1a LENA ALFREDSSON
PATRIK ERIXON
HANS HEIKNE
1a BAS
Matematik 5000
Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.
Välj mellan RÖD SERIE
för serviceinriktade yrkesprogram
GUL SERIE
för tekniskt inriktade yrkesprogram
Matematik 5000
är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och komvux.
Matematik
5000
GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt komvux BLÅ SERIE
för NA och TE
BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning
För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-42159-2
9 789127 421592
Matematik5000_Gul_1a_BAS.indd 1
2012-02-01 21.27
Rod 1 Bas.indb 2
2012-02-02 15.36
Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.
Varje kapitel avslutas med:
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.
• K an du det här? och Diagnos som tillsammans
Denna bok, Kurs 1a Gul Bas lärobok, riktar sig främst till elever som studerar på de teknikinriktade yrkesprogrammen. Basboken är en version av Kurs 1a Gul lärobok med nerkortade textstycken och färre uppgifter. Basboken är avsedd för elever som behöver en tydligare framställning och ett fokus på kursens grundläggande matematik. Innehållet och strukturen i boken gör det möjligt att använda den parallellt med Kurs 1a Gul lärobok.
Hur är boken upplagd? • T eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel
som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i två nivåer, a och b, i stigande svårighetsgrad.
• E n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-
tion: Sant eller falskt?
• E n kort Sammanfattning av kapitlet.
ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnosen kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper.
• O m en elev behöver repetera delar av kapitlet
finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta exemplen i bokens teoriavsnitt.
• T vå olika varianter av Blandade övningar av-
slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av två delar: Utan räknare och Med räknare.
I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank.
• A ktiviteterna ger stora möjligheter att variera
undervisningen. I denna bok finns de i tre olika kategorier: Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.
• I Teman finns teori och uppgifter anpassade till
de olika yrkesprogrammen och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000
Lycka till med matematiken! önskar Hans, Lena och Patrik
förord
Gul 1 Bas.indb 3
3
2012-02-02 15.58
Innehåll 1. Att arbeta med tal 6
Inledande aktivitet: Lägga tal 7
1.1 Positiva tal 8 Naturliga tal 8 Räkneordning 11 Tal i decimalform 14 Aktivitet: Undersök – Tiondelar och hundradelar 17 Multiplikation och division med 10 och 100 18 Tema: Personnummer 20 Historik: Två historiska talsystem 21
1.2 Negativa tal 22
När används negativa tal? 22 Tema: Tidszoner 26 Tema: Vinst eller förlust? 28
1.3 Tal i bråkform 30
Hur stor andel? 30 Aktivitet: Undersök – Jämföra bråktal 33 Förlängning och förkortning 34 Räkna med bråk 37
2.2 Procentuella förändringar 76
Beräkning av procentsatsen 76 Procentenheter 78 Beräkningar av det nya värdet 79 Flera procentuella förändringar 82 Tema: Moms 84 Tema: Försäljningspris och pålägg 86 Index 88 Tema: Däck 92 Tema: Plushöjd och fall 94
2.3 Lån, ränta och amortering 96
Ränta 96 Amortering 98 Avgifter 100
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 102 Sammanfattning 2 103 Kan du det här? 2 104 Diagnos 2 105 Blandade övningar kapitel 2 106 Blandade övningar kapitel 1–2 108
3. Sannolikhetslära och statistik 110
Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 111
1.4 Problemlösning 40
3.1 Enkla slumpförsök 112
Avrundning 40 Överslagsräkning 42 Aktivitet: Diskutera – Det är inte bara svaret som räknas 44 Enhetsbyten 45 Tillämpningar 48 Aktivitet: Laborera – Jämförpris 51 Tema: Tumsystemet 52 Tema: Toleranser 54
3.3 Statistik 125
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 56 Sammanfattning 1 57 Kan du det här? 1 58 Diagnos 1 59 Blandade övningar kapitel 1 60
2. Procent 62
Inledande aktivitet: Pärlorna 63
2.1 Andelen, delen och det hela 64
4
Gul 1 Bas.indb 4
Beräkning av andelen i procentform 64 Historik: Varifrån kommer procenttecknet? 67 Beräkningar då vi vet procentsatsen 68 Procent utan räknare 70 Promille och ppm? 72 Tema: Alkohol och promille 74
Inledning 112 Den klassiska sannolikhetsmodellen 113 Experimentella sannolikheter 116
3.2 Slumpförsök i flera steg 119
Träddiagram 119 Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 123 Beroende händelser 124
Vad handlar statistik om? 125 Tolka tabeller och diagram 126 Medelvärde och median 130 Tema: Fordon och drivmedel 132 Tema: Spel om pengar i Sverige 134 Vilseledande statistik 136
3.4 Statistik med kalkylprogram 138
Rita diagram 138 Aktivitet: Undersök – En arbetsplatsundersökning 141
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 142 Sammanfattning 3 143 Kan du det här? 3 144 Diagnos 3 145 Blandade övningar kapitel 3 146 Blandade övningar kapitel 1–3 148
innehåll
2012-02-02 15.58
4. Ekvationer och formler 150
5.4 Vinklar och trigonometri 228
Inledande aktivitet: Beräkna värdet 150
4.1 Ekvationer och uttryck 152
Algebra och uttryck 152 Aktivitet: Undersök – Hur många stickor är det i asken? 154 Vad menas med en ekvation? 155 Att lösa ekvationer 158 Problemlösning med ekvationer 161 Ekvationer med flera x 164
4.2 Formler och uttryck 166
