Bai tap va bai giai chuoi so chuoi hampdf by sinhvientinhocblog

CHUOÃI SOÁ – CHUOÃI HAØM <VI.1> Tính toång

åx n =1

a) x n = q n c) x n =

vôùi : b) x n =

(| q |< 1)

1 (n ³ 2) n -1

d) x n =

1 n(n + 1)

(

1 n +1 + n

)

n(n + 1)

. Giaûi: Ñaët Sn = x1 + x 2 + ... + x n a) Sn = q + q 2 + ... + q n = q ¥

1 - qn 1- q

q n ®¥ 1- q n =1 1 1 b) Ta coù x k = , töø ñoù k k +1 1 ö 1 æ 1ö æ 1 1ö æ1 Sn = ç1 - ÷ + ç - ÷ + ... + ç ÷ =1n +1 è 2ø è 2 3ø è n n +1ø

åx

= lim Sn =

= lim Sn = 1

åx n =1

n ®¥

1 1æ 1 1 ö = ç ÷, k ³ 2 k -1 2 è k -1 k +1 ø 1 ææ 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö 1 öö æ 1 Sn = x 2 + x 3 + ... + x n = ç ç1 - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ + ... + ç ÷÷ 2 èè 3ø è 2 4 ø è 3 5 ø è n -1 n +1 ø ø

c) Ta coù x k =

1æ 1 1 1 ö = ç1 + - ÷ 2 è 2 n n +1ø ¥ 1æ 1ö 3 x n = lim Sn = ç1 + ÷ = å n ®¥ 2è 2ø 4 n =1 d) Ta coù x k =

(

1 k +1 + k

)

k(k + 1)

k +1 - k k. k + 1

1 1 k k +1 1 ö æ 1 1 ö 1 ö æ 1 æ 1 neân Sn = ç ÷+ç ÷ + ... + ç ÷ 2ø è 2 3ø n +1 ø è 1 è n 1 = 1. n +1 =

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

åx

Vaäy

n =1

= lim Sn = 1 n ®¥

<VI.2> Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau : ¥ 1 a) å 2 n =1 n ¥ n c) å n n =1 2

å2 n =1

ån n =1

¥ 2n + 3n 1 f) å å 6n n = 2 ln n n =1 . Giaûi: ¥ ¥ 1 1 1 1 hoäi tuï neân å 2 hoäi tuï. a) 2 £ , "n ³ 1 vaø å n n(n + 1) n =1 n(n - 1) n =1 n ¥ ¥ 1 1 1 b) å n = å q n vôùi 0 < q = < 1 neân å n hoäi tuï. 2 n =1 2 n =1 2

c) do

n n

( 2)

® 0 neân n < 2 2 , "n ³ n 0 .

n n ®¥

n 22 Töø ñoù n £ n , n ³ n 0 2 2 n 1 hay n £ , n ³ n0 n 2 2

( )

maø

( 2)

d) ñaët Sn = 1 +

hoäi tuï neân

å2 n =1

hoäi tuï.

1 1 + ... + 2 n

1 , vaø moïi soá nguyeân n Î N laây n ³ N vaø m =2n 2 1 1 1 1 thì Sm - Sn = + + ... + ³ ( = e) n +1 n + 2 n+n 2

vôùi e0 =

do ñoù theo tieâu chuaån Cauchy, ( Sn )n khoâng hoäi tuï, neân

ån

phaân kyø.

1 1 > ln n n ¥ 1 1 maø å phaân kyø neân å phaân kyø. n n = 2 ln n

e) Töø n > ln n , n ³ 2 ta coù

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

2 n + 3n 1 1 f) Vôùi x n = = n + n vaø caùc chuoãi : 6n 3 2

å3

vaø

å2

hoäi tuï.

2n + 3n Vaäy å hoäi tuï. 6n n =1 ¥

<VI.3> Chöùng minh raèng chuoãi: 2.4 2.4.6 1+ + + ... phaân kyø. 1.3 1.3.5 . Giaûi: 2.4.6...2n >1 Soá haïng toång quaùt x n = 1.3.5...(2n - 1) Þ daõy ( x n ) n khoâng coù giôùi haïn laø 0 neân <VI.4> Cho

å (a ) n =1

vaø

å ( b ) vôùi a n =1

åx

phaân kyø.

