Määritelmä SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS
Vektorien erotus
Erotusvektori a - b tarkoittaa summaa a + ( -b ) , ja se saadaan siirtämällä vektorin b vastavektori -b alkamaan vektorin a loppupisteestä.
Ma4 a
n erotus
−b
LÅNG
a−b Määritelmä
b
a
Vektorer
ktori a - b tarkoittaa summaa a + ( -b ) , ja se saadaan lä vektorin b vastavektori -b alkamaan vektorin a teestä. ESIMERKKI 2
b
−b
a) Piirrä erotusvektorit a - b ja a−b b - a . Vertaa erotusvektoreita. a
a
b) Piirrä erotusvektori b - b .
KKI 2
b
R AT K A I S U
a) Piirretään erotusvektorit a - b ja erotusvektorit. a - b = a + (-b ) Vertaa erotusvektoreita. a
erotusvektori b - b .
b - a = b + (-a ) b b
−b a a−b
U
−a b−a
ään erotusvektorit.
- b = a + (-b )
a−b
−b
b - a = b + (-a ) Havaitaan, että vektori a - b on vektorin b - a vastavektori. b
b) b - b = b + (- b ). Kun vektorit b ja -b asetetaan peräkkäin, a palataan samaan pisteeseen, −a josta lähdettiin. Siten b - b on nol lavektori:bb−-a b = 0 .
Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel. Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 4, Vektorit Redaktörer för den finska upplagan: Timo Pitkänen, Ville Sipiläinen Bildredaktör: Suvi-Tuuli Kankaanpää, Anita Kokkila Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe Förlagans layout: Liisa Holm, Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka IIvarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen
Första upplagan, 2017 © Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas, Jorma Tahvanainen och Sanoma Pro Oy © 2017 Niklas Palmberg och Schildts & Söderströms
Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok. Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61). Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi. Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det. ISBN 978-951-52-4105-4
Till dig som använder boken Ma4 Lång I vektorkursen studerar du grunderna i vektorkalkyl. Målet med kursen är att du ska lära dig undersöka egenskaper hos figurer, vinklar och punkter i ett koordinatsystem med hjälp av vektorer.
Bokens uppbyggnad Varje kapitel inleds med något att undersöka eller fundera på, som samtidigt leder till att du får nya insikter. Den nya teorin framställs konkret och tydligt med definitioner och satser som bevisas. I exemplen kan du tillämpa den inlärda kunskapen. Både teorin och exemplen är skrivna så att du kan ta till dig kunskapen på egen hand. Därför stöder boken även metoder som grundar sig på ett så kallat omvänt klassrum (flipped classroom). EXEMPEL 1 EXEMPEL 2
✗
Vissa exempel i boken är avsedda att utföras utan räknare. I andra exempel ges direktiv om hur räknaren kan användas på ett ändamålsenligt sätt. I denna bok avser ordet räknare även andra tekniska hjälpmedel avsedda för symbolisk räkning. Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter och följer samma ordningsföljd som exemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mera utmanande uppgifter.
1. De uppgifter som är avsedda att lösas utan räknare är markerade med bakgrundsfärg. 2. Räknare kan användas till hjälp, speciellt i tillämpade uppgifter. E1 Hänvisningar till exemplen underlättar då man räknar uppgifterna. I de exempel och uppgifter som är markerade med en video-ikon finns en tillhörande undervisningsvideo i det digitala materialet. De uppgifter som är försedda med en geometri-ikon är avsedda att lösas med ett geometriprogram.
