Pnld2014 descobrindo aplicando matematica 9ano by simone rabelo

Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívido De amor e de esperança à terra desce, Se em teu formoso céu, risonho e límpido, A imagem do Cruzeiro resplandece.

Brasil, de amor eterno seja símbolo O lábaro que ostentas estrelado, E diga o verde-louro desta ﬂâmula – Paz no futuro e glória no passado.

Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza.

Mas, se ergues da justiça a clava forte, Verás que um ﬁlho teu não foge à luta, Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada! Dos ﬁlhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

Ensino Fundamental

Do que a terra mais garrida Teus risonhos, lindos campos têm mais ﬂores; “Nossos bosques têm mais vida”, “Nossa vida” no teu seio “mais amores”.

Matemática

Se o penhor dessa igualdade Conseguimos conquistar com braço forte, Em teu seio, ó Liberdade, Desaﬁa o nosso peito a própria morte!

Deitado eternamente em berço esplêndido, Ao som do mar e à luz do céu profundo, Fulguras, ó Brasil, ﬂorão da América, Iluminado ao sol do Novo Mundo!

ano

Ouviram do Ipiranga as margens plácidas De um povo heroico o brado retumbante, E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos, Brilhou no céu da Pátria nesse instante.

ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO

Descobrindo e aplicando a

MATEMA MATEM ATI TICA CA MANUAL DO PROFESSOR

MATEMA MATEM ATI TICA CA

Letra: Joaquim Osório Duque Estrada Música: Francisco Manuel da Silva

Descobrindo e aplicando a

Hino Nacional

ano

Matemática Ensino Fundamental

Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada! Dos ﬁlhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

ISBN 978 85-7319-531-6

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ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO PAULO ANTôNIO FONSECA MAChADO

Descobrindo e aplicando a

MATEMATICA manual do proFEssor

ano

matemática

Ensino FundamEntal 1ª edição, Belo Horizonte, 2012

ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO • Bacharel, licenciado e especialista em Matemática pela UFMG. Atuou como: chefe dos Departamentos de Matemática do Centro Pedagógico, do Colégio Universitário e do Instituto de Ciências Exatas da UFMG; coordenador da área de Matemática do Projeto de Inovação Curricular e Capacitação de Docentes do Ensino Fundamental da Secretaria Estadual de Educação do Estado de Minas Gerais; coordenador da área de Matemática do Projeto de Correção do Fluxo Escolar para o Ensino Fundamental da Secretaria Estadual de Ensino do Estado da Bahia; e membro da equipe de consultores do Projeto de Capacitação de Professores de Ensino Médio da Rede Estadual de Ensino de Minas Gerais.

PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO • Bacharel e mestre em Matemática pela UFMG, doutor em Matemática pela Unicamp/UFBA. Atualmente é professor associado do Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da UFMG, do qual foi chefe em vários mandatos.

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Mazzieiro, Alceu dos Santos Descobrindo e aplicando a matemática; 9º ano / texto de Alceu dos Santos Mazzieiro e Paulo Antônio Fonseca Machado; — Belo Horizonte: Dimensão, 2012. 304 p. il. – (6º ao 9º ano do ensino fundamental – Matemática) ISBN - 978 - 85 - 7319 - 502 - 6 (LA) ISBN - 978 - 85 - 7319 - 531 - 6 (LP) 1.Matemática-ensino fundamental. I.Machado, Paulo Antônio Fonseca. II.Título. III.Série. CDU 51(075.2)

Ficha elaborada por Rinaldo de Moura Faria CRB/6 nº 1006 Copyright © 2004 by Alceu dos Santos Mazzieiro Paulo Antônio Fonseca Machado Fundadores Gilberto Gusmão de Andrade Zélia Almeida Diretora editorial Zélia Almeida Editor Maurício Bouissou Editor de arte Jan Deckers Coordenadora de produção Ana Gabriela Assistente editorial Rúbia Calais PRODUÇÃO EDITORIAL Projeto gráfico/Capa Reginaldo Almeida Ilustrações Júlia Bianchi, Son Salvador e Duke desenho técnico: Sérgio Pessoa, Tuim, Nivaldo Marques e Carlos Jorge PRODUÇÃO GRÁFICA Editoração eletrônica Tuim Pré-impressão Tuim

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Estudante, Este livro foi elaborado para que você converse bastante na aula de Matemática. Calma, não estamos dizendo para você perturbar o ambiente. Nada disso. A conversa a que nos referimos tem a ver com os exercícios e atividades aqui propostos, que vão estimular você a participar da aula o tempo todo, sozinho ou em grupo. De que maneira? Fácil: respondendo perguntas, resolvendo e inventando problemas ligados ao dia a dia, montando e desmontando objetos, fazendo contas com a calculadora, interpretando ou fazendo gráficos, desenhando figuras ou interpretando desenhos de figuras, discutindo como resolver ou inventar problemas, descobrindo propriedades dos números e das figuras. Sobretudo, aplicando suas descobertas em problemas da vida prática e em situações relacionadas com as outras matérias que você estuda. Você verá como a aula de Matemática se torna agradável com a participação de todos. Uma última recomendação: crie o hábito de, assim que chegar em casa, fazer os exercícios marcados pelo professor. Principalmente por dois motivos: o primeiro, porque ainda estão em sua memória os assuntos estudados em aula, e o segundo porque, ao deixar para depois, imprevistos podem impedi-lo de resolver os exercícios. E esses são muito importantes para o complemento de sua aprendizagem.

Um abraço, os autores.

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Como você vai usar o livro Este livro é formado de nove capítulos e um glossário. Cada um dos sete primeiros capítulos é dividido em cinco partes, que têm os títulos em destaque a seguir, bem como seus conteúdos e objetivos descritos. O capítulo 8 visa uma revisão dos assuntos estudados e o capítulo 9 contém atividades complementares a cada um dos sete primeiros capítulos. O glossário que se vê após o capítulo 9 permite a você rever os significados de termos usados no livro ou conhecer os significados de novos termos, principalmente ligados ao dia a dia.

TÍTULOS DAS CINCO PARTES DOS SETE PRIMEIROS CAPÍTULOS: EXPLORANDO O QUE VOCÊ JÁ SABE Perguntas sobre assuntos que você já sabe e que são importantes para o estudo que se inicia. APRENDENDO EM SALA DE AULA Diversos exercícios e atividades em sala de aula, que você vai fazer sozinho ou, na maioria das vezes, em grupo, sempre orientado pelo professor ou pela professora. APRENDENDO EM CASA Exercícios e atividades para você resolver em casa. Nunca deixe de fazê-los. Você e seus colegas vão apresentar e discutir as soluções na aula seguinte. EXPLORANDO O QUE VOCÊ APRENDEU E APRENDENDO MAIS Exercícios e atividades propostos no fim de cada capítulo como revisão e, principalmente, aplicação do que você aprendeu em problemas práticos. VERIFIQUE SE VOCÊ APRENDEU Lista de assuntos estudados no capítulo e números dos exercícios correspondentes. Essa lista é muito importante para que você reveja o estudo, descobrindo se aprendeu todos os assuntos, ou, caso contrário, voltando aos exercícios correspondentes e estudando-os novamente.

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Aos pais Não faz muito tempo era bastante comum as pessoas terem aversão a Matemática. Motivo havia de sobra, basta reparar nas maneiras como se ensinava: exercícios sem qualquer aplicação prática, relacionados apenas e tão somente com a própria disciplina, davam a sensação de que havia dois mundos, o da Matemática e aquele em que vivemos. Felizmente, os estudos sobre Educação Matemática e alguns documentos oficiais, como os Parâmetros Curriculares Nacionais, estão contribuindo de maneira decisiva para uma nova visão. É com base principalmente nesses textos e documentos que propomos uma Matemática agradável, participativa e voltada para todos os contextos do nosso dia a dia. Este livro é feito para que seus filhos sejam preparados para os desafios do mundo atual, no qual, todos sabemos, as transformações ocorrem de forma cada vez mais veloz. Essas rápidas transformações requerem de cada um de nós capacidade de decidir sobre situações novas, criatividade, compreensão das diversas linguagens, além de coragem e competência para o exercício da cidadania. Para que a aprendizagem de seu filho seja a mais eficiente possível, é necessário que vocês colaborem acompanhando os estudos dele em casa, discutindo as atividades propostas (nunca as resolvendo) e participando do projeto pedagógico da Escola. Por fim, justificamos com um exemplo cotidiano por que Matemática se deve aprender fazendo. Para entender, observe a reação de uma criança bem pequena que “briga” para tomar a colherzinha da mão de quem a alimenta. Quando consegue, ela começa a levar a colherzinha ao nariz, à testa, até acertar a boca. E daí em diante não admite mais ser alimentada por outra pessoa. Ou seja, ela quer “resolver o problema” sozinha. Esta criança nos ensina, assim, que desde os primeiros meses de idade o ser humano apresenta como característica essa vontade, essa necessidade de aprender fazendo, em vez de esperar que alguém faça por ele.

Um abraço, os autores.

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SumArio CapItulo 1

Calculando com números reais .................................................

Coordenadas e aplicações .......................................................

Verifique se você aprendeu .......................................................

Conhecendo um pouco mais sobre números ...........................

CapItulo 2

- Os números reais

- Matemática financeira

Porcentagem, principal e taxa ...................................................

Aumentos e descontos percentuais – comissões......................

Calculando juros simples e juros compostos.............................

Verifique se você aprendeu .......................................................

CapItulo 3

- Calculando com letras e com números

Monômios e polinômios ............................................................

Calculando com monômios e polinômios..................................

Produtos notáveis .....................................................................

Usando e deduzindo fórmulas ..................................................

Funções, fórmulas, tabelas e gráficos .......................................

As funções e seus gráficos cartesianos ....................................

Verifique se você aprendeu ....................................................... 106

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CapItulo 4

- Equações e sistemas de equações

Resolvendo equações e problemas .......................................... 109 Resolvendo sistemas de equações e problemas....................... 115 As expressões fatoradas e as equações ................................... 122 Resolvendo equações do segundo grau ................................... 127

Verifique se você aprendeu ....................................................... 136

CapItulo 5

- Proporcionalidade e trigonometria

Semelhança – Revendo e ampliando conhecimentos ............... 139 Semelhança e os triângulos retângulos ..................................... 143 As razões trigonométricas......................................................... 147

Verifique se você aprendeu ....................................................... 160

CapItulo 6

- Descobrindo e explorando propriedades das figuras geométricas

Desenhando, descobrindo e usando propriedades de figuras geométricas.............................................................. 163 Recordando e descobrindo outros fatos sobre polígonos ......... 169 Ângulos na circunferência ......................................................... 173 As circunferências e os polígonos ............................................. 182 Atividades opcionais: Semelhança na circunferência ................. 191 Verifique se você aprendeu ....................................................... 194

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CapItulo 7

- Estatística, amostras e probabilidades

Um pouco mais sobre Estatística .............................................. 197 Probabilidades, amostras e Estatística ...................................... 213

Verifique se você aprendeu ....................................................... 218

CapItulo 8

- Revendo e aprendendo mais

Calorias, anos-luz e altitudes .................................................... 221 Explorando medidas ................................................................. 223 Áreas, comprimentos e distâncias ............................................ 226 Salada de problemas ................................................................ 228 As razões trigonométricas e as áreas ........................................ 233 Os expoentes fracionários e os radicais .................................... 238

Quocientes e produtos de expressões literais ........................... 243

CapItulo 9

- Atividades complementares

Atividades complementares do capítulo 1 ................................. 249 Atividades complementares do capítulo 2 ................................. 253 Atividades complementares do capítulo 3 ................................. 256 Atividades complementares do capítulo 4 ................................. 272 Atividades complementares do capítulo 5 ................................. 278 Atividades complementares do capítulo 6 ................................. 281 Atividades complementares do capítulo 7 ................................. 286 Glossário .................................................................................. 295 Sugestões de leituras e sites para os alunos ............................. 303

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CapItulo 1

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s o r e m Ăş n Os reais

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Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações afirmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequências númericas. Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página. Obser vação importante: Sempre que possível, em todas as seções deste e outros capítulos proponha atividades coletivas aos alunos, explorando situações-problema que propiciem diversos procedimentos como analisar, interpretar, discutir, argumentar, formular hipóteses, planejar estratégias de resolução, aplicar as estratégias na resolução, explicitar verbalmente a estratégia utilizada, verificar e validar resultados. Explorar também o uso de exemplos, contraexemplos, descobertas de diferenças, descobertas de semelhanças. Ao início de cada seção, esclareça as principais razões de se estudarem os temas das mesmas.

Neste capítulo, você vai aprender como: • • • • • • • • • • • • • • • • •

Identificar números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Identificar números reais como racionais ou irracionais. Representar números racionais como dízimas periódicas. Escrever dízimas periódicas como frações. Representar números reais na reta numerada. Interpretar expoentes negativos e seu uso particular nas potências de base 10. Simplificar escrita de números usando produtos por potências de dez. Calcular raízes quadradas aproximadas de números reais. Resolver problemas relacionados com os conceitos de porcentagem, principal e taxa. Resolver problemas relacionados com juros simples e juros compostos. Resolver problemas de proporcionalidade inversa e proporcionalidade composta. Calcular ou simplificar radicais usando fatoração. Localizar pontos no plano cartesiano usando pares ordenados de números reais: suas coordenadas. Identificar: eixos cartesianos, plano cartesiano, quadrantes, abscissas e ordenadas. Construir figuras simétricas no plano cartesiano. Identificar figuras simétricas no plano cartesiano. Construir polígonos no plano cartesiano, dadas as coordenadas de seus vértices. –1

–2 (a)

(b)

(c)

–1

(d)

(e)

(h)

(i)

+3 (f)

0 (g) –0,7

+1 +0,3

(j)

(l) y

y A’ (–3,4)

Q (–1,3) A (3,4)

2º quadrante

R (3,2)

1º quadrante

P (–2,1)

x B (–4,–2)

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B’ (4,–2)

P’ (–2,–1) Q’ (–1,–3)

0 R’ (3,–2) 3º quadrante

4º quadrante

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Conhecendo um pouco mais sobre números Explorando o que você já sabe • • • • •

Quais são os números naturais entre 18 e 25? Quais são os números inteiros negativos entre –9 e –1? Quais são os números inteiros positivos entre +4 e +11? Toda fração representa número natural? Se uma fração representa o número natural 3, o que se pode dizer do numerador e do denominador dela?

Aprendendo em sala de aula

Neste ano, vamos retornar a vários conceitos já estudados, com uma abordagem um pouco mais precisa. Inicialmente, recordaremos fatos sobre conjuntos, lembrando que, no nível da Matemática que estudamos aqui, os conjuntos têm como elementos, principalmente, números ou figuras geométricas. Você já sabe que:

✓ Dados um elemento a e um conjunto C, ou a pertence a C, ou a não pertence a C, e se representam esses fatos assim, respectivamente: a  C ou a  C.

✓ {a, b, c, d} se lê: conjunto cujos elementos são: a, b, c, d. ✓ Se um elemento x pertence a, pelo menos, um de dois conjuntos A ou B, dizemos que ele pertence ao conjunto união de A e B, representado por A  B, que se lê A união B.

✓ Se um elemento pertence simultaneamente a dois conjuntos A e B, dizemos que ele pertence ao conjunto interseção de A e B, representado por A  B, que se lê A interseção B.

✓ Se todo elemento que pertence a um conjunto X pertence também a outro conjunto Y, dizemos que X é subconjunto de Y e escrevemos: XY

✓ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... representam os números naturais. ✓ As frações cujos termos são números naturais representam números racionais (lembre-se de que denominador não pode ser o zero).

✓ Entre todas as frações que representam um mesmo número racional, existe sempre uma cujos termos são primos entre si, chamada fração irredutível.

✓ Os números racionais também são representados por expressões decimais finitas ou periódicas.

✓ Na prática, medir é verificar, fixada uma grandeza como unidade, quantas vezes ela,

Recado ao(à) professor(a): Aproveitamos este espaço para comunicação direta entre nós. Nele, fazemos diversas observações e sugestões. Todas as atividades que iniciam os estudos dos temas têm, como título, “Explorando o que você já sabe” e devem ser respondidas oralmente pelos alunos. Quando julgar necessário, explore mais as situações com outras perguntas. Procure verificar se todos os alunos compreendem os significados dos termos nelas usados. Sempre que possível, crie situações semelhantes no quadro e explore-as. ATIVIDADES ORAIS • 19, 20, 21, 22, 23, 24. • –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2. • +5, +6, +7, +8, +9, +10. • Não. • O numerador é o triplo do denominador. Peça a um aluno que leia cada item com marcadores e, após cada um, dê e peça exemplos de: conjunto união, conjunto interseção, subconjunto, números racionais na forma de fração, na forma decimal finita ou periódica, simplificação de frações e frações irredutíveis. Explore também os exemplos dos dois significados diferentes do “ou”. 1º.) Na linguagem corrente, se o professor diz: “amanhã, tragam um jornal ou uma revista”, está dando uma opção para que cada um traga ou um jornal, ou uma revista. Este “ou” é chamado de “ou exclusivo”: deve ser entendido como “ou... ou”, não obrigando às duas condições serem satisfeitas ao mesmo tempo. 2º.) Na linguagem matemática, se dizemos: “conjunto união de dois conjuntos A e B é o conjunto cujos elementos pertencem a A ou a B”, devemos entender que, se um elemento pertence a um único dos dois conjuntos ou se pertence a ambos, pertence também ao conjunto união dos dois. Este “ou” é chamado “ou inclusivo” e tem o significado de “ou” e de “e” ao mesmo tempo. Se necessário, explore mais exemplos.

ou parte dela, está contida em outra grandeza de mesma espécie.

✓ Contar objetos de uma coleção é fazer corresponder a cada um dos objetos, sucessivamente, um único dos números naturais 1, 2, 3, 4,... até que, completada a correspondência, se diz que a quantidade de objetos da coleção é expressa pelo último número natural utilizado na correspondência.

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Professor(a): para a sequência das atividades das aulas, recomendamos criar o hábito de ler as sugestões que faço, antes de explorar os exercícios cujos números das respostas são colocados posteriormente a essas sugestões, porque a maior parte delas ou reforça atividades anteriores, ou, principalmente, prepara os alunos para as atividades seguintes. Explore no quadro situações de medidas de segmentos e como interpretá-las. Não se esqueça das divisões dos segmentos unitários em 10 partes iguais, que permitem obter medidas decimais. Use réguas graduadas para facilitar as subdivisões. Explore, também, usando material concreto, medidas de áreas (por exemplo, de cartões, com um cartão unidade), medidas de volumes etc. Lembre aos alunos que este livro é não consumível. Portanto, não devem escrever ou desenhar nas páginas dele, nem recortar qualquer figura. 1. a) A) 0, 2, 4, 6, 8; B) 1, 3, 5, 7, 9; D) 2, 3, 5, 7, 11; E) 2, 4, 8, 16, 32; F) 0, 5, 10, 15, 20; b) 1, 3, 5, 15; c) 1º.) N; 2º.) A; 3º.) B; 4º.) N; d)1º.) {0, 2, 4, 6} 2º.) {múltiplos de 10} 3º.) {2} 4º.) D 2. a) 38; b) 22; c) 18 + 1 + 1 + 1 + 1 = 22 (ou 18 + 4 = 22); d) n + 1; e) Adição; 4 × 6; f) 4 < 7 porque 7 = 4 + 3; g) Porque 14 = 9 + 5.

Uma noção intuitiva do que são números pode ser expressa assim: números representam resultados de contagens ou de medidas. São usados para avaliar diferentes quantidades ou qualidades de uma grandeza. Exemplificando:

a) Ao contar os elementos de A = {a, b, c, d}, encontramos o número natural 4. Representamos o conjunto dos números naturais assim:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … }

b) Ao medir segmentos usando um segmento dado como unidade de medida, é pos-

3 . Veja que os 4 três primeiros números são números naturais, que também podem ser associados a 5 7 números racionais através das relações= 5 = ,7 , etc. 1 1

sível obter como medida números racionais como 5; 7; 13; 2,5; 4

Resolvendo exercícios:

1. No quadro a seguir, você vê vários conjuntos de números naturais: A

= { números naturais pares }

= {2n, n  , n ≠ 0}

= { números naturais ímpares }

= {múltiplos de 5}

= { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 }

= {divisores de 15}

= {números primos}

Use os conjuntos do quadro acima e escreva em seu caderno:

a) Os cinco primeiros números dos conjuntos A, B, D, E, F. b) Todos os números do conjunto G.

c) O conjunto união de cada um dos pares de conjuntos a seguir: 1º.) A e B; 2º.) A e E; 3º.) B e G; 4º.) N e F.

d) O conjunto interseção de cada um dos pares de conjuntos a seguir: 1º.) A e C; 2º.) A e F; 3º.) A e D; 4º.) B e D.

Recorde: se a e b representam números, a × b, (a)(b) e a ∙ b representam o produto desses números.

2. Responda ou faça o que se pede:

a) O professor afirmou que o sucessor de 4 é 5, o sucessor de 5 é 6, o sucessor de 6 é 7, e continuou... Qual número ele deve ter afirmado ser o sucessor de 37?

b) Qual número natural é o sucessor do sucessor do sucessor do sucessor de 18?

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c) Você conhece algum modo de responder à pergunta do item (b) fazendo uma operação? Qual seria ela?

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d) Se n representa um número natural, como você representa o sucessor de n?

e) Observe a expressão 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Qual o nome da operação que ela representa e como se representa esta expressão de outro modo, usando outra operação?

f) 7 é o sucessor do sucessor do sucessor de 4. Por isto se diz que 4 é menor que 7 e se escreve: 4 < 7. Copie e complete em seu caderno: 4 < 7 porque 7 = 4 +...?...

g) Por que 9 é menor que 14?

3. As frases “Se P, então Q” ou “P implica Q” significam a mesma coisa, e são chamadas de implicações. Em lógica matemática são expressas simbolicamente assim: “P  Q”.

a) Copie em seu caderno a implicação a seguir e substitua o sinal de interrogação pelo sinal < ou > para obter uma implicação verdadeira:

4 + 7 = 11  4 ...?... 11 e 7 ...?... 11

b) Escreva uma frase que traduza a relação entre dois números naturais diferentes de zero e a soma desses números.

Considere três números naturais representados por a, b e c, tais que a < b e b < c. O que você conclui sobre a e c?

5. Classifique como verdadeira ou falsa cada frase a seguir:

a) A soma ou o produto de dois números naturais é um número natural. b) A diferença de dois números naturais é um número natural.

c) Dados dois números naturais a e b, ou a < b ou a = b ou a > b.

d) Dados três números naturais a, b e n, sendo n diferente de zero, se a < b, então a + n < b + n e a.n < b.n

Medidas, números racionais e os segmentos comensuráveis Dizer que a medida de um segmento em relação a um segmento unidade é 2,5 significa que o comprimento do segmento medido equivale a duas vezes o comprimento do segmento unidade, mais a metade 1 deste (lembre que 0,5 = ). 2 19 3 Pense! Como interpretar medidas como 4 ou, também, ? 4 4 Tanto para os segmentos dos exemplos anteriores, quanto para todos os casos em que é possível obter como medida números racionais, dizemos que o segmento unitário e o segmento medido são segmentos comensuráveis.

3. a) 4 < 11 e 7 < 11; b) A soma de dois números naturais diferentes de zero é maior que qualquer um deles. 4. a < c. Se julgar conveniente, explore, dada uma implicação “P => Q”, como obter: sua recíproca (“Q => P”), sua contrária (“não P => não Q”) e sua contrarrecíproca (“não Q => não P”), destacando o fato de que uma implicação e sua contrarrecíproca têm o mesmo “valor verdade” (ou ambas são V ou ambas são F). Estes e outros conceitos de lógica foram apresentados no volume do oitavo ano, nas páginas 234 a 237. Site sobre lógica (muito prático): h t t p : / / w w w. i m e . u s p . br/~glaucio/textos/LogicaInic. pdf. 5. a) V; b) F; contraexemplos: qualquer diferença entre naturais cujo minuendo seja menor que o subtraendo; c) V; d) V. Promova uma discussão sobre a frase relacionada com a interpretação de medidas fracionárias do texto. Sugestões (usando o quadro): a) Explore medidas com denominadores 2, 4, 8 etc., usando tiras de papel como unidade de medida e dobrando-as ao meio, depois novamente etc., obtendo partes fracionárias: metades, quartas partes etc. b) Explore medidas decimais usando régua graduada. Recorde, usando a tabela desta página, como representar as medidas ou valores da segunda coluna usando números negativos, e, da quarta coluna, usando números positivos. Explique ainda aos alunos que o nome “comensurável” quer dizer, na verdade, que os dois segmentos – o que vai ser medido, e o que serve como unidade, podem ser subdivididos em segmentos menores de mesmo tamanho. Por exemplo, no caso do primeiro exemplo citado, em que um segmento é 2,5 vezes maior que o escolhido como unitário, podemos tomar um terceiro segmento v que seja a metade do unitário (ou seja, que mede ½),

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e vemos então que o segmento unitário mede 2, e o outro segmento mede 5, em relação a v. Se, dados dois segmentos a e b, não existir nenhum segmento v tal que as medidas de a e b sejam números naturais em relação a v, então dizemos que estes segmentos são “incomensuráveis”. Por exemplo: um segmento que mede √2 e outro que mede 1 são incomensuráveis. Voltaremos a este assunto mais adiante. Para aprofundar o assunto sugerimos ao professor o artigo “Grandezas incomensuráveis e números irracionais” na Revista do Professor de Matemática 5, e os sites http:// www.ime.usp.br/~pleite/pub/ artigos/avila/rpm7.pdf e http:// 143.54.226.61/ ~vclotilde/publicacoes/GRÁFICA-IRRACIONAIS.pdf Verifique se os alunos recordam o conceito de semirretas opostas. Sugestão: no quadro, desenhe uma reta e 4 pontos A, B, C, D, nesta ordem, e explore: semirretas de origem B (uma que passa por A e outra por C e D; semirretas de origem C etc.). Observação importante: neste e em outros capítulos exploramos situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, regras de cálculos etc. Em algumas delas, deixamos clara a validade do fato explorado, seja demons-trando, seja afirmando que é possível demonstrar, seja utilizando uma ilustração de um professor afirmando, ou, até mesmo, dizendo: “os matemáticos provam que...”. Quando não o fazemos, é extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações afirmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar.

Grandezas no dia a dia e os novos números: os números inteiros Veja como diversas do dia a dia, envolvendo atividades com grandezas que variam em dois sentidos opostos, que você já teve oportunidade explorar, inspiraram a descoberta de novos números. Vamos resumir algumas delas na tabela a seguir: Altitudes

7 metros abaixo do nível do mar

Ao nível do mar

104 metros cima do nível do mar

Valores monetários

Débitos: 15 reais

Nem débito nem crédito

Créditos 32 reais

18 km antes do Ponto de encontro ponto de encontro de duas vias (km 0)

Marcos de estradas

Temperaturas

13 graus abaixo de zero grau

19 km depois do ponto de encontro 32 graus acima de zero grau

0 grau

Na primeira reta da ilustração a seguir, você vê os números naturais que podem ser utilizados para representar partes inteiras das grandezas correspondentes aos valores vistos na última coluna da tabela anterior. Na segunda reta, você vê pontos que correspondem aos novos números descobertos que representam os valores inteiros da segunda coluna da tabela. Eles foram obtidos usando o mesmo segmento unidade da primeira figura, a partir do zero, na semirreta oposta à da primeira figura. Note que os números naturais passam a ter um sinal + antecedendo suas escritas, sendo também chamados de números inteiros positivos; os novos números, antecedidos do sinal –, são chamados de números inteiros negativos. Segmento unitário

Recomende ou explore a leitura de: “A invenção dos números” – (p. 35-46) Oscar Guelli. Coleção Contando a História da Matemática Editora Ática.

…

Segmento unitário –6

–5

–4

–3

–2

–1

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O número correspondente a cada ponto denomina-se abscissa do ponto e representa medida, em relação ao segmento unitário escolhido, do segmento com extremos na origem e no ponto, antecedida de sinal + ou –, de acordo com a semirreta à qual o ponto pertence a que contém o segmento unitário ou a semirreta oposta a esta. A abscissa também é chamada de coordenada do ponto. Os números inteiros negativos, o zero e os números inteiros positivos formam o conjunto dos números inteiros que se representa assim:  = {...–6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; +1; +2; +3; +4; +5; +6;...} Aplicando o que você aprendeu

6. Verdadeiro ou falso:

a) Todo número natural é um número inteiro. Justifique. b) Todo número inteiro é um número natural. Justifique.

c) O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros. d) Se um número é par, seu quadrado é par.

e) Se um número é ímpar, seu quadrado é ímpar.

f) Se o quadrado de um número é par, esse número é par.

g) Se o quadrado de um número é ímpar, esse número é ímpar.

Considere os seguintes conjuntos: A

= { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,... },

= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... }

= { –4, –3, –2, –1, 0 }

= { +1, +2, +3, +4 }

a) Quais deles são subconjuntos do conjunto dos números naturais? b) Quais deles são subconjuntos do conjunto dos números inteiros? c) Como se chamam os elementos dos conjuntos A e B?

d) Represente um conjunto que seja subconjunto do conjunto A.

e) Quais desses 4 conjuntos são conjuntos finitos? Quais são conjuntos infinitos?

8. Diga como você representaria usando decimais: a) 7,3 metros abaixo do nível do mar.

b) 18,25 km antes do ponto de encontro das duas estradas. c) 13,7 graus abaixo de zero grau.

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8. a) –7,3 m; b) –18,25 km; c) –13,7 graus.

6. a)Verdadeiro porque o zero é natural e inteiro, e os outros números naturais correspondem aos inteiros positivos (1 e +1, 2 e +2 etc.); b) Falso. Contraexemplo: –8 é número inteiro e não é número natural. c) V; d) V; e) V; f) V; g) V. Se julgar ao alcance dos alunos, demonstre a proposição do item (e) do exercício 6 e proponha que um aluno demonstre, no quadro, o item (d), ajudado pelos demais. Comece explorando as representações de naturais pares e ímpares nas formas 2n e 2n + 1, respectivamente, sendo n um natural qualquer. Use o fato de que (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 1), e a distributividade para concluir: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n+1 = 2(2n2 + 2n) +1. Explore o fechamento da multiplicação e da adição para concluir que este segundo membro representa número natural ímpar. Comente que negar as proposições (f) e (g) é contradizer as duas proposições anteriores que demonstrou; logo, a contradição leva a concluir que (f) e (g) são verdadeiras. Professor: Esclareça que um contraexemplo de uma afirmação é um exemplo que a contradiz, levando à conclusão de que ela é uma afirmação falsa. Exemplifique: para verificar que o item (b) do exercício 6 é falso, basta exibir um inteiro negativo como contraexemplo, ou seja, um exemplo de que esta afirmação é falsa. 7. a) A, B, D; b) A, B, C, D; c) Números pares e números ímpares, respectivamente; d) Respostas variadas; e) C e D são conjuntos finitos; A e B são conjuntos infinitos. Observação: No item 7 (e), exploramos uma ideia intuitiva de conjuntos finitos e conjuntos infinitos. Explore os dois fatos recíprocos: (a) a cada número natural n corresponde um número par 2n; (b) a cada número par 2n corresponde um número natural n. Por isso dizemos que o conjunto dos números naturais é infinito. Diga que, em geral, se diz: “Um conjunto é infinito se pode ser estabelecida correspondência entre todos os elementos dele e os elementos de um subconjunto também dele, sendo ambos diferentes, de modo que a cada elemento do conjunto corresponda exatamente um elemento do subconjunto e vice-versa” (correspondência biunívoca).

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9.a) Três partes; b) Cinco; c) 5/3; d) YZ; a abscissa do ponto Z; e) 1/3, 7/3, –3 e –4/3; f) À direita, porque: –4 = –12/3<–11/3; g) Para que cada uma destas partes meça 0,1; h) l: –0,9; m: –0,1 n: 1,1; i) Em cem partes iguais, cada uma medindo 0,01.

1 n

N Q

R M Y S T V

8 7 5 4 2 1 1 2 4 5 7 8 –3 – – –2 – – –1 – – 0 2 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Recorde os conceitos de dízimas periódicas, suas notações, a maneira de classificá-las ou identificá-las como dízimas simples ou compostas.

–1

(l)

– 0,3

0,2

(j)

0,9

Em relação à primeira reta:

Esclareça que 5,343434 é um decimal finito e pode ser considerado como dízima periódica de período zero: 5,343434000... Também os números –13 e 18, por exemplo, podem ser considerados como as dízimas: –13,000... e 18,000, respectivamente.

a) Em quantas partes iguais está dividido o segmento unitário YV? b) Quantas dessas partes o segmento YW contém?

c) A abscissa do ponto W representa a medida do segmento YW em relação ao segmento unitário. Qual é essa medida?

d) – 7 é a medida de um segmento em relação ao segmento unitário, antecedida do

No exercício 10, dividimos 500 centésimos por 4 porque sabíamos antecipadamente que iríamos obter um quociente exato.

3 sinal –.

Que segmento é esse? Como se chama esse número?

Esclareça, com exemplos, que na prática, procede-se assim: ao executar o algoritmo da divisão, escreve-se o dividendo afastado da barra vertical que antecede o divisor para que seja possível acrescentar zeros aos restos não nulos que surgirem. Se o dividendo não é múltiplo do divisor, acrescenta-se um zero à direita do mesmo, escreve-se uma vírgula após o quociente encontrado e divide-se o novo resto (acrescido do zero) pelo divisor; o quociente assim obtido é escrito como algarismo dos décimos do quociente. Se não obtivermos o novo resto como zero, acrescentamos à direita do mesmo um zero e dividimos o número obtido novamente pelo divisor, e assim sucessivamente, obtendo algarismos dos centésimos, milésimos etc., até se obter um resto zero, ou que se configure o aparecimento de um quociente na forma de dízima periódica.

Observe as retas numeradas a seguir. Responda ou faça o que se pede:

e) Alguns pontos são identificados pelas letras S, X, P e Q.

Quais são as abscissas dos pontos identificados pelas letras S, X, P e Q?

f) O ponto de abscissa – 11 deve ser marcado à direita ou à esquerda do ponto de abscissa –4? Justifique.

Em relação à segunda reta:

g) Com qual objetivo se dividiu o segmento unitário neste número de partes iguais?

h) Alguns pontos têm suas abscissas representadas por letras; quais são essas abscissas?

i) Se você tivesse que marcar nessa reta o ponto de abscissa –0,32, em quantas partes iguais iria dividir o segmento unitário?

10.

Você se lembra? Uma fração representa o quociente do numerador pelo denominador. Estes quocientes também podem ser expressos como decimais finitos ou periódicos. Por exemplo, a fração

5 representa o quociente de 5 por 4. 4

Veja como obter o decimal correspondente a essa fração. Como uma unidade tem 100 centésimos, 5 unidades têm 500 centésimos. Logo, dividir 5 por 4 é equivalente a dividir 500 centésimos por 4.

5,00 4 10

1,25

20 0

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Agora, calcule os decimais finitos correspondentes a cada fração a seguir, acrescentando ao dividendo, em cada caso, tantos algarismos zero quantos forem necessários, até obter resto zero.

a) –

11.

11 5

c) –

124 16

15 8

10. a) –2,2; b) 7,75; c) –1,875.

14 41 , e 11 90 verá que, por mais que acrescente zeros na parte decimal, ao continuar sucessivamente a divisão, nunca surgirá um resto nulo, e você obterá os decimais periódicos a seguir: Se você calcular os decimais correspondentes às frações

14 = 1, 27272727272727... 11

41 = 0, 455555555555... 90

11. a) O primeiro é chamado de dízima periódica simples, e o segundo, composta; b) 1º.) 27; 2º.) 5; c) O primeiro 1,27 (com um traço horizontal sobre o período 27), e o segundo, 0,45 (com um pequeno ponto sobre o algarismo 5); d) 1ª.) 3,621621...; 2ª.) 2,345; 3ª.) 0,142857...

a) Qual dos dois decimais é chamado de dízima periódica simples e qual é chamado dízima periódica composta?

b) Qual grupo de algarismos é chamado de período da dízima nos dois casos?

c) Como se representa cada uma dessas dízimas escrevendo apenas uma vez o período?

d) Verifique que as frações a seguir correspondem a decimais periódicos, calculando-os: 1ª.) 134 37

2ª.) 129 55

3ª.) 1 7

Aprendendo mais fatos sobre as dízimas Observe a fração e a dízima correspondente a seguir: 1/19 = 0,05263157894736842105263157894736842105... Você deve estar se perguntando: será que existem divisões nas quais, por mais que eu continue o procedimento, não vou saber quando começa a repetição do período? A resposta a esta pergunta é “não”, em toda divisão é possível saber quando o período se repete, e é muito fácil entender a razão.

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Como você sabe, em uma divisão, o resto não pode ser maior que o divisor.

Explique aos alunos que no cálculo de expansões decimais de frações, nem sempre todos os restos possíveis aparecem. No caso da fração 1/7, como citado, aparecem todos os restos não nulos, mas no caso de 1/3 = 0,333..., só aparece o resto 1. Outro exemplo: no cálculo de 1/13 = 0,07692307... aparecem os restos 9, 12, 3, 4, 1.

Veja que, no item (d) do exercício 11, ao calcular a dízima correspondente 1 à fração , dividindo 1 por 7, você obteve, pela ordem, os restos 3, 7 2, 6, 4, 5, 1, quando então surgiu o primeiro algarismo da repetição do período. O único resto possível, sem repetir os já obtidos, seria o zero, 5 e a fração seria equivalente a um decimal finito, como a fração , cujo 4 decimal correspondente é finito (1,25), mas que pode ser visto como dízima de período zero: (1,250000...) . Veja, então, que no caso de decimais não finitos o maior número de restos diferentes possíveis é, no máximo, igual ao antecessor do denominador. Se este fato acontece, obrigatoriamente o novo resto será igual a um que já tenha aparecido no algoritmo da divisão, e aí começará a aparecer a repetição que caracteriza o período.

Explore o exemplo da expansão de 1/19 em decimal dado nesta página. Separe os alunos em grupos e peça que cada um calcule esta divisão passo a passo, anotando atentamente os restos. Depois devem comparar seus resultados e corrigir eventuais erros, e responder à seguinte pergunta: de todos os restos possíveis numa divisão por 19, qual o único que não aparece nesta conta? R: 10.

Exiba para os alunos várias frações irredutíveis, com denominadores contendo fatores diferentes de 2 e 5. Eles devem observar que elas correspondem a dízimas periódicas: Exemplos: 9/11 = 0,818181…, 17/15 = 1,1333…, 13/6 = 2,1666…, etc. Explore, agora, frações irredutíveis cujos denominadores só contenham fatores 2 ou 5. Elas correspondem a decimais exatos. Exemplos: 11/4 = 2,75; 7/20 = 0,35.

Agora, veja como, dada uma dízima, obter a fração correspondente, chamada fração geratriz da dízima:

Lembre-se da observação da página 14 relacionada com generalizações.

Verifique se os alunos sabem a razão de se afirmar que a fração 131/90 da segunda coluna da tabela desta página é irredutível.

Leia primeiro esta coluna

Depois, leia esta coluna

Dízima periódica simples 1,272727...

Dízima periódica composta 1,455555...

Seja x a fração geratriz

Logo, x = 1,2727...

Vamos multiplicar por 100 para deslocar a vírgula para imediatamente após o primeiro grupo de algarismos que formam o período.

Calculando 100x

Subtraindo b – a

Logo

100x = 127,2727... 100x – x = 9x 99x = 127 – 1 = 126 x=

126 14 = 99 11

Dividimos 126 e 99 pelo m.d.c. = 9

Seja x a fração geratriz

Logo, x =1,4555...

Calcule 10x

10x = 14,555...

Observe que assim você obteve uma dízima simples. Agora é fazer como na coluna da esquerda.

Calculando (10)(10)x = 100x

Subtraindo b – a

Logo

100x = 145,555... 100x – 10x = 90x 90x = 145 – 14 = 131 x=

131 90

A fração obtida é irredutível: 131 e 90 são números primos entre si.

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Para o caso dos decimais finitos, é melhor interpretá-los na forma de frações decimais, como, por exemplo: , 25 1=

125 = 100

5 (simplificamos, dividindo 125 e 100 pelo m.d.c. deles: 25) 4

Veja, no quadro a seguir, em maiores detalhes, o conceito de número racional. Frações positivas ou negativas e os decimais a elas equivalentes, finitos ou periódicos, representam números racionais. Reciprocamente, os números racionais são representados por frações positivas ou negativas, ou pelos decimais finitos ou periódicos equivalentes a elas. O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo: .

12. a)233/99; b) –31/9; c) 11333/3 300 (simplificada); d) –15 227/4 950; e) 2 513/333; f) 5377/660.

Aplicando o que você aprendeu

12.

Calcule as geratrizes das seguintes dízimas:

a) 2,35353535...

d) –3,07616161...

c) 3,4342424242...

f) 8,1469

b) –3,44444...

13.

e) 7,546

Calcule as expressões decimais correspondentes às frações dadas e classifique como finitas ou dízimas (simples ou compostas):

19 4

17 11

Comente que as razões em geometria são coisas conhecidas há milhares de anos, mas que o conceito de número racional é uma ideia mais recente, elaborada por volta do século XIII, e que permitiu, resolver equações como 7x = 3 na forma algébrica feita hoje em dia. Em particular, os gregos resolviam equações deste tipo pensando que x era algo equivalente ao comprimento de um segmento. Tal como resolver 3x = 21 é encontrar o número cujo produto por 3 é 21, resolver 7x = 3 é procurar o número cujo produto por 7 é 3, que, usando números racionais, se faz assim: 3/7 x 7 = 3, donde a raiz de 7x = 3 é 3/7.

c) – 14

Os segmentos incomensuráveis e os números irracionais Você já viu o que são segmentos comensuráveis. Mas o que provavelmente você ainda não sabe é que existem segmentos que não são comensuráveis.

Obs.: use divisibilidade para simplificar. Por exemplo, na (f), divisibilidade por 3 e por 5. 13. a) 4,75 expressão decimal finita; b) 1,5454... dízima periódica simples; c) –1,6428571428571... dízima periódica composta.

Escreva no quadro as frases: (a) “Dado um número racional, dentre todas as frações que o representam existe sempre uma fração a/b irredutível”; (b) “Uma fração é irredutível se seus termos são números primos entre si”. Explore frações como 468/ 832 e peça que calculem a fração irredutível a ela equivalente (verifique se sabem simplificar ou por cancelamento, ou pelo m.d.c. dos termos).

Vamos provar, por exemplo, que a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles e um dos catetos não são segmentos comensuráveis, isto é, a medida da hipotenusa considerando o cateto como unidade de medida não é um número racional. Pelo teorema de Pitágoras, se os catetos de um triângulo retângulo isósceles têm medida 1, sua hipotenusa mede

Vamos supor que esta medida seja um número racional, isto é, que seja a sendo a e b números inteiros primos entre si. possível escrever: 2 = b

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Você vai ver que esta hipótese vai nos conduzir a um absurdo. De fato, da igualdade anterior, resultam as seguintes implicações: a =  b 2 a  2b 2 = a 2  a 2 é par  a é par, ou seja, b a = 2m, m natural.

= 2

Se a = 2m, a2 = 4m2  2b2 = 4m2  b2 = 2m2  b2 é par  b é par Proponha a atividade a seguir, que visa a explorar situação semelhante à da indução matemática: Imagine peças de dominó dispostas em pé, em linha reta. Agora, considere que foi afirmado que: 1º) alguém derrubou uma peça em direção a outra e esta caiu; 2º.) sempre que uma peça derruba a seguinte, esta também derruba a seguinte a ela. Diga se você pode ou não tirar conclusão sobre o que ocorrerá com as demais. Justifique. R) Sim: a partir da primeira peça derrubada, todas as demais cairão. De fato, a 1ª informação diz que uma determinada peça derrubou a seguinte. Já a 2ª informação garante que a seguinte derrubará a seguinte, esta a seguinte, esta a seguinte etc. Chame a atenção para um fato prático: para a brincadeira funcionar a distância entre as peças deve ser adequada, isto é, não pode ser maior do que o comprimento das peças, senão a peça anterior não derrubará a seguinte. Este fato é que garante a continuidade do processo – daí a importância da segunda informação. Professor(a): Explore mais a atividade anterior, propondo aos alunos a criação de duas outras situações: uma que garanta que as peças vão cair continuamente, e outra na qual este fato não ocorra.

Observe que as frases em destaque azul nos levam a uma contradição: sendo a e b números inteiros primos entre si, não podem ser ambos números pares. Esta contradição é consequência de se ter feito a hipótese de que 2 seria um número racional, porque, a partir dela, todas as implicações seguintes são verdadeiras. Este fato nos permite dizer que a hipotenusa do triângulo isósceles e seus catetos não são segmentos comensuráveis, e por isso diz-se que são segmentos incomensuráveis. E, como

2 não pode ser escrito

na forma de fração de termos inteiros, diz-se que irracional.

2 é um número

O que se viu até aqui pode ser estabelecido com raciocínio bem semelhante, para provar que números da forma n , sendo n um número natural que não seja quadrado perfeito, por exemplo 3, 5, 7, 8 etc., são números irracionais. O que se disse até agora não deve levar você a pensar que números irracionais são somente os que têm a forma n sendo n um dos números naturais citados. Para dar exemplos de decimais que representam números irracionais, basta criar leis de formação para a parte decimal que mostrem, claramente, que são decimais infinitos e não periódicos. Veja alguns:

1º.) 0,01001000100001... (a quantidade de zeros aumenta gradativamente)

2º.) 0,151617181920... (na sequência, viriam 212223242526 etc.)

3º.) 0,41442444144442... (a quantidade de algarismos 4 aumenta

gradativamente e os algarismos 1 e 2 alternam sucessivamente)

Observe que, de propósito, os exemplos mostram irracionais entre zero e 1.

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Veja que, com criatividade, é possível exibir uma infinidade de exemplos com leis de formação diferentes, de números irracionais somente entre o zero e o 1. Esta é uma observação simples com a intenção de despertar em você uma possível resposta à pergunta: quantos números irracionais existem? Lembramos finalmente que, em anos anteriores você usou, para calcular comprimento de circunferências e áreas de círculos, valores aproximados de um dos mais importantes números irracionais: o número π. Observamos ainda que os matemáticos provam que π é, de fato, um número irracional. Observe a figura a seguir. Nela você vê um triângulo retângulo isósce2 . Com um

les de catetos de medida 1; logo, sua hipotenusa mede

compasso, marcou-se na reta o ponto Q, cuja medida é o irracional 2 ; portanto, a abscissa do ponto Q é este irracional. Um segundo triângulo tem catetos de medidas

2 e 1; logo, sua hipotenusa mede 3 .

Com um compasso marcou-se o ponto de abscissa o processo, obtêm-se os pontos de abscissas 2 e

3 . Prosseguindo 5.

Evidentemente é possível continuar indefinidamente este processo, obtendo números naturais (3, 4, 5,... etc.) e pontos de abscissas irracionais n ,n = 7, 8, 10 etc. (n não sendo quadrado perfeito).

1.) Desenvolva no quadro, usando o Teorema de Pitágoras, o cálculo das hipotenusas. 2.) Explore, no quadro, atividades que esclareçam o texto ao lado: a) Desenhe uma ou mais retas, se necessário, contendo números inteiros positivos e números inteiros negativos, como se vê na página 14. b) Identifique o ponto origem (O), de abscissa zero e o ponto P de abscissa 1, e convencione que o segmento cujos extremos são estes dois pontos é a unidade de medida de comprimento. c) Peça que alunos leiam o último parágrafo da página e depois localizem as posições (exatas ou aproximadas) de pontos A, B, C, D etc., extremos de segmentos de origem O, cujas medidas sejam racionais ou irracionais dados, positivos ou negativos como, por exemplo, 2,5, –3/2, irracionais na forma de raiz quadrada (de 2, 5 etc.).

Explore, no quadro, usando régua e compasso, a construção da figura relacionada com o texto, para que os alunos comprovem a existência, na reta numerada, de pontos que correspondem a números irracionais. Justifique, usando o Teorema de Pitágoras, nos sucessivos triângulos retângulos, o valor de cada abscissa que se vê na figura.

Sejam, em uma reta, um ponto O, origem de duas semirretas opostas da reta, e OP um segmento contido em uma dessas semirretas. Convencionemos que OP seja a unidade de medida de comprimento. Consideremos, agora, um ponto X qualquer da reta. Se X coincidir com o ponto O, sua abscissa é 0 (zero), e se coincidir com P sua abscissa é 1. Excluídas estas duas hipóteses, podemos ter:

a) OX e OP são comensuráveis; ou seja, a medida de OX em relação a OP é um número racional.

b) OX e OP são incomensuráveis; ou seja, a medida de OX em relação a OP é um número irracional.

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Em ambos os casos, dizemos que a abscissa de X é a medida de OX se X pertencer à semirreta OP, e a medida de OX antecedida do sinal “–” (sinal de menos) se X pertencer à semirreta oposta à semirreta OP. A reta OP chama-se reta real, e o conjunto cujos elementos são as abscissas de todos os seus pontos chama-se conjunto dos números reais, que se representa por . negativos x2 14. a) Sim. Se a medida do segmento OX com o segmento unitário for um número natural: e x pertencer à semirreta OP. b) Sim, nas mesmas condições anteriores, sendo a abscissa positiva se X pertencer à semirreta que contém o segmento unitário, e negativa, se pertencer à semirreta oposta à semirreta citada; c) É que OX e o segmento unitário sejam segmentos comensuráveis; d) É que OX e o segmento unitário sejam segmentos incomensuráveis. 15. a) Falso. Contraexemplo: 3/5 e 0,76 são números racionais que não são inteiros; b) V; c) V; d) V. Obs.: Este capítulo contém muitas das propostas contidas nos textos: 1.) A Matemática do Ensino Médio – Volume 1 – Coleção do Professor de Matemática da SBM, de autoria de Elon Lages Lima e outros. 2.) Conceitos Fundamentais da Matemática – Bento de Jesus Caraça – Livraria Sá da Costa Editora. 16. Respostas variadas; por exemplo: a) –32; b) +12/17 e – 8/31; c) 0,32 e –1,25; d) 3/4 e –3/4.

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positivos 0

O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto de todos os números irracionais, ou seja, seus elementos são números racionais ou irracionais. A cada ponto da reta real corresponde um único número real chamado abscissa do ponto, e a cada número real corresponde um único ponto da reta real. Aplicando o que você aprendeu

14.

Considere a origem O e um ponto X da reta real e responda:

a) A abscissa de X pode ser um número natural? Justifique. b) A abscissa de X pode ser um número inteiro? Justifique.

c) Qual a condição para que a abscissa de X seja um número racional?

d) Qual a condição para que a abscissa de X seja um número irracional?

15.

Verdadeiro ou falso: (nos casos falsos, dê contraexemplo)

a) Todo número racional é número inteiro. b) Todo número inteiro é número racional.

c) Se um decimal não é finito nem periódico, então representa um número irracional. d) N é subconjunto de  e  é subconjunto de .

16.

Dê exemplos de:

a) Um número inteiro que não seja número natural.

b) Um racional positivo e outro negativo, ambos na forma de fração. c) Um racional positivo e outro negativo, ambos na forma decimal. d) Números racionais opostos.

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Como calcular com números reais na forma decimal? Você deve estar se perguntando: muito bem, já entendi a diferença entre números racionais e números irracionais representados por decimais. Mas, como efetuar cálculos com esses números com tantas ordens decimais? Para entender o que você verá a seguir, é preciso lembrar que os números são, no dia a dia, associados a medidas. E como você sabe, as medidas, por mais preciso que seja o instrumento de medida, com raras exceções, têm suas representações decimais com duas as três ordens decimais. Este fato justifica que, dado um decimal que representa um racional ou um irracional, possamos usar valores aproximados dele. Veja, então, exemplos de como obter valores aproximados do número irracional N = 3,73747576... e do número racional M = 9, 38 . Números reais dados

N = 3,73747576...

M = 9,38

Valor aproximado a menos de uma unidade, por falta:

Valor aproximado a menos de um décimo, por falta:

3,7

9,3

Valor aproximado a menos de um centésimo, por falta:

3,73

9,38 17. a) 5 e 3; b) 5,4 e 3,2; c) 5,47 e 3,26.

17.

Agora é com você: Escreva os valores aproximados, por falta, dos números P = 5, 47 e Q = 3,262728...:

18. a) 7; b) 8,6; c) 8,73.

a) A menos de uma unidade. b) A menos de um décimo.

c) A menos de um centésimo.

18.

Calcule a soma P + Q com as seguintes aproximações, por falta:

a) A menos de uma unidade. b) A menos de um décimo.

c) A menos de um centésimo.

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Aprendendo em casa Ao verificar os exercícios do “Aprendendo em casa”, solicite, sempre que julgar necessário, as justificativas para as respostas, bem como desenhos representativos das situações descritas. 19. Porque 5,343434 não contém reticências ou traços indicativos de períodos. Pergunte: Como representar 5,343434 como dízima? 20. a) 1,75; b) 3,25; c) 7,5625; d) 2,75.

19. Délio disse que 5,343434... ou 5,34 representam uma dízima de período 34, mas 5,343434 não. Justifique por que Délio tem razão.

20.

21.

23. a) Racional; b) Natural, inteiro e racional; c) Racional; d) Inteiro e racional; e) Irracional; f) Irracional; g) Natural, inteiro e racional (é igual a 4). 24. a) –9/4; b) –6/4; c) –2/4; d) +2/4; e) +7/4; f) +10/4; g) –0,9; h) –0,5; i) –0,2; j) +0,5; l) +0,8.

7 4

13 4

121 16

55 20

Em cada caso, dê dois exemplos de:

a) Números inteiros que não são números naturais. b) Números inteiros que são números naturais.

c) Números racionais na forma de fração que não sejam equivalentes a números inteiros.

21. Respostas variadas. 22. a) F porque frases do tipo P e Q somente são verdadeiras se P e Q forem verdadeiras; b V porque para que frases do tipo P ou Q sejam verdadeiras basta que uma das duas componentes seja verdadeira; c) V porque, sendo número natural, é número racional; d) V porque se é irracional não é racional, e número natural é racional.

Escreva como decimais as frações a seguir:

d) Números racionais na forma de fração que sejam equivalentes a números inteiros.

22.

Verdadeiro ou falso? Justifique.

a) Todo número natural é número inteiro e todo número inteiro é natural.

b) Todo número natural é número inteiro ou todo número inteiro é natural. c) Se um número é natural, então não é irracional. d) Se um número é irracional, então não é natural.

23. Classifique cada número a seguir como natural, inteiro, racional ou irracional:

a) 3,27

d) –5

c) 1,234

b) 2

e) – 2

24. Observe as retas numeradas a seguir e escreva os números reais que devem substituir corretamente cada letra: –2 (a)

–1 (b)

–

4 4

0 (c)

–1

0 4

+1 (d)

5 4

(e)

(f)

0 (g) – 0,7 (h)

(i)

+1 + 0,3

(j)

(l)

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25.

Um pouco de Geografia.

25. C  B; C  P B  A; C  A; P  A; P B

Dados os conjuntos: Conjunto C dos habitantes de Curitiba, Conjunto B dos habitantes do Brasil, Conjunto P dos habitantes do Paraná, Conjunto A dos habitantes da América do Sul, escreva todos os pares possíveis de conjuntos em que um é subconjunto do outro usando as letras que representam os conjuntos dados.

26.

Observe o diagrama a seguir e resolva ou responda:

1 2 3

4 6 5 B

26. a) A é subconjunto de B; b) B = {1,2,3,4,5,6}; c) Desenho do aluno com ovais representando, de dentro para fora: N, e depois Z. 27. a) Desenho do aluno com ovais representando, de dentro para fora: N, Z, Q e R. b) Desenho do aluno com 12 em N, –5 dentro de Z e fora de N, 0,3, 0,333... e 4,3 dentro de Q e fora de Z e 0010010001... dentro de R e fora de Q. Aproveite a oportunidade para explorar interdisciplinaridade, dando exemplos de conjuntos e subconjuntos utilizando-se da Geografia (capitais como parte de todas as cidades do Brasil, estados de regiões como subconjuntos de todos os estados do Brasil etc); de Português (vogais ou consoantes como parte do alfabeto); de História; de Ciências etc.

a) Qual dos dois conjuntos (A ou B) é subconjunto do outro?

b) O conjunto A pode ser representado assim: A = { 2; 3; 6 }. Represente agora de maneira análoga o conjunto B.

c) Faça um desenho como o anterior representando os conjuntos N dos números naturais e  dos números inteiros. Identifique os dois com etiquetas como no desenho anterior.

27.

Faça o que se pede:

a) Faça um desenho usando quatro ovais para representar os conjuntos N dos números naturais,  dos números inteiros,  dos números racionais e  dos números reais, relacionando-os entre si. Identifique cada um deles com uma etiqueta.

b) No desenho que você fez, escreva no espaço correto cada um dos seguintes números: 1) 12

4) 0,333...

3) 0,3

6) 0,010010001...

2) –5

5) 4/3

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ATIVIDADES ORAIS • É igual a 1. • Base: 2/5 e expoente: 5. • 0,01. • Porque 62 = 36. • Porque 23 = 8. • 3 e 4. • Verdadeiro. • b0 = 1 (b � o) • a1 = a.

A atividade a seguir é mais um exemplo da utilização de regularidades para a “descoberta” de novos fatos matemáticos. Faça desenhos para ajudar a compreensão da tabela do exercício 28: um retângulo de comprimento suficiente para ser dividido inicialmente ao meio (metade de l = 1/2), depois em quatro partes (metade de 1/2 = 1/4 ), e assim sucessivamente. “

Calculando com números reais Explorando o que você já sabe •

Qual é o produto de duas frações inversas como 5

2 • Na expressão  5  , qual número é a base e qual é o expoente?

• • • •

1 Qual é o número decimal equivalente à fração ? 100 Por que a raiz quadrada de 36 é 6? Por que a raiz cúbica de 8 é 2? (3,5)2 está entre o quadrado de dois números naturais. Quais são eles?

• • •

V ou F: a n

( )

= a n . m (a, n e m, positivos).

Se b é um número racional diferente de zero, qual o valor de b0? Se a é um número racional, qual o valor de a1?

Aprendendo em casa

Sim. E você verá como é fácil calcular os seus valores, acompanhando os exercícios e letras a seguir.

f) Ve r d a d e i r o , p o i s an × a–m = an × (1/a)m = (an/am) Faça notar que cada número da segunda linha é a metade do anterior. Esta é a razão de completar, após o 1, com as frações 1/2, 1/4 e 1/8 (metades de 1, 1/2 e 1/4, respectivamente).

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Son Salvador

Professor, existem potências com expoentes negativos?

28. a) 8, 2 e 1, respectivamente; b) A metade; c) 2–4 = 1/16; 2–5 = 1/32; d) 2–4 = 1/16 = (1/2)4; 2–5 = 1/32 = (1/2)5; 2–6 = 1/64 = (1/2)6; e) Verdadeiro.

4 3 e ? 3 4

Potências de dois

2–1

2–2

2–3

Valores

1 2

1 4

1 8

Anterior dividido por 2

8 = 16: 2 4 = 8: 2 2 = 4: 2 1 = 2: 2

1 1 1 1 1 = 1: 2 = :2 = :2 2 4 2 8 4

28. Observe a tabela e responda:

a) Qual é a metade de 16? E de 4? E de 2?

b) Na segunda linha, cada número é qual fração do anterior?

c) Observando a tabela, copie e complete: 2–4 =...?... ; 2–5 = ...? ... .

d) Em seu caderno, complete com mais três igualdades a sequência de cálculos: 1

2 –1 =

1 1 1 1 1 1 =   ; 2 –2 =   =   ; 2 –3 =   =   2 2 8  2  4 2

2–4 = ...?... ; 2–5 = ...?... ; 2–6 = ...?...

e) Verdadeiro ou falso: Sendo a um número natural diferente de zero, a

–n

1 =  . a

f) Verdadeiro ou falso: Sendo a um número natural não nulo, an × a–m = an–m.

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Você já viu que, se o produto de duas frações é igual a 1, elas se chamam frações inversas. Por exemplo,

3 4 3 4 12 1 = = 1. e são frações inversas porque × = 4 3 4 3 12 1

Antes de resolver o exercício 29, recorde o conceito de números opostos. O oposto de +7 é –7, o oposto de –5 é +5 etc.

Agora, veja que este é um fato particular do que se afirma a seguir: Dois números reais são números inversos se e somente se o seu produto for 1. Observe os exemplos:

a) 23 e 2–3 são números inversos porque 23× 2–3 = 23–3 = 20 = 1. −1

−1

 3  3  3  3 e são números inversos porque   ×    4   4  4 4

 3  3  3  3  4  e  4  são números inversos porque  4  ×  4     

−2

 3 =   = 1. 4 −2

 3 =   = 1. 4

Veja agora as observações relacionadas com esses exemplos:

a) Como 23 e 2–3 são números inversos e 23 = 8, concluímos que 2 −3 = −1

1 1 = . 8  2 

 3  3 b) Como 3 e 4 são frações inversas e também  4  e  4  são inversas, 4 3 −1   concluímos que 3 = 4 .  4  3

c) Como

29.

 3  3  4  e  4 

−2

são inversas e

 3 9 , concluímos que  4  = 16

−2

 3 16  4  .  4  = 9 =  3 

29. a) 2 2 × 2 – 2 = 2 2 – 2 = 2 0 = 1 e 2 2 ×2 –2 = 4×1/4 = 4/4 = 1; b) Todas são verdadeiras; c) Elas são frações inversas; d) Supor que zero tem inverso é admitir a existência de um número que, multiplicado por zero, tenha como produto o número 1, o que é absurdo porque o produto de qualquer número real por zero é zero; e) O inverso de um número real r diferente de zero se representa por r–1 porque: r × r–1 = r0 = 1.

Resolva:

a) Verifique que 2–2 e 22 são números inversos. Justifique. b) Diga se verdadeiras ou falsas as afirmações: 2

1ª.) 2 –2 =   = 4 2 1

2ª.) 2 –3 =   = 8 2 1

3ª.)

−3

 3 2  2  =  3  .

c) As bases das potências da 3ª afirmação do item (b) têm uma relação. Qual é ela? d) O número zero não tem inverso. Justifique. e) Se r representa um número real diferente de zero, como representar seu inverso? Justifique.

Professor, veja se a regra que vou descrever é correta:Para calcular uma potência de expoente negativo: a) Invertemos a base. b) Trocamos o expoente pelo oposto.c) Calculamos a potência obtida.

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Perfeito! É exatamente isso o que se deve fazer.

Destaque para os alunos o caso particular de inversos de números inteiros. Para isso, por exemplo, use o argumento de que 3 = 3/1; logo, o inverso de 3 é 1/3. Faça notar que: 3/1 x 1/3 = 3/3 = 1. Ao responder, o professor está validando a regra descrita pelo aluno.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o diálogo desta página.

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30. a) 125/8; b) 16/9; c) 1/10; d) 1/1000.

30. Observe como usar a regra confirmada pelo professor, para calcular potências de expoente negativo: −2

−2

2  3  9  3  =  2  =  4 

 3  5   25   5  =  3  =  9 

Calcule as seguintes potências usando a mesma regra:

31. n algarismos. Os exercícios que seguem visam a preparar os alunos para a “notação científica”.

31.

2  5 

−3

 3  4 

−2

c) 10–1

d) 10–3

Nos itens (c) e (d) do exercício anterior, você calculou 10–1 e 10–3 e concluiu que: 10 − 1 =

1 1 = 0,1 e que 10 − 3 = = 0, 001. 10 1000

Agora, copie a frase a seguir em seu caderno e discuta com seus colegas como se deve completá-la. Se a letra n representa um número natural, 10–n é uma fração de numerador 1 e o denominador é uma potência de dez que tem ...?... algarismos zero. Você sabe também que: a

4 × 0,1 = 0,4

57 × 0,1 = 5,7

57 × 0,001 = 0,057

134 × 0,1 = 13,4

4 × 0,001 = 0,004

134 × 0,001 = 0,134

Portanto,

32. a) 1,3; b) 0,13; c) 0,013; d) 0,0013; e) 13,4; f) 1,34; g) 0,134; h) 0,0134.

33. n ordens.

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4 × 10–1 = 4 × 0,1 = 0,4

4 × 10–3 = 4 × 0,001 = 0,004

134 × 10–1= 134 × 0,1 = 13,4

57 × 10–3 = 57 × 0,001 = 0,057

57 × 10–1 = 57 × 0,1 = 5,7

f 134 × 10–3 = 134 × 0,001 = 0,134

32. Agora, copie em seu caderno e complete:

? =?

a) 13 × 10–1 =

b) 13 × 10–2 =

e) 134 × 10–1

f) 134 × 10–2

? =?

c) 13 × 10–3 = g) 134 × 10–3

? d) 13 × 10 = ? = ? h) 134 × 10 = ? –4

–4

33. Observe: (A) 13,4 x 10–1 = 1,34

(B) 134,5 x 10–2 = 1,345

(D) 134 x 10–4 = 0,0134

Copie em seu caderno e complete: Multiplicar um número por 10–n é deslocar a vírgula do número ...?... ordens decimais para a esquerda.

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Observe:

a) 145,34 = 1,4534 x 102 b) 12345 = 1,2345 x 104

No exercício 34 os alunos são solicitados a trabalhar aplicações da “notação científica”. Sugira que façam uma pesquisa sobre este tema.

c) 12 000 000 = 1,2 x 107

d) 0,000356 = 3,56 x 10–4

34. Agora, escreva em seu caderno os números a seguir como produto de um decimal com um algarismo na parte inteira, multiplicado por uma potência de dez:

a) 1256,9

b)12 569

c) 250 000 000

34. a) 1,2569 x 103; b) 1,2569 x 104; c) 2,5 x 108; d) 3,7 x 10–4.

d) 0,00037

Você se lembra? A raiz quadrada de um número é representada pelo símbolo Assim,

36 se lê: raiz quadrada de 36.

35. Observe a tabela e responda: Número natural

100

Raiz quadrada do número

35. a) Raiz quadrada de 64; É o número 8; b) Quatro.

a) Como se chama o número cujo quadrado é 64? Qual é ele? b) Qual é a raiz quadrada de 16?

36.

Copie e complete em seu caderno:

36 =

4 =

36. a) 6; b) 2; c) 3.

37. Use as letras N e R para descrever o que é a raiz quadrada ( R ) de um

número natural N que é um quadrado perfeito. Começamos para você: A ? raiz quadrada de um número natural N que é um quadrado perfeito é... Até aqui, você calculou raízes quadradas de números naturais que são quadrados de outros. Mas diversos números naturais não são quadrados de outros números naturais. Como calcular essas raízes quadradas? É o que você verá a seguir.

37. A raiz quadrada de um número natural N que é um quadrado perfeito, é outro número natural R tal que R2 = N.

Você tem duas possibilidades: uma, se tiver à mão uma calculadora, e outra, se não tiver uma calculadora ou não for permitido usá-la, como, por exemplo, em diversas provas de concursos. Vamos, inicialmente, dar um exemplo de como calcular ladora.

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6 sem calcu-

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Observe que esse cálculo equivale a procurar um número cujo quadrado seja 6. Observe também que, como 4 < 6 < 9, a raiz quadrada de 6 deve ser um número entre a raiz quadrada de 4 (que é 2) e a raiz quadrada 9 (que é 3). Portanto, a raiz quadrada de 6 é um decimal entre 2 e 3, ou seja, tem na parte inteira o algarismo 2 e, nas ordens decimais, alguns algarismos. Veja, no quadro a seguir, como podemos encontrar um valor aproximado de

6 por tentativas. Chamemos de x esse valor procurado.

Comecemos as tentativas pelo valor x = 2,6. Temos: Tentativas

Valor de x

Comentário

1a tentativa

2,6

(2,6)(2,6) = 6,76

6,76 > 6 (2,6 é muito)

2a tentativa

2,5

(2,5)(2,5) = 6,25

6,26 > 6 (2,5 é muito)

3a tentativa

2,4

(2,4)(2,4) = 5,76

5,76 < 6 (2,4 é pouco)

Pelo quadro você observa que 6 é um decimal entre 2,4 e 2,5. Você pode então dizer que 2,4 é um valor aproximado para a raiz quadrada de 6 “por falta”, e que 2,5 é um valor aproximado da raiz quadrada de 6 “por excesso”. Em geral, é costume dar o valor aproximado por falta. Assim, podemos concluir: Explique aos alunos que o estudo das raízes quadradas tem vários objetivos, dentre os quais possibilitar calcular medidas de lados de quadrados conhecidas as áreas destes, bem como na resolução de equações do segundo grau que vão ser estudadas neste ano. Visite ou recomende o site http://amp746.wordpress. com/2008/03/02/matematica-raiz-quadrada-nos-tempos-de-cristo/. 38. a) a = 6,0025; b) 6,0025 > 6 (2,455 é muito) c = 5,9535; c) 5,9536 < 6 (2,44 é pouco).

39. 2,44.

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A raiz quadrada aproximada de 6 a menos de um décimo, por falta, é 2,4. E podemos escrever: 6 ≅ 2, 4 (lê-se: raiz quadrada de 6 é aproximadamente igual a 2,4). Se você quiser, pode calcular a raiz quadrada de 6 a menos de um centésimo, isto é, com duas ordens decimais. Basta agora fazer tentativas dando valores a x desde 2,41 até 2,49. É recomendável começar por 2,45 e ir aumentando, caso os quadrados de x permaneçam menores que 6, ou ir diminuindo, caso os quadrados de x permaneçam maiores que 6.

38. Observe o quadro a seguir e escreva os valores que substituem corretamente cada letra: Tentativas

Valor de x

Comentário

1a tentativa

2,45

(2,45)(2,45) = a

2a tentativa

2,44

(2,44)(2,44) = c

39. Com

base nos resultados obtidos no quadro anterior, qual é o valor aproximado de 6 a menos de um centésimo por falta?

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40. Escreva usando símbolos: a raiz quadrada de 6 é aproximadamente

40.

6 ≅ 2, 44

igual a 2,44.

O cálculo da raiz quadrada de um número usando a calculadora é extremamente simples: basta digitar o número e o símbolo da raiz

( )

, que imediatamente surgirá uma aproximação do quadrada valor no visor, de acordo com a quantidade de casas decimais que a calculadora é capaz de manipular.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque do exercício 40 (os dois quadros).

Use sua calculadora e: Digite 6 Digite Observe no visor: 2,4494897 Logo, você pode afirmar que: A raiz quadrada de 6 a menos de um décimo, por falta, é 2,4. A raiz quadrada de 6 a menos de um centésimo, por falta, é 2,44. A raiz quadrada de 6 a menos de um milésimo, por falta, é 2,449, ...e assim por diante. Uma última observação sobre raízes quadradas. Se você tiver que calcular raízes quadradas de decimais por tentativas, deve seguir o processo anterior. Por exemplo, para calcular

14, 27 , comece observando que, como 9 < 14,27 < 16, a raiz quadrada de 14,27 deve ser um decimal entre 3 (que é raiz quadrada de 9) e 4 (que é raiz quadrada de 16). Portanto, comece tentando 3,5.

41.

Faça as tentativas sugeridas e escreva suas conclusões.

a) Use a calculadora e verifique que

14, 27  3,7775653.

Escreva os valores aproximados, por falta, de

b) A menos de um décimo. c) A menos de um centésimo. d) A menos de um milésimo. e) A menos de um décimo de milésimo.

14, 27 :

41. a) Verificação do aluno; b) 3,7; c) 3,77; d) 3,777; e) 3,7775.

42. Divida o numerador pelo denominador e calcule as raízes quadradas aproximadas ou exatas das seguintes frações, usando a calculadora:

4 7

2 15

5 11

9 100

8 9

13 12

16 100

1 100

43. Transforme os resultados dos itens (f), (g) e (h) anteriores em frações.

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Anteceda o exercício 42 com estimativas feitas pelos alunos, perguntando quanto à parte inteira de: a) raízes quadradas de números entre zero e 1 (decimais de parte inteira zero); b) raízes quadradas de números entre 1 e 4 (decimais de parte inteira 1); c) raízes quadradas de números entre 4 e 9 (parte inteira 2). Peça que justifiquem as respostas. 42. a) 0,75; b) 0,94; c) 0,36; d) 1,04; e) 0,67; f) 0,4; g) 0,3; h) 0,1. 43. (f) 4/10, (g) 3/10, (h) 1/10. O objetivo do exercício 44 é que os alunos “descubram” que, para números positivos, . Explore mais exemplos com esta característica.

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44. a) 4/10; b) 3/10; c) 1/10. Possível resposta: Concluímos que, se a e b são números positivos, a = b

. b Comente com a turma que o procedimento descrito na resposta 44 é válido, em geral, sistematizando a regra correspondente. Veja a observação da página 14. No capítulo 8, ao estudarem os expoentes fracionários, esta conclusão será justificada. Aqui, abordamos apenas o caso de numeradores e denominadores que são quadrados perfeitos. Explore atividades análogas às anteriores para produtos. Assim: a) Dadas as raízes , proponha que os alunos calculem os produtos e depois, usando a calculadora, calculem as raízes quadradas. Depois, em cada caso, que calculem as raízes quadradas de cada fator, multipliquem os resultados e comparem com as raízes quadradas dos produtos. b) Em seguida, descrevam com suas palavras o que observaram. Também aqui o objetivo é, para positivos: . Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 47. a) 2,5; b) 0,25; c) 0,025; d) 0,0025; e) 25,3; f) 2,53; g) 0,253; h) 0,0253. 48. a) 3,5698 x 102; b) 2,3687 x 104; c) 3,2 x 1010; d) 4,5 x 10–4; e) 7 x 10–6.

44. Usando os resultados anteriores, copie e escreva em seu caderno as

raízes quadradas a seguir na forma de fração. Depois, discuta com seus colegas se descobriram algum fato interessante. Caso afirmativo, descreva que conclusões foram tiradas.

16 = 100

9 = 100

1 = 100

Aprendendo em casa 45. Observe a tabela: Potências de três

3–1

2–2

2–3

Valores

1 3

1 9

1 27

Responda:

a) Qual é a terça parte de 81? E de 27? E de 9?

b) Na segunda linha, cada número é igual ao anterior, dividido por quanto? c) Qual é a terça parte de 1 ?

45. a) 27, 9, 3, respectivamente; b) Dividido por três; c) 1/9; d) 1/27.

3 d) Qual é a terça parte de 1 ? 9

46. Copie e complete: −2

2 5 a)   =   = 5 2

−2

 3 8 b)   =   = 8  3

47. Copie em seu caderno e complete: a) 25 × 10–1 = b) 25 × 10–2 =

c) 25 × 10–3 =

? ? ?

? = ? = ?

d) 25 × 10–4 = e) 253 × 10–1 f) 253 × 10–2

46. a) 25/4; b) 64/9.

g) 253 × 10–3 =

h) 253 × 10–4 =

? ?

48. Escreva os números a seguir como produto de um decimal com um algarismo na parte inteira multiplicado por uma potência de dez:

a) 356,98 b) 23 687

c) 32 000 000 000 d) 0,00045

e) 0,000007

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49. Use a calculadora e verifique que

17, 48  4,1809089.

Use este resultado e escreva os valores aproximados, por falta, 17, 48 :

a) A menos de um décimo.

49. Verificação do aluno a) 4,1; b) 4,18; c) 4,180; d) 4,1809.

50. a) 1,36; b) 0,66; c) 0,73; d) 0,76; e) 0,67; f) 0,6; g) 0,9.

b) A menos de um centésimo. c) A menos de um milésimo.

d) A menos de um décimo de milésimo.

50. Calcule os valores decimais ou exatos das frações a seguir. Depois, cal-

cule suas raízes quadradas exatas ou aproximadas, por falta, conforme cada caso:

13 7

8 15

5 11

4 9

7 12

36 100

81 100

Recorde o conceito de semirretas opostas (desenhe três pontos colineares A, B, C com B entre A e C e pergunte o nome da semirreta oposta à semirreta BC). Recorde o conceito de coordenada (ou abscissa) de um ponto na reta numerada.

Coordenadas e aplicações Explorando o que você já sabe Observe a reta numerada: C

–8

–

1 2

P 1

7 4

Responda ou faça o que se pede:

• • • • • • • • •

Dê o nome de duas semirretas opostas de origem O. Três coordenadas correspondem a números naturais. Quais são eles? Qual é o ponto cuja abscissa é um número inteiro negativo? Qual é essa abscissa? Qual é a abscissa da origem O?

ATIVIDADES ORAIS • OC e OP. • 0, 1 e 2. • O ponto C. A abscissa é – 8. • Zero. • OP. • 4/4 e 8/4. • 8/4 – 7/4. • 7/4 – 4/4. • Ao ponto de abscissa 2.

Em qual das semirretas se localizam os pontos de abscissas positivas: OP ou OC? Quais são as expressões dos números l e 2 como frações de denominador 4? 7 4 8 7 Quem é menor: – ou – ? 4 4 4 4 Qual dessas duas diferenças corresponde à distância entre P e o ponto de abscissa 1? A outra dessas duas diferenças corresponde à distância entre P e qual ponto da reta numerada?

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Comente com os alunos que as atividades a seguir são muito semelhantes ao jogo muito conhecido por eles, chamado de “batalha naval”. Caso alguns não conheçam, peça aos que conhecem que usem o quadro para explicar como é este interessante jogo.

Aprendendo em sala de aula Você já sabe que para dar a localização de um ponto numa reta, escolhidas a origem e a orientação, basta um número real. Sabe, também, que esse número chama-se coordenada ou abscissa do ponto. Mas, como proceder se você quiser representar a posição de um ponto no plano? A resposta a essa pergunta é o que você verá nas próximas atividades.

51.Observe os dois nomes a seguir:

Desenhe, no quadro, apenas o primeiro quadrante, como na figura ao lado, e explore os conceitos de par ordenado, abscissa, ordenada e origem através de exercícios para os alunos resolverem. 52. a) Q; b) P.

José Maria

51. Não. José Maria é nome de homem e Maria José é nome de mulher.

Maria José

Eles podem representar a mesma pessoa? Justifique sua resposta.

52. Imagine que você está em uma esquina e recebe, de duas pessoas, as seguintes informações:

• •

Para chegar à esquina que você quer, basta seguir para a direita 5 quadras e, depois, virar à esquerda, caminhando 2 quadras. Para chegar à esquina que você quer, basta seguir para a direita 2 quadras e, depois, virar à esquerda, caminhando 5 quadras.

Para ajudar seu raciocínio, observe a figura e imagine que, quando recebeu as informações, você estava na origem das semirretas. Nestas condições, as expressões “andar para a direita” e “andar para a esquerda” devem ser entendidas como andar no sentido 8 da semirreta horizontal e da semir7 reta vertical, respectivamente. 6

a) Seguindo a primeira informação, em qual ponto você chegaria: P ou Q?

b) E seguindo a segunda informação?

Observe: ao lado de P, se vê escrito (2,5) e, ao lado de Q, se vê escrito (5, 2).

• Dizemos que 2 é a abscissa de P e 5 a ordenada de P

P (2,5)

5 4 3

Q (5,2)

2 1 0

origem

Comente com os alunos que, tal como neste exercício, em Matemática existem diversas situações em que a ordem dos termos é importante. Cite alguns exemplos, como: (a) Diferença entre dois números: a diferença entre 8 e 3, nesta ordem, é 5, enquanto a diferença entre 3 e 8, nesta ordem, é –5. (b) Calcular o quadrado da soma é diferente de calcular a soma dos quadrados. E outros.

• Dizemos que 5 é a abscissa de Q e 2 é a ordenada de Q Como se vê a ordem na qual os números são escritos é importante. Por esse motivo, dizemos que (2, 5) e (5, 2) são “pares ordenados” de números reais. Escrevemos: (2, 5) e lemos: “par ordenado dois, cinco”. (5, 2) e lemos: “par ordenado cinco, dois”. Dizemos que: (2, 5) representa as coordenadas de P. (5, 2) representa as coordenadas de Q.

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53. A seguir, observe a figura e a convenção relacionada com ela. (A) Pontos do eixo dos x têm abscissas positivas se situados à direita da origem, e negativas se situados à esquerda. (B) Pontos do eixo dos y têm ordenadas positivas se situados acima da origem, e negativas se situados abaixo. y

eixo dos y

D H X

eixo dos x

(ou eixo das ordenadas)

(ou eixo das abscissas)

Desenhe, no quadro, um sistema de coordenadas cartesianas como na figura do exercício 53. Proponha exercícios semelhantes para os alunos resolverem. Explore situações relacionadas com pontos sobre os eixos coordenados para que os alunos notem que, neste caso, uma das coordenadas é zero. Em particular, explore as coordenadas da origem. 53. C (2; 2); D (4; 2); E (–4; 4); F (–3; – 4); G (3; – 3); H (3; 0); I (0; – 2).

origem G

Considerando que os lados dos pequenos quadradinhos medem 1, pela convenção, temos para alguns dos pontos as seguintes coordenadas: A = (2,5), B = (4,5). Agora escreva, em seu caderno, as coordenadas de todos os outros pontos desde o ponto C até o ponto I.

54. Os eixos coordenados formam quatro ângulos retos que limitam regiões do plano chamadas de “quadrantes”. Veja, na figura, a identificação de cada um dos quadrantes:

Diga a qual quadrante pertence um ponto de coordenadas (x, y), se:

2º quadrante

1º quadrante

3º quadrante

4º quadrante

a) x é positivo e y é negativo. b) x é negativo e y é positivo. c) x e y são positivos. d) x e y são negativos.

Diga a qual eixo coordenado pertence um ponto de coordenadas (x, y), se:

e) x é igual a zero e y é diferente de zero. f) x é diferente de zero e y é igual a zero.

54. a)4º quadrante; b) 2º quadrante; c) 1º quadrante; d) 3º quadrante; e) eixo das ordenadas; f) eixo das abscissas. Peça a um aluno que desenhe no quadro um sistema cartesiano e, nele, marque o ponto P de coordenadas (2, 5). Depois, que use esta representação para ler o texto do alto da página 35, identificando todos os elementos nele citados. Professor(a): com base em diversos exercícios deste capítulo, proponha situaçõesproblema contextualizadas, relacionadas com outros blocos de conteúdo, bem como as diversas áreas do conhecimento humano. Para isto, veja as diversas sugestões no item 7.1 do Manual do Professor contidas nas páginas 22 a 28.

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Sugira pesquisas sobre algum ou alguns desses fatos (para apresentação em próximas aulas): a) Quem foi René Descartes? b) Quais os principais trabalhos de Descartes na Matemática? c) O que é a Geometria Analítica?

Esclareça que, para facilitar a compreensão, utilizamos números inteiros como coordenadas dos pontos. Entretanto, é necessário entender que: a) A cada ponto do plano cartesiano corresponde um único par ordenado (x, y) cujas coordenadas são números reais. b) A cada par ordenado (x, y) cujas coordenadas são números reais corresponde um único ponto no plano cartesiano.

Se o par ordenado (2, 5) contém as coordenadas de um ponto P, podemos resumir:

• 2 é a abscissa ou primeira

(2, 5)

• A abscissa é medida no eixo horizontal;

• A ordenada é medida no eixo vertical; horizontal.

vertical.

• • • • •

coordenada do ponto P;

• Dá a distância de P ao eixo

A reta horizontal é chamada de eixo das abscissas ou eixo dos x. A reta vertical é chamada de eixo das ordenadas ou eixo dos y. Os dois eixos formam o que se chama um sistema de coordenadas cartesianas. O ponto de interseção dos eixos chama-se “origem” do sistema de coordenadas. Os números x e y do par ordenado (x, y), que dá a posição de um ponto P no plano, chamam-se coordenadas do ponto P. Dado um sistema de coordenadas, tem-se que: A cada ponto do plano corresponde um único par ordenado de números reais. A cada par ordenado de números reais corresponde um único ponto do plano.

Se julgar necessário, reveja os conceitos de simetria e eixo de simetria, estudados nos anos anteriores. 55. a) B e B’ são simétricos em relação ao eixo dos y porque estão na mesma perpendicular ao eixo e estão a uma mesma distância deste eixo; (outra resposta possível; C e B). b) B e A’ não estão em uma mesma perpendicular ao eixo dos x bem como não equidistam de tal eixo; c) São, porque têm três pares de lados simétricos em relação a este eixo (os extremos desses pares de lados são simétricos em relação ao eixo dos x).

• 5 é a ordenada ou segunda

coordenada do ponto P;

55. Observe as figuras I e II a seguir: (I)

( II )

y A’ (–3, 4)

O B

A (3, 4) P (–2, 1)

C’

Q (–1, 3)

x B’

R (3, 2) x

P’ (–2, –1)

Q’ (–1, –3)

R’ (3, –2)

Na figura (I), os pontos A e A’ são simétricos em relação ao eixo dos y porque estão na mesma perpendicular ao eixo das ordenadas e suas distâncias ao eixo são iguais.

a) Identifique outro par de pontos simétricos da figura I, diga em relação a qual eixo esses pontos são simétricos e por que são simétricos.

b) Escreva razões para justificar por que os pontos B e A’ não são simétricos em relação ao eixo dos x.

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c) Os dois triângulos da figura II são simétricos em relação ao eixo dos x? Por quê?

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56. Considere que os dois triângulos da figura a seguir são simétricos em relação ao eixo dos y:

y A

A’

B’

56. a) (2, 7); b) (–8, 3); c) É o par ordenado (5, –8) porque C’, sendo do quarto quadrante, tem que ter abscissa positiva e ordenada negativa; d) (–5, –8).

C’

a) Se as coordenadas de A são (–2, 7), quais são as coordenadas de A’? b) Se as coordenadas de B’ são (8, 3), quais são as coordenadas de B? c) Qual dos pares a seguir pode conter coordenadas de C’: (–5; 8) ou (5, –8)? Justifique

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

sua resposta.

d) Agora, com base no item anterior, dê as coordenadas de C.

Aprendendo em casa 57. Observe a figura abaixo e escreva as coordenadas dos pontos A, B, U, V, X, Y, Z, W, S, T.

v x

O y z

Recorde o conceito de ponto médio M de um segmento AB: M deve pertencer ao segmento AB e satisfazer à condição AM = MB.

57. A (0, –3); B (3, –3); U (5,4); V (4,0); X (–2,0); Y (–3, –2); Z (– 3, –3); W (0,1); S (–3,3); T(2,3).

58. Para cada item a seguir desenhe, em um papel quadriculado, dois eixos coordenados como na figura anterior, e faça o que se pede.

a) Marque os pontos A = (3, 4), B = (–3, 4), C = (–5, –3), D = ( 5, –3). Agora, desenhe

58. a) Trapézio isósceles; b) Losango; c) É o ponto médio das duas diagonais.

o quadrilátero ABCD. Como se chama o quadrilátero que você desenhou?

b) Marque os pontos X = (5, 0), Y = (0, 3), Z = (–5, 0) e W = (0, –3). Agora, desenhe o quadrilátero XYZW. Como se chama o quadrilátero que você desenhou?

c) Pinte as duas diagonais do quadrilátero XYZW de cores diferentes. O que se pode dizer da origem do sistema de coordenadas em relação a essas diagonais?

