Função modular OBJETIVOs propostos . Entender funções definidas por mais de uma sentença; . Compreender o módulo de um número.
O Imposto de Renda Devido (IRD) a ser pago pelo contribuinte, relativo ao ano de 1995, dependia de sua renda Líquida (RL). O manual para preenchimento da declaração de rendimentos apresentava a tabela abaixo, que permitia calcular o IRD a partir da RL: RL (em reais)
Alíquota de imposto
Parcela a deduzir
0%
0
De 8 803,01 a 17 166,00
15%
1 320,45
De 17 166,01 a 158 457,00
26,6%
3 311,70
Acima de 158 457,00
35%
16 622,09
Até 8 803,00
Podemos observar que y é uma função de x, definida por quatro sentenças. Usa-se uma sentença ou outra dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra. Uma função desse tipo é chamada função definida por mais de uma sentença. Ex.:
Sendo uma função definida pelas sentenças: Se x < 0,então f(x) = 1 Se x ≥ 0,então f(x) = x + 1 Vamos calcular f(- 3),f(- 2),f(0),f(2) e construir o gráfico de f. Temos: −3 < 0 ⇒ f(−3) =1
De acordo com essa tabela, temos: a) Um contribuinte com RL = R$ 8 000,00 teria
IRD = 0. b) Um contribuinte com RL = R$ 12 000,00 teria IRD = 15% de 12 000 – 1 320,45 = 0,15 x 12 000 = 1 320,45 = 23 288,30
− 2 < 0 ⇒ f(− 2 ) =1 0 ≥ 0 ⇒ f(0) = 0 + 1 = 1 2 < 0 ⇒ f(2) = 2 + 1 = 3 Para construir o gráfico de f, fazemos assim: 1º Passo: Construímos o gráfico da função constante f(x) = 1, mas só consideramos o trecho em que x < 0. Veja:
1
c) Um contribuinte com RL = R$ 100 000,00 teria IRD
= 26,6% de 100 000 – 3 311,70 = 0,266 x 100 000 – 3 311,70 = 23 288,30 d) Um contribuinte com RL = R$ teria IRD = 53 377,91
Em geral, se um contribuinte apresentasse RL = x, como poderia ser calculado o IRD = y? A resposta seria:
. Se 0 ≤ x ≤ 8 803, então y = 0;
2º Passo: Construímos o gráfico da função afim f(x) = x + 1, mas só consideramos o trecho em que x ≥ 0. Veja:
. Se 8 803 < x ≤ 17 166, então y = 0,15x – 1 320,45; . Se 17 166 < x ≤ 158 457, então y = 0,266x – 3 311,70;
1
Se x > 158 457, então y = 0,35x – 16 622,09.
P
ierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 de Agosto de 1601 — Castres, 12 de Janeiro de 1665) foi um matemático e cientista francês. Realizou estudos em cálculo algébrico e infinitesimal. Enunciou o chamado “O último teorema de Fermat”, que levou mais de 3 séculos para ser provado.
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MATEMÁTICA
Módulo de um número Definição: Dado um número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, que se indica com |x|, o número real não negativo tal que:
Temos então duas possibilidades para E: 1ª) se x > 1, então E = x - 1=1 x -1 2ª) se x < 1, então E =
|x|= x, se x ≥ 0
- ^ x - 1h 1 x - 1 =-
|x|= −x, se x < 0 Isso significa que: O módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número; N aoN Q1) Seja Q f: R → R definida I I por Z Z O módulo de um número real negativo é igual 2, se x ≥ 0 oposto desse número; f(x)= . Calcule: O módulo de um número real qualquer é sempre 3, se x < 0 maior ou igual a zero: |x| ≥ 0, ∀ x.
{
a) f(-1)
Assim, podemos identificar alguns módulos: |+1| = +1
|-5|= + 5
2 =+2 - 2 =+ 2 7 7
|0|=0
2 =+ 2 =+2 +2 77
b) f(5)
Ex1.:
Qual é o valor de |3 – π|? c) f c- 3 m
Sabemos que π = 3,141592…, então:
8
3 < π ⇒ 3 − π< 0 ⇒ |3 − π|= −(3 − π) = π − 3 = =0,141592… N
Ex 2.:
Simplifiquemos a fração
x -1 E= : x-1
N Q2) Seja Q f: R → R definida I I por Z
{
3x + 5 se x ≥ 0
f(x) =
x, se < 0
a) f(5)
Da definição de módulo, temos: |x − 1|
{
x − 1,se x − 1 ≥ 0, isto é, se x ≥ 1 ou
b) f(−3)
−(x − 1),se x − 1 < 0, isto é, se x < 1 3) Calcule: a) |−3 + 2|
São conhecidos 51539600000 casas decimais de (pi), calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997
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b) |2 – 10|
Z