Revista história da matemática - 2014 by Solange Rezende

Egito e Babilônia Os segredos da Matemática pura

Tales de Mileto? Pitágoras? Veja as contribuições desses grandes matemáticos.

DESCUBRA A matemática na baixa idade média à matemática moderna

Divirta-se com a matemática árabe e hindu e desafie seus amigos nos cálculos

Apresentação Essa revista tem por objetivo demonstrar, de maneira didática, parte do conteúdo da disciplina

História

Matemática,

elaborada pelos alunos do 1º período de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado de Minas Gerais, campus de Ibirité. Temos por orientador e idealizador desse projeto o professor Helder Ribeiro. Reunimos nessa edição curiosidades, descobertas e metodologia de alguns grandes matemáticos da história.

Boa leitura!

Índice 



EUCLIDES

EGITO E BABILÔNIA

TALES E PITÁGORAS

MATEMÁTICA GREGA

A MATEMÁTICA NA ÍNDIA E NA ARÁBIA

A MATEMÁTICA NA IDADE MÉDIA

RENASCIMENTO CIENTÍFICO

Contribuições para a produção da Revista  EUCLIDES Ana Carolina Cristiana Pereira Daiana François Gabriela Ferraz Natalia Campos Talita Carneiro  EGITO E BABILÔNIA Michelli Ruas Tamara Oliveira Idelbrando Junior Wemerson Martins Marcos Barbosa Amanda Resende Ana Elisa Aoki

 A MATEMÁTICA NA ÍNDIA E NA ARÁBIA Camila de Queiroz Cassilene Araújo Tiago Braga  A MATEMÁTICA NA IDADE MÉDIA Antônio Marques Leandro da Penha Leonardo da Silva Luiz Cláudio Sabino Marcos Vinícius Urci Rafael Medina

 TALES E PITÁGORAS Samara Ferreira Thais Rocha Sheila Soares Rosimar Souza  A MATEMÁTICA GREGA Ana Maria das Chagas Aníbal Ferreira Leonardo Garcia Luiz César Rodrigues Rodrigo Costa Moreira Rosemary Leonídio Taís Fonseca Wellington

 RENASCIMENTO CIENTÍFICO Elizabeth Chaiene Santos Michel Meireles Luciana

ARTE E PRODUÇÃO Jonathan Xavier Robson Carvalho Solange Rezende

EUCLIDES A Geometria Euclidiana, como ficou conhecida se trata de um pequeno grupo de axiomas que são proposições consideradas consensuais, onde não há necessidade de provas; e são essenciais para a elaboração de um corpo teórico. O matemático Proclo atribui a Euclides a criação das obras denominadas como Os Elementos, anteriormente atribuída a Arquimedes, onde são desenvolvidas as mais importantes teorias na trajetória da Matemática, pois servem de base para Geometria que é conhecida hoje. Os Elementos foram uma obra textual, dividida em treze volumes distribuídas da seguinte forma:

Livro I: definições de axiomas e postulados, congruências de triângulos, teoria das paralelas, paralelogramos e quadra-dos. No livro I com atenção especial a relações entre áreas.

retorna ao teorema de Pitágoras aplicados como teoremas referentes a razões entre grandezas;

Livro II: é destinado a transformações

hoje conhecido como algoritmo euclidiano, para achar o MDC de dois ou mais números inteiros e o usa para verificar se dois inteiros são primos entre si. Hoje, vemos que o estudo do MDC é importante para conseguirmos resolver problemas em que precisamos dividir duas ou mais coisas no maior número de vezes iguais. Exemplo: Uma empresa de logística é composta por três áreas, A, B e C. A área A é composta de 30 funcionários, a B de 48 e a C de 36. Ao final do ano a empresa deseja realizar uma dinâmica, que exige a criação de três grupos, em que nas três áreas todos os funcionários participem. Os grupos devem conter o maior número possível de funcionários, porém com o mesmo número de funcionários em cada grupo. Resolução: O maior divisor comum entre 30, 48 e 36 é 6. Portanto, é possível formar 6 grupos com 19 pessoas em cada.

de áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica;

Livro III: Euclides mostra muitos teoremas familiares sobre círculos, cordas, secantes, tangentes e medida de ângulos;

Livro IV: construção com régua e compasso dos polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 15 lados, bem como a inscrição e circunscrição desses polígonos num circulo dado. PI, podemos dizer que esse valor é menor que 3,15 e maior que 3,14, ou seja, podemos escrever uma dupla desigualdade 3,141 < π < 3,142.

Livro V: exposição da teoria das proporções de Eudoxo. Ou seja, para definir o perímetro da circunferência de diâmetro 1 que sabemos medir;

Livro

VI:

adapta a teoria das proporções eudoxiana à geometria plana, onde HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

Livro VII: começa com o processo,

Livro VIII: Se temos uma proporção continua a:b = b:c = c:d, então a, b, c, d formam uma progressão geométrica. A Progressão Geométrica (PG) serve para analisar o crescimento ou declínio de algo. Exemplos: A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão. Resolução: Percebemos que esta PG é de razão 3, pois dividindo 6 por 2 encontraremos 3. Para descobrirmos o 8º termo desta PG basta continuarmos sua sequencia: (2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374...). O 8º termo desta PG é 4374;

Livro IX: A Proposição IX 14 é referente ao importante teorema fundamental da aritmética (saber que todo inteiro maior que 1 pode se expressar como produto de primos de

uma e, salvo quanto à ordem de fatores, uma só maneira).