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Logo após o texto que contém a definição da raiz quadrada, explore atividades como as propostas a seguir, para que os alunos “descubram” o processo de simplificar raiz quadrada dividindo expoentes pares por 2: a) a raiz quadrada de 16, considerando 16 como quadrado de 4; b) fatorar 16 para que os alunos verifiquem que a raiz quadrada de 16 é igual à raiz quadrada de 24, que é igual a 22 ; c) atividades análogas às anteriores com 64 como quadrado de 8 ou quadrado de 23; d) idem, com 81 = 92 = 34.

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais Você já sabe que:

4 = 2 porque 22 = 4;

22 = 2

9 = 3 porque 32 = 9.

32 = 3

De modo equivalente, podemos dizer: Em geral, se representarmos um número real positivo pela letra a, temos:

a2 = a

Você já sabe que, sendo a e b números reais positivos, tem-se: ab = a × b Como 8 = 23 = 22 × 2, temos: Também,

72 =

8 = 23 = 22 × 2 = 22 ×

2 = 2 2.

8 × 9 = 23 × 32 = 22 × 2 × 32 = 2 × 3 2 = 6 2 .

Este processo chama-se “simplificação de radicais”. Em geral, se os radicandos são números compostos, procedemos como se vê descrito no quadro.

Se achar adequado, defina e dê exemplos: (a) Valor absoluto: |a| = a se a ≥ 0 e |a| = –a a < 0, (a e ); (b) Raiz quadradda: a2 = |a|, a ≥ 0, a  .

Para simplificar um radical contendo o símbolo de raiz quadrada:

• •

Fatora-se o radicando.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque ao lado.

•

Se os expoentes forem ímpares, escrevem-se os fatores correspondentes como produtos de dois fatores, um contendo o maior par contido no expoente ímpar obtido e outro com expoente l.

Comente com a turma que o procedimento descrito no quadro em destaque se restringe, no momento, a números naturais que possam ser fatorados completamente, bem como a monômios.

•

Extraem-se os fatores de expoente par dos radicais, dividindo os expoentes por dois, e conservam-se no radical os de expoente l.

•

Efetuam-se os produtos indicados.

Dividem-se os expoentes pares por dois, extraindo os fatores correspondentes do radical.

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Veja mais alguns exemplos: (considere a, b e x números reais não negativos)

59. a) 2 2; b) 2 5; c) 2 6; d) 4 3; e) x2y3; f) 3 3; g) 3 5; h) 6 2.

(A)

300 = 22 × 3 × 52 = 22 × 52 × 3 = 2 × 5 3 = 10 3 ;

( B)

80 = 24 × 5 = 24 × 5 = 22 × 5 = 4 5 ;

Recorde que em x.x, o ponto representa multiplicação.

(C)

1 260 = 22 × 32 × 5 x 7 = 22 × 32 × 5 × 7 = 2 × 3 × 35 = 6 35 ;

(D)

84x 4 = 22 × 3 × 7x 4 = 22 × x 4 × 3 × 7 = 2x 2 21;

Recorde que em (ab)(a2c) os parênteses representam a multiplicação dos dois monômios.

(E )

32 a b =

60. Os números 3/4,  9 e 1,25. 5

2 a b =

2 × 2 a ab b = 2 a b 2 ab = 4 a b 2 ab . 4

59. Simplifique os radicais a seguir: (considere x e y positivos) a)

d) 48

x 4y 6 27

g) h)

45 72

60. O conjunto dos números reais positivos é representado por +*. Quais números reais a seguir pertencem a esse conjunto?

a) –

1 8

c) 1,25

d) 0

3 4

Você sabia? O número π é um dos mais famosos números irracionais. É definido como a razão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro.

π=

0 c

c d

O grande matemático grego Arquimedes (287-212 a.C.) calculou uma das primeiras aproximações racionais de π : π  22 . 7

Recomende ou explore a leitura de: “Frações e números decimais” Coleção Pra que serve a Matemática? Imenes – Jakubo – Lellis Atual Editora Ao término do estudo do capítulo, reveja com os alunos, a seu critério, o significado de alguns dos termos destacados na cor azul no capítulo. Ao elaborar questões de verificação da aprendizagem, um bom recurso é utilizar problemas semelhantes aos explorados no capítulo trocando algum dado pela incógnita e vice-versa (e respectivos valores). Exemplificando: Situaçãoproblema explorado: Luciana quer comprar um celular mas possui apenas ¾ do preço: R$ 321,00. Qual o preço do celular? Situação-problema de verificação: Luciana quer comprar um celular que custa R$ 640,00, mas possui apenas ¾ desse valor. Quanto Luciana precisa ter a mais para comprar o celular? Observe que existem, pelo menos, duas maneiras de resolver este problema. Outra sugestão: Usar recíprocas de situações dadas. Exemplificando: Dadas as medidas dos lados de um quadrado, pedir para calcular a medida do lado do hexágono regular que tem o mesmo perímetro do quadrado. Verificação: Dadas as medidas dos lados de um hexágono regular, pedir para calcular as medidas dos lados de um quadrado que tem o mesmo perímetro do hexágono.

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Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Reveja os exercícios

Como reconhecer números naturais como inteiros, inteiros como racionais e racionais como reais.

1 a 7, 21 a 23.

Como usar a calculadora para obter o decimal equivalente a uma fração.

10, 11, 13.

Como identificar frações cujas expressões em decimais sejam finitas ou periódicas, e como reconhecer períodos de dízimas periódicas.

10, 11, 13, 19, 20.

Como transformar dízimas em frações.

12.

Como identificar decimais como números racionais ou números irracionais, positivos ou negativos.

9, 14 a 16.

Como usar o conceito de subconjuntos para representar os diagramas dos conjuntos N, ,  e .

26 e 27.

Como dar valores aproximados de racionais ou de irracionais a menos de um décimo, um centésimo, um milésimo etc.

17, 18, 20.

Como representar frações ou decimais na reta numerada.

8 e 24.

Como calcular potências de expoentes negativos.

28 a 30, 45, 46.

Como usar potências de dez com expoentes negativos para representar decimais.

31 a 34, 47, 48.

Como calcular raízes quadradas aproximadas por tentativas ou usando a calculadora. (Aproximações a menos de um décimo, um centésimo, um milésimo etc.)

35 a 44, 49, 50.

Como localizar pontos no plano cartesiano usando pares ordenados de números reais: suas coordenadas.

51 e 52.

Como identificar: eixos cartesianos, plano cartesiano, quadrantes, abscissas e ordenadas.

51 a 54, 57.

Como construir ou identificar figuras simétricas no plano cartesiano.

55 e 56.

Como construir polígonos no plano cartesiano, dadas as coordenadas de seus vértices.

58.

Como simplificar radicais usando a fatoração.

59.

Como representar o conjunto dos números reais positivos e identificar se números reais dados pertencem ou não a esse conjunto.

60.

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Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página.

Leia o último texto da página 10 (Observação importante).

• Resolver problemas relacionados com os conceitos de porcentagem, principal e taxa.

• • • •

Resolver problemas relacionados com juros simples e juros compostos. Resolver problemas de cálculos de aumentos percentuais. Resolver problemas de cálculos de descontos percentuais. Resolver problemas de cálculos de comissões.

Valor em reais

Porcentagem de aumento

120

18%

50%

160

25%

Valor em reais

Porcentagem de desconto

18%

50%

25%

Cálculo do aumento

Valor após aumento

Outra forma de calcular

Cálculo do desconto

Valor após desconto

Outra forma de calcular

Júlia Bianchi, 2006

Neste capítulo, você vai aprender como:

Capital emprestado: R$ 600,00. Taxa mensal de juros simples: 2% a.m. Tempo de empréstimo: 7 meses. Cálculo dos juros a cada mês: Cálculo dos juros após 7 meses: Cálculo do montante após 7 meses:

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? i = 3% = ? t =? C.i = ? j = C.i.t =? C=

M = C + C.i.t =

10/05/13 20:09

Porcentagem, principal e taxa Explorando o que você já sabe • • •

Diga como se lê: 32%. Qual é a fração de denominador 100, equivalente a 12%?

15% e 0,15 representam uma mesma fração. Qual? • A fração 43 representa quantos por cento? 100

Professor(a): para a sequên-cia das atividades das aulas, recomendamos criar o hábito de ler as sugestões que faço, antes de explorar os exercícios cujos números das respostas são colocados posteriormente a essas sugestões, porque a maior parte delas ou reforça atividades anteriores, ou, principalmente, prepara os alunos para as atividades seguintes Releia: na página 10, “Observação importante” e, na página 11, Recado ao(à) professor(a): “Aproveitamos (...) e exploreas”. ATIVIDADES ORAIS • Trinta e dois por cento. • 12/100. • 15/100. • 43%.

Aprendendo em sala de aula

Júlia Bianchi, 2006

Você vai fazer alguns exercícios de “aquecimento”. Para isso, vamos relembrar três conceitos e três fórmulas que já conhecemos:

Na informação: “Em cada 20 jogos disputados, o time A ganhou do time B 16 jogos, ou seja, 80% dos jogos disputados”,

✓ o total de jogos (20) é o principal: (C)

✓ 80% é a taxa: (i)

✓ o número de jogos ganhos (16) é a porcentagem: (P)

Destaque a porcentagem, o principal e a taxa em:

a) 840 kg são 70% de 1 200 kg.

b) Calculando‑se 7% de R$ 680,00, encontra‑se R$ 47,60.

2. Dada a taxa e o principal, calcule as porcentagens nos seguintes casos: a) 12% de R$ 600,00.

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b) 15% de 80 gramas.

c) 25% de 48 metros.

As diversas operações relacionadas com os assuntos abordados a seguir envolvem cálculos que, de preferência, devem ser efetuados usando calculadoras. Duas razões justificam esta sugestão: 1a) É importante que os alunos, a partir deste ano, adquiram completo domínio do uso da calculadora (evidentemente fazendo uma avaliação prévia do resultado a obter). 2a) O evidente ganho de tempo, principalmente porque a maior parte das operações propostas envolve cálculos com decimais. 1. a) Porcentagem: 840, principal 1 200, taxa 70%; b) Porcentagem: 47,60, principal 680, taxa 7%. Antes do exercício 2, recorde: 12% = 12/100 = 0,12. Logo, 12% de 350 = 0,12 x 350 = 42. Recorde, também, dividindo, que 42/350 = 0,12 = 0,12% e 16/80 = 0,2 = 0,20 = 20%. 2. a) R$ 72,00; b) 12 gramas; c) 12 metros. Pergunte: É possível que a porcentagem seja maior que o principal? Caso afirmativo, o que dizer da taxa? R) Sim. Neste caso, a taxa é maior que 100%. Dê um exemplo de um acréscimo maior que 100% (de preferência, use interdisciplinaridade – sugestão: fenômenos biológicos x crescimento populacional).

10/05/13 20:09

Explore o exercício 3: o “sinal” é a porcentagem calculada à taxa de 5% sobre o capital de R$ 84 000,00.

Ao ser negociada a compra de um apartamento, ficou combinado que o comprador daria ao vendedor 5% do valor do imóvel como sinal, até que fossem providenciados os documentos nos cartórios. Se o apartamento custava R$ 84 000,00, de quanto foi esse sinal?

Dada a taxa e o principal, que conta você faz para calcular a porcentagem?

Dada a porcentagem e o principal, calcule a taxa em cada caso:

3. R$ 4 200,00. Faça um breve comentário sobre o que seja “sinal” de compra, bem como as providências mínimas necessárias na aquisição de um imóvel: “contrato de compra e venda”, “escritura”, “registros” e as taxas necessárias a serem pagas: ITBI, taxas de cartórios, financiamentos, comissões de corretores etc.

No 5(a), 16 = (x%) (80)  x = 16/80 = 0,20 = 20%, (b) e (c), análogos. 5. a) 20%; b) 30%; c) 25%.

Júlia Bianchi, 2006

4. Multiplico a taxa (escrita na forma decimal) pelo principal.

6. 3%. 7. Divido a porcentagem pelo principal e escrevo os centésimos obtidos como “por cento”.

6. Por um apartamento que custa R$ 80 000,00, Lúcio pagou em janeiro deste ano R$ 2 400,00 de IPTU (Imposto Predial e Territorial Urbano). Qual foi a taxa cobrada pela Prefeitura?

Em 8 (a), faça 387 = 0,45x  x = 387/0,45, (b) e (c) análogos. 8. a) R$ 860,00; b) 480; c) 584 kg.

7. Dada a porcentagem e o principal, que conta você faz para calcular a taxa? 8. Dada a porcentagem e a taxa, calcule o principal em cada caso a seguir: a) R$ 387,00 são 45% de qual valor?

9. R$ 18 000,00. Sugira pesquisas sobre as diversas modalidades de seguros existentes. Explore também guias de IPTU e o significado de seus dados.

b) 72 são 15% de que número?

10. Divido a porcentagem pela taxa, escrita na forma de decimal.

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c) 146 kg são 25% de quantos kg? Celso pagou R$ 1 080,00 por um ano de seguro total de um automóvel. Se a seguradora cobra 6% do valor do veículo, qual é o valor do automóvel de Celso?

Júlia Bianchi, 2006

Caso julgue necessário, proponha mais atividades como as propostas nos exercícios 2, 5 e 8.

a) 16 alunos são quantos por cento de 80 alunos? b) 54 jogos são quantos por cento de 180 jogos? c) 30 m2 são quantos por cento de 120 m2?

10.

Dada a porcentagem e a taxa, que conta você faz para calcular o principal?

10/05/13 20:09

Resolvendo os exercícios 4, 7 e 10 anteriores, você usou frases da linguagem comum para dizer como calcular cada um dos valores: porcentagem, taxa ou o principal quando se conhece o valor dos outros dois. Observe que, se chamamos a porcentagem de P, a taxa de i e o capital de C, no cálculo da porcentagem correspondente à taxa de 12% de um capital de R$ 600,00, o que fizemos foi: P = 0,12 × 600 = 72, ou seja, em linguagem corrente: porcentagem = taxa vezes capital e, em linguagem matemática: P = i.C P P Desta fórmula, deduzimos facilmente duas outras: , que =i = eC i C correspondem ao que você já expressou em linguagem comum:

 para calcular a taxa, divido a porcentagem pelo capital  para calcular o capital, divido a porcentagem pela taxa Observe que, nos cálculos, a taxa é expressa na forma decimal.

Aprendendo em casa 11.

Destaque a porcentagem, o principal e a taxa em cada item abaixo:

a) 1 080 kg são 60% de 1 800 kg.

b) Calculando-se 12% de R$ 900,00, encontra-se R$ 108,00.

12. Dada a taxa e o principal, calcule as porcentagens nos seguintes casos: a) 15% de R$ 800,00.

Por questão de economia de espaço, muitas das respostas inseridas nas margens são breves. Entretanto, é necessário criar nos alunos o hábito de enunciar as respostas coerentes com as perguntas o mais completas possível. Exemplo: Quanto Jorge pagou pela bola? R) Jorge pagou ou R$.... pela bola (e não, simplesmente, R$....). Deixe claro para os alunos que as fórmulas para calcular porcentagem, taxa e principal não são de uso obrigatório. Apenas resumem em linguagem matemática o que, enunciaram em linguagem comum. Confirme, entretanto, que tais fórmulas são verdadeiras, para que não fiquem com a falsa ideia de deduções a partir de casos particulares. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 11. a) Porcentagem: 1080; principal: 1 800; taxa: 60%; b) Porcentagem: 108,00; principal: 900; taxa: 12%. 12. a) R$ 120,00; b) 21,6 gramas; c) 84 metros.

b) 18% de 120 gramas.

13.

14.

c) 35% de 240 metros.

Ao ser negociada a compra de um apartamento, ficou combinado que o comprador daria 4% de sinal ao vendedor, até que fossem providenciados os documentos nos cartórios. Se o apartamento custava R$ 104 000,00, de quanto foi esse sinal?

13. R$ 4 160,00. 14. a) 30%; b) 25%; c) 20%.

Conhecendo a porcentagem e o principal, calcule a taxa, em cada caso:

a) 27 alunos são quantos por cento de 90 alunos? b) 60 jogos são quantos por cento de 240 jogos? c) 36 m2 são quantos por cento de 180 m2?

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15. 3%.

16. a) R$ 920,00; b) 6 500; c) 624 kg.

15.

16. Dada a porcentagem e a taxa, calcule o principal em cada caso a seguir: a) R$ 322,00 são 35% de qual valor? b) 1 170 são 18% de qual número?

17. R$ 23 000,00.

17.

18. 5%.

19. R$ 442,00.

Por um apartamento que custa R$ 108 000,00, Lúcio pagou em janeiro R$ 3 240,00 de IPTU. Qual foi a taxa cobrada pela Prefeitura?

c) 156 kg são 25% de quantos kg?

Celso pagou R$ 920,00 por um ano de seguro total de um automóvel. Se a seguradora cobra 4% do valor do veículo, qual é o valor do automóvel de Celso?

18.

Lucas pagou R$ 1 200,00 pelo seguro total de seu automóvel, que custa R$ 24 000,00. Qual foi a taxa cobrada pela seguradora?

19.

Geraldo gasta 34% de sua renda mensal de R$ 1 300,00 com aluguel e alimentação. Calcule quantos reais Geraldo gasta com esses dois itens de despesas.

Aumentos e descontos percentuais - comissões Explorando o que você já sabe ATIVIDADES ORAIS

Cláudia pagou, em atraso, R$ 54,85 por uma conta de água cujo valor original era R$ 53,60. Pagou com aumento ou com desconto?

•

Dario aproveitou uma liquidação e pagou R$ 32,00 por uma camisa que custava R$ 36,00. Pagou com aumento ou com desconto?

• •

Acréscimo é sinônimo de aumento ou de desconto? Um corretor recebe, como comissão, 3% do valor de venda de cada apartamento que vende. O que significa isso?

Júlia Bianchi, 2006

• Pagou com aumento. • Pagou com desconto. • Aumento. • Significa que, a cada 100 reais do preço do apartamento vendido, o corretor recebe 3 reais como pagamento por seu trabalho. Pergunte aos alunos: a) Se o corretor recebe 3 reais a cada 100, quanto receberá a cada 10 000 reais? R) 3 x 100 = 300. b) Quanto o corretor recebe ao vender um apartamento de 50 000 reais? R.) 5 x 300 = 1 500 reais.

•

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Você vai resolver, passo a passo, o problema a seguir:

10/05/13 20:09

20. Um bebedouro e purificador de água custava R$ 200,00 e teve acréscimo de 3% no preço. Qual é o novo preço do bebedouro? RESOLVENDO PASSO A PASSO:

a) Qual é a fração e qual é o decimal que representam 3%?

20. a) 3/100; 0,03; b) 3 centésimos de 200; c) Por 100; por 3; d) 200 : 100 = 2; 2 x 3 = 6; e) 6 + 200 = 206; f) O novo preço do bebedouro; g) O novo preço do bebedouro é R$ 206,00.

b) Se 3% representam 3/100, calcular 3% de 200 equivale a calcular quantos centésimos de 200?

c) Para o cálculo do item (b) usando a taxa na forma de fração, por quanto se divide 200? Por quanto se multiplica depois o quociente obtido?

d) Faça os cálculos citados no item (c).

Peça aos alunos que calculem novamente o acréscimo usando a taxa como número decimal.

e) Some 3% de 200 com 200. Quanto você encontrou para a soma? f) O que significa o resultado obtido no item (e)?

21.

g) Escreva a resposta ao problema.

Multiplique 200 por 1,03 e compare com a resposta (e) do exercício anterior. Os resultados obtidos foram iguais ou diferentes? 21. Iguais.

22. Observe a tabela a seguir: Calculando aumentos Valor em reais

Porcentagem de aumento

Cálculo do aumento

Valor após aumento

Outra forma de calcular

200

200 × 0,03 = 6

200 + 6 = 206

200 × 1,03 = 206

15%

60 × 0,15 = 9

60 + 9 = 69

60 × 1,15 = 69

50%

80 × 0,50 = 40

80 + 40 = 120

80 × 1,50 = 120

120

25%

120 × 0,25 = 30

120 + 30 = 150

120 × 1,25 = 150

Lembre aos alunos a propriedade distributiva, através de exemplos como: 1o) (7 + 2) x 9 = 7x9+2x9= 63 + 18 = 81. 2o) 7 x 9 + 2 x 9 = (7 + 2) x 9 = 81. 3º) 80 + 0,15 x 80 = 1 x 80 + 0,15 x 80 = (1 + 0,15) x 80 = 1,15 x 80. 4º) 200 + 200 x 0,03 = 200 x 1 + 200 x 0,03 = 200 ( 1 + 0,03) = 200 x 1,03.

A segunda forma de calcular é mais rápida e muito fácil de entender. Veja, como exemplo, o segundo cálculo da tabela anterior. Observe que tivemos que somar 60 com 15% de 60, ou seja: 60 + 60 × 0,15 = 60 (1 + 0,15) = 60 × 1,15 Muito simples, não?

Agora, calcule os seguintes aumentos: (usando a calculadora, se quiser)

a) 15% de 80, calculando o aumento e somando com 80 para obter o novo valor após o aumento.

b) 15% de 80, obtendo de uma única vez o novo valor após o aumento.

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22. a) 0,15 x 80 + 80 = 92; b) 1,15 x 80 = 92.

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23. Copie a tabela abaixo em seu caderno e calcule os aumentos de dois modos, como no exercício anterior.

120 x 0,18 = 21,6 70 x 0,50 = 35 160 x 0,25 = 40

120

18%

50%

160

25%

Cálculo do aumento

Valor após aumento

Outra forma de calcular

24. Observe a tabela a seguir: Calculando descontos Valor em reais

Porcentagem de desconto

Cálculo do desconto

Valor após desconto

Outra forma de calcular

15%

80 × 0,15 = 12

80 – 12 = 68

80 × 0,85 = 68

50%

60 × 0,50 = 30

60 – 30 = 30

60 × 0,50 = 30

120

25%

120 × 0,25 = 30

120 – 30 = 90

120 × 0,75 = 90

18% 50% 25% 120 70 160

Valor em Porcentagem de aumento reais

Cálculo do aumento

Valor após aumento

Outra forma de calcular

23.

120 + 21,6 = 141,6 120 x 1,18 = 141,6 70 + 35 = 105 70 x 1,5 = 105 160 + 40 = 200 160 x 1,25 = 200

Valor em Porcentagem reais de aumento

Veja por que o segundo modo de calcular é equivalente ao primeiro. Por exemplo, no primeiro cálculo da tabela, para saber o desconto de 15% de 80, devemos subtrair de 80 seus 15%, ou seja: 80 – 0,15 × 80 = 80 (1 – 0,15) = 80 × 0,85 = 68

24. a) 60 – 0,15 x 60 = 51; b) 60 x 0,85 = 51.

Agora, calcule os seguintes descontos: (usando a calculadora, se quiser) 90 x 0,82 = 73,8 80 x 0,50 = 40 60 x 0,75 = 45 90 – 16,2 = 73,8 80 – 40 = 40 60 –15 = 45 90 x 0,18 = 16,2 80 x 0,50 = 40 60 x 0,25 = 15 18% 50% 25% 90 80 60

Valor em Porcentagem de desconto reais

Cálculo do desconto

Valor após do desconto

Outra forma de calcular

25.

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a) 15% de 60, calculando o desconto e subtraindo de 60 para obter o novo valor após o desconto.

b) 15% de 60, obtendo de uma única vez o novo valor após o desconto.

25. Copie a tabela abaixo em seu caderno e calcule os descontos de dois modos, como no exercício anterior. Valor em Porcentagem reais de desconto 90

18%

50%

25%

Cálculo do desconto

Valor após desconto

Outra forma de calcular

Muitos profissionais que atuam vendendo os mais variados artigos recebem uma porcentagem do preço do artigo que venderam como pagamento dos serviços prestados. Este pagamento é chamado de “comissão”. Portanto, calcular comissões é equivalente a calcular porcentagens. Veja algumas atividades relacionadas com esses cálculos.

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26. Um

corretor de imóveis vendeu um apartamento por R$ 60 000,00, recebendo 3% de comissão. Calcule quantos reais o corretor recebeu de comissão nesse negócio.

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos para resolvê-las. 26. R$1 800,00.

a) Em janeiro, ele vendeu, ao todo, R$ 42 000,00 de tecidos. Quanto ele recebeu por essas vendas?

Valor em Porcentagem de aumento reais

b) Em fevereiro, ele recebeu R$ 1 240,00 por todas as vendas que efetuou. Quanto ele vendeu em todo o mês de fevereiro?

Aprendendo em casa

25%

29. Copie a tabela, em seu caderno, e calcule os descontos de dois modos diferentes:

Valor em Porcentagem reais de desconto 120

15%

180

50%

248

25%

Cálculo do desconto

Valor após desconto

Outra forma de calcular

140 x 1,20 = 168 90 x 1,5 = 135 240 x 1,25 = 300 140 + 28 = 168 90 + 45 = 135 240 + 60 = 300 120 x 0,85 = 102 180 x 0,50 = 90 248 x 0,75 = 186 120 – 18 = 102 180 – 90 = 90 248 – 62 = 186

240

120 x 0,15 = 18 180 x 0,50 = 90 248 x 0,25 = 62

50%

15% 50% 25%

Outra forma de calcular

Valor após desconto

20%

Valor após aumento

Cálculo do desconto

140

Cálculo do aumento

Valor em Porcentagem de desconto reais

Valor em Porcentagem reais de aumento

120 180 248

diferentes:

29. Outra forma de calcular

28. Copie a tabela, em seu caderno, e calcule os aumentos de dois modos

140 x 0,20 = 28 90 x 0,50 = 45 240 x 0,25 = 60

pelas vendas que efetua. Sabe-se que:

20% 50% 25%

Cálculo do aumento

27. Maurício trabalha em uma loja de tecidos e recebe 4% de comissão

140 90 240

Valor após aumento

Júlia Bianchi, 2006

Outra forma de calcular

27. a) 1 680; b) 31 000,00. 28.

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ATIVIDADES ORAIS • 103 reais. • 309 reais. • 1 210 reais. No caso da terceira pergunta, faça com que os alunos observem que, ao final do primeiro mês, o preço passou para 1 100 reais e, portanto, para calcular o valor ao final do segundo mês, devemos somar 1100 com 10% de 1100, ou seja, 1100 + 110 =1210 reais.

Explorando o que você já sabe •

Se você tomar emprestado 100 reais com o trato de pagar ao fim do mês o que recebeu, mais 3%, quanto terá que pagar ao todo?

• •

E se a quantia emprestada for de 300 reais? Suponha que durante 2 meses uma mercadoria que custava 1 000 reais sofreu, a cada mês, 10% de aumento. Qual é o preço dessa mercadoria ao fim dos dois meses?

Júlia Bianchi, 2006

Esta é uma primeira abordagem sobre “juros compostos”, conceito de enorme importância no dia a dia.

Calculando juros simples e juros compostos

Observe os dados da tabela a seguir onde, na primeira coluna, você vê as partes de um problema seguidas de duas colunas, nas quais os significados de diversos termos e seus símbolos são esclarecidos: A

João emprestou R$ 100,00 para Pedro.

Capital emprestado: R$ 100,00.

Durante um ano.

Tempo de empréstimo:

Ao fim desse tempo, Pedro devolveu para João os R$ 100,00 e mais R$ 14,00 como recompensa pelo empréstimo.

Juros: porcentagem do capital tomado como empréstimo, a ser paga a quem emprestou ao final do tempo de empréstimo.

Quanto João recebeu ao todo ao final do empréstimo?

Montante = Capital + Juros.

Qual foi a taxa de empréstimo?

A taxa é representada por quantos por cento 14 é de 100.

M=C+j

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30. Responda, página 50:

observando a segunda e terceira colunas da tabela da

a) Como se chama a quantia emprestada e qual é a letra que a representa? b) Qual é a letra que representa o tempo de empréstimo?

c) Quem empresta, ao receber a devolução do capital emprestado, recebe também uma recompensa financeira pelo empréstimo. Como se chama essa recompensa e qual é a letra que a representa?

d) Como se calcula o “montante”?

e) Calcule quantos por cento 14 é de 100. Observe a tabela: A

Paula emprestou R$ 300,00 para Dalmo.

Capital emprestado:

Durante um ano.

Tempo de empréstimo:

Ao fim desse tempo, Dalmo devolveu para Paula os R$ 300,00 e mais R$ 45,00 como recompensa pelo empréstimo.

Juros: porcentagem do capital tomado como empréstimo, a ser paga a quem emprestou ao final do tempo de empréstimo.

Quanto Paula recebeu ao todo ao final do empréstimo?

Montante: Capital + Juros.

M=C+j

Qual foi a taxa de empréstimo?

A taxa é representada por quantos por cento 45 é de 300.

Responda:

a) Qual foi o capital emprestado?

b) Qual foi o tempo de empréstimo? c) Qual o valor dos juros pagos?

Paguei 45 reais pelo empréstimo de 300 reais. Logo, paguei 15 reais a cada 100 reais que tomei de empréstimo. Acho que paguei 15% de juros!

31. a) R$ 300,00; b) 1 ano; c) R$ 45,00; d) R$ 345,00; e) 15%. (45/300 = 0,15 = 15%)

d) Qual o valor do montante?

e) Qual foi a taxa de empréstimo?

Son Salvador

31.

30. a) Capital (C); b) t; c) Juros (j); d) Somando Capital + Juros; e) 14%.

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32. Observe esta nova tabela: Laura emprestou R$ 400,00 para Marta.

Capital emprestado:

Durante um mês.

Tempo de empréstimo:

Ao fim desse tempo, Marta devolveu para Laura os R$ 400,00 e mais certa importância como recompensa pelo empréstimo.

Juros: porcentagem do capital tomado como empréstimo, a ser paga a quem emprestou ao final do tempo de empréstimo.

A taxa de empréstimo foi de 2% ao mês.

Taxa de empréstimo:

Quando Laura recebeu ao todo ao final do emprêstimo?

Montante: Capital + Juros.

Responda:

a) Qual o valor do capital emprestado? b) Durante quanto tempo durou o empréstimo? c) Calcule os juros pagos por Marta pelo empréstimo. d) Calcule o montante recebido por Laura, ao final do empréstimo.

Uma taxa de 2% significa que, a cada 100 reais que tomo emprestado, pago 2 reais de juros. Logo, como tomei 400 reais emprestado, devo pagar 8 reais de juros.

Os cálculos ao lado são válidos porque, nos exercícios correspondentes, os tempos de empréstimo foram de 1 ano, 1 ano e 1 mês, respectivamente. Para tempos de empréstimos maiores (como 2, 3 etc. anos ou meses) veremos que os cálculos são diferentes.

M=C+j

Son Salvador

32. a) R$ 400,00; b) 1 mês; c) R$ 8,00; d) R$ 408,00.

Observe que o montante equivale a um acréscimo percentual ao capital emprestado. Portanto, se estivermos interessados em calcular o montante diretamente, sem ter que calcular os juros e somar com o capital, podemos usar o mesmo recurso já visto para calcular aumentos. Assim, teríamos: No primeiro caso (exercício 30) M = 100 x 1,14 = 114. No segundo caso (exercício 31) M = 300 x 1,15 = 345.

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No terceiro caso (exercício 32) M = 400 x 1,02 = 408.

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Até aqui, podemos resumir o que você viu assim: Termo

Símbolo

Significado

Capital

Quantia ou valor emprestado.

Tempo

Tempo de empréstimo.

Juros

Valor a ser somado ao capital, indicado sob a forma de porcentagem do capital.

Taxa

“Por cento”, que permite calcular os juros. A taxa pode ser anual ou mensal.

Montante

Soma dos juros com o capital.

Observe que só vimos situações em que o tempo de empréstimo foi ou de um ano, ou de um mês. Nas duas primeiras situações, dizemos que as taxas de juros foram anuais e escrevemos: 14% a.a. (lê-se 14 por cento ao ano). 15% a.a. (lê-se quinze por cento ao ano). Na terceira situação, dizemos que a taxa de juros foi mensal e escrevemos: 2% a.m. (lê-se dois por cento ao mês). Agora, você verá situações diferentes, através de exemplos, que permitirão distinguir os conceitos de “juros simples” e de “juros compostos”.

PRIMEIRO EXEMPLO: (EMPRÉstIMOs A JuROs sIMPLEs) Capital emprestado: R$ 800,00

C = 800

Taxa mensal de juros simples: 3% a.m.

i = 3% = 0,03

Tempo de empréstimo: 2 meses.

t=2

Cálculo dos juros a cada mês:

C.i = 800 × 0,03 = 24

Cálculo dos juros após 2 meses:

j = C.i.t = 800 × 0,03 × 2 = 48

Cálculo do montante após 2 meses:

M = C + C.i.t = C(1 + it) 800 + 800 × 0,03 × 2 = 800 + 48 = 848

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33. Copie a tabela a seguir em seu caderno e complete-a, como no exemplo anterior:

Cálculo do montante após 7 meses:

C.i = 600 x 0,02 = 12

t=7

j = C.i.t = 600 x 0,02 x 7 = 84 M = C + Cit = 600 + 600 x 0,02 x 7 = = 600 + 84 = 684 Cálculo dos juros após 7 meses:

Cálculo dos juros a cada mês:

i = 2% = 0,02 Taxa mensal de juros simples: 2% a.m.

Tempo de empréstimo: 7 meses

C = 600 Capital emprestado: R$ 600,00

33.

Deduza, a partir da última linha da tabela do exercício 33, outra expressão para o montante: M = C(1 + it), e proponha aos alunos que a apliquem usando os dados do mesmo exercício.

Capital emprestado: R$ 600,00

Taxa mensal de juros simples: 2% a.m.

i = 2% =

Tempo de empréstimo: 7 meses. Cálculo dos juros a cada mês: Cálculo dos juros após 7 meses: Cálculo do montante após 7 meses:

? C.i = ? j = C.i.t = ? t=

M = C + C.i.t =

SEGUNDO EXEMPLO: (EMPRÉSTIMOS A JUROS COMPOSTOS) Agora, veja como calcular o montante do empréstimo de R$ 800,00 a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, durante dois meses. Acompanhe os cálculos: Juros ao final do primeiro mês de empréstimo: 3% de 800 reais. Cálculos: 800 x 0,03 = 24. Montante ao final do primeiro mês: 824 reais. No segundo mês considera-se emprestado não mais 800 reais, mas sim 824 reais, ou seja, o montante obtido ao final do primeiro mês. Juros do empréstimo de 824 reais a 3% ao mês. Cálculos: 824 x 0,03 = 24,72. Montante ao final do segundo mês de empréstimo: 800 + 24 + 24,72 = 848,72.

TERCEIRO EXEMPLO: (COMPARANDO OS DOIS TIPOS DE EMPRÉSTIMOS) Na prática, os empréstimos não são feitos a juros simples, e é fácil entender a razão. Imagine que você tenha emprestado 100 reais a 10%, durante 2 meses. Como você já sabe, 10% de 100 reais são 10 reais. Portanto, em 2 meses você receberia 20 reais de juros. No empréstimo a juros simples, ao final de 2 meses você receberia um montante de 120 reais.

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Agora, imagine que você emprestou para uma pessoa 100 reais a 10% durante 1 mês. Logo, receberia, ao fim do mês, 110 reais. Então, você passaria a ter não mais 100 reais para emprestar, mas sim 110 reais. Emprestando este montante novamente a 10% durante um mês, você receberia um montante de 121 reais (porque 10% de 110 reais são 11 reais, que, somados aos 110 anteriores, resultam em 121 reais). Logo, se a cada mês ao capital emprestado se somam os juros rendidos, o montante final será maior do que o montante correspondente a juros simples. Este tipo de juros é chamado de “juros compostos”. Note a diferença: empréstimos a juros simples não consideram o fato de que, ao final do primeiro mês, existe não mais a importância inicial emprestada, mas sim a soma dela com os juros correspondentes. O mesmo ocorre com os meses seguintes. Já no caso de juros compostos, que são os aplicados na prática, sempre se levam em consideração os diversos montantes sucessivos. Veja no quadro a seguir como a dívida cresce muito mais a juros compostos:

Son Salvador

Assim, tem-se um capital inicial que, emprestado, gera ao final de certo período (1 mês, 1 ano etc.) um determinado montante M1. Aplicado M1, obtém-se novo montante M2, e assim sucessivamente.

TOTAL ACUMULADO DA DÍVIDA Valor emprestado: R$ 10 000,00 4% ao mês, a juros simples

Após 1 mês

Após Após Após Após Após 2 meses 3 meses 4 meses 5 meses 6 meses

10 400,00 10 800,00 11 200,00 11 600,00 12 000,00 12 400,00

4% ao mês, 10 400,00 10 816,00 11 248,64 11 698,59 12 166,53 12 653,19 a juros compostos 5% ao mês, a juros simples

253,19

10 500,00 11 000,00 11 500,00 12 000,00 12 500,00 13 000,00

5% ao mês, 10 500,00 11 025,00 11 576,25 12 155,06 12 762,81 13 400,95 a juros compostos 10% ao mês, a juros simples

Diferença ao fim de 6 meses

400,95

Comente com os alunos o grande perigo dos empréstimos a taxas elevadas de juros compostos. Observe que um empréstimo de 10 000 reais, à taxa de 10% ao mês, gera uma dívida ao fim de 6 meses de R$ 17 715,60. Note que existem operações de crédito em certos estabelecimentos bancários que cobram juros mais altos que 10%, ao mês, como saldos em cheque especial e dívidas em cartões de crédito.

11 000,00 12 000,00 13 000,00 14 000,00 15 000,00 16 000,00

10% ao mês, 11 000,00 12 100,00 13 310,00 14 641,00 16 105,10 17 715,61 a juros compostos

1 715,61

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34. a) 3 600 x 0,05 + 3 600 = 3 780; b) 3 600 x 1,05 = 3 780; c) 3 780 x 0,05 + 3 780 = 3 969; d) 3 780 x 1,05 = 3 969; e) 3 969 x 0,05 + 3 969 = 4 167,45; f) 3 969 x 1,05 = 4 167,45; g) Para calcular o montante do empréstimo de certo capital, multiplicamos este por (1,05)(1,05)(1,05), ou seja, por (1,05)3; h) (20 000)(1,04)4.

Recorde como calcular potências usando calculadora. Exemplificando: em alguns modelos mais comuns (1,04)4 se calcula digitando 1,04, e, em seguida ×, e depois três vezes o sinal = . Em outros modelos deve-se seguir outros procedimentos, que podem ser encontrados nos respectivos manuais, ou por inspeção do teclado da calculadora. Portanto, para os cálculos do item (h) do exercício 34, proceda como acima e multiplique o resultado por 20 000, obtendo como produto 23 397,17. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o primeiro quadro em destaque, desta página.

EXEMPLO DE CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS Calcular o montante do empréstimo de 3 600 reais a juros compostos de 5% ao mês, ao final de três meses. Cálculo de juros compostos Valores em reais Valor emprestado

3 600

Montante ao final do primeiro mês

3 600 × 1,05 = 3 780

Montante ao final do segundo mês

3 780 × 1,05 = 3 969

Montante ao final do terceiro mês

3 969 × 1,05 = 4 167,45

34. Confira as contas do exemplo:

a) Para calcular o montante ao final do primeiro mês, calcule 5% de 3 600 e some com 3 600.

b) Agora, calcule direto: multiplique 3 600 por 1,05. c) Para calcular o montante ao final do segundo mês, calcule 5% de 3 780 e some com 3 780.

d) Agora, calcule direto: multiplique 3 780 por 1,05. e) Para calcular o montante ao final do terceiro mês, calcule 5% de 3 969 e some com 3 969.

f) Agora, calcule direto: multiplique 3 969 por 1,05. g) Multiplique: (3 600) (1,05) (1,05) (1,05) e descreva com suas palavras como é pos-

sível calcular, de maneira rápida, o montante de um empréstimo de certo capital à taxa de 5% de juros compostos, durante 3 meses.

h) Que conta você faria para calcular o montante de um empréstimo de 20 000 reais à taxa de 4% de juros compostos durante 4 meses?

4 800 5 040 5 292 5 556,60

Valores em reais

guindo as orientações:

Calcular o montante do empréstimo de 4 800 reais a juros compostos de 5% ao mês, ao final de três meses. Cálculo de juros compostos Valores em reais

Valor emprestado Montante ao final do primeiro mês Montante ao final do segundo mês Montante ao final do terceiro mês

CáLCULO DE JUROS COMPOSTOS

35. Agora é com você. Copie a tabela, em seu caderno, e complete-a se-

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Valor emprestado Montante ao final do primeiro mês Montante ao final do segundo mês Montante ao final do terceiro mês

a) Para calcular o montante ao final do primeiro mês, calcule 5% de 4 800 e some com 4 800.

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b) Agora, calcule direto: multiplique 4 800 por 1,05.

c) Para calcular o montante ao final do segundo mês, calcule 5% de 5 040 e some com 5 040.

d) Agora, calcule direto: multiplique 5 040 por 1,05.

e) Para calcular o montante ao final do terceiro mês, calcule 5% de 5 292 e some com 5 292.

f) Agora, calcule direto: multiplique 5 292 por 1,05.

g) Multiplique: 4 800 (1,05) (1,05) (1,05) e compare o resultado com o último montante obtido na tabela. São valores iguais ou diferentes?

No exercício 35, para calcular o montante da aplicação do capital de R$ 4 800,00 a juros compostos à taxa de 5% ao mês, durante 3 meses, concluímos que os cálculos efetuados equivalem à expressão:

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque.

M = 4 800(1+ 0,05)3

36. a) 9 358,86; b) 37 044; c) 17 665,29; d) 5 092,32.

Os matemáticos provam que: Son Salvador

37. a) 9 358,86 – 9 280,00 = 78,86; b) Juros compostos.

Para calcular o montante M da aplicação de um capital C a juros compostos à taxa de i% ao mês, durante n meses, tem-se a fórmula:

M = C (1+ i)n

36. Use a fórmula anterior para calcular os montantes das aplicações relacionadas na tabela a seguir: (escreva os decimais resultantes até a casa dos centésimos) Empréstimos a juros compostos Capital emprestado em reais

Taxa mensal

Total de meses

Montante

8 000

32 000

16 000

4 800

37. Resolva o item (a) e responda ao item (b):

a) Calcule a diferença entre os montantes de empréstimos de 8 000 reais a 4% durante 4 meses, a juros compostos e a juros simples.

b) O que é mais vantajoso: emprestar a juros simples ou a juros compostos?

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35. a) 5 040; b) 5 040; c) 5 292; d) 5 292; e) 5 556,60; f) 5 556,60; g) São iguais. Comente com os alunos, depois da resposta (g), que o montante é o produto do capital emprestado por uma potência, cuja base é igual à soma de l com o decimal correspondente à taxa, e cujo expoente é igual ao número de meses de empréstimo. Depois, comente que este procedimento se generaliza pelo que afirma a professora da ilustração. Veja a observação da página 14.

Após abordar o exercício 37, proponha pesquisas sobre alguns desses fatos (para apresentação em próximas aulas): a) o custo dos serviços bancários no Brasil (se possível, comparar com o mesmo custo em outros países); b) o custo médio de financiamentos do comércio; c) a remuneração da caderneta de poupança; d) o custo de empréstimos do sistema financeiro da habitação; e) o risco de endividamento ao usar cheques especiais, cartões de crédito, empréstimos e financiamentos para o consumo. Para demonstrar para os alunos o absurdo de juros compostos a taxas elevadas, calcule usando uma taxa de 10% ao mês, ao fim de um ano, o quanto o montante representa do capital inicial: M = C(1,10)12 = C × 3,138428, ou seja, um empréstimo de 10 mil reais resultará, à referida taxa, ao fim de um ano, um montante de R$ 31 284,28 aproximadamente.

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Aprendendo em casa 38. Observe a tabela:

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. Sugira o uso da calculadoras 38. a) R$ 500,00; b) Um ano; c) R$ 90,00; d) R$ 590,00; e) 18%.

Dalmo emprestou R$ 500,00 para Paula.

Capital emprestado:

Durante um ano, a juros simples

Tempo de empréstimo:

Ao fim desse tempo, Paula devolveu para Dalmo os R$ 500,00 e mais R$ 90,00 como recompensa pelo empréstimo.

Juros: porcentagem do capital tomado como empréstimo, a ser paga a quem emprestou ao final do tempo de empréstimo.

Quanto Dalmo recebeu ao todo ao final do empréstimo?

Montante Capital + Juros.

M=C+j

Qual foi a taxa de empréstimo?

A taxa é representada por quantos por cento 90 é de 500.

Responda:

a) Qual foi o capital emprestado? b) Qual foi o tempo de empréstimo? c) Qual o valor dos juros pagos?

d) Qual o valor do montante? e) Qual foi a taxa de empréstimo?

39. Observe esta nova tabela:

39. a) R$ 600,00; b) Um mês; c) R$ 18,00; d) R$ 618,00.

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Laura emprestou R$ 600,00 para Marta.

Capital emprestado:

Durante um mês, a juros simples.

Tempo de empréstimo:

Ao fim desse tempo, Marta devolveu para Laura os R$ 400,00 e mais certa importância como recompensa pelo empréstimo.

Juros: porcentagem do capital tomado como empréstimo, a ser paga a quem emprestou ao final do tempo de empréstimo.

A taxa de empréstimo foi de 3% ao mês.

Taxa de empréstimo:

Quanto Laura recebeu ao todo ao final do empréstimo?

Montante Capital + Juros.

M=C+j i

Responda:

a) Qual o valor do capital emprestado? b) Durante quanto tempo durou o empréstimo? c) Calcule os juros pagos por Marta pelo empréstimo. d) Calcule o montante recebido por Laura ao final do empréstimo.

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40. Use a fórmula: M = C (1 + i)n para calcular os montantes das aplicações relacionadas na tabela a seguir: (escreva os decimais resultantes até a casa dos centésimos)

40. a) 46 794,34; b) 41 674,50; c) 19 873,45; d) 8 911,56.

Empréstimos a juros compostos Capital emprestado em reais

Taxa mensal

Total de meses

Montante

40 000

36 000

18 000

8 400

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais Nos próximos quatro exercícios, use uma única operação para calcular as respostas: Uma geladeira está na oferta por R$ 680,00. Calcule seu novo preço se ela tiver um aumento de 7%.

41. R$ 727,60. (680 x 1,07).

Júlia Bianchi, 2006

41.

42. Numa turma de 40 alunos, faltaram 9. Qual é a porcentagem de ausência? 43. Numa caixa com 40 maçãs, 8 estavam estragadas. Qual é a porcentagem de maçãs estragadas?

44. Gerson gasta 28% do seu salário com o aluguel, que é de R$ 252,00. Qual é o salário de Gerson?

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42. 22,5% (9 : 40). 43. 20% (8 : 40). 44. R$ 900,00 (252 : 0,28).

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45. a) R$ 612,00; b) R$ 630,36; c) R$ 612,00; d) R$ 630,36. 46. 5% de 600 reais são 30 reais. A melhor opção é aplicar 600 reais a 2% durante um mês e reaplicar o montante a 3% durante um mês. 47. Pelo anúncio, paga-se, no ato da compra, R$ 100,00. Logo, a loja está financiando apenas os R$ 100,00 restantes. Calculando 4% deste valor financiado, o comprador deveria pagar, ao final do mês, R$ 104,00, e não os R$ 108,00 do anúncio. Na verdade, a loja está cobrando 8% de juros (o dobro do anunciado).

45. Joaquim

aplicou 600 reais, tendo recebido 2% de juros ao final de 1 mês. Depois, reaplicou o montante a 3% durante o segundo mês. Calcule o montante recebido por Joaquim ao final das duas aplicações.

a) Calcule 2% de 600 e some com 600 para saber o montante ao final do primeiro mês.

b) Calcule 3% desse montante e some com o mesmo para obter o montante final recebido por Joaquim.

Vamos refazer as contas de outra maneira:

c) Multiplique 600 por 1,02 e compare com a resposta (a) anterior.

d) Multiplique 612 por 1,03 e compare com a resposta (b) anterior.

46. Calcule 5% de 600 reais e compare com a resposta ao problema anterior.

Agora, responda: O que é melhor? Aplicar 600 reais a 2% durante um mês e reaplicar o montante a 3% durante um mês, ou aplicar 600 reais a 5% durante um mês?

47. Veja o anúncio de uma loja, retirado de uma página de jornal:

48. Juros: R$ 324,40 (640,00 – 10 200 x 0,035). Taxa de juros: 3,85% (324,40/8 400).

Ao término do estudo do capítulo, reveja com os alunos, a seu critério, o significado de alguns dos termos destacados na cor azul no capítulo. Releia o texto da página 38: “Ao elaborar questões [...] hexágono”.

Júlia Bianchi, 2006

Chame a atenção dos alunos para dois aspectos: o primeiro, que este fato ocorre constantemente e o público desavisado não percebe. O segundo, que o PROCON é um órgão de defesa do consumidor.

Um comprador denunciou essa loja ao PROCON dizendo que ela está fazendo propaganda enganosa. Explique por quê.

48. Durante 30 dias, Mário aplicou R$ 10 200,00 em um fundo de investi-

mentos, a 3,5% ao mês, e emprestou R$ 8 400,00. Ao fim desses 30 dias, as duas aplicações renderam, juntas, R$ 680,40. Calcule os juros e a taxa do empréstimo.

Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Reveja os exercícios

Como calcular porcentagens, principal e taxa.

1 a 19, 26, 27, 42, 43, 44.

Como calcular aumentos ou descontos percentuais.

20 a 25, 28, 29, 41.

Como resolver problemas relacionados com comissões.

26, 27.

Como resolver problemas de juros simples.

30 a 33, 38, 39, 45, 47, 48.

Como resolver problemas de juros compostos.

33 a 36, 40.

Como comparar juros simples e juros compostos.

37, 46.

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CapItulo 3

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m o c o d n a l Calcu letras e s o r e m Ăş n m co

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Neste capítulo, você vai aprender como: • Classificar expressões como monômios ou polinômios. • Identificar os fatores numéricos (coeficientes) e os literais de um monômio. • Calcular somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências de monômios con-

tendo os mais diferentes tipos de coeficientes: naturais, inteiros ou racionais. Escrever monômios na “forma reduzida”. Identificar se monômios dados são ou não semelhantes. Calcular “somas algébricas” usando a redução de termos semelhantes. Calcular produtos de monômios por polinômios. Calcular somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências de polinômios envolvendo os mais diferentes tipos de coeficientes: naturais, inteiros, racionais ou reais. Relacionar operações com monômios ou polinômios com cálculos de perímetros, áreas ou volumes de figuras que tenham suas dimensões representadas por letras. Simplificar frações algébricas usando o m.d.c. dos termos. Classificar polinômios pelo número de termos ou pelo grau. Obter a “forma reduzida” de um polinômio usando a redução de termos semelhantes. Ordenar e completar polinômios com uma variável. Utilizar regras práticas para multiplicar binômios que têm um termo comum. Utilizar regras práticas para calcular: o quadrado da soma ou da diferença de duas expressões, o produto da soma pela diferença de duas expressões ou o produto de dois binômios que têm um termo comum. Deduzir fórmulas de perímetros, áreas e volumes, dadas as dimensões das figuras correspondentes em função de uma única variável. Resolver problemas que requeiram o uso e interpretação de fórmulas ou tabelas. Representar, por meio de fórmulas, valores de grandezas dados em tabelas. Reconhecer se uma correspondência entre dois conjuntos é ou não função e, no caso afirmativo, identificar o “domínio” da função. Expressar perímetros, áreas e volumes como função de uma variável. Usar as notações y = f(x), F(x) para funções e identificar pares (x, f(x)) que pertençam aos gráficos. Representar funções por seus gráficos, seus diagramas ou suas tabelas. Interpretar dados relacionados com fatos do dia a dia, registrados através de gráficos de funções.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

6a3b x+3

Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página.

4x2y 6xy

2ab2 8a3

12a3b 2

x+2

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monômios e polinômios

Releia, na página 10, “Observação importante” e, na página 11, Recado ao(à) professor(a): “Aproveitamos [...] e explore-as”. Releia a observação do último texto da margem da página 30: “com base [...] 22 a 28.

Explorando o que você já sabe

Classifique os números a seguir como naturais, inteiros, racionais ou irracionais:

• (a)

(b) –13

0,3

(d) 4, 07

(e) 1 914

Leia também o segundo texto na margem da página 11: “Todas as atividades [...] e explore-as”.

Considere as cinco expressões a seguir:

• • • • • • •

4x3y4

–4ab3

–a7b3

Você pode dizer que 45 = 45a0b0? Por quê?

Comente: Em todas as expressões deste capítulo, as letras representam números reais. Nas expressões nas quais elas são bases de potências de expoente zero, como a 0, b 0 etc., considere que representam números reais diferentes de zero. Outras restrições serão esclarecidas ao se explorarem as atividades.

Você pode dizer que 0 = 0x3y? Por quê?

ATIVIDADES ORAIS

Na expressão 4x3y4, quais operações você identifica? O que as letras representam? Qual é o fator numérico de cada uma delas? Quais são os fatores literais (letras) de cada uma das cinco expressões? Qual é o expoente do fator a na segunda expressão? Se o fator numérico não é escrito, a qual número ele equivale?

Aprendendo em sala de aula 1.

Leia, na página 10, o primeiro texto: “Professor(a): Neste e em outros capítulos...”.

As cinco expressões anteriores: 4x3y4, –4ab3, –a7b3, 45 e 0 são exemplos de monômios. Observe no quadro a seguir mais exemplos de monômios: Monômio:

3x2y3

–3/4 x3y3

0,3a2b

2 x3

–x3

Fator numérico:

(–3/4)

0,3

–1

Fatores literais:

x, y

a, b

Nos monômios, as letras representam, em geral, números reais.

a) Qual é o expoente do fator b do terceiro monômio?

• (a) racional, (b) inteiro e racional, (c) irracional, (d) racional, (e) natural, inteiro e racional; • 4x3y4 representa o produto: 4 vezes o cubo de x vezes a quarta potência de y, onde x e y representam números reais; • 4, –4, –1, 45 e zero; • x e y; a e b; a e b; não existem; não existem; • 1; • Sim, porque, sendo a e b diferentes de zero, a0 e b0 são iguais a 1; • Sim, porque, se um fator é zero, o produto é zero. 1. a) 1; b) Sim, porque x0 = 1 (desde que x seja diferente de zero); c) Sim, 0c4d6 = 0 porque se, em uma multiplicação, um dos fatores for zero, o produto é zero; d) V.

b) O monômio 21 pode ser pensado como 21x0? Por quê? c) O monômio 0 pode ser pensado como 0c4d6? Por quê?

d) V ou F: qualquer número real é considerado um monômio porque pode ser interpretado como um produto dele por fatores literais com expoente zero.

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Esclareça que os temas que serão estudados neste capítulo, descritos na página 60, fazem parte de um dos blocos de conteúdo da Matemática: a Álgebra. Diga que se usa a Álgebra para expressar, de forma sintética, fatos da Matemática e de outras áreas do conhecimento, com o objetivo de simplificar os cálculos indispensáveis na resolução de problemas. Em particular, são de grande utilidade as equações, os sistemas de equações, as fórmulas e as funções. Visite ou recomende o site http://k1200.vilabol.uol. com.br/f isica/formf isica. html Explore o primeiro quadro da página para que os alunos observem que o coeficiente de um monômio pode ser qualquer número real.

Como se viu, nos monômios destacamos: 1 3 ab c 4

3x2 y fator numérico fatores literais

fator numérico fatores literais

Monô- Coefimios ciente –5 –5a2b x2y 1 0,2n3 0,2 a 1 –xy2 –1 4,3x2y2 4,3

3 x y3

4. a) Sim; b) Coeficiente; c) Parte literal. 5. Respostas variadas. Exemplos: a) 2b2c3; b) –3x; c) yz2; d) –ab2c3; e) (–3/4)ab; f ) 2,3x3y4; g) (4,32)bc.

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fatores literais

Parte literal

Coeficiente

2. Copie a tabela abaixo em seu caderno e complete-a: Coeficiente

Parte literal

–5a2b

Parte literal a2b x2y n3 a xy2 x2y2

3. Multiplicação e potênciação.

fator numérico

O fator numérico chama-se “coeficiente” e a parte que contém letras forma a parte literal do monômio.

Monômios 2.

– 0,2 n

x2y 0,2n3 a –xy2 4,3x2y2

Os monômios apresentam apenas duas operações entre números e letras que representam números. Quais são elas?

Clara disse que um monômio é um produto de um número real por potências de letras que representam números reais.

a) Você concorda com Clara? b) Se você concorda, diga como se chama o número real que aparece como fator no

monômio. c) Qual o nome do grupo de letras dos monômios?

Dê um exemplo para cada um dos tipos de monômios a seguir:

a) Tendo como coeficiente um número natural e duas letras na parte literal. b) Tendo como coeficiente um número inteiro negativo e uma letra na parte literal. c) Tendo como coeficiente o número 1. d) Tendo como coeficiente o número –1. e) Tendo como coeficiente uma fração negativa. f) Tendo como coeficiente um número decimal positivo. g) Tendo como coeficiente uma dízima periódica.

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6. A multiplicação de monômios se faz do mesmo modo que a multiplicação de números ou de potências de mesma base. Veja: ◆ 3 × 3 = 32

x. x = x2

◆ (5 )(5 ) = 5 3

Escreva em seu caderno os resultados dos produtos a seguir, simplificando os coeficientes e multiplicando potências de mesma base, quando possível. a

(–b). (2b3) =

(3a)(–2b) =

(0,2 z3). (–3 z2) =

1 3 4 a . a= 4 9

a3 . a4 =

(0,1x)(0,23 x3) =

1 5 12 a ⋅ a= 8 9

1 2 2  1 2 1 3 2  4 x  ⋅  3 x  = 4 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x = 6 x

◆ (82)(8) = 83

No terceiro exemplo, simplificamos o coeficiente: 2/12 = 1/6.

( –2 a ) (4 a ) = (–2). (4). a . a = –8a

 1  2 2   − 2 y   − 9 y  =

Observe as figuras a seguir. Nelas, as letras representam as medidas dos segmentos.

r l

Usando essas letras, escreva os monômios correspondentes:

a) À área do triângulo. b) À área do círculo.

c) Ao comprimento da circunferência. d) Ao volume do paralelepípedo.

8. Para cada monômio dos itens de (a) até (d) do exercício anterior, identifique o coeficiente.

Observe os monômios a seguir: 3x3y3. 5y6

2ab. 4a3c

Eles podem ser escritos, respectivamente, como “monômios reduzidos” assim:

15x3y9

Recorde que em x . x o ponto representa multiplicação.

Recorde que em (ab) (a2c) os parênteses representam multiplicação.

6. a) –2b4; b) –0,6z5; c) a7; d) 1/9y3; e) –6ab; f) 1/9a4; g) 0,023x4; h) a6/6. Lembre novamente que  é um número irracional e que, nos cálculos, usamos valores aproximados dele (em geral, o valor 3,14). 7. a)bh/2; b) r2; c) 2r2 d) l wh. 8. a)1/2; b) ; c) 2; d) 1. Esclareça que, em diversas aplicações, em um primeiro momento, somos solicitados a multiplicar monômios, obtendo produtos do tipo 5ab3.4a3b2, e que estes produtos podem ser escritos na forma de um monômio que tenha um único coeficiente numérico e, para cada letra, uma única potência da qual ela seja base. Como obter tais monômios, chamados “monômios reduzidos”, é o que se vê nos exemplos após o exercício 8.

8a4bc

Note que: Para obtermos monômios reduzidos, multiplicamos todos os fatores numéricos, substituindo-os por um único: o produto deles. Do mesmo modo, na parte literal, escrevemos cada letra como produto de potências de mesma base, aparecendo, cada uma delas, uma única vez no monômio reduzido.

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9. a) 12a4b3; b) –8x4y4. Explore: 1. Cálculo com expressões contendo adições e subtrações entre números. Exemplos: 1º) 4 + 7 – 11– 6 – 8 + 1 – 9 + 5 = (4 + 7 + 1 + 5) + ( –11 – 6 – 8 – 9) = +17 – 34 = –17 2º) Expressões com frações e com decimais como no 1º. exemplo. 2. Como somar alguns monômios semelhantes, Exemplificando: a) 3m + 4m – 2m = (3 + 4 – 2)m = 5m b) 3ab –5ab + ab = (3 – 5 + 1)ab = –ab Comente: a)Expressões contendo apenas operações com números chamam-se expressões numéricas. b) Expressões contendo operações com números e letras representando números são chamadas expressões algébricas. c) Em uma expressão algébrica, as letras podem ser substituídas por qualquer número real; por este motivo, chamam-se variáveis destas expressões. d) Substituir as variáveis das expressões algébricas por números, e efetuar os cálculos, chama-se “calcular o valor numérico da expressão”. Use, como exemplo, as expressões L = 2x – 4 e Q = x2 – 4 para calcular o valor numérico das mesmas. Em L, dê a x os valores –1, –0, 5, 0, 0, 5, 1, 3/2, 2, 5/2. 3 e 4 e, em Q, valores inteiros de –5 e 5. e) Em uma expressão algébrica, letras diferentes representam em geral números diferentes. Por este motivo, é possível calcular 2n + 3n = (2 + 3)n = 5n, mas não é possível representar, como um único monômio, a soma 2n + 3p. f) Eventualmente, ao calcular valores numéricos de expressões com mais de uma variável, é possível substituí-las por um mesmo número real. Exemplo: Na expressão P = 3x + 2y, o valor numérico para x = 4 e y = 4 é P = 20. Mas também é possível calcular P, para x = 2 e y = 5, obtendo P = 16.

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Escreva os monômios reduzidos correspondentes a:

a) 3ab3 . 4 a3

b) –2x3y . 4xy3

Observe os cálculos a seguir: 8a + 9a = 17a

15b –7b = 8b

–4c – 9c = –13 c

Embora no segundo e terceiro cálculos apareçam sinais “menos”, você deve entender essas três expressões como “somas”. Assim: (+8a) + (+9a) = +17a

(+15b) + (–7b) = +8b

(–4c) + (–9c) = –13c

Por este motivo, todas três são chamadas “somas algébricas”.

10.

Calcule as seguintes somas algébricas:

a) 7n + 13n b) –5p + 9p c) 9k – 4k

d) –8x – 9x e) 7n – 7n f) 2a – 3b + 4a – b – 3a + 2b

g) 2x + 3y – 8x – 11y + x – y h) 4m2p + 6m2p

10. a) 20n; b) 4p; c) 5k; d) –17x; e) 0; f) 2a + 4a – 3a –3b –b +2b = 3a – 2b; g) 2x – 8x + x + 3y – 11y – y = –5x – 9y; h) 10m2p.

11.

Calcule as áreas dos polígonos a seguir, escrevendo-as na forma de monômios reduzidos: 11. a) 24x y ; b) 8a b ; c) 18a b. 3 2

4 2

6a3b 4x2y 6xy

12.

2ab2 8a3

12a3b

Observe as expressões algébricas a seguir e responda ou faça o que se pede: A

2n + 4p + 5n – 2p

2x – 4y + 5x + 2y

a) Qual das expressões tem a variável x na parte literal: A ou B? b) Qual das expressões tem a variável p na parte literal: A ou B? c) Calcule a soma algébrica das parcelas que contêm a variável n. d) Calcule a soma algébrica das parcelas que contêm a variável p. e) Escreva a expressão A com duas parcelas. f) Qual o coeficiente de n nessa expressão? g) Qual o coeficiente de p nessa expressão? h) Calcule a soma algébrica das parcelas que contêm a variável x. i) Calcule a soma algébrica das parcelas que contêm a variável y. j) Escreva a expressão B com duas parcelas.

12.a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

B; A; 7n; 2p; A = 7n + 2p; 7; 2; 7x –2y; B = 7x – 2y

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13.

Monômios reduzidos que só diferem pelos coeficientes chamam-se “monômios semelhantes”. Por exemplo, na tabela abaixo, 6x2y e x2y são monômios semelhantes. Escreva em seu caderno os pares de números e letras da tabela abaixo que correspondem a monômios semelhantes. 2ª coluna

1ª coluna

14.

6x2y

4xy2

4abc

3xy2z

ax3

6a2t

xy2z

–2abc

–10

5a3x

–3xy2

5a2t

–x2y

–4y2z2

2y2z2

3ab2

–7ax3

2a3x

–2ab2

As expressões algébricas a seguir chamam-se polinômios. Algumas parcelas desses polinômios são monômios semelhantes. Calcule as somas algébricas de todas essas parcelas escrevendo cada polinômio com o menor número possível de parcelas.

a) 3x2 – 4xy – 8y2 + 5x2 – 7xy + 8y2.

e) 7a – 3b + 8a –2b + 6.

c) 2 – 3x2y + 7y –5 + 5x2y – 3y.

g) 5xy.

b) 4a – 3ab + 7b – 8a – 5b + 3ab. d) 3a2b – 5ab2 + 2a2b + 6ab2.

f) 3x2 – 6y2 – 3x2 + 6y2 + x – y.

Observe que, no item (g), um monômio é caracterizado também como polinômio.

As parcelas dos polinômios chamam-se também “termos do polinômio”. Por esta razão, os cálculos que você fez no exercício 14 chamam-se “redução de termos semelhantes”.

15.

Observe os polinômios a seguir e resolva os itens (a), (b) e (c):

1º.) –3 + 4x2 – 3x + 2 – 7x2 + x 2º.) 7y – 9y2 + 3 – 5y + 7y2

13. (2, d); (3, i); (4, b); (5, f); (6, a); (7, c); (8, h); (9, j); (10, e). 14. a) 8 x2 – 11xy; b) –4a + 2b; c) –3 + 2 x2y + 4y; d) 5a2b + ab2; e) 15a – 5b + 6; f) x – y.

15. a) O primeiro e o terceiro polinômios: a variável é x. b) 1º polinômio: –1 – 3x2 – 2x. 2º polinômio: 2y – 2y2 + 3. 3º polinômio: –0,7x + 1,8x2; c) Valores numéricos: para x = 0, V = 0, para x = 1, V = 1,1, para x = –1, V = 2,5, para x = 10, V = 173.

3º.) 0,3x + 0,5x2 – x + 1,3 x2

a) Dois desses polinômios contêm a mesma variável. Qual é ela? b) Reduza os termos semelhantes dos três polinômios.

c) Calcule o valor numérico do terceiro polinômio substituindo x sucessivamente por 0, 1, –1 e 10.

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16. a) 8x2 + 11xy – 16y2; b) 12a + 6ab + 2b c) 7 + 2x2y + 10y; d) 5a2b + 11ab2; e) 15a – b + 6; f) 6x2 + 12y2 + x – y.

16. Reduza os termos semelhantes dos polinômios a seguir:

a) 3x2 + 4xy – 8y2 + 5x2 + 7xy – 8y2 = ? d) 3a2b + 5ab2 + 2a2b + 6ab2 = ? b) 4a + 3ab + 7b + 8a – 5b +3ab = ?

e) 7a – 3b + 8a + 2b + 6 = ?

f) 3x2 + 6y2 + 3x2 + 6y2 + x – y = ?

c) 2 – 3x2y + 7y + 5 + 5x2y + 3y =

Observe outros exemplos de redução de termos semelhantes: 4 (n + 4) – 2 (n + 7) – 13 = 4n + 16 – 2n – 14 – 13 = = 4n – 2n + 16 – 14 – 13 = 2n – 11

5 (n2 – 3n + 1) – 3 (n2 – 7n – 5) = 5n2 – 15n + 5 – 3n2 + 21n + 15 = = 5n2 – 3n2 – 15n + 21n + 5 + 15 = 2n2 + 6n + 20

Coeficientes fracionários

Coeficientes decimais

5 7 2 a – b + 2a + b = 8 12 3

1,25x2 – 3,5x + 0,32x2 + 2,1x =

15 14 48 16b = a– b+ a+ 24 24 24 24

Novamente aqui convém destacar para os alunos que a escolha do m.m.c. dos denominadores no caso de coeficientes fracionários não é obrigatória; qualquer múltiplo do m.m.c. também é válido. Apenas o uso do m.m.c. propicia utilizar números de valores menores.

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É muito fácil. Veja exemplos no quadro: Son Salvador

Son Salvador

Professor, se os coeficientes são frações ou decimais, como faço para reduzir termos semelhantes?

= 1,25x2 + 0,32x2 – 3,5x + 2,1x =

63a 2 b + 24 24

= 1,57x2 – 1,4x

No exemplo dos coeficientes fracionários:

Calcula-se o m.m.c. dos denominadores 8, 12 e 3, que é 24.

Substituem-se os coeficientes fracionários iniciais por frações equivalentes de denominador 24.

Calcula-se a soma algébrica dos termos semelhantes.

Agrupamos os termos semelhantes.

Calculamos as somas algébricas deles.

No exemplo dos coeficientes decimais:

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17.

Reduza os termos semelhantes de cada expressão a seguir:

a) 1 a + 5 b – 7 a + 2 b =

c) x + 1 + 2 x =

b) 2 x – 4 y + 3x – y =

d) x – 3 + x – 1 =

18.

2 x 2 y 2 x – 3y – – = 3 5 15

17. a) –5a/6 + 9b/6; b) 11x/3 – 13y/15; c) 5x/2 + 1/2; d) 5x/6 – 11/6; e) 8x/15 – 3y/15. Recorde: a(b+c) = ab + ac e também (x + y).z = xz + yz

Observe, com atenção, os cálculos a seguir: 2a2 (4a3 + 3b) = (2a2) (4a3) + (2a2) (3b) = 8a5 + 6a2b

–

2   2  2 2 x x 2 + 5y 3 =  – x  ⋅ x 2 –  x  ⋅ 5y 3 = – x 3 – 2xy 3 5 5 5   5 

(

)

( )

No primeiro exemplo, o fator externo 2a2 foi multiplicado pelas parcelas 4a3 e 3b. 2 No segundo exemplo, o fator externo – x foi multiplicado pelas par5 celas x2 e 5y3.

Agora, copie cada expressão da tabela abaixo em seu caderno e calcule os produtos: 2a (a + b) =

19.

−

 1 1 x  x + 2x 2  = 2 2 

t2 (t3 + 2t) =

0,5b (a2 + b2) =

3a2 (x – y) =

4y (t3 – t2) =

2 2 x y ( x 2 − 3y 2 ) = 3

0,2x3 (8x – 3x2) =

3a (x2 – y2) =

5x (2x – 3y) =

? ?

18. a) 2a2 + 2ab; b) –1/4x2 – x3; c) t5 + 2t3; d) 0,5a2b + 0,5b3; e) 3a2x – 3a2y; f) 4yt3 – 4yt2; g) 2/3x4y – 2x2y3; h) 1,6x4 – 0,6x5; i) 3ax2 – 3ay2; j) 10x2 – 15xy.

19. a) am + bm + an + bn; b) am + an + bm + bn; c) x2 + xy + xy + y2; d) x2 + xy + xy + y2.

Copie em seu caderno e complete:

? a) (a + b)(m + n) = (a + b).m + (a + b)n =...... ? b) (a + b)(m + n) = a(m + n) + b(m + n) =...... ? c) (x + y)(x + y) = (x + y).x + (x + y).y =......

? d) (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y) = …...

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20. a) 1a figura = 9ab 2a figura = 17,4x2y 3a figura = 15xy; b) 2,6ab. 1,9ab; c) 4,94a2b2.

20. Nos polígonos das figuras a seguir, as medidas dos lados estão representadas por monômios.

2xy 3,6xy 1,9ab

3,8x2y

3,6xy

4,6x2y 2,1xy

2,1xy 1,6xy

9x2y

2,6ab

a) Expresse os perímetros dos polígonos como monômios.

b) Expresse a área do retângulo como o produto de dois monômios. 21. a) (5x + 2)(4x – 1) e 6y(5y + 3); b) 84 e 552 c) Porque as medidas da base e da altura teriam que ser iguais, ou seja, 5x + 2 = 4x – 1. Resolvendo essa equação, obtemos x = –3, o que daria para medida do lado do quadrado um valor negativo: –13. Como se sabe, medidas de segmentos são números reais positivos. d) Igualando as medidas da base e da altura, teremos 6y = 5y + 3. Resolvendo, encontrase y = 3, o que dá para as medidas dos lados o valor 18. e) 18x + 2 e 22y + 6. f) 56 e 116.

21.

c) Expresse a área do retângulo como um monômio reduzido.

Desenhe dois retângulos e represente as medidas da base e da altura do primeiro por 5x + 2 e 4x – 1, respectivamente, e do segundo por 6y e 5y + 3, respectivamente.

a) Escreva as áreas dos dois retângulos como produto dessas dimensões. b) Se x = 2 e y = 4, qual o valor numérico dessas duas áreas?

c) Justifique por que o primeiro retângulo não pode ser um quadrado.

d) Mario disse que o segundo retângulo pode ser um quadrado. Verifique se ele tem razão e justifique sua resposta.

e) Represente o perímetro de cada um desses retângulos como polinômios. f) Se x = 3 e y = 5, qual o valor numérico desses dois perímetros?

22. Nas expressões a seguir, reduza os termos semelhantes. Quando necessário faça, inicialmente, as multiplicações indicadas por parênteses.

22. a) a + 4a – 4a; b) 9x2 – 27x + 35; c) – 6x – 22; d) (23x – 26y)/12; e) (– 2a + 15b)/12; f) (2a + 4b)/3.

a) 4a2 – 2a + a (a2 – 2) =

Recorde como calcular o m.d.c de monômios: a) fatoram-se os coeficientes b) o m.d.c é o produto dos fatores comuns (numéricos ou literais), cada um com o menor expoente dentre os expoentes obtidos. Exemplifique:

c) 4 (x + 1) – 2x – 2 – 8(x + 3) = ? f) a + b – a + b = ?

Como 18 = 2 × 3 2 e 24 = 3 × 23, o m.d.c de 18x3y2 e 24xy4 é 2 × 3xy2 = 6xy2.

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d) 5x – y + 3x – 5y + x = ?

b) 2x (x –3) + 7 (x2 – 3x + 5) =

e) a + 2 b – a – b – a – 2 b = ? 4

Algumas vezes, ao reduzirmos termos semelhantes de expressões que contêm coeficientes fracionários, obtemos coeficientes que podem ser simplificados, dividindo seus termos pelo m.d.c. deles.

Por exemplo,

12x 2 pode ser simplificado dividindo os termos pelo 18 m.d.c. deles, que é 6. Portanto,

12x 2 2x 2 = . 18 3

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23. Simplifique cada expressão a seguir, dividindo seus termos pelo m.d.c. deles:

4 3 b) 24a b4

15x 3y 5 25x 4y 2

32 ab

Ao reduzir os termos semelhantes do polinômio 14x3 – 2x2 + 4x – 5x3 + 7x2 – 8x, Cláudio obteve o polinômio: 9 x3 + 5x2 – 4x.

O professor disse que esse polinômio obtido por Cláudio é um polinômio reduzido.

Tal fato particular pode ser generalizado com a afirmação: “Ao reduzir os termos semelhantes de um polinômio, dizemos que o polinômio obtido é um polinômio reduzido”.

24. Reduza os termos semelhantes dos polinômios a seguir, para obter polinômios reduzidos:

a) 2n + 4p + 5n – 2p b) 2x + 4y + 5x – 2y c) 2a2 + 3ab – 4b2 – 5ab + 8b2 + 7a2

d) 3x2 – 4xy – 8y2 + 5x2 – 7xy + 8y2 e) 1,25x2 – 3,5x + 0,32x2 + 2,1x

25. Observe a tabela e escreva, em seu caderno, o que substitui corretamente cada letra:

Polinômios reduzidos

Número de termos

Nome

3x3 – 4x2 + 5x

três

Trinômio

4 a

Polinômio de 4 termos b

4x + 5

9y3 + 5y + 3y2 + 5 5z – 4z2 + 7 5y – 3y2

4,3x + 2x – 7x – 11 4

dois

Antes do exercício 23, recorde como calcular o m.d.c. usando a regra dos expoentes. Exemplo: m.d.c. de 15x3y5 e 25x4y2 é 5x3y2. Logo, 15x3y5 : 5x3y2 = 3y2 e 25x4y2 : 5x3y2 = 5x. 23. a) 3y3/5x; b) 3a3/4b. 24. a) 7n + 2p; b) 7x + 2y; c) 9a2 – 2ab + 4b2; d) 8x2 – 11xy; e) 1,57x2 – 1,4x. 25. a) 3; b) Trinômio; c) 2; d) Binômio; e) 4; f) Polinômio de 4 termos.

26. a) Binômios; b) Trinômios. 27. a) Não: todos são polinômios com uma única variável; b) Não, porque, ao reduzir termos semelhantes, substituímos todos os termos semelhantes por um único que é a soma algébrica deles.

Binômio

26. Ainda com base na tabela do exercício 25, responda: a) Como se chamam os polinômios que têm dois termos? b) E os polinômios que têm três termos?

27. Observe os polinômios reduzidos da tabela do exercício 25 e responda:

a) Algum deles tem mais de uma variável? b) Em algum deles existem duas ou mais parcelas nas quais a variável tem expoentes

Comente: O estudo de polinômios com mais de uma variável é mais complexo e de pouca utilidade nas aplicações futuras da Matemática, no ensino médio. O mesmo não acontece nos cursos superiores que dependem da Matemática, nos quais se faz o estudo dos polinômios com diversas variáveis. Sugira aos alunos que façam uma pesquisa sobre os principais cursos superiores que dependem dos conhecimentos mais detalhados da Matemática.

iguais? Justifique.

Até aqui você aprendeu fatos sobre polinômios com uma ou mais variáveis. Agora, vamos dedicar maior atenção aos polinômios com apenas uma variável, porque o estudo deles é, no momento, mais significativo devido às importantes aplicações que você ainda verá neste livro.

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28. a) –3x3 + 0x2 + x + 0; b) 5 x 4 + 0x3 – 3x2 + 0x + 0; c) 2 x 4 + 3x3 + 0x2 – 5x + 0.

28. Observe a tabela contendo polinômios na variável “x” e escreva, em seu caderno, o que substitui corretamente cada letra:

29. a) V; b) V; c) V. Proponha a alunos que escrevam, no quadro, 4 polinômios com uma variável, reduzidos e não completos, para que outros alunos os ordenem e completem. Mantenha o que se escreveu no quadro, para outra atividade logo após o exercício 30. Comente que o fato de dizer que o item (b) do exercício 29 é verdadeiro não significa que polinômios que têm seus termos escritos em ordem crescente dos expoentes das variáveis não possam ser chamados de polinômios ordenados. Apenas por questões de aplicações futuras (como adição e subtração de polinômios), é preferível ordenar polinômios como mencionado no item (b) citado.

Polinômio reduzido

Polinômio ordenado e completo

2 + 3x3

3x3 + 0x2 + 0x + 2

2x4 – 5x

2x4 + 0x3 + 0x2 – 5x + 0

x – 3x3

5x4 – 3x2

3x3 – 5x + 2x4

29. Com base na tabela do exercício 28, discuta com seus colegas e deci-

da se verdadeiras ou falsas as afirmações sobre polinômios com uma variável:

a) Um polinômio completo na variável “x” tem todos os termos, desde o de maior

30. a) 5; b) Polinômio do quinto grau; c) 4; d) Polinômio do 4o grau; e) 4; f) Polinômio do 4o grau.

expoente de “x” até o expoente zero. b) Se um polinômio tem seus termos escritos na ordem decrescente dos expoentes da variável, ele se chama polinômio ordenado. c) Um polinômio é uma soma algébrica de monômios.

30. Observe a tabela contendo polinômios na variável “x” e escreva, em seu caderno, o que substitui corretamente cada letra:

Após o exercício 30, proponha aos alunos que digam o grau de cada polinômio ordenado e completo que foi escrito no quadro na atividade anterior.

31. Respostas variáveis. Exemplos: a) 2x3 + 3x2 – 4x + 1; b) –5x3 + 2x; c) 3x2 – 4x + 9; d) x3 + 0x2 + 0x + 2.

31.

Polinômio reduzido

Maior expoente de variável

Nome

2 + 3x3

Polinômio do terceiro grau

2x4 – 4x

Polinômio do quarto grau

x – 3x5

5x4 – 3x2

3x3 – 5x + 2x4

Dê um exemplo de polinômio com uma variável que seja:

a) Do terceiro grau e completo.

b) Do terceiro grau com apenas dois termos. c) Do segundo grau e completo.

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d) Do terceiro grau, completo e ordenado.

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32. O que você faz para decidir qual é o grau de um polinômio com uma variável?

Neste livro vocês estudarão com mais detalhes dois tipos de polinômios, os binômios do primeiro grau e os trinômios do segundo grau com uma única variável. Por exemplo, 3x – 9 é um binômio do primeiro grau e 2x2 – 5x + 4 é um trinômio do segundo grau.

33. Dentre os polinômios com uma variável, a seguir, identifique os do primeiro grau e os do segundo grau:

a) 3x3 + 4x

b) 4 + 2x2 – 7x

c) 9 – 4x

d) 8x – 3x2

e) 14x

f) 76x2 – 14

34. Reescreva os polinômios do segundo grau identificados no exercício anterior, de modo ordenado e completo.

35. Reescreva os polinômios do primeiro grau identificados no exercício anterior, de modo ordenado e completo.

36. Observe os polinômios a seguir, nos quais a, b e c representam números reais:

(A)

ax + b

(B)

ax2 + bx + c

Responda:

a) Se, em (A), o binômio ax + b é do primeiro grau, o coeficiente a pode ser zero? E o coeficiente b? Justifique suas respostas.

b) Se, em (B), o trinômio ax2 + bx + c é do segundo grau, qual o único dos três coeficientes que não pode ser zero? Justifique sua resposta.

37. Escreva exemplos de:

a) Um binômio do primeiro grau na variável y. b) Um trinômio do segundo grau na variável z.

Neste livro vocês estudarão com mais detalhes dois tipos de polinômios: os binômios do primeiro grau e os trinômios do segundo grau com uma única variável. Em geral, representamos um binômio do primeiro grau com uma variável assim: ax + b onde a e b representam números reais, sendo a ≠ 0, e b o termo independente (assim chamado porque não depende de x). Analogamente, representamos um trinômio do segundo grau com uma variável assim: ax2 + bx + c onde a, b e c representam números reais, sendo a ≠ 0, e c o termo independente.

Comente que o que se afirma no primeiro retângulo se deve ao fato de que tais polinômios são a base do estudo de funções polinomiais que eles vão estudar no capítulo 4, e que essas funções têm várias aplicações importantes. 32. Verifico o maior expoente da variável. A ele corresponde o grau do polinômio. Comente que o que se afirma no primeiro retângulo se deve ao fato de que tais polinômios são a base do estudo de funções polinomiais que eles estudarão no capítulo 4, e que essas funções têm várias aplicações importantes.Comente ainda que o estudo dos binômios do primeiro grau e dos trinômios de segundo grau é importante no momento, porque a grande maioria dos fatos matemáticos e dos fenômenos de outras ciências que se estudam no ensino médio são ligados a correspondências entre grandezas que dependem destes polinômios. 33. a) 3º grau; b) 2o grau; c) 1o grau; d) 2o grau; e) 1o grau; f) 2o grau; 34. b) 2x2 – 7x + 4; d) –3x2 + 8x + 0; f) 76x2 + 0x – 14. 35. c) –4x + 9; e) 14x + 0. 36. a) O coeficiente a não pode ser zero, porque, para ser do 1°grau, o termo em x do polinômio deve aparecer com coeficiente não nulo; o coeficiente b pode ser zero desde que a não seja. b) a, porque o único termo que, obrigatoriamente, deve ter coeficiente diferente de zero é o termo em x2. 37. Respostas variadas. Exemplo: a) 3y + 4; b) –z2 – 4z + 5. Explique que o que se chama “termo independente” de um polinômio geral é o termo constituído apenas de um número, independente da variável, como observado no quadro. Faça observarem que o grau desses termos é zero porque, por exemplo, o número 7 pode ser pensado como 7x0, se o polinômio é na variável x, ou 7y0 se o polinômio é na variável y etc.

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Explique para os alunos que, na tabela, 3x e –5x estão caracterizados como binômios do primeiro grau porque podem ser entendidos como 3x + 0 e –5x + 0, respectivamente. De modo análogo, são caracterizados como trinômios do 2º grau: –9 + 7x2 (= 7x2 + 0x – 9), –5x – 3x2 (= –3x2 – 5x + 0) etc.

38. Na tabela a seguir, você vê vários binômios do primeiro grau e trinômios do segundo grau, completos ou não. Copie a tabela em seu caderno e, para cada um deles, dê o valor dos coeficientes a, b ou c, conforme a notação introduzida no quadro da página anterior: Binômios do primeiro grau ax + b (a  0)

38.

7 – 5x

Trinômios b = 4 c = –11 b = 0 c = –9 b = –4 c = 11 b = –5 c = 0 b = 0 c = –11 b=p c=k b = –4 c = 9 b=0 c=0 b=4 c=0

3x – 4 4x + 5 –7 + 5x 3x

Binômios a=3 b = –4 a = –5 b = 7 a=4 b=5 a=5 b = –7 a=3 b=0 a = –5 b = 0 a=9 b = –14 a = –3 b = –4 a = –5 b = –7

a = –2 a=7 a=2 a = –3 a = –2 a=n a = –2 a = –19 a=–2

–5x 9x – 14 –3x – 4 –7 – 5x

? a = ? a = ? a = ? a = ? a = ? a = ? ? a = a = ? a =

? b = ? b = ? b = ? b = ? b = ? b = ? ? b = b = ? b =

Trinômios do segundo grau ax2 + bx + c (a  0) –2x2 + 4x – 11 –9 + 7x2 2x2 – 4x + 11 –5x – 3x2 –2x2 – 11 nx2 + px + k –2x2 – 4x + 9 –19x2 –2x2 + 4x

? a = ? a = ? a = ? a = ? a = ? a = ? a = ? a = ? a =

? b = ? b = ? b = ? b = ? b = ? b = ? b = ? b = ? b =

? c = ? c = ? c = ? c = ? c = ? c = ? c = ? c = ? c =

39. Observe a tabela a seguir e, em cada caso, faça a correspondência da letra da primeira coluna com o número da segunda coluna:

39. (a, 5); (b, 7); (c, 8); (d, 2); (e, 1); (f, 6); (g, 3); (h, 4).

40. a) Termo comum: x; b) Termo comum: y; c) Termo comum: 2x; d) Termo comum: –w; e) Não possui termo independente em comum. f) Não possui termo independente em comum.

