmaning

6. 9. 10. 10. De gemensamma uppgifterna är grunduppgifter som ger basfärdigheter inom det behandlade temat. Utmaningarna är oftast mycket krävande. De är tänkta som frivilliga extra uppgifter för elever med specialintresse för matematik. I mitten och i slutet av varje kapitel finns ett repetitionsavsnitt som kan användas självständigt av eleven vid provförberedelse.

Till eleven

Matematik handlar inte bara om förmågan att räkna. Matematik är också identifiering av figurer, behandling av information, logiskt tänkande och problemlösning. Då du studerar matematik behöver du kunna arbeta dels självständigt, men också tillsammans med andra i grupp.

Tal och 1. räkneoperationer

Matematiken är äldre än skrivkonsten. För ca 6000 år sedan lärde sig människan teckna ned händelser och tankar. Grundläggande tal-, storhetsoch formbegrepp har dock sina rötter i människlighetens begynnelse.

4 ⋅ 6 − 2 ⋅ 5 = 24 − 10 = 14     

Exempel 1

Beräkningar och uträkningar       

uppgiften

mellansteg

svaret

Skriv ut mellanstegen tillräckligt noggrant så att det klart framgår hur du löst uppgiften. Kontrollera att du använt likhetstecknet (=) rätt. ORDNINGSFÖLJD VID UTRÄKNINGAR

1. Multiplikationer och divisioner vanligen från vänster till höger. 2. Additioner och subtraktioner vanligen från vänster till höger. Ordningsföljden kan ändras med parenteser.

Exempel 2

24 : 8 ⋅ 4 : 2 = 3 ⋅ 4 : 2 = 12 : 2 = 6

Exempel 3

a) 15 − 4 ⋅ 3 = 15 − 12 = 3 b) (15 − 4) ⋅ 3 = 11 ⋅ 3 = 33 Division kan betecknas på två olika sätt, antingen med kolon eller med bråkstreck.

Exempel 4

(14 + 16) : (2 ⋅ 3) = 30 : 6 = 5

Då kolon används behövs parenteser oftare än då bråkstreck används.

eller 14 + 16 30 = =5 6 2⋅3 Wilma och Joel har tillsammans 65 euro. Wilma har 15 euro mera än Joel. Hur mycket pengar har var och en av dem? 65 € − 15 € = 50 € 50 € : 2 = 25 € 25 € + 15 € = 40 €

Vi subtraherar så mycket som Wilma har mera Joels pengar Wilmas pengar

Svar: Wilma har 40 € och Joel har 25 €. 8

Kom ihåg att skilt skriva ut svar på textuppgifter.

Kombinera rätt uttryck med rätt benämning. 9 ⋅ 5 1

A kvot

4 + 8

B produkt

12 : 6 3

C differens

7 − 3 4

D summa

Räkna. Skriv ut uppgiften och mellanstegen i ditt häfte. Kom ihåg att märka ut svaret.

a) 6 - 4 + 3 c) 5 ⋅ 6 ⋅ 3

3 ⋅8 3+9

b) 10 : 2 ⋅ 5 d) 24 : 6 : 2 b)

20 − 5 12 : 4

4. a) 3 + 7 ⋅ (5 - 2) b) (3 + 7) ⋅ 5 - 2 c) (3 + 7) ⋅ (5 - 2) 5.

a) 16 - 12 : 6 - 4 b) (16 - 12) : (6 - 4)

12 + 4 9−5

10. Hur mycket kostar 2 kg emmentalost om 3 kg kostar 45 €? 11. a) (6 ⋅ 5 + 10) : 8 (12 + 3) ⋅ (7 − 5) b) 48 : (5 + 3) 12. Skriv ut och beräkna. a) Från 20 subtraheras kvoten av 16 och 2. b) Summan av 25 och 15 divideras med differensen av samma tal. 13. Samuels och Mirjams sammanlagda ålder är 36 år. Samuel är dubbelt så gammal som Mirjam. Hur gamla är de? 14. Alina och Vera köpte en lott tillsammans så att Alina betalade 5 € av lotten medan Vera betalade 3 €. De vann 480 €. Hur ska de fördela vinsten? 15. Två målare målade Axels hus på 12 dagar. Om arbetstakten varit den samma, hur länge skulle det ha tagit för tre målare?

18 ⋅7 9−3

7. Beteckna och beräkna. a) Differensen av talen 18 och 6. b) Från produkten av 4 och 8 subtraheras 12. 8. 9.

Då 16 subtraheras från ett tal fås differensen 23. Vilket är talet? Vad är kaffets kilopris?

2,4

0€

500 g

Tilläggsuppgifter s. 188 Hemuppgifter s. 241

1. Beräkningar och uträkningar PARENTESER

Bågparenteser ( ) Hakparenteser [ ] Klammer parenteser { }

Exempel 6

Om det i uttrycket finns parenteser inom parenteser räknar man alltid först den innersta parentesens värde. Ordningsföljd för beräkning av parenteser: 1. bågparenteser, 2. hakparenteser, 3. klammerparenteser

52 − 2 ⋅ {23 − [18 : (2 + 4)]} Vi avskaffar bågparenteserna = 52 − 2 ⋅ {23 − [18 : 6]} Vi avskaffar hakparenteserna = 52 − 2 ⋅ {23 − 3} Vi avskaffar klammerparenteserna = 52 − 2 ⋅ 20 = 52 − 40 = 12 Vidare till kvartsfinalen i en tennisturnering gick 8 spelare. Turneringen spelades enligt ett cup−system så att vinnaren från varje match gick vidare och förloraren föll ut. Hur många matcher spelades totalt? Metod 1 1:a omgången

4 matcher

2:a omgången

2 matcher

3:e omgången

1 match Förklara gärna genom att rita figur och använda egna ord.

Svar: 7 matcher

Metod 2 Alla spelare förutom vinnaren av turneringen förlorar exakt en gång. Antalet matcher är alltså lika många som antalet förluster. 8−1=7

Svar: 7 matcher

16.

a) 4 ⋅ [18 : (10 − 7)] b) 15 − 5 ⋅ [10 − (3 + 5)]

23.

a) [(15 − 12) + (9 − 5)] ⋅ 8 b) (12 + 7) − {29 − [(32 − 4) : 2 − 4]}

17.

a) [36 − (11 + 9)] : 2 b) 4 ⋅ [20 : (2 + 3)]

24.

a) {(17 − 7) − [(9 − 5) : 4 + 3]} ⋅ 5 b) {10 ⋅ [4 + (13 − 9)]} : [20 − (7 + 5)]

18.

a) 6 ⋅ {10 − [8 − (2 + 4)]} b) (14 − 6) − {[30 − (11 + 9)] − 5)}

25.

19.

Vilket tal saknas? Motivera ditt svar.

26.

Skriv ut och beräkna a) summan av kvoten respektive produkten av talen 12 och 4 b) produkten av differensen respektive kvoten av talen 28 och 7.

27.

Marie gjorde en lång cykellänk. Först avverkade hon halva rutten och höll en paus. Sedan fortsatte hon med en tredjedel av den återstående delen och pausade. Slutligen cyklade hon 6 km och var då hemma igen. Hur lång blev cykellänken tillsammans?

28.

Bestäm priset för två böcker.

2 4

3 8 20.

Skriv ut och beräkna a) kvoten av talen 42 och 6 b) summan av talen 23 och 17.

21.

I skolmatsalen finns bord i vilka det ryms sex personer (se figur). Till ett föräldramöte sätts borden ihop till ett långbord, d.v.s. borden sätts i rad utan mellanrum. Hur många bord behövs för att det vid långbordet ska rymmas a) 20 b) 30 personer?

(

)

40 − 12 : 3  20 ⋅ 17 − +2   4 (12 − 9 ) ⋅ 4 

Föremål

Pris tillsammans

34 € 48 € 42 € ?€

22.

Sätt in parenteser så att uttrycket är sant.

29.

Placera tecknen +, −, · och : i talföljden nedan så att den stämmer. Du får också använda parenteser.

4 ⋅ 2 − 10 + 15 : 5 = 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 10

Tilläggsuppgifter s. 188 Hemuppgifter s. 241

Heltal och decimaltal Vårt talsystem kallas för det decimala talsystemet och våra tal bildas av tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.

DECIMALA TALSYSTEMET

tusenta l hundra tal tiotal ental tiondela r hundra delar tusend elar

Det decimala tal systemet har sina rötter i Indien. Därifrån spreds det till arabvärlden och utvecklades innan det på 1500talet kom till Europa.

7984,025

heltalsdel decimaldel

Siffrornas värde beror på deras position i talet. För varje steg till vänster blir värdet tiofalt större. STORA TAL: miljon miljard biljon triljon

Exempel 1

1 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000

Ange talet 7,2648 med en decimals noggrannhet. 7,2 648 ≈ 7,3

≈ ungefär lika med

AVRUNDNINGSREGEL

Om den första siffran som lämnas bort är större än eller lika med 5 så ska den sista siffran som tas med höjas med ett.

Avrunda talet 23 782 till hundratal. 23 7 82 ≈ 23 800 Man får inte klippa av ett heltal utan de bortlämnade siffrorna måste ersättas med nollor.

1. Skriv som heltal eller decimaltal. a) tusenfyrahundratvå b) femton hundradelar 2.

Vad anger siffran fem i talet a) 2135 b) 5302 c) 3,54 d) 0,2759?

Skriv med en decimals noggrannhet. a) 8,057 b) 0,609 b) 250,44 d) 1,95

4. Skriv med två decimalers noggrannhet. a) 1,754 b) 0,6161 25,303 d) 0,999 c) 5.

Avrunda talen till hundratal. a) 56 423 b) 651 c) 120 888 d) 88

Avrunda talet till tusental. a) 22 800 b) 107 210 c) 895 d) 4 300 600

Då man betalar kontant i butiker i Finland avrundas slutsumman till närmaste 5 cent. Avrunda summorna för följande inköp. a) 4,53 € b) 12,62 € c) 3,04 € d) 5,98 €

Skriv tre tal som är mellan a) 8 och 9 b) 5,1 och 5,2.

Talföljderna nedan följer en viss regel. Fortsätt talföljderna med två tal. a) 2,4 2,5 2,6 b) 0,1 0,3 0,5 c) 1,9 1,8 1,7

10.

Hur många a) tal med en decimal b) tal med två decimaler c) tal finns mellan 3,4 och 3,5?

11. Hur fortsätter talföljden? Skriv ut de två följande talen. a) 8,3 8,2 8,1 b) 5,07 5,08 5,09 c) 1,03 1,02 1,01

I praktiska uppgifter är det ofta mest praktiskt att använda miniräknare. Du får nu öva på att använda den.

12. Räkna med miniräknare. a) 17 + 25 ⋅ 48 b) (17 + 25) ⋅ 48 348 + 774 66,78 c) d) 6 2,1⋅ 10,6 13. Ange svaret med en decimals noggrannhet. a) 2,41 ⋅ 3,08 b) 122 : 7 4,5 − 2,81 80 c) d) 14 ⋅ 12 5 14. Ange svaret med två decimalers noggrannhet. a) 386 : 54 b) 12,8 ⋅ 0,66 c) 154 - (34,2 + 23,5) : 3

11⋅ 69 450 60 − d) e) 190 50 12 ⋅ 68

15. Finlands Bank skickar iväg en penga transport som innehåller 2 euros mynt till ett värde av 4 000 000 euro. Hur stor massa har lasten då ett mynt väger 8,5 g. Ge svaret i kilogram.

Tilläggsuppgifter s. 189 Hemuppgifter s. 241

2. Heltal och decimaltal 10 ⋅ 5,6 = 56 100 ⋅ 0,045 = 4,5 45 : 10 = 4,5 2,8 : 1000 = 0,0028

Exempel 3

a) b) c) d)

Exempel 4

a) 4,2 + 1,43 = 5,63 b) 8,39 − 2,2 = 6,19

Kommatecknet flyttas en siffra åt höger Kommatecknet flyttas två siffror åt höger Kommatecknet flyttas en siffra åt vänster Kommatecknet flyttas tre siffror åt vänster 4, +

−

Vid uppställning av addition eller subtraktion placeras kommatecknen under varandra.

Exempel 5

0,3 ⋅ 0,4 = 0,12

Produkten har lika många decimaler som faktorerna har tillsammans.

Exempel 6

a) 2,4 : 0,6 = 24 : 6 = 4

Vid division förlängs talen så att nämnaren blir ett heltal. Kommatecknet flyttas lika många steg

Kommatecknet flyttas en siffra.

åt höger i både täljare och nämnare.

b) 8 : 0,04 = 800 : 4 = 200 Kommatecknet flyttas två siffror.

Exempel 7

Om det inte går jämnt ut då två tal divideras fås ett oändligt periodiskt decimaltal där samma sifferföljd börjar upprepas. Denna återkommande sifferföljd, alltså perioden, kan bestå av bara en siffra, men kan också vara väldigt lång. 7 : 13 = 0,538461538461… period     

Decimaltalen utvecklades först på 1400talet. Matematikern John Napier (1550–1617) tog i bruk decimal tecknet.

