83173950 manual mathcad 2000 ou 13 by Silvano Cunha

2.5

2.X

12 . X

2.X

47 X 60 solve , X

0 solve , X

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3.8 .

7 8

log ( 2.8 )

tan ( 3 . π )

sin ( 0

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Índice Analítico 1.

Introdução----------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.1 Digitação de Textos -------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2 Digitação de Expressões -------------------------------------------------------------------------------------------- 3

Barras de Ferramentas-------------------------------------------------------------------------------------- 5 2.1 Barra de ferramentas Math---------------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2 Barra de ferramentas Calculator --------------------------------------------------------------------------------- 6

Formatação --------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.1 Formatação de Texto------------------------------------------------------------------------------------------------ 9 3.2 Formatação da Precisão -------------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.3 Formatação das Expressões---------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.3.1 3.3.2

Formatação das Constantes-------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 Formatação das Variáveis -------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento--------------------------------------------------------------------------- 10 3.4.1 3.4.2

Escolha da Posição----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 Escolha do Alinhamento ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 10

Definição de Variáveis ------------------------------------------------------------------------------------- 12

Definição de Funções -------------------------------------------------------------------------------------- 14

Solução de Equações --------------------------------------------------------------------------------------- 16

Operações com Matrizes ----------------------------------------------------------------------------------- 18 7.1 Soma e Subtração de Matrizes ----------------------------------------------------------------------------------- 18 7.2 Multiplicação de Matrizes----------------------------------------------------------------------------------------- 19 7.3 Multiplicação de Matriz por um Número ---------------------------------------------------------------------- 20 7.4 Divisão de Matriz por um Número ------------------------------------------------------------------------------ 21 7.5 Matriz Transposta -------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 7.6 Matriz Inversa------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 7.7 Determinante de uma Matriz------------------------------------------------------------------------------------- 23

Sistemas de Equações -------------------------------------------------------------------------------------- 24

Cálculo de Integrais ---------------------------------------------------------------------------------------- 27 9.1 Integrais Simples---------------------------------------------------------------------------------------------------- 27 9.2 Integrais Duplas----------------------------------------------------------------------------------------------------- 29

10.

Cálculo de Derivadas --------------------------------------------------------------------------------------- 30

10.1

Derivadas de 1ª Ordem -------------------------------------------------------------------------------------- 30

10.2

Derivadas de Ordem N--------------------------------------------------------------------------------------- 30

11.

Estudo de Regressões--------------------------------------------------------------------------------------- 32

11.1

Regressão Linear---------------------------------------------------------------------------------------------- 32

11.2

Regressão Polinomial----------------------------------------------------------------------------------------- 35

12. 12.1

Construção de Gráficos ------------------------------------------------------------------------------------ 40 Formatação de Gráficos ------------------------------------------------------------------------------------- 41

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MathCad 13 12.2

13.

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Gráficos de Duas Funções ----------------------------------------------------------------------------------- 43

Erro: Existência e Propagação --------------------------------------------------------------------------- 44

13.1

Existência do Erro -------------------------------------------------------------------------------------------- 44

13.2

Propagação do Erro ------------------------------------------------------------------------------------------ 44

14.

Cálculo de Raízes ------------------------------------------------------------------------------------------- 48

14.1

Método Gráfico------------------------------------------------------------------------------------------------ 48

14.2

Método da Bipartição ---------------------------------------------------------------------------------------- 49

15.

Resolução de Sistemas de Equações Lineares --------------------------------------------------------- 51

15.1

Método da Eliminação de Gauss --------------------------------------------------------------------------- 53

15.2

Método de Jacobi --------------------------------------------------------------------------------------------- 56

15.3

Método de Gauss-Seidel ------------------------------------------------------------------------------------- 59

16.

Interpolação Polinomial ----------------------------------------------------------------------------------- 61

16.1

Interpolação pelo Método de Lagrange------------------------------------------------------------------- 63

16.2

Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas) ---------------------------------------- 65

16.3

Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados---------------------------------------------- 67

16.3.1

17.

Ajuste Linear------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 67

Integração Numérica--------------------------------------------------------------------------------------- 70

17.1

Método dos Trapézios ---------------------------------------------------------------------------------------- 70

17.2

Método Simpson----------------------------------------------------------------------------------------------- 71

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Cálculo Numérico 1. Introdução Quando se abre o MathCad é mostrado um arquivo novo, que consiste de uma folha onde serão digitados os textos, expressões ou fórmulas, conforme mostrado na Fig. 1 abaixo. Para iniciar a digitação basta clicar com o cursor do mouse no local da tela onde esta se localizará e então digitar o que se deseja.

Barra de Ferramentas Standard

Barra de Ferramentas Formating

Fig. 1

1.1 Digitação de Textos Para se digitar um texto proceda da seguinte forma: ♦ Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início do texto ♦ Digite “ (aspas) para informar ao MathCad que se trata de um texto ♦ Digite o texto (Por exemplo: Introdução ao MathCad) ♦ Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora do texto para informar que terminou a digitação ou tecle Enter.

1.2 Digitação de Expressões Para se digitar uma expressão matemática proceda da seguinte forma:

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♦ Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início da expressão. ♦ Digite a expressão (Por exemplo: 2+3) ♦ Digite o operador = para informar ao MathCad que deve ser mostrado o resultado. ♦ Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora da expressão para informar ao MathCad que terminou a digitação ou tecle Enter.

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2. Barras de Ferramentas O texto e a expressão digitados até agora são extremamente simples, dispensando qualquer ferramenta para sua digitação. Para expressões mais complexas o MathCad dispõe de Barras de Ferramentas (Toolbars) para a introdução de dados e cálculo dos resultados. Ao se criar um arquivo novo (Fig. 1) são mostradas automaticamente duas barras de ferramentas: ♦ Standard, Mostra os comandos básicos de operação com arquivos. ♦ Formating Mostra os comandos básicos de formatação de textos.

Fig. 2

Para ocultar ou exibir estas barras durante os trabalhos, selecione na barra de menus View e depois selecione a barra desejada (Fig. 2).

2.1 Barra de ferramentas Math A barra de ferramentas Math é o meio de acesso as demais barras de ferramentas do MathCad, conforme mostrado na Fig.2.1.a. Estas barras serão vistas mais adiante.

Calculator

Graph

Matrix

Evaluation

Calculus

Boolian

Programming

Greek Symbol

Symbolic Keyword

Fig. 1

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2.2 Barra de ferramentas Calculator Como visto anteriormente, expressões simples podem ser digitadas diretamente pelo teclado. Contudo, expressões mais complexas, como por exemplo as que envolvem funções trigonométricas e exponenciais, requerem o auxílio da barra de ferramentas Calculator. Para exibir a barra de ferramentas Calculator leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Calculator, que ficará conforme Fig. 2.2.a A título de exercício, vamos calcular o valor das expressões abaixo: a) 2.54 + 3.58 – 12.27 ♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a Fig. 2.2.a expressão. ♦ Digite o número 2.54 ♦ Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no O símbolo de símbolo + (Addition). decimal é o ponto Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de soma, informando que se deve digitar o e não a vírgula. próximo valor. ♦ Digite o número 3.58 ♦ Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration) Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de subtração, informando que se deve digitar o próximo valor. ♦ Digite o número 12.27 ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que será mostrado o resultado da operação. b) 2.54 x 3.58 ♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. ♦ Digite o número 2.54 ♦ Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de multiplicação, informando que se deve digitar o próximo valor. ♦ Digite o número 3.58 ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. c)

169

♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. ♦ Clique na barra Calculator no símbolo (Square Root) ♦ Aparecerá o símbolo de raiz quadrada com um quadradinho preto e com o cursor no lugar onde será digitado o número. Digite 169 ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o

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resultado da operação. d)

169

♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. ♦ Clique na barra Calculator no símbolo

(Nth Root).

♦ Aparecerá o símbolo de raiz enésima com um quadradinho preto no lugar do valor da raiz e outro no lugar do número. Clique com o cursor no lugar da raiz e digite 5 ♦ Clique com o cursor no lugar do número e digite 169 ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação. e) ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

e 2.3 + sen(1.7π ) Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. Clique na barra Calculator no símbolo eX (Exponential) Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2.3 Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão. Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no símbolo + (Addition). Clique na barra Calculator no símbolo de SIN (Sine) Clique no quadradinho preto e digite 1.7 Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). Clique na barra Calculator no símbolo ¶ Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão. Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação.

3.7 f) 2.6 −

4 e2 sen(3,5π )

♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. ♦ Digite 3.7 ♦ Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a fração com um quadradinho preto no denominador. ♦ Digite 2.6 ♦ Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão. ♦ Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration). ♦ Digite 4 ♦ Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a fração com um quadradinho preto no denominador. ♦ Clique na barra Calculator no símbolo eX (Exponential) ♦ Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2 2 ♦ Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão e .

