Colegio Centro América
“En todo amar y Servir”
Iván Alejandro Lara Flores (ilaraf23@gmail.com) 9no D
SISTEMA DE ECUACION LINEALES
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. En matemáticas un conjunto de soluciones es el conjunto de valores que satisfacen una ecuación un sistema de ecuaciones o de inecuaciones. El conjunto de soluciones puede tener un solo elemento o varios elementos.
SUSTITUCION
Este método consiste en despejar una de las variables de cualquiera de las 2 ecuaciones y sustituir dicho despeje en la ecuación restante, así resulta una ecuación de primer grado, la cual se resuelve para obtener el valor de las variables. Este primer valor se sustituye en el despeje para determinar el valor de la otra variable. Pasos:
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía
la
incógnita
despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
REDUCCION
Este método consiste en multiplicar las ecuaciones por algún número, de tal forma que al sumar las ecuaciones equivalentes que resultan, una de las variables se elimina para obtener una ecuación con una incógnita, y al resolverla se determina su valor, para posteriormente sustituirla en alguna de las ecuaciones originales y así obtener el valor de la otra incógnita. Pasos:
1.
Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
IGUALACION En este método se elige una variable, la cual se despeja de ambas ecuaciones, los despejes se igualan y se resuelve la ecuación de primer grado que resulta. Por última, el valor que se obtiene se sustituye en cualquiera de los despejes para hallar otro valor.
Pasos:
1.
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 2.
3.
Se resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita 4.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
DETERMINANTES Dado un sistema de variables, este se puede resolver utilizando la siguiente formula:
Pasos:
•
Se acomodan los coeficientes de las incógnitas de ambas ecuaciones y se restan los productos. ( c1 )( b2 )−(c2)(b1) ( a1 )( b2 )−(a2)(a1)
•
Luego queda una fracción, esta se simplifica y el resultado es equivalente a x
•
Para encontrar el valor de y se acomodan las incógnitas de ambas ecuaciones y se restan los coeficientes. ( a1 )( c2 )−(a2)( c1) ( a1 ) ( b2 )− ( a2 ) ( b1 )
•
Luego se simplifica la fracción restante y el resultado es equivalente a y
EJEMPLO POR IGUALACION
x=8 {52xx−8+3y=51
2x +3y=8
5x−8y=51
2x=8−3y
x=
5x=51+8y
8−3y 2
x=
8−3y 51+8y = 2 5 40−15y=102+16y
−15y−16y=102−40 −31y=62
−31y 62 = −31 −31 y=2 x=
8−3(2) 2 8−6 4 = =2 2 2 x=2
(2,2)
51+8y 5
EJEMPLO POR SUSTITUCION =−29 {54xx++3yy=−45 4x + y=−29 x=
5
− y−29 4
+3y=−45 ( −y −29 4 )
5 (− y−29 ) +12y=−180 −5y +12y=−180+145
7y −35 = 7 7 y=−5
x−29 (−5 )−29 24 = = =6 4 4 4 x=6
(6,−5)
EJEMPLO POR REDUCCION
{75x+x−84 y=65 y=3 2 ( 7x+ 4y=65 ) 1(5x−8y=3) 14x+8y=130
5x−8y=3 19x 133 = 19 19 x=7
7 ( 7 ) +4y=65 49+ 4y=65
4y=65−49 4y 16 = 4 4 y=4
(7,4)
EJEMPLO POR DETERMINANTES +8y=13 {−3x 8x−5y=−2
x=
∣ ∣
∣ ∣
13 8 −2 −5
=
−3 8 8 −5
−65+16 −49 = =1 15−64 −49
x=1
y=
∣ ∣
∣ ∣
−3 13 8 −2 −3 8 8 −5
=
6−104 98 = =−2 15−64 −49
y=2
(1,2)
EJERCICIO RESUELTO POR CUALQUIER CASO(REDUCCION)