Ett oändligt periodiskt decimaltal kan skrivas på två olika sätt: • Man skriver upp perioden åtminstone två gånger och skriver slutligen tre punkter för att visa att talet fortsätter. • Man märker ut perioden med ett streck ovanför. 0,538461538461… = 0,538461

Räkna i huvudet eller ställ upp (16-20). 16. a) 0,1 + 0,2 b) 1,5 - 0,4 c) 2,2 + 0,6 d) 6,3 - 0,3 17. a) 10 ⋅ 9,2 c) 64 : 10

b) 100 ⋅ 0,55 d) 3,2 : 1000

18. a) 4 ⋅ 0,2 c) 4,2 : 2

b) 0,7 ⋅ 0,6 d) 0,6 : 0,3

19. Utför den utskrivna räkneoperationen och skriv in svaret i rutan ovanför.

⋅ −

−

+ + + 3,5 2,3 0,5 1,1

25. Utför den utskrivna räkneoperationen och skriv in svaret i rutan ovanför.

: ⋅

3,5 -

2,7 -

⋅ 1,6 :

26. Bestäm talet som saknas. = 8,1 a) 6,3 + b) 0,6 = 0,45 c) ⋅ 2,4 = 0,72 d) : 0,7 = 7 27. Medeltalet i Jennys fyra matematikprov är 8,5. Vad fick hon i det första provet då 1 hon i de övriga fick 8 , 8+ och 9? 2

20. Vilket tal saknas i den gråa rutan? a) 4,2 + = 5,5 b) 2,7 = 2,1 c) ⋅ 0,8 = 1,6 d) : 0,4 = 2

28. Vilken period finns i talet? Hur många siffror innehåller den perioden? a) 0,2929… b) 1,66… c) 0,2364723647…

21. Priset på telefonsamtal är 6,9 cent/minut. Emma pratade i september 16 timmar och 40 minuter i telefon. Hur mycket kostade hennes samtal?

29. Räkna och skriv ut kvoten som ett oändligt decimaltal. a) 20 : 3 b) 4 : 11 c) 11 : 6 d) 17 : 21

Räkna i huvudet (22-26). 22. a) 1,3 + 0,7 b) 7,1 - 3,4 c) 1,35 + 0,6 d) 6,44 - 1,5 23. a) 10 ⋅ 0,34 c) 2,6 : 100

b) 1000 ⋅ 23,6 d) 34 : 10 000

24. a) 5 ⋅ 0,7 c) 3,6 : 9

b) 0,5 ⋅ 0,9 d) 6,4 : 0,8

Undersök med dator. Undersök kvoter där både täljaren och nämnaren är högst tvåsiffriga heltal. Hur många siffror finns i den längsta perioder du hittar? Vem hittade den längsta perioden?

Tilläggsuppgifter s. 189 Hemuppgifter s. 242

Bråk BETECKNINGAR

1 8

Exempel 1

täljare nämnare

5) Förläng talet 3 med 5. 4

3 = 15 4 20

Förkorta talet

2 16 = 3 24

Talet man förlänger med skrivs på vänster sida.

FÖRLÄNGNING

Täljaren och nämnaren multipliceras med samma tal.

16 . 24

FÖRKORTNING

Talet man förkortar med skrivs på höger sida.

Täljaren och nämnaren divideras med samma tal.

8 är det största tal som går jämnt ut i både 16 och 24. Förläng alltid så långt som möjligt om inget annat anges i uppgiften.

Förläng talen 4)

2 8 = 3 12

2 3 och så att de blir liknämniga. 3 4 3)

3 9 = 4 12

Hitta det minsta tal som är delbart med nämnarna 3 och 4. I detta fall är det 12.

LIKNÄMNIGA BRÅK

Bråk som har samma nämnare.

Förläng bråket med ett utskrivna talet. 4) 3) 8) 1 2 3 b) c) a) 2 5 4 2.

Förkorta. 4 6 7 b) c) a) 8 24 28 3.

Förkorta. 36 44 60 b) c) a) 48 77 90 4. 5.

Bestäm talet som fattas. 6 1 2 = a) = b) 30 7 21 Bestäm talet som fattas. 21 36 4 a) = b) = 28 4 81

Kom ihåg att förkorta svaret då det är möjligt i följande uppgifter (6-7 och 9-11). 6.

Vilket bråk motsvarar den färglagda figuren? a) b)

Rita en figur och färglägg 1 3 b) a) 3 4 av den. 9.

Hur stor del av en timme är a) 10 min b) 20 min c) 40 min d) 45 min?

10. Hur många minuter är 1 1 b) h a) h 2 4 1 5 h? c) h d) 5 6 11. Hur stor del av en ett dygn är a) 1 h b) 6 h c) 12 h d) 20 h? 12. Förläng bråken så att de blir liknämniga. 1 1 2 3 , a) , b) 3 5 5 10 1 1 3 5 c) , d) , 4 6 8 12 13. Förläng bråken så att de blir liknämniga. 1 2 3 1 5 2 , , a) , , b) 2 3 4 3 6 9 14. Ordna bråken så att de kommer i storleksordning. Börja med det minsta. 5 7 3 6 12 4 1 15. Skriv tre bråk som är större än , men 3 1 mindre än . 2

1 7. Figuren färgläggs ytterligare med . 6 Vilket bråk motsvarar den färglagda figuren efter det? Tilläggsuppgifter s. 190 Hemuppgifter s. 242

3. Bråk Från bråkform till blandad form

Exempel 4

2 17 =3 5 5

Då 17 divideras med 5 fås 3 hela och 2 som rest.

Från blandad form till bråkform

Exempel 5

2⋅3+1=7 Heltalsdelen 2 multipliceras med nämnaren 3 och till produkten adderas täljaren 1 så att man får 7.

1 7 = 3 3

Från heltal till bråkform

Exempel 6

Ett heltal görs om till bråktal genom att man sätter in nämnaren 1.

8 1

Från decimaltal till bråkform eller blandad form

Exempel 7

a) 0,27 =

27 100

b) 5,4 = 5

Sista siffran 7 anger hundradelar.

4 2 =5 10 5 Kom ihåg att förkorta!

Från bråkform till decimaltal Ett bråk fås till decimaltal genom att man utför divisionen bråket står för.

Exempel 8

3 = 0,375 8

2 = 0,666… ≈ 0,67 3

17 ≈ 1,31 13

16. Skriv som heltal eller i blandad form. 7 12 19 b) c) a) 3 4 6 17. Skriv som heltal eller i blandad form. 13 45 51 b) c) a) 5 5 8 18. Skriv i bråkform. 1 2 b) 2 a) 1 2 3 19. Skriv i bråkform. 5 1 b) 4 a) 3 6 2

27. Fyll i de tal som fattas. 1 27 2 = = = 2, 4 4

1 4

28. Vilket av talen är större? 1 2 b) 2,4 eller 2 a) 0,4 eller 4 5

4 9

29. Skriv tre tal som är lika stora som 1,2.

c) 6

c) 1

26. Skriv som decimaltal. Skriv talet som ett oändligt decimaltal. 5 3 1 a) b) 2 c) 6 11 7

20. Skriv i bråkform eller i blandad form. a) 1,9 b) 4,19 c) 0,003 21. Skriv i bråkform eller i blandad form. (Kom ihåg att förkorta!) a) 0,8 b) 2,04 c) 0,005

1 30. Skriv tre decimaltal som är större än 4 1 men mindre än . 3 31. Vilka kärl har lika stor volym? A

22. Skriv i bråkform eller i blandad form. a) 0,25 b 3,071 c) 8,8 23. Skriv som decimaltal. 7 21 a) b) 10 100 24. Skriv som decimaltal. 3 1 b) a) 5 8

19 c) 1000

7 20

0,5 l

1 l 2 E 1 l 5

1 1 l 2

D 0,2 l

1,5 l

H 3 l 4

0,25 l

25. Skriv som decimaltal. 1 7 9 2 b) 3 c) 5 a) 4 25 40

Tilläggsuppgifter s. 191 Hemuppgifter s. 243

4. Exempel 1

Addition och subtraktion av bråk a)

1 2 2 2+2 4 + = = =1 3 3 3 3 3

1 2 7 5 2 b) 2 − 1 = − = 3 3 3 3 3

c) 3

Omvandla från blandad form till bråkform.

Exempel 2

4 1 3 −1 =2 5 5 5

Ibland kan det gå lättare att räkna heltalsdelarna och bråkdelarna var för sig.

3 2) 1 9 2 7 − = − = 4 6 12 12 12 Förläng först och gör bråken liknämniga.

b) 4

1 1 1 3) 9 2) 7 7 27 14 7 34 (2 17 2 +2 −1 = + − = + − = = =5 2 3 6 2 3 6 6 3 6 6 6 3 Kom ihåg att förkorta!

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

• Gör först bråken liknämniga om de inte är det. • Täljarna adderas eller subtraheras. • Nämnaren förblir oförändrad.

Exempel 3

(

)

5 1 1 Beräkna 1 − − . 2 3 6

(

)

5 5 1 4 2 3 2 5  3) 1 2) 1  − =1 − − =1 − =1 =1 1 −    2 3 6 6 6 6 3 6 6 6 Kom ihåg ordningsföljden!

RÄKNA SOM HUVUDRÄKNING

1 3 + 5 5

8 5 − 11 11

5 4 6 + − 7 7 7

8 4 3 − − 15 15 15

5. 3 +

1 4

2 1 7. 3 + 1 5 5 1 1 9. 4 + 1 + 3 3

6. 1 -

2 3

10.

Kom ihåg att förkorta och omvandla till heltal eller blandad form då det är möjligt. 11.

1 4 7 4 + 12. − 7 7 9 9

13.

1 1 1 3 1 3 + + 14. − + 3 3 3 4 4 4

17.

2 4 +1 5 5

3 1 19. + 5 10

1 1 7 1 3 − + 21. a) + b) 4 4 9 9 9 22. Hur mycket tandkräm ryms det till sammans i tandkrämstuberna?

3 dl 4

4 2 5 +1 − 9 9 9

RÄKNA SOM HUVUDRÄKNING

5 1 15. 2 + 1 6 6

Beräkna. Skriv ut mellanstegen (uppgifterna 21-29).

2 6 8. 4 − 3 7 7

Hur många kunde du?

2 16. 6 - 4 3 1 2 18. 2 − 1 7 7 1 1 20. − 2 3

3 dl 4

1 1 3 5 23. a) + b) − 5 3 4 8 1 5 1 1 1 24. a) + − b) 3 +2 6 9 3 3 4 25. Vilket av talen Hur mycket?

11 13 och är större? 12 15

3 3 1 + 26. a) − 5 10 20

1 7 b) 2 − 1 5 10

3 1 27. a) 4 − 2 5 3

2 1 b) 1 + 1 9 6

28. a)

14 11 − 25 20

3 6 29. a) 5 − 2 4 7

1 1 b) 1 + 3 15 3 1 1 1 b) 6 − 1 − 2 2 3 6

Hur många kunde du?

Tilläggsuppgifter s. 192 Hemuppgifter s. 243

4. Addition och subtraktion av bråk 30.

Rita av rutnätet i ditt häfte. Använd endast en färg för att färglägga.

1 a) Färglägg . 3 b) Färglägg ytterligare

34.

Räkna. 1 2 a) 2 + + 3 3

35.

a) 1

36.

37.

1 Av ett familjeföretag äger Rasmus , 3 2 Ronja och Lina resten. 5 a) Hur stor del äger Rasmus och Ronja tillsammans? b) Hur stor är Linas del?

38.

3 1 a) 5 − 2 8 8

39.

40.

a) Hur stor volym har dessa kannor tillsammans?

2 . 5

c) Räkna nu hur många rutor som är färglagda och fyll i: 1 2 + = = 3 5 30 31.

Kajsa har en liter saft. Räkna i huvudet hur mycket saft som blir över eller som ännu skulle rymmas i kannorna nedan. a) b)

32.

5 1 − 6 6

7 2 = 11 11 11

3 5 6 − + = 7 7 7 7

−

b) 3 b)

1 2 + 3 3

1 3 − 4 4

2 1 + 3 9

1 3 b) 3 − 1 4 4

1 3 1 +3 −2 5 4 2

1 1 1 b) 4 − 1 − 6 3 12

4 l 5 3 l 4 b)

5 7 + 9 9

1 + =1 4 4

1 l 5

1 l 2

b) Hur mycket mera saft ryms i den största kannan än den minsta?

Vilket tal saknas? a)

4 7 + 9 9

1 1 − 4 12

Räkna. a)

33.

1 l 3

b) 2 −

41.

a) 1

(

7 4 3 − + 20 5 10

)

( 21 + 61 ) − ( 31 + 41 )

47. a)

42. Avgör utan att räkna om summan är större eller mindre än ett. 1 1 1 3 a) + b) + 3 2 3 4

1 3 c) + 2 5

2 1 d) + 3 4

7 49. Jonna äger av ett familjeföretag. Levi 20 5 1 äger , Anni och Tobias äger resten. 12 5 a) Hur stor andel av företaget äger Tobias? b) Tobias säljer sin andel åt Jonna. Hur stor del av företaget äger Jonna nu?

1 1 2 b) 2 + − 1 = 1 3 3 3 3

44. x, y och z är positiva heltal. x är större än y och y är större än z. x x

y z

x z

x y

z y

z x

y x

a) Vilka av bråken ovan är större än talet 1? b) Vilket är det största talet? c) Vilket är det minsta talet?

2 50. Skillnaden mellan två tal är 4 . 3 1 Det ena talet är 6 . Beräkna det andra. 5 Denna uppgift har två svar, beräkna båda. 5 om 6 man adderar talet 2 till både täljare och nämnare?

51. Hur förändras värdet av bråket

1 5 45. a) 2 − 1 7 7

3 1 b) 4 − 2 8 8

46. Sanna hade en liter färdig saft. Hon fyllde flaska A och hällde resten i flaska B. Blev flaska B fylld, eller lämnade det ännu rum för mera saft? Ifall det lämnade, hur mycket?

1 l 3

1 1 1 b) - 2 6 7

2 1 1 1 48. 5 + 16 − 12 − 3 2 6 8

43. Fyll i. 5 1 1 a) + + = 1 6 6 6 6

7 5 12 18

52. 2 53.