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♦ Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão. Aparecerá a fração com um quadradinho preto no denominador. ♦ Clique na barra Calculator no símbolo SIN (Sine) ♦ Clique no quadradinho preto e digite 3.5 ♦ Digite * (asterisco) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). ♦ Clique na barra Calculator no símbolo ¶ ♦ Tecle espaços até o cursor do MathCad chegar ao final da expressão. ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação.

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3. Formatação O MathCad permite a formatação diferenciada de textos, fórmulas e dos resultados numéricos. Nas fórmulas é possível formatar as variáveis de forma diferente das constantes.

3.1 Formatação de Texto Para formatar um texto proceda da seguinte forma: ♦ Selecione o texto que quer formatar ♦ Selecione na barra de menu Format – Text ♦ Quando aparecer a janela Text Format escolha a formatação desejada

3.2 Formatação da Precisão Os resultados das operações matemáticas realizadas podem ser formatados com um número fixo de casas decimais. Para isto, proceda da seguinte forma: ♦ Selecione na barra de menu Format – Result

♦ Na janela Result Format Fig. 3.2.A selecione: Number of decimal places:.................... Número de casas decimais Show trailing zeros:............................... Marque esta opção se quiser que mostre zero quando não houver partes decimais. Show expoents in engineering format: .. Marque esta opção se quiser que os valores apareçam na notação de engenharia.

3.3 Formatação das Expressões O MathCad permite formatar as fontes das variáveis e das constantes de fórmulas e funções de maneira distinta. 3.3.1 Formatação das Constantes Para formatação da fonte das constantes de expressões proceda da seguinte forma: ♦ Selecione na barra de menu Format – Equation

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♦ Na janela Equation Format (Fig.3.3.1) selecione na caixa de listagem Style Name a opção Constants ♦ Clique no botão Modify ♦ Na janela Constants escolha formatação adequada e clique OK. ♦ Na janela Equation Format clique OK

Fig3.3.1 3.3.2 Formatação das Variáveis Para formatação da fonte das variáveis de expressões proceda da seguinte forma: ♦ Selecione na barra de menu Format – Equation ♦ Na janela Equation Format (Fig.3.3.1) selecione na caixa de listagem Style Name a opção Variables ♦ Clique no botão Modify ♦ Na janela Constants escolha formatação adequada e clique OK. ♦ Na janela Equation Format clique OK A título de exercício, construa e expressão abaixo 3 formate-a da seguinte forma: - Resultado: ------- 2 decimais - Constantes: ----- Times New Roman, negrito itálico, tamanho 13 - Resultado:------- Bookman Old Style, negrito, tamanho 14 Uma vez formatada a função deverá ter a aparência abaixo. 7

2.5 + 3.8

+ log ( 2.8) − tan ( 3 ⋅ π ) − sin ( 0.27 ⋅ π ) = 6.87

3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento 3.4.1 Escolha da Posição Para mudar a posição de uma expressão, proceda da seguinte forma: ♦ Selecione a expressão. ♦ Mova o cursor até uma das bordas da seleção, até que o cursor do mouse mude para a forma de uma mão. ♦ Nesta posição, pressione o botão do mouse e, com ele pressionado, arraste a expressão para o local desejado. 3.4.2 Escolha do Alinhamento O MathCad permite alinhar todas as expressões digitadas, tanto na horizontal quanto na vertical. Para efetuar este alinhamento, proceda da seguinte forma:

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♦ Selecione as expressões que serão alinhadas. Depois selecione na barra de menu: ♦ Format – Align regions – Down (para alinhamento vertical) ou Across (para alinhamento horizontal)

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4. Definição de Variáveis A definição de variáveis pode ser feita através do teclado ou usando a barra de ferramentas Calculator (Fig. 4.1). Para definir variáveis através do teclado proceda da seguinte forma: ♦ Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos) ♦ Digite : (dois pontos). O MathCad automaticamente acrescentará = depois dos dois pontos. ♦ Digite o valor da variável Para definir variáveis usando a barra de ferramentas Calculator proceda da seguinte forma: ♦ Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Fig. 4.1 Calculator ♦ Digite o valor da variável. A título de exercício, vamos definir as varáveis abaixo abaixo: a) X = 5 ♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão. ♦ Digite X ♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Digite o número 5 b) Sabendo-se que b = valor de Y

π 3

1.5π 3

e que Y = (sen(2b)+cos(a)3)

determine o

Como usaremos vários símbolos gregos neste exercício, vamos ativar a barra de ferramentas Greek Symbol Palette mostrada na Fig.4.2, que dispões de vários destes símbolos Etapa 1: Definição de b ♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a primeira variável. ♦ Clique no símbolo b da barra Greek Symbol ♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Digite

π 3

Etapa 2: Definição de

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a segunda variável.

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Fig. 4.2 Pág .12

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♦ Clique no símbolo a da barra Greek Symbol ♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 1 .5 * π ♦ Digite 3 Etapa 3: Definição de Y ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável Y. ♦ Digite Y ♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 2

♦ Digite a expressão (sen(2b)+cos(a)3) Etapa 4: Cálculo do valor de Y

Uma vez definidas as variáveis b, a e Y podemos agora determinar o valor de Y ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de Y. ♦ Digite Y ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação.

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5. Definição de Funções O MathCad dispõe de funções de várias categorias, tais como matemáticas, trigo-nométricas, estatísticas e muitas outras, todas elas prontas para serem utilizadas. Para acessar estas funções proceda da seguinte forma: ♦ Selecione na barra de menu Insert – Function ♦ Aparecerá a janela Intert Function (Fig.5). Para selecionar a função, proceda da seguinte forma: No quadro Function Category selecione a categoria da função ou selecione a categoria Fig. 5 Todas. No quadro Function Category selecione o nome da função. ♦ Clique OK. Além destas funções, o MathCad permite que outras funções sejam definidas para nosso uso específico, assunto este que será tratado agora. A definição de funções é muito similar a definição de varáveis, que consiste basicamente de três etapas: 1) Escolha do nome da função 2) Colocação do sinal de atribuição de valor (Assign Value) 3) Digitação da função A título de exercício vamos definir as funções abaixo e calcular seu valor para um determinado valor da variável. a) Sabendo-se que F(X) = 5X2 – 3X +4, determine F(3,5) ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X). ♦ Escreva F(X) ♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva a função 5*X2 – 3*X +4 ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(3,5). ♦ Escreva F(3,5) ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação conforme abaixo.

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b) Sabendo-se que F(X) = 3,3e – 3sen(X) +4 3 X , determine F(0.57) ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X). ♦ Escreva F(X) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ ♦ ♦ ♦

Escreva a função 3,3e – 3sen(X) +4 3 X Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(0,57). Escreva F(0.57) Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação conforme abaixo.

Y , determine F(2,3) 1,5 X ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X,Y) ♦ Escreva F(X,Y) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator 2,3Y

c) Sabendo-se que F(X,Y) = 2,75e

– 3sen(0,54X) +4 3

Y 1,5 X ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(2,3) ♦ Escreva F(2,3) ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação.

♦ Escreva a função 2,75e

F ( X , Y) := 2.75 ⋅ e

2.3 ⋅ Y

2,3Y

– 3sen(0,54X) +4 3

− 3 ⋅ sin ( 0.54 ⋅ X) + 4 ⋅ 3

Y 15 ⋅ X

F ( 2 , 3) = 2733.152

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6. Solução de Equações O MathCad dispõe de dois métodos para cálculo de raízes de equações: o método numérico e o método analítico. Aqui nos deteremos no método analítico. Para calcular raízes de equações pelo método analítico precisaremos das barras de ferramentas Symbolic (Fig. 6.a) e Boolean (Fig. 6.b). Por isso, leve o cursor do mouse até a barra de ferramentas Math e clique nos ícones destas barras para exibi-las. Para determinar as raízes de uma equação pelo método analítico são necessários os seguintes passos:

1º) Digite a equação sendo que o sinal = a ser usado tem que ser o = (Equal to) da barra de ferramentas Boolean. 2º) Uma vez digitada a equação clique clique na palavra Solve da barra de ferramentas Symbolic. 3º) No quadrado preto que surgirá depois da palavra solve digite a variável que se quer determinar. A título de exercício, determine as raízes das equações abaixo

Fig. 6.a

X 1 − =0 5 7 ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação. X 1 ♦ Escreva 3 − 5 7 ♦ Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Symbolic

a) 3

♦ Digite o valor 0 ♦ Clique no botão solve da barra de ferramentas Evaluation ♦ No quadrado preto depois da palavra solve e digite X ♦ Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo 5 X 1 3⋅ − 0 solve , X → = 0.24 5 7 21 . b) 2 X

2.X

Fig. 6.b

O sinal = a ser usado é o Equal to da barra de ferramentas Boolean.