Livro X: trata as grandezas irracionais, ou seja, comprimentos de segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado;

O livro XI: é dedicado ao paralelismo e à perpendicularidade de retas e planos, e ao estudo de ângulos sólidos e de prismas;

Livro XII: Euclides estabelece razões entre áreas de ﬁguras planas e entre volumes de sólidos, por um método que mais tarde passou a ser designado por método de exaustão;

Livro XIII: trata do estudo dos cinco poliedros regulares, atualmente conhecidos por sólidos platônicos.

PI é indispensável nos cálculos de área e dimensão de uma circunferência, por exemplo. Além de utilizado em sala de aula é utilizado por engenheiros de todas as áreas. Dentre seus professores se destaca Euclides pela metodologia utilizada em suas aulas.

A Biblioteca de Alexandria foi construída por Ptolo-meu I no século IV a.C.; 05

Alexandre o grande criou a cidade de Alexandria ao norte do Egito em 332 a.C.;

Os gregos, com Alexandre o Grande subjugaram vários impérios. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

PRODUTOS NOTÁVEIS Observe a construção de um quadrado de lado com medida (a + b).

Note que a área do quadrado maior é (a + b)2 e também é a2 + 2ab + b2. Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do segundo, mais o quadrado do segundo: (a+b)2= a2 + 2ab+ b2

PORQUE ESTUDAR GEOMETRIA? Estudamos a geometria porque ela estimula o raciocínio lógico dedutivo, aumentando a concentração, organização, possibilitando o estudante desenvolver métodos construtivos e diferenciados de aprendizado, fugindo da rotina, pois, o estudante é “forçado” a enxergar além do que está no papel, levando a mente para outro nível de capacidade de raciocínio, aumentando o aprendizado em outros conteúdos com maior agilidade e rapidez.

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

EGITO E BABILÔNIA Vivemos em um mundo onde a correria do dia-a-dia nos faz aprender o instantâneo, esquecendo que para ele existir, foi pensado, planejado, que houveram erros e que houveram comemorações quando aconteciam os acertos. A matemática é como qualquer outra ciência, que foi desenvolvida com a contribuição de vários pensadores que ao longo do tempo aprimoravam seus conhecimentos. Ela não surgiu pronta e VOCÊ ela tem SABIA? a-cabada, uma história e vamos con-tar um pouquinho Que a vocês leitores. “É matemática acla-ro que a nem sempre matemática surgiu foi como originalmente como parte da vida nos tempos diária do homem” C.B.: atuais? (BOYER, História da matemáAo contráriotica, do1974). que é pensado pela maioria das pessoas, a matemática não existe como ciência desde sempre. Por volta de 3.500 A.C no Egito e na Babilônia ela engatinhava de acordo com as necessidades humanas diárias. Necessidades como registrar seus bens, contar seus animais, plantar, dentre outras. Coisas simples hoje em dia, mas que já foram inimagináveis de se fazer de forma prática. Imaginem que os números não existem e vocês precisam saber quantas blusas tem em seu guardaroupas, como fariam? Difícil, né? 07

Agora imagine construir pirâmides, casas, cobrar impostos, contar ovelhas ou desenvolver qualquer outro tipo de atividade sem eles. Os antigos egípcios e babilônicos tinham essa dificuldade, por isso começaram com as associações. Eles utilizavam formas primitivas de contagem, “É CLARO QUE A MATEMÁTICA formas associativas, como, por ORIGINALMENTE SURGIU COMO exemplo, guardar PARTE DA VIDA pedras em um saquinho, fazer DIÁRIA DO nós em cordas, HOMEM” marcar ossos, utilizar os dedos (BOYER, C.B.: das mãos e até História da matemádos pés. Cada tica, 1974). pedra, nó, marcação ou dedo representava uma unidade do que estava sendo contado. Logo perceberam que era mais fácil se a cada dez unidades utilizassem uma outra representação, diferente da unidade. Tomando como exemplo as pedras, quando tinham dez pedras em um monte, retiravam nove e permanecia apenas uma representando o todo. Inteligente, não é mesmo? Pois então, mas mesmo sendo uma boa forma, as coisas foram ficando cada vez mais difíceis. Começaram a ter que fazer grandes cálculos que pareciam impossíveis de se fazer de forma rápida e precisa. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

Numerais egípcios

Numerais babilônicos

Os indícios deixados por tais civilizações, nos mostra que souberam erguer grandes construções sem a ajuda de máquinas e que durou mais de 3000 anos, graças um grande controle de recursos, nos mostra também que o bom funcionamento dos países se fundamentava em uma matemática empírica (experimental). Através dos papiros, observamos que eles dominavam duas das quatro operações aritméticas: a soma e a subtração. Através das duas operações básicas, eles realizavam todas as operações necessárias. Utilizavam-se da soma e subtração também para multiplicar e dividir. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

A multiplicação dos egípcios era feita através de duplicação sucessiva, assim: colocava-se um dos fatores numa coluna e na outra o número 1. Em seguida duplicava-se os valores dessas duas colunas. Quando na coluna iniciada pelo 1 encontrávamos os números que somados resultassem no outro fator da multiplicação, bastava então somar os valores correspondentes que estavam na outra coluna. Vejamos um exemplo: vamos multiplicar 23 x 42 e duplicar esses números:

Verifique que, na coluna da direita, os valores nas caixas amarelas 84 2 somam 23 (1+2+4+16 = 23) e foi por isso que paramos o processo nesse 168 4 ponto. Observem também que pulamos o número 8, fizemos isso 336 8 por não precisar somar a sequência completa, tem que somar até que a 672 16 primeira quantidade de números somados complete o número qual queremos multiplicar. Agora é só efetuarmos a soma dos valores correspondentes que surgiram na primeira coluna, ou seja, 42 + 84 +168 + 672 = 966. Verifique agora que o resultado de 23 x 42 é exatamente 966.

l e a decima m te is s na avam nios utiliz saber que é te n a Os babilô a s dos de um al. Interes e d im s s e o g d a x s e ó doze n edos sistema s os cinco d ntavam os o c m o s c le e to n ia ju (12 X Babilôn agem), a base 60 m omo na im ra (c a g s e o h ã c us m das forma que s e e m se ra ta o s h e d s i a n fo , que té hoje da outra o número tilizamos a u m ia e b u q a s ), 0 o um 5 = 6 o eles nã deixavam d n , a s u q ta n o E c . suas minutos. o número 0 locar em o m c ra ri m b a o v c a s precis que de , foi assim io z a v o ç a esp

“Os números governam o mundo.” (Platão) 09

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CURIOSIDADES! Uma informação interessante é sobre o surgimento da geometria: a palavra geometria é derivada de geometrein, sendo:

GEO = TERRA METREIN = MEDIR Observe como tudo faz referência a alguma coisa: quando o rio Nilo, que faz divisa entre as terras egípcias e babilônicas, inundava, levava parte das terras dos habitantes do Egito, fazendo assim com que o faraó cobrasse impostos mais baratos. Por causa disso o faraó mandou topógrafos para que medissem as terras antes das inundações (geometrein que é medir a terra), e sabe como eles mediam? Com cordas, estacas e com o antebraço que formava um cúbico e estas foram as primeiras formas de medidas geométricas.

e, cálculo u q ia b a Você s com as o d n ta n o “c significa ido aos v e d é o Iss que pedras”? s egípcios e r to s a p r antigos para conta s a r d e p utilizavam a s. suas ovelh Muito curiosos, os egípcios, se interessavam também pela astronomia. Faz endo uma de su as observações, co mpreenderam qu e, o rio Nilo inundav a quando a estre la Cão (que era a Sírius) aparecia no céu e que esta estrela só apare cia depois de 365 dias. Fizeram e ntão um calendário em que haviam 12 meses e 30 dia s, com mais 5 di as em que realizavam festas de final de ano, e desenvo lvendo um pou co aqui e um pouc o ali, chegamos ao calendário que ut ilizamos até hoje. o multiplicaçã , e u q ia b a é Você s ão? Isso ç a c li p ilt u vem de m os antigos e d a rm fo Eles devido a m. re a c li ip lt u m dois egípcios sivamente s e c u s m a duplicav . a operação m u e d s o term

As pirâmides egípcias foram construídas há mais de 3000 anos. A maior, localizada em Gizé, tem 2,3 milhões de blocos de pedra, alguns pesando nove toneladas. Como esses blocos foram sobrepostos? Ninguém sabe, mas a suposição mais divulgada aponta para milhares de pessoas a empurrarem os enormes blocos de pedra por rampas durante vários anos. Força ou matemática? HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

QUEM FOI TALES DE MILETO? “A coisa de maior extensão no mundo é o universo, a mais rápida é o pensamento, a mais sábia é o tempo e mais cara e agradável é realizar a vontade de Deus.” Tales de Mileto

Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego, nascido por volta do ano 640 e falecido em 550 a.c., em Mileto, cidade da Ásia Menor, descendente de uma família oriunda da Fenícia ou Beócia. Tales foi incluído entre os sete sábios da antiguidade. Estrangeiro rico e respeitável, o famoso Tales durante a sua estadia no Egito estudou Astronomia e Geometria. Ao voltar de novo a Mileto, Tales abandonou, passado algum tempo, os negócios e a vida pública, para se dedicar inteiramente às especulações filosóficas, às observações astro- nômicas e às matemáticas. Fundou a mais antiga escola filosófica que se conhece - a Escola Jónica. É atribuída a Tales a descoberta de várias proposições isoladas relativas às paralelas, aos triângulos e às propriedades do círculo, não apresentando nenhuma sequência lógica, mas com demonstrações dedutivas. Poderá dizer-se que Tales deu a essas matemáticas uma característica que se conserva até hoje, o conceito de "demonstração ou prova". 11

Proposição: Os triângulos equiângulos têm os seus lados proporcionais (Euc.vI.4, ou vI.2). É uma proposição de grande importância, que Tales utilizou na determinação da altura da pirâmide Quéope. Ele apoiou-se a uma vara espetada perpendicularmente ao chão e esperou que a sombra tivesse comprimento igual ao da vara. Disse então a um colaborador: "Vai mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual á altura da pirâmide" Tales, para ser rigoroso, deveria ter dito para adicionar à sombra da pirâmide metade do lado da base desta, porque a pirâmide tem uma base larga, que rouba uma parte da sombra que teria se tivesse a forma de um pau direito e fino; pode acontecer que o tenha dito, ainda que a lenda não refira.