(

2 1 1 - 4 −2 5 5 3

)

(1125 + 141 ) − ( 78 − 56 )

1 54. Av pojkarna i 7E har fotboll som hobby 3 1 och har ishockey som hobby. Hälften 4 av pojkarna håller varken på med fotboll eller ishockey. Hur stor del av pojkarna håller på med både fotboll och ishockey?

3 l 4 B Tilläggsuppgifter s. 192 Hemuppgifter s. 244

Multiplikation av bråk

Exempel 1

1 2 3 8 3 ⋅ 8 1⋅ 2 2 ⋅ = = = 4 9 4 ⋅ 9 1⋅ 3 3 1 3

Exempel 2

3 6 18 1 1 ⋅6 = ⋅ = = 9 2 2 1 2

Exempel 3

3 3 4 7 14 15 24 14 ⋅ 15 ⋅ 24 2 ⋅ 1 ⋅ 24 = ⋅ ⋅ = = 126 5 8 5 8 1 5 ⋅ 8 ⋅1 1 1

tai

3 8 24 (12 2 ⋅ = = 4 9 36 3

Omvandla tal i blandad form till bråkform.

Kom ihåg att förkorta!

MULTIPLIKATION AV BRÅK

Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna med varandra.

Exempel 4

Beräkna

2 av talet 27. 9

Metod 1 En niondel av talet 27 är Två niondelar av talet 27 är Metod 2 Två niondelar av talet 27 är

Exempel 5

Beräkna

27 : 9 = 3 2⋅3=6 3 2 2 27 ⋅ 27 = ⋅ = 6 9 1 9 1

2 3 av talet . 3 4

1 1 2 3 2⋅3 1 ⋅ = = 3 4 3⋅4 2 1 2 BERÄKNA ANDELEN AV ETT TAL

Från ett tal så kan man beräkna andelen genom att multiplicera med motsvarande bråk.

Beräkna. 1.

1 1 a) ⋅ 2 4

4 1 b) ⋅ 5 3

5 16 a) ⋅ 8 25

2 3 b) ⋅ 9 10

3 4

5 b) ⋅ 12 9

a) 8 ⋅

2 1 a) 2 ⋅ 1 3 8

En glasstrut innehåller 80 g glass. 4 Andelen kolhydrater och fett är 5 1 respektive . Hur många gramn 8 a) kolhydrater b) fett finns det i en glasstrut?

15 14 4 ⋅ ⋅ 16 15 7

10. Av de 24 läskflaskorna i en korg är fem åttondelar apelsinläsk. Hur många flaskor är apelsinläsk? 1 11. a) 6 ⋅ 5 3

3 1 b) 2 ⋅ 1 4 11

3 av en figur. Bestäm 7 själv hur figuren ser ut och rita resten.

12. Det blåa området är

9 3 22 ⋅ ⋅ 11 5 27

4 5 b) 1 ⋅ ⋅ 3 5 9

2 h? 9 Ange svaret både som timmar och minuter. Hur mycket är tre fjärdedelar av

1 av en figur. 3 Bestäm själv hur figuren ser ut och rita resten.

Det röda området är

Bestäm talen som saknas.

1 2 a) ⋅ = 3 15

13. Bestäm talen som saknas.

4 4 a) ⋅ = 7 11

b) ⋅

4 1 = 9 9

1 3 1 1 1 14. 3 ⋅ 1 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 5 11 4 7 40 15. Det högsta levande trädet är den ame rikanska sekvojan, också kallad redwood, som kan bli upp till 110 meter högt. Tre fjärdedelar av trädet skulle kunna utnyttjas. Hur många fyra meter långa stockar får man i så fall av sex stycken så höga träd?

7 14 b) ⋅ = 9 27 Tilläggsuppgifter s. 193 Hemuppgifter s. 244

Division av bråk INVERS

Två tal vars produkt är lika med ett sägs vara varandras inverser.

Exempel 1

Tal

Invers

Produkt

3 1

1 3

3 1 3 ⋅ = =1 1 3 3

1 5

5 1

1 5 5 ⋅ = =1 5 1 5

1 7 2 = 3 3

3 7

7 3 21 ⋅ = =1 3 7 21

10 3

3 10 30 ⋅ = =1 10 3 30

0,3 =

3 10

Inversen till ett bråk fås genom att täljaren och nämnaren byter plats. DIVISION AV BRÅK

Att dividera med ett bråktal är samma som att multiplicera med detta bråktals invers. Division ändras till multiplikation.

Exempel 2

3 3 3 8 24 : = ⋅ = =2 4 8 4 3 12 Täljaren inverteras.

Exempel 3

2 7 7 7 1 7 (7 1 1 :7 = : = ⋅ = = 5 5 1 5 7 35 5 Omvandla från blandad form, decimaltal och heltal till bråkform.

Exempel 4

0,3 :

3 3 3 3 5 15 (15 1 = : = ⋅ = = 5 10 5 10 3 30 2

Skriv av tabellen i ditt häfte och fyll i tomrummen. Tal

Invers

Tal

Invers

1 1 6

1 3

2 5

0,7

1 4

Beräkna tågets hastighet då 180 km tar 1 1 timmar. 5 (Tips: hastighet = sträcka : tid)

För pälsskötseln av familjens hund Nella 1 köptes en 1 liters schampoflaska. 4 a) Till hur många tvättar räckte flaskan 1 då det gick åt liter per tvätt? 20

Beräkna. 2.

3 1 : 4 4

5 :3 7

b) 8 :

3 1 a) 2 : 7 2

Hur många flaskor saft ryms i kannan?

1 l 3

4 2 : 9 27 2 3

b) Schampot blandades med vatten så 1 att schampots andel var . 40 Hur mycket vatten behövdes det för en tvätt?

1 : 0,1 5 8. 3

2 l 3

I handboken till en veteranbil står det 2 att bensintanken rymmer 14 gallon 3 bensin. Hur många liter är det, då en 4 liter är av en gallon? 15

Tilläggsuppgifter s. 193 Hemuppgifter s. 244

6. Division av bråk

( 34 − 41 ) : 21

4 1 b) 1 − ⋅ 7 7 7

1 2 : 4 5

2 3 : 5 7

18.

10.

5 2 : 8 3

1 2 : 7 9

19.

11.

1 1 : 2 3

3 4 : 7 7

Beräkna bråkuppgifterna och sök vilket tal som motsvarar vilken bokstav. Rita av svarsrutnätet i ditt häfte och fyll i bokstaven under uppgiftsnumret.

12.

1 a) : 3 3

1 b) 4 : 3

13.

1 1 a) 2 : 2 4

1 5 b) 3 : 3 9

14.

1 1 a) 2 :1 4 2

1 b) 1 : 2 3

2⋅

1 3

15.

3 3 2 a) 1 : − 4 4 3

1 2

1 6 ⋅ 6 7

2 :2 5

1 3 : 3 5

1 2 1 : ⋅ 3 3 2

Kom ihåg räknesättens ordningsföljd.

16.

Risgrynsgröt (för 4 personer)

1 4 l vatten

1 1 dl ris 2

3 l mjölk 4

1 tsk salt

Hetta upp vatten och mjölkblandningen och tillsätt därefter risen. Låt gröten koka i ca 5 minuter, varefter den får sjuda tills den är klar. Smaksätt med salt.

17.

( )

2 1 1 ⋅ + 3 3 3

4 1 3 ⋅ + 5 2 10

6 1 − 7 7

1 3

2−

1 3

2 3

3 5

5 9

1 5

2 9

5 7

1 7

Ville ska koka gröt för sex personer. Beräkna hur mycket han behöver av var och en av ingredienserna?

1 2 + 5 5

1 3

2 3

I facit finns en sifferkod som sätter bokstäverna i rätt ordning. Då får du ett ord som påminner dig om vad du ska komma ihåg då du räknar i ditt häfte.

3 2 20. a) : 5 5

6 3 b) : 7 14

5 2 21. a) : 8 3

1 2 b) : 7 9

22. a) 4 : 23. a)

2 6 b) : 3 5 11

3 : 0,6 10

b) 0, 4 :

2 7

1 1 24. a) 2 :1 4 8

5 7 b) 5 : 6 12

3 1 25. a) 6 : 2 5 5

3 6 b) 2 : 4 7 7

3 1 26. a) 12 : 2 4 8

1 1 b) 4 : 7 2 5

2 till skatt. 5 Hur stor är bruttolönen om nettolönen är 1800 euro?

27. Av Joels pappas lön går

28.

Fruktig kvargsmoothie

(4 portioner) 1 burk naturell kvarg 1 dl grädde 2 1 1 dl socker 1 dl ananasjuice 2 2 1 1 tsk vanillinsocker 1 dl apelsinjuice 2 Vispa samman ingredienserna tills det blir fluffigt och servera drycken genast.

Beräkna hur mycket Kristin behöver av respektive ingrediens då hon gör a) tre portioner b) sju portioner.

29. Anastasias familj far ut till sin sommar 23 stuga. av vägen kör de med bil, 24 3 åker de med båt och 500 m går de. 80 Hår långt är det till familjens sommar stuga? 3 2 5 1 30. a) − ⋅ + 4 5 7 4

( )

( 34 − 25 ) ⋅ 75 + 41

1 1 2 31. a) 7 : 1 : 2 2 5

5 2 1 b) 5 ⋅ 6 :1 8 9 6

3 3 3 32. a) 1 : + 2 ⋅ 4 4 4

1 1 + 2 3 b) 1 1 − 2 3

33.

(2 21 ⋅ 45 + 1− 31 ) : 23

RÄKNA SOM HUVUDRÄKNING

1 2 34. a) : 4 3

b) 5 :

1 c) 1 : 3 8

Hur många kunde du?

5 7

3 1 2 d) : ⋅ 4 2 3

Tilläggsuppgifter s. 193 Hemuppgifter s. 244

7. 1.

Repetition

Beräkna. a) 2 + 8 : 2 c) 5 ⋅ 4 : 2

b) 25 − 5 ⋅ 4 d) 24 : 6 : 2

a) 8 + (12 − 2) : 5 b) (3 + 7) ⋅ (5 − 2)

a) 8 − [12 − (7 + 3)] b) (10 − 2) + {[9 − (4 + 2)] + 3}

Beteckna och beräkna a) differensen av talen 17 och 7 b) kvoten av talen 15 och 5.

10.

6+2 9−7

20 2⋅5

Vad anger siffran tre i talet a) 4236 b) 6320 c) 3,25 d) 0,36? Skriv talet med en decimals noggrannhet. a) 7,077 b) 0,312 b) 25,69 d) 2,99 Avrunda talen till hundratal. a) 4320 b) 780 c) 29 444 d) 99 Beräkna. a) 10 ⋅ 9,2 c) 64 : 10

b) 100 ⋅ 0,55 d) 3,2 : 1000

Räkna med miniräknare och skriv ut svaret som ett oändligt decimaltal. a) 6 : 9 b) 9 : 11 c) 21 : 37 d) 1 : 7

11.

Förkorta. 3 a) 6

4 10

16 24

12.

Omvandla till heltal eller blandad form. 11 12 40 b) c) a) 7 5 3

13.

Omvandla till bråkform. 1 1 b) 3 a) 2 2 3

c) 4

3 5

14.

2 5 + 9 9

8 3 − 13 13

15.

15 5 2 − − 17 17 17

2 4 5 + − 11 11 11

16.

2 1 + 3 9

3 1 − 4 6

17.

2 1 a) 1 + 2 2 3

18.

19.

a) 6 ⋅

20.

4 2 : 7 5

1 4 b) 1 : 3 9

21.

3 7 1 + − 5 10 2

3 4 5 b) 1 ⋅ 1 ⋅ 7 10 6

22.

4 2 a) 2 − 3 ⋅ 5 5

3 5 ⋅ 5 6 5 12

2 1 b) 4 − 1 5 3 1 4 b) 2 ⋅ 4 5 b)

4 :12 9

(

b) 2 − 1

)

1 2 : 4 3

Beräkna. 23. a) 27 : 3 + 6 - 10 : 5 ⋅ 2 b) [15 ⋅ 8 : (4 + 6) - 10] ⋅ 12

32. Omvandla till decimaltal. 6 3 30 b) c) 5 a) 24 4 16

24. a) 5 ⋅ {3 + [4 - (15 - 13)]} b) 23 - 6 : 2 ⋅ {10 - [(8 + 2) : 5] ⋅ 3}

33. Förkorta. 16 a) 20

25. a)

(8 + 4) ⋅ 3 36 : 6 + 4 :5 b) 24 : (6 − 2) 1+ (7 − 3) : 4

26. Beteckna och beräkna. a) Från kvoten av 48 och 4 subtraheras talet 7. b) Produkten av summan respektive differensen av 8 och 6 divideras med 2. 27. Vad anger siffran sex i talet a) 4236 b) 6320 c) 60,49 d) 0,0562? 28. Skriv talet med två decimalers noggrannhet. a) 2,609 b) 0,3333 c) 7,095 d) 1,9999 29. Avrunda talet 3 930 599 till a) tiotal b) tusental c) miljontal. 30. Räkna i huvudet. a) 1,5 + 0,8 b) 3,4 - 1,05 c) 0,7 ⋅ 0,6 d) 2,4 : 0,04 31. Räkna med miniräknare och skriv ut svaret som ett oändligt decimaltal. a) 5 : 13 b) 9 : 22 c) 31 : 37 d) 12 : 7

Beräkna. 1 1 34. a) + 7 4

32 90

384 512

2 1 b) − 5 8

2 2 1 6 35. a) 1 + 2 b) 11 − 6 3 5 7 5 4 21 36. a) ⋅ 7 28

5 10 b) : 9 27

1 1 37. a) 4 ⋅ 12 b) 5 : 0,8 6 3 3 12 1 2 3 15 38. a) ⋅ ⋅ b) 3 ⋅ ⋅1 4 25 9 5 7 18 4 5 7 5 2 39. a) 3 : b) : ⋅ 7 7 9 18 7

( 23 ) : 25

40. a) 2 −

(

)

1 7 1 b) 2 ⋅ 1 − : 8 16 8

( )

4 5 1 1 2 41. a) 1 : + b) : 8 +1 5 3 9 9 9 42. a) 4

(

) (

)

1 5 1 12 4 1 − + 3 b) + ⋅ 4 8 13 13 17 8

Programmering med Python

Att programmera är att skriva instruktioner, alltså program för datorer eller motsvarande appa rater. Programmering kan jämföras lite med matlagning där man också följer detaljerade instruktioner. Vanligen skrivs program med hjälp av programmeringsspråk , som t.ex. Python, Javascript, Ruby, Scala, Pascal, C++ och Basic. Uppgifterna i den här boken kan utföras med vilket språk som helst. Exempeluppgifterna är gjorda med Python 3.4. (www.python.org) Programmen kan skrivas i vilket textbehand lingsprogram som helst. För att köra ett program behövs dock något som kan kallas kompilator eller tolk, vilket kan översätta eller tolka de

Exempel 1

skrivna instruktionerna till en form så att datorn kan förstå dem. För programmering har det gjorts omfattande programmeringsmiljöer i vilka det går att både skriva programmen och översätta/ tolka dem. SKAPA OCH TOLKA ETT PROGRAM I PROGRAMMERINGS MILJÖ

1. Öppna kodeditorn (IDLE ➝ New File). 2. Skriv koden 3. Spara filen som uppgift.py 4. Kör ditt program genom att använda kommandot Run Module (F5) i IDLE.