4 0

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação. 2

. 2.X 4 ♦ Escreva 2 X ♦ Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Symbolic

♦ Digite o valor 0

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♦ Clique no botão solve da barra de ferramentas Evaluation ♦ No quadrado preto que surgirá depois da palavra solve digite X ♦ Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo

2.X

0 solve , X

b) ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação. 3

12 . X 47 . X ♦ Escreva X ♦ Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Symbolic ♦ ♦ ♦ ♦

Digite o valor 60 Clique no botão solve da barra de ferramentas Evaluation No quadrado preto que surgirá depois da palavra solve digite X Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo

12 . X

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47 X 60 solve , X

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7. Operações com Matrizes

Para realizar operações com Matrizes precisaremos da barra de ferramentas Matrix. Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas, mostrada na Fig.7.a.

7.1 Soma e Subtração de Matrizes Para se somar matrizes é necessário que elas tenham o mesmo número de linhas e colunas Para isto, vamos criar as matrizes MAT1 e MAT2 conforme abaixo e armazenar sua soma na matriz MATSOMA e sua subtração na matriz MATSUB..

a) Criação da matriz MAT1 ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT1 ♦ Escreva MAT1 ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator Fig. 7.1.a ♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix ♦ Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas e clique OK ♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números, conforme Fig.7.1.a. Fig. 7.1.b Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.b.

b) Criação da matriz MAT2 ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT2 ♦ Escreva MAT2 ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Fig. 7.1.c ♦ Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas e clique OK ♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez

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concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.c.

c) Criação da matriz MATSOMA ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSOMA ♦ Escreva MATSOMA ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Digite MAT1 + MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

d) Criação da matriz MATSUB ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSUB ♦ Escreva MATSUB ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Digite MAT1 - MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

e) Impressão das matrizes MAT e MATS ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT ♦ Escreva MAT ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MAT, que deverá estar conforme abaixo: ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATS ♦ Escreva MATS ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MATS, que deverá estar conforme abaixo:

7.2 Multiplicação de Matrizes Para se multiplicar duas matrizes o número de linhas da primeira deve ser igual ao número de colunas da segunda. ♦ Vamos multiplicar as matrizes MAT1 e MAT2 e armazenar o produto na matriz MATX. ♦ Para isto digite as matrizes MAT1 e MAT2 abaixo

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♦ Escreva MATX ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Digite MAT1 * MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

♦ Escreva MATX ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MATX, que deverá estar conforme abaixo:

7.3 Multiplicação de Matriz por um Número Vamos multiplicar a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado na matriz MULT. Para isto, proceda conforme abaixo: ♦ Digite a matriz MAT1 abaixo.

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MULT ♦ Escreva MULT ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva 2.75*MAT1. A equação deverá estar conforme abaixo.

♦ Escreva MULT ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MULT, que deverá estar conforme abaixo:

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7.4 Divisão de Matriz por um Número Vamos dividir a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado na matriz DIV. Para isto, proceda conforme abaixo: ♦ Digite a matriz MAT1 abaixo.

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz DIV ♦ Escreva DIV ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva MAT1/2.75. A equação deverá estar conforme abaixo.

♦ Escreva DIV ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz DIV, que deverá estar conforme abaixo:

7.5 Matriz Transposta As linhas e colunas da matriz MATT, transposta da matriz MAT, correspondem às colunas e linhas da matriz MAT, respectivamente, conforme abaixo:

♦ Digite a matriz MAT abaixo.

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♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a equação. ♦ Escreva MATT ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva MAT ♦ Clique no ícone Matrix Transpose da barra de ferramentas Matrix. A equação deverá estar conforme abaixo:

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATT ♦ Escreva MATT ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz MATT, que deverá estar conforme abaixo:

7.6 Matriz Inversa Só admitem Matriz Inversa as matrizes cujo número de linhas seja igual ao número de colunas. ♦ Digite a matriz MAT abaixo.

♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz inversa. Digite a matriz MAT Clique no ícone XY da barra de ferramentas Calculator Digite -1 Leve o cursor do MathCad para o final da expressão teclando na barra de espaço. Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz inversa, que deverá estar conforme abaixo:

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7.7 Determinante de uma Matriz Só se pode calcular o Determinante das matrizes cujo número de linhas seja igual ao número de colunas. ♦ Digite a matriz MAT abaixo.

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a expressão. ♦ Digite a matriz DET ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Clique no ícone Determinant da barra de ferramentas Matrix. Aparecerá um quadrado preto entre barras onde se deve digitar o nome da matriz cujo determinante se deseja calcular. ♦ Digite MAT e tecle Enter. A expressão deverá estar conforme abaixo:

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante DET da matriz MAT. ♦ Digite a matriz DET ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o determinante DET, que deverá estar conforme abaixo:

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8. Sistemas de Equações Um sistema de equações lineares é constituído por n equações com n incógnitas. Para exemplificar um sistema de três equações lineares seria do tipo abaixo:

a3 X + a2Y +a1 Z = a0 b3 X + b2 Y +b1 Z = b0 c3 X + c2 Y +c1 Z = c0 O procedimento para resolver este tipo de sistema utilizando o MathCad consiste de três etapas:

Etapa 1: Cria-se o determinante X com os coeficientes das incógnitas, conforme abaixo:

Etapa 2: Cria-se o determinante Y com as constantes das equações, conforme abaixo:

ao bo co

Etapa 3: Utiliza-se a função Lsolv da seguinte forma: ♦ Escreva a variável que armazenará o resultado, por exemplo escreva R ♦ Depois de escrever R clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Selecione na barra de menu Insert – Function ♦ Na janela Insert Function selecione a função Lsolve (M v) (Fig.8.a).

Fig. 8.a

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A título de exercício vamos resolver o sistema de quatro equações abaixo: X 2X 3X 2X

+ 3Y - 2Y - 5Y - 3Y

+ 5Z + 3Z + 2Z + 4Z

+W + 4W +W + 7W

= 8,2 = 11,8 = -2,2 = 18,5

Para resolver este sistema precisaremos da barra de ferramentas Matrix. Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas, mostrada na Fig.7.b acima.

a) Criação da matriz MAT ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante X ♦ Escreva MAT ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix ♦ Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. Digite 43 para ambas e clique OK ♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.c.

b) Criação da matriz VET ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante Y ♦ Escreva VET ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix ♦ Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. Digite 4 para linhas e 1 para colunas e clique OK ♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.d.

c) Criação da função Lsolv ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função Lsolv ♦ Escreva RES ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Selecione na barra de menu Selecione na barra de menu Insert – Function ♦ Na janela Insert Function selecione a função Lsolve (M v) e clique OK. Será mostrado o argumento da função Lsolv com dois quadrados pretos separados por vírgulas entre os parêntesis. ♦ No primeiro quadrado preto escreva MAT e no segundo quadrado escreva VET e

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depois tecle Enter (Fig. 8.e)

d) Calculo das raízes ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o vetor RES com os valores de X, Y, Z eW ♦ Escreva RES ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o resultado da operação (Fig. 8.f).

Fig. 8.c

Fig. 8.d

Fig. 8.e

Fig. 8.f

Aplicando a metodologia acima, determine os valores de V, X, Y, Z e W do sistema de equações abaixo: 4,5 V +

10,8 X +

6,9 Y +

4,2 Z +

2,8 W +

= 19,93

0,9 V +

1,3 X +

4,2 Y +

3,2 Z +

0,6 W +

= 29,19

1,2 V +

8,7 X +

10,3 Y +

9,7 Z +

8,3 W +

= 76,75

4,3 V +

5,1 X +

2,3 Y +

6,4 Z +

5,7 W +

= 53,87

5,3 V +

3,7 X +

7,3 Z +

5,7 W +

= 61,80

A solução deverá estar conforme abaixo:

Fig. 8.g

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Fig. 8.h

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Fig. 8.i

Fig. 8.j

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9. Cálculo de Integrais

Para o cálculo de integrais precisaremos da barra de ferramentas Calculus. Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas, mostrada na ao lado.

O cálculo de integrais no MathCad pode ser feito pelo métodos Numérico e Analítico, conforme veremos adiante.

9.1 Integrais Simples Para calcular Integrais simples siga as seguintes etapas:

Etapa 1: Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão Definite Integral. Aparecerá o símbolo de integral definida, tendo quadrados pretos indicando onde digitar os limites inferior e superior e a função, conforme figura ao lado.

Etapa 2: Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração.

Etapa 3: a) Método Numérico: Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular a Integral. b) Método Analítico: Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e depois tecle Enter para calcular a Integral. A título de exercício vamos calcular as Integrais abaixo: π /2

∫ COS ( X )dX 0

♦ Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão Definite Integral. ♦ Quando aparecer o símbolo de Integral digite nos devidos locais os seguintes valores: Limite inferior: ........0 Limite Superior:......¶/2 Função: ...................Cos(X)dX

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a) Método Numérico: ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que será mostrado o resultado. b) Método Analítico: ♦ Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e depois tecle Enter que será mostrado o resultado.

