ЕГЭ-2015. Математика. Тренировочные задания by shop.eksmo.ru

СООТВЕТСТВУЕТ НОВОЙ ДЕМОВЕРСИИ

ЕГЭ 2015

Т.А. Корешкова, Н.В. Шевелева

МАТЕМАТИКА ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ЛЛ

Э! ЕГ

НОВЫХ ВАРИАНТОВ

ПОЛ У

СШИЙ БАЛЛ ВЫ Н

2 0 1 5

Ш ИЙ Б А

НА

ПО ЛУ Ч

С ВЫ

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я721 К 66

Об авторах: Т.А. Корешкова — профессор, доцент кафедры математического анализа МГПУ, кандидат педагогических наук Н.В. Шевелева — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии МГПУ

К 66

Корешкова, Татьяна Александровна. ЕГЭ 2015. Математика : тренировочные задания / Т. А. Корешкова, Н. В. Шевелева. — Москва : Эксмо, 2015. — 152 с. — (ЕГЭ. Тренировочные задания). ISBN 978-5-699-73735-2 Издание адресовано учащимся старших классов для подготовки к ЕГЭ по математике. Пособие включает: • 40 тренировочных вариантов, соответствующих демоверсии; • ответы ко всем заданиям; • новые бланки ответов ЕГЭ для каждого варианта. Книга окажет помощь учителям и родителям при подготовке учащихся к ЕГЭ по математике. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я721

ISBN 978-5-699-73735-2

ВВЕДЕНИЕ Настоящее пособие содержит варианты тренировочных заданий, которые соответствуют демонстрационной версии, а также кодификаторам содержания и требований экзаменационной работы единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике. Назначение пособия заключается в том, чтобы дать возможность участникам ЕГЭ и педагогической общественности сформировать более полное представление о структуре контрольных измерительных материалов (КИМ), количестве заданий, их форме и уровне сложности. Пособие построено в виде тестов, предназначенных для контроля знаний по курсу математики средней школы. При составлении тестов авторы основывались как на демонстрационном варианте КИМ по математике 2014 года, так и на результатах ЕГЭ 2002—2014 гг., а также на опыте традиционных школьных выпускных и вступительных экзаменов. Структура пособия отражает современные требования к процедуре сдачи ЕГЭ по математике, что позволит выпускникам лучше подготовиться к новым формам выпускной аттестации и к поступлению в вузы. Сорок вариантов заданий пособия включают лишь вопросы, не выходящие за рамки нормативно определенного содержания курса математики основной и средней школы. Задания последнего сорокового варианта снабжены подробными решениями. Каждый вариант пособия содержит 20 заданий, разбитых на две части (1, 2), имеющих разные уровни сложности. Часть 1 содержит 9 заданий с кратким ответом (1—9). Эти задания контролируют владение навыками решения типовых задач и не требуют больших выкладок. Ответом на каждое задание 1—9 с кратким ответом должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде конечной десятичной дроби. Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Часть 2 содержит 11 заданий (10—20). К последним шести заданиям необходимо привести полное развернутое решение. Эти задания будут считаться решенными, если приведена развернутая запись решения с обоснованием каждого этапа и получен правильный ответ. При этом контролируется умение проводить логически и математически корректные рассуждения, обоснования и доказательства своих действий, а также грамотно их записывать. Каждое правильно выполненное задание части 2 оценивается баллами в зависимости от сложности задания, полноты решения и правильности ответа. Решение каждого задания должно быть математически грамотным, содержать рассмотрение всех возможных случаев (если таковые имеются); из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Метод решения и форма его записи могут быть произвольными. Задания допускают различные методы решения и записи отве3

та. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов (2, 3 или 4). В данном пособии критерии оценивания решения заданий последних шести заданий варианта 40 содержат общие требования к выставлению баллов. При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях для общеобразовательных учреждений, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ. Пособие адресовано старшеклассникам, абитуриентам и учителям математики для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

ВАРИАНТ 1 Ответом на задания 1—14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1 1.

В старину, когда говорили о росте человека, указывали лишь, на сколько вершков он превышает 2 аршина. Каков рост «человека в 12 вершков» в сантиметрах, если 1 аршин равен 16 вершкам, а 1 вершок равен 4,45 см? Результат округлите до целого числа сантиметров.

