Ma2 Kort blädderex by Schildts & Söderströms

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma2 KORT

Markku Ekonen Sanna Hassinen Paavo Heiskanen Katariina Hemmo Päivi Kaakinen Jorma Tahvanainen Timo Taskinen Niklas Palmberg

Ma2

KORT Uttryck och ekvationer

Uttryck och ekvationer

ISBN: 9789515239006

9 789515 239006

3x–1 12x–8x 4(2x–6)

Schildts & Söderströms www.sets.fi

Finska förlagans titel: Tekijä. Lyhyt matematiikka 1. Lausekkeet ja yhtälöt Redaktör för den finska upplagan: Sanna Niemelä Redaktör för den svenska upplagan: Hans Nordman Typografi: Liisa Holm Omslag: Heidi Hjerppe / Kustmedia Förlagan layout: Juho Niemelä Svenska upplagans ombrytning: Eija Högman Bilder: iStock

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

Innehåll 1 Räkna med uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Uttryck och räkneoperationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Produkten av polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 20

2 Ekvationer och funktioner . . . . . . . . . 2.1 Ekvationer av första graden . . . . . . 2.2 Polynomfunktioner av första graden . 2.3 Ekvationer av andra graden . . . . . . 2.4 Polynomfunktioner av andra graden .

. . . . .

29 30 41 53 65

3 Ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Ekvationssystem och skärningspunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tillämpningar med ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 84 95

. . . . .

4 Proportionalitet . . . . . . . . . . . . 4.1 Förhållande och proportionalitet 4.2 Direkt proportionalitet . . . . . . 4.3 Omvänd proportionalitet . . . .

. . . .

104 105 116 129

5 Tilläggsmaterial . . . . . 5.1 Rationella uttryck . . 5.2 Minnesregler . . . . . 5.3 Noggrannhet i svaret 5.4 Kvadratrot . . . . . .

. . . . .

140 140 146 149 153

6 Repetition: Uttryck och ekvationer 6.1 Kursens centrala begrepp . . . . 6.2 Matematiska modeller . . . . . . 6.3 Flervalsuppgifter . . . . . . . . .

. . . .

157 158 166 177

Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

. . . . .

Till bokens användare Mål

Syftet med undervisningen i matematik och den viktiga roll som läroboken har, är att den studerande ska få positiva inlärningserfarenheter av att jobba med matematik. Målet är att den studerande skall lära sig att lita på sin kapacitet, sina färdigheter och sin tankeförmåga, samt att få mod att satsa på en inlärning som är undersökande, testande och kreativ. Gymnasiets läroplan lägger upp många mål för undervisningen i den korta matematiken. Den studerande ska exempelvis kunna använda matematiken som hjälpmedel i det dagliga livet och i samhällelig verksamhet. I en värld som ändras allt snabbare, måste man kunna ta emot och analysera sådan information som massmedierna ger i matematisk form och kunna bedöma dess tillförlitlighet. Gymnasisten måste inhämta sådana matematiska kunskaper och färdigheter som ger en tillräckligt bra grund för fortsatta studier. Förutom de matematiska kunskaperna och färdigheterna ska man lära sig att använda ändamålsenliga tekniska hjälpmedel och informationskällor.

Enligt läroplan är målen för kursen ”Uttryck och ekvationer” att den studerande ska ◗ få vana att använda matematik när det gäller att lösa vardagliga problem och lära sig lita på sin matematiska förmåga ◗ förstå begreppen linjärt beroende, proportionalitet och polynomfunktioner av andra graden ◗ stärka sina färdigheter i att lösa ekvationer och lära sig lösa ekvationer av andra graden ◗ kunna använda tekniska hjälpmedel vid undersökning av polynomfunktioner och vid lösning av tillämpade problem som anknyter till polynomekvationer och polynomfunktioner.

Bokens struktur

I serien Ma KORT finns många lösningar som stöder den studerande att nå de mål som står i läroplan. • I början av varje kapitel finns en översikt som visar huvudmålen för kapitlet. Dessutom visar översikten vilka saker som den studerande borde behärska utan hjälpmedel och vilka saker som borde behärskas med hjälpmedel. • Varje delkapitel börjar med något att fundera på. Avsikten med dessa uppgifter är att inleda lektionens tema. E1

• Till varje exempel i boken finns en motsvarande uppgift i avsnittet med uppgifter. Dessa är tydligt markerade med symboler för att underlätta självstudier.

12.

• Mera krävande uppgifter är markerade med färgad bakgrund. De kan antingen vara uppgifter som ska lösas med eller utan räknare.

