Ευχαριστώ θερμά τον συνάδερφο Γεώργιο Κωνσταντάκη για τις σημειώσεις και τις πολύτιμές συμβουλές του.
ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ
ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
1.Οι ορισμοί της πιθανότητας : α) Απλός ορισμός της πιθανότητας: ∅ : αδύνατο ενδεχόμενο P ( A) =
N ( A) N (Ω)
Ω : βέβαιο ενδεχόμενο
P (Ω) =1 ,
Ρ(∅) = 0
β) Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας : Έστω Ω = {ω1 , ω2 ,..., ων } ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο {ωi } αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με P (ωi ) , έτσι ώστε να ισχύουν: •
0 ≤P (ω 1 i) ≤
P (ω )+ P (ω )+ ... + P (ω 1 ν) = • . P ( ω ) Τον αριθμό ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου {ωi } . i Ως πιθανότητα P ( A) ενός ενδεχομένου A = {α1 , α 2 ,..., α κ } ≠ ∅ ορίζουμε το άθροισμα P (α1 ) + P (α 2 ) + ... + P (α κ ) 1
2.Οι
2
5 νόμοι των πιθανοτήτων: Διάγραμμα Venn
Νόμος Προσθετικός νόμος
Ω
Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β)
1.
Α
Β
Ρ(Α∩Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∪Β)
Ω
Α
Β
B
A
2.
Ω
A B
Απλός Προσθετικός νόμος: Αν Α∩Β = ∅ (Α, Β ασυμβίβαστα) Τότε Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)
Νόμος διαφοράς
Ω
Ρ(Α–Β) = Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β)
3.
Α
Β
Ρ(Β–Α) = Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β)
Ω
Α
Β
Νόμος υποσυνόλου Αν A ⊆ B , τότε P ( A) ≤ P ( B )
B A Ω
4.
Νόμος συμπληρωματικού
Ω
Ρ(Α΄) = 1– Ρ(Α)
5.
Α
Β
3.Τι προκύπτει από τους 5 βασικούς κανόνες: Σχήμα
Κανόνας Ρ[(Α-Β)∪(Β-Α)] = Ρ(Α) + Ρ(Β) – 2Ρ(Α∩Β)
Ω
Α
Β
Ρ((Α∪Β)΄) = 1– Ρ(Α∪Β)
Ω
Α
Β
Ρ[(Α∩Β)΄] = 1– Ρ(Α∩Β)
Ω
Α
Β
Ρ(Α∪Β΄)= Ρ(Α) + Ρ(Β΄) – Ρ(Α∩Β΄) = Ρ(Α) + 1 – Ρ(Β) – Ρ(Α–Β)
Ω
Α
Β
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Άν βρούμε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Α∩Β) μετά βρίσκουμε την πιθανότητα όποιου ενδεχομένου θέλουμε . Εφαρμογή: Αν Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω , με Ρ(Α) =80% , Ρ(Β) =0,3 και Ρ(Α∩Β) = 1/10 τότε : Να υπολογιστούν όλα τα παραπάνω ενδεχόμενα.
Ευχαριστώ θερμά τον συνάδερφο Γεώργιο Κωνσταντάκη για τις σημειώσεις και τις πολύτιμές συμβουλές του.