Μαθηματικά Α λυκείου by www.sofatutor.gr

Ευχαριστώ θερμά τον συνάδερφο Γεώργιο Κωνσταντάκη για τις σημειώσεις και τις πολύτιμές συμβουλές του.

ΒΑΣΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Α. Δειγματικός Χώρος – Ενδεχόμενα § 1.1: Μεθοδολογία: Για να βρούμε το δειγματικό χώρο μιας κατανομής επιλέγουμε έναν από τους παρακάτω τρόπους : 1) Τον βρίσκουμε κατευθείαν και απλά εφόσον εκτελείται ένα απλό πείραμα μια μόνο φορά. 2) Τον βρίσκουμε με τη βοήθεια δεντροδιαγράμματος, εφόσον εκτελείται ένα πείραμα διαδοχικές φορές ή πολλές περιπτώσεις ενός πειράματος ταυτόχρονα. Π.χ. ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές ή ισοδύναμα ρίχνουμε 3 νόμισματα. 3) Τον βρίσκουμε με τη βοήθεια πίνακα διπλής εισόδου όταν εκτελείται πείραμα με δύο ρίψεις ή δύο διαδοχικά πειράματα, με πολλά ενδεχόμενα το κάθε ένα, όπως η περίπτωση ρίψεις δύο ζαριών.

Βασικές ασκήσεις: 1. Βρείτε

το δειγματικό χώρο στις παρακάτω περιπτώσεις πειράματος τύχης: ριχνουμε ένα νόμισμα ρίχνουμε 2 νομίσματα ρίχνουμε ένα ζάρι ρίχνουμε 2 φορές ένα ζάρι ή 2 ζάρια (υπάρχει διαφορά στο δειγματικό χώρο;) από τις οικογένειες με 2 παιδιά καταγράφουμε το φύλο των παιδιών λαμβάνοντας υπόψιν τη σειρά γέννησής τους. vi) από τις οικογένειες με 2 παιδιά καταγράφουμε το φύλο των παιδιών μη λαμβάνοντας υπόψιν τη σειρά γέννησής τους. vii) Ένα κουτί περιέχει 3 μπάλες άσπρη, κόκκινη και πράσινη. Παίρνουμε 1 τυχαία viii) Ένα κουτί περιέχει 3 μπάλες άσπρη, κόκκινη και πράσινη. Παίρνουμε 1 τυχαία καταγράφουμε το χρώμα της και τοποθετούμε πίσω την μπάλα.Στη συνέχεια παίρνουμε και δεύτερη μπάλα. ix) Ένα κουτί περιέχει 3 μπάλες άσπρη, κόκκινη και πράσινη. Παίρνουμε 1 τυχαία καταγράφουμε το χρώμα της και χωρίς να την τοποθετήσουμε πίσω παίρνουμε και δεύτερη μπάλα. x) Από τα 52 φύλλα μιας τράπουλας παίρνουμε τυχαία δύο φύλλα. xi) Δύο ομάδες μπάσκετ συναντιούνται στην ημιτελική φάση και στον τελικό περνάει η ομάδα που θα φτασει πρώτη τις δύο νίκες. Ποιός ο δειγματικός χώρος; i) ii) iii) iv) v)

2. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές και καταγράφουμε το αποτέλεσμα. Βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο του πειράματος. β) Τα ενδεχόμενα: i) Α: «Να φέρουμε ακριβώς 2 φορές γράμματα» ii) Β: «Να φέρουμε τουλάχιστον 2 φορές γράμματα» iii) Γ: «Να φέρουμε το πολύ 2 φορές γράμματα» γ) Τα ενδεχόμενα: Α΄ , Β΄ , Α∩Β και (Α∪Β)∩Γ . δ) Αν ρίξουμε ένα νόμισμα κάποιες φορές και σταματήσουμε άν φέρουμε 2 φορές γράμματα ή 3 φορές κορώνα, ποιός ο δειγματικός χώρος του πειράματος;

Β. Κλασικός ορισμός πιθανότητας – Ισοπίθανα Ενδεχόμενα § 1.2:

Μεθοδολογία: Στα απλά ερωτήματα χρησιμοποιούμε: P ( A) =

Α) τον κλασικό ορισμό ∅ : αδύνατο ενδεχόμενο

N ( A) N (Ω)

, P (Ω) =1 ,

Ρ(∅) = 0

Ω : βέβαιο ενδεχόμενο

Β) ή την έννοια της σχετικής συχνότητας

fi =

vi v

και όχι κάποιον από τους κανόνες λογισμού πιθανοτήτων.