Redan att för skriva ut en text på datorskärmen krävs ett kommando. I Python är ett sådant kom mando print( ).

a) print(”Vi lär oss programmera med Python.”) #Denna rad är en kommentar som inte kommer att tolkas eller köras. Vi lär oss programmera med Python.

b) print(3 + 1) 4

Löpande text måste sät tas inom citationstecken. I programmet kan man skriva in rader med kommentar. Då man sätter # i början av raden kommer den raden inte att tolkas eller köras av programmet.

Uppgift 1 Skriv ett program som skriver ut ditt namn på skärmen. Uppgift 2 Gör ett program som skriver ut texten nedan och också delar upp den på samma sätt. En sträng, alltså en rad av tecken, som är uppdelad med rad brytningar i förväg kan skrivas in som sådan i editorn med tre citations tecken, print(”””sträng av data”””). It doesn’t matter how beautiful your theory is, it doesn’t matter how smart you are. If it doesn’t agree with experiment, it’s wrong.

Uppgift 3 Skriv ett program som skriver ut svaret på räkneoperationen. a) 12 − 2 * 9 b) 126 / (30 − 24)

8.. str sträng int heltal float decimaltal

Exempel 2

Variabel

Inom programmering är variabeln ett viktigt begrepp. Man kan tänka att en variabel är en låda, i vilken man kan spara information, alltså data. En variabel kan tilldelas ett värde med likhetstecken. Data som sparas i varia beln måste alltid vara av en viss typ. Olika variabeltyper är strängar (str), heltal (int) och decimaltal (float). Vid namngivning av variabler får man an vända engelska alfabetet, siffror och understreck.

x = 3 y = 6

Variablerna x och y ges värdena 3 och 6. Variablerna uppfattas som heltal.

print(x+y)

Summan av variablerna x och y beräknas och skrivs ut.

Uppgift 4 Tilldela variablerna värdena x = 9, y = 14 och z = 20. Skriv ett program som beräknar och skriver ut följande räkneoperationer. a) x + y − z b) produkten av x och y dividerat med talet z

Exempel 3

x = ”Ko” y = ”da” a)

print(x+y) Koda

print(x,y) Ko da

Uppgift 5 Gör ett program som skriver ut orden gås och lever a) som ett sammansatt ord b) som skilda ord.

Programmering

VARIABELTYPER

8. Programmering med Python Indata I program behövs ofta data som användaren ska mata in. Användaren kan ombes uppge indata genom kommandot input( ). Den inmatade informatio nen, indatat, måste sparas någonstans. Detta gör man genom att man sätter indatat som värde på en variabel, vilken sen behåller den information i minnet på datorn. Eftersom input−kommandot endast läser all indata som strängar måste andra variabeltyper omvandlas för att kunna användas. Om man t.ex. vill omvandla en sträng till heltal måste man använda kommandot int( ) för att konvertera strängen till heltal.

Exempel 4

namn = input(”Ange ditt namn: ”) alder = input(”Ange din ålder: ”)

Mellanslagen efter kommatecknen är inte nödvändiga

print(”Ditt namn”, namn, ”och du är”, alder, ”år.”) Ange ditt namn: Venla Ange din ålder: 13 Ditt namn är Venla och du är 13 år.

Uppgift 6 Skriv ett program som ber om användarens namn och adress och sen skriver ut dem på skärmen.

Exempel 5

tal1 = input(”Ange ett heltal: ”) tal2 = input(”Ange ett annat heltal: ”) print(tal1 + tal2) Ange ett heltal: 3 Ange ett annat heltal: 5 35

tal1 = int(tal1) tal2 = int(tal2) print(tal1 + tal2) Ange ett heltal: 3 Ange ett annat heltal: 5 8

Om man vill räkna sum man av heltalen måste man meddela att tal1 och tal2 är heltal och inte strängar.

Skriver ut talen som strängar efter varandra.

Sätt in kommandot för att konvertera tal1 och tal2 till variabeltypen integer, d.v.s. heltal.

Skriver ut summan av talen.

Uppgift 7 Skriv ett program som ber användaren om två heltal, adderar talen och skriver ut summan. 34

8.. int() heltal str() sträng float() decimaltal

Exempel 6

round( ) avrundar det givna talet med öns kad noggrannhet.

Andra typkonverteringar

Andra typkonverteringar är str( ) och float( ), varav str( ) konverterar data till strängar och float( ) till decimaltal.

OBS! Använd punkt som decimaltecken.

tal1 = float(input(”Ange ett tal: ”)) tal2 = float(input(”Ange ett annat tal: ”)) produkt = tal1*tal2 Räknar kvoten och ger svaret med kvot = round(tal1/tal2,2) 2 decimalers noggrannhet.

print(”Produkten av talen är ”, produkt, ”och kvoten är ”, kvot) Ange ett tal: 1.2 Ange ett annat tal: 5 Produkten av talen är 6.0 och kvoten är 0.24

Uppgift 8 Skriv ett program som ber användaren om två decimaltal, beräknar kvoten och skriver ut svaret med en decimals noggrannhet. Uppgift 9 Skriv ett program som ber användaren om två decimaltal, beräknar talens summa och differens samt skriver ut svaren.

Exempel 7

tal = int(input(”Ange ett heltal: ”)) tal = tal+1 print(tal)

Till variabelns värde adderas 1.

Ange ett heltal: 12 13

Uppgift 10 Skriv ett program som frågar efter ett heltal, subtraherar 5 från talet, och som sedan multiplicerar kvoten av det givna talet och det förminskade talet med 2. Slutligen ska programmet skriva ut svaret.

Programmering

TYPKONVERTERINGAR

8. Programmering med Python Jämförelse Tal, men också strängar, kan jämföras sinsemellan med hjälp av jämförelseoperatorer. Resultatet av jämförelsen är antingen sann (True) eller falsk (False). På basen av resultatet från jämförelsen kan man utföra åtgärder, t.ex. skriva ut ett meddelande.

Exempel 8

Jämförelse

Sant, om

a == b

a och b är lika stora

a>b

a är större än b

a >= b

a är större än eller lika stort som b

a<b

a är mindre än b

a <= b

a är mindre än eller lika stort som b

a <> b a != b

a och b är olika stora

print(3>5)

Skriver ut resultatet av jämförelsen.

False

Uppgift 11 Skriv ett program som ber användaren om två tal. Programmet undersöker om påståendet att de två talen är olika stora är sant. Slutligen skriver programmet ut svaret.

8.. Med hjälp av ifelsekonstruktioner kan man utföra flerstegsoperationer under olika villkor. Om villkoret är sant (True), utförs bestämda kommandon som är utskrivna efter villkoret. I Python är ett mellanslag eller indrag i början av en rad av stor betydelse eftersom det berättar till vilken helhet raden tillhör. De delar av koden som tillhör samma helhet placeras på samma nivå, alltså med lika stort indrag. Det finns regler för indrag och var man kan börja kodrader.

if [villkor]: [kommando som tillhör ifdelen] [kommando som tillhör ifdelen] else: [kommando som tillhör elsedelen] [kommando som tillhör elsedelen]

Exempel 9

Kommandon på samma indragsnivå utförs om före gående villkor uppfylls.

tal = int(input(”Ange ett heltal mellan 1 och 10”)) if tal > 5: print(”Talet är större än 5.”) print(”Detta skrivs ut oberoende.”) Ange ett heltal mellan 1 och 10: 7 Talet är större än 5. Detta skrivs ut oberoende.

Ange ett heltal mellan 1 och 10: 4 Detta skrivs ut oberoende.

Uppgift 12 Skriv ett program som frågar efter ett heltal. Programmet meddelar om talet är positivt och meddelar att jämförelsen lyckades. Om talet inte är positivt meddelar programmet bara att jämförelsen lyckades.

Programmering

Ifelsesatser

8. Programmering med Python Ifelifelsesatser Ifelifelsekonstruktioner utökar valbarheten till flera nivåer. Konstruktionen ger en rangordning med tre eller flera prioritetsnivåer och översatt till svenska skulle det motsvara om – annars om – annars.

if [villkor nummer 1]: [kommandon som tillhör ifdelen] elif [villkor nummer 2] [kommandon som tillhör elifdelen] elif [villkor nummer 3] [kommandon som tillhör elifdelen] else [kommandon som tillhör elsedelen]

Exempel 10

tal = int(input(”Ge ett heltal mellan 1−10: ”)) if tal > 5: print(”Talet är större än 5.”) elif tal < 5 print(”Talet är mindre än 5.”) Ange ett heltal mellan 1 och 10: 4 else Talet är mindre än 5. print(”Talet är 5.”)

Start

Med hjälp av ett flödesschema kan man åskådliggöra hur programmet fungerar.

Skriv ut: Talet är större än 5.

Ange ett heltal mellan 1 och 10.

Är talet större än 5?

Nej Skriv ut: Talet är mindre än 5.

Är talet mindre än 5? Nej Skriv ut: Talet är 5. Slut

Uppgift 13 Skriv ett program som ber användaren om ett tal och sedan meddelar om talet är positivt, negativt eller noll.

8..

ord = ”skola ” print(”Att gå i”, ord) print(”är en förmån.”) Uppgift 15 Skriv ett program som ber användaren om tre decimaltal och sedan beräknar och skriver ut produkten av talen. Uppgift 16 Skriver man tal = int(25/7) får variabeln tal värdet 3, d.v.s. heltalsdelen av kvoten 25/7. Divisionsresten fås med %−operatorn, 25%7. Skriv ett program som ber användaren om två heltal, beräknar kvoten av talen och skriver ut heltalsdelen och resten. Uppgift 17 Skriv ett program som ber om ett decimaltal och sedan skriver ut a) heltalsdelen av talet b) talet som avrundat heltal. Uppgift 18 Undersök uttryckets värde. 12 − 2*5

10 + (8−5)*2 2**3

16//5

24 % 5

Uppgift 19 Skriv ett program som ber om en tid i timmar och sedan omvandlar tiden till sekunder. Uppgift 20 Skriv ett program som ber användaren om två decimaltal och sedan beräknar medeltalet av dem. Programmet ska skriva ut svaret med en decimals noggrannhet.

Uppgift 21 Skriv ett program som först ber användaren om längden och bredden i meter av en rektangulär tomt. Användaren ska sen få välja om hen vill få reda på tomtens omkrets i meter eller area i kvadratmeter, varefter programmet på basen av användarens val, utför beräkningen och skriver ut svaret. Uppgift 22 Bråktal kan skrivas ut om man importerar en modul som stöder bråk. Betrakta exemplet och gör ett program som skriver ut ett bråk då användaren angett täljare och nämnare. Testa programmet med olika värden på tälja re och nämnare. Vad märker du? #modulen för bråktal importeras from fractions import Fraction tal = Fraction(2,5) print(tal) 2/5

Uppgift 23 Skriv ett program som ber om användarens ålder och skriver ut vilken ålderskategori användaren tillhör enligt tabellen nedan. Ålder

Kategori

0…12

Barn

13…17

Ungdom

18…22

Ung vuxen

23…

Vuxen

Uppgift 24 Hitta på ett eget program och berätta vad det gör.

Programmering

Uppgift 14 Beskriv vad programmet nedan gör. Skriv programmet och kontrollera.

Negativa tal

Mätområdet för en

Den lägsta uppmätta temperaturen i Finland är 51,5 °C. Den uppmättes i Pokka i Kittilä

infraröd termometer

kommun 28.1.1999.

sträcker från

−30 till +1 000 °C.

5−6=?

Då du på vintern tittar på termometern har du vant dig vid att avläsa temperaturer som är mindre än noll. Tal med minustecken hittar du också på kartor. Havsytan märks ut som noll och tal med ett minustecken visar då att platsen är under havsnivån. Då du försöker subtrahera 6 från talet 5 noterar du att svaret inte kan vara större än noll, d.v.s. ett positivt tal. För att vi ska kunna utföra alla möjliga subtraktioner behöver vi också tal som är mindre än noll, d.v.s. negativa tal. Tal som är större än noll kallas positiva tal. Tal som är mindre än noll kallas negativa tal. Noll är varken positivt eller negativt.