Tilläggsmaterial: Rationella uttryck s. 140

• Det tilläggsmaterial som hör till kursen har sammanställts till ett eget kapitel. I teoridelen hänvisas till detta kapitel. I studentexamen i matematik löses en del av uppgifterna utan tekniska hjälpmedel och en del med tekniska hjälpmedel. Med tekniska hjälpmedel avses här räknare, datorprogram eller liknande. Denna indelning har också beaktats i läroboken. • En del av exemplen har lösts utan räknare. På motsvarande sätt är det meningen att lösa en del av uppgifterna utan tekniska hjälpmedel. • Exempel som är meningen att lösas med räknare eller datorprogram är markerade med en egen symbol. Då man i bokens exempel hänvisar till räknare, avses alltså vilket tekniskt hjälpmedel som helst, som passar för att lösa uppgiften.

◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel

De möjligheter som tekniska hjälpmedlen erbjuder har beaktats i kapitlen med hjälp av instruktionsrutor. I dem berättas vilka funktioner som kan hittas, till exempel på räknaren, för att underlätta lösningen av uppgifterna.

Räkna med uttryck

M ålen är ■

att du ska repetera och förstärka dina färdigheter i att räkna med polynom

■

att du ska lära dig att bilda uttryck i textuppgifter

■

att du ska lära dig att arbeta med polynom med hjälp av räknaren.

◗ Hur beräknar man värdet av ett polynom?

◗ Hur förenklar man uttryck med hjälp av räknaren?

◗ Hur utför man följande räkneoperationer med polynom? – addition – subtraktion – multiplikation med monom – produkten av två polynom

◗ Vilket är det enklaste sättet att beräkna värdet av ett polynom? ◗ Hur kan man spara ett uttryck i räknarens minne?

◗ Hur bildar man ett lämpligt uttryck i textuppgifter?

1.1

Uttryck och räkneoperationer

Fundera på

a) Undersök följande räkneoperationer. Markera de räkneoperationer som går att utföra med ett ×. 4 kg − 3 kg

50 m2 + 9 m2

4 kg − 3 €

50 m2 + 9 m

4x − 3y

50x2 + 9x

b) Rektangelns höjd är 5 enheter. Bestäm rektangelns area (basen gånger höjden) på två olika sätt.

5 a

c) Bestäm rektangelns area på de två ovanstående sätten då höjden är c. Sätt uttrycken lika med varandra.

8 1

Räkna med ut tryck

hastighet ⋅ tid = sträcka

När man kör en bil med konstant hastighet, kan man beräkna den tillryggalagda sträckan genom att multiplicera hastigheten med tiden. Hastighet (km/h)

Tid (h)

Sträcka (km)

100 ⋅ 1

100 ⋅ 5

100 ⋅ x

100

100x är ett uttryck som anger den tillryggalagda sträckan. I matematik kan ett uttryck vara ett tal eller en bokstav kombinerade av okia räkneoperationer. I uttrycket för den tillryggalagda sträckan 100x kan bokstavens värde variera beroende på hur många timmar man kör med konstant hastighet. Om bokstavens värde kan variera, kallar man bokstaven för en variabel. Vissa uttryck kan kategoriseras som polynom. Ett polynom består av summan av en eller flera termer. Varje term består av en koeﬃcient och en variabeldel (bokstavsdel). Exponenten i variabeldelen är ett icke-negativt heltal. Om exponenten är noll är termen ett tal och kallas då för konstantterm. Exponenten i varje term anger termens grad. Den största exponenten avgör polynomets grad (gradtal). polynom −3x4 + x2 − 2

polynomets termer −3x4 x2 −2

termernas koeﬃcienter −3 1 −2

termernas variabeldelar x

termernas gradtal 4 2 0

1 . 1 U t t R yc k o c h R ä k n e o p e R at i o n e R

Polynomen betecknas oftast med stor bokstav. Vi kan till exempel beteckna polynomet −3x 4 + x 2 − 2 med bokstaven P. P ( x ) = −3 x 4 + x 2 − 2 polynomets variabel

polynomets beteckning (namn)

Polynomen kategoriseras enligt sin grad eller enligt antalet termer. Polynomet P( x ) = −3x 4 + x 2 − 2 har tre termer. Ett polynom med tre termer kallas trinom. Ett polynom med två termer är ett binom och ett polynom med endast en term är ett monom. Ifall antalet termer är större än tre har polynomet inget speciellt namn. Då vi i ett polynom låter variabeln anta ett visst värde och utför räkneoperationerna, får vi polynomets värde. Polynomets värde då x = −1. polynom P ( x ) = −3 x 4 + x 2 − 2

P( −1) = −3 ⋅ ( −1)4 + ( −1)2 − 2 = −4

a) Beräkna värdet för polynomet Q( x ) = 3x 2 + x då x = −2 . 1 b) Beräkna värdet för uttrycket a3 − 3a − b, då a = och b = −1. 2

EXEMPEL 1

LÖSNING

a) Vi ersätter variabeln x med –2 och utför räkneoperationerna. Q(−2) = 3 ⋅ (−2)2 + (−2) = 3 ⋅ 4 − 2 = 10

Negativa tal skrivs inom parentes.