Repetition Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra avsnitt. Först genomgås kursens innehåll, ordnat enligt rubrikerna för delavsnitten. Sedan följer flervalsuppgifter och uppgiftsserierna A och B, som innehåller uppgifter från hela kursen. Med önskan om inspirerande studier. Solf 30.1.2017 Författarna T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N
3
Innehåll 1 Ekvationssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Grunderna i vektorkalkyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 Vektor…………………………………………………………………………………………… 13 2.2 Räkneoperationer……………………………………………………………………………… 23 2.3 Vektorkomponenter…………………………………………………………………………… 31
3 Vektorer i ett koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4
40
Vektorer i planet………………………………………………………………………………… 40 Parallella vektorer……………………………………………………………………………… 49 Vektorer i rymden……………………………………………………………………………… 57 Egenskaper hos vektorer i rymden…………………………………………………………… 64
4 Skalär produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1 Vinkelräta vektorer……………………………………………………………………………… 70 4.2 Vinkeln mellan två vektorer…………………………………………………………………… 79
5 En linje och ett plan i rymden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1 Linje…………………………………………………………………………………………… 86 5.2 Plan……………………………………………………………………………………………… 96 5.3 Avståndet från en punkt till en linje och till ett plan………………………………………… 109
6 Geometri med hjälp av vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
1 Ekvationssystem………………………………………………………………………………… 125 2 Grunderna i vektorkalkyl……………………………………………………………………… 125 3 Vektorer i ett koordinatsystem………………………………………………………………… 126 4 Skalär produkt………………………………………………………………………………… 127 5 En linje och ett plan i rymden………………………………………………………………… 127 6 Geometri med hjälp av vektorer……………………………………………………………… 128 Flervalsuppgifter…………………………………………………………………………………… 129 Uppgiftsserie A…………………………………………………………………………………… 131 Uppgiftsserie B…………………………………………………………………………………… 132
Facit………………………………………………………………………………………………… 133 Sakregister…………………………………………………………………………………………… 147 4
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
Förslag till tidtabell 45 min
75 min
2
1
2 Grunderna i vektorkalkyl
5
3
2.1 Vektor 2.2 Räkneoperationer 2.3 Vektorkomponenter
1 2 2
1 1 1
3 Vektorer i ett koordinatsystem
6
4
3.1 Vektorer i planet 3.2 Parallella vektorer 3.3 Vektorer i rymden 3.4 Egenskaper hos vektorer i rymden
1 2 2 1
1 1 1 1
4 Skalär produkt
3
2
4.1 Vinkelräta vektorer 4.2 Vinkeln mellan två vektorer
1 2
1 1
5 En linje och ett plan i rymden
9
6
5.1 Linje 5.2 Plan 5.3 Avståndet från en punkt till en linje och till ett plan
3 3 3
2 2 2
6 Geometri med hjälp av vektorer
2
1
Repetition 1
1
1 Ekvationssystem
Totalt
28
18
F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L
5
1
Ekvationssystem
Redan i grundskolan lärde vi oss att lösa enkla ekvationssystem. I det här kapitlet lär vi oss att lösa sådana ekvationssystem som är nödvändiga för den kommande vektorkalkylen. En mera ingående teori om ekvationssystem lämnar vi till kurs 5, Analytisk geometri. VI UNDERSÖKER
Undersök om talen r = -1 och s = 3 uppfyller ekvationssystemet. 5r + 5 = 0 5r + 5 = 0 5r + 5 = 0 a) b) 3r + 2 s = 3 c) 3r + 2 s = 3 3r + 2 s = 3 5r + 2 s = 1 5r - s = 2
Att lösa ett ekvationssystem Ett ekvationssystem består av två eller flera ekvationer med en eller flera variabler. Att lösa ett ekvationssystem innebär att man hittar alla de tal som satisfierar samtliga ekvationer i ekvationssystemet. Exempelvis har ekvationssystemet
r-2 = 0 2r + s = 1 3r - s = 9
lösningen r = 2 och s = -3, eftersom dessa tal uppfyller samtliga ekvationer: r-2=0 2-2 = 0 0=0 sant
2r + s = 1 2⋅2 - 3 = 1 1=1 sant
3r - s = 9 3 ⋅ 2 - ( -3) = 9 9=9 sant
Inga andra tal uppfyller alla tre ekvationer (den första ekvationen satisfieras enbart av talet r = 2, vilket leder till att de två följande ekvationerna satisfieras enbart av talet s = -3).
6
I det första exemplet repeterar vi hur man löser ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta (variabler).
✗
EXEMPEL 1
s - 3t = 5 -2 s + t = -8.
