matematik
Daniel Dufåker
Roger Fermsjö
1c nivå
Attila Szabo
Niclas Larson
Innehåll
1.1 Tal i olika former 8
Talmängder 8 Negativa tal 9 Bråk 12
Addition och subtraktion av bråk 15
Multiplikation och division av bråk 17
Tal i decimalform 20
1.2 Räkneregler för potenser 25
Potenser med positiva heltalsexponenter 25
Potenser med negativa exponenter och med exponenten noll 29 Potenser med rationella tal i exponenten 33
1.3 Prefix och prioriteringsregler 37
Prefix 37 Prioriteringsregler 41
Tankekarta 45
Programmering:
Gissa ett tal 46
Kvadratrötter 47
Uppslaget 48
Historia: Talsystem genom historien 50
Blandade uppgifter 52
Kapiteltest 54
Nya ämnesplanen
Innehållet i Matematik
Origo nivå 1c är anpassat efter ämnesplanen som träder i kraft 2025.
2 Algebra
2.1 Algebraiska uttryck 58
Teckna och tolka uttryck 58 Förenkla uttryck 62
Multiplikation av uttryck i parenteser 66
Faktorisera uttryck 70
2.2 Ekvationer 72
Ekvationslösningens grunder 72
Mer om ekvationer 76 Ekvationer med nämnare 79
Problemlösning med ekvationer 82
2.3 Potensekvationer och olikheter 87
Enkla andra- och tredjegradsekvationer 87
Potensekvationer 91 Olikheter 95
2.4 Formler och talföljder 100
Att använda formler 100 Formler i kalkylprogram 104
Mönster och formler 109 Aritmetiska talföljder 113
Programmering: Fibonaccis talföljd 117
Uppslaget 118 Historia: Fibonaccis talföljd 120
............................... 121
uppgifter 122
3
Procent
3.1 Procentuella förändringar ............. 130
Procent, promille och ppm 130
Förändringsfaktor 135
Upprepade procentuella förändringar 140
3.2 Privatekonomi i kalkylprogram 145
Sparande och ränteberäkningar 145
Lån och ränteberäkningar 149
Programmering: Perfekta tal 154 Historia: Procenttecknet och
4
Samband och funktioner
4.1 Linjära samband 168
Koordinatsystem 168 Linjära modeller 171
Proportionalitet 176 Mer om proportionaliteter 181
4.2 Räta linjens ekvation 185
Från ekvation till graf 185 Från graf till ekvation 188
Räta linjens ekvation i k-form och i enpunktsform 194
Parallella och vinkelräta linjer 198
4.3 Funktioner 204
Funktion och funktionsvärde 204
Ekvationslösning med grafritande hjälpmedel 209
Definitionsmängd och värdemängd 214
Exponentialfunktioner 218 Potensfunktioner 224
Uppslaget 230
Historia: Kryptering 232
5 Statistik och sannolikhet
5.1 Statistiska undersökningar 242
Felkällor inom statistik 242
Felmarginal och signifikans 248
Korrelation och kausalitet 255
5.2 Enkla slumpförsök 262
Den klassiska sannolikhetsdefinitionen 262
Sannolikhet som relativ frekvens 266
5.3 Slumpförsök i flera steg ................ 271
Produktregeln 271 Träddiagram 276
Komplementhändelse 282
Programmering: Slumpförsök med tärningar
Historia: Sannolikhetslära och spel 287
6 Trigonometri och vektorer
6.1 Trigonometri 302
Likformiga trianglar 302 Tangens för en vinkel 306
Sinus och cosinus 310 Att bestämma vinklar med hjälp av inversa funktioner 314 Att bestämma sträckor och vinklar i koordinatsystem 317
6.2 Vektorer .................................. 320
Vektorer och skalärer 320
Räkneoperationer med vektorer 326
Subtraktion av vektorer 329
Vektorer i koordinatform 332
Längden av en vektor i koordinatform 338
Programmering: Approximera π
Ledtrådar
Nyhet!
Ledtrådar finns nu till vissa uppgifter. De hjälper eleverna att komma igång när de kört fast och är en bra resurs vid enskilt arbete hemma.
2 Algebra
Delkapitel
2.1 Algebraiska uttryck
2.2 Ekvationer
2.3 Potensekvationer och olikheter
2.4 Formler och talföljder
■ Prioriteringsreglerna
■ Beräkningar med negativa tal
■ Potenser Förkunskaper
Centralt innehåll
■ Hantering av formler och algebraiska uttryck, däribland faktorisering och multiplicering av uttryck.
■ Metoder för att lösa linjära ekvationer.
■ Begreppen intervall och linjär olikhet. Metoder för att lösa linjära olikheter.
■ Metoder för att lösa potensekvationer.
■ Problemlösning som omfattar att upptäcka och uttrycka generella samband.
■ Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning och problemlösning.
