Elementos de cálculo diferencial by Sistema de Bibliotecas, Documentación e Información SIBDI-UCR

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HISTORIA Y . EJERCICIOS

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ÁNG L RUIZ HUGO BARRANTES

ELEMENTOS DE CALCULO DIFERENCIAL ,

HISTORIA Y EJERCICIOS RESUELTOS

ANGEL RUIZ HUGO BARRANTES

EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

Edición aprobada por la Comisión Editorial de la Universidad de Costa Rica Primera edición:

1997

Levantado de texto y diagramación electrónica en artes finales: Los autores Diseño de portada: Juan Carlos Fallas Z. Coordinación de producción: Jorge Cuadra R. Jefe de la Editorial: Gilbert Carazo G. Dirección Editorial y Difusión de la Investigación (DIEDIN): Mario Murillo R.

515.330.9 R934e

BIBLIOTECA ATLANTICO - UCR

ISBN 9977-67-439-6

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24 GO 2017.

Ruiz Zúñiga, Ángel. Elementos de cálculo diferencial : historia y ejercicios resueltos / Ángel Ruiz, Hugo Barrantes. -- 1. ed. -- San José, C.R. : Editorial de la Universidad de Costa Rica, 1997. p. : il., retrs.

1. CÁLCULO DIFERE CIAL - HISTORIA. 2. CÁLCULO DIFERENCIAL PROBLEMAS, EJERCICIOS, ETC. 3. MATEMÁTICOS. 1. Barrantes Campos, Hugo, coautor. 11. Título. CIP-612 CC/SIBDI

Afortunadamente, en los últimos años, se ha empezado a desarrollar en algunos de los países más adelantados del mundo una tendencia hacia la comprensión del Cálculo de una nueva manera, con énfasis en los conceptos y su utilización en contextos apropiados. En esa dirección ha contribuido mucho la generación de nuevas tecnologías como las calculadoras graficadoras y las computadoras personales. Nuestro libro Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y Ejercicios Resueltos se inscribe, precisamente, en las líneas de desarrollo de las mejores tendencias actuales en torno al aprendizaje y enseñanza del Cálculo. No se trata sin embargo de una traducción de otras experiencias, sino de una elaboración propia. Es decir: corresponde a una rica experiencia de trabajo y una sistemática elaboración de propuestas metodológicas en la Educación Matemática que hemos realizado los autores de este libro durante muchos años. Aunque está dividido en dos partes, en cada una de ellas se busca apoyar la comprensión de los conceptos y métodos fundamentales del Cálculo Diferencial. La Primera Parte: Historia del Cálculo, constituye una rigurosa introducción histórica a los principales temas del Cálculo Diferencial e Integral. Se busca siempre introducir los temas dentro del marco más amplio de la historia de la cultura y el pensamiento. Las explicaciones son sencillas y precisas y buscan proporcionar los contextos históricos de los resultados y sus autores. En algunos

casos se detallan algunos razonamientos matemáticos para obtener una mejor comprensión del significado de los mismos. Esta parte se acompaña con secciones de ejercicios, que permitan realizar autoevaluaciones del estudio de los temas o promover la reflexión y la discusión sobe asuntos especialmente relevantes. En general, los ejercicios se dirigen a las ideas centrales que se plantean en cada capítulo. Para favorecer el uso didáctico de este libro por parte de docentes y estudiantes no se incorporan notas de pie de página, pero sí se incluye una amplia bibliografia general que ha servido para fundamentar los hechos y las apreciaciones que contiene este libro. El uso de la historia de las matemáticas es uno de los mejores recursos para motivar su comprensión, aprendizaje y enseñanza. Sin ser lo único, ésta permite desarrollar una perspectiva humana y social de las matemáticas y las ciencias; perspectiva esencial para hacer de las matemáticas una realidad tangible, útil y capaz de despertar sensaciones de belleza y satisfacción intelectuales. La Segunda Parte: Ejercicios Resueltos, busca estudiar los conceptos y temas del Cálculo de una manera más precisa y técnica. Esta parte es un complemento de la Primera Parte, y constituye un apoyo especial a los temas desarrollados en nuestro libro de texto Elementos de Cálculo Diferencial (en sus dos volúmenes), que publica la Editorial de la Universidad de Costa Rica. Ambas partes son, sin embargo, independientes. Pueden ser utilizadas de acuerdo al interés y al deseo de los lectores. Además, este libro no solo sirve para quienes utilizan Elementos de Cálculo Diferencial, también es útil para aquellas personas que usen otros textos de Cálculo. Con la introducción de gran cantidad de materiales, información, referencias y descripción de técnicas hacia una mejor apreciación y utilización del Cálculo, este libro constituye un extraordinario apoyo para los estudiantes y docentes, tanto en la educación secundaria como la universitaria. Por último, los autores deseamos expresar nuestro agradecimiento a la Editorial de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la publicación de esta obra.