³ 0 "n

b n ³ 0 "n an = c ( ³ 0 ) . CMR n ®¥ b n

vaø lim

a) c = 0 , vaø b) c = ¥ , vaø

n =1 ¥

n =1

å ( bn ) hoäi tuï thì å ( a n ) ¥

å ( bn ) phaân kyø thì

å (a )

n =1

c) 0 < c < ¥ thì

å (a n )

vaø

n =1

hoäi tuï.

n =1

phaân kyø.

å ( b ) cuøng baûn chaát, nghóa laø cuøng phaân kyø hay cuøng n

n =1

hoäi tuï, luùc ñoù seõ ghi a n ~ b n (n ® ¥) . Giaûi: a) do lim

n ®¥

Vaäy

å ( bn ) hoäi tuï daãn ñeán n =1

b) do lim

n ®¥

Vaäy

an = 0 neân $n 0 sao cho 0 £ a n £ b n , "n ³ n 0 bn

å (a )

an = ¥ neân $n 0 sao cho b n £ a n , "n ³ n 0 bn

å ( bn ) phaân kyø daãn ñeán n =1

c) lim n ®¥

hoäi tuï.

n =1

å ( a ) phaân kyø. n =1

an = c vôùi 0 < c < ¥ , $n 0 : bn c 3c b n £ a n £ .b n , "n ³ n 0 2 2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

neáu

n =1

neáu

¥ 3c .b hoä i tuï , do ñoù ( a n ) hoäi tuï å å n n =1 2 n =1 ¥ ¥ c phaân kyø thì å .b n phaân kyø do ño å ( a n ) phaân kyø. n =1 2 n =1

å ( bn ) hoäi tuï thì ¥

å (b ) n

n =1

<VI.5> Khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau: 1 1 a) å b) å 1+ n2 n(n + 1) 1

ån

( ln n )

n! 2

xn g) å n (x ³ 0) n ¥ 2n + 1 i) å 2 n = 4 n - 4n + 3 . Giaûi: 1 1 a) ~ (n ® ¥) vaø do n(n + 1) n

1 n(n + n 2 ) 1 n ln n

xn h) å n! ¥ p 1 j) å sin n n =1 n ¥

ån

phaân kyø neân

n =1

å n =1

1 phaân kyø. n(n + 1)

1 1 1 £ 2 neân å hoäi tuï. 2 1+ n n 1+ n2 1 c) Ñaët x n = ta coù n ( ln n ) b)

å d)

xn =

( ln n )

1 ® 0 (< 1) ln n n ®¥

hoäi tuï

1 n(n + n ) 2

1 3 2

( n ® ¥ ) neân

1 n(n + n 2 )

hoäi tuï.

n ( n + 1)! ´ n 2 = n 2 ® ¥ , neân chuoãi n! x e) x n = 2 töø ñoù n +1 = 2 n xn ( n + 1) n! n + 1 f) Xeùt

ån

1 n ln n = n ® ¥ 1 ln n n

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

phaân kyø.

maø g)

ån

phaân kyø, vaäy

1 phaân kyø. n ln n

xn å n n hoäi tuï theo tieâu chuaån Cauchy.

xn å n! hoäi tuï theo tieâu chuaån D’Alembert. 2n + 1 1 2n + 1 ~ ( n ® ¥ ) neân å 2 phaân kyø i) do 2 n - 4n + 3 n n - 4n + 3 1 p sin n = n sin p ® p j) Xeùt n 1 n n ®¥ 2 n p 1 1 p neân n sin ~ 2 ( n ® ¥ ) . Vaäy å sin hoäi tuï. n n n n h)

é1.3.5...(2n - 1) ù å ê 2.4.6...2n úû n =1 ë Chöùng minh raèng chuoãi hoäi tuï khi vaø chæ khi p > 2

