MATEMATIK
Stina Aglander Daniel Barker
Hej elev!
Vi som har skrivit Scala Matematik 8 heter Daniel och Stina och är lärare i matematik. Vi hoppas att du ska tycka att det är roligt att arbeta i Scala och att du kommer lära dig riktigt mycket.
Boken är indelad i fem kapitel som alla är uppbygda på samma sätt.
Inledning
Varje kapitel har ett Mål. Det talar om vad du ska kunna när du har arbetat klart med kapitlet.
I texten Visste du att… tar vi upp intressanta fakta med koppling till innehållet i kapitlet, sådant som är både användbart och kul att veta.
Aktivitet är en förberedelse inför kapitlet. Problemet i aktiviteten har många lösningar och du får en möjlighet att påminnas om allt du redan kan.
Teori och uppgifter
I teoritexterna presenterar vi de begrepp som du behöver lära dig. Till texterna hör Begreppsfrågor som hjälper dig att förstå vad du har läst.
Exempel visar hur du använder viktiga metoder. Lösning visar vad du behöver redovisa skriftligt och Tankegång hur du kan tänka och ibland redovisa muntligt.
Uppgifterna är indelade i tre nivåer. Du kan börja på nivå 1 eller 2 och det är bra att göra minst två nivåer – nivå 1 och 2 eller nivå 2 och 3.
I Mixat får du repetera, träna på att välja metod och väva ihop nya kunskaper med gamla.
Avslutning
I Sammanfattning har vi samlat det viktigaste i kapitlet på ett uppslag.
Med hjälp av Kapiteltest kan du testa dina nya kunskaper. Efter testet kan du välja repetitionsuppgifter på den nivå som passar dig.
Om du vill utmana dig själv och försöka lösa riktigt svåra uppgifter är
Fördjupning något för dig.
Sist i boken finns ett kapitel med Programmering i Python.
Lycka till!
Daniel och Stina
Innehåll
4.1 Cirkeln
och cirkelsektor
4.2 Volym
Volymen av en kropp
Cylinderns volym
4.3 Begränsningsarea
begränsningsarea
begränsningsarea
och klotets begränsningsarea
Sannolikhet
1.3 Negativa tal
Vi kan använda tallinjen för att visa beräkningar.
I figuren ser du beräkningen 3 – 2 = 1
Vi börjar på 3, flyttar 2 steg till vänster och slutar på 1.
För att kunna visa beräkningen 3 – 5 på samma sätt behöver vi utöka tallinjen och lägga till tal som är mindre än 0. De talen kallas för negativa tal.
5 steg till vänster om 3 finns det negativa talet –2
Det innebär att 3 – 5 = –2
Tallinjen till vänster om 0 är en spegling av tallinjen till höger om 0. Det innebär till exempel att –2 och 2 ligger lika långt från 0, fast på motsatta sidor.
Talen –2 och 2 kallas därför för motsatta tal.
Ju längre till höger ett tal ligger på tallinjen, desto större är talet. Till exempel är –1 större än –2
Talen –1, –2 och –3 är exempel på negativa heltal. Precis som de positiva talen kan de negativa talen ha decimaler, till exempel –2,5. De kan också vara skrivna i bråkform, till exempel – 2 3
Talet 0 är varken ett positivt eller ett negativt tal.
Minustecknet används för att beteckna både ett negativt tal och en subtraktion.
minustecknet negativt tal –3 – 5 = – 8 positivt tal subtraktion
I uttrycket –3 – 5 visar minustecknet framför 3:an att det är ett negativt tal. Minustecknet framför 5:an visar att det positiva talet 5 ska subtraheras från –3
Ibland skriver man negativa tal inom parentes för att det ska bli tydligt vilket man menar.
Begreppsfrågor
1 Vilket tal är markerat med en punkt på tallinjen? –5 2
A –7,5 B –3,5 C –2,5 D –1
2 Vilket av talen ligger till vänster om –6 på tallinjen?
A –5 B –8 C 5 D 8
3 Vilket är det motsatta talet till –5?
A –5 B 0 C 2 D 5
4 Vilka uttryck har ett värde som ligger till vänster om 0 på tallinjen?
A 7 – 5 B 5 – 7 C –5 + 7 D –7 + 5
5 Vilka minustecken i uttrycket visar en subtraktion?
A 1:a och 2:a B 2:a och 4:e
C 2:a D 1:a, 2:a och 4:e
6 Vilket alternativ visar talen –3, –6, 5 och –4 skrivna i storleksordning med det största talet först?
A –6, 5, –4, –3 B 5, –6, –4, –3
C –6, –4, –3, 5 D 5, –3, –4, –6
7 Vilket eller vilka av alternativen kan vara ett värde på x om x > –49?
A –55 B –49 C –48 D –1 -6 - (- 4) = 0 - 2 1:a 3:e 2:a 4:e
Problemlösning
Beräkningarna till höger uppfyller följande regler:
1. Alla siffror från 1 till 9 är med.
2. Siffrorna står i ordning från 1 till 9.
3. Bara plustecken och minustecken har använts.
• Kan du nå 100 om du följer samma regler?
• Kan du nå –100 om du följer samma regler?
Läs teorin och svara på frågorna.
1 - 2 + 34 + 56 + 7 - 8 + 9 = 97
1 234 - 5 + 6 789 = 8 018
12 + 3 + 45 - 67+ 8 + 9 = 10
1
Negativa tal och tallinjen
Vilka tal är markerade med en punkt på tallinjen?
Lösning
Svar: A = 2
B = ––2
C = –– 6¸5
Tankegång
Det är 5 steg från –5 till 0. 5 steg motsvarar 5 ental. 1 steg motsvarar därför 1 ental.