1 b) Uttrycket har två variabler. Vi ersätter variabeln a med och 2 variabeln b med −1. 3

SVAR

1 1 3 1 1 12 8 3  1  2  − 3 ⋅ 2 − (−1) = 8 − 2 + 1 = 8 − 8 + 8 = − 8

Bråk skrivs inom parentes.

a) 10

1 Räkna Med Ut tRyck

b) −

3 8

Storheter som har samma enheter kan både adderas och subtraheras. Till exempel kan vi beräkna att 4 kg + 2 kg = 6 kg och 5 m – 2 m = 3 m. På samma sätt kan uttryck där termernas variabeldelar är likadana adderas. Sådana termer kallas likformiga. Vid addition av likformiga termer adderar vi koeﬃcienterna medan variabeln förblir densamma. Termer −2x

Summa 7x

Diﬀerens

−2 x + 7 x

−2 x − 7 x

= ( −2 + 7) x

= ( −2 − 7) x

= 5x

= −9 x

Vid subtraktion av likformiga termer subtraherar vi koeﬃcienterna medan variabeln också här förblir densamma. Om uttrycken innehåller flera termer, kan det för tydlighetens skull vara bra att först skriva uttrycken med parenteser. Till exempel kan summan och differensen av uttrycken Uttrycken 2x − 1

−x + 3

Summa

Diﬀerens

(2 x − 1) + ( − x + 3)

(2 x − 1) − ( − x + 3)

Oftast följer man ett visst mönster då man adderar och subtraherar uttryck: När man byter förtecken på alla termer i ett uttryck får man det motsatta uttrycket. Att subtrahera betyder med andra ord att addera det motsatta uttrycket.

➊ Vi tar bort parenteserna.

• Om det finns ett + -tecken framför parentesen, så bibehåller termerna sina förtecken. • Om det finns ett − -tecken framför parentesen, så byter alla termer inuti parentesen förtecken. 5x + (4 (4x − 3) − (5 − 6x2) = 5x + 4x − 3 − 5 + 6x2

➋ Vi adderar likformiga termer. 5x + 4x − 3 − 5 + 6x2 = 9x − 8 + 6x2

➌ Vi ordnar termerna enligt termernas grad (från den högsta till den lägsta).

9x − 8 + 6x2 = 6x2 + 9x − 8

1 . 1 U t t R yc k o c h R ä k n e o p e R at i o n e R

Addition och subtraktion av uttryck

Vid addition adderar vi likformiga termers koeﬃcienter. Vid subtraktion subtraherar vi likformiga termers koeﬃcienter. I bägge fallen förblir variabeldelen oförändrad.

Förenkla. a) (2x + 1) + (−3x − 2) b) 4x − (3x + 3) c) (2a2 − 6) − (−4a2 + 2a − 1) + (a − 1)

EXEMPEL 2

LÖSNING

a) Först tar vi bort parenteserna och sedan sammanslår vi likformiga termer. (2 x + 1) + (−3x − 2) = 2 x + 1 − 3x − 2 = (2 − 3)x + 1 − 2

Plustecken framför parentesen, förtecknen bibehålls.

= −x − 1 b) 4 x − (3x + 3) = 4 x − 3x − 3 = (4 − 3)x − 3

Minustecken framför parentesen, förtecknen blir de motsatta.

= x −3 c) (2a2 − 6) − (−4a2 + 2a − 1) + (a − 1) = 2a2 − 6 + 4a2 − 2a + 1 + a − 1 = (2 + 4)a2 + (−2 + 1)a − 6 + 1 − 1 = 6a2 − a − 6 SVAR

a) −x − 1

1 Räkna Med Ut tRyck

b) x − 3

Termerna ordnas enligt deras grad.

c) 6a2 − a − 6

För multiplikation gäller den associativa lagen, dvs. att räkneordningen kan ändras utan att produkten ändras. Om uttrycket som ska multipliceras innehåller flera termer, så använder vi oss av den distributiva lagen. Associativa lagen a(bc) = (ab)c

Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac

3 ⋅ (5x) = (3 ⋅ 5)x = 15x

3(x + 7) = 3 ⋅ x + 3 ⋅ 7 = 3x + 21

Produkten av ett tal och uttryck

Ett uttryck multipliceras med ett tal på så sätt att varje term i uttrycket multipliceras med talet och de uppkomna produkterna adderas. a(b + c) = ab + ac

Förenkla uttrycken. a) −6 ⋅ (−3x) c) (7x − 1) ⋅ 5

EXEMPEL 3

LÖSNING

b) 4(5x + 2) d) −3(4a2 − a + 2)

a) −6 ⋅ (−3x) = (−6) ⋅ (−3)x = 18x b) 4(5x + 2) = 4 ⋅ 5x + 4 ⋅ 2 = 20x + 8 c) Eftersom produkten är kommutativ kan vi byta plats på faktorerna. (7x − 1) ⋅ 5 = 5(7x − 1) = 5 ⋅ 7x + 5 ⋅ (−1) = 35x − 5 d) −3(4a2 − a + 2) = −3 ⋅ 4a2 − 3 ⋅ (−a) − 3 ⋅ 2 = −12a2 + 3a − 6