■ Exempel på hur programmering kan användas som verktyg vid problemlösning, databearbetning eller tillämpning av numeriska metoder.
Inledande uppgift
De inledande uppgifterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om och utmanar deras resonemangs- och problemlösningsförmåga.
Ordet algebra kommer från arabiskans al-jabr och betyder ungefär metoder för ekvationslösning. Det första vetenskapliga arbetet om algebra skrevs 830 e.Kr. av den persiske matematikern al-Khwarizmi. Kring år 1600 började man beteckna tal med hjälp av bokstäver eller symboler. Det räknas som den moderna algebrans födelse.
I dag är algebra inte bara ett eget matematiskt område, utan också ett hjälpmedel inom alla grenar av matematiken. Många matematiska formler som bygger på algebra har stor betydelse i vardagslivet, ofta utan att vi är medvetna om dem. Till exempel används en typ av formler i frukt- och grönsaksvågen i affären, i taxibilens taxameter och när du streamar musik till din mobiltelefon.
När du är klar med det här kapitlet ska du kunna u förenkla, tolka och faktorisera algebraiska uttryck u lösa förstagradsekvationer och olikheter u lösa potensekvationer u använda ekvationer för att lösa problem u ställa upp, använda och skriva om formler u använda formler i kalkylprogram
Du ska kunna
Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Bottental
I figuren här nedanför har vi skrivit talen 3, 11, 4 och 17 på den första raden. Talen i de tomma rutorna får man genom att addera talen närmast ovanför. Resultatet i den nedersta rutan kallas bottentalet till 3, 11, 4 och 17.
u Beräkna bottentalet till utgångstalen 3, 11, 4, 17
u Vilket tal ska stå i rutan längst till höger om bottentalet ska bli 30?
3 11 4 17 14 8 5 1 30
u Kan man utifrån utgångstalen avgöra om bottentalet blir jämnt eller udda? Formulera en regel.
4.1 Linjära samband
Koordinatsystemet
I figuren har vi ritat två tallinjer som skär varandra under rät vinkel. De bildar tillsammans ett koordinatsystem. Tallinjerna kallas koordinataxlar. Den horisontella koordinataxeln kallas oftast för x axel och den vertikala för y axel. Den punkt där de båda axlarna skär varandra kallas origo och svarar mot talet noll på båda axlarna. Koordinataxlarna delar planet i fyra kvadranter, som numreras moturs.
Teori och exempel
Teorigenomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar. I samband med exemplen finns ibland kortfattade instruktioner till hur man använder ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra.
kvadranten 1:a kvadranten 3:e kvadranten 4:e kvadranten
Vi kommer endast att arbeta med tvådimensionella koordinatsystem där koordinataxlarna skär varandra under rät vinkel, så kallade rätvinkliga koordinatsystem.
Ett koordinatsystem är ett slags referenssystem där en punkts läge anges med hjälp av tal , som kallas koordinater. Punkter namnges ofta med stora bokstäver. I figuren här ovanför har punkten A koordinaterna (2, 3). Det första talet är punktens position i förhållande till x-axeln och det andra talet punktens position i förhållande till y-axeln. Punkten B har på samma sätt koordinaterna (−3,5; 2,5), punkten C koordinaterna (−2, −3) och origo som brukar betecknas O har koordinaterna (0, 0). De streckade linjerna i figuren är hjälplinjer för att visa var på axlarna koordinaterna ska avläsas.
Exempel I koordinatsystemet till höger är punkterna A, B, C och D markerade.
a) Ange punkternas koordinater.
b) Vilken av punkterna ligger i andra kvadranten?
c) Bestäm avståndet mellan punkterna A och B.
Lösning: a) Vi avläser punkternas koordinater i koordinatsystemet.
x-koordinaten avläses på x-axeln
Svar: A = (1, −2), B = (1, 2), C = (−1, 4), D = (−2, −3)
y-koordinaten avläses på y-axeln
b) Punkten C ligger i andra kvadranten.
c) B ligger 4 steg ovanför A.
Svar: Avståndet mellan A och B är 4 l.e.
I ett koordinatsystem anger man avstånd i längdenheter, som förkortas l.e.
Exempel Beräkna arean av en rektangel vars hörn har koordinaterna (1, 1), (1, 4), (9, 4) och (9, 1)
Lösning: Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem.
Avståndet mellan (1, 1) och (9, 1) ger längden av rektangelns bas, som är 8 l.e.
Avståndet mellan (1, 1) och (1, 4) ger rektangelns höjd, som är 3 l.e.
Rektangelns area = 8 · 3 a.e. = 24 a.e.
I ett koordinatsystem anger man area i areaenheter, som förkortas a.e.
