TEORÍA DE ELASTICIDAD by Soraya

TEORÍA DE ELASTICIDAD 1.- ESQUEMA

TEORÍA DE ELASTICIDAD CORPUSCULAR



Ley de Hooke



Módulo de Elasticidad



Módulo de Corte

-Autor (científico) -Fundamentos Teóricos -Ejercicios

-Fundamentos Teóricos -Constantes -Descripción Elásticas o -Ejercicios Módulos

-Descripción -Ejercicios

-Descripción 

Módulo Volumétrico

-Ejercicios

 LEY DE HOOKE:  AUTOR CIENTÍFICO: 

ROBERT HOOKE

Físico británico contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento. Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa “Ut tensio sic vis” ("Como la tensión, así la fuerza").  FUNDAMENTOS TEÓRICOS:  La ley de Hooke da cuenta de la relación que existe entre la fuerza que se aplica a un cuerpo y la deformación que en se produce.  Es valida cuando las deformaciones son pequeñas y elásticas. 

Una vez que se deja de aplicar la fuerza deformadora, el cuerpo vuelve a su estado original. Pero si no regresa, se dice que la deformación es plástica.

 Para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :

: Es el alargamiento : La longitud original, : Módulo de Young, : Sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

 EJERCICIOS: 1.- ¿Qué fuerza se debe hacer sobre un resorte para deformarlo 20 cm, sabemos que al suspender de él una masa de 2kg, sufre una deformación de 45 cm?

Datos:

Gráfico:

Solución:

k= 20cm

Se halla la constante de elasticidad.

m= 2kg

k k=

Incógnita:

(

)(

)

Luego la fuerza que se debe aplicar se calcula con la expresión: F= k. x

F= ¿?

F= (43,55 N/m) (0,2)= 8,71 N

2.- ¿Cuál es la constante de elasticidad de un resorte si al ejercer sobre él una fuerza de 12 N se deforma 20cm?

Datos: F= 12N

Gráfico:

Solución: Sabemos que F = k.x (donde F es la fuerza externa ejercida)

k=20cm k Incógnita: x= ¿?

(

)

La constante de elasticidad del resorte es 60 N/m lo cual significa que para deformarlo 1m hay que ejercer una fuerza de 60 N.

 MÓDULO DE ELASTICIDAD :  FUNDAMENTOS TEÓRICOS:  Razón entre el incremento de esfuerzo aplicado a un material y el cambio correspondiente a la deformación unitaria que experimenta.  Tipo de constante elástica, que relaciona una medida con la tensión y una medida con la deformación.  Isótropos (material elástico) caracterizado por un módulo elástico y un coeficiente elástico (razón entre 2 deformaciones).  Conocido el valor de uno de los módulos elásticos y del coeficiente de Poisson, se pueden determinar los otros módulos elásticos.  Mientras materiales como los ortótropos o anisótropos requieren un número de constantes elásticas mayor.

Conceptos: a. Isótropos: (Igual espacio de lugar) característica de los cuerpos cuyas propiedades físicas no dependen de la dirección. b. Coeficiente de Poisson: ( ) Constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo al estirarse longitudinalmente y adelgazarse en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. c. Ortótropos o anisótropos: (contrario a isótropo) cualidades como elasticidad, temperatura, conductividad, etc. Varían según la dirección en que son examinadas. o Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de young tiene el mismo valor para una tracción y compresión, constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor máximo ( límite elástico), es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud. o Tanto el módulo de Young como el límite elástico son distintos para los diversos materiales.

o El módulo de elasticidad es una constante elástica , al igual que el límite elástico, puede encontrarse empíricamente mediante ensayo de tracción del material. Este módulo de elasticidad longitudinal, puede definirse como el módulo de elasticidad transversal de un material. Las constantes elásticas que reciben el nombre de módulo elástico son:

 MÓDULO DE YOUNG  Se designa usualmente por .  Asociado directamente con los cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre, una varilla, etc. cuando está sometido a la acción de tensiones de tracción o de compresión. Por esa razón se le llama también módulo elástico longitudinal.  También conocido como módulo de elasticidad longitudinal, parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Este comportamiento fue observado y estudiado por el científico inglés Thomas Young. 

MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD



Se designa usualmente por



Está asociado con los cambios de volumen que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos (generalmente compresores) que actúan perpendicularmente a su superficie.



No implica cambio de forma, tan solo de volumen. 

MÓDULO ELÁSTICO TRANSVERSAL



Se designa usualmente por .



Está asociado con el cambio de forma que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes.



No implica cambios de volumen, tan solo de forma.



También se le llama módulo elástico tangencial y módulo elástico cortante. o En el Sistema Internacional de Unidades, los módulos se expresan en newtons/metro cuadrado (N/m2) y el coeficiente es adimensional.

 EJERCICIOS:

1.- Una varilla de 4m de longitud y 0,6cm² de sección se alarga 0,6 cm cuando se suspende de un extremo de ella un cuerpo de 500 kg, estando fijo su otro extremo. Hallar: a. El esfuerzo. b. La deformación unitaria. c. El módulo de Young. Datos:

Solución:

Gráfico:

L= 4m

F= mg

L= 0,6cm²

F= (500kg) (9,8m/

m= 500kg

F= 49000 N

D.U. = ) D.U.

D.U. = 1,5 * S Y

Incógnita:

F= ¿?

(

D.U. = ¿?

Y= ¿?

2.- ¿Qué fuerza se requiere para estirar 0,5mm un alambre de acero de 2m de largo y 2mm² de sección?

Datos: L= 2m

Gráfico:

Solución:

=Y( )

L= 2mm² Incógnita: F= ¿?

F F=

)

 MÓDULO DE CORTE :  DESCRIPCIÓN: El módulo de corte, es también llamado módulo de rigidez y mide la resistencia de un material a la deformación de corte. Se calcula mediante la siguiente expresión:

S= El módulo de corte es el esfuerzo que se realiza sobre la deformación MC= Ec/ Dc El esfuerzo es igual a la fuerza que se aplica en el área: E= F/ A La deformación es igual a la Tangente del ángulo: D=Tan <=d/l. Otra forma de deformar un cuerpo elástico es con un esfuerzo cortante en este caso la deformación se debe a la aplicación de una fuerza que es tangencial a la superficie. Se produce un cambio de forma sin un cambio de volumen. La deformación de corte (o de cizallamiento) está dada por x/ h, donde: x = es el desplazamiento relativo de las caras. h= es la distancia entre ellas. La deformación de corte a veces se define en términos del ángulo de corte: Tan ɸ = x/ h Unidad SI de módulo de corte suele ser menor que el módulo de Young. De hecho, S es aproximadamente Y/3 para muchos materiales, lo que indica que hay una mayor respuesta a un esfuerzo cortante que a un esfuerzo de tensión.

Sea un cuerpo en forma de paralepípedo de base S y de altura h. La fuerza F que actúa sobre el cuerpo es paralela a una de las caras mientras que la otra cara permanece fija, se presenta otro tipo de deformación denominada de cizallamiento en el que no hay cambio de volumen pero si de forma. Si originalmente la sección transversal del cuerpo tiene forma rectangular, bajo un esfuerzo cortante se convierte en un paralelogramo.

 EJERCICIOS: 1. En el diagrama de tracción adjunto, la figura pequeña corresponde a la región ampliada del origen de coordenadas. Dicho gráfico se ha obtenido de un ensayo de tracción efectuado a una probeta cilíndrica de una aleación de aluminio. Sabiendo que, inicialmente, la probeta tenía un diámetro de 10mm y una longitud de 75mm, calcule: A) Módulo de elasticidad. B) El alargamiento, al aplicar una carga de 13500N. C) La carga máxima que puede soportar esta probeta sin que se deforme permanentemente. Datos: d (probeta)= 10mm Longitud= 75 mm Incógnita:

Solución: a. Observando el detalle realizado en la gráfica podemos determinar aproximadamente que el límite elástico tiene un valor de 200MPa, valor al que le correspondería una deformación de 0,032. Podemos calcular el módulo de elasticidad, de la forma

F= ¿? D.U. = ¿? b. Para calcular el alargamiento, primero calculamos la sección de la probeta.