Beräkningar med formler 166 Ställa upp och tolka formler och uttryck 170 Tema: Hastighet – sträcka – tid 172 Tema: Energi och effekt 174 Tema: Trappan 176 Tema: Flöde 177
4.3 Undersök och bevisa 178 Uttryck och ekvationer med parenteser 178 Beskriva, troliggöra och bevisa 180 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 182 Sammanfattning 4 183 Kan du det här? 4 184 Diagnos 4 185 Blandade övningar kapitel 4 186 Blandad övningar kapitel 1–4 188
5. Geometri 190
Inledande aktivitet: Omkrets och area 191
5.1 Omkrets och area 192
Omkrets och area av rektangel och triangel 192 Tema: Täcka fasad 196 Kvadrater och kvadratrötter 198 Omkrets och area av en cirkel 200 Tema: Rotation och hastighet 202 Pythagoras sats 204 Beräkningar med Pythagoras sats 206 Aktivitet: Laborera – Bygg en låda 208
5.2 Volym och area 209
Volym av rätblock och cylinder 209 Area- och volymenheter 212 Volym av kon, pyramid och klot 214 Tema: Cylindervolym 216
Vinklar och vinkelsummor 228 Vad är sinus för en vinkel 230 Blandade uppgifter 232 Tema: Lutningsförhållanden 235
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 236 Sammanfattning 5 237 Kan du det här? 5 238 Diagnos 5 239 Blandade övningar kapitel 5 240 Blandade övningar kapitel 1–5 242
6. Linjära och exponentiella modeller 244
Inledande aktivitet: Finn regeln 245
6.1 Linjära modeller 246
Värdetabeller och grafer 246 Linjära förändringar 248 Aktivitet: Laborera – Väg–tid-diagram 251 Tema: Förflyttningar 252 Tolka grafer som beskriver vardagliga förlopp 254
6.2 Potenser 256
Vad menas med 35? 256 Stora och små tal 258 Prefix 260
6.3 Exponentiella modeller 262
Exponentiella förändringar 262 Grafritande räknare 265 Matematiska modeller 266
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 270 Sammanfattning 6 271 Kan du det här? 6 272 Diagnos 6 273 Blandade övningar kapitel 6 274 Blandade övningar kapitel 1–6 276
Repetitionsuppgifter 278 Svar, ledtrådar och lösningar 284 Register 305
5.3 Skala 218
Föremål och bild 218 Aktivitet: Laborera – Gör en ritning 221 Likformighet 222 Tema: Boden 224
innehåll
Gul 1 Bas.indb 5
5
2012-02-02 15.58
1
ATT ARBETA MED TAL
Centralt innehåll ✱ Metoder för beräkningar med tal skrivna i olika former. ✱ Enheter, enhetsbyten och behandlingar av mätetal. ✱ Begreppet proportionalitet och strategier för problemlösning. ✱ Matematiska begrepp och metoder i situationer kopplade till karaktärsämnena.
Gul 1 Bas.indb 6
2012-02-02 15.58
894789475849
89478947584
238876744
112 777
482398678567
7547 55
15343274
Inledande aktivitet LÄGGA TAL Arbeta tillsammans två och två. Skaffa fyra papperslappar och skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på lapparna.
2 5
1 7
1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får
3 Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten ∙ blir så
a) liten som möjligt b) stor som möjligt c) nära 100 som möjligt. 4 Multiplikation beräknas före addition. Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så
a) ett så stort tal som möjligt
a) liten som möjligt
b) ett så litet tal som möjligt
b) stor som möjligt
c) ett tal så nära 5 000 som möjligt
c) nära 20 som möjligt.
d) ett tal så nära 6 000 som möjligt e) ett tal så nära 1 400 som möjligt. 2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så
a) liten som möjligt b) stor som möjligt
5 Skaffa nio papperslappar med siffrorna 1 till 9.
Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång. +
=
−
=
∙
=
c) nära 60 som möjligt.
Gul 1 Bas.indb 7
2012-02-02 15.58
2.2 Procentuella förändringar
Beräkning av procentsatsen
Vår värld förändras ständigt. Förändringar och jämförelser beskrivs ofta med procent. Vid procentuella förändringar jämförs alltid ökningen eller minskningen med det gamla värdet.
Exempel
Världens länder enades år 2000 om åtta mål för att halvera fattigdomen till år 2015.
Mål nr 2 är att alla barn ska få gå i skola år 2015.
År 1999 var det 105 miljoner barn som inte gick i skola. År 2007 hade antalet minskat till 72 miljoner.
Minskningen i miljoner = 105 – 72 = 33
Minskningen i procent = minskning = 33 ≈ 0,31 = 31 % gamla värdet 105 När du ska beräkna hur stor en förändring är i procent gäller följande:
76
Gul 1 Bas.indb 76
Sammanfattning
ökningen minskningen = förändringen eller = förändringen gamla värdet gamla värdet
2.2 procentuella förändringar
2012-02-02 16.01
2201
Antalet besökare på Liseberg var 3,4 miljoner under ett år. Året innan var antalet besökare 3,0 miljoner.
Hur stor var ökningen i procent?
Ökning i miljoner = 3,4 – 3,0 = 0,4
Ökning i procent =
Svar: Antalet besökare ökade med 13 %.
a) Hur stor är ökningen i antal?
2206 Hur stor är ändringen i procent då hastigheten ändras
b) Vilket är det gamla värdet?
a) från 60 till 70 km/h
c) Bestäm ökningen i procent genom
b) från 80 till 70 km/h?
2202 A ntal anställda i ett företag ökade från 20 till 24 personer.
att beräkna
ökningen gamla värdet
2207 a) Ett pris ändras från 600 kr till 800 kr. Beräkna ändringen i procent.
2203 En såg säljs för 135 kr. Den har kostat 150 kr.
b) Ett pris ändras från 800 kr till 600 kr. Beräkna ändringen i procent.
a) Hur stor är rabatten i kronor?
b) Hur stor är rabatten i procent?
c) Varför blir det inte samma svar i uppgift a) som i b)?
2204 Nisses lön ökar från 20 500 kr till 21 300 kr. Med hur många procent ökade hans lön? 2205 Ett företag producerar 65 st värmeväxlare per dag.