< VI.6> Cho chuoãi soá

. Giaûi: p

é1.3.5...(2n - 1) ù Ñaët x pn = ê ë 2.4.6...2n úû 1 3 5 (2n - 1) 3 5 (2n - 1) (2n + 1) 1 ta coù x 2n = . . ... .1. . ... . . 2 4 6 2n 2 4 (2n - 2) 2n 2n + 1 1 ö 1 æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ = ç1 - ÷ç1 - ÷ ... ç1 - ÷ . ç1 + ÷ ç1 + ÷ ... ç1 + ÷ . è 2 øè 4 ø è 2 ø è 2 ø è 4 ø è 2n ø 2n + 1 1 öæ 1ö æ 1 ö 1 æ = ç1 - 2 ÷ ç1 - 2 ÷ ... ç1 . 2 ÷ è 2 ø è 4 ø è (2n) ø 2n + 1 do

1 1 1 1 ¥ 1 1 1 + + ... + = £ 2= å 2 2 2 2 2 4 ( 2n ) 4 k =1 k 4 2

1 1 neân x 2n ³ . 2 2n + 1 1 1 maø vì å . phaân kyø, ta coù 2 2n + 1 Töø ñoù suy ra

åx

p £ 2 : ta coù x pn ³ x 2n neân

phaân kyø.

2 n

åx

p n

phaân kyø.

p > 2:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

éæ 1 öæ 1ö æ 1 ö 1 ù Ta coù x pn = (x ) = êç1 - 2 ÷ ç1 - 2 ÷ .. ç1 ú 2 ÷ ëè 2 ø è 4 ø è (2n) ø 2n + 1 û 1 £ p 2n 1 + ( )2 p 2 2 n

maø

n =1

1 (2n + 1)

hoäi tuï (

p 2

p > 1) , neân 2

åx n +1

<VI.7> Khaûo saùt söï hoäi tuï tuyeät ñoái cuûa x 2n +1 2n +1 a) å (-1) ( 2n + 1) !

p n

p 2

hoäi tuï.

å (-1)

n +1

( x + 2)

. Giaûi: 2n +1

a) Ñaët a n = (-1)

2n +1

x x 2n +1 = ( 2n + 1)! ( 2n + 1)!

x x ( 2n + 1)! = a Ta coù n +1 = . ®0 2n +1 an ( 2n + 3)! x ( 2n + 2 )( 2n + 3) n ®¥ 2n + 3

Vaäy

åa

hay

å (-1)

hoäi tuï vôùi "x Î  . 2n +1

x 2n +1 hoäi tuï tuyeät ñoái taïi "x Î  . ( 2n + 1) !

b) Ñaët a n = (-1) n

Ta coù

an =

n +1

( x + 2)

x+2

("x ¹ -2) .

x x+2

x <1Û x < x + 2 x+2 Û x > -1

x > 1 Û x < -1 x+2

åa

x = -1 thì an =1 neân Vaäy

å (-1)

n +1

( x + 2)

phaân kyø.

hoäi tuï tuyeät ñoái khi vaø chæ khi x > -1

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<VI.8> Cho ( b n )n bò chaën vaø a n ³ 0, "n . Giaû söû

åa

hoäi tuï. CMR

åa b

. Giaûi: Do ( b n )n bò chaën neân $M > 0 : | b n |£ M, "n neân

M.a n ³| a n .b n |, "n

vaø

å Ma

hoäi tuï neân

( a n ³ 0 ).

åa b n

<VI.9> Xeùt tính hoäi tuï cuûa

hoäi tuï, do ñoù

( ln n )

åa b n

hoäi tuï.

vôùi k > 1 vaø p > 1

. Giaûi: Vôùi p > 1, ta coù p = 1 + a trong ñoù a > 0 .

( ln n ) np 1

Xeùt

n Maø

a 2

1 n

( ln n ) a 2

®0 (

n ®¥

hoäi tuï, neân

a 2

å n =2

a > 0) 2

( ln n )

hoäi tuï.