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Proposição: O ângulo inscrito num semicirculo é reto (Euc.III.31). Esta proposição é considerada a mais notável de toda a obra geométrica de Tales. Deduz-se facilmente, do facto de se poder inscrever um retângulo numa circunferência, verificando que as diagonais do retângulo são diâmetros da circunferência e o retângulo inscrito pode tomar qualquer posição dentro da mesma circunferência.

Se A, B e C são pontos em um círculo cuja reta AB é o diâmetro, então o ângulo ACB é sempre reto seja qualquer lugar estiver o ponto C. Proposição: Quando duas retas se cortam, os ângulos opostos pelo vértice são iguais (Euc.I.15).

Proposição: Se dois triângulos têm dois ângulos de um iguais a dois ângulos do outro e um lado de um igual a um lado do outro (lado este adjacente ou oposto a ângulos iguais), terão também iguais os outros lados que se correspondem num e noutro triângulo, bem como o terceiro ângulo (Euc.I.26).

Em triângulos isósceles os ângulos da base são iguais e, se as linhas retas iguais forem produzidas, então, os ângulos que se formam debaixo da base são iguais. Assim, ABC ≡ ACB e CBE ≡ BCD.

Tales foi também o primeiro a demonstrar que o diâmetro divide o círculo em duas partes iguais

Textos retirados do site: www.educ.fc.ul.pt HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

QUEM FOI PITÁGORAS DE SAMOS? “A matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo.” Pitágoras de Samos

Pitágoras é considerado um dos grandes matemáticos da Antiguidade. Pitágoras nasceu por volta de 580 a.C. na ilha grega de Samos. Viajou bastante pelo mundo, tendo visitado o Egito e Babilónia, onde entrou em contacto com matemáticos, tendo conhecimento dos seus estudos sobre os conjuntos de números, agora com o seu nome, os triplos pitagóricos, e que já eram conhecidos dos cientistas e matemáticos babilónicos há mais de 1500 anos. Pitágoras desenvolveu o famoso Teorema em que é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados que tem como lados cada um dos catetos. O teorema de Pitágoras é uma relação entre áreas. A primeira está dividida em seis partes e sua área é a²+b²+2ab. A segunda tem a área de quatro triângulos e do quadrado central de lado c, sendo portanto 2ab+c². Identificando as áreas obtidas temos c²=a²+b².

c²=a²+b²

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AMIGOS NÚMEROS ma dos igual à so é s le e d os cada um teiro são o in d n ro a e u q m ú s n amigo e um teiros são próprios d in s s re ro o e is m 3 iv ú ). Dois n s de 24.07 utro (os d rio número o p ro e ró o m p d ú o n s d o o m ri róp aior co exceçã divisores p número à pares, o m o e d d s s o e õ iv h it il s o de 10 m s. divisores p mos mais e c e encontrado h n m o de c ra fo já Hoje o s próprios bilhã re o m u is iv a d s s re o . eros inferio , pois algarismos destes núm 284 e 2 20 ros amigos a e o m m ã o ú s s n s a s o o o ig s am Todos fetuand de número 5 e 110. E lo 5 p , m 4 4 e x , e 2 2 Um 11, 20, , 4, 5, 10, 2 , 1 o ã s 220 84. resultado 2 o s 284 o m te b o 55 + 110 = + 4 4 + 2 s oma deste 11 + 20 + 2 s + a 0 1 o d + n 5 a , efetu 1+2+4+ , 71 e 142 4 , 2 , 1 o 84 sã prios de 2 ró p s re o is 0. Os div sultado 22 re o s o m bte números o 220 1 + 142 = 7 + 4 + 2 1+ NÚMEROS PERFE

ITOS

é diz perfeito se Um número se óprios. seus divisores pr igual à soma de o de um númer s rio óp pr s re Diviso iros s os divisores inte do to o sã N o tiv si po ceto o próprio N. positivos de N ex número 6, seus Exemplo 1: o cuja s são 1, 2 e 3, divisores próprio soma é igual à 6.

1+2+3=6 s número 28, cujo Exemplo 2: o ,ea são 1, 2, 4, 7 e 14 divisores próprios res próprios são so vi di us se s do soma 28.

1 + 2 + 4 + 7 + 14

= 28

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O Teorema de Pitágora aplicado n s pode ser a área d e transpo contribuindo rte, na sua logís tica. Imagin seguinte situ ea ação: Dois navio s A e B sentidos dif partem em erentes: o primeiro pa norte e o se ra o gundo para o leste, o na A com velo vio cidade con stante de Km/h e o 30 navio B c om velocid constante d a d e e 40 Km/h . Qual será distância en a tre eles apó s 6 horas? Distância p ercorrida p após 6 hora elo navio A s: D = 30*6 = 1 80 Km Distância p ercorrida pe após 6 hora lo navio B s: D = 40 * 6 =

240 Km

‘ Matemática grega A cidade de Alexandria (331 a.C.) desfrutava de uma paz com o resto do mundo. Durante o reinado dos Ptolomeus, que durou cerca de 300 anos, não entrou em conflitos graves. Era um porto seguro para os intelectuais. Em 212 a.C., Siracusa se rendeu ao cerco romano. Com o declínio do mercado de escravos, a economia romana desestabiliza e a escola de Alexandria fica muito fragilizada. Em 641 d.C., Alexandria é tomada pelos árabes.

o, mátic e t a m , nom o ô r t s a sa iracu tor e n S e v 7 n e i e d ) em 28 iro, d e a h d i n c cia ge da , en ceu na gna Gré através o c i i s í s a f na a M 2 a.C., u a 1ª Le , n o g a e 21 gr reg tro ou nia g rreu em o. Encon demonstr o ô l o c ( o a, ue m an e m m ro b a águ denso q u a.C. e os : so da d espa rostática l é men ei Hierão. id r ia da H m mater coroa do u a que através d , outro

es d e m rqui

Eratóstenes,

geógrafo, mate-mático, astrônomo e filósofo, nasceu na ci dade de Cire ne (antiga colônia grega) , na atual Líb ia , em a.C. e morreu 276 aos 82 anos na cidade de Alexandria (Eg ito) em 194 a .C..Estudo mais importante é sobre a med ição da Terra. Criou o Crivo de Erató st en es, que era um algoritm o, um método simples para encontrar números primos .