Hur stor är ökningen i procent om företaget ökar sin produktion till
a) 90 st/dag
b) 130 st/dag
c) 150 st/dag?
2.2 procentuella förändringar
Gul 1 Bas.indb 77
ökningen = 0,4 ≈ 0,13 = 13 % gamla värdet 3,0
2208 Tabellen visar antalet 16-åriga flickor i två kommuner.
År
Göteborg
Karlstad
2008
2 608
489
2009
2 701
508
I båda kommunerna ökade antalet 16-åriga flickor från år 2008 till 2009. Ada påstår att ökningen var störst i Göteborg. Ida påstår att ökningen var störst i Karlstad.
Kan båda ha rätt?
77
2012-02-02 16.01
Kvadrater och kvadratrötter
En kvadrat med arean 9 m2 har sidan 3 m eftersom 3 ∙ 3 = 32 = 9
Vilken sida har en kvadrat med arean 5 m2? 3m
32 utläses 3 i kvadrat eller 3 upphöjt till 2.
x 9 m2
3m 5 m2
x i kvadrat
x
Vi söker ett värde på x så att x ∙ x = 5 eller x2 = 5
x2 utläses x i kvadrat eller x upphöjt till 2.
kvadratrot
Det positiva värde på x som ger att x2 = 5 kallas kvadratroten ur 5 och skrivs 5
De flesta räknare har knappar för både kvadratrot och kvadrat.
För t ex 5 trycker man
Räknaren ger att 5 = 2,2360679…
Kvadratens sida är 5 m ≈ 2,24 m
Kvadratroten ur 5 skrivs
Sammanfattning
( 5 )2 =
5 ∙
Räknaren ger
198
Gul 1 Bas.indb 198
5
och för 32 3 x 2 eller 3 ^ 2
5
5 = 5 5 ≈ 2,24
5.1 omkrets och area
2012-02-02 16.05
5115
Beräkna utan räknare a) 82 b) 49
a) 82 = 8 ∙ 8 = 64
5116
b) 49 = 7 eftersom 7 ∙ 7 = 49
Ett kvadratiskt rum har arean 20 m2. Beräkna rummets mått.
Om en sida i rummet har längden x m, kan vi skriva ekvationen x ∙ x = 20 x2 = 20 x = 20 = 4,47213…≈ 4,5 Svar: Rummet är 4,5 m × 4,5 m.
5117 Beräkna
a) 5 2
b) 12 2
c) 7,1
2
5123 En kvadratisk cementplatta har sidan 0,4 m.
5118 a) Vilket positivt tal multiplicerat med sig självt blir 25?
a) Bestäm plattans area.
b) Hur många plattor krävs för att täcka 1 m2?
b) Bestäm 25 utan räknare.
5119 Beräkna utan räknare
16 b) 64 c) 100 a) 5120 Bestäm med två decimaler
a) 3 b) 30 c) 300
5124 En kvadratisk villatomt har arean 784 m2. Beräkna villatomtens
a) sida
b) omkrets.
5125 Hur kan du, utan att använda räknaren,
5121 Bestäm
a) kvadraten på 81 (= 81 i kvadrat)
b) kvadratroten ur 81.
förklara för en kompis att 13 ligger mellan 3 och 4?
5122 Finn ett positivt värde på x så att
a) x2 = 36
5.1 omkrets och area
Gul 1 Bas.indb 199
b) x2 = 80
199
2012-02-02 16.05
Aktivitet
UNDERSÖK
Tiondelar och hundradelar Materiel: Räknare 1 Du har fyra tal: 0,42 3,8 24,0 157 Undersök med hjälp av miniräknare: a) Multiplicera talen med 10. Skriv upp multiplikationen och svaret. b) Skriv en regel som visar hur decimalkommat i ett tal flyttas då talet multipliceras med 10.
10 ∙ 0,36
2 Du har fyra tal: 0,5 3,0 75 120
4 Välj ett decimaltal.
Undersök med hjälp av miniräknare:
a) Dividera talet med 10. Skriv upp divisionen och svaret.
a) Dividera talen med 10. Skriv upp divisionen och svaret. b) Skriv en regel som visar hur decimalkommat i ett tal flyttas då talet divideras med 10.
1.1 positiva tal
Gul 1 Bas.indb 17
3 Använd dina regler från uppgift 1b och 2b och beräkna talen med huvudräkning. Skriv upp multiplikationen/divisionen och svaret. Kontrollera sedan svaret med räknaren.
12,5 10
10 ∙ 5,2 41,9 10
10 ∙ 80 802 10
b) Multiplicera talet du valde med 0,1. Skriv upp multiplikationen och svaret. c) Vad kan du säga om resultatet då ett tal divideras med 10 jämfört med om samma tal multipliceras med 0,1? 17
2012-02-02 15.58
Aktivitet
LABORERA
Väg–tid-diagram Materiel: Stoppur och måttband 1 Gå ut på skolgården. Gå med jämn fart i 10 sekunder. Mät sträckan (vägen). 2 Gör om samma sak, men jogga istället för att gå. 3 Gå tillbaka till klassrummet. Rita där ett väg–tid-diagram. Låt 1 ruta på den vågräta axeln vara 1 sekund. (Det ska finnas plats för tider upp till 25 s.) Låt 1 ruta på den lodräta axeln vara 2 meter. (Det ska finnas plats för sträckor upp till 80 m.)
6.1 Linjära modeLLer
Gul 1 Bas.indb 251
4 Pricka in din uppmätta ”gångsträcka” vid tiden 10 s i diagrammet. Rita en rät linje genom punkten och origo. Rita en rät linje för din ”joggingsträcka” i samma diagram. 5 Läs av sträckan i diagrammet då tiden är 25 sekunder (gång och jogging). 6 Bestäm din gång- och jogginghastighet. 7 Beräkna hur långt du går på 20 minuter. 8 Beräkna hur lång tid du behöver för att jogga 2,5 km.