−6

Framför negativa tal finns ett förtecken, – (minus).

+6 = 6

Framför positiva tal kan man skriva ut ett förtecken, + (plus). Talen 0, 1, 2, 3, …, vilka anger antal, kallas för naturliga tal. Tre punkter berättar att följden är oändlig.

–5

–4

–3

–2

–1

Tal kan åskådliggöras på en tallinje.

Vilket tal motsvarar punkterna A, B, C, D, E, F på tallinjen? A

–4

–3

–2

–1

E 1

2. Vilka tal på tallinjen är a) fem enheter från talet +2 b) sex enheter från talet -5? 3.

må

to −1 °C

Hur många grader är det? +20

+20

+10

–10

–20

Från och med måndagsmorgon följde Ida temperaturen fyra morgnar i rad. På tisdag hade temperaturen stigit med fem grader från föregående dag. På onsdag var det tre grader varmare än på tisdagen. På torsdag kom det ner snöslask och var fyra grader kallare än på onsdag. Skriv av tabellen och komplettera den i ditt häfte.

Temperaturen var +3 °C på kvällen kl. 20.00. Under natten sjönk den i medel tal med två grader i timmen. Vad var temperaturen på morgonen kl. 04.00?

Mount Everest 8850 m

Bestäm temperaturen då a) den ursprungliga temperaturen är -6 °C och den stiger med 9 °C b) den ursprungliga temperaturen är +2 °C och den sjunker med 5 °C c) den ursprungliga temperaturen är -14 °C och den stiger med 3 °C? Hur stor är skillnaden mellan dags- och nattemperaturen? Dagstemperatur

Nattemperatur

+27 °C

+16 °C

+11 °C

-3 °C

-1 °C

-12 °C

-5 °C

+2 °C

Mont Blanc 4807 m havsytan

Marianergraven 11033 m

a) Beräkna höjdskillnaden mellan Mount Everest och Mont Blanc. b) Hur många kilometers höjdskillnad är det mellan Marianergraven och Mount Everest? Ange svaret med en decimals noggrannhet

Tilläggsuppgifter s. 194 Hemuppgifter s. 245

10.

Jämförelse av tal Av två tal på tallinjen är talet till höger alltid större än talet till vänster. –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–7 < –4

–1 < 5

Då tal jämförs används förutom likhetstecken (=) även olikhetstecken. OLIKHETSTECKEN

> < ≥ ≤ ≠

≥

7 ≥ 5 är sant, eftersom talet 7 är större än talet 5. 5 ≥ 5 är sant, eftersom talet 5 är lika med talet 5. Påståendet är sant då talet som jämförs med 5 är minst 5.

≤

2 ≤ 6 är sant, eftersom talet 2 är mindre än talet 5. 6 ≤ 6 är sant, eftersom talet 6 är lika med talet 6. Påståendet är sant då talet som jämförs med 6 är högst 6.

Exempel 1

Exempel 5>3 −2 < 4 7≥5 6≤6 6≠8

större än mindre än lika med eller större än lika med eller mindre än inte lika med

Vilket tal är större? 6 6 eller 7 8

a) −7 eller −8

−7 är större eftersom det ligger till höger om talet −8 på tallinjen.

Bråken har samma täljare. Då talet 6 delas i 8 delar fås mindre än om talet delas med 7.

Svar: −7 > −8

Svar:

6 6 > 7 8

1. a)

Vilket av talen på talen på tallinjen är större? A eller B b) C eller D C

A 0

2. 3.

Kombinera rätt uttryck med rätt svars alternativ 0,4 : 0,1

mindre än 4

0,99 ⋅ 4

större än 4

1,01 ⋅ 4

Skriv ut <, > eller = så att påståendet är sant. a) 0,40 0,04 b) -2 -1 c) 6 +6 d) -99 -100 1 1 e) 3,50 3,5 f) 4 5 Fyll i infon som saknas. a) Heltalet är större än fem och mindre än sju. b) Talet är lika med eller mindre än -3 c) Talet -7 är än noll.

Lista alla a) heltal som är mindre än -10 men större än -17 b) negativa decimaltal med en decimal, vilka är större än -0,6.

10. Vilket tal är 8 mindre än a) 12 b) 4 d) -2 e) -4

Vilket är a) det minsta positiva tvåsiffriga heltalet b) det största negativa tvåsiffriga heltalet? Rita av tabellen i ditt häfte. Jämför stor leken på talen och kryssa för vid de rätta alternativen. Tal

≠

≤

≥

Tal

−50

−15

−16

3,20

3,2

−0,3

−0,2

Skriv talen i storleksordning från det minsta talet till det största. 0

−3

6,8

−5,2

−6 7

Hur mycket a) mindre är -5 än 4 b) större är 3 än -1 c) större är 0 än -8?

c) 0 f) -8?

11. Skriv talen i storleksordning från det minsta talet till det största. 1 7

−1,9 1 6

−2

1 5

−7

−1,09 −2

1 4

12. Hur mycket mindre är -9 än

2 3 f) -0,1?

a) -6 b) -7,5 c) 1

d) 11

e) -8,01

13. Skriv ut <, > eller = i rutorna så att uttrycket är sant. a) 0,5 : 0,1 1 b) 0,05 : 0,1 1 c) 0,1 : 0,5 1 d) 0,10 : 0,1 1 Tilläggsuppgifter s. 195 Hemuppgifter s. 245

11.

Absolutbelopp Avståndet till noll Avståndet till noll är 6. är 4. –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

ABSOLUTBELOPP

Ett tals avstånd till noll på tallinjen kallas talets absolutbelopp.

Ett tals absolutbelopp fås genom att förtecknet tas bort. Absolutbelopp betecknas med lodräta streck, vertikalstreck, på båda sidor om talet. Absolutbeloppet av talet −8 betecknas |−8|. Absolutbeloppet av −8 är 8.

Exempel 1

Exempel 2

Beteckna talets absolutbelopp och beräkna det. a) +12 b) −9 c) 45 a) |+12| = 12

b) |−9| = 9

c) |45| = 45

Laske

a) |−24| + |−15|

b) |16 − 12 + 5|

a) |−24| + |−15| = 24 + 15 = 39 Talens absolutbelopp beräknas före övriga räkneoperationer.

Exempel 3

Om det finns ett uttryck innanför ett absolutbelopp beräknas uttrycket före absolutbeloppet. Absolutbeloppet beräknas av talet, inte uttrycket.

Skriv ut och beräkna a) differensen av absolutbeloppen av talen −8 och −5 b) absolutbeloppet av produkten av talen 7 och 4. a) |−8| − |−5| = 8 − 5 = 3

b) |16 − 12 + 5| = |9| = 9

b) |7 · 4| = |28| = 28

Bestäm talets avstånd till noll på tallinjen. a) 4 b) −7 c) -2,5

Tal

Bestäm de tal vars avstånd till noll på tallinjen är a) 8 b) 230 c) 4,5.

d) |-100|

b) |3|

c) |+6|

e) |+1,3|

5 f) − 7

Talets absolut belopp är mindre än 2

Räkna. 10. a) |−7| + |-2|

Beteckna talets absolutbelopp och beräkna det. a) -12 b) +22 c) −6,5

Rita av tabellen i ditt häfte. Jämför talen med varandra och kryssa för rätt alternativ. 5

−2 +2 −7

Största talet Minsta talet Största talet till sitt absolut belopp

b) |10 − 8| d) |-24| : |+8| b) -30| − |+20|

12. Beteckna och beräkna. Absolutbeloppet av talet -36 divideras med absolutbeloppet av talet -4.

6. Vilka tals absolutbelopp är a) 2 b) 17 c) -1?

Tal

c) 4 ·|-3|

11. a) |5 + 5|

1,9 −2,3 −0,9 3 −5 −1 4

Talet är mindre än 2

3. Vad är talets absolutbelopp? a) −9 b) 20 c) 0 4. Hyfsa. a) |−5|

Rita av tabellen i ditt häfte och kryssa för rätt alternativ.

−6

13. Beräkna. a) 3 · |-10| − |-18| b) |19 − 7| − |14 − 8| 14. Beteckna och beräkna a) differensen av absolutbeloppen av talen -22 och -16 b) absolutbeloppet av differensen av talen 14 och 11 c) kvoten av absolutbeloppen av talen -54 och +6.

Minsta talet till sitt absolut belopp

Lista heltalen vars a) absolutbelopp är mindre än 3 b) absolutbelopp är större än 5. Tilläggsuppgifter s. 195 Hemuppgifter s. 245

12.

Motsatta tal –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

MOTSATT TAL

Två tal som är på olika sidor av noll och har samma avstånd till noll på tallinjen sägs vara varandras motsatta tal.

Ett tals motsatta tal fås genom att man byter förtecken på talet. Det motsatta talet betecknas genom att ett minustecken sätts till framför talet. Motsatta tal har samma absolutbelopp. Det motsatta talet till 7 betecknas −7. Det motsatta talet till +7 betecknas –(+7). Det motsatta talet till −7 betecknas −(−7)

Exempel 1

Beteckna och beräkna det motsatta talet till a) +9 b) −5. a) −(+9) = −9

b) −(−5) = 5

beteckning svar

Exempel 2

Beteckna och beräkna det motsatta talet till det motsatta talet till det motsatta talet till −10. −{−[−(−10)]} = −{−[+10]} = −{−10} = 10 eller −(−(−(−10))) = −(−(+10)) = −(−10) = 10

Exempel 3

Beteckna och beräkna det motsatta talet till summan av absolutbeloppen av +8 och −7. −(|+8| + |−7|) = −(8 + 7) = −15 Talens absolutbelopp beräknas före övriga räkneoperationer.

Parenteser inom parenteser kan också skrivas med bara bågparenteser.

Vilka tal på tallinjen är på tre enheters avstånd från talet a) 0 b) 7 c) -3? 2. Vilket är talets motsatta tal? a) −6 b) 3 c) -15

11. RÄKNESTIG –8 +9

·3

motsatt tal

· 1 2

absolutbelopp

3. Vilket är talets motsatta tal? 3 a) +0,3 b) -2,7 c) 4

10. Lista de heltal vars motsatta tal är större än -3.

Beteckna talets motsatta tal och beräkna det. a) -16 b) +35 c) 10 5.

Hyfsa.

a) −(+8)

( 31 )

c) − +2

b) −(−7)

Hyfsa. a) -[−(−9)] b) -{-[−(-2)]} c) −(−(−(−(-10))))

Ordna från det minsta till det största. −(−3) |−5|

|+4|

−(+5)

−1

Rita av tabellen i ditt häfte. Jämför talen med varandra och kryssa för rätt alternativ. Tal

Tal

−3

−(−6)

−(+4)

−(−12)

−1

−(+1)

–10

12. Beräkna. a) −(−5) + 7

b) -{-[−(+16)]}

13. Lista de heltal vars motsatta tal är större än -5 och mindre än 2. 14. Beräkna. a) -[-|−(15 − 12)|] b) −(−6) -|21 − 18| 15. Beteckna och beräkna a) absolutbeloppet av det motsatta talet till +29 b) det motsatta talet till det motsatta talet till det motsatta talet till -17. 16. Beteckna och beräkna. Det motsatta talet till -36 delas med absolutbeloppet av differensen av talen 21 och 15.

Beteckna talets motsatta tal och beräkna det. a) +30 b) -12 c) −55 Tilläggsuppgifter s. 196 Hemuppgifter s. 246

13.

Addition och subtraktion av två tal Vi använder till en början en tallinje för att åskådliggöra hur vi räknar. På tallinjen växer talen då man går åt höger. Därför tolkar vi addition (+) som att vi förflyttar oss åt höger och subtraktion (−) som att vi förflyttar oss åt vänster.

Förflyttning på tallinjen

–3 – 5 = –8 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–7 + 9 = 2

–

1+6=7 0

Absolutbeloppen adderas.

−3 − 5 = −8

Som förtecken fås det gemensamma förtecknet.

Exempel 1

a) −2 + 3 = 1 d) −5 + 11 = 6

9 10

4 – 5 = –1

Tal med samma förtecken

1+6=7

b) 1 − 7 = −6 e) +7 − 10 = −3

Tal med olika förtecken Absolutbeloppen subtraheras.

9−5=4

−10 + 7 = −3

Som förtecken fås förtecknet från det tal vars absolutbelopp är störst.

c) −10 − 10 = −20 f) −5 + 5 = 0

TAL MED SAMMA FÖRTECKEN

Absolutbeloppen adderas. Som förtecken fås det gemensamma förtecknet. TAL MED OLIKA FÖRTECKEN

Absolutbeloppen subtraheras. Som förtecken fås förtecknet av det tal vars absolutbelopp är störst.