SVAR

a) 18x c) 35x − 5

b) 20x + 8 d) −12a2 + 3a − 6

1 . 1 U t t R yc k o c h R ä k n e o p e R at i o n e R

Förenkla. a) 2(3x − 4) + (5x − 8)

EXEMPEL 4

LÖSNING

b) 6x − 5(3x − 1)

a) Vi börjar förenklingen med att utföra multiplikationen. Efter det utför vi additionerna och subtraktionerna. 2(3x − 4) + (5x − 8) = 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ (−4) + (5x − 8) = 6 x − 8 + (5x − 8) = 6 x − 8 + 5x − 8 = 11x − 16

Ta bort parenteserna. Addera likformiga termer.

b) Vi utför först multiplikationen och adderar sedan likformiga termer. 6 x − 5(3x − 1) = 6 x − 5 ⋅ 3x − 5 ⋅ (−1) = 6 x − 15x + 5 = −9 x + 5 SVAR

a) 11x − 16

b) −9x + 5

◗ Användning av räknare eller annat hjälpmedel Förenkling av uttryck De flesta räknare utför additioner och subtraktioner av uttryck automatiskt, utan specialkommandon. För multiplikation krävs oftast att man använder räknarens förenklingskommandon. Beräkning av ett polynoms värde För att beräkna värdet av ett polynom kan det vara bra att lagra polynomet i räknarens minne med namn och variabel. Då får vi polynomets värde direkt med räknaren och behöver alltså inte sätta in variabelvärdet manuellt på varje ställe där variabeln förekommer.

1 Räkna Med Ut tRyck

Elin flyttar till sin studieort. En flyttfirma erbjuder ett flyttpaket som inkluderar både bil och chaufför. Paketets pris är 320 €. Elin behöver dessutom flyttlådor, vars dagshyra är 0,16 €/låda. a) Bilda polynomet P(x) som anger totalpriset då Elin behöver x antal lådor för två dagar. b) Beräkna totalpriset med hjälp av polynomet då Elin uppskattar att hon behöver 11 flyttlådor.

EXEMPEL 5

LÖSNING

a) Grundpaketets pris är 320 €. Utöver det behövs flyttlådor för två dagar. Priset för varje flyttlåda är således 2 ⋅ 0,16 € = 0,32 €. Vi undersöker totalpriset genom att göra upp en tabell för olika antal flyttlådor. Antalet flyttlådor

Totalpris (€)

320 + 0,32 ⋅ 1

320 + 0,32 ⋅ 2

320 + 0,32 ⋅ 9

320 + 0,32 ⋅ x

Om antalet flyttlådor är x, så blir totalpriset Spara uttrycket i räknarens minne.

Beräkna uttryckets värde direkt med hjälp av det sparade uttrycket i räknarens minne. SVAR

P(x) = 320 + 0,32x (€). b) Det behövs 11 flyttlådor, så x = 11. Totalpriset får vi genom att sätta in x = 11 i polynomet P. P(11) = 320 + 0,32 ⋅ 11 = 323,52 (€) a) P(x) = 320 + 0,32x (€)

b) 323,52 €

1 . 1 U t t R yc k o c h R ä k n e o p e R at i o n e R

Uppgifter 1. Beräkna värdet av uttrycket, då x = 3. a) 2x − 1

b) −x2 + x

2. Låt Q(x) = x2 + 5x. Beräkna. a) Q(3) E1

b) Q(−1)

 1 c) Q    2

3. a) Beräkna värdet av polynomet Q(a) = −3a2 + a, då a = −1. b) Beräkna värdet av uttrycket x2 − 3x − y, då x = −

1 och y = −1. 2

4. a) Beräkna värdet av uttrycket 6x − 3x3, då x = −2.

3 1 b) Beräkna värdet av polynomet K ( x ) = x 2 − 4 x + 1 , då x = . 2 3

5. Förenkla.

a) (2x + 7) + (−5x − 4) b) (−3y + 2) − (5y − 7) c) 2a − (−3a2 + 6a − 1)

6. Beteckna och förenkla polynomens

a) summan av polynomen x2 − 2x + 3 och −4x + 6 b) differensen av polynomen 5x2 − 1 och −3x2 + x − 4.