На диаграмме представлены фактические данные наблюдения вечерней температуры воздуха в Московской области 5 марта 2013 года. По горизонтали указаны названия городов, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме минимальную температуру воздуха. Ответ дайте в градусах Цельсия.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображен четырехугольник (см. рис.). Найдите площадь четырехугольника в квадратных сантиметрах.

В следующих таблицах приведены ставки налога на имущество физических лиц, установленные в регионах А и В в зависимости от суммарной инвентаризационной стоимости имущества. Регион А: Суммарная инвентаризационная стоимость имущества (руб.)

Ставка налога (%)

до 300 000

0,05

от 300 001 до 500 000

0,1

от 500 001 до 1 500 000

0,3

свыше 1 500 000

Регион В: Суммарная инвентаризационная стоимость имущества (руб.)

Ставка налога (%)

до 300 000

0,04

от 300 001 до 500 000

0,2

Свыше 500 000

0,7

Для каждого из регионов определите величину налога (в рублях) для физического лица, владеющего имуществом, состоящим из трех объектов с инвентаризационными стоимостями 250 000, 270 000 и 750 000 рублей. В ответе укажите наименьшую из этих величин. Найдите корень уравнения log2 *13 / 7x + ? 3log2 3.

log 3 Найдите значение выражения 8 8 © log2 8.

Прямая y ? 4 / x параллельна касательной к графику функции y ? 3x / 7x - 1.

В прямоугольнике АВСD диагональ АС равна 20, а сторона DС равна 12. Найдите косинус угла CAD.

Найдите ординату точки касания.

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1, если AB ? 7, AD ? 7, AA1 ? 7 2.

Часть 2 10

10.

В мешке Деда Мороза лежат 7 машинок, 8 мишек и 10 кукол. Все игрушки в одинаковых упаковках. Какова вероятность того, что подарок Деда Мороза, который он наугад вынимает из мешка, не окажется мишкой?

11.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

12.

Максимальная скорость (в м/с) безопасного прохождения автомобилем дорожного поворота вычисляется по формуле Vmax ? oRg , где μ — коэффициент трения покоя между колесами автомобиля и дорогой, R — радиус поворо-

та (м), g ? 10 м/с2 — ускорение свободного падения. На какую величину (в км/ч) должен снизить скорость автомобилист, приближающийся со скоростью 60 км/ч к повороту дороги радиусом 20 м? Коэффициент трения принять равным 0,5. 13.

14.

Три подруги, Татьяна, Наталья и Лариса, решили вскладчину купить автомобиль и собрали деньги. Если бы Лариса утроила свой взнос, то сумма денег составила бы 156% от первоначальной. Если бы Наталья внесла только треть своего первоначального взноса, то собранная сумма денег уменьшилась бы на 20%. Сколько процентов от общей суммы составляет взнос Татьяны? 4 2 Найдите наибольшее значение функции f * x + ? x / 2x - 5 на отрезке Ç/ É 0,2; 2Ú .

Для записи решений и ответов на задания 15—20 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (15, 16 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

15.

а) Решите уравнение

2sin2 x / 3 3 sin x - 3 cos x

? 0.

Ç 5r б) Укажите корни, принадлежащие отрезку È ; 6r Ù . É2 Ú 16.

17.

Боковые ребра SA, SB и SC треугольной пирамиды SABC взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки S до плоскости ABC, если SA ? 6, SB ? 6 и SC ? 8. 1 Ê x2 / ÍÃ x / 1 Ô 4 1; Õ ÍÍÄÅ 2Ö Решите систему неравенств Ë Í log x-1 5x / 5 / 1 4 Í 0. ÍÌ x

18.

Около треугольника ABC со сторонами AC ? 3, BC ? 17 описана окружность. Сторона BC делит диаметр окружности, перпендикулярный ей, на отрезки, длины которых относятся как 1 : 2. Найдите сторону AB треугольника.

19.

Укажите все значения параметра a, при каждом из которых наибольшее зна2 чение функции f * x + ? 2x - 2ax / 7 на отрезке ] /4;2_ не больше 9.