Räkna som huvudräkning. 1. a) 1 - 3 b) 6-9 c) 5 - 8 d) 2-7 2. a) -5 + 3 b) -1 + 2 c) -9 + 5 d) -7 + 8 3. a) -1 - 1 b) -3 - 7 c) -8 - 3 d) -5 - 9 4. a) 4 - 5 b) -5 + 7 c) -2 - 4 d) -8 - 2

15. Vilket tal saknas? a) 7 = 4 b) 8 c) -6 + = -2 d) -9 16. Vilket tal saknas? - 5 = 9 b) a) c) + 1 = -7 d)

= -1 = -11

- 2 = -8 + 2 = -3

17. ADDITIONSPYRAMID Addera talen som är bredvid varandra och skriv ut summan i rutan ovanför.

5. a) 5 - 3 b) -3 + 1 c) -12 + 6 d) 7-8 6. a) -7 - 11 b) -6 + 14 c) -9 - 9 d) -1 + 1 7. a) 1 - 8 b) -2 - 2 c) -7 + 12 d) 20 - 30 8. a) -6 - 8 b) +6 - 8 c) -7 + 20 d) -13 - 13 9. a) -70 - 30 b) +12 - 10 c) -17 + 16 d) 12 - 22

12. a) 21 - 27 b) -21 - 27 c) 41 - 42 d) -41 - 42

−5

−2 5 1

18. ADDITIONSPYRAMID Komplettera pyramiden. Tal som är bredvid varandra adderas och summan skrivs i rutan ovanför.

10. a) 14 - 16 b) -8 + 8 c) -26 + 20 d) -20 + 30 11. a) +16 - 18 b) -15 - 5 c) -20 + 24 d) +30 - 10

−1

−5 1

−5 10

13. a) 80 - 100 b) 99 - 101 c) -99 - 101 d) -60 + 100 14. a) -100 + 150 b) -100 - 150 c) -500 + 500 d) -500 - 500 Tilläggsuppgifter s. 196 Hemuppgifter s. 246

13. Addition och subtraktion av två tal 19.

20.

Vilket tal saknas? a) 5 − =2 b) 4 − c) −3 − = −7 d) −5 +

ADDITIONSLABYRINT Utför räkneoperationen i startrutan. Förflytta dig därefter (vågrätt, lodrätt eller diagonalt) till en närliggande ruta vars första tal är svaret du just fick. Fortsätt så också med nästa svar tills du kommer i mål. LÄHTÖ

23.

a) 0,8 − 0,5 c) −0,8 + 0,5

b) 0,8 + 0,5 d) −0,8 − 0,5

24.

a) 2,4 + 3,0 c) −2,4 + 3,0

b) 2,4 − 3,0 d) −2,4 − 3,0

25.

a) −0,6 − 0,9 c) 1,7 − 2,1

b) −0,4 + 0,3 d) −0,6 + 0,6

26.

27.

1 2 a) − − 3 3

1 3 − 4 4

= −2 =1

1 3 − 5 5

1 3 b) − − 5 5

4–5

–1 + 7

6–8

–2 + 7

1–4

9–6

8–6

5 – 12

3–6

–8 + 8

–7 + 16 –11 + 2

28.

1 3 a) − − 8 8

3 9 − 10 10

–3 – 9

–4 – 4

0 – 11

29.

1 3 − 2 4

1 5 − 3 6

30.

1 1 a) − + 6 4

5 1 b) −4 + 7 7

31.

1 1 a) −1 − 2 4 4

1 b) − + 1 2

–9 + 2

–9 – 1

–12 + 8 –10 + 4 –6 + 19

MAALI

–7

5 – 14

13 – 8

25 – 5

21.

a) 0,4 − 0,1 c) 1,7 − 0,7

b) 3,5 + 1,2 d) 1,6 + 0,6

22.

a) 1,5 − 2,0 c) −1,2 − 0,8

b) −0,7 + 0,9 d) 0,1 − 0,3

RÄKNA SOM HUVUDRÄKNING 32.

5−7

−6 − 3

−7 + 13

7−9

−11 + 18

56 − 59

0,1 − 0,7

−1,2 − 0,6

1 4 − 7 7

1 7 − − 9 9

Hur många kunde du?

Kom ihåg att förkorta!

42. a) −3 +

33. Vilket tal saknas? a) -7 = -16 b) - 9 = -5 c) - 11 = -14 d) -20 + =8 34. RÄKNESTIG motsatt tal

–24 +19

–12

+30

+26

–20

absolutbelopp

5 −2 7

1 2 43. a) −1 + 3 3

3 3 b) −2 − 1 4 4

1 5 44. a) −4 + 6 6

3 1 b) 1 − 2 5 5

45. a)

1 5 − 4 6

46. a) − –7

2 3

4 3 + 5 4

3 1 47. a) 2 − 3 4 3

1 3 b) − − 2 8 1 5 b) − − 9 6 1 1 b) −7 + 2 3 5

HUVUDRÄKNINGSTEST

35. a) 0,4 - 3,0 b) -0,6 - 0,6 c) −1,9 + 4,0 d) −2,2 + 0,7 -7,2 + 3,1 36. a) 0,3 - 1,1 b) c) −0,2 − 9,9 d) −5,4 + 6,2 37. a) 8,8 - 10 b) -8,8 + 10 c) 4,9 − 7,8 d) −0,6 − 9,4 0,40 - 0,04 38. a) -0,63 + 0,03 b) c) −0,09 − 0,21 d) −0,9 − 0,91

48. 22 − 31

−19 − 8

−17 + 23

−100 + 9

−5,5 + 7,1

0,9 − 3,0

−7,6 − 2,8

3 5 − − 8 8

3 1 2 −3 5 5

1 1 − 3 2

Hur många kunde du?

39. a) -1,07 + 2,0 b) -0,82 - 0,2 c) 0,45 − 2,5 d) −0,99 + 1,0 40. a)

1 5 − 8 8

b) −

4 3 − 7 7

Kom ihåg att förkorta!

41. a) −

5 11 + 12 12

b) −

11 8 + 15 15 Tilläggsuppgifter s. 197 Hemuppgifter s. 246

14.

Ta bort parenteser Summan av talen 5 och −3 betecknas 5+(−3). Differensen av talen 5 och −3 betecknas 5−(−3). Beräkningar av den här typen av uttryck är mycket enklare att utföra om du först kan ta bort parenteserna.

Kom ihåg! +1 = 1 +7 = 7

+(+5) = +5 = 5 +(−5) = −5 −(+5) = −5 −(−5) = +5 = 5

eftersom det motsatta talet till +5 är −5 eftersom det motsatta talet till −5 är +5, alltså 5

TA BORT PARENTESER

+ (+) − (−) + (−) − (+)

+ + − −

samma tecken olika tecken

Exempel 1

a) 7 + (+3) = 7 + 3 = 10 c) 7 − (+3) = 7 − 3 = 4

b) 7 + (−3) = 7 − 3 = 4 d) 7 − (−3) = 7 + 3 = 10

Exempel 2

10 + (−3) + 2 − (+4) − (−3) = 10 − 3 + 2 − 4 + 3 = 8

Exempel 3

På morgonen visade termometern −2 °C medan den på kvällen visade −18 °C. Beteckna och beräkna temperaturskillnaden. −2 − (−18) = −2 + 18 = 16 Svar: 16 °C

De tecken som används idag för matematiska beräkningar har utvecklats efter medeltiden. Egypterna betecknade addition med fötter som går åt höger ( ) och subtraktion med fötter som går åt vänster ( ). Det nuvarande +tecken är en förkortning av det latinska ordet för och (et). Minustecknet som används vid subtraktion togs i bruk av handelsmän under medeltiden.

Subtrahera den lägre temperaturen från den högre temperatu ren. Kom alltid ihåg att ta bort parenteserna före du räknar.

1. 2. 3.

Skriv om uttrycken utan parenteser. Du behöver inte utföra beräkningen. a) -7 + (-5) b) 6 - (-8) c) -9 - (+3) d) 4 + (+2) Skriv om uttrycken utan parenteser. Du behöver inte utföra beräkningen. a) -19 - (-12) - (+24) + (-40) b) 7 + (-5) - (-3) - (+6) Vilka av uttrycken nedan kan skrivas om kortare som -9 - 5?

−9 − (+5)

9 − (+5)

9 − (−5)

−9 + (+5)

11. Beräkna uttrycken 1-10 och sök upp vilken bokstav uttrycket står för. Sätt sedan in bokstaven i figuren nedan. Vilket ord bildas i hjulet? Vissa bokstäver förblir oanvända..

+9 + (−5)

−9 + (−5)

−9 − (−5)

-8 + (+15) -4 - (-4) 10 + (-10) +5 + (+9) -3 - (-8)

6 + (-3) 9 - (+5) +9 - (+11) -3 + (+2) 6 - (+7)

Bokstav

Svar

-2

-3

Bokstav

Svar

-1

Skriv om utan parenteser och beräkna. 4. a) -5 + (-9) b) -8 - (-7) c) +12 − (−12) d) −14 − (+15)

4 9

5 b) 5 - (+18) 5. a) +6 - (-7) c) 9 − (−2) d) −10 − (+9) 6. a) -13 + (-2) c) -22 - (-22)

b) +16 + (-14) d) 40 - (+25)

a) 15 + (-2) - (-7) b) 28 - (-10) - 9 + (-11)

På morgonen var temperaturen +6 °C och till kvällen sjönk den till -8 °C. Beteck na och beräkna temperaturskillnaden.

Vilket tal saknas? a) 7 = 3 b) 6 = -1 c) -7 + = -9 d) -7 + =0

10. Vilket tal saknas? = 17 b) 12 = -12 a) 12 c) -12 + = -2 d) -12 = 10

12. Fyll i genom att utföra beräkningarna och skriva svaret i rutan ovanför.

−

2 +

−

3 +

−7

Tilläggsuppgifter s. 197 Hemuppgifter s. 247

15. Exempel 1

Addition och subtraktion av flera tal Räkna −8 + 7 + 6 − 12 − 2 + 4 Metod 1. Från vänster till höger −8 + 7 + 6 − 12 − 2 + 4 = −1 + 6 − 12 − 2 + 4 = 5 − 12 − 2 + 4

Metod 2. Gruppera tal med samma tecken Räkna ihop de positiva termerna.

−8 + 7 + 6 − 12 − 2 + 4 = 17 − 22 = −5 Räkna ihop de negativa termerna.

= −7 − 2 + 4 =−9+4 = −5

Exempel 2

Räkna (3 − 5) + (−2 − 4). (3 − 5) + (−2 − 4) = −2 + (−6) = −2 − 6 = −8

Exempel 3

Räkna 9 − {12 + [6 − (5 − 7)]}. 9 − {12 + [6 − (5 − 7)]} = 9 − {12 + [6 − (−2)]}

Kom ihåg ordnings följden.

= 9 − {12 + [6 + 2]} = 9 − {12 + 8} = 9 − 20 = −11

EGENSKAPER HOS ADDITION

• Kommutativa lagen: Termernas ordningsföljd kan ändras.

Exempel 2+3=3+2

• Addition med noll ändrar inte på ett tals värde.

5+0=5

• Summan av två motsatta tal är noll.

5 + (−5) = 0

Räkna. a) 9 − 11 + 3

b) 4 − 7 + 6 − 9

11.

a) 9 − (−7) + 6 − (+5) b) −14 + (−11) + 18 − (−16)

12.

Vilket tal saknas? a) − 16 + 10 − 7 = −2 b) 11 + (−7) − − (−5) = 0

a) −4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 b) −15 + 8 + 12 − 8 + 4

a) −6 + (−5) − (−8) b) 14 − (−5) − (+12)

13.

a) 1 + (+2) + (−3) − (+4) − (−5) b) −5 − (+6) + 7 − (−8) − 3

a) 10 − (2 − 5) − (−3 + 7) b) −{4 − [6 − (5 − 8) − 2] − 6}

14.

(9 − 15) − {−20 + [(−5 + 9) − (6 + 6)]}

15.

( 31 − 23 ) − ( 41 − 34 )

Vilket tal saknas?. a) 5 − 9 + =0 b) 1 + 2 – = −5

a) 8 − (−3 + 7) b) (6 − 9) − (8 − 10)

a) 7 − [11 − (4 + 3)] b) 10 − {9 − [6 − (1 − 2)]}

8. 9.

( 45 − 51 ) − ( 25 − 35 )

Beteckna och beräkna differensen av summan respektive differensen av talen −9 och 7.

17.

Förflytta dig från stad A till stad K och räkna ihop talen under vägen. Samma stad får inte besökas mer än en gång. Vilken rutt ger som resultat a) största möjliga tal b) minsta möjliga tal?

Fyll i rutsystemet så att summan av talen på varje vågrät rad är den samma. 3

–6

–7

–1

–3

–2

–9

10.

16.

–1

A 8

B –7 –5

–8

–4

Räkna. a) +12 − 3 + 11 − 7 + 2 − 14 b) −9 − 7 + 14 − 2 + 8 − 4

E 6

D 7

C –3 F –9

H 9

G –5 KK –3 –3

J 12

Tilläggsuppgifter s. 197 Hemuppgifter s. 247

16.

Multiplikation av två tal Tal med olika tecken

2⋅3=3⋅2 den kommutativa lagen hos addition

+3 ⋅ (−2) = 3 ⋅ (−2) = −2 + (−2) + (−2) = −2 − 2 − 2 = −6 −2 ⋅ (+3) = +3 ⋅ (−2) = −6 Tal med samma tecken +3 ⋅ (+2) = 3 ⋅ 2 = 6 −3 ⋅ (−2) = −(−6) = 6     

+3 = 3 +2 = 2

3 ⋅ (−2) = −6

MULTIPLIKATION AV TVÅ TAL

Produkten av två tal med samma förtecken är positiv. Produkten av två tal med olika förtecken är negativ. 1. Bestäm först produktens förtecken. 2. Multiplicera talens absolutbelopp med varandra.

Bestäm förtecknet − ⋅ (+)

Exempel 1

−

−3 ⋅ (+4) = −12 Utför multiplikationen 3 ⋅ 4 = 12

Exempel 2

a) 7 ⋅ (−8) = −56

b) −9 ⋅ (−6) = 54

Exempel 3

22 11 22 99 18 18 ⋅ ⋅ −−44 ==−− ⋅ ⋅ ==−− ==−−33 33 22 33 22 66

(( ))

Bestäm förtecknet och skriv ut det i början av uttrycket. Du kan då lämna bort parenteserna.