Método Numérico 3π / 2

∫ 0

Método Analítico

X3 ( + 4 X 2 − 1.5 X + 17 ) dX 2

Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá estar conforme figura abaixo:

Método Numérico

Método Analítico

Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá estar conforme abaixo:

Método Numérico

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Método Analítico

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9.2 Integrais Duplas O cálculo de integrais duplas é feito da mesma maneira que no caso das integrais simples, que consiste das seguintes etapas:

Etapa 1: Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique duas vezes no botão Definite Integral. Aparecerá o símbolo de integral definida dupla, tendo quadrados pretos indicando onde digitar os limites inferior e superior e as funções, conforme figura ao lado.

Etapa 2: Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração.

Etapa 3: a) Método Numérico: Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que será mostrado o resultado. b) Método Analítico: Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e depois tecle Enter para resolver a Integral. Exemplos: Explo 1: Calcule a integral pelos dois métodos, executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deverá estar conforme abaixo.

Método Analítico

Método Numérico

Explo 2:

Calcule a integral pelos dois métodos, executando os passos do item a acima. Uma vez terminado, o resultado do método numérico deverá estar conforme ao lado. Calcule agora o método analítico.

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Método Numérico Pág .29

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10. Cálculo de Derivadas Para o cálculo de derivadas ferramentas Calculus e Symbolic.

precisaremos

das

barras

10.1 Derivadas de 1ª Ordem Seja a função:

G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3 Para calcular a derivada de 1ª ordem desta função, proceda da seguinte forma: ♦ Na barra de ferramentas Cálculos, clique na ferramenta Derivative (Fig.10.a). ♦ Preencha a ferramenta Derivative conforme abaixo:

♦ Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final da expressão. ♦ Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation e depois tecle Enter. A expressão deve estar conforme abaixo:

10.2 Derivadas de Ordem N Seja a função:

G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3 Para calcular a derivada de 2ª ordem desta função, proceda da seguinte forma: ♦ Na barra de ferramentas Cálculos, clique na ferramenta Nth Derivative (Fig.10.a) ♦ Preencha a ferramenta Nth Derivative conforme abaixo:

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A expressão deve estar conforme abaixo:

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11. Estudo de Regressões Os estudos de regressão tem por finalidade determinar a função que melhor representa uma série de valores conhecidos. Uma vez obtida esta função, pode-se então estimar um valor futuro, obviamente admitindo que o cenário que gerou os valores conhecidos não venha a mudar no futuro. Os tipos de regressão mais conhecidos são o Linear, Exponencial, Polinomial, Logarítmica e Média Móvel. Nós nos deteremos exclusivamente nos métodos Linear e Polinomial.

11.1 Regressão Linear A Regressão Linear consiste em determinar a equação da reta (Fig.10.1.a) que melhor representa uma séria de valores conhecidos (Fig.10.1.b).

Fig. 10.1.a

Fig. 10.1.b

Em resumo, queremos determinar a equação:

Y=aX+b Onde: a b

Coeficiente angular da reta Intercessão com o eixo das abscissas

A determinação dos coeficientes a e b da reta consiste de quatro etapas, conforme abaixo:

Etapa 1: Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontos conhecidos) e 2 colunas, tendo na primeira coluna os valores de X (variável independente) e na segunda coluna os valores de Y (variável dependente), conforme figura ao lado.

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Etapa 2: Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. Isto é feito da atraves do batão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme abaixo:

Etapa 3: Executar as funções conforme abaixo: Slope(X,Y) ............ para determinar o coeficiente angular a Intercept(X,Y)...... para determinar a Intercessão com o eixo das abscissas b

a:=Slope(X,Y)

b:= Intercept(X,Y)

Etapa 4: Determinar os valores de a e b, digitando conforme abaixo: a= b=

Explo 1: Determine a equação da reta que melhor representa os pontos abaixo: X Y

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

7,150 7,850 10,850 10,800 12,650 14,700 15,000 16,100 19,800 19,525

Etapa 1: Construção da matriz MAT ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT ♦ Escreva MAT ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix ♦ Surgirá a janela Insert Matrix, solicitando o número de linhas e o número de colunas. Digite 10 para linhas e 2 para colunas e clique OK ♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados os números. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.10.1.c.

Etapa 2: Definição das colunas de X e Y a) Definição da coluna de X ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará X

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♦ Escreva X ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column ♦ Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado) clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superior e digite 0 e tecle Enter. a) Definição da coluna de Y ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará Y ♦ Escreva Y ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column ♦ Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado) clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superior e digite 1 e tecle Enter.

Etapa 3: Executar as funções Slope(vx, vy) e Intercept(X,Y) a) Definição do coeficiente a ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a ♦ Escreva a ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Selecione na barra de menu Insert - Function ♦ Na janela Insert - Function selecione a função Slope(vx, vy) e clique OK. ♦ Aparecera o argumento da função Slope(vx, vy) com dois quadrados pretos indicando onde digitar os dados. No primeiro quadrado e digite X e no segundo digite Y, conforme figura ao lado e tecle Enter. b) Definição do coeficiente b ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b ♦ Escreva b ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Selecione na barra de menu Insert - Function ♦ Na janela Insert - Function selecione a função Intercept(X,Y) e clique OK. ♦ Aparecera o argumento da função Intercept(X,Y com dois quadrados pretos indicando onde digitar os dados. No primeiro quadrado e digite X e no segundo digite Y, conforme figura ao lado e tecle Enter.

Etapa 3: Determinação dos coeficientes a e b ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a ♦ Escreva a ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e tecle Enter.

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♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b ♦ Escreva b ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a e tecle Enter. O resultado deverá ser: a = 2.86 b = 7.008 Desta forma, a reta que melhor representa os pontos dados é dada pela equação abaixo:

y = 2.86 x + 7.008 11.2 Regressão Polinomial A Regressão Polinomial consiste em determinar o polinômio que melhor representa uma séria de valores conhecidos. Esta determinação consiste de quatro etapas, conforme abaixo:

Etapa 2: Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme abaixo: ♦ Escreva X ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva MAT ♦ Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix. ♦ Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve digitar 0, conforme abaixo. ♦ Escreva Y ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva MAT ♦ Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix. ♦ Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve digitar 1, conforme abaixo.

Etapa 3: Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é feito da seguinte forma:

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♦ Escreva K (ou uma outra variável) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva 3 (ou outra ordem) e tecle Enter.

Etapa 4: Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n), conforme abaixo: ♦ Escreva W (ou uma outra variável) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Selecione na barra de menu Insert – Function ♦ Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n), e clique OK. ♦ Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n), com três quadrados pretos indicando onde digitar os dados. o No primeiro quadrado e digite X o No segundo quadrado e digite Y o No terceiro quadrado e digite K o Tecle Enter. A função deverá estar conforme abaixo.

Etapa 5: Criar o polinômio através da função interp(W, X,Y,S), conforme abaixo: ♦ Escreva F(Z) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Selecione na barra de menu Insert – Function ♦ Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x), e clique OK. ♦ Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x), com três quadrados pretos indicando onde digitar os dados. ♦ No primeiro quadrado e digite W ♦ No segundo quadrado e digite X ♦ No terceiro quadrado e digite Y ♦ No quarto quadrado e digite Z ♦ Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de ordem K deverá estar conforme abaixo.

Exercício: Determine o polinômio de 6ª ordem que melhor representa os valores abaixo e calcule seu valor nos pontos X=2,75 e X= 11,47 X

F(X) 10,470 7,273 21,089 23,606 49,729 55,519 95,443 122,175 178,008 227,857

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Etapa 2: Definição das colunas de X e Y Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y. Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix, conforme abaixo: ♦ Escreva X ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva MAT ♦ Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix. ♦ Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve digitar 0, conforme abaixo. ♦ Escreva Y ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva MAT ♦ Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix. ♦ Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se deve digitar 1, conforme abaixo.

Etapa 3: Definição da ordem do polinômio Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é feito da seguinte forma: ♦ Escreva K (ou uma outra variável) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Escreva 6 (ou outra ordem) e tecle Enter.

Etapa 4: Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n) ♦ Escreva W ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

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♦ Selecione na barra de menu Insert – Function ♦ Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n), e clique OK. ♦ Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n), com três quadrados pretos indicando onde digitar os dados. o No primeiro quadrado e digite X o No segundo quadrado e digite Y o No terceiro quadrado e digite K o Tecle Enter. A função deverá estar conforme acima.

Etapa 5: Criar o polinômio F(Z) através da função interp(W, X,Y,S) ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Escreva F(Z) Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator Selecione na barra de menu Insert – Function Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x), e clique OK. Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x), com três quadrados pretos indicando onde digitar os dados. ♦ No primeiro quadrado e digite W ♦ No segundo quadrado e digite X ♦ No terceiro quadrado e digite Y ♦ No quarto quadrado e digite Z ♦ Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de 6ª ordem e deverá estar conforme abaixo.