Lös ekvationssystemet LÖSNING
Vi ska beräkna alla de tal s och t som uppfyller båda ekvationerna. Vi börjar med att eliminera ena variabeln. I det här fallet väljer vi att eliminera variabeln s. Vi använder oss av additionsmetoden:
Obs! Ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta kan lösas med •• additionsmetoden •• insättningsmetoden.
s - 3t = 5 -2 s + t = -8
2 s - 6t = 10 -2 s + t = -8 -5t = 2 t =-
2 5
Vi multiplicerar första ekvationen med ett sådant tal att koefficienten framför variabeln s blir det motsatta talet till -2. Vi adderar de likformiga termerna.
+
⋅2
: ( -5)
Vi löser ekvationen med avseende på variabeln t.
2 Vi sätter in t = - i någondera ekvationen och löser den med 5 avseende på variabeln s. s - 3t = 5 2 s - 3 ⋅(- ) = 5 5 6 s+ =5 5 6 25 6 19 s =5- = - = 5 5 5 5
Lösningen är s =
19 2 och t = - . 5 5
SVAR
s=
19 2 och t = 5 5
1 E k vat i o n s s y s t e m
7
I det andra exemplet lär vi oss hur man löser ett ekvationssystem med tre ekvationer men enbart två obekanta (variabler).
✗
EXEMPEL 2
Lös ekvationssystemet
r + s = -1 3r + 7 s = 1 4r + 9s = 3 + r .
LÖSNING
Eftersom det bara finns två variabler räcker det med två ekvationer för att beräkna värdet på variablerna. Vi betraktar alltså exempelvis endast de två första ekvationerna och löser det ekvationssystemet med avseende på r och s. Sedan kontrollerar vi om de talen även uppfyller den tredje ekvationen.
r + s = -1 ⋅ ( -3) Vi väljer att eliminera variabeln r. 3r + 7 s = 1
+ -3r - 3s = 3
3r + 7 s = 1 4s = 4 s= 1
:4
Vi sätter in s = 1 i den första ekvationen och löser den med avseende på variabeln r. r + s = -1 r + 1 = -1 r = -2 Vi sätter in talen r = -2 och s = 1 i den tredje ekvationen. 4r + 9s = 3 + r 4 ⋅ ( -2) + 9 ⋅1 = 3 + ( -2) 1=1 sant
Talen r = -2 och s = 1 satisfierar alla tre ekvationerna. SVAR
r = -2 och s = 1
8
1 E K VAT I O N S S Y S T E M
I det tredje exemplet lär vi oss hur man löser ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta (variabler).
✗
EXEMPEL 3
Lös ekvationssystemet
r + 3s + 2t = 5 4 r - s - 2t = 0 9r - 2 s - 5t = -1.
LÖSNING
1) Vi väljer vilken variabel vi tänker eliminera och i det här fallet väljer vi variabeln t. r + 3s + 2t = 5 4 r - s - 2t = 0 9r - 2 s - 5t = -1
Vi får fritt välja vilken av variablerna i ekvations systemet vi eliminerar.
(1) Vi numrerar ekvationerna för att (2) lättare kunna hänvisa till dem. (3)
2) Vi bildar ett ekvationssystem av ekvationerna 1 och 2 och eliminerar variabeln t. Koefficienterna framför variabeln t är redan varandras motsatta tal.
+
r + 3s + 2t = 5 4 r - s - 2t = 0 5r + 2 s =5
Vi adderar de likformiga termerna. Ekvationen innehåller bara två
(4) variabler.
3) Vi bildar ett ekvationssystem av ekvationerna 2 och 3 och eliminerar samma variabel t igen.
4 r - s - 2t = 0 9r - 2 s - 5t = -1
Vi multiplicerar bägge leden i |·5 ekvationerna med sådana tal att | · (-2) koefficienterna framför variabeln t blir varandras motsatta tal.
20r - 5 s - 10t = 0 -18r + 4 s + 10t = 2 2r - s = 2 (5)
Vi adderar de likformiga termerna. Ekvationen innehåller bara två variabler.
4) Vi bildar ett ekvationssystem av ekvationerna 4 och 5 och löser det med avseende på variablerna r och s med insättningsmetoden.
Obs! Ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta kan lösas med •• additionsmetoden •• insättningsmetoden.