7. Förenkla.

a) (x3 − 4x2 + 5x − 2) + (4x2 − 2x − 3) b) a2 − (−a2 + 3) − (5a2 + a) c) 2x − (3x + y − 5) + (y − 3)

8. Anta att P(x) = x2 − 5 och R(x) = −3x2 + x − 1. Förenkla P(x) − R(x). 9. Förenkla.

a) 5 ⋅ 3a b) 6 ⋅ 3 kg

10. Förenkla.

a) (−5) ⋅ (−7a) b) (4 − 6x) ⋅ 3

c) 7m2 ⋅ (−2) c) 3(−a2 + 6a − 1)

11. Förenkla. a) 2(−5t + 3) E4

16 1

12. Förenkla.

b) −(5t4 − 3t + 1)

a) −3(5 − 4x) + (6x − 9)

Räkna med ut tryck

c) ( −2 + 3k ) ⋅

1 2

b) 7x − 4(3 − 5x)

13. Förenkla.

a) 8(3x − 4) − 6(−x − 5)

b) −9(2 − 7x) − 3(5x + 2) + 2(x − 4)

14. Anta att P(x) = 4 − x och Q(x) = x2 − 2x. Bilda och förenkla. a) P(x) − Q(x)

b) 2 ⋅ P(x) + 3 ⋅ Q(x)

15. Anta att P(x) = 13x2 − 25x och Q(x) = −5x2 − 6x + 47. a) Bilda och förenkla R(x) = 15P(x) − 16Q(x). b) Beräkna P(−14), Q(12) och R(−9).

16. Fyll i tabellen. Värdet av polynomet då Polynomet (förenklat så långt det går)

x = −23

2 5

x = 35

P(x) = −41x + 15 Q(x) = 19x2 − 15x + 20 R(x) = −4 ⋅ P(x) − 8 ⋅ Q(x) = H(x) = 6(P(x) − 7 ⋅ Q(x)) =

km . h a) Bilda ett uttryck som anger den tillryggalagda sträckan, då man kör x timmar med bilen. b) Hur långt kommer man med bilen på en och en halv timme?

17. En bil åker med den konstanta hastigheten 85

18. William beställer foton på nätet. Fotona kostar 0,19 €/st. Utöver det

tillkommer postavgifter på 5,90 €. a) Bilda ett polynom P som anger totalpriset då man beställer x stycken foton. b) Beräkna totalpriset med hjälp av polynomet då William beställer 120 foton.

1 . 1 U t t r y c k o c h r ä k n e o p e r a t i o n e r 17

19. Anton är på semester och hyr en bil för 69,80 €/dygn. Han tar också

en kollisionsförsäkring och hyr en navigator. Kollisionsförsäkringen kostar 3,57 €/dygn och för navigatorn debiteras en engångsavgift på 25,50 €. a) Bilda ett polynom P som anger de totala utgifterna då bilen hyrs för x dygn. b) Beräkna de totala utgifterna då Anton hyr bilen för fem dagar.

20. Tilde åker slalom på sportlovet. Hon hyr ett Snowboardset som

innehåller bräda, skor och hjälm. Att hyra setet för en dag kostar 40 €. Tilläggsdagar kostar 28 €/dag. a) Bilda ett polynom som beskriver hur de totala utgifterna beror av antalet hyresdagar x. b) Beräkna de totala utgifterna för fem dagars åkande med hjälp av polynomet.

21. Basen i en rektangel ges av uttrycket 6x − 5. Höjden är 4 enheter

kortare än basen. a) Bilda ett polynom P som anger rektangelns omkrets. b) Beräkna omkretsen, då x = 3.

22. Elisabeth sommarjobbar som bärförsäljare. En ask med lingon kostar

18 1

5,50 €. Under en dag säljer Elisabeth i medeltal 40 askar lingon. a) Bilda ett uttryck som anger dagens försäljningsinkomst då Elisabeth säljer x askar fler än medeltalet. b) Beräkna med hjälp av uttrycket vad inkomsterna blir då Elisabeth säljer 11 askar fler än medeltalet.

Räkna med ut tryck

Blandade uppgifter

23. Anta att R(x) = −3x2 + 3x − 1. Beräkna. a) R(−4)

24. Förenkla.

a) y − (3y + 8) + (−2y + 4) c) 5(2x + 1) + (−3x + 2)

 1 b) R    3 b) 2a + (a − 3) − (3a + 9) d) − 2(x − 1) − (6x − 3)

25. Förenkla uttrycket 3(x − 1) + (x2 + 3x − 5) − 2(x2 − 4) och beräkna dess värde, då x = −1.

26. Gymmet Body Gym har en medlemsavgift på 85 €/år. Utöver det

betalar besökarna en besöksavgift på 5,50 €/gång. Det konkurrerande gymmet City Pump har en medlemsavgift på 25 €/år och en besöksavgift på 7,50 €/gång. a) Bilda två polynom som anger utgifterna för att besöka gymmen x gånger på ett år. b) Vilket gym blir förmånligare om man besöker gymmet 32 gånger på ett år?

27. Enligt en modell beräknas den maximala pulsen vid motionsträning

för kvinnor med formeln 226 − T och för män med formeln 220 − T, där T är personens ålder i år. a) Hur många procent högre är den maximala pulsen för en 18-årig kvinna än den maximala pulsen för en man i samma ålder? b) Enligt en rekommendation ska pulsen vid motionsträning vara 60−70 % av den maximala pulsen. Bestäm de här gränserna för en 30-årig kvinna.[V2015, 3]

1 . 1 U t t r y c k o c h r ä k n e o p e r a t i o n e r 19

1.2 Fundera på

produkten av polynom a) Vi delar en rektangel i fyra mindre rektanglar. d

• Bilda ett uttryck för den stora rektangelns area.