(x + 2)2

Trinômio completo do segundo grau, não ordenado.

3x – 5

Quadrado da diferença de dois números.

(x + 3) (x + 7)

Produto da soma pela diferença de dois números.

(x – 3)2

Trinômio incompleto do segundo grau.

3 – 4x + 7x2

Quadrado da soma de dois números.

2x2 + 4x

Trinômio do segundo grau, sem o termo independente.

(x + 5) (x – 5)

Binômio completo do primeiro grau.

5x2

Produto de dois binômios do primeiro grau.

40. Dizemos que (x + 3) (x + 7) é um produto de dois binômios (do primeiro grau) que têm um termo não independente em comum: o termo “x”. O 3 e o 7 são os termos independentes.

Em cada caso a seguir, indique quais são os produtos de binômios com um termo não independente em comum, e destaque esse termo:

a) (x + 10) (x – 12)

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b) (y – 2) (y + 5)

c) (2x + 4) (2x – 3) d) (4 – w) (7 – w)

e) (2x – 1) (z + 1)

f) ( –x + 3) (x + 3)

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41.

Calcule a soma S e o produto P dos termos independentes dos fatores dos produtos de cada item que você indicou no exercício anterior, como solicitado.

Aprendendo em casa

P = –120; P = –10; P = –12; P = 21.

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

42. Observe o triângulo a seguir:

Son Salvador

Multiplicando e reduzindo o produto (3x3y3)(2xy2), obtenho 6x4y5.

3xy

41. a) S = –2, b) S = 3, c) S = 1, d) S = 13,

42. a) 6x2y; b) 3xy; c) (3xy) (3x2y); d) 9x3y2.

6x2y

Faça observar que, no item (c), dividimos o monômio 6x 2y por 2 para aplicar a fórmula da área: metade do produto da base pela altura.

Em relação ao triângulo, responda ou faça o que se pede:

a) Qual é o monômio que representa a medida da base? b) Qual é o monômio que representa a medida da altura? c) Expresse a área como produto de dois monômios. d) Expresse a área como um monômio reduzido. pondente:

43. a) 8x2 – 3xy + 16y2; b) 12a + 6ab + 2b; c) 10y + 8x2y + 7; d) a2b + 11ab2; e) –a + 5b + 6; f) 6x2 + x + y.

b) 4a + 3ab + 7b + 8a – 5b + 3ab

44. a) 7y + 3; b) 15x + 3; c) 7y + 2.

43. Reduza os termos semelhantes e escreva o polinômio reduzido corresa) 3x2 + 4xy + 8y2 + 5x2 – 7xy + 8y2 c) 2 + 3x2y + 7y + 5 + 5x2y + 3y d) 3a2b + 5ab2 – 2a2b + 6ab2 e) 7a + 3b – 8a + 2b + 6

f) 3x2 + 6y2 + 3x2 – 6y2 + x + y

44. Escreva os perímetros das figuras a seguir como polinômios reduzidos: A)

B) 3y – 2

3 5x

3y + 5

C) y+2

2y + 4 3y + 1

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y–5

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45. a) a5 + 2a3; b) 3/x2; c) a8/2; d) –1/4x2; e) (1/4)t3; f) (8a – 3b)/15;

45. Calcule e simplifique, quando possível: a) a2 (a3 + 2a) b) 15x2 : 5x4

Reforce a informação do texto, dizendo para os alunos que –a se deve ser lido como “oposto de a”. É importante chamar a atenção para um erro frequentemente cometido pelos alunos, quando escrevem –x pensando estar representando um número negativo. Para convencê-los, acrescente, aos exemplos já dados, outros como: se a = –79, –a é o oposto, ou seja, –a = – (–79) = +79 (portanto, um positivo). Complete a informação, dizendo que as formas corretas de representar com letras um número negativo e um positivo são, respectivamente, por exemplo, x < 0 e x > 0. Explore mais alguns exercícios de subtração de monômios. Se julgar oportuno, use o conceito de oposto de um número para definir “valor absoluto de um número real”(veja observação na margem da página 38). Inicialmente, convencione que, dado um número real x, a notação |x| se lê: valor absoluto de x. Depois, defina: |x| = x se x>0e |x| = –x, se x < 0. Exemplifique: |3,4| = 3,4 (porque 3,4 > 0) e |–2,2| = –(–2,2) = 2,2 (porque –2,2 < 0). Da definição, |0|= 0. Faça notar que, da definição, resulta que o valor absoluto de qualquer número real diferente de zero é positivo. Uma vez definido o valor absoluto, é possível introduzir uma outra forma de se descrever a raiz quadrada de um número, como já observado na página 38, assim: √(x2 ) = |x| Logo, a raiz quadrada de x2 é x, se x >0; e a raiz quadrada de x2 é –x, se x < 0. Observe que esta forma de descrever a raiz quadrada deixa claro que a mesma, quando existe, é sempre positiva. ATIVIDADES ORAIS • +7; –13; • +9x; –15x; • –2x2 + 3x – 4; • V.

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( ) d) ( ) c) 2a3× a

−

2x 8x 5

( )( )

e) − t − t 2 1 2

1 2

f) 2 a – 2 b – 2 a − 3b 3

Son Salvador

Na reta numerada a seguir, você vê vários pares de números opostos.

Na reta acima estão indicados vários pares de números opostos. Por exemplo, –4 e +4 são dois destes números opostos.

A notação –a representa: “oposto de a”.

Assim, se a = –7, –a = –(–7) = +7, e se a = +12, –a = –(+12) = –12.

Também, se a = 3x, –a = –(–3x) = +3x, e

Como você já sabe, (–5) – (–7) = (–5) + (+7) = +2, ou seja, subtrair é somar ao minuendo o oposto do subtraendo. Este fato também se aplica ao cálculo com monômios. Veja:

(–4x) – (–7x) = (–4x) + (+7x) = +3x

se a = 6x – 1, –a = –(6x – 1) = –6x + 1

Calculando com monômios e polinômios Explorando o que você já sabe • • • •

Qual é o oposto de –7? E o oposto de +13? Qual é o oposto de –9x? E de +15x? Qual é o oposto de (2x2 – 3x + 4 )? V ou F: para subtrair monômios, basta somar ao primeiro o oposto do segundo.

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Aprendendo em sala de aula

Veja no quadro a seguir como somar ou subtrair polinômios:

Na parte A, como somar: (–2x2 + 3x + 5) + (–7 + 3x + 2x2) + (–5x2 + 9)

Na parte B, como subtrair: (3x2 + 6 – 5x) – (2x – 3x2 + 1)

– 2x2 + 3x + 5

3x2 – 5x + 6

+ 2x2 + 3x – 7

3x2 – 2x – 1

– 5x2 + 0x + 9

6x2 – 7x + 5

– 5x2 + 6x + 7

Observe: Em (A), ordenamos e completamos os polinômios escrevendo-os uns sobre os outros, ficando os termos semelhantes alinhados em uma mesma vertical, e calculamos cada soma algébrica desses termos semelhantes. Em (B), ordenamos e completamos os polinômios escrevendo o primeiro sobre o oposto do segundo, ficando os termos semelhantes alinhados em uma mesma vertical, e calculamos a soma algébrica desses termos semelhantes.

46. O professor da turma K deu, como exercício, as quatro adições de polinômios que você vê no quadro. Resolva-as em seu caderno:

1. (m

2. (3a 3. (4x

+ m + 1) + (2m – 1) + (3m2 – 4m + 2) + 4m

+ 2a + 1) + (4 – a + a2 ) + (a – 7 + 4a2 )

– 2) + (2x – 2x2 – 8) + (3 + 5x2 + 6x) + 7x2

4. (–3a

Explore mais adições e subtrações, utilizando polinômios de graus diferentes para que os alunos percebam que os termos de mais alto grau ficam sem termos semelhantes sob ou sobre si no algoritmo.

46. 1) 4m2 + 3m + 2; 2) 8a2 + 2a – 2; 3) 14x2 + 8x – 7; 4) 4a2 + 2ab + 2b2 + 4a.

+ 4ab + 6b2) + (–2ab + 7a2 – 4b2 + 4a)

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47. 1) 3x – 7y; 2) –3x2 – 6x + 15; 3) 10xy – 6x2 – 10y2; 4) 2x2 + 10x + 3.

47. Como os alunos acertaram todas as adições, o professor da turma K

deu como exercício as subtrações do quadro, lembrando-os de que, em cada caso, devem somar ao primeiro polinômio o oposto do segundo.

Lembre que o cálculo do produto 3x(x + 4) após o quadro desta página é uma aplicação da propriedade (distributiva): a(b + c) = ab + ac. Comente que a área do retângulo da primeira ilustração é exatamente igual ao produto calculado (altura × base).

Calcule as diferenças entre os seguintes polinômios:

5x – 3y e 2x + 4y

3x2 – 2x + 8 e 4x – 7 + 6x2

3xy – x2 – 7y2 e 5x2 – 7xy + 3y2

7x + 5x2 – 15 e 3x2 – 3x – 18

Você já sabe calcular o produto 3x(x + 4) assim: 3x(x + 4) = (3x)(x) + (3x)(4) = 3x2 + 12x

Agora, veja como associar esse produto ao cálculo da área do retângulo ao lado, cujas dimensões são: base x + 4 e altura 3x. A área desse retângulo é dada por 3x(x + 4), ou seja, o produto calculado anteriormente.

Agora, observe que o retângulo foi decomposto em dois outros: um amarelo, de base x e altura 3x, cuja área é (3x)x = 3x2, e

outro azul, de base 4 e altura 3x, cuja área é (4)(3x) = 12x.

Observe agora a figura de outro retângulo, decomposto em um quadrado A1 e três retângulos A2, A3, A4. Com base nela, resolva os três exercícios a seguir: 48. (x + 2) (x + 3).

3x(x + 4) = 3x2 + 12x

x+3

Logo, a área do retângulo é a soma das áreas desses dois retângulos, ou seja:

x+2

48. Qual é o produto que representa a área do retângulo?

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50. a) (x + 2) (x + 3); b) x2 + 3x + 2x + 6.

49. Escreva o monômio ou o binômio que representa: a) A medida da base do retângulo. b) A medida da altura do retângulo. c) A área do quadrado A1.

d) A área do retângulo A2. e) A área do retângulo A3. f) A área do retângulo A4.

49. a) x + 2; b) x + 3; c) x2; d) 3x; e) 2x; f) 6.

50. Escreva a área do retângulo maior de duas maneiras diferentes:

a) Como produto de dois binômios que têm um termo de primeiro grau em comum. b) Como soma da área do quadrado de lado x com as áreas dos três outros retângulos.

Já que as expressões obtidas como respostas, no exercício 50, representam a mesma área (do retângulo maior), podemos escrever: (x + 2)(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6

51.

Observe outra representação do produto (x + 2)(x + 3) na qual são vistos, na figura, os valores das áreas das quatro partes: (x + 3)(x + 2) = x2 + 3x + 2x + 6 = = x2 + 5x + 6

Represente usando áreas e calcule os produtos de binômios que têm um termo de primeiro grau em comum a seguir:

a) (x + 4)(x + 3)

a) x2 + 4x + 3x + 12 = x2 + 7x + 12;

b) (x + 5)(x + 6)

b) x2 + 5x + 6x + 30 = x2 + 11x + 30.

Observe como multiplicar (x + a)(x + b):

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b) = x . x + x . b + a . x + ab = x2 + (a + b)x + ab Representando a + b por S (inicial de soma) e ab por P (inicial de produto), temos: (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P

Podemos descrever essa fórmula em linguagem corrente, assim: O produto de dois binômios de primeiro grau na mesma variável que têm um termo de primeiro grau em comum é igual ao quadrado do termo comum, mais o produto da soma dos respectivos termos independentes pelo termo comum, mais o produto dos respectivos termos independentes.

Veja no quadro a seguir alguns exemplos do uso dessa fórmula.

(x + a)(x + b) = x2 + Sx + P (A) Em (x + 4)(x + 7)  S = 4 + 7 = 11 e P = 4 x 7 = 28; logo, (x + 4)(x + 7) = x2 + 11x + 28. (B) Em (x + 5)(x – 4)  S = 5 – 4 = 1 e P = (5)(–4) = –20; logo, (x + 5)(x – 4) = x2 + x – 20.

Proponha, no quadro, como calcular (x+3)(x+2) usando a propriedade distributiva (sem citar o nome) para que os alunos se convençam, usando outros recursos, da validade do resultado do exercício 50. Proponha que completem os dois desenvolvimentos: 1º (x + 3)(x + 2) = (x + 3) . x + (x + 3) . 2 =.... 2º (x + 3)(x + 2) = x(x + 2) + 3(x + 2) =.... Proponha, no quadro, atividades análogas às sugeridas anteriormente, usando figuras agora com os produtos (x + 4)(x + 3) e (x + 5)(x + 6). Faça o mesmo com o produto (x + a)(x + b), com desenvolvimento diferente do usado no texto do aluno. Assim: (x + a)(x + b) = (x + a) . x + (x + a) . b =..... Represente geometricamente o produto (x + a)(x + b) como no exercício 51, obtendo um retângulo de dimensões x + a e x + b, decomposto em um quadrado de área x2, um retângulo de área ax, outro da área bx e outro da área ab. Desenhe no quadro a representação do produto (x + a)(x + b), como na ilustração do exercício 51, e interprete a área do retângulo maior como soma de três áreas: x2 + (a + b) x + ab. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque do exercício 51 (dois últimos da página). Explique que o produto (x – 3)(x – 4) pode ser visto como [x +(–3)][x+(–4)], justificando dizer que a = –3 e b = –4. Peça que escrevam como neste exemplo o produto (x + 5)(x – 2) como produto de somas de duas parcelas, identificando assim qual o valor e sinal de a e qual o valor e sinal de b. Comente: Como se viu com os sinais de a e b, ao escrever (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P, onde S = a + b e P = ab, não se deve entender que S e P sejam positivos. Exemplificando: Em (x + 3)(x – 4), temos a = 3 (positivo), b = –4 (negativo), a + b = S = –1 (negativo) e P = –12 (negativo). Explore outros exemplos, como (x – 3)(x – 4), (x + 5)(x – 2). Por último, esclareça que o uso da fórmula não é obrigatório, tendo em vista ser possível também efetuar o produto (x + a)(x + b) como nos diversos cálculos já feitos anteriormente.

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52. a) x2 + 5x + 4; b) x2 + x – 6; c) x2 – 16; d) x2 + 4x – 5; e) x2 + 4x + 4; f) x2 – 6x + 9; g) x2 + 10x + 25; h) x2 – 10x + 25; i) x2 – 36. 53. ...o quadrado de 5.

52. Calcule usando a fórmula (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P: a) (x + 1)(x + 4) b) (x – 2)(x + 3) c) (x + 4)(x – 4) d) (x + 5)(x – 1) e) (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2)

f) g) h) i)

(x – 3)2 = (x – 3)(x – 3) (x + 5)2 (x – 5)2 (x + 6)(x – 6)

53. Observe o item (g) do exercício anterior e, em seguida, copie e com54. ...o quadrado de 5.

plete esta frase em seu caderno: O quadrado da soma x + 5 é igual ao quadrado de x, mais duas vezes o produto de x por 5, mais...

54. Observe o item (h) do exercício 52 e, em seguida, copie e complete 55. ...o quadrado de 6. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

esta frase em seu caderno: O quadrado da diferença x – 5 é igual ao quadrado de x, menos duas vezes o produto de x por 5, mais...

55. Observe o item (i) do exercício 52 e em seguida copie e complete esta

frase em seu caderno: O produto da soma x + 6 pela diferença x – 6 é igual ao quadrado de x, menos...

Aprendendo em casa 56. Respostas variadas. Exemplos: a) 2a3b; b) –7x; c) ab3; d) –x3; e) –3x/4; f) 7,5 ab2c; g) 4,32x.

56. Escreva um exemplo para cada um dos tipos de monômios a seguir: a) Tendo como coeficiente um número natural e duas letras na parte literal. b) Tendo como coeficiente um número inteiro negativo e uma letra na parte literal. c) Tendo como coeficiente o número 1. d) Tendo como coeficiente o número –1. e) Tendo como coeficiente uma fração negativa. f) Tendo como coeficiente um número decimal positivo. g) Tendo como coeficiente uma dízima periódica.

57. Desenhe ou resolva: 57. (a) e (b) Atividades do alunos. c) S1 = (xy)/2, S2 = b. h.

a) Um triângulo cuja base mede x e cuja altura mede y. b) Um retângulo cuja base mede b e cuja altura mede h. c) Chame as áreas dos dois triângulos desenhados nos itens (a) e (b) de ST e SR, respectivamente, e escreva as fórmulas dessas áreas usando as letras que representam suas medidas.

58. Desenhe: 58. Atividade do aluno.

59. Atividade do aluno. c) ST = 3x4y3, SR = 3x(x + 4).

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a) Um triângulo cuja base meça 3xy2 e a altura, 2x3y. b) Um retângulo cuja base meça 3x e a altura, x + 4.

59. Represente as áreas do triângulo e do retângulo do exercício 58 por ST e

SR, respectivamente, e escreva suas fórmulas, usando as expressões que representam suas medidas.

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60. Escreva um termo semelhante ao monômio 3x3y que tenha como coeficiente:

a) Um número natural. b) Um número na forma decimal. c) Uma fração.

d) Uma dízima periódica. e) Um número irracional.

60. Respostas variadas. Exemplos: a) 6x3y; b) 0,4x3y; c) (2x3y)/5; • d) 0,07x3y; e) 0,1001001...x3y.

61. Observe o polinômio a seguir e responda ou faça o que se pede: 2x2 + 5xy – 9y2 + 3x2 – 11xy – 12y2

a) Qual o termo semelhante ao termo 2x2?

b) Calcule a soma algébrica desses termos. c) Qual o termo semelhante ao termo 5xy?

61. a) 3x2; b) 5x2; c) – 11xy; d) – 6xy; e) – 12y2; f) – 21y2; g) 5x2 – 6xy – 21y2.

d) Calcule a soma algébrica desses termos.

e) Qual o termo semelhante ao termo –9y2? f) Calcule a soma algébrica desses termos.

g) Escreva o polinômio dado como um polinômio reduzido.

62.Escreva os polinômios a seguir em sua forma reduzida: a) 2x2 – 5xy – 6y2 + 15x2 – 17xy + 18y2 = ? b) 8a – 13ab + 17b – 18 a – 15b + 13ab = ? c) 12 – 13x2y + 17y – 15 + 15x2y – 13y = ? d) 9a2b – 15ab2 + 12a2b + 16ab2 = ? e) 8a – 13b + 8a – 12b + 16 = ? f) 9x2 – 16y2 – 3x2 + 16y2 + x – y = ?

62. a)17x2 – 22xy + 12y2; b) – 10a + 2b; c) 4y + 2x2y – 3; d) 21a2b + ab2; e) 16a – 25b + 16; f) 6x2 + x – y.

63. • 2x – 5; • 6a2 – 4a – 3; • 5x + 2a – 43c – 37.

63.Calcule as somas dos polinômios do quadro:

• • •

(x2 – x – 2) + (2x – 7x2 + 4) + (6x2 + x – 7) (2 – a2 + 2a) + (–5 + 2a2 – 3a) + (5a2 – 3a) 3(x – 3 – 5c) + 2(x – a – 4c) + 4(a – 5c – 7)

64.Calcule as diferenças dos polinômios do quadro:

64. • – 2r – 8s; • 4x2 + 5x – 3; • 4a2 – 10d + 20; • 0; • – 3x2 – 3x + 14.

(5r – 3s) – (7r + 5s) (11x2 + 5x) – (7x2 + 3) (3a2 – 5d + 17) – (– a2 + 5d – 3) (3z2 + 5z – 4) – (3z2 + 5z – 4) (4x + 11) – (3x2 + 7x – 3)

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65. a) x2 + 47x + 90; b) x2 + 2x – 8; c) x2 – 7x + 12; d) x2 + 2x – 3; e) x2 + 6x + 9; f) x2 + 8x + 16; g) x2 – 6x + 9; h) x2 – 81.

Comente com os alunos que os cálculos do exercício 65 podem ser feitos tanto utilizando-se a fórmula apresentada na página 79 quanto usando a distributividade. Leve os alunosa perceberem que o uso da fórmula não é obrigatório: apenas permite eventualmente obter os resultados mais rapidamente.

65. Calcule os produtos abaixo: a) (x + 2)(x + 45) b) (x – 2)(x + 4)

c) (x – 3)( x – 4)

d) (x + 3)( x – 1)

e) (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) f) (x + 4)2 g) (x – 3)2

h) (x + 9)(x – 9)

66. Observe o item (f) anterior, copie e complete a frase em seu caderno: o quadrado da soma x + 4 é igual ao quadrado de x, mais duas vezes o produto de x por 4, mais...

66. O quadrado de 4.

67. Observe o item (g) anterior, copie e complete a frase em seu caderno: o quadrado da diferença x – 3 é igual ao quadrado de x, menos duas vezes o produto de x por 3, mais...

67. O quadrado de 3.

68. Observe o item (h) anterior, copie e complete a frase em seu caderno: o produto da soma x + 9 pela diferença x – 9 é igual ao quadrado de x, menos...

Produtos notáveis

68. O quadrado de 9.

Explorando o que você já sabe

a) (x + 7)(x – 7) b) (y – 2)2

ATIVIDADES ORAIS • (c) • (d) • (a) • (b)

Observe as expressões a seguir:

c) (z + 5)2

d) (w + 9)(w + 6)

Diga qual delas corresponde a cada uma das frases a seguir:

• • • •

Quadrado da soma de duas expressões. Produto de dois binômios que têm um termo comum. Produto da soma pela diferença de duas expressões. Quadrado da diferença de duas expressões.

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Aprendendo em sala de aula

Você viu como multiplicar binômios do primeiro grau usando a fórmula: (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P

onde S é a soma dos termos não comuns: S = a + b e

P é o produto dos termos não comuns: P = ab.

Alguns produtos obtidos por meio dessa fórmula são muito importantes para aplicações futuras. Por isso, se chamam “produtos notáveis”. Vamos passar a destacar alguns deles a seguir: QuAdrAdo dA somA de duAs expressões

Vamos usar a fórmula (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P para calcular (x + a)2, isto é, o quadrado da soma x + a.

Como (x + a)2 = (x + a)(x + a), temos: S = a + a = 2a e P = a . a = a2

Complete o texto que justifica o nome “produtos notáveis”, dizendo que, em particular, neste capítulo serão estudados três destes produtos, que permitem compreender temas que serão estudados a seguir: a fatoração algébrica, a simplificação de frações algébricas e a resolução de equações produto. Por exemplo, ao fatorar o primeiro membro da equação x2 + 2x – 15 = 0, obtém-se (x – 3)(x + 5) = 0, cujas raízes são 3 e –5 (que anulam o primeiro e o segundo fatores, respectivamente). Antes de resolver o exercício 69, explore no quadro a representação geométrica de (x + a)2, lembrando que este quadrado equivale a (x + a)(x + a) e procedendo como no exercício 51, obtendo um quadrado de lados x + a, decomposto em um quadrado de área x 2, dois retângulos de área ax, e um quadrado de área a2.

Logo, (x + a)2 = x2 + 2ax + a2

Em linguagem corrente, podemos dizer: O quadrado da soma de duas expressões é igual ao quadrado da primeira, mais duas vezes o produto da segunda pela primeira, mais o quadrado da segunda.

69. Observe como usar o que concluímos acima: (A) (x + 4)2 = x2 + 2(4) (x) + (4)2 = x2 + 8x + 16 (B) (y + 6)2 = y2 + 2(6) (y) + (6)2 = y2 + 12y + 36 (C) (3x + 5)2 = (3x)2 + 2(5) (3x) + (5)2 = 9x2 + 30x + 25

Agora, calcule os quadrados das somas das expressões do quadro a seguir e confira suas respostas: Exercícios:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(y + 4)2 (2a + 3)2 (z + 17)2 (xy + 14)2 (7xy + 4z)2 (y3 + 15)2 (3ax3 + 7b3y)2

Respostas:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

69. As respostas estão no próprio livro do aluno. Chame a atenção dos alunos que para desenvolver o produto (x+a)2 não é necessário utilizar a fórmula dada; pode-se também fazer a conta através da distributividade

y2 + 8y + 16 4 a2 + 12a + 9 z2 + 34z + 289 x2y2 + 28xy + 196 49x2y2 + 56xyz + 16z2 y6 + 30y3 + 225 9 a2x6 + 42ab3x3y + 49b6y2

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Antes de resolver o exercício 70, explore no quadro a representação geométrica de (x – a)2, lembrando que este quadrado equivale a (x – a)(x – a). Represente este quadrado de lados x – a. Depois, prolongue a base e a altura de um segmento de comprimento a, obtendo novo quadrado de lados x. Decomponha este quadrado no quadrado original, mais outro de área a2 e dois retângulos de área a(x – a). Expresse a área do quadrado original (x – a)2 como diferença da área do quadrado de lado x (x2), e as áreas dos dois retângulos de áreas a(x – a). Assim: (x – a)2 = x2 – a(x – a) – a(x – a) – a2. Desenvolvendo os cálculos do segundo membro, temos: (x – a)2 = x2 – 2ax + a2.

QuAdrAdo dA diferençA de duAs expressões

Vamos usar a fórmula (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P para calcular (x – a)2, isto é, o quadrado da diferença x – a.

Como (x – a)2 = (x – a)(x – a), temos: S = (–a) + (–a) = –2a e P = (–a)(–a) = a2 Logo, (x – a)2 = x2 – 2ax + a2

Em linguagem corrente, podemos dizer: O quadrado da diferença de duas expressões é igual ao quadrado da primeira, menos duas vezes o produto da segunda pela primeira, mais o quadrado da segunda.

70. Observe como usar o que concluímos acima: (A) (x – 4)2 = x2 – 2(4) (x) + (4)2 = x2 – 8x + 16 (B) (y – 6)2 = y2 – 2(6) (y) + (6)2 = y2 – 12y + 36

70. As respostas estão no próprio livro do aluno.

Agora, calcule os quadrados das diferenças das expressões do quadro a seguir e confira suas respostas: Exercícios:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

(x – 7)2 (x – 13)2 (z – 14)2 (t2 – 15)2 (ax – 2by)2 (3x2 – 2by)2

Respostas:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

x2 – 14x + 49 x2 – 26x + 169 z2 – 28z + 196 t4 – 30t2 + 225 a2x2 – 4abxy + 4b2y2 9x4 – 12bx2y + 4b2y2

produto dA somA pelA diferençA de duAs expressões

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque nos textos antes dos exercícios 69, 70, 71.

Vamos usar a fórmula (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P para calcular (x + a) (x – a), isto é, o produto da soma pela diferença de dois números.

Temos: S = (+a) + (–a) = 0 e P = (–a) (–a) = –a2

Logo, (x – a)2 = x2 + 0x – a2, ou seja, (x + a)(x – a) = x2 – a2 Em linguagem corrente, podemos dizer: O produto da soma pela diferença de duas expressões é igual ao quadrado da primeira expressão, menos o quadrado da segunda.

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71. Observe como calcular produtos de somas pelas diferenças de duas expressões usando (x + a)(x – a) = x2 – a2: (A) (x + 6)(x – 6) = x2 – 62 = x2 – 36

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

(B) (y + 4)(y – 4) = y – 4 = y – 16 2

71. As respostas estão no próprio livro do alunos.

Agora, calcule os produtos das somas pelas diferenças das expressões do quadro a seguir e confira suas respostas:

Exercícios:

Respostas:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(a + b) (a – b) (a2 + 3) (a2 – 3) (xy + 4ab) (xy – 4ab) (m2n2 + 19pq) (m2n2 – 19pq) (x + y) (x – y) (b3 + 6) (b3 – 6) (41 + 33x2y2) (41 – 33x2y2)

a2 – b2 a4 – 9 x2y2 – 16a2b2 m4n4 – 361p2q2 x2 – y2 b6 – 36 1 681 – 1 089x4y4

Aprendendo em casa 72. Use o produto notável conveniente para calcular os produtos do quadro a seguir:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

? (x + 0,5) = ? (u – 2,5) = ? (5z – 1,2) = ? (x2 – 1)2 = 2

(0,5u – 0,4)2 = ? (0,1x + 0,2)2 = ? (y – 3,5) = ? 2

(z – 1,5)2 = ? (2u – y)2 = ? (y + 6,5)2 = (2a – 0,25)2

? =?

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

(b – 1,5)2 =

(2x – 0,75)2 =

? (u + 5)(u – 5) = ? (z – 9)(z + 9) = ? (x + 2)(x – 2) =

? (4a – 1)(4a + 1) = ? (7x – 1)(7x + 1) = ? (x – 5)(x + 5) = ? (a + 11)(a – 11) = ? (1 + 3u)(1 – 3u) =

2 2

72. 1) x4 – 2x2 + 1. 2) x2 + x + 0,25. 3) u2 – 5u + 6,25. 4) 25z2 – 12z + 1,44. 5) 0,25u2 – 0,4u + 0,16. 6)0,01x2 + 0,04x + 0,04. 7) y2 – 7y + 12,25. 8) z2 – 3z + 2,25. 9) 4u2 – 4uy + y2. 10) y2 + 13y + 42,25. 11) 4a2 – a + 0,0625. 12) b2 – 3b + 2,25. 13) 4x2 – 3x + 0,5625. 14) x2 – 4. 15) u2 – 25. 16) z2 – 81. 17) 1 – 9u2. 18) 16a2 – 1. 19) 49x2 – 1. 20) x4 – 25. 21) a4 – 121.

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Caso seja possível, utilize recursos de informática. Os temas abordados neste capítulo, a partir desta seção, oferecem ótima oportunidade de usar planilhas eletrônicas na edição de fórmulas, bem como na elaboração de tabelas ou gráficos. Explore as atividades orais como primeira incursão, neste capítulo, à noção de função, sem se preocupar com formalizações. Exemplificando: a) Considerando que V = a3 representa o volume V de um cubo de aresta de medida a, responda: 1º ) A variável a pode ser substituída por um número negativo? Justifique. 2º) Sem calcular, responda: se substituirmos a, pelo decimal 3,43, quantos valores encontraremos para V: um ou mais de um? 3º) V ou F: a cada valor positivo que dermos à medida a da aresta corresponderá um único valor para o volume V do cubo. Caso julgue oportuno, explore atividades semelhantes com as fórmulas da área do quadrado e do comprimento da circunferência. É importante que os alunos percebam, nestes casos, a possibilidade de atribuir às variáveis qualquer valor real positivo. Explore o exercício 73 no quadro, solicitando que alunos façam o desenho correspondente. Explore mais perguntas, como: a) Os valores do perímetro e da área dependem dos valores de qual variável? b) Substituindo a variável por valores cada vez maiores, o que acontece com os perímetros e áreas correspondentes? Explore outras situações relacionadas com o item (e), para que os alunos resolvam as equações correspondentes. O exercício 74 possibilita falar novamente em análise dimensional. (Real/kg) xkg = Real). 74. a) R$ 4,50; b) R$ 5,70; c) R$ 3,20 pelo excesso, R$ 9,20 pelos 28 kg; d) R$ 4,28 pelo excesso e R$ 10,28 pela carga total. Explore mais situações como a do item (d) do exercício 74.

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Usando e deduzindo fórmulas Explorando o que você já sabe

Descreva quais os cálculos de certos valores ou quantidades em Geometria que são associados, em geral, com as seguintes fórmulas:

• A = b. h • V = a3

A fórmula da água é H2O.

• A = l2 • V = a. b. c • C = 2 R

Son Salvador

ATIVIDADES ORAIS • Cálculo da área de um retângulo de base b e altura h. • Cálculo do volume de um cubo de aresta a. • Cálculo da área de um quadrado de lado l. • Cálculo do volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b, c. • Cálculo do comprimento de uma circunferência de raio r.

Aprendendo em sala de aula 73. Em um retângulo, o lado maior é o triplo do lado menor, mais 1.

a) Represente a medida do lado menor pela variável x e escreva a fórmula do perímetro P desse retângulo na forma de um polinômio reduzido.

b) Escreva a fórmula da área A desse retângulo, na forma de um polinômio reduzido. c) Calcule P e A para x = 4.

d) Calcule P e A para x = 0,5.

e) Qual deve ser a medida do lado menor para P = 10,8?

73. a) P = 8x + 2; b) A = x(3x + 1) = 3x2 + x; c) P = 34 A = 52; d) P = 6 A = 1,25; e) 8x + 2 = 10,8 => x = 1,1.

74. Uma empresa cobra pelo transporte de encomendas entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo fretes segundo a tabela abaixo Peso em kg

Preço por kg em R$

Até 20 kg

0,30

Para cada kg excedente a 20 kg

0,40

Valores entre quantidades inteiras de kg pagam proporcionalmente ao excesso em gramas. Ex.: 15,4 kg paga 15,4 × 0,30 reais = R$ 4,62

a) Quanto se pagou pelo transporte de um pacote que pesou 15 kg? b) Outro pacote pesou 19 kg. Quanto se pagou pelo seu transporte? c) Cada quilograma acima de 20 kg custa mais caro. Se uma encomenda pesa 28 kg, quanto se pagará pelo excesso? E quanto se pagará pelos 28 kg?

d) Se a encomenda pesa 30,7 kg, quanto se pagará pelo excesso? E qual o valor total do frete correspondente a esta encomenda?

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75.

No caso do exercício anterior, para se calcular o valor do frete de uma encomenda um funcionário pesa a mesma e informa ao encarregado do cálculo o valor x do peso, em quilogramas. O encarregado do cálculo, por sua vez, usa as seguintes regras para encontrar o valor do frete:

1a) Para o peso de x kg se x  20

R$ 0,30 por quilograma.

2a) Para o peso de x kg se x > 20

R$ 0,30 por kg até 20 kg e R$ 0,40 por quilograma excedente a 20 kg.

Responda:

a) Se a encomenda pesa x kg, e x é menor ou, no máximo, igual a 20 kg, qual é o valor do frete, por quilograma?

b) Nesse caso, qual é o monômio que representa o valor a ser pago? c) Se o consumidor envia x kg e x é maior que 20, de quanto será esse valor correspondente aos 20 primeiros quilogramas?

d) E de quanto será o valor correspondente ao que passar de 20 kg: 0,40 x ou 0,40(x – 20)?

e) V ou F: Se x > 20, o valor P a ser pago tem duas parcelas e é dado pela fórmula: P = 0,30 × 20 + 0,40(x – 20).

f) Aplique a fórmula que você deduziu para calcular o frete correspondente a 28 kg. g) Discuta com seus colegas para descobrir a fórmula do valor a ser pago pelo frete, aplicável a qualquer valor de x.

76. Deduza uma fórmula para calcular a quantidade S de papelão, em cm2,

usada para fazer uma caixa sem tampa em forma de bloco retangular cujas medidas de comprimento, largura e altura são, respectivamente, x, x e x – 3, em centímetros.

77.

Para isso, inicialmente:

a) Desenhe a caixa.

b) Escreva as três medidas no desenho da caixa.

Deduza, também, uma fórmula para o volume V da caixa do exercício anterior.

78. O dono de uma papelaria calcula o preço V de venda de cada tipo de

caderno acrescentando, ao preço de custo (C), 10% de seu valor, mais R$ 0,20 de imposto. Ele escreveu a fórmula na tabela de preços de venda: V = C + 0,10 C + 0,20.

Calcule os preços de venda dos cadernos cujos preços de custo foram:

a) R$ 6,00

b) R$ 7,00

c) R$ 8,00

79. Para ganhar tempo ao fazer as contas usando os dados do exercício anterior, um dos vendedores usa a fórmula V = 1,10 C + 0,20. Repita os cálculos que ele fez para chegar a essa fórmula.

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Leia a observação na margem da página 43: “Por questão [...] simplesmente: R$...”. Antes de resolver o exercício 75, dê exemplos particulares do uso das duas regras: 1ª) Se x = 4 kg, o valor a ser pago é 0,30 x 4 = 1,20; 2ª) Se x = 22 kg, o valor a ser pago é 0,30 x 20 + (22 – 20) x 0,40. 75. a) R$ 0,30; b) R$ 0,30x; c) R$ 6,00; d) R$ 0,40(x – 20); e) V; f)P = 0,30 x 20 + 8 x 0,40; P = 6,00 + 3,20 P = 9,20; g) P = 0,30x se x  20 e P = 0,30 . 20 + 0,40(x – 20) se x > 20 (x em kg e P em reais). Explore o exercício 76 perguntando: Se a altura da caixa é representada por x – 3, x pode ser qualquer número real positivo? O objetivo dessa pergunta é fazer com que os alunos notem que x deve ter valores positivos maiores que 3, pois, caso contrário, x – 3 é zero (se x = 3) ou negativo se x < 3, o que, pela natureza do problema, não é possível pois x – 3 representa a medida da altura da caixa. A mesma restrição prevalece para o exercício 77. Explore: nos exercícios 78 e 79, pela natureza do problema, a variável C somente admite assumir valores decimais positivos com duas ordens decimais, por representar valores monetários. 76. S = 5x2 – 12x. S é dada pela soma: 4x(x – 3) + x2 = 4x2 – 12x + x2 = 5x2 – 12x. 77.V = x3 – 3x2. V é dado pelo produto: x2(x – 3) = x3 – 3x2. 78. a) R$ 6,80; b) R$ 7,90; c)R$ 9,00. 79. V= C + 0,10C + 0,20 = = C(1 + 0,10) + 0,20; V = 1,10C + 0,20.

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Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 80. a) n 3 4 7 10 3n + 1 10 13 22 31 b)

Aprendendo em casa 80. Complete as tabelas abaixo em seu caderno: a)

n –3 –2 0 3 2n – 4 –10 –8 –4 2

Explore a expressão 4/n–2 perguntando se existe algum valor numérico que não possa substituir n, e por qual motivo. Objetivo: lembrar aos alunos que denominador não pode ser zero. Logo, n não pode assumir o valor 2. Em todas as situações-problema envolvendo fórmulas ou funções, é importante explorar a natureza de cada número nelas envolvido (se natural, inteiro, racional, irracional), bem como a qual ou quais intervalos numéricos devem pertencer (o que é comum denominar “domínio de validade” da situação problema). 81. a) R$ 55,00; b) 10x + 15. O problema 81 oferece novamente uma oportunidade de se mencionar a “análise dimensional”. O produto (Reais/hora) x horas resulta em Reais.

–3

–2

3n + 1

2n – 4

81.

Um técnico em TV cobra R$ 15,00 para visitar o cliente e mais R$ 10,00 por hora de trabalho.

a) Se o trabalho demorar 4 horas, quanto ele vai cobrar? b) E se o trabalho demorar x horas?

82. O salário de João é calculado na base de R$ 12,00 por dia trabalhado.

a) Escreva, com suas palavras, o que deve ser feito para calcular o salário de João numa semana.

b) Escreva uma fórmula que calcule o salário S de João para um número y qualquer de dias trabalhados.

82. a) Multiplicar 12 pelo número de dias que ele trabalha por semana; b) S = 12y.

Funções, fórmulas, tabelas e gráficos

ATIVIDADES ORAIS

Explorando o que você já sabe

• Não. Porque a um pai podem corresponder vários filhos. • Sim. Porque a cada marido corresponde uma única esposa. • Não. Porque a cada chefe podem corresponder diversas pessoas. • Não. Porque uma letra pode ser inicial de diversas palavras. • Sim. Porque cada palavra tem uma única inicial. Comente: As diversas aplicações que você verá nesta seção, bem como outras que serão simplesmente citadas, o convencerão da grande importância do estudo de funções.

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Em diversas atividades do dia a dia, estabelecemos correspondências entre os elementos de dois conjuntos.

Nas correspondências a seguir, identifique aquelas caracterizadas pelo fato de que, a cada elemento do primeiro conjunto, corresponde um único elemento do segundo conjunto:

• • • • •

...é pai de... (entre o conjunto de pais e o de filhos). ...é marido de... (em um conjunto de brasileiros casados). ...é chefe de... (no conjunto de pessoas de uma firma). ...é inicial da palavra... (no conjunto de palavras). ...tem por inicial a letra... (entre o conjunto de palavras e o de letras).

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Aprendendo em sala de aula No retângulo da figura a seguir, usamos a variável x para representar a medida da altura, e o binômio 3x + 2 para representar a medida da base. 3x + 2

3x + 2

Se representarmos o perímetro do retângulo acima por P(x) (que se lê P de x) e fizermos os cálculos necessários para o cálculo desse perímetro, concluiremos que: P(x) = 8x + 4

Se substituirmos a variável x por valores numéricos na expressão do perímetro, a cada valor dado a x encontraremos um único valor correspondente para o perímetro.

Para indicar a substituição de x por 2 e 5 na expressão acima, escrevemos e calculamos:

P(2) = 8 × 2 + 4 => P(2) = 16 + 4 => P(2) = 20

P(5) = 8 × 5 + 4 => P(5) = 40 + 4 => P(5) = 44

É claro, então, que P(2,5) = 8 × 2,5 + 4 => P(2,5) = 20 + 4 => P(2,5) = 24

Comente que, no caso d o exe m p l o , c o m o e m P(x) = 8x + 4, x deve ser positivo (por ser medida de segmento), os valores de P(x) são maiores que 4. Convença-os dando a x valores positivos e bem pequenos como 0,001, 0,00001 etc., para que verifiquem que a primeira parcela 8x se torna tão próxima de zero quanto mais próximo de zero for o valor atribuído a x; logo, a soma 8x + 4 assume valores próximos de 4, maiores que 4. Logo, o conjunto-imagem é o conjunto dos números reais maiores que 4. Diga aos alunos para, em casa, anotarem o quadro em destaque da página. Dê mais exemplos do uso das notações do tipo P(x) (P de x). Sugestão: nas expressões do exercício 73, escrever P(x) = 8x + 2, A(x) = 3x2 + x; no exercício 79, escrever: V(c) = 1,10C + 0,20 etc. Observe também que, quando nos referimos a uma função simplesmente pela lei dela, estamos cometendo um abuso de linguagem, pois, pela definição, para existir uma função são necessários dois conjuntos e a lei que satisfaça as condições da definição. Finalmente, diga que, dada uma função expressa por uma lei y = f(x), se diz que x é a variável independente da função (porque é possível dar a x qualquer valor do domínio), enquanto que y (ou f(x)) é a variável dependente (pois seus valores dependem dos valores dados a x).

Observe, agora, que a expressão P(x) = 8x + 4 satisfaz ao que se afirma a seguir, desde que x seja positivo: Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Ao conjunto A, dá-se o nome de “domínio da função”, e ao conjunto B, o nome de “contradomínio da função”. Designando a função por f, escrevemos: f : A  B (que se lê f de A em B), significando que, a cada elemento x do domínio A, corresponde um único elemento y = f(x) de B, chamado de imagem de x pela função f, ou também valor da função f no ponto x. O conjunto que contém todas as imagens dos elementos do domínio chama-se “conjunto imagem da função”.

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83. a) Não; b) Não; c) Sim; d) Sim, porque a cada país só corresponde uma única capital. Explore mais o exercício 83: a) pergunte qual o domínio função; b) pergunte: se apenas na segunda coluna houvesse mais nomes, como, por exemplo, Assunção, a correspondência deixaria de ser função? (objetivo: os alunos devem entender que, no segundo conjunto, podem existir elementos que não correspondem a elementos do domínio); c) pergunte: se apenas na primeira coluna houvesse mais nomes, como, por exemplo, Alemanha, a correspondência deixaria de ser função? Como faremos a seguir, explore também correspondências que sejam exemplos e contraexemplos de funções. 84. Seis – Brasil, Venezuela, Argentina, Peru, Itália, França.

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Note que, no exemplo do retângulo, na página anterior, a correspondência entre o conjunto de valores possíveis a se dar a x (medida da altura) e o conjunto de valores do perímetro P(x) é uma função, pois a cada valor positivo dado a x corresponde um único valor para o perímetro P(x).

E, como x representa medida de segmento, é possível dar a x qualquer valor decimal positivo, o que nos leva a concluir que o domínio dessa função é o conjunto dos números reais positivos. Como vimos, a lei de correspondência é P(x) = 8x + 4.

O conceito de função é muito importante não apenas em Matemática, mas também nas mais variadas áreas do conhecimento humano, como você verá em diversas atividades nas próximas páginas.

Note que, nas páginas anteriores, já exploramos diversas atividades com leis de funções, como, por exemplo, a cada valor da aresta corresponde um único valor do volume do cubo, a cada valor do raio da circunferência corresponde um único comprimento dela, e outras correspondências como: peso de uma encomenda e o valor do frete para seu transporte, preço de custo de caderno e o preço de venda, número de dias trabalhados e salário. Nessas atividades, não é difícil identificar os dois conjuntos entre os quais se está estabelecendo a correspondência entre seus elementos.

83. Observe a tabela de países e respectivas capitais abaixo:

PAÍS

CAPITAL

Brasil

Brasília

Venezuela

Caracas

Argentina

Buenos Aires

Peru

Lima

Itália

Roma

França

Paris

Responda:

a) Existe algum país desta tabela que tenha mais de uma capital?

b) Existe país da primeira coluna cuja capital não esteja na segunda coluna? c) A cada país da tabela corresponde uma única capital?

d) Nesta tabela, a correspondência entre o conjunto de países e o conjunto de capitais é uma função? Justifique sua resposta.

84. No exercício anterior, quantos elementos existem no domínio da função? Quais são eles?

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85. O professor disse para 3 alunos desenharem, no quadro, retângulos com a mesma área: 400 centímetros quadrados.

Discuta com seus colegas e responda:

a) Imagine que um deles tenha desenhado um retângulo de base 25 cm e altura 16 cm. É possível que os outros tenham desenhado retângulos com medidas diferentes dessas? Neste caso, tente descobrir duas outras soluções.

b) A correspondência entre um conjunto de valores que representam áreas de retângulos e o conjunto de retângulos que têm tais valores como áreas é função? Justifique sua resposta.

86. Veja as duas tabelas de funções a seguir. Nelas, a primeira linha contendo valores de x representa o domínio das funções. x

As leis de correspondência relacionadas com as funções estão entre as seguintes:

y = x + 3, y = 3x – 1, y = 10/3, y = 2x + 1, y = 2,5 x, y = 0,3x.

a) Identifique, para cada tabela, a lei de correspondência correta.

b) A lei correspondente a uma das tabelas pode ser expressa por uma fórmula que permite calcular porcentagens de números dados. Qual é ela e qual a taxa correspondente? Justifique.

c) Para obter os números ímpares 1 e 3, que valor você deve atribuir a x na lei de correspondência da segunda tabela?

87. Observe novamente outras tabelas, nas quais a primeira linha contendo valores de x representa o domínio das funções correspondentes. y = kx (k  0 e constante)

y = 5x x

3,2

7k 3,2k 12k

a) Observando os produtos cruzados 3 × 20 e 15 × 4, bem como 3 × 4k e 3k × 4, o que você conclui sobre as razões 3 : 15 e 4 : 20? E sobre as razões 3 : 3k e 4 : 4k?

b) Calculando na primeira e na segunda tabela os sucessivos produtos cruzados possíveis, Marília concluiu um fato interessante sobre a sequência de valores de x e a sequência dos valores correspondentes de y. Escreva em seu caderno o que você acha que Marília descobriu.

85. a) Sim. Por exemplo: 1º) base 40 cm e altura 10 cm; 2º) base 50 cm e altura 8 cm; b) Não, porque a cada área dada correspondem vários retângulos. Esclareça aos alunos a razão dos termos “vários retângulos” na resposta (b) anterior. É necessário que compreendam que as medidas das bases e das alturas podem ser quaisquer números reais positivos. Exemplif ique: (32 cm; 12,5 cm), (62,5 cm; 6,4 cm) etc. 86. a) 1 a tabela y = 0,3x; 2a tabela y = 2x + 1; b) A primeira tabela. A taxa é de 30% porque 0,3 = 0,30 = 30/100 = 30%; c) x = 0 e x = 1, respectivamente. Peça aos alunos que tragam nas próximas aulas recortes dos mais variados tipos de gráficos que encontrem em jornais, revistas ou quaisquer outros recursos disponíveis. Peça que procurem gráficos que representem variações de grandezas como consumos de água, álcool, gasolina, gás, óleo etc., bem como espaços percorridos, velocidades desenvolvidas, pressão, volume, temperatura, umidade do ar, índices de poluição. 87. a) 3 : 15 = 4 : 20 e 3 : 3k = 4 : 4k; b) Marília descobriu que, em ambas as tabelas, as sequências de valores de x e de y são diretamente proporcionais. Comente com os alunos: vocês já viram anteriormente como definir quando duas grandezas são diretamente proporcionais; agora, com base no exercício 88 é possível dar outra definição: dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais se a cada valor x da primeira grandeza corresponder um valor y da segunda, satisfazendo a lei y = kx (k  0 e constante).

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88.a) A mola aumentou 4 cm no comprimento, ou seja, 0,04 m. Substituindo x por 0,04 e F(x) por 1, na lei F(x) = kx, temos: 1 = 0,04k => k = 1/0,04 => k = 25 kg/m; b) Como existe uma proporcionalidade direta, se com 1 kg a mola aumentou 4 cm, com 2,5 kg a mola aumentará 2,5 × 4 = 10 cm. Logo, o comprimento total da mola será a soma do seu comprimento original (14 cm) com a quantidade que ela aumentou: 10 cm.

88. Uma proporcionalidade interessante: Em 1660 um cientista inglês, Robert Hooke, descobriu que, uma vez suspensa, uma mola de comprimento Co, até certos limites, aumenta seu comprimento de um valor x proporcionalmente ao peso nela suspenso ou à força (F) nela exercida. Dentre diversas aplicações desta descoberta, a mais simples você deve conhecer: as balanças de molas.

Outra forma de calcular é utilizando a função F(x) = 25x (usando a constante K calculada no item a), substituindo 2,5 = F(x) = 25x e calculando x. Resposta: o

Agora, resolva as questões a seguir, usando o que já conhece: proporcionalidades diretas são expressas por funções cujas leis são do tipo F(x) = kx (k constante e diferente de zero).

comprimento da mola passará a ser de 24 cm. 89. a) Depois de 2 minutos, percorre 6 cm e, depois de 3 minutos, percorre 9 cm; b) Sim, porque a cada minuto ela percorre 3 cm; c) 3 centímetros por minuto (3 cm/min); d) Na fórmula d = 3t o coeficiente 3 do t representa a velocidade da lesma em centímetros por minuto.

Explore no quadro, utilizando desenhos representativos da situação: A posição de um objeto é dada por uma fórmula do tipo d = 45t + 13, t > 0. a) Se t = 0, d = 13. Interpretação: o objeto encontra-se a 13 unidades de distância da origem das posições. b) Se t = 1, d = 45 + 13, se t = 2, d = 2 x 45 + 13 etc. Logo, o objeto se move com velocidade constante dada pelo coeficiente 45 da fórmula. Explore o exercício 90 no quadro, sugerindo que os alunos façam um desenho representativo da situação, inserindo dados como posição inicial dos automóveis 5 km e 30 km (sob elas a indicação t = 0) e setas indicativas das velocidades sobrepostas com tais valores: 80 km/h e 60 km/h 90. a) Depois de 1 hora e 15 minutos, no quilômetro 100 da estrada. Como vão estar no mesmo ponto da estrada, devemos igualar as leis dos espaços percorridos, obtendo a equação 80t = 60t + 25, cuja raiz (simplificada) é 5/4. Esta raiz corresponde ao tempo no qual estarão no mesmo ponto: 5/4 de hora, ou seja, 1 hora e 15 minutos. Calculando o valor de y para o valor t = 5/4, em qualquer uma das leis, obtemos y = 100.

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Uma mola com 14 cm de comprimento, já suspensa, aumenta seu comprimento, até ficar em repouso, para 18 cm, quando penduramos em sua extremidade um objeto cujo peso é 1 kg. Use a expressão F(x) = Kx e resolva:

a) Calcule o valor da constante K em kg/m.

b) Calcule o comprimento da mola quando sustentar, em equilíbrio, objeto que pesa 2,5 kg.

89. A distância d, em centímetros, percorrida por uma lesma em função do tempo t, em minutos, é dada pela fórmula: d = 3t.

a) Pela fórmula, depois de 1 minuto a lesma percorre 3 cm. Quantos centímetros ela percorre depois de 2 minutos? E depois de 3 minutos?

b) Com base nos resultados anteriores, é possível concluir que a velocidade da lesma é constante? Justifique.

c) Se você respondeu afirmativamente à pergunta (b), qual o valor da velocidade? d) Na fórmula, qual o termo que representa a velocidade?

90. Dois automóveis A e B estão estacionados em uma rodovia nos qui-

lômetros 0 e 25, respectivamente. Suponha que os automóveis, com velocidades constantes, partam no mesmo instante e no mesmo sentido e tenham os espaços percorridos dados pelas seguintes leis: y = 80t e y = 60t + 25, respectivamente (t medido em horas, a partir do instante inicial t = 0, e y medido em quilômetros, a partir do quilômetro zero da estrada).

a) Depois de quanto tempo os automóveis estarão no mesmo ponto da estrada, e em qual quilômetro? Justifique como efetuou os cálculos.

b) Depois de 2 horas de percurso, sem parar, qual a distância entre os dois automóveis? Justifique.

c) O que representam, nas leis das duas funções, as constantes 80 e 60? b) 15 quilômetros. Calculando y para t = 2, obtemos os espaços percorridos pelos dois automóveis a partir do instante inicial: 160 km e 145 km. Logo, a distância entre eles é de 15 km; c) 80 e 60 representam as velocidades constantes dos dois automóveis em quilômetros por hora.

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O lucro unitário na venda de certo artigo é dado pela função: L(x) = –3(x – 6)(x – 30), 6 < x < 30, onde x representa, em reais, o preço de venda, e L(x), o lucro, também em reais.

a) Comprove que, vendendo o artigo por 10 reais ou por 26 reais, o lucro unitário é o mesmo.

b) Existem preços de venda que não produzem lucro nem prejuízo? Se existem, quais são eles e por quê?

c) Compare os valores dos lucros para x = 17, x = 18 e x = 19. O que você concluiu?

92. Observe as duas tabelas a seguir. Na primeira, registramos conversões de metro para os múltiplos ou divisores do metro e, na segunda, de metro quadrado para múltiplos ou divisores do metro quadrado. Complete, em seu caderno, os símbolos que devem substituir corretamente as letras. f( t ) = t × (1 m) t

0,1

f(t)

dam

f( t ) = t × (1 m 2 )

1 000 0,001 0,01 a

Domínio = {1; 10; 0,1; 1 000; 0,001; 0,01}

100

g( t)

0,01 0,0001 10000 d

Antes do exercício 91, explore valores de x que satisfazem a condição 6 < x < 30. 91. a) Calculando L(10) e L(26), encontra-se para o lucro o mesmo valor: R$ 240,00; b) Existem: os preços de R$ 6,00 e R$ 30,00. Observe que os valores x = 6 e x = 30 anulam, respectivamente, o primeiro e o segundo parênteses da expressão: L(x) = –3(x – 6)(x – 3). c) L(17) = L(19) = R$ 429,00 e L(18) = 432,00. Comente: é possível provar que o lucro de R$ 432,00 cor respondente ao valor x = 18 é, dentre todos os possíveis lucros, o maior deles. Vamos provar este fato depois de explorar o exercício 129. 92. a) km; b) mm; c) cm; d) hm2; e) km2; f) dm2.

Domínio = {100; 0,01; 0,0001; 1 000}

93. Considere o conjunto {0; 1; 2; 3; 4} como domínio das funções cujas leis são dadas a seguir: P(n) = 2n, I(n) = 2n + 1, A(n) = n2, C(n) = n3.

a) Calcule, para cada uma delas, os valores correspondentes a estes cinco elementos do domínio.

b) Considere agora, como domínio de funções com as mesmas leis, o conjunto dos

números naturais. O que você observa em relação ao conjunto imagem de cada uma delas neste caso?

94. Vamos definir uma função que associa, a pares ordenados de números reais dados, a soma desses números. Assim:

S(a,b) = a + b, sendo a e b números reais.

Exemplos: S(3; 7) = 3 + 7 = 10 S(–9; 6) = (–9) + (+6) – 3

Do mesmo modo, é possível definir funções que associam, a cada par ordenado de números reais dados, sua diferença (na ordem dada), seu produto, seu quociente (na ordem dada): D(a,b) = a – b; P(a, b) = a × b; Q(a,b) = a/b, respectivamente.

Aplique as leis dessas quatro funções aos pares ordenados (a,b) constantes da tabela a seguir: (8;12)

(–6;+18)

(3,2;0,5)

(0,4;10)

(8,1;0,3)

(3/4;7/8)

93. a) P(0) = 0; P(1) = 2; P(2) = 4; P(3) = 6; P(4) = 8; I(0) = 1; I(1) = 3; I(2) = 5; I(3) = 7; I(4) = 9; A(0) = 0; A(1) = 1; A(2) = 4; A(3) = 9; A(4) = 16; C(0) = 0; C(1) = 1; C(2) = 8; C(3) = 27; C(4) = 64. b) Números naturais pares, números naturais ímpares, quadrados perfeitos e cubos de números naturais, respectivamente; 94. S(8;12) = 20; S(-6;+18) = 12; S(3,2; 0,5) = 3,7; S(0,4;10) = 10,4; S(8,1;0,3) = 8,4; S(3/4; 7/8) = 13/8; D(8;12) = -4; D(-6;+18) = – 24; D(3,2; 0,5) = 2,7; D(0,4;10) = – 9,6; D(8,1;0,3)= 7,8; D(3/4; 7/8) = 1/8; P(8;12) = 96; P(–6; + 18) = –108; P(3,2; 0,5) = 1,6; P(0,4;10) = 4; P(8,1;0,3) = 2,43; P(3/4; 7/8) = 21/32; Q(8;12)= 2/3; Q(–6;+18) = –1/3; Q(3,2; 0,5) = 6,4; Q(0,4;10) = 0,04; Q(8,1;0,3) = 27; Q(3/4; 7/8) = 6/7.

91.

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95. a) f(n) = 1 + 3n; b) 1 + 3n = 46 => n = 15; logo é a figura 15.

95.Observe a sequência de figuras formadas de quadrados. Em cada uma

Observe que, quando dizemos, a figura n e depois escrevemos (n =1, 2, 3,...), isto equivale a dizer: correspondência entre cada figura n e... (ou seja, correspondência do conjunto de figuras para o conjunto de números de segmentos).

Obs.: lados comuns a dois quadrados são contados uma única vez.

delas foram utilizados segmentos para formar cada quadrado da sequência. Para a figura l, temos a correspondência 1 => 1 + 3 × 1 = 4 segmentos utilizados. Para a figura 2 tem-se a correspondência 2 => 1 + 3 × 2 = 7.

a) Discuta com seus colegas para descobrir a lei da função que estabelece a correspondência entre a figura n e o número de segmentos f(n) utilizados para formar cada quadrado dessa figura (n = 1, 2, 3, 4,...).

b) Qual a figura para a qual são utilizados 46 segmentos para formar todos os seus quadrados?

96. a) 800; b) 700; c) 600.

96.Agora você vai trabalhar com estimativas. Veja a lei para estimativas de somas de pares ordenados de números reais dados: F(a + b) = estimativa de a + b.

97. a) E; b) A; c) C; d) F; e) D. Professor(a), relembre aos alunos o que se quer dizer, no exercício 96, com a palavra “estimativa”: substituir os valores de a e b pelo número de ordem decimal exata mais próximo.

Observe a tabela de pares de parcelas e escreva em seu caderno os valores que devem substituir corretamente as letras da segunda linha da tabela. Soma dada

714 + 213

592 + 163

422 + 213

480 + 110

F(a + b)

900

97. Neste exercício você vai imaginar rotações do hexágono regular da figura, em torno do ponto O, no sentido anti-horário, para estabelecer correspondências entre seus vértices, usando a função cuja lei é definida assim: R(v, n) = v1

onde v1 é o vértice correspondente à posição que ocupará o vértice v, girando o hexágono em torno do ponto O, n graus, no sentido anti-horário. Agora, escreva em seu caderno o que deve substituir as interrogações em cada item a seguir, como no exemplo: R(F, 60º) = A

a) R(B, 180º) = ? b) R(C, 240º) = ?

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c) R(D, 300º) = ?

d) R(F, 360º) = ?

e) R(C, 420º) = ?

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98. Observe as duas tabelas a seguir: y = 0,36 x

y = 2x

125

–2

–1

25,2

108

79,2

a) Escreva em seu caderno os valores que devem substituir corretamente as letras nas

duas tabelas, usando as leis de correspondência nelas registradas. b) V ou F: a lei de correspondência da primeira tabela pode ser interpretada como y igual a 36% de x. c) Se, na segunda tabela, y = 1024, descreva como calcular o valor de x correspondente.

99. Considere as funções que associam a cada par ordenado de números naturais dados o seu máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum, respectivamente:

M(x,y) = m.d.c. de x e y

Para cada par ordenado de números da tabela a seguir, use as leis dessas funções e escreva em seu caderno o que deve substituir corretamente cada letra:

98. a) m = 14,4; n = 18; p = 70; q= 300; r = 45; s = 220; t=¼; u = ½; v = 1; x = 2; y = 4; z = 8. b) V; c) Basta fazer 2x = 1024 e fatorar 1024: 2x = 210  x = 10

Explore novamente o conceito de figuras planas equivalentes (figuras que têm a mesma área) perguntando aos alunos se, na ilustração do exercício 100, existem figuras equivalentes; em caso afirmativo, quais são e por que são equivalentes.

m(x,y) = m.m.c. de x e y

(x,y)

(12,18)

(5,7)

(6,18)

(8,9)

(1,13)

(18,27)

M(x,y)

m(x,y)

99. a) 6; b) 1; c) 6; d) 1; e) 1; f) 9; g) 36; h) 35; i) 18; j) 72; k) 13.; l) 54.

100. Considere a função S que associa cada figura X do quadro abaixo à sua área, considerando cada pequeno quadrado como unidade de área.

B D

C E

S(X) = área da figura X Escreva em seu caderno o que substitui corretamente cada interrogação dos itens a seguir:

a) S(A) =?

d) S(D) =?

c) S(C) =?

f)S(F) =

100. a) 9; b) 7; c) 9; d) 9; e) 6; f) 3.

b) S(B) =? e) S(E) = ?

? 95

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101. a = 4, b = 5, c = 100, d = 2000, e = 90

101. Na tabela a seguir, você vê valores correspondentes de duas grandezas inversamente proporcionais, dadas pela lei xy = 60. Escreva em seu caderno os valores que devem substituir corretamente as letras da tabela.

Comente que da igualdade xy = 60 conclui-se que x  0 e y  0. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 102. 1o retângulo  P(y) = 6y + 6; A(y) = 2y2 + 3y. 2o retângulo  P(z) = 8z + 2; A(z) = 3z2 + z. 103. a) P(5) = 36 e A(5)= 65; P(6) = 50 e A(6) = 114; b) 6y + 6 = 72 => y = 11; 8z + 2 = 102 => z = 100/8 => z = 25/2 => z = 12,5

xy = 60 ou y = 60/x 2

0,6

2/3

0,03

Aprendendo em casa 102.Observe os retângulos a seguir e escreva os perímetros e as áreas deles, em função das variáveis usadas para representar suas medidas:

b) São diretamente proporcionais.

y = 8x x 3 4 7 3,5 12 0,3 y 24 32 56 28 96 2,4

1 4 0,5 0,01 3/2

y = kx (k  0 e constante)

3 x

y 3k 4k 0,5k0,01k 3k/2 k

104.

105. a) Sim, porque a cada nome corresponde uma única inicial; b) Não, porque a cada letra do conjunto corresponde mais de um nome, do qual ela é inicial. Recomende ou explore a leitura de: “Álgebra” Coleção Pra que serve a Matemática? Imenes – Jakubo – Lellis. Atual Editora.

2y + 3

3z + 1

103. Use as expressões da área e do perímetro dos dois retângulos do exercício anterior, para:

a) Calcular seus valores para y = 5 e z = 6.

b) Calcular y e z se seus perímetros medem, respectivamente, 72 e 102.

104. Observe as tabelas a seguir: y = 8x

y = kx (k  0 e constante)

3,5

0,3

0,5 0,01 3/2 ?

1 ?

a) Copie as duas tabelas em seu caderno e escreva o que substitui corretamente cada sinal de interrogação.

b) O que você pode dizer das sequências de valores de x e de y em cada caso?

105. Observe os seguintes nomes de pessoas:

Antonio, Augusto, Antenor, Bernardo, Benedito, Márcia, Marta, Manoel.

Agora responda:

a) A correspondência entre esses nomes e suas iniciais é uma função? Justifique.

b) A correspondência “é inicial de” entre o conjunto de letras {A, B, M} e o conjunto

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que contém esses nomes é uma função? Justifique.

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As funções e seus gráficos cartesianos Explorando o que você já sabe

Considere a expressão y = 3x + 1, na qual x representa números reais. Diga os valores de y correspondentes a: Significa que, se x representa qualquer número real, y é a soma do triplo desse número com 1.

• x = 3 • x = 10 • x = 0,1 • x = 2,5

Son Salvador

ATIVIDADES ORAIS

O que significa a expressão y = 3x + 1?

• 10 • 31 • 1,3 • 8,5 Antes de explorar o texto que antecede o exercício 106,

Aprendendo em sala de aula

No capítulo 1 você aprendeu duas importantes atividades: a primeira, como representar pares ordenados de números reais por pontos no plano cartesiano, e a segunda, dados pontos no plano cartesiano, como identificar pares ordenados de números reais correspondentes a esses pontos. Nessas atividades, você aprendeu o que são abscissas, ordenadas e coordenadas dos pontos, bem como o fato de que a cada ponto do plano cartesiano corresponde um único par ordenado de números reais, e reciprocamente. Agora, você vai utilizar esses conhecimentos para aplicá-los em diversas outras atividades. Veja a primeira delas no exercício a seguir.

106. Em exercícios anteriores, você identificou leis de correspondência rela-

cionadas com tabelas de funções. Observe a tabela abaixo e responda aos itens que se seguem. x

Domínio = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

a) Por que a correspondência entre os valores de x e de y é uma função?

b) Discuta com seus colegas e descubra uma lei para esta função. Justifique sua res-

utilize alguns dos gráficos que foram solicitados aos alunos (ver página 89), para mostrar a grande importância dos gráficos no dia a dia (não somente os de funções). No caso de gráficos de funções, explore os conceitos de abscissas, ordenadas e coordenadas dos pontos, bem como os domínios das mesmas. Se julgar conveniente, explore crescimento, decrescimento, máximos e mínimos de maneira intuitiva.

Proponha pesquisas sobre a utilização dos gráficos de sismógrafos e dos eletrocardiogramas. Dois sites sobre os temas: http://ciencia.hsw.uol.com. br/questao142.htm” e “http:// www.centrodeestudos.org. br/pdfs/ecg.pdf

106. a) Porque a cada valor de x corresponde um único valore de y. b) y = 7 – x; bastou observar que todos os pares de valores correspondentes de x e y são tais que x + y = 7; logo, y = 7 – x. c) (3; 4), (4;3); (5;2), (6;1), (7;0).

posta.

c) Complete em seu caderno a relação de pares ordenados correspondentes a esta função: (0;7), (1;6), (2;5),...?...

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No exercício anterior, você viu que, através de uma tabela, é possível representar uma função identificando seu domínio, a lei de correspondência, e consequentemente relacionar todos os pares ordenados correspondentes à função. Agora, veja outro modo de representar a mesma função: pelo seu gráfico cartesiano. Considere os pares ordenados (x,y) de números, tais que y = 7 – x, para todos os valores de x pertencentes ao domínio da função do exercício 106 da página anterior. Representando no plano cartesiano todos os pontos correspondentes a esses pares ordenados, você obtém o gráfico cartesiano da função.

y 7 6 5 4 3 2 1 0

Note que este gráfico é formado de 7 pontos isolados porque os valores de x são os números naturais de 0 a 7.

107. a) Porque a cada valor de x corresponde um único valor y; b) y = 2x + 1; c) Gráfico do aluno. Contendo seis pontos isolados.

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Domínio = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

107. Observe a tabela a seguir: x

Domínio = {2; 3; 4; 5; 6; 7}

Professor(a): Recomenda-se explorar as atividades desta seção no quadro, acrescentando outras semelhantes quando julgar necessário.

0 1

a) Por que a correspondência entre os valores de x e de y é uma função? b) Discuta com seus colegas e descubra uma lei para esta função.

c) Faça o gráfico cartesiano desta função. Use papel quadriculado.

Você já sabe que a cada número real corresponde um único ponto na reta numerada e reciprocamente. Isto significa que, por exemplo, se formos representar na reta numerada o conjunto de todos os números reais x tais que –4  x  6, vamos obter um segmento de reta cujos extremos são os pontos de abscissas –4 e 6, respectivamente.

Conjuntos de números reais como estes denominam-se “intervalos numéricos reais”, ou simplesmente intervalos numéricos. Veja alguns exemplos:

O conjunto dos números reais x, tais que –2 , x < 2, é formado por todos os números reais que correspondem aos pontos do segmento cujos extremos têm abscissas –2 e 2, excluindo-se o primeiro extremo, que não pertence ao conjunto. Sua representação na reta é a segunda das quatro que você vê na ilustração a seguir.

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Os extremos dos intervalos podem ou não pertencer aos intervalos. Por isto, eles recebem denominações diferentes.

1º 2º

Por exemplo:

1º) Intervalo fechado

3º

2º) Intervalo aberto à esquerda

4º

–2

–2  x  2.

–2 < x < 2.

3º) Intervalo aberto à direita

Ao lado, as denominações dos quatro intervalos.

–2 < x < 2. 4º) Intervalo aberto –2 < x < 2.

108.Responda ou faça o que se pede:

a) Escreva as duplas desigualdades correspondentes ao terceiro e quarto intervalos representados na ilustração anterior.

b) Escreva 3 decimais positivos com duas ordens decimais que pertençam ao terceiro intervalo.

c) Escreva 4 decimais negativos com duas ordens decimais que pertençam ao quarto intervalo.

109. Escreva, usando dupla desigualdade, e represente na reta numerada: a) Um intervalo, aberto à esquerda, de extremos –3 e 6; b) Um intervalo fechado de extremos 3 e 9;

c) Um intervalo aberto de extremos –10 e –4.

110. Para uma boa precisão, use régua graduada e represente na reta nu-

merada os intervalos correspondentes às desigualdades a seguir. Depois classifique-os como no quadro do início da página.

a) –4 < x  –1

b) 1,5  x  3,5

c) –1,5  x < 3,5 d) –2,5 < x < 3

111. Observe agora algumas desigualdades um pouco diferentes e respon-

da ao que se pergunta sobre elas. Considere que, em todos os itens, x representa números reais.

a) Se x < 0, x representa infinitos números reais. Quais são eles? b) Se x > 0, x representa infinitos números reais. Quais são eles?

c) Se x  0, como se chama a parte da reta cujos pontos têm como abscissas todos os possíveis valores de x?

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108. a) –2 < x < 2 e –2 < x < 2; Respostas variadas para os itens b e c. Por exemplo: b) 1,99, 0,85, 0,01; c) –1,99, –0,95, –0,01, –1,02. 109. a) –3 < x  6; na reta, como o segundo intervalo da ilustração com extremos –3 e 6; b) 3  x  9; na reta, como o primeiro intervalo da ilustração com extremos 3 e 9; c) –10 < x < –4; na reta, como o quarto intervalo da ilustração com extremos –10 e – 4. 110. Representações dos alunos. a) Intervalo aberto à esquerda; b) Intervalo fechado; c) Intervalo aberto à direita; d) Intervalo aberto. 111. a) Números reais negativos; b) Números reais positivos; c) Semieixo positivo das abscissas.

Represente, na reta, as semirretas correspondentes aos itens (a), (b) e (c) do exercício 111. Nos casos a e b a origem não pertence às semirretas.

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Obs.: pelo aspecto delicado do tema, preferimos usar uma linguagem mais simples ao nos referimos ao fato de que o gráfico é uma linha que se traça sem saltos. Comente: prova-se que toda função dada por uma igualdade da forma y = ax + b, sendo a e b constantes reais, tem por gráfico uma reta (se o domínio é o conjunto dos números reais), ou uma parte da reta (se o domínio é um intervalo). Comente também: como bastam dois pontos para determinar uma reta, para obter o gráfico visto na ilustração, basta calcular y para x = – 4 e x = 6, obtendo y = –10 e y = 10, respectivamente, obtendo os pares ordenados (–4, –10) e (6,10), coordenadas dos extremos do segmento gráfico da função, pois neste caso o domínio é o intervalo fechado visto em destaque vermelho no plano cartesiano da ilustração. Desenhe no quadro um quadriculado representando um plano cartesiano como o que se vê antecedendo o exercício 112 (10 linhas e 10 colunas) e proponha que façam os gráficos das funções y = 2x – 2, y = –2x + 4, ambas passando pelos pontos de abscissas 0 e 2, e das funções y = 4x, y = 3x + 2, passando pelos pontos de abscissas –1 e 0. Depois, confiram o que obtiveram com a ilustração que antecede o exercício 112. Cite (e dê exemplos) de casos particulares da função afim: função identidade [f(x) = x] e função constante [f(x) = c, c número real)]. Chame atenção para o fato de que quando a=0, na função af im f(x) = ax+b, então esta função é constante, ou seja, uma função constante (assim como a função identidade) são casos particulares de funções afins. Mostre como obter as interseções dos quatro gráficos da ilustração da página 99 com os eixos coordenados. Por exemplo, para y = 3x + 2: a) Faça x = 0, obtendo a interseção com OY: (0; 2) b) Faça y = 0, obtendo a interseção com OX: (–2/3; 0) a) x = 0 ⇒ y = 2; b) y = 0 ⇒ x = – 2/3. Comente: a parábola é uma curva cujos pontos equidistam de um ponto F e uma reta d, chamados foco e diretriz da parábola, respectivamente. Você terá oportunidade de estudá-la com mais detalhes no ensino médio. Nas páginas seguintes você terá oportunidade de ver diversas parábolas como gráficos de funções quadráticas.

Você viu que o gráfico da função y = 7 – x cujo domínio é o conjunto D = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 } é formado apenas de 7 pontos isolados.

Se o domínio de uma função é um intervalo de números reais ou o próprio conjunto dos números reais, existe uma diferença muito grande entre o gráfico dessa função e gráficos de funções cujas domínios são subconjuntos de  ou Z. Um exemplo da diferença mencionada você vê no gráf ico ao lado. Ele é o gráf ico da função y = 2x – 2, cujo domínio é o intervalo –4  x  6. Observe que existem infinitos números reais entre –4 e 6. A cada um desses possíveis valores de x, a equação y = 2x – 2 faz corresponder um único valor para y, obtendo-se, portanto, infinitos pares ordenados que representados por pontos no plano cartesiano formam uma linha que se traça sem saltos, ou seja, um segmento de reta.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0 -1

-2

-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

O domínio da função está destacado pelo segmento vermelho contido no eixo dos x.

Funções f: A  B, sendo A e B subconjuntos do conjunto dos números reais, são chamadas funções reais de uma variável real. Em particular, vamos apresentar, a seguir, duas delas, que têm como domínio o conjunto dos números reais, cujo estudo é muito importante pelas aplicações de tais funções em diversas áreas do conhecimento.

Elas são chamadas função afim e função quadrática.

Veja como são definidas:

Toda função f tal que, para todo número real x, faz corresponder um número real f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais, chama-se função afim.

Se b = 0, a função chama-se, em particular, função linear: f(x) = ax, x  R

Toda função f tal que, para todo número real x, faz corresponder um número real f(x) = ax2 + bx + c, sendo a, b e c constantes reais, e a  0, chama-se função quadrática.

Os matemáticos provam que, no plano cartesiano:

a) O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical. b) Toda reta não vertical é gráfico de uma função afim.

c) O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola.

100

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Veja, a seguir, exemplos de funções afim, seus gráficos e aplicações.

Lembre-se de que tais funções têm como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais; portanto, na ilustração se vê, apenas, partes dos gráficos.

Gráficos de funções afim y = ax + b Função

Cor do gráfico (0; 2) 2 (– , 0 ) 3

(2; 2)

Unidade de medida: lado de cada quadrinho. Na tabela ao lado, as colunas têm as cores dos gráficos das funções afim correspondentes

y = 2x – 2 y = 4x y = 3x + 2 y = –2x + 4 Azul

Verde

Vermelho

Preto

Coeficiente angular do gráfico: a

–2

Coeficiente linear do gráfico: b

–2

Zeros da função

–2/3

Zeros de uma função f de A em B são os valores x do domínio A, tais que f(x) = 0. São as abscissas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo das abscissas.

Com base nos gráficos, na tabela e em observações adicionais, você vai desenvolver diversas atividades nos exercícios que seguem.

112.Cada um dos quatro gráficos das funções da tabela intercepta o eixo das ordenadas em um único ponto.

a) O que se observa com relação às abscissas desses pontos? Justifique e escreva as ordenadas desses pontos.

b) Sem observar o gráfico, usando as leis das funções, como você obteria tais ordenadas?

c) Na tabela, esses valores das ordenadas constam de uma das linhas da tabela. Que nome cada um deles recebe?

d) Se uma função tem como lei y = –2x + 3, qual o coeficiente linear do seu gráfico e qual a interpretação geométrica que se dá a ele?

113.Os pontos (0,–2), (1,0) e (2,2) (em destaque vermelho) pertencem ao

gráfico (azul) da função y = 2x – 2. Observe agora que, aumentando x de 0 para 1 e de 1 para 2, os aumentos correspondentes das ordenadas são: de –2 para 0 e de 0 para 2, ou seja, para cada aumento de uma unidade em x, corresponde um aumento de 2 unidades em y.

Dizemos, então, que a taxa de variação desta função é 2.

Use os pontos (–1; –4) e (1;4) do gráfico (verde) da função y = 4x para descobrir a sua taxa de variação.

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Diga para os alunos que a parábola, bem como a superfície parabólica (que se obtém girando a parábola em torno de seu eixo de simetria), tem propriedades que permitem utilizá-la nos faróis de automóveis para que os raios luminosos saiam em um feixe paralelo, nas antenas parabólicas de recepção de sinais de televisão, nos radares. A própria parábola é útil na interpretação das trajetórias descritas nos lançamentos de projéteis e em diversas outras aplicações da Física e outras disciplinas. Se possível, use material concreto e exiba para os alunos a parábola como a curva que se obtém seccionando uma superfície cônica por um plano contendo o diâmetro da base e paralelo à geratriz. Sugiro improvisar, confeccionando uma superfície cônica de papelão e cortando-a convenientemente de modo a mostrar que a curva correspondente ao corte tem a forma de um pequeno trecho de parábola. Outra sugestão é propor que usem uma mangueira d’água e lancem um jato para cima, formando um ângulo de aproximadamente 45 graus com a horizontal, e observem a trajetória descrita pela água. Comente: muitas vezes, em abuso de linguagem, nos referimos a funções reais de variável real, citando apenas a lei da mesma. Neste caso, você deve entender que o domínio da função é o mais amplo subconjunto possível do conjunto dos números reais. Por exemplo, citando: seja a função y = x –3 , o domínio dela deve ser entendido como o conjunto dos números reais x tais que x > 3 porque, por definição de raiz quadrada, o radicando não pode ser negativo. 112. a) São iguais a zero porque todo ponto do eixo das ordenadas tem abscissa zero. As ordenadas são, pela ordem das colunas da tabela: –2, 0, 2 e 4; b) Calculando nas leis, o valor de y correspondente a x = 0; c) Coeficiente linear; d) +3 e representa a ordenada do ponto no qual o gráfico da função intercepta o eixo das ordenadas. 113. A taxa de variação da função y = 4x é 4. (Para um aumento de 2 unidades em x, corresponde um aumento de 8 unidades em y.

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Veja novamente os gráficos das funções afim:

Gráficos de funções afim y = ax + b Função

Cor do gráfico (0; 2) 2 (– , 0 ) 3

(2; 2)

Unidade de medida: lado de cada quadrinho. Na tabela ao lado, as colunas têm as cores dos gráficos das funções afim correspondentes 114. a) Coeficientes angulares dos gráficos; b) Seu coeficiente angular é 5 e significa que, a cada aumento de 1 unidade nos valores de x os valores correspondentes de y aumentam 5 unidades; c) Corresponde a um decréscimo; d) São funções crescentes. (y = 4 x e y = 3x + 2) 115. a) Porque todos os pontos do gráf ico da função têm a mesma ordenada: –2; b) Sim; considerando a reta vertical que intercepta o eixo das abscissas no ponto (4,0), todo ponto dela tem abscissa x = 4; c) Sim; considerando a reta vertical que intercepta o eixo das abscissas no ponto (4,0), todo ponto dela tem abscissa x = 4. 116. a) Das abscissas; b) Decréscimos; c) Maior; d) Menor a ordenada correspondente.

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y = 2x – 2 y = 4x y = 3x + 2 y = –2x + 4 Azul

Verde

Vermelho

Preto

Coeficiente angular do gráfico: a

–2

Coeficiente linear do gráfico: b

–2

Zeros da função

–2/3

Zeros de uma função f de A em B são os valores x do domínio A, tais que f(x) = 0. São as abscissas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo das abscissas.

114.Responda:

a) Na tabela, as taxas de variação recebem outro nome. Qual é esse nome? b) Se uma função tem como lei y = 5x – 8, qual o coeficiente angular do gráfico da função e qual a interpretação que se dá a ele?

c) No gráfico da função y = –2x + 4, a cada aumento de uma unidade nos valores de x corresponde um aumento ou um decréscimo de 2 unidades nos valores de y?

d) Dizemos que a função y = 2x – 2 é uma função crescente e que a função y = –2x + 4 é uma função decrescente. O que se diz das duas outras funções?

115.Faça o gráfico representado por uma linha horizontal que corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 2). A função correspondente a este gráfico chama-se “função constante”.

a) Discuta com seus colegas e escreva por que se diz que a lei desta função é y = –2. b) Marcelino disse que, no plano cartesiano, a igualdade x = 4 representa uma reta vertical. Você concorda com ele? Justifique.

116. Use todos os dados possíveis contidos nos gráficos ou na tabela, para completar no caderno:

a) Dados dois coeficientes angulares positivos, quanto maior o coeficiente, maior o ângulo que o gráfico faz com uma semirreta de sentido positivo do eixo...?...

b) Coeficientes angulares negativos significam que a acréscimos nas abscissas corres-

pondem a...?... nas ordenadas correspondentes. c) Coeficientes angulares positivos significam que, quanto maior a abscissa,...?... a ordenada correspondente. d) Coeficientes angulares negativos significam que, quanto maior a abscissa,...?... a...

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117. Na tabela você vê o que significa “zero de uma função”. Em particular, o

zero da função y = 2x – 2 é o valor de x tal que y = 0, ou seja, devemos ter: 2x – 2 = 0 => x = 1.

a) Use as leis das outras três funções para calcular seus zeros.

b) V ou F: para calcular o(s) zero(s) de uma função y = f(x) resolvo a equação f(x) = 0. As raízes (quando existirem) são os zeros da função.

c) Interprete geometricamente o significado do(s) zero(s) de uma função.

d) V ou F: uma função constante não tem zeros ou tem infinitos zeros. Justifique.

118.Use a lei das funções y = 4x e y = 2x – 2 e verifique que o ponto que pertence aos gráficos das duas é o ponto (–1, –4).

a) Pode existir outro ponto que pertence aos dois gráficos? Justifique.

b) Resolva o sistema formado pelas equações y = 4x e y = 2x – 2. Qual a interpretação geométrica que se dá para o par ordenado de valores encontrados?

c) Sem resolver o sistema formado pelas equações y = 2x – 2 e y = –2x + 4, diga por que se encontrará y = 1 ao resolvê-lo.

d) Usando o valor y = 1, como você encontraria o valor de x da raiz do sistema anterior? O que este valor representa?

119.Observe novamente o gráfico da função y = 2x – 2 e responda:

a) Qual a abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo das abscissas?

b) Observe o ponto do gráfico situado no primeiro quadrante e destacado com a cor

vermelha. A ordenada dele é positiva ou negativa? A abscissa dele é menor ou maior que 1?

c) Se um ponto do gráfico tem ordenada y positiva, o que se pode dizer da abscissa x dele: x > 1 ou x < 1?

d) Considerando que y = 2x – 2, qual é a condição para x correspondente à inequação 2x – 2 > 0 : x < 1 ou x > 1? E para a inequação 2x – 2 < 0?

120.Descreva, observando o gráfico de uma função linear y = ax + b de coeficiente angular positivo cujo zero seja x0, qual parte do gráfico corresponde:

a) À inequação ax + b > 0?

117. a) Respostas na tabela ao lado dos gráficos. b) V; c) Quando existem, são os pontos nos quais o gráfico da função intercepta o eixo das abscissas; d) Verdadeiro. Se a lei da função é y = k, sendo k diferente de zero, seu gráfico é uma paralela ao eixo das abscissas; logo, não o intercepta, ou seja, esta função não tem zeros. Mas a função constante y = 0 tem infinitos zeros por ser, o seu gráfico, o eixo das abscissas. Para confirmar o que se diz no enunciado do exercício 118 existem dois recursos: o primeiro, observando os gráficos (azul e verde) se verifica o que se afirma; o segundo fazendo x = –1 nas duas leis e concluindo que o valor correspondente de y em ambas é –4. a) Não, porque, se os gráficos tivessem outro ponto em comum, se restringiriam a uma mesma reta, o que é impossível porque existem pontos que pertencem a uma delas e não pertencem à outra (e reciprocamente); b) Obtém o par (x, y) = (–1, –4); logo, a raiz do sistema é dada pelas coordenadas do ponto de interseção dos gráficos das funções cujas leis são as equações do sistema; c) Porque vê-se que os gráficos das funções correspondentes se interceptam no ponto de ordenada 1; d) A abscissa do ponto de interseção dos gráf icos (3/2 ou 1,5) 119. a) x = 1; b) positiva; maior que 1; c) x > 1; d) x > 1; x < 1. 120. a) x > x0; b) x < x0; c) x < x0 e x > x0, respectivamente. Professor(a): explore com diversos outros gráficos todas as atividades desta seção.

b) À inequação ax + b < 0?

c) Responda às mesmas perguntas anteriores se o coeficiente angular é negativo

121.Com base em suas conclusões, observe a tabela e os gráficos das fun-

121. a) 3x + 2 > 0 se x > –2/3; b) 3x + 2 < 0 se x < –2/3; c) –2x + 4 > 0 se x < –2; d) –x + 4 < 0 se x > 4.