Etapa 6: Definição dos coeficientes ♦ Escreva W ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para visualizar o vetor com os coeficientes do polinômio e clique Enter. O vetor deverá estar conforme figura ao lado. Para calcular os valores nos pontos X=2,75 e X= 11,47 proceda conforme abaixo: ♦ Escreva F(2.75) ♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para visualizar o valor do polinômio no ponto X=2,75 e clique Enter. ♦ Escreva F(11.47)

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Termo Independente

Coeficiente de X1 Coeficiente de X2 Coeficiente de X3 Coeficiente de X4 Coeficiente de X5 Coeficiente de X6

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♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para visualizar o valor do polinômio no ponto X= 11,47 e clique Enter. ♦ O resultado deverá estar conforme abaixo:

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12. Construção de Gráficos Para a construção de gráficos precisaremos da barra de ferramentas Graph. Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Graph Palette para ativar esta barra de ferramentas, mostrada na ao lado. Para a construção de gráficos de funções proceda conforme abaixo: ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função ♦ Digite a função F(X) ♦ Clique na barra de ferramentas Graph no tipo do gráfico desejado. Aparecerá a estrutura do gráfico com os eixos conforme figura ao lado. ♦ Digite no quadrado do eixo das abscissas o nome da variável e no do eixo das ordenadas o nome da função. A título de exercício vamos construir o gráfico da função abaixo:

Para isto, proceda conforme abaixo: ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função ♦ Digite a função ♦ Clique na barra de ferramentas Graph no ícone X-Y Plot. Aparecerá a estrutura do gráfico com os eixos e os quadrados para digitar o nome da variável e da função. ♦ No quadrado do eixo das variáveis digite X ♦ No quadrado do eixo das abscissas digite F(X) ♦ Tecle Enter. O gráfico deve estar conforme abaixo.

Limite superior de F(X)

Limite inferior de F(X)

Limite superior de X

Limite inferior de X

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12.1 Formatação de Gráficos Conforme visto no item anterior, o gráfico é gerado automaticamente pelo MathCad, sem podermos escolher os limites nem a escala. No gráfico traçado acima, os limites de X, entre -10 e +10 foram ditados pelo programa. Isto pode gerar um gráfico que não atenda perfeitamente, principalmente quando estamos interessados em conhecer o comportamento da função dentro de certos limites da variável. Desta forma, torna-se necessário alterar as propriedades do gráfico gerado. A título de exercício vamos formatar o gráfico de F(X) gerado no item anterior da seguinte forma: Limite inferior de X:............... 0 Limite superior de X:............. 5 Limite inferior de F(X): .......... 0 Limite superior de F(X): ........ 50 Para isto, proceda da seguinte forma: ♦ Clique com o cursor do mouse no limite inferior de X. Apague o valor -10 e digite 0 ♦ Clique com o cursor do mouse no limite superior de X. Apague o valor +10 e digite 5 ♦ Clique com o cursor do mouse no limite inferior de F(X). Apague o valor -18.8 e digite o valor 0 ♦ Clique com o cursor do mouse no limite superior de F(X). Apague o valor 45.7 e digite o valor 50 O gráfico deve estar conforme abaixo:

Além dos limites superior e inferior do gráfico podemos formatar também outras propriedades, como linhas de grade, tipos de eixo, escala, etc. Vamos formatar o gráfico acima com as seguintes propriedades: a) Adicionar grades horizontal e vertical b) Mudar a escala vertical para que os valores fiquem múltiplos de 10

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Para isto proceda conforme abaixo ♦ Dê um duplo clique sobre o gráfico. Aparecerá a caixa de diálogo Formating Currently Selected X-Y Plot mostrada abaixo

♦ Selecione as opções conforme figura acima e clique OK. Formate o gráfico nas abas Traces e Label para que fique conforme abaixo.

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12.2 Gráficos de Duas Funções A construção de gráficos de duas ou mais funções segue os mesmo procedimento que a dos gráficos de apenas uma função. Para informar ao MathCad as funções que devem ser plotadas, elas devem ser escritas no eixo das abcissas separadas por , (vírgula). Seja, por exemplo, construir os gráficos das funções abaixo, F(X) e H(X). F ( X) := 3 ⋅ X

H ( X) := −3 ⋅ X + 50

Uma vez formatado, o gráfico das funções ficará conforme abaixo

Digite F(X),H(X)

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13. Erro: Existência e Propagação 13.1 Existência do Erro O Erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico, pois: ♦ Os valores, em si, não são exatos. Isto decorre do processo de medição, do erro do medidor e da incerteza do valor verdadeiro. Por exemplo, um valor de 50m, com uma incerteza de ±0,2, é algo no intervalo de 49,8 e 50,2 ♦ Quando efetuamos operações com esses valores, o Erro se propaga. Quando efetuamos operações com valores que carregam incertezas, ela é levada para os resultados. Isto é chamado de Propagação do Erro. ♦ Os métodos numéricos são, freqüentemente, aproximados Isto realça que os métodos numéricos não são, freqüentemente, exatos. Este método procura valores aproximados, buscando diminuir o erro e cada iteração que é feita. ♦ Arredondamento O computador representa números reais com um número finito de dígitos, sendo abrigado e aproximá-los quando este demandarem mais dígitos do que ele está programado para usar.

Um exemplo é o número ¶ e o número e, que terão que ser arredondados, pois seus infinitos dígitos não podem ser representados no computador. Quando representamos um valor por M ± µ, M muito maior que µ, chamamos:

µ ..............Desvio Absoluto ou Erro Absoluto µ / |M| .....Desvio Relativo ou Erro Relativo ( |M| é o valor absoluto de M) 13.2 Propagação do Erro Sejam os números abaixo, a e b:

a = 60 ± 2 b = 30 ± 3 Desta forma, os valores máximos e mínimos de a e b são: a:....... De 58 a 62 b:....... De 27 a 33

62 +33

a+b

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Jan/2012 58 + 27

A Soma a + b varia de 85 a 95

62 - 27

58 - 33

a-b A Subtração a - b varia de 25 a 35

62 x 33

2.046

58 x 27

1.566

axb A Multiplicação a x b varia de 1.566 a 2.046 Seja:

ea ...... Erro absoluto de a eb ...... Erro absoluto de b Teremos:

a) O Erro Absoluto da Soma

(a ± ea) + (b ± eb) = a + b ± (ea + eb) O Erro Absoluto da Soma é a soma dos erros absolutos das parcelas. b) O Erro Absoluto da Subtração

(a ± ea) - (b ± eb) = a - b ± (ea + eb) O Erro Absoluto da Subtração é a soma dos erros absolutos das parcelas. c) O Erro Absoluto da Multiplicação

(a ± ea) x (b ± eb) = a . b ± (a . eb + b . ea) O Erro Absoluto da Multiplicação é a soma dos erros absolutos

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das parcelas, ponderado pelo valor das parcelas. Para analisar o Erro Relativo, consideremos:

Esoma ....Erro Relativo da soma Esub ......Erro Relativo da subtração Eprod .....Erro Relativo da multiplicação Ea.........Erro Relativo d e a Eb ........Erro Relativo de b d) O Erro Relativo da Soma

Esoma = esoma / (a+b) = ea / (a+b) +eb / (a+b)

E soma =

ea a e b . + b. a a+b b a+b a b + Eb . a+b a+b

Esoma = Ea .

O Erro Relativo da Soma é a soma dos erros Relativos de cada parcela, ponderada pela respectiva parcela. e) O Erro Relativo da Subtração

Esub = esub .

a (e + e ) e e = a b = a + b a −b a −b a −b a −b

Esub = Ea .

a b + Eb . a −b a −b

O Erro Relativo da Subtração é a soma dos erros relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pelas respectivas parcelas. f) O Erro Relativo do Produto

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E prod =

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e prod a.b

eb ea + b a

O Erro Relativo do Produto é a soma dos erros relativos dos fatores. g) O Erro Relativo da Divisão

Ediv

ea eb .a + b b.b = ea + eb = a a b b

O Erro Relativo da Divisão é a soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.

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14. Cálculo de Raízes Um caso clássico de cálculo de raízes de equações são as de segundo grau, da forma:

a.x 2 + b.x + c = 0 As duas raízes são dados pela fórmula:

− b ± b 2 − 4.a.c x= 2.a Contudo, existem expressões cuja solução não é tão simples, como nos casos abaixo:

ex + x = 0 cos( x ) − x = 0 Ln ( x ) + x − 2 = 0 Também os polinômios, com grau superior a 3 não tem solução simples. Vamos ver adiante alguns métodos numéricos para cálculos de raízes destas equações, com resultados que, embora aproximados, estejam dentro de limites estabelecidos.

14.1 Método Gráfico Um gráfico bem plotado pode nos dar uma idéia bastante acurada das raízes de equações e, dependendo da precisão requerida, pode resolver nossos problemas. Caso a precisão requerida não seja atendida por este método, ele pode servir de entrada para outros métodos mais aprimorados, que nos levem a precisão desejada. Seja a função: G ( X) := cos ( X) − X

3 cos( x ) − x 3 = 0 Logo cos( x ) = x F ( x ) = cos( x ) e H ( x ) = x 3

A raiz nos dá que Fazendo

O gráfico das funções ficará conforme abaixo:

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Redimensionando apropriadamente os limites do gráfico, ele ficará conforme abaixo.