+
5r + 2 s = 5 2r - s = 2
(4) (5)
Vi löser ekvation 5 med avseende på variabeln s.
2r - s = 2 s = 2r - 2
(6) 1 E k vat i o n s s y s t e m
9
Vi sätter in uttrycket i ekvation 4 och löser den med avseende på variabeln r.
5r + 2 s = 5 Vi sätter in s = 2r - 2. 5r + 2(2r - 2) = 5 5r + 4 r - 4 = 5 9r = 9 r =1
Vi sätter in r = 1 i ekvation 6 och löser den med avseende på variabeln s. s = 2r - 2 =2·1-2=0
Variabeln t kan även lösas från ekvation 2 eller 3.
Vi sätter in r = 1.
5) Vi sätter in värdena r = 1 och s = 0 i ekvation 1 och löser den med avseende på variabeln t.
r + 3s + 2t 1 - 3 ⋅ 0 + 2t 2t t
=5 =5 =4 =2
6) Lösningen till ekvationssystemet är alltså
r = 1, s = 0 och t = 2.
SVAR
r = 1, s = 0 och t = 2
Ekvationssystem med räknaren
I tillämpade uppgifter är det väsentligt att kunna bilda ekvationer utifrån den information som ges i uppgiften. Ekvationssystemet kan sedan lösas med hjälp av räknaren. Ta reda på hur din räknare fungerar. •• I vilken form ska du mata in ekvationerna i ett ekvationssystem? •• Hur anger du vilka bokstäver som är variabler? •• Vilket kommando löser ekvationssystem? Öva dig att använda din räknare genom att lösa exempel 1-3 med räknaren.
10
1 E K VAT I O N S S Y S T E M
Uppgifter Serie
I
Serie
1. Undersök om talen r = 6 och s = -1 satisfierar ekvationssystemet.
6 s + 7t = 2 + s
2r - 3s = 2 -4 r + 2 s = -3
14. 2s − 2t = 5
4 s + 3t = 3 2s − t = 4
4. 2r + 1 = 0 E2
5. 3s − 2t = 10
15. 3r + 6s + t = -2
3s − 1 = 0 4r + 9s = 1
r - 4 s - 2t = 2 3r - 6 s - 4t = 3
s + 6t = 0 2 s + 4t = 4
r − 5 s + 2t = 16 3r + s + t = 12
8. 2r − 2s + 3t = −3 + 2t = 1 5r 2r − s + t = −1
17. r + t = 1
2r + 5 s − t = 2 5r + s + 4t = 3
18. Lös ekvationssystemet med räknare och ta reda på vad lösningen innebär.
r + s = -1 r + 5s = 3 r + t = t -2
r+ s+ t = 1 + 2t = s + 5 r r + 5s + t = 5
9.
s − 5t = 1 r − 2t = 2
7. 2r + 3s − t = −1 E3
16. 5r − 3s + 10t = 6
3s − 2t = 1 −s + t = 2 4 s − 3t = 1
6.
10. Lös ekvationssystemet med räknare.
19. Lös ekvationssystemet med räknare och
ta reda på vad lösningen innebär. r + s = 2t r - s + 5t = 0 r-s = 2 a) b) r + s - 5t = 6 r -t = 1
21r + 71s - 83t = 20 = -153 51r + 17 s 8 r + s - 25t = 1
r + 2s = 4 −3r + s = 2 r + 4s = 9
3r + 7 s = 1
3. a) b) 2r + 5 s = 0
12. 3s − 2t = 4 − 3s 13.
3s − 6t = 2 −3s + t = 3
5r + 2 s - 1 = 0
E1
2.
6r - 5 s = -8
Lös ekvationssystemen i uppgifterna 2–9 utan räknare.