251
2012-02-02 16.07
Tema
Toleranser
När vi ska montera ett hus, en bil eller en maskin är det viktigt att delarna har rätt mått. Vid tillverkningen kan dock måtten variera något. Med ”rätt mått” menas då hur stora variationer vi kan tolerera. Exempel basmått
Anta att du ska tillverka stålstänger med en önskad längd av 1 255 mm. Vi kallar den önskade längden för stångens basmått. Vid tillverkningen tillåts en variation från 1 251 mm (–4 mm) till 1 260 mm (+5 mm).
skrivsätt toleransvidd
1255 mm
+5 –4
mm beskriver toleransen utifrån basmåttet.
Skillnaden mellan den största och den minsta tolererade längden kallas toleransvidd. För stängerna gäller toleransvidden 1 260 mm – 1 251 mm = 9 mm. Största tillåtna längd = 1 260 mm
Basmått = 1 255 mm
+5 mm –4 mm
Minsta tillåtna längd =1 251 mm
Toleransvidd
54
Gul 1 Bas.indb 54
1.4 problemlösning
2012-02-02 16.00
1 En väggplatta har basmåttet 2 200 mm. Övre gräns är +2 mm och undre gräns är –3 mm. Bestäm
a) största tillåtna längd
6 Inom verkstadsindustrin finns en fastställd standard för tillåtna avvikelser.
Här följer ett exempel på hur det kan se ut. Basmått (mm)
b) minsta tillåtna längd
Tillåtna avvikelser (mm) Toleransklass
c) toleransvidden. 2 En svetslängd har toleransen (2 355 ±11) mm. Ange
a) basmåttet b) största och minsta tillåtna längd c) toleransvidden. 3 Filip ska såga till stavar med längden (1 270 ± 25) mm.
Han kontrollmäter de första till: 127,0 cm 127,8 cm 125,6 cm
129,8 cm
Höll alla stavar ”rätt” mått? 4 En maskin tillverkar nitar med toleransen (5,00±0,25) mm. Wilma kontrollmäter en nit. Den är 0,1 mm större än vad toleransen tillåter.
Fin
Medel
Grov
Mycket grov
3–6
±0,05
±0,1
±0,2
±0,5
7–29
±0,10
±0,2
±0,4
±1,0
30–120
±0,15
±0,3
±0,8
±1,8
a) En detalj med basmåttet 5 mm kontrollmäts till 4,93 mm. Vilken toleransklass tillhör detaljen? b) Två metallbitar tillhör toleransvidden Grov. Bitarna, som har basmåtten 35 mm och 46 mm, sätts ihop till en bit. Ange toleransklassen för den samman fogade biten.
Vilket mått har niten? 5 Rekommenderat lufttryck (övertryck) i ett bildäck är 200±10 kPa. Fredrik mäter lufttrycket till 150 kPa.
Hur mycket bör han minst öka trycket i däcket?
7 En tillverkningsprocess styrs mot ett så kallat målvärde mitt i toleransområdet.
Ange målvärdet då toleransen är: a) (117±4) mm b) (19 1.4 problemlösning
Gul bas kap 1_4_korrad.indd 55
+2 –1 )
mm
–1
c) (37 –9 ) mm +0,35
d) 375 mm +0,5 mm 55
2012-06-04 10.37
Tema
Tändstift
Cylindervolym
Förbränningsmotorn En bensinmotor drivs av en blandning av bensin och luft, som förbränns i motorns cylindrar. Vid förbränningen sätts kolven inne i cylindern i rörelse. En vevstake som sitter fast i kolven överför kolvens rörelse till motorns vevaxel. Via bl a växellåda och drivaxlar överförs sedan rörelsen till bilens hjul.
Figuren visar en cylinder i genomskärning. Volymen i cylindern mellan kolvhuvudet och tändstiftet ändras hela tiden när kolvarna rör sig.
Cylinder
Diameter
Kolvhuvud
Kolv
slaglängd
Sträckan som kolven rör sig upp och ned från sitt översta läge till sitt nedersta kallas slaglängd, S.
slagvolym
slaglängd Volymen som ryms mellan kolvens översta och nedersta läge kallas cylinderns slagvolym,VS
Vevstake Vevradie
kompressionsvolym slagvolym
Om kolvhuvudet har radien r gäller: VS = π ∙ r2 ∙ S kompressionsvolym
Cylinderns minsta volym kallas kompressionsvolym, Vk Kolven är då i sitt övre läge.
cylindervolym Motorns cylindervolym V är den sammanlagda slagvolymen för motorns alla cylindrar, t ex V = 4 ∙ VS om bilen har fyra cylindrar.
216
Gul 1 Bas.indb 216
5.2 Volym och area
2012-02-02 16.06
Exempel
Jiri mäter cylinderns slaglängd till 9,0 cm och diametern till 70 mm. Beräkna slagvolymen i cm3 och liter.
Vi använder oss av formeln VS = π ∙ r2 ∙ S. Diametern 70 mm ger radien 35 mm = 3,5 cm (OBS! cm för att få cm3)
VS = π ∙ r2 ∙ S = π ∙ 3,52 ∙ 9,0 ≈ 350 cm3
Slagvolymen är 350 cm3 = 0,35 dm3 = 0,35 liter.
1 Hur många liter är
a) 2 500 cm 3
b) 900 cm ? 3
2 Beräkna slagvolymen om cylindern har slaglängden 80 mm och diametern 60 mm. Svara i cm3 och liter. 3 En motor har fyra cylindrar med slagvolymen 420 cm3.
Beräkna cylindervolymen i liter.