CONTENIDO Prefacio, vii Contenido, ix

PRIMERA PARTE HISTORIA DEL CÁLCULO CAPÍTULO 1

ENTRE INCONMENSURABLES PARADOJAS, 1.1 Thales

y Pitágoras, 2

1.2 Continuidad, infinito e inconmensurables, 6 Lo continuo y lo discreto, 7. Razón de la diagonal del cuadrado y su lado, 8. Razón de la diagonal del cubo y su lado, 9. La sección áurea, 11. Irracionales, 13. 1.3 Zenón y las paradojas, 13 La paradoja de la Dicotomía, 14. La paradoja de Aquiles, 15 1.4 Ejercicios, 16

CAPÍTULO 2

CÁLCULO DE ÁREAS EN LA GRECI~

ANTIGUA,

2.1 Eudoxo y Arquímedes, 20 2.2 El método de Exhausción, 21

CONTENIDO

Principios sobre límites, 22. De los polígonos al círculo, 24. Cuadrados inscrito y circunscrito en un círculo, 26. Un octógono mejora la aproximación, 27. El límite infinito,

2.3 Ejercicios 31

CAPÍTULO 3

MEDIEVO, CIENCIAS Y MATEMÁ TICAS, 33 3.1 De los romanos a la Escolástica, 34 Cultura y educación, 34. Matemáticas, 35. Los cambios, Escolástica, 37 3.2 Los árabes y las matemáticas, 38 Arabes y griegos, 39. El álgebra y la aritmética árabes, 39 3.3 Técnicas, ideología y sociedad, 42 3.4 Ejercicios, 43

CAPÍTULO 4 EL RENACIMIENTO: UN NUEVO

PUNTO DE PARTIDA,

4.1 Renacimiento y humanismo, 46 4.2 Navegación y ciencias matemáticas, 49 4.3 Un poco de matemáticas, 50 Paralelismo con los jónicos, 53 4.4 Ejercicios, 54

CAPÍTULOS

REVOLUCIÓN EN LA COSMOLOGÍA,55 5.1 Copérnico: el heliocentrismo, 57

35. La

CONTENIDO

El mérito de la tesis heliocéntrica, 58 5.2 Kepler: la geometria celeste,60 Las leyes keplerianas, 62 5.3 Galileo y la nueva cosmología, 63 Frente al esquema medieval, 64. En el centro del universo, 65. Una historia de intolerancia, 66 5.4 Ejercicios, 70

CAPÍTULO 6

LOS MtTODOS CIENCIA, 73

DE LA NUEVA

6.1 Galileo y la nueva ciencia, 75 La descripción matemática, 76 6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes, 80 Bacon: profeta del método experimental, 80. Descartes y la filosofia moderna, 80. El método cartesiano, 82. El mecanicismo y la influencia cartesiana, 84. Nuevas tradiciones en los métodos de la ciencia, 84 6.3 Las sociedades científicas, 85 6.4 Ejercicios, 87

CAPÍTULO 7

PROBLEMAS PARA LAS MATEMÁTICAS DEL SIGLO XVII, 89 7.1 Los límites de la matemática antigua, 91

7.2 Cuatro problemas fundamentales, 93 7.3 Las matemáticas del siglo XVII, 96 7.4 Ejercicios, 98

XlI

CONTENIDO

CAPÍTULO 8

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y CÁLCULO DE TANGENTES, 99 8. 1 La geometría analítica, 100 Apolonio, 101. Oresme, 102. La geometría cartesiana, 103. Fermat, 107. Algebra y geometría, 108

8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos, 109 La función, 110. Máximos y mínimos, 112. El cálculo de tangentes, 113 8.3 Ejercicios 117

CAPÍTULO 9

LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES,

119

9.1 Los métodos de Kepler, 119 El área del círculo, 120. El área de la elipse, 121 9.2 Galileo y los conjuntos infinitos, 124 Cavalieri, 124. Conjuntos infinitos, 124 9.3 El área bajo una curva, 126 Contribuciones previas a Newton y Leibniz, 129 9.4 Ejercicios, 131

CAPÍTULO 10 NEWTON,133

10.1 La obra científica de Newton, 135 La mecánica celeste, 135. Momentos de creación, 136 10.2 El Cálculo, 137 La derivada, 138. El método cartesiano, 141. Críticas, 143 10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones, 144