ções y = 3x + 2 e y = 2x + 4 e resolva as inequações a seguir:

a) 3x + 2 > 0

c) –2x +4 > 0

Mat9Cap3_NOVA2012.indd 103

b) 3x + 2 < 0

d) – x + 4 < 0

103

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122. a) A frase se justifica por dois motivos: primeiro, por simples observação dos gráficos citados se vê que o eixo dos y é eixo de simetria das parábolas correspondentes aos mesmos. Segundo porque, usando o que se diz na ilustração, as equações dos eixos de simetria são retas verticais de equações x = –b/2a e, como as funções têm todas o coeficiente b = 0, as equações dos eixos de simetria se reduzem todas à equação x = 0, ou seja, o eixo das ordenadas; b) x = – (–16)/(2)(–4), ou seja, x = –2; e x = –4/(2)(–1), ou seja, x = 2. Professor(a): chame a atenção dos alunos para o primeiro cálculo do item (b) anterior: temos um sinal – da expressão x = –b/2a e depois um sinal – do b: (b = –16) no numerador; como no denominador também o a tem sinal –, (a = –4), resultam, na divisão, três sinais –, o que dará o quociente negativo x = –2. 123. a) Tabelas dos alunos centradas nas abscissas dos eixos de simetria x = –1, x = 2 e x = 3; b) Para obter as coordenadas dos vértices basta calcular as coordenadas dos pontos de interseção dos eixos de simetria com os gráficos; as abscissas já estão calculadas no item (a), basta agora substituir seus valores nas leis das funções, obtendo y = –9, y = 1 e y = –2. c) 1ª) raízes x = 2 e x = –4; 2ª) raízes x = 1 e x = 3; a terceira função não possui raízes reais, e sua interseção com o eixo das ordenadas é quando x=0, donde é o ponto (0,–11). 124.Se o coeficiente a da função y = ax2 + bx + c for positivo, seu gráfico é côncavo para cima (“boca para cima”) e, se for negativo, seu gráfico é côncavo para baixo (“boca para baixo”). 125. y = x2 + 2, y = x2 e y = x2 – 4 são decrescentes para x < 0 e crescentes para x > 0; y = –x2 é crescente para x < o e decrescente para x > 0; y = –x2 + 4x é crescente para x < 2 e decrescente para x >2.

Funções, funções quadráticas, seus gráficos e aplicações.

Gráficos de funções quadráticas y = ax2 + bx + c 3ª

2ª

Função e Cor do gráfico

y = –4 x2 – 16 x –12

–4 –16 –12 (–3,0) e (–1,0)

y = x2 + 2

Não existem

y = x2

(0,0)

y = x – 4

–4 (–2,0) e (2,0)

y = – x2

–1

(0,0)

y = – x2 + 4x

–1

(0,0) e (4,0)

Zeros das funções

a b c

Zeros de uma função f de A em B são os valores x do domínio A, tais que f(x) = 0. Observe que todos os gráficos das funções quadráticas têm um eixo de simetria vertical. Prova-se que as abscissas de todos os pontos 1ª 5ª 6ª desses eixos de simetria são dadas pela expressão b , ou seja, eles são retas verticais de Os gráficos da 1ª, 5ª e 6ª funções que têm x=– 2 a coeficientes a negativos são côncavos para baixo, b equações x = – e os demais, côncavos para cima. 2a

122. O eixo de simetria dos gráficos correspondentes à 2ª, 3ª, 4ª e 5ª funções acima é a reta vertical x = 0 (eixo dos y).

a) Justifique a frase anterior.

b) Use a observação contida na ilustração anterior e calcule as equações das retas

verticais que são os eixos de simetria dos gráficos das funções y = –4x2 – 16x – 12 e y = –x2 + 4x. (Respectivamente, 1ª e 6ª função.)

123. Observe, na tabela, como calcular pontos do gráfico da função y = –x2 + 4x.

–1

–5

Note que colocar a abscissa do eixo de simetria como elemento central da tabela é fundamental, por dois motivos: primeiro porque, calculando valores anteriores e posteriores a essa abscissa, encontraremos pontos das duas partes do gráfico: a crescente e a decrescente; e segundo porque basta calcular os valores anteriores que, por simetria, os posteriores se repetem equidistantes da ordenada do eixo de simetria.

a) Faça as tabelas das funções quadráticas a seguir e esboce seus gráficos: 1ª.) y = x2 + 2x – 8 2ª.) y = –x2 + 4x – 3 3ª.) –x2 + 6x – 11

b) O vértice de uma parábola é o ponto do gráfico cuja ordenada é a mesma do eixo de

simetria. Dê as coordenadas dos vértices dos gráficos das funções do item anterior.

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c) Dê os zeros das duas primeiras funções e o ponto de interseção do gráfico da terceira com o eixo das ordenadas.

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d) É possível imaginar, pela tabela, qual é o maior valor para a área desse retângulo?

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais 129. O arco de parábola abaixo é o gráfico da função A(x) = 10x – x2, que re-

presenta a área do retângulo do exercício 128 em função de x. Você viu que o domínio dessa função é o conjunto dos números reais x tais que 0 < x < 10.

Você sabe também que o eixo de simetria do gráfico é a reta vertical de equação x = 5, que intercepta o gráfico no ponto (5, 25), chamado vértice da parábola.

a) Como a função é crescente para x < 5 e decrescente para x > 5, o que se pode dizer de A(5)? b) Nesse caso, quais as dimensões do retângulo e que nome particular ele tem?

vértice 30 25

9 16 21

c) os valores crescem; os valores decrescem d) Sim; parece ser 25.

varia de 1 a 5? E quando varia de 5 a 9?

c) O que acontece aos valores da área do retângulo, quando a medida de sua altura

uma tabela.

b) Calcule os valores da área A(x) para valores naturais de x de 1 a 9 e escreva-os em

a resposta.

a) Escreva a fórmula para a área A(x) deste retângulo, e escreva seu domínio. Justifique

128. Considere um retângulo cuja base mede 10 – x e cuja altura mede x.

A(x)

outras funções da tabela.

127. Resolva as inequações correspondentes a y > 0 e y < 0 para todas as

128. a) A = 10x – x 2 ; o domínio é o conjunto dos números reais x tais que 0 < x < 10 porque a base mede 10 – x > 0 ⇒ x < 10. Como a altura mede x, devemos ter x > 0 logo, 0 < x < 10. b) tabela:

clui-se, para a primeira, que x2 – 4 > 0 se x < –2 ou x > 2, e que x2 – 4 < 0 se –2 < x < 2; e para a segunda que x2 + 4 > 0 qualquer que seja o valor de x. Justifique estes resultados.

126.Observando os gráficos das funções y = x2 – 4 e y = x2 + 2 (4ª e 2ª), con-

cente para x < 2 e decrescente para x > 2. Agora, determine as condições de crescimento ou decrescimento para as outras funções da tabela.

125. Observando o gráfico, de 6ª função (y = –x2 + 4x), dizemos que ele é cres-

em x2 das funções quadráticas (em geral denotado por a) com a concavidade dos gráficos correspondentes.

124. Escreva uma frase que relacione os sinais dos coeficientes do termo

126. O gráfico de y = x2 –4 (verde) tem pontos de ordenadas positivas para x < –2 ou x > 2 e negativas para –2 < x < 2, enquanto que o gráfico de y = x2 + 2 (azul) tem todos os seus pontos com ordenadas positivas. 127. y = x2 é positivo para todo x  0 e y = –x2 é negativo para todo x  0. y = –x2 + 4x < 0 para x < 0 ou x > 4 e y = –x2 + 4x > 0 para 0 < x < 4.

Comente que os eixos de simetria das parábolas de equações y = ax2 + bx + c podem ter suas equações dadas como x= –b/2a ou, também, pela abscissa x do ponto médio do segmento cujos extremos são os zeros desta função. Exemplifique: no exercício 129 o eixo de simetria é dado pela equação x = 5. (5,0) é ponto médio do segmento de extremos (0,0) e (10,0). 129. a) A(5) = 25 é o maior valor que a área pode ter; b) Base e altura iguais a 5; logo, trata-se de um quadrado. Retome o exercício 91 (página 91). Como os zeros da função L são (6,0) e (30,0), o eixo de simetria tem equação x = 18, que é a abscissa do ponto máximo da função L.

20 15 10 5

–1

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Uma demonstração de que a função A(x) = 10x – x2, que expressa a área do retângulo do exercício 122, é máxima para x = 5 no domínio 0 < x < 10, é: a) A (5) = 50 – 25 = 25; b) A (5 + x) = 10(5 + x) – (x + 5)2 = = 50 + 10x – 25 – 10x – x2 = = 25 – x2. Logo, seja: x > 0 ou x < 0, A (x + 5) é menor que 25, por ser a diferença entre 25 e x2.

Ao término do estudo do capítulo, reveja com os alunos, a seu critério, o significado de alguns dos termos destacados na cor azul no capítulo. Releia o texto da página 34: “Ao elaborar questões [...] hexágono”. o de uma função, gráfico de uma função. Se julgar oportuno, prove que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. Desenhe no quadro um plano cartesiano. Use a lei da função e marque os pontos (0, b) e (1, a + b) que pertencem ao gráfico. (Por comodidade, use o primeiro quadrante.) Desenhe o triângulo retângulo cujos vértices são esses pontos e o ponto (1,b). Use novamente a lei da função e marque um ponto genérico (x, ax + b). Desenhe o triângulo retângulo cujos vértices são: (0, b), (x, b) e (x, ax + b). Indique nos triângulos retângulos (do menor para o maior) as medidas dos catetos horizontais (1 e x) e dos catetos verticais (a e ax). Verifique que os dois triângulos retângulos obtidos são semelhantes pelo caso LAL (têm dois ângulos congruentes – ângulos retos –, e as razões entre os catetos correspondentes são iguais: ax/a = x/1). Logo, os ângulos formados pelas hipotenusas dos dois triângulos retângulos com a paralela ao eixo das abscissas que passa pelo ponto (0,b) são iguais, o que comprova que qualquer ponto genérico (x, ax + b) pertence à mesma reta determinada pelos pontos (0, b), (1,a + b).

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Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Reveja os exercícios

Conceito de monômios e polinômios, fatores numéricos, fatores literais, coeficientes, somas, diferenças, produtos, quocientes, potências, monômios reduzidos, redução de termos semelhantes, monômios semelhantes.

1 a 5, 8, 9, 12 a 17, 22, 23, 43, 60, 61, 62.

Como expressar perímetros ou áreas usando monômios ou polinômios.

7, 11, 20, 21, 42, 44, 48, 49, 50, 51, 57, 58.

Como calcular somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências de monômios ou polinômios.

6, 10, 18, 19, 45, 46, 47, 63, 64, 65.

Como classificar polinômios pelo grau e pelo número de termos, redução de termos, e como obter polinômios reduzidos.

24 a 33, 38, 39.

Como ordenar, reduzir ou completar polinômios.

28, 29, 34, 35, 38, 39.

Como identificar coeficientes de monômios ou de termos de polinômios. Como identificar variáveis.

15, 27, 28, 29, 30, 36, 38, 56.

Como interpretar, em linguagem comum, expressões com monômio, polinômios, produtos e potências dessas expressões.

39, 40, 41, 53, 54, 55, 66, 67, 68.

Como utilizar regras práticas para calcular: o quadrado da soma ou da diferença de duas expressões, o produto da soma pela diferença de duas expressões ou o produto de dois binômios que têm um termo comum.

51, 52, 69, 70, 71, 72.

Como deduzir fórmulas de perímetros, áreas e volumes dadas as dimensões das figuras correspondentes em função de uma única variável, bem como fórmulas que estabeleçam correspondências entre duas grandezas.

59, 73 a 79, 81, 82, 102, 103.

Como reconhecer se uma correspondência entre dois conjuntos é ou não função e, no caso afirmativo, identificar o “domínio” da função.

80, 83, 84, 85, 86, 87, 93, 94, 96, 98, 99, 101, 104, 105, 106.

Como expressar diversas relações físicas, geométricas, econômicas, utilizando funções em uma ou mais variáveis.

88, 89, 90, 91, 97.

Como usar as notações y = f(x), F(x) para funções e identificar pares (x, f(x)) que pertençam aos gráficos.

86, 87, 88, 89, 90, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 104, 105, 122, 123.

Como representar funções por seus gráficos, seus diagramas ou suas tabelas, bem como identificar seus domínios.

83, 86, 87, 92, 94, 106, 107, 115.

Como representar duplas desigualdades usando segmentos da reta real.

108, 109, 110, 111.

Identificar e reconhecer propriedades de funções afim e funções quadráticas, assim como seus gráficos.

112, 113, 122, 129.

Identificar taxas de variação, coeficientes angulares, coeficientes lineares, funções crescentes, funções decrescentes, funções constantes.

114, 115, 116, 117, 118, 129.

Resolver inequações graficamente através da interpretação de gráficos de funções.

119, 120, 121.

Identificar funções quadráticas, seus gráficos, seu zeros, suas regiões de crescimento ou decrescimento, seus máximos ou seus mínimos.

123, 124, 125, 126, 129.

Resolver graficamente inequações do segundo grau.

127, 128.

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CapItulo 4

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Equações esistemas de equações

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Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página. Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, reg ras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações afirmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como de algumas regularidades relacionadas com sequências númericas.

Neste capítulo, você vai rever ou aprender como: • • • • • • • • • • • • • •

Resolver problemas usando equações do primeiro grau com uma variável. Inventar problemas relacionados com equações do primeiro grau. Interpretar como “equacionar” problemas dados. Resolver equações, reduzindo-as à forma ax = b. Verificar se números dados são ou não raízes de equações dadas. Verificar se pares ordenados de números são raízes de equações do primeiro grau com duas incógnitas. Resolver sistemas de equações do primeiro grau usando o método de substituição. Resolver problemas usando sistemas de equações do primeiro grau. Inventar sistemas de equações de primeiro grau que tenham como raiz um par ordenado de números dados. Classificar, pelo grau, polinômios com uma variável. Identificar, dentre diversas equações dadas, as do primeiro grau e as do segundo grau. Resolver equações fatoradas da forma a(x – r)(x – s) = 0. Verificar se números dados são raízes de equações do segundo grau dadas. Escrever equações do segundo grau na forma ax2 + bc + c = 0 e identificar seus coeficientes a, b e c. Resolver equações incompletas do segundo grau, sem uso de fórmulas. Resolver equações completas ou incompletas do segundo grau, usando fórmulas. Interpretar o conceito de raiz quadrada.

• • • • Usar o discriminante de uma equação do segundo grau ( = b2 – 4ac) para deci-

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dir, discutir a natureza e a existência das raízes.

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resolvendo equações e problemas Explorando o que você já sabe • • • • • •

Como se chamam as igualdades ao lado? Na igualdade (c), substituindo x por 5, obteremos: 4 x 5 = 20. Que nome recebe o número 5 em relação a essa igualdade? Qual é a raiz da equação (b)? Qual das equações ao lado é relacionada com a frase “a terça parte de um número é igual a dois”? Diga uma frase relacionada com a equação (a). Que conta se faz para calcular a raiz da equação (e)?

a) x + 3 = 7 b) x – 5 = 2 c) 4x = 20 d)

x =2 3

e) –3x = + 15

Aprendendo em sala de aula Relembrando o fundamental: Resolver uma equação é substituí-la por equações equivalentes mais simples até se obter uma equação cujas raízes são evidentes. Para transpor uma parcela de um membro para outro em uma equação, basta trocá-la pela parcela oposta. x + 9 = 20 ⇒ x = 20 – 9 ⇒ x = 11 Para transpor um fator de um membro para outro em uma equação, basta transformá-lo em divisor. 27 ⇒ x=3 9 Para eliminar denominadores de equações, basta multiplicar os dois membros da equação pelo m.m.c. dos denominadores. = 9x

⇒ x = 27

Multiplicando os dois membros da equação por 8, que é o m.m.c. dos denominadores 4 e 8, temos:

3x x + 20 = 4 8 8

( ) (

)

x + 20 8( 3x ) 8( x + 20 ) 3x =8 = ⇒ ⇒ 8 8 4 8 ⇒ 2(3x) = 1(x + 20) ⇒ 6x = x + 20 ⇒

ATIVIDADES ORAIS • • • • •

Equações; Raiz; Sete; A equação (d); A soma de um número com três é igual a sete; • Divide-se 15 por –3.

Comente: a) O que são números opostos; 9 e –9, –13 e –13 etc. b) Em 9 x, 9 e x são fatores e, em 27/3, 3 é divisor. Se julgar necessário, reveja: a) Cálculo do m.m.c.; b) Produto de fração por número inteiro. Ex.: 8 x (3/4) = (8 x 3)/4; c) Simplificação de frações: 8 (x + 20)/8 = 1. (x + 20); d) Propriedade distributiva. Ex.: 4 (x + 4) = 4 x + 16) Neste capítulo, por diversas vezes, iremos citar equações equivalentes ou sistemas de equações equivalentes no sentido de terem as mesmas raízes. Implicitamente este fato deve f icar entendido que estamos com um mesmo “conjunto universo” para as mesmas, ou seja, estamos considerando que as possíveis raízes pertencem a um mesmo conjunto numérico. Optamos por este procedimento porque achamos um pouco sofisticado entrar em maiores detalhes com alunos desta faixa etária. Se julgar necessário, recorde o conceito de raiz de uma equação.

6x – x = 20 ⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4

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Leia a observação na margem da página 43: “Por questão [...] (simplesmente: R$...)”.

Resolvendo problemas e equações:

1. a) 20x; b) x + 3; c) 16 (x + 3); d) O primeiro membro representa a quilometragem total asfaltada ao fim de 20 dias, asfaltando x quilômetros por dia. O segundo membro representa a mesma quilometragem total asfaltada, se asfaltasse x + 3 quilômetros por dia, durante 16 dias; e) x = 12; f) A quilometragem asfaltada por dia em 20 dias; g) 240 km. 2. Tarefa do aluno. Exemplo: Uma máquina trabalhou durante 7 dias para extrair certa tonelagem de minério, extraindo, a cada dia, a mesma tonelagem. Se tivesse retirado 6 toneladas a mais por dia, teria gasto 5 dias para retirar a mesma tonelagem total. Qual é esta tonelagem total? R) 105 toneladas.

a) Se chamarmos de x a quilometragem diária asfaltada durante os vinte dias, qual é a expressão que representa a quilometragem total asfaltada?

b) Qual é a expressão que representa a quilometragem diária necessária para que a máquina gastasse 16 dias?

c) Qual é a expressão que representa a quilometragem total, se a máquina asfaltasse 3 km a mais por dia?

d) Em relação ao problema, o que representa a equação 20x = 16(x + 3)? e) Resolva a equação do item (d).

f) Em relação ao problema, o que significa a raiz dessa equação? g) Escreva a resposta ao problema.

2. Invente um problema cuja equação seja: 7x = 5(x + 6). 3.

Dois atletas correrão uma mesma distância em uma pista oval. O que vai correr pela raia mais interna dará 8 voltas, e mais 9 quilômetros, para completar a distância. O que vai correr pela raia mais externa, que mede 1 km a mais que a interna, precisará dar 7 voltas, e correr mais 8 quilômetros. Qual é a distância total percorrida pelos atletas?

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3. a) 8x + 9; b) x + 1; c) 7 (x +1) + 8; d) 8x + 9 = 7(x + 1) + 8; e) x = 6; f) Cada atleta vai correr 57 km.

Uma máquina trabalhou durante 20 dias, para asfaltar um trecho de uma rodovia, cobrindo a mesma quantidade de quilômetros diariamente. Se tivesse coberto mais 3 km por dia, teria gasto 16 dias para asfaltar o mesmo trecho. Quantos quilômetros tem o trecho asfaltado?

a) Se chamarmos de x o total de quilômetros que mede a raia interna, qual é a expressão que representa o espaço a ser percorrido pelo atleta que a utilizará?

b) Como representar, usando a variável x, a medida da raia externa em quilômetros? c) E como representar o espaço a ser percorrido pelo atleta que vai correr nela?

d) A distância a ser percorrida pelos dois atletas é a mesma. Use as expressões obtidas nos itens a e c para escrever uma equação que represente esse fato.

e) Resolva a equação obtida no item d. f) Escreva a resposta ao problema.

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Invente um problema cuja equação seja: 9x + 14 = 7(x + 1) + 21.

4. Tarefa do aluno. R) x = 7.

Discuta com seus colegas e escreva uma frase que responda à seguinte pergunta: por que é importante saber resolver equações? Nos exercícios anteriores, você viu que, usando os dados do problema (o que se conhece) e representando a incógnita por uma letra (em geral, x, y, z), é possível obter uma equação que represente, em linguagem matemática, aquilo que o problema expressa em linguagem corrente.

5. Possível resposta: porque elas são muito úteis para resolver problemas.

O processo de encontrar a equação correspondente a cada problema dado chama-se “equacionamento do problema”.

6. O que é “equacionar” um problema? 7.

Resolva as seguintes equações:

a) 10x + 4 = 8(x + l) + 2 b) 3 + 4(2 – x) = 1 – 2x

7. a) x = 3; b) x = 5; c) x = –2; d) x = 68/39.

c) 12 – 3(2x + 5) = 1 + 4 (x + 4) d) 7 – 22(3x – 5) = 2 + 3(4x – 7)

8. As equações 3x = 18 e x = 6 são equivalentes. Por quê? 9.

O que são equações equivalentes?

10.

Resolva, “de cabeça”: x + 20 = 50.

11.

Se você multiplicar os dois membros da equação x + 20 = 50 por cinco, vai obter essa nova equação: 5(x + 20) = 5 x 50. Sem resolvê-la, diga qual é a sua raiz.

12.

6. É a descrição, sob a forma de equação, de um problema expresso em linguagem corrente.

Descreva o que acontece quando multiplicamos os dois membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero.

Lembre-se de sempre solicitar que os alunos verifiquem, usando os valores encontrados ao resolver equações, se eles efetivamente são as raízes das mesmas, substituindo tais valores nas equações dadas. Assim, em 7a, devem obter 30 +4 = 8(3+1) + 2, conf irmando que 3 é raiz da equação desse item. 8. Porque elas têm a mesma raiz. 9. São equações que têm as mesmas raízes. 10. x = 30. 11. A raiz é 30. 12. Obtemos uma equação equivalente à primeira.

Professor, como faço para resolver equações como a do quadro? Son Salvador

Son Salvador

1 1 2 x − 4) − (8 x + 5) = 7 ( 2 3

É fácil! Vamos apenas recordar duas propriedades que ajudarão na compreensão de como resolver esse tipo de equações.

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O objetivo de colocar uma equação como a que se vê em destaque no quadro verde, ao lado, é mostrar para os alunos que é possível resolver equações por mais complexas que possam parecer. Não se trata aqui de questionar se existem situações do dia a dia que nos levem a tal equação, mas sim dotar os alunos de conhecimentos necessários à resolução de equações e problemas que as gerem.

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Você já sabe que:

Explore situações análogas às dos dois primeiros quadros da página usando números para facilitar sua compreensão. Recorde a multiplicação de frações por números naturais, bem como a simplificação de frações. Em particular, simplifique 65/20.

a(b + c) = ab + ac

13. Tarefa do aluno.

Veja como usar essas propriedades para resolver a equação do quadro da página 109:

14. a) x = 10; b) x = –28/9; c) x = 10; d) x = 9/2; e) x = –13; f) x = –2. A verificação das raízes das equações do exercício 14 transforma-se em bons cálculos de expressões com inteiros ou com frações. Lembre-se sempre de utilizar recursos gráficos para facilitar a elaboração de estratégias de resolução dos diversos problemas, bem como é mais conveniente (não obrigatório) representar pela incógnita o valor da menor quantidade conhecida. Exemplificando: No problema 15 (a), sugerimos escrever no quadro: M (de matriz), F1 (de primeira filial) e F2 (de segunda filial). Perguntando aos alunos qual delas enviou menor quantidade, chega-se à conclusão que foi a F2; logo, ao lado de F2, escreva: F2 => x; depois, pela ordem, explorando o enunciado, é possível chegar a F1 => x + 225 e M => 3(x + 225), e, finalmente, à equação: x +(x + 225) + 3(x + 225) = 15 975. É recomendável recordar como calcular acréscimos ou decréscimos percentuais antes de explorar o exercício 15(b). 15. a) 2a filial: 3 015; 1ª filial: 3 240. b) Parte inicial x; x + 0,4x = x – 0,3x + 42 000  0,7x = 42 000, x = R$ 60 000, R) R$ 60 000.

a b a+b 1 1 1 × (a + b ) = × a + × b = + = 3 3 3 3 3 3

e que

1 1 2x − 4) − (8 x + 5) = 7 ( 2 3

2x − 4 8 x + 5 − =7 3 2

⇒

Agora, multiplicamos os dois membros pelo m.m.c. de 3 e 2, que é 6:

(

)

2x − 4 8 x + 5 − = 6 ×7 ⇒ 3 2

6 ( 2x − 4 ) 6 ( 8 x + 5) − = 6 ×7 3 2

6 6 Como = 2= 3 , resulta: 2(2x – 4) – 3(8x + 5) = 42. e 3 2

13.

O restante da conta é com você. Termine o cálculo e verifique que a raiz é: −

14.

Resolva:

x 3x + = 11 2 5

b) x + 2 = c)

15.

65 13 =− 20 4

x 1 – 4 3

x+2 x−2 =8 – 2 3

4 x 5x x – = 2+ 3 9 3

x +1 x – 2 = 4 5

2 3 (1 – x) + x = (x + 2) 3 5

Resolva, usando equações, os seguintes problemas:

a) A matriz e duas filiais de determinada loja enviaram, no mês de dezembro, um total

de 15 975 correspondências. A matriz enviou o triplo de correspondências enviadas pela primeira filial, e esta, 225 a mais que a segunda filial. Calcule o total de correspondências enviadas pelas duas filiais.

b) Certa importância foi dividida em partes iguais entre dois irmãos. Após algum

tempo, o primeiro aumentou o valor inicial de sua parte em 40%, e o segundo diminuiu o seu valor em 30%. Nessas condições, a diferença entre eles passou a ser de R$ 42 000,00. Calcule a importância inicial de cada irmão.

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c) O comprimento de um quadro retangular é o triplo de sua largura. O perímetro desse quadro é de 96 cm. Calcule a diferença entre o comprimento e a largura do quadro, nessa ordem.

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d) O perímetro de um triângulo é 43 cm. Ordenamos os seus lados de forma que a medida do segundo lado é o dobro da do primeiro, e o terceiro mede 5 cm a menos do que o triplo da medida do primeiro. Calcule quanto mede o lado maior desse triângulo.

e) Numa segunda-feira, o número de cartas entregues por Antônio correspondeu ao

triplo das que Pedro distribuiu, menos 10 cartas. Os dois juntos entregaram 2 006 cartas. Calcule a diferença entre o número de cartas que cada um entregou nessa segunda-feira.

f) Antônio, Beatriz e Cláudio possuem, juntos, R$ 282,00. Cláudio tem R$ 19,00 a menos que Beatriz, e esta, o triplo do que tem Antônio. Calcule quanto Beatriz tem a mais que Antônio.

g) Numa caixa registradora, existem 65 notas: umas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00,

num valor total de R$ 550,00. Calcule a diferença entre os números de notas de cada valor.

h) Em um dia, Pedro e André efetuaram a leitura de 2 064 hidrômetros. André leu o dobro do número de hidrômetros que Pedro, menos 6. Calcule a diferença entre o número de hidrômetros que cada um dos dois conseguiu ler.

16. Resolva, usando equações com coeficientes fracionários ou decimais:

a) Lúcia gastou 2/7 do que possuía e ainda ficou com R$ 70,00. Quanto Lúcia possuía? b) Vander gastou 1/4 do que possuía e, em seguida, mais R$ 21,00, ficando ainda com 2/5 do que tinha. Quanto Vander possuía inicialmente?

c) Um carteiro andou, certo dia, um total de 9 000 metros. Na parte da manhã, ele

caminhou 1/7 a mais que na parte da tarde. Calcule a diferença entre as distân cias por ele percorridas nos dois períodos, nesse dia.

d) Antônio tem R$ 2,80 a mais que Belizário, e este, R$ 3,50 a mais que Cláudio. Belizário e Cláudio têm, juntos, R$ 104,62 a mais que Antônio. Quanto possuem os três juntos?

c) x + 3x + x + 3x = 96  x = 12  2x = 24. R) 24 cm. d) 1o x, 2o 2x, 3o 3x – 5  x + 2x + (3x – 5) = 43  x = 8. R) 19 cm. e) P = x, A = 3x – 10, x + (3x – 10) = 2 006  x = 504. R) 998 cartas. f) A = x, B = 3x, C = 3x – 19  7x – 19 = 282  x = 43. R) R$ 86,00. g) De dez = x, de cinco = 65 – x  10x + (65 – x) . 5 = 550  x = 45, R) 25 notas. h) P = x, A = 2x – 6  3x – 6 = 2 064  x = 690. R) 684.

16. a) x – 2x/7 = 70  5x/7 = 70  x = 98. R) R$ 98,00. b) x – x/4 – 21 = 2x/5  x = 60. R) R$ 60,00. c) x + (x + x/7) = 9 000  x = 4 200. R) 600 metros. d) C = x, B = x + 3,50, A = x + 3,50 + 2,80 x + (x + 3,50) = (x + 3,50 + 2,80) + 104,62 x = 107,42. R) R$ 332,06. e) salg = x, sand = 5x, r = x + 0,30  7x + 0,30 = 3,80  x = 0,50. R) R$ 1,70. Algumas sugestões usando aritmética: a) 7/7 – 2/7 = 5/7 equivalem a 70,00. Logo, 1/7 equivale a 14,00 e 7/7 equivalem a 98,00. R) R$ 98,00. b) 1/4 e 2/5 equivalem a 5/20 e 8/20, respectivamente. Logo, 21 reais equivalem a 7/20, 1/20 equivale a 3 reais e 20/20 equivalem a 60 reais. R) R$ 60,00.

e um salgadinho custam, juntos, R$ 3,80. O refrigerante custa R$ 0,30 a mais que o salgadinho, e este, a quinta parte do preço do sanduíche. Calcule a diferença entre o preço do sanduíche e o do refrigerante.

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Júlia Bianchi, 2006

e) Um refrigerante, um sanduíche

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Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

17. a) Sim; b) Sim; c) Sim; d) Sim; e) Não; f) Sim; g) Não; h) Não.

Aprendendo em casa Recorde 3 é raiz da equação 5x + 4 = 19 porque, substituindo a incógnita x por 3 na equação, tem-se: 5 × 3 + 4 = 19.

17.

Em cada caso de a até h da tabela a seguir, verifique se o número dado é raiz da equação correspondente:

18. a) x = 7/9; b) x = 15/2; c) x = –4/5; d) x = –23/21; e) x = –12. 19. a) R$ 4 100,00; b) A ficou com 800; B ficou com 400; c) Um custou R$ 45,00 e o outro, R$ 72,00; d) 30 canetas. Sugestões: (Comece sempre pelo menor valor) a) Seja x o quanto Fátima possui... b) Seja x a quantidade de cartas de A... c) Seja x o menor dos preços... d) Seja x a quantidade de canetas da primeira gaveta...

18.

Número

Equação

3x – 2 = 4

x2 = 3x

x2 – 3x = 0

x2 – 5x + 6

–1

x2 – 2x = – 1

–3

(x + 4)(x + 3) = 0

(x + 4)(x – 1) = 0

3x + 8 = 2x – 3

Resolva as seguintes equações em seu caderno:

a) 3x –1 = (5 – 3x)

d) 4 (x + 2) = 1 (1 – 9x )

b) x – 2 = x – 1

1 2

1 1 (6 + 2x) = (3x + 12) 3 4

c) 2 x – x = 5x + 1 3

19.

Resolva, usando equações:

a) Lúcia, Cláudia e Fátima têm, juntas, R$ 11 000,00. Lúcia tem o triplo de Cláudia, e esta, R$ 500,00 a mais que Fátima. Calcule quanto Cláudia e Fátima têm juntas.

b) Dois carteiros, A e B, tinham 1 200 cartas para distribuir. Como o roteiro de B estava

situado mais longe e incluía mais ladeiras que o de A, os dois dividiram as cartas entre si de modo que B ficou com a metade da quantidade de A. Calcule o número de cartas que ficaram com A.

c) Paula pagou por dois objetos um total de R$ 117,00. Um deles custou R$ 27,00 a mais que o outro. Calcule os preços dos dois objetos, em reais.

d) Ao fazer um levantamento do estoque de canetas da agência em que trabalha, An-

dreia encontrou um total de 108 unidades, distribuídas em três gavetas distintas. A segunda gaveta continha 12 canetas a mais que a primeira, e a terceira, o dobro das encontradas na segunda. Calcule o número de canetas encontradas na segunda gaveta.

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20. Resolva, usando equações com coeficientes fracionários ou decimais:

a) Fábio pagou 2/3 de sua dívida e ainda ficou devendo R$ 120,00. Quanto Fábio devia e quanto já pagou?

b) Adriana gastou 5/8 do que tinha na compra de um vestido e 2/7 na compra de uma

20. a) F á b i o d e v i a R $ 360,00 e pagou R$ 240,00; b) Vestido = R$ 70,00; blusa = 32,00. Inicialmente ela possuía: R$ 112,00.

blusa, ficando ainda com R$ 10,00. Quanto custou cada objeto que Adriana comprou, e quanto ela possuía inicialmente?

Resolvendo sistemas de equações e problemas Explorando o que você já sabe Observe os pares ordenados de números a seguir e diga quais deles são raízes da equação x + y = 10:

• • • • •

(2,8) (8,2) (4,6)

ATIVIDADES ORAIS

(3,7; 6,3) (–2; 12)

Qual o único dos pares anteriores que é também raiz da equação x – y = 6?

Aprendendo em sala de aula Você já sabe resolver sistemas de equações usando o método de adição. Agora, você vai aprender um outro método que é muito útil, principalmente quando um dos quatro coeficientes das incógnitas for 1. Ele se chama “método de substituição”. No sistema a seguir, o coeficiente da incógnita x da segunda equação é 1.

{

Recorde: dada uma equação como x – y = 4, os pares ordenados (7;3), (10; 6) e diversos outros são soluções da mesma (pois 7 – 3 = 4 . 10 – 6 = 4 etc.)

2x + 4y = 18 x−y=3

Podemos reescrever:

{

2x + 4y = 18 x=y+3

Logo, como x = y + 3, podemos substituir o “x” da primeira equação assim: 2(y + 3) + 4y = 18. Resolvendo essa equação, temos: 2y + 6 + 4y = 18  2y + 4y = 18 – 6  6y = 12  y = 2.

Todos os cinco pares ordenados são raízes da equação x + y = 10; Apenas o par (8,2). No texto ao lado, mencionamos o fato de que os alunos já estudaram como resolver sistemas de equações usando o método de adição ( 8º. ano, capítulo 3). Se julgar conveniente, recorde como resolver alguns sistemas usando o método de adição. Este fato propiciará aos alunos a escolha do método que mais lhes convier ao resolver sistemas. Em particular, os sistemas do exercício 37, página 119, são ótimas opções para comparar as resoluções pelos dois métodos. Lembre-se também, tal como se fez para equações, de recomendar que os alunos usem a substituição dos pares ordenados encontrados ao resolver sistemas, nas equações, para conf irmar se, efetivamente, são raízes do sistema. Em particular, destacar o fato de que um par ordenado pode satisfazer uma das equações sem que satisfaça a outra (no caso de sistemas de 2 equações).

Como x = y + 3, e y = 2, resulta: x = 2 + 3  x = 5. Logo, a solução do sistema é x = 5 e y = 2.

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{

Isto é, vamos comprovar que as raízes encontradas estão corretas. Para tanto, basta substituir os valores encontrados 5 e 2, para x e y, respectivamente, nas equações do sistema.

Explicite para y:

2x + 4y = 18

Vamos “verificar” o sistema: x − y + 3

Explore, após a observação: Explicite para x: a) x + 2y = 15; b) x – 3y = 4; c) 2x + 4y = 7.

d) x + 2y = 15; e) x – 3y = 4; f) 2x + 4y = 7.

Assim:

Respostas: a) x = 15 – 2y; b) x = 4 + 3y; c) x = (7 – 4y)/2; d) y = (15 – x)/2; e) y = (x – 4)/3; f) y = (7 – 2x)/4.

{

2 (5) + 4 ( 2) = 18 Verdadeiro (porque 10 + 8 = 18). 5 – 2= 3 Verdadeiro.

Observação:

Leia o problema e responda às perguntas relacionadas com ele.

Júlia Bianchi, 2006

21.

A passagem x – y = 3  x = y + 3 chama-se “explicitar” a equação x – y = 3 para x. Observe que ela equivale a “isolar” a parcela em x no primeiro membro, passando as demais para o segundo membro. Isto favorece substituir o valor encontrado para x na outra equação, obtendo assim uma equação em uma só incógnita.

21. a) Duas toalhas e quatro caixas de leite; b) 18 reais; c) 3 reais; d) O preço de cada toalha e de cada caixa de leite; e) Duas.

Márcia comprou duas toalhas iguais e quatro caixas de leite de mesma capacidade, pagando pela compra 18 reais. Cada toalha custou 3 reais a mais que cada caixa de leite. Calcule o preço de uma dessas toalhas e o preço de uma caixa de leite.

a) Quais artigos Márcia comprou e qual foi a quantidade de cada um? b) Quanto Márcia pagou, ao todo, por essa compra? c) Quantos reais a mais custa cada toalha em relação à caixa de leite? d) O que se quer saber no problema? e) Quantas incógnitas tem esse problema: uma ou duas?

22. Agora, vamos equacionar o problema anterior. Responda ou faça o que se pede:

22. a) 2x; b) 4y; c) 2x + 4y = 18; d) x – y = 3.

a) Se chamarmos de x o preço de cada toalha, que expressão representa o preço pago por todas elas?

b) Se chamarmos de y o preço de cada caixa de leite, que expressão representa o preço das caixas compradas?

c) Usando as variáveis x e y, que equação representa a despesa total que Márcia teve nessa compra?

d) Usando as variáveis x e y, qual das duas equações representa que cada toalha custa 3 reais a mais que cada caixa de leite: x – y = 3 ou y – x = 3?

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23. Observe que, ao equacionar o problema 21, obtivemos duas equações que formam o sistema:

{

2 x + 4 y = 18 x– y=3

Você viu que, ao resolver esse sistema na página anterior, obtivemos x = 5 e y = 2. Use essas raízes para escrever a resposta do problema.

24. Observe o sistema:

{

23. Cada toalha custou 5 reais e cada caixa de leite custou 2 reais.

5 x + 10 y = 600 x + y = 71

a) Explicite a segunda equação para x. b) Substitua o valor encontrado para x na primeira equação. c) Resolva a equação na variável y que você obteve. d) Você deve ter achado y = 49. Substitua esse valor na equação do item (a) e resolva

24. a) x = 71 – y; b) 5 (71 – y) + 10y = 600; c) y = 49; d) x = 22; f) Tarefa do aluno.

Comente que a raiz do sistema do exercício 24 é (22; 49), isto é, este “par ordenado” significa que x = 22 e y = 49.

a equação na variável x resultante.

e) Você deve ter achado x = 22. f) Verifique que os valores encontrados para x e y satisfazem às duas equações do sis-

tema, isto é, substitua-os nas duas equações e verifique que obterá duas igualdades numéricas.

25. Paulo retirou R$ 600,00 em um caixa eletrônico. Ao conferir, observou ter recebido notas de R$ 5,00 e R$ 10,00 em um total de 71 notas. Quantas notas de cada valor Paulo recebeu?

25. a) 5x; b) 10y; c) 5x + 10y = 600; d) x + y = 71.

a) Chame de x o total de notas de 5 reais re-

cebidas por Paulo. Qual é a expressão que representa a quantidade de reais recebida em notas de 5 reais?

b) Chame de y o total de notas de 10 reais recebidas por Paulo. Qual é a expressão que representa a quantidade de reais recebida em notas de 10 reais?

Júlia Bianchi, 2006

c) Qual é a equação contendo as variáveis x e y que representa os 600 reais recebidos?

d) Qual é a equação contendo as variáveis x e y que representa o total de notas recebidas?

26. Ao resolver o problema anterior, você encontrou duas equações que formam o sistema:

{

5 x + 10 y = 600 x + y = 71

Você já resolveu esse sistema e encontrou x = 22 e y = 49. Use esse resultado para escrever a resposta ao problema anterior.

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26. Paulo recebeu 22 notas de R$ 5,00 e 49 notas de R$ 10,00.

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Professor, o método de substituição só serve quando um dos coeficientes é 1?

Son Salvad

Não. Ele pode ser usado sempre. No caso de coeficiente 1, a resolução fica mais fácil, mas veja um exemplo no qual nenhum coeficiente é igual a 1:

Resolver o sistema

{

2x + 3y = 7 3x + 2y = 8

pelo método de substituição.

Explicitando a primeira equação para x, temos: 2x = 7 – 3y ⇒ x =

7 − 3y . 2

Substituindo esse valor de x na segunda equação, temos: 3

(

)

21− 9y 7 − 3y + 2y = 8 + 2y = 8  2 2

Multiplicando os dois membros por 2: 21 – 9y + 4y = 16

–9y + 4y = 16 – 21  –5y = –5  y =

–5 y = 1 –5

Substituindo esse valor na segunda equação, resulta: 3x + 2 (1) = 8  3x + 2 = 8  3x = 8 – 2  3x = 6  x =

6 x=2 3

Concluímos que a solução do sistema é (2;1). 27. Possível resposta: porque elas são muito úteis para resolver problemas com mais de uma incógnita. 28. a) 2x + 3y = 7; b) 3x + 2y = 8; c) 2x + 3y = 7; 3x + 2y = 8. d) 1 pacote de biscoito custa R$ 2,00 e 1 caixa de leite custa R$ 1,00.

{

27. Discuta com seus colegas e escreva uma frase que responda à seguinte pergunta: por que é importante saber resolver sistemas de equações?

28. Márcia

comprou 2 pacotes de biscoito e 3 caixas de leite pagando 7 reais pela compra. Se tivesse comprado 3 pacotes de biscoito e duas caixas de leite, teria pago 8 reais. Qual foi o preço de um pacote de biscoito e uma caixa de leite que Márcia comprou? Represente por x o preço do pacote de biscoito e por y o preço da caixa de leite.

a) Qual é a equação que representa a compra de Márcia que ficou em 7 reais? b) Qual é a equação que representa a compra de Márcia que ficaria em 8 reais? c) Qual é o sistema de equações formado pelas equações dos itens (a) e (b)? d) Esse sistema já foi resolvido no exemplo anterior. Use as raízes dele para escrever a resposta ao problema.

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Professor, os coeficientes das equações de um sistema são sempre números inteiros?

Son Salvador

Não! Eles podem ser frações, decimais, irracionais, enfim, qualquer tipo de número real.

Veja exemplos de sistemas cujas equações têm coeficientes que são frações ou decimais: 1º EXEMPLO:

{

x+y x − 4y −2= (A) 2 3 x+y=3 Multiplicando os dois membros da equação (m.m.c. dos denominadores 2 e 3), temos:

x+y x − 4y −2= por 6 3 2

6( x + y ) 6( x − 4 y )  2(x + y) – 12 = 3(x – 4y)  − 6×2 = 3 2 2x + 2y – 12 = 3x – 12y  2x – 3x + 2y + 12y = 12  –x + 14y = 12. Logo, o sistema pode ser reescrito assim:

{

−x + 14 y = 12 x+y=3

Resolvendo esse sistema, obtêm-se as raízes x = 2 e y = 1. 2º EXEMPLO: (B)

{

0, 2x + 0, 3y = 0,7 0,03x + 0,02y = 0,08

Multiplicando os dois membros da primeira equação por 10 e os dois membros da segunda equação por 100, teremos o novo sistema equivalente:

{

2x + 3y = 7 3x + 2y = 8

Resolvendo-o, encontram-se as raízes x = 2 e y = 1.

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29. As respostas encontram-se no livro do aluno.

{ { {

29. Resolva os sistemas a seguir e confira as respostas 1 3 y = x −2 2 1º) 2 1 1 x+ y = 2 2

3x 5y + =8 4º) 4 2 y 3x = −5 2 2

7x 5y 1 1 – = – 12 x − y = −1 2 4 2º) 3 3 5º) y 3x 1 = +4 y+ x=0 4 2 2 x + 2 3º) x + 3

y = 10 3 y = 10 2

Respostas: 30. Geraldo possui: R$ 10 000,00; Haroldo possui: R$ 6 000,00.

1º) (1, –1) 2º) (–2, 1)

{

7º) 0,3x + 0,4y = 1,1

{

5y − 4 5y 3x − 6 +3− = 2 2 8º) 10 y − x x 7x − 5y + − = y − 2x 8 3 4

x +1 y − = −1 4 3 6º) y 3x + 1 − =0 3 4

3º) (12, 12) 4º) (4, 2)

0,5x + 0,2y = 0,9

5º) (–2, 4)

6º) (5, 12)

7º) (1, 2) 8º)(2, 1)

30. Resolva, usando sistemas de duas equações: Geraldo e Haroldo têm, juntos, R$ 16 000,00. Geraldo tem R$ 4 000,00 a mais que Haroldo. Quanto possui cada um deles?

Você deve estar pensando: como será que se inventa um sistema de equações? Observe, a seguir, como é simples inventar um desses sistemas: Inicialmente, inventamos o primeiro membro de duas equações quaisquer com duas incógnitas. Por exemplo: Primeira: 3x – 2y = Segunda: 4x + y = Depois, escolhemos as raízes que queremos que elas tenham. Por exemplo, x = 1 e y = 2. Então, devemos ter como segundo membro da primeira equação 3 (1) – 2 (2) = 3 – 4 = –1 E, como segundo membro da segunda equação, 4 (1) + 2(1) = 4 + 2 = 6

{

Logo, devemos escrever o sistema: 3x − 2y = −1 4x + y = 6

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32. Quais devem ser os números do segundo membro das duas equações a seguir para que a solução do sistema seja x = 3 e y = 4?

{

3x – 2y = ?

4x + y = ? 33. Invente um sistema cujas raízes sejam x = 4 e y = 5.

34. Invente um sistema cujas raízes sejam x = –2 e y = –4. 35. Invente um sistema cujas raízes sejam x = 0,5 e y = 1,5.

Aprendendo em casa 36. Resolva, usando sistemas de equações: a) Um cliente apresentou um cheque de R$ 700,00 ao caixa do banco e pediu que ele

fosse pago em notas de R$ 5,00 e R$ 10,00, num total de 100 notas. Se você trabalhasse no caixa, quantas notas de cada valor daria ao cliente?

b) Maura comprou um pote de margarina e um creme dental e pagou pela compra

R$ 2,58. Marta comprou, na mesma loja, dois potes de margarina e um creme dental e pagou R$ 3,86. Se os artigos comprados foram de mesma marca e mesma capacidade, calcule o preço de cada um.

c) Laura foi à cantina e pagou R$ 1,10 por 3 pastéis e um copo de leite. Mariza pagou R$ 1,00 por 2 pastéis e dois copos de leite. Qual é o preço do pastel? E do copo de leite?

d) Fernanda comprou na can-

Júlia Bianchi, 2006

tina 2 salgados e um picolé e pagou R$ 1,80. Nei comprou 4 salgados e 4 picolés e pagou R$ 5,20. Qual é o preço do salgado? E do picolé?

37. Resolva os sistemas: a) b)

{ {

7a + 4b = 7 2a + 4b = 2

10x + 2y = 6 –5x + 2y = –9

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{ {

5x + 2y = 22 2x + 3y = 11 2x + y = 1 3x – 4y = 29

{

3x – 2y = 10 5x + 4y = 2

31. Verificação do aluno.

{

32. 3x – 2y = 1 4x + y = 16 33. Respostas variadas. 34. Respostas variadas. 35. Respostas variadas. Invente um problema relacionado com o sistema do exercício 37 (c). Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. Sugestões sobre como resolver, usando aritmética, os exercícios 36 (a), (b) e (c). 36. a) Dando 100 notas de 10 reais, resultaria um total de 1 000,00. Cada vez que troco duas notas de 10 reais por 2 de 5 reais, a importância se reduz em 10 reais. Como tenho que reduzir 300 reais para chegar aos 700 reais desejados, devo fazer 300 : 10 = 30 substituições, ou seja, devo pagar com 60 notas de 5 reais (300 reais), mais 40 notas de 10 reais (400 reais); b) Basta observar que as diferenças dos dois totais pagos é exatamente o preço de um pote de margarina. Logo, 3,86 – 2,58 = 1,28. Portanto, o preço do creme dental é 2,58 – 1,28 = 1,30; c ) Por 6 pastéis e 2 copos de leite, ela pagaria 2,20. Como pagou 1,00 por 2 pastéis e 2 copos de leite, a diferença de 1,20 corresponde ao preço de 4 pastéis e, portanto, cada um deles custa 0,30. O copo de leite custa 1,10 – 3(0,30) = 0,20. 36. a) 60 notas de R$ 5,00 e 40 notas de R$ 10,00; b) O preço da margarina é R$ 1,28 e o preço do creme dental é R$ 1,30; c) O preço do pastel é R$ 0,30; o preço do leite é R$ 0,20; d) O preço do salgado é R$ 0,50; o preço do picolé é R$ 0,80. 37. a) a = 1; b = 0; b) x = 1; y = –2; c) x = 4; y = 1; d) x = 3; y = –5; e) x = 2; y = –2.

RESOLVENDO (A), (B) E (C) USANDO ARITIMÉTICA

Agora, resolva o sistema inventado e verifique que as raízes são as que escolhemos.

RESPOSTAS

31.

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As expressões fatoradas e as equações Explorando o que você já sabe Observe os polinômios da coluna à direita:

• Por que o polinômio da letra (b) é do quinto grau? ATIVIDADES ORAIS • Porque o maior expoente de variável x é 5. • (h) e (i). • (f) e (g). • (a) e (c). • (d) e (e).

Dê as letras correspondentes aos polinômios:

• Do primeiro grau. • Do segundo grau. • Do terceiro grau. • Do quarto grau.

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

2 + 3x3 2x5 – 5x + 4x3 x – 3x3 5x4 – 3x2 3x3 –5x + 2x4 3x2 –5x + 4 x2 + 4x 9 – 7x 13 + 5x

Aprendendo em sala de aula Você sabe como reconhecer o grau de polinômio com uma variável. Também as equações com uma variável são classificadas pelo grau. Em particular, você já resolveu diversas equações do primeiro grau. As equações do primeiro grau são equações que podem ser colocadas na forma: ax = b O coeficiente a representa qualquer número real diferente de zero e o coeficiente b representa qualquer número real. Esclareça: 1) No segundo exemplo (x = 16), o coeficiente de x é 1; 2) No quinto exemplo, se multiplicarmos os dois membros da equação –3x = –12 por –1, obteremos a equação equivalente 3x = 12; 3) Em todas as situações, de ax = b obtém-se x = b/a. Use essa observação para pedir as raízes das equações dadas (simplificadas, se for o caso). 38. a) 18x = 27; b) 12x = 24.

Veja alguns exemplos de equações do primeiro grau:

1o) 4x + 4 – x = 19 – 5x  4x – x + 5x = 19 – 4  8x = 15

2o) 4 – 3x – 2 +x = 18 – 3x  – 3x + x + 3x = 18 – 4 + 2  x = 16 3o) 7x = 14

4o) 8x – 9 = 0  8x = 9

5o) – 3x + 12 = 0  –3x = –12

38. Escreva cada uma das equações a seguir, na forma ax = b: a) 5x – 3 + 6x = 21 – 7x + 3 b) 5 + 7x – 3 = 21 – 5x + 5

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39. Resolva as duas equações do primeiro grau do exercício anterior. 40. Dê exemplos de equação da forma ax = b, tais que os coeficientes a e b satisfaçam às seguintes condições:

39. a) x = 27/18 x = 3/2; b) x = 24/12 x = 2. 40. Tarefa do aluno.

a) a é positivo e b é positivo.

b) a é positivo e b é negativo.

c) a é negativo e b é negativo.

41.

41. Tarefa do aluno.

d) a é negativo e b é positivo.

Resolva as quatro equações que você inventou no exercício anterior.

42. V ou F: a) Resolvendo a equação ax = b, obtemos: x =

b (a ≠ 0). a b) Se a e b são positivos, a raiz da equação ax = b é positiva.

c) Se a e b são negativos, a raiz da equação ax = b é positiva.

d) Se a e b têm sinais opostos (um é positivo e outro é negativo), a raiz da equação ax = b é positiva.

43. Observe os seguintes produtos de binômios do primeiro grau: (A) (x – 3) (x – 4) (B) (x – 5) (x + 6)

a) Substitua x por 3 em (A) e calcule o produto. b) Substitua x por 4 em (A) e calcule o produto.

d) Substitua x por –6 em (B) e calcule o produto.

Justifique que a correta é a 2a porque x não pode representar, simultaneamente, os números 4 e 8 (o e significa simultaneidade, isto é, ao mesmo tempo).

e) Substitua x por –2 em (C) e calcule o produto.

f) Substitua x por –6 em (C) e calcule o produto.

44. Use os resultados obtidos no exercício anterior e diga quais são as duas 45. Observe a equação:

b) (x – 5) (x + 6) = 0

43. a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) 0; f) 0.

1a) x = 4 e x = 8; 2a) x = 4 ou x = 8.

c) Substitua x por 5 em (B) e calcule o produto.

a) (x – 3) (x – 4) = 0

Explore, perguntando se é verdadeiro ou falso: a) Se o produto de dois números é zero, pelo menos um deles é zero; b) Se em uma multiplicação um dos fatores é zero, o produto é zero.

Peça que justifiquem por que todos os produtos são iguais a zero. Escreva o produto: (x – 4) (x – 8) = 0 e pergunte qual é a conclusão correta:

raízes de cada uma das seguintes equações:

42. a) V; b) V; c) V; d) F.

c) (x + 2) (x + 6) = 0

(x – 3) (x – 4) (x – 5) = 0

44. a) 3 e 4; b) 5 e –6; c) –2 e –6. 45. a) 3, 4 e 5; b) São os números que tornam o primeiro membro da equação igual a zero.

a) Use o que você já observou nos exercícios anteriores e diga quais são as raízes da equação.

b) Justifique sua resposta ao item (a).

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Você já usou a fórmula: (x + a) (x + b) = x2 + Sx + P, onde S = a + b e P = a.b. para calcular os produtos: (x + 4) (x + 7)

(x + 5) (x – 4)

Em (x + 4) (x + 7) S = 4 + 7 = 11 e P = 4 x 7 = 28. Logo, (x + 4) (x + 7) = x2 + 11x + 28. Em (x + 5) (x – 4) S = 5 – 4 = 1 e P = (5) (– 4) = –20. Logo, (x + 5) (x – 4) = x2 + x – 20. 46. Tarefa do aluno. Esclareça que, no quadro do exercício 47, usamos x1 e x2 para representar as duas raízes exatamente porque são números diferentes (3 e 4) e, portanto, não poderiam ser representados simplesmente pela letra x usando, entre eles, o conectivo “e”. 47. a) x1 = 3; x2 = 4; b) x1 = 5; x2 = –6; c) x1 = –2; x2 = –6.

46. Usando a fórmula (x + a) (x + b) = x2 + Sx + P, calcule S e P em cada caso para verificar que:

a) (x – 3) (x – 4) = x2 – 7x + 12 b) (x – 5) (x + 6) = x2 + x – 30

c) (x + 2) (x + 6) = x2 + 8x + 12

47. Você já sabe que: As raízes das equações

são, respectivamente

(x – 3) (x – 4) = 0

x1 = 3 e x2 = 4

(x – 5) (x + 6) = 0

x1 = 5 e x2 = –6

(x + 2) (x + 6) = 0

x1 = – 2 e x2 = –6

Agora use os resultados do exercício 46 e escreva, em seu caderno, quais são as raízes das equações:

a) x2 – 7x + 12 = 0 b) x2 + x – 30 = 0

Destaque para os alunos a razão pela qual o coeficiente a da equação ax2 + bx + c = 0 não pode ser zero: este fato anularia o termo ax2 e faria com que a equação não mais fosse de segundo grau. No exercício 49, ele concluirá que os demais coef icientes b e c podem ou não se anular separada ou simultaneamente.

c) x2 + 8x + 12 = 0

As equações:

x2 – 7x + 12 = 0, x2 + x – 30 = 0 e x2 + 8x + 12 = 0 chamam-se equações do segundo grau. Se depois de reduzirmos os termos semelhantes de uma equação ela puder ser escrita na forma: ax2 + bx + c = 0 sendo a, b, c, números reais e a diferente de zero, dizemos que ela é uma equação do segundo grau.

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48. Os números dados na primeira coluna da tabela a seguir são raízes das

equações do segundo grau vistas à direita deles. Verifique este fato, substituindo-os nas equações correspondentes: Números

Equações

2e3

x2 – 5x + 6 = 0

–1 e –5

x2 + 6x + 5 = 0

1 e2 2

2x2 – 3x – 2 = 0

–

49. Em cada equação a seguir, ordene e complete o polinômio do primeiro

membro e depois identifique os coeficientes a, b e c, escrevendo as respostas em seu caderno: Equações do segundo grau: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

? a=?

–5x – 3x2 = 0

–2x2 – 11 = 0

nx2 + px + k = 0

–2x2 – 4x + 9 = 0

–19x2 = 0

–2x2 + 4x = 0

x2 – 3x + 8 = 0

3x 2 –

1 x + 6= 0 2

–2x2 + 4x – 11 = 0

–9 + 7x2 = 0

2x2 – 4x + 11 = 0

8,3x2 – 0,4x + 31,2 = 0

1 2 3 x − x+4=0 2 4

48. Tarefa do aluno. 49. a) –2x2 + 4x – 11 = 0 a = –2 b=4 c = –11; b) 7x2 + 0x – 9 = 0 a=7 b=0 c = –9; c) 2x2 – 4x + 11 = 0 a=2 b = –4 c = 11; d) –3x2 – 5x + 0 = 0 a = –3 b = –5 c = 0; e) –2x2 + 0x – 11 = 0 a = –2 b=0 c = –11; f) nx2 + px + k = 0 a=n b=p c=k g) –2x2 – 4x + 9 = 0 a = –2 b = –4 c = 9; h) –19x2 + 0x + 0 = 0 a = –19 b=0 c = 0; i) –2x2 + 4x + 0 = 0 a = –2 b=4 c = 0; j) x2 – 3x + 8 = 0 a = 1 b = –3 c = 8; k) 3x2 – 1/2x + 6 = 0 a = 3 b = –1/2 c = 6; l) 8,3x2 – 0,4x + 31,2 = 0 a = 8,3 b = –0,4 c = 31,2; m) 1/2x2 – 3/4x + 4 = 0 a = 1/2 b = –3/4 c = 4.

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Você viu que resolver uma equação do segundo grau, quando ela está fatorada, é fácil. Por exemplo, como as equações x2 – 7x + 12 = 0

x2 + x – 30 = 0

foram dadas inicialmente fatoradas, (x – 3) (x – 4) = 0 e (x – 5) (x + 6) = 0, respectivamente, bastou verificar os valores que anulam seus fatores: 3 e 4 para a primeira equação e 5 e –6 para a segunda equação, encontrando assim as raízes delas. Agora, você verá como proceder para resolver uma equação dada na forma ax2 + bx + c = 0, sem estar fatorada. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

50. a) 16x = 53; b) 12x = 19.

51. a) x = 53/16; b) x = 19/12. 52. a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) 0; f) 0.

53. (A) 5 e 6; (B) 3 e – 4; (C) –2 e +9.

Existem dois processos de resolução que você passará a aprender nas próximas atividades em sala de aula. Antes, porém, faça as atividades propostas para casa a seguir.

Aprendendo em casa 50. Escreva cada uma das equações a seguir na forma ax = b: 51.

a) 8x – 4 + 5x = 19 – 3x + 30 b) 15 + 9x – 7 = 18 – 3x + 9

Resolva as duas equações do primeiro grau do exercício anterior:

52. Observe os seguintes produtos de binômios do primeiro grau: (A) (x – 5) (x – 6)

(B) (x – 3) (x + 4)

(C) (x + 2) (x – 9) a) Substitua x por 5 em (A) e calcule o produto. b) Substitua x por 6 em (A) e calcule o produto. c) Substitua x por 3 em (B) e calcule o produto. d) Substitua x por –4 em (B) e calcule o produto. e) Substitua x por –2 em (C) e calcule o produto. f) Substitua x por +9 em (C) e calcule o produto.

53. Use os resultados obtidos no exercício anterior e diga quais são as duas raízes de cada uma das seguintes equações:

(A) (x – 5) (x – 6) = 0

(B) (x – 3) (x + 4) = 0

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54. Observe a equação: (x – 4) (x – 6) (x + 8) = 0

a) Use o que você já observou nos exercícios anteriores e diga quais são as raízes da equação.

b) Justifique sua resposta ao item (a).

54. a) 4, 6, –8; b)Porque 4, 6 e –8 são os únicos números que anulam o 1º membro.

55. Usando a fórmula (x + a) (x + b) = x2 + Sx + P calcule S e P para verificar que:

55. Tarefa do aluno.

a) (x – 5) (x – 6) = x2 – 11x + 30 b) (x – 3) (x + 4) = x2 + x – 12 c) (x + 2) (x – 9) = x2 – 7x – 18

56. No exercício 53 você concluiu que:

(A) As raízes da equação (x – 5) (x – 6) = 0 são: x1 = 5 e x2 = 6

(B) As raízes da equação (x – 3) (x + 4) = 0 são: x1 = 3 e x2 = –4

(C) As raízes da equação (x + 2) (x – 9) = 0 são: x1 = –2 e x2 = 9 Use estes resultados e diga quais as raízes das equações a seguir. Justifique suas respostas.

(A) x2 – 11x + 30 = 0

(B) x2 + x – 12 = 0

Resolvendo equações do segundo grau Explorando o que você já sabe

Professor(a): Na margem da página 123 já fizemos uma observação que julgamos conveniente repetir aqui. Observe que nas equações do exercício 56, existem dois valores distintos para x que são raízes. Para exibi-las, temos duas opções. Por exemplo, no caso A ou escrevemos x = 5, ou x = 6 (“ou” porque x não pode, simultaneamente ser 5 e 6), ou escrevemos x1 = 5 e x2 = 6, usando índices significando que são valores não simultâneos de x.

56. Raízes: A) x1 = 5; x2 = 6; B) x1 = 3; x2 = –4; C) x1 = –2; x2 = 9. Justificativa: pelo exercício 55, as equações dadas são equivalentes às equações do exercício 53. Logo, têm as mesmas raízes.

Observe cada equação do segundo grau a seguir e diga quais são os seus coeficientes a, b e c:, quando colocadas na forma ax2 + bx + c = 0

• • • • • • •

–3x2 + 7x – 18 = 0

•

–8x2 + 7x = 0

–8 + 5x2 = 0 ATIVIDADES ORAIS

7x2 – 9x + 1 = 0 –8x – 9x2 = 0 –8x2 – 9x + 10 = 0 –3x2 = 0

Son Salvador

tx2 + rx + s = 0

• a = –3; b = 7; c = –18. • a = 5; b = 0; c = –8. • a = 7; b = –9; c = 1. • a = –9; b = –8; c = 0. • a = t; b = r; c = s. • a = –8; b = –9; c = 10. • a = –3; b – 0; c = 0. • a = –8; b = 7; c = 0.

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Aprendendo em sala de aula Você já sabe que, se um produto de dois números é zero, pelo menos um deles deve ser igual a zero. Em linguagem matemática, este fato se representa assim: Se a . b = 0, então a = 0 ou b = 0. Por exemplo, se 4(x – 3) = 0, como 4  0, concluímos que x – 3 = 0, ou seja, x = 3. Se 3x(x – 5) = 0, concluímos que ou 3x = 0, ou x – 5 = 0, o que nos dá duas raízes: x1 = 0 e x2 = 5 Se 9x2 = 0, como 9x2 = 9x . x, concluímos que existem duas raízes iguais: x1 = 0 e x2 = 0.

57. Complete, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras da tabela a seguir:

57. a) x – 7 = 0 ou x – 4 = 0; b) x1 = 7 e x2 = 4; c) x + 3 = 0 ou x – 3 = 0; d) x1 = –3 e x2 = 3; e) 2x = 0 ou x – 10 = 0; f) x1 = 0 e x2 = 10; g) x = 0 ou x = 0; h) x1 = 0 e x2 = 0.

Recomende ou explore a leitura de: “Equação do segundo grau” Coleção Pra que serve a Matemática? Imenes – Jakubo – Lellis. Atual Editora

Se soubermos que

podemos concluir que

ou seja, teremos as duas raízes

(x – 2) (x – 3) = 0

x – 2 = 0 ou x – 3 = 0

x 1 = 2 e x2 = 3

(x – 5) (x + 3) = 0

x – 5 = 0 ou x + 3 = 0

x1 = 5 e x2 = – 3

7x (x – 4) = 0

7x = 0 ou x – 4 = 0

x1 = 0 e x2 = 4

5x2 = 0

x = 0 ou x = 0

x 1 = 0 e x2 = 0

(x – 7) (x – 4) = 0

(x + 3) (x – 3) = 0

2x(x – 10) = 0

0,35x2 = 0

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RESOLVENDO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU USANDO FATORAÇÃO Você já sabe que: 1o) A equação 3x(x – 4) = 0 tem as raízes x1 = 0 e x2 = 4.

2o) Podemos escrever: 3x(x – 4) = (3x) (x) – (3x) (4) = 3x2 – 12 x. Logo, se você souber a “passagem inversa” que transforma 3x 2 – 12x no produto 3x(x – 4), será fácil resolver a equação incompleta 3x2 – 12 x = 0. Ela será equivalente à equação 3x(x – 4) = 0 e, portanto, suas raízes serão x1 = 0 e x2 = 4 Essa “passagem inversa” chama-se “fatoração”. Existem diversos tipos de fatoração. Em particular, o que estamos abordando chama-se “colocar o fator comum em evidência”. Vejamos como obter a igualdade 3x2 – 12x = 3x(x – 4). Se calcularmos o m.d.c. de 3x2 e 12x, encontraremos 3x. Este é o fator que deve ser colocado em evidência.

Reveja com os alunos o cálculo do m.d.c. de expressões numéricas e expressões literais. Sugestões: dados a = 23 x 32 x 5, b = 22 x 33, c = 24 x 3 x 5, calcule o m.d.c. de a e b, a e c, b e c, usando a regra dos expoentes: produto dos fatores comuns, cada um com seu menor expoente. Idem, a = 4x3 y2x5, b = 8x2 y3, c = 12x4 y3 z5: fatore 4, 8 e 12 e calcule o m.d.c. de a e b, a e c, b e c, usando a regra dos expoentes.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, a tabela em destaque, no fim da página.

Para “descobrir” o outro fator (x – 4), basta dividir sucessivamente 3x2 e –12x por 3x. Assim: (3x2) : (3x) = x e (–12x) : (3x) = –4 Finalmente, escrevemos a igualdade: 3x2 – 12 x = 3x(x – 4) Resumindo, temos: Equação dada

3x2 – 12x = 0

Colocando o fator comum 3x em evidência. (3x é o m.d.c. de 3x2 e 12x)

3x(x – 4) = 0

Se o produto é zero, então um dos fatores é zero.

3x = 0 ou x – 4 =0

Resolvendo a equação 3x = 0.

3x = 0  x = 0

Resolvendo a equação x – 4 = 0.

x–4=0x=4

As raízes de 3x2 – 12 = 0 são x1 = 0 e x2 = 4.

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Fatorações: 58. a) 4x(x – 4) = 0; b) 3x(x – 9) = 0; c) x(x – 16) = 0; d) 5x(x – 3) = 0. As raízes em cada caso são: a) x1 = 0 e x2 = 4; b) x1 = 0 e x2 = 9; c) x1 = 0 e x2 = 16; d) x1 = 0 e x2 = 3. 59. a) 3/2; b) –3/5; c) 1/9; d) 1/3; e) 8/3. 60) Fatorações: (a) 6x(2x – 3) = 0; (b) 5x(5x + 3) = 0; (c) 3x(9x – 1) = 0; (d) 7x(3x – 1) = 0; (e) x(9x – 1) = 0; (f) x(3x – 8) = 0. Raízes: a) x1 = 0 e x2 = 3/2; b) x1 = 0 e x2 = –3/5; c) x1 = 0 e x2 = 1/9; d) x1 = 0 e x2 = 1/3; e) x1 = 0 e x2 = 1/9; f) x1 = 0 e x2 = 8/3. Explore mais exemplos de equações como as do exercício 61, do tipo x2 = a, a positivo (não sendo quadrado perfeito). É conveniente mostrar aos alunos que existem equações do segundo grau que não possuem raízes. Sugiro explorar equações do tipo (x – b)2 + c = 0, sendo b um número real qualquer e c um positivo. Como o menor valor de (x – b)2 é zero, quando x = b, a soma desta parcela com um positivo é um positivo, ou seja, o primeiro membro não se anula para nenhum valor de x. Logo, a equação não possui raízes. Faça isto como valores particulares como sugiro: a equação x2 – 6x +10 = 0 não tem raízes porque equivale a (x – 3)2 + 1= 0 que é sempre maior que ou igual a l. Como não existem valores de x que a anulem, ela não tem raízes. 61. a) (x + 9) (x – 9) = 0; x1 = –9; x2 = 9. b) (y + 7) (y – 7) = 0; y1 = –7; y2 = 7. c) (2x + 5) (2x – 5) = 0; x1 = –5/2; x2 = 5/2.

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58. Resolva as seguintes equações incompletas do segundo grau, calcu-

lando o m.d.c. dos seus termos e o colocando como fator comum em evidência:

a) 4x2 – 16x = 0 b) 3x2 – 27x = 0

c) x2 – 16x = 0

d) 5x2 – 15x = 0

59. Resolva as seguintes equações do primeiro grau: a) 2x – 3 = 0

b) 5x + 3 = 0

c) 9x – 1 = 0

d) 3x – 1 = 0

e) 3x – 8 = 0

60. Agora, use o método do fator em evidência e os resultados anteriores para encontrar as raízes das seguintes equações do segundo grau:

a) 12x2 – 18x = 0

b) 25x2 + 15x = 0

c) 27x2 – 3x = 0 d) 21x2 – 7x = 0

e) 9x2 – x = 0

f) 3x2 – 8x = 0

Você já sabe como calcular o produto da soma pela diferença de dois números. (x + 6) (x – 6) = x2 – 62 = x2 – 36 Vamos relembrar al(y + 4) (y – 4) = y2 – 42 = y2 – 16 guns desses produtos: (3x + 2) (3x – 2) = (3x)2 – (2)2 = 9x2 – 4 Observe, então, que para fatorar o primeiro membro das equações ao lado:

x2 – 36 = 0 y2 – 16 = 0 9x2 – 4 = 0

devemos procurar dois números ou monômios tais que o primeiro seja o quadrado do primeiro termo, e o segundo, o quadrado do segundo termo. Depois, escrever o produto da soma desses números ou monômios pela diferença deles. Como 36 é o quadrado de 6 e 16 é o quadrado de 4, as duas primeiras equações são facilmente fatoráveis e, portanto, é fácil encontrar suas raízes. x2 – 36 = 0  (x + 6) (x – 6) = 0  x + 6 = 0 ou x – 6 = 0  x1 = –6 e x2 = +6 y2 – 16 = 0  (y + 4) (y – 4) = 0  y + 4 = 0 ou y – 4 = 0  y1 = –4 e y2 = 4

Para a terceira equação, observe que 9x2 é o quadrado de 3x, e 4 é o quadrado de 2. Portanto, podemos calcular: 9x2 – 4 = 0  (3x + 2) (3x – 2) = 0  3x + 2 = 0 ou 3x – 2 = 0  x1 = –

2 e x2 = + 2 3 3

61. Fatore o primeiro membro de cada equação e calcule suas raízes: a) x2 – 81 = 0

b) y2 – 49 = 0

c) 4x2 – 25 = 0

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RESOLVENDO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU USANDO FÓRMULAS Você verá, a seguir, como é fácil resolver equações do segundo grau usando fórmulas. Para isto, basta que você saiba identificar quais os números que representam os coeficientes a, b e c da equação ax2 + bx + c = 0 e calcular raízes quadradas, seja por tentativas, seja usando calculadora, seja por simplificação de radicais. Veja, a seguir, um exemplo de como resolver uma equação do segundo grau usando fórmulas. Veja, também, como verificar se as raízes encontradas estão corretas, isto é, se não houve engano ao serem efetuados os cálculos. Para resolver a equação: usamos as fórmulas ao lado, cuja dedução pode ser vista na página 246.

ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0

x1 =

–b – b 2 – 4ac –b + b 2 – 4ac e x2 = 2a 2a

Exemplo: Para resolver a equação:

x2 – 8x +12 = 0

Identificamos inicialmente os coeficientes a, b e c: a=1;

b = −8 ;

c = 12

Calculamos o radicando b2 – 4ac

Se julgar conveniente, retome os exemplos de equações impossíveis e equações com raízes iguais, relacionando tais fatos com o fato de ser o radicando (discriminante) negativo ou zero, respectivamente. Estas atividades devem ser exercidas no quadro (por alunos) e conduzidas com perguntas pertinentes. Observação: como se sabe, por definição, a raiz quadrada de um número positivo R é outro positivo r tal que r2 = R. Este fato é esclarecido no texto do exercício 66, página 123. O uso de uma fórmula única para expressar as duas raízes da equação do segundo grau vem de longa data, induzindo à falsa conclusão de que, por exemplo, a raiz quadrada de 16 é +4 ou –4. Esta é a razão pela qual apresentamos duas expressões para as possíveis raízes distintas de uma equação do segundo grau. No exemplo, destaque os cálculos: (–8)2 = + 64 = 64 e –(–8) = + 8 = 8. Observe novamente: ou respondemos x1 = 2 e x2 = 6, ou respondemos x = 2 ou x = 6

b2 – 4ac = (− 8)2 – (4 x 1 x 12) = 64 – 48 =16 b2 – 4ac = 16 Substituímos nas fórmulas que nos dão as raízes x1 e x2 e efetuamos os cálculos:

x1 =

–b – b 2 – 4ac –(–8) – 16 8 – 4 e x2 = = =2 2 2a 2×1

–b + b 2 − 4ax –(–8) + 16 8 + 4 x2 = = = =6 2 2a 2×1

Para termos certeza das respostas, substituímos os valores 2 e 6 na expressão do primeiro membro da equação dada para verificar se ambos anulam esta expressão. Para x1 = 2, temos: Para x2 = 6, temos:

22 – 8 . 2 + 12 = 4 – 16 + 12 = 16 –16 = 0 62 – 8 . 6 + 12 = 36 – 48 + 12 = 48 – 48 =0

Finalmente, podemos responder: x1 = 2 e x2 = 6 são as raízes da equação dada.

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62. a) x1 = 2; x2 = 5; b) x1 = 3; x2 = 2; c) x1 = –3; x2 = –1; d) x1 = 1; x2 = –2.

63. a) 1a) x2 – 3x = 0; x (x – 3) = 0. 2a) 10x2 + 5x = 0. 5x(2x + 1) = 0. b) 1a) x1 = 0 e x2 = 3; 2a) x1 = 0 e x2 = –1/2. c) 1a) x1 = 0 e x2 = 3; 2a) x1 = 0 e x2 = –1/2. Se necessário, recorde os conceitos de números racionais e números irracionais. Recorde, também, como é possível obter aproximações racionais de números irracionais por falta e por excesso. Esclareça que, ao dizer que as raízes de x2 – 3 = 0 são x1 = 3 x2 = – 3, estamos exibindo as raízes exatas da equação. Já no caso de decimais aproximados, o próprio nome diz que as raízes são “aproximadas”. Entretanto, como se sabe, neste caso, bem como nas raízes quadradas de 2, é bom que os alunos conheçam tais valores aproximados porque serão úteis em aplicações na trigonometria. Nos demais, dê-se preferência a respostas com radicais.

Agora, você vai utilizar as fórmulas, tal como no exemplo dado, para resolver os exercícios que seguem. Em resumo, você viu que: As raízes da equação ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 são calculadas usando as fórmulas: x1 =

– b + b 2 – 4ac –b – b 2 – 4ac e x2 = 2a 2a

Observação:

O radicando b2 – 4ac é chamado de discriminante da equação e é representado pela letra grega  (lê-se “delta”). Assim, temos:  = b2 – 4ac.

62.Resolva

as equações a seguir usando as fórmulas acima. Antes de escrever as respostas, faça as verificações necessárias.

a) x2 – 7x +10 = 0 b) x2 – 5x + 6 = 0 c) x2 + 4x + 3 = 0 d) x2 + x – 2 = 0

63.Observe as equações incompletas a seguir: 1ª)

1 2 x –x=0 3

5 2ª) 5x2 + x = 0 2

a) Multiplique os dois membros da primeira por 3 e os da segunda por 2.

b) Resolva as duas equações que você obteve após

as multiplicações sugeridas pelo método da fatoração do fator em evidência.

c) Resolva as duas equações pelas fórmulas.

Ao resolver a equação x2 – 81 = 0, você encontrou para raízes x1 = 9 e x2 = –9. Observe que isto equivale a dizer que x1 = 81 = 9 e x2 = – 81 = – 9 . Do mesmo modo, ao resolver y2 – 49 = 0, você encontrou para raízes x1 = 7 e x2 = –7, ou seja, x1 = 49 = 7 e x 2 = – 49 = –7 . É claro então que, resolvendo a equação x2 – 3 = 0, encontraremos como = x1 raízes

= 3 e x 2 – 3 . Mas, como você já sabe,

3 é um núme-

3 e x 2 – 3 , ou usamos valores decimais =

aproximados delas. A calculadora de um computador dá para

Duke , 200

x1 = raízes são

ro irracional. Então, temos duas opções: ou dizemos que as

3 o seguinte valor: 1,7320508075688772935274463415058... Usando-o, é possível, por exemplo, dizer que as raízes da equação x2 – 3 = 0 com aproximação por falta, a menos de um centésimo, são

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x1 = 1,73 e x2 = –1, 73.

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64.Para resolver as equações deste exercício usando fórmulas, você poderá usar os valores aproximados dados a seguir. Se necessário, simplifique os radicais antes de usar os valores aproximados. Valores aproximados: 2 ≅ 1, 41 e

, 3 ≅ 173

Calcule as raízes das equações a seguir, com aproximação de centésimos:

a) x2 – 6x + 7 = 0

b) x2 – 4x + 1 = 0

a) (–2)2

c) (–5)2

65. Calcule: b) (+2)2

c) 2 x2 – 8x + 7 = 0

66. Lucas disse que o quadrado de zero é zero e o quadrado de qualquer número diferente de zero é positivo. Você concorda com ele? Justifique sua resposta. representa a raiz quadrada.

Mas um fato importante que você deve saber é que ele representa sempre um número positivo ou o zero. Nunca um negativo. Os matemáticos definem assim: “A raiz quadrada de um número positivo R é outro número positivo r tal que r 2 = R. Em particular, a raiz quadrada de zero é zero”.

Simbolicamente, sendo R e r positivos, R = r se e somente se r 2 = R. Em particular,

 64. a) x1 = 3 + 2  4,41 e x 2  = 3 – 2  1,59; b) x1 = 2 +  3  3,73 e  x2 = 2 – 3  0,27; c) x1 = (4 + 2)/2  2,71 e x2 = (4 – 2)/2  1,29.

65. a) 4; b) 4; c) 25; d) 25.

d) (+5)2

Você já sabe que o símbolo

Recorde como simplificar radicais. Em particular, simplifique as raízes quadradas de 12 e de 8 expressando-as como 2 vezes a raiz de 3 e 2 vezes a raiz de 2, respectivamente.

0 = 0.

Assim, por exemplo, temos: = 100 10 etc. 81 9,=

66. Sim. (a) 0º = 0. (b) O produto de dois positivos é positivo, bem como o produto de dois negativos. Logo, sendo x2 = x . x, temos que x2 > 0 se x  0.

Professor(a), chame a atenção dos alunos para o fato de que nem sempre as equações do segundo grau possuem raízes que são números reais, como ilustrado na atividade 67. Diga-lhes que estas equações possuem solução em outro conjunto numérico onde são admitidas raízes de números negativos, chamado de conjunto dos números complexos, e que este novo conjunto será visto no ensino médio.

Se quisermos representar o número negativo cujo quadrado é 81, devemos escrever: − 81 = − 9 Do mesmo modo, o número negativo cujo quadrado é 100 é representado assim: − 100 = −10

67. Porque, sendo o discriminante negativo, não há como obter sua raiz quadrada como um número real.

67. Diga por que as equações a seguir não têm raízes reais: a) x2 – 6x + 11 = 0

b) x2 + 8x + 20 = 0

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68. As duas equações não têm raízes.

69. a) x1 = 8 e x2 = 8; b) x1 = –7 e x2 = –7.

68. Calcule o discriminante  = b2 – 4ac nas duas equações a seguir e diga qual delas não tem raízes reais:

a) x2 + 4x + 6 = 0

b) x2 + 10x + 30 = 0

a) x2 – 16x + 64 = 0

b) x2 + 14x + 49 = 0

69. Resolva as equações a seguir:

70. São iguais.

70. As raízes das duas equações anteriores têm uma particularidade. Qual? 71. a) São iguais; b) São diferentes; c) Não existem raízes reais. Peça aos alunos que justif iquem as respostas do exercício 71. 72. a) Não tem raízes reais; b) Não tem raízes reais; c) Tem duas raízes distintas; d) Não tem raízes reais. Peça aos alunos que justifiquem as respostas.

73. 12 m e 40 m.

71.

O que se pode dizer das raízes de uma equação do segundo grau se:

a) Seu discriminante for igual a zero? ( = b2 – 4ac = 0) b) Seu discriminante for positivo? ( = b2 – 4ac > 0) c) Seu discriminante for negativo? ( = b2 – 4ac < 0)

72. Calcule os discriminantes e diga se cada equação a seguir tem ou não

raízes reais. No caso afirmativo, diga se as raízes são iguais ou diferentes:

a) x2 – 6x + 10 = 0 b) x2 + 12x + 40 = 0

c) x2 – 8x + 12 = 0 d) x2 – 0,4x + 0,16 = 0

73. O retângulo da figura representa uma quadra de esportes cuja área mede 480 m2.

Seu comprimento (em metros) é quatro metros maior que o triplo de sua largura.

Calcule as dimensões desta quadra.

3x + 4

74. Antônio tinha um terreno quadrado, como o que se vê representado na figura abaixo à esquerda.

74. a) 86 m; b) 324 m2; c) R$ 24 840,00. x+4

x x+3

Ele o trocou por outro terreno retangular cuja largura é 3 metros maior que a do terreno quadrado e cujo comprimento é 4 metros maior. Sabendo que o terreno retangular tem 462 metros quadrados, faça o que se pede a seguir.

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a) Calcule o perímetro do terreno retangular. b) Calcule a área do terreno quadrado. c) Se o metro quadrado dos dois terrenos custa R$ 180,00, calcule quanto Antônio teve que pagar ao trocar os terrenos.

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A figura ao lado representa um grande painel formado de um quadrado e três retângulos de cores diferentes. As dimensões do painel, em metros, estão representadas na figura pelas expressões x + 4 e x + 2.

+ x2

a) Se a área total do painel mede 168 m2, calcule a

75.

área do quadrado que o compõe.

b) Calcule o perímetro do painel.

Aprendendo em casa 76. Escreva o que se pode concluir, sabendo-se que:

77.

a) 3a = 0 b) 2b = 0 c) a . b = 0 d) x(x + 4) = 0

e) f) g) h)

a) 5x2 – 11x –3 = –5

d) 4x2 – 16x + 10 = –3

(x + 6) (x – 5) = 0 x (x + 4) = 0 (x – 6) (x + 8) = 0

i) (x + 1) (x – 1) = 0 j) (x + 1) (x + 1) = 0

(x – 9) (x – 2) = 0

Coloque cada equação a seguir na forma ax2 + bx + c = 0 e, depois, resolva cada uma delas:

b) 3x2 + 7x + 2 = 14x c) –5x2 – 7x – 4 = –7x2

e) x2 + 10x + 20 = –9 f)

g) 8x2 – 10x = 3x2 + 5x h)

x2 + 2 =3 9

x 2 + 1 3x 2 + 1 7 + = 3 6 2

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais Resolva os seguintes problemas usando equações do segundo grau:

75. a) 100 m2; b) 52 m. 76. a) a = 0; b) b = 0; c) a = 0 ou b = 0; d) x = 0 ou x + 4 = 0; e) x + 6 = 0 ou x – 5 = 0; f) x = 0 ou x + 4 = 0; g) x – 6 = 0 ou x + 8 = 0; h) x – 9 = 0 ou x – 2 = 0; i) x + 1 = 0 ou x – 1 = 0; j) x + 1 = 0 ou x + 1 = 0. 77. a) 5x2 – 11x + 2 = 0 x1 = 2 e x2 = 1/5; b) 3x2 – 7x + 2 = 0 x1 = 2 e x2 = 1/3; c) 2x2 – 7x – 4 = 0 x1 = 4 e x2 = –1/2; d) 4x2 – 16x + 13 = 0 x1 = (4 + 3)/2  2,866 e x2 = (4 – 3)/2  1,134; e) x2 + 10x + 29 = 0 não tem raízes reais;  f) 5x2 – 18 = 0  x1 = 3 10/2  1,897 e x = 2 –3 10/2  –1,897; g) 5x2 – 15x = 0 x1 = 0 e x2 = 3;  h) x2 – 25 = 0  x1 = 5 e x = –5. 2 78. 9 km2 e 16 km2. Do sistema: x + y = 7 e x2 + y2 = 25 resulta uma equação do 2º grau com raízes 3 e 4 que resolvem o problema.

soma de suas áreas, 25 km2. Calcule as áreas desses dois terrenos.

79. 7 cm e 10 cm. Pela natureza do problema, a raiz –10 não o satisfaz, pois estamos procurando uma medida de comprimento.

sabendo que o comprimento é 3 cm maior que a largura.

80. Perímetro: 80 metros; área: 400 metros quadrados.

78. A soma dos perímetros de dois terrenos quadrados mede 28 km e a 79. Um cartão retangular tem uma área de 70 cm2. Calcule suas dimensões 80. Um terreno de forma quadrada foi trocado por outro de forma retangular.

81.

O exercício 75 gera a equação (x + 4) (x + 2) = 168, ou seja, x2 + 6x – 160 = 0, cujas raízes são 10 e –16. Observe com os alunos que a raiz –16 não satisfaz o problema porque, pela natureza do mesmo, x é positivo (pois x é medida do lado da parte quadrada).

A largura e o comprimento do terreno retangular são, respectivamente, 4 metros maiores e 2 metros menores que as dimensões correspondentes do terreno quadrado. Sabendo que a área do terreno retangular mede 432 metros quadrados, calcule o perímetro e a área do terreno quadrado. Use o fato de que 1764 = 42 .