4 Hur många cylindrar har en motor med cylindervolym 3,0 l och slagvolym 500 cm3?
5.2 Volym och area
Gul 1 Bas.indb 217
5 En kolvs slaglängd = vevradien × 2 (Se figuren på motstående sida.)
a) Vilken slaglängd har en motor med vev radie 30 mm? b) Vilken vevradie har en motor med slag längd 84 mm? 6 En motor har vevradie 30 mm och cylinderdiameter 160 mm. (Se figuren på motstående sida.) Slaglängden är dubbla vevradien.
Beräkna cylindervolymen om bilen är 6-cylindrig.
217
2012-02-02 16.06
Tema
Förflyttningar Många olika verktygsmaskiner som t ex borrar, fräsar och skärmaskiner är idag styrda av datorer och kallas för CNC-maskiner (Computerized Numerical Control). Programmen som styr förflyttningarna av verktygen bygger på koordinatsystem.
koordinatsystem
En punkts läge i ett koordinatsystem anges med två koordinater (x, y) t ex A (4, 5) och B (–2, 3) i figuren intill.
y
(–2, 3)
Koordinaterna avläses på x- respektive y-axeln. Se de streckade linjerna i bilden. x-koordinaten anges alltid först.
5 4 3 2
(4, 5)
1 –4 –3 –2 –1
x 1 2 3 4 5
Förflyttningar i ett koordinatsystem kan beskrivas på olika sätt. Exempel
En borr har borrat ett hål i punkten A (3, 4). Vi beskriver några förflyttningar. y B
1 Om borren förflyttar sig 4 steg i y-axelns riktning hamnar den i punkt B (3, 8).
(3, 8)
1 (–2, 4) 2
C 1
A
(3, 4)
x
2 Om borren istället förflyttar sig –5 steg i x-axelns riktning hamnar den i punkt C (–2, 4).
1
252
Gul 1 Bas.indb 252
6.1 Linjära modeLLer
2012-02-02 16.08
y
örflyttning mellan A och D F kan vi beskriva i tabellform. (3, 4)
Förflyttning
A 5 –3
3 1
–5
D
(8, 1)
x-led
y-led
Från A till D
5
–3
Från D till A
–5
3
x
1
1 Hål ska borras i A, B, C, och D, i den ordningen.
y
C
Ange punkternas koordinater.
B
A
1 D
x 1
2 Ett verktyg befinner sig i punkten (1, 7). Det förflyttar sig först 2 steg i x-led och sedan –5 steg i y-led.
Var befinner sig verktyget då?
3 En borr ska förflytta sig från ett läge (start punkten) till ett annat läge (slutpunkten).
Pricka in startpunkten i ett koordinatsystem och bestäm med hjälp av tabellen slutpunktens koordinater. Startpunkt
Förflyttning x-led 5
0
b) (3, –2)
0
3
c) (4, 3)
–5
0
d) (4, 3)
0
–3
e) (–3, 1)
7
4
f) (–3, 1)
2
–1
6.1 linjära modeller
Gul 1 Bas.indb 253
y-led
a) (3, –2)
253
2012-02-02 16.08
Aktivitet
Sant eller falskt?
DISKUTERA
6 Ett rätblock har lika många sidor som hörn. En hund är levande, den andra är en vaxmodell – vilken?
Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt? Motivera svaret! 1 Om basen är 8 cm i en triangel med arean 48 cm2 så är höjden 6 cm.
6 En miljon kubikcentimeter är mer än en liter.
2 Omkretsen av en cirkel är ungefär tre gånger så lång som radien.
7 En rektangelformad gräsmatta med arean 60 m2 kan ha omkretsen 34 m.
3 En modell i skala 1:20 är en förminskning av det verkliga föremålet.
8 För en rätvinklig triangel ger sin v värdet på en kvot mellan två sidor.
4 Pythagoras sats gäller om triangeln är likbent.
9 Ett rektangulärt golv med måtten 2 m × 4 m kan täckas helt med 50 st kvadratiska plattor med sidan 40 cm.
5 Två rektanglar med samma omkrets kan ha olika area.
236
Gul 1 Bas.indb 236
5 geometri
2012-02-02 16.07
Sammanfattning 5 Formler
Pyramid och kon
Triangel
a
Arean = bh 2
Volymen =
c
h b
h
Basytan
Arean = bh Omkretsen = 2b + 2h
h
h b
omkrets
Cirkel Arean = π r2 Omkretsen = 2π r = πd
diameter
1 m = 10 dm = 100 cm 2 2 1 m = 100 dm = 10 000 cm2 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 (1 dm3 = 1 l) Skala En modell eller bild i skalan 1:40 betyder att − alla verkliga mått har dividerats med 40
radie
− modellen är en förminskning av det verkliga föremålet.
π = 3,1415... ≈ 3,14
Vinkelsumma
Rätblock
− summan av vinklarna i en triangel är 180°.
Volymen = Bh = abh
h
a
− summan av vinklarna i en fyrhörning är 360°.
b Basytan B
Kvadratrötter Kvadratroten ur x är ett positivt tal x så att
Cylinder
x ∙ x = x , t ex
Volymen = Bh = π r 2 h
25 = 5
h r Basytan B
Pythagoras sats I en rätvinklig triangel gäller: a 2 + b 2 = c2
c
a
v b
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
Klot (sfär)
Volymen = 4 π r ³ 3
b
a
Längd-, area- och volymenheter
b
Rektangel
Gul 1 Bas.indb 237
h r
Omkretsen = a + b + c
5 geometri
Bh 3
r
sin v = a/c
cos v = b/c
tan v = a/b
v = sin–1(a/c) = cos–1(b/c) = tan–1(a/b)
237
2012-02-02 16.07
Kan du det här? 3 Moment
Begrepp som du ska kunna använda och beskriva
Enkla slumpförsök
Sannolikhet P (vinst) Möjliga utfall Relativ frekvens
• beräkna sannolikheten för en händelse när du vet antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall • uppskatta sannolikheten med hjälp av relativ frekvens.