<VI.10> Khaûo saùt tính hoäi tuï cuûa

ån n=2

1 ln b n

(a, b > 0)

. Giaûi: 1 xaùc ñònh treân [2, ¥) vaø laø haøm soá giaûm. x ln b x Hôn nöõa ôû baøi taäp tích phaân, ta coù ¥ dx a >1 ò2 x a lnb x hoäi tuï. Xeùt haøm soá f (x) =

òx

a <1

a =1

- b >1 - b £1

òx

2 ¥

Töø ñoù

ån n=2

dx phaân kyø ln b x

dx hoäi tuï ln b x dx phaân kyø ln b x

1 hoäi tuï khi vaø chæ khi a > 1 hay a = 1 vaø b > 1 ln b n

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

hoäi tuï.

åa

<VI.11> Cho

åb

vaø

2 n

åa b

hoäi tuï. CMR

2 n

hoäi tuï

. Giaûi: Ta coù a n b n £

a 2n + b 2n , "n. 2

a 2n + b 2n hoäi tuï vaäy maø å a , å b hoäi tuï neân å a + b hoäi tuï vaø do ñoù å 2 2 n

åa b n

2 n

hoäi tuï, suy ra

åa b n

<VI.12> Cho a n ³ 0, "n vaø CMR

2 n

hoäi tuï.

åa

phaân kyø

an phaân kyø, coøn å n =1 1 + a n

å 1+ n a

hoäi tuï.

n =1

. Giaûi: an ® 0 , neáu ngöôïc laïi thì 1 + a n n ®¥ e Ta coù : "e > 0 , ñaët e' = 1+ e an $n 0 : n ³ 0 Þ < e' 1+ an

Giaû söû

Þ an < Vaäy lim a n = 0

å1+ a n =1

phaân kyø. n

e' = e , n ³ n0 . 1 - e'

töø ñoù a n £ a n , "n ³ N 0 (N0 ñuû lôùn). Suy ra luùc ñoù Hôn nöõa Vaø do

å2

an a 1 ³ n = an 1+ an 2 an 2 an 1 ³ an 1+ an 2

ån

(a n > 0)

neáu an = 0.

a n phaân kyø neân

Deã daøng kieåm chöùng töø ñoù do

a n phaân kyø.

å1+ a

phaân kyø. n

an 1 £ 2 , "n 2 1 + a n .n n

hoäi tuï, ta coù

å 1+ n a

hoäi tuï.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<VI.13> Cho a n ³ 0 , "n vaø

åa

hoäi tuï. CM

an hoäi tuï. n

. Giaûi:

å(

Töø

Theo <V.11>,

) = åa 2

vaø

ån

hoäi tuï.

an hoäi tuï. n

<VI.14> Tìm mieàn hoäi tuï cuûa : a)

å nx

å2

-n

ån

xn d) å 2 n + 2n

. Giaûi: a) a n = n Þ n a n = n n ® 1 taïi x = ±1 chuoãi phaân kyø n ®¥

Vaäy mieàn hoäi tuï cuûa

å nx

laø ( -1,1)

1 1 Þ n an = ® 0 n n n n ®¥ xn chuoãi å n coù mieàn hoäi tuï laø ( -¥, +¥ ) n 1 c) a n = 2- n Þ n | a n | = 2

b) a n =

å2

-n

x n hoäi tuï treân "x :| x |< 2 vaø phaân kyø vôùi "x :| x |> 2

x=-2 :

( -2 ) 2n

phaân kyø.

2n å 2n phaân kyø Vaäy mieàn hoäi tuï laø ( -2, 2 ) . X= 2 :

d) a n =

åa

1 1 Þ n an = ®1 n 2 n + 2n n + 2n n ®¥ 2

x n hoäi tuï vôùi "x : | x |< 1

vaø phaân kyø vôùi "x : | x |> 1 taïi x = ±1 chuoãi hoäi tuï.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Vaäy mieàn hoäi tuï laø [ -1,1] <VI.15> Tìm mieàn hoäi tuï cuûa xn a) å n c)

xn å ( 4n - 1)!