Vê-se claramente que a raiz da equação encontra-se entre 0,85 e 0,9 Se adotarmos o ponto médio como resposta, teremos:

G ( 0.875) = −0.02892502 Vemos que com este método, neste exemplo, temos precisão até a 1ª casa decimal. Caso este erro não seja admissível, poderemos usar esta resposta como ponto de partida para métodos mais precisos.

14.2 Método da Bipartição Este método tenta melhorar a precisão de resultados obtidos por outros métodos aproximados como, por exemplo, o método gráfico. Ele parte de um intervalo entre dois pontos, a e b, onde existe, pelo menos, uma raiz, que é o ponto onde a função muda de sinal, procedendo da seguinte forma: Acha-se o ponto médio desse intervalo e calcula-se o valor da função nesse ponto. Se o valor da função for zero, achou-se a raiz, o que não costuma acontecer. O próximo passo é reduzir o espaço à metade e repetir a operação. O sinal da equação determinará se o espaço a ser escolhido será a metade da esquerda ou da direita. Para determinar a metade onde se localiza a raiz, procede-se da seguinte forma: ⇒ Calcula-se o ponto médio c = (a + b)/2 ⇒ Calcula-se F(a), F(b) e F(c) ⇒ Se F(a) x F(c) < 0 a raiz está entre a e c, caso contrário estará entre b e c. ⇒ Se a raiz estiver entre a e c, atribui-se a c o valor de b e repete-se o processo. ⇒ Se a raiz estiver entre b e c, atribui-se a c o valor de a e repete-se o processo. Este Processo da Bipartição permite chegar tão próximo da raiz quanto se queira, pois, como descrito acima, a cada iteração o intervalo é dividido por dois e pode-se continuar até atingir a precisão descrita. Aplicando o Método da Bipartição para determinar a raiz da equação G(X) vista no Método Gráfico, teremos o quadro abaixo:

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G ( X) := cos ( X) − X

A planilha acima o ponto C mostra o local onde a função corta o Eixo X, que é o valor da raiz. Pode-se fazer tantas iterações quando se queira, até obter um valor de erro dentro do limite tolerável. Na 10ª iteração, a função terá o valor abaixo, cuja precisão é o dobra da obtida pelo Método Gráfico.

G ( 0.86884766) = −0.01018296

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15. Resolução de Sistemas de Equações Lineares Os métodos de resolução de Sistemas Lineares podem ser divididos em Métodos Diretos e Métodos Iterativos. Independentemente do grupo escolhido, ambos visam a resolução de equações do tipo abaixo:

Na forma matricial, o sistema de equações lineares acima fica conforme abaixo:

aij Coeficientes das incógnitas, que formam a Matriz dos Coeficientes. bij Termos Independentes, que formam o Vetor dos Termos Independentes. xij São as incógnitas, que formam o Vetor das Incógnitas. Os principais Métodos Diretos são: Eliminação de Gauss Fatoração LU Os principais Métodos Iterativos são: Jacobi Gauss-Seidel Devemos ter em mente que estes são Métodos Iterativos o número de iterações necessárias para atingir a solução está condicionado a precisão desejada e que pode ocorrer dos sistema não convergir. Pode ser demonstrado que a condição suficiente, mas não necessária para haver convergência é que a matriz dos coeficientes seja Diagonalmente Dominante.

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Em uma matriz Diagonalmente Dominante, para cada linha, o termo da diagonal principal é, em módulo, maior ou igual que a soma dos demais termos da linha e, pelo menos em uma linha, o módulo é maior.

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15.1 Método da Eliminação de Gauss Considere a sistemas de quatro equações abaixo, no qual os coeficientes das incógnitas abaixo da diagonal principal são todos zero.

A solução deste tipo de sistema de equações, em que os termos abaixo da diagonal principal são todos nulos, é imediata, pois resolvendo a quarta equação temos:

X4 =

20,35 = 5,0 4,07

Resolvendo a 3ª equação temos:

X3 =

44,66 − 4,93 x5 = 3,0 6,67

Analogamente, resolvendo as demais equações, teremos:

X 2 = 2,5

X 1 = 1,0

O Método da Eliminação de Gauss enquadro-se no grupo dos Métodos Diretos e o objetivo é converter um dado sistema de equações para sua forma triangular (coeficientes nulos abaixo da diagonal principal).

Portanto, este método é composto de duas fases:

1ª Fase (forward):

Converter o sistema original em um sistema triangular. Eliminar a variável X1 de todas as equações, a partir da segunda. Depois, eliminar a variável X2 de todas as equações, a partir da terceira e, assim sucessivamente.

2ª Fase (backward): Resolver o sistema, começando pela última variável, depois a penúltima, etc.

Seja o sistema de três equações abaixo:

Determine, pelo Método da Eliminação de Gauss,os valores de X1, X2 e X3.

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a11 := 2.5

a12 := 1.5

a13 := 3.6

b1 := 14.75

a21 := 4.30

a22 := 6.50

a23 := 2.50

b2 := 8.30

a31 := 3.2

a32 := 4.3

a33 := 3.70

b3 := 11.85

 a11 a12 a13    MAT := a21 a22 a23    a31 a32 a33 

 b1  VET := b2   b3

   

 2.500 1.500 3.600  MAT =  4.300 6.500 2.500   3.200 4.300 3.700   

 14.750  VET =  8.300   11.850   

========================================== 2L = 2L x k1 - 1L k1 :=

a11 a21

a21 := a21 ⋅ 21 − a11

a22 := a22 ⋅ k1 − a12

a23 := a23 ⋅ k1 − a13

b2 := b2 ⋅ k1 − b1

 a11 a12 a13    MAT := a21 a22 a23    a31 a32 a33 

 b1  VET := b2   b3

   

 2.500 1.500 3.600  MAT =  87.800 2.279 −2.147   3.200 4.300 3.700   

 14.750  VET =  −9.924   11.850   

========================================== 3L = 3L x k2 - 1L k2 :=

a11 a31

a31 := a31 ⋅ k2 − a11 a33 := a33 ⋅ k2 − a13

a32 := a32 ⋅ k2 − a12 b3 := b3 ⋅ k2 − b1

 a11 a12 a13    MAT := a21 a22 a23   a31 a32 a33  

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 b1  VET := b2   b3

   

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 2.500 1.500 3.600  MAT =  87.800 2.279 −2.147   0.000 1.859 −0.709   

 14.750  VET =  −9.924   −5.492   

========================================== 3L = 3L - 2L x k3 k3 :=

a32 a22

a31 := a31 − a21 ⋅ k3

a32 := a32 − a22 ⋅ k3

a33 := a33 − a23 ⋅ k3

b3 := b3 − b2 ⋅ k3

 a11 a12 a13    MAT := a21 a22 a23    a31 a32 a33 

 b1  VET := b2   b3

 2.500 1.500 3.600  MAT =  87.800 2.279 −2.147   −71.631 0.000 1.042   

   

 14.750  VET =  −9.924   2.605   

========================================== a33 ⋅ x3

b3 solve , x3 → 2.4999999999999999999 = 2.500

x3 := 2.5 a22 ⋅ x2 + a23 ⋅ x3

b2 solve , x2 → −2.

x2 := −2 a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + a13 ⋅ x3

b1 solve , x1 → 3.5000000000000000000

x1 := 3.5

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15.2 Método de Jacobi Os Métodos Diretos tem o inconveniente de alterar a matriz inicial que, no caso de grandes matrizes, pode levar a erros não toleráveis. Os Métodos Iterativos mantém inalterada a matriz principal, partindo de uma aproximação inicial, melhorando continuamente a aproximação, até alcançar uma solução aceitável. O Método de Jacobi isola uma variável em cada equação e aplicar às outras uma aproximação inicial chegando-se assim a a outra aproximação, que, espera-se, seja melhor que a anterior. Assim, dado um sistema de n equações e n incógnitas, teremos:

x1 = f1 ( x2 , x3 ,....., xn ) x2 = f 2 ( x1 , x3 ,....., xn ) .................... ............. xn = f n ( x1 , x2 ,....., xn−1 ) Vamos resolver o sistema abaixo pelo Método de Jacobi

============== 1a ITERAÇÃO ================ X2 := 0

X3 := 0

X4 := 0

16.75 − 1.5 ⋅ X2 − 3.6 ⋅ X3

X1 :=

6.5

X1 = 2.577

================================= X1 := 0 X2 :=

X3 := 0

X4 := 0

21.3 − 3.3 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X3 8.0

X2 = 2.663

================================= X1 := 0 X3 :=

X2 := 0

X4 := 0

−5.5 − 2.1 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X2 7.0

X3 = −0.786

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============== 2a ITERAÇÃO ================ X1 := 2.577 X1 :=