Slumpförsök i flera steg
Träddiagram
Statistik
Tabell
• tolka tabeller och diagram
Stapeldiagram
• beräkna t ex andelar ur data från tabeller och diagram
Beroende och oberoende händelser
Cirkeldiagram Linjediagram Medelvärde Median Statistik med kalkylprogram
144
Gul 1 Bas.indb 144
Du ska ha strategier för att kunna
Kalkylblad
• beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg.
• granska och jämföra data från tabeller och diagram • beräkna medelvärde och median. • skapa olika typer av diagram med hjälp av kalkylprogram.
3 sannolikhetslära och statistik
2012-02-02 16.03
Diagnos 3 Enkla slumpförsök
Statistik
1 I en burk ligger 2 röda, 3 svarta och 5 vita kulor. Du tar slumpvis en kula ur burken.
6 Några 16-åringar tillfrågades om storleken på deras månadspeng. Resultatet blev
Beräkna sannolikheten
a) att du tar en svart kula
950 kr 1 000 kr
b) att du tar en kula som inte är svart.
a) Beräkna medelvärdet.
b) Beräkna medianen.
2 Hur många ”sexor” bör du få om du gör 150 kast med en vanlig tärning? 3 En butikskedja sålde 1 200 mobiltelefoner av en viss modell. Av dessa gick 18 sönder under garantiperioden. Hur stor är sannolikheten att en telefon av den modellen går sönder under garanti perioden?
825 kr 1 275 kr
7 Eleverna i två gymnasieklasser svarade på frågan: ”Vad vill du helst göra direkt efter gymnasiet?” Antal elever
4 I en kommun föddes ett år 840 barn.
8 4 0
Slumpförsök i flera steg
a) Rita ett träddiagram till denna händelse.
b) Beräkna P (miss,miss).
c) Beräkna sannolikheten att endast en av pilarna träffar.
Klass 3a Klass 3b
12
Hur många av dessa kan man vänta sig var pojkar som föddes på en fredag?
5 En bågskytt skjuter två pilar mot en måltavla. P (träff) = 0,4 för varje pil.
770 kr 1 050 kr
c) Vad händer med medelvärdet och medianen om svaret 1 275 kr ändras till 2 275 kr?
16
1 150 kr 900 kr
Arbeta
Studera
Resa
a) Vilket svar var vanligast i klass 3b?
b) Hur många elever i klass 3b svarade på frågan? c) Är det sant att 50 % av eleverna i klass 3a svarade att de helst ville arbeta? Motivera ditt svar.
Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan 280. 3 sannolikhetslära och statistIk
Gul 1 Bas.indb 145
145
2012-02-02 16.03
Blandade övningar kapitel 2 Del I:
Utan räknare
1 Ange i procentform
6 I en elaffär sitter en lapp med texten:
Priset med moms är 1,25 · priset utan moms.
1 3 3 a) b) c) 2 10 4 2 Hur mycket är
a) 10 % av 25 000 kr b) 20 % av 6 000 m?
3 Skriv i decimalform
a) 1,5 %
b) 15 promille.
4
Vad blir priset med moms på en vara som kostar 200 kr utan moms?
7 Madina har 80 kr i timlön. Hennes lön ska höjas med 5 %.
Vad blir Madinas nya timlön?
8 Ett nytt sätt att transportera tegel till byggarbetsplatser gjorde att antalet defekta tegelstenar minskade från 5 % till 3 %.
Ange minskningen i
a) procentenheter
b) procent.
9 Vilken är förändringsfaktorn om ett pris
Ett avgassystem tog 40 min att byta. Med ett nytt specialverktyg kunde tiden minskas med 10 %.
Hur lång tid tog det då att byta systemet?
5 3 % av en vägsträcka är 60 m. Hur lång är hela vägsträckan?
106
Gul 1 Bas.indb 106
10
a) minskar med 12 % b) ökar med 5 ‰? År
2000
2005
2010
Index
100
150
?
Den procentuella ökningen av index var lika stor mellan år 2005 och år 2010 som mellan år 2000 och 2005.
Vilket tal ska stå i den tomma rutan?
2 Procent
2012-02-02 16.02
Del II:
Med räknare
11 Rickards timlön är 127 % av medellönen som är 140 kr/tim. Beräkna Rickards timlön.
12 Mia lånar 2 000 kr i en månad. Kostnaden för lånet är 150 kr. Vilken årsränta motsvarar det? 13 Av stålet som användes till bygget av Öresundsbron var 140 000 ton armeringsstål och 80 000 ton konstruktionsstål.
Hur många viktprocent av stålet var konstruktionsstål?
2 Procent
Gul 1 Bas.indb 107
14 I tabellen visas KPI för två olika huvudgrupper år 2005 och 2010. 2005
2010
Kläder och skor
148
164
Transport
349
399
a) Vilken av huvudgrupperna hade den största procentuella ökningen av KPI? b) En skyddssko kostade 389 kr år 2005. Vad bör den ha kostat 2010 om ökningen följde KPI?
107
2012-02-02 16.02
Blandade övningar kapitel 1–3 Del I:
Utan räknare 5 Ett reningsverk har två filter. Sannolikheten att en viss förorening fastnar i det första filtret är 60 %. Det är hälften så stor chans att föroreningen fastnar i det andra filtret.
1 Hur mycket är
a) 50 % av 280 m
b) 10 % av 1 500 kg
c) 25 % av 800 kr?
Hur stor är risken att föroreningen passerar reningsverket?
2 Stapeldiagrammet visar de andelar av den tillförda energin som inte blir till nyttigt arbete i en motor.
6 Vid en besiktning av kylanläggningar fann man följande antal fel:
% 40 30
Antal fel per anläggning
Frekvens
20
0
5
10
1
5
2
7
3
3
0
Avgaser Kylning Friktion
a) Hur många procent av energin försvinner med avgaserna? b) Hur många procent blir till nyttigt arbete?