3r + s - 2 = 0 2r + s = 0 11. a) b)
r + 4s = 2 2r + 3s = 9 5s + 5 = 0
Lös ekvationssystemen i uppgifterna 11–17 utan räknare.
b)
a) r + 4s = 2 2r - 12 s = 0
II
1 E k vat i o n s s y s t e m
11
2
Grunderna i vektorkalkyl
I det här kapitlet lär vi oss vad en vektor är, bekantar oss med egenskaper hos vektorer och utför räkneoperationer med vektorer. Dessa kunskaper behöver vi bland annat i kapitel 3, där vi undersöker två- och tredimensionella figurer med hjälp av vektorer. VI UNDERSÖKER
I vindstilla förhållanden flyger ett flygplan med hastigheten 200 km/h i förhållande till marken. På bilden har den här hastig heten åskådliggjorts med en pil. 1) Flygplanet startar i Uleåborg. Undersök genom att rita mot vilken stad flygplanet rör sig då en västlig vind flyttar flygplanet österut med hastigheten 100 km/h i förhållande till marken. 2) Bestäm storleken och riktningen på hastigheten i förhållande till marken för den vind som gör så att flygplanet rör sig mot Vasa. Uleåborg
Kajana
Vasa
Kuopio
Jyväskylä Nyslott
Björneborg
Tammerfors
S:t Michel
Lahtis
Villmanstrand Kouvola
Åbo
Helsingfors
12
2.1 Vektor Vektorns egenskaper och beteckningar Pilarna på väderkartan här intill beskriver nordlig vind 6 m/s, nordvästlig vind 4 m/s och västlig vind 2 m/s. Vindhastigheten har alltså både en storlek och en riktning. I fysiken kallas en sådan storhet vektorstorhet. I gymnasiematematiken undersöker vi vektorer som kan beskrivas med pilar, som alltså har både längd och riktning. Allmänt är en vektor ett matematiskt objekt som uppfyller vissa räkneregler. Vektorns egenskaper
En vektor har längd och riktning. Vektorns riktning är den riktning i vilken vektorpilen pekar, medan längden av pilen utgör vektorns längd. En vektor har ingen bestämd plats. Vektorpilarna i figuren beskriver alltså alla en och samma vektor.
a
En vektor betecknas ofta med en liten bokstav med en pil eller ett streck ovanför: a eller a . Längden av vektorn a betecknas a .
Vektorerna a och b i figuren har samma riktning (är lika riktade). Beteckning: a ↑↑ b .
a
Vektorerna a och c har motsatt riktning (är motsatt riktade). Beteckning: a ↑↓ c .
c
b
Vektorerna a , b och c är parallella. Beteckning: a b , a c och b || c . Vektorer som har samma eller motsatt riktning är alltså parallella.
2 . 1 V ektor
13
Vektorerna a och d i figuren är icke-parallella. Beteckning: a || d .
Vektorerna a och e i figuren är samma vektor eftersom de har samma riktning och samma längd. Beteckning: a = e .
Vektorerna är varandras motsatta vektorer ifall de är motsatt riktade och lika långa. Den motsatta vektorn till vektorn a betecknas -a .
a d
a e
a −a
En vektor med längden 0 är en nollvektor. Eftersom nollvektorn inte har någon bestämd riktning gäller inte begreppen samma riktning och motsatt riktning för nollvektorn. Nollvektorn betecknas 0 och beskrivs med hjälp av en punkt. Att rita vektorer med ett geometriprogram
I många geometriprogram finns det ofta två olika verktyg för att rita vektorer. Du kan rita vektorn genom att välja •• vektorns utgångspunkt och ändpunkt •• vektorns utgångspunkt och någon tidigare vald vektor som du vill kopiera till utgångspunkten. En ritad vektor kan även flyttas utan att dess längd eller riktning ändras. Undersök hur du ritar och flyttar en vektor i det geometriprogram du använder.
14
2 GRUNDERNA I VEKTORKALKYL
EXEMPEL 1
Vektorn u i figuren har längden 3.
u
Rita en vektor a) a med längden 5 och motsatt riktning till vektorn u b) b med längden 3 som inte är parallell med vektorn u c)
c som är motsatt vektor till vektorn u .
LÖSNING
a) Vektorn u har längden 3 och den pil som beskriver vektorn är tre rutor lång.
u a
Vektorn a får vi genom att rita en vektor som är 5 rutor lång och har motsatt riktning till vektorn u .
b) I demonstrationssyfte ritar vi två olika vektorer b1 och b2 , som båda har längden 3 rutor och är icke-parallella med vektorn u . Det finns oändligt många sådana vektorer.
u
c) Vektorn c fås genom att rita en vektor som är lika lång som u med motsatt riktning.
u
b2
b1
c
2 . 1 V ektor
15
En riktad sträcka som modell för en vektor Obs! Längden av vektorn är lika med längden av vilken riktad sträcka som helst som repre senterar vektorn.