+ ⋅ (+) − ⋅ (−) + ⋅ (−) − ⋅ (+)

+ + − −

Räkna. 1. a) -3 ⋅ (+5) b) +4 ⋅ (-6) c) 8 ⋅ (−2) d) −9 ⋅ 7

MULTIPLIKATIONSPYRAMID Multiplicera de tal som ligger bredvid varandra och skriv ut produkten i rutan ovanför.

2. a) -6 ⋅ (-2) c) −5 ⋅ (+6)

b) -10 ⋅ (+5) d) +8 ⋅ (−9)

3. a) 7 ⋅ (-7) c) −8 ⋅ (−8)

b) -2 ⋅ (-5) d) +6 ⋅ (−10)

4. a) -3 ⋅ (+5) c) 9 ⋅ (−9)

b) +4 ⋅ (-6) d) −10 ⋅ (+8)

5. a) -7 ⋅ (+3) c) 5 ⋅ (−4)

b) -6 ⋅ (-9) d) +9 ⋅ (−2)

10. a) 10 ⋅ (-1,5) c) 100 ⋅ (-0,86)

b) -10 ⋅ (+0,3) d) -100 ⋅ (-6,1)

11. a) -4 ⋅ 0,2 c) 2 ⋅ (-1,5)

b) -3 ⋅ (-0,1) d) -0,2 ⋅ (+0,2)

6. Finn de två tal vars produkt är a) störst b) minst c) -48. −9

−8

−9

−7

−9

−5

−2

Skriv ut och beräkna a) produkten av -6 och -7 b) produkten av +9 och -3.

Skriv av tabellen och fyll i. Faktor

Faktor

−2

Produkt

−7

−4

3 2 d) − ⋅ 8 3

Kom ihåg att förkorta!

14. a) 0,3 ⋅ (-0,4) b) -0,2 ⋅ (+24) c) 5,6 ⋅ (−0,1) d) −0,5 ⋅ (−0,5)

−36

( )

1 4 c) − ⋅ + 4 5

( )

2 4 b) − ⋅ − 7 7

13. a) -3 ⋅ (-0,9) b) +8 ⋅ (-1,2) c) −0,04 ⋅ 5 d) −100 ⋅ (+0,6)

−8 −9

( )

1 1 12. a) ⋅ − 3 2

−14

−5 1 2 1 −5

( ) ( ) 1 a) −5 ⋅ ( −1 ) 5

( )

7 4 2 3 15. a) − ⋅ − b) − ⋅ + 9 11 9 8 5 3 12 3 − ⋅ c) ⋅ − d) 6 10 4 15 16.

4 1 c) − ⋅ 2 5 2

( ) ( )

1 3 b) 1 ⋅ − 3 4 1 1 d) −5 ⋅ +1 3 8

−49 Tilläggsuppgifter s. 198 Hemuppgifter s. 247

17. Exempel 1

Multiplikation av flera tal Vilket tecken har produkten −1 ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1)?

    

−1 ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) = −1 +1

Då två negativa tal multipliceras med varandra blir produkten alltid positiv. Hela produkten blir negativ eftersom en negativ faktor blir utan par. TECKENREGLER FÖR PRODUKTER

Om antalet negativa faktorer är • udda så är produkten negativ • jämnt så är produkten positiv.

Exempel 2

−3 ⋅ (+2) ⋅ (−4) ⋅ (−1) ⋅ (−5) ⋅ 2 = 240 Antalet minustecken är jämnt.

Exempel 3

Produkten är positiv.

−2 ⋅ (−37) ⋅ (−5) = −10 ⋅ 37 = −370

Multiplikation behöver inte utföras från vänster till höger.

EGENSKAPER HOS MULTIPLIKATION

• Kommutativa lagen: Faktorernas ordningsföljd kan ändras. • Om ett tal multipliceras med 1 ändras inte talets värde. • Om ett tal multipliceras med −1 fås talets motsatta tal. • Produkten är noll om åtminstone en faktor är noll.

Exempel

2⋅3=3⋅2 1⋅5=5 −1 ⋅ 5 = −5 4⋅6⋅0⋅7=0

Räkna. b) -2 ⋅ (-7) ⋅ (-2) d) 7 ⋅ (-9) ⋅ 0

12. a) -2 ⋅ (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-2) b) -10 ⋅ (-10) ⋅ (-4) ⋅ (-2) ⋅ (-2)

a) 4 ⋅ (-3) ⋅ 3 c) -5 ⋅ 6 ⋅ (-5)

a) -5 ⋅ (-2) ⋅ (-9) b) -8 ⋅ 5 ⋅ 3 c) 6 ⋅ 6 ⋅ (-5) d) 9 ⋅ (+1) ⋅ (-9)

13. Vilka tal saknas? Använd inte talen 1 eller -1. a) 2 ⋅ ⋅ (-5) = -2 ⋅ (+4) ⋅ 10 b) ⋅ ⋅ = -27

a) 5 ⋅ (-84) ⋅ 2 b) -2 ⋅ (-5) ⋅ (-2) ⋅ (-5) ⋅ (-4)

14. Räkna.

a) -3 ⋅ (-2) ⋅ (-2) ⋅ (-6) b) 10 ⋅ 5 ⋅ (-8) ⋅ 2

Skriv ut och beräkna produkten av faktorerna -1, -2, -3, -4 och -5.

15. Under produkten är antalet faktorer utskrivet. Beräkna produktens värde. a) 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ … ⋅ 1

a) 5 ⋅ (-5) ⋅ 2 ⋅ 2

a) -9 ⋅ 5 ⋅ (-9) ⋅ 2 b) -10 ⋅ (-10) ⋅ (-1) ⋅ (-1)

a) 9 ⋅ (-1) ⋅ (-1) ⋅ (-2) b) -7 ⋅ (-1) ⋅ (-1) ⋅ (-1) ⋅ (-7)

Vilket tal saknas? a) -4 ⋅ ⋅ (-3) = 24 b) ⋅ 6 ⋅ (-5) = 90

( ) ( ) ( )

1 2 3 4 5 6 99 ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ... ⋅ 2 3 4 5 6 7 100

        

b) -4 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ (-3)

                  

b) (-1) ⋅ (-1) ⋅ (-1) ⋅ … ⋅ (-1)

19 st

                

c) 2 ⋅ (-5) ⋅ 2 ⋅ (-5) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ (-5)

−5 −1

−4

2 3 5

( )

( )( ) 7 4 5 b) −3 ⋅ ( −1 ) ⋅ ( − ) 9 5 17

17.

1 1 2 ⋅ −1 ⋅ −1 9 3 8

( )

1 1 −2 ⋅ 1,5 ⋅ − ⋅ ( −1, 4 ) 7 9

−2 0

10 st

16. a)

10. Sök reda på de tre tal vars produkt är a) störst b) minst c) -90.

19 st

−3

( )

1 2 3 3 2 1 11. a) − ⋅ ⋅ − b) ⋅ − ⋅ 2 3 4 5 5 3

Tilläggsuppgifter s. 198 Hemuppgifter s. 248

18.

Division täljare

18 = 3 6

kvot

nämnare Gottfried Leibniz (1646–1716) använde år 1694, som första person, kolon som divisionstecken.

täljare = kvot ⇔ kvot ⋅ nämnare = täljare nämnare

Multiplikation och division är inversa räkneoperationer.

Exempel 1

6 = 3, eftersom 3 ⋅ 2 = 6 2 −6 c) = −3, eftersom −3 ⋅ 2 = −6 2

−6 = 3, eftersom 3 ⋅ (−2) = −6 −2 6 d) = −3, eftersom −3 ⋅ (−2) = 6 −2

DIVISION

Om täljaren och nämnaren har samma förtecken är kvoten positiv (+). Om täljaren och nämnaren har olika förtecken är kvoten negativ (–). 1. Bestäm först kvotens förtecken. 2. Beräkna kvoten av täljarens och nämnarens absolutbelopp.

Bestäm förtecknet.

Exempel 2

15 : (−5) = −3

Exempel 3

20 = −10 −2

c) −8 : 4 = −2 60

Utför divisionen 15 : 5 = 3.

b) −9 : (−3) = 3 d)

10 = −5 −2

+ + − − + − − +

+ + − −

Räkna. 1.

a) -6 : (+3) c) -8 : (-2)

b) +4 : (-2) d) -9 : 9

a) 6 : (-2) c) -5 : (-5)

b) -10 : (+5) d) +8 : (-4)

a) +7 : (-1) c) -10 : (-2)

b) -12 : (-6) d) 16 : (-8)

a) -3 : (-3) c) 9 : (-1)

b) 14 : (-7) d) -20 : (+5)

a) -18 : (-3) c) 25 : (-5)

b) -15 : (-3) d) +27 : (-9)

−9 −3

−15 c) 5 7.

30 −10

−16 −2

40 −8

−28 +7

−18 6

−24 −12

100 −5

−120 +4

−150 3

−180 −6

DIVISIONSSTIG 720 : (−9) :

: (−5) : (−4) =

10. Vilket tal saknas? a) -24 : = 3 b)

−30

: (-7) = 6 −8

=− 4

11. Skriv av och komplettera tabellen i ditt häfte. Täljare Nämnare

Kvot

Kvotens värde

72 : (−9) −21

−3 −20

−7

12. Vilka två tal bildar en kvot vars värde är a) största möjliga b) minsta möjliga c) till sitt absolutbelopp är störst?

−45

−90

−9

−5

−2

−3

13. Hur kan man bilda en så liten kvot som möjligt av två ensiffriga heltal. 14. Beteckna och beräkna a) kvoten av talen -16 och -2 b) kvoten av talen -40 och +5. 15. Räkna ut vilket det okända talet är genom att skriva som en division. a) Då talet 5 multipliceras med ifråga varande tal fås produkten 80. b) Täljaren är -27 och kvoten är 0,1. Vilken är nämnaren?

Tilläggsuppgifter s. 199 Hemuppgifter s. 248

18. Division Exempel 4

10)

−2, 4 24 =− =− 4 0,6 6

b) −8 : (−0,04) = 800 : 4 = 200

Exempel 5

1. Bestäm förtecknet. 2. Förläng. 3. Utför divisionen.

( )

1 3 7 7 7 2 14 (14 1 1 : −3 = − : = − ⋅ = − =− 4 2 4 2 4 7 28 2 Bestäm förtecknet och skriv ut det i början av uttrycket. Du kan då lämna bort parenteserna.

EGENSKAPER HOS DIVISION

• Om ett tal divideras med 1 ändras inte talets värde.

Exempel 7:1=7

• Om ett tal divideras med –1 fås talets motsatta tal.

7 : (−1) = −7

• Om ett tal divideras med sig själv fås kvoten 1.

7:7=1

• Om ett tal divideras med sitt motsatta tal fås kvoten −1.

7 : (−7) = −1

• Om noll divideras med ett tal (≠0) fås kvoten 0.

0:7=0

• Det går inte att dividera med noll. T.ex. divisionen 7 : 0 är inte definierad eftersom det inte finns ett sådant tal att det multiplicerat med noll är 7.

Räkna. −1, 4 16. a) −0,7

0,8 b) −0, 4

−25 c) 10

−0,9 d) −0,3

17. a) -3,3 : 3 c) -1,6 : (-0,2) 18. a) -99 : (-99) c) 0 : (-6)

b) -1,6 : (-0,8) d) 5,5 : (-5) b) 56: (-1) d) 67 : (-67)

19. a) -3 : 10 b) 12 : (-10) c) -350 : (-100) d) -45 : (+100) 20. a) -76 : 10 c) -1,5 : (-0,5)

b) -6,4 : (+2) d) 3,3 : (-1,1)

1 1 21. a) − : 2 6

3 4 b) − : − 7 7

( )

( ) ( )

1 1 22. a) : − 5 10

2 1 b) − : − 9 3

8 23. a) − : ( −16 ) 9

b) 18 : −

( )

1 3 24. a) 1 : − 3 4

( 76 )

1 1 b) −2 : 2 4

TEST

+8 : (+4)

-81 : (-9)

63 : (-7)

-21 : 7

-100 : 10

0 : 3

-0,2 : (-0,1)

-4,4 : 0,4

3 4 : − 5 5

( )

7 1 − : − 2 8

25. a) -3,5 : (-0,5) b) -5,4 : 0,6 c) -0,34 : (-0,01) d) 0,9 : (-0,03) 26. a)

−2,8 0, 4

−0,08 −0,02

+18 −0,9

−0,6 −0,06

( 23 )

27. a) −4 : − 28. a) −

1 10

( )

2 1 b) 1 : −2 5 5

( 21 )

b) −9

7 5 : − 6 12

29. a) −5 : −7 30. a)

b) −7 : 2

2 : ( −0,7 ) 3

( )

1 5 :1 6 6

( 43 )

b) −4,5 : −3

1 2 1 3 31. a) 7 :1 : 2 : 2 5 2 7 1 b) 2 1 :3 3 TEST

-60 : (-5)

-39 : (+13)

-84 : (-7)

-19 : 0

0 : (-9)

150 : (-1,5)

-0,3 : (+0,01)

-6,6 : 0,06

3 2 : ( −13) 5

1 3 −6 : −3 4 4

( )

( ) Tilläggsuppgifter s. 199 Hemuppgifter s. 248

19. Exempel 1

Sammansatta räkneoperationer Beteckna och beräkna a) summan b) differensen av talen −3 och −8. a) −3 + (−8) = −3 − 8 = −11

Exempel 2

(6 − 9) ⋅ (−5 + 3) = −3 ⋅ (−2) = 6

Exempel 3

−9 ⋅ (−2) + 18 : (−6) − (7 − 15)

b) −3 − (−8) = −3 + 8 = 5

Repetera räknesättens ordningsföljd på s. 8.