Pode-se mostrar que número de diagonais de um polígono convexo n (n − 3 ) . Sabendo disto, calcule 2 quantos lados tem um polígono convexo que tem 35 diagonais? de n lados é dado pela fórmula d =

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Pela natureza do problema, a raiz –22 da equação não o satisfaz porque a incógnita é a medida do lado do terreno, devendo, portanto, ser expressa por um número positivo. 81. 10 lados. O problema 81 gera a equação n(n – 3) = 70, ou seja, n2 – 3n –70 = 0, cujas raízes são 10 e –7. Pela natureza do problema, a raiz –7 não o satisfaz, pois n representa número de lados de um polígono.

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Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

REVISÃO – Ao término do estudo do capítulo, reveja com os alunos, a seu critério, o significado de alguns dos termos destacados na cor azul no capítulo. Releia o texto da página 34: “Ao elaborar questões (...) hexágono”.

Recomende ou explore a leitura de: “História da equação do segundo grau”. Oscar Guelli Contando a história da Matemática Editora Ática.

Reveja os exercícios

Como resolver problemas usando equações do primeiro grau com uma variável.

1, 3, 15, 16, 19, 20.

Como inventar problemas relacionados com equações do primeiro grau dadas.

2, 4.

Como interpretar e como “equacionar” problemas dados.

Como resolver equações reduzindo-as à forma ax = b.

7. 10, 11, 12, 13, 14, 18, 38, 39, 40, 41, 50, 51.

Como identificar equações equivalentes.

8, 9.

Como verificar se números dados são ou não raízes de equações dadas.

17.

Como verificar se pares ordenados de números são raízes de equações do primeiro grau com duas incógnitas.

Atividades da seção “Explorando o que você já sabe, página 113.

Como resolver sistemas de equações do primeiro grau usando o método de substituição.

24, 29, 31, 37.

Como resolver problemas usando sistemas de equações do primeiro grau.

21, 22, 23, 25, 26, 28, 30, 36.

Como inventar sistemas de equações de primeiro grau que tenham como raiz um par ordenado de números dados.

32, 33, 34, 35.

Como resolver equações fatoradas da forma a (x – r) (x – s) = 0.

43, 44, 45, 47, 52, 53, 54, 56, 57, 76.

Como verificar se números dados são raízes de equações dadas.

17, 45, 48.

Como escrever equações do segundo grau na forma ax2 + bc + c = 0 e identificar seus coeficientes a, b e c.

49.

Como resolver equações incompletas do segundo grau, sem uso de fórmulas.

58, 59, 60, 61, 63.

Como resolver equações completas ou incompletas do segundo grau, usando fórmulas.

62, 64, 69, 77.

Como interpretar o conceito de raiz quadrada.

65, 66.

Como usar o discriminante de uma equação do segundo grau ( = b2 – 4ac) para decidir, discutir a natureza e a existência das raízes.

67, 68, 71, 72.

Como resolver problemas usando equações do segundo grau.

73, 74, 75, 78, 79, 80, 81.

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e d a d i l a n o i c Propor a i r t e m o n o g i e tr

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Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página. Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações afirmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como de algumas regularidades relacionadas com sequências númericas.

Neste capítulo, você vai aprender como: • Reconhecer se polígonos dados são ou não semelhantes. • Estabelecer a proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes de po• • • • • • • • • •

lígonos semelhantes e calcular a razão de semelhança. Desenhar polígonos semelhantes que satisfaçam uma razão de semelhança dada. Estabelecer a proporcionalidade entre pares de segmentos determinados sobre retas secantes por paralelas que as interceptem. Resolver problemas envolvendo o conceito e o cálculo da média geométrica de números positivos. Identificar projeções de pontos ou segmentos sobre retas. Identificar triângulos semelhantes, determinados pela altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo. Interpretar, em linguagem corrente e em linguagem matemática, as relações métricas nos triângulos retângulos. Resolver problemas envolvendo relações métricas nos triângulos retângulos. Calcular o seno, o cosseno e a tangente de ângulos agudos de triângulos retângulos dadas as medidas dos catetos ou da hipotenusa. Calcular lados ou ângulos de triângulos retângulos usando as razões trigonométricas constantes de uma tabela. Demonstrar as relações métricas nos triângulos retângulos.

Releia: na página 10, “Observação importante”. Professor(a): antes de iniciar os estudos do capítulo 5, sugerimos que sejam revisadas as atividades relacionadas com radicais no capítulo 1, em particular as apresentadas na página 38 e 39. Se achar conveniente, pode-se ainda explorar o tema “Os Expoentes Fracionários e os Radicais” do capítulo 8, nas páginas 238 a 242.

Reta A1F1 E1

E C A

D E

h B

AE / / BD

n a

3º

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A 5280

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Semelhança - revendo e ampliando conhecimentos

Observação importante para os alunos: as medidas anotadas nas ilustrações ou descritas nos exercícios são relacionadas com os objetos que elas representam e não com as próprias ilustrações.

Explorando o que você já sabe Responda:

2 3 2 27 Como se verifica que as razões 12 e 10 são iguais, e as razões também? e 2 3 2 18 15 • O que se pode dizer sobre os ângulos de dois triângulos semelhantes?

• •

O que se pode dizer dos pares de lados correspondentes de dois triângulos semelhantes? 12 • Como obter a fração irredutível equivalente à fração 18

Aprendendo em sala de aula Você sabe que dois polígonos que têm o mesmo número de lados são semelhantes se existe uma correspondência entre seus lados e seus ângulos tal que todos os ângulos correspondentes são congruentes e todos os lados correspondentes são proporcionais, isto é, as razões entre os lados correspondentes são iguais entre si. A este valor igual dessas razões dá-se o nome de razão de semelhança entre os polígonos.

Por exemplo, na figura abaixo a correspondência entre os triângulos ABC e EFD, nesta ordem, é uma semelhança B

6 cm

8 cm

9 cm 12 cm

4 cm

Responda ou faça o que se pede em relação aos dois triângulos:

a) Verifique que as medidas dos seguintes pares de ângulos são iguais: A e E, B e F, C e D.

b) Use a propriedade do produto cruzado e verifique que as razões entre os pares de lados a seguir são todas iguais:

AB e EF, AC e ED, BC e FD

c) Por que os triângulos ABC e EFD são semelhantes? d) Simplifique as três razões obtidas no item (b), e escreva a razão de semelhança entre os triângulos ABC e EFD, nesta ordem.

Releia, na página 11, Recado ao(à) professor(a): “Aproveitamos [...] e explore-as”.

ATIVIDADES ORAIS • Comprova-se a igualdade das primeiras razões pelo produto cruzado: 12 x 15 = 18 x 10.A segunda razão pode ser comprovada simplificando-se o radical √27 = 3√3 e aplicando produto cruzado. • Os pares de ângulos correspondentes têm medidas iguais. • Formam três razões iguais. • Dividindo o numerador e o denominador pelo máximo divisor comum deles. Recomende ou explore a leitura de: “Descobrindo o Teorema de Pitágoras” Luiz Márcio Imenes Coleção “Vivendo a Matemática” Editora Scipione Esclareça que, quando nos referimos a uma correspondência ABC e EFD entre dois triângulos, estamos convencionando que ao vértice A corresponde o vértice E, ao vértice B corresponde o vértice F e ao vértice C corresponde o vértice D. Isto significa que, para verificar se são ou não semelhantes estes triângulos, nesta correspondência, é necessário verificar se os pares de ângulos que têm os vértices correspondentes são congruentes e os pares de lados que têm os extremos correspondentes formam três razões iguais, observada a ordem (lados do primeiro triângulo sobre lados do segundo triângulo). 1. a) Tarefa do aluno; b) 4/6 = 6/9 porque 4 x 9 = 6 x 6; 4/6 = 8/12 porque 4 x 12 = 6 x 8; 6/9 = 8/12 porque 8 x 9 = 6 x12; c) Porque todos os seus ângulos correspondentes são iguais entre si e as razões entre seus lados correspondentes também. d) A razão é 2/3.

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Considerações análogas para o fato de dizer que o retângulo ABCD está em correspondência com o retângulo PQRS.

Na figura abaixo a correspondência entre os retângulos ABCD e PQRS, nesta ordem, é uma semelhança.

2. a) Porque os quatro ângulos de qualquer retângulo medem 90º; b) 1 : 2.

R B

3. Tarefa do aluno. P

4. 4 : 3. Destaque para os alunos que a razão de semelhança é estabelecida na ordem em que os polígonos são citados: do primeiro para o segundo. 5. a) Representa que os ângulos de marcas iguais têm medidas iguais; b) Sim, porque, se dois pares de ângulos correspondentes de dois triângulos têm medidas iguais, então os terceiros ângulos dos dois triângulos também têm medidas iguais, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º; c) 36/27; 20 8/30 2 ; 28/27; d) Tarefa do aluno (cálculo dos três produtos cruzados). São iguais; e) 4/3; f) Sim, porque a correspondência ABC e A1B1C1 é tal que os ângulos correspondentes têm medidas iguais e os pares de lados correspondentes formam razões iguais. A razão de semelhança é 4 : 3. Comente que, tal como na congruência, existem casos de semelhança entre triângulos, isto é, satisfeitas algumas condições de proporcionalidade entre pares de lados ou congruências de ângulos, é possível afirmar que os triângulos são semelhantes. Estes casos são dados por sigla. Em particular, o enunciado no exercício 6 é o caso AA de semelhança de triângulos (AA significa ângulo-ângulo).

2. Responda ou faça o que se pede em relação aos dois retângulos ABCD e PQRS.

a) Por que os pares de ângulos correspondentes destes retângulos são congruentes? b) Calcule a razão de semelhança entre estes dois retângulos. Desenhe em um papel quadriculado:

a) Dois triângulos retângulos semelhantes XYZ e MNP cuja razão de semelhança nesta ordem seja 3 : 4 (três para quatro).

b) Dois quadrados cuja razão de semelhança seja de 4 : 5 (quatro para cinco).

No item 3 (a) anterior, qual a razão de semelhança entre os triângulos MNP e XYZ, nesta ordem?

Observe os triângulos a seguir: B1 B

27 A1

20 8

21 30 2

a) O que representam as marcas iguais nos ângulos dos triângulos?

b) Você pode afirmar que os ângulos C e C1 têm medidas iguais? Justifique sua resposta. c) Calcule as razões entre os seguintes pares de lados: AB e A1B1, AC e A1C1, BC e B1C1.

d) Verifique se estes pares de razões são iguais entre si. e) Simplifique cada uma dessas razões.

f) É possível afirmar que os triângulos da figura são semelhantes? Caso afirmativo, justifique sua resposta e a razão de semelhança.

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6. Você já sabe que, se dois triângulos têm dois pares de ângulos correspondentes congruentes, então são semelhantes.

Na figura ao lado, os segmentos AE e BD são paralelos.

D E

triângulos semelhantes da figura.

b) Justifique por que eles são

Desenhe dois triângulos semelhantes ABC e EDF, nesta ordem, e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente, em cada caso, as letras da tabela a seguir: Lados

Medidas

12 5

18 7

8 3

6 6

d 8,4

4 2

4,5

5,2

já sabe que se dois triângulos têm dois pares de lados proporcionais e os pares de ângulos entre eles congruentes, então são semelhantes.

7. a = 5; b = 45/7; c = 16/3; d = 945/13,  72,69.

8. a) BD/BA = 4/6 = 2/3, BC/BE = 2/3; b) Sim; c) São opostos pelo vértice; d) Sim, porque têm dois pares de lados proporcionais e os ângulos entre eles congruentes. A razão de semelhança é 2 : 3.

8. Você

Em cada uma das quatro situações do exercício 7, desenhe os pares de triângulos.

AE / / BD

semelhantes.

6. a) Triângulos CBD e CAE; b) O ângulo C é comum e os ângulos B e A têm medidas iguais (bem como os ângulos D e E). Se julgar conveniente, recorde as propriedades dos ângulos de lados paralelos e de mesmo sentido como BDC e AEC.

a) Identif ique os pares de

Releia a observação do último texto da margem da página 34: “Com base [...] 22, 23 e 24”.

B A

Observe os triângulos ABE e DBC da figura acima. Neles os lados AB e BD estão divididos em 6 e 4 segmentos de mesma medida, respectivamente. Analogamente, os lados BE e BC estão divididos em 3 e 2 segmentos de mesma medida. Com base nessas informações, responda ou faça o que se pede:

a) Calcule as razões entre os lados BD e BA, bem como entre os lados BC e BE. b) Verifique se essas razões são iguais. c) Por que os ângulos ABE e DBC são congruentes? d) Os triângulos DBC e ABE são semelhantes? Justifique sua resposta. Caso afirmativo, escreva a razão de semelhança, nesta ordem.

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Use o item (d) para chamar a atenção dos alunos para a importância da ordem na qual se pede a razão de semelhanças. Este é o caso LAL de semelhança de triângulos. Observe que as unidades de medidas dos segmentos AD e CE são diferentes. Explore este fato para concluir que as razões entre grandezas de mesma espécie independem das unidades de medidas utilizadas. Sugestão: se dividirmos cada pequeno segmento entre C e E por seus pontos médios, a razão CB para BE continuará a mesma, ou seja, 2 : 3.

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No exercício 9, cita-se o caso LLL de semelhança de triângulos. Calcule 5/7,5 = 50/75 = 2/3.

Você já sabe que, se dois triângulos têm os três pares de lados correspondentes proporcionais, então são triângulos semelhantes.

Na figura abaixo, dois triângulos são semelhantes ao triângulo ABC.

9. a) DHX e QZE; b) ABC ~ DHX; 2 : 3 ABC ~ QZE; 15/56; c) Ângulos B e H, A e D, C e X. Ângulos A e Q, B e Z, C e E. Os exercícios anteriores visaram aplicar os três casos de semelhança de triângulos dados pelas siglas AA, LLL e LAL. Entretanto, como se sabe, na maioria das vezes o que se usa na prática é o caso AA. 10. a) São semelhantes porque têm os três pares de lados proporcionais. b) A e D, B e E, C e F. Caso julgue conveniente, explore o fato de que, se a razão de semelhança entre dois triângulos é de 1 : 1, eles são congruentes. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 11. ABC e AB1C1 são semelhantes, porque satisfazem o caso AA de semelhança de triângulos: o ângulo Â é comum aos dois, e os ângulos x e y são congruentes.

a) Identifique os dois triângulos semelhantes ao triângulo ABC. b) Escreva, para cada caso, as razões de semelhança. c) Escreva, para cada caso, os pares de ângulos congruentes. A

4 B

Q C

7,5

8 5

7 3

112/5

Sabe-se que dois triângulos ABC e DEF são tais que AB = 4, AC = 7, BC = 10, DE = 12, DF = 21 e EF = 30.

a) Esses dois triângulos são semelhantes? Justifique. b) Quais são os pares de ângulos congruentes desses triângulos?

Aprendendo em casa 11.

Na figura, a reta a é paralela à base BC do triângulo e o corta dos dois lados nos pontos B1 e C1. Identifique dois triângulos semelhantes na figura. Justifique por que eles são semelhantes. A

Os ângulos x e y são congruentes porque são ângulos agudos que têm os lados paralelos. 12. a) 1 : 2, 1 : 2; b) Sim; c) Sim; d) São semelhantes, pois satisfazem o caso LAL de semelhança de triângulos, pois têm dois pares de lados correspondentes proporcionais e os ângulos, compreendidos entre eles, congruentes.

9 H

10.

224/15

56/3

15 2

z y B

12.

Use seu esquadro 30-60-90 e a régua graduada para desenhar dois triângulos BDF e GJL, tais que as medidas dos ângulos D e J sejam iguais a 60o, BD = 5 cm, DF = 3 cm, GJ = 10 cm, JL = 6 cm.

a) Calcule as razões entre os pares de lados correspondentes BD e GJ, DF e JL, nesta ordem.

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b) Verifique se a razão entre os lados BF e GL é a mesma obtida no item (a). c) Verifique se os pares de ângulos correspondentes são congruentes. d) O que se pode dizer dos triângulos BDF e GJL? Por quê?

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13.

13. Observe que estamos afirmando que os triângulos são semelhantes. a) 3 : 8; b) 2 : 1; c) 4 : 9; d) 7 : 5.

Observe os quatro pares de triângulos semelhantes a seguir: Responda ou faça o que se pede:

a) Em (a), qual a razão de semelhança entre o menor e o maior triângulo?

b) Em (b), qual a razão de semelhança entre o maior e o menor triângulo?

c) Em (c), qual a razão de semelhança entre o menor e o maior triângulo?

d) Em (d), qual a razão de semelhança entre o maior e o menor triângulo?

A’ B

C’

B’

C’

C A’

B C

A’

B’ B

A’

B’

C’

Semelhança e os triângulos retângulos O Teorema de Pitágoras Explorando o que você já sabe Responda:

• • • •

Qual é a raiz quadrada de 49?

ATIVIDADES ORAIS * Sete. * Porque 42 = 16. * Oito. * O número a.

Por que 4 é a raiz quadrada de 16? Qual é a raiz quadrada de 82? Se a representa um número positivo, qual é a raiz quadrada de a2?

Aprendendo em sala de aula “Média geométrica” (ou média proporcional) entre dois números poa m sitivos a e b é um terceiro número positivo m tal que . = m b Observe que, usando o produto cruzado, obteremos:

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, texto da seção “Aprendendo em sala de aula” desta página.

Diga para os alunos que a média geométrica tem aplicações importantes, como: justificativa de algumas relações métricas nos triângulos e na resolução de problemas de construções geométricas. Recomendo aos professores a leitura do artigo “Raízes quadradas de frações”, publicado na Revista do Professor de Matemática, volume 31.

m2 = ab ou, como a e b são positivos, m = ab

Qualquer uma das três igualdades é válida para definir “média geométrica”.

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14. a) 6; b) 20; c)  2 3 X 5 2 = 2 x 5  2 = 102; d)33 x 24 = 3 x 32 x 24 = = 3 x 223 = 123; e) 72 x 10 –4 = 7 x 10–2= 0,07; f) 54 x 10 –4 x 1,22 = = 52 x 10–2 x 1,2 = = 0,25 x 1,2 = 0,3.

14.

Calcule a média geométrica dos seguintes pares de números:

Se necessário, simplifique o radicando usando fatoração.

15.

Se h, m, n, a, b, c representam números positivos, responda ou calcule:

15. a) h é a média geométrica entre m e n; b) h/m = n/h; c) b é a média geométrica entre a e m; d) b/a = m/b; e) c é a média geométrica entre a e n; f) c/a = n/c.

c) 8 e 25 d) 27 e 16

e) 49 e 0,0001 f) 0,0625 e 1,44

a) O que significa dizer que h2 = mn? b) Escreva uma proporção equivalente à igualdade anterior. c) O que significa dizer que b2 = am? d) Escreva uma proporção equivalente à igualdade anterior. e) O que significa dizer que c2 = an? f) Escreva uma proporção equivalente à igualdade anterior.

Para obtermos a projeção de um ponto B sobre uma reta A1F1, traçamos uma reta que passa por B e é perpendicular à reta A1F1.

O ponto de interseção dessas duas retas, B1, é a projeção do ponto B sobre a reta A1F1.

16. C1, D1, E1 e F1 respectivamente. 17. C1D1 e E1F1, respectivamente. Caso julgue necessário, relembre o conceito de altura de um triângulo relativa a um de seus lados. 18. a) AH; b) AB e AC; c) c. AB é oposto ao ângulo C; d) b. AC é oposto ao ângulo B; e) h; f) a; a hipotenusa BC é oposta ao ângulo reto A; g) BH representa a projeção e sua medida é n; h) HC representa a projeção e sua medida é m. Demonstraremos, após o exercício 44 deste capítulo (nas Atividades opcionais), que estes três triângulos retângulos são semelhantes, o que nos permitirá demonstrar todas as relações métricas que passaremos a utilizar, inicialmente, sem demonstrar.

a) 4 e 9 b) 16 e 25

A projeção do segmento AB sobre a reta A1F1 é o segmento A1 B1, onde A1 é a projeção de A sobre a reta A1F1. A

Reta A1F1 E1

16. Na figura acima as linhas tracejadas perpendiculares à reta A1F1. Diga quais são as projeções dos pontos C, D, E e F sobre a reta A1F1.

17.

Diga quais são os segmentos projeções dos segmentos CD e EF sobre a reta A1F1.

18.

Na figura, o triângulo ABC é triângulo retângulo, e a altura relativa à hipotenusa BC o decompõe em dois outros triângulos retângulos ABH e ACH.

a) Qual é o segmento que representa a altura relativa à hipotenusa BC?

b) Quais são os catetos do triângulo ABC?

As letras minúsculas a, b, c, h etc. representam as medidas dos segmentos aos quais elas estão adjacentes. Responda:

A c

h n a

c) Qual é a medida do cateto AB? AB é oposto a qual ângulo agudo do triângulo ABC?

144

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d) Qual é a medida do cateto AC? AC é oposto a qual ângulo agudo do triângulo ABC? e)Qual é a medida da altura relativa à hipotenusa?

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f)Qual é a medida da hipotenusa? BC é oposta a qual ângulo do triângulo ABC? g) Qual segmento representa a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa? Qual é a medida dessa projeção? h) Qual segmento representa a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa? Qual é a medida dessa projeção?

As igualdades listadas na tabela abaixo, todas verdadeiras, são as relações métricas do triângulo retângulo, e você vai demonstrá-las em exercícios futuros, contidos nas páginas 157 e 158.

É conveniente que você copie a figura e as igualdades em uma ficha-resumo para usá-la nos diversos exercícios que seguem. Você deve trazê-la nas próximas aulas.

A c

19.

h n a

b2 = am c2 = an h2 = mn bc = ah a2 = b2 + c2 n+m=a

Na tabela a seguir você vê duas colunas. Escreva em seu caderno os pares ordenados de correspondências entre as duas: Linguagem matemática

Linguagem corrente

A medida b do cateto é média geométrica entre a medida m de sua projeção sobre a hipotenusa e a medida a da hipotenusa.

bc = ah

A medida h da altura relativa à hipotenusa é média geométrica entre as medidas m e n das projeções dos catetos sobre hipotenusa

c2 = an

O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.

b2 = am

A medida c do cateto é média geométrica entre a medida n de sua projeção sobre a hipotenusa e a medida a da hipotenusa.

m + n = a

O quadrado da medida a da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas b e c dos catetos.

h2 = mn

A soma das medidas n e m das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é igual à medida a da hipotenusa.

a2 = b2 + c2

Em cada caso da tabela do exercício 19, de (1) até (6), peça aos alunos que identifiquem triângulos retângulos que contêm as medidas dos segmentos citados nos dois membros da igualdade. Por exemplo, em (1), os segmentos de medidas b, c e a pertencem ao triângulo ABC e o de medida h pertence ao triângulo ABH (ou ao triângulo ACH). Por exemplo, a igualdade b2 = am é relacionada com os triângulos ACH e BCA (b é hipotenusa do 1º e cateto do 2º; a é hipotenusa do 2º e m é cateto do 1º). Explore também, em cada um desses casos, a razão pela qual os pares de triângulos são semelhantes, bem como a identificação dos pares de lados correspondentes.

19. (a, 3); (b, 5); (c, 1); (d, 2); (e, 6); (f, 4).

Observação importante: algumas vezes, em um “abuso de linguagem”, é comum citar segmentos, no sentido de medida dos mesmos, com o objetivo de tornar menos sofisticados os enunciados. Por exemplo, ao enunciar o Teorema de Pitágoras, é comum dizer: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Além do abuso de linguagem citado, é claro que, ao falar em hipotenusa e catetos, somente é possível entender que se trata de triângulo retângulo. Explique estes fatos para os alunos.

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Sugira pesquisa sobre Pitágoras (para apresentação em próximas aulas). 20. a) Desenho do aluno; b) Temos: 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52; c) 8 cm.

20. A igualdade a2 = b2 + c2 é a expressão matemática do famoso TEOREMA DE PITÁGORAS e se escreve em linguagem corrente assim:

“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

e) a = 16 21. a)a = 13 c = 4√7 ≅ 10,58 b = 2√13 ≅ 7,21 h = 3√7 ≅ 7,94 c = 3√13 ≅ 10,82 n=7 h=6 b)a = 949/18 ≅ 52,72 f)Existem duas soluções: b = 3√13 ≅ 10,82 b = √949 ≅ 30,81 c = 25√949/18 ≅ 00,0 c = 2√13 ≅ 7,21 m=9 n = 625/18 ≅ 34,72 n = 4 ou c)m = 9 b = 2√13 ≅ 7,21 b = 6√3 ≅ 10,39 c = 3√13 ≅ 10,82 c=6 m=4 h = 3√3 ≅ 5,19 n=9 d)c = 10√5 ≅ 22,36

a) Desenhe, usando uma régua graduada, um triângulo retângulo cujos catetos meçam 3 cm e 4 cm, respectivamente. Comprove, medindo, que sua hipotenusa mede 5 cm.

b) Calcule o quadrado de 3, 4 e 5 e comprove que tais medidas satisfazem o Teorema de Pitágoras.

c) Os catetos de um triângulo retângulo medem 4,8 cm e 6,4 cm. Use o Teorema de

b = 5√5 ≅ 11,18 a = 25 m=5

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o texto e o quadro em destaque, relacionado com o Teorema de Pitágoras. Devem, também, junto a esta anotação, desenhar um triângulo retângulo ABC de hipotenusa BC e escrever, junto aos seus lados AB, AC e BC, as letras indicativas de suas medidas: respectivamente c, b e a. Comente com eles que tais letras correspondem às letras maiúsculas dos ângulos opostos a tais lados. Comente com os alunos que, se os ângulos agudos B e C medem 60 e 30 graus, respectivamente, então o ângulo A é reto e valem as propriedades da ficha-resumo.

21.

Pitágoras e calcule a medida da hipotenusa.

Resolva os problemas a seguir para o triângulo retângulo ABC ilustrado, usando as relações convenientes da ficha-resumo:

a) Se n = 9, m = 4, calcule a, b, c, h. b) Se h = 25, m = 18, calcule a, b, c, n. c) Se a = 12, n = 3, calcule m, b, c, h. d) Se h = 10, n = 20, calcule c, b, a, m. e) Se m = 9, b = 12, calcule a, c, h, n. f) Se a = 13, h = 6 calcule b, c, m, n.

A c

h n

22. Raimundo precisa fazer um telhado com duas partes: uma AB, com inclinação de 60o, e outra AC, com inclinação de 30o. Ele quer saber o comprimento da peça de madeira vertical AD, sabendo que as distâncias BD e DC medem 4 m e 12 m, respectivamente. Ajude o Raimundo no cálculo da medida x.

22. x = 4  3.

x B

Aprendendo em casa

e) a = 3√3 ≅ 5,19 23. a) a = 28 h = √6 ≅ 2,45 b = 14 m = √3 ≅ 1,73 c = 14√3 ≅ 24,25 n = 2√3 ≅ 3,47. h = 7√3 ≅ 12,12. f) a = 30 b) b = 6 c = 9√10 ≅ 28,46 c = 6√3 ≅ 10,39 m=3 h = 3√3 ≅ 5,19 n = 27. n = 9. g) a = 25 c) c = 6 c = 20 h = 48/10 = 4,8 h = 12 m = 64/10 ≅ 6,4 n = 16. n = 36/10 ≅ 3,6. h) a = 27 d) b = 4√6 ≅ 9,79 c = 18√2 ≅ 25,46 c = 4√3 ≅ 6,90 h = 6√2 ≅ 8,49 m=8 m = 3. n = 4 ou i) a = 5√2 ≅ 7,07 b = 4√3 ≅ 6,93 b = √30 ≅ 5,48 c = 4√6 ≅ 9,79 m=4 n = 2√5 ≅ 4,48. n = 8.

23. Use as relações da sua ficha-resumo para calcular o que se pede:

146

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a) Se m = 7, n = 21, calcule a, b, c, h. b) Se a = 12 e m = 3, calcule b, c, h, n. c) Se a = 10 e b = 8, calcule c, h, m, n.

d) Se a = 12 e h = 4 2 , calcule b, c, m, n. e) Se b = 3 e c = 3 2 , calcule a, h, m, n.

f) Se b = 3 10 e h = 9, calcule a, c, m, n. g) Se b = 15 e m = 9, calcule a, c, h, n. h) Se b = 9 e n = 24, calcule a, c, h, m.

i) Se h = 2 3 e m = 3 2 , calcule a, b, c, n.

h n a

Para resolver a letra (f), sugira aos alunos começarem calculando m e n com o sistema m+n=13 e m.n=36.

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ATIVIDADES ORAIS

As razões trigonométricas Explorando o que você já sabe Responda:

• • •

Como se chamam os ângulos formados por uma reta vertical com outra reta horizontal?

•

Qual é a relação entre as medidas dos catetos e da hipotenusa que é estabelecida pelo Teorema de Pitágoras?

Por que os catetos de um triângulo retângulo são menores que a hipotenusa? O que se pode dizer dos ângulos agudos de um triângulo retângulo: são complementares ou suplementares?

Aprendendo em sala de aula

Na figura abaixo, você vê um automóvel subindo uma rampa com uma inclinação de 30 graus. Nos anos anteriores, você viu que, se os ângulos agudos de um triângulo retângulo medem 30º e 60º, a medida do cateto oposto ao ângulo de 30º é a metade da medida da hipotenusa, ou seja, a razão entre o cateto oposto ao ângulo de 30 graus e a hipotenusa é igual a 1 : 2 (ou 0,5).

Como todos os triângulos retângulos da figura são semelhantes, podemos escrever a proporcionalidade entre seus catetos opostos ao ângulo de 30 graus e as respectivas hipotenusas: C2 C1 C

60º 30º 30º B 60º

BC = AC B1

B1C1 = AC1

B2 C 2 = ...= AC2

1 2

24. Discuta com seus colegas e tire conclusões sobre o que se pergunta, justificando suas respostas:

a) Se o ângulo de inclinação for maior que 30 graus, as razões anteriores são maiores ou menores que 1 ? 2 b) E se o ângulo de inclinação for menor que 30 graus?

c) O valor dessas razões depende ou não do ângulo de inclinação? d) O valor dessas razões pode ser maior que 1? Justifique sua resposta.

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• Ângulos retos. • Porque, em todo triângulo, ao maior ângulo se opõe o maior lado. Logo, a hipotenusa (que se opõe ao ângulo reto) é maior que qualquer dos catetos (que se opõem a ângulos agudos). • São complementares (a soma de suas medidas é 90 graus). • O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. No enunciado que antecede a ilustração, af irmamos que os triângulos são semelhantes. Peça aos alunos que justifiquem este fato. Esclareça para os alunos que o fato de a razão entre as medidas BC e AC ser igual a ½, no caso explorado no exemplo, nada tem a ver com a coincidência da razão das medidas dos ângulos agudos do triângulo ser também ½, para que não fique a ideia de que isto é uma regularidade. Mostre para eles o exercício 32 A da página 149, no qual a razão entre as medidas dos ângulos agudos é 4 : 5 (em decimal, 0,8), sem que a razão entre cateto oposto e a hipotenusa seja a mesma: ela é 16,07/25 (em decimal, aproximadamente 0,64). Para facilitar a compreensão do item (a) do exercício 24, desenhe no quadro uma circunferência de centro A e o diâmetro horizontal da mesma. À direita de A, desenhe, pela ordem, pontos B1, B2, B3, sobre o raio e os segmentos verticais B1C1, B2C2, B3C3 com os extremos C1, C2 e C3 na circunferência, e os raios AC1 AC2 e AC3 formando, assim, três triângulos retângulos. Este desenho permitirá concluir que, quanto maior a inclinação, maiores os catetos verticais, ficando fixas as hipotenusas por serem raios da circunferência. Logo, considerando os catetos verticais, as razões cateto : hipotenusa crescem com as inclinações. 24. a) Maior; b) Menor; c) Depende; d) Não. Porque, sendo o cateto menor que a hipotenusa, o quociente do cateto pela hipotenusa é sempre menor que 1 (toda fração na qual o numerador é menor que o denominador, é menor que 1). (Se necessário, exemplifique numericamente ou com desenhos.)

147

10/05/13 19:52

25. a) 6 mm; b) 20 mm.

26. a) 5 mm; b) AB = 5 3 ≅ 8,660 mm; c) 16 mm; d) AE = 8 3 ≅ 13.86 mm.

25. Na figura ao lado, os ângulos congruen-

D C

tes dos triângulos retângulos medem 30 graus.

a) Se AC mede 12 mm, quanto mede BC? b) Se DE mede 10 mm, quanto mede AD?

26. Resolva, ainda com base na figura do exercício 25:

(Use calculadora, para encontrar valores aproximados, se necessário.)

a) Se AC mede 10 mm, calcule BC. b) Agora, use o Teorema de Pitágoras e calcule AB. c) Se DE mede 8 mm, calcule AD. d) Agora, use o Teorema de Pitágoras e calcule AE.

Observe os triângulos retângulos a seguir: C2

C1 C

Como todos eles têm um ângulo reto e o ângulo A em comum, são triângulos semelhantes.

Logo, temos as seguintes proporções: BC = AC

B1C1 = AC1

B2 C 2 = ...= AC2

BnCn = ...= ACn

27. V ou F: 27. a) V; b) V; c) V.

a) As razões anteriores são todas entre catetos opostos ao ângulo A e as respectivas hipotenusas.

b) Se dois triângulos retângulos têm dois ângulos agudos congruentes, as razões entre os catetos opostos a estes ângulos e as respectivas hipotenusas são iguais.

c) Quanto maior for o ângulo A, maior será o valor das razões. Todas as razões anteriores têm o mesmo valor. Este valor é chamado de seno do ângulo A e se representa assim: sen A (lê-se: seno de A).

148

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Como os triângulos anteriores são semelhantes, também são iguais as razões entre os catetos adjacentes ao ângulo A e as respectivas hipotenusas: C2

C1 C

AB = AC

AB1 = AC1

AB2 = ...= AC2

ABn = ...= ACn

Todas as razões anteriores têm o mesmo valor. Este valor é chamado de cosseno do ângulo A e se representa assim: cos A (lê-se: cosseno de A) Também são iguais as razões entre os catetos opostos ao ângulo A e os catetos adjacentes: BC = AB

B1C1 = AB1

B2 C 2 = ...= AB2

BnCn = ...= ABn

O valor comum das razões anteriores é chamado de tangente do ângulo A e se representa assim: tg A (lê-se: tangente de A) Podemos, então, definir: ◆ Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. ◆ Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque no fim da página, o texto que sucede a ele, juntamente com a figura do triângulo retângulo ABC. Depois, devem fazer o mesmo em um cartão, como uma ficha-resumo para ser utilizada em casa e, principalmente, na sala de aula. Promova atividades como as que sugerimos a seguir: usando transferidor, compasso e régua graduada (utilizando, preferencialmente, papel quadriculado), desenhar triângulos retângulos, medir os lados e calcular as razões entre eles, obtendo, assim, valores aproximados do seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos correspondentes. Explorando tais situações, argumentar por que senos e cossenos de ângulos agudos variam entre zero e um. Explorar situações nas quais a medida de hipotenusa é um para que os alunos percebam a vantagem desse fato: elimina o cálculo das razões, pois seno e cosseno passam a ser imediatamente as medidas dos catetos.

◆ Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. Na figura ao lado: C

= sen Â

BC = cos Â AC

BC AB tg Â = AB AC

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Professor(a): usamos alternativamente indicar um ângulo A assim: Â ou simplesmente assim: A, desde que o contexto deixe claro que se trata de mencionar o ângulo. Verif ique se os alunos usam o Teorema de Pitágoras para os cálculos sugeridos no exercício 28. Gradativamente, convença-os de que as respostas devem ser dadas como raízes quadradas (como se vê na segunda resposta de cada item do exercício 28). Explique que tais raízes representam o valor exato do número real correspondente, enquanto as respostas em decimais são, exceto no caso de raízes exatas, aproximações do número real obtido como resposta. Lembre-se de que, futuramente, eles trabalharão com valores de algumas razões trigonométricas de arcos notáveis (30º, 45º, 60º) expressos em termos de razões contendo radicais. 28. Respostas em decimais aproximados e como radicais. a) 4,12, (17); b) 8,25, (68); c) 12,37, (153); d) 16,49, (272); e) 20,61, (425).

Resolva os três exercícios a seguir, com base na figura ao lado:

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como unidade de medida, e que os triângulos são triângulos retângulos, calcule:

a) QE

b) QG

c) QM

d) QS

e) QV

29. Calcule o valor das razões a seguir: a) = EF QE

GH = QG

KL = QK

MP = QM

b) = = = = QF QE

QH QG

QL QK

QP QM

c) = = = = EF QF

GH QH

KL QL

MP QP

ST = QS

VW QV

QT QW = QS QV ST VW = QT QW

30. Use os resultados do exercício anterior para dar o valor do seno, do cosseno e da tangente do ângulo Q.

31.

Observe os dois triângulos abaixo e calcule:

a) sen A b) cos A

c) tg A d) sen B

e) cos B f) tg B

30. sen Q  0,24, cos Q  0,97, tg Q = 0,25.

150

28. Na figura acima, considerando a medida do lado de cada quadradinho

29. a) 17/17  0,24; b) 417/ 17  0,97; c) 0,1/4 = 0,25.

31. a) 5/13 (ou aproximadamente 0,38); b) 12/13 (ou aproximadamente 0,92); c) 5/12 (ou aproximadamente 0,42); d) 4/5 (ou 0,8); e) 3/5 (ou 0,6); f) 4/3 (ou aproximadamente 1,33). Comente que os valores de seno, cosseno e tangente podem também ser obtidos diretamente em algumas calculadoras, especialmente as cientificas.

E Q

Observe novamente as definições de seno, cosseno e tangente:

BC AB sen Â = = cos Â AC AC

BC tg Â = AB A

Observando o triângulo ABC, é fácil concluir que: ◆ Como os catetos são menores que a hipotenusa, as razões entre as medidas dos catetos e a hipotenusa são números positivos menores que 1; logo, o seno e o cosseno têm seus valores dados por decimais entre zero e 1. ◆ Quanto maior o ângulo, maior o seno e menor o cosseno dele.

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◆ Se a medida do ângulo A for 45 graus, o triângulo ABC é triângulo retângulo isósceles, ou seja, seus catetos são congruentes. Isto significa que tg 45o = 1. ◆ Se o ângulo A for menor que 45 graus, a tangente é um decimal entre zero e 1.

Usando novamente o desenho da circunferência e as definições de seno, cosseno e tangente, explore situações que convençam os alunos das conclusões citadas ao final da página 148 e início da página 149.

◆ Se o ângulo A for maior que 45 graus, sua tangente do mesmo é um decimal maior que 1, podendo ter valores tanto maiores quanto maior for o ângulo. Os matemáticos já calcularam vários tipos de tabelas de valores para seno, cosseno e tangente de ângulos agudos. Na página 159, você vê uma destas tabelas, com aproximação decimal de 4 casas. Ela será útil para resolver diversos exercícios que seguem. Aqui, um pequeno trecho da tabela: TABELA DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE 1º a 89º Ângulo

Seno

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736

Cosseno Tangente 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763

0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 0,9848

Ângulo

Seno

46º 47º 48º 49º 50º 51º 52º 53º 54º 55º

0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192

Cosseno Tangente 0,6947 0,6820 0,6691 0,6561 0,6428 0,6293 0,6157 0,6018 0,5878 0,5736

1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4281

Observe alguns exemplos do uso da tabela:

a) sen 4o = 0,0689

d) Se sen x = 0,7431 então x = 48o

b) cos 4o = 0,9976

32. a) 16,07; b) 47,67.

e) se tg y = 0,1228, então y = 7o

c) tg 50o = 1,1918

32. Use

a tabela de razões trigonométricas da página 159 e calcule as medidas x e y aproximadas dos catetos dos triângulos retângulos das figuras (A) e (B), a seguir: A 25

40º

B x

40º y

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a) x = 25 sen 40º x = 25 x 0,6428 x = 16,07; b) 40/y = tg 40º 40 = y tg 40º 40 = y • 0,8391 y = 40/0,8391 y = 47,67.

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33. a) 0,3846; b) 22º e 23º. Caso julgue conveniente, faça uma interpolação. Como sen 22o = 0,3746 e sen 23o = 0,3907, considere a diferença entre tais valores (0,0161) e a diferença entre 0,3846 e 0,3746 = 0,01, e calcule a razão 0,01/0,0161 (aproximadamente, 0,62). Finalmente, calcule esta razão de 60 minutos (37,2 minutos). Daí termos, aproximadamente, o valor de 22o 37’ 12” para o ângulo A (pois 0,2 do minuto equivale a 12 segundos). Esta interpolação é uma técnica para encontrar um valor aproximado para o ângulo utilizando-se tabelas como a da página 157. A técnica funciona porque apesar correspondência entre ângulos e senos dos mesmos não ser exatamente uma proporcionalidade direta, para intervalos pequenos (de um grau, como no caso da tabela) é quase uma. Com o advento das calculadoras eletrônicas científicas este tipo de cálculo não se usa mais, mas é importante que os alunos tenham noção de como se pode fazer. 34. a) Cosseno, pois cosseno de um ângulo é o quociente da medida do cateto adjacente a esse ângulo pela medida da hipotenusa; b) 7,70. cos 32º = x/9,08 0,8480 = x/9,08 x = 9,08 • 0,8480 x = 7,70.

33. Observe o triângulo retângulo a seguir:

13 5

a) Calcule sen A com 4 ordens decimais.

b) A medida do ângulo A em graus está compreendida entre dois valores inteiros. Use a tabela e diga quais são estes valores.

34. Observe a figura e responda ou faça o que se pede:

9,08

32º

a) Para calcular a medida x, qual das razões trigonométricas usamos: seno, cosseno ou tangente? Justifique a resposta.

b) Calcule x com duas ordens decimais, usando a tabela.

35. Observe a figura e responda ou faça o que se pede: B ? 9

35. a) Tangente, pois a tangente de um ângulo é o quociente da medida do cateto oposto pela medida do cateto adjacente a esse ângulo; b) 41/9  4,55; c) Aproximadamente 77º.

a) Para calcular a medida do ângulo B, qual razão trigonométrica se usa: seno, cosseno ou tangente? Justifique sua resposta.

b) Calcule a razão trigonométrica do ângulo B que você identificou no item (a). c) Use a tabela e escreva o valor aproximado de B, em graus.

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36. Na figura, você vê um automóvel subindo um trecho de estrada cuja inclinação é de 3 graus:

36. 276,14m. h = 5 280 x sen 3º h = 5 280 x 0,0523 h = 276,14 metros.

3º

5280 h

Ao alcançar o ponto A, o automóvel terá percorrido 5 280 metros. Quantos metros o automóvel terá subido, aproximadamente, na vertical?

37. Aproximadamente 51º. tgz = 30/24 = 5/4 = 1,25

37. Em determinada hora do dia, o Sol projeta uma sombra de um mastro de bandeira no solo. O mastro mede 30 metros de altura, e a sombra, 24 metros. Calcule, aproximadamente, o ângulo Z que o raio solar faz com o nível do terreno, neste exato momento.

38. a) d = 6,009; b) y = 769,43 e r = 809,06; c) f = 21,45; d) c = 0,94.

38. Nas figuras a seguir, você vê medidas de lados ou de ângulos represen-

tadas por letras. Em cada caso, use a razão trigonométrica conveniente para calcular seus valores aproximados, escrevendo as respostas em seu caderno.

Cálculos: (a) d = 10tg 31º, (b) 250 = r cos 72º r = 250/cos72º = 809,06 y = r sen 72º y = (809,06) (0,9511) y = 769,43.

b) d

31º

72º 10

250

y =... r =...

d) f 25º

1 2 c

28º

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39. d = 34,79; b = 1 360,93; f = 5,04.

39. Em cada caso, calcule aproximadamente os valores representados por letras:

(10 + d)/12 = tg 75 (10 + d)/12 = 3,7321 10 + d = 12 x 3,7321 10 + d = 44,79 d = 34,79. o

40. a) tg â = 1,25, â  51º, tg = 0,75 37º, 14º; b) z = 132,7. Caso julgue oportuno, explore ainda atividades que envolvam os cálculos sugeridos pelas atividades a seguir: Distância de um navio à costa. Distância entre dois pontos, a partir de um terceiro não colinear com ambos (por exemplo, um topógrafo em uma praia, calculando a distância entre duas ilhas). Largura de um rio, a partir de um ponto em uma das margens (por exemplo, um engenheiro que vai construir uma ponte). Determinação do raio da Terra (feita pelos gregos há mais de 2000 anos). Distância da Terra à Lua (cálculos feitos pelos astrônomos). Altura de um ponto a partir de um ponto no plano da base. Para tais atividades, pesquise em enciclopédias, livros ou revistas científicas, bem como na internet.

75º

5,5/(2 + f) = tg 38 5,5/(2 + f) = 0,7813 2 + f = 5,5/0,7813 = 7,04 f = 5,04. o

12 10

30º

38º

5,5

2357

40. Faça os cálculos indicados nas figuras e escreva as respostas em seu caderno.

tg â = ? â≅? tgˆb = ? ˆb ≅ ? xˆ = â – bˆ ≅ ?

a 40

z =...

53º 100

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Aprendendo em casa 41.

Em cada caso, na figura abaixo, calcule o valor aproximado ou exato representado pelas letras e escreva a resposta em seu caderno.

a =... ?

100

b 75º

1200

500

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

b =...

500

63º

cos cˆ =... cˆ ≅...

? ?

41. a) 1 300; b) 482,95; c) cos = 0,8  37º; d) x= 157; e) b = 1 624,5.

b 5000

18º

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais Você já sabe que, se três ou mais retas paralelas são cortadas por duas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre uma transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes da segunda transversal. Em linguagem matemática, tem-se: A1

A B

B1 C1

C r

AB A 1B1 AB BC = = , BC B1C1 A 1B1 B1C1

Usando propriedades de proporções, já provamos também as seguintes relações: AB A 1B1 AB AC = = , AC A 1C1 A 1B1 A 1C1

BC B1C1 BC AC = = , AC A 1C1 B1C1 A 1C1

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42. a = 5; b = 54/5 = 10,8; c = 15/11;

42. Use as propriedades convenientes e calcule os valores aproximados ou exatos de a, b e c nas figuras a seguir:

3/a = 4,5/7,5; 5/9 = 6/b; 3/11 = c/5.

4,5 7,5

43. x = 54/7  7,71, y = 91/8 = 11,375, z = 44/9  4,89. x/9 = 6/7 y/13 = 7/8 z/11 = 4/9

3 a

43. Observe as figuras e calcule os valores aproximados ou exatos de x, y e z.

Antes de encerrar as atividades com razões trigonométricas, vamos registrar duas observações:

Sugira que os alunos pesquisem, em um dicionário ilustrado, na internet, ou em outras fontes, o que são: bússola de agrimensor, teodolito, pantômetro de luneta, clinômetro.

1ª) Em muitas aplicações, você viu ou verá o uso de termos como “inclinação”, “caimento”, “ângulo de elevação” etc. Verifique sempre em um dicionário o significado desses termos. No dia a dia, eles costumam ser ligados às profissões. Por exemplo, para o carpinteiro, “caimento” de 20% de um telhado significa que, a cada metro na horizontal, o telhado deve “cair” 20 centímetros na vertical, enquanto que, para o engenheiro, uma pista com “inclinação” de 20% significa que a tangente do ângulo da pista com a horizontal é igual a 0,20. 2ª) Vários instrumentos de medidas se baseiam na trigonometria: bússola de agrimensor, teodolito, pantômetro de luneta, clinômetro. Faça uma pesquisa sobre estes instrumentos, procurando descobrir para que são usados e como se baseiam na trigonometria.

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ATIVIDADES OPCIONAIS DEMONSTRANDO AS RELAÇÕES MÉTRICAS Agora, você vai demonstrar que as relações a seguir são verdadeiras. Como elas envolvem medidas de segmento sem triângulos retângulos, são chamadas de “rela¬ções métricas do triângulo retângulo”. Para isto, tenha em mãos a ficha-resumo que você já fez, ou, caso não a tenha feito, copie a ficha a seguir. Ela permitirá a você acompanhar, observando a figura e as relações, as demonstrações propostas. A

b2 = am c2 = an

c h B

a2 = b2 + c2

m a

h2 = mn

n+m=a

Inicialmente, você vai identificar três triângulos semelhantes na figura. Observe que os ângulos B e HAC são complementos de um mesmo ângulo: o ângulo C. Logo, são congruentes.

44. Agora, responda: por que o ângulo C e o ângulo BAH são congruentes? Você sabe que, se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então são semelhantes.

45. Você acabou de concluir que os ângulos B e HAC são congruentes, bem

como os ângulos C e BAH. O que se pode concluir sobre os triângulos ABH e CAH?

46. Observe o triângulo ABC e o triângulo HBA e identifique dois pares de ângulos congruentes de ambos. O que se pode concluir sobre estes dois triângulos?

47. Finalmente, observe o triângulo ABC e o triângulo HAC e identifique dois pares de ângulos congruentes de ambos. O que se pode concluir sobre estes triângulos?

Você concluiu que os três triângulos ABC, CAH e HAC são semelhantes entre si. Vamos usar estas conclusões para demonstrar as relações métricas da ficha-resumo. Para isto, vamos observar sucessivamente, as três primeiras. b m Você sabe que b2 = am é equivalente à proporção = . a b Observe que estas são medidas de segmentos contidos nos triângulos semelhantes ABC e CAH; logo, seus lados correspondentes são proporcionais. Vamos escrever estas proporções no exercício 48.

Embora opcionais, abordar estas atividades é uma ótima oportunidade para explorar demonstrações de alguns teoremas, discorrer sobre o que são postulados, conceitos primitivos, conceitos intuitivos, teoremas, hipóteses, teses, demonstrações, métodos de demonstração, definições, exemplos, contraexemplos, proposições diretas, recíprocas, contrárias e contrarrecíprocas, bem como equivalências entre alguns desses pares de proposições. 44. Porque C e BÂH são complementos de um mesmo ângulo: o ângulo . 45. Estes triângulos são semelhantes pelo caso AA de semelhança de triângulos. Comente que bastaria usar a congruência de um dos dois pares citados e mais a dos ângulos retos para também justificar a semelhança dos mesmos triângulos. 46. HÂB e B A são congruentes por serem complementos do ângulo B. B A e BÂC são congruentes por serem ângulos retos. Assim os triângulos ABC e HBA são semelhantes. 47. HÂC e CBA são congruentes por serem complementos do ângulo C, e A C e BÂC são congruentes por serem ângulos retos. Assim, os triângulos ABC e HAC são semelhantes. Esta última conclusão (exercício 47) poderia ser obtida usando o fato de que a semelhança é transitiva, ou seja, se um triângulo A é semelhante a outro B e este é semelhante a um terceiro C, então os triângulos A e C são semelhantes.

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48. b/a = m/b = h/c.

48. Copie e complete em seu cab ? h derno: = = a b ? Você sabe que c2 = an é equivalente à proporção

49. c/a = n/c = h/b.

b2 = am c2 = an h2 = mn a2 = b2 + c2 n+m=a

A c b

h n

m a

c n = . a c

Observe que estas são medidas de segmentos contidos nos triângulos semelhantes ABC e HBA; logo, seus lados correspondentes são proporcionais; vamos escrever estas proporções no exercício 49.

49. Copie e complete em seu caderno:

c n h = = a ? b

Você sabe que h2 = mn é equivalente à proporção

50. c/b = h/m = n/h.

h n = m h

Observe que estas são medidas de segmentos contidos nos triângulos semelhantes AHB e CHA. Logo, seus lados correspondentes são proporcionais; vamos escrever estas proporções:

50. Copie e complete em seu caderno:

c ? n = = ? m h

Você obteve, nos últimos exercícios, as seguintes proporcionalidades: A 51. Obtém-se da coluna B, usando-se produtos cruzados. 52. Obtém-se da coluna C, usando-se produto cruzado nas duas primeiras razões.

51.

c h n = = b m h

c h n = = a b c

b m h = = a b c

Observe que, da proporcionalidade contida no quadro (A), usando o produto cruzado nas duas últimas razões, resulta a relação h2 = mn. De qual quadro se obtêm as relações c2 = an e bc = ah? Como obtê-las?

52. De qual quadro se obtém a relação b2 = am e como obtê-la? Usando as relações já demonstradas, vamos agora demonstrar o famoso Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou, em linguagem matemática: a2 = b2 + c2.

Você já sabe que: b2 = am e c2 = an; somando, membro a membro, essas duas igualdades, obteremos: b2 + c2 = am + na.

Como am + an = a(m+n), temos: b2 + c2 = a(m+n).

Mas, m + n = a; logo, b2 + c2 = a x a = a2.

Logo, provamos que b2 + c2 = a2 ou, equivalentemente, a2 = b2 + c2.

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TABELA DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE 1º a 89º Ângulo

Seno

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º 36º 37º 38º 39º 40º 41º 42º 43º 44º 45º

0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071

Cosseno Tangente 0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 0,9848 0,9816 0,9781 0,9744 0,9703 0,9659 0,9613 0,9563 0,9511 0,9455 0,9397 0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063 0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 0,8660 0,8572 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192 0,8090 0,7986 0,7880 0,7771 0,7660 0,7547 0,7431 0,7314 0,7193 0,7071

0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000

Ângulo

Seno

46º 47º 48º 49º 50º 51º 52º 53º 54º 55º 56º 57º 58º 59º 60º 61º 62º 63º 64º 65º 66º 67º 68º 69º 70º 71º 72º 73º 74º 75º 76º 77º 78º 79º 80º 81º 82º 83º 84º 85º 86º 87º 88º 89º

0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998

Cosseno Tangente 0,6947 0,6820 0,6691 0,6561 0,6428 0,6293 0,6157 0,6018 0,5878 0,5736 0,5592 0,5446 0,5299 0,5150 0,5000 0,4848 0,4695 0,4540 0,4384 0,4226 0,4067 0,3907 0,3746 0,3584 0,3420 0,3256 0,3090 0,2924 0,2756 0,2588 0,2419 0,2250 0,2079 0,1908 0,1736 0,1564 0,1392 0,1219 0,1045 0,0872 0,0698 0,0523 0,0349 0,0175

1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4281 1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 1,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445 2,2460 2,3559 2,4751 2,6051 2,7475 2,9042 3,0777 3,2709 3,4874 3,7321 4,0108 4,3315 4,7046 5,1446 5,6713 6,3138 7,1154 8,1443 9,5144 11,4301 14,3007 19,0811 28,6363 57,2900

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Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Reveja os exercícios

Como reconhecer se polígonos dados são ou não semelhantes.

1, 2, 5, 6, 9, 12.

Como estabelecer a proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes de polígonos semelhantes e calcular a razão de semelhança.

5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 25.

Como estabelecer a proporcionalidade entre pares de segmentos determinados sobre retas secantes por paralelas que as interceptem.

11, 42, 43.

Como desenhar polígonos semelhantes que satisfaçam uma razão de semelhança dada.

3, 4.

Como resolver problemas envolvendo o conceito e o cálculo de média geométrica de números positivos.

14, 15.

Como identificar projeções de pontos ou segmentos sobre retas.

16, 17, 18.

Como identificar triângulos semelhantes, determinados pela altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo.

44 a 47.

Como interpretar, em linguagem corrente e em linguagem matemática, as relações métricas nos triângulos retângulos.

19.

Como resolver problemas envolvendo relações métricas nos triângulos retângulos.

20 a 26.

Como calcular o seno, o cosseno e a tangente de ângulos agudos de triângulos retângulos, dadas as medidas dos catetos ou da hipotenusa.

27 a 31.

Como calcular lados ou ângulos de triângulos retângulos usando as razões trigonométricas constantes de uma tabela.

32 a 41.

Como demonstrar as relações métricas nos triângulos retângulos.

48 a 52.

160

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CapItulo 6

Ks2

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o d n a r o l p x e e o d n i r b Desco s a d s e d a propried s a c i r t ĂŠ m o e figuras g

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Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página. Releia: na página 10, “Observação importante”. Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, reg ras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações afirmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como de algumas regularidades relacionadas com sequências númericas.

Neste capítulo, você vai rever ou aprender como: • Caracterizar a circunferência, o círculo e suas partes por suas propriedades. • Resolver problemas relacionados com medidas de cordas, arcos e tangentes. • Caracterizar a mediatriz de um segmento e a bissetriz de um ângulo por suas propriedades.

• Identificar ou construir alturas, medianas e mediatrizes de triângulos. • Utilizar propriedades físicas de pontos de figuras relacionadas com seus centros de gravidade

• Resolver ou descrever como resolver problemas de construções geométricas usando régua não graduada e compasso.

• Desenhar figuras geométricas e descobrir propriedades delas, medindo lados ou ângulos.

• Calcular medidas de lados ou ângulos de polígonos que estejam representadas por monômios ou polinômios em uma variável.

• Calcular medidas de ângulos centrais de polígonos regulares. • Identificar ou resolver problemas que envolvam: ângulos inscritos, ângulos semi-inscritos, ângulos com vértice no interior e ângulos com vértice no exterior de uma circunferência.

• Resolver problemas de relações métricas entre cordas, distâncias de cordas ao centro e raio de circunferências dadas.

• • • • • • • • • •

Resolver problemas de medidas de arcos e ângulos centrais. Desenhar, conceituar ou construir a circunferência circunscrita a um polígono. Desenhar, conceituar ou construir a circunferência inscrita em um polígono. Identificar polígonos inscritíveis e polígonos não inscritíveis. Desenhar, identificar ou conceituar polígonos inscritos em circunferências. Desenhar, identificar ou conceituar polígonos circunscritos a circunferências. Resolver problemas de cálculo de ângulos internos de polígonos regulares. Identificar polígono regular, seu centro, o raio, o apótema e o ângulo central. Resolver problemas de cálculo de ângulos centrais de polígonos regulares. Resolver problemas de relações métricas envolvendo segmentos que interceptam uma circunferência.

A C

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B 10º

A 80º

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Desenhando, descobrindo e usando propriedades de figuras geométricas

Professor(a): a partir do exercício 3, desenvolva todas as atividades no quadro. Quando necessário, use múltiplos das medidas citadas. ATIVIDADES ORAIS

Explorando o que você já sabe Responda:

• • •

Uma reta e uma circunferência podem ter um único ponto em comum? Uma reta e uma circunferência podem ter dois pontos em comum? Qual é o nome da maior corda de uma circunferência?

Aprendendo em sala de aula

Na figura, você vê:

Uma reta secante à circunferência: a reta AE.

A H

E P

B G

Um raio CP e um diâmetro DB da circunferência de centro P. Um ponto G interior à circunferência e um ponto F exterior à circunferência. Uma corda AE da circunferência.

Uma reta HB tangente à circunferência no ponto B. (O ponto B chama-se “ponto de tangência”.)

Responda:

a) Como se chama uma reta que corta uma circunferência em dois pontos? b) Como se chama uma reta perpendicular a um diâmetro de uma circunferência e que passa por um de seus extremos?

c) A distância entre o centro de uma circunferência e um ponto interior à mesma é menor, maior ou igual ao raio?

• Podem. • Podem. • Diâmetro. Observação: ao conceituar tangente a uma circunferência como sendo uma reta que passa pelo extremo de um diâmetro (ou de um raio), ao qual é perpendicular, temos como consequência que o ponto de tangência é o único ponto comum entre a tangente e a circunferência. De fato, qualquer que seja outro ponto da tangente, o segmento que tem por extremos este ponto e o centro da circunferência é a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem, como um dos catetos, o raio. Logo, tal segmento é maior que o raio, ou seja, o ponto considerado é exterior à circunferência.

Comente com os alunos que estas propriedades da circunferência são úteis para que, usando o compasso, obtenham pontos que distem igualmente de um ponto dado, desenhando arcos de circunferência. Comente também que, quando a “incógnita” de um problema de desenho geométrico for um ponto, ele é encontrado como interseção de dois arcos de circunferência, duas retas, um arco e uma reta etc. Se a “incógnita” for uma reta, basta encontrar dois pontos da reta para traçá-la. 1. a) Secante; b) Tangente; c) Menor; d) Maior. 2. a) V; b) V.

d) A distância entre o centro de uma circunferência e um ponto exterior à mesma é menor, maior ou igual ao raio?

2. V ou F:

a) Os pontos de uma circunferência são equidistantes de seu centro. b) Todo ponto cuja distância ao centro de uma circunferência é igual ao raio pertence à circunferência.

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Descreva como resolver os seguintes problemas de desenho geométrico usando régua não graduada e compasso. Depois, faça os desenhos.

a) Dados uma reta e um ponto dela, desenhe na reta dois pontos equidistantes do ponto dado.

b) Dados uma reta e um ponto não pertencente a ela, desenhe na reta dois pontos equidistantes do ponto dado.

c) Dado um ângulo, desenhe dois pontos, um em cada lado, equidistantes do vértice do ângulo.

d) Dados dois pontos de uma reta, desenhe um ponto não pertencente à reta e equidistante dos dois pontos dados.

Observe a figura e responda ou faça o que se pede: A D

a) Use um compasso e verifique que X é o ponto médio do segmento DB. b) Use um esquadro ou transferidor e verifique que o ângulo AXB é reto. c) Que nome recebe a reta AC, que é perpendicular ao segmento DB e que passa por seu ponto médio?

Responda:

a) O que se pode dizer de um ponto da mediatriz AC do segmento DB em relação aos extremos D e B desse segmento?

b) O que se pode dizer de um ponto em relação a essa mediatriz se esse ponto equidista de D e B?

Vamos recordar?

Dado um segmento AB, como desenhar a sua mediatriz? 1

Júlia Bianchi, 2006

3. a)Com centro no ponto e abertura qualquer do compasso, descrevo um arco que intercepte a reta em dois pontos; b) Com centro no ponto, descrevo um arco que intercepte a reta em dois pontos diferentes; c) Com centro no vértice do ângulo, descrevo um arco que intercepte os dois lados do ângulo; d) Com centro em um dos pontos, abertura do compasso maior que a metade da distância entre os dois pontos, descrevo um arco em um dos lados do plano em relação à reta (um dos semiplanos determinados pela reta). Depois, com mesma abertura do compasso e centro no outro ponto, descrevo um arco que intercepte o primeiro arco. O ponto de interseção é o ponto procurado. 4. a) Verificar com o compasso que as medidas DX e XB são iguais; b) Tarefa do aluno; c)Mediatriz do segmento DB. (É a reta perpendicular a DB que o intercepta em seu ponto médio.) 5. a) O ponto é equidistante dos extremos D e B; b) O ponto pertence à mediatriz do segmento DB. O exercício 5 visa caracterizar a mediatriz de um segmento como lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam dos extremos do segmento. Lembre aos alunos o conceito de lugar geométrico: figura cujos pontos satisfazem uma propriedade que lhe é exclusiva. São exemplos de lugares geométricos: mediatriz de segmento, circunferência e bissetriz de ângulo. Explore a seguinte situação: desenhe dois segmentos MN e PQ, perpendiculares entre si, que se interceptam em seus pontos médios. Observe que todos os pontos de PQ equidistam de M e N, mas nem todo ponto que equidista de M e N pertence a PQ. Logo, a propriedade “equidista” de M e N não é exclusiva dos pontos de PQ e, portanto, este não pode ser considerado lugar geométrico que satisfaça tal propriedade.

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6. Descreva como desenhar a mediatriz do segmento AB, usando régua não graduada e compasso. Vamos recordar?

Desenhar a perpendicular a uma reta AB, passando por um ponto P da mesma. 1

3 Q

Q R

S B

Descreva como resolver o problema da figura anterior, usando régua não graduada e compasso. Vamos recordar?

8. Dada uma reta e um ponto Q não pertencente a ela, como desenhar uma perpendicular à reta, passando por este ponto?

Siga as instruções abaixo para resolver este problema usando régua não graduada e compasso.

I. Q

II.

Desenhe uma reta, em seu caderno, e um ponto Q não pertencente a ela.

Q C

Vamos traçar pelo ponto Q uma perpendicular à reta. Com centro no ponto Q, descreva com o compasso um arco de circunferência que corte a reta em dois pontos. Chame esses pontos de C e D.

III. P Q C

D R

Com centro em C e depois em D, e com um raio diferente do anterior, descreva dois arcos que se cortem em um ponto. Chame esse ponto de R.

Com a régua, trace a reta RQ; ela é a perpendicular procurada.

6. Com centro em A, e com raio maior que a metade da medida do segmento, descreva um arco de circunferência que corte o segmento. Com centro em B, e mesmo raio anterior, descreva outro arco que corte o arco anterior em dois pontos P e Q. Com a régua, trace a reta PQ; ela é a mediatriz do segmento AB. A justificativa para esta construção se baseia no fato de que APBQ é um losango e, como se sabe, suas diagonais se cortam em seus pontos médios e são perpendiculares entre si. Portanto, PQ é mediatriz de AB. 7. Com centro em P, descreva um arco que corte a reta AB em dois pontos; chame esses dois pontos de R e S. Com centro em R e depois em S, descreva com um mesmo raio dois arcos que se cortem em um ponto; chame esse ponto de Q. Com a régua, trace a reta que passa pelos pontos P e Q. Ela é a solução do problema. Observações: 1a) Note que, para ter a reta perpendicular, solução do problema, bastou ter um segundo ponto dela, o ponto Q, porque um deles já era conhecido: o ponto P. 2a) Ela é perpendicular à reta AB porque é mediatriz do segmento RS, contido na reta AB. 8. Atividades dos alunos. Observações: 1a) Como já temos um ponto Q da reta perpendicular, basta encontrar outro ponto para ter a reta. 2a) Os pontos C e D equidistantes do ponto Q são extremos de um segmento cuja mediatriz passa por Q. 3a) Como as distâncias CR e DR são iguais, R pertence à mediatriz do segmento CD; logo, a reta QR é a perpendicular à reta desenhada que passa pelo ponto Q. 4a) Os mesmos arcos da construção do item (c) se interceptam também num ponto P que também serviria para determinar, juntamente com Q, a reta procurada. Trata-se, então, de uma simples escolha de qual dos pontos, P ou R, se utilizará para resolver o problema.

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Vamos recordar? X

Existem diversos segmentos cujos extremos são um dos vértices de um triângulo e um ponto que pertence à reta que contém o lado oposto a ele.

Se esses segmentos satisfazem certas condições, recebem nomes particulares. ◆ Se o segmento está contido na bissetriz do ângulo correspondente ao vértice, ele se chama bissetriz do triângulo (por exemplo na figura acima, o segmento PM é bissetriz do triângulo NMQ). ◆ Se um dos extremos do segmento é ponto médio de um lado, ele se chama mediana do triângulo (por exemplo na figura acima o segmento XZ é uma mediana do triângulo XYW). ◆ Se o segmento é perpendicular à reta que contém um lado do triângulo, ele se chama altura do triângulo (por exemplo na figura acima o segmento AC é uma altura do triângulo ABD).

Professor(a): nunca é demais lembrar aos alunos que “base” de um triângulo é algo relativo, pois qualquer lado dele pode ser chamado de base, de acordo com as conveniências e necessidades da situação ou problemas específicos. 9. Altura do triângulo ABC, relativa à base AC.

Como cada triângulo tem três bissetrizes (internas), três medianas e três alturas, para que se torne mais claro a qual delas estamos nos referindo é necessário precisar a linguagem.

Por exemplo, dizemos que: MP é a bissetriz do ângulo M do triângulo MNQ.

XZ é a mediana relativa ao lado YW do triângulo XYW.

AC é a altura do triângulo ABD, relativa à “base” BD.

Observe os dois triângulos da figura a seguir e responda: que nome se dá ao segmento BH em ambos os casos? B

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10.

Responda ou faça o que se pede:

a) Desenhe um segmento AB, de aproximadamente 12 cm.

b) Com centro em A e depois em B, descreva dois arcos que se cortem com a abertura do compasso igual à medida do segmento AB. Chame o ponto de interseção de C.

c) Como se chama o triângulo que você desenhou? d) Desenhe as três alturas do triângulo ABC.

11.

12. 13.

e) Verifique se elas são também medianas e bissetrizes. Desenhe dois triângulos em seu caderno: um triângulo acutângulo ABC e outro obtusângulo DEF, sendo o ângulo D obtuso. Desenhe a altura relativa ao lado BC e a altura relativa ao lado DE. O que você observou em relação a essas alturas? Desenhe as retas que contêm as três alturas dos dois triângulos que você desenhou no exercício anterior. Elas se cortam em um mesmo ponto em cada caso? Desenhe um triângulo ABC cujos lados meçam: AB = 12 cm, AC = 6 cm e BC = 8 cm. Proceda assim:

a) Desenhe um segmento horizontal AB de medida 12 cm. b) Com centro em A e abertura do compasso igual a 6 cm, descreva uma semicircunferência em um dos lados do plano em relação à reta AB.

c) Com centro em B e abertura do compasso igual a 8 cm, descreva outra semicircunferência que corte a anterior em um ponto que você designará por C.

10. a) Desenhos dos alunos; b) Desenhos dos alunos; c) Triângulo equilátero; d) Desenhos dos alunos; e) As alturas do triângulo equilátero são medianas dos lados e alturas relativas aos lados. 11. Desenhos do aluno.Observei que a altura do triângulo ABC fica interior ao triângulo, e que a altura desenhada do triângulo DEF é externa ao triângulo. 12. Sim. Faça com os alunos o seguinte experimento: Desenhar um triângulo em um papelão, recortá-lo e prendê-lo em um quadro vertical usando um único alfinete que o atravesse. Observar que, variando o ponto por onde passa o alfinete, na maioria das vezes, o triângulo irá balançar como se fosse um pêndulo até parar. Só há um ponto no triângulo no qual, espetando o alfinete, ele não balançará. Comente com eles que as atividades seguintes vão permitir que descubram qual é esse ponto. 13. a) Até (e), tarefas do aluno; f) Sim.

d) Marque o ponto médio M do segmento AB usando a régua e desenhe o segmento CM. Você acabou de desenhar a mediana CM relativa ao lado AB do triângulo ABC.

e) Agora, desenhe as medianas AP e NB, relativas aos lados BC e AC, respectivamente. As retas que contêm as três alturas de um triângulo cortam-se em um único ponto. Este ponto chama-se ortocentro. As três medianas de um triângulo cortam-se em um único ponto. Este ponto chama-se baricentro ou centro de gravidade do triângulo.

Son Salvador

f) As três medianas do triângulo ABC se cortam em um mesmo ponto?

O centro de gravidade de qualquer figura tem uma característica interessante: se você tiver uma peça feita em qualquer material que possa ser perfurado por um alfinete e tentar fixá-la em um quadro pelo alfinete, a peça balançará como um pêndulo até parar, a menos que o furo seja feito no centro de gravidade, quando a peça não balançará, desde o primeiro momento.

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Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, a frase que está no balão da professora ilustrada. Visite ou recomende o site http://www.ime.usp. br/~matemateca/textos/baricentro.pdf.

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Proponha aos alunos que utilizem peças de papelão de mesma espessura nos formatos de disco, quadrado e losango, para que os sustentem perfurando com alfinetes em, no mínimo, dois pontos, de modo que fiquem em planos verticais. Em cada uma dessas posições desenhem, nas peças, retas verticais que passem pelos pontos de suspensão. O ponto de interseção dessas retas é o centro de gravidade das figuras. Proponha que procedam do mesmo modo em relação às situações descritas nos exercícios 15 e 16. 14. a) O centro do disco; b) Desenhando as diagonais ou as medianas dos pares de lados opostos. O centro de gravidade é o ponto de interseção das duas retas (nos dois casos); c) Desenhando as diagonais. O centro de gravidade é o ponto de interseção das duas retas.

14.

Pense e responda:

15.

Desenhe três triângulos isósceles que tenham a mesma base e alturas diferentes. Qual deles tem o centro de gravidade mais próximo da base: o de maior altura ou o de menor altura?

a) Qual deve ser o centro de gravidade de um disco? b) Como você encontraria o centro de gravidade de um quadrado, desenhando duas retas? c) Como você encontraria o centro de gravidade de um losango?

16. Desenhe um triângulo equilátero e suas três medianas. Responda, com base na figura obtida:

a) As três medianas de um triângulo equilátero são, também, as três alturas? b) As três medianas de um triângulo equilátero são, também, as três bissetrizes internas?

17.

Observe a figura e descreva como desenhar a bissetriz de um ângulo, usando régua não graduada e compasso:

15. O de menor. 16. a) Sim; b) Sim. B

17. Com a ponta seca do compasso no vértice A, desenhar um arco que intercepte os dois lados do ângulo, em dois pontos C e B. Com centro em B e depois em C e com a mesma abertura anterior, descrever dois arcos que se interceptem em um ponto D. A semirreta AD é a bissetriz. Esta construção se justifica pelo caso LLL de congruência de triângulos. Note que os triângulos ABD e ACD são congruentes pelo caso LLL e, portanto, os ângulos BAD e CAD são congruentes, o que justifica a afirmação de que BD é bissetriz do ângulo. 18. a) OB; b) AO; c) Atividade dos alunos. O item (c) nada mais é que a tese do teorema: “Todo ponto da bissetriz de um ângulo dista igualmente dos lados deste ângulo”. Ver demonstração no Capítulo 4, oitavo ano – Propriedade 7 da leitura opcional. Veja também, e comente com os alunos, a propriedade 6: “Se um ponto do interior de um ângulo dista igualmente dos lados do ângulo, então pertence à bissetriz do ângulo”. Estas duas propriedades caracterizam a bissetriz como lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente dos lados do ângulo.

A A C

B D

18.

Na figura, o ponto M pertence à bissetriz do ângulo AOB.

Responda ou faça o que se pede:

a) O segmento BM é perpendicular a qual lado

do ângulo AOB?

b) O segmento AM é perpendicular a qual lado do ângulo AOB?

c) Com um compasso, verifique que M equidista dos lados do ângulo.

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Aprendendo em casa 19.

Usando o que você aprendeu até aqui, resolva os seguintes problemas usando régua não graduada e compasso:

a) Desenhar um retângulo. Sugestão: veja no exercício 7 como desenhar a perpendicular a uma reta, passando por um ponto dela. b) Desenhar um quadrado. c) Dada uma reta e um ponto não pertencente a ela, traçar uma reta paralela à reta dada, passando pelo ponto dado.

20. Faça um retângulo de papelão, desenhe nele diagonais, faça um furo no

ponto de interseção das diagonais com um alfinete e espete em uma tábua vertical, sem encostar-se nela. O que você descobriu?

21.

Use o mesmo retângulo anterior e desenhe nele o segmento que une os pontos médios das bases.

a) O centro de gravidade do retângulo pertence ou não a este segmento? b) Como antes, fixe um alfinete em um ponto deste segmento, bem próximo da base inferior, e solte o retângulo. O que você notou? c) Agora, fixe o alfinete no centro gravidade e solte o retângulo. O que você notou?

Recordando e descobrindo outros fatos sobre polígonos Explorando o que você já sabe

A seguir, são descritas diversas figuras geométricas pelas propriedades que as caracterizam. Identifique cada uma delas.

• • • • • • • • • •

Quadrilátero que tem os pares de lados opostos paralelos. Reta cujos pontos equidistam dos extremos de um segmento. Polígono convexo de cinco lados. Quadrilátero que tem os quatro ângulos congruentes. Polígono convexo de seis lados e seis ângulos congruentes entre si. Quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos. Semirreta cujos pontos equidistam dos lados de um ângulo. Figura plana que tem todos os seus pontos equidistantes de um ponto do plano. Quadrilátero que tem quatro lados congruentes. Figura plana formada por uma circunferência e todos os seus pontos interiores.

Aprendendo em sala de aula

Para fazer os desenhos pedidos nos exercícios a seguir, use papel quadriculado. Para medir segmentos, use uma régua ou conte quadradinhos. Para verificar congruência de segmentos, use régua ou compasso e, para verificar congruência de ângulos, use transferidor, compasso ou papel transparente.

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Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 19. a) Desenhe um segmento horizontal AB. Depois, a perpendicular a ele que passa por B. Marque nela, com centro em B, um segmento BC diferente de AB. Com centro em A, descreva um arco com abertura BC e, com centro em C, um arco de abertura AB. A interseção desses arcos é um ponto D que determina um retângulo ABCD; b) Análogo, com medidas AB e BC iguais; c) Desenhe uma reta horizontal e, transversal a ela, outra reta que a corte de modo a formar um ângulo agudo. Usando compasso, construa, em um ponto da transversal, um ângulo alterno interno de mesma medida que o ângulo agudo desenhado. O lado desse ângulo, que não é a transversal, é paralelo à reta dada. 20. O ponto de encontro das diagonais do retângulo é o centro de gravidade desse retângulo. 21. a) Pertence; b) O retângulo girou, de modo que a base que era inferior passou a ser a superior e vice-versa; c) O retângulo ficou na mesma posição que estava quando o soltei. ATIVIDADES ORAIS Atividades dos alunos. • Paralelogramo. • Mediatriz do segmento. • Pentágono. • Retângulo. • Hexágono regular. • Trapézio. • Bissetriz do ângulo. • Circunferência. • Losango. • Círculo ou disco. Sempre que possível, relacione os blocos de conteúdo: números, medidas, álgebra, geometria e tratamento da informação. Por exemplo, após explorar as perguntas anteriores oralmente, peça a cada aluno que responda, por escrito, cada uma delas no caderno. Depois, faça uma tabela de frequência de acertos para cada resposta certa e, após a tabela, um gráfico de colunas e outro de setores.

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22. Desenho do aluno. a) São iguais; b) São iguais. Opcionalmente, demonstre estes fatos. Basta traçar uma das diagonais, obtendo dois triângulos congruentes pelo caso ALA.

22. Desenhe um paralelogramo ABCD, no papel quadriculado. Escolha as medidas dos lados como você quiser.

a) O que se pode dizer das medidas dos lados opostos do paralelogramo? b) O que se pode dizer das medidas dos ângulos opostos do paralelogramo?

23. M é ponto médio das diagonais. (caso ALA)

23. Desenhe as diagonais do paralelogramo que você fez no exercício 22

24. a) x = 2 e EF = GH = 8; b) y = 2 e FG = HE = 5; c) 120o, 120o e 60o.

OBS.: Neste exercício, relacionamos geometria com álgebra.

e represente o ponto de encontro delas pela letra M.

O que se pode dizer do ponto M em relação a cada uma das diagonais?

24. Desenhe um paralelogramo EFGH com o lado EF maior que o lado FG

e escreva na figura, para cada lado, as seguintes expressões para suas medidas:

Lados Medidas

25. É um paralelogramo. (caso LLL)

2x + 4

3y – 1

5x – 2

y + 3

a) Calcule x e as medidas dos lados EF e GH. b) Calcule y e as medidas dos lados FG e HE. c) Se um dos ângulos agudos do paralelogramo mede 60o, calcule as medidas dos ângulos obtusos e do outro ângulo agudo.

26. a) Retângulo; b) 90º; c) Têm a mesma medida; d) Sim.

27. a) Losango; b) Tarefa do aluno; c) Verdadeiro. 28. Quadrado. Diga para os alunos que, pelo fato de ter os quatro lados de mesma medida, o quadrado é um losango (a recíproca é falsa). Diga também que, pelo fato de ter os quatro ângulos de mesma medida (ângulos retos), o quadrado é um retângulo (a recíproca é falsa).

25. Desenhe um quadrilátero XYZW que tenha os dois pares de lados opostos congruentes. O que se pode dizer desse quadrilátero?

26.

Desenhe um quadrilátero MNPQ que tenha os quatro ângulos de mesma medida.

a) Como se chama o quadrilátero MNPQ? b) Qual é a medida de cada um dos quatro ângulos? c) Desenhe as diagonais MP e NQ e meça as duas. O que se pode dizer de suas medidas? d) Você poderia ter desenhado um quadrado?

27. Desenhe um paralelogramo EFGH que tenha os quatro lados de mesma medida, mas não tenha os quatro ângulos retos.

a) Como se chama o quadrilátero EFGH? b) Desenhe as diagonais EG e FH e meça os ângulos que elas fazem entre si. c) Verdadeiro ou falso: as diagonais do losango são perpendiculares entre si.

28. Como se chama o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes, bem como os quatro ângulos congruentes?

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29. Desenhe um quadrilátero DEFG que tenha apenas dois lados paralelos: DE e FG. Como ele se chama?

a) Como se chamam os lados paralelos DE e FG do quadrilátero que você desenhou? b) Desenhe um quadrilátero que tenha apenas dois lados paralelos e apenas dois ângulos

29. Trapézio. a) Bases; b) Trapézio retângulo.

31.

Desenhe um segmento AC de 8 cm e marque nele o ponto médio X. Desenhe outro segmento BD de 10 cm, perpendicular ao segmento AC e passando pelo ponto X. Agora, trace os segmentos AB, BC, CD e DA.

30. Marília tem razão. No desenho feito, os outros dois lados ficaram também paralelos. Caso julgue conveniente, demonstre o teorema citado no exercício. Basta traçar uma diagonal, obtendo dois triângulos congruentes pelo caso LAL. Depois, use ângulos alternos internos para concluir o paralelismo do outro par de lados do quadrilátero. Prove, também, que o segmento que une os pontos médios dos lados de um triângulo é paralelo à base e sua medida é igual à metade da medida da base. Este teorema permite demonstrar as duas teses dos itens (a) e (b) do exercício 36.

Qual é a condição para que o quadrilátero ABCD seja um losango?

31. Que o ponto X seja também ponto médio de BD.

retos. Como ele se chama?

30. Marília disse que, “se um quadrilátero tem dois lados opostos paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo”. Faça um desenho e diga se Marília tem razão. Justifique sua resposta.

32. Desenhe um quadrilátero que tenha as diagonais congruentes entre si e que não seja um paralelogramo.

33. Desenhe um quadrilátero que tenha as diagonais perpendiculares entre si e que não seja um losango.

34. Desenhe um trapézio que tenha os lados não paralelos congruentes. Como ele se chama?

a) Se CF = 3x + 1 e FE = 7x – 19,

Verifique se, para responder 35 (c) e 35 (d), os alunos estão usando, com compreensão, que as diagonais do losango são perpendiculares entre si. Sugestão: depois que responderem este item, pergunte o que justifica os cálculos que fizeram.

calcule CF.

b) Se CD = 7y – 1 e DE = 3y + 11, calcule CD.

mede o ângulo FDC?

d) Use os valores de CF e CD encontra-

36. Desenhe um trapézio XYZW de bases XY e ZW e marque os pontos médios dos lados não paralelos YZ e XW com as letras M e N, respectivamente. Agora, desenhe o segmento MN. Verifique se são verdadeiras as seguintes afirmativas:

a) O segmento MN é paralelo às bases XY e ZW.

35. a) 16; b) 20; c) 61º; d) 12. A f igura a seguir permite demonstrar os itens (a) e (b) do exercício 36:

dos para calcular DF.

33. Basta que as diagonais não se cortem em seus pontos médios. 34. Trapézio isósceles.

35. Observe o losango da figura ao lado:

c) Se o ângulo FCD mede 29o, quanto

32. Qualquer quadrilátero que tenha as diagonais congruentes, desde que estas não se interceptem em seus pontos médios.

b) A medida do segmento MN é a média aritmética das medidas das bases.

m B

B=m+x b + 2x = m + x B + b + 2x = 2m + 2x B + b = 2m m= B+b 2 36. a) V.; b) V.

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37. a) V; b) V; c) V. Os três itens anteriores são teoremas facilmente demonstráveis. Sugestões: a) Desenhe os raios que passam pelos extremos da corda, obtendo dois triângulos retângulos congruentes pelo caso Hipotenusa-cateto. Desta congruência, resultam demonstradas as teses. b) Desenhe os pares de raios que passam pelos extremos das duas cordas, obtendo dois triângulos congruentes pelo caso LLL. Desta congruência, resulta a congruência dos ângulos centrais e, como conse quên cia, a congruência dos arcos menores. c) Demonstração análoga usando o caso LAL de congruência de triângulos. 38. a) Tarefa do aluno; b) (PC)2 = 32 + 92 (PC)2 = 9 + 81 (PC)2 = 90

37. Em cada caso, faça uma figura e decida se é verdadeiro ou falso:

a) Se um diâmetro é perpendicular a uma corda, então ele corta a corda e os arcos correspondentes em seus pontos médios.

b) Se na mesma circunferência duas cordas são congruentes, então seus arcos menores correspondentes são congruentes.

c) Se na mesma circunferência dois arcos menores são congruentes, então suas cordas correspondentes são congruentes.

38. Na figura, você vê dois segmentos de tangentes PQ e PR, a uma mesma circunferência de centro C.

a) Verifique que os segmentos PQ e PR têm

medidas iguais.

b) Se o raio da circunferência mede 3 cm e

os segmentos de tangente medem 9 cm, prove que a distância do ponto P ao centro C mede 3 10 cm.

39. Na figura anterior, se o raio da circunferência mede 3 cm e a distância de P ao centro C mede 9 cm, mostre que os segmentos de tangente medem 6 2 cm.

PC =

PC = 3 . Opcionalmente, demonstre o item (a). Os triângulos retângulos PCQ e PCR são congruentes pelo caso Hipotenusa-cateto. Logo, os catetos PQ e PR são congruentes.

Aprendendo em casa 40. Desenhe um triângulo ABC de base BC. Marque os pontos médios dos lados AB e AC com as letras M e N, respectivamente.

a) Desenhe o segmento MN e meça-o. b) MN é paralelo à base? c) Compare a medida de MN com a medida da base BC. O que você conclui?

39. 92 = 32 + (PQ)2 (PQ)2 = 81 – 9 (PQ)2 = 72

PQ =

PQ = 6

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. 40. a) Tarefa do aluno; b) Sim; c) MN = BC/2. 41. a) x = 6; EF = GH = 8; b) y = 4; FG = HE = 11; c) O outro ângulo agudo mede 75º e cada um dos ângulos obtusos mede 105º.

41.

Desenhe um paralelogramo EFGH com o lado EF maior que o lado FG.

Escreva, para cada lado, as seguintes expressões para suas medidas: Lados Medidas

2x – 4

3y – 1

5x – 22

y + 7

a) Calcule x e as medidas dos lados EF e GH. b) Calcule y e as medidas dos lados FG e HE.

c) Se um dos ângulos agudos do paralelogramo mede 75o, calcule as medidas dos ângulos obtusos e do outro ângulo agudo.

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42. Como se chama o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes, bem como os quatro ângulos congruentes?

43. Todo quadrado é um losango, mas nem todo losango é um quadrado. Justifique.

44. Todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado. Justifique.

45. Desenhe um quadrilátero DEFG que tenha apenas dois lados paralelos: DE e FG. Como ele se chama?

45. Trapézio.

Ângulos na circunferência Explorando o que você já sabe • •

Como se chamam os ângulos que têm o vértice no centro de uma circunferência? Como se chamam as duas partes determinadas, em uma circunferência, por dois pontos desta?