Då sträckan AB förses med en riktning från utgångspunkten A till ändpunkten B får vi den riktade sträckan AB . En riktad sträcka har alltså en bestämd position, riktning och längd. Varje riktad sträcka representerar en vektor. I figuren här nedanför representerar den riktade sträckan AB vektorn a , medan den riktade sträckan CD representerar den motsatta vektorn -a . B C a A D
Nollvektorns utgångspunkt och ändpunkt är en och samma punkt. Det betyder att alla riktade sträckor av formen AA representerar nollvektorn: AA = 0.
16
2 GRUNDERNA I VEKTORKALKYL
EXEMPEL 2
Bestäm alla de vektorer x i parallello grammen ABCD som går från ett hörn till ett annat hörn och uppfyller kravet a)
x = AD
D
C
A
B
b) x ↑↓ CD c)
x = - BD .
LÖSNING
Obs! Även om AD strikt taget är en riktad sträcka från punkten A till punkten D kallas den ofta bara för vektorn AD .
D a) Vektorn x ska vara lika lång och ha samma riktning som vektorn AD . Eftersom motsatta sidor i en AD parallellogram är parallella och lika långa så kan vektorn x vara A AD eller BC .
b) Vektorn x ska ha motsatt riktning till vektorn CD . Vektorn x kan alltså vara DC eller AB .
BC B
DC
D
A
c) Vektorn x ska vara lika lång som BD men ha motsatt riktning. Vektorn x är med andra ord DB .
C
C
B
AB
D
C DB
A
B
SVAR
a)
AD eller BC b) DC eller AB c) DB
2 . 1 V ektor
17
Vinkeln mellan vektorer Definition
Vinkeln mellan vektorer
Med vinkeln mellan två vektorer a och b (a , b ) avser man den mindre vinkel som bildas då man flyttar vektorerna så att de har samma utgångspunkt.
a ∢(a, b)
a b
b
Vinkeln mellan två vektorer med samma riktning är 0°. a b
a
b
∢(a, b) = 0°
Vinkeln mellan två vektorer med motsatt riktning är 180°. b
b
a
∢(a, b) = 180°
a
Vinkeln mellan vektorerna a och b (a , b ) uppfyller alltså alltid kravet 0° ≤ (a , b ) ≤ 180°.
18
2 GRUNDERNA I VEKTORKALKYL
EXEMPEL 3
Bestäm vinkeln mellan vektorerna. a) (u , v ) b) (v , w ) c) (u , w )
w
u 76°
45° v
LÖSNING
a) Vektorn u och v utgår från samma punkt. Vinkeln mellan dem är 76°.
(u , v ) = 76°
b) Vi flyttar vektorn w så att den får samma utgångspunkt som vektorn v . Ur figuren ser vi att det bildas alternatvinklar som är lika stora eftersom de utritade vektorerna w och w är parallella.
Vinkeln mellan vektorerna v och w är alltså on 45°.
(v , w ) = 45°
w
u 76°
45°
45°
v
w
c) Vinkeln mellan vektorerna • u och w är 76° + 45° = 121°.
(u , w ) = 121°
SVAR
a) (u , v ) = 76° b) (v , w ) = 45° c) (u , w ) = 121°
2 . 1 V ektor
19
Uppgifter Serie
23. Bestäm alla de vektorer i parallelltrapetset
I
20. Vilken av de namngivna vektorerna i figuren
a) har samma riktning som b) är icke-parallell med c) är samma vektor som d) är motsatt vektor till vektorn a ?
E2 som går från ett hörn till ett annat hörn och a) har motsatt riktning till vektorn AD b) har samma riktning som vektorn DC c) är parallella med vektorn BC . D
b a
d
C
A
e
B
c
24. Bestäm vinkeln mellan vektorerna.
E3 a) (a , c ) b) (a , b ) c) (b , c )
21. Rita en vektor som
E1 a) har samma längd som och är icke-parallell med b) är samma vektor som c) är motsatt vektor till vektorn a .