8 Vilka tal är markerade med en punkt på tallinjen?
2
9 Vad visar termometern till höger i a) grader Celsius (°C) b) grader Fahrenheit (°F)?
10 Vad visar termometern i grader Celsius om temperaturen a) minskar med 10 °C b) ökar med 20 °C?
11 Rita en tallinje som har 11 skalstreck, börjar på –5 och slutar på 5. Markera talen i rutan med en punkt på tallinjen. 3 –3 2,5 –0,5 –4,5
12 Vilket tecken ska stå i rutan? Välj mellan < eller > a) –3 2 b) –0,5 –4,5 c) –4,5 –3
13 Vilka tal är markerade med en punkt på tallinjen? a) –500
14 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta. a) –10 9 7 –6 b) 2 –3 –5,5 0,5 c) 0,1 –1,0 1 –10
Nivå
Nivå
15 Diagrammet visar temperaturen varje morgon under en vecka i mars.
a) Vilken var temperaturen på torsdagen?
b) Hur mycket ökade temperaturen från torsdagen till fredagen
c) Hur stor var skillnaden mellan den högsta och den lägsta temperaturen?
16 Var på tallinjen ligger talet 0? Välj mellan punkterna A–D.
17 Vilket tal ligger mitt mellan a) –5 och 5 b) –5 och 4 c) –9 och 5 d) –90 och 50?
18 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta. a) –3
19 Vilka tal är markerade med en punkt på tallinjen?
Svara i enklaste bråkform.
20 Vilket tecken ska stå i rutan? Välj mellan < eller >
21 Vilka tal är markerade med en punkt på tallinjen?
22 Rita en tallinje och markera talen i rutan med en punkt.
23 Talen x, y och z är tal mellan –1 och 0. För talen gäller att y > x och x > z
Vilket alternativ visar x, y och z i storleksordning med det minsta talet först?
Nivå 3
Addition och subtraktion
Beräkna
a) 4 – 6 b) –4 – 6
Lösning
a) 4 –– 6 = ––2
b) ––4 –– 6 = ––10
Tankegång
Börjar på 4 och flyttar
6 steg åt vänster på tallinjen.
Börjar på –4 och flyttar
6 steg åt vänster på tallinjen.
24 Beräkna
a) 4 – 7 b) 1 – 7 c) 10 – 70 d) 40 – 70 e) –4 – 7 f) –1 – 7 g) –10 – 70 h) –400 – 700
Beräkna
a) –5 + 8 b) –5 + 4
a) ––5 + 8 = 3
b) ––5 + 4 = ––1
Börjar på –5 och flyttar
8 steg åt höger på tallinjen.
Börjar på –5 och flyttar 4 steg åt höger på tallinjen.
25 Beräkna
a) –5 + 7 b) –6 + 7 c) –60 + 70 d) –50 + 70 e) –5 + 3 f) –9 + 3 g) –900 + 300 h) –9 + 9
26 Tallinjen visar hur Daniel tänker när han beräknar 4 – 12
a) Förklara hur Daniel tänker.
b) Rita en tallinje som visar hur Daniel tänker när han beräknar 6 – 15
c) Hur tror du att Daniel tänker när han beräknar –6 + 15? Visa med en tallinje.
27 Beräkna a) 3 – 15 b) 7 – 15
e) –5 + 17 f) –5 + 12 g) –500 + 1
Nivå 1
2
28 Vad visar termometern om temperaturen
a) minskar med 0,5 °C b) ökar med 0,5 °C c) ökar med 7 °C?
29 Beräkna
a) 4 – 18 b) –25 – 9 c) –20 + 19 d) –110 + 140
e) 0,4 – 1,8 f) 0,4 – 2 g) –105 + 5 h) –105 + 35
30 Love, Moa och Ada gör på olika sätt när de beräknar värdet av uttrycket 5 – 10 + 2
Förklara vad som skiljer deras lösningar åt.
31 Beräkna på Loves, Moas eller Adas sätt.
a) 3 – 15 + 17 b) 18 – 25 – 75
c) –1 + 0,8 + 0,2 d) 0,3 – 0,8 + 0,7
32 Vilket tal ska stå i stället för x?
a) 5 – x = –3 b) x + 5 = 3
c) –3 + x = 13 d) x – 7 = –7
33 Tabellen visar resultatet i Svenska Hockeyligan efter 52 spelade omgångar. I den röda kolumnen
står det –13 på Luleås rad. Det betyder att laget totalt har släppt in 13 fler mål än vad de har gjort.
I den 53:e omgången spelar Luleå mot Frölunda.
Luleå vinner med 5–2.
Vad kommer det stå i den röda kolumnen på
a) Luleås rad b) Frölundas rad?
–6.5
Loves lösning: 5 - 10 + 2 = -5 + 2 = -3
Moas lösning: 5 - 10 + 2 = 7 - 10 = -3
Adas lösning: 5 - 10 + 2 = 5 - 8 = -3
3
34 Beräkna a) 1 7 –5 7 b) –1 6 –1 3 c) –1 4 + 4 5
35 Vilket tal är a) 7 tiondelar större än –10,6 b) 7 tiondelar mindre än –10,6 c) 7 hundradelar större än –10,6 d) 7 hundradelar mindre än –10,6?
36 Beräkna a) –2,5 + 1,3 b) 0,13 – 0,87 c) –0,25 – 1,7 d) –1,4 + 3,98
37 Vilket tal ska stå i stället för x? a) –9 – 6 – x + 16 = 1 b) 14 – x – 7 – 23 = –23 c) x + 0,13 – 0,25 = –0,55
Nivå
Nivå 1
Addition och subtraktion med negativa tal
Vi undersöker räknesätten addition och subtraktion genom att bilda mönster.
Addition
3 + 2 = 5
3 + 1 = 4
3 + 0 = 3
3 + (–1) = 2
3 + (–2) = 1
Vi börjar med 3 + 2 =5
Om vi stegvis minskar
den andra termen med 1, så minskar summan med 1.
När vi jämför höger och vänster kolumn ser vi att
• addition med ett negativt tal ger samma resultat som subtraktion med det motsatta talet.
