Ευχαριστώ θερμά τον συνάδερφο Γεώργιο Κωνσταντάκη για τις σημειώσεις και τις πολύτιμές συμβουλές του.
§ 2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού Θεωρία: Σε μια εξίσωση 2ου βαθμού, κάνουμε πρώτα τις απαιτούμενες πράξεις, αν χρειάζεται, και μετά: ► Φέρνουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος και στο δεύτερο γράφουμε το μηδέν. ► Συναντάμε με αυτόν τον τρόπο 3 είδη όρων: 1. Τα x2 , 2. τα x και 3. τους σταθερούς όρους, δηλαδή τους καθαρούς αριθμούς. Έτσι μια εξίσωση 2ου βαθμού μετά τις απαιτούμενες πράξεις θα έχει γενικά τη μορφή:
αx2 + βx + γ = 0 , με α ≠ 0
πχ: 5x2 + 4x – 9 = 0
Ο παρακάτω πίνακας μας δείχνει πως λύνουμε γενικά όλες τις μορφές των εξισώσεων 2ου βαθμού: Μορφή:
1. Πλήρης: αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0
Τρόπος λύσης: Με τη μέθοδο της Διακρίνουσας**: ☻ Εντοπίζουμε τους αριθμούς α, β και γ. ☻ Υπολογίζουμε τη Διακρίνουσα:
Δ = β2 – 4αγ ☻ Υπολογίζουμε τις λύσεις με τον τύπο: x=
−β ± ∆ 2α
(αντιστοιχεί στις 2 γενικά λύσεις)
2. Με β = 0 αx2 + γ = 0
(λείπουν τα x)
3. Με γ = 0 αx2 + βx = 0
Κάνουμε παραγοντοποίηση* χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων και αν χρειάζεται στην αρχή κοινό παράγοντα. Κάνουμε παραγοντοποίηση με κοινό παράγοντα το x .
Πλήθος λύσεων: (θα βρούμε στο τέλος) ► Αν Δ > 0 θα βρούμε 2 διαφορετικές πραγματικές λύσεις. ► Αν Δ = 0 θα βρούμε 1 διπλή λύση. (τότε αν παρατηρήσουμε προσεχτικά την εξίσωση θα διαπιστώσουμε κάποια ταυτότητα τετραγώνου) ► Αν Δ < 0 θα σταματήσουμε γράφοντας αδύνατη. (καμία λύση) ► 2 λύσεις αντίθετες μεταξύ τους (πχ: x = 2 ή x = -2) ή ► Θα είναι αδύνατη. ► 2 λύσεις όπου η μία θα είναι σίγουρα η x = 0.
(λείπει ο αριθμός) Παρατηρήσεις: * Η μορφή αυτή λύνεται και με τετραγωνική ρίζα αν θέλουμε. ** Τα «μυστικά» της Διακρίνουσας είναι ότι: Το πρώτο κομμάτι της, ό πρώτος όρος της, πάντα θα είναι θετικό. Το αποτέλεσμά της, μάλλον θα βγαίνει τέλειο τετράγωνο τουλάχιστον στις πρώτες ασκήσεις που θα αντιμετωπίσετε… Επίσης, η πλήρης μορφή λύνεται αν μπορούμε και με παραγοντοποίηση, ειδικά αν είναι κάποια ταυτότητα τετραγώνου.
Παράδειγμα – Άσκηση:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.
Στις παρακάτω (αντιπροσωπευτικές) εξισώσεις να σημειώσετε αν χρειάζονται αρχικά πράξεις, ποιάς μορφής είναι και με ποιό τρόπο επομένως μπορεί να λυθεί η κάθε μία. Στη συνέχεια κάθε μία να την μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να τη λύσετε: Εξίσωση: Χρειάζονται πρώτα Μορφή που Τρόπος λύσης: πράξεις: (κυκλώστε) προκύπτει: 2 x – 9x + 7 = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ x2 – 9 = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ 2 3x – 12x = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ x2 – 8x + 16 = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ 2x(x – 1) = 6 – x ΝΑΙ ΟΧΙ 2 2 (x – 1) = 2(x – x) ΝΑΙ ΟΧΙ x2 – 5x = 6 ΝΑΙ ΟΧΙ 2 2x – 32 = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ 2x2 + 2 = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ 2 – x + 16 = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ 5x2 – 7x = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ 2 3x – 2x = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ 2 – 2x – 4 = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ x(x – 3) = 2x(x – 1) ΝΑΙ ΟΧΙ 2 x + 5x = 7x – 10 ΝΑΙ ΟΧΙ 4x2 – 20x = –25 ΝΑΙ ΟΧΙ 2 (x – 3) = 16 ΝΑΙ ΟΧΙ 36x2 + 12x + 1 = 0 ΝΑΙ ΟΧΙ x( x + 3) 1 x − 6 ΝΑΙ ΟΧΙ − = 6 2 6
Παραγοντοποίηση τριωνύμου: Μα βάση τα παραπάνω αν μας ζητήσουν να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο μορφής αx2+ βx + γ μπορούμε να ακολουθήσουμε τον τύπο: αx2+ βx + γ = α(x – ρ1 ) (x – ρ2) , α ≠ 0 όπου ρ1 και ρ2 οι λύσεις που βρήκαμε από την Διακρίνουσα. Άρα για να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο (ή διώνυμο) έχουμε τους τρόπους που έχουμε μάθει στα προηγούμενα μαθήματα και επιπλέον τον τρόπο με τη Διακρίνουσα, δηλαδή τον παραπάνω τύπο. Οι τρόποι συνολικά παραγοντοποίησης επομένως είναι: 1.κοινός παράγοντας, 2.ομαδοποίηση, 3.διαφορά τετραγώνων, 4.τετράγωνο αθροίσματος ή διαφοράς, 5.με Διακρίνουσα. 6. Συνδυασμός Παράδειγμα – Άσκηση: Στις παρακάτω παραστάσεις να γράψετε δίπλα τον τρόπο παραγοντοποίησης και στη συνέχεια να τις παραγοντοποιήσετε στο τετράδιό σας. Παράσταση: Τρόπος Παράσταση: Τρόπος παραγοντοποίησης: παραγοντοποίησης: 2 2 2x – 8 x – 7x + 6 5x2 – 10x 5x2 – 10x + 5 (x – 2)2 – 16 4x2 – 12x + 9
Ευχαριστώ θερμά τον συνάδερφο Γεώργιο Κωνσταντάκη για τις σημειώσεις και τις πολύτιμές συμβουλές του.