åx

2n å ( 2n + 7 )! x n

ln n

. Giaûi: a) Baùn kính hoäi tuï laø R = 1. x = 1 chuoãi phaân kyø. x = -1 chuoãi hoäi tuï (theo Leibnitz) mieàn hoäi tuï laø [-1,1) b) Baùn kính hoäi tuï laø R=1 taïi x = ±1 chuoãi phaân kyø. Mieàn hoäi tuï laø (-1, 1). ( 4n - 1)! = 1 a 2 c) a n = , thì n +1 = an ( 4n - 1)! ( 4n + 3)! 4n ( 4n + 1)( 4n + 2 )( 4n + 3) Baùn kính hoäi tuï R = ¥ Mieàn hoäi tuï laø (-¥, +¥) d) a n =

( 2n + 7 ) ! = a 2n +1 2 2n thì n +1 = ´ n an 2 ( 2n + 7 )! ( 2n + 9 )! ( 2n + 8)( 2n + 9 )

mieàn hoäi tuï laø (-¥, +¥) . <VI.16> Chöùng minh raèng

åx n =0

1 hoäi tuï ñeàu treân [0, ] vaø khoâng hoäi tuï ñeàu treân (0, 2

1). . Giaûi: n

1 æ1ö Ta coù x n £ ç ÷ , "x Î [0, ] 2 è 2ø 1 1 Vaø å n hoäi tuï neân å x n hoäi tuï ñeàu treân [ 0, ] 2 2 2 n ñaët Sn (x) = 1 + x + x + ... + x =

1 - x n +1 1- x

"x Î (0,1) ta coù limSn (x) = n

xeùt Sn (x) -

1 = S(x) 1- x

1 x n +1 = 1- x 1- x

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

vôùi n cho tröôùc, ta coù : xn xn lim = ¥ neân $x : >1 x ®1 1 - x 1- x Vaäy Sn(x) khoâng hoäi tuï ñeàu veà S(x) treân (0, 1). <VI.17> CMR

å (1 - x ) x

khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1].

n =0

. Giaûi: 1 - x n +1 Ñaët Sn ( x ) = å (1 - x ) x = (1 - x ) = 1 - x n +1 (k ¹ 1) 1- x k =0 Sn (x) = 0 taïi x = 1 . ì1 , x ¹ 1 Vaäy Sn (x) ® S(x) = í î0 , x = 1 ¥

do ñoù : f n (x) = (1 - x ) x n lieân tuïc treân [0, 1] vaø S(x) khoâng lieân tuïc treân [0, 1] neân Sn (x) khoâng hoäi tuï ñeàu veà S(x) treân [0, 1]. <VI.18> Chöùng minh

ån

1 hoäi tuï ñeàu treân [0, ¥) + x2

. Giaûi: Vôùi f n (x) = do

åa

1 1 £ a n = 2 , "x Î [ 0, ¥ ) 2 n +x n 2

hoäi tuï neân

åf

<VI.19> Chöùng minh

(x) hoäi tuï ñeàu. sin nx hoäi tuï ñeàu treân  . n n

. Giaûi: sin nx n n 1 do f n (x) £ vaø n n Vôùi f n (x) =

ån

1 n

hoäi tuï neân

<VI.20> Xeùt tính hoäi tuï ñeàu cuûa

åx e

åf

n - nx

(x) hoäi tuï ñeàu.

treân [ 0, ¥ )

. Giaûi: Xeùt haøm soá f n (x) = x n e- nx ta coù f n' (x) = nx n -1.e- nx - nx n e- nx = nx n -1e - nx (1 - x )

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

x 0

1 +

' n

f (x)

+¥

e- n

f n (x) 0

Vaäy 0 £ f n (x) £ e- n , "x Î [ 0, ¥ ) maø

åe

-n

hoäi tuï vaäy

åf

(x) hoäi tuï ñeàu.

xn å 1 + x n hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoaïn [0, c] vôùi 0 < c < 1 , nhöng khoâng hoäi tuï ñeàu treân [ 0,1) . <VI.21> Chöùng minh chuoãi

. Giaûi: Vôùi moïi soá c Î (0,1) . Xeùt haøm soá f n (x) =

xn taêng (theo bieán x) 1+ xn

cn Do ñoù f n (x) £ £ cn , " Î [ 0, c] n 1+ x Do

åc

hoäi tuï neân

åf

(x) hoäi tu ñeàu treân [0, c].