Βασικές ασκήσεις: 1. Παράδειγμα 1: Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {1,2,3,4,5,6} ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α: ‘‘ο αριθμός να είναι άρτιος ’’ και Β: ‘‘ο αριθμός να είναι μεγαλύτερος του 4 ’’. Βρείτε τις πιθανότητες: i) Ρ(Α) , Ρ(Β) και Ρ(Α∪Β) , Ρ(Α∩Β). ii) Ρ(Α – Β), Ρ(Β – Α ). iii) Ρ(Α∪Β΄) και Ρ[(Α – Β)∪(Β – Α )].

2. Παράδειγμα 2: Δίνεται ο παρακάτω πίνακας που παριστάνει τις ώρες που μελέτησαν ένα μάθημα για να γράψουν τις ανττίστοιχες εξετάσεις 50 φοιτητές του παιδαγωγικού τμήματος: Ώρες μελέτης [2,6) [6,10) [10,14) [14,18) Σύνολο

A. B. C. D.

Νi

Fi%

12 11 8 50

Να συμπληρωθεί ο πίνακας Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο Να εξετάσετε αν η κατανομή είναι ομοιογενής Αν επιλέξουμε τυχαία έναν από τους 50 φοιτητές βρείτε την πιθανότητα να έχει μελετήσει: i) Το πολύ 6 ώρες ii) Από 6 έως 14 ώρες

3. Από μια ομάδα ορειβατών που αποτελείται από τους Αλέκο, Βασίλη, Γιώργο και Διονύση, δύο άτομα θα επιλεγούν για μια αποστολή στο εξωτερικό. i) Ποιός είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης;

ii) iii)

Ποιά η πιθανότητα να επιλεγεί ο Βασίλης ή ο Γιώργος; Ποιά η πιθνότητα να μην επιλεγεί ο Διονύσης;

Γ. Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας – Μη Ισοπίθανα Ενδεχόμενα :

Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τις βασικές σχέσεις του αξιωματικού ορισμού: 0 ≤P (ω ) ≤ 1 • i

•

P (ω P (ω ... + P (ω 1 1) + 2 ) + ν) =

Αν A = {α1 , α 2 ,..., α κ } ≠ ∅ τότε P ( A) = P (α1 ) + P (α 2 ) + ... + P (α κ )

Βασικές ασκήσεις: 1. Δίνεται ο δειγματικός χώρος

Ω = {1,2,3,4} ενός πειράματος τύχης για τον οποίο ισχύουν: Ρ(1) = Ρ(2) = ½ Ρ(3) = 2Ρ(4) όπου Ρ(1), Ρ(2), Ρ(3), Ρ(4), οι αντίστοιχες πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω. i) Να βρείτε τις Ρ(1), Ρ(2), Ρ(3), Ρ(4) ii) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Β1 : «ο αριθμός να είναι άρτιος» Β2 : «ο αριθμός να είναι μεγαλύτερος του 2» , Β3 = Β1 ∩ Β2 .

2. Δίνεται ο δειγματικός χώρος P(k ) =

Ω = {1 ,2, 3} για τον οποίο ισχύει

k , για κ = 2,3. k +1 2

α) Βρείτε την πιθανότητα Ρ(1). β) Βρείτε το

lim k →1

P(k ) − k −1

1 2

3. Δίνεται ο δειγματικός χώρος

Ω = {1 ,2, 3, ... , ν} k για τον οποίο ισχύει P ( k ) = , για κ = 1, 2, 3, ... , ν. 15 α) Να βρείτε το ν. β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α = {ω∈Ω / 2< ω < 5} Β = {ω∈Ω / ω άρτιος}

Δ. Με κανόνες λογισμού πιθανοτήτων : Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τα παρακάτω:

1.Τους 5 κανόνες της θεωρίας με σειρά εφαρμογής στις ασκήσεις: 1. Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) 2. Ρ(Α΄) = 1 - Ρ(Α) 3. Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β)

Προσθετικός νόμος

4. Αν Α ∩Β = ∅ τότε Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Απλός προσθετικός νόμος 5. Αν Α⊆Β τότε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)

2.Άλλα 5 σημαντικά πάνω στους κανόνες :

1.Κάνουμε πάντα διάγραμμα Veen. Αν γνωρίζουμε τα Ρ(Α) , Ρ(Β) και Ρ(Α∩Β) τότε βάζουμε και αριθμητικά δεδομένα στο διάγραμμα Veen 2.Ισχύουν: Α∩Β΄ = Α – Β , Β∩Α΄= Β – Α

30% Α

10% 20%

40% Β

3. Α΄∪Β΄=(Α∩Β)΄ 4. Α΄∩Β΄=(Α∪Β)΄ κανόνες de Morgan 5. Ρ[(Α – Β)∪(Β – Α)] = Ρ(Α – Β ) + Ρ(Β – Α)

Βασικές ασκήσεις: 1. Αν Ρ(Α) = ½ , Ρ(Β)= ⅓ i)

και Ρ(Α∩Β) = 1/6 Βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α∪Β) , Ρ(Α΄) , Ρ(Α – Β) , Ρ[(Α– Β) ∪(Β– Α)],

Ρ(Α∪Β)΄ , Ρ(Α∪Β΄). ii)

Να εκφραστούν οι παραπάνω πιθανότητες με λόγια.