• Bilda ett uttryck som anger längden av basen i den stora rektangeln.

A1, A2, A3 ja A4.

• Bilda ett uttryck för höjden i den stora rektangeln.

Bilda ett uttryck för den stora rektangelns area

b) Bilda ett uttryck för den stora rektangelns area och förenkla uttrycket på motsvarande sätt som i a-delen.

1 Räkna Med Ut tRyck

Multiplikation är en kommutativ operation, dvs. faktorernas ordningsföljd spelar ingen roll. 25 ⋅ 13 ⋅ 4 = 4 ⋅ 25 ⋅ 13 = 100 ⋅ 13 = 1300 Om vi byter plats på faktorerna blir räkneoperationen lättare att utföra.

Samma kommutativa lag kan också användas vid multiplikation av monom. 2x ⋅ 4x3 = 2 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ x3 = 8 ⋅ x1+3 = 8x4 Potenser med samma bas multipliceras enligt de regler som gäller för potenser: am ⋅ an = am+n.

En produkt av två monom beräknas genom att koeﬃcienterna multipliceras sinsemellan och potenser med samma bas multipliceras enligt regeln ovan. Vid multiplikation av ett monom och ett binom använder vi oss av den distributiva lagen a(b + c) = ab + ac. 2x(5x + 3) = 2x ⋅ 5x + 2x ⋅ 3 = 10x2 + 6x Multiplikation med monom

En produkt av två monom fås genom att koeﬃcienterna multipliceras sinsemellan och variabeldelarna sammanslås enligt reglerna för multiplikation av potenser med samma bas. Varje term i polynomet multipliceras med monomet. a(b + c) = ab + ac

1 . 2 p R o d U k t e n aV p o Ly n o M

Förenkla uttrycken. a) 5x2 ⋅ 8x4

EXEMPEL 1

LÖSNING

b) −2x2(3x3 − 6x + 4)

a) Vi multiplicerar koeﬃcienterna sinsemellan, och variabeldelarna multipliceras enligt reglerna för multiplikation av potenser med samma bas. 5x2 ⋅ 8x4 = 5 ⋅ 8 ⋅ x2+4 = 40x6 Produkten av potenser med samma bas: am ⋅ an = am+n

b) Vi multiplicerar varje term i parentesen med monomet −2x2. −2 x 2 (3x 3 − 6 x + 4) = −2 x 2 ⋅ 3x 3 − 2 x 2 ⋅ (−6 x ) − 2 x 2 ⋅ 4 = −2 ⋅ 3 ⋅ x 2+3 − 2 ⋅ (−6) ⋅ x 2+1 − 2 ⋅ 4 x 2 = −6 x 5 + 12 x 3 − 8 x 2

SVAR

a) 40x6

b) −6x5 + 12x3 − 8x2

Vid multiplikation av två polynom tillämpar vi den regel som vi funderade på i början av avsnittet. (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd Produkten av två polynom beräknas så att varje term i det första polynomet multipliceras turvis med varje term i det andra polynomet. Till slut adderas likformiga termer. Produkten av två polynom Extra: Rationella uttryck s. 140

Produkten av två polynom får vi genom att multiplicera alla termer turvis med varandra. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

1 Räkna Med Ut tRyck

Beräkna. a) (3x − 1)(2x + 6) c) (2x − 3)2

EXEMPEL 2

LÖSNING

b) (3 − 2x)(4x2 − 2x + 5) d) (x + 2)(x − 2)

a) Vi multiplicerar båda termerna i det senare polynomet med termerna i det första polynomet, dvs. med 3x och −1. (3x − 1)(2 x + 6) = 3x ⋅ 2 x + 3x ⋅ 6 − 1 ⋅ 2 x − 1 ⋅ 6 = 6 x 2 + 18 x − 2 x − 6

Addera likformiga termer.

= 6 x + 16 x − 6

b) Vi multiplicerar alla termer i det senare polynomet med termerna i det första polynomet, dvs. med 3 och –2x. (3 − 2 x )(4 x 2 − 2 x + 5) = 3 ⋅ 4 x 2 + 3 ⋅ (−2 x ) + 3 ⋅ 5 − 2 x ⋅ 4 x 2 − 2 x ⋅ (−2 x ) − 2 x ⋅ 5 = 12 x 2 −

+ 15 −

8x 3

4x2

= −8 x 3 + 16 x 2 − 16 x + 15

Extra: Minnesregler s. 146

− 10 x

Ordna termerna från den högsta graden till den lägsta graden.

c) Vi skriver potensen som en produkt av två polynom. (2 x − 3)2 = (2 x − 3)(2 x − 3) = 2 x ⋅ 2 x + 2 x ⋅ (−3) − 3 ⋅ 2 x − 3 ⋅ (−3) = 4x2 −