Aprendendo em sala de aula B

M O

A A

43. Os losangos são definidos como sendo paralelogramos que têm os quatro lados de mesma medida. Como os lados do quadrado satisfazem esta condição, conclui-se que os quadrado são losangos. Já os quadrados, além dessa propriedade, têm também a propriedade de ter os quatro ângulos (internos) de mesma medida. Como existem losangos que não têm essa propriedade, não podem ser considerados quadrados. 44. Os retângulos são definidos como paralelogramos que têm os quatro ângulos (internos) retos. Como os ângulos dos quadrados satisfazem essa condição, conclui-se que os quadrados são losangos. Já os quadrados, além dessa propriedade, têm também a propriedade de ter os quatro lados de mesma medida. Como existem retângulos que não têm essa propriedade, não podem ser considerados quadrados.

ATIVIDADES ORAIS

42. Quadrado.

A a

B x

b D

• Ângulos centrais. • Arcos: arco menor e arco maior.

Uma circunferência e um ângulo podem ter diversas posições relativas. Por exemplo, considerando o vértice do ângulo, ele pode pertencer à circunferência, ser interior ou ser exterior a ela. Considerando os lados de um ângulo, eles podem ter ou não pontos comuns com uma circunferência.

Explorando esses fatos, nos exercícios a seguir, você desenhará circunferências e ângulos ocupando as mais variadas posições relativas e descobrirá como medir tais ângulos.

Você já sabe que os arcos têm suas medidas em graus iguais às medidas dos ângulos centrais correspondentes. Use esse fato, também, para resolver os exercícios da página seguinte.

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46. a = 150º; b = 110º; c = 150º; d = 100º; e = 180º; f = 180º; g = 220º; h = 250º.

46. Observe a figura abaixo e escreva em seu caderno como completar as tabelas:

T S

40º 70º 70º 40º

40º

P Q

Arcos menores Medidas 47. a) V; b) V; c) V; d) F. Contraexemplo para (d): YX e YZ passam pelos extremos do arco XYZ e o ângulo XYZ não intercepta este arco.

Verificar se os alunos distinguem arco maior de arco menor, por suas notações. Exemplo: Na figura da esquerda, temos um arco menor AB e um arco maior AOB.

Arcos Medidas

PQS

PTS

QTS

PRT

Observe as duas figuras a seguir:

Na primeira, dizemos que o ângulo AOB é ângulo inscrito no arco maior AOB e intercepta o arco menor AB.

Na segunda, dizemos que o ângulo XYZ é ângulo inscrito no arco menor XZ e intercepta o arco maior XWZ.

W Z

47. a) V; b) V; c) V; d) V.

47. Com base nas figuras e no que se afirmou, diga se as frases a seguir são verdadeiras ou falsas:

a) Se um ângulo é inscrito em um arco, seu vértice pertence ao arco.

b) Se um ângulo intercepta um arco, seu vértice não pertence ao arco.

c) Se um ângulo intercepta um arco, seus lados passam pelos extremos do arco.

d) Se os lados de um ângulo passam pelos extremos de um arco, o ângulo inter-

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cepta o arco.

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48. Descreva:

a) O que é ângulo inscrito em um arco. b) Em quais condições se diz que um ângulo inscrito intercepta um arco.

49. Na figura abaixo representam-se uma circunferência de centro X, alguns

ângulos inscritos e um ângulo central. Com base nela, faça o que se pede:

a) Identifique o ângulo central.

b) Identifique o arco que ele intercepta.

c) Identifique dois ângulos inscritos.

d) Identifique o arco no qual o ângulo BAD

está inscrito.

e) Identifique o arco no qual o ângulo ADC

48. a) Um ângulo é inscrito em um arco se seu vértice pertence ao arco e seus lados passam pelos extremos do arco; b) Um ângulo inscrito intercepta um arco se seu vértice pertence à circunferência, mas não ao arco, e se seus lados passam pelos extremos do arco. 49. a) A X B; b) AB; c) ADB e ACB (ou outros); d) O arco maior BD; e) O arco menor ADC; f) O arco maior AC; g) DCB, que intercepta o arco maior DB.

está inscrito.

f) Identifique o arco interceptado pelo ângulo inscrito ADC.

g) Existe outro ângulo que intercepta um arco maior. Qual é ele?

50. Dilma é desenhista e disse que, quando quer desenhar um ângulo P que

seja a metade de um ângulo C, faz uma figura como a da esquerda, onde C é o centro da circunferência: B

50. a) Porque ele é isósceles: OA = OB; b) Porque o ângulo externo de um triângulo é a soma dos outros dois ângulos não adjacentes a ele; c) y/2; d) V. Comente: o item (d) é verdadeiro e justifica a construção da Dilma.

Q x O P

R A

Na figura da direita O é o centro da circunferência. Vamos usá-la para provar que Dilma tem razão:

a) Por que o triângulo AOB tem dois ângulos congruentes de medida x? b) Por que y = x + x? c) Se y = 2x, x representa qual fração de y? d) Verdadeiro ou falso: a medida do ângulo inscrito ABC é metade da medida do ângulo central AOC correspondente.

51. Basta desenhar o diâmetro BX e a semirreta XA. A medida do ângulo AXB é a metade da medida do ângulo AOB.

51.Desenhe um ângulo agudo qualquer de vértice O e uma circunferência de centro O que corte os lados do ângulo em dois pontos. Denomine de A e B esses dois pontos. Agora, use a figura que você fez para desenhar um ângulo AXB, cuja medida seja a metade da medida do ângulo AOB.

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52. V.

52. Você sabe que a medida do ângulo central AOB é igual à medida do

arco menor AB.

Use o desenho do exercício 51 e diga se é verdadeiro ou falso: “A medida de um ângulo inscrito AXB é a metade da medida do arco AB que ele intercepta”. Em linguagem matemática:   = med AB med AXB 2

Você viu nos exercícios anteriores que, se um ângulo inscrito tem um de seus lados passando pelo centro da circunferência, a medida dele é metade da medida do ângulo central correspondente, ou, o que é equivalente, a metade da medida do arco que ele intercepta.

Observe que este é um caso particular: um dos lados passa pelo centro da circunferência. Mas agora você vai ver que esta propriedade vale, mesmo quando nenhum dos lados passa pelo centro.

Você verá dois casos: um com o centro no interior do ângulo, e outro com o centro no exterior. B Observe as duas figuras B a seguir: x A

y y

A D 53. a) AD; b) DC; c) AC; d) x e y; e) AC.

54. a) ABD; b) AD; c) CBD; d) CD; e) ABD e CBD; f) AD e CD; g) A metade do arco AC.

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53. Na figura da esquerda:

a) A medida do ângulo x é metade da medida de qual arco? b) A medida do ângulo y é metade da medida de qual arco? c) Qual é o arco que representa a soma dos arcos AD e DC? d) A medida do ângulo ABC é representada pela soma de quais ângulos? e) A medida do ângulo ABC é igual à metade da medida de qual arco?

54. Na figura da direita:

a) x + y representa a medida de qual ângulo? b) x + y equivale à metade da medida de qual arco? c) y representa a medida de qual ângulo? d) y representa a metade da medida de qual arco? e) (x + y) – y representa a diferença das medidas de quais ângulos? f) (x + y) – y representa a metade da diferença das medidas de quais arcos? g) Como (x + y) – y = x, e AD – CD = AC, o que x representa?

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55. Mauro disse que descobriu um bom processo para desenhar ângulos

retos cujos lados passem por dois pontos A e B, sem usar esquadros ou transferidor. Veja como ele faz:

Primeiro, ele desenha uma circunferência de diâmetro AB.

P’

56. 1ª) 120º; 2ª) 80º; 3ª) x = 20º e y = 40º; 4ª) x = 90º, y = 70º, w = 20º e z = 40º; 5ª) x = 100º, y = 55º e z = 150º; 6ª) y = 20º.

Depois, desenha um ângulo cujo vértice seja qualquer ponto da circunferência, diferente de A e B e cujos lados passam por A e B, e garante que ele é um ângulo reto.

O que você acha desse processo: está correto? Justifique sua resposta.

56. Em cada figura abaixo, calcule o valor que corresponde às letras, usando o fato de que “todo ângulo inscrito tem por medida a metade da medida do arco que intercepta”. 1a

3a x

60º

10º 160º

5a y

140º

80º

x z

50º

110º

y 120º

x 20º

Nas figuras a seguir, como DA é tangente à circunferência no ponto B, os ângulos ABC e DBC chamam-se “ângulos semi-inscritos” ou “ângulos de segmento”. É possível mostrar que as medidas dos ângulos ABC e DBC são iguais à metade das medidas dos arcos BC (menor e maior, respectivamente) que eles interceptam.

E z

Desafio!

x B

Em relação à última ilustração, opcionalmente, é possível demonstrar que: (a) A medida do ângulo ABC é a metade do arco menor BC. (b) A medida do ângulo DBC é a metade da medida do arco maior BC. ABC e BEC são complementos de um mesmo ângulo de medida y. Logo, têm medidas iguais (x = z). Como a medida de z é metade da medida do arco BC, resulta que a medida de x é metade da medida do arco BC. O ângulo semi-inscrito DBE é a soma do ângulo reto W com o ângulo inscrito Y. Mas a medida w do ângulo reto DBC é metade do arco BFE, e a medida do ângulo inscrito y é metade da medida do arco menor EC. Como a soma dos arcos BFE e EC é igual ao arco BEC, concluímos que a medida do ângulo semi-inscrito DBC é a metade da medida do arco BEC. Caso opte pela demonstração, explore a “descoberta” da mesma através de perguntas como: a) Cite dois ângulos complementares do ângulo y; b) O que você pode dizer das medidas desses ângulos? Por quê? c) Qual a relação entre a medida do ângulo z e a medida do arco CB? Etc. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, a última figura e o quadro em destaque seguinte a ela.

O w

55. Sim, porque nesse caso o ângulo inscrito intercepta sempre um arco cuja medida é 180º; portanto, sua medida é 90º, que é a metade de 180º.

Desafio: O ângulo semi-inscrito DBE é a soma do ângulo reto w com o ângulo inscrito y.

Você conseguiria fazer a demonstração?

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57. 120º. 58. Ângulo semi-inscrito (ou de segmento) é todo ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência, com um dos lados contido na tangente à circunferência e o outro lado contido em uma reta secante à circunferência. Explore o caráter de equivalência de definições usando a definição acima. Proponha que desenhem dois ângulos semi-inscritos em uma circunferência com vértices nos extremos de um diâmetro dela. Desenhe, com vértice em um mesmo ponto de uma circunferência, dois ângulos semi-inscritos e peça que os identifiquem, bem como um ângulo inscrito nessa circunferência. Escreva no quadro e peça que completem a frase: Um ângulo é semi-inscrito em uma circunferência se e somente se seu vértice...

57. Se um ângulo semi-inscrito mede 60º, responda: quanto mede o arco menor que ele intercepta?

58. Descreva: o que é um ângulo semi-inscrito ou de segmento? 59. Observe as figuras. Calcule o valor de x em todas elas e o valor de s na terceira: 1a

130º 0

150º 0

110º

Observe os ângulos AMD de medida x nas duas figuras: x=a+b=

CB AD + 2 2

59. 1ª)x = 65º; 2ª)x = 220º; 3ª)x = 75º s = 30º.

M A

Recomende ou explore a leitura de: “Geometria das dobraduras” (p. 18-20) Coleção Vivendo a Matemática Luiz Márcio Imenes Editora Scipione

A a

B x

b D

60.

 BC  AD ⇒ a=x+ b x=a – b= –

Responda:

a) As retas que contêm os lados do ângulo AMD, nas duas figuras, cortam a circunferência em quatro pontos. Quais são esses pontos?

60. a) A, B, C, D; b) Interior; c) Exterior.

b) O vértice M do ângulo AMD, na figura da esquerda, pertence ao interior ou ao exterior da circunferência?

c) O vértice M do ângulo AMD, na figura da direita, pertence ao interior ou ao exterior da circunferência?

Se um ângulo tem seu vértice no interior de uma circunferência, sua medida é a soma das metades das medidas dos arcos interceptados por ele e pelo seu oposto pelo vértice. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque do exercício 60.

Se um ângulo tem seu vértice no exterior de uma circunferência e se seus lados a interceptam, sua medida é a diferença das metades das medidas dos arcos de maior e menor medidas que seus lados interceptam.

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61. 1ª) x = 100º; 2ª) z = 110º, x = 70o; 3ª) z = 78º, x = 102º; 4ª) x = 66º; 5ª) x = 119º; 6ª) x = 120º.

61. Calcule as medidas representadas por letras em cada figura: 2a

100º x

95º

z x

90º

120º

200º 78º

x 67º x

6a x

40º

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las. Verifique se os alunos entenderam quais figuras devem fazer para resolver os exercícios 62, 63 e 64. Em particular, explore duas situações que são prérequisitos para a resolução desses exercícios: 1ª.) toda reta que contém o centro de uma circunferência e é perpendicular a uma de suas cordas é mediatriz da corda. 2ª.) Como se simplifica, usando fatoração, radicais como a raiz quadrada de 200. Para a primeira situação, desenhando os raios cujos extremos são os extremos da corda, obtém-se um triângulo isósceles para o qual já se provou (ou é fácil provar) que a reta considerada é a mediatriz da corda.

x 61º 200º

Aprendendo em casa Para resolver os problemas a seguir, faça desenhos registrando os dados e o que se quer calcular:

62.Em uma circunferência cujo raio mede 10 cm, uma corda está a uma distância de 6 cm do centro. Calcule a medida da corda.

63.Em uma circunferência, uma corda mede 16 cm e sua distância ao centro mede 15 cm. Prove que o raio da circunferência mede 17 m.

64.O raio de uma circunferência de centro C mede 5 cm. A distância de

62. Sendo x a medida da metade da corda, usando Pitágoras, tem-se 100 = 36 + x2 => x = 8. Resposta: 16 cm. 63. Usando o Teorema de Pitágoras, tem-se que 82 + 152 = 172 64. O ponto P, o centro C e um dos pontos de tangências (T) formam um triângulo retângulo PCT cuja hipotenusa mede 15 cm e o cateto oposto ao ângulo P mede 5 cm (é um raio). Logo, pelo Teorema de Pitágoras, (PT)2 +25 = 225 => PT = 10 cm. O outro segmento de tangente tem a mesma medida.

um ponto P ao centro mede 15 cm. Calcule a medida dos segmentos de tangente de P à circunferência.

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65. a = 60º; b = 90º; c = 90º; d = 120º; e = 300º; f = 270º; g = 180º; h = 240º.

65. Observe a figura abaixo e complete as tabelas que se seguem em seu caderno:

60º D

Arcos menores

ABD

ADC

BCA

BCD

Medidas 66. a) O ângulo T; b) O arco menor PT; c) O arco maior PQT; d) O arco menor PT; e) Ângulos 1 e 2.

Arcos Medidas

66.

Observe a figura e responda ou faça o que se pede:

a) Identifique um ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco que o ângulo P.

b) Qual é o arco interceptado pelo ângulo Q? c) Identifique o arco no qual o ângulo Q está ins-

crito. Ele é arco menor ou maior?

67. a) 75º; b) 50º; c) 35º; d) 120º.

d) Q e S interceptam o mesmo arco. Qual? e) O ângulo PRT é soma de dois ângulos inscritos.

Quais?

R S

67. Observe a figura e calcule x em cada um dos casos: A

B B

130º B

x O

75º

O A

D B

x P

70º

O A

O 60º P

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68. Observe as figuras e calcule as medidas dos ângulos assinalados com números de 1 a 6:

68. 1) 63º; 2) 59º; 3) 35º; 4) 105º; 5) 17,5º; 6) 40º.

117º 1

126º

125º

3a 100º

150º 120º

4 x

90º

175º 110º

6a 220º

181

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As circunferências e os polígonos Explorando o que você já sabe ATIVIDADES ORAIS • Sim. • Sim. • Sim. • Sim. • Sim. • Sim, desde que não seja um quadrado.

Responda e explique o porquê.

•

Um triângulo pode ter seus três vértices pertencentes a uma circunferência?

•

Um triângulo pode ter seus três lados tangentes a uma circunferência?

•

Um quadrado pode ter seus quatro vértices pertencentes a uma circunferência?

•

Um quadrado pode ter seus quatro lados tangentes a uma mesma circunferência?

•

Um retângulo pode ter seus quatro vértices pertencentes a uma circunferência?

•

Um retângulo pode não ter seus quatro lados tangentes a uma circunferência?

Aprendendo em sala de aula 69. Desenho do aluno.

69. Desenhe uma circunferência e três pontos A, B e C pertencentes ela. Desenhe os segmentos AB, BC e AC. Você acabou de desenhar um triângulo inscrito na circunferência. Dizemos que a circunferência circunscreve o triângulo.

70. Desenho do aluno.

70. Desenhe quatro pontos A, B, C, D sobre uma circunferência, começando

pelo ponto A e marcando os demais, pela ordem, no sentido horário. Desenhe os segmentos AB, BC, CD e DA. Você acabou de desenhar um quadrilátero inscrito na circunferência. Dizemos que a circunferência circunscreve o quadrilátero.

71. O pentágono está inscrito na circunferência. A circunferência circunscreve o pentágono.

72. O polígono está inscrito na circunferência.

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71.

Se um pentágono convexo XYZWT tem todos os seus cinco vértices pertencentes a uma mesma circunferência, o que se diz do pentágono em relação a essa circunferência? E o que se diz da circunferência em relação ao pentágono?

72. Um polígono convexo tem todos os vértices pertencentes a uma mesma circunferência. O que se diz do polígono em relação à circunferência?

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Professor(a): Lembre que advertimos que restringimos nossos estudos aos polígonos convexos.

73. Descreva o que é um polígono inscrito em uma circunferência.

Resumindo:

B A

Dizemos que uma circunferência é circunscrita a um polígono convexo se todos os lados deste são cordas da circunferência. Dizemos, neste caso, que o polígono é inscrito na circunferência.

O C

73. Um polígono é inscrito numa circunferência se seus lados são cordas da circunferência. Ou: um polígono é inscrito em uma circunferência se todos os seus vértices pertencem à circunferência.

Você acabou de observar que, dada uma circunferência, sempre é possível inscrever nela um polígono convexo, independentemente do número de lados.

Mas, agora, uma pergunta:

É verdade que, dado um polígono convexo qualquer, sempre é possível desenhar uma circunferência que passe por todos os seus vértices?

A resposta a essa pergunta será dada no exercício a seguir.

74. Desenhe um trapézio retângulo ABCD de bases AD e BC, sendo A e B os ângulos retos. Desenhe a diagonal AC e marque seu ponto médio M. Com centro em M, descreva uma circunferência que passe pelo ponto A. Use seu compasso, faça medidas e responda: o que se pode dizer da circunferência em relação aos outros três vértices?

75.

Verdadeiro ou falso: dado um polígono, sempre é possível desenhar uma circunferência que passe por todos os seus vértices.

Observe agora a definição: Um polígono é “inscritível” se é possível desenhar uma circunferência que passe por todos os seus vértices.

76. Responda: todo polígono convexo é inscritível? Justifique. 77. Vamos comprovar que todo retângulo é inscritível: a) Desenhe um retângulo MNPQ (escolha as medidas à vontade).

74. A circunferência passa, apenas, por dois dos três outros vértices. 75. Falso. Observação: o centro da circunferência circunscrita a um polígono inscritível chama-se circuncentro. Por equidistar dos extremos de todos os lados do polígono inscrito, o circuncentro é o ponto de interseção de todas as mediatrizes destes lados. (Veja exercício 78.) 76. Não. Vimos no exercício 74 anterior um contraexemplo: um polígono que não é inscritível. 77. a) Desenho do aluno; b) Desenho do aluno; c) Desenho do aluno; d) Porque o ponto X de interseção das diagonais do retângulo é ponto médio de ambas. E, como as diagonais têm medidas iguais, temos que XM = XN = XP =XQ, ou seja, X é centro de uma circunferência que passa pelos quatro vértices do retângulo. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque dos exercícios 73 e 75.

b) Desenhe as diagonais MP e NQ e denomine de X o ponto de interseção de ambas.

c) Desenhe a circunferência de centro X e raio XM e verifique que ela passa pelos outros três vértices do retângulo: N, P e Q.

d) Justifique por que essa circunferência passa pelos quatro vértices do retângulo.

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78. A figura a seguir vai ajudá-lo a comprovar que todo triângulo é inscritível: A

M I

P B a

a) A reta a é perpendicular ao lado BC e passa pelo ponto médio P deste lado. Como se chama a reta a em relação ao lado BC?

78. a) Mediatriz; b) Reta b; c) São iguais, porque I pertence à mediatriz do segmento BC; d) As distâncias IA e IC são iguais. I pertence à mediatriz do segmento AC; e) Verdadeiro; f) Verdadeiro. Após a leitura do texto final da página, proponha, no quadro, que os alunos procedam como descrito ao lado, como desenhar o hexágono circunscrito a circunferências dadas.

b) Qual é o nome da reta mediatriz do lado AC? c) O ponto de interseção das retas a e b é o ponto I. O que se pode dizer das distâncias do ponto I aos pontos B e C? Justifique sua resposta.

d) O que se pode dizer do ponto I em relação aos pontos A e C? Justifique sua resposta. e) Verdadeiro ou falso: IB = IC e IC = IA; logo, IA = IB = IC. f) Verdadeiro ou falso: se o ponto I dista igualmente dos pontos A, B e C, então I é centro de uma circunferência que passa pelos pontos A, B e C.

Você já sabe que, usando o compasso com uma abertura igual ao raio da circunferência, consegue marcar seis pontos consecutivos A, B, C, D, E e F na circunferência que são vértices do hexágono inscrito.

Observe agora, na figura a seguir, uma circunferência e seis pontos A, B, C, D, E e F, vértices de um hexágono que não está desenhado:

Y A

Desenhando as perpendiculares aos diâmetros AD, BE e CF passando por seus extremos, obtivemos um hexágono cujos lados tangenciam a circunferência. Dizemos que este hexágono é circunscrito à circunferência.

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Dizemos que uma circunferência é inscrita em um polígono convexo se todos os lados deste são tangentes à circunferência. Neste caso, dizemos que o polígono é circunscrito à circunferência.

Na figura ao lado, vê-se a circunferência inscrita no quadrilátero ABCD. Dizemos, então, que o quadrilátero ABCD é circunscrito à circunferência.

D B

Diz-se que um polígono convexo é circunscritível se todos os seus lados tangenciam uma mesma circunferência.

Observe como construir a circunferência inscrita em um triângulo ABC:

Desenhe um triângulo ABC e as bissetrizes dos ângulos A e B; chame de O o ponto onde elas se cortam.

Desenhe a perpendicular ao lado AB que passa por O e chame de D o ponto onde ela corta AB.

A F

x O x

Com centro em O e raio OD, descreva C E uma circunferência. Observe que, como B os pontos de uma bissetriz são equidistantes dos lados do respectivo ângulo, então ela tangencia os lados AC e BC; logo, ela é a circunferência inscrita no triângulo ABC.

79. Quais são os pontos de tangência: a) Entre o lado BC e a circunferência?

b) Entre o lado AC e a circunferência?

80. O que se pode dizer do centro da circunferência inscrita no triângulo em relação aos lados do triângulo?

81.

Explique como se obteve o desenho ao lado: primeiro, foi desenhada a circunferência. Depois, foram desenhados, a partir do ponto A, os segmentos de tangente AB e AD. Depois, por D e B traçaram-se retas tangentes que se interceptaram no ponto B, obtendo-se, assim, o quadrilátero circunscrito. Proponha que desenhem duas circunferências e: a) na primeira, desenhem um triângulo circunscrito; b) na segunda, desenhem um pentágono circunscrito. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os dois textos em destaque e a primeira figura.

Observação: o centro da circunferência inscrita em um polígono circunscritível chama-se incentro. Por equidistar dos lados do polígono circunscritível, é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos deste polígono. (Veja como construir a circunferência inscrita em um triângulo no texto ao lado.)

79. a) E; b) F.

80. É equidistante dos lados.

81. a) Desenho do aluno; b) Tangentes; c) Tarefa do aluno; d) Circunscrito.

Desenhe uma circunferência de centro O e marque sobre ela três pontos X, Y e Z.

a) Desenhe os raios OX, OY e OZ e as perpendiculares a eles, passando por X, Y e Z, respectivamente.

b) Como se chamam essas retas em relação à circunferência?

c) Existem três pontos de interseção dessas três retas duas a duas. Denomine-os de A, B e C.

d) Como se chama o triângulo ABC assim formado em relação à circunferência?

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Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

Aprendendo em casa 82.

Desenhe uma circunferência de centro O e dois diâmetros MP e NQ. Trace os segmentos MN, NP, PQ e QM.

82. a) Retângulo; b)NMQ, MQP, QPN, PNM; c) MON, NOP, POQ, QOM. 83. Desenho do aluno.

84. Desenho do aluno. Sugira que as medidas dos lados, no exercício 85, seja feita com um compasso e as medidas dos ângulos seja feita usando transferidor ou qualquer outro recurso, como o compasso (pelo método já conhecido) ou decalques, ou... 85. a) Os quatro lados têm medidas iguais; b) Os quatro ângulos têm medidas iguais: são ângulos retos; c) Chama-se quadrado. Justif icativa: se um quadrilátero tem os quatro lados de medidas iguais e os quatro ângulos de medidas iguais, ele é um quadrado; d) Ele é circunscrito à circunferência. 86. a) Regular; b) Não regular; c) Não regular; d) Regular.

a) Qual é o nome do quadrilátero MNPQ que você desenhou? b) Dê os nomes de quatro triângulos retângulos da figura. c) Dê os nomes de quatro triângulos isósceles da figura.

83. Desenhe um triângulo equilátero ABC e a circunferência circunscrita a ele.

84. Desenhe um retângulo XYZW e a circunferência circunscrita a ele. 85. Desenhe uma circunferência e dois diâmetros AB e CD perpendiculares

entre si. Desenhe as tangentes à circunferência passando por A, B, C e D. Elas se cortam em quatro pontos formando um quadrilátero. Meça os lados e os ângulos desse quadrilátero e responda às perguntas:

a) O que se conclui sobre as medidas dos lados? b) O que você descobriu sobre os quatro ângulos? c) Como se chama esse quadrilátero? Justifique. d) O que se diz desse quadrilátero em relação à circunferência?

Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais 86. Escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente cada letra da tabela a seguir:

Quadrado Retângulo Losango

Polígono Regular ou não?

Triângulo equilátero

Observe o hexágono regular e o pentágono regular a seguir: C

S B

S A

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87. Desenhe um hexágono ABCDEF, inscrito em uma circunferência de

centro O, e as mediatrizes dos lados AB e BC do hexágono. O que você observou em relação ao ponto de interseção dessas mediatrizes?

88. Explique por que o ponto de interseção das mediatrizes do exercício anterior é o centro da circunferência.

89. V ou F: todo hexágono regular é inscritível. 90. Considere um pentágono regular XYZWT e as mediatrizes dos lados XY e YZ.

a) O que se pode dizer em relação ao ponto de interseção dessas mediatrizes? b) E em relação ao ponto de encontro das mediatrizes de YZ e ZW?

c) Com base no que você observou no itens anteriores, o que você conclui?

91.

Observe cada figura a seguir e complete ou faça o que se pede:

Recorde: a) mediatriz de um segmento é uma reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele. b) se um ponto pertence à mediatriz de um segmento, então esse ponto equidista dos extremos do segmento; c) se um ponto equidista dos extremos de um segmento, ele pertence à mediatriz desse segmento. Proponha no quadro: desenhar a mediatriz de cada um de três segmentos dados. 87. O ponto de interseção das mediatrizes desenhadas é o centro O da circunferência circunscrita. 88. O ponto O pertence à mediatriz do lado AB porque equidista dos pontos A e B. Pelo mesmo motivo, O pertence à mediatriz do lado BC porque equidista dos pontos B e C. Logo, como O pertence às duas mediatrizes, ele é o ponto de interseção de ambas. Proponha: desenhar no quadro diversos polígonos (todos) inscritos: a) um quadrilátero que não seja paralelogramo; b) um triângulo que tenha como um dos lados um diâmetro, e explicar por que ele é um triângulo retângulo; c) um quadrilátero que tenha apenas dois ângulos retos; d) um trapézio isósceles tendo como base maior um diâmetro; e) um hexágono que tenha exatamente quatro lados de mesma medida. 89. Verdadeiro.

Copie as figuras a, b e cem seu caderno e, em seguida, desenhe um segmento de reta com extremo no ponto O e perpendicular a um dos lados do polígono. Chame de H o ponto de interseção deste segmento perpendicular com o lado.

a) Em cada caso, descreva com o compasso uma circunferência de centro O e raio OH.

b) V ou F: nos três casos, a circunferência descrita tangencia todos os lados do polígono regular.

c) V ou F: o triângulo equilátero, o quadrado e o pentágono regular são circunscritíveis, isto é, é possível desenhar uma circunferência que tangencie todos os seus lados.

d) V ou F: todo polígono regular é circunscritível.

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90. a) Por pertencer às duas mediatrizes, equidista de X, Y e Z; b) também equidista de Y, Z e W; c) todas as mediatrizes dos lados do pentágono se interceptam em um mesmo ponto que, por equidistar dos extremos desse pentágono, é o centro da circunferência circunscrita a ele. Logo, o pentágono regular é inscritível. 91. a) Tarefa do aluno; b) V; c) V; d) V. (Lembre-se da observação contida na página 14.)

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Releia a observação do último texto da margem da página 30: “Com base [...] 22, 23 e 24”.

92. Observe a figura ao lado;

Dedique especial atenção ao conceito de apótema do polígono regular: é o raio da circunferência inscrita no polígono. No momento não estamos nos referindo a apótemas de faces de pirâmides. Se julgar necessário, explore no quadro os mesmos conceitos relacionados com outros polígonos regulares. 92. a) Pentágono regular; b) Sim, pois existe uma circunferência que passa por todos os seus vértices; c) Sim, pois todos os seus lados tangenciam uma mesma circunferência; d) Circunscrita; e) Inscrita.

93. a) O centro de um polígono regular é o centro das circunferên cias inscrita e circunscrita. b) Raio de um polígono regular é o raio da circunferência circunscrita. c) Apótema de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita.

a) Os lados do polígono da figura

Proponha no quadro: a) escrever as siglas dos casos de congruência de triângulos e interpretálas. b) provar que os ângulos centrais de polígonos regulares têm, todos, medidas iguais. 95. Quadrado = 90º. Pentágono = 72º. 96. 54º.

centro O

têm medidas iguais, bem como todos os seus ângulos. Qual é o nome desse polígono?

raio

b) Este polígono é inscritível?

ângulo central

Justifique sua resposta.

c) Este polígono é circunscrití-

circunferência inscrita

vel? Justifique sua resposta.

apótema

d) OA é o raio de qual circunferência: inscrita ou circunscrita?

e) O apótema do polígono é o raio de qual das duas circunferências?

93. Considerando as circunferências inscrita e circunscrita a um polígono regular, o que se pode corretamente afirmar sobre:

a) Centro de um polígono regular? b) Raio de um polígono regular?

c) Apótema de um polígono regular?

94. Observe os polígonos regulares inscritos das figuras a, b e c: a.

Mais uma vez, veja a observação da página 14 sobre generalizaçoes. 94. 360º.

circunferência circunscrita

ela permitirá a você responder aos diversos itens a seguir:

Agora, responda: quanto mede, em graus, a soma de todos os ângulos centrais de todos eles?

95. Na figura a, do exercício anterior, cada ângulo central do triângulo equilátero mede:

360o = 120º. 3

Calcule as medidas dos ângulos centrais do quadrado da figura b e do pentágono da figura c.

96.Na figura c, do exercício 94, você vê cinco triângulos isósceles. Como você já calculou as medidas dos ângulos centrais (72o), calcule as medidas dos ângulos da base desses cinco triângulos.

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Você viu que: (A) A medida de um ângulo central de um 360o triângulo equilátero é = 120º. 3 (B) A medida de um ângulo central de um 360o quadrado é = 90º. 4 (C) A medida de um ângulo central de um 360o pentágono regular é = 72º. 5

97. Calcule a medida de um ângulo central de: a) Um hexágono regular.

b) Um octógono regular.

c) Um decágono regular.

98. Nos exercícios anteriores, você viu que a medida de cada ângulo central, de polígonos regulares se obteve dividindo 360º pelo número de lados desses polígonos. Com base neste fato, responda:

a) Qual a expressão da medida do ângulo central de um polígono regular de N lados?

b) Se o ângulo central de um polígono regular mede 24º, quantos lados tem este polígono?

99. Observe novamente os três polígonos regulares, e resolva os itens a seguir, justificando os cálculos:

a) Calcule as medidas dos ângulos centrais em cada figura. b) Calcule a medida dos ângulos da base dos triângulos isósceles formados nos interiores nesses polígonos.

c) Calcule a medida do ângulo formado por dois lados consecutivos de cada um desses polígonos.

100. Você já sabe que a soma dos ângulos internos de um polígono de n

lados é dado pela fórmula Si = (n – 2) . 180º. Se o polígono é regular e tem n lados, tem também n ângulos internos de medidas iguais. Logo, a (n – 2) × 180º . Use n esta fórmula para confirmar os resultados do item (c) do exercício 99.

97. a) 60º; b) 45º; c) 36º. 98. a) Medida do ângulo central = 360º /N; b) 15 lados. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque do exercício 98. 99. a) 360º/3 = 120º, 360º/4 = 90º; 360º/5 = 72º. b) 30º, 45º, 54º; c) 60º, 90º, 108º. Justificativa: uso da fórmula anterior: 360º/N, sendo N o número de lados do polígono (a) 30º, (b) 45º, (c) 54º. Foram usadas as seguintes propriedades: 1ª.) Os ângulos na base de triângulos isósceles têm medidas iguais. 2ª.) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 100. (a) 60º; (b) 90º; (c) 108º; (a) a3 = (3 – 2) x 180º/3 = 60º etc. Comente com os alunos que a fórmula da resposta 98 (a) e a fórmula do exercício 100 são demonstradas pelos matemáticos.

medida ai de cada um deles é dada pela fórmula ai =

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101. a) Desenho do aluno. b) Apótema = 2 cm; Raio = 2

cm;

c) Lado = 6

cm;

Apótema = 3

cm.

102. a) Apótema = 3

cm;

b) Raio = 8

cm. 3

Peça justificativas para as respostas do exercício 103. 103. a) Triângulo equilátero; b) Tarefa do aluno; c) Apótema do triângulo equilátero; d) São iguais; e) Losango; f) V; g) V; h) V; i) Apótema = 2 cm; Lado = 4

cm; cm;

j) Apótema = Raio =

cm.

104. a) Apótema = 4cm; Lado = 8

cm; cm;

b) Apótema = Raio =

cm.

101. Desenhe uma circunferência de centro O e inscreva nela um quadrado ABCD.

a) Desenhe o apótema OH, relativo ao lado AB, e o raio AO. b) Se o lado AB mede 4 cm, calcule as medidas do apótema e do raio. c) Se o raio OA mede 6 cm, calcule as medidas do lado e do apótema.

102.Desenhe uma circunferência de centro O e inscreva nela um hexágono.

a) Se o raio mede 6 cm, calcule a medida do apótema. b) Se o apótema mede 4 cm, calcule a medida do raio.

103. Desenhe uma circunferência de centro O e marque nela seis pontos consecutivos, vértices de um hexágono regular ABCDEF (não desenhe o hexágono). Agora, trace os segmentos AC, CE e EA.

a) Qual é o nome do polígono regular que você acabou de desenhar? b) Trace o raio OD perpendicular ao lado CE e chame de M o ponto no qual ele corta o lado CE.

c) Que nome recebe o segmento OM? d) Trace os segmentos OC, OE, CD e DE. O que se pode dizer de suas medidas? e) Qual é o nome do quadrilátero COED? f) V ou F: o ponto M é ponto médio das diagonais CE e OD. g) V ou F: as diagonais CE e OD são perpendiculares entre si. h) V ou F: o segmento CM é a metade do lado do triângulo equilátero ACE. i) Se o raio mede 4 cm, calcule as medidas do apótema e do lado do triângulo. j) Se o lado do triângulo mede 10 cm, calcule as medidas do raio e do apótema.

104. Considere um triângulo equilátero e as circunferências inscrita e circunscrita:

a) Se o raio da circunferência circunscrita mede 8 cm, calcule as medidas do apótema e do lado do triângulo.

b) Se o lado do triângulo mede 16 cm, calcule as medidas do raio da circunferência

Son Salvador

circunscrita e do apótema.

Se você marcar os pontos de tangência do triângulo circunscrito e unir com segmentos, como se chamará o triângulo assim obtido?

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ATIVIDADES OPCIONAIS SEMELHANÇA NA CIRCUNFERÊNCIA

105. Observe a na figura abaixo a circunferência de centro O e suas cordas. em seguida responda ou faça o que se pede:

a) Identifique duas cordas da circunferência que se cortam.

b) Por que os ângulos inscritos C e B têm

medidas iguais?

c) Identifique dois ângulos opostos pelo

D B

vértice.

d) Por que o triângulo APC é semelhante

ao triângulo DPB?

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque do exercício 105 e desenhar, ao lado dele, a figura correspondente.

e) Copie em seu caderno e complete:

PA PC ? = ⇒ PA × PB = PC × .... PD .... ?

105. a) AB e DC; b) Porque, na circunferência, interceptam o mesmo arco. ˆ ˆ BPD ≅ APC, portanto D = Â, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º; ˆ ˆ c) BPD ≅ APC; d) Porque têm dois ângulos congruentes. e) PA/PD = PC/PB  ˆ PA x PB = PC x PD.

Você acabou de demonstrar uma propriedade das cordas que se cortam: “Se duas cordas de uma mesma circunferência se cortam, então o produto dos dois segmentos de uma delas, determinados pelo ponto de interseção, é igual ao produto dos dois segmentos da outra”.

106. Observe a figura e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente cada letra da tabela a seguir:

E B

Então

EC = 5

ED = 4

EB = 10

EA = a

EA = 2

EC = 3

ED = 4

EB = b

EC = 2,5

ED = 10/3

EB = 6

EA = c

ED = 4

EC = 9

EA = EB

EA = d

EB = 3/50

EA = 2/3

EC = ED

ED = e

106. a = 2; b = 6; c = 25/18; d = 6; e = 0,2.

191

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107. Observe a circunferência de centro O, a tangente PT e a secante PS: T

Q S

a) A secante PS corta a circunferência no ponto S e em outro ponto. Identifique-o. b) O ângulo semi-inscrito PTQ tem, por medida, a metade da medida do arco TQ. Identifique um ângulo inscrito que tem essa mesma medida.

107. a) Q; b) TSQ; c) São semelhantes; d) PQ/PT = PT/PS ⇒ PQ × PS = PT × PT = (PT)2.

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque do exercício 107 e desenhar, ao lado dele, a figura correspondente.

c) Os triângulos TSP e TPQ têm dois ângulos de mesma medida: o ângulo P e os ângulos com marcas análogas na figura. O que se pode dizer desses dois triângulos?

d) Copie, em seu caderno, e complete:

PQ PT ⇒ PQ × PS = …… × …… ⇒ …… × …… = (PT)2 = PT ……

Você acabou de provar que: Se de um ponto externo a uma circunferência traçarmos uma secante a ela e uma tangente, o produto do segmento de secante por sua parte externa à circunferência será igual ao quadrado da medida do segmento de tangente.

108.Observe a circunferência, o segmento de tangente PT e os diversos segmentos de secantes:

T P

A C

B D

F 108. a) (PT) = PA x PB = PC x PD = PE x PF; b) PA x PB = PC x PD = PE x PF = (PT)2. 2

192

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Copie em seu caderno e complete:

? ? a) (PT)2 = PA × PB = PC ×.... = PE ×....

? ? 2 b) Logo, PA × PB = PC ×.... = PE ×.... = (PT)

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Você “descobriu” mais uma propriedade: Se de um ponto exterior a uma circunferência traçarmos um segmento de tangente e vários segmentos de secantes a ela, o produto de cada segmento de secante por sua parte externa à circunferência é constante e igual ao quadrado da medida do segmento de tangente.

109. a) 12; b) 4,67 = 14/3; c) 0,3; d) 17/8; e) 20/3  6,67; f) 0,46; g) 5; h) 14; i) 5; j) 59/5  11,8; k) 2; l) aproximadamente 0,56.

109. Em cada caso a seguir, calcule x: c.

a. 4

0,9

3,6 1,2

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, a figura do exercício 109 e o quadro em destaque no alto desta página.

9 8

0,5

0,8

0,4

10 x 5

g. 2x

h. 5

x x

10,2

9,8

l. x

0,5

0,5x

1,2

3x 2

0,4x

193

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Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Reveja os exercícios

Como caracterizar a circunferência, o círculo e suas partes por suas propriedades.

1, 2.

Como resolver problemas relacionados com medidas de cordas, arcos e tangentes.

70.

Como caracterizar a mediatriz de um segmento e a bissetriz de um ângulo por suas propriedades.

4, 5, 18.

Como identificar ou construir alturas, medianas e mediatrizes de triângulos.

9, 10, 11, 12, 13, 16.

Como utilizar propriedades físicas de pontos de figuras relacionadas com seus centros de gravidade.

14, 15, 20, 21.

Como resolver ou descrever como resolver problemas de construções geométricas usando régua não graduada e compasso.

3, 6, 7, 8, 17, 19.

Como desenhar figuras geométricas e descobrir suas propriedades, medindo lados ou ângulos.

22 a 45.

Como calcular medidas de lados ou ângulos de polígonos que estejam representadas por monômios ou polinômios em uma variável.

24, 35, 41.

Como calcular medidas de ângulos centrais.

46.

Como identificar ou resolver problemas que envolvam: ângulos inscritos, ângulos semi-inscritos, ângulos com vértice no interior e ângulos com vértice no exterior de uma circunferência.

47 a 61, 66 a 68.

Como resolver problemas de relações métricas entre cordas, distâncias destas ao centro e raio de circunferências dadas.

62 a 65.

Como desenhar, conceituar ou construir a circunferência circunscrita a um polígono.

74 a 78.

Como desenhar, conceituar ou construir a circunferência inscrita em um polígono.

79 a 81.

Como identificar polígonos inscritíveis e polígonos não inscritíveis.

89, 90, 91.

Como desenhar, identificar ou conceituar polígonos inscritos em circunferências.

82 a 85, 92.

Como desenhar, identificar ou conceituar polígonos circunscritos a circunferências.

92, 93.

Como resolver problemas de cálculo de ângulos internos de polígonos regulares.

94 a 98.

Como identificar polígono regular, seu centro, o raio, o apótema e o ângulo central.

92, 93.

Como resolver problemas de relações métricas envolvendo segmentos que interceptam uma circunferência.

105 a 109.

194

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CapItulo 7

age

eam

stim

e.c

, a c i t s Ă t a t s E e s a r t s o m a s e d a d i l i b a b pro

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• Elaborar ou analisar perguntas que forneçam dados para pesquisas estatísticas. • Calcular média, mediana e moda de um conjunto de dados, bem como interpre• • • • • • • • •

tar qual é a utilidade destes conceitos. Decidir se os dados de uma pesquisa são ou não confiáveis. Interpretar dados registrados em tabelas ou em gráficos. Escolher o tipo de gráfico mais adequado para registrar dados, de modo a facilitar sua compreensão. Elaborar tabelas com dados anotados de maneira não organizada. Distribuir dados por classes em tabelas e calcular os percentuais de todo o conjunto de dados correspondentes a tais classes. Elaborar gráficos de barras, de setores ou de poligonais com base em dados registrados em tabelas. Calcular chances (probabilidades) de ocorrerem fatos particulares dentre um conjunto de todos os possíveis fatos relacionados com determinado fenômeno. Identificar, em dados relacionados com pesquisas, a “população” e a “amostra”. Decidir se determinada parte de uma população é uma amostra adequada para determinada pesquisa. Habitantes por faixa de idade (em milhões)

40 20 0

< 5

5a 17

18 a 24

25 a 34

35 a 44

45 a 64

65 ou mais

Fonte imaginária

Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página.

Neste capítulo, você vai rever ou aprender como:

Valores aproximados

Leia o último texto da página 10 (Observação importante).

Classes de idades

Produção dos dois modelos de veículos

Estação do ano em que nasceu

primavera 40%

outono 20%

verão 30%

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Fonte imaginária

18 16 14

MODELO A

12 10

MODELO B

8 6 4 2 0

JAN

FEv

MAR

Meses

ABR

MAI

Fonte imaginária

inverno 10%

Unidades produzidas em milhares

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um pouco mais sobre estatística Explorando o que você já sabe Responda:

•

A razão entre meninos e meninas em uma sala é de 3 : 4 (três para quatro). A cada grupo de 7 alunos, quantos são os meninos e quantas são as meninas?

•

Ao lançar um dado, qual é a razão que representa a chance (ou probabilidade) de a face que contém 3 pontinhos ficar voltada para cima?

•

Após uma pesquisa sobre preferência de dois modelos A e B de veículos, concluiu-se que a razão de preferência a favor do modelo A era de 7 : 3. Se o dono de uma revendedora fosse encomendar 100 desses modelos à fábrica, quantos veículos de cada modelo ele solicitaria?

•

Qual é a porcentagem de preferência correspondente a cada um desses modelos?

Releia, na página 10, “Observação importante” e, na página 11, Recado ao(à) professor(a): “Aproveitamos [...] e explore-as”. ATIVIDADES ORAIS • Três meninos e quatro meninas. • 1 para 6. • 70 do modelo A e 30 do modelo B. • 70% de preferência pelo modelo A e 30% de preferência pelo modelo B.

Aprendendo em sala de aula Na verdade, existem dois níveis de estudos de Estatística. Um é o que você já fez e cujos conceitos vai rever e ampliar, chamado “Estatística descritiva”. O outro está em um nível mais elevado, estudado nos cursos superiores, nas, Universidades.

Son Salvador

Professor, já fiz diversos estudos com gráficos estatísticos. Mas, o que é mesmo Estatística?

Son Salvador

E o que é necessário para compreender o que é “estatística descritiva”?

Não é possível responder em uma única frase. Você verá a resposta estudando o que segue.

197

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Sugerimos que os textos intermediários aos exercícios sejam lidos em voz alta por um aluno e que sejam feitos os comentários que julgar pertinentes.

Para compreender a Estatística Descritiva, devemos saber como colher informações numéricas sobre diversos fatos, calcular proporções e porcentagens, organizá-las em tabelas e nos diversos tipos de gráficos. Mas isso é apenas o começo. Dispostas as informações de maneira organizada, é necessário que se saiba interpretá-las. Algumas dessas interpretações se resumem, apenas, na leitura das informações contidas nos gráficos ou tabelas, para que se conheçam, por exemplo, as preferências de pessoas sobre esportes, diversões, sabores de alimentos, candidatos a cargos políticos, marcas de produtos, e diversas outras pesquisas de preferências. Outras vezes, procura-se a comparar dados como preços de mercadorias, oportunidades de emprego, colocação de times em campeonatos, média de notas de turmas em determinada disciplina etc.

Leia na margem da página 43, o último texto: “Por questão de economia de espaço”.

O mundo moderno não vive sem a Estatística. Os governos, a indústria, o comércio, a pesquisa científica dependem fundamentalmente dela. É através das pesquisas estatísticas que se tiram conclusões e se fazem previsões. Por exemplo, a estatística permite prever aumentos de populações, o avanço de doenças contagiosas, a necessidade da descoberta e utilização das mais variadas fontes de energia, a necessidade de alimento e de água que o mundo terá em anos futuros, acarretando, como consequência, que todos se unam nos trabalhos de melhoria da qualidade e na preservação da natureza.

Júlia Bianchi, 2006

Comente com os alunos que existem algumas empresas e órgãos especializados em fazer pesquisa, como, por exemplo, o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) e a Fundação Getúlio Vargas. Sugira a eles que procurem, em revistas e jornais, referências a outros órgãos de pesquisa.

Uma pergunta que se faz é: como as interpretações de dados podem servir para outras fontes?

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Ao fazer uma pesquisa, Delmiro perguntou a duas pessoas: “Quantos anos você tem?”. A primeira respondeu: “Tenho 22 anos”. A segunda respondeu: “Tenho 43 anos e 5 meses”.

a) Se para a pesquisa é importante saber quantos anos e quantos meses tem cada pessoa,

1. a) Não; b) Quantos anos e meses completos de idade você tem? c) Quantos anos completos você tem?

a pergunta de Delmiro foi benfeita?

b) Se o objetivo dele fosse o descrito no item anterior, como deveria ser feita a pergunta?

c) Se, para a pesquisa, interessa saber apenas a idade em anos, como Delmiro deveria fazer a pergunta?

2. Imagine que você vai fazer uma pesquisa sobre preferência das pessoas em relação a três marcas diferentes de refrigerantes: Jaraná, Peticoka e Finta.

a) Para registrar os resultados, o que você faria: anotaria os nomes das pessoas com suas preferências ou anotaria as quantidades de pessoas relacionadas com o refrigerante preferido?

b) Se você fosse anotar os dados em uma tabela em colunas, de quantas colunas iria necessitar?

c) Que título deveria anteceder as colunas?

d) Que títulos você colocaria em cada uma dessas colunas?

e) Você usaria um lápis e borracha e, a cada momento, iria apagando o número anterior e substituindo pelo sucessivo, ou usaria outro recurso? Se fosse usar outro recurso, descreva qual seria.

Os dados estatísticos, a média, a mediana e a moda Em Estatística trabalha-se com um grande volume de dados, e fica difícil extrair deles conclusões. Para analisá-los existem diversas técnicas. Uma delas é, num certo sentido, resumir as informações neles contidas utilizando certos valores numéricos, conhecidos como medidas de posição de tendência central, dos quais um exemplo bem conhecido é a média.

2. a) Anotaria a quantidade de pessoas relacionadas com o refrigerante preferido. b) Três. c) Pesquisa de preferência sobre refrigerantes. d) Na primeira, “Jaraná”, na segunda, “Peticoka” e, na terceira, “Finta”. e) Usaria outro recurso. Por exemplo: A cada resposta, faria uma pequena marca na coluna do refrigerante mencionado, usando, de preferência, quadrados com uma diagonal, cada lado correspondendo a uma pessoa, bem como a diagonal. Isto me permitiria contar de 5 em 5. Professor(a): comente com os alunos que existem outras medidas estatísticas de posição, chamadas “de separação”, como quartis, percentis, quintis, decis. Também há as medidas de “dispersão”, como desvio padrão e variância. Estas medidas são estudadas, em geral, em cursos do ensino superior mas, se achar conveniente, pode solicitar aos alunos pesquisas sobre o assunto.

Dizer que, em média, uma agência de um Banco atende 300 clientes por hora é resumir um conjunto de dados registrados por pesquisadores que anotaram quantos clientes foram atendidos durante algumas horas, ou, até mesmo, durante alguns dias. Isto não significa que em toda hora são atendidos exatamente 300 clientes. Por exemplo, se durante 5 horas foram atendidos 1 500 clientes, a média é de 300 clientes por hora, mas podem ter sido atendidos 600 clientes na primeira hora e nenhum na segunda. Uma pesquisa como essa ajuda a diretoria do banco a organizar suas agências, umas tendo mais funcionários e máquinas à disposição dos clientes que as outras, dependendo das médias de atendimento obtidas. No oitavo ano, você viu como calcular três desses tipos de valores: a média, que citamos a acima, a mediana e a moda. Pela grande importância deste estudo, você voltará a fazer atividades que envolvem o cálculo destas medidas de posição.

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3. a) Modelo A 10 10 12 14 14 14 14 16 16 18

Modelo B 12 14 15 16 16 16 18 18 18 20

b) A = 13,8; B = 16,3; c) 13,8 milhares do modelo A; d) 16,3 milhares do modelo B; e) Modelo A = 14; modelo B = 16 e 18; f) A = 14, B = 16; g) Inicialmente, devemos ordenar os valores 42, 38, 25, 34, 46, 30, 25, 30, escrevendo, inclusive, as repetições. Assim: 25, 25, 30, 30, 34, 38, 42, 46. Depois, como existe uma quantidade par de valores, calcular a média aritmética dos dois valores centrais: média aritmética de 30 e 34 = 32. Comente que, quando o número de dados numéricos é muito grande, um modo mais prático para calcular a média é somar os produtos dos dados por sua respectiva frequência e dividir o resultado pela soma das frequências, ou seja, usar a média aritmética ponderada usando as frequências como pesos. Explore exemplos. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque desta página (média, moda, mediana).

Observe a tabela comparativa de produção (em milhares) de dois modelos de automóveis durante dez meses: MODELO A

MODELO B

MODELO A

FEV

MAR

ABR

MAI

JUN

AGO

SET

OUT

NOV

DEZ

MODELO B

a) Faça em seu caderno uma tabela, como se vê à direita, e escreva novamente os va-

lores dados na tabela da esquerda, em ordem crescente e repetindo-os tantas vezes quantas forem necessárias.

Somando os números de uma sequência e dividindo a soma pelo total deles, você obtém a MÉDIA ARITMÉTICA desses números.

b) Use a tabela que você fez no exercício anterior e calcule as médias aritméticas relativas ao modelo A e ao modelo B.

c) Qual foi a produção média mensal do modelo A durante os dez meses de produção? d) Qual foi a produção média mensal do modelo B durante os dez meses de produção? O número (ou os números) de maior frequência em uma sequência ordenada de números chama(m)-se MODA dessa sequência. Se todos os números da sequência forem diferentes, não existe moda.

e) Se existirem, identifique a moda (ou as modas) das duas sequências de valores da tabela de modelos de veículos produzidos.

MEDIANA de uma sequência escrita em ordem crescente ou decrescente, que contém uma quantidade ímpar de números, é o número que ocupa a posição do meio (equidistante dos extremos). Por exemplo, para obtermos a mediana da sequência 70, 77, 72, 76, 72, 75, 69, 78, 68, primeiro ordenamos a sequência: 68, 69, 70, 72, 72, 75, 76, 77, 78.

200

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Observe que:

I) Números que se repetem foram escritos tantas vezes quantas se repetem.

II) A mediana é 72 porque existem 4 números antes e 4 depois, isto é, ela equidista dos extremos.

Se a sequência tem uma quantidade par de números, a mediana é a média aritmética dos dois números que ocupam as posições centrais. Por exemplo, a mediana da sequência (já ordenada): 34, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 40, 43, 45, 49, 50 37 + 38 = 37, 5 2

f) Calcule a mediana das duas sequências de valores da tabela de modelos de veículos produzidos. g) Calcule a mediana do seguinte conjunto de valores:

42, 38, 25, 34, 46, 30, 25, 30

Leia a observação na margem da página 43: “Por questão [...] simplesmente:R$...”. 4. a) Sim; b) O modelo B, porque sua média mensal de produção é maior que a do modelo A. Professor(a): comente com os alunos que, relação à resposta do exercício 4, a média nem sempre é uma boa medida pois, por exemplo, a concentração da produção do automóvel B poderia estar em apenas um ou dois meses. Mas as outras medidas apresentadas (moda e mediana) ajudam a verificar que a média está bem distribuída. No caso do exemplo, as modas são 16 e 18, e a mediana é 16, o que nos informa que a média de 16,2 milhares é uma boa medida.

Celina disse que uma pesquisa, como a anterior, ajuda a fábrica de automóveis a programar quantos veículos de cada modelo vai passar a fabricar em média, mensalmente.

a) O que Celina disse está correto? b) Com base nos resultados da pesquisa, qual dos dois modelos passará a ter maior produção mensal? Justifique.

Uma construtora vai projetar e construir prédios de apartamentos em um bairro. Para isto, fez antes uma pesquisa com parte da população do bairro para saber quantos filhos as famílias têm. O resultado foi a seguinte lista tabelada, onde os valores são o números de filhos de cada família pesquisada: 3

a) Reescreva esses valores em ordem crescente, repetindo-os quando necessário. b) Calcule a média e a moda (ou as modas) desses valores. c) Calcule a mediana deles. d) Em que seria útil para a construtora uma pesquisa como essa? e) Em qual dos resultados você acha que a construtora deve se basear para fazer os apartamentos: média, mediana ou moda?

f) Com base nesta pesquisa, a construtora deve fazer a maior parte dos apartamentos com quantos quartos: dois ou três?

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5. a)1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6; b) Média = 2,6, Moda = 2; c) 2,5; d) Para saber o tipo de constr ução a fazer, como, por exemplo, número de quartos, lazer, segurança etc.; e) Na moda, por ser o dado de maior frequência; f) Com três quartos, porque, sendo a moda 2, supõe-se que a preferência por apartamentos de 3 quartos será a maior de todas: um quarto para cada filho e um terceiro quarto para os pais.

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Dois conceitos importantes da Estatística são: a população e a amostra. População é o conjunto de todos os elementos objetos de nosso estudo. Amostra é um subconjunto da população, escolhido de modo a possibilitar tirar conclusões sobre características pesquisadas de toda a população. Veja um exemplo destes conceitos, relacionados com uma pesquisa sobre o estado civil dos homens que moram na cidade de Pesquisópolis. População: conjunto de todos os homens que moram na cidade de Pesquisópolis. Amostra: conjunto formado pelos 500 homens que moram na cidade de Pesquisópolis e que foram entrevistados, para responder: “Qual o seu estado civil?” Evidentemente, quanto maior for o número de elementos da amostra, mais confiáveis se tornam as conclusões sobre a pesquisa. Por exemplo, na fabricação de parafusos, tirar 1 em cada 500 para verificar se tem ou não defeito e verificar, depois de separar 100 destes, quantos apresentam defeito. Se 3 deles apresentarem defeito, é razoável dizer que 3% de todos os parafusos produzidos apresentam defeito. Em situações-problema de estatística, os dados devem satisfazer condições que os caracterizam, como, por exemplo, idades, preferência por refrigerantes, modelos de automóveis produzidos, número de irmãos, estado civil etc. Estas características recebem o nome de variáveis estatísticas. De acordo com essas características os dados se distribuem em classes. Por exemplo, em uma pesquisa sobre o estado civil, as classes são: casados, solteiros, viúvos, separados. Existem dois tipos de dados que constituem uma amostra: dados qualitativos e dados quantitativos, de acordo com a(s) variável(is) que os caracteriza(m). Os qualitativos, como o nome sugere, são dados relacionados com qualidades dos elementos da amostra que não podem ser medidas, mas classificadas, como, por exemplo, dados relacionados com o estado civil: casado, solteiro, viúvo, separado. Os dados quantitativos são caracterizados pelo fato de se poder medi-los. Suas medidas podem ser discretas (como número de filhos, quantidade de modelos produzidos) ou contínuas (como pesos, alturas de pessoas). Média, mediana e moda são chamadas medidas de posição de tendência central, porque são valores em torno dos quais os dados se distribuem e são utilizadas para, representados estes dados, permitir tirar conclusões sobre diversas de suas características. Não é possível afirmar quando

202

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se utiliza uma ou outra com vantagens. Apenas em alguns casos é possível fazer alguma observação sobre qual delas usar: se, no conjunto de dados, não existirem valores muito discrepantes, recomenda-se a média aritmética para representá-los; caso contrário, usa-se a mediana: valores discrepantes fornecem médias não confiáveis. Para esclarecer, veja as duas situações a seguir e os comentários sobre elas: Comparando as listagens de aparelhos celulares vendidos por 10 vendedores de duas lojas, em determinado dia: 1ª loja: 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 10.

Média aritmética: 6 aparelhos por vendedor.

2ª loja: 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 10, 46. Mediana: 4; média aritmética: 9.

No primeiro caso, a média aritmética é “bem próxima” da quantidade vendida por vendedor. Já no segundo caso, a mediana revela muito mais a produção dos vendedores do que a média aritmética, que se tornou alta pelo valor discrepante (46). A moda é mais usada quando os dados são qualitativos ou quando há uma repetição muito grande de um dado em relação aos demais.

6. Suponha que, na pesquisa sobre estado civil dos homens de Pesquisó-

polis, citada anteriormente, fosse possível obter dos entrevistados respostas afirmativas sobre o estado civil, coincidindo com as quantidades vistas na coluna com o título de frequência absoluta da tabela abaixo, chamada tabela de frequência. Na tabela, as classes correspondem ao estado civil dos entrevistados. Entrevistados

500 homens que moram na cidade

Classes

Frequência absoluta

Frequência relativa

Casado

200

0,4 ou 40%

Solteiro

0,17 ou b

Viúvo

c ou d

Separado

190

0,38 ou 38%

Totais

500

1,00 ou 100

6. a) 85. b) 17% c) 0,05 d) 5%.

Observe a tabela de frequência e escreva, em seu caderno, os valores correspondentes às letras a, b, c, d, justificando os cálculos. Note que a frequência relativa é obtida calculando-se a razão da frequência absoluta da classe pelo total de elementos da amostra.

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203

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7. a) Frequência absoluta de um dado, com determinada característica, é o número de vezes que este dado é obtido na amostra; a) Frequência relativa de um dado, com determinada característica, é a razão entre a frequência absoluta deste dado e o total de elementos da amostra. 8.a) A = 8; B = 8; C= 64; D = 25%; E = 0,125 ou 12,5%; F = 18,75%; G = 0,125 ou 12,5%; b) 1 ou 100%.

Observando novamente a tabela de frequência do exercício anterior, escreva em seu caderno as frases a seguir, completando-as:

a) Frequência absoluta de um dado, com determinada característica, é o número de

vezes que este dado é obtido na ....

? b) Frequência relativa de um dado, com determinada característica, é a razão entre a .... deste dado e o total de elementos da amostra.

8. Em 64 lançamentos de um dado em uma superfície plana horizontal, registrou-se o número de vezes que cada face numerada ficou voltada para cima, como se vê na tabela abaixo: Número da face voltada para cima

Observe, agora, a tabela de frequência a seguir, relacionada com estes dados: Tabela de frequências Classes

Frequência absoluta

Frequência relativa

0,125 ou 12,5%

0,1875 ou 18,75%

0,25 ou D

0,1875 ou F

G ou H

Totais

a) Escreva em seu caderno o que deve substituir corretamente cada letra de A até H na tabela acima.

b) Qual deve ser a soma de todas as frequências relativas?

9. 204

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Com os dados da tabela anterior, Frederico construiu os dois gráficos a seguir usando, no gráfico de setores, valores percentuais aproximados para as frequências relativas.

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Responda com base na tabela de frequências e nos gráficos correspondentes: Gráfico de colunas

16 12 8 0

Frequências

LAnçAMEnTOs DE uM DADO

Números das faces

Gráfico de setores LAnçAMEnTOs DE uM DADO

9. a) A quantidade de vezes que as faces com o número 5 ficaram voltadas para cima; b) Azul e amarela; cinza, verde e rosa; c) 2 e 5 (amarela e azul), 1, 4 e 6 (cinza, verde e rosa); d) Representam as frequências relativas (aproximadas) das classes 2 e 5, isto é, as faces com números 2 e 5 ficaram voltadas para cima, aproximadamente 19% cada uma, do total dos 64 lançamentos; e) 43,2 graus, ou seja, 42o12’ (12% de 360 graus); Professor(a), observe que se fosse usada a porcentagem exata, 12,5%, o ângulo seria de 45º.) f) 90 graus (25% de 360 graus); g) 67,5 graus, ou seja, 67o30’; h) Representa o total de lançamentos: 64.

a) No gráfico de colunas, se cada base mede 1, o que representa a área da coluna azul? b) No gráfico de setores, quais as cores das classes que têm percentuais iguais?

c) A quais números contidos nas faces dos dados correspondem esses percentuais? d) Qual o significado dos percentuais das classes 2 e 5?

e) A quantos graus corresponde o setor que representa a frequência relativa das faces que têm o número 1?

f) A quantos graus corresponde o setor que representa a frequência relativa das faces que têm o número 3?

g) Se Frederico tivesse usado a frequência relativa 18,75% para a classe 2, a quantos graus corresponderia a medida do setor correspondente?

h) No gráfico de colunas, o que representa a soma das áreas de todas as 6 colunas, considerando as bases com medida 1?

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10. a) Tarefa do aluno; b) Aproximadamente 63%; c) Não; d) Se ela somasse: 7 + 12 + 18 = 37 e subtraísse: 100 – 37 = 63.

10.

Em uma pesquisa, constatou-se que no país P a população no ano A era assim distribuída: Classes: Faixas de idades

Número aproximado de pessoas em milhões

Menores de cinco anos

5 - 17

18%

18 - 24

12%

25 - 34

18%

35 - 44

14%

45 - 64

19%

65 ou mais

12%

Total

241

Porcentagens aproximadas

A frequência relativa da classe 18-24 é de, aproximadamente, 12% porque o quociente de 28 por 241 equivale, aproximadamente, a 0,116, ou seja, 11,6%, que “arredondados” resultam em 12%.

a) Confira as porcentagens aproximadas registradas na tabela a seguir, das classes 25-34 e 45-64.

b) Considerando que a parte da população que trabalha concentra-se entre as idades de 18 a 64 anos, qual a porcentagem desta parte em relação a toda a população?

c) Para resolver o item anterior, Claudia somou 7 + 12 = 19, subtraiu 100 – 19 = 81 e respondeu: 81%. Ela raciocinou corretamente ou não?

d) Em qual condição o raciocínio que Claudia fez daria certo?

11. 11. Tarefa do aluno.

Para obter o gráfico de setores correspondente aos dados do exercício 10, é necessário calcular quantos graus devem medir os setores correspondentes a cada classe de idade. Como 1% de todo o disco corresponde a 3,6 graus, basta multiplicar cada porcentagem por 3,6 e arredondar o valor para a quantidade de graus mais próxima. Por exemplo, para a classe 25-34, temos: 18 x 3,6 = 64,8 e, “arredondando”, obteremos um setor de 65 graus para representar essa classe. Confira os resultados aproximados das classes 25-34 e 45-64 da tabela. Classes de idades em anos

Ângulos centrais correspondentes aos setores (em graus)

Menores de cinco anos

5 - 17

18 - 24

25 - 34

35 - 44

45 - 64

65 ou mais

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12.

Desenhe uma circunferência e marque nela ângulos centrais correspondentes aos percentuais da segunda coluna da tabela do exercício 11. Depois faça o gráfico de setores correspondente. Você deve ter obtido um gráfico parecido com o seguinte:

32 graus cima de zero graus

HABITAnTEs pOr FAIxA DE IDADE (EM MILHõEs) 18

Menores que 5 45

5 a 17 18 a 24 25 a 34

28 33

35 a 44 45 a 64 65 ou mais

a) Qual a classe da população que tem o menor percentual? b) O setor amarelo representa qual das classes?

c) Alguma das classes corresponde a um percentual de 25%? Justifique.

12. a) A classe dos menores de 5 anos; b) 18 a 24 anos; Fonte imaginária c) Não, porque um percentual de 25% corresponderia a um setor de 90 graus e todos os setores correspondem a ângulos centrais agudos; d) Azul; classe: 65 ou mais.

d) Qual a cor do setor correspondente a 29 milhões de pessoas e qual a classe correspondente?

e) Observe o gráfico de barras a seguir, correspondente aos mesmos dados do gráfico de setores acima. Descubra pelo menos 4 erros no gráfico de barras.

65 ou mais 45 a 64 25 a 34 18 a 24 5 a 17 <5

e) 1) Falta o título e citar a fonte. 2) A barra representativa da classe 45 a 64 está com comprimento 40 e deve ser 45, que é o valor da frequência relativa da classe. 3) A barra representativa da classe 25 a 34 está menor que 40 e seu comprimento deve corresponder a 43, que é a frequência absoluta da classe 4) A barra representativa da classe 5 a 17 está com comprimento maior que 60 e seu comprimento deve corresponder a 45, que é a frequência absoluta da classe.

<5 0

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13. a) 6, 5 e 12, respectivamente; b) 12%, 10% e 24%, respectivamente; c) População: todos os candidatos que fizeram provas do concurso. Amostra: candidatos que fizeram provas do concurso, na sala mencionada; d) Os dados são quantitativos.

13.

Diversas pessoas fizeram um concurso público. A nota máxima de uma das provas foi 120 pontos. O resultado dos candidatos que fizeram provas em determinada sala é o que se vê na tabela a seguir: 52

100

109

Faça em seu caderno uma tabela como a seguinte, com os dados da tabela cima, anotando na primeira coluna as “classes” de notas: de 0 a 9, de 10 a 19 etc., até 110 a 120, como se vê a seguir, que é um simples modelo. Você vai necessitar de mais linhas do que o modelo. Classes

Frequência absoluta

0a9

100 a 109 110 a 120

a) Registre apenas as frequências absolutas das classes 30-39, 40-49 e 50-59. b) Calcule as frequências relativas destas mesmas classes. c) Nesta situação, qual é a população e qual é a amostra? 14. Vinte candidatos.

208

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14.

d) Os dados são qualitativos ou quantitativos?

Considere os dados do exercício anterior e responda: quantos candidatos que fizeram provas na sala correspondente aos dados da tabela tiveram notas, no mínimo, equivalentes a 50% do total de pontos?

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15.

15. a) Exercícios 10, 11 e 12; b) Habitantes por faixa de idade; c) 0-5, 18-24, 35-44, 65 ou maior; d) 5-17, 25-34, 45 a 64.

Observe o gráfico a seguir: HABITAnTEs pOr FAIxA DE IDADE (EM MILHõEs)

Valores aproximados

Recomende ou explore a leitura de: “Atividades e jogos com estatística” – (p. 7-39) Marion Smoothey – Tradução de Sérgio Quadros. Coleção Investigação Matemática Editora Scipione.

60 40 20 0

< 5

5a 17

25 a 34

18 a 24

35 a 44

45 a 64

65 ou mais

Classes de idades Fonte imaginária

a) Ele corresponde a situações-problema já propostas em exercícios anteriores. Quais são esses exercícios? b) Qual o título do gráfico? c) Quais classes de idade têm menos de 40 milhões de pessoas? d) Quais classes de idade têm mais de 40 milhões de pessoas?

16. Na Escola Saber Tudo, uma pesquisa apontou o número de filhos da família de cada aluno.

a) Copie a tabela abaixo em seu caderno e registre na segunda coluna as frequências

Nº filhos 1 2 3 4 5 6

Foi registrado no quadro o seguinte resultado, obtido com os alunos da sala A.

Quantidade de famílias (frequência) IIII 4 IIIIIIIIIIIIII 14 IIIIIIIIIIII 12 IIIII 5 0 I 1

16. a)

absolutas e, na terceira, as frequências relativas. número de filhos Classe

Quantidade de famílias Frequência absoluta

1 2 3

Frequência relativa

Frequências relativas aproximadas: 11%, 39%, 33%, 14%, 0% e 3%; b) População: todos os alunos da Escola; b) Amostra: alunos da sala A.

4 5 6

b) Diga qual a população e qual a amostra desta pesquisa.

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17.

Use a tabela que você preencheu no item (a), do exercício 16, descubra os erros do gráfico a seguir, que Josefina fez para representar a mesma pesquisa, e diga como corrigi-los.

18. a) 40; b) 20%; c) Primavera; d) População: alunos da escola; Amostra: alunos da sala A.

18.

16 14 12 10 8 6

Fonte imaginária

inverno primavera 0

4 2 0

primavera

verão

outono

inverno

Estação do ano

verão

6 8 10 10

EsTAçãO DO AnO EM QuE CADA ALunO nAsCEu

outono

16 Estações do ano 20

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Na Escola Passagem para o Futuro, uma pesquisa revelou em qual estação do ano nasceram os alunos. O resultado foi registrado no gráfico a seguir, com dados colhidos com os alunos da sala A.

210

Total de filhos

Total de alunos

19. a) Primavera = 1/4; verão = 1/5; outono = 3/20; inverno = 2/5; b) Primavera = 25%; verão = 20%; outono = 15%; inverno = 40%; c) Primavera = 90º; verão = 72º; outono = 54º; inverno = 144º; d) 25% primavera; 20% verão; 15% outono; 40% inverno.

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Fonte imaginária

núMErO DE FILHOs pOr FAMíLIA

Quantidades de famílias

17. Os números de filhos 2, 3 e 4 não correspondem corretamente às respectivas quantidades de família. Para corrigir, aumentar 1 unidade nas colunas 2 e 3 e diminuir uma unidade na coluna 4.

19.

a) Quantos alunos foram entrevistados? b) Qual porcentagem deles nasceu no verão? c) Do total, 25% nasceram em determinada estação do ano. Qual foi ela? d) Qual a população e qual a amostra desta pesquisa? Use os dados do exercício anterior para resolver:

a) Calcule as razões entre os totais de alunos que nasceram em cada estação do ano e b) c) d) e)

o total de alunos entrevistados. Calcule as porcentagens correspondentes. Para fazer um gráfico de setores, calcule os ângulos centrais correspondentes. Faça o gráfico de setores. Faça o gráfico de segmentos correspondente.

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20. Em uma fábrica de automóveis, foram registrados os seguintes dados

sobre a produção de dois modelos de veículos, nos cinco primeiros meses do ano: prODuçãO DOs DOIs MODELOs DE vEíCuLOs 18 16 14

MODELO A

12 10

MODELO B

8 6

Fonte imaginária

Unidades produzidas em milhares

4 2 0

FEV

JAN

MAR

ABR

MAI

Meses

a) Em qual mês houve maior produção do modelo A? b) Em quais meses a produção do modelo B foi a mesma? c) Em quais periódos o modelo A teve um acréscimo de produção? d) Em quais período o modelo B teve decréscimo de produção? e) Em fevereiro e abril foram produzidas as mesmas quantidades de unidades dos

modelos A e B. Quantas unidades destes modelos foram produzidas em cada um desses meses? Em dois outros meses ocorreu o mesmo fato; quais foram esses meses e quantos veículos de cada modelo foram produzidos no período?

21.

f) Ao fim dos cinco meses, qual dos dois modelos teve maior produção?

Duas turmas A e B de um cursinho preparatório para concursos apresentaram os seguintes resultados, após as provas de um concurso: TURMA A

Situação

aprovados

reprovados Soma

20. a) Maio; b) Janeiro e abril; c) De janeiro a fevereiro e de março a maio; d) De fevereiro para março e de março para abril; e) 14 milhões de veículos de cada modelo; também nos meses de abril e maio, foram produzidos 18 milhões de veículos de cada modelo. f) Modelo B, do qual foram produzidos aproximadamente 78 mil unidades.

TURMA B

Frequência 20 40 60

Situação

Frequência

reprovados

aprovados Soma

30 80

Considerando que não houve desistências, responda:

a) Quantos alunos da turma A fizeram provas? E quantos da turma B?

21. a) A = 60, B = 80; b) Basta dividir 20 por 60 (aproximadamente, 33,3%); c) 30 : 80 = 0,375 = 37,5/100 = 37,5%; d) A turma B apresentou melhor rendimento (37,5% > 33,3%).

b) A tuma A teve um percentual aproximado de aprovações de 33%. Que conta se faz para chegar a essa conclusão?

c) Calcule o percentual de aprovação da turma B.

d) Qual das duas turmas apresentou melhor rendimento? Justifique sua resposta.

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22. a) Segmentos ou colunas; b) Setor; c) Colunas.

22. Diga qual dos tipos de gráfico (de setor, segmento ou colunas) você

Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

a) Para representar dados numéricos que variam com o tempo. b) Para representar dados, com o objetivo de compará-los entre si ou com o todo. c) Para representar dados relacionados com quantidades, contagens.

usaria:

Aprendendo em casa 23. Em uma entrevista com 40 alunos de uma sala, foram registrados em um gráfico os seguintes resultados: EsTAçãO DO AnO EM QuE CADA ALunO nAsCEu inverno 10%

Estação do Quantidade de alunos ano nascidos primavera 16 inverno 4 outono 8 verão 12

23. a) Primavera = 16, inverno = 4, outono = 8, verão = 12; b)

c) Na tabela acima; d) Tarefa do aluno.

24. a) Média = 20 625; Mediana = 4 500; b) Não existe; c) Sim; d) (4 000 : 80 000) = 0,05 = 5%.

outono 20%

primavera 40%

a) Calcule quantos alunos nasceram em cada estação do ano.

b) Faça uma tabela com duas colunas e

cinco linhas. Coloque os títulos nas duas colunas: na primeira, escreva “Estações do ano”, e, na segunda, “Quantidade de alunos nascidos”.

c) Use os dados do gráfico para completar a tabela.

d) Use um papel quadriculado e faça um

verão 30% Fonte imaginária

gráfico de colunas para representar os dados do gráfico ao lado.

24. Observe a tabela na qual são relacionadas as quantidades aproximadas

de escolas de ensino do primeiro grau em 1970, em diversas capitais de estados brasileiros: Capitais

Escolas de primeiro grau

Fortaleza Recife Salvador Belo Horizonte Rio de Janeiro São Paulo Curitiba Porto Alegre

1 000 2 000 4 000 10 000 80 000 60 000 5 000 3 000 Fonte: Serviço de Estatística da Educação e Cultura

a) Calcule a média e a mediana desses valores. b) Identifique a moda, se existir. c) Celso disse que, em 1970, o número de escolas em Salvador correspondia a apenas

5% do número de escolas do Rio de Janeiro. Verifique se a conclusão de Celso está correta.

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d) Que conta se faz para chegar a essa conclusão?

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pesquisa sobre o estado civil de pessoas que moram em uma cidade apresentou o seguinte resultado:

Estado civil

Frequência

Casado Solteiro Viúvo Separado Total

200 85 25 190 500

Copie em seu caderno a tabela a seguir, faça os cálculos necessários e registre:

a) Os percentuais correspondentes a cada um dos estados civis em relação ao total de pessoas pesquisadas.

b) Quantos graus deve ter cada setor angular do gráfico de setores correspondente a

25. Estado civil Percentuais em Medida, em graus, relação ao total do setor angular Casado 40% 144o Solteiro 17% 61o 12’ Viúvo 5% 18o Separado 38% 136o 48’ Total 100% 360

25. Uma

esta pesquisa.

Estado Civil

percentuais em relação ao total

Medida, em graus, do setor angular correspondente

Casado Solteiro Viúvo Separado Total

Probabilidade, amostras e Estatística Explorando o que você já sabe Responda:

• •

Um setor de 90 graus representa qual fração do disco? E um setor de 60 graus?

Uma caixa tem 50 bolas: 12 bolas azuis, 18 vermelhas e 20 brancas.

• • •

Qual a razão entre o número de bolas azuis e o total de bolas? Qual a razão entre o número de bolas vermelhas e o total de bolas? Qual a razão entre o número de bolas brancas e o total de bolas?

26. Em uma turma, existem 12 meninas e 18 meninos. O professor vai sortear um deles para ganhar um livro.

ATIVIDADES ORAIS • A quarta parte do disco (1/4). • A sexta parte do disco (1/6). • 12/50. • 18/50. • 20/50. Antes dos itens (a) e (b) do exercício 26, pergunte: quem tem maior possibilidade de ganhar o livro: um menino ou uma menina? Justifique a resposta. R) Um menino, porque existem mais meninos que meninas.

26. a) 12/30 = 2/5 = 40%; b) 18/30 = 3/5 = 60%.

a) Qual é a probabilidade de uma das meninas ser sorteada? b) Qual é a probabilidade de um dos meninos ser sorteado?

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27. a)90/360, 60/360, 150/360; b) 1/4, 1/6, 5/12.

27. Imagine um disco dividido em setores como o da figura a seguir e fi-

xado por um alfinete que passa pelo centro, podendo girar livremente. Ao girar, algum dos seus setores irá parar na direção de um ponto que chamamos de “ponto de chegada”.

Antes dos itens (a), (b), (c), pergunte: qual é a região que tem maior probabilidade de parar no ponto de chegada? Justifique. R) O setor g, porque é o maior de todos.

a) Calcule a razão entre a me-

Ponto de chegada

dida de cada ângulo central e a medida do disco, isto é, 360 graus.

b) Simplifique cada uma des-

R 60º

60º

90º

150º

sas razões.

G 28. a) 25%; b) 41,6% (aproximadamente); c) 33,3% (aproximadamente). (Observe que os dois formam um setor de 120º)

28. Em relação ao problema anterior, considere que, ao girar o disco, nenhum dos extremos dos arcos pare sobre o ponto de chegada.

Responda: após girar algumas vezes, qual é a probabilidade de parar na direção do ponto de chegada:

a) O setor de 90 graus? b) O setor de 150 graus? c) Um dos dois setores de 60 graus?

29. a) 32/64 = 50%; b) 8/64 = 12,5%; c) 24/64 = 37,5%.

30. a) 15/20 = 75%; b) 5/20 = 25%.

29. Em

um acampamento, existem 32 jovens brasileiros, 13 uruguaios, 8 peruanos e 11 argentinos. Se for sorteado entre todos um representante do grupo, qual é a probabilidade de o sorteado ser:

a) Brasileiro?

b) Peruano?

c) Uruguaio ou argentino?

30. De uma lista de 20 estados brasileiros, um aluno sabe localizar 15 deles no mapa. Em um exame de Geografia, qual é a probabilidade de esse aluno:

a) Localizar corretamente um estado escolhido dentre os 20 estados da lista? b) Localizar corretamente, por uma única tentativa, um estado cuja localização não conheça?

31. a) 9/36 = 25%; b) 9/36 = 25%; c) 18/36 = 50%; d) 3/36 = 8,33%; e) 5/36 = 13,88%; f) 6/36 = 16,66%.

31.

Laércio vai usar um dado para fazer dois lançamentos sucessivos. Como o dado é numerado de 1 a 6, existirão, ao todo, 36 possibilidades de faces voltadas para cima após esses dois lançamentos, que podemos representar por 36 pares ordenados: (1,1), (1,2), ... (6,5), (6,6). Responda: qual é a probabilidade de dar as seguintes combinações:

a) Duas faces com números pares. b) A face do primeiro lançamento com um número ímpar e a do segundo com um número par.

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c) Uma face com um número ímpar e outra com um número par. d) Faces cujas somas dos números seja 4. e) Faces cujas somas dos números seja 6. f) Faces cujos números sejam iguais.

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32. Observe o gráfico e a tabela a seguir: Número de alunos entrevistados: 35 núMErO DE FILHOs pOr FAMíLIA

Quantidades de famílias

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Total de filhos Fonte imaginária

Entrevistados

500 pessoas que moram em uma cidade

Estado civil

Frequência

Casado

200

Solteiro

Viúvo

Separado

190

Total

500

32. a) Os 600 moradores entrevistados; b) Todos os moradores do bairro.

O gráfico se refere a parte de uma “população”, chamada de “amostra”. A parte chamada de “amostra” é um grupo de 35 alunos entrevistados e a “população” é o grupo de alunos da escola. Do mesmo modo, em relação à tabela, a parte (amostra) é um grupo de 500 pessoas entrevistadas e a “população” é o grupo de moradores da cidade. Em uma pesquisa, foram entrevistados 600 moradores de um bairro. Identifique:

a) A amostra.

b) A população.

33. Uma parte deles.

33. Se você quiser saber a preferência dos habitantes de uma cidade sobre uma marca de sabonete, vai entrevistar todos ou parte deles?

34. No exercício anterior, destaque: a) A população.

b) A amostra.

35. Para saber se em um posto estão misturando água na gasolina, o fiscal examina todo o líquido do tanque ou colhe alguns litros do líquido e leva para examinar no laboratório?

34. a) Habitantes de uma cidade; b) Parte desses habitantes.

35. Colhe alguns litros do líquido.

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36. a) Todo o líquido do tanque; b) Alguns litros do líquido.

36. No exercício anterior, destaque:

37. Apenas alguns dos contidos em algumas das pequenas caixas.

37. Para testar a qualidade de um fósforo, o fiscal risca todos os fósforos de

38. a) Todos os fósforos de um depósito; b) Os fósforos contidos em algumas das pequenas caixas.

a) A população.

b) A amostra.

um depósito ou apenas alguns dos contidos em algumas das pequenas caixas?

38. No exercício anterior, destaque: a) A população.

b) A amostra.

Podemos resumir o que se viu até aqui: 39. Não, porque a maioria deles vai citar um dos três primeiros times, pois o Vasco não é time paulista. Faça breve abordagem oral sobre as atividades do “Aprendendo em casa” para verificar se os alunos estão aptos a resolvê-las.

40. a) 6/12 = – = 50%; b) 5/12 = 41,7%, aproximadamente; c) 6/12 = 50%; d) 4/12 = 1/3 = 33,3%, aproximadamente.

39. Se você perguntar a 100 torcedores de futebol, em São Paulo, para qual time torcem: São Paulo, Corinthians, Santos ou Vasco da Gama, você está escolhendo uma boa amostra para sua pesquisa? Justifique sua resposta.

A prendendo em casa 40. O dodecaedro da figura tem 12 faces em forma de pentágono regular. Suas faces são numeradas de 1 a 12.

Rolando-o, diga a probabilidade de a face inferior, na qual ele se apoiará, conter:

41. a) 9/40 = 22,5%; b) 5/40 = 1/8 = 12,5%; c) 26/40 = 13/20 = 65%. 42. Não. Porque quem mora em bairro que só tem mansões usa raramente transporte coletivo, não sendo a melhor parte da população de uma cidade para dar opinião sobre esse tipo de transporte. 43. a)Estamos interessados em colher determinadas informações. b) Características de toda a população.

41.

a) Um número ímpar. b) Um número primo. c) Um divisor de 12. d) Um múltiplo de 3.

De uma caixa contendo 9 bolas roxas, 7 verdes, 5 amarelas, 10 azuis e 9 pretas, tiramos uma ao acaso. Qual é a probabilidade de essa bola ser:

a) Roxa?

b) Amarela?

c) Nem roxa nem amarela?

42. Se você perguntar aos moradores de um bairro que só tem mansões sobre a qualidade do transporte coletivo da cidade, estará escolhendo uma boa amostra para sua pesquisa? Justifique sua resposta.

43. Copia em seu caderno e complete:

a) População é o conjunto de todos os elementos sobre os quais ...?...

b) Amostra é um subconjunto da população sobre os quais colhemos informações para concluir ...?...