Xeùt treân [0, 1) xk k k =1 1 + x "m, n cho tröôùc ta coù n

Ñaët Sn (x) = å

x n +1 x m +1 + ... + (m > n) 1 + x n +1 1 + x m +1 xn 1 xn 1 do lim = neâ n $ x Î 0,1 : > ) [ n x ®1 1 + x n 2 1+ x 3 Sm (x) - Sn (x) =

vaäy

åf

(x) khoâng hoäi tuï ñeàu treân [0, 1). ¥

1 2 n =1 1 + n x a) Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa f. b) Xeùt tính lieân tuïc cuûa f. . Giaûi: a) x = 0 , chuoãi khoâng hoäi tuï neân f khoâng xaùc ñònh. <VI.22> Cho f (x) = å

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

1 1 khoâng xaùc ñònh, haøm soá khoâng xaùc ñònh , soá haïng toång quaùt 2 n 1+ n2x -1 -1 -1 1 1 "x Î  \ {0, , 2 , 2 ,...} ñöôïc choïn tröôùc ~ 2 ( n ® ¥ ) neân 2 1 2 3 1+ n x n 1 å 1 + n 2 x hoäi tuï tuyeät ñoái , f xaùc ñònh. -1 -1 -1 Vaäy mieàn xaùc ñinh cuûa f laø D =  \{0, , 2 , 2 ,...} 1 2 3 b) Laáy x0 baát kyø treân D. Toàn taïi a, b Î  : x 0 Î [ a, b] Ì D x=-

1 giaûm (theo bieán x) treân [ a, b] neân 1 + n 2x f n (b) £ f n (x) £ f n (a), "x Î [ a, b] , "n Î N , vì vaäy f n (x) £ max( f n (b) , f n (a ) ) = a n Do f n (x) =

Trong ñoù a n = f n (a) hay a n = f n (b) vaø coù

åa

hoäi tuï. Suy ra

åf

(x) hoäi tuï ñeàu

treân [ a, b] , maø caùc haøm fn lieân tuïc treân [ a, b] , vaäy f lieân tuïc treân [ a, b] . Töùc laø f lieân tuïc tai x0 vaø do ñoù f lieân tuïc treân D. <VI.23>Xeùt tính lieân tuïc cuûa f (x) = å

nx 2 treân [ 0, ¥ ) x3 + n3

. Giaûi: nx 2 nx 2 x 2 £ = 2 x3 + n3 x3 n Vôùi baát kyø x ³ 0 toàn taïi a > 0 thoûa 0 £ x £ a neân nx 2 n.a 2 a 2 0£ 3 £ = 2 x + n3 n3 n 2 a maø å 2 hoäi tuï n Vôùi x ³ 0 thì :

neân

nx 2 å x 3 + n 3 hoäi tuï ñeàu treân [0, a]

nx 2 nx 2 lieâ n tuï c treâ n [0, a] (vì f (x) = lieân tuïc, "n ) n x3 + n3 x3 + n3 Þ f lieân tuïc taïi moi x Î [ 0, ¥ ) .

suy ra f (x) = å

<VI.24> Tính ñaïo haøm cuûa f (x) = å

1 n + x2 2

. Giaûi:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

vôùi f n (x) =

1 -2x 2|x | ta coù f n' (x) = neân f n' (x) £ 4 2 2 n +x n (n2 + x2 ) 2

vôùi x 0 Î  cho tröôùc

åf

' n

(x) hoäi tuï ñeàu treân [ x 0 - 1, x 0 + 1]

åf

(x) hoäi tuï ñeàu treân [ x 0 - 1, x 0 + 1] , ta laïi coù caùc haøm f n' lieân tuïc neân '