Gráfico:

c. Según la gráfica podemos determinar que, el

límite elástico se encuentra en 250MPa, aproximadamente, por lo que la máxima carga aplicable será: F= D.u.. A = 250 * 106 * 7,85 *10-5 = 19625 N

2. Calcule el diámetro del vástago de un cilindro que debe soportar una fuerza de 500kg fabricado en acero de tensión admisible 30 kg/ mm2. La carrera del cilindro no excederá de 100 mm para que no exista pandeo).

Datos: F= 500 kg

Incógnita: d (vástago) = ¿? Gráfico:

Solución:

Por lo que el diámetro D=√

=√

= 14,56 mm

 MÓDULO VOLUMETRICO  DESCRIPCIÓN:

 El módulo Volumétrico mide la resistencia de un material a la compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una disminución en el volumen.  Un fluido aplica una fuerza sobre un material, esa presión hace que el material tienda a comprimirse de manera uniforme, este a su vez genera una repuesta a este cambio el cual es llamado modulo volumétrico. ∆P= ∆F/A Dónde: ∆P: Esfuerzo Volumétrico ∆F: Variación de la fuerza A: área La unidad de este módulo en el Sistema Internacional de Unidades es (N/m2) o Pascales (Pa).

 Cifra que expresa la resistencia de un material a los cambios elásticos, relación entre la presión que actúa sobre el material y el cambio fraccional que se produce en su volumen dentro de los límites de elasticidad del material. También llamado coeficiente de estabilidad volumétrico. Se la puede calcular con la siguiente fórmula: K=-V(∆P/∆V) Donde K es el módulo volumétrico, V es el volumen y los ∆P y ∆V son los cambios de presión y volumen.

 EJERCICIOS: 1. ¿Qué incremento de presión se requiere para disminuir el volumen de un metro cúbico de agua en un 0,005 por ciento? Datos:

Gráfico:

Solución:

m3H2O= 0,005 %

Por elasticidad volumétrica tenemos:

Incógnita:

∆p= -B El módulo de compresibilidad del agua es

B= ¿? ∆p = ¿?

2,1 * 109 N/m2 ∆p= -2,1 * 109 ∆p= 1,05 * 105 N/m2

2. Un fluido disminuye un 1% su volumen cuando lo sometemos a una presión de 108 N/m2. ¿Cuál es su módulo volumétrico de compresión? Solución:

Datos: p = 108 N/m2

El módulo volumétrico de compresión del fluido en cuestión viene dado por:

Incógnita:

B= ¿? Gráfico:

FUENTES DE CONSULTA:

a) http://web.upcomillas.es/zonaalumnos/201014186/fisica4eso/Ley%20de%20 Hooke%20Gui%C3%B3n.pdf b) https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3& cad=rja&uact=8&ved=0CDoQFjAC&url=http%3A%2F%2Fes.wikipedia. org%2Fwiki%2FLey_de_elasticidad_de_Hooke&ei=6OiBU92I8jksATWn4GIAQ&usg=AFQjCNFcaZF2KHbqt_N-VnVK-tBeJ8orWQ c) http://enciclopedia_universal.esacademic.com/58645/M%C3%B3dulo_de_e lasticidad d) http://es.wikipedia.org/wiki/Isotrop%C3%ADa e) http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_Poisson f) http://es.wikipedia.org/wiki/Anisotrop%C3%ADa g) http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_el%C3%A1stico h) http://www.slideshare.net/Diego_Valarezo/ejercicios-de-elasticidad-fsica i) https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8& cad=rja&uact=8&ved=0CEoQFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.slidesha re.net%2Fexactas_gv%2Ffisica-1133790&ei=GlOCU-PKDI3NsQS4oH4DA&usg=AFQjCNGlm6hLxOjOKotvy654GXIyjmovbg j) http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/torsion/torsion.htm k) Koshkin N. I., Shirkévich M.G.. Manual de Física. Editorial Mir (1975) l)

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~23005153/d_tecnologia/LIBRO/pdf/materpro.pdf