43° c
a 100°
b a
25. Bestäm vinkeln mellan vektorerna. a) ( DA , DC ) b) ( BC , CD ) c) ( AB , CB )
22. Vektorn b har längden 6. Rita en vektor x då a) x ↑↓ b och x = 4 b) x = -b c) x || b och x = 8. b
20
2 GRUNDERNA I VEKTORKALKYL
D
C
63° A
B
26. Beräkna vinkeln mellan vektorerna med en decimals noggrannhet. a) (u , w ) b) (u , v ) c) (v , w ) y
u
II
30. Vektorn a har längden 3. Rita
w
1
Serie
v x
a) de vektorer som är parallella med vektorn a och har längden 1 b) de vektorer som har motsatt riktning till vektorn a och har längden 4 c) de vektorer som är vinkelräta mot vektorn a och har längden 2.
1
27. Bestäm de vektorer i rätblocket i figuren som går från ett hörn till ett annat hörn och är a) samma vektor som vektorn EG b) lika lång som vektorn CF men har motsatt riktning c) motsatt vektor till vektorn BH . H
G F
E
31. Vektorn b har längden 5 . Rita vektorn x då a) x = -b
b) x ↑↓ b och | x | = 2 5 C
D A
a
B
c) x ↑↑ b och | x | = 3 5 . b
28. Pricka in punkterna A(0, 3), B(4, -1) och
C(-2, 0) i ett koordinatsystem. Undersök, genom att rita, till vilken punkt vi kommer då vi a) utgår från punkten B och förflyttar oss vektorn AC b) utgår från punkten C och förflyttar oss vektorn BA c) utgår från punkten A och förflyttar oss vektorn -BC .
29. Pricka in punkterna A(-2, 3), B(0, -2)
och C(4, 6) i ett koordinatsystem. Bestäm med hjälp av ett geometriprogram följande vinklar med en decimals noggrannhet
a) ( AB , AC )
32. Den regelbundna sexhörningen i figuren
består av sex liksidiga trianglar. Bestäm de vektorer som förenar de namngivna punkterna och a) är samma vektor som vektorn BG b) är två gånger så lång och har samma riktning som vektorn DC c) är motsatt vektor E D till vektorn AG . G F
C
b) ( AB , CA ) c) ( BA , CA ) .
A 2 . 1 V ektor
B
21
33. Pricka in punkterna O(0, 0), A(-3, 1)
och B(1, 2) i ett koordinatsystem. Bestäm punkten X grafiskt då
36. a) Beräkna längden av vektorerna •
u , v och w . b) Beräkna vinklarna mellan vektorerna u , v och w med en grads noggrannhet.
a) BX = OA b) XA = -OB .
y
alla sidoytor är parallellogrammer. Bestäm de vektorer som förenar två hörn i parallellepipeden och a) är samma vektor som vektorn BD b) är lika lång som vektorn ED , men har motsatt riktning c) är motsatt vektor till vektorn DF d) är rymddiagonal i parallellepipeden. H F D A
37. Uttryck den efterfrågade vinkeln (inuti
triangeln) som en vinkel mellan två vektorer. Du får använda vektorerna u , v och w samt deras motsatta vektorer a) A b) B c) C .
A v
B
u C
35. Bestäm vinkeln mellan vektorerna
38. Visa att man av sidorna i en rätvinklig
triangel kan bilda vektorer u , v och w så att (u , v ) + (v , w ) + (w , u ) = 180°.
c
w
B
a) (a , b ) b) (a , d ) c) (b , c ) d) (d , c ).
x 1
C
v
1
G
E
w
u
34. En parallellepiped är ett prisma där
d
39. En utter på ett zoo åker gärna rutschkana. b 108°
63° a
Kraftvektorerna i figuren är utterns tyngd G , underlagets stödkraft N och glid friktionen F m. Bestäm vinklarna mellan vektorerna. Fm N G 27°
22
2 GRUNDERNA I VEKTORKALKYL