Nivå 1
4101 Rita ett koordinatsystem och markera följande punkter.
a) A med koordinaterna (3, 5)
b) B med koordinaterna (−1, 4)
c) C med koordinaterna (2, −3)
d) D med koordinaterna (2,5; 4,5)
4102 Vilka är punkternas koordinater?
4103 Figuren visar en rät linje i ett koordinatsystem. Ange koordinaterna för
a) den punkt där linjen skär y-axeln
b) den punkt där linjen skär x-axeln
4104 När Stina kommer till fjällstugan slår hon på värmen. Hon antecknar temperaturen de första sex timmarna.
Tid efter start (h) Temperatur (°C)
Enklare ingångar
Den nya upplagan innehåller fler enkla inledande uppgifter för att bättre möta elevernas förkunskaper.
Markera punkterna i ett koordinatsystem. Låt tiden vara x-koordinat och temperaturen y-koordinat.
4105 Bestäm avståndet mellan punkterna med koordinaterna
a) (5, −1) och (5, 8)
b) (2, −3) och (−3, −3)
c) (111, 114) och (111, −57)
Svara i längdenheter.
4387 Radiostationer sänder på olika frekvenser.
Sambandet mellan frekvens och våglängd kan beskrivas med en funktion av formen
f(x)= C ∙ 1 x där frekvensen f(x) mäts i kilohertz (kHz) och våglängden x mäts i meter.
a) Bestäm konstanten C med hjälp av tabellen.
Frekvens (kHz) 200 1 200
Våglängd (m) 1 500 250
b) Vilken våglängd motsvarar 2 300 kHz?
c) Vilken frekvens motsvarar 25 meter?
Nivå 2
4388 Låt f(x) = x3. Ange ett annat funktionsuttryck g(x), så att f(−2) = g(−2).
4390 För en potensfunktion f i formen f(x) = Cxa
gäller att f(1) = 4 000 och f(2) = 16 000.
Bestäm konstanterna C och a i funktionsuttrycket.
4391 En rektangel med arean 36 cm2 kan ha olika bas och höjd, exempelvis 4 cm och 9 cm eller 12 cm och 3 cm. 4 cm 3 cm 12 cm 9 cm
Öppna uppgifter
4389 Avståndet A(h) km till horisonten ökar med höjden h meter ovanför marken.
Följande tabell visar några exempel:
Höjd (m) Avstånd till horisonten (km)
25 18
100 36
Sambandet kan beskrivas med funktionen
A(h) = C ∙ √h .
a) Bestäm konstanten C med hjälp av värdena i tabellen.
b) Beräkna och tolka A(500) med hjälp av modellen.
En färgad ruta signalerar att uppgiften är öppen. Det innebär att den inte har ett givet svar och många gånger kräver en matematisk diskussion.
Vi har prickat in värdena för några sådana rektanglar i koordinatsystemet här nedanför. 0 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 bas cm höjd cm
a) Bestäm koordinaterna för ytterligare en punkt som ger arean 36 cm2.
b) Bestäm en potensfunktion h som beskriver hur rektangelns höjd h(b) beror av basen b om arean är 36 cm2.
4392 Funktionerna f och g bestäms av uttrycken f(x) = x3 och g(x) = x2. Bestäm f(g(2)).
4393 För vilken av funktionerna f och g, där f(x) = x 2 3 och g(x) = x 3 2 , är definitionsmängden alla värden på x? Motivera ditt svar.
4394 För en potensfunktion f(x) = Cxa gäller att f(1) = 2 och f(4) = 1.
4396 Vilken definitionsmängd har y = Cxa om a är ett negativt heltal. Motivera ditt svar.
4397 Tabellen visar solsystemets planeter, deras avstånd till solen och deras omloppstid kring solen.
Uppgifter på tre nivåer Till varje avsnitt finns varierade uppgifter på tre nivåer, både för den elev som behöver enkla ingångar och för den elev som behöver utmaningar.
Bestäm konstanterna C och a i funktionsuttrycket.
4395 En pizza med diametern 26 cm räcker till en person.
a) Vilken diameter har en pizza som räcker till två personer?
b) Bestäm en funktion som visar hur pizzans diameter d beror av antalet personer den ska räcka till.
Resonemang och begrepp
Planet Medelavstånd från solen R (miljoner km)
Omloppstid T (år)
Merkurius 57,91 0,24
Venus
Johannes Kepler (1571−1630) fann ett samband i formen T = C · Ra mellan en planets omloppstid T år och dess medelavstånd från solen R miljoner km.
a) Bestäm konstanten a om C = 0,00055.
b) Asteroidbältet ligger i en omloppsbana kring solen mellan planeterna Mars och Jupiter. Om en planet hade funnits där, vilken omloppstid hade den i så fall haft enligt Keplers samband?
u Ge exempel på när det är lämpligt att använda sig av linjära modeller och när det är lämpligt att använda sig av exponentiella modeller för att beskriva ett verkligt fenomen.
u Hur ser grafen till funktionen f(x) = Cax ut om a = 1?
u Finns det potensfunktioner som bara har positiva funktionsvärden?
u Vad är skillnaden mellan det allmänna funktionsuttrycket för en exponentialfunktion och det allmänna funktionsuttrycket för en potensfunktion?
u Är det möjligt för en funktion f att definitionsmängden består av ett så kallat öppet intervall (a < x < b), samtidigt som värdemängden är ett slutet intervall (c ≤ f(x) ≤ d)?