3 + (–2) = 3 – 2
Subtraktion
3 – 2 = 1
3 – 1 = 2
3 – 0 = 3
3 – (–1) = 4
3 – (–2) = 5
Vi börjar med 3 – 2 = 1
Om vi stegvis minskar
den andra termen med 1, så ökar differensen med 1. 3 + (–2) = 3 – 2
negativt tal
• subtraktion med ett negativt tal ger samma resultat som addition med det motsatta talet.
3 – (–2) = 3 + 2
Beräkna
a) 4 + (–6) b) 4 – (–6)
Lösning
a) 4 + (–– 6) = 4 –– 6 = ––2
b) 4 –– (–– 6) = 4 + 6 = 10
Tankegång
Ändrar från addition med –6 4 + (–6) = 4 – 6 till subtraktion med 6.
Ändrar från subtraktion med –6 4 – (–6) = 4 + 6 till addition med 6.
positivt tal subtraktion
38 Beräkna
a) 7 + (–5) b) 7 + (–7) c) 5 + (–7) d) 25 + (–50) e) 9 – (–4) f) 9 – (–9) g) 4 – (–9) h) 0,4 – (–0,9)
Beräkna –4 – (–6)
––4 –– (–– 6) = –– 4 + 6 = 2
39 Beräkna
Ändrar från subtraktion med –6 –4 + (–6) = 4 – 6 till addition med 6.
a) –5 – (–7) b) –5 + (–3) c) –4 + (–12) d) –4 – (–12)
40 Termometern visar temperaturen inomhus och utomhus.
a) Beräkna 21,3 – (–1,5) b) Förklara vad du beräknade i a).
41 Beräkna
a) –17 – (–9) b) 8 + (–23) c) –2,5 + (–0,4) d) –0,9 – (–3) e) –53 + (–14) f) –1 100 – (–225)
2 –7 –3 –1 09
42 Vilka två av de markerade talen ger a) störst summa b) minst summa
c) störst differens d) minst differens?
43 Vilket tal ska stå i stället för x?
a) 8 + x = 2 b) 8 – x = 16 c) –8 – x = 16 d) 8 + x = –16
Beräkna 2 + (–3) – (–6) 2 + (––3) –– (–– 6) = 2 –– 3 + 6 = 5
Nivå 3
Additionen 2 + (–3) – (–6) = 2 – 3 + 6
Subtraktionen 2 + (–3) – (–6) = 2 – 3 + 6
44 Beräkna a) 5 + (–3) – (–4) b) 5 – (–3) + (–4) c) –5 + (–3) – (–4) d) –5 – (–3) + (–4)
45 Tabellen visar hur många gram innehållet i tre påsar med mandel avviker från vikten som står på påsen.
a) Beräkna 8 + (–2) + (–3) 3
b) Förklara vad du beräknade i a).
46 Beräkna
a) 1 2 + (– 1 3 ) b) 1 3 + (– 1 2 ) c) –3 5 – (– 7 10 )
47 Beräkna
a) 6 + (–9) – (–7) + 7 b) –100 – (–20) + (–3) c) 0,6 + (– 0,9) – 10 – (–10)
48 På tallinjen finnas talen x och y markerade. Rita av tallinjen och markera z om
a) z = x + y b) z = y + x
c) z = x – y d) z = y – x
Multiplikation med negativa tal
Vi undersöker räknesättet multiplikationen genom att bilda mönster.
3 ∙ 2 = 6
3 ∙ 1 = 3
Vi börjar med 3 ∙ 2 = 6
Om vi stegvis minskar den andra faktorn med 1
3 ∙ (–2) = –6
2 ∙ (–2) = –4
3 ∙ 0 = 0 1 ∙ (–2) = –2
3 ∙ (–1) = –3
så minskar produkten med 3.
0 ∙ (–2) = 0
3 ∙ (–2) = –6 (–1) ∙ (–2) = 2 (–2) ∙ (–2) = 4 (–3) ∙ (–2) = 6
Vi kan sammanfatta det så här:
• Om vi multiplicerar ett positivt tal med ett negativt tal, så är produkten negativ.
3 ∙ (–2) = –6
• Om vi multiplicerar två negativa tal, så är produkten positiv.
(–3) ∙ (–2) = 6
Beräkna
a) (–4) · 3 b) (–4) · (–3)
Vi börjar med 3 ∙ (–2) = –6 från kolumnen till vänster.
Om vi stegvis minskar den första faktorn med 1 så ökar produkten med 2.
3 ∙ (–2) = –6
positivt tal negativt negativ produkt exempel
Lösning
a) (––4) 3 = ––12
b) (––4) (––3) = 12
Nivå 1
Tankegång
Negativt tal multiplicerat med positivt tal ger negativ produkt.
Negativt tal multiplicerat med negativt tal ger positiv produkt
49 Beräkna a) 6 · 7 b) 6 · (–7) c) (–6) · 7 d) –6 · 7 e) (–7) · (–6) f) –6 · 0,7
50 Vilket tal ska stå i stället för x? a) (–5) · x = 25 b) –6 · x = –36 c) x · 7 = –49 d) x · 0,5 = –0,25
51 Vilket uttryck i rutan har a) störst värde b) minst värde? A –100 · 0,025 B –0,63 · (–10) C 0,63 · (–1) D (–3) · (–2)
Nivå 3
52 Vilket tecken ska stå i rutan? Välj mellan <, > eller =
3
53 Beräkna
54 Negativa tal kan användas för att beskriva läge. I figuren har havsnivån läget 0 m, personen på klippan har läget 21 m och dykaren har läget –9,6 m.
Vilket läge har en fisk som är dubbelt så djupt ner som dykaren?