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Explorando o que você aprendeu e aprendendo mais Vamos resumir, aqui, algumas etapas a serem cumpridas ao se fazer uma pesquisa estatística: ◆ Decidir o que se quer pesquisar Exemplo: Preferência sobre marca de sabonete. ◆ Selecionar as variáveis que vão ser utilizadas Exemplo: O que influencia a preferência: ✓ O preço? ✓ O perfume? ✓ A cor? ✓ O tamanho? ✓ O fato de causar ou não alergias? ✓ Ter maior durabilidade que outras marcas? ✓ Ser encontrado mais facilmente à venda? ◆ A coleta de dados Ao colher os dados, é importante a escolha da amostra. Em geral, esta deve conter quantidades de indivíduos, de todas as classes sociais da população, de acordo com a distribuição de renda da região onde se está coletando os dados (em geral obtém-se este dado junto a institutos de pesquisa como o IBGE). Algumas pesquisas devem levar em conta qual é o objeto de estudo. Por exemplo, se for uma pesquisa sobre preferência por modelos de automóveis de alto luxo, a amostra deve ser tomada dentre os indivíduos que possuem renda adequada para adquirirem tal bem. Outro aspecto da coleta de dados é o meio de colher os dados. Alguns meios utilizados são: ✓ Entrevistas pessoais, anotando os dados por escrito. ✓ Entrevistas pessoais, usando um gravador para registrar as respostas (neste caso, por questões éticas, o entrevistado deve ser informado e concordar). ✓ Entrevistas por telefone. ✓ Questionários enviados pelo correio com envelope para respostas (o entrevistado não tem despesas para enviar as respostas). ◆ A organização dos dados Na grande maioria das pesquisas, os dados coletados passam a ser organizados em tabelas. Os órgãos de pesquisa modernos já dispõem de planilhas que facilitam enormemente esta tarefa. ◆ A elaboração de gráficos ou mesmo de outras tabelas A escolha do tipo de gráfico ou de tabela a ser usada depende muito da natureza das variáveis estatísticas envolvidas na pesquisa. Por exemplo: ✓ Se as variáveis se expressam por números inteiros, os gráficos de barras são adequados. ✓ Se as variáveis se expressam por números decimais (reais), os histogramas ou os polígonos de frequência são adequados. ✓ Se o objetivo é comparar partes entre si ou com o todo, os gráficos de setores são adequados. ◆ A interpretação dos dados Usando valores de tendências como média, mediana, moda, é possível ao pesquisador propor soluções para o problema ou problemas estudados.

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Verifique se você aprendeu Se ainda tem dúvidas sobre

Reveja os exercícios

Como elaborar ou analisar perguntas que forneçam dados para pesquisas estatísticas.

1, 2.

Como calcular média, mediana e moda de um conjunto de dados, bem como interpretar qual é a utilidade destes conceitos.

3, 4, 5, 24.

Como decidir se os dados de uma pesquisa são ou não confiáveis.

6, 42.

Como interpretar dados registrados em tabelas ou em gráficos.

7, 8, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 25.

Como decidir o tipo de gráfico mais adequado para registrar dados, de modo a facilitar a compreensão.

22.

Como elaborar tabelas com dados anotados de maneira não organizada.

8, 13, 16.

Como distribuir dados por classes em tabelas e calcular os percentuais de todo o conjunto de dados correspondentes a tais classes.

6, 8, 13, 16.

Como elaborar gráficos de barras, de setores ou de poligonais com base em dados registrados em tabelas.

9, 11, 12, 15, 17, 19, 25.

Como calcular chances (probabilidades) de ocorrerem fatos particulares dentre um conjunto de todos os possíveis fatos relacionados com determinado fenômeno.

26 a 31, 40, 41, 42.

Como identificar, em dados relacionados com pesquisas, a “população” e a “amostra”.

32 a 38, 43.

Como decidir se determinada parte de uma população é uma amostra adequada para determinada pesquisa.

39.

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CapItulo 8

Alexander Limbach | Dreamstime.com

Revendo eaprendendo mais

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Ao lado, explicitamos os objetivos gerais do capítulo. Sugerimos um breve comentário sobre os mesmos, utilizando as ilustrações da página.

Com este capítulo, encerramos nossa proposta para esta coleção de Matemática. Ao elaborar as atividades para este volume, tivemos a preocupação de rever os diversos conceitos estudados ao longo dos quatro volumes. Esta é a razão pela qual não estamos aqui indicando revisões por capítulos do livro de nono ano. Como será visto, procuramos possibilitar ao aluno não apenas uma revisão de conceitos, mas, principalmente, trabalhar com as mais variadas aplicações desses conceitos no dia a dia, na Biologia, na Astronomia, na Geografia, na Química, na Física, na mecânica, na indústria, no comércio, no cálculo de probabilidades, nos estudos de medidas indiretas.

Neste capítulo, você vai trabalhar com as mais variadas aplicações da Matemática: no dia a dia, na Biologia, na Astronomia, na Geografia, na Química, na Física, na mecânica, na indústria, no comércio, no cálculo de probabilidades, nos estudos de medidas indiretas. Verá, também, atividades opcionais como: cálculo de áreas usando recursos de Trigonometria, estudo de expoentes fracionários e os radicais, estudo de quocientes e produtos de expressões literais e, finalmente, uma abordagem sobre o cálculo do mínimo múltiplo comum de números pelo “método da fatoração simultânea”.

A 100 m

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C 1 a

2 90º

Leia o último texto da página 10 (Observação importante). Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas obser-vações afirmando que tais conclusões são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como de algumas regularidades relacionadas com sequências númericas.

120º 3

40 m

d 23º

16º 4,82 3,50 125º

40º d

g b s

5 cm

h cm

58º P

b cm

7 cm

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Calorias, anos-luz e altitudes 1.

Leia, na margem da página 43, o último texto: “Por questão de economia de espaço...”.

A energia fornecida pelos alimentos ao corpo humano é medida em “calorias”. A cada 7 000 calorias ingeridas corresponde um acréscimo de cerca de 1 kg de massa. Reciprocamente, durante atividades físicas o organismo consome calorias e perdemos massa corporal na mesma proporção. Nessas condições, quantas calorias devem ser consumidas pelo organismo, para se perder um grama de peso?

2. Márcia correu 45 minutos, consumindo 675 calorias. Quantos gramas de peso ela perdeu, aproximadamente?

Juliana caminha toda semana 75 minutos por dia de segunda a sábado.

a) Sabendo que a cada uma hora de caminhada perdem-se aproximadamente 43 gramas de massa, calcule quanto Juliana perdeu de massa ao fim de uma semana de caminhada.

A caloria é definida como a quantidade de energia necessária para elevar a temperatura de l quilograma de água em 1 grau centígrado. Comente com os alunos que, para perder peso, é necessário consumir calorias; uma das formas mais indicadas para isso é praticar esportes. 2. 96 gramas (675 : 7 = 96,4285). 3. a) 322,5 gramas, aproximadamente; b) 2 257 calorias, aproximadamente.

b) Ao fim da semana, quantas calorias foram consumidas pelo organismo de Juliana? Na tabela a seguir, você vê o consumo aproximado de calorias pelo organismo de uma pessoa em diversas atividades físicas, durante uma hora. Atividade Calorias consumidas

Basquete Bicicleta Corrida Dança 500

400

900

300

Vôlei

Caminhada

350

300

Tênis 440

Calcule as calorias consumidas pela pessoa nos seguintes tempos de atividades:

a) 1 hora de caminhada.

e) 90 minutos de dança.

c) 45 minutos de basquete.

g) 80 minutos de tênis.

b) 20 minutos de corrida.

1. 7 calorias.

d) 72 minutos de bicicleta.

f) 2 h 15 min de vôlei.

4. a) 300; b) 300; c) 375; d) 480; e) 450; f) 787,5; g) 587 aproximadamente.

5. a) 43 g; b) 43 g; c) 54 g; d) 69 g; e) 64 g; f) 112 g; g) 84 g. 6. a) 1 558 calorias; b) 222 gramas.

Para cada item do exercício anterior, calcule os valores aproximados de perda de massa correspondentes.

6. Lucas foi ao clube e jogou basquete durante 80 minutos, correu 40 mi-

nutos e jogou vôlei durante 50 minutos. Usando a tabela do exercício 4, calcule:

a) Quantas calorias Lucas consumiu? (Aproximadamente.) b) Quanto de massa Lucas perdeu? (Aproximadamente.)

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7. a) Aproximadamente, 1 586 anos-luz.

Um ano-luz, a distância que a luz percorre no vácuo em um ano, equivale aproximadamente a 9,46 x 1015 metros. Uma estrela está distante 1,5 x 1019 metros da Terra. Qual é a distância dessa estrela à Terra, em anos-luz?

8. O ponto mais alto do mundo fica no Monte Everest, a uma altitude aproximada de 8 500 metros. O ponto mais baixo do mundo fica no Oceano Pacífico, com uma profundidade aproximada de 11 000 metros. Qual é a distância, na vertical, entre esses dois pontos?

8. a) 19 500 m. Sugira que pesquisem o significado de “altitude”.

Todos os dias, nos alimentamos e bebemos líquidos. Dependendo da quantidade total de calorias contidas nos alimentos e bebidas que consumimos e de nossas atividades físicas, não ganhamos nem perdemos peso. Na tabela a seguir, você vê as quantidades diárias recomendadas para que este fato ocorra, para a média das pessoas: Necessidade de Calorias Diárias recomendadas: 9. 3 000 calorias.

10. 2 000 calorias.

11. a) Porque homens pesam mais e têm mais tecido muscular. b) Porque pessoas mais idosas têm menos atividades físicas e não crescem mais. Professor(a): explique para os alunos que os valores da tabela de necessidades de calorias se refere a pessoas que não praticam atividades físicas intensas, e que se levam uma vida mais sedentária, o que corresponde à grande maioria da população.

Faixa de idade

Homens

Mulheres

15-18

3 000

2 100

19-22

3 000

2 100

23-50

2 700

2 000

acima de 50

2 400

1 800

Antônio tem 21 anos. Qual é a quantidade de calorias diárias recomendadas para ele?

10.

Melissa tem 24 anos. Qual é a quantidade de calorias diárias recomendadas para ela?

11.

Discuta com seus colegas e responda:

a) Por que os homens têm mais necessidade de calorias diárias que as mulheres? b) Por que a necessidade de calorias diárias decresce com a idade?

Na tabela a seguir, você vê a quantidade de calorias contidas em certas quantidades de alimentos:

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12.

Alimento

Calorias

Alimento

Calorias

Maçã

Laranja

Torta de maçã

1 fatia: 331

Ovo

Bacon

1 fatia: 97

Banana

Batata assada

Pão

1 fatia: 68

Hambúrguer

288

Cachorro-quente

150

Batata-doce

152

Sorvete

207

Salmão

182

Cenoura crua

Queijo

370

Pizza de queijo

1 fatia: 185

Calcule o número de calorias adquiridas ao se consumirem:

a) 3 cachorros-quentes. c) 5 cenouras cruas. b) 2 sorvetes. d) 3 laranjas.

13.

Georgina fez um lanche. Comeu um hambúrguer, uma fatia de torta de maçã e tomou um sorvete. Qual foi a quantidade total de calorias adquiridas por Georgina?

12. a) 450 calorias; b) 414 calorias; c) 105 calorias; d) 288 calorias. 13. 826 calorias. Peça aos alunos que tragam de casa tabelas de dietas alimentares, como a anterior, e explore os cálculos de possíveis quantidades de alimentos a serem ingeridos diariamente para atender à quantidade máxima de calorias diárias recomendadas. 14. a) 1,3407 x 109; 3,58 x 107; b) 358/13407, aproximadamente 1:36; c) 2,7%, aproximadamente.

Explorando medidas 14. Os oceanos da Terra têm um volume total aproximado de 1 340 700 000 quilômetros cúbicos. O volume de água fresca na Terra é de aproximadamente 35 800 000 quilômetros cúbicos.

a) Expresse cada um destes volumes como produto de um decimal, com um algarismo nas unidades e uma potência de dez conveniente.

b) Calcule a razão entre o volume de água fresca e o de água dos oceanos. c) Calcule a porcentagem correspondente no item anterior.

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15. a) 1,65 x 108 kg. b) 7,29 x 109 reais; c) Cerca de 21 000 000 kg de ouro.

15. Acredite: até 2009 foram extraídos, desde o início das atividades de mineração da humanidade, aproximadamente 165 000 000 kg de ouro da crosta da Terra!

a) Expresse esta quantidade de ouro como no item (a) do exercício anterior.

Sugira que pesquisem o significado de “crosta terrestre”.

b) O O valor de mercado de ouro em julho de 2008 era de aproximadamente R$ 48,00 o grama. Calcule o valor total dos 165 000 000 kg de ouro, naquela data.

c) Em 2008 os países em desenvolvimento deviam U$ 3,7 trilhões (cerca de R$ 6,3

trilhões). Esses países pagaram aos países ricos naquele ano U$ 600 bilhões em juros, ou cerca de um trilhão de reais à época. Use a cotação em reais de julho de 2008 e responda: quantos quilos de ouro, na cotação de julho de 2008, equivaleriam ao valor pago pelos países em desenvolvimento aos países ricos, em juros, naquele ano?

16. Aproximadamente 16,3%. Sugira que pesquisem fatos sobre os “continentes” e sobre os “oceanos”.

16. Os

continentes da Ásia, África e Europa têm, juntos, uma área de 8,5 x 1013 metros quadrados. Quantos por cento da área de superfície da Terra estes três continentes representam, se a área da superfície total da Terra é aproximadamente 5,2 x 1014 metros quadrados?

17. Aproximadamente 34,8%.

17. O Oceano Pacífico tem uma área de cerca de 1,81 x 1014 metros qua-

drados. Quantos por cento da superfície da Terra são cobertos pelo Oceano Pacífico?

18. 3,64 x 1014 metros quadrados.

19. 8,38 x 10–26 gramas.

20. 1 nanômetro = 10 –9 m, donde o comprimento de onda do krypton mede 6,058 x 10–7 m.

18.

Todos os oceanos, juntos, têm uma área de aproximadamente 70% da superfície da Terra. Quantos metros quadrados da superfície da Terra são cobertos pelos oceanos?

19.

A massa de um elétron é 9,11 x 10-28 gramas. Um átomo de urânio contém 92 elétrons. Calcule a massa total dos elétrons de um átomo de urânio.

20. Um gás raro nomeado “krypton” apresenta cor laranja quando aquecido

por uma corrente elétrica. O comprimento de onda da luz que emite é de aproximadamente 605,8 nanômetros, e este comprimento de onda foi usado em 1960 para usado para definir a medida exata de um metro (hoje o metro é definido como a distância que a luz percorre no vácuo em 1/299 792 458 segundos). Se um nanômetro equivale a 0,000 000 001 do metro, como expressar o comprimento de onda do krypton em metros, usando uma potência de dez?

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21.

A massa de uma molécula de hemoglobina A é de aproximadamente 6,4 x 104 unidades de massa atômica. Se uma unidade de massa atômica equivale a aproximadamente 1,7 x 10-27 kg, calcule, em quilogramas, a massa de uma molécula de hemoglobina A.

22. Glóbulos vermelhos de sangue no corpo humano são constantemente eliminados e substituídos. Aproximadamente 73 000 deles são eliminados e substituídos, a cada 3,16 x 10-2 segundos.

a) Quantos glóbulos vermelhos de sangue são substituídos a cada segundo?

b) Há cerca de 25 000 000 000 000 de glóbulos vermelhos de sangue em um adulto normal. Quanto tempo, aproximadamente, levará para que todos eles sejam substituídos?

23. Um

adulto masculino que pesa em torno de 70 kg tem cerca de 5,4 x 106 células vermelhas por mililitro de sangue e um volume de sangue de aproximadamente 5 litros. Determine o número aproximado de células vermelhas que ele contém.

24. A densidade de uma substância é a razão de sua massa para seu volume. Por exemplo, a densidade de cobre é 8,94 g/cm3. Expresse a densidade do cobre, em kg/dm3.

25. Um trem que se move a 80 km/h passa por outro trem, que se move

também a 80 km/h, em uma linha paralela e na direção oposta. Um passageiro no primeiro trem vê o segundo trem passar em 5 segundos. Qual é o comprimento do segundo trem, em metros?

26. As geleiras no litoral da Groenlândia moviam-se 20 m por dia em 1995. Em 2011 constatou-se que esta velocidade foi triplicada. Quanto tempo levava para uma geleira se mover por 1 quilômetro em 1995, e quanto tempo em 2011?

27. A nave espacial Pioneer 10 viajou de Marte a Júpiter, uma distância de

aproximadamente 1 bilhão de quilômetros, em um ano e nove meses. Calcule a velocidade aproximada da nave, em quilômetros por segundo.

28. Perguntaram

a Mário e a Pedro suas idades. Mário disse: “Minha idade é de 1 bilhão de minutos”. Pedro disse: “Minha idade é de 1 bilhão de segundos”. Podemos acreditar em algum deles? Justifique sua resposta.

21. 1,088 x 10-22.

22. a) 2 310 126; b) 10 821 918 segundos. Sugira pesquisas sobre: hemoglobina, glóbulos sanguíneos, geleiras. 23. 2,7 x 1010 células vermelhas. 24. Cada g equivale a 10- 3 kg e cada cm3 equivale a 10- 3 dm3. Portanto, temos: 8,94 x 10– 3kg/10– 3dm3 = 8,94 kg/dm3. 25. Como os trens viajam em direções opostas, o passageiro viu o segundo trem passar a 160km/h. Temos que 160 km/h equivalem a 160 000 m / 60 x 60 s ou, aproximadamente, 44,44 m/s. Como o passageiro contou 5 segundos até que o segundo trem passasse, a medida aproximada deste é de 44,44 x 5 m, ou seja, 222,5 metros. 26. 50 dias em 1995, cerca de 17 dias em 2011. 27. Um ano e nove meses equivalem a 21 meses ou 21 x 30 x 24 x 60 x 60 segundos, ou seja, aproximadamente, 54 432 000 segundos. Logo, a velocidade da Pioneer, em quilômetros por segundo, foi de aproximadamente: 1 000 000 000/ 54 432 000 km / s , ou seja, 18,37 km/s. 28. Um ano tem: 365 x 24 x 60 minutos, ou seja, 525 600 minutos e 365 x 24 x 60 x 60 segundos (aproximadamente, 31 536 000 segundos). Logo, 1 000 000 000 de minutos correspondem a 1 902 anos, e 1 000 000 000 de segundos correspondem a, aproximadamente, 32 anos. Conclusão: só podemos acreditar no Pedro, porque é impossível alguém ter 1 902 anos.

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Professor(a): a fórmula da área de um triângulo em função dos lados é atribuída ao matemático Heron de Alexandria (10 -70 d.C.). Nestes endereços encontram-se duas demonstrações da fórmula: http://www.obm. org.br/export/sites/default/ revista_eureka/docs/artigos/ brahmagupta.doc e http:// www.olimpiada.ccet.ufrn. br/treinamento_2006/notas_aula/nota_aula_01.pdf

Áreas, comprimentos e distâncias 29. A área A de um triângulo cujos lados medem a, b e c pode ser calculada assim:

• Calculamos o semiperímetro S dos lados, isto é, a metade da soma de suas medidas:

a+b+c 2

• Usamos a fórmula:

29. Atividades dos alunos.

A= Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o texto do exercício 29 até o segundo quadro, inclusive.

s ( s − a )( s − b )( s − c )

Comprove, usando a fórmula, que:

a) Se os lados de um triângulo medem 5 cm, 12 cm e 13 cm, a área desse triângulo mede 30 cm2.

b) Se os lados de um triângulo medem 8 m, 15 m e 17 m, a área desse triângulo mede 60 m2.

30. Atividades dos alunos.

31. Atividades dos alunos.

32. 3 150 m2. (Primeiro note que como (40 + 72)/2 = 56, então BE é base média de ACDF. Calcule h, altura do trapézio ABEF: h = 525/8 = 65,625; depois, chame de x a altura do trapézio BCDE e iguale a área do trapézio ACDF com a soma das áreas dos dois trapézios que o compõem: 56 (x + 65,625) = 4 200 + 48 x, obtendo x = 65,625. Finalmente, calcule a área BEDC.

30. Desenhe

um quadrilátero convexo qualquer ABCD e a diagonal AC. Com uma régua, meça os lados AB, BC, CD, DA e a diagonal AC. Use a fórmula anterior para calcular as áreas dos dois triângulos nos quais a diagonal decompôs o quadrilátero. Some as duas áreas. Você acabou de usar um método muito importante de cálculo de área de polígonos: decompondo-os em triângulos.

31.

Desenhe um pentágono convexo ABCDE e as duas diagonais AC e AD. Use a régua, faça as medidas necessárias e calcule a área aproximada do pentágono que você desenhou.

32. Na figura, você vê o desenho de dois terrenos vizinhos em forma de trapézio:

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Os lados paralelos CD, BE e AF medem 40 m, 56 m e 72 m, respectivamente. A área do terreno ABEF mede 4 200 m2. Calcule a área do terreno BEDC.

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33. Duas

33. 120 cm (Sejam CA e DB os raios menor e maior, e C e D, centros das circunferências. Trace CE perpendicular a BD, obtendo um triângulo retângulo CED. Use Pitágoras.)

34. Faça os cálculos necessários para provar que a área de um polígono

34. Una o centro da circunferência com os vértices do polígono. A área do polígono é a soma das áreas dos triângulos assim obtidos, cujas bases são os lados do polígono e cujas alturas são iguais ao raio. Exemplificando: para um quadrilátero cujos lados meçam m, n, p e q, circunscrito em uma circunferência de raio r, a área é dada pela soma das áreas de quatro triângulos de bases m, n, p, q e alturas iguais a r. Logo, sua área S tem a expressão S = 1/2 (rm) + 1/2(rn) + 1/2(rp) + 1/2rp = 1/2(r + m + n + p) . r.

polias circulares têm seus raios medindo 30 cm e 80 cm. A distância entre seus centros mede 1,3 m. Elas são acionadas por uma correia. Calcule o comprimento do segmento da correia cujos extremos são os dois pontos de tangência dela com as duas polias.

circunscrito é dada pela metade do produto do perímetro do polígono, pelo raio da circunferência nele inscrita.

35. Nos problemas a e b, faça desenhos para facilitar o raciocínio: a) Em uma olaria, são fabricadas telhas retangulares de barro de 30 cm por 40 cm. Elas encolhem, uniformemente, quando levadas ao forno. Se o comprimento reduz para 38 cm, qual é a largura final de cada telha?

b) Uma embalagem em forma de paralelepípedo retângulo tem sua base com dimensões internas de 36 cm e 48 cm. Calcule o comprimento aproximado do maior pedaço de arame reto que pode ser colocado dentro da embalagem, apoiando-se totalmente na base.

36. Um serralheiro fez uma moldura em forma de triângulo equilátero, com

lados medindo 1,60 m, e gastou R$ 24,80 de material. Quanto ele gastará para fazer outra moldura, na mesma forma, com lados de 2,40 m, usando o mesmo material?

37. Joana vê refletido o topo de uma árvore em um ponto P de uma poça

de água. As distâncias do ponto P à base da árvore e ao pé de Joana medem, respectivamente, 4 m e 1 m. A distância dos olhos de Joana ao chão é de 1,5 m. Calcule a altura da árvore.

38. As telas de dois aparelhos de televisão têm a forma retangular com o comprimento igual a

35. a) 28,5 cm; b) 60 cm (use Pitágoras). 36. R$ 37,20.

37. 6 m. 38. a) 60 cm. b) 7 5 c m .

39. 447 km, aproximadamente.

4 da altura. 3

a) Calcule a altura de uma delas em centímetros, sabendo que sua diagonal mede 1 metro.

b) O comprimento da outra televisão mede 60 cm. Calcule sua diagonal.

39. Um

avião sai de um ponto P e voa 300 km para o norte, depois 400 km para o leste e depois 500 km para o sul, chegando a um ponto Q. Calcule a distância aproximada de P a Q, em quilômetros.

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40. 80 m. (Como os dois triângulos são semelhantes, as áreas são proporcionais aos quadrados das dimensões lineares. Como a área do triângulo DCE deve ser a quarta parte da área do triângulo ABC, a altura do triângulo DEC deve ser a metade da altura do triângulo ABC.)

41. a) 40 + 2,08; b) 350 + 3 + 0,7 + 0,06; c) 97 – 0,28; d) 138 x 0,0001; e) 0,1 – 0,88; f) 2 + 0,03. O problema 42 deve ser explorado com atividades relacionadas com o conceito de “câmbio”. Sugerimos atividades baseadas em tabelas publicadas em jornais. Esclareça que se trata de uma situação imaginária.

42. a) 366,6 francos suíços; b) 473 dólares; c) 4 cheques de 100 dólares e 2 de 20 dólares. Primeiro, calculei 687,75 : 1,59, obtendo 432,55 dólares. Logo, a quantia mais próxima (e maior) que esta é 440 dólares.

Salada de problemas 40. A figura a seguir representa um terreno em forma de um triângulo ABC. O lado AB mede 100 metros e a área, 8 000 m2. Deseja-se dividi-lo em duas partes, uma delas na forma do trapézio ABED, de modo que a área deste seja o triplo da área do terreno na forma do triângulo DEC. Calcule a que distância do vértice C deve ser construída a cerca DE, paralela ao lado AB.

41.

Os exercícios a seguir podem ter respostas variadas. Escreva uma resposta possível para cada um deles. Escreva:

a) 42,08, como uma adição de dois números. b) 353,76, como uma adição de quatro números. c) 96,72, como uma subtração de dois números. d) 0,0138, como uma multiplicação de dois números. e) 0,12, como uma subtração de dois números. f) 2,03, como uma adição de dois números.

42. Luísa

está viajando pela Suíça, onde cada um dólar equivale a 1,56 francos suíços em dinheiro e 1,59 francos suíços para os cheques de viagem.

a) Luísa está trocando 235 dólares por francos suíços. Quantos francos suíços ela adquirirá?

b) Luísa quer comprar um relógio que vale 452,85 francos suíços e calçados que custam

284,65 francos suíços. Qual é a menor quantidade de dólares que ela necessitará trocar por francos suíços para efetuar essas compras?

c) Luísa quer comprar um terno que vale 687,75 francos suíços. Ela tem cheques de

viagem de 100 dólares e 20 dólares. Qual menor quantidade de cheques de cada tipo ela necessitará para efetuar essa compra? Explique sua solução.

43. 360 m2.

43. O comprimento de um terreno retangular é 6 m maior que o dobro da

44. 240 crianças.

44. Em um cinema, o preço de uma entrada de adulto era R$ 6,00 e as

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sua largura. O perímetro do mesmo terreno é de 84 m. Calcule a área desse terreno.

crianças pagavam a metade desse valor. Para uma determinada sessão, foram vendidas 420 entradas, que resultaram num total de R$ 1 800,00. Quantas crianças foram a essa sessão?

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45. O perímetro de um triângulo isósceles é igual a 48 cm. A medida da sua base é triângulo.

6 da medida dos lados congruentes. Calcule a altura desse 5

45. 12 cm.

46. 4 x 2 = 8 combinações diferentes (use diagrama da árvore).

46.

Vivaldo vai viajar de uma cidade A para outra B e depois da cidade B para a cidade C. Para ir da cidade A para a cidade B, ele poderá ir de carro, trem, ônibus ou avião e, da cidade B para a cidade C, de navio ou de avião. Quantas combinações de transportes diferentes ele poderá utilizar?

47. Um paraquedista saltou e caiu em um campo, como o que se vê na

figura abaixo à direita. Qual é a probabilidade de ele ter caído em um dos quatro setores coloridos?

Júlia Bianchi, 2006

100 m

40 m

48. De acordo com o serviço de meteorologia, há 20% de chance de chover no município, nos próximos dez dias. Qual das afirmações a seguir está em concordância com esta previsão?

a) Nas próximas 24 horas, vai chover no município.

b) Nos próximos dez dias, vai chover em uma área correspondente a 20% da área do município.

c) Nos próximos dez dias, é provável que chova pelo menos dois dias no município.

49. Um experimento consiste em lançar duas moedas sobre uma mesa.

47. 4π/25, aproximadamente 314:625, usando o valor 3,14 para π (a probabilidade é a razão entre a área de um disco de raio 40 m e a área do quadrado de lado 100 m, ou seja, 5 024 : 10 000 aproximadamente 50,24%).

48. Apenas a (c).

49. a)1 : 4; b)1 : 4. (use diagrama da árvore, obtendo (cara, cara), (coroa, coroa), (coroa, casa), (coroa, coroa); logo, chance Ca. Ca é 1 em 4).

Escreva qual é a probabilidade de:

a) Dar duas “caras”.

b) Dar uma cara e uma coroa.

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50. a) 1 : 8; b) 3 : 8; c)3 : 8. (use, novamente, o diagrama da árvore).

50. Um

experimento consiste em lançar três moedas sobre uma mesa. Escreva qual é a probabilidade de:

51. 51. I) a) 1 : 4; b) 1 : 3; c) 5 : 12; d) 7 : 12; e) 2 : 3; f) 3 : 4. II) Eles formam sequência de números inversamente proporcionais.

a) Dar três “caras”. b) Dar uma cara e duas coroas. c) Dar duas caras e uma coroa.

Três meninos inventaram um jogo com um disco, como se vê na figura abaixo à esquerda. Cada um deles girou a seta o mesmo número de vezes, contando pontos pelo setor no qual a seta parasse: 20 pontos para o setor 1, 15 para o setor 2 e 12 para o setor 3; e não contando pontos se a seta parasse sobre um dos raios que separam os setores.

I) Desprezando o fato da seta parar sobre um dos raios, diga qual a chance dela, ao ser girada, parar:

a) no setor 1.

d) no setor 1 ou no setor 2.

c) no setor 3.

f) no setor 2 ou no setor 3.

b) no setor 2.

e) no setor 1 ou no setor 3.

II) Descubra uma relação entre os números de pontos por setor e as medidas em graus desses setores.

90º 120º 3

6 4

52. Os meninos vão repetir o jogo usando um disco, como se vê na figura 52. 80o, 80o, 200o.

acima à direita. As chances de acertar nos setores 2, 4 e 6 são, respectivamente, de 5 : 9, 2 : 9 e 2 : 9. Calcule as medidas, em graus, dos setores 6, 4 e 2, respectivamente.

53. Carlinhos tem no bolso 3 moedas de 50 centavos e 3 moedas de 1 real. 53. R$ 1,50, (1 : 20); R$ 2,00 (3 : 20); R$ 2,50 (3 : 20); R$ 3,00, (1 : 20).

54. R$ 2,50 1 : 20 / R$ 3,00 1 : 10 / R$ 3,50 1 : 20.

Ele retira de uma só vez, sem olhar, 3 moedas. Maíra calculou que ele só pode retirar quatro valores totais diferentes. Quais são os valores e qual é a chance de cada um deles?

54. Carlinhos tem no bolso 3 moedas de 50 centavos e 3 moedas de 1 real. Ele retira de uma só vez, sem olhar, 4 moedas. Quais são os possíveis valores totais que ele pode tirar e qual é a chance de cada um deles?

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55. Um pintor quer pintar tabuleiros como o da figura com as mesmas 4

cores, mas todos diferentes entre si. Quantos tabuleiros conseguirá pintar?

55. 12 tabuleiros. Faça o diagrama da árvore, mas verifique que, embora ela tenha 24 “galhos”, existem 12 pares equivalentes. Isto se deve ao fato de que um tabuleiro com cores C1 C2 C3 C4 é o mesmo com cores C4 C3 C2 C1.

Existem diversas pessoas que são doadoras de sangue. Normalmente, uma pessoa pode doar sangue de dois em dois meses. Há vários tipos de sangue, e o percentual médio de sua distribuição na população mundial é relacionado na tabela a seguir:

A positivo

O positivo

B positivo

O negativo

Porcentagem

38%

36%

Tipo de sangue

A negativo

AB positivo

B negativo

AB negativo

3.5%

0,5%

Tipo de sangue

Porcentagem

56. Considerando os dados da tabela acima escreva quantos, em um grupo

de 7 929 pessoas possuem, em média, sangue dos tipos: (faça arredondamentos para o número natural mais próximo, quando necessário)

a) A positivo.

e) A negativo.

c) B positivo.

g) B negativo.

b) O positivo.

f) AB positivo.

d) O negativo.

56. Pergunte aos alunos qual deve ser o tipo de sangue mais difícil de encontrar doadores. Sugira uma pesquisa sobre qual deles se chama “universal” e por qual razão tem esse nome. a) 3 010; b) 2 851; c) 634; d) 475; e) 475; f) 277; g) 158; h) 40.

h) AB negativo.

57. O sangue leva oxigênio para as células do corpo humano. Em média, cada pessoa tem 70 mililitros de sangue a cada quilograma de peso.

Calcule a quantidade aproximada de sangue que tem uma pessoa que pesa:

a) 60 kg

Promova um pequeno debate com os alunos sobre o ato de doar sangue.

b) 75 kg

57. a) 4,2 litros; b) 5,25 litros; c) 6,58 litros.

c) 94 kg

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58. 4 479 metros. OBS: Professor, defina para os alunos o que é um ângulo de depressão: ângulo que é medido da horizontal para baixo. (4 800 : tg 18o – 4 800 tg 25o). 59. 52 m aproximadamente. (30 : tg 30o). 60. 50 metros aproximadamente (42 : tg 40o). 61. 214 m aproximadamente (400 x tg 28o + 1,45). 62. 4 o (é o ângulo A tal que tg A = 42/600, ou seja, tg A = 0,07). 63. R) 6,4 metros (2,4: cos 68o). Peça aos alunos que justifiquem as respostas do exercício 64. A comprovação, no caso de itens verdadeiros, pode ser feita fazendo medidas. Para os itens falsos, exibir ou mencionar um contraexemplo. 64. a) F. contraexemplo: qualquer reta que passe pelo ponto médio da corda mas não passe pelo centro da circunferência. A afirmativa é verdadeira se a reta passar pelo centro; b) V. Comprovação: os ângulos interceptam arcos congruentes, portanto são congruentes; veja página 174 e as atividades nas páginas seguintes. c) F. Contraexemplo: basta que as cordas não sejam paralelas; d) F. Contraexemplo: basta que as cordas não sejam diâmetros; e) V. Comprovação medindo; f) V. Comprovação: usando o fato de que ângulos inscritos num mesmo arco são congruentes e aplicando o caso AA de semelhança de triângulos; g) V. Comprovação desenhando: 1) ligando 4 pontos sucessivos da circunferência pelas cordas, obtém-se o quadrilátero inscrito. 2) considerando as retas tangentes à circunferência por tais pontos, elas se interceptarão, duas a duas, nos vértices de um quadrilátero circunscrito; h) F. Contraexemplo: trapézio retângulo; i) V. Comprovação medindo ou citando exercícios já resolvidos anteriormente.

58. De um helicóptero situado a 4 800 metros de altura, são vistos dois

pontos de um trecho em linha reta de uma estrada, ambos na direção norte, segundo ângulos de depressão de 25o e 18o, respectivamente. Calcule a distância aproximada desses dois pontos.

59. Um farol tem sua base ao nível do mar. Do topo do farol, a uma altura

de 30 metros, vê-se uma boia segundo um ângulo de depressão de 30º. Calcule a distância aproximada da boia à parede da torre mais próxima dela.

60. Em certa hora do dia, o ângulo de elevação do Sol é de 40o. Nesse

momento, qual é a medida aproximada da sombra projetada por um edifício de 42 metros de altura?

61. Um agrimensor está a 400 metros de um pico, ao nível de sua base. O ângulo de elevação para o topo do pico é de 28o, e o instrumento do agrimensor está a 1,45 m do solo. Calcule a altura aproximada do pico.

62.Uma estrada sobe 42 metros a cada 600 metros medidos na horizontal. Calcule seu ângulo de elevação.

63.Uma escada de pedreiro está apoiada numa parede vertical, formando um ângulo de 68o com o solo. Calcule o comprimento da escada, cujo pé está afastado 2,40 m da parede.

64.Faça as figuras correspondentes a cada afirmação abaixo, descida se é verdadeira (V) ou falsa (F), e justifique:

a) Se uma reta passa pelo ponto médio de uma corda de uma circunferência, então passa também pelo meio dos arcos cujos extremos sejam os extremos da corda.

b) Se dois ângulos são inscritos em dois arcos congruentes de uma mesma circunferência, então são congruentes.

c) Se uma reta corta duas cordas de uma circunferência em seus pontos médios, então é perpendicular a essas cordas.

d) Se M é ponto médio de duas cordas de uma circunferência, então M é o centro da circunferência.

e) Dadas duas cordas de medidas diferentes de uma circunferência, a menor delas é a mais afastada do centro.

f) Se duas cordas AB e CD de uma mesma circunferência se cortam em um ponto M, então os triângulos AMD e BMC são semelhantes.

g) Dada uma circunferência, sempre é possível inscrever (ou circunscrever) um quadrilátero na (à) referida circunferência.

h) Dado um quadrilátero qualquer, sempre é possível inscrever (ou circunscrever) uma circunferência no (ao) referido quadrilátero.

i) Para calcular as medidas dos ângulos centrais de um polígono regular, basta dividir 360o pelo número de lados do polígono.

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As razões trigonométricas e as áreas Observe o triângulo ABC da figura: A fórmula a seguir permite calcular a área do triângulo:

bh 2 Mas h = c . sen A; logo, substituindo esse valor de h na fórmula anterior, temos: S=

C b

Conclusão

b.c.sen A 2

A área de um triângulo é o produto das medidas de dois lados pelo seno do ângulo adjacente a esses lados.

65. Você viu que a fórmula S = b.c.sen A permite calcular a área de um 2 triângulo conhecida uma base b, um lado c e o seno do ângulo A de-

65. Atividades dos alunos.

terminado por b e c. Comprove que:

a) Se no triângulo da figura anterior, a = 6 cm, b = 10 cm e a medida do ângulo C é 40o, sua área é de, aproximadamente, 19,28 cm2.

b) Se no triângulo da figura anterior, b = 11,5 cm, c = 14 cm e a medida do ângulo A é 20o, sua área é de, aproximadamente, 27,53 cm2.

c) Se no triângulo da figura anterior, a = 9,4 cm, c = 13,5 cm e a medida do ângulo B é 95o, sua área é de, aproximadamente, 63,20 cm2.

Na figura, você vê um paralelogramo que tem dois lados consecutivos, de medidas a e b, e o ângulo adjacente a esses lados, com sua medida representada pela letra g. Considere b como base do paralelogramo, e seja h sua altura em relação a esta base. A fórmula S = b. h permite calcular a área desse paralelogramo. Mas, h = a.sen g; logo, substituindo na fórmula anterior, obtemos: S = b.a.sen g

h g b

Conclusão: A área de um paralelogramo é o produto das medidas de dois lados consecutivos do paralelogramo pelo seno do ângulo adjacente a eles.

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Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o texto inicial (“Observe o...”) até o quadro em destaque. Depois, o texto final (“Na figura, você vê...”) incluindo a figura do paralelogramo e o texto de conclusão.

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66. Atividades dos alunos.

66. Comprove que, se no paralelogramo anterior, a = 11 cm, b = 13 cm e g = 31o, a área é de, aproximadamente, 74 cm2.

Usando as razões trigonométricas, você já resolveu diversos problemas relacionados com triângulos retângulos, bem como calculou áreas de triângulos ou de paralelogramos. Agora, você verá como usar as razões trigonométricas para calcular lados ou ângulos de triângulos quaisquer. Observe o triângulo ABC da figura: A área do triângulo ABC pode ser dada por uma das três expressões: S=

A b

a.b.sen C a.c.sen B b.c.sen A = = 2 2 2

Logo, temos:

C a

a.b.sen C = a.c.sen B = b.c.sen A

Da primeira igualdade, resulta: b.sen C = c.sen B,

ou seja,

b c = senB senC

e, da segunda igualdade, resulta: asen B = bsen A, ou seja,

b a . = senB sen A

Resumindo esses resultados, temos finalmente: Em casa, os alunos devem anotar a figura do triângulo ABC com as medidas dos lados, o segundo e os dois últimos quadros em destaque (fórmulas e interpretação das medidas).

a b c = = sen A senB senC Conclusão: Em todo triângulo, as medidas dos lados são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Estas razões são conhecidas como “lei dos senos”.

67. Atividades dos alunos.

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67. Se no triângulo ABC da figura tivermos a = 8 cm, e as medidas dos ângulos A e B iguais a 49o e 57o, respectivamente, comprove que as medidas aproximadas de b e c são 8,89 cm e 10,19 cm.

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68. Observe o triângulo da figura: ele representa um terreno triangular ABC. A

440 m 48º

a) Calcule o ângulo C.

75º

b) Calcule as medidas aproximadas b e a.

68. a) 57º; b) 507 m e 390 m; c) 82 885 metros quadrados; d) 1 337 metros.

c) Calcule a área aproximada do triângulo.

d) Calcule o perímetro aproximado do triân-

gulo.

69. Observe na figura abaixo, o triângulo AOB, cujo lado AB é uma corda da circunferência de centro O.

O 25 cm 44º

69. a) Porque OA e OB são raios de uma mesma circunferência; b) 36 cm, aproximadamente.

a) Por que ele é isósceles?

b) Calcule a medida aproximada da corda AB.

70. Observe o paralelogramo PQRS da figura e faça os cálculos que se pedem, com duas casas decimais: S

5 cm

h cm

58º P

b cm

7 cm

a) Calcule b.

70. a) 2,65 cm; b) 40,92 cm2; c) 4,24 cm; d) 40,92 cm 2 (mesmo resultado de (b)).

b) Calcule a área, sem usar a medida da altura. c) Calcule a altura h.

d) Calcule a área usando o valor da altura e compare com o resultado de b.

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71. a) 3; b) 1,72. (Calcule a hipotenusa do triângulo maior e use a lei dos senos no triângulo obtusângulo.)

Comente que a afirmação no exercício 72 (“Para calcular o valor do seno do ângulo de 105º, use o seno do seu suplemento, isto é, sen 105o = sen(180o – 105o) = sen 75o”) é demonstrada nos estudos de trigonometria no Ensino Médio.

71. Calcule o valor aproximado de d em cada uma das figuras a seguir:

3,50 d 30º

125º

17º

40º d

4,82

72. Observe o triângulo a seguir. Ele tem um ângulo obtuso cuja medida é 105o. Para calcular o valor de seu seno, você pode usar a seguinte propriedade: o seno de um ângulo é igual ao de seu suplementar. No exemplo: sen 105º = sen(180º – 105º) = sen 75°.

72. a) 0,7512; b) Aproximadamente, 48; c) 27o e 8,46; e) 40,46; f) 114 m2.

73. Aproximadamente 1 819 m 2 . A diagonal decompõe o trapézio em dois triângulos. A área S do terreno é a soma das áreas de suas duas partes representadas pelos triângulos, ou seja: S = (1/2)(20)(60)sen45o + (1/2)(50)(60)sen45o  2 100 × 0,866 1 818,6

105º A

a) Calcule o valor aproximado de sen B.

b) Use a tabela das razões trigonométricas e calcule o ângulo B, em graus. c) Calcule o ângulo C e a medida c do lado AB.

d) Calcule o perímetro aproximado do triângulo ABC. e) Calcule a área aproximada do triângulo ABC.

73.

O trapézio isósceles ao lado representa um terreno. As medidas das bases menor e maior são, respectivamente, 20 m e 50 m. A diagonal mede 60 m e faz, com a base menor, um ângulo de 45o. Calcule a área do terreno.

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74. Uma escada se acha apoiada em uma parede vertical, com a qual faz

um ângulo de 30 graus. O pé da escada se encontra afastado 6 metros da parede.

75.

a) Calcule a altura do ponto de apoio da escada na parede, em relação ao piso. b) Calcule o comprimento da escada.

Uma pessoa, situada em um ponto A em uma das margens de um rio, observa uma árvore T diretamente à sua frente, na outra margem. Caminha 150 metros para outro ponto B, perpendicularmente à direção AT, e mede o ângulo ABT, obtendo 40 graus. Calcule a largura AT do rio.

76. A ponta de um pêndulo de 1,2 metro se eleva 20 centímetros acima do seu ponto mais baixo, em cada oscilação. Calcule o ângulo de oscilação.

77.

Dois edifícios estão um em frente ao outro, em lados opostos de uma rua. O menor tem 48 metros de altura. Do topo do maior medem-se os ângulos de depressão em relação ao topo do menor (42°48’), e em relação ao seu sopé, ao nível da rua (61°12’). Calcule aproximadamente:

Explore os exercícios desta página e os da página seguinte, fazendo sempre que possível desenhos representativos das situações apresentadas. 74. a) 10,39 m. b) 12 m. 75.125,9 m.

76. 68o 8’. 77. a) 97,8,m; b) 53,7 m.

a) a altura do edifício maior; b) a largura da rua.

78. Um foguete é lançado com uma velocidade de 6 000 km/h, formando um ângulo de 78º com superfície da Terra. Depois de 5 segundos, o ângulo de voo muda para 65º. Desprezando a curvatura da Terra (isto é, supondo-a localmente plana) e considerando a velocidade constante, encontre a altura do foguete em relação à Terra, depois de 8 segundos após o lançamento.

79. Um observador, em um avião a uma altura de 6 000 metros, vê dois

depósitos de munições em um solo plano, e no mesmo plano vertical no qual se encontra. Mede os ângulos de depressão e encontra 53º 2’ e 28º 16’. Calcule a distância entre tais depósitos.

80. Em cada item a seguir, são dados dois lados e um ângulo de um triângulo ABC; calcule a área do triângulo. (Faça desenhos.)

AB = 5 cm

AC = 12 cm

BÂC = 60º

BC = 16 cm

AB = 12,2 cm

ÂBC = 25º

AC = 18,5 cm

BC = 6,3 cm

ÂCB = 54º

BC = 1,613 m

ÂBC = 120º

81.

d) AB = 1,875 m

Para obter a altura de uma torre, um topógrafo colocou o teodolito a 200 m da base, obtendo, para o ângulo formado com a horizontal e o topo da torre, o valor de 30º. Calcule a altura aproximada da torre se a luneta do teodolito está a 1,7 m de altura em relação ao solo.

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78. 12,7 km.

79. 6 , 6 5 k m .

80. a) 25,98 cm2; b) 41,25 cm2; c) 47,15 cm2; d) 1,31 m2.

81. 117,1 m.

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82. 3 000 km. 83. 1,38 km.

82. Um raio de luz, gerado pela Lua cheia, penetra por um orifício de 2 cm

de diâmetro, formando um cone de luz, que tem seu vértice projetado em uma tábua localizada a 2 metros do orifício. Neste instante, a Lua está à distância de 300 000 km da Terra. Calcule, com esses dados, o diâmetro da Lua.

83. Um volume é lançado de um avião que está a 3 km de altitude. Por causa da velocidade do avião e da ação do vento, o volume cai segundo uma reta que forma um ângulo de 25º com a vertical. Que distância d, medida no solo, esse volume percorreu durante todo o percurso da queda?

Os expoentes fracionários e os radicais Você já sabe que

36 = 6 porque 62 = 36.

Você tem uma boa intuição. A resposta é: existem sim, e é fácil interpretá-los. Para isso, acompanhe os exemplos e exercícios a seguir:

Son Salvador

Professor, eu estive pensando: se eu não imaginava que existiam expoentes negativos e acabei aprendendo que existem, será que existem expoentes fracionários?

( )

Sabe, também, que an

= an . m . 1

( )

Generalizando, podemos deduzir que: ( 36 ) 2 = 6 2 1

Observe, portanto, que ( 36 ) 2 =

1 2

= 61 = 6 =

36 .

Resumindo, temos: 1 Escrever uma potência de expoente é equivalente a representar a 2 raiz quadrada da base. De modo análogo, podemos afirmar: Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os dois últimos quadros em destaque. Lembre-se da observação da página 14 sobre gneralização.

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1 é equivalente à raiz cúbica da base. 3 1 é equivalente à raiz quarta da base, Uma potência de expoente 4 e assim por diante...

Uma potência de expoente

Agora, acompanhe os exercícios sobre expoentes fracionários.

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84. Veja exercício seguinte.

84. Escreva na forma de potências de expoentes fracionários: a)

85. Veja exercício anterior.

85. Escreva na forma de radical: a)

( ) 4

1 2

( ) 9

1 2

(8)

1 3

86. Observe como usamos a propriedade ( a n )

( )

4 = ( 4 ) 2 = 22

1 2

( ) 16

1 4

= a n .m para calcular:

= 21 = 2

Veja que fatoramos o 4, substituindo-o por 22.

86. a) 3; b) 2; c) 2.

Agora é com você. Fatore 9, 8 e 16 e calcule:

Até aqui, você viu potências com expoentes fracionários cujos numeradores são todos iguais a 1. Agora, veja como calcular quando o numerador é diferente de 1. Você sabe que

( )

n a = a 3 e que a 5

= an.m

( )

Portanto, podemos dizer que 2 3 = 25 ou, em geral,

1 3

1.º)

3 =3 4

4 7

2.º)

25 = 2 9

3.º)

2 =2 6

A c = c Ab Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque dos exercícios: 89 e 90.

Veja outros exemplos: 7

6 3

1 3

4.º)

7=7

5.º)

4 = 43

6.º)

3 =3 5

5 2

87. a) 54/3; b) 73/4; c) 35/2.

87. Escreva na forma de expoente fracionário: a)

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88. a)

;

88. Escreva na forma de radicais: a) 2

b) 3

3 5

3 4

c) 5

3 2

Observe agora, no quadro a seguir, fatos novos sobre raízes quadradas e raízes cúbicas: Afirmação

Razão

– 8 = –2

porque ( –2 )3 = ( –2 ) ( –2 ) ( –2 ) = –8.

– 512 = – 8

porque ( –8 )3 = ( –8 ) ( –8 ) ( –8 ) = –512.

– 27 = – 3

porque ( –3 )3 = ( –3 ) ( –3 ) ( –3 ) = –27.

porque não há número inteiro cujo quadrado seja igual a –16.

porque não há número inteiro cuja quarta potência seja igual a –81.

–16 não = existe 4

–81 não = existe

89. Agora copie em seu caderno e complete: 89. a) –3; b) –2; c) –4; d) Não existe nos reais; e) Não existe nos reais; f) Não existe nos reais.

a) b)

– 27 =

– 32

– 49

Professor(a): comente com os alunos que potências de números negativos com expoentes fracionários de denominador par não existem nos números reais, como exemplificado no texto, mas que existe um conjunto numérico onde estas potências são definidas. Este conjunto é o conjunto dos “Números Complexos”, e será estudado no ensino médio.

–100 4

– 16

Veja mais informações sobre raízes: Afirmação

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, os quadros em destaque dos exercícios 92, 93.

– 64 =

Razão 3

–

8 2 =– 27 3

 2 8 porque  –  = – 27  3

27 3 – =– 64 4

 3 27 porque  –  = – 64  4

–

1 1 – =– 32 2

 2 8 porque  –  = – 125  5

– 0,001 = – 0,1

porque ( – 0,1) = – 0,001

–

8 2 =– 125 5

16 =? 625

– 0, 01 = ?

 2 8 porque  –  = – 125  5 3

porque não existe número real cuja quarta potência seja

–

16 . 625

porque não existe número real cujo quadrado seja –0,01.

240

Mat9Cap8_NOVA2012.indd 240

10/05/13 19:59

90. a) (–1/3); b) 0,1; c) Não existe nos reais.

90. Agora, copie em seu caderno e complete: a)

–

1 =? 27

0, 0001 =

Antes da observação, recorde a propriedade: (ab)n = anbn.

– 0, 01 = ?

Observe como multiplicar ou dividir radicais de radicandos positivos, usando expoentes em forma de fração:

( 2)×( 3)=2

1 3

( ) ( )

4 ×

(

)( )

27 :

1 3

× 3 = (2 × 3) =

7 = 4 5 × 75 = ( 4 × 7 )5 =

( 8 ):( 4 ) = 8 3

1 3

2×3=

4×7=

1 3

:4 = (8:4) = 2 = 1

3 = 27 5 : 3 5 = ( 27 : 3 ) 5 =

Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o quadro em destaque que antecede o exercício 91.

Caso julgue necessário, explore produtos do tipo: n

a × m b.

Para isto, escreva os fatores como expoentes fracionários e proceda como se faz para reduzir frações ao mesmo denominador. Exemplificando:

315 × 212

Os cálculos anteriores podem ser generalizados assim:

b =

ab e

a:n b=

a:b

a ×

315 × 212 =

Sendo a e b números reais positivos, tem-se:

3×

27 =

3 × 27 =

81 = 9

2×

32 =

2 × 32 =

64 = 8

a3 ×

Fatorando os radicandos e transformando os radicais em potências de expoente fracionário, é possível justificar as igualdades a seguir:

33 × 2 3 = 34 × 2 5 = 320 × 2 20 =

91.

a 3 × a7 =

a10 = a5

a7 =

Resolva:

8×

b5 ×

b3 =

5×

x3 ×

x9 =

Ao fazer cálculos com frações cujos termos são radicais, cujos radicandos são números naturais, é comum transformá-las em frações equivalentes cujos denominadores são números naturais. Este processo chama-se “racionalização de denominadores”. Veja, a seguir, alguns exemplos de racionalização de denominadores e resolva os exercícios.

Mat9Cap8_NOVA2012.indd 241

91. a) 4; b) 5; c) b4; d) x6.

241

10/05/13 19:59

Recorde: • Simplificação de fração. Ex.: 8a/20 = 2a/5 (dividir os termos pelo m.d.c.). • Distributividade: (a + b – c) x = ax + bx – cx e sua recíproca: mx + nx – px = (m + n – p)x. • Simplificação de radicais.

Exemplos:

C) D) 92. a)

;

10 ;

32 ×

5×

48 ×

20 ×

25 × 5

24 × 2 × 5 4 10 = 5 5

24 × 3 × 22 × 5

20 2

;

23 15 26 × 3 × 5 = = 20 20

8 15 2 15 = 20 5 25 18

32 = 3

25 ×

18 ×

32 × 3

52 × 2 × 32

3× 3

25 × 3 = 3

92. Racionalize os denominadores:

3 7 5 8

6 = 15

52 × 2 × 32 5 × 3 × = 18 18

5 2 6

24 × 2 × 3 22 × 6 4 6 = = 3 3 3

5 7

Observe, agora, como calcular expressões contendo adições ou subtrações:

A) 13 2 + 5 2 – 7 2 = ( 13 + 5 – 7 )

2 = 11 2

B) 14 5 + 6 5 – 8 5 = ( 14 + 6 – 8 )

5 = 12 5

C) 4 3 + 5 27 = 4 3 + 5 33 = 4 3 + 5 × 3 3 = = 4 3 + 15 3 = ( 4 + 15 )

3 = 19 3

D) 7 98 + 5 32 – 2 75 = 7 72 × 2 + 5 24 × 2 – 2 52 × 3 = 93. a)

= 7×7 2+5×4 2 –2×5 3=

;

b) 15

;

d) 14

;

= 49 2 + 20 2 – 10 3 = 69 2 – 10 3

e) 5x2

;

f) –6y

93. Copie, em seu caderno, e resolva como no exemplo D anterior: a)

48 –

12 +

b) 3 8 + 5 2 +

242

Mat9Cap8_NOVA2012.indd 242

300 = 32 =

c) 2 27 + 5 243 =

d) 4 20 + 2 45 = e)

27x 4 +

12x 4 = ?

f) 4 3y 8 + 2 27y 8 – 4 48 y 8 = ?

10/05/13 19:59

b) 16

32 1

32 0

16 2

Copie a tabela e complete-a, calculando o m.d.c. dos pares de números por meio do processo das divisões sucessivas:

94. Em cada caso a seguir, divida os termos da fração dada pelo m.d.c. desses termos, para simplificá-la:

a) 60

140

60 144

d) 140

140 360 600

e) 144

140 280 f) 360

95. Reveja outro modo de calcular o máximo divisor comum: Observe a tabela a seguir e escreva, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras: 12 = 22 × 3 18 = 2 × 32

Menor expoente de 2 : 1

M.d.c. (12,18) = 6 36 = 22 × 33 24 = 23 × 3

Menor expoente de 3 : 1

m.d.c. (12, 18) = 21 × 31 = 2 × 3 = 6 Menor expoente de 2 : (a)

M.d.c. (36,24) = 12

Menor expoente de 3 : (b)

m.d.c. 36, 24) = 2a × 3b

Para calcular o m.d.c. de duas expressões: Fatoram-se as expressões. Escreve-se como m.d.c. delas o produto dos fatores comuns, cada um com seu menor expoente.

Mat9Cap8_NOVA2012.indd 243

125

120

m.d.c.

Máximo divisor comum

120

125

48 1

a) 32

Observe como calcular o máximo divisor comum de 80 e 48, usando divisões sucessivas:

Quocientes e produtos de expressões literais

Use as divisões da direita da ilustração para explicar aos alunos o algoritmo do cálculo do m.d.c. usando divisões sucessivas. Divide-se o maior dos números (80) pelo menor (48) colocando o quociente (l) sobre o divisor (48) e o resto (32) sob o dividendo (80). Procede-se de modo análogo, dividindo o primeiro divisor (48) pelo primeiro resto (32) e assim por diante, até se encontrar um resto zero. O último divisor é o m.d.c. dos números dados.

94. a) 3/7; b) 5/12; c) 7/18; d) 7/30; e) 36/35; f) 7/9.

95. a) 2 b) 1 c) m.d.c (36,24) = 22×3 = 12. Professor(a): Diga aos alunos que o método para calcular o m.d.c. explorado no início da página, conhecido como “algoritmo de Euclides” (pois foi apresentado no livro “Os Elementos”, deste matemático grego, datado de cerca de 300 a.C.) é muito mais prático e efetivo do que o método de fatoração. Mais ainda, é possível calcular o m.d.c de quaisquer pares de números inteiros utilizando-se o algoritmo de Euclides, mas isto é praticamente impossível utilizando-se fatoração, uma vez que não se conhece até hoje nenhum algoritmo eficiente para fatorar números inteiros.

243

10/05/13 19:59

Observe como simplificar a fração: 20a7 4a 9 Calcula-se o m.d.c. de 20a7 e 4a9 : 4a7. Em casa, os alunos devem anotar, no caderno, o texto “Observe como simplif icar...” até o último quadro que antecede o exercício 100.

Fatorando 20a7, obteremos 22 x 5a7. Fatorando 4a9, obteremos 22a9. Os fatores comuns são 2 e a, e seus menores expoentes são 2 e 7, respectivamente: Logo, o m.d.c. de 20a7 e 4a9 é 22 x a7 = 4a7. Divide-se o numerador e o denominador pelo m.d.c. de ambos: 20a7 : 4a7 = 5 e 4a9 : 4a7 = a2

96. a) 2/x2; b) a/b; c) 1/4n2; d) y/2x; e) 1/4a; f) 6; g) –a/10; h) 4a2y.

Escreve-se a fração cujos termos são esses quocientes: 20a7 5 = 2 9 4a a

96.Copie, em seu caderno, cada fração a seguir e simplifique, dividindo os termos pelo m.d.c. deles:

a) 97. 70 m3. Chamando de x o consumo em novembro, o de dezembro se representa por 5x/3, e o de janeiro por 5x/6; logo, obtém-se a equação x + 5x/3 + 5x/6 = 147, cuja raiz (42) é o consumo de novembro. Logo, o consumo de dezembro é 5/3 dessa raiz, ou seja, 70. Explore a equivalência entre metros cúbicos e mil litros.

4x 5 2x 7

3a 2 b 3ab 2

–

2n3 = 8n5

4 xy 2 8x 2 y

? e)

? f)

a2b 4a 3 b

6x 2 x2

ax 2 = 10x 2

–

32 a 3x 2 y 8ax 2

97. De novembro a janeiro, o consumo de água da casa de Elisa foi de 5 do de novembro, e o de 3 janeiro, à metade do de dezembro. Calcule o consumo de dezembro. 147 m3. O consumo de dezembro foi igual a

Justifique sua resposta.

244

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10/05/13 19:59

Veja um outro processo de cálculo do mínimo múltiplo comum de dois números: Na esquerda, você observa como calcular o m.m.c. de 120 e 180, que é 23 × 32 × 5 = 360, e, na direita, o cálculo do m.m.c. de 200 e 150, que é 23 × 3 × 52 = 600. 2 2 2 3 5 5

◆ Se os dois números forem divisíveis por 2, escrevemos 2 à direita da barra vertical e fazemos as divisões, registrando os quocientes sob os dois números. ◆ Enquanto houver quociente divisível por 2, vamos escrevendo 2 à direita da barra, dividindo por dois ambos os quocientes, ou aquele que for divisível por 2, e repetindo o outro não divisível. ◆ Quando os quocientes obtidos passam a não ser divisíveis por 2, continuamos o processo dividindo por 3 (se possível). ◆ Em qualquer momento que não for possível dividir por 3, passamos às tentativas de divisões por 5, 7, 11 etc., até obtermos todos os quocientes iguais a 1. ◆ Finalmente, o m.m.c. é o produto dos fatores primos escritos à direita da barra vertical.

98. Agora, é com você: copie a tabela, calcule os mínimos múltiplos comuns

3005 800 2100

Observe a sequência: divisões, quando possíveis, pelos números primos em ordem crescente: 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc. Assim:

100

98.

150 75 75 75 25 5 1

2100 672 420

200 100 50 25 25 5 1

600 800 4200

2 2 2 3 3 5

200

180 90 45 45 15 5 1

Mínimo divisor comum 150 32 210

120, 60 30 15 5 5 1

99. a) 17/24; b) 11/18; c) 18/5.

de todos os pares possíveis e registre: Mínimo múltiplo comum

200

150

600

100

32 210

99. Calcule as somas a seguir. Lembre-se de obter frações equivalentes às frações dadas, usando o m.m.c. dos denominadores delas.

a) 3 + 4 8

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4 1 + 9 6

3 +3 5

245

10/05/13 19:59

Deduzindo as fórmulas de resolução de ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 Proponha que um aluno explore o desenvolvimento do texto inicial desta página no quadro, conduzindo as atividades com perguntas: a) Se duas equações são equivalentes, o que se pode dizer das raízes delas? b) Qual produto notável foi utilizado para desenvolver os cálculos do primeiro membro da segunda equação? c) O que justifica decompor o segundo membro da segunda equação em dois termos? d) Quais parcelas foram “canceladas” nos dois membros e por quê? e) Qual a operação feita para, a partir da penúltima equação, se obter a última?

Sendo a  0, vamos provar o que se afirma no quadro a seguir: As equações ax 2 + bx + c = 0 e ( x + são equivalentes

b 2 b 2 – 4ac ) = 2a 4a 2

Vamos desenvolver os cálculos da segunda equação para obter a primeira:

 b  b2 b 2 4ac bx c x 2 + ( 2x )   + – 2 ou x 2 + + = 0 e, = 2 2 a a  2a  4a 4a 4a finalmente, ax2 + bx + c = 0. Agora veja, em linguagens diferentes, outras expressões equivalentes: A

Resolver x2 = 4

Quais os números reais x cujo quadrado é 4?

Resolver x2 = N

Quais os números reais x cujo quadrado é N?

Resolver (x – 3)2= 4

Quais os números reais x cujo quadrado de x – 3 é 4?

Você sabe como resolvê-las:

(A) ⇒ x1 = = x 2 4= 4 e x2 –= 4 ou x1 2 e x 2 = –2 (B) ⇒ x1 x 2 N= =

N e x 2 = – N (N representa um número real positivo)

De modo bem parecido, é possível resolver a equação da linha (C) da tabela: = ( x – 3 )2

⇒ x–3 4=

4 ou e x–3=– 4 ⇒

⇒ x – 3 = 2 ou e x – 3 = –2 Comente a razão da hipótese feita: b2 – 4ac > 0.

x1 = 5 e x 2 = 1

Agora, compare as resoluções anteriores com a seguinte, supondo b2 – 4 ac ≥ 0. (x +

b b 2 – 4ac b b 2 b 2 – 4ac b 2 – 4ac ⇒ x + = ou x ) = + = − 2a 2a 2a 4a 2 4a 2 4a 2

2 2 ⇒ x + b = b – 4ac ou x + b = – b − 4ac

Resultam, finalmente, as raízes x1 =

–b + b 2 – 4ac –b – b 2 – 4ac e x2 = 2a 2a

246

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10/05/13 19:59

CapItulo 9

Ia64 | Dre

amstime.

com

s e s r e a t d n a e d Ativi complem

Mat9Cap9_NOVA2012.indd 247

10/05/13 20:04

Mat9Cap9_NOVA2012.indd 248

10/05/13 20:04

Temperaturas

Use os valores que você encontrou na atividade anterior, copie a tabela a seguir e complete-a com todas as somas de pares de números correspondentes:

a + e = –89

b + e = 152

+53

18 graus cima de zero graus

+107

35 graus abaixo de zero graus

–125

–179

+245

Marcos de estradas

+191

44 km depois do ponto de encontro

75 km antes do ponto de encontro

–50

g = –36

Valores monetários

h = +18

Créditos 89 reais

+14

Débitos: 143 reais

+133

–99

–218

227 metros cima do nível do mar

+271

Altitudes

14 metros abaixo do n ível do mar

b + e = 152

correspondentes a cada letra de a até h:

+30

2. Observe a tabela e escreva os números reais que representam os valores

a + e = –89

b) Números racionais que não sejam números inteiros.

2. a) –14 b) + 227 c) –143 d) +89 e) –75 f) +44 g) –36 h) +18

f = +44

a) Números reais que não sejam números racionais.

e = –75

Dê três exemplos de:

c = –143 d = +89

1. a) Decimais com leis de formação não periódica; b) frações ou decimais não equivalentes a inteiros.

b = +227

Atividades complementares do capítulo 1

Professor (a) : Nossas respostas são, geralmente, sucintas. Crie nos alunos o hábito de dar resposta mais completas.

a = –14

Resolva todas as atividades deste capítulo em seu caderno ou, quando necessário, use folhas de papel quadriculado.

g h

Desenhe uma reta numerada contendo os números inteiros de –6 até +6. Depois, marque nela com cor azul, os pontos de abscissas –4 , –1, +2 e +5

4. Desenho dos alunos

249

Mat9Cap9_NOVA2012.indd 249

10/05/13 20:04

5. a) entre zero e –1 b) entre –2 e –3 c) entre 2 e 3. 6. O ponto de abscissa –0,09 mais perto do ponto de abscissa zero e o ponto de abscissa –0,99 fica mais perto do ponto de abscissa –1. Professor(a): Se julgar necessário, recorra à tabela do capitulo 1 que antecede a atividade 12 para propor a atividade 7. 7. a) 2323/999 b) 2894/900 c) 143/999 d) 757/9900

a) –3/4

b) –2,3

ou do ponto de abscissa –1? E o ponto de abscissa –0,99?

Calcule as geratrizes das dízimas periódicas a seguir:

a) 2,325325....

b) 3,215555...

e n representa número natural, tem-se: x −n = 1

diferentes de zero, a

d) 0,07646464...

b a

1 ; e que se b e a são xn

Use estes fatos para calcular: 1 a)   2

−3

 2 b)  −   3

10.

10–1

Fração Decimal

11 10100

Número decimal

0,1

−4

−2

1 ⎞ ⎟ ⎝ 10 ⎠

c) ⎜− ⎛

⎛ ⎞ d) ⎜ 1 ⎟ ⎝ 10 ⎠

10–3

1 100

1 100000

0,0001

Para cada item a seguir, escreva o resultado como produto de um número natural por uma potência de 10:

a) 0,03 = 3 × 0,01

b) 0,0004 = 4 × 0,0001

11.

−3

Escreva os valores correspondentes a cada letra de a até h da tabela a seguir: Potência de expoente negativo

11. a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) –6 f) –6 g) –10 h) 3 i) –1

c) 0,00002 =2 × 0,0001 d) 0,007 = 7 × 0,001

Identifique o expoente de 10 necessário para obter a igualdade em cada item a seguir:

a) 6500000 = 6,5 × 10?

d) 70000000 = 7 × 10?

g) 0,0000000005 = 5 × 10?

c) 100000000 = 10?

f) 0,0000042 = 4,2 × 10?

i) 0,51 = 5,1 × 10?

b) 1200000000 = 1,2 × 10?

Mat9Cap9_NOVA2012.indd 250

c) 0, 143143143....

8. Você sabe que se x representa qualquer número real diferente de zero

10. a) 3 × 10– 2 b) 4 × 10– 4 c) 2 × 10– 4 d) 7 × 10– 3

250

c) 7/3?

6. O ponto de abscissa –0,09 fica mais perto do ponto de abscissa zero

8. a) 8 b) –27/8 c) +10 000 d) +100 9. a) 10– 2 b) 0,01 c) 1/1000 d) 0,001 e) 10– 4 f) 1/10 000 g) 10– 5 h) 0,000001

Na reta anterior, entre quais números inteiros você marcaria os pontos de abscissas:

e) 0,000004 = 4 × 10?

h) 1300 = 1,3 × 10?

10/05/13 20:04

Chama-se notação científica a escrita de números como produto de números entre zero e dez por potências de dez.

12.

d) 0,000 0035

c) 0,000 003

f) 0,000 000 021

b) 37 000 000

13.

Professor(a): Se julgar necessário, reveja o cálculo de raízes quadradas aproximadas de números racionais por tentativas como nos exercícios 37 a 44 do capítulo 1.

Escreva cada número a seguir usando notação científica:

a) 63 120 000

e) 0,000 000 002

Faça os cálculos a seguir em seu caderno, escrevendo no lugar das letras os números correspondentes 9 + 16 = a = b

9 + 16 = c + d = e

64 + 36 = f = g

64 + 16 = h + i = j

Observe os resultados obtidos e responda se verdadeiro ou falso: a raiz quadrada da soma de dois números é igual à soma das raízes quadradas dos mesmos números.

14.

Faça os cálculos a seguir escrevendo no lugar das letras os números correspondentes 9.16 = 144 = a

( 9)( 16 ) = b . c = d

4.36 = 144 = e

( 4 )( 36 ) = f . g = h

Calcule por decomposição as raízes quadradas de cada item de a até d: a

225

16.

196

13. a = 25 b=5 c=3 d=4 e=7 f = 100 g = 10 h=8 i=4 j =12

Falso 14. a = 12 b. c = 3 x 4 c=3x4 d = 12 e =12 fxg=2x6 h = 12 Verdadeiro

Observe os resultadosobtidos e responda se verdadeiro ou falso: a raiz quadrada do produto de dois números é igual ao produto das raízes quadradas dos mesmos números.

15.

12. a) 6,312 × 107 b) 3,7 × 107 c) 3 × 10–6 d) 3,5 × 10–6 e) 2 × 10–9 f) 2,1 × 10–8

324

441

Professor(a): Se julgar necessário, reveja o cálculo de raízes quadradas por fatoração, obtendo raízes exatas ou a simplificação de radicais como nos exercícios propostos a seguir: 15. a) 3 x 5 = 15 b) 7 x 2 = 14 c) 2 x 9 = 18 d) 3 x 7 = 21

Simplifique os radicais correspondentes a cada item de a até f: a

125

16. a) 2 7 b) 3 2 c) 5 5 d) 2 2 e) 4 2 f) 3 11

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17. a) 0,01 b) 0,001 c) 0, 000 001

18. Quanto maior o valor dado a x, menor fica o valor de 1/x. Tais valores se aproximam de zero quando mais aumentarmos o valor de x.

17.

19. a) 1/16 = 0,0625 b) 1/32 = 0,03125 c) (1/32)(1/32) = 1/1024 = 0,0009765625 d) (1/1024)(1/1024) = 1/ 1048576 = 0,00000095367431640625

100

1 000

100 000

1 x

1 = 0,1 10

18.

Com base na atividade anterior, o que você conclui sobre os valores de 1 quando a x são dados valores cada vez maiores? De qual número x estes valores se aproximam?

19.

Use calculadora e calcule os valores decimais das potências da fração

Professor(a): antes da atividade a seguir, proponha atividades que usem os fatos: a) Dada uma potência an para calcular an + 1basta multiplicar a potência pela base a. b) O produto de duas potências de mesma base é igual a uma potência de mesma base cujo expoente é a soma dos expoentes das potências fatores.

Copie a tabela e calcule os números decimais correspondentes a cada letra da mesma:

 1 para os valores de n contidos na tabela:  2  n n

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

1 = 0,125 8

20. Com base na atividade anterior, o que você conclui sobre os valores de n

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ quando a n sãodados valores cada vez maiores? De qual número ⎝ 2 ⎠

estes valores se aproximam? 20. Quanto maior o valor dado a n menor o valor correspondente a (1/2)n. Tais valores se aproximam de zero quanto mais aumentar o valor de n.

21. O segundo intervalo representa todos os números reais desde o número -1 até o número 1, e, o terceiro intervalo representa o conjunto de todos os números reais menores que -1 ou maiores que 1.

21.

Na tabela a seguir, você vê a representação de intervalos numéricos na reta numerada. O primeiro intervalo representa todos os números reais compreendidos entre – 1 e +1. O último intervalo representa todos os números reais menores que ou iguais a –1 ou maiores que ou iguais a +1. O que representam o segundo e o terceiro intervalos?

–1

–1 < x < 1 –1 ≤ x ≤ 1

–1

x < –1 ou x >1 x ≤ –1 ou x ≥ 1

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22. Com base na atividade anterior, represente na reta numerada todos os

22. Representações dos alunos.

números reais que satisfazem as desigualdades a seguir:

a) –2 < x < 5 b) x ≥ –3 c) x < 4

d) x < –3 ou x > 5 e) –2 ≤ x < 4

Atividades complementares do capítulo 2 23. O piso retangular de uma sala mede 5 m de comprimento por 4 m de

23. 112 peças areia e 208 peças marfim.

24. Uma bandeira retangular de 3 metros de comprimento por 2 metros de

24. 66 decímetros quadrados

largura. Ele é pavimentado com peças de cores marfim e areia, todas de forma quadrada com 25 cm de lado. As peças de cor areia correspondem a 35% da pavimentação. Quantas peças de cada cor foram usadas para pavimentar este piso?

largura tem uma de suas partes em forma de losango e, dentro deste, um círculo. Sabe-se que a área do losango, incluindo o círculo, corresponde a 55% da área da bandeira, e que a área do círculo corresponde a 20% da área do losango. Calcule a área do círculo em decímetros quadrados.

25. Em 2010 o Brasil tinha aproximadamente cento e noventa milhões de habitantes, e o número de mulheres era de, aproximadamente quatro milhões a mais que o número de homens.

25. a) 97/190, aproximadamente 51% b) 93/97, aproximadamente 96%

a) O total de mulheres naquele ano representava aproximadamente quantos por cento da população total?

b) O total de homens naquele ano representava aproximadamente quantos por cento do total de mulheres?

26. Lamentavelmente, pesquisas feitas em 2010 comprovaram a existência

26. 6 790 000 mulheres.

da ordem de 7% de mulheres alcoólatras. Com os dados do problema anterior, calcule quantas eram aproximadamente estas alcoólatras?

27. Pesquisas feitas em certa região do país mostraram que em 2009 foram

27. 23%

efetuados 40 020 casamentos pela primeira vez entre solteiros, nos quais a noiva era mais velha que o noivo. Este número representa quantos por cento de um total de, aproximadamente 174 000 casamentos efetuados no mesmo período, naquela região?

28. Em cada litro de gasolina, existem, em média, 22% de álcool. Em um

28. 11 000 litros de álcool.

posto de abastecimento existem 50 000 litros de gasolina. Calcule a quantidade de álcool contido neste volume de gasolina.

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29. R$ 3 200,00

30. a) Produto calculado por Pedro:1,039508184.

29. Antônio

fez duas aplicações em dinheiro, sendo a primeira de R$ 2 400,00 a 2% ao mês, e a segunda, a 2,4% ao mês. Ao final do mês, as aplicações de Antônio renderam R$ 124,80. Calcule o valor da segunda aplicação feita por Antônio.

30. Observe o quadro a seguir. Nele são simulados na segunda linha, os percentuais mensais de inflação de determinado país nos meses do primeiro trimestre de certo ano e a inflação acumulada neste trimestre.

Com aproximação, 3,951%. Pedro obteve um valor confiável.

Na terceira linha você vê os fatores que se devem multiplicar para obter o valor aproximado da inflação acumulada no primeiro trimestre.

b) 3,5% aproximadamente. c) (1,012)(1,014) = 1,026168

Para calcular a inflação acumulada, Pedro fez o produto (1,012) (1,014) (1,013).

a) Use uma calculadora e verifique se Pedro obteve um valor confiável. janeiro

fevereiro

março

1º trimestre

1,2%

1,4%

1,3%

3,951% aproximadamente

1 + 0,012

1 + 0,014

1 + 0,013

b) Suponha agora, percentuais de 2%, x% e 3%, para os três meses sucessivos do primeiro trimestre e calcule x para que a inflação acumulada no trimestre seja de 8,734% aproximadamente

c) Com base nos dados da tabela, para reajustar ao fim de fevereiro o preço de certa

mercadoria usando a inflação acumulada, por qual fator um comerciante deveria multiplicar o preço da mesma ao fim do mês de dezembro anterior?

31. a) 1,015 b) 1,002 c) 1,11

31.

Vicente disse corretamente que, para calcular o montante de uma aplicação a 1,2% ao mês, ao fim de um mês, basta multiplicá-la por 1,012. Por quanto você multiplicaria uma aplicação para calcular o montante ao fim de um mês a uma taxa de:

a) 1,5%?

32. a) R$ 4 048,00 b) R$ 4 104,67 aproximadamente. 33. Jorge fez os cálculos corretos porque os juros mensais foram se acumulando durante os quatro meses, gerando um montante percentual final dado por (1,02)4, ou seja, 1,08243216, ou aproximadamente, 8,2% de taxa de juros final.

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b) 0,2%?

c) 11%?

32. Usando os dados da tabela do exercício 30, use calculadora e resolva:

a) Qual o montante de uma aplicação de R$ 4 000,00, num investimento que repõe a inflação, ao fim de janeiro?

b) Sem resgatar o montante obtido, qual o montante ao fim de fevereiro?

33. Uma mercadoria que custa R$ 6 000,00

é vendida em duas parcelas: entrada de R$ 2 000,00 e o restante a ser pago ao fim de 4 meses a 2% ao mês. Para calcular o montante do financiamento, Pedro multiplicou os 4 000 reais por 1,08 e Jorge multiplicou por (1,02)4. Qual dos dois fez os cálculos corretos? Justifique sua resposta.

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34. Calcule

a diferença dos montantes finais que resultam dos cálculos feitos pelo Pedro e pelo Jorge.

35. Pelo regulamento relativo ao pagamento de IPTU da Prefeitura de uma

34. Aproximadamente R$ 9,73 reais. 35. a) R$ 781,20 b) R$ 873,85

capital brasileira, são concedidos 7% de descontos se paga a taxa até o dia 15 do mês de janeiro. Em caso de atrasos, além de juros de 1% ao mês, são cobrados 3% de multa se pagos até 30 dias contados da data do vencimento. Calcule, com base no valor de R$ 840,00:

a) Quanto se pagará se quitado todo este valor até dia 15 de janeiro.

b) Quanto se pagará se quitado todo este valor até o dia 12 de fevereiro.

36. Vamos recordar? Escreva em seu caderno os valores correspondentes às letras da tabela a seguir: Frases

Taxa

Principal

Porcentagem

17% de R$ 400,00 são R$ 68,00

1,65 kg são 33% de 5 kg

23% de 700 são 161

43% de 5 metros são 2,15 metros

123 000 habitantes são 15% de uma população de 820 000 habitantes

Dadas 80 figurinhas, calculando-se 25% das mesmas, encontramos 20.

37. Um corretor recebe 2% de comissão do preço do que vende. No mês

36. a) R$ 68, 00 b) R$ 400, 00 c) 17% d) 1, 65 kg e) 5 kg f) 33% g) 161 h) 700 i) 23% j) 2,15 metros k) 5 metros l) 43% m) 123 000 n) 820 000 habitantes o) 15% p) 20 q) 80 figurinhas r) 25%

37. R$ 180 000, 00

de abril ele recebeu 3 600 reais de comissão pela venda de um terreno. Qual o preço de venda deste terreno?

38. Numa fábrica 35% dos operários são mulheres.

a) Qual o total de operários se o total de homens é de 325?

38. a) 500 operários. b) A p r ox i m a d a m e n t e 54%

b) Qual a porcentagem do número de mulheres em relação ao total de homens?

39. Um automóvel custava R$ 29 000,00. Nele, a pedido do comprador,

39. R$ 30 084, 60

foram instalados acessórios cujo preço total representava 5% do preço. Diga quanto o comprador pagou, se teve um desconto sobre o montante de 1,2%,

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40. R) 4%.

40. De modo desonesto, um comerciante aumentou o preço de certa mer-

cadoria em 20% e depois anunciou uma liquidação na qual vendia com desconto de 20%. Qual foi a porcentagem de desconto real sobre o preço original para quem comprou a mercadoria?

41. R$ 340,0

42. R$1 296, 00

43. R$ 1 647, 00

41.

Luciana comprou um celular por R$ 400,00 e o revendeu com um prejuízo de 15%. Por quanto Luciana vendeu o celular?

42. Mauricio comprou uma moto por R$ 1 200,00 e quer vendê-la com um lucro de 8%. Por quanto ele deve vender a moto?

43. O salário bruto de uma pessoa é R$ 1 800,00. Desse total são descontados 8% para a previdência social (INSS) e 0,5 % de vale transporte. Qual é o salário líquido dessa pessoa?

Atividades complementares do capítulo 3 44. a) 5x3 y4 b) 0, 006 b4 c2 c) 70, 008 x4

45. a) 2, 7x b) 6x + 4y c) 13x

46. Propriedade comutativa da adição: a ordem das parcelas não altera a soma.

47. Para calcular (a + b) + c, primeiro calculamos a + b e depois somamos c ao resultado. Para calcular a + (b + c), primeiro calculamos b + c e depois somamos a ao resultado.

44. Calcule as áreas dos polígonos a seguir, escrevendo-as na forma de monômios reduzidos:

a) Retângulo de base 3x2y e altura (5/3) xy3 b) Triângulo de base 1,2b3 e altura 10–2bc2

c) Trapézio de bases 1,4.102x e 1,6.10–2x e altura 0,1x3

45. Calcule

os perímetros dos polígonos a seguir, escrevendo-as como monômios ou polinômios reduzidos:

a) Retângulo de base de medida (3/4) x e altura 0,6x.

b) Triângulo cujos lados medem 3x + 2y, x + 3y e 2x – y

c) Trapézio isósceles de bases de medidas 3x e 6x e lados congruentes de medidas 2x

46. Se x e y representam números reais, a expressão x + y = y + x representa uma propriedade da adição. Como ela se chama?

47. Diga em que ordem devemos calcular (a + b) + c e a + (b + c) 48. Os resultados são iguais.

49. Para que tenhamos x + x + x = 1x sendo x as parcelas e 1x a soma com dois algarismos, devemos ter x = 5. Verificando: 5 + 5 + 5 = 15

48. Os

dois cálculos representados nas duas expressões anteriores geram somas iguais ou diferentes, isto é, (a + b) + c = a + (b + c) ou (a + b) + c ≠ a + (b + c)?

49. Considere uma adição cujas três parcelas são representadas pela letra x. Sabendo que x representa um algarismo de 0 a 9, e que a soma contém x como algarismo das unidades e 1 com algarismo das dezenas, diga qual o valor desta soma.

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50. Considere que x representa um número real. Descreva em linguagem corrente o que representa cada uma das expressões a seguir:

a) 3x + 1

51.

b) x2 – x

c) 5x –9

d) x2 + 2x + 1

c) x2 –4

Substitua x na expressão x2 + 2x + 1, sucessivamente por –3, –2, –1, 0, +1, faça os cálculos correspondentes, observe os resultados obtidos e cite três fatos que descobriu.

52. Considere a expressão 0,5x +2 =

x+ 4 . Nela, substitua x por qualquer 2

valor numérico que quiser e faça os cálculos dos dois membros. O que você descobriu? Expressões como 0,5x +2 =

x+ 4 chamam-se identidades. 2

53. Entre as duas expressões a seguir, uma é identidade e a outra não.

Qual

delas não é identidade? Justifique sua resposta.

a) (x – 1)2 = x2 – 2x +1

b) (x + 1) x (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0

54. Você sabe que se em uma multiplicação um dos fatores é zero, o produto

50. a) a soma do triplo do número com 1. b) a diferença entre o quadrado do número e o número, nesta ordem. c) a diferença entre o quíntuplo do número e 9, nesta ordem d) soma de três parcelas: quadrado do número, o dobro número e 1. e) a diferença entre o quadrado do número e quatro, nesta ordem. 51. 4 , 1, 0 , 1, 4. Ao substituir x por números inteiros, positivos ou negativos, o cálculo gera quadrados perfeitos. Os valores obtidos ao substituir x por números equidistantes de –1 são iguais. O menor valor da expressão é zero e corresponde à substituição de x por –1 52. Qualquer valor que se dê a x gera resultados iguais nos dois membros da igualdade.

é zero. Agora, considere a multiplicação:

(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)..... (x –1 000) = 0 na qual os pontinhos representam todos os fatores da forma (x – a) com a variando de 5 até 999. Se x = 1, o primeiro fator se anula e o produto é zero. Se x = 2, o segundo fator se anula e o produto é zero. Você diria que esta expressão é uma identidade, ou seja, que o primeiro membro se anula pela substituição de x por qualquer número natural? Justifique.

55.

Observe o retângulo ao lado

a) Calcule seu perímetro como um polinômio reduzido

b) Calcule sua área como um binômio.

c) Qual o grau do binômio que representa a área do retângulo?

56.

53. É a expressão da letra b porque o primeiro membro somente se anula para os valores de x iguais a –1, 0, 1, 2 ou 3, porque, pela ordem, anulam o primeiro, o segundo, o terceiro o quarto e o quinto fatores. Qualquer outro valor que substitua x por número maior que 3 ou menor que –1 não anula o primeiro membro 54. A expressão não é uma identidade porque a substituição de x por qualquer número natural maior que 1 000 não anula nenhum fator; logo, o primeiro membro nestes casos não é zero. 55. a) 10x + 8 b) 3x (2x + 4) = 6 x2 + 12x c) segundo grau 56. 9x3y2

Expresse a área do triangulo ao lado como um monômio.

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57. a) 4y + 16 e 10y + 6 b) (y + 3)(y + 5) e (3y + 2)(2y + 1) c) y2 + 8y + 15 d) y2 + 3y + 5y + 15 e) 6y2 + 7y + 2 f) 6y2 + 4y + 3y + 2

57. Observe os dois retângulos das figuras abaixo: Primeiro retângulo

Segundo retângulo

a) Escreva os perímetros dos dois retângulos como binômios reduzidos

b) Escreva as áreas dos dois retângulos como produto de dois binômios.

c) Calcule o produto dos binômios que representam a área do primeiro retângulo

d) Calcule a área do primeiro retângulo como soma das áreas dos quatro retângulos que o formam.

e) Calcule o produto dos binômios que representam a área do segundo retângulo.

f) Calcule a área do segundo retângulo como soma das áreas dos quatro retângulos que o formam.

58. (2x + 3)(x + 2) = 2x2 + 4x + 3x + 6 = 2x2 + 7x + 6

58. Você sabe que, usando a propriedade distributiva da multiplicação, o cálculo do produto (y + 3)(y + 5) pode ser feito assim:

(y + 3).y + (y + 3).5 = y 2 + 3y + 5y + 15 Observe que o produto (y + 3)(y + 5) representa a área do primeiro retângulo e a expressão y2 + 3y + 5y + 15 representa a soma das áreas das partes do primeiro retângulo. Logo, a área do primeiro retângulo pode ser obtida usando a propriedade distributiva para calcular o produto da base pela altura, ou como soma das áreas das partes que o compõem. Com base nisto, desenhe em seu caderno um retângulo de base 2x + 3 e altura x + 2, expresse a área do mesmo como produto da base pela altura, e iguale este produto à soma das áreas das quatro partes que o compõem. Depois, escreva esta soma como polinômio reduzido.