6269 Farah har löst en uppgift som handlar om att beräkna längden av en vektor. I facit står det att längden är −0,23 l.e. Hon säger att det måste vara fel i facit. Har hon rätt eller fel?
Motivera ditt svar.
Nivå 2
6270 Låt › v = (x, y) vara en godtycklig vektor. Förklara varför | › v| ≥ 0 utifrån formeln | › v| = √x2 + y2 .
6271 Rita två olika vektorer i ett koordinatsystem som har längden 4 l.e. och är vinkelräta mot varandra. Båda vektorernas startpunkt ska vara punkten (−1, 1).
6272 Beräkna längden av vektorn › u i figuren.
14 › u
6273 I figuren är | › a| = 5. Beräkna | › b|. 35°
› a › b
6274 Paul och John diskuterar storlek av vektorer. Paul menar att en vektors storlek är beroende av dess längd och av dess riktning, medan John påstår att en vektors storlek endast är beroende av dess längd. Vem har rätt? Motivera ditt svar.
6275 I figuren här nedanför är | › wy| = 9. Beräkna längden av vektorn › w. 37°
6276 Luka har fått i uppgift att i koordinatform ange sju vektorer som har längden 12 l.e. Han får inte använda digitala hjälpmedel och vet inte riktigt hur han ska lösa uppgiften. Visa Luka hur man kan lösa uppgiften utan digitalt hjälpmedel.
Nivå 3
6277 Bestäm i koordinatform två vektorer, › v1 och › v2, som uppfyller villkoren att | › v1| = | › v2| = 8 och att den spetsiga vinkeln mellan vektorerna är 30°.
Resonemang och begrepp
Varje delkapitel avslutas med Resonemang och begrepp.
Resonemang och begrepp
u Beskriv skillnaden mellan en vektor och en skalär.
u Två vektorer är ritade i ett koordinatsystem. Beskriv hur man gör för att addera respektive subtrahera vektorerna.
u Varför är det möjligt att ange en vektor med hjälp av koordinaterna för en punkt i ett koordinatsystem?
u Hur gör man för att bestämma längden av vektorn (2, 3)?
u Två vektorer är givna i koordinatform. Beskriv hur man adderar respektive subtraherar vektorerna.
u En vektor är given i koordinatform. Förklara hur man gör för att dela upp vektorn i två vinkelräta komposanter.
Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder dem att samtala om matematik.
skriver ut text eller värdet på variabler for upprepar en bit kod ett angivet antal gånger if utför en bit kod endast om ett visst villkor är uppfyllt **2
betyder upphöjt till 2 <=
betyder mindre än eller lika med
random.uniform(0, 1) slumpar fram ett tal mellan 0 och 1
Approximera π
I den här aktiviteten får du undersöka ett program som ger ett närmevärde till talet π.
Programmet här nedanför är skrivet i programspråket Python 3
import random
N = 10
for i in range(N):
x = random.uniform(0, 1)
y = random.uniform(0, 1) print((x, y))
Programmeringsaktiviteter
1 Skriv in koden här ovanför och kör programmet ett par gånger. Vad gör programmet?
2 Lägg till några rader i programmet så att det ser ut så här:
import random
N = 10
a = 0 for i in range(N):
x = random.uniform(0, 1)
y = random.uniform(0, 1) print((x, y))
if x**2 + y**2 <= 1:
a = a + 1
print(a)
Till nästan varje kapitel i Matematik Origo nivå 1c finns en eller flera programmeringsaktiviteter. Där får eleverna se exempel på hur programmering kan användas som verktyg vid till exempel problemlösning.
3 Kör programmet och beskriv vad det gör nu. Använd gärna figuren här till vänster i din beskrivning.
4 Hur stor andel av kvadratens yta täcks av det skuggade området?
5 Använd slutsatsen i uppgift 4 för att modifiera programmet så att det beräknar ett närmevärde till π. Tips: Öka antalet upprepningar och ta bort raden som skriver ut punkterna.
6 Ungefär hur många punkter måste du simulera för att få
a) två korrekta decimaler på π b) tre korrekta decimaler på π
Ge svaren i form av en tiopotenser.
Rätt eller fel?
Värdet av 2n + 3 är alltid större än värdet av n + 3.
a2 är alltid ett positivt tal, oberoende av värdet på a
Ekvationen 4x = x saknar lösningar.
Det finns ekvationer som har oändligt många lösningar.
Ekvationen x + 1 = x + 2 saknar lösningar.