55 Vilka två av talen i rutan ger den a) största produkten b) minsta produkten? –7 0 0,1 –1 9 1 –3
56 Beräkna
(–0,01)
57 Skriv som en produkt och beräkna. a) (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) b) (–0,6) + (–0,6) + (–0,6) + (–0,6)
58 Beräkna a) (– 1 2 ) · (–3) b) –3 4 · 1 4 c) 3 4 · (– 5 6 ) d) –1 3
59 Beräkna uttrycken A–D. Vilket mönster hittar du?
60 Använd mönstret i uppgift 59 och beräkna.
18 faktorer 27 faktorer
61 Vilket av följande påståenden är falskt om x > 0 och y = –x?
Nivå 1
Division med negativa tal
Du känner sedan tidigare till sambandet mellan multiplikation och division.
Om vi vet att 3 · 4 = 12
så innebär det också att vi vet att 12 3 = 4 och 12 4 = 3
Vi vet att 3 · (–4) = –12 och att (–3) · 4 = –12
Det innebär att vi också vet att –12 3 = –4 och –12 –4 = 3
samt att –12 –3 = 4 och –12 4 = –3
Vi kan sammanfatta det så här:
• Om vi dividerar ett negativt tal med ett positivt tal, eller tvärtom, så är kvoten negativ. –12 3 = –4 och 12 –4 = –3
• Om vi dividerar ett negativ tal med ett negativt tal, så är kvoten positiv.
–12 –3 = 4
Beräkna
a) –20 4 b) –20 –4
Lösning a) -20 4 = -5 b) -20 -4 = 5
62 Beräkna a) 63 7
Tankegång
–12 3 = –4 negativt tal positivt tal negativ kvot
Negativt tal dividerat med positivt tal ger negativ kvot.
Negativt tal dividerat med negativ tal ger positiv kvot.
63 Vilka alternativ i rutan har samma värde som a) –28
64 Vilket tal ska stå i stället för x?
a) –64 x = 8
Nivå 2
65 Beräkna
66 Vilket uttryck i rutan har a) störst värde b) minst värde?
3
67 Tabellen visar temperaturen under fyra dagar.
Beräkna medeltemperaturen.
68 Välj två tal i rutan som ger
a) kvoten 6 b) produkten –6 c) summan 6 d) differensen –6
69 Beräkna
Dag Temperatur (°C)
måndag –2
tisdag –4
onsdag –1
torsdag –5
70 De fem påsarna innehåller mjöl och ska väga lika mycket. Men om det står –1,2 på påsen betyder det att den väger 1,2 kg för lite. Hur mycket avviker påsarnas vikt i genomsnitt?
71 På tallinjen finnas talen x och y markerade Var på tallinjen finns z om
a) z = x y b) z = y x
c) z = –x y d) z = y –x ?
A till vänster om –1 B mellan x och 0 C mellan 0 och y
D till höger om 1 E mellan –1 och x F mellan y och 1
Nivå
Räkna med tid
Byt till tidsenheten inom parentes.
a) 0,4 h (min) b) 6 min (h )
Lösning
a) 0¸4 h = 0¸4 ∙ 60 min = 24 min
b) 6 min = 6 60 h = 6/6 60/6 h = 1 10 h = 0¸1 h
72 Byt till enheten inom parentes.
Tankegång
Byter till en mindre enhet och multiplicerar därför mätetalet.
Byter till en större enhet och dividerar därför mätetalet.
a) 2 h (min) b) 0,5 h (min) c) 0,25 min (s ) d) 0,1 h (s )
73 Byt till enheten inom parentes.
a) 12 min (h ) b) 20 min (h ) c) 36 s (min) d) 720 s (h )
74 Talen som står på kartan på nästa sida visar hur många timmar en tidszon ligger före (+) eller efter (–) klockan i London. Hur mycket är klockan
a) i Stockholm när den är 12.00 i London b) i New York när den är 23.00 i London
c) i Paris när den är 18.00 i Moskva d) i Quebec när den är 09.00 i Rom?
Skriv i timmar och minuter.
a) 3,2 h b) 148 min
a) 3¸2 h = 3 h + 0¸2 h = 3 h + 0¸2 ∙ 60 min = = 3 h + 12 min = 3 h 12 min
b) 148 min = 120 min + 28 min = = 2 h + 28 min = 2 h 28 min
3,2 h är 3 hela timmar och 0,2 h.
148 min räcker till 2 h och 28 min.
75 Hur många timmar och minuter är 5,3 h? 5 h 3 min 5 h 15 min 5 h 18 min 5 h 30 min
76 Skriv i timmar och minuter.
a) 1,6 h b) 4,1 h c) 213 min d) 305 min
Nivå 1
Nivå 2
77
Avsnitten i Archies favoritserie är 50 min långa.
Klockan 19.45 börjar han titta på tre avsnitt i sträck.
a) Han många timmar och minuter sitter han framför skärmen?
b) Hur mycket är klockan när han har tittat klart på de tre avsnitten?
78 Rory springer 10 km på en timme.
Om han håller samma hastighet hela tiden, hur långt kommer han på
a) 1,3 h b) 24 min c) 2 h 54 min d) 72 min?
Isla flyger från Stockholm kl. 10.00 och landar i Toronto kl. 12.00 lokal tid.
a) Hur lång tid tar resan?
b) Hur mycket är klockan i Stockholm när hon landar i Toronto?
Stockholm Toronto
10.00 04.00
18.00 12.00
a) Svar: Resan tar 8 timmar.
b) Svar: Klockan är 18.00.
Använd kartan till uppgifterna 74, 79 och 81.
Kartan visar att Toronto ligger 6 timmar efter Stockholm så klockan är 04.00 i Toronto när planet lyfter.
När planet landar kl.12.00 i Toronto har det gått 8 timmar. Då är klockan 18.00 i Stockholm.
79 Ava flyger från Istanbul kl. 11.00 och landar i New York kl. 14.00 lokal tid.
a) Hur lång tid tar resan?
b) Hur mycket är klockan i Istanbul när hon landar i New York?