− 6x +

= 4 x 2 − 12 x + 9 d) Vi multiplicerar de båda termerna i det senare polynomet med termerna ur det första polynomet, dvs. med x och 2. ( x + 2)( x − 2) = x ⋅ x + x ⋅ (−2) + 2 ⋅ x + 2 ⋅ (−2) = x2 −

+ 2x −

= x −4 SVAR

a) 6x2 + 16x − 6 c) 4x2 − 12x + 9

b) −8x3 + 16x2 − 16x + 15 d) x2 − 4

1 . 2 p R o d U k t e n aV p o Ly n o M

Om uttrycket innehåller flera olika räkneoperationer måste vi komma ihåg att utföra dem i rätt ordning:

➊ parenteser ➋ multiplikation och division samt potenser ➌ addition och subtraktion. I många fall kan det vara bra att skriva ut resultatet av multiplikationerna inom parentes, för att undvika onödiga slarvfel. Beräkna. a) 3x − (2x + 6)(x − 1)

EXEMPEL 3

LÖSNING

b) −2x(x − 3)(x3 − x)

a) 3x − (2 x + 6)( x − 1) = 3x − (2 x ⋅ x + 2 x ⋅ (−1) + 6 ⋅ x + 6 ⋅ (−1)) = 3x − ( 2 x 2 −

+ 6x −

)

= 3x − (2 x 2 + 4 x − 6)

Skriv resultatet av multiplikationen inom parentes.

Minustecken framför parentesen, förtecknen blir de motsatta.

= 3x − 2 x − 4 x + 6 = −2 x 2 − x + 6

b) Vi beräknar först resultaten av polynomen −2x och x − 3. Vi skriver polynomen x3 − x så här. −2 x( x − 3)( x 3 − x ) = (−2 x ⋅ x − 2 x ⋅ (−3))( x 3 − x )

Förenkla resultatet av multiplikationen.

= (−2 x 2 + 6 x )( x 3 − x ) = −2 x 2 ⋅ x 3 − 2 x 2 ⋅ ( − x ) + 6 x ⋅ x 3 + 6 x ⋅ ( − x ) =

−2 x 5 +

2x 3

+ 6x 4 −

= −2 x 5 + 6 x 4 + 2 x 3 − 6 x 2

SVAR

a) −2x2 − x + 6 b) −2x5 + 6x4 + 2x3 − 6x2

1 Räkna Med Ut tRyck

6x 2

Ett företag inom livsmedelsindustrin köpte den sista juli 80 kg blåbär av en bärplockare. Företaget betalade 3,50 €/kg för blåbären. I augusti lyckades bärplockaren öka mängden plockade bär med 1,2 kg per dag. Blåbärens försäljningspris sjönk varje dag med 0,05 €/kg. a) Bilda och förenkla ett polynom R(x) som anger den inkomst som bärplockaren får dag x i augusti. b) Beräkna med hjälp av polynomet hur stor inkomst bärplockaren får den 23 augusti.

EXEMPEL 4

LÖSNING

a) Vi bildar ett polynom med hjälp av en tabell. Datum

Definiera R(x) som en funktion med räknaren. Då blir beräkningen av polynomets värde mycket lättare. Oftast räcker det med att skriva in R(23) för att få motsvarande värde. SVAR

Mängden blåbär (kg)

Försäljningspris (€/kg)

Inkomst (€) (mängden ∙ priset)

1.8.

80 + 1,2

3,50 − 0,05

(80 + 1,2)(3,50 − 0,05)

2.8.

80 + 2 ⋅ 1,2

3,50 − 2 ⋅ 0,05

(80 + 2 ⋅ 1,2)(3,50 − 2 ⋅ 0,05)

3.8.

80 + 3 ⋅ 1,2

3,50 − 3 ⋅ 0,05

(80 + 3 ⋅ 1,2)(3,50 − 3 ⋅ 0,05)

x.8.

80 + x ⋅ 1,2

3,50 − x ⋅ 0,05

(80 + x ⋅ 1,2)(3,50 − x ⋅ 0,05)

Bärplockarens inkomst beskrivs av polynomet R( x ) = (80 + x ⋅ 1,2)(3,50 − x ⋅ 0,05) 2

= −0,06 x + 0,2 x + 280

Förenkla uttrycket med räknare.

b) Inkomsterna den 23 augusti får vi genom att låta beräkna polynomets värde för x = 23. R(23) = −0,06 ⋅ 232 + 0,2 ⋅ 23 + 280 = 252,86 (€) a) Inkomsterna beskrivs av polynomet R(x) = −0,06x2 + 0,2x + 280. b) Inkomsterna den 23 augusti är 252,86 €.