0 0 kr kr
b) En kväll fick hjulet snurra 80 gånger. Ungefär hur många gånger borde det ha blivit vinst?
0 50 kr kr
25 0 kr kr
3 a) Snurra lyckohjulet. Bestäm P (25).
Jämför medelvärdet och medianvärdet. Vilket är störst?
7 Igor matar in
25 0 kr kr
168 på sin räknare. 67,2 + 1,92
Han får resultatet 0,58 och ser direkt att svaret är orimligt.
Hur kan han se det?
8 I en låda ligger tre hela och två trasiga dioder. Fille tar två dioder ur lådan.
Vad är sannolikheten att
4 Bärläkt för takpannor kostar 5,90 kr/m.
a) båda är trasiga
b) ingen är trasig?
Gör en överslagsberäkning på hur många meter du kan köpa för 150 kr.
148
Gul 1 Bas.indb 148
3 sannolikhetslära och statistik
2012-02-02 16.03
Del II:
Med räknare
9 Dra ett kort från en vanlig kortlek. Vad är sannolikheten att du får ett ess eller en kung?
12 När personbilar besiktas är det vanligt att de har fel på spindelleder eller styrleder. År 2008 underkändes 273 000 personbilar på grund av dessa fel.
a) År 2008 kostade det ca 2 000 kr att åtgärda ett fel på en spindel- eller styrled. Uppskatta den totala kostnaden för att åtgärda alla bilar som underkändes. b) Undersök vilken av modellerna i BMW:s 5-serie som hade störst andel underkända styrleder vid besiktningen år 2009.
10 Tabellen visar hur ett antal slumpvis utvalda besökare på en bomässa svarade på frågan: ”Brukar du anlita målare när du ska tapetsera om hemma?”
Besiktning år 2009. Antal bilar årsmodell 2006 med underkända styrleder. BMW 5-serien
Antal
80
80 60
Svar
Antal
Ja, ofta
50
Ja, ibland
34
Nej, aldrig
36
Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald besökare svarade: ”Nej, aldrig”? 11 Carlos simmade 800 m på en simtävling. Bassängen var 25 m lång.
44
39
40 30 20
Modell: Sedan Drivmedel: Bensin
Kombi Bensin
Sedan Diesel
Kombi Diesel
Besiktning år 2009. Antal besiktade bilar årsmodell 2006. Mätarställning (medelvärde)
a) Hur många längder simmade Carlos under loppet?
BMW, 5-serien
Antal besiktade
b) Carlos går i mål och får tiden 9 minuter och 24 sekunder. Vilken medelfart hade Carlos? (NP)
Sedan, Diesel
280
8 332
Sedan, Bensin
503
6 596
Kombi, Diesel
617
9 187
Kombi, Bensin
548
7 003
Källa: Bilprovningens besiktningsstatistik
3 sannolikhetslära och statistIk
Gul 1 Bas.indb 149
149
2012-02-02 16.03
5419 a) sin 37˚ b) x /68 = sin 37˚ x = 68 ∙ sin 37˚ ≈ 41 x = 41 cm 5420 a) Närliggande b) x /97 = cos 64˚ x = 97 ∙ cos 64˚ ≈ 43 x = 43 cm 5421 a) v = tan–1 (5/12) ≈ 23˚ b) v = sin (14/50) ≈ 16˚ –1
5422 30 m (30,10…) Ledtråd: Lös ekvationen h/43 = tan 35˚ 5423 a) 2,8 m b) 1,5 m Ledtråd: Lös ekvationen med cos 62˚ eller använd svaret i a) och Pythagoras sats. 5424 v = cos (14,4/15,0) ≈ 16˚ –1
5425 v = tan (1,4/52) ≈ 1,5˚ Ledtråd: Omvandla båda måtten till cm. –1
5426 a) 58˚ (57,65…) Ledtråd: Bilda en rätvinklig s triangel enligt figur: –1 v v = tan (3,0/1,9)
9 34 cm3
5430 18,1 m Ledtråd: Lös 6,6/x = sin 35˚ där x är avbruten del.
12 a) v ≈ 33˚ Ledtråd: Beräkna tan–1 (175/270).
5431 a) F = 140 N (144,22…)
13 a) h ≈ 6,1 m Ledtråd: Räkna med sin.
b) v ≈ 56˚ Ledtråd: v = tan–1 (120/80)
10 2,2 m 11 130˚
b) u ≈ 57˚
b) x = 3,5 m Ledtråd: Räkna med cos.
Tema: Lutningsförhållanden
Blandade övningar kapitel 5
1 a) 0,2 m b) 2 m
1 a) 3 500
Lösning: 1/5 = 0,2
b) 2
2 a) Omkretsen blir 4 m längre.
c) 15 m
d) 1/5 = 0,2 = 20 %
e) tan v = 0,2, v = tan–1 0,2 ≈ 11˚
2 a) 4,8 m b) 8 % ca 5˚ Ledtråd: Beräkna tan–1 (1/12).
b) Arean blir 10 m2 större.