80 Ungefär hur många dygn är 6 000 min?
0,4 dygn 4 dygn 40 dygn 400 dygn
81 Tom flyger från New York kl. 8.25 och landar i Helsingfors kl. 23.10 lokal tid.
a) Hur lång tid tar resan?
b) Hur mycket är klockan i New York när han landar i Helsingfors?
Nivå 3
Nivå 1
1 Beräkna
a) 3 – 5 b) –3 – 5
c) –3 + 5 d) 3 + (–5)
e) 3 – (–5) f) –3 – (–5)
2 Tabellen visar temperaturen i grader Celsius vid samma tidpunkt under en vecka mars. M T O T F L S 5 –2 –4 0 –2 3 4
a) Vilken är den högsta temperaturen?
b) Vilken är den lägsta temperaturen?
c) Hur stor är skillnaden mellan den högsta och den lägsta temperaturen?
3 Beräkna
a) (–5) · 4 b) (–5) · (–4)
c) –20 4 d) –20 –5
4 Byt till enheten inom parentes.
a) 0,8 h (min) b) 0,2 min ( s )
c) 18 min ( h ) b) 36 s (min)
5 Lennart häller upp en kopp te med temperaturen 84 °C. Fyra minuter senare är temperaturen 72 °C.
Lennart ställer upp divisionen –12 4
a) Vad betyder talet –12?
b) Utför divisionen och förklara vad svaret betyder.
6 Beräkna
a) 0,5 ∙ 0,5 b) 1 508 4 c) 13,7 + 0,52
d) 0,63 ∙ 4 e) 78 0,3 f) 52,8 – 7,1
7 Beräkna och förkorta svaret så långt som möjligt.
a) 4 – 2 5 b) 4 ∙ 2 5
c) 4 2 5 d) 2 5 4
2
8 Vilket av talen i rutan är större än 7 13 ? A 4 9 B 8 16 C 4 7 D 5 11
9 Beräkna
a) –8 · (–0,4) b) – 8 – (–0,4)
c) –8 · (–0,4) 2 d) –8 – (–0,4) 0,2
10 Vilket tal ska stå i ställer för x?
a) 4 – x = 7 b) –3 + (–18) = x ∙ 3
c) 4 + x = –3 d) –2 – (–7) = x + 7
11 Fyra lag deltog i ett quiz med tio frågor. Lagen fick 3 poäng för varje rätt svar och –2 för varje fel.
Vilka tal ska stå i stället för bokstäverna
A–D i tabellen?
Lag Antal rätt
Nivå
12 Vilket tal är x?
a) 3 · x = –9 b) x –7 = 7 c) –7 x = 7
13 Skriv i timmar och minuter.
a) 1,9 h b) 253 min
14 Beräkna
a) 50 + (–30) – (–40)
b) 50 – (–30) + (–40)
c) –50 – (–30) – (–40)
15 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 3 1 7 = 3 ∙ b) 3 0,2 = 3 ∙
c) 0,25 ∙ 24 = 24 d) 15 0,6 = 15 ∙ 5
16 Beräkna
a) 55,2 + 0,93 b) 55,2 – 0,93
c) 55,2 ∙ 0,93 d) 0,93 – 55,2
Nivå 3
17 Beräkna värdet av uttrycket när
a = –7, b = 5, c = 2 och d = –1
a) a + b + c + d b) a – b – c – d
c) a ∙ b ∙ c ∙ d d) a – b c – d
18 Fyra tal är markerade på tallinjen.
Vilka två av de markerade talen ger den
a) största summan
b) minsta differensen
c) största produkten
d) minsta kvoten?
19 Ulla bygger ett torn av träklossar med måtten som visas i bilden. Hur många klossar har hon använt när tornet är 17 1 2 cm högt? (cm) 1 1 4 1 1 4 1 1 4
20 Beräkna och skriv i enklaste bråkform. a) –
21 Nadir påstår att det markerade talet på tallinjen är –2 3 7 Har han rätt? 39 10
22 Skriv de markerade talen i blandad form. a) 29 7 b) 36 –2 c) 21 –91
23 Beräkna summan 1 + (–2) + 3 + (–4) + … + 97 + (–98) + 99
24 Vilka siffror står bokstäverna för? a) b)
Tal i bråkform
De naturliga talen är talet 0 och de positiva heltalen 1, 2, 3, 4, 5, 6… och så vidare.
Mellan de naturliga talen finns tal i bråkform, till exempel 1 3 , 2 4 och 3 4
Mer om multiplikation med tal i bråkform
Om ett heltal ska multipliceras med ett tal i bråkform, kan heltalet skrivas som ett bråk med nämnare 1.
8 ∙ 3 4 = 8 1 ∙ 3 4 = 24 4 = 6
Division med tal i bråkform 4 3 kallas för det inverterade talet till 3 4
Att dividera med till exempel 3 4 är detsamma
som att multiplicera med 4 3 1 5 3 4 = 1 5 ∙ 4 3 = 1 ∙ 4 5 ∙ 3 = 4 15
Jämföra tal i bråkform
Ett sätt att jämföra tal i bråkform är att skriva dem med lika nämnare.
2 3 > 3 5 eftersom
2 3 = 2 ∙ 5 3 ∙ 5 = 10 15 och 3 5 = 3 ∙ 3 5 ∙ 3 = 9 15
Addition och subtraktion
Förläng så att bråken får lika nämnare. Addera eller subtrahera sedan nämnarna.
1 3 –1 4 = 1 4 3 4 –1 3 4 3 = 4 12 –3 12 = 4 – 3 12 = 1 12
Heltal, bråk och blandad form
Ett heltal kan skrivas i bråkform på olika sätt.
2 = 2 1 = 4 2 = 6 3 = …
Det kan man använda när man ska addera eller subtrahera ett heltal med ett tal i bråkform.
2 + 1 3 = 6 3 + 1 3 = 6 + 1 3 = 7 3
Multiplikation med tal i bråkform
Multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare.