20.

Числа 1, 2, 3, ... , 2013 выписали друг за другом так, что получилось число 1234 ... 20122013. Его первую слева цифру умножили на 2 и прибавили к произведению вторую слева цифру числа. Полученную сумму умножили на 2, прибавили к произведению третью цифру и т.д. Наконец, прибавили последнюю слева цифру числа. С полученным числом проделали то же самое. Такое преобразование продолжили до тех пор, пока не получилось однозначное число. Найдите это число.

ВАРИАНТ 2 Ответом на задания 1—14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1 1

Один фрукт киви стоит 15 рублей. Какое наибольшее количество киви можно будет купить на 100 рублей после снижения цены на 20%?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в городе Осло (Норвегия) в 2012 году. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме максимальную среднемесячную температуру воздуха в городе Осло. Ответ дайте в градусах Цельсия.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображен прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (см. рис.). Найдите в сантиметрах гипотенузу треугольника.

В следующих таблицах приведены ставки налога на имущество физических лиц, установленные в регионах А и В в зависимости от суммарной инвентаризационной стоимости имущества.

Регион А: Суммарная инвентаризационная стоимость имущества (руб.)

Ставка налога (%)

до 300 000

0,07

от 300 001 до 500 000

0,2

от 500 001 до 1 500 000

0,3

свыше 1 500 000

0,9

Регион В: Суммарная инвентаризационная стоимость имущества (руб.)

Ставка налога (%)

до 300 000

0,05

от 300 001 до 500 000

0,15

Свыше 500 000

0,6

Для каждого из регионов определите величину налога (в рублях) для физического лица, владеющего имуществом, состоящим из трех объектов с инвентаризационными стоимостями 280 000, 320 000 и 700 000 рублей. В ответе укажите наименьшую из этих величин. 5.

1 Ã1 Ô Найдите корень уравнения lg Ä - x Õ - lg x ? lg . 2 Å2 Ö

В параллелограмме АВСD биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке Е так, что АЕ ? 12, ED ? 5. Найдите периметр параллелограмма.

Найдите значение выражения

Прямая y ? 5x + 1 является касательной к графику функции y ? x3 + 0,5x2 + + 3x – 0,5. Найдите ординату точки касания.

Ребро куба ABCDA1 B1C1 D1 равно

5 6

Ã 4 Ô 38 · 6 Ä Õ . Å 19 Ö

6 . Найдите

7 8

расстояние от вершины D1 до прямой, содержащей диагональ куба AC1.

Часть 2 10.

Ученику предложили записать любое натуральное число от 50 до 90. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа будет больше 7? Результат округлите до сотых.

11.

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4, вращается вокруг большего катета. Найдите объем V конуса, полученного при вращении. В отV вете укажите значение . r

12.

Для комфортного чтения необходима освещенность не менее 50 люкс. I Освещенность поверхности вычисляют по формуле E ? 2 cos l, где Е — осR вещенность (в люксах), I — сила света источника света в канделах (кд), R — расстояние до источника света (в метрах), l — угол падения света, то есть угол между лучом света и перпендикуляром к освещаемой поверхности. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от люстры с силой света 484 кд можно комфортно читать газету, если угол падения света на газету составляет 60ﬂ?

13.

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 24 км, выехал велосипедист. Через 20 минут из пункта В в пункт А выехал второй велосипедист. Скорость первого велосипедиста на 6 км/ч меньше скорости второго. Велосипедисты встретились на середине пути. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ дайте в км/ч.

14.

2 x /7 Найдите точку минимума функции f * x + ? 2x / 14x - 14 e .

15.

а) Решите уравнение

3cos2 x / 10cos x - 3 / sin x

? 0.

Ç r 5r . б) Укажите корни, принадлежащие отрезку È / ; É 2 2 ÙÚ 16.

В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен 45ﬂ. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее сторона основания равна 1. x2 /1 Ê 2 1; Í 4x - 2x - 1 Í Решите систему неравенств Ë 3 Í log x-1 3x - 4 / 1 0. Í Ì x

17.

18.

Около треугольника ABC со сторонами AC ? 5, BC ? 7 описана окружность. Сторона BC делит диаметр окружности, перпендикулярный ей, на отрезки, длины которых относятся как 3 : 2. Найдите сторону AB треугольника.