X2 := 2.663

X3 := −0.786

16.75 − 1.5 ⋅ X2 − 3.6 ⋅ X3 6.5

X1 = 2.398

================================= X1 := 2.577 X2 :=

X2 := 2.663

X3 := −0.786

21.3 − 3.3 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X3 8.0

X2 = 1.845

================================= X1 := 2.577 X3 :=

X2 := 2.663

X3 := −0.786

−5.5 − 2.1 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X2 7.0

X3 = −2.510

============== 3a ITERAÇÃO ================ X1 := 2.398 X1 :=

X2 := 1.845

X3 := −2.510

16.75 − 1.5 ⋅ X2 − 3.6 ⋅ X3 6.5

X1 = 3.541

================================= X1 := 2.398 X2 :=

X2 := 1.845

X3 := −2.510

21.3 − 3.3 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X3 8.0

X2 = 2.458

================================= X1 := 2.398

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X2 := 1.845

X3 := −2.510

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MathCad 13 X3 :=

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−5.5 − 2.1 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X2 7.0

X3 = −2.164 Na 10ª iteração, teremos:

X1 = 3.55 X2 = 2.02 X3 = -2.55

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15.3 Método de Gauss-Seidel O Método de Gauss-Seidel é uma variação do Método de Jacobi. Ele também parte de uma aproximação inicial, geralmente (0, 0, 0, ...,0) e à medida que as raízes são determinadas, elas são usadas desse ponto em diante nas iterações seguintes. Este medo tende a convergir mais rápido que o Método de Jacobi. Vamos resolver o mesmo sistema pelo Método de Gauss-Seidel.

============== 1a ITERAÇÃO ================ X2 := 0

X3 := 0

X4 := 0

16.75 − 1.5 ⋅ X2 − 3.6 ⋅ X3

X1 :=

6.5

X1 = 2.577 21.3 − 3.3 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X3

X2 :=

8.0

X2 = 1.600 −5.5 − 2.1 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X2

X3 :=

7.0

X3 = −2.130

============== 2a ITERAÇÃO ================ X1 :=

16.75 − 1.5 ⋅ X2 − 3.6 ⋅ X3 6.5

X1 = 3.388 X2 :=

21.3 − 3.3 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X3 8.0

X2 = 1.931 X3 :=

−5.5 − 2.1 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X2 7.0

============== 3a ITERAÇÃO ================ X1 :=

16.75 − 1.5 ⋅ X2 − 3.6 ⋅ X3

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6.5

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X1 = 3.511 X2 :=

21.3 − 3.3 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X3 8.0

X2 = 1.993 X3 :=

−5.5 − 2.1 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X2 7.0

X3 = −2.551

============== 4a ITERAÇÃO ================ X1 :=

16.75 − 1.5 ⋅ X2 − 3.6 ⋅ X3 6.5

X1 = 3.530 X2 :=

21.3 − 3.3 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X3 8.0

X2 = 2.004 X3 :=

−5.5 − 2.1 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X2 7.0

X3 = −2.560

============== 5a ITERAÇÃO ================ X1 :=

16.75 − 1.5 ⋅ X2 − 3.6 ⋅ X3 6.5

X1 = 3.533 X2 :=

21.3 − 3.3 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X3 8.0

X2 = 2.005 X3 :=

−5.5 − 2.1 ⋅ X1 − 2.5 ⋅ X2 7.0

X3 = −2.562

Neste caso em particular, a precisão alcançada pelo Método de Jacobi na 10ª iteração é alcançada pelo Metodo de Gauss-Seidel na 5ª iteração.

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16. Interpolação Polinomial Seja a tabela abaixo, formada por n+1 pontos (Xi, Yi). O objetivo da Interpolação Polinomial é passar por n+1 pontos um polinômio de grau n, P(x):

P(x) = an xn + an-1 xn-1 +…….+ a2 x2 + a1 x1 +a0 Trata-se, então de calcular os n+1 coeficientes de P(x), an , an-1 , modo que o polinômio passe pelos n+1 pontos da tabela. Temos, então: P(x0 ) = y0 P(x1 ) = y1

, a2 , a1 , a0 , de

........ ........

P(xn ) = yn

P(x0 ) = an x0 n + an-1 x0 n-1 + … + a2 x0 2 + a1 x0 + a0 = y0 P(x1 ) = an x1 n + an-1 x1 n-1 + … + a2 x1 2 + a1 x1 + a0 = y1 P(x2 ) = an x2 n + an-1 x2 n-1 + … + a2 x2 2 + a1 x2 + a0 = y2 …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. P(xn ) = an xn n + an-1 xn n-1 + … + a2 xn 2 + a1 xn + a0 = yn Temos, então, um sistema de n equações e n incógnitas, onde as incógnitas são os coeficientes an , an-1 , , a2 , a1 , a0 do polinômio. Sob a forma matricial, o sistema ficaria como abaixo:

Uma vez mais, recordemos o significado de cada elemento do sistema acima:

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X0, Y0 .... Par de coordenadas por onde passará o Polinômio. ai ......... Coeficientes do Polinômio, que são as incógnitas do sistema. Demonstra-se que o determinante da matriz dos pontos Xi , DETX, cujo nome é Determinante de Valdemonde, é dado por: DETX = (x0 – x1 ) (x0 – x2 )... (x0 – xn ) (x1 – x2 ).. (x1 – xn ).... (xn-1 – xn )

Pode ser demonstrado, também, que a solução existe e é única. Desta forma, existe um único polinômio de grau n que passa pelos n+1 pontos dados.

Existe um tipo de sistema que tem um valor de determinante muito pequeno quando comparado ao valor de seus elementos e uma pequena alteração em um dos elementos acarreta uma grande variação no resultado. Este tipo de sistema é chamado de Sistema Mal Condicionado.

O Determinante de Valdemonde é um Sistema Mal Condicionado.

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16.1 Interpolação pelo Método de Lagrange X

..........

Deseja-se passar um polinômio de grau n pelos pontos acima: O Método de Lagrange constrói n+1 polinômios de grau n: L0(X), L1(X), L2(X), L3(X),...... Ln(X)

Li ( X ) =

( X − X 0 ).( X − X 1 )......( X − X i −1 )( X − X i +1 )......( X − X n ) ( X i − X 0 ).( X i − X 1 ).....( X i − X i −1 )( X i − X i +1 ).....( X i − X n )

O Polinômio de Lagrange é dado por:

L ( X ) = Yo .L0 ( X ) + Y1.L1 ( X ) + Y2 .L2 ( X ) + ....... + Yn .Ln ( X ) Considere a função abaixo:

Determine o Polinômio de Lagrange de 3º grau que interpola os pontos. Como vim os acima, o polinômio interpolador e:

L ( X ) = Yo .L0 ( X ) + Y1.L1 ( X ) + Y2 .L2 ( X ) + Y3 .L3 ( X ) L0 ( X ) =

( X − 1).( X − 2).( X − 4) ( X − X 1 ).( X − X 2).( X − X 3 ) = (0 − 1).(0 − 2)(0 − 4) ( X 0 − X 1 ).( X 0 − X 2 )( X 0 − X 3 )

L0 ( X ) = −0,125. X 3 + 0,875. X 2 − 1,750. X + 1 L1 ( X ) =

( X − 0).( X − 2).( X − 4) ( X − X 0 ).( X − X 2).( X − X 3 ) = (1 − 0).(1 − 2)(1 − 4) ( X 1 − X 0 ).( X 1 − X 2 )( X 1 − X 3 )

L1 ( X ) = 0,3333 . X 3 − 2. X 2 + 2,667. X L3 ( X ) =

( X − 0).( X − 1).( X − 2) ( X − X 0 ).( X − X 1 ).( X − X 3 ) = ( 4 − 0).( 4 − 1)( 4 − 2) ( X 2 − X 0 ).( X 2 − X 1 )( X 2 − X 3 )

L3 ( X ) = −0,0417 . X 3 − 0,125. X 2 + 0,0833 X

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L3 ( X ) =

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( X − 0).( X − 1).( X − 4) ( X − X 0 ).( X − X 1 ).( X − X 2 ) = ( 2 − 0).( 2 − 1)( 2 − 4) ( X 3 − X 0 ).( X 3 − X 1 )( X 3 − X 2 )

L2 ( X ) = −0,25. X 3 + 1,25. X 2 − X Temos então que o Polinômio é:

L ( X ) = Yo .L0 ( X ) + Y1.L1 ( X ) + Y2 .L2 ( X ) + Y3 .L3 ( X ) L ( X ) = 4.L0 ( X ) + 11.L1 ( X ) + 20.L2 ( X ) + 44.L3 ( X )

L ( X ) = 0,001. X 3 + X 2 + 5,9989 X + 4 Fazendo a verificação do resultados, temos abaixo o valor do polinômio nos pontos dados e respectivo gráfico. A divergência verificada entre os valores reais e os valores polinomiais deve-se a erros de arredondamento.