Apolônio, foi um

matemático e astrô nomo grego da escola Alexandrina. Nasceu em Perg a, em 262 a.C. e morreu em 190 a.C..Autor do fam oso Tratado das Secções C ônicas, escreveu as “As Cô nicas”, uma das principais obra s científicas da Antiguidade.

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Espiral de Arquimedes Define como o lugar geométrico de um ponto movendo-se a velocidade cons-tante sobre uma reta que gira sobre um ponto de origem fixo a velocidade angular constante. São usados para comprimir líquidos e gases. Um paciente quando desenha uma espiral de Arquimedes, pode quantificar o tremor humano.

Raio da Terra Eratóstenes, calculou o raio da Terra com uma precisão muito grande, aproximadamente 6.369km/H. Valor atualmente da Terra é de aproximadamente 6.378 km/ H. Calculou a partir do teorema das retas paralelas: duas retas distintas no plano, são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum.

Medida do Círculo Determina “pi” via inscrição e circunscrição de um polígono regular de 96 lados. Inventado por Arquimedes. Círculo (ou disco): conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. No círculo tem: Diâmetro, é uma corda que passa pelo centro da circunferência, contando duas extremidades; Corda, é um segmento de reta, cuja as extremidades pertence a circunferência, mas não passa pelo seu centro; Raio, é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

Você conhece o método de exaustão? Arquimedes,

desenvolveu

cálculo da área de um triân-gulo. Criou o método de exaustão, que é um método para encontrar a área de

uma

figura

geométrica,

inscrevendo -se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Proposição de Arquimedes: a área de qualquer círculo é igual à área de um triângulo reto, no qual um dos lados sobre o ângulo reto é igual

raio,

circunferência, do círculo

outro

Aprenda a calcular da área total de um cilindro Arquimedes, demonstra que a área da esfera é 2/3 da área total do cilindro circular. Esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional que mantém à mesma distância (o raio) de um determinado ponto (ao centro).Cilindro é a união de todos os segmentos de reta que conectam aos correspondentes pontos sobre círculos contidos em planos paralelos. No trabalho remanescente de Arquimedes, sobre esfera e cilindro, encontramos uma relação entre a área da superfície esférica com a superfície lateral de um cilindro. Cálculo da área total de um cilindro: Área total = área lateral + área da base + área da base.área da base = π.r2 ; área lateral = 2.π.r.h; 2πr em evidência; área total: At = 2.π.r.(h + r).

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Números‘ primos São os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Primeira pessoa que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C.. Teorema Fundamental da Aritmética, afirma que todo número inteiro natural, sendo maior que 1, pode ser escrito como um produto de números primos. Crivo de Eratóstenes, é um algoritmo, método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite. Funciona assim: Inicialmente, determina-se o maior número a ser checado. Ele corresponde à raiz quadrada do valor limite, arredondado para baixo. No caso, a raiz de 30, arredondada para baixo, é 5...

Você conhece os números primos?

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...Crie uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, e 30. Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2. Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado. No nosso exemplo, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 e 29. O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo número da lista é 3. Removendo seus múltiplos, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. O próximo número, 5, também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. 5 é o último número a ser verificado, conforme determinado inicialmente. Assim, a lista encontrada contém somente números primos.

MATEMÁTICA NA ÍNDIA Era uma civilização tão avançada como qualquer outra do oriente médio, mas existem poucas informações sobre a matemática Indiana por falta de registros históricos autênticos. Algumas informações que se tem são:  Dominavam o sistema de contagem de pesos e medidas;

A adição hindu antiga era escrita da esquerda para a direita, por exemplo, 345+488:

escrita,

 Criaram o sistema de castas;  Tinha provável conhecimento dos termos pitagóricos. Essa consideração é devido ao fato de usarem regras geométricas nas construções dos altares;  Sofreu influência da matemática grega, babilônica e chinesa;  A partir de século V a matemática hindu virou-se mais a astrologia, que até então era voltada a religião e ao misticismo;

3+4= 7 8+4= 12 Muda o 7 para o 8 e coloca o 2 ao lado do 7 8+5= 13 Muda o 2 para o 3 e coloca ao lado do 2

 A partir do final do século XV sofreu influência dos hindus, árabes e persas;  Vários matemáticos se destacaram, como, Aryabhatha, Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara Akaria e o matemático moderno Srinivasa Ramanujan, descoberto pelo professor Hardy. Desenvolveram o nosso sistema atual de numeração posicional. Usavam um pequeno quadro negro com uma pena de bambu mergulhada em uma tinta branca e rala mais fácil de apagar;

Outra forma citada por Bhaskara de somar 345+488:

 Os hindus eram ótimos nas contas com números.