1 3 ∙ 5 4 = 1 5 3 4 = 5 12 01 01 23 1 4 2 4 3 4 0 1
Mer om division med tal i bråkform
Om ett heltal ska divideras med ett tal i bråkform, kan heltalet skrivas som ett bråk med nämnare 1.
3 1 5 = 3 1 1 5 = 3 1 ∙ 5 1 = 3 ∙ 5 1 ∙1 = 15 1 = 15
1.2
Tal i decimalform
Tal i bråkform kan skrivas i decimalform.
Ibland går det utan räknare.
3 4 = 3 ∙ 25 4 ∙ 25 = 75 100 = 0,75
Ofta behöver man använda räknare.
11 16 = 0,8125 och 7 12 = 0,583…
Multiplikation med tal i decimalform
Skriv talen i bråkform och utför sedan multiplikationen.
0,3 ∙ 0,7 = 3 10 ∙ 7 10 = 3 ∙ 7 10 ∙ 10 = 21 100 = 0,21
Division med tal i decimalform
Förläng så att nämnaren blir ett heltal och utför sedan divisionen.
0,21
0,3 = 0,21 ∙ 10 0,3 ∙ 10 = 2,1 3 = 0,7
Avrundning
Vid avrundning följer vi avrundningsreglerna:
Om siffran efter avrundningssiffran är
• 0, 1, 2, 3 eller 4 så avrundar vi nedåt
• 5, 6, 7, 8, eller 9 så avrundar vi uppåt.
7 12 = 0,583… ≈ 0,6
är avrundat till närmaste tiondel.
7 12 = 0,583… ≈ 0,58 är avrundat till närmaste hundradel.
Negativa tal
Tal som är mindre än 0 kallas negativa tal.
De ligger till vänster om 0 på tallinjen.
2 och –2 är exempel på motsatta tal.
Negativa tal och tallinjen
A = 2
B = –2
C = –6,5
Addition och subtraktion
4 – 6 = –2
Addition och subtraktion med negativa tal
Addition med ett negativt tal ger samma resultat som subtraktion med det motsatta talet.
3 + (–2) = 3 – 2
Subtraktion med ett negativt tal ger samma resultat som addition med det motsatta talet.
3 – (–2) = 3 + 2
Multiplikation med negativa tal
Ett positivt tal multiplicerat med ett negativt tal, eller tvärtom, ger negativ produkt.
3 ∙ (–2) = –6
Ett negativt tal multiplicerat med ett negativt tal ger positiv produkt.
(–3) ∙ (–2) = 6
Division med negativa tal
Ett negativt tal dividerat med ett positivt tal, eller tvärtom, ger negativ kvot.
–12 3 = –4 och 12 –4 = –3
Ett negativ tal dividerat med ett negativt tal, ger positiv kvot.
–12 –4 = 3 och –12 –3 = 4
Räkna med tid
När du byter till en mindre enhet, blir mätetalet större.
0,4 h = 0,4 ∙ 60 min = 24 min
När du byter till en större enhet, blir mätetalet mindre.
6 s = 6 60 min = 1 10 min = 0,1 min
Tidszonen där New York ligger, är 5 timmar efter tidszonen där London ligger. Det innebär att när klockan är 18.00 i London, är den 13.00 i New York.
Endast svar till uppgift 1–7
1 Beräkna
a) 0,7 ∙ 0,2 b) 0,7 0,2 c) 70 0,1
2 Avrunda 197,5276 till närmaste
a) hundradel b) tiondel c) tiotal.
3 Vilket av alternativen ger samma resultat som 1 3 –1 4 ?
Utvärdera hur det gick när du är klar med testet.
4 En kock har 4 5 liter mjölk. Varje portion av en sås kräver 1 10 liter mjölk.
a) Med vilket uttryck kan kocken beräkna antalet portioner som mjölken räcker till?
b) Beräkna antalet portioner sås som mjölken räcker till.
5 Beräkna
a) –5 – (–20) b) –5 ∙ (–20) c) –20 0,5
6 Du vet att 117 ∙ 8 = 936 Hur mycket är
a) 11,7 ∙ 8 b) 11,70 ∙ 0,8 c) 936 0,8
7 Vilket tal ska stå i stället för x?
a) 7 – x = 12 b) 0,4 ∙ x = –0,16 c) –x – (–7) = 12
Lösningar och svar till uppgift 8–14
8 Beräkna och svara i enklaste bråkform.
a) 1 4 + 2 3 b) 1 4 ∙ 2 3 c) 1 4 2 3
9 I en löpartävling sprang Matteo på tiden 0,2 h, Adele på 11 min och Torkel på 750 s.
Vem av dem sprang
a) snabbast b) långsammast?
10 Beräkna och svara i enklaste form eller blandad form om det går.
a) 4 – 2 3 b) 2 3 4 c) 4 ∙ 2 3
11 En bagare använder 5 7 kg rågmjöl för att baka 6 limpor.
Hur mycket rågmjöl behövs till
a) 12 limpor b) 3 limpor c) 4 limpor?
12 En juicemaskin innehåller 18 liter juice som kostar 40 kr/liter.
a) Hur mycket kostar ett glas med 0,3 liter juice?
b) Hur många glas kan man fylla med juice om varje glas innehåller 0,3 liter?
13 Hur många minuter och sekunder är 0,04 h?
14 Bertil blandar 5 6 liter röd färg med 2 2 3 liter vit färg för att få en rosa färg.
a) Hur många liter rosa färg får Bertil?
b) Hur många burkar som rymmer 3 4 liter kan han fylla helt och hållet med rosa färg?
c) Hur mycket rosa färg blir över när burkarna är fulla?
d) Hur stor andel av den rosa färgen består av den röda färgen?
Hur gick det?
Kunde inte Arbeta vidare på s. 56-57
Osäker Arbeta vidare på s. 58-59
Kunde Arbeta vidare på s. 60-61
REPETITION Nivå 1
Uppgifterna till vänster är samma som kapitlets exempel.