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16.2 Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas) Seja o conjunto de pontos (Xi, Yi) de uma função Y = F(X). Define-se Operador Diferença Dividida de Primeira Ordem sobre os pontos (Xi, Yi) e (Xi+1,Yi+1) como:

Dy i =

F ( xi +1 ) − F ( xi ) yi +1 − yi = , i = 0,1,2,....., n − 1 xi +1 − xi xi +1 − xi

Note-se que Dyi é na verdade uma aproximação da primeira derivada da função nesse ponto. As Diferenças Divididas das ordens superiores também são aproximações das derivadas dessa ordem. Define-se Operador Diferença Dividida de Segunda Ordem sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2) como:

D 2 yi =

Dyi +1 − Dyi , i = 0,1,2,..., n − 2 xi + 2 − xi

Define-se Operador Diferença Dividida de Terceira Ordem sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2) e (Xi+3, Yi+3) como:

D 2 yi +1 − D 2 y i D yi = , i = 0,1,2,...., n − 3 xi + 3 − xi 3

Define-se Operador Diferença Dividida de Ordem r sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2), ......, (Xi+r, Yi+r) como:

D r −1 yi +1 − D r −1 y i i = 0,1,2,...., n D yi = r = 0,1,2,...., n − r xi + r − xi r

Define-se Operador Diferença Dividida de Ordem Zero sobre os pontos (Xi, Yi), (Xi+1, Yi+1) e (Xi+2, Yi+2), ......, (Xi+r, Yi+r) como:

D 0 yi = y i , i = 0,1,2,...., n José A. Cancela

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O Polinômio Interpolador com Diferenças Divididas é um polinômio da forma:

P(x) = y0 + (x − x0 ).Dy0 + (x − x0 ).(x − x1).D2 y0 + (x − x0 ).(x − x1).......(x − xn−1).Dn y0 Seja o conjunto de pontos abaixo:

i xi yi

120

Os valores das diferenças divididas são:

Dyi

D2yi

D3yi

0 1 2 3

1 2 4 8

120 94 75 62

(94-120)/(2-1)= -26

(-9,5+26)/(4-1)= 5,5

(1,04-5,5)/(8-1)= 0,64

(75-94)/(4-2)= -9,5

(-3,25+9.5)/(8-2)= 1,04

(62-75)/(8-4) = -3,25

P(X)=120+(X-1).DY0+(X-1).(X-2) D2Y0 +(X-1).(X-2).(X-4) D3Y0 P(X)=120+(X-1).(-26)+(X-1).(X-2) (5,5) +(X-1).(X-2).(X-4) (0,64)

P(x) = 0,64X 3 + X 2 − 33.5X +132

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16.3 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados O Teorema dos Mínimos Quadrados estabelece que, se um número de medidas é realizado de um mesmo evento físico, onde existe probabilidade de erro, então o valor mais provável do valor da medida é aquele que torna a soma dos quadrados dos erros um mínimo. 16.3.1 Ajuste Linear Este teorema pode ser aplicado ao caso em que se deseja passar uma linha reta por um conjunto de pontos. Considere o conjunto de pontos abaixo:

..........

Existe, então, uma reta, da forma abaixo, que representa o valor mais provável para esses pontos com um valor de erro mínimo.

y = a + b.x O quadrado dos somatório dos erros é dado por:

∑ε n

2 i

= ∑1 ( yi − a − b.xi )) 2 n

Para determinar os valores de a e b que tornam o erro mínimo, calcula-se a derivada e iguala-se a zero.

∂ ∑ ε i2

∂[ yi − a − b.xi ]2 =∑ ∂a ∂a 1 n ∂ ∑ ε i2 ∂[ yi − a − b.xi ]2 =∑ ∂b ∂b 1 n

= −2∑ [ yi − a − bxi ] = 0

1 n

= −2∑ xi [ y i − a − bxi ] = 0

Evidenciando e e dividindo por 2n a expressão 1, temos: n

− 2∑ yi 1

2∑ bxi

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0 2n

∑ a ∑ bx +

− ∑ yi 1

2∑ a

=0 www.jose.cancela.nom.br

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− y+ a + b x = 0 _

a = y− b x Levando este valor para expressão 2, temos: n

− 2∑ xi ( yi − y + b x − bxi ) = 0 1 n

− 2∑ [ xi ( yi − y ) + xi b ( x − xi )] = 0 1

∑ x (y i

− y ) + b ∑ xi ( x − xi ) = 0 1 n

∑ x (y i

_ i

i =1 n

− y) _

∑ x ( x − x) i

i =1

O Coeficiente de Determinação R2 determina o quanto a reta está próxima dos pontos dados. Este coeficiente varia entre 0 e 1 e, quanto mais próximo de 1, melhor é o ajuste. n

∑ε R2 = 1−

2 i

i =1 n

∑

i =1

A título de exercício, vamos ajustar o conjunto de pontos abaixo por uma reta.

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7.764,4 = 0,4954 15 .671,6

a = 106,3 − 0,4954 .108,2 = 52,69

y = 0,4954 x + 52,69 R2 = 1−

1.525,7 = 0,98 118.955,0

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17. Integração Numérica Neste capítulo vamos calcular, empregando aproximados, de integrais definidas, do tipo abaixo:

métodos

numéricos,

valores,

I = ∫ F ( X ) dX a

Lança-se mão deste método quando não se consegue calcular analiticamente o valor das integrais, como a do tipo abaixo, que não tem solução analítica exata:

I = ∫ e − 2 dx 0

17.1 Método dos Trapézios O Método dos Trapézios consiste em dividir o intervalo de integração (a, b) em n intervalos iguais de amplitude h, conforme gráfico ao lado. Desta forma, obtem-se n intervalos de amplitude como abaixo:

b−a n

A área de cada intervalo é dada por:

Ai = h.

yi + yi +1 2

A soma da área de todos os trapézios nos dará, aproximadamente, a área entre a curva e o eixo das abscissas. Quanto maior for o números de trapézios, mais nos aproximaremos do valor da integral. A área total é dada por:

A=h

y o + y1 y + yn y + y2 +h 1 + ....... + h n −1 2 2 2

y o y n n −1 A = h( + + ∑ y1 ) 2 2 n =1 Á título de exercício, calculemos a integral abaixo pelo Métpdo dos Trapézios. 1 X

I = ∫ e dx 0

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Vamos dividir o intervalo de integração em duas partes e construir a tabela abaixo:

1− 0 = 0,5 2

x ex

A = 0,5(

0,0

0,5

1,0

1,000

1,649

2,718

1,000 2,718 + 1,649 + ) = 1,754 2 2

17.2 Método de Simpson O Método Simpson consiste em dividir o intervalo de integração (a, b) em n intervalos iguais de amplitude h, sendo n par. Desta forma, obtem-se n intervalos de amplitude h, como abaixo:

b−a n

A seguir, construímos a tabela com os n+1 pontos (Xi, Yi):

X Y

X0 =a

.....

Xn-1

Xn=b

.....

Yn-1

O passo seguinte é: Passar por cada dois intervalos consecutivos (a cada 3 pontos) uma equação do segundo grau (haverá então n/2 equações). Acha-se a integral de cada equação. Somam-se todas as n/2 integrais e têm-se a integral total. Trabalhando com os dois primeiros intervalos da tabela, (X0 , Y0 ) e (X1 , Y1 ):

X Y

X0 =a

Mudando-se o eixo Y para x=x1, fica:

X Y

-h

Seja a equação que passa pelos 3 pontos:

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Y = AX 2 + BX + C

y o = A( − h) 2 + B ( − h) + c = Ah 2 − Bh + C y1 = A(0) 2 + B (0) + C

y1 = C

y 2 = A( h) 2 + B ( h) + c = Ah 2 + Bh + C h

I 1 = ∫ ( AX 2 + BX + C ) dx −h

AX 3 BX 2 I1 = [ + + CX ]h− h 3 2 h3 ( 2 Ah 2 + 2C + 4C ) h I 1 = 2 A + 2Ch = 3 3 y 0 + y 2 = 2 Ah 2 + 2C I1 =

( y 0 + y 2 + 4 y1 ) h 3

I1 =

h ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) 3

A fórmula acima calcula a integral da equação de segundo grau que passa pelos três pontos y0, y1 e y2. Seja calcular a integral abaixo pelo Método de Simpson: 1 x

I = ∫ e dx 0

Vamos definir n=4. h=(1-0)/4=0,25

X Y

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0,000

0,250

0,500

0,750

1,000

1,284

1,649

2,117

2,718

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Tomemos o intervalo 0,500 – 1,000

0,250 I1 = (1,000 + 4 × 1,284 + 1,649 ) 3 Tomemos o intervalo 0 – 0,500

0,250 I2 = (1,649 + 4 × 2,117 + 2,718) 3

I = I1 + I 2 = 1,718

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