1 . 2 p R o d U k t e n aV p o Ly n o M

Uppgifter E1

28. Förenkla.

a) 3x3 ⋅ 2x2

29. Förenkla.

a) 2x ⋅ 3x2 ⋅ 7x5 c) −6x3 ⋅ x ⋅ (−3x6)

30. Förenkla.

a) 5x(x2 − 6x + 2) c) (2x3 − x + 1) ⋅ (−3x4)

b) −3x3(4x2 + 3x − 5) b) −4x2 ⋅ 2x ⋅ 5x3 1 d) x 2 ⋅ 6 x ⋅ 2 x 2 3 b) −x2(6x2 − 3x − 2) 1 d) x 3 (4 x 2 − 6 x + 2) 2

31. Förenkla.

1 2 3 a) x 3 ⋅ x ⋅ x 2 3 3 4

32. Beräkna.

a) (2x + 3)(4x + 5) c) (3x − 4)2

3 3 1 2 2 1 x  x − x+   4 3 3 6

b) (2 − x)(5x2 + 3x − 2) d) (2x − 6)(2x + 6)

33. Beräkna.

a) (3x + 2)(4 + 6x) b) (x2 + 3)(2x + 1) c) (2x − 7)(1 + x) d) (x2 − 2)(x2 − 5)

34. Beräkna.

a) (4x − 3)(5 − 2x)

c) (7x2 − 2)(3 − x)

35. Beräkna. a) (3x − 5)(6x2 − 2x − 1)

36. Beräkna.

b) (2 − 3x2)(4 + x2) 1 2  d)  x − 1  x + 2 2 3  2 1  1 b)  x + 2  2 x 2 − x +   4 3 2

a) (4x + 2)2 b) (2x + 3)(2x − 3)

37. Beräkna.

a) 6x2 − (x + 3)(2x − 4)

38. Beräkna.

a) 7x + (x + 5)(3x − 1)

26 1

Räkna med ut tryck

c) (8 − x2)2

b) 3x(x + 2)(x2 − 4x) b) −2x2 − (5x − 4)(x − 8)

39. Beräkna.

a) 3x ⋅ 2x2 − 5x(3x2 − 3) b) (2x + 3)(x − 6) − (3 − x)(9 − x)

40. Beräkna.

a) 2x(4x + 7)(x − 1) 2

c) −4x (2 − x)(3x − 5)

b) (x + 5)(6 − 3x) ⋅ 3x 1 d) − x 2 ( x + 3)(4 x − 2) 4

41. Förenkla.

a) xm(x2m−3 + x3m) − xm−1(x−m+2) b) 2xn+2(4x1−n − 8x3n−2) + 16x4n

42. Antalet besökare på en biograf beror av bil-

jettpriset. Då biljetten kostar 10,00 € besöks biografen av 6500 personer i veckan. Om biljettpriset stiger med 1,00 €, minskar antalet besökare med 150 personer i veckan. a) Bilda och förenkla ett polynom P(x) som beskriver biografens inkomst per vecka, då biljettpriset ändras med x euro. b) Beräkna med hjälp av polynomet P(x) inkomsterna för en vecka då biljettpriset är 13,20 €.

43. Omkretsen av ett rektangelformat landområde är 500 m. Beteckna den ena sidans längd med x. a) Vilket uttryck anger i så fall den andra sidan? b) Bilda och förenkla ett polynom A(x) som anger rektangelns area. c) Beräkna rektangelns area då den ena sidan är 67,5 m.

44. Under periodpauserna i en ishockeymatch säljer en idrottsförening

grillkorv för 2 €/st. Med det här priset blir försäljningen under matchen 1 800 korvar. Enligt en undersökning som idrottsföreningen gjort medför en prisökning på 0,20 euro att antalet sålda korvar sjunker med 110 stycken per match. a) Idrottsföreningen ändrar korvarnas styckepris med 0,20 euro per gång. Bilda ett polynom H(x) som anger inkomsten från korvförsäljningen då priset har ändrats x gånger. b) Beräkna med hjälp av polynomet H(x) inkomsten från korvförsäljningen då försäljningspriset är 3,20 €.

1 . 2 p R o d U k t e n aV p o Ly n o M

Blandade uppgifter

45. Förenkla.

a) −4x2 ⋅ x ⋅ 3x5

46. Förenkla.

a) (6 + 5x)(3x + 8) 2

c) (x − 7)(3 − 2x )

47. Beräkna.

a) −12x2 − (5x + 2)(4 − 9x)

48. Beräkna.

a) (7x − 1)2

b) 9x2(2x3 − 3x2 + 6x) b) (2x − 5)(3x + 1)  4 1 d)  x + 3  x − 4   5 2 b) −8x3(x − 2)(5x2 − x) b) (4 − 5x)(4 + 5x)

49. En placerare köper 4700 aktier i ett datateknikföretag för 7,50 €/st.

28 1

Placeraren säljer och köper aktier beroende av hur priset ändras. För varje ökning av priset med en euro, säljer placeraren 400 stycken aktier. a) Bilda ett polynom P(x) som anger det totala värdet för placerarens aktier då aktiernas enhetspris ändras med x euro. b) Beräkna det totala värdet för placerarens aktier då enhetspriset för aktierna är 11,50 €. c) Beräkna det totala värdet för placerarens aktier då enhetspriset för aktierna är 5,80 €.

Räkna med ut tryck