19.

Укажите все значения параметра a, при каждом из которых наибольшее зна2 чение функции f * x + ? x - 2ax - 1 на отрезке Ç/ É 3 ; 1Ú не больше 4.

20.

Числа 1, 2, 3, ... , 1955 выписали друг за другом так, что получилось число 1234 ... 19541955. Его первую слева цифру умножили на 2 и прибавили к произведению вторую слева цифру числа. Полученную сумму умножили на 2, прибавили к произведению третью цифру и т.д. Наконец, прибавили последнюю слева цифру числа. С полученным числом проделали то же самое. Такое преобразование продолжили до тех пор, пока не получилось однозначное число. Найдите это число.

ВАРИАНТ 3 Ответом на задания 1—14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1 1.

Какое наименьшее число автобусов нужно обеспечить для одновременной отправки 700 детей в лагерь отдыха, если в каждый автобус помещается 36 человек, среди которых должно быть не менее трех сопровождающих взрослых?

На диаграмме показана численность интернет-пользователей в семи федеральных округах РФ и в Москве на конец 2009 года. По горизонтали указано количество пользователей (в миллионах человек), по вертикали — названия округов и Москвы. Определите по диаграмме число (в миллионах) пользователей Интернетом в Приволжском федеральном округе.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображен прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С (см. рис.). Найдите в сантиметрах диаметр окружности, описанной около треугольника.

Служащий фирмы имеет 22 рабочих дня в каждом месяце. Чтобы попасть из дома на работу, он должен совершить по одной поездке на автобусе, метро и трамвае. Тарифы на разовые поездки на каждом виде транспорта и стоимость месячных проездных билетов указаны в таблице. Вид транспорта

Стоимость одной поездки (руб.)

Стоимость месячного проездного (руб.)

Íàçåìíûé

1400

Ìåòðî

íåò

Стоимость единого проездного (руб.) 2800

Если считать, что в нерабочие дни этот служащий предпочитает ходить пешком, какой из вариантов пользования общественным транспортом будет для него наиболее выгодным: использование одноразовых билетов на все поездки, приобретение проездного билета на наземные виды транспорта или приобретение единого проездного на все виды транспорта? В ответе запишите суммарные месячные расходы на транспорт (в рублях) для этого варианта. log27 *7 x-1+

? 4.

Найдите корень уравнения 3

Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 8.

1 2

1 4 3 Материальное тело движется прямолинейно по закону s * t + ? t / t - 15t - 100 , 4 где s — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в минутах, измеренное с начала движения. Найдите скорость тела (в метрах в минуту) в момент времени t ? 3 мин. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1. Найдите тангенс угла æBAC1 . В ответе запишите квадрат полученного значения.

Часть 2 10

10.

Среди целых чисел от 10 до 89 выбирают наугад одно. Какова вероятность того, что произведение цифр этого числа не равно 12?

11.

Прямоугольник, стороны которого равны 3 и 4, вращается вокруг большей стороны. Найдите объем V цилиндра, полученного при вращении. В ответе V укажите значение . r

12.

Потери электроэнергии в высоковольтных линиях электропередачи, связанP2 © r © L ные с тепловыделением в проводах, вычисляются по формуле: W ? , U2 где W — мощность потерь, выраженная в мегаваттах (МВт), Р — передаваемая мощность электроэнергии (в МВт), U — напряжение в линии электропередачи, выраженное в киловольтах (кВ), r — погонное сопротивление проводов (Ом/км), L — протяженность линии (км). Какое наименьшее напряжение (в кВ) должно быть в линии электропередачи протяженностью 500 км и передаваемой мощностью 300 МВт, чтобы потери на тепловыделение составили не более 10 МВт? Погонное сопротивление проводов принять равным 0,08 Ом/км.

13.

14.

Лодка прошла против течения реки 24 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 1 час меньше. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 4x Найдите наибольшее значение функции f (x) ? xe - 7 на отрезке Ç/ É 1; 0 Ú .

15.