Rätt eller fel?
I Rätt eller fel? får eleverna tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.
Kvadratroten ur 121 är ± 11.
Om du dividerar båda sidorna i en olikhet med samma tal, så måste du vända på olikhetstecknet.
−2, 0, 2, 4, 6, … är en aritmetisk talföljd.
Figuren visar talen som uppfyller olikheten
2x + 1 ≥ −5
Undersök
Klubbstugan
En förening har en klubbstuga med 30 sängplatser, vackert belägen vid en sjö. På föreningens hemsida kan man läsa att stugan hyrs ut för 2 000 kr per dygn med ett tillägg på 150 kr per gäst. Där vill man också lägga ut en kalkylator som snabbt beräknar kostnaden om man knappar in antalet nätter och gäster.
u Hjälp föreningen genom att ange vilka formler som ska stå i cell B3−B5. Testa gärna dina formler i ett kalkylprogram.
1 Antal gäster
2 Antal nätter
3 Total summa
4 Total summa per gäst
5 Total summa per natt för varje gäst
Omvänd sifferföljd
u Välj ett tvåsiffrigt tal 59
u Kasta om ordningen mellan siffrorna 95
u Bilda differensen av de två talen 95 − 59 = 36
Undersök
u Välj nya tvåsiffriga tal och upprepa proceduren. Vilket mönster ser du?
Under rubriken Undersök finns undersökande och utmanande uppgifter. Här får eleverna träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt.
u Visa att mönstret du ser gäller för alla tvåsiffriga tal. Du kan utnyttja att ett tvåsiffrigt tal kan skrivas 10a + b, där a och b är ensiffriga heltal och a ≠ 0.
Problemlösning och modellering
Mount Everest − världens tak
”Vilken idiot som helst kan nå toppen, tricket är att ta sig ner.”
Citatet är från Rob Hall, som omkom år 1996 på världens högsta berg Mount Everest, efter att ha bestigit toppen för sent på eftermiddagen. Regeln är att inte nå toppen senare än klockan 14.00. Då riskerar man att behöva övernatta nära toppen, vilket är väldigt riskabelt.
Man kan dela in berget i olika zoner:
Zon I: Upp till 3 600 m
Zon II: 3 600 till 5 500 meter
Baslägret ligger på 5 200 m.
Zon III: 5 500 till 7 000 meter
Här är risken för att få höjdsjuka stor. Det är möjligt att befinna sig på dessa höjder endast under kortare tider.
Zon IV: Över 7 000 meter
Denna zon kallas också dödszonen. Man kan överleva högst fem dygn på denna höjd. Läger 4 finns på 8 300 m. Därifrån är det cirka 12 h klättring kvar till toppen. Mount Everests topp ligger på 8 848 m.
u När behöver man lämna läger 4 för att inte nå toppen för sent?
u Skriv ett numeriskt uttryck för höjdskillnaden mellan toppen av Mount Everest och baslägret.
Problemlösning och modellering
u Lufttrycket ändras med höjden över havet enligt formeln p = 1 013 · 2,72 h 8,6 där p är lufttrycket i millibar och h är höjden över havet i kilometer. Beräkna lufttrycket vid toppen av Mount Everest, vid baslägret och vid havsytan.
På Uppslaget finns uppgifter som särskilt tränar de matematiska förmågorna. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering
u Vilken genomsnittlig hastighet i höjdled har en klättrare på vägen mellan läger 4 och toppen?
u En klättrare är på väg ner från toppen. Anta att det tar lika lång tid att ta sig ner till läger 4 som att ta sig upp. Skriv en formel för höjden y meter som klättraren befinner sig på efter x minuter.
u Hitta på en egen formel utifrån texten. Formulera ett problem där formeln kan användas. Låt en kamrat lösa problemet.
Definitionsmängden för en funktion behöver inte alltid vara tal utan kan, som här, t.ex. vara bokstäver.
Kryptering
Hemlig skrift
Ordet kryptering kommer från grekiskans krypto som betyder dölja. Behovet av att kryptera information man skickar, genom att skapa hemlig skrift, har alltid varit stort. Ofta är ett krypterat meddelande arrangerat så att varje bokstav i klartexten, alltså den okrypterade texten, byts ut mot en annan bokstav. Det kallas för ett substitutionskrypto. Ett sådant omnämns redan i Julius Caesars skildring av sitt fälttåg i Gallien. Han lät bokstäverna i alfabetet förskjutas ett visst antal steg. En förskjutning med två steg gav exempelvis ett C i stället för A och ett F i stället för D. Den här formen av krypto kallas därför ofta för ett Caesarkrypto.
Historia
I avsnittet Historia sätter vi matematiken i ett historiskt sammanhang och lyfter fram hur den används i samhälle och vetenskap.