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Multiplicação com 1 numero (569*5)

Coloca-se o número multiplicador na mesma linha, multiplicava 5*5 e coloca acima de 569, multiplica 5*6 e soma o 5 com 3 do 30 coloca o 8 em cima com o 0 do 30 e multiplica 5*9 coloca o 4 no lugar 0 e o 5 abaixo.

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

Os Hindus aceitavam e usavam os números negativos e os irracionais. Eles procuravam todas as soluções inteiras possíveis de determinado problema, diferente de Diofanto, que procurava qualquer solução racional. Eles não eram bons com a geometria que era ligada diretamente a mensuração. Com o sistema de castas, a matemática indiana era praticada apenas por castas superiores, por exemplo, os sacerdotes. A qualidade da matemática hindu era muito baixa por ser muito irregular.

MATEMÁTICA NA ARÁBIA O Império Árabe se divide em dois. O império oriental que ia da Índia a Espanha passando pela Pérsia, Meso-potâmia e África. Sofreu da Espanha um ataque que derrubou o ultimo dos governantes permitindo assim que o conhecimento grego e hindu fosse descoberto e praticado. A palavra “álgebra” vem do árabe “al-jabr”, que significa “restauração”. Os árabes tiveram um papel muito importante na história da matemática, pois traduziram fielmente, os clássicos gregos (Apolônio, Arquimedes, Ptolomeu dentre outros), que hoje conhecemos e utilizamos em vários aspectos. Os numerais hindus foram introduzidos na matemática árabe por meio da tradução das obras de Brahmagupta para árabe. Antes da época de Maomé ir a Meca os árabes escreviam todos os números em palavras, depois adotaram o simbolismo abreviado.

Principais matemáticos e tradutores Mohamed ibn mûsa Alkhowârizmî (780850)- Numeração Hindu, tratado de álgebra.

Al-Mâmum(809 -833)- AlKhwarizmi passou grande parte da sua vida em Bagdade, sob o patrocínio de AlMâmun. Tâbit Ibn Qorra (826-901)Tradutor dos elementos de Apolônio, Arquimedes e Ptolomeu.

Os mulçumanos eram muito bons na álgebra geométrica, já os árabes raramente eram criativos, mas deram pequenas contribuições para a ciência.

Abû’l-Wafâ (940988)- Criou a tangente e traduziu Diofanto.

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A MATEMÁTICA NA BAIXA IDADE MÉDIA O período que vai da queda do Império Romano, na metade do século V, até o século XI, é conhecido como Baixa Idade Média. Durante esse período o ensino praticamente deixou de existir. Fora a elaboração do calendário cristão, muito pouca matemática se fez durante o meio da Baixa Idade Média. Dionísio definiu o ano 1 do calendário cristão como o ano 754 da fundação de Roma. Este calendário passou a ser usado pelos cristãos e ganhou maior importância com a reforma empreendida pelo papa Gregório XIII, em 1582.

Em 1202, publicou sua obra famosa intitulada Liber Abaci; Faz lembrar a álgebra de Al-Khwarizmi, e foi um dos responsáveis de introduzir os algarismos indo-arábicos na Europa. Sem dúvida o problema no Liber Abaci que mais inspirou aos futuros matemáticos foi o seguinte: “Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo parque se torna produtivo a partir do segundo mês?” Esse problema célebre dá origem à sequência de Fibonacci: Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Outra curiosidade é que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos; seu valor é de 1,618.

Espiral de Fibonacci

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ESPIRAL DE FIBONACCI NA NATUREZA

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O SÉCULO XIV Nicole Oresme (1323-1382) foi quem primeiro usou um gráfico, para representar numa direção o tempo e na outra a velocidade de um móvel. Oresme chamava às coordenadas latitude e longitude, mas o seu sistema pode ser considerado precursor da representação gráfica de funções.

O SÉCULO XV

O mais capaz e influente matemático do século foi Johann Müller (1436 - 1476) conhecido como Regiomontanus. Em 1475 foi convidado pelo Papa Sisto IV para participar da reforma do calendário. O SÉCULO XVI O maior matemático do século XVI foi François Viète (1540-1603). Na álgebra, foi Viète que adotou vogais para as incógnitas, consoantes para os números conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e biquadradas (ou de 4º grau) e trigonometria, para as equações de graus mais elevados.

EQUAÇÕES CÚBICAS E QUÁRTICAS Em 1545, Girolamo Cardano (1501-1576) publicou em latim um tratado intitulado de Ars Magna, no qual apresenta as resoluções de equações de terceiro e quarto grau. Cardano publicou as resoluções de equações cúbicas e quárticas em seu tratado, mas não foi o descobridor original destas. Nicolo Tartaglia (1500-1557) foi quem resolveu as equações cúbicas e Ludovico Ferrari (1522-1565), discípulo de Cardano, resolveu as quárticas.