CONTENIDO

xiii

El teorema del binomio y las series, 144. Publicaciones, 145. Publicar o no publicar, 146 10.4 Ejercicios, 147

CAPÍTULO 11

LEIBNIZ,

149

11.1 Una mente universal, 149 Comunicación entre científicos, 150 11.2 El Cálculo de Leibniz, 151 Notación, 154. Influencia, 154 11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz, 155 11.4 Ejercicios, 157

CAPÍTULO 12

SIGLO CIENCIA Y SOCIEDAD EN EL XVIII,

159

Ciencia y tecnología, 160 12.1 La Revolución Industrial, 160 Antecedentes y desarrollo, 161. Ciencia, tecnología y sociedad, 162 12.2 La química, 162 Desde la alquimia y el flogisto al oxígeno, 163. Lavoisier, 164. La Revolución Francesa y la ciencia, 164 12.3 Ejercicios, 165

CAPÍTULO 13

EL ANÁLISIS Y LAS MATEMÁ TICAS DEL SIGLO

XVIII,

167

13.1 El carácter de las matemáticas en los siglos XVII y XVIII, 168 Un progreso cuantitativo y cualitativo,

168. Los

CONTENIDO

XIV

cambios en el siglo XVII, 169. En el siglo XVIII, 169 13.2 La época de Euler, 169 Obra científica, 171. Del Cálculo al Análisis, 171. Funciones algebraicas y trascendentes, 173. El Cálculo en varias variables, 174. Los matemáticos franceses del siglo XVIII, 174 13.3 La Edad Heroica, 176 Confianza en las operaciones y en las aplicaciones, 176. Dificultades, 176. Rigor en el siglo XVIII. 117. Euler y los infinitesimales, 178. Lagrange, 179. El camino hacia el "límite" como concepto base, 180 13.4 Ejercicios, 182

CAPÍTULO 14

PANORÁMICA DE LAS MATEMÁ TICAS DEL SIGLO XIX, 185

\.'

14.1 La preocupación por el rigor, 185 Catalizadores de una nueva etapa matemática, 186. La lógica moderna, 187. Del siglo XVII al XIX, 187 14.2 Gauss y las geometrías, 189 Gauss, 189. Geometrías no euclidianas, 189. Riemann, 190. La geometría proyectiva, 192 14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna, 193 Galois, 193. Nuevos entes matemáticos, 194. Un amplio desarrollo matemático, 194 14.4 Ejercicios, 195

CAPÍTULO 15 LA ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS,

197

15.1 El rigor a través del límite : Bolzano y Cauchy, 199 Bolzano, 199. Cauchy, 199. Variable, función y límite, 200. Infinitesimales, 202

CONTENIDO

15.2 Weierstrass, 203 La definición de límite, 203. Continuidad y derivación, 207 15.3 La construcción de los números reales, 207 Los números reales de Weierstrass, 208. Las "cortaduras" de Dedekind, 209 15.4 Un balance, 211 Cantor, 211. Aritmetización y fundamentos de las matemáticas, 212 15.5 Ejercicios, 213

CAPÍTULO 16

EL ANÁLISIS NO-STANDARD Y LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS, 215

16.1 Las matemáticas del XIX: un balance general, 216 El temor y la incertidumbre en la comunidad matemática, 216

16.2 Los infinitesimales y el Análisis No-Standard, 217 La teoría de los infinitesimales, 218. Entre Cauchy y Weierstrass, 219. Viejos modelos de pensamiento, 220. Un paradigma como herencia, 221. La confesión de Arquímedes, 221. La comunidad matemática toma una decisión, 223 16.3 Una síntesis final, 224 ¿Qué no son las matemáticas?, 225 16.4 Ejercicios, 226

CONTENIDO

XVI

SEGUNDA PARTE

EJERCICIOS RESUELTOS Presentación, 231

CAPíTULO 1

LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA, • Velocidad instantánea como límite de velocidades promedio, 233 • Concepto de recta tangente, 234 • Derivada y pendiente de la recta tangente, 235 • Derivada y pendiente de la recta tangente, 236 • Cálculo de la pendiente usando una tabla de valores, 237

y L

-1--""""7"'-If------

CAPíTULO 2

LíMITES, • • • • • • • • •

Q41

El límite de una suma, 241 El límite de un cociente, 242 Límite con valor absoluto, 243 Un límite que no existe, 244 Reconocer la variable para calcular el límite, 245 Factorizar dos veces para calcular el límite, 246 Doble racionalización para calcular un límite, 247 El límite de un producto, 247 Los límites y las raíces de una ecuación, 249