Den regel som används för att överföra en klartext till en kryptotext är ett exempel på en funktion. För funktionen som beskriver kryptotexten här ovanför gäller exempelvis att f(A) = C och f(D) = F. För att avkryptera meddelandet används en omvänd funktion (invers), f −1, som kallas nyckel. Den omvända funktionen visar vad varje bokstav i kryptotexten ska ersättas med för att få klartexten. Exempelvis gäller för den omvända funktionen att f −1(C) = A och f −1(F) = D.
Klartext Kryptotext
TGIPGV UVÖT UQO URBP K DCEMGP ?
Försök att lista ut Caesarkoden. Ge en algoritm och en nyckel för att få klartext.
HMITEDLNEELGMDEAD ?
Tyd meddelandet som är ett brädgårdskrypto.
Om man flyttar om bokstäverna i stället för att förskjuta dem, har man fått ett transpositionskrypto. Ett exempel på ett sådant är brädgården. Där skriver man meddelandet på två rader med varannan bokstav på övre och varannan på undre raden. Sedan sätter man ihop övre och undre raden efter varandra. Om meddelandet som ska krypteras är ”vi anfaller i gryningen” så blir det krypterat ”vafleirnneinalrgyign”.
Rad 1 v a f l e i r n n e
Rad 2 i n a l r g y i g n
Krypteringsmaskiner
Genom århundradena har allt mer komplicerade krypton tagits fram, men det har också utvecklats allt mer avance rade metoder för att knäcka koderna. Under 1900-talet till verkades maskiner för att underlätta krypteringen. En känd sådan krypteringsmaskin är Enigma. Det var den som gav den tyska armén en mycket svårforcerad kod under andra världskriget. Enigmakoden knäcktes till slut av matemati ker och detta hade stor betydelse för slutfasen av och de allierades seger. I dag krypteras stora mäng der information med hjälp av datorer. Det är exempelvis tack vare den krypteringen som vi kan betala för saker via nätet utan att någon utomstående kommer åt våra betalningsuppgifter.
Tankekarta
Vi sammanfattar innehållet i kapitlet i en tankekarta. Det ger möjlighet att repetera kapitlets viktiga begrepp och schematiskt visa hur de hör ihop.
Koordinatsystem
u x-axel och y-axel
u origo
u fyra kvadranter
u en punkts läge beskrivs av två koordinater (x, y)
Samband och funktioner
Linjära funktioner
u räta linjens ekvation i k-form: y = kx + m
allmän form: ax + by + c = 0
u riktningskoefficienten k beskriver linjens lutning
u parallella linjer, k1 = k2
u vinkelräta linjer, k1 k2 = -1
u konstanttermen m anger linjens skärning
med y-axeln
u förstagradsfunktion
u grafen är en rät linje
u proportionalitet: y = kx
u linjära modeller beskriver situationer där något ökar eller minskar i jämn takt
4
Funktion
u samband
u regel
u oberoende och beroende variabel
u definitionsmängd och värdemängd
u funktionsuttryck
Representation av funktioner
u funktionsuttryck
u ekvation
u graf
u värdetabell
Exponentialfunktioner
u f(x) = Cax
u variabeln x är i exponenten
u a > 1 0 < a < 1
y x y x
u exponentiella modeller beskriver situationer där något ökar eller minskar med lika många procent
Potensfunktioner
u f(x) = Cxa
u variabeln x är bas i en potens
u proportionaliteter: y = kx, y = kx2 ,
y = k 1 x , y = k 1 x2
27 En bagare vill räkna ut vad det kostar att tillverka en chokladboll. I kostnaden räknar bagaren in en arbetskostnad samt kostnaden för ingredienserna. En stor chokladboll som väger 80 g kostar då totalt 8 kr att tillverka.
29 Sannolikheten att få en vinstlott i ett lotteri är 1/10. Hur stor är sannolikheten att du får minst en vinstlott om du köper 10 lotter?
30 Använd figuren och beräkna utan digitalt hjälpmedel
Blandade uppgifter
Många kunder tycker att en sådan chokladboll är för stor. Därför har bagaren även börjat göra små chokladbollar. En liten chokladboll väger 45 g och kostar totalt 6 kr att tillverka.
Bagaren räknar med att det är samma arbetskostnad att tillverka en stor chokladboll som att tillverka en liten chokladboll. Bestäm arbetskostnaden för en chokladboll.
I Blandade uppgifter finns extra övningsuppgifter till kapitlet. Här får eleverna öva på samtliga begrepp och metoder, utan någon inbördes ordning. En nyhet i den här upplagan är att uppgifterna är hämtade både från det aktuella kapitlet, och från de föregående kapitlen i boken.
(Np Ma 2c ht 2012)
28 Vilken eller vilka av informationspunkterna (1) och (2) behöver du för att kunna avgöra om de två vektorerna › v1 och › v2 är lika? Välj bland alternativen A−E.