Numret på uppgiften visar på vilken sida du hittar exemplet.
Det gör att du enkelt kan ta hjälp av lösningen om du behöver.
Uppgifterna till höger är mer träning på samma sak.
Kapitlets exempel
Vilket tal är störst?
a) 0,4 ∙ 0,3 b) 0,4 ∙ 30 s. 10 s. 12 s. 14 s. 16 s. 18 s. 20 s. 22 s. 28
a) 1 7 eller 3 7 b) 2 3 eller 3 5
Beräkna
a) 1 7 + 3 7 b) 1 3 + 2 5
Beräkna
a) 2 + 1 4 b) 5 – 2 3
Beräkna
a) 1 5 ∙ 2 5 b) 3 4 ∙ 5 4
Beräkna a) 3 ∙ 2 5 b) 3 4 ∙ 8
Beräkna a) 1 6 1 2 b) 2 5 3 4
Hjalmar har ett 1 2 m långt rep som han klipper i fyra lika stora bitar.
Hur långa blir bitarna?
Beräkna genom att skriva om talen i bråkform. Svara i decimalform.
Liknande uppgift
Vilket tal är störst?
Gör uppgifterna till höger om du behövde titta på lösningen.
a) 1 3 eller 2 7 b) 2 3 eller 5 8
Beräkna
a) 1 5 + 3 5 b) 1 3 + 3 7
Beräkna
a) 3 + 1 5 b) 5 8 –1 4
Beräkna
a) 1 3 ∙ 2 5 b) 1 4 ∙ 5 3
Beräkna a) 2 ∙ 3 10 b) 3 4 ∙ 3
Beräkna
a) 1 8 1 2 b) 3 7 1 4
Julia har ett 1 5 m långt rep som hon klipper i tre lika stora bitar.
Hur långa blir bitarna?
Beräkna genom att skriva om talen i bråkform. Svara i decimalform.
a) 0,8 ∙ 0,2 b) 0,6 ∙ 20
Beräkna
a) 120 0,3 b) 0,042 0,07
Skriv 4 7 i decimalform avrundat till närmaste
a) tiondel b) hundradel
Vilka tal är markerade med en punkt på tallinjen?
Beräkna
a) 4 – 6 b) –4 – 6
Beräkna
a) 4 + (– 6) b) 4 – (–6)
Beräkna
a) (–4) · 3
b) (–4) · (–3)
c) 4 · (–3)
Beräkna a) –20 4 b) –20 –4
Byt till enheten inom parentes.
Beräkna
a) 160 0,4 b) 0,063 0,09
Skriv 5 7 i decimalform avrundat till närmaste
a) tiondel b) hundradel
Vilka tal är markerade med en punkt på tallinjen? 0 –5 B C
Beräkna
a) 12 – 15 b) –12 – 15
Beräkna
a) 15 + (– 12) b) 12 – (–15)
Beräkna
a) (–6) · 3
b) (–7) · (–5)
c) 6 · (–3)
Beräkna
a) –36 9 b) –36 –9
Byt till enheten inom parentes.
24 s (min)
REPETITION Nivå 2 1 2 3
1 Ibens bil förbrukar 2 3 liter bensin per mil. Olavs bil förbrukar 5 7 liter bensin per mil.
Vems bil har lägst förbrukning?
2 Skriv bråken med den minsta gemensamma nämnaren och utför sedan beräkningen.
a) 1 3 + 4 9 b) 5 6 –2 9 c) 7 8 –11 12
3 Myran startade från den vänstra änden av pinnen som är 1 m lång. Nyckelpigan startade från den högra änden.
Hur lång sträcka är det mellan dem när
a) myran har gått 1 6 m och
nyckelpigan har gått 1 4 m?
b) myran har gått 2 3 m och
nyckelpigan har gått 4 5 m?
4 Beräkna och svara i blandad form.
a) 3 4 + 4 3 b) 1 1 4 + 2 7 c) 3 – 2 7
5 Jonas blandar 3 5 liter såpa med 11 2 liter vatten till en såplösning mot bladlöss.
Hur många liter såplösning blandar han? Svara i blandad form.
6 Beräkna a) 3 5 ∙ 5 6 b) 7 2 ∙ 4 14 c) 3 8 ∙ 8 3
7 Beräkna rektangelns area. Svara i kvadratmeter. 5 3 3 5 (m)
8 Beräkna och förkorta resultatet så långt som möjligt. a) 3 ∙ 5 6 b) 5 3 ∙ 6 c) 5 3 ∙ 3
9 En burk med färg räcker till 2 3 m2
Till hur många kvadratmeter räcker
a) 2 burkar b) 2 3 burk c) 1 1 2 burk?
10 Beräkna och svara i enklaste bråkform. a) 2 5 1 2 b) 2 5 2 c) 2 2 5
11 Odin tar en flaska med 3 4 liter saft.
a) Hur mycket blir det i varje glas om han häller lika mycket saft i 3 glas?
b) Hur många glas blir det om han häller 1 8 liter saft i varje glas?
c) Hur många flaskor som rymmer 3 4 liter behövs till 6 liter saft?
12 Vilket tal ska står i rutan?
a) 4 –1 2 = 1 2 b) 6 ∙ 4 3 = 6 3 ∙
13 Beräkna
a) 0,5 ∙ 0,5 b) 0,02 ∙ 0,6 c) 25 ∙ 0,4 d) 20 ∙ 0,06 e) 0,20 ∙ 6 f) 4 ∙ 0,25
14 Beräkna kvadratens area. Svara i kvadratmeter.
0,6 m 0,6 m
15 Beräkna
a) 2,4 0,8 b) 4,9 0,07 c) 36 1,2
16 Vilket tal ska står i rutan?
a) 0,5 ∙ 8 = 8 b) 7 = 7 ∙ 4 c) 0,2 ∙ 45 = 45 d) 15 0,1 = 15 ∙ □
17 Du vet att 41 ∙ 60 = 2 460 Hur mycket är
a) 4,1 ∙ 60 b) 0,41 ∙ 6,0 c) 2 460 4,1 ?