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A ALVORADA DA MATEMÁTICA MODERNA

O séc. XVII é particularmente importante na história da matemática. Perto do início do século XVII: Napier revelou sua invenção dos logaritmos; Harriot e Oughtred contribuíram para a notação e a codificação da álgebra; Galileu fundou a ciência da dinâmica; Kepler anunciou suas leis do movimento planetário; mais tarde, Desargues e Pascal inauguraram um novo campo da geometria pura; Descartes lançou a geometria analítica moderna; Fermat estabeleceu os fundamentos da teoria dos números moderna; E então, perto do final do século, na esteira preparada por vários matemáticos do próprio século, Newton e Leibniz contribuíram memoravelmente com a criação do cálculo. O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo, se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada; Dois importantes astrônomos contribuíram notavelmente para a matemática perto do início do séc. XVII: o italiano Galileu Galilei e o alemão Johann Kepler. Galileu desenvolveu ainda vários, o HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014

termômetro de Galileu e o precursinstrumentos como a balança hidrostática, um tipo de compasso geométrico que permitia medir ângulos e áreas, o termômetro de Galileu e o precursor do relógio de pêndulo. Descobriu a lei dos corpos e enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias precursoras da mecânica newtoniana Johann Kepler nasceu em 1571. Em 1609, viu-se em condições de reformular suas duas primeiras leis do movimento planetário e, dez anos depois, em 1619, a terceira. Essas leis são marcos fundamentais da história da astronomia e da matemática moderna. São elas:

I - Os planetas movem-se em torno do Sol em trajetórias elípticas com o Sol num dos focos; II - O raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais; III - O quadrado do tempo para que um planeta complete sua revolução orbital é diretamente proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita. 26

Renascimento Científico O Renascimento Científico deve ser entendido dentro do contexto do Renascimento Cultural, ocorrido na Europa entre os séculos XV e XVI. Foi um período marcado por grandes avanços nas ciências, possibilitados pelos estudos e experimentos de grandes cientistas. Na Idade Média buscavam-se conhecimentos através da leitura de livros, sendo que estes ficavam muito restritos, principalmente, aos monges e teólogos católicos. Foi um período marcado pela influência do pensamento da Igreja Católica, que acabou por prejudicar o desenvolvimento das pesquisas científicas, pois buscava explicar os fenômenos da natureza através da intervenção divina. Características principais:  Desenvolvimento de instrumentos científicos, principalmente na área de observação astronômica;  Formulação de várias leis da Física e teorias matemáticas;  Aumento da divulgação dos conhecimentos científicos. Isto aconteceu graças ao crescimento da produção de livros, após a invenção da prensa de tipos móveis por Gutenberg em 1439;  As descobertas científicas geraram forte mudança na forma que muitas pessoas entendiam o funcionamento do mundo. Isso ocorreu, pois as explicações religiosas, sem fundamentação científica, foram sendo substituídas pelas explicações baseadas nas ciências. Além de afetar a religião, estas descobertas científicas também impactaram o pensamento filosófico da época.

Quanto menos alguém entende, mais quer discordar.“

GALILEU GALILEI Um dos mais importantes físicos, astrônomo e matemáticos, Galileu Galilei através de seus experimentos, contribuiu significativamente para o desenvolvimento da humanidade. Galileu Galilei, nasceu em 15 de Fevereiro de 1564, na cidade de Pisa. Em 1581, Galileu ingressou no curso de medicina, na Universidade de Pisa. Rapidamente verificou que o seu verdadeiro interesse era a Matemática, e mudou de curso. Estudos e descobertas de Galileu na área da matemática, O pêndulo, a balança hidrostática, régua de cálculo, entre outros. As descobertas de Galileu acontecia com frequência na física e na matemática considerando a ligação entre as duas ciências. Por volta de 1586, Galileu inventou um novo tipo de balança hidrostática. Este aparelho baseava-se no principio de Arquimedes. A balança podia identificar os metais de que eram feitos. Também definia as suas proporções em ligas, em misturas de metais. Inventou também um Compasso Proporcional, este instrumento científico era utilizado para calcular todo o tipo de somas, converter uma moeda numa outra, determinar volumes e densidades de objetos e “descobrir a quadratura do círculo” Galileu percebeu que a luneta poderia ser utilizada para explicar questões da teoria heliocêntrica, proposta por Copérnico, por conta disso inventou o telescópio. Sua maior contribuição à ciência está na base do pensamento científico moderno, o método experimental, dos tempos de Arquimedes. É por isso que Galileu Galilei ainda é considerado o "pai" da Física Moderna e da Matemática.

Galileu Galilei 27

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JOHANNES KEPLER Kepler foi um importante astrônomo, astrofísico e matemático da época do Renascimento Científico (século XVI e XVII). Seus estudos e descobertas foram de grande importância para o desenvolvimento das ciências astronômicas. Mesmo tendo vivido numa época de intensa intolerância religiosa, que não aceitava as novas descobertas, conseguiu obter grandes resultados com seus estudos. É considerado um dos mais importantes cientistas da história. As Leis de Kepler revolucionaram o conhecimento astronô-mico, pois acreditava-se até então que os planetas realizavam movimentos circulares ao redor do Sol, Kepler provou que estes movimentos eram elípticos.  Kepler nasceu na cidade de Weil der Stadt (Alemanha) em 27 de dezembro de 1571.  Kepler morreu na cidade de Ratisbona (Alemanha) em 15 de novembro de 1630.  Teve o interesse despertado pela Astronomia graças aos pais. Aos cinco anos de idade, seus país o levaram para observar um cometa. Com nove anos viu um eclipse lunar, mostrado pelo pai.  Descobriu as leis do movimento planetário, conhecidas como Leis de Kepler

“...A Geometria existiu e existe desde antes da Criação. É coeterna com a mente de Deus... A Geometria forneceu a Deus um modelo para a Criação... A Geometria é o próprio Deus...” Johannes Kepler