2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: 4 Ρ(Α∪Β) = ⅔ +4 Ρ(Α – Β). Βρείτε την Ρ(Β΄).

3. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(Α΄) = 4 Ρ(Α) ,

2Ρ(Β) + Ρ(Α) = 1 , 2Ρ(Α∪Β) = 1 Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α∩Β , Α – Β , Β – Α , Α∪Β΄.

4. Για τα ενδεχόμενα Α ={0, 1, 2} και Β ={5, 6, 7} του δειγματικού χώρου Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ισχύει ότι P( A) = Βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α∪Β).

4λ − 5 8 − 4λ και P( B) = . 7 7

Ε. Προβλήματα με κανόνες λογισμού πιθανοτήτων :

Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σημαντικές εκφράσεις για προβλήματα: Για δύο ενδεχόμανα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω, βρείτε την πιθανότητα:

Έκφραση : Να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β Να πραγματοποιηθεί το Α και το Β Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β Να μην πραγματοποιηθεί το Α (ομοίως για το Β). Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. Να μην πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β. ή Να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α και Β *Να πραγματοποιηθεί το Α ή όχι το Β.

Τρόπος επίλυσης : Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) Ρ(Α∩Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∪Β) Ρ(Α–Β) = Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β) Ρ(Β–Α) = Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) Ρ(Α΄) = 1– Ρ(Α)

Ρ[(Α – Β)∪(Β – Α)] = Ρ(Α – Β) + Ρ(Β – Α) Ρ[(Α∪Β)΄] = 1– Ρ(Α∪Β) Ρ[(Α∩Β)΄] = 1– Ρ(Α∩Β) Ρ(Α∪Β΄)= Ρ(Α) +Ρ(Β΄) –Ρ(Α∩Β΄) = Ρ(Α) +1 – Ρ(Β) – Ρ(Α–Β)

Βασικές ασκήσεις: 1. Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α. γυναίκα ή φιλόλογος β. γυναίκα και όχι φιλόλογος γ. άνδρας και φιλόλογος δ. άνδρας ή φιλόλογος.

2. Οι μαθητές ενός σχολείου έχουν επιλεξει να παρακολουθούν κάποια μαθήματα επιλογής Α και Β. Η πιθανότητα να μην παρακολουθούν κανένα από τα δύο μαθήματα είναι

1 . 5

Η πιθανότητα να παρακολουθούν μόνο ένα από τα Α και Β είναι 25%. Βρείτε την πιθανότητα να παρακολουθούν συγχρόνως τα Α και Β.

3. Σε ένα λύκειο που έχει 200 αγόρια και κορίτσια, το 90% των αγοριών και τα

3 5

των κοριτσιών επέλεξαν ως κύρια ξένη γλώσσα τα Αγγλικά ανώ οι υπόλοιποι μαθητές τα Γαλλικά. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Η πιθανότητα να είναι κορίτσι και να μην επέλεξε τα Αγγλικά είναι 30%. Να βρείτε: ι) Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια. ιι) Την πιθανότητα να είναι αγόρι και να μην επέλεξε τα Γαλλικά.

ΣΤ. Ανισοτικές σχέσεις στις πιθανότητες : Μεθοδολογία: Χρησιμοποιούμε τις ανισοτικές σχέσεις που προκύπτουν από τους κανόνες λογισμού στις πιθανότητες: Βασικές Ανισότητες:

Βασικοί Χειρισμοί στις ανισοτικές:

Για κάθε ενδεχόμενο Α 0≤ Ρ(Α) ≤ 1 Αν Α⊆Β τότε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β) Αφού Α∩Β ⊆ Α ⊆ Α∪Β τότε Ρ(Α∩Β) ≤ Ρ(Α) ≤ Ρ(Α∪Β) Αφού Α – Β ⊆ Α τότε Ρ(Α – Β) ≤ Ρ(Α)

1. Απαγωγή σε άτοπο με τον απλό προσθετικό νόμο. 2. Ρ(Α∪Β) ≤ 1 άρα Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) ≤ 1 ή Ρ(Α∩Β) ≥ Ρ(Α) + Ρ(Β) –1 3.Οι βασικές ανισοτικές σχέσεις.