(1) › v1 och › v2 har samma längd
(2) › v1 och › v2 är parallella
A (1) men inte (2)
B (2) men inte (1)
C Både (1) och (2) räcker var för sig
D (1) och (2) tillsammans
E (1) och (2) räcker inte för att lösa uppgiften
√3 1 30° 60° 2 a) sin 30° b) cos 60° c) arcsin √3 2 d) arccos √3 2
31 Visa att cirkelns area upptar π 8 av rektangelns area. x x 2
32 ABCD är en parallellogram där AB är parallell med CD. Är det sant att › AD − › AB = › BD? Motivera ditt svar.
33 Vektorerna › u = (−1, 2), › v = (−2, 1), › w = (1, −2) och › p = (−1, −2) är ritade i ett rätvinkligt koordinatsystem.
Del 2 Med digitalt hjälpmedel
a) Vilka av vektorerna är parallella?
b) Vilka av vektorerna har samma längd?
9 Från en stad med fyra gymnasieskolor ska man skicka 25 elever till en miljökonferens. Antalet elever vid skolorna är 372, 912, 217 och 632. På vilket sätt ska man göra urvalet?
c) Är några av vektorerna lika? Motivera ditt svar.
34 Definitionen av tan v i rätvinkliga trianglar gäller för spetsiga vinklar. Försök att beräkna tan 90° med hjälp av räknaren.
39 I en rätvinklig triangel är vinkeln v en av de spetsiga vinklarna. Storleken på vinkel v ökar men hypotenusan har samma längd. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. Motivera ditt svar. v
10 För att få reda på vad passagerarna tyckte om servicen, lämnade ett flygbolag ut en enkät till 800 personer. Av de 336 personer som besvarade enkäten tyckte 188 personer att servicen var bra eller mycket bra. Mellan vilka värden skulle resultatet kunnat ligga om alla tillfrågade hade besvarat enkäten?
a) Vilket resultat visar räknaren?
b) Varför gäller inte definitionen för räta vinklar?
A Större vinkel v medför ett högre värde på sin v
11 Sannolikheten att träffa en måltavla vid luftgevärsskytte är 0,7. Beräkna hur stor sannolikheten är att få två träffar och en miss på tre skott.
35 Sanna lånar 45 000 kr för att köpa en cello. Årsräntan på lånet är 8 % och amorteringstiden är 5 år. Amorteringen sker månadsvis.
Kapiteltest
B Större vinkel v medför ett lägre värde på tan v.
12 Ett läxförhör består av 5 frågor. Varje fråga har tre svarsalternativ varav ett är rätt. Beräkna sannolikheten för att åtminstone få ett rätt om man bara chansar.
a) Hur mycket ska Sanna betala vid den första inbetalningen?
b) Hur mycket ska Sanna betala vid den 10:e inbetalningen?
Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med och en del utan digitalt hjälpmedel.
40 En blandare ska förses med en kran. När kranen, precis som i bilden, bildar en rät vinkel mot röret är vattnet avstängt. Blandaren får inte slå i kranen när vattnet stängs av. Beräkna den största möjliga längden som handtaget på kranen kan ha utan att den slår i blandaren.
13 Roulett är ett hasardspel där en kula faller ner i ett av 37 fack i ett snurrande hjul. Facken är numrerade från 0 till 36. Tre personer spelar roulett och satsar en mark var per spelomgång. Spelare A satsar på nummer 17. Spelare B satsar på fyra nummer och spelare C satsar på att det ska bli ett udda nummer. Alla tre har betalt lika mycket för sin spelmark.
36 I tabellen här nedanför visas stödet för ett parti i två opinionsundersökningar.
Undersökning n Andel
Är ökningen statistiskt säkerställd? Använd formeln som finns i uppgift 5129.
37 Visa med hjälp av definitionerna för sinus, cosinus och tangens att sin v cos v = tan v, där 0° < v < 90°.
38 Hur lång är sträckan PQ? 68° 3 O P Q (dm)
28 cm 9 cm 60°
41 Lös ekvationen 2x + 5 = 5 ∙ 2x
u Beräkna de tre sannolikheterna för att spelare A, B respektive C vinner. u Borde vinsten bli lika stor för de tre spelarna? Motivera ditt svar.
42 Bestäm arean av kvadraten i den rätvinkliga triangeln.
Putte har funderat länge på hur man kan kamma hem storvinsten från kasinot. Han vet att om man satsar på rött och vinner, så får man tillbaka dubbla insatsen. Han säger att om man använder sig av följande strategi så kommer man alltid att vinna i längden.
Satsa lägsta möjliga insats så länge som du vinner och dubbla insatsen varje gång du förlorar ända tills du vinner igen. Genom dubbleringen så vinner du tillbaka allt du har förlorat när du vinner nästa gång. Efter varje vinst börjar du om och satsar den lägsta möjliga insatsen igen.