18 Avrunda till närmaste tiondel.
a) 10,952 b) 19,952 c) 99,952
19 Beräkna
a) 6 – 14 b) – 6 – 14 c) – 6 + 14
20 Vilket tal ligger mitt mellan –13 och 5?
21 Beräkna
a) 19 + (–31) b) 19 – (–31)
c) –19 + (–31) d) –19 – (–31)
22 Beräkna
a) 6 + (–8) + 10
b) 6 + (–8) + (–10) + (–12)
c) –6 – (–8) – (–10) – (–12)
23 Beräkna
a) 4 ∙ (–0,4) b) –4 ∙ 0,5 c) –8 ∙ (–7)
24 En upprepad addition kan skrivas som en produkt, till exempel är
(–10) + (–10) + (–10) = 3 ∙ (–10)
Skriv som en produkt och beräkna
a) (–0,2) + (–0,2) + (–0,2) + (–0,2)
b) (–8) + (–8) + (–8) + (–8) + (–8)
25 Beräkna
a) 24 –3 b) –3,2 0,8
c) –0,12 –2 d) –24 3
26 Tabellen visar temperaturen i °C kl.7 varje dag under en vecka i december.
Beräkna medeltemperaturen.
27 Vilken av följande beräkningar ger det största värdet? A 387 –0,2 B –387 0,5 C 387 –0,25 D –387 0,1
1 Beräkna och svara i enklaste bråkform.
8 Beräkna
a) 0,002 ∙ 1,5 b) 60,08 ∙ 0,1
c) 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 d) 2 ∙ 0,2 ∙ 0,02
2 Beräkna triangelns area.
Svara i bråkform.
3 4 1 2
3 Vilket tal i bråkform kan x vara?
Ge två exempel.
a) 5 ∙ x = 1 b) 2 5 ∙ x = 1 c) 6 ∙ x > 1
4 En kvadrat har omkretsen 3 1 5 m.
Beräkna kvadratens area.
5 Hermann har kokat 3 3 5 liter
hallonsylt som häller i burkar som rymmer 1 3 liter.
a) Hur många burkar blir helt fyllda?
b) Hur många liter sylt blir det i burken som inte fylls helt?
6 En rektangel har omkretsen 4 m.
Rektangelns bredd är 1 1 3 m.
Beräkna rektangelns area.
7 Vilket tal i blandad form är markerat med en punkt på tallinjen?
9 Vilket tal är x om kvadratens area är
a) 25 m2
b) 0,25 m2? x x (m)
10 Beräkna
a) 0,1 1,2 ∙ 0,3 b) 0,12 – 0,1 0,5 ∙ 0,5
11 Beräkna värdet av uttrycket när
a = 0,3, b = –0,4 och c = 0,2
a) 4 ∙ b ∙ b b) a ∙ b ∙ c
c) a – b a – c d) a ∙ b + b ∙ c + c ∙ a
12 Helge ritar en sträcka som är 1 dm lång och delar den i tre lika delar.
Han suddar ut delen i mitten och ritar
två sträckor av samma längd som delen i mitten och låter dem mötas i en topp.
Han upprepar samma procedur på varje ny sträcka i figuren.
a) Hur lång blir vägen för en myra som följer sträckorna från A till B?
b) Hur lång blir motsvarande väg om Helge upprepar proceduren igen?
FÖRDJUPNING Scala upp!
1 Rita av bilden och dra två raka linjer genom urtavlan så att summan av talen i varje del som bildas är lika stor.
2 Klara vill multiplicera tre olika tal i följande lista:
–5, –3, –1, 2, 4 och 6
Vilken är den minsta produkt hon kan få?
–200 –120 –90 –48 –15
(Kängurutävlingen Cadet 2020)
3 En myra lämnar sin stack och går 1 m norrut, 2 m österut, 3 m söderut, 4 m västerut. Den fortsätter ett gå 1 m norrut, 2 m österut, och så vidare. Efter en stund korsar myran sin egen väg.
Hur långt från stacken är den då?
(Högstadiets matematiktävling 2001)
4 Beräkna och skriv i enklaste bråkform.
5 Var på tallinjen finns talet 1 4 ?
6 Vilket bråk är närmast 1 2 ? 25 79 27 59 29 57 52 79 57 92
(Kängurutävlingen Cadet 2016)
7 En talföljd börjar med talen 1, –1, –1, 1, –1
Talföljden fortsätter så att varje tal är lika med produkten av de två föregående två talen. Till exempel är det sjätte talet lika med produkten av det fjärde och femte talet.
Vilken är summan av de 2 013 första talen?
–1 006 –671 0 671 1 007
(Kängurutävlingen Cadet 2013)
MATEMATIK Scala 8
Scala Matematik är ett helt nytt läromedel i matematik för högstadiet, skrivet för kursplan 2022. Läromedlet är lätt att använda, betonar matematiska begrepp och metoder och ger stöttning till alla elever oavsett nivå.
I Scala Matematik hittar du
Ordet scala har vi lånat från latin. Det betyder trappa eller stege. Kunskaper och färdigheter i matematik är något som du utvecklar stegvis.
• mängder av övningsuppgifter – från grundläggande nivå till verkliga utmaningar
• återkommande repetition – innehåll från tidigare kapitel saxas in och vävs ihop med ny kunskap
• rikligt med exempel och lösta uppgifter – visar också tankegången bakom lösningen
• digitalt extramaterial med övningar, diagnoser och lektionsaktiviteter
Läromedelsserien Scala Matematik
• elevböcker till årskurs 7, 8 och 9
• digitalböcker
• webbaserad lärarguide
• digitalt träningsmaterial med möjlighet att följa upp elevernas arbete och skapa diagnoser
Läs mer om Scala Matematik på www.nok.se/scala