Nα γνωρίζουμε ως υπόδειγμα για τις ανισοτικές σχέσεις τις παρακάτω ασκήσεις:

Βασικές ασκήσεις: 1. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) = 40% ,

Ρ(Β)= 0,8

1) εξετάστε αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα 2) δείξτε ότι Ρ(Α∪Β) ≥ 0,8 1 1 3) δείξτε ότι Ρ(Α∩Β) ∈ [ , ] 5 2 4) δείξτε ότι Ρ(Α΄∩Β΄) ≤ 20% .

2. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) + Ρ(Β) = 1,5 να αποδείξετε ότι: i) Τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. ii) Ισχύει Ρ(Α∩Β) ≥ 0,5 iii) Ισχύει Ρ(Α΄∩Β΄) ≤ 0,25

3.Έστω Α ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω για το οποίο ισχύει: | Ρ(Α) – 1| – | Ρ(Α) + 1| = – 3λ. Να δείξετε ότι 0 ≤ λ ≤

2 3

4. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: Ρ(Α) =

1 3

και Ρ(Α∪Β) = 75% . Να αποδείξετε ότι

5 3 ≤ Ρ(Β) ≤ . 12 4

5. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Να αποδείξετε ότι: 2 11 α) ≤ Ρ(Α∪Β) ≤ 3 12

β)

με Ρ(Α) =

2 1 και Ρ(Β) = . 3 4

5 2 ≤ Ρ(Α – Β) ≤ 12 3

Ζ. Πιθανότητες και συναρτήσεις : Μεθοδολογία:  Στην δεδομένη συνάρτηση f βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα.  Εξετάζουμε το είδος της μονοτονίας της f στο διάστημα [0,1] εκεί όπου πρέπει να ανήκουν οι πιθανότητες παρακάτω.  Αν Ρ(Α) < Ρ(Β) και η παραπάνω f έιναι γνησίως άυξουσα στο [0,1] ή στο (0,1) θα πρέπει και f (Ρ(Α)) < f(Ρ(Β)) ενώ αν η f έιναι γνησίως φθίνουσα στο [0,1] ή στο (0,1) θα πρέπει f (Ρ(Α)) > f (Ρ(Β)) και με αντικατάσταση αποδεικνύουμε τη ζητούμενη σχέση.

Βασικές ασκήσεις: 1. Δίνεται η συνάρτηση f

με f ( x ) =

x −1 ex

α) Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f . β) Αν Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικου χώρου Ω με Ρ(Α΄) – Ρ(Β΄) = 0,1 να αποδείξετε ότι: e P ( B ) ( P ( A) −1) < e P ( A ) ( P ( B ) −1)

2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x2 – 2x + 1 , με x∈[0,1]. α) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f . β) Να δείξετε ότι για κάθε x∈[0,1] η f γράφεται f(x) = x2 + (x – 1)2 . γ) Αν Α ενδεχόμενο ενός δειγματικου χώρου Ω , 1 να αποδείξετε ότι Ρ2(Α) + Ρ2(Α΄) ≥ 2

Σημαντικά Σωστό Λάθος στο κεφ. 3: Στήλη Α

Στήλη Β

Στήλη Γ Γράψτε το Σωστό σε περίπτωση που στη στήλη Β σημειώσατε Λάθος:

1.Αν Ρ(Α) = Ρ(Β), τότε Α =Β

2.Αν Ρ(Α) ≠ Ρ(Β), τότε Α ≠Β

3.Αν Α ≠Β, τότε Ρ(Α) ≠ Ρ(Β)

4.Αν Ρ(Α) + Ρ(Β) = 1, τότε Α΄= Β

5.Αν Α΄⊆ Β , τότε Ρ(Α) + Ρ(Β)≤1

6.Αν Ρ(Α) = Ρ(Α΄), τότε 2Ρ(Α) =Ρ(Ω)

7.Αν Ρ(Α) = Ρ(Β΄), τότε Ρ(Α΄ )=Ρ(Β)

8.Αν Ρ(Α) = Ρ(Α∩Β), τότε Α ⊆ Β

9.Αν Ρ(Α) = Ρ(Α∪Β), τότε Α ⊆ Β

10.Αν Ρ(Β) = Ρ(Α∩Β), τότε Β ⊆ Α

11.Αν Ρ(Α∩Β)=0, τότε Β, Α ασυμβίβαστα

12.Αν Ρ(Α) = 1, τότε Α = Ω

Ευχαριστώ θερμά τον συνάδερφο Γεώργιο Κωνσταντάκη για τις σημειώσεις και τις πολύτιμές συμβουλές του.