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ISAAC NEWTON Curiosamente, Isaac Newton nasceu menos de um ano apôs a morte de Galileu (que, por sua vez, nascera três dias antes da morte de Michelangelo, um dos maiores artistas do Renascimento). Teve saúde extremamente frágil nos primeiros meses de vida e cedo perdeu o pai, sendo criado pelos avós quando a mãe casou-se novamente. Consta que não se destacava muito nos estudos antes da adolescência e que adorava ficar inventando e construindo pequenos objetos, desde pipas até relógio solares e de água. Um tio que trabalhava na Universidade de Cambridge percebeu suas tendências e conseguiu levá-lo para estudar nessa universidade. Durante os anos em que lá permaneceu, Newton não foi considerado excepcionalmente brilhante, mas, mesmo assim, desenvolveu um recurso matemático que ainda hoje leva seu nome: o binômio de Newton. As experiências de Newton com a luz também possibilitaram descobertas surpreendentes. A mais conhecida delas foi conseguida quando deixou um pequeno feixe de luz do Sol penetrar numa sala escura e atravessar um prisma de vidro. Verificou que o feixe se abria ao sair do prisma, revelando ser constituído de luzes de diferentes cores, dispostas na mesma ordem em que aprecem no arco-íris. Para que essas cores não fossem acrescentadas pelo próprio vidro, Newton fez o feixe colorido passar por um segundo prisma. Como resultado, as cores voltaram a se juntar, provando que sua reunião formava outro feixe de luz branca, igual ao inicial. O fenômeno da refração luminosa ocorria, de fato, sempre que a luz atravessava prismas ou lentes, o que limitava a eficiência dos telescópios. Newton projetou então um telescópio refletor, no qual a concentração da luz, em vez de ser feita com uma lente, era obtida pela reflexão num espelho parabólico. Esse princípio é utilizado até hoje na maioria dos telescópios.

NICOLAU COPÉRNICO Matemático e astrônomo polonês, autor da Teoria Heliocêntrica, segundo a qual o sol é o verdadeiro centro do sol é o verdadeiro centro do sistema solar, devendo-se a sucessão de dias e noites, ao movimento da rotação da Terra sobre seu próprio eixo. Copérnico nasceu em Tourun, na Posnâmia (região polonesa as margens do Vístula) na fronteira com a Alemanha, à 19/02/1453, era filho de um comerciante que o deixou órfão, aos 10 anos. Sua tutela ficou à cargo de seu tio Lucius Waczenrade, Bispo de Erimland. E ele cresceu em meio ao período Renascentista, no qual o saber, bem como a cultura avançaram revolucionariamente. Também serviu a Igreja Católica, o que de certa forma foi positivo, pois lhe dava acesso ao saber entesourado da igreja . Finalmente em 1543, esse mesmo discípulo, fez circular, em Nuremberg, a obra completa de Copérnico - Sobre a revolução das orbes celestes, onde a Teoria Heliocêntrica, era colocada de forma científica, e não como hipótese. Isto se deu sem o conhecimento de Copérnico, que teve exemplar nas mãos, já pronto, às portas de sua morte, em Frauenburg, à 24/05/1543, mesma data em que veio a falecer. Esta publicação, que tinha prefácio dedicado ao papa Paulo III, fora substituído por outro, anônimo, atribuído a Andreas Osiander, que insistia sobre o caráter hipotético do novo sistema.

"Apesar de todas as artes bem servir para chamar a mente do homem longe de vícios e levá-la para coisas melhores, esta função pode ser mais bem desempenhadas por esta arte, que também proporciona prazer intelectual extraordinária."

LEONARDO DA VINCI E A MATEMÁTICA

Para ilustrar o conteúdo sobre números irracionais, pode-se introduzir os estudos sobre as proporções humanas do nomeado pintor italiano do século XV, Leonardo da Vinci. Muito embora, seja reconhecido nas artes, esse artista por sua inteligência e criatividade também foi um grande cientista. Registrou em um caderno mais de 13000 criações, invenções e estudos sobre ciências. Um dos mais famosos estudos na matemática foi o Homem Vitruviano, assim chamado em homenagem as descobertas de MarcusVitruvius. Nessa obra, Leonardo da Vinci estudou exaustivamente as proporções do corpo humano relacionando-as com um famoso número conhecido como número áureo ou número ouro. Este número é encontrado na razão entre muitas distâncias no nosso corpo.

Nicolau Copérnico

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Referências

 História da matemática – Boyer, C.B, 1974, 5ª edição. Contando a história da matemática: a invenção dos números – Guelli, Oscar, 2010, 10ª edição  EVES, HOWARD. Introdução à História da Matemática.5ª ed. – Campinas, SP: Editora Unicamp, 2011.  www.matematica.br  www.brasilescola.com.br  http://pt.wikipedia.org  www.somatematica.com.br  http://books.google.com.br  http://www.periodicos.capes.gov.br/  http://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/avila/rpm10.pdf  http://www.dcc.ufrj.br/~collier/Palestras/Archimedes.pdf  http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/frame.htm  http://www.mundoeducacao.com/matematica/cilindro.htm  http://www.colegioweb.com.br  http://www.mimicsoda.hu/  http://mundoestranho.abril.com.br/  http://www.nicole-oresme.com/bilder/oresme_big.jpg  http://akifrases.com/imagenes/johannes-peter-muller  http://www.biografiasyvidas.com/biografia/htm

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