233

~__+--+----+x

CONTENIDO

XVll

CAPíTULO 3

LíMITES LATERALES Y CONTINUIDAD, • • • • • • •

El concepto de límite por la derecha, 251 Continuidad de un cociente, 252 Continuidad cuando hay un parámetro, 252 Continuidad y límites laterales, 254 Continuidad y límites, 254 Discontinuidades evitables e inevitables, 254 Continuidad cuando hay un parámetro, 256

251

--+---++-----+--_+_

CAPíTULO 4

LíMITES INFINITOS Y AL INFINITO, • • • • • • •

Límite infinito y función creciente, 257 Concepto de límite al infinito, 258 Cálculo de un límite a menos infinito, 258 Límite lateral con valor absoluto, 259 Aproximación del área bajo una curva, 260 El área bajo una curva como un límite, 262 Un límite al infinito con un radical, 263

CAPíTULO 5

LA DERIVADA, • • • •

265

Desigualdad de funciones y derivada, 265 Puntos de no derivabilidad, 265 Derivabilidad en un punto, 267 Aproximación de la derivada en un punto, 268

257

--+--~-\--_

CONTENIDO

xviii • Aproximación de la derivada en un punto, 268 • Cálculo de la velocidad instantánea, 269 • Cálculo de la recta tangente, 270 • Cálculo de la recta tangente y de la recta normal, 270 • Cálculo de la recta tangente y de la recta normal, 271 • Rectas tangentes paralelas, 272 • Tangentes a una parábola, 273 • Determinar el punto de tangencia, 273 • Una tangente que no existe, 275 • Rectas tangentes perpendiculares, 275 • La derivada para resolver un problema geométrico, 276

2 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0,5 1 1,5 2

CAPíTULO 6

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y EL CÁLCULO, 279 • Límite de funciones trigonométricas, 279 • Derivada de funciones trigonométricas, 280 • Seno de una suma, 280 • Límite de funciones trigonométricas, 281 • Cálculo de la derivada usando la definición, 282 • Derivación implícita, 282 • Uso del Teorema de Intercalación, 283 • Uso de la recta tangente para un cálculo geométrico, 283 • Cálculo de la recta tangente y de la recta normal, 285

----r--7t"';f---,---

CONTENIDO

XIX

CAPíTULO 7

LAS FUNCIONES LOGARíTMICAS CIALES y EL CÁLCULO, 287 • Derivada de funciones logarítmicas y exponenciales, 287 • Límite de funciones exponenciales, 287 • Uso de la derivación logarítmica, 288 • Uso de la derivación logarítmica, 289 • Derivación implícita, 290 • Tangente horizontal, 290 • Uso de la recta tangente para un cálculo geométrico, 291 • Recta tangente paralela a una recta dada, 292

y EXPONEN-

y L

--~--~+-----~x

CAPíTULO 8

ALGUNAS APLICACIONES, • • • • •

293

Interés simple e interés compuesto, 293 Cálculo de la altura máxima y la velocidad, 294 Crecimiento de poblaciones, 295 Cálculo del máximo y el mínimo, 296 Uso de la regla de L'Hópital, 297

y 7389

+--------:'1O':--+-

CAPíTULO 9

TEMAS ADICIONALES: UNA INTRODUCCIÓN, • Area bajo una curva, 301 • Norma de una partición, 303

301

CONTENIDO

xx • Una ecuación diferencial para modelar un problema geométrico, 303 • Soluciones de una ecuación diferencial, 303 • Solución de una ecuación diferencial con un parámetro, 304 • Vida media de una sustancia radiactiva, 305 • Una función de dos variables para describir una situación, 306

CAPíTULO 10

DEFINICIONES Y MÉTODOS FORMALES, • Uso de la definición de • Uso de la definición de • Uso de la definición de • Aplicación del Teorema Valores Intermedios, 309 • Aplicación del Teorema Valores Intermedios, 310

límite en un punto, 307 límite infinito, 308 límite en un punto, 309 de los de los

Bibliografía general, 311 Indice de recuadros teóricos, 315 Indice analítico, 317

307

ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL HISTORIA Y EJERCICIOS RESUELTOS • • • • • • •

Un importante apoyo o lo comprensión, aprendizaje y enseñanza del cálculo diferencial e integral. Por especialistas en lo historio y enseñanza del Cálculo. Ameno, original, atractivo y sencillo. Contiene uno riguroso historio de los principales conceptos y métodos del Cálculo diferencial e integral. lo evolución de las matemáticas y del pensamiento que explica la matemática del presente y del futuro. Una colección de ejercicios resueltos para conocer los razonamientos y técnicos esenciales de esta disciplina, fundamental para el desarrollo científico y tecnológico. Una preporocíón paro exámenes en lo Secundaria y la Universidad.

Serie: Elementos

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