= 18 − 3 − (−8) = 18 − 3 + 8 = 23

Exempel 4

Aron följde under en veckas tid med temperaturen på morgonen klockan 8.

°C

må

lö

sö

−9

−8

−3

−1

Beräkna medeltalet av temperaturerna klockan 8. −9 + (−8) + (−3) + (+1) + (+4) + (+2) + (−1) = −9 − 8 − 3 + 1 + 4 + 2 − 1 = −21 + 7 = −14 −14 : 7 = −2

Svar: −2 °C

Medeltal = summan av talen dividerat med antalet tal.

RÄKNEPYRAMID Utför den utskrivna räkneoperationen och skriv in svaret i rutan ovanför.

12. a) -14 : 7 + 14 : (-2) + 9 b) (1 + 2 - 21) : (-1 + 7) 13. a)

⋅

14. 20 ⋅ ( −5) +

20 +

13 − 8 − 5 5− 8

⋅ -

−8

15.

+ −5 2

Räkna.

20 −20 − −5 −5

1,8 −2, 4 − 0,1⋅ ( −30) + −0,3 −0,6

a) 4 - (2 + 7)

b) (4 - 2) - 7

16. a) 1,2 : (0,63 - 0,6) b) -2 : 0,4 - 10 : (-2)

a) 3 ⋅ 3 - 9

b) 3 ⋅ (3 - 9)

17.

a) 25 : (14 - 9)

b) 16 : (2 - 10)

a) 48 : 8 - 7

b) (6 - 8) ⋅ 4 - 2

a) 2 + 4 ⋅ 2 - 4

b) (2 + 4) ⋅ (2 - 4)

a) (-9 + 3) : 3

−10 b) 4 −5

Räkna medeltemperaturen.

°C

lö

sö

−3

−1

−5

−6

−5

På måndagsmorgon visade termo metern -5 °C. På onsdagen var tempe raturen tre gånger så mycket som på måndagen. Vad visade termometern på fredag då det var 6 grader varmare än på onsdagen. b) 3 ⋅ 6 : (-9) + 3

Veckodag Temperatur °C må

må

10. a) 12 : (7 - 10)

−8 +9 − −2 −3

18.

−16

−12

−8

lö

sö

Annika följde temperaturen under en vecka. Hur många grader var det på måndagen om medeltemperaturen under veckan var -5 °C. −32 −49 − + 60 ⋅ ( −0,2) −8 −7

19. Vilket tal saknas?

5 −3 ⋅ 6

7 17 = 20 9 21

11. a) 14 - 4 ⋅ 5 + 8 : 2 b) (14 - 4) ⋅ 5 - 60 Tilläggsuppgifter s. 200 Hemuppgifter s. 249

19. Sammansatta räkneoperationer 26.

Räkna. 20.

a) 6 ⋅ (−3 − 3)

b) 6 ⋅ (−3) − 3

21.

a) (−8 − 4) : (−3)

b) 12 : (−4) ⋅ 5

22.

a) (4 + 6) ⋅ (4 − 6) b) (4 + 6) : (4 − 6)

23.

Temperaturen i en frys ska vara −18 °C. Linneas frys gick sönder kl. 23:00 och temperaturen steg med 2 grader i timmen. Hade temperaturen stigit över 0 °C då Linnea upptäckte problemet med frysen på morgonen kl. 7:00?

24.

· (–3)

−3

−2

−1

På tisdagsmorgon var temperaturen i Kittilä fem gånger så mycket som i Helsingfors. Samtidigt var det i Utsjoki två grader kallare än i Kittilä. Vad var temperaturen i a) Kittilä b) Helsingfors, då den i Utsjoki var −17 °C?

28.

Placera in talen 2, 3, −1, −2 och −3 i de gråa rutorna nedan så att uttryckets värde är ett så stort heltal som möjligt.

–4

: (–3)

−5

27.

LASKUPOLKU 24

Välj de två tal vars a) summa b) differens c) produkt d) kvot är störst.

⋅ 25.

Den romerska kejsaren Augustus (Octavianus) föddes år 63 f.Kr. Han blev kejsare år 27 f.Kr. och dog år 14 e.Kr. a) Hur gammal var Augustus då han blev kejsare? b) Hur många år var Augustus kejsare över Rom? c) Hur många år har det idag gått sen Augustus födelse? Inom arkeologi och historieforskning följs kutymen att inte räkna med år noll.

−

Räkna. 29.

a) 5 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 7 b) 18 : 2 − 11 + 6

30.

31.

a) −

12 9 − 6 3 20 8 − 4 2

25 10 − −5 2

14 16 + −2 8

32. Förflytta dig från A till B och utför de utskrivna räkneoperationerna. Vilken väg ska du ta så att slutresultatet är 0? Du får besöka en ruta högst en gång.

A 10

–8

–4

–2

–7

·3

33. a) -5 ⋅ 0,4 : (-0,2) b) -1,8 : 0,3 - 3 ⋅ (-3) 34. Skriv ut och beräkna a) produkten b) kvoten av summan respektive differensen av talen -6 och -8. 1 1 2 5 35. a) − ⋅ − 4 2 3 6

( 41 − 21 ) ⋅ ( 23 − 56 )

36. a) 2

( )

6 5 ⋅ 1− 7 6

1 1 b) −2 ⋅ ( −3) − : 2 2 4

38. I bl.a. USA och Kanada anges temperaturer på fahrenheitskalan (°F). För att omvandla från grader Fahrenheit till grader Celsius subtraherar man 32 från temperaturen i Fahrenheit och multi plicerar differensen med 5 . Vad är temperaturen 9 i celsiusgrader om en termometer visar a) 23 °F b) 95 °F c) -22 °F? 1 , 2, -2, 10 -3 och -7 i de gråa rutorna så att värdet av uttrycket som bildas är ett så stort heltal som möjligt.

39. Skriv in talen

⋅

( )

1 2 40. 10 - 7,5 : 2 ⋅ −   2 5  41. a)

0,9 − 1,8 − 0,3 4,8 −3,6 − b) 0,12 −0,24 −0, 4

1 7 42. a) + 3 2+ 1 1+ 2

1 4 8−

1−

1 4

37. Sätt in +, -, · eller : i talföljden nedan så att du får ett uttryck som är sant. Du får också använda parenteser.. 1   −2   3   −4   5   −6   7   −8   9   =   100 Tilläggsuppgifter s. 200 Hemuppgifter s. 249

20. Repetition 1.

Skriv av och komplettera tabellen i ditt häfte. Ursprunglig temperatur

Temperatu ren stiger/ sjunker

+23 °C

sjunker 8 °C

−6 °C

stiger 9 °C

b) |−3| − |−2|

a) −2 + 7 c) −6 − 4

b) 14 − 21 d) −10 + 1

a) 10 − (+1) c) −5 − (−6)

b) −9 + (−2) d) +19 − (+21)

a) 1,3 − 2,1 c) 5,2 − (−1,2)

b) −1,2 − 0,7 d) −0,3 + (+0,2)

10.

11.

a) −3 + 6 − 7

+20

12.

a) −14 + 7 − 9 − 8 − 2 + 4 b) 2 + (−5) − (−4) − 8 + (+1) − (−8)

13.

Temperaturen i en bastu är 92 °C sam tidigt som utetemperaturen är −23 °C. Beräkna temperaturskillnaden.

14.

a) 5 ⋅ (−9) c) −3 ⋅ 0,1

15.

1 1 a) − ⋅ − 2 4

16.

a) −1 ⋅ (−2) ⋅ (−3) b) −88 ⋅ 2 ⋅ 0

17.

a) −8 : 2

−16 °C

−14 °C

+5 °C

−3 °C

−11 °C

−12 °C

Vilka tal motsvarar punkterna A, B, C, D, E och F på tallinjen? B

–10

D 0

E +10

Skriv av tabellen i ditt häfte. Jämför storleken på talen och kryssa för rätt alternativ. Tal

a) |−3 − 2|

−2 °C

–20

Ny temperatur

+10 °C

Beräkna. a) |−8|

≠

≤

≥

Tal

−8

−7

0,5

1 2

−2

−0,7

−0,70

−3,01

−3,1

Beteckna och beräkna a) det motsatta talet till 9 b) absolutbeloppet av −3 c) differensen av talen 8 och −5.

18.

1 3 − 13 13

( )

−40 −5

5 6 : − 7 7

( )

b) −(−7)

c) −[−(−10)]

1 2 b) − − 9 9 b) 10 − 5 − 6

b) −3 ⋅ (−7) d) −1,4 ⋅ 100 b)

( )

2 3 ⋅ − 5 7

b) −90 : (+9) d)

35 −7

( )

1 1 b) − : − 2 4

2 1 29. a) − 5 2

19. a) 9 - 4 ⋅ 3

b) -6 ⋅ (-3) : 2

20. a) 36 : 6 - 8

b) (2 - 5) ⋅ 3

21. a) 6 - (3 + 8)

b) (4 - 12) : (7 - 5)

22. Vilka tal motsvarar punkterna A och B på tallinjen? A

–30

23. Skriv av tabellen i ditt häfte. Jämför storleken på talen och kryssa för rätt alternativ. =

Tal

≠

≤

≥

−0,1 −9

−8,1

−8,09

−0,7

−0,70

1 3

−

1 4

24. Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.

1 7

−2

1 1 −1, 09 −7 −2 5 4

25. Hyfsa. a) |-18|

b) -(+9)

1 6

30. a) -22 - 8 + 12 - 7 + 6 - 11 + 20 b) -5 - (+7) + (-12) - (-30) - 11 - (-9) 31. På kvällen kl. 21:00 var temperaturen +4°C och på morgonen kl. 07:00 hade den sjunkit till -12 °C. Med hur många grader per timme sjönk temperaturen i medeltal? 32. a) -12 ⋅ (-5) b) -20 ⋅ (+6) c) -0,3 ⋅ 1,2 d) 0,7 ⋅ (-100)

( )

3 10 33. a) − ⋅ − 5 21

( )

1 3 b) 1 ⋅ −2 11 4

Tal

−10

−

5 1 b) − − 1 8 6

−1,9

c) -|-10|

34. a) 4 ⋅ 0,79 ⋅ (-25) b) -2 ⋅ (-5) ⋅ (-2) ⋅ (-5) ⋅ (-2) ⋅ (-5) 35. a) -44 : (-11) −1,2 c) 0,6

b) -91 : (+7) −0,2 d) −0,04

4 36. a) −1 : ( −13) 9

2 1 b) 5 : −2 3 3

( )

37. a) (-13 - 7 + 4) : (8 + 2 - 6) b) -36 : (-6) ⋅ 4 - (-3) ⋅ (-8) 38.

−8 ⋅ 4 : ( −2) − 4 4 ⋅ ( −2) − 4

(

) 1 1 1 b) 2 ⋅ ( − 1 ) : ( − ) 16 8 8

2 5 1 39. a) − − + 3 8 8 8

Beräkna. 26. a) -5 ⋅ |-3| - |-10| b) |8 - 13| - |-5 - 9|

27. a) -34 - 16 c) 2,7 - 3,5

b) -51 + 48 d) -0,8 - 0,7

40. Beteckna och beräkna. Från produkten av talen -3 och 7 subtraheras kvoten av talen -20 och 5.

28. a) 45 + (-50) c) -16 + (+9)

b) -21 - (-22) d) +12 - (+15) 69

✔

Sammanfattning av kurs 1

✔ MULTIPLIKATION AV DECIMALTAL Produkten av decimaltal har lika många decimaler som faktorerna har tillsammans. ✔ DIVISION AV DECIMALTAL Vid division förlängs talen så att nämnaren blir ett heltal. Kommatecknen flyttas lika många steg åt höger i både täljare och nämnare. BRÅK

1 8

Täljare Nämnare

✔ FÖRLÄNGNING Täljaren och nämnaren multipliceras med samma tal. ✔ FÖRKORTNING Täljaren och nämnaren divideras med samma tal. ✔ ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK Bråken görs först liknämniga om de inte är det. Täljarna adderas eller subtraheras. Nämnaren förblir oförändrad. ✔ MULTIPLIKATION AV BRÅK Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna med varandra. ✔ INVERS Två tal vars produkt är lika med ett sägs vara varandras inverser. ✔ DIVISION AV BRÅK Att dividera med ett bråk är samma som att multiplicera med detta bråks invers.

✔ ABSOLUTBELOPP Ett tals avstånd till noll på tallinjen kallas talets absolutbelopp. Ett tals absolutbelopp fås genom att förtecknet tas bort. Absolutbelopp betecknas med lodräta streck, vertikalstreck, på båda sidor om talet. Absolutbeloppet av talet −8 betecknas |−8|. ✔ MOTSATTA TAL Två tal som har samma avstånd till noll på tallinjen sägs vara varandras motsatta tal. Ett tals motsatta tal fås genom att man byter förtecken på talet. Det motsatta talet betecknas genom att ett minustecken sätts till framför talet. Det motsatta talet till −7 betecknas −(−7). ✔ ADDITION OCH SUBTRAKTION AV TVÅ TAL Om talen har samma tecken adderas absolut beloppen av talen. Som förtecken fås då det gemensamma tecknet. Om talen har olika tecken subtraheras absolut beloppen av talen. Som förtecken fås förtecknet av det tal vars absolutbelopp är störst. ✔ TECKENREGLER FÖR PRODUKTER Om antalet negativa faktorer är udda så är produkten negativ jämnt så är produkten positiv. ✔ DIVISION Om täljaren och nämnaren har samma förtecken är kvoten positiv (+). Om täljaren och nämnaren har olika förtecken är kvoten negativ (−). Om noll divideras med ett tal (≠0) fås kvoten 0. Det går inte att dividera med noll.