é ù ' ê å f n (x) ú = å f n (x), "x Î [ x 0 - 1, x 0 + 1] ë û -2x , "x Î  vaäy f ' (x) = å 2 (n2 + x2 ) <VI.25> Tính caùc toång voâ haïn: a) -2x + 4x 3 - 6x 5 + ... + (-1)k 2k.x 2k -1...

| x |< 1

n -1

1 2x 3x nx + 2 + 3 + ... + n + ... a a a a 2 3 n x x x c) x + + + ... + + ... 2 3 n . Giaûi: b)

a) Xeùt chuoãi

å (-1)

2nx 2n -1 (1)

| x |< a | x |< 1

| x |< 1

n =1 n

vôùi f n (x) = (-1) 2nx 2n -1 coù moät nguyeân haøm laø Fn (x) = (-1) n x 2n Chuoãi (1) coù baùn kính hoäi tuï laø R = 1, neân vôùi moïi x 0 Î (-1,1) $a > 0 : x 0 Î [ -a, a ] Ì ( -1,1)

(1) hoäi tuï ñeàu treân [ -a, a ] . Hôn nöõa

å F (x) cuõng hoäi tuï treân [ -a, a ] neân: n

¥ æ ¥ ö F (x) = ç å n ÷ å f n (x) , "x Î [ -a, a ] è 1 ø n =1 '

¥ æ ¥ ö Vaø do ñoù ç å Fn (x) ÷ = å f n (x) , "x Î ( -1,1) è 1 ø n =1 Sn (x) = F1 (x) + ... + Fn (x)

æ 1 - (- x 2 )n ö = - x 2 + x 4 + ... + (-1) n x 2n = - x 2 ç ÷ 2 è 1+ x ø ¥ -x 2 töø ñoù å Fn (x) = lim Sn (x) = , x Î ( -1,1) n ®¥ 1+ x2 1

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

æ x2 ö -2x neân å f n (x) = ç = 2 2 ÷ è 1 + x ø (1 + x 2 ) ¥

b) Chuoãi cho coù daïng f n (x) =

åf

(x) vôùi

nx n -1 vôùi | x |< a an n

coù nguyeân haøm laø Fn (x) =

xn æ x ö =ç ÷ , an è a ø

x <1 a

Lyù luaän nhö treân : '

æ æ x ön ö a å f n (x) = çç å çè a ÷ø ÷÷ = (a - x)2 è ø c) Chuoãi ñaõ cho coù daïng

åf n =1

(x) vôùi

f n (x) = do

åt

n -1

xn = ò t n -1dt n 0

hoäi tuï ñeàu treân [0, x], vôùi | x |< 1

n =1

neân

¥ x

æ ¥ n -1 ö f (x) = t dt = t ÷dt ån å ò ò0 çè å n =1 0 n =1 ø n -1

dt = - ln (1 - x ) 0 1- t

=ò

x 2n +1 <VI.26> Cho f (x) = å (-1) (2n + 1)! n =0 ¥

x 2n (2n)! n =0 a) CMR f (0) = 0 vaø f (0) = 1 vaø g(x) = å (-1)n

' ïìf (x) = g(x) b) f , g khaû vi treân  vaø í ' ïîg (x) = -f (x)

. Giaûi: a) Baïn ñoïc töï kieåm tra. b) Caùc chuoãi f (x), g(x) coù baùn kính hoäi tuï laø R = ¥ neân hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoanj

[ a, b] . Caùc haøm thaønh phaàn f n (x) = (-1)n vaø g n (x) = ( -1) n

x 2n +1 ( 2n + 1) ! x 2n (2n)!

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

khaû vi lieân tuïc treân  . Do f n' (x) = g n -1 (x) vaø g 'n (x) = -f n -1 (x) Söï hoäi tuï ñeàu cuûa f (x), g(x) daãn ñeán söï hoäi tuï ñeàu cuûa

åf

' n

(x) vaø

Töø ñoù '

æ ö f (x) = ç å fn (x) ÷ = å fn' (x) = å g n (x) = g(x) è ø '

æ ö vaø g (x) = ç å g n (x) ÷ = + å g 'n (x) = -å f n (x) = -f (x) . è ø '

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

åg

' n

(x)