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59.

59. a) 20x (monômio) b) 3x(7x) = 21x2 c) (2x + 1) . 3x + (x– –1)3x + (2x + 1) . 4x + (x–1)4x = 6x2 + 3x + 3x2 – 3x + 8x2 + 4x + 4x2 – 4x = 21x2

Faça o que se pede em relação ao retângulo ao lado:

a) Calcule seu perímetro e diga se resultou em um monômio ou um binômio.

Professor (a) : discuta com os alunos a condição que x deve satisfazer neste problema (note que uma das dimensões está representada por x –1)

b) Calcule sua área como produto da base pela altura

c) Calcule sua área como soma

das áreas dos retângulos que o compõem.

60. Observe a sequência de retângulos formados por quadradinhos coloridos da tabela:

60. a) 3x1 + 1 b) 3x2 + 1 c) 3x3 + 1 d) 3x4 + 1 ....... e) 3x43 + 1 f) 130 g) 3n +1

Contando os segmentos dos contornos e os entre suas partes, o da primeira linha tem 4 segmentos, o da segunda linha tem 7, o da terceira linha tem 10, e assim sucessivamente. Observe agora a tabela a seguir e escreva em seu caderno como calcular os valores que correspondem a cada letra de a até g da mesma. Número de segmentos em cada retângulo 1º.

2º.

3º.

4º.

.......................

43º

......................

.....................

Posição n

61. No exercício anterior, qual a posição dos retângulos que possuem: a) 82 segmentos?

b) 406 segmentos?

61. 3n + 1 = 82 => 3n = 81 => n = 27 (27ª posição) b) 3n + 1 = 406 => 3n = 405 => n = 135 (135ª posição)

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62. a) 2 b) 2 c) eixo das ordenadas d) eixo das abscissas e) ele é simétrico do ponto P em relação ao eixo das abscissas.

62.Observe como são representados no primeiro quadrante do plano cartesiano os pontos de coordenadas (2,5) e (5,2) e responda as perguntas ao lado

a) Qual a abscissa do ponto P?

b) Qual a ordenada do ponto Q? c) A abscissa do ponto Q cor-

responde à distancia entre ele e qual dos eixos coordenados?

d) A ordenada do ponto P cor-

responde à distancia entre ele e qual dos eixos coordenados?

e) Se o ponto R(2,-5) pertence ao

mesmo sistema de coordenadas da figura, ele é simétrico de um dos pontos P ou Q em relação a algum dos eixos coordenados. Identifique a qual dos pontos ele é simétrico e em relação a qual eixo.

63. Desenho dos alunos. ABC é um triângulo isósceles porque como a abscissa do ponto C equidista das abscissas dos pontos A e B, considerando o ponto H(2,0), a reta que passa por C e H é altura e mediana do triangulo ABC. Logo, ele é isósceles. 64. Desenho dos alunos, bastando que x não equidiste de –3 e 9 que distam entre si de 12 unidades. Logo, x não pode ser 6 porque a altura de vértice F seria também mediana do lado DE. 65 a) (4, –4) e (–4, 4) b) (0, –2), e o próprio B c) sua abscissa pode ser qualquer número real e sua ordenada é zero.

y 9 8 7 6

P(2,5)

5 4 3

Q(5,2)

2 1 0

63.Represente no plano cartesiano um triângulo ABC de vértices A(–3 ; 0),

B(7 ;0) e C(2 ; 6) e classifique o mesmo com relação a seus lados. Justifique.

64.Represente no plano cartesiano um triângulo DEF de vértices D(–3 ; 0), E(9 ;0) e F(x ; 6), dando a x um valor numérico para que o triangulo DEF não seja isósceles.

65. Observe os pontos A e B representados no plano cartesianoda figura abaixo, e responda às perguntas ao lado:

a) Qual o simétrico do ponto A em relação ao eixo das abscissas? E em relação ao eixo das ordenadas?

b) Qual o simétrico do ponto B em relação ao eixo das abscissas? E em relação ao eixo das ordenadas?

y A(4,4) B(0,2)

c) Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, o que se pode dizer de suas coordenadas?

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66. Durante os sete primeiros dias de inverno em certa região a temperatura,

em graus centígrados, variou como se vê no gráfico abaixo. Observe-o e depois responda os itens a até e.

66. a) 5º dia , 8 graus b) 6º dia, 18 graus c) 6º e 7º dias d) 3º e 4º dias e) 1º e 2º dias

Temperatura

VariaÇÃO DE TEMPEraTUra

a) Em qual dia a temperatura foi a mais baixa e quantos graus ela atingiu? b) Em qual dia a temperatura foi a mais alta e quantos graus ela atingiu?

c) Entre dois dias sucessivos a temperatura decresceu 8graus centígrados. Quais foram estes dias?

d) Entre quais dias a temperatura decresceu menos que dois graus centígrados? e) Entre quais dias a temperatura cresceu 4 graus centígrados?

67. Uma torneira com vazão constante de 2 000 litros por hora jorra água em um reservatório inicialmente vazio. Após 5 horas o reservatório fica totalmente cheio. Esta situação é associada a uma função que pode ser representada por uma tabela, um gráfico ou uma lei. Na tabela são registradas apenas as quantidades de água relacionadas com as horas. Horas

Volume de água em milhares de litros

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A seguir você vê o gráfico da função:

67. a) (–1, –5), (0, –2), (1,1), (2,4) B) Para todo x real.

Milhares de litros

VOlUME DE ágUa

-10 -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1-1 0 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11

Horas

Representando as horas por x e a quantidade de água em milhares de litros, a lei da função é y = 2x , 0 ≤ x ≤ 5 Observe o gráfico ao lado e responda ou faça o que se pede:

a) Faça a tabela contendo os valores

correspondentes aos pares ordenados (x, y) representados pelos quatro pontos do gráfico.

b) Para quais valores de x esta função está definida?

(–1, –5)

68. Você sabe que se x representa qualquer número real, equações da forma y = ax + b representam retas . Para obter a lei da função representada pelo gráfico do exercício anterior, substituímos na equação y = ax + b, x e y por coordenadas de dois pontos da mesma obtendo um sistema

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de duas equações em a e b. Por exemplo, usando as coordenadas (1,1) e (2,4), obteremos: 1 = a + b e 4 = 2a + b. Resolvendo este sistema obteremos a = 3 e b = –2. Portanto, a equação da função é: y = 3x – 2, x número real. O coeficiente 3 de x e a parcela –2, chamam-se, respectivamente, coeficiente angular e coeficiente linear do gráfico. Escreva as equações das funções que satisfaçam as condições dadas ou faça o que se pede:

a) Uma reta que passa pelos pontos (2, 5) e (4, 9).

b) Identifique os coeficientes angular e linear da reta do item a. c) Uma reta que passa pelos pontos(–4, –3) e (2, 1)

d) Identifique os coeficientes angular e linear da reta do item b.

68. a) y = 2x + 1, x número real b) coeficiente angular 2 e coeficiente linear 1 c) y = (2/3)x – 1/3 d) 2/3 e –1/3 e) y = (7/5)x + 4/5, x ≤3 f) y = (–5/3)x + 4/3, 2≤ x ≤5

e) Uma semirreta de origem (3,5) que passa pelo ponto (–2, –2) f) Um segmento de reta de extremos (2, –2) e (5, –7)

69. Observe o gráfico de reta ao lado e responda ou faça o que se pede:

a) Qual a equação da função que a representa?

A (–5,4)

b) No gráfico os pontos de

coordenadas (–2; 14/5) e (5/2,1) pertencem à reta; comprove este fato usando a equação obtida no item a.

69. a) y = (–2/5)x + 2 b) N a e q u a ç ã o : substituindo x por –2 obtém-se y = 14/5 e substituindo x por 5/2 obtém-se y = 1.

(0,2)

70. Considere as funções dadas pelas leis y = 3x – 2 e y = − 2 x + 2 , nas quais 5

x é número real. Observando os gráficos das mesmas em exercícios anteriores, resolva:

70. O coeficiente angular e o coef iciente linear, respectivamente.

Um dos coeficientes é relacionado com a inclinação do gráfico, enquanto o outro é relacionado com a ordenada do ponto no qual o gráfico corta o eixo das ordenadas. Identifique os dois, pela ordem.

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71. a) As ordenadas dos pontos aumentam. b) É negativo

71.

Responda:

a) Uma reta de equação y = ax+b , x real, é tal que a > 0; o que se pode dizer das ordenadas de seus pontos quando as abscissas respectivas aumentam de valor?

b) Uma reta de equação y = ax + b, x real, é tal que suas ordenadas decrescem quando as abscissas respectivas crescem; o que se pode dizer do sinal do coeficiente a?

72. a) Veradeiro; b) Verdadeiro.

72. As retas l e m ao lado correspondem, respectivamente, às funções:

y m

y = 4x + 8, x real e

(4,4)

y = 4x –12, x real.

Verdadeiro ou falso:

a) As ordenadas da reta l são positivas para os valores de x maiores que –2

(-2,0)

(3,0)

b) As ordenadas da reta m são negativas para os valores de x menores que 3

73. Fazer o gráfico: tarefa do aluno; 4x –12 < 0 => 4x < 12 => x < 3.

(-3,-4)

73. No exercício anterior observe que dizer que as ordenadas de l são positivas equivale a dizer que y = 4x + 8 > 0

Son Salvador

Portanto, você tem duas opções para resolver a inequação 4x + 8 > 0:

 A primeira é fazer o gráfico da reta y = 4x + 8 e verificar para quais valores de x as ordenadas da reta são positivas.  A segunda, resolver algebricamente a inequação; assim: 4x +8 > 0 ⇒ 4x > – 8 ⇒ x > –8/4 ⇒ x > –2

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Use os dois métodos para resolver a inequação 4x – 12 < 0.

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74. a) menores, maiores; b) menores, maiores; c) x < –3, x > –3; d) x < 2; x > 2.

74. Observe os gráficos abaixo: s 6

5 4 3 (0,3)

(-5,3)

2 1 (-3,0) –6

–5

–4

–3

(2,0)

0 –2

–1

–1 –2 –3

A reta r tem equação y= – 3x/2 – 9/2, e a reta s tem equação y = –3x/2 +3. Complete as frases em seu caderno:

? do que –3, e negativas a) As ordenadas da reta r são positivas para os valores de x ........ ? do que –3. para os valores de x ........

? do que 2, e negativas b) As ordenadas da reta s são positivas para os valores de x ........ ? do que 2. para os valores de x ........

Agora, escreva o símbolo matemático correspondente:

? –3, e nec) As ordenadas da reta r são positivas para os valores de x tais que x ........ ? –3. gativas para os valores de x tais que x ........

? 2, e negad) As ordenadas da reta s são positivas para os valores de x tais que x ........ ? 2. tivas para os valores de x tais que x ........

75. Observe que dizer que as ordenadas de r são positivas é o mesmo que escrever a inequação –3x/2 – 9/2 > 0. Para resolver esta inequação algebricamente faz-se assim:

75. a) –3x/2 – 9/2 < 0 => –3x/2 < 9/2 => x > (–2/3)(9/2) => x > –3; b) x<2; c) x>2.

–3x/2 – 9/2 > 0 ⇒ –3x/2 > 9/2 ⇒ x < (–2/3)(9/2) ⇒ x < 3. (Observe que o sinal da desigualdade ficou invertido, pois se –x>0, então x<0). Agora é com você: resolva as inequações:

a) –3x/2 – 9/2 < 0;

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b) –3x/2 + 3 > 0;

c) –3x/2 + 3 < 0.

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76. A solução única de um sistema de equações, quando existe, é dada pelas coordenadas (xo,yo) que satisfazem ambas equações. Como o ponto de interseção de duas retas não paralelas é também, o único ponto cujas coordenadas satisfazem as equações das mesmas, determinar o ponto de interseção das retas equivale a encontrar o ponto cujas coordenadas são raízes do sistema.

76. As retas a seguir têm por equações y = –x e y = 2x +6 e se interceptam

no ponto de coordenadas (–2,2). Note que, se você resolver o sistema formado pelas equações dessas retas encontrará as raízes x = –2 e y = 2, isto é as coordenadas do ponto de interseção das mesmas. Justifique porque isto acontece. 10 8 6

Professor(a): nos exercícios a seguir, exploramos funções do segundo grau cujos gráficos são partes de parábolas. Recomendamos após os mesmos, explorar situações que levem os alunos a entender que para ter por gráfico uma parábola, o domínio da função deve ser o conjunto dos números reais. Se julgar conveniente, explore também leis do tipo y = (x ± a)2 ± b associando-as às diversas posições do vértice, bem como leis do tipo y = – (x ± a)2 ± b explorando a concavidade “para baixo” dos seus gráficos. 77.a) 0 ≤ x ≤ 25 b) (2, 5; 5) e (4, 8) não pertencem ao gráfico porque 5 não é o quadrado de 2,5 e 8 não é o quadrado de 4. c) (0,0)

4 2 0 –10 –8

–6

–4

–2

0 –2

–4 8 –9 10

77.

Na figura a seguir você vê o gráfico da função y = x2, para x número real tal que –5≤ x ≤5. Ele é representado por um parte de uma curva chamada parábola. O intervalo de valores reais de x: -5≤x≤5 é o domínio da função.

a) O intervalo dos valores obtidos para y correspondentes aos quadrados dos valores possíveis de x chama-se imagem da função. Qual é este intervalo?

b) Dentre os pares ordenados da tabela a seguir, alguns pertencem ao gráfico dessa função e outros não pertencem. Identifique os que não pertencem e justifique. x

2,5

1,2

1,44

c) O ponto da parábola que pertence ao eixo de simetria da mesma chama-se vértice da parábola. Nesta parábola, quais são as coordenadas do vértice?

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78. Observe a parte de uma parábola a seguir. Ela é gráfico da função y = x2 + 5

a) Qual o intervalo que representa a imagem da mesma?

Pontos sobre a parábola X

–5

–4

d) Qual dos eixos coordenados é eixo de simetria

–3

e) Use o que você concluiu no item a para escrever

iii

–2

–1

b) Quais as coordenadas do vértice da mesma?

c) Use os extremos da imagem e a lei da função para calcular o intervalo que representa o domínio da mesma.

dessa parábola?

em seucaderno ordenadas correspondentes aos números I a V da tabela ao lado.

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78.a) 5 ≤ x ≤ 30 b) (0,5) c) –5 ≤ x ≤ 5 d) O eixo das abscissas e) I) 30, II) 21, III) 14, IV) 9, V) 6

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Fatorar um polinômio é escrever o mesmo como multiplicaçãode dois ou mais polinômiosde graus menores ou iguais. A fatoração de polinômios é utilizada na resolução de equações, no cálculo do mínimo múltiplo comum e no máximo divisor comum de expressões algébricas e na simplificação de frações cujos termos são expressões algébricas. Existem diversos métodos de fatoração de polinômios. Nas atividades que seguem, você verá exemplos de alguns deles e os utilizará para fatorar polinômios dados 79.a) –3x (x2 + 11) b) –3x (5x – 6) c) –4x(x2 – 7) d) –20x (8x2 – 5x – 9) e) –19(x3 + x + 2) f) –4x(9x2 + 6x – 20) g) –2x(7x – 8) h) –16x2(x2 + 2x + 5)

79. Fatoração pelo fator comum em evidência. Esta fatoração é uma aplicação da propriedade distributiva da multiplicação: ax + ay –az + am = a(x + y – z + m) EXEMPLOS: 1º.) Colocar em evidência o fator comum de 8x3 + 12x4 – 20x2

a) O m.d.c. de 8 x3, + 12x4 e – 20x2 é 4x2

(produto dos fatores comuns com seus menores expoentes)

b) Dividindo o polinômio por este m.d.c., obtemos: (8x3 + 12x4 – 20x2) : (+4x2) = 2x + 3x2 – 5;

c) Então, o polinômio é o produto do m.d.c. por este quociente, isto é: 8x3 + 12x4 – 20x2 = (+4x2) (2x + 3x2 – 5).

2º.) Colocar em evidência o fator comum de 15x4y5 – 25x5y3 + 30x6y5

a) O m.d.c. de 15x4y5, – 25x5y3 e 30x6y5 é 5x4y3

(produto dos fatores comuns com seus menores expoentes)

b) Dividindo o polinômio por este m.d.c., obtemos:

(15x4y5 – 25x5y3 + 30x6y5) : (+5x4 y3) = +3y2 – 5x + 6x2 y2;

c) Então, o polinômio é o produto do m.d.c. por este quociente, isto 15x4y5 – 25x5y3 + 30x6y5 = (+ 5x4y3) (3y2 –5x+6x2y2).

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Coloque em evidência o fator comum de:

a) –3x3 – 33x

e) –19x3 – 19x – 38

b) –15x2 + 18x

f) –36x3 – 24x2 + 80x

c) –4x3 – 28x

g) –14x2 + 16x

d) –160x3 + 100x2 – 180x

h) –16x4 – 32x3 – 80x2

80. Fatoração por agrupamento. EXEMPLO: Fatorar por agrupamento: ax + ay + bx + by:

a) Os grupos de termos que têm fator comum são: ax + ay e bx + by; b) Fatorando os grupos pelo caso do fator em evidência, resulta:

80. a) (x + 11)(2x – 9) b) (x – 5)(x + 8) c) (x – 5)(7 + 8x) d) (7 – 8x)(5 + 3x) e) a(x + b) + 2(x + b) = (x + b) (a + 2) f) –3x(z – n) – 2y(z – n) = (z – n)(–3x – 2y) g) 3x2(2y – 3) + x(2y – 3) = (3x2 + x)(2y – 3) h) 5x3(x2 + a) – y(x2 + a) = (5x3 – y)(x2 + a)

ax + ay = a (x + y) e bx + by = b (x + y);

c) Então, ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a (x + y) + b (x + y) ; d) Fatorando agora, a(x + y) + b(x + y) pelo caso do fator em evidência, resulta: a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y).

Em resumo: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b) (x + y). Fatore por agrupamento

a) (x + 11) 2x – 9 (x + 11)

e) ax + 2x + ab + 2b

b) x (x – 5) + 8 (x – 5)

f) –3xz – 2yz + 3nx + 2ny

c) 7 (x – 5) + 8x (x – 5)

g) 6x2y + 2xy – 9x2 – 3x

d) 5 (7x – 8) + 3x (7x – 8)

h) 5x5 – x2y + 5ax3 – ay

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81. a) (3x + 4)(3x – 4) b) (4x – 3)(4x + 3) c) (x – 5y)(x + 5y) d) (10 – 9x2)(10 + 9x2) e) (3c – 7)(3c + 7) f) (5n3 – 4m2) (5n3 + 4m2) Professor(a): um bom método para procurar números cuja soma e cujo produto são conhecidos é calcular os divisores do produto e procurar duplas de divisores cuja soma seja a dos números dados. Lembre-se que se o produto é negativo, os números têm sinais diferentes, e a soma corresponde ao valor absoluto da diferença ente eles prevalecendo para a soma o sinal daquele que tem maior valor absoluto.

82.a) (x + 5)(x + 8) b) (z – 1)(z – 4) c) (y + 4)(y + 7) d) (w – 8)(w – 11) e) (x + 7)(x – 5) f) (w + 7)(w + 10) g) (w – 7)(w + 6)

81.

Fatoração da diferença de dois quadrados Estudando os produtos notáveis você aprendeu que; (x + y)(x – y) = x2 – y2 Você conhece também a propriedade simétrica da igualdade: se a = b, então b = a Logo, a igualdade anterior pode ser escrita assim: x2 – y2 = (x + y)(x – y) Fatore usando diferença de dois quadrados

a) 9x2– 16

d) 100 – 81x4

c) x2 – 25 y2

f) 25n6 –16m4

b) 16x2– 9

e) 9c2 –49

82. Fatoração de trinômios quadrados perfeitos Você viu, ao estudar identidades notáveis, que: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Então, pela propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) EXEMPLOS: 1º.) x2 + 7x + 12 = x2 + (3 + 4)x + 3 x 4 = (x + 3) (x + 4). Observe que utilizamos dois números cuja soma é 7 e cujo produto é 12. 2º.) x2+ 9x + 20 = x2 + (4 + 5)x + 4 x 5 = (x + 4) (x + 5). (Soma 9 e produto 20) 3º.) x2 – 6x + 8 = x2+ [(–2) + (–4)]x + (–2) (–4) = (x — 2) (x — 4) (Soma –6 e produto 8) 4º.) x2 + 2x –15 = x2+ [(— 3) + (+ 5)]x + (— 3) (+ 5) = (x –3) (x + 5) Fatore os seguintes trinômios do segundo grau:

a) x2+ 13x + 40 b) z2– 5z + 4 c) y2+ 11y + 28

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d) e) f) g)

w2 –19w + 88 x2 + 2x – 35 w2 + 17w + 70 w2 – w – 42

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83. Fatoração completa: Consiste em utilizar sucessivamente, dois ou mais métodos de fatoração até que cada fator obtido não possa mais ser fatorado. Para fatorar completamente uma expressão:

y Tente o caso do fator em evidência; y Sendo possível ou não o caso do fator em evidência, tente, a seguir,

83. a) 3 a3(x2 + 14x + 49) = 3a3 (x + 7)(x + 7) = 3a3(x + 7)2 b) 7ab2x(a2 – b2) = 7ab2x (a – b)(a + b) c) 8xy2 (x2 – 6x + 9) = 8xy2 (x – 3)2 d) 2ax(x4 – y4) = 2ax(x2 –y2) (x2 + y2) = 2ax(x – y) (x + y)(x2 + y2) e) 4xy2(x2 – x – 12) = 4xy2 (x – 4)(x + 3)

a fatoração por agrupamento;

y Tente, a seguir, caso a expressão a fatorar seja um trinômio, fatorá-la pelo caso dos trinômios quadrados perfeitos;

y Caso a expressão seja um trinômio mas não seja um quadrado perfeito, tente o caso do trinômio do segundo grau;

y Caso a expressão seja um binômio, tente a fatoração da diferença de dois quadrados. EXEMPLOS 1º.) 8a3x2 + 64a3x + 128 a3 = 8a 3 (x2 + 8x + 16) = 23 a3 (x + 4)2. 2º.) 9b2x4 + 81b2x3+ 180b2x2 = 9b2x2 (x2 + 9x + 20) =32b2x2(x + 4) (x + 5). Fatore completamente:

a) b)

3 a3x2 + 42 a3x + 147 a3 7a 3 b2x – 7 a b4x

8x 3y 2 – 48x2 y2 + 72xy2

4x3y2 + 4x2y2 – 48xy2

2ax5 – 2axy4

USaNDO a FaTOraÇÃO Para rESOlVEr EQUaÇÕES Você sabe que se em uma multiplicação um dos fatores é zero o produto é igual a zero. Por exemplo, na multiplicação (x –4)(x –5): Se x = 4 o primeiro fator é igual a zero o que faz com que o produto seja zero Se x – 5, o segundo fator é igual a zero o que anula o produto. Como (x = 4)(x – 5) = x2 – 9x + 20, dizemos que este trinômio se anula para x = 4 ou x = 5. Logo, para resolver a equação x2 – 9x + 20 = 0, um bom procedimento é fatorar o trinômio obtendo (x – 4)(x – 5) = 0 o que torna fácil concluir que 4 e 5 são as raízes da equação. Nos exercícios a seguir, você vai utilizar fatorações já estudadas para resolver equações, isto é, calcular suas raízes.

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84. a) (x + 5)(x + 8), raízes –5 e –8 b) (z – 1)(z – 4) raízes 1 e4 c) (y + 4)(y + 7) raízes –4 e –7 d) (w – 8)(w – 11) raízes 8 e 11 e) (x + 7)(x – 5) raízes –7 e +5 f) (w + 7)(w + 10) raízes –7 e –10 g) (w – 7)(w + 6) raízes 7 e –6

84. Use as fatorações obtidas no exercício 82 para identificar as raízes das equações:

a) x2+ 13x + 40 = 0

d) w2 -19w + 88 = 0

c) y2+ 11y + 28 = 0

f) w2 + 17w + 70 = 0

b) z2 – 5z + 4 = 0

e) x2 + 2x – 35 = 0

g)w2-w-42 = 0

85. Use a fatoração para identificar as raízes das equações:

85. a) 9 e 5 b) –12 e –5 c) 2 e 8 d) 10 e 8 e) –11 e –9 f) 11 e –8 g) 6 e 8 h) –9 e +1 I) –12 e +6 j) –8 e +2

a) x2 –14x + 45 = 0

f) x2 –3x – 88 = 0

c) x2 –10x + 16 = 0

h) x2 + 8x – 9 = 0

b) x2 + 17x + 60 = 0 d) x2 – 18x + 80= 0

e) x2 + 20x + 99 = 0

g) x2 – 14x + 48 = 0 i) x2 + 6x – 72= 0 j) x2 + 6x – 16= 0

Atividades complementares do capítulo 4 Observe : a

7x + 9 – 3x = 12 + 4x ⇒ 7x – 3x – 4x = 12 – 9 ⇒ 0x = 3.

Não existe número cujo produto por zero seja 3; logo, a equação dada não tem raiz e dizemos que ela é impossível. B 3(2x – 5) + 15 = 6x ⇒ 6x – 15 + 15 = 6x ⇒ 6x – 6x = + 15 – 15 ⇒ 0x = 0. Como o produto de qualquer número zero é zero, concluímos que qualquer número real é raiz desta equação. Dizemos que ela é indeterminada. Desenvolvendo as duas equações a seguir é possível concluir que a primeira é impossível e a segunda indeterminada 1ª) 3x – 11 = x – 2(7 – x) ⇒ 0x = – 3; 2ª) 3(x – 6) = 2(3x – 9) – 3x ⇒ 0x = 0. Decidir se uma equaçãodo primeiro grau é possível, ou se é impossível, isto é, se não tem raiz ou se é indeterminada, chama-se “discutir a equação”

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No quadro a seguir, sintetizamos as três hipóteses sobre estes fatos: Discussão de equações do primeiro grau Toda equação do primeiro grau se reduz à forma ax = b. Se a ≠0, dizemos que a equação é possível e determinada; isto significa que há uma única raiz para a equação, que é x = -b/a Se a = 0 e b ≠0, dizemos que a equação é impossível, isto é não tem raiz. Se a = 0 e b= 0, dizemos que a equação é indeterminada, ou seja, qualquer número real é raiz da mesma.

86. Desenvolva os cálculos para obter as equações a seguir na forma ax = b e discuta.

1 ⎞ 2 ⎠

a) 2 ⎜ x − ⎟ + 1 = 2 (x + 2) – 4; ⎛

86. a) indeterminada b) impossível c) possível e determinada se m ≠ 2 e impossível se m = 2

⎝ b) 2 (4x – 3) – 5x = 3 (x + 4);

c) (m – 2)x –m + 7 =0

87. Observe como resolver a equação a seguir. 5 – (x2 + x – 6) = 9 – x2 ⇒ 5 – x2 – x + 6 = 9 – x2 ⇒ – x = 9 – 5 – 6 ⇒ –x = –2 ⇒ x=2 Resolva:

a) (x – 2) (x – 2) = x2 – 12;

87. a) 4 b) 3 c) –5 d) –3

c) 5 – (x – 4) (x + 3) = 12 – x2

b) (x – 3)2= x2 – 9;

d) 2x2 + (3 – 2x) (x + 1) = 0.

USaNDO EQUaÇÕES Para rESOlVEr PrOBlEMaS

88. Observe a tabela e escreva em seu caderno as respostas dos itens a, b e c.

88. a) R$1 440, 00 b) R$ 1 170, 00 c) R$1 340, 00

Têm juntos: ANTÔNIO

BEATRIZ

R$ 2 610,00

BEATRIZ

CECÍLIA

R$ 2 510,00

ANTÔNIO

CECÍLIA

R$ 2 780,00

Quanto tem cada um deles?

a) ANTÔNIO

b) BEATRIZ

c) CECÍLIA

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89. 20 kg

89. Uma caminhonete transporta 40 sacos de arroz e 30 sacos de feijão. Cada saco de arroz pesa o triplo de cada saco de feijão. Se a carga total desta mercadoria é de 3 000 kg, quanto pesa cada saco de feijão?

90. 60 litros e 20 litros

90. Um tambor tem o triplo da quantidade de líquido de outro. Tirando 10 litros de cada um, o primeiro ficará com o quíntuplo de líquido do segundo. Quantos litros do líquido havia originalmente em cada um destes tambores?

91. 525 gramas

91.

92. 240, 242, 244, 246 e 248

92. A soma de cinco números pares consecutivos é igual a 1 220. Quais

Professor(a):: lembre-se: um desenho fala mais que muitas palavras. 93. a) 165 cm e 195 cm b) 24 m, 12 m e 36 m. c) 10 cm d) Usando t = e/v, temos: v/60 = (v + 780) /450 => v = 120 e v + 780 = 900 Trem: 120 km/he avião 900 km/h. Tempo de percurso: ½ hora. e) 6 bolas f) 3

Uma lata de leite em pó tampada pesa 550 gramas e seu peso é 500 gramas maior que o de sua tampa. Qual o peso da lata sem a tampa?

são estes números?

93. Resolva:

a) Um pedaço de arame de 3,6 m é partido em dois pedaços, um dos quais é 30 cm maior que o outro. Qual o tamanho dos dois pedaços?

b) Uma peça de pano de 72 metros é cortada em três pedaços de modo que o comprimento do primeiro é o dobro do segundo, e este, é um terço do terceiro. Dê o comprimento de cada pedaço.

c) Quando diminuímos cada lado de um quadrado em 6 centímetros, sua área decresce de 84 centímetros quadrados. Qual o comprimento do lado original?

d) Um avião percorre 450 km no mesmo tempo em que um trem percorre 60 km. Sa-

bendo que a velocidade do avião supera a do trem em 780 km/h, calcule a velocidade de ambos e o tempo de percurso dos dois.

e) Gastei R$ 1 200,00 na compra de bolas. Se cada bola tivesse custado menos R$ 100,00 eu poderia ter comprado o dobro de bolas. Quantas bolas eu comprei?

f) Que número se deve subtrair dos dois termos da fração 31/35 para obter outra fração equivalente a 7/8?

OUTraS aTiViDaDES 94. a) Zero e 1 b) –1 e 1 c) 3 d) 0 , –2 , 2. 95. Respostas dos alunos

94. Encontre no mínimo uma raiz das equações a seguir por tentativas ou outros métodos:

a) x3 = x4

c) 4x + 6 = 6x

d) x3 -4x = 0

95. Invente sistemas de duas equações com duas incógnitas cujas raízes sejam:

a) 3 e –4

96. Devem ser números diferentes.

b) x2 – 1 = 0

b) 2/3 e 3/2

c) 0,1 e 0,7

96.Considere o sistema cujas equações são: 3x + 4y = m e 3x + 4y = n.

Qual relação deve existir entre m e n para que o sistema não tenha raízes?

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97. Considere o sistema cujas equações são: 3x + 4y = 24 e 6x + 8y = n. Qual valor deve ter n para que o cinema tenha infinitas soluções?

98. Lucas cometeu um erro ao resolver a equação3x –(2 – 2x) = 10. Veja o desenvolvimento dos cálculos que ele fez:

97. n = 48 98. Ao eliminar o parênteses antecedido do sinal “menos”: – (2 – 2x) deveria ter obtido –2 + 2x e não –2 – 2x.

3x –(2 – 2x) = 10 => 3x –2 –2x = 10 => x = 12. Diga, qual foi o erro cometido por Lucas? rESOlVENDO SiSTEMaS USaNDO O MÉTODO DE aDiÇÃO: Um ótimo método de resolução de sistemas de equações do primeiro grau com duas ou mais variáveis é o método de adição. Para que você o compreenda, veja o exemplo: EXEMPlO: Para resolver o sistema dado abaixo pelo método de adição, observe o que se fez:  Inicialmente se observou que os coeficientes de x nas duas equações são, respectivamente 4 e 5  A seguir foram multiplicados os dois membros da primeira equação pelo coeficiente de x da segunda, e multiplicados os dois membros da segunda equação pelo oposto do coeficiente de x da primeira.  Deste modo, foi obtido um novo sistema no qual os coeficientes de x das duas equações são números opostos, e, como consequência, ao somar membro a membro as duas equações, resultou uma equação apenas em y.  Resolvida a equação em y foi obtida a raiz y = 1  A substituição de y por qualquer uma das equações do primeiro sistema pelo valor encontrado (1), gera uma equação apenas em x, cuja raiz é x = 3  Portanto, as raízes do sistema são x = 3 e y = 1. Veja:

{ {

4x + 2y = 14 5x – 4y = 11 4x + 2y = 14

5x – 4y = 11 x (–4)

20x + 10y = 70 –20x + 16y = –44 26y = 26

+ ⇒y=1

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Substituindo y por 1 na equação 4x + 2y = 14, resulta: 4x + 2 = 14 => 4x = 12 => x = 3 Substituindo na equação 5x – 4y = 11, y por 1, resulta: 5x – 4 = 11=> 5x = 15 => x = 3

99. a) x = 4 e y = 1; b) x = 9 e y = –5; c) x = 2 e y = –2; d) x = 1/2 e y = 1/4

99. Resolva os sistemas de equações a seguir pelo método da adição

{

5x + 2y = 22 2x + 3y = 11

{

2x + y = 13 x – 4y = 29

{

3x – 2y = 10 5x + 4y = 2

{

3 4 1 x–y= 4 x+y=

USaNDO EQUaÇÕES E SiSTEMaS DE EQUaÇÕES Para rESOlVEr PrOBlEMaS Em exercícios anteriores você resolveu problemas usando equações do primeiro grau. Nos exerícios a seguir você vai resolver problemas usando equações ou sistemas de equações do primeiro grau. 100. R$ 2 600, 00, 15 peças

101. Paulo 166 reais e Mario 116 reais.

102. 60 sacos de arroz e 40 sacos de feijão

103. 50 pequenos e 30 grandes.

100. Um comerciante quer comprar certa quantidade de peças. Pagando 200 reais por peça faltam-lhe 400 reais. Pagando 160 reais sobram-lhe 200 reais. Qual a quantia que o comerciante possui e quantaspeças ele quer comprar?

101. Se Paulo der a Mario 25 reais, ambos ficarão com a mesma quantia.

Mas, se Mário der a Paulo 22 reais, este ficará com o dobro da quantia de Mário. Quanto possui cada um?

102.Uma caminhonete transporta uma carga total de 1 400 kg. Nela existem

100 sacos de arroz e de feijão. Os sacos de arroz pesam 20 kg e os de feijão pesam 5 kg. Quantos sacos de arroz e quantos de feijão estão sendo transportados por esta caminhonete?

103. Num aquário há 80 peixes, entre pequenos e grandes. Colocando no aquário mais 10 peixes dos pequenos, a quantidade destes seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?

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104. Márcia e Penha receberam juntas, 720 reais por um trabalho. Penha recebeu 80% da quantia recebida por Márcia. Quanto ganhou cada uma delas?

104. Márcia 400 reais e Penha 320 reais 105. 3x30 + 2x 15 = 120 => 120 reais

105. O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira.

Comprando duas canetas e três lapiseiras paga-se 105 reais. Quanto se pagará comprando três canetas e duas lapiseiras?

106. Um balde cheio de água pesa 3,25 kg. Contendo apenas metade de

106. 350 g

107.

107. 200 000 reais (x/8 = x/10 + 5 000)

água, pesa1,8kg. Qual o peso em gramas do balde vazio?

Certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$ 5 000,00 a mais. Calcule a importância.

108.Cinco amigos comprariam em sociedade, um terreno rural. Como um deles desistiu, cada um deles teve que desembolsar 25 mil reais a mais. Quanto pagaram pelo terreno?

109. Pelo regulamento de uma competição esportiva, um equipe ganha 1

ponto por partida empatada e 3 pontos por partida ganha. Nas 32 partidas em que empatou ou ganhou, uma equipe fez 76 pontos. Quantos empates e quantas vitórias esta equipe conquistou?

108. Em milhares de reais, sejam x e P a quantia inicial e o preço. Logo, 5x = p e 4(x + 25) = p => x =100 e p = 500. 109. Empates: 10; vitórias: 22.

USaNDO EQUaÇÕES DO SEgUNDO graU Para rESOlVEr PrOBlEMaS Você já usou equações e sistemas de equações para resolver problemas. Para resolver os problemas das atividades seguintes você deverá utilizar equações do segundo grau.

110. Um terreno de forma quadrada foi desapropriado por uma Prefeitura

que, para compensar, deu ao proprietário um terreno em outro bairro, com dimensões maiores que as do terreno desapropriado: 5 metros a mais na largura e 12 metros a mais no comprimento. Se a área do terreno recebido é o dobro da área do terreno desapropriado, quais as dimensões dos dois terrenos?

111.

As medidas dos lados de duas peças metálicas de forma quadrada são dadas, em centímetros, por dois números ímpares consecutivos. Sabe-se que as diferenças entre as áreas das duas peças é de 56 cm2. Calcule as áreas das duas peças.

112

A soma dos números que expressam a área de um quadrado e seu perímetro é igual a 192. Calcule o quociente desses números.

110. Menor: quadrado de 20 m de lado; Maior: largura 25 m e comprimento 32 m.

111. y = x + 2 e (x + 2)2 – x2 =56 R: 225 cm2 e 169 cm2

112. 144 : 48 = 3

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113. x = 16, y = 8 e z = 4 114. 625 metros quadrados e 256 metros quadrados. 115. a) PQV, PRT/ PQV, VST / VST, PRT b) QV, RS / QR, VS 116. a) Verdadeiro. b) (1) Triângulos congruentes são semelhantes (2) Os pares de lados opostos de um paralelogramo são congruentes (3) Os pares de ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes (4) Os pares de lados opostos de um retângulo são congruentes (5) Os ângulos agudos de triângulos retângulos são suplementares (6) Dois triângulos que têm dois pares de ângulos congruentes são semelhantes (7) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos alternos internos são congruentes. 117. a) verdadeiro porque têm dois pares de ângulos congruentes (medem 60 graus) b) Falso. Um contraexemplo: um retângulo de base 6 a altura 12 e outro de base 12 e altura 20. (não têm os pares de lados correspondentes proporcionais c) Verdadeiro porque satisfazem o caso AA de semelhança d) Falso. Contraexemplo: triangulo demedidas 3, 5 e 7 e triângulo de medidas 6, 10 e 14. e) Falso. Contraexemplo: um losango com ângulos agudos medindo 40 graus e outro com ângulos agudos medindo 50 graus.

113. Na proporção de termos positivos Calcule o quarto número.

x y = , tem-se: x + y = 24 e x – y = 8. y z

114. A diferença entre as áreas de dois terrenos quadrados é de 369 metros quadrados, e a soma de seus perímetros é de 164 metros. Calcule as áreas desses terrenos.

Atividades complementares do capítulo 5 115. Considere, na figura ao lado, o segmento QV paralelo ao segmento rT e o segmento VS paralelo ao segmento Pr.

a) Identifique todos os pares de triângulos semelhantes da figura.

b) Identifique todos os pares de segmentos congruentes da figura.

116. Na figura ao lado você vê um paralelogramo PRTV e quatro pares de segmentos perpendiculares entre si.

a) Diga se verdadeiro ou falso:

Escolhidos ao acaso dois triângulos quaisquer da figura eles são semelhantes.

b) Cite algumas propriedades que permitiram a você responder o item a.

117.

Diga se cada item a seguir é verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta:

a) Todos os triângulos equiláteros são semelhantes. b) Todos retângulos são semelhantes.

c) Triângulos congruentes são semelhantes. d) Triângulos semelhantes são congruentes. e) Todos os losangos são semelhantes.

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118.

Na figura ao lado você vê uma das faces de uma pirâmide quadrangular regular, sendo suas medidas expressas em centímetros.

118. a) x = 10 cm b) 27 cm2 c) 100 + 4(5 x 15) = 400 => 400 cm2

a) Calcule a medida x do lado AE

b) Calcule a área do trapézio ABDE

c) Calculea área total da superfície da pirâmide.

119. Considere dois triângulos semelhantes cuja razão de semelhança seja um número real r > 1.

a) Prove que a razão entre as áreas dos dois triângulos do maior para o menor é r2.

b) Prove que a razão entre os perímetros dos dois triângulos, do menor para o maior é 1/r.

1 . Os 4 vértices correspondentes pela semelhança são: A e A1, B e B1, C e C1. As medidas dos lados são: AB = 3, BC = x, AC = y, A1B1 = z , B1C1 = w e A1C1 = 36. Se o perímetro do triângulo aBC é 19, calcule as medidas de todos os lados dos dois triângulos.

120.

A razão de semelhança entre dois triângulos ABC e A1B1C1 é

rESOlVENDO PrOBlEMaS USaNDO O TEOrEMa DE PiTágOraS OU TrigONOMETria Resolva os problemas aseguir, usando o Teorema de Pitágoras ou usando Trigonometria:

121.

Um triângulo isósceles cuja base mede 12 centímetros tem perímetro igual ao de um quadrado cuja área mede 64 cm2. Prove que a razão entre as áreas do triângulo e do quadrado, nesta ordem é 3/4.

122. Calcule o perímetro de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência cujo raio mede 27 cm.

123. Calcule a área e o perímetro de um quadrado inscrito em uma circunferência cujo diâmetro mede 8 metros.

124. Os lados de um trapézio isósceles são prolongados formando com a base maior um triângulo equilátero cujos lados medem 6 cm. Calcule a área do trapézio sabendo que sua altura mede 3 cm.

119. a) S = (b . h) /2 S1 = (br.hr)/2 => S1/S = r2 b) P = (a + b + c) P1 = (ar + br + cr) = r (a + b) c) P/P1 = (a + b + c) /r (a + b + c) = 1/r 120. x= 7, y = 9, z =12, w = 28. 121. O perímetro do triângulo mede 32 cm. Logo seus outros dois lados medem 10 cm e a altura, pelo teorema de Pitágoras, mede 8 cm. Logo a área do triangulomede 48cm2, ou seja, a razão da tese é 48/64 = 3/4. 122. Seja ABC o triângulo inscrito e AD um diâmetro. No triângulo retângulo ABD, temos: AB = AD.sen60o. Logo, AB = 9 e o perímetro mede 27 cm. 123. Pelo teor Pit, Os dois lados de medida x do quadrado e o diâmetro formam um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa. Logo,pelo Teorema de Pitágoras, 2 x 2 = 8 => x = 2. Logo a área mede 4 m2 e o perímetro mede 8 m. 124. Sejam ABCD o trapézio de base maior AD e base menor BC, AED o triângulo de altura EH, EG a altura do triângulo EBC, e BG = x. Pelo teorema de Pitágoras, EH mede cm. Logo, => x = 2 e a área do trapézio mede 5√3 cm2.

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125. O raio do circulo circunscrito mede 4 cm e, pelo teorema de Pitágoras, o raio do inscrito mede 2√3 cm. A área do anel é π(16 – 12) = 4π cm2.

125. Um hexágono regular cujo lado mede 4 cm é circunscrito e inscrito, respectivamente, por duas circunferências. Calcule a área do anel circular limitado pelas duas circunferências. ClaSSiFiCaNDO TriÂNgUlOS CONHECENDO aS MEDiDaS DE SEUS laDOS Os matemáticos demonstram os três teoremas a seguir: recíproco do Teorema de Pitágoras Se o quadrado da medida do maior lado de um triângulo for igual à soma das medidas dos quadrados dos outros dois lados, então ele é um triângulo retângulo. Por exemplo, um triângulo cujos lados tenham em uma mesma unidade de medida, as medidas 3 , 4 e 5 é um triângulo retângulo porque 52 =32 + 42 Teorema dos triângulos obtusângulos Se o quadrado da medida do maior lado de um triângulo for maior que a soma dos quadrados das medidas dos dois outros lados, então ele é um triângulo obtusângulo. Por exemplo, um triângulo cujos lados têm em uma mesma unidade de medida, as medidas 4, 5 e 6 é obtusângulo porque 62> 42 + 52 Teorema dos triângulos acutângulos Se o quadrado da medida do maior lado de um triângulo for menor que a soma dos quadrados das medidas dos dois outros lados, então ele é um triângulo acutângulo. Por exemplo, um triangulo cujos lados têm em uma mesma unidade de medida, as medidas 6, 9 e 10 é acutângulo porque 102< 62 + 92

126. a) acutângulo b) retângulo c) obtusângulo d) acutângulo

126.Use os três teoremas anteriores para classificar os triângulos cujos lados (L1, L2 e L3) têm suas medidas registradas na tabela a seguir como acutângulos, retângulos ou obtusângulos:

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Classificação

7 cm

8 cm

10 cm

5 cm

12 cm

13 cm

6 cm

8 cm

11 cm

17 cm

20 cm

127. Use o recíproco do Teorema de Pitágoras para verificar que os triângulos

cujos lados têm suas medidas anotadas na tabela a seguir são todos triângulos retângulos. 11, 60, 61

12, 35, 37

16, 63, 65

28, 45, 53

20, 99, 101

21, 28, 35

128. Faça uma pesquisa sobre o que são triângulos Pitagóricos e de como construir alguns deles, usando a sequência de Fibonacci.

127. Verificação feita pelos alunos.

128. Atividade dos alunos.

Atividades complementares do capítulo 6 Para ajudá-lo na resolução das atividades complementares do capítulo 6, vamos reapresentar para você, antecedendo alguns dos exercícios, propriedades estudadas no capítulo. Sempre que necessário, faça os desenhos correspondentes às situações descritas nas atividades propostas.

Q S

FigUra 1

FigUra 2

“Se duas cordas de uma mesma circunferência se cortam, então o produto dos dois segmentos determinados pelo ponto de interseçãode uma delas é igual ao produto dos dois segmentos da outra”.

Se de um ponto externo a uma circunferência traçarmos uma secante à mesma e uma tangente, o produto do segmento de secante por sua parte externa é igual ao quadrado da medida do segmento de tangente. PS  PQ = (PT)2

PA  PB = PC  PD

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130. Porque se o diâmetro mede 22 cm a corda não pode medir 28 cm ( o diâmetro é a maior corda de uma circunferência). 131. Verdadeiro. Desenhando o triângulo isósceles cujo vértice é o centro da circunferência e os dois outros vértices são extremos da corda, obtém-se um triangulo isósceles cuja altura é também mediana. 132. Se AP =PB = x. temos: x2 = 4x16 => x = 8 cm. Logo a corda AB mede 16 cm. Por Pitágoras, x2 = 100 – 36 => x = 8 cm. 133. (PT)2 = 36x 64 => PT = 48 cm. AB = 64-36 = 28 cm => OB = 14 cm => PO = 36+14 cm => PO = 50 cm. 134. Verdadeiro. A propriedade da figura 2 anterior permite concluir que qualquer que seja a secante, a propriedade é válida. 135. A demonstração se faz pelo simples uso do Teorema de Pitágoras Professor(a): : Comente com os alunos que, como consequência desta propriedade, para todas secantes que têm como extremos um mesmo ponto P exterior a uma circunferência, os produtos de das medidas partes externas de secantes pelas medidas das secantes é igual à potência do ponto P em relação à circunferência. 136. (x – 120) + (x – 100) = 180 => x = 200. Logo, os ângulos medem 80 graus e

129. Um diâmetro CD de uma circunferência mede 22 cm e é cortado por

uma corda AB em um ponto P. Os segmentos PA e PB medem, respectivamente,8 e 12 centímetros. Calcule as medidas dos segmentos PC e PD.

130. Explique porque no exercício anterior, mantida a medida do diâmetro, as medidas de PA e PB não poderiam ser 12 cm e 16 cm.

131.

Verdadeiro ou falso? Todo diâmetro perpendicular a uma corda passa pelo ponto médio da mesma.

132. Um diâmetro CD de uma circunferência mede 20 cm e é cortado em um

ponto P por uma corda AB perpendicular ao mesmo. O ponto P dista do centro 6 centímetros. Calcule a medida da corda AB usando a propriedade da figura 1 anterior e depois usando o Teorema de Pitágoras.

133. Um ponto P externo a uma circunferência é extremo comum de um

segmento de tangente PT e uma semirreta que contém os extremos A e B de um diâmetro da circunferência. Os segmentos PA e PB medem, respectivamente, 64 cm e 36 cm. Calcule a medida do segmento de tangente PT e a distância do ponto P ao centro O da circunferência.

134. Verdadeiro ou falso: se de um ponto externo a uma circunferência tra-

çarmos secantes à mesma, o produto dos segmentos de secante por suas partes externas é igual ao quadrado da medida do segmento de tangente, isto é, todos os produtos assim obtidos são iguais entre si. Justifique.

135. Prove que, se a distancia de um ponto exterior a uma circunferência ao centro da mesma for d e o raio da circunferência for r, então o quadrado do comprimento do segmento tangente do ponto à circunferência é constante e igual a d2 – r2. OBSERVAÇÃO: este valor constante é chamado de Potência do ponto em relação à circunferência.

Son Salvador

129. 6 cm e 16 cm x(22 – x) = 8x12

136. Em todo quadrilátero inscrito em uma circunferência os ângulos opostos são suplementares. Use esta propriedade para calcular os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em uma circunferência cujas medidas em graus são representadas pelas expressões x –120 e x –100, respectivamente.

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137. Se os ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares então ele é inscritível. Use esta propriedade para decidir se os quadriláteros cujas medidas de dois ângulos opostos são dadas pelas expressões dos itens a e b a seguir podem ou não serem inscritíveis:

a) x – 55 e105 – x;

b) 92x + 10 e 6x – 30;

138. Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência a soma das medidas de dois lados opostos e igual à soma das medidas dos dois outros lados. Use esta propriedade para calcular o perímetro de um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência cujas medidas de dois lados opostos, em centímetros, são raízes das equações x2 – 6x + 9 = 0 e x2 + 8x – 48 = 0.

139.

100 graus 137. a) não inscritível b) pode ser inscritível.

Na figura abaixo considere aP como lado de um hexágono regular e responda ou faça o que se pede:

a) Que nome se dá ao triangulo APB em relação à circunferência de centro O?

b) Porque é possível afirmarque APB é um triângulo retângulo?

c) Quais as medidas dos ângulos agudos do triângulo APB?

138. Sendo 3 e 4 , respectivamente, as raízes positivas das equações dadas o perímetro do quadrilátero me 14 cm.

139. a) Triângulo inscrito na circunferência b) Porque todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é ângulo reto (e o ângulo P é inscrito na semicircunferência) c) B mede 30 graus e A mede 60 graus. d) AP = 6 =>AB = 12e (PB)2 = 144 – 36 => PB = 6√3 cm.

d) Se AP mede 6 cm, calcule a medida do segmento PB.

140.

Na figura abaixo o ângulo POa mede 40 graus, o segmento CB é lado de um hexágono regular, e o diâmetro PC mede 18 cm. Com base nestes dados, calcule:

a) As medidas dos ângulos COB, BOA e

140. a) COB mede 60 graus, BOA mede 80 graus e PCA mede 20 graus b) 18π cm. c) PBC mede 180 graus, CB mede 60 graus , PA mede 40 graus e AB mede 80 graus.

PCA.

b) O comprimento da circunferência.

c) As medidas dos arcos PBC, CB, PA e AB

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141. a) ADB e ACB b) 100 graus. Os ângulos inscritos medem 50 graus. c) Área do setor AXB é 100/360 da área do círculo ⇒ 5π x25 18 cm2 ou, aproximadamente, 6,94π cm 2 . A área segmento de círculo é a diferença das áreas do setor e do triângulo AXB. A área de AXB é 25/2 sen 100º  12,31. Usando a aproximação π = 3,14, obtemos que a área do segmento de círculo é aproximadamente 9,42 cm2 d) DBC. e) As medidas dos dois ângulos são iguais à metade da medida do arco.

141.

Na figura abaixo X é o centro da circunferência. Observe-a e responda ou faça o que se pede:

a) Identifique dois ângulos inscritos que interceptam o arco menor AB.

b) Se o ângulo central AXB mede 100º,

quanto mede o arco menor AB ? E os ângulos inscritos ADB e ACB?

c) Se o ângulo central AXB mede 100º e

o raio XB mede 5 cm, calcule as áreas do setor AXB e do segmento de círculo limitado pela corda AB e pelo arco menor AB.

d) Identifique um ângulo inscrito congruente ao ângulo DAC.

e) Qual a relação entre as medidas dos

ângulos DAC e DBC e a medida do arco menor DC?

Justifique suas respostas.

CalCUlaNDO O SENO E O COSSENO DE ÂgUlOS. RECORDANDO.... Se a é um ângulo agudo de um triângulo retângulo, tem-se: O seno do ângulo a é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa O cosseno do ângulo a é a razão entre a medida do cateto adjacente a ele e a medida da hipotenusa.

142. a) d = 15 km b) Se A é o ângulo de medida procurada, temos: senA = ou seja, aproximadamente, senA =0,4706, ou seja, A é o ângulo cujo seno é 0,4706. Pela tabela, resulta que a medida de A é aproximadamente igual a 28 graus.

142.

Deseja-se ter acesso a um ponto distante h = 9 000 metros de uma rotatória de uma estrada através de um trecho que sai segundo uma tangente a esta rotatória. Se o raio r da rotatória mede 8 km, calcule:

a) A medida d do trecho de tangente.

b) A medida do ângulo entre a secante

que contém o diâmetro e o trecho de tangente. (use a tabela que se vê nas páginas finais do capítulo 5).

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143. Desenhe um triângulo retângulo isósceles e represente

a medida dos

catetos por l e a medida da hipotenusa por H.

a) Quanto medem os ângulos agudos deste triângulo?

b) Use o Teorema de Pitágoras para provar que H = L 2 ou, equivalentemente, L 1 2 = = 2 H 2

143. a) 45 graus b) Demonstração dos alunos c) O seno e o cosseno de 45 graus são iguais a √2 porque ambos 2 são iguais a razão entre os catetos e a hipotenusa, que, têm este valor comprovado no item (b).

c) Use as definições do quadro acima para escrever os valores do seno e do cosseno do ângulo de 45 graus. Justifique.

144. Desenhe um triângulo equilátero DEF e sua mediana Dg. Como você já sabe Dg é também altura do triangulo DEF. Logo, o ângulo gDF mede 30 graus. Responda ou faça o que se pede:

a) Cite dois triângulos retângulos obtidos ao desenhar a mediana DG.

b) Como o triângulo é equilátero, o que se pode dizer da medida do cateto GF relacio-

144. a) FGD e EGD √3/2 b) A medida do cateto GF é a metade da medida hipotenusa DF c) ½ d) DG = m e) DG/DF = √3 2 f) demonstrações dos alunos.

nada com a medida da hipotenusa DF?

c) Qualo valor numérico da razão GF ? DF

d) Chame a medida de DF de m e a de GF de m/2e use o Teorema de Pitágoras para calcular a medida de DG em função de m.

e) Calcule o valor numérico da razão DG usando suas expressões em m e simplificando. DF

f) Use as razões obtidas nos itens anteriores para provar que: sen 30º = cos 60º = 1

sen 60º = cos 30º =

3 2

CalCUlaNDO laDOS E aPÓTEMaS DE POlÍgONOS Os matemáticos provam que, se ln an e r representam, respectivamente o lado, o apótema e o raio de um polígono regular de n lados inscritos em uma circunferência, tem-se: an

sen  n = 2r 2rsen an = 2r cos

180 180 nn

180 n

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145. Atividades dos alunos.

145. Use as expressões do quadro anterior e os valores do seno e do cossenode 30o, 45o e 60o obtidos nas duas atividades anteriores para obter os valores de lados e apótemas dos polígonos regulares da tabela a seguir:

lado: apótema:

Triângulo:

Quadrado:

Hexágono:

l3 = r 3

l6 = r 2

l6 = r

a3 =

l r = 6 2 2

a4 =

l4 r 2 = 2 2

a4 =

l3 r 3 = 2 2

Atividades complementares do capítulo 7 rElEMBraNDO CONCEiTOS iMPOrTaNTES Da ESTaTÍSTiCa Em Estatística, para que se possa extrair o máximo de informações relevantes para o problema em estudo, são utilizados dois conceitos importantes: população e amostra. População: é um conjunto cujos elementos podem ser pessoas, animais, plantas, ou quaisquer outros sujeitos sobre os quais se deseja pesquisar em relação a uma ou mais características comuns. amostra: é um subconjunto da população, escolhido de modo a possibilitar tirar conclusões sobre características pesquisadas em toda a população. Exemplos: Primeiro exemplo População: o conjunto de todos os alunos uma escola sobre os quais se quer informações sobre o ensino de Matemática. amostra: dentre todos os alunos da escola, um conjunto formado com 5 alunos de cada turma, escolhidos ao acaso. Segundo exemplo População: temperatura de todos os países do hemisfério norte em uma mesma hora. amostra: dentre todos os países do hemisfério norte, um conjunto formado das temperaturas na hora estabelecida, de 4 países de cada um dos continentes contidos totalmente ou em parte no hemisfério norte, escolhidos ao acaso.

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Geralmente os dados de uma pesquisa estatística são em número elevado. Para analisá-los é conveniente registrá-los em tabelas que permitam uma melhor observação dos dados, bem como usar certos valores calculados a partir dos dados que representem melhor as tendências do fato estudado. Os mais comuns desses valores são: Média aritmética, Mediana e Moda. Observe as situações descritas a seguir: elas facilitarão a você resolver as atividades deste capítulo relacionadas com temas da Estatística. Veja, no exemplo a seguir, como explorar os conceitos de população, amostra, classes, frequência absoluta, frequência relativa e os cálculos de média mediana e moda. Exemplo: Considere a pergunta feita a 20 alunos da escola aBC: “Quantos irmãos você tem?”, e os dados anotados como respostas a seguir: 1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2. Para analisar estes dados é conveniente registrá-los em uma tabela que permita uma melhor observação dos mesmos, bem como usar valores que representem melhor a tendência do fato estudado. Classes

Frequência absoluta

Frequência relativa

0,20 ou 20%

0,40 ou 40%

0,10 ou 10%

0,15 ou 15%

0,05 ou 5%

Totais

1 ou 100%

 População: conjunto de todos os alunos da escola ABC;  amostra: conjunto dos 20 alunos entrevistados;  Classes: subconjuntos de elementos da amostra classificados por algum critério da pesquisa. No caso, número de irmãos;

 Frequência absoluta de um dado é o total de vezes que este dado surge na relação completa de dados;

 Frequência relativa de um dado é a razão entre a sua frequência absoluta e o número total de dados, expressa em decimais, ou

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os percentuais correspondentes; A soma de todas as frequências relativas em decimais deve ser 1 e, em percentuais, 100%.

 Média: quociente da soma dos valores coletados pela sua quantidade. No exemplo: 10/20 = 0,5, ou seja, cada aluno tem, em média, “meio” irmão. Isto quer dizer, por exemplo, que há um grande número de estudantes na amostra que não tem irmãos ou tem apenas um.

 Moda: são os valores que aparecem com mais frequência. No exemplo, é o valor 1 (um irmão), que aparece 8 vezes.

 Mediana: é o valor de definição mais complicada, que pode ser vista abaixo ou na página 200. No exemplo a mediana é 1, mais uma indicação, junto com a moda e a média, de que a maioria dos estudantes tem apenas um irmão, ou nenhum. aTiViDaDES UTiliZaNDO OS CONCEiTOS rElEMBraDOS 146. a) 130, 132, 135, 138, 138, 142, 150,152, 152, 152,160, 162 b) Tabela dos alunos c) População: conjunto dos alunos da turma E da primeira série da escola PRIMAVERA; amostra: subconjunto da população formado pelos 12 alunos dos quais foram anotadas as medidas. d) 1º) usando os valores da sequência: (130 + 132 + 135 + ...+ 162)/12 = 1743/12 = 145,25 2º.) usando os valores da tabela: (130 + 132 + 135 + 2x138 + 142 + 150 + 3x152 + 160 + 162)/ (1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1) = 1743/12 = 145,25 e) 152 f) (142 + 150)/2 = 146

146. A tabela a seguir registra as alturas de 12 alunos da turma

E da primeira

série da escola PRIMAVERA, formada por 30 alunos. Aluno

152

150

142

130

132

162

152

138

152

160

135

138

Altura dos alunos em centímetros

a) Ordene crescentemente os valores da tabela, escrevendo os valores que se repetem tantas vezes quantas eles se apresentam na tabela.

b) Faça uma tabela como a do exemplo na qual deve registrar as classes, frequências absolutas e frequências relativas.

c) Identifique a população e a amostra destes dados. MÉDIA ARITMÉTICA de um conjunto de valores é o quociente da soma desses valores pelo total deles.

d) Calcule a média aritmética das alturas dos 12 alunos, inicialmente usando a tabela dada e depois a tabela que você fez segundo o que se pediu no item b.

MODA – Se existir um valor ou mais valores de maior frequência em um conjunto de valores, ele(s) se chama(m) moda dessa sequência

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e) Use a resposta obtida no item a para encontrar a moda do conjunto de medidas das alturas dos alunos.

MEDIANA de um conjunto de valores escritos em ordem crescente ou decrescente é o valor que ocupa a posição central da sequencia se ela contém um número impar de valores ou a média aritmética dos dois valores que ocupam a posição central.

f) Novamente use a sequência obtida em a e calcule a mediana deste conjunto.

147. Observe a seguinte sequência de valores ordenados e responda aos itens que se seguem:

7, 10, 13, 13, 19, 21, 21, 21, 27, 27, 30, 30, 30, 45, 45, 60, 62

147. a) 21 e 30 b) 17 c) 27 porque é o valor que ocupa a posição central

a) Esta sequência possui duas modas. Quais são elas? b) Qual a quantidade de valores da mesma?

c) Quala mediana desta sequência? Justifique.

148. Calcule a mediana da sequência de valores a seguir: 148. 12

149. No gráfico a seguir você vê a estimativa de quantas pessoas compareceram a cinco apresentações seguidas de um cantor.

pessoas

PúBliCO POr aPrESENTaÇÃO

149. a) 2 600 pessoas b) 2º. e 4º. c) 1º. , 3º. e 5º. d) 2 000 porque é a classe que tem maior frequência absoluta e) 2 000 porque é fácil perceber que se ordenarmos os valores, é a classe que ocupa a posição do meio.

apresentações

a) Qual a média estimada de pessoas que compareceram a cada show? estes shows? b) Em quais desses shows o comparecimento foi acima da média?

c) Em quais desses shows o comparecimento foi abaixo da média?

d) Apenas observando o gráfico, qual a moda desse conjunto de valores? Justifique.

e) Apenas observando o gráfico, qual a mediana desse conjunto de valores? Justifique.

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150. a) média 8,6 e mediana 6 b) A mediana porque a média é afetada por um valor muito diferentes dos demais: 35 c) Pela existência do valor já citado: 35 d) teriam valores bem próximos. e) porque nenhuma classe se repete f) basta trocar o 8 e o 9 por 8,5.

150. Considere o seguinte conjunto de valores: 2,5

3,5

5,5

6,5

a) Calcule a média e a mediana dos mesmos.

b) Qual dos dois valores encontrados você acha que representa melhor este conjunto de valores?

c) Por qual motivo a média calculada é bem maior que a mediana?

d) Se o último valor (35) fosse trocado por 10, mesmo sem calcular, o que você acha que aconteceria com os valores da média e da mediana?

e) Explique porque este conjunto de valores não tem moda.

f) Sem alterar a média, troque os valores 8 e 9 do conjunto por outros, para que ele tenha uma moda e diga qual é ela.

g) Diga quais valores do conjunto são menores que a moda e quais são maiores.

151.

151. A mediana

1,6

1,4

4,6

152. a) 83,4 b) desvios (na tabela) c) desvio médio: 2,8.

Se um conjunto de valores tem um ou mais valores bem maiores que os demais, o que você calcularia para melhor representar o conjunto: a média ou a mediana?

152. A

média aritmética de um conjunto de valores permite calcular dois valores denominados desvio e desvio médio. Desvio de cada valor é a diferença positiva entre ele e a média aritmética, enquanto desvio médio é a média aritmética de todos os desvios. Considere o conjunto de valores a seguir:

6,6 0,6 3,4 1,4 0,6 0,4 7,4

84 76

a) Calcule com aproximação de um décimo a média aritmética desses valores. b) Calcule o desvio de cada valor. c) Calcule o desvio médio .

153. Ao medir o comprimento de peças de madeira, um carpinteiro obteve os seguintes resultados: 3 de 2,8 m , 2 de 3 m e 5 de 3,2 m. Veja como ele calculou o tamanho médio dessas peças, obtendo como resultado 2,04 metros. 3 x 2, 8 + 2 x 3 + 5 x 3, 2 30, 4 = = 3, 04 3+2+5 10

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Este número obtido chama-se média aritmética ponderada dos números 2, 8, 3 e 3, 2, com os pesos 3, 2 e 5, respectivamente.

153. am + bm + cp + dq m+n+p+q

Escreva uma fração que represente o cálculo da média aritmética ponderada dos números representados por a , b, c, d, com pesos respectivamente m, n, p, q.

154. Uma

funcionária de um supermercado está colocando etiquetas de preços em diversas mercadorias. Veja como ela foi anotando os valores e registrando em uma tabela como a seguinte: Valores

1 real

5 reais

10 reais

20 reais

50 reais

100 reais

Total de etiquetas

154. R$ 21,35.

Qual o preço médio das mercadorias quer foram etiquetadas pela funcionária?

155. Uma empresa de ônibus seleciona quatro candidatos a motorista usan-

do provas de português, legislação de trânsito, prática de direção e primeiros socorros, usando o cálculo da média ponderada para a classificação final dos candidatos. Na tabela a seguir, você vê registrados os nomes dos candidatos, os pesos de cada prova e as notas obtidas pelos candidatos. Provas

Português

legislação de Transito

Primeiros socorros

Prática de direção

Pesos das provas

Candidatos

155. a) Arnaldo: 6,8; Basílio 6,9; Cláudio: 8,0; Dalmo: 7,0. Cláudio . b) Claudio e Basílio. c) A nota da prova de direção, por ter peso maior. d) Embora Basílio e Cláudio tenham alcançado a mesma média, Cláudio consegui melhor nota na prova de direção do que Basílio e esta prova era a de maior peso.

Notas por candidato

arnaldo

Basílio

Cláudio

Dalmo

a) Calcule a média ponderada de cada um usando os pesos correspondentes, e identifique quem ficou em primeiro lugar na seleção.

b) Calcule a média aritmética das notas e identifique quem ficaria em primeiro lugar na seleção usando este critério.

c) A nota de qual prova foi a mais decisiva para o primeiro colocado no critério de média ponderada?

d) Se você fosse escolher dentre os dois primeiros colocados nos dois critérios de média, qual deles escolheria? Justifique.

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157. Possivelmente quem escolheu a soma 5 porque teóricamente a possibilidade dele é de 4/36 contra 3/36 do outro. E esta possibilidade é tanto maior quanto maior for a quantidade de lançamentos.

158. Aproximadamente 10% dos passageiros.

rElEMBraNDO OS CONCEiTOS DE POSSiBiliDaDE E CHaNCE OU PrOBaBiliDaDE

156. Para facilitar a contagem de todas as possibilidades de faces voltadas

para cima em dois lançamentos sucessivos de um dado, Jorge começou a representá-las por pares ordenados como alguns que você vê: (1,1), (1,2), (1,3),... (2,1), (2,2) ........ (6,6). Jorge notou que, a cada uma das seis faces do primeiro lançamento, correspondiam 6 faces do segundo lançamento. Resolva cada item e justifique as respostas.

a) Quantas possibilidades de faces voltadas para cima após os dois lançamentos sucessivos o Jorge calculou?

b) Qual a chance (ou probabilidade) de duas faces sucessivas conterem números iguais? Escreva em forma de razão.

c) Qual a probabilidade da soma de duas faces sucessivas ser igual a quatro? Escreva em forma de decimal.

d) Qual a probabilidade da soma de duas faces sucessivas ser maior que 3 e menor que 6? Escreva em forma de razão.

e) Qual a probabilidade do produto de duas faces sucessivas ser um número par? Escreva em forma de decimal.

157. Em um jogo entre dois amigos, lançando um mesmo dado duas vezes

sucessivas, um escolheu a soma das faces igual a 4, e o outro, a soma igual a 5. Depois de diversos lançamentos, quem você acha que ganhou o jogo? Justifique.

OBSERVAÇÃO: existe uma diferença entre teoria e realidade. Na teoria, dizemos que, ao lançar um dado, as chances da face voltada para cima conter qualquer um dos seis 1 números de 1 a 6, é de . 6 Mas, na prática, para que você obtenha a igualdade destas chances, teria que fazer um número enorme de lançamentos, possivelmente uns 5 000 lançamentos.

Son Salvador

156.a) 6 x 6 = 36 possibilidades. b) seriam do tipo (1,1), (2,2),....(6,6). Logo, a probabilidade é de 6 para 36, ou equivalentemente, 1 para 6; c) seriam resultados do tipo (1,3), (3,1) e (2,2). Logo, a probabilidade é de 3 para 36 ou 1 para 12, em decimal, 0,08333..., ou 8,3 %, aproximadamente. d) São os seguintes pares: (1,4), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1), ou seja, 6 possibilidades em 36, ou a razão 1/6. e) Se no primeiro lance sai uma face par, então não importa qual face saia no segundo; neste caso existem 3 x 6 =18 possibilidades. Se no primeiro lance sai uma face ímpar, então no segundo lance precisa sair uma face par, ou seja, 3 x 3 = 9 possibilidades. Logo são 27 possibilidades do produto ser par, e a probabilidade é 27/36 = ¾ = 0,75, ou 75%.

158. Se você quiser a opinião sobre a qualidade do transporte de passageiros

para um determinado bairro, vai entrevistar todos eles ou aproximadamente 10% deles?

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159. Na tabela a seguir você vê algumas das possibilidades das somas de duas faces ao lançar simultaneamente dois dados.

7 10 10

5 6

3 36

160. Para analisar a qualidade da água de uma cisterna um químico analisa toda a água ou recolhe alguns litros da mesma para análise?

161.

De uma caixa contendo 10 bolas verdes, 7 azuis, 9 amarelas, 5 roxas e 9 pretas, tiramos uma ao acaso. Qual a probabilidade desta bola ser:

a) Roxa?

b) Amarela?

c) Nem verde nem amarela?

d) Azul ou amarela? e) Roxa ou preta?

162. Quantos números de dois algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 3, 5 e 8?

163. Ao abrir uma das 25 páginas de um livro, qual a probabilidade do número da mesma ser um número primo?

2 36 2 36

1 36

Chance

Soma

Sem completar a tabela acima, copie a tabela abaixo em seu caderno e complete as probabilidades de todas as somas de 2 a 12.

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

DaDO 1

1 36

159.

160. Recolhe alguns litros da água.

161. a) 5/40 b) 9/40 c) 21/40 d) 16/40 e) 14/40

162. Cada vez que fixar um dos algarismos serão formados dois números diferentes. Como são 3 as possibilidades de fixar um dos três algarismos, podemos formar 3 x 2 = 6 números. 163. Os primeiros primos menores que 25 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19e 23 (9 números primos). Logo,a probabilidade é de 9 para 25.

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Glossário Este glossário contém diversos termos da Matemática e do dia a dia, com seus significados apresentados em linguagem simples. Há ainda exemplos relacionados com os termos, cujo significado procure discutir com seus colegas. Procure, também, elaborar novos exemplos. ALÍQUOTA – Percentual com que determinado tributo incide sobre o valor do que é tributado. Exemplo: Todos os anos os proprietários de imóveis situados nas cidades pagam às prefeituras uma porcentagem, do valor desses imóveis, com o nome de IPTU (Imposto Predial e Territorial Urbano). O total arrecadado pelas prefeituras destina-se, principalmente, à conservação e melhorias de ruas, avenidas, viadutos, bem como para a construção de novas vias. ARREDONDAMENTO – É uma representação de um número por determinada ordem decimal mais próxima dele. Exemplos: Arredondando 2346 para a dezena mais próxima, obtemos 2350, e para a centena mais próxima, 2300. Arredondando 23,46 para a ordem decimal mais próxima, obtemos 23,50, e para o inteiro mais próximo obtemos 23. CAUÇÃO: Compromisso assumido por uma pessoa de cumprir uma obrigação contratada por outra pessoa, no no caso de esta falhar. Significa, também, bens hipotecados como garantia do pagamento de empréstimos recebidos por uma pessoa e que, no caso de não pagamento no prazo estabelecido, podem ser resgatados pela pessoa ou instituição financeira que emprestou.

Exemplos: Na f igura, marcas iguais representam segmentos congruentes, ou ângulos congruentes. Também os dois triângulos são congruentes.

Nivaldo

CONGRUÊNCIA – Termo que significa que figuras geométricas têm certos elementos com medidas iguais tornando-as “iguais” (no sentido que uma pode ser sobreposta à outra).

DEMOGRAFIA – Estudo das diversas populações quanto à variação da natalidade, mortalidade, migrações e envelhecimento, bem como de outras características (educação, nacionalidade, religião, raça).

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EQUAÇÕES BIQUADRADAS – São equações redutíveis à forma x4 + ax2 + b = 0 A resolução se faz com a mudança de variáveis y = x2 => y2 = x4, obtendo-se, assim, a equação de segundo grau y2 + ay + b = 0. Para cada raiz y1 e y2 (se existirem e forem não negativas), as equações y1 = x2 e y2 = x2 fornecerão, cada uma, duas raízes, totalizando no máximo quatro raízes para a equação biquadrada. Exemplo: A equação x4 – 13x2 + 36 = 0 reduz-se à equação y2 – 13y + 36, cujas raízes são 4 e 9. Das equações y2 = 4 e y2 =9, resultam quatro raízes para a biquadrada: –2, 2, –3, 3. ESTIMATIVA – Avaliação aproximada de um resultado de uma operação ou de uma medida. Estimativas de operações são feitas usando arredondamentos. Exemplos: 1º) Uma estimativa para a soma 19 + 33 é 20 + 30 = 50.

Nivaldo

2º) Uma estimativa para a medida da largura da tira de papel na figura ao lado é 5 cm.

EXCESSO DE DEMANDA: Situação em que a quantidade demandada é maior do que a quantidade oferecida.

HOMOTETIAS – Transformações tais que, dado um ponto fixo O, para cada ponto P de uma figura existe um correspondente P´ tal que OP´= k vezes OP. O ponto O chama-se centro de homotetia, e k é uma constante positiva. Se k > 1, tem-se uma dilatação. Se k < 1, tem-se uma contração. Na figura, você vê uma dilatação.

Nivaldo

Exemplo: a procura por parte de compradores de apartamentos em quantidade maior que a quantidade de apartamentos à venda (antigos, novos ou em construção).

Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) composto por indicadores – É utilizado para medir o nível de pobreza e a qualidade de vida das populações. Os itens principais são: nível de aprendizagem escolar, mortalidade infantil, renda média por pessoa e qualidade das moradias.

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ÍNDICE GERAL DE PREÇOS (IGP), calculado pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) - Existe mais de um desses índices (IGP-M é um deles), mas, de maneiras diferentes, medem a variação de preços durante 1 mês. MÉTODO DE REDUÇÃO À UNIDADE – Método de resolução de problemas que permite, conhecido um valor A de certa grandeza, calcular outro valor B dela. 3 da medida de determinada grandeza, divido esta medida por 4 4 3 e multiplico o resultado por 4, obtendo , ou seja, a medida da grandeza. A partir 4 deste valor é possível calcular qualquer outra parte da grandeza.

Exemplo: Se conheço

LETRA DE CÂMBIO – Título comercial através do qual um credor, chamado de emitente, ordena que o devedor, ou sacado, pague no prazo indicado certa importância a uma terceira pessoa designada “beneficiário”. Título de crédito emitido por sociedades de crédito, financiamento e investimento, utilizado para o financiamento de crédito direto ao consumidor. LUGAR GEOMÉTRICO – É toda figura geométrica cujos pontos têm uma propriedade que é exclusiva deles. Isto significa que: todos os pontos que têm a propriedade pertencem à figura e, reciprocamente, todo ponto da figura tem a propriedade. LUGARES GEOMÉTRICOS – A CIRCUNFERÊNCIA:

Exemplo: Na figura se vê a circunferência de centro P e raio PQ.

Nivaldo

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto deste plano, chamado centro da circunferência.

LUGARES GEOMÉTRICOS – A ESFERA: A esfera é o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de um ponto chamado centro da esfera. LUGARES GEOMÉTRICOS – A MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO: A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam dos extremos do segmento.

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MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO – É a reta perpendicular ao segmento e que o intercepta em seu ponto médio. Exemplo: Na figura, a reta XY é mediatriz do segmento AB: ela é perpendicular ao segmento AB e o intercepta em seu ponto médio M.

NÚMERO DE OURO – Razão entre as medidas AC e AB, nesta ordem, respectivamente lados do pentágono regular estrelado e do pentágono regular inscritos em uma mesma circunferência. Sua expressão é: Nivaldo

1+ 5 2 NÚMERO DE OURO – A sequência a seguir é devida a Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Nela, cada termo é a soma dos dois anteriores. Aumentando-se cada vez mais os termos da sequência, a razão entre dois termos consecutivos, do maior para o menor, se aproxima cada vez de um número, chamado número de ouro, que equivale à expressão: 1+ 5 2 PRODUTOS NOTÁVEIS Observe a figura: A área S do retângulo de dimensões: x + a e x + b é o produto delas:

S = (x + a)(x + b). Pela figura, S é a soma das áreas:

x2 + ax + bx + ab.

Logo, (x + a)(x + b) = x2+(a + b)x + ab.

Exemplos: (x + 2)(x + 5) = x2 + 7x + 10 (x + 4)(x – 7) = x2 – 3x – 28

Nivaldo

Alguns produtos obtidos por meio dessa fórmula são muito importantes para aplicações futuras. Por isso eles se chamam “produtos notáveis”.

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REGULARIDADE (OU PADRÃO) – Qualquer situação com sequências de números, figuras ou quaisquer outros elementos e que evidencia uma lei de formação, permitindo prever quais elementos continuam a sequência dada. Como desenhar a próxima figura? Nivaldo

Exemplos: Na ilustração ao lado, observando regularidades, é possível prever a próxima figura e o próximo número das duas sequências.

1 3 4 7 11 18 29...... Qual o próximo número?

REGULARIDADE – SEQUÊNCIA DE FRAÇÕES: 1 1 3 + = 2 4 4

1 1 1 7 + + = 2 4 8 8

1 1 1 1 15 + + + = 2 4 8 16 16

Exemplo: O próximo denominador da soma é 32, e o numerador, 31. A regularidade dos resultados permite prever novas parcelas e novas somas. Observe que, por maior que seja o número de parcelas, as somas serão sempre menores que 1. REGULARIDADE E O  Exemplo: aumentando cada vez mais os fatores da sequência que se vê ao lado, (devida ao matemático Jonh Walliss), obtêm-se valores cada vez mais próximos da metade do número irracional  .

π 2 2 4 4 6 6 8 8 = × × × × × × × × ... 2 1 3 3 5 5 7 7 9

RENDA FIXA – São títulos cujo rendimento está previamente definido. Esse rendimento pode ser pré-fixado ou pós-fixado. Os Certificados de Depósito Bancário (CDBs), letras do Tesouro, caderneta de poupança e títulos de crédito possuem renda fixa, que pode ser inteiramente prefixada ou vinculada à correção monetária (correção pós-fixada). RENDA PREFIXADA – É o rendimento que o investidor fica sabendo no ato da aplicação quanto vai ganhar e quando terá o seu dinheiro de volta. RESGATE – Saque em dinheiro dos dividendos pagos por um lote de ações ou fundo de investimento, depois de um período de aplicação. Ao sacar, o investidor está vendendo seus papéis ou suas cotas em um fundo. RENTABILIDADE – É a taxa que indica o retorno de um investimento. Calcula-se dividindo o lucro obtido pelo valor do investimento inicial

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ROTAÇÃO – Movimento caracterizado pelo fato de que todos os pontos da figura se deslocam fazendo um mesmo ângulo em relação a uma semirreta fixada. A rotação é uma das isometrias, porque não altera as formas nem as dimensões dos objetos.

Nivaldo

Exemplo: A figura representa uma rotação do triângulo ABC no sentido anti-horário.

SIMETRIA EM RELAÇÃO A UM PONTO: Se um ponto é ponto-médio de um segmento, os extremos desse segmento dizem-se simétricos em relação a esse ponto. Se todos os pontos de duas figuras são simétricos em relação a um mesmo ponto, elas são chamadas figuras simétricas em relação a esse ponto, que é chamado centro de simetria. A simetria em relação a um ponto é uma das isometrias, porque não altera as formas nem as dimensões dos objetos.

Nivaldo

Exemplo: Na figura, você vê dois triângulos simétricos em relação ao ponto O.

SIMETRIA EM RELAÇÃO A UMA RETA: Se uma reta é mediatriz de um segmento, os extremos desse segmento dizem-se simétricos em relação a essa reta. Se todos os pontos de duas figuras são simétricos em relação a uma mesma reta, dizemos que elas são figuras simétricas em relação a essa reta, que é chamada de eixo de simetria. A simetria em relação a uma reta é uma das isometrias, porque não altera as formas nem as dimensões dos objetos.

Nivaldo

Exemplo: Na figura você vê dois triângulos simétricos em relação à reta vertical.

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SOCIEDADE ANÔNIMA – Empresa que tem o capital dividido em ações (negociadas ou não nas Bolsas de Valores), com a responsabilidade de seus acionistas limitada proporcionalmente ao valor de emissão das ações subscritas ou adquiridas. Quem tem o maior número de ações é responsável pela sua administração. SUPERÁVIT COMERCIAL – Excesso de exportações em relação às importações. SUPERÁVIT ORÇAMENTÁRIO – Excesso de arrecadação com relação às despesas do governo. SUPERÁVIT PRIMÁRIO – Valor que o governo gasta a menos do que arrecada, excluído do cálculo a dívida pública. TAXA DE CUSTÓDIA – Taxa cobrada pela corretora de valores mobiliários pela manutenção das ações de seus clientes sob sua guarda (responsabilidade). TAXA DE JUROS – É o custo do dinheiro no mercado, regulado pelo BANCO CENTRAL. Quando a taxa de juros está alta, é sinônimo de falta de dinheiro no mercado. Ao contrário, quando está baixa, é porque está sobrando dinheiro no mercado. A taxa de juros é um dos mais importantes indicadores de política monetária. TEOREMA – Frase que expressa uma propriedade (em geral de números ou figuras) e cuja verdade pode ser provada por meio de fatos da teoria e raciocínio lógico-dedutivo. Em geral se expressa ou pode ser expresso na forma “se..., então...”. Exemplos: “Se dois números são pares, então sua soma é par”. “Os ângulos na base de um triângulo isósceles são congruentes”. Este último pode ser escrito assim: Se um triângulo é isósceles, então seus ângulos na base são congruentes. TEOREMA – HIPÓTESE E TESE Exemplo: No teorema: “Se dois números são pares, então sua soma é par”, a hipótese é: dois números são pares (é o que se conhece). A tese é: a soma de dois números pares é um número par (é o que se quer provar, demonstrar).

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TEOREMA – DEMONSTRAÇAO: Demonstrar um teorema é provar que sua tese é verdadeira. Exemplo: Teorema dado: “Se dois números são pares, então sua soma é par”. Demonstração do teorema: Dois números pares podem ser escritos como 2n e 2m, respectivamente, sendo n e m números naturais. Logo, a soma dos dois é 2n + 2m = 2(n + m). Como a soma de dois números naturais é também um número natural, podemos escrever: n + m = s. Logo, 2n + 2m = 2(n + m) = 2s, que é um número par.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Isto comprova o Teorema de Pitágoras:

a b

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Nivaldo

Demonstração usando áreas: Recorte as áreas dos quadrados menores e procure superpôr-las sobre o quadrado maior, de modo a comprovar que a área do maior é a soma das áreas dos menores.

TRANSLAÇÃO – Movimento caracterizado pelo fato de que todos os pontos da figura se deslocam sobre paralelas, isto é, a figura se desloca em uma direção única. A translação é uma das isometrias, porque não altera as formas nem as dimensões dos objetos.

Nivaldo

Exemplos: As duas figuras nos mostram translações

VOLATILIDADE – Sensibilidade da cotação de ações às variações das cotações da bolsa. É a intensidade e frequência de variação de preços de um ativo financeiro ou de índices de uma Bolsa de Valores.

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Sugestões de leituras e sites para os alunos A seguir, indicamos alguns livros e sites que podem enriquecer seus conhecimentos sobre a Matemática, além de possibilitar que vocês verifiquem como ela é, na maioria das vezes, agradável e divertida.

Leituras Coleção Contando a história da Matemática A invenção dos números, de Oscar Guelli. São Paulo: Ática, 1992. Equação: o idioma da Álgebra, de Oscar Guelli. São Paulo: Ática, 2001. História da equação do segundo grau, de Oscar Guelli. São Paulo: Ática, 1992.

Coleção Investigação Matemática Atividades e jogos com Estatística, de Marion Smoothey. São Paulo: Scipione, 1997.

Coleção Pra que serve a Matemática? Álgebra, de José Jakubovic, Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. São Paulo: Atual, 1993. Descobrindo o Teorema de Pitágoras, de José Jakubovic, Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. São Paulo: Atual, 1993. Equação do segundo grau, de José Jakubovic, Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. São Paulo: Atual, 1993. Frações e números decimais, de José Jakubovic, Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. São Paulo: Atual, 1993. Geometria das dobraduras, de José Jakubovic, Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis. São Paulo: Atual, 1993.

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Sites Números reais, racionais, irracionais, operações com números reais e valor absoluto de número real http://matematica.no.sapo.pt/nreais/nreais.htm http://euler.mat.ufrgs.br/~vclotilde/numerosreais/

Matemática financeira (juros simples, juros compostos, porcentagem) www.brasilescola.com/matematica/matematica-financeira.htm

Monômios, polinômios, valores numéricos de expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração algébrica http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/expralg/expralg.htm

Equações e inequações do primeiro grau, sistemas de equações do primeiro grau, interpretação gráfica de soluções de sistemas de equações e de inequações http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm

Sobre trigonometria http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm

Teorema de Pitágoras, Teorema da Soma dos Ângulos Internos de Triângulos, atividades com quadriláteros, polígonos inscritos www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/pol_insc.htm

Circunferências, raios, cordas, diâmetros, posições relativas à reta x, circunferência, posições relativas de duas circunferências, arcos e ângulos centrais, ângulos inscritos, ângulos semi-inscritos, cordas http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-circ/geom-circ.htm

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