3 20 cm 4 200 ml 5
8 cm
4 cm
3,0
1,9
b) 3,6 cm (3,55…) Lösning: Lös t ex ekvationen 1,9/s = cos 57,65˚ 1,9 = s ∙ cos 57,65˚ s = 1,9/cos 57,65˚ ≈ 3,6 eller Pythagoras sats ger: s2 = 1,92 + 3,02 = 12,61 s = √ 12,61 ≈ 3,6 5427 a) AC = sin 32,5˚ ∙ 12 ≈ 6,45 b) BC = sin 44˚ ∙ 13,8 ≈ 9, 59 c) Ca 3,1 m Ledtråd: Beräkna differensen mellan höjderna i två rätvinkliga trianglar. 5428 A min = 1,9 m (1,87…) A max = 3,9 m (3,94…)
5429 a) h = 5,4 m ∙ sin 40˚ ≈ 3,5 m 0,5x b) cos 40˚ = 5,4 c) x ≈ 8,3
3 Ca 3˚ 6 cm
6 1:100
Diagnos 5 1 a) 12 cm2
6 cm
b) 16 cm
2 a) 25 cm b) 62 cm Ledtråd: l ∙ 6,0 = 150 3 Arean ≈ 79 mm2 4 Peter har rätt. Lösning: Kvadraten: 6 cm ∙ 4 = 24 cm Cirkeln: 4 cm ∙ 2 ∙ π ≈ 25 cm 5 Nej! Motivering: 502+1202 ≠ 1322 6 125 m (√ 15 700) 7 13 000 liter (13 125) Ledtråd: 1 m3 = 1 000 liter
7 13 m2 Ledtråd: Gör en överslagsberäkning. 8 ca 553 000 kr (552 960) Ledtråd: Måtten är 36 m × 24 m. 9 a) 14 cm2 (1 385 mm2)
b) 4 mm
10 a) 8 m
b) 9,2 m (√ 84)
11 b = h = 6,4 cm 12 0,45 m3 Ledtråd: Dela upp trappan i tre rätblock eller använd formeln för volymen av ett prisma.
8 28 cm3
300
Gul 1 Bas.indb 300
svar, ledtrådar och lösningar
2012-02-02 16.09
13 ca 340 liter (339,29…) Ledtråd: 1 l = 1 dm3, omvandla först längderna till dm.
7 600 min 11 h 0,5 dygn
14 Ca 268 cm
10 a) 32 cm2
15 a) 4 500 liter b) 0,75 liter 16 33 cm2
11 32 kr
17 a) sin v = 0,6
12 a) 91 000 kr (90 909)
c) tan v = 0,75 Ledtråd: 0,6/0,8 = 6/8 = 3/4 18 b = 4,2 m a = 1,5 m Ledtråd: Likformighet ger t ex ekvationen b/7,2 = 2,1/3,6 eller att väggens längder är 3,6/2,1 ≈ 1,71 ggr längre. 19 v ≈ 16˚ Ledtråd: v = tan–1 (2,0/7,0) s ≈7,3 m Ledtråd: Använd trigonometri eller Pythagoras sats. 20 160 liter = 160 dm3 V=a∙b∙h 160 = a ∙ b ∙ h Måtten på rätblocket är t ex a = 8 dm b = 4 dm h = 5 dm 8 dm ∙ 4 dm ∙ 5 dm = 160 dm3 21 5 16 Motivering: I bilden ser vi att 5 av 16 trianglar är färgade.
Blandade övningar kapitel 1–5 1 a) 35
b) 20 000
2 a) x = 9
b) x = 21
3 60 % b) 300 kg
6 3,1 cm
svar, ledtrådar och lösningar
Gul 1 Bas.indb 301
b)1,6%
9 700 cm2
b) cos v = 0,8
4 a) 80 kr 5 140 cm
8 a) 576 kr
6 6101 a) ca 8,2 s b) ca 40 m 6102 a) 12,5 timme c) 80 kr
b) 55 cm2
Ledtråd: 0,5 l kostar 8 kr.
b) 800 kr d) 2880 kr 6103 4 °C 6104 a) och b) kr 1000
b) 79 st (78,96)
13 a) 0,25
900
b) 0,50
800
14 Den cylinderformade glassen, 36,4 cm3. Ledtråd: Använd formler för beräkning av volymen av kon, cylinder respektive klot. 15 a) Rätt svar är medelvärdet av pojkarnas och flickornas procenttal: 32 % + 30 % = 31%. Timmy 2 har adderat pojkarnas och flickornas procenttal, vilket är fel. b) Rätt svar är en ökning med 10 procentenheter. Ökningen för pojkar var 45 % och för flickor 50 %. Jimmy förstår nog inte skillnaden mellan procent och procentenheter. 16 a) 470 steg (466,66…) Ledtråd: På 100 m tar Erik 100/0,75 steg.
b) 110 steg (107,65…)
17 a) 2 m × 3 m kräver: 48 st plattor 25 × 50 cm 225 st plattor 13,5 × 21 cm (15 × 15) b) 1,5 m × 4 m kräver: 48 st plattor 25 × 50 cm 240 st plattor 13,5 × 21 cm Kommentar: Olika antal plattor kan användas för att täcka samma yta, beroende på ytans form.
y
700 600 500 400 300 200 100
x 10 20 30 40 50 m
c) 20 m d) K abeln kostar 20 kr/m. 6105 Ja Motivering: Antalet bakterier ökar från 400 till 800. 6106 120 kr Ledtråd: Avläs i diagrammet hur mycket det kostar att ringa 60 minuter. 6109 a) 10 kr b) 3,5 m c) y = 5,5x 6110 a) 900 kr
d) 250 kr/dag
b) 1 400 kr e) Nej
c) 400 kr
Motivering e): Se svaren i a) och b). Priset fördubblas inte när hyrtiden fördubblas.
6111 a) 48 ˚C b) efter 38 min 18 + 1,5x = 75
c)1,5 ˚C /min
d) Nej, y = 18 då x = 0
301
2012-02-02 16.09
1a LENA ALFREDSSON
PATRIK ERIXON
HANS HEIKNE
1a BAS
Matematik 5000
Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.
Välj mellan RÖD SERIE
för serviceinriktade yrkesprogram
GUL SERIE
för tekniskt inriktade yrkesprogram
Matematik 5000
är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och komvux.
Matematik
5000
GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt komvux BLÅ SERIE
för NA och TE
BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning
För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-42159-2
9 789127 421592
Matematik5000_Gul_1a_BAS.indd 1
2012-02-01 21.27