Ô Ã 11r / x Õ. а) Решите уравнение cos3x - sin2x ? sin Ä / Å 2 Ö Ç 3r б) Укажите корни, принадлежащие отрезку È0; Ù . É 2Ú

16.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 ребра AB ? 2 , AD ? 3 и AA1 ? 6. На продолжении ребра B1C1 отмечена точка E так, что B1C1 : C1 E ? 2 :1. Найдите косинус угла между прямыми AC1 и BE.

17.

x2 /6 x -8 Ê 1; Í* x / 2 + Í 9 Решите систему неравенств Ë log x/2 x / / 1 Í 4 0. Í Ì x /3

18.

Около треугольника ABC со сторонами AC ? 5, BC ? 52 описана окружность. Сторона BC делит диаметр окружности, перпендикулярный ей, на отрезки, длины которых относятся как 1 : 4. Найдите сторону AB треугольника.

19.

Укажите все значения параметра a, при каждом из которых наибольшее зна2 чение функции f * x + ? 2x - 4ax / 1 на отрезке Ç/ É 5; 1Ú не больше 9.

20.

Числа 1, 2, 3, ... , 2012 выписали друг за другом так, что получилось число 1234 ... 20112012. Его первую слева цифру умножили на 2 и прибавили к произведению вторую слева цифру числа. Полученную сумму умножили на 2, прибавили к произведению третью цифру и т.д. Наконец, прибавили последнюю слева цифру числа. С полученным числом проделали то же самое. Такое преобразование продолжили до тех пор, пока не получилось однозначное число. Найдите это число.

ВАРИАНТ 4 Ответом на задания 1—14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1 1

Стоимость одной банки варенья 37 рублей 40 копеек. Какое наибольшее число банок варенья можно купить на 1000 рублей?

На графике представлена динамика изменения курса доллара США по отношению к гривне Украины по данным коммерческого банка Украины. По горизонтальной оси указаны рабочие дни с 28 января по 27 февраля 2013 года, по вертикальной оси — количество украинских гривен за 1 доллар США. Для наглядности жирные точки указанных значений соединены линией. Определите по графику наибольшее значение курса доллара за указанный период.

Найдите площадь треугольника, заданного координатами его вершин: (0; 0), (8; 4), (4; 8).

Служащий фирмы имеет пятидневную рабочую неделю. На дорогу от дома до работы при помощи общественного транспорта он тратит 45 минут, и столько же занимает обратный путь. Если бы он приобрел автомобиль и ездил на нем на работу, то дорога туда занимала бы 20 минут, однако обратный путь из-за пробок он проделывал бы за 1 час 20 минут. Один раз в неделю этот служащий должен отвозить документы из одного офиса фирмы в другой. На общественном транспорте на это уходит 1 час туда и столько же обратно, а на автомобиле — 20 минут туда и столько же обратно. При пользовании каким видом транспорта суммарное время, которое служащий потратит на все поездки за неделю, будет наименьшим? В ответе укажите это время в часах.

ного корня, в ответе укажите меньший из них. 6.

В прямоугольнике АВСD из вершины D опущен перпендикуляр DH на диагональ АС. Отрезок АН равен 4, сторона AD равна 8. Найдите диагональ АС.

Найдите ctgc, если cos c ? /

2 Материальное тело движется прямолинейно по закону s * t + ? t / t - 13 , где s —

12 , 13

Ãr cŒÄ ; Å2

Ô r Õ. Ö

7 8

расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в минутах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в минутах) скорость тела равна 15 м/мин?

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 AB ? 7, AD ? 7 , AA1 ? 7 2 . Найдите в градусах величину угла æD1 BD .

Часть 2 10.

Книга содержит 250 страниц. Найдите вероятность того, что номер открытой наудачу страницы будет четным.

11.

Секущая плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от данного конуса конус, образующая которого в три раза меньше образующей исходного конуса. Найдите отношение объема исходного конуса к объему отсеченного конуса.

12.

где N0 — начальная плотность бактерий, T — период удвоения бактерий, t — время. Через сколько часов от начала процесса плотность бактерий в биореакторе достигнет значения 7,68 · 109 бактерий/мл, если начальная плотность составляла 1,5 · 107 бактерий/мл, а период удвоения данной культуры бактерий равен 40 минутам? 15