12 13 x x (cm)
u Putte testar sin teori. Han satsar minsta insatsen 10 kronor på rött och tänker sedan dubbla ända tills han vinner. Vilken är sannolikheten att han vinner innan han gjort av med de 1 000 kronor han har med sig till kasinot?
u Är det troligt att Putte kommer att bli miljonär genom att använda sig av sin strategi? Motivera ditt svar.
Ledtrådar
1 Tal
1.1 Tal i olika former
1145 Börja med att förlänga 3 8 till sextondelar.
1146 Utnyttja att differensen 1 4 kan skrivas som 3 12
1147 En tredjedel av provtiden plus 20 minuter är halva provtiden. Anta att provtiden är x minuter eller rita en figur.
1158 a) Tänk på att inte alla tal är delbara med 3.
1159 Ställ upp totala andelen som en summa av två bråk. Gör liknämnigt och förenkla.
1160 Studera figurerna i teoritexten på sidan 17.
1162 Ställ upp en ekvation, där två tredjedelar av en tredjedel av hjorden motsvarar 70 oxar.
1163 Hur stor andel av en hel vägg målar var och en på en timme? Hur stor andel av en hel vägg målar de tillsammans på en timme?
1182 Observera att här behöver vi beräkna vävramens ytterarea. Men vävramens sidomått varierar beroende på plankornas felmarginal, vilket leder till att vävramens area kan bli större eller mindre.
1.2 Räkneregler för potenser
1215 Använd potenslagen (a ∙ b)n = an ∙ bn.
1216 Om baserna i VL och HL är lika, så måste också exponenterna vara lika för att likhet ska gälla mellan VL och HL.
1221 Välj några konkreta värden för a och b. Tänk på att (a ∙ b)n betyder a ∙ b multiplicerat med sig själv n gånger.
1222 Använd räknereglerna för potenser för att skriva talen med samma exponent. Vilken slutsats kan du då dra?
1223 Beräkna 5n för n = 1, 2, 3, 4, … Vilka mönster kan du se i talens slutsiffra? Gör sedan motsvarande undersökning för 9n och 2n
1224 Skriv potenserna i respektive uttryck med samma bas.
1245 Kalla antalet glas för x. Vilken ekvation kan du då ställa upp?
1246 Börja med att förenkla uttrycket innanför parentesen.
1247 Räkna produkten av tiopotenserna för sig och produkten av de övriga talen för sig. Det kan bli lättare att räkna om du skriver talen utan decimaler, t.ex. 1,2 ∙ 10−5 = 12 ∙ 10−6
1250 Skriv potenserna som tal i bråkform.
Vad blir 1 1 10 ?
1252 b) Notera att du i täljaren har 21 + 4 = 25 stycken 52, och 25 går att skriva med basen 5.
c) Utnyttja att 1010 = (2 ∙ 5)10
1253 Vad är värdet av ett positivt tal upphöjt till noll?
1265 Titta på Exempel 1, uppgift c).
1269 Titta på Exempel 3, uppgift b) och c).
1271 Tänk på att (a ∙ b)n = an ∙ bn
1273 a) Utnyttja att 8 1 3 = ( 8 1 3 ) −1
1274 Upphöj båda led i ekvationen till samma exponent.
1276 Förenkla först uttrycket under rottecknet i täljaren. Använd sedan lämplig potensregel.
1277 Jordens omloppstid runt solen är 1 år.
1278 Tänk på att inte alla tal kan upphöjas till en exponent som är ett rationellt tal.
1.3 Prefix och prioriteringsregler
1311 Tänk på att svaret ska anges med lämpligt antal gällande siffror.
1315 Tänk på att areaskalan är längdskalan i kvadrat.
1322 Hur många tabletter behövs för 30 g kosttillskott?
1338 Till exempel är (4 + 4 + 4)4 − 4 = 1 och 4 − 4 4 − 4 4 = 2
1339 Fundera över hur pengarna som vaktmästaren tog bör skrivas i uttrycket.
2 Algebra
2.1 Algebraiska uttryck
2109 Tänk dig att Cilla har t.ex. 4 km till skolan. Hur beräknar du då de andra elevernas avstånd till skolan? Gör sedan samma sak, men anta att Cilla har a km till skolan.
2113 a) Heltalet närmast före m är 1 mindre än m
2118 100 km = 10 mil. Hur mycket bensin förbrukar bilen på s mil?
2119 Pröva dig fram med olika värden på n. Vilken typ av tal blir 2n? 2n + 1?
2120 a) Jämför uttrycken 2x + 7 och 2x + 12. Vad är lika?
Vad är olika?
1c nivå
Matematik Origo nivå 1c är en modern lärobok anpassad till Gy25 med
utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter
matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla
målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel
Till Matematik Origo nivå 1c finns även komponenterna Lärarguide, Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, övningsblad och aktiviteter.
Serien Matematik Origo finns till samtliga gymnasieprogram.